Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.39.0-wmf.25 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Gadget Gadget Diskussion Gadget-Definition Gadget-Definition Diskussion 10 8172 784921 202887 2022-08-22T07:19:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Vorlage:Projektarbeit]] {| id="Vorlage_Uberarbeiten" {{Bausteindesign3|class=noprint}} | [[Datei:Qsicon Ueberarbeiten.svg|24px|verweis={{TALKPAGENAME}}]] | style="width: 100%;" | <includeonly>{{{2|Dieser Artikel oder Abschnitt}}}</includeonly><!-- --><noinclude><nowiki>{{{2|Dieser Artikel oder Abschnitt}}}</nowiki></noinclude> bedarf einer Überarbeitung. {{#if: {{{1|}}}{{#ifexist: {{TALKPAGENAME}}|1}}|Näheres ist auf der <includeonly>{{{1|[[{{TALKPAGENAME}}|Diskussionsseite]]}}}</includeonly><!-- --><noinclude><nowiki>{{{1|Diskussionsseite}}}</nowiki></noinclude> angegeben.}} Hilf mit, ihn zu [[w:en:Wie schreibe ich gute Artikel|verbessern]], und entferne anschließend diese Markierung. |}<includeonly>{{#ifeq: {{NAMESPACE}}|{{ns:0}}| }}</includeonly><noinclude>{{Dokumentation}}</noinclude> s9drg093ugwkvin94031pch06h7n2el 0 10497 778805 762720 2022-08-21T12:57:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ist {{math|term= a|SZ=}} nicht durch {{math|term= p|SZ=}} teilbar, so definiert {{math|term= a|SZ=}} ein Element {{math|term= \bar a|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Einheitengruppe| | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|p|}} |}} |SZ=;}} diese Gruppe hat die {{ Definitionslink |Ordnung| | |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppenordnung/Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{{zus|}}}p-1|SZ=,}} und nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz von Lagrange|Faktseitenname= Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette | {\bar a}^{p-1} ||1 || || || |SZ=. }} Durch Multiplikation mit {{math|term= a|SZ=}} ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von {{math|term= p|SZ=}} gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig {{math|term= 0|SZ=}} steht. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Fermat |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lffg6blrongdovb0qz5p53lri0neqs8 0 10599 782502 467975 2022-08-22T00:52:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme in {{mathl|term= {\mathbb Z}[{\mathrm i}]|SZ=}} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von {{mathl|term= 35+18{\mathrm i}|SZ=}} und {{mathl|term= 8+11{\mathrm i}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Euklidischer Algorithmus |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 59ebhgycw70druzewsgbwioy42um7rl 0 10601 782503 477923 2022-08-22T00:52:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{math|term= \Z[{\mathrm i}]|SZ=}} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von {{mathl|term= 5+2{\mathrm i}|SZ=}} und {{mathl|term= 3+7{\mathrm i}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1v812pra8aujbub711rjwcrgnzq6w7l 0 10603 782504 477910 2022-08-22T00:52:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme in {{mathl|term= {\mathbb Z}[{\mathrm i}]|SZ=}} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von {{mathl|term= 7+4{\mathrm i}|SZ=}} und {{mathl|term= 5+3{\mathrm i}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Euklidischer Algorithmus |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nc8hvh4ggprasda2mmfl6oboqziwhle 0 10640 782511 508068 2022-08-22T00:54:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{math|term= \Z [ {{Imaginäre Einheit}} ]|SZ=}} die Primfaktorzerlegung von {{math|term= 8- {{Imaginäre Einheit}} |SZ=.}} Begründe{{n Sie}}, warum die Faktoren prim sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lhfviok7i8s3d444kitw04od693n4ww 0 10642 782510 474441 2022-08-22T00:53:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{mathl|term= {\Z}[{\mathrm i}]|SZ=}} die Primfaktorzerlegung von {{mathl|term= 350+70 {\mathrm i}|SZ=.}} Begründe{{n Sie}}, warum die Primfaktoren prim sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m4q4zc8e6kkyr10e1ahquhqgrrxhxlp 0 10657 785333 698898 2022-08-22T08:22:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |r |\in| \N || || || |SZ=. }} a) Finde{{n Sie}} {{math|term= r|SZ=}} aufeinander folgende natürliche Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathl|term= n, n+1 {{kommadots|}} n+r-1|SZ=}}| |SZ=, }} die alle nicht prim sind. b) Finde{{n Sie}} unendlich viele solcher primfreien {{math|term= r|SZ=-}}{{Anführung|Intervalle|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Primzahlverteilung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Lücken |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i1x8rjnvceno649ragbqof573y30nx8 0 10692 786277 469091 2022-08-22T10:59:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme den Rest von {{math|term= 27!|SZ=}} modulo {{math|term= 31|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der 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Beweise{{n Sie}} unter Verwendung {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Wilson|Faktseitenname= Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{ math/disp|term= 1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (p-4)^2 \cdot (p-2)^2 =(-1)^{\frac{p+1}{2} } \mod p |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ie92vyoetuvwfe631xeeg0473l0vs1r 0 10713 782218 483144 2022-08-22T00:05:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Kaninchen werden bekanntlich immer zur Monatsmitte geboren, die Tragzeit beträgt einen Monat und die Geschlechtsreife erreichen sie im Alter von zwei Monaten. Jeder Wurf besteht aus genau einem Paar, und alle leben ewig. Wir starten im Monat {{math|term= 1|SZ=}} mit einem Paar, das einen Monat alt ist. Sei {{math|term= f_n|SZ=}} die Anzahl der Kaninchenpaare im {{math|term= n|SZ=-}}ten Monat, also {{math|term= f_1=1|SZ=,}} {{math|term= f_2=1|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} durch Induktion die Rekursionsformel {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_{n+2} ||f_{n+1} + f_n || || || |SZ=. }} Diese Zahlfolge nennt man die Folge der {{Stichwort|Fibonacci-Zahlen|SZ=.}} Wie viele der {{math|term= f_n|SZ=}} Paare sind im {{math|term= n|SZ=-}}ten Monat reproduktionsfähig? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Folge der Fibonacci-Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kaninchen |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} re73as6pvgzxlp3u0nmwce805ckhsvj 0 10716 782219 738209 2022-08-22T00:05:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} durch Induktion die {{Stichwort|Simpson-Formel|SZ=}} oder Simpson-Identität für die {{ Definitionslink |Fibonacci-Zahlen| |Definitionsseitenname= Fibonacci-Zahlen/Folge/Definition |SZ= }} {{math|term= f_n|SZ=.}} Sie besagt {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathlk|term=n \geq 2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_{n+1} f_{n-1} - f_n^2 ||(-1)^n || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Folge der Fibonacci-Zahlen |Kategorie2=Vollständige Induktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Simpson |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9c2vep8u89ynep2uejtv0u7keeq8dst 0 10737 786254 474517 2022-08-22T10:55:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} alle Lösungen der linearen Kongruenz {{mathl|term= 13x=11 \mod 141|SZ=}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen über Restklassenringen von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= Der Restklassenring Z mod 141 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ivvgjzg07f7fdlkj145zt2bprs5jxkl 0 10758 785641 758868 2022-08-22T09:13:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass {{math|term= 2|SZ=}} im Ring {{mathl|term= {\mathbb Z}[\sqrt{5}]|SZ=}} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |prim| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wie sieht es in {{math|term= A_5|SZ=}} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(5)) |Objektkategorie2=Der quadratische Zahlbereich zu D ist 5 |Stichwort=Irreduzibel |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dzz5h968ysp6glefmvtqfdej6dw95a9 0 10803 785637 469331 2022-08-22T09:12:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und betrachte die quadratische Erweiterung {{mathl|term= {\mathbb Z}[ \sqrt{p}]|SZ=.}} Zeige, dass dies eine dichte Untergruppe der reellen Zahlen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o7qcpso87cf8ufqaroot3by7icxrrqf 0 10811 783172 756887 2022-08-22T02:44:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der einen {{ Definitionslink |Körper| | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der positiven {{ Definitionslink |Charakteristik| | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |p |>|0 || || || |SZ= }} enthalte {{ Zusatz/Klammer |text=dabei ist {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |R|R |f|f^p |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, den man den {{Stichwort|Frobeniushomomorphismus}} nennt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6cz43tzs43t7w84vz5m7tjnjnup0pdm 0 10815 783151 756868 2022-08-22T02:40:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} auf genau eine Weise die Struktur eines {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Moduls| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} trägt. Kommutative Gruppen und {{math|term= \Z|SZ=-}}Moduln sind also äquivalente Objekte. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modultheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der kommutativen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6qnd2pyh3c6oz6vch12lxdnvbukeyds 0 10816 781836 738244 2022-08-21T23:01:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der Elemente von {{math|term= K|SZ=}} die Potenz einer {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m2opj9mj4qemlm7edyl3z5g589pj9i9 0 10817 783234 738213 2022-08-22T02:54:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=durch Induktion| |ISZ=|ESZ=, }} dass es einen eindeutig bestimmten {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= | \Z|R || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der kanonische Ringhomomorphismus von Z nach einem Ring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g21ssadpoe35cnm430dbbuo0yjnnh5x 0 10840 785151 758506 2022-08-22T07:55:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Zeige, dass die {{ Definitionslink |irreduziblen Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Polynomringe über Körper/Irreduzibles Polynom/Definition |SZ= }} genau die {{ Definitionslink |irreduziblen Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition |SZ= }} in {{math|term= K[X]|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fnjlrpqi3hr1ecvca7ik4vvb8hclo7h 0 10841 782948 756692 2022-08-22T02:07:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=eine Variable| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R[X]|SZ=}} genau die Einheiten von {{math|term= R|SZ=}} sind.{{{zusatz|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem Integritätsbereich |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9wvldfpgyritth3lt9jna8hyap7u4od 0 10844 781844 755748 2022-08-21T23:02:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der positiven {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=.}} Sei {{ Ma:abb |name=F |K|K || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass genau die Elemente aus {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} invariant unter {{math|term= F|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Frobenius |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t8b16akhuxwarf46jxr2dad9cnjj1sy 0 10845 781843 755747 2022-08-21T23:02:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der positiven {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=.}} Sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi {{=}} F^{e} |K|K |x| x^{p^{e} } |SZ= }} die {{math|term= e|SZ=-}}te Iteration des {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es maximal {{math|term= p^{e} |SZ=}} Elemente gibt, die unter {{math|term= \varphi |SZ=}} invariant sind, und dass diese Elemente einen Unterkörper von {{math|term= K |SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Frobenius |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 328qi4nevwb7ox4cm8zl61gwrvs3bek 0 10846 783235 756936 2022-08-22T02:54:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi |\Z|R || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |kanonische Homomorphismus| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Kanonischer Homomorphismus von Z/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Kern|\varphi|}} |\subseteq| \Z || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der kanonische Ringhomomorphismus von Z nach einem Ring |Kategorie2=Charakteristik eines kommutativen Ringes |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bgcwwblkqn4mcsqzhockdua90c8gpnt 0 10849 783719 757368 2022-08-22T04:15:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Körpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} entweder {{math|term= 0|SZ=}} oder aber eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Charakteristik eines Körpers |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bqarxoli7e84rlsi0xb30jz926c8elt 0 10872 786283 759374 2022-08-22T11:00:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |natürliche Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{Aufzählung7|{{math|term= n|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Potenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Natürliche Zahlen/Potenz/Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Primzahl/Definition |SZ=. }} |Der Restklassenring {{mathl|term= {\mathbb Z}/(n)|SZ=}} ist {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Zusammenhängender Ring/Definition |SZ=. }} |Der Restklassenring {{mathl|term= {\mathbb Z}/(n)|SZ=}} ist {{ Definitionslink |lokal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition |Refname= {{{def5|}}} |SZ=. }} |Die {{ Definitionslink |Reduktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Reduktion (nilpotent)/Definition |Refname= {{{def6|}}} |SZ= }} von {{mathl|term= {\mathbb Z}/(n)|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def7|}}} |SZ=. }} |Jeder Nullteiler von {{mathl|term= {\mathbb Z}/(n)|SZ=}} ist {{ Definitionslink |nilpotent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition |Refname= {{{def8|}}} |SZ=. }} |Der Restklassenring {{mathl|term= {\mathbb Z}/(n)|SZ=}} besitzt genau ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Primideal/Definition |SZ=. }} |Der Restklassenring {{mathl|term= {\mathbb Z}/(n)|SZ=}} besitzt genau ein {{ Definitionslink |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Zusammenhängend |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rx5w4goaezqd3upg8b51luz05pm1nzr 0 10894 786276 759370 2022-08-22T10:59:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |natürliche Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{Aufzählung3| In der Primfaktorzerlegung von {{math|term= n|SZ=}} kommt jeder Primfaktor mit Exponent {{math|term= 1|SZ=}} vor. |Der Restklassenring {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |reduziert| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Reduzierter Ring/Definition |SZ=. }} |Der Restklassenring {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} ist das {{ Definitionslink |Produkt| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Produktring/Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Körpern| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} opyvohbtl0yy0393xon2kkqf8pkq6x3 0 10896 786275 759369 2022-08-22T10:58:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |nilpotenten Elemente| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}}|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Reduktion| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Reduktion (nilpotent)/Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reduktion |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f2oii69zp8x9kb4mu1f1s4vt133gynj 0 10899 786281 759372 2022-08-22T10:59:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{dRingef|}}} |SZ= }} Elemente, die {{ Definitionslink |Prämath= |idempotenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Elemente und die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {\mathbb Z}/(60)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenring Z mod 60 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} roq4lxkqfap4ns9zt7kz4ypyir32hp5 0 10900 786282 759373 2022-08-22T11:00:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die {{ Definitionslink |nilpotenten|Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition |SZ=}} Elemente, die {{ Definitionslink |idempotenten |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition }} Elemente und die {{ Definitionslink |Einheiten |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition }} in {{mathl|term= {\mathbb Z}/(72) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nzk9wth8m8g9fqe5uxr9wfxvgskc90i 0 10901 786279 759371 2022-08-22T10:59:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die {{ Definitionslink |nilpotenten| | |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition |SZ= }} Elemente, die {{ Definitionslink |idempotenten| | |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition |SZ= }} Elemente und die {{ Definitionslink |Einheiten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Zmod|100|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenring Z mod 100 |Stichwort=Nilpotent |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} el3h20orqz6v4qufb8bohuupcg9ojew 0 10906 783242 756941 2022-08-22T02:56:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} zwei Elemente {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |assoziiert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, wenn für die {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Ra=Rb|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7zq8lrv7yr4jgu28p4ze3gg4r90v42u 0 10920 783231 738217 2022-08-22T02:54:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= R}} und {{math|term= S}} {{ Definitionslink |kommutative Ringe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name= \varphi |R|S || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sei {{math|term= {{idealp}} }} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= S}}. Zeige{{n Sie}}, dass das Urbild {{mathl|term= \varphi^{-1}( {{idealp}} ) }} ein Primideal in {{math|term= R}} ist. Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass das Urbild eines {{ Definitionslink |maximalen Ideales| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kein maximales Ideal sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Morphismus |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tw8rg9aik1db41j9up65rjf3cilvosi 0 10973 778550 748216 2022-08-21T12:19:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Angenommen, wir haben eine Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette |p ||ab || || || |SZ=. }} Wegen der Primeigenschaft teilt {{math|term= p|SZ=}} einen Faktor, sagen wir {{ Ma:Vergleichskette |a ||ps || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |p ||psb || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette | p(1-sb) ||0 || || || |SZ=. }} Da {{math|term= p|SZ=}} kein Nullteiler ist, folgt {{ Ma:Vergleichskette |1 ||sb || || || |SZ=, }} so dass also {{math|term= b |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8xr4y1awl2u67sdoqp0bbv1m9e5t0z3 0 10985 783239 738293 2022-08-22T02:55:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} folgende Aussagen für einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} {{Aufzählung3|Das Element {{math|term= a|SZ=}} ist ein Teiler von {{math|term= b|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathl|term= a {{|}} b|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} genau dann, wenn {{mathl|term= (b) \subseteq (a)|SZ=.}} |{{math|term= a|SZ=}} ist eine Einheit genau dann, wenn {{mathl|term= (a)=R=(1)|SZ=.}} |Ist {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so gilt {{ Ma:Vergleichskette | (a) || (b) || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= b|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |assoziiert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hauptideal |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fjtzsecn1lm43unz14e24byk9x3nloy 0 10987 783240 467962 2022-08-22T02:55:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem [[Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition|kommutativen Ring]] {{math|term= R|SZ=:}} {{Aufzählung6 |Für jedes Element {{math|term= a|SZ=}} gilt {{mathl|term= 1 {{!}} a|SZ=}} und {{mathl|term= a {{!}} a|SZ=.}} |Für jedes Element {{math|term= a|SZ=}} gilt {{mathl|term= a {{!}} 0|SZ=.}} |Gilt {{mathl|term= a {{!}} b|SZ=}} und {{mathl|term= b {{!}} c|SZ=,}} so gilt auch {{mathl|term= a {{!}} c|SZ=.}} |Gilt {{mathl|term= a {{!}} b|SZ=}} und {{mathl|term= c {{!}} d|SZ=,}} so gilt auch {{mathl|term= ac {{!}} bd|SZ=.}} |Gilt {{mathl|term= a {{!}} b|SZ=,}} so gilt auch {{mathl|term= ac {{!}} bc|SZ=}} für jedes {{mathl|term= c \in R|SZ=.}} |Gilt {{mathl|term= a {{!}} b|SZ=}} und {{mathl|term= a {{!}} c|SZ=,}} so gilt auch {{mathl|term= a {{!}} rb+sc|SZ=}} für beliebige Elemente {{math|term= r,s \in R|SZ=.}}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ox6yudm85qxyhzl9z748yxd56z1crdb 0 10989 783243 756942 2022-08-22T02:56:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten. {{Aufzählung4 |{{math|term= -1|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die zu sich selbst invers ist. |Jede Einheit teilt jedes Element. |Sind {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= b|SZ=}} assoziiert, so gilt {{mathl|term= a {{!}} c|SZ=}} genau dann, wenn {{math|term= b {{!}} c|SZ=.}} |Teilt {{math|term= a|SZ=}} eine Einheit, so ist {{math|term= a|SZ=}} selbst eine Einheit.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t45xbc9n8ysxr3qqn9bw0fuiyuv7ujm 0 11078 786239 469109 2022-08-22T10:52:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und {{mathl|term= r \geq 2|SZ=.}} Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung {{ math/disp|term= ( {\mathbb Z}/(p^r))^\times \longrightarrow ({\mathbb Z}/(p^{r-1}))^\times |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Explizit |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9w8aq2bbjsftleqihf90a4epwocf4n6 0 11084 786237 759361 2022-08-22T10:52:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= ({\mathbb Z}/(16))^\times|SZ=}} explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenring Z mod 16 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kzvkdslq7v5q9lbccvoy0ny7veiywpg 0 11085 786236 250915 2022-08-22T10:52:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= r \geq 3|SZ=.}} Zeige, dass für jedes Element {{mathl|term= x \in ({\mathbb Z}/(2^r))^\times|SZ=}} die Beziehung {{ math/disp|term= x^{2^{r-2} } = 1 |SZ= }} gilt. Dies zeigt erneut, dass diese Gruppen nicht zyklisch sind. Verwende ähnliche Überlegungen wie im Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Kern ist zyklisch/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Nicht zyklisch |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 763obkgciajytvcpmn77l4jojt1u5bk 0 11091 786222 749543 2022-08-22T10:50:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n|SZ=}} eine natürliche Zahl derart, dass {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|n|}} |}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |zyklisch| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich {{mathl|term= \varphi(\varphi(n)) |SZ=}} ist, wobei {{math|term= \varphi|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eulersche Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|n|}} |}}|SZ=}} nicht zyklisch ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Anzahl |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ter4d0vva5b9yew7a0r0c4uorxy4fx7 0 11092 786238 469106 2022-08-22T10:52:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme alle primitiven Elemente von {{mathl|term= {\mathbb Z}/(27)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gvxo7txnw1qzoxfwrob555da615yanx 0 11096 781502 483163 2022-08-21T22:05:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mit Hilfe der Division mit Rest, dass jede {{ Zusatz/Klammer |text=additive| |ISZ=|ESZ= }} Untergruppe von {{math|term= \Z|SZ=}} die Form {{math|term= \Z a|SZ=}} besitzt, also aus allen Vielfachen einer gewissen Zahl besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie_der_Untergruppen_von_Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Untergruppen |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} smz57ktl2827ptzyl1n88xg1az4dlcu 0 11097 786055 759207 2022-08-22T10:22:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= H|SZ=}} eine (additive) {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass entweder {{ Ma:Vergleichskette |H ||{\Z} a || || || |SZ= }} mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl {{math|term= a|SZ=}} ist, oder aber {{math|term= H|SZ=}} {{ Definitionslink |dicht| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untergruppen der reellen Zahlen |Kategorie2=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie3=Theorie der unendlichen zyklischen Gruppe |Objektkategorie= |Stichwort=Zyklisch |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} devz1hk2ravdq0lrpn27fa7sx2zp4zj 0 11105 786210 759353 2022-08-22T10:48:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in den {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörpern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|2}}|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Zmod|3}}|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Zmod|5}}|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Zmod|7|}}|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Zmod|11}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ordnung |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8nz10lxk4iakej26i2r5z40jqszmf0n 0 11109 781089 738241 2022-08-21T20:56:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Binomialkoeffizient|p|k}} | \equiv | 0 \mod p || || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | k || 1 {{kommadots|}} p-1 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primfaktorzerlegung von Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primzahl |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2nnlwiovs5oe5p8foxbatw3j3kdams 0 11110 786240 759362 2022-08-22T10:53:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} durch Induktion den {{ Faktlink |Präwort=|kleinen Fermat|Faktseitenname= Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} also die Aussage, dass {{mathl|term= a^p -a|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= p|SZ=}} für jede ganze Zahl {{math|term= a|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Fermat |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} git6k2dvf1zc2v3hrkcky730p6ug6w7 0 11197 778808 748229 2022-08-21T12:57:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der Binomialkoeffizient {{ Ma:Vergleichskette/disp | \binom{2n}{n} || \frac{(2n) \cdot (2n-1) \cdots (n+2) \cdot(n+1)}{n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1} || || || |SZ= }} wird von allen Primzahlen {{math|term= p|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | n |<| p |\leq| 2n || || |SZ= }} geteilt, da diese den Zähler, aber nicht den Nenner teilen. Aus der allgemeinen Binomischen Formel ergibt sich die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2^{2n} || (1+1)^{2n} || \sum_{k {{=|}} 0}^{2n} \binom{2n}{k} |>| \binom{2n}{n} || |SZ=. }} Diese zwei Beobachtungen ergeben zusammen die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2^{2n} |>| \prod_{n <p \leq 2n, \, p \in {\mathbb P} } p || || || |SZ=. }} Wir wenden auf diese Abschätzung den natürlichen Logarithmus an und erhalten {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2n \ln (2) |>| \sum_{n <p \leq 2n, \, p \in {\mathbb P} } \ln (p) || \vartheta(2n) - \vartheta (n) || || |SZ=. }} Geschicktes Aufsummieren ergibt dann {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \vartheta(2^r) - \vartheta(1) || (\vartheta(2) - \vartheta(1)) + (\vartheta(4) - \vartheta(2)) {{plusdots|}} (\vartheta(2^r) - \vartheta(2^{r-1})) |<| 2 \ln(2) + 4 \ln (2) {{plusdots|}} 2 \cdot 2^{r-1} \ln(2) || \sum_{i {{=|}} 0}^{r-1} 2 \cdot 2^{i} \cdot \ln (2) || 2 \ln(2)(1+2+4 {{plusdots|}} 2^{r-1}) || 2 \ln (2) (2^r-1) || \ln (2)(2^{r+1} -2) |SZ=. }} Insbesondere erhält man für Zahlen {{math|term= x|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | 2^{r-1} |< |x | \leq| 2^r || || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \vartheta(x) |\leq| \vartheta(2^r) |<| (2^{r+1} -2)\ln (2) |<| 2^{r+1}\ln (2) ||(4 \ln(2)) \cdot 2^{r-1} |<| (4 \ln(2)) \cdot x |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9shwh1we4jl3uwvh4i8q3pz6bttkdtv 0 11199 778806 748238 2022-08-21T12:57:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten zuerst die Abschätzung nach oben. Für {{ Ma:Vergleichskette | \sqrt{x} |<| p || || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette | \ln (x)/2 |<| \ln (p) || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette | 2 \ln (p)/\ln (x) |>| 1 || || || |SZ=. }} Ferner gilt die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | 2\sqrt{x} |>| \ln(x) || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sqrt{x} || x/\sqrt{x} |<| 2x/\ln (x) |SZ=. }} Aus diesen zwei Vorüberlegungen und aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Lemma 1/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} folgt dann die Abschätzung {{Ma:Vergleichskette/align |\pi(x) || \pi(\sqrt{x}) + (\pi(x) - \pi(\sqrt{x})) | \leq | \sqrt{x} + \sum_{ \sqrt{x} < p \leq x, \, p \in {\mathbb P} } 1 | < | \sqrt{x}+ \frac{2}{\ln (x)} \left( \sum_{ \sqrt{x} < p \leq x, \, p \in {\mathbb P} } \ln(p) \right) | < | \sqrt{x} + \frac{2}{\ln (x)} \vartheta(x) | < | \sqrt{x} + \frac{2}{\ln (x)} (4 \ln(2))x | \leq | ( 2 + 8 \ln (2))\frac{x}{\ln (x)} |SZ= . }} Die Abschätzung ist also mit {{ Ma:Vergleichskette |C || 2 + 8 \ln (2) || || || |SZ= }} erfüllt. Wir betrachten nun die Abschätzung nach unten. Nach {{ Faktlink |Präwort=|Legendres Identität|Faktseitenname= Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Legendres Identität/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{Ma:Vergleichskette/align/handlinks |\nu_p {{makl| \binom{2n}{n} |}} || \nu_p {{makl| \frac{ (2n)!}{n! n!} |}} || \nu_p {{makl| (2n)! |}} -2 \nu_p (n!) || \left\lfloor \frac{2n}{p} \right\rfloor {{plusdots|}} \left\lfloor \frac{2n}{p^k} \right\rfloor -2 \left( \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor {{plusdots|}} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor \right) ||\sum_{j {{=}} 1}^k {{makl| \left \lfloor \frac{2n}{p^{j} } \right\rfloor -2 \left\lfloor \frac{n}{p^{j} } \right\rfloor |}} |SZ= . }} Die Summe läuft hierbei bis zum maximalen {{math|term= k|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | p^{k} |\leq| 2n || || || |SZ=, }} also bis {{ Ma:Vergleichskette |k || \lfloor \log_p (2n) \rfloor || \left\lfloor \frac{\ln (2n)}{\ln (p)} \right\rfloor || || |SZ=. }} Da die einzelnen Summanden der letzten Summe nur {{math|term= 0|SZ=}} oder {{math|term= 1|SZ=}} sein können, folgt, {{ Ma:Vergleichskette/disp | \nu_p {{makl| {{op:Binom|2n|n}} |}} |\leq| \left\lfloor \frac{\ln (2n)}{\ln (p)} \right\rfloor || || || |SZ=. }} Durch betrachten aller Primzahlen ergibt sich daraus die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Binom|2n|n}} |\leq| \prod_{p < 2n, p \text{ prim} } p^{\left\lfloor \frac{\ln (2n)}{\ln (p)} \right\rfloor} || || || |SZ=. }} Andererseits ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |2^n |\leq| \frac{2n}{n} \frac{2n-1}{n-1} \cdots \frac{n+1}{1} || {{op:Binom|2n|n}} || || |SZ=. }} Wir wenden den Logarithmus auf die zusammengesetzte Abschätzung an und erhalten {{ Ma:Vergleichskette/disp | n\ln(2) | \leq| \sum_{p < 2n} \left\lfloor \frac{\ln (2n)}{\ln (p)} \right\rfloor \ln(p) || || || |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette | p |>| \sqrt{2n} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | \ln(p) |>| \frac{\ln (2n)}{2} || || || |SZ= }} und damit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|\ln(2n) |\ln(p) }} |}} || 1 || || || |SZ=. }} Wir verwenden dies in der folgenden Aufspaltung und erhalten {{Ma:Vergleichskette/align/handlinks |n \ln(2) |\leq | \sum_{p \leq \sqrt{2n} } {{op:Gaußklammer|\frac{\ln (2n)}{\ln (p)}||}} \ln(p) + \sum_{ \sqrt{2n} < p <2n} {{op:Gaußklammer|\frac{\ln (2n)}{\ln (p)}||}} \ln(p) |\leq | \sum_{p \leq \sqrt{2n} } \ln (2n)+\sum_{ \sqrt{2n} < p <2n} \ln(p) |\leq | \sqrt{2n} \ln(2n) + \vartheta (2n) |SZ=. }} Dies ergibt die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \vartheta(2n) |\geq| n {{makl| \ln(2) - \frac{ \sqrt{2n}\ln (2n)}{n} |}} || || || |SZ=. }} Der Bruch rechts ist beschränkt {{ Zusatz/Klammer |text=und konvergiert gegen {{math|term= 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Man erhält also eine positive Konstante {{math|term= M|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | \vartheta(2n) | \geq| Mn || || || |SZ= }} für {{math|term= n|SZ=}} hinreichend groß. Für {{math|term= x|SZ=}} zwischen {{math|term= 2n|SZ=}} und {{mathl|term= 2n+2 |SZ=}} hat man {{Ma:Vergleichskette/disp | \vartheta(x) |\geq| \vartheta (2n) |\geq| Mn |\geq| M \frac{x-2}{2} |SZ=, }} und dies ist wiederum {{mathl|term= \geq Nx|SZ=}} für eine geeignete positive Schranke {{math|term= N|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und für {{math|term= x|SZ=}} hinreichend groß| |ISZ=|ESZ=. }} Dann gibt es aber auch eine positive Schranke {{math|term= c|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | \vartheta (x) |\geq| cx || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | x |\geq| 2 || || || |SZ=. }} Aus {{Ma:Vergleichskette/disp |cx |\leq | \vartheta(x) ||\sum_{p \leq x} \ln (p) |\leq| \pi(x) \ln(x) }} folgt nun {{ Ma:Vergleichskette | c \frac{x}{\ln(x)} |\leq| \pi(x) || || || |SZ= }} wie behauptet. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0u1ag37ey82xcfeo7kmyl76eoe3i5fn 0 11404 778760 650830 2022-08-21T12:50:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{ Ma:Vergleichskette |{{idealp}} |\neq|0 || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |f |\notin| {{idealp}} || || || |SZ=. }} Dann ist {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition |Refname= |SZ=. }} Damit ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|f|{{idealp}} }} || 0 || || || |SZ=. }} Da der Restklassenring {{mathl|term= R/(f)|SZ=}} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} endlich ist, folgt sofort, dass {{math|term= f|SZ=}} nur in endlich vielen Primidealen enthalten ist, und nur für diese ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|f|{{idealp}} }} |>| 0 || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} btyg4ee442jsw2o3k8rjyqrystganpj 0 11444 778769 638321 2022-08-21T12:51:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung4 |Für jedes Element {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{idealp|}} || || || |SZ= }} gilt auch {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{idealp|}} R_{{idealp|}} || || || |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|f|{{idealp}} }} |\geq|1 || || || |SZ=. }} Umgekehrt besitzt der diskrete Bewertungsring {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} ein Element {{math|term= p|SZ=,}} das das maximale Ideal {{mathl|term= {{idealp|}} R_{{idealp|}} |SZ=}} erzeugt und die Ordnung eins hat. Man kann {{ Ma:Vergleichskette |p || {{op:Bruch|a|b}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |b |\notin| {{idealp|}} || || || |SZ= }} schreiben. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| {{idealp|}} || || || |SZ= }} und {{math|term= a|SZ=}} hat in {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 1|SZ=.}} Sei nun {{ Ma:Vergleichskette | {{idealq|}} | \neq | {{idealp|}} || || || |SZ= }} ein weiteres Primideal {{math|term= \neq 0|SZ=.}} Da beide maximal sind gibt es ein Element {{ Ma:Vergleichskette |g |\in|{{idealp|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |g |\notin|{{idealq|}} || || || |SZ=. }} Dieses hat dann in {{math|term= {{idealq|}}|SZ=}} die Ordnung {{math|term= 0|SZ=.}} |Fixiere ein Primideal {{math|term= {{idealp|}}|SZ=.}} Sei {{ Ma:Vergleichskette |h |\in|{{ideala|}} \cdot {{idealb|}} || || || |SZ= }} und schreibe {{ Ma:Vergleichskette |h || \sum_{i {{=|}} 1}^k f_ig_i || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |f_i |\in| {{ideala|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |g_i |\in| {{idealb|}} || || || |SZ=. }} Dann ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Hauptdivisor/Erste Eigenschaften/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hauptdivisor|h|}} |\geq | \operatorname{min} \{ \operatorname{div} ( f_ig_i) : i{{=|}}1 {{kommadots|}} k \} |\geq| \operatorname{min} \{ \operatorname{div} ( f_i) + \operatorname{div} (g_i) : i {{=|}} 1 {{kommadots|}} k \} |\geq| \operatorname{div} ( {{ideala|}} ) + \operatorname{div} ( {{idealb|}} ) |SZ=. }} Für die Umkehrung schreiben wir {{ mathkor|term1= \operatorname{div}( {{ideala|}})= \sum_{{idealq}} n_{{idealq}} \cdot {{idealq|}} |und|term2= \operatorname{div}( {{idealb|}})= \sum_{{idealq}} m_{{idealq}} \cdot {{idealq|}} |SZ=. }} Zu fixiertem {{math|term= {{idealp|}}|SZ=}} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{ideala}} || || || |SZ= }} und ein {{ Ma:Vergleichskette |g |\in| {{idealb}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|f|{{idealp}} }} || n_{{idealp}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|g|{{idealp}} }} || m_{{idealp}} || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |fg |\in| {{ideala}} {{idealb}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bewertungsordnung|fg|{{idealp}} }} || {{op:Bewertungsordnung|f|{{idealp}} }} + {{op:Bewertungsordnung|g|{{idealp}} }} || n_{{idealp|}} + m_{{idealp|}} || || |SZ=. }} |Das ist trivial. |Die Abschätzung {{Anführung|term={{math|term= \geq|SZ=}}|SZ=}} folgt aus {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Hauptdivisor|f+g|}} |\geq| {{op:min| {{op:Hauptdivisor|f|}} | {{op:Hauptdivisor|g|}} }} || || || |SZ=. }} Die Abschätzung {{Anführung|term={{math|term= \leq|SZ=}}|SZ=}} folgt aus Teil (3). }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4zmwd76ka50cdm378vjouqgjnj0eobp 0 11463 778770 638331 2022-08-21T12:51:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir benutzen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} also die bijektive Beziehung zwischen Idealen {{math|term= \neq 0|SZ=}} und effektiven Divisoren. Auf der Seite der Divisoren haben wir offenbar eine eindeutige Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{div}({{ideala}}) || \sum_{i {{=}} 1}^k r_i {{idealp}}_i || || || |SZ= }} mit geeigneten Primidealen {{math|term= {{idealp}}_i|SZ=.}} Wendet man auf diese Darstellung die Abbildung {{mathl|term= D \mapsto \operatorname{Id}(D) |SZ=}} an, so erhält man links das Ideal zurück. Es genügt also zu zeigen, dass der Divisor rechts auf das Ideal {{mathl|term= {{idealp}}_1^{r_1} \cdots {{idealp}}_k^{r_k} |SZ=}} abgebildet wird. Dies folgt aber direkt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6m1t7eelixgkjp3wc9j0hk1qt8el3jz 0 11615 783203 756911 2022-08-22T02:49:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= \mathfrak{a} \neq R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}: {{mathl|term= \mathfrak{a}|SZ=}} ist genau dann ein {{ Definitionslink |maximales Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn es zu jedem {{ mathbed|term= g \in R ||bedterm1= g \not\in \mathfrak a ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{mathl|term= f \in \mathfrak a|SZ=}} und ein {{mathl|term= r \in R|SZ=}} gibt mit {{mathl|term= rg+f=1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der maximalen Ideale (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Morphismus |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kq0o4m9ggwcfa6gdca33nfiz9pkw42i 0 11631 778744 762670 2022-08-21T12:48:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Implikation {{mathl|term= (1) \Rightarrow (2)|SZ=}} folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt |Refname= |SZ=. }} {{mathl|term= (2) \Rightarrow (3)|SZ=.}} Sei also {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |faktoriell| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Definition |Refname= |SZ=, }} und sei {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} {{math|term= \neq 0|SZ=.}} Sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|{{idealp}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |f |\neq|0 || || || |SZ=, }} mit Primfaktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette |f || p_1 \cdots p_s || || || |SZ=. }} Da {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} gehören, sagen wir {{ Ma:Vergleichskette |p ||p_1 |\in| {{idealp}} || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |(p) |\subseteq| {{idealp}} || || || |SZ=. }} Das von {{math|term= p|SZ=}} erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Zahlbereich ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Zahlbereiche/Primideale ungleich null sind maximal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} jedes von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene Primideal {{ Definitionslink |Prämath= |maximal| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so dass hier {{ Ma:Vergleichskette |(p) || {{idealp}} || || || |SZ= }} gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt |Refname= |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Hauptdivisor|p|}} || 1 {{idealp}} || || || |SZ=, }} so dass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist überhaupt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{Div}(R) || H || || || |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppe| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist trivial. {{mathl|term= (3) \Rightarrow (1)|SZ=.}} Sei nun {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Divisorenklassengruppe|R|}} || 0 || || || |SZ= }} vorausgesetzt. Wir zeigen zunächst, dass jedes Primideal {{ Ma:Vergleichskette |{{idealp}} |\neq|0 || || || |SZ= }} ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} ein Hauptdivisor, so dass {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp}} || \operatorname{div}(p) || || || |SZ= }} mit einem {{ Ma:Vergleichskette |p |\in|R || || || |SZ= }} gilt. Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt |Refname= |SZ= }} entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp}} || (p) || || |SZ=, }} so dass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Für ein beliebiges Ideal {{ mathbed|term= {{ideala}} \subseteq R ||bedterm1= {{ideala}} \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Ideale/Zerlegung in Primideale/Fakt |Refname= {{{ref5|Fakt}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala}} || {{idealp}}_1^{r_1} \cdots {{idealp}}_k^{r_k} || || || |SZ=. }} Dies bedeutet aber, mit {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp}}_i ||(p_i) || || || |SZ=, }} dass {{math|term= {{ideala}}|SZ=}} ein Hauptideal ist, das von {{mathl|term= { p}_1^{r_1} \cdots {p}_k^{r_k} |SZ=}} erzeugt wird. Also liegt ein Hauptidealbereich vor. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l3qlga44xtwwo1ytq27qowqhynylt0f 0 11655 778756 762682 2022-08-21T12:49:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei zunächst {{math|term= {{idealf}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |gebrochenes Ideal| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealf}} || R {{makl| {{op:Bruch|a_1|r_1}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|a_n|r_n}} |}} || || || |SZ=. }} Nach Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette |r ||r_1 || \ldots ||r_n || |SZ= }} ist. Dann hat man mit dem Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala}} ||(a_1 {{kommadots|}} a_n) || || || |SZ= }} eine Beschreibung der gewünschten Art. Ist umgekehrt {{ Ma:Vergleichskette | {{idealf}} || {{op:Bruch| {{ideala}} |r }} || || || |SZ=, }} so ist dies natürlich ein endlich erzeugter {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= Q(R)|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5jdueuwgg2ht47lls77zatezhd298bl 0 11668 785336 758636 2022-08-22T08:23:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der reellen Zahlen {{math|term= \ln p|SZ=,}} wobei {{math|term= p|SZ=}} durch die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} läuft, {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Natürlicher Logarithmus (reell) |Kategorie2=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie3=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} itxdkx91m8ulry6bj8y87lgqzth93fb 0 11697 778768 638341 2022-08-21T12:51:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Implikation {{Anführung|{{math|term= \Leftarrow|SZ=}}|}} gilt in beliebigen kommutativen Ringen. Die andere Implikation ist richtig, wenn {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} || 0 || || || |SZ= }} ist. Wir können also annehmen, dass die beteiligten Ideale von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden sind. Die Bedingung impliziert nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{ Ma:Vergleichskette |\operatorname{div}({{ideala}}) |\geq| \operatorname{div}({{idealb}}) || || || || |SZ= }} ist. Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{div}({{ideala}}) || \operatorname{div}({{idealb}}) + E || || || || |SZ= }} mit einem effektiven Divisor {{math|term= E|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} übersetzt sich dies zurück zu {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} || {{idealb|}} \cdot \operatorname{Id}(E) || || || |SZ=, }} so dass mit {{ Ma:Vergleichskette | {{idealc|}} || \operatorname{Id}(E) || || || |SZ= }} die rechte Seite erfüllt ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6iow7gaacookzj0slc0w9294th3l56s 0 11729 786265 468924 2022-08-22T10:57:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gehe auf die Seite {{einrückung|[[Restklassenringe (Z)/Operationstafeln|Operationstafeln für Restklassenringe von Z]]}} und erstelle für einen der angeführten Restklassenringe {{math|term= \Z/(n)|SZ=}} im entsprechenden Link Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation (kategorisiere!). |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1-4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t0tzlcicf485p883jqt80abf5fb5777 0 11880 783216 738175 2022-08-22T02:51:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |nilpotenten Elemente| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden (dieses nennt man das Nilradikal von {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} ferner, dass zu einem nilpotenten Element {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| R || || || |SZ= }} das Element {{mathl|term= 1+f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Bestimme in {{mathl|term= {{op:Zmod|9|}} |SZ=}} die nilpotenten Elemente und zeige, dass die Zuordnung {{mathl|term= f \longmapsto 1+f|SZ=}} ein Gruppenisomorphismus zwischen dem Ideal der nilpotenten Elementen und einer gewissen Untergruppe {{math|term= U|SZ=}} der Einheitengruppe {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|9|}}|}} |SZ=}} ist. Beschreibe die Einheitengruppe als direktes Produkt von {{math|term= U|SZ=}} mit einer weiteren Untergruppe. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenring Z mod 9 |Stichwort=Unipotent |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cjtme6qx5gpq4rt8abrj21vr2sgwqce 0 11918 781851 755755 2022-08-21T23:04:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Konstruiere{{n Sie}} {{ Definitionslink |endliche Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= 4,8,9,16,25,27,32,49,64,81,121,125|SZ=}} und {{mathl|term= 132|SZ=}} Elementen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstruktion |Punkte= max. 4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kumkrr2cxk5dw6igqj0a6v9qkjcleta 0 11923 778816 748202 2022-08-21T12:58:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{mathl|term= R=A_D|SZ=.}} Wir betrachten den Restklassenring {{mathl|term= L=R/(p)|SZ=,}} der eine quadratische Erweiterung des Körpers {{mathl|term= \Z/(p)|SZ=}} ist. Damit gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} die drei Möglichkeiten: {{Aufzählung3|{{math|term= L|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term= L|SZ=}} ist von der Form {{ Ma:Vergleichskette |L || {{op:Zmod|p|}} [\epsilon]/\epsilon^2 || || || |SZ=. }} |{{math|term= L|SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |L |\cong| {{op:Zmod|p|}} \times {{op:Zmod|p|}} || || || |SZ=. }} }} Im ersten Fall ist {{math|term= p|SZ=}} ein Primelement in {{math|term= R|SZ=.}} Im zweiten Fall besitzt {{math|term= L|SZ=}} genau einen Restklassenkörper als einzigen nicht-trivialen Restklassenring, nämlich {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=.}} Nach der in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Idealtheorie (kommutative Algebra)/Ideale im Restklassenring/Korrespondenz/Aufgabe |Refname= {{{ref3|Fakt}}} |SZ= }} bewiesenen Korrespondenz gibt es also genau ein Primideal {{math|term= {{idealp}}|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | (p) |\subseteq| {{idealp}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das dem Ideal {{math|term= (\epsilon)|SZ=}} im Restklassenring entspricht| |ISZ=|ESZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp}} || (p, \epsilon) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei hier {{math|term= \epsilon|SZ=}} ein Repräsentant in {{math|term= R|SZ=}} sei| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp}}^2 || (p) || || || |SZ=. }} Im dritten Fall besitzt {{math|term= L|SZ=}} zwei Restklassenkörper und damit zwei maximale Ideale, deren Durchschnitt, das zugleich deren Produkt ist, das Nullideal ist. Zurückübersetzt nach {{math|term= R|SZ=}} heißt das, dass es zwei verschiedene Primideale {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} und {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} gibt mit {{mathl|term= (p) \subset {{idealp}}, {{idealq}}|SZ=}} und mit {{mathl|term= (p) = {{idealp}} \cap {{idealq}}|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Produkt und Durchschnitt von zwei verschiedenen Primidealen/Aufgabe |Refname= {{{ref7|Fakt}}} |SZ= }} ist {{mathl|term= {{idealp}} \cap {{idealq}} = {{idealp}} \cdot {{idealq}} |SZ=.}} Mit {{mathl|term= (p) \subset {{idealp}} |SZ=}} ist auch {{mathl|term= (p) \subset \overline{ {{idealp}} }|SZ=.}} Wir zeigen, dass {{mathl|term= \overline{ {{idealp}} } = {{idealq}}|SZ=}} ist, d.h., dass die beiden Primideale über {{math|term= p|SZ=}} konjugiert vorliegen. Da nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Teiler der Diskriminante/verzweigt/Fakt |Refname= {{{ref3|Fakt}}} |SZ= }} bei {{mathl|term= p {{|}} \triangle|SZ=}} der zweite Fall vorliegt, wissen wir, dass {{math|term= p|SZ=}} die Diskriminate nicht teilt. Bei {{mathl|term= D=2,3 \mod 4|SZ=}} ist {{math|term= p|SZ=}} ungerade und {{math|term= D|SZ=}} ist ein Quadratrest modulo {{math|term= p|SZ=.}} Seien {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= -a|SZ=}} die beiden verschiedenen {{ Zusatz/Klammer |text=!| |ISZ=|ESZ= }} Quadratwurzeln modulo {{math|term= p|SZ=.}} Dann werden die beiden Primideale durch {{mathl|term= (p, a \pm \sqrt{D})|SZ=}} beschrieben, und diese sind konjugiert. Bei {{mathl|term= D=1 \mod 4|SZ=}} und {{math|term= p|SZ=}} ungerade ist nach der {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Faserringe/Bemerkung |Refname= {{{ref4|Fakt}}} |SZ= }} über die explizite Beschreibung der Faserringe {{math|term= D|SZ=}} wieder ein Quadratrest modulo {{math|term= p|SZ=.}} Seien {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= -a|SZ=}} die beiden verschiedenen {{ Zusatz/Klammer |text=!| |ISZ=|ESZ= }} Quadratwurzeln von {{math|term= D|SZ=}} modulo {{math|term= p|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette | \omega - \frac{1}{2} || \pm \frac{a}{2} || || || |SZ= }} und daher sind die beiden Primideale gleich {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| p, \omega \pm a -\frac{1}{2} |}} || {{makl| p, \frac{a \pm \sqrt{D} }{2} |}} || || || |SZ=, }} so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt. Bei {{mathl|term= D=1 \mod 4|SZ=}} und {{mathl|term= p=2|SZ=}} ist nach der {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Faserringe/Bemerkung |Refname= {{{ref5|Fakt}}} |SZ= }} {{mathl|term= D = 1 \mod 8|SZ=.}} Die Nullstellen des beschreibenden Polynoms sind dann {{math|term= 0|SZ=}} und {{math|term= 1|SZ=.}} Daher sind die Primideale darüber gegeben durch {{mathl|term= (2, \omega) |SZ=}} und {{mathl|term= (2, \omega - 1) |SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |(2,\omega) || {{makl| 2, \frac{\sqrt{D}+1}{2} |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | (2, \omega - 1) || {{makl| 2, \frac{\sqrt{D}+1}{2} - 1 |}} || {{makl| 2, \frac{\sqrt{D}-1}{2} |}} || || |SZ=, }} so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b0g5e78n43d2b8lqbmaov82wff9uprv 0 11932 781812 738251 2022-08-21T22:57:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | K |\subseteq| L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ringerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von {{math|term= L|SZ=,}} ähnlich wie in {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Klassifizierung |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5cn1c99l6yolb8q3btd85ppvageg7qr 0 12587 778820 748232 2022-08-21T12:59:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die erste Aussage ist klar, für die zweite hat man die Charakterisierung mit der Norm und die Multiplikativität der Norm auszunutzen. Ist {{ Ma:Vergleichskette | m || x^2+y^2 || || || |SZ=, }} so kann man einfach mit {{math|term= r^2|SZ=}} multiplizieren. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tbcbcitjagq82g146m2rrdee0g1ru6x 0 12592 778819 651405 2022-08-21T12:59:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Erfüllt {{math|term= n|SZ=}} die angegebene Bedingung an die Primfaktorzerlegung, so ist {{math|term= n|SZ=}} nach dem vorangehenden Lemma und dem Hauptsatz die Summe zweier Quadrate. Sei umgekehrt angenommen, dass {{math|term= n|SZ=}} die Summe zweier Quadrate ist, so dass also eine Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette |n ||(x+ {{imaginäre Einheit}}y)(x- {{imaginäre Einheit}} y) || || || |SZ= }} vorliegt. Sei {{math|term= p|SZ=}} ein Primfaktor von {{math|term= n|SZ=,}} der modulo {{math|term= 4|SZ=}} den Rest {{math|term= 3|SZ=}} besitze. Dann ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} prim in {{mathl|term= \Z [{{imaginäre Einheit}}] |SZ=}} und teilt einen und damit {{ Zusatz/Klammer |text=betrachte die Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} beide Faktoren in der Zerlegung, jeweils mit dem gleichen Exponenten. Damit ist der Exponent von {{math|term= p|SZ=}} in der Primfaktorzerlegung von {{math|term= n|SZ=}} gerade und {{math|term= p|SZ=}} kommt in der Primfaktorzerlegung von {{math|term= m|SZ=}} nicht vor. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Charakterisierung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7otjq6v831zdu9h4w75ysi2y7eptv47 0 12600 780114 508060 2022-08-21T18:12:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= p = 13|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man sieht natürlich sofort eine Darstellung| |ISZ=|ESZ=. }} Mit dem oben beschriebenen Verfahren müsste man wie folgt vorgehen: In {{mathl|term= {{op:Zmod|13|}} |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette |5^2 ||25 ||-1 || || |SZ=, }} also kann man {{mathl|term= a=5|SZ=}} nehmen. Dies führt zum Ideal {{mathl|term= ( 13 , 5- {{Imaginäre Einheit}} )|SZ=.}} Division in {{mathl|term= \Q[ {{Imaginäre Einheit}} ]|SZ=}} liefert {{ Ma:Vergleichskette/disp | \frac{13}{5- {{Imaginäre Einheit}} } ||\frac{13(5+ {{Imaginäre Einheit}} )}{(5- {{Imaginäre Einheit}} )(5+ {{Imaginäre Einheit}} )} ||\frac{65+13 {{Imaginäre Einheit}} }{26} || || |SZ= }} und {{math|term= 2|SZ=}} ist eine beste Approximation in {{mathl|term= \Z[ {{Imaginäre Einheit}} ]|SZ=.}} Damit ist die Division mit Rest {{ Ma:Vergleichskette/disp | 13 || 2 \cdot (5- {{Imaginäre Einheit}} )+r || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |r || 3+2 {{Imaginäre Einheit}} || || || || |SZ=. }} Die nächste durchzuführende Division liefert {{ Ma:Vergleichskette/disp | \frac{5- {{Imaginäre Einheit}} }{3+2 {{Imaginäre Einheit}} } || \frac{(5- {{Imaginäre Einheit}} )(3-2 {{Imaginäre Einheit}} ) }{13} || {{op:Bruch| 13-13 {{Imaginäre Einheit}} | 13}} || 1- {{Imaginäre Einheit}} |SZ=. }} Damit ist also {{ Ma:Vergleichskette |5- {{Imaginäre Einheit}} ||(1- {{Imaginäre Einheit}} ) (3+2 {{Imaginäre Einheit}} ) || || || |SZ= }} und somit ist {{mathl|term= 3+2 {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} ein Erzeuger des Ideals. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sq6om4fsho5y52zwir9x1o4n8t4dycj 0 12603 785765 473360 2022-08-22T09:33:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die Zahlen {{math|term= n|SZ=}} zwischen {{mathl|term= 155|SZ=}} und {{mathl|term= 159|SZ=,}} ob {{math|term= n|SZ=}} die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} alle möglichen Darstellungen an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0iivm1ju7rt9t46mv64vkydxfvdeu8j 0 12661 783476 757151 2022-08-22T03:35:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere zum Gitter {{math|term= \Z^2|SZ=}} in {{math|term= \R^2|SZ=}} drei Teilmengen, die die Maßbedingung des {{ Faktlink |Faktseitenname= Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz (Minkowski)/Fakt |Refname= {{{ref|Gitterpunksatzes von Minkowski}}} |SZ= }} erfüllen, die den Nullpunkt, aber keine weiteren Gitterpunkte enthalten, und die jeweils zwei der drei Bedingungen {{ Definitionslink |konvex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |zentralsymmetrisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Gitterpunktsatz von Minkowski |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Gegenbeispiele |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3oppk5yhu8ugyjbgt66fo24plf3b40l 0 12674 783477 487851 2022-08-22T03:35:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= U|SZ=}} eine Teilmenge des {{math|term= \R^n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass ein Punkt {{mathl|term= Q \in \R^n|SZ=}} genau dann zur konvexen Hülle von {{math|term= U|SZ=}} gehört, wenn es endlich viele Punkte {{mathl|term= P_i \in U|SZ=,}} {{mathl|term= i \in I|SZ=,}} und reelle Zahlen {{math|term= r_i|SZ=,}} {{mathl|term= i \in I|SZ=,}} mit {{mathl|term= r_i \in [0,1]|SZ=,}} {{mathl|term= \sum_{i \in I}r_i =1|SZ=}} und mit {{ math/disp|term= Q= \sum_{i \in I} r_i P_i |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Hülle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Durchschnitt |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3d6vttxg779bk0pgqrvk64prdyiglwd 0 12675 785619 477726 2022-08-22T09:09:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass eine ganze Zahl {{math|term= n|SZ=}} genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von {{math|term= 2|SZ=}} in der Primfaktorzerlegung von {{math|term= n|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=}} oder {{math|term= \geq 2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratdifferenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Charakterisierung |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ns50gld4qwlja2d459c6rsf8hlwee1v 0 12689 778811 650834 2022-08-21T12:58:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es genügt zu zeigen, dass es zu einer natürlichen Zahl {{math|term= n|SZ=}} nur endlich viele Ideale {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} in {{math|term= R|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | N({{ideala}}) || n || || || |SZ= }} gibt. Sei also {{math|term= {{ideala}}|SZ=}} ein solches Ideal. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| {{ideala}} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Beschreibung mit Basis/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} und damit entspricht {{math|term= {{ideala}}|SZ=}} einem Ideal aus {{mathl|term= R/(n)|SZ=.}} Dieser Ring ist aber nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} endlich und besitzt somit überhaupt nur endlich viele Ideale. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2qo2db3531p66gt4fpwldio5by2pw2d 0 12691 782884 749497 2022-08-22T01:56:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{{R|R}}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= {{ideala}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{S|S}}} || {{{R|R}}}/{{ideala}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Ideale von {{math|term= {{{S|S}}}|SZ= }} eindeutig denjenigen Idealen von {{math|term= {{{R|R}}}|SZ=}} entsprechen, die {{math|term= {{ideala}} |SZ= }} umfassen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie in Restklassenringen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Korrespondenz |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pz5vaoivvr7v1nqwm5o16iomdnschg5 0 12705 778809 762721 2022-08-21T12:57:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Seien {{mathl|term= a \in \N|SZ=}} und {{mathl|term= b= \alpha + \beta \omega|SZ=}} wie im Satz beschrieben gewählt. Da {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= \beta|SZ=}} nicht {{math|term= 0|SZ=}} sind folgt, dass {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= b|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=}} sind. Es bleibt also zu zeigen, dass jedes Element {{mathl|term= \tilde{\alpha} + \tilde{\beta}\omega \in {{ideala}}|SZ=}} sich als {{mathl|term= n_1a+n_2b|SZ=}} mit {{mathl|term= n_1,n_2 \in \Z|SZ=}} schreiben lässt. Es gibt eine Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{\alpha} + \tilde{\beta}\omega ||q_1a+q_2b ||q_1a+q_2( \alpha + \beta\omega) || q_1a+q_2\alpha + q_2\beta \omega || |SZ= }} mit {{mathl|term= q_1,q_2 \in \Q|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{\beta} ||q_2 \beta || || || |SZ=. }} Die Zahlen {{math|term= \beta|SZ=}} und {{math|term= \tilde{\beta}|SZ=}} beschreiben beide einen {{math|term= \omega|SZ=-}}Koeffizienten von Elementen in {{math|term= {{ideala}}|SZ=,}} und {{math|term= \beta|SZ=}} war betragsmäßig minimal gewählt, so dass {{math|term= q_2|SZ=}} ganzzahlig sein muss {{ Zusatz/Klammer |text=alle {{math|term= \omega|SZ=-}}Koeffizienten bilden ein Ideal in {{math|term= \Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wir ziehen in der obigen Gleichung {{mathl|term= q_2 b \in {{ideala}} |SZ=}} ab und erhalten {{ Ma:Vergleichskette/disp | q_1a ||\tilde{\alpha} + \tilde{\beta} \omega - q_2 b ||\tilde{\alpha} + \tilde{\beta} \omega - q_2( \alpha + \beta \omega) || \tilde{\alpha} - q_2 \alpha || |SZ=, }} und dies gehört zu {{mathl|term= \Z \cap {{ideala}}|SZ=.}} Also handelt es sich um ein ganzzahliges Vielfaches von {{math|term= a|SZ=}} und somit ist auch {{mathl|term= q_1 \in \Z|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Basis |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r5cij7bi05tvl8hrop0humozv4bye9l 0 12718 778817 483414 2022-08-21T12:59:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{mathl|term= r+s \omega|SZ=}} ein beliebiges Element in {{math|term= A_D|SZ=.}} Durch Addition von Vielfachen von {{mathl|term= b=\alpha + \beta \omega|SZ=}} kann man erreichen, dass die zweite Komponente zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= \beta -1 |SZ= }} liegt. Durch Addition von Vielfachen von {{math|term= a|SZ=}} kann man dann erreichen, dass auch die erste Komponente zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= a -1 |SZ= }} liegt, ohne die zweite Komponente zu verändern. Es wird also jede Restklasse durch Elemente im angegebenen Bereich repräsentiert. Seien nun {{mathl|term= r+s \omega|SZ=}} und {{mathl|term= \tilde{r}+ \tilde{s} \omega|SZ=}} im angegebenen Bereich und angenommen, dass sie das gleiche Element im Restklassenring repräsentieren. Sei {{mathl|term= \tilde{s} \geq s|SZ=.}} Dann gehört die Differenz {{mathl|term= \tilde{r} -r + (\tilde{s}-s) \omega|SZ=}} zu {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} und die zweite Komponente liegt zwischen {{math|term= 0|SZ=}} und {{mathl|term= \beta -1|SZ=.}} Aufgrund der Wahl von {{math|term= \beta|SZ=}} muss diese Komponente {{math|term= 0|SZ=}} sein. Dann ist aber {{mathl|term= \tilde{r} -r|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= a|SZ=}} und wegen {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|\tilde{r} -r|}} |< |a || || || |SZ= }} muss {{ Ma:Vergleichskette |\tilde{r} -r ||0 || || || |SZ= }} sein, so dass also die beiden Elemente übereinstimmen und der Repräsentant eindeutig ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Beschreibung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6yj4qvmwyyn8q8bqd3qyhqenuwx7x7e 0 12722 778814 483417 2022-08-21T12:58:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Aussage ist für eine {{math|term= \Z|SZ=-}}Basis der Form {{ mathkor|term1= a |und|term2= b=\alpha + \beta \omega |SZ=, }} wie sie im {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} konstruiert wurde, richtig. Für eine beliebige {{math|term= \Z|SZ=-}}Basis{{mathl|term= u,v|SZ=}} gibt es eine Übergangsmatrix {{math|term= M|SZ=}} mit {{ mathkor|term1= u=Ma |und|term2= v=Mb |SZ=. }} Dabei ist {{math|term= M|SZ=}} ganzzahlig und ihre Determinante hat den Betrag {{math|term= 1|SZ=,}} so dass sich der Betrag der Determinante der Basis nicht ändert. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Norm |Autor= |Bearbeitungsstand= }} io3h20kkxfutt6fca8xb84acj9hmgd8 0 12725 778815 700367 2022-08-21T12:58:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{ Ma:Vergleichskette |f || f_1 + f_2 \omega || || || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= \omega = \begin{cases} \sqrt{D}, & \text{falls } D = 2,3 \mod 4 \, , \\ \frac{1+\sqrt{D} }{2}, & \text{falls } D = 1 \mod 4 \, . \end{cases} |SZ= }} Die Norm von {{math|term= f|SZ=}} ist dann {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | N(f) || f \overline{f} ||\begin{cases} {{makl| f_1+f_2\sqrt{D} |}} {{makl| f_1-f_2\sqrt{D} |}} {{=}} f_1^2-f_2^2 D, & \text{falls } D {{=}} 2,3 \mod 4 \, ,\\ {{makl| f_1+\frac{1}{2}f_2 + \frac{f_2\sqrt{D} }{2} |}} {{makl| f_1+\frac{1}{2}f_2 - \frac{f_2\sqrt{D} }{2} |}} {{=}} {{makl| f_1+ \frac{1}{2} f_2 |}}^2- \frac{f_2^2}{4}D, & \text{falls } D {{=}} 1 \mod 4 \, . \end{cases} || || |SZ= }} Wir berechnen nun die Norm des von {{math|term= f|SZ=}} erzeugten Ideals {{mathl|term= {\mathfrak a}=(f)|SZ=}} mit Hilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Beschreibung mit beliebiger Basis/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=. }} Eine {{math|term= \Z|SZ=-}}Basis des Ideals ist offenbar gegeben durch {{math|term= f|SZ=}} und {{math|term= f \omega|SZ=,}} wobei {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | f \omega || f_1 \omega+f_2 \omega^2 || \begin{cases} f_2D +f_1 \omega , & \text{falls } D {{=}} 2,3 \mod 4 \, ,\\ f_2 \frac{D-1}{4} +( f_1+f_2) \omega , & \text{falls } D {{=}} 1 \mod 4 \end{cases} || || |SZ= }} ist. Im ersten Fall haben wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| {{op:Determinante| {{op:Matrix22| f_1 | f_2D | f_2 | f_1 }} }} }} || {{op:Betrag| f_1^2 -f_2^2D|}} || || || |SZ= }} und im zweiten Fall ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| {{op:Determinante| {{op:Matrix22| f_1| f_2 \frac{D-1}{4} | f_2| f_1 +f_2 |}} |}} }} || {{op:Betrag| f_1(f_1+f_2)-f_2^2\frac{D-1}{4} }} || {{op:Betrag| f_1^2 +f_1f_2+\frac{1}{4}f_2^2 - \frac{1}{4}f_2^2 D||}} || || |SZ=, }} was mit den obigen Ergebnissen übereinstimmt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hauptideal |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2mtvrhxxjg667x7uior2s6vry10uvzm 0 12734 778813 762724 2022-08-21T12:58:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} durch eine {{math|term= \Z|SZ=-}}Basis {{mathl|term= a,b=\alpha + \beta \omega|SZ=}} wie im {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} gegeben. Das konjugierte Ideal {{math|term= \overline{ {{ideala}} }|SZ=}} hat die Basis {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= \overline{b}|SZ=.}} Das {{ Definitionslink |Prämath= |Produktideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{ideala}} \overline{ {{ideala}} }|SZ=}} hat die vier Erzeuger {{ math/disp|term= a^2, N(b), a \bar{b}, ab |SZ=. }} Wir behaupten, dass dieses Ideal gleich dem von {{mathl|term= (a \beta)|SZ=}} erzeugten Ideal ist, was ja nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Beschreibung mit Basis/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} die Norm von {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} ist. Zunächst teilt {{math|term= \beta|SZ=}} sowohl {{math|term= a|SZ=}} als auch {{math|term= \alpha|SZ=:}} Wegen {{mathl|term= a\omega \in {{ideala}} |SZ=}} hat man nämlich eine Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | a \omega || \gamma a + \delta (\alpha + \beta \omega) || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= \gamma, \delta \in \Z|SZ=.}} Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich einerseits {{ Ma:Vergleichskette | a || \delta \beta || || || |SZ= }} und andererseits {{ Ma:Vergleichskette | \gamma a + \delta \alpha ||0 || || || |SZ=, }} woraus nach Kürzen mit {{math|term= \delta|SZ=}} sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha ||- \gamma \beta || || || |SZ= }} ergibt. Insbesondere ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala}} || (a, \alpha + \beta \omega) || (\beta\delta, - \beta \gamma + \beta\omega) || (\beta) ( \delta , -\gamma + \omega ) || |SZ=. }} Mit dem Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealb|}} ||( \delta ,- \gamma + \omega ) || || || |SZ= }} können wir wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala}} \overline{ {{ideala}} } || (\beta ^2) {{idealb}} \overline{ {{idealb}} } || || || |SZ= }} und wegen {{ Ma:Vergleichskette | N( {{ideala}} ) || a \beta || \delta \beta ^2 || \beta ^2 N({{idealb}} ) || |SZ= }} annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette |\beta ||1 || || || |SZ= }} ist. In dieser neuen Situation müssen wir {{mathl|term= {\mathfrak a}\bar{\mathfrak a}=(a)|SZ=}} zeigen. Aufgrund von {{mathl|term= N(b) \in {\mathfrak a} \cap \Z =(a)|SZ=}} haben wir die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala}} \overline{ {{ideala}} } |\subseteq | (a) || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Inklusionskette {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= A_D|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| a^2, N(b), a {{makl| b + \overline{b} |}} |}} |\subseteq| {{makl| a^2, N(b), a b, a\overline{b} |}} || {{ideala}} \overline{ {{ideala}} } | \subseteq| (a) || |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= c \in \Z|SZ=}} der Erzeuger des Ideals links. Wir behaupten zunächst, dass die linke Inklusion eine Gleichheit ist. Dafür betrachten wir die Norm und die Spur von {{mathl|term= {{op:Bruch|ab|c}}|SZ=}} und erhalten {{ Ma:Vergleichskette/disp | N {{makl| \frac{a b}{c} |}} || \frac{N(a) N(b)}{N(c)} || \frac{a^2 N(b)}{c^2} |\in| \Z || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | S {{makl| \frac{a b}{c} |}} ||\frac{1}{c} S (a b) || \frac{1}{c} (a b + a\bar{b} ) |\in| \Z || |SZ=. }} Damit gehören die Norm und die Spur zu {{math|term= \Z|SZ=}} und damit ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ganz, wenn Spur und Norm ganz ist/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das Element selbst ganz und somit ist {{math|term= ab|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= c|SZ=.}} Wir wissen also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \frac{ab}{c} ||\frac{a(\alpha+\omega)}{c} || \frac{\alpha}{c} a + \frac{a}{c}\omega |\in| A_D || |SZ= }} und damit ist {{mathl|term= \frac{a}{c} \in \Z|SZ=.}} Also wird {{math|term= a|SZ=}} von {{math|term= c|SZ=}} geteilt und in der Inklusionskette gilt Gleichheit. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Norm |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 76l1fak7vv379tglgcmwc8yape18b7y 0 12748 779744 476943 2022-08-21T17:16:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Man möchte entscheiden, ob die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^2 || 10 \mod 13 || || || |SZ= }} eine Lösung besitzt. Dazu berechnet man {{ Ma:Vergleichskette/disp | \left(\frac{10}{13}\right) ||\left(\frac{2}{13}\right) \left(\frac{5}{13}\right) || || || |SZ=. }} Der erste Faktor {{ math/disp|term= \left(\frac{2}{13}\right) |SZ= }} lässt sich mit Hilfe des zweiten Ergänzungssatzes zu {{math|term= -1|SZ=}} bestimmen, weil {{mathl|term= 13 \mod 8 = 5|SZ=}} und {{mathl|term= p = 5 \mod 8|SZ=}} ergibt das Vorzeichen {{math|term= -1|SZ=.}} Um den zweiten Faktor zu berechnen, wendet man das Reziprozitätsgesetz an: {{ Ma:Vergleichskette/disp | \left(\frac{5}{13}\right) || + \left(\frac{13}{5}\right) || || || |SZ=, }} weil {{mathl|term= 5 \mod 4 = 1|SZ=}} gilt {{ Zusatz/Klammer |text=der Rest {{mathl|term= 13 \mod 4 |SZ=}} braucht gar nicht mehr berechnet zu werden, da es ausreicht, dass hier {{math|term= 5|SZ=}} oder {{math|term= 13|SZ=}} modulo {{math|term= 4|SZ=}} den Rest {{math|term= 1|SZ=}} lässt, damit das Vorzeichen {{math|term= +|SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Jetzt nutzt man aus, dass {{mathl|term= 13 = 3 \mod 5|SZ=}} ist. Man schreibt: {{ Ma:Vergleichskette/disp | \left(\frac{13}{5}\right) || \left(\frac{3}{5}\right) || || || |SZ=. }} Wiederum wendet man hier das Quadratische Reziprozitätsgesetz an: Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \left(\frac{3}{5}\right) ||\left(\frac{5}{3}\right) || \left(\frac{2}{3}\right) || -1 || |SZ=, }} da {{ Ma:Vergleichskette | 5 \mod 4 || 1 || || || |SZ= }} ist und da {{ Ma:Vergleichskette |2 ||-1 || || || |SZ= }} kein Quadrat modulo {{math|term= 3|SZ=}} ist. Setzt man nun beide Faktoren zusammen, so ergibt sich folgendes Resultat: {{ Ma:Vergleichskette/disp | \left(\frac{10}{13}\right) || \left(\frac{2}{13}\right)\left(\frac{5}{13}\right) || \left(-1 \right) \cdot \left(-1 \right) || 1 || |SZ=. }} Damit weiß man, dass die obige Gleichung eine Lösung besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=die beiden Lösungen lauten {{math|term= 6|SZ=}} und {{math|term= 7|SZ=.}}| |ISZ=|ESZ=. }} Auf dieses Ergebnis kommt man leider nur durch Probieren. Hat man aber eine Lösung, z.B. die {{math|term= 6|SZ=,}} so berechnet man die zweite Lösung, indem man das additive Inverse im Körper {{mathl|term= Z \mod 13|SZ=}} bestimmt {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=13 - 6 = 7|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 13 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 71hnh368awocaiogkkjo6rzytamjxus 0 12787 784638 773386 2022-08-22T06:38:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Elemente im Restklassenkörper {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}|SZ=}} werden meist durch die Zahlen von {{math|term= 0|SZ=}} bis {{mathl|term= p-1|SZ=}} repräsentiert. Für das folgende Vorzeichenlemma von Gauß ist es sinnvoll, ein anderes Repräsentantensystem {{ Zusatz/Klammer |text=für die von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenen Elemente| |ISZ=|ESZ= }} zu fixieren. Wir setzen {{math|term= t=\frac{p-1}{2}|SZ=}} und {{ math/disp|term= S=S_{-} \cup S_+ \text{ mit } S_{-} = \{ - t , -t+1 {{kommadots|}} -2,-1\} \text{ und } S_{+} = \{ 1,2 {{kommadots|}} t-1, t\} |SZ=. }} Wir unterteilen also die Einheitengruppe in eine positive und eine negative Hälfte. Dieses Repräsentantensystem ist dadurch ausgezeichnet, dass jedes Element durch das betragmäßig kleinste Element repräsentiert wird. Im folgenden Lemma betrachtet man zu einer zu {{math|term= p|SZ=}} teilerfremden Zahl {{math|term= k|SZ=}} die Menge der Vielfachen {{ mathbed|term= ik ||bedterm1= i {{=|}} 1, \ldots , t ||bedterm2= |SZ=, }} in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} und schaut, ob sie in der negativen oder der positiven Hälfte liegen. Man definiert die sogenannten {{Stichwort|Gaußschen Vorzeichen|msw=Gaußsches Vorzeichen|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \epsilon_i ||\epsilon_i (k) || \begin{cases} 1, \text{ falls } ik \in S_+ \, , \\ -1, \text{ falls } ik \in S_- \, . \end{cases} || || |SZ= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie= Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} a6nlxkx8u9k803shy0hqueta9zvg9gq 0 12813 784678 469280 2022-08-22T06:44:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass für natürliche Zahlen {{mathl|term= a,b \geq 1|SZ=}} und {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} die Zahl {{mathl|term= a^ n - b ^n|SZ=}} nicht ein Teiler von {{mathl|term= a^ n + b ^n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Potenz |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 01t0h2x0scb9fw2y7yp7pf9wjphj7cv 0 12816 786270 469117 2022-08-22T10:58:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und sei {{math|term= e|SZ=}} eine natürliche Zahl. Zeige, dass ein Element {{mathl|term= k \in (\Z/(p))^ \times|SZ=}} genau dann eine {{math|term= e|SZ=-}}te Wurzel besitzt, wenn {{mathl|term= k^{\frac{p-1}{e} }=1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxx7th9rap4avflrjngtz2eqtab1v1u 0 12817 786271 738246 2022-08-22T10:58:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | e |\in| \N || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Potenzieren {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|p|}} |}} | {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|p|}} |}} |x| x^e |SZ=, }} genau dann eine Bijektion ist, wenn {{math|term= e|SZ=}} und {{math|term= p-1|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nlcmepc52qgmk1lc3fzekht9vryye5d 0 12820 786251 428226 2022-08-22T10:54:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und sei {{mathl|term= f(x)|SZ=}} ein Polynom mit Koeffizienten in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}|SZ=}} vom Grad {{mathl|term= d \geq p|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es ein Polynom {{math|term= g(x)|SZ=}} mit einem Grad {{math|term= < p|SZ=}} derart gibt, dass für alle Elemente {{mathl|term= a \in {{op:Zmod|p|}}|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(a) ||g(a) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c4dobgso4xyezffdvmv28l6hyzzfrga 0 12824 786252 469094 2022-08-22T10:55:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= f(x)=x^7+2x^3 +3x+4 \in (\Z/(5))[x]|SZ=.}} Finde ein Polynom {{mathl|term= g(x) \in (\Z/(5))[x]|SZ=}} vom Grad {{math|term= < 5|SZ=,}} das für alle Elemente aus {{mathl|term= \Z/(5)|SZ=}} mit {{mathl|term= f(x)|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Polynomring in einer Variablen über F 5 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1j8rp7slnb36j22qq3m5ylauyqwu8ca 0 12847 785579 477654 2022-08-22T09:02:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= x|SZ=}} und {{math|term= y|SZ=}} ungerade. Zeige, dass {{mathl|term= x^2+y ^2|SZ=}} keine Quadratzahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie2=Theorie der Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9kdqojtzedeqwy5gbtjtru516l0i8z9 0 12851 782078 411672 2022-08-21T23:41:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung {{math|term= 78|SZ=}} cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung {{mathl|term= 126|SZ=}} cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen {{mathl|term= -123, 55|SZ=}} und {{math|term= -49|SZ=.}} Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position {{math|term= 17|SZ=}} bzw. {{mathl|term= 109|SZ=.}} Welche Flöhe können sich treffen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8xtozm43cpt2jnduh5k7aiimigqhqbt 0 12853 782577 492615 2022-08-22T01:05:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Alle Springmäuse leben in {{math|term= \Z^2|SZ=}} und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung {{mathl|term= \pm (3,4)|SZ=}} und den Sprung {{mathl|term= \pm (5,2)|SZ=.}} Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen {{ math/disp|term= (14,11),\, (13,15),\, (17, 12),\,(15,19 ) ,\, (16,16) \mbox{ und } (12,20) |SZ=. }} Welche Springmäuse können sich begegnen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gitter |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e1uzmueybh1k27i6rkvy3yetxv7rwaq 0 13010 785745 665076 2022-08-22T09:30:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige für eine positive ungerade Zahl {{math|term= n|SZ=}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Legendre-Symbol|-1|n}} || (-1)^{(n-1)/2} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Jacobi-Symbol |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efimlmtw8ylo8c0lg3ylj27k0uvitxn 0 13011 785746 469136 2022-08-22T09:30:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige für eine positive ungerade Zahl {{math|term= n|SZ=}} die Gleichung {{ math/disp|term= \left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{(n^2-1)/8} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Jacobi-Symbol |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4gx2trwygzbo2s2ipa6p4h344agbanf 0 13012 785747 469137 2022-08-22T09:30:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige für zwei ungerade positive Zahlen {{math|term= n|SZ=}} und {{math|term= m|SZ=}} die Beziehung {{ math/disp|term= \left(\frac{m}{n}\right)\left(\frac{n}{m}\right) =(-1)^{\frac{n-1}{2}\frac{m-1}{2} } |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Jacobi-Symbol |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q76wzcy2kdp50ji8tmhlesvpodu0xdg 0 13013 785739 469133 2022-08-22T09:29:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die Menge {{math|term= M|SZ=}} der Reste modulo {{math|term= 40|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass für jede ungerade Primzahl {{math|term= p|SZ=}} gilt: {{math|term= 10|SZ=}} ist ein Quadratrest modulo {{math|term= p|SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= p \mod 40|SZ=}} zu {{math|term= M|SZ=}} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tumi9012m75y99l3llotdz70cvwoqxy 0 13016 786581 759603 2022-08-22T11:49:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Sophie-Germain-Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= 2|SZ=}} eine Primitivwurzel modulo {{mathl|term= q=2p+1|SZ=}} ist genau dann, wenn {{mathl|term= p=1 \mod 4|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Sophie-Germain-Primzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iy2rzawknlp0xihzb2a58um3zl9gjl0 0 13117 783207 756915 2022-08-22T02:50:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f \in R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Multiplikation mit {{math|term= f|SZ=,}} also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\mu_f |R|R |x|fx |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= (R,+,0)|SZ=}} ist. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung, wann {{math|term= f|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Nichtnullteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und wann {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Multiplikation |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gc98caxfx1xksjari8egi7l1v9ejdn4 0 13173 778552 748226 2022-08-21T12:20:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aus {{mathl|term= {{ideala|}} =(a_1, \ldots, a_k ) \subseteq (t)|SZ=}} folgt sofort {{mathl|term= (a_i) \subseteq (t)|SZ=}} für {{mathl|term= i=1 {{kommadots}} k|SZ=,}} was gerade bedeutet, dass {{math|term= t|SZ=}} diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Sei umgekehrt {{math|term= t|SZ=}} ein gemeinsamer Teiler. Dann ist {{mathl|term= a_i \in (t)|SZ=}} und da {{mathl|term= {{ideala|}} =(a_1, \ldots, a_k )|SZ=}} das kleinste Ideal ist, das alle {{math|term= a_i|SZ=}} enthält, muss {{mathl|term= {{ideala|}} \subseteq (t)|SZ=}} gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4vlbqeqe2dt1gi5r0q9mc40rwapaa6j 0 13216 784381 548155 2022-08-22T06:04:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Menge {{math|term= G|SZ=}} der positiven geraden Zahlen zusammen mit {{math|term= 1|SZ=.}} Zeige, dass {{math|term= G|SZ=}} ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von {{math|term= G|SZ=.}} Zeige, dass in {{math|term= G|SZ=}} jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in {{math|term= G|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in kommutativen Monoiden |Kategorie2=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Gerade Zahlen |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n8ycam0rj7cbcasb0fq3egjrgu0rnpd 0 13217 784382 469127 2022-08-22T06:04:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die natürlichen Zahlen {{math|term= \N|SZ=}} als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element {{math|term= 0|SZ=.}} Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Addition |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s8rt5hz49qnluwsculklr3kxidu13x8 0 13218 784383 469125 2022-08-22T06:04:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Menge {{math|term= M|SZ=}} derjenigen positiven Zahlen, die modulo {{math|term= 4|SZ=}} den Rest {{math|term= 1|SZ=}} haben. Zeige, dass {{math|term= M|SZ=}} mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von {{math|term= M|SZ=.}} Zeige, dass in {{math|term= M|SZ=}} jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in {{math|term= M|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rest 1 mod 4 |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dzrtth8vu5apgtl2efd5zof3n3z5tkl 0 13229 778715 748101 2022-08-21T12:44:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei zunächst {{ Ma:Vergleichskette |n || 2^{k-1} {{makl| 2^k-1 |}} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= 2^k-1|SZ=}} prim. Dann sind die von {{math|term= n|SZ=}} verschiedenen Teiler von {{math|term= n|SZ=}} durch {{ math/disp|term= 2^{i},\, i=0 {{kommadots|}} k-1, \text{ und } 2^{i} (2^k-1) ,\, i=0 {{kommadots|}} k-2 |SZ= }} gegeben. Daher ist ihre Summe gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | \sum_{i {{=}} 0}^{k-1} 2^{i} + (2^k-1) \sum_{i {{=}} 0}^{k-2} 2^{i} || 2^k-1 + {{makl| 2^k-1 |}} {{makl| 2^{k-1} -1 |}} || {{makl| 2^k-1 |}} 2^{k-1} || n || |SZ=, }} also ist {{math|term= n |SZ=}} vollkommen. Sei umgekehrt {{math|term= n |SZ=}} vollkommen. Wir setzen {{ Zusatz/Klammer |text=in Anlehnung an das Ziel| |ISZ=|ESZ= }} an {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||2^{k-1} u || || || |SZ= }} mit {{math|term= u|SZ=}} ungerade und {{ Ma:Vergleichskette | k |\geq|2 || || || |SZ=, }} da ja {{math|term= n |SZ=}} gerade ist. Für teilerfremde Zahlen ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Zahlentheoretische Funktionen/Teilersumme/Multiplikativität/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sigma(n) || \sigma {{makl| 2^{k-1} u |}} || \sigma {{makl| 2^{k-1} |}} \sigma(u) || {{makl| 2^k-1 |}} \sigma(u) || |SZ= }} und andererseits wegen der Vollkommenheit {{ Ma:Vergleichskette | \sigma (n) || 2n || 2^{k} u || || |SZ=. }} Insgesamt ergibt sich also {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| 2^k-1 |}} \sigma(u) || 2^{k} u || || || |SZ=. }} Da {{mathl|term= 2^k-1 |SZ=}} ungerade ist, gilt {{ math/disp|term= \sigma(u) =x 2^{k} \text{ und } u = x(2^k-1) |SZ=. }} Die Annahme {{ Ma:Vergleichskette | x |>| 1 || || || |SZ= }} führt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler {{mathl|term= 1,x,x(2^k -1) |SZ=}} von {{math|term= u |SZ=}} gibt, was zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sigma(u) |\geq| {{makl| 2^k-1 |}} x+1+x |>|2^k x || || |SZ= }} führt. Also ist {{ Ma:Vergleichskette |x ||1 || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette | \sigma(u) || 2^k || u+1 || || |SZ=. }} Die Teilersumme einer Zahl {{math|term= u |SZ=}} ist aber gleich {{mathl|term= u+1 |SZ=}} nur dann, wenn eine Primzahl vorliegt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f21866ulelq8ph3uqlr0zhyonm0s0x5 0 13234 785771 469141 2022-08-22T09:34:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} höchstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tu30i4rflsujqt5mjpz24f0mj5id15m 0 13237 785768 479440 2022-08-22T09:34:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= n|SZ=}} eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung {{math|term= r|SZ=}} Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt {{math|term= n|SZ=}} maximal? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Mehrfache Darstellungen |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kcnqx7rd7a1lhu809hnmww12w0xynmj 0 13238 785769 479484 2022-08-22T09:34:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für alle Zehnerpotenzen {{mathl|term= \geq 10|SZ=}} eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Mehrfache Darstellungen |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 21wxt3k0zhe5vbkdpcep9v54axqqvao 0 13271 785342 758641 2022-08-22T08:24:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es unendlich viele {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt, die modulo {{math|term= 4|SZ=}}{{{zusatz1|}}} den Rest {{math|term= 3|SZ=}} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primzahlen mit Restbedingung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dew3oxhsdebi2usi9yb8oibk3i7snl5 0 13274 785341 478386 2022-08-22T08:23:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo {{math|term= 4|SZ=}} den Rest {{math|term= 1|SZ=}} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primzahlen mit Restbedingung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ip7cnz22eogja2ou3g8jyn13raps366 0 13276 779715 488469 2022-08-21T17:12:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Eisenstein integer lattice|png| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Eisenstein_integer_lattice |Text=Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene |Autor=Gunther |Benutzer=Gunther |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Eisenstein-Zahlen sind komplexe Zahlen der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |z ||a + b {{makl| \frac{1}{2} +\frac{\mathrm i}2\sqrt3 |}} || || || |SZ= }} mit ganzen Zahlen {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= b|SZ=.}} Insbesondere ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \omega || -\frac{1}{2} +\frac{\mathrm i}2\sqrt3 || e^{2\pi\mathrm i/3} || || |SZ= }} eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine {{ Zusatz/Klammer |text=primitive| |ISZ=|ESZ= }} dritte Einheitswurzel {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term=\omega^3=1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} so dass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Wegen {{ Ma:Vergleichskette | \omega^3-1 ||(\omega -1)(\omega^2+\omega +1) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \omega |\neq|1 || || || |SZ= }} gilt die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \omega^2 + \omega + 1 ||0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der euklidischen Bereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Stichwort=Eisenstein-Zahlen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qksz3tls9zz1q80z0opawrv06i74411 0 13284 782092 755980 2022-08-21T23:44:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} die beiden folgenden Bedingungen: (1) Es gibt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primelement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= p \in R|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element {{mathl|term= f \in R|SZ=,}} {{mathl|term= f\neq 0|SZ=,}} eindeutig als {{ Ma:Vergleichskette |f ||up^{i} || || || |SZ= }} darstellen lässt mit einer Einheit {{math|term= u|SZ=}} und {{mathl|term= i \in \N|SZ=.}} (2) {{math|term= R|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Bereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer surjektiven euklidischen Funktion {{mathl|term= \delta: R \setminus \{0 \} \rightarrow \N|SZ=,}} die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung2/a |Es gilt {{mathl|term= \delta(fg) = \delta(f) + \delta(g)|SZ=}} für alle {{mathl|term= f,g \in R \setminus \{0 \}|SZ=.}} |Es gilt {{mathl|term= f {{|}} g|SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= \delta(f) \leq \delta(g)|SZ=}} für alle {{mathl|term= f,g \in R \setminus \{0 \}|SZ=.}} }} Zeige{{n Sie}}, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Bereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Diskrete Bewertungsringe |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9svfz2jb2smrn8pmdzhkwteqosuz1ax 0 13288 782086 755975 2022-08-21T23:43:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Bereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit euklidischer Funktion {{math|term= \delta|SZ=.}} Zeige, dass ein Element {{mathl|term= f \in R|SZ=}} ({{mathl|term= f \neq 0|SZ=}}) mit {{mathl|term= \delta(f)=0|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Bereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einheit |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 57c76qgbp4ja30whwm949hqzjq7wex9 0 13297 778800 748209 2022-08-21T12:56:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Bei zwei teilerfremden Zahlen {{math|term= n|SZ=}} und {{math|term= m|SZ=}} hat jeder positive Teiler {{math|term= t|SZ=}} des Produkts {{math|term= nm|SZ=}} die eindeutige Form {{ Ma:Vergleichskette |t ||ab || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= a|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n|SZ=}} und {{math|term= b|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= m|SZ=}} ist. Also gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sigma(n m) ||\sum_{t {{|}} mn} t || \sum_{a {{|}} m \mbox{ und } b {{|}} n} ab || {{makl| \sum_{a {{|}} n } a |}} {{makl| \sum_{b {{|}} m } b |}} || \sigma(n) \sigma(m) |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tkiknx774a4emifngu7yk8d23k4aqtr 0 13337 781737 660451 2022-08-21T22:45:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper. Zeige{{n Sie}}, dass die Einheitengruppe von {{math|term= K|SZ=}} nicht zyklisch unendlich ist. b) Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige{{n Sie}}, dass die Einheitengruppe von {{math|term= R|SZ=}} nicht zyklisch unendlich ist. c) Beschreibe{{n Sie}} einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie2=Theorie der unendlichen zyklischen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=3 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} avb6cfvgl11sfvsmj0n5zdmgbn0i09s 0 13475 786253 469090 2022-08-22T10:55:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz {{mathl|term= 12x=3 \mod 21|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen über Restklassenringen von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenring Z mod 21 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dagrlz74y0chcw0ctfrnr0nrnojm7tf 0 13596 781204 556463 2022-08-21T21:16:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für positive ganze Zahlen {{math|term= n|SZ=}} betrachten wir folgenden Algorithmus. {{Einrückung|Wenn {{math|term= n|SZ=}} gerade ist, so ersetze {{math|term= n|SZ=}} durch die Hälfte.}} {{Einrückung|Wenn {{math|term= n|SZ=}} ungerade ist, so multipliziere {{math|term= n|SZ=}} mit {{math|term= 3|SZ=}} und addiere dann {{math|term= 1|SZ=}} dazu.}} Frage {{ Zusatz/Klammer |text=Collatz-Problem| |ISZ=|ESZ=: }} Ist es wahr, dass man bei jeder Startzahl {{math|term= n|SZ=}} früher oder später bei {{math|term= 1|SZ=}} landet? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Collatz-Problem |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=200 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ggu830hb2kpe0f77w3o2qblkiwt9gex 0 13598 785685 758898 2022-08-22T09:20:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \omega || \frac{-1+ \sqrt{-3} }{2} || \frac{-1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }{2} || || |SZ=. }} Betrachte die beiden Unterringe {{ Ma:Vergleichskette/disp | R || \Z[\sqrt{-3}] |\subset |\Z[\omega] || S || || |SZ= }} der komplexen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= S|SZ=}} ist also der Ring der {{ Definitionslink |Eisensteinzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen/Beschreibung (ohne Ganzheit)/Beispiel |SZ= }} |SZ=. }} Finde{{n Sie}} ein Beispiel von zwei Elementen in {{math|term= R|SZ=,}} die in {{math|term= R|SZ=}} nicht assoziiert sind, wohl aber in {{math|term= S|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} daran anschließend ein Beispiel eines {{ Definitionslink |irreduziblen Elementes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=,}} das nicht {{ Definitionslink |prim| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist (in {{math|term= R|SZ=}}). Ist es prim in {{math|term= S|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hfbheclo6wif47sw16tktj12e6bm25b 0 13681 786225 566692 2022-08-22T10:50:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne die Restklasse von {{mathl|term= 2^{1563}|SZ=}} modulo {{math|term= 23|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 23 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8jopvhw3scokd8gdz2j3fmkimssqo12 0 13710 786284 759375 2022-08-22T11:00:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= n|SZ=}} eine natürliche Zahl. Charakterisiere{{n Sie}} diejenigen Teiler {{math|term= k|SZ=}} von {{math|term= n|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{op:Zmod|n|}} | {{op:Zmod|k|}} || |SZ= }} gilt, dass {{math|term= a|SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod|n|}}|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= \varphi(a)|SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod|k|}}|SZ=}} eine Einheit ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Homomorphismen |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hmxgl7s0h0dzn2xq4tam8os216q0cmd 0 13712 786250 475286 2022-08-22T10:54:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise ausschließlich durch Anzahlbetrachtungen {{ Faktlink |Faktseitenname= Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt |Refname= {{{ref1|}}} |SZ=, }} dass also der kanonische Homomorphismus {{mathl|term= (\Z/(p^r))^\times \rightarrow (\Z/(p))^\times|SZ=}} surjektiv ist ({{math|term= p|SZ=}} Primzahl). |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Homomorphismen |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7n39qmcwjhsa9gkw1il2l5mga8t9zo2 0 13713 786233 424237 2022-08-22T10:51:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für natürliche Zahlen {{math|term= k|SZ=}} und {{math|term= n|SZ=}} mit {{mathl|term= k \,{{|}} \, n|SZ=}} der kanonische Homomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten| {{makl| {{op:Zmod|n|}} |}} |}} | {{op:Einheiten| {{makl| {{op:Zmod|k|}} |}} |}} || |SZ= }} surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Homomorphismen |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1j315m4ncbl8hgkzpdi0j729nh4v9m 0 13748 778807 748204 2022-08-21T12:57:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Hierzu muss man einfach zählen, wie viele der Zahlen zwischen {{math|term= 1|SZ=}} und {{math|term= n|SZ=}} Vielfache von {{math|term= p|SZ=,}} wie viele Vielfache von {{math|term= p^2|SZ=}} etc. sind. Das ergibt genau die Summe rechts. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5bpz5etyq7wfwai0nl98onrzeyeumo5 0 13802 778420 747892 2022-08-21T11:59:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{mathl|term= T=\{p_1, \ldots, p_k\}|SZ=.}} Es ist {{mathl|term= {{|}}p^{-s}{{|}} < 1|SZ=}} nach Voraussetzung über den Realteil. Unter Verwendung der {{ Faktlink |Faktseitenname= Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt |Refname= {{{ref1|geometrischen Reihe}}} |SZ= }} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/align | \prod_{p \in T} \frac{1}{1-p^{-s} } || \frac{1}{1-p_1^{-s} } \cdots \frac{1}{1-p_k^{-s} } || \left(\sum_{i{{=|}}0}^\infty (p_1^{-s})^{i}\right) \cdots \left(\sum_{i{{=|}}0}^\infty (p_k^{-s})^{i}\right) || \sum_{0 \leq i_1, \ldots, i_k < \infty} (p_1^{-s})^{i_1} \cdots (p_k^{-s})^{i_k} || \sum_{0 \leq i_1, \ldots, i_k < \infty} ( p_1^{i_1} \cdots p_k^{i_k})^{-s} || \sum_{n \in M(T)} n^{-s} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 75cyi9tz27ueo8jlszglxirzd67bghz 0 13806 778422 748127 2022-08-21T12:00:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=, }} wenn man für {{math|term= T|SZ=}} die Menge der ersten {{math|term= k|SZ=}} Primzahlen überhaupt ansetzt und dann {{math|term= k|SZ=}} gegen unendlich laufen lässt. Die Konvergenz der linken Seite, also die Wohldefiniertheit der {{math|term= \zeta|SZ=-}}Funktion, sichert dabei auch die Konvergenz der rechten Seite. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j5t3uc8ts8vauktia9oxfmb9qf6dain 0 13811 778419 748099 2022-08-21T11:59:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | s || 1 || || || |SZ=. }} Man hat die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \prod_{p \in T_k} \frac{1}{1-p^{-1} } || \sum_{n \in M(T_k)} \frac{1}{n} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= T_k|SZ=}} die ersten {{math|term= k|SZ=}} Primzahlen umfasse. Für {{mathl|term= k \rightarrow \infty |SZ=}} ergibt sich rechts die {{ Definitionslink |harmonische Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die bekanntlich divergiert. Also divergiert auch das Produkt links. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ns6fozywnzwrksyrwvtssmcgffc7akr 0 13821 786245 469112 2022-08-22T10:53:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und {{mathl|term= {\mathbb F}_p = \Z/(p)|SZ=}} der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe {{ math/disp|term= {\mathbb F}_p[i] = {\mathbb F}_p \oplus {\mathbb F}_p i = \{a+bi: a,b \in {\mathbb F}_p\} |SZ= }} in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, für welche {{math|term= p|SZ=}} diese Konstruktion einen Körper liefert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5dimcckrlof420lhi2vh7ocu2bm0mra 0 13862 786246 759365 2022-08-22T10:54:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass im Restklassenring {{math|term= \Z/(n)|SZ=}} die Äquivalenz gilt, dass zwei Elemente {{math|term= a,b|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |assoziiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition |SZ= }} sind, wenn {{mathl|term= (a)=(b)|SZ=}} ist. Finde eine Charakterisierung für diese Äquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von {{math|term= n,a|SZ=}} und {{math|term= b|SZ=}} aufbaut. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Assoziiertheit (kommutative Ringe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Restklassenring |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p3o8xwf0aq2r3g856iznom9n0ata375 0 13863 783176 756891 2022-08-22T02:45:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel von zwei Elementen {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= b|SZ=}} eines {{ Definitionslink |kommutativen Ringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette |(a) ||(b) || || || |SZ= }} ist, dass aber {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= b|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |assoziiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Assoziiertheit (kommutative Ringe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0h0t8unqpa2bzh9t9xq190svvsfi3u8 0 13869 786257 475731 2022-08-22T10:55:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} zu {{mathl|term= p=13|SZ=}} und {{mathl|term= k=3|SZ=}} die Vielfachen {{mathl|term= ik \mod 13|SZ=}} für {{mathl|term= i=1 {{kommadots|}} 6|SZ=}} und repräsentiere{{n Sie}} sie durch Zahlen zwischen {{math|term= -6|SZ=}} und {{math|term= 6|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} damit die Vorzeichen {{mathl|term= \epsilon_i=\epsilon_i(3)|SZ=}} und bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=das|Gaußsche Vorzeichenlemma|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an diesem Beispiel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 13 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kofi8muxgh6okfbzkovdfp5ao6yi6ku 0 13870 785741 469129 2022-08-22T09:29:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde Quadratwurzeln für {{math|term= 2|SZ=}} modulo {{math|term= p|SZ=}} für alle Primzahlen {{math|term= p|SZ=}} mit {{mathl|term= p=\pm 1 \mod 8|SZ=}} und {{mathl|term= p \leq 32|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ergänzung |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0n32b0y89l7xqcing8xoa6ij8jit46h 0 13871 785750 476948 2022-08-22T09:31:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne für {{mathl|term= p=17|SZ=}} und {{mathl|term= k=5|SZ=}} den Ausdruck {{ math/disp|term= S(k,p)= \sum_{i=1}^ \frac{p-1}{2} {{op:Gaußklammer| \frac{ki}{p} |}} |SZ=. }} Berechne damit {{mathl|term= \left(\frac{k}{p}\right)|SZ=}} mit Hilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Summe |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5bc02j5pg83hfj2v8pbwyl5033a3cng 0 13874 781206 556468 2022-08-21T21:16:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Charakterisiere{{n Sie}} diejenigen positiven ungeraden Zahlen {{math|term= n|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass bei dem in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Collatz-Problem/Algorithmische Formulierung/Aufgabe |Refname={{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} beschriebenen Algorithmus genau zwei ungerade Zahlen auftreten (nämlich {{math|term= n|SZ=}} und {{math|term= 1|SZ=}}). |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Collatz-Problem |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0aysvu2kk3xydx44bgginodf2xeuh45 0 13875 786272 759368 2022-08-22T10:58:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine ungerade Primzahl und {{mathl|term= a \in {{op:Zmod|p|}}|SZ=}} {{ Definitionslink |primitiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Restklassenringe (Z)/Primitive Einheit/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass von den {{math|term= p|SZ=}} Elementen aus {{mathl|term= {{op:Zmod|p^2|}} |SZ=,}} die auf {{math|term= a|SZ=}} abgebildet werden, genau {{mathl|term= p-1|SZ=}} Stück primitiv in {{mathl|term= {{op:Zmod|p^2|}} |SZ=}} sind. Finde{{n Sie}} für {{mathl|term= p=7|SZ=}} und {{mathl|term= a=3|SZ=}} dasjenige Element {{mathl|term= b \in {{op:Zmod|49|}}|SZ=}} mit {{mathl|term= b=a \mod 7|SZ=,}} das nicht primitiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenring Z mod 49 |Stichwort=Primzahlpotenz |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ldm4awaietial79atppykstjzaefxb5 0 13910 786273 469120 2022-08-22T10:58:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Seite :[[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt/Beweis/Gleichungslinks]] enthält einen Beweis für das {{ Faktlink |Präwort=das|Gaußsche Vorzeichenlemma|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Kopieren Sie den Inhalt der Seite in eine Unterseite Ihrer Benutzerseite (am besten mit <nowiki>{{subst::}}</nowiki>). Begründen Sie in den an den roten Gleichheitszeichen verankerten Links, warum die Gleichungen stimmen. Sagen Sie insbesondere, ob die Gleichheit in {{math|term= \Z|SZ=}} gilt oder nur {{math|term= \mod p|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Vorzeichenlemma |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0c3gn5vairh0zqkdhg9u2e8ifsuq1o8 0 13912 781205 556460 2022-08-21T21:16:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle einen Diagrammstammbaum, der für alle Zahlen (oder nur alle ungeraden Zahlen) {{math|term= \leq 100|SZ=}} die Wirkungsweise des in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Collatz-Problem/Algorithmische Formulierung/Aufgabe |Refname={{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} beschriebenen Algorithmus widergibt. Der Übersichtlichkeit halber könnte es sinnvoll sein, nur die Schritte von einer ungeraden Zahl zur algorithmisch folgenden ungeraden Zahl darzustellen. Die {{math|term= 1|SZ=}} sollte die (Ziel-)Wurzel des Stammbaums sein. Ein solches Diagramm kann direkt in Wikiversity erstellt werden oder aber in einem von [[commons:wiki/Hauptseite|Wiki-Commons]] akzeptierten Format (dort hochladen und hier einbinden). |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Collatz-Problem |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2-4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k9ivnu0onn6fvhqdpfvq0qop3jh6hnh 0 13921 786267 473361 2022-08-22T10:57:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}: In {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}|SZ=,}} wobei {{math|term= p}} eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen über Restklassenringen von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Summe |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7o4ulwb02l749s4njye3kqfwskptdoh 0 14013 785344 469161 2022-08-22T08:24:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= a>1|SZ=}} eine reelle Zahl. Zeige, dass die Anzahl {{ math/disp|term= \pi(ax) - \pi(x) |SZ= }} unbeschränkt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Reihe der Primzahlkehrwerte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 80fbb5xq1s0ddrxv1s4x7jonis4l4km 0 14016 785347 478863 2022-08-22T08:24:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Primzahlverteilung/Häufigkeit gegen null/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=, }} also die Aussage, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x} ||0 || || || |SZ= }} ist, mit Hilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} über die Riemannsche {{math|term= \zeta|SZ=-}}Funktion. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Häufigkeit von Primzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rv3xmochwd2lxfwke92ewji2fu87kyr 0 14038 785744 469134 2022-08-22T09:30:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde eine ungerade Primzahl {{math|term= p|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass alle Zahlen {{mathl|term= a \leq 10|SZ=}} Quadratreste modulo {{math|term= p|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qguv3qw0qcaumehv08mkfihrdu6y4k2 0 14074 786232 469633 2022-08-22T10:51:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{mathl|term= \Z/(7)|SZ=}} alle Lösungen {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} der diophantischen quadratischen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 3x^2+2y^2+5xy+4x+8y+6 || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen über Restklassenringen von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 7 |Stichwort=Quadratische Gleichung |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8e6ule0vosd0uk1aku1386nihls9u17 0 14075 786230 469632 2022-08-22T10:51:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{mathl|term= \Z/(11)|SZ=}} alle Lösungen {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^2+y^2 || 1 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen über Restklassenringen von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadratische Gleichung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eoegmbzg4fpsc7yzljd1071xy3p5fen 0 14076 786231 469153 2022-08-22T10:51:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele Lösungen hat die Gleichung {{ math/disp|term= x^5=a |SZ= }} in {{mathl|term= \Z/(19)|SZ=}} für ein gegebenes {{mathl|term= a \in \Z/(19)|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 19 |Stichwort=Potenzen |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} syv9ot4aviw9zg8tbvuww6ad4wqdkir 0 14098 778821 748215 2022-08-21T12:59:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} eine nichttriviale Lösung, d.h. alle Einträge sind {{math|term= \neq 0|SZ=.}} Wir können annehmen, dass alle Einträge sogar positiv sind. Wenn es eine solche Lösung gibt, dann gibt es auch eine nichttriviale Lösung mit minimalem positiven {{math|term= z|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=unter allen nichttrivialen Lösungen| |ISZ=|ESZ=. }} Wir zeigen, dass es dann eine Lösung mit kleinerem positiven {{math|term= z_1|SZ=}} gibt, was einen Widerspruch bedeutet. Wegen der Minimalität ist {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} primitiv, die Einträge sind also {{ Zusatz/Klammer |text=sogar paarweise| |ISZ=|ESZ= }} teilerfremd. Wir können {{math|term= x|SZ=}} als ungerade annehmen. Es ist dann {{ math/disp|term= (x^2,y^2,z) |SZ= }} ein primitives pythagoreisches Tripel. Daher gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} teilerfremde natürliche Zahlen {{math|term= (u,v)|SZ=}} mit {{ math/disp|term= x^2=u^2-v^2,\, y^2=2uv,\, z=u^2+v^2 |SZ= }} und mit {{mathl|term= u+v |SZ=}} ungerade. Betrachtung der ersten Gleichung modulo {{math|term= 4|SZ=}} zeigt, dass {{math|term= u|SZ=}} ungerade sein muss {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= v|SZ=}} gerade| |ISZ=|ESZ=. }} Die erste Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |u^2 || x^2+v^2 || || || |SZ= }} ist selbst ein primitives pythagoreisches Tripel. Es gibt als erneut teilerfremde natürliche Zahlen {{mathl|term= (r,s) |SZ=}} mit {{ math/disp|term= x=r^2-s^2,\, v=2rs ,\,u=r^2+s^2 |SZ= }} ({{math|term= x|SZ=}} ist ungerade, {{math|term= v|SZ=}} gerade) mit {{mathl|term= r+s|SZ=}} ist ungerade. Somit sind {{mathl|term= r,s,r^2+s^2=u|SZ=}} paarweise teilerfremd. Aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^2 || 2uv || 4(r^2+s^2)rs || || |SZ= }} folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch(|y|2}}^2 ||(r^2+s^2)rs || || || |SZ= }} und aus der Teilerfremdheit der Faktoren folgt, dass die einzelnen Faktoren hier selbst Quadrate sind, also {{ math/disp|term= r=x_1^2,\, s=y_1^2,\, r^2+s^2=z_1^2 |SZ=. }} Damit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | z_1^2 || r^2+s^2 || x_1^4+y_1^4 || || |SZ= }} eine neue nichttriviale Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | z_1 |\leq| z_1^2 || r^2+s^2 || u |<| u^2+v^2 || z |SZ= }} widerspricht dies der Minimalität von {{math|term= z|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 64e7vun64azbwuew4d5wu8gaz3jpl49 0 14138 785580 758820 2022-08-22T09:03:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ergänze{{n Sie}} die Tabelle [[Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/z bis 100/Tabelle]] um alle pythagoreischen Tripel {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=}} mit {{mathl|term= z \leq 100|SZ=.}} Dabei sollen {{math|term= u|SZ=}} und {{math|term= v|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein und nicht beide ungerade. Die Tabelle soll nach der Größe von {{math|term= z|SZ=}} geordnet sein. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Tabelle |Punkte= bis 2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2voybfl2srym1uh5mnepuhgml4lvyks 0 14139 785578 469154 2022-08-22T09:02:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} ein Dreieck {{math|term= D|SZ=}} derart, dass eine Höhe das Dreieck {{math|term= D|SZ=}} in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke {{math|term= D_1|SZ=}} und {{math|term= D_2|SZ=}} unterteilt so, dass die Seitenlängen von {{math|term= D_1|SZ=}} und {{math|term= D_2|SZ=}} jeweils pythagoreische Tripel bilden. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} die Seitenlängen an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7e42p9uow0gvvpxi5hccr4ml091psfz 0 14142 782648 469157 2022-08-22T01:17:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige unter Verwendung {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Wiles|Faktseitenname= Zahlentheorie/Großer Fermat/Satz von Wiles/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass die diophantische Gleichung {{ math/disp|term= x^n+y^n+z^n =0 |SZ= }} für {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} keine von {{mathl|term= (0,0,0)|SZ=}} verschiedene Lösung besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diophantischen Fermat-Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0jh0p0zy3tdhhn507lq4piwhox4m8jy 0 14143 785761 469630 2022-08-22T09:33:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für einen Körper {{math|term= K|SZ=}} bezeichnet {{mathl|term= K^{\times 2} \subseteq K^\times|SZ=}} die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe {{ math/disp|term= K^\times/K^{\times 2} |SZ=. }} {{Aufzählung4 |{{math|term= K|SZ=}} ist ein endlicher Körper. |{{mathl|term= K=\mathbb R|SZ=.}} |{{mathl|term= K=\mathbb C|SZ=.}} |{{mathl|term= K=\mathbb Q|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratrestgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ni9vets8onl3wgvp1ee4fns6fvefwdo 0 14194 785349 478861 2022-08-22T08:25:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=unter Verwendung des|Satzes von Dirichlet|Faktseitenname= Primzahlverteilung/Satz von Dirichlet/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass eine Primzahl {{math|term= q|SZ=}} modulo unendlich vieler Primzahlen {{math|term= p|SZ=}} ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n55zlgnf4fe2j7usrd0ruf509m0ugeo 0 14218 786580 759602 2022-08-22T11:49:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Sophie-Germain-Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= q=2p+1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= q|SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term= M_p+2=2^p+1|SZ=}} genau dann ist, wenn {{mathl|term= q=\pm 3 \mod 8|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mersenneschen Primzahlen |Kategorie2=Theorie der Sophie-Germain-Primzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Germain |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} imfl4yc5c8abro6kzatedr9k861to7j 0 14223 786579 759601 2022-08-22T11:49:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Sophie-Germain-Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= q=2p+1|SZ=.}} Sei {{math|term= a|SZ=}} gegeben mit {{mathl|term= 2 \leq a \leq q-2|SZ=.}} Zeige, dass {{math|term= a|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |primitive Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Restklassenringe (Z)/Primitive Einheit/Definition |SZ= }} modulo {{math|term= q|SZ=}} ist, wenn es kein {{ Definitionslink |Quadratrest| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratische Reste/Definition |SZ= }} modulo {{math|term= q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Sophie-Germain-Primzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l0inusnwhmqzr5banxsp8bspsd84mfy 0 14254 781163 755205 2022-08-21T21:09:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Carmichael-Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= n|SZ=}} ungerade und mindestens drei Primfaktoren besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Carmichael-Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cwg5inw58wxipnpqujo0xdeirvhfxy7 0 14256 781162 755204 2022-08-21T21:09:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl {{math|term= >3|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass auch {{mathl|term= 2p-1|SZ=}} und {{mathl|term= 3p-2|SZ=}} prim sind. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ math/disp|term= n=p(2p-1)(3p-2) |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Carmichael-Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Carmichael-Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstruktion |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} reug02rylfzgrpsb8beq89j27qrzo8o 0 14264 785312 758620 2022-08-22T08:19:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Zerlegung von {{mathl|term= X^{p-1}-1|SZ=}} in {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Polynomring {{mathl|term= \Z/(p)[X]|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} aus dieser Zerlegung {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Wilson|Faktseitenname= Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cqnrn9b0g23akshaaje1cqxt4jxsubw 0 14267 786263 473609 2022-08-22T10:56:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl mit {{mathl|term= p=1 \mod 4|SZ=.}} Zeige unter Verwendung {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Wilson|Faktseitenname= Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{mathl|term= \frac{p-1}{2} !|SZ=}} eine Quadratwurzel von {{math|term= -1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Wilson |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 58iyx362bi67m762g0bdbuadbznlf0p 0 14364 782209 708010 2022-08-22T00:03:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^n+y^n || z^n || || || |SZ= }} eine Fermat-Gleichung. Zeige: wenn es keine nichttriviale Lösung {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=}} in natürlichen Zahlen gibt, so gibt es auch keine nichttriviale Lösung in ganzen Zahlen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diophantischen Fermat-Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8a7ycrnow0ejxaobyh5wnac1iid6ztc 0 14427 785756 469166 2022-08-22T09:32:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl mit {{mathl|term= p=1 \mod 4|SZ=}} und sei {{mathl|term= p=x^2 + y^2|SZ=}} eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten, {{mathl|term= x,y \in \mathbb N|SZ=.}} Sei {{math|term= k|SZ=}} ein ungerader Teiler von {{math|term= x|SZ=.}} Dann ist {{math|term= k|SZ=}} ein Quadratrest modulo {{math|term= p|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qakjc197ydjd5k5xcb4jix7vz192bu8 0 14463 778802 762718 2022-08-21T12:56:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{ Ma:Vergleichskette |0 |\neq| f |\in| {{ideala}} || || || |SZ=. }} Dieses Element ist nach der Definition eines {{ Definitionslink |Zahlbereiches| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} {{ Definitionslink |ganz| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Definition |Refname= |SZ= }} über {{math|term= \Z|SZ=}} und erfüllt demnach eine {{ Definitionslink |Ganzheitsgleichung| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzheitsgleichung/Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^n+ k_{n-1}f^{n-1} + k_{n-2}f^{n-2} {{plusdots}} k_1f +k_0 || 0 || || || |SZ= }} mit ganzen Zahlen {{math|term= k_i|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |k_0 ||0 || || || |SZ= }} kann man die Gleichung mit {{math|term= f|SZ=}} kürzen, da {{ Ma:Vergleichskette |f |\neq|0 || || || |SZ= }} ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht {{math|term= 0|SZ=}} ist. Sei also in obiger Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |k_0 |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | f {{makl| f^{n-1}+ k_{n-1}f^{n-2} + k_{n-2}f^{n-3} {{plusdots}} k_1 |}} ||-k_0 || || || |SZ= }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette |k_0 | \in | (f) \cap \Z |\subseteq|{{ideala}} || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlichkeit |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sa6tnvug0zi8ozb9h2yzqxl9xjq0jlx 0 14470 778794 762712 2022-08-21T12:55:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das Minimalpolynom {{math|term= P|SZ=}} von {{math|term= f|SZ=}} über {{math|term= \Q|SZ=}} ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term= \Q|SZ=.}} Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine {{ Definitionslink |Ganzheitsgleichung| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzheitsgleichung/Definition |SZ= }} für {{math|term= f|SZ=}} über {{math|term= \Z|SZ=}} vor. Sei umgekehrt {{math|term= f|SZ=}} ganz über {{math|term= \Z|SZ=,}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |S |\in|\Z[X] || || || |SZ= }} ein normiertes ganzzahliges Polynom mit {{ Ma:Vergleichskette |S(f) ||0 || || || |SZ=, }} das wir als irreduzibel in {{mathl|term= \Z[X] |SZ=}} annehmen dürfen. Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette |S |\in|\Q[X] || || || |SZ=. }} Dort gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || PT || || || |SZ=. }} Da nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Gauß|Faktseitenname= Polynomring/Z und Q/Lemma von Gauß/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein irreduzibles Polynom von {{mathl|term= \Z[X] |SZ=}} auch in {{mathl|term= {\Q}[X] |SZ=}} irreduzibel ist, folgt {{ Ma:Vergleichskette |S ||P || || || |SZ= }} und daher sind alle Koeffizienten von {{math|term= P|SZ=}} ganzzahlig. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} awn6391qpl53podnnj7tfiirdkzafn8 0 14498 785040 758433 2022-08-22T07:38:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{mathl|term= F,G \in \Z[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |primitive Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Polynome über Z/Primitives Polynom/Definition |SZ=. }} Zeige, dass dann auch das Produkt {{math|term= FG|SZ=}} primitiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der primitiven Polynome über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kgpk134gg6rgfvofb36zwgmi9pyl2id 0 14502 785039 758432 2022-08-22T07:38:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in|\Z[X] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{math|term= F|SZ=,}} aufgefasst als Polynom in {{math|term= \Q[X] |SZ=,}} ebenfalls irreduzibel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der primitiven Polynome über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e1x3opu1c2rjsb753wr590x2f0lavzo 0 14505 786209 476773 2022-08-22T10:47:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} die kleinste Primzahl {{math|term= p|SZ=}} derart, dass es in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}|SZ=}} ein Element {{math|term= a|SZ=}} gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich {{mathl|term= -1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72rh8cl14tumfjuufa4ubpd6g6mk15g 0 14512 779314 763408 2022-08-21T16:08:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ= }} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{idealp|}} |SZ= }} ein Primideal. Dann ist das Komplement {{mathl|term= R \setminus {{idealp|}}|SZ= }} ein {{ Definitionslink |multiplikatives System| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Definition |SZ=. }} Dies folgt unmittelbar aus der Definition. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primideal |Autor= |Bearbeitungsstand= }} okvhdiam7oemcjao2znzorpk3zofx2t 0 14518 779317 763414 2022-08-21T16:09:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ= }} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ= }} ein Element. Dann bilden die Potenzen {{ mathbed|term= f^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |multiplikatives System| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Potenzen eines Elementes |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a4wkx72290nvnek87jap75ro2iy46fl 0 14545 780638 754767 2022-08-21T19:41:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A|SZ=}} eine kommutative {{math|term= K|SZ=-}}Algebra, die außerdem ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Definition |SZ= }} sei. Es sei {{mathl|term= f \in A|SZ=}} ein über {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisches Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sei {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} ein normiertes Polynom mit {{mathl|term= P(f) =0|SZ=.}} Dann ist {{math|term= P|SZ=}} das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} genau dann, wenn es {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Irreduzibel |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 81tzclltuse02q63mqxpbh8poyrrkuu 0 14596 783156 756872 2022-08-22T02:41:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= (G,+,0)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition |SZ=. }} Sei {{ math/disp|term= E:= \operatorname{End} (G) = \operatorname{Hom} (G,G) |SZ= }} die Menge der Gruppenhomomorphismen von {{math|term= G|SZ=}} nach {{math|term= G|SZ=}} (also die Gruppenendomorphismen auf {{math|term= G|SZ=}}). Definiere auf {{math|term= E|SZ=}} eine Addition und eine Multiplikation, so dass {{math|term= E|SZ=}} zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modultheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ring |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gvmxcyd8r50aytznz8blhc2lnynd0s3 0 14597 783157 756873 2022-08-22T02:41:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= (M,+,0)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= E= \operatorname{End}_{\mathbb Z} (M)|SZ=}} der zugehörige Endomorphismenring. Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition |SZ=. }} Zeige, dass eine {{math|term= R|SZ=-}}Modulstruktur auf {{math|term= M|SZ=}} äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus {{mathl|term= R\rightarrow \operatorname{End}_{\mathbb Z} (M)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modultheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ring |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n6fd6l4n2urcqwxtotqs2yxxv4fjrlp 0 14598 783155 756871 2022-08-22T02:41:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= R|SZ=}} und {{math|term= A|SZ=}} {{ Definitionslink |kommutative Ringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= A|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, für den zusätzlich {{ math/disp|term= r (ab) =(ra)b \text{ für alle } r \in R,\, a,b \in A |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modultheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der kommutativen Algebren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ocrmwguy5bu99o44vdwil1md5460cm0 0 14599 785897 759050 2022-08-22T09:55:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die rationalen Zahlen {{mathl|term= (\mathbb Q, +, 0)|SZ=}} als {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition |SZ=. }} Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich erzeugt |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a29d5mj4pn7og2vnqkqgqd00s51sgat 0 14603 785896 759049 2022-08-22T09:55:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die rationalen Zahlen {{mathl|term= (\mathbb Q, +, 0)|SZ=}} als {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= G \subseteq \mathbb Q|SZ=}} eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass {{math|term= G|SZ=}} {{ Definitionslink |zyklisch| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich erzeugt |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ezcz3h1i7immmzqtjbtq3w86t9ciw1 0 14605 781781 755685 2022-08-21T22:52:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |irreduzible| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Ganzheitsgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzheitsgleichung/Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= \Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} für die {{ Definitionslink |Eisensteinzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen/Textabschnitt |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \omega || {{op:Bruch|-1+\sqrt{-3} |2}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8t4cptcc6jnq51csqle6a1xqrvu3ta8 0 14610 785807 469278 2022-08-22T09:40:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein Integritätsbereich und {{math|term= K|SZ=}} ein Körper mit {{mathl|term= R \subseteq K|SZ=.}} Zeige, dass dann auch {{mathl|term= Q(R) \subseteq K|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ixdymvldvj8vowoe113xlqe2rkoe5dj 0 14615 782476 756287 2022-08-22T00:48:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{mathl|term= R,S,T|SZ= }} {{ Definitionslink |kommutative Ringe| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref1|}}} }} und seien {{mathl|term= \varphi:R \rightarrow S |SZ= }} und {{mathl|term= \psi:S \rightarrow T |SZ= }} Ringhomomorphismen derart, dass {{math|term= S|SZ= }} {{ Definitionslink |ganz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ= }} und {{math|term= T|SZ= }} ganz über {{math|term= S|SZ= }} ist. Zeige, dass dann auch {{math|term= T|SZ= }} ganz über {{math|term= R|SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pv0ekon7tdxe8ek3tcs2b5wreuw6do9 0 14656 785759 469236 2022-08-22T09:32:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Quadratrestgruppe {{ math/disp|term= \mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2} |SZ=, }} wobei {{mathl|term= \mathbb Q^{\times 2}|SZ=}} die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse {{mathl|term= x \in \mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}|SZ=}} einen Repräsentanten aus {{math|term= \Z|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratrestgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=O |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l90x6e9rzuthjwbtv9n92gjwfkkdkz3 0 14683 785350 469233 2022-08-22T08:25:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} anhand des [[Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt/Beweis|Beweises]] {{ Faktlink |Präwort=der|Ungleichungen von Tschebyschow|Faktseitenname= Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen expliziten Wert für {{math|term= c|SZ=}} mit {{mathl|term= \pi(x) \geq c \frac{x}{\ln (x)}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Abschätzungen von Tschebyschow |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 48cg6hhg9cseydynkl9rp7xvsuz1f4v 0 14688 785348 469234 2022-08-22T08:25:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige unter Verwendung der {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt mit Beweisklappe |Refname= {{{ref|Ungleichungen von Tschebyschow}}} |SZ=, }} dass es (zumindest für {{math|term= x|SZ=}} hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen {{math|term= x|SZ=}} und {{math|term= x^2|SZ=}} als zwischen {{math|term= 1|SZ=}} und {{math|term= x|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Abschätzungen von Tschebyschow |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6oolw3hh74pna12lzjf5aejd3vmlus2 0 14712 785346 758644 2022-08-22T08:24:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|n|}}|SZ=}} die {{ Definitionslink |Eulersche Funktion| |Definitionsseitenname= Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{ mathbed|term= {{op:Bruch|{{op:Eulersche Phi-Funktion|n|}}|n}} ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} sowohl in {{ mathkor|term1= 1 |als auch in|term2= {{op:Bruch|1|3}} |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Häufungspunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Häufigkeit von Primzahlen |Kategorie2=Die Eulersche Funktion (Zahlentheorie) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Euler |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} enkfhbr05pbec6ogutpanxfi3t0swt0 0 14771 785576 758819 2022-08-22T09:02:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |pythagoreisches Tripel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Pythagoreisches Tripel/Definition |SZ=. }} Zeige, dass {{math|term= x|SZ=}} oder {{math|term= y|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= 3|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jey1czkx2zdn0oi2daeqprgo26gayi9 0 14810 778996 763172 2022-08-21T15:19:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die kleinste {{ Definitionslink |Carmichael-Zahl| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Pseudo-Primzahlen/Carmichael Zahlen/Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |561 ||3 \cdot 11 \cdot 17 || || || |SZ=. }} Dies folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Carmichael Zahlen/Charakterisierung mit Primteilern/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} da {{math|term= 2|SZ=,}} {{math|term= 10|SZ=}} und {{math|term= 16|SZ=}} Teiler von {{mathl|term= 560|SZ=}} sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Carmichael-Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=561 |Stichwort=561 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e802vk6loklc3gypah8z6w156gl9j3e 0 14930 778793 663347 2022-08-21T12:55:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} eine {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis von {{math|term= L|SZ=.}} Das Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} enthält nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ein Element {{ Ma:Vergleichskette |0 |\neq|m |\in| {{ideala|}} \cap \Z || || |SZ=. }} Nach {{ Zusatz/Klammer |text=dem Beweis von| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheitsring/Quotientenkörper/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} kann man {{ Ma:Vergleichskette |v_i || {{op:Bruch|r_i|n_i}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |r_i |\in|R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |n_i |\in| \Z \setminus \{0\} || || || |SZ= }} schreiben. Dann sind die {{ Ma:Vergleichskette | m (n_i v_i) |\in| {{ideala|}} || || || |SZ= }} und sie bilden ebenfalls eine {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis von {{math|term= L|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6mtma1bhy52mqgjv7cekr40dq6bi7iy 0 14933 778791 762710 2022-08-21T12:54:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereiche/Ideale ungleich null enthält Basis/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} gibt es überhaupt Elemente {{ Ma:Vergleichskette | b_1 {{kommadots|}} b_n |\in| {{ideala|}} || || || |SZ=, }} die eine {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis von {{math|term= L|SZ=}} bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der {{ Zusatz/Klammer |text=ganzzahlige| |ISZ=|ESZ= }} Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt |Refname= {{{ref3|Fakt}}} |SZ=, }} dass sie ein {{math|term= \Z|SZ=-}}Erzeugendensystem von {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} bilden. Die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Unabhängigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=}} sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Erzeugendensystem |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ilty7vc70b7xszdyqt8dv0t7xp5win 0 14936 778795 650831 2022-08-21T12:55:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein Primideal {{math|term= \neq 0|SZ=}} in {{math|term= R|SZ=.}} Dann ist der Restklassenring {{math|term= R/ {{idealp|}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Definition |Refname= |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber {{ Aufgabelink |Präwort=nach||Aufgabeseitenname= Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bereits ein Körper, so dass nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} ein maximales Ideal vorliegt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1dgkh5eqsdnncyut8w9gdxfqqx9k814 0 14945 778740 665732 2022-08-21T12:47:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zunächst sind wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Norm und Spur/Z/Minimalpolynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Spuren zu Elementen aus {{math|term= R|SZ=}} ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|{{ideala}} || || || |SZ= }} ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich {{math|term= f|SZ=}} als eine {{math|term= \Z|SZ=-}}Linearkombination {{ Ma:Vergleichskette |f || k_1b_1 {{plusdots|}} k_nb_n || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |k_i |\in|\Z || || || |SZ= }} schreiben lässt, wenn die {{ Ma:Vergleichskette | b_1 {{kommadots|}} b_n |\in| {{ideala}} || || || |SZ= }} eine {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis von {{math|term= L|SZ=}} mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || q_1b_1 {{plusdots|}} q_nb_n || || || |SZ= }} mit rationalen Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |q_i |\in|\Q || || || |SZ=. }} Sei angenommen, dass ein {{math|term= q_i|SZ=}} nicht ganzzahlig ist, wobei wir {{ Ma:Vergleichskette |i ||1 || || || |SZ= }} annehmen dürfen. Wir schreiben dann {{ Ma:Vergleichskette |q_1 ||k + \delta || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |k |\in|\Z || || || |SZ= }} und einer rationalen Zahl {{math|term= \delta|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=echt| |ISZ=|ESZ= }} zwischen {{math|term= 0|SZ=}} und {{math|term= 1|SZ=.}} Dann ist auch {{ math/disp|term= c_1 = f-kb_1 = \delta b_1 + \sum_{i=2}^n q_ib_i,\, b_2 {{kommadots|}} b_n |SZ= }} eine {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis von {{math|term= L|SZ=,}} die in {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || \begin{pmatrix} \delta & q_2 & q_3 & \cdots & q_n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0 &0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle (c_1,b_2 {{kommadots|}} b_n) ||(\det(T))^2 \triangle (b_1,b_2 {{kommadots|}} b_n) || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette | (\det(T))^2 ||\delta ^2 |<|1 || || |SZ= }} und da die Diskriminanten nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Separabel/Nicht null bei Basis/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} nicht {{math|term= 0|SZ=}} sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l024zbqpe2i68o5u769wnwv9zjhkxdn 0 14962 778797 481483 2022-08-21T12:55:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ist jedes von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu {{math|term= \Z^n|SZ=,}} also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale {{ Zusatz/Klammer |text=also als {{math|term= R|SZ=-}}Moduln| |ISZ=|ESZ= }} endlich erzeugt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Noethersch |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1zrucd89p3l84ugo95rzbcsuzzairsy 0 14974 781879 755782 2022-08-21T23:08:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und sei {{ math/disp|term= L=\Q[X]/ {{makl| X^3-p |}} |SZ= }} der durch das irreduzible Polynom {{mathl|term= X^3-p|SZ=}} definierte Erweiterungskörper von {{math|term= \Q|SZ=.}} Es sei {{ math/disp|term= f=2+3x-4x^2 |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Finde{{n Sie}} die Matrix bezüglich der {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis {{mathl|term= 1,x,x^2|SZ=}} von {{math|term= L|SZ=}} der durch die Multiplikation mit {{math|term= f|SZ=}} definierten {{math|term= \Q|SZ=-}}linearen Abbildung. |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Spur von {{math|term= f|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} |Finde{{n Sie}} das Inverse von {{math|term= f|SZ=.}} |Berechne die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Basis {{mathl|term= 1,f,f^2|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fa8i3iu8s5dwo05oemvug8ataqiea5v 0 14976 783673 476960 2022-08-22T04:08:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein endlicher Körper und {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine endliche Körpererweiterung. Zeige direkt, dass für diese Körpererweiterung der Satz vom primitiven Element gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz vom primitiven Element |Kategorie2=Theorie der endlichen Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qr2s7ys0ez683mc5barqmf0vr6v9qr4 0 14984 781882 469270 2022-08-21T23:09:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und sei {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} ein Polynom vom Grad {{math|term= n|SZ=.}} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: {{Aufzählung4|{{math|term= F|SZ=}} und die (formale) Ableitung {{math|term= F'|SZ=}} sind teilerfremd. | {{math|term= F|SZ=}} und die (formale) Ableitung {{math|term= F'|SZ=}} erzeugen das Einheitsideal. | {{math|term= F|SZ=}} besitzt in keinem Erweiterungskörper {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} mehrfache Nullstellen. | Es gibt einen Erweiterungskörper {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=,}} so dass {{math|term= F|SZ=}} als Polynom in {{mathl|term= L[X]|SZ=}} in {{math|term= n|SZ=}} verschiedene Linearfaktoren zerfällt.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen separablen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1zllpacrkin4ryyg4vb1s26gc8ft4z2 0 14986 781881 755784 2022-08-21T23:09:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und sei {{math|term= F \in K[X]|SZ=}} ein irreduzibles Polynom. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine einfache Charakterisierung dafür, dass {{math|term= F|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der separablen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} icckeiq4qv6hrzsenc0kns8wciosims 0 14991 778796 652706 2022-08-21T12:55:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |R |\cong|\Z^n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als abelsche Gruppen| |ISZ=|ESZ=, }} wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} entsprechen möge. Das von {{math|term= m|SZ=}} in {{math|term= R|SZ=}} erzeugte Ideal besteht aus allen {{math|term= \Z|SZ=-}}Linearkombinationen der {{mathl|term= m a_1 {{kommadots|}} m a_n |SZ=}} und somit entspricht das Ideal {{ Zusatz/Klammer |text=unter dieser Identifizierung| |ISZ=|ESZ= }} der von {{mathl|term= (m,0 {{kommadots|}} 0), (0,m,0 {{kommadots|}} 0) {{kommadots|}} (0 {{kommadots|}} 0,m) |SZ=}} erzeugten Untergruppe von {{math|term= \Z^n|SZ=.}} Die Restklassengruppe {{mathl|term= R/(m)|SZ=}} ist demnach gleich {{mathl|term= (\Z/(m))^n|SZ=}} und besitzt {{math|term= m^n|SZ=}} Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Ganze Ringerweiterung für Integritätsbereiche/Hauptideale/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | m R \cap \Z || m \Z || || || |SZ= }} und aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Homomorphiesatzes|Faktseitenname= Ringhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} hat man einen injektiven Ringhomomorphismus {{ Ma:abb/disp |name= |{{op:Zmod|m|}} | R/(m) || |SZ=, }} so dass {{mathl|term= R/(m)|SZ=}} eine von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene {{mathl|term= {{op:Zmod|m|}} |SZ=-}}Algebra ist. Für eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} ist {{mathl|term= R/(p)|SZ=}} ein Vektorraum über {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}|SZ=}} der Dimension {{math|term= n|SZ=.}} Deshalb gibt es darin {{ Zusatz/Klammer |text=mindestens| |ISZ=|ESZ= }} ein maximales Ideal, und dieses entspricht {{ Aufgabelink |Präwort=nach||Aufgabeseitenname= Idealtheorie (kommutative Algebra)/Ideale im Restklassenring/Korrespondenz/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einem maximalen Ideal {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} in {{math|term= R|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |p |\in|{{idealm|}} || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette | (p) || (p)R \cap \Z |\subseteq | {{idealm|}} \cap \Z || || |SZ=, }} und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich {{math|term= (p)|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8w6ifaxxfylkbht4cb7hb89pte0v7bc 0 14994 778810 762723 2022-08-21T12:57:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Im Fall {{ Ma:Vergleichskette |D ||2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | A_D || \Z[X]/(X^2-D) || || || |SZ= }} und daher bilden {{math|term= 1|SZ=}} und {{math|term= X|SZ=}} eine Ganzheitsbasis. Die möglichen Produkte zu dieser Basis sind in Matrixschreibweise {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1|X|X|D}} |SZ=. }} Wendet man darauf komponentenweise die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an so erhält man {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2|0|0|2D}} |SZ= }} und die Determinante davon ist {{math|term= 4D|SZ=.}} Im Fall {{ Ma:Vergleichskette |D ||1 \mod 4 || || || |SZ= }} ist hingegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | A_D || \Z[\omega]/ {{makl| \omega^2-\omega - \frac{D-1}{4} |}} || || || |SZ= }} und eine Ganzheitsbasis ist {{math|term= 1|SZ=}} und {{math|term= \omega|SZ=.}} Die Matrix der Basisprodukte ist dann {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1| \omega | \omega | \omega + {{op:Bruch|D-1|4}} }} |SZ=. }} Wendet man darauf die Spur an {{ Zusatz/Klammer |text=die Spur von {{math|term= \omega|SZ=}} ist {{math|term= 1|SZ=}}| |SZ=, }} so erhält man {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2| 1 |1 | 1 + {{op:Bruch|D-1|2}} }} |SZ= }} und die Determinante davon ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 {{makl| 1+ \frac{D-1}{2} |}} -1 || 2 +D-1-1 || D || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l1ulnbaa4qczc06g8pcgayc78h5t7i0 0 14997 778818 748237 2022-08-21T12:59:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei zunächst {{mathl|term= D= 2,3 \mod 4|SZ=,}} so dass {{ Ma:Vergleichskette | \triangle || 4D || || || |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist und als Primteiler {{math|term= p |SZ=}} der Diskriminante {{math|term= 2|SZ=}} und die Teiler von {{math|term= D|SZ=}} in Frage kommen. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | A_D/(p) || (\Z[X]/(X^2-D)/(p)) || ( {{op:Zmod|p|}}) [X]/ {{makl| X^2-D |}} || || |SZ=. }} Bei {{mathl|term= p {{|}} D |SZ=}} steht hier {{mathl|term= ( {{op:Zmod|p|}} ) [X]/(X^2) |SZ=}} und dieser Ring hat das einzige Primideal {{mathl|term= (X)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | X^2 || 0 || || || |SZ=. }} Diesem Primideal entspricht in {{math|term= A_D |SZ=}} das Primideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp}} || (p,X) || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp}}^2 ||(p) || || || |SZ=. }} Einerseits gilt für {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| {{idealp}}^2 || || || |SZ= }} im Faserring modulo {{math|term= p|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| (X^2) || 0 || || |SZ=, }} woraus {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| (p) || || || |SZ= }} folgt. Andererseits ist {{ Ma:Vergleichskette |X^2 ||D || up || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= A_D|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | u |\in| \Z || || || |SZ=. }} Da {{math|term= D|SZ=}} quadratfrei ist, ist {{math|term= u|SZ=}} teilerfremd zu {{math|term= p|SZ=}} und daher kann man mit {{ Ma:Vergleichskette |1 || ru+sp || || || |SZ= }} schreiben {{ Ma:Vergleichskette/disp |p || p(ru+sp) || rup+sp^2 || rX^2+sp^2 |\in| {{idealp}}^2 |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette | p || 2 || || || |SZ= }} gilt in {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} [X] |SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette | (X-D)^2 || X^2-D^2 || X^2-D || || |SZ=, }} so dass eine analoge Situation vorliegt. Sei jetzt {{mathl|term= D= 1 \mod 4|SZ=}} und sei {{math|term= p|SZ=}} ein Primteiler von {{mathl|term= \triangle=D|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | A_D/(p) || {{makl| \Z[\omega]/ {{makl| \omega^2- \omega - \frac{D-1}{4} |}} |}} /(p) || ( {{op:Zmod|p|}}) [\omega]/ {{makl| \omega^2- \omega - {{op:Bruch| D-1|4}} |}} || || |SZ=. }} Da {{math|term= D |SZ=}} ungerade ist, ist {{math|term= 2 |SZ=}} eine Einheit in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=,}} so dass man die Gleichung modulo {{math|term= p |SZ=}} als {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \omega- \frac{1}{2} |}}^2 - \frac{1}{4} - \frac{D-1}{4} || {{makl| \omega- \frac{1}{2} |}}^2 -\frac{D}{4} || {{makl| \omega- \frac{1}{2} |}}^2 || || |SZ= }} schreiben kann, so dass wieder eine analoge Situation vorliegt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6x72yn2yazrpln1a8lpiihkqejh028v 0 15004 785636 758864 2022-08-22T09:12:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= D \neq 0,1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreie Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und betrachte die quadratische Erweiterung {{mathl|term= \Z \subset \Z[\sqrt{D}]|SZ=.}} Es sei {{math|term= p|SZ=}} ein Primfaktor von {{math|term= D|SZ=}} und es sei vorausgesetzt, dass weder {{math|term= p|SZ=}} noch {{math|term= -p|SZ=}} ein Quadratrest modulo {{math|term= D/p|SZ=}} ist. Dann ist {{math|term= p|SZ=}} irreduzibel in {{mathl|term= \Z[\sqrt{D}]|SZ=,}} aber nicht prim. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ll0cxw0htxx4v7nzj3hybruhc4j3ygq 0 15006 785640 758867 2022-08-22T09:13:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[\sqrt{7}] || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=,}} die über {{ Ma:Vergleichskette |p ||29 || || || |SZ= }} liegen und zeige{{n Sie}}, dass es sich um {{ Definitionslink |Hauptideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Der Ring Z(sqrt(7)) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 13m7pb1dgrbfg58bfl04r3ezebupxms 0 15007 785638 758865 2022-08-22T09:12:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[\sqrt{15}] || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=,}} die über {{ Ma:Vergleichskette |p ||17 || || || |SZ= }} liegen {{ Zusatz/Klammer |text=man gebe Idealerzeuger an| |ISZ=|ESZ=. }} Handelt es sich um Hauptideale? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(15)) |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i33akfpc6yanacwkwt8ah07wcovqcq8 0 15008 785639 758866 2022-08-22T09:12:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[\sqrt{7}] || || || |SZ= }} das Element {{mathl|term= 8+ 3 \sqrt{7}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2=Der Ring Z(sqrt(7)) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 12bybej8qzy15631jex9n9v8k1gjsr7 0 15018 783717 757365 2022-08-22T04:15:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl. Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq|L ||\Q [X]/(X^3-p) || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= 3|SZ=.}} Sei {{ Ma:Vergleichskette |f ||aX^2+bX+c |\in|L || || |SZ= }} ein Element davon mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b,c |\in| \Q || || || |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} das Minimalpolynom von {{math|term= f|SZ=}} und {{ManSie|man gebe|Geben Sie}} die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von {{math|term= f|SZ=.}} Welche Bedingungen an {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} ergeben sich aus der Voraussetzung, dass {{math|term= f|SZ=}} ganz über {{math|term= \Z|SZ=}} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 61ujvvdsog9gjroh3hu5nmsig2tux55 0 15030 784611 770911 2022-08-22T06:34:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | S |\subseteq| R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man definiert die {{Definitionswort/enp|term=Nenneraufnahme}} {{ math/disp|term= R_S |SZ= }} schrittweise wie folgt. Es sei zunächst {{math|term= M |SZ=}} die Menge der formalen Brüche mit Nenner in {{math|term= S |SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{Mengebed| \frac{r}{s} | r \in R| s \in S }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ math/disp|term= \frac{r}{s} \sim \frac{r'}{s'} \text{ genau dann, wenn es ein } t \in S \text{ mit } trs' =tr's \text{ gibt} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=}} definiert ist. Wir bezeichnen mit {{math|term= R_S |SZ=}} die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere{{n Sie}} auf {{math|term= R_S |SZ=}} eine Ringstruktur und definiere einen {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R \rightarrow R_S |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e28ghnq0yarvx4cuw81y257nizyrheo 0 15032 783964 757599 2022-08-22T04:56:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= a+b|SZ=}} nur dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= a|SZ=}} oder {{math|term= b|SZ=}} eine Einheit ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6y68blcv2oc6yhpewf5vdc3g7nmaks4 0 15034 785660 758876 2022-08-22T09:16:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |D |\neq| 0,1 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreie Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[\sqrt{D}] || || || |SZ= }} und sei {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige Ganzheitsring. Zeige{{n Sie}}, dass nach {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an {{math|term= 2|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | R_2 | (A_D)_2 || |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lg36giyzeicqbcdm51m1z10w1ih1n4r 0 15036 783221 756927 2022-08-22T02:52:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normaler Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_S|SZ=}} normal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2=Theorie der normalen Integritätsbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Normal |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bqppai06o3258q0ytvnnhphcru1c9lg 0 15038 782506 756309 2022-08-22T00:53:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Gaußschen Zahl {{mathl|term= 5+7 {{imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 76opokqnvh30d3o9pgpdgr84o7znam3 0 15052 781883 742842 2022-08-21T23:09:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette | P || X^n-c |\in| K[X] || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | f || a_{n-1} X^{n-1} + a_{n-2}X^{n-2} {{plusdots|}} a_1X+ a_0 || || || |SZ= }} ein Element in der {{ Definitionslink |Prämath= |einfachen| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | K | \subseteq | L || K[X]/(P) || || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=Algebraelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}}{{{zusatz1|}}} gleich {{math|term= na_0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Spur bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jyqgx5n68ueoz7z6as1rb08b6pbfgia 0 15055 781778 755683 2022-08-21T22:51:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Charakterisiere{{n Sie}} für den Ring {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || \Z[ \frac{-1+\sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} }{2}] | \cong | \Z[Y]/(Y^2+Y+1) || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Eisenstein-Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen/Textabschnitt |SZ= }} die Primzahlen aus {{math|term= \Z|SZ=,}} die in {{math|term= R|SZ=}} verzweigt sind, träge sind oder zerfallen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primzahlen |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0nb89zj7gm1t6e16tjqtrur6m329xn6 0 15056 781258 755286 2022-08-21T21:25:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{math|term= \mathfrak p|SZ=}} und {{math|term= \mathfrak q|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 0|SZ=.}} Dann gibt es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Ringisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |R/\mathfrak p \cap \mathfrak q | R/{{idealp}} \times R/{{idealq}} || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j5hbm4dcwmzck3euye40oherfrcqmh8 0 15058 781257 755285 2022-08-21T21:24:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{math|term= \mathfrak p|SZ=}} und {{math|term= \mathfrak q|SZ=}} zwei verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mathfrak p \cap \mathfrak q || {{idealp}} \cdot {{idealq}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} flqjua10mp7688s8563abwqknht3fny 0 15059 784613 758128 2022-08-22T06:35:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= n|SZ=}} und {{math|term= k|SZ=}} teilerfremde Zahlen und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Z |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein kommutativer Ring. Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ringisomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | R/(n) |\cong| (R_k)/(n) || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} atxqp614uci2tawtf5lt2tqc2m85f4x 0 15060 784614 758129 2022-08-22T06:35:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= R|SZ= }} und {{math|term= A|SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Ringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= S \subseteq R|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |R|A || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass {{math|term= \varphi(s) |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= A|SZ= }} ist für alle {{mathl|term= s \in S |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{\varphi} |R_S|A || |SZ=, }} der {{math|term= \varphi|SZ= }} fortsetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} du1960h9erlh6319q2iyikrld7njezu 0 15061 785659 469348 2022-08-22T09:16:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= D|SZ=}} eine quadratfreie Zahl, sei {{mathl|term= R=\Z[\sqrt{D}]|SZ=}} und sei {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass für jede ungerade Primzahl {{math|term= p|SZ=}} ein Isomorphismus {{ math/disp|term= \Z[\sqrt{D}]/(p) \longrightarrow (A_D)/(p) |SZ= }} vorliegt. Zeige durch ein Beispiel, dass dies bei {{mathl|term= p=2|SZ=}} nicht sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lv75qzs54e16a1rswuixkta4s4md1yw 0 15062 779315 763410 2022-08-21T16:09:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann bilden alle von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenen Elemente in {{math|term= R|SZ= }} ein {{ Definitionslink |multiplikatives System| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Definition |SZ=, }} das mit {{ Ma:Vergleichskette | R^* || R \setminus \{0\} || || || |SZ= }} bezeichnet wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 73tlizaf6935wqyxr176tulmvcogpy6 0 15063 784466 758057 2022-08-22T06:15:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Nichtnullteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Definition |SZ= }} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o4yx5kri4upnsraf9imjtln25vnj16k 0 15092 782205 479518 2022-08-22T00:03:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Liste aller natürlichen Zahlen {{math|term= n|SZ=}} zwischen {{mathl|term= 100|SZ=}} und {{mathl|term= 200|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige {{math|term= n|SZ=-}}Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Konstruktion regelmäßiger n-Ecke |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b6mevtc8jj2uhkfgc3vgn66brt1itiz 0 15095 785317 758622 2022-08-22T08:20:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{ideala}}|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= {{ideala}}|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |R|K || |SZ= }} in einen {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Körper |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4mszw24cdhev0nhb3lg7zj69c7q6e11 0 15226 784676 758177 2022-08-22T06:43:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |normaler Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= a \in R|SZ=.}} Es sei vorausgesetzt, dass {{math|term= a|SZ=}} keine Quadratwurzel in {{math|term= R|SZ=}} besitzt. Zeige, dass das Polynom {{mathl|term= X^2-a|SZ=}} {{ Definitionslink |prim| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R[X]|SZ=}} ist. Tipp: Verwende{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q(R)|SZ=.}} Warnung: Prim muss hier nicht zu {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} äquivalent sein. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem normalen Integritätsbereich |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadrat |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ju96wegtehu5rhdya7igbpy4eyzjrg9 0 15227 782944 756688 2022-08-22T02:06:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn er mit seiner {{ Definitionslink |Normalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Integritätsbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fo22p679jyfs0q2e1t9cwm24j4kenau 0 15229 782474 756285 2022-08-22T00:47:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= k|SZ=}} eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring {{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||\Z[ k {{imaginäre Einheit|}} ] ||{{Mengebed|a+ck{{imaginäre Einheit|}} | a,c \in \Z }} |\subseteq| \Z[{{imaginäre Einheit|}}] || |SZ=. }} Zeige die Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette |R |\cong|\Z[X]/(X^2+k^2) || || || |SZ= }} und dass {{math|term= \Z[{{imaginäre Einheit|}}]|SZ=}} {{ Definitionslink |ganz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Gaußsche Zahlen |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bz13oc5jct32n90g05o7ehiyvw22vow 0 15254 782946 756690 2022-08-22T02:06:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sei angenommen, dass die {{ Definitionslink |Normalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normalisierung für Integritätsbereich/Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} gleich dem {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q(R)|SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= R|SZ=}} selbst schon ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Integritätsbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0r56v3k29ex8s9khede4w6exg1m142d 0 15255 782473 756284 2022-08-22T00:47:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass wenn {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, die Begriffe {{ Definitionslink |algebraisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Algebra/Algebraische Elemente/Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |ganz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Definition |Refname= {{{def5|}}} |SZ= }} für ein Element {{mathl|term= x \in A|SZ=}} übereinstimmen. Zeige{{n Sie}} ferner, dass für einen {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def6|}}} |SZ=, }} der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lrponq0f5rrgjdo4dppse712rq8accr 0 15307 782416 251235 2022-08-22T00:38:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R \subseteq S|SZ= }} eine [[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition|ganze Ringerweiterung]] und sei {{math|term= f \in R|SZ=. }} Zeige: Wenn {{math|term= f|SZ=, }} aufgefasst in {{math|term= S|SZ=, }} eine [[Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition|Einheit]] ist, dann ist {{math|term= f|SZ= }} eine Einheit in {{math|term= R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einheit |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c9boitwl9p5iho0jijw9n3164hklohv 0 15360 785038 662093 2022-08-22T07:38:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in|\Z[X] || || || |SZ= }} ein Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= F|SZ=}} als {{ Ma:Vergleichskette |F ||n \tilde{F} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} und primitivem {{math|term= \tilde{F}|SZ=}} schreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der primitiven Polynome über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} coitig60c0vaf54634t0z63nid0r8ye 0 15361 784651 758157 2022-08-22T06:40:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige: Ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |noethersch| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn es in {{math|term= R|SZ=}} keine unendliche echt aufsteigende Idealkette {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}}_1 |\subset | {{ideala|}}_2 |\subset | {{ideala|}}_3 |\subset | \ldots || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der noetherschen kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 27dizgv4uh2vvkkszv6ekl23l4jrf27 0 15847 778782 762701 2022-08-21T12:53:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheitsring/Quotientenkörper/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ist {{math|term= L|SZ=}} der Quotientenkörper des Ganzheitsrings {{math|term= R|SZ=.}} Ist {{ Ma:Vergleichskette |q |\in|Q(R) ||L || || |SZ= }} ganz über {{math|term= R|SZ=,}} so ist {{math|term= q|SZ=}} nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Ganzheit/Transitivität/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch ganz über {{math|term= \Z|SZ=}} und gehört selbst zu {{math|term= R|SZ=.}} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 240w9rfxjub6ejxgqfr0i9it2wi7qx7 0 15848 782417 756252 2022-08-22T00:38:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |normaler Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq|S || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |ganze Ringerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition |SZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ=. }} Zeige, dass für das von {{math|term= f|SZ=}} erzeugte {{ Definitionslink |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt: {{ Ma:Vergleichskette/disp | R \cap (f)S || (f)R || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der normalen Integritätsbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hauptideal |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 64au6lj41ndtrcau1nc6hqgshnwt9cg 0 15849 778765 663866 2022-08-21T12:51:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |m |\in| \Z \cap {{ideala|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |m |\neq|0 || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Ma:Vergleichskette |mR | \subseteq | {{ideala|}} || || || |SZ= }} und damit hat man eine surjektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | R/(m) | R/ {{ideala|}} || |SZ=. }} Der Ring links ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} endlich {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= m^n|SZ=}} Elementen| |ISZ=|ESZ=, }} also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1bjzouy9n6ov1g5y5mqjmi5g6653h63 0 15850 782418 756253 2022-08-22T00:38:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= f \in R|SZ=.}} Zeige, dass {{mathl|term= N(f) \in (f)|SZ=}} ist, dass also die Norm zum von {{math|term= f|SZ=}} erzeugten Hauptideal gehört. Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Norm |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} byebe9exxxsf87kahuk2677jyrp7nb5 0 15854 782500 756307 2022-08-22T00:52:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Gaußschen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} zwei wesentlich verschiedene {{math|term= \Z|SZ=-}}Basen von {{mathl|term= \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ]|SZ=}} an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Diskriminante |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gew8s2qyqv8u32r03rdecvpx35vel4q 0 15945 783981 757614 2022-08-22T04:59:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Definition |SZ=, }} sei {{mathl|term= f \in R|SZ=}} und sei {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= f \in {{ideala|}}|SZ=}} genau dann ist, wenn für alle {{ Definitionslink |Lokalisierungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung für Primideale in Integritätsbereichen/Definition |SZ= }} {{math|term= R_{ {{idealp|}} }|SZ=}} gilt, dass {{mathl|term= f \in {{ideala|}} R_{ {{idealp|}} }|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Idealzugehörigkeit |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 01b5czatv49k67cqurxziuea6ie7api 0 15990 782171 756046 2022-08-21T23:57:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |faktorieller Bereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jedes von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Primelement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ozd1393yddloxqk73wskao6hig2jz92 0 15992 782940 756683 2022-08-22T02:05:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |Prämath= |ganzen Ringerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R \subseteq S|SZ=,}} wo es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Nichtnullteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= f \in R|SZ=}} gibt, der ein Nullteiler in {{math|term= S|SZ=}} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}<noinclude> 4v19bvmlls8i8hrqx4hgdefxt9v1dlf 0 16023 784660 758163 2022-08-22T06:41:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |noetherscher| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R/{\mathfrak a}|SZ=}} noethersch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der noetherschen kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Restklassenring |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0eyum9s08b9715hxxx173zyc14zjg1j 0 16025 784135 757797 2022-08-22T05:25:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein vom Nullring verschiedener {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige unter Verwendung des {{ Definitionslink |Lemmas von Zorn| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Ordnungstheorie/Lemma von Zorn/Kurzübersicht/Textabschnitt |SZ=, }} dass es {{ Definitionslink |maximale Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der maximalen Ideale (kommutative Algebra) |Kategorie2=Existenztheorie für Primideale in kommutativen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Existenz |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s4xjh7le6g0chp0kf9a73qukzcqwb4d 0 16029 785632 758861 2022-08-22T09:11:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || \Z[\sqrt{-5}] || \Z \oplus \Z \sqrt{-5} || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |D ||-5 || || || |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} in {{math|term= R|SZ=}} die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 \cdot 3 || (1+\sqrt{-5} )(1-\sqrt{-5}) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die beteiligten Elemente {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |prim| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, und bestimme{{n Sie}} für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Hauptdivisoren| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu diesen Elementen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ixcy6qul09f8qf50u4se6e2r01lszx4 0 16115 785631 758859 2022-08-22T09:11:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A_D|SZ=}} mit negativem {{math|term= D|SZ=}} sämtliche {{ Definitionslink |Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition |Refname= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der imaginär-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Einheiten in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6e66znz4m9yybi6o15bk5x8pl3rqv0h 0 16127 778812 748230 2022-08-21T12:58:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereiche/Minimalpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=, }} aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche einfache Körpererweiterung/Norm und Spur im Minimalpolynom des Erzeugers/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ=, }} und aus der Gestalt des Minimalpolynoms {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich gleich {{mathl|term= f^2 -S(f)f +N(f) |SZ=,}} falls {{ Ma:Vergleichskette/k |f |\notin|\Q || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} im quadratischen Fall. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dek9y3utb39gwptvexhk67azmt62rvv 0 16155 785684 758897 2022-08-22T09:20:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A_D|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= \sqrt{D} |und von|term2= {{op:Bruch|1+ \sqrt{D}|2}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Norm von Elementen in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fc0tuc72h0eue7ltn7798d23plays0l 0 16180 783175 767433 2022-08-22T02:44:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | K || Q(R) || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | R || \bigcap_{i \in I} R_i || || || |SZ=, }} wobei die {{ Ma:Vergleichskette | R_i |\subseteq|K || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | i |\in| I || || || |SZ=, }} alle {{ Definitionslink |diskrete Bewertungsringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien. Zeige{{n Sie}}: {{math|term= R|SZ=}} ist {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Durchschnitt |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mawc5e63rtw103vv45pfdqu75muybgi 0 16186 785629 758857 2022-08-22T09:11:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= A_{10}=\Z[\sqrt{10}]|SZ=}} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= D=10|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} eine {{math|term= \Z|SZ=-}}Basis des Ideals {{mathl|term= (3+4 \sqrt{10})|SZ=}} und bestimme damit die {{ Definitionslink |Norm des Ideals| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratische Zahlbereiche/Norm eines Ideals/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(10)) |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aiawpi8j9xcddlfz44c7fb3oh4vmd2w 0 16187 785627 758855 2022-08-22T09:10:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= A_{-10}=\Z[\sqrt{-10}]|SZ=}} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition| |SZ= }} zu {{mathl|term= D=-10|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das Ideal {{mathl|term= (6+5 \sqrt{-10}, 3 - 2 \sqrt{10})|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hauptideal/Definition |SZ= }} ist und gebe einen Erzeuger an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -10 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4zxmetu3mnp1qfzuqyrr03h3mp1zcd4 0 16194 785729 758941 2022-08-22T09:27:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |D |\neq| 0,1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl, die in {{math|term= A_D|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |träge| |Kontext=Primzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Beweise{{n Sie}} die Äquivalenz folgender Aussagen. {{Aufzählung4 |{{math|term= p|SZ=}} besitzt eine Primfaktorzerlegung in {{math|term= A_D|SZ=.}} |{{math|term= p|SZ=}} ist nicht {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also zerlegbar| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= A_D|SZ=.}} |{{math|term= p|SZ=}} oder {{math|term= -p|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Definition |SZ= }} eines Elementes aus {{math|term= A_D|SZ=.}} |{{math|term= p|SZ=}} oder {{math|term= -p|SZ=}} ist die Norm eines {{ Definitionslink |Primelementes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{math|term= A_D|SZ=.}}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Norm von Elementen in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primfaktorzerlegung |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2z2y852johnf2qt2k6qhdvt17i47z8f 0 16195 785642 469406 2022-08-22T09:13:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} ein quadratfreies {{math|term= D|SZ=}} derart, dass die natürliche Inklusion {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z[\sqrt{D}] | \subseteq| A_D || || || |SZ= }} die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale {{math|term= \mathfrak q|SZ=}} und {{math|term= \mathfrak q'|SZ=}} in {{math|term= A_D|SZ=}} gibt, die beide über dem gleichen Primideal {{mathl|term= {\mathfrak p} \subset \Z[\sqrt{D}]|SZ=}} liegen. Was ist {{mathl|term= {\mathfrak p} \cap \Z|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5c7juvg56dqhxlbddj9nwdhe14xb1j5 0 16197 785630 758858 2022-08-22T09:11:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |A_7 || \Z[\sqrt{7}] || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |D ||7 || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{math|term= \Z|SZ=-}}Basis des {{ Definitionslink |Prämath= |Ideals| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= (3 + 2 \sqrt{7})|SZ=}} und bestimme{{n Sie}} damit die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Ideals. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(7)) |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pbede35bz2bs4ka57dfzqnimme1y89b 0 16203 785705 758917 2022-08-22T09:23:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition |SZ= }} {{mathl|term= A_6 \cong \Z[\sqrt{6}]|SZ=}} gilt {{ math/disp|term= 2\cdot 3 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} |SZ=. }} Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(6)) |Stichwort=Primfaktorzerlegung |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d0frqhj840xp9q7ip29bk7dofdkuczq 0 16205 785696 758907 2022-08-22T09:22:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition |SZ= }} {{mathl|term= A_{-6} \cong \Z[\sqrt{-6}]|SZ=}} gilt {{ math/disp|term= - 2\cdot 3 = \sqrt{-6} \cdot \sqrt{-6} |SZ=. }} Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(-6)) |Stichwort=Faktorzerlegung |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} orbmbx1isj1xmenuzkjoyjngcjwt1xf 0 16207 785625 469383 2022-08-22T09:10:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= D|SZ=}} quadratfrei und betrachte {{mathl|term= \Z[\sqrt{D}] \subseteq A_D|SZ=.}} Charakterisiere für die beiden Ringe, wann {{math|term= \sqrt{D}|SZ=}} prim ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primfaktorzerlegung |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kf1bwup3mwqbyn4yuk2cpj7b4j1q90x 0 16226 778755 638411 2022-08-21T12:49:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir haben zu zeigen, dass die hintereinandergeschalteten Abbildungen jeweils die Identität ergeben. Dies kann man mittels {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Divisoren und gebrochene Ideale/Beziehung zu effektiven Divisoren und Idealen/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} auf {{ Faktlink |Präwort=den|effektiven Fall|Faktseitenname= Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zurückführen. Die Zuordnung {{mathl|term= {{idealf|}} \mapsto \operatorname{div} ( {{idealf|}} ) |SZ=}} führt die Multiplikation von gebrochenen Idealen in die Addition von Divisoren über, da dies an jedem diskreten Bewertungsring {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} gilt. Wegen der Bijektivität liegt dann auch links eine Gruppe vor und die Abbildungen sind Gruppenisomorphismen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n72xby9fh2ntvtxmz9bqrgd8mxrlc5x 0 16236 785708 758920 2022-08-22T09:24:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} zu einem {{ Definitionslink |Divisor| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= D|SZ=}} den {{Anführung|konjugierten Divisor}} {{math|term= \overline{D}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für {{ Ma:Vergleichskette |q |\in| Q(R) || || || |SZ=, }} {{mathl|term= q \neq 0|SZ=,}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \overline{ {{op:Hauptdivisor| q |}} } || {{op:Hauptdivisor|\overline {q} |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie2=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 69t11b7fdjpxujdyyo8a7c7o74w1vwm 0 16237 785689 758903 2022-08-22T09:21:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= R =A_{-13}=\Z[\sqrt{-13}]|SZ=}} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= D=-13|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} zu {{ math/disp|term= q= \frac{2}{3} - \frac{5}{7} \sqrt{-13} |SZ= }} den zugehörigen {{ Definitionslink |Hauptdivisor| |Kontext=Zahlkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und stelle{{n Sie}} ihn als Differenz zweier {{ Definitionslink |Prämath= |effektiver Divisoren| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dar. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie2=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(-13)) |Stichwort=Hauptdivisor |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aj6n3jwzqvx6c60sjhh1otkklpuk8l5 0 16241 784603 758120 2022-08-22T06:33:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= S \subseteq R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} die {{Anführung|Nenneraufnahme}} {{ math/disp|term= M_S |SZ= }} und zeige{{n Sie}}, dass sie ein {{math|term= R_S|SZ=-}}Modul ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme für Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 02909gmllsjuhmgca3q29cdlmvbcw6y 0 16251 785624 486835 2022-08-22T09:10:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= D \leq -2|SZ=}} quadratfrei und betrachte {{mathl|term= R=\Z[\sqrt{D}]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von {{math|term= D|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |D || \sqrt{D} \sqrt{D} || || || |SZ= }} gegeben ist. Zeige{{n Sie}} damit, dass {{math|term= \sqrt{D}|SZ=}} irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls {{math|term= -D|SZ=}} keine Primzahl ist, dann auch {{math|term= \sqrt{D}|SZ=}} nicht prim in {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primfaktorzerlegung |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9nrul5nxts9ah9wtbvafx6avwr936ho 0 16252 785634 767445 2022-08-22T09:12:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | D |\neq| 1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | D || 1 \mod 4 || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} in {{mathl|term= \Z[\sqrt{D}] |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} derart, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} kein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Erweiterungen von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5pnf0cmfutxkdnzjigdrgbv47o6zhgp 0 16258 785635 758863 2022-08-22T09:12:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= R=A_{D}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f \in R|SZ=}} mit {{mathl|term= (f) \cap \Z =(N(f))|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} auf zwei verschiedene Arten, dass es {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Notation des Beweises von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }}| |SZ= }} eine {{math|term= \Z|SZ=-}}Basis des Ideals {{math|term= (f)|SZ=}} gibt mit {{mathl|term= \beta=1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fve0jcsvh4gwtv5v7flpxzs2901ye6m 0 16261 785683 758896 2022-08-22T09:20:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |A_{-5} || \Z[\sqrt{-5}] || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= D = -5|SZ=.}} Sei {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} ||(2,1+\sqrt{-5}) || || || |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} die Anzahl der Elemente im Restklassenring {{mathl|term= A_{-5}/{{ideala}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0n0y82t6wf9xh5i8gzqlzaayj47qhlg 0 16350 785722 758934 2022-08-22T09:26:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A_D|SZ=}} ein {{ Definitionslink |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein Ideal {{math|term= \neq 0|SZ=}} in {{math|term= A_D|SZ=.}} Zeige, dass das konjugierte Ideal {{math|term= \overline{ {{ideala|}} }|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Klassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das Inverse zu {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konjugiertes Ideal |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e8nsoz2gn87stnr4at2hsce168c94zs 0 16512 779718 763709 2022-08-21T17:12:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[\sqrt{-5}] || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |D ||-5 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \triangle || -20 || || || |SZ=. }} Jede Idealklasse enthält ein Ideal {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} der Norm {{ Ma:Vergleichskette/disp | N({{ideala}}) | \leq| \frac{2 \sqrt{20} }{\pi} || || || || |SZ=, }} so dass nur Ideale mit Norm {{math|term= 2|SZ=}} zu betrachten sind. Ein Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | N({{ideala|}}) || 2 || || || |SZ= }} ist ein Primideal {{math|term= {{idealp}}|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp}} \cap \Z || (2) || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp}} || (2,1+ \sqrt{-5}) || (2,1- \sqrt{-5}) || || |SZ= }} die einzige Möglichkeit. Nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} kein Hauptideal. Daher ist die {{ Definitionslink |Idealklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} isomorph zu {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=,}} wobei das Nullelement durch die Hauptdivisoren {{ Zusatz/Klammer |text=oder Hauptideale| |ISZ=|ESZ= }} repräsentiert wird und das andere Element durch {{math|term= {{idealp}}|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort=Klassengruppe |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e93rrnm58p6uxqjk5inajmonzui4jw4 0 16555 785740 480074 2022-08-22T09:29:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Aufgabenform}} {{ math/disp|term= {{op:Legendre-Symbol|1117|1861}} |SZ= }} und bestimme{{n Sie}}, ob {{math|term= 1117|SZ=}} ein Quadratrest modulo {{mathl|term= 1861|SZ=}} ist oder nicht {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= 1861|SZ=}} ist eine Primzahl| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=4 |Stichwort=1861 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r1s3ttzeoowrbv482wyxzpn9m6xgukp 0 16559 786287 479693 2022-08-22T11:00:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} ein primitives Element in {{mathl|term= {{op:Zmod|11|}} |SZ=}} und in {{mathl|term= {{op:Zmod|121|}} |SZ=.}} Man gebe ferner ein Element der Ordnung {{math|term= 10|SZ=}} und ein Element der Ordnung {{math|term= 11|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|121|}} |SZ=}} an. Gibt es Elemente der Ordnung {{math|term= 10|SZ=}} und der Ordnung {{math|term= 11|SZ=}} auch in {{mathl|term= {\mathbb F}_{121}|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2=Der Restklassenkörper Z mod 11 |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=5 |Stichwort=Primitiv |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ctyh8vuvzfgqa4f3elyrg1g8vckhmy 0 16562 782480 589075 2022-08-22T00:48:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe ein Polynom {{math|term= P \in {\mathbb Q}[X]|SZ=}} an, das nicht zu {{mathl|term= \Z[X]|SZ=}} gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl {{math|term= n|SZ=}} gilt: {{mathl|term= P(n) \in \Z|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzwertigen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=3 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i0fw5rc0zaoyrlu26g33lsdeyuss0h2 0 16568 785751 485326 2022-08-22T09:31:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= p|SZ=}} eine ungerade Primzahl. Begründe{{n Sie}} unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|p|}} |}} |SZ=}} zyklisch ist, dass {{mathl|term= -1|SZ=}} ein Quadratrest modulo {{mathl|term= p|SZ=}} genau dann ist, wenn {{mathl|term= p=1 \mod 4|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=3 |Stichwort=-1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fq5iut0q7yo6yvhptxg7t338p7d7jo7 0 16571 785106 479825 2022-08-22T07:48:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl, {{mathl|term= q=p^{e}|SZ=}} mit {{mathl|term= e \geq 1|SZ=}} und sei {{math|term= {\mathbb F}_q|SZ=}} der Körper mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen und {{mathl|term= R={\mathbb F}_q[X]|SZ=}} der Polynomring darüber. Zeige{{n Sie}}, dass jeder Restklassenring {{math|term= R/{\mathfrak a}|SZ=}} zu einem Ideal {{mathl|term= {\mathfrak a} \neq 0|SZ=}} endlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=3 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mgue117j8eyde6zx147dqj1y565bp81 0 16575 785699 666442 2022-08-22T09:22:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs {{math|term= A_{-7}|SZ=.}} Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7} || || || |SZ= }} auf und berechne damit die Spur und die Norm von {{math|term= f|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Norm von Elementen in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -7 |Punkte=4 |Stichwort=Diskriminante |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ipw985jea4ugnr4zwahh87azjygy6du 0 16578 785723 758935 2022-08-22T09:26:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= D \neq 0,1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zahl und sei {{math|term= A_D|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} die Konjugation zu einem Element {{mathl|term= f \in \Q[\sqrt{D}]|SZ=}} und zu einem Element {{mathl|term= f \in A_D|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} zu einem Ideal {{mathl|term= \mathfrak a \neq 0|SZ=}} das konjugierte Ideal {{math|term= \overline{\mathfrak a}|SZ=}} und zeige{{n Sie}}, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} und {{math|term= \overline{ {{ideala}} }|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Klassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} invers zueinander sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=4 |Stichwort=Konjugation und konjugiertes Idea |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nmgy1meank5an51uk3h8o6s9dzk70u0 0 16581 785701 758912 2022-08-22T09:23:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreie Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= D=1 \mod 4|SZ=,}} und sei {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für {{mathl|term= \frac{1 + \sqrt{D} }{2}|SZ=}} über {{math|term= \Z|SZ=}} an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe {{ Ma:Vergleichskette | \Z[\sqrt{D}] |\subset|R |\subset|A_D || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} an9fuk8tlzdvy3ufbk517pjnraez501 0 16582 785700 758911 2022-08-22T09:23:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= D \neq 1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreie Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= D=1 \mod 4|SZ=,}} und sei {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für {{mathl|term= \frac{1 - \sqrt{D} }{2}|SZ=}} über {{math|term= \Z|SZ=}} an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe {{mathl|term= \Z[\sqrt{D}] \subset R \subset A_D|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=4 |Stichwort=Ganzheitsgleichung und Zwischenring |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6drc4wa409di6pedfk4todejqmpcb3k 0 16624 785686 758899 2022-08-22T09:20:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= A_{-10} = \Z[\sqrt{-10}] \cong \Z[X]/(X^2+10)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= D=-10|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=Zahlkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ math/disp|term= q= \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \sqrt{-10} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -10 |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ck1dhngawh70fxxqrlfvrxb1mtds9h 0 16644 779716 751774 2022-08-21T17:12:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R ||A_{-19} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |D ||-19 || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette | A_{-19} || \Z[\frac{1+ \sqrt{-19} }{2}] || || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette | A_{-19} |\cong| \Z[Y]/(Y^2-Y+5) || || || || |SZ=. }} Wir wissen aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratische Zahlbereiche/Normeuklidisch/Numerische Charakterisierung für negatives D/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=, }} dass {{math|term= R|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |euklidisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Definition |SZ= }} ist. Dennoch ist {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Hauptidealbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Klassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist trivial. Hierfür benutzen wir {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |Refname= {{{ref3|Fakt}}} |SZ=, }} d.h. wir haben für alle Primzahlen {{ Ma:Vergleichskette |p |\leq|\frac{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{\pi} || || || |SZ= }} zu zeigen, dass sie eine Primfaktorzerlegung in {{math|term= R|SZ=}} besitzen. Diese Abschätzung wird nur von {{ Ma:Vergleichskette |p ||2 || || || |SZ= }} erfüllt. Für {{ Ma:Vergleichskette |p ||2 || || || |SZ= }} ist der Restklassenring {{ Ma:Vergleichskette/disp | R/(2) |\cong | {{op:Zmod|2|}} [Y]/(Y^2+Y+1) || || || |SZ= }} ein Körper, so dass {{math|term= 2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |träge| |Kontext=Primzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} ist und insbesondere eine Primfaktorzerlegung besitzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -19 |Stichwort=Klassengruppe |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g2e5cy68skxcmnk9inoeiitip3fdudn 0 16648 785694 758905 2022-08-22T09:22:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= R=A_{-43}|SZ=}} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= D=-43|SZ=.}} Zeige mittels {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=, }} dass {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -43 |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Faktoriell |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gp3996b1cm6w1d4mhzjm1ytiyvmmxq8 0 16686 785697 758909 2022-08-22T09:22:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= R=A_{-67}|SZ=}} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= D=-67|SZ=.}} Zeige mittels {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=, }} dass {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -67 |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Faktoriell |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ju57rb3prpvimeengiro74cm7jvg7u 0 16689 785690 758904 2022-08-22T09:21:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= R =A_{-15}=\Z[\frac{1+\sqrt{-15} }{2}]|SZ=}} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= D=-15|SZ=.}} Berechne zu {{ math/disp|term= q= \frac{3}{10} - \frac{5}{6} \sqrt{-15} |SZ= }} den zugehörigen {{ Definitionslink |Hauptdivisor| |Kontext=Zahlkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und stelle ihn als Differenz zweier {{ Definitionslink |Prämath= |effektiver Divisoren| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dar. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie2=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -15 |Stichwort=Hauptdivisor |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} akhb0eow013qimqkgl86w9rdy47b5mz 0 16693 785688 758902 2022-08-22T09:21:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= R =A_{-11}=\Z[\frac{1+\sqrt{-11} }{2}]|SZ=}} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= D=-11|SZ=.}} Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von {{ math/disp|term= 35 + \sqrt{-11} \mbox{ und }-89 + 21 \sqrt{-11} |SZ=. }} {{{tipp|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -11 |Stichwort= |Punkte=9 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxw5dty3uavwyf3mml4zxk8doee2vlj 0 16713 785698 758910 2022-08-22T09:22:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= R =A_{-7}=\Z[\frac{1+\sqrt{-7} }{2}]|SZ=}} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= D=-7|SZ=.}} Bestimme die Primfaktorzerlegung von {{ math/disp|term= 4 + 9 \sqrt{-7} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -7 |Stichwort=Primfaktorzerlegung |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} osb3gqswjuqpvtli4m37j9lcxuup8u9 0 16787 785702 758913 2022-08-22T09:23:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= R=A_{13}|SZ=}} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= D=13|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} mittels {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=, }} dass {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist 13 |Stichwort=Faktoriell |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 68sdqkwuuj4z1doxu38k1617fa4ej45 0 16792 785707 758919 2022-08-22T09:24:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= D|SZ=}} und {{math|term= E|SZ=}} zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien {{math|term= A_D|SZ=}} und {{math|term= A_E|SZ=}} die zugehörigen {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A_D \cap A_E || \Z || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Durchschnitt |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d3razaj8k47vfq00poqrwpqpuu6zifb 0 16809 782501 508069 2022-08-22T00:52:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{mathl|term= \Z[ {{Imaginäre Einheit}} ]|SZ=}} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von {{mathl|term= 23+2 {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} und {{mathl|term= 1+23 {{Imaginäre Einheit}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Kategorie2=Euklidischer Algorithmus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=4 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a7knnadambeqkqqd8a2targ09nazs86 0 16878 785719 758931 2022-08-22T09:26:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala}} | \neq| 0 || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es ein Element {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{ideala}} || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft gibt, dass für alle {{ Definitionslink |maximale Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealm}}|SZ=}} gilt: {{ math/disp|term= f \in {{idealm}} \text{ genau dann, wenn } {{ideala}} \subseteq {{idealm}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ry1sxq4gmxpx9ew5fqlq60o34oedev4 0 16894 785704 758916 2022-08-22T09:23:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} quadratfrei und sei {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Ferner sei {{math|term= D|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= 5|SZ=}} und {{mathl|term= D = 2,3 \mod 4|SZ=.}} Zeige: {{math|term= A_D|SZ=}} ist nicht {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxmqcm3s1zbdkitopz87osamrbkrhl7 0 16948 786226 566684 2022-08-22T10:50:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= K= {{op:Zmod|59|}} |SZ=}} der Körper mit {{math|term= 59|SZ=}} Elementen. a) Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der primitiven Elemente in {{math|term= K|SZ=.}} b) Berechne{{n Sie}} in {{math|term= K|SZ=}} die Zweierpotenzen {{math|term= 2^{4}|SZ=,}} {{math|term= 2^{8}|SZ=}} und {{math|term= 2^{16}|SZ=.}} c) Berechne{{n Sie}} {{math|term= 2^{29}|SZ=}} in {{math|term= K|SZ=.}} d) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für jede mögliche {{ Zusatz/Klammer |text=multiplikative| |ISZ=|ESZ= }} Ordnung in {{math|term= K^\times|SZ=}} ein Element an, das diese Ordnung besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 59 |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pn9e7tsl0jl879xl0boh62gypbejnc6 0 16950 785749 488436 2022-08-22T09:31:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Suche{{n Sie}} für die folgenden zusammengesetzten Zahlen {{math|term= n|SZ=}} eine zu {{math|term= n|SZ=}} teilerfremde Zahl {{math|term= a|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left(\frac{a}{n}\right)|SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} gilt. a) {{math|term= n = 49|SZ=.}} b) {{math|term= n = 75|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ldzw5hhq6ek6hwgfhw5l6d41w4uhbui 0 16952 785152 707068 2022-08-22T07:55:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Bestimme{{n Sie}} die Primfaktorzerlegung des Polynoms {{mathl|term= F=X^3+X+2|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} [X]|SZ=.}} b) Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ math/disp|term= K = \Z/(5)[T]/(T^2-2) |SZ= }} ein Körper mit {{math|term= 25|SZ=}} Elementen gegeben ist. c) Bestimme{{n Sie}}n die Primfaktorzerlegung von {{mathl|term= F=X^3+X+2|SZ=}} über {{mathl|term= K= {{op:Zmod|5|}} [T]/(T^2-2)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Faktorzerlegung in Polynomringen in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6and8haax9ou7wewmfh4ffal732lcrb 0 16954 783565 488654 2022-08-22T03:49:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachten Sie die algebraische Kurve über {{mathl|term= K=\Z/(11)|SZ=,}} die durch die affine Gleichung {{ math/disp|term= Y^2 +3Y+7= X^3+4X^2 +5X+2 |SZ= }} gegeben ist. a) Führen Sie eine affine Variablentransformation der Form {{ math/disp|term= X= r \overline{X}+ s \overline{Y} +t,\, \, Y= u \overline{X}+ v \overline{Y} +w |SZ= }} durch derart, dass die Kurve in den neuen Variablen {{mathl|term= \overline{X}, \overline{Y}|SZ=}} affine Standardgestalt besitzt. Geben sie diese affine Standardgestalt an. b) Entscheiden Sie, ob eine elliptische Kurve vorliegt oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=4 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qca3rp7q58kil0eqptndaaqsuhr0ubi 0 16983 785153 504517 2022-08-22T07:55:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|7|}} [X]|SZ=}} folgende Polynomdivision aus. {{ math/disp|term= X^4+5X^2+ 3 \, \text{ durch } \, 2X^2+X+6 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} od8wsi9guknkdr45g717jhim1gaog0s 0 16987 785748 488706 2022-08-22T09:31:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen {{math|term= n|SZ=}} eine zu {{math|term= n|SZ=}} teilerfremde Zahl {{math|term= a|SZ=}} derart, dass {{math|term= a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left( \frac{a}{n} \right)|SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} gilt. a) {{math|term= n= 125|SZ=.}} b) {{math|term= n= 63|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 14k4tpzj708uejx37pyrnl22f4b1fgi 0 16988 786288 514692 2022-08-22T11:01:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Bestimme{{n Sie}} die primitiven Elemente von {{mathl|term= {{op:Zmod|11|}} |SZ=.}} b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe {{mathl|term= ({{op:Zmod|10|}},+)|SZ=}} in die Einheitengruppe {{mathl|term= {{op:Einheiten(|{{op:Zmod|11|}}|}} |SZ=}} an. c) Bestimme{{n Sie}} für jede Einheit aus {{mathl|term= {{op:Zmod|11|}} |SZ=}} die Ordnung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 11 |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1j2txbjetfvm7fqy92m3tw3b90ub45z 0 16989 785309 488711 2022-08-22T08:18:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} explizit eine natürliche Zahl {{mathl|term= n \geq 100 000|SZ=}} an, die keinen Primteiler {{mathl|term= \leq 20|SZ=}} besitzt. b) Sei {{mathl|term= K= {{op:Zmod|3|}} |SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} explizit ein normiertes Polynom {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} vom Grad {{math|term= \geq 9|SZ=}} an, das keinen Primteiler vom Grad {{math|term= \leq 2|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cnyjipco6j76aawf1eeyvfq10x1if35 0 16992 783566 251531 2022-08-22T03:50:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachten Sie die algebraische Kurve über {{mathl|term= K=\Z/(5)|SZ=,}} die durch die Gleichung {{ math/disp|term= Y^2=X^3+2X+2 |SZ= }} in affiner Standard-Darstellung gegeben ist. a) Bestimmen Sie, ob die Kurve eine elliptische Kurve ist oder nicht. Bestimmen Sie gegebenenfalls alle singulären Punkte dieser affinen Kurve. b) Homogenisieren Sie die Gleichung und betrachten Sie auch unendlich ferne Punkte. Wie viele gibt es davon, und wie lauten die homogenen Koordinaten davon? Sind diese glatt oder singulär? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0dvesb30g6085dqrpkii4v9vzojvzd2 0 17086 779929 763829 2022-08-21T17:44:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachten wir die Frage, welche natürlichen Zahlen die Summe von zwei Quadratzahlen sind. Anders formuliert, für welche {{math|term= n|SZ=}} hat die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||x^2+y^2 || || || |SZ= }} Lösungen mit ganzen Zahlen {{math|term= x,y|SZ=?}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 ||0+0 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |1 ||1+0 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 ||1+1 || || || |SZ= }} {{ math/disp|term= 3 |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |4 ||4+0 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |5 ||4+1 || || || |SZ= }} {{ math/disp|term= 6 |SZ= }} {{ math/disp|term= 7 |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |8 ||4+4 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |9 ||9+0 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |10 ||9+1 || || || |SZ= }} {{ math/disp|term= 11 |SZ= }} {{ math/disp|term= 12 |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |13 ||9+4 || || || |SZ= }} {{ math/disp|term= 14 |SZ= }} {{ math/disp|term= 15 |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |16 ||16+0 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |17 ||16+1 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |18 ||9+9 || || || |SZ= }} {{ math/disp|term= 19 |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |20 ||16+4 || || || |SZ= }} Erkennt man hier schon eine Struktur? Es ist in der Zahlentheorie üblich, solche Fragen erstmal für {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu verstehen, und die Ergebnisse dann auf zusammengesetzte Zahlen zu übertragen. Von den Primzahlen {{math|term= \leq 20|SZ=}} sind {{mathl|term= 3,7,11,19|SZ=}} keine Summe von zwei Quadraten, während {{mathl|term= 2, 5,13|SZ=}} und {{math|term= 17|SZ=}} es sind. Es fällt auf, dass die erste Reihe alle den Rest {{math|term= 3|SZ=}} bei Division durch {{math|term= 4|SZ=}} haben, und die zweite Reihe (von {{math|term= 2|SZ=}} abgesehen) den Rest {{math|term= 1|SZ=.}} Hier zeigt sich bereits, dass es sinnvoll ist, zu anderen Ringen überzugehen, um Fragen über natürliche oder ganze Zahlen zu beantworten. Die Restabbildung zur {{Stichwort|Division mit Rest}} durch {{math|term= 4|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z| {{op:Zmod|4}} {{=|}} \{0,1,2,3\} |n| n \mod 4 |SZ=. }} Dabei ist in {{math|term= {{op:Zmod|4}}|SZ=}} die Addition und die Multiplikation modulo {{math|term= 4|SZ=}} erklärt, also etwa {{ Ma:Vergleichskette |3 \cdot 3 ||9 ||1 || || |SZ=. }} Die Abbildung respektiert also die Addition und die Multiplikation. Wenn nun die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||x^2+y^2 || || || |SZ= }} in {{math|term= \Z|SZ=}} eine Lösung besitzt, so liefert das sofort auch eine Lösung modulo {{math|term= 4|SZ=,}} nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||x^2+y^2 \mod 4 || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp | (n \mod 4 ) ||(x \mod 4)^2+ (y \mod 4)^2 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bar{n} || \bar{x} ^2+ \bar{y}^2 || || || |SZ=. }} Nun sind aber in {{mathl|term= {{op:Zmod|4|}}|SZ=}} die Quadrate einfach {{ Ma:Vergleichskette/disp |0^2 ||2^2 ||0 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |1^2 ||3^2 ||1 || || |SZ= }} und damit sind {{math|term= 0,1|SZ=}} und {{math|term= 2|SZ=}} Summen von zwei Quadraten in {{mathl|term= {{op:Zmod|4|}} |SZ=,}} aber nicht {{math|term= 3|SZ=.}} Es bestätigt sich also bereits die obige Beobachtung, dass natürliche Zahlen (nicht nur Primzahlen), die den Rest {{math|term= 3|SZ=}} modulo {{math|term= 4|SZ=}} haben, nicht die Summe von zwei Quadraten sein können. Für Primzahlen mit dem Rest {{math|term= 1|SZ=}} modulo {{math|term= 4|SZ=}} liefert die Betrachtung im Restklassenring {{mathl|term= {{op:Zmod|4|}}|SZ=}} natürlich nur, dass eine notwendige Bedingung erfüllt ist, woraus sich natürlich noch lange nicht auf eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten schließen lässt. Die Zahl {{math|term= 21|SZ=}} zeigt auch, dass eine Zahl, die modulo {{math|term= 4|SZ=}} den Rest {{math|term= 1|SZ=}} besitzt, nicht notwendig selbst die Summe von zwei Quadraten ist. Wir werden aber im Verlauf der Vorlesung sehen, dass es für Primzahlen mit dieser Restbedingung gilt. Dafür werden wir in einem weiteren Ring arbeiten, nämlich im {{Stichwort|Ring der Gaußschen Zahlen|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] ||\Z \oplus \Z {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einem Unterring der komplexen Zahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Dort können wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||x^2+y^2 ||(x+ {{imaginäre Einheit|}} y)(x- {{imaginäre Einheit|}} y) || || |SZ= }} schreiben, wodurch die Frage, ob eine Zahl Summe von zwei Quadraten ist, mit der Frage der multiplikativen Zerlegung von natürlichen Zahlen in diesem neuen Ring in Zusammenhang gebracht wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r77zciraywqpvlfgb2ekai2qytswp57 0 17186 785742 479704 2022-08-22T09:30:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol {{ math/disp|term= {{op:Legendre-Symbol|563|1231}} |SZ=. }} Bemerkung: {{math|term= 563}} und {{math|term= 1231}} sind Primzahlen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=4 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} atasrwy8ac3c4jb8uv2po37xzedb4pg 0 17190 786261 566689 2022-08-22T10:56:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt {{mathl|term= {{op:Zmod|31|}} |SZ=?}} Wie viele Elemente besitzt {{mathl|term= {{op:Zmod|31|}} |SZ=,}} die weder primitiv noch ein Quadrat sind? Sei {{math|term= x|SZ=}} ein primitives Element von {{mathl|term= {{op:Zmod|31|}} |SZ=.}} Liste{{n Sie}} explizit alle Elemente {{math|term= x^{i}|SZ=}} auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33t0e0gxrwtsgk2c5eq2eg6tlzfnpj9 0 17195 785311 422141 2022-08-22T08:19:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe zwei Primfaktoren von {{mathl|term= 2^{35} -1|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primfaktorzerlegung (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i90xher348zrt3qcuduckzf3bgas5f3 0 17198 785633 666645 2022-08-22T09:11:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} ein Element aus {{mathl|term= \Z [\sqrt{-11}]|SZ=,}} das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe{{n Sie}}, dass dieses Element irreduzibel ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Erweiterungen von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(-11)) |Punkte=3 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a3tlxeiz617rwzmvnczhdag2z7xlmu6 0 17202 785752 477101 2022-08-22T09:31:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert {{math|term= 1|SZ=}} hat, aber kein Quadratrest vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rtv1n6u9r8ekc9xscpkvm8phzqs5ber 0 17205 784616 604821 2022-08-22T06:35:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= \Z_n|SZ=}} die Nenneraufnahme zu {{math|term= n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= \Z_n|SZ=}} besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von {{math|term= n|SZ=}} als Nenner schreiben kann| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es nur endlich viele Unterringe {{math|term= R|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Z |\subseteq| R |\subseteq| \Z_n || || |SZ= }} gibt, und charakterisiere{{n Sie}} diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von {{math|term= n|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unterringe der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oup7mfzuhz3bacpumzddtblpr422xn7 0 17210 786274 475757 2022-08-22T10:58:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen {{math|term= p|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass {{math|term= 7|SZ=}} ein Quadratrest modulo {{math|term= p|SZ=}} ist. Gibt es unendlich viele solche Primzahlen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ppj5hdov5jdng3g0eb4ld1uu4fvzp0l 0 17213 785764 479708 2022-08-22T09:33:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde die kleinste Zahl {{math|term= n \geq 100|SZ=}} derart, dass zugleich das reguläre {{math|term= n|SZ=-}}Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass {{math|term= n|SZ=}} eine Summe von zwei Quadraten ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fermatschen Primzahlen |Kategorie2=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 42gtq5nmysw8hd6jpj3u0vcgqo3str2 0 17224 782415 756251 2022-08-22T00:38:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= R|SZ=}} und {{math|term= S|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq|S || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |ganze Ringerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ= }} ein Element, das in {{math|term= S|SZ=}} eine Einheit ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} dann schon in {{math|term= R|SZ=}} eine Einheit ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einheit |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8avh2sqe7msgtv8s3hskm38ebx66mqf 0 17474 779311 595467 2022-08-21T16:08:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= n}} eine natürliche Zahl und {{ Ma:Vergleichskette |M ||\N^n || || || |SZ= }} das {{math|term= n}}-fache direkte Produkt der natürlichen Zahlen. Ein Element {{mathl|term= k \in \N^n}} ist also ein {{math|term= n|SZ=-}}Tupel {{mathl|term= (k_1, \ldots , k_n)}} mit {{mathl|term= k_i \in \N|SZ=.}} Dies kann man auch als {{ Ma:Vergleichskette/disp | (k_1, \ldots , k_n) || k_1(1,0,0, \ldots , 0) + k_2(0, 1,0, \ldots , 0) + \ldots + k_n(0,0,0, \ldots , 1) || || || |SZ= }} schreiben. Damit lässt sich das zugehörige Monom {{math|term= X^k}} eindeutig als {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^k ||X_1^{k_1} X_2^{k_2} \cdots X_n^{k_n} || || || |SZ= }} schreiben, wobei wir {{ Ma:Vergleichskette | X_i || X^{e_i} || X^{(0 {{kommadots|}} 0,1, 0, \ldots ,0) } || || |SZ= }} für das Monom zum {{math|term= i|SZ=-}}ten Basiselement geschrieben haben. Das bedeutet aber, dass der Monoidring zum Monoid {{math|term= \N^n}} über {{math|term= R}} genau der Polynomring in {{math|term= n}} Variablen ist. Insbesondere ist {{ Ma:Vergleichskette | R[\N] || R[X] || || || |SZ=. }} Der Monoidring zum trivialen Monoid {{mathl|term= \{0\}|SZ=}} ist der Grundring selbst. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Polynomring als Monoidring |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m8051z18xbc06ahmlmx6bbsyqj1bw24 0 17476 779309 763404 2022-08-21T16:08:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= n}} eine natürliche Zahl und {{mathl|term= M=\Z^n}} das {{math|term= n}}-fache direkte Produkt der ganzen Zahlen. {{math|term= M}} ist also die {{ Definitionslink |Prämath= |freie kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Rang {{math|term= n}}. Jedes Element {{mathl|term= k \in \Z^n}} ist ein {{math|term= n}}-Tupel {{mathl|term= (k_1 {{kommadots|}} k_n)}} mit {{mathl|term= k_i \in \Z|SZ=.}} Dies kann man auch als {{ Ma:Vergleichskette/disp | (k_1, \ldots , k_n) || k_1(1,0,0, \ldots , 0) + k_2(0, 1,0, \ldots , 0) + \ldots + k_n(0,0,0, \ldots , 1) || || || |SZ= }} schreiben und das zugehörige Monom {{math|term= X^k}} kann man eindeutig als {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^k || X_1^{k_1} X_2^{k_2} \cdots X_n^{k_n} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= k_i \in \Z|SZ=}} schreiben, wobei wir wieder {{ Ma:Vergleichskette | X_i || X^{e_i} || || || |SZ= }} geschrieben haben. Für diesen Monoidring schreibt man auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | R[M] || R[X_1 {{kommadots|}} X_n,X_1^{-1} {{kommadots|}} X_n^{-1}] || || || |SZ=, }} und dieser ist isomorph zur Nenneraufnahme des Polynomringes am Produkt der Variablen, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |R[M] ||R[X_1 {{kommadots|}} X_n,X_1^{-1} {{kommadots|}} X_n^{-1} ] ||R[X_1 {{kommadots|}} X_n]_{X_1 \cdots X_n} |SZ=, }} Diesen Ring nennt man auch den {{Definitionswort/enp|Laurent{{Namestrich}}Ring}} in {{math|term= n}} Variablen über {{math|term= R|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Laurentring als Monoidring |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l1lgckj15k4uiz3ak8n3ivr4mlpnm7r 0 17477 779308 763402 2022-08-21T16:07:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} in dem es zwei verschiedene Elemente {{math|term= m|SZ=}} und {{math|term= n|SZ=}} gebe mit {{ Ma:Vergleichskette | m+n || n+n || || || |SZ=. }} Daraus folgt ohne die {{ Definitionslink |Prämath= |Kürzungsregel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eben nicht {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ=. }} Im {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem beliebigen Integritätsbereich {{math|term= R}} ist {{mathkon|X^m-X^n \neq 0|und|X^n \neq 0|SZ=,}} aber {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| X^m-X^n |}} X^n ||X^{m+n} - X^{n+n} || X^{2n} - X^{2n} || 0 || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1repbkmvsz83rk429c83lsfwryuh7k8 0 17539 780061 772649 2022-08-21T18:04:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Lemniscate Building|gif| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Lemniscate_Building |Autor= |Benutzer=Zorgit |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= S }} eine feste Stange {{ Zusatz/Klammer |text=man denke an ein mechanisches Maschinenteil| |ISZ=|ESZ= }} mit zwei fixierten Punkten {{mathl|term= P_1,P_2\in S}} {{ Zusatz/Klammer |text=man denke an Gelenke| |ISZ=|ESZ=. }} Diese Stange kann sich in der Ebene (dem {{math|term= \R^2}}) bewegen, wobei die beiden Punkte sich jeweils in zwei bestimmten Bahnen {{ mathkor|term1= B_1 |und|term2= B_2 |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=man denke an Schienen| |ISZ=|ESZ= }} befinden müssen. Die Bahnen können dabei recht einfach gegeben sein, etwa durch Geraden oder durch Kreise. Bei einer Dampfmaschine hat man ein drehbares Rad und eine gerade Schiene, die durch eine Stange gekoppelt sind. Wie beschreibt man den zugehörigen Bewegungsprozess? Was sind die erlaubten {{Stichwort|Konfigurationen des Systems|msw=Konfiguration des Systems|SZ=?}} Da eine solche Konfiguration durch die Lage der beiden Punkte bestimmt ist, und diese jeweils durch zwei Koordinaten der Ebene gegeben sind, handelt es sich insgesamt um eine vierdimensionale Situation. Wenn man einen Punkt {{math|term= P }} der Stange fixiert {{ Zusatz/Klammer |text=farblich markiert| |ISZ=|ESZ=, }} wie sieht die {{Stichwort|Bewegungsbahn}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Trajektorie}}| |ISZ=|ESZ= }} dieses Punktes in der Ebene aus? Für die Extremfälle {{ Ma:Vergleichskette | P || P_1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | P || P_2 || || || |SZ= }} sind die Bewegungsbahnen Teilmengen {{ Zusatz/Klammer |text=in der Regel echte| |ISZ=!|ESZ= }} von {{math|term= B_1 }} und {{math|term= B_2 |SZ=.}} Für Punkte dazwischen erwartet man eine {{Stichwort|stetige Deformation}} der einen Bahn in die andere. {{inputsituation |Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Bemerkung|}} {{inputbemerkung |Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Mitbewegte Ebene/Bemerkung|}} Das gesamte mechanische (Stangen-)System wird also durch vier Variablen mit drei Gleichungen beschrieben. Die sichtbare Wirkungsweise, nämlich der Bewegungsablauf eines fixierten Punktes {{math|term= P }} auf {{math|term= S |SZ=,}} liefert aber eine Trajektorie in der affinen Ebene. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bfud2erq2955gpewk1192e0eiv5ioha 0 17540 779477 526422 2022-08-21T16:34:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= L_1 |und|term2= L_2 |SZ= }} zwei Geraden in der reellen Ebene {{math|term= \R^2}} und sei {{math|term= S}} eine bewegliche Gerade (eine Stange) mit zwei Punkten {{math|term= P_1,P_2}}, die voneinander den Abstand {{math|term= d}} haben. Erlaubte Konfigurationen des Systems sind diejenigen Lagen von {{math|term= S|SZ=,}} für die gleichzeitig {{ mathkor|term1= P_1 \in L_1 |und|term2= P_2 \in L_2 |SZ= }} gelten. Die Geraden seien durch {{mathl|term= L_1=\{(x,y){{!}}\, a_1x+b_1y=c_1\} }} und {{mathl|term= L_2=\{ (x,y){{!}}\, a_2x+b_2y=c_2\} }} festgelegt. Die erlaubten Konfigurationen werden dann gemäß {{ Bemerkungslink |Präwort=der|Situationsbeschreibung|Bemerkungsseitenname= Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch die drei Bedingungen festgelegt: {{ Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette | a_1x_1+b_1y_1 || c_1 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette | a_2x_2 +b_2y_2 || c_2 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette | (x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2 || d^2 || || || |SZ=. }} }} Die Lösungsmenge der beiden linearen Gleichungen sind {{ Zusatz/Klammer |text=einzeln betrachtet| |ISZ=|ESZ= }} dreidimensionale Unterräume. Die Lösungsmenge der dritten Gleichung kann man als das Produkt eines Kreises {{ Zusatz/Klammer |text=in den Variablen {{mathlk|term=x_2-x_1}} und {{mathlk|term=y_2-y_1}}| |ISZ=|ESZ= }} mit einer affinen Ebene auffassen. Das ist eine Art von Zylinder, wobei allerdings die Fasern zweidimensional sind. Wie kann man die gemeinsame Nullstellenmenge beschreiben, und wie sieht die Trajektorie des mechanischen Systems aus, die ein Punkt {{mathl|term= P \in S}} erzeugt? Durch eine Variablentransformation kann man annehmen, dass die erste Gerade die {{math|term= x|SZ=-}}Achse ist, also durch die Gleichung {{mathl|term= y=0}} definiert ist, und die andere durch {{mathl|term= ax+by=c|SZ=.}} Das liefert für das System die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette |y_1 || 0 || || || |SZ=, }} und das bedeutet, dass man die Variable {{math|term= y_1}} eliminieren kann. Man gelangt dann zu einem System mit den drei Variablen {{mathl|term= x_1,x_2,y_2}} und den zwei Bedingungen {{ Aufzählung2 |{{ Ma:Vergleichskette | (x_2-x_1)^2 +y_2^2 || d^2 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette | ax_2+by_2 || c || || || |SZ=. }} }} Parallele Geraden {{ inputbild |Parallelle lijnen|png | 200px {{!}} {{!}} |epsname=Parallelle lijnen |Autor= |Benutzer=Ellywa |Domäne=nl.wikipedia.org |Lizenz=GFDL |Bemerkung= }} Wenn die zweite Gerade parallel zur ersten ist, so ist {{mathl|term= a=0}} und man kann die zweite Gleichung nach {{math|term= y_2}} auflösen und erhält {{ Ma:Vergleichskette | y_2 || \frac{c}{b} || e || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=b \neq 0|SZ=,}} sonst liegt keine Gerade vor| |ISZ=|ESZ=. }} Die Zahl {{math|term= e|SZ=}} ist der Abstand der parallelen Geraden. Man kann nun auch {{math|term= y_2}} eliminieren, und übrig bleibt die einzige Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | (x_2-x_1)^2 +e^2 || d^2 || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x_2-x_1)^2 || d^2-e^2 || (d-e)(d+e) || || |SZ=. }} Bei {{mathl|term= e > d}} gibt es hierfür keine Lösung {{ Zusatz/Klammer |text=der konstante Abstand der parallelen Geraden ist größer als der Koppelungsabstand auf der Stange| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{mathl|term= e = d}} ergibt sich die Bedingung {{mathl|term= x_1=x_2 |SZ=.}} Dies entspricht der Situation, wo der Parallelabstand der Geraden gleich dem Koppelungsabstand ist. Dann sind die einzigen erlaubten Konfigurationen diejenigen, wo die Stange senkrecht zu den beiden Geraden ist. Die Lösungsmenge ist also eine Gerade. Für jeden Punkt auf der Stange ist die Trajektorie einfach eine weitere parallele Gerade. Sei nun {{mathl|term= e < d|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_2-x_1 || \pm \sqrt{(d-e)(d+e)} || || || |SZ=. }} Die Lösungsmenge besteht aus zwei disjunkten Geraden. Dies entspricht den beiden unterschiedlichen Einhängungen, die nicht ineinander überführt werden können. Das mechanische System besteht also aus zwei Zusammenhangskomponenten. Für einen Punkt auf der Stange ergibt sich aber bei beiden Einhängungen die gleiche Trajektorie, nämlich eine parallele Gerade, die in gewissem Sinne doppelt durchlaufen wird. Hier besteht also die Lösungsmenge des vollen mechanischen Systems aus zwei {{ Zusatz/Klammer |text=parallelen| |ISZ=|ESZ= }} affinen Geraden im vierdimensionalen affinen Raum, deren Trajektorien zu einem fixierten Punkt aber nur eine Gerade ist. Nicht parallele Geraden Wir betrachten nun den Fall, wo die beiden Geraden nicht parallel sind. Dann treffen sie sich und die Lösungsmenge kann nicht leer sein. Wir können durch eine weitere lineare Transformation annehmen, dass der Schnittpunkt gleich dem Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)}} ist. Die zweite Gleichung wird dann durch {{mathl|term= x_2=ey_2}} beschrieben. Damit kann man {{math|term= x_2}} eliminieren und erhält in den beiden Variablen {{mathl|term= x_1,y_2}} die einzige Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | (ey_2 - x_1)^2 + y_2^2 || d^2 || || || |SZ=. }} Der Konfigurationsraum des mechanischen Systems spielt sich also in einer {{ Zusatz/Klammer |text=durch {{mathlk|term=y_1=0}} und {{mathlk|term= x_2=ey_2}} definierten| |ISZ=|ESZ= }} Ebene ab und wird durch eine Quadrik beschrieben. Betrachtet man {{mathl|term= ey_2-x_1}} als eine neue Variable, so sieht man, dass es sich um eine Ellipse {{ Zusatz/Klammer |text=in den Koordinaten {{mathlk|term=x_1,y_2|SZ=;}} in den Koordinaten {{mathlk|term=ey_2-x_1,y_2}} ist es ein Kreis| |ISZ=|ESZ= }} handelt. {{ inputbild |Ellipse tri|png| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Ellipse_tri |Autor= |Benutzer=דוד שי |Domäne=he.wikipedia.org |Lizenz=GFDL |Bemerkung= }} Wie sehen die Trajektorien aus? Sei {{math|term= P}} derjenige Punkt auf der Stange, der durch {{mathl|term= P_1+{{{elet|t}}}(P_2-P_1)}} gegeben ist. Nach {{ Faktlink |Präwort=der|Situationsbeschreibung|Faktseitenname= Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} hat der Punkt {{math|term= P}} die Koordinaten {{ math/disp|term= ( (1-{{{elet|t}}}) x_1+{{{elet|t}}} ey_2,{{{elet|t}}} y_2 ) |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette | (ey_2 - x_1)^2 + y_2^2 || d^2 || || || |SZ= }} sein muss. In den Extremfällen {{ mathkor|term1= {{{elet|t}}}=0 |und|term2= {{{elet|t}}}=1 |SZ= }} ergeben sich {{mathl|term= (x_1,0)}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= x_1}} beliebig| |ISZ=|ESZ= }} bzw. {{mathl|term= ( ey_2, y_2)}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= y_2}} beliebig| |ISZ=|ESZ= }} als Lösungsmenge. Hierbei muss nach wie vor {{mathl|term= (ey_2 - x_1)^2 + y_2^2 =d^2}} erfüllt sein, d.h. es muss zu gegebenem {{math|term= x_1}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= y_2}}| |ISZ=|ESZ= }} eine Lösung der Gleichung in der anderen Variablen geben. Die gibt es, wenn {{math|term= x_1}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= y_2}}| |ISZ=|ESZ= }} hinreichend klein ist. Insgesamt ergeben sich also gewisse Strecken auf den Ausgangsgeraden. Die Punkte {{math|term= P_1}} und {{math|term= P_2}} müssen ja auf ihren Bahnen bleiben, und können sich von der anderen Geraden nicht beliebig weit entfernen. Sei also {{mathl|term= {{{elet|t}}}\neq 0, 1|SZ=.}} Aus dem Ansatz {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x,y) || ( (1-{{{elet|t}}})x_1+{{{elet|t}}}ey_2,{{{elet|t}}}y_2 ) || || || |SZ= }} folgt {{mathl|term= y_2= \frac{y}{{{{elet|t}}}} }} und {{mathl|term= x_1= \frac{ x- {{{elet|t}}} ey_2}{1-{{{elet|t}}}}= \frac{x- ey}{1-{{{elet|t}}}} }} {{ Zusatz/Klammer |text=das Urbild ist also eindeutig festgelegt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Gleichung wird dann zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \frac{ey}{{{{elet|t}}}}- \frac{x - ey}{1-{{{elet|t}}}} |}}^2+ \frac{y^2}{{{{elet|t}}}^2} || d^2 || || || |SZ=, }} was wieder die Gleichung einer Ellipse ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der mechanischen ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Geraden |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s1q6z2mfcynk5fnzetw5imv9mjn3vht 0 17541 780051 772559 2022-08-21T18:03:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= B_1 |und|term2= B_2 |SZ= }} zwei ebene algebraische Kurven, die durch die Gleichungen {{ mathkor|term1= F_1=0 |und|term2= F_2=0 |SZ= }} beschrieben werden, {{mathl|term=F_1,F_2 \in K[X,Y]|SZ=.}} Sei {{math|term=S}} eine {{Anführung|bewegliche Gerade}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine Stange| |ISZ=|ESZ= }} mit zwei Punkten {{ mathbed|term= P_1,P_2 \in S ||bedterm1= P_1 \neq P_2 ||bedterm2= |SZ=, }} die voneinander den Abstand {{math|term=d}} haben. Das {{Stichwort|mechanische System|msw=Mechanisches System|SZ=,}} das durch alle Lagen von {{math|term=S}} in der Ebene gegeben ist, bei denen gleichzeitig {{ mathkor|term1= P_1 \in B_1 |und|term2= P_2 \in B_2 |SZ= }} ist, wird folgendermaßen beschrieben. Eine Lage der Stange in der Ebene ist eindeutig bestimmt, wenn für die beiden Punkte die Lage festgelegt ist {{ Zusatz/Klammer |text=dies berücksichtigt noch nicht die Abstandsbedingung| |ISZ=|ESZ=, }} also durch vier Variablen {{mathl|term=(P_1,P_2)=(x_1,y_1,x_2,y_2)|SZ=.}} Eine {{Stichwort|erlaubte Konfiguration}} muss dann die folgenden drei algebraischen Bedingungen erfüllen. {{Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette | F_1(x_1,y_1) || 0 || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette | F_2(x_2,y_2) || 0 || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette |(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 || d^2 || || || |SZ= }}{{ Zusatz/Klammer |text=Abstandsbedingung| |ISZ=|ESZ= }} |SZ=.}} Es handelt sich somit um drei algebraische Gleichungen in vier Variablen, als Lösungsmenge erwartet man also eine Kurve im {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|4|K}} |SZ=.}} Ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| S || || || |SZ= }} wird durch den Abstand zu {{math|term=P_1}} bzw. {{math|term=P_2}} beschrieben. Da sich diese Punkte im mechanischen System bewegen, setzen wir die Koordinaten für den {{Stichwort|mitbewegten Punkt|msw=Mitbewegter Punkt}} {{math|term=P}} als {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || P_1+u(P_2-P_1) || || || |SZ= }} an {{ Zusatz/Klammer |text=der Abstand von {{math|term=P |SZ=}} zu {{math|term=P_1 |SZ=}} ist also {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm| u (P_2-P_1 )|}} || {{op:Betrag|ud||}} || || || |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} und schreiben seine Koordinaten als {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x,y) || (x_1,y_1)+ u(x_2-x_1,y_2-y_1) || (ux_2+(1-u)x_1, uy_2+(1-u)y_1) || || |SZ= }} Man kann dann das gesamte mechanische System {{ Zusatz/Klammer |text=durch eine lineare Transformation| |ISZ=|ESZ= }} in den vier Variablen {{mathl|term=x_1,y_1,x,y}} ausdrücken, indem man bei {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=u \neq 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= x_2 = \frac{x-(1-u)x_1}{u} \text{ und } y_2 = \frac{y-(1-u)y_1}{u}|SZ= }} in den Gleichungen ersetzt. In den neuen Variablen erhält man die drei Gleichungen {{Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette | F_1(x_1,y_1) || 0 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette | F_2 {{makl| \frac{x-(1-u)x_1}{u} , \frac{y-(1-u)y_1}{u} |}} || 0 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | (x-x_1)^2 +(y-y_1)^2 || u^2d^2 || || || |SZ=. }} }} Die zu {{math|term=P}} gehörende Trajektorie kann man grundsätzlich dadurch erhalten, dass man aus diesem Gleichungssystem die Variablen {{math|term=x_1}} und {{math|term=y_1}} {{Anführung|eliminiert}}, was eine algebraische Gleichung für {{math|term=x|SZ= }} und {{math|term=y|SZ= }} ergibt. Dies ist allerdings leichter gesagt als getan, häufig ist es sinnvoller, durch geschickte Manipulationen das Gleichungssystem zu vereinfachen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Mechanisches Stangensystem |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0dy2axgq3g0i6nhf30ji6bkrbiohjai 0 17554 779476 524343 2022-08-21T16:34:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Dioklova kisoida|png|right{{!}}thumb{{!}} |epsname=Dioklova_kisoida |Text=Zissoide des Diokles }} Die Zissoide des Diokles {{math|term= C}} ist durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y^2(1-X) || X^3 || || || |SZ= }} gegeben. Sie hat für reelles {{math|term= x < 0}} keine reelle Lösung, da dann die rechte Seite negativ ist und keine Quadratwurzel besitzt. Sie hat auch für reelles {{math|term= x \geq 1}} keine reelle Lösung, da dann die rechte Seite positiv, aber der Koeffizient {{math|term= 1-x \leq 0}} ist, so dass es wieder keine reelle Lösung gibt. Für {{math|term= x=0}} ist {{math|term= y=0}} die einzige Lösung, und für {{math|term= x}}, {{math|term= 0 < x < 1}} gibt es genau zwei Lösungen in {{math|term= y}}, die beide reelle sind. Wir betrachten nun die Zissoide zusammen mit der durch {{math|term= x=1}} definierten Geraden {{math|term= G}} (im Bild grau) und das zugehörige mechanische Koppelungssystem mit Koppelungsabstand {{math|term= d}}. Die Kurven {{math|term= C}} und {{math|term= G}} sind also die beiden Bahnen des mechanischen Stangensystems. Zu jeder reellen Zahlen {{math|term= b \geq 0}} gibt es stets Punkte {{math|term= Q_1,Q_2}} mit {{math|term= Q_1 \in C}}, {{math|term= Q_2 \in G}}, mit {{math|term= d(Q_1,0), d(Q_2,0) \geq b}} und {{math|term= d(Q_1,Q_2)=d}}. Daher gibt es unbeschränkte Trajektorien. Die Gerade selbst ist eine unbeschränkte (Koppelungspunkt-)Trajektorie für einen Koppelungsabstand {{math|term= \geq 1}} ({{math|term= 1}} ist nicht die exakte Grenze; für kleinen Koppelungsabstand ist ein beschränkter Ausschnitt um {{math|term= (1,0)}} nicht der Teil der Trajektorie) und die Zissoide ist eine (Koppelungspunkt-)Trajektorie, wenn der Koppelungsabstand {{math|term= \geq 1}} ist (andernfalls ist ein beschränkter Teilbereich um den Nullpunkt nicht Teil der Trajektorie). |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der mechanischen ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Zissoide |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j098htynv6h4yi3yskrpcnsthqbl57u 10 18012 778899 778111 2022-08-21T15:03:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{#switch: {{SUBPAGENAME}} |Referenzabgleich=<nowiki> |Aufgabe||</nowiki> [[{{{1}}}]] <nowiki> | </nowiki> |latex=<br /><br /><br />{{#ifexist:{{{1|}}}/Lösung|\inputaufgabegibtloesung|\inputaufgabe}}<br 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2022-08-21T15:05:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden {{mathl|term= {{op:Affine Gerade|K|}} }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} lässt sich einfach beschreiben. Als {{ Zusatz/Klammer |text=Zariski| |ISZ=|ESZ=- }}abgeschlossene Teilmenge haben wir zunächst einmal die gesamte affine Gerade, die durch {{mathl|term= V(0) }} beschrieben wird. Alle anderen abgeschlossenen Teilmengen werden durch {{mathl|term= V({{ideala}}) }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} beschrieben. Da {{mathl|term= K[X] }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptidealbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, kann man sogar {{ mathbed|term= {{ideala|}} =(f) ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ansetzen. Die zugehörige Nullstellenmenge besteht also aus endlich vielen Punkten. Andererseits ist jeder einzelne Punkt {{math|term= P}} mit der Koordinate {{math|term= a}} die einzige Nullstelle des linearen Polynoms {{mathl|term= X-a |SZ=,}} also ist {{ Ma:Vergleichskette | \{P\} || V(X-a) || || || |SZ= }} Zariski-abgeschlossen. Eine endliche Ansammlung von Punkten {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_k }} mit den Koordinaten {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k }} ist die Nullstellenmenge des Polynoms {{mathl|term= (X-a_1) \cdots (X-a_k) |SZ=.}} Die Zariski-abgeschlossenen Mengen der affinen Geraden bestehen also aus allen endlichen Teilmengen {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der leeren| |ISZ=|ESZ= }} und der gesamten Menge. |Textart=Beispiel |Kategorie=Zariski-Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Affine Gerade |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2gz3o52vqmk2asy443hr220r72upq83 0 18083 778895 529426 2022-08-21T15:02:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Faktlink |Faktseitenname= Affin-algebraische Mengen/Affiner Raum/Unendlicher Körper/Koordinatenring ist Polynomring/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ist nicht richtig für endliche Körper. Für einen endlichen Körper besteht ein affiner Raum nur aus endlich vielen Punkten und es gibt viele Polynome, die auf all diesen Punkten verschwinden. Typische Beispiele werden durch die Polynome {{mathl|term= X_i^q-X_i|SZ=}} gegeben, wobei {{math|term= q}} die Anzahl der Körperelemente bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mm8vht2vj1vwdk7cspzl148ww6jbqyp 0 18087 778896 736580 2022-08-21T15:03:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Polynomring in einer Variablen {{mathl|term= R=K[T]|SZ=.}} Ihm entspricht zunächst die affine Gerade {{mathl|term= {{op:Affine Gerade|K}} |SZ=.}} Man kann {{math|term= R}} aber auch auf ganz verschiedene Arten als Restklassenring einer Polynomalgebra in mehreren Variablen erhalten. Sei beispielsweise {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} und betrachte den Restklassenring {{mathl|term= K[X,Y]/(aY+bX)|SZ=.}} Dieser Ring ist {{ Zusatz/Klammer |text=als {{math|term= K|SZ=-}}Algebra| |ISZ=|ESZ= }} isomorph zu {{math|term= R|SZ=,}} wie die Abbildung {{ math/disp|term= K[X,Y]/(aY+bX) \longrightarrow K[T],\,{{Mathbruch}} X \longmapsto T, \, Y \longmapsto -\frac{b}{a} T |SZ=, }} zeigt. Das zugehörige Nullstellengebilde {{ Ma:Vergleichskette | V(aX+bY) |\subset| {{op:Affine Ebene||}} || || || |SZ= }} ist einfach die Gerade in der affinen Ebene, die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |Y || - \frac{b}{a}X || || || |SZ= }} beschrieben wird. Eine weitere Möglichkeit, den Polynomring in einer Variablen als Restklassenring darzustellen, ist durch {{mathl|term= K[X,Y]/(Y-P(X))}} gegeben, wobei {{mathl|term= P(X)}} ein beliebiges Polynom in der einen Variablen {{math|term= X}} ist. Der Ringhomomorphismus {{ math/disp|term= K[X,Y]/(Y-P(X)) \longrightarrow K[T],\, {{Mathbruch}} X \longmapsto T, \, Y \longmapsto P(T) |SZ=, }} zeigt, dass wieder ein Isomorphismus zum Polynomring in einer Variablen vorliegt. Das zugehörige Nullstellengebilde ist einfach der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Polynoms {{mathl|term= P(X)|SZ=.}} {{ inputbild |Lineline|jpg| 250px {{!}} {{!}} |Autor=Astur1 |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Lineair-cartesiaans|png| 250px {{!}} {{!}} |Autor=MADe |Benutzer= |Domäne=nl.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Polynomialdeg5|png| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Derbeth |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eq0g99p8fthm5617u6ch7vzzxp3x3b6 0 18111 779048 648156 2022-08-21T15:27:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Cusp|svg| 230px {{!}} right {{!}} |Autor= |Benutzer=Satipatthana |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Die {{Definitionswort/enp|term=Neilsche Parabel}} {{math|term= C|SZ=}} ist das Bild unter der monomialen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Affine Gerade|K|}} | {{op:Affine Ebene|K|}} |t| (t^2,t^3) {{=|}} (x,y) |SZ=. }} Die zugehörige Gleichung ist {{ Ma:Vergleichskette |y^2 ||x^3 || || || |SZ=, }} d.h. es ist {{ Ma:Vergleichskette |C ||V(Y^2-X^3) || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort=Die Neilsche Parabel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lkctki6tvcl8tj4htua0bj4rcbuw2gb 0 18142 778904 536373 2022-08-21T15:04:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= C}} die durch {{ math/disp|term= t \longmapsto (t^3,t^4,t^5)=(x,y,z) |SZ= }} gegebene monomiale Kurve. Für jede der drei Variablen müssen wir gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} schauen, welche Potenzen davon, wenn man die {{math|term= t|SZ=-}}Potenz substituiert, sich auch als Monom in den beiden anderen Variablen ausdrücken lassen. Zunächst haben wir die Gleichungen, in denen jeweils nur zwei Variablen vorkommen. Das sind {{ math/disp|term= Y^3=X^4,\, Z^3=X^5, \, Z^4=Y^5 |SZ=. }} Hier kann es, wie im ebenen Fall, immer nur eine Beziehung geben. In den Relationen, wo alle drei Variablen beteiligt sind, kommt eine der Variablen allein vor. Starten wir mit {{math|term= X|SZ=.}} Zunächst lassen sich {{math|term= X}} und {{math|term= X^2}} nicht durch die anderen Variablen ausdrücken, dafür haben wir {{ Ma:Vergleichskette |X^3 ||T^9 ||YZ || || |SZ=. }} Eine andere {{ Zusatz/Klammer |text=davon unabhängige| |ISZ=|ESZ= }} Kombination ist nicht möglich. Grundsätzlich impliziert eine mehrfache Darstellung {{ Ma:Vergleichskette | X^k || Y^{i}Z^{j} || Y^{a}Z^{b} || || |SZ=, }} dass man zwischen Potenzen von {{math|term= Y}} und von {{math|term= Z}} eine Beziehung hat, da man ja die kleineren Potenzen rauskürzen kann. Da wir alle Relationen mit nur zwei Variablen schon aufgelistet haben, liefert eine Potenz von {{math|term= X}} immer nur maximal eine neue Relation. Wir behaupten, dass wir für {{math|term= X}} alleinstehend schon fertig sind. Ist nämlich {{ Ma:Vergleichskette | X^k || Y^{i}Z^{j} || || || |SZ=, }} so ist {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|3 || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |i ||0 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |j ||0 || || || |SZ= }} haben wir die Gleichungen schon aufgelistet. Sei also {{ Ma:Vergleichskette |i,j |\geq| 1 || || || |SZ=. }} Dann kann man aber mittels der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |X^3 ||YZ || || || |SZ= }} die Exponenten in der Gleichung kleiner machen {{ Zusatz/Klammer |text=indem man den Exponenten von {{math|term= X}} um {{math|term= 3}} reduziert und die Exponenten von {{math|term= Y}} und von {{math|term= Z}} um {{math|term= 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Für {{math|term= Y}} hat man sofort die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||ZX || || || |SZ=, }} mit der man wieder alle anderen Gleichungen reduzieren kann. Für {{math|term= Z}} hat man {{ Ma:Vergleichskette |Z^2 ||X^2Y || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |Z^3 || XY^3 || || || |SZ=. }} Es gibt keine kleineren Monome in {{math|term= X}} und {{math|term= Y|SZ=,}} die man als Potenz von {{math|term= Z}} ausdrücken kann. Daher kann man jede andere Relation mittels einer von diesen auf eine frühere zurückführen. Insgesamt haben wir also für die Kurve {{math|term= C}} die Gleichungen {{ math/disp|term= C=V( Y^3-X^4, Z^3-X^5, Z^4-Y^5, {{mathbruch}} X^3-YZ, Y^2-XZ, Z^2-X^2Y ,Z^3-XY^3 ) |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der monomialen affinen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die monomiale Raumkurve t^3,t^4,t^5 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t6onx0dt6yzgoj7jbkdyg0n6zzg6jpq 0 18155 779041 543815 2022-08-21T15:26:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= d}} verschiedene Geraden {{mathl|term= L_1, \ldots, L_d}} in der affinen Ebene gegeben, die alle durch den Nullpunkt laufen mögen. Es seien {{mathind|a_iX+b_iY{{=|}}0|i{{=}}1, \ldots, d|SZ=,}} die zugehörigen Gleichungen {{ Zusatz/Klammer |text=die nur bis auf einen Skalar definiert sind| |ISZ=|ESZ=. }} Die Vereinigung dieser Geraden wird dann durch das Produkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||(a_1X+b_1Y) \cdots (a_dX+b_dY) || || || |SZ= }} beschrieben. Insbesondere ist {{ Ma:Vergleichskette |F ||F_d || || || |SZ= }} homogen vom Grad {{math|term= d|SZ=.}} Hier definiert jeder Linearfaktor eine Tangente durch den Nullpunkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Multiplizität von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} otll8avmx43jgrac4ivi2chxd9t6swd 0 18170 779039 752471 2022-08-21T15:25:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Frans Hals - Portret van René Descartes|jpg | 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Frans_Hals_-_Portret_van_René_Descartes |Text=[[w:Descartes|Rene Descartes (1596-1650)]] |Autor=Frans Hals |Benutzer=Dedden |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Kartesisches-Blatt|svg| 200px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Georg-Johann |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 & GFDL |Bemerkung= }} Das {{Stichwort|Kartesische Blatt|msw=Kartesisches Blatt|SZ=}} wird durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | F || X^3+Y^3-3XY || 0 || || |SZ= }} beschrieben {{ Zusatz/Klammer |text=die {{math|term= 3}} ist dabei nicht wichtig, und könnte durch eine andere Zahl {{math|term= \neq 0}} ersetzt werden| |ISZ=|ESZ=. }} Die homogenen Bestandteile der Kurvengleichung sind {{ Ma:Vergleichskette | F_3 ||X^3+Y^3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F_2 ||-3XY || || || |SZ=. }} Damit hat der Nullpunkt des Kartesischen Blattes die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplizität| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwei und ist singulär, und sowohl die {{math|term= X}}- als auch die {{math|term= Y}}-Achse sind Tangenten {{ Zusatz/Klammer |text=mit einfacher Multiplizität| |ISZ=|ESZ=. }} An den übrigen Punkten ist die Kurve glatt {{ Zusatz/Klammer |text=der Grundkörper habe nicht die Charakteristik {{math|term= 3}}| |ISZ=|ESZ=: }} aus {{ math/disp|term= \frac{\partial F}{\partial X}= 3X^2-3Y=0 \text{ und } \frac{\partial F}{\partial Y}= 3Y^2-3X=0 |SZ= }} folgt {{mathkon|Y{{=}}X^2|und|X{{=}}Y^2|SZ=,}} also auch {{ Ma:Vergleichskette |Y ||Y^4 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für {{math|term= X}}| |ISZ=|ESZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |Y ||X ||0 || || |SZ= }} oder {{math|term= X}} und {{math|term= Y}} sind beide eine dritte Einheitswurzel {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar sind beide {{math|term= 1}} oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln| |ISZ=|ESZ=. }} An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber {{math|term= F}} den Wert {{math|term= -1|SZ=,}} diese sind also keine Punkte der Kurve. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Multiplizität von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der kubischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Kartesische Blatt |Stichwort=Kartesisches Blatt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ba2oeura9jzadlwlsrzfbk2xfon2wkf 0 18176 778897 314479 2022-08-21T15:03:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= R= \R[X,Y]/(X^2+Y^2)|SZ=.}} Da Quadrate im Reellen nie negativ sind, besteht die Nullstellenmenge des Polynoms {{mathl|term= X^2+Y^2}} einzig aus dem Nullpunkt, {{mathl|term= V(X^2+Y^2)=\{(0,0)\}|SZ=.}} Das zugehörige Verschwindungsideal ist das maximale Ideal {{mathl|term= (X,Y)|SZ=,}} und der zugehörige Restklassenring {{ Zusatz/Klammer |text=der Koordinatenring| |ISZ=|ESZ= }} ist dann {{mathl|term= \R[X,Y]/(X,Y) \cong \R|SZ=.}} Der Koordinatenring kann also vom Restklassenring, mit dem man startet und dessen Ideal das Nullstellengebilde definiert, sehr verschieden sein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ky1gs7mw51in578pwvk7tinchgx5uf 0 18184 779642 538091 2022-08-21T17:01:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Faktlink |Präwort=das|Kartesische Blatt|Faktseitenname= Ebene algebraische Kurven/Kartesisches Blatt/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} das durch {{ Ma:Vergleichskette | X^3+Y^3-3XY || 0 || || || |SZ= }} gegeben ist, im Nullpunkt und bezüglich der durch {{ Ma:Vergleichskette |Y ||0 || || || |SZ= }} gegebenen Tangente und wollen die Potenzreihe bestimmen, mit der sich der {{Anführung|Zweig}} der Kurve, der diese Tangente definiert, als Graph beschreiben lässt. Wir setzen also {{ Ma:Vergleichskette |X ||T || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |H || b_2T^2+b_3T^3+b_4T^4+ \ldots || || || |SZ= }} an und haben diese Koeffizienten zu bestimmen {{ Zusatz/Klammer |text=die Charakteristik von {{math|term= K}} sei nicht {{math|term= 3}}| |ISZ=|ESZ=. }} Die Koeffizienten {{math|term= b_\ell|SZ=}} sind durch die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/align |0 ||T^3+ H^3-3TH ||T^3+(b_2T^2+b_3T^3 + \ldots )^3 -3T(b_2T^2+b_3T^3 + \ldots ) || || |SZ= }} festgelegt. Das Einsetzen bzw. Ausmultiplizieren dieser Potenzreihe liefert zum ersten Mal für {{ Ma:Vergleichskette |k ||3 || || || |SZ= }} eine Bedingung. Der Summand {{math|term= X^3}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= T^3|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} muss überhaupt nur einmal berücksichtigt werden, nämlich für {{ Ma:Vergleichskette |k ||3 || || || |SZ=. }} Der Summand {{math|term= Y^3}} muss erst ab {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|6 || || || |SZ= }} berücksichtigt werden, da ja {{ Ma:Vergleichskette |Y ||H || || || |SZ= }} ein Vielfaches von {{math|term= T^2}} ist. Der Summand {{math|term= XY}} muss ab {{ Ma:Vergleichskette |k ||3 || || || |SZ= }} berücksichtigt werden. {{math|term= b_2|SZ=.}} Hier hat man die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 1 -3 b_2 || 0 || || || |SZ=, }} woraus sich {{ Ma:Vergleichskette | b_2 || \frac{1}{3} || || || |SZ= }} ergibt. {{math|term= b_3|SZ=.}} Dies taucht erstmals in der Bedingung für den vierten Koeffizienten auf. Dort steht es aber isoliert, so dass {{ Ma:Vergleichskette |b_3 ||0 || || || |SZ= }} sein muss. {{math|term= b_4|SZ=.}} Aus dem gleichen Grund ist {{ Ma:Vergleichskette |b_4 ||0 || || || |SZ=. }} {{math|term= b_5|SZ=.}} Hierfür ist der sechste Koeffizient entscheidend, und dabei ist jetzt auch {{math|term= Y^3}} zu berücksichtigen. Es ergibt sich die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | b_2^3-3 b_5 || 0 || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |b_5 || \frac{1}{81} || || || |SZ=. }} {{mathl|term= b_6, b_7,b_8|SZ=.}} Der Summand {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y^3 || {{makl| b_2T^2 +b_5T^5+ \ldots |}} {{makl| b_2T^2 +b_5T^5+ \ldots |}} {{makl| b_2T^2 +b_5T^5+ \ldots |}} || || || |SZ= }} leistet erstmals wieder für den neunten Koeffizienten einen Beitrag, und zwar ist dieser {{mathl|term= 3b_2^2b_5|SZ=.}} Dies bedeutet, dass {{math|term= b_6}} und {{math|term= b_7}} isoliert stehen und daher null sein müssen. Für {{math|term= b_8}} ergibt sich die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 3b_2^2b_5 -3 b_8 ||0 || || || |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette |b_8 ||\frac{1}{729} || || || |SZ=. }} Die Anfangsglieder der Potenzreihe {{math|term= H|SZ=,}} die den einen Kurvenzweig im Nullpunkt als Graph beschreibt, ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp |H || \frac{1}{3} T^2 + \frac{1}{81} T^5 + \frac{1}{729}T^8 + \ldots || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Kartesische Blatt |Stichwort=Potenzreihe für Kartesisches Blatt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cqz1lsv456kihsor6575gpkg848m0wp 0 18186 779641 538087 2022-08-21T17:01:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |F ||X^3+XY+Y || 0 || || |SZ= }} gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind {{ math/disp|term= \frac{\partial F}{\partial X} =3 X^2 + Y \text{ und } \frac{\partial F}{\partial Y} = X+1 |SZ=. }} Die zweite Ableitung ist nur bei {{ Ma:Vergleichskette |X ||-1 || || || |SZ= }} gleich {{math|term= 0|SZ=,}} dort hat aber {{math|term= F}} den Wert {{math|term= -1|SZ=,}} d.h. die Kurve ist glatt. Im Nullpunkt haben die partiellen Ableitungen den Wert {{mathl|term= (0,1)|SZ=.}} Die zugehörige Tangente ist also die {{math|term= X|SZ=-}}Achse, was dazu passt, dass der lineare Term der Kurvengleichung {{math|term= Y}} ist. Wir berechnen die Potenzreihe {{ Ma:Vergleichskette |Y ||H(T) || {{potreiein|\ell|b|T}} || || |SZ=, }} die die Kurve im Nullpunkt als Graphen beschreibt {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{mathlk|term=X=T|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Die Anfangsbedingungen sind {{ Ma:Vergleichskette |b_0 ||b_1 ||0 || || |SZ=. }} Für die folgenden Koeffizienten von {{math|term= H}} müssen wir aus der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(T,H) || T^3+TH+H || 0 || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | T^3 + T( b_2T^2+b_3T^3 + \ldots ) + ( b_2T^2+b_3T^3 + \ldots ) || 0 || || || |SZ= }} über die Koeffizienten der {{math|term= T^k|SZ=}} die Bedingungen an {{math|term= b_\ell}} herauslesen. {{math|term= b_2|SZ=.}} Der zweite Koeffizient liefert sofort {{ Ma:Vergleichskette |b_2 ||0 || || || |SZ=. }} {{math|term= b_3|SZ=.}} Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette | 1+b_3 ||0 || || || |SZ=, }} woraus {{ Ma:Vergleichskette |b_3 ||-1 || || || |SZ= }} folgt. Die folgenden Koeffizienten liefern die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette | b_{\ell-1} + b_{\ell} ||0 || || || |SZ=, }} so dass also die folgenden {{math|term= b_\ell}} abwechselnd {{math|term= 1}} und {{math|term= -1}} sind. Man hat also eine einfache Rekursionsformel und es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |H || -T^3+T^4-T^5+T^6-T^7 + \ldots || || || |SZ=. }} Die Umformung der Kurvengleichung in {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y || \frac{-X^3}{1+X} || || || |SZ= }} zeigt, dass hier der Graph einer rationalen Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=mit einem Pol bei {{mathl|term= X=-1}}| |ISZ=|ESZ= }} vorliegt. Die angegebene Potenzreihe beschreibt also den Graphen einer rationalen Funktion als Graphen einer formal-analytischen Funktion. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} irw0ftlysbyosqbm1n4pygz4onjlmrj 0 18188 779640 515054 2022-08-21T17:01:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung {{mathl|term= F=X^3+XY^2+Y=0}} gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind {{ math/disp|term= \frac{\partial F}{\partial X} = 3 X^2 +Y^2 \text{ und } \frac{\partial F}{\partial Y} = 2XY+ 1 |SZ= }} Wir bestimmen zunächst, ob die Kurve glatt ist, in dem wir nach singulären Punkten schauen. Die erste partielle Ableitung liefert {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y || \pm \sqrt{3} X || || || |SZ=. }} Setzt man dies in die Kurvengleichung ein, so erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^3 + 3 X^3 \pm \sqrt{3} X || 0 || || || |SZ=, }} woraus {{math|term= X=0}} oder {{mathl|term= X = \pm \ \frac{ \sqrt{ \pm \sqrt{3} } }{2} }} folgt. Für {{mathl|term= X=0}} kann die zweite partielle Ableitung nicht verschwinden. Für die zweite Lösung ergibt die zweite partielle Ableitung die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |-1 || \pm 2 \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{\pm \sqrt{3} } }{2} \right) ^2 || \pm \frac{\sqrt{3} (\pm 3) }{2} || || |SZ=, }} die nicht stimmt. Die Kurve hat also keine singulären Punkte und ist demnach glatt. Wir berechnen die Potenzreihe {{mathl|term= Y=H(T)= \sum_{\ell=0}^\infty b_\ell T^\ell|SZ=,}} die die Kurve im Nullpunkt als Graph beschreibt (es ist {{mathl|term= X=T|SZ=).}} Die Tangente im Nullpunkt ist durch {{mathl|term= Y=0|SZ=}} gegeben (also die {{math|term= X|SZ=-}}Achse), was sowohl aus der Kurvengleichung direkt ablesbar ist, aber sich auch durch Betrachten der partiellen Ableitungen ergibt. Die Anfangsbedingungen sind daher {{mathl|term= b_0=b_1=0|SZ=.}} Für die folgenden Koeffizienten von {{math|term= H}} müssen wir aus der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | T^3 + T( b_2T^2+b_3T^3 + \ldots )^2 + ( b_2T^2+b_3T^3 + \ldots ) || 0 || || || |SZ= }} über die Koeffizienten von {{math|term= T^k|SZ=}}die Bedingungen an {{math|term= b_\ell}} herauslesen. {{math|term= b_2|SZ=.}} Der Koeffizient zu {{math|term= T^2|SZ=}} liefert sofort {{mathl|term= b_2=0|SZ=.}} {{math|term= b_3|SZ=.}} Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung {{mathl|term= 1+b_3=0|SZ=,}} woraus {{mathl|term= b_3=-1}} folgt. {{mathl|term= b_4,b_5,b_6,b_7|SZ=.}} Wir müssen die Bedingungen betrachten, die sich aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | T( b_3T^3 +b_4T^4 \ldots )^2 + ( b_3T^3+b_4T^4 + \ldots ) ||0 || || || |SZ= }} ergeben. Der linke Summand ist erstmals für den siebten Koeffizienten relevant, in den Koeffizienten darunter stehen {{mathl|term= b_4,b_5,b_6}} jeweils isoliert, so dass sich {{mathl|term= b_4=b_5=b_6=0}} ergibt. Der siebte Koeffizient ergibt die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | b_3^2 + b_7 || 0 || || || |SZ=, }} also {{mathl|term= b_7=-1|SZ=.}} {{mathl|term= b_8,b_9,b_{10}|SZ=.}} Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, so dass sie {{math|term= 0}} sein müssen. {{math|term= b_{11}|SZ=.}} Der elfte Koeffizient liefert die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2b_3b_7+b_{11} || 0 || || || |SZ=, }} so dass sich {{mathl|term= b_{11}= - \frac{1}{2} }} ergibt. {{mathl|term= b_{12},b_{13},b_{14}|SZ=.}} Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, so dass sie {{math|term= 0}} sein müssen. {{math|term= b_{15}|SZ=. }} Der fünfzehnte Koeffizient liefert die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2b_3b_{11}+b_{7}^2 + b_{15} || 0 || || || |SZ=, }} so dass sich {{ Ma:Vergleichskette | b_{15} || -2(-1)(- \frac{1}{2}) +(-1)^2 ||-2 || || |SZ= }} ergibt. Die Anfangsglieder von {{math|term= H}} sind also {{ Ma:Vergleichskette/disp |H || -T^3-T^7- \frac{1}{2}T^{11} -2 T^{15} + \ldots || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r8cxfnnmxgtz7018hu217kd3nrgfr76 0 18194 779643 763680 2022-08-21T17:02:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:Vergleichskette |X^3-Y^2 ||0 || || || |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |Prämath= |Neilsche Parabel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Hier ist der Nullpunkt singulär, und es gibt nur eine Tangente, nämlich {{ Ma:Vergleichskette |Y ||0 || || || |SZ=, }} diese hat aber die Multiplizität zwei, d.h. {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ist hier nicht anwendbar. Wir werden zeigen, dass es überhaupt keine Potenzreihenlösung im Nullpunkt mit nicht verschwindendem linearen Term gibt. Seien dazu {{ Ma:Vergleichskette |X ||G || a_1T+a_2T^2 + \cdots || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |Y ||H || b_1T+b_2T^2 + \cdots || || |SZ= }} Potenzreihen, die die Kurvengleichung erfüllen. Wir setzen in die Kurvengleichung ein und erhalten für den zweiten Koeffizient die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette | -b_1^2 ||0 || || || |SZ=, }} woraus {{ Ma:Vergleichskette |b_1 ||0 || || || |SZ= }} folgt. Für den dritten Koeffizienten ergibt sich hingegen {{ Ma:Vergleichskette |a_1^3 ||0 || || || |SZ=, }} also wieder {{ Ma:Vergleichskette |a_1 ||0 || || || |SZ=. }} Dennoch gibt es Potenzreihenlösungen für die Neilsche Parabel durch den Nullpunkt. Hierzu kann man einfach die monomiale Lösung {{mathkon|G{{=}}T^2|und|H{{=}}T^3}} nehmen {{ Zusatz/Klammer |text=die ja sogar eine Bijektion zwischen der affinen Geraden und der Neilschen Parabel stiftet| |ISZ=|ESZ=. }} Der lineare Term davon ist freilich gleich {{math|term= 0|SZ=.}}. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort=Neilsche Parabel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} morrfz6ctohcgkrsvgxn54swnxc4f7r 0 18198 782892 514004 2022-08-22T01:57:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= F \in \mathbb C[X_1, \ldots, X_n]|SZ=}} und sei {{mathl|term= U \subseteq \mathbb A^n_{\mathbb C}|SZ=}} eine Teilmenge, die in der metrischen Topologie offen und nicht leer sei. Es sei {{mathl|term= F{{!}}_{ U}=0|SZ= }} die Nullfunktion. Zeige, dass dann {{math|term= F|SZ=}} das Nullpolynom ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Identitätssatz für Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 684qrsfdp39b7jgx0a86c0grghqwiaz 0 18203 782893 251525 2022-08-22T01:57:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K}} ein unendlicher Körper und {{math|term= F \in K[X_1, \ldots, X_n]}} ein Polynom. Es sei {{math|term= U \subseteq \mathbb A^n_{K} }} eine nicht-leere Zariski-offene Teilmenge. Es sei {{math|term= F{{!}}_{U}=0 }} die Nullfunktion. Zeige, dass dann {{math|term= F}} das Nullpolynom ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Identitätssatz für Polynome |Kategorie2=Theorie der algebraischen Teilmengen und der Verschwindungsideale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24gzaia4yca4twrk80902ypxj4hyy22 106 18209 779707 658216 2022-08-21T17:11:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|1| {{Zwischenüberschrift|term=Algebraische Kurven – Einige Beispiele}} Was ist eine algebraische Kurve? Zum Beispiel das, was auf den folgenden schönen Bildern zu sehen ist: {{:Algebraische Kurven/Einführung/Gallerie}} Nun kann man natürlich viel malen. Schön sind auch die folgenden Kurven, doch das sind keine algebraischen Kurven: {{ inputbild |Cicloide|svg| 200px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Elborgo |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Logarithmic spiral|png| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Logarithmic_spiral |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Sin|svg| 200px {{!}} {{!}} |Autor=Keytotime |Benutzer=Ysae |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Quadratic Koch|png| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Quadratic_Koch |Autor=Alexis Monnerot-Dumaine |Benutzer=Prokofiev |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} Das {{Anführung|algebraisch}} in algebraische Kurve kommt daher, dass zu ihrer Definition nur algebraische Operationen verwendet werden dürfen, d.h. Addition und Multiplikation, nicht aber analytische Prozesse wie Limes nehmen, unendliche Summen, Approximieren, Differenzieren und Integrieren. Die erlaubten Abbildungen in unserem Kontext sind durch Polynome in mehreren Variablen gegeben. In den obigen Bildern geht es um ebene algebraische Kurven, die durch ein Polynom in zwei Variablen definiert werden. Die beiden ersten Bilder sind {{Stichwort|Graphen|msw=Graph}} zu einer polynomialen Funktion in einer Variablen, sie werden beschrieben durch {{math/disp|term= Y=P(X) }} wobei im ersten Bild {{mathl|term=P(X)=X}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=es liegt also ein lineares Polynom vor| |ISZ=|ESZ= }} und im zweiten Bild etwas wie {{math/disp|term= P(X)=a_4X^4+a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0 }} mit gewissen Koeffizienten {{math|term=a_i}} aus einem Körper {{math|term=K}} vorliegt. In der algebraischen Geometrie fixiert man einen {{Stichwort|Grundkörper}} {{math|term=K|SZ=.}} Wichtige Körper sind für uns die {{Stichwort|reellen Zahlen|msw=Reelle Zahlen}} {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere sind die Bilder so zu verstehen| |ISZ=!|ESZ= }} oder die {{Stichwort|komplexen Zahlen|msw=Komplexe Zahlen}} {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Ein solcher Graph ist insofern ein einfaches Gebilde, dass es zu jedem Wert für {{math|term=X}} genau einen Wert für {{math|term=Y}} {{ Zusatz/Klammer |text=den Funktionswert| |ISZ=|ESZ= }} gibt, und den man auch noch einfach ausrechnen kann, wenn man im gegebenen Körper rechnen kann. Der Graph ist in gewissem Sinne eine {{anführung|gebogene}} Kopie der Grundlinie, der {{math|term=X|SZ=-}}Achse. Betrachten wir das dritte Bild. Das ist der Graph einer {{Stichwort|rationalen Abbildung|msw=Rationale Abbildung|SZ=,}} d.h. man hat zwei Polynome {{math|term=P,Q}} in einer Variablen {{math|term=X}} und schaut sich den Quotienten {{mathl|term=\frac{P(X)}{Q(X)}|SZ= }} an. Dieser Ausdruck macht nur dort Sinn, wo der Nenner nicht null ist. An den Nullstellen des Nennerpolynoms ist die rationale Funktion nicht definiert {{ Zusatz/Klammer |text=wenn Nenner und Zähler an der gleichen Stelle beide null sind, so kann man durch kürzen manchmal erreichen, dass der Quotient auch an dieser Stelle einen Sinn bekommt| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn der Nenner null ist, der Zähler aber nicht, so ist die Undefiniertheitsstelle ein {{anführung|Pol}} {{ Zusatz/Gs |text=der reelle Graph strebt nach {{math|term=+ \infty }} bzw. {{math|term=-\infty}}| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist verlockend zu sagen, dass der Wert der rationalen Funktion an diesen undefinierten Stellen {{Anführung|unendlich}} ist, und im Kontext der projektiven Geometrie macht das durchaus Sinn, wie wir später sehen werden. Die {{Anführung|Graphengleichung}} {{mathl|term=Y=\frac{P(X)}{Q(X)}|SZ= }} ist jedenfalls wegen den Undefinierbarkeitsstellen keine optimale Beschreibung für die Kurve. Wenn man sie hingegen mit dem Nenner multipliziert, so erhält man die Bedingung (oder {{Stichwort|term=Gleichung}}) {{ math/disp|term= Y Q(X) = P(X) \text{ bzw. genauer } {{Mengebed|(x,y) \in K^2| yQ(x) {{=|}} P(x) |}} |SZ=, }} in der links und rechts wohldefinierte Polynome stehen. Die {{Stichwort|term=Erfüllungsmenge}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|term=Lösungsmenge|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist eindeutig definiert, wobei bei {{mathl|term=Q(x)=0 }} für ein bestimmtes {{math|term=x}} die linke Seite null ist, und es dann dort bei {{mathl|term=P(x) \neq 0}} keine Lösung gibt {{ Zusatz/Klammer |text=wie im Bild| |ISZ=|ESZ= }} und bei {{mathl|term=P(x)=0}} jeder {{math|term=Y|SZ=-}}Wert erlaubt ist. In letzterem Fall gehört also eine zur {{math|term=X|SZ=-}}Achse senkrechte Gerade durch {{mathl|term=(x,0)}} zu dem Gebilde. {{inputbeispiel|Ebene affine Kurven/Hyperbel/zur Einführung/Beispiel|}} Das vierte Bild ist ein {{Stichwort|term=Kreis|SZ=,}} seine Gleichung ist {{ math/disp|term= K={{Mengebed|(x,y)| x^2+y^2 {{=}} r^2}} |SZ=, }} wobei {{math|term=r}} den Radius des Kreises bezeichnet. Schon das Bild zeigt, dass dieses Gebilde nicht der Graph einer Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=Abbildung| |ISZ=|ESZ= }} sein kann, da bei einem Graphen zu einem {{math|term=x|SZ=-}}Wert stets genau ein {{math|term=y|SZ=-}}Wert gehört. Man kann aber keine Funktion finden mit {{mathl|term=y=\varphi(x)}} und {{mathl|term=K={{Mengebed| (x,\varphi(x))| x \in \R }} |SZ=.}} Die Frage, ob man ein algebraisches Lösungsgebilde als einen Graphen realisieren kann, ist äquivalent dazu, ob man die definierende Gleichung nach {{math|term=y}} {{anführung|auflösen}} kann. Im Beispiel kann man {{mathl|term=y^2=r^2-x^2}} und damit {{ math/disp|term= y= \sqrt{r^2-x^2} = \sqrt{(r-x)(r+x)} }} schreiben. Ist es also doch ein Graph? Hier gibt es zwei Interpretationen: {{ Auflistung2 |Wenn man sich auf reelle Zahlen und auf positive Wurzeln beschränkt, so hat man im letzten Schritt keine Äquivalenzumformung durchgeführt, und Information {{anführung|hinzugefügt|SZ=,}} die in der ursprünglichen Gleichung nicht vorhanden war. Die positive Wurzel zu nehmen bedeutet, sich auf den oberen Halbkreis zu beschränken (Information, also Bedingungen hinzufügen, bewirkt, dass die Lösungsmenge verkleinert wird). |Wenn man stattdessen unter {{math|term=\sqrt{\, } }} alle Lösungen berücksichtigt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. im Reellen die positive und die negative Quadratwurzel, was man häufig als {{math|term= \pm \sqrt{\, } }} schreibt| |ISZ=|ESZ=, }} so hat man keine Information dazugetan, aber auch nicht nach einer Funktion aufgelöst {{ Zusatz/Klammer |text=sondern nur, wie man manchmal sagt, nach einer {{anführung|mehrwertigen Funktion|SZ=| |ISZ=|ESZ=. }} }} }} Beide Standpunkte haben etwas für sich. Dass man für einen Teil des geometrischen Objektes {{ Zusatz/Klammer |text=dem oberen Halbbogen| |ISZ=|ESZ= }} versucht, eine einfache Beschreibung als Graph zu finden, kehrt im Satz über implizite Funktionen, im Potenzreihenansatz, in Parametrisierungen und in der lokalen Theorie wieder. {{Zwischenüberschrift|term=Gleichungen der Form {{mathl|term=Y^2=G(X)}} }} {{ inputbild |Newtonbig|gif| {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Pokipsy76 |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |GodfreyKneller-IsaacNewton-1689|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |Text= [[w:Isaac Newton|Isaac Newton (1643–1727)]] |Autor=Godfrey Kneller |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine Kreisgleichung kann man auffassen als eine Gleichung der Form {{ math/disp|term= Y^2=G(X) |SZ=, }} wobei {{math|term=G}} ein Polynom in der einen Variablen {{math|term=X}} bezeichnet {{ Zusatz/Klammer |text=im Fall eines Kreises ist {{mathlk|term=G=-X^2+1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Das ist kein Graph, aber die {{anführung|Wurzel}} eines Graphen. Betrachten wir generell eine solche Situation, wo {{mathl|term=G(X)}} komplizierter sein darf. Das Nullstellengebilde repräsentiert hier die Quadratwurzel {{mathl|term=\sqrt{G(X)}|SZ=.}} Wenn man sich für {{math|term=X}} einen beliebigen Wert {{math|term=x}} vorgibt, so gibt es {{ Zusatz/Klammer |text=im Reellen| |ISZ=|ESZ= }} drei Möglichkeiten für zugehörige Lösungen: {{ Auflistung3 |Wenn {{mathl|term=G(x)}} negativ ist, so gibt es keine Lösung. |Wenn {{mathl|term=G(x)=0}} ist, so gibt es genau die Lösung {{mathl|term=y=0|SZ=.}} |Wenn {{mathl|term=G(x)}} positiv ist, so gibt es die zwei Lösungen {{mathl|term=y= \pm \sqrt{G(x)}|SZ=.}} }} Das gibt auch einen Ansatz, wie das reelle Bild aussieht: Für jedes {{math|term=x}} berechnet man {{math|term=G(x)}} und markiert bei {{mathl|term=(x, \sqrt{G(x)}) }} {{ Zusatz/Klammer |text=falls die Wurzel nichtnegativ ist| |ISZ=|ESZ= }} einen Punkt. Im Komplexen sind nur die Fälle {{mathl|term=G(x)=0}} oder {{mathl|term=G(x) \neq 0}} zu unterscheiden. Wenn {{math|term=G}} selbst nur den Grad zwei besitzt, so handelt es sich um einen {{Stichwort|term=Kegelschnitt|SZ=,}} die schon in der Antike betrachtet wurden. Mit dem Fall, dass {{math|term=G(X)}} ein kubisches {{ Zusatz/Klammer |text=reelles| |ISZ=|ESZ= }} Polynom ist {{ Zusatz/Klammer |text=also den Grad drei besitzt| |ISZ=|ESZ=, }} hat sich Isaac Newton intensiv beschäftigt. Dieses Beispielmaterial ist schon sehr reichhaltig. {{ inputbild |ECexamples01|png| 300px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Dake |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Betrachten wir den Fall {{mathl|term=G(X)=X^3|SZ=,}} also das durch {{ math/disp|term= {{Mengebed|(x,y)| y^2{{=}}x^3 }} }} beschriebene Gebilde. Dieses Gebilde nennt man die {{Stichwort|term=Neilsche Parabel|SZ=.}} Hier tritt ein neues Phänomen auf, nämlich, dass der Nullpunkt anders ist als alle anderen Punkte. Man spricht von einer {{Stichwort|term=Singularität|SZ=;}} im Gegensatz dazu nennt man die anderen Punkte {{Stichwort|term=glatt}} oder {{Stichwort|term=nicht-singulär|SZ=.}} Eine genaue Definition zu geben ist Teil dieses Kurses, als erste ungenaue Formulierung kann man sagen, dass eine Kurve in einem glatten Punkt lokal und in geeigneten Koordinaten so aussieht wie der {{ Zusatz/Klammer |text=gedrehte| |ISZ=|ESZ= }} Graph einer differenzierbaren Funktion. Die Singularität in der Neilschen Parabel nennt man auch eine {{Stichwort|Spitze}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine {{Stichwort|Kuspe|SZ=,}} was einfach Spitze bedeutet| |ISZ=|ESZ=. }} Dagegen ist die Singularität im Bild 8 ein {{Stichwort|term=Kreuzungspunkt}} oder {{Stichwort|term=Doppelpunkt|SZ=.}} Im Bild 7 vom Anfang und oben sieht man ebenfalls Nullstellengebilde der Form {{mathl|term=Y^2=G(X)|SZ=,}} wobei {{math|term=G(X)}} ein Polynom vom Grad drei ist. Wie sieht {{math|term=G(X)}} aus, damit sich solch eine Kurve ergibt? Die zuletzt genannten Beispiele zeigen auch, dass es von der genauen Gestalt von {{math|term=G(X)}} abhängt, ob die Kurve eine Singularität besitzt oder nicht. Bleiben wir noch bei der Neilschen Parabel {{math|term=C|SZ=.}} Wenn {{math|term=t }} irgendeine reelle oder komplexe Zahl ist, so liegt der Punkt mit den Koordinaten {{mathl|term=(x,y)= (t^2,t^3) }} stets auf der Neilschen Parabel, da ja {{mathl|term=(t^2)^3=t^6=(t^3)^2}} ist. Man kann auch umgekehrt zeigen, dass jeder Punkt der Neilschen Parabel eine solche Gestalt besitzt, dass es also zu {{mathl|term=(x,y)}} mit {{mathl|term=y^2=x^3}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar genau ein| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term=t}} gibt mit {{mathl|term=(x,y)= (t^2,t^3)|SZ=.}} Man sagt, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|C |t|(t^2,t^3) |SZ=, }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=bijektive polynomiale| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|term=Parametrisierung}} der Neilschen Parabel ist. Es ist eine nicht-triviale Frage, welche algebraischen Kurven eine polynomiale Parametrisierung besitzen. Eine Kurve der Form {{mathl|term=Y^2=G(X)|SZ=,}} die glatt ist und wo {{math|term=G}} den Grad drei hat, besitzt keine solche Parametrisierung. In der elementaren Zahlentheorie lernt man, dass alle {{Stichwort|pythagoreischen Tripel|msw=Pythagoreisches Tripel}} auf eine einfache übersichtliche Gestalt gebracht werden können. Äquivalent dazu ist eine {{ Zusatz/Klammer |text=rationale| |ISZ=|ESZ= }} Parametrisierung des rationalen Einheitskreises. Siehe [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 10]]. Wir kommen zur ersten allgemeinen Definition. {{inputdefinition|Ebene affin-algebraische Kurve/Definition|}} Noch ein Lemma, aus dem folgt, dass die oben zuletzt angeführten Kurven nicht algebraisch sind. {{inputfaktbeweis|Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt|Lemma|}} In den obigen Beispielen gibt es aber Geraden, die die Kurven in unendlich vielen Punkten schneiden – deshalb sind sie nicht algebraisch. {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe}} Nach diesen einführenden Beispielen fixieren wir ein paar Begrifflichkeiten, die wahrscheinlich schon bekannt sind. {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|}} Darauf aufbauend kann man auch Polynomringe in mehreren Variablen definieren. Man setzt {{ math/disp|term= K[X,Y] {{defeq}} (K[X] )[Y], \, K[X,Y,Z] {{defeq}} (K[X,Y])[Z] |SZ=, }} etc. Ein Polynom in {{math|term=n}} Variablen hat die Gestalt {{ math/disp|term= F=\sum_{(\nu_1, \ldots ,\nu_n)} a_{(\nu_1, \ldots ,\nu_n)} X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} |SZ=. }} Es wird dabei summiert über eine endliche Summe von {{Stichwort|term=Exponententupel}} {{mathl|term=(\nu_1, \ldots ,\nu_n)|SZ=.}} Die Ausdrücke {{mathl|term= X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} }} nennt man auch {{Stichwort|Monome|msw=Monom|SZ=.}} Ein Polynom schreibt man zumeist abkürzend als {{mathl|term=F=\sum_{\nu} a_{\nu} X^{\nu}|SZ=.}} Das Produkt von zwei Monomen bedeutet Addition der Exponententupel, also {{ math/disp|term= (X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n}) \cdot (X_1^{\mu_1} \cdots X_n^{\mu_n}) :=X_1^{\nu_1+\mu_1} \cdots X_n^{\nu_n+ \mu_n} |SZ=. }} Für uns, im Kontext der algebraischen Geometrie, ist hauptsächlich der Fall interessant, wo der Grundring {{math|term=R}} ein Körper ist. In der algebraischen Geometrie interessiert man sich für die Gestalt von Nullstellengebilden von Polynomen in mehreren Variablen. Wir werden später sehen, dass die Beziehung zwischen algebraischen und geometrischen Eigenschaften besonders stark ist, wenn der Grundkörper algebraisch abgeschlossen ist. {{inputdefinition|Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition|}} {{ inputbild |Carl Friedrich Gauss|jpg|{{!}} thumb {{!}} |epsname=Carl_Friedrich_Gauss |Text=[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss (1777–1855)]] |Autor= |Benutzer=Bcrowell |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputfaktbeweisverweis|Fundamentalsatz der Algebra/Algebraisch abgeschlossen/Fakt|Satz|}} Der Fundamentalsatz der Algebra wurde erstmals von Gauss bewiesen. }}<noinclude> {{:Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Footer|1}} [[Kategorie:Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorlesungen|Vorlesung]] </noinclude> dxcx8iz0lv1du04mysh6zj77sf1y230 0 18232 778916 772532 2022-08-21T15:06:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix} }} ist durch die vier Zahlen {{mathl|term= a_{11} ,a_{21} , a_{12}, a_{22} \in K }} eindeutig festgelegt. Man kann eine solche Matrix also mit einem Punkt im {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|4|K}} }} identifizieren. Bei dieser Interpretation ist es sinnvoll, die Variablen mit {{mathl|term= X_{11} ,X_{21} , X_{12}, X_{22} }} zu bezeichnen. Man kann sich dann fragen, welche Eigenschaften von Matrizen sich durch algebraische Gleichungen beschreiben lassen. Wir diskutieren dazu einige typische Eigenschaften. Eine {{ Definitionslink |Prämath= |obere Dreiecksmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} liegt genau dann vor, wenn {{mathl|term= a_{12}=0}} ist. Die Menge der oberen Dreiecksmatrizen ist also die Nullstellenmenge von {{mathl|term= X_{12}|SZ=.}} Eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} liegt vor, wenn {{mathl|term= a_{11}a_{22}- a_{12}a_{21} \neq 0}} ist. Die Menge der nicht invertierbaren Matrizen wird also durch die algebraische {{Stichwort|Determinantenbedingung}} {{mathl|term= X_{11}X_{22}- X_{12}X_{21} = 0}} beschrieben. Eine Matrix beschreibt die Multiplikation mit einem Skalar, wenn sie eine Diagonalmatrix mit konstantem Diagonaleintrag ist. Diese Menge wird durch die drei Gleichungen {{mathl|term= X_{12}=0, X_{21}=0 }} und {{mathl|term= X_{11}-X_{22}=0}} beschrieben. Ein Element {{mathl|term= \lambda \in K}} ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer Matrix genau dann, wenn {{math|term= \lambda}} eine Nullstelle des {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristischen Polynoms| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix ist, d.h. wenn {{ math/disp|term= \det \begin{pmatrix} \lambda- a_{11} & - a_{21} \\ - a_{12} & \lambda - a_{22} \end{pmatrix} = {{Mathbruch}} \lambda^2 - \lambda (a_{11}+a_{22})+ a_{11}a_{22}- a_{12}a_{21}=0 }} ist. In der linearen Algebra ist normalerweise die Matrix vorgegeben und man sucht nach Nullstellen {{math|term= \lambda}} dieses Polynoms in einer Variablen. Man kann es aber auch umgekehrt sehen und {{math|term= \lambda}} vorgeben, und das Nullstellengebilde {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^2 - \lambda (X_{11}+X_{22})+ X_{11}X_{22}- X_{12}X_{21} || 0 || || || |SZ= }} in den vier Variablen untersuchen. Diese Gleichung beschreibt also die Menge aller Matrizen, die {{math|term= \lambda}} als Eigenwert besitzen. Entsprechend besitzt eine Matrix genau dann die beiden Eigenwerte {{mathl|term= \lambda \neq \delta |SZ=,}} wenn {{ math/disp|term= \lambda^2 - \lambda (X_{11}+X_{22})+ X_{11}X_{22}- X_{12}X_{21}=0 \text{ und } {{Mathbruch}} \delta^2 - \delta (X_{11}+X_{22})+ X_{11}X_{22}- X_{12}X_{21}=0 }} ist. Die Differenz der beiden Gleichungen ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^2- \delta^2 - (\lambda - \delta)(X_{11}+X_{22}) || 0 || || || |SZ=, }} die eine solche Matrix erst recht erfüllen muss. Wegen {{mathl|term= \lambda \neq \delta}} kann man das als {{ Ma:Vergleichskette/disp | X_{11}+X_{22} || \lambda + \delta || || || |SZ= }} schreiben. Für eine Matrix nennt man die Summe der Diagonaleinträge die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix. Die zuletzt hingeschriebene Gleichung besagt also, dass für eine Matrix mit Eigenwerten {{mathl|term= \lambda \neq \delta}} die Spur die Summe dieser Eigenwerte sein muss. Das charakteristische Polynom einer Matrix kann man auch schreiben als {{ math/disp|term= \lambda^2 - \lambda \cdot \operatorname{Spur} \,(M) + \operatorname{Det} \, (M) |SZ=, }} mit {{ mathkor/disp|term1= \operatorname{Spur} \,(M) =X_{11}+X_{22} |und|term2= \operatorname{Det} \, (M)= X_{11}X_{22}- X_{12}X_{21} |SZ=. }} Insbesondere haben Matrizen genau dann das gleiche charakteristische Polynom, wenn ihre Spur und ihre Determinante übereinstimmen. Damit kann man auch sagen, dass die Menge der Matrizen mit einem vorgegebenen charakteristischen Polynom die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Affiner Raum|4|K|}} | {{op:Affine Ebene|K|}} |M|( \operatorname{Spur} \,(M) , \operatorname{Det} \, (M)) |SZ=, }} ist. Diese Abbildung ist durch einfache polynomiale Ausdrücke gegeben. Ist diese Abbildung surjektiv? Sehen die Fasern immer gleich aus, d.h., besitzt die Menge der Matrizen mit vorgegebener Spur und Determinante immer die gleiche Struktur, oder gibt es da Unterschiede? Sei {{math|term= s}} und {{math|term= d}} vorgegeben. Dann geht es um die Lösungsmenge zu {{ mathkor/disp|term1= X_{11} + X_{22} =s |und|term2= X_{11}X_{22}- X_{12}X_{21} = d |SZ=. }} Hierbei ist {{math|term= X_{11} }} durch {{math|term= X_{22} }} eindeutig festgelegt, und umgekehrt. Man kann daher eine Variable {{Stichwort|eliminieren|SZ=,}} indem man {{mathl|term= X_{22} =s- X_{11} }} setzt. Dann ergibt sich das {{Anführung|äquivalente}} System in den drei Variablen {{mathl|term= X_{11},X_{12},X_{21}|SZ=,}} mit der einzigen Gleichung {{ math/disp|term= X_{11}(s-X_{11}) - X_{12}X_{21} = d \text{ bzw. } {{Mathbruch}} X_{11}^2 -sX_{11} + X_{12}X_{21} + d =0 |SZ=. }} Unter {{Anführung|äquivalent}} verstehen wir hier, dass die Lösungen des einen Systems mit den Lösungen des anderen Systems in einer Bijektion stehen, die durch Polynome gegeben ist. An dieser letzten Umformung sieht man, dass es stets eine Lösung geben muss: Man kann für {{math|term= X_{11} }} einen beliebigen Wert vorgeben und erhält eine Gleichung der Form {{mathl|term= X_{12} X_{21} =a|SZ=,}} die Lösungen besitzt. Durch eine {{Stichwort|lineare Variablentransformation}} kann man die Gleichung noch weiter vereinfachen. Sie vorausgesetzt, dass {{math|term= 2}} in {{math|term= K}} invertierbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=dass also die Charakteristik von {{math|term= K}} nicht {{math|term= 2}} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Dann kann man mit {{mathl|term= X=X_{11} - s/2 }} {{ Zusatz/Klammer |text=und mit {{mathlk|term=Y=X_{12}, Z=X_{21} }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2 + YZ + c || 0 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |c || - {{op:Bruch|s^2|4}} +d || || || |SZ= }} schreiben. Daraus sieht man, dass die Gestalt der Matrizenmenge mit vorgegebener Spur und Determinante nur von {{mathl|term= -\frac{s^2}{4}+d}} abhängt. In der Tat ist nun, wenn dieser Term null ist oder nicht, das Nullstellengebilde verschieden. Im ersten Fall hat es eine Singularität, im zweiten Fall nicht, wie wir später sehen werden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Varietäten zu linearen Objekten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Matrizen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j3ug90kpmxz5w6h3enucbfkcu3r80pm 0 18248 778923 251720 2022-08-21T15:07:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= C=V(XY-1) \subset \mathbb A^2_K}} die Hyperbel und betrachte die Projektion auf die erste Komponente. Sei {{math|term= C'}} das Bild von {{math|term= C}} unter dieser Abbildung. {{math|term= C'}} besteht offenbar aus allen Punkten der affinen Geraden mit der Ausnahme des Nullpunktes (da {{math|term= 0}} kein Inverses besitzt). Man sieht: Das Bild einer abgeschlossenen Menge unter einer affinen Projektion muss nicht abgeschlossen sein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Eliminationstheorie (affine Varietäten) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitshyperbel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8orfxy4j3b6gr0n7lpq6iq55hu0aqxj 0 18251 778924 536372 2022-08-21T15:07:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Twisted cubic curve|png| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Twisted_cubic_curve |Autor=Claudio Rocchini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Sei {{ Ma:Vergleichskette |C |\subset| {{op:Affiner Raum|3|K}} || || || |SZ= }} die {{Anführung|gedrehte Kubik|SZ=,}} also das Bild der monomialen Abbildung, die durch {{mathl|term= t \mapsto (t,t^2,t^3)}} gegeben ist. Diese Kurve ist isomorph zu einer affinen Geraden und insbesondere glatt. Das beschreibende Ideal ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala}} ||(Y-X^2,Z-X^3,Y^3-Z^2,Z-XY) ||(Y-X^2,Z-X^3) || || |SZ=. }} Die beiden letzten Idealerzeuger sind dabei überflüssig, da sie sich durch die beiden anderen ausdrücken lassen. Insgesamt ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp |C || V(Y-X^2,Z-X^3) || || || |SZ=. }} Die Bilder von {{math|term= C}} unter den drei verschiedenen Projektion sind {{ math/disp|term= C_1=V( Z^2-Y^3),\, C_2=V(Z-X^3), \, C_3=V(Y-X^2) |SZ=. }} Dabei sind {{math|term= C_2}} und {{math|term= C_3}} isomorph zur affinen Geraden {{ Zusatz/Klammer |text=als Graph einer Abbildung| |ISZ=|ESZ=, }} während {{math|term= C_1}} die singuläre Neilsche Parabel ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Eliminationstheorie (affine Varietäten) |Kategorie2=Theorie der monomialen affinen Raumkurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die gedrehte Kubik |Stichwort=Die gedrehte Kubik |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ftdx989dkb9ycg92y5hyux79emv8pee 0 18253 779478 251550 2022-08-21T16:34:56Z Arbota 36910 Ersetzung; kosmetische Änderungen wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Als Bahnen betrachten wir jetzt zwei Kreise, wobei wir uns auf gleichen Radius beschränken, den wir zu {{math|term= 1}} normieren. Durch verschieben können wir annehmen, dass {{math|term= (0,0)}} und {{math|term= (0,a)}} die Mittelpunkte der beiden Kreise sind. Die Länge der Koppelungsstange sei wieder {{math|term= d}}, so dass die drei algebraischen Gleichungen {{Aufzählung3| {{math|term= (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=d^2 }} | {{math|term= x_1^2+y_1^2=1 }} | {{math|term= (x_2-a)^2 + y_2^2 =1 }} }} das mechanische System beschreiben. Wir interessieren uns für die Trajektorie des Mittelpunktes der Stange. Dessen Koordinaten sind gegeben durch {{Einrückung|term= {{math|term= z_1 = \frac{1}{2} x_1 + \frac{1}{2}y_1 \text{ und } z_2 = \frac{1}{2} x_2 + \frac{1}{2}y_2 \, . }} }} Wir drücken das System in den Variablen {{math|term= z_1,z_2,x_1,x_2}} aus, ersetzen {{math|term= y_1=2z_1-x_1, y_2=2z_2-x_2}} und erhalten {{Aufzählung3| {{math|term = (x_2-x_1)^2+(2z_2-2z_1 -x_2+x_1)^2=d^2 }} | {{math|term= x_1^2+(2z_1-x_1)^2= 2x_1^2 +4z_1^2 -4x_1z_1 =1 }} | {{math|term= (x_2-a)^2 +(2z_2-x_2)^2 = 4z_2^2 - 4x_2z_2 +x^2+(x_2-a)^2=1 }} . }} In der Gleichung (3) kommt {{math|term= x_1}} nicht vor, und aus den Gleichungen (1) und (2) wollen wir {{math|term= x_1}} eliminieren. [[Datei:Watt curve animated.gif|250px]] |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=unfertig }} ou3s80awv3frsq4rbumb7krn0jweram 0 18283 784572 764878 2022-08-22T06:29:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring in einer Variablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=K|SZ=.}} Dann nennt man den {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=Q(K[X])|SZ=}} den {{Definitionswort|rationalen Funktionenkörper|msw=Rationaler Funktionenkörper}} über {{math|term=K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Definitionswort|Körper der rationalen Funktionen}} über {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Er wird mit {{mathl|term=K(X)|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Rationaler Funktionenkörper |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ndmwu3qnk4wd18loz6dpnvbfcd2k5xb 0 18293 778914 509308 2022-08-21T15:05:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachten wir in Anschluss an {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R f/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die offene Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | D(X) || {{Mengebed|P \in {{op:Affine Gerade|K}}| P \neq 0 }} |\subset| {{op:Affine Gerade|K}} || || |SZ=. }} Diese offene Menge nennt man die {{Definitionswort/enp|term=punktierte affine Gerade|SZ=.}} Auf dieser offenen Menge ist {{math|term= X}} invertierbar, d.h. die rationale Funktion {{math|term= \frac{1}{X} }} ist darauf definiert. Diese Abbildung liefert zusammen mit der gegebenen {{ Zusatz/Klammer |text=offenen| |ISZ=|ESZ= }} Inklusion {{mathl|term= D(X) \subset {{op:Affine Gerade|K}} }} die abgeschlossene Inklusion {{ Ma:abbele/disp |name= |D(X) |V(XY-1) \subset {{op:Affine Ebene|K}} |x| {{op:Zeilenvektor|x| \frac{1}{x}|}} |SZ=, }} dessen Bild eine {{ Zusatz/Klammer |text=in der affinen Ebene abgeschlossene| |ISZ=|ESZ= }} Hyperbel ist. Die punktierte affine Gerade und die Hyperbel sind also homöomorph {{ Zusatz/Klammer |text=und die zugehörigen Ringe, nämlich {{mathl|term= K[X]_{X} =K[X,X^{-1}]}} und {{mathl|term= K[X,Y]/(XY-1)|SZ=,}} sind isomorph| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbild |Hyperbola_one_over_x|svg|250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Ktims |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitshyperbel |Stichwort=Die punktierte affine Gerade als Hyperbel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i0uioqity71x0nnu7lv35d7axxwc5hp 0 18301 779474 524346 2022-08-21T16:34:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir gehen nun zum allgemeinen Fall über, wo der Koppelungsabstand {{math|term= d|SZ= }} nicht {{math|term= 1|SZ= }} ist. Das mechanische System wird dann durch den Schnitt von zwei Zylindern mit unterschiedlichen Radien beschrieben. Aus den beiden Gleichungen kann man einfach {{math|term= y_2}} eliminieren und erhält die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_1^2-2x_1x_2 || (x_2-x_1)^2 -x_2^2 ||d^2-1 || || |SZ=. }} Wir setzen {{mathl|term= \alpha=d^2-1= \neq 0|SZ= }} und {{math|term= w=x_2-x_1|SZ=.}} Für einen Punkt {{mathl|term= P=P_1+u(P_2-P_1)}} der Koppelungsstange sind die Koordinaten gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | (z_1,z_2) || (x_1+u(x_2-x_1), uy_2) || || || |SZ=. }} Wir wollen die Trajektorie zu diesem Punkt des mechanischen System berechnen. Bei {{math|term= u=0}} ist das einfach die Gerade, so dass wir im Folgenden {{math|term= u \neq 0}} annehmen. Wir ersetzen {{ math/disp|term= x_2= \frac{1}{u}(x_1(u-1)+z_1) \text{ und } y_2 = \frac{1}{u} z_2 }} in der ersten und der eliminierten Gleichung und erhalten {{Aufzählung2|{{math|term= \left(\frac{x_1(u-1)+z_1}{u}\right)^2 + \left(\frac{z_2}{u} \right)^2=1 }} |{{math|term= x_1^2-\frac{2}{u}x_1( x_1(u-1)+z_1) = d^2-1 }} }} bzw. {{Aufzählung2|{{math|term= (u-1)^2x_1^2+2(u-1)z_1x_1+z_1^2+z_2^2 - u^2 = 0}} |{{math|term= (-u+2) x_1^2 -2z_1x_1 -ud^2+u=0 \, .}} }} == == Es liegen also zwei quadratische Gleichungen für {{math|term= x_1}} über {{math|term= K[z_1,z_2]}} vor. Mittels [[Elimination/Zwei quadratische Gleichungen/Direkt/Fakt|Fakt{{{ref1|}}}]] kann man daraus eine Gleichung für {{math|term= z_1}} und {{math|term= z_2}} errechnen, und zwar ergibt sich {{math/disp|term= \left( (-u+2) (z_1^2 + z_2^2 -u^2) - (u-1)^2 (-ud^2+u) \right)^2 }} {{math/disp|term= - 2(u-1)z_1 [- (-u+2) (z_1^2 + z_2^2 -u^2) (-2z_1) - }} {{math/disp|term= (-ud^2+u) (-u+2) 2(u-1)z_1 {{Mathbruch}} + (u-1)^2 (-2z_1) (-ud^2+u) ] }} {{math/disp|term= + (z_1^2 + z_2^2 -u^2) \left ( (u-1)^2 (-2z_1)^2 {{Mathbruch}} -2 (-u+2) 2(u-1)z_1 (-2z_1) \right ) =0|SZ=.}} Das ist eine eben algebraische Kurve vom Grad vier, eine ziemlich hässliche Gleichung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4307h99ax3th5a9fz320imsij2ylqlk 0 18303 778913 772531 2022-08-21T15:05:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im affinen Raum {{mathl|term= \mathbb A^3_K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=K= \mathbb R}}| |ISZ=|ESZ= }} die beiden {{Stichwort|Zylinder}} {{ math/disp|term= S_1= {{Mengebed| (x,y,z) | x^2+y^2 {{=}} 1 }} \text{ und } S_2= {{Mengebed| (x,y,z) | y^2+z^2 {{=}} 1}} |SZ=. }} Das sind beides irreduzible Mengen, wie wir später sehen werden {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= K}} unendlich| |ISZ=|ESZ=. }} Wie sieht ihr Durchschnitt aus? Der Durchschnitt wird durch das Ideal {{math|term= {{ideala}}|SZ=}} beschrieben, das durch {{mathl|term= X^2+Y^2-1|SZ=}} und {{mathl|term= Y^2+Z^2-1|SZ=}} erzeugt wird. Zieht man die eine Gleichung von der anderen ab, so erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2-Z^2 || (X-Z)(X+Z) |\in|{{ideala}} || || |SZ=. }} Die beiden einzelnen Faktoren gehören aber nicht zu {{math|term= {{ideala}} |SZ=,}} da beispielsweise {{mathl|term= (1,0,-1)|SZ=}} ein Punkt des Schnittes ist, an dem {{mathl|term= X-Z|SZ=}} nicht verschwindet {{ Zusatz/Klammer |text=Charakteristik {{math|term= \neq 2}}| |ISZ=|ESZ=, }} und {{mathl|term= (1,0,1)|SZ=}} ein Punkt des Schnittes ist, an dem {{mathl|term= X+Z|SZ=}} nicht verschwindet. Die Komponenten des Schnittes werden vielmehr durch {{ math/disp|term= {{idealb}}_1= {{ideala}} + (X-Z) \text{ und } {{idealb}}_2= {{ideala}} + (X+Z) |SZ= }} beschrieben. Das sind beides Primideale, der Restklassenring ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | K[X,Y,Z]/({{idealb}}_1) || K[X,Y,Z]/({{ideala}} + (X-Z)) ||K[X,Y]/ {{makl| X^2+Y^2-1 |}} || || |SZ=. }} Um die zweite Gleichung einzusehen, eliminiert man {{math|term= Z|SZ=}} mit der hinteren Gleichung, und die beiden Zylindergleichungen werden dann identisch. Ebenso ist die Argumentation für das andere Ideal. Geometrisch gesprochen heißt dies, dass ein Punkt des Durchschnittes {{mathl|term= S_1 \cap S_2|SZ=}} in der Ebene {{mathl|term= E_1=V(Z-X)|SZ=}} oder in der Ebene {{mathl|term= E_2=V(Z+X)|SZ=}} liegt. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | E_1 \cap S_1 || E_1 \cap S_1 \cap S_2 || E_1 \cap S_2 || || |SZ= }} und ebenso für {{math|term= E_1|SZ=}}, da auf diesen Ebenen die beiden Zylindergleichungen identisch werden. Wie sehen die Durchschnitte in den Ebenen aus? Wir betrachten die Ebene {{math|term= E_1|SZ=}} mit den Koordinaten {{math|term= Y}} und {{mathl|term= U=Z+X|SZ=.}} Es ist dann {{mathl|term= X= \frac{1}{2} ((Z+X) - (Z-X))|SZ=}} und damit kann man die erste Zylindergleichung als {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \frac{1}{2} ((Z+X) - (Z-X)) |}}^2+Y^2 || 1 || || || |SZ= }} schreiben. Auf der Ebene {{math|term= E_1|SZ=,}} die ja durch {{mathl|term= Z=X|SZ=}} festgelegt ist, wird aus dieser Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \frac{1}{2} U |}}^2+Y^2 || 1 || || || |SZ= }} also {{mathl|term= \frac{1}{4}U^2+Y^2=1|SZ=.}} Dies ist die Gleichung einer {{Stichwort|Ellipse|SZ=,}} was auch anschaulich klar ist. Man beachte, dass in der obigen Berechnung des Restklassenringes {{mathl|term= K[X,Y,Z]/({{idealb}}_1)|SZ=}} aber eine Kreisgleichung auftritt. Dies sollte deshalb nicht überraschen, da Kreis und Ellipse durch eine lineare Variablentransformation ineinander überführbar sind und dass daher insbesondere die Restklassenringe isomorph sind. Als {{Stichwort|metrisches Gebilde}} sind Kreis und Ellipse verschieden, und der Durchschnitt der beiden Zylinder besteht aus zwei Ellipsen. Bei einer {{Stichwort|orthonormalen Variablentransformation}} bleibt die metrische Struktur erhalten. Die Variablen {{mathl|term= Y, {{makl| X+Z |}} , {{makl| X-Z |}} |SZ=}} definieren aber keine orthonormale Transformation. Halten wir also fest: Der Durchschnitt der beiden Zylinder ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | S_1 \cap S_2 || V({{idealb}}_1) \cup V({{idealb}}_2) || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= {{idealb}}_1 =(X^2+Y^2-1, X-Z )|SZ=}} und {{mathl|term= {{idealb}}_2 =(X^2+Y^2-1, X+Z )|SZ=}} zwei Ellipsen beschreiben. Wie liegen diese beiden Ellipsen zueinander? Dazu berechnen wir ihren Durchschnitt, der durch die Summe von {{math|term= {{idealb}}_1|SZ=}} und {{math|term= {{idealb}}_2|SZ=}} beschrieben wird. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealb}}_1 +{{idealb}}_2 || {{makl| X^2+Y^2-1 , X-Z, X+Z |}} ||{{makl| Y^2-1,X,Z |}} || || |SZ=. }} Die Lösungsmenge davon besteht aus den beiden Punkten {{ mathkor|term1= (0,1,0) |und|term2= (0,-1,0) |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Irreduzibilität von affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Zwei Zylinder |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2pckq2oom9s4a6rd7n311vargzhw55a 0 18305 778925 763122 2022-08-21T15:07:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Schnitt von zwei gleichgroßen Zylindern/Zwei Kreise/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an, also den Schnitt {{math|term= C}} der beiden Zylinder, die durch {{ math/disp|term= F=x^2+y^2-1 \text{ und } G=x^2+z^2-1 }} gegeben sind. Die partiellen Ableitungen sind {{ math/disp|term= \partial F = (2x, 2y, 0) \text{ und } \partial G =(0, 2y, 2z) |SZ=. }} Ein singulärer Punkt liegt vor, wenn diese durch die Jacobi-Matrix definierte Abbildung einen Rang {{math|term= \leq 1}} hat, und dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden partiellen Ableitungstupel linear abhängig sind {{ Zusatz/Klammer |text=und es ein Punkt der zugehörigen Varietät ist| |ISZ=|ESZ=. }} Wegen der beiden Nullen kann lineare Abhängigkeit nur bei {{ Ma:Vergleichskette |x ||z ||0 || || |SZ= }} vorliegen, und dort liegt sie für beliebiges {{math|term= y}} auch vor. Bei {{ Ma:Vergleichskette |x ||z ||0 || || |SZ= }} ergibt allerdings nur {{ Ma:Vergleichskette |y ||\pm 1 || || || |SZ= }} einen Punkt der Kurve, und das sind die beiden singulären Punkte von {{math|term= C|SZ=.}} Dies sind natürlich genau die beiden Schnittpunkte der beiden Kreise, die nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Schnitt von zwei gleichgroßen Zylindern/Zwei Kreise/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen Komponenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= C}} sind. Wenn die Radien der beiden Zylinder nicht gleich groß sind, sagen wir {{ Ma:Vergleichskette |r_1 |\neq| r_2 || || || |SZ=, }} so funktioniert die Bestimmung der singulären Punkte zunächst genau gleich, und man gelangt zur Bedingung {{ Ma:Vergleichskette |y^2 || r_1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |y^2 || r_2 || || || |SZ=, }} die nicht beide zugleich erfüllt sein können. Bei unterschiedlichen Radien ist die Schnittkurve also glatt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8xr1i2gsqpptl0ntwvs2iuk9r7v9mll 0 18312 778912 533477 2022-08-21T15:05:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | F || Y^2+X^2(X+1)^2 || 0 || || |SZ=. }} In den reellen Zahlen hat diese Gleichung zwei Lösungen: da ein reelles Quadrat nie negativ ist, kann {{math|term= F|SZ=}} nur dann {{math|term= 0|SZ=}} sein, wenn beide Summanden null sind, und das impliziert einerseits {{mathl|term= Y=0|SZ=}} und andererseits {{mathl|term= X=0|SZ=}} oder {{mathl|term= X=-1|SZ=.}} Insbesondere ist die reelle Lösungsmenge nicht zusammenhängend und nicht irreduzibel (und das Verschwindungsideal zur reellen Situation ist sehr groß). Betrachtet man {{math|term= F|SZ=}} dagegen über den komplexen Zahlen, so gibt es eine Faktorisierung {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || (Y+{{Imaginäre Einheit|}} X(X+1))(Y- {{Imaginäre Einheit|}} X(X+1)) || || || |SZ= }} in irreduzible Polynome. Dies zeigt zugleich, dass {{math|term= F|SZ=}} als Polynom in {{mathl|term= \R [X,Y]|SZ=}} irreduzibel ist {{ Zusatz/Klammer |text=obwohl das reelle Nullstellengebilde nicht irreduzibel ist| |ISZ=|ESZ=. }} Die Nullstellenmenge über den komplexen Zahlen besteht aus den beiden Graphen {{mathl|term= Y= \pm {{Imaginäre Einheit|}} X(X+1)|SZ=,}} die sich in {{ mathkor|term1= (0,0) |und|term2= (-1,0) |SZ= }} schneiden. Bei der Gleichung {{mathl|term= Y^2+Z^2+X^2(X+1)^2|SZ=}} gibt es wieder nur zwei reelle Lösungspunkte, das Polynom ist aber sowohl reell als auch komplex betrachtet irreduzibel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Irreduzibilität von affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reell |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4fh5gqogv51zcohuderzpxbhw8gmpje 0 18327 778911 704495 2022-08-21T15:05:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V ||V(WX-ZY) | \subseteq| {{op:Affiner Raum|4|K}} || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |U ||D(X,Y) ||D(X) \cup D(Y) |\subset | V || || || |SZ= }} die durch {{math|term= X}} und {{math|term= Y}} definierte Zariski-offene Menge. Auf {{math|term= U}} ist die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || {{op:Bruch|Z|X}} || {{op:Bruch|W|Y}} || || |SZ= }} definierte Funktion algebraisch. Die beiden rationalen Darstellungen liefern offenbar eine algebraische Funktion auf den beiden offenen Teilmengen {{math|term= D(X)}} und {{math|term= D(Y)|SZ=.}} Damit es eine Funktion auf {{math|term= U}} definiert muss sichergestellt werden, dass die Brüche auf dem Durchschnitt, also auf {{ Ma:Vergleichskette | D(X) \cap D(Y) || D(XY) || || || |SZ=, }} die gleichen Funktionswerte haben. Sei also {{ Ma:Vergleichskette |Q ||(w,x,y,z) |\in| D(XY) || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |Q |\in|V || || || |SZ=. }} D.h. {{ Ma:Vergleichskette |x,y |\neq| 0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | wx || zy || || || |SZ=. }} Dann ist aber sofort {{ Ma:Vergleichskette/disp | \frac{Z}{X}(Q) || \frac{z}{x} || \frac{w}{y} || \frac{W}{Y}(Q) || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionen auf affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quadrik UX-VY |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p4c8z72pg4p6f2ncr9xbb10pln3kud6 0 18353 778564 476620 2022-08-21T12:22:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir zeigen zunächst, dass ein Ideal vorliegt. {{math|term= 0}} gehört offenbar zum Radikal und mit {{mathl|term= f \in \operatorname{rad} \, (\mathfrak a ) |SZ=,}} sagen wir {{mathl|term= f^r \in \mathfrak a|SZ=,}} ist auch {{mathl|term= (af)^r=a^rf^r \in \mathfrak a|SZ=,}} also gehört {{math|term= af }} zum Radikal. Zur Summeneigenschaft seien {{mathl|term= f,g \in \operatorname{rad} \, \mathfrak a }} mit {{mathl|term= f^r \in {\mathfrak a} }} und {{mathl|term= g^s \in \mathfrak a|SZ=.}} Dann ist {{ math/disp|term= (f+g)^{r+s}= \sum_{i+j=r+s} \binom{r+s}{i} f^{i}g^{j}{{mathbruch}}= \sum_{i+j=r+s,\, i <r } \binom{r+s}{i} f^{i}g^{j} {{mathbruch}} +\sum_{i+j=r+s,\, i \geq r} \binom{r+s}{i} f^{i}g^{j} \in \mathfrak a \, . }} Sei nun {{mathl|term= f^k \in \operatorname{rad}\, (\mathfrak a) |SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= (f^k)^r =f^{kr} \in \mathfrak a |SZ=,}} also {{mathl|term= f \in \operatorname{rad} \, (\mathfrak a) |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0tt1ydwpf0fyqmmcbmolgeg3lo9vj1o 0 18379 784712 758197 2022-08-22T06:49:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme für das numerische Monoid {{math|term= M}}, das durch {{math|term= 5,7}} und {{math|term= 9}} erzeugt wird, die {{ Definitionslink |Prämath= |Einbettungsdimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplizität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Führungszahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Führungszahl/Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Singularitätsgrad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pkt63vwwlr03re0wcdev578685tujte 0 18380 784711 758196 2022-08-22T06:49:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme für das numerische Monoid {{math|term= M}}, das durch {{mathl|term= 3,7,9}} und {{math|term= 11}} erzeugt wird, die {{ Definitionslink |Prämath= |Einbettungsdimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplizität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Führungszahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Führungszahl/Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Singularitätsgrad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3lqsksv8gjlklamkicbwc11ak0kmnyh 0 18382 784710 758195 2022-08-22T06:49:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M}} ein numerisches Monoid, das durch zwei teilerfremde Elemente {{mathl|term= d >e}} erzeugt werde. Bestimme die {{ Definitionslink |Prämath= |Einbettungsdimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplizität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Führungszahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Führungszahl/Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Singularitätsgrad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Definition |SZ= }} von {{math|term= M}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 720u49e7yqemy8o81fi7mj8q36ecsv5 0 18384 784904 477719 2022-08-22T07:17:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Definition|}} Ein eindimensionaler lokaler Ring ist genau dann ein diskreter Bewertungsring, wenn seine Einbettunsdimension {{math|term=1}} ist. Wir erwähnen, dass die Einbettungsdimension immer zumindest so groß ist wie die Dimension eines lokalen Ringes. Die Ringe, bei denen Gleichheit gilt, spielen eine besondere Rolle und heißen {{Stichwort|reguläre Ringe|msw=Regulärer Ring|SZ=.}} Wir sind der Einbettungsdimension schon im Fall von monomialen Kurven begegnet, und müssen zeigen, dass die dortige Definition mit der neuen verträglich ist. {{inputfaktbeweis |Numerisches Monoid/Lokale kommutative noethersche Ringe/Numerische und algebraische Einbettungsdimension/Äquivalenz/Fakt|Lemma|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} t3kdtkf195boz1pzavfidda42h675gg 0 18397 778898 477500 2022-08-21T15:03:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2+Y^2-Z^2-Z^3 || 0 || || || |SZ= }} gegebene Fläche im {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|3|K}} |SZ=.}} Diese Fläche wird auch auf der Seite des Osnabrücker Fachbereiches gezeigt, siehe [http://www.mathinf.uni-osnabrueck.de]. Wenn man mit einer durch {{mathl|term= aX+bY}} gegebenen Ebene {{ Zusatz/Klammer |text=also einer Ebene, die durch eine Grundgerade in der {{mathlk|term=X-Y|SZ=-}}Ebene durch den Nullpunkt gegeben ist| |ISZ=|ESZ= }} schneidet, so erhält man immer eine Gleichung der Form {{mathl|term= W^2-Z^2-Z^3=0|SZ=,}} siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene algebraische Kurve/x^2-y^2+y^3/Beschreibung/Beispiel |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Die Fläche entsteht, wenn man diese Kurve um die {{math|term= Z|SZ=-}}Achse dreht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hyperflächen in drei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oo28gxmcwzc8cfn7mb1q1x6ywolptgd 0 18404 779037 707179 2022-08-21T15:25:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ mathkor/disp|term1= P=t^2-1 |und|term2= Q= t^3-t =t(t^2-1) |SZ= }} gegebene Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Affine Gerade|K}}|{{op:Affine Ebene|K}} || |SZ=. }} Für die beiden Punkte {{ Ma:Vergleichskette |t || \pm 1 || || || |SZ= }} ergibt sich der Wert {{mathl|term= (0,0) |SZ=.}} Für alle anderen Stellen {{ Ma:Vergleichskette |t |\neq| \pm 1 || || || |SZ= }} kann man {{ Ma:Vergleichskette/disp |t || \frac{t^3-t}{t^2-1} || \frac{Q(t)}{P(t)} || || |SZ= }} schreiben. D.h. dass {{math|term= t|SZ=}} aus den Bildwerten rekonstruierbar ist, und das bedeutet, dass die Abbildung dort injektiv ist. Die Bildkurve ist also eine Kurve, die sich an genau einer Stelle überschneidet. Wir bestimmen die Kurvengleichung, und schreiben {{ mathkor|term1= x=t^2-1 |und|term2= y=t^3-t |SZ=. }} Es ist {{mathl|term= t^2=x+1|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^2 || t^2 {{makl| t^2 -1 |}}^2 || t^2x^2 || (x+1)x^2 || x^3+x^2 || |SZ=. }} Das beschreibende Polynom ist also {{ math/disp|term= Y^2-X^3-X^2 |SZ=. }} {{ inputbild |Cubic with double point|svg| 300px {{!}} {{!}} |epsname=Cubic_with_double_point |Autor= |Benutzer=Gunther |Domäne=de.wikipedia.org |Lizenz=PD |Bemerkung= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie2=Theorie der kubischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom Y^2-X^3-X^2 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dtyiax73vs3cymhr24do7md4enxpvlk 0 18407 779517 752629 2022-08-21T16:41:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Whitney unbrella|png| 200px {{!}} right {{!}} |epsname= Whitney unbrella |Autor=Claudio Rocchini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2 Z || Y^2 || || || |SZ= }} gegeben ist. Wir wollen sie als die Fläche zu einem Monoidring verstehen. Dazu sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || \langle (1,0),(1,1),(0,2) \rangle |\subset| \N^2 || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette | (1,1)-(1,0) || (0,1) || || || |SZ= }} ist {{math|term= \Z^2}} das Quotientengitter {{ Zusatz/Klammer |text=Differenzengruppe| |ISZ=|ESZ=. }} Da {{ Ma:Vergleichskette | 2(0,1) || (0,2) |\in | M || || |SZ= }} ist, muss {{math|term= \N^2}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Normalisierung| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M}} sein. Die drei Erzeuger ergeben einen surjektiven Monoidhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |\N^3 | M |e_i | m_i |SZ=. }} Diese monomiale Abbildung {{ Ma:abb |name= | \N^3| M \subset \N^2 || |SZ= }} bedeutet geometrisch die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Affine Ebene|K|}} | {{op:KSpek|K[M]}} \hookrightarrow {{op:Affiner Raum|3|K}} |(s,t)| (s ,st ,t^2 ) |SZ=. }} Dabei gehen {{ Zusatz/Klammer |text=monomial gesehen| |ISZ=|ESZ= }} {{ mathkor|term1= 2e_1+e_3 |und|term2= 2e_2 |SZ= }} beide auf das Element {{mathl|term= (1,1)|SZ=,}} und das liefert die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | X^2Z || Y^2 || || || |SZ=, }} die man natürlich auch direkt ablesen kann. Man kann die definierende Gleichung auch als {{ Ma:Vergleichskette | Z || {{makl| {{op:Bruch|Y|X}} |}}^2 || || || |SZ= }} ansehen. Von {{mathl|term= K[X,Y]}} ausgehend wird also ein Quadrat zu {{math|term= {{op:Bruch|Y|X}} }} adjungiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hyperflächen in drei Variablen |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^2Z-Y^2 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rlk9qkpw7emkb6osvtsta8hyje3rka2 0 18709 785743 479716 2022-08-22T09:30:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das {{ math/disp|term= {{op:Legendre-Symbol|947|2267}} |SZ=. }} Bemerkung: {{math|term= 947}} und {{math|term= 2267}} sind Primzahlen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} trijfgvfddlxss3tjyrwhgp0j6xvf7o 0 18710 786255 428116 2022-08-22T10:55:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 3^{1457} }} in {{mathl|term= {\mathbb Z}/(13)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 13 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ppv51e08h1zyvuwb4md3xa4jkckunzd 0 18711 786262 428122 2022-08-22T10:56:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring {{math|term= {{op:Zmod|360|}} }}. {{ Aufzählung4/a |Schreibe{{n Sie}} {{math|term= {{op:Zmod|360|}} }} als Produktring {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne des chinesischen Restsatzes| |ISZ=|ESZ=. }} |Wie viele Einheiten besitzt {{math|term= {{op:Zmod|360|}} }}? |Schreibe{{n Sie}} das Element {{math|term= 239}} in komponentenweiser Darstellung. Begründe{{n Sie}}, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung. |Berechne{{n Sie}} die Ordnung von {{math|term= 239}} in {{math|term= {{op:Zmod|360|}} }}. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Chinesische Restsatz (Z) |Kategorie2=Der Restklassenring Z mod 360 |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rqyqclt1fabcn7r0fk8f1czmu8trifr 0 18715 786260 475759 2022-08-22T10:56:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Finde{{n Sie}} ein primitives Element in {{math|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=,}} in {{math|term= {{op:Zmod|9|}} }} und in {{math|term= {{op:Zmod|27|}} |SZ=.}} |Finde{{n Sie}} eine ganze Zahl, die in {{math|term= {{op:Zmod|3|}} }} primitiv ist, aber nicht in {{math|term= {{op:Zmod|9|}} |SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass jede ganze Zahl, die in {{math|term= {{op:Zmod|9|}} }} primitiv ist, auch in {{math|term= {{op:Zmod|27|}} }} primitiv ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=1 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aa8belttptlaklm81sjfycb8zy2hrqx 0 18716 783225 484342 2022-08-22T02:53:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= a,b \geq 2}} und sei {{math|term= n=ab}}. {{ Aufzählung3/a |Zeige, dass die beiden Polynome {{math|term= X^a-1}} und {{math|term= X^b-1}} Teiler des Polynoms {{math|term= X^n-1}} sind. |Sei {{math|term= a \neq b}}. Ist {{math|term= (X^a-1)(X^b-1)}} stets ein Teiler von {{math|term= X^n-1}}? |Man gebe drei Primfaktoren von {{math|term= 2^{30} -1}} an. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primfaktorzerlegung (Z) |Kategorie2=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=2 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bu8r9v65e3stlsbcfoaeyr3fmxxgg8w 0 18718 782509 479722 2022-08-22T00:53:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{math|term= {\mathbb Z}[{\mathrm i}] }} die Primfaktorzerlegung von {{ math/disp|term= 6+13 {\mathrm i} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primfaktorzerlegung |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owkvp6djvn52sce8aatcnrqh33oa6x8 0 18719 786269 479794 2022-08-22T10:57:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die fünf kleinsten Primzahlen {{math|term= p}} mit der Eigenschaft, dass das Polynom {{mathl|term= X^6-1}} über {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} }} in Linearfaktoren zerfällt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 48z0vn3jdjuimtnqpjfwnaxv5zfcnf9 0 18720 785691 666405 2022-08-22T09:21:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} in {{math|term= \Z[\sqrt{-2}]}} die beiden Elemente {{ mathkor/disp|term1= x=4+7 \sqrt{-2} |und|term2= y=5 + 8 \sqrt{-2} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den größten gemeinsamen Teiler der Normen {{math|term= N(x)}} und {{math|term= N(y)}} (in {{math|term= \Z}}) und das von {{math|term= x}} und {{math|term= y}} erzeugte Ideal in {{math|term= \Z[\sqrt{-2}] }}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Elementen in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -2 |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ah9rwxujbuiiummcnnicovmcb1b46a 0 18721 785730 758942 2022-08-22T09:28:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= D \neq 0,1 }} quadratfrei und sei {{math|term= A_D}} der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es sei {{math|term= p}} eine Primzahl, die in {{math|term= A_D}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |träge| |Kontext=Primzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen {{ Zusatz/Klammer |text=man darf benutzen, dass der Betrag von {{math|term= N(z) }} mit der Anzahl des Restklassenringes {{math|term= A_D/(z)}} übereinstimmt| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |{{math|term= p}} besitzt eine Primfaktorzerlegung in {{math|term= A_D}}. |{{math|term= p}} ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in {{math|term= A_D}}. |{{math|term= p}} oder {{math|term= -p}} ist die Norm eines Elementes aus {{math|term= A_D}}. |{{math|term= p}} oder {{math|term= -p}} ist die Norm eines Primelementes aus {{math|term= A_D}}. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ptiwfv2aubc2zs10zjtt604hgvxkbbk 0 18762 785095 707057 2022-08-22T07:46:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Multipliziere in {{mathl|term= \Z[x,y,z]}} die beiden Polynome {{ math/disp|term= x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem kommutativen Ring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lpmfeg5fvl194c3pi8rto94m5m4guqv 0 18763 785099 707058 2022-08-22T07:47:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Multipliziere{{n Sie}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} [x,y]|SZ=}} die beiden Polynome {{ math/disp|term= x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \text{ und } x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pr6z7j37u46zgbvoa7emm2rn3denngn 0 18768 780631 754761 2022-08-21T19:40:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind: {{ Aufzählung2 |{{math|term= K|SZ=}} ist {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition |SZ=. }} |Jedes nicht-konstante Polynom {{mathl|term= F\in K[X]|SZ=}} zerfällt in Linearfaktoren. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 89hn26o85hsoc5jbaxa0385zh3mkxmp 0 18789 783097 513911 2022-08-22T02:31:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} das Nullstellengebilde in {{math|term= {{op:Affiner Raum|3|K}} |SZ=,}} das durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^2+y^2 || z^2 || || || |SZ= }} gegeben ist. Der Schnitt von {{math|term= S|SZ=}} mit einer Ebene {{math|term= E|SZ=}} ist eine Kurve und wird in {{math|term= E|SZ=}} durch eine Gleichung in zwei {{ Zusatz/Klammer |text=geeigneten| |ISZ=|ESZ= }} Variablen beschrieben. Finde{{n Sie}} eine solche Gleichung für die Ebenen {{ math/disp|term= E_1=V( x),\, E_2=V(z-1), \, E_3 =V(x+2y+3z ),\, E_4 = V(3x-2z) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kegelschnitte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8llengf032ryuh0ecldn6j60hruxi4g 0 18794 783845 513908 2022-08-22T04:36:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} in {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|3|K}} |SZ=}} die beiden Ebenen {{ math/disp|term= E_1=V(3x+4y+5z) \text{ und } E_2 =V(2x-y+3z) |SZ=. }} Parametrisiere den Schnitt {{mathl|term= E_1 \cap E_2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rkbo8iw3lomvjjibc1qt2bj6tew4d2c 0 18807 779964 251554 2022-08-21T17:50:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der Kreis <math> S^1 </math> und das Quadrat <math> Q^1 </math> sind topologisch äquivalent. Eine topologische Äquivalenz {{math|term= f\colon S^1 \to Q^1}} ist gegeben durch {{ mathdisplay|term= (x,y) \mapsto f(x,y)=\frac{1}{\max\lbrace \vert x\vert ,\vert y\vert\rbrace } (x,y) \, }} und {{math|term= f}} ist stetig als Komposition stetiger Abbildungen (Absolutbetrag, Maximum, Inverses, Skalarmultiplikation). Die Umkehrabbildung {{math|term= g\colon Q^1 \to S^1}} ist {{ mathdisplay|term= (x,y) \mapsto g(x,y)=\frac{1}{ \sqrt{x^2+y^2} } (x,y) \, }} wie man nachrechnen kann. Die Abbildung {{math|term= g}} ist wieder stetig als Komposition stetiger Abbildungen (Quadrat, Quadratwurzel, Summe, Inverses, Skalarmultiplikation). Ebenso sind die Kugeloberfläche <math> S^2</math> und die Würfeloberfläche <math> Q^2 </math> topologisch äquivalent. Aber die Kugeloberfläche <math> S^2</math> und der Torus <math> S^1 \times S^1 </math> sind nicht zueinander topologisch äquivalent. Es ist nicht leicht, für letzteres einen guten Grund (also einen Beweis) anzugeben, obwohl diese Tatsache ja recht plausibel erscheint. |Textart=Beispiel |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 05hi0134nvqjz09bn2ubusz8vf69cyi 0 18854 784203 772569 2022-08-22T05:36:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= A}} und {{math|term= B}} Mengen. Sei weiter {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \times B | {{defeq|}} | {{Mengebed|(x,y) |x \in A| y\in B }} || || || |SZ= }} das kartesische Produkt von {{math|term= A}} und {{math|term= B|SZ=.}} Eine {{Stichwort|Relation}} von {{math|term= A}} nach {{math|term= B}} ist eine Teilmenge {{math|term= R \subseteq A \times B|SZ=.}} Ist {{math|term= R}} eine Relation von {{math|term= A}} nach {{math|term= B}} und {{math|term= S}} eine Relation von {{math|term= B}} nach {{math|term= C|SZ=,}} so ist die Komposition {{ Ma:Vergleichskette/disp | S \circ R | {{defeq|}} | {{Mengebed|(x,z)\in A\times C|\exists y\in B \text{ mit } (x,y)\in R \text{ und } (y,z)\in S |}} || || || |SZ= }} Weisen Sie nach, dass die Komposition von Relationen assoziativ ist, also die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | T\circ (S\circ R) || (T\circ S)\circ R || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fnlm0p11x7p329twb3d7j3ace1r7d5l 0 18860 784205 772568 2022-08-22T05:36:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= A}} und {{math|term= B}} Mengen. Sei weiter {{ math/disp|term= A\times B \colon\!= \{(x,y) \,\vert\, x \in A,\, y\in B \} }} das kartesische Produkt von {{math|term= A}} und {{math|term= B}}. Eine {{Stichwort|Relation}} von {{math|term= A}} nach {{math|term= B}} ist eine Teilmenge {{math|term= R\subseteq A\times B}}. Die {{Stichwort| Umkehrrelation}} {{math|term= R^{-1} }} ist gegeben durch {{ math/disp|term= (y,x)\in R^{-1} \,\,\Leftrightarrow \,\,(x,y)\in R. }} Eine {{Stichwort| Abbildung }} von {{math|term= A}} nach {{math|term= B}} ist eine Relation {{math|term= f}} von {{math|term= A}} nach {{math|term= B}} mit der Eigenschaft, dass für jedes Element {{math|term= x\in A}} genau ein Element {{math|term= y\in B}} mit {{math|term= (a,b)\in f}} existiert. Zeigen Sie, dass die Umkehrrelation einer Abbildung {{math|term= f}} genau dann eine Abbildung ist, wenn {{math|term= f}} bijektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8n83mc1wxv40j4jrzbwqisk75waai5o 0 18873 782441 513914 2022-08-22T00:42:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Charakterisiere in {{math|term= \Z|SZ=}} die [[Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition|Radikale]] mit Hilfe der Primfaktorzerlegung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primfaktorzerlegung (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tsejkzwz1ey4eb27dpnmfdzs7ngtwam 0 18876 783188 756899 2022-08-22T02:47:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Radikal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |reduziert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Radikale (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Reduktion (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rn2qyqdvyqsboubigzkoswohbonoq23 0 18877 783186 756898 2022-08-22T02:46:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= R|SZ=}} und {{math|term= S|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Ringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= \varphi: R \rightarrow S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sei {{math|term= {\mathfrak a}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Radikal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= S|SZ=.}} Zeige, dass das Urbild {{mathl|term= \varphi^{-1}( {\mathfrak a})|SZ=}} ein Radikal in {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Radikale (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Morphismus |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} im73x1rpnhz6sqncbwkui40y6i7umuz 0 18884 780116 752405 2022-08-21T18:12:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Jeder Punkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || (a_1 {{kommadots|}} a_n) |\in | {{op:Affiner Raum|n|K}} || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |Zariski-abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affine Varietäten/Affiner Raum/Zariski-Topologie/Definition |SZ=, }} und zwar ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || V(X_1-a_1,X_2-a_2 {{kommadots|}} X_n- a_n ) || || || |SZ=. }} Punkte sind {{ Zusatz/Klammer |text=neben der leeren Menge und dem gesamten Raum| |ISZ=|ESZ= }} die einfachsten affin-algebraischen Mengen. Das Ideal {{ Zusatz/Klammer |text=genannt {{Stichwort|Punktideal|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= (X_1-a_1, X_2-a_2 {{kommadots|}} X_n- a_n )}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |maximal| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Affiner Raum/Punktideal/Maximal/Aufgabe |Refname= {{{ref1|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Punkt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hu5qkrrbjen2dgk4kunan7pky6actax 0 18904 778907 772529 2022-08-21T15:04:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette | K || \R || || || |SZ=. }} Wir wollen die reellen Quadriken klassifizieren, und zwar hauptsächlich hinsichtlich der affin-linearen Äquivalenz für die erzeugten Hauptideale. D.h. wir dürfen affine Variablentransformationen durchführen und teilen. Aufgrund von {{Faktlink |Faktseitenname= Affine Quadriken in zwei Variablen/Erste Reduktion/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} }} kann man annehmen, dass die beschreibende Gleichung die Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y^2 ||aX^2+bX+c || || || |SZ= }} hat. Bei {{ Ma:Vergleichskette | a || b || 0 || || |SZ= }} kann man durch eine Transformation {{mathl|term= Y \mapsto \sqrt{c}Y }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathlk|term=c >0}}| |ISZ=|ESZ= }} bzw. {{mathl|term= Y \mapsto \sqrt{-c}Y}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathlk|term=c < 0}}| |ISZ=|ESZ= }} und anschließende Division durch {{math|term= \pm c }} erreichen, dass die rechte Seite gleich {{ mathlist|term1= 1 ||term2= -1 |oder|term3= 0 |SZ= }} ist. Bei {{ Ma:Vergleichskette | a || 0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | b |\neq| 0 || || || |SZ= }} kann man {{mathl|term= bX+c }} als neue Variable nehmen, und erhält die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | Y^2 || X || || || |SZ=. }} Sei nun {{ Ma:Vergleichskette | a |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dann kann man durch eine Transformation {{mathl|term= X \mapsto X/\sqrt{a} }} bzw. {{mathl|term= X \mapsto X/\sqrt{-a} }} erreichen, dass {{ Ma:Vergleichskette | a || \pm 1 || || || |SZ= }} ist. Durch quadratisches Ergänzen kann man {{math|term= b }} zu {{math|term= 0 |SZ=}} machen. Bei {{ Ma:Vergleichskette | c || 0 || || || |SZ= }} kann man auf {{ Ma:Vergleichskette | Y^2 || \pm X^2 || || || |SZ= }} transformieren. Sei also {{ Ma:Vergleichskette | c |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Dann kann man durch eine simultane Transformation {{mathl|term= X \mapsto uX,\, Y \mapsto uY}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=u=\sqrt{ \pm c}|SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} und anschließende Division erreichen, dass {{ Ma:Vergleichskette | c || \pm 1 || || || |SZ= }} ist. Wir haben also noch die Möglichkeiten {{ Ma:Vergleichskette | Y^2 || \pm X^2 \pm 1 || || || |SZ= }} zu betrachten, wobei {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y^2-X^2 || \pm 1 || || || |SZ= }} zueinander äquivalent sind. Wir wissen also, dass jede reelle Quadrik auf eine der folgenden neun Formen gebracht werden kann. {{ Auflistung9 |{{mathl|term= Y^2=0 \, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist eine {{Stichwort|verdoppelte Gerade|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2=1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das bedeutet {{mathl|term= Y= \pm 1|SZ=,}} das sind also {{Stichwort|zwei parallele Geraden|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2=-1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist {{Stichwort|leer}}. |{{mathl|term= Y^2=X \, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist eine {{Stichwort|Parabel|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2=X^2\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das bedeutet {{mathl|term= (Y-X)(Y+X)=0|SZ=,}} es handelt sich also um {{Stichwort|zwei sich kreuzende Geraden|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2=-X^2\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Die einzige Lösung ist der {{Stichwort|Punkt}} {{mathl|term= (0,0)|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2=X^2+1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das bedeutet {{mathl|term= (Y-X)(Y+X)=1|SZ=,}} das ist also eine {{Stichwort|Hyperbel|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2=-X^2+1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist ein {{Stichwort|Einheitskreis|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2=-X^2-1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist wieder {{Stichwort|leer|SZ=.}} }} Sind diese neun Typen alle untereinander verschieden? Das hängt davon ab, welchen Äquivalenz-Begriff man zugrunde legt. Die Typen III und IX sind beide leer, haben also identisches Nullstellengebilde. Andererseits sind die zugehörigen Restklassenringe {{ mathkor/disp|term1= \R[X,Y]/(Y^2+1) |und|term2= \R[X,Y]/(X^2+Y^2+1) |SZ= }} nicht isomorph, und über den komplexen Zahlen sind die Nullstellengebilde nicht gleich. Deshalb werden sie auch hier als verschieden betrachtet. Ansonsten sind diese Nullstellengebilde meistens schon aus topologischen Gründen verschieden {{ Zusatz/Klammer |text=z.B. ist der Einheitkreis {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die Hyperbel ist nicht kompakt und hat zwei Zusammenhangskomponenten, die Parabel ist nicht kompakt mit einer Zusammenhangskomponenten, etc.| |ISZ=|ESZ=. }} Allerdings ist die verdoppelte Gerade und die Parabel reell-topologisch gleich, und die Hyperbel und die parallelen Geraden ebenfalls. Hier sind aber jeweils die Restklassenringe und im zweiten Fall auch die komplexen Versionen verschieden. Z. B. ist {{mathl|term= K[X,Y]/(Y^2) |SZ= }} nicht reduziert, aber {{ Ma:Vergleichskette | K[X,Y]/(Y^2-X) |\cong| K[Y] || || || |SZ= }} ist ein Integritätsbereich. Die komplexe Hyperbel ist zusammenhängend, da sie isomorph zu {{ Ma:Vergleichskette | {{CC}}^\times ||{{CC}} \setminus \{ 0\} || || || |SZ= }} ist, also zur punktierten komplexen Geraden {{mathl|term= {{op:Affine Gerade|{{CC}}|}} \setminus \{ 0\} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Formen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reell |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ajoga3kwlsyafpeb7u6s6wfyebnq8x 0 18912 783096 513957 2022-08-22T02:31:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die verschiedenen {{ Faktlink |Präwort=|reellen Quadriken|Faktseitenname= Affine Quadriken in zwei Variablen/Reell/Klassifizierung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Realisierung als Kegelschnitt, also als Schnitt einer Ebene mit dem Kegel {{mathl|term= V(x^2+y^2-z^2)|SZ=,}} oder beweise{{n Sie}}, dass es eine solche Realisierung nicht gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b0jhgzlcrr0wy9i8d754k7l3zc22d4u 0 18943 779958 637786 2022-08-21T17:49:09Z Arbota 36910 Ersetzung; kosmetische Änderungen wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Als '''Peano-Kurve''' bezeichnet man stetige surjektive Abbildungen {{math|term= I\to I^2}} eines bestimmten Typs. Die erste Konstruktion stammt von [[W:Giuseppe Peano|Giuseppe Peano]], und sie wurde damals als etwas Beunruhigendes empfunden. Zunächst sei angemerkt, dass eine stetige surjektive Abbildung <math>f\colon I\to I^2</math> wiederum stetige und surjektive Abbildungen <math>f\times\operatorname{id}_{I^{n-1}}\colon I^n\to I^{n+1}</math> liefert, und durch Verkettung erhält man eine stetige Surjektion <math>I\to I^n</math> für jedes <math>n\in \mathbb{N}</math>. Des weiteren erlaubt eine stetige surjektive Abbildung {{math|term= I\to I^n}} die Definition einer stetigen surjektiven Abbildung {{math|term= \mathbb{R}\to \mathbb{R}^n}}, indem man {{math|term= \mathbb{R}^n}} auf geeignete Weise durch abzählbar viele Würfel {{math|term= I^n}} überdeckt. Zur Konstruktion einer Peano-Kurve gebe ich einige Bilder an, die andeuten, wie der [[W:Grenzwert|Grenzwert]] einer geeigneten [[W:Folge (Mathematik)|Folge]] stetiger (sogar stückweise linearer) Abbildungen {{math|term= I\to I^2}} eine stetige surjektive Abbildung {{math|term= I\to I^2}} liefert. Man beginnt mit der Unterteilung eines Quadrats in neun gleich große Quadrate, die in einer S-Kurve durchlaufen werden. Im nächsten Schritt wird jedes dieser Quadrate wieder unterteilt und die entstehenden Quadrate in S-Kurven durchlaufen, die als neue Kurve zusammengehängt werden: :[[Datei:Peano curve shaded.svg]] Skaliert man die Kurven auf dieselbe Größe, erhält man folgendes Bild: :[[Datei:Peano curve.png]] Nun werde ich eine präzise Definition einer surjektiven stetigen Abbildung {{math|term= I\to I^2}} mit Hilfe der [[W:Cantor-Menge|Cantor-Menge]] geben. Die informelle Beschreibung der Cantor-Menge lautet so: Man beginnt mit dem abgeschlossenen Intervall <math>[0,1]</math> der [[W:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] von 0 bis 1. Aus diesem Intervall wird das offene mittlere Drittel entfernt, also alle Zahlen, die strikt zwischen 1/3 und 2/3 liegen. Übrig bleiben die beiden Intervalle <math>[0,\tfrac13]</math> und <math>[\tfrac23, 1]</math>. Aus diesen beiden Intervallen wird wiederum jeweils das offene mittlere Drittel entfernt und man erhält nun vier Intervalle: <math>[0,\tfrac19]</math>, <math>[\tfrac29 ,\tfrac13 ]</math>, <math>[\tfrac23 ,\tfrac79 ]</math> und <math>[\tfrac89 ,1]</math>. Von diesen Intervallen werden wiederum die offenen mittleren Drittel entfernt. Dieser Schritt wird unendlich oft wiederholt. Die Cantor-Menge besteht nun aus allen Punkten, die jedes Entfernen überlebt haben. Das Bildchen dazu sieht so aus: :[[Datei:Cantor-Menge.png]] Man kann die Cantor-Menge auch als die Menge aller reellen Zahlen <math>x\in I = [0, 1]</math> beschreiben, die eine Darstellung {{math|term= \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n} }} als [[W:Stellenwertsystem|Kommazahl]] zur Basis 3 besitzen, in der nur die Ziffern 0 und 2 vorkommen. Insbesondere enthält die Cantor-Menge mehr als nur die Randpunkte der entfernten Intervalle; diese Randpunkte sind genau die Zahlen in <math>[0, 1]</math>, welche sich mit einer 0-Periode oder mit einer 2-Periode schreiben lassen, zum Beispiel :<math>1/3 = 2\cdot 3^{-2} + 2\cdot 3^{-3} + 2\cdot 3^{-4} + \cdots = 0{,}0\overline{2}_3=0{,}1_3</math> Auch 1/4 liegt in der Cantor-Menge, denn :<math>1/4 = 2\cdot 3^{-2} + 2\cdot 3^{-4} + 2\cdot 3^{-6} + \cdots = 0{,}\overline{02}_3</math> Tatsächlich ist die triadische Darstellung einer Zahl in der Cantor-Menge eindeutig, wenn man fordert, dass die 1 nicht als Ziffer auftaucht. Bezeichne nun {{math|term= C}} die Cantor-Menge, dann gibt es eine surjektive stetige Abbildung {{math|term= g\colon C \to I}}. Sie ist definiert als {{ mathdisplay|term= g \Bigl( \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n} \Bigr) \colon = \sum_{n=1}^\infty \frac{ \frac{a_n}{2} }{2^n} \, }} In Worten: {{math|term= g}} halbiert die Ziffern einer triadischen Darstellung und nimmt sie als Ziffern einer duadischen oder binären Darstellung. Da jede reelle Zahl eine duadische Darstellung besitzt, ist {{math|term= g}} surjektiv. Sei nun {{math|term= \epsilon > 0}} und {{math|term= n\in \mathbb{NN} }} mit {{math|term= \frac{1}{2^n}<\epsilon }}, dann ist f\"ur zwei Punkte {{math|term= x,y \in C}} mit {{math|term= \vert x- y\vert <\frac{1}{3^n} }} schon {{ mathdisplay|term= \vert g(x) - g(y) \vert \leq \sum_{i={n+1} }^\infty \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2^n} < \epsilon \, }} Denn die triadischen Darstellungen von {{math|term= x,y}} unterscheiden sich nicht vor der {{math|term= n+1}}-ten Stelle. Also ist {{math|term= g}} stetig. Des weiteren gibt es eine surjektive Abbildung {{math|term= h\colon C\to C\times C}}, die durch {{ mathdisplay|term= h \Bigl( \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n} \Bigr) \colon = \Bigl( \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{2n} }{3^n} ,\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{2n+1} }{3^n} \Bigr) \, }} definiert ist -- also ein mathematisches Modell des Reißverschlusses. Die Stetigkeit von {{math|term= h}} sieht man leicht ein. Somit gibt es eine stetige surjektive Abbildung {{math|term= (g\times g)\circ h\colon C\to I\times I}}. Diese läßt sich erweitern zu einer stetigen (und erst recht surjektiven) Abbildung {{math|term= f\colon I\to I\times I}}, etwa indem in den entfernten Intervallen linear fortgesetzt wird. == Siehe auch == *[[W:FASS-Kurve|FASS-Kurve]] *[[W:Hilbert-Kurve|Hilbert-Kurve]] *[[W:Sierpinski-Kurve|Sierpinski-Kurve]] |Textart=Beispiel |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xlx7hjyqep9v5bkv2w930bnxro8mpk 0 18945 778906 772528 2022-08-21T15:04:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= K= \mathbb C|SZ=.}} Wir wollen die komplexen Quadriken klassifizieren. Aufgrund von {{Faktlink |Faktseitenname= Affine Quadriken in zwei Variablen/Erste Reduktion/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} }} kann man annehmen, dass die beschreibende Gleichung die Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y^2 || aX^2+bX+c || || || |SZ= }} hat. Bei {{mathl|term= a =b=0}} kann man durch eine Transformation {{mathl|term= Y \mapsto \sqrt{c}Y}} und anschließende Division durch {{math|term= \pm c}} erreichen, dass die rechte Seite {{math|term= 1}} oder {{math|term= 0}} ist. Bei {{mathl|term= a =0}} und {{mathl|term= b \neq 0}} kann man {{mathl|term= bX+c}} als neue Variable nehmen, und erhält die Gleichung {{mathl|term= Y^2=X|SZ=.}} Sei nun {{mathl|term= a \neq 0|SZ=.}} Dann kann man durch die Transformation {{mathl|term= X \mapsto X/\sqrt{a} }} erreichen, dass {{mathl|term= a= 1}} ist. Durch quadratisches Ergänzen kann man {{math|term= b}} zu null machen. Schließlich kann man durch simultane Transformation {{mathl|term= X \mapsto uX,\, Y \mapsto uY}} und anschließende Division erreichen, dass {{mathl|term= c=1}} ist. Wir wissen also, dass jede komplexe Quadrik auf eine der folgenden fünf Formen gebracht werden kann: {{ Auflistung5 |{{mathl|term= Y^2=0 \, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist eine {{Stichwort|verdoppelte Gerade|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2=1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das bedeutet {{mathl|term= Y= \pm 1|SZ=,}} das sind also {{Stichwort|zwei parallele komplexe Geraden|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2=X \, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist eine {{Stichwort|komplexe Parabel|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2=X^2\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das bedeutet {{mathl|term= (Y-X)(Y+X)=0|SZ=,}} es handelt sich also um {{Stichwort|zwei komplexe Geraden|SZ=,}} die sich in einem Punkt kreuzen. |{{mathl|term= Y^2=X^2+1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das bedeutet {{mathl|term= (Y-X)(Y+X)=1|SZ=,}} das ist also eine {{Stichwort|komplexe Hyperbel|SZ=.}} }} Typ I und Typ III sind dabei komplex-topologisch betrachtet eine komplexe affine Gerade, also eine reelle Ebene und damit topologisch gleich {{ Zusatz/Klammer |text=von komplexer Ebene zu sprechen ist im Kontext der algebraischen Geometrie gefährlich, es kann {{math|term= {{CC}}}} oder {{math|term= {{CC}}^2}} gemeint sein| |ISZ=|ESZ=. }} Die Restklassenringe sind aber verschieden, weshalb sie hier als verschieden aufgelistet werden. Ansonsten sind alle Typen komplex-topologisch untereinander verschieden. Neben der reellen Ebene gibt es die punktiere komplexe affine Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=die Hyperbel, die topologisch eine punktierte reelle Ebene ist| |ISZ=|ESZ=, }} zwei disjunkte Geraden und zwei sich {{ Zusatz/Klammer |text=in einem Punkt| |ISZ=|ESZ= }} schneidende Geraden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Komplex |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 10vu9327wbsjcptof094osfglwfkbpp 0 18968 779034 772533 2022-08-21T15:25:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein typisches und wichtiges Beispiel für eine rationale Funktion ist {{mathl|term= Y=1/X|SZ=.}} Den zugehörigen Graphen nennt man {{Definitionswort/enp|term=Hyperbel}} {{math|term= H|SZ=.}} Nennerfrei geschrieben ergibt sich die Gleichung {{ math/disp|term= XY=1 \text{ bzw. } H = {{Mengebed| (x,y)| xy {{=|}} 1 }} |SZ=. }} Diese rationale Funktion ist auf {{mathl|term= K^\times= K \setminus \{0\} }} eine echte Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= H}} als Graphen| |ISZ=|ESZ= }} und stiftet eine {{Anführung|natürliche}} Bijektion {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Einheiten|K|}}|H |x|{{makl|x,{{op:Bruch|1|x}}|}} |SZ=. }} {{math|term= K^\times}} und {{math|term= H}} sind also in einem später zu präzisierenden Sinn {{Anführung|äquivalent}} oder {{Anführung|isomorph|SZ=.}} Beide Beschreibungen haben etwas für sich. Die Beschreibung als {{mathl|term= K^\times \subset K}} spielt sich auf einer Geraden ab {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man an {{mathl|term= K=\R}} denkt| |ISZ=|ESZ=, }} dafür gehört der Punkt {{math|term= 0|SZ=,}} der ein {{Stichwort|Häufungspunkt}} von {{math|term= K^\times}} ist, nicht zu {{math|term= K^\times|SZ=.}} D.h., {{math|term= K^\times}} ist nicht {{Stichwort|abgeschlossen|SZ=.}} Dagegen ist die Hyperbel in {{math|term= \R^2}} abgeschlossen, für die abgeschlossene Realisierung muss man also in eine höhere Dimension gehen. Die Frage, was eine gute Beschreibung für ein Objekt der algebraischen Geometrie ist, wird immer wieder auftauchen. {{ inputbild |Rectangular hyperbola|svg| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Rectangular_hyperbola |Autor= |Benutzer=Qef |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Im reellen Fall, also bei {{mathl|term= K=\R|SZ=,}} besteht {{mathl|term= \R^\times}} {{ Zusatz/Klammer |text=und entsprechend {{mathlk|term=H_{\R} }}| |ISZ=|ESZ= }} aus zwei disjunkten {{Anführung|Zweigen}}, ist also nicht {{Stichwort|zusammenhängend|SZ=.}} Im komplexen Fall, also bei {{mathl|term= K=\Complex|SZ=,}} ist {{mathl|term= \Complex^\times}} {{ Zusatz/Klammer |text=und entsprechend {{mathlk|term=H_{\Complex} }}| |ISZ=|ESZ= }} eine punktierte reelle Ebene, also zusammenhängend. Dies ist ein typisches Phänomen der algebraischen Geometrie, dass wichtige Eigenschaften vom Grundkörper abhängen. Besonders wichtig sind dann aber Eigenschaften, die nur von den beschreibenden Gleichungen abhängen und für die Lösungsmengen zu allen Körpern gelten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hyperbel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iipil2mb4qqp4k9pjwpu905rg2mqd74 0 18979 785789 758966 2022-08-22T09:37:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden Restklassenringe {{ mathkor/disp|term1= R=\R [X,Y]/(X^2+Y^2-1) |und|term2= S=\R [X,Y]/(XY-1) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}: {{math|term= S|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptidealbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition |SZ=, }} {{math|term= R|SZ=}} hingegen nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reell |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lrqmn287yet1ksg1tvb1k92m6jy3x06 0 18980 782797 527411 2022-08-22T01:41:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{{A|A}}}}} ein {{ Definitionslink |noetherscher| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} kommutativer Ring. Man zeige, dass {{mathl|term= {{potreiring|n|{{{A|A}}}|T}}}} noethersch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Basissatz |Kategorie2=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 39ioinlhhbhhi6o2dp74hjhhr9dv013 0 19052 778908 772530 2022-08-21T15:04:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die affine Ebene {{math|term= {{op:Affine Ebene|K|}} }} und darin einige affin-algebraische Teilmengen, die durch die Variablen {{math|term= X}} und {{math|term= Y}} definiert sind. Das Nullstellengebilde {{mathl|term= V(X,Y)}} besteht einfach aus dem {{Stichwort|Nullpunkt}} {{mathl|term= (0,0)|SZ=.}} Die Bedingung sagt ja hier, dass beide Variablen null sein müssen. Die Menge {{mathl|term= V(X)}} ist die {{math|term= Y|SZ=-}}{{Stichwort| Achse}} {{ Zusatz/Klammer |text=alle Punkte der Form {{mathlk|term=(0,y)}}| |ISZ=|ESZ= }} und {{mathl|term= V(Y)}} ist die {{math|term= X|SZ=-}}Achse. Die Menge {{mathl|term= V(X+Y)}} besteht aus allen Punkten {{mathl|term= (x,y)}} mit {{ Ma:Vergleichskette |y || -x || || || |SZ=. }} Das ist also die {{Stichwort|Gegendiagonale|SZ=.}} Die Menge {{mathl|term= V(XY)}} besteht aus den Punkten {{mathl|term= (x,y)|SZ=,}} wo das Produkt {{ Ma:Vergleichskette |xy ||0 || || || |SZ= }} sein muss. Über einem Körper kann ein Produkt aber nur dann null sein, wenn einer der Faktoren null ist. D.h. es ist {{ Ma:Vergleichskette | V(XY) || V(X) \cup V(Y) || || || |SZ= }} und es liegt das {{Stichwort|Achsenkreuz}} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j1hdku14kem6jiwp5r0pdskp11m04qm 0 19059 778910 763116 2022-08-21T15:05:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= P=(a_1 {{kommadots|}} a_n) \in {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=.}} Dann ist das {{Definitionslink |Verschwindungsideal| Definitionsseitenname= Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Definition }} {{mathl|term= \operatorname{Id} \, (P) }} gleich dem Ideal {{mathl|term= (X_1-a_1 {{kommadots|}} X_n -a_n)|SZ=.}} Zunächst ist klar, dass die linearen Polynome {{mathl|term= X_i-a_i}} im Punkt {{math|term= P}} verschwinden {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{mathlk|term=(X_i-a_i)(P) = a_i -a_i =0}}| |ISZ=|ESZ=. }} Damit gehört auch das von diesen Polynomen erzeugte Ideal zum Verschwindungsideal. Sei umgekehrt {{math|term= F}} ein Polynom mit {{mathl|term= F(P)=0|SZ=.}} Wir schreiben {{math|term= F}} in den {{Anführung|neuen Variablen}} {{math/disp|term= \tilde{X}_1=X_1-a_1 {{kommadots|}} \tilde{X}_n=X_n -a_n \, ,}} indem wir {{math|term= X_i}} durch {{mathl|term= X_i-a_i+a_i}} ersetzen. In den neuen Variablen sei {{mathl|term= F= \sum_\nu b_\nu \tilde{X}^\nu |SZ=.}} Dieses Polynom besteht aus der Konstanten {{math|term= b_0}}, in jedem anderen Monom kommt mindestens eine Variable vor. Also können wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || F_1 \tilde{X}_1 {{plusdots}} F_n \tilde{X}_n + c || || || |SZ= }} mit gewissen Polynomen {{math|term= F_i}} schreiben. Daher ist {{mathl|term= F(P)=c=0}} und {{mathl|term= F\in (\tilde{X}_1 {{kommadots|}} \tilde{X}_n)|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Verschwindungsideal zu einem Punkt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k7gvit7wh9fotpmsaf9y8ira4825lcd 0 19061 785573 758817 2022-08-22T09:01:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= V \subseteq \mathbb A^n_K|SZ=}} eine Teilmenge, die aus endlich vielen Punkten bestehe. Zeige{{n Sie}}: {{math|term= V|SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affine Varietäten/Affin-algebraische Mengen/Irreduzibel/Definition |SZ=, }} wenn {{math|term= V|SZ=}} einpunktig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Punktmengen im affinen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Irreduzibel |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 994fzeuzathui59i29prq9ab3pl1toc 0 19115 785788 513960 2022-08-22T09:37:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Parametrisiere{{n Sie}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || 2x^2-xy+3y^2+x-5y || || || |SZ= }} definierte Quadrik mit Hilfe des Nullpunktes und der Geraden {{mathl|term= V(y-1)|SZ=}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom 2x^2-xy+3y^2+x-5y |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} swd81pyc1wnpu36egle2jxqggrcdyl2 0 19117 785790 513961 2022-08-22T09:38:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Parametrisiere{{n Sie}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || x^2+2xy-y^2+x-3y+4 || || || |SZ= }} definierte Quadrik {{mathl|term= {{{C|C}}}=V(F)|SZ=}} mit Hilfe des Punktes {{mathl|term= (1,2) \in {{{C|C}}}|SZ=}} und der {{math|term= y|SZ=-}}Achse. Führe{{n Sie}} keine Variablentransformation durch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom x^2+2xy-y^2+x-3y+4 |Stichwort= |Punkte=4 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t2ko6qpgiqje00qzpkt73to6jwg21z3 0 19122 786268 759367 2022-08-22T10:57:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}: Jede Quadrik der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | F || aX^2+bY^2+c || 0 || || |SZ= }} mit {{math|term= a,b \neq 0|SZ=}} hat mindestens eine Lösung in {{math|term= {{op:Zmod|p|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen über Restklassenringen von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Summe |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ac8mrpuzdec4bogeuruptg3e9wx2pb 0 19124 786266 759366 2022-08-22T10:57:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \geq 3|SZ=}} und {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei ein Polynom {{mathl|term= F \in {{op:Zmod|p|}} [X,Y]|SZ=}} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || \alpha X^2+\beta XY + \gamma Y^2 + \delta X + \epsilon Y + \eta || || || |SZ= }} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass für das zugehörige Nullstellengebilde {{ Ma:Vergleichskette | V(F) | \subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ= }}{{{zusatz1|}}} die folgenden drei Alternativen bestehen. {{ Aufzählung3 |{{math|term= V(F)|SZ=}} besitzt mindestens einen Punkt. |{{mathl|term= F=c|SZ=}} mit einer Konstanten {{mathl|term= c\neq 0|SZ=.}} |Es gibt eine Variablentransformation derart, dass das Polynom in den neuen Koordinaten die Gestalt {{math|term= Z^2-u|SZ=}} mit einem Nichtquadrat {{math|term= u \in {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen über Restklassenringen von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Summe |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s0j5vpgu7k5wsbuftrr8785gb1mjzvw 0 19126 782828 756599 2022-08-22T01:47:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[X,Y] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}: {{math|term= F|SZ=}} zerfällt in {{ Definitionslink |Prämath= |Linearfaktoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 35pggx3y0h4p2d6u6780y3zm9n022om 0 19128 785787 772572 2022-08-22T09:37:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte das {{Stichwort| Ellipsoid}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |E ||V(2x^2+3y^2+4z^2-5) || {{Mengebed|(x,y,z)| 2x^2+3y^2+4z^2 {{=}} 5}} || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} eine affin-lineare Variablentransformation{{{ref1|}}} derart, dass das Bild von {{math|term= E}} unter der Abbildung die {{Stichwort|Standardkugel}} {{mathl|term= V(x^2+y^2+z^2-1)|SZ=}} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in drei Variablen |Kategorie2=Das Polynom 2x^2+3y^2+4z^2-5 |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ellipsoid |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} llklx6llef096nkmfwl646w21upr1j0 0 19163 778915 767597 2022-08-21T15:06:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Inklusionen in {{ Faktlink |Faktseitenname= Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} }} (1), (2) sind echt. Sei zum Beispiel {{mathl|term= T \subset {{op:Affine Gerade|K}} }} eine unendliche echte Teilmenge (was voraussetzt, dass {{math|term= K}} unendlich ist). Dann ist {{mathl|term= \operatorname{Id} (T) = 0 |SZ=,}} und also ist {{mathl|term= V(0) = {{op:Affine Gerade|K}} }} echt größer als {{math|term= T|SZ=.}} Zu (2). Sei {{mathl|term= I=(X^2)|SZ=,}} {{mathl|term= R=K[X]|SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= V(I)=\{0\} }} und {{mathl|term= \operatorname{Id} \,(\{0\}) = (X) |SZ=,}} aber {{mathl|term= X \not\in (X^2) |SZ=.}} Ein extremeres Beispiel für {{mathl|term= R= \R [X,Y]}} ist {{mathl|term= I=(X^2+Y^2)}} mit {{mathl|term= V(I)=\{(0,0)\} |SZ=.}} Das Verschwindungsideal zu diesem Punkt ist aber das Ideal {{mathl|term= (X,Y)|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Teilmengen und der Verschwindungsideale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rsjjep30y9xerofwqjta0mu10hgf6i9 106 19176 779234 770238 2022-08-21T15:56:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|2|Der Begriff des topologischen Raumes ist entstanden, um angemessen von stetigen Abbildungen reden zu können. Zur Erinnerung und zur Motivation erläutere ich zunächst den Begriff der stetigen Abbildung im Fall metrischer Räume. Hier tauchen noch positive reelle Zahlen auf, und die globale Stetigkeit wird mit Hilfe der lokalen Stetigkeit definiert. Das Bestreben, diese Einschränkungen zu vermeiden, führt schnell auf den fundamentalen Begriff der {{Stichwort|offenen Menge|msw=Offene Menge|SZ=.}} Eine Topologie auf einer Menge {{math|term= X}} besteht nun gerade darin, eine Familie von offenen Mengen auszuzeichnen, die gewissen einfachen Bedingungen genügt. Diese Bedingungen lauten umgangssprachlich:{{ Aufzählung4 | Die leere Menge ist offen. | Der Schnitt von zwei offenen Mengen ist offen. | Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist offen. | Die ganze Menge {{math|term= X}} ist offen. }} Eine Abbildung von topologischen Räumen heißt {{Stichwort|stetig}}, wenn das Urbild einer jeden offenen Menge wieder offen ist. {{inputdefinition |Metrik/Metrischer Raum/Definition|Metrik oder Distanzfunktion}} Man kann leicht aus den Bedingungen folgen, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert {{math|term= d(x,y)}} gibt den Abstand der Punkte {{math|term=x}} und {{math|term= y}} bezüglich {{math|term= d}} an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt, obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden. {{inputbeispiel |Topologie/Grundbegriffe/Metrik/Beispiel|Metrischer Raum}} {{inputdefinition |Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition|Offene und abgeschlossene Kugel}} Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Norm. Die Kugeln bezüglich der Maximumsnorm sind hingegen [[Würfel]]. Der Kugelbegriff erlaubt folgende Formulierung der Stetigkeit. {{inputdefinition |Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition|Stetigkeit für Abbildungen metrischer Räume}} Eine Formulierung des Stetigkeitsbegriffs, der auf {{math|term=\epsilon}} und {{math|term=\delta}} verzichtet, erfordert einen neuen Begriff. {{inputdefinition |Topologie/Grundbegriffe/Umgebungen in metrischen Räumen/Definition|Umgebungen in metrischen Räumen}} Mit Hilfe des Umgebungsbegriff kann man nun folgendes zeigen: Eine Abbildung metrischer Räume ist stetig in {{math|term=x}}, wenn zu jeder Umgebung {{math|term= V}} von {{math|term= f(x)}} eine Umgebung {{math|term= U}} von {{math|term= x}} existiert, so dass {{mathdisplay|term= f(U)\subseteq V |SZ= }} gilt. Und wieder ist eine Abbildung stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist. Man kann aber nach Einführung eines weiteren Begriffes sofort von der globalen Stetigkeit sprechen. {{inputdefinition|Topologie/Grundbegriffe/Offene Mengen in metrischen Räumen/Definition|Offene Mengen in metrischen Räumen}} {{inputbeispiel|Topologie/Grundbegriffe/Offene Mengen in metrischen Räumen/Beispiel|Offene Mengen in metrischen Räumen}} Diese Auswahl von Vokabeln liefert nun folgenden Satz. {{inputfaktbeweis|Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen metrischer Räume/Fakt|Satz|}} Im Laufe der Zeit hat sich herausgestellt, dass der Begriff der offenen Mengen einen bequemen Umgang mit stetigen Abbildungen erlaubt. Nun braucht man nicht unbedingt eine Metrik, um von offenen Mengen reden zu können. {{inputdefinition|Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Topologie}} Bezeichnet {{math|term= \mathcal{P}(X)}} die Potenzmenge, also die Menge aller Teilmengen, von {{math|term= X}}, so ist eine Topologie auf {{math|term= X}} eine Teilmenge der Potenzmenge von {{math|term= X}}, die gewissen Bedingungen genügt. Es gilt also {{math|term= \tau\in \mathcal{P}\bigl(\mathcal{P}(X)\bigr)}}. {{inputbeispiel|Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Beispiel|Topologische Räume}} Nun haben wir mit folgender Definition ein vorläufiges Ziel erreicht. {{inputdefinition|Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume/Definition|Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume}} Man erhält leicht, dass stetige Abbildungen sich komponieren lassen. {{inputfaktbeweis|Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume/Fakt|Satz|}} Auch den Umgebungsbegriff kann man analog zu der Situation metrischer Räume formulieren. {{inputdefinition|Topologie/Grundbegriffe/Umgebungen in topologischen Räumen/Definition|Umgebungen in topologischen Räumen}} Ist {{math|term= (X,d)}} ein metrischer Raum und {{math|term= (X,\tau_d)}} der zugehörige topologische Raum, so gibt es a priori zwei Umgebungsbegriffe. Diese stimmen aber überein. Denn wenn {{math|term= U}} eine metrische Umgebung von {{math|term= x\in X}} ist, so gibt es ja eine offene {{math|term= \epsilon}}-Kugel um {{math|term= x}}, die noch ganz in {{math|term= U}} liegt. Da offene Kugeln in {{math|term= \tau_d}} enthalten sind, ist {{math|term= U}} auch eine topologische Umgebung. Ist nun {{math|term= V}} eine topologische Umgebung von {{math|term= x\in X}}, so gibt es ja eine Menge {{math|term= U\in \tau_d}} mit {{math|term= x\in U\subseteq V}}. Nach Definition von {{math|term= \tau_d}} existiert nun ein {{math|term= \epsilon>0}} mit {{math|term= U(x,\epsilon)\subseteq U}}. Also ist {{math|term=V}} auch eine metrische Umgebung. Zudem erhält man folgende recht einfache Aussage. {{inputfaktbeweis|Topologie/Grundbegriffe/Umgebungen in topologischen Räumen/Fakt|Satz|}} Sei nun {{math|term= (X,\tau)}} ein topologischer Raum. Um den Sprachgebrauch zu vereinfachen, sagt man meist: {{math|term= U}} ''ist offen in'' {{math|term=(X,\tau)}} an Stelle von {{math|term= U\in \tau}}. Aus dem gleichen Grund wird die Topologie in der Notation häufig unterschlagen. Gelegentlich ist es jedoch sinnvoll, eine Menge mit verschiedenen Topologien zu versehen. <noinclude> {{:Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Footer|2}} [[Kategorie:Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)|Vorlesung]] </noinclude> }} cqg25am0dnbzw6joyy7olc68kumk0yh 0 19178 779953 772543 2022-08-21T17:48:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= * Sei {{math|term= V}} ein {{math|term= \mathbb{R} }} -Vektorraum und {{math|term= \vert \vert \, \vert\vert\colon V \to \mathbb{R} }} eine [[W:normierter Raum|Norm]] auf {{math|term= V}}. Dann ist {{mathl|term= d(x,y) := \vert\vert x-y\vert\vert }} eine Metrik auf {{math|term= V}}, wie man leicht nachrechnet. Somit ist jeder normierte Vektorraum ein metrischer Raum. Ein wichtiger Spezialfall ist der [[W:euklidischer Raum|euklidische Raum]] {{math|term= \mathbb{R}^n}} mit der durch die euklidische Norm {{mathdisplay|term= \vert\vert(x_1, x_2, \dots, x_n)\vert\vert = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2} }} gegebenen Metrik. *Auf jeder Menge {{math|term= X}} lässt sich eine {{Stichwort| diskrete Metrik}} definieren durch {{ mathdisplay|term= d(x,y):= \begin{cases} 0 & x=y \\ 1 & x\neq y \end{cases} \, }} * Ist {{math|term= (X,d)}} ein metrischer Raum und {{math|term= Y\subseteq X}} eine Teilmenge, so ist {{math|term= (Y,d_Y)}} wieder ein metrischer Raum, wobei {{math|term= d_Y(y,z):=d(y,z)\,\forall\,y,z\in Y}}. |Textart=Beispiel |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0r2hef2k6f49fi7jvogdw5zesew9qnt 0 19192 786085 759237 2022-08-22T10:27:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Menge der reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} mit der metrischen Topologie. Ist {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Irreduzibilität (Topologie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} atbv7vvqqqz10s5ayzen1r01rvhwerg 0 19195 785107 758475 2022-08-22T07:48:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |faktorieller Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}{{{zusatz1|}}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q(R)|SZ=}}. Zeige{{n Sie}}: Wenn {{mathl|term= F,G \in R[X]|SZ=}} keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in {{mathl|term= Q(R)[X]|SZ=}} ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Polynomring |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5x67jfda385kadw3xhn5s2bkyfxtnb2 0 19196 778918 312402 2022-08-21T15:06:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den affinen Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=.}} Wenn {{math|term= K|SZ=}} endlich ist, so besteht der Raum nur aus endlich vielen Punkten und nur die einpunktigen Teilmengen sind irreduzibel. Insbesondere ist der affine Raum außer bei {{mathl|term= n=0|SZ=}} nicht irreduzibel. Bei unendlichem {{math|term= K|SZ=}} ist der affine Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} hingegen irreduzibel. Sei nämlich {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} =Y \cup Z|SZ=}} mit echten affin-algebraischen Teilmengen. D.h. für die offenen Komplemente {{mathl|term= U= {{op:Affiner Raum|n|K}} \setminus Y|SZ=}} und {{mathl|term= W= {{op:Affiner Raum|n|K}} \setminus Z|SZ=}} ist einerseits {{mathl|term= U,W \neq \emptyset|SZ=,}} aber {{mathl|term= U \cap W= \emptyset|SZ=.}} Das widerspricht aber {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zariski-Topologie/Affiner Raum/Offene Mengen sind dicht/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Irreduzibilität von affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Affiner Raum |Autor= |Bearbeitungsstand= }} djyg9encsgyauwen143uu6ztzgo07yn 0 19207 785786 758963 2022-08-22T09:37:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{math|term= \neq 2|SZ=}} und {{mathl|term= a \in K|SZ=}} von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden. Zeige{{n Sie}}, dass das Polynom {{ math/disp|term= X^2+Y^2+a \in K[X,Y]\, |SZ= }} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie in Polynomringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f2py5e7jfzygx2aj3ti7awbveurmv4h 0 19208 785785 758962 2022-08-22T09:37:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= K= \mathbb Q|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Begründe{{n Sie}}, ob {{ Ma:Vergleichskette/disp | V(X^2+Y^2-1) |\subseteq | {{op:Affine Ebene|\Q|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Definitionsseitenname= Affine Varietäten/Affin-algebraische Mengen/Irreduzibel/Definition |Refname={{{ref|}}} }} ist oder nicht.{{{zusatz|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Irreduzibilität von affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rational |Stichwort2=Irreduzibel |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oyeg7d4l86klhaw01o5lepm9jehntjr 0 19235 782843 708606 2022-08-22T01:49:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= F \in K[X_1, \ldots , X_n]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |homogenes Polynom| |Definitionsseitenname= Polynomring/Mehrere Variablen/Homogene Komponenten/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} mit Nullstellenmenge {{math|term= V(F)|SZ=}}. Zeige{{n Sie}}, dass für jeden Punkt {{mathl|term= P\in V(F)}} und jeden Skalar {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=}} auch {{mathl|term= \lambda P \in V(F)|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Skalar |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jp3crx9lhsnun11g8pl93xkotk0q82p 0 19253 779798 475925 2022-08-21T17:23:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Sei {{ math/disp|term= G \subseteq \operatorname{Gl} \,(n, K) \, }} eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} }} mit der natürlichen Operation auf dem Polynomring {{mathl|term=K[X_1, \ldots ,X_n]|SZ=.}} Dann heißt ein Polynom {{math/disp|term= F \in K[X_1, \ldots ,X_n] }} {{Definitionswort|invariant unter}} {{math|term=G}} oder {{math|term=G}}-{{Definitionswort|invariant|SZ=,}} wenn für alle Punkte {{math|term=P \in K^n}} die Gleichheit {{ math/disp|term= F(g(P)) = F(P) \text { für alle } g \in G }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Invariant |Definitionswort2= |Stichwort=Invariant |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5anq2dnlg1uv4wufonqjez1d4droyzg 779802 779798 2022-08-21T17:24:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Sei {{ math/disp|term= G \subseteq \operatorname{Gl} \,(n, K) \, }} eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} }} mit der natürlichen Operation auf dem Polynomring {{mathl|term=K[X_1, \ldots ,X_n]|SZ=.}} Dann heißt ein Polynom {{math/disp|term= F \in K[X_1, \ldots ,X_n] }} {{Definitionswort|invariant unter|msw=Invariant}} {{math|term=G}} oder {{math|term=G}}-{{Definitionswort|invariant|SZ=,}} wenn für alle Punkte {{math|term=P \in K^n}} die Gleichheit {{ math/disp|term= F(g(P)) = F(P) \text { für alle } g \in G }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Invariant |Definitionswort2= |Stichwort=Invariant |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tabhd3bfu2r1hlna9yi3wjiz79xco8d 0 19271 785078 577645 2022-08-22T07:44:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{\mathbb A^2_K } |{\mathbb A^2_K } |(x,y) | (x^2,y^2) {{=|}} (u,v) |SZ=. }} Wie sieht das Bild der Ebene und wie das Bild des Einheitskreises unter dieser Abbildung für {{mathl|term= K=\R|SZ=}} und wie für {{mathl|term= K={{CC}}|SZ=}} aus? Im reellen Fall, wenn der Kreis einmal durchlaufen wird, wie oft wird das Bild durchlaufen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der polynomialen Abbildungen zwischen affinen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lz20y4wa73x71v2e8meu5dm5r2r56np 0 19272 785077 513972 2022-08-22T07:43:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte in {{math|term= {{op:Affine Ebene|\R|}} }} die beiden Nullstellenmengen {{ mathkor/disp|term1= K=V(X^2+Y^2-1) |und|term2= C=V(X^4+Y^4-1) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine polynomiale Abbildung in zwei Variablen gibt, die die eine Nullstellenmenge surjektiv auf die andere abbildet. Zeige, dass diese Abbildung schon über {{math|term= \Q|SZ=}} definiert ist, dort aber nicht surjektiv ist. Zeige ferner, dass es über {{math|term= \Q|SZ=}} überhaupt keine surjektive polynomiale Abbildung von {{math|term= C|SZ=}} nach {{math|term= K}} geben kann und dass es nur die konstanten polynomialen Abbildungen von {{math|term= K|SZ=}} nach {{math|term= C|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der polynomialen Abbildungen zwischen affinen Räumen |Kategorie2=Die inhomogene Fermat-Quartik |Kategorie3=Der Einheitskreis |Objektkategorie= |Stichwort=Fermat-Quartik |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k9viz3rc2kukh2vq3e1jkt1jg7vdezw 0 19286 779035 477749 2022-08-21T15:25:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Kurve, die durch die Parametrisierung {{ mathkor/disp|term1= x=t^2+t+1 |und|term2= y= 2t^2+3t-1 |SZ= }} gegeben ist. Es ist {{mathl|term= x-1=t^2+t|SZ=}} und {{mathl|term= y+1=2t^2+3t|SZ=.}} Eine einfache Addition ergibt {{ Ma:Vergleichskette/disp | (y+1)- 2(x-1) || 3t-2t ||t || || |SZ=. }} Daher können wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | x-1 ||t^2+t ||(y-2x+3)^2+(y-2x+3) || || |SZ= }} schreiben. Ausmultiplizieren ergibt insgesamt die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^2+4x^2-4xy-15x+7y+13 || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onqh4i28n4331rhsojstn5tna1bzl2u 0 19304 779319 763418 2022-08-21T16:09:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || 4X^3YZ^2+ 2X^2Y^5+ 5XYZ^7-3X^4YZ^4+X^8-Y^7+2Y^6Z^3+X+5 || || || |SZ= }} hat den Grad {{math|term= 9|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Komponenten| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_9 || 5XYZ^7-3X^4YZ^4+2Y^6Z^3 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_8 || X^8 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F_7 ||2X^2Y^5-Y^7 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_6 || 4X^3YZ^2 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F_5 ||F_4 ||F_3 ||F_2 ||0 |SZ=, }} {{ math/disp|term= F_1=X \text{ und } F_0=5 |SZ=. }} Wenn man es als Polynom in {{mathl|term= (K[Y,Z])[X]|SZ=}} auffasst und sich nur dafür interessiert, in welcher Potenz {{math|term= X|SZ=}} vorkommt, so spricht man vom {{math|term= X|SZ=-}}Grad. Der {{math|term= X|SZ=-}}Grad von {{math|term= F|SZ=}} ist {{math|term= 8|SZ=.}} Es gibt natürlich auch eine homogene Zerlegung entlang der {{math|term= X|SZ=-}}Graduierung; dabei ist beispielsweise die Komponente zum {{math|term= X|SZ=-}}Grad {{math|term= 0|SZ=}} gleich {{mathl|term= -Y^7+2Y^6Z^3+5|SZ=}} und zum {{math|term= X|SZ=-}}Grad {{math|term= 1|SZ=}} gleich {{mathl|term= 5XYZ^7+X|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2bf8maqz965iyz0bj0nm8cxuwv0cj1u 0 19308 785079 513939 2022-08-22T07:44:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Bild {{math|term= \tilde{F} |SZ= }} des Polynoms {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || X^2Y+3XY-Y^3 || || || |SZ= }} unter dem durch {{ math/disp|term= X \longmapsto T^2+S-3,\, Y \longmapsto 3TS+S^2-T |SZ= }} definierten Einsetzungshomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X,Y] | K[S,T] || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der polynomialen Abbildungen zwischen affinen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0nrvab5d1zmsy2xd3qusgw60bsvo4kn 0 19309 782831 461325 2022-08-22T01:47:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele Monome vom {{ Definitionslink |Grad |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Polynomring (mehrere Variablen)/Grad/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{math|term= d|SZ=}} gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j9mt2i8j8ihlu4wrfgmxlmwzqi90mgu 0 19319 779764 772538 2022-08-21T17:18:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{Stichwort|Hyperbel}} {{ Ma:Vergleichskette |H ||V(XY-1) || || || |SZ= }} und behaupten, dass es keine polynomiale Parametrisierung davon gibt. Dies folgt einfach daraus, dass zu zwei Polynomen {{mathl|term= P(t)|SZ=}} und {{mathl|term= Q(t)|SZ=}} die Bedingung, für jedes {{math|term= t|SZ=}} auf {{math|term= H|SZ=}} zu liegen, gerade {{ math/disp|term= P(t) \cdot Q(t)= 1 \text { für alle } t \in {{op:Affine Gerade|K|}} |SZ= }} bedeutet, bzw., dass {{mathl|term= P(t) \cdot Q(t)=1|SZ=}} im Polynomring {{math|term= K[t]|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=was im Fall eines unendlichen Körpers äquivalent ist; bei einem endlichen Körper ist die zweite Identität die {{Anführung|richtige}} Bedingung| |ISZ=|ESZ=. }} Das bedeutet aber, dass diese Polynome invers zueinander sind und daher {{ Definitionslink |Einheiten |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} sind. Im Polynomring sind aber lediglich die Konstanten {{math|term= \neq 0|SZ=}} Einheiten. Also sind beide Polynome konstant und damit ist die dadurch definierte Abbildung konstant, und es liegt keine polynomiale Parametrisierung vor. Dagegen ist {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{0\} | {{op:Affine Ebene|K|}} |t|{{op:Zeilenvektor|t | {{op:Bruch|1|t}}|}} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Parametrisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Hyperbel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitshyperbel |Stichwort=Hyperbel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kooxeys1y59kd6bovfnhhfxa07077qv 0 19353 779518 595468 2022-08-21T16:41:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ math/disp|term= (S,T) \longmapsto (S^2,T^2,ST)=(X,Y,Z) |SZ=, }} die durch homogene Polynome {{ Zusatz/Klammer |text=sogar durch Monome| |ISZ=|ESZ= }} gegeben ist. Es ist einfach, eine algebraische Relation für das Bild zu finden, es ist nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | Z^2 || (ST)^2 ||S^2T^2 ||XY || |SZ=, }} d.h. das Bild der Abbildung liegt in {{mathl|term= V(Z^2-XY)|SZ=.}} Siehe auch {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monomiale Abbildung/S,ST^2,ST/Gleichung für Bild/Aufgabe |Refname={{{ref1|Aufgabe}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} azmi8mt9mibecvm9724l1gej9lbvffu 0 19354 784427 595455 2022-08-22T06:10:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden Abbildungen {{ math/disp|term= (s,t) \longmapsto (s^2,t^2,st)=(x,y,z) \text{ und } (s,t) \longmapsto (s,st^2,st)=(x,y,z) |SZ=. }} Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung {{math|term= F|SZ= }} erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach {{math|term= V(F)|SZ=)}}. Welche Abbildung liefert eine {{Anführung|bessere}} Beschreibung von {{math|term= V(F)|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Quadriken in drei Variablen |Kategorie3=Die Quadrik Z^2-XY |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n376abk3o0guf9aqwb8utffb9gc9cll 0 19377 782798 756563 2022-08-22T01:42:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n}} Variablen über {{math|term= K|SZ=.}} Wir wollen einen alternativen Beweis einsehen, dass {{ Ma:Vergleichskette | \operatorname{Id} \, (V(J)) || \operatorname{rad} \, (J) || || || |SZ= }} für jedes Ideal {{math|term= J|SZ=}} in {{math|term= R}} ist, der auf {{ Faktlink |Faktseitenname= Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} }} aufbaut. Sei {{mathl|term= f \in \operatorname{Id}\,(V(J))|SZ=.}} Betrachte{{n Sie}} den Ring {{math|term= R[T]|SZ=}} und zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | J' || (J, 1 -f \cdot T) || || || |SZ= }} trivial ist. Schließe{{n Sie}} daraus, dass {{math|term= f|SZ=}} im Radikal von {{math|term= J|SZ=}} liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Nullstellensatz (Algebraische Versionen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rabinowich |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24src03pqlyn9dc2cvadk6qby816sen 0 19421 785224 585218 2022-08-22T08:05:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ= }} ein unendlicher Körper und sei {{mathl|term= F \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ= }} ein von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die Nullstellenmenge {{math|term= V(F)|SZ= }} nicht der gesamte affine Raum {{math|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Teilmengen und der Verschwindungsideale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pg38hyj53v1jkk9wogb7sjyt0rooe28 0 19465 786472 527213 2022-08-22T11:31:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= C \subset{{op:Affiner Raum|3|\R}} |SZ= }} der Schnitt von zwei Zylindern mit Radius {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= C|SZ= }} ist also die Vereinigung von zwei Ellipsen| |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten die durch einen Vektor {{mathl|term= v=(a,b,c) \neq 0|SZ= }} definierte senkrechte Projektion {{ Ma:abbele/disp |name=p_v | {{op:Affiner Raum|3|\R}} | {{op:Affine Ebene|\R}} || |SZ=. }} Man charakterisiere, in Abhängigkeit von {{mathl|term= a,b,c|SZ=,}} die möglichen Bilder unter diesen Projektionen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektion |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hk6mfmnon4688vqg4nlvx1jyjok6utc 0 19475 785200 513986 2022-08-22T08:02:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= F,G \in K[X_1, \ldots, X_n]|SZ= }} Polynome und {{mathl|term= K \subseteq L|SZ= }} eine {{ Definitionslink |Körpererweiterung| Definitionsseitenname= Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=.}} Diskutiere, wie sich die verschiedenen Äquivalenzbegriffe{{{ref1|}}} für {{math|term= F|SZ= }} und {{math|term= G|SZ= }} (und für {{math|term= V(F)|SZ= }} und {{math|term= V(G)|SZ= }}) unter dem Körperwechsel verhalten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzbegriffe für affine Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8kt5852h5ec0uwv4863b4rc64lp3z7m 0 19508 779473 547170 2022-08-21T16:34:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das mechanische Koppelungssystem, das durch den Einheitskreis und die dazu tangentiale Gerade durch {{mathl|term= (0,1)|SZ= }} mit dem Koppelungsabstand {{mathl|term= d=2|SZ= }} definiert ist, also durch den Geradenbahnpunkt und Kreisbahnpunkt {{ math/disp|term= P_1 = (x_1,1) \text{ und } P_2=(x_2,y_2) |SZ= }} mit den beiden Bedingungen {{ Aufzählung2 |{{mathl|term= x_2^2+y_2^2=1|SZ= }} |{{mathl|term= (x_2-x_1)^2 +(y_2-1)^2=4|SZ=.}} }} Es handelt sich also um den Schnitt von zwei Zylindern, allerdings mit unterschiedlichen Radien und auch mit Innenachsen, die sich nicht treffen. Interessant sind die beiden Geraden {{ Ma:Vergleichskette/disp |G_1 || V(x_2,y_2+1) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |G_2 || V(x_2-x_1,y_2+1) || || || |SZ=, }} die sich im Punkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || (0,0,-1) || || || |SZ= }} schneiden. Die Gerade {{math|term= G_1|SZ= }} liegt auf dem einen Zylinder und schneidet den anderen Zylinder tangential, und umgekehrt. Das geometrische Bild ist, dass der kleinere Zylinder aus dem größeren eine {{Anführung|gebogene Acht}} herausstanzt, wobei {{math|term= P|SZ= }} der Kreuzungspunkt der Acht ist. {{ inputbild |Intersection of cylinders|jpg | 300px {{!}} {{!}} |epsname=Intersection_of_cylinders |Autor=Jan Schoenke |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Die erlaubten Stangenkonfigurationen lassen sich folgendermaßen gewinnen. Zu jedem Kreispunkt gibt es zwei Möglichkeiten, wie die Stange liegen kann, mit der Ausnahme des Kreisbahnpunktes {{mathl|term= (0,-1)|SZ=,}} wo der Geradenbahnpunkt {{mathl|term= (0,1)|SZ= }} sein muss. Wir starten mit der Situation, wo der Punkt {{mathl|term= (0,1)|SZ= }} der Kreisbahnpunkt ist, und wo {{mathl|term= (-2,1)|SZ= }} der Geradenbahnpunkt ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Stange liegt also links auf der Geraden| |ISZ=|ESZ=, }} und lassen den Kreisbahnpunkt im Uhrzeigersinn um den Kreis wandern. Der Kreisbahnpunkt zieht dann den Geradenbahnpunkt hinter sich her, bis er unten bei {{mathl|term= (0,-1)|SZ= }} angekommen ist. Die Stange ist dann der vertikale Durchmesser des Kreises (der Geradenbahnpunkt ist dann in {{mathl|term= (0,1)|SZ= }} und der Kreisbahnpunkt ganz unten). Ab dann wandert der Kreisbahnpunkt auf dem linken Kreisbogen nach oben und schiebt dabei die Stange weiter nach rechts, bis der Geradenbahnpunkt bei {{mathl|term= (2,1)|SZ= }} ankommt. Die andere Möglichkeit, wo der Punkt {{mathl|term= (0,1)|SZ= }} der Kreisbahnpunkt ist, ist die, wo die Stange rechts auf der Geraden liegt {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=(2,1)|SZ= }} als Geradenbahnpunkt| |ISZ=|ESZ=. }} Der Kreisbahnpunkt bewegt sich erneut im Uhrzeigersinn. Dabei schiebt er den Geradenbahnpunkt zuerst nach rechts bis zu einem gewissen Extremum, bei dem die Stange senkrecht zum Kreis im Kreisbahnpunkt steht. Von da an zieht der Kreisbahnpunkt den Geradenbahnpunkt zurück nach links, wobei sich die Stange aufrichtet, bis sie den vertikalen Durchmesser des Kreises einnimmt. Weiter wandert der Kreisbahnpunkt auf dem linken Kreisbogen wieder nach oben, wobei er den Geradenbahnpunkt bis zum Extremum nach links schiebt, und im letzten Stück wieder nach {{mathl|term= (-2,1)|SZ=}} zieht. Insbesondere wird der vertikale Durchmesser des Kreises zweimal von der Stange eingenommen, diese Stangenkonfiguration entspricht also dem Kreuzungspunkt der Acht. Wir wollen nun die Trajektorie zum Mittelpunkt der Stange berechnen, also zu {{ Ma:Vergleichskette/align |P ||P_1+ \frac{1}{2} (P_2-P_1) ||(x_1,1) + \frac{1}{2}(x_2-x_1, y_2-1) || {{makl| \frac{1}{2}x_1+ \frac{1}{2}x_2 , \frac{1}{2}y_2 +\frac{1}{2} |}} | {{defeqr|}} |(x,y) |SZ=. }} Wir interessieren uns für eine Gleichung für {{math|term= x|SZ= }} und {{math|term= y|SZ=,}} und führen die Variable {{mathl|term= z=\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}x_2|SZ= }} ein. Dann ist {{ math/disp|term= x_1=x+z,\, x_2=x-z \text{ und } y_2=2y-1 |SZ= }} und das Gleichungssystem schreibt sich in den neuen Variablen als {{ mathkor/disp|term1= (x-z)^2+(2y-1)^2 = 1 |und|term2= (-2z)^2 + (2y-2)^2 =4 |SZ=, }} wobei man letzteres als {{mathl|term= z^2+(y-1)^2=1|SZ= }} schreiben kann bzw. als {{mathl|term= z^2+y^2-2y=0|SZ=.}} Die erste Gleichung ergibt ausgerechnet {{ Ma:Vergleichskette/disp | z^2-2zx+x^2+4y^2-4y || 0 || || || |SZ=. }} Damit ergibt sich nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elimination/Zwei quadratische Gleichungen/Direkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= a_1=a_2=1|SZ=}} und {{math|term= b_1=0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} die Gleichung {{Ma:Vergleichskette/align/handlinks |(c_1-c_2)^2+c_1b_2^2 ||(y^2-2y-x^2-4y^2+4y)^2 + (y^2-2y) (2x)^2 ||(-3y^2+2y-x^2)^2 + (y^2-2y) (2x)^2 ||9y^4 +x^4 +4y^2- 12y^3 +6x^2y^2 -4x^2y +4x^2y^2-8x^2y ||9y^4 + 10x^2y^2+ x^4 -12y^3 - 12x^2y +4y^2 |SZ=. }} Das ist eine Quartik {{ Zusatz/Klammer |text=Kurve vom Grad vier| |ISZ=|ESZ= }} mit zwei Singularitäten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quartik 9y^4+10x^2y^2+x^4-12y^3-12x^2y+4y^2 |Stichwort=Kreis und Tangente |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h46ghbyw735lzi8fweuatqh3tyabod3 0 19513 779475 478983 2022-08-21T16:34:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das mechanische System aus Einheitskreis und {{math|term= x|SZ=-}}Achse, wo der Koppelungsabstand {{mathl|term= d=1|SZ= }} ist. Das mechanische System wird dann durch die beiden Gleichungen {{ Aufzählung2 |{{math|term= x_2^2+y_2^2=1|SZ= }} |{{math|term= (x_2-x_1)^2 +y_2^2 = 1|SZ= }} }} beschrieben. Es handelt sich um den Durchschnitt von zwei Zylindern mit gleichem Radius und sich treffenden Innenachsen, d.h. wir können auf die Ergebnisse von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Schnitt von zwei gleichgroßen Zylindern/Zwei Kreise/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zurückgreifen. Dort wurde gezeigt, dass der Durchschnitt durch zwei Ellipsen gegeben ist, die sich in zwei Punkten schneiden. Diese Beschreibung muss sich auch im Kontext des mechanischen Systems wiederfinden. Welche Stangenkonfigurationen entsprechen der einen Ellipse, welche der anderen, welche Konfigurationen liegen auf beiden? Machen wir uns also einen Überblick über die erlaubten Konfigurationen. Wenn der Geradenpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=also der Punkt auf der Geradenbahn| |ISZ=|ESZ= }} der Kreismittelpunkt ist, so ist jeder Punkt des Kreises als Kreisbahnpunkt erlaubt. Die radialen Strahlen des Kreises bilden also eine Schar von erlaubten Stangenkonfigurationen, und diese bilden zusammen die eine Ellipse. Die andere Ellipse entspricht der Menge der Stangenkonfigurationen, bei denen der Geradenbahnpunkt von {{math|term= -2|SZ= }} nach {{math|term= +2|SZ= }} läuft und dabei den Kreisbahnpunkt im oberen oder unteren Kreisbogen vor sich herschiebt bzw. hinterherzieht. Es gibt zwei Stangenkonfigurationen, die zu beiden Familien gehören, nämlich die mit dem Kreismittelpunkt als Geradenbahnpunkt und {{mathl|term= (0,1)|SZ= }} bzw. {{mathl|term= (0,-1)|SZ= }} als Kreisbahnpunkt. In einer solchen Stangenkonfiguration kann das mechanische System nicht nur vorwärts und rückwärts laufen, sondern wesentlich die Richtung wechseln. Wie sehen die Trajektorien eines Punktes auf der bewegten Stange aus? Die Gesamttrajektorie ist die Vereinigung der beiden Trajektorien, die zu den beiden irreduziblen Komponenten des Systems gehören. Wie viele Selbstdurchdringungspunkte gibt es? Für einen Punkt {{mathl|term= P=P_1+u(P_2-P_1)}} der Koppelungsstange sind die Koordinaten gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | (z_1,z_2) || (x_1+u(x_2-x_1), uy_2) || || || |SZ=. }} Bei {{mathl|term= u=0|SZ= }} ist die Trajektorie das reelle Intervall {{mathl|term= [-2,2]|SZ=,}} und bei {{mathl|term= u=1|SZ= }} ist es der Einheitskreis. Sei also nun {{mathl|term= u \neq 0,1|SZ=.}} Die Projektion der radialen Komponenten des Sytems ist einfach der Kreis mit Radius {{math|term= u|SZ=.}} Die Projektion der anderen Ellipse ist wieder eine Ellipse, die den Kreis in unterschiedlicher Weise schneiden kann. Siehe auch {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Schnitt von zwei Zylindern/Projektion auf Flächen/Charakterisierung der Bilder/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kreis und Gerade durch Mittelpunkt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ghsiergatg80ra6wdt3tool41a0tx7l 0 19529 784429 595460 2022-08-22T06:10:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Affine Ebene|K|}} \supseteq D(s) | {{op:Affiner Raum|3|K}} | (s,t) | {{op:Zeilenvektor | s| {{op:Bruch|t^2|s}} |t|}} {{=|}} (x,y,z) |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} eine algebraische Gleichung {{math|term= F|SZ= }} für das Bild. Untersuche die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach {{math|term= V(F)|SZ=)}}. Vergleiche diese Abbildung mit den in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Monomiale Abbildung/S,ST^2,ST/Gleichung für Bild/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} diskutierten Abbildungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Quadriken in drei Variablen |Kategorie3=Die Quadrik Z^2-XY |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5rmvtsks45npcjpchc1dh8lx2ztk29h 0 19532 783169 756884 2022-08-22T02:43:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ math/disp|term= {{ideala|}}_1 \subseteq {{ideala|}}_2 \subseteq {{ideala|}}_3 \subseteq \ldots |SZ= }} eine aufsteigende Kette von {{ Definitionslink |Prämath= |Idealen| |Kontext=kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Vereinigung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \bigcup_{n \in \N} {{ideala|}}_n |SZ=}} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige{{n Sie}} durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ls19sxkery6mdxplug0jsa9e16kben4 0 19534 785098 513980 2022-08-22T07:47:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ= }} ein Körper und sei {{ math/disp|term= K[X_n, \, n \in \N] |SZ= }} der Polynomring über {{math|term= K|SZ= }} in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der noetherschen kommutativen Ringe |Kategorie2=Der Polynomring in unendlich vielen Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bto3dluqv3dgq1cs56xazyoyxgt84kg 0 19568 783187 513995 2022-08-22T02:46:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= \mathfrak a|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Radikal| |Definitionsseitenname= Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} in einem kommutativen Ring. Zeige, dass {{math|term= \mathfrak a|SZ= }} der Durchschnitt von {{ Definitionslink |Primidealen| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Primideal/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Radikale (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primideal |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ljkvmj8h90qsdfamfdti3hzdpy0dkfg 0 19573 783722 757370 2022-08-22T04:16:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=-}}Algebra. Zeige{{n Sie}}: Dann ist {{math|term= A|SZ=}} {{ Definitionslink |artinsch| |Definitionsseitenname= Kommutative Algebra/Artinscher Modul/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} juwytyut293izq6287y3pmjvbeypncv 0 19575 783154 756870 2022-08-22T02:41:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}: Wenn {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |artinsch| |Definitionsseitenname= Kommutative Algebra/Artinscher Modul/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} und {{mathl|term= \phi: M \to M|SZ=}} {{math|term= R|SZ=-}}linear und injektiv ist, so ist {{math|term= \phi|SZ=}} ein Isomorphismus. {{ManSie|Formuliere|Formulieren}} und beweise{{n Sie}} auch eine analoge Aussage für den Fall, das {{math|term= M|SZ=}} noethersch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der artinschen Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Isomorphismus |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aekhpiglbr3qfcqitnkb1xslor30q2g 0 19589 779043 763192 2022-08-21T15:26:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{{extra|}}} die beiden algebraischen Kurven {{ math/disp|term= V_1=V(X^2+Y^2-2) \text{ und } V_2=(X^2+2Y^2-1) \subseteq \mathbb A^2_K |SZ=. }} Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp | (X^2+Y^2-2,X^2+2Y^2-1) || (Y^2+1,X^2-3) || || || |SZ=. }} Sei {{mathl|term= K= \mathbb R|SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= V_1 \cap V_2 = \emptyset|SZ= }} leer. Die affin-algebraische Menge {{mathl|term= V=V_1 \cup V_2|SZ= }} ist nicht zusammenhängend {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= V_1|SZ= }} und {{math|term= V_2|SZ= }} sind die irreduziblen Komponenten und die Zusammenhangskomponenten| |ISZ=|ESZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Koordinatenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} ist {{ math/disp|term= \R[X,Y]/((X^2+Y^2-2) (X^2+2Y^2-1)) |SZ=. }} Man könnte erwarten, dass die Funktion auf {{math|term= V|SZ=,}} die auf {{math|term= V_1|SZ=}} konstant gleich {{math|term= 1|SZ=}} und auf {{math|term= V_2|SZ=}} konstant gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist, sich im Koordinatenring wiederfindet. Dies ist aber nicht der Fall, und zwar liegt das daran, dass über den komplexen Zahlen {{math|term= V_{\Complex}|SZ= }} zusammenhängend ist. Daher besitzt der komplexe Koordinatenring nur die trivialen {{ Definitionslink |idempotenten Elemente|Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=, }} und das überträgt sich auf den reellen Koordinatenring. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Teilmengen und der Verschwindungsideale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mypdtfqw59xsmkx5l14l1d60vt62g26 0 19592 779042 529618 2022-08-21T15:26:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven {{ mathkor/disp|term1= V_1=V(X^2+Y^2-2) |und|term2= V_2=(X^2+2Y^2-1) \subseteq {{op:Affine Ebene|K|}} |SZ=. }} Bei {{mathl|term= K= \R|SZ= }} sind das beides irreduzible Quadriken. Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp | (X^2+Y^2-2,X^2+2Y^2-1) || (Y^2+1,X^2-3) || || || |SZ=. }} Da das Polynom {{mathl|term= Y^2+1|SZ= }} im Reellen keine Nullstelle hat, ist der Durchschnitt {{mathl|term= V_1 \cap V_2 = \emptyset|SZ= }} leer. Das Verschwindungsideal des {{ Zusatz/Klammer |text=leeren| |ISZ=|ESZ= }} Durchschnittes ist natürlich das Einheitsideal, die Summe der beiden Verschwindungsideale ist aber nicht das Einheitsideal. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Teilmengen und der Verschwindungsideale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pmejylsls0s20a44b6y87biilji3ijc 0 19595 779107 532957 2022-08-21T15:36:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{math|term= K|SZ=-}}Spektrum zur {{math|term= K|SZ=-}}Algebra {{math|term= K|SZ= }} besteht einfach aus einem Punkt, und zwar ist die Identität {{ Ma:abb |name= |K|K || |SZ= }} der einzige {{math|term= K|SZ=-}}Algebrahomo{{latextrenn}}morphismus von {{math|term= K|SZ= }} nach {{math|term= K|SZ=.}} Es gibt im Allgemeinen weitere Körperautomorphismen auf {{math|term= K|SZ=,}} doch diese sind keine {{math|term= K|SZ=-}}Algebrahomomorphismen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f06862pkmxk9qni0iuujxfzmnirhw1m 0 19601 783195 756905 2022-08-22T02:48:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{mathl|term= R,S,T|SZ= }} kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= \varphi |R|S || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\psi |S|T || |SZ= }} seien {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man zeige, dass für die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildungen| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( \psi \circ \varphi )^* || \varphi^* \circ \psi^* || || || |SZ= }} gilt. Ferner zeige man, dass zur Identität {{ Ma:abb |name= {{op:Identität||}} |R|R || |SZ= }} auch {{math|term= {{op:Identität||}}^* |SZ= }} die Identität ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p8t0qypyszxyula15tvazh1invuvri0 0 19602 783199 756908 2022-08-22T02:48:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe ein Beispiel von zwei kommutativen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R,S|SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |von endlichem Typ| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und einer {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath=K |Spektren| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die nicht von einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} herrühren kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fr8jkdr3gbpdounhsh7a57mtktp1tol 0 19603 783198 756907 2022-08-22T02:48:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man beschreibe zu einer kommutativen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ= }} von endlichem Typ die {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die zum {{ Definitionslink |Prämath= |Strukturhomomorphismus| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Algebra gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c2dlwrln70k0pooni3x7rgcmzmcr4qf 0 19604 783194 756904 2022-08-22T02:48:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ= }} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und sei {{mathl|term= F \in R|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi^* | {{op:KSpek|R|}} | {{op:Affine Gerade|K|}} || |SZ= }} die zum {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gehörende {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | (\varphi^*)^{-1} (0) || V(F) || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o5j2r08s7n9w2mxmhlp0x94ssmo3jt2 0 19605 783193 756903 2022-08-22T02:47:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ= }} ein unendlicher Körper und {{math|term= R|SZ= }} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und sei {{mathl|term= F \in R|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi^* | {{op:KSpek|R|}} | {{op:Affine Gerade|K|}} || |SZ= }} die zum {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gehörende {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ= }} genau dann konstant ist, wenn {{math|term= \varphi^*|SZ= }} konstant ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b5cncxqku1thi538jzgf18s319k0osw 0 19607 783192 756902 2022-08-22T02:47:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ= }} ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien {{math|term= R|SZ= }} und {{math|term= S|SZ= }} kommutative {{math|term= K|SZ=-}}Algebren von endlichem Typ. Es sei {{mathl|term= f \in R|SZ= }} und {{mathl|term= \varphi:R \rightarrow S|SZ= }} sei ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zeige{{n Sie}}, dass die Spektrumsabbildung {{math|term= \varphi^*|SZ= }} genau dann durch {{math|term= D(f)|SZ= }} faktorisiert, wenn {{math|term= \varphi(f)|SZ= }} eine Einheit in {{math|term= S|SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Nenneraufnahme |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i2q1sgw1v4f1tt5lar4kuyn426vnwl1 0 19608 783214 756920 2022-08-22T02:51:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ= }} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} }} und sei {{mathl|term= f \in R|SZ= }} mit zugehöriger {{ Definitionslink |Nenneraufnahme| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{math|term= R_f|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebraisomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R_f |\cong| R[T]/(Tf- 1) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dex6q7zjd6a4p889va7jkkrtw6x0v72 0 19624 783189 514035 2022-08-22T02:47:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ= }} ein kommutativer Ring und sei {{mathl|term= f \in R|SZ=.}} Es sei {{math|term= f|SZ= }} sowohl {{ Definitionslink |nilpotent| |Definitionsseitenname= Kommutative_Ringtheorie/Nilpotentes_Element/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} als auch {{ Definitionslink |idempotent| |Definitionsseitenname= Kommutative_Ringtheorie/Idempotentes_Element/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=.}} Zeige, dass {{mathl|term= f=0|SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8d7be3w1bgju5y5orzs64wp9wfzhrmt 0 19632 786280 514038 2022-08-22T10:59:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die {{ Definitionslink |nilpotenten| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=}} und die {{ Definitionslink |idempotenten| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} Elemente in {{mathl|term= {\mathbb Z}/(175) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2=Der Restklassenring Z mod 175 |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2jyih1wxvzftavznnpcv1cx8oo1yoj8 0 19634 781645 514039 2022-08-21T22:29:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ= }} ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte den Durchschnitt der beiden algebraischen Kurven {{ math/disp|term= V(X^2+Y^2-1) \text{ und } V(Y-X^2) |SZ=. }} Identifiziere den Restklassenring {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || K[X,Y]/( X^2+Y^2-1,Y-X^2) || || || |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Produktring| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Produktring/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} und beschreibe die Restklassenabbildung {{mathl|term= K[X,Y] \rightarrow R|SZ=}} mittels dieser Identifizierung. Bestimme Urbilder in {{mathl|term= K[X,Y]|SZ= }} für sämtliche {{ Definitionslink |idempotenten Elemente| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} des Produktringes. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie2=Schnitttheorie von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} enlqo7487frxjq5iiz4s8k2955ubj8q 0 19637 780579 753023 2022-08-21T19:31:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n|SZ= }} endlich viele Punkte in der affinen Ebene {{math|term= {{op:Affine Ebene|K|}} |SZ=.}} Es seien {{mathl|term= a_1{{kommadots|}} a_n \in K|SZ= }} beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom {{mathl|term= F \in K[X,Y]|SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | F(P_i) ||a_i || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= i=1{{kommadots|}} n|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie des Koordinatenrings von affinen Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gq0yvyld4w806lk8w6dmxs5yrkyascp 0 19639 783153 532953 2022-08-22T02:41:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ= }} ein Körper und sei {{math|term= R|SZ= }} eine kommutative {{math|term= K|SZ=-}}Algebra von endlichem Typ mit der {{ Definitionslink |Reduktion| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Reduktion (nilpotent)/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{mathl|term= S=R_{\rm red}|SZ=.}} Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:KSpek|R|}} | \cong | {{op:KSpek|S|}} || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Reduktion (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 81847q60uy3ndtwku6omzn4fcmwf2e0 0 19641 781640 586349 2022-08-21T22:28:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte zwei parallele Geraden {{math|term= V|SZ= }} und das Achsenkreuz {{math|term= W|SZ=.}} Beschreibe eine möglichst natürliche surjektive Abbildung zwischen {{math|term= V|SZ= }} und {{math|term= W|SZ=}} (in welche Richtung?), und zwar sowohl geometrisch als auch algebraisch. Gibt es auch eine surjektive polynomiale Abbildung in die andere Richtung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz (affin-algebraische Kurve) |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tr6u5dddqrqdk52a83267h6pmmkaqp8 0 19654 782803 756567 2022-08-22T01:42:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |I || (6,6x^2+2x+3,3x^3+5,2x^5+x-4,4x^7-3x) || || || |SZ= }} in {{math|term= \Z[x]|SZ= }} die im Beweis zum {{ Faktlink |Präwort=|Hilbertschen Basissatz|Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von {{math|term= I|SZ=.}} Schreibe{{n Sie}} die obigen Erzeuger als Linearkombination des konstruierten Erzeugendensystems. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Basissatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9j3bdhqownk4cvany2577i74lxxk196 0 19656 782802 513990 2022-08-22T01:42:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zum Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp | I || (10,6x^2+8,4x^3-12) || || || |SZ= }} in {{math|term= \Z[x]|SZ= }} die im Beweis zum {{ Faktlink |Präwort=|Hilbertschen Basissatz|Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von {{math|term= I|SZ=.}} Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Basissatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6uw7xqywy1a8m81m6agzft650bt7csa 0 19659 783179 766748 2022-08-22T02:45:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | R |\subseteq|S || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Ringerweiterung|Definitionsseitenname= Kommutative Algebra/Modultheorie/Endlicher Modul/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} und sei {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}: Wenn {{math|term= f|SZ=, }} aufgefasst in {{math|term= S|SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dann ist {{math|term= f|SZ= }} eine Einheit in {{math|term= R|SZ=.}} {{{zusatz|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kdhze8nceg20iffiv5uzpjard2gujra 0 19660 781878 528628 2022-08-21T23:08:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= K|SZ= }} und {{math|term= L|SZ= }} Körper, sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} und sei {{math|term= A|SZ=,}} {{mathl|term= K \subseteq A \subseteq L|SZ=, }} ein Zwischenring. Zeige, dass dann {{math|term= A|SZ= }} ebenfalls ein Körper ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ewxh41kec23hbin9j1grq415wia4jx 0 19662 783244 756943 2022-08-22T02:56:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{mathl|term= R,S,T|SZ= }} {{ Definitionslink |kommutative Ringe| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} und seien {{mathl|term= \varphi:R \rightarrow S |SZ= }} und {{mathl|term= \psi:S \rightarrow T |SZ= }} Ringhomomorphismen derart, dass {{math|term= S|SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ= }} und {{math|term= T|SZ= }} endlich über {{math|term= S|SZ= }} ist. Zeige, dass dann auch {{math|term= T|SZ= }} endlich über {{math|term= R|SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qebz8ux6luz4kgnsrok4d3yx554hbuf 0 19667 783202 756910 2022-08-22T02:49:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} die Äquivalenz folgender Aussagen. {{ Aufzählung3 |R ist {{ Definitionslink |reduziert| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} |Für jedes {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{{P|P}}}}} ist {{math|term= R_{{{P|P}}}|SZ=}} reduziert. |Für jedes {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{{M|M}}}}} ist {{math|term= R_{{{M|M}}}|SZ=}} reduziert. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reduzierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1vuojojy4ewgkf0pqua5u8o9djvg91s 0 19671 783233 756935 2022-08-22T02:54:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ= }} ein kommutativer, {{ Definitionslink |reduzierter| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Reduzierter Ring/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} Ring. Zeige{{n Sie}}, dass jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Nullteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |minimalen Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} }} enthalten ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reduzierten kommutativen Ringe |Kategorie2=Theorie der minimalen Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c9dqnm7vy2m36spqt2vbkchywlah4mh 0 19677 783223 665780 2022-08-22T02:52:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{math|term= A}} eine endlichdimensionale, {{ Definitionslink |reduzierte| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Reduzierter Ring/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{math|term= K|SZ=-}}Algebra. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= A|SZ=}} ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von {{math|term= K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reduzierten kommutativen Ringe |Kategorie2=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oshsbbb8libyon96ooyxlod228dq9lv 0 19740 781642 707155 2022-08-21T22:29:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven {{ mathkor/disp|term1= V(x^2+y^2-2) |und|term2= V(x^2+2y^2-1) |SZ= }} über dem Körper {{math|term= {{op:Zmod|7|}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt leer ist, und finde{{n Sie}} einen Erweiterungskörper {{mathl|term= K \supseteq {{op:Zmod|7|}} |SZ=,}} über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne{{n Sie}} alle Punkte im Durchschnitt über {{math|term= K|SZ= }} und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Teilmengen und der Verschwindungsideale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sl84bugx004zzwkuisdmz29idas9ycl 0 19741 783177 756892 2022-08-22T02:45:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= f_j|SZ=,}} {{mathl|term= j \in J|SZ=,}} eine Familie von Elementen in {{math|term= R|SZ=.}} Es sei angenommen, dass die {{math|term= f_j|SZ= }} zusammen das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erzeugen. Zeige{{n Sie}}, dass es eine endliche Teilfamilie {{math|term= f_j|SZ=, }} {{mathl|term= j \in J_0 \subseteq J|SZ= }} gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einheitsideal |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9huww0s60tx6bgubn2jsqxxbgep90t0 0 19743 780562 753008 2022-08-21T19:29:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{mathl|term= V,W \subseteq {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ= }} seien zwei affin-algebraische Mengen. Es sei {{mathl|term= V \subseteq W|SZ= }} vorausgesetzt. Man definiere einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den beiden {{ Definitionslink |Koordinatenringen| |Definitionsseitenname= Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{math|term= R(V)|SZ= }} und {{math|term= R(W)|SZ=}} und beschreibe dessen wichtigste Eigenschaften. Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Mengen, die nicht ineinander enthalten sind, von denen aber die Koordinatenringe isomorph sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Koordinatenrings von affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fsek392hp8dbq1tjv26a2i8azxjcsr9 0 19745 780561 514011 2022-08-21T19:28:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Hyperbel {{mathl|term= V(xy-1)|SZ= }} über dem Körper {{mathl|term= K=\Z/(11)|SZ=.}} Bestimme das Inverse von {{math|term= 4x^3|SZ= }} im zugehörigen Koordinatenring. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Koordinatenrings von affinen Varietäten |Kategorie2=Die Einheitshyperbel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8zepumsep5ylbtkbenbkrk4p0s9tirf 0 19771 783219 756925 2022-08-22T02:52:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Integritätsbereich| ||Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass sich jedes Element aus {{math|term= R|SZ=}} als ein Produkt von {{ Definitionslink |irreduziblen Elementen| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} }} schreiben lässt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der noetherschen Integritätsbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ttha9axp3oh0mwf43eo62k6p2y465x6 0 19776 783197 514019 2022-08-22T02:48:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ= }} eine kommutative {{math|term= K|SZ=-}}Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass für jedes Ideal {{mathl|term= {{ideala}} \subseteq R|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:KSpek|R|}} |SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ( {{ideala}} ) || V(\operatorname{rad} \, ( {{ideala}} )) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Radikal |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xnkord3rryn17dgwawvhtqsx9n8tk6 0 19777 781641 755582 2022-08-21T22:29:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ= }} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} }} der {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{math|term= 0|SZ=.}} Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |polynomiale Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{op:Affine Gerade|K}} | {{op:Affine Ebene|K}} |t| (t^2, \psi(t)) |SZ=, }} gegeben (mit {{mathl|term= \psi(t) \in K[t]|SZ=)}} Zeige, dass {{math|term= \varphi|SZ= }} genau dann injektiv ist, wenn {{math|term= \psi|SZ= }} die Form hat {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi(t) || at^n+\theta(t) || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= a\neq 0|SZ=,}} {{math|term= n|SZ= }} ungerade und {{math|term= \theta(t)|SZ=}} ein Polynom, in dem nur geradzahlige Exponenten auftreten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} syqwj69mp4aedqcxtxiiamp424j7a3x 0 19779 783196 756906 2022-08-22T02:48:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe ein Beispiel von zwei {{ Definitionslink |integren| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ= }} und {{math|term= S|SZ= }} und einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |R|S || |SZ=, }} der kein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wo aber die induzierte {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi^* | {{op:KSpek|S|}} |{{op:KSpek|R|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Homöomorph |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4cic7im2dr1vafa46yv53ub0psmu67e 0 19805 780646 754769 2022-08-21T19:43:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Kurven {{math|term= C_1|SZ= }} und {{math|term= C_2|SZ= }} über {{math|term= \mathbb C|SZ= }} und einem {{ Definitionslink |Morphismus| |Definitionsseitenname= Quasiaffine Varietäten/K-Spektrum/Morphismus/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{ Ma:abbele/disp |name={{morpsi}} | C_1|C_2 || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |bijektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig in der metrischen Topologie ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Bijektiv |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8jdsth5nopz9lbik7qhhg1nv9mhust 0 19806 783057 514114 2022-08-22T02:25:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe ein Beispiel von zwei affinen Varietäten {{math|term= V_1|SZ= }} und {{math|term= V_2|SZ= }} und einem {{ Definitionslink |Morphismus| |Definitionsseitenname= Quasiaffine Varietäten/K-Spektrum/Morphismus/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{ Ma:abbele/disp |name={{morpsi}} |V_1|V_2 || |SZ=, }} der bijektiv ist, wo aber die Umkehrungabbildung nicht stetig {{{extra|}}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ployfoscy9kjucfokrg0dthvcc0ngm6 0 19807 784363 742978 2022-08-22T06:01:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M_i|SZ=,}} {{mathl|term= i \in \N|SZ=, }} seien {{math|term= R|SZ=-}}Moduln mit fixierten {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i |M_i|M_{i+1} || |SZ=. }} Die Sequenz {{ math/disp|term= \ldots \longrightarrow M_i \longrightarrow M_{i+1} \longrightarrow M_{i+2} \longrightarrow M_{i+3} \longrightarrow \ldots |SZ= }} heißt {{Definitionswort/enp|term=exakt}}, wenn für alle {{math|term= i|SZ= }} gilt, dass {{ Ma:Vergleichskette | \operatorname{Kern} \,(\varphi_{i}) || \operatorname{Bild} \, (\varphi_{i-1}) || || || |SZ= }} ist. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der {{ Definitionslink |Definition| |Definitionsseitenname= Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{{extra|}}} übereinstimmt. |Sei nun {{mathl|term= R=K|SZ= }} ein Körper, die {{math|term= M_i|SZ= }} seien endlich erzeugt, {{mathl|term= M_0 = 0|SZ=}} und alle {{mathl|term= M_i =0|SZ= }} für {{mathl|term= i \geq n|SZ=}} für ein gewisses {{math|term= n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=}} 0}^{n} (-1)^i \operatorname{dim}_K M_i ||0 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der exakten Komplexe (homologische Algebra) |Kategorie2=Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c8a8msbwjif4l2v7ho4c44x9reh08h4 0 19824 783042 514048 2022-08-22T02:22:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe die Menge {{math|term= M|SZ= }} aller {{mathl|term= 2 \times 3|SZ=-}}Matrizen mit Rang {{math|term= \leq 1|SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ= }} als {{math|term= K|SZ=-}}Spektrum einer geeigneten {{math|term= K|SZ=-}}Algebra. Zeige, dass es eine Isomorphie zwischen einer (nicht leeren) Zariski-offenen Teilmenge von {{math|term= M|SZ= }} und einer offenen Menge des {{math|term= \mathbb A^4_K|SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Varietäten zu linearen Objekten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9hukjzgtos0ap3pwt1z37iymcqkhvvv 0 19832 780649 587830 2022-08-21T19:43:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} das Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} || {{makl| U^5-V^3, U^{11}-W^3,V^{11}-W^5 |}} | \subseteq| K[U,V,W] || || |SZ= }} und das zugehörige Nullstellengebilde {{mathl|term= Z=V({{ideala}} ) \subseteq {{op:Affiner Raum|3|K}} |SZ=.}} Zeige, dass {{mathl|term= W-U^2V|SZ= }} zum Radikal von {{math|term= {{ideala}} |SZ= }} gehört. Zeige damit, dass {{math|term= Z|SZ= }} isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monomialen Kurven |Kategorie2=Theorie der Radikale (kommutative Algebra) |Kategorie3=Die monomiale Raumkurve t^3,t^5,t^11 |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tttwyyaq4um1tvgp9t439cbd0gt7ao8 0 19836 784364 757996 2022-08-22T06:01:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{math|term= M, N|SZ= }} {{math|term= R|SZ=-}}Moduln. Ist {{ Ma:abbele/disp |name=f |M|N || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so ist {{ Ma:abbele/disp |name=f^\ast | \operatorname{Hom} \, (N,R) | \operatorname{Hom} \, (M,R) |\varphi |\varphi \circ f |SZ=, }} auch ein {{math|term= R|SZ=-}}Modulhomomorphismus. Sei nun {{math|term= 0 \to M \to N \to P \to 0|SZ= }} eine {{ Definitionslink |kurze exakte Sequenz| |Definitionsseitenname= Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{{extra|}}} von {{math|term= R|SZ=-}}Moduln. Zeige{{n Sie}}, dass dann die induzierte Sequenz {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow \operatorname{Hom} \, (P,R) \longrightarrow \operatorname{Hom} \, (N,R) \longrightarrow \operatorname{Hom} \, (M,R) |SZ= }} exakt ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} auch ein Beispiel mit {{math|term= R = \Z|SZ=,}} das zeigt, dass der letzte Pfeil im Allgemeinen nicht surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kurzen exakten Sequenzen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aab6kqnn8v96cgypaphokny1hdj79p8 0 19838 780650 754771 2022-08-21T19:43:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=.}} Wir betrachten den Schnitt von einem Zylinder und einer Kugel, und zwar {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||V(X^2+Y^2-1) \cap V((X-3)^2 +Y^2+Z^2-7) |\subseteq |{{op:Affiner Raum|3|K}} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man den {{ Definitionslink |Prämath= |Koordinatenring| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= C|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomrings| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in zwei Variablen schreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3kh6skb9rtxwc7w90krf1drkpjpkr4b 0 19842 783200 514066 2022-08-22T02:49:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ= }} ein Körper, sei {{math|term= R|SZ= }} eine kommutative {{math|term= K|SZ=-}}Algebra von endlichem Typ und sei {{math|term= S|SZ= }} ein multiplikatives System in {{math|term= R|SZ=.}} Zu {{math|term= S|SZ= }} definieren wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(S) || {{Mengebed| U \subseteq K-\operatorname{Spek} \, (R) \text{ offen}| \text{ es gibt } f \in S \text{ mit } D(f) \subseteq U }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= F=F(S)|SZ= }} ein {{ Definitionslink |topologischer Filter| |Definitionsseitenname= Topologie/Topologischer Filter/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} ist. Zeige ferner, dass es einen Ringhomomorphismus {{math/disp|term=R_S \longrightarrow \mathcal O_F|SZ= }} gibt, der eine Isomorphie ist, falls {{math|term= K|SZ= }} algebraisch abgeschlossen und {{math|term= R|SZ=}} reduziert ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2=Theorie der Zariski-Filter |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m7veq8wz0tryl2a5e76kqy1ijvkqj9m 0 19855 783213 756919 2022-08-22T02:51:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Auf {{math|term= S|SZ= }} betrachten wir folgende {{ Zusatz/Klammer |text=partielle| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und zwar sagen wir {{ Ma:Vergleichskette |f |\preccurlyeq |g || || || |SZ=, }} falls {{math|term= f|SZ= }} eine Potenz von {{math|term= g|SZ= }} teilt. Zeige, dass die kommutativen Ringe {{ math/disp|term= R_f, \, f \in S |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |gerichtetes System| |Definitionsseitenname= Geordnetes und gerichtetes System/Von Mengen/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} bilden, und dass für den {{ Definitionslink |Kolimes| |Definitionsseitenname= Geordnetes System/Von Mengen/Kolimes/Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{colim}_{f \in S} R_f || R_S || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2=Theorie der gerichteten Systeme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8m3okxzet1p481xrilb4l98djc2k192 0 19879 784399 514103 2022-08-22T06:06:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte den Monoidhomomorphismus {{ math/disp|term= \N^2 \longrightarrow \Z,\, e_1 \longmapsto 1,\, e_2 \longmapsto -1 |SZ=. }} Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper {{math|term= K|SZ=)}} und den zugehörigen {{math|term= K|SZ=-}}Spektren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0t30d2dktbk5hanrtuz0030bjw9vg35 0 19880 784395 758013 2022-08-22T06:05:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{mathl|term= M \subseteq N|SZ=}} endlich erzeugte kommutative Monoide. Zeige, dass für einen Körper {{math|term= K|SZ=}} der Ringhomomorphismus {{mathl|term= K[M] \subseteq K[N]|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es zu jedem {{mathl|term= n \in N|SZ=}} ein {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=}} mit {{mathl|term= kn \in M|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8a2bv7iz2wrgb1bxt42izvyviod9k2w 0 19881 784412 534568 2022-08-22T06:08:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= M=(\Q,+)|SZ=}} die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= {{op:KSpek|\Q[M]|K=\Q}} |SZ=.}} Wie sieht es aus, wenn man {{math|term= \mathbb Q|SZ=}} durch {{math|term= \mathbb R|SZ=}} ersetzt?{{{zusatz|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Gruppenringe |Kategorie2=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3iyl6y5kli0ajfiv28x1o5qikk7nixj 0 19882 784393 514098 2022-08-22T06:05:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |M|N || |SZ= }} ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller Punkte aus {{mathl|term= K-\operatorname{Spec} \, K[N] |SZ=,}} die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt {{mathl|term= 1 \in K-\operatorname{Spek} \,(K[M]) |SZ=}}{{{zusatz1|}}} abgebildet werden, selbst die Struktur eines {{math|term= K|SZ=-}}Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pubanqkuqo0g8sxz5o9njhsfjzfjuvu 0 19883 784418 577647 2022-08-22T06:09:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten Monoide der Form {{mathl|term= M=(\Z/(m),+)|SZ=.}} Beschreibe {{mathl|term= K-\operatorname{Spek} \, (K[M])|SZ=}} allgemein sowie für die Körper {{mathl|term= K=\R, {{CC}}, \Z/(5)|SZ=.}} Finde die idempotenten Elemente von {{mathl|term= \mathbb C[\Z/(3)]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ndp6ho96m9rpmsba0j74ncuitrpuevs 0 19884 784387 758009 2022-08-22T06:04:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} ein kommutatives {{ Definitionslink |Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörige {{ Definitionslink |Differenzengruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{mathl|term= \Gamma=\Gamma(M)|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ ma:abb/disp |name=\varphi |M|G |SZ= }} in eine Gruppe {{math|term= G|SZ=}} gibt es einen eindeutig bestimmten {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ ma:abb/disp |name=\tilde{\varphi} |\Gamma|G |SZ=, }} der {{math|term= \varphi|SZ=}} fortsetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kyznn2vn72tn9c43fkosar4xqd0676w 0 19895 783046 772564 2022-08-22T02:23:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |reduzierte| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} den {{Stichwort|Identitätssatz}} in der folgenden Gestalt: Wenn für {{mathl|term= f,g \in R|SZ=}} gilt, dass {{mathl|term= f(P)=g(P)|SZ=}} ist für alle {{mathl|term= P \in {{op:KSpek|R}} |SZ=,}} so ist {{mathl|term= f=g|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2=Identitätssatz für Polynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Identitätssatz |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1vxayt5y3dulh8ydrfjkgl0z41gdh0p 0 19898 784468 514029 2022-08-22T06:15:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= A,B|SZ=}} {{ Definitionslink |kommutative Ringe| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} und sei {{mathl|term= \varphi:A \rightarrow B|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus ||Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Zeige, dass das Urbild {{mathl|term= \varphi^{-1}(B^\times)|SZ=}} der Einheitengruppe ein {{ Definitionslink |saturiertes multiplikatives System| |Definitionsseitenname= Multiplikatives System/Saturiert/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} in {{math|term= A|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dt8j3zyd0dfq7rt2oowzu9ngkprlc3c 0 19901 783232 514036 2022-08-22T02:54:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= R|SZ=}} und {{math|term= S|SZ=}} kommutative Ringe und sei {{mathl|term= R \times S|SZ=}} der {{ Definitionslink |Produktring| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Produktring/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{mathl|term= R \times S|SZ=.}} Zeige, dass die Teilmenge {{mathl|term= R \times 0|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Hauptideal| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hauptideal/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9v6vjppml9xmbo2jximvskb1o8c36v2 0 19905 780645 514033 2022-08-21T19:42:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die durch {{mathl|term= Y^2=X^3+X^2|SZ=}} gegebene Kurve {{math|term= C|SZ=}} {{{extra|}}} und die offene Menge {{mathl|term= U=D(X) \subseteq C|SZ=.}} Finde{{n Sie}} eine abgeschlossene Realisierung von {{math|term= U|SZ=}} in {{math|term= {{op:Affiner Raum|3|K}}|SZ=}} und zeige{{n Sie}}, dass es auch eine solche Realisierung in {{math|term= {{op:Affine Ebene|K}}|SZ=}} gibt. Skizziere{{n Sie}} die Bildkurve unter der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |U|{{op:Affine Ebene|K}} |(x,y)| {{op:Zeilenvektor|\frac{1}{x}, y|}} |SZ=. }} Ist {{math|term= U|SZ=}} isomorph zu einer offenen Menge der affinen Geraden? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Das Polynom Y^2-X^3-X^2 |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Offen |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jhh0ip4j6kcwzg6s1yfh4iq713fekeh 0 19941 782702 514125 2022-08-22T01:26:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{math|term= G|SZ=}} eine Gruppe. Dann können wir den Monoidring {{math|term= K[G]|SZ=}} betrachten. Sei nun weiter {{math|term= M|SZ=}} ein {{math|term= K[G]|SZ=-}}Modul. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Aufzählung2 | {{math|term= M|SZ=}} nichts anderes ist als ein {{math|term= K|SZ=-}}Vektorraum {{math|term= V|SZ=}} zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus {{mathl|term= \rho: G \to \operatorname{Aut}_K(V)|SZ=.}} |ein {{math|term= K[G]|SZ=-}}Modulhomomorphismus {{mathl|term= \varphi: M \to M|SZ=}} eine {{math|term= K|SZ=}}-lineare Abbildung ist, für die zusätzlich {{mathl|term= {{verknüpf|\rho(g)|\varphi}} ={{verknüpf| \varphi|\rho(g)}}|SZ=}} für alle {{math|term= g \in G|SZ=}} gilt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie2=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8z6lqd5h05do8t2v5z2amfdablocco 0 19943 783285 756987 2022-08-22T03:03:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |e |\in|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |idempotentes Element| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche {{ Definitionslink |Prämath= |Ringisomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | R_e |\cong | R/(1-e) || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6fvw233hbgx43o20fg4u9uv9b3ezx9b 0 19962 783209 514051 2022-08-22T02:50:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring und sei {{math|term= S|SZ=}} ein multiplikatives System mit {{math|term= 0 \not\in S|SZ=.}} Zeige, dass {{math|term= S|SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Ultrafilter| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Multiplikative Systeme/Ultrafilter/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} enthalten ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 31fh3jho49y7cfsikawy3d7hghce8t9 0 19963 783210 605367 2022-08-22T02:50:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring und sei {{mathl|term= F\subset R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Ultrafilter| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Multiplikative Systeme/Ultrafilter/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= .}} Zeige, dass das Komplement von {{math|term= F|SZ=}} ein {{ Definitionslink |minimales Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} ist. {{{zusatz|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2=Theorie der minimalen Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 00bd6f2t2ftl267bsf09m9b1n3656gw 0 19970 783208 756916 2022-08-22T02:50:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\notin|F || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Ultrafilter| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Multiplikative Systeme/Ultrafilter/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} ist, wenn es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |g |\in|R || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |g |\notin|F || || || |SZ=, }} ein {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|F || || || |SZ= }} und eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | fg^n ||0 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ultrafilter |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5looiibxnu43133t594rkhx8p9jotvn 0 19972 783047 756805 2022-08-22T02:23:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und betrachte{{n Sie}} die affine Ebene {{math|term= {{op:Affine Ebene|K|}} |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= P \in {{op:Affine Ebene|K|}} |SZ=}} ein Punkt und {{mathl|term= U= {{op:Affine Ebene|K|}} \setminus \{P\} |SZ=}} das offene Komplement davon. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnittring|U}} || K[X,Y] || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgib4pgetlnu8s8whjsmo93dfm99x9m 0 19973 783050 605356 2022-08-22T02:24:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei {{math|term= R|SZ=}} eine kommutative {{math|term= K|SZ=-}}Algebra von endlichem Typ. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |minimalen Primideale| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Minimales Primideal/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} den irreduziblen Komponenten von {{mathl|term= {{op:KSpek|R}}|SZ=}} entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der minimalen Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Minimal |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g66noupu4ixdnnkgwxqip5gya78sqfw 0 20018 783059 514059 2022-08-22T02:25:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{math|term= K|SZ=-}}Algebra von endlichem Typ. Es seien {{mathl|term= P_1 {{kommadots}} P_n|SZ=}} endlich viele Punkte in {{mathl|term= X={{op:KSpek|R}}|SZ=.}} Zeige, dass der {{ Definitionslink |Umgebungsfilter| |Definitionsseitenname= Topologische Filter/Umgebungsfilter/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} dieser Punkte durch offene Mengen der Form {{math|term= D(f)|SZ=}} erzeugt wird{{{Zusatz|}}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zariski-Filter |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Umgebungsfilter |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k2p9wrrs4hwthfzynx77f15nrnamvpe 0 20027 783043 533244 2022-08-22T02:22:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |V || V(XW-YZ) |\subseteq | {{op:Affiner Raum|4|K}} || || |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} eine offene Menge {{mathl|term= U \subseteq {{op:Affiner Raum|4|K}}|SZ=}} derart, dass der zu {{mathl|term= U \cap V \subseteq U|SZ=}} gehörende Ringhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Schnittring|U}}| {{op:Schnittring|U \cap V}} || |SZ= }} nicht surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quadrik UX-VY |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cwcxelpxshe4ug6nperaraekv63kmrf 0 20039 783230 756934 2022-08-22T02:54:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= {{idealp}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |S || R/{{idealp}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Q ||Q(S) || || || |SZ= }} und {{math|term= R_{{idealp}}|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{idealp}}R_{{idealp}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass eine natürliche Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | Q(S) |\cong| R_{{idealp}}/ {{idealp}} R_{{idealp}} || || || |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Restekörper |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 31dmp11fk4zaiwnwkwwej3cojf5r1pn 0 20045 783072 531401 2022-08-22T02:27:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Addition, die Multiplikation, das Negative, das Inverse und die Division in {{math|term= K|SZ=}} sich als Morphismen realisieren lassen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der polynomialen Abbildungen zwischen affinen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r5kn6jt86xat45i5w89mwn48dm8vy4c 0 20051 783975 666646 2022-08-22T04:58:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |lokaler Ring| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Zeige, dass {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Zusammenhängender Ring/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Ringe |Kategorie2=Theorie der zusammenhängenden Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b70yxw5w58rv5c5n8sewskxivx40hm0 0 20078 783045 756803 2022-08-22T02:23:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |integre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} von {{ Definitionslink |Prämath= |endlichem Typ| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Sei {{mathl|term= q \in Q=Q(R)|SZ=}} ein Element im {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala}} || {{Mengebed|f \in R|\text{es gibt } n \in \N \text{ mit } f^nq \in R}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}} ferner, dass {{ Ma:Vergleichskette | D({{ideala}}) | \subseteq| {{op:KSpek|R}} || || || |SZ= }} der {{ Zusatz/Klammer |text=maximale| |ISZ=|ESZ= }} Definitionsbereich der {{ Definitionslink |Prämath= |algebraischen Funktion| |Kontext=K-Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Funktionenkörper (Varietäten) |Kategorie2=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7q2okkzjlxnyxox3h5hkorwhxp6h7w0 0 20079 783044 756802 2022-08-22T02:23:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und betrachte das Achsenkreuz {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || {{op:KSpek|K[X,Y]/(XY)}} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V || || || |SZ=, }} ob der {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an {{math|term= P|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der lokalen eindimensionalen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz (affin-algebraische Kurve) |Stichwort=Achsenkreuz |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} azzeh3ckcfe30p03iq30v1g4xcfhlms 0 20092 782560 731330 2022-08-22T01:02:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} eine {{ Definitionslink |gerichtete Indexmenge| |Definitionsseitenname= Ordnungstheorie/Gerichtete Menge/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} und sei {{math|term= G_i|SZ=,}} {{mathl|term= i \in I|SZ=,}} ein {{ Definitionslink |gerichtetes System| |Definitionsseitenname= Geordnetes und gerichtetes System/Von Mengen/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} von kommutativen Gruppen. Zeige, dass der {{ Definitionslink |Kolimes| |Definitionsseitenname= Geordnetes System/Von Mengen/Kolimes/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} eine kommutative Gruppe ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Systeme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} irlaelikdast19wh6qhacu35x62rk7e 0 20093 783049 756807 2022-08-22T02:23:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Punkte aus {{mathl|term= {{op:KSpek|R}}|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Maximales Ideal |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ggifwnvhopu6xhfsow3p3361t4y9jsr 0 20096 783212 756918 2022-08-22T02:51:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette | f_1 {{kommadots|}} f_n |\in| R || || || |SZ= }} Elemente, die das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen {{math|term= R_{f_i}|SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |i ||1 {{kommadots|}} n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |noethersch| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} sind. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{math|term= R|SZ=}} noethersch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2=Theorie der noetherschen kommutativen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ly7g65vt78897g2qregz8ou7lqlbeh 0 20097 783061 770117 2022-08-22T02:25:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} eine endlich erzeugte kommutative {{math|term= K|SZ=-}}Algebra. Sei {{mathl|term= P \in {{op:KSpek|R}}|SZ=}} ein Punkt. Zeige{{{zusatz1|}}}, dass der {{ Definitionslink |Halm| |Definitionsseitenname= Quasiaffine Varietät/Topologischer Filter/Halm der Strukturgarbe/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{math|term= {{op:Strukturgarbe|P}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |lokaler Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2=Theorie der lokalen Ringe von Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m6cnm33nyrdzhha0x6ggnkov2y2azot 0 20099 783073 770118 2022-08-22T02:27:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} eine endlich erzeugte kommutative {{math|term= K|SZ=-}}Algebra. Es seien {{math|term= F_1|SZ=}} und {{math|term= F_2|SZ=}} zwei {{ Definitionslink |topologische Filter| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:KSpek|R}}|SZ=}} mit {{mathl|term= F_1 \subseteq F_2|SZ=.}} Zeige, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Strukturgarbe}}_{F_1} | {{op:Strukturgarbe}}_{F_2} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zariski-Filter |Kategorie2=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eesofryya2mkdo9b9ytdlf4ncvveppk 0 20117 782559 770116 2022-08-22T01:02:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} eine {{ Definitionslink |gerichtete Indexmenge| |Definitionsseitenname= Ordnungstheorie/Gerichtete Menge/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} und sei {{math|term= M_i|SZ=,}} {{mathl|term= i \in I|SZ=,}} ein {{ Definitionslink |gerichtetes System| |Definitionsseitenname= Geordnetes und gerichtetes System/Von Mengen/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} von Mengen. Es sei {{math|term= N|SZ=}} eine weitere Menge und zu jedem {{mathl|term= i \in I|SZ=}} sei eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \psi_i |M_i| N || |SZ= }} mit der Eigenschaft gegeben, dass {{mathl|term= \psi_i ={{verknüpf|\varphi_{ij}| \psi_j}} |SZ=}} ist für alle {{mathl|term= i \preccurlyeq j|SZ=}} (wobei {{math|term= \varphi_{ij}|SZ=}} die Abbildungen des Systems bezeichnen). Beweise die universelle Eigenschaft des {{ Definitionslink |Kolimes| |Definitionsseitenname= Geordnetes System/Von Mengen/Kolimes/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=, }} nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \psi | {{op:Kolimes}}_{i \in I} M_i | N || |SZ= }} derart gibt, dass {{mathl|term= \psi_i = {{verknüpf|j_i|\psi}}|SZ=}} ist, wobei {{mathl|term= j_i:M_i \rightarrow {{op:Kolimes}}_{i \in I} M_i |SZ=}} die natürlichen Abbildungen sind. Zeige{{n Sie}} ferner, dass falls {{math|term= M_i|SZ=}} eine gerichtetes System von Gruppen und falls {{math|term= N|SZ=}} ebenfalls eine Gruppe ist und alle {{math|term= \psi_i|SZ=}} Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch {{math|term= \psi|SZ=}} ein Gruppenhomomorphismus ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Systeme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r4vbu77lyj96gh4p59vgsekjvjgrmk8 0 20141 783060 770141 2022-08-22T02:25:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= X={{op:KSpek|R}}|SZ=}} eine affine Varietät und seien {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n \in X|SZ=}} endlich viele Punkte. Es sei {{math|term= F|SZ=}} der {{ Definitionslink |Umgebungsfilter| |Definitionsseitenname= Topologische Filter/Umgebungsfilter/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} dieser Punkte und {{math|term= {{op:Strukturgarbe}}_F|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Halm| |Definitionsseitenname= Quasiaffine Varietät/Topologischer Filter/Halm der Strukturgarbe/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{op:Strukturgarbe}}_F|SZ=}} genau dann ein lokaler Ring ist, wenn {{mathl|term= n=1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Ringe |Kategorie2=Theorie der Zariski-Filter |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ihpfcukn2n38uyvj9pglh6qjdgvhgnk 0 20145 783067 712217 2022-08-22T02:26:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= U|SZ=}} eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper {{math|term= K|SZ=.}} Zeige, dass die Einheiten in {{math|term ={{op:SchnittringU|U}} |SZ=}} den Morphismen von {{math|term= U|SZ=}} nach {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|\times|K}}={{op:Affine Gerade|K}} \setminus \{0\}|SZ=}} entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} siajw27z2ek1yepxplhgc94quwda2zz 0 20146 783063 756814 2022-08-22T02:26:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{math|term= R|SZ=}} und {{math|term= S|SZ=}} zwei {{ Definitionslink |Prämath= |integre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |Q(R) | Q(S) || |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörpern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. Zeige, dass es eine offene Teilmenge {{mathl|term= U \subseteq {{op:KSpek|S}}|SZ=}} und einen Morphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |U| {{op:KSpek|R}} || |SZ= }} gibt, der {{math|term= \varphi|SZ=}} induziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jln0ugkz1xjbprosz3rry0kg66hdzch 0 20147 783062 756813 2022-08-22T02:26:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien {{math|term= R|SZ=}} und {{math|term= S|SZ=}} integre {{math|term= K|SZ=-}}Algebren von endlichem Typ. Es sei {{ Ma:abb |name= \varphi |R|S || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphis{{latextrenn|}}mus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zugehörigem Morphismus {{ Ma:abb |name==\varphi^* |{{op:KSpek|S}} |{{op:KSpek|R}} || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{math|term= \varphi|SZ=}} ist injektiv. |Das Bild von {{math|term= \varphi^*|SZ=}} ist {{ Definitionslink |dicht| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Dichtheit/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:KSpek|R}}|SZ=.}} |{{math|term= \varphi|SZ=}} induziert einen Ringhomomorphismus {{mathl|term= Q(R) \rightarrow Q(S)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tp3fmv20lkkuomfm4978roqerhncqxb 0 20148 782082 755971 2022-08-21T23:42:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Kommutative Ringtheorie/Erzwingende Algebra/Definition|opt=Text}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A|SZ=}} folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus {{ Ma:abb |name= \varphi |R|S || |SZ= }} in einen kommutativen Ring {{math|term= S|SZ=}} mit der Eigenschaft {{mathl|term= \varphi(f) \in {{ideala}}S|SZ=}} gibt es einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebrahomo{{latextrenn|}}morphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\vartheta |A|S || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} ebenso, dass dieser Homomorphismus {{Betonung/Negation|term=nicht}} eindeutig bestimmt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erzwingenden Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f1oporz9v8mgom4t4zy9yy8kc0ip3mb 0 20153 782083 608897 2022-08-21T23:42:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} eine kommutative {{math|term= K|SZ=-}}Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es seien {{mathl|term= f_1 {{kommadots}} f_n,f|SZ=}} Elemente in {{math|term= R|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |A || {{Algerzw|R|f|n|T}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |erzwingende Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} zu diesen Daten. Charakterisiere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Fasern| |Definitionsseitenname= K-Spektrum/Morphismus/Faser/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} des zugehörigen Morphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:KSpek|A}} |{{op:KSpek|R}} || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erzwingenden Algebren |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen affinen Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6vzgf28e3hy55ynco96r8r2i6dfxigb 0 20157 783069 756818 2022-08-22T02:27:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= U \subseteq {{op:KSpek|R}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quasiaffine Varietät| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= f \in {{op:Schnittring|U}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |algebraische Funktion| |Definitionsseitenname= K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Es seien {{mathl|term= q=g_i/h_i|SZ=,}} {{mathl|term= i=1, \ldots, n|SZ=,}} lokale Darstellungen von {{math|term= f|SZ=}} auf {{mathl|term= D(h_i)\subseteq U|SZ=.}} Zeige, dass das Urbild {{math|term= f^{-1}(0)|SZ=}} gleich der abgeschlossenen Menge {{mathl|term= V(h_1g_1, \ldots ,h_ng_n) \cap U|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3kvgzv95ykojzaad7k6yk2moe2y62ij 0 20159 783215 756921 2022-08-22T02:51:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Nichtnullteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |saturiertes| |Kontext=multiplikatives System| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Nichtnullteiler |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5t0yen9vbwimnj7i2tdv4rxs6codrim 0 20163 783167 514105 2022-08-22T02:43:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} ein kommutatives Monoid. Finde eine allgemeine Definition von {{Stichwort|Filter}} derart, dass einerseits die {{ Definitionslink |topologischen Filter| |Definitionsseitenname= Topologie/Topologischer Filter/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} und andererseits die {{ Definitionslink |saturierten multiplikativen Systeme| |Definitionsseitenname= Multiplikatives System/Saturiert/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} sich als Spezialfälle ergeben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Filter |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q17ixkl5z15rno0icw0np1dcz4h6f49 0 20168 783065 756816 2022-08-22T02:26:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= U|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quasiaffine Varietät| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name={{morpsi}} |U|{{op:Affiner Raum|n|K}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=quasiaffin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{morpsi}}|SZ=}} genau dann durch die abgeschlossene Menge {{ Ma:Vergleichskette | V({{ideala}}) | \subseteq | {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} faktorisiert, wenn {{math|term= {{ideala}}|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des globalen Ringhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= \tilde{{morpsi}} |{{polyring|n|K|T}} | {{op:SchnittringU|U}} || |SZ= }} liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l817bqqfo913pbwwil6xbokay7mp9cw 0 20169 783068 756817 2022-08-22T02:27:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass der Ring {{math|term= {{op:Schnittring|U}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |reduziert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2=Theorie der reduzierten kommutativen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} shteo0rn1qu8t0094r7rxrs5enosfal 0 20170 783066 533031 2022-08-22T02:26:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} eine kommutative {{math|term= K|SZ=-}}Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Sei {{mathl|term= U \subseteq {{op:KSpek|R}}|SZ=}} eine offene Teilmenge und {{ Ma:abb |name=f |U|K || |SZ= }} eine Funktion. Es sei {{mathl|term= U=\bigcup_{i \in I}U_i|SZ=}} eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft, dass die Einschränkungen {{mathl|term= f_i={{op:Einschränkung|f|U_i}}|SZ=}} algebraische Funktionen sind. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= f|SZ=}} selbst algebraisch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nlum1iix8ilwj377i6m4xyicwvoopr4 0 20172 779291 533722 2022-08-21T16:05:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Standardkegel, der als abgeschlossene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V(X^2+Y^2-Z^2) | \subseteq | {{op:Affiner Raum|3|K}} || || |SZ= }} gegeben sei. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U || D(X,Z-Y) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|3|K}} || || |SZ= }} die offene Teilmenge mit dem Durchschnitt {{ Ma:Vergleichskette | V \cap U || D(X,Z-Y) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= V|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} der eine offene Menge in {{math|term= V|SZ=}} ist. Wir behaupten, dass der zugehörige Ringhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Schnittring|U}} | {{op:Schnittring|U \cap V}} || |SZ= }} nicht surjektiv ist. Das liegt daran, dass links einfach der Polynomring in drei Variablen steht {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Affine Ebene ohne einen Punkt/Schnittring/Aufgabe |Refname= {{{ref1|Aufgabe}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Dagegen ergibt sich aus der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2 || Z^2-Y^2 ||(Z-Y)(Z+Y) || || |SZ=, }} dass es auf {{mathl|term= U \cap V|SZ=}} die algebraische Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | \frac{X}{Z-Y} || \frac{Z+Y}{X} || || || |SZ= }} gibt, die nicht im Bild der Abbildung liegt, da es keine Funktion auf dem ganzen Kegel ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quadrik Z^2-XY |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6rbru6pbyzhge1xrlz3x8s22z2ovsv8 0 20174 783206 756914 2022-08-22T02:50:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= {{idealp}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{idealp}}|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |minimales Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Reduktion| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} der {{ Definitionslink |Lokalisierung| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{math|term= R_{{idealp}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der minimalen Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 232hmaahikemj1jk83n57x60h1gxgbv 0 20244 779044 763193 2022-08-21T15:26:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |C ||V(F) || || || |SZ= }} und eine Gerade {{ Ma:Vergleichskette |G || V(cX+dY) || || || |SZ= }} in der affinen Ebene {{mathl|term= {{op:Affine Ebene|K}}|SZ=}} gegeben, die keine Komponente von {{math|term= C|SZ=}} sei. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P || (a,b) |\in|C \cap G || || |SZ= }} ein Punkt des Durchschnitts. Den {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term=K[X,Y]_{P}/(F,cX+dY)|SZ=}} berechnet man, indem man mittels des linearen Terms nach einer der Variablen {{ mathkor|term1= X |oder|term2= Y |SZ= }} auflöst. Damit kann man eine Variable eliminieren und der Restklassenring ist isomorph zu {{mathl|term= K[X]_{P}/(\tilde{F})|SZ=,}} wobei man {{math|term= \tilde{F}|SZ=}} erhält, indem man in {{math|term= F|SZ=}} die Variable {{math|term= Y|SZ=}} durch {{mathl|term= -\frac{c}{d}X|SZ=}} ersetzt. Dies kann man auch so sehen, dass man zuerst {{mathl|term= K[X]/(\tilde{F})|SZ=}} berechnet und dann an dem Punkt lokalisiert. Das Polynom {{math|term= \tilde{F}|SZ=}} hat in {{mathl|term= K[X]|SZ=}} eine Faktorisierung in Linearfaktoren {{ Zusatz/Klammer |text=der Körper sei {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{F} || (X- \lambda_1)^{\nu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\nu_k} || || || |SZ=. }} Da der Punkt {{math|term= P|SZ=}} eine Nullstelle ist, muss {{mathl|term= a= \lambda_i|SZ=}} für ein {{math|term= i|SZ=}} sein. Bei der Lokalisierung werden die anderen Linearfaktoren zu {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gemacht und {{Anführung|übrig}} bleibt {{math/disp|term= K[X]/(X-\lambda_i)^{\nu_i} |SZ=. }} Dieser Ring hat die Dimension {{math|term= \nu_i|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mp3rpy09j3e2hle67injm6p26gbnrt2 0 20272 778460 762414 2022-08-21T12:06:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |exakte Sequenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{Komplexexakt/00/disp|P|P \times P|P|P/(F,G)||abb2=(G,-F)|abb3=(F,G)|}} |SZ=. }} Dabei steht vorne die Abbildung {{mathl|term= H \mapsto ( GH,-FH)|SZ=,}} dann folgt die Abbildung {{mathl|term= (A,B) \mapsto (AF+BG)|SZ=}} und schließlich die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} All diese Abbildungen sind {{ Definitionslink |Prämath=P |Modulhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Injektivität vorne ist klar, da {{math|term= P|SZ=}} ein Integritätsbereich ist. Die Exaktheit an den beiden hinteren Stellen ist klar, bleibt noch die Exaktheit an der zweiten Stelle zu zeigen. Dort ist klar, dass die Verknüpfung die Nullabbildung ist. Sei also {{ Ma:Vergleichskette | AF+BG || 0 || || || |SZ= }} in {{math|term= P|SZ=.}} Da {{math|term= P|SZ=}} faktoriell ist und da {{math|term= F|SZ=}} und {{math|term= G|SZ=}} teilerfremd sind folgt aber, dass {{math|term= A|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= G|SZ=}} sein muss. Dann kann man durch {{math|term= G|SZ=}} teilen und erhält, dass {{math|term= B|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= F|SZ=}} sein muss {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem gleichen Faktor| |ISZ=|ESZ=. }} Also kommt {{mathl|term= (A,B)|SZ=}} von links. Da {{math|term= F|SZ=}} und {{math|term= G|SZ=}} homogen mit fixierten Graden sind, kann man diese Sequenz einschränken auf homogene Stufen, und zwar ergibt sich dabei die exakte Sequenz {{ math/disp|term= {{Komplexexakt/00/disp |P_{\ell-m-n} |P_{\ell - m}\times P_{\ell -n} |P_\ell|(P/(F,G))_\ell |abb2=(G,-F)|abb3=(F,G)|}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei sind die Stufen für negativen Index gleich {{math|term= 0|SZ=}}| |SZ=. }} Die Exaktheit bleibt erhalten, da bei einem homogenen Homomorphismus die Stufen unabhängig voneinander sind. Alle beteiligten Stufen sind nun endlichdimensionale Vektorräume. Für {{ Ma:Vergleichskette | \ell |\geq| m+n || || || |SZ= }} sind alle Indizes nichtnegativ und daher gilt {{ Ma:Vergleichskette | \dim (P_\ell) || \frac{(\ell+1)(\ell+2)}{2} || || || |SZ=. }} Wegen der Additivität der Vektorraumdimension bei exakten Komplexen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Modultheorie/Exakte Komplexe/Kurze exakte Sequenzen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \dim ( (P/(F,G)_\ell) ) || \frac{(\ell+1)(\ell+2)}{2} -\frac{(\ell-m+1)(\ell-m+2)}{2}-\frac{(\ell-n+1)(\ell-n+2)}{2} + \frac{(\ell-m-n+1)(\ell-m-n+2)}{2} || \frac{2- (-m+1)(-m+2) - (-n+1)(-n+2) +(-m-n+1)(-m-n+2)}{2} || \frac{2mn}{2} ||mn |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qhc9ag8kyx5jzvmy8bb3b41kt0emjme 0 20320 784609 758125 2022-08-22T06:34:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |0 |\notin|S || || || |SZ=. }} {{Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= S|SZ=,}} also {{math|term= R_S|SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |R_S | {{defeq|}} | {{Mengebed| \frac{f}{g}| f \in R | g \in S }} | \subseteq | Q(R) || || |SZ= }} ein Unterring von {{mathl|term= Q(R)|SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass nicht jeder Unterring von {{math|term= Q(R)|SZ= }} eine Nenneraufnahme ist.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gk8mhmrao5mloqwglxe29t7gxryx23t 0 20337 778570 748113 2022-08-21T12:23:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei zunächst {{math|term= f}} stetig und {{math|term= U\subseteq Y}} offen in {{math|term= (Y,e)}}. Es ist zu zeigen, dass {{math|term= f^{-1}(U)}} offen ist in {{math|term= (X,d)}}. Ist {{math|term= f^{-1}(U)}} die leere Menge, die ja immer offen ist, ist nichts zu zeigen. Sei also {{math|term= f^{-1}(U)\neq \emptyset}} und {{math|term= x\in f^{-1}(U)}}, also {{math|term= f(x)\in U}}. Da {{math|term= U}} offen ist, gibt es eine Umgebung {{math|term= W\subseteq U}} von {{math|term= f(x)}}. Weil {{math|term= f}} stetig ist in {{math|term= x}}, existiert eine Umgebung {{math|term= V}} von {{math|term= x}} mit {{mathdisplay|term= f(V)\subseteq W |SZ=. }} Insbesondere ist {{math|term= V\subseteq f^{-1}(W)\subseteq f^{-1}(U) }} eine Umgebung von {{math|term= x}} in {{math|term= f^{-1}(U)}}. Somit ist {{math|term= f^{-1}(U)}} offen in {{math|term= (X,d)}}. Sei nun das Urbild unter {{math|term= f }} einer jeden offenen Menge wieder offen. Um die Stetigkeit von {{math|term= f}} nachzuweisen, sei {{math|term= x\in X,\, \epsilon>0}} und {{math|term= U(f(x),\epsilon)\subseteq Y}} eine offene Kugel um {{math|term= f(x)}}. Dies ist eine in {{math|term= (Y,e)}} offene Menge. Das Urbild {{math|term= f^{-1}\bigl(U(f(x),\epsilon)\bigr)}} ist also offen in {{math|term= (X,d)}}. Da ja {{math|term= x\in f^{-1}\bigl(U(f(x),\epsilon)\bigr)}}, gibt es ein {{math|term= \delta>0}} mit {{math|term= U(x,\delta)\subseteq f^{-1}\bigl(U(f(x),\epsilon)\bigr)}}. Anders ausgedrückt: Es gilt {{mathdisplay|term= f\bigl(U(x,\delta)\bigr)\subseteq U(f(x),\epsilon) |SZ= }} was die Stetigkeit von {{math|term= f}} in {{math|term= x\in X}} liefert. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6lmqa3a6xryhoav41w3i6jo3a3n4bc7 0 20338 779954 251568 2022-08-21T17:48:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |Die leere Menge ist offen in jedem metrischen Raum. |Eine offene Kugel ist aufgrund der Dreiecksungleichung eine offene Menge. |Das abgeschlossene Intervall {{mathl|term= [0,1]}} ist keine offene Menge in {{math|term= \mathbb{R}|SZ=.}} Denn der Punkt {{math|term= 0}} besitzt keine Umgebung in {{mathl|term= [0,1]|SZ=.}} |Ist {{mathl|term= (X,d)}} ein metrischer Raum, so ist {{math|term= X}} offen in {{mathl|term= (X,d)|SZ=.}} Insbesondere ist {{mathl|term= [0,1]}} offen in dem metrischen Raum {{mathl|term= [0,1]|SZ=.}} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c88jkg782cxzwx9121ig6y8phcsf7ke 0 20358 779956 772544 2022-08-21T17:48:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung6 |Sei {{math|term= (X,d)}} ein metrischer Raum. Sei {{mathdisplay|term= \tau_d = \bigl\lbrace U\subseteq X \colon U \text{ ist offen in } (X,d) \bigr\rbrace }} die Familie der offenen Teilmengen. Dann ist {{math|term= \tau_d}} eine Topologie auf {{math|term= X}}. Denn die leere Menge ist offen, und ebenso {{math|term= X}}. Der Schnitt von zwei offenen Mengen ist offen, denn das Minimum zweier positiver reeller Zahlen ist wieder eine. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist auch wieder offen. Die Dreiecksungleichung geht hier nicht ein! | Insbesondere ist der euklidische Raum {{math|term= \mathbb{R}^n}} ein topologischer Raum, wenn man die von der euklidischen Metrik induzierte Topologie nimmt. | Sei {{math|term= X}} eine Menge, dann ist die Potenzmenge {{math|term= \mathcal{P}(X) }} aller Teilmengen von {{math|term= X}} eine Topologie auf {{math|term= X}}. Die Axiome sind offensichtlich erfüllt. Dies ist die {{Stichwort| diskrete Topologie}} auf {{math|term= X}}. | Sei {{math|term= X}} eine Menge, dann ist die Familie {{math|term= \{\emptyset,X\} }} eine Topologie auf {{math|term= X}}. Die Axiome sind offensichtlich erfüllt. Dies ist die {{Stichwort| indiskrete Topologie}} auf {{math|term= X}}. | Sei {{math|term= X=\{a,b\} }}, dann ist die Familie {{math|term= \bigl\lbrace\emptyset,\{a\},\{a,b\}\bigr\rbrace }} eine Topologie auf {{math|term= X}}. Die Axiome sind wieder offensichtlich erfüllt. Dieser topologische Raum heißt {{Stichwort|Sierpinski-Raum}}. | Sei {{math|term= X=\mathbb{R} }} und {{math|term= \sigma}} die Familie der beschränkten Teilmengen von {{math|term= \mathbb{R} }}. Dann ist {{math|term= \sigma}} keine Topologie, denn eine beliebige Vereinigung beschränkter Teilmengen ist nicht unbedingt beschränkt. Auch {{math|term= X\notin \sigma}}. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tkpbi0olzw8m2znnlzy8vgz3mhng2ab 0 20370 778572 748106 2022-08-21T12:23:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei zunächst {{math|term= U\in \tau}} und {{math|term= x\in U}}. Dann ist {{math|term= U}} selbst eine Umgebung von {{math|term= x}}. Ist nun {{math|term= V_x\subseteq U}} eine Umgebung von {{math|term= x}}, so gibt es nach Definition eine Menge {{math|term= W_x\in \tau}} mit {{math|term= x\in W_x\subseteq V_x}}. Dann ist {{math|term= U=\bigcup_{x\in U} W_x \in \tau}} nach Axiom 3. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8hilnudill8mz1ug21jbomkv1aklwdf 106 20373 779367 770239 2022-08-21T16:16:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|3| {{Zwischenüberschrift|term= Unterräume und Quotientenräume}} Ziel ist es nun, aus bereits gegebenen topologischen Räumen neue zu konstruieren. Ist etwa {{math|term= (X,\tau)}} ein topologischer Raum, so ist es gegebenenfalls von Interesse, lediglich eine Teilmenge von {{math|term= X}} zu betrachten. Diese kann man im Allgemeinen auf verschiedene Weisen mit einer Topologie versehen, aber es gibt eine ausgezeichnete, die {{Stichwort|Unterraumtopologie|SZ=.}} Ebenso ist es gegebenenfalls von Interesse, gewisse Punkte von {{math|term= X}} zu identifizieren, mit Hilfe einer Äquivalenzrelation. Die zugehörige Quotientenmenge kann wieder mit einer ausgezeichneten Topologie, der {{Stichwort|Quotiententopologie|SZ=,}} versehen werden. {{inputdefinition|Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Definition|Unterraumtopologie}} {{inputbeispiel|Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Beispiel| }} Nun ist es so, dass eine Teilmenge {{math|term= Y\subseteq X}} in Begleitung einer Abbildung daherkommt, der {{Stichwort|kanonischen Inklusion|msw=Kanonische Inklusion}} {{math|term= i_Y\colon Y\to X}}. Es ist {{math|term= i_Y(x)=x\,\forall\,x\in Y}}. Die Unterraumtopologie ist so definiert, dass die kanonische Inklusion stetig ist (alles andere wäre ja auch ziemlich idiotisch). Aber auch die diskrete Topologie auf {{math|term= Y}} hätte die Eigenschaft, dass die kanonische Inklusion stetig ist. Was die Unterraumtopologie auszeichnet, ist die folgende Eigenschaft. {{inputfaktbeweis|Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Fakt|Satz|Universelle Eigenschaft der Unterraumtopologie}} Ist {{math|term= (X,d)}} ein metrischer Raum und {{math|term= Y\subseteq X}} eine Teilmenge, so ist auch {{math|term= (Y,e)}} ein metrischer Raum, wobei {{math|term= e = d_{Y\times Y} }} die Einschränkung der Metrik von {{math|term= X}} auf {{math|term= Y}} ist. Die Unterraumtopologie von {{math|term= Y}} bezüglich {{mathl|term= (X,\tau_d)}} stimmt überein mit der durch {{math|term= e}} induzierten Topologie {{math|term= \tau_e|SZ=.}} Um sich mit Quotiententopologien zu beschäftigen, ist es erforderlich, den Begriff der Äquivalenzrelation verinnerlicht zu haben. Die folgende Sammlung von Definitionen kann dies nicht leisten. {{inputdefinition|Mengentheorie/Relationen/Relation/Definition|Relation}} Abbildungen sind Relationen mit bestimmten Eigenschaften. {{inputdefinition|Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzrelation/Definition|Äquivalenzrelation}} Eine Äquivalenzrelation {{math|term= R\subseteq X\times X}} auf einer Menge {{math|term= X}} kann auch als Zerlegung der Menge {{math|term= X}} aufgefaßt werden. Hierzu ist der Begriff der {{Stichwort|term= Äquivalenzklasse}} nützlich. {{inputdefinition|Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzklasse/Definition|Äquivalenzklasse}} In Worten: {{math|term= [x]}} ist die Teilmenge aller der Elemente von {{math|term= X|SZ=,}} die zu {{math|term= x}} äquivalent sind. Weil {{math|term= R}} reflexiv ist, gilt {{math|term= x\in [x]|SZ=.}} Insbesondere ist {{mathdisplay|term= X = \bigcup_{x\in X} [x]|SZ=.}} {{inputdefinition|Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Definition|Quotientenmenge}} Weil {{math|term= R}} symmetrisch und transitiv ist, folgt aus {{math|term= [x] \cap [y] \neq \emptyset}} schon {{math|term= [x]=[y]}}. Insbesondere ist die Vereinigung {{math|term= X = \bigcup_{[x]\in X/R} [x]}} eine disjunkte Vereinigung. In anderen Worten: {{math|term= X/R}} ist eine Zerlegung von {{math|term= X}} in die Äquivalenzklassen bezüglich {{math|term= R}}. {{inputdefinition|Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition|Kanonische Projektion}} Auf diese Weise sieht man, dass Äquivalenzrelationen ebenso als surjektive Abbildungen aufgefaßt werden können. Ist {{math|term= R\subseteq X\times X}} eine Äquivalenzrelation und {{math|term= f\colon X\to Z}} eine Abbildung mit {{math|term= f(x)=f(y) \, \forall \, (x,y)\in R }}, so gibt es genau eine Abbildung {{math|term= g\colon X/R\to Z}} mit {{math|term= g\circ q_R=f}}. Man setzt {{math|term= g\bigl([x]\bigr) := f(x)}}, was nach Voraussetzung nicht von der Wahl des Repräsentanten {{math|term= x\in [x]}} der Äquivalenzklasse abhängt. Zurück zur Topologie. {{inputdefinition|Topologie/Grundbegriffe/Quotiententopologie/Definition|Quotiententopologie}} Die Quotiententopologie ist so definiert, dass die kanonische Projektion stetig ist (alles andere wäre ja auch ziemlich idiotisch). Aber auch die indiskrete Topologie auf der Quotientenmenge hätte die Eigenschaft, dass die kanonische Projektion stetig ist. Was die Quotiententopologie auszeichnet, ist die folgende Eigenschaft. {{inputfaktbeweis|Topologie/Grundbegriffe/Quotiententopologie/Fakt|Satz|Universelle Eigenschaft der Quotiententopologie}} Eine stetige Abbildung auf einem Quotientenraum {{math|term= X/R}} konstruiert man, indem eine stetige Abbildung auf {{math|term= X}} konstruiert wird, die mit der Äquivalenzrelation verträglich ist. {{inputbeispiel|Topologie/Grundbegriffe/Quotiententopologie/Beispiel| }} Der folgende Quotientenraum (und gewisse Verwandte, die später auftauchen) ist einer der wichtigsten topologischen Räume überhaupt. {{inputbeispiel|Topologie/Topologische Räume/Reell projektiver Raum/Beispiel|Reell projektiver Raum}} Um die universelle Eigenschaft der Quotiententopologie zu illustrieren, sei {{math|term= R\subseteq I\times I}} die von {{math|term= 0\sim 1}} erzeugte Äquivalenzrelation auf dem Einheitsintervall. Anschaulich sollte der Quotientenraum {{math|term= I/R}}, das Einheitsintervall mit identifizierten Endpunkten, praktisch dasselbe sein wie der Kreis {{math|term= S^1}}. Dem ist auch so. Man präzisiert dies auf folgende Weise. {{inputdefinition|Topologie/Grundbegriffe/Topologische Äquivalenz/Definition|Topologische Äquivalenz}} Eine topologische Äquivalenz zwischen einem Quotientenraum und einem anderen Raum konstruiert man am besten '''weg vom Quotientenraum'''. Gesucht ist also eine stetige Abbildung {{math|term= I \to S^1}}, die mit der Äquivalenzrelation {{math|term= R}} verträglich ist. Ein Kandidat ist die Exponentialabbildung {{math|term= \exp(x) = e^{2\pi i x} = \bigl(\cos (2\pi x),\sin (2 \pi x)\bigr) }}, denn {{mathdisplay|term = e^{2\pi i 0} = 1 = e^{2\pi i } |SZ=. }} Die Exponentialabbildung induziert also eine Abbildung {{math|term= f\colon I/R\to S^1}} Aus der Analysis ist bereits bekannt, dass die Exponentialabbildung stetig ist. Nach der [[Topologie/Grundbegriffe/Quotiententopologie/Fakt|universellen Eigenschaft der Quotiententopologie]] ist also auch {{math|term= f}} stetig. Da {{math|term= \exp\colon I\to S^1}} schon surjektiv ist, ist {{math|term= f}} erst recht surjektiv. Und {{math|term= f}} ist injektiv, denn es ist {{math|term= (x,y)\in R \Leftrightarrow \exp(x)=\exp(y) }}. Weil die Abbildung {{math|term= f}} bijektiv ist, besitzt sie eine Umkehrabbildung. Sei diese {{math|term= g\colon S^1\to I/R}}. Es bleibt nun zu zeigen, dass {{math|term= g}} stetig ist. Sei also {{math|term= U\subseteq I/R}} offen. Es ist zu zeigen, dass {{math|term= g^{-1}(U)= f(U)}} offen ist. Ist {{math|term= U=\emptyset}}, so gibt es nichts zu tun. Sei also {{math|term= [x]\in U}}. Es ist zu zeigen, dass {{math|term= f(U)}} eine offene {{math|term= \epsilon}}-Kugel um {{math|term= f([x])\in S^1 }} enthält. {{ Aufzählung2 | Sei {{math|term= [x]\neq[0] }}. Dann ist {{math|term= q_R^{-1}(U)\subseteq I}} nach Definition der Quotiententopologie eine offene Menge, die {{math|term= x}} enthält. Es gibt also ein {{math|term= \delta>0}} mit der Eigenschaft, dass {{math|term= (x-\delta,x+\delta) \subseteq q_R^{-1}(U) }}. Dann ist aber {{mathdisplay|term= f([x]) = \exp(x) \in \exp\bigl((x-\delta,x+\delta)\bigr) }} und letzteres ist der Schnitt einer offenen {{math|term= \epsilon}}-Kugel in {{math|term=\mathbb{R}^2}} um {{math|term= \exp(x)}} mit {{math|term= S^1}}. | Sei {{math|term= [x]=[0]=[1]}}. Weil {{math|term= U}} offen ist in der Quotiententopologie, ist {{math|term= q_R^{-1}(U)\subseteq I}} offen. Da {{math|term= \{0,1\}\subseteq q_R^{-1}(U)}} gibt es ein {{math|term= \delta>0}} derart, dass {{math|term= [0,\delta)\cup (1-\delta,1]\subseteq q_R^{-1}(U)}}. Dann ist aber {{mathdisplay|term= 1=f([0]) = \exp(0) \in \exp\bigl((-\delta,\delta)\bigr) }} und letzteres ist der Schnitt einer offenen {{math|term= \epsilon}}-Kugel in {{math|term=\mathbb{R}^2}} um {{math|term= 1}} mit {{math|term= S^1}}. }} Somit ist auch die Umkehrabbildung von {{math|term= f}} stetig. Dies beendet den Nachweis der topologischen Äquivalenz zwischen {{math|term= S^1}} und {{math|term= I/R }} für {{math|term= R=0\sim 1}}. {{inputbeispiel|Topologie/Grundbegriffe/Keine Topologische Äquivalenz/Beispiel|Warnung}} <noinclude> {{:Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Footer|3}} [[Kategorie:Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)|Vorlesung]] </noinclude> }} ojht5bxvxor2p9pc6raoivo1btslos2 0 20387 778571 748114 2022-08-21T12:23:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= U\in \theta}}. Es ist zu zeigen, dass {{math|term= (g\circ f)^{-1}(U)\in \tau }}. Nun ist aber {{mathdisplay|term= (g\circ f)^{-1}(U) = f^{-1}\bigl(g^{-1}(U)\bigr) |SZ= }} und {{math|term= g^{-1}(U)\in\omega}}, weil {{math|term= g}} stetig ist. Also ist {{math|term= f^{-1}\bigl(g^{-1}(U)\bigr)\in \tau}}, weil {{math|term= f}} stetig ist. Da {{math|term= \mathrm{id}^{-1}(U) = U \, \forall\, U\subseteq X}} folgt die Aussage über die Identität. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2wmzv1vkpdkhr3rbns8yt4r7hzkqxjg 0 20390 778573 748115 2022-08-21T12:23:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Eine Implikation folgt sofort, da die Komposition stetiger Abbildungen wieder stetig ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=. }} Sei also {{math|term= i_Y\circ f}} stetig. Es ist zu zeigen, dass {{math|term= f}} stetig ist. Sei also {{math|term= U\in \tau_Y}}. Nach Definition der Unterraumtopologie gibt es {{math|term= V\in \tau}} mit {{math|term= V\cap Y=U}}. Nun ist aber {{mathdisplay|term= V\cap Y = i_Y^{-1}(V) |SZ= }} also ist nach Voraussetzung {{mathdisplay|term= f^{-1}(U) = f^{-1}(V\cap Y) = f^{-1}\bigl(i_Y^{-1}(V)\bigr) = (i_Y\circ f)^{-1}(V) \in \theta |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cxdu06u165eqtj9794wt59p0kd7riqq 0 20407 778569 748112 2022-08-21T12:22:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Eine Implikation folgt sofort, da die Komposition stetiger Abbildungen wieder stetig ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=. }} Sei also {{math|term= f\circ q_R}} stetig. Es ist zu zeigen, dass {{math|term= f}} stetig ist. Sei also {{math|term= U\in \theta}}. Nach Definition der Quotiententopologie ist {{math|term= f^{-1}(U)\in \tau_R}} genau dann, wenn {{math|term= q_R^{-1}\bigl(f^{-1}(U)\bigr)\in \tau}}. Letzteres gilt nach Voraussetzung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nove274uyn0uu4fopx8e0eyzev2opsq 0 20408 779963 772547 2022-08-21T17:49:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n\in \mathbb{N} }} und {{mathl|term= X = \mathbb{R}^{n+1}\smallsetminus \{0\}|SZ=.}} Der euklidische Raum {{math|term= \mathbb{R}^{n+1} }} ist ein reeller Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von {{mathl|term= \lambda\in \mathbb{R} }} und {{mathl|term= x\in \mathbb{R}^{n+1} }} mit {{math|term= \lambda\cdot x}} bezeichnet wird. Sei weiter {{mathdisplay|term= R:= \{(x,y)\in X\times X \colon \, \exist \, \lambda \in \mathbb{R}\smallsetminus \{0\} \text{ mit } \lambda \cdot x=y\} |SZ=. }} Dies ist eine Äquivalenzrelation, denn {{ Aufzählung4 | {{math|term= 1\in \mathbb{R}\smallsetminus \{0\} }}, | {{math|term= \lambda^{-1}\in \mathbb{R}\smallsetminus \{0\} \, \forall \, \lambda\in \mathbb{R}\smallsetminus \{0\} }}, | {{math|term= \lambda \mu \in \mathbb{R}\smallsetminus \{0\} \, \forall \, \lambda,\mu \in \mathbb{R}\smallsetminus \{0\} }}, und | die Skalarmultiplikation ist assoziativ. }} Die Quotientenmenge, versehen mit der Quotiententopologie, heißt {{Stichwort| reell-projektiver Raum}} (der reellen Dimension {{math|term= n}}) und wird mit {{math|term= \mathbb{RP}^n}} bezeichnet. Einen Punkt im {{math|term= \mathbb{RP}^n}} kann man sich als Gerade durch den Nullpunkt im {{math|term= \mathbb{R}^{n+1} }} vorstellen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2=Theorie der reell-projektiven Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektiv |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g6wahw6ew5f16x0m6aa97t5bxa10dtg 0 20409 779955 251576 2022-08-21T17:48:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= I=[0,1]}} das Einheitsintervall (versehen mit der üblichen Topologie) und {{mathdisplay|term= R:= [0,1)\times [0,1) \cup\{(1,1)\} \subseteq I\times I |SZ= }} die von {{math|term= x \sim y \Leftrightarrow x<1,y<1}} erzeugte Äquivalenzrelation. Die Quotientenmenge {{math|term= I/R}} hat also genau zwei Elemente: Die Äquivalenzklasse {{math|term= [0] = [0,1) }}, und die Äquivalenzklasse {{math|term= [1]=\{1\} }}. Die Quotiententopologie besteht also aus den Mengen {{math|term= \bigl\lbrace \emptyset,\{[0]\},I/R \bigr\rbrace }}. Die Menge {{math|term= \{[0]\} }} ist offen, weil das Urbild {{math|term= q_R^{-1}\bigl([0]\bigr) =[0,1) }} offen ist in {{math|term= I}}. Der topologische Raum {{math|term= I/R}} sieht also genau so aus wie der Sierpinski-Raum von {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Beispiel |Refname= {{{ref1|Beispiel}}} |SZ=. }} Wie wir später sehen werden, ist die Topologie des Quotientenraumes {{math|term= I/R}} nicht von einer Metrik induziert, obwohl {{math|term= I}} ein metrischer Raum ist. Der Quotientenraum eines metrischen Raumes ist also nicht notwendigerweise ein metrischer Raum. Dies ist ein wesentlicher Vorteil topologischer Räume. |Textart=Beispiel |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quotient |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jlb9yr311ra24c40mnw1e8nk6dq2s3u 0 20412 779957 251577 2022-08-21T17:48:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= \mathbb{R} }} versehen mit der üblichen Topologie und sei {{math|term= I=[0,1]\subseteq \mathbb{R} }} das Einheitsintervall. Das halboffene Intervall {{math|term= [0,1) }} ist eine in der Unterraumtopologie offene Teilmenge von {{math|term= I}}. Denn {{math|term= (-1,1)\subseteq \mathbb{R} }} ist offen in {{math|term= \mathbb{R} }} (es ist ja eine offene Kugel), und es gilt {{mathdisplay|term= [0,1) = (-1,1)\cap I |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3xnvu35wy2ce4siw7ls63cpk1b68fen 0 20415 783164 534569 2022-08-22T02:43:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} ein kommutatives Monoid. Definiere eine Bijektion zwischen den folgenden Objekten. {{ Aufzählung4 |{{ Definitionslink |Filter| |Definitionsseitenname= Kommutatives Monoid/Filter/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} in {{math|term= M|SZ=.}} | {{mathl|term= {{Mormon|M|(\{0,1\},1,\cdot)}}|SZ=.}} | {{mathl|term= {\mathbb F}_2-\operatorname{Spek} \, (M)|SZ=}} | {{mathl|term= {{Mengebed|\varphi \in {{op:KSpek|K[M]}}| \varphi(M) \subseteq \{0,1\} }} |SZ=.}} {{ Zusatz/Klammer |text=Dabei ist {{math|term= K|SZ=}} ein Körper.| |ISZ=|ESZ= }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ff27wtbyn5ix4nagme796b5d3y32py 0 20417 783165 756880 2022-08-22T02:43:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutatives Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= M|SZ=}} einen kleinsten {{ Definitionslink |Filter| |Definitionsseitenname= Kommutatives Monoid/Filter/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} gibt und dass dieser eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fzi76uvvhvvivrwt0u7u0lqc0drt6f3 0 20418 784388 534563 2022-08-22T06:04:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die kommutativen Monoide {{mathl|term= M=\N^r|SZ=}} und {{mathl|term= N={\mathbb N}^s|SZ=.}} Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von {{math|term= M|SZ=}} nach {{math|term= N|SZ=}} eindeutig durch eine Matrix (mit {{math|term= r|SZ=}} Spalten und {{math|term= s|SZ=}} Zeilen) mit Einträgen aus {{math|term= \N|SZ=}} bestimmt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fn3pu20n67w69st9uob2fuhmgrkhgaz 0 20419 784390 534564 2022-08-22T06:05:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine quadratische {{math|term= r\times r|SZ=-}}Matrix mit Einträgen aus {{math|term= \N|SZ=}} mit der zugehörigen Monoidabbildung und der zugehörigen Spektrumsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |{{op:KSpek|K[\N^r]}} | {{op:KSpek|K[\N^r]}} || |SZ=, }} wobei {{math|term= K|SZ=}} ein unendlicher Körper sei. Zeige, dass genau dann {{math|term= \det (M) \neq 0|SZ=}} ist, wenn {{math|term= \varphi|SZ=}} surjektiv auf eine offene Menge aus {{math|term= {{op:KSpek|K[\N^r]}}|SZ=}} abbildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gmeb5ohsv4vmegb4og5kadsolp0pctt 0 20421 783170 756885 2022-08-22T02:44:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{math|term= R|SZ=}} und {{math|term= S|SZ=}} integre {{math|term= K|SZ=-}}Algebren von endlichem Typ. Es sei {{mathl|term= {{abb|name=\varphi|R|S}}|SZ=}} ein endlicher injektiver {{math|term= K|SZ=-}}Algebrahomomorphismus. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{mathl|term= {{abb| name=\varphi^*|{{op:KSpek|S}}|{{op:KSpek|R}} }}|SZ=}} surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jem1hmvr7c1m4rcp47l21v6k79iyj01 0 20423 784385 534665 2022-08-22T06:04:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} ein kommutatives {{ Definitionslink |Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} mit zugehöriger {{ Definitionslink |Differenzengruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{mathl|term= \Gamma=\Gamma(M)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{math|term= M|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Monoid mit Kürzungsregel| |Definitionsseitenname= Kommutative Monoidtheorie/Monoid mit Kürzungsregel/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= .}} |Die kanonische Abbildung {{mathl|term= {{abb|M|\Gamma(M)}}|SZ=}} ist injektiv. |{{math|term= M|SZ=}} lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t5s1jdvjvx3rphgg3w6boxuo5ey4w1j 0 20431 784402 535979 2022-08-22T06:06:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{mathl|term= M \subseteq N|SZ=}} kommutative Monoide. Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{M} || {{mengebed|n \in N|\text{es gibt } k \in \N_+ \text{ mit } kn \in M}} || || || |SZ= }} ein Untermonoid von {{math|term= N|SZ=}} gegeben ist, das {{math|term= M|SZ=}} umfasst. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 460fs1yue9exjn2ztovmlxyqz2v5x05 0 20433 783166 756881 2022-08-22T02:43:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring. Beweise{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebraiso{{latextrenn|}}mor{{latextrenn|}}phie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | R[\Z^n] |\cong| R[X_1 {{kommadots|}} X_n]_{X_1 \cdots X_n} || || || |SZ= }} mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j6d24ejxce8oaoqy7krtqydo3dr71mz 0 20458 784422 534565 2022-08-22T06:09:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= M,N|SZ=}} endlich erzeugte kommutative Monoide mit den {{math|term= K|SZ=-}}Spektren {{mathl|term= {{op:KSpek|K[M]}}={{Mormon|M|K}}|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:KSpek|K[N]}}={{Mormon|N|K}}|SZ=.}} Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus {{mathl|term= \varphi:M \rightarrow N|SZ=}} die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r1jxz6p8pint3u20tf3vucmh360c2c9 0 20460 784708 514140 2022-08-22T06:48:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= M \subset \N|SZ=}} das durch {{mathl|term= 3,5,7|SZ=}} erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monomialen Kurven |Kategorie2=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie3=Die monomiale Raumkurve t^3,t^5,t^7 |Objektkategorie= |Stichwort=Restklassendarstellung |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rm328vvthwfgpe8cjqsj72aas83ua2m 0 20464 784714 514136 2022-08-22T06:49:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien {{math|term= M,N|SZ=}} numerische Monoide mit {{mathl|term= M \subseteq N|SZ=.}} Zeige, dass die zugehörige Spektrumsabbildung surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 77uaeyy5iaopxxtrcsqge8q3km9ouyx 0 20466 784715 514137 2022-08-22T06:49:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= M,N|SZ=}} numerische Monoide. Für welche der numerischen Invarianten {{math|term= \nu|SZ=}} (Multiplizität, Führungszahl, Singularitätsgrad, Einbettungsdimension) folgt aus {{mathl|term= M \subseteq N|SZ=}} die Abschätzung {{mathl|term= \nu(M) \geq \nu(N)|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kn4mlxcojootr9p21h7r19lswo90ire 0 20469 784734 758203 2022-08-22T06:52:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |numerisches Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das nicht isomorph zu {{math|term= \N|SZ=}} sei, und sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper. Zeige{{n Sie}}, dass es im Monoidring {{math|term= K[M]|SZ=}} {{ Definitionslink |irreduzible Elemente| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} gibt, die nicht {{ Definitionslink |prim| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} sind. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} Elemente aus {{math|term= K[M]|SZ=}} mit zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen in irreduzible Elemente an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2=Theorie der monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Irreduzibel |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} arw1nzg2wogt8btc1a8bujk5k3pootv 0 20470 779952 251579 2022-08-21T17:48:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= f\colon [0,1)\to S^1 }} die Einschränkung der Exponentialabbildung auf das halboffene Intervall {{math|term= [0,1) }}. Diese Abbildung ist stetig und bijektiv, aber die Umkehrabbildung {{math|term= g}} ist nicht stetig. Denn es ist {{math|term= e^{2\pi i \frac{-1}{n} } }} eine Folge mit {{mathdisplay|term= \lim_{n\geq 2} e^{2\pi i \frac{-1}{n} } =1 \text{ und } \lim_{n\geq 2} g(e^{2\pi i \frac{-1}{n} }) = \lim_{n\geq 2} \frac{n-1}{n} = 1 \neq g(1) = 0 |SZ=.}} Dieses Phänomen tritt bei Gruppenhomomorphismen nicht auf. Ist {{math|term= \phi}} ein bijektiver Gruppenhomomorphismus, so ist die Umkehrabbildung automatisch ein Gruppenhomomorphismus. In der kommenden Veranstaltung werden wir topologische Kriterien erarbeiten, die dieses pathologische Phänomen ausschließen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cj1payk40wd3o6id6bfgbhx62wiztk6 0 20472 784709 514131 2022-08-22T06:48:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} ein numerisches Monoid. Bestimme die {{ Definitionslink |Filter| |Definitionsseitenname= Kommutatives Monoid/Filter/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} in {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Filter |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bguemytis5ir93htz3z99gb8vobgmku 0 20473 779560 534551 2022-08-21T16:48:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das durch {{math|term= 5,8|SZ=}} und {{math|term= 11|SZ=}} erzeugte numerische Monoid {{math|term= M|SZ=.}} {{math|term= M|SZ=}} besteht also aus allen Summen {{mathl|term= 5a_1+8a_2+11a_3 |SZ=}} mit nichtnegativen Koeffizienten {{mathl|term= a_1,a_2,a_3 |SZ=.}} Es lässt sich einfach überlegen, dass {{math|term= M|SZ=}} die folgenden Elemente enthält: {{ math/disp|term= 0,5,8,10,11,13,15,16,18,19,20,21,22,23,24,25, \ldots |SZ=. }} Da es insbesondere fünf Zahlen hintereinander enthält {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= 18|SZ=}} bis {{math|term= 22|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} muss jede weitere Zahl auch dazu gehören, da man ja einfach {{mathl|term= 5 \in M|SZ=}} dazuaddieren kann. Damit ist die Führungszahl {{math|term= 18|SZ=,}} die Multiplizität ist {{math|term= 5|SZ=,}} der Singularitätsgrad ist {{math|term= 10|SZ=}} und die Einbettungsdimension ist {{math|term= 3|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die monomiale Raumkurve t^5,t^8,t^11 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ml0bebtiljt5qn5tycdcjsonna88rh 0 20500 778581 735692 2022-08-21T12:24:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= U\subseteq E}} offen. Um zu zeigen, dass {{math|term= p(U)\subseteq X}} offen ist, sei {{math|term= x\in U}}. Gesucht ist eine offene Menge {{math|term= W\subseteq X}} mit {{math|term= p(x)\in W\subseteq p(U)}}. Sei hierzu {{math|term= V\subseteq X}} eine offene Menge aus einer Elementar-Überdeckung von {{math|term= X}}, sowie {{math|term= \phi\colon p^{-1}(V)\to V\times p^{-1}(p(x)) }} eine topologische Äquivalenz. Dann ist {{math|term= x\in U\cap \phi^{-1}(V\times \{x\} ) }} offen in {{math|term= \phi^{-1}(V)}}. Weil {{ mathdisplay|term= p\vert_{\phi^{-1}(V\times \{x\} )}\colon \phi^{-1}(V\times \{x\} )\to V }} eine topologische Äquivalenz ist, ist auch {{math|term= W:=p(U\cap\phi^{-1}(V\times \{x\} ))}} offen in {{math|term= V}}. Nun ist {{math|term= V\subseteq X}} offen, also ist {{math|term= W}} auch offen in {{math|term= X}}. Aus {{math|term= x\in W \subseteq p(U)}} folgt die Behauptung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Offen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4g5nvv0hy6xxdcbpp10hqltol5rk98v 0 20501 778568 748111 2022-08-21T12:22:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= W_x}} die Weg-Zusammenhangskomponente von {{math|term= x\in X}}. Nach Voraussetzung an {{math|term= X}} existiert eine weg-zusammenhängende Umgebung {{math|term= x\in V\subseteq X}}. Insbesondere ist {{math|term= V\subseteq W_x}}. Somit ist {{math|term= W_x\subseteq X}} offen nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Umgebungen in topologischen Räumen/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=. }} Dies zeigt die erste Behauptung. Als Menge ist {{math|term= X}} sicherlich die disjunkte Vereinigung seiner Weg-Zusammenhangskomponenten. Um dies auch für den topologischen Raum zu erhalten, ist zu zeigen, dass jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen ist. Nun ist das Komplement einer Weg-Zusammenhangskomponente die Vereinigung aller anderen Weg-Zusammenhangskomponenten, die nach der ersten Behauptung offen ist. Also ist jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen, was die zweite Behauptung beweist. Die dritte Behauptung folgt sofort. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fnxitul3q2u8ft7womedfu3ol9wnucq 0 20503 778580 748124 2022-08-21T12:24:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= e\in V\subseteq E}} eine Umgebung. Sei weiter {{math|term= U\subseteq X}} eine offene Menge einer Elementar-Überdeckung, sowie {{math|term= \phi\colon p^{-1}(U)\to U\times p^{-1}(p(e))}} eine topologische Äquivalenz. Dann ist {{math|term= e\in V^\prime := V\cap \phi^{-1}(U\times \{e\}) }} auch eine Umgebung. Aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologie/Überlagerungen/Offenheit/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} folgt, dass {{math|term= p(e)\in p(V^\prime)\subseteq X}} ebenfalls eine Umgebung ist. Sei nun {{math|term= p(e)\in W\subseteq p(V^\prime)}} eine weg-zusammenhängende Umgebung. Es ist {{math|term= W\subseteq U}}, also ist {{math|term= e\in \phi^{-1}(W\times \{e\})\subseteq V}} die gesuchte weg-zusammenhängende Umgebung von {{math|term= e\in E}}. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oz5ith2s8gvh7jwzf2i77z8bbvqsnpj 0 20535 783220 756926 2022-08-22T02:52:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und sei {{mathind|R_i \subseteq K|i \in I|SZ=,}} eine Familie von {{ Definitionslink |Prämath= |normalen| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt {{math|term= \bigcap_{i \in I} R_i|SZ=}} normal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Integritätsbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5c8jazwqcaxvw0h8rxmiymmf51o64f5 0 20540 783316 757015 2022-08-22T03:08:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |torsionsfreies| |Kontext=Monoid |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=}} Monoid. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Differenzengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Gamma(M)|SZ=}} torsionsfrei ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 76mormbt68qagagiuj44mfmjzffoqlh 0 20541 783317 514154 2022-08-22T03:08:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} ein kommutative Gruppe. Zeige, dass die {{ Definitionslink |Torsionsfreiheit| |Definitionsseitenname= Kommutatives Monoid/Torsionsfrei/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} äquivalent zu folgender Eigenschaft ist: Aus {{mathl|term= m \in M|SZ=}} und {{mathl|term= rm=0|SZ=}} für ein positives {{mathl|term= r \in \N|SZ=}} folgt stets {{mathl|term= m=0|SZ=}}. Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für ein Monoid nicht gelten muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5slhs9yykddup9jx4q7cytjxc6rpcq 0 20549 779516 763610 2022-08-21T16:41:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das durch {{mathkon|(1,0), (-1,2)|und|(0,1)|SZ=}} erzeugte Untermonoid {{ Ma:Vergleichskette |M | \subseteq| \Z^2 || || || |SZ=. }} Für den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette | K[M] |\cong| K[X,Y,Z]/(Z^2-XY) || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass das Monoid normal ist, also mit seiner Normalisierung übereinstimmt. Die beiden Erzeuger {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} und {{mathl|term= (-1,2)|SZ=}} definieren je eine Gerade in {{math|term= \R^2|SZ=,}} und das Monoid besteht aus allen Gitterpunkten {{ Zusatz/Klammer |text=Punkte im {{math|term= \Z^2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} innerhalb des durch diese Geraden definierten Kegels. Dies sieht man so: Die Gitterpunkte in diesem Kegel sind durch die beiden Bedingungen {{ math/disp|term= {{Mengebed| (s,t) \in \Z^2| t \geq 0 \text{ und } t \geq -2s }} |SZ= }} gegeben. Ein Punkt daraus mit {{ Ma:Vergleichskette |s |\geq|0 || || || |SZ= }} gehört offensichtlich zu {{math|term= M|SZ=.}} Sei also {{mathl|term= (s,t)|SZ=}} ein Punkt daraus mit {{ Ma:Vergleichskette |s |<|0 || || || |SZ=. }} Wegen der zweiten linearen Bedingung kann man {{ Ma:Vergleichskette/disp | (s,t) || -s (-1,2) + (t-2s) (0, 1) || || || |SZ= }} schreiben, was wegen {{ Ma:Vergleichskette | t-2s |\geq| 0 || || || |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} gehört. Mit den zwei Geraden lässt sich {{math|term= M|SZ=}} auch sofort als {{ Ma:Vergleichskette | M || H_1 \cap H_2 || || || |SZ= }} beschreiben, mit {{ Ma:Vergleichskette |H_1 || {{Mengebed|(s,t)|t \geq 0}} | \cong| \Z \times \N || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |H_2 || {{Mengebed|(s,t)|t \geq -2s }} | \cong| \Z \times \N || || |SZ=, }} wobei die zweite Identifizierung von der {{math|term= \Z|SZ=-}}Basis {{mathl|term= (-1,2),(0,1)|SZ=}} herrührt. Aus dieser expliziten Beschreibung folgt, dass der zugehörige Monoidring normal ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der monomiale Standardkegel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tqq5liw2qs2ldl8cmi5tjuujr22luqm 0 20550 783315 595456 2022-08-22T03:08:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Monoidringe/Dimension zwei/Standardkegel/Z^2-XY/Monoid und Bewertungen/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Welchen Wert haben die drei Erzeuger unter den dort angegebenen Monoidhomomorphismen {{math|term= \varphi_1,\varphi_2|SZ=}} nach {{math|term= \Z|SZ=,}} durch die das Monoid beschrieben werden kann. Bestimme{{n Sie}} den Kokern des Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |\Gamma(M) | \Z^2 |m| (\varphi_1(m),\varphi_2(m)) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2=Der monomiale Standardkegel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eh7tb6a630wawos79qz86xfz2lyocnq 0 20551 780621 514155 2022-08-21T19:38:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= M \subseteq \Gamma(M) \cong \Z^n|SZ=}} ein Monoid und betrachte die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | M^* || {{Mengebed|\varphi:\Gamma(M) \longrightarrow \Z |\varphi(M) \subseteq \N }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M^*|SZ=}} ein normales Untermonoid von {{mathl|term= {{Hom|\Z^n|\Z}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qg1gf23gr3u8y345hz1fl3dhe49er1x 0 20553 782945 756689 2022-08-22T02:06:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{math|term= R|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jedes {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp}}|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_{{idealp}}|SZ=}} normal. |Für jedes {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealm}}|SZ=}} ist die Lokalisierung {{math|term= R_{{idealm}}|SZ=}} normal.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Integritätsbereiche |Kategorie2=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Lokal |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ef89unqimtoyz8tycnwik75802nycbw 0 20564 781466 767489 2022-08-21T21:59:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= K(T) |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Körper der rationalen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Finde einen {{ Definitionslink |diskreten Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | R |\subseteq| K(T) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | Q(R) || K(T) || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette | R \cap K[T] || K || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2df5worzr322xqonqe9jkji2mstxiqo 0 20565 781467 767437 2022-08-21T22:00:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine {{Definitionswort/enp|Potenzreihe in einer Variablen}} über {{math|term= K|SZ=}} ist ein formaler Ausdruck der Form {{ math/disp|term= a_0+a_1T+a_2T^2+a_3T^3+ \ldots \text{ mit } a_i \in K |SZ=. }} Es kann hier also unendlich viele von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=}} geben. Definiere{{n Sie}} eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige{{n Sie}}, dass dieser Ring ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tl71rf6llqqjhvql7vnrzdirbrttpvv 0 20566 783311 757011 2022-08-22T03:07:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutatives Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Charakterisiere{{n Sie}}, für welche Teilmengen {{mathl|term= I \subseteq M|SZ=}} die Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp | R[I] || \bigoplus_{m \in I} T^m |\subseteq| R[M] || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R[M]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ideal |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jjzkpehxr13i7ub9n05057a2atybi0l 0 20567 784730 514144 2022-08-22T06:52:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= M \subseteq \N|SZ=}} ein numerisches Monoid und {{math|term= K|SZ=}} ein Körper. Definiere {{ math/disp|term= M_+= M \cap \N_+ \text{ und } n M_+ ={{Mengebed|m \in M|\text{es gibt eine Darstellung } m {{=}} m_1+ \ldots +m_n \text{ mit } m_i \in M_+}} |SZ=. }} Zeige, dass {{math|term= nM_+|SZ=}} {{Anführung|Ideale}} in {{math|term= M|SZ=}} sind, dass zu {{math|term= M_+|SZ=}} ein maximales Ideal {{math|term= {{idealm}}|SZ=}} in {{math|term= K[M]|SZ=}} gehört, und dass das zu {{math|term= nM_+|SZ=}} gehörige Ideal gleich {{math|term= {{idealm}}^n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gniogy3vhozpo87l0qm7g5hht9kap8n 0 20568 784713 514141 2022-08-22T06:49:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= M \subseteq \N|SZ=}} ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Elementen erzeugt werde. Es sei vorausgesetzt, dass die {{ Definitionslink |Multiplizität| |Definitionsseitenname= Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=}} von {{math|term= M|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Führungszahl| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Führungszahl/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} übereinstimmt. Bestimme ein minimales Erzeugendensystem und die {{ Definitionslink |Einbettungsdimension| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}}{{{zusatz|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hdbq9f9ojebov7hdthf4k0bs9b03t8z 0 20569 785784 582028 2022-08-22T09:37:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper. Finde ein kommutatives Monoid {{math|term= M|SZ=}} derart, dass eine Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | K[M] |\cong| K[X,Y,U,V]/(UX-VY) || || || |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der dreidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardquadrik in vier Variablen |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7erkcpyd4nmsz2y3iir58r9kt1muwai 0 20576 781635 755580 2022-08-21T22:28:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Kurve| |Kontext=eben algebraisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |C || V(x^3+5x^2y-6xy^2-x^2-xy+4y^2) || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Tangenten| |Kontext=singuläre Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Nullpunkt. |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= P=(1,2)|SZ=}} ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von {{math|term= C|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} über die Ableitung. |Führe{{n Sie}} eine Variablentransformation durch derart, dass {{math|term= P|SZ=}} in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in {{math|term= P|SZ=}} aus der transformierten Kurvengleichung. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pft35xe9b11yjxgezwp6iwh3wkfe4n8 0 20578 782301 756149 2022-08-22T00:19:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |positiven Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |p |>|0 || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Menge der Polynome {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[T] || || || |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |formaler Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |F' ||0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des formalen Ableitens |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvkvzewxobajt0ozj1ud4j2j8xuo234 0 20582 781629 755576 2022-08-21T22:27:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |G,H |\in| K[X,Y] || || || |SZ= }} Polynome mit {{ Ma:Vergleichskette |G(P) ||H(P) ||0 || || |SZ= }} für einen bestimmten Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| {{op:Affine Ebene|K}} || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F ||GH || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Tangente| |Kontext=singuläre Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} und jede Tangente von {{math|term= H|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} auch eine Tangente von {{math|term= F|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} ist.{{{zusatz|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplizität von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fjneooc64xy3r44zkc85b7qtl8iingm 0 20604 783312 757012 2022-08-22T03:07:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= N|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Monoide| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} In welcher Beziehung steht {{mathl|term= {{op:KSpek|K[M \times N]}}|SZ=}} zu {{mathl|term= {{op:KSpek|K[M]}}|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:KSpek|K[N]}}|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jlw12s9lw46e1h3rsyx6nqh2zaqw2z7 0 20633 784729 560356 2022-08-22T06:51:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Klassifiziere sämtliche numerische Monoide {{math|term= M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit teilerfremden Erzeugern| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Definitionslink |Führungszahl| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{mathl|term= f(M) \leq 6|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} jeweils die {{ Definitionslink |Einbettungsdimension| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=, }} die Multiplizität und den Singularitätsgrad an{{{zusatz|}}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mg8xw6hu4ig7yeddpgaqq60b306ndmq 0 20635 778860 747945 2022-08-21T13:06:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Eine Implikation folgt sofort aus der Funktorialität der Fundamentalgruppe. Sei {{math|term= \tilde{f}\colon (Y,y_0)\to (E,e_0)}} eine stetige Abbildung mit {{math|term= p\circ \tilde{f}=f}}. Dann ist {{mathdisplay|term= f_\ast\bigl(\pi_1(Y,y_0)\bigr) = (p\circ \tilde{f})_\ast\bigl(\pi_1(Y,y_0)\bigr) =p_\ast\bigl(\tilde{f}_\ast(\pi_1(Y,y_0))\bigr) \subseteq p_\ast\bigl(\pi_1(E,e_0)\bigr) |SZ=. }} Um die Abbildung {{math|term= \tilde{f} }} aus den gegebenen Daten zu konstruieren, benutzt man die sogenannte {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologie/Überlagerungen/Homotopie-Liftung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} von Überlagerungen in einem Spezialfall. Denn sei {{math|term= y\in Y}}. Da {{math|term= Y}} zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist, ist {{math|term= Y}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Lokaler Wegzusammenhang/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} weg-zusammenhängend. Sei also {{math|term= w\colon I\to Y}} ein Weg von {{math|term= y_0}} nach {{math|term= y}}. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologie/Überlagerungen/Homotopie-Liftung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} gibt es genau einen Weg {{math|term= \tilde{f\circ w}\colon I\to E}} mit den Eigenschaften, dass {{math|term= \tilde{f\circ w}(0)=e_0}} und {{math|term= p\circ \tilde{f\circ w}=f\circ w}} gilt. Setze nun {{math|term= \tilde{f}(y) \colon = \tilde{f\circ w}(1) }}. Dies hängt gegebenenfalls von der Wahl des Weges {{math|term= w}} ab. Um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist, seien nun {{math|term= w_1,w_2}} zwei Wege in {{math|term= Y}} von {{math|term= y_0}} nach {{math|term= y}}. Dann ist {{math|term= w_2{\scriptscriptstyle{\Box} } \overline{w_1} }} eine Schleife in {{math|term= Y}} am Basispunkt {{math|term= y_0}}. Insbesondere ist {{mathdisplay|term= f_\ast\bigl([w_2{\scriptscriptstyle{\Box} } \overline{w_1}]\bigr) = [ f\circ (w_2{\scriptscriptstyle{\Box} } \overline{w_1})] \in f_\ast\bigl(\pi_1(Y,y_0)\bigr)\subseteq p_\ast\bigl(\pi_1(E,e_0)\bigr) |SZ=}} nach Voraussetzung. Also existiert eine Schleife {{math|term= [u]\in \pi_1(E,e_0) }} mit der Eigenschaft, dass {{mathdisplay|term= p_\ast([u]) = f_\ast([w_2{\scriptscriptstyle{\Box} } \overline{w_1}]) |SZ=. }} Sei {{math|term= H\colon I\times I\to X}} eine Homotopie von {{math|term= p\circ u}} zu {{math|term= f\circ (w_2{\scriptscriptstyle{\Box} } \overline{w_1})}} relativ zu {{math|term= \{0,1\} }}. Wieder nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologie/Überlagerungen/Homotopie-Liftung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} gibt es genau eine Homotopie {{math|term= \tilde{H}\colon I\times I\to E}} mit der Eigenschaft, dass {{math|term= \tilde{H}(s,0) = u(s) \, \forall\, s\in I }} und {{math|term= p\circ \tilde{H} = H }}. Aus {{math|term= \tilde{H}(0,0)=u(0)=e_0 = u(1) = H(1,0)}} und {{math|term= H(0,t)=x_0=H(1,t) \, \forall\, t\in I }} folgt {{mathdisplay|term= \tilde{H}(0,t)=x_0=\tilde{H}(1,t) \, \forall\, t\in I |SZ=,}} denn {{math|term= I}} ist zusammenhängend. Somit ist auch {{math|term= \tilde{H} }} eine Homotopie relativ {{math|term= \{0,1\} }}. Insbesondere ist die Abbildung {{math|term= s\mapsto \tilde{H}(s,1)}} eine Schleife an {{math|term= e_0}}. Sie ist aber nach Konstruktion ein (und aufgrund der durch den fixierten Anfangspunkt erzwungenen Eindeutigkeit '''der''') Lift der Schleife {{math|term= f\circ (w_2{\scriptscriptstyle{\Box} } \overline{w_1})}}. Betrachte nun den Lift der Schleife {{mathdisplay|term= f\circ \bigl( (w_2{\scriptscriptstyle{\Box} } \overline{w_1}) {\scriptscriptstyle{\Box} } w_1\bigr) = f\circ (w_2{\scriptscriptstyle{\Box} } \overline{w_1} ) {\scriptscriptstyle{\Box} } (f\circ w_1) | SZ=.}} Dieser Lift kann in zwei Schritten konstruiert werden. Im ersten Schritt konstruiert man den Lift der Schleife {{math|term= f\circ (w_2{\scriptscriptstyle{\Box} } \overline{w_1})}} zum Anfangspunkt {{math|term= e_0}}, und das haben wir mit der Einschränkung von {{math|term= \tilde{H} }} auf {{math|term= I\times \{1\} }} bereit getan. Im zweiten Schritt konstruiert man den Lift des Weges {{math|term= f\circ w_1}} zu dem Anfangspunkt, der gerade der Endpunkt des im ersten Schritt konstruierten Liftes ist. Dieser Lift war ja, wie bereits gezeigt, eine Schleife an {{math|term= e_0}}, also ist dies {{math|term= \tilde{f\circ w_1} }}. Offensichtlich ist {{math|term= f\circ \bigl((w_2{\scriptscriptstyle{\Box} } \overline{w_1}) {\scriptscriptstyle{\Box} } w_1\bigr)}} homotop relativ {{math|term= \{0,1\} }} zu {{math|term= f\circ w_2}}, was nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologie/Überlagerungen/Homotopie-Liftung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} auch für die Lifts gilt. Es folgt insbesondere {{mathdisplay|term= \tilde{f\circ w_1}(1) = \tilde{f\circ w_2}(1) }} was zeigt, dass {{math|term= \tilde{f} }} wohldefiniert ist. Nun zur Stetigkeit von {{math|term= \tilde{f} }}. Sei {{math|term= y\in Y}} und {{math|term= \tilde{f}(y)\in V\subseteq E }} eine Umgebung des Bildpunktes. Gesucht ist eine Umgebung {{math|term= y\in W\subseteq Y}} mit {{math|term= \tilde{f}(W)\subseteq Y}}. Diese konstruiert man wie folgt. Sei {{math|term= U\subseteq X}} eine offene Menge aus einer Elementarüberdeckung mit {{math|term= p(\tilde{f}(y))=f(y)\in U}}. Sei weiter {{math|term= \phi\colon p^{-1}(U)\to U\times p^{-1}(f(y))}} eine topologische Äquivalenz. Dann ist die Einschränkung von {{math|term= p}} auf {{math|term= \phi^{-1}(U\times \{ \tilde{f}(y)\}) }} ebenso eine topologische Äquivalenz. Insbesondere ist {{mathdisplay|term= V^\prime := V\cap \phi^{-1}(U\times \{ \tilde{f}(y)\} ) |SZ=}} eine Umgebung von {{math|term= \tilde{f} }}. Dann ist aber auch {{math|term= p(V^\prime) }} eine Umgebung von {{math|term= f(y)}}. Da {{math|term= f}} stetig ist, gibt es eine Umgebung {{math|term= y\in W^\prime \subseteq Y}} mit {{math|term= f(W^\prime)\subseteq p(V^\prime) }}. Nun ist {{math|term= Y}} nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend. Demnach gibt es eine weg-zusammenhängende Umgebung {{math|term= y\in W\subseteq W^\prime}}. Die Behauptung ist nun, dass {{math|term= \tilde{f}(W)\subseteq V}} gilt. Denn sei {{math|term= z\in W}}. Zur Konstruktion von {{math|term= \tilde{f}(y)}} benötigen wir einen Weg {{math|term= w_z}} von {{math|term= y_0}} nach {{math|term= z}}. Sei {{math|term= w_y}} ein Weg von {{math|term= y_0}} nach {{math|term= y}} und sei {{math|term= w}} ein Weg von {{math|term= y}} nach {{math|term= z}}, der ganz in {{math|term= W}} verläuft. Dann ist {{math|term= w_y {\scriptscriptstyle{\Box} } w }} ein Weg von {{math|term= y_0}} nach {{math|term= z}}. Der Endpunkt {{math|term= \tilde{f}(z) }} ist also gegeben durch den Endpunkt des Liftes {{math|term= \tilde{f\circ w} }} zum Anfangspunkt {{math|term= \tilde{f}(y) }}. Da {{mathdisplay|term= p\colon V^\prime \to p(V^\prime) }} eine topologische Äquivalenz ist und {{math|term= f(W)\subseteq p(V^\prime) }}, ist der Lift {{math|term= \tilde{f\circ w} }} zum Anfangspunkt {{math|term= \tilde{f}(y)\in V^\prime}} ein Weg mit Bild in {{math|term= V^\prime}}. Insbesondere ist der Endpunkt {{math|term= \tilde{f}(z)\in V^\prime \subseteq V}}, was zu zeigen war. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g8wg4bq1yef0yyrsfu4czvtjct2rk74 0 20681 784675 758176 2022-08-22T06:43:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normaler Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R[X]|SZ=}} normal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem normalen Integritätsbereich |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Polynomring |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f9wn132keo2pdydpy7ggkoqte0kxd6b 0 20718 779015 708349 2022-08-21T15:21:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die projektive Gerade {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|K}} |SZ=}} ist als die Menge der Geraden durch den Nullpunkt in der affinen Ebene {{mathl|term= {{op:Affine Ebene|K}} |SZ=}} gegeben. Eine solche Gerade ist entweder die {{math|term= x|SZ=-}}Achse oder aber eine Gerade, die die Gerade {{mathl|term= V(y-1) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die zur {{math|term= x|SZ=-}}Achse parallele Gerade durch {{mathlk|term= (0,1) |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} in genau einem Punkt schneidet. Umgekehrt liefert jeder Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V(y-1) |\cong |{{op:Affine Gerade|K}} || || |SZ= }} eine eindeutig bestimmte Gerade durch den Nullpunkt. D.h. die projektive Gerade besteht aus einer affinen Gerade und einem weiteren Punkt, den man den {{anführung|unendlich fernen}} Punkt nennt. Wichtig ist dabei aber, dass dieser unendlich ferne Punkt nicht wesensverschieden von den anderen Punkten ist. Wenn man eine beliebige Gerade {{math|term= G|SZ=}} durch den Nullpunkt nimmt sowie eine dazu parallele Gerade {{ Ma:Vergleichskette |L |\neq|G || || || |SZ=, }} so übernimmt {{math|term= L|SZ=}} die Rolle der affinen Geraden, und {{math|term= G|SZ=}} repräsentriert dann einen {{ Zusatz/Klammer |text=von dieser affinen Geraden aus gesehen| |ISZ=|ESZ= }} unendlich fernen Punkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Die projektive Gerade |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Die projektive Gerade |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ot8pa2r8xquj1sdvwx6zh0vpqxmequt 0 20756 782745 756522 2022-08-22T01:33:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Hauptidealbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Q ||Q(R) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jeder Zwischenring {{ mathbed|term= S ||bedterm1= R \subseteq S \subseteq Q ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Nenneraufnahme| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptidealbereiche |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fl90108dp2za2xsl8zmt4pvs58lz5md 0 20758 781469 744909 2022-08-21T22:00:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q|SZ=.}} Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen {{math|term= R|SZ=}} und {{math|term= Q|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hlva54c9b0ur773r8f7jz4ybyyefa7x 0 20759 781464 744907 2022-08-21T21:59:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q|SZ=.}} Charakterisiere die {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugten| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermoduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= Q|SZ=.}} Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m45704gl33u2exhye8ujthqa076ivqe 0 20761 783222 756928 2022-08-22T02:52:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein Integritätsbereich mit {{ Definitionslink |Normalisierung| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{math|term= {{op:Normalisierung|R||}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealf|}} ||{{Mengebed|g \in R|g{{op:Normalisierung|R}} \subseteq R}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} gegeben ist.{{{zusatz| Dieses heißt das {{Definitionswort/enp|term=Führungsideal|SZ=}} von {{math|term= R|SZ=.}}}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Normalisierung (Integritätsbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Führungsideal |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a5funyr5yr9yla24wxd1ag0tn1okahf 0 20765 784723 514165 2022-08-22T06:50:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= M \subseteq \N|SZ=}} ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt werde. Zeige{{n Sie}}, dass für das Führungsideal{{{extra|}}} des zugehörigen Monoidrings {{math|term= K[M]|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealf}} || (M_{\geq f}) || || || |SZ= }} besteht, wobei {{math|term= f|SZ=}} die {{ Definitionslink |Führungszahl| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Führungszahl/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} des Monoids bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Normalisierung (Integritätsbereich) |Kategorie2=Theorie der monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2wugq1h5d3npxqfbvn62eu1mziyeby 0 20766 784728 514166 2022-08-22T06:51:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= M \subseteq \N|SZ=}} ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Zeige, dass die {{ Definitionslink |Einbettungsdimension| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} maximal gleich der {{ Definitionslink |Multiplizität |Definitionsseitenname= Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ahk5x03x9bdg6msqo4t3vxiyuwr0pow 0 20767 784727 514167 2022-08-22T06:51:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= M \subseteq \N|SZ=}} ein durch teilerfremde Zahlen erzeugtes numerisches Monoid, bei dem die {{ Definitionslink |Einbettungsdimension| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} gleich der {{ Definitionslink |Multiplizität| |Definitionsseitenname= Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} ist. Zeige, dass dann der maximale Erzeuger aus einem minimalen Erzeugendensystem größer oder gleich der {{ Definitionslink |Führungszahl| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Führungszahl/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1gsy24tqfdlcs5bte7lk1nujbalamzn 0 20775 784732 514168 2022-08-22T06:52:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe ein Beispiel eines numerischen Monoids {{math|term= M|SZ=}} mit Multiplizität {{math|term= 3|SZ=}} und Einbettungsdimension {{math|term= 3|SZ=}} an, bei dem die Führungszahl prim ist und nicht zum minimalen Erzeugendensystem gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m7qspl9nybpwtg6q1xbm9xno4ac5xj1 0 20776 782306 756153 2022-08-22T00:19:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |p | \geq| 0 || || || |SZ=. }} Man charakterisiere die Polynome {{ Ma:Vergleichskette |F |\in|K[X,Y] || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass {{ Aufzählung3 |die erste {{ Definitionslink |Prämath= |partielle Ableitung| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} |die zweite partielle Ableitung, |beide partiellen Ableitungen }} {{math|term= 0|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p27pn06s98x6y9fpqi6z5i3buwq7i06 0 20777 781624 251595 2022-08-21T22:26:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{math|term= F \in K[X,Y]|SZ=}} ein irreduzibles nichtkonstantes Polynom mit zugehöriger ebener Kurve {{math|term= C=V(F)|SZ=.}} Zeige, dass {{math|term= C|SZ=}} nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.{{{zusatz|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Anzahl |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6fiynvidqvwcazao26ppdgdvt5duoxe 0 20780 784656 514205 2022-08-22T06:41:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein Integritätsbereich mit folgender Eigenschaft: zu je zwei Elementen {{mathl|term= f,g \in R|SZ=}} gelte, dass {{math|term= f|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= g|SZ=}} ist oder dass {{math|term= g|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= f|SZ=}} ist. Es sei {{math|term= R|SZ=}} noethersch, aber kein Körper. Zeige, dass {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ht7ht8v7txnhyp7cb1ijj2xfl0zkpgi 0 20781 785300 758615 2022-08-22T08:17:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper, {{mathl|term= {{idealm|}}=(T)\subset K[T]|SZ=}} das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R=K[T]_{{idealm|}}|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |R|{{op:Potenzreihenring|K|T}} || |SZ= }} mit {{mathl|term= \varphi(T)=T |SZ=,}} wobei {{mathl|term= {{op:Potenzreihenring|K|T}}|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Ring der formalen Potenzreihen| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvnwwn9ej0f1vv7s78hfv5f901ie812 0 20789 781644 514237 2022-08-21T22:29:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe für jedes {{math|term= n|SZ=}} ein Beispiel von zwei aus der Schule bekannten ebenen algebraischen Kurven, die sich in genau einem Punkt mit Schnittmultiplizität {{math|term= n|SZ=}} schneiden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ktiyrzxfo77qku7b8cjpcytdhn3xwe0 0 20796 784726 537894 2022-08-22T06:51:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne für das durch die Erzeuger {{mathl|term= 5,8,11|SZ=}} gegebene Monoid {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq|\N || || || |SZ= }} die in den Abschätzungen von {{ Faktlink |Faktseitenname= Monomiale Kurven/Multiplizität/Abschätzungen für Anzahl in Differenzmengen/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} auftretenden Ausdrücke bis {{mathl|term= n \leq 5|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Multiplizität |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qix1nl0g55b2kt8035fmuub2it6g1lv 0 20797 784725 537904 2022-08-22T06:51:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne für das durch die Erzeuger {{math|term= 4|SZ=}} und {{math|term= 9|SZ=}} gegebene Monoid {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq|\N || || || |SZ= }} die in den Abschätzungen von {{ Faktlink |Faktseitenname= Monomiale Kurven/Multiplizität/Abschätzungen für Anzahl in Differenzmengen/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} auftretenden Ausdrücke bis {{mathl|term= n \leq 6|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Multiplizität |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fepqw7a7ud3son7uqglhbxvs36g4nxq 0 20804 784361 757994 2022-08-22T06:01:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= N|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermoduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= L \subseteq M \subseteq N|SZ=.}} Zeige, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenmoduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch die {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{kurzeexaktesequenz/disp |M/L |N/L |N/M |SZ= }} }} miteinander in Beziehung stehen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kurzen exakten Sequenzen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f3uu9fb54bxlq9jviyuirt0wu353ol4 0 20806 783305 562793 2022-08-22T03:06:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring mit zwei Idealen {{mathl|term= {{ideala|}}, {{idealb|}} \subseteq R|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= S=R/{{idealb|}}|SZ=}} und {{mathl|term= \tilde{ {{ideala|}} }= {{ideala|}}S|SZ=}} das Bildideal. Zeige, dass {{mathl|term= {{ideala|}}^nS=\tilde{ {{ideala|}} }^n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Potenzen von Idealen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Idealtheorie in Restklassenringen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ukab5ylge849exzxd90v802y5hec5o 0 20808 785199 538076 2022-08-22T08:02:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring und {{mathl|term= P=R[X_1, \ldots ,X_m]|SZ=}} der Polynomring darüber in {{math|term= m|SZ=}} Variablen. Es sei {{mathl|term= {{idealm|}}=(X_1, \ldots, X_m)|SZ=}} das von den Variablen erzeugte Ideal. Zeige, dass {{mathl|term= {{idealm|}}^n = P_{\geq n}|SZ=}} ist, wobei {{math|term= P_{\geq n}|SZ=}} das Ideal in {{math|term= P|SZ=}} bezeichnet, das von allen homogenen Polynomen vom Grad {{math|term= \geq n|SZ=}} erzeugt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Potenzen von Idealen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l3t87dq3m9oacc3jgu7yh7z9u40g0ji 0 20815 782297 756146 2022-08-22T00:18:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{mathl|term= {{op:Potenzreihenring|K|T}}|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} die inverse Potenzreihe zu {{mathl|term= 1-T|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8qdi0z5bn6ktddssxxazlr728parqwk 0 20840 779968 251597 2022-08-21T17:50:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Nun folgt eine Liste von Überlagerungen. {{ Aufzählung7 | Die Exponentialabbildung {{math|term= \exp\colon \mathbb{R}\to S^1, \, x\mapsto e^{2\pi i x} }} ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung funktioniert {{math|term= \bigl\lbrace S^1\smallsetminus \{1\}, S^1\smallsetminus \{-1\} \bigr\rbrace }}. Sei {{math|term= F_1 = \mathbb{Z} = F_{-1} }} (versehen mit der diskreten Topologie) und definiere {{mathdisplay|term= \phi_1\colon \exp^{-1}(S^1\smallsetminus\{1\} ) = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} \to (S^1\smallsetminus \{1\})\times \mathbb{Z} \ \ x \mapsto \bigl(\exp(x),\max \{a\in \mathbb{Z} \colon a<x\}) |SZ=.}} Dann ist {{math|term= \phi_1}} eine topologische Äquivalenz. Die Abbildung {{math|term= \phi_{-1}\colon \exp^{-1}(S^1\smallsetminus \{-1\} ) \to (S^1\smallsetminus \{-1\}) \times \mathbb{Z} }} sieht so ähnlich aus. | Die kanonische Abbildung {{math|term= p\colon S^n \to \mathbb{RP}^n }} ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung kann man die {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologie/Topologische Räume/Reell Projektiver Raum/Standard-Überdeckung/Aufgabe |Refname= {{{ref|Standard-Überdeckung}}} |SZ= }} verwenden. | Die Abbildung {{math|term= z\mapsto z^n }} ist eine Überlagerung {{math|term= S^1\to S^1}}. | Jede topologische Äquivalenz ist eine Überlagerung. | Die Abbildung des leeren topologischen Raumes in irgendeinen topologischen Raum ist eine Überlagerung. | Die Einschränkung der Exponentialabbildung auf {{math|term= (-1,1) }} ist keine Überlagerung von {{math|term= S^1}}. | Die Hopf-Abbildung {{math|term= \eta\colon S^3 \to \mathbb{CP}^1 }} ist keine Überlagerung. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Überlagerungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ewapnt0ecvlhwouyi6k3h3e2wg8qhew 0 20852 781638 755581 2022-08-21T22:28:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitskreis| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und bestimme{{n Sie}} für jeden Punkt die Gleichung der {{ Definitionslink |Prämath= |Tangente| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort=Einheitskreis |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s11vg40e5dz870nch0zafl0sktpiwse 0 20853 781623 755574 2022-08-21T22:26:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Polynoms {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[X] || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |glatte| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Es seien {{ Ma:Vergleichskette |F,G |\in| K[X] || || || |SZ= }} Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Funktion| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F/G|SZ=}} ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Graph |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} me9u2096z4qvmpxa9238w4ry6x5eofx 0 20865 781633 755578 2022-08-21T22:27:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[X,Y] || || || |SZ= }} ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger {{ Definitionslink |Prämath= |ebener Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |C ||V(F) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= C|SZ=}} nur endlich viele {{ Definitionslink |Prämath= |singuläre Punkte| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt.{{{zusatz|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Anzahl |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1cajkv4vpqzg7mwn8nj0zco252foaao 0 20889 783557 583639 2022-08-22T03:48:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} und sei {{mathl|term= R=K[X,Y]|SZ=}} der Polynomring in zwei Variablen. Zeige, dass {{math|term= R|SZ=}} die {{ Definitionslink |Krulldimension| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} zwei besitzt.{{{zusatz|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Krulldimension von endlich erzeugten Algebren über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n7fd5ha9sz483ccnrmol9j50wnmphum 0 20891 783558 757226 2022-08-22T03:48:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} von endlicher {{ Definitionslink |Krulldimension| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{math|term= d|SZ=.}} Zeige, dass die Krulldimension des {{ Definitionslink |Polynomrings| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R[X]|SZ=}} mindestens {{mathl|term= d+1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Krulldimension |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Polynomring |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdwu9g9jwl431m8pnatfoavmfnmckvz 0 20892 783559 514206 2022-08-22T03:48:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Hauptidealbereich| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=, }} der kein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} sei. Zeige, dass die {{ Definitionslink |Krulldimension| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Krulldimension/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} gleich eins ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Krulldimension |Kategorie2=Theorie der Hauptidealbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hauptidealbereich |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mvt5anzs4igmlki902qblikk6ua81r4 0 20893 783560 757227 2022-08-22T03:49:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |noetherscher| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung5 |{{math|term= R|SZ=}} hat {{ Definitionslink |Krulldimension| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=.}} |{{math|term= R|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |artinscher Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} |{{math|term= R|SZ=}} besitzt endlich viele {{ Definitionslink |Primideale| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=, }} die alle {{ Definitionslink |Prämath= |maximal| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Es gibt eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}}^n || 0 || || || |SZ= }} für jedes maximale Ideal {{math|term= {{idealm|}}|SZ=.}} |Die {{ Definitionslink |Reduktion| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} ist ein Produkt von Körpern. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2gj5kirlfhwbv9o07h2efak85gv0dhp 0 20908 783965 757600 2022-08-22T04:56:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |lokaler Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Restekörper| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} und {{math|term= K|SZ=}} genau dann die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} haben, wenn {{math|term= R|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält.{{{tipp|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Charakteristik |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxyff2443i8we0whk51270z1gkt301x 0 20912 778463 542758 2022-08-21T12:06:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{mathl|term= H \in K[X,Y,Z]|SZ=}} und vorausgesetzt, das {{math|term= H|SZ=}} unter der angegebenen Abbildung auf {{math|term= 0|SZ=}} geht. Das bedeutet, dass eine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |ZH ||LF+MG || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= L,M \in K[X,Y,Z]|SZ=}} vorliegt. Wir ersetzen in dieser Gleichung die Variable {{math|term= Z|SZ=}} durch {{math|term= 0|SZ=}} und erhalten die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 0 || L(X,Y,0)F(X,Y,0) + M(X,Y,0)G(X,Y,0) || || || |SZ= }} in {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=.}} Nach der Voraussetzung, dass es keine gemeinsame projektive Nullstelle auf {{mathl|term= V_+(Z)|SZ=}} gibt, besitzen {{ mathkor|term1= F(X,Y,0) |und|term2= G(X,Y,0) |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Affine Ebene|K|}} |SZ=}} nur den Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} als gemeinsame Nullstelle. Daher sind diese Polynome in {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} teilerfremd. Das bedeutet, dass es ein Polynom {{mathl|term= Q \in K[X,Y]|SZ=}} mit {{ math/disp|term= L(X,Y,0) =Q G(X,Y,0) \text{ und } M(X,Y,0) =-Q F(X,Y,0) |SZ= }} gibt. Dies wiederum heißt zurückübersetzt nach {{mathl|term= K[X,Y,Z]|SZ=,}} dass dort {{ math/disp|term= L = Q G(X,Y,0) + Z\bar{L} \text{ und } M =- Q F(X,Y,0) + Z\bar{M} |SZ= }} gilt. Mit {{mathkon|F{{=}}F(X,Y,0)+Z \bar{F}|und|G{{=}}G(X,Y,0)+Z \bar{G}|SZ=}} ergibt sich aus der Ausgangsgleichung {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | ZH || LF+MG || {{makl| Q G(X,Y,0) + Z \bar{L} |}} F + {{makl| -Q F(X,Y,0) + Z \bar{M} |}} G || Q {{makl| G -Z \bar{G} |}} F - Q {{makl| F-Z \bar{F} |}} G + Z \bar{L}F + Z \bar{M}G ||-QZ \bar{G}F + Q Z \bar{F}G + Z\bar{L}F + Z \bar{M}G || Z {{makl| -Q \bar{G}F + Q \bar{F}G + \bar{L}F+ \bar{M}G |}} |SZ=. }} Aus dieser Gleichung können wir {{math|term= Z|SZ=}} herauskürzen und erhalten eine Darstellung für {{math|term= H|SZ=}} als Linearkombination aus {{math|term= F|SZ=}} und {{math|term= G|SZ=.}} Damit ist die Restklasse von {{math|term= H|SZ=}} in {{math|term= R|SZ=}} ebenfalls {{math|term= 0|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9t8lmk58z13uysypxrauqpzkq9d4y5a 0 20930 778462 748829 2022-08-21T12:06:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der Durchschnitt {{mathl|term= C \cap D|SZ=}} besteht nur aus endlich vielen Punkten. Wir können daher {{ Aufgabelink |Präwort=nach||Aufgabeseitenname= Projektiver Raum/Unendlicher Körper/Endlich viele Punkte in affiner Umgebung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} annehmen, dass alle Schnittpunkte in {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Affine Ebene|K}} ||D_+(Z) |\subset| {{op:Projektive Ebene|K}} || || |SZ= }} liegen. Es seien {{mathkon|\tilde{F}|und|\tilde{G}|SZ=}} die inhomogenen Polynome aus {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=,}} die die affinen Kurven {{mathkon|C \cap {{op:Affine Ebene|K}}|und|D \cap {{op:Affine Ebene|K}}|SZ=}} beschreiben. Damit ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |\sum_{P \in {{op:Projektive Ebene|K}} } {{op:Schnittmultiplizität|F|G|P}} || \sum_{ P \in {{op:Affine Ebene|K}} } {{op:Schnittmultiplizität|\tilde{F}|\tilde{G}|P}} || \sum_{ P \in {{op:Affine Ebene|K}} } {{op:Vektorraumdimension|K[X,Y]_{{{idealm|}}_P}/(\tilde{F},\tilde{G})}} ||{{op:Vektorraumdimension|K[X,Y]/ (\tilde{F},\tilde{G})}} || |SZ=. }} Dabei beruht die letzte Gleichung auf {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene algebraische Kurve/Schnittmultiplizität/Summe der Multiplizitäten ist Restklassendimension/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=. }} Wir wollen die {{math|term= K|SZ=-}}Dimension dieses inhomogenen Restklassenrings mit der Dimension einer Stufe des homogenen Restklassenrings {{mathl|term= (K[X,Y,Z]/(F,G))_\ell|SZ=}} in Verbindung bringen. Von letzterer wissen wir aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ=, }} dass sie für {{math|term= \ell|SZ=}} hinreichend groß gleich {{math|term= mn|SZ=}} ist. Wir wählen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_{mn} |SZ=}} von {{mathl|term= (K[X,Y,Z]/(F,G))_\ell |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= \ell|SZ=}} hinreichend groß und fixiert| |ISZ=|ESZ= }} und behaupten, dass die Dehomogenisierungen {{mathl|term= v_i=V_i(X,Y,1)|SZ=}} eine Basis von {{mathl|term= K[X,Y]/(\tilde{F},\tilde{G}) |SZ=}} bilden. Dazu sei {{mathl|term= q \in K[X,Y]|SZ=}} beliebig vorgegeben mit Homogenisierung {{mathl|term= Q \in K[X,Y,Z] |SZ=}} vom Grad {{math|term= d|SZ=.}} Sei {{math|term= e|SZ=}} so gewählt, dass {{ Ma:Vergleichskette | d+e |\geq| \ell || || || |SZ= }} ist. Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Injektivität der Multiplikation mit Z im homogenen Restklassenring/Fakt |Refname= {{{ref3|Fakt}}} |SZ= }} sind die Abbildungen {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term= \lambda \geq 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ ma:abbele/disp |(K[X,Y,Z]/(F,G))_\ell|(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell+\lambda} |H|Z^{\lambda} H |SZ=, }} injektiv und daher auch bijektiv, da die Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere bilden die {{ mathbed|term= Z^\lambda V_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} mn ||bedterm2= |SZ=, }} eine Basis von {{mathl|term= {{makl| K[X,Y,Z]/(F,G) |}}_{\ell + \lambda}|SZ=.}} Es gibt dann also eine Darstellung {{ Ma:Vergleichskette | Z^{e}Q ||\sum_{i {{=}} 1}^{mn} a_i Z^{d+e-\ell} V_i || || || |SZ=. }} Durch Dehomogenisieren ergibt sich daraus sofort eine Darstellung für {{math|term= q|SZ=.}} Zum Nachweis der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Unabhängigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i{{=}}1}^{mn} a_i v_i || 0 || || || |SZ= }} angenommen, so dass in {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} eine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=}} 1}^{mn} a_i v_i || {{op:Dehomogenisierung|A|}} {{op:Dehomogenisierung|F|}} + {{op:Dehomogenisierung|B|}} {{op:Dehomogenisierung|G|}} || || || |SZ= }} vorliegt. Dabei setzen wir {{math|term= {{op:Dehomogenisierung|A|}} , {{op:Dehomogenisierung|B|}} |SZ=}} als Dehomogenisierung von zwei homogenen Polynomen {{mathl|term= A,B \in K[X,Y,Z]|SZ=}} an. Somit liegen zwei homogene Ausdrücke {{ Zusatz/Gs |text=nämlich {{mathlk|term= \sum_{i=1}^{mn} a_iV_i|SZ=}} und {{mathlk|term=AF+BG|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} vor, deren Dehomogenisierungen übereinstimmen. Durch geeignete Wahl von {{mathl|term= r,s,t|SZ=}} können wir annehmen, dass {{ mathkor|term1= \sum_{i=1}^{mn} a_i Z^rV_i |und|term2= Z^sAF +Z^t BG |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=homogen sind und| |ISZ=|ESZ= }} den gleichen Grad besitzen. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Polynomring/Dehomogenisierung/Gleichheit und gleicher Grad/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dann bereits {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=|}} 1}^{mn} a_i Z^rV_i || Z^sAF +Z^t BG || || || |SZ=. }} Diese Gleichung bedeutet {{ Ma:Vergleichskette | \sum_{i {{=}} 1}^{mn} a_i Z^rV_i || 0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= K[X,Y,Z]/(F,G)|SZ=,}} woraus sich {{ Ma:Vergleichskette |a_i ||0 || || || |SZ= }} ergibt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7z25xjy1fwhszntbmyxjhqc3dzgei7y 0 20932 783336 772565 2022-08-22T03:11:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} zu einem lokalen Ring {{math|term= R|SZ=}} mit maximalem Ideal {{math|term= {{idealm|}}|SZ=}} das Diagramm {{ math/disp|term= \longrightarrow R/{{idealm}}^4 \longrightarrow R/{{idealm}}^3 \longrightarrow R/{{idealm}}^2 \longrightarrow R/{{idealm}} |SZ=. }} Dabei sind die Abbildungen die kanonischen Projektionen {{mathl|term= \varphi_{n}: R/{{idealm}}^{n+1} \rightarrow R/{{idealm}}^n|SZ=}}, die durch die Idealinklusionen {{mathl|term= {{idealm|}}^{n+1} \subseteq {{idealm}}^n|SZ=}} induziert werden. Eine Folge von Elementen {{ math/disp|term= a_n \in R/{{idealm|}}^n |SZ= }} heißt {{Stichwort|verträglich|SZ=,}} wenn {{mathl|term= \varphi_n(a_{n+1}) = a_n|SZ=}} für alle {{math|term= n|SZ=}} gilt. Definiere{{n Sie}} eine Ringstruktur auf der Menge aller verträglichen Elemente (diesen Ring nennt man die {{Definitionswort/enp|term=Komplettierung|SZ=}} von {{math|term= R|SZ=.)}} Zeige{{n Sie}} ferner, dass es einen kanonischen Ringhomomorphismus von {{math|term= R|SZ=}} in die Komplettierung gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Komplettierung (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9u8qe7k2k9egp7xz3fjviijl5jcvpic 0 20933 783337 514233 2022-08-22T03:11:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein eindimensionaler lokaler noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass die kanonische Abbildung von {{math|term= R|SZ=}} in die Komplettierung von {{math|term= R|SZ=}} injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Komplettierung (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pxf04cvxrttcyn6o2pdlnmp1rb2btl2 0 20936 785097 523834 2022-08-22T07:47:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und sei {{math|term= K[T]|SZ=}} der Polynomring in einer Variablen. Es sei {{math|term= R|SZ=}} die Lokalisierung von {{math|term= K[T]|SZ=}} am maximalen Ideal {{mathl|term= {{idealm|}}=(T)|SZ=.}} Zeige, dass die Komplettierung von {{math|term= R|SZ=}} isomorph zum {{ Definitionslink |Potenzreihenring| |Definitionsseitenname= Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{math|term= {{op:Potenzreihenring|K|T}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Komplettierung (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ji70kr7uycx7cadoso9t5ws30mj0dcc 0 20939 779860 763798 2022-08-21T17:32:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Neilsche Parabel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |C || V_+ {{makl| ZY^2-X^3 |}} || || || |SZ= }} und den Kreis mit Mittelpunkt {{mathl|term= (1,0,1)|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette |D ||V_+ {{makl| (X-Z)^2+Y^2-Z^2 |}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz von Bezout|Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erwarten wir eine Gesamtschnittzahl von {{math|term= 6|SZ=.}} Wir berechnen die Schnittpunkte. Für {{ Ma:Vergleichskette |Z ||0 || || || |SZ= }} folgt aus der ersten Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |X ||0 || || || |SZ= }} und dann aus der zweiten {{ Ma:Vergleichskette |Y ||0 || || || |SZ=, }} so dass es keinen Schnittpunkt auf der projektiven Geraden {{mathl|term= V_+(Z)|SZ=}} gibt. Wir betrachten daher die affinen Gleichungen {{mathkon|Y^2-X^3{{=}} 0|und| (X-1)^2+Y^2-1{{=}}0|SZ=.}} Wir berechnen die Schnittpunkte, indem wir {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||1-(X-1)^2 || || || |SZ= }} in die erste Gleichung einsetzen. Dies ergibt {{ Ma:Vergleichskette/disp | 1-(X-1)^2-X^3 || -X^3-X^2+2X || X {{makl| -X^2 -X +2 |}} || -X(X-1)(X+2) |SZ=. }} Dies führt zu den Schnittpunkten {{math/disp|term= (0,0), (1,1), (1,-1), {{makl| -2,2 \sqrt{2} {{Imaginäre Einheit}} |}} , {{makl| -2,-2 \sqrt{2} {{Imaginäre Einheit}} |}} |SZ=.}} Die beiden letzten Punkte zeigen auch, dass der Satz nur über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gilt. Es gibt also nur {{math|term= 5|SZ=}} Schnittpunkte. Da die Neilsche Parabel im Nullpunkt eine Singularität besitzt und dieser ein Schnittpunkt ist, so muss dort die Schnittmultiplizität größer als {{math|term= 1|SZ=}} sein. Um dies zu bestätigen betrachten wir {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | K[X,Y]_{(X,Y)}/ {{makl| Y^2-X^3,Y^2-1+(X-1)^2 |}} || K[X,Y]_{(X,Y)}/ {{makl| Y^2-X^3, X(X-1)(X+2) |}} || K[X,Y]_{(X,Y)}/ {{makl| Y^2-X^3, X |}} || K[X,Y]_{(X,Y)}/ {{makl| Y^2, X |}} || K[Y]/(Y^2) |SZ=. }} Dabei haben wir die Einsetzungsrechnung von oben wiederholt und dann ausgenutzt, dass {{mathkon|X-1|und|X+2|SZ=}} Einheiten im lokalen Ring {{mathl|term= K[X,Y]_{(X,Y)}|SZ=}} sind. Die Dimension ist also {{math|term= 2|SZ=}} und damit muss die Schnittmultiplizität an allen anderen Schnittpunkten {{math|term= 1|SZ=}} sein, was man auch direkt bestätigen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Bezout (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} svch78kuzfktfqkxn6euaerzfc4ni2z 0 20942 778464 460587 2022-08-21T12:06:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt direkt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=, }} da jeder Schnittpunkt zumindest mit Schnittmultiplizität {{math|term= 1|SZ=}} in die Summe eingeht. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpbnmgw3fd3ufipz80fj2eisbqxn3an 0 20954 785274 577651 2022-08-22T08:12:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe eine formale Potenzreihe über {{math|term= {{CC}}|SZ=,}} die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konvergenz |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4l7idbe5f5frqq8uys41pa9tladiiww 0 20957 785278 758596 2022-08-22T08:13:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich {{math|term= c_4|SZ=)}} der eingesetzten Potenzreihe {{math|term= F(G)|SZ=}} im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen von Potenzreihen mit Konstante null/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4w7x0txazaec68wssbiq0mbobtf5nvc 0 20966 785283 523827 2022-08-22T08:14:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} den Einheitskreis {{mathl|term= X^2+Y^2=1|SZ=}} im Punkt {{math|term= (1,0)|SZ=.}} Bestimme Potenzreihen {{math|term= G|SZ=}} und {{mathl|term= H \in {{op:Potenzreihenring|K|T|}}|SZ=}} mit den Anfangsbedingungen {{mathl|term= a_0=1,\, a_1=0,\, b_0=0,\, b_1=1|SZ=}} und mit {{mathl|term= G(T)^2+H(T)^2=1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Der Einheitskreis|Potenzreihe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kpqoeq5l604d7dzxxpqnznslv249xut 0 20967 785284 743827 2022-08-22T08:14:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Neilsche Parabel {{mathl|term= C=V(Y^3-X^2)|SZ=}} im Punkt {{math|term= (1,1)|SZ=.}} Finde eine Parametrisierung der Kurve in diesem Punkt mit Potenzreihen (bis zum fünften Glied) derart, dass eine Potenzreihe davon ein lineares Polynom ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Die Neilsche Parabel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m3yd10l07mc8uhj78mq622rjmsbl4e7 0 20969 781680 514238 2022-08-21T22:35:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei eine monomiale ebene Kurven {{mathl|term= C=V(X^d -Y^e)|SZ=}} (mit {{math|term= d,e|SZ=}} teilerfremd) gegeben. Berechne die Schnittmultiplizität der Kurve mit einer jeden Geraden {{math|term= G|SZ=}} durch den Nullpunkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Monomial |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 986tpxd4lfb5psgmjdz64cjijh56pkr 0 20970 783185 514234 2022-08-22T02:46:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring und {{math|term= I|SZ=}} ein Ideal. Zeigen Sie, dass durch {{ math/disp|term= \{x + I^n \, \vert \, n \in \N \} \quad (x \in R) |SZ= }} Umgebungsbasen definiert werden. Zeigen Sie außerdem, dass die auf {{math|term= R|SZ=}} induzierte Topologie genau dann hausdorffsch ist, wenn {{mathl|term= \bigcap_n I^n = \{0\}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Komplettierung (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Topologie |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 89dj9mebp1pbdjmtrovf6fknvr5gn4z 0 20972 785305 740094 2022-08-22T08:18:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine {{Definitionswort/enp|term=formale Laurentreihe|SZ=}} ist eine unendliche Summe der Form {{ math/disp|term= F= \sum_{n=k}^\infty a_n T^n \text{ mit } a_n \in K \text{ und } k \in \Z |SZ=. }}{{{zusatz|}}} Zeige{{n Sie}}, dass der Ring der formalen Laurentreihen (mit geeigneten Ringoperationen) isomorph zum Quotientenkörper des Potenzreihenringes {{mathl|term= {{op:Potenzreihenring|K|T|}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Laurent |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e7o9hapgoca9ajb23ifui1jafneuvx6 0 20973 781643 514240 2022-08-21T22:29:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und seien {{mathl|term= C=V(F)|SZ=}} und {{mathl|term= D=V(G)|SZ=}} ebene algebraische Kurven. Es sei {{mathl|term= P \in C|SZ=}} ein glatter Punkt, so dass der lokale Ring {{mathl|term= R=(K[X,Y]_{ {{idealm|}} } )/(F)|SZ=}} ein diskreter Bewertungsring ist. Zeige, dass die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnittmultiplizität|F|G|P}} || \operatorname{ord} \, (G) || || || |SZ= }} gilt, wobei {{math|term= \operatorname{ord} \, |SZ=}} die Ordnung im Bewertungsring {{math|term= R|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ordnung |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q86wgdxmspiu0piyfdxil2ceo5rsvhk 0 20974 779014 708350 2022-08-21T15:21:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Punkte in der projektiven Ebene {{mathl|term= {{op:Projektive Ebene|K|}}|SZ=}} entsprechen den Geraden durch den Nullpunkt im affinen Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|3|K}}|SZ=.}} Jeder Punkt der projektiven Ebene wird repräsentiert durch ein Tupel {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=,}} wobei nicht alle {{mathl|term= x,y,z|SZ=}} gleichzeitig {{math|term= 0|SZ=}} sein dürfen und wobei zwei Koordinatentupel identifiziert werden, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar {{ Ma:Vergleichskette |\lambda |\neq|0 || || || |SZ= }} ineinander überführt werden können. Die projektive Ebene wird überdeckt durch drei affine Ebenen, nämlich {{ math/disp|term= D_+(X),\, D_+(Y) \text{ und } D_+(Z) |SZ=. }} Dabei besteht {{mathl|term= D_+(Z) |SZ=}} aus allen Punkten, wo die dritte Koordinate nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Durch Multiplikation mit {{math|term= z^{-1} |SZ=}} kann man diese Punkte mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|x|z}}| {{op:Bruch|y|z}} | {{op:Bruch|z|z}} |}} || {{op:Zeilenvektor|u|v|1}} || || || |SZ= }} identifizieren, so dass wirklich eine affine Ebene vorliegt. Das Komplement der affinen Ebene {{mathl|term= D_+(Z) |SZ=}} ist die Menge {{mathl|term= V_+(Z) |SZ=}} der Punkte, wo die dritte Komponente {{math|term= 0|SZ=}} ist. Da man nach wie vor Punkte identifiziert, die durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind, ist {{mathl|term= V_+(Z) |SZ=}} eine projektive Gerade. Ein Punkt {{mathl|term= (x,y,0) |SZ=}} auf dieser Geraden und der Nullpunkt {{mathl|term= (0,0,1) |SZ=}} von {{mathl|term= D_+(Z) |SZ=}} definieren die Gerade durch den Nullpunkt mit dem Richtungsvektor {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und der homogenen Geradengleichung {{mathkon|yX-xY{{=}}0|bzw.|V_+(yX-xY)|}} |ISZ=|ESZ=. }} Man kann sich also die projektive Ebene gut vorstellen als eine affine Ebene, in der jede Gerade durch den Nullpunkt noch einen zusätzlichen {{ Zusatz/Klammer |text={{Anführung|unendlich fernen|}}| |ISZ=|ESZ= }} Punkt definiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Die projektive Ebene |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Die projektive Ebene |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 957w3g3y92t4prargazh093e1y9arz8 0 20981 785426 514251 2022-08-22T08:37:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass zwei verschiedene Punkte {{math|term= P|SZ=}} und {{math|term= Q|SZ=}} in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Ebene |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gs6g2yqac96tfxd70j49maj7ea5mifu 106 20984 779187 770243 2022-08-21T15:49:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|6| {{Zwischenüberschrift|term= Verklebungen}} Ziel ist es, an einen gegebenen topologischen Raum etwas anzukleben, um einen neuen topologischen Raum zu erhalten. Verklebungen kann man in großer Allgemeinheit diskutieren; besonders relevant ist jedoch der Spezialfall des {{Stichwort|Anklebens von Zellen|msw=Ankleben einer Zelle|SZ=.}} Als erstes diskutieren wir Verklebungen, bei denen nichts verklebt wird. Diese Verklebungen nennt man auch {{Stichwort|disjunkte Vereinigungen|SZ=.}} {{ inputdefinition | Topologie/Grundbegriffe/Disjunkte Vereinigung/Definition|| }} Wie bei den Produkten gibt es auch die disjunkte Vereinigung beliebig vieler topologischer Räume. Des weiteren hat auch die disjunkte Vereinigung eine universelle Eigenschaft, deren Formulierung und Beweis der geneigten Leserin überlassen wird. {{ inputfaktbeweis | Topologie/Grundbegriffe/Disjunkte Vereinigung und Zusammenhang/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Bevor echte Verklebungen in Erscheinung treten können, ist noch ein Begriff erforderlich. {{ inputdefinition | Topologie/Grundbegriffe/Abgeschlossene Einbettung/Definition|| }} {{ inputbeispiel | Topologie/Grundbegriffe/Abgeschlossene Einbettung/Beispiel|| }} {{ inputdefinition | Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Definition|| }} {{ inputbeispiel | Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis | Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktbeweis | Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma| }} {{ inputdefinition | Topologie/Grundbegriffe/Ankleben von Zellen/Definition|| }} {{ inputbeispiel | Topologie/Grundbegriffe/Ankleben von Zellen/Beispiel|| }} <noinclude> {{:Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Footer|6}} [[Kategorie:Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)|Vorlesung]] </noinclude> }} 6zyejv8aqwbmm4u7nxqzcf9s1igzes0 779190 779187 2022-08-21T15:50:03Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|6| {{Zwischenüberschrift|term= Verklebungen}} Ziel ist es, an einen gegebenen topologischen Raum etwas anzukleben, um einen neuen topologischen Raum zu erhalten. Verklebungen kann man in großer Allgemeinheit diskutieren; besonders relevant ist jedoch der Spezialfall des {{Stichwort|Anklebens von Zellen|msw=Ankleben einer Zelle|SZ=.}} Als erstes diskutieren wir Verklebungen, bei denen nichts verklebt wird. Diese Verklebungen nennt man auch {{Stichwort|disjunkte Vereinigungen|msw=Disjunkte Vereinigung|SZ=.}} {{ inputdefinition | Topologie/Grundbegriffe/Disjunkte Vereinigung/Definition|| }} Wie bei den Produkten gibt es auch die disjunkte Vereinigung beliebig vieler topologischer Räume. Des weiteren hat auch die disjunkte Vereinigung eine universelle Eigenschaft, deren Formulierung und Beweis der geneigten Leserin überlassen wird. {{ inputfaktbeweis | Topologie/Grundbegriffe/Disjunkte Vereinigung und Zusammenhang/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Bevor echte Verklebungen in Erscheinung treten können, ist noch ein Begriff erforderlich. {{ inputdefinition | Topologie/Grundbegriffe/Abgeschlossene Einbettung/Definition|| }} {{ inputbeispiel | Topologie/Grundbegriffe/Abgeschlossene Einbettung/Beispiel|| }} {{ inputdefinition | Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Definition|| }} {{ inputbeispiel | Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis | Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktbeweis | Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma| }} {{ inputdefinition | Topologie/Grundbegriffe/Ankleben von Zellen/Definition|| }} {{ inputbeispiel | Topologie/Grundbegriffe/Ankleben von Zellen/Beispiel|| }} <noinclude> {{:Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Footer|6}} [[Kategorie:Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)|Vorlesung]] </noinclude> }} 2es54tsxjat1jb93me1simvzos7g9dk 0 21004 785452 772571 2022-08-22T08:42:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man definiere den Begriff {{Stichwort|projektiv-linearer Unterraum|SZ=}} eines projektiven Raumes {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} spze95xf8btg6r2tdx3izx3bwwpctq2 0 21006 785451 514255 2022-08-22T08:41:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K|}}|SZ=}} ein projektiver Raum der Dimension {{math|term= n|SZ=}} und es seien {{mathl|term= X,Y \subseteq {{op:Projektiver Raum|n|K|}} |SZ=}} projektiv-lineare Unterräume der Dimension {{math|term= r|SZ=}} und {{math|term= s|SZ=}}. Es sei {{mathl|term= r+s \geq n|SZ=.}} Zeige, dass dann {{mathl|term= X \cap Y \neq \emptyset |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k6p7av1flg9b7ps94r7d5dmj1mjmdo6 0 21007 785457 514252 2022-08-22T08:42:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} auf der Menge {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n+1|K|}} \setminus \{0\}|SZ=}} derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive {{math|term= n|SZ=-}}dimensionale Raum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bi7gzoshrz838rdmtnjvb89rj6rrt75 0 21008 785438 758718 2022-08-22T08:39:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Endlicher Körper|q|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen. Berechne{{n Sie}} auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}}|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2=Theorie der glatten projektiven Varietäten über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlicher Körper |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ee4oxadt21zhjyayjwlcxsnb8a3a45g 0 21011 779966 251599 2022-08-21T17:50:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= Y}} der Warschauer Kreis, also die Vereinigung des Abschlusses {{math|term= \overline{\Gamma} }} des Graphen {{math|term= \Gamma\subseteq \mathbb{R}^2}} von {{math|term= x\mapsto \sin(\frac{1}{x}),\,x\in (0,1] }} und einem Kreisbogen {{math|term= K}} von {{math|term= (0,0) }} nach {{math|term= (1,\sin(1)) }}, der {{math|term= \overline{\Gamma} }} nicht trifft. Der topologische Raum {{math|term= Y}} ist weg-zusammenhängend, aber nicht lokal weg-zusammenhängend. Des weiteren ist ja {{math|term= \overline{\Gamma} }} das Standard-Beispiel eines zusammenhängenden Raumes, der nicht weg-zusammenhängend ist. Den Beweis dieser Tatsache kann man verwenden, um zu zeigen, dass {{math|term= \pi_1(Y,(0,0))}} die triviale Gruppe ist. Sei {{math|term= y_0 = (0,0)\in Y}} und {{math|term= f\colon Y\to S^1}} eine Abbildung, die {{math|term= \overline{\Gamma} }} auf {{math|term= 1\in S^1}} abbildet und eine topologische Äquivalenz {{math|term= Y/\overline{\Gamma} \to S^1 }} induziert. Der Beweis des Liftungssatz liefert nun eine Abbildung {{mathdisplay|term= \tilde{f}\colon (Y,y_0)\to (\mathbb{R},0) }} mit den Eigenschaften {{mathdisplay|term= \tilde{f}(y)=0 \, \forall \, y\in \{0\}\times [-1,1]\subseteq \overline{\Gamma}\subseteq Y \ \ \ \tilde{f}(y)=1 \, \forall \, y\in \Gamma\subseteq \overline{\Gamma}\subseteq Y |SZ=.}} Die Abbildung {{math|term= \tilde{f} }} ist aber nicht stetig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Überlagerungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Warschauer Kreis |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 657pkknvlbszclebb2wn90703gbd3ya 0 21013 779950 251600 2022-08-21T17:47:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 | Jeder zusammenziehbare Raum ist einfach-zusammenhängend. | Die {{math|term= S^n}} ist einfach-zusammenhängend genau dann, wenn {{math|term= n\geq 2}} gilt. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der einfach zusammenhängenden Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gfsm2qg2v2bmeqigwv3ktf5x41es9lj 0 21015 778583 748123 2022-08-21T12:25:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= E\to X}} eine universelle Überlagerung, wobei {{math|term= X}} lokal wegzusammenhängend ist. Ist {{math|term= x\in X}}, dann gibt es nach Voraussetzung eine offene Menge {{math|term= x\in U\subseteq X}} und eine topologische Äquivalenz {{math|term= \phi\colon p^{-1}(U)\to U\times F}} über {{math|term= U}}, wobei {{math|term= F}} ein diskreter topologischer Raum ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann {{math|term= U}} als wegzusammenhängend vorausgesetzt werden. Sei nun {{math|term= V}} eine Wegzusammenhangskomponente von {{math|term= p^{-1}(U)}}, dann ist die Einschränkung {{math|term= q \colon V\to U}} von {{math|term= p}} eine topologische Äquivalenz. Sei {{math|term= y\in p^{-1}(x)\cap V}}, dann ist die durch die Inklusion induzierte Abbildung {{math|term= \pi_1(U,x)\to \pi_1(X,x)}} trivial. Denn diese stimmt überein mit der Komposition {{mathdisplay|term= \pi_1(U,x) \xrightarrow{q^{-1}_\ast} \pi_1(V,y)\xrightarrow{\mathrm{inc} } \pi_1(E,y) \xrightarrow{p_\ast} \pi_1(X,x) }} und die Fundamentalgruppe {{math|term= \pi_1(E,y) }} ist ja trivial. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8sjmys9so5vch0ovmmwmdfvx6dm98ml 0 21030 779951 251603 2022-08-21T17:47:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= i\colon S^0=\partial D^1 \hookrightarrow D^1}} und {{math|term= f\colon \partial D^1 \rightarrow S^0}} die konstante Abbildung, dann ist {{math|term= S^0 \cup_{S^0} D^1 = D^0 \coprod S^1}}. Ist {{math|term= f}} hingegen die Identität, so ist {{math|term= S^0 \cup_{S^0} D^1 = D^1}}. Die beiden Räume sind nicht topologisch äquivalent. |Textart=Beispiel |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6toztucaiqmnja6j5oc28nd1sjdev51 0 21032 778567 748109 2022-08-21T12:22:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist hilfreich, die Äquivalenzrelation einmal explizit hinzuschreiben. Es gilt: ein Paar {{math|term= (c,d) \in (B\coprod X)\times (B\coprod X)}} ist genau dann in der Äquivalenzrelation enthalten, wenn {{ Aufzählung4 | {{math|term= c=d}}, oder | {{math|term= \exists a\in A: c=i(a), d=f(a)}}, oder | {{math|term= \exists a\in A: d=i(a), c=f(a)}}, oder | {{math|term= \exists a,b\in A: c=i(a), d=i(b), f(a)=f(b)}} }} gilt. Man sieht dann sofort die Injektivität der beiden Abbildungen, und auch die letzte Aussage. (Die Abbildung {{math|term= B\rightarrow X\cup_A B}} muss nicht injektiv sein.) Ist {{math|term= C\subseteq X}} irgendeine Teilmenge, so ist {{mathdisplay|term= q^{-1}\bigl(i^\prime (C)\bigr)= C \coprod i\bigl(f^{-1}(C)\bigr) |SZ=.}} Insbesondere ist {{math|term= C}} in {{math|term= X}} abgeschlossen genau dann, wenn {{math|term= i^\prime (C)}} in {{math|term= X\cup_A B}} abgeschlossen ist, also ist {{math|term= i^\prime }} eine abgeschlossene Einbettung. Ist {{math|term= U\subseteq B\smallsetminus i(A)}} irgendeine Teilmenge, so ist {{mathdisplay|term= q^{-1}\bigl(h(U)\bigr)= U |SZ=.}} Somit ist {{math|term= U}} offen in {{math|term= B\smallsetminus i(A)}} genau dann, wenn {{math|term= h(U)}} offen ist in {{math|term= X\cup_A B}}, also ist {{math|term= h}} eine offene Einbettung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c7lclc7huu18rwqr2ss5y6r9wo4u5dw 0 21042 784961 640038 2022-08-22T07:26:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom {{mathl|term= F \in \R[X,Y]|SZ=}} derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} nicht möglich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie2=Theorie der partiellen Ableitung (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 76103kkqdhi9s93ansdwg2544h00k3f 0 21045 780524 586348 2022-08-21T19:22:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte das Achsenkreuz {{mathl|term= V(xy) \subset {{op:Affine Ebene|K}}|SZ=}} und den zum Nullpunkt gehörigen lokalen Ring {{math|term= R|SZ=}} mit maximalem Ideal {{math|term= {{idealm|}}|SZ=.}} Beschreibe explizit eine {{math|term= K|SZ=-}}Basis für die Restklassenringe {{math|term= R/{{idealm|}}^n|SZ=}} und bestimme die Dimensionen davon. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität von eindimensionalen Ringen |Kategorie2=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz (affin-algebraische Kurve) |Stichwort=Multiplizität |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l7yms7al5qe7343ugfdyzkq9lg7exup 0 21046 783184 537963 2022-08-22T02:46:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= {{ideala|}} \subset R|SZ=}} ein Ideal in einem kommutativen Ring, das in genau einem maximalen Ideal {{math|term= {{idealm|}}|SZ=}} als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{mathl|term= R/{{ideala|}} \cong R_{{idealm|}}/{{ideala|}} R_{{idealm|}} |SZ=}} ist. {{ManSie|Folgere|Folgern Sie}} daraus, dass für ein maximales Ideal {{math|term= {{idealm|}}|SZ=}} in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie {{mathl|term= R/{{idealm|}}^n \cong R_{{idealm|}}/{{idealm|}}^n R_{{idealm|}} |SZ=}} für jedes {{math|term= n|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Ringe |Kategorie2=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primär |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kp9sj1eegkrtq8zcuvg1zs12ji6rb3t 0 21047 785303 523828 2022-08-22T08:17:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper. Vergleiche{{n Sie}} die beiden Ringe {{ mathkor|term1= {{op:Potenzreihenring|(K[X])|Y}} |und|term2= ({{op:Potenzreihenring|K|Y}})[X] |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Polynomring |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1m6lkhp24g9j0orgr4jb0e6orajnj14 0 21053 778575 748129 2022-08-21T12:23:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= q\colon\tilde{X}\to X}} eine universelle Überlagerung, wobei {{math|term= X}} zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist. Sei weiter {{math|term= x_0\in X}} und {{math|term= G= \pi_1(X,x_0) }}. Nach [[Topologie/Überlagerungen/Abbildungen von Überlagerungen/Fakt|obigem Satz]] ist die Decktransformationengruppe von {{math|term= q\colon \tilde{X}\to X}} isomorph zur Automorphismengruppe der {{math|term= G}}-Menge {{math|term= q^{-1}(x_0)}}. Es reicht also zu zeigen, dass die letztere Gruppe, die mal mit {{math|term= \operatorname{Aut}_G(q^{-1}(x_0)) }} bezeichnet werde, isomorph zu {{math|term= G}} ist. Um einen Isomorphismus anzugeben, wähle {{math|term= y\in q^{-1}(x_0)}}. Sei weiter {{math|term= \overline{G} }} die rechte {{math|term= G}}-Menge mit unterliegender Menge {{math|term= G}} und Operation {{mathdisplay|term= \overline{G}\times G = G\times G \xrightarrow{\mu} G = \overline{G} |SZ=,}} wobei {{math|term= \mu}} die Multiplikation auf {{math|term= G}} ist. Die Abbildung {{mathdisplay|term= \psi_{y}\colon \overline{G} \to q^{-1}(x_0) \ \ \ g \mapsto y \cdot g}} ist eine Abbildung von {{math|term= G}}-Mengen, denn {{mathdisplay|term= \psi_{y}(g\cdot h) = y\cdot(g\cdot h) = (y\cdot g)\cdot h = \psi_{y}(g)\cdot h |SZ=.}} Des weiteren ist {{math|term= \psi_{y} }} bijektiv: injektiv, weil die Standgruppe {{math|term= G_y = q_\ast(\pi_1(\tilde{X},y))}} nach [[Topologie/Überlagerungen/Abbildungen von Überlagerungen/Fakt|obigem Satz]] trivial ist, und surjektiv, weil nach [[Topologie/Überlagerungen/Abbildungen von Überlagerungen/Fakt|obigem Satz]] {{math|term= \pi_0(\tilde{X})\cong q^{-1}(x_0)/G }} trivial ist. Es folgt, dass {{mathdisplay|term= \operatorname{Aut}_G(q^{-1}(x_0)) \cong \operatorname{Aut}_G(\overline{G}) | SX=.}} Sei nun {{mathdisplay|term= \phi\colon G\to \operatorname{Aut}_G(\overline{G}) \ \ \ g \mapsto (h\mapsto g\cdot h) |SZ=,}} dann ist {{math|term= \phi}} ein Gruppenhomomorphismus, weil die Multiplikation in der Gruppe assoziativ ist. Des weiteren ist {{math|term= \phi}} injektiv, denn die Abbildung {{math|term= h\mapsto g\cdot h}} ist die Identität genau dann, wenn {{math|term= g=1_G}} gilt. Sei {{math|term= \xi}} ein {{math|term= G}}-Automorphismus von {{math|term= \overline{G} }}. Dann ist {{mathdisplay|term= \xi(h) = \xi(1\cdot h)=\xi(1)\cdot h \, \forall \, h\in \overline{G} |SZ=, }} was die Surjektivität liefert. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rjmlcflgfxszzmbqg8oh1l7z4rm15a2 0 21057 779038 763191 2022-08-21T15:25:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Ebene algebraische Kurve/x^2-y^2+y^3/Beschreibung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an, d.h. wir betrachten die Kurve {{mathl|term= V(y^2-x^2-x^3)|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Parametrisierung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | (\varphi(t), \psi(t)) || {{op:Zeilenvektor|t^2-1| t {{makl| t^2-1 |}} }} || (x,y) || || |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen von {{math|term= F|SZ=}} sind {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung|F|x}} = -2x-3x^2 \text{ und } {{op:Partielle Ableitung|F|y}} = 2y |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Parametrisierung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl|{{op:Partielle Ableitung|\varphi|t}}, {{op:Partielle Ableitung|\psi|t}}|}} || {{op:Zeilenvektor|2t|3t^2-1}} || || || |SZ=. }} Damit ist in der Tat {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=P=(\varphi(t),\psi(t))|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |{{makl|{{op:Partielle Ableitung|F|x|P}}, {{op:Partielle Ableitung|F|y|P}}|}} {{op:Spaltenvektor|2t|3t^2-1}} || {{makl| -2 {{makl| t^2-1 |}}-3 {{makl| t^2-1 |}}^2 , 2 {{makl| t^3-t |}} |}} {{op:Spaltenvektor|2t|3t^2-1}} || -4t(t^2-1) - 6t {{makl| t^2-1 |}}^2 +2 {{makl| t^3-t |}} {{makl| 3t^2-1 |}} || -4t^3 +4t -6t^5+12t^3 -6t +6t^5 -2t^3 -6t^3 +2t ||0 |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |t ||2 || || || |SZ= }} ergibt sich beispielsweise der Bildpunkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||(3,6) || || || |SZ=. }} Für diesen Wert ist der Ableitungsvektor gleich {{mathl|term= (4,11)|SZ=.}} Die partiellen Ableitungen an {{math|term= P|SZ=}} ergeben den Gradienten {{mathl|term= (-33, 12)|SZ=,}} der senkrecht zum Tangentialvektor steht. Die Tangente selbst wird durch {{ math/disp|term= {{Mengebed| (3,6)+s(4,11)| s \in K}} \text{ oder als } V(-11x+4y+9) |SZ= }} beschrieben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom Y^2-X^3-X^2 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dbbh8feeyxn6y2yri7ebbsmw5um5a9g 0 21063 778576 770092 2022-08-21T12:24:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= \phi\colon p^{-1}(x_0)\to q^{-1}(x_0)}} eine Abbildung von rechten {{math|term= G}}-Mengen. Um diese zu einer Abbildung {{math|term= f\colon E\to F}} von Überlagerungen von {{math|term= X}} zu erweitern, sei {{math|term= E^\prime}} eine Wegzusammenhangskomponente von {{math|term= E}}. Da {{math|term= X}} nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend ist, ist es auch {{math|term= E}} nach [[Topologie/Überlagerungen/Lokaler Wegzusammenhang/Fakt|dieser Aussage]]. Insbesondere ist der topologische Raum {{math|term= E}} die disjunkte Vereinigung seiner Wegzusammenhangskomponenten nach [[Topologie/Grundbegriffe/Lokaler Wegzusammenhang/Fakt|diesem Satz]]. Zudem ist {{math|term= p^\prime \colon E^\prime \hookrightarrow E\xrightarrow{p} X}} wieder eine Überlagerung. Es reicht also, eine Abbildung {{math|term= f \colon E^\prime \to F}} von Überlagerungen anzugeben, die auf {{math|term= p^{-1}(x_0)\cap E^\prime }} mit {{math|term= \phi}} übereinstimmt. Dies geschieht mit Hilfe des [[Überlagerungen/Liftungssatz/Fakt|Liftungssatzes]]. Sei {{math|term= y_0\in p^{-1}(x_0)\cap E^\prime}} und {{math|term= e_0 = \phi(y_0)\in q^{-1}(x_0)\subseteq F}}. Der Liftungssatz liefert die Existenz (genau) einer stetigen Abbildung {{math|term= f\colon E^\prime \to F}} mit {{math|term= q\circ f = p\vert_{E^\prime} }} genau dann, wenn {{math|term= p_\ast \pi_1(E^\prime, y_0)\subseteq q_\ast\pi_1(F,e_0) }} gilt. Nach [[Topologie/Überlagerungen/Abbildungen von Überlagerungen/Fakt|obigem Satz]] ist {{math|term= p_\ast \pi_1(E^\prime, y_0) = G_{y_0} }}. Weil {{math|term= \phi}} eine Abbildung von rechten {{math|term= G}}-Mengen ist, gilt {{math|term= G_{y_0}\subseteq G_{e_0} }}. Wieder nach [[Topologie/Überlagerungen/Abbildungen von Überlagerungen/Fakt|obigem Satz]] ist {{math|term= G_{e_0} = q_\ast\pi_1(F,e_0)}}. Also ist der Liftungssatz anwendbar, und es existiert eine stetige Abbildung {{math|term= f\colon E^\prime \to F}} mit {{math|term= q\circ f = p\vert_{E^\prime} }}, die auf {{math|term= y_0}} mit {{math|term= \phi}} übereinstimmt. Nun ist jedes Element in {{math|term= p^{-1}(x_0)\cap E^\prime}} nach [[Topologie/Überlagerungen/Abbildungen von Überlagerungen/Fakt|obigem Satz]] von der Form {{math|term= y_0\cdot [u] }} für ein {{math|term= [u]\in \pi_1(X,x_0) =G}}. Dies impliziert, dass {{math|term= f}} auf ganz {{math|term= p^{-1}(x_0)\cap E^\prime}} mit {{math|term= \phi}} übereinstimmt. Somit ist gezeigt, dass die Abbildung {{mathdisplay|term= \operatorname{Hom}_X(E,F)\to \operatorname{Hom}_G(p^{-1}(x_0),q^{-1}(x_0)) }} surjektiv ist. Das obige Argument zeigt, dass die Abbildung {{math|term= f\colon E^\prime\to F}} von Überlagerungen von {{math|term= X}} schon durch die Angabe des Bildes eines Punktes eindeutig bestimmt ist. Dies zeigt die Injektivität der Abbildung zusammen mit der universellen Eigenschaft der disjunkten Vereinigung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3hoylmr45on4owprraccuqtxvl5s5wo 0 21064 778582 748119 2022-08-21T12:25:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung4 |Es ist zu zeigen, dass die Gleichungen {{mathl|term= (y \cdot [u])\cdot [v] = y\cdot [u{\scriptscriptstyle{\Box} } v]}} und {{math|term= y\cdot [x_0]=y}} für alle {{math|term= y\in p^{-1}(x_0) }} und {{mathl|term= [u],[v]\in \pi_1(X,x_0)}} gelten. Sei {{math|term= u^\prime\colon I\to E}} der Lift von {{math|term= u\colon I\to X}} zum Anfangspunkt {{math|term= y}} und {{math|term= v^\prime\colon I\to E}} der Lift von {{mathl|term= v\colon I\to X}} zum Anfangspunkt {{math|term= u^\prime(1)}}. Dann ist {{mathl|term= u^\prime {\scriptscriptstyle{\Box} } v^\prime \colon I\to E}} der Lift von {{mathl|term= u{\scriptscriptstyle{\Box} } v\colon I\to X}} zum Anfangspunkt {{math|term= y|SZ=.}} Die Gleichung {{mathdisplay|term= u^\prime {\scriptscriptstyle{\Box} } v^\prime (1) = v^\prime(1) |SZ=}} liefert dann die Identität {{mathl|term= (y \cdot [u])\cdot [v] = y\cdot [u{\scriptscriptstyle{\Box} } v]|SZ=.}} Der Lift der konstanten Schleife {{mathl|term= x_0\colon I\to X}} zum Anfangspunkt {{mathl|term= y}} ist die konstante Schleife {{mathl|term= y\colon I\to E}}, was die Identität {{mathl|term= y\cdot [x_0]=y}} liefert. | Sind zwei Punkte {{mathl|term= y,z\in p^{-1}(x_0) }} in derselben Bahn, also {{math|term= y\cdot [u] = z}} für ein {{math|term= [u]\in \pi_0(X,x_0) }}, so gibt es insbesondere einen Weg in {{math|term= E}} von {{math|term= y}} nach {{math|term= z}}. Die Komposition der Inklusion {{mathl|term= i\colon p^{-1}(x_0)\hookrightarrow E}} und der kanonische Projektion {{mathl|term= q\colon E\to \pi_0(E) }} induziert also eine Abbildung {{mathdisplay|term= \phi\colon p^{-1}(x_0)/G \to \pi_0(E) |SZ=.}} Die Abbildung {{math|term= \phi}} ist injektiv. Denn wenn {{mathl|term= y,z\in p^{-1}(x_0) }} und {{math|term= w}} ein Weg in {{math|term= E}} von {{math|term= y}} nach {{math|term= z}} ist, so ist {{math|term= p\circ w\colon I\to X}} eine Schleife an {{math|term= x_0}} mit der Eigenschaft, dass {{math|term= y\cdot [p\circ w] =z|SZ=.}} Die Abbildung {{math|term= \phi}} ist surjektiv. Denn wenn {{math|term= z\in E}} beliebig ist, so gibt es in {{math|term= X}} einen Weg von {{math|term= p(z)}} nach {{math|term= x_0}} -- schließlich ist {{math|term= X}} weg-zusammenhängend. Der Lift dieses Weges zum Anfangspunkt {{math|term= z}} ist ein Weg zu einem Element in {{mathl|term= p^{-1}(x_0)|SZ=.}} |Sei nun {{mathl|term= y\in p^{-1}(x_0)}} und {{mathl|term= [u]\in \pi_1(X,x_0)}} derart, dass {{mathl|term= y\cdot [u] = y|SZ=.}} Dann ist aber der Lift {{mathl|term= u^\prime\colon I\to E}} von {{math|term= u}} zum Anfangspunkt {{math|term= y}} eine Schleife an {{math|term= y}} mit der Eigenschaft, dass {{mathdisplay|term= p_\ast([u^\prime]) = [p\circ u^\prime] = [u] |SX=.}} Es folgt, dass {{mathl|term= G_y\subseteq p_\ast(\pi_1(E,y)) }}. Ist hingegen {{mathl|term= v\colon I\to E}} eine Schleife an {{math|term= y}}, so ist {{mathl|term= y\cdot [p\circ v] = v(1) = y}}, was die Inklusion {{math|term= G_y\supseteq p_\ast(\pi_1(E,y)) }} zeigt. |Sei {{mathl|term= f\colon E_1\to E_2}} eine Abbildung von Überlagerungen. Ist {{math|term= y\in p_1^{-1}(x_0) }}, so gilt ja wegen {{mathl|term= p_2\circ f = p_1}} auch {{mathl|term= f(y)\in p_2^{-1}(x_0)}}. Demnach schränkt {{math|term= f}} auf eine Abbildung {{mathdisplay|term= f\colon p_1^{-1}(x_0) \to p_2^{-1}(x_0) |SZ=}} ein. Um zu zeigen, dass dies eine Abbildung von rechten {{math|term= G}}-Mengen ist, sei {{mathl|term= [u]\in G=\pi_1(X,x_0)|SZ=.}} Ist {{mathl|term= u^\prime \colon I\to E_1}} der Lift von {{math|term= u}} zum Anfangspunkt {{math|term= y\in E_1|SZ=,}} so ist {{math|term= f\circ u^\prime}} der Lift von {{math|term= u}} zum Anfangspunkt {{mathl|term= f(y)\in E_1|SZ=.}} Denn {{mathl|term= p_2\circ (f\circ u^\prime)= p_1\circ u^\prime = u|SZ=.}} Somit ist {{mathdisplay|term= f(y)\cdot [u] = (f\circ u^\prime)(1) = f(u^\prime(1)) = f(y\cdot [u]) |SZ=,}} was zeigt, dass {{math|term= f}} eine Abbildung von rechten {{math|term= G}}-Mengen ist. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ajpm56qy1m5hqo1tja85wur73sp5j8g 0 21065 781634 543812 2022-08-21T22:27:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Kurve {{mathl|term= C=V(X^2-Y^2-Y^3)|SZ=}} mit der in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Ebene algebraische Kurve/x^2-y^2+y^3/Tangente unter Parametrisierung/t ist 2/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte {{mathl|term= t=-1,0,1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplizität von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Das Polynom Y^2-X^3-X^2 |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Parametrisierung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i7bmqw08576khhhnofvxfv6rjpks1lq 0 21066 781622 514213 2022-08-21T22:25:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve {{mathl|term= C \subset {{op:Affine Ebene|K}}|SZ=}} mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Parametrisierung |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wbkq6ohqj0b9uwy2yq2crmc1kx8j1j 0 21083 785302 523829 2022-08-22T08:17:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{mathl|term= R= {{op:Potenzreihenring|K|T|}}|SZ=}} der Potenzreihenring. Zeige, dass es in {{math|term= R|SZ=}} keine Quadratwurzel für {{math|term= T|SZ=}} gibt. Zeige ferner, dass für {{mathl|term= K= {{op:Zmod|7|}} |SZ=}} das Element {{mathl|term= T+2|SZ=}} eine Quadratwurzel in {{math|term= R|SZ=}} besitzt, und gebe die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadratwurzel |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kux4uk0kn1hnyysj76oizp0kz44pg60 0 21102 780581 538906 2022-08-21T19:32:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= P=(a,b)|SZ=}} ein Punkt in der affinen Ebene und {{math|term= L|SZ=}} und {{math|term= L'|SZ=}} zueinander senkrechte Geraden durch {{math|term= P|SZ=.}} Es sei {{ mathbed|term= C = V(F) ||bedterm1= F \in K[X,Y] ||bedterm2= |SZ=, }} eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe{{n Sie}} explizit eine Variablentransformation {{ Zusatz/Klammer |text=einen Koordinatenwechsel| |ISZ=|ESZ= }} derart, dass in den neuen Koordinaten {{math|term= P|SZ=}} der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort=Transformation |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tkcao4ytauoahwhzt49hph50h2u1i0t 0 21103 780584 514245 2022-08-21T19:32:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die durch {{mathl|term= y = 2x^4+3x^2-x+1 |SZ=}} gegebene Kurve mit dem Punkt {{mathl|term= P=(1,5)|SZ=.}} Finde eine Koordinatentransformation derart, dass {{math|term= P|SZ=}} zum Punkt {{math|term= (0,0)|SZ=}} wird und die Tangente an {{math|term= P|SZ=}} zur {{math|term= x|SZ=-}}Achse. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Graph |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} desk53mla87rhhunvlhaotzvuer3do5 0 21105 781675 514246 2022-08-21T22:34:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die durch {{mathl|term= y=2x^4+3x^2-x+1|SZ=}} gegebene Kurve im Punkt {{mathl|term= P=(1,5)|SZ=}} in den in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Affine Ebene/y ist 2x^4+3x^2-x+1/(1,5)/Transformation auf Nullpunkt, Tangente auf x-Achse/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gefundenen Koordinaten. Bestimme{{n Sie}} die Potenzreihe für die Kurve in {{math|term= P|SZ=}} entlang der Tangente. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i3g53wjg27d397z6x75on54vrhzp10k 0 21106 781625 514226 2022-08-21T22:26:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Kardioide {{ math/disp|term= V((X^2+Y^2)^2- 2X(X^2+Y^2)-Y^2) |SZ= }} im Punkt {{math|term= (2,0)|SZ=.}} Bestimme eine formale Parametrisierung (bis zum fünften Term) der Kurve in diesem Punkt in Abhängigkeit von einem Tangentenparameter. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Die Kardioide |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kardioide |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aw9ruzg2jvd2s1ikytwda1w8y19oila 0 21122 786432 514268 2022-08-22T11:24:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= A|SZ=}} ein kommutativer Ring und {{mathl|term= R = A[X_0, \ldots, X_n]|SZ=}} der Polynomring mit der Standardgraduierung. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Sättigung| |Definitionsseitenname=Graduierter Ring/Saturierung eines Ideals/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} eines homogenen Ideals {{math|term= I|SZ=}} wieder ein homogenes Ideal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Ideale im Polynomring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Saturierung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cnjbt29l77vgig7js1gnxm0br6g0nkq 0 21123 781668 755601 2022-08-21T22:33:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Kurve| |Kontext=eben algebraisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V {{makl| X^3+Y^3-3XY+1 |}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |singulären Punkte| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=}} und über {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} Man gebe jeweils die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplizität| |Kontext=ebene Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Tangenten| |Kontext=singuläre Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplizität von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} np9myu26ywy2mzo4l32ge2mkglvgx7c 0 21124 781671 514241 2022-08-21T22:34:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Parabel {{mathl|term= C=V(Y-X^2)|SZ=}} und den Kreis {{math|term= D|SZ=}} mit Mittelpunkt {{math|term= (0,r)|SZ=}} und Radius {{math|term= r|SZ=.}} Bestimme die Schnittpunkte von {{math|term= C|SZ=}} und {{math|term= D|SZ=}} und die jeweiligen Schnittmultiplizitäten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ny3ppngmwt77b7ksepy18mlrrl4t40p 0 21126 786473 577655 2022-08-22T11:31:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme für den Restklassenring {{mathl|term= {{CC}}[X,Y]/(XY-1,X^2+Y^2-a)|SZ=}} (für jedes {{mathl|term= a \in {{CC}}|SZ=)}} eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die {{math|term= {{CC}}|SZ=-}}Dimensionen der beteiligten Ringe an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2=Die Einheitshyperbel|Schnitt |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hyperbel |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jtkgozz11rt17sxv1c9neh47atmqlzb 0 21128 781659 523830 2022-08-21T22:32:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= F \in K[X,Y]|SZ=}} ein irreduzibles Polynom und {{mathl|term= R=K[X,Y]/(F)|SZ=}} der integre Koordinatenring der ebenen Kurve {{mathl|term= C=V(F)|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= R \rightarrow S={{op:Normalisierung|R|}}|SZ=}} die Normalisierung von {{math|term= R|SZ=}} und es sei {{mathl|term= R \rightarrow {{op:Potenzreihenring|K|T}}|SZ=}} der Ringhomomorphismus zu einer nichtkonstanten formalen Potenzreihenlösung der Kurve. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus {{mathl|term= S \rightarrow {{op:Potenzreihenring|K|T}} |SZ=}} gibt derart, dass das Diagramm {{Kommutatives Dreieck|R|S|{{op:Potenzreihenring|K|T}}}} kommutiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der Normalisierung (Integritätsbereich) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Normal |Stichwort2=Potenzreihe |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mofcg7614j8cg1inr1or0pqnhw9tbl7 0 21149 785173 758521 2022-08-22T07:58:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq | K[X_1 {{kommadots|}}X_n] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{ideala|}}|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |homogenes Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Ideale im Polynomring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Erzeuger |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jsj96vgxt5u0d4ofkok2twwptabk5c3 0 21151 780021 772556 2022-08-21T17:59:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wählt man die komplexen Zahlen {{math|term={{CC}}|SZ=}} als Grundkörper, so kann man eine glatte projektive Kurve auch als eine reell zweidimensionale kompakte orientierte Mannigfaltigkeit auffassen. Diese lassen sich topologisch einfach klassifizieren, und zwar ist eine solche Mannigfaltigkeit homöomorph zu einer Kugeloberfläche, an die {{math|term=g|SZ=}} Henkel angeklebt werden. Diese Zahl nennt man das {{Stichwort|Geschlecht|SZ=}} der reellen Fläche und damit auch der Kurve. Die komplex-projektive Gerade ist eine zweidimensionale Sphäre und hat keinen Henkel, ihr Geschlecht ist also {{math|term=0|SZ=.}} Eine Fläche vom Geschlecht {{math|term=1|SZ=}} ist ein Torus {{ Zusatz/Klammer |text=ein Autoreifen| |ISZ=|ESZ= }} der homöomorph zu {{mathl|term= S^1 \times S^1 |SZ=}} ist. Projektive Kurven, die als topologische Mannigfaltigkeit das Geschlecht eins besitzen, nennt man {{Stichwort|elliptische Kurven|msw=Elliptische Kurve|SZ=.}} Es gibt auch algebraische Definitionen für das Geschlecht, so dass diese Invariante für glatte projektive Kurven über jedem algebraisch abgeschlossenen Körper definiert ist. Und zwar ist das Geschlecht gleich der {{math|term=K|SZ=-}}Dimension der {{Stichwort|ersten Kohomologiegruppe der Strukturgarbe|msw=Erste Kohomologiegruppe der Strukturgarbe|SZ=}} und auch gleich der {{math|term=K|SZ=-}}Dimension der {{Stichwort|globalen Differentialformen|msw=Globale Differentialform|SZ=}} auf der Kurve. Zu jedem {{math|term=g|SZ=}} gibt es projektive Kurven mit Geschlecht {{math|term=g|SZ=.}} Insbesondere kann man jede orientierbare reell zweidimensionale kompakte Fläche als komplex-projektive Kurve realisieren. Man spricht dann auch von {{Stichwort|Riemannschen Flächen|msw=Riemannsche Fläche|SZ=.}} Für eine glatte ebene Kurve {{ Ma:Vergleichskette |C ||V_+(F) |\subset| {{op:Projektive Ebene|K}} || || |SZ= }} vom Grad {{ Ma:Vergleichskette |d || {{op:Grad Polynom|F|}} || || || |SZ= }} gibt es eine einfache Formel für das Geschlecht: es ist nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp |g || {{op:Bruch|(d-1)(d-2)| 2 }} || || || |SZ=. }} Damit haben glatte projektive Kurven vom Grad eins und zwei {{ Zusatz/Klammer |text=Geraden und Quadriken| |ISZ=|ESZ= }} das Geschlecht {{math|term=0|SZ=,}} es handelt sich {{ Zusatz/Klammer |text=vom Isomorphietyp her| |ISZ=|ESZ= }} in der Tat um projektive Geraden. Für {{ Ma:Vergleichskette |d ||3 || || || |SZ= }} erhält man das Geschlecht {{math|term=1|SZ=,}} also elliptische Kurven. Für {{ Ma:Vergleichskette |d ||4 || || || |SZ= }} erhält man schon {{ Ma:Vergleichskette |g ||3 || || || |SZ=. }} Dies zeigt auch, dass sich nicht jedes Geschlecht als Geschlecht einer ebenen glatten Kurve realisieren lässt. Es ist beispielsweise gar nicht so einfach, explizit Gleichungen für eine Kurve vom Geschlecht {{math|term=2|SZ=}} anzugeben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der glatten projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Topologie |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ku03aae37u54tsfp1lpbezdsph9hay 0 21160 786436 542655 2022-08-22T11:25:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Bezout|Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für die beiden monomialen Kurven, die affin durch {{mathl|term= C=V(X^2-Y^3)|SZ=}} und {{mathl|term= D=V(X^5-Y^4)|SZ=}} gegeben sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Bezout (ebene Kurven) |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen projektiven Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Monomial |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} twhv5v4llo58gwoq4ixk0roembmeccn 0 21161 784424 514282 2022-08-22T06:09:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass in {{mathl|term= K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^2-Y^3)|SZ=}} jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2=Die Neilsche Parabel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Neilsche Parabel |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hm51swc0nv00rncsrm1j4a8g76l7yt4 0 21166 783080 577660 2022-08-22T02:29:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das durch {{mathl|term= V {{makl| X^3+Y^3-3XY |}} |SZ=}} definierte {{ Faktlink |Präwort=|Kartesische Blatt|Faktseitenname= Ebene algebraische Kurven/Kartesisches Blatt/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die unendlich fernen Punkte in {{math|term= {{op:Projektive Ebene|{{CC}}}}|SZ=}} und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des projektiven Abschlusses von ebenen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Kartesische Blatt |Stichwort=Kartesisch |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r90nrtn3drwgxllgfcrdj5j8msmzq29 0 21167 783979 514269 2022-08-22T04:59:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring und sei {{math|term= {{idealm|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |maximales Ideal| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Lokalisierung| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung für Primideal/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{math|term= R_{{idealm|}}|SZ=.}} Es sei {{math|term= {{ideala|}}|SZ=}} ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann {{math|term= R_{{idealm|}}|SZ=}} auch eine Lokalisierung von {{math|term= R/{{ideala|}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kern |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} piapqt0zvbpy9m3o8cg15m1qombpiyf 0 21168 783752 577661 2022-08-22T04:21:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die durch {{mathl|term= V {{makl| {{makl| X^2+Y^2 |}}^2-X^2+Y^2 |}} |SZ=}} gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in {{math|term= {{op:Projektive Ebene|{{CC}}|}}|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Lemniskate von Bernoulli |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bccuim5kxv0us12iurptflkg6qy3qim 0 21178 785454 514260 2022-08-22T08:42:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein unendlicher Körper und sei {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_m|SZ=}} eine endliche Ansammlung von Punkten in einem projektiven Raum {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K|}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}: Dann gibt es eine homogene Linearform {{mathl|term= {{{L|L}}} \in K[X_0 {{kommadots}} X_n]|SZ=}} derart, dass all diese Punkte auf der durch {{math|term= {{{L|L}}}|SZ=}} definierten offenen Teilmenge {{math|term= D_+({{{L|L}}})|SZ=}} liegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Umgebung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3rofm52y03gdp7r1734fxp6t0ofemf4 0 21181 785447 758724 2022-08-22T08:41:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme für die {{ Definitionslink |Prämath= |Kegelabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Affiner Raum|n+1|K|}} \setminus \{0\}|{{op:Projektiver Raum|n|K|}} || |SZ= }} den Zariski-Abschluss im {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K|}}|SZ=}} des Bildes einer abgeschlossenen Menge {{mathl|term= V( {{ideala|}}) \cap {{op:Affiner Raum|n+1|K|}} \setminus \{0\} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kegelabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kegelabbildung |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9i92o99r17zjztilp3rg0o07v30grgj 0 21183 780614 753040 2022-08-21T19:37:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= {{KRC}} = \R |SZ=}} oder {{math|term= ={{CC}}|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= H \subset {{KRC}}^{n+1}|SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}dimensionaler {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Unterraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei {{math|term= \tilde{H}|SZ=}} der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei {{mathl|term= U \subseteq H|SZ=}} eine in {{mathl|term= H \cong {{KRC}}^n|SZ=}} offene Menge {{ Zusatz/Klammer |text=in der metrischen Topologie| |ISZ=|ESZ= }} und es sei {{math|term= V|SZ=}} die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von {{math|term= U|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt von {{math|term= V|SZ=}} mit {{mathl|term= {{KRC}}^{n+1} \setminus \tilde{H}|SZ=}} offen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie von euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hu3lf2qhkvqdlo1zc9rimanxgs7fbbk 0 21220 779673 617632 2022-08-21T17:06:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Inversenbildung {{Ma:abbele/disp|{{op:Affine Gerade|K}} \supset D(z)| {{op:Affine Gerade|K}}|z|z^{-1}|SZ=,}} lässt sich zu einem bijektiven Morphismus {{Ma:abbele/disp|{{op:Projektive Gerade|K}}| {{op:Projektive Gerade|K}}|(x,y)|(y,x)|SZ=,}} fortsetzen. Dies folgt direkt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Glatte projektive Kurven/Rationale Funktion als Morphismus nach P^1/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=. }} Dabei geht ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette | z |\neq| 0 || || || |SZ= }} auf {{mathl|term= 1/z|SZ=}} und der Nullpunkt geht auf den unendlich fernen Punkt {{math|term= \infty|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ovdnvm3pb1uqd9gpqu6l9kprrt2fn0u 0 21223 785450 542615 2022-08-22T08:41:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= P={{tupel0n|a}} \in {{op:Projektiver Raum|n|K}}|SZ=}} ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass die Projektion des {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}}|SZ=}} auf {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n-1|K}}|SZ=}} mit Zentrum {{math|term= P|SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{Projektionsmatrixwegvon0n|a}} |SZ= }} gegeben ist, also durch die Abbildung {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|x_0|x_1|\vdots|x_n}} \longmapsto {{Projektionsmatrixwegvon0n|a}} {{op:Spaltenvektor|x_0|x_1|\vdots|x_n}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Projektion weg von einem Punkt |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxh2wviiy8ydzcsxau4b8ife0k8dpss 0 21224 779967 251612 2022-08-21T17:50:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 | Die Exponentialabbildung {{math|term= \exp\colon \mathbb{R}\to S^1 }} ist eine universelle Überlagerung. | Die kanonische Projektion {{math|term= S^n \to \mathbb{RP}^n}} ist eine universelle Überlagerung genau dann, wenn {{math|term= n\geq 2}} gilt. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Überlagerungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kc32c6h111djq4ps69o4ssern5pzbog 0 21227 778584 748118 2022-08-21T12:25:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Gegeben eine universelle Überlagerung {{math|term= E\to X}}, so kann man sowohl die unterliegende Menge als auch die Topologie von {{math|term= E}} mit Hilfe von Daten ausdrücken, die nur mit {{math|term= X}} zu tun haben. Dies führt zu folgender Definition. Sei {{math|term= X}} ein topologischer Raum und {{math|term= x_0\in X}}. Dann ist {{mathdisplay|term= BX \colon = \{w\colon I\to X \colon w(0)=x_0,\, w \text{ stetig} \} }} die Menge der basierten Wege in {{math|term= X}}. Die Auswertung eines basierten Weges an {{math|term= 1\in I}} liefert die Endpunkt-Abbildung {{math|term= e\colon BX\to X,\, w\mapsto w(1)}} in die unterliegende Menge von {{math|term= X}}. Auf {{math|term= BX}} ist die Äquivalenzrelation [[Topologie/Grundbegriffe/Relative Homotopie/Definition|Homotopie relativ]] {{math|term= \{0,1\} }} definiert. Sei {{math|term= BX\to \tilde{X} }} die kanonische Projektion auf die Quotientenmenge. Ein Element in {{math|term= \tilde{X} }} ist also eine relative Homotopieklasse von basierten Wegen in {{math|term= X}}. Sind {{math|term= v,w\in [w]\in \tilde{X} }}, so ist {{math|term= v(1)=w(1) }}, da ja die Homotopien den Endpunkt festhalten. Somit definiert die Endpunkt-Abbildung {{math|term= e}} eine Abbildung {{mathdisplay|term= q\colon \tilde{X}\to X,\ \ \ [w]\mapsto w(1) |SZ=. }} Dies wird die universelle Überlagerung sein. Um dies zu zeigen, wird {{math|term= \tilde{X} }} zunächst mit einer Topologie versehen. Sei nun {{math|term= X}} semi-lokal einfach-zusammenhängend, also insbesondere lokal wegzusammenhängend. Ist {{math|term= [w]\in \tilde{X} }}, so besitzt {{math|term= x\colon = q([w]) = w(1) }} eine Spezialumgebung {{math|term= x\in U\subseteq X}}, die nach [[Topologie/Überlagerungen/Spezialumgebung/Fakt|obigem Lemma]] offen gewählt werden kann (was wir jetzt auch tun). Sei nun {{mathdisplay|term= M([w],U) \colon = \bigl\lbrace [v]\in \tilde{X} \colon \exists u\colon I \to U \text{ stetig mit } u(0)=x,\, [v] = [w{\scriptscriptstyle{\Box} } u] \bigr\rbrace |SZ= }} die Menge der relativen Homotopieklassen der basierten Wege, die sich darstellen lassen als Weg {{math|term= w}} gefolgt von einem Weg {{math|term= u}}, der ganz in {{math|term= U}} verläuft. Wir definieren nun: Eine Teilmenge {{math|term= V\subseteq \tilde{X} }} ist {{Stichwort|term= offen}}, wenn zu jedem {{math|term= [w]\in V }} eine offene Spezialumgebung {{math|term= w(1)\in U\subseteq X}} existiert, so dass {{math|term= M([w],U)\subseteq V }} gilt. Offensichtlich sind {{math|term= \emptyset}} und {{math|term= \tilde{X} }} offen. Sind {{math|term= V_1,V_2\subseteq \tilde{X} }} offen, so ist auch {{math|term= V_1\cap V_2}} offen. Denn zu {{math|term= [w]\in V_1\cap V_2}} gibt es offene Spezialumgebungen {{mathdisplay|term= w(1)\in U_1\subseteq X,\, w(1)\in U_2\subseteq X \text{ mit } M([w],U_1)\subseteq V_1,\, M([w],U_2)\subseteq V_2 |SZ=.}} Sei {{math|term= U\subseteq X}} die Wegzusammenhangskomponente der offenen Menge {{math|term= U_1\cap U_2}}, die {{math|term= w(1) }} enthält. Weil {{math|term= X}} lokal wegzusammenhängend ist, ist {{math|term= U}} offen in {{math|term= X}} nach [[Topologie/Grundbegriffe/Lokaler Wegzusammenhang/Fakt|dieser Aussage]]. Also ist {{math|term= U}} eine offene Spezialumgebung von {{math|term= w(1)}}, denn der induzierte Gruppenhomomorphismus {{math|term= \pi_1(U,w(1)) \to \pi_1(X,w(1)) }} faktorisiert als {{mathdisplay|term= \pi_1(U,w(1)) \to \pi_1(U_1\cap U_2,w(1)) \to \pi_1(U_1,w(1)) \to \pi_1(X,w(1)) |SZ= }} und ist somit trivial. Des weiteren gilt offensichtlich {{mathdisplay|term= M([w],U)\subseteq M([w],U_1)\cap M([w],U_2) \subseteq V_1\cap V_2 |SZ=, }} was die Offenheit von {{math|term= V_1\cap V_2}} liefert. Dass eine Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist, ist offensichtlich. Somit ist {{math|term= \tilde{X} }} ein topologischer Raum. Um zu zeigen, dass {{math|term= q\colon \tilde{X}\to X }} eine Überlagerung ist, sei wieder {{math|term= x\in U\subseteq X}} eine offene Spezialumgebung. Es ist {{mathdisplay|term= q^{-1}(U) = \{[v] \colon \, v\colon I\to X,\, v(0)=x_0,\, v(1)\in U\} = \bigcup_{[w]\in q^{-1}(x)} M([w],U) |SZ=.}} Denn zu {{math|term= [v]\in q^{-1}(U)}} gibt es genau eine relative Homotopieklasse {{math|term= [u(v)]}} eines Weges von {{math|term= v(1)}} nach {{math|term= x}} mit Bild in {{math|term= U}}. Somit liegt {{math|term= [v]}} genau in der durch {{math|term= [w]=[v{\scriptscriptstyle{\Box} } u(v)]}} indizierten Menge {{math|term= M([w],U)}}. Daraus folgert man zwei Sachen. Zum einen ist {{math|term= q^{-1}(U)}} als Vereinigung offener Mengen wieder offen, was die Stetigkeit von {{math|term= q}} liefert. Denn eine beliebige Umgebung eines Punktes enthält immer auch eine offene Spezialumgebung. Zum anderen ist die Vereinigung {{mathdisplay|term= \bigcup_{[w]\in q^{-1}(x)} M([w],U) |SZ=}} disjunkt, wegen der oben erwähnten Eindeutigkeit. Sei nun {{math|term= \phi\colon M([w],U) \to U}} die Einschränkung von {{math|term= q}} und {{math|term= y\in U}}, dann gibt es genau eine relative Homotopieklasse {{math|term= [u(y)]}} eines Weges von {{math|term= x}} nach {{math|term= y}} mit Bild in {{math|term= U}}. Dies liefert eine Umkehrabbildung {{mathdisplay|term= \psi\colon U\to M([w],U),\, y \mapsto \psi(y)=[w{\scriptscriptstyle{\Box} }u(y)].}} Um die Stetigkeit von {{math|term= \psi}} zu zeigen, reicht es, eine Menge der Form {{math|term= M([v],V)\subseteq M([w],U)}} zu betrachten, wobei {{math|term= [v]\in M([w],U)}} und {{math|term= v(1)\in V\subseteq U}} eine offene Spezialumgebung ist. Dann ist {{mathdisplay|term= \psi^{-1}\bigl(M([v],V)\bigr) = \phi\bigl(M([v],V)\bigr) = V\subseteq U}} offen in {{math|term= U}}. Somit ist {{math|term= \phi\colon M([w],U)\to U}} eine topologische Äquivalenz. Anders ausgedrückt ist {{math|term= q^{-1}(U)}} topologisch äquivalent zu dem Produkt {{math|term= q^{-1}(x)\times U}}, was zeigt, dass {{math|term= q\colon \tilde{X}\to X}} eine Überlagerung ist. Es bleibt zu zeigen, dass {{math|term= \tilde{X} }} wegzusammenhängend und einfach-zusammenhängend ist. Sei {{math|term= [x_0]\in \tilde{X} }} die Homotopieklasse des konstanten Weges an {{math|term= x_0}} und {{math|term= [w]\in \tilde{X} }}. Sei {{math|term= w\colon I\to X}} ein Repräsentant von {{math|term= [x]}} und für alle {{math|term= t\in I}} der Weg {{mathdisplay|term= w_t\colon I\to X,\, s\mapsto w_t(s)=w(s\cdot t) |SZ=}} gegeben. Dann ist {{mathdisplay|term= W\colon I\to \tilde{X},\,t\mapsto [w_t] }} eine Abbildung mit {{math|term= W(0) = [w_0] =[x_0]}} und {{math|term= W(1)=[w_1]=[w]}}. Sie ist stetig. Denn gegeben eine offene Spezialumgebung {{math|term= w(t)\in U\subseteq X}}, so gibt es aufgrund der Stetigkeit von {{math|term= w}} ein {{math|term= \delta>0}} mit {{mathdisplay|term= w\bigl(U_I(t,\delta)\bigr)\subseteq U}}. Insbesondere ist für jedes {{math|term= s\in U_I(t,\delta)}} also {{math|term= [w_s] \in M(w(t),U)}}, denn {{mathdisplay|term= [w_s] = [w] {\scriptscriptstyle{\Box} } [u_s],\,u_s\colon I\to U,\, x\mapsto w\bigl(s+x(t-s)\bigr) |SZ=.}} Demnach ist {{math|term= W}} ein Weg von {{math|term= [x_0]}} nach {{math|term= [w]}}, und {{math|term= \tilde{X} }} ist wegzusammenhängend. Der einfache Zusammenhang folgt, sobald {{math|term= \pi_1(\tilde{X},[x_0]) }} trivial ist. Sei also {{math|term= v\colon I\to \tilde{X} }} eine Schleife an {{math|term= [x_0]}} und {{math|term= q\circ v\colon I\to X}} die induzierte Schleife an {{math|term= x_0\in X}}. Nun ist {{math|term= q\colon \tilde{X}\to X}} eine Überlagerung, also ist {{math|term= v}} nach [[Topologie/Theorie der Überlagerungen/Injektiv auf der Fundamentalgruppe/Fakt|diesem Satz]] bereits nullhomotop, wenn {{math|term= q\circ v}} es ist. Sei nun {{math|term= w\colon I\to \tilde{X},\, t\mapsto [(q\circ v)_t]}} in obiger Notation, also {{math|term= (q\circ v)_t(s)=(q\circ v)(s\cdot t)}}. Dies ist ein Weg von {{math|term= [x_0]}} zu {{math|term= [(q\circ v)_1] = [q\circ v]}} mit der Eigenschaft, dass {{math|term= q\circ w = q\circ v}} gilt. Die Eindeutigkeit aus dem [[Topologie/Überlagerungen/Homotopie-Liftung/Fakt|Homotopie-Liftungssatz]] liefert nun {{math|term= w=v}}, also insbesondere {{mathdisplay|term= [q\circ v]=w(1)=v(1) = [x_0] |SZ=,}} was den Beweis beendet. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qxzllm3uob9kffc0rotstaajnlta7xt 0 21228 785443 766747 2022-08-22T08:40:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}}|SZ=}} der {{ Definitionslink |projektive Raum| |Definitionsseitenname= Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition |SZ= }} über {{math|term= K |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Konstanten die einzigen globalen {{ Definitionslink |algebraischen Funktionen| |Definitionsseitenname= Projektive Varietät/Als abgeschlossene Teilmenge/Algebraische Funktion/Definition |SZ= }} sind, d.h. es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte| {{op:Projektiver Raum|n|K}} | {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|K}}|}} }} || K || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Funktionen auf Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8qk0k1eab1ryvgvd2a1t8km1t6uj8g6 0 21229 785803 514294 2022-08-22T09:40:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= X|SZ=}} eine irreduzible {{ Definitionslink |quasiprojekive Varietät| |Definitionsseitenname= Varietäten/K/Quasiprojektive Varietät/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} mit Funktionenkörper {{mathl|term= L=K(X)|SZ=.}} Es seien {{math|term= U|SZ=}} und {{mathbed|term=U_i|bedterm1=i \in I|SZ=,}} offene Teilmengen mit {{mathl|term= U=\bigcup_{i \in I} U_i|SZ=.}} Zeige, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnittring|U}} || \bigcap_{i \in I} {{op:Schnittring|U_i}} || || || |SZ= }} ist, wobei der Durchschnitt in {{math|term= L|SZ=}} genommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quasiprojektiven Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 78eveephvvaoigek9hbs7ywmgddj3r4 0 21232 785445 758723 2022-08-22T08:41:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein unendlicher {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}} |SZ=}} der projektive Raum. Charakterisiere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Ideale| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{ideala|}}|SZ=,}} für die {{ Ma:Vergleichskette | D_+({{ideala|}}) || \emptyset || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Leer |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qv1scevzyg730o0fxtfvi2jcqbldb0v 0 21233 785446 514267 2022-08-22T08:41:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}}|SZ=}} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Definitionsseitenname= Affine Varietäten/Affin-algebraische Mengen/Irreduzibel/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Irreduzibel |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qtrzp17grgy36ius1v11udeznswzs3n 0 21266 785455 514274 2022-08-22T08:42:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= D_+({{{L|L}}}) \cong {{op:Affiner Raum|n|K}} \subset {{op:Projektiver Raum|n|K}}|SZ=,}} wobei {{math|term= {{{L|L}}}|SZ=}} eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring {{mathl|term= K[X_0 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Zariski-Topologie |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8pgknm0e1gcyfy2qhlhsgwux511a5jh 0 21267 785804 758974 2022-08-22T09:40:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= X|SZ=}} und {{math|term= Y|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |quasiprojektive Varietäten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi |X|Y || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= Y= \bigcup_{i \in I} U_i|SZ=}} eine offene Überdeckung. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die Einschränkungen {{mathl|term= \varphi_i : \varphi^{-1} (U_i) \rightarrow U_i|SZ=}} für jedes {{math|term= i|SZ=}} Morphismen sind |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ufui7axc8hnvccohjgou5m3z09daua 0 21275 779051 708548 2022-08-21T15:27:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Standardkegel {{ Ma:Vergleichskette/disp | V(X^2+Y^2-Z^2) |\subset | {{op:Affiner Raum|3|K}} || || || |SZ=. }} Da dies durch eine homogene Gleichung gegeben ist, kann man diesen Kegel auch sofort als eine ebene projektive Kurve {{ Zusatz/Klammer |text=vom Grad zwei| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_+(X^2+Y^2-Z^2) |\subset | {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ= }} auffassen. Die Schnitte des Kegels mit einer beliebigen Ebene {{ Ma:Vergleichskette |E | \subset |{{op:Affiner Raum|3|K}} || || || |SZ= }} nennt man {{ Definitionslink |Kegelschnitte| |Definitionsseitenname= Algebraische Kurven/Kegelschnitt mit Standardkegel/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Diese bekommen nun eine neue Interpretation. Eine Ebene {{math|term= E|SZ=,}} auf der nicht der Nullpunkt liegt, kann man in natürlicher Weise identifizieren mit einer offenen affinen Ebene {{ Ma:Vergleichskette | D_+(L) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= L|SZ=}} eine homogene Linearform ist, die den Untervektorraum zu {{math|term= E|SZ=}} beschreibt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Schnitte mit dem Kegel sind dann verschiedene affine Ausschnitte aus der ebenen projektiven Kurve {{mathl|term= V_+(X^2+Y^2-Z^2)|SZ=.}} Insbesondere sind also Kreis, Hyperbel und Parabel solche affinen Ausschnitte. Die Schnitte mit einer Ebenen durch den Nullpunkt sind hingegen projektiv verstanden die endlichen Teilmengen {{mathl|term= V_+(X^2+Y^2-Z^2) \cap V_+(L)|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kegelschnitte |Kategorie2=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektiv |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 171grhjjgjivh1z7yld1pjok6jye7t4 0 21281 779961 772545 2022-08-21T17:49:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= A_{4g} }} ein reguläres {{math|term= 4g}}-Eck. Identifiziere die erste mit der dritten, die zweite mit der vierten, die fünfte mit der siebten Kante und so weiter, wobei der Endpunkt der ersten mit dem Anfangspunkt der dritten usw. verklebt wird. Das Resultat {{math|term= F_g}} ist die {{Stichwort|orientierbare Fläche vom Geschlecht}} {{math|term= g}}. Das Resultat im Falle {{math|term= 1\leq g\leq 3}} sieht so aus: <gallery widths="150px" heights="150px" perrow="6"> Image:Torus illustration.png|Geschlecht 1 Image:Double torus illustration.png|Geschlecht 2 Image:Triple torus illustration.png|Geschlecht 3 </gallery> Die Fundamentalgruppe bestimmt man mit Hilfe des [[Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Fakt|Satzes von Seifert-van Kampen]] wie schon beim [[Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Torus/Beispiel|Torus]]. Sei {{math|term= U = F_g\smallsetminus \{x\} }} und {{math|term= V}} eine kleine offene Kugel um {{math|term= x\in F_g}}. Dann ist {{math|term= U}} homotopieäquivalent zu {{math|term= \bigvee_{1\leq i\leq 2g} S^1}}, also wegzusammenhängend, und {{math|term= V}} ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Der Schnitt {{math|term= U\cap V}} ist homotopieäquivalent zu {{math|term= S^1}}, also wieder wegzusammenhängend. Der kanonische Gruppenhomomorphismus {{mathdisplay|term= \Phi\colon \pi_1(U)\star \pi_1(V) \cong \star_{1\leq i\leq 2g} \mathbb{Z} \to \pi_1(F_g) |SZ=}} ist also surjektiv. Seien {{math|term= a_1,b_1,a_2,b_2,\dots,a_g,b_g}} die durch die Kanten gegebenen Erzeuger von {{math|term= \pi_1(U) }}. Der Kern von {{math|term= \Phi}} ist der vom Produkt {{mathdisplay|term= a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_2\dots a_g b_ga_g^{-1}b_g^{-1} }} erzeugte Normalteiler. Insbesondere ist {{math|term= \pi_1 (F_g) }} nicht abelsch für {{math|term= g\geq 2}}. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Fundamentalgruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ac2mg4scbuombq4o5u9nb052uztvbvt 0 21282 785422 758707 2022-08-22T08:37:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |ebene projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Ebene |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Gerade |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ksq26238dfrllnf2kzivc9z8ph6bmr 0 21284 778461 460974 2022-08-21T12:06:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Aussage stimmt, wenn {{math|term= C|SZ=}} und {{math|term= D|SZ=}} eine gemeinsame Komponente besitzen. Andernfalls folgt sie aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fcb6q6nny771l0iq2hmsv8rlqte0grm 0 21290 778574 748116 2022-08-21T12:23:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= f\colon I \to X }} eine Schleife an {{math|term= x_0 }}. Dann gibt es eine Unterteilung {{math|term= 0=t_0<t_1<\dots <t_n=1 }} des Intervalls {{math|term= I }} derart, dass {{math|term= f([t_{i-1},t_i]) \subseteq U_{\alpha(i)}= \colon U_i }}. Insbesondere ist {{math|term= f(t_i)\in U_{i}\cap U_{i+1} }}. Verbinde {{math|term= f(t_i) }} mit {{math|term= x_0 }} über einen Weg {{math|term= w_i }}, der ganz in {{math|term= U_i\cap U_{i+1} }} liegt. Dann ist {{math|term= f }} homotop relativ {{math|term= \{0,1\} }} zu der Schleife, die durch Einfügen von {{math|term= w_i{\scriptscriptstyle{\Box} } \overline{w_i} }} an jeder Stelle {{math|term= t_i }} entsteht. Letztere ist im Bild der kanonischen Abbildung {{math|term= \Phi }}. Sei nun {{math|term= a= a_1a_2\dots a_k }} ein Wort im Alphabet {{math|term= \coprod_{\alpha\in A} \pi_1U_\alpha }}, also {{math|term= a_i =[f_i] }}, wobei {{math|term= f_i }} Schleife in {{math|term= U_i }} an {{math|term= x_0 }}. Sei {{math|term= \Phi(a)=1\in \pi_1 X }}, und wähle eine Nullhomotopie {{math|term= F\colon I\times I\to X }}. Wegen der Kompaktheit von {{math|term= I\times I }} existiert eine Zerlegung von {{math|term= I\times I }} in Rechtecke {{math|term= R_{ij} }} derart, dass {{ Aufzählung3 |{{math|term= \forall \, ij\, \exists \, \alpha(ij)\in A \colon F(R_{ij})\subseteq U_{\alpha(ij)} }}, |jeder Punkt aus {{math|term= I\times I }} in höchstens dreien dieser Rechtecke liegt und |die durch die Rechtecke {{math|term= R_{11},R_{21},\dots,R_{m1} }} gegebene Unterteilung von {{math|term= I\times\{0\} }} feiner ist als die Unterteilung, die durch {{math|term= f\colon =f_1{\scriptscriptstyle{\Box} } \dots {\scriptscriptstyle{\Box} } f_k }} gegeben ist. }} Jeder Weg in {{math|term= I\times I }} von einem Punkt {{math|term= (0,t) }} zu einem Punkt {{math|term= (1,t^\prime) }} liefert eine Schleife in {{math|term= X }} an {{math|term= x_0 }}, nach Komposition mit {{math|term= F }}. Sei {{math|term= p(ij) }} der Weg, der die Rechtecke {{math|term= R_{i'j'} }} mit {{math|term= i'j'<ij }} (lexikographische Ordnung) von den übrigen trennt. Um aus jedem Weg {{math|term= p(ij) }} ein Wort im Alphabet {{math|term= \coprod_{\alpha\in A} \pi_1U_\alpha }} zu erhalten, wähle zu jeder Ecke {{math|term= v }} in der Unterteilung von {{math|term= I\times I }} mit {{math|term= F(v)\neq x_0 }} einen Weg {{math|term= w_v }} von {{math|term= F(v) }} zu {{math|term= x_0 }}, der {{ Aufzählung2 | ganz im Schnitt der drei {{math|term= U_\alpha }}'s liegt, die {{math|term= F(v) }} enthalten, sofern {{math|term= v }} im Innern von {{math|term= I\times I }} liegt, oder, | falls {{math|term= v\in I\times \{0\} }}, im Schnitt der zwei {{math|term= U_\alpha }}'s, die {{math|term= F(v) }} enthalten, mit dem {{math|term= U_\alpha }}, welches {{math|term= f_i(v) }} enthält, liegt. }} Einfügen von {{math|term= {w_v}{\scriptscriptstyle{\Box} } \overline{w_v} }} an der Stelle {{math|term= v }} liefert einen zu dem Weg {{math|term= F\circ p(ij) }} homotopen Weg. Diesen Weg kann man auf verschiedene Arten als Wort im Alphabet {{math|term= \coprod_{\alpha\in A} \pi_1U_\alpha }} interpretieren. Die Variation besteht darin, ein Teilstück, welches ja nach Konstruktion nach {{math|term= U_\alpha\cap U_\beta }} abgebildet wird, einmal als Weg in {{math|term= U_\alpha }} oder als Weg in {{math|term= U_\beta }} aufzufassen. Der durch {{math|term= p(ij) }} bestimmte Weg ist homotop zu seinem Nachfolger, wobei die Homotopie gerade in {{math|term= U_{\alpha(ij)} }} liegt - sie ist durch das Rechteck {{math|term= R_{ij} }} gegeben. Es folgt, dass der vorgegebene Weg im beschriebenen Normalteiler liegt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3gnfbvbcnvwx7p3wsn7scjrerurmxv5 0 21294 781627 543782 2022-08-21T22:26:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme für die ebene algebraische Kurve {{ math/disp|term= V {{makl| X^3+Y^2-XY+X |}} |SZ= }} eine nichtkonstante Potenzreihenlösung {{math|term= X=F(Y)|SZ=}} im Nullpunkt bis zum sechsten Glied. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 27i4fmo3sy9q910jywoinsuugopbwqg 0 21299 785105 758474 2022-08-22T07:48:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= R=K[X,Y]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in zwei Variablen, {{math|term= S \subseteq R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= F \in R|SZ=}} ein Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass es eine eindeutige {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebraisomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | (R/(F))_S |\cong| (R_S)/(F) || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ideal |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gjm5qps82pbcmxc9zxmuuli46j1v259 0 21300 782812 756578 2022-08-22T01:44:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |integre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{math|term= f,g \in R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung2 |{{math|term= D(f) \subseteq D(g)|SZ=}} |Es gibt einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_g \to R_f|SZ=.}} }} Zeige{{n Sie}} ferner, dass diese Äquivalenz für {{math|term= K=\R|SZ=}} nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Nullstellensatz (geometrische Versionen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2dwqk49j8i6ago72rex5f33sdkkkpep 0 21301 781351 619412 2022-08-21T21:40:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper. Bestimme{{n Sie}} den globalen Schnittring {{ math/disp|term= {{op:Schnitte|{{op:Projektive Gerade|K}}| {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|K}}|}} }} |SZ=. }} Was folgt daraus für einen Morphismus {{ Ma:abb |name= | {{op:Projektive Gerade|K}} | {{op:Affine Gerade|K}} || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die projektive Gerade |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} drwlx1g8b3rzlmdajy1yvqk0439opn2 0 21302 781646 755584 2022-08-21T22:29:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K= {{op:Zmod|5|}}|SZ=}} und betrachte{{n Sie}} die beiden affinen ebenen algebraischen Kurven {{ math/disp|term= C=V {{makl| X^2+Y^2-1 |}} \text{ und } D=V {{makl| X^3-2Y^2+3 |}} |SZ=. }} Bestimme den Durchschnitt {{math|term= C \cap D|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} ferner die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven {{ Zusatz/Klammer |text=also die zusätzlichen Punkte auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \bar{C}|SZ=}} bzw. {{math|term= \bar{D}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn man {{math|term= K|SZ=}} durch einen {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K \subset L|SZ=}} ersetzt, wie viele Punkte besitzt dann der Durchschnitt {{math|term= \bar{C} \cap \bar{D}|SZ=}} und wie viele davon liegen auf der unendlich fernen Geraden? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 107sw0y8lrfp3y8665cbtz0iik8rcd9 0 21306 782718 756495 2022-08-22T01:28:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man beschreibe einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass die induzierte {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath=K |Spektren| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Addition auf {{math|term= K|SZ=}} beschreibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Addition |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qvdgmmcvcsrshu4b7g388ot2aibmr7c 0 21309 784432 758030 2022-08-22T06:10:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Geldfälscher stellt {{math|term= 7|SZ=-,}} {{math|term= 11|SZ=-,}} {{math|term= 13|SZ=-}} und {{math|term= 37|SZ=-}}Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplizität| |Kontext=numerisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Einbettungsdimension| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des zugehörigen numerischen Monoids. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k9kmpk4m5p03potf25sf2kbuk28atg8 0 21311 783081 528525 2022-08-22T02:29:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes {{ Ma:Vergleichskette/disp |C || V(X^3+Y^3-3XY) || || || |SZ= }} mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht {{math|term= 3|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Kartesische Blatt |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k7i3cmt5vg51stf3rtc41o1vdo7he0x 0 21312 781674 755604 2022-08-21T22:34:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K={{CC}}|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} für die beiden affinen Kurven {{ math/disp|term= V {{makl| Y-X^3 |}} \text{ und } V {{makl| Y^2-X^3 |}} |SZ= }} ihre Schnittpunkte zusammen mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Schnittmultiplizitäten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} auch Schnittpunkte im {{math|term= {{op:Projektive Ebene|{{CC}}}}|SZ=}} und bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Bezout|Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in diesem Beispiel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Bezout (ebene Kurven) |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen projektiven Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fpf9amfwrabu6ae0o4taizm86svboro 0 21321 779959 251619 2022-08-21T17:49:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= S^1\vee S^1 }} die [[Topologie/Grundbegriffe/Einpunkt-Vereinigung|Einpunkt-Vereinigung]] von zwei Kopien der {{math|term= S^1}}, punktiert an {{math|term= 1\in S^1}}. Sei {{math|term= U = S^1\vee (S^1\smallsetminus \{-1\}),\, V = (S^1\smallsetminus \{-1\})\vee S^1 }}. Dann sind {{math|term= U,V}} homotopieäquivalent zu {{math|term= S^1}}, also wegzusammenhängend. Und {{math|term= U\cap V}} ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Nach dem [[Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Fakt|Satz von Seifert-van Kampen]] ist der kanonische Gruppenhomomorphismus {{mathdisplay|term= \Phi\colon \pi_1(U)\star \pi_1(V) \cong \pi_1(S^1)\star \pi_1(S^1)\cong \mathbb{Z}\star \mathbb{Z} \to \pi_1(S^1\vee S^1) |SZ=}} also surjektiv. Da nur zwei offene Mengen in der Überdeckung auftauchen, ist die Bedingung an dreifache Schnitte automatisch erfüllt, und der Kern von {{math|term= \Phi}} ist nach dem [[Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Fakt|Satz von Seifert-van Kampen]] erzeugt durch Äquivalenzklassen von Wörtern, deren Elemente aus der trivialen Gruppe {{math|term= \pi_1(U\cap V) }} stammen, also selbst trivial. Somit ist {{math|term= \Phi}} auch injektiv, und demnach ein Isomorphismus. Die Fundamentalgruppe von {{math|term= S^1\vee S^1 }} ist somit die überaus reichhaltige freie Gruppe auf zwei Erzeugern. Das Argument läßt sich auf eine Einpunkt-Vereinigung von beliebig vielen wegzusammenhängenden und lokal zusammenziehbaren Räumen anwenden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Fundamentalgruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tk9jflysyi21i0qz2jva3b0nlf21nml 0 21322 779962 772546 2022-08-21T17:49:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= S^1\times S^1 }} der Torus, offen überdeckt durch {{math|term= U = S^1\times S^1\smallsetminus \{1,1\} }} und eine kleine offene Kugel {{math|term= V}} um {{math|term= (1,1)\in S^1\times S^1}}. Dann ist {{math|term= U}} homotopieäquivalent zu {{math|term= S^1\vee S^1}}, also wegzusammenhängend, und {{math|term= V}} ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Der Schnitt {{math|term= U\cap V}} ist homotopieäquivalent zu {{math|term= S^1}}, demnach ist der [[Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Fakt|Satz von Seifert-van Kampen]] anwendbar. Der kanonische Gruppenhomomorphismus {{mathdisplay|term= \Phi\colon \pi_1(U)\star \pi_1(V) \cong \pi_1(S^1\vee S^1)\star \pi_1(\ast)\cong \mathbb{Z}\star \mathbb{Z} \to \pi_1(S^1\times S^1) |SZ=}} ist also surjektiv. Da nur zwei offene Mengen in der Überdeckung auftauchen, ist die Bedingung an dreifache Schnitte automatisch erfüllt, und der Kern von {{math|term= \Phi}} ist nach dem [[Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Fakt|Satz von Seifert-van Kampen]] erzeugt durch Äquivalenzklassen von Wörtern, deren Elemente aus der Gruppe {{math|term= \pi_1(U\cap V) }} stammen. Nun reicht es offensichtlich, ein erzeugendes Element von {{math|term= \pi_1(U\cap V) \cong \pi_1(S^1)\cong \mathbb{Z} }} zu betrachten. Das Bild in {{math|term= \pi_1(V)}} ist natürlich trivial, und das Bild in {{math|term= \pi_1(U)\cong \mathbb{Z}\star \mathbb{Z} }} ist das Produkt {{math|term= aba^{-1}b^{-1} }}, wenn den die Erzeuger {{math|term= a,b\in \pi_1(U) }} passend gewählt sind. Der Kern von {{math|term= \Phi}} ist also gerade der Kommutator, und die Fundamentalgruppe von {{math|term= S^1\times S^1 }} ist isomorph zur {{Stichwort|freien abelschen Gruppe|msw=Freie abelsche Gruppe}} auf zwei Erzeugern. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Fundamentalgruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Torus |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fp0umu5ouirsszwgqwy7gq3zi9widfw 0 21333 785419 619440 2022-08-22T08:36:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{mathl|term= m+1|SZ=}} homogene Polynome {{mathl|term= F_0 {{kommadots|}} F_m|SZ=}} in {{mathl|term= n+1|SZ=}} Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad {{math|term= d|SZ=}} besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge {{mathl|term= U \subseteq {{op:Projektiver Raum|n|K}}|SZ=}} gibt, auf der die Polynome einen Morphismus {{ math/disp|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}} \supseteq U \longrightarrow {{op:Projektiver Raum|m|K}} |SZ= }} definieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Morphismus |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7wp2msfgh8dm1ph2k284ch6wjngyf97 0 21334 785428 514287 2022-08-22T08:38:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere zu jedem {{mathl|term= n \in \Z|SZ=}} das Potenzieren {{mathl|term= x \mapsto x^n|SZ=}} als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die projektive Gerade |Stichwort=Potenz |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g7wv03zf6fvzcplpd5sflejktfyaure 0 21335 785440 758720 2022-08-22T08:40:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P || {{op:Zeilenvektor|a_0 | \ldots | a_n|}} | \in | {{op:Projektiver Raum|n|K}} || || |SZ= }} ein Punkt im {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine offene affine Umgebung {{ Ma:Vergleichskette |U |\cong| {{op:Affiner Raum|n|K}} |\subset| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || || |SZ= }} derart gibt, dass {{math|term= P|SZ=}} in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Affine Umgebung |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gk3saum8q89cooogwnr5nphx98ls1e7 0 21340 781672 524223 2022-08-21T22:34:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und seien {{math|term= F,G \in K[X,Y]|SZ=}} zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Teiler. Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt {{math|term= V(F) \cap V(G) |SZ=}} nur endlich viele Punkte besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Schnitttheorie von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4v395nz854bwz86morfwc1ii974gzo1 0 21341 784674 758175 2022-08-22T06:43:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normaler Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathbed|term=f \in R|bedterm1=f \neq 0|SZ=.}} Zeige, dass die Nenneraufnahme {{math|term= R_f|SZ=}} ebenfalls normal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2=Theorie der normalen Integritätsbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Normal |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} azg09yk0loolhc4ycz4ow9gdp3ymcry 0 21374 785430 632381 2022-08-22T08:38:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= C \subset {{op:Projektive Ebene|K}}|SZ=}} eine glatte Quadrik {{ Zusatz/Klammer |text=also eine Kurve vom Grad zwei| |SZ= }} über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Zeige, dass es eine Isomorphie der Kurve mit der projektiven Geraden {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K}}|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die projektive Gerade |Stichwort=Quadrik |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bweijtlt7n62y46yo6ven59m1452u77 0 21375 785420 758703 2022-08-22T08:36:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |C |\subset|{{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |glatte Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{ Ma:Vergleichskette |d |\geq|2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |C|{{op:Projektive Gerade|K}} || |SZ= }} derart gibt, dass jede Faser aus maximal {{mathl|term= d-1|SZ=}} Punkten besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von einer glatten projektiven Kurve in die projektive Gerade |Kategorie2=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fvtj88ypq1v9c0frjmggo1gcm21l0r0 0 21378 781264 617634 2022-08-21T21:26:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= C \subset {{op:Projektive Ebene|{{CC}}}}|SZ=}} der komplex-projektive Abschluss des Einheitskreises. Bestimme eine explizite bijektive Parametrisierung {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|{{CC}}}} \rightarrow C|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Objektkategorie2=Die projektive Gerade |Stichwort=Einheitskreis |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} llvcy9it78zds1fbexx5nay295n5knu 0 21379 781688 772562 2022-08-21T22:36:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= C=V_+ {{makl| X^3+Y^3+Z^3 |}} \subset {{op:Projektive Ebene|K}}|SZ=}} die {{Stichwort|Fermat-Kubik|SZ=}} über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik {{math|term= \neq 3|SZ=.}} Beschreibe explizit einen Morphismus {{mathl|term= C \rightarrow {{op:Projektive Gerade|K}}|SZ=,}} bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von einer glatten projektiven Kurve in die projektive Gerade |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Fermat-Kubik |Stichwort=Fermat |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dck9ayphbaxo2mgan7k8vz3izbfydx5 0 21388 786440 514302 2022-08-22T11:25:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass in den in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Satz von Bezout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} berechneten Schnittpunkten {{mathl|term= \neq (0,0)|SZ=}} der beiden Kurven ein {{ Definitionslink |transversaler Schnitt| |Definitionsseitenname= Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Transversaler Schnitt/Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Bezout (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Transversal |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 86ik1qqolca3fsb22n93jl8p51ho3rr 0 21389 786437 759504 2022-08-22T11:25:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Bezout|Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |ebenen projektiven Kurven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= C=V_+ {{makl| ZY^2-X^3 |}} |SZ=}} und {{mathl|term= D=V_+ {{makl| X^2+(Y-Z)^2-Z^2 |}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Bezout (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort=Kreis |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g65bi0icjduyezrv2yk95clajycjaj3 0 21435 779960 251534 2022-08-21T17:49:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auch nichtorientierbare Flächen lassen sich mit [[Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Fakt|Satz von Seifert-van Kampen]] verarzten. Sei etwa {{math|term= \mathbb{RP}^2}} gegeben als Quotientenraum von {{math|term= I\times I}} gemäß folgenden Identifikationen: <gallery> Image:ProjectivePlaneAsSquare.svg </gallery> Die Fundamentalgruppe ist - wie wir schon wissen - die Gruppe erzeugt von der Schleife {{math|term= BA}} mit der Relation {{math|term= (BA)^2=1 }}. Die [[[w:en:Klein_bottle|Klein'sche Flasche]]] ist Quotientenraum von {{math|term= I\times I}} gemäß folgenden Identifikationen: <gallery> Image:KleinBottleAsSquare.svg </gallery> Die Fundamentalgruppe der Klein'schen Flasche ist die Gruppe erzeugt von den Schleifen {{math|term= A,B}} mit der Relation {{math|term= ABAB^{-1}=1 }}. Jede andere nichtorientierbare Fläche erhält man aus der reell projektiven Ebene bzw. der Klein'schen Flasche, indem man Henkel anklebt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Fundamentalgruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5jiyuzjdl1odovswhahr7saeoq98hc 0 21458 779965 732985 2022-08-21T17:50:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p\colon S^n\to \mathbb{RP}^n}} die kanonische Überlagerung und {{math|term= n\geq 2}}. Dann ist {{math|term= S^n}} einfach-zusammenhängend nach [[Topologie/Fundamentalgruppe/Einfacher Zusammenhang/Beispiel|diesem Beispiel]]. Da {{math|term= \mathbb{RP}^n}} semi-lokal einfach-zusammenhängend und zusammenhängend ist, ist die Decktransformationengruppe von {{math|term= p\colon S^n \to \mathbb{RP}^n }} isomorph zur Fundamentalgruppe von {{math|term= \mathbb{RP}^n}}. Man sieht relativ leicht, dass es genau zwei Decktransformationen gibt: die Identität und die Abbildung {{math|term= x\mapsto -x}}. Also ist die Fundamentalgruppe von {{math|term= \mathbb{RP}^n}} die Gruppe mit zwei Elementen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Überlagerungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mvekdg34exg27zy8zy3dzyb0syaefh4 0 21460 778578 748117 2022-08-21T12:24:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= U\subseteq X}} eine offene Menge aus einer Spezialüberdeckung. Dann gibt es eine topologische Äquivalenz {{math|term= q\colon q^{-1}(U)\cong U\times \pi_1(X,x_0) }}. Die Gruppe {{math|term= \pi_1(X,x_0)}} operiert auf {{math|term= q^{-1}(U)}} durch Decktransformationen und auf {{math|term= U\times \pi_1(X,x_0)}} durch Multiplikation auf dem zweiten Faktor. Die topologische Äquivalenz {{math|term= \phi}} ist kompatibel mit diesen Operationen, also eine topologische Äquivalenz von {{math|term= \pi_1(X,x_0)}}-Räumen. Es folgt, dass {{mathdisplay|term= p^{-1}(U) = r\bigl(q^{-1}(U)\bigr) \cong U\times \pi_1(X,x_0)/H |SZ=,}} was im Wesentlichen zeigt, dass {{math|term= p}} eine Überlagerung von {{math|term= X}} ist. Die zweite Aussage folgt aus [[Topologie/Überlagerungen/Operation auf der Faser/Fakt|obigem Satz]]. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 66npo99k3ysr9vtbf1w4j4xzawhv9xo 0 21566 781636 577668 2022-08-21T22:28:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} der ebenen algebraischen Kurve {{ Ma:Vergleichskette/disp |C || V {{makl| Y^4+X^3+3XY^2+2X^2Y |}} |\subseteq| {{op:Affine Ebene|{{CC}}}} || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplizität von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3s7tjpnkojtmsgz2ga9dbjulv8lxi7h 0 21572 785427 526727 2022-08-22T08:38:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper. Zeige{{n Sie}}, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K}}|SZ=}} isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die projektive Gerade |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1btokb6fdavzl8fsfyldzol4nrd611t 0 21575 782935 756678 2022-08-22T02:04:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{math|term= R|SZ=}} und {{math|term= S|SZ=}} integre, endlich erzeugte {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |R|S || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{idealn|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= S|SZ=}} mit {{math|term= \varphi^{-1}( {{idealn|}}) = {{idealm|}}|SZ=.}} Die Abbildung induziere einen {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_{{idealm|}} \rightarrow S_{{idealn|}}|SZ=.}} Zeige, dass es dann auch ein {{math|term= f \in R|SZ=,}} {{math|term= f \not \in {{idealm}}|SZ=,}} gibt derart, dass {{math|term= R_f \rightarrow S_{\varphi (f)}|SZ=}} ein Isomorphismus ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Isomorphismus |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4trnqtscofsucwz35h9z438dhfvtpyi 0 21578 781666 755599 2022-08-21T22:33:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} die durch {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Affine Gerade|K}} | {{op:Affine Ebene|K}} |t| (t+t^2,t^3) {{=|}} (x,y) |SZ=, }} definierte Parametrisierung. Bestimme{{n Sie}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=nichttriviale| |ISZ=|ESZ= }} algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist. Man gebe auch einen Punkt in der affinen Ebene an, der nicht auf der Bildkurve liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qm8gnm2yh16peidk2hlnk9i6xl7qrqv 0 21580 781626 526730 2022-08-21T22:26:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die ebene algebraische Kurve {{ math/disp|term= V(X^2Y+X^2+Y^2-5XY+Y) |SZ= }} eine nicht-konstante Potenzreihenlösung {{math|term= Y=F(X)|SZ=}} im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tjmkz7ox1ezvxgy5cfbz7l6dwb105ca 0 21583 783058 526732 2022-08-22T02:25:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper, {{math|term= R|SZ=}} eine endlich erzeugte {{math|term= K|SZ=-}}Algebra, sei {{math|term= {{ ideala|}} \subseteq R |SZ=}} ein Ideal und sei {{math|term= X={{op:KSpek|R}}|SZ=.}} In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen {{ math/disp|term= V( {{ideala|}}) = \emptyset \text{ und } {{ideala|}} \text{ ist das Einheitsideal} |SZ= }} und die beiden Aussagen {{ math/disp|term= V( {{ideala|}}) = X \text{ und } {{ideala|}} \text{ ist nilpotent} |SZ= }} zueinander. Zeige{{n Sie}}, dass die Antwort davon abhängt, ob {{math|term= K|SZ=}} algebraisch abgeschlossen ist oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kcr40ghabrieh2muir4jd4ilm607bjt 0 21585 781795 577671 2022-08-21T22:54:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten {{math|term= {{CC}}|SZ=-}}Algebra {{math|term= R|SZ=}} und eines multiplikativen Systems {{mathbed|term=S \subseteq R|bedterm1=0 \not\in S|SZ=,}} an derart, dass die Nenneraufnahme {{math|term= R_S|SZ=}} kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus {{math|term= R|SZ=}} zum Einheitsideal in {{math|term= R_S|SZ=}} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oq7ehmtjag626pnqeuul2ru7aez6v1w 0 21587 781796 770142 2022-08-21T22:54:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{math|term= R|SZ=}} eine integre, endlich erzeugte {{math|term= K|SZ=-}}Algebra mit Quotientenkörper {{mathl|term= Q(R)|SZ=.}} Sei {{math|term= q \in Q(R)|SZ=.}} Zeige, dass die Menge {{ math/disp|term= {{Mengebed| P \in {{op:KSpek|R}}| q \in {{op:Strukturgarbe}}_P}} |SZ= }} offen in {{math|term= {{op:KSpek|R}}|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=dabei bezeichnet {{math|term= {{op:Strukturgarbe}}_P|SZ=}} den lokalen Ring im Punkt {{math|term= P}}| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74vpprtz78wi0xadgolorfeqhlidtqs 0 21589 783056 526735 2022-08-22T02:25:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{math|term= R=K[X_1{{kommadots|}} X_n]/ {{ideala|}}|SZ=}} eine endlich erzeugte {{math|term= K|SZ=-}}Algebra. Stifte eine Bijektion zwischen {{ math/disp|term= {{op:KSpek|R}} \text{ und } V({{ideala|}}) \subseteq {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Abgeschlossen |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 25ylnk4g9b6932ir2olar4zikc0p4gv 0 21590 781669 755602 2022-08-21T22:33:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} die affine ebene Kurve {{ Ma:Vergleichskette/disp |C || V {{makl| Y-X^3+X+2 |}} || || || |SZ=. }} Definiere einen Isomorphismus zwischen {{math|term= C|SZ=}} und der affinen Geraden {{math|term= {{op:Affine Gerade|K|}}|SZ=.}} Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K}}|SZ=}} und dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \bar{C} \subset {{op:Projektive Ebene|K}}|SZ=}} fortsetzen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bbo1sam0x78qjuxoqyfgvg9kwpmaxrs 0 21593 784724 758201 2022-08-22T06:51:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme für das numerische Monoid {{math|term= M \subseteq \N|SZ=,}} das durch {{math|term= 4,7}} und {{math|term= 17}} erzeugt wird, die {{ Definitionslink |Prämath= |Einbettungsdimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplizität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Führungszahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Führungszahl/Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Singularitätsgrad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2wxfi1ktv4shjdx33vyavz9ae7mp0ik 0 21595 781673 632384 2022-08-21T22:34:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K={{CC}}|SZ=}} und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven {{ math/disp|term= C=V {{makl| X-Y^2 |}} \text{ und } D=V {{makl| Y^2-X^5 |}} |SZ=. }} Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven {{ Zusatz/Klammer |text=also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen {{math|term= \bar{C}|SZ=}} und {{math|term= \bar{D}|SZ=}}| |SZ= }} und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bezout in diesem Beispiel erfüllt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen projektiven Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r2vncbu8ppvgu5vtie3zjso1oqll471 0 21597 785793 526738 2022-08-22T09:38:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= F=(0,0)|SZ=}} der Nullpunkt in der reellen Ebene und {{math|term= G=V(X-1)|SZ=.}} Es sei {{math|term= e >0|SZ=}} eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte {{math|term= P=(x,y)|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass der Abstand {{math|term= d(P,F)|SZ=}} proportional mit Proportionalitätsfaktor {{math|term= \sqrt{e} |SZ=}} zum (senkrechten) Abstand {{math|term= d(P,G)|SZ=}} ist. Zeigen Sie, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei {{math|term= e<1|SZ=}} eine Ellipse, bei {{math|term= e=1|SZ=}} eine Parabel und bei {{math|term= e>1|SZ=}} eine Hyperbel vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Exzentrizität |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56qx3roh80enade4okfbr3b4nanhla1 0 21624 785050 744440 2022-08-22T07:39:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | I || [0,1 ] || || || |SZ= }} und seien {{ Ma:abb |name= \gamma_1 , \gamma_2 |I| X || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Wege| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einen {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} mit der Eigenschaft, dass {{ Ma:Vergleichskette | \gamma_1 (0) || \gamma_2 (0) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \gamma_1 (1) || \gamma_2 (1) || || || |SZ= }} gilt. Eine {{Definitionswort|Homotopie relativ|msw=Relative Homotopie}} zu {{math|term= \{0,1\} }} von {{math|term= \gamma_1}} nach {{math|term= \gamma_1}} ist eine stetige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=H | I\times I | X || |SZ=, }} die die folgenden Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung4 |{{ Ma:Vergleichskette | H(s,0) || \gamma_1(s) || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | s |\in| I || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | H(s,1) || \gamma_2 (s) || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | s |\in| I || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | H(0,t) || \gamma_1(0) || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | t |\in| I || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | H(1,t) || \gamma_1(1) || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | t |\in| I || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Homotopietheorie für stetige Wege |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Homotopie relativ |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l9d5r6gjjk3efo4qlbhv7uj0am6l7q3 0 21665 778577 747893 2022-08-21T12:24:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= \{U_\alpha\subseteq X_1\}_{\alpha\in A} }} eine Elementar-Überdeckung für {{math|term= p_1}}, mit topologischen Äquivalenzen {{mathdisplay|term= \phi_\alpha\colon p_1^{-1}(U_\alpha)\xrightarrow{\cong} U_\alpha\times F_\alpha |SZ=,}} und analog {{math|term= \{V_\beta\subseteq X_2\}_{\beta\in B} }} eine Elementar-Überdeckung für {{math|term= p_2}}, mit topologischen Äquivalenzen {{mathdisplay|term= \psi_\beta\colon p_2^{-1}(V_\beta)\xrightarrow{\cong} V_\beta\times G_\beta |SZ=.}} Dann ist {{mathdisplay|term= \{U_\alpha\subseteq X_1\subseteq X_1\coprod X_2\} \cup \{V_\beta\subseteq X_2\subseteq X_1\coprod X_2\}_{\beta\in B} }} eine Elementar-Überdeckung für {{math|term= p_1 \coprod p_2}}, denn die Abbildungen {{mathdisplay|term= \phi_\alpha\colon (p_1\coprod p_2)^{-1}(U_\alpha) = p_1^{-1}(U_\alpha) \xrightarrow{\cong} U_\alpha\times F_\alpha \quad \psi_\beta\colon (p_1\coprod p_2)^{-1}(V_\beta) = p_2^{-1}(V_\beta)\to^\cong V_\beta\times G_\beta|SZ=}} sind nach wie vor topologische Äquivalenzen. Also ist {{math|term= p_1\coprod p_2}} eine Überlagerung. Sei nun {{math|term= X_1= X_2 =X}}. Die offene Überdeckung {{mathdisplay|term= \{U_\alpha\cap V_\beta\subseteq X\}_{(\alpha,\beta)\in A\times B} |SZ= }} ist eine Elementar-Überdeckung. Denn es ist {{mathdisplay|term= (p_1\cup p_2)^{-1}(U_\alpha\cap V_\beta) = p_1^{-1}(U_\alpha\cap V_\beta) \coprod p_2^{-1}(U_\alpha\cap V_\beta) |SZ=. }} Die Einschränkungen von {{math|term= \phi_\alpha}} und {{math|term= \psi_\beta}} auf {{math|term= U_\alpha\cap V_\beta}} definieren eine topologische Äquivalenz {{mathdisplay|term= (p_1\cup p_2)^{-1}(U_\alpha\cap V_\beta) = p_1^{-1}(U_\alpha\cap V_\beta) \coprod p_2^{-1}(U_\alpha\cap V_\beta) \to (U_\alpha\cap V_\beta)\times F_\alpha \coprod (U_\alpha\cap V_\beta)\times G_\beta \cong (U_\alpha\cap V_\beta)\times (F_\alpha \coprod G_\beta) |SZ=,}} wobei die durch {{math|term= \cong}} symbolisierte topologische Äquivalenz leicht einzusehen ist. Es folgt, dass {{math|term= p_1\cup p_2}} eine Überlagerung ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6gsw6gf47wclakov19vmf1i0oxj50dp 0 21671 778579 748125 2022-08-21T12:24:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei zunächst {{ Ma:abb |name=p |{{{E|E}}}|X || |SZ= }} eine beliebige Überlagerung und {{ mathbed|term= U_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine Überdeckung von {{math|term= X |SZ=,}} über den die Überlagerung trivialisiert. Für {{ Ma:Vergleichskette | x,y |\in| U_i || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | p^{-1}(x) || F_i || p^{-1}(y) || || |SZ=. }} Sei nun {{math|term= X}} zusammenhängend, {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | T | {{defeq|}} | {{Mengebed|y \in X|p^{-1}(y)\cong p^{-1}(x) }} |\neq| \emptyset || || |SZ=. }} Dann ist {{math|term= T}} offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung, über der {{math|term= p |SZ=}} trivialisiert. Aus dem gleichen Grund ist aber auch {{math|term= X \setminus T}} offen. Da {{math|term= X}} zusammenhängend ist, gilt {{ Ma:Vergleichskette | T || X || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} abn1kt0kwl4dw1cjv392niikvls3x35 0 21800 786278 251625 2022-08-22T10:59:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme den Rest von {{math|term= 36!|SZ=}} modulo {{math|term= 31|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 31 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a8qnvor57b2knqwwr17gh5bsvt33e5g 106 21980 779287 632697 2022-08-21T16:04:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesungsgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|term=Beispiele für Gruppen}} Aus der Vorlesung Mathematik I sind schon viele kommutative Gruppen bekannt. Zunächst gibt es die additiven Zahlbereiche, also {{ math/disp|term= (\Z, 0,+),\, (\Q, 0,+),\, (\R, 0,+),\, ({{CC}}, 0,+) |SZ=, }} wobei jeweils das Inverse durch das Negative einer Zahl gegeben ist. Diese Zahlbereiche haben allerdings über die additive Gruppenstruktur hinaus noch mehr Struktur, nämlich die Multiplikation, die mit der Addition durch die Distributivgesetze verbunden sind. Dies wird später mit dem Begriff des {{Anführung|Ringes}} bzw. des {{Anführung|term=Körpers|SZ=}} präzisiert. Bei {{mathl|term= \Q, \R, {{CC}}|SZ=}} gilt ferner, dass man durch jede von null verschiedene Zahl {{Anführung|dividieren darf|SZ=.}} Dies ist gleichbedeutend damit, dass multiplikative Gruppen {{ math/disp|term= (\Q \setminus \{0\}, 1, \cdot),\, (\R \setminus \{0\} , 1, \cdot ),\, ({{CC}} \setminus \{0\} , 1, \cdot) |SZ= }} vorliegen. Diese werden meistens mit {{mathl|term=\Q^\times,\, \R^\times,\, {{CC}}^\times|SZ=}} bezeichnet. Innerhalb der ganzen Zahlen darf man nur durch {{math|term=1|SZ=}} und {{math|term=-1|SZ=}} dividieren, und in der Tat ist die Menge {{mathl|term=\{1,-1\}|SZ=}} mit der Multiplikation eine Gruppe. Und wenn wir schon bei kleinen Gruppen sind: es gibt im wesentlichen genau eine Gruppe mit nur einem Element, die man die {{ Definitionslink |triviale Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Triviale Gruppe/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} nennt. Ferner ist der Begriff des Vektorraums bekannt, also beispielsweise der {{mathl|term=\Q^n,\, \R^n,\, {{CC}}^n|SZ=}} mit komponentenweiser Addition. Das neutrale Element ist der Nullvektor {{mathl|term=0=(0{{kommadots|}} 0)|SZ=,}} und das Inverse ist wieder das Negative eines Vektors, das wiederum komponentenweise gegeben ist. Diese Gruppen sind alle kommutativ. Die in der ersten Vorlesung besprochenen {{Stichwort|Symmetriegruppen|msw=Symmetriegruppe|SZ=}} zu geometrischen Figuren sind sehr häufig nicht kommutativ. Wir haben die (eigentliche) Würfelgruppe {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term=24|SZ=}} Elementen| |SZ=, }} also die Gruppe der Bewegungen an einem Würfel, und die Tetraedergruppe {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term=12|SZ=}} Elementen| |SZ= }} ausführlich besprochen. Die Drehungen in der Ebene an einem regelmäßigen {{math|term=n|SZ=-}}Eck bilden wiederum eine kommutative Gruppe, die aus {{math|term=n|SZ=}} Elementen besteht {{ Zusatz/Klammer |text=siehe unten| |SZ=. }} Die Menge aller ebenen Drehungen zu einem beliebigen Winkel {{mathbed|term=\alpha|bedterm1= 0 \leq \alpha < 2 \pi |SZ=,}} ist ebenfalls eine Gruppe, die sogenannte {{Stichwort|term=Kreisgruppe|SZ=.}} Sie ist die Symmetriegruppe des Kreises. Die Menge der invertierbaren {{math|term=n \times n|SZ=-}}Matrizen {{ Zusatz/Klammer |text=also diejenigen mit Determinante {{math|term=\neq 0|SZ=}}| |SZ= }} über {{math|term=\R|SZ=}} bilden mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung ebenfalls eine Gruppe, die mit {{mathl|term= {{Genlin|n|\R|}}|SZ=}} bezeichnet wird. {{Zwischenüberschrift|term=Lösbarkeit von Gleichungen}} Häufig wird gesagt, dass es in der Algebra um die Lösbarkeit und die Lösungen von Gleichungen geht. {{ inputfaktbeweis |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Satz||v=\circ |ref1=|| }} Im Aufbau des Zahlsystems spielt das Bestreben eine wichtige Rolle, Gleichungen eines bestimmten Typs lösbar zu machen. So erklärt sich der Übergang von {{ mathkor|term1= \N |nach|term2= \Z |SZ= }} dadurch, Gleichungen der Form {{ math/disp|term= a+x=b \text{ mit } a,b \in \N |SZ=, }} lösen zu können, und der Übergang von {{ mathkor|term1= \Z |nach|term2= \Q |SZ= }} dadurch, Gleichungen der Form {{ math/disp|term= ax=b \text{ mit } a,b \in \Z,\, a \neq 0 |SZ=, }} lösen zu können. {{Zwischenüberschrift|term=Potenzgesetze}} {{:Gruppe/Potenzgesetze/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Gruppenordnung und Elementordnung}} {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Gruppenordnung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Elementordnung/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Gruppentheorie/Endlich/Ordnung/Verschieden/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Untergruppen}} {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Untergruppe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Durchschnitt von Untergruppen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man hat beispielsweise die beiden Ketten von sukzessiven additiven Untergruppen, {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Z |\subseteq |\Q |\subseteq|\R |\subseteq|{{CC}} |SZ= }} und multiplikativen Gruppen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\{ 1,-1\} |\subseteq |\Q^\times |\subseteq|\R^\times |\subseteq|{{CC}}^\times |SZ=. }} Die triviale Gruppe {{math|term=\{e\}|SZ=}} ist Untergruppe von jeder Gruppe. Untervektorräume eines Vektorraums sind ebenfalls Untergruppen. {{ inputbeispiel |Untergruppe/Tetraedergruppe in Würfelgruppe/Beispiel|| }} Warnung: Das vorstehende Beispiel bedeutet keineswegs, dass die Symmetriegruppen eines geometrischen Teilobjektes immer eine Untergruppe der Symmetriegruppe des umfassenden geometrischen Objektes ist. {{ inputdefinition |Erzeugte Untergruppe zu Menge/Definition|| }} Insbesondere spricht man zu einer endlichen Menge {{mathl|term=g_1 {{kommadots|}} g_n \in G|SZ=}} von der davon erzeugten Untergruppe {{ math/disp|term= (g_1{{kommadots|}} g_n) |SZ=. }} Sie besteht aus allen {{Anführung|Wörtern}} {{ Zusatz/Klammer |text=Buchstabenkombinationen| |SZ= }} in den {{mathkon|g_i|und|g_i^{-1}|SZ=.}} Zu einem einzigen Element {{math|term=g|SZ=}} hat die davon erzeugte Gruppe eine besonders einfache Gestalt, sie besteht nämlich aus allen Potenzen {{ math/disp|term= g^k,\, k \in \Z |SZ=, }} wobei diese Potenzen untereinander nicht verschieden sein müssen. Gruppen, die von einem Element erzeugt werden, heißen zyklisch. {{Zwischenüberschrift|term=Zyklische Gruppen}} {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Definition|| }} Die Gruppe {{math|term=\Z|SZ=}} der ganzen Zahlen ist zyklisch, und zwar ist {{math|term=1|SZ=}} aber auch {{math|term=-1|SZ=}} ein Erzeuger. Alle anderen ganzen Zahlen sind kein Erzeuger von {{math|term=\Z|SZ=}}, da die {{math|term=1|SZ=}} nur ein ganzzahliges Vielfaches von {{math|term=1|SZ=}} und von {{math|term=-1|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=allerdings ist die von einer ganzen Zahl {{math|term=n \neq 0|SZ=}} erzeugte Untergruppe {{Anführung|isomorph|}} zu {{math|term=\Z|SZ=}} |SZ=. }} Ebenso sind die {{Anführung|Restklassengruppen|}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|n|}} || {{Repräsentantensystemmodn}} || || || |SZ= }} zyklisch, und {{math|term=1|SZ=}} und {{math|term=-1|SZ=}} sind ebenfalls Erzeuger. Allerdings gibt es dort in aller Regel noch viele weitere Erzeuger; mit deren genauer Charakterisierung werden wir uns bald beschäftigen. Wie gesagt, in einer zyklischen Gruppe gibt es ein Element {{math|term=g|SZ=}} derart, dass man jedes andere Element als {{math|term=g^k|SZ=}} mit einer ganzen Zahl {{math|term=k \in \Z|SZ=}} schreiben kann, die im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt ist. Daraus folgt sofort die folgende Beobachtung. {{ inputfaktbeweistrivial |Zyklische Gruppe/Ist kommutativ/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Wir erwähnen drei Modelle für die zyklische Gruppe der Ordnung {{math|term=n|SZ=.}} {{ inputbild |2007-07-09Aquilegia01|jpg| 250px {{!}} thumb {{!}} |Text=Eine zyklische Blüte der Ordnung fünf. |Autor= |Benutzer=Wildfeuer |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Ebene Drehung/Ordnung n/Zyklische Gruppe/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Komplexe Einheitswurzeln/Ordnung n/Zyklische Gruppe/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Restklassengruppe/Z mod n/Zyklische Gruppe/Beispiel||ref1= }} }} tshce2pb7tes9rotl19a8cgi7n8c257 0 22001 779934 772713 2022-08-21T17:45:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten einen Würfel {{ Ma:Vergleichskette |W |\subset|\R^3 || || || |SZ= }} mit der Seitenlänge {{math|term= 2|SZ=}} und dem Nullpunkt als Mittelpunkt. Die Eckpunkte sind also {{ math/disp|term= (\pm 1, \pm 1, \pm 1) |SZ=. }} Wir fragen uns, welche Möglichkeiten es gibt, den Würfel in sich selbst zu überführen. Dabei soll der Würfel nicht in irgendeiner Form deformiert werden, es ist nur erlaubt, ihn als Ganzes zu bewegen, und zwar soll die Bewegung wirklich physikalisch durchführbar sein. Man spricht auch von einer (eigentlichen) {{Stichwort|Bewegung|SZ=}} des Würfels. Bei einer solchen Bewegung verändert der Würfelmittelpunkt seine Lage nicht, und es werden Seiten auf Seiten, Kanten auf Kanten und Ecken auf Ecken abgebildet. Ebenso werden Seitenmittelpunkte auf Seitenmittelpunkte abgebildet, und gegenüberliegende Seitenmittelpunkte werden auf gegenüberliegende Seitenmittelpunkte abgebildet. Die Seitenmittelpunkte sind die sechs Punkte {{ math/disp|term= (\pm 1,0,0),\, (0,\pm 1,0), \, (0,0,\pm 1) |SZ=. }} Wenn der Punkt {{mathl|term= (1,0,0)|SZ=}} auf den Seitenmittelpunkt {{math|term= S|SZ=}} abgebildet wird, so wird {{mathl|term= (-1,0,0)|SZ=}} auf den gegenüberliegenden Punkt, also {{math|term= -S|SZ=,}} abgebildet. Hierbei ist jede Vorgabe von {{math|term= S|SZ=}} erlaubt, doch dadurch ist die Bewegung noch nicht eindeutig bestimmt. Für den Seitenmittelpunkt {{mathl|term= (0,1,0)|SZ=}} gibt es dann noch vier mögliche Bildpunkte {{ Zusatz/Klammer |text=nur {{math|term= S|SZ=}} und {{math|term= -S|SZ=}} sind ausgeschlossen| |SZ=, }} da man den Würfel um die durch {{math|term= S|SZ=}} gegebene Achse um ein Vielfaches von {{math|term= 90|SZ=}} Grad drehen kann. Diese Drehungen entsprechen genau den Möglichkeiten, den Punkt {{mathl|term= (0,1,0)|SZ=}} auf einen der vier verbliebenen Seitenmittelpunkte abzubilden. Durch die Wahl des zweiten Seitenmittelpunktes {{math|term= T|SZ=}} ist die Bewegung dann eindeutig festgelegt. Ist das völlig klar? Um sich das klar zu machen, sind folgende Beobachtungen sinnvoll. {{ Aufzählung3 |Bewegungen lassen sich hintereinander ausführen, d.h. wenn man zwei Würfelbewegungen {{mathkon|\varphi|und|\psi|SZ=}} hat, so ist auch die {{Stichwort|Hintereinanderausführung|SZ=}} {{mathl|term= {{verknüpf|\varphi|\psi|}}|SZ=,}} die zuerst {{math|term= \varphi|SZ=}} und dann {{math|term= \psi|SZ=}} durchführt, sinnvoll definiert. |Die {{Stichwort|identische Bewegung|SZ=,}} die nichts bewegt, ist eine Bewegung. Wenn man zu einer beliebigen Bewegung die identische Bewegung davor oder danach durchführt, so ändert das die Bewegung nicht. |Zu einer Bewegung {{math|term= \varphi|SZ=}} gibt es die {{Stichwort|entgegengesetzte Bewegung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Anführung|Rückwärtsbewegung|}}| |SZ= }} {{math|term= \varphi^{-1}|SZ=,}} die die Eigenschaft besitzt, dass die Hintereinanderausführungen {{mathkon|{{verknüpf|\varphi|\varphi^{-1} }}|und|{{verknüpf|\varphi^{-1}|\varphi }}}} einfach die Identität sind. |}} Mit diesen Beobachtungen kann man sich das oben erwähnte Prinzip folgendermaßen klar machen: angenommen, es gibt zwei Bewegungen {{mathkon|\varphi|und|\psi|SZ=,}} die beide {{math|term= (1,0,0) |SZ=}} auf {{math|term= S|SZ=}} und {{math|term= (0,1,0)|SZ=}} auf {{math|term= T|SZ=}} abbilden. Es sei {{math|term= \psi^{-1}|SZ=}} die umgekehrte Bewegung zu {{math|term= \psi|SZ=.}} Dann betrachtet man die Gesamtbewegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \theta || \psi^{-1} \circ \varphi || || || |SZ=. }} Diese Bewegung hat die Eigenschaft, dass {{mathkor|term1=(1,0,0)|auf|term2=(1,0,0)|SZ=}} und dass {{mathkor|term1=(0,1,0)|auf|term2=(0,1,0)|SZ=}} abgebildet wird, da ja {{math|term= \varphi|SZ=}} den Punkt {{mathkor|term1=(1,0,0)|auf|term2=S|SZ=}} schickt und {{math|term= \psi^{-1}|SZ=}} den Punkt {{mathkor|term1=S|auf|term2=(1,0,0)|SZ=}} zurückschickt {{ Zusatz/Klammer |text=und entsprechend für {{mathlk|term=(0,1,0)|SZ=}}| |SZ=. }} {{math|term= \theta|SZ=}} hat also die Eigenschaft, dass sowohl {{ mathkor|term1= (1,0,0) |als auch|term2= (0,1,0) |SZ= }} auf sich selbst abgebildet werden, d.h., es handelt sich um {{Stichwort|Fixpunkte|msw=Fixpunkt|SZ=}} der Bewegung. Dann ist aber bereits die gesamte {{math|term= x,y|SZ=-}}Ebene fix. Die einzige physikalisch durchführbare Bewegung des Würfels, die diese Ebene unbewegt lässt, ist aber die identische Bewegung. Daher ist {{ Ma:Vergleichskette | \psi^{-1} \circ \varphi || {{op:Identität||}} || || || |SZ= }} und damit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi || \psi || || || |SZ=. }} Man beachte, dass die {{Stichwort|Spiegelung|SZ=}} an der {{math|term= x,y|SZ=-}}Ebene die Punkte {{ mathkor|term1= (0,0,1) |und|term2= (0,0,-1) |SZ= }} vertauscht, doch ist dies eine sogenannte {{Stichwort|uneigentliche Bewegung|SZ=,}} da sie nicht physikalisch durchführbar ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Würfel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a6w5a1agxkvg74sf93bgurjzkmelh4m 0 22039 779855 763794 2022-08-21T17:31:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^n \times \R^n | \R |(v,w){{=}}({{tupel1n|v}},{{tupel1n|w}})| \sum_{i{{=}}1}^n v_iw_i |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das man das {{Definitionswort/enp|term=Standard{{latextrenn}}skalarprodukt|SZ=}} nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 28p3zo5rxxw3hff5twl5rbi4un0gzyt 0 22058 779931 773724 2022-08-21T17:44:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Einheitskreis {{ Ma:Vergleichskette/disp |S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2|x^2+y^2{{=|}}1}} || || || |SZ=. }} Dieser wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert. Diese ordnen einem Winkel {{mathl|term= \alpha \in [0, 2 \pi)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der {{math|term= x|SZ=-}}Achse, gegen den Uhrzeigersinn| |SZ= }} den zugehörigen Punkt {{ math/disp|term= (\cos \alpha, \sin \alpha) |SZ= }} auf dem Kreisbogen zu. Eine gleichmäßige Unterteilung des Intervalls {{mathl|term= [0, 2 \pi]|SZ=}} in {{math|term= n|SZ=}} gleichgroße Stücke, die durch die Grenzen {{ math/disp|term= 0,\, \frac{2 \pi}{n},\,2\frac{2 \pi}{n},\,3 \frac{2 \pi}{n} {{kommadots|}} (n-1) \frac{2 \pi}{n},\, n\frac{2 \pi}{n}=2 \pi |SZ= }} gegeben sind, führt zu einer gleichmäßigen Unterteilung des Kreises mit den Eckpunkten {{ math/disp|term= (1,0),\, {{op:Zeilenvektor| \cos \frac{2 \pi}{n} | \sin \frac{2 \pi}{n}||}} ,\, {{op:Zeilenvektor| \cos 2\frac{2 \pi}{n} | \sin 2\frac{2 \pi}{n} }},\, {{mathbruch|}} {{op:Zeilenvektor| \cos 3 \frac{2 \pi}{n} | \sin 3 \frac{2 \pi}{n} }} {{kommadots|}} {{op:Zeilenvektor| \cos (n-1) \frac{2 \pi}{n} | \sin (n-1) \frac{2 \pi}{n} }} |SZ=. }} Diese Punkte sind die Eckpunkte eines {{Stichwort|regelmäßigen|msw=Regelmäßiges n-Eck||SZ=}} {{math|term= n|SZ=-}}{{Stichwort|Ecks|msw=Regelmäßiges n-Eck|SZ=.}} Das regelmäßige {{Anführung|Zweieck}} besitzt die Ecken {{mathkon|(1,0)|und|(-1,0)|SZ=,}} das regelmäßige {{ Zusatz/Klammer |text= {{Stichwort|gleichseitige|msw=Gleichseitiges Dreieck|SZ=}}| |SZ= }} Dreieck besitzt die Ecken {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|1|0}} ,\, {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch|1|2}} | {{op:Bruch|\sqrt{3} |2}} }} ,\, {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch|1|2}} | - {{op:Bruch|\sqrt{3} |2}} }} |SZ=, }} das regelmäßige Viereck (Quadrat) besitzt die Ecken {{ math/disp|term= (1,0),\, (0,1),\, (-1,0),\, (0,-1) |SZ=, }} usw. Wir fassen ein solches reguläres {{math|term= n|SZ=-}}Eck als ein in sich starres Gebilde auf und interessieren uns dafür, wie man es in sich selbst überführen kann. Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=Schwerpunkt| |ISZ=|ESZ= }} des {{math|term= n|SZ=-}}Eckes, und bleibt bei einer Bewegung des {{math|term= n|SZ=-}}Eckes auf sich selbst unverändert. Da eine solche Bewegung die Längen nicht ändert, muss der Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} auf einen der Eckpunkte abgebildet werden, da nur diese Punkte des {{math|term= n|SZ=-}}Eckes vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen. Da eine Bewegung auch die Winkel nicht verändert, muss der Nachbarpunkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|\sin \frac{2 \pi}{n}| \cos \frac{2 \pi}{n} |}} |SZ=}} auf einen Nachbarpunkt des Bildpunktes von {{math|term= (1,0)|SZ=}} abgebildet werden. Bei einer eigentlichen {{ Zusatz/Klammer |text=physikalisch in der Ebene!| |ISZ=|ESZ= }} durchführbaren Bewegung bleibt auch die Reihenfolge {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|Orientierung}}| |SZ= }} der Ecken erhalten, so dass die einzigen eigentlichen Bewegungen eines regulären {{math|term= n|SZ=-}}Eckes die Drehungen um ein Vielfaches von {{math|term= 2 \pi/n|SZ=}} sind. Wenn man auch noch uneigentliche Bewegungen zulässt, so gibt es noch die Spiegelungen an einer Achse, und zwar geht bei {{math|term= n|SZ=}} gerade die Achse durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte, und bei {{math|term= n|SZ=}} ungerade durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt. Sei {{math|term= n|SZ=}} fixiert, und setze {{ Ma:Vergleichskette | \alpha || 2 \pi/n || || || |SZ= }} und sei {{math|term= \varphi|SZ=}} die Drehung des {{math|term= n|SZ=-}}Eckes um {{math|term= \alpha|SZ=}} gegen den Uhrzeigersinn. Dann kann man jede Drehung am {{math|term= n|SZ=-}}Eck schreiben als {{math|term= \varphi^k|SZ=}} mit einem eindeutig bestimmten {{math|term= k|SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= n-1 |SZ=. }} Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette |\varphi^0 || {{op:Identität||}} || || || |SZ= }} die Nulldrehung {{ Zusatz/Klammer |text=die identische Bewegung| |ISZ=|ESZ=, }} bei der nichts bewegt wird. Wenn man {{math|term= \varphi|SZ=}} {{math|term= n|SZ=-}}mal ausführt, so hat man physikalisch gesehen eine volle Umdrehung durchgeführt. Vom Ergebnis her stimmt das aber mit der Nulldrehung überein. Allgemeiner gilt, dass wenn man {{math|term= \varphi|SZ=}} {{math|term= m|SZ=-}}mal ausführt, dass dann das Endergebnis {{ Zusatz/Klammer |text=also die effektive Bewegung| |SZ= }} nur vom {{Stichwort|Rest|SZ=}} {{math|term= m \mod n|SZ=}} abhängt. Die inverse Bewegung zu {{mathl|term= \varphi^k|SZ=}} ist {{mathl|term= \varphi^{-k} |SZ=,}} also {{math|term= k|SZ=-}}mal wieder zurück, oder gleichbedeutend {{mathl|term= \varphi^{(n-k) }|SZ=.}} Sei nun {{math|term= \psi |SZ=}} eine bestimmte Drehung am {{math|term= n|SZ=-}}Eck, also {{ Ma:Vergleichskette | \psi ||\varphi^k || || || |SZ= }} mit einem eindeutig bestimmten {{mathbed|term=k|bedterm1=0 \leq k \leq n-1|SZ=.}} Dann kann man sich überlegen, welche Drehungen sich als Hintereinanderausführung von {{math|term= \psi|SZ=}} schreiben lassen, also zur Menge {{ math/disp|term= \psi^0=\operatorname{id} \, , \psi^1=\psi, \psi^2 , \psi^3, \ldots |SZ= }} gehören. Da die Menge der Drehungen endlich ist, muss es eine Wiederholung geben. Wie sieht diese aus, wann durchlaufen die Hintereinanderausführungen von {{math|term= \psi|SZ=}} sämtliche Drehungen am {{math|term= n|SZ=-}}Eck? Dafür gibt es recht einfache Antworten im Rahmen der elementaren Gruppentheorie. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der regulären n-Ecke |Kategorie3=Theorie der ebenen Drehungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pp503gj6c37b7x8y3lcclp1ax6hsp47 0 22073 779933 772541 2022-08-21T17:44:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten einen {{Stichwort| Tetraeder|SZ=,}} also eine Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Flächen. Das einfachste Modell dafür ergibt sich, wenn man bei einem Würfel jeden {{Anführung|zweiten}} Punkt nimmt, also beispielsweise die Eckpunkte {{ math/disp|term= (1,1,1),\, (-1,-1,1),\, (1,-1,-1), \, (-1,1,-1) |SZ=. }} Der Abstand der Eckpunkte zum Nullpunkt ist dann {{math|term= \sqrt{3}|SZ=}} und die Kantenlängen sind {{math|term= \sqrt{2}|SZ=.}} Eine eigentliche Bewegung des Tetraeders ist auch eine eigentliche Bewegung des zugehörigen Würfels {{ Zusatz/Klammer |text=in den der Tetraeder eingeschrieben werden kann| |ISZ=|ESZ={{{zusatz1|.}}} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Tetraedergruppe |Objektkategorie1=Der Tetraeder |Stichwort=Tetraeder |Autor= |Bearbeitungsstand= }} asuxhl98s3mxs6uhgw6cvb6tryreqqc 0 22077 782120 772563 2022-08-21T23:48:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man beweise das {{Stichwort|Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren|msw=Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|SZ=.}} Das besagt, dass man in einem {{ Definitionslink |euklidischen Vektorraum| |Definitionsseitenname= Euklidischer Vektorraum/Definition |SZ= }} aus einer gegebenen Basis {{mathl|term= v_1, \ldots, v_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Definitionsseitenname= Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis/Definition |SZ= }} {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n|SZ=}} basteln kann derart, dass die erzeugten Unterräume {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Span|v_1 {{kommadots|}} v_i|}} ||{{op:Span|u_1 {{kommadots|}} u_i|}} || || || |SZ= }} übereinstimmen für alle {{math|term= i=1 {{kommadots|}} n|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sdzz7h98n7sswazjxl8krez0gzc56q2 0 22095 778639 625305 2022-08-21T12:33:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Eine Teilmenge der Form {{math|term= \Z d|SZ=}} ist aufgrund der Distributivgesetze eine Untergruppe. Sei umgekehrt {{ Ma:Vergleichskette |H | \subseteq| \Z || || || |SZ= }} eine Untergruppe. Bei {{ Ma:Vergleichskette |H ||0 || || || |SZ= }} kann man {{ Ma:Vergleichskette |d ||0 || || || |SZ= }} nehmen, so dass wir voraussetzen dürfen, dass {{math|term= H|SZ=}} neben {{math|term= 0|SZ=}} noch mindestens ein weiteres Element {{math|term= x|SZ=}} enthält. Wenn {{math|term= x|SZ=}} negativ ist, so muss die Untergruppe {{math|term= H|SZ=}} auch das Negative davon, also {{math|term= -x|SZ=}} enthalten, welches positiv ist. D.h. {{math|term= H|SZ=}} enthält auch positive Zahlen. Sei nun {{math|term= d|SZ=}} die kleinste positive Zahl aus {{math|term= H|SZ=.}} Wir behaupten {{ Ma:Vergleichskette |H ||\Z d || || || |SZ=. }} Dabei ist die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette | \Z d |\subseteq |H || || || |SZ= }} klar, da mit {{math|term= d|SZ=}} alle {{ Zusatz/Klammer |text=positiven und negativen| |ISZ=|ESZ= }} Vielfachen von {{math|term= d|SZ=}} dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei {{ Ma:Vergleichskette |h |\in|H || || || |SZ= }} beliebig. Nach {{ Faktlink |Präwort=der|Division mit Rest|Faktseitenname= Division mit Rest/Z/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt {{ math/disp|term= h=qd+r \text{ mit } 0 \leq r < d |SZ=. }} Wegen {{mathkon|h \in H|und|qd \in H|SZ=}} ist auch {{ Ma:Vergleichskette | r || h-qd |\in| H || || || |SZ=. }} Nach der Wahl von {{math|term= d|SZ=}} muss wegen {{ Ma:Vergleichskette |r |<|d || || || |SZ= }} gelten: {{ Ma:Vergleichskette |r ||0 || || || |SZ= }} Dies bedeutet {{ Ma:Vergleichskette |h ||qd || || || |SZ= }} und damit {{ Ma:Vergleichskette |h |\in|\Z d || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq |\Z d || || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Gruppe Z |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 84zd0q392wtf9n7ts5vs9rsedd05g5f 0 22101 781475 755480 2022-08-21T22:01:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es für jedes {{mathl|term= s \in K|SZ=}} eine ganze Zahl {{math|term= q|SZ=}} und ein {{mathkon|t \in K|mit|0 \leq t < 1|SZ=}} und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |s ||q+t || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tnnwum2na4ky3s6043y2z23pqeh7sq3 0 22123 781916 628203 2022-08-21T23:14:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= m \geq n|SZ=.}} Wie viele injektive Abbildungen gibt es von {{math|term= {{Menge1n|}}|SZ=}} nach {{math|term= {{Menge1m|}}|SZ=}} und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von {{math|term= {{Menge1m|}}|SZ=}} nach {{math|term= {{Menge1n|}}|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bnpjg7f9smq9hdermubbhg3n6yy3pga 0 22127 780461 754654 2022-08-21T19:12:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und sei {{math|term= f:M \rightarrow M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition |SZ=. }} Zeige, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |injektiv ist| |Definitionsseitenname= Abbildung/Injektiv/Definition |SZ=, }} wenn {{math|term= f|SZ=}} ein Linksinverses besitzt, und dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |surjektiv ist| |Definitionsseitenname= Abbildung/Surjektiv/Definition |SZ=, }} wenn {{math|term= f|SZ=}} ein Rechtsinverses besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 078exy7h4u4o8g7ceptgtv7v2gi9g90 106 22148 779222 508360 2022-08-21T15:54:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesungsgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|term=Das Lemma von Bezout}} {{ inputfaktbeweis |Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt|Satz|| |ref1= |ref2=| }} Man beachte, dass ein größter gemeinsamer Teiler, der nach dem Lemma von Bézout existiert, nicht eindeutig bestimmt ist. Denn ebenso ist mit {{math|term=g|SZ=}} auch das Negative {{math|term=-g|SZ=}} ein größter gemeinsamer Teiler. Häufig wählt man den Vertreter {{math|term=\geq 0|SZ=,}} um Eindeutigkeit zu erreichen, und spricht dann von dem {{Stichwort|größten gemeinsamer Teiler|msw=Größter gemeinsamer Teiler|SZ=}} der {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=.}} Diese Zahl wird dann mit {{ math/disp|term= \operatorname{ggT} \, (a_1 {{kommadots|}} a_n) |SZ= }} bezeichnet. Wir besprechen nun, wie man algorithmisch zu vorgegebenen ganzen Zahlen den {{math|term= \operatorname{ggT} \, |SZ=}} finden kann. {{Zwischenüberschrift|term=Der Euklidische Algorithmus}} {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Darstellung des größten gemeinsamen Teilers}} {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Darstellung des ggT/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Gemeinsame Vielfache}} Nachdem wir schon die gemeinsamen Teiler von ganzen Zahlen behandelt haben, wenden wir uns einem verwandten Begriff zu, der ebenfalls aus der Schule bekannt ist, nämlich dem des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von ganzen Zahlen. In der Schule wird dabei {{Anführung|kleinste}} in Bezug auf die {{math|term=\leq|SZ=-}}Ordnung verstanden. Wir benutzen einen äquivalenten Begriff, der sich besser auf eine weit allgemeinere Situation übertragen lässt. {{ inputdefinition |Teilbarkeitstheorie (Z)/gV und kgV/Definition|| }} Wir werden gleich sehen, dass es stets ein kleinstes gemeinsames Vielfaches gibt, und dass dieses, wenn man es {{math|term=\geq 0|SZ=}} wählt, auch eindeutig bestimmt ist. Man spricht dann einfach von {{Betonung|term=dem|SZ=}} kleinsten gemeinsamen Vielfachen, geschrieben {{mathl|term=\operatorname{ kgV} \, ( a_1 {{kommadots|}} a_n) |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Teilbarkeitstheorie (Z)/Durchschnitt von Untergruppen/Durch kgV erzeugt/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} }} r6u3vypw4hxq3y5mpdpq6orapbbnkl3 0 22171 779245 763342 2022-08-21T15:58:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= G= {{op:Zmod|n|}}|SZ=}} eine zyklische Gruppe, repräsentiert durch die Elemente {{mathl|term= {{Repräsentantensystemmodn}}|SZ=.}} Das Einselement {{math|term= 1|SZ=}} erzeugt die Gruppe, das muss dann auch für die zu {{math|term= G|SZ=}} isomorphe Untergruppe von {{math|term= S_n|SZ=}} gelten. Die Linksaddition mit {{math|term= 1|SZ=}} ist die Zuordnung {{ math/disp|term= 0 \mapsto1,\, 1 \mapsto 2,\, 2 \mapsto 3 {{kommadots|}} n-2 \mapsto n-1, \, n-1 \mapsto 0 |SZ=. }} Das ist also ein {{ Definitionslink |Zykel| |Definitionsseitenname= Permutation/Zykel/Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= n|SZ=.}} Das Element {{math|term= k|SZ=}} geht auf die {{math|term= k|SZ=-}}fache Hintereinanderausführung dieses Zykels. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Cayley |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7cc8pbfpu54tjfcm17hllfnxzqnkeag 0 22211 782002 245390 2022-08-21T23:29:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel eines endlichen Monoids {{math|term= M|SZ=}} und eines Elementes {{math|term= m \in M|SZ=}} derart, dass alle positiven Potenzen von {{math|term= m|SZ=}} vom neutralen Element verschieden sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mzy3m2o2k3m1ebhmbd7phz2vhpl45vh 0 22215 781709 508338 2022-08-21T22:40:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= W|SZ=}} die Gruppe der eigentlichen Bewegungen an einem Würfel. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine möglichst lange Kette von sukzessiven Untergruppen {{ math/disp|term= \{ \operatorname{id} \} \subset G_1 \subset G_2 {{subsetdots}} G_n=W |SZ= }} an derart, dass zwischen {{math|term= G_i|SZ=}} und {{math|term= G_{i+1}|SZ=}} keine weitere Untergruppe liegen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Würfelgruppe |Stichwort=Würfel |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 917jyx2vx00c5gj2osk1o0ot9ttw7d1 0 22225 779185 772534 2022-08-21T15:49:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso die rationalen Zahlen und die ganzen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} sind {{ Definitionslink |Prämath= |total geordnet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch die {{Stichwort|Größergleichrelation|SZ=}} {{math|term= \geq|SZ=.}} Dies gehört zum Begriff des angeordneten Körpers, der nicht nur verlangt, dass eine totale Ordnung erklärt ist, sondern auch, dass diese mit den algebraischen Operationen verträglich ist. Die strikte {{Stichwort|Größerrelation|SZ=}} {{math|term= >|SZ=}} ist keine Ordnungsrelation, da sie nicht reflexiv ist. Der Körper der komplexen Zahlen {{math|term= {{CC}}|SZ=}} ist nicht angeordnet {{ Zusatz/Klammer |text=und lässt sich auch nicht anordnen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reell |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i1934qktn8mlqlon69ngm11v3a8wiv8 0 22227 779944 763833 2022-08-21T17:46:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die positiven ganzen Zahlen {{math|term= \N_+|SZ=}} zusammen mit der Teilbarkeitsbeziehung. Man sagt, dass eine Zahl {{math|term= k|SZ=}} die Zahl {{math|term= n|SZ=}} teilt, geschrieben {{math/disp|term=k {{|}} n|SZ=,}} wenn es eine weitere natürliche Zahl {{math|term= m|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |n ||km || || || |SZ= }} gibt. Die Bezeichnung ist nicht sonderlich glücklich gewählt, da ein symmetrisches Symbol für eine nichtsymmetrische Relation verwendet wird. Die Teilbarkeitsrelation ist in der Tat reflexiv, da stets {{mathl|term= n{{|}}n|SZ=}} ist, wie {{ Ma:Vergleichskette |m ||1 || || || |SZ= }} zeigt. Die Transitivität sieht man so: sei {{ mathkor|term1= k {{|}} n |und|term2= n{{|}}m |SZ= }} mit {{mathkor|term1= n =ak |und|term2= m=bn |SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |m ||bn ||bak || || |SZ= }} und daher {{math|term= k{{|}}m|SZ=.}} Die Antisymmetrie folgt so: Aus {{ mathkor|term1= n=ak |und|term2= k=bn |SZ= }} folgt {{ Ma:Vergleichskette |n ||(ab)n || || || |SZ=. }} Da wir uns auf positive natürliche Zahlen beschränken, folgt {{ Ma:Vergleichskette |ab ||1 || || || |SZ= }} und daraus {{ Ma:Vergleichskette |a ||b ||1 || || |SZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette |k ||n || || || |SZ= }} Einfache Beispiele wie {{mathkon|2|und|3|SZ=}} zeigen, dass hier keine {{ Definitionslink |Prämath= |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt, da weder {{math|term= 2|SZ=}} von {{math|term= 3|SZ=}} noch umgekehrt geteilt wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Teiler |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9kdx95kdmt9fb67uo7xbi1m78ivzjlu 0 22228 779638 737572 2022-08-21T17:01:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{M|M}}}|SZ=}} eine beliebige Menge und {{ Ma:Vergleichskette | {{{R|R}}} ||{{op:Potenzmenge|{{{M|M}}} }} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon. Dann sind die Elemente aus {{ Ma:Vergleichskette | {{{R|R}}} || {{op:Potenzmenge| {{{M|M}}}|}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Gs |text=also die Teilmengen von {{math|term= {{{M|M}}} |SZ=}}| |SZ= }} durch die Inklusionsbeziehung {{math|term= \subseteq |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |geordnet| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Reflexivität bedeutet einfach, dass eine jede Menge in sich selbst enthalten ist und die Transitivität bedeutet, dass aus {{ Ma:Vergleichskette |T_1 |\subseteq|T_2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |T_2 |\subseteq|T_3 || || || |SZ= }} die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette |T_1 |\subseteq|T_3 || || || |SZ= }} folgt. Die Antisymmetrie ist dabei ein wichtiges Beweisprinzip für die Gleichheit von Mengen: Zwei Mengen {{mathl|term= T_1, T_2|SZ=}} sind genau dann gleich, wenn {{ mathkor|term1= T_1 \subseteq T_2 |und umgekehrt|term2= T_2 \subseteq T_1 |SZ= }} gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Potenzmenge als geordnete Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ioqo1z8oyqduseyu0ynb6od9f8ioc74 0 22235 779162 633252 2022-08-21T15:45:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= X|SZ=}} eine Menge {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise ein reelles Intervall, oder ein topologischer Raum| |SZ=, }} so ist die Menge der {{ Zusatz/Klammer |text=stetigen| |SZ= }} Funktionen {{ Ma:abb |name=f |X| \R || |SZ= }} geordnet, indem man {{ Ma:Vergleichskette |f |\geq|g || || || |SZ= }} dadurch definiert, dass {{ Ma:Vergleichskette |f(x) |\geq|g(x) || || || |SZ= }} für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|X || || || |SZ= }} sein muss. Dies ist offensichtlich keine totale Ordnung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Produktordnung |Kategorie2=Theorie der reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Funktionen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mll31mdgwcz54gs6nmgsp7m60z1635k 0 22236 780156 763908 2022-08-21T18:18:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das Urbeispiel für eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist die Gleichheit auf einer beliebigen Menge {{math|term= M|SZ=.}} Unter der Gleichheit ist jedes Element nur mit sich selbst äquivalent. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Gleichheit |Autor= |Bearbeitungsstand= }} glrtrb43rgla8aiurrosg2zz716yzh2 0 22239 780155 763907 2022-08-21T18:18:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} Mengen und sei {{ Ma:abb |name=f |M|N || |SZ= }} eine Abbildung{{{zusatz1|}}}. In einer solchen Situation hat man immer eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem Definitionsbereich {{math|term= M|SZ=}} der Abbildung, und zwar erklärt man zwei Elemente {{mathl|term= x,y \in M|SZ=}} als äquivalent, wenn sie unter {{math|term= f|SZ=}} auf das gleiche Element abgebildet werden, wenn also {{ Ma:Vergleichskette |f(x) ||f(y) || || || |SZ= }} ist. Wenn die Abbildung {{math|term= f|SZ=}} injektiv ist, so ist die durch {{math|term= f|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=}} definierte Äquivalenzrelation die Gleichheit. Wenn die Abbildung konstant ist, so sind unter der zugehörigen Äquivalenzrelation alle Elemente aus {{math|term= M|SZ=}} untereinander äquivalent. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Faser |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nyjoh64etz6dr1kc9jp2e02dmbutfy7 0 22240 780165 763913 2022-08-21T18:19:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Situation gegeben, wo gewisse Orte {{ Zusatz/Klammer |text=oder Objekte| |ISZ=|ESZ= }} von gewissen anderen Orten aus erreichbar sind oder nicht. Die Erreichbarkeit kann dabei durch die Wahl eines Verkehrsmittels oder durch eine abstraktere {{ Zusatz/Klammer |text=Bewegungs| |ISZ=|ESZ=- }}Vorschrift festgelegt sein. Solche Erreichbarkeitsrelationen liefern häufig eine Äquivalenzrelation. Dass ein Ort von sich selbst aus erreichbar ist, sichert die Reflexivität. Die Symmetrie der Erreichbarkeit besagt, dass wenn man von {{math|term= A|SZ=}} nach {{math|term= B|SZ=}} kommen kann, dass man dann auch von {{math|term= B|SZ=}} nach {{math|term= A|SZ=}} kommen kann. Das ist nicht für jede Erreichbarkeit selbstverständlich, für die meisten aber schon. Die Transitivität gilt immer dann, wenn man die Bewegungsvorgänge hintereinander ausführen kann, also zuerst von {{math|term= A|SZ=}} nach {{math|term= B|SZ=}} und dann von {{math|term= B|SZ=}} nach {{math|term= C|SZ=}}. Wenn erreichbar beispielsweise dadurch gegeben ist, dass man auf dem Landweg von einem Ort zu einem anderen kommen kann, so sind zwei Ortspunkte genau dann äquivalent, wenn sie auf der gleichen Insel {{ Zusatz/Klammer |text=oder dem gleichen Kontinent| |ISZ=|ESZ= }} liegen. Inseln und Kontinente sind dann die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=.{{{zusatz1|}}} }} In der Topologie spielt der Begriff des {{ Definitionslink |Prämath= |Wegzusammenhangs| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine wichtige Rolle: Zwei Punkte sind wegzusammenhängend, wenn man sie durch einen stetigen Weg verbinden kann. Oder: Auf den ganzen Zahlen lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit {{ Zusatz/Klammer |text=in beide Richtungen| |ISZ=|ESZ=. }} Wie viele Flohpopulationen gibt es, welche Flöhe können sich begegnen? |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Erreichbarkeit |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 53m4tx9imktc8nlqfkrxuvr6w27afdt 106 22244 784599 476150 2022-08-22T06:33:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesungsgestaltung|9| {{Zwischenüberschrift|term=Das Signum einer Permutation}} {{ inputdefinition |Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition|| }} Das Signum ist {{ mathkor|term1= 1 |oder|term2= -1 |SZ=, }} da im Zähler und im Nenner die positive oder die negative Differenz {{mathl|term=\pm ( i-j)|SZ=}} steht. Es gibt für das Signum also nur zwei mögliche Werte. Bei {{mathl|term={{op:Signum|\sigma}}=1|SZ=}} spricht man von einer {{Definitionswort/enp|geraden Permutation|msw=Gerade Permutation|SZ=}} und bei {{mathl|term={{op:Signum|\sigma}}=-1|SZ=}} von einer {{Definitionswort/enp|ungeraden Permutation|msw=Ungerade Permutation|SZ=.}} {{ inputdefinition |Permutation/Fehlstand/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/246531/Fehlstände und Signum/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis1 |Permutation/Signum ist Gruppenhomomorphismus/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Signum über Transpositionen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbemerkung |Signum/Übertragung von geordneter Menge auf beliebige/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die alternierende Gruppe}} Für {{math|term=n \geq 2|SZ=}} ist die Signumsabbildung {{ Ma:abb |name={{op:Signum|}} |S_n|\{1,-1\} || |SZ= }} ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, da ja Transpositionen auf {{math|term=-1|SZ=}} abgebildet werden. Der Kern dieses Homomorphismus besteht aus allen geraden Permutationen und ist ein Normalteiler in der Permutationsgruppe {{math|term=S_n|SZ=.}} Diese Untergruppe bekommt einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Alternierende Gruppe/Definition|| }} Die alternierende Gruppe besitzt ({{math|term=n \geq 2|SZ=}}) den Index zwei, die beiden Nebenklassen sind die geraden Permutationen und die ungeraden Permutationen. Für {{math|term=n=1,2|SZ=}} ist die alternierende Gruppe die triviale Gruppe. Für {{mathl|term=n=3|SZ=}} ist {{math|term=A_3 = \Z/(3)|SZ=.}} Die Gruppe {{math|term=A_4|SZ=}} ist isomorph zur Tetraedergruppe. {{ inputbeispiel |Alternierende Gruppe 4/Kleinsche Vierergruppe als Normalteiler/Beispiel||ref1= }} Die Gruppe {{math|term=A_4|SZ=}} besitzt also einen nicht-trivialen Normalteiler. Sie ist damit unter den alternierenden Gruppen eine Ausnahme. Es gilt nämlich, und das werden wir hier nicht beweisen, dass die alternierenden Gruppen {{mathbed|term=A_n|bedterm1=n \geq 5|SZ=}} einfach sind im Sinne der folgenden Definition. {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Einfache Gruppe/Definition|| }} Für eine Primzahl {{math|term=p|SZ=}} sind die zyklischen Gruppen {{mathl|term=\Z/(p)|SZ=}} der Ordnung {{math|term=p|SZ=}} einfach, da es in diesen Gruppen aufgrund des Satzes von Lagrange überhaupt nur die triviale und die ganze Gruppe als Untergruppe gibt. In einer nicht kommutativen einfachen Gruppe gibt es im Allgemeinen sehr viele Untergruppen, aber eben keine nicht-trivialen Normalteiler. Die einfachen Gruppen sind in gewissem Sinne die einfachsten Bausteine für alle endlichen Gruppen. Die nicht einfachen Gruppen sind in einem gewissen Sinn {{Anführung|zusammengesetzt|SZ=,}} da es dort dann einen echten Normalteiler {{mathbed|term= N \subset G|bedterm1= N \neq 0, \neq G |SZ=}} gibt und damit auch eine Restklassengruppe {{mathl|term=G/N=Q|SZ=.}} Die Gruppe {{math|term=G|SZ=}} ist dann aus den kleineren Gruppen {{math|term=N|SZ=}} und {{math|term=Q|SZ=}} irgendwie {{Anführung|zusammengebastelt|SZ=,}} wobei allerdings {{ mathkor|term1= N |und|term2= Q |SZ= }} nicht die Struktur von {{math|term=G|SZ=}} festlegen. Die Klassifikation aller einfachen endlichen Gruppen war ein schwieriges Problem der Gruppentheorie und ist inzwischen {{ Zusatz/Klammer |text=seit ca. {{math|term=1980|SZ=}}| |SZ= }} gelöst. {{Zwischenüberschrift|term=Die Determinante}} Wir erinnern noch kurz an die Determinante, die aus der Anfängervorlesung bekannt ist. Mittels Permutationen und deren Signa kann man eine geschlossene Definition für die Determinante geben. Zur Berechnung sind aber rekursive Verfahren sinnvoller. {{ inputdefinition |Determinante/Summe über Permutationen/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz von Cayley}} {{ inputbild |Arthur Cayley|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Arthur Cayley |Text=[[w:Arthur Cayley|Arthur Cayley (1821-1895)]] |Autor= |Benutzer=Zuirdj |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=<nowiki>http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Cayley.html</nowiki> }} Zu einer Gruppe {{math|term=G|SZ=}} und einem Element {{mathl|term=g \in G|SZ=}} nennt man die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=L_g |G|G |x|gx |SZ= }} die {{Definitionswort/enp|term=Linksmultiplikation|SZ=}} mit {{math|term=g|SZ=.}} Das ist in aller Regel {{Betonung/Negation|term=kein|SZ=}} Gruppenhomomorphismus, allerdings ist es eine bijektive Abbildung der Menge {{math|term=G|SZ=}} in sich. Dieser Zusammenhang wird nun kurz thematisiert. {{ inputfaktbeweis |Gruppentheorie/Linksmultiplikation/Cayley/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Gruppentheorie/Cayley/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputbemerkung |Gruppentheorie/Cayley/Fixpunktfrei/Bemerkung|| |ref1= }} {{ inputbeispiel |Gruppentheorie/Cayley/Endlich zyklisch/Beispiel|| }} }} 1k2oc6zi8oiojaev6keox2cbbkd6l2v 0 22272 782651 756429 2022-08-22T01:17:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} und sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge mit einer {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G|M || |SZ= }} eine surjektive Abbildung mit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(gh) ||\varphi(g) \varphi(h) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= g,h \in G|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} eine Gruppe und {{math|term= \varphi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r2wh73szlw0k7ytjymb87thhjxx6noa 0 22353 785265 758585 2022-08-22T08:11:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{{G|G}}}|SZ=}} eine Menge. Stifte{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Bijektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor/disp|term1= {{op:Potenzmenge|{{{G|G}}} }} |und|term2= {{op:Abbildungsmenge|{{{G|G}}} |\{0,1\} }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bijektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge von endlichen Mengen |Kategorie3=Theorie der Abbildungsmengen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1saonh6h5s7b5wtcjwav8pj6sez9876 0 22355 784186 757839 2022-08-22T05:33:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= M,N,L|SZ=}} Mengen. Stifte{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Bijektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor/disp|term1= {{op:Abbildungsmenge|M \times N|L}} |und|term2= {{op:Abbildungsmenge|M|{{op:Abbildungsmenge|N|L}} }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2=Theorie der bijektiven Abbildungen |Kategorie3=Theorie der Abbildungsmengen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bwmypgjpsfq2l2m7wo0q19utcc0rba 0 22357 784185 757838 2022-08-22T05:33:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= M,N,L|SZ=}} Mengen. Stifte eine {{ Definitionslink |Bijektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor/disp|term1= {{op:Abbildungsmenge|M |N \times L}} |und|term2= {{op:Abbildungsmenge|M|N}} \times {{op:Abbildungsmenge|M|L}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2=Theorie der Abbildungsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hcu5xqg97rtdybqq30idhi4nhv3dabx 0 22358 780445 754641 2022-08-21T19:09:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= L,M,N|SZ=}} Mengen und {{ math/disp|term= f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N|SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name={{verknüpf|f|g}} |L|N |x|g(f(x)) |SZ=. }} Zeige: Wenn {{math|term= {{verknüpf|f|g}}|SZ=}} {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so ist auch {{math|term= f|SZ=}} injektiv. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gzxxkfn54370pizhvjq2eyb5rr5jmrn 0 22359 780447 754643 2022-08-21T19:09:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= L,M,N|SZ=}} Mengen und {{ math/disp|term= f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N|SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= g \circ f |L|N |x|g(f(x)) |SZ=. }} Zeige: Wenn {{math|term= g \circ f |SZ=}} {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so ist auch {{math|term= g|SZ=}} surjektiv. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2=Theorie der surjektiven Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Surjektiv |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1uezm2gq25h2co6mcp62wf9mc6vwsnk 0 22362 780415 754613 2022-08-21T19:04:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= L|SZ=}} und {{math|term= M|SZ=}} Mengen und es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |L|M || |SZ= }} eine Abbildung mit dem {{ Definitionslink |Graphen| |Definitionsseitenname= Abbildung/Graph (Menge)/Definition |SZ= }} {{math|term= \Gamma_f \subseteq L \times M|SZ=.}} Zeige, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi= {{op:Identität|L|}} \times f |L|L\times M |x|(x, f(x)) |SZ=, }} eine Bijektion zwischen {{math|term= L|SZ=}} und dem Graphen {{math|term= \Gamma_f|SZ=}} induziert. Was ist die Verknüpfung von {{math|term= \psi|SZ=}} mit der zweiten Projektion {{ Ma:abbele/disp |name=p_2 |L \times M|M |(x,y)|y |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Graphen einer Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Graph |Lösung= |Punkte=3 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jk242w5g49xq0v248xqoaq9maxn2b2x 0 22416 784175 757830 2022-08-22T05:31:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge, die als {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Vereinigung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || A \uplus B || || || |SZ= }} gegeben ist. Definiere{{n Sie}} eine Bijektion zwischen der {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Definitionsseitenname= Mengen/Potenzmenge/Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M}} |SZ=}} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|A}} \times {{op:Potenzmenge|B}} |SZ=.}} Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} zwar eine Vereinigung von {{math|term= M|SZ=}} ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzmenge |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sxeizw7qpu49fm8c73dgnaci0ps3l1l 0 22418 782658 756435 2022-08-22T01:18:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} und {{math|term= x,y \in G|SZ=.}} Drücke{{n Sie}} das Inverse von {{math|term= xy|SZ=}} durch die Inversen von {{math|term= x|SZ=}} und {{math|term= y|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Invers |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 88rdj1lhpr3loahbmrrf5wbxpftz2x0 0 22419 782001 755893 2022-08-21T23:29:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein endliches {{ Definitionslink |Monoid| |Definitionsseitenname= Verknüpfungen/Monoid/Definition |SZ=. }} Es gelte die folgende {{Anführung|Kürzungsregel}}: aus {{math|term= ax=ay|SZ=}} folgt {{math|term= x=y|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lluge4xwvjrolne7vstzazfz9uj4uzh 0 22420 784373 758004 2022-08-22T06:03:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge mit einer {{ Definitionslink |assoziativen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es gebe ein {{Definitionswort/enp|term=linksneutrales Element|SZ=}} {{math|term= e|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. {{math|term= e x= x|SZ=}} für alle {{math|term= x \in M|SZ=}} |SZ= }} und zu jedem {{math|term= x\in M|SZ=}} gebe es ein {{Definitionswort/enp|term=Linksinverses|SZ=,}} d.h. ein Element {{math|term= y|SZ=}} mit {{math|term= yx=e|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= M|SZ=}} schon eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Linksneutral |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dd6k9qseqaxcl9kmyc7b942eifcrt1q 0 22424 781654 504452 2022-08-21T22:31:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels {{math|term= \alpha=360/12=30|SZ=}} Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9c4olqen882dxv3kc5v9w3k132t8xhy 0 22425 779334 742846 2022-08-21T16:11:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Wir betrachten innerhalb der komplexen Zahlen {{math|term= {{CC}}|SZ=}} die Lösungen der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^n || 1 || || || |SZ=. }} Da {{math|term= {{CC}}|SZ=}} algebraisch abgeschlossen ist, gibt es genau {{math|term= n|SZ=}} verschiedene Zahlen, die diese Gleichung erfüllen. Man nennt sie die {{math|term= n|SZ=-}}ten {{Definitionswort/enp|term=Einheitswurzeln|SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette |(xy)^n ||x^ny^n ||1\cdot 1 ||1 |SZ= }} ist diese Menge multiplikativ abgeschlossen, und wegen {{ Ma:Vergleichskette |(x^{-1})^n ||x^{-n} ||(x^{n})^{-1} ||e^{-1} ||e |SZ= }} gehören auch die multiplikativen Inverse dazu. Durch Betrachten des Betrages folgt aus {{mathl|term= x^n=1|SZ=}} direkt {{mathl|term= {{op:Betrag|x}}=1|SZ=,}} d.h. {{math|term= x|SZ=}} liegt auf dem Einheitskreis. Aufgrund der Eulerschen Formel {{ Ma:Vergleichskette/disp | e^{ {{imaginäre Einheit|}} z} || \cos z + {{imaginäre Einheit|}} \sin z || || || |SZ= }} ist {{math|term= x=e^{ {{imaginäre Einheit|}} z}|SZ=}} mit {{math|term= z \in \R|SZ=,}} und wegen {{mathl|term= e^{iz} \cdot e^{ {{imaginäre Einheit|}} w} =e^{ {{imaginäre Einheit|}}(z+w)}|SZ=}} folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || e^{ \frac{k 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} } {n} } || || || |SZ= }} für ein {{math|term= k|SZ=,}} d.h. die {{math|term= n|SZ=-}}ten Einheitswurzeln bilden die Ecken eines regulären {{math|term= n|SZ=-}}Ecks. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungssstand }} pi5kyeml25byofkfvg34m60f73hpuiq 779785 779334 2022-08-21T17:21:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Wir betrachten innerhalb der komplexen Zahlen {{math|term= {{CC}}|SZ=}} die Lösungen der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^n || 1 || || || |SZ=. }} Da {{math|term= {{CC}}|SZ=}} algebraisch abgeschlossen ist, gibt es genau {{math|term= n|SZ=}} verschiedene Zahlen, die diese Gleichung erfüllen. Man nennt sie die {{math|term= n|SZ=-}}ten {{Definitionswort/enp|Einheitswurzeln|msw=Einheitswurzel|SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette |(xy)^n ||x^ny^n ||1\cdot 1 ||1 |SZ= }} ist diese Menge multiplikativ abgeschlossen, und wegen {{ Ma:Vergleichskette |(x^{-1})^n ||x^{-n} ||(x^{n})^{-1} ||e^{-1} ||e |SZ= }} gehören auch die multiplikativen Inverse dazu. Durch Betrachten des Betrages folgt aus {{mathl|term= x^n=1|SZ=}} direkt {{mathl|term= {{op:Betrag|x}}=1|SZ=,}} d.h. {{math|term= x|SZ=}} liegt auf dem Einheitskreis. Aufgrund der Eulerschen Formel {{ Ma:Vergleichskette/disp | e^{ {{imaginäre Einheit|}} z} || \cos z + {{imaginäre Einheit|}} \sin z || || || |SZ= }} ist {{math|term= x=e^{ {{imaginäre Einheit|}} z}|SZ=}} mit {{math|term= z \in \R|SZ=,}} und wegen {{mathl|term= e^{iz} \cdot e^{ {{imaginäre Einheit|}} w} =e^{ {{imaginäre Einheit|}}(z+w)}|SZ=}} folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || e^{ \frac{k 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} } {n} } || || || |SZ= }} für ein {{math|term= k|SZ=,}} d.h. die {{math|term= n|SZ=-}}ten Einheitswurzeln bilden die Ecken eines regulären {{math|term= n|SZ=-}}Ecks. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungssstand }} hj8hs69ovzvkkne2dgsoo1z2rn3ugfq 0 22429 779045 251660 2022-08-21T15:26:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Dann bilden die ebenen Drehungen um Vielfache des Winkels {{mathl|term= 360/n|SZ=}} Grad eine zyklische Gruppe der Ordnung {{math|term= n|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i9ktfhvhdvkqeabfierw59xpcb2166j 0 22430 779824 510428 2022-08-21T17:27:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Bei Division durch {{math|term= n|SZ=}} besitzt jede ganze Zahl {{math|term= k|SZ=}} einen eindeutig bestimmten Rest aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|n|}} || {{Repräsentantensystemmodn}} || || || |SZ=, }} den man mit {{mathl|term= k \mod n|SZ=}} bezeichnet. Auf der Menge dieser Reste kann man addieren, und zwar setzt man {{ Ma:Vergleichskette/disp | a +b |{{defeq}}|(a+b) \mod n || || || |SZ=. }} D.h. man ersetzt die in {{math|term= \Z|SZ=}} durch die gewöhnliche Addition gewonnene Summe durch ihren Rest modulo {{math|term= n|SZ=.}} Dies ist ebenfalls eine zyklische Gruppe, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Z modulo n/Repräsentanten/Assoziativität und Gruppe/Aufgabe |Refname= {{{ref1|Aufgabe}}} |SZ=, }} mit {{math|term= 1|SZ=}} als Erzeuger. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 95mm2nnahzkzs15p7j7yjgv0cpa4fdk 0 22441 778548 625306 2022-08-21T12:19:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aus {{ Ma:Vergleichskette | H || (a_1 {{kommadots}} a_k ) |\subseteq| (t) || || || || |SZ= }} folgt sofort {{ Ma:Vergleichskette |a_i \Z |\subseteq |t \Z || || || |SZ= }} für jedes {{ Ma:Vergleichskette |i ||1 {{kommadots}} k || || || |SZ=, }} was gerade bedeutet, dass {{math|term= t|SZ=}} diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Sei umgekehrt {{math|term= t|SZ=}} ein gemeinsamer Teiler. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |a_i |\in|t \Z || || || |SZ= }} und da {{ Ma:Vergleichskette |H ||(a_1 {{kommadots}} a_k ) || || || |SZ= }} die kleinste Untergruppe ist, die alle {{math|term= a_i|SZ=}} enthält, muss {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq| t \Z || || || |SZ= }} gelten. Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} wissen wir, dass es eine ganze Zahl {{math|term= g|SZ=}} gibt mit {{ Ma:Vergleichskette |H ||\Z d || || || |SZ=. }} Für einen anderen gemeinsamen Teiler {{math|term= t|SZ=}} der {{math|term= a_i|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette |\Z d ||H | \subseteq| \Z t || || |SZ=, }} so dass {{math|term= d|SZ=}} von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird, also ein größter gemeinsamer Teiler ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72pq7vaqj9rnuo0uor4a8vh7r4wh2qg 0 22468 781358 755376 2022-08-21T21:41:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte ein {{ Definitionslink |Prämath= |gleichseitiges Dreieck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in der {{math|term= x,y|SZ=-}}Ebene mit {{math|term= (0,0)|SZ=}} als Mittelpunkt und mit {{math|term= (1,0)|SZ=}} als einem der Eckpunkte. Betrachte darüber die doppelte Pyramide {{math|term= D|SZ=}} mit oberer Spitze {{math|term= (0,0,2)|SZ=}} und unterer Spitze {{math|term= (0,0,-2)|SZ=.}} Bestimme die Matrizen der {{ Zusatz/Klammer |text=eigentlichen| |ISZ=|ESZ= }} Bewegungen, die {{math|term= D|SZ=}} in sich überführen, ihre Drehachsen und erstelle eine Verknüpfungstabelle für diese Bewegungen. Beschreibe ferner, was unter diesen Bewegungen mit den drei Eckpunkten des zugrundeliegenden Dreiecks geschieht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Dieder |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 02zskyys8u0bys2yl18q6cz9jdx21h9 0 22469 782671 756447 2022-08-22T01:20:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= x \in G|SZ=}} ein Element und {{math|term= H \subseteq G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{Mengebed|k \in \Z|x^k \in H}} || || || |SZ= }} die Form {{math|term= M=\Z d|SZ=}} besitzt mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl {{math|term= d \geq 0|SZ=}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Potenz |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9q45l5n8ez18d0o5qlv6io7bi73e2nb 0 22474 782713 756491 2022-08-22T01:27:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} und {{math|term= x \in G|SZ=}} ein Element. Beweise durch Induktion unter Verwendung der {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppentheorie/Potenzgesetze/Fakt |Refname= {{{ref1|Potenzgesetze}}} |SZ=, }} dass für {{math|term= m,n \in \Z|SZ=}} gilt: {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^{mn} || {{makl| x^m |}}^n || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hbd54bewcu5yr0wabitmuw6ogj9v0gd 0 22475 782077 575235 2022-08-21T23:41:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Wasserspedition {{Anführung|Alles im Eimer}} verfügt über {{math|term= 77|SZ=-,}} {{math|term= 91|SZ=-}} und {{math|term= 143|SZ=-}}Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gtyo87pl1zxgrppx0onxa1uml4e0srl 0 22477 779134 251829 2022-08-21T15:41:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen für {{ mathkor|term1= 52 |und|term2= 30 |SZ= }} eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers finden. Wir führen dazu den euklidischen Algorithmus durch. {{Ma:Gleichungsfolge |52 | 1 \cdot 30 + 22 |30 | 1 \cdot 22 + 8 |22 | 2 \cdot 8 + 6 |8| 1 \cdot 6 + 2 |6 | 3 \cdot 2 + 0 |SZ=. }} D.h. {{math|term= 2|SZ=}} ist der größte gemeinsame Teiler von {{ mathkor|term1= 52 |und|term2= 30 |SZ=. }} Rückwärts gelesen erhält man daraus die Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/align |2 ||8-6 ||8-(22- 2 \cdot 8 ) ||3 \cdot 8 -22 ||3 \cdot (30-22) -22 ||3 \cdot 30 - 4 \cdot 22 ||3 \cdot 30 - 4 \cdot (52-30) ||7 \cdot 30 -4 \cdot 52 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s5flwuiacha5786prk4aytffnr0gjf9 0 22490 778546 483171 2022-08-21T12:19:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist klar, dass eine ganze Zahl {{math|term= b|SZ=}} ein gemeinsames Vielfaches der {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n|SZ=}} ist genau dann, wenn {{ math/disp|term= b \in \Z a_1 {{capdots|}} \Z a_n \text{ bzw. } \Z b \subseteq \Z a_1 {{capdots|}} \Z a_n |SZ= }} gilt. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} gibt es ein eindeutig bestimmtes {{mathl|term= c \geq 0|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z c || \Z a_1 {{capdots|}} \Z a_n || || || |SZ=. }} Nach der Vorüberlegung ist daher {{math|term= c|SZ=}} ein gemeinsames Vielfaches und für jedes weitere gemeinsame Vielfache {{math|term= b|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z b |\subseteq | \Z c || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass {{math|term= b|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= c|SZ=}} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m1abn39gexagpj5qfnh469expbg6pvw 0 22496 782704 756482 2022-08-22T01:26:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= G_1 {{kommadots|}} G_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Gruppen| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ=. }} a) Definiere{{n Sie}} eine Gruppenstruktur auf dem Produkt {{ math/disp|term= G_1 {{timesdots|}} G_n |SZ=. }} b) Es sei {{math|term= H|SZ=}} eine weitere Gruppe. Zeige{{n Sie}}, dass eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |H|G_1 {{timesdots|}} G_n |x| \varphi(x){{=}} (\varphi_1(x) {{kommadots|}} \varphi_n(x)) |SZ=, }} genau dann ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ= }} ist, wenn alle Komponenten {{math|term= \varphi_i|SZ=}} Gruppenhomomorphismen sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} idpyinnk51p6u0q09q9u90vsd4i3nld 0 22498 786042 759198 2022-08-22T10:20:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Stifte einen {{ Definitionslink |Gruppenisomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenisomorphismus/Definition |SZ= }} zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen {{mathl|term= (\R,0,+)|SZ=}} und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen {{mathl|term= (\R_+,1,\cdot )|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenisomorphismen |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8rpn3tcf8cw7gg1wm3jm79ib8c4cqql 0 22501 783374 757064 2022-08-22T03:18:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Stifte{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |surjektiven| |Definitionsseitenname= Abbildung/Surjektiv/Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ= }} von der {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} der komplexen Zahlen ohne null {{mathl|term= ({{CC}} \setminus \{0\}, \cdot,1)|SZ=}} in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen {{mathl|term= (\R_+,\cdot,1 )|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Theorie der Teilmengen von komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a9sr7jdq6lswl413fh55n7zunwn8w7j 0 22503 783375 757065 2022-08-22T03:18:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der komplexen Zahlen ohne null, {{mathl|term= {{CC}}^\times = ({{CC}} \setminus \{0\}, \cdot,1)|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} für jedes {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} den {{ Definitionslink |Kern| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition |SZ= }} des Potenzierens {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}^\times| {{CC}}^\times|z|z^n |SZ=. }} Sind diese {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismen| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ= }} surjektiv? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Potenz |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sqos6ana24un02lcrvk50nf8ruklx5y 0 22504 783159 756875 2022-08-22T02:42:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=multiplikativ geschriebene| |SZ= }} {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das Potenzieren {{ Ma:abbele/disp |name= |G|G |x|x^n |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Theorie der kommutativen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 42scyn1xid3axep8e9fkdmp0mmvxkyg 0 22507 785363 758655 2022-08-22T08:27:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= G|SZ=}} und {{math|term= H|SZ=}} {{ Definitionslink |Gruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G \times H|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Gruppe {{math|term= G \times \{ e_H \}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Normalteiler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= G \times H|SZ=}} ist, und dass die Restklassengruppe {{math|term= (G \times H)/G \times \{ e_H \} |SZ=}} kanonisch {{ Definitionslink |isomorph| |Definitionsseitenname= Gruppenisomorphismus/Definition |SZ= }} zu {{math|term= H|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Normalteiler |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} difkmu4ahi7y25lgbp357dz4g7rjy1s 106 22515 778682 577681 2022-08-21T12:40:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesungsgestaltung|13| {{Zwischenüberschrift|term=Einheiten}} {{inputdefinition|Ringtheorie/Einheit/Definition|}} Das Element {{math|term=v|SZ=}} mit der Eigenschaft {{mathl|term=uv=vu=1|SZ=}} ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch {{math|term=w|SZ=}} die Eigenschaft {{mathl|term=uw=wu=1|SZ=,}} so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |v ||v_1 || v (u w) || 1w ||w |SZ=. }} Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte {{math|term=v|SZ=}} mit {{mathl|term=uv=1|SZ=}} nennt man das (multiplikativ) {{Definitionswort/enp|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} zu {{math|term=u|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math/disp|term=u^{-1} |SZ=.}} Im kommutativen Fall muss man natürlich nur die Eigenschaft {{mathl|term=uv=1|SZ=}} überprüfen. Eine Einheit ist stets ein Nichtnullteiler. Aus {{mathl|term=ux=0|SZ=}} folgt ja sofort {{mathl|term=x=u^{-1}ux=0|SZ=.}} {{inputdefinition|Ringtheorie/Einheitengruppe/Definition|}} Die Menge aller Einheiten in einem Ring bilden in der Tat eine Gruppe (bzgl. der Multiplikation mit {{math|term=1|SZ=}} als neutralem Element). Wenn {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} die Inversen {{ mathkor|term1= v^{-1} |und|term2= w^{-1} |SZ= }} haben, so ist das Inverse von {{math|term=vw|SZ=}} gleich {{mathl|term=w^{-1}v^{-1}|SZ=.}} Zu einer Einheit {{mathl|term=u\in R|SZ=}} machen auch Potenzen mit einem negativen Exponenten Sinn, d.h. es ist dann {{math|term=u^n|SZ=}} für {{mathl|term=n\in\Z|SZ=}} definiert. Die Zahl {{math|term=-1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also das Negative zu {{math|term=1|SZ=}} | |SZ= }} ist stets eine Einheit, da ja {{mathl|term=(-1)(-1)=1|SZ=}} ist. Bei {{math|term=\Z|SZ=}} besteht die Einheitengruppe aus diesen beiden Elementen, also {{mathl|term={{op:Einheiten|\Z}} =\{1,-1\}|SZ=.}} Die Null ist mit der Ausnahme des Nullrings nie eine Einheit. Für eine Einheit ist auch die {{Stichwort|term=Bruchschreibweise|SZ=}} erlaubt und gebräuchlich. D.h. wenn {{math|term=u|SZ=}} eine Einheit ist und {{math|term=x\in R|SZ=}} beliebig, so setzt man {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|u}} || xu^{-1} || || || |SZ=. }} Wie gesagt, der Nenner muss eine Einheit sein! Wenn außer der Null alle Elemente Einheiten sind, so verdient das einen eigenen Namen, wovon der folgende Abschnitt handelt. {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Viele wichtige Zahlbereiche haben die Eigenschaft, dass man durch jede Zahl {{ Zusatz/Gs |text=mit der Ausnahme der Null!| |SZ= }} auch dividieren darf. Dies wird durch den Begriff des Körpers präzisiert. {{inputdefinition|Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition|}} Es sind also die rationalen Zahlen {{math|term=\Q|SZ=,}} die reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=}} und die komplexen Zahlen {{math|term={{CC}}|SZ=}} Körper, die ganzen Zahlen dagegen nicht. Wir werden im Laufe dieser Vorlesung noch viele weitere Körper kennenlernen. Einen Körper kann man auch charakterisieren als einen kommutativen Ring, bei der die von null verschiedenen Elemente eine Gruppe {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Multiplikation| |SZ= }} bilden. {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Unterkörper/Definition|| }} Wenn ein Unterring {{mathl|term=R \subseteq K|SZ=}} in einem Körper vorliegt, so muss man nur noch schauen, ob {{math|term=R|SZ=}} mit jedem von null verschiedenen Element {{math|term=x|SZ=}} auch das Inverse {{math|term=x^{-1}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das in {{math|term=K|SZ=}} existiert| |SZ= }} enthält. Bei einem Unterring {{mathl|term=R \subseteq S|SZ=,}} wobei {{math|term=R|SZ=}} ein Körper ist, aber {{math|term=S|SZ=}} nicht, so spricht man nicht von einem Unterkörper. Die Situation, wo ein Körper in einem anderen Körper liegt, wird als Körpererweiterung bezeichnet. {{ inputdefinition |Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Ringhomomorphismen}} {{inputdefinition|Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition|}} Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen {{Definitionswort/enp|Ringisomorphismus|SZ=,}} und zwei Ringe heißen {{Definitionswort/enp|isomorph|SZ=,}} wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Zu einem Unterring {{mathl|term=S \subseteq R|SZ=}} ist die natürliche Inklusion ein Ringhomomorphismus. Die konstante Abbildung {{ Ma:abb |name= |R|0 || |SZ= }} in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also {{ Ma:abb |name= |0|R || |SZ=, }} nur bei {{mathl|term=R=0|SZ=}} ein Ringhomomorphismus. {{:Kanonischer Ringhomomorphismus/Charakteristik/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Integritätsbereich/Charakteristik ist Primzahl/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Ring/Ringhomomorphismus nach Endomorphismenring/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweistrivial |Ringhomomorphismus/Einheit auf Einheit/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Ideale}} Wir beschränken uns im Folgenden auf kommutative Ringe, um nicht zwischen Linksidealen, Rechtsidealen und beidseitigen Idealen unterscheiden zu müssen. {{:Kommutativer Ring/Ideale und Hauptideale/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Wir werden auf Hauptideale im Rahmen der Teilbarkeitstheorie bald zurückkommen.}} Die Idealtheorie in einem Ring reflektiert viele Eigenschaften des Ringes, worauf wir im Rahmen der Teilbarkeitstheorie zurückkommen werden. Eine erste Beobachtung in diese Richtung kommt im folgenden Lemma zum Ausdruck. {{ inputfaktbeweis |Körper/Genau zwei Ideale/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Ideale unter einem Ringhomomorphismus}} {{:Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Körperfall/Textabschnitt|}} }} l8ymoheilste23i2olgwdgvk7aua9dz 106 22516 785070 538752 2022-08-22T07:42:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesungsgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|term=Restklassenbildung}} {{:Kommutative Ringtheorie/Restklassenringe/Gruppe bekannt/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Homomorphiesätze für Ringe}} Für Ringe, ihre Ideale und Ringhomomorphismen gelten die analogen Homomorphiesätze wie für Gruppen, ihre Normalteiler und Gruppenhomomorphismen, siehe die achte Vorlesung. Wir beschränken uns auf kommutative Ringe. {{:Homomorphiesätze/Kommutative Ringe/Gruppe bekannt/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweishier |Kommutative Ringtheorie/Isomorphiesatz für Restklassenringe/Fakt|Satz|| |Beweistext=Auch dies ergibt sich aus der Gruppensituation und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ringhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} }} {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Einheit/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term= {{math|term=\Z|SZ=}} ist ein Hauptidealbereich}} Wir wollen nun die Restklassenringe der ganzen Zahlen verstehen. Bei den ganzen Zahlen muss man nicht zwischen Untergruppen und Idealen unterscheiden, da jede Untergruppe von {{math|term=\Z|SZ=}} die Gestalt {{math|term=n \Z|SZ=}} mit {{math|term=n \geq 0|SZ=}} besitzt und daher ein (Haupt-)Ideal ist. Insbesondere hat überhaupt jedes Ideal in {{math|term=\Z|SZ=}} diese einfache Gestalt. Dass jede Untergruppe von {{math|term=\Z|SZ=}} eine besonders einfache Gestalt hat ist eine Besonderheit der ganzen Zahlen, dagegen ist die Eigenschaft, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist, weiter verbreitet und verdient einen eigenen Namen. {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition|}} Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, der aber kein Integritätsbereich sein muss, heißt {{Definitionswort/enp|Hauptidealring|SZ=.}} Wir halten fest. {{ inputfaktbeweis |Z ist Hauptidealbereich/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Restklassenringe von {{math|term=\Z|SZ=}}}} {{ inputbild |Anillo cíclico|png | 300px {{!}} {{!}} |epsname=Anillo_cíclico |Autor=Romero Schmidtke |Benutzer=FrancoGG |Domäne=es.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Die Restklassengruppen {{math|term={{op:Zmod|n}}|SZ=}} haben wir bereits kennengelernt, es handelt sich um zyklische Gruppen der Ordnung {{math|term=n|SZ=.}} Diese Gruppen bekommen jetzt aber noch zusätzlich eine Ringstruktur. {{ inputfaktbeweishier |Restklassenringe von Z/Ringhomomorphismus/Fakt|Korollar|| |Beweistext=Dies ist ein Spezialfall von Definition 14.2 und den sich daran anschließenden Überlegungen. }} Die Charakteristik von {{math|term={{op:Zmod|n|}}|SZ=}} ist {{math|term=n|SZ=.}} Dies zeigt insbesondere, dass es zu jeder Zahl {{math|term=n|SZ=}} Ringe gibt mit dieser Charakteristik. Zu einem beliebigen Ring {{math|term=R|SZ=}} der Charakteristik {{math|term= n |SZ=}} faktorisiert der charakteristische Ringhomomorphismus {{ Ma:abb |name= |\Z|R || |SZ= }} durch {{ math/disp|term= \Z \longrightarrow {{op:Zmod|n}} \longrightarrow R |SZ=, }} wobei die hintere Abbildung injektiv ist. Der Ring {{math|term= {{op:Zmod|n}}|SZ=,}} {{math|term=n={{op:Charakteristik|R|}}|SZ=,}} ist der kleinste Unterring von {{math|term=R|SZ=,}} und wird der {{Definitionswort/enp|Primring|SZ=}} von {{math|term=R|SZ=}} genannt. {{ inputfaktbeweis |Restklassenringe (Z)/Teiler und Morphismus/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} Vor dem nächsten Satz erinnern wir der Vollständigkeit halber an die Definition einer Primzahl. {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} Wir werden uns bald mit ähnlichen Begriffen in einem allgemeineren Kontext auseinandersetzen. {{ inputfaktbeweis |Restklassenringe von Z/Körper/Integer/Primzahl/Fakt|Satz|| |ref1= |ref2= }} Die vorstehende Aussage folgt auch aus Lemma 14.7. Wenn also {{math|term=p|SZ=}} eine Primzahl ist, so ist der Restklassenring {{math|term={{op:Zmod|p|}}|SZ=}} ein Körper mit {{math|term=p|SZ=}} Elementen, den man auch den {{Definitionswort/enp|Restklassenkörper|SZ=}} nennt. Die Einheitengruppe {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Einheiten|{{op:Zmod|p|}} }} || \{ 1 {{kommadots|}} p-1 \} || || || |SZ= }} ist eine Gruppe mit {{math|term=p-1|SZ=}} Elementen {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der Multiplikation| |SZ=. }} Bei {{math|term=p=5|SZ=}} hat man beispielsweise {{ math/disp|term= {{op:kl|2}}^0={{op:kl|1}} ,\, {{op:kl|2}}^1= {{op:kl|2}} ,\, {{op:kl|2}}^2= {{op:kl|4}}= {{op:kl|-1}},\, {{op:kl|2}}^3= {{op:kl|8}}= {{op:kl|3}} |SZ=, }} d.h. die Potenzen von {{math|term= {{op:kl|2|}}|SZ=}} durchlaufen sämtliche vier Elemente dieser Gruppe, die sich damit als zyklisch erweist. Wir werden in ein paar Wochen zeigen, dass für jede Primzahl {{math|term=p|SZ=}} die Einheitengruppe des Restklassenkörpers {{math|term={{op:Zmod|p|}}|SZ=}} zyklisch ist! Diese Gruppen nennt man auch die {{Definitionswort/enp|primen Restklassengruppen|msw=Prime Restklassengruppe|SZ=.}} {{ inputbild |Pierre de Fermat|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Pierre_de_Fermat |Text=[[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat (1607/08-1665)]] |Autor= |Benutzer=Magnus Manske |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Fermat.html }} {{inputfaktbeweis|Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt|Satz||ref1=Satz von Lagrange}} }} chgv0w6ck684eo0w4vv38w3sgw5y0b6 0 22552 782665 756441 2022-08-22T01:19:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ=, }} in der jedes Element die {{ Definitionslink |Ordnung| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung/Definition |SZ= }} zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement {{math|term= g|SZ=}} gilt {{mathl|term= g^2 = e|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Gruppe {{math|term= G|SZ=}} dann {{ Definitionslink |abelsch| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Gruppen |Kategorie2=Ordnung (Gruppentheorie) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ordnung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jmzg1h9fo3lk0uxfzu7ks1hresvdnc7 0 22589 780006 475943 2022-08-21T17:57:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten einen Würfel mit den Eckpunkten {{mathl|term= (\pm 1, \pm 1, \pm 1)|SZ=}} und den darin enthaltenen Tetraeder mit den vier Eckpunkten {{ math/disp|term= (1,1,1),\, (-1,-1,1),\, (1,-1,-1), \, (-1,1,-1) |SZ=. }} Dann ist jede Bewegung des Tetraeders auch eine Bewegung des Würfels: Eine Drehung des Tetraeders um eine Eck-Seitenmittelpuntkache ist eine Drehung des Würfels um eine Raumdiagonale. Eine Drehung des Tetraeders um eine Kantenmittelpunktachse ist eine (Halb-)drehung des Würfels um eine Seitenmittelpunktachse. Dies sind alle zwölf Tetraederbewegungen. Die Vierteldrehungen des Würfels um eine Seitenmittelpunktsachse und die Halbdrehungen um eine Würfelkantenmittelpunktachse bilden den Tetraeder nicht auf sich ab. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Die Tetraedergruppe |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0u11hfxtb0rxjzbpuu903mmcef7t355 106 22612 785013 728585 2022-08-22T07:34:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesungsgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|term=Faktorielle Ringe}} In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass in einem Hauptidealbereich einerseits jedes irreduzible Element prim ist und andererseits jedes Element ein Produkt von irreduziblen Elementen und damit auch von Primelementen ist. Wir werden gleich zeigen, dass unter diesen Voraussetzung die Zerlegung in Primelemente sogar im Wesentlichen eindeutig ist. Um dies prägnant fassen zu können, dient der Begriff des faktoriellen Ringes {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition|}} {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt|Satz||ref1=|ref2=|ref3=}} {{inputfaktbeweis |Faktorieller Ring/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt|Korollar||ref1=}} {{Zwischenüberschrift|term=Restklassenringe von Hauptidealbereichen}} {{inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt|Satz|}} Für die Restklassenringe von Hauptidealbereichen gilt wieder der chinesische Restsatz {{ Zusatz/Klammer |text=für beliebige faktorielle Bereiche gilt er nicht, da das Lemma von Bezout dafür im Allgemeinen nicht gilt| |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Zerlegung in irreduzible Polynome}} Wir möchten nun, abhängig von einem gewählten Grundkörper {{math|term=K|SZ=,}} Aussagen über die irreduziblen Elemente in {{math|term=K[X]|SZ=}} und über die Primfaktorzerlegung von Polynomen treffen. {{ inputfaktbeweishier |Polynomring über Körper/Eine Variable/Eindeutige Zerlegung in normierte Polynome/Fakt|Korollar||Beweistext=Dies folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring_über_Körper/Eine_Variable/Hauptidealbereich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und daraus, dass jedes Polynom {{math|term=\neq 0|SZ=}} zu einem normierten Polynom assoziiert ist.|| |ref1=|| }} Die irreduziblen Elemente stimmen mit den Primelementen überein, man spricht meist von {{Stichwort|irreduziblen Polynomen|SZ=.}} Diese Eigenschaft hängt wesentlich vom gewählten Körper ab, und nicht für jeden Körper lassen sich die irreduziblen Polynome übersichtlich beschreiben. Bei Irreduzibilitätsfragen kann man stets mit Einheiten multiplizieren, daher muss man nur normierte Polynome untersuchen. Als echte Faktoren für ein Polynom kommen nur Polynome von kleinerem Grad in Frage. Insbesondere sind daher {{Stichwort|lineare Polynome|msw=Lineares Polynom|SZ=,}} also Polynome von Typ {{ mathbed|term= aX+b ||bedterm1= a\neq 0 |SZ=, }} stets irreduzibel. Ob ein lineares Polynom ein Faktor eines anderen Polynoms {{ Zusatz/Klammer |text=und damit ein Primfaktor davon| |SZ= }} ist, hängt direkt mit den Nullstellen des Polynoms zusammen. {{Zwischenüberschrift|term=Nullstellen von Polynomen}} {{inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt|Lemma||ref1=}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} {{inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt|Korollar||ref1=}} {{ inputbeispiel |Irreduzible Polynome/Abhängigkeit vom Grundkörper/Q,R,C/Beispiel|| }} }} a6txmojgq175g95ucyhukulsk1szt2a 785017 785013 2022-08-22T07:34:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesungsgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|term=Faktorielle Ringe}} In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass in einem Hauptidealbereich einerseits jedes irreduzible Element prim ist und andererseits jedes Element ein Produkt von irreduziblen Elementen und damit auch von Primelementen ist. Wir werden gleich zeigen, dass unter diesen Voraussetzung die Zerlegung in Primelemente sogar im Wesentlichen eindeutig ist. Um dies prägnant fassen zu können, dient der Begriff des faktoriellen Ringes {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition|}} {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt|Satz||ref1=|ref2=|ref3=}} {{inputfaktbeweis |Faktorieller Ring/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt|Korollar||ref1=}} {{Zwischenüberschrift|term=Restklassenringe von Hauptidealbereichen}} {{inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt|Satz|}} Für die Restklassenringe von Hauptidealbereichen gilt wieder der chinesische Restsatz {{ Zusatz/Klammer |text=für beliebige faktorielle Bereiche gilt er nicht, da das Lemma von Bezout dafür im Allgemeinen nicht gilt| |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Zerlegung in irreduzible Polynome}} Wir möchten nun, abhängig von einem gewählten Grundkörper {{math|term=K|SZ=,}} Aussagen über die irreduziblen Elemente in {{math|term=K[X]|SZ=}} und über die Primfaktorzerlegung von Polynomen treffen. {{ inputfaktbeweishier |Polynomring über Körper/Eine Variable/Eindeutige Zerlegung in normierte Polynome/Fakt|Korollar||Beweistext=Dies folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring_über_Körper/Eine_Variable/Hauptidealbereich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und daraus, dass jedes Polynom {{math|term=\neq 0|SZ=}} zu einem normierten Polynom assoziiert ist.|| |ref1=|| }} Die irreduziblen Elemente stimmen mit den Primelementen überein, man spricht meist von {{Stichwort|irreduziblen Polynomen|msw=Irreduzibles Polynom|SZ=.}} Diese Eigenschaft hängt wesentlich vom gewählten Körper ab, und nicht für jeden Körper lassen sich die irreduziblen Polynome übersichtlich beschreiben. Bei Irreduzibilitätsfragen kann man stets mit Einheiten multiplizieren, daher muss man nur normierte Polynome untersuchen. Als echte Faktoren für ein Polynom kommen nur Polynome von kleinerem Grad in Frage. Insbesondere sind daher {{Stichwort|lineare Polynome|msw=Lineares Polynom|SZ=,}} also Polynome von Typ {{ mathbed|term= aX+b ||bedterm1= a\neq 0 |SZ=, }} stets irreduzibel. Ob ein lineares Polynom ein Faktor eines anderen Polynoms {{ Zusatz/Klammer |text=und damit ein Primfaktor davon| |SZ= }} ist, hängt direkt mit den Nullstellen des Polynoms zusammen. {{Zwischenüberschrift|term=Nullstellen von Polynomen}} {{inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt|Lemma||ref1=}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} {{inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt|Korollar||ref1=}} {{ inputbeispiel |Irreduzible Polynome/Abhängigkeit vom Grundkörper/Q,R,C/Beispiel|| }} }} juuj4rp82pg3ws7v2iy6f3wot4v6byw 106 22613 784280 660591 2022-08-22T05:49:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesungsgestaltung|16| {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe}} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|| }} Ein Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||{{polynomX|n|a|i}} ||{{polynomX/dots|n|a}} || || |SZ= }} ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel {{mathl|term= (a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n ) |SZ=,}} die die {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} des Polynoms heißen. Der Ring {{math|term=R|SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|Grundring|SZ=}} des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem {{Stichwort|Nullpolynom|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem alle Koeffizienten null sind| |SZ= }} als neutralem Element. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit {{ Ma:Vergleichskette |a_i ||0 || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |i |\geq|1 || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=Konstantes Polynom|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term=a_0|SZ=.}} Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt {{mathl|term= X^{i} X^{j} |SZ=}} ist nämlich durch die Addition der Exponenten gegeben. Dabei nennt man {{math|term=X|SZ=}} die {{Stichwort|Variable|SZ=}} des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, {{Anführung|alles mit allem}} zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben: {{ math/disp|term= {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Eine Variable/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Einsetzungshomomorphismus}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Den in diesem Satz konstruierten Ringhomomorphismus nennt man den {{Stichwort|Einsetzungshomomorphismus|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Eine Variable/Variablenwechsel/Fakt|Korollar| |ref1=| }} {{ inputfaktbeweis |Unterring/Zugehörige Polynomringe/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} Die vorstehende Aussage bedeutet einfach, dass man ein Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term=S|SZ=}} direkt auch als Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term=R|SZ=}} auffassen kann. So ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten insbesondere auch ein Polynom mit rationalen Koeffizienten und mit reellen Koeffizienten. Die Addition und die Multiplikation von zwei Polynomen hängt nicht davon ab, ob man sie über einem kleineren oder einem größeren Grundring ausrechnet, so lange dieser nur alle beteiligten Koeffizienten enthält. Es gibt aber auch viele wichtige Eigenschaften, die vom Grundring abhängen, wie beispielsweise die Eigenschaft, irreduzibel zu sein. {{Zwischenüberschrift|term=Der Grad eines Polynoms}} {{ inputdefinition |Polynomring/Grad/Definition|| }} In der Situation der vorstehenden Definition heißt {{math|term=a_n|SZ=}} der {{Definitionswort/enp|Leitkoeffizient|SZ=}} des Polynoms. Wenn der Leitkoeffizient {{math|term=1|SZ=}} ist, so nennt man das Polynom {{Definitionswort/enp|normiert|msw=Normiertes Polynom|SZ=.}} Dem Nullpolynom wird im Allgemeinen kein Grad zugewiesen; manchmal sind gewisse Gleichungen oder Bedingungen aber auch so zu verstehen, dass dem Nullpolynom jeder Grad zugewiesen wird. {{ inputfaktbeweistrivial |Polynomring/Grad/Einfache Regeln/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Die Konstruktion von Polynomringen aus einem Grundring kann man iterieren. Aus {{math|term=R|SZ=}} kann man {{math|term=R[X]|SZ=}} machen und daraus mit einer neuen Variablen den Ring {{mathl|term=(K[X])[Y]|SZ=}} bilden. Für diesen Ring schreibt man auch {{mathl|term= R[X,Y] |SZ=.}} Ein Element darin hat die Gestalt {{ math/disp|term= \sum_{i,j} a_{ij} X^{i}Y^{j} |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Erzeugter Unterring/Polynomiale Ausdrücke/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe über einem Körper}} Es bestehen viele und weitreichende Parallelen zwischen dem Ring {{math|term=\Z|SZ=}} der ganzen Zahlen und einem Polynomring in einer Variablen über einem Körper. Grundlegend ist, dass man in beiden Situation eine {{Stichwort|Division mit Rest|SZ=}} durchführen kann. {{ inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputbemerkung |Division mit Rest/Konstruktiv/Bemerkung||ref1= }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt|Satz|| |ref1=| }} {{ inputdefinition |Polynomfunktion/Körper/Definition|| |zusatz= |tipp= }} Man muss streng zwischen Polynomen und Polynomfunktionen unterscheiden, insbesondere für {{mathl|term=K={{op:Zmod|p}}|SZ=.}} Das Polynom {{math/disp|term=X^p-X|SZ=}} hat beispielsweise nach dem {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt |Refname= {{{ref|kleinen Fermat (Satz 14.14)}}} |SZ= }} für jedes {{mathl|term=a \in K|SZ=}} den Wert {{mathl|term=a^p-a=0|SZ=.}} D.h. die durch dieses Polynom definierte Polynomfunktion ist die Nullfunktion, obwohl das Polynom selbst nicht das Nullpolynom ist. Bei {{mathl|term=K=\R|SZ=}} lassen sich die Polynomfunktionen graphisch veranschaulichen. {{ inputbild |Polynomialdeg2|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor=Enoch Lau |Benutzer= |Domäne=englische Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }}{{ inputbild |Polynomialdeg3|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor=Enoch Lau |Benutzer= |Domäne=englische Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }}{{ inputbild |Polynomialdeg4|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor=Enoch Lau |Benutzer= |Domäne=englische Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Polynomialdeg5|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor=Enoch Lau |Benutzer= |Domäne=englische Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} }} jjm80qcqn90t29smlgxz79k2bl5vy66 0 22641 782436 471873 2022-08-22T00:41:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z \times \Z|\Z |(a,b)|a-b |SZ=. }} Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2=Theorie der Addition der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Differenz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7clik6zmbfz7adll80f1eaq7z85v5ce 0 22687 778545 748217 2022-08-21T12:19:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{Aufzählung4 |Zunächst ist natürlich das Produkt {{math|term= ab|SZ=}} ein gemeinsames Vielfaches von {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= b|SZ=.}} Sei also {{math|term= f|SZ=}} irgendein gemeinsames Vielfaches, also {{ mathkor|term1= f=ua |und|term2= f=vb |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} gibt es im teilerfremden Fall Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |r,s |\in| \Z || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | ra+sb || 1 || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | f || f \cdot 1 || f (ra+sb) || fra +fsb || vbra+uasb || (vr+us)ab |SZ= }} ein Vielfaches von {{math|term= ab|SZ=.}} |Die Existenz von {{math|term= c|SZ=}} und {{math|term= d|SZ=}} ist klar. Hätten {{ mathkor|term1= c |und|term2= d |SZ= }} einen gemeinsamen Teiler {{ Ma:Vergleichskette | e |\neq| 1,-1 || || || |SZ=, }} so ergäbe sich sofort der Widerspruch, dass {{math|term= e \cdot \operatorname{ggT} \,(a,b) |SZ=}} ein größerer gemeinsamer Teiler wäre. |Die rechte Seite ist offenbar ein gemeinsames Vielfaches von {{ mathkor|term1= ga |und|term2= gb |SZ=. }} Sei {{math|term= n|SZ=}} ein Vielfaches der linken Seite, also ein gemeinsames Vielfaches von {{ mathkor|term1= ga |und|term2= gb |SZ=. }} Dann kann man {{ mathkor|term1= n=uga |und|term2= n=vgb |SZ= }} schreiben. Damit ist {{ Ma:Vergleichskette |uga ||vgb || || || |SZ= }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette |k | {{defeq|}} | ua || vb || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Ma:Vergleichskette/k | g |\neq| 0 || || || |SZ=; }} bei {{ Ma:Vergleichskette/k | g || 0 || || || |SZ= }} ist die Behauptung direkt klar| |SZ= }} ein gemeinsames Vielfaches von {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette |n ||gk || || || |SZ= }} ein Vielfaches der rechten Seite. |Wir schreiben unter Verwendung der ersten Teile {{ Ma:Vergleichskette/align | \operatorname{ggT} \, (a,b) \cdot \operatorname{kgV} \,(a,b) || \operatorname{ggT} \, (a,b) \cdot \operatorname{kgV} \, (c\cdot( \operatorname{ggT} \, (a,b)) , d\cdot ( \operatorname{ggT} \, (a,b)) ) || \operatorname{ggT} \, (a,b) \cdot\operatorname{ggT} \, (a,b)\cdot \operatorname{kgV} \,(c,d) || \operatorname{ggT} \, (a,b) \cdot\operatorname{ggT} \, (a,b)\cdot cd || c \cdot \operatorname{ggT} \, (a,b) \cdot d \cdot \operatorname{ggT} \, (a,b) || ab |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hozqjmw0uexflr1bto8le7u4fuw80om 0 22695 782103 483081 2022-08-21T23:46:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Darstellung des {{math|term= \operatorname{ggT}|SZ=}} von {{ mathkor|term1= 5 |und|term2= 7 |SZ= }} an. Wie viele solche Darstellungen gibt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 42zwnyaqmas9rvr4zu057kgt07b7g48 0 22826 779235 763324 2022-08-21T15:56:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also {{mathl|term= (\R, {{latexzieh|}} 0, {{latexzieh|}} +)|SZ=,}} und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also {{mathl|term= (\R_+,1,\cdot )|SZ=.}} Dann ist die Exponentialabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\exp |\R|\R_+ |x| \exp(x) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Gruppenisomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenisomorphismus/Definition |SZ=. }} Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung des Exponentialgesetzes {{ Ma:Vergleichskette/disp |\exp(x+y) ||e^{x+y} ||e^x e^y ||\exp(x) \exp(y) |SZ=. }} Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die reelle Exponentialfunktion |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hyanirc1swsmq7g9cpyhj9kdeb98gvu 0 22829 782677 756453 2022-08-22T01:21:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Matrix {{ math/disp|term= \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 &2 \end{pmatrix} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Matrix einen {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q^2|SZ=}} nach {{math|term= \Q^2|SZ=}} und ebenso von {{ mathkor|term1= \Z^2 |nach|term2= \Z^2 |SZ= }} definiert. Untersuche{{n Sie}} diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf {{ Definitionslink |Injektivität| |Definitionsseitenname= Abbildung/Injektiv/Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Surjektivität| |Definitionsseitenname= Abbildung/Surjektiv/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d26yvm5lzlrrucrurs1pm1166r6udlh 0 22832 782683 756460 2022-08-22T01:22:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi |G|G || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der Fixpunkte von {{math|term= \varphi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Untergruppe/Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenisomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Fixpunkt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kmoj8yywznb13xyyot5sg093ncvge1r 0 22834 780548 753002 2022-08-21T19:26:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine additiv geschriebene {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Negation, also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |G|G |x|-x |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Gruppenisomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenisomorphismus/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenisomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Negation |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6pog1bzxfgocvnac99x2yju06sw5ft 0 22835 786059 759210 2022-08-22T10:22:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gibt es {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismen| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |(\R,+,0)|(\R,+,0) || |SZ=, }} die nicht {{math|term= \R|SZ=-}}linear sind? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mzdtzfekdxb8bx8ykickms84j2bfk9l 0 22849 786186 632346 2022-08-22T10:44:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen. Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Relationen auf {{math|term= M|SZ=,}} die {{ Aufzählung3 |reflexiv |symmetrisch |reflexiv und symmetrisch }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0hcr6lw64mc89181in44k43fwuic2v7 0 22853 783431 757111 2022-08-22T03:27:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= n\times n|SZ=-}}Matrizen über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |konjugierte| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Matrizen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} aus {{mathl|term= {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die Dimension der {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem Eigenwert, die {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalisierbarkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Trigonalisierbarkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ähnlichen Matrizen |Kategorie2=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Matrix |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} po6y80mbm300wrt66373funbjs592mi 0 22856 784928 758371 2022-08-22T07:20:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S_3|SZ=}} die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Menge {{mathl|term= \{1,2,3\}|SZ=}} in sich selbst{{{extra|}}}. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Konjugationsklassen| |Definitionsseitenname= Gruppenkonjugation/Konjugationsklasse/Definition |SZ= }} dieser Gruppe. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Permutationsgruppe S3 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} std40tdx6w8zorqnutbpdgfq3rd0zdz 0 22872 779230 763316 2022-08-21T15:56:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachte die analytische Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|{{CC}} |t|e^{ {{Imaginäre Einheit|}} t}{{=}}\cos t + {{Imaginäre Einheit|}} \sin t |SZ=. }} Aufgrund des Exponentialgesetzes {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | e^{ {{Imaginäre Einheit|}} (t+s)} ||e^{ {{Imaginäre Einheit|}} t} e^{ {{Imaginäre Einheit|}} s} || || || |SZ=. }} Daher liegt ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von der additiven Gruppe {{mathl|term= (\R,+,0)|SZ=}} in die multiplikative Gruppe {{mathl|term= ({{op:Einheiten|{{CC}}}}, \cdot, 1)|SZ=}} vor. Wir bestimmen den {{ Definitionslink |Kern| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition |SZ= }} und das Bild dieser Abbildung. Für den Kern muss man diejenigen reellen Zahlen {{math|term= t|SZ=}} bestimmen, für die {{ mathkor/disp|term1= \cos t = 1 |und|term2= \sin t = 0 |SZ= }} ist. Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist dies genau dann der Fall, wenn {{math|term= t|SZ=}} ein ganzzahliges Vielfaches von {{math|term= 2 \pi|SZ=}} ist. Der Kern ist also die {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 2 \pi \Z|SZ=.}} Für einen Bildpunkt gilt {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|e^{ {{Imaginäre Einheit|}} t} }} ||\sin^2 t + \cos^2 t ||1 |SZ=, }} so dass der Bildpunkt auf dem komplexen Einheitskreis liegt. Andererseits durchlaufen die trigonometrischen Funktionen den gesamten Einheitskreis, so dass die Bildgruppe der Einheitskreis mit der komplexen Multiplikation ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1wschftkze0ftznno3q90fi6b0cv2on 0 22895 780162 772552 2022-08-21T18:19:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N }} und {{ Ma:Vergleichskette |M || \R^{n+1} \setminus \{0\} || || || |SZ=. }} Der {{mathl|term= \R^{n+1} }} ist ein reeller Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von {{mathl|term= \lambda \in \R }} und {{mathl|term= x\in \R^{n+1} }} mit {{mathl|term= \lambda \cdot x}} bezeichnet wird. Sei weiter {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || {{Mengebed| (x,y) \in M \times M | \text{ es gibt ein } \lambda \in \R \setminus \{0\} \text{ mit } \lambda \cdot x {{=}} y }} || || || |SZ=. }} Zwei Punkte werden also als äquivalent erklärt, wenn sie durch Skalarmultiplikation mit einem Skalar {{ Ma:Vergleichskette |\lambda |\neq|0 || || || |SZ= }} ineinander überführt werden können. Ebenso könnte man sagen, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn sie dieselbe Gerade durch den Nullpunkt definieren. Dass wirklich eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt, sieht man so. Die Reflexivität folgt aus {{ Ma:Vergleichskette |x ||1x || || || |SZ= }} für jedes {{mathl|term= x \in M|SZ=.}} Zur Symmetrie sei {{mathl|term= xRy|SZ=,}} d.h. es gibt ein {{ Ma:Vergleichskette |\lambda |\neq|0 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\lambda x || y || || || |SZ=. }} Dann gilt aber auch {{ Ma:Vergleichskette |y || \lambda^{-1}x || || || |SZ=, }} da ja {{math|term= \lambda|SZ=}} ein Inverses besitzt. Zum Nachweis der Transitivität sei {{ mathkor|term1= xRy |und|term2= yRz |SZ= }} angenommen, d.h. es gibt {{ Ma:Vergleichskette | \lambda, \delta |\neq| 0 || || || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= \lambda x=y |und|term2= \delta y =z |SZ=. }} Dann ist insgesamt {{ Ma:Vergleichskette |z ||\delta y ||(\delta \lambda) x |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \delta \lambda |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Äquivalenzrelation sind die einzelnen Geraden durch den Nullpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=aber ohne den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} heißt {{Stichwort| reell-projektiver Raum}} {{ Zusatz/Klammer |text=der reellen Dimension {{math|term= n}}| |ISZ=|ESZ= }} und wird mit {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|\R}}}} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2=Theorie der reell-projektiven Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektiv |Autor=Anakin |Autor2=Bocardodarapti |Bearbeitungsstand= }} d7ky6yxhaoy0aeegoqioijr85qu0trq 0 22903 778854 747979 2022-08-21T13:05:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung5 |Seien {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} äquivalent und {{ Ma:Vergleichskette |u |\in|[x] || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |x |\sim|u || || || |SZ= }} und nach der Transitivität auch {{ Ma:Vergleichskette |y |\sim|u || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |u |\in|[y] || || || |SZ=. }} Damit stimmen die Äquivalenzklassen überein. Die Implikation von der Mitte nach rechts ist klar, da wegen {{ Ma:Vergleichskette |x |\sim|x || || || |SZ= }} Äquivalenzklassen nicht leer sind. Sei nun {{ Ma:Vergleichskette | [x] \cap [y] |\neq| \emptyset || || || |SZ=, }} und sei {{math|term= z|SZ=}} ein Element im Durchschnitt. Dann ist {{ mathkor|term1= x \sim z |und|term2= y \sim z |SZ= }} und wegen der Transitivität ist {{ Ma:Vergleichskette |x |\sim|y || || || |SZ=. }} |Wegen der Reflexivität ist {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|[x] || || || |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette |M || \bigcup_{[x]\in M/\sim} [x] || || || |SZ=. }} Wegen Teil (1) ist die Vereinigung disjunkt. |Die Surjektivität ist klar aufgrund der Definition der Quotientenmenge, und da {{math|term= x|SZ=}} auf die Klasse {{math|term= [x]|SZ=}} geschickt wird. |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |q^{-1}([x]) || {{Mengebed|y \in M|q(y) {{=|}} [x]}} || {{Mengebed|y \in M|[y] {{=|}} [x]}} || {{Mengebed|y \in M|y \sim x}} ||[x] |SZ=. }} |Sei {{ Ma:Vergleichskette | [x] |\in| M/\sim || || || |SZ= }} gegeben. Die einzige Möglichkeit für {{math|term= \overline{\varphi} |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette | \overline{\varphi}([x]) |{{defeq}}|\varphi(x) || || || |SZ= }} zu setzen. Es muss aber gezeigt werden, dass diese Abbildung überhaupt wohldefiniert ist, also unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist. Sei hierzu {{ Ma:Vergleichskette |[x] ||[y] || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |x |\sim|y || || || |SZ=. }} Dann ist nach der Voraussetzung an {{math|term= \varphi|SZ=}} aber {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(x) || \varphi(y) || || || |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dtb7fr7teic7l7i3a3jhzawg6m2d4ge 0 22909 780151 772550 2022-08-21T18:17:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{Stichwort|Gaußklammer|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder den {{Anführung|floor}}| |ISZ=|ESZ= }} einer reellen Zahl, also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\lfloor \,\, \rfloor |\R|\Z |t|\lfloor t \rfloor |SZ=. }} Eine Zahl {{math|term= t|SZ=}} wird also auf die größte ganze Zahl abgebildet, die kleiner oder gleich {{math|term= t|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|Vorkommazahl}}| |SZ=. }} Dabei wird das gesamte ganzzahlige {{ Zusatz/Klammer |text=also mit ganzzahligen Intervallgrenzen| |ISZ=|ESZ= }} rechtsseitig offene Intervall {{mathl|term= [n,n+1)|SZ=}} auf {{mathl|term= n \in \Z|SZ=}} abgebildet. Bezüglich dieser Abbildung sind also zwei reelle Zahlen genau dann äquivalent, wenn sie im gleichen ganzzahligen Intervall liegen. Statt der Vorkommazahl kann man auch die {{Anführung|Nachkommazahl}} betrachten. Das ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|[0,1) |t|t-\lfloor t \rfloor |SZ=. }} Unter der durch diese Abbildung definierte Äquivalenzrelation sind zwei reelle Zahlen genau dann gleich, wenn sie die gleiche Nachkommazahl besitzen, und das ist genau dann der Fall, wenn ihre Differenz eine ganze Zahl ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} degc98b6cg75j15p0br7kig53mqsqth 0 22925 784679 758179 2022-08-22T06:44:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Gruppenhomomorphismus/Situation|SZ=.}} Ist das Bild von {{math|term= \varphi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Normalteiler| |Definitionsseitenname= Untergruppe/Normalteiler/Definition |SZ= }} in {{math|term= H|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Normalteiler |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mucusxr23vxw1rodopuueb8j06vp9h6 0 22928 782664 756440 2022-08-22T01:19:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Gruppe/Element/Situation|SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G|G |h|hg |SZ=, }} die Multiplikation mit {{math|term= g|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} bijektiv ist, und dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= g=e_G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nvd2dk5wccx2bd0mv01bi9cgwc0y8z8 0 22953 782703 476135 2022-08-22T01:26:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf der Gruppe {{math|term= S_n|SZ=}} ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Signum|\sigma }} | {{defeq|}} | {{signumalsprodukt|i|j|\sigma}} || || || |SZ= }} ein Homomorphismus nach {{math|term= \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}|SZ=}} definiert. Sein Kern ist wieder eine Gruppe und wird mit {{math|term= A_n|SZ=}} bezeichnet. Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Für jede Transposition {{math|term= \tau \in S_n|SZ=}} gilt {{math|term= {{op:Signum|\tau }} = -1|SZ=.}} |Jeder Dreizykel läßt sich als Produkt von zwei Transpositionen schreiben. |Die Gruppe {{math|term= A_n|SZ=}} wird von Dreizykeln erzeugt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der alternierenden Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9qjuspp3xhf8cxhj8kg4di7o2yollk4 0 22954 780686 754804 2022-08-21T19:49:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}: Keine der {{ Definitionslink |alternierenden Gruppen| |Definitionsseitenname= Alternierende Gruppe/Definition |SZ= }} {{math|term= A_n|SZ=}} besitzt eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Untergruppe/Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Index| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Index/Definition |SZ= }} zwei. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der alternierenden Gruppen |Kategorie2=Der Satz von Lagrange (Gruppentheorie) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 25caeumiy1vwcbuyd1je73222j56h45 0 22955 782711 756489 2022-08-22T01:27:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Index| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Index/Definition |SZ= }} zwei in einer {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Normalteiler| |Definitionsseitenname= Untergruppe/Normalteiler/Definition |SZ= }} in {{math|term= G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Normalteiler |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ri7zdctoroiylm3ljyx0bw2w0e1yfi6 0 22979 782846 756610 2022-08-22T01:50:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= g \in G|SZ=}} ein Element mit dem {{ Zusatz/Klammer |text=nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} | |SZ= }} zugehörigen {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\Z|G |n|g^n |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die kanonische Faktorisierung von {{math|term= \varphi|SZ=}} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f321bsqi90vyjqwqgty487a2jv2u6tr 0 22981 782666 756442 2022-08-22T01:20:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Ordnung| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppenordnung/Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |zyklische Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ntbygpisnrh7yxu957k00i93hrnrvw7 0 22983 782656 756433 2022-08-22T01:18:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= G, H |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppen| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |Refname= |SZ= }} und seien {{ Ma:abb |name=\varphi |G|H || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\psi |G|F || |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismen| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} mit {{math|term= \psi|SZ=}} surjektiv und mit {{math|term= {{op:Kern|\psi}} \subseteq {{op:Kern|\varphi}}|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Kern| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition |SZ= }} des induzierten Homomorphismus {{ Ma:abb/disp |name=\tilde{\varphi} |F|H |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n38b5vdjt8o87xba0bn9ms6wlf8zbbp 0 22988 780138 772549 2022-08-21T18:16:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Untergruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der ganzen Zahlen sind nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} von der Form{{{zusatz1|}}} {{ mathkor|term1= \Z n |mit|term2= n \geq 0 |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Restklassengruppen| |Definitionsseitenname= Restklassengruppe/Repräsentant/Definition |SZ= }} werden mit {{ math/disp|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ= }} bezeichnet {{ Zusatz/Klammer |text=sprich {{Anführung|{{math|term= \Z|SZ=}} modulo {{math|term= n|SZ=}}|}}| |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||0 || || || |SZ= }} ist das einfach {{math|term= \Z|SZ=}} selbst, bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||1 || || || |SZ= }} ist das die {{ Definitionslink |triviale Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe {{math|term= \Z n|SZ=}} definierte Äquivalenzrelation auf {{math|term= \Z|SZ=}} dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz {{mathl|term= a-b|SZ=}} zu {{math|term= \Z n|SZ=}} gehört, also ein Vielfaches von {{math|term= n|SZ=}} ist. Daher ist {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= n \geq 1|SZ=}}| |SZ= }} jede ganze Zahl zu genau einer der {{math|term= n|SZ=}} Zahlen {{ math/disp|term= 0,1,2 {{kommadots|}} n-1 |SZ= }} äquivalent {{ Zusatz/Klammer |text=oder, wie man auch sagt, {{Stichwort|kongruent modulo {{math|term= n|SZ=}}|msw=Kongruent modulo n|SZ=}}| |SZ=, }} nämlich zum Rest, der sich bei Division durch {{math|term= n|SZ=}} ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt {{math|term= n|SZ=}} Elemente. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z| {{op:Zmod|n|}} |a|[a] {{=|}} a {{modulo}} n |SZ=, }} ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Dies gilt auch für das Produkt von zwei Zahlen, was bedeutet, dass diese Abbildung ein Ringhomomorphismus ist| |ISZ=.|ESZ=. }} Als Bild der {{ Definitionslink |zyklischen Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Definition |SZ={{ Zusatz/{{{zusatz3|}}} |text=Eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} heißt {{Definitionswort|zyklisch|msw=Zyklische Gruppe|SZ=,}} wenn sie von einem Element erzeugt wird.| |ISZ=|ESZ= }} }} {{math|term= \Z|SZ=}} ist auch {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} zyklisch, und zwar ist {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aber auch {{math|term= -1|SZ=}}| |SZ= }} stets ein Erzeuger. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9yh6hs5263v2jo87gt9ypbb2xwc2cpf 0 22996 782705 756483 2022-08-22T01:26:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt von {{ Definitionslink |Normalteilern| |Definitionsseitenname= Untergruppe/Normalteiler/Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= N_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} in einer {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} ein Normalteiler ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Normalteiler |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Durchschnitt |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ded6dj4k97me27916i0l8yabef8rrab 0 22997 782710 756488 2022-08-22T01:27:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel von drei {{ Definitionslink |Untergruppen| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} {{math|term= F \subseteq G \subseteq H|SZ=}} an derart, dass {{math|term= F|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Normalteiler| |Definitionsseitenname= Untergruppe/Normalteiler/Definition |SZ= }} in {{math|term= G|SZ=}} und {{math|term= G|SZ=}} ein Normalteiler in {{math|term= H|SZ=,}} aber {{math|term= F|SZ=}} kein Normalteiler in {{math|term= H|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Normalteiler |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Transitivität |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rjr9rky53k6u4fphfhm250hiiaec8h6 0 23000 779583 763654 2022-08-21T16:52:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |G ||S_3 || || || |SZ= }} zu einer dreielementigen Menge, d.h. {{math|term= S_3|SZ=}} besteht aus den bijektiven Abbildungen der Menge {{mathl|term= \{1,2,3\}|SZ=}} in sich. Die triviale Gruppe {{math|term= \{ \operatorname{id} \} |SZ=}} und die ganze Gruppe sind {{ Definitionslink |Normalteiler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |H || \{ \operatorname{id} \, , \varphi \} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \varphi|SZ=}} die Elemente {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 2 |SZ= }} vertauscht und {{math|term= 3|SZ=}} unverändert lässt, ist eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sie ist aber kein Normalteiler. Um dies zu zeigen, sei {{math|term= \psi|SZ=}} die Bijektion, die {{math|term= 1|SZ=}} fest lässt und {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 3 |SZ= }} vertauscht. Dieses {{math|term= \psi|SZ=}} ist zu sich selbst invers. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \psi \varphi \psi^{-1} ||\psi \varphi \psi || || || |SZ= }} ist dann die Abbildung, die {{ mathkor|term1= 1 |auf|term2= 3 |SZ=, }} {{ mathkor|term1= 2 |auf|term2= 2 |SZ= }} und {{ mathkor|term1= 3 |auf|term2= 1 |SZ= }} schickt, und diese Bijektion gehört nicht zu {{math|term= H|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Normalteiler |Kategorie2=Theorie der Permutationsgruppen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Permutationsgruppe S3 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6qe4rvb58ardgmx5alygjmxpn22yhrr 0 23010 782681 756458 2022-08-22T01:22:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Gruppenhomomorphismus/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das Urbild {{mathl|term= \varphi^{-1}(N)|SZ=}} eines {{ Definitionslink |Normalteilers| |Definitionsseitenname= Untergruppe/Normalteiler/Definition |SZ= }} {{mathl|term= N \subseteq H|SZ=}} ein Normalteiler in {{math|term= G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Normalteiler |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e17x8u352vd2ov2wuv8ztdxqjlme9qp 0 23042 784919 758362 2022-08-22T07:19:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und sei {{mathl|term= M=\biguplus_{i \in I} M_i|SZ=}} eine Partition von {{math|term= M|SZ=,}} d.h. jedes {{math|term= M_i|SZ=}} ist eine Teilmenge von {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= M|SZ=}} ist die disjunkte Vereinigung der {{math|term= M_i|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Produktgruppe {{ math/disp|term= \prod_{i \in I} \operatorname{Perm} \, (M_i) |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |{{math|term= \operatorname{Perm} \,(M) |SZ=}}| |Definitionsseitenname= Permutationsgruppe/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l8x9g8eolwpx68sz5z0sflnknszms4o 0 23043 785326 758631 2022-08-22T08:21:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |(\Q \setminus \{0\}, \cdot,1)|(\Z,+,0) |SZ=, }} der {{math|term= p \mapsto 1|SZ=}} und alle anderen Primzahlen auf {{math|term= 0|SZ=}} schickt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Die rationalen Zahlen als multiplikative Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xlj400su8vh5qsck44v2wie6g377ky 0 23060 782706 756484 2022-08-22T01:26:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} bezeichne {{math|term= T(G)|SZ=}} die Menge aller Elemente mit endlicher {{ Definitionslink |Ordnung| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung/Definition |SZ= }} in {{math|term= G|SZ=.}} Zeige{{n Sie|}} folgende Aussagen. {{ Aufzählung3 |Ist {{math|term= G|SZ=}} abelsch, so ist {{math|term= T(G)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Untergruppe/Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=.}} |Ist {{math|term= T(G)|SZ=}} eine Untergruppe, so ist {{math|term= T(G)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Normalteiler| |Definitionsseitenname= Untergruppe/Normalteiler/Definition |SZ= }} in {{math|term= G|SZ=.}} |Es gibt eine Gruppe {{math|term= G|SZ=,}} für die {{math|term= T(G)|SZ=}} keine Untergruppe von {{math|term= G|SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ordnung (Gruppentheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qp12xovi8jynct0gqz73a9n2vqlubih 0 23061 782714 756492 2022-08-22T01:28:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} und seien {{math|term= U, V|SZ=}} {{ Definitionslink |Untergruppen| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Untergruppe/Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} folgende Aussagen. {{ Aufzählung3 |{{math|term= UV = \{ uv \, \vert \, u \in U, v \in V\}|SZ=}} ist genau dann eine Gruppe, wenn {{math|term= UV = VU|SZ=}} gilt. |Ist {{math|term= G|SZ=}} endlich, so gilt {{math|term= {{op:Anzahl|UV}}= {{op:Anzahl|U}} \cdot {{op:Anzahl|V}} / {{op:Anzahl|U \cap V|}} |SZ=.}} |Sind {{math|term= U|SZ=}} und {{math|term= V|SZ=}} echte Untergruppen von {{math|term= G|SZ=}}, so gilt {{math|term= U \cup V \neq G|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 47heek8u5z402iwyyr1m030saxnucga 0 23062 782708 756486 2022-08-22T01:27:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ math/disp|term= G_0 \to G_1 \to \ldots \to G_{n-1} \to G_n |SZ= }} eine {{ Definitionslink |exakte Sequenz von Gruppen| |Definitionsseitenname=Gruppentheorie/Exakte Sequenz/Definition |SZ=, }} wobei alle beteiligten Gruppen endlich seien und {{math|term= G_0 = G_n|SZ=}} die triviale Gruppe sei. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | \prod_{i {{=|}} 0}^n {{op:Anzahl|G_i|}} ^{(-1)^i} || 1 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o92xkgcp9yo0ou9a6t9jqywdlnxc5z5 0 23066 782716 756493 2022-08-22T01:28:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit mindestens {{math|term= 4|SZ=}} Elementen. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \operatorname{SL}_2({{{K|K}}})|SZ=}} {{ Definitionslink |perfekt| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Perfekt/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kommutatorgruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 464rm9avdpza21ukdwypyxc7m2shmbt 0 23068 782715 559139 2022-08-22T01:28:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein Körper. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \operatorname{SL}_2({{{K|K}}})|SZ=}} von {{ math/disp|term= \{ \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \, \vert \, b \in K\} \cup \{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 1\end{pmatrix} \, \vert \, c \in K\} |SZ= }} erzeugt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m3nu5625kwt396ha35nihcthd6tsicp 0 23097 784909 758353 2022-08-22T07:18:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Permutation| |Definitionsseitenname= Endliche Menge/Permutation/Definition |SZ= }} {{math|term= \sigma|SZ=}} mit {{ Wertetabelle10 |text1={{math|term= P|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10 |text2={{math|term= \sigma(P)|SZ=}}|7|10|3|9|5|2|4|1|8|6 }} die Potenzen {{math|term= \sigma^2|SZ=}} und {{math|term= \sigma^3|SZ=}} und gebe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Zyklendarstellung| |Definitionsseitenname= Permutation/Zyklendarstellung/Definition |SZ= }} für diese drei Permutationen an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Permutationsgruppe S 10 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8albbnbg7mgw23ab92j6jlh6x4xg5at 0 23102 784923 758366 2022-08-22T07:20:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und sei {{ Ma:abb |name=\sigma |M|M || |SZ= }} eine Permutation. Definiere{{n Sie}} auf {{math|term= M|SZ=}} die {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=Menge |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} durch {{ math/disp|term= xRy \text{ genau dann, wenn es ein } n \in \Z \text{ gibt mit } y= \sigma^{n} (x) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} ist. Wie sieht es aus, wenn man nur {{math|term= n \in \N|SZ=}} zulässt, und wie, wenn {{math|term= M|SZ=}} endlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxccvz6pdjssh34rrzyxys4pqrf1d0n 0 23127 780072 251870 2022-08-21T18:06:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Gruppe der eigentlichen Bewegungen an einem Würfel. Für eine fixierte Raumdiagonale {{math|term= W|SZ=}} betrachten wir die Untergruppe {{math|term= H|SZ=}} derjenigen Bewegungen, die diese Raumdiagonale in sich überführen. Das sind einerseits die drei Drehungen um diese Achse um {{math|term= 0,120,240|SZ=}} Grad, andererseits aber auch die drei Halbdrehungen um diejenigen Kantenmittelpunktsachsen, deren Kanten nicht an den Ecken von {{math|term= W|SZ=}} anliegen. Diese drei Halbdrehungen führen ebenfalls {{math|term= W|SZ=}} in sich über, wobei allerdings die Eckpunkte vertauscht werden. Es seien {{math|term= B,G|SZ=}} und {{math|term= R|SZ=}} die drei anderen Raumdiagonalachsen. Dann definiert jede Bewegung aus {{math|term= H|SZ=}} eine Permutation der Menge {{math|term= \{B,G,R\}|SZ=.}} Die beiden Dritteldrehungen definieren dabei die beiden Zykel {{ mathkor|term1= \langle B,G,R \rangle |und|term2= \langle B,R,G \rangle |SZ=, }} und die drei Halbdrehungen definieren jeweils eine Transposition. Damit ist {{math|term= H|SZ=}} isomorph zu {{math|term= S_3|SZ=}} und somit ist {{math|term= S_3|SZ=}} eine Untergruppe der Würfelgruppe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Würfelgruppe |Objektkategorie2=Die Permutationsgruppe S3 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4e3l06x3mj92n5h6hcblhz8961o7mtk 0 23130 781925 755821 2022-08-21T23:16:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine endliche Menge und sei {{math|term= \sigma|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Permutation| |Definitionsseitenname= Endliche Menge/Permutation/Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} und {{mathl|term= x \in M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{Mengebed|n \in \Z| \sigma^n(x){{=|}}x}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Z|SZ=}} ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit {{mathl|term= {{ordpermpunkt|\sigma|x}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Gruppenelementordnung|\sigma}} ||\operatorname{kgV} {{Mengebed|{{ordpermpunkt|\sigma|x}}|x \in M}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ktz5f53ju6csc6o7rdjalsj03b1f7tz 0 23142 784911 758355 2022-08-22T07:18:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Wertetabelle8 |text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8 |text2={{math|term= \sigma(x)|SZ=}}|2|5|7|3|1|4|8|6}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Fehlstände| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das {{ Definitionslink |Vorzeichen| |Definitionsseitenname= Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Permutationsgruppe S8 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gc0o179576z5x50ptufvtg429hhtexf 0 23191 784942 700369 2022-08-22T07:23:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Permutation1n/Situation|SZ=.}} Die zugehörige {{Stichwort/Betonung|term=Permutationsmatrix|SZ=}} {{math|term= M_\pi |SZ=}} ist dadurch gegeben, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | a_{ \pi (i),i} ||1 || || || |SZ= }} ist und alle anderen Einträge {{math|term= 0|SZ=}} sind{{{extra|}}}. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante|M_\pi|}} || {{op:Signum|\pi }} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5p8g323ttefxphkpgcuxk1x5gei57va 0 23207 780683 754801 2022-08-21T19:49:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= A_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |alternierende Gruppe| |Definitionsseitenname= Alternierende Gruppe/Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= n \geq 4|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A_n|SZ=}} nicht kommutativ ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der alternierenden Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kommutativ |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q2x0d2rg5u5do6esi1yzsj3zaftruld 0 23213 782717 756494 2022-08-22T01:28:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Zentrum| |Definitionsseitenname=Gruppentheorie/Zentrum/Definition |SZ= }} {{math|term= Z(G)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}: {{ Aufzählung3 |{{math|term= G|SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |abelsch| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition |SZ=, }} wenn {{mathl|term= G/Z(G)|SZ=}} {{ Definitionslink |zyklisch| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Definition |SZ= }} ist. |Der {{ Definitionslink |Index| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Index/Definition |SZ= }} von {{math|term= Z(G)|SZ=}} in {{math|term= G|SZ=}} ist keine Primzahl. |Ist {{math|term= G|SZ=}} von der Ordnung {{math|term= pq|SZ=}} für zwei Primzahlen {{math|term= p|SZ=}} und {{math|term= q|SZ=,}} so ist {{math|term= G|SZ=}} abelsch oder {{math|term= Z(G)|SZ=}} trivial. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Zentrum |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tewmmal2h2oj4p0u2k2v62ngd5t7go5 0 23219 782589 245791 2022-08-22T01:07:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} folgendes Gedankenexperiment durch: Gegeben sei eine Kugeloberfläche aus Metall und {{math|term= n|SZ=}} gleiche Teilchen mit der gleichen positiven Ladung. Die Teilchen stoßen sich also ab. Diese Teilchen werden auf die Kugeloberfläche gebracht, wobei sie sich nach wie vor gegenseitig abstoßen, aber auf der Kugel bleiben. Welche Konfiguration nehmen die Teilchen ein? Müsste sich nicht {{Anführung|aus physikalischen Gründen|SZ=}} eine {{Anführung|term=gleichverteilte|SZ=}} Konfiguration ergeben, in der alle Teilchen gleichberechtigt sind? Müsste es nicht zu je zwei Teilchen {{math|term= P,Q|SZ=}} eine Kugelbewegung geben, die eine Symmetrie der Konfiguration ist und die {{math|term= P|SZ=}} in {{math|term= Q|SZ=}} überführt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kugel |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mz5phqwskf1x374bdiib7zltm2c42vv 0 23220 783138 756862 2022-08-22T02:38:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Kleinsche Vierergruppe| |Definitionsseitenname= Kleinsche Vierergruppe/Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Permutationsgruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_4|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wie sieht eine Realisierung als Untergruppe der {{ Definitionslink |Würfelgruppe| |Definitionsseitenname= Eigentliche Würfelgruppe/Definition |SZ= }} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2=Theorie der endlichen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Kleinsche Vierergruppe |Objektkategorie2=Die Würfelgruppe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oxqomj4ov7qxi5kxavbxtsecfw27hjj 0 23225 781362 755380 2022-08-21T21:42:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} ein regelmäßiges {{math|term= n|SZ=-}}Eck und die zugehörige Gruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien, also die {{ Definitionslink |Diedergruppe| |Definitionsseitenname= Diedergruppe/Definition |SZ= }} {{math|term= D_n|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} {{math|term= D_n|SZ=}} als {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Untergruppe/Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Permutationsgruppe| |Definitionsseitenname= Permutationsgruppe/Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=.}} Durch welche Permutationen wird sie erzeugt? Für welche {{math|term= n|SZ=}} handelt es sich um eine Untergruppe der {{ Definitionslink |alternierenden Gruppe| |Definitionsseitenname= Alternierende Gruppe/Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diedergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bb2gi5laicobu507gobt6e08ugb00v4 0 23230 781938 755833 2022-08-21T23:18:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= G \subseteq {{op:Orthogonale Gruppe|2|}}|SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Zusatz/Klammer |text=eigentlichen und uneigentlichen| |ISZ=|ESZ= }} Bewegungsgruppe der reellen Ebene, und sei {{mathl|term= G \not \subseteq {{op:Spezielle orthogonale Gruppe|2|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen surjektiven {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |G|\Z/(2) || |SZ= }} gibt, dessen {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |zyklische Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Schließe{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Ordnung| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppenordnung/Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} gerade ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diedergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1354d01q6fmdbnjx0jl5xfvml6nig8b 0 23232 781704 556317 2022-08-21T22:39:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} den {{ Faktlink |Faktseitenname= Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Fakt/Beweis |Refname= Beweis |SZ= }} zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} mit der dortigen Notation. Begründe{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung4 |Eine eigentliche Isometrie mit zwei Fixachsen ist die Identität. |{{math|term= G|SZ=}} ist die Vereinigung aller {{math|term= G_H|SZ=.}} |Sei {{math|term= g \neq {{op:Identität||}} \, |SZ=.}} Das Element {{math|term= g|SZ=}} kommt in genau zwei der {{math|term= G_H|SZ=}} vor. In welchen? |Die Halbachsenklasse {{math|term= K_i |SZ=}} enthält {{math|term= n/n_i|SZ=}} Elemente. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iha2c2zcf1ryw5td0ovuq8el5b82bw0 0 23241 784924 758367 2022-08-22T07:20:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= \sigma|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zykel| |Definitionsseitenname= Permutation/Zykel/Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= \sigma|SZ=}} als Produkt von {{math|term= n-1|SZ=}} {{ Definitionslink |Transpositionen| |Definitionsseitenname= Permutation/Transposition/Definition |SZ= }} schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ow38nvr0mroprgbdtmeofg45hl2q50 0 23251 782678 756454 2022-08-22T01:22:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:abbele/disp |name= |G|\operatorname{Perm} \, (M) |g|\sigma_g |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ= }} in die {{ Definitionslink |Permutationsgruppe| |Definitionsseitenname= Permutationsgruppe/Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dies in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |G| \operatorname{Perm ( {{op:Potenzmenge|M}})} \, |g|(N \mapsto g(N)) |SZ=, }} in die Permutationsgruppe der {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Definitionsseitenname= Mengen/Potenzmenge/Definition |SZ= }} induziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsgruppen |Kategorie2=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Potenzmenge |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxm7jvq2p21wbacvv8dgpk9sdhxy4lw 0 23260 783007 756766 2022-08-22T02:16:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= A_1,A_2,A_3 |und|term2= A_4 |SZ= }} vier Geraden im {{math|term= \R^3|SZ=}} durch den Nullpunkt mit der Eigenschaft, dass keine drei davon in einer Ebene liegen. Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |\R^3|\R^3 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare, eigentliche Isometrie| |Definitionsseitenname= Euklidischer Vektorraum/Eigentliche Isometrie/Definition |SZ= }} mit {{math|term= f(A_i)=A_i|SZ=}} für {{math|term= i=1,2,3,4|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} die Identität ist. {{ManSie|Man gebe|en Sie}} ein Beispiel an, dass diese Aussage ohne die Ebenenbedingung nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ebene |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cyyh9fcdqe1copcni0h1ms73zoh66d4 0 23307 778936 763130 2022-08-21T15:09:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |alternierende Gruppe| |Definitionsseitenname= Alternierende Gruppe/Definition |SZ= }} {{math|term= A_4|SZ=.}} Die vier Permutationen {{ Zusatz/Klammer |text=in {{ Definitionslink |Zykeldarstellung| |Definitionsseitenname= Permutation/Zykel/Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= \operatorname{id} , \, \langle 1,2\rangle \langle 3,4\rangle , \, \langle 1,3\rangle \langle 2,4\rangle, \, \langle 1,4\rangle \langle 2,3\rangle |SZ= }} bilden darin eine kommutative Untergruppe {{math|term= V|SZ=,}} in der jedes Element {{math|term= \neq \operatorname{id} \, |SZ=}} die {{ Definitionslink |Ordnung| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppenordnung/Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}} besitzt. Sie ist {{ Definitionslink |isomorph| |Definitionsseitenname= Gruppenisomorphismus/Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Kleinschen Vierergruppe| |Definitionsseitenname= Kleinsche Vierergruppe/Definition |SZ=. }} Es handelt sich sogar um einen {{ Definitionslink |Normalteiler| |Definitionsseitenname= Untergruppe/Normalteiler/Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Index| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Index/Definition |SZ= }} drei. Um dies einzusehen verwenden wir {{ Faktlink |Faktseitenname= Normalteiler/Charakterisierung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} und betrachten exemplarisch {{mathl|term= \sigma= \langle 1,2\rangle \langle 3,4\rangle|SZ=}} und {{mathl|term= \tau = \langle 1,2,3 \rangle|SZ=}} mit dem Inversen {{mathl|term= \tau^{-1}= \langle 1,3,2 \rangle |SZ=.}} Wir erhalten {{ math/disp|term= \langle 1,2,3 \rangle \langle 1,2\rangle \langle 3,4\rangle \langle 1,3,2 \rangle = \langle 1,4 \rangle \langle 2,3 \rangle |SZ=, }} was wieder zu {{math|term= V|SZ=}} gehört. Die Restklassengruppe {{mathl|term= A_4/V|SZ=}} muss isomorph zu {{mathl|term= \Z/(3)|SZ=}} sein, die beiden anderen {{ Zusatz/Klammer |text=neben {{math|term= V|SZ=}}| |SZ= }} {{ Definitionslink |Nebenklassen| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Links und Rechtsnebenklasse/Definition |SZ= }} sind einerseits die Dreierzykel {{ Ma:Vergleichskette/disp |N || \langle 2,3,4 \rangle, \, \langle 1,4,3 \rangle, \, \langle 1,2,4 \rangle, \, \langle 1,3,2 \rangle || || || |SZ= }} und andererseits die dazu inversen Dreierzykel {{ math/disp|term= \langle 2,4,3 \rangle, \, \langle 1,3,4 \rangle, \, \langle 1,4,2 \rangle, \, \langle 1,2,3 \rangle |SZ=. }} Wenn man einen Tetraeder mit nummerierten Ecken anschaut, so entsprechen diese beiden Nebenklassen den Dritteldrehungen im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn um die Seiteneckachsen, wobei die Drehrichtung dadurch festgelegt ist, dass man auf den Eckpunkt schaut {{ Zusatz/Klammer |text=welche Orientierung zu welcher Nebenklasse gehört, hängt dabei von der Nummerierung der Ecken ab| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der alternierenden Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die alternierende Gruppe A4 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pjw5gnlbvw8yvzve9lhlvuhnuvg5vjy 0 23322 779581 440883 2022-08-21T16:51:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Permutation {{Wertetabelle6 |text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6 |text2={{math|term= \sigma(x)|SZ=}}|2|4|6|5|3|1}} mit der Zyklendarstellung {{ math/disp|term= \langle 1 , 2, 4, 5, 3, 6 \rangle |SZ=. }} Die Fehlstände sind {{math/disp|term=(1,6), \, (2,5), \, (2,6),\, (3,4),\, (3,5),\, (3,6),\, (4,5),\, (4,6),\, (5,6)|SZ=,}} es gibt also {{math|term= 9|SZ=}} Stück davon. Das Signum ist also {{ Ma:Vergleichskette | (-1)^9 ||-1 || || || |SZ= }} und die Permutation ist ungerade. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a3f9eixndbqn3sff4d8pxt2qzj2lafh 0 23367 781647 755585 2022-08-21T22:30:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ordnung| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung/Definition |SZ= }} der ebenen Drehung um {{math|term= 291|SZ=}} Grad. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Drehungen‎ |Kategorie2=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Drehung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 942t4ufx6axf6hc1rk1c46z3h450y8v 0 23369 781648 755586 2022-08-21T22:30:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um {{math|term= 51|SZ=}} Grad, von der Drehung um {{math|term= 99|SZ=}} Grad und von der Siebteldrehung {{ Definitionslink |erzeugte Untergruppe| |Definitionsseitenname= Erzeugte Untergruppe zu Menge/Definition |SZ= }} der Drehgruppe {{math|term= {{op:Spezielle orthogonale Gruppe|2}}|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Drehungen‎ |Kategorie2=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Drehung |Lösung= |Punkte=2 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1e7nweobehelz504kevkg2jdod390yj 0 23370 785616 470305 2022-08-22T09:09:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten {{math|term= (\pm 1, \pm 1)|SZ=}} entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt| |SZ= }} gleich aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadrat |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 94rt84r5hxjqute98oteak9jzovs6xw 0 23371 782586 756357 2022-08-22T01:06:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |gleichseitiges Dreieck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit {{math|term= (1,0)|SZ=}} als einem Eckpunkt. Bestimme{{n Sie}} die {{ Zusatz/Klammer |text=eigentlichen und uneigentlichen| |SZ= }} Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Dreieck |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jesbne41cw8t61lf3ppi1cmm6u94s8o 0 23479 781824 755727 2022-08-21T22:59:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass sich jede endliche {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term= {{op:Spezielle orthogonale Gruppe|n|\R}}|SZ=}} realisieren lässt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Cayley |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Orthogonal |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1gi0vqnstkqxwg4siv5skl29qc470xr 0 23482 781541 755510 2022-08-21T22:12:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3|SZ=}} Drehungen um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse, die {{math|term= y|SZ=-}}Achse und die {{math|term= z|SZ=-}}Achse mit den Ordungen {{math|term= \ell_1, \ell_2, \ell_3|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= \varphi_1|SZ=}} ist also eine Drehung um den Winkel {{math|term= 360/\ell_1|SZ=}} Grad um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse, etc.| |SZ=. }} Es sei {{math|term= 1 \leq \ell_1 \leq \ell_2 \leq \ell_3|SZ=.}} Für welche Tupel {{math|term= ( \ell_1, \ell_2, \ell_3)|SZ=}} ist die von diesen drei Drehungen {{ Definitionslink |erzeugte Gruppe| |Definitionsseitenname= Erzeugte Untergruppe zu Menge/Definition |SZ= }} endlich? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Achsenkreuz |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2qspmjobvxdkpvbu4uf4jfabiphlvw6 0 23484 785947 456949 2022-08-22T10:04:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge {{math|term= \neq 0,1|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der räumlichen Drehungen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Drehung |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cwqinx29o5we1q9x3t88hx00khp4gcp 0 23563 785271 758592 2022-08-22T08:12:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Potenzmenge|M}}|SZ=}} mit dem Durchschnitt {{math|term= \cap|SZ=}} als Multiplikation und der {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrischen Differenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{symmdiffsymbol|A|B}} ||{{symmdiff|A|B}} || || || |SZ= }} als Addition {{ Zusatz/Klammer |text=mit welchen neutralen Elementen| |ISZ=?|ESZ= }} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzmenge |Kategorie2=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p5ija0off57sab6yk2pp41fqxbxl4ok 0 23599 778423 470870 2022-08-21T12:00:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir beweisen im nicht kommutativen Fall je nur eine Hälfte. {{ Aufzählung5 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |a0 ||a(0+0) ||a0+a0 |SZ=. }} Durch beidseitiges Abziehen von {{math|term= a0|SZ=}} ergibt sich die Behauptung. | {{ Ma:Vergleichskette/disp | (-a)b +ab ||(-a+a)b ||0b ||0 |SZ= }} nach Teil (1). Daher ist {{math|term= (-a)b|SZ=}} das {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmte| |SZ= }} Negative von {{math|term= ab |SZ=.}} |Nach (2) ist {{mathl|term= (-a)(-b) = (-(-a))b|SZ=}} und wegen {{math|term= -(-a)=a|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=dies gilt in jeder Gruppe| |SZ= }} folgt die Behauptung. |Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen. |Dies folgt aus einer einfachen Doppelinduktion. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7iu1e3l1jv8fbfu9g7bvxr0c4unjrom 0 23603 779318 763416 2022-08-21T16:09:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die einelementige Menge {{mathl|term= R=\{0\}|SZ=}} kann man zu einem {{ Definitionslink |Ring| |Definitionsseitenname= Algebra/Ring/Definition |SZ= }} machen, indem man sowohl die Addition als auch die Multiplikation auf die einzig mögliche Weise erklärt, nämlich durch {{ mathkor|term1= 0+0=0 |und|term2= 0 \cdot 0=0 |SZ=. }} In diesem Fall ist {{mathl|term= 1=0|SZ=,}} dies ist also ausdrücklich erlaubt. Diesen Ring nennt man den {{Definitionswort/enp|Nullring|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Nullring |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bthx0yhvfjsgeoeo1lvo4g73lls2vlq 0 23611 786340 411743 2022-08-22T11:09:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Ring/Situation|SZ=}} und {{math|term= M|SZ=}} eine Menge. Definiere{{n Sie}} auf der Abbildungsmenge {{ math/disp|term= A= {{Mengebed|f:M \rightarrow R| f \text{ Abbildung} }} |SZ= }} eine Ringstruktur. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Grundlagen der Ringtheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} irhcqbrykvfkzfnc5dtwxws1kmuss6i 0 23612 783218 756923 2022-08-22T02:52:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|}} und {{mathl|term= f \in R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |nilpotentes Element| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= 1+f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Unipotent |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bvr1hpx58aekqqvm5gy7jryfprc8unp 0 23613 783217 756922 2022-08-22T02:51:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und es seien {{mathl|term= f,g \in R|SZ=}} {{ Definitionslink |nilpotente Elemente| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann die Summe {{math|term= f+g|SZ=}} ebenfalls nilpotent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Summe |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8jv2d922cn8t72gqpogdslankisau5u 0 23615 779321 763422 2022-08-21T16:10:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir suchen nach einer {{ Definitionslink |Ringstruktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge {{mathl|term= \{0,1\}|SZ=.}} Wenn {{math|term= 0|SZ=}} das neutrale Element einer Addition und {{math|term= 1|SZ=}} das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon alles festgelegt, da {{mathl|term= 1+1=0|SZ=}} sein muss. Die Operationstafeln sehen also wie folgt aus. {{:Restklassenringe (Z)/mod 2/Additionstafel}} und {{:Restklassenringe (Z)/mod 2/Multiplikationstafel}} Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt {{ Zusatz/Klammer |text=sogar um einen {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 2 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m22abtx2cya7n276xm16je4lqm9ea3f 0 23627 786342 759421 2022-08-22T11:09:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Ring/Situation|SZ=}} und seien {{math|term= S_i \subseteq R,\, i \in I|SZ=,}} {{ Definitionslink |Unterringe| |Definitionsseitenname= Ringtheorie/Unterring/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch der Durchschnitt {{math|term= \bigcap_{i \in I} S_i |SZ=}} ein Unterring von {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unterringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Durchschnitt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 23jqcnky0zmft8quhr4fsj0h8uttywx 0 23628 783808 431398 2022-08-22T04:30:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus endlichdimensional nilpotent/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi^n=0|SZ=}} ist, wobei {{math|term= n|SZ=}} die Dimension von {{math|term= V|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Nilpotent |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0dnds5cro2sako7wv007zyh2pc5jb6v 0 23631 783182 756895 2022-08-22T02:46:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= X|SZ=}} eine Teilmenge von {{math|term= \R|SZ=}} und {{math|term= C(X, \R)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ring der stetigen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= X|SZ=}} nach {{math|term= \R |SZ=.}} Dann ist durch {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | C(\R, \R) | C(X, \R) |f| f \vert_X |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= X|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Für welche Mengen {{math|term= X|SZ=}} ist {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jl4mxuuoughe98qjlt6e49713m1zads 0 23632 783201 756909 2022-08-22T02:49:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die Äquivalenz folgender Aussagen. {{ Aufzählung2 |{{math|term= R|SZ=}} hat genau ein {{ Definitionslink |maximales Ideal| |Definitionsseitenname=/Definition |SZ= }} |Die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Nichteinheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R \setminus R^\times|SZ=}} bildet ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2cehf19hz05n1xd6e56gn0p6arcvba1 0 23633 786341 759419 2022-08-22T11:09:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Ring/Situation|SZ=|opt={{{opt|}}}}} und seien {{math|term= {{{x|x}}}, {{{y|y}}}|SZ=}} und {{math|term= {{{z|z}}}|SZ=}} Elemente in {{math|term= {{{R|R}}}|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} das Produkt {{ math/disp|term= {{makl| {{{x|x}}}^2-3 {{{y|y}}} {{{z|z}}} {{{y|y}}}-2{{{z|z}}} {{{y|y}}}^2+4 {{{x|x}}} {{{y|y}}}^2 |}} {{makl| 2 {{{x|x}}} {{{y|y}}}^3 {{{x|x}}}-{{{z|z}}}^2 {{{x|x}}} {{{y|y}}} {{{x|x}}} |}} {{makl| 1-3{{{z|z}}} {{{y|y}}} {{{x|x}}} {{{z|z}}}^2{{{y|y}}} |}} |SZ=. }} Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring {{ Definitionslink |kommutativ| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition |SZ= }} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Grundlagen der Ringtheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1n08m1axcdpwk0xn9wgod6n43y0o3vj 0 23639 778728 748002 2022-08-21T12:46:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zunächst ist {{math|term= \Z |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq| \Z || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Damit ist {{math|term= I |SZ=}} insbesondere eine {{ Zusatz/Klammer |text=additive| |SZ= }} {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Z |SZ=}} und hat nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette |I || \Z d || || || |SZ=. }} Damit handelt es sich um ein Hauptideal. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 73tvvgjtyezjsfwq1anmlvoabgleoos 0 23653 778427 762383 2022-08-21T12:00:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ein Ringhomomorphismus muss die {{math|term= 1|SZ=}} auf die {{math|term= 1_R|SZ=}} abbilden. Deshalb gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} genau einen {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z|(R,+,0) |n|n 1_R |SZ=. }} Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass {{ Ma:Vergleichskette | (mn)1_R || (m 1_R) *(n 1_R) || || || |SZ=. }} ist, wobei {{math|term= *|SZ=}} hier die Multiplikation in {{math|term= R|SZ=}} bezeichnet. Dies folgt aber aus {{ Faktlink |Präwort=dem|allgemeinen Distributivgesetz|Faktseitenname= Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kanonisch |Autor= |Bearbeitungsstand= }} az7we1vl05s53w1jvjbfyd2yzckpwhw 0 23698 781104 414019 2022-08-21T20:59:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein Ring und es seien {{math|term= a,b \in R|SZ=}} Elemente, die {{Definitionswort/enp|vertauschbar|SZ=}} sind, d.h. es ist {{math|term= ab=ba|SZ=.}} Zeigen Sie, dass die Binomische Formel auch unter dieser Voraussetzung gilt, indem Sie die Einzelschritte in der Gleichungskette im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Binomi/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} begründen. Sagen Sie jeweils, auf welchem Ringaxiom die Gleichung beruht und wo die Voraussetzung eingeht. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor. {{ Aufzählung4 |Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie die Zeile <pre>[[/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]</pre> schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig). |Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort <pre> {{:Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Begründungsfenster}}</pre> ein. |Es erscheint der Beweis der Binomischen Formel. Wenn Sie auf eines der Gleichheitszeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für dieses Gleichheitszeichen ein. |Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Detailaufgaben/Abgabe|Abgabeseite]]{{Netz oder Druck||(die Sie von der Kursseite auf Wikiversity aus erreichen können)}} einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort <pre>[[Ihr Benutzername/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]</pre> hinschreiben. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hfhalua6k9xgv95wol63r7izhrfj06f 0 23717 779469 772535 2022-08-21T16:33:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Wie aus der linearen Algebra bekannt {{ Zusatz/Klammer |text=zumindest für den Fall {{mathl|term= R=\R|SZ=}} | |SZ= }} beschreiben {{mathl|term= n \times n|SZ=-}}Matrizen lineare Abbildungen von {{math|term= R^n|SZ=}} nach {{math|term= R^n|SZ=.}} Die Matrizenverknüpfung {{ Zusatz/Klammer |text=gemäß der Regel {{Anführung|Zeile mal Spalte}}| |SZ= }} definiert dabei die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen. Die Addition von Matrizen, die komponentenweise für jeden Eintrag erklärt ist, beschreibt die Summe von linearen Abbildungen. Mit diesen zwei Verknüpfungen und mit der Nullmatrix als Nullelement und der Einheitsmatrix als Einselement bildet die Menge der Matrizen einen {{ Zusatz/Klammer |text=nicht-kommutativen| |SZ= }} Ring, den sogenannten {{Stichwort|Matrizenring|SZ=}} über {{math|term= R|SZ=.}} Er wird mit {{mathl|term= \operatorname{Mat}_n(R) \, |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c0xd04tvhdiu5yksje14q616x0aamo2 0 23722 786325 245947 2022-08-22T11:06:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein Ring, bei dem das multiplikative Monoid eine Gruppe ist. Welche Möglichkeiten gibt es da? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Grundlagen der Ringtheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ky3azgpwql17xtb5ddkzddeet3ei7hi 0 23723 780651 754772 2022-08-21T19:43:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} eine Menge mit zwei {{ Definitionslink |Verknüpfungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die beide für sich ein {{ Definitionslink |Monoid| |Definitionsseitenname= Verknüpfungen/Monoid/Definition |SZ= }} bilden. Ferner seien beide Verknüpfungen miteinander distributiv verbunden. Gibt es {{ Zusatz/Klammer |text=interessante| |SZ= }} Beispiele für eine solche algebraische Struktur? Kann ein {{ Definitionslink |Ring| |Definitionsseitenname= Algebra/Ring/Definition |SZ= }} diese doppelte Distributivität besitzen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgnzo5f9s47p9xut1q1u17rqzcw1xgk 0 23726 778424 748100 2022-08-21T12:00:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für jedes {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| R || || || |SZ= }} ist die Multiplikation {{ Ma:abbele/disp |name=\mu_f |R|R |g|fg |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wie direkt aus der Distributivität und der Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | f0 || 0 || || || |SZ= }} folgt. Die Gesamtabbildung ist also wohldefiniert. Für die Gesamtzuordnung {{mathl|term= f \mapsto \mu_f|SZ=}} gilt zunächst {{ Ma:Vergleichskette | \mu_0 || 0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \mu_1 || \operatorname{id} || 1 || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu_{f_1+f_2} (g) || (f_1+f_2)g || f_1g+f_2g || \mu_{f_1}(g) + \mu_{f_2}(g) || (\mu_{f_1} + \mu_{f_2})(g) |SZ= }} für jedes {{ Ma:Vergleichskette | g |\in| R || || || |SZ= }} ist {{math|term= \mu |SZ=}} additiv. Die Multiplikativität folgt aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu_{f_1f_2} (g) || f_1f_2g || \mu_{f_1} (f_2g) || \mu_{f_1} (\mu_{f_2} (g)) || ( {{verknüpf| \mu_{f_2}|\mu_{f_1} }}) (g) |SZ=. }} Schließlich ist die Abbildung injektiv, da aus {{ Ma:Vergleichskette | mu_f || 0 || || || |SZ= }} folgt, dass insbesondere {{ Ma:Vergleichskette | f || f1 || 0 || || |SZ= }} sein muss. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cz61riykdcduekz6cov3j22np18rrtp 0 23729 786329 759404 2022-08-22T11:07:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Studiere{{n Sie}} den {{ Definitionslink |kanonischen Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Ring/Ringhomomorphismus nach Endomorphismenring/Fakt |SZ= }} in den {{ Definitionslink |Endomorphismenring| |Definitionsseitenname= Endomorphismenring/Abelsche Gruppe/Definition |SZ= }} für {{math|term= R=\Z|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Endomorphismenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} niapus9jgwfogwkvc5ki1pssnt63sh4 0 23756 783307 512148 2022-08-22T03:06:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= f , a_i, b_j \in R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Gleichungen: {{ math/disp|term= {{Polynomein Addition Formel|f}} |SZ= }} und {{ math/disp|term= {{Polynomein Multiplikation Formel|f}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Polynom |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1dw817baz117w9ez9ciog84bfk3z1xu 0 23764 783224 756929 2022-08-22T02:53:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= f \in R|SZ=.}} Charakterisiere{{n Sie}} mit Hilfe der Multiplikationsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\mu_f |R|R |g|fg |SZ=, }} wann {{math|term= f|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Nichtnullteiler| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler/Definition |SZ= }} und wann {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie2=Theorie der Nullteiler (kommutative Ringe) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Multiplikation |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 59p5r0zark2j39cchbchwt9t62ux94s 0 23823 781705 755627 2022-08-21T22:39:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |\R^n|\R^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |eigentliche Isometrie| |Definitionsseitenname= Euklidischer Vektorraum/Eigentliche Isometrie/Definition |SZ=. }} Es sei vorausgesetzt, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |trigonalisierbar| |Definitionsseitenname= Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Mit Fahne/Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= f|SZ=}} sogar {{ Definitionslink |diagonalisierbar| |Definitionsseitenname= Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Mit Eigenvektoren/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Trigonalisierbar |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4d25yc3a7qqd9nu5ste6orut0rl14v0 0 23863 784626 758134 2022-08-22T06:37:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und seien {{math|term= f,g|SZ=}} {{ Definitionslink |Nichtnullteiler| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler/Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das Produkt {{math|term= fg|SZ=}} ebenfalls ein Nichtnullteiler ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nullteiler (kommutative Ringe) |Kategorie2=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Multiplikation |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nlr7bp5feqwhzlzft6pykujmr9313s7 0 23883 782709 756487 2022-08-22T01:27:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge mit einer {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Definitionsseitenname= Verknüpfung/Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=* |M \times M|M |(P,Q)|P*Q |SZ=, }} die für alle Elemente {{math|term= P,Q,R,S \in M|SZ=}} folgende Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung3 |{{math|term= P*Q=Q*P|SZ=}} |{{math|term= (P*Q)*P=Q|SZ=}} |{{math|term= ((P*Q)*R)*S=P*((Q*S)*R) |SZ=.}} }} Es sei {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} ein beliebiges aber fest gewähltes Element aus {{math|term= M|SZ=.}} (a) Zeige{{n Sie}}, dass die Verknüpfung {{ Ma:Vergleichskette/disp | P+Q | {{defeq|}} |(P*Q)* {{elliptischo|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppenstruktur| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} mit {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} als neutralem Element definiert. (b) Es sei nun {{math|term= {{elliptischo|}} '|SZ=}} ein zweites Element aus {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die durch {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} und durch {{math|term= {{elliptischo|}} '|SZ=}} definierten Gruppen {{ Definitionslink |isomorph| |Definitionsseitenname= Gruppenisomorphismus/Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Kurven |Kategorie2=Elementare Gruppentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4nazo3ki8c0rz4x4aw1dbfqeai2h3jj 0 23897 778426 748032 2022-08-21T12:00:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es genügt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} ist der Kern ein Ideal. Da die {{math|term= 1|SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette | 1 |\neq| 0 || || || |SZ= }} geht, ist der Kern nicht ganz {{math|term= K|SZ=.}} Da es nach {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Faktseitenname= Körper/Genau zwei Ideale/Fakt |Refname= {{{ref3|Fakt}}} |SZ= }} in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ftelyyal6uedm9hk0bdo454q8gcell 0 23908 783168 756883 2022-08-22T02:43:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} mit Elementen {{mathl|term= x,y,z,w\in R|SZ=,}} wobei {{math|term= z|SZ=}} und {{math|term= w|SZ=}} {{ Definitionslink |Einheiten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien. Beweise{{n Sie}} die folgenden Bruchrechenregeln. {{ Aufzählung8 |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|1}} || x || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Bruch|1|x}} || x^{-1} || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|-1}} || -1 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|0|z}} ||0 || || || |SZ=, }} | {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|z|z}} || 1 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|z}} || {{op:Bruch|xw|zw}} || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|z}} \cdot {{op:Bruch|y|w}} || {{op:Bruch|xy|zw}} || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|z}} + {{op:Bruch|y|w}} || {{op:Bruch|xw+yz|zw}} || || || |SZ=. }} }} Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x-z) \cdot (y-w) || (x+w)(y+z)-(z+w) || || || |SZ=? }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{Anführung|beliebte Formel}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|z}} + {{op:Bruch|y|w}} ||{{op:Bruch|x+y|z+w}} || || || |SZ= }} nicht gilt, außer im Nullring. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Bruch |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k5agrk2ba2b4n2wurbzna8rtf7ar7nr 10 23943 784591 376195 2022-08-22T06:32:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=<br />\definitionswortenp{{{{term|{{{1}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |kontrolle=<em>{{{term|{{{1}}}}}}</em>{{{SZ|}}} |#default=<em>{{{term|{{{1}}}}}}</em>{{{SZ|}}}{{Verschlagworte:Definitionswort/enp|{{{1|}}}{{{term|}}}|msw={{{msw|}}}}} }}</includeonly><noinclude>{{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> syf4424nd5bo8rqlra0l28tgl3639jn 10 23944 784555 770909 2022-08-22T06:26:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#if:{{{msw|}}}| [[Kategorie:Mathematische Definitionsbegriffe|{{{msw|}}}{{{term|}}}]] [[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)| ]] |{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |Definition=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|*]] |Bemerkung=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|+]] |Beispiel=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|-]] |Aufgabe=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|?]] |#default=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|\]] }} }}</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Fachbereich Mathematik/Verschlagwortungsoperatoren|Definition]]<noinclude> d45lgck04l1giub6cuyc2r3bg06fn5t 0 24017 786256 413702 2022-08-22T10:55:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne {{math|term= 3^{1571} }} in {{math|term= {{op:Zmod|13}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 13 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mqminw7n46ohrb0fn1yphcsokbz19ko 0 24027 786223 759357 2022-08-22T10:50:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Studiere{{n Sie}} den {{ Definitionslink |kanonischen Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Ring/Ringhomomorphismus nach Endomorphismenring/Fakt |SZ= }} in den {{ Definitionslink |Endomorphismenring| |Definitionsseitenname= Endomorphismenring/Abelsche Gruppe/Definition |SZ= }} für {{math|term= R={{op:Zmod|n}}|SZ=}} für {{math|term= n>0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2=Theorie der Endomorphismenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} syspe3xqevfg1t6cxn6mttfrhcqsd9c 0 24064 778549 762474 2022-08-21T12:19:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Voraussetzung bedeutet, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:kl|a|}}{{op:kl|b|}} ||{{op:kl|0|}} ||0 || || |SZ= }} in {{math|term= {{op:Zmod|p}}|SZ=}} ist. Da {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl ist, ist dieser Restklassenring nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Restklassenringe von Z/Körper/Integer/Primzahl/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so dass ein Faktor null sein muss. Sagen wir {{mathl|term= {{op:kl|a|}}=0|SZ=.}} Dies bedeutet aber zurückübersetzt nach {{math|term= \Z|SZ=,}} dass {{math|term= a|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= p|SZ=}} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5xu6bta09mgtg4n30pbsjhw6g32u1bf 0 24079 778804 762719 2022-08-21T12:56:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{Beweisstruktur |Strategie=Wir beweisen die Existenz und die Eindeutigkeit jeweils durch Induktion. {{ Induktionsbeweis |Strategie= |Anfang= Für {{mathl|term= n=2|SZ=}} liegt eine Primzahl vor. |Schluss= Bei {{mathl|term= n\geq3|SZ=}} ist entweder {{math|term= n|SZ=}} eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber {{math|term= n|SZ=}} ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung {{mathl|term= n=ab|SZ=}} mit kleineren Zahlen {{mathl|term= a,b <n|SZ=.}} Für diese Zahlen gibt es nach der Induktionsvoraussetzung eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für {{math|term= n|SZ=}} zusammen. |Zusammenfassung= }} Zur Eindeutigkeit: {{ Induktionsbeweis |Strategie= |Anfang= Bei {{mathl|term= n=2|SZ=}} ist die Aussage klar. |Schluss= Im Allgemeinen seien zwei Zerlegungen in Primfaktoren gegeben, sagen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |n || p_1{{cdots|}}p_r || q_1 {{cdots|}} q_s || || |SZ=. }} Insbesondere teilt die Primzahl {{math|term= p_1|SZ=}} dann das Produkt rechts, und damit nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Euklid|Faktseitenname= Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen der Faktoren. Nach Umordnung können wir annehmen, dass {{math|term= q_1|SZ=}} von {{math|term= p_1|SZ=}} geteilt wird. Da {{math|term= q_1|SZ=}} selbst eine Primzahl ist, folgt, dass {{mathl|term= p_1=q_1|SZ=}} sein muss. Da {{math|term= \Z|SZ=}} {{ Definitionslink |nullteilerfrei| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, kann man beidseitig durch {{mathl|term= p_1=q_1|SZ=}} dividieren und erhält die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | n^\prime || p_2{{cdots|}}p_r || q_2 {{cdots|}} q_s || || |SZ=. }} Da {{mathl|term= n'<n|SZ=}} ist, können wir die Induktionsvoraussetzung der Eindeutigkeit auf {{math|term= n'|SZ=}} anwenden. |Zusammenfassung= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gapz3cr14f68arrhzy1aosx6e1e3vyj 0 24087 785325 473624 2022-08-22T08:21:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} direkt, ohne mit Restklassen zu argumentieren, dass eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} die Eigenschaft besitzt, dass wenn {{math|term= p|SZ=}} ein Produkt teilt, dass sie dann einen der Faktoren teilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sw93i0odok5nritc4m2uqtovgxdxo9a 0 24093 783183 756896 2022-08-22T02:46:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= R={{op:cont|X|\R}} |SZ=}} der Ring der stetigen Funktionen auf {{math|term= X|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= T \subseteq X|SZ=}} eine Teilmenge. Zeige{{n Sie}}, dass die Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |I || {{Mengebed|f \in R|f\vert_T{{=|}}0}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} ist. Definiere{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Kommutative_Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |R/I|{{op:cont|T|\R}} || |SZ=. }} Ist dieser immer injektiv? Surjektiv? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0uwf445dxu1pudq9909dvrnzqph6blj 10 24184 785242 770927 2022-08-22T08:08:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#if:{{{msw|}}} |{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |Definition=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|*]] |Sprechweise=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|+]] |Bemerkung=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|+]] |Textabschnitt=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|+]] |Beispiel=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|-]] |Aufgabe=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|?]] |#default=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|\]] }} |{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |Definition=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|*]] |Sprechweise=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|+]] |Bemerkung=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|+]] |Textabschnitt=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|+]] |Beispiel=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|-]] |Aufgabe=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|?]] |#default=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|\]] }} }}</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Fachbereich Mathematik/Verschlagwortungsoperatoren|Stichwort]]<noinclude> 2t2reddjucdo61yjbaljojvu8wmubyx 785261 785242 2022-08-22T08:10:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#if:{{{msw|}}} |{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |Definition=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|*]] |Sprechweise=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|+]] |Bemerkung=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|+]] |Beispiel=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|-]] |Aufgabe=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|?]] |#default=[[Kategorie:{{{msw|}}} (MSW)|\]] }} |{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |Definition=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|*]] |Sprechweise=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|+]] |Bemerkung=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|+]] |Beispiel=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|-]] |Aufgabe=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|?]] |#default=[[Kategorie:{{{1|}}} (MSW)|\]] }} }}</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Fachbereich Mathematik/Verschlagwortungsoperatoren|Stichwort]]<noinclude> 3bmmkvcvbclfwpimxbkadjssubfcfmj 0 24254 783181 776609 2022-08-22T02:45:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung5 |Zu einem Körper {{math|term= K |SZ=}} sei {{ Ma:Vergleichskette | R || {{op:Folgen|K}} || || || |SZ= }} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Werten in {{math|term= K |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R |SZ=}} ein kommutativer Ring ist. Besitzt ein solcher Ring nicht-triviale idempotente Elemente? |Sei von nun an {{ Ma:Vergleichskette | K || \Q,\R || || || |SZ= }} oder {{math|term= {{CC}} |SZ=,}} so dass man eine Metrik zur Verfügung hat. Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |konvergenten Folgen| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Folgen|K|konv}}|SZ=}} einen Unterring von {{math|term= R|SZ=}} bildet. |Zeige{{n Sie}} im Fall {{ Ma:Vergleichskette | K || \Q || || || |SZ=, }} dass die Menge {{math|term= {{op:Folgen|\Q|Cauchy}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Cauchy-Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ebenfalls ein Unterring ist. |Betrachte{{n Sie}} nun die Menge {{math|term= N|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und begründe{{n Sie}}, dass diese ein Ideal in den verschiedenen Ringen ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= N |SZ=}} die Eigenschaft besitzt, dass wenn {{ Ma:Vergleichskette | x \cdot y |\in| N || || || |SZ= }} ist, dass dann einer der Faktoren dazu gehören muss. |Definiere{{n Sie}} einen natürlichen Ringhomomorphismus {{ Ma:abb/disp |name= | {{op:Folgen|\Q|Cauchy}}| \R || |SZ= }} derart, dass eine Ringisomorphie {{ Ma:abb/disp |name= | {{op:Folgen|\Q|Cauchy}} /N | \R || |SZ= }} entsteht. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Homomorphiesatz (kommutative Ringe) |Kategorie2=Theorie der Folgenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6evut15tjsi0ep4mufzpcy2rrrlayo6 0 24260 784358 413714 2022-08-22T06:00:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= n |SZ=}} natürliche Zahlen mit {{math|term= n \geq 2|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |a ||\sum_{i {{=}} 0}^\ell a_i n^{i} || || || |SZ= }} die Darstellung von {{math|term= a|SZ=}} zur Basis {{math|term= n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also mit {{math|term= 0 \leq a_i <n|SZ=}} | |SZ=. }} Es sei {{math|term= k|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n-1|SZ=.}} Dann wird {{math|term= a|SZ=}} von {{math|term= k|SZ=}} genau dann geteilt, wenn die {{Stichwort|Quersumme|SZ=}} {{math|term= \sum_{i=0}^\ell a_i|SZ=}} von {{math|term= k|SZ=}} geteilt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quersumme |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 31f5v5tzudoxy4nix8wuug248lsd04s 0 24261 785805 474562 2022-08-22T09:40:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte im {{math|term= 15|SZ=}}er System mit den Ziffern {{math|term= 0,1 {{kommadots|}} 8,9,A,B,C,D,E|SZ=}} die Zahl {{ math/disp|term= EA09B4CA |SZ=. }} Ist diese Zahl durch {{math|term= 7|SZ=}} teilbar? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z) |Kategorie2=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quersumme |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3wpwpxdgpzeed80g3alvgzayrl6669r 0 24276 778547 748206 2022-08-21T12:19:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Ringbeweis |Strategie= |Richtung= |Beweis12= Aus der Beziehung {{ Ma:Vergleichskette | n || kt || || || |SZ= }} folgt {{ Faktlink |Präwort=in Verbindung mit der|eindeutigen Primfaktorzerlegung|Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass die Primfaktoren von {{math|term= k|SZ=}} mit mindestens ihrer Vielfachheit auch in {{math|term= n|SZ=}} vorkommen müssen. |Beweis21= Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist {{mathl|term= t= \prod_p p^{{{op:pexp|n|}}-{{op:pexp|k|}}}|SZ=}} eine natürliche Zahl mit {{ Ma:Vergleichskette | n || kt || || || |SZ=. }} |Beweis31= |Abschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pvrzmd3p8tfa6hc4wx6odqe9181urxn 0 24291 782124 756011 2022-08-21T23:49:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die Werte der {{ Definitionslink |Prämath= |eulerschen Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|n}} |SZ=}} für {{mathl|term= n \leq 20|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Eulersche Funktion (Zahlentheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2qfxvy23c2m11qz7iiqstmru0oq9061 0 24292 786229 759358 2022-08-22T10:51:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|n|}}|SZ=}} derart, dass die {{ Definitionslink |Einheitengruppe| | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon nicht {{ Definitionslink |zyklisch| | |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o3e51v1fz70b6p9c8qfk9zxfnq1j45d 0 24408 783190 756900 2022-08-22T02:47:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |e |\in|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |idempotentes Element| Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term= 1-e|SZ=}} idempotent ist und dass die {{Anführung|zusammengesetzte}} {{ Definitionslink |Restklassenabbildung| | |Definitionsseitenname= Kurs:Einführung_in_die_Algebra_(Osnabrück_2009)/Vorlesung_14 |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |R|R/(e) \times R/(1-e) || |SZ= }} eine Bijektion ist.{{{zusatz|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ki6xjpdtusbvgztpj46yk4ydg9t4r2j 0 24438 785046 758437 2022-08-22T07:39:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Produkt {{ math/disp|term= ( 2X^3+3X^2-4X+5) \cdot ( X^4-X^2+3X-2 ) |SZ= }} im {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|7}}[X]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Polynomring in einer Variablen über F 7 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k1j67mk39rwu1mxqeq54fx1ekwg262w 0 24471 785671 758885 2022-08-22T09:18:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|13}}=\{0,1,2,...,12\}|SZ=}} mit {{math|term= 13|SZ=}} Elementen. {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= 5|SZ=}} kein Quadrat in {{math|term= {{op:Zmod|13}}|SZ=}} ist und folgere, dass {{math/disp|term={{op:Zmod|13|}}[X]/(X^2-5)=:{{op:Zmod|13|}}[{{op:sqrt|5|}}]|SZ=}} ein Körper ist. |Betrachte die {{ Definitionslink |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Zmod|13}} \subset {{op:Zmod|13|}}[{{op:sqrt|5|}} ] |SZ= }} und berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= (2+3{{op:sqrt|5|}})(1+11{{op:sqrt|5|}} )(10+7{{op:sqrt|5|}} ) |SZ= }} |Finde{{n Sie}} das Inverse zu {{math|term= 7+3{{op:sqrt|5|}} |SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod|13}}[{{op:sqrt|5|}}]|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= -5|SZ=}} kein Quadrat in {{math|term= {{op:Zmod|13}}|SZ=}} ist, dafür aber in {{math|term= {{op:Zmod|13|}}[{{op:sqrt|5|}} ]|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 13 |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6mvj2lppbxeqnfidh5x7xt5wi0ka8pt 0 24484 778641 762554 2022-08-21T12:33:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten den zusammengesetzten {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= S \longrightarrow R \longrightarrow R[X] |SZ=. }} Dann liefert der zu {{math|term= X \mapsto X|SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} gehörige Einsetzungshomomorphismus {{ Ma:abb/disp |name= |S[X]|R[X] || |SZ= }} die gewünschte Abbildung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e0p9318vlt240v4qktdemru3n8wtxfi 0 24486 783227 756931 2022-08-22T02:53:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und {{math|term= r\in R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |nilpotentes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition |SZ= }} Element. Konstruiere{{n Sie}} dazu ein lineares Polynom in {{math|term= R[X]|SZ=,}} das eine {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} auch das {{ Definitionslink |Inverse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} dazu an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem kommutativen Ring |Kategorie2=Theorie der nilpotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Nilpotent |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pupk5pbdujcuexrqt6rtqdd6zaqbjow 0 24488 783226 756930 2022-08-22T02:53:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} sämtliche konstante und lineare {{ Definitionslink |Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|9}}[X]|SZ=.}} Begründe{{n Sie}}, dass es sich um eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Einheitengruppe handelt. Welche Struktur hat diese Gruppe? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem kommutativen Ring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Nilpotent |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gmqtg2ukucz41pbrqnlipqeza6jfkvz 0 24490 781774 755679 2022-08-21T22:51:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Betrachte{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Matrizenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \operatorname{Mat}_3(K)|SZ=}} und darin die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{Op:Matrix33|3|4|5|2|4|6|1|4|7}} || || || |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |K[X]| \operatorname{Mat}_3(K) || |SZ=, }} der {{math|term= X|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=}} schickt. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Abbildung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Matrix |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2o235xwwmpjpzdkzk3egygy6s6yuiz7 0 24503 781770 755674 2022-08-21T22:50:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man begründe, dass {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} auch unter der schwächeren Bedingung gilt, dass die Elemente aus dem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} mit dem Element {{math|term= a \in A|SZ=}} {{ Definitionslink |vertauschbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppenelemente/Vertauschbar/Definition |SZ= }} sind, d.h. dass für alle {{math|term= r \in R|SZ=}} gilt {{math|term= \varphi(r) \cdot a = a \cdot \varphi(r)|SZ=}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dfuj4grewl2mt6qz7au2gqpxrca43cb 0 24532 781773 755678 2022-08-21T22:51:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= P\in K[X]|SZ=}} ein nicht-konstantes Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass der durch {{math|term= X \mapsto P|SZ=}} definierte {{ Definitionslink |Einsetzungshomomorphismus| | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K[X]|SZ=}} nach {{math|term= K[X]|SZ=}} injektiv ist und dass der durch {{math|term= P|SZ=}} erzeugte Unterring {{mathl|term= K[P] \subseteq K[X]|SZ=}} isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sed68omx5yl8jmutbncjcc4mrcktf6g 0 24537 786033 759180 2022-08-22T10:18:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= Q \in \R[X]|SZ=}} ein quadratisches {{ Definitionslink |irreduzibles| |msw=Irreduzibel(MSW)| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition |SZ= }} Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass der Restklassenkörper {{mathl|term= \R[X]/(Q)|SZ=}} isomorph zu {{math|term= {{CC}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} odvd4byjk80eye54bv4lib902n988e7 0 24539 785119 758483 2022-08-22T07:50:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es unendlich viele normierte {{ Definitionslink |irreduzible| | |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition |SZ= }} Polynome in {{mathl|term= K[X]|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9qnb3pg0cloopampp8uatvwvsikvo4y 0 24549 779773 762914 2022-08-21T17:20:03Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Dies ist ein Hauptidealbereich und daher gibt es zu gegebenen Polynomen {{mathl|term=P_1, P_2{{kommadots|}} P_n|SZ=}} einen größten gemeinsamen Teiler, und diesen kann man darstellen als Linearkombination der gegebenen Polynome. Es gibt sogar ein effektives Verfahren, eine solche Darstellung explizit zu finden, das man {{ Zusatz/Klammer |text=wie bei den ganzen Zahlen {{math|term=\Z|SZ=}} | |SZ= }} den {{Stichwort|euklidischen Algorithmus|msw=Euklidischer Algorithmus|SZ=}} nennt. Wir beschränken uns auf den Fall von zwei Polynomen {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ=. }} Man führt nun {{{extra|}}} sukzessive eine {{ Definitionslink |Division mit Rest| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt |SZ= }} durch und erhält zunächst {{ math/disp|term= F=Q_1G+R_1 |SZ=. }} Dann erhält man {{ math/disp|term= G=Q_2R_1+R_2,\, R_1=Q_3R_2+R_3, \, |SZ= }} usw., bis schließlich der Rest {{mathl|term=R_k=0|SZ=}} ist. Dieser Fall muss letztlich eintreten, da sich bei jedem Divisionsschritt der Grad der Reste reduziert. Der vorletzte Rest ist dann der größte gemeinsame Teiler, und man kann durch Zurückrechnen entlang der Gleichungen eine Darstellung dieses ggTs mit {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ= }} finden. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Der euklidische Algorithmus (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k8s0n0xqzpxko9wz9bw5sxaa043av0w 0 24561 785120 758484 2022-08-22T07:50:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= A={{op:Abbildungsmenge|K|K|}}|SZ=}} der Ring der Abbildungen von {{math|term= K|SZ=}} nach {{math|term= K|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |K[X]|A || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Abbildung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4rlbh9rar860uso38d9cxponfbiil8z 0 24600 785308 758618 2022-08-22T08:18:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Integritätsbereich/Situation|SZ=}} und sei {{ mathbed|term= f \in R ||bedterm1= f \neq 0 |SZ=, }} ein Element. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Primelement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn der {{ Definitionslink |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R/(f)|SZ=}} ein Integritätsbereich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iv2zq66buc1jvqt4o0q36pnw0wgqf7v 0 24601 782956 756700 2022-08-22T02:08:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Integritätsbereich/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= R[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} darüber. Zeige{{n Sie}}, dass ein Polynom der Form {{mathl|term= X+c|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primelement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie in Polynomringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hrbzrn2cket9o9c8mntx1h304v5788j 0 24602 785147 300342 2022-08-22T07:54:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom {{math|term= P|SZ=}} durch {{math|term= X^m|SZ=}} teilt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mb7k6qklp9phkdf3va6h9vyqidqp5jl 0 24608 783174 413781 2022-08-22T02:44:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring und {{math|term= I, J|SZ=}} Ideale in {{math|term= R|SZ=.}} Sei weiter {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |R | R/I \times R/J |r| (r + I, r +J) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann surjektiv ist, wenn {{math|term= I + J = R|SZ=}} gilt. Wie sieht {{math|term= \ker \varphi|SZ=}} aus? Benutze{{n Sie}} jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle {{math|term= R = \mathbb{Z}|SZ=}} mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sk3u1q8kvvpznivmjwmioqy7363r654 0 24690 779316 763412 2022-08-21T16:09:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Nichtnullteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden ein {{ Definitionslink |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{math|term= 1|SZ=}} ist wie jede {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein Nichtnullteiler, und wenn {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} Nichtnullteiler sind, so ist auch deren Produkt ein Nichtnullteiler, da aus {{ Ma:Vergleichskette | f(gh) || 0 || || || |SZ= }} zunächst {{ Ma:Vergleichskette |gh ||0 || || || |SZ= }} und daraus {{ Ma:Vergleichskette |h ||0 || || || |SZ= }} folgt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Nullteiler (kommutative Ringe) |Kategorie2=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p5cwipqk6njcgl7xqeg3cvkqvlp5cek 0 24727 782176 756051 2022-08-21T23:58:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Ring faktoriell/Situation|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K=Q(R)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass jedes Element {{ mathbed|term= f\in K ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || up_1^{r_1} {{cdots|}} p_n^{r_n} || || || |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= u \in R|SZ=}} und ganzzahligen Exponenten {{math|term= r_i|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenkörper von faktoriellen Bereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jvh66ue34xrpli9yvl6y66hwqehlrs5 0 24731 782175 756050 2022-08-21T23:58:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Ring faktoriell/Situation|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K=Q(R)|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= a \in K|SZ=}} ein Element mit {{mathl|term= a^n \in R|SZ=}} für eine natürliche Zahl {{mathl|term= n \geq 1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann schon {{math|term= a|SZ=}} zu {{math|term= R|SZ=}} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenkörper von faktoriellen Bereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1mei36397j5wltvo9gecqjf1rn2hbhd 0 24732 783689 757340 2022-08-22T04:10:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Endliche Körpererweiterung/Situation|SZ=}} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= L=K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eaidog8byi2xwo7egqzs2rig0y6krym 0 24734 783204 756912 2022-08-22T02:49:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Ring kommutativ Ideal Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= I|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn der {{ Definitionslink |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R/I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der maximalen Ideale (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Restklassenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o0ma1e9uxd4dzo076f9tn7bwo7vhzj3 0 24737 782079 755968 2022-08-21T23:42:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körpererweiterung Element/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{mathl|term= K(f)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K[f]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bcjn54uoi2gbzftnz013i7iq6m7er0u 10 24772 779252 426702 2022-08-21T15:59:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabenform{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Inverse| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} von {{ math/disp|term= {{Linearkombination4/mit1|{{{1|}}}||{{{2|}}}|\sqrt{{{{p|p}}}}|{{{3|}}}|\sqrt{{{{q|q}}}}|{{{4|}}}| \sqrt{{{{pq|pq}}}} }} }} im {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\Q[\sqrt{{{{p|p}}}}, \sqrt{{{{q|q}}}}]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k2rtntnazhmw89y2x626cyi0byf5339 779262 779252 2022-08-21T16:00:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabenform{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Inverse| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} von {{ math/disp|term= {{Linearkombination4/mit1|{{{1|}}}||{{{2|}}}|\sqrt{{{{p|p}}}}|{{{3|}}}|\sqrt{{{{q|q}}}}|{{{4|}}}| \sqrt{{{{pq|pq}}}} }} }} im {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\Q[\sqrt{{{{p|p}}}}, \sqrt{{{{q|q}}}}]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lxh0pdh4r4941vkdfq5m6vbqkt0n6mo 0 24778 781122 755181 2022-08-21T21:02:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} zwei verschiedene {{ Definitionslink |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Q[\sqrt{p}, \sqrt{q}]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Unterkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R|SZ=}} ist, der über {{math|term= \Q|SZ=}} den {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition |SZ= }} vier besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Biquadratisch |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h3kev8fte0s5jzmkm0snwovi9rigvds 0 24779 785669 558980 2022-08-22T09:17:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} im Körper {{math|term= \Q[\sqrt{7}]|SZ=}} das Produkt {{ math/disp|term= (-2 + \sqrt{7} ) \cdot (4- \sqrt{7}) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 15a4fl7qz6e3cc2930d7co2ec1vym6k 0 24780 784272 757908 2022-08-22T05:48:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ math/disp|term= \sqrt{3}+ \sqrt{5} |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie3=Theorie der reell-algebraischen Zahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2em9vt9voxqcevst8de3xy221zsq1da 0 24798 778840 748218 2022-08-21T13:02:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie=Wir verwenden im Beweis einige elementargeometrische Grundtatsachen. |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung4 |Wir zeichnen die beiden Kreise {{ mathkor|term1= C_1 |und|term2= C_2 |SZ= }} mit dem Mittelpunkt {{math|term= Q_1|SZ=}} durch {{math|term= Q_2|SZ=}} und umgekehrt. Die beiden Schnittpunkte von {{ mathkor|term1= C_1 |und|term2= C_2 |SZ= }} seien {{ mathkor|term1= S_1 |und|term2= S_2 |SZ=. }} Deren Verbindungsgerade steht senkrecht auf {{math|term= G|SZ=}} und halbiert die Strecke zwischen {{ mathkor|term1= Q_1 |und|term2= Q_2 |SZ=. }} |Man zeichnet einen Kreis {{math|term= C|SZ=}} mit {{math|term= P|SZ=}} als Mittelpunkt und einem beliebigen Radius {{ Zusatz/Klammer |text=dazu braucht man neben {{math|term= P|SZ=}} noch einen weiteren Punkt| |SZ=. }} Es seien {{ mathkor|term1= Q_1 |und|term2= Q_2 |SZ= }} die beiden Schnittpunkte der Gerade {{math|term= G|SZ=}} mit {{math|term= C|SZ=.}} Für diese beiden Punkte führen wir die in (1) beschriebene Konstruktion durch. Diese Halbierungsgerade läuft dann durch {{math|term= P|SZ=}} und steht senkrecht auf {{math|term= G|SZ=.}} |Wenn {{math|term= P|SZ=}} auf der Geraden liegt, sind wir schon fertig mit der Konstruktion in (2). Andernfalls zeichnen wir einen Kreis mit {{math|term= P|SZ=}} als Mittelpunkt mit einem hinreichend großen Radius derart, dass sich zwei Schnittpunkte {{ mathkor|term1= Q_1 |und|term2= Q_2 |SZ= }} mit der Geraden ergeben {{ Zusatz/Klammer |text=dafür braucht man, dass mindestens ein weiterer Punkt zur Verfügung steht| |SZ=. }} Dann führt wieder die erste Konstruktion zum Ziel. |Dafür führt man zuerst die Konstruktion der Senkrechten {{math|term= S|SZ=}} durch {{math|term= P|SZ=}} wie in (3) beschrieben durch. Mit {{math|term= P|SZ=}} und {{math|term= S|SZ=}} führt man dann die Konstruktion (2) durch. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2zs1i1rx1hypint6qmspj297tj0krk9 0 24801 778835 747904 2022-08-21T13:02:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die {{ mathkor|term1= 0 |und die|term2= 1 |SZ= }} sind als Ausgangsmenge automatisch darin enthalten. Zu einem Punkt {{math|term= P|SZ=}} gehört auch der {{Anführung|gegenüberliegende}} Punkt {{math|term= -P|SZ=}} dazu, da man ihn konstruieren kann, indem man die Gerade durch {{ mathkor|term1= P |und|term2= 0 |SZ= }} und den Kreis mit Mittelpunkt {{math|term= 0|SZ=}} und Radius {{math|term= P|SZ=}} zeichnet; der zweite Schnittpunkt von diesem Kreis und dieser Geraden ist {{math|term= -P|SZ=.}} Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist also unter der Bildung des Negativen abgeschlossen. Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahl/Koordinatencharakterisierung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} kann man sich beim Nachweis der Körpereigenschaften darauf beschränken, dass die reellen konstruierbaren Zahlen einen Körper bilden. Dies folgt aber aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Zirkel und Lineal/Reell/Summe/Produkt/Division/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 951yt4qqis0m8nzozgavboikn94st0u 0 24803 778834 748221 2022-08-21T13:01:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zunächst einmal kann man aufgrund der vorgegebenen Punkte die {{math|term= x|SZ=-}}Achse und dann wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Zirkel und Lineal/Wichtige Konstruktionen/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} die dazu senkrechte Achse durch {{math|term= 0|SZ=,}} also die {{math|term= y|SZ=-}}Achse, konstruieren. Es steht also das Achsenkreuz zur Verfügung. Wenn nun {{math|term= P|SZ=}} gegeben ist, so kann man aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zirkel und Lineal/Wichtige Konstruktionen/Fakt |Nr=4 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die zu den Achsen parallelen Geraden zeichnen und erhält somit die Koordinatenwerte. Den {{math|term= y|SZ=-}}Wert kann man dann noch mit einem Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt auf die {{math|term= x|SZ=-}}Achse transportieren. Wenn umgekehrt die beiden Koordinaten gegeben sind, so kann man durch diese die senkrechten Geraden zeichnen. Deren Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rx03vc1zz2k4y7r4so2grika5s8s8mu 0 24820 779286 660439 2022-08-21T16:04:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Irreduzibilität eines Polynoms hängt wesentlich vom Grundkörper ab. Zum Beispiel ist das reelle Polynom {{ Ma:Vergleichskette |X^2+1 |\in| \R[X] || || || |SZ= }} irreduzibel, dagegen zerfällt es als Polynom in {{mathl|term= {{CC}}[X]|SZ=}} als {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2+1 ||(X+ {{Imaginäre Einheit|}} )(X- {{Imaginäre Einheit|}} ) || || || |SZ=. }} Ebenso ist das Polynom {{ Ma:Vergleichskette |X^2-5 |\in|\Q[X] || || || |SZ= }} irreduzibel, aber über {{math|term= \R|SZ=}} hat es die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2-5 || {{makl| X- \sqrt{5} |}} {{makl| X+ \sqrt{5} |}} || || || |SZ=. }} Übrigens kann die Zerlegung über einem größeren Körper manchmal dazu benutzt werden um zu zeigen, dass ein Polynom über dem gegebenen Körper irreduzibel ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3560bv7aplzg810rb5rp6dvdp4mps2o 0 24827 785117 758481 2022-08-22T07:49:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=}} und seien {{math|term= F,G \in K[X]|SZ=}} zwei Polynome. Es sei {{math|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= G|SZ=}} in {{math|term= K[X]|SZ=}} genau dann ist, wenn {{math|term= F|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= G|SZ=}} in {{math|term= L[X]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Teilen |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qplkjrr0xot8s6bly60gfj9izxl8k3e 0 24838 782172 756047 2022-08-21T23:57:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriellen Bereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} der {{ Definitionslink |größte gemeinsame Teiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das {{ Definitionslink |kleinste gemeinsame Vielfache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von zwei Elementen {{math|term= f,g \in R|SZ=}} existieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=GgT |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ei2dcicgzzxu6exbpph2oe3gc19jw5i 0 24839 782179 756054 2022-08-21T23:58:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Faktorieller Bereich Primelement/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R/(p^n)|SZ=}} nur die beiden trivialen {{ Definitionslink |idempotenten Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie2=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ln6uj3ogq6x33xnzj2ypu7o9foyp38 0 24841 785102 758472 2022-08-22T07:48:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Es seien {{math|term= a_1{{kommadots|}}a_n \in K|SZ=}} verschiedene Elemente und {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || (X-a_1){{cdots|}}(X-a_n) || || || |SZ= }} das Produkt der zugehörigen {{ Definitionslink |linearen Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K[X]/(F)|SZ=}} {{ Definitionslink |isomorph| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Produktring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K^n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der chinesische Restsatz für den Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j2pdfcuhi2kfdet7au12rx93ki0j71t 0 24851 785401 758685 2022-08-22T08:33:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= n_1{{kommadots|}} n_k|SZ=}} positive natürliche Zahlen und es sei {{ math/disp|term= G={{op:Zmod|n_1}} \times {{op:Zmod|n_2}} {{timesdots|}} {{op:Zmod|n_k}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Produktgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Exponenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Grundbegriffe/Exponent/Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ordnung (Gruppentheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Exponent |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} np4ig0wko73nwx1i5wazr7mg5zmyl10 0 24854 781852 755756 2022-08-21T23:04:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Konstruiere {{ Definitionslink |endliche Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Endlicher Körper/Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= 4,8,9,16,25,27,32|SZ=}} und {{math|term= 49|SZ=}} Elementen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstruktion |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vg6vxyl43oz4qwchxhh88pgsvh3rv1 0 24855 783626 559010 2022-08-22T04:00:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Konstruiere{{n Sie}} einen Körper {{math|term= {\mathbb F}_9|SZ=}} mit {{math|term= 9|SZ=}} Elementen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 9 Elementen |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jdtakw3i14mipb1le138rbjm2q9dsx9 0 24856 781481 510642 2022-08-21T22:02:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \mathbb F_9={{op:Zmod|3}}[Z]/(Z^2+1)|SZ=}} der Körper mit {{math|term= 9|SZ=}} Elementen {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= z|SZ=}} bezeichne die Restklasse von {{math|term= Z|SZ=}}| |SZ=. }} {{:Division mit Rest (Polynomring)/Aufgabenform|K=\mathbb F_9|P=X^3+zX^2+1+z|T=zX^2+(z+2)X+2}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 9 Elementen |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hvec6utwkl51avndhurl6xk5r3uoyyr 0 24857 781482 510740 2022-08-21T22:02:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \mathbb F_9={{op:Zmod|3}}[Z]/(Z^2+1)|SZ=}} der Körper mit {{math|term= 9|SZ=}} Elementen {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= z|SZ=}} bezeichne die Restklasse von {{math|term= Z|SZ=}}| |SZ=. }} {{:Division mit Rest (Polynomring)/Aufgabenform|K=\mathbb F_9|P=X^4+(1+2z)X^3+zX^2+2X+2+z|T=(z+1)X^2+zX+2}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 9 Elementen |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1pqjqa6wmlynvd2t8rg7buy4ouatf3l 0 24858 781853 755757 2022-08-21T23:04:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Konstruiere{{n Sie}} zu einer {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= p^2|SZ=}} Elementen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstruktion |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kd92rea8zz1dketykf405ch4llm81iz 0 24859 781854 755758 2022-08-21T23:04:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= F|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= p^2|SZ=}} Elementen. Welche {{ Definitionslink |Ringhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{mathl|term= {{op:Zmod|p^2}}|SZ=}} und {{math|term= F|SZ=}} gibt es? Man betrachte beide Richtungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadrat |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 959lb0wy7w1p2uohnd33xbfjpvk1n7w 0 24860 781835 755741 2022-08-21T23:01:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} einen Erzeuger der {{ Definitionslink |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Körpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 25|SZ=}} Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 25 Elementen |Stichwort=Primitiv |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ancspe40pwhd2e1wvfz9bv37iz05it 0 24869 779825 772368 2022-08-21T17:27:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Restklassenkörpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|23|}}|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/Zyklisch/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ist sie {{ Definitionslink |Prämath= |zyklisch| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es gibt daher Erzeuger der Einheitengruppe, also {{ Definitionslink |primitive Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wie kann man diese finden? Man ist hierbei prinzipiell auf Probieren angewiesen, man kann dies allerdings deutlich vereinfachen. Man weiß, dass die Einheitengruppe {{math|term= 22|SZ=}} Elemente besitzt, als {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung/Definition |SZ= }} von Elementen dieser Gruppe kommen also nur {{ mathlist|term1= 1,2,11 |und|term2= 22 ||term3= |SZ= }} in Frage. Es gibt genau ein Element mit der Ordnung {{math|term= 1|SZ=,}} nämlich {{math|term= 1|SZ=,}} und ein Element mit der Ordnung {{math|term= 2|SZ=,}} nämlich {{ Ma:Vergleichskette |-1 ||22 || || || |SZ=. }} Alle anderen Elemente haben also die Ordnung {{ mathkor|term1= 11 |oder|term2= 22 |SZ=, }} und genau die letzteren sind primitiv. Der erste Kandidat ist {{math|term= 2|SZ=.}} Wir müssen also {{ math/disp|term= 2^{11} \mod 23 |SZ= }} ausrechnen. Es ist {{ Ma:Vergleichskette | 2^5 || 32 || 9 |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2^{11} || 9 \cdot 9 \cdot 2 || 12 \cdot 2 || 24 || 1 |SZ=. }} Die Ordnung ist also {{math|term= 11|SZ=,}} und die {{math|term= 2|SZ=}} ist nicht primitiv. Betrachten wir die {{math|term= 3|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |3^3 ||27 ||4 |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |3^{11} ||4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 9 ||18 \cdot 9 ||162 ||1 |SZ=, }} also wieder nicht primitiv. Der nächste Kandidat {{math|term= 4|SZ=}} muss nicht gecheckt werden, denn wegen {{ Ma:Vergleichskette |4 ||2^2 || || || |SZ= }} ist sofort {{ Ma:Vergleichskette |4^{11} ||2^{22} ||1 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=diese Beobachtung gilt für alle Quadratzahlen, und zwar auch für diejenigen Zahlen, die nur modulo {{math|term= 23|SZ=}} ein Quadrat sind| |SZ=. }} Betrachten wir also {{math|term= 5|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |5^2 ||2 || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |5^{11} ||2^{5} \cdot 5 ||9 \cdot5 ||45 ||-1 |\neq|1 |SZ=. }} Daher hat {{math|term= 5|SZ=}} die Ordnung {{math|term= 22|SZ=}} und ist ein primitives Element. Man kann diesen Sachverhalt auch so ausdrücken, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Zmod|22}}|{{op:Einheiten(|{{op:Zmod|23}}}} |k|5^k |SZ=, }} einen {{ Definitionslink |Gruppenisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert. Dieser übersetzt die Addition in die Multiplikation, daher spricht man von einer {{Stichwort|diskreten Exponentialfunktion|msw=Diskrete Exponentialfunktion|SZ=}} und nennt die Umkehrabbildung auch einen {{Stichwort|diskreten Logarithmus|msw=Diskreter Logarithmus|SZ=.}} Solche Abbildungen spielen eine wichtige Rolle in der {{Stichwort|Kryptologie|SZ=.}} Wenn man wie in diesem Beispiel einen solchen Isomorphismus gefunden hat, so kann man viele Eigenschaften der Einheitengruppe in der {{Anführung|einfacheren|}} Gruppe entscheiden. Z.B. sind in {{mathl|term= {{op:Zmod|22}}|SZ=}} alle ungeraden Elemente außer {{math|term= 11|SZ=}} ein Gruppenerzeuger, daher sind in der Einheitengruppe alle Elemente der Form {{ mathbed/disp|term= 5^u ||bedterm1= u \text{ ungerade} ||bedterm2= u \neq 11 |SZ=, }} primitiv. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 23 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} svdphvowfrptm88hv3bp4tgkodmgvzz 0 24873 779122 763246 2022-08-21T15:39:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir konstruieren einen Körper mit {{ Ma:Vergleichskette | 23^2 || 529 || || || |SZ= }} Elementen und knüpfen dabei an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Restklassenring (Z)/mod 23/Primitive Elemente/Beispiel |Refname= |SZ= }} an. Da die {{mathl|term= 5 \in {{op:Zmod|23}}|SZ=}} {{ Definitionslink |primitiv| |Kontext=Einheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, folgt, dass das Polynom {{mathl|term= X^2-5 \in {{op:Zmod|23}}[X] |SZ=}} irreduzibel ist. Andernfalls müsste es eine Nullstelle haben und dann wäre {{ Ma:Vergleichskette |5 ||a^2 || || || |SZ= }} ein Quadrat mit {{mathl|term= a \in {{op:Zmod|23}}|SZ=.}} Doch dann wäre {{ Ma:Vergleichskette |5^{11} ||a^{22} ||1 || || |SZ=, }} was nicht der Fall ist. Es folgt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |K ||{{op:Zmod|23}}[X]/(X^2-5) || || || |SZ= }} ein Körper ist. Dieser hat {{math|term= 23^2|SZ=}} Elemente, da man jede Restklasse auf genau eine Weise als {{ mathbed|term= ax+b |mit|bedterm1= a,b \in {{op:Zmod|23}} ||bedterm2= |SZ= }} schreiben kann {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= x|SZ=}} bezeichne die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}}| |SZ=. }} Dieser Körper enthält {{mathl|term= {{op:Zmod|23}} |SZ=,}} und die Ordnungen dieser Elemente ändern sich nicht {{ Zusatz/Klammer |text=und sie sind insbesondere nicht primitiv im größeren Körper| |SZ=. }} Wir möchten eine primitive Einheit in diesem Körper finden und orientieren uns an {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung vom Produkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Ordnung von {{math|term= {{op:Einheiten|K|}}|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette |528 ||16 \cdot 3 \cdot 11 || || || |SZ=. }} Wir müssen für jede dieser Primzahlpotenzen ein Element mit dieser Ordnung finden. Die {{math|term= 2|SZ=}} hat die Ordnung {{math|term= 11|SZ=.}} Das Element {{mathl|term= 11-x|SZ=}} hat die Ordnung {{math|term= 3|SZ=,}} es ist nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | (11-x)^3 || 121\cdot 11 - 3 \cdot 121 x +33 x^2 -x^3 || 66 - 3 \cdot 6 x +50-5x || 116-23 x || 1 |SZ=. }} Um ein Element der Ordnung {{math|term= 16|SZ=}} zu finden, ziehen wir sukzessive Quadratwurzeln aus {{math|term= -1|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |(3x)^2 ||9x^2 ||45 ||-1 |SZ=. }} Eine Quadratwurzel aus {{math|term= 3x|SZ=}} ist {{mathl|term= 14+19x |SZ=,}} wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |(14+19x)^2 || 196 +361 \cdot 5 + 2 \cdot 14 \cdot 19 x || 12+ 16 \cdot 5 + 5 \cdot 19 x || 3x |SZ=. }} Um eine Quadratwurzel für {{mathl|term= 14+19x|SZ=}} zu finden, setzen wir {{ Ma:Vergleichskette | (a+b x)^2 ||14+19x || || || |SZ= }} an, was zum Gleichungssystem {{ mathkor|term1= a^2+5b^2=14 |und|term2= 2ab=19 |SZ= }} über {{mathl|term= {{op:Zmod|23}}|SZ=}} führt. Es ist dann {{mathl|term= a=21 \cdot b^{-1}|SZ=,}} was zu {{ Ma:Vergleichskette | 4 b^{-2} +5b^2 || 14 || || || |SZ= }} bzw. zur {{Stichwort|biquadratischen Gleichung|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | 5b^4 +9 b^2 +4 || 0 || || || |SZ= }} führt. Normieren ergibt {{ Ma:Vergleichskette | b^4 + 11 b^2 +10 ||0 || || || |SZ=. }} {{Stichwort|Quadratisches Ergänzen|SZ=}} führt zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | (b^2+17)^2 ||17^2-10 ||49 |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette |b^2 ||13 || || || |SZ= }} und somit {{ mathkor|term1= b=6 |und|term2= a=15 |SZ=, }} also ist {{mathl|term= 15+6x|SZ=}} ein Element der Ordnung {{math|term= 16|SZ=.}} Damit ist insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 (11-x) (15+6x) ||2 (165-30 +51x ) ||2 (20 +5x ) || 17+10x |SZ= }} eine {{ Definitionslink |primitive Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung vom Produkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 529 Elementen |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mb2s47jugxcru4g03jb1r1tptfp0aw6 784628 779122 2022-08-22T06:37:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir konstruieren einen Körper mit {{ Ma:Vergleichskette | 23^2 || 529 || || || |SZ= }} Elementen und knüpfen dabei an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Restklassenring (Z)/mod 23/Primitive Elemente/Beispiel |Refname= |SZ= }} an. Da die {{mathl|term= 5 \in {{op:Zmod|23}}|SZ=}} {{ Definitionslink |primitiv| |Kontext=Einheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, folgt, dass das Polynom {{mathl|term= X^2-5 \in {{op:Zmod|23}}[X] |SZ=}} irreduzibel ist. Andernfalls müsste es eine Nullstelle haben und dann wäre {{ Ma:Vergleichskette |5 ||a^2 || || || |SZ= }} ein Quadrat mit {{mathl|term= a \in {{op:Zmod|23}}|SZ=.}} Doch dann wäre {{ Ma:Vergleichskette |5^{11} ||a^{22} ||1 || || |SZ=, }} was nicht der Fall ist. Es folgt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |K ||{{op:Zmod|23}}[X]/(X^2-5) || || || |SZ= }} ein Körper ist. Dieser hat {{math|term= 23^2|SZ=}} Elemente, da man jede Restklasse auf genau eine Weise als {{ mathbed|term= ax+b |mit|bedterm1= a,b \in {{op:Zmod|23}} ||bedterm2= |SZ= }} schreiben kann {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= x|SZ=}} bezeichne die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}}| |SZ=. }} Dieser Körper enthält {{mathl|term= {{op:Zmod|23}} |SZ=,}} und die Ordnungen dieser Elemente ändern sich nicht {{ Zusatz/Klammer |text=und sie sind insbesondere nicht primitiv im größeren Körper| |SZ=. }} Wir möchten eine primitive Einheit in diesem Körper finden und orientieren uns an {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung vom Produkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Ordnung von {{math|term= {{op:Einheiten|K|}}|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette |528 ||16 \cdot 3 \cdot 11 || || || |SZ=. }} Wir müssen für jede dieser Primzahlpotenzen ein Element mit dieser Ordnung finden. Die {{math|term= 2|SZ=}} hat die Ordnung {{math|term= 11|SZ=.}} Das Element {{mathl|term= 11-x|SZ=}} hat die Ordnung {{math|term= 3|SZ=,}} es ist nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | (11-x)^3 || 121\cdot 11 - 3 \cdot 121 x +33 x^2 -x^3 || 66 - 3 \cdot 6 x +50-5x || 116-23 x || 1 |SZ=. }} Um ein Element der Ordnung {{math|term= 16|SZ=}} zu finden, ziehen wir sukzessive Quadratwurzeln aus {{math|term= -1|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |(3x)^2 ||9x^2 ||45 ||-1 |SZ=. }} Eine Quadratwurzel aus {{math|term= 3x|SZ=}} ist {{mathl|term= 14+19x |SZ=,}} wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |(14+19x)^2 || 196 +361 \cdot 5 + 2 \cdot 14 \cdot 19 x || 12+ 16 \cdot 5 + 5 \cdot 19 x || 3x |SZ=. }} Um eine Quadratwurzel für {{mathl|term= 14+19x|SZ=}} zu finden, setzen wir {{ Ma:Vergleichskette | (a+b x)^2 ||14+19x || || || |SZ= }} an, was zum Gleichungssystem {{ mathkor|term1= a^2+5b^2=14 |und|term2= 2ab=19 |SZ= }} über {{mathl|term= {{op:Zmod|23}}|SZ=}} führt. Es ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | a || 21 \cdot b^{-1} || || || |SZ=, }} was zu {{ Ma:Vergleichskette | 4 b^{-2} +5b^2 || 14 || || || |SZ= }} bzw. zur {{Stichwort|biquadratischen Gleichung|msw=Biquadratische Gleichung|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | 5b^4 +9 b^2 +4 || 0 || || || |SZ= }} führt. Normieren ergibt {{ Ma:Vergleichskette | b^4 + 11 b^2 +10 ||0 || || || |SZ=. }} {{Stichwort|Quadratisches Ergänzen|SZ=}} führt zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | (b^2+17)^2 || 17^2-10 || 49 |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette |b^2 ||13 || || || |SZ= }} und somit {{ mathkor|term1= b=6 |und|term2= a=15 |SZ=, }} also ist {{mathl|term= 15+6x |SZ=}} ein Element der Ordnung {{math|term= 16 |SZ=.}} Damit ist insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 (11-x) (15+6x) || 2 (165-30 +51x ) || 2 (20 +5x ) || 17+10x |SZ= }} eine {{ Definitionslink |primitive Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung vom Produkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 529 Elementen |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aiq8auxf0pqthve9xvr0mu6q8p1begn 0 24908 783264 756968 2022-08-22T02:59:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{Mengebed|1+x|x \in I}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mi1g10l0qlu44jm865xgxyvkonq5o6o 0 24911 783191 756901 2022-08-22T02:47:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= 0 \neq p \in R|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{math|term= p|SZ=}} genau dann ein Primelement, wenn das von {{math|term= p|SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugte Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= (p) \subset R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primelement |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f19ic4mhaml3w4q41s71jy77gxdguff 0 24912 783229 756933 2022-08-22T02:53:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{idealp|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{idealp|}}|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn der {{ Definitionslink |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R/{{idealp|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h3nfk1z2dp3por31iedto09a9vg2axp 0 24916 785208 758550 2022-08-22T08:03:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man mache sich anhand des {{ Definitionslink |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R[X]| {{CC}} |X| {{imaginäre Einheit|}} |SZ=, }} klar, dass die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K[X]|SZ=}} stark vom Grundkörper {{math|term= K|SZ=}} abhängt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oya0z7dqt32oef87jg3kko6j3jow2r0 0 24917 783171 756886 2022-08-22T02:44:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass {{math|term= \Z[X]|SZ=}} und der {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in zwei Variablen {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Hauptidealbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Z |Kategorie2=Theorie der Hauptidealbereiche |Kategorie3=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t1dn7alrygotmfawpd5dn9wp5ps1adm 0 24931 779144 763259 2022-08-21T15:42:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |faktorieller Bereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge von Primelementen. Dann ist die Menge aller Elemente aus {{math|term= R|SZ=,}} in deren Primfaktorzerlegung ausschließlich Primelemente aus {{math|term= M|SZ=}} vorkommen, ein {{ Definitionslink |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S|SZ=.}} Es ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || {{Mengebed|up_1^{r_1} {{cdots|}} p_k^{r_k}|u \in {{op:Einheiten|R}}|p_i \in M}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie2=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ir6pi1xnvap9a09s27916yr0k9o5siv 0 24958 781956 755849 2022-08-21T23:21:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= q=p^{n}|SZ=}} Elementen. Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= K|SZ=}} genau {{math|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|q-1|}}|SZ=}} {{ Definitionslink |primitive Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt, wobei {{math|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|}}|SZ=}} die {{ Definitionslink |Eulersche Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Euler |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s7jzg8rpocxkiwfkvhwsf5859yw90no 0 24964 783697 413815 2022-08-22T04:12:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K \subseteq L|SZ=}} eine Körpererweiterung und {{math|term= f \in L|SZ=}} ein nicht algebraisches Element. Zeige{{n Sie}}, dass dann eine Isomorphie {{ Ma:abb/disp |name= |K(X)|K(f) || |SZ= }} von Körpern vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pdb7nfcy3n8fe2pctmlrbl3risepaq6 0 24967 779826 763771 2022-08-21T17:27:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L ||\Q[X]/(X^3+2X^2-5) || || || |SZ= }} und bezeichnen die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} mit {{math|term= x|SZ=.}} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} besitzt jedes Element {{math|term= f |SZ=}} aus {{math|term= L|SZ=}} eine eindeutige Darstellung {{ Ma:Vergleichskette |f ||ax^2 + bx +c || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= a,b,c \in \Q|SZ=,}} so dass also ein dreidimensionaler {{math|term= \Q|SZ=-}}Vektorraum vorliegt. Da {{mathl|term= X^3+2X^2-5 |SZ=}} in {{math|term= L|SZ=}} zu {{math|term= 0|SZ=}} gemacht wird, gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^3 ||-2x^2+5 || || || |SZ=. }} Daraus ergeben sich die Gleichungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^4 ||-2x^3+5x ||-2(-2x^2+5) +5x ||4x^2+5x-10 |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^5 ||-2x^4+5x^2 ||-2(4x^2+5x-10) + 5 x^2 ||-3x^2 -10x +20 |SZ=, }} etc. Man kann hierbei auf verschiedene Arten zu dem eindeutig bestimmten kanonischen Repräsentanten reduzieren. Berechnen wir nun das Produkt {{ math/disp|term= (3x^2-2x+4)(2x^2+x-1) |SZ=. }} Dabei wird distributiv ausmultipliziert und anschließend werden die Potenzen reduziert. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | (3x^2-2x+4)(2x^2+x-1) || 6x^4+3x^3-3x^2 -4x^3-2x^2+2x +8x^2+4x-4 || 6x^4 -x^3 +3x^2+6x-4 || 6(4x^2+5x-10) +2x^2-5+3x^2+6x-4 || 29x^2 +36x-69 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e03rf8cvtqrpwzg6wiwwfvmjzcm9kh1 0 24969 779419 763510 2022-08-21T16:25:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei einer Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} sind die Elemente {{mathl|term= a \in K|SZ=}} trivialerweise {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und zwar ist jeweils {{mathl|term= X-a \in K[X]|SZ=}} das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Weitere Beispiele liefern über {{ Ma:Vergleichskette | K || \Q || || || |SZ= }} die komplexen Zahlen {{mathl|term= \sqrt{2}, {{Imaginäre Einheit}}, 3^{1/5}|SZ=,}} etc. Annullierende Polynome aus {{mathl|term= \Q[X]|SZ=}} sind dafür {{mathl|term= X^2-2|SZ=,}} {{mathl|term= X^2+1|SZ=,}} {{mathl|term= X^5-3|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist| |SZ=. }} Man beachte, dass beispielsweise {{mathl|term= X- \sqrt{2}|SZ=}} zwar ein annullierendes Polynom für {{math|term= \sqrt{2}|SZ=}} ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu {{math|term= \Q|SZ=}} gehören. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hz3cvo4h5ju737h2rui63q6rulnpn4v 0 24999 785675 758887 2022-08-22T09:18:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die {{Stichwort|Lösungsformel für eine quadratische Gleichung|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | ax^2+bx+c ||0 || || || |SZ= }} mit {{math|term= a,b,c \in K|SZ=}} für einen {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/1/Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 52h5b16xkv1btgcems0glkhk9fa8l63 0 25000 783690 757341 2022-08-22T04:10:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körpererweiterung/Situation|SZ=}} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=,}} wobei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Es sei {{ mathbed|term= x \in L ||bedterm1= x \not\in K ||bedterm2= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= K[x]=L|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ec5xiqh0c3ddjyevsrpycvchuv7nqyk 0 25004 785000 758415 2022-08-22T07:32:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= P \in K[X]|SZ=}} ein Polynom. Zeige: {{math|term= P|SZ=}} besitzt genau dann eine Nullstelle in {{math|term= L|SZ=,}} wenn es einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus | |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |K[X]/(P)|L || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Nullstelle |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nn7w0exmztr9rcn52oidrk0p1mdk13z 0 25005 781877 568735 2022-08-21T23:08:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme das Inverse von {{mathl|term= 2x^2+3x-1|SZ=}} im Körper {{mathl|term= \Q[X]/(X^3-5)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= x|SZ=}} bezeichnet die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} | |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Inverses |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4aldxjqctg4rivpuewtgqzwkazzm785 0 25009 780654 754775 2022-08-21T19:44:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |algebraischen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Algebraische Zahlentheorie/Algebraische und transzendente Zahlen/Definition |SZ= }} {{math|term= \mathbb A|SZ=}} keine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ff9l7x4f95v6c25wskhy3tyhixcxc0u 0 25010 783710 757357 2022-08-22T04:14:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= L=K(X)|SZ=}} der {{ Definitionslink |rationale Funktionenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Quotientenkörper/Polynomring/Eine Variable/Rationaler Funktionenkörper/Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus|| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |L|L || |SZ= }} derart gibt, dass {{mathl|term= L \cong \varphi(L) \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rational |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgefwsisapzfyn32z5jimu0a1ulw63u 0 25011 785227 758562 2022-08-22T08:05:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass ein Polynom {{mathl|term= P\in K[X]|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname=/Definition |SZ= }} ist, wenn das um {{mathl|term= a \in K|SZ=}} {{Anführung|verschobene}} Polynom {{ Zusatz/Klammer |text=das entsteht, wenn man in {{math|term= P|SZ=}} die Variable {{math|term= X|SZ=}} durch {{mathl|term= X-a|SZ=}} ersetzt| |SZ= }} irreduzibel ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f0udir50o48es1al1by80u6pofdccac 0 25012 780012 413830 2022-08-21T17:57:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere und beweise das {{Stichwort|umgekehrte Eisensteinkriterium|msw=Umgekehrtes Eisensteinkriterium|SZ=,}} bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Eisensteinkriterium |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0lmevsdytjqasnu00tazrbtx4g49x19 0 25014 781776 755680 2022-08-21T22:51:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man wende|Wenden Sie}} eine Form des {{ Faktlink |Präwort=|Eisensteinkriteriums|Faktseitenname= Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Z und Q/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an, um die {{ Definitionslink |Irreduzibilität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition |SZ= }} der folgenden Polynome aus {{math|term= \Q[X]|SZ=}} nachzuweisen. {{ Aufzählung3 | {{math|term= X^4+2X^2+2|SZ=,}} | {{math|term= 20X^5-15X^4+125X^3-10X+4|SZ=,}} | {{math|term= X^4+9|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Eisensteinkriterium |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9xx3da3bn0ma4zte3p9f5hv0n2tde77 0 25015 781777 755681 2022-08-21T22:51:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere und beweise das {{Anführung|verschobene Eisensteinkriterium|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} auch ein Beispiel eines Polynoms {{mathl|term= P \in \Q[X]|SZ=,}} wo man die {{ Definitionslink |Irreduzibilität| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname=/Definition |SZ= }} nicht mit dem {{ Faktlink |Faktseitenname= Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Faktorieller Bereich/Fakt |Refname= {{{ref|Eisensteinkriterium}}} |SZ=, }} aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Eisensteinkriterium |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e9ixzj0mm80kbh44ihdphfkro2ytvmh 0 25021 783718 757366 2022-08-22T04:15:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= \Q \subseteq K \subset {{CC}} |und|term2= \Q \subseteq L \subset {{CC}}|SZ= }} zwei {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=}} vom Grad {{ mathkor|term1= d |bzw.|term2= e |SZ=. }} Es seien {{ mathkor|term1= d |und|term2= e |SZ= }} {{ Definitionslink |teilerfremd| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ math/disp|term= K \cap L = \Q |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Grad |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvsnc53l1mbz7aopivbqrdwwnhqkebr 0 25024 782305 756152 2022-08-22T00:19:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Beweise die folgenden Rechenregeln für das {{ Definitionslink |formale Ableiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Polynomring/Körper/Formales Ableiten/Definition |SZ= }} {{mathl|term= F \mapsto F'|SZ=:}} {{ Aufzählung3 |Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist {{math|term= 0|SZ=.}} |Die Ableitung ist {{ Definitionslink |Prämath=K |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es gilt die {{Stichwort|Produktregel|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | (FG)' ||FG'+F'G || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des formalen Ableitens |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r05aq9llyecxaoreikgnfwnh7j9ku0l 0 25025 782302 756150 2022-08-22T00:19:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} und {{mathl|term= a \in K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= a|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |mehrfache Nullstelle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Polynomring/Mehrfache Nullstelle/Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette |F'(a) || 0 || || || |SZ= }} ist, wobei {{math|term= F'|SZ=}} die {{ Definitionslink |formale Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des formalen Ableitens |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lvrz1rxzkacw3htuqhs5ahoxq4klwmc 0 25033 783688 757339 2022-08-22T04:10:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körpererweiterung Element/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}: {{math|term= f|SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |algebraisch| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=,}} wenn {{mathl|term= K[f]=K(f)|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0gnvh9nxi2kebvffzhtdenlqaraqo22 0 25035 785661 758877 2022-08-22T09:16:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} der Charakteristik {{math|term= \neq 2|SZ=}} und sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es neben der Identität einen weiteren {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |L|L || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mtnk4ykdqgkk85j2bc0wc3lc809nbkv 0 25039 782007 755900 2022-08-21T23:30:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{math|term= f \in \operatorname{End} \,(V) |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die von {{math|term= f|SZ=}} erzeugte {{math|term= K|SZ=-}}{{ Definitionslink |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K[f]|SZ=}} {{ Definitionslink |kommutativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition |SZ= }} ist, und zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, ohne den Satz von Cayley-Hamilton zu verwenden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mzckgaysmh60i1cuplikky63p515rwr 0 25068 778829 748095 2022-08-21T13:01:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Induktionsbeweis |Strategie=Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Grad Körpererweiterung|K|L_1}} |SZ=.}} |Anfang= Wenn der Grad eins ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette |K ||L_1 || || || |SZ= }} und das Polynom {{math|term= F|SZ=}} zerfällt bereits über {{math|term= K|SZ=}} in Linearfaktoren. Dann gehören alle Nullstellen von {{math|term= F|SZ=}} in einem beliebigen Erweiterungskörper {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|M || || || |SZ= }} zu {{math|term= K|SZ=}} selbst. Also ist auch {{ Ma:Vergleichskette |L_2 ||K || || || |SZ=. }} |Schluss=Es sei nun {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Grad Körpererweiterung|K|L_1}} |\geq| 2 || || || |SZ= }} und die Aussage sei für kleinere Grade bewiesen. Dann zerfällt {{math|term= F|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} nicht in Linearfaktoren. Daher gibt es einen irreduziblen Faktor {{math|term= P|SZ=}} von {{math|term= F|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Grad Polynom|P}} |\geq| 2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |K' ||K[X]/(P) || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} eine Körpererweiterung von {{math|term= K|SZ=}} vom Grad {{math|term= \geq 2 |SZ=.}} Da {{math|term= P|SZ=}} als Faktor von {{math|term= F|SZ=}} ebenfalls über {{ mathkor|term1= L_1 |und über|term2= L_2 |SZ= }} in Linearfaktoren zerfällt, gibt es {{math|term= K|SZ=-}}Algebrahomomorphismen {{ mathkor|term1= {{ abb |name= |K'|L_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name= |K'|L_2 || |SZ= }}|SZ=. }} Diese sind injektiv, so dass {{math|term= K' |SZ=}} sowohl von {{ mathkor|term1= L_1 |als auch von|term2= L_2 |SZ= }} ein Unterkörper ist. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zerfällungskörper/Ist Zerfällungskörper über Zwischenkörper/Fakt |Refname= {{{ref3|Fakt}}} |SZ= }} sind dann {{ mathkor|term1= L_1 |und|term2= L_2 |SZ= }} Zerfällungskörper von {{ Ma:Vergleichskette | F |\in| K'[X] || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt |Refname= {{{ref4|Fakt}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Grad Körpererweiterung|K'|L_1}} |<| {{op:Grad Körpererweiterung|K|L_1}} || || || |SZ=, }} so dass wir auf {{mathl|term= K',L_1,L_2 |SZ=}} die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Es gibt also einen {{math|term= K'|SZ=-}}Algebraisomorphismus {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |L_1|L_2 || |SZ=. }} Dieser ist erst recht ein {{math|term= K|SZ=-}}Algebraisomorphismus. |Zusammenfassung= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nnfh534i9xro2q2nicihtkbjazc7g5z 0 25075 783679 757328 2022-08-22T04:09:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und {{math|term= K \subseteq K' \subseteq L|SZ=}} ein Zwischenkörper. Es sei {{math|term= f \in L|SZ=}} {{ Definitionslink |algebraisch| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname=/Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= f|SZ=}} auch algebraisch über {{math|term= K'|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Zwischenkörper |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6z25wj5ffo5qkywl2o8yyoh2ov3cs0f 0 25076 783726 757371 2022-08-22T04:16:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= K \subseteq L \subseteq M|SZ=}} {{ Definitionslink |Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass {{math|term= M|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |endlich| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{math|term= M|SZ=}} über {{math|term= L|SZ=}} und {{math|term= L|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} endlich sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hoeaofllhi8ztbihor1omqzr4p3s6ag 0 25081 781935 755830 2022-08-21T23:18:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathbed|term= q=p^n ||bedterm1= n \geq 2 ||bedterm2= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Zmod|p^n}}|SZ=}} kein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{mathl|term= {{op:Zmod|p}}|SZ=}} sein kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} szdfrxsf0qjkdbmllubzdsmem1hmqiz 0 25082 781953 755846 2022-08-21T23:21:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} einen Erzeuger der {{ Definitionslink |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Körpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 27|SZ=}} Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 27 Elementen |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p83ddgefp6fkf03laqfv3btav0ekvcw 0 25087 778830 752406 2022-08-21T13:01:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|M || || || |SZ= }} eine Körpererweiterung, über der {{math|term= F|SZ=}} in Linearformen zerfällt und {{ Ma:Vergleichskette |L ||K[a_1 {{kommadots|}} a_n] |\subseteq|M || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= a_i \in M|SZ=}} die Nullstellen von {{math|term= F|SZ=}} seien. Es liegt eine Kette von {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |K |\subseteq|K[a_1] |\subseteq|K[a_1,a_2] |\subseteq| \cdots |\subseteq| K[a_1 {{kommadots|}} a_n] ||L |\subseteq|M |SZ= }} vor. Dabei ist sukzessive {{math|term= a_i|SZ=}} {{ Definitionslink |algebraisch| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname=/Definition |SZ= }} über {{mathl|term= K[a_1 {{kommadots|}} a_{i-1}]|SZ=,}} da ja {{math|term= a_i|SZ=}} eine Nullstelle von {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} ist. Daher sind die Inklusionen nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugt Körper/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} ist dann die Gesamtkörpererweiterung ebenfalls endlich. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3hkahvwav4qq3y9ksx2ihhz508yq0xa 0 25091 783655 757302 2022-08-22T04:05:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} einen Körper der {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/1/Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} an, der unendlich viele Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Charakteristik eines Körpers |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4l4a42v7qd8spt3hsuxhvem7bm5272y 0 25092 784993 615536 2022-08-22T07:31:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man bestimme|Bestimmen Sie}} sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms {{ math/disp|term= X^3-1 |SZ= }} und {{ManSie|man gebe|Geben Sie}} die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in {{math|term= \R[X]|SZ=}} und in {{math|term= {{CC}}[X]|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie= Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R oder C‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen/Aufgaben |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} movi6h4bed9z5ofmlw6y5guryeghrvh 0 25093 786243 759364 2022-08-22T10:53:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= x \in {{op:Einheiten(|{{op:Zmod|p}}|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= a|SZ=}} die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung/Definition |SZ= }} von {{math|term= x|SZ=}} in der additiven Gruppe {{mathl|term= ({{op:Zmod|p}},+,0)|SZ=}} und es sei {{math|term= b|SZ=}} die Ordnung von {{math|term= x|SZ=}} in der multiplikativen Gruppe {{mathl|term= ({{op:Einheiten(|{{op:Zmod|p}}||}}, \cdot , 1)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} {{ Definitionslink |teilerfremd| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gm0k9xchyvrt9li2fczyh73ilroc715 0 25094 781850 755754 2022-08-21T23:03:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Konstruiere {{ Definitionslink |endliche Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Endlicher Körper/Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= 64,81,121,125|SZ=}} und {{mathl|term= 128|SZ=}} Elementen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstruktion |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fgolen1a80w6z16pp1nhwxwkg7t86k1 0 25098 786219 759354 2022-08-22T10:49:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine ungerade {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Zmod|p}}|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Restklassenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Produkt von zwei {{ Definitionslink |primitiven Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} niemals primitiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdt1jt669s5dxs5acze8z8bk8rwk7yd 0 25099 785811 758979 2022-08-22T09:41:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme in {{math|term= \Q[X]/(X^3-7)|SZ=}} das {{ Definitionslink |Inverse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} von {{math|term= 3x+4|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= x|SZ=}} bezeichnet die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}}| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper Q X/(X^3-7) |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56pja7dyjzr9mkai0qqw1q75wf0bqf4 0 25105 785314 414101 2022-08-22T08:19:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} mit Hilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung in {{math|term= \Z|SZ=,}} dass {{math|term= 9^{1/3}|SZ=}} irrational ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen irrationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cs36f9mp1u2xczrgmyciz2xunnqudif 0 25110 784910 758354 2022-08-22T07:18:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die beiden Permutationen {{Wertetabelle8 |text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8 |text2={{math|term= \sigma(x)|SZ=}}|2|5|3|7|1|4|8|6}} und {{Wertetabelle8 |text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8 |text2={{math|term= \tau(x)|SZ=}}|4|5|2|8|6|7|1|3}} Berechne{{n Sie}} {{math|term= \sigma \tau|SZ=}} und {{math|term= \tau \sigma|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Fehlstände| |Definitionsseitenname= Permutation/Fehlstand/Definition |SZ= }} und das {{ Definitionslink |Vorzeichen| |Definitionsseitenname= Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition |SZ= }} von {{math|term= \tau|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} die Zyklendarstellung von {{math|term= \sigma|SZ=}} und von {{math|term= \sigma^3|SZ=}} an. Was ist die Ordnung von {{math|term= \sigma|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Permutationsgruppe S8 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kblnjte7xf86tesltdb71cmmlq8hjkj 0 25148 781940 414099 2022-08-21T23:18:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche eigentliche Raumsymmetriegruppe/Situation|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} die Begriffe {{Anführung|Halbachse von {{math|term= G|SZ=}}}} und erläutere, wann zwei Halbachsen {{Anführung|äquivalent}} sind. Zu einer Halbachse {{math|term= H|SZ=}} sei {{ math/disp|term= G_H= {{Mengebed|g \in G|g(H) {{=|}}H }} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu zwei äquivalenten Halbachsen {{ mathkor|term1= H_1 |und|term2= H_2 |SZ= }} die Gruppen {{ mathkor|term1= G_{H_1} |und|term2= G_{H_2} |SZ= }} isomorph sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e2zfuj2imm4agk84med6uvfu0vmmpoi 0 25152 780648 754770 2022-08-21T19:43:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} und {{mathl|term= L \subseteq M|SZ=}} {{ Definitionslink |algebraische Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Algebraische Körpererweiterung/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{math|term= K \subseteq M|SZ=}} eine algebraische Körpererweiterung ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 29c2wsjftqq8u816q8cwaqod94sttoj 0 25154 780652 754773 2022-08-21T19:44:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= z=a+b {{Imaginäre Einheit}} \in {{CC}} ||bedterm1= a,b \in \R ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |algebraische Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Algebraische Zahlentheorie/Algebraische und transzendente Zahlen/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl {{mathl|term= \overline{z}=a-b {{Imaginäre Einheit}}|SZ=}} sowie der Real- und der Imaginärteil von {{math|term= z|SZ=}} algebraisch sind. {{ManSie|Man bestimme|bestimmen Sie}} den {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{algzahl|}} \cap \R \subseteq {{algzahl|}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Körpererweiterung R in C |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Realteil |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kw7dxbb2n96vauu2nxi9ti5mxidd4fl 0 25156 783459 414106 2022-08-22T03:32:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Gerade {{math|term= G|SZ=}} gegeben, auf der zwei Punkte als {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} ausgezeichnet seien, so dass man diese Gerade mit den reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} auf {{math|term= G|SZ=}} gegeben. Beschreibe{{n Sie}}, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, so dass das Produkt wieder auf {{math|term= G|SZ=}} liegt {{ Zusatz/Klammer |text=dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden| |SZ=. }} Skizziere{{n Sie}} die Situation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Multiplikation |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mcwxfzf9i2u0kiyrwy6400xj7xa2m79 0 25162 784271 757907 2022-08-22T05:47:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= 2^{1/5} \in \R|SZ=}} {{ Definitionslink |algebraisch| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=}} ist und bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2kddb5bklxbku5hs35m8wu571n6d6dc 0 25163 783663 757311 2022-08-22T04:06:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 0 \neq 1|SZ=}} und {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |K|R || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}{{{zusatz1|}}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rfz1b91w3zrdquitpohbl91k3stalmz 0 25166 783947 414110 2022-08-22T04:53:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Untergruppe/Situation|SZ=.}} {{ManSie|Erläutere|Erläutern Sie}} die Begriffe {{Anführung|Linksnebenklasse|SZ=,}} {{Anführung|Index}} und {{Anführung|Normalteiler|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass eine Untergruppe vom Index {{math|term= 2|SZ=}} ein Normalteiler ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Index |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n41l3w5aorsk0ed3pknuv7s7sjl1sfp 0 25261 786480 505764 2022-08-22T11:32:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise {{ mathkor|term1= K |und|term2= L |SZ=, }} wobei {{math|term= K|SZ=}} den Mittelpunkt {{math|term= (2,3)|SZ=}} und den Radius {{math|term= 4|SZ=}} und {{math|term= L|SZ=}} den Mittelpunkt {{mathl|term= (5,-1)|SZ=}} und den Radius {{math|term= 7|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Kreisgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Schnittpunkt |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0jlwwnxp94b54uxxauwo8dkdsd2y1ot 0 25262 786477 591803 2022-08-22T11:31:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden {{math|term= G|SZ=}} und des Kreises {{math|term= K|SZ=,}} wobei {{math|term= G|SZ=}} durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | 2y-3x+1 || 0 || || || |SZ= }} und {{math|term= K|SZ=}} durch den Mittelpunkt {{math|term= (2,2)|SZ=}} und den Radius {{math|term= 5|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Kreisgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Schnittpunkt |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hu1laxq6981z8jii0oc0nq5018wdith 0 25263 783442 757119 2022-08-22T03:29:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |konstruierbare Punkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahl/Definition |SZ=. }} Zeige, dass dann auch der Abstand {{mathl|term= d(P,Q)|SZ=}} konstruierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Abstand |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kwcrzr24bi4caa68dmtivpxhpblkxnp 0 25272 780854 754957 2022-08-21T20:17:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei eine zweielementige Menge {{mathl|term= M=\{0,1\}|SZ=}} in der Ebene gegeben. Wie viele Punkte lassen sich aus {{math|term= M|SZ=}} in {{ Definitionslink |einem Schritt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zirkel und Lineal/Elementare Punktkonstruktion als Schnitt/Definition |SZ=, }} in zwei Schritten und in drei Schritten konstruieren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jb3aod4qdqp5kze9klpylemrher4cdb 0 25284 778837 747905 2022-08-21T13:02:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie=(1) Wir verwenden eine zu {{math|term= G|SZ=}} senkrechte Gerade {{math|term= H|SZ=}} durch {{math|term= 0|SZ=}} und darauf einen Punkt {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dazu nehmen wir die zu {{math|term= H|SZ=}} senkrechte Gerade {{math|term= G'|SZ=}} durch {{math|term= x|SZ=,}} die also parallel zu {{math|term= G|SZ=}} ist. |Teilbeweis= Wir zeichnen die Gerade {{math|term= H'|SZ=,}} die parallel zu {{math|term= H|SZ=}} ist und durch {{mathl|term= a \in G|SZ=}} verläuft. Der Schnittpunkt von {{ mathkor|term1= H' |und|term2= G' |SZ= }} markieren wir als {{math|term= a'|SZ=,}} so dass der Abstand von {{math|term= a'|SZ=}} zu {{math|term= x|SZ=}} gleich {{math|term= a|SZ=}} ist. Jetzt zeichnen wir die Gerade {{math|term= L|SZ=}} durch {{ mathkor|term1= b |und|term2= x |SZ= }} und dazu die parallele Gerade {{math|term= L'|SZ=}} durch {{math|term= a'|SZ=.}} Der Schnittpunkt von {{ mathkor|term1= L' |mit|term2= G |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |y ||a+b || || || |SZ=, }} da {{mathl|term= x,b,a',y|SZ=}} ein Parallelogramm bilden. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie=Zum Beweis von (2) und (3) verwenden wir wieder die zu {{math|term= G|SZ=}} senkrechte Gerade {{math|term= H|SZ=.}} Wir schlagen Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt durch {{ mathbed|term= 1 ||bedterm1= a |und|bedterm2= b |SZ= }} und markieren die entsprechenden Punkte auf {{math|term= H|SZ=}} als {{ mathbed|term= 1' ||bedterm1= a' |und|bedterm2= b' |SZ=. }} Dabei wählt man {{math|term= 1'|SZ=}} als einen der beiden Schnittpunkte und {{ mathkor|term1= a' |und|term2= b' |SZ= }} müssen dann auf den entsprechenden Halbgeraden sein. |Teilbeweis= Um das Produkt zu erhalten, zeichnet man die Gerade {{math|term= L|SZ=}} durch {{ mathkor|term1= a |und|term2= 1' |SZ= }} und dazu die parallele Gerade {{math|term= L'|SZ=}} durch {{math|term= b'|SZ=.}} Diese Gerade schneidet {{math|term= G|SZ=}} in genau einem Punkt {{math|term= x|SZ=.}} Für diesen Punkt gilt nach dem Strahlensatz das Steckenverhältnis {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Bruch|x|a}} ||{{op:Bruch|b'|1'}} ||{{op:Bruch|b|1}} |SZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette |x ||ab || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Um den Quotienten {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}}|SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |b |\neq|0 || || || |SZ= }} zu erhalten, zeichnet man die Gerade {{math|term= T|SZ=}} durch {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= b' |SZ= }} und dazu parallel die Gerade {{math|term= T'|SZ=}} durch {{math|term= a'|SZ=.}} Der Schnittpunkt von {{math|term= T'|SZ=}} mit {{math|term= G|SZ=}} sei {{math|term= z|SZ=.}} Aufgrund des Strahlensatzes gilt die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|a|b}} ||{{op:Bruch|a'|b'}} ||z |SZ=. }} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fbcpxl05myjvpzptjpy23hrkt51ujtu 0 25300 778842 748219 2022-08-21T13:03:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt {{math|term= 0|SZ=}} durch {{math|term= 1|SZ=}} und markieren den zweiten Schnittpunkt dieses Kreises mit {{math|term= G|SZ=}} als {{math|term= -1|SZ=.}} Wir halbieren die Strecke zwischen {{ mathkor|term1= -1 |und|term2= a |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Zirkel und Lineal/Wichtige Konstruktionen/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} und erhalten den konstruierbaren Punkt {{ Ma:Vergleichskette |M ||{{op:Bruch|a-1|2}} |\in| G || || |SZ=. }} Der Abstand von {{math|term= M|SZ=}} zu {{math|term= a|SZ=}} als auch zu {{math|term= -1|SZ=}} ist dann {{mathl|term= {{op:Bruch|a+1|2}} |SZ=.}} Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt {{math|term= M|SZ=}} und Radius {{mathl|term= {{op:Bruch|a+1|2}} |SZ=}} und markieren einen der Schnittpunkte des Kreises mit der zu {{math|term= G |SZ=}} senkrechten Geraden {{math|term= H|SZ=}} durch {{math|term= 0|SZ=}} als {{math|term= x|SZ=.}} Wir wenden {{ Faktlink |Präwort=den|Satz des Pythagoras|Faktseitenname= Dreiecksgeometrie/Satz des Pythagoras/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf das Dreieck mit den Ecken {{mathl|term= 0,x,M |SZ=}} an. Daraus ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^2 || {{makl| {{op:Bruch|a+1|2}} |}}^2 - {{makl|{{op:Bruch|a-1|2}}|}}^2 || {{op:Bruch|a^2+2a+1-(a^2-2a+1)|4}} || {{op:Bruch|4a|4}} || a |SZ=. }} Also repräsentiert {{ Zusatz/Klammer |text=der Abstand von {{math|term= 0|SZ=}} zu| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= x|SZ=}} die Quadratwurzel aus {{math|term= a|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i0a5gxaiftbhe124nxcbe6h45kk2arc 0 25306 778836 748225 2022-08-21T13:02:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Längen der Rechteckseiten seien {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=. }} Wir wählen einen Eckpunkt des Rechtecks als Nullpunkt und verwenden die Geraden durch die anliegenden Rechteckseiten als Koordinatenachsen. Wir wählen willkürlich einen Punkt {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= \neq 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf einer der Achsen und schlagen einen Kreis um den Nullpunkt durch den Eckpunkt auf der anderen Achse, so dass beide Seitenlängen auf der mit {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} markierten Achse liegen. Darauf führen wir die Multiplikation {{math|term= ab|SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zirkel und Lineal/Reell/Summe/Produkt/Division/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} durch. Aus diesem Produkt zieht man nun gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Zirkel und Lineal/Wurzelkonstruktion/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} die Quadratwurzel und erhält somit {{mathl|term= \sqrt{ab}|SZ=.}} Mit dieser Streckenlänge konstruiert man ein Quadrat, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt des vorgegebenen Rechtecks ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 80nhwfu8bbterkx06b9d7godh9pksbq 0 25321 778843 752407 2022-08-21T13:03:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten einen Würfel mit der Kantenlänge {{math|term= 1|SZ=}} und dem Volumen {{math|term= 1|SZ=.}} Die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen würde bedeuten, dass man die neue Kantenlänge, also {{mathl|term= 2^{1/3}|SZ=}} mit Zirkel und Lineal konstruieren könnte. Das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= 2^{1/3}|SZ=}} ist {{mathl|term= X^3-2|SZ=,}} da dieses offenbar {{mathl|term= 2^{1/3}|SZ=}} annulliert und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Faktorieller Bereich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom hat Grad Zweierpotenz/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} ist {{mathl|term= 2^{1/3}|SZ=}} nicht konstruierbar, da {{math|term= 3|SZ=}} keine Zweierpotenz ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rdye8rawtwkeuk58tqnjl4r88068au0 0 25354 781779 571690 2022-08-21T22:52:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mit Hilfe des verschobenen {{ Faktlink |Präwort=|Eisensteinkriteriums|Faktseitenname= Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Faktorieller Bereich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass das Polynom {{mathl|term= X^3-3X-1|SZ=}} irreduzibel in {{math|term= \Q[X]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Eisensteinkriterium |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X-1 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 61rjece89y2ysrdii0n89mrg3zwgwkj 0 25359 781124 748579 2022-08-21T21:02:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q | \subset|\Q[\sqrt{5}, \sqrt{7}] ||L || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass einerseits {{mathl|term= 1, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{35}|SZ=}} und andererseits {{ mathbed|term= (\sqrt{5}+ \sqrt{7})^{i} ||bedterm1= i=0,1,2,3 ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} bildet. Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrizen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für diese Basen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q7hsgx0cb70ikue0dpi74qf0z4i1sg4 0 25361 782998 756758 2022-08-22T02:15:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das Polynom {{mathl|term= X^3+2X^2-5|SZ=}} in {{math|term= \Q[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f8i6il8395c2mbt5kuuwhi0brg5i03w 0 25386 779653 764385 2022-08-21T17:03:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || a_0 + a_1X+a_2X^2 {{plusdots|}} a_nX^n || || || |SZ= }} heißt {{math|term=a_0 |SZ=}} der {{Definitionswort|konstante Koeffizient|msw=Konstanter Koeffizient|SZ=}} von {{math|term=P |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem kommutativen Ring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Konstanter Koeffizient |Definitionswort2= |Stichwort=Konstant |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6kambv8aak350rqc1l8cxelzg4g9eru 0 25403 785973 559168 2022-08-22T10:08:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subset K' \, (\subseteq \R)|SZ=}} eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{mathl|term= K[ {{Imaginäre Einheit|}} ] \subset K'[{{Imaginäre Einheit|}}]|SZ=}} eine quadratische Körpererweiterung ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reell |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} afft6uv8q2jqjsh8om68nwsbezl40qt 0 25419 779363 233519 2022-08-21T16:15:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Man kann die Zahl {{math|term= \pi|SZ=}} auch mit Hilfe von Schwimmbecken und einer idealen Flüssigkeit erhalten. <gallery> Image:Schwimmbadquadratur 004.jpg|Wir starten mit einem Einheitskreis, Image:Schwimmbadquadratur 006.jpg|den wir als Grundfläche Image:Schwimmbadquadratur 018.jpg|eines Schwimmbeckens der Höhe 1 nehmen. Image:Schwimmbadquadratur 026.jpg|Das füllen wir randvoll mit Wasser auf. Image:Schwimmbadquadratur 031.jpg|Wir nehmen ein zweites Schwimmbecken mit quadratischer Grundfläche {{math|term= 1 \times 1|SZ=}} und Höhe 4. Image:Schwimmbadquadratur 035.jpg|Der Inhalt des ersten Schwimmbeckens wird Image:Schwimmbadquadratur 046.jpg|in das zweite Schwimmbecken gegossen. Image:Schwimmbadquadratur 049.jpg|Der Wasserstand im zweiten Schwimmbecken ist exakt {{math|term= \pi|SZ=.}} </gallery> |Textart=Beispiel |Kategorie=Geometrische Konstruktionen von pi |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Schwimmbad |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gcy8zrwwd20h9d6829l5ogll9gxubpd 0 25425 779362 279092 2022-08-21T16:15:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die einfachste Art, die Zahl {{math|term= \pi|SZ=}} geometrisch zu konstruieren, ist die {{Stichwort|Abrollmethode|SZ=,}} bei der man einen Kreis mit Durchmesser {{math|term= 1|SZ=}} einmal exakt abrollt. Die zurückgeführte Entfernung ist genau der Kreisumfang, also {{math|term= \pi|SZ=.}} {{ inputbild |Pi-unrolled-720|gif| 500px {{!}} left {{!}} |Autor=John Reid |Benutzer=MGTom |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Geometrische Konstruktionen von pi |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} acki4kilpeqc0yyavh8nazgt4i0ddse 0 25496 785941 759090 2022-08-22T10:03:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= L=K(X)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Polynomrings| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K[X]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= K \subset L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |einfache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Einfache Körpererweiterung/Definition |SZ=, }} aber keine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der einfachen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der Quotientenkörper |Kategorie3=Theorie der rationalen Funktionenkörper |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jjv73wq4ii8qgfsl7id1kty2p0dzyrs 0 25501 779378 763462 2022-08-21T16:18:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine {{math|term= n|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||1 || || || |SZ= }} oder {{math|term= 2|SZ=}} ist der Kreisteilungskörper gleich {{math|term= \Q|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||3 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^3-1 || (X-1) {{makl| X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} und der zweite Faktor zerfällt {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2+X+1 || {{makl| X + {{op:Bruch|1|2}} - {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Bruch| \sqrt{3}| 2}} |}} {{makl| X + {{op:Bruch|1|2}} + {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Bruch| \sqrt{3}| 2}} |}} || || || |SZ=. }} Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von {{ Ma:Vergleichskette | \sqrt{-3} || \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit|}} || || | |SZ= }} erzeugte Körper, es ist also {{ Ma:Vergleichskette |K_3 || \Q[ \sqrt{-3}] || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der rationalen Zahlen. Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||4 || || || |SZ= }} ist natürlich {{ Ma:Vergleichskette/align | X^4-1 || {{makl| X^2-1 |}} {{makl| X^2+1 |}} || (X-1)(X+1) {{makl| X^2+1 |}} || (X-1)(X+1) (X- {{Imaginäre Einheit|}} )(X+ {{Imaginäre Einheit|}} ) |SZ=. }} Der vierte Kreisteilungskörper ist somit {{ Ma:Vergleichskette | \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] |\cong | \Q[X]/(X^2+1) || || || |SZ=, }} also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der dritte Kreisteilungskörper über Q |Objektkategorie2=Der vierte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cslejul7upvj2eozm65mhpkjcqoqv79 0 25510 779377 763460 2022-08-21T16:18:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl {{mathl|term= e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} /5}|SZ=}} erzeugt. Er hat aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Q/Prim/Kreisteilungspolynom/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp | K_5 |\cong| \Q[X]/{{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || || || |SZ=, }} wobei die Variable {{math|term= X|SZ=}} als {{mathl|term= e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} /5}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine andere {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |SZ= }} zu interpretieren ist. Sei {{ Ma:Vergleichskette |x ||e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} /5} || || || |SZ= }} und setze {{ Ma:Vergleichskette | v || x-x^2-x^3+x^4 || - {{makl| 2x^3+2x^2+1 |}} || || |SZ=. }} Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align |v^2 || 4x^6+4x^4+1+8x^5+4x^3+4x^2 || 4x+4x^4+1+8+4x^3+4x^2 || 5+4 {{makl| x^4+x^3+x^2+x+1 |}} ||5 |SZ=. }} Es ist also {{ Ma:Vergleichskette |v ||\sqrt{5} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die positive Wurzel| |SZ= }} und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Q |\subset |\Q[\sqrt{5}] |\subset |K_5 || || |SZ=. }} {{{zusatz1|}}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} at7yg6j11zedgwln78iccsfh1ktf1rw 0 25524 778839 748222 2022-08-21T13:02:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (1) folgt daraus, dass eine Winkelhalbierung stets mit Zirkel und Lineal {{ Faktlink |Präwort=|durchführbar|Faktseitenname= Winkel/Halbierung/Zirkel und Lineal/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (2). Nach Voraussetzung ist {{mathl|term= {{op:expteil|nk}}|SZ=}} {{ Definitionslink |konstruierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist auch nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahlen bilden einen Unterkörper/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} die Potenz {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:expteil|nk}} |}}^n || {{op:expteil|k}} |SZ= }} konstruierbar. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (3). Seien nun {{ mathkor|term1= {{op:expteil|n}} |und|term2= {{op:expteil|k|}} |SZ= }} konstruierbar und {{ mathkor|term1= n |und|term2= k |SZ= }} teilerfremd. Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Bezout|Faktseitenname= Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es dann ganze Zahlen {{mathl|term= r,s|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | rn+sk || 1 || || || |SZ=. }} Daher ist auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:expteil|n}} |}}^s {{makl| {{op:expteil|k}} |}}^r || {{makl| {{op:exp2piibruch|k|nk}} |}}^s {{makl| {{op:exp2piibruch|n|nk}} |}}^r || {{op:exp2piibruch|sk|nk}} {{op:exp2piibruch|rn|nk}} || {{op:exp2piibruch| (sk+rn) |nk}} || {{op:expteil|nk}} |SZ= }} konstruierbar. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l806bgy5knxsm72cwupj3n2g8lhvm5p 0 25551 784684 758182 2022-08-22T06:45:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= F,G \in \Z[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |normierte Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass {{mathl|term= F=GH|SZ=}} ist mit {{mathl|term= H \in \Q[X]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= H \in \Z[X]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ibnmpof0g1anqlxl2xrx6npqk07fwpt 0 25559 783543 757205 2022-08-22T03:46:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Kreisteilungspolynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Kreisteilungspolynom|n|}}|SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\leq|15 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g2fybil7ac364anojcslpwq6uka2u85 0 25561 783674 757323 2022-08-22T04:08:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von endlichen Körpern. Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |einfache Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz vom primitiven Element |Kategorie2=Theorie der endlichen Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nw2ihrha7w5l2zov18jjujih993pw6x 0 25562 783675 757324 2022-08-22T04:08:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine Primzahl sei. Zeige{{n Sie}}, dass dann eine {{ Definitionslink |einfache Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der einfachen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7lygbpw57y41y9yiewqvjhc0cx75bkk 0 25563 783538 757201 2022-08-22T03:45:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das sechste {{ Definitionslink |Kreisteilungspolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{Op:Kreisteilungspolynom|6}}|SZ=}} und beschreibe{{n Sie}} die Primfaktorzerlegung von {{math|term= X^6-1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} flomda3kkitac47hwm0qphrmzwac5r6 0 25564 783525 757188 2022-08-22T03:43:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} ungerade. Zeige{{n Sie}}, dass der {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{math|term= 2n|SZ=-}}ten Kreisteilungskörper übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1v9ilxmncr81guzxlv3iyh0eplf0tku 0 25565 783478 577714 2022-08-22T03:35:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5d6jf1q5atzmlqq04y88bx7251ipvbw 0 25569 778838 748177 2022-08-21T13:02:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Voraussetzung besagt, dass die {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \zeta ||{{op:exp2piibruch| |n}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |konstruierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dann muss nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom hat Grad Zweierpotenz/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} der {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Minimalpolynoms| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \zeta|SZ=}} eine Zweierpotenz sein. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} ist das Minimalpolynom von {{math|term= \zeta|SZ=}} das {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungspolynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und dieses hat den Grad {{mathl|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|n|}} |SZ=.}} Also muss {{mathl|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|n|}} |SZ=}} eine Zweierpotenz sein. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fatc1b18fcb8myzudguas3wmiiimjy7 0 25571 778833 748139 2022-08-21T13:01:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wäre das regelmäßige {{math|term= 9|SZ=-}}Eck konstruierbar, so müsste nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Euler ist Zweierpotenz/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|9}}|SZ=}} eine Zweierpotenz sein. Es ist aber {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Eulersche Phi-Funktion|9}} ||2 \cdot 3 ||6 || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lt0ihou3w1qu0rf5u3a84msx8jfok1d 0 25573 783441 757118 2022-08-22T03:29:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für alle {{mathl|term= n \leq 30|SZ=,}} ob das regelmäßige {{math|term= n|SZ=-}}Eck mit Zirkel und Lineal {{ Definitionslink |konstruierbar| |Kontext=Eck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Konstruktion regelmäßiger n-Ecke |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 521mz5jwiw5dnyf27b5mi8q1wa0f50d 0 25577 778841 579646 2022-08-21T13:03:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es genügt, einen {{ Zusatz/Klammer |text=konstruierbaren| |SZ= }} Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} derart anzugeben, dass {{mathl|term= \alpha/3|SZ=}} nicht konstruierbar ist. Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette | \alpha || {{op:Winkelgrad|120||}} || || || |SZ= }} Grad, welcher konstruierbar ist, da die dritten Einheitswurzeln konstruierbar sind, weil sie nämlich in einer quadratischen Körpererweiterung von {{math|term= \Q|SZ=}} liegen. Dagegen ist der Winkel {{ Ma:Vergleichskette |\alpha/3 || {{op:Winkelgrad|120}}/3 || {{op:Winkelgrad|40}} || || |SZ= }} nicht konstruierbar, da andernfalls das regelmäßige {{math|term= 9|SZ=-}}Eck konstruierbar wäre, was nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zirkel und Lineal/Das regelmäßige 9-Eck ist nicht konstruierbar/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} aber nicht der Fall ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0uju6s9v3o1gv3hslt8j8ds87sj90yh 0 25600 785052 573562 2022-08-22T07:40:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Formel {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^{u}+1 ||(X+1) {{makl| X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \cdots + X^2 - X +1 |}} || || || |SZ= }} für {{math|term= u|SZ=}} ungerade. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Faktorzerlegung in Polynomringen in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} et4g26fmt31u5ag9z1k3252en2fxk7i 0 25951 781653 755591 2022-08-21T22:31:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um {{math|term= 45|SZ=}} Grad, von der Drehung um {{math|term= 99|SZ=}} Grad und von der Zwölfteldrehung {{ Definitionslink |erzeugte Untergruppe| |Definitionsseitenname= Erzeugte Untergruppe zu Menge/Definition |SZ= }} der Drehgruppe {{math|term= {{op:Spezielle orthogonale Gruppe|2}}|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Drehungen‎ |Kategorie2=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Drehung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bpkgp7l3cfbmg491igzbsmq0nq3z2e7 0 25958 780698 754816 2022-08-21T19:51:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |angeordneter Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass aus {{math|term= ca \geq cb|SZ=}} mit {{math|term= c>0|SZ=}} folgt, dass {{math|term= a \geq b|SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= 1>0|SZ=}} in {{math|term= R|SZ=}} gilt. c) Zeige{{n Sie}}, dass aus {{math|term= a<0|SZ=}} die Eigenschaft {{math|term= -a>0|SZ=}} folgt. d) Es sei {{math|term= K=Q(R)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Definiere eine Ordnungsrelation {{math|term= \geq|SZ=}} auf {{math|term= K|SZ=,}} die auf {{math|term= R \subseteq K|SZ=}} mit der vorgegebenen Ordnung übereinstimmt, und die {{math|term= K|SZ=}} zu einem angeordneten Körper macht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c5v6865f1pqomx80cx74f0s7wrxyksm 0 25960 785031 758428 2022-08-22T07:36:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Primfaktorzerlegung des Polynoms {{math|term= X^6-1|SZ=}} über den {{ Definitionslink |Prämath= |Körpern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K ||\Q, \R, {{CC}}, {{op:Zmod|7}} || || || |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Zmod|5}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a8g0iyn1f86a5lyzeg3l6magb95vqt0 0 25961 785035 510748 2022-08-22T07:37:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} den Körper {{mathl|term= K=\mathbb F_4= {{op:Zmod|2}}[U]/(U^2+U+1)|SZ=.}} Führe{{n Sie}} im Polynomring {{math|term= K[X]|SZ=}} die Polynomdivision {{ math/disp|term= X^4 +uX^3+ (u+1) X+1\text{ durch } uX^2+X+u+1 |SZ= }} aus, wobei {{math|term= u|SZ=}} die Restklasse von {{math|term= U|SZ=}} in {{math|term= K|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c44c8xlbzyk92f9eqpczf3t5ww3no3a 0 25962 781957 414598 2022-08-21T23:21:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= \mathbb F_q|SZ=}} ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich {{math|term= 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus {{math|term= {{op:Einheiten|\mathbb F_q|}}|SZ=}} ein Quadrat in {{math|term= \mathbb F_q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} au9kkpgmsnns363lanr9f2ba0oxvn2r 0 25963 783643 757293 2022-08-22T04:03:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit neun Elementen {{math|term= \mathbb F_9|SZ=}} als einen {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Zmod|3}}[X]|SZ=.}} Man gebe eine {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \mathbb F_9|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 9 Elementen |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nu5ou1rceh8qz6xrgp3vyxv78yqyhtr 0 25964 785004 758417 2022-08-22T07:33:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Schreibe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Q[X]/(X^4-1)|SZ=}} als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper {{math|term= \Q|SZ=}} und {{math|term= \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ]|SZ=}} vorkommen. Schreibe{{n Sie}} die Restklasse von {{math|term= X^3+X|SZ=}} als ein Tupel in dieser Produktzerlegung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der chinesische Restsatz für den Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pw0ahw9iteq5bifb2llkiihzws945kk 0 25965 781871 755775 2022-08-21T23:07:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die {{Anführung|Gradformel}} für eine Kette von {{ Definitionslink |endlichen Kör{{latextrenn|}}pererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K \subseteq L \subseteq M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tlj5hmdg13p4lk9w772zitunudmd7z4 0 25967 783439 414604 2022-08-22T03:28:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Charakterisiere{{n Sie}} mit Hilfe von Fermatschen Primzahlen {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Beweis| |SZ= }} diejenigen natürlichen Zahlen {{math|term= n|SZ=,}} für die das reguläre {{math|term= n|SZ=-}}Eck konstruierbar ist. Wende diese Charakterisierung für {{math|term= n|SZ=}} zwischen {{math|term= 30|SZ=}} und {{math|term= 40|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hv7luzvnx8iyocte5yv5gjqxiv10roa 0 26625 781024 755091 2022-08-21T20:46:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die {{ Definitionslink |Bernoullische Ungleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Exponenten {{math|term= n=3|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Bernoullische Ungleichung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hqv6osh6gfemy3d2pw16ux7sftm4mmj 0 26632 784197 284086 2022-08-22T05:35:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen {{math|term= A,B,C|SZ=}} Mengen. Man formuliere auch die einzelnen Mengenbeziehungen mittels Quantoren. {{ Aufzählung5 |Modus Barbara: Aus {{math|term= B \subseteq A|SZ=}} und {{math|term= C \subseteq B|SZ=}} folgt {{math|term= C \subseteq A|SZ=.}} |Modus Celarent: Aus {{math|term= B \cap A = \emptyset|SZ=}} und {{math|term= C \subseteq B|SZ=}} folgt {{math|term= C \cap A = \emptyset|SZ=.}} |Modus Darii: Aus {{math|term= B \subseteq A|SZ=}} und {{math|term= C \cap B \neq \emptyset |SZ=}} folgt {{math|term= C \cap A \neq \emptyset|SZ=.}} |Modus Ferio: Aus {{math|term= B \cap A = \emptyset|SZ=}} und {{math|term= C \cap B \neq \emptyset|SZ=}} folgt {{math|term= C \not \subseteq A |SZ=.}} |Modus Baroco: Aus {{math|term= B \subseteq A|SZ=}} und {{math|term= B \not \subseteq C |SZ=}} folgt {{math|term= A \not \subseteq C|SZ=.}} }} Welche dieser Aussagen kann man durch Betrachten von Komplementen auf andere zurückführen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2=Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n8vebd3r8x4qwxybbfckz98pglmovl4 0 26640 783627 757276 2022-08-22T04:00:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei dem eine Teilmenge {{math|term= P\subseteq K|SZ=}} ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt. {{ Aufzählung3 |Für {{math|term= x \in K|SZ=}} ist entweder {{math|term= x \in P|SZ=}} oder {{math|term= -x \in P|SZ=}} oder {{math|term= x=0|SZ=.}} |Aus {{math|term= x,y \in P|SZ=}} folgt {{math|term= x+y \in P|SZ=.}} |Aus {{math|term= x,y \in P|SZ=}} folgt {{math|term= x \cdot y \in P|SZ=.}} }} Zeige{{n Sie}}, dass durch die Festlegung {{ math/disp|term= x \geq y \text{ genau dann, wenn } x=y \text{ oder } x-y \in P |SZ= }} ein {{ Definitionslink |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} entsteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 896az3x4bud9jft6blq942erm5hu60r 0 26663 778706 772804 2022-08-21T12:43:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir besprechen hier verschiedene mögliche Zugänge zu den reellen Zahlen, nämlich den geometrischen Zugang, den Zugang über Ziffernfolgen und den axiomatischen Zugang. In der höheren Mathematik ist der axiomatische Zugang das Maß der Dinge, so dass hier insbesondere ein Bewußtsein für die Schwächen der zuerst genannten Zugänge geschaffen werden soll. {{Zwischenüberschrift|term=Der geometrische Zugang: reelle Zahlen als Punkte einer markierten Geraden}} {{ inputbild |Real number line|svg| 300px {{!}} {{!}} |epsname=Real_number_line |Autor= |Benutzer=Phrood |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} In diesem Zugang werden die reellen Zahlen als Punkte einer unendlichen {{Anführung|markierten}} Geraden aufgefasst. Dem liegt die Auffassung zugrunde, dass mit den reellen Zahlen alle möglichen Längen ausgedrückt werden sollen, dass Zahlen zum Messen da sind, und mögliche Messwerte repräsentieren. Wenn man sich auf {{Anführung|wirkliche Messwerte|}} beschränken möchte, sollte man eher mit einer Halbgeraden als mit einer ganzen Geraden arbeiten, doch das ist im Folgenden kein wesentlicher Unterschied. Dass Punkte auf der Geraden Messwerte repräsentieren können, setzt voraus, dass ein Punkt auf der Geraden als Ursprungspunkt oder Nullpunkt {{math|term= 0|SZ=}} ausgezeichnet wird, so dass dann ein beliebiger Punkt über seinen Abstand zum Nullpunkt eine bestimmte Länge repräsentiert. Die begleitende Vorstellung dabei ist, dass man jeden irgendwo auftauchenden Abstand und jede gemessene Länge von {{math|term= 0|SZ=}} aus an die Gerade anlegen kann und dann durch den Endpunkt repräsentiert wird {{ Zusatz/Klammer |text=in der technischen Durchführung wird eher die Gerade als Messlatte an den Gegenstand angelegt| |SZ=. }} Beispielsweise kann man eine in der Ebene über eine bestimmte Konstruktion gewonnene Länge, wie beispielsweise die Länge der Diagonalen in einem Quadrat, auf die Zahlengerade übertragen (bei einer {{Anführung|krummen Länge}} wie dem Umfang eines Kreises ist das schon schwieriger). Dieser Übertrag ermöglicht es insbesondere, zwei jeweils gegebene Streckenlängen miteinander zu vergleichen und zu entscheiden, welche von ihnen größer als die andere ist. Auf der Zahlengeraden gibt es eine einfache Interpretation der Größerrelation, die je nach der Orientierung durch {{Anführung|rechts von|}} oder {{Anführung|links von}} gegeben ist. Auch die Addition besitzt eine einfache Interpretation, indem man nämlich zwei Punkte dadurch addiert, dass man die Strecke, die durch den einen Punkt repräsentiert wird {{ Zusatz/Klammer |text=also die Strecke vom Nullpunkt zu diesem Punkt| |SZ=, }} an den anderen Punkt anlegt. Das Negative eines Punktes ist das Spiegelbild am Nullpunkt auf der gegenüberliegenden Halbgeraden. Für die Addition leuchten die Gesetzmäßigkeiten bei dieser geometrischen Beschreibung schnell ein: die Kommutativität beruht darauf, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge ich zwei Strecken aneinander lege, und die Assoziativität beruht darauf, dass es bei drei hintereinanderliegenden Strecken unerheblich ist, ob man zuerst die linke und die mittlere zu einer Zwischenstrecke zusammenfasst und dann noch die rechte hinzunimmt, oder umgekehrt. Die Multiplikation ist auf der Zahlengeraden schon schwieriger zu erklären. Das Produkt von zwei Stecken hat als Flächeninhalt des durch die beiden Strecken definierten Rechtecks eine natürliche Interpretation; diesen Vorgang in sinnvoller Weise auf eine gerade zu zwingen ist aber nicht trivial. Man erreicht dies, indem man eine beliebige Streckenlänge als Einheitsstrecke auszeichnet und zu einem beliebigen Rechteck das flächengleiche Rechteck findet, dessen eine Seitenlänge die Einheitstrecke ist. Die andere Seitenlänge repräsentiert dann den Flächeninhalt und dadurch das Produkt. Lässt sich dieser Übergang auf der Geraden direkt durchführen? {{ inputbild |Regular quadrilateral|svg| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Regular_quadrilateral |Autor= |Benutzer=Gustavb |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Geometri rektangel|png| 250px {{!}} {{!}} |epsname=Geometri_rektangel |Autor= |Benutzer=Anp |Domäne=sv Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Zunächst muss man auf der Geraden einen vom Nullpunkt verschiedenen Punkt als {{math|term= 1|SZ=}} auszeichnen, um eine Definition der Multiplikation zu ermöglichen. Die Gerade ist also von nun an mit zwei Punkten {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} markiert. Die Markierung der Geraden mit einer {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und mit Vielfachen und Teilern davon| |SZ= }} erleichtert das Messen, da es erlaubt, die Messergebnisse auch durch Zahlen zu repräsentieren {{ Zusatz/Klammer |text=die einfacher zu transportieren sind als die Messlatten| |SZ=. }} Der Zahlenwert eines Punktes hängt von der gewählten {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der Einheit| |SZ= }} ab. Das Multiplizieren von Punkten auf der Zahlengeraden wird geometrisch über eine Ebenenkonstruktion definiert, und zwar wird eine Hilfsgerade durch den Nullpunkt gezeichnet, auf der die {{math|term= 1|SZ=}} und einer der Faktoren, sagen wir {{math|term= y|SZ=}} übertragen werden. Dann verbindet man {{ mathkor|term1= 1' |und|term2= x |SZ= }} durch eine Gerade und zieht dazu die parallele Gerade durch {{math|term= y'|SZ=.}} Deren Schnittpunkt mit der Startgeraden ist dann {{mathl|term= z=xy|SZ=!}} {{ inputbild |Produit constructible|png| 300px {{!}} {{!}} |epsname=Produit_constructible |Autor=HB |Benutzer= |Domäne=fr Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Dies beruht auf dem {{Stichwort|Strahlensatz|SZ=,}} die Streckenverhältnisse im Dreieck sind nämlich {{mathl|term= \frac{y}{1} = \frac{y'}{1'} = \frac{z}{x}|SZ=,}} woraus {{mathl|term= z=xy|SZ=}} folgt. Bei dieser geometrische Definition der Multiplikation ist es keineswegs sofort klar, dass sie kommutativ, assoziativ ist und dass das Distributivgesetz gilt. Für letztere müsste man zwei recht verschiedene komplizierte Konstruktionen zeichnen und mit elementar-geometrischen Mitteln nachweisen, dass sie zum gleichen Ergebnis führen. Wir halten fest. Vorteile der geometrischen Sichtweise: unmittelbare Anschauung, die Relation {{math|term= \geq|SZ=}} und die Addition haben eine unmittelbare Bedeutung, und auch der Multiplikation liegt eine überschaubare geometrische Konstruktion zugrunde. Nachteile: {{ Auflistung5 |Die Anschauung ist kein Beweismittel. |Die Anschauung beruht auf Vorstellungen, und es ist nie wirklich klar, ob diese bei verschiedenen Menschen deckungsgleich sind. |Multiplikation und Division erfordern den Übergang zur Ebene, und in dieser kann man letztlich nur exakt über Koordinaten argumentieren, was ein arithmetisches Verständnis der reellen Zahlen selbst voraussetzt. |Es ist schwierig, Gesetzmäßigkeiten wie das Distributivgesetz zu begründen. |Ein geometrischer Punkt hat eine geringe Abstraktionskraft; eine geometrische Konstruktion hängt immer stark von der genauen Ausgangskonfiguration ab, und es ist schwierig, mögliche Ausnahmefälle zu erfassen, wenn beispielsweise zwei konstruierte Geraden parallel werden und Ähnliches. }} {{Zwischenüberschrift|term=Reelle Zahlen als Ziffernfolgen im Dezimalsystem}} Ansatz: Man fasst die reellen Zahlen auf als die Menge aller Ziffernfolgen im Dezimalsystem, wobei vor dem Komma ein Vorzeichen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ mathkor|term1= + |oder|term2= - |SZ= }}| |SZ= }} eine endliche Folge steht und danach eine eventuell unendliche Folge. Zahlen sind dann zum Beispiel {{ math/disp|term= -31{,}025 ,\, \, \, +4{,}787878\dotso, \,\, \, +5{,}28642956628548120955323549862365\dotso |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei der zweiten Zahl vermutet man eine periodische Ziffernfolge, bei der dritten Zahl ist aber keine Gesetzmäßigkeit erkennbar, so dass sie nicht wirklich exakt bestimmt ist| |SZ=. }} Die Vergleichsrelation und die Rechenoperationen werden dann durch arithmetische Manipulationen an den Ziffernfolgen erklärt, nämlich so, wie man eben schriftlich addiert, multipliziert, dividiert. Vorteile: {{ Auflistung3 |Die einzelnen Zahlen haben stets eine konkrete Benennung. |Es ist einfach, ein Gefühl für die Nachbarschaft von Zahlen und ihre Größenverhältnisse zu entwickeln. |Man kann einfach {{ Zusatz/Klammer |text=zumindest approximative| |SZ= }} Ergebnisse für die Rechenoperationen ausrechnen. }} Nachteile: {{ Auflistung6 |Man hat zunächst ein grundsätzliches Uneindeutigkeitsproblem, die Ziffernfolge {{mathl|term= 1=1{,}00000\dotso|SZ=}} und die Ziffernfolge {{mathl|term= 0{,}9999\dotso|SZ=}} sind als Ziffernfolgen verschieden, sie sollten aber doch die gleiche reelle Zahl bezeichnen, da ihre Differenz null ist. |Die Rechenregeln sind wieder schwierig nachzuweisen. |Es ist unklar, was {{Anführung|alle}} Ziffernfolgen sein sollen: sind es nur die beschreibbaren, für die es also eine {{ Zusatz/Klammer |text=beliebig komplizierte| |SZ= }} Vorschrift gibt, wie die Ziffern aussehen, oder sind es überhaupt alle? |Inwiefern muss man die Ziffernfolgen von Zahlen wie {{mathl|term= \sqrt{2}, \pi, e|SZ=}} kennen, um sie als Zahlen anzuerkennen. Ist {{math|term= \sqrt{2}|SZ=}} erst dann eine reelle Zahl, wenn man einen Algorithmus angeben kann, der die zugehörige Ziffernfolge beschreiben kann? |Wie ist bei unterschiedlichen Ziffersystemen der Übergang definiert? |Eine konkret gegebene Zahl ist eine Ziffernfolge und besitzt somit eine unendliche Bezeichnung, damit kann man kaum ökonomisch arbeiten.}} {{Zwischenüberschrift|term=Der axiomatische Zugang}} {{ inputbild |Bolzano bernard|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Bolzano_bernard |Text=[[w:Bernard Bolzano|Bernard Bolzano (1781 - 1848)]] |Autor= |Benutzer=Pertus |Domäne=cs.wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Augustin Louis Cauchy|JPG| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Augustin_Louis_Cauchy |Text=[[w:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy (1789-1857)]] |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Dedekind|jpeg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Dedekind |Text=[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind (1831-1916)]] |Autor=unbekannt |Benutzer=Jean-Luc W |Domäne=fr. Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Im axiomatischen Zugang werden die Gesetzmäßigkeiten, die die Gesamtheit der reellen Zahlen erfüllen sollen, in den Mittelpunkt gestellt. Wichtig ist weniger die Repräsentierung einer einzelnen reellen Zahl, als vielmehr die Eigenschaften der Gesamtmenge. Als Eigenschaften wählt man dabei vor allem solche Eigenschaften, die einerseits einfach zu formulieren sind und andererseits starke Folgerungen erlauben. Diese Eigenschaften nennt man {{Stichwort|Axiome|msw=Axiom|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=es gibt grundsätzlich zwei Arten von Axiomensystemen, die sich nicht logisch oder ontologisch unterscheiden, wohl aber von der Motivation her; es gibt nämlich, wie im Beispiel der reellen Zahlen, solche Axiomensysteme, die ein präaxiomatisch gegebenes mathematisches Objekt axiomatisieren wollen, und solche, die das nicht wollen. Im ersten Fall kann es ein gewisses Spannungsverhältnis zwischen den Axiomen und den intendierten Vorstellungen geben, im zweiten Fall nicht, im ersten Fall können Axiome richtig oder falsch sein, im zweiten Fall nicht. Aus Bequemlichkeit stellt sich die Mathematik meist einfach auf den zweiten Standpunkt, d.h. sie sagt, es ist uns egal, ob unser Axiomensystem der reellen Zahlen etwas mit deiner Vorstellung von reellen Zahlen zu tun hat| |SZ=. }} Vorteile: {{ Auflistung5 |Die reellen Zahlen werden dadurch auf eine mengentheoretisch-logische Grundlage gestellt, man muss sich nicht auf die Anschauung stützen. |Sie werden durch einige wenige Gesetzmäßigkeiten, die für sie typisch sind, charakterisiert. |Man weiß jederzeit, welche Argumentation, um eine Eigenschaft nachzuweisen, erlaubt ist und welche nicht, erlaubt ist nämlich nur das logische Erschließen der Eigenschaft aus den Axiomen heraus. |Viele Aussagen, die man aus Axiomen ableiten kann, benötigen gar nicht das volle Axiomensystem, sondern nur Teile davon. Man kann daher die Axiome gruppieren, und wenn man aus einer bestimmten Axiomengruppe eine Aussage ableiten kann, so gilt diese auch für alle mathematischen Gebilde, die diese Axiomengruppe erfüllen. |Die Vorteile der anderen Zugänge bleiben auf der Modellebene erhalten. Beispielsweise ist es dann ein Satz, dass jede reelle Zahl sich in eine Ziffernfolge entwickeln lässt. }} Nachteile: {{ Auflistung2 |Man braucht einen Existenznachweis, dass es eine solche Menge mit den intendierten Eigenschaften wirklich gibt und dass sie {{Anführung|im Wesentlichen}} eindeutig ist. |Man muss eine Zielvorstellung haben, welche Eigenschaften gelten und ableitbar sein sollen und welche nicht, d.h. man braucht schon eine gewisse Vorstellung von den reellen Zahlen. Es gibt nie eine letzte Sicherheit, ob das axiomatisch fixierte Gebilde dasjenige ist, das wir intendiert haben {{ Zusatz/Klammer |text=zugleich wird bei der Axiomatisierung deutlich, dass unsere Vorstellung weit weniger exakt sind, als zunächst gedacht| |SZ=. }} Die Vorstellung von anschaulicher Kontinuität und einer axiomatischen Fassung dafür sind grundsätzlich nicht deckungsgleich. }} Alles in allem herrscht im Umgang mit den reellen Zahlen der zweite Gesichtspunkt vor, ohne dass genau festgelegt würde, welche Ziffernfolgen erlaubt sind und welche nicht. Dies reicht auch für viele praktische Zwecke aus, wo man Zahlen im Allgemeinen nur hinreichend gut approximieren muss. Der Standpunkt der Mathematik ist aber der axiomatische Zugang, und zwar nicht nur hinsichtlich der reellen Zahlen, sondern hinsichtlich mathematischer Objekte überhaupt. In der Mathematik interessiert man sich also für Axiome und was man aus ihnen beweisen kann. Dadurch kann die gesamte Mathematik auf eine sehr übersichtliche und überzeugende Menge von logischen und mengentheoretischen Prinzipien gestellt werden. Die axiomatische Methode geht auf Euklid zurück und etablierte sich erneut im Laufe des neunzehnten Jahrhunderts, an dessen Ende auch die Mengenlehre von Georg Cantor eingeführt wurde {{ Zusatz/Klammer |text=die selbst nicht ohne Probleme war| |SZ=. }} Die Entwicklung der Axiomatik für die reellen Zahlen war ein schwieriger Prozess, insbesondere war und ist es nicht trivial, eine exakte Formulierung für die Eigenschaft zu finden, die man intuitiv mit {{Anführung|kontinuierlich}} oder {{Anführung|lückenfrei}} fasst, Die Antwort, was eine reelle Zahl ist, wie sie seit dem neunzehnten Jahrhundert gegeben wird, ist auch auf den ersten Blick keineswegs erhellend: {{Einrückung|Eine reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen von rationalen Zahlen.|SZ=.}} Wenn man den zähen geschichtlichen Prozess betrachtet, der zu diesem letztlich überzeugenden Begriff geführt hat, so überrascht es nicht, wenn Studienanfänger mit diesem Begriff Schwierigkeiten haben. Da hilft aber alles nichts, an diese Abstraktion muss man sich gewöhnen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mswztyymu7jwvorplzlpcie0fw3khk9 0 26675 778693 772951 2022-08-21T12:41:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v={{{v|\circ}}} }} Man beachte, dass kein Kommutativitätsgesetz vorausgesetzt wird, so dass man die zweifachen Formulierungen in Teil (2) und (3) benötigt {{ Zusatz/Klammer |text=eine Gruppe, wo zusätzlich die Kommutativität gilt, heißt {{Definitionswort/enp|kommutative Gruppe|SZ=}} | |SZ=. }} Die Symbole {{math|term= \circ|SZ=}} für die Verknüpfung und {{math|term= e|SZ=}} für das neutrale Element sind willkürlich gewählt, man könnte sie auch anders nennen. Es ist aber sinnvoll, bei der abstrakten Einführung eine Bezeichnung zu wählen, die intuitiv nicht vorbelastet ist. Eine Bezeichnung wie {{math|term= \cdot|SZ=}} für die Verknüpfung und {{math|term= 1|SZ=}} für das neutrale Element birgt die Gefahr, dass man sich zu Schlüssen verleiten lässt, die von der Multiplikation von Zahlen her vertraut sind, die aber eventuell für eine beliebige Gruppe nicht gelten müssen. Die additiven Körperaxiome kann man nun so lesen, dass die Menge {{math|term= K|SZ=}} zusammen mit dem ausgezeichneten Element {{math|term= 0|SZ=}} und der Addition {{math|term= +|SZ=}} als Verknüpfung eine Gruppe bildet, die zusätzlich kommutativ ist. Ebenso bildet die Menge {{mathl|term= K \setminus \{0\}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also ganz {{math|term= K|SZ=}} ohne die {{math|term= 0|SZ=}}| |SZ= }} mit dem neutralen Element {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das wegen der expliziten Voraussetzung der Körperaxiome von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden ist und daher zu {{mathl|term= K \setminus \{0\}|SZ=}} gehört| |SZ= }} und der Multiplikation {{math|term= \cdot|SZ=}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=ebenfalls kommutative| |SZ= }} Gruppe. Wenn ein Körper {{math|term= K|SZ=}} vorliegt, so hat man also zugleich zwei Gruppen vorliegen, es ist aber falsch zu sagen, dass {{math|term= K|SZ=}} auf zweifache Weise eine Gruppe ist, da einerseits {{math|term= K|SZ=}} mit der Addition und andererseits {{mathl|term= K \setminus \{0\}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und eben nicht {{math|term= K|SZ=}} | |SZ= }} eine Gruppe mit der Multiplikation bildet. Weitere Beispiele für Gruppen sind {{mathl|term= (\Z,+,0)|SZ=,}}{{{zusatz1|}}} dagegen ist {{math|term= \Z|SZ=}} mit der Multiplikation und ebensowenig {{mathl|term= \Z \setminus \{0\}|SZ=}} keine Gruppe. Eine Gruppe ist niemals leer, da es ja ein neutrales Element enthalten muss. Die Menge, die nur aus einem einzigen Element besteht, ist mit der einzig darin möglichen Verknüpfung und dem einzig darin möglichen neutralen Element eine Gruppe. Man spricht von der {{Stichwort|trivialen Gruppe|msw=Triviale Gruppe|SZ=.}} Eine weitere Gruppe ist die zweielementige Menge {{ math/disp|term= (\{-1,1\}, \cdot, 1 ) |SZ= }} mit der von {{math|term= \Z|SZ=}} bekannten Multiplikation. In einer Gruppe ist zu einem Element {{mathl|term= x \in G|SZ=}} das Element {{math|term= y|SZ=}} mit der Eigenschaft {{mathl|term= x\circ y=e= y \circ x|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das es aufgrund der Gruppenaxiome geben muss| |SZ= }} eindeutig bestimmt. Wenn nämlich {{ mathkor|term1= y |und|term2= y' |SZ= }} beide diese Eigenschaft besitzen, so gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |y ||y \circ e ||y \circ (x \circ y') ||(y \circ x) \circ y' ||e \circ y' ||y' |SZ=. }} Man beachte, dass in diesen Beweis die Bedingungen an {{ mathkor|term1= y |und|term2= y' |SZ= }} nicht völlig symmetrisch eingehen. Diese Eindeutigkeit erlaubt es, das zu einem Gruppenelement {{mathl|term= x \in G|SZ=}} eindeutig bestimmte inverse Element als {{ math/disp|term= x^{-1} |SZ= }} zu bezeichnen. Im Fall eines Körpers haben wir damit einen einzigen Beweis für die Eindeutigkeit des Negativen {{ Zusatz/Klammer |text=also des Inversen der Addition| |SZ= }} und des Inversen der Multiplikation gefunden. In der Mathematik geht es zu einem beträchtlichen Teil um die Lösung von Gleichungen, und zwar um die Existenz von Lösungen, die Berechnung von Lösungen und die Eindeutigkeit von Lösungen. Bei einer Gruppe besitzen die formulierbaren Einzelgleichungen eine eindeutige Lösung. Insofern handelt es sich bei einer Gruppe um eine besonders einfache mathematische Struktur. {{ inputfaktbeweis |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ |ref1=|zusatz1={{{zusatz2|}}}| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7s8g6cyfssk686hzj7r85zd5g8jx91d 0 26698 778963 763154 2022-08-21T15:14:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl {{Anführung|berechnen|SZ=,}} sagen wir von {{math|term= 5|SZ=.}} Eine solche Zahl {{math|term= x|SZ=}} mit der Eigenschaft {{mathl|term= x^2=5|SZ=}} gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. In jedem angeordneten Körper {{math|term= K|SZ=}} gibt es eine {{math|term= 5|SZ=,}} ob es aber ein solches {{math|term= x|SZ=}} gibt ist eine nichttriviale zusätzliche Eigenschaft von {{math|term= K|SZ=.}} Wenn es in {{math|term= K|SZ=}} eine solches {{math|term= x|SZ=}} gibt, so hat auch {{math|term= -x|SZ=}} diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber nicht geben, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Angeordneter Körper/Quadratwurzel/Maximal zwei/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} so dass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen. Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung {{mathl|term= x^2=5|SZ=}} gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Abweichung| |SZ= }} unterhalb jede positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzeln beliebig anzunähern, ist das {{Stichwort|Heron-Verfahren|SZ=,}} das man auch {{Stichwort|babylonisches Wurzelziehen|SZ=}} nennt. Dies ist ein {{Stichwort|iteratives Verfahren|SZ=,}} d.h. die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit {{mathl|term= a=x_0=2|SZ=}} als erster Näherung. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_0^2 ||2^2 ||4 |<|5 || |SZ= }} ist {{math|term= x_0|SZ=}} zu klein, d.h. es ist {{mathl|term= x_0 <x|SZ=,}} wobei diese Ungleichung {{ Zusatz/Klammer |text=zunächst| |SZ= }} nur Sinn ergibt, wenn {{math|term= x|SZ=}} in {{math|term= K|SZ=}} existiert. Aus {{mathl|term= a^2<5|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= a|SZ=}} positiv| |SZ= }} folgt zunächst {{mathl|term= 5/a^2 >1|SZ=}} und daraus {{mathl|term= (5/a)^2 >5|SZ=,}} d.h. {{mathl|term= 5/a >\sqrt{5}|SZ=.}} Man hat also die Abschätzungen {{ math/disp|term= a < \sqrt{5} < 5/a |SZ=, }} wobei rechts eine rationale Zahl steht, wenn links eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} liegt, und zwar unabhängig davon, ob {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} zu {{math|term= K|SZ=}} gehört oder nicht, solange nur {{math|term= a|SZ=}} dazu gehört. Die Differenz {{mathl|term= 5/a -a|SZ=}} ist ein Maß für die Güte der Approximation. Beim Startwert {{math|term= 2|SZ=}} ergibt sich, dass die Quadratwurzel von {{math|term= 5|SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5/2 |SZ= }} liegt. Man nimmt das {{ Definitionslink |arithmetische Mittel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der beiden Intervallgrenzen, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_1 ||\frac{2+ \frac{5}{2} }{2} ||\frac{9}{4} |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| \frac{9}{4} |}}^2 ||\frac{81}{16} |>|5 |SZ= }} ist dieser Wert zu groß und daher liegt {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} im Intervall {{mathl|term= [5\cdot\frac{4}{9} , \frac{9}{4}]|SZ=.}} Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_2 ||\frac{ 5 \cdot \frac{4}{9} + \frac{9}{4} }{2} ||\frac{161}{72} |SZ= }} als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende Appproximation von {{math|term= \sqrt{5}|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2=Theorie der Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxx9mq2wd1iz9dtyd7hswko64va3fxk 0 26708 778951 763145 2022-08-21T15:12:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{Stichwort|konstante Folge|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette |x_n || c || || || |SZ= }} ist stets konvergent mit dem Grenzwert {{math|term= c|SZ=.}} Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} als Aufwandszahl {{ Ma:Vergleichskette |n_0 || 0 || || || |SZ= }} nehmen kann. Es ist ja {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_n-c}} || {{op:Betrag|c-c}} || {{op:Betrag|0}} || 0 |<|\epsilon |SZ= }} für alle {{math|term= n|SZ=.}} Es sei nun {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist die Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n || {{op:Bruch|1|n}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Grenzwert {{math|term= 0|SZ=.}} Sei dazu ein beliebiges {{ mathbed|term= \epsilon \in K ||bedterm1= \epsilon >0 ||bedterm2= |SZ=, }} vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gibt es ein {{math|term= n_0|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|n_0}} |\leq| \epsilon || || || |SZ=. }} Damit gilt für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq| n_0 || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n || {{op:Bruch|1|n}} |\leq| {{op:Bruch|1|n_0}} |\leq| \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hl3eijnwr741kj4k8krggfgkxw9scv6 0 26717 780700 500385 2022-08-21T19:52:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Es sei vorausgesetzt, dass in {{math|term= K|SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=positiven| |SZ= }} Elemente {{ mathkor|term1= 8^{1/2} |und|term2= 25^{1/3} |SZ= }} existieren. Welches ist größer? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wurzeln in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0k3012hyhp6tgfa4boqoyd5nz68meci 0 26718 780767 754883 2022-08-21T20:03:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Menge {{ math/disp|term= K={{Mengebed|p+q \sqrt{5}|p,q \in \Q}} |SZ=, }} wobei {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} zunächst lediglich ein Symbol ist. a) Definiere{{n Sie}} eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass {{math|term= \sqrt{5}^2=5|SZ=}} ist und dass {{math|term= K|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. b) Definiere{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition |SZ= }} derart, dass {{math|term= K|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird und dass {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} positiv wird. c) Fasse{{n Sie}} die Elemente von {{math|term= K|SZ=}} als Punkte im {{math|term= \Q^2|SZ=}} auf. Skizziere{{n Sie}} eine Trennlinie im {{math|term= \Q^2|SZ=,}} die die positiven von den negativen Elementen in {{math|term= K|SZ=}} trennt. d) Ist das Element {{math|term= 23-11 \sqrt{5}|SZ=}} positiv oder negativ? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper Q(sqrt(5)) |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=4 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3lbkydth3q491guzcdhp4x9lu83rl6b 0 26721 780727 252041 2022-08-21T19:56:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man jeder natürlichen Zahl {{math|term= n\in \N|SZ=}} ein Körperelement {{math|term= n_K|SZ=}} zuordnen kann, so dass {{math|term= 0_K|SZ=}} das Nullelement in {{math|term= K|SZ=}} und {{math|term= 1_K|SZ=}} das Einselement in {{math|term= K|SZ=}} ist und so dass {{ math/disp|term= (n+1)_K=n_K+1_K |SZ= }} gilt. Zeige{{n Sie}}, dass diese Zuordnung die Eigenschaften {{ math/disp|term= (n+m)_K = n_K + m_K \text{ und } (nm)_K = n_K \cdot m_K|SZ= }} besitzt und dass sie injektiv ist. Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften dann ebenfalls gelten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Z |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8n9vy0iled377w6vdy5q1daj54v456k 0 26722 780725 754841 2022-08-21T19:56:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Betrachte die in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Angeordneter Körper/Enthält Z/Aufgabe |Refname= |SZ= }} konstruierte injektive Zuordnung {{math|term= \Z \subset K|SZ=.}} Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer Zuordnung {{math|term= \Q \subseteq K|SZ=}} fortsetzen kann, und zwar derart, dass die {{ Definitionslink |Verknüpfungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=}} mit den Verknüpfungen in {{math|term= K|SZ=}} übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rational |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1d8lg9deicpv9vq0458idxy1tcdnpz6 0 26738 781044 577289 2022-08-21T20:49:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und seien {{math|term= x_1 {{kommadots|}} x_n \in K|SZ=}} Elemente. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|\sum_{i{{=|}}1}^n x_i }} |\leq| \sum_{i {{=}} 1}^n {{op:Betrag|x_i }} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Betrags für einen angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} abswy4j1hi9sdncse8syiwybta58syr 0 26741 780707 754824 2022-08-21T19:53:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es seien {{math|term= x<y|SZ=}} Elemente in {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für das {{ Definitionslink |arithmetische Mittel| |Kontext=Angeordnet| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \frac{x+y}{2}|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |<|\frac{x+y}{2} |<|y |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des arithmetischen Mittels |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} amob4qhkydcaq17o70oensvim66n148 0 26745 778801 698528 2022-08-21T12:56:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{Mengebed|n \in \N|A(n) \text{ ist wahr} }} || || || |SZ=. }} Wir wollen zeigen, dass {{ Ma:Vergleichskette |M ||\N || || || |SZ= }} ist, denn genau dies bedeutet, dass die Aussage für alle {{math|term= n|SZ=}} gilt. Nach der ersten Bedingung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |\in|M || || || |SZ=. }} Nach der zweiten Voraussetzung gilt für {{math|term= M|SZ=,}} dass aus {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|M || || || |SZ= }} stets {{ Ma:Vergleichskette |n+1 |\in|M || || || |SZ= }} folgt. Damit erfüllt {{math|term= M|SZ=}} beide Voraussetzungen im Induktionsprinzip für Mengen, so dass {{ Ma:Vergleichskette |M || \N || || || |SZ= }} gilt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sdefmjm9nn6iz7i3wr24bqrkbd0wbml 0 26756 781818 755723 2022-08-21T22:58:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= x|SZ=}} eine {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|1 || || || |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} durch Induktion die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=}} 0}^n x^k || {{op:Bruch|x^{n+1} -1|x-1}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Theorie der reellen Reihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fzjnoubbfxab3be9tzqp5wl7i5qxklw 0 26761 784531 481745 2022-08-22T06:23:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass mit der einzigen Ausnahme {{math|term= n =3 |SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2^n |\geq |n^2 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 04i8gk9kasdngdipltpqq6jfktm6ch5 0 26775 783635 757286 2022-08-22T04:01:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= x,y,z,w |SZ=}} Elemente in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= z|SZ=}} und {{math|term= w|SZ=}} nicht {{math|term= 0|SZ=}} seien. Beweise{{n Sie}} die folgenden Bruchrechenregeln. {{ Aufzählung8 |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|1}} || x || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|z}} || z^{-1} || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|-1}} || -1 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|0|z}} ||0 || || || |SZ=, }} | {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|z|z}} || 1 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|z}} || {{op:Bruch|xw|zw}} || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|z}} \cdot {{op:Bruch|y|w}} || {{op:Bruch|xy|zw}} || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|z}} + {{op:Bruch|y|w}} || {{op:Bruch|xw+yz|zw}} || || || |SZ=. }} }} Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x-z) \cdot (y-w) || (x+w)(y+z)-(z+w) || || || |SZ=? }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{Anführung|beliebte Formel}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|z}} + {{op:Bruch|y|w}} ||{{op:Bruch|x+y|z+w}} || || || |SZ= }} nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2=Theorie der Bruchdarstellung rationaler Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Bruch |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o1rxjpeup1etbi332usmtj1h3m90pyw 0 26782 780829 508993 2022-08-21T20:13:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} mit {{math|term= 2=1+1 \neq 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Verknüpfung, die zwei Elementen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} ihr arithmetisches Mittel {{mathl|term= {{op:Bruch|a+b|2}}|SZ=}} zuordnet, nicht assoziativ ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie3=Theorie des arithmetischen Mittels |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bcwvf5lz1g53hndgo51fiio98i5sxnu 0 26783 783723 248032 2022-08-22T04:16:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die einelementige Menge {{math|term= \{0\}|SZ=}} alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass {{math|term= 0=1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j4j5lslu02hk96e8mq8admor4tege65 0 26785 778947 763141 2022-08-21T15:11:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und sei {{ mathbed|term= c\in K ||bedterm1= c \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Dann ist die {{Stichwort|alternierende Folge|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n ||(-1)^n c || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Beschränktheit folgt direkt aus {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Betrag|x_n}} ||{{op:Betrag|(-1)^n}} {{op:Betrag|c}} ||{{op:Betrag|c}} |SZ=. }} Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq|0 || || || |SZ= }} der Grenzwert sei. Dann gilt für positives {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon | < | {{op:Betrag|c}} || || || || |SZ= }} und jedes ungerade {{math|term= n|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_n-x}} || c+x |\geq |c |>|\epsilon || |SZ=, }} so dass es Folgenwerte außerhalb dieser {{math|term= \epsilon |SZ=-}}Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dpzwyws77fh6vg4933zsw2041s5baq5 0 26787 782772 491390 2022-08-22T01:37:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Schreibe{{n Sie}} ein Computer-Programm, das zu einer vorgegebenen rationalen Zahl mittels des Heron-Verfahrens die Quadratwurzel der Zahl bis auf {{math|term= 10|SZ=}} Nachkommastellen {{ Zusatz/Klammer |text=im Dezimalsystem| |SZ= }} genau berechnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ossgmqarekrft63r83de89eag05pft 0 26817 784206 441410 2022-08-22T05:37:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde für die folgenden drei Mengen {{ math/disp|term= \{1,3,5,7,9, \ldots \},\, \{1,2,4,8,16, \ldots \},\, \{ 9,99,999,9999,99999, \ldots \} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die alle die Form {{math|term= \{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5, \ldots \}|SZ=}} besitzen| |SZ= }} jeweils ein Polynom {{math/disp|term=P(k)=c_0 +c_1k+c_2k^2+c_3k^3 + c_4 k^4|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit Koeffizienten {{math|term= c_j \in \Q|SZ=}} | |SZ= }} mit {{ math/disp|term= P(1)=a_1, \, P(2)=a_2, \, P(3)=a_3, \, P(4)= a_4, \, P(5)=a_5 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Bildungsgesetz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k5p07p6xz4bxnflssvekypz6jvr5c2f 0 26938 785770 247991 2022-08-22T09:34:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für jede natürliche Zahl {{math|term= n \leq 30|SZ=,}} ob sie sich als eine Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in drei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2xpoj9h2nmko1v2l5bf5x93nsjs6p32 0 26942 785766 473680 2022-08-22T09:34:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme für jede natürliche Zahl {{math|term= n \leq 10|SZ=,}} auf wie viele verschiedene Arten sie sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, d.h. man bestimme die Anzahl der {{math|term= 4|SZ=-}}Tupel {{ mathbed/disp|term= (x_1,x_2,x_3,x_4) \in \Z^4 |mit|bedterm1= x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n ||bedterm2= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in vier Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} no1jt72h9p0mt45neuw6gv40y59z6a7 0 26948 785767 473681 2022-08-22T09:34:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu einer natürlichen Zahl {{math|term= n|SZ=}} bezeichne {{math|term= r(n)|SZ=}} die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, d.h. {{math|term= r(n)|SZ=}} ist die Anzahl der {{math|term= 4|SZ=-}}Tupel {{ mathbed/disp|term= (x_1,x_2,x_3,x_4) \in \Z^4 |mit|bedterm1= x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n ||bedterm2= |SZ=. }} Es sei {{math|term= u|SZ=}} eine ungerade positive Zahl. Beweise{{n Sie}} die Beziehung {{ math/disp|term= r(2u) =3r(u) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in vier Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h2otv0v737c98v89a3352cyqze789kt 0 26950 784552 479142 2022-08-22T06:26:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Formel an für die Differenz zwischen der Summe der ersten {{math|term= n|SZ=}} geraden Kubikzahlen und der Summe der ersten {{math|term= n|SZ=}} ungeraden Kubikzahlen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kubikzahl |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} esm8ohxkko0x3y3hqylupbmrxj833v2 0 26952 782430 485824 2022-08-22T00:40:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} mit dem Betrag der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z \times \Z|\Z |(a,b)|{{op:Betrag|a-b|}} |SZ=. }} Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Differenz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k60r5r2z3n7m4bjlwt7epufm1pdr55s 0 26955 780703 754819 2022-08-21T19:52:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Man untersuche die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K |K |x| \varphi (x) |SZ=, }} mit {{ math/disp|term= \varphi(x) = \begin{cases} {{op:Minimumpaar|x| x^{-1} }} \text{ für } x >0 \, , \\ 0 \text{ für } x = 0 \, , \\ {{op:Maximumpaar|x| x^{-1} }} \text{ für } x < 0 \, . \end{cases} |SZ= }} Mögliche Fragestellungen bzw. Stichpunkte sind {{ Auflistung10 |Ist die Abbildung injektiv, surjektiv? |Was ist das Bild der Abbildung? |Wie sehen die Urbilder aus? |Was kann man über die Hintereinanderschaltungen {{math|term= \varphi^n|SZ=}} sagen? |Was kann man über das Verhalten der Abbildung bezüglich der Addition und der Multiplikation sagen, also zu {{math|term= \varphi(x+y)|SZ=}} und {{math|term= \varphi(xy)|SZ=?}} |Gibt es einen Zusammenhang zum Betrag? |Maximum und Minimum der Funktion, Stetigkeit, Differenzierbarkeit. |Skizze. |Asymptotisches Verhalten. |Symmetrien. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ntlaalzrcsq6v2z67fkszjdd6h2py6 0 26992 784050 757690 2022-08-22T05:11:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix44 |0 | 0 | k+2 | k+1|0 | 0 | k+1 | k|-k | k +1 | 0 | 0|k +1 | -(k + 2) | 0 | 0| }}|SZ= }} für jedes {{math|term= k \in K|SZ=}} zu sich selbst invers ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3d3gvdwotixvf4kt686lzemvp5cr272 0 27008 780925 538004 2022-08-21T20:29:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.{{{zusatz1|}}} {{ Aufzählung5 | {{math|term= ({{logprop|}} \wedge {{logprop|}}) \leftrightarrow {{logprop|}}|SZ=.}} | {{math|term= {{logprop|}} \wedge {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop|}}|SZ=.}} | {{math|term= {{logprop|}} \rightarrow ( {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop|}})|SZ=.}} | {{math|term= ({{logprop|}} \rightarrow ( {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop3|}})) \rightarrow (({{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}}) \rightarrow ( {{logprop|}} \rightarrow {{logprop3|}})) |SZ=.}} | {{math|term= ({{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}}) \leftrightarrow (\neg {{logprop|}} \vee {{logprop2|}})|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sc5umcd8gyh1osnf4kv3cl782mxgxbo 0 27047 785799 475000 2022-08-22T09:39:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} die folgenden Beziehungen {{ Zusatz/Klammer |text=ein- oder mehrstellige Prädikate| |SZ= }} innerhalb der natürlichen Zahlen {{math|term= \N=\{0,1,2,3, \ldots \}|SZ=}} allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren. {{ Aufzählung9 | {{math|term= x \geq y|SZ=.}} | {{math|term= x> y|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} teilt {{math|term= y|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} teilt nicht {{math|term= y|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} ist eine Quadratzahl. | {{math|term= x|SZ=}} ist eine Primzahl. | {{math|term= x|SZ=}} ist keine Primzahl. | {{math|term= x|SZ=}} ist das Produkt von genau zwei verschiedenen Primzahlen. | {{math|term= x|SZ=}} wird von einer Primzahl geteilt.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l2xi2f79xdhafiyaorga7b8x5kqtdhs 0 27049 785795 391259 2022-08-22T09:38:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere die folgenden Aussagen über die natürlichen Zahlen {{math|term= \N=\{0,1,2,3, \ldots \}|SZ=}} allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren. {{ Aufzählung10 | {{math|term= 5 \geq 3|SZ=.}} | {{math|term= 5 > 3|SZ=.}} | {{math|term= 5 \leq 3|SZ=.}} | {{math|term= 7|SZ=}} ist eine Primzahl. | {{math|term= 8|SZ=}} ist eine Primzahl. | {{math|term= 8|SZ=}} ist keine Primzahl. | Jede natürliche Zahl besitzt mindestens einen Primfaktor.| Jede natürliche Zahl größer gleich {{math|term= 2|SZ=}} besitzt mindestens einen Primfaktor. | Wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, so teilt sie auch mindestens einen der Faktoren. | Es gibt Zahlen, die ein Produkt teilen, obwohl sie keinen der Faktoren teilen.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvt16csy957zlkoaennose4mamfxq6t 0 27052 784198 663464 2022-08-22T05:35:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} zwei Mengen. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind. {{ Aufzählung6 | {{math|term= A \subseteq B|SZ=,}} | {{math|term= A \cap B = A|SZ=,}} | {{math|term= A \cup B = B|SZ=,}} | {{math|term= A \setminus B = \emptyset|SZ=,}} |Es gibt eine Menge {{math|term= C|SZ=}} mit {{math|term= B=A \cup C |SZ=,}} |Es gibt eine Menge {{math|term= D|SZ=}} mit {{math|term= A=B \cap D |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Inklusion |Lösung= |Punkte=4 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ogiheammj8l5f8drn69mcof4rsm4nec 0 27053 784199 475156 2022-08-22T05:35:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathlist|term1= A ||term2= B |und|term3= C |SZ= }} drei Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten. {{ Aufzählung9 | {{math|term= A \cup \emptyset = A|SZ=,}} | {{math|term= A \cap \emptyset = \emptyset|SZ=,}} | {{math|term= A \cap B= B \cap A|SZ=,}} | {{math|term= A \cup B= B \cup A|SZ=,}} | {{math|term= A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C|SZ=,}} | {{math|term= A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C|SZ=,}} | {{math|term= A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)|SZ=,}} | {{math|term= A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)|SZ=,}} | {{math|term= A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Regeln |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hjvbr46ntkqyy5brihrvnb6l7w4hyz4 0 27062 779489 625284 2022-08-21T16:36:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} die Menge der Städte und {{math|term= A|SZ=}} die Menge der Autobahnen. Dann ist die Beziehung {{Anführung|liegt an|SZ=}} eine Relation {{math|term= L|SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= S |und|term2= A |SZ=. }}{{{zusatz1|}}} Zwischen einer Stadt {{ Ma:Vergleichskette |s |\in|S || || || |SZ= }} und einer Autobahn {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|A || || || |SZ= }} bedeutet {{ math/disp|term= sLa \text{ oder } L(s,a) |SZ= }} einfach, dass die konkrete Stadt {{math|term= s|SZ=}} an der Autobahn {{math|term= a|SZ=}} liegt. Zu {{math|term= s|SZ=}} ist dann die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |A_s ||{{Mengebed|a \in A| L(s,a)}} || || || |SZ= }} die Menge der Autobahnen, an denen {{math|term= s|SZ=}} liegt, und zu {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|A || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |S_a || {{Mengebed|s \in S| L(s,a)}} || || || |SZ= }} die Teilmenge der Städte, an denen die Autobahn {{math|term= a|SZ=}} vorbeifährt. Für {{math|term= s=\text{Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck}|SZ=}} ergibt sich also {{ Ma:Vergleichskette/disp | A_{\text{Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} } || \{A1,A30,A33\} || || || |SZ= }} und für die {{math|term= A1|SZ=}} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | S_{A1} ||\{\ldots, \text{Hamburg}, \text{Bremen}, \text{Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck}, \ldots \} || || || |SZ=. }} Diese Relation wird vollständig beschrieben, wenn man zu jeder Stadt die daran vorbeiführenden Autobahnen oder aber wenn man zu jeder Autobahn die daran liegenden Städte aufführt. Genauso gut kann man die Relation durch eine Tabelle ausdrücken mit einer Leitzeile für die Autobahnen und einer Leitspalte für die Städte, und wo im Kreuzungspunkt {{mathl|term= (s,a)|SZ=}} ein Kreuz gemacht wird genau dann, wenn {{mathl|term= L(s,a)|SZ=}} gilt. Die Aussage {{ math/disp|term= \forall s (\exists a L(s,a)) |SZ= }} bedeutet, dass jede Stadt an einer Autobahn liegt {{ Zusatz/Klammer |text=wohl falsch| |SZ= }} und die Aussage {{ math/disp|term= \forall a (\exists s L(s,a)) |SZ= }} bedeutet, dass jede Autobahn an mindestens einer Stadt vorbeiführt {{ Zusatz/Klammer |text=wohl wahr| |SZ=. }}{{{zusatz2|}}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Autobahn |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1gd9kh41sop403hxg7omqojiknciwg7 0 27065 779488 763576 2022-08-21T16:36:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= P|SZ=}} die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} Dann wird auf {{mathl|term= M \times P|SZ=}} die {{Stichwort|Inzidenzrelation|SZ=}} {{math|term= I|SZ=}} erklärt durch {{ math/disp|term= I(x,T) \text{ genau dann, wenn } x \in T |SZ=. }} Die Inzidenzrelation drückt also aus, ob ein Element {{math|term= x|SZ=}} zu einer bestimmten Teilmenge {{math|term= T|SZ=}} gehört oder nicht. {{Satz/{{{satz1|}}}|Die Faser zu einem Element besteht aus sämtlichen Teilmengen, die dieses Element enthalten, und die Faser zu einer Teilmenge besteht aus allen Elementen dieser Teilmenge.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Inzidenz |Autor= |Bearbeitungsstand= }} czuvwjkn3g79nlgehw3i7zqan5vjmju 0 27066 782995 756754 2022-08-22T02:14:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine Tabelle für die {{ Definitionslink |Inzidenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Mengentheorie/Relation/Menge und Potenzmenge/Inzidenzrelation/Beispiel |SZ= }} zu einer {{math|term= 0,1,2|SZ=}} und {{math|term= 3|SZ=-}}elementigen Menge. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Inzidenz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2kpp1h2nk9uz6gyux30oc4rt39imo5n 0 27067 782994 756753 2022-08-22T02:14:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math|term= M |SZ= }} eine {{math|term= n|SZ=-}}elementige Menge. Bestimme die Anzahl der Elemente in der {{ Definitionslink |Inzidenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Mengentheorie/Relation/Menge und Potenzmenge/Inzidenzrelation/Beispiel |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Inzidenz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 78fbb0h0ejpqvoocih1lr7w1ij96yl6 0 27076 784556 646342 2022-08-22T06:26:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Folge {{math|term= a_n, \, n \in \N|SZ=,}} sei rekursiv durch {{ math/disp|term= a_1=1 \text{ und } a_n = \sum_{k=1}^{n-1} k a_k \text{ für } n \geq 2 |SZ= }} definiert. Zeige{{n Sie}}, dass für {{math|term= n \geq 2|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_n ||\frac{1}{2} n ! || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie2=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2oedsq40xhaf0txn8r6p83x07ebrvb5 0 27079 786187 759334 2022-08-22T10:44:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= P|SZ=}} die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} Betrachte{{n Sie}} die Relation {{math|term= T|SZ=}} auf {{math|term= P|SZ=,}} die durch {{ math/disp|term= T(A,B) \text{ genau dann, wenn } A \subseteq B |SZ= }} gegeben ist {{ Zusatz/Klammer |text=dabei sind also {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} | |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn {{math|term= M|SZ=}} {{math|term= n|SZ=}} Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer Menge |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge von endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Inklusion |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} htdrn8tuwgxf4unln94hql5vl8z8xtm 0 27080 786184 759332 2022-08-22T10:43:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= P|SZ=}} die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} Betrachte{{n Sie}} die Relation {{math|term= D|SZ=}} auf {{math|term= P|SZ=,}} die durch {{ math/disp|term= D(A,B) \text{ genau dann, wenn } A \cap B = \emptyset |SZ= }} gegeben ist {{Zusatz/Klammer |text=dabei sind also {{mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} | |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn {{math|term= M|SZ=}} {{math|term= n|SZ=}} Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer Menge |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Disjunkt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gax1o637l4hfizp14d9j9j6wyl6bdk4 0 27081 784794 758254 2022-08-22T07:01:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |total geordnete| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Menge. Es sei {{math|term= I=\{1,2 {{kommadots|}} n\} |SZ=}} eine endliche Indexmenge. Definiere{{n Sie}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A^I || \underbrace{A {{timesdots|}} A}_{n\text{-mal} } || || || |SZ= }} die {{Stichwort/anf|lexikographische Ordnung|SZ=,}} und zeige, dass es sich dabei ebenfalls um eine totale Ordnung handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b0c9gvt079eqqkf9aaumqq8jboi7vv2 0 27090 779268 521533 2022-08-21T16:01:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} sei {{ math/disp|term= N_n={{Mengebed|x \in \N|x \geq n}} |SZ= }} die Menge aller natürlichen Zahlen, die mindestens so groß wie {{math|term= n|SZ=}} sind. Diese ist eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von {{math|term= \N|SZ=.}} Es gelten die Inklusionen {{ math/disp|term= N_n \subseteq N_m\text{ für } n \geq m |SZ=. }} Der Durchschnitt {{ math/disp|term= \bigcap_{n \in \N} N_n |SZ= }} ist leer, da es keine natürliche Zahl gibt, die größer/gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i9oeybjrwq8a1odovbiki9yn506ccj1 0 27092 779270 439252 2022-08-21T16:02:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} sei {{ math/disp|term= \N n={{Mengebed|x \in \N_+|x \text{ ist ein Vielfaches von } n}} |SZ= }} die Menge aller positiven natürlichen Zahlen, die Vielfache von {{math|term= n|SZ=}} sind. Dies ist eine durch die positiven natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von {{math|term= \N|SZ=.}} Es gelten die Inklusionen {{ math/disp|term= \N n \subseteq \N m \text{ für } m \text{ teilt } n |SZ=. }} Der Durchschnitt {{ math/disp|term= \bigcap_{n \in \N_+} \N n |SZ= }} ist leer, da es keine positive natürliche Zahl gibt, die ein Vielfaches von jeder positiven natürlichen Zahl ist {{ Zusatz/Klammer |text=die {{math|term= 0|SZ=}} ist ein solches Vielfaches| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Vielfache |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nka9mgrauuwfq4kikas6gb2rgvuvlrs 0 27093 779269 508754 2022-08-21T16:01:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge. Für {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} definieren wir rekursiv{{{zusatz1|}}} {{ math/disp|term= M_0 =M \text{ und } M_n ={{op:Potenzmenge| M_{n-1}|}} \text{ für } n \geq 1 |SZ=. }} Man nimmt also jeweils von der Vorgängermenge die Potenzmenge. Ein Element aus dem Produkt {{ math/disp|term= (x_n) \in \prod_{n \in \N} M_n |SZ= }} besteht also in der nullten Komponenten aus einem Element aus {{math|term= M|SZ=,}} in der ersten Komponenten aus einer Teilmenge von {{math|term= M|SZ=,}} in der zweiten Komponenten aus einer Menge von Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} usw. Zwischen den einzelnen Mengen aus der Familie besteht keine Inklusionsbeziehung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Potenzmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lrvw56oxju2xct71qup3kpdh5eocg05 0 27110 779652 473672 2022-08-21T17:03:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} die Menge aller Vornamen {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir der Vornamen, die in einer bestimmten Grundmenge an Personen wirklich vorkommen| |SZ= }} und {{math|term= N|SZ=}} die Menge aller Nachnamen. Dann ist {{ math/disp|term= V \times N |SZ= }} die Menge aller Namen. Elemente davon sind in Paarschreibweise beispielsweise {{mathl|term= (\text{Heinz},\text{Müller})|SZ=,}} {{mathl|term= (\text{Petra}, \text{Müller})|SZ=}} und {{mathl|term= (\text{Lucy},\text{Sonnenschein})|SZ=.}} Aus einem Namen lässt sich einfach der Vorname und der Nachname herauslesen, indem man entweder auf die erste oder auf die zweite Komponente des Namens schaut. Auch wenn alle Vornamen und Nachnamen für sich genommen vorkommen, so muss natürlich nicht jeder daraus gebastelte mögliche Name wirklich vorkommen. Bei der Produktmenge werden eben alle Kombinationsmöglichkeiten aus den beiden beteiligten Mengen genommen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b87dgs0mgxvobejyr3uszxkf8guzpvu 0 27111 779649 471100 2022-08-21T17:02:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Häufig werden Paare nicht in der Form {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} geschrieben, sondern in einer anderen Form, die aber ebenfalls die Position im Paar, also die Zugehörigkeit zu einer der beteiligten Mengen, ausdrücken muss. Betrachten wir z.B. die Produktmenge {{ math/disp|term= \Z \times \N_+ |SZ= }} und schreiben die Paare als {{mathl|term= x/y|SZ=}} oder als {{ math/disp|term= \frac{x}{y} |SZ=. }} Bei dieser Schreibweise soll der {{Stichwort/anf|Zähler|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also das oberhalb des Striches| |SZ= }} aus der ersten Menge {{math|term= \Z|SZ=}} sein und der {{Stichwort/anf|Nenner|SZ=}} aus {{math|term= \N_+|SZ=.}} Hier wird also ein Paar als ein {{Stichwort|formaler Bruch|SZ=}} geschrieben. Man beachte aber, dass auf dieser Ebene keine Identifizierung zwischen den beiden Paaren {{ mathkor|term1= (3,2) |und|term2= (6,4) |SZ= }} stattfindet, wie dies bei der inhaltlichen Interpretation als rationale Zahl geschieht. Es gibt aber eine {{ Zusatz/Klammer |text=surjektive, nicht injektive| |SZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z \times \N_+| \Q |(x,y)|\frac{x}{y} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6wfcnn2fev6b4ohtx1gjqtpcroymd5z 0 27115 784202 757844 2022-08-22T05:36:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} die Menge der Städte und {{math|term= A|SZ=}} die Menge der Autobahnen und {{math|term= L \subseteq S \times A|SZ=}} die in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Mengentheorie/Relation/Stadt und Autobahn/Beispiel |Refname= |SZ= }} beschriebene {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} formal die Menge {{math|term= T|SZ=}} derjenigen Städte, die an mindestens einer Autobahn liegen. Beschreibe{{n Sie}} formal die Menge {{math|term= U|SZ=}} derjenigen Städte, die an mindestens zwei Autobahnen liegen. Interpretiere{{n Sie}} die Aussage {{ math/disp|term= \forall s_1 \forall s_2 \exists a(s_1 L a \wedge s_2 L a) |SZ=, }} wobei {{math|term= s_1|SZ=}} und {{math|term= s_2|SZ=}} aus {{math|term= T|SZ=}} seien. Ist die Aussage wahr? Formuliere{{n Sie}} formal die Aussage, dass zwei Städte stets durch maximal zwei Autobahnen miteinander verbunden sind {{ Zusatz/Klammer |text=man darf annehmen, dass jedes Autobahnkreuz an mindestens einer Stadt liegt| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Autobahn |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ktccafshk7lx7ciew7fb2fgwj3b0a3o 0 27116 786194 759340 2022-08-22T10:45:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}}, wie sich die Eigenschaften {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |antisymmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} auf einer Menge {{math|term= M|SZ=}} in der Relationstabelle zu {{math|term= R|SZ=}} widerspiegeln. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0r5k7yk0jv20di6xkrd5k2kywge0eyf 0 27132 779267 434991 2022-08-21T16:01:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= x|SZ=}} eine reelle Zahl{{{zusatz1|}}} und es sei {{math|term= x_n|SZ=}} diejenige rationale Zahl, die sich aus allen Vorkommaziffern und den ersten {{math|term= n|SZ=}} Nachkommaziffern von {{math|term= x|SZ=}} im Dezimalsystem ergibt. Wir definieren die Intervalle {{ math/disp|term= M_n = \left[x_n, x_n + {{makl| \frac{1}{10} |}}^n \right] \subset \R |SZ=. }} Dies sind Intervalle der Länge {{math|term= {{makl| \frac{1}{10} |}}^n|SZ=}} und es ist {{ math/disp|term= \{x \} = \bigcap_{n \in \N} M_n |SZ=. }} Die Familie {{ mathbed|term= M_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} ist also eine {{Stichwort|Intervallschachtelung|SZ=}} für {{math|term= x|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Intervallschachtelung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rnuulomn64i8vsgmt8259cjotkkdb4y 106 27152 779348 187696 2022-08-21T16:13:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Arbeitsblatt|2| {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Einfache Mengengesetze/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Aristotelische Schlüsse/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Charakterisierung der Inklusion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Teilmengen von N/Gerade, ungerade, Quadratzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz=Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine {{ Zusatz/Klammer |text=oder gar keine| |SZ= }} Variable vorkommt? |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Unvollständige Diagramme/Repräsentiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/4 Mengen/Skizziere vollständiges Diagramm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Unendliche Auflistung/Polynomiales Gesetz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Man mache sich die Situation zunächst für die ersten ein, zwei, drei Elemente der Auflistung klar. }} {{ inputaufgabe |Aussagenlogik und Mengen/Parallelen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Definitionen/Hinz und Kunz Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Aussagenlogik/Formale Sprache über Variablenmenge/Präzise Definition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=(Man mache sich zunächst an Beispielen klar, was zu {{math|term=S|SZ=}} gehören soll und was nicht. Für Informatiker: man schreibe ein Computerprogramm, das aus {{math|term=M|SZ=}} alle Elemente von {{math|term=S|SZ=}} generiert.) |zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Man spricht auch von einer {{Stichwort|generativen Definition|msw=Generative Definition|SZ=,}} d.h. die Menge wird durch eine {{Stichwort|Startmenge|SZ=}} und eine Menge von {{Stichwort|Erzeugungsregeln|msw=Erzeugungsregel|SZ=}} beschrieben.| |SZ= }} }} <references/> }} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Vorkurs Mathematik/Arbeitsblätter]]</noinclude> ebzdlqjd9kqfs1ohokgi444fqp2wzgp 106 27154 779181 496188 2022-08-21T15:48:50Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <div class="Aufgaben"> {{Zwischenüberschrift|term=Injektivität und Surjektivität}} {{ inputaufgabe |Funktionen/R/Streng monoton wachsend/Mit Definition/Injektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionen/R/Potenzieren/Injektiv und surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildung/R/Addition und Multiplikation/Nicht injektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Personen/Vornamen und Nachnamen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|| |zusatz=(Eine solche Abbildung heißt {{Stichwort|Transposition|SZ=).}} |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildung/N/Injektiv nicht surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildung/Bijektion zwischen N und Z/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildung/Verknüpfung/Linksinjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildung/Verknüpfung/Rechtssurjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zeige durch Beispiele, dass bei den beiden vorhergehenden Aufgaben die Umkehrung nicht gilt. {{Zwischenüberschrift|term=Graph einer Abbildung}} {{ inputaufgabe |Abbildung/Bijektion zum Graph/Und Projektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph (Abbildung)/R und R^2/Vorstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph (Abbildung)/R/Addition und Multiplikation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Mengenkonstruktionen und Abbildungen}} {{ inputaufgabe |Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengen/M,N,L/Abb(MxN,L) und Abb(M,Abb(N,L))/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz=Man mache sich diese Situation für {{math|term=M=N=[0,1]|SZ=}} und {{math|term=L= \R|SZ=}} klar. |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengen/M,N,L/Abb(M,NxL) und Abb(M,N)xAbb(M,L))/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Indikatorfunktion/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildung/Urbild nehmen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildung/Bild nehmen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Abbildungen in der Aussagenlogik}} {{ inputaufgabe |Aussagenlogik/Wahrheitstabellen als Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung als Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Aussagenlogik/(Injektive) Abbildung auf Menge der Aussagenvariablen/Wirkungsweise auf Tautologie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Abbildungen aus dem Leben}} Die folgenden drei Aufgaben sind eher zum Diskutieren als zum Abgeben. {{ inputaufgabe |Abbildung/Verschiedene Diagramme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= |zusatz1=[[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 4|der Vorlesung]] }} {{ inputaufgabe |Bundestagswahl/Modellierung mit Abbildungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= |ref1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Unter einem {{Stichwort|Modell|SZ=}} für eine alltägliche oder wissenschaftliche Begebenheit versteht man in der Mathematik eine mathematische Nachbildung, die wesentliche Strukturen der Begebenheit widerspiegelt. Dies spielt insbesondere in der {{Stichwort|angewandten Mathematik|msw=Angewandte Mathematik|SZ=,}} aber auch in der mathematischen Physik, den anderen Naturwissenschaften, der Ökonomie u.s.w. eine große Rolle| |SZ=. }} }} {{ inputaufgabe |Abbildung/Steuersätze/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} ==Fußnoten== <references/> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Vorkurs Mathematik/Arbeitsblätter]]</noinclude> </div> fyvk4r2q4pdvqehd8zt6sw2ejtmv8fh 106 27201 778736 604285 2022-08-21T12:47:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|8| {{Zwischenüberschrift|term=Angeordnete Körper}} {{ inputdefinition |Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition|Angeordneter Körper| }} Statt {{mathl|term=a \geq b|SZ=}} schreibt man auch {{mathl|term=b \leq a|SZ=.}} Eine wichtige Beziehung in einem angeordneten Körper ist, dass {{mathl|term=a \geq b|SZ=}} äquivalent zu {{mathl|term=a-b \geq 0|SZ=}} ist. Diese Äquivalenz ergibt sich durch beidseitiges Addieren von {{ mathkor|term1= -b |bzw.|term2= b |SZ= }} aus dem ersten Axiom. In einem angeordneten Körper nennt man ein Element {{mathl|term=a \in K|SZ=}} {{Definitionswort/enp|positiv|SZ=,}} wenn {{mathl|term=a >0|SZ=}} ist, und {{Definitionswort/enp|negativ|SZ=}}{{ Zusatz/Fußnote |text=Man beachte, dass hier negativ in einem neuen Sinn auftritt. In jedem Körper {{math|term=K|SZ=}} gibt zu jedem Element {{math|term=x \in K|SZ=}} das negative Element {{math|term=-x|SZ=,}} also das Inverse von {{math|term=x|SZ=}} bzgl. der Addition. Das Element {{math|term=-x|SZ=}} ist aber nicht in einem absoluten Sinn negativ, sondern nur in Bezug auf {{math|term=x|SZ=.}} Dagegen gibt es in einem angeordneten Körper wirklich negative und positive Elemente|ISZ=. |ESZ=, }} wenn {{mathl|term=a<0|SZ=}} ist. Die {{math|term=0|SZ=}} ist demnach weder positiv noch negativ, und jede Zahl ist entweder positiv oder negativ oder null. Die Elemente {{ mathbed|term= a |mit|bedterm1= a \geq 0 ||bedterm2= |SZ= }} nennt man dann einfach {{Definitionswort/enp|nichtnegativ|SZ=}} und die Elemente {{ mathbed|term= a |mit|bedterm1= a \leq 0 ||bedterm2= |SZ= }} {{Definitionswort/enp|nichtpositiv|SZ=.}} Für die entsprechenden Mengen schreibt man {{ math/disp|term= K_+,\, K_-,\, K_{\geq 0} =K_+^0,\, K_{\leq 0} = K_-^0 |SZ= }} oder Ähnliches. Die wichtigsten Beispiele für angeordnete Körper sind der Körper der rationalen Zahlen {{math|term=\Q|SZ=}} und der Körper der reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition|Intervalle| }} Für das offene Intervall wird häufig auch {{mathl|term=(a,b)|SZ=}} geschrieben. Die Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} heißen die {{Stichwort|Grenzen des Intervalls|msw=Grenzen eines Intervalls|SZ=,}} genauer spricht man von oberer und unterer Grenze. Die Bezeichnung linksseitig und rechtsseitig bei den beiden letzten Intervallen {{ Zusatz/Klammer |text=die man auch als {{Stichwort|halboffen|SZ=}} bezeichnet| |SZ= }} rühren von der üblichen Repräsentierung der reellen Zahlen als Zahlengerade her, bei der rechts die positiven Zahlen stehen. Zutreffender {{ Zusatz/Klammer |text=also weniger konventionsverhaftet| |SZ= }} wäre es von {{Anführung|größerseitig offen}} und {{Anführung|kleinerseitig offen}} zu sprechen. {{ inputbemerkunghier |Text=Ein äquivalenter Zugang zum Begriff des angeordneten Körpers funktioniert so: Man hat einen Körper {{math|term=K|SZ=,}} bei dem eine Teilmenge {{mathl|term=P\subseteq K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|positive Hälfte}}| |SZ= }} ausgezeichnet ist mit den folgenden Eigenschaften {{ Aufzählung3 |Entweder {{math|term=x \in P|SZ=}} oder {{math|term=-x \in P|SZ=}} oder {{math|term=x=0|SZ=.}} |Aus {{math|term=x,y \in P|SZ=}} folgt {{math|term=x+y \in P|SZ=.}} |Aus {{math|term=x,y \in P|SZ=}} folgt {{math|term=x \cdot y \in P|SZ=.}} }} In einem angeordneten Körper erfüllen die positiven Elemente diese Bedingungen. Man kann aber umgekehrt aus einem Körper mit einer solchen positiven Teilmenge einen angeordneten Körper machen, indem man {{ math/disp|term= x \geq y \text{ durch } x=y \text{ oder } x-y \in P |SZ= }} definiert, siehe [[Körper mit positiver Hälfte/Ist angeordnet/Aufgabe|Aufgabe 8.16]].|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Betrag}} {{ inputbild |Absolute value|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Absolute_value |Autor= |Benutzer= Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Betrag/Definition|Betrag| }} Der Betrag ist also nie negativ und hat nur bei {{mathl|term=x=0|SZ=}} den Wert {{math|term=0|SZ=,}} sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K |x|{{op:Betrag|x}} |SZ=, }} nennt man auch {{Stichwort|Betragsfunktion|SZ=.}} Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch {{Stichwort|stückweise linear|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Mathematik/Übergeordnete Prinzipien/Funktionsdefinition mit Fallunterscheidung/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Angeordneter Körper/Betragseigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Bernoulli'sche Ungleichung}} {{ inputbild |Bernoulli inequality|svg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Bernoulli_inequality |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} In der folgenden Aussage verwenden wir für ein Element {{mathl|term=z \in K|SZ=}} in einem Körper und einer natürlichen Zahl {{mathl|term=n\in \N|SZ=}} die Schreibweisen {{ math/disp|term= nz=\underbrace{z {{plusdots|}} z}_{n\text{-mal} } \text{ und } z^n=\underbrace{z {{cdots|}} z}_{n\text{-mal} } |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt|Satz|Bernoulli Ungleichung| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Archimedisch angeordnete Körper}} Wenn man sich wie üblich die reellen Zahlen als Zahlengerade vorstellt, so ist das nächste Axiom selbstverständlich. Es gibt aber auch sehr interessante angeordnete Körper, in denen dieses Axiom nicht gilt; es gilt auch nicht im Rahmen der sogenannten Nichtstandardanalysis. Zur Formulierung dieses Axioms muss man jede natürliche Zahl in einem Körper {{math|term=K|SZ=}} interpretieren können. Dies geschieht, indem man einer natürlichen Zahl {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} das Körperelement {{ math/disp|term= n_K= \underbrace{1_K {{plusdots|}} 1_K}_{n\text{-mal} } |SZ= }} zuordnet. {{ inputbild |Archimedes (Idealportrait)|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Archimedes_(Idealportrait) |Text=[[w:Archimedes|Archimedes (ca. 287 -212 v. C.)]] |Autor= |Benutzer=Ixitixel |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition|| }} Diese Eigenschaft ist für negative Elemente stets erfüllt, für positive Elemente handelt es sich aber um eine echte neue Bedingung, die nicht jeder angeordnete Körper erfüllt. {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt|Lemma|| ||| }} In der folgenden Aufgabe verwenden wir, dass man zunächst die ganzen Zahlen {{math|term=\Z|SZ=}} in einem angeordneten Körper {{math|term=K|SZ=}} wiederfindet und dass man dann auch die rationalen Zahlen {{math|term=\Q|SZ=}} in {{math|term=K|SZ=}} wiederfindet. Die rationale Zahl {{math|term=n/m|SZ=}} ist als das Element {{mathl|term=n_K \cdot (m_K)^{-1}|SZ=}} zu interpretieren, siehe auch [[Angeordneter Körper/Enthält Q/Aufgabe|Aufgabe 8.11]]. {{ inputfaktbeweis |Archimedisch angeordneter Körper/Rationale Zahlen liegen dazwischen/Fakt|Lemma|| |ref1=Lemma 8.11|| }} In einem archimedisch angeordneten Körper bilden die ganzzahligen Intervalle {{ mathbed|term= [n,n+1[ ||bedterm1= n \in \Z ||bedterm2= |SZ=, }} eine disjunkte Überdeckung. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll. {{ inputbild |Floor function|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Floor_function |Autor= |Benutzer=Omegatron |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Definition|Gaußklammer| }} {{ inputfaktbeweis |Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt|Lemma|| |ref1=Satz 8.8|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Fußnoten}} <references/> }}<noinclude> {{:Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Fuß|8}} [[Kategorie:Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)|Vorlesung]] </noinclude> c4prk4q2safrdfcur7emamlb4upv8cs 106 27206 778688 459505 2022-08-21T12:41:07Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|7| {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Wir werden von nun an den axiomatischen Aufbau der reellen Zahlen besprechen. Diese Axiome gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Die algebraischen Axiome werden im Begriff des Körpers zusammengefasst. {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition|Körper| }} In einem Körper gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term=a\cdot b + c \cdot d|SZ=}} statt {{mathl|term=(a\cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} in einem Körper werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein. Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen. {{ inputbeispiel |Körper/Zwei Elemente/Beispiel|| }} {{ inputfaktübergangbeweis |Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt|Lemma|| |ref1=||Übergang=Diese Aussage ist also eine Eindeutigkeitsaussage, und zwar wird behauptet, dass es nur ein Element gibt mit der Eigenschaft, dass seine Summe mit einem vorgegebenen {{math|term=x|SZ=}} gleich {{math|term=0|SZ=}} ist. Diese Eigenschaft bestimmt also das Element eindeutig. Eine solche Eindeutigkeitsaussage wird dadurch bewiesen, dass man sich zwei beliebige Elemente hernimmt, von denen man annimmt, dass sie beide die Eigenschaft erfüllen, darüber hinaus ist nichts von ihnen bekannt. Man muss dann zeigen, dass die beiden Elemente gleich sind. Häufig wählt man für die beiden Elemente ähnliche Symbole, um anzudeuten, dass sie die gleiche Eigenschaft erfüllen. }} Zu einem Element {{mathl|term=a \in K|SZ=}} nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=b|SZ=}} mit {{mathl|term=a+b=0|SZ=}} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Statt {{mathl|term=b+(-a)|SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit Negativen zurückgeführt. Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=c|SZ=}} mit {{mathl|term=ac=1|SZ=}} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ math/disp|term= a/b = \frac{a}{b} = ab^{-1} |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also eine Abkürzung für den rechten Ausdruck. {{Zwischenüberschrift|term=Exkurs: Gruppentheorie}} Die beiden Eindeutigkeitsbeweise im vorausgegangenen Lemma zeigen eine ähnliche Struktur. Wenn man im ersten Teilbeweis überall die Addition durch die Multiplikation und die {{math|term=0|SZ=}} durch die {{math|term=1|SZ=}} ersetzt und die Symbole anpasst, so erhält man den zweiten Teilbeweis. Insbesondere fällt auf, dass im ersten Teilbeweis nur die Addition vorkommt, nicht aber die Multiplikation, und dass nur das Nullsymbol {{math|term=0|SZ=}} vorkommt. Wenn man die Beweisschritte anschaut, so sieht man, dass von der Axiomenmenge des Körpers nur ein Bruchteil verwendet wurde, und zwar ausschließlich solche Axiome, die sich auf die Addition beziehen. Im zweiten Beweisteil ist es genau umgekehrt. Ein wesentlicher Vorteil der axiomatischen Methode ist, dass man stets weiß, was man verwenden darf und was nicht, und damit ist auch stets klar, was man in einem Beweis verwendet hat und was nicht. Wenn man in einem umfassenden Axiomensystem einen Beweis erbracht hat und dann schaut, welche der Axiome man wirklich verwendet hat {{ Zusatz/Klammer |text=sozusagen sich das Beweisprotokoll noch mal ansieht| |SZ= }} und diese eine echte Teilmenge des Axiomensystems bilden, so kann man die Aussage auch mit diesem kleineren Axiomensystem beweisen. Da man in der Mathematik nichts verschenken möchte, und insbesondere keine überflüssigen Voraussetzungen mitschleppen möchte, fasst man Axiome zu kleineren Einheiten zusammen, und leitet aus ihnen so viel wie möglich ab. Dies ist aus ökonomischen Gründen auch dann sinnvoll, wenn man sich nur für ein einziges mathematisches Objekt interessiert, für das ein reichhaltiges Axiomensystem zur Verfügung steht {{ Zusatz/Klammer |text=wie wir für die reellen Zahlen| |SZ=. }} Für den Körperbegriff heißt dies beispielsweise, dass es sinnvoll ist, zu untersuchen, welche Eigenschaften man für die Addition allein aus den Gesetzen der Addition und welche Eigenschaften man für die Multiplikation allein aus den Gesetzen der Multiplikation beweisen kann. Dabei fällt auf, dass von den algebraischen Eigenschaften her eine weitgehende Parallelität zwischen diesen beiden Operationen besteht, die sich auch in den obigen Eindeutigkeitsbeweisen niederschlug. Es ist also sinnvoll, diese Parallelitäten auf den Punkt zu bringen und durch ein gemeinsames übergeordnetes Vokabular auszudrücken. Dies geschieht mit dem Begriff der {{Stichwort|Gruppe|SZ=.}} {{:Gruppentheorie/Einführender Abschnitt für Studienanfänger/Textabschnitt|zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Eine Gruppe wird häufig in {{Stichwort|Tupelschreibweise|SZ=}} in der Form (Gruppe, Operation, neutrales Element) geschrieben| |ISZ=. }} |zusatz2= {{ Zusatz/Fußnote |text=Hier wird das Gleichheitsprinzip angewendet: wenn {{math|term=x=y|SZ=}} ist, so kann man beidseitig eine beliebige Abbildung {{math|term=\varphi|SZ=}} anwenden und erhält eine neue Gleichung {{math|term=\varphi(x)= \varphi(y)|SZ=.}} Im vorliegenden Fall ist die beidseitige Multiplikation mit einem festen Gruppenelement auch eine Abbildung| |ISZ=. |ESZ=. }} }} {{ inputfaktbeweis |Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=&nbsp;7.11|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Fußnoten}} <references/> }}<noinclude> {{:Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Fuß|7}} </noinclude> t8h8ikqv29ln6ainm4u2xlz4bgprui2 106 27222 784415 619962 2022-08-22T06:08:36Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Zählen}} {{ inputbild |Minutensprunguhr|gif| 200px {{!}} right {{!}} |Autor= |Benutzer=Hk kng |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der Sekundenanzeiger einer digitalen Uhr besitzt zwei Ziffern und {{Anführung|zählt|}} von {{math|term=00|SZ=}} bis {{math|term=59|SZ=}} und fängt dann wieder bei {{math|term=00|SZ=}} an. Bei einem Countdown zählt man von {{math|term=10|SZ=}} bis {{math|term=0|SZ=}} und hört dann auf. Das natürliche Zählen startet bei {{math|term=0|SZ=}} und geht in Einerschritten gegen {{Anführung|unendlich|SZ=.}} Es gibt also verschiedene Arten, zu zählen, und diese wollen wir axiomatisch erfassen mit der Zielsetzung, letztlich das natürliche Zählen zu charakterisieren. {{ inputdefinition |Induktives Zählsystem/Definition|Zählsystem| }} Das Induktionsaxiom hört sich komplizierter an, als es ist. Es fordert einfach, dass man ausgehend vom {{Anführung|Anfangsglied|}} {{math|term=0|SZ=}} durch sukzessives Anwenden der Nachfolgerabbildung letztlich jedes Element in der Menge {{math|term=M|SZ=}} erhält. Die mengentheoretische Formulierung im Induktionsaxiom ist ein präziser Ersatz für {{Anführung|sukzessive|}} und {{Anführung|letztlich|SZ=.}} Das Zählen in der letzten Stelle eine digitalen Uhr ist ein Zählsystem: die zugrunde liegenden Menge ist {{ math/disp|term= M=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} |SZ=, }} das ausgezeichnete Element ist {{math|term=0|SZ=,}} und die Nachfolgerabbildung wird {{ Zusatz/Klammer |text=wenn wir uns hier noch nicht auf die natürlichen Zahlen berufen wollen| |ESZ= }} durch die Wertetabelle {{Wertetabelle10|text1= {{math|term=x|SZ=}} |0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|text2= {{math|term=x'|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|9|0}} gegeben. Ausgehend von {{math|term=0|SZ=}} erreicht man dabei jedes Element als einen sukzessiven Nachfolger, so dass das Induktionsaxiom erfüllt ist. Die Nachfolgerabbildung ist dabei eine Bijektion. Auch die folgende Wertetabelle beschreibt ein Zählsystem. {{Wertetabelle10|text1= {{math|term=x|SZ=}} |0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|text2= {{math|term=x'|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|9|5}} Von {{math|term=0|SZ=}} ausgehend wird jedes Element erreicht. Die Nachfolgerabbildung ist nicht injektiv, sondern sowohl {{ mathkor|term1= 4 |als auch|term2= 9 |SZ= }} werden beide auf {{math|term=5|SZ=}} abgebildet. Sie ist auch nicht surjektiv, da {{math|term=0|SZ=}} keinen Vorgänger hat. {{Zwischenüberschrift|term=Die Peano-Axiome}} In den natürlichen Zahlen {{math|term=\N|SZ=}} kann man zwei Elemente ihrer Größe nach vergleichen, man kann sie addieren, multiplizieren, potenzieren, teilweise abziehen, es gibt die Teilbarkeit, usw. Man kann sich nun fragen, welche Abhängigkeiten zwischen diesen mathematischen Strukturen bestehen und ob man manche davon auf andere, grundlegendere Strukturen zurückführen kann. Dies führt zum axiomatischen Aufbau der natürlichen Zahlen. Mit den Peano-Axiomen werden die natürlichen Zahlen definiert als ein induktives Zählsystem, bei dem die Nachfolgerabbildung injektiv ist und {{math|term=0|SZ=}} kein Nachfolger ist. {{ inputbild |Giuseppe Peano|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Giuseppe_Peano |Text=[[w:Giuseppe Peano|Giuseppe Peano (1858 -1932)]] |Autor= |Benutzer=Kalki |Domäne= |Lizenz=PD? |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition|| }} Das heißt, dass die natürlichen Zahlen durch das natürliche Zählen bestimmt sind. Zählen heißt, von einem Startwert ausgehend, nach und nach einen Schritt {{ Zusatz/Klammer |text=einen Strich machen, einen Stab dazulegen, einen Punkt dazumalen| |SZ= }} weiterzuzählen. Das {{Anführung|Weiter|SZ=-}}Zählen ist also fundamentaler als eine bestimmte Benennung von Zahlen. Eine natürliche Zahl repräsentiert, wie oft bis zu ihr gezählt werden musste. Die erste Eigenschaft legt den Start fest. Die zweite Eigenschaft besagt, dass wenn zwei Zahlen verschieden sind {{ Zusatz/Klammer |text=oder zwei endliche Mengen mit unterschiedlicher Anzahl vorliegen| |SZ=, }} dann auch die beiden jeweiligen Nachfolger verschieden sind {{ Zusatz/Klammer |text=die beiden jeweils um ein neues Element erweiterten Mengen ebenfalls eine unterschiedliche Anzahl haben| |SZ=. }} Die dritte Eigenschaft, die man auch das {{Stichwort|Induktionsprinzip für Mengen|SZ=}} nennt, besagt, dass wenn man bei null anfängt und keinen einzelnen Zählvorgang auslässt, dass man dann vollständig alle natürlichen Zahlen abzählt. Es sei schon jetzt erwähnt, dass solche Überlegungen, die natürlichen Zahlen grundlegend zu begründen, manchmal eher verwirrend als hilfreich sein können. Bei den natürlichen Zahlen ist es erfahrungsgemäß nicht gefährlich, der Intuition zu vertrauen und mit einer naiven Vorstellung davon zu arbeiten {{ Zusatz/Klammer |text=dies gilt für die reellen Zahlen nicht in dieser Deutlichkeit| |SZ=. }} Das ist beim Studienanfang jedenfalls wichtiger als Grundlagenfragen. Wir stellen einige Modelle für die natürlichen Zahlen vor. {{ inputbeispiel |Natürliche Zahlen/Peano/Strichmodell/Beispiel||zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Das ist nicht einfach zu präzisieren; wenn man dies durch die Existenz einer bijektiven Abbildung zwischen zwei Strichfolgen erklärt, so landet man wieder in der Mengentheorie. Wenn man fordert, dass die Zwischenräume zwischen zwei benachbarten Strichen konstant sein müssen, so kann man Bezug auf die {{Anführung|geometrische Länge|}} der Strichfolge nehmen|ISZ=. |ESZ=. }} }} {{ inputbeispiel |Natürliche Zahlen/Peano/Ziffernmodell/10/Beispiel||zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Dieser Zugang setzt also voraus, dass man endliche Mengen akzeptiert|ISZ=. |ESZ= }} |zusatz2= {{ Zusatz/Fußnote |text=Um von erster Ziffer reden zu können, muss man eine Reihenfolge fixiert haben. Wir gehen hier von der üblichen Reihenfolge aus|ISZ=. |ESZ= }} |zusatz3= {{ Zusatz/Fußnote |text=Die folgenden Festlegungen entsprechen denen für ein Computerprogramm, das die natürlichen Zahlen im Zehnersystem durchzählt|ISZ=. |ESZ= }} }} Die natürliche Zahlen haben den Sinn, die Größe von zwei endlichen Mengen miteinander zu vergleichen. Wenn man von zwei Mengen feststellen möchte, ob sie {{Anführung|gleich groß|SZ=}} sind, so braucht man dafür aber zunächst nicht die natürlichen Zahlen als {{Anführung|neutrale Vergleichswerte|SZ=,}} sondern man kann die Mengen direkt untereinander mittels bijektiven Abbildungen vergleichen. Dies führt zum Begriff der Gleichmächtigkeit. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Gleichmächtigkeit/Definition|Gleichmächtigkeit von Mengen| }} Ausgehend von der Gleichmächtigkeit von endlichen Mengen gelangt man zu einem weiteren Peano-Modell von natürlichen Zahlen als Äquivalenzklassen von endlichen Mengen, was wir hier nur kurz besprechen werden{{Netz oder Druck|, siehe auch [[Endliche Mengen und Gleichmächtigkeit/Äquivalenzrelation/Natürliche Anzahl/Textabschnitt|hier]]|}}. {{ inputbeispiel |Endliche Mengen und Gleichmächtigkeit/Äquivalenzrelation/Natürliche Anzahl/Beispiel||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Zu einer Menge kann man die {{Stichwort|Menge der endlichen Teilmengen|SZ=}} darin induktiv definieren, indem man die leere Menge als endlich erklärt und jede Menge, die aus einer endlichen {{ Zusatz/Klammer |text=schon als endlich erwiesenen| |ESZ= }} Menge durch Hinzunahme von einem weiteren Element entsteht, ebenfalls als endlich erklärt. Eine Menge ist dann selbst {{Stichwort|unendlich|SZ=,}} wenn sie nicht zu ihren endlichen Teilmengen gehört|ISZ=. |ESZ= }} }} Von nun an arbeiten wir mit einem beliebigen Peano-Modell für die natürlichen Zahlen, das wir mit {{math|term=\N|SZ=}} bezeichnen. {{Zwischenüberschrift|term=Das Induktionsprinzip für Aussagen}} Die folgende Aussage und ihr Beweis begründen das Beweisprinzip der {{Stichwort|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz|Induktionsprinzip| }} Alle mathematischen Strukturen auf den natürlichen Zahlen kann man ausgehend von den Peanoaxiomen konstruieren und ihre Eigenschaften beweisen. Wir werden dies in dieser Vorlesung nur teilweise tun. Der Haupteinwand gegen eine streng durchgeführte mengentheoretisch-axiomatische Deduktion der Strukturen auf den natürlichen Zahlen aus den Peanoaxiomen heraus liegt darin, dass der Aufwand {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar hinsichtlich der Arbeit, der Zeit und der Konzentration| |ESZ= }} unverhältnismäßig erscheint gegenüber dem Nutzen, Strukturen zu begründen, mit denen die Studierenden seit langem wohlvertraut sind. Weiterhin ist schwer zu vermitteln, dass die Sprache der Mengen fundamentaler als die natürlichen Zahlen selbst sein soll. Allerdings ist es schon eine wichtige Erkenntnis, dass nicht alle Operationen auf den natürlichen Zahlen gleichursprünglich sind, sondern dass es zwischen ihnen Abhängigkeiten und Hierarchien gibt. Wir werden nun schrittweise die wesentlichen Strukturen auf den natürlichen Zahlen einführen und dabei parallel das passende Vokabular wie Ordnungsrelationen oder Verknüpfungen einführen. Wir beginnen mit der Größergleichbeziehung, die wir {{math|term=\geq|SZ=}} schreiben. Für zwei natürliche Zahlen {{mathl|term=k, n \in N|SZ=}} gilt {{mathl|term=k \geq n|SZ=,}} wenn man von {{math|term=n|SZ=}} ausgehend durch wiederholtes Nachfolgernehmen schließlich zu {{math|term=k|SZ=}} gelangt, also {{ math/disp|term= k \geq n \text{ genau dann, wenn } k = n^{\prime \prime \prime \cdots \prime \prime \prime} |SZ=. }} Diese Definition ist intuitiv klar, aber nicht streng axiomatisch, da die angedeuteten Punkte (mengentheoretisch) unpräzise sind. Eine mengentheoretische Fundierung dieser Beziehung ist etwas aufwändig{{Netz oder Druck|, siehe [[Natürliche_Zahlen/Ordnung_mengentheoretisch_aus_Peanoaxiomen/Textabschnitt|hier]].|.}} Wir geben uns mit der obigen Einführung zufrieden, betonen aber, dass wir die Größergleichrelation auf die Nachfolgeabbildung zurückführen. Um die wesentlichen Eigenschaften der Größergleichrelation formulieren zu können, brauchen wir den Begriff der Ordnungsrelation. {{Zwischenüberschrift|term=Ordnungsrelationen}} Eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation nennt man eine Ordnung, wofür man häufig ein Symbol wie {{mathl|term=\geq, \leq,\preccurlyeq, \subseteq|SZ=}} verwendet. {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|Ordnungsrelation| }} Eine Menge mit einer fixierten Ordnung darauf heißt {{Stichwort|geordnete Menge|SZ=.}} Wenn zusätzlich gilt, dass für je zwei Elemente {{ mathkor|term1= x \preccurlyeq y |oder|term2= y \preccurlyeq x |SZ= }} gilt, so spricht man von einer {{Stichwort|total geordneten Menge|msw=Total geordnete Menge|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Potenzmenge/Geordnet durch Inklusion/Beispiel|Inklusionsrelation auf Potenzmenge| }} {{ inputbeispiel |Teilbarkeit in N_+/Ordnungsrelation/Beispiel|Teilerbeziehung| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen}} Wir kommen nun zu den natürlichen Zahlen zurück. {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Ordnung/Total/Aus Nachfolgerbeziehung/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Zu zwei Elementen {{mathl|term=n,k \in N|SZ=}} verwenden wir die abkürzenden Schreibweisen {{ math/disp|term= \{k {{kommadots|}} n\} = {{Mengebed| x \in N| x \geq k \text{ und } x \leq n }} |SZ=. }} Hierbei ist {{mathl|term=k>n|SZ=}} zwar erlaubt, führt aber zur leeren Menge. Besonders wichtig sind die Mengen {{mathl|term=\{1 {{kommadots|}} n\} |SZ=,}} da diese die Parademengen für die {{math|term=n|SZ=-}}elementigen endlichen Mengen sind. {{Zwischenüberschrift|term=Zählen und endliche Mengen}} {{:Endliche Mengen/Einführung mit 1...n/Textabschnitt|ref1=Aufgabe 3.11|ref2.1=Aufgabe 3.12|ref3.1=Aufgabe 3.20}} {{Zwischenüberschrift|term=Fußnoten}} <references/> }} a9l81qcz0qvs44ieifdn5l8sw48r7gn 106 27224 778717 512165 2022-08-21T12:44:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|5| Für zwei natürliche Zahlen {{math|term=n,m|SZ=}} gilt {{mathl|term=n \geq m|SZ=}} genau dann, wenn man {{mathl|term=n=m+k|SZ=}} mit einem {{mathl|term=k \in \N|SZ=}} schreiben kann {{ Zusatz/Klammer |text=siehe [[Natürliche Zahlen/Kleinergleich und Addition/Aufgabe|Aufgabe 4.12]]| |ISZ=|ESZ=. }} In diesem Fall ist das {{math|term=k|SZ=}} aufgrund der Abziehregel eindeutig bestimmt und heißt die {{Stichwort|Differenz|SZ=}} von {{ mathkor|term1= n |und|term2= m |SZ=, }} geschrieben {{mathl|term=k=n-m|SZ=.}} Bei {{mathl|term=n<m|SZ=}} gibt es innerhalb von {{math|term=\N|SZ=}} keine Lösung für die Gleichung {{mathl|term=n=m+x|SZ=.}} Innerhalb der ganzen Zahlen gibt es die negative Lösung {{mathl|term=x=n-m|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Die ganzen Zahlen}} Wir wollen die ganzen Zahlen ausgehend von den natürlichen Zahlen konstruieren. Für viele Konstruktionen in der Mathematik ist der Begriff der Äquivalenzrelation entscheidend. Die Strategie ist dabei, zuerst eine {{Anführung|ziemlich große}} Menge zu konstruieren, die alle Elemente der beabsichtigten Menge {{ Zusatz/Klammer |text=in aller Regel mehrfach| |ESZ= }} {{Anführung|repräsentiert|SZ=,}} und dann Elemente zu {{Anführung|identifizieren|SZ=,}} damit jedes Zielobjekt einen eindeutigen Repräsentanten bekommt. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Produktmenge/Definition|| }} Dies ist ein einfacher Begriff, beispielsweise wird auf dem {{math|term=\R^n|SZ=}} die Vektorraumaddition komponentenweise erklärt. Eigenschaften der Einzelverknüpfungen übertragen sich direkt auf die Produktverknüpfung. Wenn beispielsweise beide Verknüpfungen assoziativ sind, so gilt das auch für die Produktverknüpfung. Wir verwenden den Begriff in der folgenden Konstruktion. {{ inputbeispiel |Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Beispiel|Konstruktion der ganzen Zahlen|ref1=Aufgabe 5.1|ref2=Aufgabe 5.2|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote }} Um die Eigenschaften der Verknüpfungen, die wir auf den ganzen Zahlen haben, prägnant beschreiben zu können, dient der Begriff des kommutativen Ringes. {{ inputdefinition |Ringtheorie/Kommutativer Ring/Ausführlich direkt mit Gruppe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/Fakt|Lemma|| |refa=5.14|| }} Von nun an stellen wir uns {{math|term=\Z|SZ=}} als eine beidseitige diskrete Zahlengerade vor. {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Wir werden von nun an den axiomatischen Aufbau der reellen Zahlen besprechen. Diese Axiome gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Die algebraischen Axiome werden im Begriff des Körpers zusammengefasst. Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit {{mathl|term=0\neq 1|SZ=,}} bei dem zusätzlich jedes Element {{mathl|term=x \neq 0|SZ=}} ein Inverses bzgl. der Multiplikation bestizt. In der folgenden Definition werden alle Eigenschaften eines Körpers aufgeführt. {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition|| }} In einem Körper gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term=a\cdot b + c \cdot d|SZ=}} statt {{mathl|term=(a\cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} in einem Körper werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein. Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen. Die additiven Körperaxiome kann man so lesen, dass die Menge {{math|term=K|SZ=}} zusammen mit dem ausgezeichneten Element {{math|term=0|SZ=}} und der Addition {{math|term=+|SZ=}} als Verknüpfung eine Gruppe bildet, die zusätzlich kommutativ ist. Ebenso bildet die Menge {{mathl|term=K \setminus \{0\}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also ganz {{math|term=K|SZ=}} ohne die {{math|term=0|SZ=}}| |SZ= }} mit dem neutralen Element {{math|term=1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das wegen der expliziten Voraussetzung der Körperaxiome von {{math|term=0|SZ=}} verschieden ist und daher zu {{mathl|term=K \setminus \{0\}|SZ=}} gehört| |SZ= }} und der Multiplikation {{math|term=\cdot|SZ=}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=ebenfalls kommutative| |SZ= }} Gruppe. Wenn ein Körper {{math|term=K|SZ=}} vorliegt, so hat man also zugleich zwei Gruppen vorliegen, es ist aber falsch zu sagen, dass {{math|term=K|SZ=}} auf zweifache Weise eine Gruppe ist, da einerseits {{math|term=K|SZ=}} mit der Addition und andererseits {{mathl|term=K \setminus \{0\}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und eben nicht {{math|term=K|SZ=}} | |SZ= }} eine Gruppe mit der Multiplikation bildet. {{ inputfaktbeweishier |Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt|Lemma|| |ref1=||Beweistext=Dies folgt aus der allgemeinen Eindeutigkeitsaussage für inverse Elemente in jeder Gruppe, siehe die letzte Vorlesung. }} Zu einem Element {{mathl|term=a \in K|SZ=}} nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=b|SZ=}} mit {{mathl|term=a+b=0|SZ=}} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Statt {{mathl|term=b+(-a)|SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit Negativen zurückgeführt. Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=c|SZ=}} mit {{mathl|term=ac=1|SZ=}} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ math/disp|term= a/b := \frac{a}{b} := ab^{-1} |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also eine Abkürzung für den rechten Ausdruck. In jedem Körper findet man die natürlichen Zahlen und auch die ganzen Zahlen wieder, und zwar wird die natürliche Zahl {{math|term=n|SZ=}} als die {{math|term=n|SZ=-}}fache Summe von {{math|term=1_K|SZ=}} mit sich selbst in {{math|term=K|SZ=}} interpretiert. Entsprechend wird die negative Zahl {{math|term=-n|SZ=}} als die {{math|term=n|SZ=-}}fache Summe von {{math|term=-1_K|SZ=}} interpretiert, siehe die Aufgaben. Zu einem Körperelement {{mathl|term=a \in K|SZ=}} und {{math|term=n \in \N|SZ=}} wird {{mathl|term=a^n|SZ=}} als das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term=a|SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{math|term=a\neq0|SZ=}} wird {{math|term=a^{-n}|SZ=}} als {{math|term=(a^{-1})^n|SZ=}} interpretiert. {{ inputbeispiel |Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Beispiel|Konstruktion der rationalen Zahlen|ref1=Aufgabe 5.6|ref2=Aufgabe 5.14 |ref3=Aufgabe 5.15|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote|zusatz3=Fußnote|zusatz4=Fußnote| }} Aufgrund von dieser Konstruktion können wir uns die rationalen Zahlen als Punkte auf einer Zahlengeraden vorstellen {{ Zusatz/Klammer |text=in der Konstruktion die Geraden mit {{mathl|term=y=1|SZ=}}| |ISZ=.|ESZ= }} {{ inputbeispiel |Körper/Zwei Elemente/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=&nbsp;5.17|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Binomialkoeffizienten}} {{:Binomialkoeffizienten/Einführung/Textabschnitt}} Die folgende Formel bringt die Addition und die Multiplikation miteinander in Beziehung. {{ inputfakthierbeweis |Kommutative Ringtheorie/Binomi/Fakt|Satz|Binomi|Fakttext=Es seien {{mathl|term=a,b|SZ=}} Elemente in einem Körper. Ferner sei {{math|term=n|SZ=}} eine natürliche Zahl. Dann gilt {{ math/disp|term= {{Binomische Formel|n|a|b|k||}} |SZ=. }} }} {{ inputbild |A plus b au carre|svg| 200px {{!}} {{!}} |epsname=A_plus_b_au_carre |Autor= |Benutzer=Alkarex |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Binomio al cubo|svg| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Binomio_al_cubo |Autor=Drini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|term=Fußnoten}} }} ted5jey9bmhpiy89q4q0tj4o9tqs5or 106 27229 785162 577717 2022-08-22T07:56:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|10| Die Vorlesungen der nächsten Wochen beschäftigen sich mit {{Stichwort|linearer Algebra|msw=Lineare Algebra|SZ=.}} Ihr zentraler Begriff ist der Vektorraum. {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume}} Wir beginnen mit einem einführenden Beispiel. {{:Vektorraum/Einführendes Beispiel/Glühwein/Beispiel||zusatz1=Fußnote}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Definition|Vektorraum| }} Die Verknüpfung in {{math|term=V|SZ=}} nennt man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition und die Operation {{ Ma:abb |name= |K \times V|V || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=.}} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|msw=Vektor|SZ=,}} und die Elemente {{mathl|term=r \in K|SZ=}} heißen {{Stichwort|Skalare|msw=Skalar|SZ=.}} Das Nullelement {{mathl|term=0\in V|SZ=}} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{mathl|term=v \in V|SZ=}} heißt das inverse Element das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term=v|SZ=}} und wird mit {{math|term=-v|SZ=}} bezeichnet. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{mathl|term=K=\R|SZ=}} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{mathl|term=K={{CC}}|SZ=}} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0|SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{mathl|term=K^0=0|SZ=}} auffassen. {{ inputbeispiel |Vektorraum/Parallelverschiebungen im Anschauungsraum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel||zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= i |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Folgenmenge in K/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Reelle Zahlen als Vektorraum über Q/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} Vor dem nächsten Beispiel führen wir Polynome über einem Körper ein. {{ inputdefinition |Körper/Polynom in einer Variablen/Definition|Polynom| }} Ein Polynom {{math|term=P|SZ=}} definiert eine {{Stichwort|Polynomfunktion|SZ=}} {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K |x|P(x) {{=|}} {{polynomein|x|n|a|i}} |SZ=. }} Der Wert dieser Funktion an der Stelle {{math|term=x|SZ=}} ergibt sich also dadurch, dass man die Variable {{math|term=X|SZ=}} überall durch das Körperelement {{math|term=x|SZ=}} ersetzt. Achtung! Bei endlichen Körpern können verschiedene Polynome die gleiche Polynomfunktion definieren, so dass man zwischen Polynom und Polynomfunktion unterscheiden muss. {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Erzeugendensysteme und Untervektorräume}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Linearkombination/Definition|Linearkombination| }} Zwei unterschiedliche Koeffiziententupel können denselben Vektor definieren. {{ inputdefinition |Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition|Erzeugendensystem| }} {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|Untervektorraum| }} Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} sind der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} und der gesamte Vektorraum {{math|term=V|SZ=.}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition|Aufgespannter Unterraum| }} Der von der leeren Menge erzeugte Unterraum ist der Nullraum{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies kann man als Definition nehmen oder aber aus Definition 10.13 ableiten, wenn man die Konvention berücksichtigt, dass die leere Summe gleich {{math|term=0|SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ=. }} Dieser wird ebenso von der {{math|term=0|SZ=}} erzeugt. Zu einem einzigen Vektor {{math|term=v |SZ=}} besteht der aufgespannte Raum aus {{mathl|term=Kv= {{Mengebed|\lambda v|\lambda \in K}} |SZ=.}} Bei {{mathl|term=v \neq 0|SZ=}} ist dies eine {{Stichwort|Gerade|SZ=,}} was wir im Rahmen der Dimensionstheorie noch präzisieren werden. Bei zwei Vektoren {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} hängt die {{Anführung|Gestalt}} des aufgespannten Raumes davon ab, wie die beiden Vektoren sich zueinander verhalten. Wenn sie beide auf einer Geraden liegen, d.h. wenn gilt {{mathl|term=w= \lambda v|SZ=,}} so ist {{math|term=w|SZ=}} überflüssig und der von den beiden Vektoren erzeugte Unterraum stimmt mit dem von {{math|term=v|SZ=}} erzeugten Unterraum überein. Wenn dies nicht der Fall ist {{ Zusatz/Klammer |text=und {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} nicht {{math|term=0|SZ=}} sind| |ISZ=|ESZ=, }} so erzeugen die beiden Vektoren eine {{Anführung|Ebene|SZ=.}} Wir fassen einige einfache Eigenschaften für Erzeugendensysteme und Unterräume zusammen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Erzeugendensystem und aufgespannter Unterraum/Unterraumdurchschnitt/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Folgenmenge in angeordnetem K/Cauchyfolgen/Beispiel||ref1=Beispiel 10.5|ref2=Lemma 7.10|ref3=Aufgabe 10. }} {{Zwischenüberschrift|term=Lineare Gleichungssysteme und Elimination}} {{ inputdefinition |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineare Gleichung/Auch inhomogen/Definition|Lineare Gleichung| }} {{ inputdefinition |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition|(Inhomogenes) lineares Gleichungssystem|zusatz1=Fußnote }} Ein lineares Gleichungssystem besitzt immer die sogenannte {{Stichwort|triviale Lösung|SZ=}} {{mathl|term=0=(0 {{kommadots|}} 0)|SZ=.}} Ein inhomogenes Gleichungssystem braucht nicht unbedingt eine Lösung haben. Solche Gleichungssysteme treten immer wieder auf. {{ inputbeispiel |K^n/Vektor als Linearkombination von Vektoren/Lineares Gleichungssystem/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man spricht daher auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=}} des Gleichungssystems. Insbesondere addiert man zwei lineare Gleichungen, indem man die zu einer Variablen gehörenden Koeffizienten jeweils miteinander addiert. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Dennoch gibt es auch dafür eine sinnvolle Addition, wobei man wieder die Koeffizienten zu den Variablen, aber auch die inhomogenen Koeffizienten miteinander addieren muss. {{ inputdefinition |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Definition|Äquivalente lineare Gleichungssysteme| }} Die Äquivalenz von linearen Gleichungssystemen ist eine Äquivalenzrelation. Eine naheliegende Aufgabe ist es, zu einem linearen Gleichungssystem ein möglichst einfaches äquivalentes Gleichungssystem zu finden, und dieses dann zu {{Anführung|lösen|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Manipulationen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Lineares Gleichungssystem/Eliminationslemma/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} {{ inputverfahren |Lineares Gleichungssystem/Gausssches Eliminationsverfahren auf Lemma/Verfahren|Gauss'sches Eliminationsverfahren|ref1=Lemma 10.22 }} {{Zwischenüberschrift|term=Fußnoten}} <references/> }} 4iuuuljbkhsbx39w0vwsw78uqhzppta 106 27231 784485 540388 2022-08-22T06:17:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|12| {{Zwischenüberschrift|term=Lineare Abbildungen}} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Körper/Definition|| }} Die erste Eigenschaft nennt man dabei die {{Stichwort|Additivität|SZ=}} und die zweite Eigenschaft die {{Stichwort|Verträglichkeit mit Skalierung|SZ=.}} Wenn man den Grundkörper betonen möchte spricht man von {{mathprä|K|-|Linearität|SZ=.}} Lineare Abbildung heißen auch {{Stichwort|Homomorphismen|msw=Homomorphismus|SZ=}} von Vektorräumen. Die Identität {{ Ma:abb |name= {{Op:Identität|V}} |V|V || |SZ=, }} die Nullabbildung {{ Ma:abb |name= |V|0 || |SZ= }} und die Inklusionen {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen. {{ inputbeispiel |K^n/ite Projektion/Lineare Abbildung/Beispiel|| }} Die folgende Aussage bestätigt erneut das Prinzip, dass in der linearen Algebra {{ Zusatz/Klammer |text=von endlichdimensionalen Vektorräumen| |ISZ=|ESZ= }} die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind. {{ inputfaktbeweis |Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt|Lemma|| | }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Abbildung/Bild und Urbild/Untervektorräume/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Kern/Definition|| }} Der Kern ist also nach der obigen Aussage ein Untervektorraum. Wichtig ist das folgende {{Stichwort|Injektivitätskriterium|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt|Satz|| |ref1=|refb1=von Lemma| }} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Auf endlichdimensional/Rang/Definition|| }} Die Dimensionsformel kann man auch als {{ math/disp|term= {{op:dim vr|V}} = {{op:dim vr| {{op:Kern|\varphi|}} }} + {{op:Rang|\varphi|}} |SZ= }} ausdrücken. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Endlichdimensional/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt|Korollar|| |ref1=Satz 12.8|ref2=Lemma 12.7| }} {{Zwischenüberschrift|term=Isomorphe Vektorräume}} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinition |Vektorraum/Isomorph/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt|Lemma|| | }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Isomorph gdw gleiche Dimension/Fakt|Satz|| | }} {{ inputbemerkung |Vektorraum/Basen und K^n Isomorphie/Bemerkung||ref1=Satz 12.3|ref2=Aufgabe 12.15| }} {{ inputdefinition |Lineare Algebra/K/Homomorphismenraum/Definition|| }} Mit diesen Operationen liegt ein Vektorraum vor, siehe [[Homomorphismenraum/Vektorraum/Aufgabe|Aufgabe 12.14]]. {{Zwischenüberschrift|term=Matrizenkalkül}} Eine lineare Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} ist durch die Bilder {{ mathbed|term= \varphi(e_j) ||bedterm1= j = 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} der Standardvektoren eindeutig festgelegt, und jedes {{math|term=\varphi(e_j)|SZ=}} ist eine Linearkombination {{ math/disp|term= \varphi(e_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} e_i |SZ= }} und damit durch die Elemente {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} eindeutig festgelegt. Insgesamt ist also eine solche lineare Abbildung durch {{math|term=mn|SZ=}} Elemente {{ mathbed|term= a_{ij} ||bedterm1= 1 \leq i \leq m ||bedterm2= 1 \leq j \leq n |SZ=, }} festgelegt. Eine solche Datenmenge fasst man als eine Matrix zusammen. {{ inputdefinition |Matrizen/IxJ/nxm/Definition|| }} Wir beschränken uns weitgehend auf den durchnummerierten Fall. Zu jeden {{mathl|term=i \in I|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=i|SZ=-}}te {{Stichwort|Zeile|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als einen {{Stichwort|Zeilenvektor|SZ=}} {{ math/disp|term= (a_{i1}, a_{i2} {{kommadots|}} a_{in}) |SZ= }} schreibt. Zu jedem {{mathl|term=j \in J|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=j|SZ=-}}te {{Stichwort|Spalte|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als einen Spaltenvektor {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_{1j}|a_{2j}|\vdots|a_{mj} }} |SZ= }} schreibt. Die Elemente {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißen die {{Stichwort|Einträge|msw=Eintrag|SZ=}} der Matrix. Zu {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißt {{math|term=i|SZ=}} der {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} und {{math|term=j|SZ=}} der {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} des Eintrags. Man findet den Eintrag {{mathl|term=a_{ij}|SZ=,}} indem man die {{math|term=i|SZ=-}}te Zeile mit der {{math|term=j|SZ=-}}ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit {{mathl|term=m=n|SZ=}} nennt man eine {{Stichwort|quadratische Matrix|SZ=.}} Eine {{mathl|term=m \times 1|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Spaltenvektor der Länge {{math|term=m|SZ=,}} und eine {{mathl|term=1 \times n|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Zeilenvektor der Länge {{math|term=m|SZ=.}} {{ inputdefinition |Matrizenmultiplikation/Definition|| }} Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merkregel kann man das Schema {{ Ma:Vergleichskette/disp | (Z E I L E) {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} ||ZS+EP+IA+LL+ET || || || |SZ= }} verwenden. Insbesondere kann man eine {{mathl|term=m \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Spaltenvektor der Länge {{math|term=n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge {{math|term=m|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung|| }} }} 50zswex0jg4qrll1nwy87arx9jx5zkp 106 27238 784532 583458 2022-08-22T06:24:04Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|19| {{Zwischenüberschrift|term=Metrische Räume}} Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines Vektors und den Abstand zwischen zwei Vektoren definieren. Die wichtigsten Eigenschaften dieses euklidischen Abstandes werden im Begriff der Metrik bzw. des metrischen Raumes axiomatisiert. {{inputdefinition|Metrik/Metrischer Raum/Definition|Metrik oder Distanzfunktion}} Man kann leicht aus den Bedingungen folgen, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert {{mathl|term= d(x,y)}} gibt den Abstand der Punkte {{math|term=x}} und {{math|term= y}} bezüglich {{math|term= d}} an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt, obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden. {{ inputbeispiel |Euklidischer Vektorraum/Als metrischer Raum/Beispiel|| }} Wenn wir nichts anderes sagen, so versehen wir den {{math|term=\R^n|SZ=}} und den {{mathl|term={{CC}}^n \cong \R^{2n}|SZ=}} stets mit dem euklidischen Abstand. Insbesondere sind die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen {{mathl|term={{CC}} \cong \R^2|SZ=}} mit der durch den Betrag definierten Metrik ein metrischer Raum. Als gemeinsame Bezeichnung für {{ mathkor|term1= \R |und|term2= {{CC}} |SZ= }} werden wir {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} verwenden. {{ inputbild |Manhattan distance|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} right {{!}} |epsname=Manhattan_distance |Text=Die Summenmetrik heißt auch {{Stichwort|Taxi-Metrik|SZ=.}} Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen den Summenabstand. |Autor= |Benutzer=Psychonaut |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |R^n/Summenmetrik/Metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |R^n/Maximumsmetrik/Metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Menge/Diskrete Metrik/Beispiel|| }} {{ inputbild |Unit disc metrics|svg| 150px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |epsname=Unit_disc_metrics |Text=Die Gestalt der Kugelumgebungen hängt von der Metrik ab. |Autor= |Benutzer=Krishnavedala |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition|Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition|Offene und abgeschlossene Kugel}} Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Norm. Für {{mathl|term=x \in \R|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} einfach das beidseitig offene Intervall {{math|term=]x- \epsilon, x+ \epsilon[|SZ=.}} {{ inputbild |Neighborhood illust1|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} right {{!}} |epsname=Neighborhood_illust1 |Text=Eine Teilmenge ist offen, wenn jeder Punkt darin gleich mit einer vollen Kugelumgebung drin liegt. Bei einer solchen Menge ist es entscheidend, ob die {{Stichwort|Randpunkte|msw=Randpunkt|SZ=}} dazu gehören oder nicht. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition|Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition|Offene Mengen in metrischen Räumen}} {{inputdefinition|Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition|Abgeschlossene Mengen in metrischen Räumen}} Achtung! Abgeschlossen ist nicht das {{Anführung|Gegenteil|}} von offen. Die allermeisten Teilmengen eines metrischen Raumes sind weder offen noch abgeschlossen, es gibt aber auch Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. die leere Teilmenge und die Gesamtmenge. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Metrischer Raum/Strukturelle Eigenschaften der offenen Mengen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition|Beschränkte Teilmenge| }} {{Zwischenüberschrift|term=Folgen in metrischen Räumen}} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition|Konvergente Folge| }} Diese Definition stimmt natürlich für {{mathl|term=X=\R|SZ=}} mit unserem bisherigen Begriff für konvergente Folge überein. Allerdings hatten wir, als wir diesen Begriff für angeordnete Körper einführten, die reellen Zahlen selbst noch nicht zur Verfügung. {{ inputfaktbeweis |Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Insbesondere konvergiert eine Folge von komplexen Zahlen genau dann, wenn die zugehörigen Folgen der Realteile und der Imaginärteile konvergieren. {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Folge/Häufungspunkt/Definition|Häufungspunkt| }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Folge/Teilfolge/Definition|Teilfolge| }} {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Abgeschlossen in Teilmengen/Supremum/Fakt|Korollar| |ref1=|| }} Wenn man z.B. das offene Intervall {{mathl|term=(0,1)|SZ=}} in {{math|term=\R|SZ=}} nimmt und {{mathl|term=A=T=(0,1)|SZ=}} betrachtet, so ist {{math|term=A|SZ=}} abgeschlossen in {{math|term=T|SZ=,}} das Supremum dieser Menge gehört aber nicht dazu. Ein wichtiger Spezialfall ist das folgende Korollar. {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Abgeschlossene nach oben beschränkte Menge/Enthält Supremum/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} }} e9ol4t4epydd0lf0cb09e9iu5iqtxl0 106 27241 779354 577720 2022-08-21T16:14:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|22| {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz von Bolzano-Weierstraß}} {{ inputbild |Karl Weierstrass 2|jpg| 200px {{!}} thumb{{!}} |epsname=Karl_Weierstrass_2 |Text=[[w:Karl Weierstraß|Karl Weierstraß (1815-1897)]] |Autor=Conrad Fehr |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Kompaktheit}} {{ inputdefinition |Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Kompaktheit/R^n/Stetige Abbildung/Bild wieder kompakt/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputbild |Extrema example it|svg| 300px {{!}} right {{!}} |epsname=Extrema_example_it |Autor= |Benutzer=KSmrq |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition|| }} {{ inputbild |Matterhorn02|jpg| 250px {{!}} right {{!}}thumb {{!}} |Text=Ein lokales, aber kein globales Maximum der Höhenfunktion {{math|term=h: S^2 \rightarrow \R|SZ=}} auf der Erdsphäre {{math|term=S^2|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Alagna |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Die gemeinsame Bezeichnung für ein Maximum oder ein Minimum ist {{Stichwort|Extremum|SZ=.}} In der vorstehenden Definition spricht man auch von {{Stichwort|globalem Maximum|msw=Globales Maximum|SZ=,}} da darin Bezug auf sämtliche Elemente der Definitionsmenge genommen wird. Interessiert man sich nur für das Verhalten in einer offenen, eventuell kleinen Umgebung, so gelangt man zum Begriff des lokalen Maximums. {{ inputdefinition |Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum und Minimum/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kompaktheit/R^n/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputbeispiel |Erdkugel/Temperatur als stetige Funktion/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynom/Betrag nimmt Minimum an/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} Bei {{mathl|term= {{KRC|}} = {{CC}} |SZ=}} besitzt das Minimum des Betrags eines nichtkonstanten Polynoms stets den Wert {{math|term=0|SZ=&nbsp;-}} dies ist der Inhalt des {{Stichwort|Fundamentalsatzes der Algebra|msw=Fundamentalsatz der Algebra|SZ=,}} und das vorstehende Lemma ist eine Vorstufe zu seinem Beweis. {{Zwischenüberschrift|term=Gleichmäßige Stetigkeit}} {{:Metrischer Raum/Gleichmäßige Stetigkeit/Einführung/Textabschnitt|}} }} 7sg9tps900fdlyy0zm4972l05c7oght 106 27245 784461 577723 2022-08-22T06:14:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|26| {{Zwischenüberschrift|term=Abbildungsfolgen}} {{ inputbild |Exp series|gif| 250px {{!}}thumb {{!}} |epsname=Exp_series |Text=Eine (gestauchte) Darstellung der ersten acht polynomialen Approximationen der reellen Exponentialfunktion |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir haben das letzte Mal gesehen, dass die Exponentialreihe {{mathl|term=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} |SZ=}} für jedes {{math|term=z \in {{CC}}|SZ=}} konvergiert. Für jedes {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} stellt also die Polynomfunktion {{ math/disp|term= f_n(z) = \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} = 1+z+ \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} {{plusdots|}} \frac{z^n}{n!}|SZ= }} eine {{Anführung|approximierende Funktion|}} für die Exponentialfunktion dar. Dabei ist allerdings die Güte der Approximation abhängig von {{math|term=z|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei fixiertem {{math|term=n|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} In dieser Vorlesung werden verschiedene Konzepte vorstellen, wie man eine Funktion als Grenzfunktion einer Funktionenfolge auffassen kann. Eine unmittelbare Anwendung wird sein, dass die Exponentialfunktion stetig ist. {{:Abbildungsfolge/Metrischer Raum/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Das Konvergenzkriterium von Weierstraß}} {{ inputdefinition |Funktion nach K/Supremumsnorm/Definition|| }} Die folgende Aussage heißt das {{Stichwort|Konvergenzkriterium von Weierstraß|SZ=.}} Es geht darin um Funktionenfolgen {{math|term=f_n|SZ=,}} die als Partialsummen {{mathl|term= f_n= \sum_{k=0}^n g_k |SZ=}} von Funktionen {{math|term=g_k|SZ=}} gegeben sind, wie dies auch bei Potenzreihen der Fall ist. {{ inputfaktbeweis |Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Konvergenz von Potenzreihen}} Es seien {{mathl|term=c_n,\, n \in \N|SZ=,}} komplexe Zahlen und {{mathl|term=a \in {{CC}}|SZ=.}} Wir betrachten die Funktionenfolge {{math|term=f_n|SZ=}} mit {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |{{CC}}|{{CC}} |z| \sum_{k {{=|}} 0}^n c_k (z-a)^{k} |SZ=. }} Für jedes {{mathl|term=z \in {{CC}}|SZ=}} ist dies eine Potenzreihe in {{math|term=z-a|SZ=.}} Im Folgenden werden wir auch die Funktionenreihe {{mathl|term=\sum_{k=0}^\infty c_k (z-a)^{k}|SZ=}} mit variablem {{math|term=z|SZ=}} als Potenzreihe bezeichnen. Dabei heißt {{math|term=a|SZ=}} der {{Stichwort|Entwicklungspunkt der Potenzreihe|SZ=.}} Im Allgemeinen konvergiert diese Funktionenreihe weder punktweise auf ganz {{math|term={{CC}}|SZ=}} noch gleichmäßig. Wir werden aber sehen, dass häufig auf geeigneten Teilmengen {{mathl|term=T \subseteq {{CC}}|SZ=}} gleichmäßige Konvergenz vorliegt. {{ inputfaktbeweis |Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputdefinition |Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|| }} Jede Potenzreihe hat also grundsätzlich das gleiche Konvergenzverhalten: Es gibt eine Kreischeibe {{ Zusatz/Klammer |text=die eben durch den Konvergenzradius bestimmt ist, wobei die Extremfälle {{mathl|term=r=0|SZ=}} und {{mathl|term=r=\infty|SZ=}} erlaubt sind| |ISZ=|ESZ= }} um den Entwicklungspunkt, in deren Innerem die Potenzreihe konvergiert und so, dass sie außerhalb davon in keinem Punkt konvergiert. Nur auf dem Rand der Kreisscheibe kann alles mögliche passieren. Der Fall {{mathl|term=r=0|SZ=}} ist nicht sehr interessant. Bei positivem Konvergenzradius {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich dem Fall {{mathl|term=r= \infty|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} sagt man auch, dass die Potenzreihe konvergiert. {{ inputfaktbeweis |Potenzreihe/Positiver Konvergenzradius/Stetige Funktion/Fakt|Korollar||opt1=/link2 |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen/Stetig/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Exponentialfunktion/Potenzreihendarstellung und Exponentdarstellung/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} Die reelle Zahl {{mathl|term= {{op:exp|1|}} = \sum_{n=0}^\infty 1/n! |SZ=}} stimmt mit der als {{mathl|term= e = {{op:Folgenlimes|Glied=(1 + \frac{1}{n})^n|}} |SZ=}} eingeführten {{Stichwort|eulerschen Zahl|msw=Eulersche Zahl|SZ=}} überein, was wir aber noch nicht bewiesen haben. Aufgrund dieses Sachverhaltes und der vorstehenden Aussage schreiben wir häufig {{mathl|term=e^z = {{op:exp|z|}} |SZ=,}} und zwar auch für komplexe Argumente. {{Zwischenüberschrift|term=Rechenregeln für Potenzreihen}} {{:Komplexe Potenzreihen/Rechenregeln/Textabschnitt|}} }} dkve4uhmh08bbexj7n47ublmjt11nuv 106 27265 785220 461387 2022-08-22T08:04:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|16| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/Eigenräume sind Unterräume/Wann null/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Abbildung/Eigenwert null/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Abbildung/Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten/Null/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Endlich viele Eigenwerte/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/C/2x2/Besitzt Eigenwert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/n verschiedene Eigenwerte/Determinante ist Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu einem Endomorphismus {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. einer Matrix {{math|term=M|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} bezeichnet man mit {{math|term=\varphi^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term=M^n|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} die {{math|term=n|SZ=-}}fache Hintereinanderschaltung {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. Verknüpfung| |ISZ=|ESZ= }} mit sich selbst. Man spricht dann auch von {{math|term=n|SZ=-}}ten {{Stichwort/-|Potenzen|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Matrix/Potenzen/246/135/012/bis 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/R^2/Kein Eigenwert, Potenz besitzt/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/K/Lineare Abhängigkeit der Potenzen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die nächsten Aufgaben verwenden die beiden folgenden Begriffe: {{:Endomorphismus/Nilpotent/Definition}} {{:Matrix/Nilpotent/Definition}} {{ inputaufgabe |Lineare Abbildung/Nilpotente Matrix auf endlichdimensionalem Vektorraum/Nilexponent/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/Nilpotent/Eigenwert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/Nilpotent/Determinante/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition. {{:Endomorphismus/Streckung/Definition|}} {{ inputaufgabe |Streckung/Determinante/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/Einschränkung auf Eigenraum/Streckung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputbild |Homothety in two dim|svg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Homothety_in_two_dim |Autor= |Benutzer=Lantonov |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/Streckung/Jeder Vektor neq 0 ist Eigenvektor/Aufgabe|3| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Obere Dreiecksmatrix/Nulldiagonale/Nilpotent/Aufgabe|3| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/11/-11/Reell kein Eigenwert/Komplexe Eigenwerte/Aufgabe|3| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/R/2x2/Charakterisiere Eigenraumkonfiguration/Aufgabe|6| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/Potenz ist Identität/Eigenwerte sind Einheitswurzeln/Aufgabe|2| |zusatz1=Fußnote |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/Endlich/Eigenwert nicht null/Ergänze Basis optimal/Aufgabe|4| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/Endlich/Eigenwerte/Duale Abbildung/Aufgabe|5| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgabe zum Hochladen}} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/R^2/Eigenwerte/Skizziere/Aufgabe|bis 10| |zusatz= |tipp= }} {{Fußnotenliste}} }} r0rdn9h09gape0ze20p1zfk8apjdkx9 0 27293 780715 754831 2022-08-21T19:54:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften für die {{ Definitionslink |Betragsfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Angeordneter Körper/Betrag/Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K |x| {{op:Betrag|x}} |SZ=, }} in einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{math|term= x,y|SZ=}} beliebige Elemente in {{math|term= K|SZ=}} | |SZ=. }} {{ Aufzählung8 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x}} |\geq| 0 || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x}} || 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ= }} ist. |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x}} ||{{op:Betrag|y}} || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette |x ||y || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |x ||-y || || || |SZ= }} ist. |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|y-x}} || {{op:Betrag|x-y}} || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag| xy}} || {{op:Betrag| x}} {{op:Betrag| y}} || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag| x^{-1} }} || {{op:Betrag| x}}^{-1} || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x+y|}} | \leq | {{op:Betrag|x}} + {{op:Betrag|y}} || || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Dreiecksungleichung für den Betrag|SZ=}}| |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x+y|}} |\geq| {{op:Betrag|x|}} - {{op:Betrag|y|}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Betrag |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rwz9uvlyykodmw2h03sbfa3ctov8ed0 0 27297 782659 428074 2022-08-22T01:18:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Gruppe/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| x^{-1} |}}^{-1} ||x || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x \in G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Invers |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ysi7sjm48u806u6kfp8ivzz8y94r6f 0 27298 780787 485758 2022-08-21T20:06:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= x>0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass auch das inverse Element {{math|term= x^{-1}|SZ=}} positiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Invers |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pbx4ieiiqzipyqmhxfamv7n72vsui35 0 27302 779418 763508 2022-08-21T16:24:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir suchen nach einer {{ Definitionslink |Körperstruktur| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition |SZ= }} auf der Menge {{mathl|term= \{0,1\}|SZ=.}} Wenn {{math|term= 0|SZ=}} das neutrale Element einer Addition und {{math|term= 1|SZ=}} das neutrale Element einer Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon alles festgelegt, da {{ Ma:Vergleichskette |1+1 ||0 || || || |SZ= }} sein muss, da {{math|term= 1|SZ=}} ein inverses Element bezüglich der Addition besitzen muss, und da in jedem Körper {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Präwort=nach||Faktseitenname= Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt |Faktseitenname2= Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |0 \cdot 0 ||0 || || || |SZ= }} gelten muss{{{zusatz1|}}}. Die Operationstafeln sehen also wie folgt aus. {{:Restklassenringe (Z)/mod 2/Additionstafel}} und {{:Restklassenringe (Z)/mod 2/Multiplikationstafel}} Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 2 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cnjz7adh1mpmedbaql49kcudqzxisi1 0 27334 781887 755788 2022-08-21T23:10:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= m |und|term2= n |SZ= }} natürliche Zahlen. Zeige{{n Sie}} durch Induktion über {{math|term= m|SZ=,}} dass aus einer {{ Definitionslink |Bijektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\{ 1{{kommadots|}} m\}|\{ 1{{kommadots|}} n\} || |SZ= }} folgt, dass {{math|term= m=n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichzahligen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gho4opme5ne68ky2zns884skv2yzx0x 0 27336 781907 755806 2022-08-21T23:13:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl von {{math|term= M|SZ=}} wohldefiniert ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Wohldefiniert |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bmkozvlo4c3zl2fj86ke8hdtlbsjy9e 0 27337 781904 755804 2022-08-21T23:12:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= m|SZ=}} Elementen und es sei {{math|term= T \subseteq M|SZ=}} eine Teilmenge. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} ebenfalls eine endliche Menge ist, und dass für ihre Anzahl {{math|term= k|SZ=}} die Abschätzung {{ math/disp|term= k \leq m |SZ= }} gilt. Zeige{{n Sie}} ferner, dass {{math|term= T|SZ=}} genau dann eine echte Teilmenge ist, wenn {{ math/disp|term= k < m |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nql1jn366xnhxc1u9bzscxpg9qa4i1y 0 27338 781889 755790 2022-08-21T23:10:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} zwei disjunkte {{ Definitionslink |endliche Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der {{ Zusatz/Klammer |text=disjunkten| |SZ= }} Vereinigung {{math|term= M \cup N|SZ=}} gleich der Summe der beiden Anzahlen der beiden Mengen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qel4mctuvidn1uvig9umlvzf9yv6pzv 0 27339 781891 755792 2022-08-21T23:10:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |endliche Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Endliche Menge/1...n/Definition |SZ= }} einer Menge {{math|term= G|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Formel {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Anzahl|M}} + {{op:Anzahl|N}} || {{op:Anzahl|M \cup N}} + {{op:Anzahl|M \cap N}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Siebformel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} scnt8cftq14ww2filz043r7pqwe7vt9 0 27341 780417 754617 2022-08-21T19:04:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= a,b \in M|SZ=}} zwei verschiedene Elemente. Definiere{{n Sie}} durch eine Fallunterscheidung eine {{ Definitionslink |Bijektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=,}} die {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Transposition |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n14j1qoasshuyef103iue5ybtu3wwrf 0 27342 781903 755803 2022-08-21T23:12:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= m|SZ=}} Elementen und es sei {{ Ma:abb/disp |name= |M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |surjektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in eine weitere Menge {{math|term= N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{math|term= N|SZ=}} endlich ist, und dass für ihre Anzahl {{math|term= n|SZ=}} die Abschätzung {{ math/disp|term= n \leq m |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5yzcli7cttkunnef61vtzrina2rpcfz 0 27343 781895 755796 2022-08-21T23:11:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine Menge und es seien {{ mathbed|term= M_i \subseteq G ||bedterm1= i =1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |endliche Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Endliche Menge/1...n/Definition |SZ=. }} Für eine Teilmenge {{math|term= J \subseteq \{1 {{kommadots|}} n\}|SZ=}} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | M_J || \bigcap_{i \in J} M_i || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} eine Beziehung zwischen den Anzahlen der verschiedenen Schnittmengen {{ mathbed|term= M_J ||bedterm1= J \subseteq \{1 {{kommadots|}} n\} ||bedterm2= |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} diese Formel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Durchschnitt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9fsqap1tz559gr6up0ii5x5er2ja8f0 0 27344 781899 755799 2022-08-21T23:12:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} endliche Mengen. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M \times N|SZ=}} ebenfalls endlich ist, und dass die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Anzahl|M \times N|}} || {{op:Anzahl|M|}} \cdot {{op:Anzahl|N}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5cki5skpyl0wztw1uwr3i32nxhzzrk5 0 27376 784579 758098 2022-08-22T06:30:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= T \subseteq \N|SZ=}} eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen. Zeige, dass {{math|term= T|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |endlich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Endliche Menge/1...n/Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= T|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Maximum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8qt87pv5gqxdr8hws48kv893f2pxdub 0 27379 781084 755147 2022-08-21T20:56:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= k |und|term2= d |SZ= }} natürliche Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl aller {{math|term= k|SZ=-}}{{ Definitionslink |Tupel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= (d_1 {{kommadots|}} d_k) \text{ mit } d_i \in \N \text{ und } \sum_{i=1}^k d_i \leq d |SZ= }} gleich {{ math/disp|term= \binom{d+k}{k} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ici4awh7mblh8zaaexutu7ja32eio6y 0 27383 785091 627958 2022-08-22T07:46:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= a_1 {{kommadots|}} a_{ {{{k|k}}} }|SZ=}} reelle Zahlen. Beweise{{n Sie}} den {{Stichwort|Polynomialsatz|SZ=,}} das ist die Gleichung {{ math/disp|term= (a_1 {{plusdots|}} a_{ {{{k|k}}} })^{ {{{n|n}}} } = \sum_{ {{{m|m}}}=( {{{m|m}}}_1 {{kommadots|}} {{{m|m}}}_{ {{{k|k}}} }), \, \sum_{i=1}^{ {{{k|k}}} } {{{m|m}}}_i ={{{n|n}}} } \binom{ {{{n|n}}} }{ {{{m|m}}} } a_1^{ {{{m|m}}}_1}a_2^{ {{{m|m}}}_2} \cdots a_{ {{{k|k}}} }^{ {{{m|m}}}_{ {{{k|k}}}} } |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Multinomialsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kbev2kdbg278dhs5c2o4zkgesv3wgdb 0 27410 784800 758259 2022-08-22T07:02:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (I, \preccurlyeq)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |total geordnete| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Menge. Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass jede nichtleere endliche Teilmenge {{math|term= T \subseteq I|SZ=}} ein eindeutiges {{ Definitionslink |Maximum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7abaywb1w8rwhno57mas5pirq7tsqxz 0 27413 784799 758258 2022-08-22T07:01:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= I|SZ=}} die Menge der echten Teilmengen von {{math|term= M|SZ=,}} also {{ math/disp|term= I = {{mengebed|T \subseteq M|T \neq \emptyset \text{ und } T \neq M}} |SZ=. }} Diese Menge ist durch die {{ Definitionslink |Inklusion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |minimalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Minimales Element/Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |maximalen Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition |SZ= }} von {{math|term= I|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ytv76iwycc7gq3j2emphthpp6nkn54 0 27414 780442 754638 2022-08-21T19:09:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=F |L|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Abbildung/Urbild einer Abbildung/Definition |SZ= }}nehmen {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Potenzmenge|M}}|{{op:Potenzmenge|L}}|T|F^{-1}(T) |SZ=, }} folgende Eigenschaften besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=für beliebige Teilmengen {{math|term= T,T_1,T_2 \subseteq M|SZ=}} | |SZ= }}: {{ Aufzählung3 | {{math|term= F^{-1}(T_1 \cap T_2) = F^{-1} (T_1) \cap F^{-1} (T_2)|SZ=,}} | {{math|term= F^{-1}(T_1 \cup T_2) = F^{-1} (T_1) \cup F^{-1} (T_2)|SZ=,}} | {{math|term= F^{-1}(M \setminus T) =L \setminus F^{-1} (T)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} srs0b0ueb1oka899z9ggm61iq2509gi 0 27415 780416 754616 2022-08-21T19:04:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=F |L|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Bildnehmen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Potenzmenge|L}}|{{op:Potenzmenge|M}}|S|F(S) |SZ=, }} folgende Eigenschaften besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=für beliebige Teilmengen {{math|term= S,S_1,S_2 \subseteq L|SZ=}} | |SZ= }}: {{ Aufzählung3 | {{math|term= F (S_1 \cap S_2) \subseteq F (S_1) \cap F (S_2)|SZ=,}} | {{math|term= F(S_1 \cup S_2) = F(S_1) \cup F (S_2)|SZ=,}} | {{math|term= F(L \setminus S) \supseteq F(L) \setminus F (S)|SZ=.}} }} Zeige{{n Sie}} durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Bild |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxkzlikh1ume2u360sf74otqebeiz0w 0 27418 785658 578136 2022-08-22T09:16:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Von einem Rechteck sind der Umfang {{math|term= U|SZ=}} und die Fläche {{math|term= A|SZ=}} bekannt. Bestimme{{n Sie}} die Längen der Seiten des Rechtecks. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o1p079ke4ev9fwexs5dx8e1mlma7g7d 0 27580 780436 754631 2022-08-21T19:08:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe Beispiele für {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi, \psi |\N|\N || |SZ= }} derart, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dass {{math|term= \psi|SZ=}} surjektiv, aber nicht injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Abbildungen |Kategorie2=Theorie der surjektiven Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a6s9uw482ajrwhn1o7gvtpoyly8qfze 0 27583 783670 757319 2022-08-22T04:07:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele {{Anführung|Rechenschritte}} {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich {{Anführung|Gleichheitstests}}| |SZ= }} muss man durchführen, um die in [[Körper/Zwei Elemente/Beispiel|{{{ref1|Beispiel}}}]] beschriebene Struktur auf {{math|term= \{0,1\}|SZ=}} formal als einen {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nachzuweisen? Kann man durch eine geschickte Reihenfolge die Anzahl der Schritte reduzieren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 2 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e3x7vu1krh9m5n5nmh2bezj3bulplb0 0 27618 783648 757296 2022-08-22T04:03:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In dieser Aufgabe nehmen wir an, dass die ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} mit ihren wesentlichen algebraischen Eigenschaften bekannt sind. Wir wollen die rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=}} ausgehend von {{math|term= \Z|SZ=}} konstruieren{{{ref1|}}} und nachweisen, dass es sich um einen Körper handelt. Dazu definieren wir auf der {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \Z \times ( \Z \setminus \{ 0\}) = {{Mengebed|(z,n)| z \in \Z \text{ und } n \in \Z \setminus \{0\} }} |SZ= }} zunächst eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch{{{ref2|}}} {{ math/disp|term= (z,n) \sim (z',n') \text{ genau dann, wenn } n' z= nz' |SZ=. }} {{ Aufzählung9 |Zeige{{n Sie}}, dass dies wirklich eine Äquivalenzrelation ist. Es sei {{math|term= Q|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Definiere{{n Sie}} auf {{math|term= Q|SZ=}} eine Addition. Man achte insbesondere auf die {{Stichwort|Wohldefiniertheit|SZ=.}}{{{ref3|}}} |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= Q|SZ=}} mit der Addition eine kommutative {{ Definitionslink |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Definiere{{n Sie}} auf {{math|term= Q|SZ=}} eine Multiplikation. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= Q \setminus \{ 0 \} |SZ=}} mit der Multiplikation ebenfalls eine kommutative Gruppe ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= Q|SZ=}} mit diesen {{ Definitionslink |Verknüpfungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Wie findet man die ganzen Zahlen in {{math|term= Q|SZ=}} wieder? |Stimmen Addition und Multiplikation innerhalb von {{math|term= \Z|SZ=}} mit Addition und Multiplikation innerhalb von {{math|term= Q|SZ=}} überein? |Definiere{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= Q|SZ=}} derart, dass {{math|term= Q|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}{{{zusatz1|}}} wird. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der rationalen Zahlen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 03960ztt1f68x5rqzkr9tfw2o8jwsks 0 27677 781102 274215 2022-08-21T20:59:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Schreibe{{n Sie}} {{mathl|term= \left((1-t)a + tb\right)^3|SZ=}} als eine Summe von reellen Koeffizienten mal Potenzen von {{math|term= t|SZ=.}} Was passiert, wenn {{math|term= t|SZ=}} den Bereich von 0 bis 1 durchläuft? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i35bu2hpdm64q0jr3tbnwqgc3bf9f2i 0 27742 780931 755020 2022-08-21T20:30:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge von {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= S|SZ=}} die damit definierte formale Sprache, also die Menge aller formalen Ausdrücke, die man von {{math|term= M|SZ=}} ausgehend mittels der Junktoren {{math|term= \neg, \wedge, \vee, \rightarrow,\leftrightarrow|SZ=}} und mit Klammern sinnvoll basteln kann. Zeige{{n Sie}}, dass es zu einer gegebenen Belegungsfunktion {{ Ma:abbele/disp |name=\beta |M|\{w,f\} |p|\beta(p) |SZ=, }} eine eindeutig bestimmte Fortsetzung {{ Ma:abb/disp |name=\tilde{\beta} |S|\{w,f\} || |SZ= }} gibt, die die Bedeutung {{ Zusatz/Klammer |text=die Wahrheitsfunktion| |SZ= }} der Junktoren respektiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Logik |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9lam61kdz35v2gcweqvc0cz78f96otn 0 27743 780932 537997 2022-08-21T20:30:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Interpretiere{{n Sie}} die Wahrheitstabellen zu den Junktoren {{math|term= \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow|SZ=}} als Wertetabellen von Funktionen. Was sind die Definitions-, die Werte- und die Bildmengen dieser Funktionen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Logik |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cho9djkg3pqkeydgfrnephfsoib7e7k 0 27744 780900 754999 2022-08-21T20:25:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge von {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= S|SZ=}} die damit definierte formale Sprache, also die Menge aller formalen Ausdrücke, die man von {{math|term= M|SZ=}} ausgehend mittels den Junktoren {{math|term= \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow|SZ=}} und mit Klammern {{Anführung|sinnvoll}} basteln kann. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine präzise {{Stichwort|induktive Definition|SZ=}}{{{zusatz1|}}} für die Menge {{math|term= S|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2=Aussagenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Logik |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jnf1si8b4zwf9e5swx6tnohc61mctus 0 27749 780914 755010 2022-08-21T20:27:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} eine Menge von {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= S=L^V|SZ=}} die damit definierte formale Sprache, also die Menge aller formalen Ausdrücke, die man von {{math|term= V|SZ=}} ausgehend mittels der Junktoren {{math|term= \neg, {{logund|}} , {{logoder|}} , \rightarrow, \leftrightarrow|SZ=}} und mit Klammern {{Anführung|sinnvoll}} basteln kann. Zeige{{n Sie}}, dass die Beziehung {{ math/disp|term= s \sim t, \text{ falls } s \leftrightarrow t \text{ eine Tautologie ist} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= S|SZ=}} definiert. Zeige{{n Sie}}, dass sowohl alle {{ Definitionslink |Tautologien| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als auch alle Kontradiktionen eine {{ Definitionslink |Äquivalenzklasse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. Wie viele Äquivalenzklassen besitzt diese Äquivalenzrelation, falls {{math|term= V|SZ=}} {{math|term= n|SZ=}} Elemente besitzt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Aussagenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Logik |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e5438a7w2vzkzkxeqoajrhgwrxwij5e 0 27766 780871 754968 2022-08-21T20:20:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} eine Menge von {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} eine Aussage in der zugehörigen formalen Sprache {{math|term= L^V|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|V |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= \varphi({{logprop|}})|SZ=}} diejenige Aussage, die entsteht, wenn man in {{math|term= {{logprop|}}|SZ=}} jede Aussagenvariable {{math|term= p|SZ=}} durch {{math|term= \varphi(p)|SZ=}} ersetzt. Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung4 |Wenn {{math|term= {{logprop|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Tautologie| |Kontext=semantisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so ist auch {{math|term= \varphi({{logprop|}})|SZ=}} eine Tautologie. |Wenn {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so ist {{math|term= {{logprop|}}|SZ=}} genau dann eine Tautologie, wenn dies für {{math|term= \varphi({{logprop|}})|SZ=}} gilt. |{{math|term= \varphi({{logprop|}})|SZ=}} kann eine Tautologie sein, auch wenn {{math|term= {{logprop|}}|SZ=}} keine Tautologie ist. |Die Aussagen gelten ebenso, wenn man überall Tautologie durch {{ Definitionslink |Kontradiktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ersetzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Aussagenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Logik |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k55ehgrkx2w5bjv82xl6mw2fspbsjo4 0 27889 781045 577312 2022-08-21T20:49:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} die Menge aller reellen Zahlen {{math|term= x|SZ=}} an, die {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x^2-7x+10|}} |<|3 || || || |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Betrags für die reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e60143cqbwwcssryrd0mfsre8ten3n2 0 27892 783864 586134 2022-08-22T04:40:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sie wollen für eine Party {{math|term= 100|SZ=}} Liter an Getränken einkaufen und dafür {{math|term= 80|SZ=}} {{Euro}} ausgeben. Sorte {{math|term= A|SZ=}} kostet {{math|term= 70|SZ=}} Cent pro {{math|term= 1,25|SZ=-}}Liter-Flasche, Sorte B kostet {{math|term= 1,40|SZ=}} {{Euro}} pro {{math|term= 750|SZ=-}}ml-Flasche. Wie viele Flaschen kaufen Sie von jeder Sorte? Zusatzfrage: Weil man nur ganze Flaschen kaufen kann, kommt man nicht exakt auf {{math|term= 100|SZ=}} Liter und {{math|term= 80|SZ=}} {{Euro|SZ=.}} Wie groß ist der Fehler? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cr4qoxa3bt1npfvppfykwrxcevrsxkp 0 27914 779650 471099 2022-08-21T17:03:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei zwei reellen Intervallen {{ mathkor|term1= M=[a,b] |und|term2= L=[c,d] |SZ= }} ist die Produktmenge einfach das Rechteck {{ math/disp|term= [a,b] \times [c,d] |SZ=. }} Allerdings muss man bei einem Rechteck im Hinterkopf behalten, welche Seite das erste und welche Seite das zweite Intervall ist. Für {{mathl|term= \R \times \R|SZ=}} schreibt man häufig auch {{math|term= \R^2|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} grdwjtj6wmev76hxo7ik1milmsikwvy 0 27927 780157 772694 2022-08-21T18:18:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge aller {{Stichwort|Dreiecke|msw=Dreieck|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in der reellen Ebene| |SZ=. }} Zwei Dreiecke {{ mathkor|term1= D_1 |und|term2= D_2 |SZ= }} heißen {{Stichwort|kongruent|SZ=,}} wenn es eine {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell uneigentliche| |SZ= }} {{Stichwort|Bewegung|SZ=}} gibt, die das eine Dreieck in das andere Dreieck überführt. Eine Bewegung soll dabei die Längen und die Winkel erhalten. Eine solche Bewegung setzt sich zusammen aus einer Verschiebung, einer Achsenspiegelung und einer Drehung{{{zusatz1|}}} {{ Zusatz/Klammer |text=in beliebiger Reihenfolge, beliebig oft angewendet| |SZ=. }} Die Kongruenz von Dreiecken ist eine Äquivalenzrelation. Ein Dreieck ist zu sich selbst kongruent, da es durch die identische Bewegung in sich überführt wird. Wenn {{math|term= D_1|SZ=}} durch eine bestimmte Bewegung {{math|term= \beta|SZ=}} in {{math|term= D_2|SZ=}} überführt wird, so wird durch die entgegengesetzte Bewegung, also {{math|term= \beta^{-1}|SZ=,}} das zweite Dreieck {{math|term= D_2|SZ=}} in {{math|term= D_1|SZ=}} überführt. Die Kongruenz ist also symmetrisch. Wenn drei Dreiecke {{math|term= D_1,D_2,D_3|SZ=}} gegeben sind, wobei {{math|term= D_1|SZ=}} zu {{math|term= D_2|SZ=}} und {{math|term= D_2|SZ=}} zu {{math|term= D_3|SZ=}} kongruent sind, so gibt es eine Bewegung {{math|term= \beta|SZ=,}} die {{math|term= D_1|SZ=}} in {{math|term= D_2|SZ=}} überführt, und eine Bewegung {{math|term= \gamma|SZ=,}} die {{math|term= D_2|SZ=}} in {{math|term= D_3|SZ=}} überführt. Dann hat die Gesamtbewegung {{math|term= \gamma \circ \beta |SZ=}} die Eigenschaft, dass sie insgesamt {{math|term= D_1|SZ=}} in {{math|term= D_3|SZ=}} überführt. Ebenso ist die {{Stichwort|eigentliche Kongruenz|SZ=,}} bei der nur eigentliche Bewegungen {{ Zusatz/Klammer |text=also keine Achsenspiegelungen| |SZ= }} erlaubt sind, eine Äquivalenzrelation. |Textart=Beispiel |Kategorie=Elementare Geometrie |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kongruenz |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4d9dhzpaxk2zv443djas4ow6behvdz1 0 27928 779487 751437 2022-08-21T16:36:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |E ||\R^2 || || || |SZ= }} die reelle Ebene und {{math|term= G|SZ=}} die Menge aller Geraden in der Ebene. Die {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= E \times G |SZ= }} besteht aus allen Paaren {{mathl|term= (P,g)|SZ=,}} wobei {{math|term= P|SZ=}} ein Punkt der Ebene und {{math|term= g|SZ=}} eine Gerade ist. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Gerade zu beschreiben, und damit auch mehrere Möglichkeiten, ein solches Paar zu beschreiben. Beispielsweise ist {{ math/disp|term= ((2,-5), {{Mengebed|(u,v)|4u-3v {{=|}} 6 }}) |SZ= }} ein Paar, wobei der Punkt vorne durch die beiden Koordinaten und die Gerade hinten durch eine Geradengleichung angegeben wird. Bei einem solchen Paar besteht keine Bedingung zwischen dem Punkt und der Geraden. Die {{Stichwort|Inzidenzrelation|SZ=}} zwischen Punkten und Geraden wird ausgedrückt durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |I || {{Mengebed|(P,g) \in E \times G| P \text{ liegt auf } g }} || || || |SZ=. }} Statt {{Anführung|liegt auf}} kann man auch einfach {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|g || || || |SZ= }} schreiben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2=Elementare Geometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Inzidenz |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ac60jpzc3nbfbv2ivl1aqoyxz4vq8tv 0 27934 782354 756191 2022-08-22T00:27:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche{{n Sie}} für jedes {{math|term= n \in \N|SZ=}} die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|x^n |SZ=, }} auf {{ Definitionslink |Injektivität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Surjektivität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Abbildungen |Kategorie2=Theorie der surjektiven Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Potenz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jhkhedgcunb7jorl5ty3oxc5ugvgaj4 0 27936 784950 565033 2022-08-22T07:24:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P|SZ=}} eine Menge von Personen und {{math|term= V|SZ=}} die Menge der Vornamen von diesen Personen und {{math|term= N|SZ=}} die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere{{n Sie}} natürliche Abbildungen von {{math|term= P|SZ=}} nach {{math|term= V|SZ=,}} nach {{math|term= N|SZ=}} und nach {{math|term= V \times N|SZ=}} und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Namen |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} stqkqs1rrejudiahlj7w7j8d5sbgvho 0 27951 782356 756194 2022-08-22T00:28:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) |SZ=, }} heißt {{Stichwort|streng wachsend|SZ=,}} wenn für alle {{math|term= x_1,x_2 \in \R|SZ=}} mit {{math|term= x_1<x_2|SZ=}} auch {{math|term= f(x_1)<f(x_2)|SZ=}} gilt. Zeige{{n Sie}}, dass eine streng wachsende Funktion {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Injektiv |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qitpr0sx9x5bk5sefgrdhpvgviku386 0 27965 784912 773494 2022-08-22T07:18:36Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|term=Tupel}} In der Definition einer Abbildung sind die Definitionsmenge und die Wertemenge grundsätzlich gleichwichtig. Dennoch gibt es Situationen, wo mal das Hauptgewicht auf der einen oder der anderen Menge liegt. Der allgemeine Abbildungsbegriff deckt eben auch Situationen ab, bei denen man zunächst gar nicht unbedingt an Abbildungen denkt. Betrachten wir beispielsweise die Potenzmenge einer Menge {{math|term= M|SZ=.}} Jede Teilmenge von {{math|term= M|SZ=}} kann man mit einer Abbildung von {{math|term= M|SZ=}} in die zweielementige Menge {{mathl|term= \{0,1\} |SZ=}} identifizieren, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Potenzmenge/Indikatorfunktion/Bijektion/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Hier ist also die Wertemenge extrem einfach und die Abbildung repräsentiert an jeder Stelle eine Ja/Nein-Entscheidung. Andererseits kann man {{ Zusatz/Klammer |text=geordnete| |SZ= }} Paare {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= M|SZ=,}} also Elemente aus der Produktmenge {{mathl|term= M \times M |SZ=,}} als eine Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=f |\{1,2\}|M || |SZ= }} ansehen, mit {{ mathkor|term1= f(1)=x |und|term2= f(2)=y |SZ=. }} Hier identifiziert man also die Abbildung mit der geordneten Aufzählung der Werte. In einer solchen Situation bezeichnet man die Abbildung häufig mit einem Symbol, das sich an den Bezeichnungen für die Elemente aus {{math|term= M|SZ=}} anlehnt. Wenn man beispielsweise die Elemente aus {{math|term= M|SZ=}} mit {{math|term= x|SZ=}} bezeichnet, so schreibt man für ein Paar häufig {{ Ma:Vergleichskette/disp | x || (x_1,x_2) || || || |SZ= }} In der Sprache der Abbildungen ist dabei {{math|term= x_i |SZ=}} der Wert der Abbildung {{math|term= x |SZ=}} an der Stelle {{math|term= i|SZ=.}} Die Schreibweise {{math|term= x_i |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=statt {{math|term= x(i)|SZ=}} | |SZ= }} suggeriert, dass das Hauptgewicht darauf liegt, was in der Wertemenge {{math|term= M |SZ=}} passiert, und nicht in der Definitionsmenge. {{ inputdefinition |Menge/I-Tupel und n-Tupel/Definition|| }} Die Menge {{math|term= I|SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang auch {{Stichwort|Indexmenge|SZ=,}} ein Element aus der Indexmenge heißt {{Stichwort|Index|SZ=.}} Bei einem {{math|term= I|SZ=-}}Tupel {{math|term= x|SZ=}} sind die Elemente durch die Indices indiziert. Zu {{ Ma:Vergleichskette | i |\in| I || || || |SZ= }} heißt {{math|term= x_i|SZ=}} die {{math|term= i|SZ=-}}te {{Stichwort|Komponente|SZ=}} des Tupels. Ein {{math|term= n|SZ=-}}Tupel schreibt man meist als {{math/disp|term= (x_1,x_2 {{kommadots|}} x_n) |SZ=.}} Bei einer zweielementigen Indexmenge spricht man von einem {{Stichwort|Paar|SZ=,}} bei einer dreielementigen Menge von einem {{Stichwort|Tripel|SZ=.}} Die Menge aller {{math|term= I|SZ=-}}Tupel wird mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | M^I || \{f:I \rightarrow M\} || {{op:Abbildungsmenge|I|M}} || || |SZ= }} bezeichnet. Bei {{mathl|term= I=\{1 {{kommadots|}} n\} |SZ=}} schreibt man auch {{ math/disp|term= M^n = M^{ \{1 {{kommadots|}} n\} } = \underbrace{M {{timesdots|}} M}_{n\text{-mal} } |SZ=. }} Die reelle Ebene {{math|term= \R^2|SZ=}} ist also nichts anderes als die Menge der Zweitupel von reellen Zahlen, der reelle Raum {{math|term= \R^3|SZ=}} besteht aus allen reellen Tripeln. Bei {{mathl|term= I=\N|SZ=}} spricht man von {{Stichwort|Folgen|msw=Folge|SZ=}} in {{math|term= M|SZ=,}} worauf wir in aller Ausführlichkeit noch eingehen werden. Eine endliche Indexmenge kann man stets durch eine Menge der Form {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} n\}|SZ=}} ersetzen {{ Zusatz/Klammer |text=diesen Vorgang kann man eine Nummerierung der Indexmenge nennen| |ESZ=, }} doch ist das nicht immer sinnvoll. Wenn man z.B. mit einer Indexmenge {{mathl|term= I= \{1 {{kommadots|}} n\}|SZ=}} startet und sich dann für gewisse Teilindexmengen {{mathl|term= J \subseteq I|SZ=}} interessiert, so ist es natürlich, die von {{math|term= I|SZ=}} ererbten Bezeichnungen beizubehalten, anstatt {{math|term= J|SZ=}} mit einer neuen Nummerierung {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} m\} |SZ=}} zu versehen. Häufig gibt es für ein bestimmtes Problem {{Anführung|natürliche|SZ=}} Indexmengen, die {{ Zusatz/Klammer |text=allein schon mnemotechnisch| |SZ= }} einen Teil des strukturellen Gehalts des Problems widerspiegeln. Eine lineare Abbildung vom {{math|term= \R^n|SZ=}} in den {{math|term= \R^m|SZ=}} wird z.B. durch eine Matrix mit {{math|term= m|SZ=}} Zeilen und {{math|term= n|SZ=}} Spalten beschrieben, also insgesamt mit {{math|term= mn|SZ=}} Einträgen. Diese Matrixeinträge indiziert man am einfachsten mit einem {{Stichwort|Doppelindex|SZ=}} {{ math/disp|term= a_{ij} |SZ=, }} wobei der eine Index für den {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} und der andere für den {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} steht. Durch eine solche natürliche Bezeichnung ist stets der Bezug klar, und dieser würde völlig verloren gehen, wenn man eine neue Indexmenge der Form {{mathl|term= \{1,2 {{kommadots|}} mn\}|SZ=}} einführen würde. {{Zwischenüberschrift|term=Familien von Mengen}} Es können nicht nur Elemente, sondern auch Mengen durch eine Indexmenge indiziert werden. Dann spricht man von einer Mengenfamilie. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Indizierte Familie von Mengen/Definition|| }} Dabei können die Mengen völlig unabhängig voneinander sein, es kann aber auch sein, dass sie alle Teilmengen einer bestimmten Grundmenge sind. {{ inputdefinition |Mengenfamilien/Durchschnitt und Vereinigung/Definition|| }} Man beachte, dass dabei der Durchschnitt und die Vereinigung auf den All- bzw. den Existenzquantor zurückgeführt wird. {{ inputdefinition |Produktmenge/Beliebig/Definition|| }} Sobald eine der beteiligten Mengen {{math|term= M_i|SZ=}} leer ist, ist auch das Produkt leer, da es dann für die {{math|term= i|SZ=-}}te Komponente keinen möglichen Wert gibt. Wenn aber umgekehrt alle Mengen {{math|term= M_i|SZ=}} nicht leer sind, so ist auch ihr Produkt nicht leer, da man für jeden Index {{math|term= i|SZ=}} dann ein Element {{mathl|term= x_i \in M_i|SZ=}} wählen kann. Bei einem formalen axiomatischen Aufbau der Mengentheorie muss man übrigens fordern, dass dieses Wählen möglich ist. Dies ist der Inhalt des {{Stichwort|Auswahlaxioms|msw=Auswahlaxiom|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Indizierte Mengenfamilie/Natürliche Zahlen ab n/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Indizierte Mengenfamilie/Vielfache von n/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Indizierte Mengenfamilie/Intervallschachtelung/Beispiel|| zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Die reellen Zahlen werden wir später axiomatisch einführen, Intervallschachtelungen repräsentieren ein wichtiges Existenzprinzip für reelle Zahlen.| |SZ= }} }} {{ inputbeispiel |Indizierte Mengenfamilie/Sukzessive Potenzmengen/Beispiel|| zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Es wird also eine Definition unter Bezug auf einen Vorgänger gemacht|ISZ=. |ESZ= }} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Mengentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Tupel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} <noinclude><references/></noinclude> 4zpsvw9ukycz64m065uuogbnpd6qpt9 0 28106 781055 755114 2022-08-21T20:51:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} zwei Mengen und {{ Ma:abb |name= \varphi |L|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |bijektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen diesen Mengen. Zeige{{n Sie}}, dass für jede Teilmenge {{math|term= S \subseteq L|SZ=}} eine Bijektion {{ Ma:abb |name= |S|\varphi(S) || |SZ= }} vorliegt, und dass ebenso für jede Teilmenge {{math|term= T\subseteq M|SZ=}} eine Bijektion {{ Ma:abb |name= |\varphi^{-1}(T)|T || |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mächtigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Teilmenge |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 54977l3tv6jvlgic24fjqdphjp540po 0 28109 785264 758584 2022-08-22T08:11:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= {{op:Potenzmenge|M|}}|SZ=}} die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon. Zeige{{n Sie}}, dass durch die {{ Definitionslink |Gleichmächtigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Mengen eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{op:Potenzmenge|M|}}|SZ=}} definiert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mächtigkeit |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j4nhygqxuuhodmsqo1kuzq365dn1757 0 28110 785266 758586 2022-08-22T08:11:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= {{op:Potenzmenge|M|}}|SZ=}} die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon. Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ math/disp|term= S \preccurlyeq T, \text{wenn es eine injektive Abbildung } S \rightarrow T \text{ gibt} |SZ=, }} eine {{Definitionslink |reflexive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Mengen/Relation/Verschiedene Eigenschaften/Definition |SZ= }} und {{Definitionslink |transitive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Mengen/Relation/Verschiedene Eigenschaften/Definition |SZ= }} {{Definitionslink |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{op:Potenzmenge|M|}}|SZ=}} definiert wird, die in aller Regel weder {{Definitionslink |symmetrisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Mengen/Relation/Verschiedene Eigenschaften/Definition |SZ= }} noch {{Definitionslink |antisymmetrisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Mengen/Relation/Verschiedene Eigenschaften/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mächtigkeit |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge |Kategorie3=Theorie der Relationen auf einer Menge |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0x70yp3t34eiy9qbk4jfkuzs10sfl60 0 28111 784472 758059 2022-08-22T06:15:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere eine {{ Definitionslink |bijektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den natürlichen Zahlen {{math|term= \N|SZ=}} und den rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abzählbarkeit |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ddekspjhs6vwbl7xdij6e26rcizwb2z 0 28112 784172 476493 2022-08-22T05:31:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= n \in \N ||bedterm1= n \geq 1 ||bedterm2= |SZ= }} und {{math|term= x \in \{1 {{kommadots|}} n \}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ math/disp|term= \{1 {{kommadots|}} n \} \setminus \{z \}|SZ= }} die Anzahl {{math|term= n-1|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7nsdt6xf4ngbf8gbxmi8whos7x9u5e3 0 28116 781896 519900 2022-08-21T23:11:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}elementige Menge und sei {{ math/disp|term= B={{Mengebed|F:M \rightarrow M \text{ Abbildung}|F \text{ bijektiv} }} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Anzahl|B}} ||n! || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} alo3x9rcryh33nwguzww139eym9eav7 0 28143 780438 754634 2022-08-21T19:08:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |surjektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R|\R|| |SZ= }} derart, dass jeder Wert {{math|term= y \in \R|SZ=}} unendlich oft angenommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der surjektiven Abbildungen |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Unendlich |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jhq9e1g754xm1646enpqp4b0l9ol4ya 0 28153 780458 754652 2022-08-21T19:11:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:Vergleichskette/disp |G ||{{Mengebed|F:S \rightarrow S|F \text{ bijektiv} }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k1jgk2zcxqa3yyltgh07pqgdyek7wnc 0 28154 783659 757306 2022-08-22T04:05:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |K ||\Q \times \Q ||{{Mengebed|(a,b)|a,b \in \Q}} || || |SZ= }} mit den beiden ausgezeichneten Elementen {{ math/disp|term= 0=(0,0) \text{ und } 1=(1,0) |SZ=, }} der Addition {{ Ma:Vergleichskette/disp | (a,b)+(c,d) | {{defeq|}} |(a+c, b+d) || || || |SZ= }} und der Multiplikation {{ Ma:Vergleichskette/disp | (a,b) \cdot (c,d) | {{defeq|}} |(ac-bd, ad+bc) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= K|SZ=}} mit diesen Operationen ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der vierte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 108z8h9f2tqyldj4df8yxw03qb5c5zo 0 28158 782443 756267 2022-08-22T00:42:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \N|SZ=}} die Menge der natürlichen Zahlen und {{math|term= \N_+|SZ=}} die Menge der positiven natürlichen Zahlen. Wir betrachten die zweielementige Menge {{ math/disp|term= V=\{+,-\} |SZ= }} und die Menge {{ math/disp|term= Z= (V \times \N_+) \cup \{0\} |SZ=. }} Wir wollen {{math|term= Z|SZ=}} zu einem Modell für die ganzen Zahlen machen. Als abkürzende Schreibweise verwenden wir {{math|term= n|SZ=}} für das Paar {{math|term= (+,n)|SZ=}} und {{math|term= -n|SZ=}} für das Paar {{math|term= (-,n)|SZ=.}} {{ManSie|Man definiere|Definieren Sie}} eine {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \oplus|SZ=}} auf {{math|term= Z|SZ=,}} die für {{math|term= n,m \in \N_+|SZ=}} die Eigenschaft {{math/disp|term=n \oplus m = n+m|SZ=}} erfüllt und die {{math|term= Z|SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |neutralem Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} macht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gir92119qbewpy57rna5ffmwjxmlnla 0 28159 783660 757307 2022-08-22T04:05:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Körper/Qi/Aufgabe |Refname= {{{ref1|Aufgabe}}} |SZ= }} konstruierte {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |angeordnet| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} werden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 37cp1hz5iy0s0ik1ed1zo1ar4fd3dyd 0 28160 784176 476502 2022-08-22T05:32:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{math|term= \{1 {{kommadots|}} n \}|SZ=}} endlich mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen ist. Zeige{{n Sie}} ferner, dass für jedes {{math|term= k \in \N|SZ=}} die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | \{k+1 {{kommadots|}} k+n \} || {{Mengebed|x \in \N|x \geq k+1 \text{ und } x \leq k+n }} || || || |SZ= }} ebenfalls eine endliche Menge mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichzahligen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdt4045i1l6iq1pasqvfpgaicmpv9qd 0 28177 783652 631437 2022-08-22T04:04:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man jeder natürlichen Zahl {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} ein Körperelement {{math|term= n_K|SZ=}} zuordnen kann, so dass {{math|term= 0_K|SZ=}} das Nullelement in {{math|term= K|SZ=}} und {{math|term= 1_K|SZ=}} das Einselement in {{math|term= K|SZ=}} ist und so dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | (n+1)_K || n_K+1_K || || || |SZ= }} gilt. Zeige{{n Sie}}, dass diese Zuordnung die Eigenschaften {{ math/disp|term= (n+m)_K = n_K + m_K \text{ und } (nm)_K = n_K \cdot m_K|SZ= }} besitzt. Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2=Der kanonische Ringhomomorphismus von Z nach einem Ring |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} khrekmyc6ig3qx2c48iqyn7i2gs9lk5 0 28181 780768 244364 2022-08-21T20:03:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{math|term= x \in K|SZ=}} die Beziehung {{math|term= x^2=xx \geq 0|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadrat |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} scy0by3x6glphgwtvcb9j25pe3egvdc 0 28183 780788 244384 2022-08-21T20:06:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= x \geq 1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für das inverse Element {{math|term= x^{-1} \leq 1|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Invers |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mwdz8ak008hqtds458hmit88i9i4ld1 0 28184 780701 754818 2022-08-21T19:52:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= x>y>0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |inversen Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= x^{-1}< y^{-1}|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Invers |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j5d8l43bu4vwdg3uktbu5p9l8ylasj1 0 28185 780760 404483 2022-08-21T20:02:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= x \in K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= x > 0|SZ=}} genau dann gilt, wenn {{math|term= -x < 0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Invers |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pn3atq4785yy7nsdjte97qzx3k2txi8 0 28186 780782 244382 2022-08-21T20:05:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= x>y|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= -x<-y|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Negation |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fnec3qfbp2ngw88rc3fr0cx69ydl4w0 0 28187 780813 754914 2022-08-21T20:10:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die halboffenen Intervalle {{ math/disp|term= {[n,n+1[} ={{Mengebed|x \in K|x \geq n \text{ und } x < n+1}}, \, n \in \Z |SZ=, }} eine disjunkte Überdeckung von {{math|term= K|SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Intervall |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ae3d5c0sclt0rlet34atfrwscbc7twc 0 28331 779648 601454 2022-08-21T17:02:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein Kreis, worunter wir die Kreislinie verstehen, und {{math|term= I|SZ=}} eine Strecke. Der Kreis ist eine Teilmenge einer Ebene {{math|term= E|SZ=}} und die Strecke ist eine Teilmenge einer Geraden {{math|term= G|SZ=,}} so dass für die Produktmenge die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | S \times I |\subseteq | E \times G || || || || |SZ= }} gilt. Die Produktmenge {{mathl|term= E \times G|SZ=}} stellt man sich als einen dreidimensionalen Raum vor, und darin ist die Produktmenge {{mathl|term= S \times I|SZ=}} ein Zylindermantel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onhhl561wddbpjc9n77lwzvfpr6roo7 0 28332 785380 521694 2022-08-22T08:30:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe für je zwei {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird| |ESZ= }} der folgenden geometrischen Mengen ihre Produktmenge. {{ Aufzählung4 |Eine Kreislinie {{math|term= K|SZ=.}} |Ein Geradenstück {{math|term= I|SZ=.}} |Eine Gerade {{math|term= G|SZ=.}} |Eine Parabel {{math|term= P|SZ=.}} }} Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0oxysfard5arhcqbldn0wsdign2o1k9 0 28342 779172 763273 2022-08-21T15:47:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Construction blackboard integers|jpg|500px {{!}} right {{!}} |epsname=Construction_blackboard _integers |Autor=Construction blackboard integers |Benutzer=Darapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= \N|SZ=}} die Menge der natürlichen Zahlen und {{ Ma:Vergleichskette |M || \N \times \N || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der komponentenweisen Addition{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Passende Interpretationen für die Paare in diesem Kontext sind beispielsweise: Das Paar {{math|term= (a,b)|SZ=}} repräsentiert das Ergebnis eines Fußballspieles, wobei {{math|term= a|SZ=}} die Toranzahl der Heimmannschaft und {{math|term= b|SZ=}} die Toranzahl der Gastmannschaft repräsentiert, oder: Das Paar {{math|term= (a,b)|SZ=}} repräsentiert das Alter eines menschlichen Paares, wobei {{math|term= a|SZ=}} für das Alter der Frau und {{math|term= b|SZ=}} für das Alter des Mannes steht. Der Übergang zu den Äquivalenzklassen bedeutet dann, sich nur noch für die Tordifferenz bzw. den Altersunterschied zu interessieren, nicht mehr für das genaue Ergebnis bzw. das Alter der einzelnen Personen. Man kann auch das Paar als eine Schrittfolge aus {{math|term= a|SZ=}} Schritten nach rechts und {{math|term= b|SZ=}} Schritten nach links ansehen| |ISZ=.|ESZ=. }} Wir erklären auf {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Das Paar {{mathlk|term=(a,b)|SZ=}} wird später die Differenz {{math|term= a-b|SZ=}} repräsentieren| |ISZ=.|ESZ= }} {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } a+d =b+c |SZ=. }} Dies ist bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\leq|c || || || |SZ= }} genau dann der Fall, wenn es ein {{mathl|term= e \in \N|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich {{math|term= e=c-a|SZ=}} | |ESZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | (c,d) ||(a,b)+ (e,e) || || || |SZ= }} gibt. D.h. die beiden Paare unterscheiden sich um ein Diagonalelement, also um ein Paar, wo beide Komponenten übereinstimmen. Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= M|SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Ganze Zahlen/Als Quotientenmenge/NxN/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wenn man {{mathl|term= \N \times \N|SZ=}} als ein quadratisches Gitter anordnet {{ Zusatz/Klammer |text=das ist ein {{Anführung|diskretes Koordinatensystem|}}| |ESZ=, }} so sind die Äquivalenzklassen durch die Punkte auf einer zur Diagonalen parallelen {{Anführung|diskreten Geraden|SZ=}} gegeben. Die Punkte {{mathl|term= (a,b)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} sind äquivalent zu {{mathl|term= (a-b,0)|SZ=,}} sie haben also einen Repräsentanten, bei dem die zweite Komponente {{math|term= 0|SZ=}} ist. Die Punkte {{mathl|term= (a,b)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\leq|b || || || |SZ= }} sind äquivalent zu {{mathl|term= (0, b-a)|SZ=,}} sie haben also einen Repräsentanten, bei dem die erste Komponente {{math|term= 0|SZ=}} ist. Die Punkte {{mathl|term= (a,a)|SZ=}} sind zu {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} äquivalent. Den Repräsentanten einer Äquivalenzklasse, bei dem mindestens eine Komponente {{math|term= 0|SZ=}} ist, nennen wir den {{Stichwort|Standardvertreter|SZ=}} dieser Äquivalenzklasse. Die Standardvertreter sind die diskreten Punkte des begrenzenden Viertelkreuzes; zu einem Punkt ergibt sich der Standardvertreter, wenn man parallel zur Diagonalen in Richtung der Halbachsen wandert, bis man auf einer der Halbachsen landet. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Standardvertreter besitzen. Wir bezeichnen nun die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also die Menge der Äquivalenzklassen unter dieser Äquivalenzrelation, als {{Definitionswort/enp|Menge der ganzen Zahlen|SZ=}} und bezeichnen sie mit {{math|term= \Z|SZ=.}} Jede ganze Zahl hat dann genau einen Standardvertreter der Form {{ Ma:Vergleichskette |n | {{defeq|}} | (n,0) || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=,}} der Form {{ Ma:Vergleichskette |0 | {{defeq|}} | (0,0) || || || |SZ= }} oder der Form {{ Ma:Vergleichskette |-n |{{defeq}}| (0,n) || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} fassen wir von nun an als die ganze Zahl {{mathl|term= (n,0)|SZ=}} auf. Wir wollen nun zwei ganze Zahlen, also zwei solche Äquivalenzklassen {{ mathkor|term1= [(a,b)] |und|term2= [(c,d)] |SZ= }} miteinander {{Anführung|addieren|SZ=,}} also eine Verknüpfung {{math|term= \oplus|SZ=}} auf {{math|term= \Z|SZ=}} einführen. Der naheliegende Ansatz ist, diese Verknüpfung mittels der komponentenweisen Addition als {{ Ma:Vergleichskette/disp | [(a,b)] \oplus [(c,d)] | {{defeq|}} |[ (a+c, b+d) ] || || || |SZ= }} zu definieren. Hier tritt das Problem der {{Stichwort|Wohldefiniertheit|SZ=}} auf, denn die Verknüpfung wird erklärt unter Bezug auf Repräsentanten, und es ist nicht von vornherein klar, dass unterschiedliche Repräsentanten zum gleichen Ergebnis führen. Wenn also {{ Ma:Vergleichskette | (a,b) |\sim| (a',b') || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | (c,d) |\sim| (c',d') || || || |SZ= }} sind, so muss man überprüfen, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | (a+c,b+d) |\sim| (a'+c', b'+d') || || || |SZ= }} und damit {{ Ma:Vergleichskette | [ (a+c, b+d) ] ||[ (a'+c', b'+d') ] || || || |SZ= }} ist. Dies ist der Fall, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Ganze Zahlen/Als Quotientenmenge/Wohldefiniertheit der Verknüpfungen/Aufgabe |Refname= |SZ=. }} Man kann weiterhin zeigen, dass die so definierte Verknüpfung auf {{math|term= \Z|SZ=}} {{ Definitionslink |assoziativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |kommutativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dass {{mathl|term= [(0,0)]|SZ=}} das {{ Definitionslink |neutrale Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Verknüpfung ist und dass es zu jedem Element {{mathl|term= [(a,b)]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |inverses Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt, nämlich {{mathl|term= [(b,a)]|SZ=.}} Wir definieren nun eine Multiplikation auf {{math|term= \Z|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | [(a,b)] \cdot [(c,d)] | {{defeq|}} |[(ac+bd, ad+bc)] || || || |SZ=. }} Dies ist wieder wohldefiniert und man kann zeigen, dass die Multiplikation assoziativ und kommutativ ist mit {{ Ma:Vergleichskette |1 || [(1,0)] || || || |SZ= }} als neutralem Element und dass das Distributivgesetz gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Konstruktion der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lr1iv38sqkkemhj2a9jta34an433jqp 0 28355 779778 223981 2022-08-21T17:20:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine Menge. Die Menge {{mathl|term=\mathcal {E}(M) |SZ=}} der {{Definitionswort|endlichen Teilmengen|msw=Endliche Teilmenge|SZ=}} von {{math|term=M|SZ=}} wird folgendermaßen festgelegt. {{ Aufzählung3 |{{math|term=\emptyset \in \mathcal {E}(M) |SZ=,}} |Für jede Teilmenge {{math|term=T \subseteq M|SZ=}} und jedes {{math|term=x \in M|SZ=}} gilt: wenn {{mathl|term=T \in \mathcal {E}(M)|SZ=}} ist, dann ist auch {{mathl|term=T\cup\{x\} \in \mathcal {E}(M) |SZ=.}} |Zu {{math|term= \mathcal {E}(M)|SZ=}} gehören nur solche Mengen, die aufgrund von (1) und (2) dazugehören. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Endliche Teilmengen (rekursive Definition) |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3f5qowdkg2n47oei65pzk61jnvej53q 0 28381 781921 755817 2022-08-21T23:15:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= S |und|term2= T |SZ= }} {{ Definitionslink |endliche| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer Menge {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die Vereinigung {{math|term= S \cup T|SZ=}} endlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m07hkq9mnq8y7dpu0kddzb779f6il0h 0 28382 781922 755818 2022-08-21T23:15:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge. Zeige{{n Sie}}, dass für je zwei {{ Definitionslink |endliche| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S,T \subseteq M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |injektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |S|T || |SZ= }} oder eine injektive Abbildung {{ Ma:abb |name= |T|S || |SZ= }} existiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Vereinigung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 01l2pw84fawe9qgkmwqgelht2c14b08 0 28383 781913 755810 2022-08-21T23:14:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine unendliche Menge und {{math|term= T \subseteq M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es für jede endliche Teilmenge {{math|term= S \subseteq M|SZ=}} eine zu {{math|term= S|SZ=}} {{ Definitionslink |gleichmächtige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge {{math|term= U \subseteq M|SZ=}} gibt, die zu {{math|term= T|SZ=}} {{ Definitionslink |disjunkt| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ausweichung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dsg8wckvjq69852e2q0qph4i3p2saw7 0 28384 781894 755795 2022-08-21T23:11:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine unendliche Menge und {{math|term= \N=\N(M)|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Anzahlmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es auf {{math|term= \N|SZ=}} eine wohldefinierte {{Anführung|Addition}} gibt, die die Anzahl der Vereinigung von zwei {{ Definitionslink |disjunkten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Mengentheorie/Disjunkt/Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |endlichen| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschreibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Addition |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7yk6hs9kyvp2tde5k1b37b2ljkto2v5 0 28385 781893 755794 2022-08-21T23:11:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine unendliche Menge und {{math|term= \N=\N(M)|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Anzahlmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es für jede {{ Definitionslink |endliche| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= T \subseteq M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Bijektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |T| \{1 {{kommadots|}} [T] \} {{=|}} {{Mengebed|[U] \in \N(M)| [U] > 0 \text{ und } [U] \leq [T] }} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Anzahl |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o4wkf8pe3rnrp5hwanntl4oa55144cq 0 28387 781911 755809 2022-08-21T23:14:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= S |und|term2= T |SZ= }} {{ Definitionslink |endliche| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer Menge {{math|term= M|SZ=.}} Es gebe zwei {{ Definitionslink |injektive Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\psi |S|T || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\varphi |T|S || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann die beiden Mengen {{ Definitionslink |gleichmächtig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Injektiv |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rysgndzhb8va4ds5kohnputx9ju00z6 0 28409 779249 763350 2022-08-21T15:59:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P|SZ=}} eine Menge von Personen, die ein Café besucht, {{math|term= G|SZ=}} eine Menge von Getränken, die auf der Getränkekarte des Cafés aufgelistet sind, und {{math|term= Z|SZ=}} die Arbeitskräfte im Café, die für die Zubereitung verschiedener Getränke zuständig sind. Es wird eine Bestellung aufgegeben, wobei jede Person {{mathl|term= p \in P|SZ=}} genau ein Getränk {{mathl|term= g=g(p) \in G|SZ=}} bestellt, d.h. man hat eine {{ Zusatz/Klammer |text=Bestell-| |ESZ= }}{{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \beta |P|G |p|\beta(p) |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Injektivität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung bedeutet, dass alle Personen ein verschiedenes Getränk bestellen {{ Zusatz/Klammer |text=was sein kann oder nicht sein kann, das ist eben eine Eigenschaft der Bestellung=Abbildung| |ESZ= }} und die {{ Definitionslink |Surjektivität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bedeutet, dass jedes Getränk der Karte mindestens einmal bestellt wird. Das Bild der Abbildung ist die Menge aller Getränke, die von der Personengruppe bestellt wird {{ Zusatz/Klammer |text=mindestens ein Mal| |ESZ=. }} Dies ist eine Teilmenge der Getränkemenge. Zu einer Teilmenge {{math|term= S|SZ=}} der Personen, also beispielsweise alle Frauen oder alle Männer oder alle mit großem Durst gehört die {{ Definitionslink |Bildmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition |SZ= }} {{mathl|term= \beta(S)|SZ=,}} die aus allen Getränken besteht, die diese Teilmenge bestellt. Zu einer Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq G|SZ=}} der Getränkemenge ist das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \beta^{-1}(T)|SZ=}} die Menge aller Personen, deren bestelltes Getränk zu {{math|term= T|SZ=}} gehört. Wenn {{math|term= A|SZ=}} die alkoholischen Getränke sind und {{math|term= H|SZ=}} die Heißgetränke, so ist {{mathl|term= \beta^{-1}(A)|SZ=}} die Teilmenge der Personen, die was Alkoholisches bestellt hat und {{mathl|term= \beta^{-1}(H)|SZ=}} sind die Heißgetränkeliebhaber. Im Café ist für jede Getränkeart genau ein Zubereiter zuständig. Alle Kaffee-ähnlichen Getränke werden von Bertha zubereitet, alle Cocktails von Heinz geschüttelt, für's Bier ist Claudia zuständig, etc. Dies kann man als eine Zuständigkeitsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G|Z |g|\varphi(g) |SZ=, }} auffassen. Auf dem Dienstplan wird wahrscheinlich diese Abbildung dadurch beschrieben, dass zu jedem Zubereiter {{mathl|term= z\in Z|SZ=}} das Urbild {{mathl|term= \varphi^{-1}(\{z\})|SZ=}} angegeben wird, also die Teilmenge der Getränke, für die {{math|term= z|SZ=}} zuständig ist. Die Zuständigkeitsabbildung ist vermutlich surjektiv, da jeder Zubereiter für mindestens ein Getränk zuständig sein sollte {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man mit der Gesamtpersonalmenge {{math|term= Z'|SZ=}} arbeitet, sieht das anders aus| |ESZ=. }} Injektiv ist sie vermutlich nicht, denn das würde bedeuten, dass jeder Zubereiter nur für ein Getränk zuständig ist. Zu einer Teilmenge {{math|term= T|SZ=}} der Getränkemenge ist das Bild {{mathl|term= \varphi(T)|SZ=}} diejenige Teilmenge der Zubereiter, die genau alle Zubereiter dieser Getränketeilmenge umfasst. Zu {{mathl|term= U \subseteq Z|SZ=}} ist {{math|term= \varphi^{-1}(U)|SZ=}} die Teilmenge aller Getränke, deren zuständiger Zubereiter zu {{math|term= U|SZ=}} gehört. Alle Personen waren nun hoch zufrieden mit ihren Getränken und wollen über die Bedienung einen Dankesgruß an die jeweiligen Zubereiter ihrer Getränke weiterreichen. Besucher Hans war mit seinem Bier sehr zufrieden, das von Claudia ausgeschenkt wurde, deshalb möchte Hans die Claudia grüßen. Die Hintereinanderschaltung aus der Bestellungsabbildung {{math|term= \beta|SZ=}} und der Zubereitungsabbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} ergibt dann die Grußabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma = \varphi \circ \beta |P |Z |p|\varphi( \beta(p)) |SZ=. }} Es gelten vielfache Beziehungen zwischen den Einzelabbildungen und der Gesamtabbildung. Beispielsweise gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |\gamma^{-1}(\{ \text{Heinz}\}) || \beta^{-1}( \varphi^{-1}(\{\text{Heinz}\}) ) ||\beta^{-1}(\text{Cocktails}) || |SZ=, }} d.h., die Menge der Personen, die Heinz grüßen, ist gleich der Menge der Personen, die einen Cocktail bestellt haben. Wenn die Bestellung nicht injektiv ist, so kann auch die Grußabbildung nicht injektiv sein, die Umkehrung muss aber nicht gelten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1u2b8a4xdtfavjf8htpirlsahr44c2v 0 28448 780160 752427 2022-08-21T18:19:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Visualisierung bspl 2-10|gif| 500px {{!}} {{!}} |epsname=Visualisierung_bspl_2-10 |Text=Visualisierung des Beispiels |Autor= |Benutzer=TiloW |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |M ||\N \times \N || || || |SZ=, }} die wir uns als ein Punktgitter vorstellen. Wir fixieren die Sprünge {{ Zusatz/Klammer |text=man denke an Springmäuse, die alle diese Sprünge ausführen können| |ESZ= }} {{ mathkor/disp|term1= \pm (2,0) |und|term2= \pm (3,3) |SZ=, }} und sagen, dass zwei Punkte {{mathl|term= P=(a,b),\, Q=(c,d) \in M|SZ=}} äquivalent sind, wenn man ausgehend von {{math|term= P|SZ=}} den Punkt {{math|term= Q|SZ=}} mit einer Folge von solchen Sprüngen erreichen kann. Dies ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dafür ist entscheidend, dass bei den Sprüngen auch der entgegengesetzte Sprung dazu gehört| |ESZ=. }} Typische Fragestellungen sind: Wie kann man äquivalente Felder charakterisieren, wie entscheiden, ob zwei Felder äquivalent sind oder nicht?{{{zusatz1|}}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ke7tqj9q7ho5ysoe9lrtls9o2yozny 0 28469 779538 763626 2022-08-21T16:44:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir stellen ein {{Stichwort|Ziffernmodell|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=10er Modell| |ESZ= }} für die natürlichen Zahlen vor, das die {{ Definitionslink |Peanoaxiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt. Das Modell beruht auf endlichen{{{zusatz1|}}} Symbolketten, wobei die zugrunde gelegte Symbolmenge die Ziffernmenge {{ math/disp|term= Z=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} |SZ= }} ist. In diesem Modell ist eine natürliche Zahl eine endliche, nichtleere Hintereinanderreihung von Ziffern aus {{math|term= Z|SZ=,}} deren erste{{{zusatz2|}}} Ziffer von der Ziffer {{math|term= 0|SZ=}} verschieden ist, es sei denn, die Gesamtkette ist die {{math|term= 0|SZ=-}}Kette, die aus der einzigen Ziffer {{math|term= 0|SZ=}} besteht. Zwei solche Zahlen sind genau dann gleich, wenn die Ziffernfolgen an jeder Ziffer übereinstimmen. Die {{math|term= 0|SZ=-}}Kette ist das ausgezeichnete Element. Die Festlegung der Nachfolgerabbildung erfordert einige Vorbereitungen{{{zusatz3|}}}. Zunächst wird eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |Z \setminus \{9\} | Z |z|\tilde{z} |SZ=, }} durch {{ math/disp|term= \tilde{0} =1, \tilde{1} =2, \tilde{2}=3, \tilde{3} =4, \tilde{4} =5, \tilde{5} =6,\tilde{6} =7, \tilde{7}= 8, \tilde{8}= 9|SZ= }} definiert. Ferner setzten wir {{mathl|term= \tilde{\emptyset}=1|SZ=.}} Weiter wird auf der Menge der Ziffernfolgen, in denen ausschließlich die Ziffer {{math|term= 9|SZ=}} vorkommt {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die leere Ziffernfolge zugelassen ist| |ESZ= }} die Abbildung {{mathl|term= c \mapsto \bar{c}|SZ=}} dadurch definiert, dass jede {{math|term= 9|SZ=}} durch eine {{math|term= 0|SZ=}} ersetzt wird. Man kann nun jede erlaubte endliche Ziffernfolge {{math|term= z|SZ=}} eindeutig schreiben als die Verkettung {{mathl|term= z=abc|SZ=,}} wobei {{math|term= c|SZ=}} eine reine {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell leere| |ESZ= }} Neunerfolge ist, {{math|term= b|SZ=}} eine einzelne Ziffer {{math|term= \neq 9|SZ=}} oder leer ist, und {{math|term= a|SZ=}} eine beliebige endliche {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell leere| |ESZ= }} Ziffernfolge ist, die leer sein muss, wenn auch {{math|term= b|SZ=}} leer ist. Mit diesen Vorbereitungen definieren wir die Nachfolgerabbildung durch {{ math/disp|term= z':= (abc)' := a \tilde{b} \bar{c} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ziffer |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d0p04db1eburyewa1mzjl51qpwlgr0e 0 28470 779537 395393 2022-08-21T16:44:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge aller endlichen Strichketten, einschließlich der leeren Kette, also {{ math/disp|term= N=\{ \emptyset, \, {{|}}, \, {{|}}{{|}}, \, {{|}}{{|}}{{|}} , \, {{|}}{{|}}{{|}}{{|}}, \, {{|}}{{|}}{{|}}{{|}}{{|}} , \, \ldots \} |SZ=. }} Zwei Strichketten sind genau dann gleich, wenn sie {{Anführung|gleichlang}} sind{{{zusatz1|.}}} Das augezeichnete Element ist {{mathl|term= 0 = \emptyset|SZ=.}} Die Nachfolgerabbildung ist dadurch gegeben, dass einer Strichkette {{math|term= n|SZ=}} die um einen Strich verlängerte Strichkette {{math|term= n{{|}}|SZ=}} zugeordnet wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Strich |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mwff6kjyfiqhyhlv8xdolfi6ijmf98e 0 28478 784901 758345 2022-08-22T07:16:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} Beispiele {{math|term= (M,0,')|SZ=}} für Mengen mit einem ausgezeichneten Element {{math|term= 0 \in M|SZ=}} und einer Abbildung {{ Ma:abb |name=' |M|M || |SZ= }} an, die je zwei der {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Axiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllen, aber nicht das dritte. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Teilsysteme |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6eisx2jnikr3cs6t40styd58aluo4f7 0 28479 784196 399861 2022-08-22T05:35:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen {{math|term= A,B,C|SZ=}} Mengen. {{ Aufzählung5 |Modus Barbara: Aus {{math|term= B \subseteq A|SZ=}} und {{math|term= C \subseteq B|SZ=}} folgt {{math|term= C \subseteq A|SZ=.}} |Modus Celarent: Aus {{math|term= B \cap A = \emptyset|SZ=}} und {{math|term= C \subseteq B|SZ=}} folgt {{math|term= C \cap A = \emptyset|SZ=.}} |Modus Darii: Aus {{math|term= B \subseteq A|SZ=}} und {{math|term= C \cap B \neq \emptyset |SZ=}} folgt {{math|term= C \cap A \neq \emptyset|SZ=.}} |Modus Ferio: Aus {{math|term= B \cap A = \emptyset|SZ=}} und {{math|term= C \cap B \neq \emptyset|SZ=}} folgt {{math|term= C \not \subseteq A |SZ=.}} |Modus Baroco: Aus {{math|term= B \subseteq A|SZ=}} und {{math|term= B \not \subseteq C |SZ=}} folgt {{math|term= A \not \subseteq C|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2=Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 94wdnrdjp38vosb25lflhtts0v5vk3v 0 28513 782357 756195 2022-08-22T00:28:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche {{ Definitionslink |bijektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktionen {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder zwischen Teilmengen von {{math|term= \R|SZ=}}| |ESZ= }} kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Umkehrabbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mo9s1ssz3kwu78em2tzsx6m8l6eteno 0 28514 786022 759162 2022-08-22T10:16:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x){{=|}}x^2+2x-3 |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Intervalls {{math|term= [0,1]={{Mengebed|x \in \R|0 \leq x \leq 1}}|SZ=,}} von {{math|term= \{3\}|SZ=,}} von {{math|term= \R|SZ=}} und von {{math|term= \R_{\geq 0} ={{Mengebed|x \in R|x \geq 0}}|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \{0\}|SZ=,}} von {{math|term= [0,1]|SZ=,}} von {{math|term= \{3\}|SZ=,}} von {{math|term= \R|SZ=,}} von {{math|term= \R_{\leq 0} |SZ=}} und von {{math|term= \R_{\geq 0}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Bild |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} auu6i8hmpnl7rolvczf6lknzuopzwqz 0 28561 786224 414611 2022-08-22T10:50:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme in der Einheitengruppe {{mathl|term= {{op:Einheiten|{{op:Zmod|17}}|}}|SZ=}} zu jeder möglichen Ordnung {{math|term= k|SZ=}} ein Element {{mathl|term= x \in {{op:Einheiten|{{op:Zmod|17}} }}|SZ=,}} das die Ordnung {{math|term= k|SZ=}} besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe {{ math/disp|term= H \subseteq {{op:Einheiten|{{op:Zmod|17}} }}|SZ= }} an, die aus vier Elementen besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3xzq611vegpsj84z069znj8b2sbcszt 0 28564 786227 510743 2022-08-22T10:50:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man berechne in {{math|term= {{op:Zmod|80}}|SZ=}} die Elemente {{ Aufzählung3 |{{math|term= 3^{1234567}|SZ=,}} |{{math|term= 2^{1234567}|SZ=,}} |{{math|term= 5^{1234567}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b7n6624xdxtgru2jvoxnz6577es5o8a 0 28566 783454 414613 2022-08-22T03:31:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte auf der Produktmenge {{ math/disp|term= \N \times \N |SZ= }} die Relation {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d) \text{ wenn } a+d = b+c |SZ=. }} Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Es sei {{math|term= Z|SZ=}} die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf {{math|term= Z|SZ=}} eine Addition {{math|term= \oplus|SZ=,}} die die Eigenschaft {{ math/disp|term= \overline {(a , 0)} \oplus \overline{ (b,0)} = \overline{ (a+b,0)} |SZ= }} erfüllt {{ Zusatz/Klammer |text=der Querstrich bedeutet dabei die zugehörige Äquivalenzklasse| |ESZ= }} und die {{math|term= Z|SZ=}} zu einer kommutativen Gruppe macht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstruktion |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sziiuvrkf2zgdxvmssebi4s9pz9yz15 0 28569 780468 754658 2022-08-21T19:13:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S=\{0,1\}|SZ=.}} Betrachte das {{ Definitionslink |Prämath= |Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=,}} das aus allen Abbildungen von {{math|term= S|SZ=}} nach {{math|term= S|SZ=}} besteht mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \circ|SZ=}} von Abbildungen als Verknüpfung. {{ Aufzählung2 |Beschreibe die Elemente in {{math|term= M|SZ=}} und erstelle eine Verknüpfungstabelle für {{math|term= M|SZ=.}} |Bestimme sämtliche Untermonoide von {{math|term= M|SZ=}} und entscheide jeweils, ob sie kommutativ sind und ob es sich um Gruppen handelt.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsmonoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ampqm71d4kzf7zwhool4sn7sylj3hv 0 28574 784926 414617 2022-08-22T07:20:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Permutation {{math|term= \tau \in S_7|SZ=,}} die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle7|text1= {{math|term= x|SZ=}} |1|2|3|4|5|6|7|text2= {{math|term= \tau (x)|SZ=}} |1|3|5|7|6|4|2 }} gegeben ist. {{ Aufzählung4 |Man gebe die Zyklendarstellung von {{math|term= \tau|SZ=}} an und bestimme den Wirkungsbereich. |Berechne {{math|term= \tau^3|SZ=}} und die Ordnung von {{math|term= \tau^3|SZ=.}} |Bestimme die Fehlstände von {{math|term= \tau|SZ=}} und das Vorzeichen {{ Zusatz/Klammer |text=Signum| |ESZ= }} von {{math|term= \tau|SZ=.}} |Schreibe {{math|term= \tau|SZ=}} als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von {{math|term= \tau|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p3kdps4vnuog0advy4fpywfccc7qp73 0 28577 783178 414311 2022-08-22T02:45:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring. Zu jedem {{mathl|term= f \in R|SZ=}} sei {{ Ma:abbele/disp |name=\mu_f |R|R |g|fg |SZ=, }} die Multiplikation mit {{math|term= f|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \mu_f|SZ=}} genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist. Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9592ushtk6mn50yebt1r948mdy7u9nc 0 28580 783720 429741 2022-08-22T04:15:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper. Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= K|SZ=}} die Differenz, also die Verknüpfung {{ Ma:abbele/disp |name= |K \times K|K |(a,b)|a-b |SZ=, }} genau dann assoziativ ist, wenn die Charakteristik von {{math|term= K|SZ=}} gleich {{math|term= 2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c7c8fb7mhb1rguezc1f51sksng9vpan 0 28583 783725 558862 2022-08-22T04:16:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{math|term= \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] |SZ=}} das multiplikative Inverse von {{ math/disp|term= \frac{3}{7} + \frac{2}{5} {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} Die Antwort muss in der Form {{math|term= p+q {{Imaginäre Einheit|}}|SZ=}} mit {{math|term= p,q \in \Q|SZ=}} in gekürzter Form sein. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0atlnxq0kh62co44926kw22nmk7d3oa 0 28586 783724 510691 2022-08-22T04:16:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers der beiden Polynome {{ math/disp|term= 4X^4+2X^2+3 \text{ und } X^2+3X+1|SZ= }} in {{math|term= {{op:Zmod|5}}[X]|SZ=.}} Wie sieht es in {{math|term= {{op:Zmod|2}}[X]|SZ=}} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33smc2evmdnkx2tk22dhtg17a2ot53t 0 28589 783708 568743 2022-08-22T04:13:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= x=\sqrt{2} + \sqrt{5} \in \R|SZ=}} und betrachte die Körpererweiterung {{ math/disp|term= \Q \subseteq \Q (x)= L |SZ=. }} Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von {{math|term= x|SZ=}} und das Inverse von {{math|term= x|SZ=.}} (Man darf dabei verwenden, dass {{mathl|term= \sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{10}|SZ=}} irrationale Zahlen sind.) |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c9e5pj79caz83fnvv8gcxd0kcgucun7 0 28591 783539 757202 2022-08-22T03:45:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Kreisteilungspolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{math|term= {{op:Kreisteilungspolynom|9|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4t5xsmu95vzwwn1ugl1hbjz4yvmqvne 0 28593 783644 510536 2022-08-22T04:03:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} den Körper mit acht Elementen {{math|term= \mathbb F_8|SZ=}} als einen Restklassenkörper von {{mathl|term= {{op:Zmod|2}}[X]|SZ=.}} Man gebe eine primitive Einheit in {{math|term= \mathbb F_8|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} snfp79r4ez5d867q87cvevj4v3dxp4p 0 28599 778855 458842 2022-08-21T13:05:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung3 |Seien {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} äquivalent und {{mathl|term= u \in [x]|SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= x \sim u|SZ=}} und nach der Transitivität auch {{mathl|term= y \sim u|SZ=,}} also {{mathl|term= u \in [y]|SZ=.}} Damit stimmen die Äquivalenzklasssen überein. Die Implikation von der Mitte nach rechts ist klar, da wegen {{mathl|term= x \sim x|SZ=}} Äquivalenzklassen nicht leer sind. Sei nun {{mathl|term= [x] \cap [y] \neq \emptyset|SZ=,}} und sei {{math|term= z|SZ=}} ein Element im Durchschnitt. Dann ist {{ mathkor|term1= x\sim z |und|term2= y \sim z |SZ= }} und wegen der Transitivität ist {{mathl|term= x \sim y|SZ=.}} |Die Surjektivität ist klar aufgrund der Definition der Quotientenmenge, und da {{math|term= x|SZ=}} auf die Klasse {{math|term= [x]|SZ=}} geschickt wird. |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |q^{-1}(\{[x]\}) || {{Mengebed|y \in M|q(y) {{=|}} [x]}} || {{Mengebed|y \in M|[y] {{=|}} [x]}} || {{Mengebed|y \in M|y \sim x}} ||[x] |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hb1cikfotq2twyfz9ul0znzsw5s829e 0 28601 780423 754623 2022-08-21T19:05:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Abbildung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn das {{ Definitionslink |Urbildnehmen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Potenzmenge|M|}}|{{op:Potenzmenge|L|}} |T|F^{-1}(T) |SZ=, }} {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Abbildungen |Kategorie2=Theorie der surjektiven Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3t2b8job2ocd1bm6inpyhizf0z268i9 0 28602 780440 754636 2022-08-21T19:08:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Abbildung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn das {{ Definitionslink |Urbildnehmen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Potenzmenge|M|}}|{{op:Potenzmenge|L|}} |T|F^{-1}(T) |SZ=, }} {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Abbildungen |Kategorie2=Theorie der surjektiven Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Urbild |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tdeggwpso8i5hqaljuqvkkrn91gup2f 0 28609 780431 754629 2022-08-21T19:07:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Abbildung/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=G |M|L || |SZ= }} eine Abbildung, die {{ mathkor|term1= F \circ G = \operatorname{id}_M \, |und|term2= G \circ F = \operatorname{id}_L \, |SZ= }} erfüllt. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= G|SZ=}} die {{ Definitionslink |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ayoujkjvbf0hfo4my38ci25f1j75r4z 0 28652 779114 763238 2022-08-21T15:37:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Obstverkäufer verfüge über eine unendliche Menge {{math|term= M|SZ=}} von qualitativ gleichwertigen Äpfeln. Wenn man zu ihm geht und zehn Äpfel bestellt, so hat der Verkäufer verschiedene Möglichkeiten, diesen Wunsch zu verwirklichen, da ja jede Teilmenge seiner Gesamtmenge diesen Wunsch erfüllt, so lange sie eben genau aus {{math|term= 10|SZ=}} Äpfeln besteht. Es sind also alle {{math|term= 10|SZ=-}}elementigen Teilmengen hinsichtlich ihrer Anzahl als gleichwertig zu betrachten, auch wenn es sich um jeweils andere Äpfel handelt. Eine wichtige Beobachtung hierbei ist, dass diese Gleichmächtigkeit {{ Zusatz/Klammer |text=Gleichanzahligkeit| |ESZ= }} zwischen Teilmengen besteht und festgestellt werden kann unabhängig davon, ob man die natürlichen Zahlen schon kennt oder nicht. Sondern zu zwei Teilmengen kann man durch direkten Vergleich untereinander feststellen, ob sie beide aus gleich vielen Äpfeln bestehen oder nicht. Diese Gleichmächtigkeit definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der endlichen Teilmengen der Gesamtmenge {{math|term= M|SZ=.}} Es gibt also zu jeder unendlichen Menge {{math|term= M|SZ=}} auf der Menge {{math|term= {\mathcal E}(M)|SZ=}} der endlichen{{{zusatz1|}}} Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} die Äquivalenzrelation der Gleichmächtigkeit. Zu jeder endlichen Teilmenge {{math|term= T \subseteq M|SZ=}} besteht die zugehörige {{ Definitionslink |Äquivalenzklasse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus sämtlichen Teilmengen von {{math|term= M|SZ=,}} die man zu {{math|term= T|SZ=}} in Bijektion bringen kann, die also die gleiche Anzahl wie {{math|term= T|SZ=}} besitzen. Die leere Menge ist nur zu sich selbst äquivalent, alle einelementigen Teilmengen sind untereinander äquivalent, etc. Die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Äquivalenzrelation, also die Menge der Äquivalenzklassen, ist ein {{ Definitionslink |Peano-Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die natürlichen Zahlen. Die durch die leere Menge {{math|term= \emptyset|SZ=}} bestimmte Äquivalenzklasse {{math|term= [\emptyset]|SZ=}} wird zum ausgezeichneten Element. Die Nachfolgerabbildung wird dadurch definiert, dass man zu einer Äquivalenzklasse {{math|term= [T]|SZ=}} die Menge {{math|term= T|SZ=}} zu einer Menge {{mathl|term= T'=T \cup \{x\}|SZ=}} mit {{mathl|term= x\in M,\, x \not\in T|SZ=}} erweitert, was möglich ist, da {{math|term= T|SZ=}} endlich ist und {{math|term= M|SZ=}} unendlich. Dann setzt man {{mathl|term= [T]':=[T'] |SZ=}} und zeigt, dass dies unabhängig von der Wahl von {{math|term= x|SZ=}} und daher eine wohldefinierte Abbildung ist. Diese Quotientenmenge bildet ein Peano-Modell für die natürlichen Zahlen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7fw9kwwlbpb3ppxwhgh1zo12ze1mtju 0 28666 780430 754628 2022-08-21T19:07:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Mathematiker haben, so ein weitverbreitetes Vorurteil, Schwierigkeiten, ihre Hemden korrekt zuzuknöpfen. Ein Hemd hat auf der einen Seite eine von oben nach unten geordnete Knopfreihe bestehend aus {{math|term= n|SZ=}} Knöpfen und auf der anderen Seite eine ebenso geordnete Lochreihe aus {{math|term= n|SZ=}} Löchern. Beide Reihen seien von oben nach unten mit {{ mathkor|term1= 1 |bis|term2= n |SZ= }} durchnummeriert. Eine {{Betonung|Zuknöpfung}} {{math|term= \sigma|SZ=}} ordnet jedem Knopf genau ein Loch zu, sie ist also eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\sigma |{{Menge1n|}}|{{Menge1n|}} |i| \sigma(i) |SZ=, }} wobei die identische Abbildung {{math|term= i \mapsto i|SZ=}} als korrekte {{ Zusatz/Klammer |text=oder triviale| |ESZ= }} Zuknöpfung gilt. Der {{Betonung|Zerstreutheitsindex}} {{math|term= Z(\sigma)|SZ=}} ist ein wichtiges numerisches Maß{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Ein solches Maß heißt auch eine {{Stichwort|Invariante|SZ=.}} Es ist ein wichtiger Aspekt der Mathematik, nach Invarianten von mathematischen Objekten zu suchen, die wesentliche Eigenschaften von diesen Objekten ausdrücken. Die Berechnung von solchen Invarianten kann schwierig sein|ISZ=. |ESZ= }} für die Zerstreutheit {{ Zusatz/Klammer |text=oder Kreativität| |ESZ= }} einer Zuknöpfung {{math|term= \sigma|SZ=.}} Er ist definiert über die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=Z |A_n{{=|}}{{op:Abbildungsmenge|{{Menge1n|}}|{{Menge1n|}}}}| \N |\sigma|Z(\sigma) {{=|}} \sum_{i{{=|}}1}^n {{op:Betrag|i - \sigma (i)}} |SZ=. }} {{ Aufzählung6 |Zeige{{n Sie}}: Eine Zuknöpfung {{math|term= \sigma|SZ=}} ist genau dann korrekt, wenn {{math|term= Z(\sigma)=0|SZ=}} ist{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Häufig liegt eine besondere Situation vor, wenn die Invariante den einfachsten Wert annimmt. Von daher sind Invarianten auch dafür da, einfache Objekte von schwierigen Objekten zu unterscheiden|ISZ=. |ESZ=. }} |Kann eine Zuknöpfung den Zerstreutheitsindex {{math|term= 1|SZ=}} haben? Wie sieht es bei bijektiven Zuknöpfungen aus? |Bestimme{{n Sie}} {{ math/disp|term= a_n= \max {{Mengebed|Z(\sigma)| {\sigma \in A_n} }} |SZ= }} in Abhängigkeit von {{math|term= n \in \N|SZ=.}} |Es sei {{math|term= B_n \subseteq A_n|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |bijektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zuknöpfungen. Bestimme{{n Sie}} {{ math/disp|term= b_n= \max {{Mengebed|Z(\sigma)| {\sigma \in B_n} }} |SZ= }} für {{math|term= n=0,1,2,3,4,5|SZ=.}} |Es sei {{math|term= C_n \subseteq A_n|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |konstanten| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zuknöpfungen. Bestimme{{n Sie}} {{ math/disp|term= c_n= \max {{Mengebed|Z(\sigma)| {\sigma \in C_n} }} |SZ= }} in Abhängigkeit von {{math|term= n \in \N|SZ=.}} |Eine Zuknöpfung {{math|term= \sigma|SZ=}} heißt {{Betonung|semikorrekt|SZ=}}{{ Zusatz/{{{zusatz3|}}} |text=Mit Hilfe von Invarianten kann man Eigenschaften von Objekten definieren. Eigenschaften, die {{Anführung|nahe|}} an einem gewissen Begriff sind, werden häufig so bezeichnet, dass vor den Begriff eine Vorsilbe wie {{Anführung|quasi-, prä-, semi-, fast-, pseudo-}} etc. gestellt wird|ISZ=. |ESZ=, }} wenn {{math|term= Z( \sigma) \leq n|SZ=}} ist. Klassifiziere{{ Zusatz/{{{zusatz4|}}} |text=Klassifiziere meint hier, dass man die verschiedenen Möglichkeiten auflisten soll. Es ist eine wichtige Zielsetzung innerhalb der Mathematik, eine strukturelle Übersicht über möglichst alle Objekte eines mathematischen Gebiets zu erlangen|ISZ=. |ESZ= }} alle semikorrekten Zuknöpfungen bei {{math|term= n \leq 3|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Knopf |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7061vs1g590afb05bx5r42c25nr65yr 0 28671 784793 758253 2022-08-22T07:01:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (M, \leq)|SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |total geordnete| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Menge. Definiere für ein geeignetes {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |ordnungstreue| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |bijektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |{{Menge1n|}}|M || |SZ=, }} wobei {{math|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} mit der natürlichen Ordnung versehen sei. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geordneten endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t4jnhz7b1ao7ge0yjfqs049mwu2re0x 0 28672 784797 758256 2022-08-22T07:01:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (M, \leq)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Potenzmenge|M|}}|SZ=}} die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M|{{op:Potenzmenge|M|}} |x|{{Mengebed|y \in M|y \leq x}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |ordnungstreu| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wobei die Potenzmenge mit der {{ Definitionslink |Inklusion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hr05k1aa4yne4dl14lpafnusj1ddswn 0 28673 784792 758252 2022-08-22T07:00:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir definieren auf {{math|term= \N_+|SZ=}} eine neue {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} durch folgende Vorschrift: Für zwei Zahlen {{math|term= n,m \in \N_+|SZ=}} mit {{math|term= n=2^kt|SZ=}} und {{math|term= m=2^\ell u|SZ=}} mit {{math|term= t,u|SZ=}} ungerade sei {{ math/disp|term= n R m \text{ falls } t < u \text{ gilt oder falls zugleich } t=u \text{ und } k \leq \ell \text{ gilt} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=rechts wird auf die natürliche Ordnung in {{math|term= \N|SZ=}} Bezug genommen| |ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \N_+|SZ=}} ergibt und beschreibe{{n Sie}} exemplarisch diese Ordnung. |Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{math|term= n \in \N_+|SZ=}} ein wohldefiniertes Element {{ mathbed|term= n^\star \in \N_+ ||bedterm1= n^\star \neq n ||bedterm2= |SZ=, }} derart gibt, dass {{math|term= nRn^\star|SZ=}} gilt und dass es zwischen {{ mathkor|term1= n |und|term2= n^\star |SZ= }} keine weiteren Elemente gibt {{ Zusatz/Klammer |text=diese Formulierung ist zu präzisieren| |ESZ=. }} |Erfüllt die Menge {{math|term= (\N_+,1,\star)|SZ=}} die {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Axiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Peano-Axiome |Punkte=5 |p1=2 |p2=2 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bze9utuy3bli4t8d5zmfym679r8aj7e 0 28700 784900 758344 2022-08-22T07:16:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= \N|SZ=}} die Menge der natürlichen Zahlen und {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | \N_{\geq n } ||{{Mengebed|x \in \N|x \geq n}} || || || |SZ= }} ebenfalls die {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Axiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit welchem ausgezeichneten Element und mit welcher Nachfolgerabbildung|ISZ=? |ESZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nijx0oakrcm2ew35rs9ok3loh8ybqi0 0 28739 784538 758083 2022-08-22T06:24:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= (\N,0,')|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der natürlichen Zahlen. Zeige{{n Sie|}}, dass die Multiplikation durch die Bedingungen {{ math/disp|term= x \cdot 0=0 \text { für alle } x \in \N \text{ und } x \cdot y' = x \cdot y +x \text { für alle } x,y \in \N |SZ= }} eindeutig bestimmt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Multiplikation |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejbxz7dt5h26tregqethz8s3ex849oy 0 28741 784546 758084 2022-08-22T06:25:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= (\N,0,')|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der natürlichen Zahlen mit der in {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Natürliche_Zahlen/Multiplikation_mit_n/Definition |SZ= }} festgelegten Multiplikation. Zeige{{n Sie|}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung7 |{{ math/disp|term= 0 \cdot n=0=n \cdot 0 |SZ= }} für alle {{math|term= n|SZ=.}}|{{ math/disp|term= 1 \cdot n=n=n \cdot 1 |SZ= }} für alle {{math|term= n|SZ=,}} d.h. {{mathl|term= 1=0'|SZ=}} ist das {{ Definitionslink |neutrale Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die Multiplikation. |{{ math/disp|term= k' \cdot n = k \cdot n + n |SZ= }} für alle {{math|term= n,k \in \N|SZ=.}} |Die Multiplikation ist {{ Definitionslink |kommutativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Multiplikation ist {{ Definitionslink |assoziativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Aus einer Gleichung {{mathl|term= n \cdot k=m \cdot k|SZ=}} mit {{mathl|term= k \neq 0|SZ=}} folgt {{mathl|term= n=m|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{Stichwort|Kürzungsregel|SZ=}} | |ESZ=. }} |Für beliebige {{math|term= k,m,n \in \N|SZ=}} gilt {{ math/disp|term= k \cdot (m+n) = k \cdot m + k \cdot n |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Distributivgesetz| |ESZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Multiplikation |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h4kervwvwaohgcccv9hpmdb37rpodca 0 28745 783998 629524 2022-08-22T05:02:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Ein {{Anführung|magisches Quadrat|}} zur Seitenlänge {{math|term= n|SZ=}} ist eine Anordnung der natürlichen Zahlen {{math|term= 1,2,3{{kommadots|}} n^2-1,n^2|SZ=}} in ein {{math|term= n \times n|SZ=-}}Quadrat derart, dass die Summe aller Zeilen, die Summe aller Spalten und die Summe der beiden Diagonalen konstant ist. Welcher Wert ist das? Formuliere{{n Sie}} mittels Abbildungen, was ein magisches Quadrat ist, und drücken Sie die Summenbedingungen mit dem Summenzeichen und geeigneten Indexmengen aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der magischen Quadrate |Kategorie2=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 31eyh740s588732zd9gbru6e8s6lmlj 0 28748 783997 244310 2022-08-22T05:02:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir sagen, dass zwei magische Quadrate {{ mathkor|term1= Q_1 |und|term2= Q_2 |SZ= }} äquivalent sind, wenn sie durch eine Folge aus Drehungen oder Spiegelungen ineinander überführt werden können {{ Zusatz/Klammer |text=dies ist in der Tat eine Äquivalenzrelation| |ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass alle magischen Quadrate zur Seitenlänge {{math|term= 3|SZ=}} untereinander äquivalent sind. Wie viele Elemente enthält die Quotientenmenge und wie viele die Äquivalenzklassen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der magischen Quadrate |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j994af8bt60i6qowykd3p17chr6zcs8 0 28768 784897 758341 2022-08-22T07:16:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Addition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Natürliche Zahlen/Addition mit n/Als Verschiebung/Definition |SZ= }} auf den natürlichen Zahlen {{ Definitionslink |kommutativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |assoziativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass die Abziehregel {{ Zusatz/Klammer |text=d.h., dass aus {{math|term= n+k=m+k|SZ=}} für ein {{math|term= k|SZ=}} stets {{math|term= n=m|SZ=}} folgt| |ESZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sb6r3tus5i5d2to5ak038w36fyzgsas 0 28773 782442 756266 2022-08-22T00:42:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} mit der in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Beispiel |Refname= {{{ref1|Beispiel}}} |SZ= }} eingeführten Addition und Multiplikation ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g86dxdybofizmzo64mx7b1g9thu54pf 0 28776 784560 395409 2022-08-22T06:27:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Peanomodell/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für {{math|term= x,y \in \N|SZ=}} die Beziehung {{math|term= x \leq y|SZ=}} genau dann gilt, wenn es ein {{math|term= z \in \N|SZ=}} gibt mit {{math|term= y=x+z|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ibs9ikcb30dh51v7uobnjurvvlqq53z 0 28779 779016 772106 2022-08-21T15:22:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Konstruktionen 007|jpg|500px {{!}} right {{!}} |epsname=Konstruktionen_007 |Autor= |Benutzer=Darapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir wollen ausgehend von der Menge der ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=,}} die einen kommutativen Ring bildet, die Menge der {{Stichwort|rationalen Zahlen|msw=Rationale Zahl|SZ=}} konstruieren. Wir gehen dabei wieder ähnlich wie bei der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen vor, indem wir auf einer {{Anführung|zu großen}} Menge eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einführen, so dass die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein Modell für die rationalen Zahlen sind. Wir starten mit der Produktmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || \Z \times \N_+ || {{Mengebed| (a,b) |a \in \Z \text{ und } b \in \N_+ }} || || |SZ=. }} Zur Orientierung sei schon jetzt gesagt, dass das Paar {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} später den Bruch {{mathl|term= a/b|SZ=}} repräsentieren soll{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man kann sich vorstellen, dass in {{math|term= (a,b)|SZ=}} die erste Zahl eine Anzahl an Kuchen und die zweite Zahl eine Anzahl von Personen bedeutet| |ISZ=.|ESZ=. }} Auf {{math|term= P|SZ=}} wollen wir eine Äquivalenzrelation definieren, wobei zwei Paare als äquivalent gelten sollen, wenn sie {{Anführung|den gleichen Bruch}} repräsentieren {{ Zusatz/Klammer |text=den es noch nicht gibt| |ESZ=. }} Wir definieren {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc \text{ ist} |SZ=. }} Diese Relation wird also unter Bezug auf die Gleichheit in {{math|term= \Z|SZ=}} erklärt. Es handelt sich dabei um eine Äquivalenzrelation, wie man direkt nachrechnen kann, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation auf ZxN +/Aufgabe |Refname= {{{ref1|Aufgabe}}} |SZ=. }} Die Quotientenmenge unter dieser Äquivalenzrelation nennen wir {{math|term= \Q|SZ=.}} Für die Elemente in {{math|term= \Q|SZ=}} schreiben wir vorläufig noch {{mathl|term= [(a,b)]|SZ=.}} Es ist hilfreich, sich diese Situation zu veranschaulichen, indem man die diskrete obere Halbebene{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Man könnte auch {{math|term= \Z \times (\Z \setminus \{0\})|SZ=}} nehmen| |ISZ=.|ESZ= }} {{mathl|term= \Z \times \N_+ \subset \Z \times \N |SZ=}} betrachtet. Ein Paar {{mathl|term= (a,b)|SZ=}} ist dann ein Gitterpunkt, wobei wir uns die ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} als die Punkte {{math/disp|term=(n,1),\, n \in \Z|SZ=,}} vorstellen. Die zugehörige durchgezogene {{Anführung|Zahlengerade}} {{ Zusatz/Klammer |text=wo also die zweite Komponente konstant {{math|term= 1|SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ= }} bezeichnen wir mit {{math|term= G|SZ=.}} Ein jeder Punkt {{mathl|term= (a,b) \in \Z \times \N_+ |SZ=}} definiert eine eindeutige Gerade, die durch diesen Punkt und durch den Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} verläuft. In dieser geometrischen Interpretation sind zwei Punkte {{ mathkor|term1= (a,b) |und|term2= (c,d) |SZ= }} genau dann äquivalent, wenn sie die gleiche Gerade definieren, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre {{Anführung|Steigungen|}} übereinstimmen. Zwei Punkte liegen ja auf der gleichen Geraden genau dann, wenn sie, wenn man durch Streckung ihre zweite Koordinate zur Übereinstimmung bringt, dann auch die erste Koordinate übereinstimmt. Wenn man den ersten Punkt mit {{math|term= d|SZ=}} streckt {{ Zusatz/Klammer |text=multipliziert| |ESZ= }} und den zweiten Punkt mit {{math|term= b|SZ=,}} so erhält man die beiden Punkte {{ mathkor|term1= (da,db) |und|term2= (bc,bd) |SZ=, }} und die Gleichheit vorne war die Definition für die Relation. Auch die Identifizierungsabbildung zu dieser Äquivalenzrelation kann man sich gut vorstellen. Der Schnittpunkt der durch einen Punkt {{mathl|term= (a,b)|SZ=}} definierten Geraden {{math|term= H|SZ=}} mit der Zahlengeraden {{math|term= G|SZ=}} ist ein Punkt, der dem Bruch {{math|term= a/b|SZ=}} entspricht. Wir wollen nun auf {{math|term= \Q|SZ=}} eine Addition und eine Multiplikation definieren. Wir setzen{{ Zusatz/{{{zusatz3|}}} |text=Die Definition der Addition kann man als Addition der Steigung sehen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ math/disp|term= [(a,b)] + [(c,d)] := [ ( ad + bc, bd)] \text{ und } [(a,b)] \cdot [(c,d)] = [(ac,bd)] |SZ=. }} Man muss jetzt zeigen, dass diese Verknüpfungen wohldefiniert sind, also unabhängig von der Wahl des Repräsentanten, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Wohldefiniertheit der Verknüpfungen/Aufgabe |Refname= {{{ref2|Aufgabe}}} |SZ=. }} Sodann kann man mit einigem Aufwand nachweisen, dass {{math|term= \Q|SZ=}} mit diesen Verknüpfungen und mit den ausgezeichneten Elementen {{ math/disp|term= 0:=[(0,1)] \text{ und } 1:= [(1,1)] |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Ist Körper/Aufgabe |Refname= {{{ref3|Aufgabe}}} |SZ=. }} Das Negative eines Elementes {{mathl|term= [(a,b)]|SZ=}} ist {{mathl|term= [(-a,b)]|SZ=}} und das Inverse eines von null verschiedenen Elementes {{mathl|term= [(a,b)]|SZ=}} ist {{mathl|term= [(b,a)]|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathl|term= [(-b,-a)]|SZ=,}} falls {{math|term= a|SZ=}} negativ ist| |ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Konstruktion der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper der rationalen Zahlen |Stichwort=Konstruktion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e00seu1n723mgt43gz6t6w44975kw7t 0 28787 784561 395412 2022-08-22T06:27:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Peanomodell/Situation|SZ=}} und {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \{0 {{kommadots|}} n^\prime\} ||\{0 {{kommadots|}} n\}\cup \{n^\prime\} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mat9ccegzyb8fwwn263yfx8gzgrrgr9 0 28796 781353 244345 2022-08-21T21:41:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Beispiel |Refname= {{{ref1|Beispiel}}} |SZ= }} definierten Verknüpfungen {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} auf {{math|term= \Q|SZ=}} wohldefiniert sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Wohldefiniertheit |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i9fo4x1hqh8o7utsvzpfd8xbngbvopy 0 28797 781352 755372 2022-08-21T21:40:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Beispiel |Refname= {{{ref1|Beispiel}}} |SZ= }} eingeführte Quotientenmenge {{math|term= \Q|SZ=}} mit den dort eingeführten Verknüpfungen {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} und den Elementen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstruktion |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onehxuakfr6t63v55asx2pd23stzvny 0 28798 781355 755374 2022-08-21T21:41:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Beispiel |Refname= |SZ= }} auf {{math|term= \Z \times \N_+|SZ=}} eingeführte {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Wohldefiniertheit |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8q36f6b8cxzv4w0rcjdw7wb1j4glbho 0 28799 782429 497740 2022-08-22T00:40:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die auf {{math|term= \Z|SZ=}} in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Beispiel |Refname= |SZ= }} eingeführte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a9nyq89cbxnpg9mgk4q21q10ch7ncrx 0 28800 782433 756261 2022-08-22T00:41:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} auf der in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Beispiel |Refname= |SZ= }} eingeführten Menge der ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} eine {{ Definitionslink |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die die Ordnung auf den natürlichen Zahlen fortsetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4c5wvlllqlh0c9hu0pvqkv8g6m9hrdp 0 28802 782427 756257 2022-08-22T00:40:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die auf {{math|term= \N \times \N|SZ=}} in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Beispiel |Refname= |SZ= }} eingeführte {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } a+d=b+c |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstruktion |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxlwodwxkxj35k4nh4d9egwviyer8hg 0 28803 782909 756657 2022-08-22T02:00:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge, {{math|term= s \in M|SZ=}} ein Element und {{ Ma:abb/disp |name=F |M|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |bijektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\Z|M |k|\varphi(k) |SZ=, }} gibt, die die Eigenschaften {{ math/disp|term= \varphi(0)=s \text{ und } \varphi(k+1)=F(\varphi(k)) \text { für alle } k \in \Z |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bijektiven Abbildungen |Kategorie2=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Induktiv |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9h77lqeyyy313zau3myblbntqkrzb0x 0 28828 785926 244823 2022-08-22T10:00:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= \Q|SZ=}} kein Element {{math|term= x|SZ=}} mit {{math|term= x^2=2|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mtoqhhnqarjsudr3iys3jln4rgw93jt 0 28850 779796 751913 2022-08-21T17:23:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir konstruieren, ausgehend von den rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=,}} einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, also ein Modell für den Körper der reellen Zahlen. Es sei {{ math/disp|term= C={{Mengebed|{{op:Folge|}}|\text{Cauchy-Folge in } \Q }} |SZ= }} die Menge aller {{ Definitionslink |Cauchy-Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit rationalen Gliedern. Wir definieren in {{math|term= C|SZ=}} eine Relation durch {{ math/disp|term= {{op:Folge|}} \sim {{op:Folge|y}} , \text{ falls } {{op:Folge|Glied=x_n-y_n}} \text{ eine Nullfolge ist} |SZ=. }} Dies ist eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Nullfolgenäquivalent/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wir definieren nun die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter dieser Relation als reelle Zahlen, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |\R ||C/ \sim || || || |SZ=. }} Unter dieser Identifzierungsabbildung werden also alle Nullfolgen zu null gemacht, und zwei rationale Folgen werden miteinander identifiziert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Wir schreiben die zugehörigen Äquivalenzklassen als {{mathl|term= [{{op:Folge|x}}]|SZ=.}} Auf {{math|term= C|SZ=}} gibt es die gliedweise Addition und Multiplikation. Auf der Quotientenmenge führt dies zum Ansatz {{ math/disp|term= [{{op:Folge|x}}] +[{{op:Folge|y}}] := [{{op:Folge|Glied=x_n+y_n}}] \text{ und } [{{op:Folge|x}}] \cdot [{{op:Folge|y}}] := [{{op:Folge|Glied=x_n \cdot y_n}}] |SZ=. }} Dies ergibt eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf {{math|term= \R|SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Addition und Multiplikation/Wohldefiniert/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Durch die konstanten Folgen zu einer rationalen Zahl {{mathl|term= q\in\Q|SZ=}} ergibt sich eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\Q|\R |q|(q)_{n \in \N} |SZ=, }} die mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist. Mit diesen Operationen und mit {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also der konstanten Nullfolge und der konstanten Einsfolge| |ISZ=|ESZ= }} ist {{math|term= \R|SZ=}} ein Körper, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Ist Körper/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Für jede Cauchy-Folge {{mathl|term= {{op:Folge|}}|SZ=}} gilt die ausschließende Alternative: {{mathl|term= {{op:Folge|}}|SZ=}} ist eine Nullfolge, oder es gibt ein {{mathl|term= q>0|SZ=}} mit {{mathl|term= x_n \geq q|SZ=}} für fast alle{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Das bedeutet für alle bis auf endlich viele| |ISZ=.|ESZ= }} {{mathl|term= n \in \N|SZ=,}} oder es gibt ein {{mathl|term= q< 0|SZ=}} mit {{mathl|term= x_n \leq q|SZ=}} für fast alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Darauf aufbauend kann man {{math|term= \R|SZ=}} in null, in positve und in negative reelle Zahlen einteilen bzw. eine {{ Zusatz/Klammer |text=totale| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Ordnungsrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} darauf definieren. Damit wird {{math|term= \R|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der auch {{ Definitionslink |archimedisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition |SZ= }} ist, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Archimedisch angeordneter Körper/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} In einem letzten Schritt kann man zeigen, dass {{math|term= \R|SZ=}} auch {{ Definitionslink |vollständig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vollständig angeordneter Körper/Definition |SZ= }} ist, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Vollständig/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} excipwbttwjmqnr0oejmd7qjbzjq8wo 0 28855 780770 698606 2022-08-21T20:03:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |x^2 ||a || || || |SZ= }} höchstens zwei Lösungen in {{math|term= K|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratwurzeln in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ls7l0ha5wooafdse17xkfzosx90yuht 0 28858 786089 759241 2022-08-22T10:27:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Beispiel |Refname= {{{ref1|Beispiel}}} |SZ= }} konstruierte Menge {{math|term= \R|SZ=}} mit den dort definierten {{ Definitionslink |Verknüpfungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstruktion |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nqnrjttbw1c2n6cqp6td8it3lsf9z8u 0 28859 786088 759240 2022-08-22T10:27:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Beispiel |Refname= {{{ref1|Beispiel}}} |SZ= }} konstruierte Menge {{math|term= \R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oh0no0j8zsvs0aqtqi8j8z6wk3not40 0 28860 786090 759243 2022-08-22T10:28:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Beispiel |Refname= {{{ref1|Beispiel}}} |SZ= }} konstruierte Menge {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |vollständig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vollständig angeordneter Körper/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstruktion |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 23jtcx98oyucrlk0ucn8dhvt256km72 0 28876 780744 754859 2022-08-21T19:59:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= {{op:Folge|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= x|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die Folge {{ math/disp|term= {{op:Folge|Glied= {{op:Betrag|x_n}}}} |SZ= }} konvergiert, und zwar gegen {{math|term= {{op:Betrag|x}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6n33sb9jopkmfw9wz87i5yucuiosesr 0 28877 780761 754877 2022-08-21T20:02:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} Beispiele für {{ Definitionslink |konvergente Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit {{ mathbed|term= x_n \neq 0 ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} und mit {{math|term= {{op:Folgenlimes|}}=0|SZ=}} derart, dass die Folge {{ math/disp|term= {{op:Folge|Glied= \frac{y_n}{x_n} }} |SZ= }} {{ Aufzählung3 |gegen {{math|term= 0|SZ=}} konvergiert, |gegen {{math|term= 1|SZ=}} konvergiert, |divergiert.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lee66gal8fyo7o6p2o327fcfx5roxut 0 28878 780817 754918 2022-08-21T20:11:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Archimedisch angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= P(x) = {{polynomein|x|d|a|i}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Polynomfunktion/Körper/Definition |SZ= }} mit {{math|term= d \geq 1|SZ=}} und {{math|term= a_d \neq 0|SZ=}} {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Die Funktion sei also nicht konstant| |ISZ=.|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | y_n | {{defeq|}} | P(n) || {{polynomein|n|d|a|i}} || || |SZ= }} definierte Folge bestimmt gegen {{math|term= + \infty|SZ=}} {{ Definitionslink |divergiert| |Kontext=bestimmt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} falls {{math|term= a_d>0 |SZ=}} ist, und bestimmt gegen {{math|term= - \infty|SZ=}} divergiert, falls {{math|term= a_d <0|SZ=}} ist. {{ManSie|Man folgere|Folgern Sie}}, dass die Folgenglieder {{ math/disp|term= \frac{1}{y_n} |SZ= }} für {{math|term= n|SZ=}} hinreichend groß definiert sind und gegen {{math|term= 0 |SZ=}} konvergieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen über Körpern |Kategorie2=Theorie der Folgen in archimedisch angeordneten Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} otc9wha4hcspifq64x2e8fl2j0alkbr 0 28879 780818 754919 2022-08-21T20:11:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Archimedisch angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und seien {{ mathkor|term1= P(x) = {{polynomein|x|d|a|i}} |und|term2= Q(x) = {{polynomein|x|e|b|i}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Polynome| |Kontext=K|msw=Polynomfunktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= a_d, b_e \neq 0|SZ=.}} Man bestimme in Abhängigkeit von {{ mathkor|term1= d |und|term2= e |SZ=, }} ob die durch {{ math/disp|term= z_n = \frac{P(n)}{Q(n)} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= n|SZ=}} hinreichend groß| |ISZ=|ESZ= }} definierte {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen über Körpern |Kategorie2=Theorie der Folgen in archimedisch angeordneten Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2bilexbub8uvknexg963hjcx3noqz9m 0 28880 783462 757139 2022-08-22T03:32:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es sei {{math|term= P(x) = {{polynomein|x|d|a|i}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Polynomfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{Op:Folge|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} mit Grenzwert {{math|term= x|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} durch Induktion über {{math|term= d|SZ=,}} dass dann auch die durch {{ math/disp|term= y_n := P(x_n) |SZ= }} definierte Folge konvergiert, und zwar gegen {{math|term= P(x)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 08jngq4ebdnlwigslzuvisdduwuil3b 0 28882 779730 763862 2022-08-21T17:14:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{Stichwort|Anschauungsraum|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Ebene| |ISZ=|ESZ=, }} wie man ihn sich elementargeometrisch vorstellt, ist kein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=! }} Weder gibt es in ihm eine natürliche {{math|term=0|SZ=}} noch kann man zwei Punkte darin miteinander addieren oder einen Punkt mit einer Zahl multiplizieren. Dies sieht anders aus, wenn man nicht den Anschauungsraum betrachtet, sondern alle möglichen {{Stichwort|Parallelverschiebungen|msw=Parallelverschiebung|SZ=}} im Anschauungsraum. Eine solche elementar-geometrische Verschiebung verschiebt jeden Punkt in eine bestimmte, für alle Punkte gleiche Richtung. Eine solche Verschiebungsrichtung kann man sich als einen Pfeil vorstellen. Die Menge der Parallelverschiebungen kann man in natürlicher Weise zu einem Vektorraum über {{math|term=\R|SZ=}} machen. Der Nullvektor ist dann die Nullverschiebung, die also nichts verschiebt, sondern jeden Punkt an seinem Ort lässt. Die Addition von Verschiebungen ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen. Sie wird beschrieben, indem man das Ende des einen Verschiebungspfeils an die Spitze des anderen Verschiebungspfeils anlegt und den Gesamtpfeil betrachtet. Diese Verknüpfung ist kommutativ {{ Zusatz/Klammer |text=Parallelogramm| |ISZ=|ESZ=. }} Die Multiplikation mit einer positiven Zahl ist dann die Streckung oder Stauchung der Verschiebung um den als Skalar gegebenen Faktor, die Multiplikation mit einer negativen Zahl ist dann die Streckung oder Stauchung in die andere Richtung. Insbesondere ist das Negative einer Verschiebung die {{Stichwort|entgegengesetzte Verschiebung|SZ=.}} Wenn man allerdings im Anschauungsraum einen Punkt als {{Stichwort|Ursprungspunkt|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Nullpunkt|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} auszeichnet, so kann man jeden Punkt mit dem Verbindungspfeil vom Ursprung zu diesem Punkt identifizieren und erhält dann eine Vektorraumstruktur auf dem Anschauungsraum. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Anschauungsraumes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Anschauungsraum |Stichwort=Anschauungsraum |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kb0m1rybl83qn7pxtfceh26077hz6l1 780025 779730 2022-08-21T17:59:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{Stichwort|Anschauungsraum|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Ebene| |ISZ=|ESZ=, }} wie man ihn sich elementargeometrisch vorstellt, ist kein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=! }} Weder gibt es in ihm eine natürliche {{math|term= 0|SZ=}} noch kann man zwei Punkte darin miteinander addieren oder einen Punkt mit einer Zahl multiplizieren. Dies sieht anders aus, wenn man nicht den Anschauungsraum betrachtet, sondern alle möglichen {{Stichwort|Parallelverschiebungen|msw=Parallelverschiebung|SZ=}} im Anschauungsraum. Eine solche elementar-geometrische Verschiebung verschiebt jeden Punkt in eine bestimmte, für alle Punkte gleiche Richtung. Eine solche Verschiebungsrichtung kann man sich als einen Pfeil vorstellen. Die Menge der Parallelverschiebungen kann man in natürlicher Weise zu einem Vektorraum über {{math|term= \R|SZ=}} machen. Der Nullvektor ist dann die Nullverschiebung, die also nichts verschiebt, sondern jeden Punkt an seinem Ort lässt. Die Addition von Verschiebungen ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen. Sie wird beschrieben, indem man das Ende des einen Verschiebungspfeils an die Spitze des anderen Verschiebungspfeils anlegt und den Gesamtpfeil betrachtet. Diese Verknüpfung ist kommutativ {{ Zusatz/Klammer |text=Parallelogramm| |ISZ=|ESZ=. }} Die Multiplikation mit einer positiven Zahl ist dann die Streckung oder Stauchung der Verschiebung um den als Skalar gegebenen Faktor, die Multiplikation mit einer negativen Zahl ist dann die Streckung oder Stauchung in die andere Richtung. Insbesondere ist das Negative einer Verschiebung die {{Stichwort|entgegengesetzte Verschiebung|SZ=.}} Wenn man allerdings im Anschauungsraum einen Punkt als {{Stichwort|Ursprungspunkt|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Nullpunkt|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} auszeichnet, so kann man jeden Punkt mit dem Verbindungspfeil vom Ursprung zu diesem Punkt identifizieren und erhält dann eine Vektorraumstruktur auf dem Anschauungsraum. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Anschauungsraumes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Anschauungsraum |Stichwort=Anschauungsraum |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7u6djd6tfscbcrse1ercxvnwm3yl29h 0 28884 780820 754921 2022-08-21T20:12:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass es im Wesentlichen nur einen {{ Definitionslink |vollständigen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vollständig angeordneter Körper/Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition |SZ= }} gibt, so dass man von {{Betonung|dem}} {{Stichwort|Körper der reellen Zahlen}} sprechen kann. Dazu sei {{math|term= {\mathbb K}|SZ=}} ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper {{ Zusatz/Klammer |text=der nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Körper/Enthält Q/Aufgabe |Refname= {{{ref1|Aufgabe}}} |SZ= }} die rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=}} enthält | |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= \R=C/\sim|SZ=}} sei der in {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Beispiel |Refname= {{{ref2|Beispiel}}} |SZ= }} konstruierte Körper. Man zeige {{ Aufzählung5 |Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |C | {\mathbb K} |{{op:Folge|}} | {{op:Folgenlimes|}} |SZ=, }} die eine Cauchyfolge in {{math|term= \Q|SZ=}} auf den Grenzwert in {{math|term= {\mathbb K}|SZ=}} abbildet, ist wohldefiniert. |Diese Abbildung definiert eine wohldefinierte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R|\mathbb K | [ {{op:Folge|}} ] | {{op:Folgenlimes|}} |SZ=. }} |Die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} schickt {{math|term= [ {{op:Folge|Glied=0|}}]|SZ=}} auf {{math|term= 0_{\mathbb K}|SZ=}} und {{math|term= [ {{op:Folge|Glied=1|}}]|SZ=}} auf {{math|term= 1_{\mathbb K}|SZ=. }} |Die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} ist mit Summen und Produkten verträglich, d.h. es gilt {{math|term= \varphi(a+b)= \varphi(a) + \varphi(b) |SZ=}} und {{math|term= \varphi(a \cdot b)= \varphi(a) \cdot \varphi(b) |SZ=}} für beliebige {{math|term= a,b \in \R|SZ=.}} |Die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} ist {{ Definitionslink |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Eindeutigkeit |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 26omvt35woldja9pwgnjtni75ac2olw 0 28894 782263 756116 2022-08-22T00:12:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Archimedisch angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Folge|Glied=\frac{n}{2^n} }} |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in archimedisch angeordneten Körpern |Kategorie2=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33qe6cp7jchxe2iw6xdzk86nbubdtwa 0 28895 782215 756081 2022-08-22T00:04:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Op:Folge|f}}|SZ=}} die Folge der {{ Definitionslink |Fibonacci-Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Fibonacci-Zahlen/Folge/Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n || {{op:Bruch|f_n|f_{n-1} }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Folge in {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und dass der Grenzwert {{math|term= x|SZ=}} die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||1 + x^{-1} || || || |SZ= }} erfüllt. Berechne{{n Sie}} daraus {{math|term= x|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Folge der Fibonacci-Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3=Theorie der rationalen Folgen |Objektkategorie= |Stichwort=Binet |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} plcdzmsxz1btxxwy0yhkkehquxcpxo2 0 28902 780745 754860 2022-08-21T19:59:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Archimedisch angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es sei {{math|term= {{Op:Folge|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= x|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | y_n | {{defeq|}} | \frac{ x_0 + x_1 {{plusdots||}} x_n }{n+1} || || || |SZ= }} definierte Folge gegen {{math|term= x|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Mittelwert |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6f9dgnzdcw5pebfy5efzv4r0uzzwtmy 0 28905 786062 759212 2022-08-22T10:23:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= I_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Intervallschachtelung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt {{ math/disp|term= \bigcap_{n \in \N} I_n |SZ= }} aus genau einem Punkt {{mathl|term= x \in \R|SZ=}} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Intervallschachtelung |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 67uvd015y58924poglw0h8a22uvh4uq 0 28912 786045 759201 2022-08-22T10:20:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= a \in \R_{\geq 0}|SZ=}} eine nichtnegative {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= x_0 \in \R_+|SZ=.}} Zeige, dass die rekursiv definierte {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_{n+1} | {{defeq|}} | \frac{ x_n + a/x_n }{2} || || || |SZ= }} gegen {{math|term= \sqrt{a}|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sckgbh44zbrryshw0d7si4xrjynuu6z 0 28999 785918 759070 2022-08-22T09:59:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} auf der in {{ Faktlink |Faktseitenname= Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Beispiel |Refname= {{{ref1|Beispiel}}} |SZ= }} konstruierten Menge {{math|term= \Q|SZ=}} eine {{ Definitionslink |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{math|term= \Q|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} macht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8g6oy7y6bzaf5sm9jono2pd26oo4rcm 0 29025 780790 754897 2022-08-21T20:07:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|}} |und|term2= {{Op:Folge|y}} |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |konvergente Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= x_n \geq y_n|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie|}}, dass dann {{mathl|term= {{op:Folgenlimes|x}} \geq {{op:Folgenlimes|y}}|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8z2fy5i442aj39a4ighku9tezrjyugo 0 29026 780732 754847 2022-08-21T19:57:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|}}, \, {{Op:Folge|y}} |und|term2= {{Op:Folge|z}} |SZ= }} drei {{ Definitionslink |Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=.}} Es gelte {{ math|term= x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N |SZ= }} und {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|}} |und|term2= {{Op:Folge|z}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergieren| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beide gegen den gleichen Grenzwert {{math|term= a|SZ=.}} Zeige{{n Sie|}}, dass dann auch {{math|term= {{Op:Folge|y}}|SZ=}} gegen diesen Grenzwert {{math|term= a|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 27dmzna7dhn7ox0zy8n3tdjbspro8wh 0 29063 785931 759082 2022-08-22T10:01:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man untersuche|Untersuchen Sie}} die folgenden Teilmengen {{math|term= M \subseteq \Q|SZ=}} auf die Begriffe {{ Definitionslink |obere Schranke| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |untere Schranke| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Supremum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Infimum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Maximum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Minimum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung9 | {{math|term= \{2,-3,-4,5,6,-1,1\} |SZ=,}} | {{math|term= \left \{\frac{1}{2},\frac{-3}{7} , \frac{-4}{9} , \frac{5}{9} , \frac{6}{13} , \frac{-1}{3}, \frac{1}{4} \right \} |SZ=,}} | {{math|term= ]-5, 2]|SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed/lr| \frac{1}{n}|n \in \N_+ }} |SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed/lr| \frac{1}{n}|n \in \N_+ }} \cup \{0\} |SZ=,}} | {{math|term= \Q_-|SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed|x \in \Q|x^2 \leq 2}} |SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed|x \in \Q|x^2 \leq 4}} |SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed|x^2|x \in \Z}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6dyimkem8gb5arbonvqq7x2pwg0r6q4 0 29064 782780 501661 2022-08-22T01:39:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} von Hand die Approximationen {{math|term= x_1,x_2,x_3,x_4|SZ=}} im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von {{math|term= 5|SZ=}} zum Startwert {{math|term= x_0=2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} di62i0zjm7qif5cez4nkff30j3lvmti 0 29066 780066 763876 2022-08-21T18:05:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Beim {{Stichwort|Heron-Verfahren|SZ=}} zur näherungsweisen Berechnung von {{math|term= \sqrt{c}|SZ=}} einer positiven Zahl {{math|term= c|SZ=}} geht man iterativ wie folgt vor. Man startet mit einem beliebigen positiven Startwert {{math|term= x_0|SZ=}} und berechnet davon das {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetische Mittel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ mathkor|term1= x_0 |und|term2= {{op:Bruch|c|x_0}} |SZ=. }} Dieses Mittel nennt man {{math|term= x_1|SZ=.}} Es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_1^2-c || {{makl| \frac{x_0 + \frac{c}{x_0} }{2} |}}^2-c || \frac{x_0^2+2c+ \frac{c^2}{x_0^2} }{4} - c || \frac{x_0^2-2c+ \frac{c^2}{x_0^2} }{4} || {{makl| \frac{x_0 - \frac{c}{x_0} }{2} |}}^2 |\geq|0 |SZ=. }} D.h. dass {{math|term= x_1|SZ=}} mindestens so groß wie {{math|term= \sqrt{c}|SZ=}} ist. Auf {{math|term= x_1|SZ=}} wendet man iterativ das gleiche Verfahren an und erhält so {{math|term= x_2|SZ=}} usw. Die rekursive Definition von {{mathl|term= x_{n+1} |SZ=}} lautet also {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_{n+1} || {{op:Bruch|x_n + {{op:Bruch|c|x_n}} |2}} || || || |SZ=. }} Nach Konstruktion weiß man, dass {{math|term= \sqrt{c}|SZ=}} in jedem Intervall {{mathl|term= [c/x_n, x_n]|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Ma:Vergleichskette/k | n |\geq| 1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} liegt, da aus {{ Ma:Vergleichskette | x_n^2 |\geq| c || || || |SZ= }} direkt {{ Ma:Vergleichskette | {{makl|\frac{c}{x_n}|}}^2 || {{op:Bruch|c^2|x_n^2}} |\leq| {{op:Bruch|c^2|c}} || c || || || |SZ= }} folgt. Bei jedem Schritt gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | [ {{op:Bruch|c|x_{n+1} }}, x_{n+1} ] | \subseteq | [{{op:Bruch|c|x_{n} }}, x_{n} ] || || || |SZ=, }} d.h. das Nachfolgerintervall liegt innerhalb des Vorgängerintervalls. Dabei wird bei jedem Schritt die Intervalllänge mindestens halbiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gx2w1fj443cyagb589ag8nvxn0j46a1 0 29126 780704 754820 2022-08-21T19:52:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass jedes {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der unbeschränkten Intervalle| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Abschnitt| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen Abschnitt in {{math|term= \Q|SZ=,}} der kein Intervall ist. Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= \R|SZ=}} jeder Abschnitt ein Intervall ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bunxz8ke1jbr4t6e5z6zxd1z3dqzp3 0 29127 782255 756111 2022-08-22T00:11:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=,}} die {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \Q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} nicht {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Q |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8d02rhdtjyv2khrc110yxxopn42314h 0 29138 782269 756123 2022-08-22T00:13:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Folge/Situation|}} mit {{mathl|term= x_n >0|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann {{ Definitionslink |bestimmt divergent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Angeordneter Körper/Folge/Bestimmte Divergenz/Definition |SZ= }} gegen {{math|term= + \infty|SZ=}} ist, wenn {{math|term= {{Op:Folge|glied= \frac{1}{x_n} }} |SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Divergenz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 29gdkkwditrf10iihnwp9oovinujb3s 0 29139 782253 756109 2022-08-22T00:11:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=,}} für die es sowohl eine {{ Definitionslink |bestimmt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Angeordneter Körper/Folge/Bestimmte Divergenz/Definition |SZ= }} gegen {{math|term= + \infty|SZ=}} als auch eine bestimmt gegen {{math|term= - \infty|SZ=}} divergente {{ Definitionslink |Teilfolge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Divergenz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tw9n6twl8e9m27xickp48tkow9pccpy 0 29140 782252 756108 2022-08-22T00:10:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass eine bestimmt gegen {{math|term= +\infty|SZ=}} {{ Definitionslink |divergente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Angeordneter Körper/Folge/Bestimmte Divergenz/Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |nach unten beschränkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=,}} die nach unten, aber nicht nach oben beschränkt ist, und die nicht bestimmt divergent gegen {{math|term= + \infty|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Divergenz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} psg4gkbpnpou7d0x48ztcca6n5sgewn 0 29141 780720 754835 2022-08-21T19:55:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} in {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=Folge ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dflz4lgtgz0vbccj1f98uxqqdcuhs0v 0 29172 779339 763436 2022-08-21T16:12:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | z || a+b {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |komplexe Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann hat die komplexe Zahl {{ Ma:Vergleichskette/disp | u || \frac{1}{ \sqrt{2} } {{makl| \sigma \sqrt{ {{op:Betrag|z|}} +a } + {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{ {{op:Betrag|z|}}-a } }} || || || |SZ= }} mit dem Vorzeichen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sigma || \begin{cases} 1, \text{ falls } b \geq 0 \, , \\ -1 \text{ falls } b < 0 \, , \end{cases} || || || |SZ= }} die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/disp | u^2 || z || || || |SZ=. }} Insbesondere besitzt also {{math|term= z|SZ=}} zwei Quadratwurzeln, nämlich {{ mathkor|term1= u |und|term2= -u |SZ=, }} die bei {{ Ma:Vergleichskette |z ||0 || || || |SZ= }} zusammenfallen. Wir zeigen dies für den Fall {{ Ma:Vergleichskette/disp |b |\geq|0 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | u^2 || {{makl| \frac{1}{\sqrt{2} } {{makl| \sqrt{ {{op:Betrag|z|}} +a } + {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{ {{op:Betrag|z|}} - a } }} }}^2 || \frac{1}{2} {{makl| {{op:Betrag|z|}} + a - {{makl| {{op:Betrag|z|}}-a }} + 2 {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{ {{makl| {{op:Betrag|z|}} +a }} {{makl| {{op:Betrag|z|}}-a }} } }} || \frac{1}{2} {{makl| 2a + 2 {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{ {{op:Betrag|z|}}^2 - a^2 } }} || \frac{1}{2} {{makl| 2a + 2 {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{ b^2 } }} || \frac{1}{2} {{makl| 2a + 2 {{Imaginäre Einheit|}} b }} || a+b {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplexen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nh74n30ikloqlr98brkiedzcj36126v 0 29182 783397 577729 2022-08-22T03:21:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= a,b,c \in {{CC}}|SZ=}} mit {{math|term= a \neq 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es für die Gleichung {{ math/disp|term= az^2+bz+c=0 |SZ= }} mindestens eine komplexe Lösung {{math|term= z|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c5tqg8sry7xule0zfhxaw80uadmk5rr 0 29183 783399 577730 2022-08-22T03:22:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= a,b,c \in {{CC}}|SZ=}} mit {{math|term= a \neq 0|SZ=.}} {{ManSie|Man charakterisiere|Charakterisieren Sie}}, wann es für die Gleichung {{ math/disp|term= az^2+bz+c=0 |SZ= }} genau eine Lösung in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} gibt und wann zwei Lösungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadratwurzel |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8hham8jg04w3e0dtxoiftjnwelfa8gf 0 29186 783390 604992 2022-08-22T03:20:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} alle drei komplexen Zahlen {{math|term= z|SZ=,}} die die Bedingung {{ math/disp|term= z^3=1 |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hffrajpdp62ra0vkzjw3cmz9axju5si 0 29208 778666 762587 2022-08-21T12:37:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie=Wir führen einen Ringschluss durch. |Notation= |Beweis= {{ Beweis12 |Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir {{math|term= v_1|SZ=,}} aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also {{mathl|term= v_2 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} kein Erzeugendensystem mehr ist. {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, |Argumentation= so wäre insbesondere {{math|term= v_1|SZ=}} als {{ Definitionslink |Linearkombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte {{ math/disp|term= v_1= \sum_{i=2}^n {{skalar}}_i v_i |SZ=. }} Dann ist aber {{ math/disp|term= v_1- \sum_{i=2}^n {{skalar}}_i v_i = 0 |SZ= }} eine nichttriviale Darstellung der {{math|term= 0|SZ=,}} |Widerspruch= im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie. |Zusammenfassung= }} {{ Beweis23 |Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, so dass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt. {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Angenommen, es gibt für ein {{mathl|term= u \in V|SZ=}} eine mehrfache Darstellung, |Argumentation= d.h. {{ Ma:Vergleichskette/disp |u ||\sum_{i {{=|}} 1}^n {{skalar}}_i v_i ||\sum_{i {{=|}} 1}^n {{skalar2}}_i v_i || || |SZ=, }} wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei {{mathl|term= {{skalar}}_1 \neq {{skalar2}}_1|SZ=.}} Dann erhält man die Beziehung {{ math/disp|term= ({{skalar}}_1 - {{skalar2}}_1)v_1 = \sum_{i=2}^n ({{skalar2}}_i- {{skalar}}_i) v_i |SZ=. }} Wegen {{mathl|term= {{skalar}}_1 - {{skalar2}}_1 \neq 0 |SZ=}} kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von {{math|term= v_1|SZ=}} durch die anderen Vektoren. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Vektorraum/Erzeugendensystem/Darstellbare Vektoren weglassen/Aufgabe |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ist auch die Familie ohne {{math|term= v_1|SZ=}} ein Erzeugendensystem von {{math|term= V|SZ=,}} |Widerspruch= im Widerspruch zur Minimalität. |Zusammenfassung= }} | }} {{ Beweis34 |Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Nimmt man einen Vektor {{math|term= u|SZ=}} hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung {{ math/disp|term= u= \sum_{i=1}^n {{skalar}}_i v_i |SZ= }} und daher ist {{ math/disp|term= 0= u- \sum_{i=1}^n {{skalar}}_i v_i |SZ= }} eine nichttriviale Darstellung der {{math|term= 0|SZ=,}} so dass die verlängerte Familie {{mathl|term= u,v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} nicht linear unabhängig ist.| }} {{ Beweis41 |Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Sei dazu {{mathl|term= u \in V|SZ=.}} Nach Voraussetzung ist die Familie {{mathl|term= u,v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung {{ math/disp|term= 0= {{skalar}} u + \sum_{i=1}^n {{skalar}}_iv_i |SZ=. }} Dabei ist {{mathl|term= {{skalar}} \neq 0|SZ=,}} da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der {{math|term= 0|SZ=}} allein mit den linear unabhängigen Vektoren {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} wäre. Daher können wir {{ math/disp|term= u= - \sum _{i=1}^n \frac{ {{skalar}}_i}{ {{skalar}} } v_i |SZ= }} schreiben, so dass eine Darstellung von {{math|term= u|SZ=}} möglich ist.| }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fmk3j98p067phgeo946uvozvgir0637 0 29212 780023 752299 2022-08-21T17:59:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Dann ist die {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=m| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |K^n || \underbrace{K {{timesdots|}} K }_{n\text{-mal} } ||{{Mengebed| {{op:Zeilenvektor1n|x}} |x_i \in K }} |SZ= }} mit der komponentenweisen Addition und der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{skalar}} {{op:Zeilenvektor1n|x}} ||{{op:Zeilenvektor1n|{{skalar}} x}} || || || |SZ= }} definierten Skalarmultiplikation ein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man nennt ihn den {{math|term= n|SZ=-}}di{{latextrenn}}mensionalen {{Stichwort|Standardraum|SZ=.}} Insbesondere ist {{ Ma:Vergleichskette |K^1 ||K || || || |SZ= }} selbst ein Vektorraum. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rdraxgwp0ifex791000ndnjbn2ljxrs 0 29214 780020 763859 2022-08-21T17:59:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Wir betrachten die Menge der {{ Definitionslink |Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | V || {{Mengebed|x| x : \N \rightarrow K \text{ Abbildung} }} || || || |SZ=. }} Diese Menge ist mit {{ Definitionslink |komponentenweiser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Verknüpfung/Produktmenge/Definition |SZ= }} Addition, bei der also die Summe von zwei Folgen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x+y)_n | {{defeq|}} | x_n +y_n || || || |SZ= }} erklärt wird, und mit der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | (\lambda x)_n |{{defeq|}}| \lambda x_n || || || |SZ= }} definierten Skalarmultiplikation ein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Folgen in einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Folge |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kdyqjri5don9mgvb556j7xjkhbnlgt4 0 29216 780019 763858 2022-08-21T17:58:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und sei {{ math/disp|term= V = {{Mengebed|x| x : \N \rightarrow K \text{ Abbildung} }} |SZ= }} die Menge der Folgen in {{math|term= K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/Folgenmenge in K/Beispiel |Refname= {{{ref1|Beispiel}}} |SZ= }} |ISZ=.|ESZ=. }} Dann sind die beiden Teilmengen {{ math/disp|term= U= {{Mengebed|x \in V|x \text{ konvergiert in }K }} |SZ= }} und {{ math/disp|term= C={{Mengebed|x \in V|x \text{ ist Cauchy-Folge} }} |SZ= }} {{ Definitionslink |Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} mit {{mathl|term= U \subseteq C|SZ=.}} Die erste Aussage folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} (1),(3) |SZ=, }} für die zweite Aussage siehe [[Vektorraum/Folgenmenge in angeordnetem K/Cauchyfolgen als Unterraum/Aufgabe|{{{ref2|Aufgabe}}}]]. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t8tygm1d4pd40dv9g1sduwnn2ovlmif 0 29219 783400 622526 2022-08-22T03:22:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von {{math|term= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4jjccgpnze4bs3afvy6uf5zqfz5rerc 0 29220 783376 757066 2022-08-22T03:18:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= (1+ {{Imaginäre Einheit|}})^n |SZ= }} für {{math|term= n=1,2,3,4,5|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} okbdywkw8zm44ofwfstajm32qjlmko6 0 29221 783381 757070 2022-08-22T03:19:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die folgenden Ausdrücke innerhalb der {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung6 |{{math|term= (5+4 {{Imaginäre Einheit|}})(3-2 {{Imaginäre Einheit|}})|SZ=.}} |{{math|term= (2+3 {{Imaginäre Einheit|}})(2-4 {{Imaginäre Einheit|}} ) +3(1- {{Imaginäre Einheit|}} )|SZ=.}} |{{math|term= (2 {{Imaginäre Einheit|}}+3)^2|SZ=.}} |{{math|term= {{Imaginäre Einheit|}}^{1011}|SZ=.}} |{{math|term= (-2+5 {{Imaginäre Einheit|}})^{-1}|SZ=.}} |{{math|term= \frac{4-3 {{Imaginäre Einheit|}}}{2+ {{Imaginäre Einheit|}} }|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rechnen |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1o6ze6fzkqpjn7haq0vl2hnkfvv1jun 0 29225 783351 757043 2022-08-22T03:14:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |komplexe Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die folgenden Rechenregeln gelten. {{ Aufzählung6 |{{math|term= {{op:Komplexe Konjugation|z+w||}}= {{op:Komplexe Konjugation|z|}} + {{op:Komplexe Konjugation|w|}} |SZ=.}} |{{math|term= {{op:Komplexe Konjugation|-z||}}= - {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |SZ=.}} |{{math|term= {{op:Komplexe Konjugation|z \cdot w||}}= {{op:Komplexe Konjugation|z|}} \cdot {{op:Komplexe Konjugation|w|}} |SZ=.}} |Für {{math|term= z \neq 0|SZ=}} ist {{math|term= {{op:Komplexe Konjugation|1/z }} =1/{{op:Komplexe Konjugation|z|}} |SZ=.}} |{{math|term= {{op:Komplexe Konjugation| {{op:Komplexe Konjugation|z|}}|}} =z|SZ=.}} |{{math|term= {{op:Komplexe Konjugation|z|}} =z|SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= z \in \R|SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 84xo2wfrha5rd5m74ztnk86hx580uvj 0 29226 783384 757073 2022-08-22T03:19:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass innerhalb der {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} folgende Rechenregeln gelten. {{ Aufzählung5 |{{math|term= {{op:Betrag|z|}}= \sqrt{ z \ {{op:Komplexe Konjugation|z|}} } |SZ=.}} |{{math|term= {{op:Realteil|z|}} = \frac{z+ {{op:Komplexe Konjugation|z|}} }{2} |SZ=.}} |{{math|term= {{op:Imaginärteil|z|}} = \frac{z - {{op:Komplexe Konjugation|z|}} }{2 {{Imaginäre Einheit|}} } |SZ=.}} |{{math|term= {{op:Komplexe Konjugation|z|}}= {{op:Realteil|z|}} - {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Imaginärteil|z|}} |SZ=.}} |Für {{math|term= z \neq 0|SZ=}} ist {{mathl|term= z^{-1}= \frac{ {{op:Komplexe Konjugation|z|}} }{ {{op:Betrag|z|}}^2 } |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2=Theorie der komplexen Konjugation |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jezdw3zxthjrgnjai49zt3wpa6z3leq 0 29227 783406 757087 2022-08-22T03:23:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} die folgenden Regeln für den {{ Definitionslink |Betrag| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung7 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|z|}} || \sqrt{ z \ {{op:Komplexe Konjugation|z|}} } || || || |SZ=. }} |Für reelles {{math|term= z|SZ=}} stimmen reeller und komplexer Betrag überein. |Es ist {{math|term= {{op:Betrag|z|}}=0 |SZ=}} genau dann, wenn {{math|term= z=0|SZ=}} ist. |{{math|term= {{op:Betrag|z|}}= {{op:Betrag| {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |}} |SZ=.}} |{{math|term= {{op:Betrag|zw|}} = {{op:Betrag|z|}} {{op:Betrag|w|}}|SZ=.}} |Für {{math|term= z \neq 0|SZ=}} ist {{math|term= {{op:Betrag|1/z|}} = 1/ {{op:Betrag|z|}}|SZ=.}} |{{math|term= {{op:Betrag| {{op:Realteil|z|}} }}, {{op:Betrag| {{op:Imaginärteil|z|}} }} \leq {{op:Betrag|z|}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Betrag |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a0q4yvwyp4a2i115vnt6sol4oge3ty7 0 29233 780022 763860 2022-08-21T17:59:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC}}|SZ=}} bilden einen {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und daher bilden sie einen {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über sich selbst. Andererseits sind die komplexen Zahlen {{{opt1|als additive Gruppe}}} gleich {{math|term= \R^2|SZ=.}} Die Multiplikation einer komplexen Zahl {{mathl|term= a+b {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} mit einer reellen Zahl {{ Ma:Vergleichskette | {{skalar}} || ({{skalar}},0) || || |SZ= }} geschieht komponentenweise, d.h. diese Multiplikation stimmt mit der skalaren Multiplikation auf {{math|term= \R^2|SZ=}} überein. Daher sind die komplexen Zahlen auch ein reeller Vektorraum.{{{zusatz1|}}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bakqweefc5z504xc1vkvujn52p66bil 0 29242 778670 762591 2022-08-21T12:38:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ein Erzeugendensystem von {{math|term= V|SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |endlichen| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Indexmenge {{math|term= I|SZ=.}} Wir wollen mit der Charakterisierung aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} argumentieren. {{ Fallunterscheidung |Fall1= Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. |Fall2= Andernfalls gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |k |\in|I || || || |SZ= }} derart, dass die um {{math|term= v_k|SZ=}} reduzierte Familie, also {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I \setminus \{k\} ||bedterm2= |SZ=, }} ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren. |Fall3=|Fall4=|Fall5= }} Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |J |\subseteq|I || || || |SZ= }} derart, dass {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in J ||bedterm2= |SZ=, }} ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aby11vuwdmi0dbzkrrvy3hn4e1ufgnm 0 29245 778661 762582 2022-08-21T12:37:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist.|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zunächst kann man wegen {{ math/disp|term= w = \sum_{i=1}^n {{skalar|}}_i v_i |SZ= }} und {{mathl|term= {{skalar|}}_k \neq 0|SZ=}} den Vektor {{math|term= v_k|SZ=}} als {{ math/disp|term= v_k =\frac{1}{ {{skalar|}}_k}w - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{ {{skalar|}}_i}{ {{skalar|}}_k} v_i - \sum_{i=k+1}^{n} \frac{ {{skalar|}}_i}{ {{skalar|}}_k} v_i |SZ= }} schreiben. Sei nun {{mathl|term= u \in V|SZ=}} beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben {{ Ma:Vergleichskette/align | u ||\sum_{i {{=|}} 1}^n {{skalar2|}}_i v_i ||\sum_{i {{=|}} 1}^{k-1} {{skalar2|}}_i v_i + {{skalar2|}}_k v_k + \sum_{i {{=|}} k+1}^n {{skalar2|}}_i v_i ||\sum_{i {{=|}} 1}^{k-1} {{skalar2|}}_i v_i + {{skalar2|}}_k {{makl|\frac{1}{ {{skalar|}}_k}w - \sum_{i {{=|}} 1}^{k-1} \frac{ {{skalar|}}_i}{ {{skalar|}}_k} v_i - \sum_{i {{=|}} k+1}^{n} \frac{ {{skalar|}}_i}{ {{skalar|}}_k} v_i|}} + \sum_{i {{=|}} k+1}^n {{skalar2|}}_i v_i ||\sum_{i {{=|}} 1}^{k-1} {{makl|{{skalar2|}}_i - {{skalar2|}}_k \frac{ {{skalar|}}_i}{ {{skalar|}}_k}|}} v_i + \frac{ {{skalar2|}}_k }{ {{skalar|}}_k}w + \sum_{i {{=|}} k+1}^n {{makl|{{skalar2|}}_i - {{skalar2|}}_k \frac{ {{skalar|}}_i}{ {{skalar|}}_k}|}} v_i || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zum Nachweis der {{ Definitionslink |linearen Unabhängigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung {{mathl|term= k=1|SZ=}} an. Es sei {{ math/disp|term= {{skalar2|}}_1w + \sum_{i=2}^n {{skalar2|}}_iv_i= 0 |SZ= }} eine Darstellung der Null. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 ||{{skalar2|}}_1w + \sum_{i {{=|}} 2}^n {{skalar2|}}_iv_i ||{{skalar2|}}_1 {{makl|\sum_{i {{=|}} 1}^n {{skalar|}}_i v_i |}} + \sum_{i {{=|}} 2}^n {{skalar2|}}_iv_i || {{skalar2|}}_1 {{skalar|}}_1v_1 + \sum_{i {{=|}} 2}^n {{makl|{{skalar2|}}_1 {{skalar|}}_i+{{skalar2|}}_i |}} v_i || |SZ=. }} Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere {{mathl|term= {{skalar2|}}_1 {{skalar|}}_1=0|SZ=,}} und wegen {{mathl|term= {{skalar|}}_1 \neq 0|SZ=}} ergibt sich {{mathl|term= {{skalar2|}}_1=0|SZ=.}} Deshalb ist {{mathl|term= \sum_{i=2}^n {{skalar2|}}_iv_i= 0|SZ=}} und daher gilt {{mathl|term= {{skalar2|}}_i=0|SZ=}} für alle {{math|term= i|SZ=.}} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tqib28chm9ikoidm6vfvhgnr0xlr82z 0 29247 778662 442218 2022-08-21T12:37:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Induktionsbeweis |Strategie= Wir führen Induktion über {{math|term= k|SZ=,}} also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. |Anfang= Bei {{mathl|term= k=0|SZ=}} ist nichts zu zeigen. |Schluss= Sei die Aussage für {{math|term= k|SZ=}} schon bewiesen und seien {{mathl|term= k+1|SZ=}} linear unabhängige Vektoren {{ math/disp|term= u_1 {{kommadots|}} u_k, u_{k+1} |SZ= }} gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die {{ Zusatz/Klammer |text=ebenfalls linear unabhängigen| |ISZ=|ESZ= }} Vektoren {{ math/disp|term= u_1 {{kommadots|}} u_k |SZ= }} gibt es eine Teilmenge {{mathl|term= J=\{ i_1, i_2 {{kommadots|}} i_k \} \subseteq \{1 {{kommadots|}} n \} |SZ=}} derart, dass die Familie {{ math/disp|term= u_1 {{kommadots|}} u_k, b_i, i \in I \setminus J |SZ=, }} eine Basis von {{math|term= V|SZ=}} ist. Wir wollen auf diese Basis {{ Faktlink |Präwort=das|Austauschlemma|Faktseitenname= Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man {{ Ma:Vergleichskette/disp | u_{k+1} || \sum_{j {{=}} 1}^k c_j u_j + \sum_{ i \in I \setminus J} d_i b_i || || || |SZ= }} schreiben. {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Wären hierbei alle Koeffizienten {{mathl|term= d_i=0|SZ=,}} |Argumentation= |Widerspruch= so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der {{ mathbed|term= u_j ||bedterm1= j=1 {{kommadots|}} k+1 ||bedterm2= |SZ=. }} Es gibt also ein {{mathl|term= i \in I \setminus J|SZ=}} mit {{mathl|term= d_{i} \neq 0|SZ=.}} Wir setzen {{mathl|term= i_{k+1}:=i|SZ=.}} Damit ist {{mathl|term= J'=\{ i_1, i_2 {{kommadots|}} i_k, i_{k+1} \}|SZ=}} eine {{mathl|term= (k+1)|SZ=-}}elementige Teilmenge von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=.}} Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor {{ mathkor|term1= b_{i_{k+1} } |durch|term2= u_{k+1} |SZ= }} ersetzen und erhält die neue Basis {{ math/disp|term= u_1 {{kommadots|}} u_k, u_{k+1}, b_i, i \in I \setminus J'|SZ=. }} |Zusammenfassung= }} |Zusammenfassung= }} |Abschluss=Der Zusatz folgt sofort, da eine {{math|term= k|SZ=-}}elementige Teilmenge einer {{math|term= n|SZ=-}}elementigen Menge vorliegt. }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l2c6ooq276iphtghpy9z3plsqhjxxy1 0 29249 778671 442343 2022-08-21T12:38:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien {{mathl|term= {{basis|b}} =b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} und {{mathl|term= {{basis|u}}=u_1 {{kommadots|}} u_k |SZ=}} zwei Basen von {{math|term= V|SZ=.}} {{ Faktlink |Präwort=Aufgrund des|Basisaustauschsatzes|Faktseitenname= Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} angewandt auf die Basis {{math|term= {{basis|b}} |SZ=}} und die linear unabhängige Familie {{math|term= {{basis|u}} |SZ=}} ergibt sich {{mathl|term= k \leq n|SZ=.}} Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt {{mathl|term= n \leq k|SZ=,}} also insgesamt {{mathl|term= n=k|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tmlaj3lxvp81nz1c85rvgnbdnuq9rat 0 29256 778516 762451 2022-08-21T12:14:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= e_i ||bedterm1= i = 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} besteht aus {{math|term= n|SZ=}} Vektoren, also ist die Dimension {{math|term= n|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nftf7cv9m6usghwtcrb2fujwm8720w3 0 29260 778704 612835 2022-08-21T12:43:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{ Ma:Vergleichskette |n || {{op:Vektorraumdimension|V|}} || || || |SZ=. }} Jede linear unabhängige Familie in {{math|term= U|SZ=}} ist auch linear unabhängig in {{math|term= V|SZ=.}} Daher kann es {{ Faktlink |Präwort=aufgrund des|Basisaustauschsatzes|Faktseitenname= Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in {{math|term= U|SZ=}} nur linear unabhängige Familien der Länge {{math|term= \leq n|SZ=}} geben. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |k |\leq|n || || || |SZ= }} derart, dass es in {{math|term= U|SZ=}} eine linear unabhängige Familie mit {{math|term= k|SZ=}} Vektoren gibt, aber nicht mit {{mathl|term= k+1|SZ=}} Vektoren. Sei {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|u}} || u_1 {{kommadots|}} u_k || || || |SZ= }} eine solche Familie. Diese ist dann insbesondere eine maximal linear unabhängige Familie in {{math|term= U|SZ=}} und daher wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} eine Basis von {{math|term= U|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Unterraum |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tgj7dcvhsc5cy4hoc5g56vnl4na0fpk 0 29263 778663 762584 2022-08-21T12:37:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} {{ Faktlink |Präwort=Aufgrund des|Austauschsatzes|Faktseitenname= Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} findet man {{mathl|term= n-k|SZ=}} Vektoren aus der Basis {{math|term= {{basis|b}} |SZ=,}} die zusammen mit den vorgegebenen {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_k |SZ=}} eine Basis von {{math|term= V|SZ=}} bilden. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ergänzung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} keij7r29vpmr6rk25edl64t596ue41y 0 29264 780036 752304 2022-08-21T18:01:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Man kann sich einfach einen Überblick über die {{ Definitionslink |Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= K^n|SZ=}} verschaffen, als {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=eeVR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Untervektorräumen kommt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Untervektorraum/Dimensionsvergleich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nur {{ mathbed|term= k |mit|bedterm1= 0 \leq k \leq n ||bedterm2= |SZ= }} in Frage. Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||0 || || || |SZ= }} gibt es nur den Nullraum selbst, bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||1 || || || |SZ= }} gibt es den Nullraum und {{math|term= K|SZ=}} selbst. Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} gibt es den Nullraum, die gesamte Ebene {{math|term= K^2|SZ=,}} und die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt. Jede solche Gerade {{math|term= G|SZ=}} hat die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || Kv || {{Mengebed|{{skalar}} v|{{skalar}} \in K}} || || |SZ= }} mit einem von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenen Vektor {{math|term= v|SZ=.}} Zwei von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene Vektoren definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn sie {{ Definitionslink |linear abhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||3 || || || |SZ= }} gibt es den Nullraum, den Gesamtraum {{math|term= K^3|SZ=,}} die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt und die zweidimensionalen Ebenen durch den Nullpunkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q95ncemo3tmgfzcmzzg4t9296rv56x1 0 29271 780026 752301 2022-08-21T17:59:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= R=K[X]|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Polynome| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einer Variablen über dem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Man definiert eine Addition auf {{math|term= R|SZ=,}} indem man zu zwei Polynomen {{ mathkor/disp|term1= P= {{polynomein|x|n|a|i|}} |und|term2= Q={{polynomein|x|m|b|i|}} |SZ= }} folgendermaßen vorgeht. Es sei {{mathl|term= n= {{op:max|n|m}} |SZ=.}} Man kann dann {{math|term= Q|SZ=}} als eine Summe schreiben, die bis {{math|term= n|SZ=}} läuft, indem man die dazu benötigten Koeffizienten {{ mathbed|term= b_i ||bedterm1= i>m ||bedterm2= |SZ=, }} gleich null setzt. Damit definiert man die Summe komponentenweise, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |P+Q || {{polynomein|x|n|a|i|}} + {{polynomein|x|n|b|i|}} |:=| \sum_{i {{=|}} 0 }^n (a_i+b_i)X^{i} || || |SZ=. }} Des Weiteren kann man ein Polynom {{mathl|term= P= {{polynomein|x|n|a|i}} |SZ=}} mit einem Skalar {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=}} multiplizieren, indem man {{ math/disp|term= \lambda P := \sum_{i {{=|}} 0 }^n (\lambda a_i ) X^{i} |SZ= }} setzt. Man kann einfach nachprüfen, dass mit diesen Operationen ein Vektorraum vorliegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Polynom |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gmredjg6525m4bipt3auupragwlap8i 0 29272 783846 757474 2022-08-22T04:36:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{ math/disp|term= {{Lineares Gleichungssystem}} |SZ= }} ein homogenes {{ Definitionslink |lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= K^n|SZ=}} ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hbqfd8k8gr4fzikhvxyo4jegzmgf88y 0 29298 783368 757059 2022-08-22T03:17:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} die in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Komplexe Zahl/Berechnung der Quadratwurzel/Beispiel |Refname= |SZ= }} angegebene Formel für die {{ Definitionslink |Quadratwurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |komplexen Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= z=a+b {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} im Fall {{math|term= b <0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2vcn7l09u1d3tv1zq29wkjchvcq67dr 0 29299 785399 758683 2022-08-22T08:33:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P=\R^2|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |komponentenweisen| |Kontext=verknüpfung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cve0i1saube7ygiskp0e4h7cc3r9ub3 0 29308 780028 763863 2022-08-21T18:00:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Inklusion {{mathl|term= \Q \subset \R|SZ=}} der {{ Definitionslink |rationalen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in den {{ Definitionslink |reellen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Mit der reellen Addition und mit der Multiplikation von rationalen Zahlen mit reellen Zahlen ist {{math|term= \R|SZ=}} ein {{math|term= \Q|SZ=-}}{{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wie direkt aus den {{ Definitionslink |Körperaxiomen| |Kontext=|msw=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} folgt. Dies ist ein ziemlich unübersichtlicher Vektorraum. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3=Theorie der rationalen Zahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 49bgcp1m0hbkem9t7o3rxpvqoro2yy0 0 29318 785824 758989 2022-08-22T09:43:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |\R|\R || |SZ=, }} die eine {{ Definitionslink |rationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= q\in \Q|SZ=}} auf {{math|term= q|SZ=}} schickt und die alle {{ Definitionslink |irrationalen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= 0|SZ=}} schickt. Ist dies eine {{math|term= \Q|SZ=-}}{{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Ist sie mit {{ Definitionslink |Skalierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Lineare Abbildung/Körper/Definition |SZ= }} verträglich? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 36nnhfie2eil9sbnglvszu0rwug7bky 0 29324 783403 757086 2022-08-22T03:22:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|\R |z| {{op:Realteil|z|}} |SZ=, }} und {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|\R |z| {{op:Imaginärteil|z|}} |SZ=, }} {{math|term= \R|SZ=-}}{{ Definitionslink |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Zeige{{n Sie}} ferner, dass die {{ Definitionslink |komplexe Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \R|SZ=-}}linear, aber nicht {{math|term= {{CC}}|SZ=-}}linear ist. Ist der {{ Definitionslink |Betrag| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|\R |z|{{op:Betrag|z|}} |SZ=, }} {{math|term= \R|SZ=-}}linear? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3=Theorie der komplexen Konjugation |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d4ne3dm3w0yvdsdmjyq1qxmcy2d3k96 0 29481 783941 757581 2022-08-22T04:52:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} in {{math|term= \Q^3|SZ=}} den Vektor {{ math/disp|term= (2,5,-3) |SZ= }} als {{ Definitionslink |Linearkombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Vektoren {{ math/disp|term= (1,2,3), (0,1,1) \text{ und } (-1,2,4) |SZ= }} aus. Zeige{{n Sie}}, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 016nl3qitwtlspia8tlpwjmumaxnihj 2 29533 779325 192171 2022-08-21T16:10:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <pre> \chapter*{Abbildungsverzeichnis} \addcontentsline{toc}{chapter}{Abbildungsverzeichnis} Das Bild "`Die komplexe Zahlenebene"' (siehe Abbildung 1.1, Seite 6) wurde mit dem Programm "`Mathematica"' von Autorin erstellt und unter der Lizenz CC-by-sa 3.0 gestellt. </pre> [[Kategorie:Benutzer:Volha Baranouskaya/Bachelorarbeit/Kapitel]] e8tchg1a6gd77jdvui8x8lwnul1js3x 0 29537 779411 763498 2022-08-21T16:23:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= m \in \N|SZ=.}} Im {{math|term= K^m|SZ=}} seien {{math|term= n|SZ=}} Vektoren {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= m|SZ=-}}Tupel| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= v_1 = {{op:Spaltenvektor12n|n=m|a|1}},\, v_2= {{op:Spaltenvektor12n|n=m|a|2}} {{kommadots|}} v_n = {{op:Spaltenvektor12n|n=m|a|n}} |SZ= }} gegeben und sei {{ math/disp|term= w= {{op:Spaltenvektor12n|n=m|c}} |SZ= }} ein weiterer Vektor. Wir wollen wissen, wann sich {{math|term= w|SZ=}} als {{ Definitionslink{{{opt1|}}} |Linearkombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}{{{zusatz1|}}} der {{math|term= v_j|SZ=}} darstellen lässt. Es geht also um die Frage, ob es {{math|term= n|SZ=}} Elemente {{mathl|term= {{skalar}}_1 {{kommadots|}} {{skalar}}_n \in K |SZ=}} gibt mit der Eigenschaft {{ math/disp|term= {{skalar}}_1 {{op:Spaltenvektor12n|n=m|a|1}} + {{skalar}}_2 {{op:Spaltenvektor12n|n=m|a|2}} {{plusdots|}} {{skalar}}_n {{op:Spaltenvektor12n|n=m|a|n}} = {{op:Spaltenvektor12n|n=m|c}} |SZ=. }} Die Gleichheit von Vektoren bedeutet, dass Übereinstimmung in jeder Komponenten vorliegen muss, so dass dies zum {{ Definitionslink |linearen Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{Lineares Gleichungssystem inhomogen|a|{{skalar}}|m|n}} |SZ= }} führt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fa7qbdz6kj7wsb0860vp4gymgnvelg8 0 29542 780018 610471 2022-08-21T17:58:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Mulled-wine-3|jpg|250px {{!}} right {{!}} |Autor= |Benutzer=Loyna |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} An einem Stand auf dem Weihnachtsmarkt gibt es drei verschiedene Glühweintöpfe. Alle drei beinhalten die Zutaten Zimt, Gewürznelken, Rotwein und Zucker, allerdings mit unterschiedlichen Anteilen. Die Zusammensetzung der einzelnen Glühweine ist {{ math/disp|term= G_1 = {{op:Spaltenvektor|1|2|11|2}} , \, G_2 = {{op:Spaltenvektor|2|2|12|3}} , \, G_3 = {{op:Spaltenvektor|3|1|20|7}} |SZ=. }} Jeder Glühwein wird also repräsentiert durch ein Vierertupel, deren einzelne Einträge für die Anteile an den Zutaten stehen. Die Menge aller {{ Zusatz/Klammer |text=möglichen| |ISZ=|ESZ= }} Glühweine bilden einen Vektorraum{{{zusatz2|,}}} und die drei konkreten Glühweine sind drei Vektoren in diesem Raum. Nehmen wir an, dass keiner dieser drei Glühweine genau den gewünschten Geschmack trifft und dass der Wunschglühwein die Zusammensetzung {{ Ma:Vergleichskette/disp |W || {{op:Spaltenvektor|1|2|20|5}} || || || |SZ= }} hat. Gibt es eine Möglichkeit, den Wunschglühwein durch Zusammenschütten der vorgegebenen Glühweine zu erhalten? Gibt es also Zahlen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Sinnvoll interpretierbar sind in diesem Beispiel nur positive Zahlen, da man schwerlich aus einem Glühweingemisch die einzelnen verwendeten Glühweinsorten wieder herausziehen kann. In der linearen Algebra spielt sich aber alles über einem Körper ab, so dass wir auch negative Zahlen zulassen| |ISZ=.|ESZ= }} {{mathl|term= a,b,c \in \Q|SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | a {{op:Spaltenvektor|1|2|11|2}} + b {{op:Spaltenvektor|2|2|12|3}} + c {{op:Spaltenvektor|3|1|20|7}} || {{op:Spaltenvektor|1|2|20|5}} || || || |SZ= }} gilt. Hinter dieser einen vektoriellen Gleichung liegen vier einzelne Gleichungen in den {{Anführung|Variablen}} {{math|term= a,b,c|SZ=,}} wobei die Gleichungen sich aus den Zeilen ergeben. Wann gibt es eine solche Lösung, wann keine, wann mehrere? Das sind typische Fragen der linearen Algebra. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Glühwein |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onzvtc5m6tj6pcednrle0og31cxd86z 0 29554 783765 757400 2022-08-22T04:23:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorenfamilie/Situation|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung6 |Wenn die Familie {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so ist auch zu jeder Teilmenge {{mathl|term= J \subseteq I|SZ=}} die Familie {{ mathbed|term= v_i |,|bedterm1= i \in J ||bedterm2= |SZ=, }} linear unabhängig. |Die leere Familie ist linear unabhängig. |Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig. |Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig. |Ein Vektor {{math|term= v|SZ=}} ist genau dann linear unabhängig, wenn {{mathl|term= v \neq 0|SZ=}} ist. |Zwei Vektoren {{ mathkor|term1= v |und|term2= u |SZ= }} sind genau dann linear unabhängig, wenn weder {{math|term= u|SZ=}} ein skalares Vielfaches von {{math|term= v|SZ=}} ist noch umgekehrt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} la4mz8kni5qmxdv9mx3ssen8nx3xaq5 0 29556 784986 758407 2022-08-22T07:30:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= f=a+bX+cX^2+dX^3 |SZ= }} mit {{math|term= a,b,c,d \in \R|SZ=}} derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden. {{ math/disp|term= f(0) =1,\, f(1) = 2,\, f(2) = 0, \, f(-1) = 1 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nyv1wmgvnsumgizzaw9d905hg1nxm44 0 29567 783917 757546 2022-08-22T04:48:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_1|\vdots|a_n}} \in K^n |SZ= }} ein von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedener Vektor. {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} ein {{ Definitionslink |lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen mit {{math|term= n-1|SZ=}} Gleichungen, dessen Lösungsraum genau {{ math/disp|term= {{Mengebed| \lambda {{op:Spaltenvektor|a_1|\vdots|a_n}}|\lambda \in K}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7npng0tbja61wcdo6viyxldc5otqqvu 0 29572 783820 757450 2022-08-22T04:32:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{math|term= U,V,W|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Es seien {{ math/disp|term= {{ abb |name=\varphi |U|V || |SZ= }} \text{ und } {{ abb |name=\psi |V|W || |SZ= }}|SZ= }} {{ Definitionslink |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie|}}, dass dann auch die {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\psi \circ \varphi | U|W || |SZ= }} eine lineare Abbildung ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f1mf1ttbr694e4schsdhlr62koz90ke 0 29584 783771 304266 2022-08-22T04:24:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineare Abbildung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für beliebige Vektoren {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n \in V |SZ=}} und Koeffizienten {{mathl|term= {{skalar}}_1 {{kommadots|}} {{skalar}}_n \in K |SZ=}} die Beziehung {{ math/disp|term= \varphi {{makl|\sum_{i {{=|}} 1}^n {{skalar}}_i v_i|}} = \sum_{i=1}^n {{skalar}}_i \varphi {{makl|v_i|}} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} talm1utlzx80aavw97vrnt8mo4pedui 0 29643 783389 757079 2022-08-22T03:20:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |{{CC}}|{{CC}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Körperisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= \varphi(\R) = \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} entweder die {{ Definitionslink |Identität| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder die {{ Definitionslink |komplexe Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Konjugation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hn46tankl5qjm7g70wmjetwxscic2d8 0 29662 779008 763177 2022-08-21T15:20:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für eine {{math|term= 2\times 2|SZ=-}}{{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22}} || || || |SZ= }} ist {{ math/disp|term= {{Determinantenformel2}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 03i4bxc0ruqgpozle053zt4tysieycc 0 29694 783610 757263 2022-08-22T03:57:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass im {{math|term= \R^3|SZ=}} die drei Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2|1|5}} \, , {{op:Spaltenvektor|1|3|7}} \, , {{op:Spaltenvektor|4|1|2}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h7j4jaifqxuhddl2htjvaur3y7ejp1s 0 29695 781215 755255 2022-08-21T21:17:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob im {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} die beiden Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2+7 {{Imaginäre Einheit}} |3- {{Imaginäre Einheit}} }} \text{ und } {{op:Spaltenvektor|15+26 {{Imaginäre Einheit}} |13-7 {{Imaginäre Einheit}} }} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jjuvcrwgbk9chtc37w6skr806fzd5p6 0 29698 784988 758409 2022-08-22T07:30:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= f=a+bX+cX^2 |SZ= }} mit {{math|term= a,b,c \in {{CC}}|SZ=}} derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden. {{ math/disp|term= f({{Imaginäre Einheit}}) =1,\, f(1) = 1+{{Imaginäre Einheit}},\, f(1-2{{Imaginäre Einheit}}) = -{{Imaginäre Einheit}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 43yut487y4idl1qn0p66x3n466xs22l 0 29699 781217 755256 2022-08-21T21:18:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob im {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} die beiden Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2-7 {{Imaginäre Einheit}} |-3+2 {{Imaginäre Einheit}} }} \text{ und } {{op:Spaltenvektor|5+6 {{Imaginäre Einheit}} |3-17 {{Imaginäre Einheit}} }} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} crx3mbtk540ficlgpvcg6dsa5a1y8dq 0 29700 785818 758985 2022-08-22T09:42:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob im {{math|term= \R^3|SZ=}} die drei Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2|3|-5}} \, , {{op:Spaltenvektor|9|2|6}} \, ,{{op:Spaltenvektor|-1|4|-1}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dot2g7bohp0mijze0fdddb4kyo9e6a4 0 29701 783700 757350 2022-08-22T04:12:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Q^n|SZ=}} der {{math|term= n|SZ=-}}{{ Definitionslink |dimensionale| |Kontext=eeVR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Standardraum über {{math|term= \Q|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | v_1 {{kommadots|}} v_n |\in|\Q^n || || || |SZ= }} eine Familie von {{math|term= n|SZ=}} Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine {{math|term= \Q|SZ=-}}{{ Definitionslink |Basis| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \Q^n|SZ=}} ist, wenn diese Familie aufgefasst im {{math|term= \R^n|SZ=}} eine {{math|term= \R|SZ=-}}Basis des {{math|term= \R^n|SZ=}} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} khwltjh4esghwsv63oi184itjx67ths 0 29724 784456 758052 2022-08-22T06:13:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineare Abbildung/Situation|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=\triangle |W^m|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die verknüpfte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |V^m|K | {{op:Zeilenvektor1n|v|n=m}} | \triangle {{op:Zeilenvektor| \varphi(v_1)| \ldots |\varphi(v_m)}} |SZ=, }} multilinear ist. Zeige{{n Sie}} ebenfalls, dass wenn {{math|term= \triangle|SZ=}} {{ Definitionslink |alternierend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dass dann auch {{math|term= \triangle \circ \varphi^n|SZ=}} alternierend ist, und dass hiervon bei {{math|term= \varphi|SZ=}} bijektiv auch die Umkehrung gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ychdec8cfma3r8ymhvs30b78yoxqqa 0 29725 783844 757471 2022-08-22T04:36:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Zu {{math|term= i \in {{menge1n|}} |SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= V_i |und|term2= W_i |SZ= }} sowie {{ Definitionslink |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi_i |V_i|W_i || |SZ= }} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die {{ Definitionslink |Produktabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Produktabbildung/Beliebig/Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi= \varphi_1 \times \varphi_2 {{timesdots|}} \varphi_n |V_1 \times V_2 {{timesdots|}} V_n | W_1 \times W_2 {{timesdots|}} W_n | {{op:Zeilenvektor|v_1|v_2|\ldots|v_n}} | {{op:Zeilenvektor| \varphi_1(v_1)| \varphi_2(v_2)|\ldots| \varphi_n(v_n)}} |SZ=, }} eine lineare Abbildung zwischen den Produkträumen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6tlh2gbvxnuwqvkxwfg3zhlcn7y815h 0 29761 781273 772013 2022-08-21T21:27:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Linalg parallelogram area|png| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Linalg_parallelogram_area| |Autor=Nicholas Longo |Benutzer=Thenub314 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ManSie|Man begründe|Begründen Sie}} anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren {{ mathkor|term1= (x_1,y_1) |und|term2= (x_2,y_2)|SZ= }} die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch die Vektoren definierten {{math|term= 2\times 2|SZ=-}}Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten {{Stichwort|Parallelogramms|msw=Parallelogramm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf das Vorzeichen| |ISZ=|ESZ= }} übereinstimmt. {{math|term= \,|SZ=}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nk5zv1fqjdw2dmu9xncukkqnp6g2q2d 0 29774 783789 757421 2022-08-22T04:27:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf dem reellen {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G=\R^4|SZ=}} der Glühweine betrachten wir die beiden {{ Definitionslink |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |G|\R | {{op:Spaltenvektor|z|n|r|s}}|8z+9n+5r+s |SZ=, }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\kappa |G|\R | {{op:Spaltenvektor|z|n|r|s}}|2z+n+4r+8s |SZ=. }} Wir stellen uns {{math|term= \pi |SZ=}} als Preisfunktion und {{math|term= \kappa|SZ=}} als Kalorienfunktion vor. {{ManSie|Man bestimme|Bestimmen Sie}} {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= {{op:Kern|\pi|}} |SZ=,}} für {{mathl|term= {{op:Kern|\kappa|}} |SZ=}} und für {{mathl|term= {{op:Kern|(\pi \times \kappa)|}}|SZ=}}{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn| |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tfc86emldfmgz0a3weau9prvujac07v 0 29776 783884 757509 2022-08-22T04:43:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} im {{math|term= \R^3|SZ=}} drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, aber alle drei zusammen linear abhängig. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e4c82qo12bnxue6wop9mmo64pcbt3v8 0 29793 779010 763179 2022-08-21T15:21:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch eine {{ Definitionslink |Diagonalmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Diagonalmatrix1n|d}} |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K^n|K^n |e_i| d_ie_i |SZ=. }} Die Diagonaleinträge {{math|term= d_i|SZ=}} sind {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=,}} und zwar ist der {{math|term= i|SZ=-}}te Standardvektor {{math|term= e_i|SZ=}} ein zugehöriger {{ Definitionslink |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Eigenräume sind {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | {{op:Eigenraum|\varphi|d}} ||{{mengebed| v \in K^n |v \text{ ist Linearkombination von solchen } e_i, \text{ für die } d {{=|}} d_i \text{ ist} }} || || || |SZ=. }} Diese Räume sind genau dann von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden, wenn {{math|term= d|SZ=}} mit einem Diagonaleintrag übereinstimmt. Die Dimension der Eigenräume ist durch die Anzahl gegeben, wie oft der Wert {{math|term= d|SZ=}} in der Diagonalen vorkommt. Die Summe dieser Dimensionen ergibt {{math|term= n|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Diagonalmatrix |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8hjs12xnyadw2yexzkeludjkosqzhm5 0 29880 783773 757408 2022-08-22T04:24:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineare Abbildung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen gelten. {{ Aufzählung4 |Für einen {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= S \subseteq V|SZ=}} ist auch das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi(S)|SZ=}} ein Untervektorraum von {{math|term= W|SZ=.}} |Insbesondere ist das Bild {{math|term= {{op:Bild|\varphi|}}= \varphi(V)|SZ=}} der Abbildung ein Untervektorraum von {{math|term= W|SZ=.}} |Für einen Unterraum {{mathl|term= T \subseteq W|SZ=}} ist das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi^{-1}(T)|SZ=}} ein Untervektorraum von {{math|term= V|SZ=.}} |Insbesondere ist {{mathl|term= \varphi^{-1}(0)|SZ=}} ein Untervektorraum von {{math|term= V|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wlz119p5zjyezjtq7hud0ay1juioa1 0 29886 779403 763484 2022-08-21T16:22:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= K^n|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionale| |Kontext=eeVR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Standardraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist die {{math|term= i|SZ=-}}te {{Stichwort|Projektion|SZ=,}} also die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K^n|K | {{op:Zeilenvektor|x_1|\ldots|x_{i-1}|x_i|x_{i+1} |\ldots|x_n}} |x_i |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die {{math|term= i|SZ=-}}te Projektion heißt auch die {{math|term= i|SZ=-}}te {{Stichwort|Koordinatenfunktion|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} atuc7c66buu1wsqq9j76c73pi7ujo2b 0 29906 783791 746618 2022-08-22T04:27:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineare Abbildung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Produktraumes| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V \times W |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t8n8s3wjbf3rltdasishpp6sv1dtg2d 0 29952 781600 755547 2022-08-21T22:22:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel von zwei {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= v,u|SZ=}} und {{math|term= v,w|SZ=}} im {{math|term= \R^2|SZ=,}} dass die {{ Definitionslink |Koordinatenfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Basen und K^n Isomorphie/Bemerkung |SZ= }} {{math|term= v^*|SZ=}} von der Basis und nicht nur von {{math|term= v|SZ=}} abhängt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3=Theorie der Dualräume |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t38apifi56o2arr403moo4kger73pe1 0 30030 784060 757704 2022-08-22T05:12:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Einträgen in {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Multiplikation| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath=m \times m |Elementarmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von links mit {{math|term= M|SZ=}} folgende Wirkung haben. {{ Aufzählung3 |{{math|term= V_{ij} \circ M =|SZ=}} Vertauschen der {{math|term= i|SZ=-}}ten und der {{math|term= j|SZ=-}}ten Zeile von {{math|term= M|SZ=.}} |{{math|term= (S_k (s)) \circ M =|SZ=}} Multiplikation der {{math|term= k|SZ=-}}ten Zeile von {{math|term= M|SZ=}} mit {{math|term= s|SZ=.}} |{{math|term= (A_{ij}(a)) \circ M =|SZ=}} Addition des {{math|term= a|SZ=-}}fachen der {{math|term= j|SZ=-}}ten Zeile von {{math|term= M|SZ=}} zur {{math|term= i|SZ=-}}ten Zeile ({{mathlk|term=i \neq j|SZ=}}). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bn87jd8c5odxsa9i5dx5j6xqg790sw4 0 30033 779283 763370 2022-08-21T16:04:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen zur Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix33|1|3|1|4|1|2|0|1|1}}|SZ=}} gemäß dem in {{ Faktlink |Faktseitenname= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} beschriebenen Verfahren die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M^{-1}|SZ=}} bestimmen. {{ma:tabelle27 | {{op:Matrix33|1|3|1|4|1|2|0|1|1}} | {{einheitsmatrix3|}} | {{op:Matrix33|1|3|1|0|-11|-2|0|1|1}} | {{op:Matrix33|1|0|0|-4|1|0|0|0|1}} | {{op:Matrix33|1|3|1|0|1|1|0|-11|-2}} | {{op:Matrix33|1|0|0|0|0|1|-4|1|0}} | {{op:Matrix33|1|3|1|0|1|1|0|0|9}} | {{op:Matrix33|1|0|0|0|0|1|-4|1|11}} | {{op:Matrix33|1|3|1|0|1|1|0|0|1}} | {{op:Matrix33|1|0|0|0|0|1|\frac{-4}{9}|\frac{1}{9}|\frac{11}{9} }} | {{op:Matrix33|1|0|-2|0|1|1|0|0|1}} | {{op:Matrix33|1|0|-3|0|0|1|\frac{-4}{9}|\frac{1}{9}|\frac{11}{9} }} | {{op:Matrix33|1|0|0|0|1|0|0|0|1}} | {{op:Matrix33|\frac{1}{9}|\frac{2}{9}|\frac{-5}{9}|\frac{4}{9}|\frac{-1}{9}|\frac{-2}{9}|\frac{-4}{9}|\frac{1}{9}|\frac{11}{9} }} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Invertierung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kz7nao9xq53ic0snnhr9nqv6hup40rk 0 30049 782992 756751 2022-08-22T02:14:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{math|term= {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |invertierbaren Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}} ferner, dass diese Gruppe bei {{math|term= n \geq 2|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |kommutativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lta5lwarn5g59vq2xneb66n32bktjrn 0 30052 783392 757080 2022-08-22T03:21:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= z \in {{CC}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |komplexe Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |w|zw |SZ=, }} die dadurch definierte Multiplikation, die eine {{ Definitionslink |Prämath= {{CC}} |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wie sieht die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ= }} aus? Zeige{{n Sie}}, dass zu zwei komplexen Zahlen {{ mathkor|term1= z_1 |und|term2= z_2 |SZ= }} mit den beiden reellen Matrizen {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= M_2 |SZ= }} die {{ Definitionslink |Produktmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M_2 \circ M_1|SZ=}} die beschreibende Matrix zu {{math|term= z_1z_2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Matrizen (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8lewye03ttp5vydhh6wtkp417wh7qsv 0 30102 784097 757744 2022-08-22T05:18:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{math|term= m\times n|SZ=-}}{{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Matrizenprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M e_j|SZ=}} mit dem {{math|term= j|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Standardvektor| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als Spaltenvektor aufgefasst| |ISZ=|ESZ= }} die {{math|term= j|SZ=-}}te Spalte von {{math|term= M|SZ=}} ergibt. Was ist {{math|term= e_i M|SZ=,}} wobei {{math|term= e_i|SZ=}} der {{math|term= i|SZ=-}}te Standardvektor {{ Zusatz/Klammer |text=als Zeilenvektor aufgefasst| |ISZ=|ESZ= }} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tkkjxl85en00whr5yd9odxocbfshfos 0 30103 784102 757752 2022-08-22T05:19:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Matrizenprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= e_i \circ e_j |SZ=, }} wobei links der {{math|term= i|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Standardvektor| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=der Länge {{math|term= n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} als Zeilenvektor und rechts der {{math|term= j|SZ=-}}te Standardvektor {{ Zusatz/Klammer |text=ebenfalls der Länge {{math|term= n|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} als Spaltenvektor aufgefasst wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} no744uuv3kh1a3slvcpr80hdvi7o8bs 0 30109 781291 755325 2022-08-21T21:30:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Matq|n|K}} {{=|}} (K^n)^n |K |M| {{op:Determinante|M|}} |SZ=, }} für beliebiges {{mathl|term= k \in {{Menge1n|}} |SZ=}} und beliebige {{mathl|term= n-1|SZ=}} Vektoren {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_{k-1} , v_{k+1} {{kommadots|}} v_n \in K^n |SZ=,}} für {{mathl|term= u \in K^n|SZ=}} und für {{mathl|term= {{skalar|}} \in K |SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante| {{Matrixinzeilen|v|k| {{skalar|}} u}}||}} || {{skalar|}} {{op:Determinante| {{Matrixinzeilen|v|k|u}}||}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tmn29ckba2sfbatm26n2wbaiq1rrd8s 0 30117 781293 755329 2022-08-21T21:30:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für jede {{ Definitionslink |Elementarmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante|E|}} || {{op:Determinante| {{op:transponiert|E|}} |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Transponiert |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i1cqi3v9h9ohn0evjs1bnl5bnu8c9zi 0 30131 783799 757433 2022-08-22T04:29:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K^3|K^2 |{{op:Spaltenvektor|x|y|z}} | {{op:Matrix23|1|2|5|4|1|1}} {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} |SZ=. }} Es sei {{math|term= U \subseteq K^3|SZ=}} der durch die lineare Gleichung {{math|term= 2x+3y+4z=0|SZ=}} definierte {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K^3|SZ=,}} und {{math|term= \psi|SZ=}} sei die {{ Definitionslink |Einschränkung| |Kontext=Abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} auf {{math|term= U|SZ=.}} Zu {{math|term= U|SZ=}} gehören Vektoren der Form {{ math/disp|term= u=(0,1,a),\, v=(1,0,b) \text{ und } w=(1,c,0) |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Übergangsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{basis|b}}_1= v,w , \, {{basis|b}}_2 = u,w \text{ und } {{basis|b}}_3 = u,v |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=}} sowie die {{ Definitionslink |beschreibenden Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= \psi|SZ=}} bezüglich dieser drei Basen {{ Zusatz/Klammer |text=und der Standardbasis auf {{math|term= K^2|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b6pdrdlvrexrgdmc4m9p14cn6ikk5ad 0 30156 779433 763528 2022-08-21T16:27:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine lineare Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} wird zumeist durch die Matrix {{math|term= M|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Standardbasen| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} links und rechts beschrieben. Das Ergebnis der Matrixmultiplikation {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor1n|n=m|y}} ||M {{op:Spaltenvektor1n|x}} || || || |SZ= }} ist dann direkt als Punkt in {{math|term= K^m|SZ=}} interpretierbar. Die {{math|term= j|SZ=-}}te Spalte von {{math|term= M|SZ=}} ist das Bild des {{math|term= j|SZ=-}}ten Standardvektors {{math|term= e_j|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} marxrrxd9i0tfm8aso0gr1yfdtm40st 0 30158 783802 757434 2022-08-22T04:29:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineare Abbildung Matrix/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die Spalten der Matrix ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K^m|SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3hdffnonlfds45f7acxa0f8gq4hf9yr 0 30177 781284 755318 2022-08-21T21:29:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} das {{ Faktlink |Faktseitenname= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren |Refname= {{{ref|Invertierungsverfahren}}} |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |SZ= }} unter der Voraussetzung {{math|term= ad-bc \neq 0|SZ=}} durch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k50ogs8ipjat27j2dvtk3hhemiff5vd 0 30181 781278 755306 2022-08-21T21:28:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Determinanten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aller {{math|term= 3\times 3|SZ=-}}{{ Definitionslink |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal {{math|term= 1|SZ=}} und zweimal {{math|term= 0|SZ=}} steht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Permutation |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ery5nas16rnz27rolmc6uoburjpq8c 0 30313 784094 757741 2022-08-22T05:18:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Matrizen/Situation|SZ=.}} Zeige, dass für den {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Beziehungen {{ math/disp|term= {{op:Rang|AB|}} \leq {{op:Rang|A|}} \text{ und } {{op:Rang|AB|}} \leq {{op:Rang|B|}} |SZ= }} gelten. Zeige{{n Sie}}, dass links Gleichheit gilt, falls {{math|term= B|SZ=}} {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und rechts Gleichheit gilt, falls {{math|term= A|SZ=}} invertierbar ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel von nicht invertierbaren Matrizen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} an derart, dass links und rechts Gleichheit gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2=Rangtheorie für Matrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rang |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5uurazvbftzy1s30um1jp0lp2s2tg9z 0 30444 781290 755324 2022-08-21T21:30:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M \in {{op:Matq|n|K=\Q}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es egal ist, ob man die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=,}} in {{math|term= \R|SZ=}} oder in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} ausrechnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=2 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvazmk6jkbzhfj4j2eumsv8yfwuhdgg 0 30447 781213 755253 2022-08-21T21:17:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} mit der {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt |Refname={{{ref|Cramerschen Regel}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das {{ Definitionslink |inhomogene lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= \Q|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= {{inhomogenes Gleichungssystem33|2 |4 |3|1| 5 |7|3| 5| 2|b1= 3|b2= 3|b3= 4|SZ=.}} |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Cramersche Regel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cj3v6mou0qx6rke2tu2z7hgzps5rw3a 0 30448 784448 758045 2022-08-22T06:12:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\triangle |V \times V|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |alternierende| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{math|term= u,v,w \in V|SZ=.}} Ziehe{{n Sie}} in {{ math/disp|term= \triangle {{op:Spaltenvektor|u+2v|v+3w}} |SZ= }} Summen und Skalare nach außen und vereinfache. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pfh1o3jgp06jcsy40vmuu6bjm8jk54h 0 30450 784452 758048 2022-08-22T06:13:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\triangle |V \times V \times V|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |alternierende| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{math|term= u,v,w,z \in V|SZ=.}} Ziehe{{n Sie}} in {{ math/disp|term= \triangle {{op:Spaltenvektor|u+v+w|2u+3z|4w-5z}} |SZ= }} Summen und Skalare nach außen und vereinfache. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 010m9l3osy66tb3pi9xt7vy2tcue7jh 0 30451 783806 757437 2022-08-22T04:30:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineare Abbildung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |alternierend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o8zglfwzxzkku7hchkkzhzo5pfxr6ya 0 30452 783938 757578 2022-08-22T04:52:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorräume1n/Situation|SZ=.}} Es seien {{ Ma:abb/disp |name=\varphi_i |V_i |K || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= i=1 {{kommadots|}} n|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} {{ Definitionslink |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{produktmenge1n|V}} |K |{{tupel1n|v}}| \varphi_1(v_1) {{cdots|}} \varphi_n(v_n) |SZ=, }} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hv8georo8f0n07n3kh1424lur4ekmvo 0 30456 783617 757270 2022-08-22T03:58:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K^n \times K^n|K |({{op:Spaltenvektor1n|u}}, {{op:Spaltenvektor1n|v}} )|{{op:Zeilenvektor1n|u}} \circ {{op:Spaltenvektor1n|v}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Eine multilineare Abbildung der Form {{math|term= V_1 \times V_2 \rightarrow W|SZ=}} nennt man auch {{Stichwort|bilineaer|SZ=}} | |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Skalarprodukt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s6uj7seqomw6718bs6jd55q95uvfolh 0 30459 783794 508470 2022-08-22T04:28:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineare Abbildung/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= {{{Z|Z}}}|SZ=}} ein weiterer {{math|term= K|SZ=-}}Vektorraum. Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Hom|W|{{{Z|Z}}}}}|{{op:Hom|V|{{{Z|Z}}}}} |f|f \circ \varphi |SZ=, }} {{math|term= K|SZ=-}}linear ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} osr83cmud7kqcfiuvjcawj3g1mulbg4 0 30460 781292 755328 2022-08-21T21:30:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:GLG|n|K}} |(K \setminus \{0\},\cdot, 1) |M| {{op:Determinante|M|}} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |surjektiver| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Determinantenmultiplikationssatz (Körper) |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4tar2epgq3dcv8v9ax07s83cxifuvhl 0 30461 780663 754784 2022-08-21T19:45:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= n, m \in \N_+,\, n \leq m|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} {{ Definitionslink |injektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= | {{op:GLG|n|K}} | {{op:GLG|m|K}} || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Gruppe |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mjqzysexvasscxezigsiisosy21iami 0 30492 782056 755950 2022-08-21T23:38:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Streckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Endomorphismus/Streckung/Definition |SZ= }} ist, wenn jeder Vektor {{math|term= v \in V, \, v \neq 0, |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der Streckungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cyh0nwho01e7hs8vblxz5foii6ukief 0 30509 785193 758538 2022-08-22T08:01:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} gilt: Wenn {{math|term= P,Q \in K[X]|SZ=}} beide ungleich {{math|term= 0|SZ=}} sind, so ist auch {{math|term= PQ \neq 0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5zps2yu49frk35jxyr63n5bdbdhrdmn 0 30512 784071 757717 2022-08-22T05:14:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Matrix/Situation|m=n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die ersten {{math|term= n^2+1|SZ=}} Potenzen{{{zusatz1|}}} {{ mathbed/disp|term= M^{i} ||bedterm1= {{laufi|0|n^2}} ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |linear abhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{op:Matq|n|K}} |SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Matrix |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hbaug931j9tcrhgei9hmycvvka3fd9r 0 30530 783414 757096 2022-08-22T03:24:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über den {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und sei {{math|term= {{liste1n|v}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Vektorenfamilie {{ math/disp|term= {{liste1n|v}} \text{ und } {{liste1n| {{Imaginäre Einheit|}} v}} |SZ= }} eine Basis von {{math|term= V|SZ=,}} aufgefasst als reeller Vektorraum, ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der reellen endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f8jx10585kot07r21s0rc8xnqqrsb62 0 30531 782018 755912 2022-08-21T23:31:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Eigenwert/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} folgende Aussagen. {{ Aufzählung3 |Der {{ Definitionslink |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} |SZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} |{{math|term= \lambda|SZ=}} ist genau dann ein {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=,}} wenn der Eigenraum {{math|term= {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} |SZ=}} nicht der {{ Definitionslink |Nullraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Ein Vektor {{mathl|term= v \in V, \, v \neq 0|SZ=,}} ist genau dann ein {{ Definitionslink |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \lambda|SZ=,}} wenn {{math|term= v \in {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=0.5 |p3=0.5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8jwxg23k16hft429foddbzq2ve723jy 0 30532 783782 508511 2022-08-22T04:26:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Situation|SZ=}} und seien {{math|term= \lambda_1 \neq \lambda_2|SZ=}} Elemente in {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda_1}} \cap {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda_2}} || 0 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7m96h6iqez004qk56v0g4dwa7k6rpgp 0 30533 783785 757417 2022-08-22T04:26:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es dann nur endlich viele {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4cmdp7m79jo5d9uy33bspndflmng6ss 0 30535 783359 757048 2022-08-22T03:15:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= z \in {{CC}}|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |w|zw |SZ=, }} die zugehörige Multiplikation. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung {{ Ma:abb |name= |\R^2|\R^2 || |SZ= }} auffasst. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} okqwq29juj6htggd8n1ienwigax1o35 0 30536 782022 755916 2022-08-21T23:32:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus n dimensional/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= \lambda \neq 0|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} und {{math|term= v |SZ=}} ein zugehöriger {{ Definitionslink |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es zu einer gegebenen {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= v, {{liste2n|u}}|SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} eine Basis {{math|term= v, {{liste2n|w}}|SZ=}} gibt mit {{math|term= {{op:Span| v, u_j|}} = {{op:Span|v,w_j|}} |SZ=}} und mit {{ math/disp|term= \varphi(w_j) \in {{op:Span|u_i|i {{=|}} 2 {{kommadots|}} n }} |SZ= }} für alle {{math|term= j=2 {{kommadots|}} n |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} ebenso, dass dies bei {{math|term= \lambda =0|SZ=}} nicht möglich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 50zhft1xvc3v1hvqhhrvgdmfo5ialmz 0 30552 782023 755917 2022-08-21T23:32:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=}} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi^* | {{op:Hom|V|K}} | {{op:Hom|V|K}} |f|f \circ \varphi |SZ=, }} die dazu {{ Definitionslink |duale Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jeder {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} auch ein Eigenwert von {{math|term= \varphi^*|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der dualen Abbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lin7lw61cn5trh6zbh4u1chxpfmx5of 0 30568 783412 757093 2022-08-22T03:24:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über den {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC}}|SZ=}} und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V |V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten {{math|term= V|SZ=}} auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf {{math|term= \varphi |SZ=}} auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit {{math|term= \psi |SZ=}} bezeichnen. Zeige{{n Sie}}, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| {{op:Determinante|\varphi|}}||}}^2 || {{op:Determinante|\psi|}} || || || |SZ= }} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie (C) |Kategorie2=Theorie der komplexen endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ng9mqfvj1z00cs5ao6j0tgx4xk1gyoo 0 30569 782039 755933 2022-08-21T23:35:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Nilpotent/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= 0|SZ=}} der einzige {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9dendtp2omrr99hoo8tcz0tmgsp5wwp 0 30576 782038 755931 2022-08-21T23:35:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus endlichdimensional nilpotent/Situation|SZ=.}} Was ist die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Der Determinantenmultiplikationssatz (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 92xu8f29jdhzd79w5h6xohch6565vfc 0 30585 784084 757730 2022-08-22T05:16:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |obere Dreiecksmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der alle Diagonalelemente null seien. {{math|term= M|SZ=}} hat also die Gestalt {{ math/disp|term= {{obere Dreiecksmatrixdiag0|}} |SZ= }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |nilpotent| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} idg579vsusm1h13t2m95pfipbln1s24 0 30587 782051 755945 2022-08-21T23:37:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ= }} derart, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, dass aber eine gewisse {{ Definitionslink |Potenz| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= \varphi^n ||bedterm1= n \geq 2 ||bedterm2= |SZ=, }} Eigenwerte besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c6gzq34xhzrfukhon6wa1il63tuo5wz 0 30589 782049 755943 2022-08-21T23:37:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Situation|SZ=}} mit {{ math/disp|term= \varphi^n = {{Op:Identität|V|}} |SZ= }} für ein gewisses {{math|term= n \in \N|SZ=}}{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Der Wert {{math|term= n=0|SZ=}} ist hier erlaubt, aber aussagelos| |ISZ=.|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jeder {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \lambda|SZ=}} von {{math|term= \varphi|SZ=}} die Eigenschaft {{math|term= \lambda^n=1|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rppni6cwhszv7y3sv8hoklnyw3y8zxr 0 30590 784033 757665 2022-08-22T05:08:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Matrix22|1|1|-1|1}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} als reelle Matrix keine {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. Bestimme{{n Sie}} die Eigenwerte und die {{ Definitionslink |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} als {{ Definitionslink |komplexer| |Kontext=Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Matrix. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der komplexen endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ba0tex8trzspjmfxlud53zndsff0csd 0 30591 785051 758441 2022-08-22T07:39:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} im {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC}}[X]|SZ=}} das Produkt {{ math/disp|term= {{makl| (4+{{Imaginäre Einheit}})X^3- {{Imaginäre Einheit}}X^2+2X+3+2{{Imaginäre Einheit}} |}} \cdot {{makl| (2-{{Imaginäre Einheit}})X^3+(3-5 {{Imaginäre Einheit}})X^2+(2+{{Imaginäre Einheit}})X+1+5{{Imaginäre Einheit}} |}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ask9wyh1is3dtuellgyshz9jb9qeawh 0 30592 785160 758512 2022-08-22T07:56:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Ergebnis, wenn man im {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= 2X^3-5X^2-4X+7 |SZ= }} die Variable {{math|term= X|SZ=}} durch die {{ Definitionslink |komplexe Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2-5{{Imaginäre Einheit}}|SZ=}} ersetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einsetzung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24srwpig66vsnabz6q9x0m7dgtju25e 0 30593 785164 758515 2022-08-22T07:57:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Ergebnis, wenn man im {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= -X^3+6X^2-6X+27 |SZ= }} die Variable {{math|term= X|SZ=}} durch die {{math|term= 3\times 3|SZ=-}}{{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|5|3|2|5|4|1|7|3|0 }} |SZ= }} ersetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einsetzung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ywh5p0lizejsgym34us4hz6k4buqv3 0 30596 779460 763552 2022-08-21T16:31:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|0|5|1|0}} || || || |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\Q^2|\Q^2 |{{op:Spaltenvektor|x|y}}|{{op:Matrix22|0|5|1|0}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} {{=}} {{op:Spaltenvektor|5y|x}} |SZ=. }} Die Frage, ob diese Abbildung {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, führt zur Frage, ob es {{ Ma:Vergleichskette | \lambda |\in|\Q || || || |SZ= }} derart gibt, dass die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|0|5|1|0}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || \lambda {{op:Spaltenvektor|x|y}} || || || |SZ= }} eine nichtriviale Lösung {{ Ma:Vergleichskette | (x,y) |\neq| (0,0) || || || |SZ= }} besitzt. Bei gegebenem {{math|term= \lambda|SZ=}} kann dies auf ein lineares Problem zurückgeführt werden, das mit dem Eliminationsalgorithmus einfach gelöst werden kann. Die Frage aber, ob es Eigenwerte überhaupt gibt, führt wegen des variablen {{Anführung|Eigenwertparameters|}} {{math|term= \lambda|SZ=}} zu einem nichtlinearen Problem. Das obige Gleichungssystem bedeutet ausgeschrieben {{ math/disp|term= 5y = \lambda x \text{ und } x = \lambda y |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |y ||0 || || || |SZ= }} ist auch {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ=, }} der Nullvektor ist aber kein Eigenvektor. Sei also {{ Ma:Vergleichskette |y |\neq|0 || || || |SZ=. }} Aus den beiden Gleichungen erhält man die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |5y || \lambda x || \lambda^2 y || || |SZ=, }} woraus {{ Ma:Vergleichskette |5 || \lambda^2 || || || |SZ= }} folgt. Da in {{math|term= \Q|SZ=}} die Zahl {{math|term= 5|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Quadratwurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, gibt es keine Lösung und das bedeutet, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} keine Eigenwerte und damit auch keine {{ Definitionslink |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. Wir fassen nun die Matrix {{math|term= M|SZ=}} als eine reelle Matrix auf und untersuchen die zugehörige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |\R^2|\R^2 |{{op:Spaltenvektor|x|y}} | {{op:Matrix22|0|5|1|0}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} {{=}} {{op:Spaltenvektor|5y|x}} |SZ=. }} Die gleichen Rechnungen führen auf die notwendige Lösungsbedingung {{ Ma:Vergleichskette | 5 || \lambda^2 || || || |SZ=, }} die jetzt von den beiden reellen Zahlen {{ mathkor/disp|term1= \lambda_1 = \sqrt{5} |und|term2= \lambda_2 = - \sqrt{5}|SZ= }} erfüllt wird. Für diese beiden Werte kann man unabhängig voneinander nach Eigenvektoren suchen. Wir betrachten zuerst den Fall {{ Ma:Vergleichskette | \lambda ||\sqrt{5} || || || |SZ=, }} was zum linearen Gleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|0|5|1|0}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || \sqrt{5} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || || || |SZ= }} führt. Dies schreibt man als {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|0|5|1|0}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || {{op:Matrix22| \sqrt{5}|0|0| \sqrt{5}|}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || || || |SZ= }} bzw. als {{ Definitionslink |lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22| \sqrt{5} |-5|-1| \sqrt{5} }} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || {{op:Spaltenvektor|0|0}} || || || |SZ=. }} Dieses ist einfach lösbar, der Lösungsraum ist eindimensional und {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || {{op:Spaltenvektor| \sqrt{5}|1}} || || || |SZ= }} ist eine Basislösung. Für {{ Ma:Vergleichskette | \lambda || - \sqrt{5 } || || || |SZ= }} führen dieselben Umformungen zu einem weiteren linearen Gleichungssystem, für das der Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp |w || {{op:Spaltenvektor|-\sqrt{5}|1 }} || || || |SZ= }} eine Basislösung ist. Über {{math|term= \R|SZ=}} sind also {{ mathkor|term1= \sqrt{5} |und|term2= - \sqrt{5} |SZ= }} Eigenwerte und die zugehörigen {{ Definitionslink |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ mathkor/disp|term1= {{op:Eigenraum|\psi|\sqrt{5} }} = {{Mengebed| s {{op:Spaltenvektor| \sqrt{5}|1}} |s \in \R }} |und|term2= {{op:Eigenraum|\psi|-\sqrt{5} }} = {{Mengebed| s {{op:Spaltenvektor|- \sqrt{5}|1}} |s \in \R }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} einn5opva6o2fvg35te9cr1v1ebydoq 0 30610 783777 757411 2022-08-22T04:25:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition |Refname= |SZ= }} und es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} zwei {{math|term= K|SZ=-}}{{ Definitionslink |Vektorräume| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Definition |Refname= |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{basis|v}} = {{liste1n|v}} \text{ und } {{basis|w}} = {{liste1m|w}} |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= Lineare Abbildung/Körper/Definition |Refname= |SZ=, }} die bezüglich dieser Basen durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} beschrieben werde. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |duale Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |W^*|V^* |f| f \circ \varphi |SZ=, }} bezüglich der Dualbasen {{ math/disp|term= {{liste1n|v^*}} \text{ und } {{liste1m|w^*}} |SZ= }} durch die {{ Definitionslink |transponierte Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:transponiert|M|}} |SZ=}} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der dualen Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a36ca0xcfh5vzzxtgz2rgx8rstd2dgi 0 30648 779452 763546 2022-08-21T16:30:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{mathl|term= 2\times 2|SZ=-}}{{Stichwort|Scherungsmatrizen|msw=Scherungsmatrix|SZ=}} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1|a|0|1}} |SZ= }} mit {{mathl|term= a \in K|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Eigenwertbedingung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für ein {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=}} bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|1|a|0|1}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || \lambda {{op:Spaltenvektor|x|y}} || || || |SZ=, }} was zu den beiden Gleichungen {{ math/disp|term= x+ay = \lambda x \text{ und } y = \lambda y |SZ= }} führt. Bei {{ Ma:Vergleichskette |\lambda |\neq |1 || || || |SZ= }} folgt {{ Ma:Vergleichskette |y ||0 || || || |SZ= }} und dann auch {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ=, }} d.h. es kann nur {{math|term= 1|SZ=}} ein Eigenwert sein. In diesem Fall ist die zweite Gleichung erfüllt und die erste Gleichung wird zu {{ math/disp|term= x+ay=x \text{ bzw. } ay =0 |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} muss also {{ Ma:Vergleichskette |y ||0 || || || |SZ= }} sein und dann ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x|0}} |SZ=}} der Eigenraum zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=,}} und {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|0}}|SZ=}} ist ein Eigenvektor, der den Eigenraum aufspannt. Bei {{mathl|term= a=0|SZ=}} liegt die Einheitsmatrix vor, und der {{ Definitionslink |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=}} ist die gesamte Ebene. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Scherung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ki6pe2qqjr1tzpq98ojbmatqj8p04pg 0 30650 779461 751405 2022-08-21T16:32:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir schließen an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Matrix/Eigenwerte/0510/Q und R/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an. Es gibt die beiden {{ Definitionslink |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| \sqrt{5}|1}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| -\sqrt{5}|1}} |SZ= }} zu den verschiedenen {{ Definitionslink |Eigenwerten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= \sqrt{5} |und|term2= - \sqrt{5} |SZ=, }} so dass die Abbildung {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Verschiedene Eigenwerte/Diagonalisierbar/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |diagonalisierbar| |Kontext=ev| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Bezüglich der {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{basis|u}} |SZ=}} aus diesen Eigenvektoren wird die lineare Abbildung durch die Diagonalmatrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|\sqrt{5}|0|0|- \sqrt{5} }} |SZ=. }} beschrieben. Die {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von der Basis {{math|term= {{basis|u}} |SZ=}} zur durch {{ mathkor|term1= e_1 |und|term2= e_2 |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} ist einfach {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Übergangsmatrix|u|v}} || {{op:Matrix22| \sqrt{5}|- \sqrt{5}|1|1}} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dazu ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \frac{1}{2 \sqrt{5} } {{op:Matrix22|1|\sqrt{5}|-1|\sqrt{5}|}} || {{op:Matrix22|\frac{1}{2 \sqrt{5} }| \frac{1}{2}|\frac{-1}{2 \sqrt{5} }|\frac{1}{2} }} || || || |SZ=. }} Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Endomorphismus/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besteht die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Matrix22|\sqrt{5} |0|0| - \sqrt{5} }} || {{op:Matrix22|\frac{1}{2 }| \frac{ \sqrt{5} }{2}|\frac{1}{2 } | \frac{ -\sqrt{5} }{2} }} {{op:Matrix22| \sqrt{5}|- \sqrt{5}|1|1}} || {{op:Matrix22|\frac{1}{2 \sqrt{5} }| \frac{1}{2}|\frac{-1}{2 \sqrt{5} } | \frac{1}{2} }} {{op:Matrix22|0|5|1|0}} {{op:Matrix22| \sqrt{5}|- \sqrt{5}|1|1}} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fklsxvdq9kp8irna6k2ulzfgknyj0hw 0 30656 784077 757725 2022-08-22T05:15:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math/disp|term= M \in {{op:Matq|n}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=paarweise| |ISZ=|ESZ= }} verschiedenen {{ Definitionslink |Eigenwerten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} das Produkt der Eigenwerte ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Determinantentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f046ete9o7dn59mn6v6w5sz2robd5kx 0 30657 784089 757735 2022-08-22T05:17:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |reellen| |Kontext=|msw=reelle Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22}} \in {{op:Matq|2|K=\R}} |SZ=. }}{{ManSie|Man charakterisiere|Charakterisieren Sie}} in Abhängigkeit von {{math|term= a,b,c,d|SZ=,}} wann eine solche Matrix {{ Aufzählung4 |zwei verschiedene {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} |einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen {{ Definitionslink |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} |einen Eigenwert mit einem eindimensionalen {{ Definitionslink |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} |keinen Eigenwert, }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t7kujlsepyoe6oaxwijr1qe1pzr1069 0 30664 782021 755915 2022-08-21T23:32:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Situation|SZ=.}} Sei {{math|term= \lambda \in K|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |U ||{{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass sich {{math|term= \varphi|SZ=}} zu einer linearen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi {{|}}_U |U|U |v|\varphi(v) |SZ=, }} einschränken lässt, und dass diese Abbildung die {{ Definitionslink |Streckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} um den Stre{{latextrenn|}}ckungsfaktor {{math|term= \lambda|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der Streckungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g8dv9xtnxzngg98ikf1opuukidmbqmm 0 30704 782047 755941 2022-08-21T23:36:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= \lambda \in K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} und {{math|term= P \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P(\lambda)|SZ=}} ein Eigenwert von{{{zusatz1|}}} {{math|term= P(\varphi)|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8xpw3zq0v0bkyfjzznenxva9h29pvwb 0 30749 782050 755944 2022-08-21T23:37:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man lege|en Sie}} eine Serie von Skizzen {{ Zusatz/Klammer |text=hochladbare Computergraphik| |ISZ=|ESZ= }} an, die die typische Wirkungsweise {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise auf gewissen Figuren| |ISZ=|ESZ= }} von {{ Definitionslink |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der reellen Ebene {{math|term= \R^2|SZ=}} in sich veranschaulicht. Insbesondere sollen auch Eigenräume illustriert werden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9jthdg06eikm4f6bcvbq4xwa0gbca04 0 30881 784057 757698 2022-08-22T05:12:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Wir betrachten die folgende Relation auf {{math|term= {{op:Matq|n|}} |SZ=.}} {{ math/disp|term= M \sim N, \text{ falls es eine invertierbare Matrix } B \text{ gibt mit } M=BNB^{-1} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \sim|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ähnlichen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0yn3d58zqg6myntcuwwf495nccmxlaj 0 30882 782936 756679 2022-08-22T02:05:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der die Eigenschaft erfüllt: wenn {{math|term= rs=0|SZ=}} ist, so ist {{ mathkor|term1= r=0 |oder|term2= s=0 |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man auf folgende Weise einen {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} konstruieren kann, der {{math|term= R|SZ=}} enthält. Wir betrachten auf {{ math/disp|term= M= R \times (R \setminus{\{0\} }) |SZ= }} die durch {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad = bc |SZ=, }} definierte Relation. a) Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Definiere{{n Sie}} auf der {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q(R)|SZ=}} {{ Definitionslink |Verknüpfungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass {{math|term= Q(R)|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird und dass {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |R|Q(R) |r|[ (r,1)] |SZ=, }} mit Addition und Multiplikation verträglich ist und {{math|term= \varphi(1)=1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ffz2m9cttbr9nri9l28mxcx7q7lzlzx 0 30902 778494 752039 2022-08-21T12:11:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des {{ Definitionslink |Skalarprodukts| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die Multiplikativität folgt aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\lambda v|}}^2 || {{op:Skalarprodukt|\lambda v| \lambda v}} || \lambda {{op:Skalarprodukt| v| \lambda v}} ||\lambda^2 {{op:Skalarprodukt| v| v}} ||\lambda^2 {{op:Norm|v|}}^2 |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v+w|}}^2 || {{op:Skalarprodukt|v+w|v+w}} || {{op:Norm|v|}}^2 + {{op:Norm|w|}}^2 +2 {{op:Skalarprodukt|v|w}} |\leq| {{op:Norm|v|}}^2 + {{op:Norm|w|}}^2 +2 {{op:Betrag| {{op:Skalarprodukt|v|w}}||}} |SZ= }} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dies {{mathl|term= \leq {{makl| {{op:Norm|v|}} + {{op:Norm|w|}} |}}^2|SZ=.}} Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jbceauvufal8tilt89c60113pk17d8h 0 30912 785135 758496 2022-08-22T07:52:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= R=K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || {{Mengebed|F \in K[X]|\text{Der Leitkoeffizient von } F \text{ ist positiv} }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} die drei folgenden Eigenschaften besitzt{{{zusatz1|.}}} {{ Aufzählung3 |Entweder ist {{math|term= F \in P|SZ=}} oder {{math|term= -F \in P|SZ=}} oder {{math|term= F=0|SZ=.}} |Aus {{math|term= F,G \in P|SZ=}} folgt {{math|term= F+G \in P|SZ=.}} |Aus {{math|term= F,G \in P|SZ=}} folgt {{math|term= F \cdot G \in P|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jvd8o6otzsmg2di2nyhs88xmla70a5b 0 30913 785134 758495 2022-08-22T07:52:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=,}} {{math|term= K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ math/disp|term= Q=K(X) |SZ= }} der {{ Definitionslink |Körper der rationalen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Polynomring/Angeordneter Körper/Positivität/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass man {{math|term= Q|SZ=}} zu einem angeordneten Körper machen kann, der {{Betonung/Negation|nicht|}} {{ Definitionslink |archimedisch angeordnet| |Kontext=|msw=archimedisch angeordneter Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nicht archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fut468dsb30dn5fi7y2fdyg4v07ne6o 0 30932 781487 470864 2022-08-21T22:03:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass es zu natürlichen Zahlen {{math|term= n,d|SZ=}} mit {{math|term= d>0|SZ=}} eindeutig bestimmte natürliche Zahlen {{math|term= q,r|SZ=}} mit {{math|term= r<d|SZ=}} und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||dq+r || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iv9uh9sal12avksozl1qi6fohtu3va9 0 30933 781499 568569 2022-08-21T22:05:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es zu ganzen Zahlen {{math|term= d,n|SZ=}} mit {{math|term= d>0|SZ=}} eindeutig bestimmte ganze Zahlen {{math|term= q,r|SZ=}} mit {{math|term= 0 \leq r< d|SZ=}} und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||dq+r || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} inqvfgi1njxbc5ie182yy9ohsv84wpf 0 30935 785192 758537 2022-08-22T08:01:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Grad| |Definitionsseitenname= Polynomring/Grad/Definition |SZ= }} folgende Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung2 | {{math|term= {{op:Grad Polynom|P+Q}} \leq \max \{ {{op:Grad Polynom|P}},\, {{op:Grad Polynom|Q}}\}|SZ=,}} | {{math|term= {{op:Grad Polynom|P \cdot Q}} = {{op:Grad Polynom|P}} + {{op:Grad Polynom|Q}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 937w8znv27q09txe2bgagir4uofsmkv 0 30937 785183 441504 2022-08-22T07:59:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= a \in K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |K[X]|K |P|P(a) |SZ=, }} folgende Eigenschaften erfüllt {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{mathlk|term=P,Q \in K[X]|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |{{math|term= (P + Q)(a)=P(a) +Q(a)|SZ=.}} |{{math|term= (P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)|SZ=.}} |{{math|term= 1(a)=1|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q9diwj89p36r2809h1ujhylfqp14erk 0 30942 784992 457811 2022-08-22T07:31:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass jedes Polynom {{mathl|term= P \in K[X],\, P \neq 0,|SZ=}} eine Produktzerlegung {{ math/disp|term= P= (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\mu_k} \cdot Q|SZ= }} mit {{mathl|term= \mu_j \geq 1|SZ=}} und einem nullstellenfreien Polynom {{math|term= Q|SZ=}} besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen {{mathl|term= {{liste1k|\lambda}} |SZ=}} und die zugehörigen Exponenten {{mathl|term= {{liste1k|\mu}} |SZ=}} bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Faktorzerlegung in Polynomringen in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mwewvi61sormzbjf9iqrmjf7wa9eyfo 0 30944 781190 755236 2022-08-21T21:13:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Matrix/Situation|m=n|SZ=.}} Wie findet man die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} im {{ Definitionslink |charakteristischen Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} |SZ=}} wieder? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ciufa85r06x2cf664fvgw9ptrdql5ce 0 30945 781195 694724 2022-08-21T21:14:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Matrix/Situation|m=n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=}} die Beziehung {{ math/disp|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} (\lambda) = {{op:Determinante(|\lambda {{einheitsmatrix/ab|}} - M |}} |SZ= }} gilt{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss| |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8skzi0vekysd80kn58ar8cqckd4u5yw 0 30946 781196 755241 2022-08-21T21:14:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Körper mit zwei Elementen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körper/Zwei Elemente/Beispiel |SZ= }} und betrachte darüber die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= M= {{op:Matrix22|1|0|0|0 }} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} |SZ=}} nicht das Nullpolynom ist, dass aber {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}}( \lambda) ||0 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= \lambda \in K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 2 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iuju6r7wil6ecmp32m6f58cnlasrv6t 0 30947 781199 755245 2022-08-21T21:15:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für jedes {{math|term= \lambda \in \Q|SZ=}} die {{ Definitionslink |algebraischen| |Kontext=Vielfachheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |geometrischen| |Kontext=Vielfachheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Vielfachheiten für die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix33|3|-4|5|0|-1|2|0|0|3|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vielfachheiten von Eigenwerten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s2rwe2n7y39wfw76bvn26ek6flvj5zl 0 30975 785267 758587 2022-08-22T08:11:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine beliebige Menge. Zeige{{n Sie}}, dass es keine {{ Definitionslink |surjektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=}} von {{math|term= M|SZ=}} in die {{Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=}} {{math|term= {{op:Potenzmenge|M}} |SZ=}} geben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzmenge |Kategorie2=Theorie der Mächtigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cp78zxz6990kwcay0j6h0as07ask87h 0 30976 783453 757131 2022-08-22T03:31:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} auf {{math|term= \Z \times (\Z \setminus \{0\})|SZ=}} die {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d),\, \text{ falls } ad = bc \text{ ist} |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \sim|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation||Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{math|term= (a,b)|SZ=}} ein äquivalentes Paar {{math|term= (a',b')|SZ=}} mit {{math|term= b'>0|SZ=}} gibt. c) Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\Z|M |z| [ (z,1)] |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} ist. d) Definiere auf {{math|term= M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aus Teil c| |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{math|term= +|SZ=}} derart, dass {{math|term= M|SZ=}} mit dieser Verknüpfung und mit {{math|term= [(0,1)]|SZ=}} als neutralem Element eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} wird, und dass für die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(z_1 + z_2) ||\varphi(z_1) + \varphi(z_2) || || || |SZ= }} für alle {{math|term= z_1,z_2 \in \Z|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=14 |p1=3 |p2=2 |p3=2 |p4=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7brutdwwr6fn48fdww4jcpkwsz7xs9q 0 30979 785864 759027 2022-08-22T09:50:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob die {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n ||\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8} || || || |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} und bestimme{{n Sie}} gegebenenfalls den {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname=/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gir0r933w5nkarfyf7vlt6qztimc028 0 30980 780731 754846 2022-08-21T19:57:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und sei {{ math/disp|term= V=K^{\N_+} |SZ= }} der {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aller {{ Definitionslink |Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation| |ISZ=|ESZ=. }} a) Zeige{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden| |ISZ=|ESZ=,}} dass die Menge der Nullfolgen, also {{math/disp|term= U= {{Mengebed|(x_n)_{n \in \N_+}|(x_n)_{n \in \N_+} \text{ konvergiert gegen 0} }} |SZ=}} ein {{math|term= K|SZ=-}}{{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} ist. b) Sind die beiden Folgen {{ math/disp|term=( 1/n)_{ n \in \N_+} \text{ und } (1/n^2)_{ n \in \N_+}|SZ= }} {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} in {{math|term= V|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2=Theorie der Untervektorräume |Kategorie3=Theorie der Folgenräume |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ao8lnejz8bp21p9mjb1qtxuy1fep44 0 30983 783769 748761 2022-08-22T04:24:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorräume/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= {{liste1n|v}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition| |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{math|term= {{liste1n|w}} |SZ=}} eine Familie von Vektoren in {{math|term= W|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass es maximal eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname=/Definition| |SZ= }} {{Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} mit {{math|term= \varphi(v_i) = w_i|SZ=}} für alle {{math|term= i|SZ=}} geben kann. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit {{math|term= \varphi(v_i) = w_i |SZ=}} für alle {{math|term= i|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9pvko2mu0qxsdd52cu3flknnzq8hema 0 30984 783795 757423 2022-08-22T04:28:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineare Abbildung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= {{op:Kern|\varphi|}}=0 |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ov5s1bgr5km3xxaro9ywgrc4hv6majy 0 30988 782849 756615 2022-08-22T01:50:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorräume/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= {{op:Hom|V|W}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=}} von {{mathkor|term1= V|nach|term2= W |SZ= }} und es sei {{math|term= v \in V|SZ=}} ein fixierter Vektor. Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp|name=F |{{op:Hom|V|W}}|W | \varphi|F(\varphi) :{{=|}} \varphi(v) |SZ=, }} {{math|term= K|SZ=-}}linear ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k540iv3kq01p6qeyg2xa1rmdgu0q4vg 0 31021 785049 758440 2022-08-22T07:39:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} im {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC}}[X]|SZ=}} das Produkt {{ math/disp|term= ((4+{{Imaginäre Einheit}})X^2-3X+9{{Imaginäre Einheit}}) \cdot ((-3+7{{Imaginäre Einheit}})X^2+(2+2{{Imaginäre Einheit}})X-1+6{{Imaginäre Einheit}}) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l1huha58t5ytghvjwcozxnm7v5cdntw 0 31039 782010 755904 2022-08-21T23:30:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} {{math|term= a \in K|SZ=}} und {{math|term= m,n \in \N_+|SZ=}} mit {{math|term= 1 \leq m \leq n|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} Beispiele für {{math|term= n \times n|SZ=-}}{{ Definitionslink |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} derart, dass {{math|term= a|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} ist mit der {{ Definitionslink |algebraischen Vielfachheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} und der {{ Definitionslink |geometrischen Vielfachheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= m|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vielfachheiten von Eigenwerten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qy7l32rainu06wu3eqjo2zheft8l102 0 31041 782054 755948 2022-08-21T23:37:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} {{math|term= n \in \N_+|SZ=}} und seien {{math|term= M,N \in {{op:Matq|n|}} |SZ=}} Matrizen, die in der Beziehung {{ math/disp|term= M=BNB^{-1} |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |invertierbaren Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= B \in {{op:Matq|n|}} |SZ=}} stehen. Zeige{{n Sie}}, ohne das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu verwenden, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spur|N|}} || {{op:Spur|M|}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2viud7y8xmbp04gprhghd0z27hsuufn 0 31044 785678 758891 2022-08-22T09:19:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Matrix/Situation|m=n|SZ=.}} Wie findet man die {{math|term= {{op:Spur|M|}} |SZ=}} im {{ Definitionslink |charakteristischen Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} |SZ=}} wieder? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jr9jux0e2zefy1f5wmed6tchkwhzsr6 0 31046 786561 759588 2022-08-22T11:46:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/K/Skalarprodukt/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der zugehörige {{ Definitionslink |Abstand| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die folgenden Eigenschaften besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=dabei sind {{math|term= u,v,w \in V|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |Es ist {{math|term= {{op:Distanz|v|w}} \geq 0 |SZ=.}} |Es ist {{math|term= {{op:Distanz|v|w}} = 0 |SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= v=w|SZ=.}} |Es ist {{math|term= {{op:Distanz|v|w|}} = {{op:Distanz|w|v|}} |SZ=.}} |Es ist {{ math/disp|term= {{op:Distanz|u|w}} \leq {{op:Distanz|u|v}} + {{op:Distanz|v|w}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hljjreykug8m4en34ls495qc3y1k37h 0 31048 786572 759599 2022-08-22T11:47:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reeller| |Kontext=|| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf {{math|term= U|SZ=}} ebenfalls ein Skalarprodukt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b1z40xilxsla9t7bedqb8l49sjs0rrh 0 31049 786568 759596 2022-08-22T11:47:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reeller| |Kontext=|msw=reelle Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |orthogonale Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ebenfalls ein Untervektorraum von {{math|term= V|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Orthogonales Komplement |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nrgepv18to2vwtrejm2ap4jt9sek2ab 0 31054 786562 759589 2022-08-22T11:46:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^3|SZ=}} sei mit dem {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Es sei {{math|term= U \subseteq \R^3|SZ=}} der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^3|\R |(x,y,z)|3x+y+7z |SZ=, }} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. {{ManSie|Man bestimme|Bestimmen Sie}} eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= U|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1yeytei2yg499dwsti0707u94nt6es 0 31065 785676 758888 2022-08-22T09:19:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Matrix/Situation|m=n|SZ=.}} Wir betrachten im {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K[X]|SZ=}} die Teilmenge {{ math/disp|term= I = {{Mengebed|P \in K[X]|2= P(M)=0}} |SZ=. }} Es sei {{ mathbed|term= F \in I ||bedterm1= F \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} derart, dass es in {{math|term= I|SZ=}} kein Polynom von kleinerem {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=P| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. Zeige{{n Sie}}: Jedes Element {{math|term= G \in I|SZ=}} kann man schreiben als {{ math/disp|term= G=FQ |SZ= }} mit einem {{math|term= Q \in K[X]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3vf98c0y3idvtlck4e7ycdpkagop9nj 0 31114 786571 749751 2022-08-22T11:47:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reeller| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} den {{Stichwort|Satz des Pythagoras|SZ=:}} Für zwei Vektoren {{math|term= v,w \in V|SZ=,}} die {{ Definitionslink |senkrecht| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aufeinander stehen, gilt die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v+w|}}^2 || {{op:Norm|v|}}^2 + {{op:Norm|w|}}^2 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2=Der Satz des Pythagoras |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Pythagoras |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l0cebv18or45scb13p07s8jjagqck1v 0 31116 782114 756002 2022-08-21T23:47:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=eeVR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass eine Vektorfamilie {{ Ma:Vergleichskette | {{liste1n|u}} |\in| V || || || |SZ= }} genau dann eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} ist, wenn die zugehörige {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^n|V |e_i|u_i |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= \R^n |und|term2= V |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d5ansj954dlswopgjxhmf5cqk6ph85j 0 31119 784630 758137 2022-08-22T06:37:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus n dimensional/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |nilpotent| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi|}} ||X^n || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Cayley-Hamilton |Kategorie2=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2voktmohu5oq16kkzgdk8yqpcuhdr80 0 31120 782115 756003 2022-08-21T23:48:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette | {{liste1n|u}} |\in|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für jeden Vektor {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || {{sumi1n| {{op:Skalarprodukt|v|u_i}} u_i}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orthonormalbasen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} svkxhg9igo70cx83cactmmbpdkllzps 0 31122 786511 759544 2022-08-22T11:37:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 | {{math|term= \varphi|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jeden Vektor {{math|term= v|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|v|}} || 1 || || || |SZ= }} ist auch {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|\varphi(v)|}} || 1 || || || |SZ=. }} |Für jede {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= u_i, {{laufi|1|n|}} |SZ=,}} ist auch {{math|term= \varphi(u_i), {{laufi|1|n|}} |SZ=,}} eine Orthonormalbasis. |Es gibt eine Orthonormalbasis {{math|term= u_i, {{laufi|1|n|}} |SZ=,}} derart, dass auch {{math|term= \varphi(u_i), {{laufi|1|n|}} |SZ=,}} eine Orthonormalbasis ist.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} id8tm04mvdlcwiaff066mzqifzp92p0 0 31123 782105 755994 2022-08-21T23:46:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |bijektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} an, die keine {{ Definitionslink |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, für die aber für alle {{math|term= u,v \in V|SZ=}} die Beziehung {{ math/disp|term= {{op:Skalarprodukt|u|v}} = 0 \text{ genau dann, wenn } {{op:Skalarprodukt|\varphi(u)|\varphi(v)}} =0 |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a1qe41ke0w95hq6hbqim04qg2n90prj 0 31128 781180 755220 2022-08-21T21:12:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |diagonalisierbare Matrix| |Kontext=ev| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |charakteristischen Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} direkt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|M|M}} || 0 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Cayley-Hamilton |Kategorie2=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m58x0e1khtdk97i8m8wkvl0lzo00uux 0 31129 782015 755909 2022-08-21T23:31:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |diagonalisierbar| |Kontext=ev| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= V|SZ=}} die {{ Definitionslink |direkte Summe| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seiner {{ Definitionslink |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lnp6lbdkf0xl5zodxcfeunl6vr7jmqx 0 31239 778527 632167 2022-08-21T12:16:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die erste Aussage folgt direkt aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|-x-(-y)|}} || {{op:Betrag|-x+y|}} || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zur zweiten Aussage sei {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Sei {{ Ma:Vergleichskette |b || {{op:Betrag|x|}} |>| 0 || || |SZ=. }} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette | \delta ||{{op:min| \frac{ b^2 \epsilon}{2}| \frac{b}{2}|}} || || || |SZ=. }} Dann gilt für jedes {{math|term= y|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x-y|}} | \leq | \delta || || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{ Ma:Vergleichskette/k | {{op:Betrag|y|}} | \geq| b/2 || || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x^{-1} - y^{-1}|}} || {{op:Betrag|\frac{y-x}{xy}|}} || {{op:Bruch| {{op:Betrag|y-x|}} | {{op:Betrag|x|}} \cdot {{op:Betrag|y|}} }} |\leq | \frac{ b^2 \epsilon/2 }{ b^2/2 } || \epsilon || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1dgnkueiglmr8vhi60m9yp5mpe0aslx 0 31266 780131 752418 2022-08-21T18:14:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |\Q|\Q |x|x^2-2 |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sie genügt aber nicht dem {{ Faktlink |Zwischenwertsatz| |Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | f(0) || -2 |<| 0 || || |SZ= }} und für {{ Ma:Vergleichskette |x ||2 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | f(2) || 2 |>| 0 || || |SZ=, }} es gibt aber kein {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| \Q || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |f(x) || 0 || || || |SZ=, }} da dafür {{ Ma:Vergleichskette |x^2 ||2 || || || |SZ= }} sein muss, wofür es in {{math|term= \Q|SZ=}} keine Lösung gibt. Der Zwischenwertsatz funktioniert also nur für reelle Zahlen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gjzqqagejmev4hcz3mx4lqdpwqzoild 0 31280 779819 751932 2022-08-21T17:26:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Harmonische Reihe/Definition|opt=Text}} Es geht also um die {{Anführung|unendliche Summe}} der Stammbrüche {{ math/disp|term= 1 + {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|1|3}} + {{op:Bruch|1|4}} + {{op:Bruch|1|5}} + {{op:Bruch|1|6}} + {{op:Bruch|1|7}} + {{op:Bruch|1|8}} + \ldots |SZ=. }} Diese Reihe divergiert: Für die {{math|term= 2^{n}|SZ=}} Zahlen {{mathl|term= k=2^n +1 {{kommadots|}} 2^{n+1} |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k} |\geq| \sum_{k {{=|}} 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{2^{n+1} } || 2^n \frac{1}{2^{n+1} } || \frac{1}{2} || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k} ||1+ \sum_{i {{=|}} 0}^n \left( \sum_{k {{=|}} 2^{i} +1 }^{ 2^{i+1} } \frac{1}{k} \right)|| |\geq|1 + (n+1) \frac{1}{2} || |SZ=. }} Damit ist die Folge der Partialsummen {{ Definitionslink |unbeschränkt| |Kontext=Folge ang|msw=beschränkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und kann nach {{ Faktlink{{{optlink1|}}} |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Ist beschränkt/Fakt |Faktseitenname2= Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Ist beschränkt/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |konvergent| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rationalen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die harmonische Reihe |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dd32pymhgrq6zy0p5sxlrccp2cp5wkw 0 31491 784250 757889 2022-08-22T05:44:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Eigenschaften gelten. {{ Aufzählung3 |Die {{ Definitionslink |leere Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \emptyset|SZ=}} und die Gesamtmenge {{math|term= {{{M|M}}}|SZ=}} sind {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es sei {{math|term= I|SZ=}} eine beliebige Indexmenge und seien {{ mathbed|term= U_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} offene Mengen. Dann ist auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Vereinigung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \bigcup_{i \in I} U_i |SZ= }} offen. |Es sei {{math|term= I|SZ=}} eine endliche Indexmenge und seien {{ mathbed|term= U_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} offene Mengen. Dann ist auch der {{ Definitionslink |Prämath= |Durchschnitt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \bigcap_{i \in I} U_i |SZ= }} offen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Topologie |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} scqw19avl13bg7d00ulugxmmff6bjgc 0 31496 784245 757885 2022-08-22T05:43:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |offenen Kugeln| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kugel |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m5u6gp7hmci7ubss12x038wdg764hu1 0 31497 784225 757862 2022-08-22T05:40:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |abgeschlossenen Kugeln| |Kontext=mr|msw=Kugel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Abgeschlossener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kugel |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c06j8xnwyj9yhtxu4qcnvr0zu0mk189 0 31499 784234 757873 2022-08-22T05:41:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= {{{M|M}}}|SZ=}} die sogenannte {{Stichwort|Hausdorff|SZ=-}}Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} gibt es {{ Definitionslink |offene Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} mit {{ math/disp|term= x \in U \text{ und } y \in V \text{ und } U \cap V = \emptyset |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2=Theorie der Hausdorff-Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hausdorff |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3uhenviwop8xv7hctypue11fgbdah3z 0 31501 784229 757865 2022-08-22T05:40:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{{M|M}}}|SZ=}} eine Menge, die mit der {{ Definitionslink |diskreten Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen sei. Zeige{{n Sie}}, dass jede Teilmenge von {{math|term= {{{M|M}}}|SZ=}} sowohl {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als auch {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Diskret |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} erxtu7njyyua5qaht5b1uy5yie47ecj 0 31503 784255 736830 2022-08-22T05:45:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Situation|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |{{{T|T}}} |\subseteq | {{{M|M}}} || || || || |SZ= }} eine Teilmenge mit der {{ Definitionslink |induzierten Metrik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | {{{Z|Z}}} |\subseteq | {{{T|T}}} || || || || |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{{T|T}}}|SZ=}} ist, wenn es eine in {{math|term= {{{M|M}}}|SZ=}} offene Menge {{math|term= U|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{{Z|Z}}} || {{{T|T}}} \cap U || || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Induzierte Metrik |Lösung= |Punkte=4 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fpdeentyk94k0vuj9yx4u8utaj72ztk 0 31504 784235 757874 2022-08-22T05:41:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Folge/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass ein Punkt {{math|term= x \in {{{M|M}}}|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Häufungspunkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Folge ist, wenn es eine gegen {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergente| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilfolge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6v55dwc2od5opahcotinh9rjhqqfl6a 0 31506 783396 757083 2022-08-22T03:21:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |z |\in|{{CC}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |komplexe Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|z|}} |<| 1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{math|term= {{op:Folge|Glied=z^n}} |SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Folgen |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0mgxis6cdadoi9ax8j8r89v67dxxdqy 0 31509 783395 757082 2022-08-22T03:21:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |z |\in| {{CC}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |komplexe Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|z|}} | >| 1 || || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{math|term= {{Op:Folge|glied=z^n}} |SZ=}} {{ Definitionslink |divergiert| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Folgen |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q79rhgaxkz3nj8pctgrttnx2q5kbro8 0 31510 783394 757081 2022-08-22T03:21:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die {{ Definitionslink |Häufungspunkte| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |komplexen| |Kontext=|msw=komplexe Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{Op:Folge|glied= {{Imaginäre Einheit|}}^n}} |SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für jeden Häufungspunkt eine {{ Definitionslink |Teilfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an, die gegen diesen Punkt {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Folgen |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jowg0fnjfhdz3aestwwvqxqjgi8c3vn 0 31518 784247 757886 2022-08-22T05:43:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Rand| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{{T|T}}}|SZ=}} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rand |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 841sfyazsgnpvqdtaiuaq00ccz1ydi1 0 31521 784252 757891 2022-08-22T05:44:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Rand|T|}} | \subseteq| T || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rand |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kz8iz03wg03g4fa42zxxcqoc2d9h4zz 0 31522 784256 757893 2022-08-22T05:45:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Rand| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} genau dann leer ist, wenn {{math|term= T|SZ=}} sowohl {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als auch {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rand |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b3rem5i3vy4zhm7lvy1b4cnjggnn21e 0 31523 785981 759117 2022-08-22T10:09:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ math/disp|term= S= {{mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2 +y^2 {{=|}} 1}} |SZ= }} in {{math|term= \R^2|SZ=}} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Sphäre |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ql47ikml89ncarh72w48yw1bd3mhwrr 0 31524 785887 759046 2022-08-22T09:54:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |rationalen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Q|SZ=}} in {{math|term= \R|SZ=}} weder {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} noch {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rational |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tvz9d8afcwgwnook7y9t2fmbrzs7mz3 0 31526 786026 759170 2022-08-22T10:17:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |reellen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Ebene |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reell |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} av30ifirbjeg6c8wvcgnmwpcd09nk4g 0 31532 785978 759116 2022-08-22T10:09:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} zwei verschiedene Punkte im {{math|term= \R^2|SZ=}} und {{math|term= G|SZ=}} die dadurch definierte Gerade. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R^2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Ebene |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Gerade |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 07x71g5slq3077nzq0kaacz7xh6zk2f 0 31534 779481 763564 2022-08-21T16:35:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer beliebigen Menge {{math|term= {{{M|M}}}|SZ=}} kann man durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(x,y) | {{defeq|}} |\begin{cases} 0, \, & \text{ falls } x {{=|}} y \, , \\ 1, \, & \text{ falls } x\neq y \, ,\end{cases} \, || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definieren, die die {{Stichwort|diskrete Metrik|SZ=}} heißt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der diskreten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r96ccy8diktsfsglx31qu1ac8c312gk 0 31536 779491 630756 2022-08-21T16:37:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=.}} Dann ist {{math|term= T}} ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man {{ Ma:Vergleichskette/disp | d_T(x,y) | {{defeq|}} | d(x,y) || || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x,y |\in|T || || || |SZ= }} setzt. Diese Metrik heißt die {{Stichwort|induzierte Metrik|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einschränkung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqxz6ho8e2mf3e1wvkob2xxsfcaivek 0 31538 781462 755472 2022-08-21T21:59:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass auf jeder Menge {{math|term= {{{M|M}}}|SZ=}} die {{ Definitionslink |diskrete Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Menge/Diskrete Metrik/Beispiel |SZ= }} in der Tat eine {{ Definitionslink |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Diskrete Metrik |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g3ce8wabn03qw5126ujvinxysg8j85j 0 31539 779135 772293 2022-08-21T15:41:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(v,w) | {{defeq}} | {{op:Norm|v-w|}} | {{defeq}} |\sqrt{ {{op:Skalarprodukt|v-w|v-w}} } || || |SZ= }} der zugehörige Abstand. Dieser besitzt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Skalarprodukt/R/Zugehöriger Abstand über Norm/Eigenschaften/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Eigenschaften einer {{ Definitionslink |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Insbesondere ist im {{math|term= \R^n|SZ=}} der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(x,y) || \sqrt{ (x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 {{plusdots|}} (x_n-y_n)^2 } || || || |SZ= }} gegebene {{Stichwort|euklidische Abstand|msw=Euklidischer Abstand|SZ=}} eine Metrik. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} faok4ixnfhf69xa2znw0ms050cgl5pk 0 31544 784239 757879 2022-08-22T05:42:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrische Räume/Situation|SZ=}} und {{math|term= m \in M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die konstante Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |L|M |x|m |SZ=, }} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstant |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p0x9c93la1uk12m0erzusckaddsdl5z 0 31549 782107 755996 2022-08-21T23:46:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V \subseteq \R^n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |euklidischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \R^n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie von euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evaq9zf05ism263xm4dhza4f7rfi9mx 0 31550 784220 757859 2022-08-22T05:39:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= L,M,N|SZ=}} {{ Definitionslink |metrische Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ mathkor/disp|term1= f:L \longrightarrow M |und|term2= g: M \longrightarrow N |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= x \in L|SZ=}} und es sei {{math|term= g|SZ=}} stetig in {{math|term= f(x) \in M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=g \circ f |L|N |x|g(f(x)) |SZ=, }} stetig in {{math|term= x|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hintereinanderschaltung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p0y5oso72dth4p1ksdnbhrmw6hpcnsb 0 31551 782106 755995 2022-08-21T23:46:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V }} ein {{ Definitionslink |euklidischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V|\R |v| {{op:Norm|v|}} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie von euklidischen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ikvh0kxrpyebep355bkbn149bezspwy 0 31563 782330 746626 2022-08-22T00:23:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer Funktion {{ Ma:abb/disp |name=f |\R|\R || |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R^2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hg02qo1dwufwnhx9kpverygtfc5vqa4 0 31565 782337 746641 2022-08-22T00:25:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer Funktion {{ Ma:abb/disp |name=f |\R|\R || |SZ=, }} die nicht {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, deren {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aber {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R^2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eq35twfa7buoqqb8gslnt10s0kzcj4a 0 31570 779856 763796 2022-08-21T17:32:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|x|y}} || \sum_{i{{=}}1}^n {{op:Betrag|x_i-y_i|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die man die {{Stichwort|Summenmetrik|SZ=}} nennt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Summenmetrik |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ah8vzd05pia5i2dxdx8cu7lj4jh99s3 0 31571 779852 763790 2022-08-21T17:31:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|x|y}} ||{{op:max| {{op:Betrag|x_i-y_i|}} | i {{=|}} 1 {{kommadots|}} n }} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die man die {{Stichwort|Maximumsmetrik|SZ=}} nennt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Maximumsmetrik |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bi33blbgqacy2mi6br9jdvxli8f55hb 0 31573 786419 759492 2022-08-22T11:22:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Summenmetrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= R^n/Summenmetrik/Metrischer Raum/Beispiel |SZ= }} im {{math|term= \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a6nsz13yjcvmz31c68cob7mexbfx38y 0 31574 786407 759481 2022-08-22T11:20:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Maximumsmetrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= R^n/Maximumsmetrik/Metrischer Raum/Beispiel |SZ= }} im {{math|term= \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Maximumsmetrik |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} os3a2h5bsl9fhonsl7clk2fkv3hyysv 0 31624 784251 757890 2022-08-22T05:44:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |induzierten Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Inklusion {{math|term= T \subseteq {{{M|M}}}|SZ=}} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Inklusion |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 38fvwuexff9vz7nkmf1ty9g40hkidsu 0 31625 786423 759495 2022-08-22T11:23:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} die {{ Definitionslink |euklidische Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Summenmetrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Maximumsmetrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieselben {{ Definitionslink |offenen Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reell |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3eg6mfkwl3yq97v89e304j7vuuf6udt 0 31626 786402 759477 2022-08-22T11:19:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X=\R^n|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |euklidischen Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= Y=\R^n|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |diskreten Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |Y|X || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Identität| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, die {{ Definitionslink |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f^{-1}|SZ=}} aber nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Metrik |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8usp2y7u1ue5f7m8n4edu8z6ov6ccbn 0 31627 785856 759020 2022-08-22T09:49:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= X|SZ=}} eine nichtleere Menge versehen mit der {{ Definitionslink |diskreten Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |\R|X || |SZ= }} {{ Definitionslink |konstant| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eh3wkr7gcz5kqrnvc8hetw9o1zs57rq 0 31629 786370 759444 2022-08-22T11:14:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer Folge {{math|term= {{Op:Folge|z}} |SZ=}} im {{math|term= \R^2|SZ=}} derart, dass die beiden Komponentenfolgen {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|glied=z_{1n} }} |und|term2= {{Op:Folge|glied=z_{2n} }} |SZ= }} jeweils mindestens einen {{ Definitionslink |Häufungspunkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen, die Folge selbst aber nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cftob3mslu8ndpnq0txcj4carw6c8oj 0 31630 784249 757888 2022-08-22T05:44:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrische Räume stetige Abbildung/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= L|SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Häufungspunkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= x \in L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f(x)|SZ=}} ein Häufungspunkt der Bildfolge {{math|term= {{Op:Folge|glied=f(x_n)}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nr74bhncockfyqrlyqfx7z2eokl8f56 0 31639 782347 756186 2022-08-22T00:26:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} x^2+x-1 |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Nullstelle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= [0,1]|SZ=}} mit Hilfe der {{ Faktlink |Intervallhalbierungsmethode|Faktseitenname= Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/Verfahren |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit einem Fehler von maximal {{math|term= 1/100|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Intervallhalbierung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ey5z5rdodnp53rpcxxkhzbsedprlxt1 0 31640 782350 756188 2022-08-22T00:27:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} x^3 -3x+1 |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Nullstelle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= [0,1]|SZ=}} mit Hilfe der {{ Faktlink |Intervallhalbierungsmethode|Faktseitenname= Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/Verfahren |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit einem Fehler von maximal {{math|term= 1/200|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort=Intervallhalbierung |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hdhzo90p4mzq56dpl8f18lav5puxqt5 0 31647 784224 757861 2022-08-22T05:40:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrische Räume Abbildung/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= P \in L|SZ=.}} Es sei {{math|term= \epsilon >0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann in {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |eingeschränkte| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{f} | {{op:Offener Ball|P|\epsilon}} |M |x|f(x) |SZ=, }} in {{math|term= P|SZ=}} stetig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Lokal |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j0kd3tee4a6mfka5njiogv124ock2fh 0 31649 784257 757894 2022-08-22T05:45:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Situation|SZ=.}} Betrachte{{n Sie}} die folgende {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=:}} Es ist {{ math/disp|term= x \sim y,\, \text{ falls es eine stetige Abbildung } \gamma :[a,b] \longrightarrow X \text{ mit } \gamma(a)= x \text{ und } \gamma(b)=y \text{ gibt}|SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es sich dabei um eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der wegzusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n8g0uy657hdxhp9k64vpmg6tfku3v4i 0 31701 782091 420856 2022-08-21T23:44:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= a,b,r \in \R|SZ=,}} {{math|term= r >0|SZ=,}} und sei {{math/disp|term= K = {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| (x-a)^2+(y-b)^2 {{=|}} r^2}} |SZ=}} der {{Stichwort|Kreis|SZ=}} mit dem {{Stichwort|Mittelpunkt|SZ=}} {{math|term= M=(a,b)|SZ=}} und dem {{Stichwort|Radius|SZ=}} {{math|term= r|SZ=.}} Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{Stichwort|Gerade|SZ=}} in {{math|term= \R^2|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass es auf {{math|term= G|SZ=}} mindestens einen Punkt {{math|term= P|SZ=}} gibt mit {{math|term= d(M,P) \leq r|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= K \cap G \neq \emptyset|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Die euklidische Ebene |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2cwkkhowo5zt7apxcj32n8g9948nizw 0 31705 785985 759123 2022-08-22T10:10:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die reelle Ebene {{math|term= \R^2|SZ=}} sei mit der {{ Definitionslink |euklidischen| |Kontext=Metrik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Summen| |Kontext=Metrik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=- }} oder der {{ Definitionslink |Maximumsmetrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Bestimme{{n Sie}}, abhängig von der gewählten Metrik, die maximale Anzahl von Punkten {{math|term= P_1 {{kommadots|}} P_n \in \R^2|SZ=}} derart, dass die Metrik auf der Teilmenge {{math|term= T= \{P_1 {{kommadots|}} P_n \}|SZ=}} die {{ Definitionslink |diskrete Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} induziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Diskret |Lösung= |Punkte=6 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pklbt53ny60wet0an2uequkq1ewwpxy 0 31720 781077 690618 2022-08-21T20:54:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Billardtisch sei {{math|term= 127|SZ=}} cm breit und {{math|term= 254|SZ=}} cm lang, die Kugeln haben einen Radius von {{math|term= 2|SZ=}} cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis mit Radius {{math|term= 5|SZ=}} cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei. Berechne{{n Sie}} für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten? Eine Kugel soll nun direkt {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln| |ISZ=|ESZ= }} in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren {{Anführung|Äquator|}} durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt: a) (63.5, 63.5) b) (100, 100) c) (63.5, 192,5) d) (63.5, 10) Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel? Welche Winkeltoleranz liegt in a) bis d) vor, wenn man die anliegenden Banden mitberücksichtigt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2=Billard-Mathematik |Kategorie3=Winkeltheorie |Objektkategorie= |Stichwort=Billard |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f52yjnsqp5g111g9orjfcqtgsz8btsc 0 31726 784785 758248 2022-08-22T06:59:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Nullpunkt {{math|term= 0 \in \R^3|SZ=}} befinde sich die Pupille eines Auges {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine Linse| |ISZ=|ESZ= }} und die durch {{math|term= x=-1|SZ=}} bestimmte Ebene sei die Netzhaut {{math|term= N \cong \R^2|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine Fotoplatte| |ISZ=|ESZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |\R_+ \times \R \times \R| \R^2 || |SZ=, }} die das Sehen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Fotografieren| |ISZ=|ESZ= }} beschreibt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet| |ISZ=|ESZ=. }} Ist diese Abbildung {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} ist sie {{ Definitionslink |linear| |Kontext=|msw=lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Optik |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ajavg2do6jksw49w0zeq4fx0lqrll6b 0 31731 785584 758826 2022-08-22T09:03:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Funktion {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= f(x) = \begin{cases} 1, \text{ falls } x \in \Q \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases} |SZ= }} in keinem Punkt {{math|term= x \in \R|SZ=}} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Q |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ggj3s8da6bkxve580hdtdf982x6okqr 0 31751 779220 712047 2022-08-21T15:54:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Limes {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|0| \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} }} |SZ=, }} wobei {{mathl|term= x \in \R \setminus \{0\} , \, x \geq -4|SZ=,}} ist. Für {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ= }} ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit {{mathl|term= \sqrt{x+4} +2 |SZ=}} erweitern, und erhält dann {{ Ma:Vergleichskette/align | \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} || \frac{ {{makl| \sqrt{x+4} - 2 |}} {{makl| \sqrt{x+4} + 2 |}} }{x {{makl| \sqrt{x+4} +2 |}} } || \frac{ x+4 -4 }{x {{makl| \sqrt{x+4} +2 |}} } || \frac{ x }{ x {{makl| \sqrt{x+4} +2 |}} } || \frac{ 1 }{ \sqrt{x+4} +2 } |SZ=. }} Aufgrund der {{ Faktlink |Rechenregeln|Faktseitenname= Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Rechenregeln/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, wobei wir im Nenner die Stetigkeit der Quadratwurzel gemäß {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reelle Quadratwurzel/Stetig/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} vrewenden, und es ergibt sich insgesamt {{mathl|term= 1/4|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9xgkc3atwtjyy8i5gmn0aziy8as39pp 0 31761 786382 759458 2022-08-22T11:16:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} mindestens einen {{ Definitionslink |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t3ffgvpqk1baknbx98jraxetcyruvzx 0 31785 780336 773351 2022-08-21T18:51:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Für jede positive reelle Zahl {{math|term= b|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\Z || || || |SZ= }} ist {{math|term= b^n |SZ=}} eine positive reelle Zahl, wobei die Potenzgesetze gelten, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Körper/Potenzgesetze/Positiv bekannt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Für eine weitere natürliche Zahl {{ Ma:Vergleichskette |m |\in| \N_+ || || || |SZ= }} und eine positive reelle Zahl {{math|term= y|SZ=}} ist {{mathl|term= y^{1/m} |SZ=}} definiert. Für eine rationale Zahl {{ Ma:Vergleichskette |q || n/m || || || |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette | b^q || (b^n)^{1/m} || || || |SZ= }} definiert, und zwar ist dies unabhängig von der Wahl der Zähler und Nenner in der Darstellung von {{math|term= q|SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Q/b^q/Wohldefiniertheit/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Q/q auf b^q/Gleichmäßig stetig auf Intervall/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbild |Exponentials(2)|svg| 250px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |Text=Die Exponentialfunktionen für die Basen {{math|term= b=10, \frac{1}{2} |SZ=}} und {{math|term= e|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Q/q auf b^q/Gleichmäßig stetig auf Intervall/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Q nach R/Gleichmäßig stetig/Stetige Fortsetzung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit einem beliebigen Intervall {{mathl|term= [-n,n] |SZ=}} statt ganz {{math|term= \Q |SZ=.}}| |ISZ=|ESZ= }} lassen sich die zunächst nur auf {{math|term= \Q |SZ=}} definierten Exponentialfunktionen zu stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen fortsetzen. In diesem Sinn ist die folgende Definition zu verstehen. {{ inputdefinition |Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Exponentialfunktion/Basis/Stetige Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2qsm4sgeoxi0ui8zv6a4llwb33ufgdm 780354 780336 2022-08-21T18:54:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Für jede positive reelle Zahl {{math|term= b|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\Z || || || |SZ= }} ist {{math|term= b^n |SZ=}} eine positive reelle Zahl, wobei die Potenzgesetze gelten, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Körper/Potenzgesetze/Positiv bekannt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Für eine weitere natürliche Zahl {{ Ma:Vergleichskette |m |\in| \N_+ || || || |SZ= }} und eine positive reelle Zahl {{math|term= y|SZ=}} ist {{mathl|term= y^{1/m} |SZ=}} definiert. Für eine rationale Zahl {{ Ma:Vergleichskette |q || n/m || || || |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette | b^q || (b^n)^{1/m} || || || |SZ= }} definiert, und zwar ist dies unabhängig von der Wahl der Zähler und Nenner in der Darstellung von {{math|term= q|SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Q/b^q/Wohldefiniertheit/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Q/q auf b^q/Gleichmäßig stetig auf Intervall/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbild |Exponentials(2)|svg| 250px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |Text=Die Exponentialfunktionen für die Basen {{math|term= b=10, \frac{1}{2} |SZ=}} und {{math|term= e|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Q/q auf b^q/Gleichmäßig stetig auf Intervall/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Q nach R/Gleichmäßig stetig/Stetige Fortsetzung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit einem beliebigen Intervall {{mathl|term= [-n,n] |SZ=}} statt ganz {{math|term= \Q |SZ=.}}| |ISZ=|ESZ= }} lassen sich die zunächst nur auf {{math|term= \Q |SZ=}} definierten Exponentialfunktionen zu stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen fortsetzen. In diesem Sinn ist die folgende Definition zu verstehen. {{ inputdefinition |Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Exponentialfunktion/Basis/Stetige Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mjzl9lzbssjvt5ux7kjtnxyej5vmh2d 0 31794 780334 775826 2022-08-21T18:51:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergangpos=Dann besitzt die {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=Basis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|b^x |SZ=, }} folgende Eigenschaften. |Folgerung= {{:Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaftsliste|}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bbwg26yb34c57dktfw3xaug745qxsp4 780352 780334 2022-08-21T18:54:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergangpos=Dann besitzt die {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=Basis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|b^x |SZ=, }} folgende Eigenschaften. |Folgerung= {{:Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaftsliste|}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 464opi841cio3ss0h8hi4130945jj3p 0 31796 782108 745545 2022-08-21T23:46:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |euklidische Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |vollständig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der vollständigen metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n4cggl6zqt7raakgd8yk1ezswola7y0 0 31798 780687 754805 2022-08-21T19:49:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einer Studenten-WG bereitet Studi 1 Kaffee zu, und füllt die Menge {{math|term= x_1|SZ=}} Kaffee in den Kaffeefilter. Dies sieht entsetzt Studi 2 und sagt: {{Anführung|Willst Du, dass wir alle schon total wach werden?|}} und nimmt die Kaffeemenge {{math|term= x_2 < x_1|SZ=}} wieder aus dem Filter heraus. Danach kommt Studi 3 und sagt: {{Anführung|Bin ich hier in einer Weicheier-WG gelandet?}} und kippt wieder eine Kaffeemenge {{math|term= x_3 < x_2|SZ=}} dazu. So geht es unendlich weiter, wobei sich Kaffeeherausnehmer und Kaffeenachfüller abwechseln. Wie kann man charakterisieren, ob die Kaffeemenge im Filter {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 69q9t3eyi14pn4xjnbmtmhdsvbn6bfx 0 31800 779688 759173 2022-08-21T17:08:04Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= b>0 ||bedterm1= b \neq 1 ||bedterm2= |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} die {{Stichwort|reellen Logarithmen|msw=Reeller Logarithmus|SZ=}} zur Basis {{math|term=b|SZ=}} als Umkehrfunktionen zu den reellen {{ Definitionslink |Exponentialfunktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition |SZ= }} und formuliere{{n Sie}} deren wichtigste Eigenschaften. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ggeqlstkuyb58qc1lnu5hyx0hc1jvi 786028 779688 2022-08-22T10:17:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= b>0 ||bedterm1= b \neq 1 ||bedterm2= |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} die {{Stichwort|reellen Logarithmen|msw=Reeller Logarithmus|SZ=}} zur Basis {{math|term= b|SZ=}} als Umkehrfunktionen zu den reellen {{ Definitionslink |Exponentialfunktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition |SZ= }} und formuliere{{n Sie}} deren wichtigste Eigenschaften. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hfuob3sb12648qnngh38w7ouftq658y 0 31805 786470 414717 2022-08-22T11:30:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Situation im [[w:Achilles und die Schildkröte|Schildkröten-Paradoxon]] von [[w:Zenon von Elea|Zenon von Elea]] ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Kriechgeschwindigkeit {{math|term= v>0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} hat einen Vorsprung {{math|term= s>0|SZ=}} gegenüber dem schnelleren Achilles {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Geschwindigkeit {{math|term= w >v|SZ=}} und dem Startpunkt {{math|term= 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte {{math|term= s_0=s|SZ=}} ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle {{math|term= s_1>s_0|SZ=.}} Wenn Achilles an der Stelle {{math|term= s_1|SZ=}} ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle {{math|term= s_2 > s_1|SZ=,}} u.s.w. Berechne{{n Sie}} die Folgenglieder {{math|term= s_n|SZ=,}} die zugehörigen Zeitpunkte {{math|term= t_n|SZ=,}} sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche{{n Sie}} diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Achilles |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 70ofuecqxawlcmhu7ak8uqvx35eharz 0 31814 782335 756177 2022-08-22T00:24:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |\R^2|\R || |SZ=, }} die durch {{ math/disp|term= f(x,y) := \begin{cases} 0 \, , \text{ falls } x \leq 0 \, , \\ 0 \, , \text{ falls } y \leq 0 \, , \\ y/x \, , \text{ falls } x \geq y > 0 \, , \\ x/y \, , \text{ falls } y >x > 0 \, , \end{cases} |SZ= }} definiert ist. Zeige{{n Sie}}, dass die Einschränkung von {{math|term= f|SZ=}} auf jeder zur {{math|term= x|SZ=-}}Achse oder zur {{math|term= y|SZ=-}}Achse parallelen Geraden {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dass aber {{math|term= f|SZ=}} selbst nicht stetig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kun3kunvkillcbat9110hatnw37f21l 0 31815 786101 759255 2022-08-22T10:29:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} ein nichtleeres {{ Definitionslink |reelles| |Kontext=|msw=reelle Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= x \in I|SZ=}} ein Punkt. Bestimme die Teilmengen von {{math|term= I \setminus \{x\}|SZ=,}} die sowohl {{ Definitionslink |offen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als auch {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tv1kua344dvpiyx7fjvok8spv4ekf8a 0 31826 782096 755984 2022-08-21T23:44:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Norm/Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |euklidischen Vektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} folgende Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung4 |Es ist {{math|term= {{op:Norm|\varphi(v)|}} \leq {{op:Norm|\varphi|}} \cdot {{op:Norm|v|}} |SZ=.}} |Es ist {{math|term= {{op:Norm|\varphi|}} = 0 |SZ=}} genau dann, wenn {{math|term= \varphi=0|SZ=}} ist. |Es ist {{math|term= {{op:Norm|c \varphi |}} = {{op:Betrag|c|}} \cdot {{op:Norm|\varphi|}} |SZ=.}} |Es ist {{math|term= {{op:Norm|\varphi_1 + \varphi_2 |}} \leq {{op:Norm|\varphi_1|}} + {{op:Norm|\varphi_2|}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen zwischen euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sm1eky6tdy640elvx9w0ieaixp1pr1g 0 31827 782097 755985 2022-08-21T23:45:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Euklidischer Vektorraum lineare Abbildung/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= \lambda \in \R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|\lambda|}} | \leq| {{op:Norm|\varphi|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen zwischen euklidischen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= Theorie der normierten Homomorphismenräume‎ |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 633yvr9629k7au35cl38w4lp38s3gaa 0 31829 782111 755998 2022-08-21T23:47:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Euklidischer Vektorraum lineare Abbildung/Situation|SZ=}} derart, dass eine {{ Definitionslink |Orthogonalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ Definitionslink |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} existiert. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\varphi|}} || {{op:max| {{op:Betrag|\lambda|}} |\lambda \text{ ist Eigenwert von } \varphi }} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen zwischen euklidischen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3=Theorie der normierten Homomorphismenräume |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2lbhmnhtahmu6n3mdlcityroiknrfqt 0 31830 783812 757443 2022-08-22T04:31:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)| {{op:Matrix22|1|0|1|0|}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} |SZ=, }} wobei der {{math|term= \R^2|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |euklidischen Norm| |Kontext=|msw=euklidische Metrik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen sei. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Norm/Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen zwischen euklidischen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bmub4lwitnjtah3k7442r4uj4sx3nw 0 31832 783935 757575 2022-08-22T04:51:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n|\R | {{op:Zeilenvektor1n|x}} | \sum_{i {{=|}} 1}^n a_i x_i |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 0|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} einen Vektor {{math|term= v \in \R^n|SZ=}} auf der {{ Definitionslink |abgeschlossenen Kugel| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Mittelpunkt {{math|term= 0|SZ=}} und Radius {{math|term= 1|SZ=,}} an dem die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Abgeschlossener Ball|0|1}} |\R |v| {{op:Betrag|\varphi(v)|}} |SZ=, }} ihr {{ Definitionslink |Maximum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} annimmt. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Norm/Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen zwischen euklidischen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Linearformen |Kategorie3=Theorie der normierten Homomorphismenräume |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9c2ta83v6g80l397q4csqadi084cz71 0 31835 784780 758245 2022-08-22T06:58:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |stetigen Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |]0,1[| \R || |SZ=, }} derart, dass das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und {{math|term= f|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |gleichmäßig stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gleichmäßigen Stetigkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8qx8ysk24eqpj15aqf0nensxorteszj 0 31837 784221 757860 2022-08-22T05:39:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrische Räume Abbildung/Situation|SZ=,}} die {{ Definitionslink |Lipschitz-stetig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Metrische Räume/Lipschitz stetig/Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} auch {{ Definitionslink |gleichmäßig stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lipschitz-stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1twfawi64amr80i73n00bojyz41f8p5 0 31839 785071 758457 2022-08-22T07:42:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Polynomfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=P| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \geq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |gleichmäßig stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gleichmäßigen Stetigkeit (R) |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o98ta2i3dbah5r4t8idfhpd09mh0lar 0 31840 782095 755983 2022-08-21T23:44:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Euklidische Vektorräume lineare Abbildung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Lipschitz-stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen zwischen euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Norm |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i0e3hghrsf2nq8xslsk77nrc1gcfv0x 0 31841 782527 425352 2022-08-22T00:56:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zwei Personen, {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=, }} sitzen in der Kneipe. {{math|term= A|SZ=}} will nach Hause gehen, aber {{math|term= B|SZ=}} will noch ein Bier trinken. {{Anführung|Na gut, dann trinken wir eben noch ein Bier, das ist aber das allerletzte|SZ,}} sagt {{math|term= A|SZ=.}} Danach möchte {{math|term= B|SZ=}} immer noch Bier, aber da das vorhergehende Bier definitiv das letzte war, einigen sie sich auf ein allerletztes halbes Bier. Danach trinken sie noch ein allerletztes Viertelbier, danach noch ein allerletztes Achtelbier, u.s.w. Wie viel {{Anführung|allerletztes Bier}} trinken sie insgesamt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Reihen (Analysis) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 02m6id7e4oj9z7l330stxfdzlxvecfs 0 31843 786395 737161 2022-08-22T11:18:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |abgeschlossene| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge und sei {{ Ma:abb/disp |name=f |T|T || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stark kontrahierende| |Kontext=abb mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{math|term= x_0 \in T|SZ=}} die rekursiv definierte {{ Definitionslink |Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_{n+1} |{{defeq}}|f(x_n) || || || |SZ= }} gegen ein {{ Zusatz/Klammer |text=von der Folge unabhängiges| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| T || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und dass dieses {{math|term= x|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Fixpunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2=Der Banachsche Fixpunktsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mbhy0s1lr1pxobmrxz8scr0ok9htkqi 0 31844 784253 738835 2022-08-22T05:44:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= T|SZ=}} {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch der {{ Definitionslink |Abschluss| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math|term= {{op:Topologischer Abschluss|T|}} |SZ= }} zusammenhängend ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Abschluss |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvgczfh66c4x1foi0vm3jhpq28hcwsr 0 31845 786396 759472 2022-08-22T11:18:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene| |Kontext=Kugel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{ Definitionslink |abgeschlossene| |Kontext=Kugel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Kugel| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} {{ Definitionslink |wegzusammenhängend| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der wegzusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie2=Topologie von euklidischen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pd4u3k8l0111werdor5leenvif3po97 0 31846 786017 759155 2022-08-22T10:15:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 0|SZ=,}} die die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x+y) || f(x) \cdot f(y) || || || |SZ= }} für alle {{math|term= x,y \in \R|SZ=}} erfüllt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein {{math|term= b>0|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |f(x) ||b^x || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sex61hgpe48dyvn1fvrdkak7ti3sbhy 0 31847 786392 759469 2022-08-22T11:17:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^n|\R^m || |SZ= }} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und additiv, d.h. es gelte {{math|term= \varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y)|SZ=}} für alle {{math|term= x,y \in \R^n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} dann {{math|term= \R|SZ=-}}{{ Definitionslink |linear| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen zwischen euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gbcpbatucykgymp110roe8y3uoqxiee 0 31857 779164 763267 2022-08-21T15:46:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T || [0,1] || || || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |[0,1]|\R |x|x^n |SZ=. }} Für jedes {{ mathbed|term= x \in [0,1] ||bedterm1= x < 1 ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=x^n}} |SZ=}} nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reelle Zahl/Betrag kleiner 1/Potenzfolge/Konvergenz/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} und für {{ Ma:Vergleichskette |x ||1 || || || |SZ= }} liegt die konstante Folge zum Wert {{math|term= 1|SZ=}} vor. Die Grenzfunktion ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) || \begin{cases} 0, \, \text{ falls } x <1\, , \\ 1 \text{ sonst} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Diese Funktion ist nicht {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} obwohl alle {{math|term= f_n|SZ=}} stetig sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k9efozs5f4hwbcy6koexqx6co1alsqf 0 31927 784233 757872 2022-08-22T05:41:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ math/disp|term= T={{mengebed| {{op:Bruch|1|n}} | n \in \N_+}} \cup \{0\} |SZ= }} mit der von {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |induzierten Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= x \in M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{math|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} genau dann gegen {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |T|M |\frac{1}{n}|x_n, \, 0 \longmapsto x |SZ=, }} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xdey04vo3azlo8w3auyhi6485608oo 0 31930 784228 757864 2022-08-22T05:40:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= {{{M|M}}}=A \cup B|SZ=}} mit nichtleeren Teilmengen {{math|term= A,B \subseteq {{{M|M}}} |SZ=}} und {{math|term= A \cap B = \emptyset|SZ=.}} Es gebe ein {{math|term= \delta > 0|SZ=}} mit {{ math/disp|term= d(x,y) \geq \delta \text { für alle } x \in A,\, y \in B |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und auch {{math|term= B|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} sowohl {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als auch {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0epbu3sgc8fhqui6yeblbbi79dxe54i 0 31933 786404 759478 2022-08-22T11:19:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{math|term= \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |wegzusammenhängend| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der wegzusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie2=Topologie von euklidischen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3dyc6jo1wob7hww940jt78udcsbowtg 0 31934 786390 735487 2022-08-22T11:17:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | n |\geq| 2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| \R^n || || || |SZ= }} ein Punkt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \R^n \setminus \{P\}|SZ=}} {{ Definitionslink |wegzusammenhängend| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der wegzusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie2=Topologie von euklidischen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Punktkomplement |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a5sru0qgg0qben6oqvqwsok167e47a7 0 31959 785884 746631 2022-08-22T09:53:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der folgenden {{ Definitionslink |rationalen Funktionen| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f=g/h |U|\R || |SZ=, }} wobei {{math|term= U|SZ=}} jeweils das {{ Definitionslink |Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms {{math|term= h|SZ=}} sei. {{ Aufzählung7 |{{math|term= 1/x|SZ=,}} |{{math|term= 1/x^2|SZ=,}} |{{math|term= 1/(x^2+1)|SZ=,}} |{{math|term= x/(x^2+1)|SZ=,}} |{{math|term= x^2/(x^2+1)|SZ=,}} |{{math|term= x^3/(x^2+1)|SZ=,}} |{{math|term= (x-2)(x+2)(x+4)/(x-1)x(x+1)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mncl8e8j9fpzre5fc6m2n7kw38ac05n 0 31980 786067 759218 2022-08-22T10:24:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| \R || || || |SZ= }} eine Teilmenge der {{ Definitionslink |reellen Zahlen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= T|SZ=}} ein {{ Definitionslink |abgeschlossenes| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |beschränktes| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der kompakten Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hsl1yqxk0jvboycjntb3cnf8b787pv4 0 31983 779128 763249 2022-08-21T15:40:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir gehen davon aus, dass die Temperatur stetig vom Ort abhängt, d.h. die Temperatur {{ Zusatz/Klammer |text=zu einem bestimmten Zeitpunkt| |ISZ=|ESZ= }} ist eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |G|\R || |SZ=, }} wobei {{math|term= G \subseteq \R^3|SZ=}} eine Teilmenge ist. Es hängt dann von topologischen Eigenschaften des Gebietes, für das man sich interessiert, ab, ob es einen wärmsten {{ Zusatz/Klammer |text=oder kältesten| |ISZ=|ESZ= }} Punkt in {{math|term= G|SZ=}} gibt. Bei {{math|term= G=\R^3|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=dem naiven unbeschränkten Weltall| |ISZ=|ESZ= }} muss es keinen wärmsten Punkt geben, z. B. wenn es eine unendliche Folge von zunehmend heißeren Sonnen gibt. Auf der Erdoberfläche gibt es hingegen einen wärmsten Punkt, da die Erdoberfäche {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Das Gleiche gilt für die gesamte Erdkugel einschließlich der Erdoberfläche. Für das Erdinnere, also die Erdkugel ohne die Erdoberfläche, muss es keinen kältesten Punkt geben, da die Erde zum Rand hin zunehmend kälter werden könnte. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kompaktheit (Topologie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pojijfv7mtvx4ojj9lc6wspw3jkiajv 0 31989 782975 756715 2022-08-22T02:11:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= I_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Intervallschachtelung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} und sei {{mathl|term= {{Op:Folge}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |reelle Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= x_n \in I_n|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung {{ Faktlink |bestimmte Zahl|Faktseitenname= Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dn7fdt0rsvy5bnollrtsa624nswlcus 0 31994 785833 758998 2022-08-22T09:45:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= \R|SZ=}} der nichtleere Durchschnitt von {{ Definitionslink |zusammenhängenden| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmengen wieder zusammenhängend ist. Muss dies auch für den nichtleeren Durchschnitt von zusammenhängenden Teilmengen im {{math|term= \R^2|SZ=}} gelten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der zusammenhängenden Räume |Kategorie3=Topologie von euklidischen Vektorräumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aid4izqb909qdkie8i37xxrxprvdy5l 0 31995 784241 734972 2022-08-22T05:42:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Folge/Situation|SZ=,}} die gegen {{math|term= x \in {{{M|M}}}|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiere| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{Op:Folge|y}} |SZ=}} eine weitere Folge derart, dass die Abstände {{math|term= {{op:Abstand|x_n|y_n|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Nullfolge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term= {{Op:Folge|y}} |SZ=}} gegen {{math|term= x|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kfayqfmzfz796xa5059b39ijwq0zz6n 0 32043 778482 719302 2022-08-21T12:09:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aufgrund der {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Kreisgleichung|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}{{{zusatz1|}}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | ({{op:cos|{{{z|z}}}|}} )^2 + ( {{op:sin|{{{z|z}}}|}})^2 || 1 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| {{op:sin| \frac{\pi}{2}|}} |}}^2 || 1 || || || |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:sin| \frac{\pi}{2}|}} || 1 || || || |SZ= }} wegen der Überlegung im [[Reelle Kosinusfunktion/Genau eine Nullstelle zwischen 0 und 2/Fakt/Beweis|Beweis]] zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Kosinusfunktion/Genau eine Nullstelle zwischen 0 und 2/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Daraus folgen mit den {{ Faktlink{{{opt2|}}} |Additionstheoremen|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}{{{zusatz2|}}} die in (3) angegebenen Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus, beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:cos(|z + {{op:Bruch|\pi|2}} |}} || {{op:cos(|z |}} {{op:cos(| {{op:Bruch|\pi|2}} |}} - {{op:sin(|z |}} {{op:sin(| {{op:Bruch|\pi|2}} |}} || - {{op:sin(|z |}} || || |SZ=. }} Es genügt daher, die Aussagen für den Kosinus zu beweisen. Alle Aussagen folgen dann aus der Definition von {{math|term= \pi|SZ=}} und aus (3). Dass die trigonometrischen Funktionen außer den angegebenen reellen Nullstellen keine weiteren Nullstellen in {{mathl|term= {{CC|}} \setminus \R |SZ=}} besitzen wurde in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Sinusfunktion/Komplex/Reelle Nullstellen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bewiesen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 89wl0bmkmrxxcjx9agkro8nzzt5h0cr 0 32060 784237 757877 2022-08-22T05:42:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum Teilmenge Berührpunkt/Situation|SZ=.}} Es seien {{ Ma:abb |name=f |T| {{KRC/{{{K|K}}}|}} || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=g |T| {{KRC/{{{K|K}}}|}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass die {{ Definitionslink |Grenzwerte| |Kontext=abb mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Funktionslimes|x|a|f(x)}} |und|term2= {{op:Funktionslimes|x|a|g(x)}} |SZ= }} existieren. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Beziehungen gelten. {{ Aufzählung3 |Die Summe {{mathl|term= f+g|SZ=}} besitzt einen Grenzwert in {{math|term= a|SZ=,}} und zwar ist {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|a|(f(x)+g(x))}} = {{op:Funktionslimes|x|a|f(x)}} + {{op:Funktionslimes|x|a|g(x)}} |SZ=. }} |Das Produkt {{mathl|term= f \cdot g|SZ=}} besitzt einen Grenzwert in {{math|term= a|SZ=,}} und zwar ist {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|a|(f(x) \cdot g(x))}} = {{op:Funktionslimes|x|a|f(x)}} \cdot {{op:Funktionslimes|x|a|g(x)}} |SZ=. }} |Es sei {{mathl|term= g(x) \neq 0|SZ=}} für alle {{mathl|term= x \in T|SZ=}} und {{math|term= {{op:Funktionslimes|x|a|g(x)}} \neq 0 |SZ=.}} Dann besitzt der Quotient {{mathl|term= f/g|SZ=}} einen Grenzwert in {{math|term= a|SZ=,}} und zwar ist {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|a| \frac{f(x)}{g(x)} }} = \frac{ {{op:Funktionslimes|x|a|f(x)}} }{ {{op:Funktionslimes|x|a|g(x)}} } |SZ=. }}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g0ezjmuh3b9t6yhwe8927shvgq4eikl 0 32062 785608 758847 2022-08-22T09:07:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\Q|\R |q|b^q |SZ=, }} folgende Eigenschaften besitzt. {{ Aufzählung8 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | b^{q+q'} || b^q \cdot b^{q'} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |q,q' |\in| \Q || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | b^{-q} || {{op:Bruch|1|b^q}} || || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |b |>|1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |q |>|0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |b^q |>|1 || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |b |<|1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |q |>|0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |b^q |<|1 || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |b |>|1 || || || |SZ= }} ist {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |streng wachsend| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |b |<|1 || || || |SZ= }} ist {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |streng fallend| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | (b^{q})^{q'} || b^{ q \cdot q'} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |q,q' |\in| \Q || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R_+ || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | (ab)^q || a^q \cdot b^q || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 30gh4xphediptdgcazosnyl6kfd03un 0 32063 780335 759127 2022-08-21T18:51:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=allg R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|b^x |SZ=, }} folgende Eigenschaften besitzt. {{:Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaftsliste}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 80vutj7u8cu9dksolo6jv8aag3miw0c 780353 780335 2022-08-21T18:54:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=allg R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|b^x |SZ=, }} folgende Eigenschaften besitzt. {{:Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaftsliste}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7kg75jvcmado5g954zp94iqr2ovwwy0 785988 780353 2022-08-22T10:11:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=allg R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|b^x |SZ=, }} folgende Eigenschaften besitzt. {{:Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaftsliste}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 99d7bo7xf9g5gtzrmqr9l5e7e4ppjs2 0 32075 784244 734975 2022-08-22T05:43:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Folge/Situation|SZ=,}} die gegen {{math|term= x \in X|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiere| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{Op:Folge|y}} |SZ=}} eine weitere Folge in {{math|term= X|SZ=,}} wobei die folgende Eigenschaft gilt: Zu jedem {{math|term= \epsilon> 0|SZ=}} gibt es ein {{math|term= N \in \N|SZ=}} derart, dass für alle {{math|term= k,m \geq N|SZ=}} die Beziehung {{ math/disp|term= {{op:Abstand| x_k|y_m|}} \leq \epsilon |SZ= }} gilt. Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term= {{Op:Folge|y}} |SZ=}} gegen {{math|term= x|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hgyfjgjfrjyedo4up72l5k9w3zigjvo 0 32126 783408 757089 2022-08-22T03:23:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ math/disp|term= {{op:Reihe|a}} \text{ und } {{op:Reihe|b}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergente Reihen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Komplexe_Zahlen/Reihe/Definition |Refname= |SZ= }} von {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} mit den Summen {{ mathkor|term1= s |und|term2= t |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |Die Reihe {{mathl|term= {{op:Reihe|c}} |SZ=}} mit {{mathl|term= c_k=a_k+b_k|SZ=}} ist ebenfalls konvergent mit der Summe {{mathl|term= s+t|SZ=.}} |Für {{mathl|term= \lambda \in {{CC}}|SZ=}} ist auch die Reihe {{mathl|term= {{op:Reihe|d}} |SZ=}} mit {{mathl|term= d_k = \lambda a_k |SZ=}} konvergent mit der Summe {{math|term= \lambda s|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k28wxj6o6chf4nhcz7bzx9getpjrrjq 0 32127 782189 756064 2022-08-22T00:00:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= a_i||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |summierbare Familie| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |komplexer Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= J \subseteq I|SZ=}} eine Teilmenge. Zeige{{n Sie}}, dass auch die Teilfamilie {{ mathbed|term= a_i ||bedterm1= i \in J ||bedterm2= |SZ=, }} summierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1wm09jt3q4561aludq13kvqzknys5mt 0 32137 786145 759303 2022-08-22T10:37:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= k \geq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=reihe R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hjfmumrei21vn7blg9sge32qtkiyclh 0 32146 782251 756107 2022-08-22T00:10:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |b |>|0 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sqrt[k]{b} || b^{1/k} || || || |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term= 1|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie der reellen Wurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hqu3kkppzb0jjurtz1e5v3l2gqz21fe 0 32152 786142 759299 2022-08-22T10:36:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Reihe|a}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= a_k \in \R_{\geq 0}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die durch {{ math/disp|term= y_n := \sum_{k \geq n/2 }^{n} a_k |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Nullfolge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ek7m2ddjb9gz2h95uysb9d26l65qqvx 0 32154 782402 756238 2022-08-22T00:35:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= g \in \N |,|bedterm1= g \geq 2 ||bedterm2= |SZ=. }} Eine {{Stichwort|Ziffernfolge|SZ=,}} die durch {{ math/disp|term= z_i \in \{0,1 {{kommadots|}} g-1\} \text{ für } i \in \Z, \, i \leq k |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= k \in \N|SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ= }} gegeben ist, definiert eine {{ Definitionslink |reelle Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Hier läuft also der Index in die umgekehrte Richtung| |ISZ=.|ESZ= }} }} {{ math/disp|term= \sum_{i=k}^{- \infty} z_i g^{i} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine solche Reihe gegen eine eindeutig bestimmte nichtnegative {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ziffer |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4804t8kiyev89szq8wh1r4jzuf6vihd 0 32179 785604 713222 2022-08-22T09:07:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= b|SZ=}} eine positive reelle Zahl und {{ Ma:Vergleichskette |q || n/m |\in| \Q || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | b^q |{{defeq}}| {{makl| b^n |}}^{1/m} || || || |SZ= }} definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für {{math|term= q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k71swdllun6fftovjcwfsh9xxn2n6ce 0 32182 786144 759302 2022-08-22T10:37:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=reihe R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Summe {{math|term= 1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Teleskopreihe |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c7wb428krglwstq3h0igl704rck4bi5 0 32240 781817 755722 2022-08-21T22:58:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= z|SZ=}} eine {{ Definitionslink |komplexe Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |z |\neq|1 || || || |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} durch Induktion die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 0}^n z^k || {{op:Bruch| z^{n+1} -1| z-1}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die geometrische Reihe |Stichwort= |Lösung= |Punkte=2 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bb6nox3ewiit0uft5qoceizdd9qdvog 0 32244 779364 763448 2022-08-21T16:16:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine konvergente Reihe muss nicht {{ Definitionslink |absolut konvergieren| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} d.h. {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Faktseitenname= Reelle Reihe/Absolute Konvergenz und Konvergenz/Fakt |Faktseitenname2= Reihen/Absolute Konvergenz und Konvergenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} lässt sich nicht umkehren. Aufgrund des {{ Faktlink |Leibnizkriteriums|Faktseitenname= Reihen/Reelle Zahlen/Leibnizkriterium/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konvergiert die {{Stichwort|alternierende harmonische Reihe|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{n {{=|}} 1}^\infty \frac{ (-1)^{n+1} }{n} || 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \ldots || || || |SZ=, }} und zwar ist ihr Grenzwert {{math|term= {{op:ln|2|}} |SZ=,}} was wir hier aber nicht beweisen. Die zugehörige absolute Reihe ist aber die harmonische Reihe, die nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Reihe/Harmonische Reihe/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} divergiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplexen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die harmonische Reihe |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fni2m3lpaoefyhpgcmxqnkrz9dkewsl 0 32246 780677 754795 2022-08-21T19:48:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= z \in {{CC}},\, {{op:Betrag|z|}} <1 |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} und beweise{{n Sie}} eine Formel für die {{ Definitionslink |Reihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Reihe|Glied=(-1)^k z^k}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzy9z9u4tdqqmok64sunae9mxwttzof 0 32258 780689 405298 2022-08-21T19:50:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Nachdem der Kaffee am Vortag für die Befürworter eines starken Kaffees zu schwach geworden ist, entwickeln sie eine neue Strategie: Sie wollen etwas früher aufstehen, so dass am Tagesanfang und zwischen je zwei Kaffeereduzierern immer zwei Kaffeeauffüller zum Zuge kommen. Dabei bleibt die interne Reihenfolge der beiden Lager als auch die hinzuzufügende bzw. wegzunehmende Kaffeemenge einer Person unverändert. Können sie mit dieser Strategie den Kaffee stärker machen, beispielsweise bei {{mathl|term= x_n={{op:Bruch|1|n}}|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ixx3y2qutmfqiqbbs2t8gfknjs9f6am 0 32267 782382 756223 2022-08-22T00:32:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die folgenden Funktionen, ob der {{ Definitionslink |Funktionslimes| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{ mathbed|term= x \in \R \setminus \{0\} ||bedterm1= x \rightarrow 0 ||bedterm2= |SZ=, }} existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt. {{ Aufzählung3 |{{math|term= {{op:sin|\frac{1}{x}|}}|SZ=,}} |{{math|term= x \cdot {{op:sin|\frac{1}{x}|}}|SZ=,}} |{{math|term= \frac{1}{x} \cdot {{op:sin|\frac{1}{x}|}}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pr7jxc4cl6dz4ilajnx88m4arv0yoxi 0 32417 786143 759301 2022-08-22T10:36:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= a,b \in \R_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{ak+b} |SZ= }} {{ Definitionslink |divergiert| |Kontext=reihe R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 03knzj9dlw8yc598v68u66ogevazaj9 0 32434 785067 758454 2022-08-22T07:42:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= P\in {{CC}}[X]|SZ=}} genau dann einen {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=P| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \leq d|SZ=}} besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= P=0|SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=, }} wenn die {{math|term= (d+1)|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= P|SZ=}} das Nullpolynom ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 58vunw76i3gpp9gjv91f60b8ilam35c 0 32435 785066 758453 2022-08-22T07:42:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P\in {{CC}}[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= a \in {{CC}}|SZ=}} und {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} genau dann ein Vielfaches von {{math|term= (X-a)^n|SZ=}} ist, wenn {{math|term= a|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Nullstelle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sämtlicher {{ Definitionslink |Ableitungen| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= P,P^\prime ,P^{\prime \prime} {{kommadots|}} P^{(n-1)} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74vg7jbwwpvr4z9pepkhdg3a9170c4y 0 32438 785871 759033 2022-08-22T09:51:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=F |D|{{CC}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} genau dann ein Polynom ist, wenn es eine {{ Zusatz/Klammer |text=höhere| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | F^{(n)} ||0 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen rationalen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Polynom |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8t69uytwgosy9v96kix12psfcnvm1be 0 32439 785869 648136 2022-08-22T09:51:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Funktion/Ableitung/Bestimme/Aufgabenform|f =f | |B={{CC}}|arg=x|term=f(x)= \frac{x^2+x-1 }{ x^3-x+2} |SZ=,}} wobei {{math|term= D|SZ=}} die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen rationalen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tfwglz52ba15w6qp6mrqzx23cym6dkk 0 32440 785870 648137 2022-08-22T09:51:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Funktion/Ableitung/Bestimme/Aufgabenform|f =f |D={{CC}} \setminus \{0\} |B={{CC}}|arg=x|term=f(x)=x^n|SZ=,}}&nbsp;für jedes {{math|term= n \in \Z|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten |Kategorie2=Theorie der komplexen rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8vmbsnat6gf39d0bnqdommvlv8rsv6h 0 32466 782401 756237 2022-08-22T00:35:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= g \in \N |,|bedterm1= g \geq 2 ||bedterm2= |SZ=. }} Es sei eine Ziffernfolge {{ math/disp|term= z_i \in \{0,1 {{kommadots|}} g-1\} \text{ für } i \in \Z, \, i \leq k |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= k \in \N|SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ= }} gegeben und es sei {{ math/disp|term= r= \sum_{i=k}^{- \infty} z_i g^{i} |SZ= }} die durch diese Ziffernfolge definierte {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Ziffernfolge genau dann ab einer gewissen Stelle {{Stichwort|periodisch|SZ=}} ist, wenn {{math|term= r|SZ=}} eine {{ Definitionslink |rationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ziffer |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} su2m6xwh8ypk0a5bdqpqf5maan43adg 0 32467 785992 759133 2022-08-22T10:11:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die durch die {{ Definitionslink |Exponentialreihe| |Kontext=R|msw=Exponentialfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definierte reelle Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:exp||}} |\R|\R |x| {{op:exp|x|}} |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |nach oben beschränkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass {{math|term= 0|SZ=}} das {{ Definitionslink |Infimum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=aber nicht das {{ Definitionslink |Minimum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} der {{ Definitionslink |Bildmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Menge/Bild einer Abbildung/Definition |SZ= }} ist.{{{zusatz1|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rllo7dc1kilx8gha4ro601ni4mxl4w8 0 32469 785991 759132 2022-08-22T10:11:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die durch die {{ Definitionslink |Exponentialreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |reelle Exponentialfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Eigenschaft besitzt, dass für jedes {{math|term= d \in \N|SZ=}} die {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Folge/lr|Glied= \frac{ {{op:exp|n|}} }{n^d} }} |SZ= }} {{ Definitionslink |bestimmt divergent| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term= + \infty|SZ=}} ist{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion {{Stichwort|schneller wächst|SZ=}} als jede Polynomfunktion| |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Wachstum |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2inxd4658pn2fw3fo6oehdcm5e4veys 0 32475 785295 758612 2022-08-22T08:16:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ math/disp|term= {{potenzreihe|a}} \text{ und } {{potenzreihe|b}} |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |absolut konvergente| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Potenzreihen| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= z \in {{CC}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Cauchy-Produkt| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der beiden Reihen durch {{ math/disp|term= {{potenzreihe|c}} \text{ mit } c_n = \sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i} |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l7ebb3xowgyhrztz2x28msven7ql5m5 0 32476 786547 759578 2022-08-22T11:43:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Koeffizienten bis zu {{math|term= z^6|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Produktreihe| |Kontext=|msw=Cauchy-Produkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{potenzreihe|c}} |SZ=}} aus der {{ Definitionslink |Sinusreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Kosinusreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5duolxnyvkhzqvmwqnne9erbm9puy1 0 32479 785277 758595 2022-08-22T08:13:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math/disp|term= {{potenzreihe|a}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |absolut konvergente| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Potenzreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Koeffizienten zu den Potenzen {{math|term= z^0,z^1,z^2,z^3,z^4|SZ=}} in der dritten {{ Definitionslink |Potenz| |Kontext=Cauchy-Produkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{potenzreihe|c}} ||{{makl| {{potenzreihe|a}} |}}^3 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j7c4msg7xxuspcdf9bq1k3ha0ef9ldj 0 32481 785292 758609 2022-08-22T08:15:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math/disp|term= {{potenzreihe|a}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |absolut konvergente| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Potenzreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Koeffizienten zu den Potenzen {{math|term= z^0,z^1,z^2,z^3,z^4,z^5|SZ=}} in der vierten {{ Definitionslink |Potenz| |Kontext=Cauchy-Produkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{potenzreihe|c}} || {{makl| {{potenzreihe|a}} }}^4 || || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ds1ectp0tyo9pbeji0zbun28ntyzhrr 0 32495 782155 756030 2022-08-21T23:54:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für {{math|term= N \in \N|SZ=}} und {{math|term= {{{z|z}}} \in {{CC}}|SZ=}} sei {{ math/disp|term= R_{N+1} ({{{z|z}}}) = {{op:exp|{{{z|z}}}|}} - \sum_{n=0}^N \frac{ {{{z|z}}}^n}{n!} = \sum_{n=N+1}^\infty \frac{ {{{z|z}}}^n}{n!} |SZ= }} das {{Stichwort|Restglied|SZ=}} der {{ Definitionslink |Exponentialreihe| |Kontext={{{K|C}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für {{math|term= {{op:Betrag|{{{z|z}}}|}} \leq 1 + \frac{1}{2}N |SZ=}} die {{Stichwort|Rest{{latextrenn}}gliedabschätzung|SZ=}} {{ math/disp|term= {{op:Betrag|R_{N+1}({{{z|z}}})|}} \leq \frac{2}{(N+1)!} {{op:Betrag|{{{z|z}}}|}} ^{N+1} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialreihe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 37lhiasuxxh8u9y0v8pa3gyu7x50ptf 0 32502 782526 756316 2022-08-22T00:56:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= z \in {{CC}} |,|bedterm1= {{op:Betrag|z|}} <1 ||bedterm2= |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=in Abhängigkeit von {{math|term= z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} die {{ Definitionslink |Summen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Komplexe Zahlen/Reihe/Rechenregeln/Fakt |SZ= }} der beiden {{ Definitionslink |Reihen| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \sum_{k=0 }^\infty z^{2k} \text{ und } \sum_{k=0 }^\infty z^{2k+1} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die geometrische Reihe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rko5suz726to8901qfm3ns7itg4yo3n 0 32508 785018 758421 2022-08-22T07:34:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Schreibe{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= X^3+2X^2-3X+4 |SZ= }} in der neuen Variablen {{math|term= U=X+2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Umentwicklung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oh6p0wirk1r2rnvsjqtzjanswccsk8v 0 32513 783465 757142 2022-08-22T03:33:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Folge/Situation||SZ=,}} die gegen {{math|term= x \in M|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine Menge und es seien {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |T|M |t|f_n(t) {{=|}} x_n |SZ=, }} die zu {{math|term= x_n|SZ=}} gehörenden {{ Definitionslink |konstanten Funktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Funktionenfolge {{math|term= {{Op:Folge|f}} |SZ=}} {{ Definitionslink |gleichmäßig| |Kontext=Funktionenfolge mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen die konstante Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |T|M |t|f(t) {{=|}} x |SZ=, }} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsfolgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstant |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jgf83bntdru2z6ft7i363gc1wied7io 0 32515 783461 757138 2022-08-22T03:32:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=.}} Wir betrachten auf einem {{ Definitionslink |reellen Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= [a,b]|SZ=}} die {{ Definitionslink |Funktionenfolge| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |[a,b]|\R |t|t x_n |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Funktionenfolge {{ Definitionslink |gleichmäßig konvergiert| |Kontext=Funktionenfolge K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Grenzfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Steigung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5vov8mbk2fr2vtlzi4wrqkrek0krst5 0 32516 783460 757137 2022-08-22T03:32:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=.}} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Funktionenfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |\R|\R |t|t x_n |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Funktionenfolge {{ Definitionslink |punktweise| |Kontext=Funktionenfolge K|msw=punktweise konvergent| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber im Allgemeinen nicht {{ Definitionslink |gleichmäßig konvergiert| |Kontext=Funktionenfolge K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Was ist die {{ Definitionslink |Grenzfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Steigung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qgq83qkiv8a8q85s475edhouezg09la 0 32520 782359 756199 2022-08-22T00:28:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Menge und {{ Ma:abb/disp |name=f_n |T|X || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildungsfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einen {{ Definitionslink |metrischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese Folge genau dann {{ Definitionslink |punktweise konvergiert| |Kontext=funktfolge mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn sie {{ Definitionslink |gleichmäßig konvergiert| |Kontext=funktfolge mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsfolgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7woyqpgbqylkegcoeyms19g72n66n5n 0 32521 782365 756207 2022-08-22T00:29:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine Menge und seien {{ Ma:abb/disp |name=f_n |T| {{KRC|}} || |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name=g_n |T| {{KRC|}} || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |gleichmäßig konvergente| |Kontext=Funktionenfolge K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktionenfolgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die Summenfolge {{ Ma:abbele/disp |name=f_n+g_n |T | {{KRC|}} |t| f_n(t) +g_n(t) |SZ=, }} gleichmäßig konvergent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lbg95uiw3x6xv85wf9wf63ehhdz8aom 0 32522 785293 758610 2022-08-22T08:16:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Potenzreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{potenzreiheab1|glied= \frac{x^n}{n^2} }} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Potenzreihe den {{ Definitionslink |Konvergenzradius| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=}} besitzt, und dass die Reihe noch für alle {{ mathbed|term= x \in {{CC}} ||bedterm1= {{op:Betrag|x|}} =1 ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=potenzreihe C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i3yj9am5oo2v3dqf8ka3xns59cblzjt 0 32523 785285 758602 2022-08-22T08:14:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math/disp|term= {{potenzreihe|c}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Potenzreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die für ein {{math|term= \epsilon >0|SZ=}} auf {{math|term= {{op:Offener Ball|0|\epsilon}} |SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiere| |Kontext=reihe C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und dort die {{ Definitionslink |Nullfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} darstelle. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= c_n=0|SZ=}} für alle {{math|term= n \in \N|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Identitätssatz für Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Null |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lgnmurg2i4x53cztdk4oilzu1bq2yvv 0 32525 782362 756202 2022-08-22T00:29:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Funktionenfolge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |I|\R |x|x^{1/n} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Folge für {{math|term= I = \R_{\geq 0}|SZ=}} {{ Definitionslink |punktweise konvergiert| |Kontext=Funktionenfolge K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und untersuche{{n Sie}} die Folge auf {{ Definitionslink |gleichmäßige Konvergenz| |Kontext=Funktionenfolge K|msw=gleichmäßig konvergiert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die verschiedenen Definitionsmengen {{ math/disp|term= I=\R_{\geq 0},\, \R_+,\, [1, \infty],\, [\frac{1}{5}, 5],\, ]0,1],\, [0,1] |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Wurzeln |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} es602phfql8isjzopo1tjrzwmt4lqmb 0 32526 785258 603333 2022-08-22T08:10:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Funktion/Ableitung/Bestimme/Aufgabenform|f=f|D={{CC}}|B={{CC}}|arg=x|term=f(x)=x^n|SZ=,}}&nbsp;für jedes {{math|term= n \in \N|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ipmjybq6z38858znk64ayyp9hwzdbqz 0 32527 786014 381776 2022-08-22T10:15:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Funktion/Ableitung/Bestimme/Aufgabenform|f=f|D=\R_+|B=\R|arg=x|term=f(x)=x^{\frac{1}{n} }|SZ=,}}&nbsp;für jedes {{math|term= n \in \N_+ |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 21v173gllifxsto9amkkozea326q44g 0 32528 786015 381775 2022-08-22T10:15:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Funktion/Ableitung/Bestimme/Aufgabenform|f=f|D=\R_+|B=\R|arg=x|term=f(x)=x^{q}|SZ=,}}&nbsp;für jedes {{math|term= q \in \Q |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 940yf0nnqty9jk3h4gpjc9baecftvtf 0 32531 786162 759321 2022-08-22T10:40:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine jährlich stattfindende Vereinsmeisterschaft führt zu einer {{ Zusatz/Klammer |text=Meisterschafts| |ISZ=|ESZ=- }}{{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |J|V |j| m(j) |SZ=, }} wobei {{math|term= J|SZ=}} die endliche Menge der Jahre ist, in denen eine Meisterschaft durchgeführt wurde, {{math|term= V|SZ=}} die Menge der Vereine und {{math|term= m(j)|SZ=}} den Meisterverein des Jahres {{math|term= j|SZ=}} bezeichnet. Die Anzahl der gewonnenen Meisterschaften führt zu einer Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=a_j |V|\N |v| a_j(v) {{=|}} {{op:Anzahl| {{mengebed|i \in J|m(i) {{=|}} v, \, i \leq j }} |}} |SZ=. }} Ein Verein {{math|term= v|SZ=}} heißt {{Stichwort|Rekordmeister|SZ=}} im Jahr {{math|term= j \in J|SZ=,}} wenn {{math|term= a_j(v) \geq a_j(w)|SZ=}} für alle {{math|term= w \in V|SZ=}} ist. Die Rekordmeisterabbildung ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |J| {{op:Potenzmenge|V}} |j|R^{(1)}(j) |SZ=, }} mit {{ math/disp|term= R^{(1)}(j)= {{mengebed|v\in V|v \text{ ist Rekordmeister im Jahr } j }} |SZ= }} und die zugehörige Anzahl der gewonnenen Rekordmeisterschaften führt zur Rekordmeisterschaftsanzahl{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Dabei werden in unserer Zählweise also nur diejenigen Jahre mitgerechnet, in denen eine Meisterschaft stattfand| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=a_j^{(1)} |V|\N |v|a_j^{(1)}(v) {{=|}} {{op:Anzahl| {{mengebed|i \in J| v \in R^{(1)}(i) , \, i \leq j }} |}} |SZ=. }} Durch diese Anzahl kann man wiederum die Menge der Rekordrekordmeister {{math|term= R^{(2)}(j)|SZ=}} im Jahr {{math|term= j|SZ=}} definieren und damit wiederum die Anzahlfunktion {{math|term= a_j^{(2)}(v)|SZ=}} der Rekordrekordmeister, die zum Rekordrekordrekordmeister {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= \text{Rekord}^{(3)}-\text{Meister}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} führt, usw. {{ Aufzählung4 |Wer ist 2015 Rekordrekordmeister im Fußball der Männer?{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Ab 1903, ohne 1904, ohne 1922, BRD| |ISZ=.|ESZ= }} |Erstelle{{n Sie}} eine Liste sämtlicher {{math|term= \text{Rekord}^{(n)}-\text{Meister}|SZ=}} im Fußball der Männer. |Begründe{{n Sie}}, dass ein {{math|term= \text{Rekord}^{(n+1)}-\text{Meister}|SZ=}} mindestens einmal {{math|term= \text{Rekord}^{(n)}-\text{Meister}|SZ=}} gewesen sein muss. |Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{ Zusatz/Klammer |text=möglichen| |ISZ=|ESZ= }} geschichtlichen Verlauf ein {{math|term= n|SZ=}} derart gibt, dass die erste Meisterschaftsmannschaft der jetztige {{math|term= \text{Rekord}^{(n)}-\text{Meister}|SZ=}} ist.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rekordmeister |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2yy1959voxyq6k29gpm2uc7lvp9r3fx 0 32535 783348 757038 2022-08-22T03:13:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für {{math|term= n \in \N|SZ=}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |z| ({{op:sin| z|}} )^n |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} thhecedqfec2d1m3thvz0bgowmhe04v 0 32537 783349 757039 2022-08-22T03:13:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |D|{{CC}} |z| {{op:tan|z|}} {{=|}} \frac{ {{op:sin|z |}} }{ {{op:cos|z|}} } |SZ=. }} Was ist die {{ Definitionslink |Definitionsmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= D|SZ=}} des {{Stichwort|Tangens|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tu52b7pcf3e71d9fegaej3c77agjfyy 0 32541 786094 407340 2022-08-22T10:28:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} 4x^3+3x^2-x+2 |SZ=. }} Finde die Punkte {{math|term= a \in [-3,3]|SZ=}} derart, dass die Steigung der Funktion in {{math|term= a|SZ=}} gleich der Durchschnittssteigung zwischen {{ mathkor|term1= -3 |und|term2= 3 |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qkr0xjqebjkivybxl5d032yu9ywhd9k 0 32564 780333 766700 2022-08-21T18:50:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabenform{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=Funktion R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |rationalen Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \frac{ {{{f|f}}}}{ {{{g|g}}} } |SZ= }} im Punkt {{math|term= a={{{a|a}}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pk8zw19t3qo9uj5mnbj2yrw6rt172r1 780351 780333 2022-08-21T18:53:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabenform{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=Funktion R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |rationalen Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \frac{ {{{f|f}}}}{ {{{g|g}}} } |SZ= }} im Punkt {{math|term= a={{{a|a}}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} amee6uxvxgjsuxfb38y5v4p8rh98hik 0 32568 786013 759154 2022-08-22T10:15:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |[a,b]|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Lipschitz-stetig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Metrische Räume/Lipschitz stetig/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Lipschitz |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ersbr01nbwiqt9kifqd0plqryfna7om 0 32575 784974 758401 2022-08-22T07:28:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= F \in {{CC}}[X] }} ein {{ Definitionslink |nichtkonstantes| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} in {{ Definitionslink |Linearfaktoren| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zerfällt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Fundamentalsatz der Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 410ybj96rbrkfp2fp98py0l2y6ko4hm 0 32583 779587 751592 2022-08-21T16:52:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) | {{defeq|}} | \begin{cases} 0,\, \text{ falls } x \leq 0\, , \\ e^{- \frac{1}{x} },\, \text{ falls } x > 0 \, . \end{cases} || || || || |SZ= }} Wir behaupten, dass diese Funktion unendlich oft {{ Definitionslink{{{optkon1|}}} |differenzierbar| |Kontext=höher R|kon2=höher K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, was nur im Nullpunkt nicht offensichtlich ist. Man zeigt zunächst durch Induktion, dass sämtliche Ableitungen von {{mathl|term= e^{- \frac{1}{x} } |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und der rechtsseitige Differenzenquotient im Nullpunkt| |ISZ=|ESZ= }} die Form {{mathl|term= p {{makl| \frac{1}{x} |}} e^{- \frac{1}{x} } |SZ=}} mit gewissen Polynomen {{ Ma:Vergleichskette |p |\in|\R [Z] || || || |SZ= }} besitzen und dass davon der {{ Definitionslink{{{optkon2|}}} |Limes| |Kontext=abb R|kon2=abb mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= x \rightarrow 0,\, x >0|SZ=}} stets {{math|term= 0|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Platte Funktion/Polynom in 1 durch x mal exp -1 durch x/Ableitung/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Platte Funktion/Polynom in 1 durch x mal exp -1 durch x/Limes für x gegen null/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=.|ESZ=. }} Daher ist der {{ Zusatz/Klammer |text=rechtsseitige| |ISZ=|ESZ= }} Limes für alle Ableitungen gleich {{math|term= 0|SZ=}} und existiert. Alle Ableitungen am Nullpunkt haben also den Wert {{math|term= 0|SZ={{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Eine solche Funktion heißt {{Stichwort|platte Funktion|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }}}} und daher ist die {{ Definitionslink |Taylor-Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Nullpunkt die {{ Definitionslink |Nullreihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Funktion {{math|term= f|SZ=}} ist aber in keiner Umgebung des Nullpunktes die {{ Definitionslink |Nullfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da {{ Ma:Vergleichskette | e^{- \frac{1}{x} } |>|0 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Taylor-Reihe in einer reellen Variablen |Kategorie2=Theorie der platten Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2eidue3e9tud6k6ygf08tones2wsos6 0 32591 784958 741821 2022-08-22T07:25:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | p |\in| \R[Y] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=g | \R_+|\R |x| g(x) {{=|}} p {{makl| \frac{1}{x} |}} e^{- \frac{1}{x} } |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= g'(x) |SZ=}} ebenfalls von der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | g'(x) ||q {{makl| \frac{1}{x} |}} e^{- \frac{1}{x} } || || || |SZ= }} mit einem weiteren Polynom {{math|term= q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Reihe in einer reellen Variablen |Kategorie2=Theorie der platten Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3n52vytb5xxhrd6zxdxdpjlqozp4b3u 0 32594 784959 741822 2022-08-22T07:25:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_+|\R |x|f(x) {{=|}} e^{- \frac{1}{x} } |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \N || || || |SZ= }} die {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=höher R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= f^{(n)} |SZ=}} die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|menge=\R_+|x|0|f^{(n)}(x)}} || 0 || || || |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Reihe in einer reellen Variablen |Kategorie2=Theorie der platten Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gf66upcvli0l8zq3xf5lgoi8nn5u5tu 0 32596 782737 756514 2022-08-22T01:31:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M \subseteq \N_+|SZ=}} diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine {{math|term= 9|SZ=}} vorkommt. Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= \sum_{n \in M} \frac{1}{n} |SZ= }} {{ Definitionslink |summierbar| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summierbarkeit (komplexe Zahlen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ibixx5gt3ybdkyt924llgkb4thb06p 0 32615 785282 758601 2022-08-22T08:14:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Op:Folge|c}} |SZ=}} eine Folge von {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{potenzreihe|c}} |SZ=}} die zugehörige Potenzreihe. Zeige{{n Sie}}, dass deren {{ Definitionslink |Konvergenzradius| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Konvergenzradius der um {{math|term= a \in {{CC}}|SZ=}} {{Stichwort/anf|verschobenen|SZ=}} Potenzreihe {{ math/disp|term= {{potenzreihe|c|(z-a)}} |SZ= }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} prwhv4q5gf8x8quv3qo0s9si17l7q7t 0 32616 782159 756033 2022-08-21T23:55:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Exponentialreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{CC}}|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |gleichmäßig konvergiert| |Kontext=Funktionenfolge K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialreihe |Kategorie2=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l2n9v125mcz1nyie98ks88mctfs8iin 0 32617 781032 755098 2022-08-21T20:47:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{mengebed|f:T \rightarrow {{CC}}| {{op:Norm|f|}}_T < \infty }} || || || |SZ= }} die Menge der beschränkten {{ Definitionslink |komplexwertigen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= T|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Supremumsnorm| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} folgende Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung4 |{{mathl|term= {{op:Norm|f|}} \geq 0|SZ=}} für alle {{math|term= f \in M|SZ=.}} |{{mathl|term= {{op:Norm|f|}} = 0|SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= f=0|SZ=}} ist. |Für {{mathl|term= \lambda \in {{CC}} |SZ=}} und {{mathl|term= f \in M|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\lambda f|}} ||{{op:Betrag|\lambda|}} \cdot {{op:Norm|f|}} || || || |SZ=. }} |Für {{mathl|term= g,f \in M|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|g+f|}} | \leq| {{op:Norm|g|}} + {{op:Norm|f|}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ecpnutuq6guqlmwcn157ki96irido7x 0 32619 781031 755097 2022-08-21T20:47:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{mengebed|f:T \rightarrow {{CC}}| {{op:Norm|f|}}_T < \infty }} || || || |SZ= }} die Menge der beschränkten {{ Definitionslink |komplexwertigen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= T|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |komplexer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hs42h7l9diy1evjrzmnwj4a52hrt4mv 0 32620 782157 756031 2022-08-21T23:55:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Koeffizienten {{math|term= d_0 {{kommadots|}} d_6 |SZ=}} der {{ Definitionslink |Exponentialreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Entwicklungspunkt| |Kontext=Potenzreihe C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialreihe |Kategorie2=Theorie der Potenzreihenentwicklung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kmnhcs5hmjk6hr9nqlb4midnkw4k9pi 0 32651 782581 756353 2022-08-22T01:05:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |d |\in| \N || || || |SZ= }} und sei für jedes {{ Ma:Vergleichskette |i |\in| {{menge0n|n=d}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |konvergente| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Folge {{ math/disp|term= {{op:Folge|Glied=c_{in} }} |SZ= }} in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} gegeben, deren {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= c_i|SZ=}} bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge {{math|term= {{op:Folge|f}} |SZ=}} von Polynomen vom Grad {{math|term= \leq d|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_n | {{defeq|}} |c_{dn}x^d + c_{d-1 \, n }x^{d-1} {{plusdots|}} c_{2n}x^2 + c_{1 n }x +c_{0n} || || || |SZ= }} definiert sind. Zeige{{n Sie}}, dass diese Funktionenfolge auf jeder {{ Definitionslink |abgeschlossenen Kreisscheibe| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Abgeschlossener Ball|0|r}} |SZ=}} {{ Definitionslink |gleichmäßig| |Kontext=Funktionenfolge K|msw=gleichmäßig konvergiert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |f ||c_{d}x^d + c_{d-1 }x^{d-1} {{plusdots|}} c_{2}x^2 + c_{1 }x +c_{0} || || || |SZ= }} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} im5fm993btbiqzu9yt6kh0iimkd4t9c 0 32702 778877 763097 2022-08-21T14:59:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | s,c |\in| {{KRC|}} || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha | {{KRC|}} | {{KRC|}} |z|sz+c |SZ=, }} eine sogenannte {{ Definitionslink |affin-lineare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zur Bestimmung der {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| {{KRC|}} || || || |SZ= }} betrachtet man {{ Ma:Vergleichskette/disp | \frac{(sx+c) - (sa+c)}{x-a} || \frac{ s(x-a) }{x-a} || s || || |SZ=. }} Dies ist konstant gleich {{math|term= s |SZ=,}} so dass der Limes für {{math|term= x |SZ=}} gegen {{math|term= a |SZ=}} existiert und gleich {{math|term= s |SZ=}} ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich {{math|term= s |SZ=.}} Die {{Stichwort|Steigung|SZ=}} der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6vrvi5ac900h0dkt74si96xfgmmud75 0 32705 778878 763098 2022-08-21T15:00:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f | {{KRC|}} | {{KRC|}} |z|z^2 |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Differenzenquotient| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ mathkor|term1= a |und|term2= a+h |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \frac{f(a+h) -f(a)}{h} || \frac{(a+h)^2-a^2}{h} || \frac{a^2+2ah+h^2 -a^2}{h} || \frac{2ah+h^2}{h} || 2a+h|SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=abb mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon für {{math|term= h|SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} ist {{math|term= 2a|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette | f'(a) || 2a || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2=Theorie der Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9z1k2m32irj3ar7ptuhar75y4umclcm 0 32710 778876 763096 2022-08-21T14:59:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f^{-1} |\R_+ |\R_+ |x| \sqrt{x} |SZ=, }} ist die {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{math|term= f|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | f(x) ||x^2 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=eingeschränkt auf {{math|term= \R_+|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Deren {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem Punkt {{math|term= a|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette |f'(a) ||2a || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt |Faktseitenname2= Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt daher für {{ Ma:Vergleichskette |b |\in|\R_+ || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| f^{-1} |}}' (b) || \frac{1}{f'(f^{-1} (b))} || \frac{1}{2 \sqrt{b} } || \frac{1}{2} b^{-\frac{1}{2} } || |SZ=. }} Im Nullpunkt ist {{math|term= f^{-1} |SZ=}} nicht differenzierbar. Die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f^{-1} |\R |\R |x| x^{\frac{1}{3} } |SZ=, }} ist die {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{math|term= f|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |f(x) ||x^3 || || || |SZ= }} Deren Ableitung in {{math|term= a|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette |f'(a) || 3a^2 || || || |SZ=, }} dies ist für {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden. Nach {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt |Faktseitenname2= Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist für {{ Ma:Vergleichskette |b |\neq|0 || || || |SZ= }} somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| f^{-1} |}}' (b) || \frac{1}{f'(f^{-1} (b))} || \frac{1}{3 {{makl| b^{\frac{1}{3} } |}}^{2} } || \frac{1}{3} b^{-\frac{2}{3} } || |SZ=. }} Im Nullpunkt ist {{math|term= f^{-1} |SZ=}} nicht differenzierbar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ed7riop44sf0sei62puy1cxy5yjpp7v 0 32712 783111 756844 2022-08-22T02:34:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f(x)=x^3+4x^2-1|SZ=}} und {{math|term= g(y) =y^2-y+2 |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= h(x)=g(f(x))|SZ=}} direkt und mittels der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6fi423f1lk9vyadf0kvwcld77xhomxi 0 32713 783109 756842 2022-08-22T02:33:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f(x)=\frac{x^2+5x-2}{x+1}|SZ=}} und {{math|term= g(y) = \frac{y-2}{y^2+3} |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= h(x)=g(f(x))|SZ=}} direkt und mittels der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 46ndtnj3d7uoisk2thf0at9c2xo9xfb 0 32721 785877 759038 2022-08-22T09:52:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine nichtkonstante {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ math/disp|term= f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= a,b,c,d \in \R, a,c \neq 0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} keine {{ Definitionslink |lokalen Extrema| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kurvendiskussion |Kategorie2=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74bsb7sg2g97gp1y6qqasox6n5awlga 0 32731 785068 758455 2022-08-22T07:42:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |reelle Polynomfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=P| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{{d|d}}} \geq 1|SZ=}} maximal {{mathl|term= {{{d|d}}}-1|SZ=}} {{ Definitionslink |lokale Extrema| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal {{math|term= {{{d|d}}} |SZ=}} Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |streng wachsend| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder {{ Definitionslink |streng fallend| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jp6kexbjlit34p5vdw0zjky5bblmt5m 0 32734 781406 766768 2022-08-21T21:49:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | I |\subseteq| \R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | D(I,\R) || {{mengebed|f:I \rightarrow \R|f \text{ differenzierbar} }} || || || |SZ= }} die Menge der {{ Definitionslink |differenzierbaren Funktionen| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= D(I,\R)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reeller| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass die Ableitung {{ Ma:abbele/disp |name= |D(I,\R)| {{op:Abbildungsmenge|I|\R}} |f|f' |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Abbildung und seine {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=eeVR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Funktionenräume |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 94ccjc6htq6kyg44nkla5vt979e81hl 0 32778 782859 756628 2022-08-22T01:52:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften von {{ Definitionslink |Sinus hyperbolicus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Kosinus hyperbolicus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei ist {{math|term= z \in {{CC}}|SZ=.}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Aufzählung4 |{{ math/disp|term= {{op:cosh|z|}}+ {{op:sinh|z|}} = e^z |SZ=. }} |{{ math/disp|term= {{op:cosh|z|}} - {{op:sinh|z|}} = e^{-z} |SZ=. }} |{{ math/disp|term= ( {{op:cosh|z|}} )^2 - ( {{op:sinh|z|}} )^2 = 1 |SZ=. }} |{{ math/disp|term= {{op:cosh|{{Imaginäre Einheit|}} z|}} = {{op:cos|z|}} \text{ und } {{op:sinh|{{Imaginäre Einheit|}} z|}} = {{Imaginäre Einheit|}} \cdot {{op:sin|z|}} |SZ=. }} | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hyperbelfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4mzba69zxy7x0cjenz79xr8ciszg40e 0 32781 782364 756205 2022-08-22T00:29:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Funktionenfolge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |\R|\R |x| ({{op:sin|x|}} )^n |SZ=, }} auf {{ Definitionslink |punktweise| |Kontext=Funktionenfolge K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |gleichmäßige Konvergenz| |Kontext=Funktionenfolge K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} An welchen Punkten existiert die {{ Definitionslink |Grenzfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} an welchen ist sie {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} an welchen {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Wie verhält sich die abgeleitete Funktionenfolge, also {{math|term= g_n(x)=f_n'(x)|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n7jvbpq0hfh91hvk4c6zr4c1tp7vhpc 0 32792 785069 758456 2022-08-22T07:42:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Polynomfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= d \geq 1|SZ=.}} Es sei {{math|term= m|SZ=}} die Anzahl der {{ Definitionslink |lokalen Maxima| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} und {{math|term= n|SZ=}} die Anzahl der {{ Definitionslink |lokalen Minima| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass bei {{math|term= d|SZ=}} ungerade {{math|term= m=n|SZ=}} und bei {{math|term= d|SZ=}} gerade {{math|term= {{op:Betrag|m-n|}}=1 |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rsi1yayfez81voh3ahwx5w5bdy33t20 0 32795 782727 756503 2022-08-22T01:30:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |stetige| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |unbeschränkte| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |[0,2[|\R || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine solche Funktion keine {{ Definitionslink |stetige Fortsetzung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= [0,2]|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 51bjpbyleebdu3ie9dd537dq4ukvuwy 0 32923 783363 757054 2022-08-22T03:16:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{potenzreihe|a}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Potenzreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Konvergenzradius| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R>0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Konvergenzradius der Reihe {{math|term= \sum_{n=1}^\infty na_n z^{n-1} |SZ=}} ebenfalls {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 75q21p3chbefftjiae4u66l9myr1g79 0 32932 782911 605546 2022-08-22T02:00:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich {{math|term= 2 \%|SZ=.}} Nach welchem Zeitraum {{ Zusatz/Klammer |text=in Jahren und Tagen| |ISZ=|ESZ= }} haben sich die Preise verdoppelt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Logarithmen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s8htkdq9q57zedwrajej3lb0gzk6v6j 0 32934 783345 719578 2022-08-22T03:13:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} bis auf drei Nachkommastellen den Wert von {{math|term= e^{{imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Exponentialfunktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jb0iy72pkfiy3aau0f49gkv9tif21ly 0 32936 782384 756224 2022-08-22T00:32:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die folgenden Funktionen, ob der {{ Definitionslink |Funktionslimes| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt. {{ Aufzählung4 |{{math|term= {{op:Funktionslimes|x|0|\frac{ {{op:sin|x|}} }{x}|}} |SZ=,}} |{{math|term= {{op:Funktionslimes|x|0|\frac{ ({{op:sin|x|}})^2 }{x}|}} |SZ=,}} |{{math|term= {{op:Funktionslimes|x|0|\frac{ {{op:sin|x|}} }{x^2}|}} |SZ=,}} |{{math|term= {{op:Funktionslimes|x|1|\frac{x-1}{ {{op:ln|x|}} }|}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie3=Regel von Hospital |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5yy0jtczt0wrs3h45xplit0xbiyt7sj 0 33014 785011 758419 2022-08-22T07:33:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P \in \R[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |reellen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Koeffizienten und sei {{math|term= z \in {{CC}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Nullstelle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= P|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die {{ Definitionslink |konjugiert-komplexe Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |SZ=}} eine Nullstelle von {{math|term= P|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R oder C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6abvf15owmdii8lncmqu884i6yfw93v 0 33015 785012 758420 2022-08-22T07:34:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= P\in \R[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |nichtkonstantes| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |reellen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Koeffizienten. Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= P|SZ=}} als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad {{ mathkor|term1= 1 |oder|term2= 2 |SZ= }} schreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Fundamentalsatz der Algebra |Kategorie2=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über R |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g77cuqwnlocxp107u5gbwz1by8m8ox2 0 33022 786540 759575 2022-08-22T11:42:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{math|term= 1034871|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Sinusfunktion| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pt33c8sv0iu3wegdkhnbklgldal2rjm 0 33023 785276 758594 2022-08-22T08:13:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{potenzreihe|c|(z-a)}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Potenzreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitungen| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f^{(k)}(a)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8cn8aqfeblllodki72i3jotzxn2156i 0 33024 786537 759569 2022-08-22T11:42:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Taylor-Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= 4|SZ=}} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |z| {{makl| {{op:sin|z|}} |}} {{makl| {{op:cos|z|}} |}} |SZ=, }} im Nullpunkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c7o9k0th0fxg68oekruf1hm9un0us24 0 33095 783588 757245 2022-08-22T03:53:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Funktion {{Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} (2x+3)e^{-x^2} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{Definitionslink|Nullstellen| |Kontext=| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=}} und die lokalen (globalen) {{Definitionslink |Extrema| |Kontext=R| |Definitionsseitenname=/Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kurvendiskussion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g9tvqjuwj64pz7a0s63o3s54n9mbkce 0 33098 780485 754672 2022-08-21T19:16:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g |\R|\R || |SZ= }} zwei {{Definitionslink |differenzierbare| |Kontext=R| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}}|SZ=}} Funktionen und sei {{ math/disp|term= h(x)=(g(f(x)))^2 f(g(x)) |SZ=. }} a) Drücke{{n Sie}} die Ableitung {{math|term= h'|SZ=}} mit den Ableitungen von {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} aus. b) Sei nun {{ math/disp|term= f(x)=x^2-1 \text{ und } g(x) =x+2 |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} {{math|term= h'(x)|SZ=}} auf zwei verschiedene Arten, einerseits über {{math|term= h(x)|SZ=}} und andererseits über die Formel aus Teil {{math|term= a)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tdhbw39mkg5fsnjpdiuc1ai1xayhtm4 0 33101 785026 660738 2022-08-22T07:36:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) ||x^3+x-1 || || || |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass die Funktion {{math|term= f|SZ=}} im reellen Intervall {{math|term= [0,1]|SZ=}} genau eine Nullstelle besitzt. b) Berechne{{n Sie}} die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle. c) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine rationale Zahl {{ Ma:Vergleichskette |q |\in|[0,1] || || || |SZ= }} derart an, dass {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|f(q)|}} |\leq| {{op:Bruch|1|10}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kurvendiskussion |Kategorie2=Theorie der reellen Polynomfunktionen |Kategorie3=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=3 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g1z7ptznocl0qel2r0skmfh2m1vm899 0 33103 780487 754673 2022-08-21T19:16:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} direkt {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Verwendung von Ableitungsregeln| |ISZ=|ESZ= }} die {{ Definitionslink|Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} der {{Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} x^3+2x^2-5x+3 |SZ=,}} in einem beliebigen Punkt {{math|term= a \in \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4x3ud7flgyw4hb0s8tikvdc1s4hhejb 0 33108 782645 649861 2022-08-22T01:16:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Grenzwert von {{ math/disp|term= \frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1} |SZ= }} im Punkt {{math|term= 1|SZ=,}} und zwar a) mittels Polynomdivision, b) mittels der Regel von l'Hospital. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie2=Regel von Hospital‎ |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qgpj0vpcjrc4imb1fxzsmpfzr1gjjz3 0 33111 786147 759306 2022-08-22T10:37:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, für welche komplexe Zahlen {{math|term= z|SZ=}} die {{Definitionslink|Reihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Reihe|k=n|Glied=n^nz^n}} |SZ= }} {{Definitionslink |konvergiert| |Kontext=reihe C | |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4z8k4t1umxwd1cvupegsd4mjx01kf54 0 33117 782363 756203 2022-08-22T00:29:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{Definitionslink |Funktionenfolge||Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:abb/disp|name=f_n |\R|\R || |SZ= }} derart, dass sämtliche {{math|term= f_n|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=}} sind, die Funktionenfolge aber {{Definitionslink |gleichmäßig| |Kontext=Funktionenfolge K |msw=gleichmäßig konvergent| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=}} gegen eine stetige {{Definitionslink |Grenzfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} osgllpeziojfupm4e0lxzsgk1x6ef2p 0 33241 785890 548254 2022-08-22T09:54:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= x \in \R \setminus \Q|SZ=}} und {{math|term= a,b,c,d \in \Q |SZ=}}. Zeige, dass die Bedingung {{math|term= ad-bc \neq 0|SZ=}} sowohl {{math|term= cx+d \neq 0 |SZ=}} als auch die Irrationalität des Quotienten {{math|term= \frac{ax+b}{cx+d}|SZ=}} impliziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der irrationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ldlkl6368f1u7qmzi4n4ai6sjlxwhmt 0 33244 780799 509126 2022-08-21T20:08:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= y \in \R_{\geq 0}|SZ=}} und {{math|term= n \in \N|SZ=,}} {{math|term= n \geq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= (1+y)^n \geq {{op:Bruch|n^2y^2|4}} |SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 54z048sraks7you2n4gkak8411hcbyy 0 33252 784136 216268 2022-08-22T05:25:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum, sofern diese existieren, der folgenden Teilmengen der reellen Zahlen: {{ Aufzählung3 | {{mathl|term= \left\{ (-1)^n - \frac{1}{n} ~ : ~n \in \N_+ \right\}|SZ=,}} | {{mathl|term= \left\{ \frac{x}{1+x}~ : ~x \in \R, ~x > -1 \right\}|SZ=,}} | {{math|term= \left\{\frac{1}{n}+ \frac{1}{m} ~:~ n,m \in \N_+ \right\}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56n5yy4xko0y098fv57f8nso6e22mzh 0 33254 783388 728091 2022-08-22T03:20:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= A := \{ z \in {{CC}} : {{op:Imaginärteil|z|}} \geq ({{op:Realteil|z|}})^2 +1 \} \subset {{CC}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgende Aussage: Sind {{math|term= z_1, z_2 \in A|SZ=}} und ist {{math|term= \lambda \in [0,1]|SZ=}}, so ist auch {{math|term= \lambda z_1 + (1- \lambda) z_2 \in A|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Teilmengen von komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bp4es8hdfaaqlvbs50cia8hky2yravf 0 33255 781164 699823 2022-08-21T21:09:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= c \in {]0,1[}|SZ=}} und {{math|term= (x_n)_{n \in \N} |SZ=}} eine reelle Folge. Zeige{{n Sie}} die folgende Aussage: Gilt ab einem {{math|term= n_0 \in \N |SZ=}} die Ungleichung {{math|term= {{op:Betrag|x_{n+1}-x_n|}} \leq c {{op:Betrag|x_n -x_{n-1}|}}|SZ=,}} so ist {{math|term= (x_n)_{n \in \N} |SZ=}} eine Cauchy-Folge. Ist die Aussage immer noch richtig, wenn man {{math|term= c \in {]0,1[}|SZ=}} durch {{math|term= c=1|SZ=}} ersetzt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Cauchy-Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o4l42rb9wqw9la43ffmvc2fxcanel20 0 33258 786010 414701 2022-08-22T10:14:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= (x_n)_{n \in \N} |SZ=}} und {{math|term= (y_n)_{n \in \N}|SZ=}} Folgen reeller Zahlen und sei die Folge {{math|term= (z_n)_{n \in \N}|SZ=}} definiert durch {{math|term= z_{2n-1}:=x_n|SZ=}} und {{math|term= z_{2n}:=y_n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= (z_n)_{n \in \N}|SZ=}} genau dann konvergiert, wenn {{math|term= (x_n)_{n \in \N} |SZ=}} und {{math|term= (y_n)_{n \in \N}|SZ=}} gegen den gleichen Grenzwert konvergieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 98h0n0x2jdcgpjtg1k2m9jewm6bk6ys 0 33259 781094 646332 2022-08-21T20:57:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}: Für {{math|term= n,k \in \N|SZ=}} mit {{math|term= n \geq k |SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Binom|n+1|k+1}} || \sum_{m {{=}} k}^n {{op:Binom|m|k}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie2=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a57yjxeim0r5bmcz8m1tmtuqgyz5wid 106 33420 784473 508873 2022-08-22T06:15:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|40| {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Kurven}} {{ inputbild |ComplexSinInATimeAxe|gif| 350px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |Text=Eine Animation des Graphen der trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises. Die grünen Punkte sind Punkte des Graphen. |Autor=Nashev |Benutzer= |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung= }} Es sei {{mathl|term=I|SZ=}} ein reelles Intervall, {{math|term=V|SZ=}} ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und {{ Ma:abb/disp |name=f |I|V || |SZ= }} eine Abbildung. Eine solche Abbildung nennen wir auch eine {{Stichwort|Kurve|SZ=}} oder einen {{Stichwort|Weg|SZ=}} in {{math|term=V|SZ=.}} Häufig stellt man sich dabei {{math|term=I|SZ=}} als ein Zeitintervall und die Abbildung als einen Bewegungsprozess im Raum {{math|term=V|SZ=}} vor. Jedem Zeitpunkt {{mathl|term=t \in I|SZ=}} wird also ein Ortspunkt {{mathl|term=f(t) \in V|SZ=}} zugeordnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sich eine solche Abbildung zu veranschaulichen. Bei eindimensionalem {{math|term=V|SZ=,}} also {{mathl|term=V=\R|SZ=,}} ist der Graph die übliche Darstellungsweise. Einen Graphen gibt es bekanntlich zu jeder Abbildung. Bei {{mathl|term=V \cong \R^2|SZ=}} ist der Graph eine Teilmenge von {{mathl|term=\R \times \R^2 = \R^3|SZ=.}} Häufig skizziert man bei einer Kurve bei {{mathl|term=V=\R^2|SZ=}} oder {{mathl|term=V=\R^3|SZ=}} nur das Bild der Kurve. Man beachte aber, dass das Bild nur eine Teilinformation der Abbildung aufzeigt. Bei einem Bewegungsprozess interessiert man sich natürlich für die {{Anführung|Geschwindigkeit}} zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei versteht man unter Geschwindigkeit nicht nur deren Betrag, sondern auch deren Richtung. Diese Vorstellung wird durch den Begriff der differenzierbaren Kurve präzisiert, der eine direkte Verallgemeinerung von differenzierbaren Funktionen ist. Die Idee ist wieder, zu zwei Zeitpunkten {{mathl|term=t <t'|SZ=}} die Steigung der Sekante {{ Zusatz/Klammer |text=die wir wieder den {{Stichwort|Differenzenquotienten|msw=Differenzenquotient|SZ=}} nennen| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= \frac{ f(t') - f(t) }{t'-t} \in V |SZ= }} und davon den Limes für {{mathl|term=t' \mapsto t|SZ=}} zu betrachten. Um einen Limes bilden zu können, brauchen wir, wie schon im Eindimensionalen, eine Metrik {{ Zusatz/Klammer |text=eine Abstandsfunktion| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=V|SZ=.}} Wir werden daher euklidische Vektorräume betrachten, also reelle endlichdimensionale Vektorräume, für die ein Skalarprodukt erklärt ist. Für den Begriff des Skalarprodukt siehe die [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 18|18. Vorlesung]] aus dem ersten Semester. Ein Skalarprodukt auf {{math|term=V|SZ=}} definiert über {{ math/disp|term= {{op:Norm|v|}} := \sqrt{ {{op:Skalarprodukt|v|v}} } |SZ= }} eine Norm und über {{ math/disp|term= d(u,v) := {{op:Norm|u-v|}} |SZ= }} eine Metrik. Für einen Vektor {{math|term=v|SZ=,}} der bzgl. einer Orthonormalbasis durch die Koordinaten {{ math/disp|term= v=(v_1 {{kommadots|}} v_n) |SZ= }} gegeben ist, lautet die Formel für die Norm {{ math/disp|term= {{op:Norm|v|}} = \sqrt{ v_1^2 {{plusdots|}} v_n^2 } |SZ=. }} Da es auf jedem endlichdimensionalen Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} eine Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} und damit eine dadurch induzierte bijektive lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^n|V |e_i|v_i |SZ=, }} gibt, gibt es auch auf jedem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ein Skalarprodukt und damit eine euklidische Metrik. Diese hängt jedoch von der gewählten Basis ab. Allerdings hängen die offenen Mengen, der Konvergenzbegriff und Grenzwerteigenschaften nicht von einer solchen Wahl ab, wie das folgende Lemma zeigt. {{ inputfaktbeweis |Reelle endlichdimensionale Vektorräume/Euklidische Struktur/Unabhängigkeit/Fakt|Lemma|| || }} Für uns bedeutet das, dass die im Folgenden zu entwickelnden Differenzierbarkeitsbegriffe nicht vom gewählten Skalarprodukt abhängt. Mit etwa mehr Aufwand kann man auch zeigen, dass eine beliebige {{ Zusatz/Klammer |text=nicht notwendigerweise euklidische| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Norm| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/K/Norm/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ebenfalls die gleiche Topologie definiert, und man genauso gut mit einer beliebigen Norm arbeiten könnte. Wenn wir es mit komplexen endlichdimensionalen Vektorräumen zu tun haben, so werden wir diese einfach als reelle Vektorräume {{ Zusatz/Klammer |text=der doppelten Dimension| |ISZ=|ESZ= }} auffassen und ebenfalls mit einer euklidischen Norm versehen. {{:Differenzierbare Kurven/Vektorraum/Textabschnitt}} }} mesoifx9zqu8louju0a2tl76plwk9f4 0 33488 781448 509447 2022-08-21T21:56:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= A = {{op:Matrix23|3|1|5|-1|0|2}}|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^3|\R^2 |x|A \cdot x |SZ= }} die zugehörige lineare Abbildung. {{ Aufzählung3 |Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von {{math|term= \operatorname{Kern}(f) \, |SZ=}} und {{math|term= \operatorname{Bild}(f) \, |SZ=}}. |Finde einen Untervektorraum {{math|term= V \subset \R^3|SZ=}} derart, dass {{math|term= \R^3=V \oplus \operatorname{Kern}(f) \, |SZ=}} gilt. |Gibt es auch einen Untervektorraum {{math|term= U \subset \R^2|SZ=}}, {{math|term= U \neq \{0\}|SZ=}}, mit {{math|term= \R^2=U \oplus \operatorname{Bild}(f) \, |SZ=}}? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nimk1fn60t05nptwsw3barh7vmmu92u 0 33489 784105 527717 2022-08-22T05:20:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei die lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=f |\R^3 |\R^4 || |SZ= }} durch {{math|term= f(x,y,z)=(x+2z,y-z,x+y,2x+3z)|SZ=}} definiert. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die zu {{math|term= f|SZ=}} korrespondierende Matrix {{math|term= A|SZ=}}. Ist {{math|term= f|SZ=}} injektiv? |Sei {{math|term= \mathcal{B}=\{v_1,v_2,v_3\}|SZ=}} eine Basis des {{math|term= \R^3|SZ=}} gegeben durch {{ math/disp|term= v_1={{op:Spaltenvektor|1|1|1}}, \, v_2={{op:Spaltenvektor|1|1|0}}, \, v_3={{op:Spaltenvektor|1|0|0}} |SZ= }} und sei {{math|term= \mathcal{B}'=\{w_1,w_2,w_3,w_4\} |SZ=}} eine Basis des {{math|term= \R^4 |SZ=}} gegeben durch {{ math/disp|term= w_1={{op:Spaltenvektor|1|1|1|1}}, \, w_2={{op:Spaltenvektor|1|1|1|0}}\, ,w_3={{op:Spaltenvektor|1|1|0|0}}, \, w_4={{op:Spaltenvektor|1|0|0|0}} |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} {{math|term= A^\mathcal{B}_{\mathcal{B}'}(f)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8syzsigr1wy1pcdioxr3bdsxxcr42li 0 33490 783863 510107 2022-08-22T04:39:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{ math/disp|term= A={{op:Matrix33|2|3|4|3|4|5|4|5|6}} \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) \mbox{ und } b={{op:Spaltenvektor|1|2|3}}. |SZ= }} Bestimme {{ Aufzählung3 |{{math|term= \operatorname{Rang}(A)|SZ=}}; |eine Basis und die Dimension des Lösungsraums des homogenen Gleichungssystems {{math|term= A \cdot x =0|SZ=}}; |die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems {{math|term= A \cdot x = b|SZ=}}. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dyd5vsefmkdhq6gzp73cpip4a0nasqy 0 33492 781720 616956 2022-08-21T22:42:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |A ||{{op:Matrix33|-5|0|7|6|2|-6|-4|0|6}} |\in | \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) || || || |SZ=. }} Berechne{{n Sie}}: {{ Aufzählung4 |die Eigenwerte von {{math|term= A |SZ=}}; |die zugehörigen Eigenräume; |die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte; |eine Matrix {{math|term= C \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) |SZ=}} derart, dass {{math|term= C^{-1}AC|SZ=}} eine Diagonalmatrix ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vielfachheiten von Eigenwerten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eulpv4zm8mm9i5xiqyufuqvicpg7g0r 0 33493 780960 451317 2022-08-21T20:35:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme eine Basis des Untervektorraums {{math|term= U=\{(x,y,z) \in \R^3 : x=z \} \subset \R^3\,|SZ=}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2hqmegl6hnigc4cfhyutksly4dw5sg8 0 33494 780961 451345 2022-08-21T20:35:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme eine Basis des Untervektorraums {{math|term= U=\{\varphi \in \operatorname{Abb}(\R,\R) : \varphi(x)=0 \mbox{ bis auf endlich viele } x \in \R\} \subset \operatorname{Abb}(\R,\R) \,|SZ=}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 630vzzgf31fq7mif1nwl5lum82oe9hn 0 33495 785825 251674 2022-08-22T09:43:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ist {{math|term= \operatorname{dim}_{\Q} \,\R < \infty |SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pyd7rs3a92rj3bwn91jaxv6vozk1lmh 0 33496 786041 759197 2022-08-22T10:19:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sind die reellen Zahlen {{math|term= 1,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=}} ? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iobmhph2irvuvwotwck7ubv2x2bz97w 0 33497 782375 271137 2022-08-22T00:31:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sind die Funktionen {{math|term= f_n(x):=\frac{1}{n+x}|SZ=,}} {{math|term= n \in \N |SZ=,}} linear unabhängig im {{math|term= \R|SZ=}}-Vektorraum {{math|term= \operatorname{Abb} (\R_{>0},\R)|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l6r08fd4iz2ypuy57a9as5jivhd1ikx 0 33499 781407 251649 2022-08-21T21:50:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I \subseteq \R|SZ=}} ein Intervall und {{math|term= C^2(I,\R)|SZ=}} der {{math|term= \R|SZ=}}-Vektorraum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen auf {{math|term= I|SZ=}}. Betrachte die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=d | C^2(I,\R)| C^1(I,\R) |f|f' |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige, dass {{math|term= d|SZ=}} eine {{math|term= \R |SZ=}}-lineare Abbildung ist. |Bestimme eine Basis von {{math|term= \operatorname{Kern}(d) \, |SZ=}}. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fjpt5ulxk2s2nzvg21mk12pt2jvxb2x 0 33503 785954 759102 2022-08-22T10:05:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^n|SZ=}}. Bestätige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|x+y|}}^2-{{op:Norm|x-y|}}^2 ||4 {{op:Skalarprodukt|x|y}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3styn2v6pi05lmp9qmq64s4clw3uwsl 0 33504 785955 759103 2022-08-22T10:05:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^n|SZ=}}. Bestätige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|x+y|}}^2 + {{op:Norm|x-y|}}^2 ||2 {{op:Norm|x|}}^2 + 2 {{op:Norm|y|}}^2 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4zp6a0mnt5ckostzvmky5uq7n4ylj96 0 33506 784218 501967 2022-08-22T05:39:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir arbeiten auf dem {{math|term= \R|SZ=}}-Vektorraum {{math|term= V=C(\R,\R)|SZ=}} der stetigen Funktionen {{math|term= f: \R \rightarrow \R|SZ=.}} Für {{math|term= i \in \N|SZ=}} und {{math|term= f \in V|SZ=}} sei {{math|term= {{op:Norm|f|}}_i \,:= \operatorname{max} {{Mengebed| {{op:Betrag|f(x)}} | x \in [-i,i] }}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(f,g) |{{defeq}} | \sum_{i {{=}} 0}^{\infty} 2^{-i} \frac{ {{op:Norm|f-g|}}_i}{1+{{op:Norm|f-g|}}_i} || || || |SZ= }} eine Metrik auf dem Raum {{math|term= V|SZ=}} definiert. Zeige weiter, dass keine Norm {{math|term= {{op:Norm|-|}}:V \rightarrow \R_+ |SZ=}} existiert mit {{math|term= {{op:Norm|f-g|}}=d(f,g)|SZ=}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0plpupenwa9wow7vyv45tslrydpuoov 0 33507 784137 734701 2022-08-22T05:25:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für die Norm {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|x|}} | {{defeq|}} | \operatorname{max} \{ {{op:Betrag|x_i}}:1 \leq i \leq n \} | || || || || |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^n |SZ=}} kein Skalarprodukt {{math|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=}} mit der Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|x|}} || \sqrt{ {{op:Skalarprodukt|x|x}} } || || || |SZ= }} existiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9f4olntecv1zzsforu0n0n3u4s0d2f2 0 33608 778521 762454 2022-08-21T12:15:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| I || || || |SZ= }} ein beliebiger Punkt. Aufgrund von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Intervall/Stetige Funktion/Ist Riemann integrierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} existiert das {{ Definitionslink |Riemann-Integral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(x) || {{op:Integral|a|x|f}} || || || |SZ=, }} und aufgrund des {{ Faktlink |Hauptsatzes|Faktseitenname= Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | F'(x) || f(x) || || || |SZ=, }} d.h. {{math|term= F|SZ=}} ist eine Stammfunktion von {{math|term= f|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mmx0kckuuvhl8gc81j86aib1gculgww 0 33611 779066 763203 2022-08-21T15:30:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge {{ math/disp|term= {{Mengebed|(x,y)|x^2+y^2 {{=|}}1|-1 \leq x \leq 1|y \geq 0 }} |SZ=. }} Zu gegebenem {{ mathbed|term= x ||bedterm1= -1 \leq x \leq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} gibt es genau ein {{math|term= y|SZ=,}} das diese Bedingung erfüllt, nämlich {{ Ma:Vergleichskette | y || \sqrt{1-x^2} || || || |SZ=. }} Daher ist der Flächeninhalt der oberen Einheitskreishälfte gleich der Fläche unter dem Graphen der Funktion {{mathl|term= x \mapsto \sqrt{1-x^2} |SZ=}} über dem Intervall {{mathl|term= [-1,1] |SZ=,}} also gleich {{math/disp|term= {{op:Integral|-1|1|grand= \sqrt{1-x^2}||x }} |SZ=.}} Mit der {{ Faktlink |Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ math/disp|term= x = {{op:cos|t|}} \text{ bzw. } t = {{op:arccos|x|}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{mathl|term= {{op:cos||}} :[0, \pi] \rightarrow [-1,1] |SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bijektiv ist| |ISZ=|ESZ=, }} erhält man unter Verwendung von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Integral/Potenzen von Sinus/Rekursion/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Integral|a|b|grand= \sqrt{1-x^2}||x }} || {{op:Integral| {{op:arccos|a|}} | {{op:arccos|b|}} |grand= \sqrt{1- {{op:cos|t|pot=2}} } (- {{op:sin|t|}} ) ||t }} || - {{op:Integral| {{op:arccos|a|}} | {{op:arccos|b|}} |grand= {{op:sin|t|pot=2}} |t }} || {{op:Integralstamm| {{op:arccos|a|}}| {{op:arccos|b|}} |stamm= \frac{1}{2} ( {{op:sin|t|}} {{op:cos|t|}} -t )}} || |SZ=. }} Insbesondere ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Bruch|1|2}} {{makl| x \cdot {{op:sin(| {{op:arccos|x|}} |}}- {{op:arccos|x|}} |}} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| x \cdot \sqrt{1-x^2} - {{op:arccos|x|}} |}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= \sqrt{1-x^2} |SZ=.}} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Integral|-1|1|grand= \sqrt{1-x^2}||x }} || {{op:Integralstamm|-1|1|stamm= {{op:Bruch|1|2}} {{makl| x \cdot \sqrt{1-x^2} - {{op:arccos|x|}} |}} }} || {{op:Bruch|1|2}} ( - {{op:arccos|1|}} + {{op:arccos|(-1)|}} ) || \pi/2 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Elementkategorie=Die Zahl pi |Stichwort=Fläche |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qhue8afvu8pxkbx3avphtrzjxbsqcyy 0 33613 779271 752521 2022-08-21T16:02:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Sinusfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:sin|x|}} |SZ=}} ist {{mathl|term= - {{op:cos|x|}} |SZ=.}} Um Stammfunktionen zu {{mathl|term= {{op:sin|x|pot=n}} |SZ=}} zu finden, verwenden wir partielle Integration, um eine rekursive Beziehung zu kleineren Potenzen zu erhalten. Um dies präzise zu machen, arbeiten wir mit Intervallgrenzen, und zwar sollen die Stammfunktionen von {{math|term= 0|SZ=}} ausgehen, also für {{math|term= 0|SZ=}} den Wert {{math|term= 0|SZ=}} besitzen. Für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ= }} ist mittels {{ Faktlink |partieller Integration|Faktseitenname= Partielle Integration/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n}} }} ||{{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n-2}} \cdot {{op:sin| t|pot=2}} }} ||{{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n-2}} \cdot {{makl| 1- {{op:cos| t|pot=2}} |}} }} ||{{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n-2}} }} - {{op:Integral|0|x|grand= {{makl| {{op:sin| t|pot=n-2}} {{op:cos| t|}} |}} {{op:cos| t|}} }} ||{{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n-2}} }} - {{op:Integralstamm|0|x|stamm =\frac{ {{op:sin|t|pot=n-1}} }{ n-1} {{op:cos|t|}} }} - \frac{1}{n-1} {{makl|{{op:Integral|0|x|grand={{op:sin| t|pot=n}} }}|}} |SZ=. }} Durch Multiplikation mit {{mathl|term= n-1|SZ=}} und Umstellen erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | n {{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n}} }} ||(n-1) {{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n-2}} }} - {{op:sin|x|pot=n-1|}} {{op:cos|x|}} || || || |SZ=. }} Speziell ergibt sich für {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=2}} }} || \frac{1}{2} {{mak|x- {{op:sin|x|pot=}} {{op:cos|x|}}|}} || || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lu7s2tevxz1vl6hq450siq65dm1bici 0 33619 779999 763851 2022-08-21T17:56:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= f(t)=t^{n}|SZ=}} mit {{math|term= n|SZ=}} negativ und ganzzahlig. Wir interessieren uns für die {{ Definitionslink |uneigentlichen Integrale| |Kontext=|msw=uneigentliches Integral| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= t|SZ=}} von {{ mathkor|term1= 1 |nach|term2= \infty |SZ=. }} Bei {{mathl|term= n=-1|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:ln|t|}} |SZ=}} die Stammfunktion von {{math|term= 1/t|SZ=.}} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|1|x|grand= \frac{1}{t} }} || {{op:ln|x|}} || || || |SZ=, }} und der {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= x \mapsto \infty|SZ=}} existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Sei nun {{mathl|term= n \leq -2|SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= \frac{1}{n+1} t^{n+1} |SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= t^n|SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|x|\infty| ( {{op:Integral|1|x|grand= t^n }} ) }} || {{op:Funktionslimes|x|\infty| ( {{op:Integralstamm|1|x|stamm = \frac{1}{n+1} t^{n+1} }} ) }} || {{op:Funktionslimes|x|\infty| ( \frac{x^{n+1} }{n+1} - \frac{1}{n+1} ) }} || - \frac{1}{n+1} || |SZ=, }} wegen {{mathl|term= {{op:Funktionslimes|x|\infty| x^{n+1} }} =0 |SZ=.}} Das uneigentliche Integral existiert also und es ist {{ math/disp|term= {{op:Integral|1|\infty|grand= t^n }} = -\frac{1}{n+1} |SZ=. }} Diese Zahl ist positiv, da {{mathl|term= n \leq -2|SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e4lmw8650eu8twquxpgm5xa73c90bio 0 33647 779065 737209 2022-08-21T15:30:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[-1,1]| \R |x|f(x) {{=|}} \sqrt{1-x^2} |SZ=, }} die die obere Kreislinie des Einheitskreises beschreibt. Wir wollen die Länge dieses Graphen bestimmen. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | f'(x) || \frac{1}{2} \frac{-2x}{ \sqrt{ 1-x^2 } } || - \frac{x}{ \sqrt{ 1-x^2 } } || || |SZ=, }} wobei diese Gleichheit nur im Innern {{mathl|term= ]{-1},1[ |SZ=}} Sinn ergibt, in den Randpunkten ist die Funktion nicht differenzierbar. Dennoch kann man hier {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zunächst im Innern anwenden und anschließend einen Grenzübergang durchführen. Es geht somit um das Integral von {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sqrt{ 1 + \frac{x^2} { 1-x^2} } || \sqrt{ \frac{1-x^2 +x^2} { 1-x^2} } || \frac{1}{ \sqrt{1-x^2 } } || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Stammfunktion| |kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon ist {{mathl|term= {{op:arcsin|x|}} |SZ=}} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Daher ist{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Hier steht ein uneigentliches Integral, die Gleichheit gilt, da der Arkussinus auf ganz {{mathl|term= [-1,1]|SZ=}} stetig ist| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || {{op:Integral|-1|1|grand= \frac{1}{ \sqrt{ 1-x^2} } ||x}} || {{op:Integralstamm|-1|1|stamm = {{op:arcsin|x|}} |}} || \frac{\pi}{2} - {{makl| - \frac{\pi}{2} |}} ||\pi |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Elementkategorie=Die Zahl pi |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ecdi3rho786bjs9arhkubut0versjl 0 33650 779399 763480 2022-08-21T16:21:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[0,1]|\R |x| f(x) {{=|}} \begin{cases} x {{op:sin| \frac{1}{x} |}} \text{ bei } x > 0 \, , \\ 0 \text{ bei } x {{=|}} 0 \, , \end{cases} |SZ= }} ist {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Stetigkeit/R/x Sinus 1 durch x/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |rektifizierbar| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Für jedes {{ Ma:Vergleichskette |x_n ||\frac{1}{n \pi + \frac{1}{2} \pi} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | f(x_n) ||\pm x_n || || || |SZ=, }} wobei das Vorzeichen davon abhängt, ob {{math|term= n|SZ=}} gerade oder ungerade ist. Für jedes {{math|term= n|SZ=}} ist daher {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|f(x_n)-f(x_{n-1}) |}} | \geq | 2x_n || || || || |SZ=. }} Wählt man dann die Unterteilungspunkte {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |<| x_{ {{{k|k}}} } |<| x_{ {{{k|k}}} -1} |<| \ldots |<| x_1 |<| x_0 || \frac{2}{\pi} |<|1 || || || |SZ=, }} so ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs mindestens gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{ {{{n|n}}} {{=|}} 1}^{ {{{k|k}}} } 2x_n ||2 \cdot \sum_{ {{{n|n}}} {{=|}} 1}^{ {{{k|k}}} } \frac{1}{n \pi + \frac{1}{2} \pi} || \frac{2}{\pi} \cdot \sum_{ {{{n|n}}} {{=|}} 1}^{ {{{k|k}}} } \frac{1}{n + \frac{1}{2} } |\geq| \frac{2}{\pi} \cdot \sum_{ {{{n|n}}} {{=|}} 1}^{ {{{k|k}}} } \frac{1}{n + 1 } |SZ=. }} Wegen der {{ Definitionslink |Divergenz| |Kontext=Reihe C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |harmonischen Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist dieser Ausdruck für {{mathl|term= { {{{k|k}}} } \rightarrow \infty|SZ=}} nicht beschränkt. Daher kann das Supremum über alle Streckenzüge nicht existieren und die Kurve ist nicht rektifizierbar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nfwwzs9gqmcymfnn2ole9a481xfajmn 0 33659 779276 752536 2022-08-21T16:03:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Rektifizierbarkeit| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist schon für Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=f |I|\R |t|f(t) |SZ=, }} ein nicht-trivialer Begriff, siehe {{ Beispiellink ||Beispielseitenname= Kurvenlänge/x sin 1 durch x/Nicht rektifizierbar/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wenn allerdings {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |wachsend| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{ Definitionslink |fallend| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist, so lässt sich die Länge einfach ausrechnen. Zu einer beliebigen Unterteilung {{ Ma:Vergleichskette | a || t_0 |\leq| t_1 | {{leqdots|}} | t_k ||b || |SZ= }} ist dann nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=|}} 1}^k {{op:Betrag|f(t_i) -f(t_{i-1})||}} ||\sum_{i {{=|}} 1}^k (f(t_i) -f(t_{i-1})) ||f(b) -f(a) || || |SZ=, }} d.h. die Länge ist einfach die Differenz der Werte an den Randpunkten des Intervalls. Insbesondere existiert die Länge, d.h. monotone Funktionen sind rektifizierbar. Wenn {{math|term= f|SZ=}} wachsend ist und {{ Definitionslink |stetig differenzierbar| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so ergibt sich dies natürlich auch aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wenn {{math|term= f|SZ=}} allerdings nicht monoton ist, so müssen bei der Längenberechnung auch die Richtungsänderungen mitberücksichtigt werden. Für das Integral {{mathl|term= {{op:Integral|a|b|grand= {{op:Betrag|f'(t)|}} }} |SZ=}} gibt es dann keine direkte Berechnung, da {{mathl|term= f'(t)|SZ=}} das Vorzeichen ändert. Man kann aber das Intervall in {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell unendlich viele| |ISZ=|ESZ= }} Abschnitte unterteilen, wo die Funktion wachsend oder fallend, bzw. wo die Ableitung positiv oder negativ ist, und dann abschnittsweise die Länge berechnen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1jb4vb3o3gaev0wya0bwomuzf0eujch 0 33660 779070 763206 2022-08-21T15:31:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{Stichwort|trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises|SZ=,}} also die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R^2 |t|f(t) {{=|}} ( {{op:cos|t|}} , {{op:sin|t|}} ) |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | f'(t) || (- {{op:sin|t|}} , {{op:cos|t|}} ) || || || || |SZ=. }} Daher ist die {{ Definitionslink |Kurvenlänge| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines von {{ mathkor|term1= a |bis|term2= b |SZ= }} durchlaufenen Teilstückes {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |L_a^b(f) || {{op:Integral|a|b|grand= \sqrt{ (- {{op:sin|t|}} )^2 + ( {{op:cos|t|}} ) ^2 } }} || {{op:Integral|a|b|grand=1 }} ||b-a || |SZ=. }} Aufgrund der {{ Faktlink |Periodizität|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Periodizitätseigenschaften/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der trigonometrischen Funktionen wird der Einheitskreis von {{ mathkor|term1= 0 |bis|term2= 2 \pi |SZ= }} genau einmal durchlaufen. Die Länge des Kreisbogens ist daher {{math|term= 2 \pi|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Elementkategorie=Die Zahl pi |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h5rbbb4cwb4w1hp50ratwmi6cca1vqk 0 33661 780146 737211 2022-08-21T18:17:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Punkt {{math|term= V|SZ=}} auf der Peripherie eines Kreises mit Radius {{math|term= 1|SZ=}} fixiert {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise ein Ventil| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{Stichwort|Zykloide|SZ=}} ist diejenige Kurve, die der Punkt beschreibt, wenn der Kreis sich gleichmäßig auf einer Geraden {{ Zusatz/Klammer |text=der {{math|term= x|SZ=-}}Achse| |ISZ=|ESZ= }} abrollt, wie wenn ein Rad auf der Straße fährt. Wenn {{math|term= t|SZ=}} den Winkel bzw. die abgerollte Strecke repräsentiert, und der Punkt {{math|term= V|SZ=}} sich zum Zeitpunkt {{ Ma:Vergleichskette |t ||0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} befindet, so wird die Bewegung des Ventils durch {{ Ma:abbele/disp |name=W |\R|\R^2 |t| W(t) {{=|}} {{op:Zeilenvektor| t- {{op:sin|t|}} |1 - {{op:cos|t|}}|}} |SZ=. }} beschrieben. {{ inputbild |Cycloid f|gif| 400px {{!}} right {{!}} |epsname=Cycloid_f |Autor= |Benutzer=Zorgit |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Nach einer Volldrehung befindet sich das Ventil wieder in seiner Ausgangsposition am Rad, aber verschoben um {{math|term= 2 \pi|SZ=.}} Die Ableitung dieser Kurve ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | W'(t) ||{{op:Zeilenvektor| 1 - {{op:cos|t|}} | {{op:sin|t|}} }} || || || |SZ=. }} Die Länge der Zykloide {{ Zusatz/Klammer |text=also die Länge des vom Ventil beschriebenen Weges| |ISZ=|ESZ= }} ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} im Zeitintervall von {{ mathkor|term1= 0 |nach|term2= s |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Integral|0|s|grand= \sqrt{ (1- {{op:cos|t|}})^2 + {{op:sin|t|pot=2 }} } }} || {{op:Integral|0|s|grand= \sqrt{ 2- 2 {{op:cos|t|}} } }} || \sqrt{2} {{op:Integral|0|s|grand= \sqrt{ 1- {{op:cos|t|}} } }} || 2 \sqrt{2} {{op:Integral|0 | \frac{s}{2}|grand= \sqrt{ 1- {{op:cos| 2 u |}} } ||u}} || 2 \sqrt{2} {{op:Integral|0 | \frac{s}{2}|grand= \sqrt{ 1- {{op:cos| u |pot=2}} + {{op:sin| u |pot=2}} } ||u}} || 2 \sqrt{2} {{op:Integral|0 | \frac{s}{2}|grand= \sqrt{ 2 {{op:sin| u |pot=2}} } ||u}} || 4 {{op:Integral|0 | \frac{s}{2}|grand= \sqrt{ {{op:sin| u |pot=2}} } ||u}} || 4 {{op:Integral|0 | \frac{s}{2}|grand= {{op:Betrag| {{op:sin| u |}} }} ||u}} || 4 {{op:Integral|0 | \frac{s}{2}|grand= {{op:sin| u |}} ||u}} || 4 {{makl| {{op:Integralstamm|0| \frac{s}{2}|stamm = - {{op:cos| u | }} }} |}} |SZ=, }} wobei die letzte Umformung für {{ Ma:Vergleichskette | s |\leq| 2 \pi || || || |SZ= }} gilt. Für {{ Ma:Vergleichskette | s || 2 \pi || || || |SZ= }} ist dies gleich {{ Ma:Vergleichskette |4 \cdot 2 || 8 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Zykloide |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} peucfjci03zzzgqax7cady3cyg67yrl 0 33761 778445 741828 2022-08-21T12:03:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie=Wir beginnen mit einigen Reduktionen. |Teilbeweis= Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette | {{{P|P}}} || 0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \varphi ( {{{P|P}}}) || 0 || || || |SZ= }} ist. Es sei {{ Ma:Vergleichskette | D || {{op:Totales Differential|\varphi| {{{P|P}}}}} || || || |SZ= }} die durch das totale Differential gegebene bijektive {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der linearen Umkehrabbildung {{math|term= D^{-1} |SZ=.}} Wir betrachten die Gesamtabbildung {{ math/disp|term= {{{G|G}}} \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} {{{V_2|V_2}}} \stackrel{D^{-1} }{\longrightarrow} {{{V_1|V_1}}} |SZ=. }} Diese ist wieder stetig differenzierbar, und das totale Differential davon ist {{ Ma:Vergleichskette | D^{-1} \circ D || {{op:Identität| |}} || || || |SZ=. }} Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für {{math|term= \varphi |SZ=,}} da eine lineare Abbildung stetig differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass {{ Ma:abb |name=\varphi |V_1|V_1 {{=|}} V_2 || |SZ= }} eine stetig differenzierbare Abbildung mit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(0) || 0 || || || |SZ= }} ist, deren totales Differential in {{math|term= 0|SZ=}} die Identität ist. Wir werden dennoch von {{ mathkor|term1= V_1 |und|term2= V_2 |SZ= }} sprechen, um klar zu machen, ob sich etwas im Definitionsraum oder im Zielraum abspielt. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| {{{V_2|V_2}}} || || || |SZ= }} fixiert. Wir betrachten die Hilfsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= H_y | {{{G|G}}} | {{{V_2|V_2}}} | x | H_y(x) {{=|}} x- \varphi(x) +y |SZ=. }} Diese Hilfsabbildung erfüllt folgende Eigenschaft: Ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| {{{G|G}}} || || || |SZ= }} ist genau dann ein {{ Definitionslink |Fixpunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= H_y |SZ=,}} also ein Punkt mit {{ Ma:Vergleichskette | H_y(x) || x - \varphi(x)+ y || x || || |SZ=, }} wenn {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(x) || y || || || |SZ= }} ist, d.h. wenn {{math|term= x |SZ=}} ein Urbild von {{math|term= y |SZ=}} unter {{math|term= \varphi |SZ=}} ist. Die Abbildungen {{math|term= H_y |SZ=}} sind selbst stetig differenzierbar und es gilt {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Totales Differential|H_y|x}} || {{op:Identität||}} - {{op:Totales Differential|\varphi|x}} || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie=Wir möchten den {{ Faktlink |Banachschen Fixpunktsatz|Faktseitenname= Banachscher Fixpunktsatz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf {{math|term= H_y |SZ=}} anwenden, um dafür einen Fixpunkt zu gewinnen und diesen als Urbildpunkt von {{math|term= y |SZ=}} unter {{math|term= \varphi |SZ=}} nachweisen zu können. Wir fixieren eine euklidische Norm. |Teilbeweis= Wegen der Stetigkeit von {{mathl|term= x \mapsto {{op:Totales Differential|\varphi|x}} |SZ=}} und wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|\varphi|0|}} || {{op:Identität||}} || || || |SZ= }} gibt es ein {{ mathbed|term= {{{r|r}}} \in \R ||bedterm1= {{{r|r}}} >0 ||bedterm2= |SZ=, }} derart, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| {{op:Abgeschlossener Ball|0|{{{r|r}}} }} || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm| {{op:Totales Differential|H_y|x}} |}} || {{op:Norm| {{op:Identität||}} -{{op:Totales Differential|\varphi|x}} }} |\leq| {{op:Bruch|1|2}} || || |SZ= }} gilt. Für jedes {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| {{op:Abgeschlossener Ball|0|{{{r|r}}} }} || || || |SZ= }} gilt daher nach der {{ Faktlink |Mittelwertabschätzung|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm|x- \varphi(x)|}} || {{op:Norm|H_0(x) |}} || {{op:Norm|H_0(x) - H_0(0)|}} |\leq| {{op:Bruch|1|2 }} {{op:Norm|x|}} |SZ=. }} Für {{ mathkor|term1= y \in {{op:Abgeschlossener Ball|0| {{op:Bruch|{{{r|r}}}|2 }} }} |und|term2= x \in {{op:Abgeschlossener Ball|0|r}} |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm|H_y(x)|}} || {{op:Norm|x - \varphi(x) +y |}} |\leq| {{op:Norm|x - \varphi(x)|}} + {{op:Norm|y|}} |\leq| {{op:Bruch| {{op:Norm|x|}} |2}} + {{op:Bruch|{{{r|r}}}|2}} |\leq| {{op:Bruch|{{{r|r}}}|2}} + {{op:Bruch|{{{r|r}}}|2}} || {{{r|r}}} |SZ=. }} Für jedes {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| {{op:Abgeschlossener Ball|0| {{op:Bruch|{{{r|r}}}|2 }} }} || || || |SZ= }} liegt also eine Abbildung {{ Ma:abb/disp |name= H_y | {{op:Abgeschlossener Ball|0|{{{r|r}}} }} |{{op:Abgeschlossener Ball|0|{{{r|r}}} }} || |SZ= }} vor. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Wegen der oben formulierten Ableitungseigenschaft und aufgrund der {{ Faktlink |Mittelwertabschätzung|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt für zwei Punkte {{ Ma:Vergleichskette | x_1,x_2 |\in| {{op:Abgeschlossener Ball|0|{{{r|r}}} }} || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm| H_y(x_1)- H_y(x_2)|}} |\leq| {{op:Bruch|1|2}} {{op:Norm|x_1-x_2|}} || || || |SZ=, }} so dass {{mathl|term= H_y |SZ=}} eine {{ Definitionslink |stark kontrahierende Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Da ein euklidischer Vektorraum und damit auch die abgeschlossene Kugel {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|0|r}} |SZ=}} {{ Definitionslink |vollständig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Euklidischer Raum/Vollständig/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Vollständiger metrischer Raum/Teilmenge abgeschlossen gdw vollständig/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} besitzt jede Abbildung {{mathl|term= H_y |SZ=}} aufgrund des {{ Faktlink |Banachschen Fixpunktsatzes|Faktseitenname= Banachscher Fixpunktsatz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} genau einen Fixpunkt aus {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|0| {{op:Bruch|{{{r|r}}} |2}} }} |SZ=,}} den wir mit {{mathl|term= \psi(y) |SZ=}} bezeichnen. Aufgrund der eingangs gemachten Überlegung ist {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(\psi(y)) || y || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zu {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| {{op:Offener Ball|0|\frac{r}{2} }} || || || |SZ= }} gehört das eindeutige Urbild {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| {{op:Abgeschlossener Ball|0|r }} || || || |SZ= }} zur offenen Kugel {{mathl|term= {{op:Offener Ball|0|r }} |SZ=,}} wie die obige Abschätzung zeigt. Wir setzen {{ mathkor|term1= U_2 = {{op:Offener Ball|0| {{op:Bruch|{{{r|r}}} |2}} }} |und|term2= U_1 = \varphi^{-1}(U_2) \cap {{op:Offener Ball|0| {{{r|r}}} }} |SZ=, }} wobei {{math|term= U_1 |SZ=}} aufgrund der Stetigkeit von {{math|term= \varphi |SZ=}} offen ist. Die eingeschränkte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi {{|}}_{U_1} |U_1|U_2 |x|\varphi(x) |SZ= }} ist wieder stetig und bijektiv. Insbesondere gibt es eine Umkehrabbildung {{ Ma:abb/disp |name= \psi | U_2 | U_1 || |SZ=, }} die wir als stetig differenzierbar nachweisen müssen. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Wir zeigen zuerst, dass {{math|term= \psi |SZ=}} {{ Definitionslink |Lipschitz-stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist mit der {{ Definitionslink |Lipschitz-Konstanten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2 |SZ=.}} Seien {{ Ma:Vergleichskette | y_1,y_2 |\in| U_2 || || || |SZ= }} gegeben mit den eindeutigen Elementen {{ Ma:Vergleichskette | x_1,x_2 |\in| U_1 || || || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= \varphi (x_1)=y_1 |und|term2= \varphi (x_2)=y_2 |SZ=. }} Es gelten die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Norm|x_2-x_1|}} || {{op:Norm|H_0(x_2)+ \varphi(x_2) - H_0(x_1) - \varphi(x_1) |}} |\leq| {{op:Norm|H_0(x_2) - H_0(x_1) |}} + {{op:Norm| \varphi(x_2) - \varphi(x_1) |}} |\leq| {{op:Bruch|1|2}} {{op:Norm|x_2-x_1|}} + {{op:Norm| \varphi(x_2) - \varphi(x_1) |}} || |SZ=, }} wobei die letzte Abschätzung auf obiger Überlegung beruht. Durch Umstellung ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\psi(y_2)- \psi(y_1)|}} || {{op:Norm|x_2-x_1|}} |\leq| 2 {{op:Norm|y_2-y_1|}} || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Aufgrund von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Differenzierbare Abbildung/R/Bijektives Differential/Stetige Umkehrabbildung/Differenzierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= \psi|SZ=}} auch differenzierbar und es gilt die Formel {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|\psi|y}} || ({{op:Totales Differential|\varphi| \psi(y)}} )^{-1} || || || |SZ=. }} Aus dieser Darstellung lässt sich auch die stetige Abhängigkeit der Ableitung von {{math|term= y |SZ=}} ablesen, da {{math|term= \psi |SZ=}} stetig ist, da das totale Differential von {{math|term= \varphi |SZ=}} nach Voraussetzung stetig von {{ Ma:Vergleichskette | x || \psi(y) || || || |SZ= }} abhängt und da das Bilden der Umkehrmatrix ebenfalls stetig ist. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dn9h2f338y0zuwor8fesm94mhpbgg0i 0 33770 781403 745077 2022-08-21T21:49:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | I |\subseteq| \R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu einer {{ Definitionslink |stetig differenzierbaren Funktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R_+ || |SZ= }} heißt die Funktion {{ math/disp|term= \frac{f'}{f} |SZ= }} die {{Stichwort|logarithmische Ableitung|SZ=}} von {{math|term= f|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die logarithmische Ableitung einen {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |(C^1(I, \R_+), \cdot)|(C^0(I, \R), +) || |SZ= }} definiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Logarihmische Ableitung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tfyijdz211u994buu6j4kvtv0fr6yu1 0 33775 786151 666195 2022-08-22T10:38:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche{{n Sie}} die folgenden Reihen auf Konvergenz: {{ Aufzählung3 |{{math|term= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+3}{n^3-n^2-n+2} |SZ=,}} |{{math|term= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+ \sqrt{n} }{n^2 - \sqrt{n} +1}|SZ=,}} |{{math|term= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dzekvmjob83z9h8ldzsrqjmgzsu008g 0 33776 786152 502342 2022-08-22T10:38:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige {{math|term= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n }{ 5^n } = \frac{45}{14}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} av3tn7zg7x9su130trkbqkxdgm4enok 0 33777 786153 502343 2022-08-22T10:38:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz: {{ Aufzählung2 |{{math|term= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}|SZ=,}} |{{math|term= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 + (-1)^n} {2^n} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} roqjmikhkfpntx5sg94qlwg55t3yha7 0 33780 786454 710693 2022-08-22T11:28:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (x_n)_{n \in \N} |SZ=}} eine monoton fallende Nullfolge. Beweise{{n Sie}} den folgenden Satz {{ Zusatz/Klammer |text=Satz von Olivier| |ISZ=|ESZ= }}: Wenn die Reihe {{math|term= \sum_{n=0}^{\infty} x_n |SZ=}} konvergiert, dann ist {{math|term= (n \cdot x_n)_{n \in \N}|SZ=}} eine Nullfolge. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Oliver |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hkqo88zwyr2hbba88ao5782zs4foqmw 0 33782 785298 381555 2022-08-22T08:16:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe {{math|term= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n + (-2)^n} z^n \, .|SZ=}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iic1hivb3i2eklfxbc8bndalz9r1dvi 0 33783 785299 252563 2022-08-22T08:17:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe {{math|term= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) z^n \, . |SZ=}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ifu8sdkb9y9q8852f42ge7gcn1qc7n 0 33784 782377 715489 2022-08-22T00:31:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Grenzwert {{math|term= {{op:Funktionslimes|x|0| \frac{ \cos(x) - 1}{x} }}\, .|SZ=}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Regel von Hospital‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1j55hhg563y34tnp11xop6m7jf27lxj 0 33785 782378 649858 2022-08-22T00:31:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Grenzwert {{math|term= {{op:Funktionslimes|x|1| \frac{ {{op:ln|x|}} }{x-1} }} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Regel von Hospital‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3rrth7urfyhkaqsjrd43ekmdsjwknbp 0 33789 783594 212541 2022-08-22T03:54:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|x+e^x |SZ=, }} bijektiv ist und berechne {{math|term= (f^{-1})^\prime (1) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kurvendiskussion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mw1vt1bf4v45syrf4c12k03wxt50day 0 33790 782869 756636 2022-08-22T01:53:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|\R || || || |SZ= }} und seien {{ Ma:abbele/disp |name=f,g |I|\R || |SZ= }} zwei {{math|term= n|SZ=}}-mal {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktionen| |Kontext=R höher| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | (f \cdot g)^{(n)} ||\sum_{k {{=|}} 0}^n {{op:Binom|n|k}} f^{(k)} \cdot g^{(n-k)} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der höheren Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} imxyx1hz2gdbi1jp1xv3k9orpzazccz 0 33791 784777 508940 2022-08-22T06:58:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Teilmenge von {{math|term= \R|SZ=}} und {{math|term= \epsilon >0|SZ=}}. Wir definieren {{math|term= T_{\epsilon}(M):=\{x \in \R: {{op:Betrag|x-a}}> \epsilon \text{ für alle } a \in M \} |SZ=}}. Zeige die folgenden Aussagen: {{ Aufzählung3 |Falls {{math|term= M|SZ=}} offen ist, so ist {{math|term= T_{\epsilon}(M)|SZ=}} abgeschlossen. |Falls {{math|term= M|SZ=}} abgeschlossen ist, so ist {{math|term= T_{\epsilon}(M)|SZ=}} offen. |Die Umkehrungen der ersten beiden Aussagen sind falsch. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iecdzemy0tepdj23ytp4w3vgs64bq3x 0 33793 784309 525887 2022-08-22T05:53:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= f: [0,\infty[ \rightarrow \R|SZ=}} eine differenzierbare Funktion derart, dass der Grenzwert {{math|term= a:= {{op:Funktionslimes|x|\infty|f^\prime(x) }}|SZ=}} existiert. Zeige, dass dann auch {{math|term= {{op:Funktionslimes|x|\infty| (f(x+1)-f(x))}} = a|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0qi6r174sah5byol6r1tl9y1haobkfe 0 33820 778448 742374 2022-08-21T12:04:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | K |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |totalen Differentials| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|{{{a|a}}} }} |SZ=.}} Aufgrund der vorausgesetzten {{ Definitionslink |Surjektivität| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und der {{ Faktlink |Dimensionsformel|Faktseitenname= Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dies ein {{ Definitionslink |Prämath=(n-m) |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R^n |SZ=.}} Durch einen Basiswechsel können wir annehmen, dass {{math|term= K |SZ=}} von den ersten {{mathl|term= n-m |SZ=}} Standardvektoren {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_{n-m} |SZ=}} erzeugt ist {{ Zusatz/Klammer |text=Der Unterraum {{mathl|term= {{op:Span|e_{n-m+1} {{kommadots|}} e_n |}} |SZ=}} wird dann bijektiv auf {{math|term= \R^m |SZ=}} abgebildet| |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=p |\R^n|\R^{n-m} {{=|}} K |(x_1 {{kommadots|}} x_n) |(x_1 {{kommadots|}} x_{n-m}) |SZ= }} die {{ Definitionslink |lineare Projektion| |Kontext=Produkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= K |SZ=}} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=p \times \varphi | {{{G|G}}}|\R^{n-m} \times \R^m |(x_1 {{kommadots|}} x_n) | (x_1 {{kommadots|}} x_{n-m}, \varphi_1(x_1 {{kommadots|}} x_n) {{kommadots|}} \varphi_{m} (x_1 {{kommadots|}} x_n) ) |SZ=, }} die zusammengesetzte Abbildung. Diese ist selbst stetig differenzierbar und das totale Differential davon im Punkt {{ Ma:Vergleichskette | {{{a|a}}} || (a_1 {{kommadots|}} a_n) || || || |SZ= }} ist bijektiv, so dass wir darauf den {{ Faktlink |Satz über die Umkehrabbildung|Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden können. Es gibt also offene Umgebungen {{ mathbed|term= {{{a|a}}} \in U_1 ||bedterm1= U_1 \subseteq {{{G|G}}} ||bedterm2= |SZ=, }} und {{ mathbed|term= (p(a), \varphi(a)) \in {{{U_2|U_2}}} ||bedterm1= {{{U_2|U_2}}} \subseteq \R^{n-m} \times \R^m ||bedterm2= |SZ=, }} derart, dass die eingeschränkte Abbildung {{ Ma:abb/disp |name= (p \times \varphi) {{|}}_{ {{{U_1|U_1}}} } | {{{U_1|U_1}}} | {{{U_2|U_2}}} || |SZ= }} bijektiv ist mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung. Für die offene Menge {{math|term= {{{U_2|U_2}}} |SZ=}} gibt es offene Mengen {{ mathkor/disp|term1= (a_1 {{kommadots|}} a_{n-m}) \in {{{V|V}}} \subseteq \R^{n-m} |und|term2=\varphi(a) {{=|}} (b_1 {{kommadots|}} b_{m}) \in {{{V'|V'}}} \subseteq \R^m |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{V|V}}} \times {{{V'|V'}}} | \subseteq | {{{U_2|U_2}}} || || || || |SZ=. }} Wir können den {{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (p \times \varphi) {{|}}_{ {{{U_1|U_1}}} } |SZ=}} auf das {{ Zusatz/Klammer |text=offene| |ISZ=|ESZ= }} Urbild {{math|term= {{{W|W}}} |SZ=}} von {{mathl|term= {{{V|V}}} \times {{{V'|V'}}} |SZ=}} einschränken. {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Wir betrachten das kommutative Diagramm {{Kommutatives Dreieck|G| \R^{n-m} \times \R^m|\R^m}} bzw. die Einschränkung davon {{Kommutatives Dreieck|{{{W|W}}}| {{{V|V}}} \times {{{V'|V'}}} | {{{V'|V'}}} |SZ=. }} Die Faser über {{ Ma:Vergleichskette | b || \varphi (a) || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{{V|V}}} \times \{ (b_1 {{kommadots|}} b_m) \} |SZ=.}} Diese Menge steht über die horizontale Abbildung {{mathl|term= p \times \varphi|SZ=}} in Bijektion mit der Faser von {{math|term= \varphi |SZ=}} über {{math|term= b |SZ=,}} also mit {{mathl|term= Z \cap {{{W|W}}} |SZ=.}} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Wir betrachten nun die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |{{{V|V}}}| {{{W|W}}} |(x_1 {{kommadots|}} x_{n-m}) | (p \times \varphi)^{-1} ( x_1 {{kommadots|}} x_{n-m} ,b_1 {{kommadots|}} b_m) |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \varphi(\psi( x_1 {{kommadots|}} x_{n-m} )) || \varphi ( (p \times \varphi)^{-1} ( x_1 {{kommadots|}} x_{n-m} ,b_1 {{kommadots|}} b_m)) || ( b_1 {{kommadots|}} b_m) || || |SZ=, }} so dass das Bild von {{math|term= \psi |SZ=}} in der Tat in {{mathl|term= Z \cap {{{W|W}}} |SZ=}} landet. Die {{ Definitionslink |Injektivität| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \psi |SZ=}} ist klar. Sei nun {{ Ma:Vergleichskette | (x_1 {{kommadots|}} x_n) |\in | Z \cap {{{W|W}}} || || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi( x_1 {{kommadots|}} x_n ) || ( b_1 {{kommadots|}} b_m) || || || |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (p \times \varphi)( x_1 {{kommadots|}} x_n ) || ( x_1 {{kommadots|}} x_{n-m} , b_1 {{kommadots|}} b_m) || || || |SZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi ( x_1 {{kommadots|}} x_{n-m}) ||( x_1 {{kommadots|}} x_n ) || || || |SZ= }} im Bild von {{math|term= \psi |SZ=.}} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die Abbildung {{ Ma:abb/disp |name= \psi | {{{V|V}}} | {{{W|W}}} || |SZ= }} ist nach Konstruktion stetig differenzierbar und das totale Differential ist in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | Q |\in| V || || || |SZ= }} injektiv, da {{math|term= \psi |SZ=}} die Hintereinanderschaltung einer affin-linearen Injektion und eines Diffeomorphismus ist. Da {{mathl|term= \psi({{{V|V}}}) |SZ=}} in der {{ Definitionslink |Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi |SZ=}} über {{math|term= b |SZ=}} liegt, ist {{ Ma:Vergleichskette | \varphi \circ \psi || b || || || |SZ= }} konstant. Nach der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|\varphi|\psi(Q)}} \circ {{op:Totales Differential|\psi|Q}} || 0 || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ce039ijix23urb0njtueypr2w7poon 0 33866 781485 510367 2022-08-21T22:03:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{math|term= S,Q \in K[X]|SZ=}} zwei Polynome mit {{math|term= {{op:Grad Polynom|Q|}} \geq 1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und eine eindeutige Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || R_0 + R_1Q +R_2Q^2 {{plusdots|}} R_n Q^n || || || |SZ= }} mit Polynomen {{math|term= R_j|SZ=}} vom Grad {{math|term= < {{op:Grad Polynom|Q|}} |SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Adisch |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xa3xd9kscvx7qe15ppddm1yius650n 10 33870 779259 622250 2022-08-21T16:00:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Diese Vorlage|1=dient der Einstufung von mathematischen Texten}} [[Kategorie:Projekt:Semantische Vorlagen]] [[Kategorie:Mathematische Einzeltextgestaltungen]] </noinclude><includeonly>{{{Text|}}} {{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |en=[[Kategorie:Fachbereich Mathematik/Englische Übersetzung]] |Aufgabe= |Aufgabenform=[[Kategorie:{{{Kategorie}}}/Aufgabenformen{{#if:{{{Stichwort|}}}|{{!}}{{{Stichwort}}} }} ]] {{#if:{{{Kategorie2|}}}|[[Kategorie:{{{Kategorie2}}}/Aufgabenformen{{#if:{{{Stichwort|}}}|{{!}}{{{Stichwort}}} }} ]]| }} {{#if:{{{Kategorie3|}}}|[[Kategorie:{{{Kategorie3}}}/Aufgabenformen{{#if:{{{Stichwort|}}}|{{!}}{{{Stichwort}}} }} ]]| }} {{#if:{{{Objektkategorie|}}}|[[Kategorie:{{{Objektkategorie}}}{{#if:{{{Stichwort|}}}|{{!}}{{{Stichwort}}} }} ]]| }} {{#if:{{{Objektkategorie1|}}}|[[Kategorie:{{{Objektkategorie1}}}{{#if:{{{Stichwort|}}}|{{!}}{{{Stichwort}}} }} ]]| }} {{#if:{{{Objektkategorie2|}}}|[[Kategorie:{{{Objektkategorie2}}}{{#if:{{{Stichwort|}}}|{{!}}{{{Stichwort}}} }} ]]| }} {{#if:{{{Bearbeitungsstand|}}}|[[Kategorie:Mathematischer Text/{{{Bearbeitungsstand}}}]]}} |#default= }}</includeonly> tv8b4cr70zohufvsbgwroq6ilbynx6m 0 33873 778505 748054 2022-08-21T12:12:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Bei der Substitution {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:ln|s|}} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | dt || {{op:Bruch|1|s}} ds || || || |SZ=, }} und für die Polynome {{ mathkor|term1= P {{makl| e^t |}} |und|term2= Q {{makl| e^t |}} |SZ= }} ergeben sich {{ mathkor/disp|term1= P {{makl| e^t |}} =P {{makl| e^{ {{op:ln|s|}} } |}} =P(s) |und|term2= Q {{makl| e^t |}} = Q{{makl| e^{ {{op:ln|s|}} } |}} =Q(s) |SZ=. }} Insgesamt ergibt sich also die rationale Funktion {{mathl|term= \frac{P(s)}{s Q(s)} |SZ=.}} In deren Stammfunktion muss man dann {{ Ma:Vergleichskette | s || e^t || || || |SZ= }} einsetzen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gogsusav57qk68mgg8uedc3g243eko7 0 33877 779903 720549 2022-08-21T17:39:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen eine Stammfunktion für die Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(t) || {{op:Bruch|1| e^t+e^{3t} }} || || || |SZ= }} finden. Das in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in Exponentialfunktion/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebene Verfahren führt auf die rationale Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | \frac{1}{ {{makl| s+s^3 |}} s} ||\frac{1}{s^2 {{makl| s^2+1 |}} } ||\frac{1}{s^2} - \frac{1}{s^2+1} || || |SZ=, }} so dass die Partialbruchzerlegung direkt vorliegt. Die Stammfunktion von dieser rationalen Funktion ist {{ math/disp|term= - \frac{1}{s} - {{op:arctan|s|}} |SZ=. }} Die Stammfunktion von {{math|term= f|SZ=}} ist daher {{ math/disp|term= -\frac{1}{e^t} - {{op:arctan|e^t|}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dcwdk5q7due523b0jawtd55e39g8l93 0 33885 778506 748052 2022-08-21T12:13:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Bei der Substitution {{ Ma:Vergleichskette | t || 2 {{op:arctan|s|}} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:tan|\frac{t}{2}|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | dt || \frac{2}{1+s^2} ds || || || |SZ=. }} Aus den trigonometrischen Funktionen wird unter Verwendung von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:sin|t|}} || {{op:sin(|\frac{t}{2} + \frac{t}{2} |}} || 2 {{op:sin(|\frac{t}{2} |}} \cdot {{op:cos| {{makl| \frac{t}{2} |}} |}} || 2 {{op:tan| {{makl| \frac{t}{2} |}} |}} \cdot {{op:cos| {{makl| \frac{t}{2} |}} |pot=2 |}} || 2 {{op:tan| {{makl| \frac{t}{2} |}} |}} \cdot \frac{ {{op:cos| {{makl| \frac{t}{2} |}} |pot=2 |}} }{ {{op:cos| {{makl| \frac{t}{2} |}} |pot=2 |}} + {{op:sin| {{makl| \frac{t}{2} |}} |pot=2 |}} } || 2 {{op:tan| {{makl| \frac{t}{2} |}} |}} \cdot \frac{ 1}{ 1 + {{op:tan| {{makl| \frac{t}{2} |}} |pot=2 |}} } || 2s \frac{1}{1+s^2} |SZ=. }} und {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:cos|t|}} || {{op:cos| {{makl| \frac{t}{2} +\frac{t}{2} |}} |}} || {{op:cos| {{makl| \frac{t}{2} |}} |pot=2}} - {{op:sin| {{makl| \frac{t}{2} |}} |pot=2}} || 2 {{op:cos| {{makl| \frac{t}{2} |}} |pot=2}} -1 || 2 \cdot \frac{ 1}{ 1 + {{op:tan| {{makl| \frac{t}{2} |}} |pot=2 |}} } -1 || 2 \frac{1}{1+s^2} -1 || \frac{1-s^2}{1+s^2} |SZ=. }} Da sowohl das Differential {{math|term= dt |SZ=}} als auch die trigonometrischen Funktionen bei dieser Substitution rationale Ausdrücke in {{math|term= s |SZ=}} sind, liegt nach dieser Substitution insgesamt eine rationale Funktion vor. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ia69r9svuk6cba5nh0jgnpa6mwei6w 0 33886 779900 752057 2022-08-21T17:39:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ math/disp|term= \frac{1}{ {{op:sin|t|}} } |SZ= }} berechnet sich unter Verwendung von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in trigonometrische Funktionen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} folgendermaßen. {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|grand=\frac{1}{ {{op:sin|t|}} }||}} || {{op:Integral| grand= \frac{1+s^2}{2s} \cdot \frac{2}{1+s^2}|||4=s}} || {{op:Integral| grand= \frac{1}{s} |||4=s}} || || |SZ=. }} Die Stammfunktion von {{mathl|term= \frac{1}{ {{op:sin|t|}} } |SZ=}} ist daher {{mathl|term= {{op:ln| {{makl| {{op:tan|\frac{t}{2}|}} |}} |}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 83ytxvjs0s0f7cc2jn3767qux96s295 0 33961 783848 757477 2022-08-22T04:37:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R_+ || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem Intervall {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=.}} Finde eine {{ Definitionslink |homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} für die {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Lösung| |Kontext=gdg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ehxm90wq32oib4bxc5r60odreniq38w 0 34022 780053 772658 2022-08-21T18:03:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= p(t)|SZ=}} die Größe einer Population zu einem Zeitpunkt {{math|term= t|SZ=.}} Wie setzen voraus, dass die Populationsentwicklung {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist; die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= p'(t)|SZ=}} repräsentiert dann das {{ Zusatz/Klammer |text=infinitesimale| |ISZ=|ESZ= }} Bevölkerungswachstum zum Zeitpunkt {{math|term= t|SZ=.}} Den Quotienten {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{r|r}}} (t) || \frac{p'(t)}{p(t)} || || || |SZ= }} nennt man die {{Stichwort|Wachstumsrate|SZ=}} zum Zeitpunkt {{math|term= t|SZ=.}} Wir fragen uns, inwiefern man den Populationsverlauf aus der Wachstumsrate rekonstruieren kann. Die Wachstumsrate kann von der Zeit {{ Zusatz/Klammer |text=Jahreszeit, Nahrungsvorkommen, Entwicklung von anderen Populationen etc.| |ISZ=|ESZ= }} abhängen, aber auch von der aktuellen Populationsgröße {{math|term= p|SZ=.}} Die Zeitabhängigkeit der Wachstumsrate beruht auf äußeren Einflüssen, während die Abhängigkeit von der aktuellen Populationsgröße eine innere Dynamik ausdrückt. Sie beruht darauf, dass eine große Population sich hemmend auf die Fortpflanzung auswirkt. Wir beschränken uns auf eine Situation, wo die Wachstumsrate nur von der Populationsgröße abhängt, nicht aber von sonstigen Einflüssen. Dann wird die Wachstumsrate durch eine Funktion {{mathl|term= {{{w|w}}}(p)|SZ=}} beschrieben, und die Wachstumsrate zum Zeitpunkt {{math|term= t|SZ=}} ist demnach durch {{ Ma:Vergleichskette | {{{r|r}}} (t) || {{{w|w}}}(p(t)) || || || || |SZ= }} gegeben. Die Wachstumsrate wirkt sich auf die Populationsentwicklung aus. Gemäß dem oben formulierten Zusammenhang gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | p'(t) || p(t) \cdot {{{r|r}}} (t) ||p(t) \cdot {{{w|w}}}(p(t)) || || |SZ=. }} Es liegt also eine {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |p' || p \cdot {{{w|w}}}(p) || || || |SZ= }} vor, die {{ Definitionslink |zeitunabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so dass insbesondere {{ Definitionslink |getrennte Variablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegen {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Funktion {{ Ma:Vergleichskette/k | h(p) || p \cdot {{{w|w}}}(p) || || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{Stichwort|konstanter Wachstumsrate|msw=Konstante Wachstumsrate|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{w|w}}}(p) || a || || || |SZ= }} liegt die Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette |p' || ap || || || |SZ= }} vor, deren Lösungen die Funktionen {{mathl|term= ce^{at}|SZ=}} sind. Das bedeutet {{Stichwort|exponentielles Wachstum|msw=Exponentielles Wachstum|SZ=.}} Wenn wir die Wachstumsrate so ansetzen, dass es bei einer gewissen Populationsgröße {{math|term= {{{g|g}}} |SZ=}} kein Wachstum mehr gibt, und bei sehr kleiner Bevölkerung die Wachstumsrate maximal gleich {{math|term= s |SZ=}} ist, und dazwischen die Wachstumsrate {{ Definitionslink |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= p|SZ=}} abhängt, so erhält man die Wachstumsrate {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{w|w}}}(p) || s {{makl|1 -\frac{1}{ {{{g|g}}} } p|}} || || || |SZ= }} und die Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |p' ||sp {{makl|1 -\frac{1}{ {{{g|g}}} }p|}} ||sp -\frac{s}{g} p^2 || || |SZ=. }} Eine solche Differentialgleichung nennt man {{Stichwort|logistische Differentialgleichung|SZ=.}} Gemäß dem {{ Faktlink |Lösungsansatz für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen|Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} müssen wir eine Stammfunktion zu {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Bruch|1|s p {{makl|1 - {{op:Bruch|1| {{{g|g}}} }} p|}} }} || {{op:Bruch|g|s}} \cdot {{op:Bruch|1|p(g-p)}} || {{op:Bruch|1|s}} {{makl|{{op:Bruch|1|p}} + {{op:Bruch|1|g-p}}|}} || |SZ= }} finden. Eine solche Stammfunktion ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | H(p) ||\frac{1}{s} ( {{op:ln|p|}} - {{op:ln| ({{{g|g}}} -p)|}}) || \frac{1}{s} {{op:ln|\frac{p}{ {{{g|g}}} - p}|}} || || |SZ=. }} Zur Berechnung der {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= H^{-1}|SZ=}} lösen wir die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |u || \frac{1}{s} {{op:ln|\frac{p}{{{{g|g}}}-p}|}} || || || |SZ= }} nach {{math|term= p|SZ=}} auf. Es ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:exp |(su)|}} || \frac{p}{ {{{g|g}}}-p} || || || |SZ= }} und daraus {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{{g|g}}} \cdot {{op:exp|(su)|}} ||p+p \cdot {{op:exp|(su)|}} || || || |SZ= }} und damit {{ Ma:Vergleichskette/disp |p ||\frac{ {{{g|g}}} \cdot {{op:exp|(su)|}} }{1+ {{op:exp|(su)|}} } || \frac{ {{{g|g}}} }{1+ {{op:exp|(-su)|}} } || || |SZ=. }} Da die Differentialgleichung zeitunabhängig ist, ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |p(t) || \frac{ {{{g|g}}} }{1+ {{op:exp|(- s t)|}} } || || || |SZ= }} eine Lösung. Bei {{ Ma:Vergleichskette |t ||0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |p(0) || {{op:Bruch|g|2}} || || || |SZ=, }} für {{mathl|term= t \rightarrow + \infty|SZ=}} strebt die Lösung gegen {{math|term= g|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Grenzbevölkerung| |ISZ=|ESZ= }} und für {{mathl|term= t \rightarrow - \infty|SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2=Theorie der logistischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie=Logistische Differentialgleichung |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 576hteseo93f5e7qr1rbividdzib79e 0 34143 783741 746002 2022-08-22T04:19:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{math|term= n|SZ=-}}te {{Stichwort|Legendre-Polynom|SZ={{{zusatz1|}}}}} {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2^n (n!)}} ((t^2-1)^n)^{(n)} |SZ= }} eine Lösung der {{ Definitionslink |Legendreschen Differentialgleichung| |Definitionsseitenname= Legendresche Differentialgleichung/Definition |SZ= }} zum Parameter {{math|term= n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2=Theorie der Legendre-Polynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d31as27e9v8z5fbvozdqyofc74vcp5w 0 34144 779247 763346 2022-08-21T15:58:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf der Geraden, wobei die Lage des Punktes proportional zur auf ihn wirkenden Kraft {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. Beschleunigung| |ISZ=|ESZ= }} in Richtung des Nullpunkts sein soll. Wenn der Punkt sich in {{math|term= \R_+|SZ=}} befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante {{math|term= 1|SZ=}} gelangt man zur {{ Definitionslink |linearen Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zweiter Ordnung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^{\prime \prime} || -y || || || |SZ=, }} die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir {{ mathkor|term1= y(0)=0 |und|term2= y'(0)=v |SZ=, }} zum Zeitpunkt {{math|term= 0|SZ=}} soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit {{math|term= v|SZ=}} besitzen. Man kann sofort die Lösung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || v \cdot {{op:sin|t|}} || || || |SZ= }} angeben. Wir werden diese Lösung mit den Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen herleiten. Die Differentialgleichung führt zum linearen Differentialgleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|y_0'|y_1' }} || {{op:Spaltenvektor|y_1|-y_0 }} || {{op:Matrix22|0|1|-1|0}} {{op:Spaltenvektor|y_0|y_1 }} || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=glg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^2+1 ||(x- {{Imaginäre Einheit}} ) (x+ {{Imaginäre Einheit}} ) || || || |SZ=, }} und Eigenvektoren sind {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1| {{Imaginäre Einheit}} }} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zum Eigenwert {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|- {{Imaginäre Einheit}} }} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zum Eigenwert {{math|term= - {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Definitionslink |allgemeine komplexe Lösung| |Kontext=glg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Diagonalisierbar/Lösbarkeit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|y_0(t)|y_1(t)}} || c_1 e^{ {{Imaginäre Einheit}} t} {{op:Spaltenvektor|1| {{Imaginäre Einheit}} }} +c_2 e^{- {{Imaginäre Einheit}} t} {{op:Spaltenvektor|1|- {{Imaginäre Einheit}} }} || || || |SZ=, }} wobei letztlich nur der Realteil der ersten Zeile interessiert. Die Anfangsbedingung führt zu {{ mathkor/disp|term1= c_1+c_2 = 0 |und|term2= c_1 {{Imaginäre Einheit}} - c_2 {{Imaginäre Einheit}} = v |SZ=. }} Also ist {{ mathkor|term1= c_2=-c_1 |und|term2= c_1 = \frac{v}{2 {{Imaginäre Einheit}} } |SZ=. }} Daher ist die Lösung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \frac{v}{2 {{Imaginäre Einheit}} } e^{ {{Imaginäre Einheit}} t} - \frac{v}{2 {{Imaginäre Einheit}} } e^{- {{Imaginäre Einheit}} t} || v \cdot {{op:sin|t|}} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Harmonischer Oszillator |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 755jalm71awr3y03xja9le2fh2xmp91 0 34146 782738 756515 2022-08-22T01:32:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^{\prime \prime} || -ay || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathl|term= a>0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und der {{ Definitionslink |Anfangsbedingung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= y(0)=x |und|term2= y'(0)=v |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Harmonischer Oszillator |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n0sznzpyicytbk460ec71fir33z2x3w 0 34160 779829 751947 2022-08-21T17:28:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[0,1]|\R |t|t^2 |SZ=, }} die bekanntlich in diesem Intervall {{ Definitionslink |streng wachsend| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Für ein Teilintervall {{ Ma:Vergleichskette | [a,b] |\subseteq| [0,1] || || || |SZ= }} ist daher {{mathl|term= f(a) |SZ=}} das {{ Definitionslink |Minimum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f(b) |SZ=}} das {{ Definitionslink |Maximum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion über diesem Teilintervall. Sei {{math|term= n|SZ=}} eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} in die {{math|term= n|SZ=}} gleichlangen Teilintervalle {{ mathbed/disp|term= {{makeckl| i {{op:Bruch|1|n}} , (i+1) {{op:Bruch|1|n}} |}} ||bedterm1= i=0 {{kommadots|}} n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} der Länge {{math|term= {{op:Bruch|1|n}} |SZ=.}} Das {{ Definitionslink |Treppenintegral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu der zugehörigen {{ Definitionslink |unteren Treppenfunktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=|}} 0}^{n-1} \frac{1}{n} {{makl|i \frac{1}{n}|}}^2 || \frac{1}{n^3} \sum_{i {{=|}} 0}^{n-1} i^2 || \frac{1}{n^3} {{makl| \frac{1}{3} n^3 - \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6} n|}} || \frac{1}{3} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink{{{optlink1|}}} ||Aufgabeseitenname= Zweite Potenzsummen/Durch Induktion/Aufgabe |Aufgabeseitenname2= Potenzsummen/Durch Induktion/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für die Formel für die Summe der Quadrate | |ISZ=|ESZ=. }} Da die beiden {{ Definitionslink |Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Folge|Glied=1/2n|}} |und|term2= {{op:Folge|Glied=1/6n^2|}} |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergieren| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} ist der {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= n \rightarrow \infty |SZ=}} von diesen Treppenintegralen gleich {{math|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=.}} Das {{ Definitionslink |Treppenintegral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu der zugehörigen {{ Definitionslink |oberen Treppenfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/druckalign | \sum_{i {{=|}} 0}^{n-1} \frac{1}{n} {{makl|(i+1) \frac{1}{n}|}}^2 || \frac{1}{n^3} \sum_{i {{=|}} 0}^{n-1} (i+1)^2 || \frac{1}{n^3} \sum_{j {{=|}} 1}^{n} j^2 || \frac{1}{n^3} {{makl|\frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6} n|}} || \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} || |SZ=. }} Der Limes davon ist wieder {{math|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=.}} Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemann Integral/Treppenfunktionen mit gleichem Limes/Integral/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} überhaupt das {{ Definitionslink |Ober| |Kontext=Integral| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=- }} und das {{ Definitionslink |Unterintegral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übereinstimmen, so dass die Funktion {{ Definitionslink |Riemann-integrierbar| |Kontext=kompakt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und das {{ Definitionslink |bestimmte Integral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|0|1|grand=t^2||t}} || {{op:Bruch|1|3}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardparabel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e9g220p2buzieiw66e8cabbdx63cyuz 0 34176 782818 756588 2022-08-22T01:45:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abb/disp |name=f |[a,b]| \R || |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name=g |[c,d]|\R || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= f([a,b]) \subseteq [c,d]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass wenn {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} {{ Definitionslink |Treppenfunktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, dass dann auch die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} eine Treppenfunktion ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hintereinanderschaltung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3qigvh1eq2scm2d5iv3q8gkuc098g7y 0 34177 782816 756587 2022-08-22T01:45:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |[a,b]| [c,d] || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Treppenfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name=g |[c,d]|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} ebenfalls eine Treppenfunktion ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hintereinanderschaltung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1eqe9lp6uphiqdsltd3zte5yajn8beq 0 34178 782814 756586 2022-08-22T01:44:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |stetigen Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |[a,b]|[c,d] || |SZ= }} und einer {{ Definitionslink |Treppenfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=g |[c,d]|\R || |SZ= }} derart, dass die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} keine Treppenfunktion ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hintereinanderschaltung |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mvfk5e3os1czhtcn5ntzdhanr5hxerj 0 34185 783332 757024 2022-08-22T03:11:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Situation|I1==[a,b]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Riemann-integrierbar| |Kontext=kompakt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es eine Unterteilung {{mathl|term= a=a_0 < a_1 < \cdots < a_n=b|SZ=}} gibt derart, dass die einzelnen Einschränkungen {{mathl|term= f_i=f {{!}}_{[a_{i-1},a_i]}|SZ=}} Riemann-integrierbar sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort=Unterteilung |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 76r1t7r1fuggy8pmxbo4o0z7u123hua 0 34187 786314 759388 2022-08-22T11:04:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= I =[a,b] \subseteq \R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kompaktes Intervall| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ Ma:abb |name=f,g |I|\R || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Riemann-integrierbare| |Kontext=kompakt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung4 |Ist {{mathl|term= m \leq f(x) \leq M|SZ=}} für alle {{mathl|term= x \in I|SZ=,}} so ist {{mathl|term= m(b-a) \leq {{op:Integral|a|b|f}} \leq M(b-a) |SZ=.}} |Ist {{mathl|term= f(x) \leq g(x)|SZ=}} für alle {{mathl|term= x \in I|SZ=,}} so ist {{mathl|term= {{op:Integral|a|b|f}} \leq {{op:Integral|a|b|g}} |SZ=.}} |Es ist {{mathl|term= {{op:Integral|a|b|grand=f(t)+g(t)}} = {{op:Integral|a|b|f}} + {{op:Integral|a|b|g}} |SZ=.}} |Für {{mathl|term= c \in \R|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Integral|a|b|grand=(cf)(t)}} = c {{op:Integral|a|b|f}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g6ip0zta6dqowgueuik5gseyfef3x8y 0 34189 786315 759389 2022-08-22T11:05:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kompaktes Intervall/Situation|Iz==[a,b]|SZ=}} und es seien {{ Ma:abb |name=f,g |I|\R || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Riemann-integrierbare| |Kontext=kompakt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term= fg|SZ=}} Riemann-integrierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} phom4ptfdjk24720sz0n05b8z0l8ks9 0 34192 779546 617823 2022-08-21T16:46:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu zwei reellen Zahlen {{mathl|term=a,b \in \R|SZ=}} mit {{mathl|term=a \leq b|SZ=}} heißt {{ math/disp|term= [a,b] = {{Mengebed|x \in \R| x \geq a \text{ und } x \leq b}} |SZ= }} das {{Definitionswort|kompakte Intervall|msw=Kompaktes Intervall|SZ=}} mit den Grenzen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kompaktes Intervalle |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p0au3cq1imtqd8sgphmgzgt7nsuahiw 779553 779546 2022-08-21T16:47:07Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu reellen Zahlen {{ Ma:Vergleichskette | a,b |\in|\R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | a |\leq| b || || || |SZ= }} heißt {{ Ma:Vergleichskette/disp | [a,b] || {{Mengebed|x \in \R| x \geq a \text{ und } x \leq b}} || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|kompakte Intervall|msw=Kompaktes Intervall|SZ=}} mit den Grenzen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kompaktes Intervalle |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e4t32zp059bqg2csetylmz8wxw9ryyi 0 34193 786313 759387 2022-08-22T11:04:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Situation|Iz==[a,b]|SZ=.}} Es gebe eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Treppenfunktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= {{op:Folge|Glied=s_n||}} |mit|bedterm1= s_n \leq f ||bedterm2= |SZ= }} und eine Folge von Treppenfunktionen {{ mathbed|term= {{op:Folge|Glied=t_n||}} |mit|bedterm1= t_n \geq f ||bedterm2= |SZ=. }} Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale {{ Definitionslink |konvergieren| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und dass ihre {{ Definitionslink |Grenzwerte| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übereinstimmen. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Riemann-integrierbar| |Kontext=kompakt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= {{op:Integral|a|b|s_n|x}} |}} || {{op:Integral|a|b|f|x}} || {{op:Folgenlimes|Glied= {{op:Integral|a|b|t_n|x}} |}} || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=3 |Stichwort= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jgml1fth63j4bvtvwrpwn7c7eggvex0 0 34202 778967 639848 2022-08-21T15:14:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Ma:abbele |name= {{op:Betrag|-}} |\R|\R |t|{{op:Betrag|t}} |SZ= }} ist im Punkt {{mathl|term= P=0|SZ=}} nicht differenzierbar. Eine lineare Abbildung ist hier gegeben durch {{mathl|term= v \mapsto c v|SZ=}} mit einem {{mathl|term= c \in \R|SZ=.}} Wir müssen den Ausdruck {{mathl|term= \frac{ {{op:Betrag|v}}-cv}{ {{op:Betrag|v}} } |SZ=}} betrachten. Dieser ist {{mathl|term= 1-c|SZ=}} für {{mathl|term= v>0|SZ=}} und {{mathl|term= 1+c|SZ=}} für {{mathl|term= v<0|SZ=.}} Also existiert für {{mathl|term= c \neq 0|SZ=}} der Grenzwert nicht {{ Zusatz/Klammer |text=da die Limiten von rechts und von links nicht übereinstimmen| |ISZ=|ESZ=, }} und bei {{mathl|term= c=0|SZ=}} ist der Grenzwert gleich {{mathl|term= 1 \neq 0|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie des Betrags für die reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} i0hvigype0e2sn22j42zh8fijnbpj6p 0 34209 779361 639996 2022-08-21T16:15:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ist {{ Ma:abb |name=\varphi |V|W || |SZ= }} konstant mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi (v) || w | \in| W || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ=, }} so ist {{math|term= \varphi|SZ=}} differenzierbar mit totalem Differential {{math|term= 0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Totales Differential einer konstanten Abbildung/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} g4rrrzqu6x6oca31n3en6tj1gw5wucm 0 34220 778610 752174 2022-08-21T12:29:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir haben nach Voraussetzung {{ Zusatz/Klammer |text=wobei wir {{ Ma:Vergleichskette/k | Q | {{defeq|}}| \varphi(P) || || || || |SZ= }} setzen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(P+v) ||\varphi(P)+L(v)+ {{op:Norm|v|}} r(v) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi(Q+w) || \psi(Q)+M(w)+ {{op:Norm|w|}} s(w) || || || |SZ= }} mit linearen Abbildungen {{ Ma:abb |name=L |V|W || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=M |W|U || |SZ=, }} und mit in {{math|term= 0|SZ=}} stetigen Funktionen {{ Ma:abb |name=r | {{op:Offener Ball|0|\delta}}|W || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=s |{{op:Offener Ball|0|\delta'}}|U || |SZ=, }} die beide in {{math|term= 0|SZ=}} den Wert {{math|term= 0|SZ=}} annehmen. Damit gilt {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks/teile | (\psi \circ \varphi)(P+v) || \psi(\varphi(P+v)) || \psi {{makl| \varphi(P)+L(v)+ {{op:Norm|v|}} r(v) |}} || \psi(\varphi(P))+M(L(v)+ {{op:Norm|v|}} r(v)) |7teil2 = + {{op:Norm|L(v)+ {{op:Norm|v|}} r(v)|}} s(L(v)+ {{op:Norm|v|}} r(v)) || \psi(\varphi(P))+M(L(v))+ M({{op:Norm|v|}} r(v)) |9teil2=+ {{op:Norm|L(v)+ {{op:Norm|v|}} r(v)|}} s(L(v)+ {{op:Norm|v|}} r(v)) || \psi(\varphi(P))+(M \circ L)(v)+ {{op:Norm|v|}} M(r(v)) |11teil2=+ {{op:Norm|{{op:Norm|v|}} L {{makl| \frac{v} { {{op:Norm|v|}} } |}} + {{op:Norm|v|}} r(v)|}} s(L(v)+ {{op:Norm|v|}} r(v)) || \psi(\varphi(P))+(M \circ L)(v) |13teil2= + {{op:Norm|v|}} {{makl| M(r(v))+ {{op:Norm|L {{makl| \frac{v} { {{op:Norm|v|}} } |}} + r(v)|}} s(L(v)+ {{op:Norm|v|}} r(v)) |}} |SZ=. }} Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für {{ Ma:Vergleichskette/disp | w || L(v)+ {{op:Norm|v|}} r(v) || || || |SZ= }} eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für {{ Ma:Vergleichskette |v |\neq|0 || || || |SZ=. }} Der Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | t(v) |{{defeq|}}| M(r(v)) + {{op:Norm|L {{makl| \frac{v} { {{op:Norm|v|}} } |}} + r(v)|}} s(L(v)+ {{op:Norm|v|}} r(v)) || || || |SZ= }} ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand {{mathl|term= M(r(v)) |SZ=}} ist in {{ Ma:Vergleichskette |v ||0 || || || |SZ= }} stetig und hat dort auch den Wert {{math|term= 0|SZ=.}} Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der {{math|term= {{op:Norm|-|}} |SZ=-}}Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da {{math|term= L|SZ=}} auf der {{ Definitionslink |kompakten| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Einheitssphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kompaktheit/R^n/Stetige Abbildung/Bild wieder kompakt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschränkt ist und da {{math|term= r|SZ=}} in {{math|term= 0|SZ=}} stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber {{mathl|term= L(v) + {{op:Norm|v|}} r(v) |SZ=}} hat für {{mathl|term= v \rightarrow 0|SZ=}} den Grenzwert {{math|term= 0|SZ=.}} Damit ist auch {{mathl|term= s(L(v)+ {{op:Norm|v|}} r(v)) |SZ=}} in {{math|term= 0|SZ=}} stetig und hat dort den Grenzwert {{math|term= 0|SZ=.}} }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} jbefdntgq28y6diqmt3roeqty8nlexu 0 34229 779028 763189 2022-08-21T15:24:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abb |name=f |\R^2|\R || |SZ= }} mit {{math/disp|term=f(x,y) {{defeq}} \begin{cases} \frac{ xy^3 } { x^2+y^6 } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) = (0,0) \, .\end{cases}|SZ=}} Für einen Vektor {{ Ma:Vergleichskette |v ||(a,b) || || || |SZ= }} und einen reellen Parameter {{math|term= s|SZ=}} erhalten wir auf der Geraden {{math|term= \R v|SZ=}} die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f_v |\R |\R |s|f(sa,sb) {{=|}} \frac{ sas^3b^3 } { s^2 a^2 + s^6b^6 } {{=|}} \frac{ s^2 ab^3 } {a^2 + s^4 b^6} |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} ist der Nenner stets positiv und die Funktion {{math|term= f_v|SZ=}} ist stetig mit dem Wert {{math|term= 0|SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |s ||0 || || || |SZ=, }} und als {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= s|SZ=}} differenzierbar. Für {{ Ma:Vergleichskette |a ||0 || || || |SZ= }} ist die Funktion {{math|term= f_v|SZ=}} konstant {{math|term= =0|SZ=}} und damit ebenfalls differenzierbar. Also existieren in {{math|term= 0|SZ=}} alle Richtungsableitungen zu {{math|term= f|SZ=.}} Die Funktion {{math|term= f|SZ=}} ist allerdings nicht stetig: Für die Folge {{mathl|term= (1/n^3,1/n)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die gegen {{ Ma:Vergleichskette/k |0 || {{op:Zeilenvektor|0|0}} || || || |SZ= }} konvergiert| |ISZ=|ESZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |f {{makl| {{op:Bruch|1|n^3}} , {{op:Bruch|1|n}} |}} || {{op:Bruch|(1/n^3)(1/n^3) |(1/n^6) + (1/n^6)}} || {{op:Bruch|1|2}} || || |SZ=, }} aber {{ Ma:Vergleichskette | f(0,0) || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} pg11n34nfovdhkoxhqelxta7qgu9sv5 0 34236 779574 763650 2022-08-21T16:50:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abb |name={{{f|f}}} |{{KRC/{{{K|K}}}|}}^3|{{KRC/{{{K|K}}}|}}^2 || |SZ=, }} die durch {{ math/disp|term= (x,y,z) \longmapsto {{makl| xy^2-z^3, {{op:sin|(xy)|}} + x^2 \cdot {{op:exp|z|}} |}} =({{{f|f}}}_1(x,y,z),{{{f|f}}}_2(x,y,z) ) |SZ= }} gegeben sei. Die partiellen Ableitungen von {{math|term= {{{f|f}}}_1|SZ=}} sind {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung|{{{f|f}}}_1|x}} = y^2, \, {{op:Partielle Ableitung|{{{f|f}}}_1|y}} = 2xy, \, {{op:Partielle Ableitung|{{{f|f}}}_1|z}} = -3z^2 |SZ=, }} und die partiellen Ableitungen von {{math|term= {{{f|f}}}_2|SZ=}} sind {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung|{{{f|f}}}_2|x}} = y {{op:cos|(xy)|}} + 2x \cdot {{op:exp|z|}}, \,{{op:Partielle Ableitung|{{{f|f}}}_2|y}} = x \cdot {{op:cos|(xy)|}} , \,{{op:Partielle Ableitung|{{{f|f}}}_2|z}} = x^2 \cdot \exp(z) |SZ=. }} Damit erhalten wir für einen beliebigen Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||(x,y,z) || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext={{{K|}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix23|y^2|2xy|-3z^2|y \cos(xy) + 2x \exp (z)|x \cos (xy)|x^2 \exp(z)}} |SZ=. }} Für einen speziellen Punkt, z.B. {{ Ma:Vergleichskette |P ||(2,1,3) || || || |SZ=, }} setzt man einfach ein: {{ math/disp|term= {{op:Matrix23|1|4|-27|\cos (2) + 4 \exp(3)|2 \cos (2)| 4 \exp (3)}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} i5jwtuo1uf24q67ybgk1uiphn30ikvq 0 34238 779027 751025 2022-08-21T15:23:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abb |name=f | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^3| {{KRC/{{{K|K}}}|}} || |SZ=, }} die durch {{ math/disp|term= (x,y,z) \longmapsto 2xy^2 + x^2z^3+ z^2 |SZ= }} gegeben sei. Es ist leicht die partiellen Ableitungen in jedem Punkt zu berechnen, nämlich: {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Zeilenvektor| {{op:Partielle Ableitung|f|x}} |{{op:Partielle Ableitung|f|y}} |{{op:Partielle Ableitung|f|z}} }}_{(x,y,z)} ||{{op:Zeilenvektor|2y^2 + 2xz^3|4xy|3x^2z^2+ 2z}} || || || |SZ=. }} {{Alternative{{{opt1|}}} |alt1=Da diese alle stetig sind, haben wir nach {{ Faktlink{{{opt2|}}} ||Faktseitenname= Differenzierbarkeit/{{{K|K}}}/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext={{{K|K}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in jedem Punkt gefunden. |alt2=Wir werden in der nächsten Vorlesung sehen, dass diese Abbildung in jedem Punkt total differenzierbar ist, und dass die Jacobi-Matrix das totale Differential beschreibt.}} Nehmen wir nun an, dass wir nur an der Restriktion dieser Funktion auf die Ebene {{ math/disp|term= E \subset {{KRC/{{{K|K}}}|}}^3, \, E = {{Mengebed|(x,y,z)| 3x+2y-5z {{=|}} 0}} |SZ= }} interessiert sind. {{math|term= E|SZ=}} ist also der Kern der linearen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=L |{{KRC/{{{K|K}}}|}}^3|{{KRC/{{{K|K}}}|}} |(x,y,z)|3x+2y-5z |SZ=. }} Als Kern ist {{math|term= E|SZ=}} selbst ein {{ Zusatz/Klammer |text=zweidimensionaler| |ISZ=|ESZ= }} Vektorraum. Die Einschränkung von {{math|term= f|SZ=}} auf die Ebene ergibt also die Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\tilde{f} {{=|}} f{{|}}_E |E|{{KRC/{{{K|K}}}|}} || |SZ=. }} Diese Abbildung kann man als die Komposition {{ Ma:abb |name= |E \subset {{KRC/{{{K|K}}}|}}^3|{{KRC/{{{K|K}}}|}} || |SZ= }} auffassen und diese ist nach {{ Faktlink{{{opt3|}}} |Präwort=der|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/{{{K|K}}}/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} differenzierbar. Wenn wir die Inklusion von {{math|term= E|SZ=}} in {{math|term= {{KRC/{{{K|K}}}|}}^3|SZ=}} mit {{math|term= N |SZ=}} bezeichnen, so ist das totale Differential der Komposition in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|E || || || |SZ= }} gemäß der Kettenregel gerade die Abbildung {{ Ma:abb/disp |name= {{op:Totales Differential|\tilde{f}|P}} {{=|}} {{op:Totales Differential|f|P}} \circ N |E|{{KRC/{{{K|K}}}|}} || |SZ=. }} Daher ergibt es hier Sinn vom totalen Differential zu sprechen. Es ergibt allerdings keinen Sinn von partiellen Ableitungen der Abbildung {{ Ma:abb |name=f {{|}}_E |E|{{KRC/{{{K|K}}}|}} || |SZ= }} zu sprechen, da es keine natürliche Basis auf {{math|term= E|SZ=}} gibt und daher auch keine natürlichen Koordinaten. Es ist leicht eine Basis von {{math|term= E|SZ=}} zu finden und damit Koordinaten, es gibt aber keine {{Anführung|beste Wahl|SZ=,}} und die partiellen Ableitungen sehen in jeder Basis verschieden aus. Eine Basis von {{math|term= E|SZ=}} ist beispielsweise durch {{ mathkor|term1= v_1=(0,5,2) |und|term2= v_2=(5,0,3) |SZ= }} gegeben, und eine weitere durch {{ mathkor|term1= w_1=(1,1,1) |und|term2= w_2=(2,-3,0) |SZ=. }} Mit solchen Basen erhalten wir Identifikationen {{ Ma:abb |name= |{{KRC/{{{K|K}}}|}}^2|E || |SZ= }} und somit numerische Beschreibungen der Abbildung {{ Ma:abb |name= |{{KRC/{{{K|K}}}|}}^2 \cong E|{{KRC/{{{K|K}}}|}} || |SZ=, }} womit wir die partiellen Ableitungen bezüglich der gewählten Basen berechnen können. In der ersten Basis ist die Identifikation gegeben durch die Abbildung {{ math/disp|term= (s,t) \longmapsto s v_1 + t v_2 = s(0,5,2) + t (5,0,3)=(5t,5s,2s + 3t) |SZ= }} und dieser Ausdruck wird durch {{math|term= f|SZ=}} abgebildet auf {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks/teile | 2(5t)(5s)^2+(5t)^2(2s+3t)^3+(2s+3t)^2 || 250ts^2+25 t^2(8s^3+36s^2t+ 54 st^2+ 27t^3) |3teil2= + 4 s^2+ 9t^2 + 12st || 250ts^2 + 200s^3t^2 +900s^2t^3+1350st^4 |5teil2= + 675 t^5+ 4s^2+9 t^2+ 12st || || |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen dieser Komposition {{ Zusatz/Klammer |text=nennen wir sie {{math|term= g|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} bezüglich dieser Basis sind gegeben durch {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | \partial g / \partial s ||500ts+ 600s^2 t^2+1800st^3 + 1350 t^4 + 8s + 12 t || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | \partial g / \partial t ||250s^2+ 400s^3t + 2700s^2 t^2+ 5400 s t^3+ 3375 t^4 + 18 t + 12s || || || |SZ=. }} In der zweiten Basis {{mathl|term= w_1=(1,1,1)|SZ=}} und {{mathl|term= w_2=(2,-3,0)|SZ=}} ist die Identifikation gegeben durch {{ math/disp|term= (r,u) \longmapsto r w_1 + u w_2 = r(1,1,1)+u(2,-3,0)=(r+2u,r-3u,r) |SZ= }} und dieser Ausdruck wird unter {{math|term= f|SZ=}} abgebildet auf {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks/teile |2(r+2u)(r-3u)^2+(r+2u)^2 r^3+ r^2 ||2 r^3 + 4 r^2u - 12 r^2u - 24 ru^2 |3teil1 = + 18r u^2+36u^3 + r^5+4r^4u+4r^3u^2+r^2 ||2r^3-8r^2u-6ru^2+36u^3+r^5+4r^4u |5teil1 = + 4r^3u^2+r^2 |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen der Komposition {{ Zusatz/Klammer |text=nennen wir sie {{math|term= h|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bezüglich dieser Basis sind {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | \partial h / \partial r || 6r^2 - 16 ru -6u^2 + 5 r^4 +16 r^3u + 12 r^2u^2 + 2r || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \partial h / \partial u || -8 r^2 - 12 ru + 108 u^2 + 4 r^4 + 8 r^3 u || || || |SZ=. }} Fazit: Koordinaten sind manchmal gut für Berechnungen, manchmal verdunklen sie aber auch den eigentlichen mathematischen Sachverhalt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} qaxnsdn8batrjcoqbttrc2z3bw8y6g5 0 34261 786312 759386 2022-08-22T11:04:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[0,1]|\R |t|f(t) |SZ=, }} mit {{ math/disp|term= f(t)= \begin{cases} 0 \text{ für } t=0, \\ {{op:sin| \frac{1}{t} |}} \text{ für } t \neq 0 \, .\end{cases} |SZ= }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Riemann-integrierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dass es aber keine {{ Definitionslink |Treppenfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= s|SZ=}} mit der Eigenschaft gibt, dass {{mathl|term= {{op:Betrag| s(t)-f(t) |}} \leq {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} für alle {{mathl|term= t \in [0,1]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ofcp4wzea7lm9h4jt8h4dtcrkk95t7f 0 34290 782902 700852 2022-08-22T01:59:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} durch vollständige Induktion, dass für jedes {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} die Zahl {{ math/disp|term= 6^{n+2} + 7^{2n+1} |SZ= }} ein Vielfaches von {{math|term= 43|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 22prmdt7x2jr8wbo8xg6j83t8rpe7f5 0 34299 780699 754817 2022-08-21T19:51:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{Definitionslink |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname=/Definition| |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass {{ Ma:Vergleichskette |1 |>|0 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i02pk5lkg1luityfpkgqjc01qrmzqd7 0 34304 784098 757745 2022-08-22T05:19:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme, für welche {{math|term= x \in {{CC}}|SZ=}} die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|x^2+x|-x|-x^3+2x^2+5x-1|x^2-x}} |SZ= }} {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2jdj9fg0yjlb701xr30xgv2c3hyjhfe 0 34309 781179 510213 2022-08-21T21:11:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrix. b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2|1|3|-4}} |SZ=. }} c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige {{math|term= 2 \times 2|SZ=-}}Matrix. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Cayley-Hamilton |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=2 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iiyeztmwfwnu9yf8ngm4stxurz7najm 0 34315 785044 721685 2022-08-22T07:39:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad {{math|term= \leq 4|SZ=}} mit der Basis {{ mathbed/disp|term= x^i ||bedterm1= 0 \leq i \leq 4 ||bedterm2= |SZ=. }} Erstelle für die Ableitungsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V |P|P' |SZ=, }} die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis. Bestimme{{n Sie}} den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6x18kkni7wfe6ligit5194uk88pgtcm 0 34317 782327 407059 2022-08-22T00:23:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_+|\R |x|f(x) {{=|}} 1 + {{op:ln|x|}} - \frac{1}{x} |SZ=. }} a) Zeige, dass {{math|term= f|SZ=}} eine stetige Bijektion zwischen {{ mathkor|term1= \R_+ |und|term2= \R |SZ= }} definiert. b) Bestimme das Urbild {{math|term= u|SZ=}} von {{math|term= 0|SZ=}} unter {{math|term= f|SZ=}} sowie {{math|term= f'(u)|SZ=}} und {{math|term= (f^{-1})'(0)|SZ=.}} Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion {{math|term= f^{-1}|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kurvendiskussion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=4 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kn2woz2tk5324boooj4uobl9yrvpy7w 0 34319 781409 755430 2022-08-21T21:50:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g |\R|\R || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |differenzierbare Funktionen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= a \in \R|SZ=.}} Es gelte {{ math/disp|term= f(a) \geq g(a) \text{ und } f'(x) \geq g'(x) \text { für alle } x \geq a |SZ=. }} Zeige, dass {{ math/disp|term= f(x) \geq g(x) \text { für alle } x \geq a \text{ gilt} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4eeop9y8p5lzi4mvyswepjh3atw82vo 0 34322 781405 755426 2022-08-21T21:49:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=.}} Definiere auf {{math|term= M|SZ=}} eine Relation durch {{ math/disp|term= f \sim g \text{ falls } f(0)=g(0),\, f'(0)=g'(0) \text{ und } f^{\prime \prime}(1) = g^{\prime \prime} (1) |SZ=. }} a) Zeige, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter. c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist. d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen auf Abbildungsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=2 |p3=1 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 944696zrushmxp02hpszfhdf61v8vt4 0 34325 784231 757868 2022-08-22T05:41:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Op:Folge||}} |SZ=}} eine Folge in einem {{ Definitionslink |metrischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= (M,d)|SZ=.}} Es sei {{math|term= H|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Häufungspunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Folge und {{ math/disp|term= A = \{x_n: \, n \in \N \} \cup H |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |abgeschlossene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gs8j0je54glllw1tbtdr9l17jtplyl2 0 34332 782241 746671 2022-08-22T00:09:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Flächeninhalt unterhalb{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Gemeint ist hier der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der {{math|term= x|SZ=-}}Achse| |ISZ=.|ESZ= }} des {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Sinusfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= \pi |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g4hlssupynnwqw773wenyep46w34wnf 0 34335 784303 757935 2022-08-22T05:52:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g |[a,b]|\R || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |stetige Funktionen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette | g(t) |\neq| 0 || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= t \in [a,b]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es dann ein {{mathl|term= s \in [a,b]|SZ=}} gibt mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|a|b|grand=f(t)g(t)|}} || f(s) {{op:Integral|a|b|grand=g(t)|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Mittelwertsatz der Integralrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ca9eabtl31eofusd0izi4gaz78776gp 0 34339 780338 408402 2022-08-21T18:51:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n\in \N_+|SZ=.}} {{Stammfunktion/Aufgabenform|x^n \cdot {{op:ln|x|}}| SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pu6nnz8y3i7efiv03p6zc2etsuldmmh 780356 780338 2022-08-21T18:54:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n\in \N_+|SZ=.}} {{Stammfunktion/Aufgabenform|x^n \cdot {{op:ln|x|}}| SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7m59fmz9fld6ba9toa793glp5ga7man 0 34341 786638 759654 2022-08-22T11:58:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reelles Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F|SZ=.}} Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine Stammfunktion von {{math|term= F|SZ=}} und es seien {{mathl|term= b,c \in \R|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} eine Stammfunktion der Funktion {{ math/disp|term= (bt+c) \cdot f(t) |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} inw6hxb0c405njglu2t7339ph95mwdv 0 34342 786637 759653 2022-08-22T11:58:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reelles Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F|SZ=.}} Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine Stammfunktion von {{math|term= F|SZ=}} und {{math|term= H|SZ=}} eine Stammfunktion von {{math|term= G|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= a,b,c \in \R|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} eine Stammfunktion der Funktion {{ math/disp|term= (at^2+bt+c) \cdot f(t) |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7scmw6zpgaiz9p5idcajyo3yfnb9w09 0 34347 781039 755103 2022-08-21T20:48:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= I=[a,b]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kompaktes| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=f |I|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Riemann-integrierbare| |Kontext=kompakt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{op:Betrag| {{op:Integral|a|b|f}} |t}} \leq {{op:Integral|a|b| grand= {{op:Betrag|f(t)|}}| |t}} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d6b7299fh2wrkwjvzlwfflp77m5yk6h 0 34348 783330 757023 2022-08-22T03:10:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Situation|I1==[a,b]|adj=monotone|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Riemann-integrierbar| |Kontext=kompakt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2=Theorie der monotonen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort=Unterteilung |Punkte=5 |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g88e2mybpu39ndbxsy7uvkvrsn1vy2r 0 34365 786535 759567 2022-08-22T11:41:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |t|f(t) |SZ=, }} mit {{ math/disp|term= f(t)= \begin{cases} 0 \text{ für } t=0, \\ {{op:sin| \frac{1}{t} |}} \text{ für } t \neq 0 \, .\end{cases} |SZ= }} Zeige{{n Sie}}, unter Bezug auf die Funktion {{mathl|term= g(x)=x^2 {{op:cos| \frac{1}{x}|}} |SZ=,}} dass {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fmq1sctcx5mkjkubp2ws56lp44399z4 0 34437 780337 766705 2022-08-21T18:51:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reelles Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=F |I|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:abb |name=f |I|\R || |SZ=. }} Es seien {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| I || || || |SZ=. }} Dann setzt man {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralstamm|a|b|F}} | {{defeq|}} | F(b) -F(a) || {{op:Integral|a|b|f}} || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stammfunktion |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3c39blf7pgdl8wynjbz6t3qxo3ms6s0 780355 780337 2022-08-21T18:54:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reelles Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=F |I|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:abb |name=f |I|\R || |SZ=. }} Es seien {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| I || || || |SZ=. }} Dann setzt man {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralstamm|a|b|F}} | {{defeq|}} | F(b) -F(a) || {{op:Integral|a|b|f}} || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stammfunktion |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k5zlh1kc9xpvlryfh3la03193qmm3kv 0 34439 779899 740369 2022-08-21T17:39:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |t|f(t) |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(t) | {{defeq|}} | \begin{cases} 0 \text{ für } t {{=|}} 0, \\ \frac{1}{t} {{op:sin| \frac{1}{t^2} |}} \text{ für } t \neq 0 \, .\end{cases} || || || || |SZ= }} Diese Funktion ist nicht {{ Definitionslink |Riemann-integrierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da sie weder nach oben noch nach unten {{ Definitionslink |beschränkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Es existieren also weder untere noch {{ Definitionslink |obere Treppenfunktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= f|SZ=.}} Trotzdem besitzt {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dazu betrachten wir die Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | H(t) | {{defeq|}}| \begin{cases} 0 \text{ für } t {{=|}} 0, \\ \frac{ t^2}{2} {{op:cos|\frac{1}{t^2}|}} \text{ für } t \neq 0 \, .\end{cases} || || || |SZ= }} Diese Funktion ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |t |\neq|0 || || || |SZ= }} ergibt sich die Ableitung {{ Ma:Vergleichskette/disp | H'(t) ||t {{op:cos|\frac{1}{t^2}|}} + \frac{1}{t} {{op:sin| \frac{1}{t^2}|}} || || || |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |t ||0 || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Differenzenquotient| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \frac{ \frac{h^2}{2} {{op:cos|\frac{1}{h^2} |}} }{h} || \frac{h}{2} {{op:cos|\frac{1}{h^2} |}} || || || |SZ=. }} Für {{mathl|term= h \mapsto 0|SZ=}} existiert der {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=abb R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und ist gleich {{math|term= 0|SZ=,}} so dass {{math|term= H|SZ=}} überall differenzierbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=aber nicht stetig differenzierbar| |ISZ=|ESZ=. }} Der erste Summand in {{math|term= H'|SZ=}} ist {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und besitzt daher nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stetige Funktion/Stammfunktion existiert/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Stammfunktion {{math|term= G|SZ=.}} Daher ist {{mathl|term= H - G|SZ=}} eine Stammfunktion von {{math|term= f|SZ=.}} Dies ergibt sich für {{ Ma:Vergleichskette |t |\neq|0 || || || |SZ= }} aus der expliziten Ableitung und für {{ Ma:Vergleichskette |t ||0 || || || |SZ= }} aus {{ Ma:Vergleichskette/disp |H'(0)-G'(0) ||0-0 ||0 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1hrdlm5cd2gh9eq020xca9ol5sm10x6 0 34487 780435 672360 2022-08-21T19:07:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |\N|\Z |n|\begin{cases} -\frac{n}{2}, \text{ falls } n \text{ gerade} \, ,\\ \frac{n+1}{2}, \text{ falls } n \text{ ungerade} \, . \end{cases} |SZ= }} Ist {{math|term= f|SZ=}} injektiv, surjektiv bzw. bijektiv? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5lxkt5c317yhlq09h4xlrymw9jvvdsy 0 34489 780425 489835 2022-08-21T19:06:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Abbildung {{ Ma:abbele |name=f |\N|\N |n|{{op:Betrag|n-2}} |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Ist {{math|term= f|SZ=}} injektiv, surjektiv bzw. bijektiv? |Sei {{mathl|term= A:=\{1,2,3\}|SZ=.}} Berechne {{mathl|term= f(A)|SZ=}} und {{mathl|term= f^{-1}(A)|SZ=.}} |Berechne {{mathl|term= f(f^{-1}(A))|SZ=}} und {{mathl|term= f^{-1}(f(A))|SZ=.}} |Führe die Rechnungen aus 1. und 2. für die Menge {{mathl|term= B:=\{2,3,4\}|SZ=}} aus. Was fällt auf? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2rui2sr85d64mo9omnxfwmaao9v3c4z 0 34495 786189 759335 2022-08-22T10:44:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die zweielementige Menge {{mathl|term= M=\{a,b\}|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} alle {{ Definitionslink |Prämath= |Relationen| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} |Welche dieser Relationen sind {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Bei welchen Relationen handelt es sich um {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} agytmajk4s6adestp320co18xxsat60 0 34503 786191 634825 2022-08-22T10:44:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=}} ein Intervall und betrachte die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | C^1(I,\R) | {{defeq|}} |\{f: I \rightarrow \R: f \text{ ist differenzierbar} \} || || || |SZ=. }} Für {{mathl|term= f,g \in C^1(I,\R)|SZ=}} definieren wir {{ math/disp|term= f \sim g, \text{ falls es ein } c \in \R \text{ gibt mit } f(x)=g(x) + c \text { für alle } x \in I |SZ=. }} Liegt eine Äquivalenzrelation vor? Wenn ja, beschreibe die Äquivalenzklassen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen auf Abbildungsmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} no9wvrdl1kmdgtxtcdzxoe5bpi693dy 0 34504 786185 759333 2022-08-22T10:43:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{mathl|term= (R_i)_{i \in I}|SZ=}} eine Familie von {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch den Durchschnitt {{mathl|term= R:=\bigcap_{i \in I} R_i|SZ=}} wieder eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= M|SZ=}} definiert ist. Gilt dies auch für {{mathl|term= \bigcup_{i \in I} R_i|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7j5xciofg7rq82w8t9b0mrrkscophgr 0 34507 786190 759337 2022-08-22T10:44:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{mathl|term= P \subseteq {{op:Potenzmenge|M|}} \, |SZ=.}} Dann heißt {{math|term= P|SZ=}} eine {{Stichwort/Betonung|Partition|SZ=}} von {{math|term= M|SZ=,}} falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3 |Für alle {{mathl|term= A \in P|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette |A |\neq| \emptyset || || || |SZ=. }} |Für {{mathl|term= A,B \in P|SZ=,}} {{mathl|term= A \neq B|SZ=,}} gilt {{ Ma:Vergleichskette | A \cap B || \emptyset || || || |SZ=. }} |Die Elemente von {{math|term= P|SZ=}} bilden eine Überdeckung von {{math|term= M|SZ=,}} d.h. jedes Element von {{math|term= M|SZ=}} liegt in mindestens einem Element von {{math|term= P|SZ=.}} }} Beweise{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M/\sim \, = \{[x] : x \in M \}|SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sim|SZ=}} eine Partition der Menge {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der Partitionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} neoz4nqcu8wfrvd2wrgipfss1mcqa3d 0 34509 780424 598560 2022-08-21T19:06:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{ Ma:abb |name=f |L|M || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=g |M|N || |SZ= }} Abbildungen. Zeige die folgenden beiden Aussagen: {{ Aufzählung2 |Wenn {{math|term= f|SZ=}} surjektiv ist und die Komposition {{mathl|term= g \circ f |SZ=}} injektiv, dann ist {{math|term= g|SZ=}} injektiv. |Wenn die Komposition {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} surjektiv ist und {{math|term= g|SZ=}} injektiv, dann ist {{math|term= f|SZ=}} surjektiv. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2=Theorie der injektiven Abbildungen |Kategorie3=Theorie der surjektiven Abbildungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1dbilqur6pptxl7m64grwz16mudi7bn 0 34514 779901 752058 2022-08-21T17:39:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir berechnen eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:arctan|x|}} |SZ=}} unter Verwendung von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Umkehrfunktion/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Eine Stammfunktion des Tangens ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|||grand= {{op:tan|t|}} |t}} || - {{op:ln| ({{op:cos|x|}}) |}} || || || |SZ=. }} Also ist {{ math/disp|term= x \cdot {{op:arctan|x|}} + {{op:ln| ({{op:cos| ({{op:arctan|x|}})|}}) |}} |SZ= }} eine Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:arctan|x|}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3208svfznvnb7lbgt89j67jm8a5c7y6 0 34518 779902 752059 2022-08-21T17:39:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |natürlichen Logarithmus| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:ln|x|}} |SZ=}} mittels {{ Faktlink |partieller Integration|Faktseitenname= Partielle Integration/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} wobei wir {{ Ma:Vergleichskette | {{op:ln|x|}} || 1 \cdot {{op:ln|x|}} || || || |SZ= }} schreiben und die konstante Funktion {{math|term= 1|SZ=}} integrieren und den Logarithmus ableiten. Damit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|a|b|grand= {{op:ln|x|}}||x}} || {{op:Integralstamm|a|b|(x \cdot {{op:ln|x|}})|x}} - {{op:Integral|a|b|grand=x \cdot {{op:Bruch|1|x|}} ||x}} || {{op:Integralstamm|a|b|(x \cdot {{op:ln|x|}})|x}} - {{op:Integral|a|b|grand=1 ||x}} || {{op:Integralstamm|a|b|(x \cdot {{op:ln|x|}})|x}} - {{op:Integralstamm|a|b|x ||x}} || |SZ=. }} Eine Stammfunktion ist also {{mathl|term= x \cdot {{op:ln|x|}} - x |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2=Theorie des natürlichen Logarithmus |Kategorie3= |Objektkategorie=Natürlicher Logarithmus (reell) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7uw9q0w1p1ns1fhnve0kg1sa99lewmo 0 34522 786188 508753 2022-08-22T10:44:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{mathl|term= P \subseteq {{op:Potenzmenge|M|}} |SZ=}} eine Partition. Zeige, dass {{math|term= P|SZ=}} durch {{ math/disp|term= x \sim y, \text{ falls es ein } A \in P \text{ gibt mit } x \in A \text{ und } y \in A |SZ=, }} eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= M|SZ=}} induziert. Berechne diese Relation für die Partition {{mathl|term= \{ \{1\},\{2,3,4\},\{5,6\}, \{7\} \}|SZ=}} der Menge {{mathl|term= \{1,2,3,4,5,6,7 \}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s4rcbfel9dmk0168p5wyaoxsyfomdul 0 34544 784442 758042 2022-08-22T06:11:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |streng wachsende| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |[0,1]|\R || |SZ=, }} derart, dass es keine {{ Zusatz/Klammer |text=endliche| |ISZ=|ESZ= }} Zerlegung {{mathl|term= 0=a_0 <a_1 < \cdots < a_{n-1} < a_n=1|SZ=}} des Intervalls {{mathl|term= [0,1]|SZ=}} gibt, so dass die Einschränkungen {{mathl|term= f {{|}}_{]a_{i-1}, a_i]} |SZ=}} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2tra5e23s5upd0tgjf2u4aw2fcwz4vv 0 34547 786020 759161 2022-08-22T10:16:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |stetige| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |streng wachsende| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |[0,1]|\R || |SZ= }} derart, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft gibt, dass das {{ Definitionslink |Treppenintegral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur maximalen {{ Definitionslink |unteren Treppenfunktion| |Kontext=|msw=untere Treppenfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur äquidistanten Unterteilung in {{math|term= n|SZ=}} Teilintervalle größer ist als dasjenige zu {{mathl|term= n+1|SZ=}} Teilintervallen {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. mehr Teilungspunkte führen zu einer schlechteren Approximation| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rhas73j27evvb6zknyfi74vjbiz0c9f 0 34548 783466 757143 2022-08-22T03:33:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \sum_{n=1}^{\infty} a_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= a_n \in [0,1]|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und sei {{ Ma:abb |name=f |[0,1]|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Riemann-integrierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann die Reihe {{math/disp|term=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{a_n} f(x) dx|SZ=}} {{ Definitionslink |absolut konvergent| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor=Moyano |Bearbeitungsstand= }} m0r3e10gfhom38wt48x1s8m45rhvf6r 0 34549 786316 759390 2022-08-22T11:05:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Riemann-integrierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= [a,b]|SZ=}} mit {{math|term= f(x) \ge 0|SZ=}} für alle {{math|term= x \in [a,b]|SZ=.}} Man zeige: Ist {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem Punkt {{math|term= c \in [a,b]|SZ=}} mit {{math|term= f(c)>0|SZ=,}} dann gilt {{ math/disp|term= \int_{a}^{b} f(x)dx >0 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor=Moyano |Bearbeitungsstand= }} 4hrgmzdntk0uaj3ldj9z7fcjvfmjely 0 34566 779905 763822 2022-08-21T17:40:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \sqrt{x^2-1}|SZ=}} unter Verwendung der Hyperbelfunktionen {{ mathkor|term1= {{op:sinh|t|}} |und|term2= {{op:cosh|t|}} |SZ=, }} für die die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:cosh|t|pot=2}} - {{op:sinh|t|pot=2}} || 1 || || || |SZ= }} gilt. Die {{ Faktlink |Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ math/disp|term= x= {{op:cosh|t|}} \text{ mit } dx = {{op:sinh|t|}} dt |SZ= }} liefert{{{zusatz1|}}} {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Integral|a|b|grand= \sqrt{x^2-1}||x}} || {{op:Integral| {{op:arcosh|a||}} |{{op:arcosh|b||}}|grand= \sqrt{ {{op:cosh|t|pot=2}}-1 } \cdot {{op:sinh|t|}} |t}} || {{op:Integral| {{op:arcosh|a||}} |{{op:arcosh|b||}}|grand= {{op:sinh|t|pot=2}} |t}} || || |SZ=. }} Eine Stammfunktion des Sinus hyperbolicus im Quadrat ergibt sich aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:sinh|t|pot=2}} ||{{makl|\frac{1}{2} {{makl| e^t - e^{-t} |}} |}}^2 || {{op:Bruch|1|4}} {{makl| e^{2t} + e^{-2t} -2 |}} || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|||grand = {{op:sinh|u|pot=2}}||u }} || {{op:Bruch|1|4}} {{makl| {{op:Bruch|1|2}} e^{2u} - {{op:Bruch|1|2}} e^{-2u} - 2u|}} ||{{op:Bruch|1|4}} {{op:sinh|2 u|}} - {{op:Bruch|1|2}} u || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Integral||| grand=\sqrt{x^2-1} ||x}} || {{op:Bruch|1|4}} {{op:sinh|(2 {{op:arcosh|x|}}) |}} - {{op:Bruch|1|2}} {{op:arcosh|x|}} || || || |SZ=. }} Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Additionstheorems|Faktseitenname= Hyperbelfunktion/Additionstheoreme/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für Sinus hyperbolicus ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:sinh|2u}} || 2 {{op:sinh|u}} {{op:cosh|u}} || || || |SZ= }} und daher kann man diese Stammfunktion auch als {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:sinh| {{makl| {{op:arcosh|x|}} |}} }} {{op:cosh| {{makl| {{op:arcosh|x|}} |}} }} - {{op:arcosh|x|}} |}} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \sqrt{ {{op:cosh| {{makl| {{op:arcosh|x|}} |}}^2 -1 } \cdot x - {{op:arcosh|x|}} |}} |}} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \sqrt{ x^2 -1 } \cdot x - {{op:arcosh|x|}} |}} || || |SZ= }} schreiben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2=Theorie der Hyperbelfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a793i63bjvwjcxxonexk8y43qni3zj6 0 34586 782748 215272 2022-08-22T01:33:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man schreibe|Schreiben Sie}} eine Computeranimation, die den Beweis des {{ Faktlink |Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung|Faktseitenname= Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} illustriert {{ Zusatz/Klammer |text=mit flächengleichen Rechtecken zu den bestimmten Integralen zur Intervalllänge {{math|term= h|SZ=.}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} duy4fm3cltwsb13acpxacna2poz5p5x 0 34613 782932 756676 2022-08-22T02:04:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=g |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} die Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) ||\int_{0}^{x} \sin (t) g(x-t) dt || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| \R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f |SZ=}} eine {{ Definitionslink |zweite Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, und dass die folgende Beziehung gilt: {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^{\prime \prime} + f || g || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor=Moyano |Bearbeitungsstand= }} 21m7f0ihxtoet1z2rugtzxqgz1v1lwl 0 34619 779906 763823 2022-08-21T17:40:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) || {{op:Bruch|x^2|(x {{op:cos|x|}} - {{op:sin|x|}} )^2}} || || || |SZ= }} bestimmen. Als Vorüberlegung berechnen wir die Ableitung von {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1| x {{op:cos|x|}} - {{op:sin|x|}} }} |SZ=. }} Diese ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | - {{op:Bruch| {{op:cos|x|}} -x {{op:sin|x|}} - {{op:cos|x|}} | (x {{op:cos|x|}} - {{op:sin|x|}} )^2 }} || {{op:Bruch| x {{op:sin|x|}} | (x {{op:cos|x|}} - {{op:sin|x|}} )^2 }} || || || |SZ=. }} Wir schreiben daher {{math|term= f|SZ=}} als ein Produkt {{ Ma:Vergleichskette |f(x) || {{op:Bruch| x {{op:sin|x|}} | (x {{op:cos|x|}} - {{op:sin|x|}} )^2 }} \cdot {{op:Bruch|x| {{op:sin|x|}} }} || || || |SZ= }} und wenden darauf {{ Faktlink |partielle Integration|Faktseitenname= Partielle Integration/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an, wobei wir den ersten Faktor integrieren und den zweiten Faktor ableiten. Die Ableitung des zweiten Faktors ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl|{{op:Bruch|x| {{op:sin|x|}} }}|}}' || {{op:Bruch| {{op:sin|x|}} - x {{op:cos|x|}} | {{op:sin|x|pot=2}} }} || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Integral|||f|x}} || {{op:Bruch|1| x {{op:cos|x|}} - {{op:sin|x|}} }} \cdot {{op:Bruch|x| {{op:sin|x|}} }} {{bruchhilfealign|}} - {{op:Integral|||grand= {{op:Bruch|1| x {{op:cos|x|}} - {{op:sin|x|}} }} \cdot {{op:Bruch| {{op:sin|x|}} - x {{op:cos|x|}} | {{op:sin|x|pot=2}} }} ||x}} || {{op:Bruch|1| x {{op:cos|x|}} - {{op:sin|x|}} }} \cdot {{op:Bruch|x| {{op:sin|x|}} }} + {{op:Integral|||grand= {{op:Bruch|1| {{op:sin|x|pot=2}} }}||x}} || {{op:Bruch|1| x {{op:cos|x|}} - {{op:sin|x|}} }} \cdot {{op:Bruch|x| {{op:sin|x|}} }} - {{op:cot|x| }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7qa0f8qaiatzy1q4gpq5h92gara64dk 0 34646 782221 646335 2022-08-22T00:05:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde eine allgemeine Formel für die folgenden beiden Summen in Abhängigkeit von {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |{{mathl|term= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}|SZ=.}} | {{mathl|term= \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} k^2|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summenformeln für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2gljgel7p0dw4lyqqptyjatfkdwyl0f 0 34647 782070 565394 2022-08-21T23:40:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Städte {{mathl|term= S_1, \ldots, S_n|SZ=}} seien untereinander durch Straßen verbunden und zwischen zwei Städten gibt es immer genau eine Straße. Wegen Bauarbeiten sind zur Zeit alle Straßen nur in eine Richtung befahrbar. Zeige{{n Sie}}, dass es trotzdem mindestens eine Stadt gibt, von der aus alle anderen Städte erreichbar sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b6wu6ead8m0qevo3odowmapi5s9x9au 0 34650 780800 646322 2022-08-21T20:08:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es genau {{math|term= n!|SZ=}} bijektive Selbstabbildungen der Menge {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} n \}|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von bijektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2=Vollständige Induktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k2pu0tat7gyxihndwhgmc4a560vbheo 0 34651 786509 281117 2022-08-22T11:37:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\N|\N || |SZ= }} eine Funktion mit der Eigenschaft, dass {{mathl|term= f(f(n))<f(n+1)|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} gilt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} die Identität ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o685mtekwh6d0f6xpelu8si2oz6bj46 0 34653 781937 755832 2022-08-21T23:18:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es zu einer natürlichen Zahl {{math|term= m|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= a_0 {{kommadots|}} a_m|SZ=}} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 1}^n k^m ||\frac{1}{m+1} n^{m+1} + a_m n^m {{plusdots|}} a_1 n + a_0 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n \in \N|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jfj5xs5e8avs8zqo2d1qhir50pdgxq6 0 34668 778504 747907 2022-08-21T12:12:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Ableiten ergibt {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{makl| {{op:Bruch|1|\sqrt{- \triangle} }} {{op:arctan|{{makl| {{op:Bruch|1|\sqrt{- \triangle} }} {{makl| x + {{op:Bruch|b|2}}|}} |}} |}}|}}' || {{op:Bruch|1|\sqrt{- \triangle} }} \cdot {{op:Bruch|1|\sqrt{- \triangle} }} \cdot {{op:Bruch|1|1 + {{op:Bruch|1| - \triangle }} {{makl| x + {{op:Bruch|b|2}} |}}^2 }} || {{op:Bruch|1| - \triangle + {{makl| x + {{op:Bruch|b|2}} |}}^2 }} || {{op:Bruch|1| c - {{op:Bruch|b^2|4}} + x^2 +bx + {{op:Bruch|b^2|4}} }} ||{{op:Bruch|1| x^2 +bx + c }} |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zum Beweis der Rekursionsformel setzen wir {{ Ma:Vergleichskette | q(x) |{{defeq|}}| x^2+bx+c || || || |SZ= }} und leiten ab. {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{makl| (2x+b)q^{-n} |}}' || 2q^{-n} -n (2x+b) q^{-n-1} (2x+b) || 2q^{-n} -n q^{-n-1} (2x+b)^2 || 2q^{-n} -n q^{-n-1} {{makl| 4x^2+4xb+b^2 |}} || 2q^{-n} -n q^{-n-1} {{makl| 4q-4c+b^2 |}} || 2q^{-n} - 4n q^{-n} + n {{makl| 4c-b^2 |}} q^{-n-1} || (2-4n) q^{-n} + n {{makl| 4c-b^2 |}} q^{-n-1} |SZ=. }} Division durch {{mathl|term= n {{makl| 4c-b^2 |}}|SZ=}} und Umstellen ergibt {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks |q^{-n-1} || {{op:Bruch|1|n {{makl| 4c-b^2 |}} }} {{makl| (2x+b) q^{-n} |}}' + {{op:Bruch|4n-2|n {{makl| 4c-b^2 |}} }} q^{-n} || || || |SZ=. }} Dies ist die Behauptung. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gy62nlvlviccba4isubpdm7r0tam76l 0 34672 783954 372122 2022-08-22T04:55:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man betrachte die Funktion {{math|term= f:[0,1] \to \mathbb{R}|SZ=}} gegeben durch: {{ math/disp|term= f(x)=\begin{cases} -x \log (x) & \text{falls } x \ne 0,\\ 0 & \text{falls } x = 0. \end{cases} |SZ= }} i) Man zeige, dass {{math|term= f|SZ=}} stetig in {{math|term= [0,1]|SZ=}} ist, und dass {{math|term= 0 \le f(x) \le \frac{1}{e}|SZ=}} für alle {{math|term= x \in [0,1]|SZ=}}. ii) Man zeige, dass die aus Funktionen bestehende Folge {{ math/disp|term= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x \log (x))^n}{n !} |SZ= }} gleichmäßig konvergiert im Intervall {{math|term= [0,1]|SZ=}}. (Für {{math|term= n=0|SZ=}} versteht man {{math|term= (f(x))^ n \equiv 0|SZ=}} ) . iii) Beweise{{n Sie}}: {{ math/disp|term= \int_0^1 (-x)^m \log (x)^n dx = \frac{(-1)^{n+m} n!}{(m+1)^{n+1} } |SZ= }} für alle {{math|term= m,n \in \mathbb{N}|SZ=}}. iv) Summieren Sie die Reihe in ii) und schließen Sie {{ math/disp|term= \int_{0}^{1} x^{-x} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{n+1} } |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fiiobn6otih9kdsqkdqg8lphnei5ogh 0 34673 782647 756425 2022-08-22T01:16:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man betrachte die Funktion {{ Ma:abb/disp |name=f |[0,1]|\R || |SZ=, }} die durch {{ math/disp|term= f(x)=\begin{cases} -x \ln (x) & \text{falls } x \ne 0,\\ 0 & \text{falls } x = 0. \end{cases} |SZ= }} gegeben ist. a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass {{math|term= 0 \le f(x) \le \frac{1}{e}|SZ=}} für alle {{math|term= x \in [0,1]|SZ=}} gilt. b) Man zeige, dass die Funktionenfolge {{ math/disp|term= g_k(x) = \sum_{n=0}^{k} \frac{(-x \ln (x))^n}{n !} |SZ= }} auf {{math|term= [0,1]|SZ=}} {{ Definitionslink |gleichmäßig konvergiert| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} c) Beweise{{n Sie}} {{ math/disp|term= \int_0^1 (-x)^m ( {{op:ln|x|}})^n dx = \frac{(-1)^{n+m} n!}{(m+1)^{n+1} } |SZ= }} für alle {{math|term= m \geq n |SZ=.}} d) Summiere{{n Sie}} die Reihe in b) und {{ManSie|folgere|folgern Sie}} {{ math/disp|term= \int_{0}^{1} x^{-x} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 }{(n+1)^{n+1} } |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integrale von Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 37h5slacg7iqkr0r583wttevpfcmenf 0 34678 782933 756677 2022-08-22T02:04:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Funktion.Flaechenvariation|png| 250px {{!}} right {{!}} |Autor=M. Gausmann |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |[0,1]|\R_+ || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= f'(x)>0|SZ=}} für alle {{mathl|term= x>0|SZ=.}} Für welche Punkte {{mathl|term= t \in [0,1]|SZ=}} besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein {{ Definitionslink |lokales Extremum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvpookhp9fgrquo8gyoi13ydwojg16y 0 34686 786636 759649 2022-08-22T11:58:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1| {{op:sinh|t|}} }} |SZ={{{SZ|}}} }} für {{mathl|term= t>0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9t1m3x0c8rk9wq6c11hns7kbn0agb6y 0 34700 786634 759646 2022-08-22T11:58:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term=\frac{1}{9a^x+4a^{-x} } |SZ= }} mit {{math|term= a>1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} os94v94y3r149li7y6f14btfj1dxvrf 0 34706 785868 759031 2022-08-22T09:51:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Schreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Bruch|2x^3-4x^2+5x-1|4x+3}} |SZ= }} in der neuen Variablen {{mathl|term= u=4x+3|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über die reelle {{ Definitionslink |Partialbruchzerlegung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und über die {{ Faktlink |Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{mathl|term= u=4x+3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen rationaler Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e6drw9f56aq6197vapvhjiyh5eu3pfe 0 34710 786032 759179 2022-08-22T10:18:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Koeffizienten in der {{ Definitionslink |Partialbruchzerlegung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Reelle Partialbruchzerlegung/x^3-x+5 durch x^2(x^2+1)/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch Einsetzen von einigen Zahlen für {{math|term= X|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Partialbruchzerlegung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1h5kj7raf2cdvwg2xobomo4grrwgavt 0 34717 783494 509284 2022-08-22T03:38:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in trigonometrische Funktionen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} verwendeten Substitutionen {{ mathkor|term1= x= {{op:cos|t|}} = {{op:Bruch|1-s^2|1+s^2}} |und|term2= y= {{op:sin|t|}} = {{op:Bruch|2s|1+s^2}} |SZ= }} die Kreisgleichung {{mathl|term= x^2+y^2=1|SZ=}} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen in trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b3mdudqzqcz10xtgg4q0wvrayuh8d84 0 34740 778508 748010 2022-08-21T12:13:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Durch eine {{ Faktlink |Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Form {{ mathkor|term1= u= \sqrt{a} x |bzw.|term2= u= \sqrt{-a} x |SZ= }} vereinfacht sich die Quadratwurzel zu {{ mathkor|term1= \sqrt{u^2+\tilde{b} u+ \tilde{c} } |bzw. zu|term2= \sqrt{-u^2+ \tilde{b} u+\tilde{c} } |SZ=. }} Quadratisches Ergänzen führt zu {{ mathkor|term1= \sqrt{v^2+ \tilde{e} } |bzw.|term2= \sqrt{- v^2 + \tilde{e} } |SZ=. }} Durch eine weitere Substitution der Form {{ Ma:Vergleichskette | w || {{op:Bruch|v|\sqrt{ {{op:Betrag|\tilde{e} |}} } }} || || || |SZ= }} erhält man {{ mathkor|term1= \sqrt{ \tilde{e} } \sqrt{ w^2 +1 } |oder|term2= \sqrt{ - \tilde{e} } \sqrt{ w^2 - 1 } |SZ= }} oder aber{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Der Fall {{mathlk|term= \sqrt{ - w^2 - 1 } }} ist nicht möglich, da dann die ursprüngliche Funktion für keine reelle Zahl definiert wäre| |ISZ=.|ESZ= }} {{mathl|term= \sqrt{ \tilde{e} } \sqrt{ - w^2 +1 } |SZ=.}} Dies sind alles affin-lineare Substitutionen. Die Ergebnisse unter der Gesamtsubstitution sind von der angegebenen Art. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Wenn es sich um ein Integral zu einer rationalen Funktion der Form {{ math/disp|term= R {{makl| t, \sqrt{1-t^2} |}} |SZ= }} handelt, so führt {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:sin|s|}} || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sqrt{1-t^2} || \sqrt{1- {{op:sin|s|pot=2}} } || \sqrt{ {{op:cos|s|pot=2}} } || {{op:cos|s|}} || |SZ= }} und zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | dt || {{makl| {{op:sin|s|}} |}}' ds || {{op:cos|s|}} ds || || |SZ=, }} so dass sich eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen {{ mathkor|term1= {{op:sin|s|}} |und|term2= {{op:cos|s|}} |SZ= }} ergibt. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Bei einem Integral zu einer rationalen Funktion der Form {{ math/disp|term= R {{makl| t, \sqrt{t^2-1} |}} |SZ= }} führt {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:cosh|s|}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=unter Verwendung von {{ Ma:Vergleichskette/k | {{op:cosh|s|pot=2}} - {{op:sinh|s|pot=2}} || 1 || || || |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Hyperbelfunktion/C/Elementare Eigenschaften/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sqrt{t^2-1} || {{op:sinh|s|}} || || || |SZ= }} und zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | dt || ({{op:cosh|s|}})' ds || {{op:sinh|s|}} ds || || |SZ=, }} so dass sich eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen {{ mathkor|term1= {{op:sinh|s|}} |und|term2= {{op:cosh|s|}} |SZ= }} ergibt. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Bei einem Integral zu einer rationalen Funktion der Form {{ math/disp|term= R {{makl| t, \sqrt{t^2+1} |}} |SZ= }} führt {{ Ma:Vergleichskette | t || {{op:sinh|s|}} || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sqrt{t^2+1} || {{op:cosh|s|}} || || || |SZ= }} und zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | dt || ({{op:sinh|s|}})' ds || {{op:cosh|s|}} ds || || |SZ=, }} so dass sich wieder eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen {{ mathkor|term1= {{op:sinh|s|}} |und|term2= {{op:cosh|s|}} |SZ= }} ergibt. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a9eyexdsqmxc6tr1po6sct0rwf5oz92 0 34745 778507 748051 2022-08-21T12:13:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir können {{ Ma:Vergleichskette | sa-rb |\neq| 0 || || || |SZ= }} annehmen, da sonst Zähler und Nenner im Wurzelausdruck linear abhängig sind und man teilen könnte. Bei der angegebenen Substitution ist {{ Ma:Vergleichskette/align | \sqrt[n]{ {{op:Bruch| ax+b | rx+s }} } || \sqrt[n]{ {{op:Bruch| a {{op:Bruch| su^n-b | a-ru^n }} +b| r {{op:Bruch| su^n-b | a-ru^n }} +s}} } || \sqrt[n]{ {{op:Bruch| a (su^n-b) + b (a-ru^n) |r (su^n-b) +s( a-ru^n) }} } || \sqrt[n]{ {{op:Bruch| a su^n-bru^n | -rb + s a }} } || u |SZ=. }} Da die {{ Definitionslink |Ableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der rationalen Funktion {{ Ma:Vergleichskette |x ||{{op:Bruch|su^n-b|a-ru^n}} || || || |SZ= }} nach {{math|term= u |SZ=}} wieder eine rationale Funktion in {{math|term= u |SZ=}} ist, ist das Gesamtergebnis nach dieser Substitution eine rationale Funktion in {{math|term= u |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3fnxx55dq2p0rd58xqofu8hoze15xys 0 34751 779904 763820 2022-08-21T17:40:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen für die Funktion {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|t^2 \sqrt{1-t^2}^3}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bestimmen. Mit der in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen {{ Faktlink |Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ mathkor/disp|term1= t = {{op:sin|s|}} |und|term2= dt= {{op:cos|s|}} ds |SZ= }} werden wir auf die Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1| {{op:sin|s|pot=2}} \cdot {{op:cos|s|pot=3}} }} \cdot {{op:cos|s|}} || {{op:Bruch|1| {{op:sin|s|pot=2}} \cdot {{op:cos|s|pot=2}} }} || || || |SZ= }} geführt. Mit der in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in trigonometrische Funktionen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen Substitution {{ mathlist4/disp|term1= s =2 {{op:arctan|u|}} ||term2= ds = {{op:Bruch|2|1+u^2}} du ||term3= {{op:sin|s|}} = {{op:Bruch|2u|1+u^2}} |und|term4= {{op:cos|s|}} = {{op:Bruch|1-u^2|1+u^2}} |SZ= }} werden wir auf die {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Bruch| {{makl| 1+u^2 |}}^2|4u^2}} \cdot {{op:Bruch| {{makl| 1+u^2 |}}^2| {{makl| 1-u^2 |}}^2}} \cdot {{op:Bruch|2|1+u^2}} || {{op:Bruch|{{makl| 1+u^2 |}}^3|2u^2 {{makl| 1-u |}}^2 {{makl| 1+u |}}^2}} || {{op:Bruch|u^6+3u^4+3u^2+1|2u^6-4u^4+2u^2}} || || |SZ= }} geführt. Hierfür müssen wir die {{ Definitionslink |Partialbruchzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} finden. Die {{ Faktlink |Präwort=|Division mit Rest|Faktseitenname= Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt {{ Ma:Vergleichskette/disp | u^6+3u^4+3u^2+1 || {{makl| 2u^6-4u^4+2u^2 |}} {{op:Bruch|1|2}} + 5u^4+2u^2+1 || || || |SZ=, }} so dass es also um die rationale Funktion {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|5u^4+2u^2+1|2u^6-4u^4+2u^2 }} |SZ= }} geht. Diese Funktion ist eine rationale Funktion in {{mathl|term= v=u^2|SZ=,}} so dass wir zuerst die Partialbruchzerlegung von {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Bruch|5|2}} v^2 +v+ {{op:Bruch|1|2}} |v^3-2v^2+v }} || {{op:Bruch| {{op:Bruch|5|2}} v^2 +v+ {{op:Bruch|1|2}} |v (v-1)^2 }} || || || |SZ= }} bestimmen. Der Ansatz {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Bruch|5|2}} v^2 +v+ {{op:Bruch|1|2}} |v (v-1)^2 }} || {{op:Bruch|a|v}} + {{op:Bruch|b|v-1}}+ {{op:Bruch|c|(v-1)^2}} || || || |SZ= }} führt zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|5|2}} v^2 +v+ {{op:Bruch|1|2}} || a (v-1)^2 +b v(v-1) + c v || || || |SZ=. }} Einsetzen von {{ Ma:Vergleichskette |v ||1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |v ||1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |v ||2 || || || |SZ= }} führt zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|2}} || a || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | 4 ||c || || || |SZ=, }} und {{ math/disp|term= {{op:Bruch|25|2}} = a+ 2b +2c = {{op:Bruch|1|2}} +2b + 8 ,\, \text{ also } b =2 |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Bruch|5|2}} v^2 +v+ {{op:Bruch|1|2}} |v (v-1)^2 }} || {{op:Bruch| {{op:Bruch|1|2}} |v}} + {{op:Bruch|2|v-1}}+ {{op:Bruch|4|(v-1)^2}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Bruch|5|2}} u^4 +u^2 + {{op:Bruch|1|2}} |u^2 (u^2-1)^2 }} || {{op:Bruch| {{op:Bruch|1|2}} |u^2}} + {{op:Bruch|2|u^2-1}}+ {{op:Bruch|4|(u^2-1)^2}} || || || |SZ=. }} Mit den Identitäten {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|2|u^2-1}} || {{op:Bruch|1|u-1}} - {{op:Bruch|1|u+1}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Bruch|4| {{makl| u^2-1 |}}^2}} || {{makl| {{op:Bruch|1|u-1}} - {{op:Bruch|1|u+1}} |}}^2 || {{op:Bruch|1| {{makl| u-1 |}}^2}} + {{op:Bruch|1| {{makl| u+1 |}}^2}} - {{op:Bruch|2|(u-1)(u+1)}} || {{op:Bruch|1| {{makl| u-1 |}}^2}} + {{op:Bruch|1| {{makl| u+1 |}}^2}} - {{op:Bruch|1|u-1}} + {{op:Bruch|1|u+1}} || |SZ= }} ergibt sich schließlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Bruch|5|2}} u^4 +u^2 + {{op:Bruch|1|2}} |u^2 {{makl| u^2-1 |}}^2 }} || {{op:Bruch| {{op:Bruch|1|2}} |u^2}} + {{op:Bruch|1|(u-1)^2}}+ {{op:Bruch|1|(u+1)^2}} || || || |SZ=. }} Die Stammfunktion von {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|5u^4+2u^2+1|2u^6-4u^4+2u^2 }} |SZ= }} ist daher {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2}} u - {{op:Bruch| 1 |2 u}} - {{op:Bruch|1|u-1}} - {{op:Bruch|1|u+1}} |SZ=. }} Daher ist {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2}} {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch|s|2}} |}} |}}-{{op:Bruch|1|2}} {{op:Bruch| 1 | {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch|s|2}} |}} |}} }} - {{op:Bruch|1| {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch|s|2}} |}} |}} -1}} - {{op:Bruch|1| {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch|s|2}} |}} |}} +1}} |SZ= }} eine Stammfunktion von {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1| {{op:sin|s|pot=2}} \cdot {{op:cos|s|pot=2}} }} |SZ=, }} und {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2}} {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch| {{op:arcsin|t|}} |2}}| |}} |}} - {{op:Bruch|1|2}} {{op:Bruch| 1 | {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch|{{op:arcsin|t|}}|2}} |}} |}} }} - {{op:Bruch|1| {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch|{{op:arcsin|t|}}|2}} |}} |}} -1}} - {{op:Bruch|1| {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch|{{op:arcsin|t|}}|2}} |}} |}} +1}} |SZ= }} ist eine Stammfunktion von {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|t^2 \sqrt{1-t^2}^3}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen in Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q5loy0nsgbzw2djjub9woekactayfgx 0 34756 778525 748027 2022-08-21T12:16:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aufgrund von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} müssen wir für jede {{ Definitionslink |konvergente Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} in {{math|term= {{{X|X}}}|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=Folge mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= x|SZ=}} zeigen, dass die Folge der Integrale {{ math/disp|term= {{op:Integral|a|b|grand=f(x_n,t)||t}} |SZ= }} gegen {{ math/disp|term= {{op:Integral|a|b|grand=f(x,t)||t}} |SZ= }} konvergiert. Aufgrund von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Gleichmäßig konvergente Funktionenfolge/Bestimmtes Integral/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge {{mathl|term= f(x_n,-) |SZ=}} {{ Definitionslink |gleichmäßig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{mathl|term= f(x,-) |SZ=}} konvergiert. {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. |Argumentation= Dann gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \N || || || |SZ= }} ein {{ Ma:Vergleichskette | m |\geq| n || || || |SZ= }} und ein {{ Ma:Vergleichskette | t_m |\in| [a,b] || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag| f(x_m, t_m) - f(x,t_m)||}} | \geq | \epsilon || || || || |SZ= }} gibt. So können wir eine Teilfolge {{mathl|term= (x_{n_k})_{k \in \N} |SZ=}} mit zugehörigen Punkten {{math|term= t_{n_k} |SZ=}} konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen {{ Faktlink |Bolzano Weierstraß|Faktseitenname= Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es zu dieser Folge in {{mathl|term= [a,b] |SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilfolge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und durch Umbenennen können wir annehmen, dass die Folge {{mathl|term= (t_{n_k})_{k \in \N} |SZ=}} konvergiert, sagen wir gegen {{ Ma:Vergleichskette | t |\in| [a,b] || || || |SZ=. }} Wegen der Stetigkeit von {{math|term= f |SZ=}} und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein {{math|term= k_0 |SZ=}} derart, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette | k |\geq| k_0 || || || |SZ= }} die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|f(x_{n_k},t_{n_k}) - f(x,t ) |}} | \leq | {{op:Bruch|1|3}} \epsilon || || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|f(x,t_{n_k} ) - f(x ,t) |}} | \leq | {{op:Bruch|1|3}} \epsilon || || || || |SZ= }} gelten. Damit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/l | {{op:Betrag|f(x_{n_k},t_{n_k}) - f(x,t_{n_k}) |}} |\leq| {{op:Betrag|f(x_{n_k},t_{n_k}) - f(x,t ) |}} + {{op:Betrag|f(x ,t) - f(x,t_{n_k}) |}} |\leq| {{op:Bruch|2 \epsilon|3}} |<| \epsilon || |SZ=, }} |Widerspruch= ein Widerspruch. |Zusammenfassung= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} csf76pdyvb1oh3sp2lkd5gej49x1q1y 0 34760 779146 734486 2022-08-21T15:43:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{mathl|term= e^{-t^2}|SZ=}} ist nicht elementar integrierbar, d.h., man kann keine geschlossene Stammfunktion mit rationalen Funktionen, Exponentialfunktion, trigonometrischen Funktionen und ihren Umkehrfunktionen angeben. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|-\infty|\infty|grand= e^{-t^2}||t}} || \sqrt{\pi} || || || || |SZ=, }} was wir hier ohne Beweis mitteilen, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normalverteilung/Fehlerintegral/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Durch eine einfache Substitution ergibt sich daraus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|\sqrt{2 \pi} }} {{op:Integral|-\infty|\infty|grand= e^{- {{op:Bruch|t^2|2}} }||t}} || 1 || || || |SZ=. }} Dieses Integral nennt man {{Stichwort|Fehlerintegral|SZ=;}} es spielt in der Stochastik eine wichtige Rolle. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2=Theorie der Normalverteilung |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Zahl pi |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5go7xcd8rk94bgtpli2hyl5if1683eg 0 34769 779997 763849 2022-08-21T17:55:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= f(t)=t^{n}|SZ=}} mit {{math|term= n|SZ=}} negativ und ganzzahlig. Wir interessieren uns für die {{ Definitionslink |uneigentlichen Integrale| |Kontext=|msw=uneigentliches Integral| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= t|SZ=}} von {{ mathkor|term1= 0 |bis|term2= 1 |SZ=. }} Dabei ist die Funktion bei der Intervallgrenze {{math|term= 0|SZ=}} nicht definiert, das ist also der kritische Randpunkt. Bei {{mathl|term= n=-1|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:ln|x|}} |SZ=}} die Stammfunktion von {{math|term= 1/x|SZ=.}} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|x|1|grand= \frac{1}{t} }} || - {{op:ln|x|}} || || || |SZ=, }} und der {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= x \mapsto 0|SZ=}} existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Sei nun {{mathl|term= n \leq -2|SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= \frac{1}{n+1} t^{n+1} |SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= t^n|SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|x|0| {{makl| {{op:Integral|x|1|grand= t^n }} |}} }} || {{op:Funktionslimes|x|0| {{makl| {{op:Integralstamm|x|1|stamm = \frac{1}{n+1} t^{n+1} }} |}} }} || {{op:Funktionslimes|x|0| {{makl| \frac{1}{n+1} - \frac{x^{n+1} }{n+1} |}} }} || || |SZ=. }} Da es sich um eine negative Potenz von {{math|term= x|SZ=}} handelt, ist {{mathl|term= {{op:Funktionslimes|x|0| x^{n+1} }} = \infty |SZ=.}} Das uneigentliche Integral existiert also nicht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} swcvutqswpna0e5n05hx38hzu3rvtqe 0 34775 780850 425355 2022-08-21T20:17:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch {{ Ma:abbele/disp |name= |[8,18]|\R |x|f(x) {{=|}} -x^2+25x-100 |SZ=, }} beschrieben. Dabei ist {{math|term= x|SZ=}} die Zeit in Stunden und {{mathl|term= y=f(x)|SZ=}} ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p18bj00jbjqk3kdgwi1dcfbijzjxib0 0 34777 779136 763254 2022-08-21T15:41:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[1, \infty]|\R |t| {{op:Bruch|1|t}} |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |streng fallend| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher ist die Funktion {{math|term= g|SZ=,}} die für {{math|term= x|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | k |\leq| x |<| k+1 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{ Ma:Vergleichskette/k | k |\in| \N || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} durch {{mathl|term= {{op:Bruch|1|k}} |SZ=}} definiert ist, eine {{ Anführung |Majorante| {{{def|}}} |SZ= }} für {{math|term= f|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette | g(t) |\geq| f(t) || || || |SZ=. }} Auf jedem Intervall {{mathl|term= [1,n] |SZ=}} liefert {{math|term= g|SZ=}} eine {{ Definitionslink |obere Treppenfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=.}} Ebenso liefert die durch {{mathl|term= {{op:Bruch|1|k+1}} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette | k |\leq| x |<| k+1 || || |SZ= }} definierte Funktion {{math|term= h|SZ=}} eine untere Treppenfunktion für {{math|term= f|SZ=.}} Daher gelten die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 1}^{n-1} {{op:Bruch|1|k}} | \geq | {{op:Integral|1|n|grand= {{op:Bruch|1|t}}||t }} | \geq | \sum_{k {{=}} 1}^{n-1} {{op:Bruch|1|k+1}} || || || || |SZ=. }} Das Integral in der Mitte besitzt den Wert {{mathl|term= {{op:ln|n|}} |SZ=.}} Daraus ergibt sich mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein neuer Beweis, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |harmonische Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |divergiert| |Kontext=Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ inputbild |Gamma-area|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die blaue Fläche stellt die Eulersche Konstante dar, die Darstellung ist überhöht. |Autor= |Benutzer=Kiwi128 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Differenz zwischen der linken und der rechten Summe ist {{mathl|term= 1- {{op:Bruch|1|n}} |SZ=.}} Daher ist die Differenz {{ math/disp|term= \sum_{k=1}^{n-1} {{op:Bruch|1|k}} - {{op:ln|n|}} |SZ= }} für jedes {{math|term= n|SZ=}} positiv, mit {{math|term= n|SZ=}} wachsend und {{ Definitionslink |nach oben beschränkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher existiert für {{mathl|term= n \rightarrow \infty |SZ=}} der Limes, und dieser Limes ändert sich nicht, wenn man vorne in der Summe bis {{math|term= n|SZ=}} aufsummiert anstatt bis {{mathl|term= n-1 |SZ=.}} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma |{{defeq}} | {{op:Folgenlimes|n|\infty|Glied= {{makl| \sum_{k {{=|}} 1}^{n} {{op:Bruch|1|k}} - {{op:ln|n|}}|}} }} || || || |SZ= }} und nennen sie die {{Stichwort|eulersche Konstante|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Mascheronische Konstante|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Ihr numerischer Wert ist ungefähr {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma || 0{,}5772156649\dotso || || || |SZ=. }} Es ist ein offenes mathematisches Problem, ob diese Zahl {{ Definitionslink |rational| |Kontext=Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist oder nicht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die eulersche Konstante |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bhg9m45dl21yg9lq6lfu8q5xwwl3u1n 0 34785 781245 604114 2022-08-21T21:22:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= X \subset \R|SZ=}} eine echte Teilmenge mit den folgenden Eigenschaften: {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= X \neq \empty |SZ=,}} |aus {{mathl|term= x \in X|SZ=}} und {{mathl|term= y < x|SZ=}} folgt {{mathl|term= y \in X|SZ=,}} |aus {{mathl|term= x \in X |SZ=}} folgt, dass es ein {{mathl|term= z \in X|SZ=}} gibt mit {{mathl|term= x < z|SZ=.}} }} Zeige, dass es ein {{mathl|term= a \in \R|SZ=}} gibt mit {{ math/disp|term= X = {]{- \infty}, a[} = \{x \in \R:x < a \} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekindschen Schnitte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qvulh64swp2aeecro9foo9hrye7ss9u 0 34806 778625 747906 2022-08-21T12:31:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir behandeln den Fall, wo {{math|term= r|SZ=}} die obere Intervallgrenze ist. Für alle {{ Ma:Vergleichskette | b |\in| I || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|a|b|f|t}} | \leq | {{op:Integral|a|b|h|t}} || || || |SZ= }} wegen {{ Ma:Vergleichskette | f(t) |\leq| h(t) || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | t |\in| I || || || |SZ=. }} Wegen der Nichtnegativität von {{math|term= h|SZ=}} und von {{math|term= f|SZ=}} wachsen beide Seite bei {{mathl|term= b \rightarrow r |SZ=,}} und die rechte Seite ist durch das uneigentliche Integral {{mathl|term= {{op:Integral|a|r|h|t}} |SZ=}} beschränkt. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} existiert der {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=abb R infty| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|b|r| {{op:Integral|a|b|f|t}} }} || {{op:Integral|a|r|f|t}} || || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ih05q7894l3cx264rplzktqp4z7qo7d 0 34807 782345 756184 2022-08-22T00:26:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= x \in \R|SZ=}} und betrachte die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_+|\R |t| f(t) {{=|}} t^x e^{-t} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Extremwerte| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Funktion. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hcduth7m6w5wsdibjb443ksfx90456t 0 34815 782641 756418 2022-08-22T01:15:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die {{ Definitionslink |Funktionenfolge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |[0,1]|[0,1] |x|x^n |SZ=. }} Berechne die {{ Definitionslink |Prämath= |Grenzfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Funktionenfolge, deren Integral {{ Zusatz/Klammer |text=wenn es existiert| |ISZ=|ESZ=, }} die Integrale {{mathl|term= {{op:Integral|0|1|grand=f_n(t)||t}} |SZ=}} und deren Grenzwert für {{mathl|term= n \rightarrow \infty|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integrale von Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dr18lp6diu8rg6idcchlut2qdzxvmlz 0 34817 780001 763854 2022-08-21T17:56:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |x |>|-1 || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\R_{+}|\R |t| t^xe^{-t} |SZ=. }} Wir behaupten, dass das {{ Definitionslink |uneigentliche Integral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Integral|0|\infty|grand=t^xe^{-t}||t}} |SZ= }} existiert. Für den rechten Rand {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= \infty|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} betrachten wir eine natürliche Zahl {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|x || || || |SZ=. }} Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reelle Exponentialreihe/Durch x^n/Unbeschränkt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| \R_+ || || || |SZ= }} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette | t^n e^{ - {{op:Bruch|t|2}} } |\leq| 1 || || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |t |\geq|a || || || |SZ= }} gilt. Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Integral|a|b|grand= t^x e^{-t}||t}} |\leq| {{op:Integral|a|b|grand= t^n e^{-t}||t}} || {{op:Integral|a|b|grand= t^n e^{- {{op:Bruch|t|2}} } e^{- {{op:Bruch|t|2}} } ||t}} |\leq| {{op:Integral|a|b|grand= e^{- {{op:Bruch|t|2}} } ||t}} || 2 {{makl|e^{ - {{op:Bruch|a|2}} } - e^{ - {{op:Bruch|b|2}} }|}} |\leq| 2 e^{ - {{op:Bruch|a|2}} } |SZ=. }} Für {{mathl|term= b \rightarrow \infty |SZ=}} wächst das linke Integral und ist durch {{mathl|term= 2 e^{ - {{op:Bruch|a|2}} } |SZ=}} {{ Definitionslink |beschränkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so dass der Grenzwert existiert. Für das Verhalten am linken Rand {{ Zusatz/Klammer |text=das nur bei {{ Ma:Vergleichskette/k | -1 |<|x |\leq| 0 || || |SZ= }} problematisch ist| |ISZ=|ESZ= }} müssen wir wegen {{ Ma:Vergleichskette | e^{-t} |\leq| 1 || || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nur {{mathl|term= {{op:Integral|0|1|grand=t^x||t}} |SZ=}} betrachten. Eine Stammfunktion davon ist {{mathl|term= {{op:Bruch|1|x+1}} t^{x+1} |SZ=,}} deren Exponent positiv ist, so dass der Limes für {{mathl|term= t \rightarrow 0 |SZ=}} existiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} amzi3ykrvaibfru0gphjrj64xq39jlj 0 34831 783850 738380 2022-08-22T04:37:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math/disp|term= y'=g(t) y |SZ= }} eine {{ Definitionslink |homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |unendlich oft differenzierbaren Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= g|SZ=}} und es sei {{math|term= y|SZ=}} eine differenzierbare {{ Definitionslink |Lösung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= y|SZ=}} ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist. b) Es sei {{mathl|term= y(t_0)=0|SZ=}} für einen Zeitpunkt {{math|term= t_0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} unter Verwendung von {{ Aufgabelink{{{opt1|}}} ||Aufgabeseitenname= Ableitung/R/Produkt von n Funktionen/Aufgabe |Aufgabeseitenname2= Ableitung/K/Produkt von n Funktionen/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{mathl|term= y^{(n)}(t_0)=0|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der höheren Ableitungen |Kategorie2=Theorie der homogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dj2bo9j5uftrnx42pvftx3wrwn2mf4x 0 34834 779435 763532 2022-08-21T16:27:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten für {{ Ma:Vergleichskette |t |>|1 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' ||{{op:Bruch|y|t^2-1}} + t-1 || || || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{ Ma:Vergleichskette |y(2) ||5 || || || |SZ=. }} Hier ist also {{ Ma:Vergleichskette | h(t) || t-1 || || || |SZ= }} die Störfunktion und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' || {{op:Bruch|y|t^2-1}} || || || |SZ= }} ist die zugehörige {{ Definitionslink |homogene lineare Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|t^2-1}} |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | G(t) || {{op:Bruch|1|2}} {{op:ln| ( t-1 )||}} - {{op:Bruch|1|2}} {{op:ln| ( t+1)||}} || {{op:Bruch|1|2}} {{op:ln| {{makl|{{op:Bruch|t-1|t+1}}|}} ||}} || {{op:ln| {{makl|{{op:Bruch|\sqrt{t-1}|\sqrt{t+1} }}|}} ||}} || |SZ=. }} Daher ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. nach {{ Beispiellink ||Beispielseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/y' ist 1 durch t^2-1 mal y/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | a(t) || {{op:Bruch| \sqrt{t-1}|\sqrt{t+1} }} || || || |SZ= }} eine Lösung zur homogenen Differentialgleichung. Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung brauchen wir eine Stammfunktion zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|h(t)|a(t)}} || {{op:Bruch|\sqrt{t+1}|\sqrt{t-1} }} \cdot (t-1) || \sqrt{t+1} \cdot \sqrt{t-1} || \sqrt{t^2-1} || |SZ=. }} Eine Stammfunktion dazu ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | c(t) || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| t \sqrt{t^2-1} - {{op:arcosh|t|}} |}} || || || |SZ=. }} Die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung haben also die Gestalt {{ math/disp|term= \sqrt{ {{op:Bruch|t-1|t+1}} } \cdot {{makl| {{op:Bruch|1|2}} {{makl| t \sqrt{t^2-1} - {{op:arcosh|t|}} |}} +c |}} |SZ= }} Die Anfangsbedingung führt zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |5 || {{op:Bruch|1|\sqrt{3} }} \cdot {{makl|{{op:Bruch|1|2}} {{makl| 2 \sqrt{3} - {{op:arcosh|2|}} |}} + c_0|}} || 1- {{op:Bruch|1|2 \sqrt{3} }} {{op:arcosh|2|}} + c_0 {{op:Bruch|1|\sqrt{3} }} || || |SZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |c_0 || 4 \sqrt{3} + {{op:Bruch|1|2}} {{op:arcosh|2|}} || || || |SZ= }} und die Lösung des Anfangswertproblems ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | y(t) || \sqrt{ {{op:Bruch|t-1|t+1}} } \cdot {{makl| {{op:Bruch|1|2}} {{makl| t \sqrt{t^2-1} - {{op:arcosh|t|}} |}} + 4 \sqrt{3} + {{op:Bruch|1|2}} {{op:arcosh|2|}}|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1rojm3qikrxoi2ldnqsczv1xjq57139 0 34842 779202 763288 2022-08-21T15:51:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |zeitunabhängige Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' || {{op:Bruch|1|y}} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |y |>|0 || || || |SZ=. }} Es ist also {{ Ma:Vergleichskette |h(y) ||{{op:Bruch|1|y}} || || || |SZ= }} und damit müssen wir nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Als getrennte Variablen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{math|term= y |SZ=}} {{ Definitionslink |integrieren| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dazu ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |H(y) || {{op:Bruch|1|2}} y^2 || || || |SZ=. }} Die Umkehrfunktion berechnet sich aus dem Ansatz {{ Ma:Vergleichskette |z || {{op:Bruch|1|2}} y^2 || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |y ||\sqrt{2z} || H^{-1}(z) || || |SZ=. }} Also haben die {{ Definitionslink |Lösungskurven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp |y(t) || \sqrt{2(t +c)} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|\R || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 04sd2b6t68h1n26oi26h94zv88gx63s 0 34843 782568 756342 2022-08-22T01:03:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | y' || g(t)\cdot y^2 || || || |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |stetigen Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=g |\R|\R |t|g(t) |SZ=, }} auf einem Intervall {{math|term= I'|SZ=}} die Lösungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || - {{op:Bruch|1|G(t) }} || || || |SZ= }} besitzt, wobei {{mathl|term= G|SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= g|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |G(I') |\subseteq| \R_+ || || || || |SZ= }} sei. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Punkte=3 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jsflfqep9tt15zs8jgw2gzp9fn5gck0 0 34845 779195 763285 2022-08-21T15:50:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Differentialgleichung mit getrennten Variablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | y' ||t \cdot y^3 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |y |>|0 || || || |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Bruch|1|y^3}} |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette |H(y) || - {{op:Bruch|1|2}} y^{-2} ||z || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= z|SZ=}} ist also negativ| |ISZ=|ESZ= }} mit der {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y ||H^{-1}(z) ||\sqrt{ - {{op:Bruch|1|2}} z^{-1} } || || |SZ=. }} Die Stammfunktionen zu {{ Ma:Vergleichskette |g(t) ||t || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}}t^2 + c|SZ=.}} Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || \sqrt{ - {{op:Bruch|1|2}} {{makl|{{op:Bruch|1|2}}t^2 + c|}}^{-1} } || \sqrt{ {{op:Bruch|-1| t^2 + 2c }} } || || |SZ=. }} Hierbei muss {{math|term= c|SZ=}} negativ gewählt werden, damit diese Lösung einen nichtleeren Definitionsbereich besitzt. Der Definitionsbereich ist dann das Intervall {{mathl|term= ]{{-\sqrt{-2c}},\sqrt{-2c} [}|SZ=.}} Insbesondere sind die Lösungen nur auf einem beschränkten offenen Intervall definiert, obwohl die Differentialgleichung auf ganz {{math|term= \R^2|SZ=}} definiert ist. An den Intervallgrenzen strebt {{mathl|term= y(t)|SZ=}} gegen {{mathl|term= {+\infty}|SZ=,}} d.&nbsp;h., die Lösung {{Anführung|entweicht|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 73e0m6p9jtug4b6jkxu1v3z9qxwjopl 0 34846 779194 763284 2022-08-21T15:50:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Differentialgleichung mit getrennten Variablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' ||- t \cdot y^3 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |y |>|0 || || || |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Bruch|1|y^3}} |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette |H(y) ||- {{op:Bruch|1|2}} y^{-2} ||z || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= z|SZ=}} ist also negativ| |ISZ=|ESZ= }} mit der {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || H^{-1}(z) ||\sqrt{ - {{op:Bruch|1|2}} z^{-1} } || || |SZ=. }} Die Stammfunktionen zu {{ Ma:Vergleichskette |g(t) ||-t || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= - {{op:Bruch|1|2}}t^2 + c |SZ=.}} Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || \sqrt{ - {{op:Bruch|1|2}} {{makl|- {{op:Bruch|1|2}}t^2 +c|}}^{-1} } || \sqrt{ {{op:Bruch| 1| t^2 - 2c }} } || || |SZ=. }} Insbesondere erhält man bei {{ Ma:Vergleichskette |c ||0 || || || |SZ= }} die auf {{math|term= \R_+|SZ=}} definierte Lösung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) ||{{op:Bruch|1|t}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cuhsdqgei3v6g05g60696vqd91sifaf 0 34853 784828 758282 2022-08-22T07:06:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man mache|Machen Sie}} sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer {{ Definitionslink |ortsunabhängigen Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abstand zwischen zwei Lösungen {{ mathkor|term1= y_1 |und|term2= y_2 |SZ= }} zeitunabhängig ist, d.h. dass {{mathl|term= y_1(t)- y_2(t)|SZ=}} {{ Definitionslink |konstant| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel, dass dies bei {{ Definitionslink |zeitunabhängigen Differentialgleichungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht der Fall sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ortsunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tek8snijzzrvu76q9z42knbejla1bdt 0 34877 779998 763850 2022-08-21T17:55:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette | f(t) |{{defeq|}} | t^{ {{{c|c}}} } || || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{{c|c}}} |\in| \R || || || |SZ=. }} Wir interessieren uns für die {{ Definitionslink |uneigentlichen Integrale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=}} für {{math|term= t|SZ=}} von {{ mathkor|term1= 0 |bis|term2= 1 |SZ=. }} Dabei ist die Funktion bei der Intervallgrenze {{math|term= 0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei negativem {{math|term= c|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} nicht definiert, das ist also der kritische Randpunkt. Bei {{ Ma:Vergleichskette | c || -1 || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:ln|t|}} |SZ=}} eine Stammfunktion von {{mathl|term= 1/t |SZ=.}} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|x|1|grand= \frac{1}{t} }} || - {{op:ln|x|}} || || || |SZ=, }} und der {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=abb R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= x \rightarrow 0|SZ=}} existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Sei nun {{ Ma:Vergleichskette | {{{c|c}}} |<| -1 || || || |SZ=. }} Dann ist {{mathl|term= \frac{1}{ { {{{c|c}}} }+1} t^{ { {{{c|c}}} }+1} |SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= t^{ {{{c|c}}} }|SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|x|0| {{makl| {{op:Integral|x|1|grand= t^{ {{{c|c}}} } }}|}} }} || {{op:Funktionslimes|x|0| {{makl| {{op:Integralstamm|x|1|stamm = \frac{1}{ { {{{c|c}}} }+1} t^{ { {{{c|c}}} }+1} }}|}} }} || {{op:Funktionslimes|x|0| {{makl| \frac{1}{ { {{{c|c}}} }+1} - \frac{x^{ { {{{c|c}}} } + 1} }{ { {{{c|c}}} }+1} |}} }} || || |SZ=. }} Da es sich rechts um eine Potenz von {{math|term= x |SZ=}} mit einem negativen Exponenten handelt, ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Funktionslimes|x|0| x^{ { {{{c|c}}} }+1} }} || \infty || || || || |SZ= }} nach der inversen Version von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Funktionslimes/b^c/b gegen 0/c positiv/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Dies folgt übrigens auch aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} da ja {{ Ma:Vergleichskette | t^{-1} | \leq | t^{c} || || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | c |<| -1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | 0 |<| t |\leq| 1 || || |SZ= }} gilt. Sei nun {{ Ma:Vergleichskette | { {{{c|c}}} } |>| -1 || || || |SZ=. }} Dann ist {{mathl|term= \frac{1}{ { {{{c|c}}} }+1} t^{ { {{{c|c}}} }+1} |SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= t^{ {{{c|c}}} } |SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|x|0| {{makl| {{op:Integral|x|1|grand= t^{ {{{c|c}}} } }} |}} }} || {{op:Funktionslimes|x|0| {{makl| {{op:Integralstamm|x|1|stamm = \frac{1}{ { {{{c|c}}} }+1} t^{ { {{{c|c}}} }+1} }}|}} }} || {{op:Funktionslimes|x|0| {{makl| \frac{1}{ { {{{c|c}}} }+1} - \frac{x^{ { {{{c|c}}} } + 1} }{ { {{{c|c}}} }+1} |}} }} || || |SZ=. }} Da es sich um eine Potenz von {{math|term= x|SZ=}} mit einem positiven Exponenten handelt, ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Funktionslimes|x|0| x^{ { {{{c|c}}} }+1} }} || 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Funktionslimes/b^c/b gegen 0/c positiv/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert {{mathl|term= {{op:Bruch|1|c+1}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jjecpvdyianzhv4cflys0jj00noy6iz 0 34878 780000 763853 2022-08-21T17:56:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette | f(t) | {{defeq|}} | t^{ {{{c|c}}} } || || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{{c|c}}} |\in| \R || || || |SZ=. }} Wir interessieren uns für das {{ Definitionslink |uneigentliche Integral| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=}} für {{math|term= t|SZ=}} von {{ mathkor|term1= 1 |bis|term2= \infty |SZ=. }} Der kritische {{ Definitionslink |Prämath= |(uneigentliche) Randpunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also {{math|term= + \infty |SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette | c || -1 || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:ln|t|}} |SZ=}} eine Stammfunktion von {{mathl|term= 1/t |SZ=.}} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|1|x|grand= \frac{1}{t} }} || {{op:ln|x|}} || || || |SZ=, }} und der {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=abb R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= x \rightarrow + \infty|SZ=}} existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Sei nun {{ Ma:Vergleichskette | {{{c|c}}} |<| -1 || || || |SZ=. }} Dann ist {{mathl|term= \frac{1}{ { {{{c|c}}} }+1} t^{ { {{{c|c}}} }+1} |SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= t^{ {{{c|c}}} } |SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|x|\infty| {{makl| {{op:Integral|1| x|grand= t^{ {{{c|c}}} } }}|}} }} || {{op:Funktionslimes|x|\infty| {{makl| {{op:Integralstamm|1|x|stamm = \frac{1}{ { {{{c|c}}} }+1} t^{ { {{{c|c}}} }+1} }}|}} }} || {{op:Funktionslimes|x|\infty| {{makl| \frac{x^{ { {{{c|c}}} } + 1} }{ { {{{c|c}}} }+1} - \frac{1}{ { {{{c|c}}} }+1} |}} }} || || |SZ=. }} Da es sich um eine Potenz von {{math|term= x|SZ=}} mit einem negativen Exponenten handelt, ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Funktionslimes|x|\infty| x^{ { {{{c|c}}} }+1} }} || 0 || || || |SZ=. }} Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert {{mathl|term= - {{op:Bruch|1|{{{c|c}}}+1}} |SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette | {{{c|c}}} |>| -1 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | t^{ {{{c|c}}} } |\geq| t^{-1} || || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | t |\geq| 1 || || || |SZ= }} und daher kann nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das uneigentliche Integral nicht existieren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l628j39g33wah633lrzju2e5kvyx3u2 0 35423 782185 756058 2022-08-21T23:59:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |Fakultätsfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= k \in \N|SZ=}} die Beziehung {{ math/disp|term= {{op:Fak| {{makl|{{op:Bruch|2k-1|2}}|}} |}} = {{op:Bruch| \prod_{i {{=|}} 1}^{k} (2i-1)|2^k}} \cdot \sqrt{\pi} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Fakultätsfunktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3dp3r4e1y88vgoljhe4erfsjf8rhafi 0 35496 782280 252565 2022-08-22T00:15:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme alle Häufungspunkte der Folge {{mathl|term= (a_n)_{n \in \N}|SZ=}}, welche durch {{ math/disp|term= a_n = (-1)^n \left(1- \frac{1}{n} \right) - \frac{1}{n} |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tt34pe4a79nqyjbvwibdtlod6cc1vjs 0 35497 782286 218592 2022-08-22T00:16:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche diese Folgen auf Konvergenz und bestimme (falls möglich) den Grenzwert: {{ Aufzählung5 | {{mathl|term= a_n = \frac{3n^2-7n+1}{2n^2+n-1}|SZ=,}} | {{mathl|term= b_n= \frac{n-1}{n+1} + (-1)^n \cdot \frac{n+2}{n^2+1}|SZ=,}} |{{mathl|term= c_n= \frac{n-1}{n+1} + (-1)^n \cdot \frac{n+2}{n+1}|SZ=,}} | {{mathl|term= d_n=(1-\frac{1}{n^2})^n|SZ=,}} | {{mathl|term= e_n=\frac{n!}{n^n}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jjymuqks76x6n94xxdu03if6zra500g 0 35498 782281 508140 2022-08-22T00:15:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{mathl|term= (a_n)_{n \in \N}|SZ=}} mit {{mathl|term= a_n = \frac{1}{n+1} {{plusdots|}} \frac{1}{2n}|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9vswy0t0h121eizpaney1fkvh5am2mu 0 35499 782285 252560 2022-08-22T00:16:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche diese Folgen auf Konvergenz und bestimme (falls möglich) den Grenzwert: {{ Aufzählung2 |{{math|term= a_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}|SZ=,}} |{{math|term= b_n=\frac{1}{n} \cdot \left(1+\frac{1}{n} \right)^n|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} btl0tv6lwnp6jxxuecnkwk2xp4yfkzv 0 35503 783867 757493 2022-08-22T04:40:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reelles Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:abb/disp |name=g,h_1,h_2 |I|\R || |SZ= }} Funktionen. Es sei {{math|term= y_1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Lösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= y'= g(t) y +h_1(t)|SZ=}} und es sei {{math|term= y_2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Lösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= y'= g(t) y +h_2(t)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{mathl|term= y_1+y_2|SZ=}} eine Lösung der Differentialgleichung {{ math/disp|term= y'= g(t)y +h_1(t) +h_2(t) |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nj0x2a2892xutpzb2rt0m1gs26asal1 0 35518 783587 737016 2022-08-22T03:53:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kompaktes Intervall/Kurve/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |rektifizierbar| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn sämtliche {{ Definitionslink |Komponentenfunktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} rektifizierbar sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=3 |Stichwort= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fvn2gybvy4hbglze412ngaiagivccnm 0 35522 784597 758115 2022-08-22T06:33:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die {{ Definitionslink |Länge| |Kontext=kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Neilschen Parabel| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R^2 |t|(t^2,t^3) |SZ=, }} von {{ mathkor|term1= 0 |bis|term2= b |SZ=, }} wobei {{math|term= b \in \mathbb{R}_{>0}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1f8gaz2ihs8y1wnhxxlqe8rmx6tnd4p 0 35527 784689 758187 2022-08-22T06:46:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum Teilmenge Berührpunkt/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |T|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einen {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |normierten Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} mit den {{ Definitionslink |Komponentenfunktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f_1 {{kommadots|}} f_n |{{{M|M}}}|\R || |SZ= }} bezüglich einer Basis von {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|a|f(x)}} |SZ= }} genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|a|f_j(x)}} |SZ= }} existieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie2=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tk2jlmdyqf6xcmq9sdzwumbvjf3rcws 0 35529 786481 747184 2022-08-22T11:32:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Länge| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R^3 |t|({{op:cos|t|}},{{op:sin|t|}},t) |SZ=, }} gegebenen {{Stichwort/Betonung|Schraubenlinie|SZ=}} für {{math|term= t|SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= b |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette | b |\in| \R_{\geq 0} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Schraubenlinie |Stichwort=Schraubenlinie |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rwc7nwxuz9j643vcxvdqm6pnt9pileo 0 35532 781413 755433 2022-08-21T21:51:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Kurve {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R^3 |t|f(t) {{=|}} {{makl|t^2- {{op:sin|t|}}, e^{-t}+2t^3, t \cdot {{op:sinh|t|}} + {{op:Bruch|1|t^2+1}}|}} |SZ=, }} in jedem Punkt {{mathl|term= t \in \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 40dzjtwa1amgwrmhqk1j7gk7qjdge69 0 35533 781416 640102 2022-08-21T21:51:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für welche Punkte {{mathl|term= t \in \R|SZ=}} ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R^2 |t|(2 {{op:sin|t|}} , 3 {{op:cos|t|}} ) |SZ=, }} zum Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} maximal, für welche minimal? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ellipse |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 989pa6ilfvqh1hhm5op6c6gmxheqa3e 0 35546 779029 639852 2022-08-21T15:24:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abb/disp |name= |{{CC}} \cong \R^2| \R^2 \cong {{CC}} || |SZ=, }} die in reellen Koordinaten durch {{mathl|term= (x,y) \mapsto (4x^2-xy,2xy^2+y^3)=(g,h)|SZ=}} gegeben ist. Diese ist offenbar reell-differenzierbar mit der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|8x-y|-x|2y^2|4xy+3y^2 }} |SZ=, }} aber nicht komplex-differenzierbar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} gcc5kdf3wy3s2l8hamqguhho3ejgser 0 35547 779026 639850 2022-08-21T15:23:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |{{CC}} \cong \R^2| \R^2 \cong {{CC}} || |SZ=, }} die in reellen Koordinaten durch {{mathl|term= (x,y) \mapsto (x^4-6x^2y^2+y^4,4x^3y-4xy^3)=(g,h)|SZ=}} gegeben ist. Diese ist offenbar reell-differenzierbar mit der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|4x^3-12xy^2|-12x^2y+4y^3|12x^2y-4y^3|4x^3-12xy^2 }} |SZ=. }} Damit erfüllt die Abbildung die Cauchy-Riemann Differentialgleichung und ist somit komplex-differenzierbar. In der Tat ist die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} grade die Abbildung {{ math/disp|term= z \longmapsto z^4 = (x^4-6x^2y^2+y^4,4x^3y-4xy^3) |SZ=. }} Das komplexe Differential ist also {{mathl|term= 4z^3|SZ=.}} Diese komplex-lineare Abbildung schickt {{ math/disp|term= 1 \longmapsto 4z^3 = 4(x^3-3xy^2+(3x^2y-y^3)i) |SZ= }} und {{ math/disp|term= i \longmapsto 4iz^3=4((x^3-3xy^2)i - (3x^2y-y^3)) |SZ=. }} Diese beiden Vektoren bilden die Spalten der zugehörigen reellen Matrix. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} md30n7b456n7p1nx844cbrpe7fyxoww 106 35548 785269 510987 2022-08-22T08:12:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|4| Seien {{math|term=V|SZ=}} und {{math|term=W|SZ=}} endlichdimensionale normierte {{math|term={{KRC}}|SZ=-}}Vektorräume und {{mathl|term=G \subseteq V|SZ=}} eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi | G | W || |SZ= }} und einen fixierten Vektor {{mathl|term=u \in V|SZ=}} ist die Richtungsableitung in Richtung {{math|term=u|SZ=}} (falls diese existiert) selbst eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Richtungsableitung|\varphi||u}} |G|W |P| {{op:Richtungsableitung|\varphi|P|u}} |SZ=. }} Als solche macht es Sinn zu fragen, ob {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung|\varphi||u}}|SZ=}} in Richtung {{mathl|term=v \in V|SZ=}} differenzierbar ist. Wir sprechen dann von {{Stichwort/-|höheren Ableitungen|SZ=.}} Der folgende Satz heißt {{Stichwort/-|Satz von Clairaut|SZ=}} oder auch {{Stichwort/-|Satz von Schwarz|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt|Satz|| || }} }} d56r128mnwfc27uklybq7n5iy9tg8wn 0 35582 779995 772642 2022-08-21T17:55:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{Stichwort|trigonometrische Parametrisierung|SZ=}} des {{Stichwort|Einheitskreises|msw=Einheitskreis|SZ=,}} also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R^2 |t|( {{op:cos|t|}} , {{op:sin|t|}} ) |SZ=. }} Diese Abbildung ist für jedes {{ Ma:Vergleichskette |t |\in|\R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f'(t) ||( - {{op:sin|t|}}, {{op:cos|t|}} ) || || || |SZ=. }} Die Norm dieser Ableitung ist zu jedem Zeitpunkt gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|f'(t)||}} ||\sqrt{ {{op:sin|t|pot=2}} + {{op:cos|t|pot=2}} } ||1 || || |SZ=. }} Wählen wir das Intervall {{mathl|term= [0,2 \pi] |SZ=,}} so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(0) ||(1,0) ||f(2 \pi) || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass in der {{ Faktlink |Mittelwertabschätzung|Faktseitenname= Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht Gleichheit gelten kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Mittelwertabschätzung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iwu28jyw3wt36kdo2nas8awp1kjph43 0 35619 779203 763289 2022-08-21T15:51:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |zeitunabhängige Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' || {{op:sin|y}} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |y |\in|J || {]0, \pi[} || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Als getrennte Variablen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} müssen wir also {{mathl|term= {{op:Bruch|1| {{op:sin|y|}}}} |SZ=}} {{ Definitionslink |integrieren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dazu ist nach {{ Beispiellink ||Beispielseitenname= Stammfunktion/1 durch Sinus/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=H |J|J' {{=|}} \R |y|H(y) {{=|}} {{op:ln| {{makl| {{op:tan| {{op:Bruch|y|2}} |}} |}} }} |SZ=. }} Die Umkehrfunktion {{mathl|term= H^{-1}|SZ=}} berechnet sich über {{ Ma:Vergleichskette |u ||{{op:ln| {{makl| {{op:tan| {{op:Bruch|y|2}} |}} |}} }} || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | H^{-1}(y) ||2 {{op:arctan| {{makl| e^u |}} |}} || || || |SZ=. }} Also haben die {{ Definitionslink |Lösungskurven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp |y(t) || 2 {{op:arctan| {{makl| e^{t+c} |}} |}} || || || |SZ= }} mit einem {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|\R || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tlr9804v0ez2z7p6ex6cp23v245gszl 0 35648 781286 755319 2022-08-21T21:29:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext={{{K|K}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Determinante||}} |{{op:Mat|n|m=n|K= {{KRC/{{{K|K}}}|}} }} | {{KRC/{{{K|K}}}|}} |M| {{op:Determinante|M|}} |SZ=, }} für {{mathl|term= n=2,3|SZ=}} an der {{ Definitionslink |Einheitsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2=Determinantentheorie (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o14t7vrgh1ep5op8oykvfiyv53awyz7 0 35651 786297 759381 2022-08-22T11:02:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^2 | {{KRC/{{{K|K}}}|}} |(x,y)|xy |SZ=, }} {{ Aufzählung6 |im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (2,5)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (0,1)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (2,3)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (-1,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (3,7)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (5,-4)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tubwrq1bzss1fveb7ik4sapm5wruxw6 0 35653 786298 739142 2022-08-22T11:02:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^2 |{{KRC/{{{K|K}}}|}} |(x,y)|x^2 {{op:sin|y|}} -e^{x} y -x |SZ=, }} {{ Aufzählung8 |im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (0,1)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (2,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,-3)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (1,1)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,1)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (-1, {{op:Bruch|1|2}})|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (5,7)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (5,7)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kma92b9zu6hhsapp5knknlkdr1724wt 0 35656 786292 759379 2022-08-22T11:01:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:abb/disp |name=f | {{KRC|}} | {{KRC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} in einem Punkt {{math|term= P \in {{KRC|}} |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} in Richtung {{math|term= 1|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=Richtung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dass dann die Gleichheit {{ math/disp|term= {{op:Richtungsableitung|f|P|1}} =f'(P) |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (K) |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 93gxuqf3fbijwcousd1jy89tu2tdjny 0 35657 786291 738909 2022-08-22T11:01:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, für welche Punkte {{mathl|term= P\in \R^n|SZ=}} und welche Richtungen {{mathl|term= v \in \R^n|SZ=}} die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |euklidischen Norm| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^n|\R | {{op:Zeilenvektor1n|x|}} |\sqrt{x_1^2 {{plusdots|}} x_n^2} |SZ=, }} existiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 906nendn9mi0eaqntgtueboy37l2fve 0 35658 786294 759380 2022-08-22T11:02:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, unter Verwendung von {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Richtungsableitung/K/Monom in beliebige Richtung/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass zu einer {{ Definitionslink |polynomialen Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{KRC|}}^n | {{KRC|}} | {{op:Zeilenvektor1n|x}} |\varphi {{op:Zeilenvektor1n|x}} |SZ=, }} zu einer fixierten Richtung {{mathl|term= v \in {{KRC|}}^n |SZ=}} die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung|\varphi||v}} |SZ=}} existiert und selbst polynomial ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (K) |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9or16zw9s6wlhf5qojxom7wgq00aswj 0 35664 786150 604715 2022-08-22T10:38:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche die folgenden beiden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz: {{ Aufzählung2 |{{mathl|term= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}|SZ=,}} |{{mathl|term= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n} {n^2 + 1}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 284oly41weyvljd7yrf0gxsai3foriv 0 35667 786149 245247 2022-08-22T10:37:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ist das Cauchy-Produkt {{mathl|term= \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k} {k !} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{y^j} {j!} \right) |SZ=}} konvergent? Berechne das Cauchyprodukt explizit! |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ho650reuo5xm8f7s2vfpqa4iryf672 0 35675 781423 755440 2022-08-21T21:52:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} ein reelles Intervall und {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g |I|V || |SZ= }} zwei in {{ Ma:Vergleichskette | t_0 |\in|I || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Kurven| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=h |I|\R || |SZ= }} eine in {{math|term= t_0|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen gelten. {{ Aufzählung3 |Die Summe {{ Ma:abbele/disp |name=f+g |I|V |t|f(t)+g(t) |SZ=, }} ist in {{math|term= t_0|SZ=}} differenzierbar mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | (f+g)'(t_0) || f'(t_0) + g'(t_0) || || || |SZ=. }} |Das Produkt {{ Ma:abbele/disp |name=hf |I|V |t| h(t) f(t) |SZ=, }} ist differenzierbar in {{math|term= t_0|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | (hf)'(t_0) || h(t_0) f'(t_0) + h'(t_0) f(t_0) || || || |SZ=. }} Insbesondere ist für {{ Ma:Vergleichskette | c |\in| \R || || || |SZ= }} auch {{mathl|term= cf|SZ=}} differenzierbar in {{math|term= t_0|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | (cf)'(t_0) || c f'(t_0) || || || |SZ=. }} |Wenn {{math|term= h|SZ=}} nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Bruch|f|h}} | I |V |t|{{op:Bruch|f(t)|h(t)}} |SZ=, }} in {{math|term= t_0|SZ=}} differenzierbar mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|f|h}} |}}' (t_0) || {{op:Bruch| h(t_0) f'(t_0) - h'(t_0) f(t_0) | (h(t_0))^2}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5fioaojjdzr9u12vucopb8ha5awnn25 0 35685 781414 736865 2022-08-21T21:51:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | v,w |\in|V || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|V |t|tv+w |SZ=, }} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist mit der {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | f'(t) || v || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mvc87xo8e82hnf9ayxtoef3rxqc5ccl 0 35686 781421 746696 2022-08-21T21:52:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Bilder| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der folgenden {{ Definitionslink |Kurven| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{mathl|term= \R^2|SZ=.}} {{ Aufzählung5 |{{mathl|term= t \longmapsto {{makl| t^2,t^2 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= t \longmapsto {{makl| t^2,-t^2 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= t \longmapsto {{makl| t^2,t |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= t \longmapsto {{makl| 2t,3t |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= t \longmapsto {{makl| t^2,t^3 |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n8o48o1kmqgdqbqk9gpq0kumvq0hsq9 0 35687 781418 755437 2022-08-21T21:51:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die {{ Definitionslink |Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R^3 |x|{{op:Zeilenvektor|x^2-x|x^3+ {{op:sinh|x|}}| {{op:sin|(x^2)|}} }} |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} in jedem Punkt {{math|term= x|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} die Komponentenfunktionen von {{math|term= f|SZ=}} bezüglich der neuen Basis {{ math/disp|term= (1,0,3),(2,4,6),(1,-1,0) |SZ= }} von {{math|term= \R^3|SZ=.}} c) Berechne{{n Sie}} die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Lineare Abbildung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Basiswechsel |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} of6915kzdqos48ubvegzwxnz9xfkq92 0 35725 781422 755439 2022-08-21T21:52:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Kurve {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R^2 |t|(t^2-1,t^3-t) |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Bildpunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} der Kurve die Gleichung {{ math/disp|term= y^2=x^2+x^3 |SZ= }} erfüllen. b) Zeige{{n Sie}}, dass jeder Punkt {{math|term= (x,y) \in \R^2|SZ=}} mit {{mathl|term= y^2=x^2+x^3|SZ=}} zum Bild der Kurve gehört. c) Zeige{{n Sie}}, dass es genau zwei Punkte {{ mathkor|term1= t_1 |und|term2= t_2 |SZ= }} mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33yr5mk0hd0weclxo8un0wg6lj03ekh 0 35731 779575 639853 2022-08-21T16:50:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abb |name= |{{KRC}}^3|{{KRC}}^2 || |SZ=, }} die durch {{ math/disp|term= (x,y,z) \longmapsto (xy^2-z^3, {{op:sin|(xy)|}} + x^2 \cdot {{op:exp|z|}})=(f_1,f_2) |SZ= }} gegeben sei. Die partiellen Ableitungen von {{math|term= f_1|SZ=}} sind {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung|f_1|x}} = y^2, \, {{op:Partielle Ableitung|f_1|y}} = 2y, \, {{op:Partielle Ableitung|f_1|z}} = -3z^2 |SZ=, }} und die partiellen Ableitungen von {{math|term= f_2|SZ=}} sind {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung|f_2|x}} = y {{op:cos|(xy)|}} + 2x \cdot {{op:exp|z|}}, \,{{op:Partielle Ableitung|f_2|y}} = x \cdot {{op:cos|(xy)|}} , \,{{op:Partielle Ableitung|f_2|z}} = x^2 \cdot \exp(z) |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8kdrc7uw3ocq4rnd5utf1n02ruu7kkk 0 35732 779828 739126 2022-08-21T17:28:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^2 | {{KRC/{{{K|K}}}|}} |(x,y)|x^2y |SZ=, }} in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||(a_1,a_2) || || || |SZ= }} in Richtung {{ Ma:Vergleichskette |v ||(v_1,v_2) || || || |SZ=. }} Der Differenzenquotient ist {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | {{op:Bruch|f(P+sv)-f(P)|s}} || {{op:Bruch|f( (a_1+sv_1,a_2+sv_2) )-f((a_1,a_2))|s}} || {{op:Bruch|(a_1+sv_1)^2 (a_2+sv_2)-a_1^2a_2|s}} || {{op:Bruch|a_1^2a_2+ 2sa_1a_2v_1 +s^2a_2v_1^2 + s a_1^2v_2 +2s^2a_1v_1v_2 + s^3 v_1^2v_2 -a_1^2a_2|s}} || 2a_1a_2v_1 +a_1^2v_2 + s(a_2v_1^2 +2 a_1v_1v_2) + s^2( v_1^2v_2 ) |SZ=. }} Für {{mathl|term= s \rightarrow 0|SZ=}} gehen die beiden hinteren Summanden gegen {{math|term= 0|SZ=,}} so dass sich insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|s|0|{{op:Bruch|f(P+sv)-f(P)|s}} }} || 2a_1a_2v_1 +a_1^2v_2 || || || |SZ= }} ergibt. Im Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||(2,5) || || || |SZ= }} ergibt sich in Richtung {{ Ma:Vergleichskette |v || (1,-3) || || || |SZ= }} beispielsweise die Richtungsableitung {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 1 + 2^2 \cdot (-3) ||8 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 92ts4stx4cb47ljcven7qhbstc11l6y 0 35742 782117 756005 2022-08-21T23:48:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= (V_1, {{op:Skalarprodukt|-|-}}_1 ) |und|term2= (V_2, {{op:Skalarprodukt|-|-}}_2) |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |euklidische Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ math/disp|term= {{op:Skalarprodukt|(v_1,v_2)|(w_1,w_2)|}} := {{op:Skalarprodukt|v_1|w_1|}}_1 + {{op:Skalarprodukt|v_2|w_2|}}_2 |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Produktraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V_1 \times V_2|SZ=}} definiert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mts2tcbrzvj34yylbfgd0un0knx2844 0 35743 782110 737555 2022-08-21T23:47:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum Teilmenge Berührpunkt/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |T|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einen {{ Definitionslink |euklidischen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} mit den {{ Definitionslink |Komponentenfunktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f_1 {{kommadots|}} f_n |{{{T|T}}}|\R || |SZ= }} bezüglich einer Basis von {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|a|f(x)}} |SZ= }} genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|a|f_j(x)}} |SZ= }} existieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie2=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} et4vjt8r6oe92ehi497drmwa7xhmsst 0 35746 783759 736492 2022-08-22T04:22:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= D,E,F|SZ=}} {{ Definitionslink |metrische Räume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=h |D|E || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| D || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Berührpunkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= D \setminus \{P\} |SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | h(P) || Q |\in| E || || |SZ= }} ein Berührpunkt von {{mathl|term= E \setminus\{Q\} |SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=g |E \setminus \{Q \}|F || |SZ= }} eine Abbildung und es sei vorausgesetzt, dass {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|y|Q| g(y)}} |SZ= }} existiert. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|P| g(h(x))}} |SZ= }} existiert und mit {{mathl|term= {{op:Funktionslimes|y|Q| g(y)}} |SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bfl46ibcntfyl7thel7ej6tsljbzaat 0 35752 781749 755659 2022-08-21T22:47:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=f |\R|S^1 \subseteq \R^2 || |SZ=, }} die einem Punkt {{mathl|term= t \in \R|SZ=}} den eindeutigen Schnittpunkt {{mathl|term= \neq (0,-1)|SZ=}} der durch die beiden Punkte {{ mathkor|term1= (t,1) |und|term2= (0,-1) |SZ= }} gegebenen Geraden {{mathl|term= G_t|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Einheitskreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | S^1 || {{mengebed|(x,y) \in \R^2|x^2+y^2 {{=|}} 1}} || || || |SZ= }} zuordnet. Zeige{{n Sie}}, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme{{n Sie}} die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Ist {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} ist {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sj1hibqmc6omaq7otw2eb4tiqixjrtp 0 35766 785074 739269 2022-08-22T07:43:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^m | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in jeder {{ Definitionslink |Komponente| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |polynomial| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei und sei {{ Ma:abb/disp |name=g | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^n | {{KRC/{{{K|K}}}|}} || |SZ= }} eine polynomiale Funktion. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |polynomiale Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie2=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m63o0yo1dv5fygev2torz36zcd3juke 0 35767 786311 739140 2022-08-22T11:04:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} reelle endlichdimensionale Vektorräume, {{ Ma:Vergleichskette | G |\subseteq| V || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} ein Vektor. Es bezeichne {{mathl|term= C^1_v(G,W) |SZ=}} die Menge aller in Richtung {{math|term= v|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbaren Abbildungen| |Kontext=R Richtung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} nach {{math|term= W|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | C^1_v(G,W)|{\rm Abb}(G,W) |\varphi| {{op:Richtungsableitung|\varphi||v}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kcaxtykprgbm21mkl8diuam9mci2ytc 0 35769 786299 759383 2022-08-22T11:02:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} reelle {{ Definitionslink |endlichdimensionale Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= G \subseteq V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= P \in G|SZ=}} und {{mathl|term= v \in V|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|W || |SZ= }} eine Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass die Richtungsableitung {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung|\varphi|P|v}} |SZ=}} im Punkt {{math|term= P|SZ=}} genau dann existiert, wenn die {{ Definitionslink |Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |I|W |t| \varphi(P+tv) |SZ=, }} in {{mathl|term= t=0|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wie muss dabei das Intervall {{math|term= I|SZ=}} gewählt werden? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2fdear2gsuaifupnmoy7tb3zmrpp54y 0 35771 781211 746677 2022-08-21T21:17:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die {{ Definitionslink |Länge| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |cosinus hyperbolicus| |Definitionsseitenname= /Definition {{{def|}}} |SZ= }} {{mathl|term= {{op:cosh|t|}} |SZ=}} von {{ mathkor|term1= a |nach|term2= b |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2=Theorie der Hyperbelfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4l9oh1hjxt4upecs6nn9cfrdvfu4wrb 0 35772 783995 757617 2022-08-22T05:01:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die {{ Definitionslink |Länge| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:exp|t|}} |SZ=}} von {{ mathkor|term1= a |nach|term2= b |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die reelle Exponentialfunktion |Stichwort=Exponentialfunktion |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dwx2ckbvdc4pky55slo0xt22ntvtfkk 0 35780 779827 739449 2022-08-21T17:27:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC/{{{K|K}}}|}} |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=L |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann existiert die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext=Punkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V || || || |SZ= }} und in jede Richtung {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ=, }} und zwar ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Richtungsableitung|L|P|v}} || L(v) || || || |SZ=, }} insbesondere ist also die Richtungsableitung unabhängig vom Punkt. Dies folgt direkt durch Betrachten des Differenzenquotienten; es ist nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|L(P+sv)-L(P)|s}} || {{op:Bruch|L(P)+sL(v)-L(P)|s}} || {{op:Bruch|sL(v)|s}} || L(v) || |SZ=. }} Daher ist auch der {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=Abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= s \rightarrow 0 |SZ=}} gleich {{math|term= L(v) |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c7s5k2fur5m775byxo61g1emzvwcrdf 0 35781 779412 763500 2022-08-21T16:23:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |polynomiale Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^n | {{KRC/{{{K|K}}}|}} |(x_1 {{kommadots|}} x_n)|x_1 \cdots x_n |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext={{{K|K}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in Richtung {{ Ma:Vergleichskette |v ||(v_1 {{kommadots|}} v_n) || || || |SZ= }} in einem beliebigen Punkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||(x_1 {{kommadots|}} x_n) || || || |SZ= }} ergibt sich durch Betrachten des Differenzenquotienten, also {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | {{op:Bruch|(x_1+sv_1) \cdot (x_2+sv_2) \cdots (x_n+sv_n) - x_1\cdot x_2 \cdots x_n|s}} || {{op:Bruch|x_1\cdot x_2 \cdots x_n +s {{makl| \sum_{i {{=|}} 1 }^n v_i {{op:Bruch|x_1 \cdots x_n|x_i}} |}} + s^2 g(s, x_1 {{kommadots|}} x_n,v_1 {{kommadots|}} v_n) - x_1\cdot x_2 \cdots x_n|s}} || \sum_{i {{=|}} 1 }^n v_i {{op:Bruch|x_1 \cdots x_n|x_i}} +s \cdot g(s, x_1 {{kommadots|}} x_n,v_1 {{kommadots|}} v_n ) || || |SZ=. }} Dabei ist {{mathl|term= g(s, x_1 {{kommadots|}} x_n,v_1 {{kommadots|}} v_n ) |SZ=}} eine polynomiale Funktion in {{math|term= s|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{mathlk|term=x_1 {{kommadots|}} x_n|SZ=}} und die {{mathlk|term=v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} sind fixierte Zahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Der {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=Abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= s \cdot g(s, x_1 {{kommadots|}} x_n,v_1 {{kommadots|}} v_n ) |SZ=}} geht für {{mathl|term= s \rightarrow 0|SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=.}} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Richtungsableitung|f|P|v}} || \sum_{i {{=|}} 1 }^n v_i {{op:Bruch|x_1 \cdots x_n|x_i}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ka4dj0wst9cjziw4qcf7uywu0o1w3bn 0 35789 782870 738927 2022-08-22T01:54:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC/{{{K|K}}}|}} |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G \subseteq V|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|W || |SZ= }} eine {{math|term= n|SZ=-}}mal {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |Kontext={{{K|K}}} n höher| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_{n} |SZ=}} eine Auswahl von {{math|term= n|SZ=}} Vektoren aus {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann für jede {{ Definitionslink |Permutation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sigma \in S_n|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Richtungsableitung|(... {{op:Richtungsableitung| ({{op:Richtungsableitung|\varphi||v_1}} )||v_2}} \ldots ) ||v_n}} || {{op:Richtungsableitung|(... {{op:Richtungsableitung| ({{op:Richtungsableitung|\varphi||v_{\sigma(1)} }} )||v_{\sigma(2)} }} \ldots ) ||v_{\sigma(n)} }} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oh3lukdjsjm0np5n2pzcb0e2e0wfp3r 0 35795 782872 738922 2022-08-22T01:54:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} sämtliche {{ Definitionslink |höheren Richtungsableitungen| |Kontext={{{K|K}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{KRC/{{{K|K}}}|}}^2|{{KRC/{{{K|K}}}|}} |(x,y)|x^2y^3-x^3y |SZ=, }} die sich mit den beiden Standardrichtungen {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} und {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} ausdrücken lassen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der höheren Richtungsableitungen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fu4i0j0s8h2o2iehkjwgjg1iueh1r7w 0 35797 785082 739298 2022-08-22T07:44:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^n | {{KRC/{{{K|K}}}|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Polynomfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |k |\in|\N || || || |SZ= }} derart gibt, dass sämtliche {{math|term= k|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Richtungsableitungen| |Kontext={{{K|K}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie2=Theorie der Richtungsableitung (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7bmh3a878pmfa54lvvu7w3psh5lsoe4 0 35811 784864 738928 2022-08-22T07:11:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Jacobimatrix/Aufgabenform|{{KRC/{{{K|K}}}|}}^2| {{KRC/{{{K|K}}}|}} |(x,y)|xy^3-x^2y^2-4y^2|K={{{K|K}}}|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Abbildung in einem Punkt {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (2,5)|SZ=.}} Bestätige{{n Sie}}, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor {{mathl|term= (2,5)|SZ=}} anwendet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (K) |Kategorie2=Theorie der partiellen Ableitung (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ginlcm5j6n2aqo158eujm6sg4towado 0 35812 782340 738911 2022-08-22T00:25:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche{{n Sie}} die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f | \R^2|\R |(x,y)|x^2-y^2 |SZ=, }} im Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} auf {{ Definitionslink |Richtungsableitungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man entscheide für jede Gerade {{math|term= G|SZ=}} durch den Nullpunkt, ob die {{ Definitionslink |Einschränkung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} auf {{math|term= G|SZ=}} im Nullpunkt ein {{ Definitionslink |Extremum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 02b2yutvt6qed3dtccywfs3hmwzexde 0 35813 786164 759323 2022-08-22T10:40:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Länge| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |differenzierbaren Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|x^3-5x^2+3x-2 |SZ=, }} von {{math|term= -5|SZ=}} nach {{math|term= 5|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hwwf2f2o9g3ra6sg144ya9czmiobk9v 0 35814 786163 736995 2022-08-22T10:40:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |[a,b]|\R^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | c |\in| [a,b] || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |rektifizierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die beiden Einschränkungen von {{math|term= f|SZ=}} auf {{mathl|term= [a,c] |SZ=}} und auf {{mathl|term= [c,b] |SZ=}} rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall {{ Ma:Vergleichskette/disp | L_a^b(f) || L_a^c(f) + L_c^b(f) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Unterteilung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q4ru9jy54j1nz3zkxai2futjlsic5sy 0 35833 782960 434393 2022-08-22T02:09:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Unterteile das Intervall {{mathl|term= [-4,5]|SZ=}} in sechs gleichgroße Teilintervalle. b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf {{mathl|term= [-4,5]|SZ=,}} die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte {{mathl|term= 2|SZ=}} und {{math|term= -1|SZ=}} annimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Intervall |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mm2w4e83a03dc80xx237watoilf48le 0 35839 786639 509285 2022-08-22T11:58:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Es sei {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=}} und es sei {{math/disp|term=f(x) =R(x, \sqrt[k]{x})|SZ=}} eine rationale Funktion in {{ mathkor|term1= x |und in|term2= \sqrt[k]{x} |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} direkt {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Bezug auf Standardsubstitutionen der Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} eine geeignete Substitution an, mit der die Berechnung der Stammfunktion zu {{mathl|term= f(x)|SZ=}} auf die Berechnung einer Stammfunktion einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückgeführt werden kann. b) Bestimme{{n Sie}} eine Stammfunktion für die Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathl|term= x>1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Bruch|\sqrt[3]{x} + x | (\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x} }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sh9krqddehoy69yflb2n2cqn8ir3fys 0 35844 782749 756525 2022-08-22T01:33:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Intervall/Stetige Funktion/Situation||SZ=.}} Es sei {{mathl|term= a \in I|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(x) | {{defeq|}} | {{op:Integral|a|x|f}} || || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Integralfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= F|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass {{ Ma:Vergleichskette |F'(x) || f(x) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x \in I|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8pn65e8hem71npprw9zatoq7rd5joe4 0 35854 782186 511123 2022-08-21T23:59:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Zeige{{n Sie}}, dass für {{mathl|term= x \geq 1|SZ=}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|0|1|grand=t^x e^{-t}||t}} |\leq|1 || || || |SZ= }} gilt. b) Zeige{{n Sie}}, dass die Funktion {{mathl|term= H(x)|SZ=}} mit {{ math/disp|term= H(x) = {{op:Integral|1|\infty|grand=t^x e^{-t}||t }} |SZ= }}für {{mathl|term= x \geq 1|SZ=}} monoton wachsend ist. c) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= 10! \geq e^{11} +1 |SZ=}} gilt. d) Zeige{{n Sie}}, dass für die Fakultätsfunktion für {{mathl|term= x \geq 10|SZ=}} die Abschätzung {{ math/disp|term= {{op:Fak(|x|}} \geq e^x |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Fakultätsfunktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 49cddaehqzis87tyrhn6lepz3jta3jn 0 35860 782563 756336 2022-08-22T01:02:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Lösungen der {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathl|term= y>0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= y'=t^2y^3 |SZ= }} mit dem {{ Faktlink |Lösungsansatz für getrennte Variablen|Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Was ist der Definitionsbereich der Lösungen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxxlvb56t64mxoudcywfbq7hjzg1fzx 0 35889 784219 220589 2022-08-22T05:39:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= (M,d)|SZ=}} ein metrischer Raum und {{mathl|term= X \subseteq M|SZ=}} eine Teilmenge. Wir definieren die Funktion {{ Ma:abbele |name=f |M |\R |x | d(x,X) |SZ=, }} wobei {{mathl|term= d(x,X):= \inf \{d(x,y): y \in X \}|SZ=.}} Zeige, dass {{math|term= f|SZ=}} Lipschitz-stetig mit Konstante {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kohy5yoocyoo4iy0k2p4ss1j85krodn 0 35983 781420 755438 2022-08-21T21:52:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|\R || || || |SZ= }} ein Intervall, {{mathl|term= W|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |I|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zwischen dem {{ Definitionslink |totalen Differential| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Kurven-Ableitung| |Definitionsseitenname= Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar in einem Punkt/Definition |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|\varphi|P|1}} || \varphi'(P) || || || |SZ= }} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2=Siehe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mto502rqal783j75h5lhvwmvfxdeflh 0 36006 781438 508957 2022-08-21T21:55:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= U \subseteq \R|SZ=}} eine Umgebung der {{math|term= 0|SZ=}} und {{ Ma:abb |name=f |U | \R || |SZ= }} eine Funktion mit der Eigenschaft, dass {{mathl|term= {{op:Betrag|f(x)|}} \, \leq \, {{op:Betrag|x|}}^a|SZ=}} mit einem {{mathl|term= a > 1|SZ=}} gilt. Zeige, dass {{math|term= f|SZ=}} in {{mathl|term= x_0=0|SZ=}} differenzierbar ist und berechne den Wert der Ableitung an dieser Stelle. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eb1chyzx5iv1dej9t2zgd73z080jhir 0 36008 781440 506853 2022-08-21T21:55:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass die Funktion {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} gegeben durch {{ math/disp|term= f(x):= \begin{cases} 0 \text{, falls } x =0 \\ x^2 \cos \frac{1} {x} \text{, falls } x \neq 0 \end{cases} |SZ= }} auf ganz {{math|term= \R|SZ=}} differenzierbar ist und berechne die Ableitung. Ist diese stetig? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1n48e4l3h8es03kolnjvad8f4lk9uc5 0 36009 781441 227537 2022-08-21T21:55:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche die Funktion {{ Ma:abbele |name=g |]0, \infty[| \R |x|x^x |SZ=, }} auf Differenzierbarkeit und bestimme (falls möglich) die Ableitung und die lokalen Extrema von {{math|term= g|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oi6vxqrwbsj9qq8nnvg19xe0lcw1ddw 0 36023 784866 738926 2022-08-22T07:11:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass keine {{ Definitionslink |Prämath= |partiell differenzierbare Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R || |SZ= }} existiert, so dass {{ mathkor/disp|term1= {{op:Partielle Ableitung| f| x}} (x,y) = xy |und|term2= {{op:Partielle Ableitung| f| y}} (x,y) = y^2 |SZ= }} für alle {{math|term= (x,y) \in \R^2|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cvu0s5jostna1dkrlyv2ccjs9cjykn4 0 36025 781394 755415 2022-08-21T21:47:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f | \R^n| \R^n || |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Nullpunkt und sei {{mathl|term= {(h_m)}_{m \in \N }|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= \R^n \setminus \{ 0\} |SZ=}} mit {{ math/disp|term= \lim_{m \to \infty} h_m = 0, \lim_{m \to \infty} \frac{h_m}{ {{op:Norm|h_m|}} } = v \in \R^n, f(h_m) = f(h_k) \text { für alle } m,k \in \N |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= v|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Eigenvektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Totales Differential|f|0}} }} zum {{ Definitionslink |Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Folge |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qjdh82d9dym4yxfyfrty9u615qvs647 0 36034 783586 757243 2022-08-22T03:53:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=,}} {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} offen und {{ Ma:abb/disp |name=f |V|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\gamma |I|U || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die ganz in einer {{ Definitionslink |Niveaumenge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} verläuft. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|\operatorname{grad} \, f (P) | \gamma'(t)}} ||0 || || || |SZ= }} ist für {{mathl|term= P= \gamma (t)|SZ=}} und alle {{mathl|term= t \in I|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ktyvfvx1qu5m5dnftse9d0gwqi6fcsy 0 36035 783977 757611 2022-08-22T04:58:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrische Räume/Situation|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |L|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(P) ||Q || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |M|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die im Punkt {{mathl|term= Q \in M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |lokales Extremum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitze. Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= f \circ \varphi |SZ= }} in {{math|term= P|SZ=}} ein lokales Extremum besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1rg7ryr7f5k0uulov7sdj3o8jybkvol 0 36036 786295 739141 2022-08-22T11:02:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC/{{{K|K}}}|}} |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:Vergleichskette | G |\subseteq| V || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| G || || || |SZ= }} ein Punkt, {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} ein Vektor und sei {{ Ma:abb/disp |name=f |G|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die im Punkt {{math|term= P|SZ=}} in Richtung {{math|term= v|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=Richtung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} auch in Richtung {{ mathbed|term= cv |mit|bedterm1= c \in {{KRC/{{{K|K}}}|}} ||bedterm2= |SZ= }} differenzierbar ist und die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Richtungsableitung| f|P| cv}} || c {{op:Richtungsableitung|f|P|v}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Skalierung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} de3sq0am8rp3s2t89z2x1cl7crvp60c 0 36077 786567 759595 2022-08-22T11:47:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass in der Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| {{op:Skalarprodukt|v|w}} |}} |\leq| {{op:Norm|v|}} \cdot {{op:Norm|w|}} || || || |SZ= }} von {{ Faktlink |Cauchy-Schwarz|Faktseitenname= Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} genau dann die Gleichheit gilt, wenn {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} {{ Definitionslink |linear abhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lvzk2jxthwcrkxizye53bujwad9g82k 0 36080 782597 756363 2022-08-22T01:08:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Gradienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^3|\R |(x,y,z)|x^2y-z^3xe^{xyz} |SZ=, }} in jedem Punkt {{mathl|term= P \in \R^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Gradienten einer Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} im9toehsb3v1yt0u4ihd7lrvbgfz580 0 36093 783853 740778 2022-08-22T04:38:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reeller Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |V|\R || |SZ= }} keine {{ Definitionslink |lokalen Extrema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5yb8ncaaw62gtxh7k7f1un7cnulsspz 0 36095 781601 755550 2022-08-21T22:22:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=}} von {{ Definitionslink |endlicher Dimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Dualraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} die gleiche Dimension wie {{math|term= V|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kqgm9z662h39benj3drfe0s6xeltima 0 36106 781071 755134 2022-08-21T20:53:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Endlichdimensional/Bilinearform/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |symmetrisch| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es eine Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v_i|v_j}} || {{op:Bilinearform|v_j|v_i}} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |1 |\leq| i,j |\leq| n || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3kyumcb2nf36ht7qufvufu6ypkcgtcr 0 36108 782791 756557 2022-08-22T01:40:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Offen/Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Hesse-Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} in jedem Punkt {{mathl|term= P \in G|SZ=}} {{ Definitionslink |symmetrisch| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hesse-Form |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Symmetrisch |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ihi9pmrnplgbl2k7y348ehc4g297ns4 0 36120 782593 748888 2022-08-22T01:07:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (V, {{op:Bilinearform|-|-}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= {{{G|G}}} \subseteq V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= P \in G|SZ=}} ein Punkt und {{ Ma:abb/disp |name=f |{{{G|G}}}|\R || |SZ= }} eine in {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= f |und|term2= {{op:Totales Differential|f|P}} |SZ= }} im Punkt {{math|term= P|SZ=}} den gleichen {{ Definitionslink |Gradienten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Gradienten einer Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4yz4qd4qi3vvq3ztwn2r0ej889m9nfn 0 36122 782594 756361 2022-08-22T01:08:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (V, {{op:Skalarprodukt|-|-}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= {{{G|G}}} \subseteq V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= P \in G|SZ=}} ein Punkt und {{ Ma:abb/disp |name=f |{{{G|G}}}|\R || |SZ= }} eine in {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein Vektor {{mathl|term= v \in V|SZ=}} genau dann zum {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Totales Differential|f|P}} |SZ=}} gehört, wenn er {{ Definitionslink |orthogonal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Gradienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Gradient|f|P}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Gradienten einer Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7jfhdml958z4ma4447e9h95gc21vnck 0 36123 783936 757576 2022-08-22T04:52:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die {{ Definitionslink |Linearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=L |\R^3|\R |(x,y,z)|x+3y-4z |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Bestimme den Vektor {{mathl|term= u \in \R^3|SZ=}} mit der Eigenschaft {{ math/disp|term= {{op:Skalarprodukt|u|v}} = L(v) \text { für alle } v \in \R^3 |SZ=, }} wobei {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=}} das {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. |Es sei {{ math/disp|term= E= {{Mengebed|(x,y,z)|3x-2y-5z {{=|}} 0}} \subset \R^3 |SZ= }} und es sei {{mathl|term= \varphi=L {{|}}_E |SZ=}} die {{ Definitionslink |Einschränkung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} auf {{math|term= E|SZ=.}} Bestimme den Vektor {{mathl|term= w \in E|SZ=}} mit der Eigenschaft {{ math/disp|term= {{op:Skalarprodukt|w|v}} = \varphi (v) \text { für alle } v \in E |SZ=, }} wobei {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=}} die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf {{math|term= E|SZ=}} bezeichnet. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Gradienten zu einer Linearform auf einem euklidischen Vektorraum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ngmt8o3gllicql5ih50q70kceqiprk 0 36125 782595 745836 2022-08-22T01:08:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^3|\R |(x,y,z)|x+ {{op:sin(|y|}}-xz |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Gradienten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} von {{math|term= f|SZ=}} im Punkt {{ Ma:Vergleichskette | P || (0,0,0) |\in| \R^3 || || || |SZ= }} bezüglich des {{ Definitionslink |Standardskalarprodukts| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=.}} |Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | E || {{Mengebed|(x,y,z)|2x-y+3z {{=|}} 0}} |\subseteq| \R^3 || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette | g || f {{|}}_E || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Einschränkung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= E |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} den Gradienten {{math|term= \tilde{G} |SZ=}} von {{mathl|term= g |SZ=}} bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf {{math|term= E |SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \tilde{G} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Projektion| |Kontext=euklidisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} auf {{math|term= E|SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Gradienten einer Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6wd0gpnibdhyi6p2c71whwragw2bgd8 0 36132 780796 421937 2022-08-21T20:08:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den Anstieg der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R |(x,y)|x^2y-x+y^3 |SZ=, }} im Punkt {{mathl|term= P=(1,1)|SZ=}} in Richtung des Winkels {{mathl|term= \alpha \in [0, 2 \pi]|SZ=.}} Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Gradienten einer Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Winkel |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jao6gaeao7qi3q806y65xddyle6tze3 0 36169 783831 578981 2022-08-22T04:34:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe{{n Sie}}, ob die folgenden Abbildungen {{math|term= \R|SZ=-}}linear sind: {{ Aufzählung5 | {{ Ma:abbele |name=f_1 | \R^2 | \R^2 |(x,y)^t|(x+y,x-y)^t |SZ=, }} | {{ Ma:abbele |name=f_2 |\R |\R |x|2x+1 |SZ=, }} | {{ Ma:abbele |name=f_3 |C[0,1]|\R |\varphi| \int_0^1 \varphi(t) dt |SZ=, }} | {{ Ma:abbele |name=f_4 | \R^2|\R |(x,y)^t|xy |SZ=, }} | {{ Ma:abbele |name=f_5 | {{CC}}|{{CC}} |z| {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |SZ=. }} }} Ist {{math|term= f_5|SZ=}} {{math|term= {{CC}}|SZ=-}}linear? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ecu8qv8w9rdmlynwl57elldrukuzg4 0 36172 783838 757464 2022-08-22T04:35:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=f |V |V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 | {{mathl|term= {{op:Kern| f}} = {{op:Kern| {{makl| f \circ f |}} }} |SZ=}} | {{mathl|term= {{op:Kern| f}} \cap {{op:Bild| f}} = \{0\}|SZ=}} | {{mathl|term= V={{op:Kern| f}} \oplus {{op:Bild| f}}|SZ=}} | {{mathl|term= {{op:Bild| f}}= {{op:Bild| {{makl| f \circ f |}} }}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qnm8dclwk3gzupmz4m1bgzua75satxc 0 36173 783833 510110 2022-08-22T04:34:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= e_1, e_2, e_3, e_4|SZ=}} die Standardbasisvektoren des {{math|term= \R^4|SZ=}} und die lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=f |\R^4 |\R^4 || |SZ= }} sei gegeben durch {{ math/disp|term= f(e_1) = {{op:Spaltenvektor|-2|2|0|1}}, f(e_2) ={{op:Spaltenvektor|-7|4|1|2}}, f(e_3) = {{op:Spaltenvektor|-4|4|0|2}}, f(e_4) = {{op:Spaltenvektor|10|-4|-2|-2}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} jeweils eine Basis von {{mathl|term= {{op:Kern|f}} |SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Bild|f}}|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Kern|f}} \cap {{op:Bild|f}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2lvwpgt6il73abvhw7cpdvwjdlznfw3 0 36194 785064 758452 2022-08-22T07:41:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen vom Grad {{mathl|term= \leq k|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Taylor-Polynom| |Kontext=mehr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{mathl|term= \leq k|SZ=}} von {{math|term= f|SZ=}} im Nullpunkt übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gkp7qdg8shrogy27p5tdxk9vsfss54t 0 36197 782788 741073 2022-08-22T01:40:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition }} der {{ Definitionslink |Hesse-Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2\times\R_+|\R |(x,y,z)|xy^3-x^2 {{op:ln|z|}} |SZ=, }} im Punkt {{mathl|term= (0,2,3)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hesse-Form |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Typ |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxyvppj461pp1yttgg6fqyyejd4c79e 0 36202 783146 643631 2022-08-22T02:40:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einem Studium werden {{math|term= 11|SZ=}} Leistungsnachweise verlangt, und zwar {{math|term= 3|SZ=}} Seminarscheine, {{math|term= 5|SZ=}} Klausuren, {{math|term= 2|SZ=}} mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Kombinatorik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lkxbrd9yn67kpa4hcchxrg0ghdjqvzt 0 36203 783148 627967 2022-08-22T02:40:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |k,n |\in| \N || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |r ||(r_1 {{kommadots|}} r_n) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \sum_{j {{=|}} 1}^k r_j || n || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der {{math|term= n|SZ=-}}Tupel {{ math/disp|term= (j_1 {{kommadots|}} j_n) \in {{menge1k|}}^n |SZ=, }} in denen die Zahl {{math|term= j|SZ=}} genau {{math|term= r_j|SZ=-}}mal vorkommt, gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \binom{n}{r} || {{op:Bruch|n!|r_1! \cdots r_k!}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multinomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pr3n9e7a73onh7o3hbh5g6rra0rzect 0 36204 784870 758309 2022-08-22T07:11:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der geordneten {{ Definitionslink |Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel {{ Ma:Vergleichskette |r ||(r_1 {{kommadots|}} r_k) || || || |SZ= }} einer {{math|term= n|SZ=-}}elementigen Menge gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \binom{n}{r} || {{op:Bruch|n!|r_1! \cdots r_k!}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multinomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} esmvtx562sar6d1i1azd5lf5i5v1mfw 0 36212 783147 756867 2022-08-22T02:40:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |n,k |\in|\N || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |r ||(r_1 {{kommadots|}} r_k) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \sum_{j=1}^k r_j || n || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= | {{menge1n|}} | {{menge1k|}} || |SZ=, }} bei denen das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |j |\in| {{menge1n|}} || || || |SZ= }} aus genau {{mathl|term= r_j|SZ=}} Elementen besteht, gleich dem {{ Definitionslink |Prämath= |Multinomialkoeffizienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \binom{n}{r} || {{op:Bruch|n!|r_1! \cdots r_k!}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multinomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ts5sv8kuk4kq8ba3qg5vsegsfdafu84 0 36217 778850 747981 2022-08-21T13:04:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=,}} und sei {{mathl|term= {{{H|H}}} (Q) |SZ=}} die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Hesse-Form {{mathl|term= {{op:Hesse|f|Q}} |SZ=}} im Punkt {{ Ma:Vergleichskette |Q |\in|G || || || |SZ= }} bezüglich dieser Basis. Aufgrund der Differenzierbarkeitsvoraussetzungen hängt {{mathl|term= {{{H|H}}}(Q) |SZ=}} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= Q|SZ=}} ab. Daher hängen auch die {{ Definitionslink |Determinanten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der quadratischen Untermatrizen von {{mathl|term= {{{H|H}}}(Q) |SZ=}} stetig von {{math|term= Q|SZ=}} ab. Die Determinanten {{ Ma:Vergleichskette/disp | D_k(P) || {{op:Determinante| (({{{H|H}}}(P)_{i,j} )_{1 \leq i,j \leq k} )|}} || || || |SZ= }} sind {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} alle von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden. Daher gibt es eine offene Umgebung {{ mathbed|term= U ||bedterm1= P \in U \subseteq G ||bedterm2= |SZ=, }} derart, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette |Q |\in|U || || || |SZ= }} die Determinanten {{ Ma:Vergleichskette/disp | D_k(Q) || {{op:Determinante| (({{{H|H}}} (Q)_{i,j} )_{1 \leq i,j \leq k} )|}} || || || |SZ= }} das gleiche Vorzeichen haben wie {{mathl|term= D_k(P) |SZ=.}} Da diese Vorzeichen nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} über die Definitheit entscheiden, folgt die Behauptung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q2chshvil7crbsa1s8n2em1ul29itjj 0 36221 778849 747982 2022-08-21T13:04:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (1). Aufgrund von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Offenheit der positiv definiten Hesse-Form/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette | \delta |>|0 || || || |SZ= }} derart, dass die {{ Definitionslink |Hesse-Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Hesse|f|Q}} |SZ=}} für alle {{ Ma:Vergleichskette |Q |\in| {{op:Offener Ball|P|\delta}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |negativ definit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Für alle Vektoren {{ mathbed|term= v \in V ||bedterm1= v \in {{op:Offener Ball|0|\delta}} ||bedterm2= |SZ=, }} gibt es nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Eine Richtung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Ma:Vergleichskette |c ||c(v) |\in|[0,1] || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(P+v) || f(P) + \sum_{ {{op:Tupelgrad|r|}} {{=|}} 2 } {{op:Bruch|1|r!}} D^r f(P+c v) \cdot v^r || f(P) + {{op:Bruch|1|2}} {{op:Hesse|f|P+cv|v|v}} || || |SZ=, }} wobei die erste Formulierung sich auf eine fixierte Basis bezieht und wobei die zweite Identität auf {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Taylor-Formel/Quadratische Approximation und Hesse-Form/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beruht. Da die Hesse-Form negativ definit ist, steht rechts für {{ Ma:Vergleichskette |v |\neq|0 || || || |SZ= }} eine Zahl, die echt kleiner als {{mathl|term= f(P) |SZ=}} ist. Daher liegt ein isoliertes lokales Maximum vor. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (2) wird wie (1) bewiesen oder durch betrachten von {{math|term= -f|SZ=}} darauf zurückgeführt. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (3). Sei {{mathl|term= {{op:Hesse|f|P}} |SZ=}} {{ Definitionslink |indefinit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann gibt es Vektoren {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} mit {{ mathkor/disp|term1= {{op:Hesse|f|P|v|v}} > 0 |und|term2= {{op:Hesse|f|P|w|w}} < 0 |SZ=. }} Wegen der stetigen Abhängigkeit der Hesse-Form gelten diese Abschätzungen auch für {{mathl|term= {{op:Hesse|f|Q}} |SZ=}} für {{math|term= Q|SZ=}} aus einer offenen Umgebung von {{math|term= P|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit den gleichen Vektoren {{math|term= v|SZ=}} und {{math|term= w|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wir können durch Skalierung von {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} annehmen, dass {{ mathkor|term1= P+v |und|term2= P+w |SZ= }} zu dieser Umgebung gehören. Wie im Beweis zu Teil (1) gilt daher {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= v|SZ=}} und {{math|term= w|SZ=}} sind nicht {{math|term= 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(P+v) || f(P) + {{op:Bruch|1|2}} {{op:Hesse|f|P+cv|v|v}} |>| f(P) || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(P+w) || f(P) + {{op:Bruch|1|2}} {{op:Hesse|f|P+dw|w|w}} |<| f(P) || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |c,d |\in|[0,1] || || || |SZ=. }} Also kann in {{math|term= P|SZ=}} kein lokales Extremum vorliegen. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5td3ytdvz1erybcjmv0ym70ju74ed29 0 36226 779139 739994 2022-08-21T15:42:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R |(x,y)|x+3x^2-2xy-y^2+y^3 |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ mathkor/disp|term1= {{op:Partielle Ableitung|f|x}} = 1+6x-2y |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|f|y}} = -2x-2y+3y^2 |SZ=. }} Zur Berechnung der {{ Definitionslink |kritischen Punkte| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Funktion eliminieren wir {{math|term= x|SZ=}} und erhalten die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |9y^2-8y+1 ||0 || || || |SZ=, }} die zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || {{op:Bruch|\pm \sqrt{7}|9}} + {{op:Bruch|4|9}} || || || |SZ= }} führt. Die kritischen Punkte sind also {{ mathkor/disp|term1= P_1 = {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|2 \sqrt{7} -1|54}} | {{op:Bruch| \sqrt{7}|9}} + {{op:Bruch|4|9}} }} |und|term2= P_2 = {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|-2 \sqrt{7} -1|54}} | {{op:Bruch| - \sqrt{7}|9}} + {{op:Bruch|4|9}} }} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Hesse-Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |Q || (x,y) || || || |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hesse|f|Q}} || {{op:Matrix22|6|-2|-2|-2+6y}} || || || |SZ=. }} Zur Bestimmung des Definitheitstyps ziehen wir {{ Faktlink{{{opt1|}}} ||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt |Faktseitenname2= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} heran, wobei der erste Minor, also {{math|term= 6|SZ=,}} natürlich positiv ist. Die Determinante der Hesse-Matrix ist {{ math/disp|term= -16 +36 y |SZ=, }} was genau bei {{ Ma:Vergleichskette |y |>| {{op:Bruch|4|9}} || || || |SZ= }} positiv ist. Dies ist im Punkt {{math|term= P_1|SZ=}} der Fall, aber nicht im Punkt {{math|term= P_2|SZ=.}} Daher ist die Hesse-Matrix im Punkt {{math|term= P_1|SZ=}} nach {{ Faktlink{{{opt2|}}} ||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt |Faktseitenname2= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} positiv definit und somit besitzt die Funktion {{math|term= f|SZ=}} im Punkt {{math|term= P_1|SZ=}} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein isoliertes {{ Definitionslink |lokales Minimum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das zugleich ein {{ Definitionslink |globales Minimum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. In {{math|term= P_2|SZ=}} ist die Determinante negativ, so dass dort die Hesse-Form {{ Definitionslink |indefinit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und somit, wiederum nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} kein Extremum vorliegen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hesse-Form |Kategorie2=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bjbx61pj9gm5kogeievykw4nxy7ul27 0 36236 782324 756164 2022-08-22T00:22:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= G \subseteq V|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= P \in G|SZ=}} und seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g |G|\R || |SZ= }} zwei zweimal {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Funktionen| |Kontext=mehr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass das {{ Definitionslink |Taylor-Polynom| |Kontext=mehr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Produkt {{math|term= fg|SZ=}} im Punkt {{math|term= P|SZ=}} vom Grad {{math|term= \leq 2|SZ=}} nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} in {{mathl|term= P|SZ=}} vom Grad {{math|term= \leq 1|SZ=}} sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ftt5rup6hvh6sco2ne9t8ntldx7cxc7 0 36238 786023 759164 2022-08-22T10:16:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= G \subseteq V|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und {{mathl|term= P \in G|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel von zwei zweimal {{ Definitionslink |stetig differenzierbaren Funktionen| |Kontext=mehr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f,g |G|\R || |SZ= }} an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in {{math|term= P|SZ=}} übereinstimmen, und die eine Funktion ein {{ Definitionslink |Extremum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= P|SZ=}} besitzt, die andere nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (R) |Kategorie2=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadratische Approximation |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} no55xmx8aed83ciiz55bm2n22wvhbu1 0 36239 782325 756165 2022-08-22T00:23:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= {{op:Vektorraumdimension|V|K=\!}} \geq 2 |SZ=,}} {{mathl|term= G \subseteq V|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und {{mathl|term= P \in G|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel von zwei zweimal {{ Definitionslink |stetig differenzierbaren Funktionen| |Kontext=mehr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f,g |G|\R || |SZ= }} an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in {{math|term= P|SZ=}} übereinstimmen, und die eine Funktion ein {{ Definitionslink |Extremum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= P|SZ=}} besitzt, die andere nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (R) |Kategorie2=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadratische Approximation |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sglplp4ztpt63mbgavx71gxnvtnxzxc 0 36240 782322 739525 2022-08-22T00:22:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | G | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| G || || || |SZ= }} ein Punkt und {{ Ma:abb/disp |name=f |G|\R| || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette | k |\in| \N || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es maximal ein Polynom {{mathl|term= p(x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ=}} vom Grad {{math|term= \leq k|SZ=}} mit der Eigenschaft geben kann, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|x|0| {{op:Bruch|{{op:Norm|f(x)-p(x)|}}| {{op:Norm|x|}}^k |}} ||}} ||0 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Formel in mehreren Variablen (R) |Kategorie2=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Eindeutig |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3gaycl1lnok3cge8vmxr3ropi6a75af 0 36243 782323 756163 2022-08-22T00:22:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= G \subseteq V|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= P \in G|SZ=}} und seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g |G|\R || |SZ= }} zwei {{math|term= k|SZ=-}}mal {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Funktionen| |Kontext=mehr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |Taylor-Polynomen| |Kontext=mehr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= T_k(f) |und|term2= T_k(g) |SZ= }} in {{math|term= P|SZ=}} vom Grad {{mathl|term= \leq k|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das Produkt {{math|term= fg|SZ=}} ebenfalls {{math|term= k|SZ=-}}mal {{ Definitionslink |stetig differenzierbar| |Kontext=mehr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dass für das Taylor-Polynom {{mathl|term= T_k(fg)|SZ=}} von {{math|term= fg|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} vom Grad {{math|term= \leq k|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |T_k(fg) || ( T_k(f) \cdot T_k(g) )_{\leq k} || || || |SZ= }} besteht, wobei der Subskript {{mathl|term= {\leq k}|SZ=}} bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad {{math|term= k|SZ=}} genommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ca0kuut3cbwc8reso2ku5i3gpoxexi6 0 36244 782326 756166 2022-08-22T00:23:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:abb/disp |name=h |\R_{\geq 0}|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und betrachte {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R |(x,y)|h(x^2+y^2) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} allenfalls im Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |isoliertes lokales Extremum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn {{math|term= h|SZ=}} in {{math|term= 0|SZ=}} ein isoliertes lokales Extremum besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ljcyfihznje1shanrkc4mcs97vbjbaf 0 36252 782334 756176 2022-08-22T00:24:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} die Nullstellenmenge {{ Zusatz/Klammer |text=die {{ Definitionslink |Niveaumenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Wert {{math|term= 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} einer Funktion {{ Ma:abb/disp |name=f |\R^2|\R || |SZ= }} mit {{mathl|term= f(0,0)=0|SZ=}} und der Eigenschaft, dass {{math|term= f|SZ=}} in {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} kein {{ Definitionslink |lokales Minimum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, dass aber die {{ Definitionslink |Einschränkung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} auf jede Gerade durch den Nullpunkt ein lokales Minimum besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nazuu96d4xe17ha6u5amsfynj8ls3ls 0 36253 785065 739272 2022-08-22T07:42:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |\R^n|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Polynomfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R^n|SZ=}} mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen {{mathl|term= z_i,\, i=1 {{kommadots|}} n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9phsifpa5qdia9ic0ltkxvz8wjsgftk 0 36259 782329 756172 2022-08-22T00:23:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= I = {] {- {{op:Bruch|\pi|2}}} , {{op:Bruch|\pi|2}} [} |SZ=.}} Untersuche{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |I \times I |\R |(x,y)| {{op:Bruch| {{op:cos|x|}} | {{op:cos|y|}} }} |SZ=, }} auf {{ Definitionslink |Extrema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} omi41utya7gmwlp3jmjvgfz36w90so8 0 36275 780074 312991 2022-08-21T18:06:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Würfel.Tafel.Symmetrieserie.9|JPG| 320px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |Text=Die beiden Drehachsen. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=C-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Würfel.Tafel.Symmetrieserie.10|JPG| 320px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |Text=Die Wirkung der beiden Drehungen auf einigen Punkten. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=C-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Würfel.Tafel.Symmetrieserie.11|JPG| 320px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |Text=Die Wirkung der beiden Drehungen auf allen Eckpunkten. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=C-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= \alpha|SZ=}} die Achse durch die Seitenmittelpunkte der oberen und der unteren Seite, und es sei {{math|term= \varphi|SZ=}} die Drehung um diese Achse um {{math|term= 90|SZ=}} Grad gegen den Uhrzeigersinn von oben betrachtet. Es sei {{math|term= \delta|SZ=}} die Achse durch die Seitenmittelpunkte der vorderen und der hinteren Seite, und es sei {{math|term= \psi|SZ=}} die Drehung um diese Achse um {{math|term= 90|SZ=}} Grad mit dem Uhrzeigersinn von vorne betrachtet. Was kann man über die Verknüpfung sagen, bei der zuerst {{math|term= \varphi|SZ=}} und dann {{math|term= \psi|SZ=}} durchgeführt wird? In einer solchen Situation ist es hilfreich, die Bewegungen dadurch zu verstehen, dass man ihre {{Stichwort|Wirkungsweise|SZ=}} auf charakteristischen Punkten des Würfels, beispielsweise auf seinen Eckpunkten, untersucht. Die erste Drehung hat auf den Eckpunkten folgende Wirkung, {{ Wertetabelle8 |text1=Punkt|A|B|C|D|E|F|G|H |text2=Bildpunkt|D|A|B|C|H|E|F|G }} Die zweite Drehung hat die folgende Wirkung, {{ Wertetabelle8 |text1=Punkt|A|B|C|D|E|F|G|H |text2=Bildpunkt|D|C|G|H|A|B|F|E }} Die Wirkungsweise der zusammengesetzten Bewegung auf den Eckpunkten ergibt sich einfach dadurch, dass man schaut, wohin das Ergebnis der ersten Bewegung unter der zweiten Bewegung geschickt wird. In unserem Beispiel ergibt sich {{ Wertetabelle8 |text1=Punkt|A|B|C|D|E|F|G|H |text2=Bildpunkt|H|D|C|G|E|A|B|F }} Es fällt dabei auf, dass unter der Verknüpfung die beiden Punkte {{ mathkor|term1= C |und|term2= E |SZ= }} auf sich selbst abgebildet werden. Damit wird auch die Raumdiagonale durch diese beiden Punkte bei dieser Bewegung nicht verändert, und es liegt in der Tat eine Drehung um diese Raumdiagonale als Drehachse vor. Da {{math|term= A|SZ=}} auf {{math|term= H|SZ=}} abgebildet wird, handelt es sich um die Drehung um {{math|term= 120|SZ=}} Grad im Uhrzeigersinn, wenn man auf diese Achse von vorne links unten schaut. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Würfelgruppe |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dibr9f93sa9gdt3wohvqb2j6ejugp6x 0 36302 781050 747177 2022-08-21T20:50:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Betragsfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x| {{op:Betrag|x|}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Lipschitz-stetig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Lipschitz-Konstante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lipschitz-stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2=Theorie des Betrags für die reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die reelle Betragsfunktion |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f3hxk89v1wai6p4g8zqds2qoq7291st 0 36308 782225 756085 2022-08-22T00:06:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vorlage:Menge/Abbildung/Situation||SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} genau dann einen {{ Definitionslink |Fixpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, wenn der Durchschnitt des {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Diagonalen| |Kontext=Teilmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \triangle= {{Mengebed|(x,x) \in M \times M|x \in M}} |SZ=}} nicht leer ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fixpunkte von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2opfsifkr41izet5jueyet9njt1lmp 0 36315 783948 757587 2022-08-22T04:54:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_{ >1}|\R |x|f(x) {{=|}} 1 + {{op:ln|x|}} |SZ=, }} folgende Eigenschaften besitzt: Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|f(x)-f(y)|}} | < | {{op:Betrag|x-y|}} || || || || |SZ= }} für alle {{ mathbed|term= x,y \in \R_{>1} ||bedterm1= x \neq y ||bedterm2= |SZ=, }} aber {{math|term= f|SZ=}} ist nicht {{ Definitionslink |stark kontrahierend| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Banachsche Fixpunktsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ry4sae874jf77rlg3263hi1xn3ppnbx 0 36325 781056 755115 2022-08-21T20:51:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer bijektiven {{ Definitionslink |differenzierbaren Abbildung| |Kontext=total R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |U_1|U_2 || |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |stetigen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \psi|SZ=}} derart, dass {{math|term= \psi|SZ=}} nicht differenzierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Umkehrabbildungen |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q5xo3tcxq26gf24fmi68aximjjdvfg7 0 36329 781396 755418 2022-08-21T21:48:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= U_1 |und|term2= U_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |offene Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{ Definitionslink |euklidischen Vektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= V_1 |und|term2= V_2 |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |U_1|U_2 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |bijektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in einem Punkt {{mathl|term= P \in U_1|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei derart, dass die Umkehrabbildung in {{mathl|term= Q=\varphi(P)|SZ=}} auch differenzierbar ist. Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |SZ=}} bijektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über die Umkehrabbildung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n478q4twdgj1f7cyasae9k2w4lm074r 0 36340 782989 756746 2022-08-22T02:13:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und sei {{mathl|term= G= \operatorname{Gl} (n, \R) |SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |reellen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |invertierbaren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Invertierbare Matrix/Körper/Definition |SZ= }} {{math|term= n \times n|SZ=-}}{{ Definitionslink |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |G|G |M|M^{-1} |SZ=, }} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fkl114atq7wtbgbugygev4vn3fdcw4z 0 36342 783786 757418 2022-08-22T04:26:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} zwischen zwei {{ Definitionslink |euklidischen Vektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |stark kontrahierend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= {{op:Norm|\varphi|}} < 1 |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Lipschitz-stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie3=Theorie der normierten Homomorphismenräume |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iprv46u3ue56fius63kpxvrrenzjof7 0 36348 778611 762527 2022-08-21T12:29:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Bei {{ Ma:Vergleichskette |P ||Q || || || |SZ= }} ist nichts zu zeigen, sei also {{ Ma:Vergleichskette |P |\neq|Q || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= h |[0, {{op:Norm|Q-P|}} ]| W |t| \varphi {{makl| P + t {{op:Bruch| Q-P | {{op:Norm|Q-P|}} }} |}} |SZ=. }} Da nach Voraussetzung {{ Ma:Vergleichskette | P+ t {{op:Bruch|Q-P| {{op:Norm|Q-P|}} }} |\in| G || || || |SZ= }} ist, ist dies eine {{ Definitionslink |differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= W|SZ=.}} Daher gibt es nach der {{ Faktlink |Mittelwertabschätzung für Kurven|Faktseitenname= Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Ma:Vergleichskette |c |\in| [ 0, {{op:Norm|Q-P|}} ] || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Norm| \varphi(P)- \varphi(Q)|}} |\leq| {{op:Norm|Q-P|}} \cdot {{op:Norm| h'(c)||}} || {{op:Norm|Q-P|}} \cdot {{op:Norm| {{op:Totales Differential|\varphi|P+ c{{op:Bruch| Q-P | {{op:Norm|Q-P|}} }} | {{op:Bruch| Q-P | {{op:Norm|Q-P|}} }} }} ||}} || {{op:Norm|Q-P|}} \cdot {{op:Norm| {{op:Totales Differential|\varphi|P+ c{{op:Bruch| Q-P | {{op:Norm|Q-P|}} }} | }} ||}} \cdot {{op:Norm| {{op:Bruch| Q-P | {{op:Norm|Q-P|}} }} |}} |\leq| {{op:Norm|Q-P|}} \cdot {{op:Norm| {{op:Totales Differential|\varphi|P+ c{{op:Bruch| Q-P | {{op:Norm|Q-P|}} }} | }} ||}} |\leq| {{op:Norm|Q-P|}} \cdot b |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kj3s1hb8842xzwwjv2sp2ttygfr01po 0 36353 779588 763656 2022-08-21T16:52:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(r, \alpha)| (r {{op:cos|\alpha|}} , r {{op:sin|\alpha|}} ) |SZ=, }} heißt {{Stichwort|Polarkoordinatenauswertung|SZ=.}} Sie ordnet einem Radius {{math|term= r|SZ=}} und einem Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein| |ISZ=|ESZ= }} denjenigen Punkt der Ebene {{ Zusatz/Klammer |text=in kartesischen Koordinaten| |ISZ=|ESZ= }} zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels {{ Zusatz/Klammer |text=gemessen von der {{math|term= x|SZ=-}}Achse aus gegen den Uhrzeigersinn| |ISZ=|ESZ= }} die Strecke {{math|term= r|SZ=}} zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt {{mathl|term= (r,\alpha)|SZ=}} {{ Definitionslink |stetig differenzierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22| {{op:cos|\alpha|}} | - r {{op:sin|\alpha|}} | {{op:sin|\alpha|}} | r {{op:cos|\alpha|}} }} |SZ=. }} Diese Abbildung ist nicht {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel {{math|term= \alpha|SZ=,}} {{ Definitionslink |periodisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Periode {{math|term= 2 \pi|SZ=}} ist. Bei {{ Ma:Vergleichskette |r ||0 || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Gs |text=unabhängig von {{math|term= \alpha|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} das Bild gleich {{mathl|term= (0,0)|SZ=.}} Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(-r, \alpha + \pi ) ||\varphi(r, \alpha) || || || |SZ=. }} Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein. Die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Jacobi-Matrix ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | r( {{op:cos|\alpha|pot=2}} + {{op:sin|\alpha|pot=2}} ) || r || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |r |\neq|0 || || || |SZ= }} liegt also nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Determinante/Null, Linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |bijektives| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |totales Differential| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Nach dem {{ Faktlink |Satz über die lokale Umkehrabbildung|Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es zu jedem Punkt {{mathl|term= (r, \alpha)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |r |\neq|0 || || || |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | (r, \alpha) |\in|U_1 || || || |SZ= }} und eine bijektive Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\varphi {{|}} _{U_1} | U_1|U_2 {{=|}} \varphi(U_1) || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |r |>|0 || || || |SZ= }} kann man beispielsweise als offene Umgebung das {{ Definitionslink |offene Rechteck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |U_1 || {]r- \delta, r+ \delta[} \times {]\alpha - \epsilon, \alpha+ \epsilon [} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |r |>| \delta |>|0 || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette | \pi |>| \epsilon |>| 0 || || |SZ= }} wählen. Das Bild davon, also {{math|term= U_2|SZ=,}} ist der Schnitt des {{ Zusatz/Klammer |text=offenen| |ISZ=|ESZ= }} Kreisringes zu den Radien {{ mathkor|term1= r-\delta |und|term2= r+ \delta |SZ= }} und dem {{ Zusatz/Klammer |text=offenen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Kreissektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der durch die beiden Winkel {{ mathkor|term1= \alpha- \epsilon |und|term2= \alpha+ \epsilon |SZ= }} begrenzt ist. Man kann diese Abbildung zu einer {{ Definitionslink |bijektiven Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und zwar zu einem {{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu {{ Ma:abbele/disp |name= |\R_+ \times {]- \pi, \pi[}| \R^2 \setminus {{Mengebed|(x,0)|x \leq 0}} |(r, \alpha)|(r {{op:cos|\alpha|}} , r {{op:sin|\alpha|}} ) |SZ=. }} Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der {{ Definitionslink |trigonometrischen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} siehe insbesondere {{ Faktlink{{{opt1|}}} ||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Periodizitätseigenschaften/Fakt |Faktseitenname2= Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wenn man das offene Intervall {{mathl|term= ]{-\pi}, \pi[ |SZ=}} durch das halboffene Intervall {{mathl|term= ]{-\pi}, \pi]|SZ=}} ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen {{mathl|term= \R_+ \times {]{-\pi}, \pi]} |SZ=}} und {{mathl|term= \R^2 \setminus \{ (0,0) \} |SZ=.}} Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polarkoordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9npmau0cjrwdvrvk9l59l58ivb9tw3m 0 36367 779996 748907 2022-08-21T17:55:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x^2-y,x+xy) |SZ=. }} Diese Abbildung ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||(x,y) || || || |SZ= }} ist {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2x|-1|1+y|x}} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon ist {{ math/disp|term= 2x^2+1+y |SZ=, }} so dass die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |y |\neq|-2x^2-1 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |regulären Punkte| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, so dass dort aufgrund des {{ Faktlink |Satzes über die lokale Umkehrbarkeit|Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} lokal eine {{ Definitionslink |Bijektion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt, d.h. es gibt {{ Definitionslink |offene Umgebungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= U_1 |und|term2= U_2 |SZ= }} von {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} derart, dass die {{ Definitionslink |eingeschränkte Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi {{|}}_{U_1} |U_1|U_2 || |SZ= }} bijektiv ist {{ Zusatz/Klammer |text=mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung| |ISZ=|ESZ=. }} Wie groß kann dabei {{math|term= U_1|SZ=}} gewählt werden? Wir beschränken uns auf {{ Definitionslink |offene Ballumgebungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Offener Ball|(0,0)|r}} |SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |r |>|1 || || || |SZ= }} enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form {{ math/disp|term= ( \pm x,-1) |SZ=. }} Diese werden unter {{math|term= \varphi|SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi( \pm x, -1) || {{op:Zeilenvektor|x^2-(-1)| x+x(-1) }} || {{op:Zeilenvektor|x^2+1|0 }} || || |SZ= }} abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht {{ Definitionslink |injektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben. Betrachten wir hingegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |U_1 || {{op:Offener Ball|(0,0)|1}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |U_2 | {{defeq|}} | \varphi(U_1) || || || |SZ= }} Da {{math|term= U_1|SZ=}} keine {{ Definitionslink |kritischen Punkte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält, ist nach {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Differenzierbare Abbildung/Überall bijektives Differential/Bild offen/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das {{ Definitionslink |Bild| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= U_2|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die eingeschränkte Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi {{|}}_{U_1} |U_1|U_2 || |SZ= }} ist nach Definition von {{math|term= U_2|SZ=}} {{ Definitionslink |surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so dass nur die {{ Definitionslink |Injektivität| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu untersuchen ist. Das Gleichungssystem {{ mathkor/disp|term1= x^2-y = u |und|term2= x+xy = v |SZ= }} führt auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || x^2 - u || || || |SZ= }} und auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | x (1+x^2 -u) || x^3 + (1-u)x || v || || |SZ=. }} Seien {{ mathkor|term1= (x,y) |und|term2= (\tilde{x},\tilde{y}) |SZ= }} aus {{mathl|term= {{op:Offener Ball|(0,0) |1}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(x,y) || \varphi( \tilde{x} , \tilde{y}) || || || |SZ= }} gegeben. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^3+(1-u)x || v || \tilde{x}^3 + (1-u) \tilde{x} || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 || x^3 - \tilde{x}^3 + (1-u) (x- \tilde{x} ) || (x- \tilde{x} ) {{makl|x^2+x \tilde{x} + \tilde{x}^2 + 1-u |}} || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |x || \tilde{x} || || || |SZ= }} folgt direkt {{ Ma:Vergleichskette |y || \tilde{y} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |x | \neq | \tilde{x} || || || |SZ= }} muss {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^2+x \tilde{x} + \tilde{x}^2 + 1-u ||0 || || || |SZ= }} sein. Dies bedeutet {{ Ma:Vergleichskette |y || x^2-u || - x \tilde{x} - \tilde{x}^2 -1 || || |SZ= }} und ebenso {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{y} || -x \tilde{x} -x^2 -1 || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | x(y+1) ||v || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |y+1 |>| 0 || || || |SZ= }} müssen {{ mathkor|term1= x |und|term2= v |SZ= }} das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch {{ mathkor|term1= x |und|term2= \tilde{x} |SZ= }} das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || - x \tilde{x} - \tilde{x}^2 -1 |\leq|-1 || || |SZ=, }} so dass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius {{math|term= 1|SZ=}} keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man kann auch folgendermaßen argumentieren: Die {{ Definitionslink |Ableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= x^3 + (1-u)x |SZ=}} nach {{math|term= x|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette | 3x^2 + (1-u) || 3x^2 +1 - (x^2-y) || 2x^2 +1 +y || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/k | {{op:Betrag|y|}} |<| 1 || || || |SZ= }} ist dies positiv. Somit ist {{mathl|term= x^3 + (1-u)x |SZ=}} {{ Definitionslink |streng wachsend| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= x|SZ=}} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Daher gibt es zu einem vorgegebenen Punkt {{ Ma:Vergleichskette | (u,v) |\in| U_2 || || || |SZ= }} nur ein {{math|term= x|SZ=,}} das die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^3 + (1-u)x || v || || || |SZ= }} erfüllt. Wegen {{ Ma:Vergleichskette |y ||x^2-u || || || |SZ= }} ist auch die zweite Komponente {{math|term= y|SZ=}} eindeutig bestimmt| |ISZ=.|ESZ=. }} Mit {{ Ma:Vergleichskette |U_1 || {{op:Offener Ball|(0,0)|1}} || || || |SZ= }} liegt also eine Bijektion {{ Ma:abb |name= |U_1|U_2 || |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über die Umkehrabbildung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 03qijwk0men6h16iwlx26soqznaaxv3 0 36368 781398 748868 2022-08-21T21:48:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V_1 |und|term2= V_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= G \subseteq V_1|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|V_2 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= U \subseteq G|SZ=}} eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt {{mathl|term= P \in U|SZ=}} das {{ Definitionslink |totale Differential| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |SZ=}} {{ Definitionslink |bijektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass dann das {{ Definitionslink |Bild| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi(U) |SZ=}} offen in {{math|term= V_2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über die Umkehrabbildung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Offen |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0192xe5fgm7tqpsnjiwq0dqb11jl7x1 0 36369 781393 739184 2022-08-21T21:47:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Abbildung| |Kontext=R total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Verschiebung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, also von der Art {{mathl|term= P \mapsto P+v |SZ=}} mit einem festen Vektor {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ=, }} wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|\varphi|P}} || {{op:Identität|V|}} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| V || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Verschiebung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3klibiczg0ch8jmqdqovr3x8uspm6tt 0 36370 786018 759156 2022-08-22T10:16:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |D|\R |(x,y)|xy \sqrt{3- x^2-y^2} |SZ=, }} den maximalen Definitionsbereich {{mathl|term= D\subseteq \R^2|SZ=}} und untersuche{{n Sie}} die Funktion auf {{ Definitionslink |Extrema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Wurzel |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o0cpzqwtcriy7vifs1wx1klxyywy5f6 0 36374 786132 759290 2022-08-22T10:35:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |regulären Punkte| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x^2y,x- {{op:sin|y|}} ) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} in {{mathl|term= P=(1,0)|SZ=}} regulär ist und bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi {{!}}_U |SZ=}} in {{math|term= \varphi(P)|SZ=,}} wobei {{math|term= U|SZ=}} eine offene Umgebung von {{math|term= P|SZ=}} sei {{ Zusatz/Klammer |text=die nicht explizit angegeben werden muss| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o7knohyyl4nx4x9jjwdsnq6y1noblbs 0 36377 786133 742508 2022-08-22T10:35:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 |(x,y,z)|(x+y+z,xy+xz+yz,xyz) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein Punkt {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |kritischer Punkt| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ist, wenn in {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=}} zwei Zahlen doppelt vorkommen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der symmetrischen Polynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Symmetrisch |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 45j91afvj09by6jk90n8zzsqf0xrq3m 0 36379 783556 757224 2022-08-22T03:48:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3|\R^2 |(x,y,z)|(x^2-y^2z,y+ {{op:sin|xz|}} ) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |kritischen Punkte| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere {{ Zusatz/Klammer |text=mindestens einen| |ISZ=|ESZ= }} Punkte enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3ogqsa3jzknztz8xrqf5vnkkk6w8ye 0 36380 786135 759292 2022-08-22T10:35:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= U,V,W|SZ=}} {{ Definitionslink |euklidische Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ mathkor|term1= \varphi:U \longrightarrow V |und|term2= \psi:V \longrightarrow W |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Abbildungen| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|U || || || |SZ= }} und {{math|term= \psi|SZ=}} regulär in {{ Ma:Vergleichskette |Q ||\varphi(P) | \in| V || || || |SZ=. }} Ist dann {{mathl|term= \psi \circ \varphi |SZ=}} regulär in {{math|term= P|SZ=?}} Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hintereinanderschaltung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6go5rn7dp12nv87hb855ygl8fom1bib 0 36383 781370 755389 2022-08-21T21:43:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} explizit einen {{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{math|term= \R^n|SZ=}} und einer offenen Kugel {{mathl|term= {{op:Offener Ball|0|r}} \subseteq \R^n |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} se5qoybuj78e1l1bet0a74g6fz07y2d 0 36385 783421 757101 2022-08-22T03:25:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |komplexe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Quadrieren {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |z|z^2 |SZ=, }} kann man reell als {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 | x+{{Imaginäre Einheit|}}y {{=|}} (x,y)|(x+ {{Imaginäre Einheit|}} y)^2 {{=|}} x^2-y^2 +2{{Imaginäre Einheit|}}xy {{=|}} (x^2-y^2,2xy) |SZ=, }} schreiben. Untersuche{{n Sie}} {{math|term= \varphi|SZ=}} auf {{ Definitionslink |reguläre Punkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Auf welchen {{ Zusatz/Klammer |text=möglichst großen| |ISZ=|ESZ= }} offenen Teilmengen ist {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |umkehrbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der Quadratabbildung |Kategorie3=Theorie der komplexen Potenzierung |Objektkategorie= |Stichwort=Quadrat |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rvd9g7ab2u5nzrpev2kgy58pbdq0clm 0 36396 782200 742778 2022-08-22T00:02:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Fasern| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\R^2|\R |(x,y)|xy |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}}, falls dies möglich ist, {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{math|term= \R|SZ=}} und den Fasern von {{math|term= \varphi|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mm4j5ibnjemchgxrkd9lf1okf16yfle 0 36399 783006 756765 2022-08-22T02:16:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^2|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= P \in \R^2|SZ=}} ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung {{mathl|term= P \in U|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= \varphi(Q) \neq \varphi(P)|SZ=}} ist für alle {{ mathbed|term= Q\in U ||bedterm1= Q \neq P ||bedterm2= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= \varphi|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} ein {{ Definitionslink |isoliertes lokales Extremum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Stetig |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8fvh5aqief2pvhrpf8c80phw5v2zpmm 0 36400 782201 756069 2022-08-22T00:02:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\R^2|\R |(x,y)|x^2+y^2 |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}}, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen {{ Definitionslink |offenen Intervallen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= I \subseteq \R|SZ=}} und {{ Zusatz/Klammer |text=möglichst großen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |offenen Teilmengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Fasern von {{math|term= \varphi|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kreis |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7pwol4fm3hi46argvvk57agyq6tec2v 0 36404 785362 758654 2022-08-22T08:27:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= L_1 {{kommadots|}} L_n |und|term2= M_1 {{kommadots|}} M_n |SZ= }} Mengen und seien {{ Ma:abb/disp |name=\varphi_i |L_i|M_i || |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu einem Punkt {{mathl|term= P_i \in M_i|SZ=}} sei {{mathl|term= F_i \subseteq L_i|SZ=}} die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi_i|SZ=}} über {{math|term= P_i|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Faser der {{ Definitionslink |Produktabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi= \varphi_1 {{timesdots|}} \varphi_n|SZ=}} über {{mathl|term= P=(P_1 {{kommadots|}} P_n )|SZ=}} gleich {{mathl|term= F_1 {{timesdots|}} F_n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3w2dp5z163kvykzcvr31d4il1xql44d 0 36410 779816 772313 2022-08-21T17:26:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R \times ( \R \setminus \{0\} ) |\R |(x,y)| {{op:Bruch|x|y}} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Funktion ist {{ math/disp|term= {{makl|{{op:Bruch|1|y}} , - {{op:Bruch|x|y^2}}|}} |SZ=, }} so dass die Funktion in jedem Punkt {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und der {{ Faktlink |Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwendbar ist. In diesem Fall kann man die {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auch direkt bestimmen. Die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|y}} || c || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|\R || || || |SZ= }} führt auf {{ Ma:Vergleichskette |x ||cy || || || |SZ=, }} so dass die Fasern der Abbildung die {{Stichwort|punktierten Geraden|msw=Punktierte Gerade|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. ein Punkt ist rausgenommen| |ISZ=|ESZ= }} durch den Nullpunkt sind {{ Zusatz/Klammer |text=außer der {{math|term= x|SZ=-}}Achse, auf der die Abbildung nicht definiert ist| |ISZ=|ESZ=. }} Damit hat man explizit eine Auflösung der Faser nach {{math|term= x|SZ=}} gegeben. Dass die Fasern unter dieser {{Stichwort|Divisionsabbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=punktierte| |ISZ=|ESZ= }} Geraden sind ist ein Ausdruck davon, dass man Brüche erweitern kann, ohne ihren Wert zu ändern. Der {{ Definitionslink |Tangentialraum| |Kontext=Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{ Ma:Vergleichskette |P ||(x,y) || || || |SZ= }} wird nach der Definition durch den Kern der Jacobi-Matrix gegeben, und dieser wird durch den Vektor {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} selbst {{ Definitionslink |aufgespannt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Tangentialraum an {{math|term= P|SZ=}} ist hier also die Gerade, die durch {{math|term= P|SZ=}} und den Nullpunkt definiert ist, und stimmt {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ= }} mit der Faser überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der Tangentialräume an Fasern |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Divisionsabbildung |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} olu3guz599hhwtkk7r1z6gpfvvum22x 0 36416 779815 751926 2022-08-21T17:25:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R_+ \times \R| \R |(x,y)| x^y |SZ=. }} {{Schalter{{{opt1|}}}|Nach {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Beziehung zur natürlichen Exponentialfunktion über Logarithmus/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}|Es}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^y || e^{ ({{op:ln|x|}}) \cdot y } || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ mathkor/disp|term1= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|x}} = {{op:Bruch|y|x}} \cdot e^{ ({{op:ln|x|}}) \cdot y} = {{op:Bruch|y|x}} \cdot x^y |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|y}} = ( {{op:ln|x}} ) \cdot e^{ ({{op:ln|x|}}) \cdot y} = ( {{op:ln|x}} ) \cdot x^y |SZ=. }} Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist {{ Ma:Vergleichskette |P ||(1,0) || || || |SZ= }} der einzige {{ Definitionslink |kritische Punkt| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem Punkt {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Matrix22 | {{op:Bruch|-y+y^2|x^2}} \cdot e^{ ({{op:ln|x|}}) \cdot y} |{{op:Bruch|1 + y {{op:ln|x|}} |x}} \cdot e^{ ({{op:ln|x|}}) \cdot y} |{{op:Bruch|1 + y {{op:ln|x|}} |x}} \cdot e^{ ({{op:ln|x|}}) \cdot y}|( {{op:ln|x|}})^2 \cdot e^{ ({{op:ln|x|}}) \cdot y} }} || {{op:Matrix22 | {{op:Bruch|-y+y^2|x^2}} \cdot x^y |{{op:Bruch|1 + y {{op:ln|x|}} |x}} \cdot x^y |{{op:Bruch|1 + y {{op:ln|x|}} |x}} \cdot x^y|( {{op:ln|x|}})^2 \cdot x^y }} || || || |SZ=. }} In {{math|term= P|SZ=}} ist dies {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hesse|\varphi|P}} || {{op:Matrix22|0|1|1|0}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder {{ Definitionslink |positiv definit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} noch {{ Definitionslink |negativ definit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix {{ Definitionslink |indefinit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=vom {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathlk|term=(1,1)|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} da diese Bilinearform auf {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|1}} |SZ=}} positiv und auf {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|-1}} |SZ=}} negativ definit ist. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liegt in diesem Punkt also kein {{ Definitionslink |Extremum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für {{ mathkor|term1= x=1 |oder|term2= y=0 |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |x^y ||1 || || || |SZ=. }} Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen. {{ Aufzählung4 |Für {{ mathkor|term1= 0<x<1 |und|term2= y>0 |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |x^y |<|1 || || || |SZ=. }} |Für {{ mathkor|term1= x>1 |und|term2= y>0 |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |x^y |>|1 || || || |SZ=. }} |Für {{ mathkor|term1= 0<x<1 |und|term2= y<0 |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |x^y |>|1 || || || |SZ=. }} |Für {{ mathkor|term1= x>1 |und|term2= y<0 |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |x^y |<|1 || || || |SZ=. }} }} Daher gibt es in jeder Umgebung von {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als {{math|term= 1|SZ=}} sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Potenz |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qmaanrabzs2mw1vys18t8gizrqlcg70 0 36417 779817 751928 2022-08-21T17:26:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |1 durch Ln|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Fasern der Abbildung {{mathlk|term= (x,y) \mapsto x^y |SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette/k |c ||e || || || |SZ= }} (rot) und {{ Ma:Vergleichskette/k |c ||-e || || || |SZ= }} (grün). |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R_+ \times \R| \R |(x,y)| x^y |SZ= }} und knüpfen an {{ Beispiellink ||Beispielseitenname= Reguläre Punkte und Extrema/(x,y) nach x hoch y/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an. Der einzige {{ Definitionslink |kritische Punkt| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |P ||(1,0) || || || |SZ=, }} ansonsten ist die Abbildung in jedem Punkt regulär und daher lassen sich lokal die {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Graphen beschreiben. Die Faser über {{math|term= 1|SZ=}} besteht aus der durch {{ Ma:Vergleichskette |x ||1 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden und der durch {{ Ma:Vergleichskette |y ||0 || || || |SZ= }} gegebenen Halbgeraden, die sich im kritischen Punkt senkrecht schneiden. Ansonsten sind die Fasern durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^y || c || || || |SZ= }} mit einem {{ Ma:Vergleichskette |c |\in| \R_+ || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |c |\neq| 1 || || || |SZ=, }} bestimmt {{ Zusatz/Klammer |text=für nichtpositives {{math|term= c|SZ=}} sind die Fasern leer| |ISZ=|ESZ=. }} Wir schreiben diese Bedingung als {{ Ma:Vergleichskette | e^{ ( {{op:ln|x|}} ) y } ||c || || || |SZ= }} und daher als {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( {{op:ln|x|}} ) y || {{op:ln|c|}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|1 || || || |SZ= }} kann man dies zu {{ Ma:Vergleichskette | y || {{op:Bruch| {{op:ln|c|}} | {{op:ln|x|}} }} || || || |SZ= }} auflösen und wegen {{ Ma:Vergleichskette | y |\neq|0 || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || e^{ {{op:Bruch| {{op:ln|c|}} |y}} } || || || |SZ=. }} Die Faser besteht jeweils aus zwei Komponenten, die {{ Ma:Vergleichskette |x |>|1 || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette |x |<|1 || || || |SZ= }} entsprechen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Potenz |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8q9iqlque5w1mvk1pgfd0vi1ke9ruv7 0 36419 782168 738930 2022-08-21T23:56:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R |(x,y)|\varphi(x,y) |SZ=, }} eine zweimal {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} für die in jedem Punkt {{mathl|term= P \in \R^2|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| \partial^2 | \partial y \partial x }} \varphi (P) || 0 || || || |SZ= }} gelte. Zeige{{n Sie}}, dass es dann Funktionen {{ Ma:abb/disp |name=f,g |\R|\R || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(x,y) ||f(x) + g(y) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der höheren Richtungsableitungen (R) |Kategorie2=Theorie der Faktorisierung von Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dt7pbex594den0n7esq43nk0ytxpiww 0 36423 782898 756656 2022-08-22T01:58:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R |(x,y)|x^2-y^3 |SZ=, }} in jedem Punkt {{mathl|term= P=(x,y)|SZ=}} lokal {{ Definitionslink |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |offenen reellen Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. D.h. dass es zu jedem Punkt {{mathl|term= P=(x,y)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Umgebung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (x,y) \in U|SZ=,}} ein offenes Intervall {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=}} und eine {{ Definitionslink |stetige Bijektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |I|U \cap F_P || |SZ=, }} gibt {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{mathl|term= F_P|SZ=}} die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=durch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} durch {{math|term= P|SZ=}} bezeichnet| |ISZ=|ESZ=, }} deren {{ Definitionslink |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ebenfalls stetig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort=Neilsche Parabel |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r1xtrzr638g46c0k4r0g1ppz0qjl6o6 0 36424 782202 756070 2022-08-22T00:02:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g |\R|\R || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Funktionen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Ableitungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= f' |und|term2= g' |SZ= }} stets positiv seien. Zeige{{n Sie}}, dass die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R |(x,y)|f(x)+g(y) |SZ=, }} {{ Definitionslink |stetig differenzierbar| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und in jedem Punkt {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} explizit eine Beschreibung der {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} als {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie2=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 035sh2ext4z5pjw8cpnofj9hx04p8i4 0 36432 782896 756654 2022-08-22T01:58:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3|\R |(x,y,z)|x^2+y^2+z^2 |SZ=, }} im Punkt {{math|term= P=(1,-1,2)|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Abbildung| |Kontext=total R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\psi |U|\R^3 || |SZ= }} an, wobei {{math|term= U|SZ=}} eine möglichst große {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Tangentialraumes| |Kontext=Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= T_PF|SZ=}} an die Faser {{math|term= F_P|SZ=}} von {{math|term= \varphi|SZ=}} durch {{math|term= P|SZ=}} ist, die eine Bijektion zwischen {{math|term= U|SZ=}} und {{mathl|term= V \cap F_P|SZ=}} stiftet {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=P \in V \subseteq \R^3|SZ=}} offen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pb78wn7c3bx8u1wejmzjbt9yj8vgsny 0 36438 779266 752518 2022-08-21T16:01:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele |name=f |\R|\R |x|f(x) |SZ=, }} eine Funktion in einer Variablen. Dazu kann man die Funktion in zwei Variablen, {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R |(x,y)|y-f(x) |SZ=, }} betrachten. Die {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} über {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|\R || || || |SZ= }} sind durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |F_c || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2|y {{=|}} f(x) +c }} || || || |SZ= }} charakterisiert. D.h. die Faser über {{math|term= c|SZ=}} ist einfach der {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch {{mathl|term= x \mapsto f(x)+c |SZ=}} definierten Funktion. Alle Fasern gehen durch eine Verschiebung ineinander über, sie sind parallel zueinander. Die Punkte einer jeden Faser stehen in Bijektion mit der {{math|term= x|SZ=-}}Achse, indem nämlich {{math|term= x|SZ=}} auf {{mathl|term= (x,f(x)+c) |SZ=}} abgebildet wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fyem5nrdqadw5kwgqr4jfuz4z0sbawm 0 36454 785384 758669 2022-08-22T08:31:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} Mengen und {{mathl|term= L \times M|SZ=}} ihre {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Projektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |L\times M|M |(x,y)|y |SZ=, }} über einem Punkt {{mathl|term= y \in M|SZ=.}} Kann die Faser leer sein? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektion |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owapnv6t5afozo1j72hr84cb1r11a6j 0 36455 785033 742776 2022-08-22T07:37:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R|\R |x|x^3-x^2-2x+2 |SZ=. }} Für welche Punkte {{mathl|term= P\in \R|SZ=}} ist {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Was besagt der {{ Faktlink |Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= 0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6y8d5gq2zb9rs2giir4k6zmmjnrebdk 0 36501 778652 748000 2022-08-21T12:35:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{ Ma:Vergleichskette | P || (t,v) || (t,v_1 {{kommadots|}} v_n) || || |SZ= }} ein Punkt in {{mathl|term= I \times U|SZ=}} und sei {{math/disp|term= {{op:Offener Ball|t|\epsilon}} \times {{op:Offener Ball|v|\epsilon}} |SZ=}} eine offene Umgebung von {{math|term= P |SZ=}} innerhalb von {{mathl|term= I \times U |SZ=}} derart, dass auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | B || {{op:Abgeschlossener Ball|t|\epsilon}} \times {{op:Abgeschlossener Ball|v|\epsilon}} | \subseteq | I \times U || || || |SZ= }} ist. Dieses {{math|term= B |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |abgeschlossene Umgebung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= P |SZ=}} und daher {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=euklidisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Da die partiellen Ableitungen {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung|f_i|v_j}} |SZ=}} nach Voraussetzung {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, gibt es nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Kompaktheit/R^n/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine gemeinsame Schranke {{ Ma:Vergleichskette | c |\in| \R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm| {{op:Partielle Ableitung|f_i|v_j}} (Q)||}} |\leq| c || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | Q |\in| B || || || |SZ=. }} Daher gibt es für die Matrizen {{mathl|term= {{makl| {{op:Partielle Ableitung|f_i|v_j}} (Q)|}}_{1 \leq i,j \leq n} |SZ=}} eine Schranke {{math|term= L |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm| {{makl|{{op:Partielle Ableitung|f_i|v_j}} (Q)|}}_{1 \leq i,j \leq n} |}} |\leq|L || || || |SZ=. }} Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt {{ Ma:Vergleichskette | s |\in| {{op:Offener Ball|t|\epsilon}} || || || |SZ= }} {{ Faktlink ||Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden und erhält für {{ Ma:Vergleichskette | u,u' |\in| {{op:Offener Ball|v|\epsilon}} || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|f(s,u)-f(s,u')|}} |\leq| L \cdot {{op:Norm| u - u'|}} || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s42s96scphoh0h6p5m142tktud2sdz7 0 36503 782203 756071 2022-08-22T00:02:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x,xy) |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |regulären Punkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{zusatz1|}}}, }} das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} möglichst große offene Mengen {{mathl|term= U_1 , U_2 \subseteq \R^2|SZ=}} derart an, dass {{ Ma:abb/disp |name=\varphi {{|}}_{U_1} |U_1|U_2 || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Aufblasung |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ps3709wgsf4mpg5fxcib39zskjw59cb 0 36505 782897 756655 2022-08-22T01:58:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^2|\R |(x,y)|x^2 \cdot {{op:sin|y|}} - y \cdot {{op:cos|(xy)|}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=durch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch den Punkt {{mathl|term= P=(2,3)|SZ=}} sich lokal durch eine {{ Definitionslink |differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |I|\R^2 |t| \gamma(t) |SZ=, }} mit {{mathl|term= \gamma(0)=P|SZ=}} parametrisieren lässt, und bestimme{{n Sie}} die möglichen Werte der {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \gamma'(0)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4wmna3jb8nrozxzaqj6q8lq4l1h76fh 0 36507 782198 756068 2022-08-22T00:01:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abb/disp |name=\varphi_1, \varphi_2 |\R^n|\R || |SZ= }} {{ Definitionslink |stetige Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ mathkor|term1= F_1 |und|term2= F_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Abbildungen, d.h. es sei {{mathl|term= F_1= \varphi_1^{-1}(b_1)|SZ=}} und {{mathl|term= F_2= \varphi_2^{-1}(b_2)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für gewisse {{mathl|term= b_1,b_2 \in \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine stetige Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^n|\R || |SZ= }} und ein {{mathl|term= a \in \R|SZ=}} derart gibt, dass {{math|term= F_1 \cup F_2 = \varphi^{-1} (a)|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Vereinigung |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c9i7sh7qau1he6md2dn9woyv4bs4d5a 0 36508 784850 758293 2022-08-22T07:09:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die folgenden Kurven {{ Ma:abb/disp |name=\gamma |\R|\R^2 || |SZ= }} Abbildungen {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^2|\R || |SZ= }} derart, dass das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \gamma|SZ=}} genau die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} über {{math|term= 0|SZ=}} ist. {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= \gamma(t) =(t,t^3)|SZ=.}} |{{mathl|term= \gamma(t) =(t^3,t^3+1)|SZ=.}} |{{mathl|term= \gamma(t) =( {{op:cos|t|}} , {{op:sin|t|}} )|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der parametrisierten Kurven |Kategorie2=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kurve |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ttrryo3ssk7zk9wvme3uluv2quoefhm 0 36509 782199 748896 2022-08-22T00:02:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^n|\R^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= F \subseteq \R^n|SZ=}} die {{ Definitionslink |Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{mathl|term= P \in \R^m|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es auch eine stetige Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\psi |\R^n|\R || |SZ= }} derart gibt, dass {{math|term= F|SZ=}} die Faser von {{math|term= \psi|SZ=}} über einem Punkt {{math|term= a \in \R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Eindimensional |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jn0aatoqd44rlw6zf39zlzxz9v360yg 0 36511 782959 756703 2022-08-22T02:08:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} explizit eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^2|\R_{\geq 0} || |SZ= }} derart, dass die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} über {{math|term= 0|SZ=}} gleich {{mathl|term= I= {{Mengebed|(x,0)|x \in [0,1]}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kd4x1o3xa36lc87c7vyi6wf9rxf2lz3 0 36523 778444 748029 2022-08-21T12:03:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Vektorraumdimension|K=|V}} || k || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Vektorraumdimension|K=|W}} || n || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |B || {{op:Totales Differential|\varphi|P|V}} || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Bild| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des totalen Differentials {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Bild und Urbild/Untervektorräume/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | B |\subseteq| W || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Vektorraumdimension|K=|B}} || k || || || |SZ=. }} Wir {{ Faktlink |ergänzen|Faktseitenname= Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= B|SZ=}} durch {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_{n-k} |SZ=}} zu einer Basis von {{math|term= W|SZ=}} und setzen {{ Ma:Vergleichskette | C || {{op:Span|w_1 {{kommadots|}} w_{n-k}|}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |G \times C|W |(v,w)| \varphi(v) +w |SZ=, }} wobei links und rechts zwei {{math|term= n|SZ=-}}dimensionale Vektorräume stehen. Diese Abbildung kann man als die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= G \times C \stackrel{\varphi \times \operatorname{Id}_C \, }{\longrightarrow} W \times C \stackrel{+}{ \longrightarrow} W |SZ= }} auffassen. Daher ist die Gesamtabbildung {{ Definitionslink |stetig differenzierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das totale Differential ist {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} + i_C |SZ=,}} wobei {{ Ma:abb |name=i_C |C|W || |SZ= }} die lineare Einbettung des Unterraums ist. Dieses totale Differential ist {{ Definitionslink |surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Punkt {{mathl|term= (P,0) |SZ=,}} da sowohl {{math|term= B|SZ=}} als auch {{math|term= C|SZ=}} zum Bild gehören, und somit {{ Definitionslink |bijektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir können also {{ Faktlink |den Satz über die Umkehrabbildung|Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden und erhalten {{ Definitionslink |offene Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | U_1 |\subseteq| G \times C || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | U_2 |\subseteq| W || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= (\varphi \times \operatorname{Id}_C) {{|}}_{U_1} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= U_1 |und|term2= U_2 |SZ= }} ist. Dies können wir einschränken auf eine offene Menge der Form {{ Ma:Vergleichskette | U_3 \times U_4 | \subseteq | U_1 || || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| U_3 |\subseteq| G || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | 0 |\in| U_4 |\subseteq| C || || |SZ=. }} Dann ist die Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\varphi {{|}} _{U_3} |U_3|W || |SZ= }} {{ Definitionslink |injektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da dies die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= U_3 \longrightarrow U_3 \times U_4 \longrightarrow U_2 \subseteq W |SZ= }} mit {{mathl|term= Q \mapsto (Q,0) |SZ=}} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} laegnzpci3at5n6au5qp6xmnv83jo7p 0 36535 784025 225415 2022-08-22T05:06:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}} anhand von Beispielen Vor- und Nachteile des quadratischen Ergänzens im Vergleich zur {{Anführung|{{math|term= p q|SZ=-}}Formel|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Einführung in die Mathematik/Reflexion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadratisches Ergänzen |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2uog5xvuhnv5qjm9fte7sn6ir02o7j2 0 36539 780692 225433 2022-08-21T19:50:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}} die durch die arithmetischen Standardoperationen definierten Abbildungen von {{mathl|term= \R \times \R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder gewissen Teilmengen davon| |ISZ=|ESZ= }} nach {{math|term= \R|SZ=}} aus differential-geometrischer Sicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Einführung in die Mathematik/Reflexion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Arithmetische Operationen |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cfsoqo3uu8br8nqmu808o0vcq2yonuq 0 36553 784258 736950 2022-08-22T05:45:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= L|SZ=}} und {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |metrische Räume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g |L|M || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |stetige Abbildungen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | N || {{Mengebed|x \in L|f(x) {{=|}} g(x) }} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= L|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Gleichheit |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qg0ot46s1bgtnslyijojq0755ovyfoo 0 36554 784786 758249 2022-08-22T06:59:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Nullpunkt {{math|term= 0 \in \R^3|SZ=}} befinde sich die Pupille eines Auges {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine Linse| |ISZ=|ESZ= }} und die durch {{math|term= x=-1|SZ=}} bestimmte Ebene sei die Netzhaut {{math|term= N \cong \R^2|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine Fotoplatte| |ISZ=|ESZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |\R_+ \times \R \times \R| \R^2 || |SZ=, }} die das Sehen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Fotografieren| |ISZ=|ESZ= }} beschreibt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet| |ISZ=|ESZ=. }} Ist diese Abbildung {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Für welche Punkte ist diese Abbildung {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wie sehen die {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Optik |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bl4nds06ni6enywnnvx5ef17fjo98pi 0 36556 781721 538163 2022-08-21T22:42:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= V|SZ=}} ein endlichdimensionaler {{math|term= K|SZ=-}}Vektorraum und {{mathl|term= \varphi \in \operatorname{End}(V) |SZ=.}} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: {{ Aufzählung3 |Die lineare Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} ist ein Isomorphismus. |{{math|term= 0|SZ=}} ist kein Eigenwert von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Der konstante Term des charakteristischen Polynoms {{math|term= \chi_\varphi|SZ=}} ist {{mathl|term= \neq 0|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isomorphismen zwischen Vektorräumen |Kategorie2=Das charakteristische Polynom von Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5eyuxh5vo6jpa2lvvd8vgddps7k134 0 36557 779018 743800 2022-08-21T15:22:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Anfangswertproblem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= v' = 3v^{2/3} \text{ mit } v(0) = 0 |SZ= }} zum {{ Definitionslink |zeitunabhängigen Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |v|3 v^{2/3} {{=|}} 3 \sqrt[3]{v^2} |SZ=. }} Offensichtlich gibt es die {{ Definitionslink |stationäre Lösung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |h(t) || 0 || || || |SZ=, }} aber auch {{ Ma:Vergleichskette/disp |g(t) || t^3 || || || |SZ= }} ist eine Lösung, wie man durch Nachrechnen sofort bestätigt. Aus diesen beiden Lösungen kann man sich noch weitere Lösungen basteln. Seien dazu {{ Ma:Vergleichskette |a |<|b || || || |SZ= }} reelle Zahlen. Dann ist auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(t) || \begin{cases} (t-a)^3 \text{ für } t < a, \\ 0 \text{ für } a \leq t \leq b , \\ (t-b)^3 \text{ für } t > b, \end{cases} || || || |SZ= }} eine Lösung. D.h. es gibt Lösungen, bei denen das Teilchen beliebig lange {{ Zusatz/Klammer |text=im Zeitintervall von {{ mathkor/k|term1= a |nach|term2= b |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ruht und danach {{ Zusatz/Klammer |text=und davor| |ISZ=|ESZ= }} sich bewegt. Sobald sich das Teilchen in einem Punkt {{math|term= \neq 0 |SZ=}} befindet, ist der Bewegungsablauf lokal eindeutig bestimmt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Existenz- und Eindeutigkeitstheorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6qkfep1jo8slfh494j3d2yyd841x4tf 0 36563 781725 431661 2022-08-21T22:43:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= V|SZ=}} ein endlichdimensionaler {{math|term= K|SZ=-}}Vektorraum und {{mathl|term= \varphi \in \operatorname{End}(V) |SZ=.}} Man mache sich nochmal die folgenden wichtigen Aussagen klar: {{ Aufzählung3 |Ist {{math|term= \lambda|SZ=}} ein Eigenwert von {{math|term= \varphi|SZ=,}} so ist {{mathl|term= \operatorname{Eig}_\lambda(\varphi)=\ker(\varphi - \lambda \, id) |SZ=.}} |{{math|term= \varphi|SZ=}} hat nur endlich viele Eigenwerte. | {{math|term= \lambda|SZ=}} ist genau dann Eigenwert von {{math|term= \varphi|SZ=,}} wenn {{mathl|term= \chi_\varphi(\lambda)=0|SZ=}} gilt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7zcvcypj36vv67iisffe427vgnchgr3 0 36566 781722 755638 2022-08-21T22:42:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Matrix {{mathl|term= A = {{op:Matrix22|2|1|-1|2}} \in {{op:Matnn|n=2| {{KRC|}} }} |SZ=.}} Untersuche{{n Sie}} ob {{math|term= A|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist in Abhängigkeit von {{math|term= {{KRC}}|SZ= }} (d.h., {{math|term= {{KRC}} = \R|SZ=}} oder {{math|term= {{KRC}}={{CC}}|SZ=}}). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix {{math|term= C|SZ=}} und eine Diagonalmatrix {{math|term= D|SZ=}} mit {{mathl|term= D=C^{-1}AC|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7zwwkiwi9kjxx2i2350e47lf7ifqvx1 0 36567 781212 510462 2022-08-21T21:17:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Matrix {{ math/disp|term= A = {{op:Matrix33|1|0|2|2|1|3|1|0|1}} \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) |SZ=. }} Löse das lineare Gleichungssystem {{mathl|term= Ax =(1,0,2)^t|SZ=}} mit Hilfe der Cramerschen Regel (man überlege sich natürlich vorher, ob man diese Regel überhaupt anwenden darf). |Textart=Aufgabe |Kategorie=Cramersche Regel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jwwcdwk0z4u49jf2vbrmkwft4qdbflq 0 36568 781723 755639 2022-08-21T22:42:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Matrix {{mathl|term= A = {{op:Matrix33|1|0|0|0|0|-1|0|1|0}} \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}({{KRC}})|SZ=.}} Untersuche{{n Sie}} ob {{math|term= A|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist in Abhängigkeit von {{math|term= {{KRC}}|SZ= }} (d.h., {{math|term= {{KRC}} = \R|SZ=}} oder {{math|term= {{KRC}}={{CC}}|SZ=}}). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix {{math|term= C|SZ=}} und eine Diagonalmatrix {{math|term= D|SZ=}} mit {{mathl|term= D=C^{-1}AC|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j6xrrnvcgtzg2cqd0ctq7hqu218jz14 0 36569 781768 431654 2022-08-21T22:50:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= A \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\R)|SZ=}} und {{mathl|term= F=a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1}+ \ldots + a_1 X + a_0 \in \R[X]|SZ=}} ein reelles Polynom. Weiter sei {{mathl|term= v \in \R^n|SZ=}} ein Eigenvektor von {{math|term= A|SZ=}} zum Eigenwert {{math|term= \lambda|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige, dass {{math|term= v|SZ=}} ein Eigenvektor von {{math|term= F(A)|SZ=}} zum Eigenwert {{math|term= F(\lambda)|SZ=}} ist. |Wenn {{math|term= A|SZ=}} diagonalisierbar ist, so auch {{math|term= F(A)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d2344borho7bfeutnkl0n3rnvm2g69w 0 36584 779208 743810 2022-08-21T15:52:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{Stichwort|Produkt{{latextrenn}}abbildung|SZ=}} {{ Ma:abbele/disp |name=h |\R^2|\R |(x,y)|xy |SZ=. }} Das zugehörige {{ Definitionslink |Gradientenfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^2|\R^2 |(x,y)|{{{G|G}}}(x,y) {{=|}} (y,x) |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Fasern| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= h|SZ=}} sind das Achsenkreuz {{ Zusatz/Klammer |text=die Faser über {{math|term= 0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und die durch {{ mathbed|term= xy=c ||bedterm1= c \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} gegebenen {{ Definitionslink |Hyperbeln| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Lösungen| |Kontext=Differentialgleichung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Differentialgleichung| |Kontext=System| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|\varphi_1'|\varphi_2' }} || {{op:Spaltenvektor|\varphi_2|\varphi_1}} || {{op:Matrix22|0|1|1|0}} {{op:Spaltenvektor|\varphi_1|\varphi_2}} || || |SZ= }} sind von der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(t) || (\varphi_1(t), \varphi_2(t)) || ( a {{op:cosh|t|}} + b {{op:sinh|t|}} , a {{op:sinh|t|}} + b {{op:cosh|t|}}) || || |SZ= }} mit beliebigen {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| \R || || || |SZ=, }} wie man direkt nachrechnet und was sich auch aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Differentialgleichungssystem/(u,v)' ist (v,u)/Allgemeine Lösung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(0) || (a,b) || || || |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |a ||b ||0 || || |SZ= }} ist dies die {{ Definitionslink |stationäre Lösung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Nullpunkt, in dem die Produktabbildung nicht {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Bei {{ Ma:Vergleichskette |a ||b ||1 || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(t) || (e^t,e^t) || || || || |SZ=, }} das Bild dieser Lösung ist die obere Halbdiagonale {{ Zusatz/Klammer |text=ohne den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ=, }} bei {{ Ma:Vergleichskette |a ||b ||-1 || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(t) || (-e^t,-e^t) || || || || |SZ=, }} das Bild dieser Lösung ist die untere Halbdiagonale, bei {{ mathkor|term1= a=1 |und|term2= b=-1 |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(t) || (e^{-t},-e^{-t}) || || || || |SZ=, }} das Bild dieser Lösung ist die untere Hälfte der Nebendiagonalen, bei {{ mathkor|term1= a=-1 |und|term2= b=1 |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(t) || (-e^{-t},e^{-t}) || || || || |SZ=, }} das Bild dieser Lösung ist die obere Hälfte der Nebendiagonalen. Ansonsten treffen die Lösungskurven das Achsenkreuz in einem Punkt {{mathl|term= \neq (0,0)|SZ=.}} Wenn man diesen Punkt als Anfangswert zum Zeitpunkt {{ Ma:Vergleichskette |t ||0 || || || |SZ= }} nimmt, so kann man die Lösungskurven als {{math/disp|term=(a {{op:cosh|t|}}, a {{op:sinh|t|}} ) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zum Zeitpunkt {{mathlk|term=t=0|SZ=}} befindet sich die Lösung auf der {{math|term= x-|SZ=}}Achse im Punkt {{mathlk|term=(a,0)|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} und als {{math/disp|term=(b {{op:sinh|t|}}, b {{op:cosh|t|}} ) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zum Zeitpunkt {{ Ma:Vergleichskette/k | t || 0 || || || |SZ= }} befindet sich die Lösung auf der {{math|term= y-|SZ=}}Achse im Punkt {{mathlk|term=(0,b)|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} realisieren. Die Bahnen dieser Lösungen erfüllen die Gleichung {{ mathkor|term1= x^2(t)-y^2(t)=a^2 |bzw.|term2= x^2(t)-y^2(t)=b^2 |SZ=, }} d.h. sie sind selbst Hyperbeln. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu linearen Gradientenfeldern mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Produktabbildung |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} frjliy078cb2jinplbuix6uqiyq9sco 0 36590 781719 510520 2022-08-21T22:42:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ math/disp|term= A={{op:Matrix33|-4|6|6|0|2|0|-3|3|5}} \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) |SZ=. }} Berechne: {{ Aufzählung4 |die Eigenwerte von {{math|term= A |SZ=}}; |die zugehörigen Eigenräume; |die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte; |eine Matrix {{math|term= C \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) |SZ=}} derart, dass {{math|term= C^{-1}AC|SZ=}} eine Diagonalmatrix ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1et8d9hf1rnez7zlugjg9po1l8wuitr 0 36592 780469 736357 2022-08-21T19:13:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |vollständiger metrischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sei {{mathl|term= C|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |stetigen Abbildungen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Metrik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= C|SZ=}} derart, dass {{math|term= C|SZ=}} selbst zu einem vollständigen metrischen Raum wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der vollständigen metrischen Räume |Kategorie2=Theorie der Abbildungsräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f6ll5knynekw1y3gemji8w9hrzvmzks 0 36597 780669 748942 2022-08-21T19:46:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reellen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= |I \times U|V |(t,v)|f(t,v) |SZ=, }} ein {{Stichwort|Zentralfeld|SZ=,}} d.h. ein {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f|SZ=}} vom Typ {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(t,v) || g(t,v) \cdot v || || || |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |stetigen Funktion| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=g |I \times U|\R |(t,v)|g(t,v) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu einem fixierten {{mathl|term= w \in U|SZ=}} die {{ Definitionslink |Lösungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\alpha |J|\R || |SZ= }} der eindimensionalen Differentialgleichung {{ math/disp|term= y'= h(t,y) := g(t, y w ) y \text{ mit } \alpha(t_0 )=1 |SZ= }} zu Lösungen der Differentialgleichung {{ math/disp|term= v'=f(t,v) \text{ mit } v(t_0) = w |SZ= }} führen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu Zentralfeldern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Zentralfeld |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lnpok303ouhxfkko1idja8fa75hnpf8 0 36608 780457 739200 2022-08-21T19:11:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine Menge und {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | M || \operatorname{Abb} \,(T,E) || || || |SZ= }} versehen mit der {{ Definitionslink |Supremumsnorm| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften für diese {{Anführung|Norm|}} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei ist der Wert {{math|term= \infty|SZ=}} erlaubt und sinnvoll zu interpretieren| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |{{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|f|}} |\geq |0 || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| M || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|f|}} || 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette | f || 0 || || || |SZ= }} ist. |Für {{ Ma:Vergleichskette | \lambda |\in| \R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| M || || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\lambda f|}} || {{op:Betrag|\lambda|}} \cdot {{op:Norm|f|}} || || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette | g,f |\in|M || || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|g+f|}} |\leq | {{op:Norm|g|}} + {{op:Norm|f|}} || || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Supremumsnorm |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ds3idvy3ivr8jins18uptj3s3yy32cg 0 36611 780470 748867 2022-08-21T19:13:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T \subseteq \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |kompakte Teilmenge| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= C= C^0 (T,E) |SZ=}} der Raum der stetigen Abbildungen von {{math|term= T|SZ=}} nach {{math|term= E|SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Supremumsnorm| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n \in T|SZ=}} und {{mathl|term= y_1 {{kommadots|}} y_n \in E|SZ=}} Punkte. Zeige{{n Sie}}, dass die Teilmenge {{ math/disp|term= {{Mengebed|f \in C| f(x_1) {{=|}} y_1 {{kommadots|}} f(x_n) {{=|}} y_n}} |SZ= }} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= C|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Supremumsnorm |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rqob4u6ahid8aklgd7cifasddvmqya2 0 36613 782928 737556 2022-08-22T02:03:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R|\R^3 |t| {{op:Zeilenvektor|t^2|t^5-1|t+ {{op:sin|t|}} |}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|0|1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|1|2}} , \, {{op:Spaltenvektor|1|-1|1}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über {{mathl|term= [a,b] |SZ=,}} und bestätige{{n Sie}}, dass die Ergebnisse übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integration von stetigen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 520pnkxfts0j6po1w9kl49a6t4hy4cg 0 36618 782750 756526 2022-08-22T01:34:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Formuliere|Formulieren}} und beweise{{n Sie}} den {{Stichwort|Hauptsatz der Infinitesimalrechnung|SZ=}} für {{ Definitionslink |stetige Kurven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=g |I|V || |SZ=, }} wobei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integration von stetigen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7js1xy8fasv0nyj1bqru4e4rl5agmst 0 36626 781132 746676 2022-08-21T21:04:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der [[w:Body-Mass-Index|Body-Mass-Index]] wird bekanntlich über die {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R_+ \times \R_+|\R |(m,l)| {{op:Bruch|m|l^2}} |SZ=, }} berechnet, wobei {{math|term= m|SZ=}} für die Masse und {{math|term= l|SZ=}} für die Länge eines Menschen {{ Zusatz/Klammer |text=oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes| |ISZ=|ESZ= }} steht {{ Zusatz/Klammer |text=in den Einheiten Kilogramm und Meter| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung7 |Für welche Punkte ist diese Abbildung {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Skizziere das zugehörige {{ Definitionslink |Gradientenfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem {{ Definitionslink |Gradienten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab? |Wie lassen sich die {{ Definitionslink |Fasern| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Abbildung als {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Funktionen beschreiben? |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} und bestimme{{n Sie}} ihren {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in jedem Punkt. |Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf {{mathl|term= [30,300] \times [1,2] |SZ=}} einschränkt, und welche Werte besitzt er dann? |Modelliere{{n Sie}} die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge {{math|term= T|SZ=}} ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, {{ Definitionslink |Produktabbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Body mass index |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mkzxx9hw4o4gafmo3sqt916iqvrbo3x 0 36651 778524 748048 2022-08-21T12:15:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wenn {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Integral|a|b|g|t}} || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist nichts zu zeigen. Sei also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|a|b|g|t}} || v |\neq| 0 || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |u_1 | {{defeq}} | {{op:Bruch|v| {{op:Norm|v|}} }} || || || |SZ=. }} Das ergänzen wir zu einer {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= u_1, u_2 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= g_1, g_2 {{kommadots|}} g_n |SZ=}} die Koordinatenfunktionen von {{math|term= g |SZ=}} bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/align | v || {{op:Integral|a|b|g|t}} || {{makl| {{op:Integral|a|b|g_1|t}} |}} u_1 {{plusdots|}} {{makl| {{op:Integral|a|b|g_n|t}} |}} u_n || {{makl| {{op:Integral|a|b|g_1|t}} |}} u_1 || |SZ=, }} da ja {{math|term= v |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= u_1|SZ=}} ist und somit die anderen Koeffizienten gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sind. Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm| {{op:Integral|a|b|g|t}} |}} || {{op:Betrag| {{op:Integral|a|b|g_1|t}} |}} |\leq | {{op:Integral|a|b|grand={{op:Betrag| g_1(t)|}} ||t}} |\leq | {{op:Integral|a|b|grand={{op:sqrt| (g_1(t))^2 {{plusdots|}} (g_n(t))^2 |}} ||t}} || {{op:Integral|a|b| grand= {{op:Norm|g_1(t) u_1 {{plusdots|}} g_n(t) u_n|}}||t }} || {{op:Integral|a|b| grand= {{op:Norm|g(t)|}}||t }} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4hgzfy3zz2a4e0mpwhmd8jdhnzshvdm 0 36715 782093 755981 2022-08-21T23:44:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte im {{math|term= \R^2|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi(x,y):=x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige, dass {{math|term= \R^2|SZ=}} bezüglich {{math|term= \varphi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Berechne die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Norm|(4,-2)}} |SZ=}} bezüglich {{math|term= \varphi|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 58hqasvlmclcrtf9spczatqtbjkcurc 0 36716 782101 456609 2022-08-21T23:45:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (V, {{op:Skalarprodukt|-|-}}) |SZ=}} ein euklidischer Vektorraum. Zeige die folgenden Aussagen: {{ Aufzählung2 |{{mathl|term= {{op:Norm|x|}}= {{op:Norm|y|}} }} genau dann, wenn {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|x+y|x-y}} =0 |SZ=.}} |{{mathl|term= {{op:Norm|x+y|}}^2= {{op:Norm|x|}}^2 + {{op:Norm|y|}}^2}} genau dann, wenn {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|x|y}}=0 |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nyzpzpxfsjocgyjptks4filfl3u4kvm 0 36718 782308 456032 2022-08-22T00:20:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche, welche der folgenden Abbildungen {{ Ma:abb |name=\varphi | \R^2 \times \R^2 | \R || |SZ= }} bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch. {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= \varphi(x,y):=x_1y_1|SZ=.}} | {{mathl|term= \varphi(x,y):=x_1x_2+y_1y_2|SZ=.}} |{{mathl|term= \varphi(x,y):=2x_1y_2 + 3x_2y_1 |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4svxa85yg7wfarfh4gqf1mlq6i3tne0 0 36719 782309 756155 2022-08-22T00:20:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche, welche der folgenden Abbildungen {{ Ma:abb |name=\varphi | \R^2 \times \R^2 | \R || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |bilinear| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften {{ Definitionslink |Prämath= |alternierend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= \varphi(x,y):= x_1-y_1|SZ=.}} |{{mathl|term= \varphi(x,y):= x_1y_1-x_2y_2|SZ=.}} |{{mathl|term= \varphi(x,y):= 2x_1y_2-2x_2y_1|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=4 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lneoazrtscabh59316e3aj7ylivd4pg 0 36720 782098 755988 2022-08-21T23:45:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= V= {{op:Matnn|\R|}} |SZ=.}} Zeige, dass {{math|term= V|SZ=}} versehen mit der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |V \times V|\R |(A,B)| {{op:Spur| B^tA }} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie2=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qmqf2v955q81m5ijknf2m0o9kq0vij1 0 36727 784051 757692 2022-08-22T05:11:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33| 5| -1| 3 |7 |9 |8| 6| 2|-7}} }} über {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |trigonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ghvra0btu07aavjpkf30bkw6612o4zu 0 36728 785677 758890 2022-08-22T09:19:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |reelle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2 \times 2|SZ=-}}{{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die über {{math|term= \R|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |trigonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} {{ Definitionslink |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Körperwechsel |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqjd45g4gwxcwwpto6d3pbb3v2ow1a6 0 36729 784026 757654 2022-08-22T05:07:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} werde bezüglich der Standardbasis durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|2|3|4|0|2|5|0|0|2}} |SZ= }} beschrieben. Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezüglich der {{math|term= \varphi|SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|2|1|0|0|2|1|0|0|2}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6x7jwrpgo7qfmd50g9v7jp4jgh0uj3k 0 36730 782041 755935 2022-08-21T23:35:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die durch {{ math/disp|term= U= {{Mengebed|v \in V|\text{ es gibt ein } n \in \N \text{ mit } \varphi^n(v) {{=|}} 0}} |SZ= }} definierte Teilmenge von {{math|term= V|SZ=}} ein {{math|term= \varphi|SZ=-}}{{ Definitionslink |invarianter Unterraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Invariant |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3jnlj6uybylj36nfczdrgce5w5ftct0 0 36733 782020 755914 2022-08-21T23:32:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Endomorphismus/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} folgende Eigenschaften. {{ Aufzählung5 |Der {{ Definitionslink |Nullraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 0 \subseteq V|SZ=}} ist {{math|term= \varphi|SZ=-}}{{ Definitionslink |invariant| |Kontext=Unterraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{mathl|term= V|SZ=}} ist {{math|term= \varphi|SZ=-}}{{ Definitionslink |invariant| |Kontext=Unterraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{ Definitionslink |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{math|term= \varphi|SZ=-}}invariant. |Seien {{mathl|term= U_1,U_2 \subseteq V|SZ=}} {{math|term= \varphi|SZ=-}}invariante Unterräume. Dann sind auch {{mathl|term= U_1 \cap U_2|SZ=}} und {{mathl|term= U_1 + U_2|SZ=}} {{math|term= \varphi|SZ=-}}invariant. |Sei {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} ein {{math|term= \varphi|SZ=-}}invarianter Unterraum. Dann sind auch der {{ Definitionslink |Bild{{latextrenn|}}raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi(U)|SZ=}} und der {{ Definitionslink |Urbildraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi^{-1}(U)|SZ=}} {{math|term= \varphi|SZ=-}}invariant. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 77bijyr877kn543wgostphotiqrwrtp 0 36734 779762 311358 2022-08-21T17:18:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}}: eine {{Stichwort/-|lineare Differentialgleichung höherer Ordnung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort/-|homogen|SZ=}}/{{Stichwort/-|inhomogen|SZ=;}} mit {{Stichwort/-|konstanten Koeffizienten|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine solche lineare Differentialgleichung höherer Ordnung zu einem entsprechenden linearen Differentialgleichungssystem wie in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Differentialgleichungen höherer Ordnung/Zugehöriges System erster Ordnung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} äquivalent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen höherer Ordnung |Kategorie2=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 81monkwi3dkxi509mnl18fego9clhgq 0 36748 779440 751322 2022-08-21T16:28:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |lineare Differentialgleichungssystem| |Kontext=konstant| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|v_1|v_2}}' || {{op:Matrix22|\lambda| \gamma|0| \mu}} {{op:Spaltenvektor|v_1|v_2}} || || || |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette/disp |v_2(t) || 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also die konstante Nullfunktion in der zweiten Komponente| |ISZ=|ESZ= }} ergibt sich aus der ersten Zeile {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf skalare Vielfache| |ISZ=|ESZ= }} sofort {{ Ma:Vergleichskette |v_1 ||e^{\lambda t} || || || |SZ=, }} was insgesamt der Lösung {{ Zusatz/Klammer |text=der ersten Fundamentallösung| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|e^{\lambda t}|0}} |SZ= }} zum Eigenvektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|0}} |SZ=}} gemäß {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} entspricht. Sei nun {{ Ma:Vergleichskette |v_2 |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dann führt die zweite Zeile zu {{ Ma:Vergleichskette |v_2 || e^{\mu t} || || || |SZ=, }} was wir {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} entsprechend zu einer Gesamtlösung fortsetzen. Die erste Zeile lautet somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | v_1' || \lambda v_1 + \gamma e^{\mu t} || || || |SZ=. }} Die Lösung der {{ Definitionslink |zugehörigen homogenen Gleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{mathl|term= c \cdot e^{\lambda t} |SZ=,}} so dass sich mit der {{ Faktlink |Variation der Konstanten|Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Ansatz {{ Ma:Vergleichskette |v_1(t) ||c(t) \cdot e^{\lambda t} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |c'(t) || \gamma \cdot e^{\mu t} \cdot e^{- \lambda t} || \gamma \cdot e^{( \mu- \lambda) t} || || |SZ= }} ergibt. Bei {{ Ma:Vergleichskette | \mu || \lambda || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette |c(t) || \gamma t || || || |SZ= }} und damit die zweite Fundamentallösung {{ Ma:Vergleichskette/disp | v(t) || {{op:Spaltenvektor|\gamma t e^{\lambda t} |e^{\lambda t} }} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette | \gamma |\neq|0 || || || |SZ= }} gehört diese zweite Lösung nicht zu einem Eigenvektor. Bei {{ Ma:Vergleichskette | \mu |\neq| \lambda || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette |c(t) || {{op:Bruch|\gamma|\mu - \lambda}} e^{(\mu - \lambda)t} || || || |SZ= }} und damit die zweite Fundamentallösung {{ Ma:Vergleichskette/disp | v(t) || {{op:Spaltenvektor|{{op:Bruch|\gamma|\mu - \lambda}} e^{\mu t} |e^{\mu t} }} || e^{\mu t} {{op:Spaltenvektor|{{op:Bruch|\gamma|\mu - \lambda}}|1}} || || |SZ=. }} Dies ist wieder eine Lösung, die zu einem Eigenvektor gehört. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hta7jsiaemcime4wx429dvajop7msk2 0 36760 783897 738427 2022-08-22T04:45:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |quadratische| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrix über {{math|term= {{KRC|}} |SZ=.}} Es sei {{math|term= \varphi_1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Lösung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |linearen Differentialgleichung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | v' || Mv +z_1(t) || || || |SZ= }} und {{mathl|term= \varphi_2|SZ=}} eine Lösung der {{ Definitionslink |linearen Differentialgleichung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | v' || Mv +z_2(t) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \varphi_1+ \varphi_2|SZ=}} eine Lösung der linearen Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | v' || Mv +z_1(t)+z_2(t) || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fclo9iro7yqyaj1gyr1qu3ydwe7sm2y 0 36762 783896 757517 2022-08-22T04:45:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |v' ||Mv || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{math|term= L|SZ=}} der Lösungsraum dieses Systems und sei {{ Ma:Vergleichskette |t_0 |\in|\R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L| {{KRC|}}^n |\varphi|\varphi(t_0) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Vektorraum-Isomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} byw07flaq5kl42a36f1p615nuiw2jm9 0 36806 786131 641293 2022-08-22T10:34:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | \R \setminus \{0\} \times \R |\R^2 |(x,y)|{{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|y^2|x}} | {{op:Bruch|y^3|x^2}} }} |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die regulären Punkte der Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=.}} b) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} in {{mathl|term= P=(1,2)|SZ=}} lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung {{mathl|term= \psi= \varphi^{-1}|SZ=}} besitzt, und bestimme{{n Sie}} das totale Differential von {{math|term= \psi|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= \varphi(P)|SZ=.}} c) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} alle Punkte {{mathl|term= Q \in \R \setminus \{0\} \times \R |SZ=}} an, in denen {{math|term= \varphi|SZ=}} nicht lokal invertierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 48rr8bu116axhj1hzmt24zjxl6dztsz 0 36808 782195 756065 2022-08-22T00:01:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | \R ^3 |\R^2 |(x,y,z)|{{op:Zeilenvektor| x^2+y^2+z^2 | 2x+3y+4z }} |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die regulären Punkte der Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |P ||(1,-2,1) || || || |SZ= }} regulär ist. b) Beschreibe{{n Sie}} für den Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||(1,-2,1) || || || |SZ= }} den {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraum an die Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F|SZ=}} von {{math|term= \varphi|SZ=}} durch {{math|term= P|SZ=.}} c) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für {{ Ma:Vergleichskette |P || (1,-2,1) || || || |SZ= }} einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von {{math|term= P|SZ=}} in der Faser {{math|term= F|SZ=}} durch {{math|term= P|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der Tangentialräume an Fasern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=2 |p2=2 |p3=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l9xspdv3nf88luwtd956bs3gg6k1r6z 0 36811 782601 756367 2022-08-22T01:09:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name={{{G|G}}} |\R^n|\R^n || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gradientenfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |J|\R^n || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= J \subseteq \R|SZ=}} ein offenes Intervall| |ISZ=|ESZ= }} eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung {{math|term= v'={{{G|G}}}(v)|SZ=.}} Es gelte {{mathl|term= \varphi'(t) \neq 0|SZ=}} für alle {{mathl|term= t \in J|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu Gradientenfeldern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Injektiv |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9v8kt25n7d1h5s75xlpop05m9qcyqpz 0 36844 781724 755640 2022-08-21T22:42:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Matrix {{mathl|term= A = {{op:Matrix33|-5|2|-2|-4|1|0|4|-4|5}} \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}({{KRC}})|SZ=.}} Untersuche ob {{math|term= A|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist in Abhängigkeit von {{math|term= {{KRC}}|SZ= }} (d.h., {{math|term= {{KRC}} = \R|SZ=}} oder {{math|term= {{KRC}}={{CC}}|SZ=}}). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix {{math|term= C|SZ=}} und eine Diagonalmatrix {{math|term= D|SZ=}} mit {{mathl|term= D=C^{-1}AC|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qsmkkk9xr8ixvx8n36yggfiryrli20x 0 36845 782287 252566 2022-08-22T00:16:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe die Folge {{mathl|term= x_n=\sqrt[n]{2^n+3^n}|SZ=}} auf Konvergenz. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqqh8soz1ie65csenei47pkreacu25p 0 36940 783590 726869 2022-08-22T03:54:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R \setminus \{0\}|\R |x|f(x) {{=}} e^{ - {{op:Bruch|1|x}} } |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Untersuche{{n Sie}} das Monotonieverhalten dieser Funktion. |Zeige{{n Sie}}, dass diese Funktion injektiv ist. |Bestimme{{n Sie}} das Bild von {{math|term= f|SZ=.}} |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an. |Skizziere{{n Sie}} den Funktionsgraphen von {{math|term= f|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie=Die reelle Exponentialfunktion |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lnhot3fpvqfgihmeazt3139m2jvkvy9 0 36949 783882 508534 2022-08-22T04:43:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper, {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} seien endlichdimensionale {{math|term= K|SZ=-}}Vektorräume und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine lineare Abbildung. a) Zeige{{n Sie}}: {{math|term= \varphi|SZ=}} ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\psi |W|V || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi \circ \psi ||\operatorname{Id}_W || || || |SZ= }} gibt. b) Es sei nun {{math|term= \varphi|SZ=}} surjektiv, es sei {{ math/disp|term= S= {{Mengebed|\psi:W \rightarrow V|\psi \text{ linear}| \varphi \circ \psi {{=|}} \operatorname{Id}_W }} |SZ= }} und es sei {{mathl|term= \psi_0 \in S|SZ=}} fixiert. Definiere{{n Sie}} eine Bijektion zwischen {{ mathkor|term1= \operatorname{Hom}_K(W, {{op:Kern|\varphi|}} ) |und|term2= S |SZ=, }} unter der {{math|term= 0|SZ=}} auf {{math|term= \psi_0|SZ=}} abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Surjektiv |Punkte=11 |p1=6 |p2=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5tq51bscq8deurbsm6ybuq1uwv9h3bx 0 36952 781712 578992 2022-08-21T22:40:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die lineare Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |{{CC}}^3|{{CC}}^3 || |SZ=, }} die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |A || {{op:Matrix33|2|1|-2+ {{Imaginäre Einheit}} |0| {{Imaginäre Einheit}} |1+ {{Imaginäre Einheit}} |0|0|-1+2 {{Imaginäre Einheit}} }} || || || |SZ= }} beschrieben wird. a) Bestimme{{n Sie}} das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von {{math|term= A|SZ=.}} b) Berechne{{n Sie}} zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor. c) Stelle{{n Sie}} die Matrix für {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Das charakteristische Polynom |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=3 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n0tb9le3xtixayyjuo5skavdvkpuw22 0 36953 781930 403834 2022-08-21T23:17:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= M_1 {{kommadots|}} M_k|SZ=}} und {{mathl|term= N_1 {{kommadots|}} N_k|SZ=}} nichtleere Mengen und {{ Ma:abb/disp |name= \varphi_i |M_i|N_i || |SZ= }} Abbildungen für {{mathl|term= i= 1 {{kommadots|}} k|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= M=M_1 {{timesdots|}} M_k|SZ=, }} {{mathl|term= N=N_1 {{timesdots|}} N_k|SZ=, }} und {{math|term= \varphi|SZ=}} die Produktabbildung, also {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N |(x_1 {{kommadots|}} x_k)| ( \varphi_1(x_1) {{kommadots|}} \varphi_k(x_k) ) |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann surjektiv ist, wenn alle {{math|term= \varphi_i|SZ=}} surjektiv sind. b) Zeige{{n Sie}}, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Abbildung |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e0y24rhywoa5clc7o7x50vz9cd1x82j 0 36965 782906 646360 2022-08-22T02:00:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} durch Induktion für alle {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} die Formel {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 1}^n (-1)^{k-1} k^2 || (-1)^{n+1} {{op:Bruch|n(n+1)|2}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summenformeln für ganze Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=4 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ltyfonwq37b5ztje5bpo394jb3pr1o 0 36969 785891 711855 2022-08-22T09:54:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen {{mathl|term= a,b,c \in {]0,1[}|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | a^2+b^2 || c^2 || || || |SZ=. }} b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen {{mathl|term= a,b,c \in {]0,1[}|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | a^2+b^2 | \neq | c^2 || || || |SZ=. }} c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen {{mathl|term= a,b \in {]0,1[}|SZ=}} und eine rationale Zahl {{mathl|term= c \in {]0,1[}|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | a^2+b^2 || c^2 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der irrationalen Zahlen |Kategorie3=Theorie der pythagoreischen Tripel |Objektkategorie= |Stichwort=Pythagoras |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jo3rxeagzky0gkz8qp4kegkgxq94lfh 0 36978 780096 773169 2022-08-21T18:09:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es ist nicht möglich, für beliebige Teilmengen des {{mathl|term= \R^n|SZ=}} ein sinnvolles Maß zu definieren. Stattdessen sucht man nach einer möglichst großen Auswahl von Teilmengen, für die ein Maß definiert werden kann. Um über solche Mengensysteme und ihre strukturellen Eigenschaften reden zu können, brauchen wir die folgenden Definitionen. {{ inputdefinition |Teilmengensystem/Potenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengenalgebra/Definition|| }} Statt Mengenalgebra sagt man auch {{Stichwort|Mengenring|SZ=,}} doch ist das missverständlich, da auch die weiter unten definierten {{Stichwort|Mengen-Präringe|msw=Mengen-Präring|SZ=}} manchmal Mengenringe genannt werden. {{{zusatz1|}}} Für die Maßtheorie ist das folgende Konzept am wichtigsten. {{ inputdefinition |Sigmaalgebra/Definition|| }} Eine {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra ist also eine Mengenalgebra, die nicht nur unter endlichen Vereinigungen, sondern auch unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist. Sie ist im Allgemeinen nicht unter beliebigen Vereinigungen abgeschlossen. Die trivialen Beispiele für eine {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra sind die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das Mengensystem {{mathl|term= \{\emptyset, M\} |SZ=.}} Die Elemente aus der {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra, also die Teilmengen von {{math|term= M|SZ=,}} die zu {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=}} gehören, nennt man auch einfach {{Stichwort|messbare Mengen|msw)=Messbare Menge|SZ=.}} Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie spricht man von {{Stichwort|Ereignissen|msw=Ereignis|SZ=.}} Zu einer Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | A |\subseteq| M || || || |SZ= }} heißt die aus {{mathl|term= \emptyset, A, M \setminus A,M|SZ=}} bestehende {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra die {{Stichwort|Ereignisalgebra|SZ=}} zu {{math|term= A|SZ=.}} {{ inputdefinition |Messraum/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Sigmaalgebra/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbemerkung |Sigmaalgebra/Limes superior und limes inferior/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Sigma-Algebren/Durchschnitt/Fakt|Lemma|| || }} Aufgrund dieses Lemmas gibt es zu jeder Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | {{mengensystem|E}} |\subseteq| {{op:Potenzmenge|M}} || || || || |SZ= }} eine kleinste {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra, die {{math|term= {{mengensystem|E}} |SZ=}} umfasst, nämlich der Durchschnitt über alle {{math|term= {{mengensystem|E}} |SZ=-}}umfassenden {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebren. {{ inputdefinition |Erzeugte Sigmaalgebra/Definition|| }} Eine explizite Beschreibung dieser Mengen ist häufig schwierig. Bei {{ Ma:Vergleichskette | {{mengensystem|E}} || \{A\} || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= \sigma({{mengensystem|E}} )|SZ=}} die oben erwähnte Ereignisalgebra. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 473kymfcxpogidsv24xa0omkq951787 780101 780096 2022-08-21T18:10:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es ist nicht möglich, für beliebige Teilmengen des {{mathl|term= \R^n|SZ=}} ein sinnvolles Maß zu definieren. Stattdessen sucht man nach einer möglichst großen Auswahl von Teilmengen, für die ein Maß definiert werden kann. Um über solche Mengensysteme und ihre strukturellen Eigenschaften reden zu können, brauchen wir die folgenden Definitionen. {{ inputdefinition |Teilmengensystem/Potenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengenalgebra/Definition|| }} Statt Mengenalgebra sagt man auch {{Stichwort|Mengenring|SZ=,}} doch ist das missverständlich, da auch die weiter unten definierten {{Stichwort|Mengen-Präringe|msw=Mengen-Präring|SZ=}} manchmal Mengenringe genannt werden. {{{zusatz1|}}} Für die Maßtheorie ist das folgende Konzept am wichtigsten. {{ inputdefinition |Sigmaalgebra/Definition|| }} Eine {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra ist also eine Mengenalgebra, die nicht nur unter endlichen Vereinigungen, sondern auch unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist. Sie ist im Allgemeinen nicht unter beliebigen Vereinigungen abgeschlossen. Die trivialen Beispiele für eine {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra sind die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das Mengensystem {{mathl|term= \{\emptyset, M\} |SZ=.}} Die Elemente aus der {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra, also die Teilmengen von {{math|term= M|SZ=,}} die zu {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=}} gehören, nennt man auch einfach {{Stichwort|messbare Mengen|msw=Messbare Menge|SZ=.}} Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie spricht man von {{Stichwort|Ereignissen|msw=Ereignis|SZ=.}} Zu einer Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | A |\subseteq| M || || || |SZ= }} heißt die aus {{mathl|term= \emptyset, A, M \setminus A,M|SZ=}} bestehende {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra die {{Stichwort|Ereignisalgebra|SZ=}} zu {{math|term= A|SZ=.}} {{ inputdefinition |Messraum/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Sigmaalgebra/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbemerkung |Sigmaalgebra/Limes superior und limes inferior/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Sigma-Algebren/Durchschnitt/Fakt|Lemma|| || }} Aufgrund dieses Lemmas gibt es zu jeder Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | {{mengensystem|E}} |\subseteq| {{op:Potenzmenge|M}} || || || || |SZ= }} eine kleinste {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra, die {{math|term= {{mengensystem|E}} |SZ=}} umfasst, nämlich der Durchschnitt über alle {{math|term= {{mengensystem|E}} |SZ=-}}umfassenden {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebren. {{ inputdefinition |Erzeugte Sigmaalgebra/Definition|| }} Eine explizite Beschreibung dieser Mengen ist häufig schwierig. Bei {{ Ma:Vergleichskette | {{mengensystem|E}} || \{A\} || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= \sigma({{mengensystem|E}} )|SZ=}} die oben erwähnte Ereignisalgebra. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b237emsuflbhbjum0umtpm9naz4cj8h 0 36994 778433 748006 2022-08-21T12:01:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1) folgt aus der Definition der {{ Definitionslink |Borel-Mengen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} (2) folgt aus (1), da eine {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer Menge auch stets deren Komplement enthält, und die abgeschlossenen Mengen die Komplemente der offenen Mengen sind. (3). Einpunktige Mengen im {{math|term= \R^n |SZ=}} sind abgeschlossen und daher Borel-Mengen. Damit ist auch jede abzählbare Punktmenge als eine abzählbare Vereinigung von einpunktigen Teilmengen eine Borel-Menge. (4) und (5) sind Spezialfälle von (1) und (2). |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owkilw7eouwhjr3egyfebyy50kciuzm 0 36997 778432 748003 2022-08-21T12:01:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir beweisen den Zusatz. Es genügt zu zeigen, dass jede {{ Definitionslink |offene Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^n |SZ=}} sich als eine {{ Definitionslink |abzählbare| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vereinigung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von achsenparallelen {{ Definitionslink |offenen Quadern| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit rationalen Eckpunkten schreiben lässt. Da die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, ist auch die Menge aller Quader mit rationalen Ecken abzählbar. Wir müssen daher nur zeigen, dass jede offene Menge eine Vereinigung von offenen achsenparallelen Quadern mit rationalen Ecken ist. Sei dazu {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} offen und sei {{ Ma:Vergleichskette | x |\in|U || || || |SZ= }} ein Punkt. Daher gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ=, }} das wir rational wählen können, mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | x || (x_1 {{kommadots||}} x_n) |\in| {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} | \subseteq | U || || |SZ=. }} Jede Koordinate {{math|term= x_i |SZ=}} ist eine reelle Zahl, und damit der Limes einer Folge von rationalen Zahlen. Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | y || (y_1 {{kommadots||}} y_n) | \in | \Q^n || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(x_i,y_i) |<|{{op:Bruch|\epsilon|3n}} || || || |SZ=. }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | i || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ=. }} Damit ist einerseits {{ Ma:Vergleichskette/disp | x |\in| Q || {]y_1- {{op:Bruch|\epsilon|3n}},y_1 + {{op:Bruch|\epsilon|3n}} [} {{timesdots||}} {]y_n- {{op:Bruch|\epsilon|3n}},y_n + {{op:Bruch|\epsilon|3n}} [} || || |SZ= }} und andererseits gilt für {{ Ma:Vergleichskette | z |\in| Q || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(x,z) |\leq| d(x,y) + d(y,z) |\leq| {{op:Bruch|\epsilon|3}} + {{op:Bruch|\epsilon|3}} |<| \epsilon || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette | z |\in| {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| Q |\subseteq | {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} | \subseteq | U || || |SZ=. }} Die Vereinigung dieser so konstruierten Quader ist genau {{math|term= U |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hds0mpysk0gbsnx32enavx3tll247ia 0 37061 778518 748026 2022-08-21T12:15:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach Definition bedeutet die {{ Definitionslink |Stetigkeit| |Kontext=tr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dass das {{ Definitionslink |Urbild| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi^{-1}(V) |SZ=}} von jeder {{ Definitionslink |offenen Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | V | \subseteq | Y || || || |SZ= }} offen in {{math|term= X |SZ=}} ist. Nach Definition ist das Mengensystem der offenen Mengen einer Topologie ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=Sigmaalgebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |prämath=\sigma |Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Borelmengen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Messbare Abbildungen/Messbarkeitskriterium/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist somit {{math|term= \varphi |SZ=}} {{ Definitionslink |messbar| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 17f6yqtldsltvfsqf790i40emcvgjn2 0 37088 778848 748011 2022-08-21T13:04:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis={{ Ringbeweis |Strategie= |Richtung=12 |Beweis12= {{ Fallunterscheidung |Fall1= Wenn {{math|term= N|SZ=}} leer ist, so kann man die {{ Definitionslink |leere Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |\emptyset|M || |SZ= }} nehmen. |Fall2= Sei also {{ Ma:Vergleichskette |N |\neq| \emptyset || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} {{ Definitionslink |surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |y |\in|N || || || |SZ= }} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|M || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(x) || y || || || |SZ=. }} Wir wählen für jedes {{math|term= y|SZ=}} ein solches {{math|term= x_y |SZ=}}{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}}|text={{:Mengentheorie/Abhängigkeit vom Auswahlaxiom/Bemerkung|opt=Text}}||ISZ=|ESZ= }} aus und definieren {{math|term= \psi |SZ=}} durch {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |N|M |y|\psi(y) {{=|}} x_y |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(\psi(y)) || y || || || |SZ= }} ist {{math|term= \psi|SZ=}} {{ Definitionslink |injektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Fall3=|Fall4=|Fall5= }} |Beweis21= Sei nun eine injektive Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\psi |N|M || |SZ= }} gegeben. Diese induziert eine Bijektion zwischen {{math|term= N|SZ=}} und dem {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \psi |SZ=,}} sei {{ Ma:abb |name=\theta |N| {{op:Bild|\psi|}} || |SZ= }} diese Abbildung. {{ Fallunterscheidung |Fall1= Wenn {{math|term= N |SZ=}} leer ist, so sind wir fertig. |Fall2= Sei also {{ Ma:Vergleichskette | N |\neq| \emptyset || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|N || || || |SZ= }} ein fixiertes Element. Wir definieren {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(x) || \begin{cases} \theta^{-1} (x),\, \text{ falls } x \in {{op:Bild|\psi|}}\, , \\ c \text{ sonst} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Diese Abbildung ist wegen {{ Ma:Vergleichskette | \varphi( \theta(y)) || y || || || |SZ= }} surjektiv. |Fall3=|Fall4=|Fall5= }} |Abschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cfah4yj5yh0p6rghuwzcksrpviwkhn6 106 37129 784400 584027 2022-08-22T06:06:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesungsgestaltung|63| Wir beschäftigen uns weiter mit der Frage, welchen Teilmengen des {{math|term=\R^n|SZ=}} man ein sinnvolles Volumen zuordnen kann. Es wird sich herausstellen, dass diese {{Anführung|messbaren Mengen|}} eine {{math|term=\sigma|SZ=-}}Algebra bilden, nämlich die {{math|term=\sigma|SZ=-}}Algebra der {{Stichwort|Borel-Mengen|msw=Borel-Menge|SZ=.}} Diese ist zwar sehr groß, und zwar gehören nahezu alle irgendwie {{Anführung|kohärent beschreibbaren}} Teilmengen dazu, aber eben doch nicht alle. Die Borel-Mengen explizit zu beschreiben, ist nicht möglich, stattdessen gibt man ein einfaches Erzeugendensystem für diese {{math|term=\sigma|SZ=-}}Algebra an, nämlich die Menge aller offenen Teilmengen des euklidischen Raumes. Es empfiehlt sich, diese Konstruktion sofort für topologische Räume durchzuführen. {{Zwischenüberschrift|term=Topologische Räume}} Die Menge der offenen Teilmengen des {{mathl|term=\R^n|SZ=,}} oder allgemeiner eines {{ Definitionslink |metrischen Raumes| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=, }} bilden ein Mengensystem, dass eine Topologie im Sinne der folgenden Definition ist. {{ inputdefinition |Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|| }} Die Teilmengen von {{math|term=X|SZ=,}} die zu {{math|term= {{mengensystem|T}}|SZ=}} gehören, heißen {{Stichwort|offene Mengen|msw=Offene Menge|SZ=.}} Eine Teilmenge {{mathl|term=A \subseteq X|SZ=}} heißt {{Stichwort|abgeschlossen|SZ=,}} wenn ihr Komplement offen ist, also zur Topologie gehört. {{ inputbild |Hausdorff space|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Hausdorff_space |Text= |Autor=Toby Bartels |Benutzer=Fibonacci |Domäne= |Lizenz=copyleft |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Hausdorff/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologie/Basis/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition|| }} Im {{math|term=\R^n|SZ=}} gibt es {{ Definitionslink |überabzählbar| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} viele offene Mengen, es gibt aber eine abzählbare Basis, nämlich alle offenen Bälle {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P|r}} |SZ=,}} deren Mittelpunktskoordinaten und deren Radien {{ Definitionslink |rationale Zahlen| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} sind. {{ inputdefinition |Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition|| }} Diese Definition stimmt wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit der Definition für metrische Räume überein. {{ inputdefinition |Topologische Räume/Homöomorph/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Borel-Mengen}} {{:Topologie/Borel-Mengen/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Stetige Abbildungen/Borel-messbar/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Maße und Maßräume}} In der Praxis gibt man einen Flächeninhalt in Quadratmeter {{math|term=m^2|SZ=}} und ein Volumen in Kubikmeter {{math|term=m^3|SZ=}} an. Diese Einheiten legen die Skala fest, auf der dann mit nichtnegativen reellen Zahlen gemessen wird. Als Wertemenge für ein Maß bieten sich demnach die nichtnegativen reellen Zahlen an. Besitzt der Gesamtraum {{math|term=\R^3|SZ=}} ein Volumen? Sicherlich keines, das durch eine reelle Zahl ausgedrückt werden könnte. Daher erlaubt man bei einem Maß auch den Wert {{math|term=\infty|SZ=,}} und setzt {{ mathkor/disp|term1= {{op:abschlussnum|\R|}}_{\geq} = \R_{\geq 0} \cup \{ \infty\} |und|term2= {{op:abschlussnum|\R|}} = \R \cup \{ \infty\} \cup \{ - \infty\} |SZ=. }} Das bedeutet nicht, dass wir die reellen Zahlen ändern, sondern dass wir im maßtheoretischen Kontext mit einer bestimmten Mengenerweiterung der reellen Zahlen arbeiten. Einen Teil der Rechenoperationen dehnen wir auf die zusätzlichen Symbole aus, aber nicht alles, wobei man sich von der maßtheoretischen Zweckmäßigkeit leiten lässt. Die Ordnungsrelation wird durch {{ math/disp|term= - \infty < r < \infty |SZ= }} für jede reelle Zahl {{math|term=r|SZ=}} ausgedehnt. Wir setzen {{ math/disp|term= r+ \infty = \infty \text{ und } r - \infty = - \infty |SZ= }} für {{mathl|term=r \in \R|SZ=.}} Der Ausdruck {{mathl|term= \infty + (- \infty) |SZ=}} ist nicht definiert. Für positive reelle Zahlen ist {{mathl|term=r \cdot \infty = \infty|SZ=,}} und wir setzen {{mathl|term=0 \cdot \infty = 0|SZ=.}} {{ inputbild |Measure illustration|png| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Measure_illustration |Text= |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{:Maße und Maßräume/Prämaß/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Beispiele für diskrete Maße}} Wir besprechen kurz einige {{Anführung|diskrete Maße|SZ=.}} Das für uns wichtigste Maß, das {{Stichwort|Borel-Lebesgue-Maß|SZ=}} auf dem {{math|term=\R^n|SZ=,}} ist kein diskretes Maß, sondern ein {{Anführung|stetiges Maß|SZ=.}} {{:Maßtheorie/Diskrete Maße/Einführung/Textabschnitt|}} }} fyhojrbycvbxld3bgdwhsv16un90g5e 0 37249 778430 747895 2022-08-21T12:01:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das {{ Definitionslink |Prämath= |Borel-Lebesgue-Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \lambda^n|SZ=}} erfüllt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Translationsinvariant/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} diese Bedingungen. Sei {{math|term= \mu|SZ=}} ein solches Maß. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Translationsinvariantes Maß/Echte Unterräume haben Maß 0/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist es egal, ob diese Bedingung an den abgeschlossenen, den offenen oder einen halboffenen Einheitswürfel gestellt wird. Wir werden durchgehend mit rechtsseitig offenen Quadern arbeiten. Da der {{math|term= \R^n |SZ=}} durch abzählbar viele Verschiebungen des Einheitswürfels überdeckt wird, die wegen der Translationsinvarianz von {{math|term= \mu |SZ=}} alle das gleiche Maß besitzen, ist {{math|term= \mu |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endlich| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir müssen zeigen, dass {{math|term= \mu |SZ=}} mit {{math|term= \lambda^n |SZ=}} übereinstimmt, wobei es aufgrund des {{ Faktlink |Eindeutigkeitssatzes|Faktseitenname= Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} genügt, die Gleichheit auf einem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem für die Borelmengen nachzuweisen. Ein solches System bilden die Quader der Form {{mathl|term= [a_1,b_1[ {{timesdots|}} [a_n,b_n[|SZ=}} mit {{ Definitionslink |rationalen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ecken. Wegen der {{ Definitionslink |Translationsinvarianz| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \mu |SZ=}} besitzt ein solcher Quader das gleiche Maß wie der verschobene Quader {{mathl|term= [0,b_1-a_1[ {{timesdots|}} [0,b_n-a_n[ |SZ=.}} Wir schreiben einen solchen Quader unter Verwendung eines Hauptnenners als {{mathl|term= Q=[0, {{op:Bruch|c_1|m}} [ {{timesdots|}} [0,{{op:Bruch|c_n|m}}[ |SZ=}} mit {{mathl|term= m, c_1 {{kommadots|}} c_n \in \N |SZ=.}} Dieser Quader setzt sich disjunkt aus {{mathl|term= c_1 \cdots c_n |SZ=}} Quadern {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich {{mathl|term= [{{op:Bruch|i_1|m}}, {{op:Bruch|i_1+1|m}} [ {{timesdots|}} [{{op:Bruch|i_n|m}},{{op:Bruch|i_n+1|m}}[|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/k | i_j |\in| \{0 {{kommadots|}} c_j-1\} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} zusammen, die alle das gleiche {{math|term= \mu |SZ=-}}Maß haben, da sie ineinander verschoben werden können. Das {{math|term= \mu |SZ=-}}Maß des Quaders {{math|term= Q |SZ=}} ist also das {{mathl|term= c_1 \cdots c_n |SZ=-}}fache des {{math|term= \mu |SZ=-}}Maßes des Quaders {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{Q} || [0, {{op:Bruch|1|m}} [ {{timesdots|}} [0,{{op:Bruch|1|m}}[ || || || |SZ=. }} Da sich der Einheitswürfel aus {{math|term= m^n |SZ=}} verschobenen Kopien dieses kleineren Würfels zusammensetzt, muss {{ Ma:Vergleichskette | \mu(\tilde{Q}) || {{op:Bruch|1|m^n}} || || || |SZ= }} und damit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu(Q) || c_1 \cdots c_n \cdot {{op:Bruch|1|m^n}} || \lambda^n (Q) || || |SZ= }} sein. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0i5e66eobpk45hvwhhvocwvlngswn7f 0 37295 778472 747902 2022-08-21T12:07:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die Äquivalenz von (1) und (2) ist die Definition von integrierbar. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Für die Äquivalenz von (2) und (3) verwendet man die Beziehung {{mathl|term= {{op:Betrag|f|}} =f_+ + f_- |SZ=.}} Dabei ist der {{ Definitionslink |Subgraph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Betrag|f|}} |SZ=}} die Vereinigung der beiden Subgraphen zu {{ mathkor|term1= f_+ |bzw.|term2= f_- |SZ=, }} wobei der Durchschnitt dieser Subgraphen aus der Menge {{mathl|term= {{mengebed|(x,0)|f(x) {{=}} 0 }} |SZ=}} besteht und somit nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Maßtheorie/Integration/Konstanter Wert/Null/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das Maß {{math|term= 0|SZ=}} besitzt. Also ist{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Wir werden später sehen, dass generell das Integral mit der Addition von Funktionen verträglich ist, das haben wir hier aber noch nicht zur Verfügung| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Integralmaß| {{op:Betrag|f|}} }} || {{makl| \mu \otimes \lambda^1 |}} (S( {{op:Betrag|f|}} )) ||{{makl| \mu \otimes \lambda^1 |}} (S(f_+)) + {{makl| \mu \otimes \lambda^1 |}} (S(f_-)) ||{{op:Integralmaß|f_+}} + {{op:Integralmaß|f_-}} || |SZ=, }} und die beiden Summanden sind genau dann endlich, wenn die Summe endlich ist. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Aus (3) folgt (4), indem man {{ Ma:Vergleichskette | h || {{op:Betrag|f|}} || || || |SZ= }} nimmt. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Wenn (4) erfüllt ist, so ist der Subgraph von {{mathl|term= {{op:Betrag|f|}} |SZ=}} im Subgraphem von {{math|term= h |SZ=}} enthalten, und die Monotonie des Maßes {{mathl|term= \mu \otimes \lambda^1 |SZ=}} ergibt die Endlichkeit von {{mathl|term= {{op:Integralmaß| {{op:Betrag|f|}}}} |SZ=.}} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gm16d75uzknk33ozzlga3uf4o4cyxwo 0 37307 778441 747908 2022-08-21T12:03:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zunächst ist die {{ Definitionslink |Grenzfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Messbare numerische Funktionen/Punktweise konvergent/Grenzfunktion/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wieder messbar, so dass das Integral links wohldefiniert ist. Für die {{Anführung|halboffenen}} Subgraphen {{mathl|term= {{op:Subgraph halboffen|f_n|}} |SZ=}} gilt die Beziehung {{mathl|term= {{op:Subgraph halboffen|f_n|}} \uparrow {{op:Subgraph halboffen|f|}} |SZ=.}} Daher ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Prämaß/Rechenregeln/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \mu \otimes \lambda^1 |}} {{makl| {{op:Subgraph halboffen|f|}} |}} || {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| \mu \otimes \lambda^1 |}} {{makl| {{op:Subgraph halboffen|f_n|}} |}} }} || || || |SZ= }} Wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= Messbare Funktion/Auf sigmaendlichem Maßraum/Graph hat Maß null/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dies die Behauptung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 35zb2s24oiadp45hzuwi98sxc3s5g7b 0 37424 778934 746283 2022-08-21T15:09:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen das Volumen einer {{math|term= n|SZ=-}}dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius {{math|term= r |SZ=}} berechnen, also von {{ Ma:Vergleichskette/disp | B_n(r) || {{mengebed|x \in \R^n| {{op:Norm|x|}} \leq r }} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt dabei {{ Ma:Vergleichskette | \lambda^n (B_n(r)) || r^n \lambda^n ( B_n(1)) || || || |SZ=, }} d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen. Ihr Volumen bezeichnen wir mit {{ Ma:Vergleichskette | \beta_n || \lambda^n(B_n(1)) || || || |SZ=. }} Zur Berechnung gehen wir induktiv vor {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{ Ma:Vergleichskette/k | \beta_1 || 2 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette/disp | B_n | \subseteq | \R^{n-1} \times \R || || || |SZ=. }} Für jedes fixierte {{ mathbed|term= h ||bedterm1= -1 \leq h \leq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} kann man den Querschnitt als {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | B_n (h) || {{mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_{n-1}) \in \R^{n-1} | (x_1 {{kommadots|}} x_{n-1}, h) \in B_n }} || {{mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_{n-1} ) \in \R^{n-1} |x_1^2 {{plusdots|}} x_{n-1}^2 +h^2 \leq 1 }} || {{mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_{n-1}) \in \R^{n-1} |x_1^2 {{plusdots|}} x_{n-1}^2 \leq 1 -h^2 }} || B_{n-1} {{makl| 0, \sqrt{ 1-h^2 } |}} |SZ= }} schreiben, d.h. als eine {{math|term= (n-1)|SZ=-}}dimensionale Kugel vom Radius {{mathl|term= \sqrt{ 1-h^2 } |SZ=.}} Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Cavalieri-Prinzips|Faktseitenname= Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette/align |\beta_{n} || \lambda^{n} (B_{n}(1)) || {{makl| \lambda^{n-1} \otimes \lambda^1 |}} (B_{n}(1)) || {{op:Integralmaß| \lambda^{n-1} {{makl| B_{n-1}( \sqrt{1-h^2}) |}} |[-1,1] | \lambda^1}} || {{op:Integralmaß| {{makl| \sqrt{1-h^2} |}}^{n-1} \lambda^{n-1} {{makl| B_{n-1}(1) |}} |[-1,1] | \lambda^1}} || \lambda^{n-1} {{makl| B_{n-1}(1) |}} \cdot {{op:Integralmaß| {{makl| \sqrt{1-h^2} |}}^{n-1} |[-1,1] | \lambda^1}} || \beta_{n-1} \cdot {{op:Integralmaß| {{makl| \sqrt{1-h^2} |}}^{n-1} |[-1,1] | \lambda^1}} |SZ=. }} Dabei können wir das Integral rechts wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemann-integrierbare Funktion/Ist Maß-integrierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} über {{ Definitionslink |Stammfunktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ausrechnen. Die {{ Faktlink |Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | h || {{op:sin|t|}} || || || |SZ= }} liefert {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|-1|1|grand= {{makl| \sqrt{1-h^2} |}}^{n-1} ||h}} || {{op:Integral|- {{op:Bruch|\pi|2}} |{{op:Bruch|\pi|2}}|grand={{op:cos|t|pot=n|}} |t}} || 2 {{op:Integral|0| {{op:Bruch|\pi|2}}|grand={{op:sin|t|pot=n|}} |t}} || || |SZ=. }} Im [[Darstellung von pi/Wallis-Produkt/Fakt/Beweis|Beweis]] zu {{ Faktlink ||Faktseitenname= Darstellung von pi/Wallis-Produkt/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wurden diese Integrale berechnet; mit {{ Ma:Vergleichskette | a_n || {{op:Integral|0 |{{op:Bruch|\pi|2}}|grand={{op:sin|t|pot=n|}} |t}} || || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | a_n || \begin{cases} {{op:Bruch|(n-1)(n-3)\cdots 3 \cdot 1|n(n-2) \cdots 4 \cdot 2 }} \cdot {{op:Bruch|\pi|2}} \text{ bei } n \text{ gerade } \geq 2\, , \\ {{op:Bruch|(n-1)(n-3)\cdots 4 \cdot 2|n(n-2) \cdots 5 \cdot 3 }} \text{ bei } n \text{ ungerade} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift {{ Ma:Vergleichskette | \beta_n || 2 \beta_{n-1} a_n || || || |SZ= }} kann man schließlich mit Hilfe der {{ Definitionslink |Fakultätsfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das Kugelvolumen als {{ Ma:Vergleichskette/disp | \beta_n || {{op:Bruch|\pi^{n/2}| {{op:Fak(|n/2|}} }} || || || |SZ= }} schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Fakultätsfunktion/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ffqntmkh8zaxefwk04976xphgvto43 0 37432 778474 748057 2022-08-21T12:08:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen {{ Ma:abbele/disp |name= | M | M \times N | x | (x,y) |SZ=, }} für jedes {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| N || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (2) folgt aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Messbarkeit des Querschnittsmaßes/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} angewendet auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | S(f) || M \times ( N \times {{op:abschlussnum|\R|}}) || || || |SZ=, }} da {{mathl|term= (S(f))(x) |SZ=}} der Subgraph von {{mathl|term= f(x,-) |SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette | \int_N f(x,-) d \nu || \nu \otimes \lambda^1 (S(f)(x) ) || || || |SZ= }} ist. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (3). Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} angewendet auf das Produkt {{mathl|term= M \times (N \times {{op:abschlussnum|\R|}} ) |SZ=,}} ist {{ Ma:Vergleichskette/aligndirekt | {{op:Integralmaß|f|M \times N|(\mu \otimes \nu)}} || {{makl| \mu \otimes \nu \otimes \lambda^1 |}} ( S(f)) || {{op:Integralmaß| {{makl| \nu \otimes \lambda^1 |}} {{makl| (S(f))(x) |}} |M|\mu}} || {{op:Integralmaß| \left( {{op:Integralmaß|f(x,y)|N|\nu}} \right) |M|\mu}} || |SZ=. }} Da man die Rollen von {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 71z0tq3vemqg9qn24dzdksuvjurutx5 0 37436 778473 748059 2022-08-21T12:08:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Integrierbarkeit von {{math|term= f|SZ=}} ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Charakterisierung der Integrierbarkeit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} äquivalent zur Integrierbarkeit der Betragsfunktion, was die Endlichkeit von {{mathl|term= {{op:Integralmaß| {{op:Betrag|f|}} | M \times N | (\mu \otimes \nu)}} |SZ=}} bedeutet. Die Aussage folgt daher aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Sigmaendliche Räume/Nichtnegative Funktion/Fubini/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k0efvv9v61dfll0wyshubnox38lmoqp 0 37437 778475 748056 2022-08-21T12:08:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Nach Voraussetzung und nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Sigmaendliche Räume/Funktion/Integrationskriterium/Tonelli/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Funktion {{mathl|term= x \mapsto {{op:Integralmaß| {{op:Betrag|f(x,y)||}} |N|\nu|var=y}} |SZ=}} {{ Definitionslink |integrierbar| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral {{mathl|term= {{op:Integralmaß| {{op:Betrag|f(x,y)||}} |N|\nu|var=y}} |SZ=}} fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine {{ Definitionslink |Nullmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | Z |\subseteq| M || || || |SZ= }} gibt mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Integralmaß| {{op:Betrag|f(x,y)||}} |N|\nu|var=y}} |<| \infty || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | x |\notin| Z || || || |SZ=. }} Daher sind {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Charakterisierung der Integrierbarkeit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | x |\notin| Z || || || |SZ= }} die Integrale {{mathl|term= {{op:Integralmaß| f(x,y) |N|\nu|var=y}} |SZ=}} definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile {{ mathkor|term1= f_+(x,y) |und|term2= f_-(x,y) |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da {{mathl|term= Z \times N |SZ=}} eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man {{math|term= M |SZ=}} durch {{mathl|term= M \setminus Z |SZ=}} ersetzen. Wir schreiben {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Integralmaß|f|M\times N| (\mu \otimes \nu)}} || {{op:Integralmaß| (f_+ -f_-)|M\times N| (\mu \otimes \nu)}} || {{op:Integralmaß|f_+|M\times N| (\mu \otimes \nu)}} - {{op:Integralmaß|f_-|M\times N| (\mu \otimes \nu)}} || || |SZ= }} und wenden auf die beiden Summanden {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Sigmaendliche Räume/Nichtnegative Funktion/Fubini/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an, so dass dies gleich {{ Ma:Vergleichskette/align | || {{op:Integralmaß| {{makl| {{op:Integralmaß| f_+(x,y)| N| \nu|var=y}} |}} |M | \mu|var=x }} - {{op:Integralmaß| {{makl| {{op:Integralmaß| f_-(x,y)| N| \nu|var=y}} |}} |M | \mu|var=x }} || {{op:Integralmaß|\left( {{op:Integralmaß|( f_+(x,y) -f_-(x,y) )| N| \nu|var=y}} \right) |M | \mu|var=x }} || {{op:Integralmaß|\left( {{op:Integralmaß| f(x,y)| N| \nu|var=y}} \right) |M | \mu|var=x }} || || |SZ= }} ist. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0uch7tvawwayokny1qyb1b9mhmdvkml 0 37518 779567 751570 2022-08-21T16:49:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Jede offene Teilmenge {{mathl|term= V \subseteq \R^n|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath=C^\infty|Mannigfaltigkeit| |Kontext=differenzierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn man die {{ Definitionslink |Identität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\operatorname{Id} |V|V || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Karte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nimmt. Die einzige {{ Definitionslink |Übergangsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist dann ebenfalls diese Identität, die ein {{math|term= C^\infty|SZ=-}}{{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dies ist dann eine Mannigfaltigkeit mit einem {{ Definitionslink |Atlas| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der aus einer einzigen Karte besteht. Man kann aber genauso gut den Atlas nehmen, der aus sämtlichen offenen Teilmengen {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} und den zugehörigen identischen Karten {{math|term= \varphi_U|SZ=}} besteht. Die Übergangsabbildungen sind dann die Identitäten auf {{mathl|term= U_1 \cap U_2|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hcsc8sa5twowhmlsczp4ts72qs9xslf 0 37542 778447 762397 2022-08-21T12:03:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir setzen {{mathl|term= Q=0|SZ=.}} Aufgrund von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/Globale Diffeomorphismen/Induzierte Diffeomorphismen zwischen Faser und Achsenräumen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es zu jedem Punkt {{mathl|term= P\in Z|SZ=}} eine offene Umgebung {{mathl|term= P \in W \subseteq G|SZ=}} und einen {{ Definitionslink |Prämath=C^1|Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\theta |W|V \times V' || |SZ= }} mit offenen Mengen {{ mathkor|term1= V \subseteq \R^{n - {{{m|m}}} } |und|term2= V' \subseteq \R^{{{m|m}}} |SZ=, }} so dass {{math|term= \theta|SZ=}} eine Bijektion zwischen {{mathl|term= Z \cap W|SZ=}} und {{mathl|term= V \times \{0\} \cong V |SZ=}} induziert. Die Einschränkungen dieser Diffeomorphismen auf {{mathl|term= Z \cap W|SZ=}} bzw. {{math|term= V|SZ=}} nehmen wir als Karten für {{math|term= Z|SZ=.}} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zum Nachweis, dass dies eine differenzierbare Struktur auf {{math|term= Z|SZ=}} definiert, seien offene Umgebungen {{ Zusatz/Klammer |text=im {{math|term= \R^n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ mathkor|term1= W_1 |und|term2= W_2 |SZ= }} von {{mathl|term= P \in Z|SZ=}} gegeben zusammen mit Diffeomorphismen {{ Ma:abbele/disp |name=\theta_1 |W_1|V_1 \times V_1' || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\theta_2 |W_2|V_2 \times V_2' || |SZ=. }} Durch Übergang zu {{mathl|term= W=W_1 \cap W_2|SZ=}} können wir annehmen, dass beide offenen Mengen gleich sind. Die Übergangsabbildung {{mathl|term= \theta_2 \circ \theta_1^{-1}|SZ=}} ist ein {{math|term= C^1|SZ=-}}Diffeomorphismus zwischen {{ Zusatz/Klammer |text=offenen Teilmengen von| |ISZ=|ESZ= }} {{ mathkor|term1= V_1 \times V_1' |und|term2= V_2 \times V_2' |SZ=, }} der {{mathl|term= V_1 \times \{0\}|SZ=}} in {{mathl|term= V_2 \times \{0\}|SZ=}} überführt. Daher ist nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Diffeomorphismus/Euklidische Produktmengen/Eingeschränkter Diffeomorphismus/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch die auf diese Teilmengen eingeschränkte Übergangsabbildung ein {{math|term= C^1|SZ=-}}Diffeomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen offenen Teilmengen des {{mathlk|term=\R^{n - {{{m|m}}} } |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rufobooqugkljb1r1nl2nglwqi1az0a 0 37572 779987 752173 2022-08-21T17:54:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Produkt| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Kreislinie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit sich selbst, also {{mathl|term= M=S^1 \times S^1|SZ=,}} heißt {{Stichwort|Torus|SZ=.}} Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da {{mathl|term= S^1 \subset \R^2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im {{mathl|term= \R^2 \times \R^2 = \R^4|SZ=}} realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im {{math|term= \R^3|SZ=}} realisieren. Dazu seien {{ mathkor|term1= r |und|term2= R |SZ= }} positive reelle Zahlen mit {{mathl|term= 0 < r < R|SZ=.}} Dann ist die Menge {{ math/disp|term= {{mengebed|(x,y,z) \in \R^3| {{makl| \sqrt{x^2+y^2} -R |}}^2 +z^2 {{=|}} r^2 }} |SZ= }} ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines {{ Zusatz/Klammer |text=aufgeblasenen| |ISZ=|ESZ= }} {{Anführung|Fahrradschlauches|SZ=,}} dessen {{Anführung|Radradius|SZ=}} gleich {{math|term= R|SZ=}} und dessen {{Anführung|Schlauchradius|SZ=}} gleich {{math|term= r|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=das Rad liegt in der {{mathlk|term=x-y|SZ=-}}Ebene| |ISZ=|ESZ=. }} Der Zusammenhang mit dem Produkt {{mathl|term= S^1 \times S^1|SZ=}} ergibt sich, indem man dem Produktwinkel {{mathl|term= ( \varphi, \psi)|SZ=}} den Punkt {{mathl|term= ( (R +r {{op:cos|\psi|}}) {{op:cos|\varphi|}}, (R+ r {{op:cos|\psi|}} ) {{op:sin|\varphi|}} , r {{op:sin|\psi|}} )|SZ=}} zuordnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Produkte von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Torus |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mhaque52n0a1986zoups79tnooog43j 0 37593 784550 751387 2022-08-22T06:26:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine {{math|term=k|SZ=-}}{{ Definitionslink |Form| |Kontext=Differential| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ordnet also jedem Punkt {{math|term=P|SZ=}} der Mannigfaltigkeit ein Element aus {{mathl|term=\bigwedge^k T^*_PM|SZ=}} zu. Dies ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Alternierende Formen und Linearformen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=und||Faktseitenname= Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das gleiche wie eine {{ Definitionslink |alternierende| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |multilineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |T_PM {{timesdots|}} T_PM | \R || |SZ=. }} Diese zugehörige Abbildung bezeichnen wir ebenfalls mit {{mathl|term=\omega(P)|SZ=;}} für {{math|term=k|SZ=}} {{ Definitionslink |Tangentialvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_k \in T_PM |SZ=}} ist also {{ math/disp|term= \omega(P)(v_1 {{kommadots|}} v_k) |SZ= }} eine reelle Zahl. Dabei treten zwei grundverschiedene Argumente auf, einerseits der Punkt der Mannigfaltigkeit und andererseits Elemente aus dem Tangentialraum an diesem Punkt. Die Abhängigkeit von den Tangentialvektoren ist verhältnismäßig einfach, da es sich ja um eine alternierende multilineare Abbildung handelt, dagegen ist die Abhängigkeit von der Mannigfaltigkeit beliebig kompliziert. Da die Dachprodukte des Kotangentialbündels nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Mannigfaltigkeit/Dachprodukte des Kotangentialbündels/Mannigfaltigkeit/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} selbst Mannigfaltigkeiten sind, kann man sofort von stetigen oder {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term=M|SZ=}} eine {{math|term=C^2|SZ=-}}Mannigfaltigkeit ist| |ISZ=|ESZ= }} differenzierbaren Differentialformen sprechen. Für {{mathl|term=k=0|SZ=}} kommt der Kotangentialraum nur formal vor, eine {{math|term=0|SZ=-}}Form ist nichts anderes als eine Funktion {{ Ma:abb |name=f |M|\R || |SZ=. }} Eine {{math|term=1|SZ=-}}Form {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht auch von einer {{Definitionswort/enp|Pfaffschen Form|msw=Pfaffsche Form|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ordnet jedem Punkt und jedem Tangentialvektor an {{math|term=P|SZ=}} eine reelle Zahl zu. Für {{ Ma:Vergleichskette |k |>|n || \operatorname{dim} \, M || || |SZ= }} ist das {{math|term=k|SZ=-}}fache Dachprodukt der Nullraum und daher gibt es gar keine nichttrivialen Formen von diesem Grad. Besonders wichtig ist der Fall {{mathl|term=k = n=\operatorname{dim} \, M |SZ=.}} Dann besitzt das {{math|term=n|SZ=-}}te Dachprodukt den Rang {{math|term=1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d. h. die Dimension ist in jedem Punkt {{math|term=1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und ein Schnitt darin wird lokal durch eine einzige Funktion beschrieben. Eine empfehlenswerte Vorstellung ist dabei, dass zu {{math|term=n|SZ=}} Tangentialvektoren die Zahl {{mathl|term=\omega(P)(v_1 {{kommadots|}} v_n) |SZ=}} das {{ Zusatz/Klammer |text= {{Anführung|orientierte}} | |ISZ=|ESZ= }} Volumen des durch die Vektoren im Tangentialraum aufgespannten Paralleltops angibt. Diese Vorstellung ist auch bei kleineren {{math|term=k|SZ=}} hilfreich, mit den {{mathl|term=\omega(P)(v_1 {{kommadots|}} v_k)|SZ=}} kann man das {{math|term=k|SZ=-}}dimensionale Volumen des durch {{math|term=k|SZ=}} Tangentialvektoren erzeugten Parallelotops berechnen. Diese Vorstellung wird präzisiert, wenn man über eine {{math|term=k|SZ=-}}dimensionale {{ Definitionslink |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} integriert. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j0i6t2x5kt2u5afln3igqggkfptz8fz 0 37647 778442 748058 2022-08-21T12:03:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da beide Seiten dieser Gleichung linear in {{math|term= \omega |SZ=}} sind, können wir annehmen, dass {{math|term= \omega |SZ=}} die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \omega || f dx_2 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ= }} mit einer in einer offenen Umgebung von {{math|term= Q|SZ=}} definierten stetig differenzierbaren Funktion {{math|term= f |SZ=}} besitzt. Die Integrale sind links und rechts {{ Definitionslink |Prämath= |Lebesgue-Integrale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu stetigen Funktionen auf Teilmengen des {{ mathkor|term1= \R^n |bzw.|term2= \R^{n-1} |SZ=. }} Daher können wir auf beiden Seiten zum {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Abschluss| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übergehen, da dadurch die in Frage stehenden Integrationsbereiche nur um eine Nullmenge verändert werden, so dass dies die Integrale nicht ändert. Wir schreiben den abgeschlossenen Quader als {{ Ma:Vergleichskette/disp | \overline{Q} || [a,b] \times \tilde{Q} || || || || |SZ=. }} Wir wenden {{ Faktlink ||Faktseitenname= Differentialform/Lokal/Zurückziehen unter partiell konstanter Abbildung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf jede Seite {{math|term= S|SZ=}} ausgenommen {{ mathkor|term1= a \times \tilde{Q} |und|term2= b \times \tilde{Q} |SZ= }} an und erhalten darauf {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralform|\omega|S}} || {{op:Integralform|f dx_2 {{wedgedots|}} dx_n |S}} || {{op:Integralform|0|S}} || 0 || || |SZ=, }} da auf diesen Seiten jeweils eine der Variablen {{mathl|term= x_2 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} konstant ist. Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Fubini|Faktseitenname= Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=des|Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung|Faktseitenname= Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=angewendet auf jedes fixierte {{mathlk|term= (x_2 {{kommadots|}} x_n) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Integralform| d\omega|Q}} || {{op:Integralform| df \wedge dx_2 {{wedgedots|}} dx_n |Q}} || {{op:Integralform| {{makl| \sum_{j {{=|}} 1}^n {{op:Partielle Ableitung|f|x_j}} dx_j |}} \wedge dx_2 {{wedgedots|}} dx_n |Q}} || {{op:Integralform| {{op:Partielle Ableitung|f|x_1}} dx_1 \wedge dx_2 {{wedgedots|}} dx_n |Q}} || {{op:Integralform| {{makl| \int_{[a,b] } {{op:Partielle Ableitung|f|x_1}} dx_1| }} dx_2 {{wedgedots|}} dx_n |\tilde{Q} }} || {{op:Integralform| {{makl| f(b,x_2 {{kommadots|}} x_n ) - f(a,x_2 {{kommadots|}} x_n ) |}} dx_2 {{wedgedots|}} dx_n | \tilde{Q} }} || {{op:Integralform| f dx_2 {{wedgedots|}} dx_n |b \times \tilde{Q} }} - {{op:Integralform|f dx_2 {{wedgedots|}} dx_n | a \times \tilde{Q} }} || \sum_{S \text{ orientierte Seite von } Q}{{op:Integralform|f dx_2 {{wedgedots|}} dx_n |S}} || {{op:Integralform| f dx_2 {{wedgedots|}} dx_n |\partial Q}} || {{op:Integralform| \omega|\partial Q}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nlma95vm0wfg7rs42zy0377gw3rplay 0 37703 780073 773430 2022-08-21T18:06:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Skalarproduktfunktion/Definition||zusatz={{{zusatz1|}}} }} Die auf den Karten definierten Funktionen {{mathl|term= g_{ij}|SZ=}} fasst man zu einer Matrix {{mathl|term= (g_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}|SZ=}} zusammen, die man auch die {{Stichwort|metrische Fundamentalmatrix|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder den {{Stichwort|metrischen Fundamentaltensor|msw=Metrischer Fundamentaltensor|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} nennt. Diese Matrix ist in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | Q |\in| V || || || |SZ= }} symmetrisch und positiv definit. Wichtig ist auch die Determinante davon, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | g || {{op:Determinante|(g_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}|}} || || || |SZ=, }} die ebenfalls stetig differenzierbar ist und die nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} überall positiv ist. Das einfachste Beispiel einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist der euklidische Raum {{mathl|term= \R^n|SZ=}} mit dem Standardskalarprodukt {{ Zusatz/Klammer |text=und überhaupt jeder euklidische Raum| |ISZ=|ESZ= }} sowie eine jede offene Teilmenge davon. Wichtiger ist, dass auch jede {{ Definitionslink |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer riemannschen Mannigfaltigkeit wieder eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist. Dadurch ergeben sich viele nichttriviale Beispiele, wie beispielsweise Flächen im {{math|term= \R^3|SZ=}} wie die Sphäre oder der Torus. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Riemannsch/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rr2vfzfi2rtle3ryvohbtrjbdw7pfqk 0 37714 778416 762377 2022-08-21T11:59:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Gemäß der {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Definition |SZ= }} müssen wir die Differentialform {{mathl|term= {{makl| \alpha^{-1} |}}^*\omega |SZ=}} für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette | Q |\in| V || || || |SZ= }} berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt {{mathl|term= c_Q dx_1 {{wedgedots|}} dx_n |SZ=}} und ist durch ihren Wert auf {{mathl|term= e_1 {{wedgedots|}} e_n |SZ=}} festgelegt. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{makl| \alpha^{-1} |}}^*\omega {{makl| Q, e_1 {{wedgedots|}} e_n |}} || \omega {{makl| \alpha^{-1} (Q) ,T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}}(e_1) {{wedgedots|}} T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}}( e_n) |}} || || || |SZ=. }} Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | g_{ij}(Q) || {{op:Skalarprodukt| T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}} (e_i) |T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}} (e_j) }}_{\alpha^{-1}(Q)} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | \omega (\alpha^{-1}(Q), T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}} (e_1) {{wedgedots|}} T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}} ( e_n) ) || {{makl| {{op:Determinante| {{makl| {{op:Skalarprodukt|T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}} (e_i) | T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}} (e_j) }} |}}_{1 \leq i,j \leq n} |}} |}}^{1/2} || \sqrt{g(Q)} || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dr838q1ywl92stb502j63540jbae74f 0 37718 779391 540036 2022-08-21T16:20:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir stellen eine falsche Berechnung der Kugeloberfläche an, die auf einem falsch interpretierten Cavalieri-Prinzip beruht. Wir betrachten die obere Einheitshalbkugel. Zu jeder Höhe {{mathl|term= h \in [0,1]|SZ=}} ist der Querschnitt der Kugeloberfläche mit der durch {{mathl|term= z=h|SZ=}} definierten Ebene eine Kreislinie mit dem Radius {{mathl|term= \sqrt{1-h^2}|SZ=.}} Der Kreisumfang eines solchen Kreises ist {{mathl|term= 2 \pi \sqrt{1-h^2}|SZ=.}} Wir wollen die Oberfläche der oberen Halbkugel berechnen, indem wir diese Umfänge über die Höhe aufintegrieren. Für die Kugeloberfläche würde sich dann {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Substitution {{mathlk|term=h={{op:sin|s|}}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align |A ||2 {{op:Integral|0|1|grand=2 \pi \sqrt{1-h^2}||h}} ||4 \pi {{op:Integral|0|1|grand= \sqrt{1-h^2}||h}} ||4 \pi {{op:Integral|0| {{op:Bruch|\pi|2}} |grand= {{op:cos|s|pot=2}} ||s}} ||4 \pi {{op:Integralstamm|0| {{op:Bruch|\pi|2}} |stamm= {{op:Bruch|1|2}} (s + {{op:sin|s|}} {{op:cos|s|}}) }} ||2 \pi {{op:Bruch|\pi|2}} ||\pi^2 |SZ=. }} Der wahre Wert ist aber mit {{math|term= 4 \pi|SZ=}} deutlich größer. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cgpvr1s7888sz5ibnxm90efzdipw937 0 37722 778418 747894 2022-08-21T11:59:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem {{math|term= \R^m|SZ=.}} Nach Definition der {{ Definitionslink |metrischen Fundamentalmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist für {{ Ma:Vergleichskette | Q |\in| W || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/aligndirekt |g_{ij} (Q) || {{op:Skalarprodukt|T_Q(\varphi)(e_i)|T_Q(\varphi)(e_j)}}_{\varphi(Q)} || {{op:Skalarprodukt|T_Q(\varphi)(e_i)|T_Q(\varphi)(e_j)}} || {{op:Skalarprodukt| {{op:Totales Differential|\varphi|Q| e_i}} | {{op:Totales Differential|\varphi|Q| e_j}} }} || {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|\varphi_1|x_i|Q}}| \vdots | {{op:Partielle Ableitung|\varphi_m|x_i|Q}} }} | {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|\varphi_1|x_j|Q}}| \vdots | {{op:Partielle Ableitung|\varphi_m|x_j|Q}} }} }} |SZ=, }} da ja der Tangentialraum {{mathl|term= T_{\varphi(Q)}M |SZ=}} das induzierte Skalarprodukt des {{math|term= \R^m|SZ=}} trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Lokale Berechnung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fqvy7qz0gnlayaztvqsn8kqpmjor4i1 0 37726 779392 763470 2022-08-21T16:20:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^3 |(u,v)|({{op:cos|u|}} {{op:cos|v|}} , {{op:cos|u|}} {{op:sin|v|}} , {{op:sin|u|}} ) |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{Stichwort|Einheitssphäre|SZ=}} landet. Geographisch gesprochen gibt {{math|term= u|SZ=}} den {{Stichwort|Breitenkreis|SZ=}} und {{math|term= v|SZ=}} den {{Stichwort|Längenkreis|SZ=}} des entsprechenden Punktes auf der Einheitserde an {{ Zusatz/Klammer |text=in {{Stichwort|geozentrischen Koordinaten|SZ=;}} die in der Geographie verwendeten Koordinaten weichen davon leicht ab, da die Erde nicht wirklich eine Kugel ist| |ISZ=|ESZ=. }} Diese Abbildung ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|u}} = {{op:Spaltenvektor|- {{op:sin|u|}} {{op:cos|v|}} | -{{op:sin|u|}} {{op:sin|v|}} | {{op:cos|u|}} }} |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|v}} = {{op:Spaltenvektor|- {{op:cos|u|}} {{op:sin|v|}} | {{op:cos|u|}} {{op:cos|v|}} | 0 }} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Einschränkung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Abbildung auf das offene Rechteck {{ math/disp|term= {]{- {{op:Bruch|\pi|2}}}, {{op:Bruch|\pi|2}} [} \times {]{-\pi}, \pi[} |SZ= }} ist {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} ihr Bild ist die Einheitskugel bis auf einen einzigen Längenkreis. Man kann mit diesen Koordinaten also die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Flächenstück im Raum/Einbettung/Flächenform/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} verwendeten Notation ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{op:sin|u|pot=2}} {{op:cos|v|pot=2}} + {{op:sin|u|pot=2}} {{op:sin|v|pot=2}} + {{op:cos|u|pot=2}} || {{op:sin|u|pot=2}} + {{op:cos|u|pot=2}} || 1 || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||{{op:sin|u|}}{{op:cos|u|}} {{op:sin|v|}} {{op:cos|v|}} -{{op:sin|u|}}{{op:cos|u|}} {{op:sin|v|}} {{op:cos|v|}} ||0 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |G ||{{op:cos|u|pot=2}} {{op:sin|v|pot=2}} + {{op:cos|u|pot=2}} {{op:cos|v|pot=2}} ||{{op:cos|u|pot=2}} || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\sqrt{EG-F^2 } ||\sqrt{ 1 \cdot {{op:cos|u|pot=2}} } || {{op:cos|u|}} || || |SZ=. }} Somit ist die Kugeloberfläche nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz von Fubini|Faktseitenname= Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/align |A || {{op:Integralform| {{op:cos|u|}} \,du \wedge dv| ]- {{op:Bruch|\pi|2}} , {{op:Bruch|\pi|2}} [ \times ]-\pi, \pi[ }} || {{op:Integralmaß| {{op:cos|u|}}| [- {{op:Bruch|\pi|2}}, {{op:Bruch|\pi|2}}] \times [-\pi, \pi]| \lambda^2 }} || {{op:Integral|-\pi|\pi|grand = {{op:Integral|- {{op:Bruch|\pi|2}}| {{op:Bruch|\pi|2}}|grand= {{op:cos|u|}}||u}}| |v }} || {{op:Integral|-\pi|\pi|grand = 2 | |v }} || 4 \pi |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o4nse88ydf7b35eq6rrbkfxk2su62g7 0 37728 779572 751574 2022-08-21T16:50:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |offenes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |I|\R^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |reguläre| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} es sei also überall {{mathl|term= \varphi'(t) \neq 0|SZ=.}} Ferner sei angenommen, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} injektiv und dass das Bild {{mathl|term= M=\varphi(I)|SZ=}} von {{math|term= I|SZ=}} eine eindimensionale {{ Definitionslink |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer offenen Teilmenge {{mathl|term= G \subseteq \R^m|SZ=}} ist. Dann gilt nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Einbettung/Volumenform/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |kanonische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \omega|SZ=}} von {{math|term= M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. das {{ Definitionslink |kanonische Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das in diesem Fall ein Längenmaß ist| |ISZ=|ESZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/align | \varphi^* \omega || {{makl| {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor|\varphi'_1(t)|\vdots|\varphi'_m(t) }} | {{op:Spaltenvektor|\varphi'_1(t)|\vdots|\varphi'_m(t) }} }} |}}^{1/2} dt || \sqrt{ (\varphi'_1(t))^2 {{plusdots|}} (\varphi'_m(t))^2 } dt || {{op:Norm|\varphi'(t)|}} dt || |SZ=. }} Somit gilt bei {{mathl|term= I={]a,b[}|SZ=}} für das Maß {{ Zusatz/Klammer |text=also die Länge| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} die Formel {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda_M (M) || {{op:Integral|a|b|grand= \sqrt{ (\varphi'_1(t))^2 {{plusdots|}} (\varphi'_m(t))^2 } |}} || || || |SZ=. }} Dies stimmt mit der in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} über die Theorie der {{ Definitionslink |rektifizierbaren Kurven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kurve im R^n/Rektifizierbar/Streckenzug/Definition |SZ= }} erzielten Formel überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kurve |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nmnz5jgfthw31rpzphegcoa1n853gqg 0 37731 779393 763474 2022-08-21T16:20:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |[0, 2 \pi] \times \R|\R^3 |(u,v)| {{op:Bruch|1|\sqrt{1+v^2} }} ( {{op:cos|u|}} , {{op:sin|u|}} , v ) |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{Stichwort|Einheitssphäre|SZ=}} liegt. Diese Abbildung kann man sich so vorstellen, dass zuerst das {{ Zusatz/Klammer |text=in eine Richtung unbeschränkte| |ISZ=|ESZ= }} Rechteck {{mathl|term= [0, 2 \pi] \times \R |SZ=}} zu einem unendlichen Zylindermantel über dem Einheitskreis gemacht wird und anschließend jeder Punkt dieses Zylindermantels über die Verbindungsgerade mit dem Kugelmittelpunkt auf die Kugel projiziert wird. Unter dieser Abbildung werden mit der Ausnahme des Nord- und des Südpols alle Punkte der Kugeloberfläche erreicht. Ferner ist sie injektiv, wenn man die Randpunkte des Intervalls herausnimmt {{ Zusatz/Klammer |text=dann fehlt ein halber Längenkreis im Bild| |ISZ=|ESZ=. }} Die Abbildung ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|u}} = {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|- {{op:sin|u|}} |\sqrt{1+v^2} }} | {{op:Bruch| {{op:cos|u|}} |\sqrt{1+v^2} }} | 0 }} = {{op:Bruch|1 |\sqrt{1+v^2} }} {{op:Spaltenvektor| - {{op:sin|u|}} | {{op:cos|u|}} | 0 }} |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|v}} = {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|-v {{op:cos|u|}} | (\sqrt{1+v^2})^3 }} | {{op:Bruch|-v {{op:sin|u|}} | (\sqrt{1+v^2})^3 }} | {{op:Bruch| \sqrt{1+v^2 } - v^2 (1+v^2)^{- 1/2} | 1+v^2 }} }} = {{op:Bruch|1 |(\sqrt{1+v^2})^3 }} {{op:Spaltenvektor| -v {{op:cos|u|}} |-v {{op:sin|u|}} | 1 }} |SZ=. }} Man kann mit diesen Koordinaten die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Flächenstück im Raum/Einbettung/Flächenform/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} verwendeten Notation ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{op:Bruch|1|1+v^2}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || {{op:Bruch|1|(1+v^2)^3}} {{makl| v^2 {{op:cos|u|pot=2}} + v^2 {{op:sin|u|pot=2}} +1 |}} || {{op:Bruch|1|(1+v^2)^2}} || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\sqrt{EG-F^2 } ||\sqrt{ {{op:Bruch|1|(1+v^2)^3 }} } || {{op:Bruch|1| \sqrt{1+v^2}^3 }} || || |SZ=. }} Die Kugeloberfläche ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/align |A || {{op:Integralform| {{op:Bruch|1| \sqrt{1+v^2}^3 }} du \wedge dv| ]0, 2 \pi[ \times \R }} || {{op:Integralmaß| {{op:Bruch|1| \sqrt{1+v^2}^3 }} |]0, 2 \pi[ \times \R |\lambda^2 }} || 2 \pi {{op:Integral|- \infty|+ \infty|grand= {{op:Bruch|1| \sqrt{1+v^2}^3 }} ||v }} || |SZ=. }} Das Integral ist nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Integration/Eine Variable/1 durch Wurzel(1+t^2)^3/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{math|term= 2|SZ=,}} so dass sich der Flächeninhalt {{mathl|term= 4\pi|SZ=}} ergibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b8k6se5dc6zw6ys1s1i9zyyf5m9f0ju 0 37732 779274 734372 2022-08-21T16:02:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen das {{ Definitionslink |uneigentliche Integral| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Integral|0|\infty|grand= {{op:Bruch|1|\sqrt{1+t^2}^3 }} ||t}} |SZ=}} berechnen. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Integral|0|u|grand= {{op:Bruch|1|\sqrt{1+t^2}^3 }} ||t}} || {{op:Integral| {{op:areasinh|0|}}| {{op:areasinh|u|}} |grand= {{op:Bruch|1| {{op:cosh|s|pot=2}} }} ||s}} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Bruch|1| {{op:cosh|s|pot=2}} }} |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Bruch| {{op:sinh|s|}}|{{op:cosh|s|}} }} |SZ=.}} Die untere Intervallgrenze ergibt den Wert {{math|term= 0 |SZ=,}} für die obere Intervallgrenze ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|s|\infty|{{op:Bruch| {{op:sinh|s|}}|{{op:cosh|s|}} }} }} || {{op:Funktionslimes|s|\infty|{{op:Bruch|e^s-e^{-s} | e^s +e^{-s} }} }} || 1 || || |SZ=. }} Daher hat das uneigentliche Integral der Wert {{math|term= 1 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen in Quadratwurzeln |Kategorie2=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8zvoh9tng78hj1c4s45wf7aukx2ylre 0 37769 778449 762398 2022-08-21T12:04:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aufgrund von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|Z || || || |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|W |\subseteq| G || || |SZ= }} und eine {{ Definitionslink |Homöomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{mathl|term= Z \cap W|SZ=}} und einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq|\R^{n-m} || || || |SZ=. }} Die offenen Mengen {{mathl|term= Z \cap W|SZ=}} bilden eine offene Überdeckung von {{math|term= Z|SZ=}} und die Homöomorphismen bilden die topologischen Karten. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mzzdqqkkgbcdjozdv38t9jy5646k3ky 0 37837 779080 763213 2022-08-21T15:32:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein {{Stichwort|achsenparalleles Ellipsoid|SZ=}} wird im {{math|term= \R^3|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{mengebed|(x,y,z)|ax^2 +by^2+cz^2 \leq r^2 }} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b,c |>|0 || || || |SZ= }} beschrieben. Es ist das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Einheitskugel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | K_3 ||{{mengebed|(u,v,w)|u^2 +v^2+w^2 \leq 1 }} || || || |SZ= }} unter der {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp/latex |name= |\R^3|\R^3 | {{op:Spaltenvektor|u|v|w}} | {{op:Matrix33| {{op:Bruch|r|\sqrt{a} }}|0|0|0|{{op:Bruch|r|\sqrt{b} }}|0|0|0| {{op:Bruch|r|\sqrt{c} }} |}} {{Op:Spaltenvektor|u|v|w}} |SZ=, }} also mit {{mathl|term= x= {{op:Bruch|r|\sqrt{a} }} u|SZ=,}} {{mathl|term= y= {{op:Bruch|r|\sqrt{b} }} v|SZ=}} und {{mathl|term= z= {{op:Bruch|r|\sqrt{c} }} w|SZ=.}} Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist daher das Volumen dieses Ellipsoids gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{vol} \, ( E) ||{{op:Bruch|r^3 | \sqrt{abc} }} \cdot \operatorname{vol} \, ( K_3) || || || |SZ=. }} Das Volumen der Einheitskugel ist {{mathl|term= {{op:Bruch|4|3}} \pi|SZ=,}} siehe {{ Beispiellink ||Beispielseitenname= Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der geometrischen Figuren im euklidischen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t163oiyc5q1op1b24mcqqjowzbuf2ar 0 37842 782037 755930 2022-08-21T23:35:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n|\R^n || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |linearer Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der nicht {{ Definitionslink |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Bildmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi_*\lambda^n|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endlich| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für lineare Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Bildmaße |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pklc67ozkcwx36m2l7tfrrrry13dii1 0 37844 782081 755970 2022-08-21T23:42:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Volumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des von den Vektoren {{ math/disp|term= (2,1,3,4),(4,0,-1,3) \text{ und } (5,-2,-2,0) |SZ= }} im {{math|term= \R^4|SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugten Parallelotops| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geometrischen Figuren im euklidischen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q42hfthqk4e3hrr7qtozlmswww342en 0 37846 782080 755969 2022-08-21T23:42:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Flächeninhalt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des von den Vektoren {{ math/disp|term= (1,3,5) \text{ und } (-2,4,1) |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugten Parallelogramms| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geometrischen Figuren im euklidischen Raum |Kategorie2=Theorie der Parallelotope |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxg1nik6j9wn7kiyb38jyysjm9mwuct 0 37899 780044 752316 2022-08-21T18:02:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |abgeschlossene Kugel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abgeschlossener Ball|0|r}} || {{mengebed|x \in \R^n|\sqrt{x_1^2 {{plusdots|}} x_n^2} \leq r }} || || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Prämath=C^\infty|differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{Stichwort|Sphäre|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Sphäre|0|r}} ||{{mengebed|x \in \R^n|\sqrt{x_1^2 {{plusdots|}} x_n^2} {{=|}} r }} || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Rand| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies folgt unmittelbar aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Reguläre Funktion auf Mannigfaltigkeit/Urbild halbseitiger Intervalle/Mannigfaltigkeit mit Rand/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} angewendet auf die differenzierbare Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^n|\R |(x_1 {{kommadots|}} x_n) | \sqrt{x_1^2 {{plusdots|}} x_n^2} |SZ=, }} die in jedem Punkt {{math|term= \neq 0|SZ=}} {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e35t90kd3z02bxlqslex2k42mngd0d9 0 37904 779710 751769 2022-08-21T17:11:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |abgeschlossener| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Quader| |Kontext=Intervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] {{timesdots|}} [a_n,b_n] \subseteq \R^n |SZ= }} ist bei {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} keine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da er nicht nur Seiten, sondern auch {{ Zusatz/Klammer |text=je nach Dimension| |ISZ=|ESZ= }} Ecken und Kanten besitzt. Ein Rechteck besitzt vier Eckpunkte, denen man nicht die Struktur einer {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem umgebenden Raum verträglichen| |ISZ=|ESZ= }} differenzierbaren berandeten Mannigfaltigkeit geben kann {{ Zusatz/Klammer |text=da das abgeschlossene Rechteck {{ Definitionslink |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist, kann man darauf die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit Rand erklären; mit dieser Struktur ist aber die natürliche Einbettung des Rechtecks in den {{math|term= \R^2|SZ=}} nicht differenzierbar| |ISZ=|ESZ=, }} ein dreidimensionaler Quader besitzt zwölf Kanten und acht Ecken, an denen es keine natürliche Mannigfaltigkeitsstruktur gibt. Wenn man allerdings diese Ecken, Kanten etc. entfernt und nur die {{Anführung|Seiten der Kodimension eins|}} beibehält, so bekommt man eine {{ Zusatz/Klammer |text=nicht kompakte| |ISZ=|ESZ= }} Mannigfaltigkeit mit Rand. Der Rand ist dabei die disjunkte Vereinigung dieser Hyper-Seiten. Dieser Rand ist, wie bei jeder Mannigfaltigkeit mit Rand, abgeschlossen innerhalb der Mannigfaltigkeit, allerdings nicht abgeschlossen im umgebenden euklidischen Raum. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Klassenkategorie=Quader |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7g5nh7fdyqa8qworyor3kp1u7vxkjl1 0 37927 778428 748028 2022-08-21T12:01:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= S |SZ=}} die Rotationsfläche, die eine abgeschlossene zweidimensionale Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge des {{math|term= \R^3 |SZ=}} ist. Wir wenden {{ Faktlink ||Faktseitenname= Flächenstück im Raum/Einbettung/Flächenform/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf die Parametrisierung {{ Ma:abbele/disp |name= | ]a,b[ \times ]0, 2 \pi[|S | (t, \alpha) | (x(t), y(t) {{op:cos|\alpha|}} , y(t) {{op:sin|\alpha|}} ) |SZ=, }} an. Die partiellen Ableitungen sind {{ mathkor/disp|term1= {{op:Spaltenvektor|x'(t)|y'(t) {{op:cos|\alpha|}} | y'(t) {{op:sin|\alpha|}} }} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|0| - y(t) {{op:sin|\alpha|}} | y(t) {{op:cos|\alpha|}} }} |SZ= }} und daher ist {{ math/disp|term= E(t, \alpha) = (x'(t))^2 + (y'(t))^2,\, F(t, \alpha)=0,\, G(t, \alpha) = (y(t))^2 |SZ=. }} Somit ist der Flächeninhalt gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Integral|a|b|grand= {{op:Integral|0|2 \pi|grand = \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} \cdot y(t)||\alpha }} | |t}} || 2 \pi {{op:Integral|a|b|grand= \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} \cdot y(t) | |t}} || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} th40mo0ply1e4nzihzvtwg03j7tkzfs 0 37938 778535 748049 2022-08-21T12:17:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Cavalieri-Prinzip|Faktseitenname= Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=nach der Formel für den|Flächeninhalt des Kreises|Faktseitenname= Einheitskreis/Integral von Wurzel 1-x^2/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (\lambda \otimes \lambda^2)(K) || {{op:Integralmaß|\lambda^2 (K(t))| [a,b]|\lambda|var=t}} || \pi {{op:Integralmaß| (f(t))^2| [a,b]|\lambda|var=t}} || || |SZ=. }} Für {{ Definitionslink |stetiges| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f|SZ=}} ist dies nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemann-integrierbare Funktion/Ist Maß-integrierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ math/disp|term= \pi {{op:Integral|a|b|grand= (f(t))^2||t}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jaw8rr9cdktex344v3knb5jpvt550bc 0 37957 786521 772574 2022-08-22T11:39:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= \sigma |Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einer Menge {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen gelten. {{ Aufzählung3 |Es ist {{mathl|term= \emptyset \in {{mengensystem|A}}|SZ=.}} |Mit {{mathl|term= S,T \in {{mengensystem|A}}|SZ=}} gehört auch {{mathl|term= T \setminus S|SZ=}} zu {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=.}} |Für jede {{ Definitionslink |abzählbare Familie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= T_i \in {{mengensystem|A}} ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ist auch {{ math/disp|term= \bigcap_{i \in I} T_i \in {{mengensystem|A}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hkat2mvch3kbeg7nshe5hhb14qbxvis 0 37958 784192 757842 2022-08-22T05:34:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Mengensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |durchschnittsstabiles| |Kontext=Mengensystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Dynkin-System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Durchschnitt |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q7nghv290v9c8brfo1kqr7bkb792m67 0 37959 786520 759553 2022-08-22T11:39:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und sei {{ mathbed|term= {{mengensystem|A}}_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} eine beliebige {{ Definitionslink |Prämath= |Familie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \sigma|SZ=-}}{{ Definitionslink |Algebren| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt {{ math/disp|term= {{mengensystem|A}} = \bigcap_{j \in J} {{mengensystem|A}}_j |SZ= }} ebenfalls eine {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra auf {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Durchschnitt |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ap6zh5mrf6l6drqi0l0g3af3xjnznmz 0 37960 784178 757832 2022-08-22T05:32:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= {{mengensystem|C}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Mengensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=,}} das aus allen endlichen Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} und deren {{ Definitionslink |Prämath= |Komplementen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{mengensystem|C}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Mengenalgebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4je78ifx9tm4r6udgqz1c8jfk6f0ku3 0 37961 784177 757831 2022-08-22T05:32:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Mengensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=,}} das aus allen {{ Definitionslink |abzählbaren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} und deren {{ Definitionslink |Komplementen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{mengensystem|A}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2=Theorie der Abzählbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Abzählbar |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 15hj2e07qh3gofa7leicfgyg11kqlov 0 37962 784193 757843 2022-08-22T05:34:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{mathl|term= {{mengensystem|R|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Mengensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{mengensystem|R|}} |SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Mengenalgebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es ein {{ Definitionslink |Unterring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Potenzmengenringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Potenzmenge/Ringstruktur mit symmetrischer Differenz/Aufgabe |SZ= }} {{mathl|term= ( {{op:Potenzmenge|M|}},\triangle, \cap) |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aa6erff22a1o86tbrtwqxo6gsla90rt 0 37963 785263 758583 2022-08-22T08:11:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten für je zwei Teilmengen {{mathl|term= A,B \subseteq \R|SZ=}} die {{ Definitionslink |symmetrische Differenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \triangle B ||(A \setminus B) \cup (B \setminus A) || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ math/disp|term= A \sim B |SZ=, }} falls {{mathl|term= A \triangle B |SZ=}} {{ Definitionslink |abzählbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass dadurch eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|\R|}} |SZ=}} definiert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abzählbarkeit |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} moxwwalkdjwbz76s4t7dzxe24ciq6kx 0 37976 784217 757858 2022-08-22T05:38:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{ Definitionslink |messbare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Messräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die folgenden Eigenschaften erfüllen. {{ Aufzählung4 |Die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen ist messbar. |Jede konstante Abbildung ist messbar. |Die Identität ist messbar. |Es seien {{ mathkor|term1= {{mengensystem|A}} |und|term2= {{mengensystem|B}} |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebren |Kontext=Sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einer Menge {{math|term= M|SZ=.}} Dann ist die Identität auf {{math|term= M|SZ=}} genau dann {{mathl|term= {{mengensystem|A}}- {{mengensystem|B}} |SZ=-}}messbar, wenn {{mathl|term= {{mengensystem|A}} \supseteq {{mengensystem|B}} |SZ=}} gilt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der messbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ekrb32fcesje284doym0518ejvgd54d 0 37981 782751 756527 2022-08-22T01:34:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Hausdorff-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} jeder Punkt {{math|term= x\in X|SZ=}} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hausdorff-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bp2gflnbrq8slwv0zkic4d4wb5zwmns 0 37982 782752 756528 2022-08-22T01:34:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Hausdorff-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{math|term= T_1, T_2 \subseteq X|SZ=}} zwei {{ Definitionslink |disjunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} endliche Teilmengen. Zeige{{n Sie}}, dass es {{ Definitionslink |Prämath= |offene Mengen| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= U_1,U_2 \subseteq X|SZ=}} gibt mit {{mathl|term= T_1 \subseteq U_1|SZ=,}} {{math|term= T_2 \subseteq U_2|SZ=}} und {{mathl|term= U_1 \cap U_2 = \emptyset|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hausdorff-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7kov70tndwo9io5zniiwa3mnzsqkvlm 0 37983 779472 763560 2022-08-21T16:33:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=b |M|\R_{\geq 0} |x|b_x |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die wir {{Stichwort|Belegungsfunktion|SZ=}} nennen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Manchmal erlaubt man auch den Wert {{math|term= \infty|SZ=}} für eine Belegungsfunktion| |ISZ=.|ESZ=. }} Dann wird für jede Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq M|SZ=}} durch die Zuordnung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \beta (T) | {{defeq|}} | \sum_{ x \in T} b_x || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= (M, {{op:Potenzmenge|M|}}) |SZ=}} definiert. Dabei ist die Summe als der Grenzwert zu interpretieren, falls die Familie {{ mathbed|term= b_x ||bedterm1= x \in T ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |summierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und andernfalls als {{math|term= \infty|SZ=.}} Dass es sich dabei um ein Maß handelt folgt aus {{ Faktlink |Präwort=dem|großen Umordnungssatz|Faktseitenname= Familie komplexer Zahlen/Großer Umordnungssatz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} und zwar gilt die Summationseigenschaft sogar für beliebige disjunkte Vereinigungen, nicht nur für abzählbare. Man spricht von einem {{Stichwort|Summationsmaß|SZ=.}} Wenn die Belegungsfunktion für jedes {{math|term= x|SZ=}} einen positiven Wert annimmt, so folgt aus {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Summierbare Familie/Abzählbarer Träger/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass das Maß jeder überabzählbaren Menge den Wert {{math|term= \infty|SZ=}} zuweist. Wenn andererseits die Belegungsfunktion für jedes {{math|term= x|SZ=}} den Wert {{math|term= 0|SZ=}} annimmt, so liegt das {{Stichwort|Nullmaß|SZ=}} vor, d.h. jede Menge hat das Maß {{math|term= 0|SZ=.}} Insbesondere kann man über diesen Weg kein Maß auf {{math|term= \R|SZ=}} gewinnen, das zugleich dem Einheitsintervall den Wert {{math|term= 1|SZ=}} und jedem einzelnen Punkt das gleiche Maß zuweist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Diskrete Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fl8oxbzfdrwmvn3oqoh6r0dd74cpj34 0 37995 784211 757850 2022-08-22T05:37:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= M,N_1,N_2|SZ=}} {{ Definitionslink |Messräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ Ma:abb |name=f_1 |M|N_1 || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=f_2 |M|N_2 || |SZ= }} {{ Definitionslink |messbare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=(f_1,f_2) |M|N_1 \times N_2 |x|(f_1(x), f_2(x)) |SZ=, }} messbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qns3t9z9uocb6dbmaxkgoku1gx92yzd 0 38002 786053 404023 2022-08-22T10:21:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass sich eine Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq \R|SZ=}} genau dann als eine endliche Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben lässt, wenn dies mit endlich vielen disjunkten rechtsseitig halboffenen Intervallen möglich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf den reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j564kg4d4d9bbhbt0fc0awrhiydgbc9 0 38008 786054 759206 2022-08-22T10:22:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{mengensystem|V}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Mengen-Präring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aller Teilmengen {{mathl|term= T \subseteq \R|SZ=,}} die sich als eine endliche Vereinigung von {{ Zusatz/Klammer |text=rechtsseitig| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |halboffenen Intervallen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= [a,b[|SZ=}} schreiben lassen. Beweise{{n Sie}} folgende Aussagen. {{ Aufzählung2 |Die zu {{math|term= V|SZ=}} über eine Zerlegung in disjunkte halboffene Intervalle {{ math/disp|term= V= [a_1,b_1[ {{uplusdots|}} [a_n,b_n[ |SZ= }} definierte Zahl {{ math/disp|term= \mu(V) = \sum_{i=1}^n (b_i -a_i) |SZ= }} ist wohldefiniert. |Durch die Zuordnung {{mathl|term= V \mapsto \mu(V)|SZ=}} wird ein {{ Definitionslink |Prämaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf diesem Präring definiert. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf den reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k7orwg3melpp5r10e0mqqpl3b260l3e 0 38011 778616 747947 2022-08-21T12:30:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | c || \nu (E) || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= E|SZ=}} der {{ Definitionslink |Einheitswürfel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^n|SZ=}} sei. {{ Fallunterscheidung |Fall1= Wenn {{ Ma:Vergleichskette | c || 0 || || || |SZ= }} ist, so liegt das {{ Definitionslink |Nullmaß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor, da sich der {{math|term= \R^n|SZ=}} mit abzählbar vielen verschobenen Einheitswürfeln überdecken lässt, die wegen der Translationsinvarianz ebenfalls das Maß {{math|term= 0|SZ=}} haben. Dann hat der Gesamtraum das Maß {{math|term= 0|SZ=}} und damit hat jede messbare Teilmenge das Maß {{math|term= 0|SZ=.}} |Fall2= Sei also {{ Ma:Vergleichskette | c |\neq| 0 || || || |SZ=. }} In diesem Fall betrachten wir das durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu(T) | {{defeq}} | {{op:Bruch|1|c}} \nu(T) || || || |SZ= }} definierte {{ Zusatz/Klammer |text=umskalierte| |ISZ=|ESZ= }} Maß. Dieses ist nach wie vor translationsinvariant und besitzt auf dem Einheitswürfel den Wert {{math|term= 1|SZ=.}} Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Charakterisierung mit Translationsinvarianz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist also {{ Ma:Vergleichskette | \mu || \lambda^n || || || |SZ= }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette | \nu || c \lambda^n || || || |SZ=. }} |Fall3=|Fall4=|Fall5= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tntuqv7csgg90m4gufy1g6egyb1x5tp 0 38012 778614 748001 2022-08-21T12:30:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | U |\subset| \R^n || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{ Ma:Vergleichskette | d |<| n || || || |SZ= }} und nehmen wir an, dass {{ Ma:Vergleichskette | \mu(U) |>| 0 || || || |SZ= }} ist. |Argumentation= Es sei {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_d |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | P || {{mengebed| a_1 u_1 {{plusdots|}} a_d u_d | a_i \in [0,1] }} || || || |SZ= }} das davon erzeugte {{math|term= d|SZ=-}}dimensionale {{ Definitionslink |Parallelotop| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Wenn man eine Orthonormalbasis wählt handelt es sich um einen Würfel| |ISZ=.|ESZ=. }}}} Dies lässt sich durch endlich viele verschobene Einheitswürfel überpflastern und besitzt demnach ein endliches Maß. Die verschobenen Parallelotope {{ math/disp|term= P_k=P+ k_1 u_1 {{plusdots|}} k_d u_d,\, k=(k_1 {{kommadots|}} k_d) \in \Z^d |SZ= }} besitzen wegen der Translationsinvarianz alle dasselbe Maß und bilden eine Überpflasterung von {{math|term= U |SZ=.}} Da es abzählbar viele sind, muss {{ Ma:Vergleichskette | \mu(P) |>| 0 || || || |SZ= }} gelten. Es sei nun {{mathl|term= u_{d+1} {{kommadots|}} u_n |SZ=}} eine {{ Faktlink |Ergänzung|Faktseitenname= Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Basis zu einer Basis von {{math|term= V |SZ=,}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | R || {{mengebed| a_1 u_1 {{plusdots|}} a_d u_d {{plusdots|}} a_n u_n |a_i \in [0,1] }} || || || |SZ= }} das zugehörige {{math|term= n|SZ=-}}dimensionale Parallelotop. Für dieses ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu(R) |<| \infty || || || |SZ=. }} Wir betrachten nun die abzählbar unendlich vielen Parallelotope {{ math/disp|term= P_q=P + qu_n \text{ mit } q \in [0,1] \cap \Q |SZ=. }} Diese liegen alle innerhalb von {{math|term= R |SZ=}} und besitzen wegen der Translationsinvarianz alle das gleiche Maß wie {{math|term= P |SZ=.}} Ferner sind sie paarweise disjunkt, da andernfalls ein nichttriviales Vielfaches von {{math|term= u_n |SZ=}} zu {{math|term= U |SZ=}} gehören würde. Aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{ q \in [0,1] \cap \Q } \ \mu (P_q) || \mu {{makl| \bigcup_{ q \in [0,1] \cap \Q } P_q |}} |\leq| \mu (R) || || |SZ= }} folgt {{ Ma:Vergleichskette | \mu(R) || \infty || || || |SZ=, }} |Widerspruch= ein Widerspruch. |Zusammenfassung= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 98wuge56biy5e6bj5rv2sdzwsqitje7 0 38015 781033 755099 2022-08-21T20:47:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |messbare| |Kontext=Teilmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |beschränkte Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \lambda^n(T) < \infty|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kbnt45hnaeburty6eht68dsa50o99c1 0 38017 786424 759496 2022-08-22T11:23:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien endlich viele {{ Definitionslink |linear unabhängige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Vektoren {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_k \in \R^n |SZ=}} gegeben und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||{{mengebed|a_1v_1 {{plusdots|}} a_kv_k |a_i \in [0,1]}} || || || |SZ= }} das dadurch erzeugte {{ Definitionslink |Prämath= |Parallelotop| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geometrischen Figuren im euklidischen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Parallelotop |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k853ji11xymgw1fsod18bf1w3wd2tnl 0 38019 784209 757848 2022-08-22T05:37:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M, {{mengensystem|A}})|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Messraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= \Z|SZ=}} mit der ganzen {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Sei {{mathl|term= T \subseteq M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |messbar| |Kontext=Teilmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Indikatorfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Indikatorfunktion|T|}} |M|\Z || |SZ= }} {{ Definitionslink |messbar| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der messbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Indikatorfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ikib9uqktkjxe10ughhpo81sow55q0g 0 38022 784210 757849 2022-08-22T05:37:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Messraum/Situation|SZ=}} und es sei {{mathl|term= M= \biguplus_{i \in I} M_i|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Zerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} in {{ Definitionslink |abzählbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} viele {{ Definitionslink |messbare Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einen weiteren Messraum {{mathl|term= (N, {{mengensystem|B|}})|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |messbar| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn sämtliche {{ Definitionslink |Einschränkungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i= \varphi {{|}} _{M_i} |M_i|N || |SZ= }} messbar sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der messbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einschränkung |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a26ytczhic5of5iq74p7glcj7rkjj0y 0 38023 784208 757847 2022-08-22T05:37:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= (M, {{mengensystem|A}}) |SZ=,}} {{mathl|term= (N, {{mengensystem|B}}) |SZ=}} und {{mathl|term= (S, {{mengensystem|C}}) |SZ=}} {{ Definitionslink |Messräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |N|S || |SZ= }} {{ Definitionslink |messbare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= \mu|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |Bildmaße| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |(\psi \circ \varphi)_*\mu || \psi_*( \varphi_*\mu) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bildmaße |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9y43lypc9n71vules9w18ty7tvomkha 0 38051 781058 755120 2022-08-21T20:51:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= (M_1, {{mengensystem|A}}_1 , \mu_1) |und|term2= (M_2, {{mengensystem|A}}_2 , \mu_2) |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endliche Maß{{latextrenn|}}räume| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} es seien {{ mathkor|term1= (N_1, {{mengensystem|B}}_1) |und|term2= (N_2, {{mengensystem|B}}_2) |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Messräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ Ma:abb/disp |name=\varphi_1 |M_1|N_1 || |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name=\varphi_2 |M_2|N_2 || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |messbare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} unter denen die {{ Definitionslink |Bildmaße| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= (\varphi_1)_*\mu_1 |und|term2= (\varphi_2)_*\mu_2 |SZ= }} {{mathl|term= \sigma|SZ=-}}endlich seien. Zeige{{n Sie}}, dass für das Bildmaß unter der {{ Definitionslink |Produktabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi=\varphi_1 \times \varphi_2|SZ=}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi_* (\mu_1 \otimes \mu_2) || (( \varphi_1)_* \mu_1) \otimes ( (\varphi_2)_*\mu_2) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3oismvoct9d33jxs8bedwvzo22gvrci 0 38073 778705 748061 2022-08-21T12:43:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da die kanonische Projektion zu einer linearen Abbildung werden soll, muss die Addition durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | [v] + [w] ||[v+w] || || || |SZ= }} und die Skalarmultiplikation durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda [v] ||[\lambda v] || || || |SZ= }} gegeben sein. Insbesondere kann es also nur eine Vektorraumstruktur mit der gewünschten Eigenschaft geben, und wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschriften wohldefinierte Operationen auf {{math|term= V/U|SZ=}} definiert sind, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind. D.h. wir haben für {{mathkon|[v]{{=|}}[v']|und|[w]{{=|}}[w']|SZ=}} zu zeigen, dass {{ Ma:Vergleichskette | [v+w] ||[v' +w'] || || || |SZ= }} ist. Nach Voraussetzung können wir {{mathkon|v'{{=}} v+u|und| w' {{=}} w+u'|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | u,u' |\in| U || || || |SZ= }} schreiben. Damit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | v' + w' || v+w+u+u' || || || |SZ= }} und dies ist wegen {{ Ma:Vergleichskette | u+u' |\in| U || || || |SZ= }} äquivalent zu {{math|term= v+w|SZ=.}} Zur Skalarmultiplikation sei wieder {{ Ma:Vergleichskette | v' || v+u || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | u |\in| U || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda v' || \lambda( v+u) || \lambda v + \lambda u || || |SZ=, }} und das ist äquivalent zu {{math|term= \lambda v |SZ=.}} Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf {{math|term= V/U |SZ=}} und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung linear ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nu20uklefia9knp2ahz46hyjwe4f9n7 0 38078 779394 763476 2022-08-21T16:20:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Kugeloberfläche {{ Ma:Vergleichskette/disp | K ||{{mengebed|(x,y,z)|x^2+y^2+z^2 {{=|}} 1}} || || || |SZ= }} und nennen den Punkt {{mathl|term= N=(0,0,1)|SZ=}} Nordpol und den Punkt {{mathl|term= S=(0,0,-1)|SZ=}} Südpol. Ein Punkt {{ mathbed|term= P=(x,y,z) \in K ||bedterm1= P \neq N ||bedterm2= |SZ=, }} definiert zusammen mit dem Nordpol eine eindeutige Gerade im Raum, die durch {{ math/disp|term= (tx,ty ,1+t(z-1))=(0,0,1) + t ((x,y,z) -(0,0,1)), \, t \in \R |SZ=, }} parametrisiert ist. Der Vektor {{mathl|term= (x,y,z) -(0,0,1) |SZ=,}} der diese Gerade definiert, ist nicht parallel zur {{math|term= x-y|SZ=-}}Ebene, d.h. dass es genau einen Schnittpunkt dieser Geraden mit dieser Ebene gibt. Dieser ergibt sich zum Parameter {{ Ma:Vergleichskette/disp |t || {{op:Bruch|1|1-z}} || || || |SZ=, }} es handelt sich um den Punkt {{ math/disp|term= {{makl| {{op:Bruch|x|1-z}}, {{op:Bruch|y|1-z}} ,0 |}} |SZ=. }} Wir fassen diese Konstruktion als eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |K \setminus \{N\}| \R^2 |(x,y,z)| {{makl| {{op:Bruch|x|1-z}}, {{op:Bruch|y|1-z}} |}} |SZ= }} auf. Es ist anschaulich klar, dass diese Abbildung eine Bijektion ist, was sich auch einfach über die Formeln nachrechnen lässt. Die Umkehrabbildung ergibt sich, indem man einen Punkt {{mathl|term= (u,v,0)|SZ=}} der Ebene mit dem Nordpol verbindet und den Durchstoßungspunkt {{math|term= \neq N|SZ=}} mit der Kugeloberfläche berechnet. Dies führt zur Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |{{op:Norm|(0,0,1) +a((u,v,0) - (0,0,1) ) ||}}^2 ||{{op:Norm|(au,av,1-a) ||}}^2 || a^2u^2+a^2v^2+(1-a)^2 ||1 || |SZ=, }} was auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | a {{makl| au^2+av^2 -2 +a |}} || 0 || || || |SZ= }} führt. Die Lösung {{mathl|term= a=0|SZ=}} entspricht dem Nordpol, an der wir nicht interessiert sind, so dass wir auf {{ Ma:Vergleichskette |a || {{op:Bruch|2|u^2+v^2+1}} || || || |SZ= }} geführt werden, also auf die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^2| K \setminus \{N\} |(u,v)| {{makl| {{op:Bruch|2u|u^2+v^2+1}}, {{op:Bruch|2v|u^2+v^2+1}} ,1- {{op:Bruch|2|u^2+v^2+1}} |}} |SZ=. }} Insbesondere ist also die reelle Ebene {{ Definitionslink |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur in einem Punkt {{Anführung|gelochten|}} Kugeloberfläche. Eine entsprechende Überlegung kann man für {{mathl|term= K \setminus \{S\} |SZ=}} anstellen. Dies führt zur Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\beta |K \setminus \{S\}| \R^2 |(x,y,z)| {{makl| {{op:Bruch|x|z+1}}, {{op:Bruch|y|z+1}} |}} |SZ= }} mit der Umkehrabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^2| K \setminus \{S\} |(s,t)| {{makl| {{op:Bruch|2s|s^2+t^2+1}}, {{op:Bruch|2t|s^2+t^2+1}}, -1+ {{op:Bruch|2|s^2+t^2+1}} |}} |SZ=. }} Der Südpol entspricht bei der ersten Abbildung dem Mittelpunkt der euklidischen Ebene und der Nordpol entspricht bei der zweiten Abbildung dem Mittelpunkt der euklidischen Ebene. Wir nennen beide Abbildungen bzw. ihre Umkehrabbildungen Karten. Beide Karten decken zusammen die gesamte Kugeloberfläche ab. Da es sich um Homöomorphismen handelt, geben sie die wesentlichen topologischen Eigenschaften der Sphäre richtig wieder. Sie sind beide nicht für die Geographie der Erde gut geeignet, da die Karten die gesamte Ebene benötigen und die Längen sehr stark verzerren. Beide Karten sind gleich gut. Es ist einfach, Punkte {{ Zusatz/Klammer |text=und allgemeiner andere Figuren| |ISZ=|ESZ= }} auf der einen Karte in die andere Karte umzurechnen. Man muss dabei allerdings beachten, dass die beiden Pole nur in einer Karte vertreten sind. Die Punkte der Menge {{mathl|term= K \setminus \{N,S\}|SZ=}} finden sich auf beiden Karten, und zwar stehen sie durch beide Karten in Bijektion zu der im Mittelpunkt gelochten Ebene {{mathl|term= \R^2 \setminus \{0\}|SZ=.}} Die {{Stichwort|Übergangsabbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder der {{Stichwort|Kartenwechsel|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} wird durch {{mathl|term= \psi= \beta \circ {{makl| {{op:Einschränkung|\alpha^{-1}|\R^2 \setminus \{0\} }} |}} |SZ=}} gegeben. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |\psi(u,v) || \beta {{makl| {{op:Bruch|2u|u^2+v^2+1}}, {{op:Bruch|2v|u^2+v^2+1}} ,1- {{op:Bruch|2|u^2+v^2+1}} |}} ||\left( {{op:Bruch| {{op:Bruch|2u|u^2+v^2+1}} |2 - {{op:Bruch|2|u^2+v^2+1}} }} , {{op:Bruch| {{op:Bruch|2v|u^2+v^2+1}} |2 - {{op:Bruch|2|u^2+v^2+1}} }} \right) ||\left( {{op:Bruch| {{op:Bruch|u|u^2+v^2+1}} |{{op:Bruch|(u^2+v^2+1) -1|u^2+v^2+1}} }} , {{op:Bruch| {{op:Bruch|v|u^2+v^2+1}} |{{op:Bruch|(u^2+v^2+1) -1|u^2+v^2+1}} }} \right) || {{makl| {{op:Bruch|u|u^2+v^2 }} , {{op:Bruch|v|u^2+v^2}} |}} |SZ=. }} Diese Übergangsabbildung induziert nicht nur einen Homöomorphismus zwischen {{mathl|term= \R^2 \setminus \{0\}|SZ=}} mit {{mathl|term= \R^2 \setminus \{0\}|SZ={{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Es empfiehlt sich hier nicht, {{Anführung|mit sich}} zu sagen, da man sich die beiden Kartenebenen als unabhängig voneinander vorstellen sollte. Die Beziehung zwischen ihnen entsteht allein dadurch, dass sie beide die gleiche Kugeloberfläche beschreiben| |ISZ=.|ESZ=, }} }} was unmittelbar daraus folgt, dass die Kartenabbildungen {{ mathkor|term1= \alpha |und|term2= \beta |SZ= }} Homöomorphismen sind, sondern sogar einen {{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies ist direkt aus der Funktionsvorschrift ablesbar; es macht aber keinen Sinn zu sagen, dass die Kartenabbildungen Diffeomorphismen sind, da ja die Kugeloberfläche keine offene Teilmenge im {{math|term= \R^3|SZ=}} ist. Was bisher fehlt ist eine {{Anführung|differenzierbare Struktur|}} auf dieser Oberfläche, um von diffeomorph sprechen zu können. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Stereographische Projektion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ms93t3ii3k2dc3a8agiae5em2ujopp 0 38084 778707 762636 2022-08-21T12:43:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir gehen die Bedingungen einer {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch. Die Reflexivität folgt aus {{ Ma:Vergleichskette | v-v || 0 |\in| U || || |SZ=, }} die Symmetrie folgt aus {{ Ma:Vergleichskette | w-v ||-(v-w) |\in|U || || |SZ=, }} die Transitivität ergibt sich so: Aus {{mathl|term= u-v \in U|SZ=}} und {{mathl|term= v-w \in U|SZ=}} folgt {{ Ma:Vergleichskette |u-w ||(u-v) + (v-w) |\in|U || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gjau635hvo3f5y3oyhdkfgdnj7r6ufw 0 38085 778709 748063 2022-08-21T12:43:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Für jedes Element {{mathl|term= u \in {{{Q|Q}}}|SZ=}} gibt es mindestens ein {{ mathkor|term1= v \in {{{V|V}}} |mit|term2= \psi (v)=u |SZ=. }} Wegen der Kommutativität muss {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{\varphi} (u) ||\varphi(v) || || || |SZ= }} gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein {{math|term= \tilde{\varphi}|SZ=}} geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Seien also {{mathl|term= v,v' \in {{{V|V}}}|SZ=}} zwei Urbilder von {{math|term= u|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | v'-v |\in| {{op:Kern|\psi |}} |\subseteq |{{op:Kern|\varphi |}} || || |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(v) || \varphi(v') || || || |SZ=. }} Die Abbildung ist also wohldefiniert. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Seien {{mathl|term= u,u' \in {{{Q|Q}}}|SZ=}} und seien {{mathl|term= v ,v' \in {{{V|V}}}|SZ=}} Urbilder davon. Dann ist {{math|term= v+v'|SZ=}} ein Urbild von {{math|term= u+u'|SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{\varphi} (u+u') || \varphi(v+v') || \varphi(v) + \varphi (v') || \tilde{\varphi} (u) + \tilde{\varphi} (u') |SZ=. }} D.h. {{math|term= \tilde{\varphi}|SZ=}} ist mit der Addition verträglich. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei {{mathl|term= u \in Q|SZ=}} mit einem Urbild {{mathl|term= v \in V|SZ=}} und sei {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=.}} Dann ist {{math|term= \lambda v|SZ=}} ein Urbild von {{math|term= \lambda u |SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{\varphi} (\lambda u) || \varphi( \lambda v) || \lambda \varphi(v) || \lambda \tilde{\varphi} ( u) || |SZ=, }} also ist {{math|term= \tilde{\varphi} |SZ=}} auch mit der Skalarmultiplikation verträglich. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bfrcl9sqgg03w667an16hl55854sofx 0 38090 778710 748060 2022-08-21T12:44:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir wenden {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt |Refname= |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette |Q ||V / {{op:Kern|\varphi}} || || || |SZ= }} und die {{ Definitionslink |kanonische Projektion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=q |V|V/{{op:Kern|\varphi}} || |SZ= }} an. Dies induziert eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= \tilde{\varphi} | V/{{op:Kern|\varphi}} | W || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi || \tilde{\varphi} \circ q || || || |SZ=, }} die surjektiv ist. Sei {{ mathkor|term1= [x] \in V/{{op:Kern|\varphi}} |und|term2= [x] \in {{op:Kern|\tilde{\varphi} }} |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{\varphi} ([x]) || \varphi(x) || 0 |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| {{op:Kern|\varphi}} || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Ma:Vergleichskette |[x] ||0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= V/{{op:Kern|\varphi}} |SZ=,}} d.h. der Kern von {{math|term= \tilde{\varphi} |SZ=}} ist trivial und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt |Refname= |SZ= }} ist {{math|term= \tilde{\varphi} |SZ=}} auch injektiv. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cq29fj3cp8z4fbszirg6rrrb35bcgmt 0 38095 781159 755201 2022-08-21T21:08:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die {{Definitionswort/enp|Cantor-Menge|SZ=}} ist definiert durch {{ math/disp|term= C= {{mengebed|\sum_{i {{=|}}1}^\infty z_i 3^{-i}|z_i \in \{0, 2\} \text { für alle } i \in \N_+ }} |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= C|SZ=}} {{ Definitionslink |überabzählbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= C|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Borel-Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. c) Zeige{{n Sie}} {{mathl|term= \lambda^1(C)=0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2=Theorie der Abzählbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Cantor-Menge |Stichwort=Cantor |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2h6kfei2f0x09wvunifprwh5bqen0ad 0 38099 783888 757513 2022-08-22T04:44:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= {{{V|V}}}|SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} zwei {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |orientierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |bijektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |orientierungstreu| |Kontext=lin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es eine die {{ Definitionslink |Orientierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=}} repräsentierende {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} gibt, deren Bildvektoren {{mathl|term= \varphi(v_1) {{kommadots|}} \varphi(v_n)|SZ=}} die Orientierung auf {{math|term= W|SZ=}} repräsentieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 02p91p9jh2wihdbm9r0atbrc0l0uql7 0 38101 782184 756056 2022-08-21T23:59:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Fakultätsfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Die Fakultätsfunktion/Reell/Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Fak(|x|}}|SZ=}} beliebig oft {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist mit den Ableitungen {{ math/disp|term= {{op:Fak(|x|pot=(n)}} = {{op:Integral|0|\infty|grand=( {{op:ln|t|}})^n t^x e^{-t} }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Fakultätsfunktion |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ab9wptwc88w8mb6l5uqt0stio9xbjl7 0 38103 783883 757508 2022-08-22T04:43:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n|\R^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Bildmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \mu= \varphi_*\lambda^n|SZ=}} für jede {{ Definitionslink |Prämath= |Borelmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= T \subseteq \R^m|SZ=}} durch {{ math/disp|term= \mu(T) = \begin{cases} 0, \text{ falls } \lambda^m(T)=0 \, ,\\ \infty , \text{ falls } \lambda^m(T) > 0 \, ,\end{cases} |SZ= }} bestimmt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bildmaße |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dz4q4rv4fw86pxvbec2i16e5htynfqi 0 38104 784145 757806 2022-08-22T05:26:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Messraum/Situation|SZ=.}} Wir nennen ein {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} {{Stichwort|explosiv|SZ=,}} wenn es lediglich die Werte {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= \infty |SZ= }} annimmt. a) Zeige{{n Sie}}, dass {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathl|term= T \in {{mengensystem|A}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} durch {{ math/disp|term= \gamma (T) = \begin{cases} 0, \text{ falls } T = \emptyset \, , \\ \infty, \text{ falls } T \neq \emptyset \, , \end{cases} |SZ= }} ein Maß definiert ist. b) Es sei {{math|term= \mu|SZ=}} ein Maß auf {{mathl|term= (M, {{mengensystem|A}}) |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ math/disp|term= \lambda (T) = \begin{cases} 0, \text{ falls } \mu(T) = 0 \, , \\ \infty, \text{ falls } \mu(T) > 0 \, , \end{cases} |SZ= }} ebenfalls ein Maß definiert ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Explosives Maß |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r3i0dfwu1gqbiry670xqdm42ro3p8cc 0 38105 786030 759176 2022-08-22T10:18:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \mu= \varphi_*\lambda^2|SZ=}} das {{ Definitionslink |Bildmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter der Multiplikation {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R |(x,y)|xy |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jede {{ Definitionslink |Borelmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= T \subseteq \R|SZ=}} {{ math/disp|term= \mu (T) = \begin{cases} 0, \text{ falls } \lambda^1(T) = 0 \, , \\ \infty, \text{ falls } \lambda^1(T) > 0 \, , \end{cases} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie auf den reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Explosives Maß |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rvgd0nvgby6v8jkvhnb8tyaofyiiqte 0 38107 785859 759021 2022-08-22T09:49:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Bildmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \mu=\varphi_*\lambda^n|SZ=}} zur Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=n \geq 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n|\R |(x_1 {{kommadots|}} x_n)| \sqrt{x_1^2 {{plusdots|}} x_n^2} |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \mu|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endliches Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \R|SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \mu|SZ=}} bezüglich {{math|term= \lambda^1|SZ=}} die {{ Definitionslink |Dichte| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term=h(t)= \begin{cases} 0 , \text{ falls } t < 0 \, , \\ n \beta_n t^{n-1} \text{ falls } t \geq 0 \, , \end{cases}|SZ=}} besitzt, wobei {{math|term= \beta_n|SZ=}} das Volumen der {{math|term= n|SZ=-}}dimensionalen Einheitskugel bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bildmaße |Kategorie2=Theorie der Dichten (Maßtheorie) |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gpgtr9k4k2jcs1zzp67gruqmwvnfdip 0 38110 784147 757808 2022-08-22T05:27:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Integral| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |messbaren Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einer {{ Definitionslink |Nullmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4wra1q9pa5l3y1zy2hookqn89tjg1dw 0 38112 784146 757807 2022-08-22T05:27:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Integral| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Nullfunktion gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aspdx9jtewynivotyzvt5v9p226pyph 0 38113 786526 759559 2022-08-22T11:40:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endliches Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \mu|SZ=}} auf {{math|term= \R|SZ=}} an, das auf allen Intervallen mit positiver Länge den Wert {{math|term= \infty|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie auf den reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} impr5igvf89uwb64xzqxtr3elmpnrpx 0 38114 781057 755118 2022-08-21T20:51:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den Wert des Quadrats {{mathl|term= {{mengebed|(x,y) \in \R^2| {{op:Betrag|x|}}, {{op:Betrag|y|}} \leq 1 }} |SZ=}} für das {{ Definitionslink |Bildmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \mu= \varphi_*\lambda^2|SZ=}} unter der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x+y,xy) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadrat |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2zkau5sh820uftsyatnpgjdnxickahb 0 38116 781447 755459 2022-08-21T21:56:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} {{ Definitionslink |Messräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |messbare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= \delta_x|SZ=}} das im Punkt {{math|term= x \in M|SZ=}} konzentrierte {{ Definitionslink |Dirac-Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{mathl|term= \varphi_*(\delta_x)=\delta_{\varphi(x)}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bildmaße |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Dirac |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ptwukkxptu3d36z1gmjg0nktke92jes 0 38120 782572 756344 2022-08-22T01:04:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= W =[0,1[^n|SZ=}} der halboffene Einheitswürfel im {{math|term= \R^n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=}} und das zugehörige {{ Definitionslink |Gittermaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \mu_{ {{op:Bruch|1|k}} }|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu_{ {{op:Bruch|1|k}} } (W) ||1 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie2=Diskrete Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pll3faojzbgqdh901doae0niokz85kl 0 38122 782574 756346 2022-08-22T01:04:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{mathl|term= T=\Q \cap [0,1]|SZ=,}} und zu jedem {{math|term= \epsilon > 0|SZ=}} das zugehörige {{ Definitionslink |Gittermaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \mu_{ \epsilon }|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|n=k|glied = \mu_{ {{op:Bruch|1|k}} }(T) }} |SZ= }} existiert, dass aber {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|\epsilon|0| \mu_{ \epsilon }(T) }} |SZ= }} nicht existiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie2=Diskrete Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p4lbafyqy3nqixmyx2hn7hkfekmqmhb 0 38123 782576 756348 2022-08-22T01:04:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |abgeschlossene Kreisscheibe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= S= {{mengebed|(x,y) \in \R^2|x^2+y^2 \leq 1}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|\epsilon|0| \mu_{ \epsilon }(S) }} = \pi |SZ=, }} wobei {{math|term= \mu_{ \epsilon }|SZ=}} das {{ Definitionslink |Gittermaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \epsilon > 0|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pm7c121i1h1hrpzsixdpmatmt4kuvmr 0 38125 782914 756660 2022-08-22T02:01:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Mengen/Abbildung/Situation|SZ=.}} a) Sei {{math|term= {{mengensystem|A|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra |Kontext=Sigmaalgebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Mengensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{mengebed| T \subseteq N |F^{-1}(T) \in {{mengensystem|A}} }} |SZ= }} eine {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra auf {{math|term= N|SZ=}} ist. b) Sei {{math|term= {{mengensystem|B|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra |Kontext=Sigmaalgebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Mengensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{mengebed| F^{-1} (T )|T \in {{mengensystem|B}} }} |SZ= }} eine {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra auf {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sdap6q27qvo22g94y0pe3iucgm6y26f 0 38130 785389 758674 2022-08-22T08:31:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= (\Omega_1, {{mengensystem|A}}_1, \mu_1) |und|term2= (\Omega_2, {{mengensystem|A}}_2, \mu_2) |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Wahrscheinlichkeitsräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= (\Omega_1 \times \Omega_2, {{mengensystem|A}}_1 \otimes {{mengensystem|A}}_2, \mu_1 \otimes \mu_2) |SZ=}} ihr {{ Definitionslink |Produktraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{Anführung|Zylinderalgebren|SZ=}} {{ mathkor/disp|term1= {{mengensystem|Z}}_1 = {{mengebed| S \times \Omega_2 |S \in {{mengensystem|A}}_1}} |und|term2= {{mengensystem|Z}}_2 = {{mengebed| \Omega_1 \times T|T \in {{mengensystem|A}}_2}} |SZ= }} {{ Definitionslink |unabhängig| |Kontext=Sigmaalgebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit (Wahrscheinlichkeitstheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9lefeui1zsiemaay6iif4aooeui2oca 0 38134 786527 759560 2022-08-22T11:40:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endlichen Maßraum |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (M, {{mengensystem|A}}, \mu) |SZ=}} und eine {{ Definitionslink |messbare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} in einen {{ Definitionslink |Messraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= N|SZ=}} derart, dass das {{ Definitionslink |Bildmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi_*\mu|SZ=}} nicht {{math|term= \sigma|SZ=-}}endlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bildmaße |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} plch8vnjhmlerd5q8o9t5ysisguvmpx 0 38137 782319 756161 2022-08-22T00:22:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Integral| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Integralmaß|xy|Q| \lambda^2}} |SZ= }} über dem Quader {{mathl|term= Q=[a,b] \times [c,d]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Fubini |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0nf6geal492e5hr0cfpbxaq6xjxk7eb 0 38147 781532 755506 2022-08-21T22:10:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Integral| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Funktion {{mathl|term= f(x,y)=x ( {{op:sin|x|}})( {{op:cos(|xy|}}) |SZ=}} über dem Rechteck {{mathl|term= Q= [0,3 \pi] \times [0,1]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Fubini |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Trigonometrische Funktion |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g1pnrc3bgd5bshi6wymwip5mzggthqf 0 38148 781533 755507 2022-08-21T22:11:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} der {{ Definitionslink |Subgraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unterhalb der {{ Definitionslink |Standardparabel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 3 |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Integral| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Integralmaß|x^2+xy-y^3|G|\lambda^2}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Fubini |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Parabel |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 201izuzzto02b5ox81x2zt5jndf58pd 0 38149 781534 755508 2022-08-21T22:11:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} der {{ Definitionslink |Subgraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Sinusfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= \pi |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Integrale| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} a) {{mathl|term= {{op:Integralmaß|x|G|\lambda^2}} |SZ=,}} b) {{mathl|term= {{op:Integralmaß|y|G|\lambda^2}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Doppelintegrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Sinus |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6eyt5elii2ea9r4ekiw1rpzzhff36i4 0 38150 784212 757851 2022-08-22T05:38:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Maßraum/Situation|SZ=,}} {{math|term= (N, {{mengensystem|B}} )|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Messraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= C|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |messbaren Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= M |nach|term2= N |SZ=. }} Für {{mathl|term= f,g \in C|SZ=}} sei {{math/disp|term=f \sim g, \text{ falls } \mu ( {{mengebed|x \in M|f(x) \neq g(x) }} ) {{=|}} 0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei sei vorausgesetzt, dass diese Mengen messbar seien| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \sim|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der messbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen auf Abbildungsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Fast gleich |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5widc1bmydgul1wicgn661e9jirr1f6 0 38168 781610 755557 2022-08-21T22:23:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}elementige Menge und sei {{math|term= k|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Teiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der Teilmengen von {{math|term= M|SZ=,}} deren Elementanzahl ein {{ Definitionslink |Vielfaches| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= k|SZ=}} ist, ein {{ Definitionslink |Dynkin-System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden, das bei {{mathl|term= k \neq 1,n|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Mengen-Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Dynkin |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6rr1xkfdr98ajt5b2dqdnqux033uhyz 0 38183 780504 754687 2022-08-21T19:19:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |abzählbare Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller {{ Definitionslink |endlichen| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} abzählbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abzählbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6lbjgqspkxjh0j0u0v40hxbj0gbfbxu 0 38400 782137 404007 2022-08-21T23:51:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es für jedes {{mathl|term= \epsilon >0|SZ=}} eine Familie {{ mathbed|term= \epsilon_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} von positiven reellen Zahlen mit {{mathl|term= \sum_{n=0}^\infty \epsilon_n \leq \epsilon|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h231omwe0xopwg6rlu52ry7huzina12 0 38474 781437 755453 2022-08-21T21:55:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= P \in M|SZ=}} und {{mathl|term= Q=\varphi(P)|SZ=}} und es seien {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma_1,\gamma_2 |I|M || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |differenzierbare Kurven| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem offenen Intervall {{mathl|term= 0 \in I|SZ=}} und {{mathl|term= \gamma_1 (0) = \gamma_2(0)=P |SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= \gamma_1 |und|term2= \gamma_2 |SZ= }} im Punkt {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |tangential äquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die {{ Definitionslink |Verknüpfungen| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= \varphi \circ \gamma_1 |und|term2= \varphi \circ \gamma_2 |SZ= }} tangential äquivalent in {{math|term= Q|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m2j68d4627sub3skvo3i57a359ndw4o 0 38491 784194 243007 2022-08-22T05:35:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden Rechtecke {{ mathkor/disp|term1= Q= [-1,2] \times [1,4] |und|term2= L= [1,5] \times [3,6] |SZ= }} im {{math|term= \R^2|SZ=.}} Schreibe{{n Sie}} den Durchschnitt und die Differenzmengen als disjunkte Vereinigung von Rechtecken. Schreibe{{n Sie}} die Vereinigung der beiden Mengen auf mehrere Arten als disjunkte Vereinigung von Rechtecken. Welche Darstellung ist eine Verfeinerung einer anderen Darstellung? Wie sieht ein {{Anführung|Raster}} aus, mit dem man alle beteiligten Mengen ausdrücken kann? Bestätige{{n Sie}}, dass die Summe der beteiligten Rechteckinhalte stets gleich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dryu06b9slmcnpmhkg4l97hn8dxr7ta 0 38493 785386 758672 2022-08-22T08:31:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathbed|term= M |und|bedterm1= N ||bedterm2= |SZ= }} zwei Mengen und sei {{mathl|term= T \subseteq M \times N|SZ=}} eine Teilmenge. Zu {{mathl|term= x \in M|SZ=}} sei {{mathl|term= T(x)= {{mengebed|y \in N|(x,y) \in T}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \{x \} \times T(x) |SZ=}} die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= T \hookrightarrow M \times N \stackrel{p_1}{ \longrightarrow} M |SZ= }} über {{math|term= x|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b216hpte0qchld5jykfr26olh8z9wly 0 38495 785388 758673 2022-08-22T08:31:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathbed|term= (M, {{mengensystem|A}} ) |und|bedterm1= (N, {{mengensystem|B}} ) ||bedterm2= |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Messräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von {{mathl|term= M \times N|SZ=}} seien mit der durch {{mathl|term= {{mengensystem|A}} \otimes {{mengensystem|B}}|SZ=}} {{ Definitionslink |induzierten| |Kontext=Sigmaalgebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra| |Kontext=Sigmaalgebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Es sei {{mathl|term= S \subseteq M |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung5 | {{math|term= S|SZ=}} ist eine messbare Teilmenge von {{math|term= M|SZ=.}} | Es gibt ein {{mathl|term= y \in N|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= S \times \{y\} \subseteq M \times \{y\}|SZ=}} messbar ist. | Für alle {{mathl|term= y \in N|SZ=}} ist {{mathl|term= S \times \{y\} \subseteq M \times \{y\}|SZ=}} messbar. | Es gibt ein {{mathl|term= y \in N|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= S \times \{y\} |SZ=}} messbar in {{mathl|term= M \times N|SZ=}} ist. | Für alle {{mathl|term= y \in N|SZ=}} ist {{mathl|term= S \times \{y\} |SZ=}} messbar in {{mathl|term= M \times N|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9it4nl74y94lvhaxc90jl2fmibwsbzo 0 38497 782904 663432 2022-08-22T01:59:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{math|term= n|SZ=-}}Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch {{mathl|term= a -1|SZ=}} Längsrillen und {{mathl|term= b-1|SZ=}} Querrillen in {{ Ma:Vergleichskette | n ||a \cdot b || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |a,b |\in|\N_+ || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten {{ Zusatz/Klammer |text=an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade| |ISZ=|ESZ=, }} deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer {{math|term= n|SZ=-}}Schokolade aus genau {{mathl|term= n-1|SZ=}} Teilungsschritten besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Rechtecksgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Schokolade |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ovsyvsum1zefcjn9gajoniei6zdopa 0 38503 782565 756339 2022-08-22T01:03:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Lösungen der {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathl|term= y>0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | y' || t^5 y^2 || || || |SZ= }} mit dem {{ Faktlink |Lösungsansatz für getrennte Variablen|Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Was ist der Definitionsbereich der Lösungen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bm1epj8afxnf4i56rxr21nhgcm3t7y9 0 38553 780092 772778 2022-08-21T18:09:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine {{ Definitionslink |Prämath=C^k |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |M|\R || |SZ= }} von einer {{ Definitionslink |differenzierbaren Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in die reellen Zahlen nennt man auch eine {{math|term= C^k|SZ=-}}{{Stichwort|differenzierbare Funktion|SZ=.}} Nach Definition bedeutet das einfach, dass für jede Karte {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|V || |SZ= }} die zusammengesetzte Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f \circ \alpha^{-1} |V|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=C^k|Funktion| |Kontext=differenzierbar R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Die Menge aller {{math|term= C^k|SZ=-}}Funktionen auf {{math|term= M|SZ=}} werden mit {{mathl|term= C^k(M,\R)|SZ=}} bezeichnet. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Strukturelle Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Insbesondere bilden die differenzierbaren Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit einen {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wenn {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|V || |SZ= }} eine Karte ist mit {{ Ma:Vergleichskette | V | \subseteq| \R^n || || || |SZ= }} offen, so liefert jede Projektion {{math|term= x_i |SZ=}} eine differenzierbare Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= x_i \circ \alpha |U|\R || |SZ=, }} die meistens wieder mit {{math|term= x_i |SZ=}} bezeichnet wird. Man sagt dann, dass die Funktionen {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} {{Stichwort|differenzierbare Koordinaten|msw=Differenzierbare Koordinate|SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| M || || || |SZ= }} bilden. Für eine stetig differenzierbare Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |U|\R || |SZ= }} ist nach Definition die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f \circ \alpha^{-1} |V|\R || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= | stetig differenzierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} d.h. für jedes {{math|term= i|SZ=}} existieren die {{ Definitionslink |Prämath= | partiellen Ableitungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung|(f \circ \alpha^{-1})|x_i}} |SZ=, }} die wiederum {{ Zusatz/Klammer |text=stetige| |ISZ=|ESZ= }} Funktionen auf {{math|term= V|SZ=}} sind. Daher sind {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung|(f \circ \alpha^{-1}) |x_i}} \circ \alpha |SZ= }} Funktionen auf {{math|term= U|SZ=.}} Diese werden im Allgemeinen einfach wieder mit {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung|f|x_i}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nliqcqxccnfyew6v1talwq8v2whxjov 0 38626 784014 757639 2022-08-22T05:05:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=f,g |M|\R || |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Funktionen| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung4 |Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f \times g |M|\R^2 |x|(f(x),g(x)) |SZ=, }} ist differenzierbar. |{{math|term= f+g|SZ=}} ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term= f \cdot g|SZ=}} ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Wenn {{math|term= f|SZ=}} keine Nullstelle besitzt, so ist auch {{mathl|term= f^{-1}|SZ=}} differenzierbar. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rechenregeln |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ambbypoefxfjke076n8rd18mbdxsj1y 0 38770 778541 762471 2022-08-21T12:18:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (1). Jeder Tangentialvektor wird repräsentiert durch einen affin-linearen Weg {{mathl|term= t \mapsto \gamma(t)=P +t v|SZ=}} mit einem Vektor {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|\R^m || || || |SZ=, }} so dass wir zwischen diesen Vektoren und den durch sie definierten Tangentialvektoren hin- und herwechseln können. Für den zusammengesetzten Weg {{mathl|term= \varphi \circ \gamma |SZ=}} gilt nach der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | (T_P\varphi )( [\gamma ] ) || [ \varphi \circ \gamma ] || (\varphi \circ \gamma)'(0) || (D \varphi)_P \left( {{op:Totales Differential|\gamma|0|1}} \right) ||{{op:Totales Differential|\varphi|P|v}} || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (2). Die Kettenregel angewendet auf {{ Zusatz/Klammer |text=wobei man {{math|term= I|SZ=}} und {{math|term= V|SZ=}} durch kleinere offene Mengen ersetzen muss| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= I \stackrel{ \alpha \circ \gamma}{ \longrightarrow} V \stackrel{ \beta \circ \varphi \circ \alpha^{-1} }{ \longrightarrow} W |SZ= }} liefert {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential(| \beta \circ \varphi \circ \alpha^{-1} | \alpha(P)| (\alpha \circ \gamma)' (0) |}} || ( \beta \circ ( \varphi \circ \gamma) )'(0) || || || |SZ=, }} was gerade die Kommutativität des Diagramms ist. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (3). Die Aussage folgt aus (2) und der Linearität des {{ Definitionslink |totalen Differentials| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (4). Durch Übergang zu Karten folgt dies aus (2) und der Kettenregel. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (5) folgt aus (4) angewendet auf die Umkehrabbildung {{mathl|term= \varphi^{-1} |SZ=.}} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (6). Das Element {{ Ma:Vergleichskette |1 |\in|\R || || || |SZ= }} ist als Tangentenvektor an einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|I || || || |SZ= }} als der Weg {{mathl|term= s \mapsto a+s |SZ=}} zu interpretieren. Bei {{ Ma:Vergleichskette |a ||0 || || || |SZ= }} ist dies der identische Weg. Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (T_0(\gamma))(1) || (T_0(\gamma))(\operatorname{Id}) || [\gamma \circ \operatorname{Id}] || [\gamma ] || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sij1n0wx8qudfu7g7nx1rnraddb49bg 0 38856 778415 748098 2022-08-21T11:59:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| M || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | T_PM |\subseteq| T_PN || || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Daher induziert das {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}_P |SZ=}} auf {{mathl|term= T_PN |SZ=}} ein Skalarprodukt auf {{mathl|term= T_PM |SZ=.}} Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei {{ Ma:abbele/disp |name=\theta |W|W' || |SZ= }} eine Karte von {{math|term= N |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | W' |\subseteq |\R^n || || || |SZ=, }} die eine Bijektion {{math|term= \alpha |SZ=}} zwischen {{mathl|term= M \cap W|SZ=}} und {{mathl|term= \R^m \times \{0\} \cap W'|SZ=}} induziere. Unter dieser Identifizierung ist {{ Ma:Vergleichskette | T_PM |\cong| \R^m | \subseteq| \R^n || || || || |SZ= }} mit den Basisvektoren {{ mathbed|term= e_i ||bedterm1= i \leq m ||bedterm2= |SZ=. }} Für Paare {{ mathbed|term= e_i, e_j ||bedterm1= 1 \leq i,j \leq m ||bedterm2= |SZ=, }} von solchen Vektoren gelten dann für {{ Ma:Vergleichskette | 0 |\in| \R^m \times \{0\} \cap W' || || || |SZ= }} die Gleichheiten {{ Ma:Vergleichskette/align | h_{ij}(Q) | {{defeq}} |{{op:Skalarprodukt| T(\alpha^{-1})(e_i) | T(\alpha^{-1}) (e_j) }}_{ \alpha^{-1}(Q) } || {{op:Skalarprodukt| T(\theta^{-1})(e_i) | T(\theta^{-1}) (e_j) }}_{ \theta^{-1}(Q) } || g_{ij}(Q) || |SZ=, }} da ja das Skalarprodukt auf {{mathl|term= T_{\alpha^{-1}(Q)}M |SZ=}} einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf {{mathl|term= T_{\alpha^{-1}(Q)}N |SZ=}} ist und da {{math|term= \alpha |SZ=}} die Einschränkung von {{math|term= \theta |SZ=}} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0o8ax56j6ldiyuy1x1dqc32k3rwwduu 0 38940 781034 755100 2022-08-21T20:47:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine beschränkte Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq \R|SZ=,}} die man als eine {{ Definitionslink |abzählbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |disjunkte Vereinigung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben kann, aber nicht als eine endliche Vereinigung. |Textart=Aufgabe |Kategorie= Theorie der Mengensysteme auf den reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ibsncby4jzqt6gofqryon9xigznb8b8 0 39028 784140 757801 2022-08-22T05:26:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \mu|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^n|SZ=,}} das für alle {{ Definitionslink |offenen Bällen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P|r}} |SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Borel-Lebesgue-Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übereinstimmt. Zeige{{n Sie}} {{mathl|term= \mu=\lambda^n|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7rdw1rw97aspm6omskhu00xgur64dzo 0 39029 782723 756499 2022-08-22T01:29:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= [a,b[ |und|term2= [c,d[ |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |halboffene Intervalle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathl|term= a\leq b|SZ=}} und {{mathl|term= c \leq d|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} den Durchschnitt {{mathl|term= [a,b[ \cap [c,d[ |SZ=}} als eine disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3p64tyxyxvwf549gsnxlg3bjwpgqa3h 0 39030 780657 754779 2022-08-21T19:44:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{mengensystem|M}} |SZ=}} das Mengensystem, das aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von {{ Definitionslink |offenen| |Kontext=Intervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} abgeschlossenen, einseitig halboffenen, leeren, beschränkten oder unbeschränkten {{ Definitionslink |reellen Intervallen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{mengensystem|M}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Mengenalgebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf den reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3p4hy13d7h5ete6w977say28gzjjcfg 0 39040 782239 696019 2022-08-22T00:08:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den Flächeninhalt des von den Vektoren {{mathl|term= (0,1),\, (2,0), \, (1,3)|SZ=}} erzeugten {{Anführung|Pseudoparallelogramms|SZ=, }} also von {{ math/disp|term= S = {{mengebed|a(0,1)+b(2,0)+c(1,3) |a,b,c \in [0,1] }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Konvexe Geometrie |Kategorie2=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes für kompakte Mengen |Kategorie3=Theorie der Polygone |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0v4xzxpvey8ozfd25z81st3yiksumt0 0 39042 781556 696025 2022-08-21T22:14:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= P_1=(a_1,b_1),\, P_2=(a_2,b_2)|SZ=}} und {{mathl|term= P_3=(a_3,b_3)|SZ=}} drei Punkte im {{math|term= \R^2|SZ=.}} Stelle{{n Sie}} den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit {{mathl|term= a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3 |SZ=}} dar. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes für kompakte Mengen |Kategorie3=Maßtheorie für lineare Abbildungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q56f9ha6obcp6u7zknvjqwiqjubcmg9 0 39046 783585 757240 2022-08-22T03:53:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ math/disp|term= S= {{mengebed|(x,y,z) \in \R^3|x^2+y^2+z^2 {{=|}} 1 }} |SZ= }} die Oberfläche der {{ Definitionslink |Einheitskugel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Volumen| |Kontext=Borel-Lebesgue| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Oberfläche {{math|term= 0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Objektkategorie2=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8qzq3orfctybf26agto437e8cxo1y4p 0 39094 784718 758200 2022-08-22T06:50:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir definieren auf {{math|term= {{op:abschlussnum|\R|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} indem wir die Mengen {{ math/disp|term= ]a,b [ \, \, (\text{mit } a,b \in \R),\, [- \infty, a[ \, \, (\text{mit } a \in \R) \text{ und } ]a, \infty] \, \,(\text{mit }a \in \R) |SZ= }} als {{ Definitionslink |Basis der Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nehmen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in dieser Topologie ist und die {{ Definitionslink |Unterraumtopologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Topologie trägt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Numerischer Abschluss |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4lwj8bfc9bgc907yc6igr6f12pipppf 0 39099 784716 758198 2022-08-22T06:50:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{op:abschlussnum|\R|}} |SZ=}} mit der in {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Numerischer Abschluss von R/Topologie/Über Basis/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eingeführten Topologie {{ Definitionslink |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |abgeschlossenen Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= [0,1]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Numerischer Abschluss |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fhulycrsidc1llzmx76mcj1o9l4d4a8 0 39100 784717 758199 2022-08-22T06:50:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Borelmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{op:abschlussnum|\R|}} |SZ=}} zu der in {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Numerischer Abschluss von R/Topologie/Über Basis/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eingeführten {{ Definitionslink |Prämath= |Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Numerischer Abschluss von R/Borel-Mengen/Bemerkung |Refname={{{ref1|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} direkt eingeführten Borel-Mengen übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie= Theorie der Mengensysteme auf den reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Numerischer Abschluss |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ka41g06n1ps8cqcfvp85mst4ea6ot4e 0 39133 779163 747490 2022-08-21T15:46:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die konstante Funktionenfolge {{mathl|term= f_n {{defeq}} - {{op:Bruch|1|n}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k | n |\in| \N_+ || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} auf einer beliebigen Menge {{math|term= M |SZ=.}} Deren Supremum ist die {{math|term= 0 |SZ=-}}Funktion. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{mengebed|x \in M|{{op:sup|f_n|n \in \N_+}} (x) \geq 0}} ||M || || || |SZ=, }} aber {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bigcup_{n \in \N_+} {{mengebed|x \in M|f_n (x) \geq 0 }} ||\emptyset || || || |SZ=, }} d.h. ohne den Durchschnitt über {{ Ma:Vergleichskette | k |\in| \N_+ || || || |SZ= }} mit dem Abweichungsterm {{mathl|term= - {{op:Bruch|1|k}} |SZ=}} ist die Gleichung im [[Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt/Beweis|Beweis]] zu {{ Faktlink ||Faktseitenname= Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht richtig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der messbaren numerischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pd12s47ah1mzbhym1y3by7rickpeimi 0 39141 780805 635363 2022-08-21T20:09:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die approximierenden Funktionen {{mathl|term= f_0,f_1 {{kommadots|}} f_5 |SZ=}} für die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|x^2 |SZ=, }} {{ BeweiszuFaktlink |Präwort=gemäß dem|Faktseitenname= Messbare Funktion/Monotone Approximation durch einfache Funktionen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der einfachen Funktionen auf Messräumen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardparabel |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdallqjcrcs1rhenx5mc0g6xmz32dj3 0 39157 780507 752992 2022-08-21T19:19:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |abzählbare Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die mit dem {{ Definitionslink |Zählmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen sei, und sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |M|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |integrierbar| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die Familie {{ mathbed|term= f(m) ||bedterm1= m \in M ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |summierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dass in diesem Fall das {{ Definitionslink |Integral| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich der {{ Definitionslink |Summe| |Kontext=summierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2=Theorie der Summierbarkeit (reelle Zahlen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k5i4iizjt8v8hi4ycxgr1lcgtpcyjpf 0 39158 784788 758250 2022-08-22T07:00:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[0,1]|\R |t|1-t^2 |SZ=. }} Für welches {{mathl|term= x \in [0,1]|SZ=}} besitzt die zugehörige zweistufige {{ Zusatz/Klammer |text=maximale| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |untere Treppenfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=}} den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r577i3p1slj7q962uar3ukvik0aom7f 0 39159 784787 748563 2022-08-22T07:00:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[0,1]|\R |t|1-t^2 |SZ=. }} Für welche {{ mathbed|term= x,y \in [0,1] ||bedterm1= x <y ||bedterm2= |SZ=, }} besitzt die zugehörige dreistufige {{ Zusatz/Klammer |text=maximale| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |untere Treppenfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=}} den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie3=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nc5takkp6h7ak9zgkh0bj7a02kovkho 0 39160 784791 405013 2022-08-22T07:00:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[0,\pi]|\R |t| {{op:sin|t|}} |SZ=. }} Für welches {{mathl|term= a \in [0,1]|SZ=}} ist die {{ Faktlink |Tschebyschow-Abschätzung|Faktseitenname= Messbare Funktion/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für diese Funktion am besten? Bestimme {{math|term= a|SZ=}} numerisch bis auf {{math|term= 5|SZ=}} Nachkommastellen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Tschebyschow-Abschätzung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxxfh3wrp9gshqrmn9yfv32asg5vj1o 0 39161 786525 759558 2022-08-22T11:40:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Sigmaendlicher Maßraum/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{mathl|term= r \in \R|SZ=}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M \times \R|M \times \R |(x,t)|(x,t+r) |SZ=, }} {{ Definitionslink |maßtreu| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o2t6yuwot6pfaebdzxhzi76e14p846z 0 39184 786523 759556 2022-08-22T11:39:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Summe und das Produkt von zwei {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|einfachen Funktionen| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Messraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wieder {{math|term= \sigma|SZ=-}}einfach ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der einfachen Funktionen auf Messräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rmv8ng7gv2k5i5831n9otdt60xth084 0 39339 784139 757800 2022-08-22T05:25:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe ein Beispiel für ein {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= (\R, {{Mengensystem|B|}}) |SZ=,}} das keine {{ Definitionslink |Dichte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich des {{ Definitionslink |Borel-Lebesgue-Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}es besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dichten (Maßtheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rxz5ii3j1g0vr3nwdowj6qj0x2d1k2o 0 39347 783939 757579 2022-08-22T04:52:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Sigmaendlicher Maßraum/Situation|SZ=,}} sei {{mathl|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |integrierbare| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |nichtnegative| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |numerische Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= a \in \R_{\geq 0}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term= af|SZ=}} integrierbar ist und dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralmaß|af|M|\mu}} ||a \cdot{{op:Integralmaß|f|M|\mu}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jm95rsg1ragdmp6lid2n1pvf3z2gqii 0 39349 780942 755028 2022-08-21T20:32:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Messraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Ausschöpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M_n \uparrow M|SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |M|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |wachsende| |Kontext=Funktionenfolge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |nichtnegativen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |messbaren Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Grenzfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |M| {{op:abschlussnum|\R|}} || |SZ=. }} Zeige, dass {{mathl|term= {{op:Subgraph halboffen|f_n|M_n}} |SZ=}} eine Ausschöpfung von {{mathl|term= {{op:Subgraph halboffen|f|M}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Subgraph |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j30et0i021dvw454cj42ry4rvukefup 0 39356 782583 773704 2022-08-22T01:06:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das Volumen einer gleichseitigen Pyramide {{ Zusatz/Klammer |text=eines {{Stichwort/-|Tetraeders|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} mit Seitenlänge {{math|term= 1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes für kompakte Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Tetraeder |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jiqoqctqooa91g1nb3274q6e815x9ul 0 39358 786544 593763 2022-08-22T11:43:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Sinusbogen zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= \pi |SZ= }} um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse gedreht wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Sinus |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} olj5chz384ymad1v6az3of7onm71xpg 0 39360 786351 247062 2022-08-22T11:11:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Standardparabel um die {{math|term= y|SZ=-}}Achse gedreht wird und dies mit der Ebene zu {{mathl|term= y=h|SZ=}} {{Anführung|gedeckelt|}} wird, in Abhängigkeit von {{math|term= h \geq 0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardparabel |Stichwort=Sinus |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1990mxp3gzbs4b9ysl4n6w4fvvsdvs7 0 39370 786350 759426 2022-08-22T11:10:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} das {{ Definitionslink |Dreieck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den Eckpunkten {{mathl|term= (3,4),\, (5,5) |SZ=}} und {{mathl|term= (4,6)|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} das Volumen des {{ Definitionslink |Rotationskörpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der entsteht, wenn man {{math|term= D|SZ=}} um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse dreht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2=Dreiecksgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 87lyl7dlh6dc00acmkv6slau25bvlb6 0 39372 783087 756830 2022-08-22T02:30:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Volumen des {{ Definitionslink |Kegels| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dessen Spitze in {{mathl|term= (2,3,5)|SZ=}} liegt und dessen Grundfläche die durch {{ math/disp|term= {{mengebed|(x,y) \in \R^2|3x^2+2y^2 \leq 4}} |SZ= }} gegebene Ellipse ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geometrischen Figuren im euklidischen Raum |Kategorie2=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rb3a1hk72nwatptiprbyiwibtr6grnz 0 39426 786003 759143 2022-08-22T10:13:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{op:abschlussnum|\R|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Limes inferior| {{op:Folge||}} |}} || {{op:Limes superior| {{op:Folge||}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ga50mi5ftbd3nip350nlt2w4yfo6kpu 0 39427 786000 759141 2022-08-22T10:13:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{op:abschlussnum|\R|}} |SZ=}} und sei {{ math/disp|term= y_n := {{op:inf|x_k|k \geq n}} |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{mathl|term= {{op:Folge|y}} |SZ=}} {{ Definitionslink |wachsend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{mathl|term= {{op:Folge|y}} |SZ=}} gegen {{mathl|term= {{op:Limes inferior|{{op:Folge||}} |}} |SZ=}} {{ Definitionslink |punktweise konvergiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7iqbigjchdzlveygd4ar9canl4vjvhq 0 39428 782261 756114 2022-08-22T00:12:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Häufungspunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Folge {{mathl|term= x_n = {{op:sin(|n {{op:Bruch|\pi|4}} |}} |SZ=.}} Was ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Limes inferior| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} was der {{ Definitionslink |Prämath= |Limes superior| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j1yvb110degz1w7j70mi9eu1hjgqw0r 0 39429 782361 756201 2022-08-22T00:29:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Limes inferior| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Limes superior| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Funktionenfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | f_n(x) || {{op:sin |(nx)||}} || || || |SZ= }} auf {{mathl|term= [0, \pi]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} igo3kjki1k5l1xgyo7j1pbvlgfq8qzh 0 39432 786441 508962 2022-08-22T11:26:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{ Faktlink |Präwort=der|Satz von der majorisierten Konvergenz|Faktseitenname= Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ohne die Voraussetzung über die Existenz einer Majorante {{mathl|term= h \geq {{op:Betrag|f_n|}}|SZ=}} nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konvergenzsätze für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eua0kwn5vl8xmzygcszfi13ugidm7on 0 39433 784849 739202 2022-08-22T07:09:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x,y) || x^3-yx^2+7 {{op:sin|y|}} || || || || |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} die Integrale zum Parameter {{mathl|term= y \in [0,\pi]|SZ=}} über {{mathl|term= x \in [0,1]|SZ=}} und zum Parameter {{mathl|term= x \in [0,1]|SZ=}} über {{mathl|term= y \in [0,\pi ]|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} jeweils die extremalen Integrale. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cnk18t5bwkdz06cu36rzvz6se8hprkf 0 39441 779992 752178 2022-08-21T17:54:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es soll eine Straße in der Ebene der Breite {{math|term= 2a|SZ=}} asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve {{ Ma:abbele/disp |name= |[0,s]|\R^2 |t|\psi(t) {{=|}} {{op:Spaltenvektor|f(t)|g(t)}} |SZ=, }} bestimmt ist. Dabei sei {{math|term= \psi|SZ=}} {{ Definitionslink |zweimal stetig differenzierbar| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |[0,s] \times [-a,a]| \R^2 |(t,r)| {{op:Spaltenvektor|f(t)|g(t)}} + r {{op:Bruch|1|\sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} }} {{op:Spaltenvektor|-g'(t)|f'(t)}} |SZ=, }} parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung {{math|term= \psi|SZ=}} injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll. Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|\varphi|(r,t)}} || {{op:Matrix22|f^{\prime} (t) + r {{op:Bruch|g^{\prime \prime}(t) \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} -g'(t) {{op:Bruch|f'(t)f^{\prime \prime}(t) + g'(t)g^{\prime \prime }(t) |\sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} }} | f'(t)^2 + g'(t)^2 }} | - {{op:Bruch|g'(t)|\sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} }}| g^{\prime} (t) + r {{op:Bruch|f^{\prime \prime}(t) \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} -f'(t) {{op:Bruch|f'(t) f^{\prime \prime}(t) + g'(t) g^{\prime \prime }(t) |\sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} }} | f'(t)^2 + g'(t)^2 }} | {{op:Bruch|f'(t)|\sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} }} }} || || || |SZ=. }} Die Determinante davon ist {{ Ma:Vergleichskette/align | || {{op:Bruch| f'(t)f'(t) +g'(t)g'(t)| \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} |}} + r {{op:Bruch| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - g'(t)f'(t) {{op:Bruch| f'(t)f^{\prime \prime } + g'(t) g^{\prime \prime } | f'(t)^2 + g'(t)^2 |}} - f^{\prime \prime}(t) g'(t) + f'(t)g'(t) {{op:Bruch| f'(t)f^{\prime \prime } + g'(t) g^{\prime \prime } | f'(t)^2 + g'(t)^2 |}} | f'(t)^2 + g'(t)^2 }} || \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} + r {{op:Bruch| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) | f'(t)^2 + g'(t)^2 }} || || || |SZ=. }} Daher ist die Asphaltfläche nach {{ Faktlink |Präwort=der|Transformationsformel|Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel/Integralformel für Quader/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/align | || {{op:Integralmaß| {{op:Betrag| \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} + r {{op:Bruch| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) | f'(t)^2 + g'(t)^2 }} ||}} |[0,s] \times [-a,a] |\lambda^2}} || 2a {{op:Integral|0|s|grand=\sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} ||t }} + ( {{op:Integral|-a|a|grand=r||r}} ) ({{op:Integral|0|s|grand= {{op:Bruch| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) | f'(t)^2 + g'(t)^2 }} ||t }} ) || || || |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Asphalt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mgqppg5kt3qacqs21wpg7tp0u8y6gbs 0 39443 779993 752179 2022-08-21T17:55:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es soll eine Straße in der Ebene der Breite {{math|term= 2a|SZ=}} asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve {{ Ma:abbele/disp |name= |[0,s]|\R^2 |t|\psi(t) {{=|}} {{op:Spaltenvektor|f(t)|g(t)}} |SZ=, }} bestimmt ist. Dabei sei {{math|term= \psi|SZ=}} {{ Definitionslink |zweimal stetig differenzierbar| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |bogenparametrisiert| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} d.h. es sei {{ Ma:Vergleichskette | f'(t)^2 +g'(t)^2 || 1 || || || |SZ=, }} was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |[0,s] \times [-a,a]| \R^2 |(t,r)| {{op:Spaltenvektor|f(t)|g(t)}} + r {{op:Spaltenvektor|-g'(t)|f'(t)}} |SZ=, }} parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung {{math|term= \psi|SZ=}} injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll. Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|\varphi|(t,r)}} || {{op:Matrix22|f^{\prime} (t) - r g^{\prime \prime}(t) | - g'(t)| g^{\prime} (t) + r f^{\prime \prime}(t) | f'(t) }} || || || |SZ=. }} Die Determinante davon ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | f'(t)f'(t) +g'(t)g'(t) - r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} || 1- r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} || || || |SZ=. }} Daher ist die Asphaltfläche nach {{ Faktlink |Präwort=der|Transformationsformel|Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel/Integralformel für Quader/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ math/disp|term= {{op:Integralmaß| {{op:Betrag| 1- r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} }}|[0,s] \times [-a,a] |\lambda^2}} |SZ=. }} Wenn wir weiter annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t)|}} |\leq| {{op:Bruch|1|a}} || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=was bedeutet, dass die Straßenbreite nicht allzu groß ist| |ISZ=|ESZ=, }} so ist dieses Integral nach {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Präwort=||Faktseitenname= Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt |Faktseitenname2= Kompaktes Rechteck/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} geich {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | {{op:Integralmaß| 1- r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} |[0,s] \times [-a,a] |\lambda^2}} || 2a s - {{makl| {{op:Integral|-a|a|grand=r||r}} |}} {{makl| {{op:Integral|0|s|grand= g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) ||t }} |}} ||2a s - 0 \cdot {{makl| {{op:Integral|0|s|grand= g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) ||t }} |}} ||2as || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass die Asphaltfläche gleich der Mittelstreifenlänge mal der Straßenbreite ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Asphalt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3vb8c96tjmx6df96veqe8q7vqo7rno8 0 39455 781667 755600 2022-08-21T22:33:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R|\R^2 |t| {{op:Zeilenvektor|t^3|e^t}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Kreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit Mittelpunkt und Radius| |ISZ=|ESZ= }} und eine {{ Definitionslink |Parametrisierung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \psi|SZ=}} dieses Kreises derart, dass {{math|term= \psi|SZ=}} und {{math|term= \varphi|SZ=}} für {{mathl|term= t=1|SZ=}} bis zur zweiten Ableitung übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kreis |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9a8256icv7l7vzdse6nj6hvo6q7r2ka 0 39811 779022 763186 2022-08-21T15:23:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei einer nulldimensionalen {{ Definitionslink |Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} gibt es für jeden Punkt {{mathl|term= P\in M|SZ=}} eine offene Umgebung {{mathl|term= P \in U|SZ=,}} die {{ Definitionslink |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer offenen Menge des {{mathl|term= \R^0=\{0\}|SZ=}} ist. D.h. dass die einpunktige Menge {{mathl|term= \{P\}|SZ=}} offen sein muss, und daher muss {{math|term= M|SZ=}} die {{ Definitionslink |diskrete Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} tragen, d.h. jede Teilmenge ist offen. Daher ist die einzige {{ Definitionslink |zusammenhängende| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nulldimensionale Mannigfaltigkeit die einpunktige Menge. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der diskreten topologischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jkx5xz67yr01913jc15pcy76nj2n8hj 0 39812 779020 772719 2022-08-21T15:22:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= An eindimensionalen {{ Definitionslink |Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt es zunächst die offenen Teilmengen des {{math|term= \R^1|SZ=.}} Diese sind Vereinigungen von offenen Intervallen, und sie sind genau dann {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn sie ein offenes Intervall sind. Jedes offene, beschränkte oder unbeschränkte Intervall ist {{ Definitionslink |homöomoph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und auch {{ Definitionslink |diffeomorph| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |offenen Einheitsintervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= ]0,1[|SZ=}} und zu den reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} selbst. Die abgschlossenen Intervalle {{ mathbed|term= [a,b] |mit|bedterm1= a < b ||bedterm2= |SZ= }} sind keine Mannigfaltigkeiten, da es für die Randpunkte {{ Zusatz/Klammer |text=die Intervallgrenzen| |ISZ=|ESZ= }} keine offene Umgebung gibt, die homöomorph zu einem offenen Intervall ist {{ Zusatz/Klammer |text=sie sind aber sogenannte {{Stichwort|Mannigfaltigkeiten mit Rand|msw=Mannigfaltigkeit mit Rand|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Darüber hinaus gibt es noch den {{Stichwort|Kreis|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|Sphäre|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= S^1|SZ=}} als weitere zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit. Es ist {{ math/disp|term= S^1= {{mengebed|(x,y) \in \R^2|x^2+y^2 {{=|}} 1 }} |SZ=. }} Für jeden Punkt {{mathl|term= P \in S^1|SZ=}} ist {{mathl|term= S^1 \setminus \{P \}|SZ=}} homöomorph zu {{math|term= \R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=durch stereographische Projektion| |ISZ=|ESZ=. }} Der Kreis ist nicht homöomorph zu {{math|term= \R|SZ=,}} da der Kreis {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{zusatz1|}}} }} ist, die reellen Zahlen aber nicht. Neben {{ mathkor|term1= S^1 |und|term2= \R |SZ= }} gibt es keine weiteren eindimensionalen zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten mit {{ Definitionslink |abzählbarer Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=was hier ohne Beweis erwähnt sei| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort=Eindimensional |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g0llt0rg6o5jx39ccukyn65aoj9ra66 0 39816 781366 755385 2022-08-21T21:43:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= U_1,U_2 \subseteq \R^k|SZ=}} und {{mathl|term= V_1,V_2 \subseteq \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |offene Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= 0 \in V_1,V_2|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |U_1 \times V_1|U_2 \times V_2 || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der eine {{ Definitionslink |Bijektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= U_1 \times \{0\} |und|term2= U_2 \times \{0\} |SZ= }} induziert. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die Einschränkung von {{math|term= \varphi|SZ=}} auf {{mathl|term= U_1 \cong U_1 \times \{0\}|SZ=}} nach {{mathl|term= U_2 \cong U_2 \times \{0\}|SZ=}} ein Diffeomorphismus ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0khr7cqz95k7bwh45o25c345m4og3zb 0 39817 780067 762801 2022-08-21T18:05:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath=C^k |Mannigfaltigkeit| |Kontext=differenzierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} mit einem {{math|term=C^k|SZ=-}}Atlas {{mathl|term= {{makl| U_i,U_i',\alpha_i, i \in I |}} |SZ=}} gibt es einen {{Stichwort|maximalen Atlas|msw=Maximaler Atlas|SZ=,}} der mit der durch den Atlas gegebenen differenzierbaren Struktur verträglich ist. Er besteht aus der Menge aller {{ Definitionslink |Homöomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\beta |U|V || |SZ= }} mit offenen Mengen {{mathl|term=U \subseteq M|SZ=}} und {{mathl|term=V \subseteq \R^n|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass diese Abbildungen {{ Definitionslink |Prämath=C^k|Abbildungen |Kontext=differenzierbar Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der durch den Atlas gegebenen Struktur| |ISZ=|ESZ= }} sind. Dieser maximale Atlas enthält natürlich den Ausgangsatlas, ist aber im Allgemeinen bei weitem größer. Beispielsweise enthält er zu jeder Karte {{ Ma:abb |name=\beta |U|V || |SZ= }} und jeder offenen Teilmenge {{mathl|term=U' \subseteq U|SZ=}} auch die auf {{math|term=U'|SZ=}} eingeschränkte Kartenabbildung. Wichtig ist, dass die identische Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\operatorname{Id} \, |(M,A)|(M,B) || |SZ=, }} wobei {{math|term=A |SZ=}} den Ausgangsatlas und {{math|term=B |SZ=}} den maximalen Atlas bezeichnet, ein {{ Definitionslink |Prämath=C^k |Diffeomorphismus| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Mannigfaltigkeiten ist, wie unmittelbar aus der Definition folgt. Wichtiger als der Atlas ist die durch ihn vertretene differenzierbare Struktur auf der Mannigfaltigkeit, die festlegt, welche Abbildungen differenzierbar und welche Diffeomorphismen sind. Die Karten des maximalen Atlas werden manchmal auch {{ Zusatz/Klammer |text=verallgemeinerte| |ISZ=|ESZ= }} Karten der Mannigfaltigkeit genannt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Maximaler Atlas |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p0ttm82qttgsd88oirh9v14xjyfxmk5 0 39822 781428 755444 2022-08-21T21:53:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=C^k |Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| M || || || |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} für {{ Definitionslink |Prämath=C^k |Kurven| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \gamma_1,\gamma_2 |I|M || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \gamma_1(0) || \gamma_2(0) || P || || |SZ= }} eine Äquivalenzrelation, die in einer {{ Zusatz/Klammer |text=jeder| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Karte| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Ableitungen| |Kontext=höher| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bis zur Ordnung {{math|term= k|SZ=}} berücksichtigt. Wie sehen einfache Vertreter dieser Äquivalenzrelation aus? Definiere{{n Sie}} eine Vektorraumstruktur auf der {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Jets |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mk5qg3r9rr30kv77nd6i32y12qh00gy 0 39824 781431 755447 2022-08-21T21:54:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= P \in M|SZ=.}} Wir sagen, dass zwei {{ Definitionslink |Kurven| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma_1, \gamma_2 |I|M || |SZ= }} mit {{mathl|term= \gamma_1(0)= \gamma_2(0)=P|SZ=}} den gleichen {{Stichwort|Kurvenkeim|SZ=}} definieren, wenn es ein {{mathl|term= \epsilon >0|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Einschränkung|\gamma_1|[-\epsilon, \epsilon]}} || {{op:Einschränkung|\gamma_2|[-\epsilon, \epsilon]}} || || || |SZ= }} gibt. a) Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge aller Kurven {{ Ma:abb |name=\gamma |I|M || |SZ= }} mit {{math|term= \gamma(0)=P|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und mit verschiedenen offenen Intervallen {{mathl|term= 0 \in I|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} definiert. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{ Definitionslink |differenzierbare Kurven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die den gleichen Kurvenkeim repräsentieren, auch den gleichen Tangentialvektor repräsentieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4amlos16m9tik1bfyvhrpjeijoq45fr 0 39837 783479 757155 2022-08-22T03:35:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu {{mathl|term= m \leq n|SZ=}} die Einbettung des Unterraumes {{mathl|term= \R^m|SZ=}} in den {{math|term= \R^n|SZ=,}} die durch {{mathl|term= (x_1 {{kommadots|}} x_m) \mapsto (x_1 {{kommadots|}} x_m,0 {{kommadots|}} 0)|SZ=}} gegeben ist, {{ Definitionslink |beliebig oft differenzierbar| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c8a5tsgepcmjkpeitcq6ddjy0isop0j 0 39840 779021 763185 2022-08-21T15:22:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Karte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= V \subseteq \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=metrisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann induziert die Karte eine natürliche Bijektion {{ Ma:abbele/disp |name=T {{makl| \alpha^{-1} |}} |TV {{=|}} V \times \R^n |TU |(Q,v)| {{makl| \alpha^{-1}(Q) ,[s \mapsto \alpha^{-1}( Q+ sv) ] |}} |SZ=. }} Dabei bewegt sich {{mathl|term= s \in I|SZ=}} in einem {{ Definitionslink |reellen Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= Q+sv \in V|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialklassen und R^n unter Karte/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Da {{mathl|term= V \times \R^n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Produkt von topologischen Räumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, ist {{mathl|term= TV=V \times \R^n|SZ=}} selbst ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und es liegt nahe, diese Topologie auf {{math|term= TU|SZ=}} zu übertragen und daraus insgesamt eine Topologie auf dem {{ Definitionslink |Tangentialbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Definition |SZ= }} {{math|term= TM|SZ=}} zu konstruieren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5co66pfv690a1tyktdzdmpb7tsjxwn4 0 39843 784019 757646 2022-08-22T05:05:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |TM|M || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Tangentialbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Projektionsabbildung {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1pd9c8nngd1gcompt9aptm9cjwapq2d 0 39847 784018 757644 2022-08-22T05:05:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |TM|M || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Tangentialbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= TM|SZ=}} selbst in natürlicher Weise eine {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6plhaqrsoeemam5xk6rrlrtumibvdlj 0 39854 781227 748683 2022-08-21T21:19:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette | V || \bigwedge^1 V || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lfpk94539xjoe4gtpt3fk8sn3idawiy 0 39856 786377 759452 2022-08-22T11:15:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Dachprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|2|3|2}} \wedge {{op:Spaltenvektor|4|-1|5}} |SZ=}} in der Standardbasis von {{mathl|term= \bigwedge^2 \R^3|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 83qpx4amelafiizuud9tltoin3o66v0 0 39857 786376 759451 2022-08-22T11:15:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Dachprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|-2|5|-4}} \wedge {{op:Spaltenvektor|7|-2|4}} |SZ=}} in der Standardbasis von {{mathl|term= \bigwedge^2 \R^3|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2bsomej8phirzrti96e0ykpzeke5l4i 0 39858 781226 755268 2022-08-21T21:19:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=m|dimensionaler |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K|Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= n>m|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{math|term= \bigwedge^n V = 0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pjupugh8275qqu6ghwn72l8n3aoog34 0 39859 781233 755272 2022-08-21T21:20:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Vektorraum/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_k \in V^*|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V {{timesdots|}} V |K |(v_1 {{kommadots|}} v_k)| {{op:Determinante| (f_i (v_j))_{1 \leq i ,j \leq k}|}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |alternierend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie3=Theorie der Dualräume |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l186qhbu4aph1gypscudppz9r4v8xxg 0 39860 781235 755274 2022-08-21T21:21:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^3 || |SZ= }} die durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix32|4|-1|0|7|2|3}} |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Matrix zu {{mathl|term= \bigwedge^2 \varphi|SZ=}} bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kjeuo1n11j8k19ea8w4ekf3d6tb7z8c 0 39861 781236 755275 2022-08-21T21:21:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} die durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|4|-2|5|6|8|-3|1|4|-1}} |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Matrix zu {{mathl|term= \bigwedge^2 \varphi|SZ=}} bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6cjizd93f2nsg38794jvdie4ljx6kwr 0 39878 778687 747999 2022-08-21T12:41:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien {{ mathkor|term1= v_1 {{kommadots|}} v_n |und|term2= w_1 {{kommadots|}} w_n |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V |SZ=}} mit der Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|v_1|\vdots|v_n}} || M {{op:Spaltenvektor|w_1|\vdots|w_n}} || || || |SZ=. }} Dann gilt {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Dachprodukt/Transformation des äußersten Dachprodukts/Determinante/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | v_1 {{wedgedots|}} v_n || ( {{op:Determinante|M|}}) w_1 {{wedgedots|}} w_n || || || |SZ=, }} woraus die {{ Definitionslink |Wohldefiniertheit der Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Aussage folgt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jqx28ekify4gdz2h4il9dnowk1jv5kp 0 39888 784008 757631 2022-08-22T05:04:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=C^2|differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Kotangentialbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= T^*M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \bigwedge^k T^*M|SZ=}} für jedes {{math|term= k|SZ=}} eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g800y8tm3kqn93rtw3l4dom6y23yo1k 0 39896 781397 755420 2022-08-21T21:48:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | G |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abb |name=\varphi |G|\R^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Abbildung| |Kontext=R total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{ Ma:Vergleichskette | 0 |\in| \R^m || || || |SZ=. }} Es sei vorausgesetzt, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |totale Differential| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in jedem Punkt dieser Faser {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass für {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| M || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraum| |Kontext=Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Definitionsseitenname= Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition |SZ= }} {{{zusatz1|}}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraum| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} im Punkt {{math|term= P|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k6hnm3752ljtegoe6qs3tgphyti7v9l 0 39897 784501 758074 2022-08-22T06:19:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |natürlichen Zahlen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \N|SZ=}} und versehen sie mit der {{ Definitionslink |Prämath= |diskreten Metrik| |Definitionsseitenname= Menge/Diskrete Metrik/Beispiel |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \N|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= | abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=Metrik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= | überdeckungskompakt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r5jfoopzsme57bujkd220uv90kg2f1p 0 39899 784238 757878 2022-08-22T05:42:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kompakter| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= X|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= | vollständig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bcvam7r63p6qbmubph21a32bk5476mu 0 39900 782756 756532 2022-08-22T01:35:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hausdorffraum| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |Y |\subseteq|X || || || |SZ= }} eine Teilmenge, die die {{ Definitionslink |Prämath= |induzierte Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} trage. Es sei {{math|term= Y|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= Y|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= X|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Abgeschlossen |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7o6c4442whespwqsp1xdlykq4kwb2f9 0 39901 781988 755880 2022-08-21T23:26:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der nur aus {{ Definitionslink |Prämath= |endlich vielen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Elementen bestehe. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= X|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kompaktheit (Topologie) |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f15jo0dad8zu01ub33hj05x99c7ysr8 0 39903 784809 748643 2022-08-22T07:03:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^2|SZ=,}} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Spaltenvektor|2|4}} ,\, {{op:Spaltenvektor|-5|7}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|-3|6}} ,\, {{op:Spaltenvektor|2|-5}} |SZ=, }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Orientierung| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} repräsentieren oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rn3sw1jxyinafxalpz3a33o8ooboh12 0 39904 784810 758265 2022-08-22T07:03:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die beiden Basen des {{math|term= \R^3|SZ=,}} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Spaltenvektor|2|4|-5}} ,\, {{op:Spaltenvektor|7|6|-1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|2|-3}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|-3|6|2}} , \, {{op:Spaltenvektor|-4|4|-2}} ,\, {{op:Spaltenvektor|-5|0|13}} |SZ=, }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Orientierung| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} repräsentieren oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m5p0wcxxybku3z12cxb8ghi4s7lnbk6 0 39905 780379 754590 2022-08-21T18:58:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= 1|SZ=-}}Sphäre {{math|term= S^1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |orientierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k9tus59zy5t2jzijh0ab7l5zlqlf2eq 0 39907 783413 757095 2022-08-22T03:24:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |komplexer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es auf {{math|term= V|SZ=,}} aufgefasst als {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} eine natürliche {{ Definitionslink |Prämath= |Orientierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der komplexen endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g69zn4tlwsa2zj1un9cebsy48shy3z1 0 39911 784009 757632 2022-08-22T05:04:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Kotangentialbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= T^*M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man auf {{mathl|term= \bigwedge^k T^*M|SZ=}} für jedes {{math|term= k|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erklären kann, bei der für jede Karte {{ Ma:abb |name=\alpha |U|V || |SZ= }} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^k T^*U| \bigwedge^k T^*V \cong V \times \bigwedge^k \R^{n*} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 83ypgmudu862anmnvlm8b949ftl2ww5 0 39912 784010 757633 2022-08-22T05:04:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Kotangentialbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= T^*M|SZ=.}} Es sei {{math|term= \omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=k|Differentialform| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\omega |M|\bigwedge^k T^*M || |SZ= }} mit {{mathl|term= \omega(P) \in \bigwedge^k T^*_P M|SZ=}} für alle {{mathl|term= P \in M|SZ=,}} wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Mannigfaltigkeit/Dachprodukte des Kotangentialbündels/Topologie/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} versehen sei. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{math|term= \omega|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= | stetig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jede {{ Definitionslink |Prämath= |Karte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\alpha |U|V || |SZ= }} mit {{mathl|term= V \subseteq \R^n|SZ=}} und mit der lokalen Darstellung {{mathl|term= \alpha_* \omega = \sum_{J,\, {{op:Anzahl|J|}} =k} f_J dx_J |SZ=}} sind die Funktionen {{math|term= f_J|SZ=}} stetig. |Es gibt eine offene Überdeckung {{mathl|term= M= \bigcup_{i \in I} U_i|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Kartengebieten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= U_i|SZ=}} derart, dass in den lokalen Darstellungen {{mathl|term= \alpha_{i*} \omega = \sum_{J,\, {{op:Anzahl|J|}} =k} f_{i J} dx_J |SZ=}} die Funktionen {{math|term= f_{i J}|SZ=}} stetig sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gb4q07aa52bk3gok1nahkmdgkfd06gh 0 39914 781223 755264 2022-08-21T21:19:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n \in V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{mathl|term= k\in \N|SZ=}} eine eindeutig bestimmte {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^k V| \bigwedge^{k+n} V || |SZ= }} mit {{mathl|term= v_1 {{wedgedots|}} v_k \mapsto v_1 {{wedgedots|}} v_k \wedge u_1 {{wedgedots|}} u_n |SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kdg1bzr11067os3f5rjgj2bib4bomkn 0 40007 782068 401396 2022-08-21T23:40:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{Anführung|Abstand|}} zwischen [[w:Osnabrück|Osnabrück]] und [[w:Bangalore|Bangalore]] {{ Zusatz/Klammer |text=den Erdradius mit {{math|term= 6370|SZ=}} km ansetzen| |ISZ=|ESZ= }} in den beiden folgenden Sinnen. a) Entlang der Erdoberfläche {{ Zusatz/Klammer |text=Luftlinie| |ISZ=|ESZ=. }} b) Durch die Erde {{ Zusatz/Klammer |text=Maulwurfslinie| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kugel |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2sp8r7npyln9em9wl10lv1lrtjgj3zh 0 40008 786322 759396 2022-08-22T11:06:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= |TM|\R |v| {{op:Norm|v|}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdes19shnzavhuafqxeakxjwgkbrgnj 0 40009 784767 758237 2022-08-22T06:57:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine offene Menge {{mathl|term= V \subseteq \R^n|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Was ist die {{ Definitionslink |Prämath= |kanonische Volumenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Euklidisch |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i2yys6fl0k2wgi6nuvtalumz9ig8hg6 0 40010 784769 758238 2022-08-22T06:57:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine offene Menge {{mathl|term= V \subseteq \R^n|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Was besagt die in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebene Korrespondenz zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeldern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath=1|Differentialformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in dieser Situation? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Euklidisch |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f9qd20t9odq3lqrcnltvfr6kqnmez86 0 40011 786320 759394 2022-08-22T11:05:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \R \times \R_+|SZ=}} mit der durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Hesse-Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R \times \R_+|\R |(x,y)|x^2+y^4 |SZ=, }} gegebenen Bilinearform eine {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Hesse-Form |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hesse |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 32i9cwlpm4neih3jzmxwdzadt8o4trm 0 40012 784803 758262 2022-08-22T07:02:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |orientierte| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |kanonische Volumenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \omega|SZ=}} dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert {{math|term= 1|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} opw6m5hgdi4auri11jv5ap4r7zspupl 0 40013 781758 755666 2022-08-21T22:48:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für jeden Punkt {{mathl|term= P=(x,y,z)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitssphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= T_PK \subset \R^3|SZ=}} an {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der induzierten {{ Definitionslink |Prämath= |riemannschen Struktur| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cfxby8r1oaa7asbt4tbw3tgvzvoc5w4 0 40014 786615 759630 2022-08-22T11:54:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subset \R^3|SZ=}} eine Kugeloberfläche. Zeige{{n Sie}}, dass je zwei nicht {{ Definitionslink |Prämath= |antipodale Punkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= P,Q \in K ||bedterm1= P \neq Q ||bedterm2= |SZ=, }} auf genau einem {{ Definitionslink |Prämath= |Großkreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K|SZ=}} liegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxiwp3090k1ix6b9cnudrjf89cepkay 0 40016 781757 755665 2022-08-21T22:48:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir fixieren die beiden Punkte {{math|term= N=(0,0,1)|SZ=}} und {{math|term= P=(1,0,0)|SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitssphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Es sei {{math|term= G|SZ=}} die Verbindungsgerade und es sei {{math|term= H|SZ=}} die zu {{math|term= G|SZ=}} senkrechte Ebene durch {{math|term= N|SZ=.}} Führe{{n Sie}} auf {{math|term= H|SZ=}} einen parametrisierten Einheitskreis {{math|term= E|SZ=}} mit {{math|term= N|SZ=}} als Mittelpunkt ein. Bestimme{{n Sie}} zu {{math|term= S \in E|SZ=}} die Länge des {{ Zusatz/Klammer |text=kürzeren| |ISZ=|ESZ= }} Weges von {{math|term= N|SZ=}} nach {{math|term= P|SZ=}} auf demjenigen Kreis, der durch den Schnitt von {{math|term= K|SZ=}} mit der durch {{ mathkor|term1= N,P |und|term2= S |SZ= }} gegebenen Ebene festgelegt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o0uywfsra5g8hqtjkm4oiu57vv6ismn 0 40017 781756 755663 2022-08-21T22:48:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitssphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K \subset \R^3|SZ=}} durch folgende Zuordnung eine {{ Definitionslink |Prämath= |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} festgelegt wird. Für {{mathl|term= P,Q \in K|SZ=}} ist {{mathl|term= d(P,Q)|SZ=}} die Länge des {{ Zusatz/Klammer |text=kürzeren| |ISZ=|ESZ= }} Verbindungsweges von {{math|term= P|SZ=}} nach {{math|term= Q|SZ=}} auf dem durch diese Punkte festgelegten {{ Definitionslink |Prämath= |Großkreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=berücksichtige{{n Sie}} auch die Fälle {{mathl|term= P=Q|SZ=}} und {{math|term= P,Q|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |antipodal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e1btd3y70yuwqvlqr2xcqm234awl1nc 0 40019 784778 758243 2022-08-22T06:58:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |offener Ball| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Offener Ball|P|r}} |\subseteq| \R^{{{m|m}}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=C^\infty|diffeomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{math|term= \R^{{{m|m}}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3fantdaid9h8bqhzeqev8miv435fr6 0 40022 784007 757630 2022-08-22T05:03:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbarer Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, wie man unter Bezug auf Karten {{Anführung|Nullmengen|}} von {{math|term= M|SZ=}} erklären kann, ohne dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist. Zeige{{n Sie}} ferner, dass wenn eine {{ Definitionslink |Prämath= |positive Volumenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist, diese Nullmengen auch {{ Definitionslink |Prämath= |Nullmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Sinne der Maßtheorie sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Nullmenge |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} esd4qt6mfsd44kglxkfmw62np71ixr3 0 40023 782929 756673 2022-08-22T02:03:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |positiven Volumenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \omega|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= T \subseteq M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |messbar| |Kontext=Borel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= N \subseteq M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralform|\omega|T}} || {{op:Integralform|\omega|T \setminus N}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integration von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Nullmenge |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jkcus5vn2pfd9eyrx2hzw4tmmt9l4ta 0 40040 781374 755392 2022-08-21T21:44:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= U \subseteq \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{mathl|term= \omega_1 {{kommadots|}} \omega_r |SZ=}} Differentialformen auf {{math|term= U|SZ=,}} wobei {{math|term= \omega_i|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=k_i|Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. {{ManSie|Finde|n}} und beweise{{n Sie}} eine Formel für {{ math/disp|term= d( \omega_1 {{wedgedots|}} \omega_r) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produktregel |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hzij22rophm6jby0mzyfrjpu0hjb7y9 0 40041 783108 756841 2022-08-22T02:33:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= W \subseteq \R^m|SZ=}} und {{mathl|term= U \subseteq \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |W|U || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |U|\R || |SZ= }} eine stetig differenzierbare Funktion. {{ManSie|Folgere|Folgern Sie}} aus der {{ Faktlink |Präwort=|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{ math/disp|term= d (\psi^*f) = \psi^*(df) |SZ= }} gilt, wobei {{math|term= \psi^*|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Zurückziehen von Differentialformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kettenregel |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gib7liv9e0jwcirmij0bfext8ch4d2p 0 40054 782067 755961 2022-08-21T23:40:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie lange ist der {{math|term= 30|SZ=-}}ste {{ Definitionslink |Prämath= |Breitenkreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Erde {{ Zusatz/Klammer |text={{ManSie|man setze|Setzen Sie}} den Erdradius mit {{math|term= 6370|SZ=}} km an| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kugel |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 85flsiw0s7vrnv5scgyd81gisq8pp1k 0 40055 782066 755960 2022-08-21T23:39:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie lange ist das Bild des {{math|term= 30|SZ=-}}sten {{ Definitionslink |Prämath= |Breitenkreises| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf den in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Horizontale Projektion/Flächenberechnung/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Mittelpunktsprojektion/Flächenberechnung/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kugeloberfläche/Geozentrische Koordinaten/Flächenberechnung/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Karten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{ManSie|man setze|Setzen Sie}} den Erdradius mit {{math|term= 6370|SZ=}} km an| |ISZ=|ESZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kugel |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ica85tmtjx940cmue8kwj67e7u1kmi9 0 40059 780055 763870 2022-08-21T18:04:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Differentialform {{ Ma:Vergleichskette/disp | \omega || {{makl| xy+z^2 |}} dx+zdy+x^3dz || || || |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^3|SZ=}} und den {{ Definitionslink |Prämath= |affin-linearen Weg| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[0,1]|\R^3 |t|(1,2,0) +t(3,0,2) {{=|}} (1+3t,2,2t) |SZ=. }} Die unter {{math|term= \gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |zurückgenommene Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \gamma^* \omega|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{makl| {{makl| (1+3t)2 + (2t)^2 |}} dx + 2tdy + (1+3t)^3 dz |}} {{op:Spaltenvektor|3|0|2}} || {{makl| 3 ((1+3t)2 + (2t)^2) + 2(1+3t)^3 |}} dt || {{makl| 12t^2+18t+6+54t^3+54t^2+18t+2 |}} dt || {{makl| 54t^3+66t^2+36t+8 |}} dt || |SZ=. }} Für das Integral über dem Einheitsintervall ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Integral|0|1|grand=54t^3+66t^2+36t+8||t}} || {{op:Integralstamm|0|1|stamm= {{makl|{{op:Bruch|27|2}} t^4 + 22 t^3 + 18t^2 +8t|}}||}} || {{op:Bruch|123|2|}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale zu einer Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t2in274ros5udsevuaeny8jm7m7ujh7 0 40078 785823 758988 2022-08-22T09:43:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche der folgenden Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name= |\R_+|\R || |SZ= }} lassen sich {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in den {{ Definitionslink |Prämath= |Randpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} fortsetzen. {{ Aufzählung6 |{{mathl|term= x^3+ {{op:sin|x|pot=3}} -e^{-x}|SZ=,}} |{{mathl|term= {{op:Bruch|1|x}}|SZ=,}} |{{mathl|term= {{op:sin| {{op:Bruch|1|x}}}} |SZ=,}} |{{mathl|term= x {{op:sin| {{op:Bruch|1|x}}}} |SZ=,}} |{{mathl|term= {{op:Bruch|e^{ {{op:Bruch|1|x}} } |x}}|SZ=,}} |{{mathl|term= x^2 {{op:sin| {{op:Bruch|1|x}}}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie= Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kf0cu60tu28t6663wlzkq6fyir8x0ec 0 40079 782722 756498 2022-08-22T01:29:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Halbebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \R_{\geq 0} \times \R|SZ=}} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Quadrant| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0}|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |diffeomorph| |Kontext=Teilmenge R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie2=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gnm4dz87rvmrolnozws49ech0j0t1vs 0 40081 782721 756497 2022-08-22T01:29:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Halbebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \R_{\geq 0} \times \R|SZ=}} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Quadrant| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geometrischen Figuren im euklidischen Raum |Kategorie2=Theorie der euklidischen Halbräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} krn7zinmtuvrbvztsaga1rekbe1dku7 0 40082 783512 757176 2022-08-22T03:41:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die abgeschlossene Kreisscheibe {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|0|1}} |SZ=}} trage die {{ Definitionslink |Prämath= |Standardorientierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^2|SZ=.}} Läuft die durch die {{ Definitionslink |Prämath= |äußere Normale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} festgelegte Orientierung auf dem Rand {{ Zusatz/Klammer |text=also auf dem Einheitskreis| |ISZ=|ESZ= }} mit dem oder gegen den Uhrzeigersinn? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a987f5bd4giunsjqp91suanliro1327 0 40083 783584 757239 2022-08-22T03:53:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die abgeschlossene Einheitskugel {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|0|1}} |SZ=}} trage die {{ Definitionslink |Prämath= |Standardorientierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}}, ob die beiden Tangentenvektoren {{ mathkor|term1= (2,1,0) |und|term2= (3,-1,0) |SZ= }} am Nordpol {{mathl|term= (0,0,1)|SZ=}} die durch die {{ Definitionslink |Prämath= |äußere Normale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} induzierte Orientierung auf dem Rand {{ Zusatz/Klammer |text=also auf der Einheitssphäre| |ISZ=|ESZ= }} repräsentieren oder nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Objektkategorie2=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9sipxg9qjsa5vfbpddzx2ccba110ee6 0 40085 782729 756505 2022-08-22T01:30:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= H \subset \R^n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Halbraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= Q\in H|SZ=}} ein Punkt und {{math|term= Q \in U \subseteq H|SZ=,}} wobei {{math|term= U|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^n|SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= Q|SZ=}} kein Randpunkt von {{math|term= H|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Halbräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d6n34sl3u1pamfbzygxbyhyqte1acke 0 40086 781367 755386 2022-08-21T21:43:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= V_1,V_2 \subseteq \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V_1|V_2 || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der eine {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= V_1 \cap H |und|term2= V_2 \cap H |SZ= }} induziert und damit auch zwischen {{ mathkor|term1= V_1 \cap \partial H |und|term2= V_2 \cap \partial H |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= H|SZ=}} bezeichnet den {{ Definitionslink |Prämath= |Halbraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= \partial H|SZ=}} seinen Rand| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Einschränkung auf den Rand ebenfalls ein {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismus| |Kontext=Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6tn930x94i2jcfdcksxq7zkt5qagudu 0 40088 783505 757172 2022-08-22T03:39:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe für den Kreisring {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{Mengebed|x \in \R^2|1 \leq {{op:Norm|x|}} \leq 2 }} || || || |SZ= }} explizit {{ Definitionslink |Prämath= |Karten| |Kontext=Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an, die zeigen, dass {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kreisring |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b9ci8vi8rb9lhk69hk61pq8csy90dqj 0 40104 785846 759010 2022-08-22T09:47:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \R|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |überdeckungskompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kompakten Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4cy0t6clkvg4em0jjxfx4mjpw9cmd77 0 40110 785841 759005 2022-08-22T09:46:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte Ausschöpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \R|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der kompakten Ausschöpfung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9vyhq4k73ghh9dvhmc8wea5790epd7a 0 40111 786405 759479 2022-08-22T11:20:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte Ausschöpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für den {{math|term= \R^n|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kompakten Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2=Theorie der kompakten Ausschöpfung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ih1dlr4nxbl3hmp3kcph65suoej6c1g 0 40112 784868 741819 2022-08-22T07:11:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten die Familie der {{ Definitionslink |Prämath= |Indikatorfunktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed/disp|term= {{op:Indikatorfunktion|P|}} ||bedterm1= P \in X ||bedterm2= |SZ=. }} Welche Eigenschaften einer {{ Zusatz/Klammer |text=dieser Überdeckung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |untergeordneten Partition der Eins| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt diese Familie? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen der Eins |Kategorie2=Theorie der Indikatorfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fgyu0qc7zkzllrypb6a452t3bqkgwxq 0 40116 785840 759004 2022-08-22T09:46:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte Ausschöpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= A_n= [-n,n] ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die offene Überdeckung {{ mathbed|term= W_n= {{op:Offene Innere|A_{n+1}|}} \setminus A_{n-1} ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=es sei {{mathl|term= A_{-1}= \emptyset|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Finde eine Überdeckung von {{math|term= \R|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Intervallen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die die Eigenschaften {{ Faktlink |Präwort=aus||Faktseitenname= Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Lokal endlicher Atlas/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und seinem Beweis| |ISZ=|ESZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der kompakten Ausschöpfung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hroeis3nfqusazxlbany57k7xg2tru9 0 40117 786371 759445 2022-08-22T11:14:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte Ausschöpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed/disp|term= A_n = {{op:Abgeschlossener Ball|0|n}} ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} des {{math|term= \R^2|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed/disp|term= W_n= {{op:Offene Innere|A_{n+1}|}} \setminus A_{n-1} ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=es sei {{mathl|term= A_{-1}= \emptyset|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Finde eine Überdeckung des {{math|term= \R^2|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Kreisscheiben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die die Eigenschaften {{ Faktlink |Präwort=aus||Faktseitenname= Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Lokal endlicher Atlas/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und seinem Beweis| |ISZ=|ESZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kompakten Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2=Theorie der kompakten Ausschöpfung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 67zhz0jz1vsyxmfoxumaagqaxvirsdf 0 40119 783322 757018 2022-08-22T03:09:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= A_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte Ausschöpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Beziehung {{ math/disp|term= A_{n+1} \setminus {{op:Offene Innere|A_n|}} \subseteq {{op:Offene Innere|A_{n+2}|}} \setminus A_{n-1} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kompakten Ausschöpfung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} llexqjqp7kqj427bdoo3k119vp31iji 0 40187 782163 756040 2022-08-21T23:56:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R \times \R_+ \times \R|\R |(x,y,z)| {{op:Bruch|xz|x^2+y^2}} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=es ist also {{mathl|term= y >0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} a) Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} und stelle{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Gradienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=}} auf. b) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |isolierten| |Kontext=Extremum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Extrema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ajxh71yq9nqwgm8yro8bl701lasb6g8 0 40196 786543 698412 2022-08-22T11:43:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die differenzierbare Kurve {{ Ma:abbele/disp |name=f |[0, \pi]| \R^2 |t|(t, {{op:sin|t|}}) |SZ=. }} a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt. b) Berechne{{n Sie}} die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs. c) Zeige{{n Sie}}, dass für die Länge {{math|term= L|SZ=}} dieser Kurve die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp |L |\leq| \sqrt{2} \pi || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=4 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2naxi5m2zvtz8a9swysm0uamqeewff4 0 40205 781037 406417 2022-08-21T20:48:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das bestimmte Integral zur Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} 2x^3 +3e^x - {{op:sin|x|}} |SZ=, }} über {{mathl|term= [-1,0]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gvhs33zlcdmfdsb9b41mscgp92v7864 0 40496 784618 752145 2022-08-22T06:36:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine Menge. Unter der {{Definitionswort|diskreten Topologie|msw=Diskrete Topologie|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=}} versteht man diejenige {{ Definitionslink |Prämath= |Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der jede Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der diskreten topologischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Diskrete Topologie |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t4ugt8ar05x9ca18jtszflxcyns41go 0 40805 785391 736372 2022-08-22T08:32:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es seien {{ mathkor|term1= (M_1,d_1) |und|term2= (M_2,d_2) |SZ= }} {{ Definitionslink |metrische Räume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M_1 \times M_2|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | d( (x_1,x_2), (y_1,y_2)) || \sqrt{ d_1(x_1,y_1)^2 + d_2(x_2,y_2)^2 } || || || || |SZ= }} eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte {{ Definitionslink |Prämath= |Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Produkttopologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkte von metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 73odxqthpgnnyfutibikuw5amroghad 0 40807 780506 754689 2022-08-21T19:19:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{mengensystem|P}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Präring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \R|SZ=,}} der die Intervalle {{ mathbed|term= [a,b] ||bedterm1= a < b ||bedterm2= |SZ=, }} enthalte, und es sei {{math|term= \mu|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |äußeres Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} darauf, das auf diesen Intervallen den Wert {{mathl|term= b-a|SZ=}} besitze. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Fortsetzung dieses äußeren Maßes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf allen {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbaren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmengen von {{math|term= \R|SZ=}} den Wert {{math|term= 0|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1690a57t8vmc0qtuesquz3oupigbfkn 0 40812 782520 756313 2022-08-22T00:55:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche {{Anführung|vertrauten geometrischen Figuren}} kann man als {{ Zusatz/Klammer |text=verallgemeinerte| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Quader| |Kontext=Mengensystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= \R \times \R|SZ=}} oder in {{mathl|term= \R \times \R^2|SZ=}} auffassen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1vy1npmrmn16b9mkivgi4rfuay1cmbm 0 40818 785390 758675 2022-08-22T08:31:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbarer Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und mit den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebren| |Kontext=Sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Borelmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{mengensystem|B|}}(X) |und|term2= {{mengensystem|B|}}(Y) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Mengensystem der Borelmengen auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Produktraum| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= X \times Y|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=Sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= {{mengensystem|B|}}(X) |und|term2= {{mengensystem|B|}}(Y) |SZ= }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Borel-Mengen |Kategorie2=Theorie der Produkträume |Kategorie3=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l212qznrnimzxle4mgttnr2w67efb6z 0 40819 785360 758653 2022-08-22T08:27:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= (M_1, {{mengensystem|A}}_1) {{kommadots|}} (M_n, {{mengensystem|A}}_n) |SZ=}} Mengen mit darauf erklärten {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebren| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=Sigmaalgebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=- }}{{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{mengensystem|A}}_1 {{tensordots|}} {{mengensystem|A}}_n |SZ=}} die kleinste {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra auf {{mathl|term= M_1 {{timesdots|}} M_n |SZ=}} ist, für die alle {{ Definitionslink |Prämath= |Projektionen| |Kontext=Produkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |messbar| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1nkozjp4451ucytmc3cvf4z7qc2b5pd 0 40820 783513 757177 2022-08-22T03:41:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitskreisscheibe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= E \subseteq \R^2|SZ=}} unter den Inklusionsabbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=\iota_y |\R|\R^2 |x|(x,y) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskreisscheibe |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bdkd55jqdzsw405a2inah9ngwsaf3pj 0 40823 785378 401257 2022-08-22T08:30:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man schreibe|Schreiben Sie}} eine Animation, die die Unabhängigkeit des Maßes von der Quaderzerlegung im Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Produktmenge/Endlich/Produkt-Prämaß/Wohldefiniertheit/Eigenschaften/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} (1) am Beispiel des {{math|term= \R^2|SZ=}} deutlich macht. Insbesondere soll die Einführung eines Rasters und der Begriff der Verfeinerung sichtbar werden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Animation |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} llsj52gv2qp6zds2txbf58lvq8s0obo 0 41095 786397 759473 2022-08-22T11:18:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbare Familie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Bällen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^n|SZ=}} gibt, die eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis der Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie von euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ga7cs68k0pe84amyhqn5twhqp01n41 0 41101 782573 756345 2022-08-22T01:04:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die {{ Definitionslink |Prämath= |Belegungsfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Gittermaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Gitterabstand {{math|term= \epsilon >0|SZ=}} im {{math|term= \R^n|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Maßtheorie |Kategorie2=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q5nsr5ykjxm3assf8bd56goppvo20hc 0 41244 782910 756658 2022-08-22T02:00:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M, {{mengensystem|A}} )|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Messraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= N \subseteq M|SZ=}} eine Teilmenge. Zeige{{n Sie}}, dass das Mengensystem {{ math/disp|term= N \cap T,\, T \in {{mengensystem|A}} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= N|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht von der {{Stichwort|induzierten|msw=Induzierte Sigmaalgebra|SZ=}} {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ee6fpk79shihx0rgdgg8libaad4fuj 0 41508 783775 757409 2022-08-22T04:25:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=L |\R^n|\R^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= c \in \R_{\geq 0}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette | L_*(c \lambda^n) ||c (L_* \lambda^n) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für lineare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tgtxkm4uq2a010xkjky1vrwju6q6r1k 0 41509 783357 757047 2022-08-22T03:15:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= u \in {{CC}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= {{op:Betrag|u|}}=1 |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Multiplikationsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |z|uz |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |flächentreu| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2=Maßtheorie für lineare Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jyp6z1d8dwodmjhl76jftwj33b2zi0z 0 41517 779156 763262 2022-08-21T15:44:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das von den Vektoren {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor|0|2|3}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|1|4|-2}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |aufgespannte Parallelogramm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} müssen wir die Skalarprodukte dieser Vektoren berechnen. Es ist {{ math/disp|term= {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor|0|2|3}} |{{op:Spaltenvektor|0|2|3}} }} = 13,\, {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor|0|2|3}} |{{op:Spaltenvektor|1|4|-2}} }} = 2,\, {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor|1|4|-2}}|{{op:Spaltenvektor|1|4|-2}} }} = 21 |SZ=. }} Dies führt zur Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|13|2|2|21}} |SZ= }} mit der Determinante {{mathl|term= 269|SZ=.}} Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist also {{mathl|term= \sqrt{269}|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6fq9xg7leh6linjmeb0i8frflczl4wp 0 41544 782754 756530 2022-08-22T01:34:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hausdorff-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle ||{{mengebed|(x,y) \in X \times X|x {{=|}} y}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |messbare Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Prämath= |Produktraum| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= X \times X|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkträume |Kategorie2=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Diagonale |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jz8k2v9b9rccemt3qvbpjhtck2q72mf 0 41554 784903 758347 2022-08-22T07:17:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |periodische Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Periode {{math|term= L>0|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{math|term= f|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |messbar| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} auf das Intervall {{mathl|term= [0,L[|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |messbar| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} auf jedes Intervall der Form {{mathl|term= [a,a+L[|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |messbar| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} b) Zeige{{n Sie}}, dass diese Äquivalenz für die {{ Definitionslink |Prämath= |Stetigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht gelten muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der periodischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der messbaren numerischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wfd7kcfpaz63jwwf75r1eanw1p77wr 0 41560 786019 759160 2022-08-22T10:16:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} sei die Funktion {{math|term= f_n|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |f_n(x) || {{op:Bruch| {{op:Gaußklammer|nf(x)|}}|n}} || || || |SZ= }} definiert. a) Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= f_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|einfach| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. b) Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= f_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} punktweise gegen {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=punktweise| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} c) Zeige{{n Sie}}, dass diese Funktionenfolge nicht {{ Definitionslink |Prämath= |wachsend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein muss. d) Sind die {{math|term= f_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |messbar| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2=Theorie der einfachen Funktionen auf Messräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d1dwqyya1xjsu3pk68kfs11ko6uinfj 0 41583 783738 747717 2022-08-22T04:18:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Flächeninhalt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Subgraphen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|cx |SZ=, }} über dem Intervall {{mathl|term= [a,b]|SZ=}} mit {{mathl|term= c \geq 0,\, b \geq a \geq 0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf dem euklidischen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6pqntvjltk8xmd9tt0znqglislt2gio 0 41584 783737 747727 2022-08-22T04:18:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Volumen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Subgraphen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R |(x,y)|cx+dy |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette/k | c,d |\in| \R_{\geq 0} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} über dem Einheitsquadrat {{mathl|term= [0,1] \times [0,1] |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf dem euklidischen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qm9jyxjv6bjt1z2iuzhrj0vvgznh0ec 0 41585 783736 747716 2022-08-22T04:18:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Flächeninhalt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Subgraphen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|1 + {{op:sin|x|}} |SZ=, }} über dem Intervall {{mathl|term= [0, 2 \pi ] |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf dem euklidischen Raum |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mogd7sxtoqbruwkjouh53k0pq5pfw7e 0 41588 783328 747720 2022-08-22T03:10:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |kompakte Teilmenge| |Kontext=R^n|m |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=f |T|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=mr|m |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |integrierbar| |Kontext=Lebesgue| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} auch eine Abschätzung für das Integral {{mathl|term= {{op:Integralmaß|f|T|\lambda^n}} |SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf dem euklidischen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} klynf5uzucsiij49g76k72qtvstnnk3 0 41605 781550 696039 2022-08-21T22:13:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{{zusatz1|}}} Es seien drei Vektoren {{mathl|term= v_1,v_2,v_3 \in \R^2|SZ=}} gegeben und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || {{mengebed|av_1 +b v_2 +c v_3 |a,b,c \in [0,1] }} || || || |SZ= }} das davon erzeugte {{Anführung|Pseudoparallelogramm|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Flächeninhalt von {{math|term= S|SZ=}} gleich der Summe der Flächeninhalte der drei Parallelogramme ist, die von je zwei der beteiligten Vektoren aufgespannt werden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Konvexe Geometrie |Kategorie2=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes für kompakte Mengen |Kategorie3=Theorie der Polygone |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0b69duwmo00le2mpliv2acxj07g14yb 0 41633 782358 756198 2022-08-22T00:28:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |\R|\R || |SZ= }} mit {{mathl|term= f_n= 1 - {{op:Bruch|1|n}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=n \in \N_+|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{math|term= f|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Grenzfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bigcup_{n \in \N_+} S(f_n) ||S(f) \setminus \Gamma_f || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konvergenzsätze für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cyt7bt7fatv7zwcs54uve55d2e4g4km 0 41666 786235 759360 2022-08-22T10:52:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in den {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörpern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|13|}} |SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Zmod|17|}}|SZ=}} und {{math|term= {{op:Zmod|19|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primitiv |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2pyy3qm1dzoq6smekb6a7evaedhog0m 0 41698 784142 757803 2022-08-22T05:26:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Maßraum/Situation|SZ=}} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=g |M|{{op:abschlussnum|\R|}}_{\geq 0} || |SZ= }} eine nichtnegative {{ Definitionslink |messbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{mengensystem|A|}} | {{op:abschlussnum|\R|}}_{\geq 0} |T| {{op:Integralmaß|g|T|\mu}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dichten (Maßtheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9xos0yymvejpzq8dffand6j1ttumzmz 0 41699 781136 755185 2022-08-21T21:04:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche {{ Definitionslink |Prämath= |Dichte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt das {{ Definitionslink |Prämath= |Borel-Lebesgue-Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dichten (Maßtheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pq5hz8f09a9k69bvnhxv5367cn4nezw 0 41703 784141 757802 2022-08-22T05:26:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M, {{mengensystem|A}}, \mu) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endlicher| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} es sei {{ Ma:abbele/disp |name=g |M|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |messbare| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |nichtnegative| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integrierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= g\mu|SZ=}} das Maß zur {{ Definitionslink |Prämath= |Dichte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= g|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für jede messbare Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |M|\R || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralmaß|f|M|(g \mu)}} || {{op:Integralmaß|fg|M|\mu}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dichten (Maßtheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} euuhipnps17omzptpj6aeku8gv8wkv4 0 41707 785356 758650 2022-08-22T08:26:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathbed|term= (M, {{mengensystem|A}}, \mu) |und|bedterm1= (N, {{mengensystem|B}}, \nu) ||bedterm2= |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endliche| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Maßräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und es seien {{ Ma:abbele/disp |name=g |M|\R || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=h |N|\R || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |messbare| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |nichtnegative| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integrierbare Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den zu diesen {{ Definitionslink |Prämath= |Dichten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gehörigen Maßen {{ mathkor|term1= g \mu |und|term2= h \nu |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auf {{mathl|term= M \times N|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (g \mu) \otimes (h \nu)|SZ=}} mit dem Maß zur Dichte {{ Ma:abbele/disp |name=gh |M \times N|\R |(x,y)| g(x)h(y) |SZ=, }} bezüglich {{mathl|term= \mu \otimes \nu|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dichten (Maßtheorie) |Kategorie2=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1frb27dh7hdnxdht3bp8sl631b8xhcb 0 41716 784838 437691 2022-08-22T07:07:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |[0,10]|\R |x|x^2 |SZ=, }} und interessieren uns für die Straße der Breite {{math|term= 1|SZ=,}} deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist. a) Zeige{{n Sie}}, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen| |ISZ=|ESZ= }} untereinander überschneidungsfrei sind. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=möglichst einfache| |ISZ=|ESZ= }} Parametrisierung der Straße an. c) Bestimme{{n Sie}} den Flächeninhalt der Straße. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=3 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} df451akvu92ce8uiwq6fek2udwxy19g 0 41721 782318 756160 2022-08-22T00:21:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R |(u,v)| {{op:Bruch|2uv|(u^2+1)(v^2+v+1)}} |SZ=. }} Für welche Quadrate {{mathl|term= Q=[a,a+1] \times [b,b+1]|SZ=}} der Kantenlänge {{math|term= 1|SZ=}} wird das {{ Definitionslink |Prämath= |Integral| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Integralmaß|f|Q|\lambda^2}} |SZ= }} maximal? Welchen Wert besitzt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Fubini |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c9bnodmy9pwhklsbahns32xsipgoc5y 0 41791 786353 759427 2022-08-22T11:11:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]|\R_+ |x|f(x) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |positive| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= a \leq b|SZ=}} aus {{math|term= \R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}{{{zusatz1|}}}, dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge {{ math/disp|term= M = {{mengebed|(x, f(x) {{op:cos|\alpha|}} , f(x) {{op:sin|\alpha|}} ) | x \in [a,b]|\alpha \in [0, 2 \pi[ }} \subseteq \R^3 |SZ=, }} das Volumen {{math|term= 0|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lwo42tsr7sxh2vqd1yvvdkkw85kec8m 0 41794 786349 406112 2022-08-22T11:10:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[0,1]|\R_{\geq 0} |t|t+ \sqrt{t} +1 |SZ=, }} um die {{math|term= t|SZ=-}}Achse rotieren lässt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fo6riedy5n5vqogi3cr2ayuzuf9qbl9 0 41797 780472 583955 2022-08-21T19:14:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe {{math/disp|term={{op:Abgeschlossener Ball|0|1}} = {{mengebed|(x,y) \in \R^2| \sqrt{x^2+y^2} \leq 1}} |SZ=}} nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke {{mathl|term= [a,b] \times [c,d] \subseteq {{op:Abgeschlossener Ball|0|1}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=a \leq b|SZ=}} und {{mathlk|term=c \leq d|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} überdecken lässt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Borel-Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskreisscheibe |Stichwort= |Punkte=9 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q5n8zry75mng6pynobsfcsfg0wwt4u9 0 41800 784215 757856 2022-08-22T05:38:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Messraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=f |M|\R_{\geq 0} || |SZ= }} eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige{{n Sie}}, dass auch die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=\sqrt{f} |M|\R_{\geq 0} |x| \sqrt{f(x)} |SZ=, }} messbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der messbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e8bctjc2o5p5o2f76wbk2s1x5shzqba 0 41801 784839 758290 2022-08-22T07:07:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Flächeninhalt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des von den Vektoren {{ math/disp|term= v=(2,3,-4) \text{ und } w=(1,-1,7) |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugten Parallelogramms| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geometrischen Figuren im euklidischen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=3 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rsw3g2c01y6k87i4euaco0m4eyqeeve 0 41806 784841 510347 2022-08-22T07:08:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Volumen des von den drei Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|2|3}} ,\, {{op:Spaltenvektor|4|-5|6}} \text{ und } {{op:Spaltenvektor|7|8|9}} |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=}} erzeugten Parallelotops. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für lineare Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Parallelotope |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pkocpe0249knqub4zvzbp99iwgwzk9a 0 41810 785374 758663 2022-08-22T08:29:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} zwei abzählbare Mengen, die beide mit der {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aller Teilmengen und mit dem Zählmaß {{ Zusatz/Klammer |text=genannt {{math|term= \mu|SZ=}} bzw. {{math|term= \nu|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} versehen seien. a) Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endliche| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Maßräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. b) Zeige{{n Sie}}, dass das Produktmaß {{mathl|term= \mu \otimes \nu|SZ=}} auf {{mathl|term= M \times N|SZ=}} ebenfalls das Zählmaß ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie2=Diskrete Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mlqkg6z0wa1c57pm6srhwk45vyp4xjy 0 41813 784189 757841 2022-08-22T05:34:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (X, {{mengensystem|T|}} )|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= {{mengensystem|A}} |SZ=}} die davon erzeugte {{ Definitionslink |Prämath= |Mengenalgebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen {{ math/disp|term= (U_1 \cap A_1) \cup ( U_2 \cap A_2) {{cupdots|}} (U_n \cap A_n) |SZ= }} mit offenen Mengen {{mathl|term= U_1 {{kommadots|}} U_n |SZ=}} und abgeschlossenen Mengen {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_n |SZ=}} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fck3uu9ikyk417144mdnuwntiag1vp6 0 41815 784474 758060 2022-08-22T06:16:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|\N|}} |SZ=}} und die Menge der Abbildungen {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|\N| {{op:Potenzmenge|\N|}}}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmächtig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ld9papyf98o84dcqzeoxadkhrtpg75w 0 41820 781432 755448 2022-08-21T21:54:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige{{n Sie}}, dass es {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktionen| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f,g |M|\R || |SZ= }} gibt mit {{mathl|term= f,g \neq 0|SZ=,}} aber {{mathl|term= fg=0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Nullteiler |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgt0riy02z87f3t451tkfqxjs1xxigr 0 41822 782918 756665 2022-08-22T02:02:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |injektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R|S^2 || |SZ=, }} die {{ Zusatz/Klammer |text=als Abbildung nach {{math|term= \R^3|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |rektifizierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und unendliche {{ Definitionslink |Prämath= |Länge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, und für die {{ mathkor|term1= {{op:Funktionslimes|t|\infty|\varphi (t)|}} {{=|}} N |und|term2= {{op:Funktionslimes|t|- \infty|\varphi (t)|}} {{=|}} S |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i9gmotde6kylb0h5s6ucx6ehvsa2oph 0 41826 782725 756501 2022-08-22T01:29:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |halboffenes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= [a,b[|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l1xcb6f8uvtqzgl5zz3y91ettfwnw78 0 41827 782726 756502 2022-08-22T01:30:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= I=[0,1[|SZ=}} das {{ Zusatz/Klammer |text=nach oben| |ISZ=|ESZ= }} halboffene Einheitsintervall und {{math|term= S^1|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitskreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |I|S^1 || |SZ= }} gibt, dass aber {{ mathkor|term1= I |und|term2= S^1 |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der stetigen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ce62h4a0cxvar78az34lngrhjfxa9wi 0 41833 784013 748935 2022-08-22T05:04:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jeder offenen Teilmenge {{mathl|term= U \subseteq M|SZ=}} betrachten wir die Menge {{mathl|term= C^1(U,\R)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Funktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= U|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= M= \bigcup_{i \in I} U_i|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass zu {{mathl|term= V \subseteq U|SZ=}} offen und {{mathl|term= f \in C^1(U,\R)|SZ=}} auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f {{|}}_V |SZ=}} zu {{mathl|term= C^1(V,\R)|SZ=}} gehört. |Sei {{mathl|term= f \in C^1(M,\R)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= f=0|SZ=}} genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen {{mathl|term= f {{|}}_{U_i} =0 |SZ=}} sind. |Es sei eine Familie {{mathl|term= f_i \in C^1(U_i,\R)|SZ=}} von Funktionen gegeben, die die {{Anführung|Verträglichkeitsbedingung|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_i {{|}}_{U_i \cap U_j} || f_j {{|}}_{U_i \cap U_j} || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i,j|SZ=}} erfüllen. Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{mathl|term= f \in C^1(M,\R)|SZ=}} gibt mit {{mathl|term= f {{|}}_{U_i} =f_i |SZ=}} für alle {{math|term= i|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Garbentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Garbe |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lr2sy0wj88ip3g2wpdlvtz7yrt89h9y 0 41834 781427 755443 2022-08-21T21:53:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= P \in M|SZ=}} ein Punkt. Wir betrachten die folgende Menge. {{ math/disp|term= T= {{mengebed|(U,f)| U \subseteq M \text{ offen}|P \in U| f \in C^1(U,\R)}} |SZ=. }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= (U,f) \sim (V,g) : \text{ es gibt eine offene Menge } W \text{ mit } P \in W \subseteq U \cap V \text{ mit } f {{|}} _W= g {{|}}_W |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= T|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche {{ Definitionslink |Prämath= |Ringstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Äquivalenzrelation gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9y29mo1bmc9jok2z7gzsjiexmxd8a5x 0 41843 781059 755121 2022-08-21T20:51:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= Y|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |X|Y || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Mengensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{mengensystem|T}} = {{mengebed|V \subseteq Y|\varphi^{-1}(V) \text{ ist offen in } X}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= Y|SZ=}} definiert, bezüglich der {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e0y9cuki6cahcnndpp4spl9ri393bxb 0 41846 786617 759633 2022-08-22T11:55:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien zwei Punkte {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitssphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Sphäre in sich gibt, der {{math|term= P|SZ=}} in {{math|term= Q|SZ=}} überführt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0vus513pbak09tj1ckhtybcg7qjghqg 0 41847 786391 759468 2022-08-22T11:17:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= Y=\R^n/\Z^n|SZ=}} sei mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Bildtopologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Definiere{{n Sie}} auf {{math|term= Y|SZ=}} eine Mannigfaltigkeitsstruktur durch geeignete Karten. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n|Y || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in jedem Punkt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Torus |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 78wmfsdeamb35h86pyxbaka8mq3j32f 0 41910 781429 755445 2022-08-21T21:53:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|V || |SZ= }} eine Karte {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathl|term= U \subseteq M|SZ=}} und {{mathl|term= V \subseteq \R^n|SZ=}} offen| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \alpha|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismus| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ac1hr3hi43kopywcqkl1pc983a68mx9 0 41915 783890 510195 2022-08-22T04:44:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Bestimme{{n Sie}} den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|x|y}}' = {{op:Matrix22|1|2|3|5}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} |SZ=. }} b) Löse{{n Sie}} das Anfangswertproblem {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|x|y}}' = {{op:Matrix22|1|2|3|5}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x(0)|y(0)}} ={{op:Spaltenvektor|-4|3}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=5 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tpshcfrvpoq6ywi1qlmpb0zfvp9i9p6 0 41926 783024 641280 2022-08-22T02:19:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^6|\R^4 |(a,b,c,d,u,v)|(au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^2,bd-c^2) |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} im Nullpunkt nicht regulär ist. c) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} in {{mathl|term= (1,1,0,0,1,1)|SZ=}} regulär ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jnm89959lut8abjtz141lhb02yvuw7f 0 41931 786031 509717 2022-08-22T10:18:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R \setminus \{1\}| \R |x|{{op:Bruch|x^5+3x^3-2x^2+x-1|(x-1)^2(x^2+1)}} |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die reelle Partialbruchzerlegung von {{math|term= f|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} eine Stammfunktion von {{math|term= f|SZ=}} für {{math|term= x>1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung |Kategorie2=Theorie der Stammfunktionen rationaler Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=5 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kfkn9aw4giybnx142nfn851eq42gav7 0 41933 781041 755106 2022-08-21T20:48:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |bestimmte Integral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_+|\R |x|f(x) {{=|}} \sqrt{x} - {{op:Bruch|1|\sqrt{x} }} + {{op:Bruch|1|2x+3|}} -e^{-x} |SZ=, }} über {{mathl|term= [1,4]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s6e0lfqj55xttp495iuejvkks635ygm 0 41997 781436 755452 2022-08-21T21:54:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} eine Abbildung. Es sei {{mathl|term= M= \bigcup_{i \in I} U_i|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn alle Einschränkungen {{mathl|term= \varphi_i= \varphi {{|}}_{U_i} |SZ=}} differenzierbar sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ncfwmv3izanvs0olt0rgn0s3tn5gxw0 0 42019 785354 758648 2022-08-22T08:26:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M \times N |SZ=}} von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Mannigfaltigkeiten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkte von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ivfxeeif31ilyfohku2sxoph64ggtd4 0 42021 780478 754667 2022-08-21T19:15:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{mathl|term= m,n \in \N_+|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ math/disp|term= M= {{mengebed|(x,y,u,v) \in \R^4|ux^m+vy^n {{=|}} 1 }} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^4|SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|\R^2 |(x,y,u,v)|(x,y) |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und in jedem Punkt {{mathl|term= P \in M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. c) Beschreibe die {{ Definitionslink |Prämath= |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=3 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7y1zx6hbrfyj6d9wdoz7qm7lry74a40 0 42023 785830 758995 2022-08-22T09:44:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R|\R^2 |x|(x^2,x^3) |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass diese Abbildung {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} nicht in jedem Punkt {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. c) Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R^2|SZ=}} ist, aber keine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte=10 |p1=2 |p2=3 |p3=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 60mbskk12csm7btoxc2gng7u7tg7u6l 0 42024 785835 758999 2022-08-22T09:45:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossenen Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M\subseteq \R|SZ=,}} die keine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cboqqgkrommmtrp0pmh4lhocgu4wx4x 0 42025 780480 754669 2022-08-21T19:15:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass deren {{ Definitionslink |Prämath= |Vereinigung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M \cup N|SZ=}} ebenfalls eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, und dass diese Aussage ohne die Voraussetzung der Disjunktheit nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Disjunkt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vi7s7wyrsbetn60iqetavbqpbzfywz 0 42026 782635 746663 2022-08-22T01:14:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R^n|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma_f | \subseteq | \R^{n+1} || || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^{n+1} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hypylcg1weievn25e7lv4m7ceuuwn4s 0 42081 781434 755450 2022-08-21T21:54:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{mathl|term= R=C^1({{{M|M}}},\R)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Funktionen| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{{M|M}}}|SZ=}} und sei {{math|term= {{{F|F}}}|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfelder| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} a) Definiere{{n Sie}} eine Addition auf {{math|term= {{{F|F}}}|SZ=}} derart, dass {{math|term= {{{F|F}}}|SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. b) Definiere{{n Sie}} eine Skalarmultiplikation {{ Ma:abbele/disp |name= |R \times {{{F|F}}}|{{{F|F}}} |(f,s)|fs |SZ=, }} derart, dass {{math|term= {{{F|F}}}|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath=R|Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ei6c1lixjfcjw7fixj5bz7uar3uf05 0 42083 784615 469349 2022-08-22T06:35:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein Integritätsbereich und {{mathl|term= S \subseteq R|SZ=}} ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in {{math|term= R_S|SZ=}} genau denjenigen Primidealen in {{math|term= R|SZ=}} entsprechen, die mit {{math|term= S|SZ=}} einen leeren Durchschnitt haben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2=Theorie der Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primideale |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 31k9adn6x2dewboh99achfx6ljce980 0 42085 783504 757171 2022-08-22T03:39:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Kreislinie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S^1|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} eine {{Stichwort|differenzierbare Gruppenstruktur|SZ=}} auf {{math|term= S^1|SZ=,}} also ein neutrales Element {{mathl|term= P \in S^1|SZ=,}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |S^1|S^1 |x| \alpha (x) |SZ=, }} und eine differenzierbare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |T {{=|}} S^1 \times S^1|S^1 |(x,y)| \varphi(x,y) |SZ=, }} derart, dass {{math|term= S^1|SZ=}} mit diesen Daten zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Lie-Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} szxkmjdmxomdkp60ahjtzio9edi26su 0 42091 781424 755441 2022-08-21T21:52:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|M \times M |x|(x,x) |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in das {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M \times M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi(M)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Produkte von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g0jhv019mplshnq7o8fps1fomvxz2hn 0 42167 786359 759431 2022-08-22T11:12:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{mengebed|(x,y,z,t) \in \R^4|x+x^2y+z^2+t^3 {{=|}} 0 }} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^4|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Russell-Kubik |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6k4b25h9gswssipbx1x50cirqrube6p 0 42186 781234 755273 2022-08-21T21:21:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Dachprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term= 4 {{op:Spaltenvektor|2|3|4}} \wedge {{op:Spaltenvektor|1|0|3}} + 5{{op:Spaltenvektor|-3|2|3}} \wedge {{op:Spaltenvektor|0|0|1}} -2{{op:Spaltenvektor|7|-5|3}} \wedge {{op:Spaltenvektor|1|3|-4}}|SZ=}} im {{mathl|term= \bigwedge^2 \R^3|SZ=}} als Linearkombination der Dachprodukte {{mathl|term= e_1 \wedge e_2|SZ=,}} {{mathl|term= e_1 \wedge e_3|SZ=}} und {{mathl|term= e_2 \wedge e_3|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7eq00of1d6xdgisbyqf2pfnw4qrmvzm 0 42187 786388 759466 2022-08-22T11:17:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Dachprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term= -2 {{op:Spaltenvektor|3|6|-2|5}} \wedge {{op:Spaltenvektor|2|7|4|0}} \wedge {{op:Spaltenvektor|0|3|-4|-2}} +4 {{op:Spaltenvektor|1|2|3|4}} \wedge {{op:Spaltenvektor|1|-1|-2|3}} \wedge {{op:Spaltenvektor|7|6|5|-4}}|SZ=}} in der Standardbasis von {{mathl|term= \bigwedge^3 \R^4|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2wm0ziqr4pwok4ar9cqu1d7bqgu5q18 0 42207 786387 759465 2022-08-22T11:17:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= v_1= {{op:Spaltenvektor|9|8|1}} ,\, v_2 = {{op:Spaltenvektor|4|7|-3}} ,\, v_3= {{op:Spaltenvektor|2|5|-2}} |SZ= }} von {{math|term= \R^3|SZ=}} und die dadurch induzierte Basis {{ math/disp|term= {{basis|v}} = v_1 \wedge v_2,\, v_1 \wedge v_3 , \, v_2 \wedge v_3 |SZ= }} von {{mathl|term= \bigwedge^2 \R^3|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in beide Richtungen| |ISZ=|ESZ= }} zwischen der Basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} und der Standardbasis {{mathl|term= e_1 \wedge e_2,\, e_1 \wedge e_3 , \, e_2 \wedge e_3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a2smvbm3t6cabqkkiwovrpgjdwczezw 0 42232 781375 755402 2022-08-21T21:44:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{symbol:Differentialformen|M|k}} |SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath=k|Formen| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{symbol:Differentialformen|M|k}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R|Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |R || C^0(M,\R) || || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dn2uysif7ncjhromv0fn1g9aprsosgi 0 42238 785357 758651 2022-08-22T08:26:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= M_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |orientierte Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M_1 \times M_2|SZ=}} eine orientierte Mannigfaltigkeit ist {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die Orientierung von der Ordnung auf {{mathlk|term=\{1,2\}|SZ=}} abhängt| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Produkte von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7w6wizpqx3zhr8dp0ve1hak2obhpe2h 0 42241 785358 758652 2022-08-22T08:26:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |orientierte Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Vertauschungsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M \times M|M \times M |(P,Q)|(Q,P) |SZ=, }} bezüglich der jeweiligen {{ Definitionslink |Prämath= |Produktorientierungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |orientierungstreu| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Produkte von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ehavx79oqbawo6do3lfy06sl7urvvt 0 42243 784811 758266 2022-08-22T07:03:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} und sei das {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V^n = V {{timesdots|}} V |SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Produkttopologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Es sei {{math|term= I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reelles Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |I|V^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass {{math/disp|term=\varphi(t)=(\varphi_1(t), \varphi_2(t) {{kommadots|}} \varphi_n(t))|SZ=}} für jedes {{mathl|term= t \in I|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}}, dass sämtliche Basen {{ mathbed|term= \varphi(t) ||bedterm1= t \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Orientierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=}} repräsentieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} on0bi44k4j3upfcdd96kh3d43n4etkh 0 42245 779940 752109 2022-08-21T17:46:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath=2|Sphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S^2|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= 0|SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Abbildung| |Kontext=R total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3|\R |(x,y,z)|x^2+y^2+z^2-1 |SZ=. }} Wir können darauf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden und erhalten durch {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^2 T_P S^2|\R |v_1 \wedge v_2| {{op:Determinante| ({{op:Gradient|\varphi(P)|}},v_1,v_2) |}} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die Tangentenvektoren {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} wegen {{mathl|term= T_PS^2 \subseteq T_P\R^3=\R^3|SZ=}} direkt im {{math|term= \R^3|SZ=}} aufgefasst werden können| |ISZ=.|ESZ=, }} eine stetige nullstellenfreie {{ Definitionslink |Prämath= |Flächenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \omega|SZ=.}} Dies führt zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |positiven Flächenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Orientierung| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= S^2|SZ=.}} Zwei linear unabhängige Tangentialvektoren {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} repräsentieren die Orientierung, wenn {{mathl|term= \omega(v_1,v_2) >0|SZ=}} ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Vektoren {{mathl|term= {{op:Gradient|\varphi(P)|}},\, v_1,\, v_2 |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Standardorientierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=}} repräsentieren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Sphären |Kategorie2=Theorie der Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie3=Theorie der Volumenformen |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7tihgzu0b7suwgyh1vs1ocon6ytwady 0 42264 779374 763458 2022-08-21T16:17:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Als Beispiel zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Einschränkung eines Vektorfeldes/Bemerkung |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} betrachten wir den {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitskreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= S^1 \subseteq \R^2|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das konstante {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= e_1|SZ=}} auf {{math|term= \R^2|SZ=,}} das also jedem Punkt {{mathl|term= P\in \R^2|SZ=}} den ersten Standardvektor als Richtung zuordnet. Die zugehörige Differentialform ist {{math|term= dx|SZ=,}} die {{math|term= e_1|SZ=}} auf {{math|term= 1|SZ=}} und {{math|term= e_2|SZ=}} auf {{math|term= 0|SZ=}} abbildet. Die auf {{math|term= S^1|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |zurückgezogene Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird ebenfalls mit {{math|term= dx|SZ=}} bezeichnet und besitzt die gleiche Wirkungsweise, allerdings eingeschränkt auf den jeweiligen {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= T_PS^1 \subseteq \R^2|SZ=.}} Das zu dieser Differentialform auf {{math|term= S^1|SZ=}} gehörige Vektorfeld {{math|term= H|SZ=}} berechnet sich {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} folgendermaßen: Für jeden Punkt {{mathl|term= P={{op:Spaltenvektor|a|b}} \in S^1 |SZ=}} und jeden Vektor {{mathl|term= v= {{op:Spaltenvektor|v_1|v_2}} \in T_PM|SZ=}} muss {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|H(P)|v}} || dx(P)(v) ||v_1 || || |SZ= }} gelten, wobei {{mathl|term= H(P)\in T_PM|SZ=}} sein muss. Der Tangentialraum ist eindimensional und wird von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|-b|a}} |SZ=}} aufgespannt. Daher ist {{ Ma:Vergleichskette | v || d {{op:Spaltenvektor|-b|a}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |H(P) ||c {{op:Spaltenvektor|-b|a}} || || || |SZ= }} für gewisse {{mathl|term= d,c \in \R|SZ=.}} Aus der Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|H(P)|v}} || {{op:Skalarprodukt|c {{op:Spaltenvektor|-b|a}}|d {{op:Spaltenvektor|-b|a}} }} || c d || -bd || |SZ= }} folgt direkt {{mathl|term= c=-b|SZ=.}} Das zurückgezogene Vektorfeld ist demnach {{ Ma:Vergleichskette/disp |H {{makl| {{op:Spaltenvektor|a|b}} |}} ||-b {{op:Spaltenvektor|-b|a}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Vektorfelder |Kategorie3=Theorie des Zurückziehens von Differentialformen |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} su97ipzlqwktz0bxz76hsiqkjon4f8f 0 42268 786321 759395 2022-08-22T11:06:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass bei einer {{ Definitionslink |Prämath= |riemannschen Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Kartenabbildungen| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|V || |SZ= }} im Allgemeinen keine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=T_P(\alpha) |T_PU|T_{\alpha(P)} V || |SZ= }} induzieren {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{mathl|term= T_PU|SZ=}} mit {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}_P |SZ=}} und {{mathl|term= T_{\alpha(P)} V= \R^n |SZ=}} mit dem Standardskalarprodukt versehen ist| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ibrf15nvv93dfj1u3wrorwp6s9y8dw 0 42271 781376 755394 2022-08-21T21:44:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= i: M\subseteq \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^n|\R || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | i^* (df) || d(f \circ i ) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zurückziehens von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hc6a09r2pvf2jkphwc0z36qsp7awjzc 0 42272 782240 756090 2022-08-22T00:08:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= \R^3|SZ=}} sei das {{ Definitionslink |Prämath= |Ellipsoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= E= {{mengebed|(x,y,z)|x^2+y^2+3z^2 \leq 5}} |SZ= }} und die Ebene {{ math/disp|term= M= {{mengebed|(x,y,z)|7x-3y-2z {{=|}} 2 }} |SZ= }} gegeben. Berechne{{n Sie}} den Flächeninhalt des Durchschnitts {{mathl|term= M \cap E|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fr23p4ypu2ynjr6qz6hs2ij61858zgh 0 42273 782636 746656 2022-08-22T01:15:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n|\R | {{op:Zeilenvektor|x_1|\ldots|x_n}} |a_1x_1 {{plusdots|}} a_nx_n |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= M|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Funktion, den wir als {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auffassen. Zeige{{n Sie}}, dass zwischen den Volumina entsprechender Teilmengen des {{math|term= \R^n |SZ=}} und des Graphen eine konstante Beziehung besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m9k684hoaz0elmqhm3lecfsxmd84v6g 0 42276 786417 759490 2022-08-22T11:22:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \omega ||dx_1 {{wedgedots|}} dx_n || e_1^* {{wedgedots|}} e_n^* || || |SZ= }} die Standard-Volumenform auf dem {{math|term= \R^n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für jede {{ Definitionslink |Prämath= |messbare Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= T \subseteq \R^n|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralform|\omega|T}} || {{op:Integralmaß||T|\lambda^n}} || \lambda^n(T) || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integration von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pz6bdszvf7j0z8m33jhs2dir6oez7zf 0 42282 782634 756409 2022-08-22T01:14:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |\R^2|\R |(x,y)|y+x^2 |SZ=, }} als {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} den Flächeninhalt des Graphen oberhalb des Quadrats {{mathl|term= [-1,1] \times [-1,1]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ob37xjdazlx4ugptagyj7d4nk11pn56 0 42284 780479 754668 2022-08-21T19:15:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n|dimensionale| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbarer Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= \omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |positive Volumenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} und es sei {{math|term= \mu|SZ=}} das durch diese Volumenform definierte {{ Definitionslink |Prämath= |Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann jede {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{mathl|term= \leq n-1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integration von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5f3gnhwajnnwb0em3be6sicq8ra959v 0 42285 786348 759425 2022-08-22T11:10:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math/disp|term= M= {{mengebed|(x,x^2)|x \in \R}} \subseteq \R^2 |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Parabel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|x^2 |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Rotationsfläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse keine {{ Definitionslink |Prämath= |Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} srhn3tl5dvpuu15vmhtjj3yhmz1sisx 0 42286 786344 759424 2022-08-22T11:09:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Rotationsfläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S|SZ=}} zu {{ math/disp|term= M= {{mengebed|( {{op:sin| {{op:Bruch|1|y}} |}} ,y)| y> 0}} |SZ= }} um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse {{math|term= A|SZ=.}} Ist {{math|term= S|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \R^3 \setminus A|SZ=?}} Ist die Menge {{math|term= S|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R^3|SZ=?}} Ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Abschluss| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= S|SZ=}} in {{math|term= \R^3|SZ=}} eine Mannigfaltigkeit? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cax1cjjbhxp7ludq2t5wbt9jmsqlu02 0 42344 781371 755390 2022-08-21T21:44:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= P \in M|SZ=}} ein Punkt und {{mathl|term= f \in C^1(M,\R)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= v \in T_PM|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der durch einen differenzierbaren Weg {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |{]{-\delta},\delta [}|M || |SZ= }} mit {{mathl|term= \gamma(0)=P|SZ=}} repräsentiert werde. Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp |(df)(P,v) || (f \circ \gamma)'(0) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zurückziehens von Differentialformen |Kategorie2=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie3=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Objektkategorie= |Stichwort=Ableitung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8w3bdvx2vcnpviro9u68yep1me7uwms 0 42648 780340 754586 2022-08-21T18:52:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \omega || (2x- {{op:sin|y|}} )dx-x{{op:cos|y|}}dy || || || |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |geschlossen| |Kontext=Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und auch {{ Definitionslink |Prämath= |exakt| |Kontext=Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qetyxfluett1pwgh8lstrgoyc9zln9r 780371 780340 2022-08-21T18:57:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \omega || (2x- {{op:sin|y|}} )dx-x{{op:cos|y|}}dy || || || |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |geschlossen| |Kontext=Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und auch {{ Definitionslink |Prämath= |exakt| |Kontext=Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rhy6wyyp8w2nvdn31m9eecwgnq0d8nb 0 42649 780341 754587 2022-08-21T18:52:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \omega = (2xy+3x^2-y e^{xy} )dx +(x^2-xe^{xy} +8y) dy |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |geschlossen| |Kontext=Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und auch {{ Definitionslink |Prämath= |exakt| |Kontext=Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fln8zjishi7ej94xto29htl0fhjld3s 780372 780341 2022-08-21T18:57:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \omega = (2xy+3x^2-y e^{xy} )dx +(x^2-xe^{xy} +8y) dy |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |geschlossen| |Kontext=Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und auch {{ Definitionslink |Prämath= |exakt| |Kontext=Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 71hz4grox749xppsai1xh7xz3nck4t0 0 42688 784006 757629 2022-08-22T05:03:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rand| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= N|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Was kann man über das {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M \times N|SZ=}} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4jifm6b7cxgl1bt11n78w61xvdtwewe 0 42689 784002 757625 2022-08-22T05:03:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Unter einem {{Stichwort|differenzierbaren Halbweg|msw=differenzierbarer Halbweg|SZ=}} verstehen wir jede {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[-\epsilon, 0]|M || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=\epsilon >0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Definiere{{n Sie}}, wann zwei Halbwege mit {{mathl|term= \gamma_1(0) = \gamma_2(0) =P \in M|SZ=}} {{Stichwort|tangential äquivalent|SZ=}} sind, und zeige{{n Sie}}, dass dadurch eine Äquivalenzrelation gegeben ist. Was kann man über die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72a5fjuo4783jt3es5n6rbel1woa57k 0 42735 782637 447691 2022-08-22T01:15:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Graph {{math|term= M|SZ=}} der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R |(u,v)| u^2+uv-v^3 |SZ=, }} als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des {{math|term= \R^3|SZ=,}} also {{ math/disp|term= M= {{mengebed|(u,v,u^2+uv-v^3)|(u,v) \in \R^2 }} |SZ= }} mit der vom {{math|term= \R^3|SZ=}} induzierten riemannschen Metrik. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |\R^2|M |(u,v)|(u,v,u^2+uv-v^3) |SZ=, }} die zugehörige Diffeomorphie. a) Bestimme{{n Sie}} das totale Differential zu {{math|term= \psi|SZ=}} sowie die Bildvektoren {{mathl|term= T_P(\psi) (e_1)|SZ=}} und {{mathl|term= T_P(\psi) (e_2)|SZ=}} in {{mathl|term= T_{\psi(P)}M|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} für jeden Punkt der Form {{mathl|term= P=(u,0)|SZ=}} den Flächeninhalt des von {{mathl|term= T_P(\psi) (e_1)|SZ=}} und {{mathl|term= T_P(\psi) (e_2)|SZ=}} in {{mathl|term= T_{\psi(P)}M|SZ=}} aufgespannten Parallelogramms. c) Bestimme{{n Sie}} für jeden Punkt der Form {{mathl|term= P=(0,v)|SZ=}} den Flächeninhalt des von {{mathl|term= T_P(\psi) (e_1)|SZ=}} und {{mathl|term= T_P(\psi) (e_2)|SZ=}} in {{mathl|term= T_{\psi(P)}M|SZ=}} aufgespannten Parallelogramms. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3u0rtktl23vbu333ummgxvejovxmyd6 0 42740 783323 648374 2022-08-22T03:09:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform {{math|term= \omega|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= \int_M \omega < \infty |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Volumenformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q83fpj7fx5qgb55yb3q9qhtcucrw9i1 0 42743 786347 413887 2022-08-22T11:10:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen {{ math/disp|term= \Gamma = {{mengebed|(x,e^x)|x \leq 0}} |SZ= }} um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse rotieren lässt, kleiner als {{math|term= 10|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pf04nnm8xf0yuck2v9cns6d0r1jij9v 0 42748 781373 413885 2022-08-21T21:44:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die zurückgezogene Differentialform {{mathl|term= \varphi^* \tau|SZ=}} zu {{ math/disp|term= \tau = dx \wedge dy \wedge dz - w dx \wedge dy \wedge dw + {{op:cos|(xy)|}} dx \wedge dz \wedge dw-yw dy \wedge dz \wedge dw |SZ= }} unter der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3|\R^4 |(r,s,t)| (r^2s,t, {{op:sin|r|}} ,e^{st}) {{=}} (x,y,z,w) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zurückziehens von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g2g0ts6q5o4nzc3t4l1yq6fpre324i3 0 42751 784805 748645 2022-08-22T07:02:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die beiden Basen des {{math|term= \R^3|SZ=,}} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Spaltenvektor|1|0|4}} ,\, {{op:Spaltenvektor|2|4|-3}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|3|-5}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|-3|7|2}} , \, {{op:Spaltenvektor|-4|5|-1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|-6|0|11}} |SZ=, }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Orientierung| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} repräsentieren oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 568u6n3acwagklptrs0ufh8xfo22qcr 0 42758 783583 413881 2022-08-22T03:52:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} die Kugel mit Radius {{math|term= r|SZ=}} und Mittelpunkt {{math|term= 0=(0,0,0)|SZ=}} im {{math|term= \R^3|SZ=.}} Wie lautet die Formel {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Begründung| |ISZ=|ESZ= }} für a) das Volumen der Vollkugel. b) den Flächeninhalt der Kugeloberfläche. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie2=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} naeed7zxwvkgczcbt5rbcp3sknwrpvx 0 42759 781230 413880 2022-08-21T21:20:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} die folgenden Sätze bzw. Formeln. {{ Aufzählung4 |Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} eine Basis des Vektorraumes {{math|term= V|SZ=.}} Wie sieht eine Basis des {{math|term= k|SZ=-}}ten Dachproduktes {{mathl|term= \bigwedge^k V|SZ=}} aus? |Die {{Stichwort/Abfrage|universelle Eigenschaft|SZ=}} des {{math|term= k|SZ=-}}ten Dachproduktes eines Vektorraums {{math|term= V|SZ=.}} |Die {{Stichwort/Abfrage|Formel für die zurückgezogene Volumenform|SZ=}} {{mathl|term= \varphi^* \omega|SZ=}} zu {{mathl|term= \omega =f dy_1 {{wedgedots|}} dy_n|SZ=}} unter einer stetig differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^n|\R^n || |SZ=. }} |Die {{Stichwort/Abfrage|Berechnung des kanonischen Volumens|SZ=}} einer messbaren Menge {{mathl|term= T \subseteq M |SZ=}} einer riemannschen Mannigfaltigkeit {{math|term= M|SZ=,}} die ganz in einem offenen Kartengebiet {{mathl|term= T \subseteq U|SZ=}} liegt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t6x1oggt88r8gnugcfrn4flxve7p2qh 0 42807 778994 568763 2022-08-21T15:18:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die kubische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^3+2x-1 || 0 || || || |SZ= }} und wenden darauf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an. Es ist demnach {{ mathlist|term1= p=2 ||term2= q=-1 |und|term3= D=-59 |SZ= }} und somit {{ mathkor|term1= u= \sqrt[3]{ {{op:Bruch|1|2}} {{makl| 1 + {{op:Bruch|1|9}} \sqrt{177} |}} } |und|term2= v= \sqrt[3]{ {{op:Bruch|1|2}} {{makl| 1 - {{op:Bruch|1|9}} \sqrt{177} |}} } |SZ=. }} Dabei wählen wir jeweils die reellen dritten Wurzeln, was automatisch die reelle Bedingung {{ Ma:Vergleichskette |uv ||- {{op:Bruch|2|3}} || || || |SZ= }} sicherstellt. Somit ist {{mathl|term= u+v|SZ=}} eine reelle Lösung der Gleichung. Man sieht, dass diese Lösung aus Lösungen von rein-quadratischen und rein-kubischen Gleichungen mittels arithmetischer Ausdrücke zusammengesetzt ist, darüber hinaus aber keine einfache Gestalt besitzt. Den numerischen Wert dieser Lösung kann man beliebig genau durch beliebig genaue Berechnungen der Lösungen der reinen Gleichungen ausrechnen, doch könnte man genauso gut direkt {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem Halbierungsverfahren oder Ähnlichem| |ISZ=|ESZ= }} die Nullstelle numerisch berechnen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} arlzq4o042yobi26iygccucfa2qxmrd 0 42813 779593 751608 2022-08-21T16:53:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |K^n|K^n || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |linearer Automorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha || (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n} || || || |SZ= }} gegeben ist. Wir definieren dazu direkt einen {{ Definitionslink |Prämath=K|Algebraautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nämlich den durch {{ math/disp|term= X_i \longmapsto a_{i1}X_1 {{plusdots|}} a_{in}X_n |SZ= }} definierten {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in mehreren Variablen| |ISZ=|ESZ=, }} den wir mit {{math|term= \varphi_{\alpha}|SZ=}} bezeichnen. Dabei handelt es sich in der Tat um einen Algebraautomorphismus: Der inverse lineare Automorphismus {{math|term= \alpha^{-1}|SZ=}} definiert in der gleichen Weise einen Algebrahomomorphismus {{mathl|term= \varphi_{\alpha^{-1} }|SZ=,}} und es gilt {{ Ma:Vergleichskette |\varphi_{\alpha^{-1} } \circ \varphi_{\alpha} || {{op:Identität||}} || || || |SZ=, }} da diese Hintereinanderschaltung jede Variable auf sich selbst abbildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Isomorphismen zwischen Vektorräumen |Kategorie2=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3=Theorie der K-Algebra-Automorphismen (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fcmhl95terdus9j7emvyf9c1nlwcz7a 0 42841 778438 762391 2022-08-21T12:02:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Fallunterscheidung |Fall1= Wenn {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so ist auch {{math|term= L|SZ=}} endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endlicher Körper/Einheitengruppe ist zyklisch/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Körpererweiterung einfach. |Fall2= Wir können also annehmen, dass {{math|term= K|SZ=}} unendlich ist. Sei zunächst vorausgesetzt, dass es in {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}} || n || || || |SZ=. }} Jeder von {{math|term= L|SZ=}} verschiedene Zwischenkörper {{ mathbed|term= M_i ||bedterm1= i =1 {{kommadots|}} k ||bedterm2= |SZ=, }} ist ein maximal {{mathl|term= (n-1)|SZ=-}}dimensionaler {{ Definitionslink |Prämath=K|Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} und daher gibt es eine von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath=K|lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i |L|K || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi_i(M_i) ||0 || || || |SZ=. }} Zu {{math|term= \varphi_i|SZ=}} gehört ein lineares Polynom {{math|term= P_i|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= n|SZ=}} Variablen| |ISZ=|ESZ={{{zusatz1|}}} }} mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom {{ Ma:Vergleichskette |P || \prod_{i {{=|}} 1}^k P_i || || || |SZ= }} ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper {{ Ma:Vergleichskette |M_i |\neq|L || || || |SZ= }} gleich {{math|term= 0|SZ=.}} Da {{math|term= K|SZ=}} unendlich ist, gibt es aber nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Polynomring/Unendlicher Körper/F nicht null/Nicht Nullfunktion/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch Elemente {{ Ma:Vergleichskette |a ||(a_1 {{kommadots|}} a_n) |\in| L || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |P(a) |\neq|0 || || || |SZ=. }} Der von einem solchen Element {{math|term= a|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} erzeugte Körper muss gleich {{math|term= L|SZ=}} sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt. Sei nun {{ Ma:Vergleichskette/disp |L ||K(x) ||K[x] ||K[X]/(F) || |SZ= }} eine einfache Körpererweiterung mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=.}} Für jeden Zwischenkörper {{ mathbed|term= M ||bedterm1= K \subseteq M \subseteq L ||bedterm2= |SZ=, }} ist {{ Ma:Vergleichskette |L ||M(x) || || || |SZ= }} und das Minimalpolynom {{math|term= G|SZ=}} von {{math|term= x|SZ=}} über {{math|term= M|SZ=}} ist in {{mathl|term= M[X]|SZ=}} und insbesondere in {{mathl|term= L[X]|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= F|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper/Koeffizientendarstellung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besteht die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette |M ||K(b_0 {{kommadots|}} b_k) || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term= b_j|SZ=}} die Koeffizienten von {{math|term= G|SZ=}} sind. Da {{math|term= F|SZ=}} in {{mathl|term= L[X]|SZ=}} nur endlich viele {{ Zusatz/Klammer |text=normierte| |ISZ=|ESZ= }} Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper. |Fall3=|Fall4=|Fall5= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d9n2v7l7ri4us9lkgvjsftpyngv89rq 0 42876 781767 755671 2022-08-21T22:50:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die {{ Definitionslink |Prämath= |Träger| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der folgenden Funktionen von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=.}} {{ Aufzählung7 |Eine Polynomfunktion. |Die Sinusfunktion. |Die Exponentialfunktion. |Die Indikatorfunktion {{math|term= {{op:Indikatorfunktion|\Z|}} |SZ=.}} |Die Indikatorfunktion {{math|term= {{op:Indikatorfunktion|\Q|}} |SZ=.}} |Die Indikatorfunktion {{math|term= {{op:Indikatorfunktion|[a,b]|}} |SZ=.}} |Die Indikatorfunktion {{math|term= {{op:Indikatorfunktion|]a,b[|}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Träger |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} krnszrglewn7b9a2jvmyqymoqgn0v5j 0 42920 783326 757020 2022-08-22T03:10:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n|dimensionale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |orientierte| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rand| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbarer Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= \omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=(n-1)|Differentialform |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralform|d\omega|M}} || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jjgn4jusqjjcbs0f1ukotxyq4z88p4m 0 42926 784016 757641 2022-08-22T05:05:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem nichtleeren Rand. Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |M| \partial M || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Brouwersche Fixpunktsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tar8ne35wq67w5vd0ko686cnajq7a42 0 42927 782733 756509 2022-08-22T01:31:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= H \subseteq \R^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=n \geq 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Halbraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mfk Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |H| \partial H || |SZ= }} gibt, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= \partial H|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Identität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Halbräume |Kategorie2=Der Satz von Stokes |Kategorie3=Der Brouwersche Fixpunktsatz |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nvjxvqujq31iklyuigtet98sos9mndt 0 42928 786422 508851 2022-08-22T11:22:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= v,w \in \R^n|SZ=}} mit {{ mathkor|term1= {{op:Norm|v|}} \leq 1 |und|term2= {{op:Norm|w|}} = 1 |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{mathl|term= a \in \R|SZ=}} mit {{mathl|term= {{op:Norm|v+aw|}}= 1 |SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mu2kc6uwr5dh36aq90nmdaa3uo0vqje 0 42929 780473 754663 2022-08-21T19:14:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= B|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Einheitskreisscheibe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= K|SZ=}} der obere Kreishalbbogen. Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mfk Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |B|K || |SZ= }} gibt, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= K|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Identität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Brouwersche Fixpunktsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskreisscheibe |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5bflgzalfla0wfkzhl6yk46z9rolnnf 0 42930 783327 757021 2022-08-22T03:10:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |orientierte| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rand| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbarer Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= \tau|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |positive Volumenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \tau|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |exakt| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8rhq3yqpplofoo6r5xjl9w26r27bgkg 0 42952 782931 756675 2022-08-22T02:04:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Würfel {{ math/disp|term= Q=[-1,1]^3 \subseteq \R^3 |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath=2|Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \omega =dx \wedge dy +y dx \wedge dz +x^2y^2z^2 dy \wedge dz |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= d \omega|SZ=}} und die beiden Integrale {{ mathkor|term1= {{op:Integralform|\omega|\partial Q}} |und|term2= {{op:Integralform|d \omega| Q}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=getrennt voneinander| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3rv1e4fgo94bn3vwwi0s528rja4dywu 0 42953 782923 756670 2022-08-22T02:02:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} das durch {{ mathlist|term1= (0,2) |,|term2= (1,-1) |und|term3= (-2,-1) |SZ= }} gegebene Dreieck und {{mathl|term= \tau = x^3y^2dx \wedge dy|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=2|Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= D|SZ=.}} Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Stammform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= \tau|SZ=}} und berechne{{n Sie}} damit {{mathl|term= {{op:Integralform|\tau|D}} |SZ=}} durch ein Integral über dem Dreiecksrand. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3kmmbjp6yy31lt7vzqqsih9xjvmqe75 0 42954 782919 756666 2022-08-22T02:02:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} das durch {{ mathlist|term1= (0,2) |,|term2= (1,-1) |und|term3= (-2,-1) |SZ= }} gegebene Dreieck und {{mathl|term= \tau =( 3x^2y^5-x {{op:sin|y|}} ) dx \wedge dy|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=2|Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= D|SZ=.}} Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Stammform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= \tau|SZ=}} und berechne{{n Sie}} damit {{mathl|term= {{op:Integralform|\tau|D}} |SZ=}} durch ein Integral über dem Dreiecksrand. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1wqjlo8wank3cp0j7v5lrvqcjh5mrk6 0 42992 783329 757022 2022-08-22T03:10:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kompakter Raum| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |Y |\subseteq|X || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die die {{ Definitionslink |Prämath= |induzierte Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} trage. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= Y|SZ=}} ebenfalls kompakt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lb2hzh0qbx4yytgguf84tt9etw3wrut 0 43034 779601 751619 2022-08-21T16:55:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen über {{math|term= K|SZ=.}} Dieser ist in naheliegender Weise {{ Definitionslink |Prämath=\Z|graduiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man definiert für ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= X_1^{k_1}X_2^{k_2} \cdots X_n^{k_n}|SZ=}} den Grad durch {{mathl|term= k_1+k_2 {{plusdots|}} k_n|SZ=}} und setzt {{math|term= A_d|SZ=}} als den Vektorraum aller Polynome an, die {{ Definitionslink |Prämath= |Linearkombinationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Monomen vom Grad {{math|term= d|SZ=}} sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, so dass dadurch eine graduierte {{math|term= K|SZ=-}}Algebra entsteht. Es ist {{ Ma:Vergleichskette |A_0 ||K || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |A_n || 0 || || || |SZ= }} für negativen Grad {{math|term= n|SZ=.}} Diese Graduierung heißt auch die {{Stichwort|Standardgraduierung|SZ=}} auf dem Polynomring. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2hk741euec4zla9z27x490svtn6idie 0 43035 779821 751937 2022-08-21T17:26:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} {{mathl|term= a \in K|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Dann besitzt die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenalgebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |A ||K[X]/(X^n-a) || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der graduierenden Gruppe {{ Ma:Vergleichskette |D ||{{op:Zmod|n}} || || || |SZ=, }} und zwar setzt man {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= x|SZ=}} die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} sei| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |A_d ||{{mengebed| \lambda x^d| \lambda \in K}} || || || |SZ=. }} Jedes Element {{mathl|term= f \in A|SZ=}} kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= n-1|SZ=}} besitzt. Daher besitzt jedes {{math|term= f|SZ=}} eine Summendarstellung mit Summanden aus den {{math|term= A_d|SZ=.}} Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |X^n ||a || || || |SZ= }} nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus {{ Ma:Vergleichskette | \lambda x^d \cdot \mu x^e || \lambda \mu x^{d+e} || || || |SZ=, }} und dies ist gleich {{mathl|term= \lambda \mu a x^{d+e - n}|SZ=,}} falls {{ Ma:Vergleichskette |d+e |\geq|n || || || |SZ= }} ist, und andernfalls gleich {{mathl|term= \lambda \mu x^{d+e} |SZ=.}} So oder so ist es ein Element aus {{mathl|term= A_{d+e} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Zyklisch |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fykr81m092j1ivnwlabq6f452sgn13f 0 43051 779820 751936 2022-08-21T17:26:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} {{mathl|term= a \in K|SZ=}} und {{mathl|term= n\in \N|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= X^n - a|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|K[X]/(X^n-a) || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring/Eine Variable/Körper/Restklassencharakterisierung von irreduzibel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reine Gleichung über Körper/Als graduierte Algebra/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath={{op:Zmod|n}}|graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine notwendige Voraussetzung für die Irreduzibilität von {{mathl|term= X^n-a|SZ=}} ist, dass {{math|term= a|SZ=}} in {{math|term= K|SZ=}} keine {{math|term= n|SZ=-}}te Wurzel besitzt, da sonst das Polynom sofort einen Linearfaktor besitzt. Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |n ||3 || || || |SZ= }} ist diese Bedingung auch hinreichend. Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} und wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K|SZ=}} nicht gleich {{math|term= 2|SZ=}} ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette |1 |\neq|-1 || || || |SZ= }} und der nichttriviale Charakter {{ Ma:abbele/disp |name=\chi |D {{=|}} {{op:Zmod|2}} |K^\times || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= \chi(0)=1 |und|term2= \chi(1)=-1 |SZ= }} definiert über {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} den nichttrivialen {{ Definitionslink |Prämath=K|Körperautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= x \mapsto -x|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= x|SZ=}} die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} sei| |ISZ=|ESZ=, }} also die {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugation| |Kontext=Quadratische Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in der {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|K[X]/(X^2-a) || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1bc59cvu6z05jt608qreucm7tl0uu75 0 43053 779209 763290 2022-08-21T15:52:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath=\Q|Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Q[X]/(X^4+4)|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath={{op:Zmod|4}}|graduierte| |Kontext=über Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Q|SZ=-}}Algebra. Das Polynom {{mathl|term= X^4+4|SZ=}} besitzt keine Nullstelle in {{math|term= \Q|SZ=,}} es ist aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wie die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^4+4 ||(X^2-2X+2)(X^2+2X+2) || || || |SZ= }} zeigt. Es liegt also keine graduierte Körpererweiterung vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m07py3oouo97xeq68kzn4dy7kur0112 0 43054 779211 748615 2022-08-21T15:53:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den von {{ mathkor|term1= \sqrt{2} |und|term2= \sqrt{3} |SZ= }} erzeugten Unterkörper {{ Ma:Vergleichskette |L ||\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3} ) || \Q[\sqrt{2}, \sqrt{3} ] || || |SZ= }} von {{math|term= {{CC}}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder von {{math|term= \R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Die Elemente {{mathl|term= 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6} |SZ=}} bilden dabei unmittelbar ein {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sogar eine Basis, da man andernfalls {{math|term= \sqrt{3}|SZ=}} als rationale Linearkombination von {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= \sqrt{2} |SZ= }} ausdrücken könnte. Damit liegt insgesamt eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vier vor. Sei {{ Ma:Vergleichskette |D ||{{op:Zmod|2}} \times {{op:Zmod|2}} || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ math/disp|term= L_{(0,0)} =\Q, \, L_{(1,0)} =\Q \cdot \sqrt{2}, \, L_{(0,1)} =\Q \cdot \sqrt{3} \, , L_{(1,1)} =\Q \cdot \sqrt{6} |SZ=, }} und erhalten dadurch eine {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierte Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Körpererweiterung Q(\sqrt(2), \sqrt(3)) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sif99k7bpintv0vwvimodvyzlz1t1jg 0 43056 778890 763109 2022-08-21T15:02:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq|L | {{defeq|}} |\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} , \sqrt{2} ] || || |SZ= }} in {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} Diese besitzt eine {{ Definitionslink |Prämath=D= {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}}|Graduierung| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der {{mathl|term= 1, {{Imaginäre Einheit|}} ,\sqrt{2}, {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{2}|SZ=}} eine homogene Basis bilden. Das {{ Zusatz/Klammer |text=in dieser Graduierung nicht homogene| |ISZ=|ESZ= }} Element {{ Ma:Vergleichskette | \zeta_8 || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \sqrt{2} + \sqrt{2} {{Imaginäre Einheit|}} |}} || || || |SZ= }} ist eine {{math|term= 8|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und wegen {{ Ma:Vergleichskette | \zeta^2 || {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |L ||\Q(\zeta_8) || || || |SZ= }} der achte {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{zusatz1|.}}} }} Das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \zeta_8|SZ=}} ist {{mathl|term= X^4+1|SZ=,}} so dass man auch {{ Ma:Vergleichskette |L |\cong|\Q[X]/(X^4+1) || || || |SZ= }} schreiben kann. Dies zeigt, dass {{math|term= L|SZ=}} auch eine {{mathl|term= {{op:Zmod|4|}} |SZ=-}}graduierte Körpererweiterung von {{math|term= \Q|SZ=}} ist, bei der {{math|term= \zeta_8|SZ=}} homogen ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der achte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d9qinvtqcrgs71jzc7cmwm9nv518s8v 0 43059 782922 756669 2022-08-22T02:02:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} das durch {{ mathlist|term1= (0,2) |,|term2= (1,-1) |und|term3= (-2,-1) |SZ= }} gegebene Dreieck und {{mathl|term= \tau = x^2ydx \wedge dy|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=2|Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= D|SZ=.}} Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Stammform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= \tau|SZ=}} und berechne{{n Sie}} damit {{mathl|term= {{op:Integralform|\tau|D}} |SZ=}} durch ein Integral über dem Dreiecksrand. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgbrcpoi8w9vugezr3bxekux0kmee82 0 43060 786450 321691 2022-08-22T11:27:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man mache|Machen Sie}} sich klar, dass der {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Green|Faktseitenname= Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im {{math|term= \R^2|SZ=}} nur von der Länge des Randes abhängt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m29cfmhvhlt5ugfoyshr5yi5p0v02xn 0 43080 778889 763108 2022-08-21T15:01:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der achte Kreisteilungskörper über {{math|term= \Q|SZ=,}} also die {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Achter Kreisteilungskörper/Mehrfache Graduierung/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mehrfach| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q | \subseteq | L || {{op:Kreisteilungskörper|8|}} || \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} , \sqrt{2}] || \Q[X]/(X^4+1) || || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Kummererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Exponenten {{math|term= 2|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} |SZ=.}} Die gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kummererweiterung/Graduierte Körpererweiterung/Äquivalenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zugehörige {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} |SZ=-}}Graduierung ist {{ math/disp|term= \Q \oplus \Q {{Imaginäre Einheit|}} \oplus \Q \sqrt{2} \oplus \Q {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{2} |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kummererweiterung/Homogene Einheiten und m-Wurzeln/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette | H^\times || {{mengebed|a \in L^\times|a^2 \in \Q}} || || || |SZ=, }} d.h. die Menge der rationalen Quadratwurzeln von {{math|term= L|SZ=}} sind einfach beschreibbar. Es gibt aber auch noch weitere Wurzeln aus rationalen Zahlen in {{math|term= L|SZ=,}} beispielsweise die achte Einheitswurzel {{math|term= \zeta_8|SZ=,}} die eine vierte Wurzel von {{math|term= -1|SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kummererweiterungen |Kategorie2=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie3= |Objektkategorie=Der achte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g0ackr76mu3pv5skxihbq6268ershoo 0 43107 778425 762380 2022-08-21T12:00:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abb/disp |name=\tilde{\varphi} |T|S || |SZ=, }} der die Eigenschaften erfüllt. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass {{math|term= \tilde{\varphi}|SZ=}} auch die Multiplikation respektiert. Seien dazu {{mathl|term= t,t' \in T|SZ=,}} und diese seien repräsentiert durch {{ mathkor|term1= r |bzw.|term2= r' |SZ= }} aus {{math|term= R|SZ=.}} Dann wird {{math|term= tt'|SZ=}} durch {{math|term= rr'|SZ=}} repräsentiert und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\tilde{\varphi} (tt') ||\varphi(rr') ||\varphi(r)\varphi(r') ||\tilde{\varphi} (t) \tilde{\varphi} (t') |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g4co52zmlugwctceik8sv004wjetbia 0 43114 778832 762737 2022-08-21T13:01:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{mathl|term= \varphi \in {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körpererweiterung/Automorphismus/Algebraische Bedingung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{mathl|term= \varphi(\alpha_i)|SZ=}} wieder eine Nullstelle von {{math|term= F|SZ=,}} daher muss {{ Ma:Vergleichskette | \varphi {{makl| \alpha_i |}} ||\alpha_j || || || |SZ= }} für ein gewisses {{math|term= j|SZ=}} sein. Dies definiert ein Abbildung der Nullstellenmenge in sich selbst. Da {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, ist auch diese induzierte Abbildung injektiv, also nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und somit eine {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Gesamtzuordnung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Da die Nullstellen ein Erzeugendensystem des Zerfällungskörpers bilden, liegt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körpererweiterung/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein injektiver Homomorphismus vor. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fss49vm3r6jgnjg9u1p4cl9ke1bpw7x 0 43170 778439 762392 2022-08-21T12:02:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Nehmen wir an, dass {{ Ma:Vergleichskette |{{op:Anzahl|H|}} |<|{{op:Grad Körpererweiterung|K|L}} || || || |SZ= }} ist. |Argumentation= Wir können annehmen, dass {{math|term= L|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} ist, da wir {{math|term= L|SZ=}} durch einen {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= K|SZ=}} endlichen| |ISZ=|ESZ= }} Zwischenkörper der Form {{mathl|term= K[ \varphi(x_i), \varphi \in H ,\, i = 1 {{kommadots|}} n]|SZ=}} mit beliebig hohem Grad ersetzen können. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körper/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Normal und separabel/Gradbedingung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Körpererweiterung {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz vom primitiven Element|Faktseitenname= Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kann man {{ Ma:Vergleichskette |L ||K[x] || || || |SZ= }} schreiben. Dabei ist der Grad des Minimalpolynoms von {{math|term= x|SZ=}} gleich dem Grad der Körpererweiterung, |Widerspruch= so dass sich ein Widerspruch zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körper/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Normal und separabel/Gradbedingung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt. |Zusammenfassung= Also ist {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine endliche Körpererweiterung mit {{ Ma:Vergleichskette |{{op:Anzahl|H|}} |\geq| {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} muss hierbei Gleichheit gelten. }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq|{{op:Galoisgruppe|K|L}} || || || |SZ= }} ist trivial. Da {{math|term= H|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} schon die maximal mögliche Anzahl von {{math|term= K|SZ=-}}Automorphismen enthält, gilt hier Gleichheit. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m7v8n8x3snek3dgf6kcr4inza4ict35 0 43188 779212 763293 2022-08-21T15:53:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Graduierte Körpererweiterung/Q(sqrt(2), sqrt(3))/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an. Aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Galois/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liegt eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Die graduierende Gruppe ist {{ Ma:Vergleichskette |D || {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} || || || |SZ=. }} Neben der {{ Definitionslink |Prämath= |trivialen Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= D|SZ=}} selbst gibt es noch die drei Untergruppen {{mathl|term= \{ (0,0), (1,0) \}, \, \{ (0,0), (0,1) \}, \, \{ (0,0), (1,1) \} |SZ=,}} die den Zwischen{{latextrenn|}}körpern {{ math/disp|term= \Q,\, \Q (\sqrt{2}),\, \Q(\sqrt{3}),\, \Q(\sqrt{6}),\, L |SZ= }} entsprechen. Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierte Körpererweiterung/Einheitswurzeln/Galoiskorrespondenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es keine weiteren Zwischenkörper. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |G || {{op:Charakterdual|D|}} | \cong| {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Galois/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zur Untergruppe {{ Ma:Vergleichskette |E ||\{ (0,0), (1,0) \} |\subseteq| D || || |SZ= }} gehört dabei {{math|term= {{op:Charakterkern|E|}}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das der Galoisgruppe {{mathlk|term= {{op:Galoisgruppe|\Q|L_E}} |SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ=, }} das aus dem konstanten Charakter und der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\chi |D|\Q^\times || |SZ= }} besteht, die {{math|term= E|SZ=}} auf {{math|term= 1|SZ=}} und {{mathl|term= D \setminus E|SZ=}} auf {{math|term= -1|SZ=}} abbildet. Dazu gehört wiederum der durch {{ math/disp|term= 1 \longmapsto 1,\, \sqrt{2} \longmapsto \sqrt{2},\, \sqrt{3} \longmapsto - \sqrt{3},\, \sqrt{6} \longmapsto - \sqrt{6} |SZ= }} festgelegte {{math|term= \Q|SZ=-}}Automorphismus {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie3=Theorie der Galoiskorrespondenz |Objektkategorie=Die Körpererweiterung Q(\sqrt(2), \sqrt(3)) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fmag9kacpha7nwvv4m98age2465n1te 0 43199 785251 772949 2022-08-22T08:09:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= G |SZ=}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=multiplikativ geschriebene| |ISZ=|ESZ= }} Gruppe und {{mathl|term= g \in G|SZ=}} ein Element. Dann definieren wir zu jeder ganzen Zahl {{mathl|term= k \in \Z|SZ=}} die {{math|term= k|SZ=-}}te {{Stichwort|Potenz|SZ=}} von {{math|term= g|SZ=,}} geschrieben {{math|term= g^k|SZ=,}} durch {{ math/disp|term= g^k= \begin{cases} e_G, \text{ falls } k =0 \, , \\ g g \cdots g \, \, \, \, \, \, k\text{-mal}, \text{ falls } k \text{ positiv ist} \, , \\ g^{-1} g^{-1} \cdots g^{-1} \, \, \, \, \, \, (-k)\text{-mal}, \text{ falls } k \text{ negativ ist} \, . \end{cases} |SZ= }} Bei additiver Schreibweise schreibt man {{math|term= kg|SZ=}} und spricht vom {{math|term= k|SZ=-}}ten {{Stichwort|Vielfachen|msw=Vielfaches|SZ=}} von {{math|term= g|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Gruppentheorie/Potenzgesetze/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Die vorstehende Aussage werden wir später so formulieren, dass ein Gruppenhomomorphismus von {{math|term= \Z|SZ=}} nach {{math|term= G|SZ=}} vorliegt, siehe hierzu auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt |Refname= {{{ref|Fakt}}} |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e1dyzp8rsj41ssyocif9i7ik5r7y69c 0 43227 779210 763291 2022-08-21T15:53:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath={{op:Zmod|6|}}|graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Q |\subseteq| L || \Q[ \sqrt[3]{2}, \sqrt{-3} ] || \Q [\sqrt[6]{-108}] || \Q[X]/(X^6+108) |SZ=. }} Die Graduierung ist durch {{ Ma:Vergleichskette |L_i ||\Q \cdot x^{i} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |x || \sqrt[6]{-108} || \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{-3} || || |SZ= }} gegeben. Es ist {{ Ma:Vergleichskette | \sqrt{-3} || - {{op:Bruch|1|6}} x^3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \sqrt[3]{2} || {{op:Bruch|1|18}} x^4 || || || |SZ=. }} Da es in {{math|term= \Q|SZ=}} keine primitive dritte Einheitswurzel gibt, ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Charaktere| {{op:Zmod|6|}} | \Q^\times }} |\cong| {{op:Zmod|2|}} || || || |SZ= }} und daher gibt es nur zwei {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Automorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=somit ist dies auch keine {{ Definitionslink |Prämath= |Kummererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{zusatz1|}}} }}| |ISZ=|ESZ=. }} Dennoch handelt es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zunächst gehört {{ Ma:Vergleichskette/disp |\zeta_3 || {{op:Bruch|-1 + \sqrt{-3} |2}} || {{op:Bruch|-6-x^3|12}} || || |SZ= }} zu {{math|term= L|SZ=}} und es ist {{ Ma:Vergleichskette | \Q(\zeta_3) || \Q(\sqrt{-3} ) || L_0 \oplus L_3 || || |SZ=. }} Ein weiterer {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Graduierung verträglicher| |ISZ=|ESZ= }} Zwischenkörper ist {{ Ma:Vergleichskette | \Q {{makl| \sqrt[3]{2} |}} ||L_0 \oplus L_2 \oplus L_4 || || || |SZ=. }} Die durch {{mathl|term= x^{i} \mapsto (-1)^{i} x^{i}|SZ=}} gegebene Abbildung ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogener Automorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi^2 ||{{op:Identität||}} || || || |SZ=. }} Aber auch die Zuordnung {{mathl|term= x^{i} \mapsto (\zeta_3)^{i} x^{i}|SZ=}} definiert einen {{ Zusatz/Klammer |text=nicht-homogenen| |ISZ=|ESZ= }} Automorphismus {{math|term= \psi|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | \psi^3 || {{op:Identität|}} || || || || |SZ=. }} Es gibt also insgesamt {{math|term= 6|SZ=}} Automorphismen und daher liegt eine Galoiserweiterung vor. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (\varphi \circ \psi)(x) || \varphi (\psi(x)) || \varphi {{makl| \zeta_3 x |}} || \varphi {{makl| {{op:Bruch|-6x-x^4|12}} |}} || {{op:Bruch|6x-x^4|12}} |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | (\psi \circ \varphi)(x) || \psi (\varphi (x)) || \psi (- x ) || - \psi(x) || - {{op:Bruch|-6x-x^4|12}} || {{op:Bruch|6x+x^4|12}} |SZ=. }} Daher ist die Galoisgruppe nicht kommutativ, und es muss {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Galoisgruppe|\Q|L}} || S_3 || || || |SZ= }} sein. Der Körper {{mathl|term= \psi {{makl| \Q {{makl| \sqrt[3]{2} |}} |}} |SZ=}} ist ein nichthomogener Zwischenkörper. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Zerfällungskörper zu X^6+108 über Q |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ff3bfqcbgf5m4vu6s9y8nw5p8pasw9s 0 43232 778536 762466 2022-08-21T12:17:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Induktionsbeweis |Strategie= Wir führen Induktion über {{math|term= r|SZ=,}} |Anfang= wobei die Fälle {{ Ma:Vergleichskette |r ||0,1 || || || |SZ= }} klar sind. |Schluss= Sei also eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | K || L_0 | \subset | L_1 | {{subsetdots|}} | L_r | \subset | L_{r+1} || L || |SZ= }} gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Körper {{ mathbed|term= M ||bedterm1= L_r \subseteq M \subseteq {{CC}} ||bedterm2= |SZ=, }} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|M || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Als Galoiserweiterung über {{math|term= K|SZ=}} ist {{math|term= M|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Zerfällungskörper eines {{ Zusatz/Klammer |text=separablen| |ISZ=|ESZ= }} Polynoms {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=.}} Wir können {{ Ma:Vergleichskette |L_{r+1} || L_r(x) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |x^2 || a |\in| L_r || || |SZ= }} schreiben. Wir betrachten das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |H || \prod_{\varphi \in {{op:Galoisgruppe|K|M}} } {{makl| X^2 - \varphi(a) |}} || || || |SZ=. }} Die Koeffizienten dieses Polynoms sind invariant unter der {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|K|M}} |SZ=}} und gehören daher wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu {{math|term= K|SZ=.}} Sei {{math|term= M'|SZ=}} der Zerfäl{{latextrenn}}lungskörper von {{math|term= H|SZ=}} über {{math|term= M|SZ=}} in {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} Dieser ist insgesamt der Zerfällungskörper vom Produkt {{mathl|term= FH|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=,}} so dass {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|M' || || || |SZ= }} insbesondere eine Galoiserweiterung ist. Nach Konstruktion ist {{math|term= x|SZ=}} eine Nullstelle von {{math|term= H|SZ=,}} woraus sich {{ Ma:Vergleichskette |L || L_r(x) | \subseteq | M' || || || |SZ= }} ergibt. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | K || M_0 | \subset | M_1 |{{subsetdots|}}| M_s || M || |SZ=. }} Diese erweitern wir sukzessive zu einer Kette {{ Ma:Vergleichskette/disp | M || M_s | \subset| M_{s+1} | {{subsetdots|}}| M_t || M' || || || || |SZ= }} von quadratischen Körpererweiterungen, wobei {{ Ma:Vergleichskette | M_{s+i+1} || M_{s+i} {{makl| \sqrt{ \varphi_i (a) } |}} || || || || |SZ= }} sei und {{math|term= \varphi_i|SZ=}} die Automorphismen von {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|K|M}} |SZ=}} durchlaufe. |Zusammenfassung= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5pb5j105bgamkntgg7d4c140gzuaz1y 0 43272 779421 763512 2022-08-21T16:25:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Polynom {{mathl|term= X^2+1|SZ=,}} dessen Koeffizienten zu {{math|term= \Q|SZ=}} gehören und das in {{math|term= \Q|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und auch in {{math|term= \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} keine Nullstelle besitzt. In den komplexen Zahlen besitzt es die beiden Nullstellen {{ mathkor|term1= {{Imaginäre Einheit|}} |und|term2= - {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=, }} so dass in {{mathl|term= {{CC}}[X]|SZ=}} die Faktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^2+1 ||(X- {{Imaginäre Einheit|}} ) (X+ {{Imaginäre Einheit|}} ) || || || |SZ= }} vorliegt. Um dies hinschreiben zu können, braucht man aber nicht die gesamten komplexen Zahlen, sondern lediglich das Element {{math|term= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} Wir betrachten die Menge {{ math/disp|term= \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] = \Q 1 + \Q {{Imaginäre Einheit|}} = {{mengebed|a+b {{Imaginäre Einheit|}} |a,b \in \Q}} |SZ=, }} also einen zweidimensionalen {{math|term= \Q|SZ=-}}Vektorraum mit den Basiselementen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=, }} wobei zusätzlich noch eine Multiplikation durch die Bedingung {{mathl|term= {{Imaginäre Einheit|}}^2=-1|SZ=}} festgelegt wird. Dies ist die gleiche Konstruktion, mit der man aus {{math|term= \R|SZ=}} die komplexen Zahlen gewinnt, nur dass man hier von den rationalen Zahlen ausgeht. Es lässt sich leicht zeigen, dass das konstruierte Objekt {{mathl|term= \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ]|SZ=}} ein Körper ist. Für ein von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenes Element {{mathl|term= a+b {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} ist {{ math/disp|term= {{op:Bruch|a|a^2+b^2}} - {{op:Bruch|b|a^2+b^2}} {{Imaginäre Einheit|}} |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |inverse Element| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und dies gehört offenbar wieder zu {{mathl|term= \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ]|SZ=.}} Die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette | X^2+1 ||(X- {{Imaginäre Einheit|}} )(X+ {{Imaginäre Einheit|}} ) || || || |SZ= }} gilt ebenfalls in {{mathl|term= \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ][X]|SZ=,}} und durch die Zuordnung {{mathl|term= a+b {{Imaginäre Einheit|}} \mapsto a-b {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} gibt es auch eine Konjugation, die völlig analoge Eigenschaften hat wie die {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der vierte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hc9g0vl9hq3wufn2yylfxfhzdeuggdg 0 43274 779422 763514 2022-08-21T16:25:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Polynom {{mathl|term= X^2-3|SZ=,}} dessen Koeffizienten zu {{math|term= \Q|SZ=}} gehören. In den reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} besitzt dieses Polynom die Nullstelle{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Die Existenz der Nullstelle beruht auf dem {{ Faktlink |Präwort=|Zwischenwertsatz|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} wobei sich die Existenz von {{math|term= \sqrt{3}|SZ=}} auch direkt aus der {{ Definitionslink |Prämath= |Vollständigkeit| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R|SZ=}} ergibt | |ISZ=.|ESZ= }} {{math|term= \sqrt{3}|SZ=,}} die irrational ist. Über {{math|term= \R|SZ=}} hat man die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette | X^2-3 ||(X - \sqrt{3})(X+ \sqrt{3}) || || || |SZ=. }} Um dies auszudrücken, braucht man aber nicht die gesamten reellen Zahlen, sondern lediglich {{math|term= \sqrt{3}|SZ=,}} das man einfach als ein Symbol auffassen kann mit der Eigenschaft, dass sein Quadrat gleich {{math|term= 3|SZ=}} sein soll. Eine {{Anführung|Verortung}} innerhalb der reellen Zahlen ist dazu nicht nötig. Präziser formuliert betrachtet man {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || \Q 1 + \Q u || {{mengebed|a+b u|a,b \in \Q}} || || |SZ=, }} also einen zweidimensionalen {{math|term= \Q|SZ=-}}Vektorraum mit den Basiselementen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= u |SZ=, }} wobei eine Multiplikation durch die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette |u^2 ||3 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und distributive Fortsetzung| |ISZ=|ESZ= }} festgelegt wird. Das Element {{math|term= u|SZ=}} ist hier lediglich ein Symbol, für das man häufig wegen der intendierten Eigenschaft auch {{math|term= \sqrt{3}|SZ=}} schreibt {{ Zusatz/Klammer |text=man schreibt auch {{mathlk|term=L=\Q[\sqrt{3}]|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} In {{math|term= L|SZ=}} gilt die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette | X^2-3 ||(X-u)(X+u) || || || |SZ=, }} und wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | (a+bu) {{makl| {{op:Bruch|a| a^2 -3b^2 }} - {{op:Bruch|b|a^2 -3b^2}} u |}} || {{op:Bruch|a^2 -3b^2|a^2 -3b^2|}} || 1 || || |SZ= }} handelt es sich um einen Körper. Dazu muss man sich klar machen, dass bei {{ Ma:Vergleichskette | a+bu |\neq|0 || || || |SZ= }} mit rationalen Zahlen {{mathl|term= a,b \in \Q|SZ=,}} die nicht beide {{math|term= 0|SZ=}} sind, auch {{ Ma:Vergleichskette |a^2 -3b^2 |\neq|0 || || || |SZ= }} ist, was äquivalent zur Irrationalität von {{math|term= \sqrt{3}|SZ=}} ist. Es sind also wesentliche Eigenschaften des Polynoms {{mathl|term= X^2-3|SZ=,}} die über {{math|term= \R|SZ=}} sichtbar werden, bereits über {{math|term= L|SZ=}} sichtbar. Es gibt aber auch Unterschiede, beispielsweise sind bei dieser algebraischen Konstruktion von {{math|term= L|SZ=}} die beiden Elemente {{ mathkor|term1= u |und|term2= -u |SZ= }} vollkommen gleichberechtigt, während innerhalb der reellen Zahlen die eine Quadratwurzel positiv und die andere negativ ist. Diese Gleichberechtigung zeigt sich auch darin, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= |L|L |a+bu|a-bu |SZ=, }} eine {{Anführung|Konjugation|}} definiert wird, die es innerhalb der reellen Zahlen nicht gibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper Q(sqrt(3)) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nar7d43xntmsc2uxtevg3qrsky3pzku 0 43310 778831 762736 2022-08-21T13:01:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zunächst gibt es wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[\alpha] |\cong|K[X]/(F) |\cong|K[\beta] || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi|SZ=}} von {{mathl|term= K[\alpha]|SZ=}} nach {{mathl|term= K[\beta]|SZ=.}} Der Körper {{math|term= L|SZ=}} ist über diesen beiden Unterkörpern der {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=.}} Daher gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zerfällungskörper/Ist eindeutig/Fakt |Nr= |Bem=einer kleinen Varianten von |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen {{math|term= K|SZ=-}}Algebraautomorphismus von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= L|SZ=,}} der {{math|term= \varphi|SZ=}} fortsetzt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3014hkhq031wnt7w33ryzpcfekv9i7h 0 43521 779559 751549 2022-08-21T16:48:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körperkette {{ Ma:Vergleichskette | \Q |\subseteq| {{{M|M}}} |\subseteq| {{{L|L}}} || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette | {{{M|M}}} ||\Q(\sqrt{3}) || || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{{L|L}}} || {{{M|M}}}(\sqrt{1+ \sqrt{3} }) || || || || |SZ= }} ist. Das sind zwei {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die beide nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normale Körpererweiterung/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette |u || \sqrt{1+ \sqrt{3} } || || || |SZ=, }} und dieses Element erzeugt {{math|term= {{{L|L}}}|SZ=}} über {{math|term= \Q|SZ=.}} Wir können {{math|term= {{{L|L}}}|SZ=}} als einen Unterkörper von {{math|term= \R|SZ=}} auffassen, indem wir für {{math|term= \sqrt{3}|SZ=}} und dann für {{mathl|term= \sqrt{1+ \sqrt{3} }|SZ=}} die positiven reellen Wurzeln wählen. Wir haben {{ Ma:Vergleichskette/disp |u^4-2u^2-2 ||(u^2-1)^2-3 ||0 || || |SZ=, }} d.h. das Polynom {{mathl|term= X^4-2X^2-2|SZ=}} wird von {{math|term= u|SZ=}} annulliert. Dieses Polynom besitzt über {{math|term= {{{L|L}}}|SZ=}} die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/align |X^4-2X^2-2 || {{makl| X^2-1 |}}^2-3 || {{makl| X^2-1- \sqrt{3} |}} {{makl| X^2-1 + \sqrt{3} |}} || {{makl| X^2 - u^2 |}} {{makl| X^2-1+ \sqrt{3} |}} || (X-u)(X+u) {{makl| X^2-1+ \sqrt{3} |}} |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette | {{{L|L}}} |\subseteq | \R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \sqrt{3} -1 |>|0 || || || |SZ= }} ist das hintere quadratische Polynom über {{math|term= {{{L|L}}}|SZ=}} unzerlegbar. Dieses Polynom zerfällt also über {{math|term= {{{L|L}}}|SZ=}} nicht in Linearfaktoren und somit ist {{ Ma:Vergleichskette | \Q |\subseteq | {{{L|L}}} || || || |SZ= }} nicht normal. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie3=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8g11pikgzncm3uywca518aj9i7owzfn 0 43528 785775 758956 2022-08-22T09:35:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} unter Verwendung der {{ Faktlink |Präwort=|eindeutigen Primfaktorzerlegung|Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} von natürlichen Zahlen, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sqrt{p}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irrational| |Kontext=Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen irrationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Primzahlen |Kategorie3=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4gpsjfq8b5bw2zr53ethwx4bb3ahu57 0 43530 785974 759112 2022-08-22T10:08:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 834bblw5fsem0hjakbo024sie2y77r1 0 43531 783625 757275 2022-08-22T04:00:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \R |\subseteq| \R(X) || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \R(X) |SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Körper der rationalen Funktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet, nicht {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=3 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} su7f4e6j3skb06bprx7jqkjouzsv3pq 0 43533 783702 757352 2022-08-22T04:12:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Q \subseteq \R|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6vpa0rihh1l34a3rt4t6tn6bji0mgp8 0 43537 783562 558934 2022-08-22T03:49:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 =0|SZ=}} eine kubische Gleichung mit {{mathl|term= a_i \in \Q|SZ=.}} Eliminiere{{n Sie}} den linearen Term. Ist dies stets über {{math|term= \Q|SZ=}} möglich? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6t2z7k0naa2dvpvmn6505u29k629i8d 0 43541 781598 579017 2022-08-21T22:21:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} folgende Aussagen. {{ Aufzählung4 |Die dritten Einheitswurzeln in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} sind {{ mathlist|term1= 1 ||term2= \epsilon= - {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|\sqrt{3} |2}} {{Imaginäre Einheit}} |und|term3= \eta = - {{op:Bruch|1|2}} - {{op:Bruch|\sqrt{3} |2}} {{Imaginäre Einheit}} |SZ=. }} |Es ist {{mathl|term= \epsilon^2 = \eta|SZ=}} und {{mathl|term= \eta^2= \epsilon|SZ=.}} |Es ist {{mathl|term= 1+\epsilon + \epsilon^2 =0|SZ=.}} |Es ist {{mathl|term= \epsilon + \epsilon^2 =-1|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qrt868ts82y5njrohram3r8koyfs2ov 0 43543 778727 762656 2022-08-21T12:45:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die erste Aussage ergibt sich durch Ausmultiplizieren der rechten Seite. Zum Beweis des Zusatzes sei eine {{math|term= n|SZ=-}}te Einheitswurzel {{ Ma:Vergleichskette |\zeta |\neq|1 || || || |SZ= }} gegeben. Nach Definition ist {{ Ma:Vergleichskette |\zeta^n-1 ||0 || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette |\zeta |\neq|1 || || || |SZ= }} muss also das rechte Polynom zu {{math|term= 0|SZ=}} werden, wenn man darin {{math|term= \zeta|SZ=}} einsetzt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r3reelvsjsx2r6tqcb59iaqulfk7atc 0 43545 783693 757344 2022-08-22T04:11:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körpererweiterung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= L|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K|Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k1u7g3o3brfqzbzd8g20asijar4as48 0 43546 785663 758879 2022-08-22T09:16:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/1/Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=}}{{{zusatz1|}}} und es sei {{mathl|term= K \subset L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es dann ein {{ mathbed|term= x \in L ||bedterm1= x \notin K ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{mathl|term= x^2 \in K|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jx9dm91kj7chbkdgegmo295xut0m6qz 0 43547 781765 755670 2022-08-21T22:49:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge der {{math|term= n|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|K|}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3aj50vts1fpo8o42whovcplqqvqz6j7 0 43549 786154 759313 2022-08-22T10:38:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} {{mathl|term= a \in K|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |Wenn {{mathl|term= b_1,b_2 \in K|SZ=}} zwei Lösungen der Gleichung {{mathl|term= X^n=a|SZ=}} sind und {{mathl|term= b_2 \neq 0|SZ=,}} so ist ihr Quotient {{mathl|term= b_1/b_2|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Wenn {{mathl|term= b \in K|SZ=}} eine Lösung der Gleichung {{mathl|term= X^n=a|SZ=}} und {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te Einheitswurzel ist, so ist auch {{math|term= \zeta b|SZ=}} eine Lösung der Gleichung {{mathl|term= X^n=a|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6yx4xssi906l47q1bbjj8f7v0r9ucma 0 43550 781868 755772 2022-08-21T23:06:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n \in L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K|Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Multiplikation auf {{math|term= L|SZ=}} durch die Produkte {{ mathbed/disp|term= x_i x_j ||bedterm1= 1 \leq i\leq j \leq n ||bedterm2= |SZ=, }} eindeutig festgelegt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=2 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rpjhrm8a2svz3c7ui6lpk7xb9fmfsk6 0 43551 783695 757346 2022-08-22T04:11:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= f \in L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\mu_f |L|L |x|fx |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath=K|linear| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Linear |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0jocb3p8ua0e64bnrjrn1mbi7b1o2hj 0 43556 785113 758478 2022-08-22T07:49:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} ein von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenes Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf die Reihenfolge der Faktoren| |ISZ=|ESZ= }} eindeutige Produktdarstellung {{ math/disp|term= F = a F_1 \cdots F_r |SZ= }} mit {{mathl|term= a \in {{op:Einheiten|K||}} |SZ=}} und {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normierten| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Polynomen {{ mathbed|term= F_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} r ||bedterm2= |SZ=, }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kgvjibnj4759q31mgwsy0v4k58ws1j5 0 43557 780630 754760 2022-08-21T19:40:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} in {{mathl|term= K[X]|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 93a1bds93ptvvnt349dnwwafkhq5v6l 0 43566 780580 753024 2022-08-21T19:32:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=mehrere Variablen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} in zwei Variablen. Sei {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} ein Polynom in der einen Variablen {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzung| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= X \mapsto X|SZ=}} und {{mathl|term= Y \mapsto Y+ P(X)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K|Algebraautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} in sich definiert wird, der im Allgemeinen nicht linear ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismen des affinen Raumes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i5k7t0u1i92s1o6yd8k6trjc4hyslsm 0 43568 785108 758476 2022-08-22T07:48:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es außer {{math|term= K|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K|Unteralgebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= A \subseteq K[X]|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oyuziyvwtdz14aq5pga76svchxqdxmq 0 43569 783152 756869 2022-08-22T02:41:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|R=K|SZ=}} und {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=-}}Algebra. Beweise{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung4 |Die Identität ist ein {{ Definitionslink |Prämath=K|Algebraautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Verknüpfung {{mathl|term= \varphi \circ \psi|SZ=}} von zwei {{math|term= K|SZ=-}}Algebraautomorphismen {{ mathkor|term1= \varphi |und|term2= \psi |SZ= }} ist wieder ein Automorphismus. |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi^{-1}|SZ=}} zu einem {{math|term= K|SZ=-}}Algebraautomorphismus {{math|term= \varphi|SZ=}} ist wieder ein Automorphismus. |Die Menge der {{math|term= K|SZ=-}}Algebraautomorphismen bilden mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Verknüpfung eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Algebra-Automorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |p1= |p2= |p3= |p4= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bnlh3ij3z7ungmi4jgzgljzu1pkq26p 0 43571 780624 754754 2022-08-21T19:39:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und es sei {{ mathbed|term= x_i \in L ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper-Erzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als Körper| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= \varphi, \psi \in {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=}} mit {{mathl|term= \varphi(x_i)= \psi(x_i)|SZ=}} für alle {{mathl|term= i \in I|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \varphi = \psi |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oo754r01exyh6mtnnffxv0wz4kxq578 0 43576 782675 756452 2022-08-22T01:21:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppen| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\varphi |G|H || |SZ= }} sei ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \varphi (e_G)= e_H|SZ=}} und {{mathl|term= (\varphi(g))^{-1} = \varphi (g^{-1})|SZ=}} für jedes {{mathl|term= g \in G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 55yg2ej8yqep6f8png2pbtc4r46q3th 0 43577 782682 756459 2022-08-22T01:22:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass sich Gruppenelemente {{mathl|term= g \in G|SZ=}} und {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismen| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi|SZ=}} von {{math|term= \Z|SZ=}} nach {{math|term= G|SZ=}} über die Korrespondenz {{ math/disp|term= g \longmapsto ( n \mapsto g^n ) \text{ und } \varphi \longmapsto \varphi(1) |SZ= }} entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ax99pexon5zscwtntfew8dmc3drsbtm 0 43581 782707 756485 2022-08-22T01:26:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jedes Element {{mathl|term= g \in G|SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Ordnung| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung/Definition |SZ= }} besitzt, und dass die Potenzen {{ math/disp|term= g^0=e_G,\, g^1=g,\, g^2 {{kommadots|}} g^{ {{op:Gruppenelementordnung|g}}-1} |SZ= }} alle verschieden sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 89vr3c8c0i8qommqrwk29ptxlynccf1 0 43582 782674 756451 2022-08-22T01:21:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi |G|H || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Bild| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= H|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gaghq0ew6tx7ne1qnwqnxdgjvfbptmm 0 43605 782653 756431 2022-08-22T01:17:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Gruppe/Situation|G={{{G|G}}}|SZ=,}} {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Charakterdual|{{{G|G}}}|}} = {{op:Charaktere|{{{G|G}}}|K}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Charaktergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= {{{G|G}}}|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |{{mathl|term= {{op:Charakterdual|{{{G|G}}}|}} |SZ=}} ist eine kommutative Gruppe. |Bei einer {{ Definitionslink |Prämath= |direkten Gruppenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{{G|G}}}={{{G|G}}}_1 \times {{{G|G}}}_2|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Charakterdual|({{{G|G}}}_1 \times {{{G|G}}}_2)|}} = {{op:Charakterdual|{{{G|G}}}_1 |}} \times {{op:Charakterdual|{{{G|G}}}_2|}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} akan6jrg70355kxfwz7as3xpc4sudfe 0 43611 782610 756375 2022-08-22T01:10:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Graduierte kommutative Algebra/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Charakter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \chi \in {{op:Charakterdual|D|}} |SZ=}} eingeführte Automorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_\chi |A|A || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |homogen| |Kontext=Automorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0yd7nqrk7nz730oq59fg2ds7hc9e4k9 0 43613 782616 756381 2022-08-22T01:11:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Graduierte kommutative Algebra/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |A|A || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogener Automorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Charakter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \chi \in {{op:Charakterdual|D|}} |SZ=}} mit {{mathl|term= \varphi=\varphi_\chi|SZ=}} gibt, wobei {{math|term= \varphi_\chi|SZ=}} der gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu {{math|term= \chi|SZ=}} gehörige Automorphismus ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b98flt9e53mej0dxubr2cmxsha9nr54 0 43614 785773 758955 2022-08-22T09:35:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= \sqrt{3}|SZ=}} nicht als {{ Definitionslink |Prämath=\Q|Linearkombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= \sqrt{2} |SZ= }} schreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der irrationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0h9c3pxlls478kabafwdlrd6vrsooui 0 43615 782632 756404 2022-08-22T01:14:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Graduierte kommutative Algebra/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Untermonoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M\subseteq D|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=K|Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \oplus_{d \in M} A_d |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Unterring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 278jo2zehzgz2zuoynsmalqblhr0a80 0 43616 782623 756395 2022-08-22T01:12:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche graduierte Körpererweiterung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass zu einem Untermonoid {{mathl|term= M \subseteq D|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=K|Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \oplus_{d \in M} A_d |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Unterkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s01fg29dyianjd3kgl83h239yssm317 0 43617 782624 756396 2022-08-22T01:13:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Graduierte kommutative Algebra/Situation|SZ=,}} die ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ math/disp|term= M= {{mengebed|d\in D|A_d \neq 0}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untermonoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= D|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efshi85qqqk4t7ipvha45hz8gfqaerr 0 43633 784652 772829 2022-08-22T06:40:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Endliche Körper mit der Anzahl {{math|term= p^e|SZ=}} konstruiert man, indem man ein in {{mathl|term= ( {{op:Zmod|p|}} )[X]|SZ=}} irreduzibles Polynom vom Grad {{math|term= n|SZ=}} findet. Ob ein gegebenes Polynom irreduzibel ist, lässt sich dabei grundsätzlich in endlich vielen Schritten entscheiden, da es ja zu jedem Grad überhaupt nur endlich viele Polynome gibt, die als Teiler in Frage kommen können. Zur Konstruktion von einigen kleinen endlichen Körpern siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Endliche Körper/Konstruiere kleine Körper/Bis 49/Aufgabe |Refname= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Endliche Körper/Konstruiere kleine Körper/64 bis 128/Aufgabe |Refname= |SZ=. }} Generell kann man einen Körper mit {{ Ma:Vergleichskette |q ||p^e || || || |SZ= }} Elementen als Zerfällungskörper des Polynoms {{mathl|term= X^q-X|SZ=}} über {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} erhalten. {{inputfaktbeweis|Endliche Körper/Nullstellen von X^q-X/bilden Körper/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz11|}}}}} Im Beweis der nächsten Aussage werden wir die Technik des {{Stichwort|formalen Ableitens|msw=Formale Ableitung|SZ=}} verwenden. Ableiten ist eigentlich eine analytische Technik, und bekanntlich ist die Ableitung eines Monoms {{math|term= X^m|SZ=}} gleich {{mathl|term= mX^{m-1}|SZ=,}} und die Ableitung eines Polynoms ergibt sich durch lineare Fortsetzung dieser Regel. Da der Exponent der Variablen zum Vorfaktor wird, und da man jede ganze Zahl in jedem Körper eindeutig interpretieren kann, ergeben solche Ableitungen auch rein algebraisch für jeden Grundkörper Sinn. Wir definieren daher. {{ inputdefinition |Polynomring/Körper/Formales Ableiten/Definition|| }} Man beachte, dass, insbesondere bei positiver Charakteristik, das algebraische Ableiten einige überraschende Eigenschaften haben kann. In positiver Charakteristik {{math|term= p|SZ=}} ist beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette/disp |(X^p)' ||p X^{p-1} ||0 |SZ=. }} Für einige grundlegende Eigenschaften des Ableitens siehe die Aufgaben. Wichtig ist für uns, dass man mit der formalen Ableitung testen kann, ob die Nullstellen eines Polynoms einfach oder mehrfach sind {{ Zusatz/Klammer |text=eine Nullstelle {{math|term= a|SZ=}} heißt {{Stichwort|mehrfach|msw=Mehrfache Nullstelle|SZ=,}} wenn das zugehörige lineare Polynom {{mathl|term= X-a|SZ=}} das Polynom mehrfach teilt, d.h. wenn es in der Primfaktorzerlegung mit einem Exponenten {{math|term= \geq 2|SZ=}} vorkommt| |SZ=. }} {{inputfaktbeweis|Endliche Körper/Körper/X^q-X zerfällt/Körper mit q Elementen/Fakt|Lemma||ref1=|ref2=|ref3=}} {{inputfaktbeweis|Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt|Satz||bv=1}} {{inputnotation|Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Notation||}} Für {{ Ma:Vergleichskette |q ||p || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | {\mathbb F}_p || {{op:Zmod|p}} || || || |SZ=. }} Dagegen sind für {{ mathbed|term= q=p^{e} ||bedterm1= e \geq 2 ||bedterm2= |SZ=, }} die Ringe {{ mathkor|term1= {\mathbb F}_q |und|term2= {{op:Zmod|q}} |SZ= }} verschieden, obwohl beide Ringe {{math|term= q|SZ=}} Elemente besitzen. Dies liegt einfach daran, dass {{math|term= {\mathbb F}_q|SZ=}} ein Körper ist, {{mathl|term= {{op:Zmod|q}} |SZ=}} aber nicht. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fexjd8fxhf525c34mwy88ncnpg2urvc 0 43634 781801 755707 2022-08-21T22:55:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_r \in K[X] |SZ=}} Polynome. Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} derart gibt, dass diese Polynome in {{mathl|term= L[X]|SZ=}} in Linearfaktoren zerfallen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qifi6ztj5hz65na3wvgcwbw1ywawg1w 0 43637 778469 762418 2022-08-21T12:07:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis={{ Ringbeweis |Strategie= |Richtung=1234 |Beweis12= Dies folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Beweis23= Nehmen wir an, dass {{ mathkor|term1= P |und|term2= P' |SZ= }} einen gemeinsamen nichttrivialen Teiler in {{mathl|term= K[X]|SZ=}} besitzen. Dies ist dann auch in {{mathl|term= L[X]|SZ=}} der Fall. Dies bedeutet wiederum, dass ein Linearfaktor von {{math|term= P|SZ=}} auch ein Teiler von {{math|term= P'|SZ=}} ist. Daher besitzen {{ mathkor|term1= P |und|term2= P' |SZ= }} eine gemeinsame Nullstelle und somit besitzt {{math|term= P|SZ=}} eine mehrfache Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung. |Beweis34= Dies folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Beweis41=Sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine Körpererweiterung, so dass {{mathl|term= P \in L[X]|SZ=}} in Linearfaktoren zerfällt. Nach Voraussetzung kann man {{math|term= 1|SZ=}} in {{mathl|term= K[X]|SZ=}} als Linearkombination von {{ mathkor|term1= P |und|term2= P' |SZ= }} darstellen. Diese Eigenschaft überträgt sich direkt auf {{mathl|term= L[X]|SZ=.}} Wenn {{math|term= P|SZ=}} in {{math|term= L|SZ=}} eine mehrfache Nullstelle hätte, so wäre diese Nullstelle auch eine Nullstelle der Ableitung. Das kann aber wegen der Darstellbarkeit der {{math|term= 1|SZ=}} nicht sein. |Abschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j5zsbbfaznqfo2y9lhvob3eqhrgn14b 0 43642 783637 757287 2022-08-22T04:02:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |vollkommen| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der vollkommenen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t47gefl5i7l9gkixgatbqa1vekfnsy7 0 43645 786514 759547 2022-08-22T11:38:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |separable Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathbed|term= M ||bedterm1= K \subseteq M \subseteq L ||bedterm2= |SZ=, }} ein Zwischenkörper. Zeige{{n Sie}}, das auch {{mathl|term= M \subseteq L|SZ=}} eine separable Körpererweiterung ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fr6qsu3b0ahtwmhvvd7kewqqcdpzxnv 0 43647 782369 756211 2022-08-22T00:30:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Körper {{mathl|term= {\mathbb F}_p(X)|SZ=}} der rationalen Funktionen nicht {{ Definitionslink |Prämath= |vollkommen| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der vollkommenen Körper |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper in positiver Charakteristik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p3jr0x607u2na0reiqbm64mh81nhny1 0 43649 785662 758878 2022-08-22T09:16:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=}} und sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galois{{latextrenn}}erweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2s4oom2nngq2h9buf2a4uuhahdr8dm7 0 43650 785034 758430 2022-08-22T07:37:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation||SZ=,}} {{mathl|term= F\in K[X]|SZ=}} ein Polynom vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} und {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}} |\leq|n ! || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqm2edzho02gdyar7ytx3gith0aish7 0 43651 785762 758953 2022-08-22T09:33:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {\mathbb F}_2 \subseteq {\mathbb F}_4|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie endlicher Körper |Kategorie2=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bc5uw1y84v6s7ytwh5gz35evci3lmt 0 43652 785763 758954 2022-08-22T09:33:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {\mathbb F}_2(X) \subseteq {\mathbb F}_2 (X)[T]/(T^2-X)|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mziff9goupgx0lgnvl6rpsvslrjwhsr 0 43654 786156 759315 2022-08-22T10:39:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= q \in \Q|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in {{math|term= \Q|SZ=}} keine dritte Wurzel besitzt, so dass {{mathl|term= \Q \subseteq L=\Q[X]/(X^3-q)|SZ=}} eine Körpererweiterung vom Grad {{math|term= 3|SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}} anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass diese Körpererweiterung nicht {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} die verschiedenen Einbettungen von {{math|term= L|SZ=}} in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie3=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aumdk82bhxwoyxrljf6w6v0u14j1c31 0 43657 783570 757230 2022-08-22T03:50:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} in jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Beispiele für eine {{ Definitionslink |Prämath= |normale Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ot5bl9piil92sd108j46907i8661ui0 0 43659 784666 758169 2022-08-22T06:42:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die äquivalenten Bedingungen durch die folgende Eigenschaft ergänzen kann: Zu jeder Körpererweiterung {{mathl|term= K \subseteq M|SZ=}} und zu zwei {{ Definitionslink |Prämath=K|Algebrahomomorphis{{latextrenn|}}men| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_1, \varphi_2 |L|M || |SZ= }} ist {{mathl|term= \varphi_1(L)= \varphi_2(L)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c5l92tfdt3ete0mntzcum2rgp1nt7m4 0 43660 784665 758168 2022-08-22T06:42:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Q \subseteq M|SZ=}} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Normale Körpererweiterung/Nicht transitiv/sqrt(3) und sqrt(1+sqrt(3))/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass diese Körpererweiterung nicht {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gslz21z9szpwe2nrir2fzk6ofapnphn 0 43662 782410 756246 2022-08-22T00:37:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|K=L|SZ=}} und {{mathl|term= G=\operatorname{Aut} \,L |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=.}} Begründe{{n Sie}} die folgenden Beziehungen. {{ Aufzählung4 |Für {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= H_1 \subseteq H_2 \subseteq G|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Fixkörper|H_1|}} \supseteq {{op:Fixkörper|H_2|}} |SZ=.}} |Für {{ Definitionslink |Prämath= |Unterkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M_1 \subseteq M_2 \subseteq L|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|M_1|L}} \supseteq {{op:Galoisgruppe|M_2|L}}|SZ=.}} |Für eine Untergruppe {{mathl|term= H \subseteq G|SZ=}} ist {{mathl|term= H \subseteq {{op:Galoisgruppe| {{op:Fixkörper|H|}} |L}} |SZ=.}} |Für einen Unterkörper {{mathl|term= M \subseteq L|SZ=}} ist {{mathl|term= M \subseteq {{op:Fixkörper|{{op:Galoisgruppe|M|L}} |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 29v9vrf4w1ju71utb5w1yzylpkr23e2 0 43668 783671 757320 2022-08-22T04:07:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|K=L|SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |L|L || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismus| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} auf den {{ Definitionslink |Prämath= |Prim{{latextrenn|}}körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} die Identität ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m93ncj1j28wj5y2fs6x6pjb0qvd1bfb 0 43670 783682 757332 2022-08-22T04:09:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} der positiven {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=.}} Wir betrachten die Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp | K(X^p,Y^p) |\subseteq| K(X,Y) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dies keine {{ Definitionslink |Prämath= |einfache Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der einfachen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 03uzrbdiypk3b4sqfig5q4c0gr4pgmm 0 43671 785225 585220 2022-08-22T08:05:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ= }} ein unendlicher Körper und sei {{mathl|term= F \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ= }} ein von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion {{ Ma:abbele/disp |name=F |K^n|K |(a_1 {{kommadots|}} a_n)|F(a_1 {{kommadots|}} a_n) |SZ=, }} nicht die Nullfunktion ist.{{{zusatz|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Teilmengen und der Verschwindungsideale |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gz5ucu8pgkioctwjd8rngor3mp79jru 0 43672 785943 759092 2022-08-22T10:03:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= L=K(X)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Polynomrings| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K[X]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen {{ mathkor|term1= K |und|term2= L |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der einfachen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2l7o6de5ha4j4695s7i022cpng8wugi 0 43673 785940 759089 2022-08-22T10:03:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= L=K(X)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Polynomrings| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K[X]|SZ=.}} Es sei {{ mathbed|term= M ||bedterm1= K \subseteq M \subseteq L ||bedterm2= M \neq K |SZ=, }} ein Zwischenkörper. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= M \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der einfachen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 478mba5t1l6y8aerw61ztftbx5x3ohf 0 43677 786074 759225 2022-08-22T10:25:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Körperautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2=Galoistheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s0iip8p070z0s5nasi69m4g7z85mdbd 0 43679 783651 757299 2022-08-22T04:04:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Körper/Situation|K=L|SZ=}} und {{mathl|term= M|SZ=}} eine Menge von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ math/disp|term= {{mengebed|x \in L|\varphi(x) {{=|}} x \text { für alle } \varphi \in M }} |SZ= }} ein Unterkörper von {{math|term= L|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1wzpimgi3uvwz9ezg1do919v7yflz51 0 43680 783650 757298 2022-08-22T04:04:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Körper/Situation|K=L|SZ=,}} es sei {{mathl|term= M|SZ=}} eine Menge von {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismen| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= L|SZ=}} und es sei {{math|term= H|SZ=}} die von {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Automorphismengruppe. Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ math/disp|term= {{op:Fixkörper|H|}} = {{mengebed|x \in L|\varphi(x) {{=|}} x \text { für alle } \varphi \in M }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 22yaoql71jy58ip5xrn8ed6d9ndzel4 0 43684 781816 755721 2022-08-21T22:58:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Galoiserweiterung/Situation|SZ=}} und sei {{ mathbed|term= M ||bedterm1= K \subseteq M \subseteq L ||bedterm2= |SZ=, }} ein Zwischenkörper. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung2 |Für alle {{mathl|term= \psi \in {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=}} ist {{mathl|term= \psi(M)=M|SZ=.}} |Die Untergruppe {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|M|L}} \subseteq {{op:Galoisgruppe|K|L}}|SZ=}} ist nur zu sich selbst {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hgp56z6exu2cwoy854dd5v04i3ban9l 0 43685 779112 763236 2022-08-21T15:37:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Endlicher Körper|p|}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|q|}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |q || p^{ {{{n|n}}} } || || || |SZ= }} eine Körpererweiterung endlicher Körper. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |zyklischer| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= n|SZ=,}} die vom {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Phi|SZ=}} erzeugt wird. Die Galoisgruppe ist also isomorph zu {{mathl|term= {{op:Zmod|{{{n|n}}}|}}|SZ=.}} Die Untergruppen von {{mathl|term= {{op:Zmod|{{{n|n}}}|}} |SZ=}} sind von der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |H || \langle {{{m|m}}} \rangle || \{0, {{{m|m}}}, 2 {{{m|m}}} {{kommadots|}} ( {{{k|k}}} -1 ) {{{m|m}}} \} || || |SZ= }} mit einem Teiler {{math|term= {{{m|m}}}|SZ=}} von {{math|term= {{{n|n}}}|SZ=,}} wobei {{ Ma:Vergleichskette | {{{k|k}}} || {{op:Bruch|{{{n|n}}}|{{{m|m}}}}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Untergruppe ist. Der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Fixkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist der Fixkörper zu {{math|term= \Phi^{ {{{m|m}}} }|SZ=,}} der nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körper/Endliche Erweiterung/Galois/Zwischenkörper/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} isomorph zu {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{m|m}}} } |}} |SZ=}} ist, und {{math|term= H|SZ=}} ist die Galoisgruppe von {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{m|m}}} } |}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{n|n}}} } |}} || || || |SZ=. }} Zu jeder Untergruppe {{ Ma:Vergleichskette |H ||\langle {{{m|m}}} \rangle || || || |SZ= }} gibt es die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Zmod| {{{n|n}}} |}}| ({{op:Zmod| {{{n|n}}} |}})/H \cong {{op:Zmod|{ {{{m|m}}} }|}} || |SZ=. }} Gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Galois über Grundkörper/Normale Untergruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Restklassengruppe dabei die Galoisgruppe von {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Endlicher Körper|p |}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{m|m}}} } |}} || || || |SZ=, }} und der Frobenius {{math|term= \Phi|SZ=}} von {{math|term= {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{n|n}}} } |}} |SZ=}} wird dabei auf den Frobenius von {{math|term= {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{m|m}}} } |}} |SZ=}} eingeschränkt. Insbesondere hängen die Anzahl und die Inklusionsbeziehungen der Zwischenkörper von {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Endlicher Körper|p |}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{n|n}}} } |}} || || || |SZ= }} nur von {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} und nicht von der Primzahl ab. |Textart=Beispiel |Kategorie=Galoistheorie endlicher Körper |Kategorie2=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q78bltnk88lk4ry9utvm8baclwciqg7 0 43687 781848 571763 2022-08-21T23:03:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl. Erstelle{{n Sie}} Inklusionsdiagramme für die Zwischenkörper der Körpererweiterung {{mathl|term= {\mathbb F}_p \subseteq {\mathbb F}_{p^{ {{{n|n}}} } } |SZ=}} für {{mathl|term= {{{n|n}}}=4,6,8,12|SZ=.}} Wie sehen die zugehörigen Inklusionsdiagramme der Untergruppen der Galoisgruppe aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie endlicher Körper |Kategorie2=Theorie der Galoiskorrespondenz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ry5wlve0hhpwhqyb2tupflewcav94km 0 44093 781927 755823 2022-08-21T23:16:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für {{mathl|term= n \leq 4|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |auflösbar| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} caax8hg1nwxc1tvvjkd6o2iknykwnv6 0 44095 781929 755825 2022-08-21T23:17:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche{{n Sie}} für jede Filtrierung von {{math|term= S_3|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} ob eine {{ Definitionslink |Prämath= |auflösende Filtrierung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2=Theorie der auflösbaren Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Permutationsgruppe S3 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1n4k5jndnci01lmj5fgub7htme4x5sq 0 44096 783320 743576 2022-08-22T03:09:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Gruppe/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativ| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Kommutatoruntergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K(G)|SZ=}} trivial ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kommutatorgruppe |Kategorie2=Theorie der auflösbaren Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6qi0900igw6ot0sc2ecx33vi6qfz12 0 44097 782676 559130 2022-08-22T01:21:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Gruppenhomomorphismus/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die Beziehung {{mathl|term= \varphi (K(G)) \subseteq K(H)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kommutatorgruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tkvyfydasjb2o2hbonjmvjde63sczlw 0 44104 780555 753006 2022-08-21T19:27:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und sei {{mathl|term= K \subseteq K(\zeta)|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Adjunktion| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{math|term= n|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |primitiven Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} mit Hilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Übertragung auf Kompositum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und der Theorie der Kreisteilungskörper {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= \Q|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} dass {{mathl|term= K \subseteq K(\zeta) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, deren Galoisgruppe {{ Definitionslink |Prämath= |abelsch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ei4br09z584jhgd5cmqn1bt1k97ufsr 0 44246 783004 756763 2022-08-22T02:16:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |separables Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei vorausgesetzt, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L|SZ=}} von {{math|term= F|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativ| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{mathl|term= L\cong K[X]/(F)|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2m2f1kcl5grvo5coorj67zyl9t6nf60 0 44414 786447 413907 2022-08-22T11:27:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz von Green für ein Dreieck {{math|term= D|SZ=}} mit den Eckpunkten {{mathl|term= P_1,P_2,P_3 \in \R^2|SZ=}} und für die Differentialform {{mathl|term= xdy|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxy8o5h41kfk42luxwdln7anej529h1 0 44420 781433 755449 2022-08-21T21:54:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= P \in M|SZ=}} ein Punkt. Es sei {{mathl|term= 0 \in I|SZ=}} ein offenes reelles Intervall und es seien {{ Ma:abb/disp |name=\gamma_1, \gamma_2 |I|M || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |differenzierbare Kurven| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= \gamma_1(0)=P=\gamma_2(0)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= \gamma_1 |und|term2= \gamma_2 |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |tangential äquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= P|SZ=}} sind, wenn für jede {{ Definitionslink |Karte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\alpha |U|V || |SZ= }} mit {{mathl|term= P \in U|SZ=}} und {{mathl|term= V \subseteq \R^n|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | (\alpha \circ ( \gamma_1 {{|}}_{\gamma_1^{-1} (U)} ) )'(0) || (\alpha \circ( \gamma_2 {{|}}_{\gamma_2^{-1} (U)} ) )'(0) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9b6wbbu4cpap02peyfggz1znnlqxn3e 0 44422 781755 508852 2022-08-21T22:48:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ math/disp|term= S= {{mengebed|P \in \R^3| {{op:Norm|P|}} {{=|}} 1 }} |SZ= }} die Einheitssphäre. Zu {{mathl|term= v=(a,b,c) \neq 0|SZ=}} ist {{ math/disp|term= E_v = {{mengebed|(x,y,z) \in \R^3|ax+by+cz {{=|}} 0 }} |SZ= }} eine Ebene durch den Nullpunkt, die einen Großkreis {{ Zusatz/Klammer |text=einen {{Anführung|Äquator}}| |ISZ=|ESZ= }} und zwei offene Halbsphären auf {{math|term= S|SZ=}} definiert. a) Beschreibe{{n Sie}} zu {{mathl|term= v=(a,b,c) \neq 0|SZ=}} den zugehörigen Großkreis und die beiden Halbsphären mit Gleichungen bzw. mit Ungleichungen. b) Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= S|SZ=}} nicht mit drei offenen Halbsphären überdecken kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte=10 |p1=2 |p2=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ad3rv8wqh28uiwje49bwcy4ohxa58s 0 44425 784806 510276 2022-08-22T07:03:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{math|term= \R^3|SZ=}} die drei Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|2|3}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|2|-2}} ,\, {{op:Spaltenvektor|x|5|7}} |SZ=. }} a) Wie muss man {{math|term= x|SZ=}} wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des {{math|term= \R^3|SZ=}} repräsentieren? b) Wie muss man {{math|term= x|SZ=}} wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvxxartdopzbhp446qyvrm7mqugd0q9 0 44427 782927 414835 2022-08-22T02:03:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Integral zur Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(r,s,t) || s^2 t+r {{op:cos|t|}} || || || |SZ= }} über dem Einheitswürfel {{mathl|term= W=[0,1]^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Fubini |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} svxnkclpcnrd0wndtk47r5scqt3ffy2 0 44430 784216 757857 2022-08-22T05:38:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Messraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |X|\R || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=n \in \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine Folge von {{ Definitionslink |Prämath= |messbaren Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= \R|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Borelmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} trägt. Sei {{mathl|term= a \in \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ math/disp|term= M= {{mengebed|x \in X|a \text{ ist ein H}\ddot{\rm a}\text{ufungspunkt der Folge } {{op:Folge|Glied=f_n(x)|}} }} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |messbare Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= X|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der messbaren numerischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2snwksrm6h7j7ekqra2q2g48yo1itj2 0 44433 784842 758291 2022-08-22T07:08:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Volumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des von den Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2|0|0|1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|1|-1|2|0}} \text{ und } {{op:Spaltenvektor|-1|0|2|1}} |SZ= }} im {{math|term= \R^4|SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugten Parallelotops| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie2=Theorie der Parallelotope |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4w9vu4zri8vzewbbrig2l6btgmaf3dz 0 44435 783145 604670 2022-08-22T02:39:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius {{math|term= 13|SZ=}} cm, der Topf sei {{math|term= 10|SZ=}} cm hoch und auf die Höhe von {{math|term= 7{,}7|SZ=}} cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von {{math|term= 8{,}8|SZ=}} cm ansteigt. a) Berechne{{n Sie}} das Volumen der Kartoffel {{ Zusatz/Klammer |text=rechne{{n Sie}} mit {{mathl|term= \pi =3{,}14|SZ=;}} Einheit nicht vergessen| |ISZ=|ESZ=! }} b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet? c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=2 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p03at8zeikusa3rafk4l7gz38mm55v4 0 44642 783228 756932 2022-08-22T02:53:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathbed|term= p \in R ||bedterm1= p \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= p|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primelement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R/(p)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Integritätsbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 55fneg5l9b363ffmff40j5g01lsvvaf 0 44653 779094 579022 2022-08-21T15:34:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= C|SZ=}} eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper {{math|term= K|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=[n] |C|C |P|nP |SZ=, }} die {{math|term= n|SZ=-}}te Multiplikationsabbildung. Dies ist stets eine endliche Abbildung, die darüber hinaus {{acutee|}}tale ist, wenn {{math|term= n|SZ=}} kein Vielfaches der Charakteristik des Grundkörpers {{math|term= K|SZ=}} ist. In diesem Fall liegt also eine Überlagerung {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar vom Grad {{math|term= n^2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} der elliptischen Kurve durch sich selbst vor. Bei {{mathl|term= K={{CC}}|SZ=}} besitzen elliptische Kurven die Beschreibung {{mathl|term= C={{CC}}/\Gamma|SZ=,}} wobei {{mathl|term= \Gamma \cong \Z^2|SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=volles| |ISZ=|ESZ= }} Gitter in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= {{CC}}|SZ=}} ist dann auch die universelle Überlagerung der elliptischen Kurve, deren topologische Fundamentalgruppe gleich {{math|term= \Z^2|SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Ein Punkt {{mathl|term= P \in C|SZ=}} wird durch einen Punkt {{mathl|term= \tilde{P} \in {{CC}}|SZ=}} in einer fixierten Gittermasche repräsentiert. Die Multiplikationsabbildung {{math|term= [n]|SZ=}} liftet zur Multiplikationsabbildung auf {{math|term= {{CC}}|SZ=,}} und wenn {{mathl|term= P \in C|SZ=}} durch den Punkt {{mathl|term= \tilde{P} \in {{CC}}|SZ=}} repräsentiert wird, so wird die Faser von {{mathl|term= [n]|SZ=}} über {{math|term= P|SZ=}} in der Gittermasche durch die {{math|term= n^2|SZ=}} Punkte {{ mathbed/disp|term= \tilde{P}+ {{op:Bruch|i|n}}v_1 + {{op:Bruch|j|n}}v_2 ||bedterm1= 0 \leq i,j \leq n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} repräsentiert, wobei {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} Erzeuger des Gitters seien. Die Multiplikation auf {{math|term= C|SZ=}} kann man auffassen als die {{ Zusatz/Klammer |text=natürliche Restklassen| |ISZ=|ESZ=- }}Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}/ \Gamma| {{CC}}/ {{op:Bruch|1|n}} \Gamma \cong {{CC}}/ \Gamma || |SZ=. }} Die Gruppe {{mathl|term= \Gamma/{{op:Bruch|1|n}} \Gamma \cong n \Gamma/\Gamma \cong {{op:Zmod|n|}} \times {{op:Zmod|n|}}|SZ=}} operiert dabei auf {{math|term= C|SZ=,}} indem eben {{mathl|term= {{op:Bruch|i|n}}v_1 + {{op:Bruch|j|n}}v_2 |SZ=}} zu einem repräsentierenden Punkt {{math|term= \tilde{P}|SZ=}} addiert wird, und diese Operation ist einfach transitiv auf den Fasern. Insgesamt liegt das kommutative Diagramm {{Kommutatives Dreieck|{{CC}}|C \cong {{CC}}/\Gamma | C \cong {{CC}}/ {{op:Bruch|1|n}} \Gamma }} aus Überlagerungen vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 07xcnm57scqii489stm06mz3og5csa6 0 44656 779703 763702 2022-08-21T17:10:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {\mathbb A}^\times || {\mathbb A}^1 \setminus \{ 0 \} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink/- |Prämath= |punktierte affine Gerade| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also die affine Gerade ohne das maximale Ideal {{mathl|term= (X)|SZ=.}} Für jede natürliche Zahl {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ=, }} die kein Vielfaches der Charakteristik von {{math|term= K|SZ=}} ist, ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{\mathbb A}^\times |{\mathbb A}^\times |x|x^n |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=die dem Einsetzungshomomorphismus zu {{mathlk|term=X \mapsto X^n|SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }} eine endliche {{acutee|}}tale Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der Ableitung von {{math|term= X^n|SZ=,}} da sich aus {{ Ma:Vergleichskette | nX^{n-1} dX || 0 || || || |SZ= }} direkt {{ Ma:Vergleichskette |dX ||0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= \Omega_{ {\mathbb A}^\times {{|}} {\mathbb A}^\times }|SZ=}} ergibt. Die Automorphismengruppe dieser Überlagerung entspricht den {{math|term= n|SZ=-}}ten Einheitswurzeln in {{math|term= K|SZ=,}} wobei eine solche Einheitswurzel {{math|term= \zeta|SZ=}} auf {{math|term= {\mathbb A}^\times |SZ=}} durch {{mathl|term= x \mapsto \zeta x|SZ=}} wirkt, und ist daher zu {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} isomorph. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie3=Theorie der Potenzierung in einem Ring |Kategorie4=Theorie der endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7z960pnrez79qk18nrdgo4vyxielhfg 0 44657 779590 751594 2022-08-21T16:53:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} ein von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenes Polynom vom Grad {{math|term= n|SZ=,}} das wir als Morphismus {{ Ma:abbele/disp |name=F |{\mathbb A}^1|{\mathbb A}^1 |x|F(x) |SZ=, }} auffassen {{ Zusatz/Klammer |text=zum Einsetzungshomomorphismus {{mathl|term= Y \mapsto F|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Auf der Ringebene beschrieben geht es um die {{mathl|term= K[Y]|SZ=-}}Algebra {{ math/disp|term= K[X] \cong K[X,Y]/(Y-F) \cong K[Y] \cdot 1 \oplus K[Y] \cdot X {{oplusdots|}} K[Y] \cdot X^{n-1} |SZ= }} {{ inputbild |Courbe troisième degré 4|GIF|280px {{!}} right {{!}} |espname=Courbe_troisième_degré_4.GIF |Text=Die Abbildung, um die es geht, ist die horizontale Projektion der roten Kurve auf die {{math|term= y|SZ=-}}Achse. Die beiden Verzweigungspunkte sind die beiden Extremumspunkte. Wenn man deren horizontalen Projektionspunkte {{ Zusatz/Klammer |text=also ihre beiden {{math|term= y|SZ=-}}Koordinaten herausnimmt, bekommt man eine {{acutee|}}tale Abbildung. Wenn man von diesen {{math|term= y|SZ=-}}Koordinaten alle Urbildpunkte herausnimmt, so liegt eine Überlagerung vor| |ISZ=|ESZ=. }} |Autor= |Benutzer=Lydienoria |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} mit der durch {{math|term= F|SZ=}} definierten Multiplikationsregel für {{math|term= X^n|SZ=.}} Daher ist diese Abbildung endlich und frei vom Rang {{math|term= n|SZ=}} und insbesondere {{ Definitionslink |Prämath= |flach| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Modul der relativen Differentiale ist {{ math/disp|term= K[X]dX/ (dF) \cong K[X]dX/ (F'dX) |SZ=. }} Daher ist die Einschränkung auf das Komplement der Verzweigungspunkte, also auf die offene Menge {{mathl|term= D(F') \subseteq {\mathbb A}^1|SZ=,}} ein {{acutee|}}taler Morphismus. Diese Einschränkung ist im Allgemeinen nicht endlich und bei {{mathl|term= K={{CC}}|SZ=}} auch keine Überlagerung. Wenn man dagegen aus {{ Zusatz/Klammer |text=dem Bildbereich| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= {\mathbb A}^1|SZ=}} sämtliche Bildpunkte {{math|term= B|SZ=}} der Verzweigungspunkte herausnimmt und die Abbildung auf diese offene Menge und ihr Urbild einschränkt, so erhält man eine endliche {{acutee|}}tale Abbildung. Es handelt sich ja einfach um eine Nenneraufnahme zu der vorgegebenen endlichen Abbildung, wobei sich die Endlicheit und der Rang überträgt. Zu jedem Punkt {{mathl|term= P \in {\mathbb A}^1 \setminus B|SZ=}} besteht die Faser aus {{math|term= n|SZ=}} Punkten, da die zugehörige {{math|term= K|SZ=-}}Algebra, die die Faser beschreibt, die {{math|term= K|SZ=-}}Dimension {{math|term= n|SZ=}} besitzt, separabel {{ Zusatz/Klammer |text=wegen der Unverzweigtheit| |ISZ=|ESZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} ist und sämtliche Restklassenkörper wegen der algebraischen Abgeschlossenheit isomorph zu {{math|term= K|SZ=}} sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cgcw6lntddyf1i8qy0r88i3nwytrmr6 0 44738 781161 755203 2022-08-21T21:08:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= X^3+pX+q \in \Q[X]|SZ=}} und es seien {{mathl|term= \alpha_1,\alpha_2, \alpha_3 \in {{CC}}|SZ=}} die Nullstellen dieses Polynoms. Konstruiere{{n Sie}} unter Bezug auf die {{ Faktlink |Präwort=|Formel von Cardano|Faktseitenname= Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Kette {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq|K |\subseteq|L |\subseteq|M || |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{Anführung|möglichst kleinem}} {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so dass {{math|term= M|SZ=}} alle Nullstellen und alle {{Anführung|Hilfszahlen|SZ=,}} die in dieser Formel auftreten, enthält. Welche Grade können dabei auftreten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Cardanoschen Formeln (Grad 3) |Kategorie2=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9x0u81i1cycm92n6qdstqbd15vz16f1 0 44878 785184 558944 2022-08-22T07:59:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und es sei {{mathl|term= a \in L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |K[X]|L |P|P(a) |SZ=, }} folgende Eigenschaften erfüllt {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{mathlk|term=P,Q \in K[X]|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= (P + Q)(a)=P(a) +Q(a)|SZ=,}} |{{mathl|term= (P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)|SZ=,}} |{{mathl|term= 1(a)=1|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2=Theorie der Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 845snxbc4ea3lxteyp8r9y0enj62wpv 0 44879 782951 756695 2022-08-22T02:07:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man auf folgende Weise einen {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} konstruieren kann, der {{math|term= R|SZ=}} enthält. Wir betrachten auf {{ math/disp|term= M= R \times (R \setminus{\{0\} }) |SZ= }} die durch {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad = bc |SZ=, }} definierte Relation. a) Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Definiere{{n Sie}} auf der {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q(R)|SZ=}} {{ Definitionslink |Verknüpfungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass {{math|term= Q(R)|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird und dass {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |R|Q(R) |r|[ (r,1)] |SZ=, }} mit Addition und Multiplikation verträglich ist und {{math|term= \varphi(1)=1|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m3k8bswv8f0wgkgw7xd68oj1qhci0jp 0 44880 782746 756523 2022-08-22T01:33:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Z|SZ=}} und von {{mathl|term= K[X]|SZ=,}} wobei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper sei. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e56ergstt4i9x8yu7ij3xne43i24o21 0 44882 779320 763420 2022-08-21T16:09:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein nichtkonstantes {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |P ||a_0 + a_1X+a_2X^2 {{plusdots|}} a_nX^n |\in| K[X] || || |SZ=, }} wobei {{math|term= K|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichne, ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn es keine Produktdarstellung {{ Ma:Vergleichskette |P ||QR || || || |SZ= }} gibt, die die {{ Definitionslink |Prämath= |Gradbedingung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Polynomring/Grad/Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |<| {{op:Grad Polynom|Q|}} |<| {{op:Grad Polynom|P|}} || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Irreduzibles Polynom |Definitionswort2= |Stichwort=Irreduzibel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ksaw55015fr43xyy35aimiv4qqeqmhs 0 44900 780665 754786 2022-08-21T19:46:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für jedes {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M \in {{op:GLG|2|\R}} |SZ=}} an, derart, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} gleich {{math|term= n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j9v5dsg99nfani1mdbx9khjc8py6ttj 0 44901 780664 754785 2022-08-21T19:46:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für jedes {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M \in {{op:GLG|k|\Q}} |SZ=}} an {{ Zusatz/Klammer |text=dabei sei {{math|term= k|SZ=}} geeignet gewählt| |ISZ=|ESZ=, }} derart, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} gleich {{math|term= n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ordnung (Gruppentheorie) |Kategorie2=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ihyu1ycmelu1lxh84hpnrmm7jw0qmkb 0 44910 783432 757112 2022-08-22T03:27:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:GLG|n|\R}} |SZ=}} die Menge der reellen invertierbaren {{math|term= n\times n|SZ=-}}Matrizen. Zeige{{n Sie}}, dass für zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |konjugierte| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Matrizen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} aus {{mathl|term= {{op:GLG|n|\R}} |SZ=}} die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die Determinante, die Eigenwerte, die Dimension der Eigenräume zu einem Eigenwert, die Diagonalisierbarkeit, die Trigonalisierbarkeit. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie2=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Matrix |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1r59313ngoy1fzjxiapayrvmjxurqi3 0 44912 783344 757032 2022-08-22T03:13:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Gruppe der {{math|term= n|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} und die Gruppe {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5tmcrwoyf2emz93m29o8nau1xv5prdz 0 44916 784087 757733 2022-08-22T05:17:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Matrix {{mathl|term= M \in {{op:GLG|2|\Q}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 4|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ordnung (Gruppentheorie) |Kategorie2=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1x67br02pjf8pxrahe30vfcnz245bk6 0 44917 784086 757732 2022-08-22T05:17:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Matrix {{mathl|term= M \in {{op:GLG|2|\Q}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ordnung (Gruppentheorie) |Kategorie2=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qc25zxahqnotqo4s3ux44y26l4bl6rg 0 44953 779936 752102 2022-08-21T17:45:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=,}} {{mathl|term= M= {{menge1n|}} |SZ=}} und {{mathl|term= S_n|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe der Permutationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Dann liegt eine natürliche Operation {{ Ma:abbele/disp |name= |S_n \times M|M | (\sigma, i)| \sigma(i) |SZ=, }} vor. Der {{ Faktlink |Präwort=|zugehörige Gruppenhomomorphismus|Faktseitenname= Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Identität. Die Operation ist {{ Definitionslink |Prämath= |treu| |Kontext=Gruppenoperation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da jede Permutation {{mathl|term= \neq {{op:Identität|M|}} |SZ=}} mindestens ein Element aus {{math|term= M|SZ=}} bewegt. Zu jedem {{mathl|term= i \in M|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Isotropiegruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G_i|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Permutationsgruppe {{mathl|term= S_{n-1} \cong {{op:Permutationsgruppe|M \setminus \{i\}|}} |SZ=.}} Für je zwei Elemente {{mathl|term= i,j \in M|SZ=}} gibt es eine Permutation {{ Zusatz/Klammer |text=z.B. eine {{ Definitionslink |Prämath= |Transposition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} die {{math|term= i|SZ=}} in {{math|term= j|SZ=}} überführt. Bei dieser Gruppenoperation gibt es also nur eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bahn| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a4afumlwjfgmwibxcatxi36s4d75lq4 0 44955 779221 771208 2022-08-21T15:54:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Gruppe/Situation|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kann man als eine {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} auf sich selbst auffassen, indem man {{ Ma:Vergleichskette/disp | g \cdot x || gxg^{-1} || || || |SZ= }} setzt. Dabei haben wir die Gruppenverknüpfung symbolfrei und die Operation zur Unterscheidung mit {{math|term= \cdot|SZ=}} geschrieben. Dass eine Operation vorliegt kann man direkt nachprüfen oder aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Innerer Automorphismus/Ist Automorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} folgern. Die Äquivalenzklassen unter dieser Operation, also die {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Konjugation, heißen {{Stichwort|Konjugationsklassen|msw=Konjugationsklasse|SZ=.}} Die Elemente im {{ Definitionslink |Prämath= |Zentrum| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Gruppe sind genau die {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkte| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c325gby0irs47i0512zx45ms269ltz2 0 44961 779242 763336 2022-08-21T15:57:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Gruppe/Menge/Situation|SZ=.}} Dann gibt es stets die sogenannte {{Stichwort|triviale Operation|SZ=}} von {{math|term= G|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=,}} die durch {{math|term= gx=x|SZ=}} für alle {{ mathkor|term1= g \in G |und alle|term2= x \in M |SZ= }} gegeben ist. In diesem Fall ist jeder Punkt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkt| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und alle {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind einelementig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvmz44npmbrqebxfrh2doxycy89fhmw 0 44962 779236 763326 2022-08-21T15:56:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Gruppe/Situation|SZ=.}} Die Verknüpfung {{ Ma:abbele/disp |name= |G \times G|G |(g,h)|gh |SZ=, }} kann man als eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenoperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Gruppe {{math|term= G|SZ=}} auf sich selbst ansehen. Diese Operation ist {{ Definitionslink |Prämath= |treu| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} es gibt also nur eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bahn| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Für zwei Elemente {{ mathkor|term1= g_1 |und|term2= g_2 |SZ= }} ist ja {{ Ma:Vergleichskette |g_1 ||(g_1g_2^{-1}) g_2 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dt02sqdgfmlungnh4tdm3ih2ltjvfpl 0 44963 779237 763328 2022-08-21T15:57:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Untergruppe/Situation|SZ=.}} Dann liefert die Verknüpfung {{ Ma:abbele/disp |name= |H \times G|G |(h,g)| hg |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenoperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= H|SZ=}} auf {{math|term= G|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Operation stimmen mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Rechtsnebenklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Untergruppe überein. Wenn {{math|term= G|SZ=}} endlich ist, so sind die Bahnen {{ Zusatz/Klammer |text=nach dem Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} alle {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmächtig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} was bei einer beliebigen Gruppenoperation keineswegs der Fall sein muss. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1gbw96b0t6ncqb12tz3fn4cdj8ym3hv 0 44964 779326 763430 2022-08-21T16:10:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= G= {{op:Einheiten|R|}} |SZ=}} seine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Einschränkung der Ringmultiplikation {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|R|}} \times R |R |(r,s)|rs |SZ=, }} liefert eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenoperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Einheitengruppe auf dem Ring. Diese Operation ist {{ Definitionslink |Prämath= |treu| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das Nullelement ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkt| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Operation. Zwei Elemente {{mathl|term= a,b \in R|SZ=,}} die bezüglich dieser Operation {{ Definitionslink |Prämath= |äquivalent| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, heißen {{ Definitionslink |Prämath= |assoziiert| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dieser Begriff spielt bei der {{ Faktlink |Präwort=|eindeutigen Primfaktorzerlegung|Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriellen Bereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine wichtige Rolle. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der Assoziiertheit (kommutative Ringe) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d22jg3q99rnsqnq01qkdj4tpiamk4ju 0 44971 779241 763334 2022-08-21T15:57:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} eine Menge und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Wir setzen {{ math/disp|term= M=X {{timesdots|}} X |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Faktoren. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=}} operiert auf {{math|term= M|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sigma (x_1 {{kommadots|}} x_n) || {{makl| x_{\sigma (1)} {{kommadots|}} x_{\sigma (n)} |}} || || || |SZ=, }} d.h. {{math|term= \sigma|SZ=}} vertauscht die Indizes. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkte| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Operation sind genau die Diagonalelemente, also die Elemente der Form {{mathl|term= (y {{kommadots|}} y)|SZ=.}} Wenn {{math|term= r|SZ=}} die Anzahl der verschiedenen Elemente in {{ Ma:Vergleichskette |x ||(x_1 {{kommadots|}} x_n) || || || |SZ= }} bezeichnet und {{ mathbed|term= a_i ||bedterm1= 1 \leq i \leq r ||bedterm2= |SZ=, }} die Anzahl angibt, wie oft die einzelnen Werte auftreten, so ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Isotropiegruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= x|SZ=}} gleich {{mathl|term= S_{a_1} {{timesdots|}} S_{a_r} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das sind diejenigen Permutationen, die einen jeden Index auf einen Index mit gleichem Eintrag abbilden| |ISZ=|ESZ= }} und besitzt genau {{mathl|term= a_1! \cdots a_r!|SZ=}} Elemente. Die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Bahn| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt entsprechend {{mathl|term= {{op:Bruch|n!| a_1! \cdots a_r! }} |SZ=}} Elemente. Bei {{mathl|term= X=\R|SZ=}} sind die polynomialen Funktionen {{ math/disp|term= x_1 {{plusdots|}} x_n ,\, \sum_{i <j} x_ix_j {{kommadots|}} x_1 {{cdots|}} x_n |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also die {{ Definitionslink |Prämath= |elementarsymetrischen Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=S_n |invariante Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{math|term= \R|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ob5vwct5k1ev5wf7crlje3ntyjiq9vh 0 44985 785900 759053 2022-08-22T09:56:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= A \subseteq \Q|SZ=}} die Menge derjenigen {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die eine abbrechende {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalentwicklung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Unterring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=}} ist und bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2=Theorie der Unterringe der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 039a6ibgfv9xyi6tci25oo2iv2e9kyk 0 44987 782538 756322 2022-08-22T00:58:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= G|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |geraden Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= U|SZ=}} die Menge der stetigen {{ Definitionslink |Prämath= |ungeraden Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{op:cont|\R|\R}} = G \oplus U |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Zmod|2|}} |graduierte| |Kontext= Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von stetigen reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ttbnedffk0ybqn14429ko6txw6intt 0 44988 781772 755677 2022-08-21T22:50:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{KRC|}} = \R \text{ oder } {{CC}}|SZ=}} und es sei {{mathl|term= D_{{KRC}}=\operatorname{C}^1({{KRC|}},{{KRC|}})|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ring der stetig-differenzierbaren Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{KRC|}}|SZ=}} nach {{math|term= {{KRC|}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi |{{KRC}}[X]|D_{{KRC}} |X| {{op:Identität|{{KRC}}|}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Bestimme{{n Sie}} die Polynome {{mathl|term= F \in {{KRC}}[X]|SZ=,}} für die {{mathl|term= \Psi(F)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= D_{{KRC}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von stetigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bifi64pt0uwzizwdvzg1ftnryjadut2 0 44990 785933 759084 2022-08-22T10:01:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | S^1_\Q || {{mengebed|z \in \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ]| {{op:Betrag|z}} {{=}} 1 }} || || || |SZ= }} mit der Multiplikation in {{mathl|term= \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ]|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mm60wo6wxdpqlrha1j80m7wa2y1f41j 0 44991 785934 676911 2022-08-22T10:02:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | S^1_\Q || {{mengebed|z \in \Q[ {{Imaginäre Einheit}} ]| {{op:Betrag|z}} {{=}} 1 }} || || || |SZ= }} der rationale Einheitskreis mit der aus {{mathl|term= {{op:Einheiten|\Q[ {{Imaginäre Einheit}} ]||}} |SZ=}} ererbten Gruppenstruktur. Berechne{{n Sie}} die ersten vier Potenzen von {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|3|5}} + {{op:Bruch|4|5}} {{Imaginäre Einheit}} |\in|S^1_\Q || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sapwuglp3gimq859podgthkibiol75a 0 44992 785936 759085 2022-08-22T10:02:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | S^1_\Q || {{mengebed|z \in \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ]| {{op:Betrag|z}} {{=}} 1 }} || || || |SZ= }} der rationale Einheitskreis mit der aus {{mathl|term= {{op:Einheiten|\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ]||}} |SZ=}} ererbten Gruppenstruktur. Zeige{{n Sie}}, dass die Gruppen {{mathl| S^1_\Q|SZ=}} und {{mathl|term= \Q/\Z|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie=Q mod Z |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dc755t1jl4hxqjw9v2dhmtw4yekc43m 0 44998 779238 763330 2022-08-21T15:57:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Gruppenoperation/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= L|SZ=}} eine weitere Menge und {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|L|M}} |SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=.}} Dann wird durch {{ Ma:abbele/disp |name= |G \times {{op:Abbildungsmenge|L|M}}|{{op:Abbildungsmenge|L|M}} |(g, \varphi)| g \varphi |SZ=, }} wobei {{mathl|term= g \varphi|SZ=}} durch {{ math/disp|term= (g \varphi)(x)= g (\varphi(x)) |SZ= }} definiert sei, eine Operation von {{math|term= G|SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|L|M}}|SZ=}} gegeben. Für das neutrale Element {{mathl|term= e \in G|SZ=}} gilt ja {{ Ma:Vergleichskette/disp |(e \varphi)(x) || e (\varphi(x)) ||\varphi(x) || || |SZ= }} für jedes {{mathl|term= x \in M|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette |e \varphi || \varphi || || || |SZ=, }} und für beliebige {{mathl|term= g,h \in G|SZ=,}} {{mathl|term= \varphi \in {{op:Abbildungsmenge|L|M}} |SZ=}} und {{mathl|term= x \in M|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | ((gh) \varphi) (x) || (gh) (\varphi(x)) || g (h (\varphi(x))) || g ( (h \varphi )(x) ) || (g (h \varphi))(x) |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette | (gh) \varphi || g (h \varphi) || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der Abbildungsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h8btrbr5vamyv4p5f18j6vebet4jcgu 0 45000 779239 763332 2022-08-21T15:57:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Gruppenoperation/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= N|SZ=}} eine weitere Menge und {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|M|N}} |SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} nach {{math|term= N|SZ=.}} Dann wird durch {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Oppositionelle Gruppe|G}} \times {{op:Abbildungsmenge|M|N}} |{{op:Abbildungsmenge|M|N}} |(g, \varphi)| g \varphi |SZ=, }} wobei {{mathl|term= g \varphi|SZ=}} durch {{ math/disp|term= (g \varphi)(x)= (\varphi(gx)) |SZ= }} definiert sei, eine Operation der {{ Definitionslink |Prämath= |oppositionellen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Oppositionelle Gruppe|G}}|SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|M|N}}|SZ=}} gegeben. Für das neutrale Element {{mathl|term= e \in G|SZ=}} gilt ja {{ Ma:Vergleichskette/disp |(e \varphi)(x) || \varphi(ex) || \varphi(x) || || |SZ= }} für jedes {{mathl|term= x \in M|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette |e \varphi || \varphi || || || |SZ=, }} und für beliebige {{mathl|term= g,h \in G|SZ=,}} {{mathl|term= \varphi \in {{op:Abbildungsmenge|M|N}} |SZ=}} und {{mathl|term= x \in M|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | ((g \cdot_{\rm op} h) \varphi) (x) || ((h g) \varphi) (x) || \varphi( (h g)(x)) || \varphi( h (gx)) || (h \varphi )(gx) || (g (h \varphi))(x) |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette | (g \cdot_{\rm op} h) \varphi || g (h \varphi) || || || |SZ=. }} Statt mit der oppositionellen Gruppe zu arbeiten kann man diese Konstruktion auch als eine Operation von rechts auffassen. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Fixelemente| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|M|N}} |SZ=}} unter dieser Operation sind gerade die {{ Definitionslink |Prämath=G |invarianten Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} nach {{math|term= N|SZ=.}} Diese Konstruktion wird insbesondere bei {{mathl|term= N=\R|SZ=}} o.Ä. angewendet, wenn es also um auf {{math|term= M|SZ=}} definierte Funktionen geht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der Abbildungsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ojk3sq2xd8mpdr83jazrffrd8uth8s4 0 45030 779243 763338 2022-08-21T15:58:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenoperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= (\Z,0,+)|SZ=}} auf einer Menge {{math|term= M|SZ=}} dasselbe wie eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |M|M || |SZ=, }} wobei die {{math|term= 1|SZ=}} wie {{math|term= F|SZ=}} wirkt. Bei gegebenem {{math|term= F|SZ=}} ist also die Gruppenwirkung für {{mathl|term= x \in M|SZ=}} durch {{ math/disp|term= n \cdot x = F^n (x) |SZ= }} definiert, wobei {{math|term= F^n|SZ=}} bei {{mathl|term= n \geq 0|SZ=}} die {{math|term= n|SZ=-}}fache {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} und bei {{mathl|term= n<0|SZ=}} die {{math|term= -n|SZ=-}}fache Hintereinanderschaltung der {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= F^{-1}|SZ=}} bedeutet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mh7gc00qsbmuy9vxz1oke6z9ydnioka 0 45031 779244 763340 2022-08-21T15:58:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:abbele/disp |name=F |M|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Faktlink |Präwort=|zugehörigen|Faktseitenname= Gruppenoperation/Z/Bijektive Abbildung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenoperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Z|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=.}} Die Operation ist genau dann trivial, wenn {{math|term= F|SZ=}} die Identität ist. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkte| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Operation sind genau die {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkte| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Isotropiegruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= x \in M|SZ=}} ist {{mathl|term= \Z k|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=k \geq 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} falls {{math|term= x|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkt| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term= k|SZ=-}}ten Hintereinanderschaltung {{math|term= F^k|SZ=}} und {{math|term= k|SZ=}} minimal mit dieser Eigenschaft ist; andernfalls ist sie gleich {{math|term= 0|SZ=.}} Die durch {{mathl|term= x \in M|SZ=}} definierte {{ Definitionslink |Prämath= |Bahn| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht aus {{ math/disp|term= {{mengebed|F^n(x)|n \in \Z}} |SZ=. }} Dabei können natürlich einzelne Bahnen endlich sein, auch wenn die Operation {{ Definitionslink |Prämath= |treu| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzp13i5jatl352s8ai1h96640fm2i8q 0 45157 779132 763252 2022-08-21T15:40:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= X ={\mathbb A}^\times = {\mathbb A} \setminus \{0\}|SZ=}} die {{ Definitionslink/- |Prämath= |punktierte Gerade| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei wir den Punkt {{mathl|term= 1 \in X|SZ=}} fixieren. Die zusammenhängenden galoisschen Überdeckungen sind {{ Ma:abbele/disp |name= |X_n {{=|}} X|X |t|t^n |SZ=, }} mit der Galoisgruppe {{mathl|term= G_n = \mu_n (K) \cong {{op:Zmod|n|}} |SZ=,}} wobei {{math|term= n|SZ=}} kein Vielfaches der Charakteristik ist. Als Indexmenge {{math|term= I|SZ=}} kann man die natürlichen Zahlen ohne die Vielfachen der Charakteristik zusammen mit der durch die Teilbarkeit gegebenen Ordnung nehmen. Für {{mathl|term= n {{|}} m|SZ=}} gibt es natürliche Morphismen {{ Ma:abbele/disp |name= |X_m|X_n |t|t^{m/n} |SZ=, }} wobei {{ Ma:abbele/disp |name= |G_m|G_n || |SZ= }} surjektiv ist {{ Zusatz/Klammer |text=ein Erzeuger wird also auf einen Erzeuger abgebildet, bzw. eine primitive Einheitswurzel wird auf eine primitive Einheitswurzel abgebildet| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Definitionslink/- |Prämath= |{{acutee}}tale Fundamentalgruppe |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also {{math/disp|term= {{op:Limes projektiv| {{op:Zmod|n}} | n \in \N,\, p {{teilt nicht}} n }} = \prod_{ \ell \, {\rm prim} \neq p } \hat{\Z} _\ell |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ii7mjwdqxb2ibvmcwtqdqdfyc05696 0 45167 779938 752104 2022-08-21T17:45:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiert| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink/- |Prämath= |Polynomring in {{math|term= n|SZ=}} Variablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bzw. auf dem {{ Definitionslink/- |Prämath= |affinen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= K|SZ=}} ein Körper| |ISZ=|ESZ= }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist der Polynomring in den {{math|term= n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |elementarsymmetrischen Polynomen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= s_1 {{kommadots|}} s_n|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ringerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[s_1 {{kommadots|}} s_n] \subseteq K[x_1 {{kommadots|}} x_n]|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |frei| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere flach| |ISZ=|ESZ=. }} Die zugehörige Erweiterung der Quotientenkörper ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Gesamtabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Affiner Raum|n|K}} | {{op:Affiner Raum|n|K}} |(x_1 {{kommadots|}} x_n)|(s_1 {{kommadots|}} s_n) |SZ=, }} ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |{{acute|e}}tale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sie ist in denjenigen Punkten verzweigt, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} weniger als {{math|term= n!|SZ=}} Punkte besitzen, und das sind diejenigen Punkte, wo mindestens zwei Koordinaten übereinstimmen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m2irp16igyulfkty29sv5zml1z8buii 0 45186 783672 757321 2022-08-22T04:07:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=|K=L}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |L|L || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körperautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L[X]|L[X] |\sum_{i {{=|}} 0}^n a_iX^i |\sum_{i {{=|}} 0}^n \varphi(a_i)X^i |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Polynomrings {{math|term= L[X]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2=Theorie der Ringhomomorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hubnq9vyp7t11l8cpaoai47eur9ainb 0 45241 781822 755725 2022-08-21T22:59:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Gruppe/Situation|G=D|SZ=,}} {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= \chi \in {{op:Charakterdual|D|}} = {{op:Charaktere|D|K}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Charakter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \chi (d)|SZ=}} für jedes {{mathl|term= d \in D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie2=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c2zvq98gh93w7u4mg9fuk56vus19nna 0 45242 779757 763746 2022-08-21T17:17:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \R |\subset| {{CC}} || || || |SZ= }} ist durch die Gruppe {{ Ma:Vergleichskette |D ||{{op:Zmod|2|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |graduiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{math|term= 0|SZ=-}}te homogene Komponente ist {{math|term= \R|SZ=}} und die {{math|term= 1|SZ=-}}te Komponente ist {{math|term= \R {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das {{math|term= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} gehört da dazu, während man unter dem {{ Definitionslink |Prämath= |Imaginärteil| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer komplexen Zahl die reelle Zahl vor dem {{math|term= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} versteht| |ISZ=|ESZ=. }} Die übliche Schreibweise {{ Ma:Vergleichskette |z ||a+b {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} ist also die Zerlegung in die homogenen Komponenten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Körpererweiterung R in C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m05hjcmjy8effuon6wbpemy4urm0r84 0 45351 781870 755774 2022-08-21T23:07:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= \mu_n(L)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu {{mathlk|term=n \in \N_+|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} die Gruppe der {{math|term= n|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{math|term= n|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |natürlichen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Galoisgruppe|K|L}} | {{op:Aut|(\mu_n(L))|}} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie2=Galoistheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fwfbopsshbw3we3gvjk0553ewnin0ts 0 45368 781869 755773 2022-08-21T23:07:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Körpererweiterung/Situation|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G= {{op:Galoisgruppe|K|L}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |G| {{op:Einheiten|K||}} |\varphi| {{op:Determinante|\varphi|}} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mquljab57jlhn04flimbk74pu8bh6k7 0 45370 781832 755737 2022-08-21T23:00:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= D|SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Charaktergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Charakterdual|D|}} |SZ=}} in einen Körper {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Charakterdual|D|}} | {{op:Einheiten|K|}} |\chi| \prod_{d \in D} \chi(d) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i4fhrvdczuxkq8gep4du1lq6atvn5ze 0 45373 782611 756376 2022-08-22T01:10:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= D|SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= K\subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} für {{mathl|term= \chi \in {{op:Charakterdual|D|}} |SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \prod_{d \in D} \chi (d) || {{op:Determinante|\varphi_\chi|}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \varphi_\chi|SZ=}} den zugehörigen {{math|term= K|SZ=-}}Automorphismus von {{math|term= L|SZ=}} bezeichnet {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cfz50wlvbp9ydqwyzdmu2dxkwsj8i21 0 45376 781948 755840 2022-08-21T23:20:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= D|SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Charaktergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Charakterdual|D|}} |SZ=}} mit Werten in einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\psi | {{op:Charakterdual|D|}} | {{op:Einheiten|K|}} |\chi| \prod_{d \in D} \chi(d) |SZ=, }} nur die Werte {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ= }} annehmen kann. b) Es sei vorausgesetzt, dass {{mathl|term= K|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \psi|SZ=}} genau dann den Wert {{math|term= -1|SZ=}} annimmt, wenn {{mathl|term= n |SZ=}} gerade ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e5j7yd91mrp7dyw14ghbvdr3g1y2ege 0 45401 779213 763294 2022-08-21T15:53:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der eine {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält. Es sei {{mathl|term= a \in K|SZ=}} derart, dass das Polynom {{mathl|term= X^n-a|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |K |\subseteq|L || K[X]/ {{makl| X^n-a |}} || || |SZ= }} eine nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reine Gleichung über Körper/Als graduierte Algebra/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=D= {{op:Zmod|n|}} |graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Galois/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} handelt es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Galoisgruppe|K|L}} || {{op:Charakterdual|D|}} |\cong| {{op:Zmod|n|}} || || |SZ=. }} Dabei ist {{math|term= L|SZ=}} auch der {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= X^n-a|SZ=.}} Wenn {{math|term= x|SZ=}} die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} bezeichnet, so sind die {{math|term= n|SZ=}} verschiedenen Nullstellen dieses Polynoms gleich {{ mathbed/disp|term= \zeta x |mit|bedterm1= \zeta \in \mu_n(K) = {{mengebed| z \in K|z^n {{=|}} 1}} ||bedterm2= |SZ=, }} die allesamt {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Elemente| |Kontext=Graduierung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Stufe {{mathl|term= 1 \in D|SZ=}} sind. Ein {{ Definitionslink |Prämath= |Charakter| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \chi \in {{op:Charakterdual|D|}} |SZ=}} bzw. der zugehörige Automorphismus {{math|term= \varphi_\chi |SZ=}} operiert gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zerfällungskörper/Operation auf Nullstellen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf dieser Nullstellenmenge {{math|term= M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die nichtkanonisch isomorph zu {{mathlk|term=\mu_n(K)|SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_\chi |M|M | \zeta x| \chi(1) \zeta x |SZ=. }} Die graduierende Gruppe {{math|term= D|SZ=,}} sein Charakterdual {{mathl|term= {{op:Charakterdual|D|}} |SZ=,}} die Gruppe der {{math|term= n|SZ=-}}ten Einheitswurzeln {{mathl|term= \mu_n(K)|SZ=,}} die Galoisgruppe {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|K|L}}|SZ=}} und die Nullstellenmenge {{math|term= M|SZ=}} bestehen aus {{math|term= n|SZ=}} Elementen, die Permutationsgruppe von {{math|term= M|SZ=}} besteht somit aus {{math|term= n!|SZ=}} Elementen. Zu je zwei Nullstellen {{ mathkor|term1= x_1= \zeta_1 x |und|term2= x_2 = \zeta_2 x |SZ= }} gibt es einen eindeutigen Charakter bzw. Automorphismus, dessen zugehörige Permutation {{math|term= x_1|SZ=}} in {{math|term= x_2|SZ=}} überführt, nämlich derjenige Charakter {{math|term= \chi|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\chi(1) ||\zeta_2 \zeta_1^{-1} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |K ||\Q || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |L ||\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] ||\Q[X]/{{makl| X^2+1 |}} || || |SZ= }} sind {{ Ma:Vergleichskette |M || \{ {{Imaginäre Einheit|}} ,- {{Imaginäre Einheit|}} \} || || || |SZ= }} die beiden Nullstellen und der nichtkonstante Charakter vertauscht die beiden Nullstellen. Wegen {{ Ma:Vergleichskette |2! ||2 || || || |SZ= }} rührt jede Permutation von einem Automorphismus bzw. einem Charakter her. Bei {{ Ma:Vergleichskette |K ||\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] || || || |SZ= }} und {{mathl|term= X^4-3 \in K[X]|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette |L ||K[X]/ {{makl| X^4-3 |}} || || || |SZ= }} eine {{mathl|term= {{op:Zmod|4|}} |SZ=-}}graduierte Körpererweiterung. Die vier Nullstellen sind {{ mathlist|term1= \sqrt[4]{3} ||term2= - \sqrt[4]{3} ||term3= {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt[4]{3} |und|term4= - {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt[4]{3} |SZ=. }} Die Irreduzibilität von {{mathl|term= X^4-3|SZ=}} ergibt sich dadurch, dass das Produkt von je zwei Linearfaktoren nicht zu {{mathl|term= K[X]|SZ=}} gehört. Jeder Charakter {{math|term= \chi|SZ=}} ist durch {{mathl|term= \chi(1)|SZ=}} bestimmt und die zugehörige Permutation auf der Nullstellenmenge ist die Multiplikation mit {{mathl|term= \chi(1)|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette | \chi(1) || -1 || || || |SZ= }} ist das die Permutation {{mathl|term= \sqrt[4]{3} \leftrightarrow -\sqrt[4]{3} ,\, {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt[4]{3} \leftrightarrow -{{Imaginäre Einheit|}} \sqrt[4]{3} |SZ=,}} bei {{ Ma:Vergleichskette | \chi(1) || {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} ist das die Permutation {{mathl|term= \sqrt[4]{3} \mapsto {{Imaginäre Einheit|}}\sqrt[4]{3} \mapsto -\sqrt[4]{3} \mapsto - {{Imaginäre Einheit|}}\sqrt[4]{3} |SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette | \chi(1) || - {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} ist das die Permutation {{mathl|term= \sqrt[4]{3} \mapsto - {{Imaginäre Einheit|}}\sqrt[4]{3} \mapsto -\sqrt[4]{3} \mapsto {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt[4]{3} |SZ=.}} Unter den {{math|term= 24|SZ=}} Permutationen rühren also nur {{math|term= 4|SZ=}} von einem Charakter her, eine Permutation wie {{mathl|term= \sqrt[4]{3} \leftrightarrow \sqrt[4]{3}|SZ=,}} {{mathl|term= -\sqrt[4]{3} \leftrightarrow -\sqrt[4]{3}|SZ=,}} und {{mathl|term= {{Imaginäre Einheit|}}\sqrt[4]{3} \leftrightarrow - {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt[4]{3}|SZ=}} z.B. nicht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qz4hfibdkosmepd3xky7xx7fwfn02td 0 45413 783692 757343 2022-08-22T04:11:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} und beweise{{n Sie}} die {{Anführung|Gradformel}} für eine Kette von {{ Definitionslink |endlichen Kör{{latextrenn|}}pererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K \subseteq L \subseteq M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a91iycofbe6c1a93pirc16tw5mykmwj 0 45415 781185 755229 2022-08-21T21:12:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= D_1 |und|term2= D_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ mathkor|term1= {{op:Charakterdual|D_1|}} |und|term2= {{op:Charakterdual|D_2|}} |SZ= }} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Charaktergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |D_1|D_2 || |SZ= }} durch die Zuordnung {{mathl|term= \chi \mapsto \chi \circ \varphi|SZ=}} ein Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name={{op:Charakterdual|\varphi|}} | {{op:Charakterdual|D_2|}} | {{op:Charakterdual|D_1|}} || |SZ= }} definiert wird. |Es sei {{math|term= D_3|SZ=}} eine weitere kommutative Gruppe und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |D_2|D_3 || |SZ= }} ein Gruppenhomomorphismus. Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakterdual|( \psi \circ \varphi )||}} || {{op:Charakterdual| \varphi ||}} \circ {{op:Charakterdual| \psi ||}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qms1eyc5ed6lk0eihqumsqrmorqtav5 0 45418 785583 758824 2022-08-22T09:03:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Gruppenstruktur| |ISZ=|ESZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Q \subseteq \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 17w67izillaoh8b3gtgofojyajlnptp 0 45421 785116 758480 2022-08-22T07:49:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X]|SZ=}} der Polynomring über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} unter Verwendung der Division mit Rest, dass {{math|term= K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptidealbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2=Theorie der Hauptidealbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ropwqcywsahdqpzdnkd6apa773w38xd 0 45424 781152 579033 2022-08-21T21:07:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und es sei {{mathl|term= \mu_n \subseteq {{CC}}|SZ=}} die Menge der {{math|term= n|SZ=-}}ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei {{mathl|term= F \in {{CC}}[X]|SZ=}} ein Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= F \in {{CC}}[X^n]|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h., dass {{math|term= F|SZ=}} als Polynom in {{math|term= X^n|SZ=}} geschrieben werden kann| |ISZ=|ESZ= }} genau dann gilt, wenn für jedes {{mathl|term= z \in \mu_n|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(zX) ||F(X) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6rvbhaw7yt6yv67sf6xhm6y35kzah5d 0 45426 782466 415853 2022-08-22T00:46:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= k |SZ=}} und {{math|term= n |SZ=}} ganze Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |{{math|term= k|SZ=}} teilt {{math|term= n|SZ=.}} |Es ist {{mathl|term= \Z n \subseteq \Z k|SZ=.}} |Es gibt einen Ringhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zmod|n|}} | {{op:Zmod|k|}} || |SZ=. }} |Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zmod|n|}} | {{op:Zmod|k|}} || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ddstxnjbu2mpjgr8abx83ib3wy5yt9v 0 45433 782166 756043 2022-08-21T23:56:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}}[X] |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vier. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Faktorzerlegung in Polynomringen in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Polynomring in einer Variablen über F 2 |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 08sogalyv3pyd4bpltqcjromdiovalo 0 45434 784263 757900 2022-08-22T05:46:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 2+5 {{Imaginäre Einheit}}|SZ=}} über {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie3=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von Q |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6tfpdnanmd6gh88247l7tu3ixydrlgl 0 45438 780643 503625 2022-08-21T19:42:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Forme{{n Sie}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^5+10x^4+x-5 || 0 || || || |SZ= }} in eine äquivalente Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^5 +b_3y^3 + b_2y^2 + b_1y +b_0 || 0 || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= b_i \in \Q|SZ=}} um. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Eliminiere |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8bs0q6o2rx578w5yjl65nvkxhpbu8h8 0 45440 785654 509810 2022-08-22T09:15:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine ganze Zahl {{mathl|term= n |SZ=}} derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^2 +3 x + {{op:Bruch|7|3}} ||0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= \Q[\sqrt{n}]|SZ=}} liegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h2sxx6n0p0s4a0mc5xpvhunn12ihpgz 0 45451 786515 759548 2022-08-22T11:38:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |separables Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein Teiler {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} von {{math|term= P|SZ=}} ebenfalls separabel ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der separablen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3qxn9t1r4aynxym2tdr194jbejts1wm 0 45452 783437 757115 2022-08-22T03:28:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Ist ein konstantes Polynom {{mathl|term= P\in K[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der separablen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c4v44iovzjg9k9s5186f64gtzmrfxdm 0 45453 781813 755718 2022-08-21T22:57:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |einfache Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K\subseteq L|SZ=,}} die nicht {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz vom primitiven Element |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lijdkivgmcwwo2vuwptissrjuz69htg 0 45473 781865 737615 2022-08-21T23:06:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Körpererweiterung/Situation|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | G || {{op:Galoisgruppe|K|L}} || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette | K |\subseteq| M || || || |SZ= }} eine weitere Körpererweiterung. Es sei {{math|term= E|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismen| |Definitionsseitenname= /Definition} |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= |G| {{op:Permutationsgruppe|E|}} |\varphi| ( \iota \mapsto \iota \circ \varphi ) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aq1z93uau18ou5vqath80imttdd42ix 0 45476 780537 752995 2022-08-21T19:24:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Menge {{mathl|term= \mu_8({{CC}})|SZ=}} der achten {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} Welche sind untereinander über {{math|term= \Q|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s7m4m2iqx82bnbx25k5mlz3y1c7zuus 0 45477 783342 757031 2022-08-22T03:12:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= n|SZ=}} Vektoren {{ Zusatz/Klammer |text=im {{math|term= {{CC}}^n|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ mathbed/disp|term= (1,\zeta,\zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{n-1}) ||bedterm1= \zeta \in \mu_n({{CC}}) ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2=Theorie der Charaktere (Monoide) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s9o2de66zv2k0nd25kmqmua8zbe7h7g 0 45480 786158 759317 2022-08-22T10:39:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= q \in \Q|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= L|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungs{{latextrenn|}}körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= X^3-q |SZ=.}} Welchen Grad besitzt {{math|term= L|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= \Q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=? }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für jeden möglichen Grad Beispiele an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie2=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie3=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d7fqkucjo0c7rz82rmq6qroufcuyga2 0 45523 779893 752052 2022-08-21T17:38:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Sphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || {{mengebed|x \in \R^{n+1}| {{op:Norm|x|}} {{=|}} 1 }} || || || |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |antipodale Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |S|S |x|-x |SZ=, }} die also jeden Punkt auf seinen gegenüberliegenden Punkt abbildet. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha \circ \alpha || {{op:Identität|S|}} || || || |SZ= }} gibt dies Anlass zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:Vergleichskette |G ||\{1,-1 \} |\cong|{{op:Zmod|2|}} || || |SZ= }} auf der Sphäre {{math|term= S|SZ=,}} bei der {{math|term= 1|SZ=}} durch die Identität und {{math|term= -1|SZ=}} durch {{math|term= \alpha|SZ=}} operiert. Diese Operation ist {{ Definitionslink |Prämath= |treu| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und jede {{ Definitionslink |Prämath= |Bahn| |Kontext=Gruppenoperation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist zweielementig von der Form {{mathl|term= \{x, -x\}|SZ=.}} Insbesondere besitzt die Operation keinen Fixpunkt. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=versehen mit einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath= |Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} heißt {{math|term= n|SZ=-}}dimensionaler {{Stichwort|reell-projektiver Raum|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tjyqhkp7ax4us2ezfzpnieo8k83jv5a 0 45533 782613 756378 2022-08-22T01:11:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche graduierte Körpererweiterung/Situation|SZ=.}} Zu jedem Primpotenzteiler {{math|term= p^r|SZ=}} von {{mathl|term= {{op:Anzahl|D|}} |SZ=}} enthalte {{math|term= K|SZ=}} eine {{math|term= p^r|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |normale Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q7zox1a9wldrmyvoza9dmcj372ac95s 0 45534 782614 756379 2022-08-22T01:11:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche graduierte Körpererweiterung/Situation|SZ=.}} Zu jedem Primpotenzteiler {{math|term= p^r|SZ=}} von {{mathl|term= {{op:Anzahl|D|}} |SZ=}} enthalte {{math|term= K|SZ=}} eine {{math|term= p^r|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |separable Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ukr6s9sn7iaem8o3ddlnh7l9n3ju9s 0 45535 781967 755859 2022-08-21T23:23:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {\mathbb F}_3 \subseteq {\mathbb F}_9|SZ=,}} welche Elemente aus {{math|term= {\mathbb F}_9|SZ=}} untereinander {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Minimalpolynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 9 Elementen |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b8fbff0gt5746jcokp5yb3a6ci1sid1 0 45536 781966 755858 2022-08-21T23:23:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {\mathbb F}_2 \subseteq {\mathbb F}_8|SZ=,}} welche Elemente aus {{math|term= {\mathbb F}_8|SZ=}} untereinander {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Minimalpolynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 8 Elementen |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 67oxz2wfq8bj5s5eljsxvknyli5aimq 0 45752 784669 758171 2022-08-22T06:42:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche normale Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und {{ mathbed|term= M ||bedterm1= K \subseteq M \subseteq L ||bedterm2= |SZ=, }} ein Zwischenkörper, der über {{math|term= K|SZ=}} nicht normal sei. Zeige{{n Sie}}, dass es einen weiteren Zwischenkörper {{mathl|term= M' \neq M|SZ=}} gibt, der zu {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4yfu13bwkm7d7hpgwrxbevdpzeoahzs 0 45753 784667 758170 2022-08-22T06:42:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde für den Körper {{math|term= L|SZ=}} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normale Körpererweiterung/Nicht transitiv/sqrt(3) und sqrt(1+sqrt(3))/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körper{{latextrenn|}}erweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= L \subseteq L'|SZ=}} mit {{mathl|term= L' \subseteq {{CC}}|SZ=}} und so, dass {{math|term= L'|SZ=}} über {{math|term= \Q|SZ=}} normal ist. Beschreibe{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Automorphismus| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |L'|L' || |SZ= }} mit {{mathl|term= \varphi(L) \neq L|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 95itq6vlf9aro5c4023axrllcunsfid 0 45754 783713 757361 2022-08-22T04:14:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und seien {{mathl|term= M_1,M_2|SZ=}} Zwischenkör{{latextrenn|}}per, die beide über {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien. Zeige{{n Sie}}, dass auch {{mathl|term= K \subseteq M_1 \cap M_2|SZ=}} normal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qy1bzsdgeub8ozr25acdrpv6wlyvhvi 0 45755 783698 757348 2022-08-22T04:12:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normale| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |separable Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= x \in L|SZ=}} mit {{mathl|term= x^n =a \in K|SZ=,}} wobei {{mathl|term= {{op:Grad Körpererweiterung|K|K(x)}} =n|SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= L|SZ=}} {{math|term= n|SZ=}} verschiedene {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der endlichen separablen Körpererweiterungen |Kategorie3=Theorie der Radikalerweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d81h3pu5gbi6pdiso4e7pbqufwt0zdb 0 45757 782315 756157 2022-08-22T00:21:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\Phi |{\mathbb F}_q|{\mathbb F}_q || |SZ= }} bezüglich einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath={\mathbb F}_p |Basis| |Kontext=lineare Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {\mathbb F}_q|SZ=}} für {{mathl|term= p=2|SZ=}} und {{mathl|term= q=4|SZ=}} bzw. {{mathl|term= q=8|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie endlicher Körper |Kategorie2=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 4 Elementen |Objektkategorie2=Der Körper mit 8 Elementen |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ttb8a0nrvrl4i2zqtw11cn0y8bafajx 0 45758 782316 756158 2022-08-22T00:21:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\Phi |{\mathbb F}_q|{\mathbb F}_q || |SZ= }} bezüglich einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath={\mathbb F}_p |Basis| |Kontext=lineare Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {\mathbb F}_q|SZ=}} für {{mathl|term= p=3|SZ=}} und {{mathl|term= q=9|SZ=}} bzw. {{mathl|term= q=27|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie endlicher Körper |Kategorie2=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 9 Elementen |Objektkategorie2=Der Körper mit 27 Elementen |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} krotvw976keqz0lk7jsqyzcgfxf039o 0 45759 783642 757291 2022-08-22T04:02:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= H|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Kör{{latextrenn|}}perautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sei {{mathl|term= x \in K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor/disp|term1= \sum_{\varphi \in H} \varphi(x) |und|term2= \prod_{\varphi \in H} \varphi(x) |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Fixkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Fixkörper|H|}} |SZ=}} gehören. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2=Theorie der Reynolds-Operatoren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f2fcs1a6m1qcb2dj0j9ela5cnm9yl2n 0 45760 781951 755844 2022-08-21T23:20:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathbed|term= q=p^e ||bedterm1= e \geq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} eine Primzahlpotenz. Beweise{{n Sie}} mit Hilfe der verschiedenen äquivalenten Eigenschaften aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {\mathbb F}_p \subseteq {\mathbb F}_q|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |galoissch| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie endlicher Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lugl4frrv9c2oi4ubb0iyn6g9h0docp 0 45761 782409 756245 2022-08-22T00:37:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |zyklischen| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jeden Zwischenkörper {{math|term= M|SZ=}} auch die Erweiterung {{mathl|term= K \subseteq M|SZ=}} galoissch ist mit einer ebenfalls zyklischen Galoisgruppe. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Galoiskorrespondenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=zyklisch |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} njnn66vn9jbaderqhkfmaa3mf73ef0p 0 45773 779869 749200 2022-08-21T17:34:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {\mathcal L}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=,}} die in der Picardgruppe {{math|term= {{opsyn|Pic|X|tief=|hoch=}}|SZ=}} endliche {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} besitze, wobei {{math|term= n|SZ=}} in {{math|term= X|SZ=}} invertierbar sei. Mit einem fixierten {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {\mathcal L}^n \cong {\mathcal O}_X|SZ=}} kann man auf der direkten Summe {{ math/disp|term= {\mathcal O}_X \oplus {\mathcal L} \oplus {\mathcal L}^{2} {{oplusdots||}}{\mathcal L}^{n-1} |SZ= }} eine {{math|term= {\mathcal O}_X |SZ=-}}Algebra-Struktur {{math|term= {\mathcal A}|SZ=}} definieren. Das zugehörige {{ Zusatz/Klammer |text=relative| |ISZ=|ESZ= }} Spektrum definiert einen endlichen Schemamorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |Y {{=|}} {\rm Spec} {\mathcal A}|X || |SZ=. }} Dieser ist flach, da die Algebra lokal frei ist. Die Unverzweigtheit weist man auch lokal nach, wobei man zu offenen affinen Mengen {{mathl|term= U \subseteq X|SZ=}} übergeht, über denen {{math|term= \mathcal L|SZ=}} trivial ist. Auf einer solchen Menge {{mathl|term= U = {\rm Spec} R|SZ=}} wird die Algebra durch {{mathl|term= B=R[T](T^n -r)|SZ=}} mit einer Einheit {{mathl|term= r \in {{op:Einheiten|R|}} |SZ=}} gegeben. Die relativen Differentiale werden von {{math|term= dT|SZ=}} erzeugt und dafür gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 ||d(T^n-r) ||nT^{n-1} dT || || |SZ=. }} Da sowohl {{math|term= n|SZ=}} als auch {{math|term= T|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=als Teiler von {{math|term= r|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} Einheiten sind, ist {{ Ma:Vergleichskette |dT ||0 || || || |SZ=. }} Wenn man die invertierbare Garbe {{math|term= {\mathcal L}|SZ=}} nach {{math|term= Y|SZ=}} zurückzieht, so ergibt sich wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | ({\mathcal O}_X \oplus {\mathcal L} \oplus {\mathcal L}^{2} {{oplusdots||}}{\mathcal L}^{n-1}) \otimes_{ {\mathcal O}_X} {\mathcal L} | \cong | {\mathcal L} \oplus {\mathcal L}^2 \oplus {\mathcal L}^{3} {{oplusdots||}}{\mathcal L}^{n} | \cong | {\mathcal A} || || |SZ= }} die Strukturgarbe. Die konstruierte {{acutee|}}tale Abbildung trivialisiert also diese Torsionsgarbe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4eqdkq61ztdcsxp6ngkchizlowm7xzy 0 45824 781875 755778 2022-08-21T23:08:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Norm| |Definitionsseitenname= Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=N |L|K |f|N(f) |SZ=, }} folgende Eigenschaften besitzt. {{Aufzählung3|Es ist {{mathl|term= N(fg)=N(f)N(g)|SZ=.}} |Für {{mathl|term= f \in K|SZ=}} ist {{mathl|term= N(f)=f^n|SZ=,}} wobei {{math|term= n|SZ=}} den {{ Definitionslink |Grad| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition |SZ= }} der Körpererweiterung bezeichne. |Es ist {{mathl|term= N(f)=0|SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= f=0|SZ=}} ist.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 26jhd70a83uf6859nt7snlpb4ucxqcu 0 45826 781872 755776 2022-08-21T23:07:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Körpererweiterung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass zwischen {{mathl|term= \varphi \in {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=}} und der Multiplikationsabbildung {{ mathbed|term= \mu_f ||bedterm1= f \in L ||bedterm2= |SZ=, }} beide aufgefasst als {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= L|SZ=,}} weder die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu_{ \varphi(f)} || \mu_f \circ \varphi || || || |SZ= }} noch die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\mu_{ \varphi(f)} || \varphi \circ \mu_f || || || |SZ= }} gelten muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3phsfprqaawitcz6h0vdhm1mojwu156 0 45828 781160 755202 2022-08-21T21:08:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= a \in K|SZ=}} ein Element, das in {{math|term= K|SZ=}} keine {{math|term= p|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Wurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. Zeige{{n Sie}}, dass das Polynom {{mathl|term= X^p-a|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3m71x8369ot2ycqw6kqibfe2xyuiyca 0 45831 781182 755226 2022-08-21T21:12:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= |D| {{op:Charakterdual|( {{op:Charakterdual|D|}} )|}} |d| (\operatorname{ev}_d : \chi \mapsto \chi (d) ) |SZ=, }} ein natürlicher {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= D|SZ=}} in das Doppeldual {{mathl|term= {{op:Charakterdual|( {{op:Charakterdual|D|}} )|}} |SZ=}} gegeben ist. b) Es sei nun {{math|term= D|SZ=}} endlich und es sei vorausgesetzt, dass {{math|term= K|SZ=}} eine {{math|term= m|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält, wobei {{mathl|term= m|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Exponent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= D|SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass dann die Abbildung aus a) ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Evaluierung |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ogn38h9xxn1wfqa4ezi4w1uohjrt4nw 0 45832 781183 755227 2022-08-21T21:12:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Exponenten| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= m|SZ=,}} und es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der eine {{ Definitionslink |Prämath= |primitive| |Kontext=Einheitswurzel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= m|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnungen {{ math/disp|term= E \longmapsto {{op:Charakterkern|E|}} = {{mengebed|\chi \in {{op:Charakterdual|D|}} |\chi(d) {{=|}} 1 \text{ für alle } d \in E }} |SZ= }} und {{ math/disp|term= H \longmapsto {{op:Charakterkern|H|}} = {{mengebed|d \in D|\chi(d) {{=|}} 1 \text{ für alle } \chi \in H }} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen den Untergruppen von {{math|term= D|SZ=}} und den Untergruppen von {{math|term= {{op:Charakterdual|D|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |invers| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5u18jqm0h58phea4mxb0gudstv86boh 0 45833 781181 755225 2022-08-21T21:12:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten die Zuordnung {{ math/disp|term= E \longmapsto {{op:Charakterkern|E|}} = {{mengebed|\chi \in {{op:Charakterdual|D|}} |\chi(d) {{=|}} 1 \text{ für alle } d \in E }} |SZ=, }} die einer Untergruppe von {{math|term= D|SZ=}} eine Untergruppe von {{math|term= {{op:Charakterdual|D|}} |SZ=}} zuordnet. Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend. b) Unter der kanonischen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |D| {{op:Charakterdual|( {{op:Charakterdual|D|}} )|}} |d| (\operatorname{ev}_d: \chi \mapsto \chi(d) ) |SZ=, }} ist {{mathl|term= \operatorname{ev}_d (E) \subseteq {{op:Charakterkern| ({{op:Charakterkern|E|}}) |}} |SZ=.}} c) Es sei vorausgesetzt, dass {{math|term= K|SZ=}} eine {{math|term= m|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält, wobei {{math|term= m|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Exponent| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= D |SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{mathl|term= \operatorname{ev}_d (E) = {{op:Charakterkern| ({{op:Charakterkern|E|}}) |}} |SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4v62wx18idu9kcsuvk0b8sgc3exylyp 0 45834 781764 755669 2022-08-21T22:49:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und sei {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Exponenten {{math|term= m|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |{{math|term= K|SZ=}} besitzt eine {{math|term= m|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zu jedem Primpotenzteiler {{math|term= p^r|SZ=}} von {{math|term= m|SZ=}} besitzt {{math|term= K|SZ=}} eine {{math|term= p^r|SZ=-}}te primitive Einheitswurzel. |Zu jedem Teiler {{math|term= n|SZ=}} von {{math|term= m|SZ=}} besitzt {{math|term= K|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te primitive Einheitswurzel. |Zu jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} eines Elementes {{mathl|term= d \in D|SZ=}} besitzt {{math|term= K|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te primitive Einheitswurzel. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 81roondp8ul3w8g7t0ap4ay1bbk9a02 0 45835 781186 755230 2022-08-21T21:13:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= E \subseteq D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper. a) Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\psi | {{op:Charakterdual|D|}} | {{op:Charakterdual|E|}} |\chi| \chi {{|}}_E |SZ=, }} gleich {{math|term= {{op:Charakterkern|E|}} |SZ=}} ist. b) Es sei vorausgesetzt, dass {{math|term= K|SZ=}} eine {{math|term= m|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, wobei {{math|term= m|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Exponent| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= D|SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \psi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 40pqdkzw2nrcm0zasenfk8eaq7ox983 0 45838 781866 755769 2022-08-21T23:06:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|L || || || |SZ= }} gegeben mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplikationsabbildung| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \mu_f|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \chi_{\mu_f}|SZ=}} ein Vielfaches des {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynoms| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c3hbd8nxtoo63bh0bmylik1nvvl98s4 0 45842 781861 755765 2022-08-21T23:05:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= \varphi \in {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Automorphismus| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= \lambda|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \lambda|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume von Körperautomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f17al55rillogx4bupmhozasyo2qmj3 0 45846 781863 755768 2022-08-21T23:06:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= \delta \in {{op:Charakterdual|G||}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Charakter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G = {{op:Galoisgruppe|K|L}}|SZ=.}} {{ManSie|Man mache|Machen Sie}} sich die Gleichheit {{ math/disp|term= L_\delta = {{mengebed|x \in L| \varphi(x) {{=|}} \delta(\varphi) \cdot x \text{ für alle } \varphi \in G }} = \bigcap_{\varphi \in G} {{op:Eigenraum| \varphi|\delta(\varphi) }} |SZ= }} klar. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume von Körperautomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oppud5x4g27vtzb0ojjgs5w6oglt8rz 0 45847 781845 755750 2022-08-21T23:03:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= {\mathbb F}_{125}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume von Körperautomorphismen |Kategorie2=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 125 Elementen |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 91x3txcqroo8affgfda0iv40qwbddfs 0 45849 781846 755751 2022-08-21T23:03:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= {\mathbb F}_{343}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume von Körperautomorphismen |Kategorie2=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 343 Elementen |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rnz8yonzqriq1qs99g80emfaontysrk 0 45852 781847 755752 2022-08-21T23:03:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|p^p|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume von Körperautomorphismen |Kategorie2=Galoistheorie endlicher Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sbn14k140miqxfonyk2gk44cb8ol5ms 0 45853 781729 755642 2022-08-21T22:43:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subseteq L=K[x]|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |einfache Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name=\mu_x |L|L || |SZ= }} die Multiplikation mit {{math|term= x|SZ=.}} a) Schreibe die Matrix der linearen Abbildung {{math|term= \mu_x|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 1, x, x^2 {{kommadots|}} x^{n-1} |SZ=}} von {{math|term= L|SZ=}} mit Hilfe des {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynoms| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= x|SZ=.}} b) Zeige{{n Sie}} ausgehend von der Matrix aus a), dass das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \mu_x|SZ=}} mit dem Minimalpolynom zu {{math|term= x|SZ=}} übereinstimmt. c) Begründe{{n Sie}} {{Anführung|theoretisch|SZ=,}} dass das charakteristische Polynom das Minimalpolynom ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume von Körperautomorphismen |Kategorie2=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie3=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t6m19n62crmz3hnu05nmrfo3eekmrzy 0 45902 782618 756385 2022-08-22T01:12:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Nullstellen von {{mathl|term= X^6+108|SZ=}} in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Graduierte Körpererweiterung/Q(3.sqrt(2), sqrt(-3))/Galois/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und beschreibe{{n Sie}}, wie die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismen| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf diesen Nullstellen wirken. Welche Nullstellen sind {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Nullstelle| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Zerfällungskörper zu X^6+108 über Q |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fccvyp5an33vfzy2i2ln8rjqz661koz 0 45982 785207 758549 2022-08-22T08:03:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= p \in R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primelement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= p|SZ=}} auch im Polynomring {{mathl|term= R[X]|SZ=}} prim ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1tchglc2p4jb4yriikxofzo1591x7mm 0 45994 780540 559112 2022-08-21T19:25:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das achte Kreisteilungspolynom {{mathl|term= X^4 + 1|SZ=}} über allen endlichen Primkörpern {{mathl|term= \mathbb{F}_p|SZ=}} reduzibel ist. |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4qshr1yl8exx7bdb9uu4ypd811xitg7 0 46007 783676 757325 2022-08-22T04:08:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= n|SZ=}} eine ungerade Zahl. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Q \subseteq L|SZ=}} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|\Q|L}} |SZ=}} trivial ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7qhmw4aruyv1uehkjlg9wd53cnwts8m 0 46008 783521 757184 2022-08-22T03:42:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und {{math|term= n|SZ=}} eine natürliche Zahl, die wir als {{mathl|term= n=kp^a|SZ=}} schreiben mit {{ mathkor|term1= k |und|term2= p |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=über| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {\mathbb F}_p|SZ=}} gleich {{math|term= {\mathbb F}_{q}|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=q=p^e |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} wobei {{math|term= q|SZ=}} die minimale echte Potenz von {{math|term= p|SZ=}} mit der Eigenschaft ist, dass {{mathl|term= q-1|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= k|SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}} insbesondere, dass es ein solches {{math|term= q|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Kreisteilungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c1w0j5ut9lis9znq2wgb8heseuj1ul4 0 46012 783520 757183 2022-08-22T03:42:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine [[Kreisteilungskörper/F p/12x12/Tabelle|Tabelle]], die für die ersten zwölf Primzahlen {{math|term= p|SZ=}} und für {{mathl|term= n=1 {{kommadots|}} 12 |SZ=}} angibt, welcher {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {\mathbb F}_{p^e}|SZ=}} der {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=über| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {\mathbb F}_p|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Kreisteilungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rtccr5iop0cogq6mnr8i052gc74uflq 0 46015 781950 755843 2022-08-21T23:20:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und {{ mathbed|term= q=p^e ||bedterm1= e \geq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} eine Primzahlpotenz. Zeige{{n Sie}}, dass der {{mathl|term= (q-1)|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=über| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {\mathbb F}_p|SZ=}} gleich {{math|term= {\mathbb F}_q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Kreisteilungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0gkb86352uqlvsler3c1lxgcxb20s5p 0 46019 780405 754604 2022-08-21T19:02:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Schreibe{{n Sie}} den {{math|term= 5|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kreisteilungskörper|5|SZ=}} }} als {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \Q[\sqrt{5}]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rlwwjz5t3qd2rz0hh4r995zswvzruhc 0 46035 783424 757104 2022-08-22T03:26:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Kompositum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K_1K_2|SZ=}} zu zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= K \subseteq K_1 |und|term2= K \subseteq K_2 |SZ= }} vom gewählten Oberkörper abhängen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kompositums (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gt0jo9eiq2m50wvp7hzl4ow84ttjgll 0 46037 783425 757105 2022-08-22T03:26:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= K \subseteq K_1 |und|term2= K \subseteq K_2 |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= d_1 |bzw.|term2= d_2 |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= K_1K_2|SZ=}} das in einem Oberkörper gebildete {{ Definitionslink |Prämath= |Kompositum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Grad Körpererweiterung|K|K_1K_2}} |\leq |d_1d_2 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kompositums (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Grad |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} edsie0nqiegaqwieiiz2ukykiywpen7 0 46038 781735 755648 2022-08-21T22:44:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= K \subseteq K_1 \cong K[X]/F(X) |und|term2= K \subseteq K_2 \cong K[Y]/G(Y) |SZ= }} zwei endliche {{ Definitionslink |Prämath= |einfache Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= A=K[X,Y]/(F,G)|SZ=}} kein Körper sein muss. b) Es sei {{mathl|term= K_1K_2|SZ=}} das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete {{ Definitionslink |Prämath= |Kompositum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen surjektiven {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=}} nach {{mathl|term= K_1K_2|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kompositums (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Tensoralgebra |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1f57w26gfx24ntcj53ydwk42bwf1kpo 0 46039 781736 755649 2022-08-21T22:44:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= K \subseteq K_1 \cong K[X]/F(X) |und|term2= K \subseteq K_2 \cong K[Y]/G(Y) |SZ= }} zwei endliche {{ Definitionslink |Prämath= |einfache Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K|SZ=,}} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Grade| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} teilerfremd seien. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= A=K[X,Y]/(F,G)|SZ=}} ein Körper ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kompositums (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Tensoralgebra |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9vynguzygv9ybqhuqwuq2ktauu8xkyh 0 46040 781849 755753 2022-08-21T23:03:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und sei {{mathl|term= {\mathbb F}_{q_1}|SZ=}} der Körper mit {{mathl|term= q_1=p^{e_1}|SZ=}} und {{mathl|term= {\mathbb F}_{q_2}|SZ=}} der Körper mit {{mathl|term= q_2=p^{e_2}|SZ=}} Elementen. Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Kompositum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=unabhängig vom gewählten Oberkörper| |ISZ=|ESZ= }} von {{ mathkor|term1= {\mathbb F}_{q_1} |und|term2= {\mathbb F}_{q_2} |SZ= }} gleich {{mathl|term= {\mathbb F}_{q}|SZ=}} mit {{mathl|term= q=p^e|SZ=}} und {{mathl|term= e= {{opsyn|kgV|e_1,e_2|tief=|hoch=}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kompositums (Körper) |Kategorie2=Theorie der endlichen Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qvkmx5q0ytg552herziq3yk280qspue 0 46041 783530 757193 2022-08-22T03:44:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= {{op:Kreisteilungskörper|n_1|}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Kreisteilungskörper|n_2|}} |SZ=}} zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Kompositum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=unabhängig vom gewählten Oberkörper| |ISZ=|ESZ= }} von {{ mathkor|term1= {{op:Kreisteilungskörper|n_1|}} |und|term2= {{op:Kreisteilungskörper|n_2|}} |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Kreisteilungskörper|n|}}|SZ=}} ist, wobei {{mathl|term= n= {{opsyn|kgV|n_1, n_2|tief=|hoch=}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kompositums (Körper) |Kategorie2=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cyz3tdas8k6bgab0smuytluedvfs936 0 46106 783002 756762 2022-08-22T02:16:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||x^6-5x^5+11x^4-13x^3+9x^2-3x+1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \Q[X]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor=Nummer auf Forum |Bearbeitungsstand= }} qyzrdb2ch63fz2997btbn97w3dbnlt6 0 46124 785042 758436 2022-08-22T07:38:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die beiden folgenden Polynome in {{mathl|term= \Q[x,y]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. a) {{mathl|term= y^4+ 3 x^2 y^2 + 4 x^7 y + 2 x|SZ=.}} b) {{mathl|term= y^6 + 3 x y^4 + 3 x^2 y^2 + x^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p4vzsyr1bl71xua5grao5r3t0ogkwvm 0 46126 780121 763897 2022-08-21T18:13:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem trivialen Bündel {{ Ma:abbele/disp |name=p |X \times {{{W|W}}} {{=|}} {{{W|W}}}_X |X || |SZ= }} ergibt sich die kurze exakte Sequenz {{ math/disp|term= 0 \rightarrow p^*(X \times {{{W|W}}}) = X \times {{{W|W}}} \times {{{W|W}}} \rightarrow p^* T(X \times {{{W|W}}} ) = TX \times {{{W|W}}} \times {{{W|W}}} \rightarrow p^* TX = TX \times {{{W|W}}} \rightarrow 0 |SZ= }} von Vektorbündeln über {{mathl|term= X \times {{{W|W}}}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aufgeschrieben sind die Totalräume| |ISZ=|ESZ=. }} Die Produkte werden dabei über den Grundkörper genommen, wobei links die Identifizierung {{mathl|term= (X \times {{{W|W}}}) \times_X (X \times {{{W|W}}}) =X \times {{{W|W}}} \times {{{W|W}}}|SZ=}} und rechts die Identifizierung {{mathl|term= TX \times_X (X \times {{{W|W}}}) =TX \times {{{W|W}}}|SZ=}} vorgenommen wurde. Zu einem Punkt {{mathl|term= (x,w) \in X \times {{{W|W}}} |SZ=}} gehört die exakte Sequenz der Fasern, also {{mathl|term= {{kurzeexaktesequenz|{{{W|W}}}|T_xX \times {{{W|W}}}|T_xX|}}|SZ=. }} Die globale Sequenz spaltet {{ Zusatz/Klammer |text=egal in welcher Kategorie| |ISZ=|ESZ=. }} Die zur trivialen Spaltung gehörige vertikale Ableitung ist einfach die Standardableitung: einem Schnitt {{math|term= s|SZ=}} in {{math|term= {{{W|W}}}|SZ=,}} der bezüglich einer Basis durch die {{math|term= r|SZ=}} Komponentenfunktionen {{mathl|term= (f_1 {{kommadots|}} f_r)|SZ=}} repräsentiert wird, wird die Ableitung {{ math/disp|term= \nabla_{\rm st} (s) = (df_1 {{kommadots|}} df_r) \in C^0( {{{W|W}}} \otimes T^*X) |SZ= }} zugeordnet, also einfach das Tupel der einzelnen Differentiale zu den Komponentenfunktionen. Es gibt aber auch andere Spaltungen der Sequenz und damit auch andere vertikale Ableitungen. Eine {{mathl|term= r\times r|SZ=-}}Matrix {{math|term= M|SZ=,}} deren Einträge {{ Definitionslink |Prämath=1 |Differentialformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \omega_{ij}|SZ=}} sind, liefert die vertikale Ableitung {{ math/disp|term= \nabla (f_1 {{kommadots|}} f_r) = (df_1 + \sum_{j =1}^r f_j \otimes \omega_{1j} {{kommadots|}} df_r + \sum_{j =1}^r f_j \otimes \omega_{rj} ) |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zusammenhänge auf Vektorbündeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j4gvtvkk6q1w0ic8zb4y5wby24wc9bu 0 46135 778901 510305 2022-08-21T15:03:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{mathl|term= s \mapsto s^n=t|SZ=}} definierte endliche {{acutee|}}tale Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |Y {{=|}} {\mathbb A}^\times |X {{=|}} {\mathbb A}^\times || |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= \mu_n|SZ=}} die Gruppe der {{math|term= n|SZ=-}}ten Einheitswurzeln, die in natürlicher Weise aus {{math|term= Y|SZ=}} operiert und deren Quotient {{math|term= X|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= n|SZ=}} sei kein Vielfaches der Charakteristik| |ISZ=|ESZ=. }} Die Operation lässt sich auf das triviale Geradenbündel {{mathl|term= Y \times {\mathbb A}^1|SZ=}} fortsetzen, z.B. durch {{ math/disp|term= \zeta \ast (s,v) =( \zeta s, \zeta v) |SZ=. }} Da die affine Gerade das einzige Geradenbündel auf {{math|term= X|SZ=}} ist, muss gemäß dem flachen Abstieg der Quotient dieser Operation auf dem Bündel gleich dem trivialen Bündel sein, obwohl die Operation nicht trivial {{Anführung|aussieht|SZ=.|}} Der Punkt ist, dass diese Operation isomorph zur {{ Zusatz/Klammer |text=in der Bündelkomponente| |ISZ=|ESZ= }} trivialen Operation ist. Die Operation {{ math/disp|term= \zeta \cdot (s,u) = (\zeta s, u) |SZ= }} wird nämlich durch die Bündelisomorphie {{mathl|term= u \mapsto s^{-1} v,\, v \mapsto s u|SZ=}} in die erste Operation überführt. Wenn man {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} durch die affinen Geraden {{ mathkor|term1= \tilde{X} {{=|}} {\mathbb A}^1 |und|term2= \tilde{Y} {{=|}} {\mathbb A}^1 |SZ= }} ersetzt, so ist die durch {{mathl|term= s \mapsto s^n=t|SZ=}} gegebene Abbildung ebenfalls treuflach, aber nicht mehr {{acutee|}}tale. Dies bedeutet insbesondere, dass kein Isomorphismus zwischen {{ mathkor|term1= \tilde{Y} \times_{\tilde{X} } \tilde{Y} |und|term2= \tilde{Y} \times H |SZ= }} vorliegt. In der Tat ist ja {{mathl|term= \tilde{Y} \times H |SZ=}} die {{mathl|term= {{op:Anzahl|H|}} |SZ=-}}fache disjunkte Kopie von {{math|term= \tilde{Y}|SZ=,}} während {{ Ma:Vergleichskette/align | \tilde{Y} \times_{\tilde{X} } \tilde{Y} || {{op:Spec|K[s] \otimes_{K[t]} K[s] |}} || {{op:Spec|K[s, \tilde{s},t]/(s^n -t, \tilde{s}^n -t) |}} || {{op:Spec|K[s, \tilde{s}]/(s^n - \tilde{s}^n ) |}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= K|SZ=}} algebraisch abgeschlossen| |ISZ=|ESZ= }} die Vereinigung von {{math|term= n|SZ=}} Geraden im Nullpunkt ist. In Folge dieses Unterschieds fallen auch die Abstiegsbedingung und die Invariantenbedingung auseinander. Es gibt nach wie vor nur das triviale Geradenbündel auf {{math|term= \tilde{Y}|SZ=}} mit der trivialen Operation und dem trivialen Abstieg. Die Operationen {{math|term= \ast|SZ=}} von {{mathl|term= \mu_n|SZ=}} auf {{mathl|term= \tilde{Y} \times {\mathbb A}^1|SZ=}} ist nicht mehr isomorph zur trivialen Operation, die oben über {{math|term= Y|SZ=}} angegebene Isomorphie bricht zusammen, da {{math|term= s^{-1}|SZ=}} nicht mehr zur Verfügung steht. Die nicht-triviale Operation erfüllt nicht mehr die Verträglichkeitsbedingung und hat daher keinen Abstieg. Das Quotientenschema {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne der Invariantentheorie, also das Spektrum des Invariantenrings| |ISZ=|ESZ= }} ist für {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} kein Geradenbündel über {{math|term= X|SZ=,}} sondern enthält über dem Nullpunkt eine nichtreduzierte Faser mit einer Singularität. Der Invariantenring der Operation ist {{ math/disp|term= K[s,v]^{\mu_n} = K[s^n,s^{n-1}v {{kommadots|}} sv^{n-1}, v^n] |SZ=, }} der als {{mathl|term= K[s^n]=K[t]|SZ=-}}Algebra zu betrachten ist. Wenn man {{mathl|term= t=s^n|SZ=}} invertiert, so kann man {{mathl|term= s^{n-i} v^{i} = ( s^{-n})^{i-1} (s^{n-1}v)^i |SZ=}} für {{mathl|term= i \geq 2|SZ=}} schreiben und erhält das triviale Geradenbündel zu den Koordinaten {{ mathkor|term1= s^n |und|term2= s^{n-1}v |SZ=. }} Bei {{mathl|term= n=2|SZ=}} handelt es sich bei der Operation {{math|term= \ast|SZ=}} um die Punktspiegelung der affinen Ebene {{mathl|term= {\mathbb A}^1 \times {\mathbb A}^1|SZ=}} am Nullpunkt über der Punktspiegelung der affinen Geraden {{mathl|term= \tilde{Y} ={\mathbb A}^1|SZ=.}} Dabei wird die Faser über dem Nullpunkt auf sich selbst abgebildet {{ Zusatz/Klammer |text=aber {{Anführung|umgeklappt}}| |ISZ=|ESZ=. }} Für den Invariantenring liegt die Situation {{mathl|term= K[t] \subseteq K[s^2,sv,v^2] \cong K[a,b,c]/(a c-b^2)|SZ=}} vor {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=a=t=s^2, \, b=sv, \, c=v^2 |SZ=.}}| |ISZ=|ESZ=, }} wobei die Faser zu {{mathl|term= a=0|SZ=}} durch {{mathl|term= K[b,c]/(b^2)|SZ=}} beschrieben wird, also nicht reduziert ist. Der Rückzug dieses Schemas nach {{math|term= \tilde{Y}|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Spec|( K[t] \otimes_{K[s]} K[a,b,c]/(ac-b^2) )|}} || {{op:Spec| K[t,s,a,b,c]/(tc-b^2,t-s^2,a-s^2) |}} || {{op:Spec| K[s,b,c]/(s^2 c-b^2) |}} || || |SZ=. }} Dies ist ein nicht normales Schema und insbesondere nicht isomorph zur affinen Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=wie dies bei der Abstiegskorrespondenz wäre| |ISZ=|ESZ=, }} und die Faser über {{mathl|term= s=0|SZ=}} ist nicht reduziert. Da dieses Schema von {{math|term= \tilde{X}|SZ=}} herkommt, erfüllt es wiederum die Abstiegsbedingung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8oyqd7futxlqf81a01ecg4bi96hgi66 0 46137 783524 757187 2022-08-22T03:43:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Kreisteilungskörper|n|}} |SZ=}} der {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= n \geq 3|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen Zwischenkörper {{ mathbed|term= L ||bedterm1= \Q \subseteq L \subseteq {{op:Kreisteilungskörper|n|}} ||bedterm2= |SZ=, }} gibt, der eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpe4gmqa9seiejcmt1a4vo8s2cstu4l 0 46138 783532 757195 2022-08-22T03:44:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= m |und|term2= n |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremde| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} natürliche Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass das {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungspolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{math|term= m|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Kreisteilungskörper|m|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 52msfy54qx3gnu0xhgtr87fnkifcsub 0 46158 785345 758643 2022-08-22T08:24:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|n|}}|SZ=}} die {{ Definitionslink |Eulersche Funktion| |Definitionsseitenname= Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{ mathbed|term= {{op:Bruch|{{op:Eulersche Phi-Funktion|n|}}|n}} ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} sowohl in {{ mathkor|term1= 1 |als auch in|term2= 0 |SZ= }} einen Häufungspunkt besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Häufigkeit von Primzahlen |Kategorie2=Die Eulersche Funktion (Zahlentheorie) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Euler |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jncn7c3dj4a33tnl0ronjlm41efl7g2 0 46159 782126 756013 2022-08-21T23:49:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|n|}}|SZ=}} die {{ Definitionslink |Eulersche Funktion| |Definitionsseitenname= Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Eulersche Phi-Funktion|n|}} |\geq| {{op:Bruch|\sqrt{n}|2}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Eulersche Funktion (Zahlentheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Euler |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kbpi25weaovoltnzq8wklwa74auayxa 0 46195 786141 593775 2022-08-22T10:36:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu {{mathl|term= n \geq 3|SZ=}} sei {{mathl|term= {{{A|A}}}_n|SZ=}} der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen {{math|term= n|SZ=-}}Eckes. Zeige {{mathl|term= {{{A|A}}}_n \leq {{{A|A}}}_{n+1}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären n-Ecke |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bf0bvphrff1pnq2w77u4dzfo402v4ju 0 46201 780011 270364 2022-08-21T17:57:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= d \geq 2|SZ=}} und sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper der Charakteristik {{math|term= p|SZ=,}} die die Kongruenzbedingung {{mathl|term= p = -1 \,\operatorname{mod} \, 2d |SZ=}} erfüllt. Dann ist auf der Fermat-Kurve {{ math/disp|term= X= {\rm Proj}\, K[U,V,W]/(U^{2d} +V^{2d}-W^{2d}) |SZ= }} das Syzygienbündel {{mathl|term= {\rm Syz}(U^2,V^2,W^2)(3)|SZ=}} zu seinem ersten Frobenius-Rückzug, also zu {{mathl|term= F^*( {\rm Syz}(U^2,V^2,W^2)(3) )= {\rm Syz}(U^{2p},V^{2p},W^{2p})(3p)|SZ=}} isomorph {{ Zusatz/Klammer |text=aber selbst nicht trivial| |ISZ=|ESZ=. }} Daher ist es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endlicher Körper/Glatte projektive Kurve/Vektorbündel/Etale trivialisierbar und Frobenius Periodizität/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch {{acutee|}}tale trivialisierbar. Es gibt auch unendlich viele Charakteristiken, für die das entsprechende Bündel nicht stark semistabil und nicht {{acutee|}}tale trivialisierbar ist. Daher ist das Bündel auch in Charakteristik {{math|term= 0|SZ=}} nicht {{acutee|}}tale trivialisierbar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf glatten projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ddm3txpevv2rpjxhgbwt6pse0ohq3ah 0 46205 779240 270345 2022-08-21T15:57:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik {{math|term= p|SZ=}} und sei {{mathl|term= S[u,v]|SZ=}} der Polynomring in zwei Variablen über {{math|term= S|SZ=,}} wodurch das triviale Vektorbündel {{ Ma:abbele/disp |name= |Y \times {\mathbb A}^2 {{=|}} {{op:Spec|S[u,v]|}} |Y {{=|}} {{op:Spec|S|}} || |SZ= }} über {{mathl|term= {{op:Spec|S|}} |SZ=}} beschrieben wird. Wir betrachten den durch {{ math/disp|term= u \longmapsto u + v^n,\, v \longmapsto v |SZ=, }} beschriebenen {{math|term= Y|SZ=-}}Automorphismus {{math|term= \theta|SZ=}} von {{mathl|term= Y \times {\mathbb A}^2|SZ=}} mit fixiertem {{math|term= n|SZ=.}} Bei {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} ist dies kein Vektorbündelisomorphismus. Wegen {{mathl|term= \theta^{i}(u)= u +iv^n|SZ=}} ist die Ordnung dieses Automorphismus gleich {{math|term= p|SZ=.}} Dieser Automorphismus gibt also Anlass zu einer nicht-linearen Operation von {{mathl|term= H = {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} auf dem trivialen Bündel vom Rang zwei {{ Zusatz/Klammer |text=zu den invarianten Polynomen gehört neben {{math|term= v|SZ=}} auch {{mathlk|term=\prod_{i=0}^{p-1}(u+iv^n)|SZ=.}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn zusätzlich {{math|term= H|SZ=}} fixpunktfrei auf {{math|term= Y|SZ=}} operiert mit dem Quotienten {{math|term= X|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=so dass also {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |Y|X || |SZ= }} {{acutee|}}tale ist; solche Beispiele gibt es| |ISZ=|ESZ=, }} so steigt {{mathl|term= {\mathbb A}^2_Y|SZ=}} ab zu einem Schema {{math|term= E|SZ=}} über {{math|term= X|SZ=,}} das aber kein Vektorbündel ist. Im Gegensatz zu den linearen Operationen einer endlichen Gruppe lässt sich dieser Typ auch deformieren, man denke an die von {{mathl|term= g \in S|SZ=}} abhängige, durch {{mathl|term= u \mapsto u +g v^n,\, v \mapsto v|SZ=,}} gegebene Operation. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf projektiven Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5k7io1gzd8rnnvs91ss4nstfy1xv5ir 0 46213 781731 755645 2022-08-21T22:44:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |einfache| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |auflösbar| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Gruppen |Kategorie2=Theorie der einfachen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l71j4t4lgf0gvsjipdm0esb611pnq9v 0 46215 781733 755647 2022-08-21T22:44:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |einfache| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, die kein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Gruppen |Kategorie2=Theorie der einfachen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9dihg7fnlo78nermy8zfmbkupl8hubz 0 46250 781763 755668 2022-08-21T22:49:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für {{mathl|term= n \leq 12|SZ=,}} welche der {{math|term= n|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K_n|SZ=}} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Minimalpolynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2=Galoistheorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} buv3rtns5nenstjh35osft1ipztbt0i 0 46251 783518 757181 2022-08-22T03:42:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für {{mathl|term= n \leq 12|SZ=,}} wie viele Unterkörper der {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K_n|SZ=}} besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7rhohyskps11sbwuk9hatt7d9o6mew1 0 46254 778888 763107 2022-08-21T15:01:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den achten {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K_8|SZ=.}} Die Einheitengruppe {{mathl|term= {{op:Einheiten| ({{op:Zmod|8|}})|}} |SZ=}} ist {{mathl|term= \{1,3,5,7\}|SZ=,}} wobei {{math|term= 3,5,7|SZ=}} die Ordnung {{math|term= 2|SZ=}} besitzen. Die nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zugehörigen Körperautomorphismen sind neben der Identität die Abbildungen {{mathl|term= \varphi_3, \, \varphi_5,\, \varphi_7|SZ=,}} die auf den Einheitswurzeln {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= \zeta|SZ=}} sei eine primitive achte Einheitswurzel| |ISZ=|ESZ= }} folgendermaßen wirken. {{ math/disp|term= \varphi_3: \zeta \longleftrightarrow \zeta^3, \, \zeta^2 = {{Imaginäre Einheit|}} \longleftrightarrow \zeta^6 =- {{Imaginäre Einheit|}} , \, \zeta^5 \longleftrightarrow \zeta^7 || |SZ=, }} {{ math/disp|term= \varphi_5: \zeta \longleftrightarrow \zeta^5, \, {{Imaginäre Einheit|}} =\zeta^2 \longleftrightarrow \zeta^{10} = {{Imaginäre Einheit|}} , \, \zeta^3 \longleftrightarrow \zeta^{7}, \, - {{Imaginäre Einheit|}} \longleftrightarrow - {{Imaginäre Einheit|}} || |SZ=, }} und {{ math/disp|term= \varphi_7: \zeta \longleftrightarrow \zeta^7, \, {{Imaginäre Einheit|}} =\zeta^2 \longleftrightarrow \zeta^{14}=- {{Imaginäre Einheit|}} , \, \zeta^3 \longleftrightarrow \zeta^5 || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Galoistheorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der achte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mg0p001z8763r39bh03nwd8w0erkk2s 0 46274 781732 755646 2022-08-21T22:44:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |einfache| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |perfekt| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kommutatorgruppe |Kategorie2=Theorie der einfachen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1cc3n0ecbm36f7kybvdq53ltx6f4b2k 0 46277 786140 759298 2022-08-22T10:36:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{{E|E}}} \subseteq \R^2|SZ=}} ein reguläres {{math|term= n|SZ=-}}Eck {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=n \geq 3|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} mit den Eckpunkten {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=,}} und es sei {{math|term= V|SZ=}} der von diesen Eckpunkten {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}} die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(n) |\leq| {{op:Vektorraumdimension|K=\Q|V}} |\leq|\varphi(n) + 1 || || |SZ=. }} {{ Zusatz/Klammer |text=Dabei bezeichnet {{math|term= \varphi(n)|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |eulersche {{math|term= \varphi|SZ=-}}Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Restklassenringe_(Z)/Einheitengruppen/Eulersche_Funktion/Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} b) Zeige{{n Sie}}, dass in (a) sowohl links als auch rechts Gleichheit gelten kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2=Theorie der regulären n-Ecke |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=5 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qjfwirissde7i4cvi9hhb0qc73kiq51 0 46283 781834 559149 2022-08-21T23:01:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Tabelle, die für kleine {{ mathkor|term1= p |und|term2= n |SZ= }} die endlichen Kreisteilungskörper beschreibt. {{:Kreisteilungskörper/F p/12x12/Tabelle}} Begründe{{n Sie}} die folgenden {{ Zusatz/Klammer |text=mehr oder weniger sichtbaren| |ISZ=|ESZ= }} Eigenschaften der Tabelle. a) Für jedes {{math|term= n|SZ=}} sind die Einträge in der {{math|term= n|SZ=-}}ten Spalte {{mathl|term= \leq \varphi(n) |SZ=.}} b) Für jedes {{math|term= p|SZ=}} kommt in der {{math|term= p|SZ=-}}ten Zeile die {{math|term= 1|SZ=}} unendlich oft vor. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Kreisteilungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r8v78eew63capaywjeg4ak3j9bobyzo 0 46298 781815 755720 2022-08-21T22:58:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} und es seien {{mathl|term= H_1,H_2 \subseteq G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Fixkörpern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= K_1 = {{op:Fixkörper|H_1|}} |und|term2= K_2 = {{op:Fixkörper|H_2|}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Kompositum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K_1K_2|SZ=}} gleich dem Fixkörper von {{mathl|term= H_1 \cap H_2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kompositums (Körper) |Kategorie2=Galoistheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6zewhvjuzbu55ox6qfrvynrd1vt2fhe 0 46299 781827 755730 2022-08-21T23:00:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine endliche Gruppe, für die jede Untergruppe ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |auflösbar| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 43ggev6qd00ksgnxyi5pcnyjswglszx 0 46302 781430 755446 2022-08-21T21:53:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M \neq \emptyset|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{math|term= n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine Kette von {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= M_0 \subseteq M_1 \subseteq M_2 {{subseteqdots|}} M_{n-1} \subseteq M_n=M |SZ= }} derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit {{math|term= M_i|SZ=}} die Dimension {{math|term= i|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oad26uadvw44brr5pu3x6gufyx4ol4x 0 46320 784213 447707 2022-08-22T05:38:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Tschebyschow-Abschätzung {{ Zusatz/Klammer |text=Tschebyschow-Ungleichung| |ISZ=|ESZ= }} für eine messbare nichtnegative Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |M|\R_{\geq 0} || |SZ= }} auf einem {{math|term= \sigma|SZ=-}}endlichen Maßraum {{math|term= (M ,{{mengensystem|A}} ,\mu)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k6hda3xg8z6gnr227xxeb6myqygl7wr 0 46323 784190 511406 2022-08-22T05:34:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M|SZ=}} eine Menge und es sei {{mathl|term= T_n \uparrow M|SZ=}} eine Ausschöpfung von {{math|term= M|SZ=}} mit Teilmengen {{ mathbed|term= T_n \subseteq M ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=. }} Zu jedem {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} sei {{mathl|term= A_n \subseteq M \times \R|SZ=}} der Subgraph zur Indikatorfunktion {{mathl|term= {{op:Indikatorfunktion|T_n|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ mathbed|term= A_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} eine Ausschöpfung von {{mathl|term= M \times [0,1]|SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Indikatorfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l0nbgwzx8w5nr6b18fg7wc57qrei27i 0 46328 784843 510278 2022-08-22T07:08:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Volumen des von den drei Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2|0|-3}} ,\, {{op:Spaltenvektor|4|5|-1}} \text{ und } {{op:Spaltenvektor|7|7|1}} |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=}} erzeugten Parallelotops. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Parallelotope |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cnpgr735ofw1u8vr6rgw8s68zwmjoh3 0 46330 781140 604487 2022-08-21T21:05:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von {{math|term= 30|SZ=}} cm und wird mit Öl und mit {{math|term= 25|SZ=}} kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von {{math|term= 4|SZ=}} cm und eine Höhe von {{math|term= 0{,}5|SZ=}} cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von {{math|term= 0{,}1|SZ=}} mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von {{math|term= 1|SZ=}} mm. a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne {{ Zusatz/Klammer |text=rechne{{n Sie}} mit {{mathl|term= \pi =3{,}14|SZ=;}} Einheit nicht vergessen| |ISZ=|ESZ=? }} b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3r2wmf23dmxq1w331vpy7usxem55d6x 0 46342 783542 574213 2022-08-22T03:46:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man lege|Legen Sie}} eine Tabelle an, die für Primzahlen {{math|term= p \leq 13|SZ=}} zeigt, wie die Primfaktorzerlegung der Kreisteilungspolynome in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}[X] |SZ=}} aussieht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie2=Theorie der endlichen Kreisteilungskörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=20 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o4zehkgsr386dp3b9pn56j89ejuvjgx 0 46347 780847 754952 2022-08-21T20:16:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= K \subseteq L |und|term2= L \subseteq M |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |auflösbare Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{mathl|term= K \subseteq M|SZ=}} auflösbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} clfvbd08ifigwkjfrl93z9szwfmcjff 0 46350 780849 754954 2022-08-21T20:16:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |auflösbares Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{mathl|term= P(X^n)|SZ=}} auflösbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einsetzung |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bzrcfbhpogyludwa2c1m59jii9ak1zf 0 46352 783575 757235 2022-08-22T03:51:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= F \in \Q[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= 3|SZ=}} und seien {{mathl|term= \alpha, \beta, \gamma \in {{CC}}|SZ=}} die Nullstellen von {{math|term= F|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Differenzen {{ mathkor|term1= \alpha - \beta |und|term2= \beta- \gamma |SZ= }} nicht beide aus {{math|term= \Q|SZ=}} sein können. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6280tsn2il63a8pznx035dkxmlwh9u3 0 46353 783573 757233 2022-08-22T03:51:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= F \in \Q[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= 3|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Nullstellen von {{math|term= F|SZ=}} in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} nicht die Form {{mathl|term= \alpha, \alpha^2, \alpha^3|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit einem {{mathl|term= \alpha \in {{CC}}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} haben können. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g9gf0f6cp5s1lpvxq2kl7zzvo40c1sp 0 46354 783001 756761 2022-08-22T02:15:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= F \in \Q[X]|SZ=}} vom Grad {{math|term= 4|SZ=}} gibt, dessen Nullstellen in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} die Form {{mathl|term= \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^4|SZ=}} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3fa030or2zx7dz9ag9rxz6178gqmzoc 0 46356 783576 757236 2022-08-22T03:51:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= F \in \Q[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= 3|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reell |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jaset6xk8jgkfdws03ujitz3k31fkrx 0 46357 780846 754951 2022-08-21T20:16:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |auflösbare Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= K \subseteq K'|SZ=}} eine weitere Körpererweiterung und es sei {{mathl|term= L'=LK'|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Kompositum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= L |und|term2= K' |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das in einem gewissen Oberkörper gebildet sei| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{mathl|term= K' \subseteq L'|SZ=}} auflösbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} afx3o64w257j4leptdt5o4m1ru1528w 0 46388 780682 754800 2022-08-21T19:49:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |alternierende Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |A_n |\subseteq|S_n || || || |SZ= }} für {{mathl|term= n \geq 3|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |transitive Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der transitiven Untergruppen von endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2=Theorie der alternierenden Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pkbhezglku34i4byyx1d05inbreier4 0 46389 784933 758375 2022-08-22T07:21:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine echte {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= H \subset S_n|SZ=}} gibt, die {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Permutationsgruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und die mindestens eine {{ Definitionslink |Prämath= |Transposition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der transitiven Untergruppen von endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n3it82drlejc52z2hdnrw7y5w87284l 0 46413 781862 755766 2022-08-21T23:05:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Körpererweiterung/Situation|}} und seien {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n \in L |SZ=}} Elemente, die eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} bilden. Sei {{ mathbed|term= x \in L ||bedterm1= x \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{mathl|term= xv_1 {{kommadots|}} xv_n \in L |SZ=}} eine {{math|term= K|SZ=-}}Basis von {{math|term= L|SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n19nk18j9gj6d8n67qli347w4rfd3v7 0 46426 783005 756764 2022-08-22T02:16:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |separables| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= L|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=,}} {{math|term= G= {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=}} seine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= \lambda_1 {{kommadots|}} \lambda_n |SZ=}} die Nullstellen von {{math|term= F|SZ=}} in {{math|term= L|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zerfällungskörper/Operation auf Nullstellen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Nullstellen. Zeige{{n Sie}}, dass es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |transitive Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie2=Galoistheorie |Kategorie3=Theorie der transitiven Untergruppen von endlichen Permutationsgruppen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7mw6sjzz6oenozp6b011w767vawd8ok 0 46431 781884 755785 2022-08-21T23:09:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= K \subseteq L \subseteq M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= F \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dass über {{math|term= M|SZ=}} in Linearfaktoren zerfalle. Der Zwischenkörper {{math|term= L|SZ=}} enthalte keine Nullstelle von {{math|term= F|SZ=.}} Folgt daraus, dass {{math|term= F|SZ=}} irreduzibel über {{math|term= L|SZ=}} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jdmh34c1nnqlgbr64ksc43mphhmt7tl 0 46443 780653 754774 2022-08-21T19:44:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= \alpha_1 {{kommadots|}} \alpha_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= F \in \Q[X]|SZ=}} derart gibt, dass man alle {{math|term= \alpha_i|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Linearkombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Potenzen der Nullstellen von {{math|term= F|SZ=}} schreiben kann. b) Zeige{{n Sie}}, dass es kein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= F \in \Q[X]|SZ=}} derart geben muss, dass alle {{math|term= \alpha_i|SZ=}} Nullstellen von {{math|term= F|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fek0ijmc9suif6buwg4drm44d0akj3c 0 46445 783540 757203 2022-08-22T03:45:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ= }} der konstante Koeffizient der {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungspolynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kreisteilungspolynom|n|}} |SZ=}} immer {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rr5pbxanc7l4oo11yqsqv0zrzxrn5at 0 46465 780844 754950 2022-08-21T20:16:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |auflösbare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=q |G|H || |SZ= }} ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term= H|SZ=}} auflösbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qxp52tykdkcaz5s3s7u8ftb5agou564 0 46468 783517 671515 2022-08-22T03:41:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq| {{op:Kreisteilungskörper|n|}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} der {{math|term= n|SZ=-}}te Kreisteilungskörper und sei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente {{ mathbed|term= \zeta^{i} ||bedterm1= i \in {{op:Einheiten(|{{op:Zmod|n|}}||}} ||bedterm2= |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass für eine Primzahl {{math|term= n=p|SZ=}} diese Elemente eine {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis von {{math|term= {{op:Kreisteilungskörper|n|}} |SZ=}} bilden. b) Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und {{mathl|term= n=p^2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese Elemente keine {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis von {{math|term= {{op:Kreisteilungskörper|n|}} |SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=4 |p2=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rxc5rfmelbk3p2d1cqz03gfaywqpqlc 0 46471 782411 756247 2022-08-22T00:37:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} und es seien {{mathl|term= H_1,H_2 \subseteq G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Fixkörpern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= K_1 = {{op:Fixkörper|H_1|}} |und|term2= K_2 = {{op:Fixkörper|H_2|}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Durchschnitt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K_1 \cap K_2|SZ=}} gleich dem Fixkörper zu {{math|term= H|SZ=}} ist, wobei {{math|term= H|SZ=}} die von {{ mathkor|term1= H_1 |und|term2= H_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet {{ Zusatz/Klammer |text=das ist die kleinste Untergruppe von {{math|term= G|SZ=,}} die sowohl {{math|term= H_1|SZ=}} als auch {{math|term= H_2|SZ=}} enthält| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Galoiskorrespondenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ll3lutomr537zm2yyip48uxb0jkqlvu 0 46473 782621 756393 2022-08-22T01:12:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= D= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} und sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper, der eine {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} enthält. Es sei {{mathl|term= L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} die Matrizen der {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= L|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die Elemente der Galoisgruppe {{math|term= {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bezüglich einer geeigneten {{math|term= K|SZ=-}}Basis von {{math|term= L|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ahx4kmowqpynkpmbv6w03az0bzmdo21 0 46476 781839 755744 2022-08-21T23:02:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\Phi |{\mathbb F}_{25}|{\mathbb F}_{25} || |SZ= }} bezüglich einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath={\mathbb F}_5 |Basis| |Kontext=lineare Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {\mathbb F}_{25}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 25 Elementen |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a952uuyagtbjp3y1169s2o0rwbye5bj 0 46479 781842 565118 2022-08-21T23:02:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele Unterkörper besitzt der endliche Körper {{mathl|term= {\mathbb F}_{625}|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie endlicher Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i4v72qwvvoson100ft9rd072vssxy13 0 46483 783747 565113 2022-08-22T04:20:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} das Lemma von Dedekind für zwei Charaktere {{ Ma:abbele/disp |name=\chi_1, \chi_2 |G|K || |SZ= }} auf einem Monoid {{math|term= G|SZ=}} in einen Körper {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Monoide) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6kl1i3qu3wahfcf9w723jutqcn7de2p 0 46486 782304 540815 2022-08-22T00:19:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper. Beweise{{n Sie}} die Produktregel für das formale Ableiten {{ Ma:abbele/disp |name=D |K[X]|K[X] |F|F' |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des formalen Ableitens |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5390svujxxdp1n9e1hrhwdfyehj6he7 0 46489 784664 758167 2022-08-22T06:42:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= \Q \subseteq K|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normale Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\kappa |{{CC}}|{{CC}} || |SZ= }} die komplexe Konjugation. a) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \kappa(K) \subseteq K|SZ=}} gilt. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \kappa {{|}}_K= {{op:Identität|K|}} |SZ=}} genau dann gilt, wenn {{mathl|term= K \subseteq \R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der komplexen Konjugation |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dggry6wt9gvucjzv7o3u6achdqxh1mp 0 46492 783003 565111 2022-08-22T02:16:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Polynom {{ math/disp|term= P=X^{7129} + 105X^{103} +15 X +45 |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für die folgenden Körper {{math|term= K|SZ=,}} ob {{math|term= P|SZ=}} irreduzibel in {{mathl|term= K[X]|SZ=}} ist. a) {{mathl|term= K=\Q|SZ=.}} b) {{mathl|term= K=\R|SZ=.}} c) {{mathl|term= K= {{op:Zmod|2|}} |SZ=.}} d) {{mathl|term= K=\Q[T]/(T^{7129} + 105 T^{103} +15 T +45) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qhvm4nwjlvnhk5dgxnrp5fqyzu0nf32 0 46495 784267 757904 2022-08-22T05:47:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \pi +e {{Imaginäre Einheit}}|SZ=}} über {{math|term= \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k43w25e3mfk7tc4gqv5xs5qjo35hdwh 0 46501 783681 757331 2022-08-22T04:09:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= \Q \subseteq K ||bedterm1= K \subseteq {{CC}} ||bedterm2= |SZ=, }} derart, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sich nicht auf {{math|term= K|SZ=}} einschränken lässt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Konjugation |Kategorie2=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} altabhwxmj4j5lqr610v5aoq7png48s 0 46502 781876 755780 2022-08-21T23:08:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= \Q \subseteq K ||bedterm1= K \subseteq {{CC}} ||bedterm2= |SZ=, }} das zeigt, dass zu einem Element {{mathl|term= z=a+b {{Imaginäre Einheit}} \in K|SZ=}} die reellen Koordinaten {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} nicht zu {{math|term= K|SZ=}} gehören müssen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nqlsswj5ts1s3elsnr86qmwo4ti2tp1 0 46505 783433 757113 2022-08-22T03:27:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sigma, \tau \in S_n|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, wenn ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Zykeldarstellung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1j8fejn1tyy7fd0aoyai225bwedgmme 0 46506 782660 756436 2022-08-22T01:19:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Gruppe/Situation||SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn alle {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugationsklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einelementig sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 242wrki4twlwxt2f56a0my8kofumff8 0 46508 782406 756242 2022-08-22T00:36:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= z \in L|SZ=}} ein Element derart, dass {{ mathbed|term= \varphi(z) ||bedterm1= \varphi \in G ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} bildet. Wir betrachten das Polynom {{ math/disp|term= F = \prod_{\varphi \in G} (X- \varphi(z)) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Koeffizienten von {{math|term= F|SZ=}} zu {{math|term= K|SZ=}} gehören, dass {{math|term= F|SZ=}} in {{math|term= K[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass {{math|term= L|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 58qt54qhle5gjnjo6po9nqs46f6rz35 0 46509 782661 756437 2022-08-22T01:19:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Gruppe/Situation|SZ=}} und seien {{mathl|term= x,y \in G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konjugierte Elemente| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qsoa7sw1pcqrgulqlii72cxuw0uwg6p 0 46559 780392 754594 2022-08-21T19:00:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es Matrizen {{mathl|term= M \in {{op:Matq|2|K=\R}} |SZ=}} derart gibt, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{mathl|term= \Q[X]|SZ=}} ist, dass in {{math|term= M|SZ=}} aber auch {{ Definitionslink |Prämath= |transzendente| |Kontext=Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Einträge vorkommen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Zahlen |Kategorie2=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ot6oxwm8k4ry9j44xvm9q5nlms4ksh1 0 46569 783544 757206 2022-08-22T03:46:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Kreisteilungspolynom|n|}} |SZ=}} das {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungspolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= p|SZ=}} eine zu {{math|term= n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremde| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Charakteristik {{math|term= p|SZ=,}} in dem es eine {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} gebe. Zeige{{n Sie}}, dass das Produkt {{ math/disp|term= \prod_{0 <i <n,\, \, i,n \, {\rm teilerfremd} } (X -\zeta^{i}) |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}[X] |SZ=}} gehört und mit {{mathl|term= {{op:Kreisteilungspolynom|n|}}\!\!\! \mod p|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie2=Theorie der endlichen Kreisteilungskörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7x1ty4yrdsphtw7eee12rgltthso4uf 0 46570 783541 757204 2022-08-22T03:45:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Kreisteilungspolynom|n|}} |SZ=}} das {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungspolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Polynom {{mathl|term= ({{op:Kreisteilungspolynom|n|}}\!\!\! \mod p) \in {{op:Zmod|p|}}[X] |SZ=}} das Produkt von {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen Polynomen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, die alle den gleichen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie2=Theorie der endlichen Kreisteilungskörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 402evpgfzf1tbgsn0xk91m5v86t6zr2 0 46576 783449 757128 2022-08-22T03:30:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es nicht für jede {{ Definitionslink |Prämath= |konstruierbare Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= z \in {{CC}}|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K_n|SZ=}} mit {{mathl|term= z \in K_n|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Zahlen |Kategorie2=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mehk0tbnn9idds6qx2w2tgcg92j99ak 0 46577 783446 757123 2022-08-22T03:30:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= z \in {{CC}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konstruierbare Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Unterkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Q(z)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Radikalerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Zahlen |Kategorie2=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k10fajyj69l5wmxz669ha0gjjgatqll 0 46578 783448 757127 2022-08-22T03:30:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= z \in {{CC}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konstruierbare Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= F \in \Q[X]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= F|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Radikalerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Zahlen |Kategorie2=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m7f1o3gcw9geh7bjh22wez4u6en4del 0 46579 783447 757126 2022-08-22T03:30:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= z \in {{CC}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konstruierbare Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= F \in \Q[X]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass jede komplexe Nullstelle von {{math|term= F|SZ=}} ebenfalls konstruierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Zahlen |Kategorie2=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxzxt2d4kx0rqrj6ywqko4rva5goa4t 0 46580 783445 757122 2022-08-22T03:29:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Q \subseteq L |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} und es sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} der Unterkörper, der aus allen {{ Definitionslink |Prämath= |konstruierbaren Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= L|SZ=}} besteht. Zeige{{n Sie}}, dass für jeden {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismus| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi \in {{op:Galoisgruppe|\Q|L|}} |SZ=}} die Beziehung {{mathl|term= \varphi(K) \subseteq K|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iou6usgdgwm5ukqj1dna72v412m67qz 106 46694 784344 733988 2022-08-22T05:58:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|term=Zahlen}} Wir arbeiten mit den folgenden Mengen, deren Kenntnis wir voraussetzen. {{ Ma:Vergleichskette/disp |\N ||\{0,1,2, \ldots \} || || || |SZ=, }} die Menge der {{Stichwort|natürlichen Zahlen|msw=natürliche Zahlen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der {{math|term=0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z ||\{\ldots, -2,-1, 0,1,2, \ldots \} || || || |SZ=, }} die Menge der {{Stichwort|ganzen Zahlen|msw=ganze Zahlen|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q ||{{mengebed|a/b|a \in \Z| b \in \Z \setminus \{0\} }} || || || |SZ=, }} die Menge der {{Stichwort|rationalen Zahlen|msw=Rationale Zahlen|SZ=}} und die Menge der {{Stichwort|reellen Zahlen|msw=Reelle Zahlen|SZ=}} {{math|term=\R|SZ=.}} {{ inputbild |Real number line|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Real_number_line |Text= |Autor= |Benutzer=Phrood |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Diese Mengen sind mit den natürlichen Operationen wie Addition und Multiplikation versehen, an deren Eigenschaften wir bald erinnern werden. Die reellen Zahlen stellen wir uns als die Punkte einer Geraden vor, auf der sich auch die zuvor genannten Zahlenmengen befinden. Zugleich kann man {{math|term=\R|SZ=}} als die Menge aller {{ Zusatz/Klammer |text=vor dem Komma endlichen, nach dem Komma eventuell unendlichen| |ISZ=|ESZ= }} Ziffernfolgen auffassen. Wir werden im Laufe der Vorlesung alle entscheidenden Eigenschaften der reellen Zahlen kennenlernen {{ Zusatz/Klammer |text=die sogenannten {{Stichwort|Axiome|msw=Axiom|SZ=}} der reellen Zahlen, aus denen man alle anderen Eigenschaften logisch herleiten kann| |ISZ=|ESZ= }} und dann auch diese vorläufigen Sichtweisen präzisieren. {{Zwischenüberschrift|term=Induktion}} Mathematische Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen, können mit dem Beweisprinzip der {{Stichwort|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=}} bewiesen werden. Die folgende Aussage begründet dieses Prinzip. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz||opt1=Damit enthält {{math|term=M|SZ=}} die {{math|term=0|SZ=,}} daher die {{math|term=1|SZ=,}} daher die {{math|term=2|SZ=,}} usw., und damit überhaupt alle natürlichen Zahlen. }} Der Nachweis von {{mathl|term=A(0)|SZ=}} heißt dabei der {{Stichwort|Induktionsanfang|SZ=}} und der Schluss von {{mathl|term=A(n)|SZ=}} auf {{mathl|term=A(n+1)|SZ=}} heißt der {{Stichwort|Induktionsschluss|SZ=.}} In manchen Situationen ist die Aussage {{mathl|term=A(n)|SZ=}} erst für {{mathl|term=n \geq n_0|SZ=}} für ein gewisses {{math|term=n_0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=definiert oder| |ISZ=|ESZ= }} wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage {{mathl|term=A(n_0)|SZ=}} und den Induktionsschluss führt man für {{ Ma:Vergleichskette |n ||n_0 || || || |SZ= }} durch. Das folgende Standardbeispiel für einen Induktionsbeweis verwendet das Summenzeichen. Für gegebene reelle Zahlen {{mathl|term=a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ=. }} Dabei hängen im Allgemeinen die {{math|term=a_k|SZ=}} in einer formelhaften Weise von {{math|term=k|SZ=}} ab. Entsprechend ist das Produktzeichen definiert, nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \prod_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 \cdot a_2 {{cdots|}} a_{n-1} \cdot a_n || || || |SZ=. }} {{ inputaufgabelösung |Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Mengen}} {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 180px {{!}} right {{!}} |epsname=Georg_Cantor |Text=[[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor= |Benutzer=Taxiarchos228 |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg |180px {{!}} right {{!}} |epsname=David_Hilbert_1886 |Text=[[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies|SZ=,}} aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=Unbekannt (1886) |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Mathematische Strukturen, wie die eingangs erwähnten Zahlen, werden als Mengen beschrieben. Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort|Elemente|msw=Element|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term=x|SZ=}} zu einer Menge {{math|term=M|SZ=}} wird durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |\in|M || || || |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |\notin| M || || || |SZ=. }} Für jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. Die Menge, die kein Element besitzt, heißt {{Definitionswort/enp|leere Menge|SZ=}} und wird mit {{ math/disp|term= \emptyset |SZ= }} bezeichnet. Eine Menge {{math|term=N|SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term=M|SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term=N|SZ=}} auch zu {{math|term=M|SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{math|term=N \subset M|SZ=}} | |SZ=. }} Man sagt dafür auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/k |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} vorliegt. Für die oben erwähnten Zahlenmengen gelten die Inklusionen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\N |\subseteq| \Z |\subseteq|\Q |\subseteq|\R || |SZ=. }} Im Nachweis, dass {{ Ma:Vergleichskette/k |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|N || || || |SZ= }} ebenfalls die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|M || || || |SZ= }} gilt. Dabei darf man lediglich die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|N || || || |SZ= }} verwenden. Für uns werden Mengen hauptsächlich Zahlenmengen sein. {{Zwischenüberschrift|term=Mengenoperationen}} Es gibt mehrere Möglichkeiten, aus gegebenen Mengen neue Mengen zu bilden. Die wichtigsten sind die folgenden. {{ Auflistung3 |{{Stichwort|Vereinigung|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \cup B | {{defeq|}} |{{Mengebed|x|x \in A \text{ oder } x \in B}} || || || |SZ=, }} |{{Stichwort|Durchschnitt|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \cap B | {{defeq|}} |{{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \in B}} || || || |SZ=, }} |{{Stichwort|Differenzmenge|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \setminus B | {{defeq|}} |{{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \notin B }} || || || |SZ=. }} }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge {{math|term=G|SZ=}} ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{mathl|term=A \subseteq G|SZ=,}} das durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Mengenkomplement|A}} | {{defeq|}} | G \setminus A || {{Mengebed|x \in G|x \notin A}} || || || |SZ= }} definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also {{ Ma:Vergleichskette |A \cap B || \emptyset || || || |SZ= }} gilt, so nennen wir sie {{Definitionswort/enp|disjunkt|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Produktmenge}} Wir wollen die Rechenoperationen auf den oben erwähnten Zahlenmengen, insbesondere die Addition und die Multiplikation, mengentheoretisch erfassen. Bei der Addition {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise auf {{math|term=\N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird zwei natürlichen Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} eine weitere natürliche Zahl, nämlich {{mathl|term=a+b|SZ=,}} zugeordnet. Die Menge der Paare nennt man Produktmenge und die Zuordnung führt zum Begriff der Abbildung. Wir definieren{{ Zusatz/Fußnote |text={{:Definitionen/Rolle in Mathematik/Erläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |ISZ=.|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} Die Elemente der Produktmenge nennt man {{Stichwort|Paare|msw=Paar|SZ=}} und schreibt {{mathl|term=(x,y)|SZ=.}} Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten {{Stichwort|Komponenten|msw=Komponente|SZ=}} ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponenten ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. Wenn die beiden Mengen {{Stichwort|endlich|SZ=}} sind, und es in der ersten Menge {{math|term=n|SZ=}} Elemente und in der zweiten Menge {{math|term=k|SZ=}} Elemente gibt, so gibt es in der Produktmenge {{mathl|term=n \cdot k|SZ=}} Elemente. Man kann auch für mehr als nur zwei Mengen die Produktmenge bilden. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Vornamen und Nachnamen/Beispiel|| }} {{ inputbild |SquareLattice|svg| 150px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Jim.belk |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. Die Produktmenge {{mathl|term=\R \times \R|SZ=}} stellt man sich als eine Ebene vor, man schreibt dafür auch {{math|term=\R^2|SZ=.}} Die Produktmenge {{mathl|term=\Z \times \Z|SZ=}} kann man sich als eine Menge von Gitterpunkten vorstellen. {{ inputbild |Geometri cylinder|png| 250px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Geometri_cylinder |Text=Ein Zylindermantel ist die Produktmenge aus einem Kreis und einer Strecke |Autor= |Benutzer=Anp |Domäne=sv Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Kreislinie und Strecke ergibt Zylinder/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Abbildungen}} {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Ma:abb |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term=L|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term=M|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}} | |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| L || || || |SZ= }} heißt das Element {{ Ma:Vergleichskette |F(x) |\in| M || || || |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term=F|SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term=x|SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ mathkor|term1= {{ abb |name=F |L_1|M_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name=G |L_2|M_2 || |SZ= }} |SZ= }} sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| L_1 || L_2 || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette |F(x) ||G(x) || || || |SZ= }} in {{ Ma:Vergleichskette |M_1 ||M_2 || || || |SZ= }} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort/-|Funktionen|SZ=}} genannt. Wir werden den Begriff {{Stichwort|Funktion|SZ=}} für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge die reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=}} sind. Zu jeder Menge {{math|term=L|SZ=}} nennt man die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L|L |x|x |SZ=, }} also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die {{Stichwort|Identität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{math|term=L|SZ=}}| |SZ=. }} Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Identität|L|}} |SZ=}} bezeichnet. Zu einer weiteren Menge {{math|term=M|SZ=}} und einem fixierten Element {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|M || || || |SZ= }} nennt man die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L|M |x|c |SZ=, }} die also jedem Element {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|L || || || |SZ= }} den {{Stichwort|konstanten Wert|msw=Konstanter Wert|SZ=}} {{math|term=c|SZ=}} zuordnet, die {{Definitionswort/enp|konstante Abbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= mit dem Wert {{math|term=c|SZ=}}| |ESZ=. }} Sie wird häufig wieder mit {{math|term=c|SZ=}} bezeichnet{{ Zusatz/Fußnote |text=Von Hilbert stammt die etwas überraschende Aussage, die Kunst der Bezeichnung in der Mathematik besteht darin, unterschiedliche Sachen mit denselben Symbolen zu bezeichnen|ISZ=. |ESZ=. }} Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graph der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen. Die Rechenoperationen Addition und Multiplikation innerhalb der reellen Zahlen fassen wir als eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R \times \R |\R || |SZ= }} auf, d.h. es wird dem Paar {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x,y) |\in| \R \times \R || || || || |SZ= }} die reelle Zahl {{mathl|term=x+y|SZ=}} (bzw. {{mathlk|term=x\cdot y|SZ=}}) zugeordnet. Eine solche Abbildung heißt eine Verknüpfung. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Definition|| }} Der Definitionsbereich ist also die Produktmenge von {{math|term=M|SZ=}} mit sich selbst und der Wertebereich ist ebenfalls {{math|term=M|SZ=.}} Addition, Multiplikation und Subtraktion (auf {{math|term=\Z|SZ=,}} auf {{math|term=\Q|SZ=}} oder auf {{math|term=\R|SZ=}}) sind Verknüpfungen. Auf {{ mathkor|term1= \Q |und|term2= \R |SZ= }} ist die Division keine Verknüpfung, da sie nicht definiert ist, wenn die zweite Komponente gleich {{math|term=0|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=und schon gar nicht auf {{math|term=\Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Allerdings ist die Division eine Verknüpfung auf {{mathl|term=\R \setminus \{0\}|SZ=.}} In der nächsten Vorlesung werden wir die algebraischen Eigenschaften der Addition und der Multiplikation auf den reellen Zahlen im Begriff des {{Anführung|Körpers}} zusammenfassen. {{Fußnotenliste}}}} cnnk3z5isu9az2zw6wc16yiumuw2ogw 106 46695 778723 699806 2022-08-21T12:45:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Wir werden nun die Eigenschaften der reellen Zahlen besprechen. Grundlegende Eigenschaften von mathematischen Strukturen werden als {{Stichwort|Axiome|SZ=}} bezeichnet. In der Mathematik werden sämtliche Eigenschaften aus den Axiomen logisch abgeleitet. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Die algebraischen Axiome werden im Begriff des Körpers zusammengefasst. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei Elementen der gegebenen Menge {{math|term=M|SZ=,}} also beispielsweise zwei reellen Zahlen, ein weiteres Element der Menge zu, es handelt sich also um Verknüpfungen. {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition|| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule bekannt. In einem Körper gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term=a \cdot b + c \cdot d|SZ=}} statt {{mathl|term=(a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} in einem Körper werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein. Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen, die wir in der nächsten Vorlesung kennenlernen werden. {{ inputfaktbeweis |Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt|Lemma|| |ref1=||Beweistext=Dies folgt aus der allgemeinen Eindeutigkeitsaussage für inverse Elemente in jeder Gruppe, siehe die letzte Vorlesung. }} Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette |a |in|K || || || |SZ= }} nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=y|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a+y ||0 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |- (-a) || a || || || |SZ=, }} da wegen {{ Ma:Vergleichskette | a+ (-a) || 0 || || || |SZ= }} das Element {{math|term=a|SZ=}} gleich dem eindeutig bestimmten Negativen von {{math|term=-a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term=b+(-a)|SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=z|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |az ||1 || || || |SZ= }} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Ma:Vergleichskette/disp |a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} || ab^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also eine Abkürzung für den rechten Ausdruck. Zu einem Körperelement {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} wird {{mathl|term=a^n|SZ=}} als das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term=a|SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} wird {{mathl|term=a^{-n}|SZ=}} als {{mathl|term=(a^{-1})^n|SZ=}} interpretiert. Ein {{Anführung|kurioser}} Körper wird im folgenden Beispiel beschrieben. Dieser Körper mit zwei Elementen ist in der Informatik und der Kodierungstheorie wichtig, wird für uns aber keine große Rolle spielen. Er zeigt, dass es nicht für jeden Körper sinnvoll ist, seine Elemente auf der Zahlengeraden zu verorten. {{ inputbeispiel |Körper/Zwei Elemente/Beispiel|| }} Die folgenden Eigenschaften sind für den Körper der reellen Zahlen vertraut, wir beweisen sie aber allein aus den Axiomen eines Körpers. Sie gelten daher für einen jeden Körper. {{ inputfaktbeweis |Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen}} Bekanntlich kann man die reellen Zahlen mit einer Geraden identifizieren. Auf der Zahlengeraden liegen von zwei Punkten einer weiter rechts als der andere, was bedeutet, dass sein Wert größer ist. Wir besprechen nun diese Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen. {{:Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Intervalle/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text={{:Logische Äquivalenz/Kurzerläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |ISZ=|ESZ= }}}} Für die reellen Zahlen bilden die ganzzahligen Intervalle {{ mathbed|term= [n,n+1[ ||bedterm1= n \in \Z ||bedterm2= |SZ=, }} eine disjunkte {{Stichwort|Überdeckung|SZ=.}} Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll. {{ inputbild |Floor function|svg|250px {{!}} right {{!}} |epsname=Floor_function |Autor= |Benutzer=Omegatron |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Gaußklammer/Definition|| }} Die Anordnungseigenschaften erlauben es auch, von wachsenden und fallenden Funktionen zu sprechen. {{ inputdefinition |Reelle Funktion/Wachsend und fallend/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Betrag}} {{ inputbild |Absolute value|svg|250px {{!}} right {{!}} |epsname=Absolute_value |Autor= |Benutzer= Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Betrag/Definition|| }} Der Betrag ist also nie negativ und hat nur bei {{mathl|term=x=0|SZ=}} den Wert {{math|term=0|SZ=,}} sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|{{op:Betrag|x}} |SZ=, }} nennt man auch {{Stichwort|Betragsfunktion|SZ=.}} Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch {{Stichwort|stückweise linear|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Reelle Zahlen/Betragseigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Fußnotenliste}} }} gwx5ab1fi067xz7zpj0xzq7w11wgp9j 784439 778723 2022-08-22T06:11:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Wir werden nun die Eigenschaften der reellen Zahlen besprechen. Grundlegende Eigenschaften von mathematischen Strukturen werden als {{Stichwort|Axiome|msw=Axiom|SZ=}} bezeichnet. In der Mathematik werden sämtliche Eigenschaften aus den Axiomen logisch abgeleitet. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Die algebraischen Axiome werden im Begriff des Körpers zusammengefasst. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei Elementen der gegebenen Menge {{math|term=M|SZ=,}} also beispielsweise zwei reellen Zahlen, ein weiteres Element der Menge zu, es handelt sich also um Verknüpfungen. {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition|| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule bekannt. In einem Körper gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term=a \cdot b + c \cdot d|SZ=}} statt {{mathl|term=(a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} in einem Körper werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein. Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen, die wir in der nächsten Vorlesung kennenlernen werden. {{ inputfaktbeweis |Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt|Lemma|| |ref1=||Beweistext=Dies folgt aus der allgemeinen Eindeutigkeitsaussage für inverse Elemente in jeder Gruppe, siehe die letzte Vorlesung. }} Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette |a |in|K || || || |SZ= }} nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=y|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a+y ||0 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |- (-a) || a || || || |SZ=, }} da wegen {{ Ma:Vergleichskette | a+ (-a) || 0 || || || |SZ= }} das Element {{math|term=a|SZ=}} gleich dem eindeutig bestimmten Negativen von {{math|term=-a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term=b+(-a)|SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=z|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |az ||1 || || || |SZ= }} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Ma:Vergleichskette/disp |a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} || ab^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also eine Abkürzung für den rechten Ausdruck. Zu einem Körperelement {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} wird {{mathl|term=a^n|SZ=}} als das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term=a|SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} wird {{mathl|term=a^{-n}|SZ=}} als {{mathl|term=(a^{-1})^n|SZ=}} interpretiert. Ein {{Anführung|kurioser}} Körper wird im folgenden Beispiel beschrieben. Dieser Körper mit zwei Elementen ist in der Informatik und der Kodierungstheorie wichtig, wird für uns aber keine große Rolle spielen. Er zeigt, dass es nicht für jeden Körper sinnvoll ist, seine Elemente auf der Zahlengeraden zu verorten. {{ inputbeispiel |Körper/Zwei Elemente/Beispiel|| }} Die folgenden Eigenschaften sind für den Körper der reellen Zahlen vertraut, wir beweisen sie aber allein aus den Axiomen eines Körpers. Sie gelten daher für einen jeden Körper. {{ inputfaktbeweis |Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen}} Bekanntlich kann man die reellen Zahlen mit einer Geraden identifizieren. Auf der Zahlengeraden liegen von zwei Punkten einer weiter rechts als der andere, was bedeutet, dass sein Wert größer ist. Wir besprechen nun diese Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen. {{:Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Intervalle/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text={{:Logische Äquivalenz/Kurzerläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |ISZ=|ESZ= }}}} Für die reellen Zahlen bilden die ganzzahligen Intervalle {{ mathbed|term= [n,n+1[ ||bedterm1= n \in \Z ||bedterm2= |SZ=, }} eine disjunkte {{Stichwort|Überdeckung|SZ=.}} Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll. {{ inputbild |Floor function|svg|250px {{!}} right {{!}} |epsname=Floor_function |Autor= |Benutzer=Omegatron |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Gaußklammer/Definition|| }} Die Anordnungseigenschaften erlauben es auch, von wachsenden und fallenden Funktionen zu sprechen. {{ inputdefinition |Reelle Funktion/Wachsend und fallend/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Betrag}} {{ inputbild |Absolute value|svg|250px {{!}} right {{!}} |epsname=Absolute_value |Autor= |Benutzer= Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Betrag/Definition|| }} Der Betrag ist also nie negativ und hat nur bei {{mathl|term=x=0|SZ=}} den Wert {{math|term=0|SZ=,}} sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|{{op:Betrag|x}} |SZ=, }} nennt man auch {{Stichwort|Betragsfunktion|SZ=.}} Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch {{Stichwort|stückweise linear|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Reelle Zahlen/Betragseigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Fußnotenliste}} }} egoo0d8ug99a8wqd8i0nnkedashi103 106 46704 784496 598606 2022-08-22T06:18:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|term=Der Matrizenkalkül}} Ein lineares Gleichungssystem lässt sich am einfachsten mit Matrizen schreiben. Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Variablen mitschleppen zu müssen. Matrizen {{ Zusatz/Klammer |text=und der zugehörige Kalkül| |ISZ=|ESZ= }} sind recht einfache Objekte; sie können aber ganz unterschiedliche mathematische Objekte beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=eine Familie von Spaltenvektoren, eine Familie von Zeilenvektoren, eine lineare Abbildung, eine Tabelle von Wechselwirkungen, ein Vektorfeld etc.| |ISZ=|ESZ=, }} die man stets im Hinterkopf haben sollte, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein. {{ inputdefinition |Matrizen/IxJ/nxm/Definition|| }} Wir beschränken uns weitgehend auf den durchnummerierten Fall. Zu jedem {{mathl|term=i \in I|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=i|SZ=-}}te {{Stichwort|Zeile|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als einen {{Stichwort|Zeilenvektor|SZ=}} {{ math/disp|term= (a_{i1}, a_{i2} {{kommadots|}} a_{in}) |SZ= }} schreibt. Zu jedem {{mathl|term=j \in J|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=j|SZ=-}}te {{Stichwort|Spalte|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als ein Spaltentupel {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_{1j}|a_{2j}|\vdots|a_{mj} }} |SZ= }} schreibt. Die Elemente {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißen die {{Stichwort|Einträge|msw=Eintrag|SZ=}} der Matrix. Zu {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißt {{math|term=i|SZ=}} der {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} und {{math|term=j|SZ=}} der {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} des Eintrags. Man findet den Eintrag {{mathl|term=a_{ij}|SZ=,}} indem man die {{math|term=i|SZ=-}}te Zeile mit der {{math|term=j|SZ=-}}ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} nennt man eine {{Stichwort|quadratische Matrix|SZ=.}} Eine {{mathl|term=m \times 1|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Spaltentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Spaltenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=m|SZ=,}} und eine {{mathl|term=1 \times n|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Zeilentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Zeilenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=n|SZ=.}} Die Menge aller Matrizen mit {{math|term=m|SZ=}} Zeilen und {{math|term=n|SZ=}} Spalten {{ Zusatz/Klammer |text=und mit Einträgen in {{math|term=K|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:Mat|n|m|K}}|SZ=}} bezeichnet, bei {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} schreibt man {{mathl|term={{op:Matq|n|K}}|SZ=.}} Zwei Matrizen {{ Ma:Vergleichskette |A,B |\in| {{op:Mat|n|m|K}} || || || |SZ= }} werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Element {{mathl|term=r \in K|SZ=}} (einem {{Stichwort|Skalar}}) komponentenweise definiert, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrixmn|a}} + {{op:Matrixmn|b}} || \begin{pmatrix} {{{1|a}}}_{11 } +b_{11} & {{{1|a}}}_{1 2} +b_{12} & \ldots & {{{1|a}}}_{1 {{{n|n}}} } +b_{1n} \\ {{{1|a}}}_{21 } +b_{21} & {{{1|a}}}_{2 2} +b_{22} & \ldots & {{{1|a}}}_{2 {{{n|n}}} } +b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{{1|a}}}_{ {{{m|m}}} 1 } +b_{m1} & {{{1|a}}}_{ {{{m|m}}} 2 } +b_{m2} & \ldots & {{{1|a}}}_{ {{{m|m}}} {{{n|n}}} } +b_{mn} \end{pmatrix} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | r {{op:Matrixmn|a}} || {{op:Matrixmn|ra}} || || || |SZ=. }} Die Matrizenmultiplikation wird folgendermaßen definiert. {{ inputdefinition |Matrizenmultiplikation/Definition|| }} Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merkregel kann man das Schema {{ Ma:Vergleichskette/disp | (Z E I L E) {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} ||(ZS+EP+IA+L^2+ET) || || || |SZ= }} verwenden, das Ergebnis ist eine {{math|term=1 \times 1|SZ=-}}Matrix. Insbesondere kann man eine {{mathl|term=m \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Spaltenvektor der Länge {{math|term=n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge {{math|term=m|SZ=.}} Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren (was nicht immer möglich ist) und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} (Z E I L E) || {{Op:Matrix55|SZ|SE|SI|SL|SE|PZ|PE|PI|PL|PE|AZ|AE|AI|AL|AE|LZ|LE|LI|L^2|LE|TZ|TE|TI|TL|TE}} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Einheitsmatrix/Definition|| }} Die Einheitsmatrix {{math|term=E_n|SZ=}} besitzt die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | E_n M ||M || M E_n || || || |SZ= }} für eine beliebige {{mathl|term=n\times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=M|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume}} {{ inputbild |Vector Addition|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Addition von zwei Pfeilen {{math|term=a|SZ=}} und {{math|term=b|SZ=,}} ein typisches Beispiel für Vektoren. |Autor= |Benutzer=Booyabazooka |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der zentrale Begriff der linearen Algebra ist der Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/Direkt/Definition||zusatz1=Fußnote }} Die Verknüpfung in {{math|term=V|SZ=}} nennt man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition und die Operation {{ Ma:abb |name= |K \times V|V || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=.}} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|msw=Vektor|SZ=,}} und die Elemente {{ Ma:Vergleichskette |r | \in |K || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|Skalare|SZ=.}} Das Nullelement {{ Ma:Vergleichskette | 0 |\in|V || || || |SZ= }} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} heißt das inverse Element das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term=v|SZ=}} und wird mit {{math|term=-v|SZ=}} bezeichnet. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC|}} || || || |SZ= }} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0|SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{ Ma:Vergleichskette |K^0 ||0 || || || |SZ= }} uffassen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term=K^n|SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|a_1|a_2| \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektor {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2| \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_i | {{defeq}} | {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term=1|SZ=}} an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term=i|SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel|opt1=als additive Struktur|zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= i |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Untervektorräume}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|| }} Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} sind der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} und der gesamte Vektorraum {{math|term=V|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man spricht daher auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=}} des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. {{ inputbeispiel |Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel|| }} An diesem Beispiel kann man sich Folgendes klar machen: Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems über {{math|term=K|SZ=}} ist {{Anführung|in natürlicher Weise|SZ=,}} d.h. unabhängig von jeder Auswahl, ein Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term=n|SZ=}} die Anzahl der Variablen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Der Lösungsraum kann auch stets in eine {{Anführung|lineare Bijektion}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Isomorphie|}} | |ISZ=|ESZ= }} mit einem {{mathl|term=K^{d}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |d |\leq|n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gebracht werden, doch gibt es dafür keine natürliche Wahl. Dies ist einer der Hauptgründe dafür, mit dem abstrakten Vektorraumbegriff zu arbeiten anstatt lediglich mit dem {{math|term=K^n|SZ=.}} {{Fußnotenliste}} }} i7q862vuyiwwhh1ac9pvblg2ulhqj6h 784500 784496 2022-08-22T06:19:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|term=Der Matrizenkalkül}} Ein lineares Gleichungssystem lässt sich am einfachsten mit Matrizen schreiben. Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Variablen mitschleppen zu müssen. Matrizen {{ Zusatz/Klammer |text=und der zugehörige Kalkül| |ISZ=|ESZ= }} sind recht einfache Objekte; sie können aber ganz unterschiedliche mathematische Objekte beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=eine Familie von Spaltenvektoren, eine Familie von Zeilenvektoren, eine lineare Abbildung, eine Tabelle von Wechselwirkungen, ein Vektorfeld etc.| |ISZ=|ESZ=, }} die man stets im Hinterkopf haben sollte, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein. {{ inputdefinition |Matrizen/IxJ/nxm/Definition|| }} Wir beschränken uns weitgehend auf den durchnummerierten Fall. Zu jedem {{mathl|term=i \in I|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=i|SZ=-}}te {{Stichwort|Zeile|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als einen {{Stichwort|Zeilenvektor|SZ=}} {{ math/disp|term= (a_{i1}, a_{i2} {{kommadots|}} a_{in}) |SZ= }} schreibt. Zu jedem {{mathl|term=j \in J|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=j|SZ=-}}te {{Stichwort|Spalte|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als ein Spaltentupel {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_{1j}|a_{2j}|\vdots|a_{mj} }} |SZ= }} schreibt. Die Elemente {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißen die {{Stichwort|Einträge|msw=Eintrag|SZ=}} der Matrix. Zu {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißt {{math|term=i|SZ=}} der {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} und {{math|term=j|SZ=}} der {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} des Eintrags. Man findet den Eintrag {{mathl|term=a_{ij}|SZ=,}} indem man die {{math|term=i|SZ=-}}te Zeile mit der {{math|term=j|SZ=-}}ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} nennt man eine {{Stichwort|quadratische Matrix|SZ=.}} Eine {{mathl|term=m \times 1|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Spaltentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Spaltenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=m|SZ=,}} und eine {{mathl|term=1 \times n|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Zeilentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Zeilenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=n|SZ=.}} Die Menge aller Matrizen mit {{math|term=m|SZ=}} Zeilen und {{math|term=n|SZ=}} Spalten {{ Zusatz/Klammer |text=und mit Einträgen in {{math|term=K|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:Mat|n|m|K}}|SZ=}} bezeichnet, bei {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} schreibt man {{mathl|term={{op:Matq|n|K}}|SZ=.}} Zwei Matrizen {{ Ma:Vergleichskette |A,B |\in| {{op:Mat|n|m|K}} || || || |SZ= }} werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Element {{mathl|term=r \in K|SZ=}} (einem {{Stichwort|Skalar}}) komponentenweise definiert, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrixmn|a}} + {{op:Matrixmn|b}} || \begin{pmatrix} {{{1|a}}}_{11 } +b_{11} & {{{1|a}}}_{1 2} +b_{12} & \ldots & {{{1|a}}}_{1 {{{n|n}}} } +b_{1n} \\ {{{1|a}}}_{21 } +b_{21} & {{{1|a}}}_{2 2} +b_{22} & \ldots & {{{1|a}}}_{2 {{{n|n}}} } +b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{{1|a}}}_{ {{{m|m}}} 1 } +b_{m1} & {{{1|a}}}_{ {{{m|m}}} 2 } +b_{m2} & \ldots & {{{1|a}}}_{ {{{m|m}}} {{{n|n}}} } +b_{mn} \end{pmatrix} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | r {{op:Matrixmn|a}} || {{op:Matrixmn|ra}} || || || |SZ=. }} Die Matrizenmultiplikation wird folgendermaßen definiert. {{ inputdefinition |Matrizenmultiplikation/Definition|| }} Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merkregel kann man das Schema {{ Ma:Vergleichskette/disp | (Z E I L E) {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} ||(ZS+EP+IA+L^2+ET) || || || |SZ= }} verwenden, das Ergebnis ist eine {{math|term=1 \times 1|SZ=-}}Matrix. Insbesondere kann man eine {{mathl|term=m \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Spaltenvektor der Länge {{math|term=n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge {{math|term=m|SZ=.}} Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren (was nicht immer möglich ist) und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} (Z E I L E) || {{Op:Matrix55|SZ|SE|SI|SL|SE|PZ|PE|PI|PL|PE|AZ|AE|AI|AL|AE|LZ|LE|LI|L^2|LE|TZ|TE|TI|TL|TE}} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Einheitsmatrix/Definition|| }} Die Einheitsmatrix {{math|term=E_n|SZ=}} besitzt die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | E_n M ||M || M E_n || || || |SZ= }} für eine beliebige {{mathl|term=n\times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=M|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume}} {{ inputbild |Vector Addition|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Addition von zwei Pfeilen {{math|term=a|SZ=}} und {{math|term=b|SZ=,}} ein typisches Beispiel für Vektoren. |Autor= |Benutzer=Booyabazooka |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der zentrale Begriff der linearen Algebra ist der Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/Direkt/Definition||zusatz1=Fußnote }} Die Verknüpfung in {{math|term=V|SZ=}} nennt man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition und die Operation {{ Ma:abb |name= |K \times V|V || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=.}} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|msw=Vektor|SZ=,}} und die Elemente {{ Ma:Vergleichskette |r | \in |K || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|Skalare|msw=Skalar|SZ=.}} Das Nullelement {{ Ma:Vergleichskette | 0 |\in|V || || || |SZ= }} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} heißt das inverse Element das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term=v|SZ=}} und wird mit {{math|term=-v|SZ=}} bezeichnet. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC|}} || || || |SZ= }} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0|SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{ Ma:Vergleichskette |K^0 ||0 || || || |SZ= }} uffassen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term=K^n|SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|a_1|a_2| \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektor {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2| \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_i | {{defeq}} | {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term=1|SZ=}} an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term=i|SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel|opt1=als additive Struktur|zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= i |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Untervektorräume}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|| }} Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} sind der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} und der gesamte Vektorraum {{math|term=V|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man spricht daher auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=}} des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. {{ inputbeispiel |Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel|| }} An diesem Beispiel kann man sich Folgendes klar machen: Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems über {{math|term=K|SZ=}} ist {{Anführung|in natürlicher Weise|SZ=,}} d.h. unabhängig von jeder Auswahl, ein Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term=n|SZ=}} die Anzahl der Variablen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Der Lösungsraum kann auch stets in eine {{Anführung|lineare Bijektion}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Isomorphie|}} | |ISZ=|ESZ= }} mit einem {{mathl|term=K^{d}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |d |\leq|n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gebracht werden, doch gibt es dafür keine natürliche Wahl. Dies ist einer der Hauptgründe dafür, mit dem abstrakten Vektorraumbegriff zu arbeiten anstatt lediglich mit dem {{math|term=K^n|SZ=.}} {{Fußnotenliste}} }} qqaw7kgyov8qbnjv2qvvknly5zns0fg 106 46734 785223 451357 2022-08-22T08:05:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik_für_Anwender_(Osnabrück_2011-2012)/Teil_I/Arbeitsblattgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Reihe und Spalte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixprodukt/2-i -1-3i -1 i 0 4-21 mal 1+i 1-i 2+5i/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixmultiplikation/e_i e_j/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Wirkungsweise auf Standardspalten und Standardzeilen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Komplexe Matrizen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben. {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Assoziativität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu einer Matrix {{math|term=M|SZ=}} bezeichnet man mit {{math|term=M^n|SZ=}} die {{math|term=n|SZ=-}}fache Verknüpfung {{ Zusatz/Klammer |text=Matrizenmultiplikation| |ISZ=|ESZ= }} mit sich selbst. Man spricht dann auch von {{math|term=n|SZ=-}}ten {{Stichwort/-|Potenzen|SZ=}} der Matrix. {{ inputaufgabe |Matrix/Potenzen/246/135/012/bis 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Produkt von zwei Vektorräumen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Abbildungsmenge nach K/Aufgabe|| }} {{ inputaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Vereinigung von Untervektorräumen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/3-2i 1+5i 0 7i 2+i 4-i mal 1-2i -i 3-4i 2+3i 5-7i 2-i/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Obere Dreiecksmatrix/4/Nulldiagonale/Nilpotent/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Untervektorraum/Beispiele für zwei Axiome/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} m9bhfalmx1rwap2gi041ljhitz4ebed 0 46877 778651 762567 2022-08-21T12:35:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= We describe only the correspondence. {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Let {{math|term= {{{T|T}}}|SZ=}} denote a {{math|term= V|SZ=-}}torsor. Then there exists by definition an open covering {{mathl|term= X = \bigcup_{i \in I} U_i|SZ=}} such that there exist isomorphisms {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i |{{{T|T}}} {{|}}_{U_i} | V {{|}}_{U_i} || |SZ= }} which are compatible with the action of {{mathl|term= V {{|}}_{U_i}|SZ=}} on itself. The isomorphisms {{math|term= \varphi_i|SZ=}} induce automorphisms {{ Ma:abbele/disp |name=\psi_{ij} {{=|}} \varphi_j \circ \varphi_i^{-1} | V {{|}}_{U_i \cap U_j} | V {{|}}_{U_i \cap U_j} || |SZ=. }} These automorphisms are compatible with the action of {{math|term= V|SZ=}} on itself, and this means that they are of the form {{math/disp|term= \psi_{ij} = {{op:Identität|V}} {{|}}_{U_i \cap U_j} +s_{ij}|SZ=}} with suitable sections {{mathl|term= s_{ij} \in \Gamma(U_i \cap U_j,{{garbeS|}})|SZ=.}} This family defines a {{Netz oder Druck|Čech|\v{C}ech}} cocycle for the covering and gives therefore a cohomology class in {{mathl|term= H^1(X, {{garbeS|}} )|SZ=.}} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= For the reverse direction, suppose that the cohomology class {{mathl|term= c \in H^1(X, {{garbeS|}} )|SZ=}} is represented by a {{Netz oder Druck|Čech|\v{C}ech}} cocycle {{mathl|term= s_{ij} \in \Gamma (U_i \cap U_j , {{garbeS|}} )|SZ=}} for an open covering {{mathl|term= X = \bigcup_{i \in I} U_i|SZ=.}} Set {{mathl|term= {{{T|T}}}_i := V {{|}}_{U_i}|SZ=.}} We take the morphisms {{ Ma:abbele/disp |name=\psi_{ij} |{{{T|T}}}_i {{|}}_{U_i \cap U_j} {{=|}} V{{|}}_{U_i \cap U_j} |V{{|}}_{U_i \cap U_j} {{=|}} {{{T|T}}}_j {{|}}_{U_i \cap U_j} || |SZ= }} given by {{mathl|term= \psi_{ij} := {{op:Identität|V}} {{|}}_{U_i \cap U_j} +s_{ij}|SZ=}} to glue the {{math|term= {{{T|T}}}_i|SZ=}} together to a scheme {{math|term= {{{T|T}}}|SZ=}} over {{math|term= X|SZ=.}} This is possible since the cocycle condition guarantees the glueing condition for schemes{{Netz oder Druck|.| (see {{latexcite|EGAI|0, 4.1.7}}).}} The action of {{math|term= {{{T|T}}}_i = V{{|}}_{U_i} |SZ=}} on itself glues also together to give an action on {{math|term= {{{T|T}}}|SZ=.}} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6073ltkcnkon0rmv0vy0ggf91wa2tuu 106 47046 784536 583461 2022-08-22T06:24:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|32| {{Zwischenüberschrift|term=Metrische Räume}} Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines Vektors und den Abstand zwischen zwei Vektoren definieren. Die wichtigsten Eigenschaften dieses euklidischen Abstandes werden im Begriff der {{Stichwort|Metrik|SZ=}} bzw. des {{Stichwort|metrischen Raumes|msw=Metrischer Raum|SZ=}} axiomatisiert. {{inputdefinition|Metrik/Metrischer Raum/Definition|}} Man kann leicht aus den Bedingungen folgern, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert {{mathl|term= d(x,y)}} gibt den Abstand der Punkte {{math|term=x}} und {{math|term= y}} bezüglich {{math|term= d}} an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt, obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden. {{ inputbeispiel |Euklidischer Vektorraum/Als metrischer Raum/Beispiel|| }} Wenn wir nichts anderes sagen, so versehen wir den {{math|term=\R^n|SZ=}} und den {{mathl|term={{CC}}^n \cong \R^{2n}|SZ=}} stets mit dem euklidischen Abstand. Insbesondere sind die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen {{mathl|term={{CC}} \cong \R^2|SZ=}} mit der durch den Betrag definierten Metrik ein metrischer Raum. {{ inputbild |Manhattan distance|svg| 200px {{!}} thumb {{!}} right {{!}} |epsname=Manhattan_distance |Text=Die Summenmetrik heißt auch {{Stichwort|Taxi-Metrik|SZ=.}} Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen den Summenabstand. |Autor= |Benutzer=Psychonaut |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |R^n/Summenmetrik/Metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |R^n/Maximumsmetrik/Metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Menge/Diskrete Metrik/Beispiel|| }} {{ inputbild |Unit disc metrics|svg| 150px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |epsname=Unit_disc_metrics |Text=Die Gestalt der Kugelumgebungen hängt von der Metrik ab. |Autor= |Benutzer=Krishnavedala |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition|Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition|}} Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Metrik. Für {{mathl|term=x \in \R|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} einfach das beidseitig offene Intervall {{mathl|term=]x- \epsilon, x+ \epsilon[|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Offene Teilmengen}} {{ inputbild |Neighborhood illust1|svg| 200px {{!}} thumb {{!}} right {{!}} |epsname=Neighborhood_illust1 |Text=Eine Teilmenge ist offen, wenn jeder Punkt darin mit einer vollen Kugelumgebung drin liegt. Bei einer solchen Menge ist es entscheidend, ob die {{Stichwort|Randpunkte|msw=Randpunkt|SZ=}} dazu gehören oder nicht. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition|Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition|}} {{inputdefinition|Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition|}} Achtung! Abgeschlossen ist {{Betonung/Negation|nicht|}} das {{Anführung|Gegenteil|}} von offen. Die {{Anführung|allermeisten}} Teilmengen eines metrischen Raumes sind weder offen noch abgeschlossen, es gibt aber auch Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. die leere Teilmenge und die Gesamtmenge. {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Offene Kugel/Abgeschlossene Kugel/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Metrischer Raum/Strukturelle Eigenschaften der offenen Mengen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Folgen in metrischen Räumen}} Wir besprechen die Konvergenz einer Folge in einem metrischen Raum. Eine Folge im {{math|term=\R^2|SZ=}} ist beispielsweise durch {{ math/disp|term= x_n = {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|n|}} | {{op:sin|n|}} }},\, n \in \N |SZ=. }} Es handelt sich um eine Folge, die sich auf dem Einheitskreis bewegt, und zwar dreht sich der Punkt um die Bogenlänge {{math|term=1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also um ca. {{mathlk|term=57,3|SZ=}} Grad| |ISZ=|ESZ=. }} Die Folgenglieder nähern sich also nicht untereinander an, sodass keine Konvergenz zu erwarten ist. Bei der Folge {{ math/disp|term= y_n = {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1|n}} {{op:cos|n|}} | {{op:Bruch|1|n}} {{op:sin|n|}} }},\, n \in \N |SZ=, }} bewegen sich die Glieder auf einer {{Anführung|gedachten Spirale|SZ=.}} Die Punkte drehen sich nach wie vor um den gleichen Winkel, allerdings wird der Abstand zum Nullpunkt immer kleiner, sodass man Konvergenz gegen {{math|term=0|SZ=}} erwarten kann. {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition|| }} Diese Definition stimmt natürlich für {{mathl|term={{{M|M}}}=\R|SZ=}} mit unserem bisherigen Begriff für konvergente Folge überein. {{ inputfaktbeweis |Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Insbesondere konvergiert eine Folge von komplexen Zahlen genau dann, wenn die zugehörigen Folgen der Realteile und der Imaginärteile konvergieren. Für eine konvergente reelle Folgen {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} haben wir im ersten Semester die Eigenschaft kennengelernt, dass wenn sämtliche Folgenglieder {{math|term=\geq a|SZ=}} sind, dass dann auch der Limes {{math|term=\geq a|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=für {{Anführung|{{math|term=>|SZ=}}|}} gilt das nicht| |ISZ=|ESZ=. }} Die Hinrichtung der folgenden Aussage ist eine wesentliche Verallgemeinerung dieses Sachverhalts. {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Randpunkte}} {{ inputbild |Neighborhood edge|png| 180px {{!}} right {{!}} |epsname=Neighborhood_edge |Autor= |Benutzer=Zasdfgbnm |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Teilmenge/Rand/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Metrischer Raum/Rand/Intervall und Kreis/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Teilmenge/Berührpunkt/Definition|| }} Ein Punkt ist genau dann ein Randpunkt von {{math|term=T|SZ=,}} wenn er sowohl von {{math|term=T|SZ=}} als auch vom Komplement {{mathl|term=M\setminus T|SZ=}} ein Berührpunkt ist. }} ph0nuymzc5v3s3mv0bs0ng5a62apdvm 106 47048 784476 619821 2022-08-22T06:16:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|34| {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Kurven}} {{ inputbild |ComplexSinInATimeAxe|gif| 350px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |Text=Eine Animation des Graphen der trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises. Die grünen Punkte sind Punkte des Graphen. |Autor=Nashev |Benutzer= |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung= }} Es sei {{math|term=I|SZ=}} ein reelles Intervall, {{math|term=V|SZ=}} ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und {{ Ma:abb/disp |name=f |I|V || |SZ= }} eine Abbildung. Eine solche Abbildung nennen wir auch eine {{Stichwort|Kurve|SZ=}} oder einen {{Stichwort|Weg|SZ=}} in {{math|term=V|SZ=.}} Häufig stellt man sich dabei {{math|term=I|SZ=}} als ein Zeitintervall und die Abbildung als einen Bewegungsprozess im Raum {{math|term=V|SZ=}} vor. Jedem Zeitpunkt {{ Ma:Vergleichskette |t |\in|I || || || |SZ= }} wird also ein Ortspunkt {{ Ma:Vergleichskette |f(t) |\in|V || || || |SZ= }} zugeordnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sich eine solche Abbildung zu veranschaulichen. Bei eindimensionalem {{math|term=V|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette |V |\cong|\R || || || |SZ=, }} ist der Graph die übliche Darstellungsweise. Einen Graphen gibt es bekanntlich zu jeder Abbildung. Bei {{ Ma:Vergleichskette |V |\cong|\R^2 || || || |SZ= }} ist der Graph eine Teilmenge von {{ Ma:Vergleichskette | \R \times \R^2 || \R^3 || || || || |SZ=. }} Häufig skizziert man bei einer Kurve bei {{ Ma:Vergleichskette |V ||\R^2 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |V ||\R^3 || || || |SZ= }} nur das Bild {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht auch von der {{Stichwort|Bahn|SZ=}} oder der {{Stichwort|Spur|SZ=}} der Kurve| |ISZ=|ESZ= }} der Kurve. Man beachte aber, dass das Bild nur eine Teilinformation der Abbildung aufzeigt. Bei einem Bewegungsprozess interessiert man sich natürlich für die {{Anführung|Geschwindigkeit}} zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei versteht man unter Geschwindigkeit nicht nur deren Betrag {{ Zusatz/Klammer |text=oder Norm| |ISZ=|ESZ=, }} sondern auch deren Richtung {{ Zusatz/Klammer |text=die Sprechweisen sind uneinheitlich| |ISZ=|ESZ=. }} Eine gleichmäßige Bewegung auf einem Kreis mit Mittelpunkt {{mathl|term=(0,0)|SZ=}} und Radius {{math|term=r|SZ=,}} bei der eine volle Kreisbewegung die Zeit {{math|term=a|SZ=}} benötigt, die zum Zeitpunkt {{math|term=0|SZ=}} im Punkt {{mathl|term=(r,0)|SZ=}} startet und gegen den Uhrzeigersinn verläuft, wird durch {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R^2 |t| {{op:Zeilenvektor|r {{op:cos| {{op:Bruch|2 \pi | a||}} t|}} |r {{op:sin| {{op:Bruch|2 \pi | a||}} t|}}}} |SZ=, }} beschrieben. Der Geschwindigkeitsvektor der Kreisbewegung ist zu jedem Zeitpunkt {{math|term=t|SZ=}} {{Stichwort|tangential|SZ=}} an den Ortspunkt auf dem Kreis {{ Zusatz/Klammer |text=und steht senkrecht zum Ortsvektor| |ISZ=|ESZ=. }} Die Norm der Geschwindigkeit ist bei einer Kreisbewegung konstant, aber die Richtung ändert sich kontinuierlich. Die Vorstellung der {{Stichwort|Momentangeschwindigkeit|SZ=}} wird durch den Begriff der {{Stichwort|differenzierbaren Kurve|msw=Differenzierbare Kurve|SZ=}} und ihrer Ableitung präzisiert, der eine direkte Verallgemeinerung von differenzierbaren Funktionen ist. Die Idee ist wieder, zu zwei Zeitpunkten {{ Ma:Vergleichskette |t |<|t' || || || |SZ= }} den Durchschnittsgeschwindigkeitsvektor {{ Zusatz/Klammer |text=die wir den {{Stichwort|Differenzenquotienten|msw=Differenzenquotient|SZ=}} nennen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|f(t') - f(t) |t'-t|}} |\in|V || || || |SZ= }} zu betrachten und davon den Limes für {{mathl|term=t' \mapsto t|SZ=}} zu bestimmen. Um einen Limes bilden zu können, brauchen wir, wie schon im Eindimensionalen, eine Metrik {{ Zusatz/Klammer |text=eine Abstandsfunktion| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=V|SZ=.}} Wir werden daher euklidische Vektorräume betrachten, also reelle endlichdimensionale Vektorräume, für die ein Skalarprodukt erklärt ist. Ein Skalarprodukt auf {{math|term=V|SZ=}} definiert über {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v|}} | {{defeq|}} | \sqrt{ {{op:Skalarprodukt|v|v}} } || || || |SZ= }} eine Norm und über {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(u,v) | {{defeq|}} | {{op:Norm|u-v|}} || || || |SZ= }} eine Metrik. Für einen Vektor {{math|term=v|SZ=,}} der bezüglich einer Orthonormalbasis durch die Koordinaten {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || (v_1 {{kommadots|}} v_n) || || || |SZ= }} gegeben ist, lautet die Formel für die Norm {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v|}} || \sqrt{ v_1^2 {{plusdots|}} v_n^2 } || || || || |SZ=. }} Da es auf jedem endlichdimensionalen Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} eine Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} und damit eine dadurch induzierte bijektive lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^n|V |e_i|v_i |SZ=, }} gibt, gibt es auch auf jedem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ein Skalarprodukt und damit eine euklidische Metrik. Diese hängt jedoch von der gewählten Basis ab. Allerdings hängen die offenen Mengen{{ Zusatz/Fußnote |text=Die Menge der offenen Mengen eines metrischen Raumes wird als {{Stichwort|Topologie|SZ=}} bezeichnet. Wesentliche Begriffe wie Konvergenz und Stetigkeit hängen nur von der Topologie ab| |ISZ=.|ESZ=, }} der Konvergenzbegriff und Grenzwerteigenschaften nicht von einer solchen Wahl ab, wie das folgende Lemma zeigt. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Reelle endlichdimensionale Vektorräume/Euklidische Struktur/Unabhängigkeit/Fakt|Lemma|| || }} Für uns bedeutet das, dass die im Folgenden zu entwickelnden Differenzierbarkeitsbegriffe nicht vom gewählten Skalarprodukt abhängen. Mit etwas mehr Aufwand kann man auch zeigen, dass eine beliebige {{ Zusatz/Klammer |text=nicht notwendigerweise euklidische| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Norm| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/K/Norm/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ebenfalls die gleiche Topologie definiert, und man genauso gut mit einer beliebigen Norm arbeiten könnte. Zunächst müssen wir den Grenzwertbegriff für Abbildungen zwischen metrischen Räumen erweitern. {{ inputdefinition |Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition|f=g| }} Eine alternative Bedingung ist, dass für jede Folge {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} aus {{math|term=T|SZ=,}} die gegen {{math|term=a|SZ=}} konvergiert, die Bildfolge {{mathl|term={{Op:Folge|glied=f(x_n)}}|SZ=}} gegen {{math|term=b|SZ=}} konvergiert. Diese Definition werden wir hauptsächlich in der Situation {{mathl|term=M=I|SZ=}} ein reelles Intervall, {{mathl|term=T=I \setminus \{t \}|SZ=,}} {{mathl|term=a=t|SZ=,}} {{mathl|term=L=V|SZ=}} ein euklidischer Vektorraum und den Differenzenquotienten {{ Ma:abbele/disp |name=g |t'| {{op:Bruch|f(t')-f(t)|t'-t}} || |SZ= }} anwenden. Dieser ist für {{ Ma:Vergleichskette |t' ||t || || || |SZ= }} nicht definiert, wir suchen aber dennoch einen sinnvollen Wert für ihn. {{:Differenzierbare Kurven/Vektorraum/Textabschnitt |zusatz1=&nbsp;Bei {{mathl|term=f'(t) \neq 0|SZ=}} versteht man unter der {{Stichwort|Tangente|SZ=}} an {{mathl|term=f(t)|SZ=}} zum Zeitpunkt {{math|term=t|SZ=}} die durch {{ math/disp|term= {{Mengebed|f(t)+ s \cdot f'(t)|s \in \R }} |SZ= }} gegebene Gerade. |zusatz2=Die vorstehende Aussage wird hauptsächlich für die Standardbasis des {{math|term=\R^n|SZ=}} angewendet. |zusatz3= {{ inputbeispiel |Kreisbewegung/Ableitung/Senkrecht/Beispiel|| }}|}} {{ inputbeispiel |Kurve/Bewegung im Raum/Projektion auf Ebene/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste}} }} rfi0pej8l0rg5qvltmltiqbynyte9t8 106 47188 780113 458583 2022-08-21T18:12:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Vorlesungsgestaltung|3| {{Seitenüberschrift|Prädikatenlogik}} {{ inputbild |Uni Freiburg - Philosophen 4|jpg|180px {{!}} right {{!}} |epsname=Uni_Freiburg_-_Philosophen_4 |Text=[[w:Aristoteles|Aristoteles {{ Zusatz/Klammer |text=384-322 v.C.| |ISZ=|ESZ= }}]] gilt als Erfinder der Prädikatenlogik. Er verwendet in seiner Analytik Variablen, einstellige Prädikate, Quantoren und die logischen Junktoren. |Autor=Cipri Adolf Bermann |Benutzer=Michael Sch. |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} Wir beginnen mit dem syntaktischen Aufbau der Prädikatenlogik mit Identität. Um den Aufbau dieser formalen Sprache zu motivieren und das Verständnis der zunächst rein formalen Ausdrücke zu erleichtern, ist es hilfreich, an Bildungsweisen von mathematischen Aussagen zu erinnern. Der konsequente Aufbau der Semantik folgt in der nächsten Vorlesung. {{Zwischenüberschrift|Relationen}} Ein Term kann weder wahr noch falsch sein, und zwar unabhängig davon, ob man ihn einfach als ein nach gewissen formalen Regeln aufgebautes Symbolwort auffasst oder ihn in einer bestimmten Menge {{ Zusatz/Klammer |text=etwa den natürlichen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} interpretiert. Wahr oder falsch können nur Aussagen sein. Wichtig sind für uns zunächst die formalen Eigenschaften einer Aussage. In mathematischen Aussagen kommen häufig Terme zusammen mit einem Vergleichssymbol vor, z. B. in der {{ Zusatz/Klammer |text=wahren| |ISZ=|ESZ= }} Gleichung {{ math/disp|term= 2 \cdot (2+3) = 10 |SZ= }} oder der {{ Zusatz/Klammer |text=falschen| |ISZ=|ESZ= }} Abschätzung {{ math/disp|term= 2 \cdot (2+3) < 10 |SZ=. }} Mit zwei Termen und dem Gleichheitszeichen oder Kleinerzeichen gelangt man also zu Aussagen, man spricht von zweistelligen Relationen {{ Zusatz/Klammer |text=in Logik und Grammatik auch von zweistelligen Prädikaten| |ISZ=|ESZ=. }} Der Wahrheitsgehalt hängt dabei von den zwei Eingaben ab. Eine einstellige Relation oder ein Prädikat ist eine Eigenschaftsform, die einem Element zukommen kann oder nicht, z.B. die Eigenschaft einer natürlichen Zahl, prim zu sein oder gerade zu sein oder eine Quadratzahl zu sein, oder das Positivitätsprädikat, das besagt, dass eine reelle Zahl positiv ist. Einstellige Prädikate definieren eine Teilmenge einer gegebenen Grundmenge: einem einstelligen Prädikat wird diejenige Teilmenge zugeordnet, die aus allen Elementen besteht, für die das Prädikat gilt. Daher entspricht die Mengenlehre der Prädikatenlogik mit nur einstelligen Prädikaten. Mit {{math|term=n|SZ=-}}stelligen Relationenssymbolen und {{math|term=n|SZ=}} Termen gelangt man ebenfalls zu einer Aussage. Wenn z.B. {{mathl|term=A,B,C|SZ=}} als Punkte in der Ebene interpretiert werden können, und {{math|term=G|SZ=}} die Relation {{Anführung|bildet ein gleichseitiges Dreieck}} bedeutet, so bedeutet {{mathl|term=G(A,B,C)|SZ=,}} dass diese drei Punkte ein gleichseitiges Dreieck bilden. Der Wahrheitsgehalt hängt natürlich von der Lage der Punkte {{mathl|term=A,B,C|SZ=}} ab, hier interessiert aber lediglich, dass {{mathl|term=G(A,B,C) |SZ=}} eine sinnvolle Aussageform repräsentiert. Andere geometrische Beispiele für dreistellige Relationen sind die Eigenschaften, dass die drei Punkte {{mathl|term=A,B,C|SZ=}} auf einer Geraden liegen, sagen wir {{mathl|term=L(A,B,C)|SZ=,}} oder dass die drei Punkte ein rechtwinkliges Dreieck bilden, wobei der rechte Winkel an dem zuerst genannten Eckpunkt liegen muss, sagen wir {{mathl|term=R(A,B,C)|SZ=.}} Man kann sich darüber streiten, ob bei einem Dreieck die Eckpunkte alle verschieden sein müssen, jedenfalls kann man die Eigenschaft der drei Punkte, dass sie paarweise verschieden sind, durch ein dreistelliges Prädikat ausdrücken, sagen wir {{mathl|term=E(A,B,C)|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Quantoren}} Mathematische Aussage enthalten häufig auch Existenzaussagen. Wenn wir bei dem eben erwähnten Beispiel bleiben, so bedeutet {{ math/disp|term= \text{es gibt } z \, G(A,B,z) |SZ= }} die Aussage, dass es zu gegebenen festen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} ein {{math|term=z|SZ=}} gibt derart, dass die drei Punkte {{mathl|term=A,B,z|SZ=}} ein gleichseitiges Dreieck bilden {{ Zusatz/Klammer |text=diese Aussage ist in der reellen Zahlenebene wahr| |ISZ=|ESZ=. }} In dem Beispielsatz wird nur über {{math|term=z|SZ=}} quantifiziert, nicht über {{math|term=A|SZ=}} und {{math|term=B|SZ=.}} Dies kann man durch die folgenden Aussagen erreichen. {{ math/disp|term= \text{es gibt } x \text{ und es gibt } y \text{ und es gibt } z \, G(x,y,z) |SZ=, }} was bedeutet, dass es Punkte {{mathl|term=x,y,z|SZ=}} gibt, die ein gleichseitiges Dreieck bilden, die wahr ist, aber deutlich schwächer als die Aussage {{ math/disp|term= \text{ für alle } x \text{ und } \text{ für alle } y \text{ gibt es } z \, G(x,y,z) |SZ= }} ist, die behauptet, dass es zu {{ Zusatz/Klammer |text=beliebig vorgegebenen| |ISZ=|ESZ= }} Eckpunkten {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} stets einen dritten Punkt gibt, so dass ein gleichseitiges Dreieck entsteht{{ Zusatz/Fußnote |text=Die Gültigkeit dieser Aussagen setzt voraus, dass wir über den reellen Zahlen bzw. in der reellen Zahlenebene arbeiten| |ISZ=.|ESZ=. }} Die Ausdrücke {{Anführung|es gibt}} und {{Anführung|für alle}} nennt man {{Stichwort|Quantoren|msw=Quantor|SZ=.}} Für diese Quantoren gibt es spezielle Symbole, nämlich {{math|term=\exists|SZ=}} für {{Anführung|es gibt}} und {{math|term=\forall|SZ=}} für {{Anführung|für alle|SZ=.}} Die obigen Beispielsätze schreibt man dann formal als {{ math/disp|term= \exists x \exists y \exists z G(x,y,z) |SZ= }} bzw. als {{ math/disp|term= \forall x \forall y \exists z G(x,y,z) |SZ=. }} Auf die Reihenfolge bei gleichartigen Quantoren kommt es nicht an {{ Zusatz/Klammer |text=dies ist von der inhaltlichen Bedeutung her klar, wird später aber auch formal im Ableitungskalkül nachgebildet| |ISZ=|ESZ=, }} sie ist aber bei wechselnden Quantoren entscheidend. Beispielsweise ist die Aussage {{ math/disp|term= \exists z \forall x \forall y G(x,y,z) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also die Aussage, dass es einen Punkt gibt, der mit je zwei anderen beliebigen Punkten eine gleichseitiges Dreieck bildet| |ISZ=|ESZ= }} im Gegensatz zur vorherigen Aussage nicht wahr. {{Zwischenüberschrift|Junktoren}} Eine weitere Art von mathematischen Aussagen entsteht dadurch, dass man Aussagen selbst zueinander in eine logische Beziehung setzt, indem man beispielsweise sagt, dass aus der Aussage {{math|term=p|SZ=}} die Aussage {{math|term=q|SZ=}} folgt, oder dass {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} zueinander äquivalent sind. Der Satz des Pythagoras besagt, dass wenn zwischen drei Punkten {{mathl|term=A,B,C|SZ=}} in der Ebene die Beziehung der Rechtwinkligkeit am Punkt {{math|term=A|SZ=}} besteht, dass dann zwischen den durch die drei Punkte definierten Streckenlängen ebenfalls eine bestimmte Beziehung{{ Zusatz/Fußnote |text=Zur Erinnerung: das Quadrat der Streckenlänge zwischen {{ mathkor|term1= B |und|term2= C |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die Hypotenuse| |ISZ=|ESZ= }} ist gleich der Summe der Quadrate der beiden Streckenlängen zwischen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} und {{ mathkor|term1= A |und|term2= C |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=den Katheten| |ISZ=|ESZ= }}| |ISZ=.|ESZ= }} besteht. Wenn man die Rechtwinkligkeit wie oben mit dem dreistelligen Relationssymbol {{math|term=R|SZ=}} und die Streckenbeziehung mit dem dreistelligen Relationssymbol {{math|term=S|SZ=}} bezeichnet, so gilt also {{ math/disp|term= \text{ aus } R(A,B,C) \text{ folgt } S(A,B,C) |SZ=, }} was wir formal als {{ math/disp|term= \forall A \forall B \forall C (R(A,B,C) \longrightarrow S(A,B,C)) |SZ= }} schreiben. Gilt davon auch die Umkehrung? Folgt also aus der {{ Zusatz/Klammer |text=für den Satz des Pythagoras typischen Streckenbeziehung| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term=S(A,B,C) |SZ=,}} dass ein rechter Winkel an {{math|term=A|SZ=}} vorliegt? Dies ist in der Tat der Fall! Der Kosinussatz besagt für ein beliebiges {{ Zusatz/Klammer |text=echtes| |ISZ=|ESZ= }} Dreieck mit einem an {{math|term=A|SZ=}} anliegenden Winkel, dass {{ math/disp|term= d(B,C)^2 = d(A,B)^2 + d(A,C)^2 -2 d(A,B) d(A,C){{op:cos|\alpha|}} |SZ= }} gilt, wobei {{math|term=d|SZ=}} den Abstand zwischen zwei Punkten bezeichne. Der {{Anführung|Störterm}} rechts entfällt genau dann, wenn {{mathl|term={{op:cos|\alpha|}} = 0 |SZ=}} ist, und dies ist nur bei {{math|term=90|SZ=}} Grad der Fall. Daher können wir die Äquivalenz {{ math/disp|term= \forall A \forall B \forall C (R(A,B,C) \longleftrightarrow S(A,B,C)) |SZ= }} schreiben {{ Zusatz/Klammer |text=ein Dreieck, bei dem zwei Eckpunkte zusammenfallen, akzeptieren wir als rechtwinklig an dem doppelten Punkt| |ISZ=|ESZ=. }} Unser Rechtwinkligkeitsprädikat {{math|term=R(A,B,C)|SZ=}} besagt, dass der Winkel am Eckpunkt {{math|term=A|SZ=}} ein Rechter ist. Wenn man sich dafür interessiert, ob überhaupt ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, so muss {{math|term=R(A,B,C)|SZ=}} oder {{math|term=R(B,C,A)|SZ=}} oder {{math|term=R(C,A,B)|SZ=}} gelten. Die Oderverknüpfung wird formal als {{ math/disp|term= ( R(A,B,C) {{logoder}} R(B,C,A) ) {{logoder}} R(C,A,B) |SZ= }} geschrieben {{ Zusatz/Klammer |text=die Assoziativität der oder-Verknüpfung steht im Moment noch nicht zur Verfügung| |ISZ=|ESZ=. }} Für ein echtes Dreieck haben wir oben gefordert, dass die konstituierenden Punkte {{mathl|term=A,B,C|SZ=}} paarweise verschieden sind. Die Gleichheit von zwei Punkten wird durch {{mathl|term=A=B|SZ=}} und die Negation davon, also die Verschiedenheit der beiden Punkte, wird in der Mathematik durch {{mathl|term=A \neq B|SZ=,}} in der Logik aber durch {{mathl|term=\neg {{makl| A=B |}} |SZ=}} ausgedrückt. Dass drei Punkte paarweise verschieden sind, erfordert ein logisches und, das durch {{math|term={{logund}}|SZ=}} symbolisiert wird, so dass sich die Echtheit eines Dreiecks durch {{ math/disp|term= (\neg A =B {{logund}} \neg A =C) {{logund}} \neg B = C |SZ= }} ausdrücken lässt. {{Zwischenüberschrift|Sprachen erster Sufe}} Die erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten für Aussagen sind im Wesentlichen schon erschöpfend. Mit ihnen kann man formale Sprachen aufbauen, deren Aussagekraft prinzipiell groß genug ist, um die gesamte Mathematik auszudrücken {{ Zusatz/Klammer |text=für viele Bereiche wäre es aber künstlich, sich auf diese Sprachen zu beschränken| |ISZ=|ESZ=. }} Diese formalen Sprachen nennt man {{Stichwort|Sprachen erster Stufe|msw=Sprache erster Stufe|SZ=,}} wir beginnen mit den zugehörigen Alphabeten. {{ inputdefinition |Alphabet erster Stufe/Symbole für Relationen und Funktionen/Grunddaten/Definition|| }} Die aussagenlogischen Junktoren werden als {{Stichwort|Negation|SZ=,}} {{Stichwort|Konjunktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und| |ISZ=|ESZ=, }} {{Stichwort|Disjunktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Alteration|SZ=}}, einschließliches Oder| |ISZ=|ESZ=, }} {{Stichwort|Implikation|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn, dann| |ISZ=|ESZ= }} und {{Stichwort|Äquivalenz|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=genau dann, wenn| |ISZ=|ESZ= }} bezeichnet. Der Quantor {{math|term=\forall|SZ=}} heißt {{Stichwort|Allquantor|SZ=}} und {{math|term=\exists|SZ=}} heißt {{Stichwort|Existenzquantor|SZ=.}} Diese Liste ist etwas redundant, da man, von der späteren Interpretation her gesehen, einige aussagenlogische Junktoren durch andere ersetzen kann, beispielsweise ist für zwei Aussagen {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} die Aussage {{mathl|term=p \rightarrow q|SZ=}} gleichwertig mit {{mathl|term= \neg p {{logoder}} q|SZ=,}} und so könnte man den Implikationspfeil auch weglassen. Ebenso kann man den einen Quantor mit Hilfe des anderen und der Negation ausdrücken, es ist nämlich {{mathl|term=\forall x p|SZ=}} gleichbedeutend mit {{mathl|term=\neg \exists x \neg p|SZ=.}} Um die Lesbarkeit von Ausdrücken zu erhöhen ist es aber alles in allem vorteilhaft, nicht allzu minimalistisch sein zu wollen {{ Zusatz/Klammer |text=man könnte die unnötigen Symbole auch als Abkürzungen einführen| |ISZ=|ESZ=. }} Das Gleichheitszeichen könnte man zwar auch als ein weiteres zweistelliges Relationssymbol auffassen, allerdings sind die weiter unten einzuführenden Schlussregeln für das Gleichheitszeichen {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere die Möglichkeit einzusetzen| |ISZ=|ESZ= }} für die Logik erster Stufe konstitutiv. Da ein Alphabet einer Sprache erster Stufe eine Termgrundmenge enthält, ist klar, was als Term in der Sprache zu gelten hat. Als nächstes erklären wir formal, was wir als einen Ausdruck {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine formale Aussage| |ISZ=|ESZ= }} in dieser Sprache ansehen. {{ inputdefinition |Ausdrücke erster Stufe/Über Alphabet/Rekursiv/Definition|| }} Die Klammern sind hier auch nur nötig, weil wir die zweistelligen Junktoren anders als die Funktionssymbole in der Mitte schreiben. Die Menge der Konstanten, der Variablen, der Funktionssymbole und der Relationssymbole nennt man zusammen auch das {{Stichwort|Symbolalphabet}} der Sprache. Die anderen Symbole {{ Zusatz/Klammer |text=Junktoren, Quantoren, Gleichheitszeichen, Klammern| |ISZ=|ESZ= }} sind immer gleich, so dass eine Sprache erster Stufe im Wesentlichen nur von der gewählten Symbolmenge {{math|term=S|SZ=}} abhängt. Für die zugehörige Sprache schreibt man {{math|term=L^S|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Freie und gebundene Variablen}} {{:Prädikatenlogik/Freie und gebundene Variablen/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} 38rbblvmerb3tpk9p8bhd5fb0317nvk 106 47190 784380 509808 2022-08-22T06:03:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Vorlesungsgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Weitere Axiomensysteme}} In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, wie man die Gruppenaxiome in der Prädikatenlogik erster Stufe formulieren kann. Eine Gruppe im herkömmlichen mathematischen Sinn ist prädikatenlogisch formuliert eine Menge zusammen mit einer Interpretation für eine Konstante und ein zweistelliges Funktionssymbol (nämlich ein ausgezeichnetes Element und eine Verknüpfung), unter der gemäß der Modellbeziehung die Gruppenaxiome gültig sind. Wir geben ein weiteres Beispiel, das die Beziehung zwischen mathematischer und prädikatenlogischer Formulierung deutlich machen soll. {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} Neben den Variablen besteht das zugehörige Symbolalphabet allein aus einem zweistelligen Relationssymbol, das wir ebenfalls mit {{math|term=\preccurlyeq|SZ=}} bezeichnen. Die für eine Ordnung verlangten Eigenschaften führen zu dem folgenden einstufigen Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |{{ math/disp|term= \forall x (x \preccurlyeq x) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z ( x \preccurlyeq y {{logund}} y \preccurlyeq z \rightarrow x \preccurlyeq z) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \forall y ( x \preccurlyeq y {{logund}} y \preccurlyeq x \rightarrow x = y) |SZ=. }} }} In einer Menge mit einer zweistelligen Relation {{math|term=R|SZ=}} gilt das Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=}} genau dann, wenn die Relation eine Ordnungsrelation ist. {{Zwischenüberschrift|Die Folgerungsbeziehung}} Mit Axiomensystemen verbindet man die Vorstellung, dass daraus {{Anführung|wichtige}} weitere Eigenschaften beweisbar sind. In einer jeden Gruppe gelten nicht nur die Gruppenaxiome, sondern auch alle Gesetzmäßigkeiten, die man aus den Gruppenaxiomen folgern kann. Dies wird in der mathematischen Logik durch den Folgerungsbegriff präzisiert. {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Folgerung/Über Modelle/Definition|| }} Die Folgerungsbeziehung verwendet also das gleiche Symbol wie die Gültigkeitsbeziehung. Dass aus einer gewissen Ausdrucksmenge {{math|term=\Gamma|SZ=}} ein gewisser Audruck {{math|term=p|SZ=}} folgt, erfordert eine mathematische Argumentation, die aufzeigt, dass eine Menge mit zusätzlichen Strukturen, die {{math|term=\Gamma|SZ=}} erfüllt, stets auch {{math|term=p|SZ=}} erfüllen muss. {{ inputbeispiel |Gruppenaxiome/Eindeutigkeit des neutralen Elementes/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Allgemeingültige Ausdrücke}} {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes Modell/Definition|| }} Allgemeingültige Ausdrücke sind {{Stichwort|Tautologien|msw=Tautologie|SZ=}} im semantischen Sinn. Wir werden später noch Tautologien im syntaktischen Sinn kennenlernen und die Übereinstimmung der beiden Konzepte zeigen. Da ein allgemeingültiger Ausdruck {{math|term=p|SZ=}} in jeder Interpretation gilt, kann man auch sagen, dass {{math|term=p|SZ=}} aus der leeren Ausdrucksmenge folgt, also {{mathl|term=\emptyset \vDash p|SZ=}} gilt. Beispiele sind die Ausdrücke {{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z ((x=y {{logund}} y=z) \rightarrow x=z) |SZ= }} oder {{ math/disp|term= (\forall x p) \rightarrow p |SZ= }} (wobei {{math|term=p|SZ=}} ein Ausdruck ist). Wenn {{mathl|term=p_1,p_2,p_3|SZ=}} die Gruppenaxiome sind, und {{math|term=p|SZ=}} die im obigen Beispiel erwähnte Eindeutigkeitsausssage für das neutrale Element ist, so ist auch {{ math/disp|term= p_1 {{logund}} p_2 {{logund}} p_3 \rightarrow p |SZ= }} allgemeingültig. {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Erfüllbar/Durch Modell/Definition|| }} Für eine Ausdrucksmenge {{math|term=\Gamma|SZ=}} bedeutet die Erfüllbarkeit, dass die darin enthaltenen Ausdrücke simultan in einer Interpretation erfüllbar sind. Zwischen Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit besteht die Beziehung, dass {{math|term=p|SZ=}} genau dann allgemeingültig ist, wenn die Negation {{mathl|term=\neg p|SZ=}} nicht erfüllbar ist. Zwischen Folgerung und Erfüllbarkeit besteht der folgende Zusammenhang. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Prädikatenlogik/Folgerung/Unerfüllbarkeit/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|Das Koinzidenzlemma}} Die folgende Aussage, das Koinzidenzlemma, zeigt, dass der Wert eines Terms und die Gültigkeit eines Ausdrucks unter einer Interpretation nur von den in dem Term bzw. Ausdruck vorkommenden freien Variablen abhängt. Ihr Beweis ist ein typisches Beispiel für einen Beweis durch Induktion über den Aufbau der Terme bzw. Ausdrücke. {{ inputfaktbeweis |Prädikatenlogik/Koinzidenzlemma/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|Substitution}} Wir besprechen nun die Variablensubstitution, wobei wir weitgehend der Darstellung von Ebbinghaus, Flum, Thomas folgen. Variablen repräsentieren verschiedene Werte, die man für sie einsetzen kann. Auf formaler Ebene bedeutet dies, dass eine oder mehrere Variablen durch gewisse Terme ersetzt werden. In der Ersetzung macht es einen großen Unterschied, ob gebundene oder freie Variablen vorliegen. Der Ausdruck {{ math/disp|term= x \geq 0 \rightarrow \exists y (x=y \cdot y) |SZ= }} bedeutet in einem angeordneten Körper interpretiert, dass die nichtnegative Zahl {{math|term=x|SZ=}} als Quadrat darstellbar ist (also eine Quadratwurzel besitzt), was für {{math|term=\R|SZ=}} wahr ist, für {{math|term=\Q|SZ=}} im Allgemeinen (das hängt von der Interpretation für {{math|term=x|SZ=}} ab) nicht. Gleichbedeutend (bei einer inhaltlichen Interpretation) mit diesem Ausdruck ist {{ math/disp|term= x \geq 0 \rightarrow \exists z (x=z \cdot z) |SZ=, }} aber nicht {{ math/disp|term= x \geq 0 \rightarrow \exists x (x=x \cdot x) |SZ=, }} das nur bei {{ mathkor|term1= x=0 |oder|term2= x=1 |SZ= }} wahr ist. Von daher wird die weiter unten zu gebende Definition für die Substitution von Ausdrücken berücksichtigen, ob Variablen frei oder gebunden sind. Ferner wird es wichtig sein, in einem Ausdruck neue Variablen einzuführen. Damit diese Konstruktion eindeutig definiert ist, legen wir eine durchnummerierte (und abzählbare) Variablenmenge {{mathl|term=v_1,v_2, v_3 \ldots|SZ=}} zugrunde. {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Variablensubstitution/Terme/Definition|| }} {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Variablensubstitution/Ausdrücke/Definition|| }} Die folgende Aussage, das Substitutionslemma, geben wir ohne Beweis. Es stiftet eine Beziehung zwischen Substitutionen und Uminterpretationen. In Verallgemeinerung der Schreibweise {{mathl|term=I ({{op:Bruch|m|x}})|SZ=}} für eine Uminterpretation schreiben wir {{mathl|term=I ({{op:Bruch|m_1 {{kommadots}} m_k|x_1 {{kommadots}} x_k|}})|SZ=}} für die sukzessive Uminterpretation der untereinander verschiedenen Variablen {{mathl|term=x_1 {{kommadots}} x_k|SZ=}} (dabei seien {{mathl|term=m_1 {{kommadots}} m_k|SZ=}} Elemente der Grundmenge {{math|term=M|SZ=}} der Interpretation). Es werden also die {{math|term=x_i|SZ=}} als {{math|term=m_i|SZ=}} interpretiert und alle anderen Variablen werden gemäß {{math|term=I|SZ=}} interpretiert. {{ inputfakt |Prädikatenlogik/Substitutionslemma/Fakt|Lemma|| || }} }} lkysokgpkvlmt8iv1n29w95bwnlysoc 0 47373 778964 763155 2022-08-21T15:14:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl {{Anführung|berechnen|SZ=,}} sagen wir von {{math|term= 5|SZ=.}} Eine solche Zahl {{math|term= x|SZ=}} mit der Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette |x^2 ||5 || || || |SZ= }} gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. Wenn {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|R || || || |SZ= }} ein solches Element ist, so hat auch {{math|term= -x|SZ=}} diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref1|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht geben, so dass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen. Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |x^2 || 5 || || || |SZ= }} gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Abweichung| |SZ= }} unter jede gewünschte positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzel beliebig anzunähern, ist das {{Stichwort|Heron-Verfahren|SZ=,}} das man auch {{Stichwort|babylonisches Wurzelziehen|SZ=}} nennt. Dies ist ein {{Stichwort|iteratives Verfahren|SZ=,}} d.h., die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit {{ Ma:Vergleichskette |a |{{defeq|}}| x_0 |{{defeq|}}| 2 || || |SZ= }} als erster Näherung. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_0^2 ||2^2 || 4 |<| 5 || |SZ= }} ist {{math|term= x_0|SZ=}} zu klein, d.h. es ist {{ Ma:Vergleichskette | x_0 |<| x || || || |SZ=. }} Aus {{ Ma:Vergleichskette |a^2 |<| 5 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= a|SZ=}} positiv| |SZ= }} folgt zunächst {{ Ma:Vergleichskette | 5/a^2 |>| 1 || || || |SZ= }} und daraus {{ Ma:Vergleichskette | (5/a)^2 |>| 5 || || || |SZ=, }} d.h. {{ Ma:Vergleichskette | 5/a |>| \sqrt{5} || || || |SZ=. }} Man hat also die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |a |<|\sqrt{5} |<|5/a || || |SZ=, }} wobei rechts eine rationale Zahl steht, wenn links eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} liegt. Die Differenz {{mathl|term= 5/a -a|SZ=}} ist ein Maß für die Güte der Approximation. Beim Startwert {{math|term= 2|SZ=}} ergibt sich, dass die Quadratwurzel von {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5/2 |SZ= }} liegt. Man nimmt nun das {{ Definitionslink |arithmetische Mittel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der beiden Intervallgrenzen, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_1 | {{defeq|}} |\frac{2+ \frac{5}{2} }{2} ||\frac{9}{4} |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette | {{makl|\frac{9}{4}|}}^2 ||\frac{81}{16} |>|5 |SZ= }} ist dieser Wert zu groß und daher liegt {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} im Intervall {{mathl|term= [5\cdot\frac{4}{9} , \frac{9}{4}] |SZ=.}} Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_2 | {{defeq|}} |\frac{ 5 \cdot \frac{4}{9} + \frac{9}{4} }{2} ||\frac{161}{72} |SZ= }} als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende Approximation von {{math|term= \sqrt{5}|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3= |Abstraktere Version=Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/Angeordneter Körper/Beispiel |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6fo6ua9ortt9kmd5knk5jp0zez8ngmh 0 47379 779795 751897 2022-08-21T17:23:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{Stichwort|konstante Folge|SZ=}}{{{zusatz1|}}} {{ Ma:Vergleichskette |x_n | {{defeq|}}| c || || || |SZ= }} ist stets konvergent mit dem Grenzwert {{math|term= c|SZ=.}} Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} als Aufwandszahl {{ Ma:Vergleichskette |n_0 ||0 || || || |SZ= }} nehmen kann. Es ist ja {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_n-c}} || {{op:Betrag|c-c}} || {{op:Betrag|0}} ||0 |<|\epsilon |SZ= }} für alle {{math|term= n|SZ=.}} Die Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || {{op:Bruch|1|n}} || || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Grenzwert {{math|term= 0|SZ=.}} Sei dazu ein beliebiges positives {{math|term= \epsilon|SZ=}} vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms gibt es ein {{math|term= n_0|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|1|n_0}} |\leq| \epsilon || || || |SZ=. }} Insgesamt gilt damit für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n ||{{op:Bruch|1|n}} |\leq|{{op:Bruch|1|n_0}} |\leq| \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Abstraktere Version=Angeordneter Körper/Konvergente Standardfolgen/Beispiel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b0s1h56jreil8z2q0t4q5fbdnicu9l2 0 47384 779792 751878 2022-08-21T17:22:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= c > 0|SZ=}} eine positive reelle Zahl. Dann ist die {{Stichwort|alternierende Folge|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n | {{defeq|}} | (-1)^n c || || || |SZ= }} beschränkt, aber nicht {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Beschränktheit folgt direkt aus {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Betrag|x_n}} ||{{op:Betrag|(-1)^n}} {{op:Betrag|c}} ||c |SZ=. }} Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq| 0 || || || |SZ= }} der Grenzwert, so gilt für positives {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |<| 1 || || || |SZ= }} und jedes ungerade {{math|term= n|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_n-x}} ||{{op:Betrag|-c-x}} ||c+x |\geq |c |>|\epsilon || |SZ=, }} so dass es Folgenwerte außerhalb dieser {{math|term= \epsilon|SZ=-}}Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Abstrakterer Variante=Angeordneter Körper/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Beispiel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hnvzielxp03h5k7v5oo3qfaemg84bz5 0 47423 779784 502333 2022-08-21T17:21:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die Reihe {{ math/disp|term= \sum_{k=1}^\infty {{op:Bruch|1|k(k+1)}} |SZ= }} berechnen, wozu wir zuerst eine Formel für die {{math|term= n|SZ=-}}te Partialsumme angeben. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |s_n || \sum_{k {{=|}} 1}^n {{op:Bruch|1|k(k+1)}} ||\sum_{k {{=|}} 1}^n {{makl| {{op:Bruch|1|k}} - {{op:Bruch|1|k+1}} |}} ||1- {{op:Bruch|1|n+1}} || {{op:Bruch|n|n+1}} |SZ=. }} Diese Folge konvergiert gegen {{math|term= 1|SZ=,}} so dass die Reihe konvergiert und ihre Summe gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rationalen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 87ykdl8ujqll0brnwdkussgvhw779ud 0 47424 779783 710351 2022-08-21T17:21:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen bestimmen, ob die Reihe {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 1}^\infty {{op:Bruch|1|k^2}} || 1 + {{op:Bruch|1|4}} + {{op:Bruch|1|9}} + {{op:Bruch|1|16}} + {{op:Bruch|1|25}} + \ldots || || || |SZ= }} konvergiert oder nicht. Dazu ziehen wir das {{ Faktlink |Präwort=|Majorantenkriterium|Faktseitenname= Reelle Reihe/Majorantenkriterium/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Reelle Reihe/Summe 1 durch k(k+1)/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} heran, wo wir die Konvergenz von {{mathl|term= \sum_{k {{=|}} 1}^n {{op:Bruch|1|k(k+1)}} |SZ=}} gezeigt haben. Für {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|2 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|k^2}} |\leq| {{op:Bruch|1|k(k-1)}} || || || || |SZ=. }} Daher konvergiert {{mathl|term= \sum_{k=2}^\infty {{op:Bruch|1|k^2}} |SZ=}} und somit auch {{mathl|term= \sum_{k=1}^\infty {{op:Bruch|1|k^2}} |SZ=.}} Über den Wert der Summe ist damit noch nichts gesagt. Mit deutlich aufwändigeren Methoden kann man zeigen, dass diese Summe gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|\pi^2|6}} |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 15m0v30hdbrewd4te5sdtbv5r5y8yl3 0 47428 779777 751837 2022-08-21T17:20:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine konstante Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|c |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=\R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon|SZ=}} kann man hier ein beliebiges {{math|term= \delta|SZ=}} wählen, da ja ohnehin {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(f(x),f(x')) ||d(c,c) ||0 |\leq|\epsilon || |SZ= }} gilt. Die Identität {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|x |SZ=, }} ist ebenfalls {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=\R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon|SZ=}} kann man hier {{ Ma:Vergleichskette |\delta || \epsilon || || || |SZ= }} wählen, was zu der Tautologie führt: Wenn {{mathl|term= d(x,x') \leq \delta = \epsilon|SZ=,}} so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(f(x),f(x')) ||d(x,x') |\leq|\epsilon || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Objektkategorie2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g9xd2l9lm8fnae359lb99ck5e4j1zs4 0 47449 779776 701094 2022-08-21T17:20:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) || \begin{cases} 0, \text{ falls } x < 0 \, , \\ 1, \text{ falls } x \geq 0 \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Diese Funktion ist im Nullpunkt {{math|term= 0|SZ=}} nicht stetig. Für {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon || {{op:Bruch|1|2}} || || || || |SZ= }} und jedes beliebige positive {{math|term= \delta |SZ=}} gibt es nämlich negative Zahlen {{math|term= x' |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | d(0,x') || {{op:Betrag|x'|}} |\leq| \delta || || |SZ=. }} Für diese ist aber {{ Ma:Vergleichskette | d(f(0),f(x')) || d(1,0) || 1 |\not\leq| {{op:Bruch|1|2}} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Indikatorfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 66i8709mlhtpdharii8ptmo6zggq0lb 0 47456 778519 712371 2022-08-21T12:15:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Faktlink |Präwort=Nach dem|Zwischenwertsatz|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wissen wir, dass das Bild {{ Ma:Vergleichskette |J | {{defeq|}} | f([a,b]) || || || |SZ= }} ein Intervall ist. {{ Teilbeweis |Teilziel=Wir zeigen zunächst, dass {{math|term= J|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=nach oben und nach unten| |ISZ=|ESZ= }} beschränkt ist. |Teilstrategie= |Teilbeweis= {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Wir nehmen dazu an, dass {{math|term= J|SZ=}} nicht nach oben beschränkt ist. |Argumentation= Dann gibt es eine Folge {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} in {{math|term= I |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | f(x_n) |\geq| n || || || |SZ=. }} {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} eine konvergente Teilfolge. Da {{mathl|term= [a,b] |SZ=}} abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu {{mathl|term= [a,b] |SZ=.}} Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, so dass sie {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Präwort=nach||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Ist beschränkt/Fakt |Faktseitenname2= Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Ist beschränkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht konvergieren kann, |Widerspruch= und sich ein Widerspruch ergibt. |Zusammenfassung= }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei nun {{math|term= y |SZ=}} das Supremum von {{math|term= J |SZ=,}} das es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt. Es gibt nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Angeordneter Körper/Teilmenge/Supremum/Konvergente Folge/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Folge {{mathl|term= {{Op:Folge|y|}} |SZ=}} in {{math|term= J |SZ=,}} die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von {{math|term= J |SZ=}} gibt es eine Folge {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | f(x_n) || y_n || || || |SZ=. }} Für diese Folge gibt es {{ Faktlink |Präwort=wieder nach||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine konvergente Teilfolge. Es sei {{math|term= x |SZ=}} der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit {{ Ma:Vergleichskette | f(x) || y || || || |SZ= }} und daher {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| J || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} etroc3t55lphwrh9qeok3glblfc84oz 0 47522 779077 610472 2022-08-21T15:32:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Wbridge2|svg|250px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Rhdv |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Ein elektrisches Netzwerk {{ Zusatz/Klammer |text=ein Gleichstrom-Netzwerk| |ISZ=|ESZ= }} besteht aus mehreren miteinander verbundenen Drähten, die in diesem Zusammenhang die Kanten des Netzwerks genannt werden. In jeder Kante {{math|term= K_j|SZ=}} liegt ein bestimmter {{ Zusatz/Klammer |text=vom Material und der Kantenlänge abhängigen| |ISZ=|ESZ= }} Widerstand {{math|term= R_j|SZ=}} vor. Die Verbindungspunkte {{math|term= P_n|SZ=,}} in denen die Kanten zusammenlaufen, nennt man die Knoten des Netzwerks. Wenn an das Netzwerk {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. gewisse Kanten davon| |ISZ=|ESZ= }} eine Spannung angelegt wird, so fließt in jeder Kante ein bestimmter Strom {{math|term= I_j|SZ=.}} Es ist sinnvoll, für jede Kante eine Richtung zu fixieren, um die Fließrichtung des Stromes in dieser Kante unterscheiden zu können {{ Zusatz/Klammer |text=wenn der Strom in die entgegengesetze Richtung fließt, so bekommt er ein negatives Vorzeichen| |ISZ=|ESZ=. }} Man spricht von gerichteten Kanten. In einem Knotenpunkt des Netzwerks fließen die Ströme der verschiedenen anliegenden Kanten zusammen, ihre Summe muss {{math|term= 0|SZ=}} ergeben. Entlang einer Kante {{math|term= K_j|SZ=}} kommt es zu einem Spannungsabfall {{math|term= U_j|SZ=,}} der durch das Ohmsche Gesetz {{ Ma:Vergleichskette/disp |U_j || R_j \cdot I_j || || |SZ= }} beschrieben wird. Unter einer Masche {{ Zusatz/Klammer |text=oder einem Zykel| |ISZ=|ESZ= }} des Netzwerks versteht man eine geschlossene gerichtete Verbindung von Kanten. Für eine solche Masche ist die Gesamtspannung {{math|term= 0|SZ=,}} es sei denn, es wird {{Anführung|von außen}} eine Spannung angelegt. Wir listen diese {{Stichwort|Kirchhoffschen Regeln|msw=Kirchhoffsche Regeln|SZ=}} nochmal auf. {{ Aufzählung3 |In jedem Knoten ist die Summe der {{ Zusatz/Klammer |text=ein- und abfließenden| |ISZ=|ESZ= }} Ströme gleich {{math|term= 0|SZ=.}} |In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich {{math|term= 0|SZ=.}} |Wenn in einer Masche eine Spannung {{math|term= V|SZ=}} angelegt wird, so ist die Summe der Spannungen gleich {{math|term= V|SZ=.}} }} Aus {{Anführung|physikalischen Gründen}} ist zu erwarten, dass bei einer angelegten Spannung in jeder Kante ein wohlbestimmter Strom fließt. In der Tat lässt sich dieser aus den genannten Gesetzmäßigkeiten berechnen, indem man diese in ein lineares Gleichungssystem übersetzt und dieses löst. In dem durch das Bild angegebenen Beispiel seien die Kanten {{mathl|term= K_1 {{kommadots|}} K_5|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit den Widerständen {{mathlk|term=R_1 {{kommadots|}} R_5|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von links nach rechts gerichtet, und die Verbindungskante {{math|term= K_0|SZ=}} von {{math|term= A|SZ=}} nach {{math|term= C|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=an die die Spannung {{math|term= V|SZ=}} angelegt sei| |ISZ=|ESZ=, }} sei von unten nach oben gerichtet. Die vier Knotenpunkte und die drei Maschen {{ mathlist|term1= (A,D,B) ||term2= (D,B,C) |und|term3= (A,D,C) |SZ= }} führen auf das lineare Gleichungssystem {{ Zusatz/Klammer |text=einfließende Ströme gehen negativ und abfließende Ströme positiv ein; für die Maschen wählt man eine {{Anführung|Kreisrichtung|SZ=,}} im Beispiel nehmen wir den Uhrzeigersinn, und führen die gleichorientierten Spannungen positiv an| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= \begin{matrix} {{Zeile&6| I_0 |+ I_1 ||-I_3|}} & = & 0 \\ {{Zeile&6| | ||I_3|+I_4| +I_5 }} & = & 0 \\ {{Zeile&6|- I_0||+I_2 ||-I_4| }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| |-I_1 |-I_2 |||-I_5 }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| |R_1 I_1 ||+R_3 I_3 ||-R_5 I_5 }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| | |-R_2 I_2 ||-R_4I_4|+R_5I_5 }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| |-R_1I_1 |+R_2I_2 ||| }} & = & -V \, . \end{matrix} |SZ= }} Dabei sind die {{math|term= R_j|SZ=}} und {{math|term= V|SZ=}} vorgegebene Zahlen und die {{math|term= I_j|SZ=}} sind gesucht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der elektrischen Netzwerke |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b80tuyy1szr3kavhfq79ixhf77kf4p0 0 47531 779446 492906 2022-08-21T16:29:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen das inhomogene lineare Gleichungssystem {{ math/disp|term= \begin{matrix} {{Zeile&5|2x | +5y |+2z||-v }} & = & 3 \\ {{Zeile&5|3x | -4y ||+u|+2v}} & = & 1 \\ {{Zeile&5|4x||-2z|+2u| }} & = & 7 \, \end{matrix} |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= \Q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} lösen. Wir eliminieren zuerst {{math|term= x|SZ=,}} indem wir die erste Zeile {{math|term= I|SZ=}} beibehalten, die zweite Zeile {{math|term= II|SZ=}} durch {{mathl|term= II - {{op:Bruch|3|2}}I |SZ=}} und die dritte Zeile {{math|term= III|SZ=}} durch {{mathl|term= III-2I|SZ=}} ersetzen. Das ergibt {{ math/disp|term= \begin{matrix} {{Zeile&5|2x | +5y |+2z||-v }} & = & 3 \\ {{Zeile&5|| - {{op:Bruch|23|2}} y |-3z|+u|+{{op:Bruch|7|2}} v}} & = & {{op:Bruch|-7|2}} \\ {{Zeile&5||-10y|-6z|+2u| +2v }} & = & 1 \, . \end{matrix} |SZ= }} Wir könnten jetzt aus der {{ Zusatz/Klammer |text=neuen| |ISZ=|ESZ= }} dritten Zeile mit Hilfe der zweiten Zeile {{math|term= y|SZ=}} eliminieren. Wegen der Brüche eliminieren wir aber lieber {{math|term= z|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=dies eliminiert gleichzeitig {{math|term= u|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wir belassen also die erste und zweite Zeile und ersetzen die dritte Zeile {{math|term= III|SZ=}} durch {{mathl|term= III-2II|SZ=.}} Dies ergibt, wobei wir das System in einer neuen Reihenfolge{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Eine solche Umstellung ist ungefährlich, wenn man den Namen der Variablen mitschleppt. Wenn man dagegen das System in Matrizenschreibweise aufführt, also die Variablennamen einfach weglässt, so muss man sich diese Spaltenvertauschungen merken |ISZ=.|ESZ= }} aufschreiben, das System {{ math/disp|term= \begin{matrix} {{Zeile&5|2x|+2z| |+5y|-v }} & = & 3 \\ {{Zeile&5||-3z|+u| - {{op:Bruch|23|2}} y|+{{op:Bruch|7|2}} v}} & = & {{op:Bruch|-7|2}} \\ {{Zeile&5||||13y| -5v}} & = & 8 \, . \end{matrix} |SZ= }} Wir können uns nun {{math|term= v|SZ=}} beliebig {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Anführung|frei}}| |ISZ=|ESZ= }} vorgeben. Die dritte Zeile legt dann {{math|term= y|SZ=}} eindeutig fest, es muss nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || {{op:Bruch|8 |13|}} + {{op:Bruch|5|13}} v || || || |SZ= }} gelten. In der zweiten Gleichung können wir wieder {{math|term= u|SZ=}} beliebig vorgeben, was dann {{math|term= z|SZ=}} eindeutig festlegt, nämlich {{ Ma:Vergleichskette/align |z || - {{op:Bruch|1|3}} {{makl|- {{op:Bruch|7|2}} -u - {{op:Bruch|7|2}} v + {{op:Bruch|23|2}} {{makl|{{op:Bruch|8 |13|}} + {{op:Bruch|5|13}} v|}} |}} || - {{op:Bruch|1|3}} {{makl|- {{op:Bruch|7|2}} -u - {{op:Bruch|7|2}} v + {{op:Bruch|92|13}} + {{op:Bruch|115|26}} v|}} ||- {{op:Bruch|1|3}} {{makl|{{op:Bruch|93|26}} -u + {{op:Bruch|12|13}} v|}} || -{{op:Bruch|31|26 }} + {{op:Bruch|1|3}} u - {{op:Bruch|4|13}} v |SZ=. }} Die erste Zeile legt dann {{math|term= x|SZ=}} fest, nämlich {{ Ma:Vergleichskette/align |x || {{op:Bruch|1|2}} {{mak|3 -2z -5y +v|}} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl|3 -2 {{makl|-{{op:Bruch|31|26 }} + {{op:Bruch|1|3}} u - {{op:Bruch|4|13}} v|}} - 5 {{makl|{{op:Bruch|8 |13|}} + {{op:Bruch|5|13}} v|}} + v|}} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl|{{op:Bruch|30|13}} - {{op:Bruch|2|3}} u - {{op:Bruch|4|13}} v|}} || {{op:Bruch|15|13}} - {{op:Bruch|1|3}} u - {{op:Bruch|2|13}} v |SZ=. }} Daher kann man die Gesamtlösungsmenge als {{ math/disp|term= {{Mengebed| {{makl|{{op:Bruch|15|13}} - {{op:Bruch|1|3}} u - {{op:Bruch|2|13}} v, {{op:Bruch|8 |13|}} + {{op:Bruch|5|13}} v ,-{{op:Bruch|31|26 }} + {{op:Bruch|1|3}} u - {{op:Bruch|4|13}} v ,u,v|}} | u,v \in \R}} |SZ= }} schreiben. Eine besonders einfache Lösung ergibt sich, wenn man die freien Variablen {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} gleich {{math|term= 0|SZ=}} setzt. Dies führt auf die spezielle Lösung {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x,y,z,u,v) || {{op:Zeilenvektor|{{op:Bruch|15|13}} |{{op:Bruch|8|13}} |- {{op:Bruch|31|26}} |0|0|}} || || || |SZ=. }} In der allgemeinen Lösung kann man {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} als Koeffizienten rausziehen und dann die Lösungsmenge auch als {{ math/disp|term= {{mengebed| {{makl|{{op:Bruch|15|13}} , {{op:Bruch|8|13}} , - {{op:Bruch|31|26}} ,0,0|}} + u {{makl|- {{op:Bruch|1|3}}, 0 , {{op:Bruch|1|3}} ,1,0|}} + v {{makl|- {{op:Bruch|2|13}}, {{op:Bruch|5|13}}, - {{op:Bruch|4|13}},0,1|}}| u, v \in \R }} |SZ= }} schreiben. Dabei ist {{ math/disp|term= {{mengebed|u {{makl|- {{op:Bruch|1|3}}, 0 , {{op:Bruch|1|3}} ,1,0|}} +v {{makl|- {{op:Bruch|2|13}}, {{op:Bruch|5|13}}, -{{op:Bruch|4|13}},0,1|}}|u,v \in \R }} |SZ= }} eine Beschreibung der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Fußnote=x |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rcjahas2v1wedszkc9zuc2eqyult9ok 0 47538 779445 509113 2022-08-21T16:29:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an die homogene Version von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v ist 3, 3x-4y+u+2v ist 1, 4x -2z+2u ist 7/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an, d.h. wir betrachten das homogene lineare Gleichungssystem {{ math/disp|term= \begin{matrix} {{Zeile&5|2x | +5y |+2z||-v }} & = & 0 \\ {{Zeile&5|3x | -4y ||+u|+2v}} & = & 0 \\ {{Zeile&5|4x||-2z|+2u| }} & = & 0 \, . \end{matrix} |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=.}} Aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Lösungsmenge {{math|term= L|SZ=}} ein Untervektorraum von {{math|term= \R^5|SZ=.}} Wir haben ihn in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v ist 3, 3x-4y+u+2v ist 1, 4x -2z+2u ist 7/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} explizit als {{ math/disp|term= {{mengebed|u {{makl|- {{op:Bruch|1|3}}, 0 , {{op:Bruch|1|3}} ,1,0|}} + v {{makl|- {{op:Bruch|2|13}}, {{op:Bruch|5|13}}, -{{op:Bruch|4|13}},0,1|}}|u,v \in \R }} |SZ= }} beschrieben, woraus ebenfalls erkennbar ist, dass dieser Lösungsraum ein Vektorraum ist. In dieser Schreibweise wird klar, dass {{math|term= L|SZ=}} in Bijektion zu {{math|term= \R^2|SZ=}} steht, und zwar respektiert diese Bijektion sowohl die Addition als auch die Skalarmultiplikation {{ Zusatz/Klammer |text=der Lösungsraum {{math|term= L'|SZ=}} des inhomogenen Systems steht ebenfalls in Bijektion zu {{math|term= \R^2|SZ=,}} allerdings gibt es keine sinnvolle Addition und Skalarmultiplikation auf {{math|term= L'|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Allerdings hängt diese Bijektion wesentlich von den gewählten {{Anführung|Basislösungen}} {{ mathkor|term1= {{makl|- {{op:Bruch|1|3}}, 0 , {{op:Bruch|1|3}} ,1,0|}} |und|term2= {{makl|- {{op:Bruch|2|13}}, {{op:Bruch|5|13}}, -{{op:Bruch|4|13}},0,1|}} |SZ= }} ab, die von der gewählten Eliminationsreihenfolge abhängen. Es gibt für {{math|term= L|SZ=}} andere gleichberechtigte Basislösungen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der Untervektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1qbgncb3xo5op2ibbe298yeji8b3ofm 0 47545 779913 763826 2022-08-21T17:41:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Standardvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= K^n|SZ=}} sind {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\sum_{i {{=}} 1}^n {{skalar}}_i e_i ||0 || || || |SZ= }} bedeutet ja einfach {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{skalar}}_1 {{op:Spaltenvektor|1|0|\vdots|0}} + {{skalar}}_2 {{op:Spaltenvektor|0|1|\vdots|0}} {{plusdots|}} {{skalar}}_n {{op:Spaltenvektor|0|0|\vdots|1}} || {{op:Spaltenvektor|0|0|\vdots|0}} || || || |SZ=, }} woraus sich aus der {{math|term= i|SZ=-}}ten Zeile direkt {{ Ma:Vergleichskette | {{skalar}}_i || 0 || || || |SZ= }} ergibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2lndtihi9rzch3fjrdzrblin8m7fsdw 0 47548 779912 752072 2022-08-21T17:41:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Standardvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= K^n|SZ=}} bilden eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Unabhängigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wurde in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Standardvektoren/Linear unabhängig/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gezeigt. Um zu zeigen, dass auch ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt, sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || {{op:Spaltenvektor|b_1|b_2|\vdots|b_n}} |\in| K^n || || |SZ= }} ein beliebiger Vektor. Dann ist aber direkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || \sum_{i {{=}} 1}^n b_i e_i || || || |SZ=. }} Also liegt eine Basis vor, die man die {{Stichwort|Standardbasis|SZ=}} des {{math|term= K^n|SZ=}} nennt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Basen von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5csjgdwvckk6m85nrus4l711vkunjlo 0 47552 779415 748875 2022-08-21T16:24:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=K1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X] || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} ist kein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es ist zu zeigen, dass es kein endliches {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Polynomringes gibt. Betrachten wir {{math|term= n|SZ=}} Polynome {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ=.}} Es sei {{math|term= d|SZ=}} das Maximum der {{ Definitionslink |Prämath= |Grade| |Kontext=P| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Polynome. Dann hat auch jede {{ Definitionslink |Prämath=K |Linearkombination| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sum_{i=1}^n a_i P_i |SZ=}} maximal den Grad {{math|term= d|SZ=.}} Insbesondere können Polynome von einem größeren Grad nicht durch {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ=}} dargestellt werden, und diese endlich vielen Polynome sind kein Eruegendensystem für alle Polynome. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e1yc1w42w9wz46g82sxyhml7eq033uv 0 47598 778881 763101 2022-08-21T15:00:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f | \R | \R |x|x^2 |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Differenzenquotient| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ mathkor|term1= a |und|term2= a+h |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\frac{f(a+h) -f(a)}{h} || \frac{(a+h)^2-a^2}{h} ||\frac{a^2+2ah+h^2 -a^2}{h} ||\frac{2ah+h^2}{h} ||2a+h|SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=abb R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon für {{math|term= h|SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} ist {{math|term= 2a|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= a|SZ=}} ist daher {{ Ma:Vergleichskette | f'(a) || 2a || || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8qk515wgqh0forgbmwrcipwnwv80hl 0 47599 778880 763100 2022-08-21T15:00:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= s,c \in \R |SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |\R | \R |x|sx+c |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |affin-lineare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zur Bestimmung der {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem Punkt {{mathl|term= a \in \R |SZ=}} betrachtet man {{ Ma:Vergleichskette/disp | \frac{(sx+c) - (sa+c)}{x-a} || \frac{ s(x-a) }{x-a} || s || || |SZ=. }} Dies ist konstant gleich {{math|term= s|SZ=,}} so dass der Limes für {{math|term= x|SZ=}} gegen {{math|term= a|SZ=}} existiert und gleich {{math|term= s|SZ=}} ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich {{math|term= s|SZ=.}} Die {{Stichwort|Steigung|SZ=}} der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fzl2ceymk2m046bwlmguvz3f6g9455u 0 47633 778486 490968 2022-08-21T12:09:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (1) und (2) folgen direkt aus der Definition der Reihen. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (3). {{:Kosinus/R/Additionstheorem/Potenzreihe direkt/Fakt/Beweis|opt=Text}} Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (4). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf {{mathl|term= y {{defeq|}} -x|SZ=}} und aufgrund von (2) ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/align | 1 || {{op:cos|0|}} || {{op:cos(|x-x|}} || {{op:cos|x|}} \cdot {{op:cos(|-x|}} - {{op:sin|x|}} \cdot {{op:sin(|-x|}} || {{op:cos|x|}} \cdot {{op:cos|x|}} + {{op:sin|x|}} \cdot {{op:sin|x|}} |SZ=. }} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1epjmkn5n62i0oetajtlix41apo4nuj 0 47666 780124 720053 2022-08-21T18:14:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zwischen zwei {{ Zusatz/Klammer |text=punktförmig gedachten| |ISZ=|ESZ= }} Massen {{ mathkor|term1= M |und|term2= m |SZ= }} bestehe der Abstand {{math|term= R_0 |SZ=.}} Aufgrund der [[w:Gravitation|Gravitation]] besitzt dieses System eine gewisse [[w:Lageenergie|Lageenergie]]. Wie ändert sich die Lageenergie, wenn die beiden Massen auf einen Abstand von {{ Ma:Vergleichskette | R_1 |\geq| R_0 || || || |SZ= }} auseinander gezogen werden? Die aufzubringende Energie ist Anziehungskraft mal Weg, wobei die Anziehungskraft allerdings selbst vom Abstand der Massen abhängt. Nach dem Gravitationsgesetz ist die Kraft beim Abstand {{math|term= r |SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(r) || \gamma {{op:Bruch|Mm| r^2}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \gamma |SZ=}} die [[w:Gravitationskonstante|Gravitationkonstante]] bezeichnet. Daher ist die Energie {{ Zusatz/Klammer |text=oder Arbeit| |ISZ=|ESZ=, }} die man aufbringen muss, um den Abstand von {{math|term= R_0|SZ=}} auf {{math|term= R_1|SZ=}} zu erhöhen, gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp/druckalign |E || {{op:Integral|R_0|R_1| grand= \gamma {{op:Bruch|Mm| r^2}} | | r }} || \gamma M m {{op:Integral|R_0|R_1| grand= {{op:Bruch|1| r^2}} || r }} || \gamma M m {{makl| {{op:Integralstamm|R_0|R_1| stamm= - {{op:Bruch|1| r}} | r }}|}} || \gamma M m {{makl| {{op:Bruch|1|R_0}} - {{op:Bruch|1|R_1}}|}} |SZ=. }} Damit kann man der Differenz der Lageenergien zum Abstand {{ mathkor|term1= R_0 |bzw.|term2= R_1 |SZ= }} einen sinnvollen Wert zuweisen, nicht aber den Lageenergien selbst. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2=Gravitationstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 03z9c7a1jt5x24uiyhbyj6tgj3i2n2c 0 47669 780125 509373 2022-08-21T18:14:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Zwei Massen/Bewegung/Differenz der Lageenergie/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an, d.h., es liegen zwei Massen {{ mathkor|term1= M |und|term2= m |SZ= }} vor, die untereinander den Abstand {{math|term= R_0|SZ=}} besitzen. Wie viel Energie muss man aufwenden, um die beiden Massen unendlich weit voneinander zu entfernen? In {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Zwei Massen/Bewegung/Differenz der Lageenergie/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} haben wir die Energie berechnet, um den Abstand von {{math|term= R_0|SZ=}} auf {{math|term= R_1|SZ=}} zu erhöhen, und erhielten {{ Ma:Vergleichskette/disp |E(R_1) || {{op:Integral|R_0|R_1| grand= \gamma {{op:Bruch|Mm| r^2}} | | r }} ||\gamma M m {{makl| {{op:Bruch|1|R_0}} - {{op:Bruch|1|R_1}}|}} || || |SZ=. }} Für {{mathl|term= R_1 \rightarrow \infty|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Bruch|1|R_1}} \rightarrow 0 |SZ=}} und daher ist {{mathl|term= E(R_1) \rightarrow \gamma M m {{op:Bruch|1|R_0}}|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2=Mathematische Physik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Gravitation |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1d81tam8eiz2e7yrk7li4fesozbiem8 0 47688 786049 759202 2022-08-22T10:21:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften für die {{ Definitionslink |Betragsfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|{{op:Betrag|x}} |SZ=, }}{{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{math|term= x,y|SZ=}} beliebige reelle Zahlen| |SZ=. }}{{ Aufzählung8 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x}} |\geq| 0 || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x}} || 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ= }} ist. |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x}} ||{{op:Betrag|y}} || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette |x ||y || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |x ||-y || || || |SZ= }} ist. |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|y-x}} || {{op:Betrag|x-y}} || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag| xy}} || {{op:Betrag| x}} {{op:Betrag| y}} || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag| x^{-1} }} || {{op:Betrag| x}}^{-1} || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x+y|}} | \leq | {{op:Betrag|x}} + {{op:Betrag|y}} || || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Dreiecksungleichung für den Betrag|SZ=}}| |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x+y|}} |\geq| {{op:Betrag|x|}} - {{op:Betrag|y|}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Betrag |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jefym5b3w0tjvglgr5ry4pg2f5aquat 0 47690 781048 755108 2022-08-21T20:50:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} reelle Zahlen. Zeige{{n Sie}} durch {{ Definitionslink |Prämath= |Induktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|\sum_{i{{=|}}1}^n x_i }} |\leq| \sum_{i {{=}} 1}^n {{op:Betrag|x_i }} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Betrags für die reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kdfxvrck3dgvm330wzohf9o5dkr0ohl 0 47691 786044 759200 2022-08-22T10:20:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= x<y|SZ=}} reelle Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass für das {{ Definitionslink |arithmetische Mittel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Bruch|x+y|2}}|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |<| {{op:Bruch|x+y|2}} |<|y |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie des arithmetischen Mittels |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o3uhuc86rq820k699klz4kltz0ydnl9 0 47696 778864 763090 2022-08-21T14:57:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix33|2|2|1|0|2|3|0|0|2}} || || || |SZ= }} und wollen sie auf {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bringen. Es ist {{ Ma:Vergleichskette |u ||e_1 ||{{op:Spaltenvektor|1|0|0}} || || |SZ= }} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term= 2|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | A |{{defeq|}}| M- 2 E_3 || {{op:Matrix33|0|2|1|0|0|3|0|0|0}} || || |SZ=, }} so dass es keinen weiteren linear unabhängigen Eigenvektor gibt. Wir interessieren uns für das lineare Gleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette |e_1 || A v || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich sofort {{ Zusatz/Klammer |text=aus der zweiten Zeile| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |v_3 ||0 || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette | 2v_2 || 1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= v_1|SZ=}} können wir frei als {{math|term= 0|SZ=}} wählen| |ISZ=|ESZ=. }} Also setzen wir {{ Ma:Vergleichskette |v || {{op:Spaltenvektor|0| {{op:Bruch|1|2}} |0}} || || || |SZ=. }} Schließlich brauchen wir eine Lösung für {{ Ma:Vergleichskette |v ||Aw || || || |SZ=. }} Dies führt auf {{ Ma:Vergleichskette |w || {{op:Spaltenvektor|0|- {{op:Bruch|1|12}}| {{op:Bruch|1|6}} }} || || || |SZ=. }} Für die durch die Matrix {{math|term= M|SZ=}} beschriebene lineare Abbildung gilt somit {{ math/disp|term= Mu=2u,\, M v = 2v +u,\, Mw =2w + v |SZ=, }} so dass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|2|1|0|0|2|1|0|0|2}} |SZ= }} beschrieben wird. Diese Matrix ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Jordanmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und insbesondere in {{ Definitionslink |Prämath= |jordanscher Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j54fkx2vxece3xr3d25wos7uad7vy84 0 47698 778863 509114 2022-08-21T14:57:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{ math/disp|term= M= {{op:Matrix33|2|0|0|0|2|3|0|0|2}} |SZ= }} und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es sind {{mathl|term= u= e_1= {{op:Spaltenvektor|1|0|0}} |SZ=}} und {{mathl|term= v= e_2= {{op:Spaltenvektor|0|1|0}} }} linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert {{math|term= 2|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |A | {{defeq|}} | M- 2 E_3 || {{op:Matrix33|0|0|0|0|0|3|0|0|0}} || || |SZ=, }} so dass {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} den Eigenraum aufspannen. Ein Eigenvektor muss das Bild eines Vektors unter der Matrix {{math|term= A|SZ=}} sein. In der Tat besitzt das lineare Gleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette/disp |e_2 ||Aw || || || |SZ= }} die Lösung {{ Ma:Vergleichskette |w ||{{op:Spaltenvektor|0|0| {{op:Bruch|1|3}} }} || || || |SZ=. }} Für die durch die Matrix {{math|term= M|SZ=}} beschriebene lineare Abbildung gilt somit {{ math/disp|term= Mu=2u,\, M v = 2v,\, Mw =2w +v |SZ=, }} sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|2|0|0|0|2|1|0|0|2}} |SZ= }} beschrieben wird. Diese Matrix ist in jordanscher Normalform mit den Jordanblöcken {{ mathkor|term1= (2) |und|term2= {{op:Matrix22|2|1|0|2}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n6ulsjogk0ek2q8imy37h30cl9cg46a 0 47710 781281 700397 2022-08-21T21:28:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine quadratische Matrix, die man als {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Matrix22|A|B|0|D}} || || || |SZ= }} mit quadratischen Matrizen {{ mathkor|term1= A |und|term2= D |SZ= }} schreiben kann. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante|M|}} || {{op:Determinante|A|}} \cdot {{op:Determinante|D|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ufdir6590vly63u3ggei3fkcxwdsyi 0 47711 783028 756785 2022-08-22T02:20:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Jordanmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \lambda|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} zum Eigenwert {{math|term= \lambda|SZ=}} eindimensional ist und dass es keine weiteren {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oklkcvm8yw4j6a9g9y0fqiqxf2deq1z 0 47721 782191 449541 2022-08-22T00:00:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einer Familie leben {{mathl|term= M,P,S|SZ=}} und {{math|term= T|SZ=.}} Dabei ist {{math|term= M|SZ=}} dreimal so alt wie {{ mathkor|term1= S |und|term2= T |SZ= }} zusammen, {{math|term= M|SZ=}} ist älter als {{math|term= P|SZ=}} und {{math|term= S|SZ=}} ist älter als {{math|term= T|SZ=,}} wobei der Altersunterschied von {{math|term= S|SZ=}} zu {{math|term= T|SZ=}} doppelt so groß wie der von {{math|term= M|SZ=}} zu {{math|term= P|SZ=}} ist. Ferner ist {{math|term= P|SZ=}} siebenmal so alt wie {{math|term= T|SZ=}} und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich {{math|term= 83|SZ=.}} a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt. b) Löse dieses Gleichungssystem. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7v5aa4f95m60nl1lg2u3lumcnprp6ax 0 47722 786092 759245 2022-08-22T10:28:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|}} |und|term2= {{Op:Folge|y}} |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |konvergente| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= x_n \geq y_n|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie|}}, dass dann {{math|term= {{op:Folgenlimes|x}} \geq {{op:Folgenlimes|y}}|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nr7f35pmjsjt81lta85wtm7ojp1ffly 0 47723 786057 759209 2022-08-22T10:22:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|}}, \, {{Op:Folge|y}} |und|term2= {{Op:Folge|z}} |SZ= }} drei {{ Definitionslink |reelle Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es gelte {{ math|term= x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N |SZ= }} und {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|}} |und|term2= {{Op:Folge|z}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergieren| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beide gegen den gleichen Grenzwert {{math|term= a|SZ=.}} Zeige{{n Sie|}}, dass dann auch {{math|term= {{Op:Folge|y}}|SZ=}} gegen {{math|term= a|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eczmkhjh3bclayp0z4drfz57h7n3vhl 0 47728 786068 759219 2022-08-22T10:24:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Op:Folge|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} reeller Zahlen mit {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=reelle Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= x|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die Folge {{ math/disp|term= {{Op:Folge|glied= {{op:Betrag|x_n}}}} |SZ= }} konvergiert, und zwar gegen {{math|term= {{op:Betrag|x}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d8muc7fr32fjrhs7i44yujr2j68kzq7 0 47729 786005 759144 2022-08-22T10:13:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |reelle Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Folge/lr|Glied=\frac{n}{2^n} }} |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t3oomiaie4nogqobn57bti8s8wkf5kv 0 47730 786069 759220 2022-08-22T10:24:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Op:Folge|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=reelle Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= x|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | y_n | {{defeq|}} | \frac{ x_0 + x_1 {{plusdots||}} x_n }{n+1} || || || |SZ= }} definierte Folge gegen {{math|term= x|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Mittelwert |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rtvr0nvp79011uku2x34341juvpfycr 0 47731 786077 759229 2022-08-22T10:25:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} Beispiele für {{ Definitionslink |konvergente| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} mit {{ mathbed|term= x_n \neq 0 ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} und mit {{math|term= {{op:Folgenlimes|}}=0|SZ=}} derart, dass die Folge {{ math/disp|term= {{op:Folge/lr|Glied= \frac{y_n}{x_n} }} |SZ= }} {{ Aufzählung3 |gegen {{math|term= 0|SZ=}} konvergiert, |gegen {{math|term= 1|SZ=}} konvergiert, |divergiert.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ls2x3adwkdz3d1yvvo45db8haaduip7 0 47732 786079 759230 2022-08-22T10:26:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= P = {{polynomein|x|d|a|i}} |und|term2= Q = {{polynomein|x|e|b|i}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Polynome| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= a_d, b_e \neq 0|SZ=.}} {{ManSie|Man bestimme|Bestimmen Sie}} in Abhängigkeit von {{ mathkor|term1= d |und|term2= e |SZ=, }} ob die durch {{ math/disp|term= z_n = \frac{P(n)}{Q(n)} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= n|SZ=}} hinreichend groß| |ISZ=|ESZ= }} definierte {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder nicht, und {{ManSie|bestimme|bestimmen Sie}} gegebenenfalls den {{ Definitionslink |Prämath= |Grenzwert| |Kontext=reelle Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen über Körpern |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fsy01pzrwfv7pdut72holy2mgoq7348 0 47734 786006 759146 2022-08-22T10:14:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Reelle Folge/Situation|}} mit {{mathl|term= x_n > 0|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann {{ Definitionslink |bestimmt divergent| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term= + \infty|SZ=}} ist, wenn {{math|term= {{op:Folge/lr|Glied= \frac{1}{x_n} }} |SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Divergenz |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3aexyreuxz4uad7sr5w937fk7ii5l66 0 47738 785996 759136 2022-08-22T10:12:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |reellen Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=,}} für die es sowohl eine {{ Definitionslink |bestimmt| |Kontext=divergent (R)| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term= + \infty|SZ=}} als auch eine bestimmt gegen {{math|term= - \infty|SZ=}} divergente {{ Definitionslink |Teilfolge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Divergenz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rf4velocg59tnxsmuyam1ovfiojxyuu 0 47740 786082 759234 2022-08-22T10:26:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ math/disp|term= {{op:Reihe|a}} \text{ und } {{op:Reihe|b}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergente Reihen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} von {{ Definitionslink |reellen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} mit den Summen {{ mathkor|term1= s |und|term2= t |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |Die Reihe {{mathl|term= {{op:Reihe|c}} |SZ=}} mit {{mathl|term= c_k=a_k+b_k|SZ=}} ist ebenfalls konvergent mit der Summe {{mathl|term= s+t|SZ=.}} |Für {{mathl|term= r \in \R|SZ=}} ist auch die Reihe {{mathl|term= {{op:Reihe|d}} |SZ=}} mit {{mathl|term= d_k = r a_k |SZ=}} konvergent mit der Summe {{math|term= r s|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n230gtj31nw4bzcxtm7z834dhlnq135 0 47742 781819 755724 2022-08-21T22:58:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= x|SZ=}} eine {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= x \neq 1|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} für {{math|term= n \in \N|SZ=}} die Beziehung {{ math/disp|term= \sum_{k=0}^n x^k = \frac{ x^{n+1} -1}{x-1} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die geometrische Reihe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ny1l9nj6027391n84tecjgtvocrt9bu 0 47744 780678 754796 2022-08-21T19:48:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= z \in \R,\, {{op:Betrag|z|}} <1 |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} und beweise{{n Sie}} eine Formel für die {{ Definitionslink |Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Reihe|Glied=(-1)^k z^k}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q9t1tpwydsvn4hgb8qii772bftcz3q1 0 47745 786084 759236 2022-08-22T10:27:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Reelle Zahlen/Teilmenge/Punkt/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb |name=f |T|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= b \in \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung2 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|x|a|f(x)}} || b || || || |SZ=. }} |Für jedes {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>|0 || || || |SZ= }} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |\delta |>|0 || || || |SZ= }} derart, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|T || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | d(x,a) | \leq| \delta || || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | d(f(x),b) | \leq| \epsilon || || || |SZ= }} gilt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage={{math|term= \epsilon-\delta|SZ=-}}Charakterisierung von Grenzwert |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ou5gzjzr5ppox7xv2b84f5o03sltihm 0 47777 786542 759577 2022-08-22T11:42:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise das {{ Faktlink |Additionstheorem|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für den {{ Definitionslink |Sinus| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also die Gleichheit {{ math/disp|term= {{op:sin|(x+y)|}} = {{op:sin|x|}} \, {{op:cos|y|}} + {{op:cos|x|}} \, {{op:sin|y|}} |SZ= }} für {{math|term= x,y \in \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3h4wxp616ihuq5l1ivwdk32yun7ashk 0 47779 785296 758613 2022-08-22T08:16:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{potenzreihe|a|x}} |und|term2= {{potenzreihe|b|x}} |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |absolut konvergente| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Potenzreihen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= x \in \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Cauchy-Produkt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der beiden Reihen durch {{ math/disp|term= {{potenzreihe|c|x}} \text{ mit } c_n = \sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i} |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0s6dyibih7e1q7pf3fcivll6te3qxzb 0 47780 786548 759579 2022-08-22T11:43:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Koeffizienten bis zu {{math|term= z^6|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Produktreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{potenzreihe|c}} |SZ=}} aus der {{ Definitionslink |Sinusreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Kosinusreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonometrischen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tie7toqdg9x2g1gqzuj7mqykotp890x 0 47781 785286 758603 2022-08-22T08:14:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math/disp|term= {{potenzreihe|a|x}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |absolut konvergente| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Potenzreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Koeffizienten {{math|term= c_i|SZ=}} zu den Potenzen {{mathl|term= x^0,x^1,x^2,x^3,x^4|SZ=}} in der dritten Potenz {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{potenzreihe|c|x}} || {{makl| {{potenzreihe|a|x}} |}}^3 || || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} agbul1ze3bn1gt9c07i83ov8u6kdrmt 0 47782 785288 758605 2022-08-22T08:15:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math/disp|term= {{potenzreihe|a|x}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |absolut konvergente| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Potenzreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Koeffizienten zu den Potenzen {{math|term= x^0,x^1,x^2,x^3,x^4,x^5|SZ=}} in der vierten Potenz {{ math/disp|term= {{potenzreihe|c|x}} = {{makl| {{potenzreihe|a|x}} |}}^4 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cla8ll4ue8tsad0rrctrs74m2hvuxny 0 47783 782529 756317 2022-08-22T00:57:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= x \in \R |,|bedterm1= {{op:Betrag|x|}} <1 ||bedterm2= |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=in Abhängigkeit von {{math|term= x|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} die {{ Definitionslink |Summen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Reelle Zahlen/Reihe/Rechenregeln/Fakt |SZ= }} der beiden {{ Definitionslink |Reihen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \sum_{k=0 }^\infty x^{2k} \text{ und } \sum_{k=0 }^\infty x^{2k+1} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die geometrische Reihe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} snjm6oz1hhgogvy9ili5rkotgbl0gee 0 47784 785987 759126 2022-08-22T10:10:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktionen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|a^x |SZ=, }} die folgenden Rechenregeln gelten {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{mathl|term= a,b \in \R_+|SZ=}} und {{mathl|term= x,y \in \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |{{ Ma:Vergleichskette/disp |a^{x+y} ||a^x \cdot a^y || || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |a^{-x} || {{op:Bruch|1|a^x}} || || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | (a^x)^y || a^{xy} || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |(ab)^x || a^x b^x || || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dqyt874uhq7sff983u1zs07g1qxne8q 0 47785 783951 757590 2022-08-22T04:54:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Logarithmen zur Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= b|SZ=}} die folgenden Rechenregeln erfüllen. {{ Aufzählung4 |Es ist {{ mathkor|term1= \log_b {{makl| b^x |}} =x |und|term2= b^{\log_b(y)} =y |SZ=, }} das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion zur Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= b|SZ=.}} |Es gilt {{mathl|term= {{op:log|(y \cdot z) |b}} = {{op:log|y|b}} + {{op:log|z|b}}|SZ=}} |Es gilt {{mathl|term= {{op:log|y^u|b}} = u \cdot {{op:log|y|b}}|SZ=}} für {{mathl|term= u \in \R|SZ=.}} |Es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:log|y|a}} || {{op:log| {{makl| b^{ {{op:log|y|b}} } |}} |a}} ||{{op:log|y|b}} \cdot {{op:log|b|a}} || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ayfl8zoaujfo5rurblcy8nn6uswqv1g 0 47786 785072 758458 2022-08-22T07:43:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P\in \R[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1 R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= a \in \R|SZ=}} und {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} genau dann ein Vielfaches von {{math|term= (X-a)^n|SZ=}} ist, wenn {{math|term= a|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Nullstelle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sämtlicher {{ Definitionslink |Ableitungen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= P,P^\prime ,P^{\prime \prime} {{kommadots|}} P^{(n-1)} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9c7ohtzp5myk6ao1q1p7l7d9otaqz46 0 47788 785878 759039 2022-08-22T09:52:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= D \subseteq \R|SZ=}} und {{ Ma:abb/disp |name=F |D|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} genau dann ein Polynom ist, wenn es eine {{ Definitionslink |höhere Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | F^{(n)} ||0 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Polynom |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g9ypkrjj9hawr5kad9dqznslslgtuoz 0 47789 785260 605872 2022-08-22T08:10:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Funktion/R/Ableitung/Bestimme/Aufgabenform|f =f |D=\R|B=\R|arg=x|term=f(x)=x^n|SZ=,}} für jedes {{math|term= n \in \N|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} td8tynn45bv2q9ombkp3hkvc6fdnfb5 0 47791 785880 648123 2022-08-22T09:53:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Funktion/R/Ableitung/Bestimme/Aufgabenform|f =f |D=\R \setminus \{0\} |B=\R|arg=x|term=f(x)=x^n |SZ=}} für jedes {{math|term= n \in \Z|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 27ulw2r2zvvcceeapcw0bryg4cukxov 0 47794 783106 756840 2022-08-22T02:33:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f(x)=x^3+4x^2-1|SZ=}} und {{math|term= g(y) =y^2-y+2 |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= h(x)=g(f(x))|SZ=}} direkt und mittels der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c9lh5g9smualnxktltdgug4sdjutwg5 0 47795 783104 756839 2022-08-22T02:33:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f(x) || {{op:Bruch|x^2+5x-2|x+1}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | g(y) || {{op:Bruch|y-2|y^2+3}} || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette | h(x) | {{defeq|}} | g(f(x)) || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Berechne{{n Sie}} {{math|term= h|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen| |ISZ=|ESZ=. }} |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= h|SZ=}} mit Hilfe von Teil 1. |Berechne{{n Sie}} die Ableitung von {{math|term= h|SZ=}} mit Hilfe der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=2 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzq76cskl889sdj89wpzsfyxo6r31vf 0 47796 785073 758459 2022-08-22T07:43:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1 R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= P \in \R[X]|SZ=}} genau dann einen {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=P| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \leq d|SZ=}} besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= P=0|SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=, }} wenn die {{math|term= (d+1)|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= P|SZ=}} das Nullpolynom ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aey60bi5tn90cm1xqqy49lladir2z0q 0 47797 785879 648134 2022-08-22T09:52:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Funktion/R/Ableitung/Bestimme/Aufgabenform|f =f | |B=\R|arg=x|term=f(x)= \frac{x^2+x-1 }{ x^3-x+2} |SZ=,}} wobei {{math|term= D|SZ=}} die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} slu8b8qa2brt67knzcp50zpktf85eu8 0 47821 786011 759151 2022-08-22T10:14:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für {{math|term= n \in \N|SZ=}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x| ({{op:sin| x|}} )^n |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p4fbk46dktp5tcqmonbgloolqih72oh 0 47824 786538 759570 2022-08-22T11:42:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Taylor-Polynom| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= 4|SZ=}} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x| {{op:sin|x|}} {{op:cos|x|}} |SZ=, }} im Nullpunkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ckicgvchnxwwifvq4rklpnsmen1hkst 0 47825 785287 758604 2022-08-22T08:15:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{potenzreihe|c|(x-a)}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Potenzreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitungen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f^{(k)}(a)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} or5d44176b0c9sudingc74vpgu4eiq4 0 47826 786091 759244 2022-08-22T10:28:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= x \geq 3|SZ=}} die Beziehung {{ math/disp|term= x^2 +(x+1)^2 \geq (x+2)^2 |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f521qam9ehd29g3urg9pberuc2k8h1g 0 47934 784445 758044 2022-08-22T06:12:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=f_1 {{kommadots|}} f_n |\R|\R || |SZ= }} Funktionen, die wachsend oder fallend seien, und sei {{mathl|term= f=f_n \circ \cdots \circ f_1|SZ=}} ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= k|SZ=}} die Anzahl der fallenden Funktionen unter den {{math|term= f_i|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass bei {{math|term= k|SZ=}} gerade {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |wachsend| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und bei {{math|term= k|SZ=}} ungerade {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |fallend| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist.{{{zusatz1|}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f1el1qe96zjcz3mjzrafzymd98mvljn 0 47946 786001 759142 2022-08-22T10:13:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann gegen {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn es für jedes {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=}} ein {{mathl|term= n_0 \in \N|SZ=}} derart gibt, dass für alle {{mathl|term= n \geq n_0|SZ=}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x_n-x|}} |\leq| {{op:Bruch|1|k}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Stammbruch |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} prnocs4lk3rny1jk5ttuxtbcuknrcd6 0 47950 779058 609334 2022-08-21T15:29:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= \R^3|SZ=}} seien zwei Ebenen {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{mengebed|(x,y,z) \in \R^3|4x-2y-3z {{=|}} 5}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || {{mengebed|(x,y,z) \in \R^3|3x-5y+2z {{=|}} 1}} || || || |SZ= }} gegeben{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=An dieser Stelle diskutieren wir nicht, dass solche Gleichungen Ebenen beschreiben. Die Lösungsmengen sind {{Anführung|verschobene Untervektorräume der Dimension zwei|}} |ISZ=.|ESZ=. }} Wie kann man die Schnittgerade {{ Ma:Vergleichskette |G ||E \cap F || || || |SZ= }} beschreiben? Ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P || (x,y,z) || || || |SZ= }} liegt genau dann auf der Schnittgerade, wenn er die beiden {{Stichwort|Ebenengleichungen|msw=Ebenengleichung}} erfüllt; es muss also sowohl {{ mathkor/disp|term1= 4x-2y-3z {{=|}} 5 |als auch|term2= 3x-5y+2z {{=|}} 1 |SZ= }} gelten. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit {{math|term= 3|SZ=}} und ziehen davon das {{math|term= 4|SZ=-}}fache der zweiten Gleichung ab und erhalten {{ Ma:Vergleichskette/disp | 14 y - 17 z || 11 || || || |SZ=. }} Wenn man {{ Ma:Vergleichskette |y ||0 || || || |SZ= }} setzt, so muss {{ Ma:Vergleichskette |z ||- {{op:Bruch|11|17}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |x || {{op:Bruch|13|17}} || || || |SZ= }} sein. D.h. der Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P || {{op:Zeilenvektor|{{op:Bruch|13|17}}| 0 |- {{op:Bruch|11|17}}|}} || || || |SZ= }} gehört zu {{math|term= G|SZ=.}} Ebenso findet man, indem man {{ Ma:Vergleichskette |z ||0 || || || |SZ= }} setzt, den Punkt {{ Ma:Vergleichskette |Q || {{op:Zeilenvektor|{{op:Bruch|23|14}} | {{op:Bruch|11|14}} | 0}} || || || |SZ=. }} Damit ist die Schnittgerade die Verbindungsgerade dieser Punkte, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || {{Mengebed|{{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|13|17}} |0|- {{op:Bruch|11|17}}|}} + t {{op:Zeilenvektor|{{op:Bruch|209|238}} |{{op:Bruch|11|14}}|{{op:Bruch|11|17}}|}} | t \in \R |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} euuzprx72w8oa640bi7pqrq6oadoep2 0 47951 786471 475910 2022-08-22T11:30:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte im {{math|term= \R^3}} die beiden Ebenen {{ math/disp|term= E = {{Mengebed| (x,y,z) \in \R^3| 3x+4y+5z {{=|}} 2 |}} \text{ und } F = {{Mengebed|(x,y,z) \in \R^3|2x-y+3z {{=|}} -1}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Schnittgerade {{math|term= E \cap F|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l2n7oyobi4oaw908pfkpnyrsjfw3yon 0 47955 781545 524181 2022-08-21T22:13:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine Ebenengleichung für die Ebene im {{math|term= \R^3|SZ=,}} auf der die drei Punkte {{ mathlist/disp|term1= (1,0,0) ||term2= (0,1,2) |und|term3= (2,3,4) |SZ= }} liegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ebene |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 53tvzng2sg8qwlmyddtks6jmbko9346 0 47956 781547 414646 2022-08-21T22:13:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine Ebenengleichung für die Ebene im {{math|term= \R^3|SZ=,}} auf der die drei Punkte {{ mathlist/disp|term1= (1,0,2) ||term2= (4,-3,2) |und|term3= (2,1,-1) |SZ= }} liegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ebene |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tvken529arkjgovlllppdadvja8d6uu 0 47987 779943 752113 2022-08-21T17:46:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten die Taylor-Reihe bis zum Grad {{math|term= 6|SZ=}} von {{mathl|term= {{op:Bruch|1| {{op:cos|x|}} }} |SZ=}} im Entwicklungspunkt {{math|term= 0|SZ=}} gemäß {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Taylorreihe/R/Invertierte Funktion/Bestimmung/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bestimmen. Nach {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=cos R| |Definitionsseitenname= Reelle Kosinusfunktion/Potenzreihe/Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:cos|x|}} || {{op:cosinusreihe|x|}} || 1 - {{op:Bruch|1|2!}} x^2 + {{op:Bruch|1|4!}} x^4 - {{op:Bruch|1|6!}} x^6 \ldots || 1 - {{op:Bruch|1|2}} x^2 + {{op:Bruch|1|24}} x^4 - {{op:Bruch|1|720}} x^6 \ldots || |SZ=. }} Zur Berechnung des Taylor-Polynoms bis zum Grad {{math|term= 6|SZ=}} braucht man nur die angeführte Entwicklung des Kosinus bis zum Grad {{math|term= 6|SZ=.}} Das Taylorpolynom bis zum Grad {{math|term= 6|SZ=}} von {{mathl|term= 1/ {{op:cos|x|}} |SZ=}} im Nullpunkt ist somit {{ Ma:Vergleichskette/align |1- {{makl| - {{op:Bruch|1|2}} x^2 + {{op:Bruch|1|24}} x^4 - {{op:Bruch|1|720}} x^6|}} + {{makl|- {{op:Bruch|1|2}} x^2 + {{op:Bruch|1|24}} x^4 - {{op:Bruch|1|720}} x^6|}}^2 - {{makl|- {{op:Bruch|1|2}} x^2 + {{op:Bruch|1|24}} x^4 - {{op:Bruch|1|720}} x^6|}}^3 || 1 + {{op:Bruch|1|2}} x^2 - {{op:Bruch|1|24}} x^4 + {{op:Bruch|1|720}} x^6 + {{op:Bruch|1|4}} x^4 - {{op:Bruch|1|24}} x^6 + \cdots + {{op:Bruch|1|8}} x^6 + \ldots || 1 + {{op:Bruch|1|2}} x^2 + {{op:Bruch|5|24}} x^4 + {{op:Bruch|61|720}} x^6 + \ldots || || |SZ=. }} Dabei wurden nur die für den Grad {{math|term= 6|SZ=}} relevanten Monome ausgerechnet. Das gesuchte Taylorpolynom ist also {{ math/disp|term= 1 + {{op:Bruch|1|2}} x^2 + {{op:Bruch|5|24}} x^4 + {{op:Bruch|61|720}} x^6 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Potenzreihenansatz für Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ov39sje9gz0vg0lp3mes6z378he7hbm 0 47991 781127 414738 2022-08-21T21:03:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Aus einem Blatt Papier der Seitenlängen {{math|term= 20 |SZ=}} cm und {{mathl|term= 30 |SZ=}} cm soll eine Schachtel {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Deckel| |ISZ=|ESZ= }} mit möglichst großem Volumen gebastelt werden, indem ringsherum ein Rand hochgefaltet wird {{ Zusatz/Klammer |text=die überlappenden Eckränder werden verklebt| |ISZ=|ESZ=. }} Mit welcher Randbreite {{ Zusatz/Klammer |text==Schachtelhöhe| |ISZ=|ESZ= }} erreicht man das maximale Volumen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wmjr30psfsspdeolw631vfxfwn7p8f 0 47992 779544 752642 2022-08-21T16:45:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die Taylor-Reihe des {{ Definitionslink |Prämath= |natürlichen Logarithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Entwicklungspunkt {{math|term= 1|SZ=}} bestimmen. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des natürlichen Logarithmus ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{mathl|term= 1/x|SZ=.}} Diese Funktion besitzt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Absolut/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Potenzreihenentwicklung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|x}} || \sum_{k {{=|}} 0}^\infty (-1)^k (x-1)^k || || || || |SZ= }} im Entwicklungspunkt {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die für {{mathlk|term= {{op:Betrag|x-1|}} < 1 |SZ=}} konvergiert| |ISZ=|ESZ=. }} Daher besitzt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Konvergente Potenzreihe/R/Stammfunktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der natürliche Logarithmus die Potenzreihe {{ math/disp|term= \sum_{k=1}^\infty {{op:Bruch|(-1)^{k-1} |k}} (x-1)^k |SZ=. }} Mit {{ Ma:Vergleichskette |z || x-1 || || || |SZ= }} ist dies die Reihe {{ math/disp|term= z- {{op:Bruch|z^2|2}} + {{op:Bruch|z^3|3}} - {{op:Bruch|z^4|4}} + {{op:Bruch|z^5|5}} - \ldots |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2=Theorie des natürlichen Logarithmus |Kategorie3= |Objektkategorie=Natürlicher Logarithmus (reell) |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9oeih9xw2jebqypppi1poawxj7hwufy 0 47994 779292 487402 2022-08-21T16:05:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |KochFlake|svg| 230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Wxs |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Unter den {{Stichwort|Kochschen Schneeflocken|msw=Kochsche Schneeflocke|SZ=}} versteht man die Folge {{math|term= K_n|SZ=}} der folgendermaßen rekursiv definierten ebenen Figuren: Die Ausgangsfigur {{math|term= K_0|SZ=}} ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Figur {{mathl|term= K_{n+1}|SZ=}} entsteht aus {{math|term= K_n|SZ=,}} indem man in jeder Begrenzungskante von {{math|term= K_n|SZ=}} das mittlere Drittel durch die beiden Schenkel eines darauf aufgesetzten nach außen gerichteten gleichmäßigen Dreiecks ersetzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der regulären n-Ecke |Kategorie2=Theorie der Fraktale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m9tut11qgdbdao9jysd4cxqr95pu7sm 0 47998 786148 759308 2022-08-22T10:37:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A_n|SZ=}} der Flächeninhalt und {{math|term= L_n|SZ=}} die Länge des Randes der {{math|term= n|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Kochschen Schneeflocke| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{math|term= A_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Folge {{math|term= L_n|SZ=}} bestimmt gegen {{math|term= \infty|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |divergiert| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2=Theorie der Fraktale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bh1m41sfdcblmihl4be273qwpg9eflr 0 48007 781046 414633 2022-08-21T20:49:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Aus einem Taschenbuch wurde ein Blatt herausgerissen. Die verbliebenen Seitenzahlen addieren sich zu {{mathl|term= 65000|SZ=.}} Wie viele Seiten hatte das Buch? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l5egj2u75d48nkr4s4x0vif471mopg8 0 48030 783536 757199 2022-08-22T03:45:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungspolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Kreisteilungspolynom|14|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m53ek3jxwf2aswaife89x97v2p6x8vg 0 48032 783452 415862 2022-08-22T03:31:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Aus einer Menge {{math|term= T \subseteq E|SZ=}} seien {{Anführung|wie üblich|}} Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt {{ Zusatz/Klammer |text=also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen| |ISZ=|ESZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Menge {{math|term= M|SZ=}} der Punkte, die aus der Anfangsmenge {{mathl|term= \{0,1 \}|SZ=}} auf diese Weise konstruierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1atuo9546px8hgh1qeel0ohx5nb542c 0 48034 785006 564956 2022-08-22T07:33:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= P \in\Q[X]|SZ=}} ein Polynom vom Grad {{math|term= 3|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} mit Mitteln der Galoistheorie, dass {{math|term= P|SZ=}} auflösbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3b1i2526acmfslm9pvc60co3k8felt6 0 48038 782615 756380 2022-08-22T01:11:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche graduierte Körpererweiterung/Situation|SZ=.}} Der Körper {{math|term= K|SZ=}} enthalte eine {{math|term= m|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= m|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Exponent| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= D |SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass es ein Element {{mathl|term= v \in L|SZ=}} derart gibt, dass die Menge {{ math/disp|term= {{mengebed| \varphi(v)| \varphi \in {{op:Galoisgruppe|K|L}} }} |SZ= }} eine {{math|term= K|SZ=-}}Basis von {{math|term= L|SZ=}} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 717zq05oloqtuokuaiwo3t1mso34wpo 0 48040 781867 755771 2022-08-21T23:06:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Körpererweiterung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ke5jxuru4vrok8l2ll7eeicjimqoapo 0 48042 783704 564958 2022-08-22T04:13:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es zu jeder natürlichen Zahl {{math|term= n|SZ=}} eine Körpererweiterung {{mathl|term= \Q \subseteq L|SZ=}} vom Grad {{math|term= n|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kgxsxylvrz5v3hy8slb1kb1oum59ybt 0 48044 781873 564957 2022-08-21T23:07:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine endliche Körpererweiterung, {{mathl|term= x \in L|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=x \neq 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und sei {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} das Minimalpolynom von {{math|term= x|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} irreduzibel ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hn3cn8xizm8lwg4g8zuedb371pufs4a 0 48046 781838 755743 2022-08-21T23:01:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\Phi |{\mathbb F}_{125}|{\mathbb F}_{125} || |SZ= }} bezüglich einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath={\mathbb F}_5 |Basis| |Kontext=lineare Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {\mathbb F}_{125}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 125 Elementen |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r7izgb3bxv5ycwdcilzxon5sreg01uo 0 48048 780642 660743 2022-08-21T19:42:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Forme{{n Sie}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^4+ 3 x^3-5x^2+2x-7 || 0 || || || |SZ= }} in eine äquivalente Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^4 + b_2y^2 + b_1y +b_0 || 0 || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= b_i \in \Q|SZ=}} um. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quartischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3646m7iprhz1w0btlq3fanuqt04c7nk 0 48050 783924 509106 2022-08-22T04:50:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper {{mathl|term= K=\Q[\sqrt{3}]|SZ=:}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|2 + \sqrt{3}| - \sqrt{3}| {{op:Bruch|1|2}} | - 2 -3 \sqrt{3} }} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || {{op:Spaltenvektor|1- \sqrt{3}| 4 -2 \sqrt{3} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s7zr726f27n9m8wl5m9mp76q2wedtc4 0 48172 782190 279849 2022-08-22T00:00:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Mutter ist {{math|term= 21|SZ=}} Jahre älter als ihr Kind und in {{math|term= 6|SZ=}} Jahren wird das Kind {{math|term= 5|SZ=}} mal jünger sein, als die Mutter. Wo ist der Vater? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4wrduzyfugb3a1zybobamdfu2wjbi6m 0 48269 779949 763836 2022-08-21T17:47:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Grundtermmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei durch die Variablenmenge {{ Ma:Vergleichskette |V ||\{x,y,z\} || || || |SZ=, }} eine Konstantenmenge {{ Ma:Vergleichskette |K ||\{c_1,c_2\} || || || |SZ=, }} die einstelligen Funktionssymbole {{ Ma:Vergleichskette |F_1 ||\{f,g\} || || || |SZ= }} und die zweistelligen Funktionssymbole {{ Ma:Vergleichskette |F_2 ||\{\alpha, \beta, \gamma\} || || || |SZ= }} gegeben. Dann sind die folgenden Wörter Terme. {{ math/disp|term= x,y,z,c_1,c_2,fx,fc_1,gz, \alpha x y, \alpha x x, \alpha x fy , \alpha fx gc_1, \gamma \gamma x x x,\beta \alpha x gc_2 \gamma fy \alpha gz x |SZ=. }} Auch wenn es für das Auge etwas ungewohnt aussieht, so sind diese Terme auch ohne Klammern allesamt wohldefiniert. Davon überzeugt man sich, indem man die Terme von links nach rechts liest, und dabei bei jedem Funktionssymbol die zugehörige Stelligkeit bestimmt {{ Zusatz/Klammer |text=zu welchem {{math|term= F_n|SZ=}} gehört das Funktionssymbol| |ISZ=?|ESZ= }} und dann die folgenden Symbole in die geforderten {{math|term= n|SZ=}} Terme aufspaltet {{ Zusatz/Klammer |text=wenn dies nicht geht, so ist das Wort kein Term| |ISZ=|ESZ=. }} Dabei entsteht schnell eine große Verschachtelungstiefe. Den letzten angeführten Term, also {{ math/disp|term= \beta \alpha x gc_2 \gamma fy \alpha gz x |SZ=, }} kann man mit {{ Zusatz/Klammer |text=suggestiven| |ISZ=|ESZ= }} Klammern und Kommata nach und nach lesbarer gestalten. Er beginnt mit dem zweistelligen Funktionssymbol {{math|term= \beta|SZ=,}} also muss das Folgende aus zwei Termen bestehen. Es folgt zunächst das ebenfalls zweistellige Funktionssymbol {{math|term= \alpha|SZ=,}} worauf zwei Terme folgen müssen. Wenn diese gefunden sind, muss der verbleibende Rest {{ Zusatz/Klammer |text=also alles, was weiter rechts steht| |ISZ=|ESZ= }} den zweiten Term bilden, der von {{math|term= \beta|SZ=}} verlangt wird. Die zwei Terme des an zweiter Stelle stehenden {{math|term= \alpha |SZ=}} sind {{ mathkor|term1= x |und|term2= gc_2 |SZ=. }} Man kann also den Term nach dieser Analyse auch als {{ math/disp|term= \beta (\alpha (x , g(c_2) ), \gamma fy \alpha gz x) |SZ= }} schreiben. Wenn man ebenso den zweiten Term für das äußere {{math|term= \beta|SZ=}} auflöst, so erhält man {{ math/disp|term= \beta (\alpha (x , g(c_2) ), \gamma ( f(y) , \alpha (g(z) , x))) |SZ=. }} Übrigens kann man auch bei einem beliebigen Funktionssymbol mittendrin beginnen und die zugehörigen Terme, auf die es Bezug nimmt, bestimmen. Besonders übersichtlich wird die Termstruktur durch einen {{Stichwort|Termstammbaum}} ausgedrückt. Dabei werden die verwendeten Variablen und Konstanten {{ Zusatz/Klammer |text=mehrfach, um die unterschiedlichen Stellen, in die sie eingesetzt werden, beachten zu können| |ISZ=|ESZ= }} als Blätter{{{zusatz1|}}} nebeneinander aufgeführt. Sie bilden die {{math|term= 0|SZ=-}}te Reihe des Baumes. Wenn ein {{math|term= n|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol auf {{math|term= n|SZ=}} solche Blätter angewendet wird, so zeichnet man einen Knoten, bezeichnet ihn mit dem Funktionssymbol {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. dem Funktionssymbol mit den eingelesenen Termen| |ISZ=|ESZ= }} und verbindet es mit den eingelesenen Blättern {{ Zusatz/Klammer |text=die Einlesungsreihenfolge entspricht der Blätterreihenfolge| |ISZ=|ESZ=. }} So entsteht aus allen Funktionssymbolen, die nur auf Variablen und Konstanten Bezug nehmen, die erste Reihe des Baumes. Die Funktionssymbole, die auf solche Knoten {{ Zusatz/Klammer |text=und Blätter| |ISZ=|ESZ= }} Bezug nehmen, bilden die nächste Reihe, u.s.w. Der Stamm des Baumes ist dann der in Frage stehende Term. In unserem Beispiel sieht das so aus: {{ inputbild |Termstammbaum|png|400px {{!}} center{{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Funnyflowerpot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fm4e5fp6f361ba414ecluinv16yyzhp 0 48277 779948 549762 2022-08-21T17:47:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten ein Modell für die Termmenge der natürlichen Zahlen. Als Grundtermmenge nehmen wir eine Variablenmenge {{math|term= V|SZ=,}} die Konstantenmenge {{ Ma:Vergleichskette |K ||\{0\} || || || |SZ=, }} die einstelligen Funktionssymbolmenge {{ Ma:Vergleichskette |F_1 ||\{N\} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= N|SZ=}} steht für Nachfolger| |ISZ=|ESZ= }} und die zweistellige Funktionssymbolmenge {{ Ma:Vergleichskette |F_2 ||\{\alpha, \mu \} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=für Addition und Multiplikation| |ISZ=|ESZ=. }} Allein aus der Konstante {{math|term= 0|SZ=}} und dem Nachfolgersymbol {{math|term= N|SZ=}} kann man dann für jede natürliche Zahl eine Repräsentierung finden, nämlich {{ math/disp|term= N0 \, , NN0, \,NNN0, \, NNNN0, \, etc. |SZ= }} Typische Terme sind dann Ausdrücke wie {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= u,v,w|SZ=}} seien Variablen| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= \alpha NN0 NNNv,\, \mu NN0 \alpha NN0 NNN0,\, \mu \alpha NNN0 \mu NNu N0 NNNNw, \, \text{etc}. |SZ= }} Wenn man {{math|term= x'|SZ=}} statt {{math|term= Nx|SZ=,}} {{mathl|term= (x+y)|SZ=}} statt {{mathl|term= \alpha xy|SZ=}} und {{mathl|term= (x \cdot y)|SZ=}} statt {{mathl|term= \mu xy|SZ=}} schreibt, so {{Anführung|verschönern}} sich diese Terme zu {{ math/disp|term= (0^{\prime \prime} + v^{\prime \prime \prime} ),\, (0^{\prime \prime} \cdot ( 0^{\prime \prime } + 0^{\prime \prime \prime} )),\, (( 0^{\prime \prime \prime} + ( u^{\prime \prime} \cdot 0^\prime)) \cdot w^{\prime \prime \prime \prime}), \, \text{etc}. |SZ= }} Mit den Abkürzungen {{ Ma:Vergleichskette |1 ||0^\prime || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |2 ||0^{\prime \prime } || || || |SZ= }} etc. wird daraus {{ math/disp|term= 2 + v^{\prime \prime \prime} ,\, (2 \cdot (2 + 3 )) ,\, (( 3 + ( u^{\prime \prime} \cdot 1)) \cdot w^{\prime \prime \prime \prime}), \, \text{etc}. |SZ=. }} Man beachte, dass die Einführung dieser Abkürzungen nicht bedeutet, dass dadurch die üblicherweise mit diesen Symbolen verwendeten Rechenregeln erlaubt sind. Der zweite Term oben ist nicht gleich {{math|term= 10|SZ=,}} dem zehnten Nachfolger der {{math|term= 0|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kpu8t8r8fmnauaw796cgt474s4isnhs 0 48328 779897 752055 2022-08-21T17:38:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das außer einer Variablenmenge {{math|term= V|SZ=}} aus einem einzigen zweistelligen Funktionssymbol {{math|term= F|SZ=}} bestehe {{ Zusatz/Klammer |text=die Konstantenmenge und die Relationssymbolmengen seien also leer| |ISZ=|ESZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}} |Struktur| |Kontext=Modell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht dann aus einer nichtleeren Menge {{math|term= M|SZ=}} zusammen mit einer Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f {{=|}} F^M |M \times M|M |(a,b)| f(a,b) |SZ=. }} Eine solche Abbildung nennt man auch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=;}} sie ordnet {{ Zusatz/Klammer |text=einem geordneten Paar aus| |ISZ=|ESZ= }} zwei Elementen der Menge ein weiteres Element der Menge zu. Die Addition oder die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen sind jeweils eine solche Verknüpfung. Weitere Beispiele sind die Verknüpfung in einer Gruppe, die Vektorraumaddition, das Maximum von zwei reellen Zahlen, u.s.w. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rsimpplkqfih8l4k2aaub7r9trwjd5w 0 48359 779699 763696 2022-08-21T17:09:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} das Symbolalphabet für einen angeordneten Körper, d.h. es gebe eine zweielementige Konstantenmenge {{ Ma:Vergleichskette |K ||\{0,1\} || || || |SZ=, }} eine zweielementige Menge für die zweistelligen Funktionssymbole {{mathl|term= \{+, \cdot \}|SZ=}} und eine einelementige Menge {{mathl|term= \{ \geq \} |SZ=}} für ein zweistelliges Relationssymbol{{{zusatz1|.}}} Wir betrachten die Interpretation {{math|term= I_1|SZ=}} mit der Grundmenge {{math|term= \Q|SZ=}} und die Interpretation {{math|term= I_2|SZ=}} mit der Grundmenge {{math|term= \R|SZ=,}} wobei Konstanten, Funktionssymbole und das Relationssymbol in natürlicher Weise interpretiert werden {{ Zusatz/Klammer |text=und die Variablenbelegung irgendwie festgelegt sei| |ISZ=|ESZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}} |Ausdruck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | 1+1 |\geq| 1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also der Ausdruck {{mathlk|term=\geq + 1 1 1|SZ=}} in vorgestellter Notation| |ISZ=|ESZ= }} wird unter den Interpretationen als {{ Ma:Vergleichskette |1_\Q + 1_\Q |\geq| 1_\Q || || || |SZ= }} bzw. als {{ Ma:Vergleichskette |1_\R + 1_\R |\geq| 1_\R || || || |SZ= }} interpretiert und daher gelten {{ mathkor|term1= I_1 \vDash 1 +1 \geq 1 |und|term2= I_2 \vDash 1 +1 \geq 1 |SZ=. }} Dagegen ist der Ausdruck {{mathl|term= \forall x (x \geq 0 \rightarrow \exists y (x =y \cdot y)) |SZ=}} unter {{math|term= I_1|SZ=}} falsch und unter {{math|term= I_2|SZ=}} richtig, also {{ mathkor/disp|term1= I_1 \vDash \neg ( \forall x (x \geq 0 \rightarrow \exists y (x =y \cdot y))) |und|term2= I_2 \vDash \forall x (x \geq 0 \rightarrow \exists y (x =y \cdot y)) |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lei3ncu2hf1e32fdewdyy8yxcm61qxu 0 48385 779812 555396 2022-08-21T17:25:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Einen unbedingten Sprung {{ Zusatz/Klammer |text=ein {{Anführung|Go to-Befehl}}| |ISZ=|ESZ= }} zu einer bestimmten Programmzeile, der also nicht von einer Abfrage abhängt, kann man dadurch realisieren, dass man ein neues Register {{math|term= R_{k}|SZ=}} hinzunimmt, das von keiner anderen Programmzeile adressiert wird und dessen Inhalt auf {{math|term= 0|SZ=}} gesetzt wird. Dann bewirkt der Befehl {{mathl|term= C(k j)|SZ=,}} dass zur {{math|term= j|SZ=-}}ten Programmzeile gewechselt wird, da der Inhalt des Registers {{math|term= R_{k}|SZ=}} im gesamten Programmverlauf gleich {{math|term= 0|SZ=}} bleibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mqffr2go4fd7k5brucbsjymsxaprk6o 0 48387 779806 763765 2022-08-21T17:24:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es soll mit einer {{ Definitionslink |Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} festgestellt werden, ob der Inhalt {{math|term= r_i|SZ=}} des Registers {{math|term= R_i|SZ=}} größer oder gleich dem Inhalt {{math|term= r_j|SZ=}} des Registers {{math|term= R_j|SZ=}} ist. Dazu reserviert man das leere Register {{math|term= R_k|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= i,j,k|SZ=}} seien paarweise verschieden| |ISZ=|ESZ= }} und baut einen Programmabschnitt der folgenden Art. {{ Aufzählung7 |{{mathl|term= C(j,6)|SZ=}} |{{mathl|term= j-|SZ=}} |{{mathl|term= C(i,7)|SZ=}} |{{mathl|term= i-|SZ=}} |Gehe zu {{math|term= 1|SZ=}} |{{mathl|term= k+|SZ=}} |Halte an }} Wenn dieser Programmabschnitt abgelaufen ist, so steht im Register {{math|term= R_k|SZ=}} der Wert {{ mathkor|term1= r_k=1 |oder|term2= r_k=0 |SZ=, }} je nachdem, ob {{ Ma:Vergleichskette |r_i |\geq|r_j || || || |SZ= }} ist oder nicht, und zwar unabhängig davon, ob man damit die Eingangsdaten oder Zwischendaten, wenn das Programm den ersten Befehl abarbeitet, meint. Die Korrektheit dieses Programms beruht darauf, dass {{ Ma:Vergleichskette |r |\geq|s || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Ma:Vergleichskette |r-1 |\geq|s-1 || || || |SZ= }} ist. Dies ermöglicht einen Induktionsbeweis. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4d5gs4t004j5wyrto7z6ku5mmw1ntux 0 48388 779804 555399 2022-08-21T17:24:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen überprüfen, ob die Inhalte von zwei Registern {{ mathkor|term1= R_i |und|term2= R_j |SZ= }} übereinstimmen. Dazu kann man das Programm aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Registermaschine/Größenvergleich von zwei Registerinhalten/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einfach abändern zu {{ Aufzählung9 |{{mathl|term= C(j,6)|SZ=}} |{{mathl|term= j-|SZ=}} |{{mathl|term= C(i,9)|SZ=}} |{{mathl|term= i-|SZ=}} |Gehe zu {{math|term= 1|SZ=}} |{{mathl|term= C(i,8)|SZ=}} |Gehe zu {{math|term= 9|SZ=}} |{{mathl|term= k+|SZ=}} |Halte an }} Bei Gleichheit erhält man {{ Ma:Vergleichskette | r_k || 1 || || || |SZ=, }} bei Ungleichheit {{ Ma:Vergleichskette | r_k || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jpib4x2vho5zj8xc7juhkgxnmz3f744 0 48389 779813 396881 2022-08-21T17:25:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen den Registerinhalt {{math|term= r_i|SZ=}} des Re{{latextrenn}}gis{{latextrenn}}ters {{math|term= R_i|SZ=}} in das Register {{math|term= R_j|SZ=}} übertragen {{ Zusatz/Klammer |text=unabhängig von dessen Inhalt| |ISZ=|ESZ=. }} Dies leistet das folgende Programm. {{ Aufzählung6 |Leere {{math|term= R_j|SZ=}} |{{mathl|term= C(i,6)|SZ=}} |{{mathl|term= i-|SZ=}} |{{mathl|term= j+|SZ=}} |Gehe zu {{math|term= 2|SZ=}} |Halte an }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jcs5la7riz4eokl3q9s31tcb0rk9eh8 0 48390 779807 288403 2022-08-21T17:24:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das Register {{math|term= R_i|SZ=}} soll geleert werden. Dies geschieht durch das folgende Programm. {{ Aufzählung4 |{{mathl|term= C(i,4)|SZ=}} |{{math|term= i-|SZ=}} |Gehe zu {{math|term= 1|SZ=}} |Halte an }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lhxu67p4pd07f8r2fgfygn5scsqs4zv 0 48391 779801 555453 2022-08-21T17:23:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die zwei Registerinhalte {{math|term= r_i|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= R_i|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= r_j|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= R_j|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} sollen addiert werden, wobei die Summe zum Schluss in {{math|term= R_k|SZ=}} stehen soll {{ Zusatz/Klammer |text=es seien {{mathlk|term=i,j,k|SZ=}} paarweise verschieden| |ISZ=|ESZ=. }} Dies leistet das folgende Programm. {{ Aufzählung7 |Leere {{math|term= R_k|SZ=}} |Übertrage {{math|term= r_i|SZ=}} nach {{math|term= R_k|SZ=}} |{{mathl|term= C(j,7)|SZ=}} |{{math|term= j-|SZ=}} |{{math|term= k+|SZ=}} |Gehe zu {{math|term= 3|SZ=}} |Halte an }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tg10m8hl5eahdm40xcuvjooi1an6deo 0 48392 779814 690598 2022-08-21T17:25:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen den Registerinhalt {{math|term= r_i|SZ=}} des Registers {{math|term= R_i|SZ=}} in das Register {{math|term= R_j|SZ=}} übertragen {{ Zusatz/Klammer |text=unabhängig von dessen Inhalt| |ISZ=|ESZ=, }} ohne {{math|term= R_i|SZ=}} zu leeren. Dazu brauchen wir ein drittes Register {{math|term= R_k|SZ=}} und das folgende Programm. {{ Aufzählung9 |Leere {{math|term= R_j|SZ=}} |Leere {{math|term= R_k|SZ=}} |{{mathl|term= C(i,8)|SZ=}} |{{mathl|term= i-|SZ=}} |{{mathl|term= j+|SZ=}} |{{mathl|term= k+|SZ=}} |Gehe zu {{math|term= 3|SZ=}} |Übertrage den Inhalt von {{math|term= R_k|SZ=}} nach {{math|term= R_i|SZ=}} |Halte an }} Hier wird zwar im Laufe des Programms der Inhalt von {{math|term= R_i|SZ=}} verändert, zum Schluss wird der ursprüngliche Inhalt aber wieder hergestellt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hhnf9de9pifrkiwsm0johfw6ejuqz04 0 48393 779809 690599 2022-08-21T17:24:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die beiden Registerinhalte {{math|term= r_i|SZ=}} (von {{math|term= R_i|SZ=}}) und {{math|term= r_j|SZ=}} (von {{math|term= R_j|SZ=}}) sollen multipliziert werden, wobei das Produkt zum Schluss in {{math|term= R_k|SZ=}} stehen soll {{ Zusatz/Klammer |text=es seien {{mathlk|term=i,j,k|SZ=}} paarweise verschieden| |ISZ=|ESZ=. }} Dies leistet das folgende Programm mit dem Hilfsregister {{math|term= R_\ell|SZ=.}} {{ Aufzählung7 |Leere {{math|term= R_k|SZ=}} |Übertrage den Inhalt von {{math|term= R_i|SZ=}} nach {{math|term= R_\ell|SZ=}} ohne {{math|term= R_i|SZ=}} zu leeren |{{mathl|term= C(j,7)|SZ=}} |Addiere den Inhalt von {{math|term= R_\ell|SZ=}} zu {{math|term= R_k|SZ=}} hinzu |{{math|term= j-|SZ=}} |Gehe zu {{math|term= 2|SZ=}} |Halte an }} Die Korrektheit dieses Programms beruht auf {{ Ma:Vergleichskette | r \cdot s || (r-1) s + s || || || || |SZ=; }} für das Produkt {{math|term= rs|SZ=}} muss man {{math|term= r|SZ=-}}mal {{math|term= s|SZ=}} mit sich selbst addieren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1snhiooe2hmh43pf6brxf5vwuy27on8 0 48412 778873 763094 2022-08-21T14:59:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|x^2 |SZ=, }} ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da die verschiedenen Zahlen {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= -2 |SZ= }} beide auf {{math|term= 4|SZ=}} abgebildet werden. Sie ist nicht {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da nur nichtnegative Elemente erreicht werden {{ Zusatz/Klammer |text=eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel| |ISZ=|ESZ=. }} Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R_{\geq 0} |\R |x|x^2 |SZ=, }} ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Injektivität folgt beispielsweise so: Wenn {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|y || || || |SZ= }} ist, so ist eine Zahl größer, sagen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |>|y |\geq|0 || || |SZ=. }} Doch dann ist auch {{ Ma:Vergleichskette |x^2 |>| y^2 || || || |SZ= }} und insbesondere {{ Ma:Vergleichskette |x^2 |\neq|y^2 || || || |SZ=. }} Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R_{\geq 0} |x|x^2 |SZ=, }} ist nicht injektiv, aber surjektiv, da jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R_{\geq 0}|\R_{\geq 0} |x|x^2 |SZ=, }} ist injektiv und surjektiv. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dmgekz5svkpizow5prgzytex2c55vst 0 48477 778626 694109 2022-08-21T12:31:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Repräsentierbarkeit von Registerprogrammen/Über p-adische beta Funktion/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es zu jedem Programm {{math|term= P|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= h|SZ=}} Befehlen und {{math|term= {{{m|m}}}|SZ=}} Registern| |ISZ=|ESZ= }} einen arithmetischen Ausdruck {{math|term= \psi_P|SZ=}} in {{math|term= 2{{{m|m}}}|SZ=}} freien Variablen {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_{{{m|m}}}, y_1 {{kommadots|}} y_{{{m|m}}}|SZ=,}} der bei der Belegung mit {{ Ma:Vergleichskette | e_1 {{kommadots|}} e_{{{m|m}}}, a_1 {{kommadots|}} a_{{{m|m}}} |\in| \N || || || |SZ= }} genau dann wahr ist, wenn das Programm, angesetzt auf {{mathl|term= (1,e_1 {{kommadots|}} e_{{{m|m}}}) |SZ=,}} schließlich mit der Konfiguration {{mathl|term= (h,a_1 {{kommadots|}} a_{{{m|m}}}) |SZ=}} anhält. Der Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi_P ||\psi_P(0,0 {{kommadots|}} 0, y_1 {{kommadots|}} y_{{{m|m}}}) || || || |SZ= }} besagt daher, dass das Programm bei Nulleingabe mit der Registerbelegung {{mathl|term= (y_1 {{kommadots|}} y_{{{m|m}}}) |SZ=}} anhält und der Ausdruck {{ Zusatz/Klammer |text=ohne freie Variablen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \theta_P || \exists y_1 \exists y_2 \ldots \exists y_{{{m|m}}} \varphi_P || || || |SZ= }} besagt, dass das Programm überhaupt anhält. Es gilt also {{ math/disp|term= \N \vDash \theta_P |SZ= }} genau dann, wenn {{math|term= P|SZ=}} bei Nulleingabe anhält. Man beachte, dass die Abbildung, die einem jeden Programm {{math|term= P|SZ=}} dieses {{math|term= \theta_P |SZ=}} zuordnet, effektiv durch eine Registermaschine durchführbar ist. Wenn es ein Entscheidungsverfahren für arithmetische Sätze geben würde, so könnte man insbesondere auch die Richtigkeit von {{mathl|term= \N \vDash \theta_P |SZ=}} entscheiden. Doch dann würde es ein Entscheidungsverfahren für das Halteproblem im Widerspruch zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Halteproblem/Registermaschine/Unentscheidbarkeit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} geben. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nehx1w6jc3lskq5sa4izxhv69q3mnym 0 48522 778565 762487 2022-08-21T12:22:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=R |aufzählbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Satzmenge, die {{math|term= T|SZ=}} axiomatisiert, und es sei {{ mathbed|term= {{logprop|}}_n ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{math|term= R|SZ=-}}Aufzählung von {{math|term= \Gamma|SZ=.}} Es sei {{ mathbed|term= {{logprop2|}}_n ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{math|term= R|SZ=-}}Aufzählung der prädikatenlogischen Tautologien aus {{mathl|term= L^{{Symbolalphabet|}} |SZ=.}} Wenn ein Satz {{math|term= {{logprop3|}}|SZ=}} aus {{math|term= \Gamma|SZ=}} ableitbar ist, so gibt es eine endliche Auswahl {{mathl|term= {{logprop|}}_1 {{kommadots|}} {{logprop|}}_n|SZ=}} aus {{math|term= \Gamma|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. aus der gewählten Aufzählung| |ISZ=|ESZ= }} derart, dass {{ math/disp|term= \vdash {{logprop|}}_1 {{logunddots|}} {{logprop|}}_n \rightarrow {{logprop3|}} |SZ= }} eine prädikatenlogische Tautologie ist. Daher leistet das folgende Verfahren, bei dem {{math|term= n|SZ=}} wächst, das Gewünschte: Für jedes {{math|term= n|SZ=}} notiert man die Tautologien {{mathl|term= {{logprop2|}}_1 {{kommadots|}} {{logprop2|}}_n |SZ=}} in der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logprop2|}}_i ||{{logprop4|}}_1 {{logund|}} \ldots {{logund|}} {{logprop4|}}_s \rightarrow {{logprop5|}} || || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= {{logprop2|}}_i|SZ=}} überhaupt diese Form besitzt, so ist diese eindeutig bestimmt. Danach überprüft man für jedes {{ Ma:Vergleichskette |i |\leq|n || || || |SZ=, }} ob alle {{mathl|term= {{logprop4|}}_1 {{kommadots|}} {{logprop4|}}_s|SZ=}} zu {{mathl|term= \{ {{logprop|}}_1 {{kommadots|}} {{logprop|}}_n \}|SZ=}} gehören. Falls ja, und wenn {{math|term= {{logprop5|}}|SZ=}} ein Satz ist, so wird {{math|term= {{logprop5|}}|SZ=}} notiert. Danach geht man zum nächsten {{math|term= i|SZ=.}} Wenn man {{ Ma:Vergleichskette |i ||n || || || |SZ=, }} erreicht hat, so geht man zu {{mathl|term= n+1|SZ=,}} wobei man aber wieder bei {{ Ma:Vergleichskette |i ||1 || || || |SZ= }} anfängt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5g0j1dzupn5snsryr5p37sqw1eola4q 0 48527 778566 694115 2022-08-21T12:22:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Aufzählbar axiomatisierbar/Aufzählbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bedeutet die aufzählbare Axiomatisierbarkeit, dass schon die Theorie selbst aufzählbar ist. Sei also {{math|term= T|SZ=}} aufzählbar, vollständig und widerspruchsfrei, und sei {{ mathbed|term= {{logprop|}}_n ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} eine Aufzählung von {{math|term= T|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{logprop2|}} |\in| L^{{Symbolalphabet|}}_0 || || || |SZ= }} ein Satz. Wegen der Widerspruchsfreiheit und der Vollständigkeit gilt entweder {{ mathkor|term1= {{logprop2|}} \in T |oder|term2= \neg {{logprop2|}} \in T |SZ=. }} Daher kommt entweder {{ mathkor|term1= {{logprop2|}} |oder|term2= \neg {{logprop2|}} |SZ= }} in der Aufzählung von {{math|term= T|SZ=}} vor. Bei {{ Ma:Vergleichskette | {{logprop|}}_n || {{logprop2|}} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{logprop2|}} |\in| T || || || |SZ= }} und bei {{ Ma:Vergleichskette | {{logprop|}}_n ||\neg {{logprop2|}} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{logprop2|}} |\notin| T || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9rqcbssifmmj1c9v17r4601wwhdi4uz 0 48558 782903 281097 2022-08-22T01:59:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Show by induction that for every {{math|term= n \in \N|SZ=}} the number {{ math/disp|term= 6^{n+2} + 7^{2n+1} |SZ= }} is a multiple of {{math|term= 43|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fi5pfart4gi9knei9pzoyibuc61965f 0 48572 783636 508265 2022-08-22T04:01:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= x,y,z,w |SZ=}} be elements in a field and suppose that {{math|term= z|SZ=}} and {{math|term= w|SZ=}} are not zero. Prove the following fraction rules. {{ Aufzählung7 | {{math/disp|term= {{op:Bruch|x|1}}=x|SZ=,}} | {{math/disp|term={{op:Bruch|1|-1}}=-1 |SZ=,}} | {{math/disp|term={{op:Bruch|0|z}}=0 |SZ=,}} | {{math/disp|term={{op:Bruch|z|z}}=1 |SZ=,}} | {{math/disp|term={{op:Bruch|x|z}} = {{op:Bruch|xw|zw}} |SZ=,}} |{{math/disp|term= {{op:Bruch|x|z}} \cdot {{op:Bruch|y|w}} = {{op:Bruch|xy|zw}} |SZ=,}} |{{math/disp|term= {{op:Bruch|x|z}} + {{op:Bruch|y|w}} = {{op:Bruch|xw+yz|zw}} |SZ=.}} }} Does there exist an analogue of formula (7), which arises when one replaces addition by multiplication (and subtraction by division), that is {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x-z) \cdot (y-w) || (x+w) \cdot (y+z)-(z+w) || || || |SZ=? }} Show that the {{Anführung|popular formula}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|z}} + {{op:Bruch|y|w}} || {{op:Bruch|x+y|z+w}} || || || |SZ= }} does not hold. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Bruch |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7mfq17bzsx8bkpm9vrm5ppkvfshtxkj 0 48574 782907 509866 2022-08-22T02:00:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Prove {{n Sie}} by induction that the following formula holds for all {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} {{ math/disp|term= \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} k^2 = (-1)^{n+1} {{op:Bruch|n(n+1)|2}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l6ngkeocvbfwifb6d7wdp9ydev8t5y1 0 48575 782071 281284 2022-08-21T23:40:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= The cities {{mathl|term= S_1, \ldots, S_n|SZ=}} are connected by roads and there is exactly one road between each couple of cities. Due to construction works at the moment all roads are drivable only in one direction. Show that nevertheless there exists one city from which you can reach all the others. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2czdep3i0082d37e6zfhzeepvqswcf3 0 48578 782901 281295 2022-08-22T01:59:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Fix {{mathl|term= m \in \N|SZ=.}} Show by induction that the following identity holds. {{ math/disp|term= (2m+1) \prod_{i=1}^m (2i-1)^2 = \prod_{k=1}^m (4k^2-1) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3485sn0jmotjy6k0aqqd4siatgotpcr 0 48579 782905 281374 2022-08-22T01:59:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= An {{math|term= n|SZ=-}}chocolate is a rectangular grid, which is divided by {{mathl|term= a -1|SZ=}} longitudinal grooves and by {{mathl|term= b-1|SZ=}} transverse grooves into {{mathl|term= n= a \cdot b|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=a,b \in \N_+|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} smaller bite-sized rectangles. A dividing step of a chocolate is the complete severing of a chocolate along a longitudinal or a transverse groove. A complete breakdown of a chocolate is a consequence of division steps {{ Zusatz/Klammer |text=each one applied to a previously obtained intermediate chocolate| |ISZ=|ESZ=, }} whose final product consists of all the small bite-sized pieces, more handy to be eaten. Show {{n Sie}} by induction that each breakdown of an {{math|term= n|SZ=-}}chocolate consists of exactly {{mathl|term= n-1|SZ=}} division steps. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Schokolade |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4yifjlt5949etlr9adq89oew9vg4of4 0 48587 781049 755109 2022-08-21T20:50:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} be real numbers. Show{{n Sie}} by {{ Definitionslink |Prämath= |induction| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} the following inequality {{ math/disp|term= {{op:Betrag|\sum_{i{{=|}}1}^n x_i }} \leq \sum_{i=1}^n {{op:Betrag|x_i }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3b3j5lgk3zu7osxo0fff0itzzfqq6ie 0 48590 781047 281367 2022-08-21T20:49:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= A page has been ripped from a book. The sum of the numbers of the remaining pages is {{mathl|term= 65000|SZ=.}} How many pages did the book have? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qt47fxoufxfhvudy3jhvw66lx0vjokc 0 48612 785330 567745 2022-08-22T08:22:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es außer {{mathl|term= 3,5,7|SZ=}} kein weiteres Zahlentripel der Form {{mathl|term= p,p+2,p+4|SZ=}} gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primzahlen in arithmetischer Progression |Kategorie2=Theorie der Primzahltupel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 529r22nehau7qpnt0gh2dil76uivyyd 0 48614 785327 758632 2022-08-22T08:21:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} die kleinste Zahl {{math|term= N|SZ=}} der Form {{mathl|term= N=p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r +1|SZ=,}} die keine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wobei {{mathl|term= p_1, p_2 {{kommadots|}} p_r |SZ=}} die ersten {{math|term= r|SZ=}} Primzahlen sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Unendlichkeit der Primzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jsv6016sqixlfv86yvjr3m7i1qa28og 0 48615 782908 281392 2022-08-22T02:00:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Prove by induction for {{math|term= n \geq 10|SZ=}} the inequality {{ math/disp|term= 3^n \geq n^4 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tmp6qnas0t6kitv28bmey0kzst7p08z 0 48623 781027 509109 2022-08-21T20:46:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} folgendes Gedankenexperiment durch: Es sei eine Maschine gegeben, die eine Aussage (eine Vermutung) über die natürlichen Zahlen nach und nach überprüft. Wenn sie alle Zahlen überprüft hätte, stünde die Antwort fest, doch da die Maschine Schritt für Schritt arbeitet, hat sie zu jedem Zeitpunkt immer nur eine endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen überprüft und kann so, wenn die Aussage wahr ist, keinen Beweis für die Aussage liefern. Im Allgemeinen braucht die Rechenmaschine für große Zahlen länger. Die Maschine wird jetzt beschleunigt, so dass sie für große Zahlen immer weniger Zeit braucht. Die Maschine wird so beschleunigt, dass sie für die Überprüfung der ersten Zahl (also {{math|term= 1|SZ=}}) {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} Sekunden braucht, für die Überprüfung der zweiten Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|1|4}} |SZ=}} Sekunden, für die Überprüfung der dritten Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|1|8}} |SZ=}} Sekunden. Für die Überprüfung der {{math|term= n|SZ=-}}ten Zahl benötigt die Maschine also genau {{mathl|term= \left( {{op:Bruch|1|2}}\right)^n |SZ=}} Sekunden. Damit ist die Gesamtlaufzeit der Maschine {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2}} + \left({{op:Bruch|1|2}}\right)^2 + \left({{op:Bruch|1|2}}\right)^3 + \ldots |SZ=. }} Diese Summe ist wohldefiniert, und zwar gleich {{math|term= 1|SZ=}} (im Zweiersystem ist es die Zahl {{mathl|term= 0,111111111 \ldots |SZ=,}} deren Wert {{math|term= 1|SZ=}} ist). Nach einer Sekunde hat also die Maschine die unendlich vielen Zahlen durchgearbeitet und überprüft, und damit die Aussage bewiesen oder widerlegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mathematische Logik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8uxevbej3npf2hg3d3if1cbjuuvzae6 0 48630 782585 743628 2022-08-22T01:06:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es kein {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgeartetes| |Kontext=Dreieck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichseitiges Dreieck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^2|SZ=}} gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der regulären n-Ecke |Kategorie3=Dreiecksgeometrie |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 724peaxjkf0y0y7gt1ickem8jymupc6 0 48631 779063 763201 2022-08-21T15:29:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei ein einelementiges {{ Definitionslink |Alphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |A ||\{ {{|}} \} || || || |SZ= }} gegeben. Dann besitzt jedes Wort über {{math|term= A|SZ=}} die Gestalt {{ math/disp|term= {{|}} {{|}}{{|}} \ldots {{|}} |SZ= }} mit einer gewissen Anzahl von Strichen. Zwei solche Wörter sind genau dann gleich, wenn ihre Strichanzahl übereinstimmt. In diesem Fall entsprechen also die Wörter den natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=das leere Wort entspricht der {{math|term= 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wörter über einem Alphabet |Kategorie2=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mmrqzkc4yx79568zjlhafk09ac51uua 0 48642 779692 285962 2022-08-21T17:08:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen zeigen, dass im Sequenzenkalkül {{ math/disp|term= \vdash ( \forall x (\exist y (Fy=x))) {{logund}} ( \forall u (\exist v (Gv=u))) \rightarrow ( \forall r (\exist s (FGs=r))) |SZ= }} ableitbar ist, was inhaltlich bedeutet, dass die Hintereinanderschaltung von zwei surjektiven Abbildungen wieder surjektiv ist. Sei dazu {{mathl|term= \Gamma|SZ=}} die Vereinigung der beiden Vordersätze. Wir haben dann {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \forall r (\exist s (FGs=r)) |SZ= }} zu zeigen. Wir zeigen zunächst die entsprechende Existenzaussage. Aufgrund der Substitution gilt {{ math/disp|term= \vdash Fy=x {{logund}} Gz=y \rightarrow FGz=x |SZ=. }} Daraus folgt durch zweimalige Existenzaussage {{ math/disp|term= \vdash \exists z \exists y (Fy=x {{logund}} Gz=y ) \rightarrow \exists y \exists z FGz=x |SZ=. }} Da {{math|term= y|SZ=}} rechts gar nicht vorkommt, erhält man aus {{ math/disp|term= \vdash \exists z FGz =x \rightarrow \exists z FGz=x |SZ= }} durch Existenzeinführung im Antezedens {{ math/disp|term= \vdash \exists y \exists z FGz =x \rightarrow \exists z FGz=x |SZ= }} Aufgrund der Existeneinführung im Sukzedens gilt {{ math/disp|term= \vdash \exists y Fy=x \rightarrow \exists z \exists y Fy =x |SZ= }} und {{ math/disp|term= \vdash \exists z Gz=y \rightarrow \exists y \exists z Gz = y |SZ=. }} Durch Vertauschen der Existenzoperatoren und die Transititvität der Implikation erhält man {{ math/disp|term= \vdash |SZ= }} {{ math/disp|term= \vdash \exists y Fy= x {{logund}} \exists z Gz=y \rightarrow \exists z FGz = x |SZ=. }} Wir haben zunächst {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \forall x ( \exists y Fy = x) |SZ= }} und {{ math/disp|term= \vdash \forall x ( \exists y (Fy = x)) \rightarrow \exists y (Fy = x) |SZ=, }} also {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \exists y (Fy = x) |SZ=. }} Ebenso erhält man {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \exists z (Gz = y) |SZ=. }} Es gilt ferner (Substitutionsregel) {{ math/disp|term= \vdash (Fy=x) {{logund}} (Gz=y) \rightarrow (FGz=x) |SZ=, }} was wir als {{ math/disp|term= \vdash (Gz=y) \rightarrow ( (Fy=x) \rightarrow (FGz=x)) |SZ= }} schreiben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=unfertig }} 8sxl2suswoh2fadqewjum1nbk64ow5f 0 48653 783382 757071 2022-08-22T03:19:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Calculate {{n Sie}} the following expressions in the {{ Definitionslink |complex numbers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung6 |{{math|term= (5+4i)(3-2i)|SZ=.}} |{{math|term= (2+3i)(2-4i) +3(1-i)|SZ=.}} |{{math|term= (2i+3)^2|SZ=.}} |{{math|term= i^{1011}|SZ=.}} |{{math|term= (-2+5i)^{-1}|SZ=.}} |{{math|term= \frac{4-3i}{2+i}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rechnen |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6kk8l2x17e3paelyhtt98msz1qotx74 0 48655 783402 757085 2022-08-22T03:22:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Prove {{n Sie}} the following statements concerning the {{ Definitionslink |real| |Kontext=|msw=Realteil| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} and {{ Definitionslink |imaginary| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} parts of a {{ Definitionslink |complex number| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |{{math|term= z= {{op:Realteil|z|}} + {{op:Imaginärteil|z|}} {{Imaginäre Einheit}} |SZ=.}} |{{math|term= {{op:Realteil|z+w|}} = {{op:Realteil|z|}} + {{op:Realteil|w|}} |SZ=.}} |{{math|term= {{op:Imaginärteil|z+w|}} = {{op:Imaginärteil|z|}} + {{op:Imaginärteil|w|}} |SZ=.}} |For {{math|term= r \in \R|SZ=}} we have {{ math/disp|term= {{op:Realteil|rz|}} =r {{op:Realteil|z|}} \text{ and } {{op:Imaginärteil|rz|}} =r {{op:Imaginärteil|z|}} |SZ=. }} | {{math|term= z = {{op:Realteil|z|}} |SZ=}} if and only if {{math|term= z \in \R|SZ=}}, and this is exactly the case when {{math|term= {{op:Imaginärteil|z|}}=0 |SZ=}}. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ix1mffgshc7n7wa19htw1ebiv3vsgmv 0 48656 783385 757074 2022-08-22T03:19:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Prove {{n Sie}} the following calculating rules for the {{ Definitionslink |complex numbers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |{{math|term= {{op:Betrag|z|}}= \sqrt{ z \ {{op:Komplexe Konjugation|z|}} } |SZ=.}} |{{math|term= {{op:Realteil|z|}} = \frac{z+ {{op:Komplexe Konjugation|z|}} }{2} |SZ=.}} |{{math|term= {{op:Imaginärteil|z|}} = \frac{z - 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Let {{ Ma:abbele/disp |name=G |M|L |SZ= }} be another function such that {{ mathkor|term1= F \circ G = \operatorname{id}_M \, |and|term2= G \circ F = \operatorname{id}_L \, |SZ= }}. Show {{n Sie}} that {{math|term= G|SZ=}} is the {{ Definitionslink |inverse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} of {{math|term= F|SZ=}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpwys46phif84uq65r67w5uxh9lpc5f 0 48678 780446 754642 2022-08-21T19:09:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= L,M,N|SZ=}} be sets and let {{ math/disp|term= f:L \longrightarrow M \text{ and } g:M \longrightarrow N|SZ= }} be {{ Definitionslink |functions| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} with their {{ Definitionslink |composition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name={{verknüpf|f|g}} |L|N |x|g(f(x)) |SZ=. }} Show that if {{math|term= {{verknüpf|f|g}}|SZ=}} is {{ Definitionslink |injective| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} then also {{math|term= f|SZ=}} is injective. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} njbb8jyig0e4hn949mkylfuhdudv5od 0 48685 781474 282088 2022-08-21T22:01:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Perform, in the polynomial ring {{math|term= \Q[X]|SZ=}} the division with remainder {{math|term= \frac{P}{T}|SZ=}}, where {{math|term= P=3X^4+7X^2-2X+5|SZ=}}, and {{math|term= T=2X^2+3X-1|SZ=}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Q |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3mbmwiyhl0q2qodn6eii8s32z0spiu6 0 48688 781025 755092 2022-08-21T20:46:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine the smallest real number for which the {{ Definitionslink |Bernoulli inequality| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} with exponent {{math|term= n=3|SZ=}} holds. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Bernoullische Ungleichung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aedka4tf4r1lune9hdtie89sqpkhypg 0 48693 780448 754644 2022-08-21T19:10:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= L,M,N|SZ=}} be sets and let {{ math/disp|term= f:L \longrightarrow M \text{ and } g:M \longrightarrow N|SZ= }} be {{ Definitionslink |functions| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} with their {{ Definitionslink |composite| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= g \circ f |L|N |x|g(f(x)) |SZ=. }} Show that if {{math|term= {{verknüpf|f|g}}|SZ=}} is {{ Definitionslink |surjective| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} then also {{math|term= g|SZ=}} is surjective. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ivjbx4tlj6hfe125nq1aquvpbxi5jas 0 48695 781473 579070 2022-08-21T22:01:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Perform, in the polynomial ring {{math|term= {{CC}}[X]|SZ=}} the division with remainder {{math|term= \frac{P}{T}|SZ=}}, where {{math|term= P= (5+i)X^4+iX^2+(3-2i)X-1|SZ=}} and {{math|term= T=X^2+iX+3-i|SZ=}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Polynomring in einer Variablen über C |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 59i5b122uiljs3ejrk5sdh9h1lwq0nz 0 48711 783371 757061 2022-08-22T03:17:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} zu einer {{ Definitionslink |komplexen Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= z=a+b {{Imaginäre Einheit|}} \neq 0|SZ=}} die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g3z3ykfyzmjua4jy88cc8q04wd4ccje 0 48712 783629 757278 2022-08-22T04:00:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} der in {{ Beispiellink{{{opt1|}}} |Präwort=||Beispielseitenname= Körper/Zwei Elemente/Beispiel |Beispielseitenname2= Kommutativer Halbring/Körper/Zwei Elemente/Beispiel |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eingeführte {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zwei Elementen. Löse in {{math|term= K|SZ=}} das {{ Definitionslink |inhomogene Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \begin{matrix} x &+y & & = & 1 \\ & y& +z &=& 0 \\ x& +y & +z &=& 0 \, . \end{matrix} |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 2 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oxcpaaucpvsh83pks9bjzpse53r2605 0 48715 783916 757545 2022-08-22T04:48:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \begin{matrix} 2 x &-ay & & = & -2 \\ ax & & +3 z &=& 3 \\ -{{op:Bruch|1|3}}x & +y & + z &=& 2 \end{matrix} |SZ= }} über den {{ Definitionslink |reellen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in Abhängigkeit von {{mathl|term= a \in \R|SZ=.}} Für welche {{mathl|term= a|SZ=}} besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ir0g9rkbcxq0e0vwohksvuj23b8addd 0 48716 783922 604622 2022-08-22T04:49:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit {{math|term= 3|SZ=}} Schneeglöckchen und {{math|term= 4|SZ=}} Mistelzweigen {{mathl|term= 2{,}50|SZ=}} {{Euro}} und Jennifer zahlt für einen Strauß aus {{math|term= 5|SZ=}} Schneeglöckchen und {{math|term= 2|SZ=}} Mistelzweigen {{mathl|term= 2{,}30|SZ=}} {{Euro|SZ=.}} Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und {{math|term= 11|SZ=}} Mistelzweigen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8j62gu1rzftksxdzcpqcg4vsx85df9j 0 48718 784125 757782 2022-08-22T05:23:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Matrizenmultiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |assoziativ| |Kontext=Verknüpfung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Genauer: {{Körper/Situation|SZ=}} und es sei {{math|term= A|SZ=}} eine {{mathl|term= m\times n|SZ=-}}{{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= B|SZ=}} eine {{mathl|term= n\times p|SZ=-}}Matrix und {{math|term= C|SZ=}} eine {{mathl|term= p\times r|SZ=-}}Matrix über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= (A B)C=A(BC)|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2=Theorie der Matrizenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4479w6bt7mllxnvpeov5r0fhbgnawo3 0 48719 784129 757789 2022-08-22T05:24:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Wir betrachten die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{Op:Matrix55|0|a|b|c|d|0|0|e|f|g|0|0|0|h|i|0|0|0|0|j|0|0|0|0|0}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die fünfte {{ Definitionslink |Potenz| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |M^5 || MMMMM ||0 || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation (Körper) |Kategorie2=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cnnq2vll8e7maorbr7m6ues1wkbh374 0 48720 784128 757788 2022-08-22T05:24:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Wir betrachten die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= M= {{op:Matrix44|0|a|b|c|0|0|d|e|0|0|0|f|0|0|0|0}} |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die vierte {{ Definitionslink |Potenz| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist, also {{ math/disp|term= M^4=MMMM =0 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dqlw0sfyxrzn41pnznua2lucsz6qoo6 0 48771 780510 752993 2022-08-21T19:20:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} ein {{ Definitionslink |abzählbares| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Alphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die Menge {{math|term= A^*|SZ=}} der Wörter über {{math|term= A|SZ=}} abzählbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rekursiv definierten Mengen |Kategorie2=Theorie der Abzählbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6qvpyjtznewkvfnzfjzyajoy12ucapb 0 48783 783940 757580 2022-08-22T04:52:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} in {{math|term= \Q^2|SZ=}} den Vektor {{ math/disp|term= (2,-7) |SZ= }} als {{ Definitionslink |Linearkombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Vektoren {{ math/disp|term= (5,-3) \text{ und } (-11,4) |SZ= }} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9v1efpamee1i8sq7gftx2t2m9eh9ggu 0 48784 781657 755594 2022-08-21T22:31:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= E \subset \R^3|SZ=}} die durch die lineare Gleichung {{mathl|term= 5x+7y-4z=0|SZ=}} gegebene Ebene. Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^3 || |SZ= }} derart, dass das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} gleich {{math|term= E|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0jaunbducofvxu0qh0cvzdwnz6p2ohw 0 48785 785234 586864 2022-08-22T08:06:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr {{math|term= j|SZ=}} wird daher durch ein {{math|term= 5|SZ=-}}Tupel {{mathl|term= B_j=(b_{1,j},b_{2,j},b_{3,j},b_{4,j},b_{5,j})|SZ=}} angegeben. Von den Traglingen erreichen {{mathl|term= 7/8|SZ=-}}tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen {{mathl|term= 9/10|SZ=-}}tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen {{mathl|term= 5/6|SZ=-}}tel das reife Alter und von den Reifen erreichen {{mathl|term= 2/3|SZ=-}}tel das fünfte Jahr. Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und {{math|term= 10|SZ=}} Halbstarke zeugen {{math|term= 5|SZ=}} Nachkommen und {{math|term= 10|SZ=}} Reife zeugen {{math|term= 8|SZ=}} Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden. a) Bestimme{{n Sie}} die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand {{mathl|term= B_{j+1}|SZ=}} aus dem Bestand {{mathl|term= B_j|SZ=}} berechnet. b) Was wird aus dem Bestand {{mathl|term= (200,150,100,100,50)|SZ=}} im Folgejahr? c) Was wird aus dem Bestand {{mathl|term= (0,0,100,0,0)|SZ=}} in fünf Jahren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rr77g8k815l3d5w3rbpe8qvjbx85e84 0 48789 781538 457273 2022-08-21T22:11:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um {{math|term= 45|SZ=}} Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Drehungen |Kategorie2=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e6o4f83l4yybrcggylunvxwdve2vwa5 0 48790 781537 674690 2022-08-21T22:11:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der Standardbasis| |ISZ=|ESZ= }} eine Drehung um {{math|term= 30|SZ=}} Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Drehungen |Kategorie2=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eg24eby8iug24resvkc1ciurlhsjbys 0 48791 779868 526022 2022-08-21T17:34:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Schallgeschwindigkeit auf der Erde ist abhängig von der Temperatur. Wenn man mit der absoluten Temperatur {{math|term= T|SZ=}} (gemessen in Kelvin) arbeitet, so gilt die Beziehung {{ math/disp|term= v = 20,06 \sqrt{T} |SZ=, }} wobei die Schallgeschwindigkeit in {{mathl|term= m/s|SZ=}} gemessen wird. Für {{mathl|term= T=300K|SZ=}} ist also die Schallgeschwindigkeit ungefähr gleich {{mathl|term= 347,5 m/s|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2rrs8jtgk7ey3mog2um90644dffx98f 0 48794 779431 763526 2022-08-21T16:27:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die einfachsten {{ Definitionslink |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ Zusatz/Klammer |text=neben der Nullabbildung| |ISZ=|ESZ= }} diejenigen von {{math|term= K|SZ=}} nach {{math|term= K|SZ=.}} Eine solche lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K|K |x|\varphi(x) |SZ=, }} ist aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ={{{zusatz1|}}} }} bzw. direkt aufgrund der Definition durch {{mathl|term= \varphi(1)|SZ=}} bzw. durch den Wert {{mathl|term= \varphi(t)|SZ=}} für ein einziges {{ mathbed|term= t \in K ||bedterm1= t \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} festgelegt. Es ist also {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(x) || ax || || || |SZ= }} mit einem eindeutig bestimmten {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ=. }} Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von {{Stichwort|Proportionalität|SZ=,}} und {{math|term= a|SZ=}} heißt der {{Stichwort|Proportionalitätsfaktor|SZ=.}} In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als {{Anführung|Dreisatz}} auf. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ajixhy6bx48irm14ivoq5ebq6a9das 0 48795 783810 484170 2022-08-22T04:30:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Interpretiere{{n Sie}} die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=.}} Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt? {{ Aufzählung8 |Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit. |Masse ist Volumen mal Dichte. |Energie ist Masse mal Brennwert. |Kraft ist Masse mal Beschleunigung. |Energie ist Kraft mal Weg. |Energie ist Leistung mal Zeit. |Spannung ist Widerstand mal Stromstärke. |Ladung ist Stromstärke mal Zeit. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Physik |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 54s8eco4e5cwedku6a62qnskf0ma1c3 0 48798 780963 755039 2022-08-21T20:35:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei die Standardbasis {{mathl|term= e_1,e_2,e_3,e_4|SZ=}} im {{math|term= \R^4|SZ=}} gegeben und die drei Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|3|0|-4}},\, {{op:Spaltenvektor|2|1|5|7}} \text{ und } {{op:Spaltenvektor|-4|9|-5|1}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Vektoren {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Kann man jeden Standardvektor nehmen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ry646qy7kvx7vt42halz9opw29w9lgt 0 48803 785502 471063 2022-08-22T08:50:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formalisiere in der arithmetischen Sprache (mit {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ=) }} die folgenden (wahren) Aussagen. {{ Aufzählung4 |Wenn {{math|term= x \geq y|SZ=}} und {{math|term= y \geq z|SZ=,}} so ist {{mathl|term= x \geq z|SZ=.}} |Wenn {{math|term= x \geq y|SZ=}} und {{math|term= y \geq x|SZ=}} gilt, so ist {{mathl|term= x=y|SZ=.}} |Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. |Eine natürliche Zahl, für die es keine kleinere natürliche Zahl gibt, ist gleich {{math|term= 0|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} atii190bxeyilcoqxshxuwrtkyo5zif 0 48804 785489 391268 2022-08-22T08:48:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formalisiere{{n Sie}} in der arithmetischen Sprache die folgenden wahren Aussagen. {{ Aufzählung2 |Es gibt unendlich viele Primzahlen. |Jede natürliche Zahl {{mathl|term= \geq 2|SZ=}} wird von einer Primzahl geteilt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der Primzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ddk964pcu2dq6d8ygzhv9tsvptih0rq 0 48809 782192 283118 2022-08-22T00:00:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{mathl|term= M,P,S|SZ=}} and {{math|term= T|SZ=}} are the members of one family. In this case {{math|term= M|SZ=}} is three times as old as {{ mathkor|term1= S |and|term2= T |SZ= }} together, {{math|term= M|SZ=}} is older than {{math|term= P|SZ=}} and {{math|term= S|SZ=}} is older than {{math|term= T|SZ=,}} moreover the age difference between {{math|term= S|SZ=}} and {{math|term= T|SZ=}} is twice as large as the difference between {{math|term= M|SZ=}} and {{math|term= P|SZ=.}} Furthermore {{math|term= P|SZ=}} is seven times as old as {{math|term= T|SZ=}} and the sum of the ages of all family members is equal to the paternal grandmother's age, that is {{math|term= 83|SZ=.}} a) Set up a linear system of equations that expresses the conditions described. b) Solve this system of equations. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 21wadvh3yjesn5stljku9qtty667vvl 0 48816 781546 283144 2022-08-21T22:13:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine {{n Sie}} a linear equation for the plane in {{math|term= \R^3|SZ=,}} where the three points {{ mathlist/disp|term1= (1,0,0) ||term2= (0,1,2) |and|term3= (2,3,4) |SZ= }} lie. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ebene |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hk1dhscyzv4rizp7t1lfxn3pnava419 0 48817 783372 757062 2022-08-22T03:17:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Given {{n Sie}} a {{ Definitionslink |complex number| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= z=a+bi \neq 0|SZ=}}, find its inverse complex number with the help of a real system of linear equations with two variables and two equations. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} awpb95ycpuunb0sbv724t3khkayqvb8 0 48819 783630 757279 2022-08-22T04:00:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= K|SZ=}} be the field with two elements of Example 2.3. Solve in {{math|term= K|SZ=}} the {{ Definitionslink |inhomogeneous linear system| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \begin{matrix} x &+y & & = & 1 \\ & y& +z &=& 0 \\ x& +y & +z &=& 0 \, . \end{matrix} |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 2 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c8nd7efaw953v563vmlv8dcx2z8eljw 0 48823 781548 283175 2022-08-21T22:13:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine {{n Sie}} a linear equation for the plane in {{math|term= \R^3|SZ=,}} where the three points {{ mathlist/disp|term1= (1,0,2) ||term2= (4,-3,2) |and|term3= (2,1,-1) |SZ= }} lie. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ebene |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ubbe9r9q9p3sk2g8il4dvhn5ke5tbn 0 48843 779670 283136 2022-08-21T17:05:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= On the subset {{mathl|term=T \subseteq \R|SZ=}} it is given a function {{ Ma:abbele/disp |name=f |T|\R || |SZ= }} and two points {{mathl|term=a,b \in T|SZ=,}} the straight line through {{ mathkor|term1= (a,f(a)) |and|term2= (b,f(b)) |SZ= }} is called {{ Definitionswort/- |Prämath= |secant| |msw= |SZ= }} of {{math|term=f|SZ=}} to {{ mathkor|term1= a |and|term2= b |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a8mdicedi8s02vafm1e6igntjnk5zs0 0 48869 778640 762553 2022-08-21T12:33:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir beweisen dies durch Induktion über {{math|term= m|SZ=.}} Induktionsanfang: Sei {{math|term= m = 1|SZ=.}} Wenn {{math|term= U = {0}|SZ=}} wird {{math|term= U|SZ=}} durch {{math|term= 0|SZ=}} erzeugt. Andernfalls ist {{math|term= U|SZ=}} nicht die Nullgruppe und enthält daher noch weitere Elemente. Sei {{math|term= a \in U|SZ=}} mit {{math|term= {{op:Betrag|a}} \neq 0|SZ=}} minimal. Behauptung: {{math|term= U|SZ=}} wird durch {{math|term= a|SZ=}} erzeugt. Sei {{math|term= x \in U|SZ=}} beliebig. Dann liefert Division mit Rest {{mathl|term= x = aq+r|SZ=}} mit {{math|term= 0 \leq r < {{op:Betrag|a}}|SZ=.}} Wegen {{mathl|term= r = x-aq|SZ=}} ist {{math|term= r \in U|SZ=.}} Da {{math|term= a|SZ=}} minimal ist, muss {{math|term= r = 0|SZ=}} sein. Daher wird {{math|term= U|SZ=}} tatsächlich durch {{math|term= a|SZ=}} erzeugt. Induktionsvoraussetzung: Sei jede Untergruppe von {{math|term= \Z^{m_0}|SZ=}} für {{math|term= m_0 < m|SZ=}} endlich erzeugt durch höchstens {{math|term= m_0|SZ=}} Erzeuger (o.B.d.A. können wir hier immer genau {{math|term= m_0|SZ=}} Erzeuger {{mathl|term= y_1,\ldots,y_{m_0}|SZ=}} annehmen). Induktionsschritt: Wir fixieren eine Untergruppe {{mathl|term= U \subseteq \Z^m|SZ=.}} Wir projizieren {{math|term= \Z^{m}|SZ=}} kanonisch auf die letzte Komponente: {{ Ma:abbele/disp |name=p |\Z^{m}|\Z |(a_1,\ldots,a_{m})|a_{m} |SZ=. }} Es gilt {{math|term= {{op:Kern|p|}} = \Z^{m-1}|SZ=}}. Daher ist {{math|term= U\cap{{op:Kern|p|}}|SZ=}} endlich erzeugt durch {{mathl|term= y_1,\ldots,y_{m-1}|SZ=}} aufgrund der Induktionsvoraussetzung. Es gilt auch {{math|term= {{op:Bild|p|}} = \Z|SZ=}}. Daher ist {{math|term= p(U)|SZ=}} endlich erzeugt durch {{math|term= z=p(y_{m})|SZ=.}} Sei {{math|term= y \in U|SZ=}} beliebig. Es gilt {{mathl|term= p(y) = a_{m}z|SZ=}} und {{mathl|term= y' = y - a_{m}y_{m} \in U\cap{{op:Kern|p|}}|SZ=.}} Daher ist {{mathl|term= y' = a_1y_1+\ldots+a_{m-1}y_{m-1}|SZ=}} und dies führt zu {{ math/disp|term= y= a_1y_1+...+a_{m}y_{m} |SZ=. }} {{math|term= U|SZ=}} ist daher endlich erzeugt durch höchstens {{math|term= m|SZ=}} Elemente von {{math|term= U|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvuvtcui8hmzdtozr2l3sc9r8woq9do 0 48881 779594 763658 2022-08-21T16:53:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir führen die {{ Definitionslink |Polynomdivision| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= P=(4+3 {{Imaginäre Einheit}} )X^3+X^2+5 {{Imaginäre Einheit}} \text{ durch } T=(1+ {{Imaginäre Einheit}} )X^2+X -3 +2 {{Imaginäre Einheit}} |SZ= }} aus. Das Inverse zu {{mathl|term= 1+ {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} - {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align | (4+3 {{Imaginäre Einheit}} ) (1+ {{Imaginäre Einheit}} )^{-1} || (4+3 {{Imaginäre Einheit}} ) {{makl|{{op:Bruch|1|2}} - {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} || 2 + {{op:Bruch|3|2}} -2 {{Imaginäre Einheit}} + {{op:Bruch|3|2}} {{Imaginäre Einheit}} || {{op:Bruch|7|2}} - {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} || |SZ=. }} Daher beginnt {{math|term= Q|SZ=}} mit {{mathl|term= {{makl|{{op:Bruch|7|2}} - {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X |SZ=}} und es ist {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | ( (1+ {{Imaginäre Einheit}} )X^2+X -3 +2 {{Imaginäre Einheit}} ) {{makl|{{op:Bruch|7|2}} - {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X || (4+3 {{Imaginäre Einheit}} ) X^3 + {{makl|{{op:Bruch|7|2}} - {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X^2 + {{makl|-{{op:Bruch|19|2}} + {{op:Bruch|17|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X || || || |SZ=. }} Dies muss man nun von {{math|term= P|SZ=}} abziehen und erhält {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks |P - {{makl|(4+3 {{Imaginäre Einheit}} ) X^3 + {{makl|{{op:Bruch|7|2}} - {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X^2 + {{makl|-{{op:Bruch|19|2}} + {{op:Bruch|17|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X|}} || {{makl|-{{op:Bruch|5|2}} + {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X^2 + {{makl|{{op:Bruch|19|2}} -{{op:Bruch|17|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X + 5 {{Imaginäre Einheit}} || || || |SZ=. }} Auf dieses Polynom {{ Zusatz/Klammer |text=nennen wir es {{math|term= P'|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird das gleiche Verfahren angewendet. Man berechnet {{ Ma:Vergleichskette/align | {{makl|-{{op:Bruch|5|2}} + {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} {{makl|{{op:Bruch|1|2}} - {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} || -1 + {{op:Bruch|3|2}} {{Imaginäre Einheit}} || || || |SZ=. }} Daher ist der konstante Term von {{math|term= Q|SZ=}} gleich {{mathl|term= -1 + {{op:Bruch|3|2}} {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} und es ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{mak|(1+ {{Imaginäre Einheit}} )X^2+X -3 +2 {{Imaginäre Einheit}} |}} {{makl| -1 + {{op:Bruch|3|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} || {{makl|-{{op:Bruch|5|2}} + {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X^2 + {{makl|-1 + {{op:Bruch|3|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X - {{op:Bruch|13|2|}} {{Imaginäre Einheit}} || || || |SZ=. }} Dies ziehen wir von {{math|term= P'|SZ=}} ab und erhalten {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks |P' - {{makl| {{makl|-{{op:Bruch|5|2}} + {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X^2 + {{makl|-1 + {{op:Bruch|3|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X - {{op:Bruch|13|2|}} {{Imaginäre Einheit}} |}} || {{makl|{{op:Bruch|21|2|}} -10 {{Imaginäre Einheit}} |}} X + {{op:Bruch|23|2|}} {{Imaginäre Einheit}} || || || |SZ=. }} Dies ist der Rest {{math|term= R|SZ=,}} die vollständige Division mit Rest ist also {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks |(4+3 {{Imaginäre Einheit}} )X^3+X^2+5 {{Imaginäre Einheit}} || ((1+ {{Imaginäre Einheit}} )X^2+X -3 +2 {{Imaginäre Einheit}} ) {{makl|{{makl|{{op:Bruch|7|2}} - {{op:Bruch|1|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X-1 + {{op:Bruch|3|2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} + {{makl|{{op:Bruch|21|2|}} -10 {{Imaginäre Einheit}} |}} X + {{op:Bruch|23|2|}} {{Imaginäre Einheit}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pjjsatl8bpzred5gejceobqc28jf115 0 48887 780827 391262 2022-08-21T20:13:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die arithmetische Grundtermmenge, die aus den Konstanten {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=, }} den Variablen {{ mathbed|term= x_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} dem einstelligen Funktionssymbol {{math|term= N|SZ=}} und den beiden zweistelligen Funktionssymbolen {{ mathkor|term1= \alpha |und|term2= \mu |SZ= }} besteht. Entscheide{{n Sie}}, ob die folgenden Wörter über diesem Termalphabet Terme sind oder nicht. {{ Aufzählung6 |{{mathl|term= NNNNNNN01|SZ=,}} |{{mathl|term= NNNNNNx_1NNNNNNNNNNNx_2|SZ=,}} |{{mathl|term= \alpha NNNNNN0NNNNNNNNNNN1|SZ=,}} |{{mathl|term= NNN \mu NNN\mu 0NNNNNNNNNNN1|SZ=,}} |{{mathl|term= \mu \alpha \mu \alpha \mu \alpha 0101010|SZ=,}} |{{mathl|term= \alpha \alpha \alpha Nx_1Nx_2x_3x_4x_3|SZ=.}} }} Schreibe{{n Sie}} diejenigen Wörter, die Terme sind, mit Klammern, {{math|term= \prime|SZ=,}} {{math|term= +|SZ=}} und {{math|term= \cdot|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8kstv6zr36tvqy5ishvgwc9nucx0a0b 0 48894 781539 286987 2022-08-21T22:12:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} elementargeometrisch, auf welche Vektoren die Standardvektoren {{ mathkor|term1= e_1 |und|term2= e_2 |SZ= }} bei einer Drehung um den Nullpunkt um den Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} gegen den Uhrzeigersinn abgebildet werden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Drehungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a195hmn3sl1lupduf8nxhre7u9bv594 0 48899 786550 743640 2022-08-22T11:44:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} elementargeometrisch den {{Stichwort|Sinussatz|SZ=,}} also die Aussage, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgearteten Dreieck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Gleichheiten {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|a| {{op:sin|\alpha|}} }} || {{op:Bruch|b| {{op:sin|\beta|}} }} || {{op:Bruch|c| {{op:sin|\gamma|}} }} || || |SZ= }} gelten, wobei {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln {{mathl|term= \alpha, \beta, \gamma|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dn35zigbtidyzr4xfldlz0kcf1lroim 0 48900 782311 288845 2022-08-22T00:20:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Körper werde zum Zeitpunkt {{math|term= 0|SZ=}} losgelassen und falle luftwiderstandsfrei aus einer gewissen Höhe unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde nach unten. Berechne{{n Sie}} die Geschwindigkeit {{mathl|term= v(t)|SZ=}} und die zurückgelegte Strecke {{mathl|term= s(t)|SZ=}} in Abhängigkeit von der Zeit {{math|term= t|SZ=.}} Nach welcher Zeit hat der Körper {{math|term= 100|SZ=}} Meter zurückgelegt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2=Mathematische Physik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n59iiyk42ij5p2ixn926n5nf0mhczb7 0 48902 782188 633019 2022-08-22T00:00:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Massenteil werde zum Zeitpunkt {{math|term= 0|SZ=}} von einem Berggipfel (der als Nullpunkt der Ebene angesetzt wird) mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit {{math|term= v|SZ=}} abgeschossen und bewege sich danach luftwiderstandsfrei unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde. Berechne{{n Sie}} die Bahnkurve {{mathl|term= f(t)|SZ=}} des Körpers und die zurückgelegte Strecke {{mathl|term= s(t)|SZ=}} in Abhängigkeit von der Zeit {{math|term= t|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2=Mathematische Physik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7fy1agkfffav36vuxox2fwfqn747n0k 0 48903 783592 525940 2022-08-22T03:54:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}} den Funktionsverlauf von {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} e^{-2x} -2e^{-x} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} insbesondere das Monotonieverhalten, Extrema von {{math|term= f|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Funktionslimes|x|\infty| f(x)|}} |SZ=}} und ebenso für die Ableitung {{math|term= f'|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie2=Theorie der Kurvendiskussion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c4lpo1j2nof6umnyqcx4waxuo53yskj 0 48910 779508 538429 2022-08-21T16:39:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir lösen nach dem im Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Modultheorie/Z/Elementarteilersatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen Verfahren die {{math|term= 2\times3|SZ=-}}Matrix {{mathl|term= M = {{op:Matrix23|2|-4|-2|6|-3|-18}}|SZ=}} auf. Es greift zunächst Fall 2 der unteren Fallunterscheidung: {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Matrix23|2|-4|-2|6|-3|-18}} ||{{op:Matrix23|2|0|-2|6|9|-18}}\cdot {{op:Matrix33|1|-2|0|0|1|0|0|0|1}} ||{{op:Matrix22|1|0|3|1}}\cdot {{op:Matrix23|2|0|-2|0|9|-12}}\cdot {{op:Matrix33|1|-2|0|0|1|0|0|0|1}} ||{{op:Matrix22|1|0|3|1}}\cdot {{op:Matrix23|2|0|-2|9|9|-12}}\cdot {{op:Matrix33|1|0|0|-1|1|0|0|0|1}}\cdot {{op:Matrix33|1|-2|0|0|1|0|0|0|1}} ||L_1\cdot {{op:Matrix23|2|0|-2|9|9|-12}}\cdot R_2\cdot R_1 |SZ=. }} Für diese Matrix können wir vorgehen wie in Fall 1 der unteren Fallunterscheidung. {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Matrix23|2|0|-2|9|9|-12}} ||{{op:Matrix22|1|0|4|1}}\cdot {{op:Matrix23|2|0|-2|1|9|-4}} ||{{op:Matrix22|1|0|4|1}}\cdot {{op:Matrix22|0|1|1|0}}\cdot {{op:Matrix23|1|9|-4|2|0|-2}} ||L_2\cdot L_3\cdot {{op:Matrix23|1|9|-4|2|0|-2}} |SZ=. }} Die innere Induktion erlaubt hier also einen Sprung zu einem kleineren {{math|term= {{op:Betrag|a_{1,1} }}|SZ=.}} Hier ist das 1 und damit teilt es alle Elemente. Dies erlaubt folgendes Vorgehen: {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Matrix23|1|9|-4|2|0|-2}} ||{{op:Matrix22|1|0|2|1}}\cdot {{op:Matrix23|1|9|-4|0|-18|6}} ||{{op:Matrix22|1|0|2|1}}\cdot {{op:Matrix23|1|0|-4|0|-18|6}}\cdot {{op:Matrix33|1|9|0|0|1|0|0|0|1}} ||{{op:Matrix22|1|0|2|1}}\cdot {{op:Matrix23|1|0|0|0|-18|6}}\cdot {{op:Matrix33|1|0|-4|0|1|0|0|0|1}}\cdot {{op:Matrix33|1|9|0|0|1|0|0|0|1}} || L_4\cdot {{op:Matrix23|1|0|0|0|-18|6}}\cdot R_4\cdot R_3 |SZ=. }} Nun können wir einen Rekursionsschritt bezüglich der inneren Induktion anwenden und uns auf die kleine Teilmatrix unten rechts konzentrieren. Das weitere Vorgehen nach dem Verfahren sieht folgendermaßen aus: {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Matrix23|1|0|0|0|-18|6}} ||{{op:Matrix23|1|0|0|0|6|-18}}\cdot {{op:Matrix33|1|0|0|0|0|1|0|1|0}} ||{{op:Matrix23|1|0|0|0|6|0}}\cdot {{op:Matrix33|1|0|0|0|1|-3|0|0|1}}\cdot {{op:Matrix33|1|0|0|0|0|1|0|1|0}} ||{{op:Matrix23|1|0|0|0|6|0}}\cdot R_6\cdot R_5 |SZ=. }} Die resultierende Matrix hat Diagonalform. Es gilt insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/align |M ||{{op:Matrix23|2|-4|-2|6|-3|-18}} ||(L_1\cdots L_4)\cdot {{op:Matrix23|1|0|0|0|6|0}}\cdot (R_6\cdots R_1) ||{{op:Matrix22|2|1|15|7}}\cdot {{op:Matrix23|1|0|0|0|6|0}}\cdot {{op:Matrix33|-8|25|-4|3|-9|1|-1|3|0}} |SZ= }} und {{ math/disp|term= D = {{op:Matrix23|1|0|0|0|6|0}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Elementarteilersatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4xrwjkthvhgil992zw7ebz0rbd8su7h 0 48926 780965 755040 2022-08-21T20:36:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Vektorenfamilien {{ mathkor/disp|term1= {{basis|v|}} = {{op:Spaltenvektor|1|2|3}}, \, {{op:Spaltenvektor|4|7|1}}, \, {{op:Spaltenvektor|0|2|5}} |und|term2= {{basis|u|}} = {{op:Spaltenvektor|0|2|4}}, \, {{op:Spaltenvektor|6|6|1}}, \, {{op:Spaltenvektor|3|5|-2}} |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass sowohl {{math|term= {{basis|v|}} |SZ=}} als auch {{math|term= {{basis|u|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=}} ist. b) Es sei {{mathl|term= P \in \R^3|SZ=}} derjenige Punkt, der bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|v|}} |SZ=}} die Koordinaten {{mathl|term= (2,5,4)|SZ=}} besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|u|}} |SZ=?}} c) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die den {{ Definitionslink |Basiswechsel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} nach {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} beschreibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8gwd1s0zs0r3enj91btzlaizplm3i0v 0 48927 780967 755042 2022-08-21T20:36:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Vektorenfamilien {{ mathkor/disp|term1= {{basis|v|}} = {{op:Spaltenvektor|7|-4}}, \, {{op:Spaltenvektor|8|1}} |und|term2= {{basis|u|}} = {{op:Spaltenvektor|4|6}}, \, {{op:Spaltenvektor|7|3}} |SZ= }} im {{math|term= \R^2|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass sowohl {{math|term= {{basis|v|}} |SZ=}} als auch {{math|term= {{basis|u|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^2|SZ=}} ist. b) Es sei {{mathl|term= P \in \R^2|SZ=}} derjenige Punkt, der bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|v|}} |SZ=}} die Koordinaten {{mathl|term= (-2,5)|SZ=}} besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|u|}} |SZ=?}} c) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die den {{ Definitionslink |Basiswechsel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} nach {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} beschreibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oi546hv6fgtj586ysdlqkx59hfrvjtx 0 48931 780027 752302 2022-08-21T18:00:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= R=K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einer Variablen über dem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} der aus sämtlichen Polynomen, also Ausdrücken der Form {{ math/disp|term= a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} {{plusdots}} a_2X^2+a_1X+a_0 |SZ= }} mit {{mathl|term= a_i \in K|SZ=}} besteht. Mit {{ Zusatz/Klammer |text=komponentenweiser| |ISZ=|ESZ= }} Addition und der ebenfalls komponentenweisen Multiplikation mit einem Skalar {{mathl|term= {{skalar}} \in K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=was man auch als die Multiplikation mit dem konstanten Polynom {{math|term= {{skalar}}|SZ=}} auffassen kann| |ISZ=|ESZ= }} ist der Polynomring ein {{ Definitionslink |Prämath=K|Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern als Vektorraum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Polynom |Autor= |Bearbeitungsstand= }} id58mlrk2eilzlcp36gk4m6rued2ii9 0 48936 783766 451320 2022-08-22T04:23:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorenfamilie/Situation/en|SZ=.}} Prove the following facts. {{ Aufzählung6 |If the family is linearly independent then for each subset {{mathl|term= J \subseteq I|SZ=}} also the family {{ mathbed|term= v_i |,|bedterm1= i \in J ||bedterm2= |SZ= }} is linearly independent. |The empty family is linearly independent. |If the family contains the null vector then it is not linearly independent. |If a vector appears several times in the family, then the family is not linearly independent. |A vector {{math|term= v|SZ=}} is linearly independent if and only if {{mathl|term= v \neq 0|SZ=.}} |Two vectors {{ mathkor|term1= v |und|term2= u |SZ= }} are linearly independent if and only if {{math|term= u|SZ=}} is not a scalar multiple of {{math|term= v|SZ=}} and vice versa. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fm4wghjjiawwnm3fa7rawb7wwafnisz 0 48941 783611 510280 2022-08-22T03:57:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Prove that in {{math|term= \R^3|SZ=}} the three vectors {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2|1|5}} \, , {{op:Spaltenvektor|1|3|7}} \, , {{op:Spaltenvektor|4|1|2}} |SZ= }} are a basis. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6rgsj8zjshoqefgosl6c9i1bnv9l0lq 0 48942 781216 579072 2022-08-21T21:18:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Establish if in {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} the two vectors {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2+7i|3-i}} \text{ and } {{op:Spaltenvektor|15+26i|13-7i}} |SZ= }} form a basis. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ixqdg08csw7f2g1u80pms95uj29cl5e 0 48945 783701 283901 2022-08-22T04:12:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= \Q^n|SZ=}} be the {{math|term= n|SZ=-}}dimensional standard vector space over {{math|term= \Q|SZ=}} and let {{math|term= v_1 {{kommadots|}} v_n \in \Q^n |SZ=}} be a family of vectors. Prove that this family is a {{math|term= \Q|SZ=-}}basis of {{math|term= \Q^n|SZ=}} if and only if the same family, considered as a family in {{math|term= \R^n|SZ=}}, is a {{math|term= \R|SZ=-}}basis of {{math|term= \R^n|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fb5byj8el1kyuwogza85t6yv4j588gz 0 48947 781218 579073 2022-08-21T21:18:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Establish if in {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} the two vectors {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2-7i|-3+2i}} \text{ and } {{op:Spaltenvektor|5+6i|3-17i}} |SZ= }} form a basis. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ovf8dtzihvpujp7p3g278czn033e53z 0 48951 783415 283931 2022-08-22T03:24:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= V|SZ=}} be a finite-dimensional vector space over the complex numbers, and let {{math|term= {{liste1n|v}} |SZ=}} be a basis of {{math|term= V|SZ=.}} Prove that the family of vectors {{ math/disp|term= {{liste1n|v}} \text{ and } {{liste1n| iv}} |SZ= }} form a basis for {{math|term= V|SZ=,}} considered as a real vector space. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4epgl1vx0a80ibq26qlq9j1ozmh70m7 0 48953 780964 510472 2022-08-21T20:36:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Consider the standard basis {{mathl|term= e_1,e_2,e_3,e_4|SZ=}} in {{math|term= \R^4|SZ=}} and the three vectors {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|3|0|-4}},\, {{op:Spaltenvektor|2|1|5|7}} \text{ and } {{op:Spaltenvektor|-4|9|-5|1}} |SZ=. }} Prove that these vectors are linearly independent and extend them to a basis by adding an appropriate standard vector as shown in Theorem 8.2. Can one take any standard vector? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ieu2yj1b6t3sqegcvf5ddxsrzc7i9bi 0 48954 783772 285028 2022-08-22T04:24:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineare Abbildung/Situation/en|SZ=.}}. Prove that for all vectors {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n \in V |SZ=}} and coefficients {{mathl|term= {{skalar}}_1 {{kommadots|}} {{skalar}}_n \in K |SZ=}} the relationship {{ math/disp|term= \varphi( \sum_{i=1}^n {{skalar}}_i v_i ) = \sum_{i=1}^n {{skalar}}_i \varphi (v_i) |SZ= }} holds. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b1odf6dfw5qnw80jig2akxne6fssquw 0 48957 783811 285033 2022-08-22T04:31:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Interpret the following physical laws as linear functions from {{math|term= \R|SZ=}} to {{math|term= \R|SZ=.}} Establish in each situation what is the measurable variable and what is the proportionality factor. {{ Aufzählung8 |Mass is volume times density. |Energy is mass times the calorific value. |The distance is speed multiplied by time. |Force is mass times acceleration. |Energy is force times distance. |Energy is power times time. |Voltage is resistance times electric current. |Charge is current multiplied by time. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Physik |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sxz2erapvfw9si312g4oqdia42ku5kw 0 48962 783821 445284 2022-08-22T04:32:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation/en|SZ=}} and let {{math|term= U,V,W|SZ=}} be vector spaces over {{math|term= K|SZ=.}} Let {{ math/disp|term= {{ abb |name=\varphi |U|V || |SZ= }} \text{ and } {{ abb |name=\psi |V|W || |SZ= }}|SZ= }} be linear maps. Prove that also the composite function {{ Ma:abb/disp |name=\psi \circ \varphi | U|W || |SZ= }} is a linear map. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} orqunfsxblwbipya5cwb0q66eir32ng 0 48963 783770 283962 2022-08-22T04:24:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorräume/Situation/en|SZ=.}} Let {{math|term= {{liste1n|v}} |SZ=}} be a system of generators for {{math|term= V|SZ=}} and let {{math|term= {{liste1n|w}} |SZ=}} be a family of vectors in {{math|term= W|SZ=.}} a) Prove that there is at most one linear map {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} such that {{math|term= \varphi(v_i) = w_i|SZ=}} for all {{math|term= i|SZ=.}} b) Give an example of such a situation, where there is no linear mapping with {{math|term= \varphi(v_i) = w_i |SZ=}} for all {{math|term= i|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6truz8m1kzeb6iakd2rp9lijxzo0v3h 0 48964 783404 579074 2022-08-22T03:23:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Prove that the functions {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|\R |z| {{op:Realteil|z|}} |SZ=, }} and {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|\R |z| {{op:Imaginärteil|z|}} |SZ=, }} are {{math|term= \R|SZ=-}}linear maps. Prove that also the complex conjugation is {{math|term= \R|SZ=-}}linear, but not {{math|term= {{CC}}|SZ=-}}linear. Is the absolute value {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|\R |z|{{op:Betrag|z|}} |SZ=, }} {{math|term= \R|SZ=-}}linear? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p7atht5hytx9l8brqhns1w9k0e1kf46 0 48985 780024 763861 2022-08-21T17:59:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und gegebenen natürlichen Zahlen {{mathl|term= m,n|SZ=}} bildet die Menge {{ math/disp|term= {{op:Mat|m|n|K}} |SZ= }} der {{mathl|term= m \times n|SZ=-}}Matrizen mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation einen {{ Definitionslink |Prämath=K|Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Das Nullelement in diesem Vektorraum ist die {{Stichwort|Nullmatrix|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 || {{op:Matrix33|0|\ldots|0|\vdots|\ddots|\vdots|0 |\ldots |0}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 704r4e6ewsjommu4kfv5zlaqmwh7drw 0 48992 784201 391266 2022-08-22T05:36:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formalisiere{{n Sie}} die folgenden mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen in der Prädikatenlogik erster Stufe. {{ Aufzählung5 |Modus Barbara: Aus {{math|term= B \subseteq A|SZ=}} und {{math|term= C \subseteq B|SZ=}} folgt {{math|term= C \subseteq A|SZ=.}} |Modus Celarent: Aus {{math|term= B \cap A = \emptyset|SZ=}} und {{math|term= C \subseteq B|SZ=}} folgt {{math|term= C \cap A = \emptyset|SZ=.}} |Modus Darii: Aus {{math|term= B \subseteq A|SZ=}} und {{math|term= C \cap B \neq \emptyset |SZ=}} folgt {{math|term= C \cap A \neq \emptyset|SZ=.}} |Modus Ferio: Aus {{math|term= B \cap A = \emptyset|SZ=}} und {{math|term= C \cap B \neq \emptyset|SZ=}} folgt {{math|term= C \not \subseteq A |SZ=.}} |Modus Baroco: Aus {{math|term= B \subseteq A|SZ=}} und {{math|term= B \not \subseteq C |SZ=}} folgt {{math|term= A \not \subseteq C|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7o0zemzf5znmugnghmvozvpo6xwxalj 0 49014 783943 757583 2022-08-22T04:53:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} in {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} den Vektor {{ math/disp|term= (1,0) |SZ= }} als {{ Definitionslink |Linearkombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Vektoren {{ math/disp|term= (3+5 {{Imaginäre Einheit|}} ,-3+2{{Imaginäre Einheit|}} ) \text{ und } (1-6{{Imaginäre Einheit|}} ,4-{{Imaginäre Einheit|}} ) |SZ= }} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} odr5m0wucharo24n1upho3h5bedgmcb 0 49016 783762 757398 2022-08-22T04:22:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die drei Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|0|1|2|1}},\, {{op:Spaltenvektor|4|3|0|2}},\, {{op:Spaltenvektor|1|7|0|-1}} |SZ= }} im {{math|term= \R^4|SZ=}} {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t5km1394gwbcvpwqk88rzr756elwgi8 0 49017 783763 757399 2022-08-22T04:23:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Show that the three vectors {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|0|1|2|1}},\, {{op:Spaltenvektor|4|3|0|2}},\, {{op:Spaltenvektor|1|7|0|-1}} |SZ= }} in {{math|term= \R^4|SZ=}} are {{ Definitionslink |linearly independent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ishx8678oqia3v6wjte93azyja74brc 0 49032 785060 758449 2022-08-22T07:41:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller reellen {{ Definitionslink |Polynome| |Kontext=Körper 1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \leq 4|SZ=,}} für die {{math|term= -2|SZ=}} und {{math|term= 3|SZ=}} Nullstellen sind, ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= \R[X]|SZ=}} ist. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von diesem Vektorraum. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nschc1ll2etq1hax6zhy1ewjw3b17d9 0 49033 785059 758448 2022-08-22T07:41:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller reellen {{ Definitionslink |Polynome| |Kontext=Körper 1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \leq 6|SZ=,}} für die {{math|term= -1|SZ=,}} {{math|term= 0|SZ=}} und {{math|term= 1|SZ=}} Nullstellen sind, ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= \R[X]|SZ=}} ist. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von diesem Vektorraum. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern als Vektorraum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a856w3jjaioow56f2fehh36lrr1gnsn 0 49034 785053 748587 2022-08-22T07:40:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation}} und sei {{math|term= K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=Körper 1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Sei {{ Ma:Vergleichskette | d |\in| \N || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller Polynome vom Grad {{mathl|term= \leq d |SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= K[X]|SZ=}} ist. Was ist seine {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern als Vektorraum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q7rzyukmatjcu0bdpkzt3k5vec45mvl 0 49040 778966 763157 2022-08-21T15:14:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{math|term= \R^2|SZ=}} die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{basis|u}} || {{op:Spaltenvektor|1|0}} , \, {{op:Spaltenvektor|0|1}} || || || || |SZ= }} und die Basis {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{basis|v}} || {{op:Spaltenvektor|1|2}} , \, {{op:Spaltenvektor|-2|3}} || || || || |SZ=. }} Die Basisvektoren von {{math|term= {{basis|v}} |SZ=}} lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich {{ mathkor/disp|term1= v_1= {{op:Spaltenvektor|1|2}} = 1 {{op:Spaltenvektor|1|0}} + 2 {{op:Spaltenvektor|0|1}} |und|term2= v_2= {{op:Spaltenvektor|-2|3}} = -2 {{op:Spaltenvektor|1|0}} + 3 {{op:Spaltenvektor|0|1}} |SZ=. }} Daher erhält man sofort {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Übergangsmatrix|v|u}} || {{op:Matrix22|1|-2|2|3}} || || || |SZ=. }} Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} die {{ Definitionslink |Koordinaten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (4,-3)|SZ=}} besitzt, bezüglich der Standardbasis {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} die Koordinaten {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Übergangsmatrix|v|u}} {{op:Spaltenvektor|4|-3}} || {{op:Matrix22|1|-2|2|3}} {{op:Spaltenvektor|4|-3}} || {{op:Spaltenvektor|10|-1}} || || |SZ=. }} Die Übergangsmatrix {{mathl|term= {{op:Übergangsmatrix|u|v}} |SZ=}} ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als {{ Definitionslink |Linearkombinationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} ausdrücken. Eine direkte Rechnung {{ Zusatz/Klammer |text=dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen| |ISZ=|ESZ= }} ergibt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|1|0}} || {{op:Bruch|3|7}} {{op:Spaltenvektor|1|2}} - {{op:Bruch|2|7}} {{op:Spaltenvektor|-2|3}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|0|1}} || {{op:Bruch|2|7}} {{op:Spaltenvektor|1|2}} + {{op:Bruch|1|7}} {{op:Spaltenvektor|-2|3}} || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Übergangsmatrix|u|v}} || {{op:Matrix22| {{op:Bruch|3|7}} | {{op:Bruch|2|7}}|- {{op:Bruch|2|7}} |{{op:Bruch|1|7}} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ka9kzglx0njwqhi77o3f75cep912h14 0 49042 780983 755056 2022-08-21T20:39:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Übergangsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix|u|v}} |und|term2= {{op:Übergangsmatrix|v|u}} |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} und die durch die Vektoren {{ mathlist/disp|term1= v_1 = {{op:Spaltenvektor|4|5|1}} ||term2= v_2 = {{op:Spaltenvektor|2|3|-8}} |und|term3= v_3 = {{op:Spaltenvektor|5|7|-3}} |SZ= }} gegebene Basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} im {{math|term= \R^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 73z3ineqzy80x58fwmjompjrgfadkfv 0 49043 780974 755047 2022-08-21T20:37:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Übergangsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix|u|v}} |und|term2= {{op:Übergangsmatrix|v|u}} |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} und die durch die Vektoren {{ mathlist/disp|term1= v_1 = {{op:Spaltenvektor|3+5 {{Imaginäre Einheit}} |1- {{Imaginäre Einheit}} }} |und|term2= v_2 = {{op:Spaltenvektor|2+3 {{Imaginäre Einheit}} |4+ {{Imaginäre Einheit}} }} ||term3= |SZ= }} gegebene Basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} im {{math|term= {{CC}}^2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6itg4p2pkobyo9fmpg18kg5vwaohw9t 0 49044 780980 755053 2022-08-21T20:38:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Übergangsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix|u|v}} |und|term2= {{op:Übergangsmatrix|v|u}} |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} und die durch die Vektoren {{ mathlist/disp|term1= v_1 = {{op:Spaltenvektor|0|0|1|0}}, \, v_2 = {{op:Spaltenvektor|1|0|0|0}} ||term2= v_3 = {{op:Spaltenvektor|0|0|0|1}} |und|term3= v_4 = {{op:Spaltenvektor|0|1|0|0}} |SZ= }} gegebene Basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} im {{math|term= \R^4|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=2 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g007va3svfswyea06hdq7de64r1cz6k 0 49049 780981 755054 2022-08-21T20:38:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine the {{ Definitionslink |transformation matrices| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix|u|v}} |and|term2= {{op:Übergangsmatrix|v|u}} |SZ= }} for the {{ Definitionslink |standard basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} and the basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} in {{math|term= \R^4|SZ=}} which is given by {{ mathlist/disp|term1= v_1 = {{op:Spaltenvektor|0|0|1|0}}, \, v_2 = {{op:Spaltenvektor|1|0|0|0}} ||term2= v_3 = {{op:Spaltenvektor|0|0|0|1}} |and|term3= v_4 = {{op:Spaltenvektor|0|1|0|0}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bl47h2q1omakyebggxdflr9befuamfr 0 49050 780975 755048 2022-08-21T20:37:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine the {{ Definitionslink |transformation matrices| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix|u|v}} |and|term2= {{op:Übergangsmatrix|v|u}} |SZ= }} for the {{ Definitionslink |standard basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} and the basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} of {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} which is given by the vectors {{ mathlist/disp|term1= v_1 = {{op:Spaltenvektor|3+5i|1-i}} |and|term2= v_2 = {{op:Spaltenvektor|2+3i|4+i}} ||term3= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 111liruvu2usrgr83psg7qwno32kr5j 0 49051 780984 755057 2022-08-21T20:39:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine the {{ Definitionslink |transformation matrices| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix|u|v}} |and|term2= {{op:Übergangsmatrix|v|u}} |SZ= }} for the {{ Definitionslink |standard basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} and the basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} of {{math|term= \R^3|SZ=}} which is given by the vectors {{ mathlist/disp|term1= v_1 = {{op:Spaltenvektor|4|5|1}} ||term2= v_2 = {{op:Spaltenvektor|2|3|-8}} |and|term3= v_3 = {{op:Spaltenvektor|5|7|-3}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} me9so4kn4lhtrbdnawt0bgaa2odcry2 0 49052 780968 755043 2022-08-21T20:36:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= We consider the families of vectors {{ mathkor/disp|term1= {{basis|v|}} = {{op:Spaltenvektor|7|-4}}, \, {{op:Spaltenvektor|8|1}} |and|term2= {{basis|u|}} = {{op:Spaltenvektor|4|6}}, \, {{op:Spaltenvektor|7|3}} |SZ= }} in {{math|term= \R^2|SZ=.}} a) Show that {{math|term= {{basis|v|}} |SZ=}} and {{math|term= {{basis|u|}} |SZ=}} are both a {{ Definitionslink |basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} of {{math|term= \R^2|SZ=.}} b) Let {{mathl|term= P \in \R^2|SZ=}} denote the point which has the coordinates {{mathl|term= (-2,5)|SZ=}} with respect to the basis {{math|term= {{basis|v|}} |SZ=.}} What are the coordinates of this point with respect to the basis {{math|term= {{basis|u|}} |SZ=?}} c) Determine the {{ Definitionslink |transformation matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} which describes the {{ Definitionslink |change of basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} from {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} to {{math|term= {{basis|u}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5zq3m0jszc9cut4u66b5cutj5habsyb 0 49053 780966 755041 2022-08-21T20:36:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= We consider the families of vectors {{ mathkor/disp|term1= {{basis|v|}} = {{op:Spaltenvektor|1|2|3}}, \, {{op:Spaltenvektor|4|7|1}}, \, {{op:Spaltenvektor|0|2|5}} |and|term2= {{basis|u|}} = {{op:Spaltenvektor|0|2|4}}, \, {{op:Spaltenvektor|6|6|1}}, \, {{op:Spaltenvektor|3|5|-2}} |SZ= }} in {{math|term= \R^3|SZ=.}} a) Show that {{math|term= {{basis|v|}} |SZ=}} and {{math|term= {{basis|u|}} |SZ=}} are both a {{ Definitionslink |basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} of {{math|term= \R^3|SZ=.}} b) Let {{mathl|term= P \in \R^3|SZ=}} denote the point which has the coordinates {{mathl|term= (2,5,4)|SZ=}} with respect to the basis {{math|term= {{basis|v|}} |SZ=.}} What are the coordinates of this point with respect to the basis {{math|term= {{basis|u|}} |SZ=?}} c) Determine the {{ Definitionslink |transformation matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} which describes the {{ Definitionslink |change of basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} from {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} to {{math|term= {{basis|u}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} khs6su37z7wmh1815taekot28uliq7l 0 49060 783792 284506 2022-08-22T04:27:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineare Abbildung/Situation/en|SZ=.}}. Prove that the graph of the map is a subspace of the Cartesian product {{math|term= V \times W|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 976fp2dkz01rmgzdxffuguefqes79ul 0 49065 783774 508580 2022-08-22T04:24:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineare Abbildung/Situation/en|SZ=.}}. Prove the following facts. {{ Aufzählung4 |Consider the subspace {{mathl|term= S \subseteq V|SZ=}} then also the image {{math|term= \varphi(S)|SZ=}} is a subspace of {{math|term= W|SZ=.}} |In particular the image {{math|term= {{op:Bild|\varphi|}}= \varphi(V)|SZ=}} of the map is a subspace of {{math|term= W|SZ=.}} |Consider the subspace {{mathl|term= T \subseteq W|SZ=}} then the preimage {{mathl|term= \varphi^{-1}(T)|SZ=}} is a subspace of {{math|term= V|SZ=.}} |In particular {{mathl|term= \varphi^{-1}(0)|SZ=}} is a subspace of {{math|term= V|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7h84nzwda09o93bozshtgodst65kh2u 0 49071 781658 284518 2022-08-21T22:31:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{mathl|term= E \subset \R^3|SZ=}} be the plane identified by the linear equation {{mathl|term= 5x+7y-4z=0|SZ=.}} Determine a linear map {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^3 || |SZ= }} such that the image of {{math|term= \varphi|SZ=}} is equal to {{math|term= E|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j96yyr8nucmsw75hpoj5hwzmovf8jzu 0 49072 783790 510476 2022-08-22T04:27:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= On the real vector space {{math|term= G=\R^4|SZ=}} of mulled wines we consider the two linear maps {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |G|\R | {{op:Spaltenvektor|z|n|r|s}}|8z+9n+5r+s |SZ=, }} and {{ Ma:abbele/disp |name=\kappa |G|\R | {{op:Spaltenvektor|z|n|r|s}}|2z+n+4r+8s |SZ=. }} We put {{math|term= \pi |SZ=}} as the price function and {{math|term= \kappa|SZ=}} as the caloric function. Determine a basis for {{mathl|term= {{op:Kern|\pi|}} |SZ=,}} one for {{mathl|term= {{op:Kern|\kappa|}} |SZ=}} and one for {{mathl|term= {{op:Kern|(\pi \times \kappa)|}}|SZ=}}{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text= Do not mind that there may exist negative numbers. In a mulled wine of course the ingredients do not come in with a negative coefficient. But if you would like to consider for example, in how many ways you can change a particular recipe, without changing the total price or the total amount of energy, then the negative entries make sense |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0j8y51ptg48h8z5gsadjaeruk78x0yv 0 49075 783803 284528 2022-08-22T04:29:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineare Abbildung Matrix/Situation/en|SZ=.}}. Prove that {{math|term= \varphi|SZ=}} is surjective if and only if the columns of the matrix form a system of generators for {{math|term= K^m|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 68x0q3gwhqghiep1rbv8mr5rwy10ab2 0 49084 783800 509568 2022-08-22T04:29:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= We consider the linear map {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K^3|K^2 |{{op:Spaltenvektor|x|y|z}} | {{op:Matrix23|1|2|5|4|1|1}} {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} |SZ=. }} Let {{math|term= U \subseteq K^3|SZ=}} be the subspace of {{math|term= K^3|SZ=}} defined by the linear equation {{math|term= 2x+3y+4z=0|SZ=,}} and let {{math|term= \psi|SZ=}} be the restriction of {{math|term= \varphi|SZ=}} on {{math|term= U|SZ=.}} On {{math|term= U|SZ=}} are given vectors of the form {{ math/disp|term= u=(0,1,a),\, v=(1,0,b) \text{ and } w=(1,c,0) |SZ=. }} Compute the "change of basis" matrix between the bases {{ math/disp|term= {{basis|b}}_1= v,w , \, {{basis|b}}_2 = u,w \text{ and } {{basis|b}}_3 = u,v |SZ= }} of {{math|term= U|SZ=}} and the transformation matrix of {{math|term= \psi|SZ=}} with respect to these three bases {{ Zusatz/Klammer |text=and the standard basis of {{math|term= K^2|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72li3uhg5uxr0yoa46i1q8rtc71bfk1 0 49092 783393 579080 2022-08-22T03:21:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= z \in {{CC}}|SZ=}} be a complex number and let {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |w|zw |SZ=, }} be the multiplication map, which is a {{math|term= {{CC}}|SZ=-}}linear map. How does the matrix related to this map with respect to the real basis {{ mathkor|term1= 1 |and|term2= i |SZ= }} look like? Let {{ mathkor|term1= z_1 |and|term2= z_2 |SZ= }} be two complex numbers with corresponding real matrices {{ mathkor|term1= M_1 |and|term2= M_2 |SZ= }}. Prove that the matrix product {{math|term= M_2 \circ M_1|SZ=}} is the real matrix corresponding to {{math|term= z_1z_2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Matrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ldtp9usjn2t2ok7w7pk5yyd5n06bokz 0 49129 779346 670770 2022-08-21T16:13:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Jede komplexe Zahl {{ mathbed|term= z \in {{CC}} ||bedterm1= z \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} kann man eindeutig schreiben als {{ Ma:Vergleichskette/disp |z ||r ( {{op:cos| \alpha|}}, {{op:sin|\alpha|}} ) ||(r {{op:cos| \alpha|}} , r {{op:sin|\alpha|}} ) || r {{op:cos| \alpha|}} + (r {{op:sin|\alpha|}}) {{Imaginäre Einheit}} || |SZ= }} mit einer eindeutig bestimmten positiven reellen Zahl {{math|term= r|SZ=,}} nämlich dem Abstand von {{math|term= z|SZ=}} zum Nullpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term=r= {{op:Betrag|z|}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und einem eindeutig bestimmten Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} zwischen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= 360|SZ=}} Grad {{ Zusatz/Klammer |text=ausschließlich| |ISZ=|ESZ=, }} der ausgehend von der positiven reellen Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird. Man spricht von {{Stichwort|Polarkoordinaten}} für die komplexen Zahlen. Polarkoordinaten der reellen Zahlenebene und für komplexe Zahlen unterscheiden sich nicht. Allerdings erlauben Polarkoordinaten eine Neuinterpretation der Multiplikation von komplexen Zahlen: Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | (r {{op:cos|\alpha|}} + {{Imaginäre Einheit}} r {{op:sin|\alpha |}} ) \cdot (s {{op:cos|\beta|}} + {{Imaginäre Einheit}} s {{op:sin|\beta |}} ) || rs ({{op:cos| \alpha|}} {{op:cos|\beta |}} - {{op:sin|\alpha |}} {{op:sin|\beta |}}) + {{Imaginäre Einheit}} rs ({{op:cos|\alpha|}} {{op:sin|\beta |}} + {{op:sin|\alpha |}} {{op:cos|\beta |}}) || rs ({{op:cos|(\alpha + \beta)|}} + {{Imaginäre Einheit}} {{op:sin|(\alpha + \beta)|}} ) || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei wurden im letzten Schritt die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwendet| |ISZ=|ESZ= }} multipliziert man zwei komplexe Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Winkel addiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polarkoordinaten für komplexe Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ssszgznu0uh3yyt37f0tokjdpox7x1 0 49141 786536 759568 2022-08-22T11:41:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Sinus hyperbolicus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |streng wachsend| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hyperbelfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 77fudpfkvwmmps2cfrvxh70liyvrd20 0 49142 783483 757157 2022-08-22T03:36:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Kosinus hyperbolicus| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \R_{\leq 0} |SZ=}} {{ Definitionslink |streng fallend| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und auf {{math|term= \R_{\geq 0} |SZ=}} {{ Definitionslink |streng wachsend| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hyperbelfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pyb74a8zecyltujagfpxqhe7167xadu 0 49147 779895 752053 2022-08-21T17:38:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das außer einer Variablenmenge {{math|term= V|SZ=}} aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol {{math|term= F|SZ=}} bestehe {{ Zusatz/Klammer |text=die Konstantenmenge und die Relationssymbolmengen seien also leer| |ISZ=|ESZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}} |Struktur| |Kontext=Modell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht dann aus einer nichtleeren Menge {{math|term= M|SZ=}} zusammen mit einer Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f {{=|}} F^M |M |M |a| f(a) |SZ=. }} Beispiele sind {{ Ma:Vergleichskette |M ||\N || || || |SZ= }} mit der Nachfolgerfunktion, {{ Ma:Vergleichskette |M ||\R || || || |SZ= }} mit dem Quadrieren {{mathl|term= x \mapsto x^2|SZ=}} oder der Sinusfunktion oder der Exponentialfunktion, oder eine beliebige Menge mit der Identität, eine endliche Menge mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} u.s.w. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 288snjcalfz3eyl2bfkhe5nj1fljiaa 0 49148 779896 752054 2022-08-21T17:38:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das außer einer Variablenmenge {{math|term= V|SZ=}} aus einem einzigen einstelligen Relationssymbol {{math|term= R|SZ=}} bestehe {{ Zusatz/Klammer |text=die Konstantenmenge und die Funktionssymbolmengen seien also leer| |ISZ=|ESZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}} |Struktur| |Kontext=Modell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht dann aus einer nichtleeren Menge {{math|term= M|SZ=}} zusammen mit einer fixierten Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|M || || || |SZ=. }} Beispiele sind {{ Ma:Vergleichskette |M ||\N || || || |SZ= }} mit der Teilmenge der Primzahlen, oder der Teilmenge der Quadratzahlen, oder {{ Ma:Vergleichskette |M ||\R || || || |SZ= }} mit der Teilmenge der positiven Zahlen, oder der Teilmenge der rationalen Zahlen, u.s.w. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} anc84qcfrc7nimf4kl1hdp7oe16huuw 0 49149 779698 751752 2022-08-21T17:09:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}}|SZ=}} ein Symbolalphabet, das außer einer Variablenmenge {{math|term= V|SZ=}} aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol {{math|term= F|SZ=}} bestehe {{ Zusatz/Klammer |text=die Konstantenmenge und die Relationssymbolmengen seien also leer| |ISZ=|ESZ=, }} so dass eine {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}} |Struktur| |Kontext=Modell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus einer Menge {{math|term= M|SZ=}} zusammen mit einer Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f {{=|}} F^M |M |M |a| f(a) |SZ=, }} besteht. In einer solchen Interpretation wird jeder {{math|term= {{Symbolalphabet}}|SZ=-}}Ausdruck interpretiert. Der Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logprop|}} ||\forall y (\exists x (Fx {{=}} y)) || || || |SZ= }} besagt die Surjektivität von {{ Ma:Vergleichskette |f ||F^M || || || |SZ=. }} D.h. in einer {{math|{{Symbolalphabet}}|SZ=-}}Interpretation gilt {{ math/disp|term= I \vDash {{logprop|}} |SZ= }} genau dann, wenn die durch die Interpretation festgelegte Abbildung {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Der Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logprop2|}} ||\forall x ( \forall y ( (Fx {{=|}} F y) \rightarrow (x {{=|}} y ))) || || || |SZ= }} besagt die Injektivität von {{math|term= f|SZ=.}} D.h. in einer {{math|{{Symbolalphabet}}|SZ=-}}Interpretation gilt {{ math/disp|term= I \vDash {{logprop2|}} |SZ= }} genau dann, wenn die durch die Interpretation festgelegte Abbildung {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der surjektiven Abbildungen |Kategorie3=Theorie der injektiven Abbildungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9xukxvi65jjg7m17dr8hypn5wvwl6z7 0 49152 780856 389385 2022-08-21T20:18:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei das arithmetische Alphabet {{mathl|term= \{0,1,+,\cdot\}|SZ=}} zusammen mit der Variablenmenge {{mathl|term= \{x,y\}|SZ=}} gegeben. Interpretiere{{n Sie}} den Ausdruck {{ math/disp|term= \forall x \exists y ( x = y+y {{logoder }} x+1 = y+y ) |SZ= }} unter den in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Terminterpretation/((0+1)+x)(1+(y+1))/Verschiedene Strukturen/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} angeführten Interpretationen und überprüfe{{n Sie}} die Gültigkeit. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hlhd1fo3n7fgc78lf8wbkns97cjubv8 0 49154 785494 394102 2022-08-22T08:48:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle einen prädikatenlogischen Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=,}} der in einer Struktur genau dann gilt, wenn die Grundmenge der Struktur genau {{math|term= 7|SZ=}} Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g4ylk1227e8xw8ivdm548ytax1ch7m6 0 49177 782970 756713 2022-08-22T02:10:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= b > a > 0|SZ=}} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|x}} |und|term2= {{Op:Folge|y}} |SZ= }} durch {{mathl|term= x_0=a|SZ=,}} {{mathl|term= y_0=b|SZ=}} und durch {{ math/disp|term= x_{n+1} = \text{ geometrisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n |SZ=, }}{{ math/disp|term= y_{n+1} = \text{ arithmetisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= [x_n,y_n]|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Intervallschachtelung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3=Theorie des arithmetischen Mittels |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f3e9ohmv8ty1gl6zzcwd839btomqxtw 0 49179 784697 758191 2022-08-22T06:47:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |k |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{mathl|term= {{op:Folge/lr|Glied={{op:Bruch|1|n^k}} }}|SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2=Theorie der Folgen in archimedisch angeordneten Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ou5rcde8vs97fuctkm637onmud3lve2 0 49180 782278 756132 2022-08-22T00:15:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=\sqrt{n} }}|SZ=}} {{ Definitionslink |bestimmt divergent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term= \infty|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ir015lu2s7smvqg3mg8t1hzb36bli6x 0 49191 779293 763378 2022-08-21T16:05:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Koch Schneeflocke/Rekursiv/Beschreibung/Beispiel|opt=Text}} Es sei {{math|term= A_n|SZ=}} der Flächeninhalt und {{math|term= L_n|SZ=}} die Länge des Randes der {{math|term= n|SZ=-}}ten Kochschen Schneeflocke. Wir wollen zeigen, dass die Folge {{math|term= A_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Folge {{math|term= L_n|SZ=}} bestimmt gegen {{math|term= \infty|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |divergiert| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Anzahl der Kanten von {{math|term= K_n|SZ=}} ist {{mathl|term= 3 \cdot 4^n |SZ=,}} da bei jedem Unterteilungsschritt eine Kante durch vier Kanten ersetzt wird, deren Länge {{mathl|term= 1/3 |SZ=}} der Länge der Vorgängerkante ist. Es sei {{math|term= r|SZ=}} die Seitenlänge des gleichseitigen Ausgangsdreiecks. Dann besteht {{math|term= K_n |SZ=}} aus {{mathl|term= 3 \cdot 4^n |SZ=}} Kanten der Länge {{mathl|term= r {{makl| {{op:Bruch|1|3}} |}}^n |SZ=}} und die Gesamtlänge der Kanten von {{math|term= K_n|SZ=}} ist gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |L_n ||3 \cdot 4^n r {{makl| {{op:Bruch|1|3}} |}}^n ||3 r {{makl| {{op:Bruch|4|3}} |}}^n || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|4|3}} |>| 1 || || || |SZ= }} divergiert dies gegen {{math|term= \infty |SZ=.}} Beim Übergang von {{math|term= K_{n} |SZ=}} nach {{mathl|term= K_{n+1} |SZ=}} kommt für jede Kante ein neues Dreieck mit gedrittelter Seitenlänge hinzu. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge {{math|term= s|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Bruch|\sqrt{3}|4 }} s^2 |SZ=}} (Grundseite mal Höhe durch {{math|term= 2|SZ=}}). Im Schritt von {{mathl|term= K_{n} |SZ=}} nach {{mathl|term= K_{n+1} |SZ=}} kommen somit {{mathl|term= 3 \cdot 4^{n} |SZ=}} Dreiecke mit dem Flächeninhalt {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|\sqrt{3}|4 }} {{makl| {{op:Bruch|1|3}} |}}^{2(n+1)} r^2 ||{{op:Bruch|\sqrt{3}|4 }} r^2 {{makl| {{op:Bruch|1|9}} |}}^{n+1} || || || |SZ= }} hinzu. Daher ist der Gesamtflächeninhalt von {{math|term =K_n |SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | |\,| {{op:Bruch|\sqrt{3}|4 }} r^2 \left( 1 + 3 {{op:Bruch|1|9}} + 12 \left({{op:Bruch|1|9}}\right)^2 + 48 \left({{op:Bruch|1|9}}\right)^3 {{plusdots}} 3\cdot 4^{n-1} \left({{op:Bruch|1|9}}\right)^{n} \right) ||{{op:Bruch|\sqrt{3}|4 }} r^2 \left( 1 + {{op:Bruch|3|4}} \left ({{op:Bruch|4|9}} \right)^1 + {{op:Bruch|3|4}} \left({{op:Bruch|4|9}}\right)^2 + {{op:Bruch|3|4}} \left({{op:Bruch|4|9}}\right)^3 {{plusdots}} {{op:Bruch|3|4}} \left({{op:Bruch|4|9}}\right)^{n} \right) || || |SZ=. }} Wenn wir hinten die erste {{math|term= 1 |SZ=}} und den Faktor {{mathl|term= {{op:Bruch|3|4}} |SZ=}} ignorieren, was die Konvergenzeigenschaft nicht ändert, so steht in der Klammer die Partialsumme einer geometrischen Reihe zu {{math|term= {{op:Bruch|4|9}} |SZ=,}} welche konvergiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2=Theorie der Fraktale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0j8uxowylyhtzz7nr37ixebbw599koh 0 49197 782245 756101 2022-08-22T00:09:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=Reelle Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Folge {{ math/disp|term= x_n = 5 \left( {{op:Bruch|2n+1|n}} \right)^3-4\left( {{op:Bruch|2n+1|n}} \right)^2+2\left( {{op:Bruch|2n+1|n}} \right)-3 |SZ= }} für {{mathl|term= n \rightarrow \infty|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 447latk40rxy0lxywo6corcls8hxhb9 0 49201 785960 285150 2022-08-22T10:06:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche {{math|term= 1000 m^2|SZ=}} angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ht0yid7u0yh2alvdklnpzs9hb9zltj 0 49202 783510 456050 2022-08-22T03:40:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= n|SZ=}} Punkte {{mathl|term= P_1,P_2 {{kommadots|}} P_n|SZ=}} in der Kreisscheibe {{math|term= B|SZ=}} mit Mittelpunkt {{math|term= (0,0)|SZ=}} und Radius {{math|term= 1|SZ=,}} also in {{mathl|term= B={{mengebed|P\in \R^2| d(P,0) \leq 1}} |SZ=,}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass es einen Punkt {{mathl|term= Q \in B|SZ=}} mit der Eigenschaft {{ math/disp|term= \sum_{i =1}^n d(P_i,Q) \geq n |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskreisscheibe |Stichwort= |Lösung= |Punkte=5 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e08hn8l3w42xbjc0wstceuznops5zq5 0 49203 783508 728087 2022-08-22T03:40:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= n|SZ=}} komplexe Zahlen {{mathl|term= z_1,z_2 {{kommadots|}} z_n|SZ=}} in der Kreisscheibe {{math|term= B|SZ=}} mit Mittelpunkt {{math|term= (0,0)|SZ=}} und Radius {{math|term= 1|SZ=,}} also in {{mathl|term= B={{mengebed|z \in {{CC}}| {{op:Betrag|z|}} \leq 1}} |SZ=,}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass es einen Punkt {{mathl|term= w \in B|SZ=}} mit der Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=}} 1}^n {{op:Betrag|z_i-w|}} |\geq| n || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Teilmengen von komplexen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskreisscheibe |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} er195pa2xrdynm5hb572oi70xq7jluk 0 49206 785257 758579 2022-08-22T08:10:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= x > 1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{mathl|term= x^n,\, n \in \N|SZ=,}} {{ Definitionslink |bestimmt divergent| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term= + \infty|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ajkuxafc08h0oh2l90hnmusixgl28m4 0 49215 781277 285257 2022-08-21T21:28:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Check the multi-linearity and the property to be alternating, directly for the determinant of a {{math|term= 3\times3|SZ=-}}matrix. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 66y20gy2y668lk96uh6h2ws7sj9o4nn 0 49216 781282 700564 2022-08-21T21:29:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= M|SZ=}} be the following square matrix {{ math/disp|term= M= {{op:Matrix22|A|B|0|D}} |SZ=, }} where {{ mathkor|term1= A |and|term2= D |SZ= }} are square matrices. Prove that {{mathl|term= {{op:Determinante|M|}} = {{op:Determinante|A|}} \cdot {{op:Determinante|D|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ohtuc1s2s7r1xrbxixv063j756ka2oa 0 49217 781274 285853 2022-08-21T21:27:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Linalg parallelogram area|png| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Linalg_parallelogram_area| |Autor=Nicholas Longo |Benutzer=Thenub314 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Use the image to convince yourself that, given two vectors {{ mathkor|term1= (x_1,y_1) |and|term2= (x_2,y_2)|SZ=, }} the determinant of the {{math|term= 2\times 2|SZ=-}}matrix defined by these vectors is equal {{ Zusatz/Klammer |text=up to sign| |ISZ=|ESZ= }} to the area of the plane {{Stichwort|parallelogram|SZ=}} spanned by the vectors. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 86jw0e7dtopzqje7loj15u9q8o3m4ou 0 49223 781279 285271 2022-08-21T21:28:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Compute the determinant of all the {{math|term= 3\times 3|SZ=-}}matrices, such that in each column and in each row there are exactly one {{math|term= 1|SZ=}} and two {{math|term= 0|SZ=s.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Permutation |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ikjbfnbsez7cos4ionclog5yq6uxd7 0 49224 783360 579083 2022-08-22T03:15:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= z \in {{CC}}|SZ=}} and let {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |w|zw |SZ=, }} be the associated multiplication. Compute the determinant of this map, considering it as a real-linear map {{ Ma:abb |name= |\R^2|\R^2 || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9g453l2dv8acl21gra84ok3z04x4bjn 0 49231 781285 510866 2022-08-21T21:29:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Perform the procedure to find the inverse matrix of the matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |SZ= }} under the assumption that {{math|term= ad-bc \neq 0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c38w2theb4sv8xzlcdq0xse8aruukoa 0 49236 782781 286301 2022-08-22T01:39:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Calculate by hand the approximations {{math|term= x_1,x_2,x_3,x_4|SZ=}} in the Heron process for the square root of {{math|term= 5|SZ=}} with initial value {{math|term= x_0=2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f3de1gg85kuqf3axbubug500kud4ia6 0 49238 782244 509803 2022-08-22T00:09:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Examine the convergence of the following sequence {{ math/disp|term= x_n = {{op:Bruch|1|n^2}} |SZ= }} where {{mathl|term= n \geq 1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdgokqjxox4axsvtecsu0khb11j0xng 0 49242 782220 285305 2022-08-22T00:05:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Prove by induction the {{Stichwort|Simpson formula|SZ=}} or Simpson identity for the Fibonacci numbers {{math|term= f_n|SZ=.}} It says ({{mathlk|term=n \geq 2|SZ=}}) {{ math/disp|term= f_{n+1} f_{n-1} - f_n^2 =(-1)^n |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Folge der Fibonacci-Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Simpson |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ynrrjlae4rbu8vdfu5jhak6nzry21d 0 49245 779430 763524 2022-08-21T16:26:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{Op:Matrix43|0|1|1|0|2|2|1|3|4|2|4|6|}} || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3|\R^4 |{{op:Spaltenvektor|x|y|z}}|M{{op:Spaltenvektor|x|y|z}} {{=}} {{op:Spaltenvektor|y+z|2y+2z|x+3y+4z|2x+4y+6z}} |SZ=. }} Zur Bestimmung des {{ Definitionslink |Kerns| |Kontext=lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} müssen wir das {{ Definitionslink |homogene lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|y+z|2y+2z|x+3y+4z|2x+4y+6z}} || {{op:Spaltenvektor|0|0|0|0}} || || || |SZ= }} lösen. Der Lösungsraum ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |L ||{{mengebed| s {{op:Spaltenvektor|1|1|-1}} |s \in \R}} || || || |SZ= }} und dies ist der Kern von {{math|term= \varphi|SZ=.}} Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach {{ Faktlink |Präwort=der|Dimensionsformel|Faktseitenname= Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{math|term= 2|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gte430vztdrqbzfcg2oft3pb5iu4m28 0 49259 779225 763308 2022-08-21T15:55:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einer {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist das neutrale Element, das es aufgrund der Definition einer Gruppe geben muss, eindeutig bestimmt. Mathematisch wird dies so bewiesen: Sei {{math|term= e|SZ=}} das neutrale Element der Gruppe, und sei {{math|term= e'|SZ=}} ein weiteres Element, das ebenfalls die Eigenschaft des neutralen Elements erfüllt, d.h. es gilt {{mathl|term= e' x= xe'=x|SZ=}} für alle {{mathl|term= x \in G|SZ=.}} Dann gilt einerseits {{mathl|term= e'= e' e |SZ=,}} da {{math|term= e|SZ=}} neutrales Element ist, und andererseits {{mathl|term= e' e =e|SZ=,}} da auch {{math|term= e'|SZ=}} neutrales Element ist. Also ist insgesamt {{ Ma:Vergleichskette | e' || e' e || e || || |SZ= }} und {{ mathkor|term1= e |und|term2= e' |SZ= }} stimmen überein. Die Eindeutigkeit des neutralen Elementes kann man als den Ausdruck {{ math/disp|term= {{logprop|}} {{defeq}} \forall z ( \forall x ( zx=x {{logund}} xz =x) \rightarrow z =e ) |SZ= }} ansetzen, und die obige mathematische Argumentation bedeutet, dass der Ausdruck {{math|term= {{logprop|}}|SZ=}} aus den Gruppenaxiomen {{math|term= \Gamma|SZ=}} folgt, also die Folgerungsbeziehung {{ math/disp|term= \Gamma \vDash {{logprop|}} |SZ= }} vorliegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Gruppentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6zldyxevythbmzp9oxrzmw85ufjftxp 0 49262 785488 758753 2022-08-22T08:47:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine Ausdrucksmenge und {{math|term= {{logprop|}}|SZ=}} ein Ausdruck in einer Sprache erster Stufe. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \Gamma \vDash {{logprop|}}|SZ=}} genau dann gilt, wenn {{mathl|term= \Gamma \cup \{ \neg {{logprop|}}\}|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |erfüllbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fzpscqa46a40x98soyejnp76ruxu23r 0 49274 785475 758739 2022-08-22T08:45:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden {{ Definitionslink |prädikatenlogischen Ausdrücke| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |allgemeingültig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. {{ Aufzählung3 |{{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z ((x=y {{logund}} y=z) \rightarrow x=z) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= (\forall x {{logprop|}}) \rightarrow {{logprop|}} |SZ= }} (wobei {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} ein Ausdruck ist). |{{ math/disp|term= {{logprop|}}_1 {{logund}} {{logprop|}}_2 {{logund}} {{logprop|}}_3 \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=, }} wobei {{mathl|term= {{logprop|}}_1,{{logprop|}}_2,{{logprop|}}_3|SZ=}} die Gruppenaxiome sind und {{math/disp|term= {{logprop2|}} {{defeq}} \forall z ( \forall x ( zx=x {{logund}} xz =x) \rightarrow z =e ) |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Gruppentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b7akq5977cdcnm4ez400v44n1rfsqqc 0 49295 783945 757585 2022-08-22T04:53:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} in {{math|term= \R^3|SZ=}} den Vektor {{ math/disp|term= (1,0,0) |SZ= }} als {{ Definitionslink |Linearkombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Vektoren {{ math/disp|term= (1,-2,5), (4,0,3) \text{ und } (2,1,1) |SZ= }} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lyn05955cxy54kqom918l7wbpgqwn7w 0 49327 785498 758757 2022-08-22T08:49:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= s_1 {{kommadots|}} s_n, t_1 {{kommadots|}} t_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Terme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= f|SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol und {{math|term= R|SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}stelliges Relationssymbol. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen im Prädikatenkalkül {{ Definitionslink |ableitbar| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. {{ Aufzählung2 |{{ math/disp|term= \vdash s_1=t_1 {{logunddots}} s_n=t_n \rightarrow fs_1 \ldots s_n =ft_1 \ldots t_n |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \vdash s_1=t_1 {{logunddots}} s_n=t_n {{logund}} Rs_1 \ldots s_n \rightarrow Rt_1 \ldots t_n |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g4ixerxbzony78mket8xoiazb53wuc5 0 49345 780859 754960 2022-08-21T20:18:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine Menge von {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}} |Ausdrücken| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die über beliebig großen endlichen Grundmengen {{ Definitionslink |erfüllbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Gamma|SZ=}} auch über einer unendlichen Menge erfüllbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ujiev3orzicoepsyl0v9q2y4547olf 0 49356 782256 286098 2022-08-22T00:11:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Give an example of a Cauchy sequence in {{math|term= \Q|SZ=,}} such that {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \Q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} it does not converge. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Q |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2d4r0j9k0ogkhollhc3xcw0otxvdf50 0 49359 782216 540280 2022-08-22T00:04:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= {{Op:Folge|f}}|SZ=}} be the sequence of the Fibonacci numbers and {{ math/disp|term= x_n := \frac{f_{n} }{ f_{n-1} } |SZ=. }} Prove that this sequence converges in {{math|term= \R|SZ=}} and that its limit {{math|term= x|SZ=}} satisfies the relation {{ math/disp|term= x = 1 + x^{-1} |SZ=. }} Calculate this {{math|term= x|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Folge der Fibonacci-Zahlen |Kategorie2=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Binet |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kx42r243dcsvpt39czbx4wyzy0wh0lb 0 49364 782145 286113 2022-08-21T23:53:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{mathl|term= x > 1|SZ=}} be a real number. Prove that the sequence {{mathl|term= x^n,\, n \in \N|SZ=,}} diverges to {{math|term= + \infty|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nl8l0r2dve3kz4qzw4c2i68wyfurvbw 0 49367 782976 540282 2022-08-22T02:11:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{ mathbed|term= I_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} be a sequence of nested intervals in {{math|term= \R|SZ=}} and let {{mathl|term= {{Op:Folge}}|SZ=}} be a real sequence with {{math|term= x_n \in I_n|SZ=}} for all {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Prove that this sequence converges to the unique number belonging to the intersection of the family of nested intervals (see Exercise 9). |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Intervallschachtelung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qehu22g5k97jxovtyz136w37ypowpqp 0 49368 782971 540283 2022-08-22T02:10:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{mathl|term= b > a > 0|SZ=}} be positive real numbers. We define recursively two sequences {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|x}} |and|term2= {{Op:Folge|y}} |SZ= }} such that {{mathl|term= x_0=a|SZ=,}} {{mathl|term= y_0=b|SZ=}} and that {{ math/disp|term= x_{n+1} = \text{ geometric mean of } x_n \text{ and } y_n |SZ=, }}{{ math/disp|term= y_{n+1} = \text{ arithmetic mean of } x_n \text{ and } y_n |SZ=. }} Prove that {{mathl|term= [x_n,y_n]|SZ=}} is a sequence of nested intervals. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9y8by4rbwcq9ucif3g8ed2e25ssk0au 0 49371 782279 540284 2022-08-22T00:15:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Prove that the sequence {{mathl|term= {{Op:Folge|glied=\sqrt{n} }}|SZ=}} diverges to {{math|term= \infty|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} to06r3nehfy4t7jcrcjdj87icf0h7zk 0 49375 781820 287288 2022-08-21T22:58:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= x|SZ=}} be a real number, {{math|term= x \neq 1|SZ=.}} Prove that for {{math|term= n \in \N|SZ=}} the relation {{ math/disp|term= \sum_{k=0}^n x^k = \frac{ x^{n+1} -1}{x-1} |SZ= }} holds. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die geometrische Reihe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f39ig7pr59zjt0vgthx9uj1zlllkuoy 0 49383 780688 286273 2022-08-21T19:50:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In a shared flat for students Student 1 prepares coffee and he puts the amount {{math|term= x_1|SZ=}} of coffee in the coffee filter. Then Student 2 looks horrified and says: {{Anführung|Do you want us all to be already completely awake?|}} and he takes the amount of coffee {{math|term= x_2 < x_1|SZ=}} back out of the filter. Then Student 3 comes and says: {{Anführung|Am I in a flat of sissies?}} and he puts back an amount of coffee {{math|term= x_3 < x_2|SZ=}} in it. So it goes on indefinitely, alternating between putting in and taking out smaller amounts of coffee from the coffee filter. How can one characterize if the amount of coffee in the filter converges? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} suchm77cbb6xzsgycgrn065efgtu06y 0 49389 782528 287293 2022-08-22T00:56:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Two people, {{ mathkor|term1= A |and|term2= B |SZ=, }} are in a pub. {{math|term= A|SZ=}} wants to go home, but {{math|term= B|SZ=}} still wants to drink a beer. {{Anführung|Well, we just drink another beer, but this is the very last|SZ,}} says {{math|term= A|SZ=.}} Then B wants another beer, but since the previous beer was definitely the last one, they agree to drink a last half beer. After that they drink a last quarter of a beer, and then the last eighth of beer, and so on. How many {{Anführung|very last beer}} do they drink overall? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Reihen (Analysis) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 10jc9mun6kilfwcpwpnld0gla1iuie5 0 49393 780679 511766 2022-08-21T19:48:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= z \in \R,\, {{op:Betrag|z|}} <1 |SZ=.}} Determine and prove a formula for the series {{ math/disp|term= {{op:Reihe|Glied=(-1)^k z^k}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4eghtp5qiv88gbw5wj2d17o2dhxdzrr 0 49398 782403 756240 2022-08-22T00:36:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{ mathbed|term= g \in \N |,|bedterm1= g \geq 2 ||bedterm2= |SZ=. }} A {{Stichwort|sequence of digits|SZ=,}} given by {{ math/disp|term= z_i \in \{0,1 {{kommadots|}} g-1\} {{\text{ for }}} i \in \Z, \, i \leq k |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=where {{math|term= k \in \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} defines a {{ Definitionslink |real series| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=So here the index runs in the opposite direction| |ISZ=.|ESZ= }} }} {{ math/disp|term= \sum_{i=k}^{- \infty} z_i g^{i} |SZ=. }} Prove that such a series converges to a unique non-negative real number. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ziffer |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sescczwmwmyjlkes5mgr7clic4wzag8 0 49406 786087 759239 2022-08-22T10:27:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man untersuche|Untersuchen Sie}} die folgenden Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq| \R || || || |SZ= }} auf die Begriffe {{ Definitionslink |obere Schranke| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |untere Schranke| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Supremum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Infimum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Maximum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Minimum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung9 | {{math|term= \{2,-3,-4,5,6,-1,1\} |SZ=,}} | {{math|term= \left \{\frac{1}{2},\frac{-3}{7} , \frac{-4}{9} , \frac{5}{9} , \frac{6}{13} , \frac{-1}{3}, \frac{1}{4} \right \} |SZ=,}} | {{math|term= ]-5, 2]|SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed/lr| \frac{1}{n}|n \in \N_+ }} |SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed/lr| \frac{1}{n}|n \in \N_+ }} \cup \{0\} |SZ=,}} | {{math|term= \Q_-|SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed|x \in \Q|x^2 \leq 2}} |SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed|x \in \Q|x^2 \leq 4}} 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Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in der {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetischen Sprache erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den Konstanten {{mathl|term= 0,1|SZ=,}} dem Nachfolgersymbol {{math|term= N|SZ=}} und den zweistelligen Funktionssymbolen {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} nur abzählbar viele Teilmengen von {{math|term= \N|SZ=}} {{Anführung|adressierbar}} sind und dass daher das zweitstufige Induktionsaxiom der {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekind-Peano-Axiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht in dieser Sprache formulierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie der erststufigen Peano-Arithmetik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9cavyf15u9ibwiggvz5iy4bc5609m9x 0 49431 780919 688843 2022-08-21T20:28:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}} die folgende Ableitungsregel: Aus {{mathl|term= \vdash {{logprop|}}|SZ=}} und {{mathl|term= \vdash {{logprop|}} {{logund}} {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop3|}}|SZ=}} folgt {{mathl|term= \vdash {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop3|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hsff2baki6dnu9drfvyilwo3y8ldce3 0 49461 782524 756315 2022-08-22T00:56:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die Koeffizienten {{mathl|term= c_0,c_1 {{kommadots|}} c_5|SZ=}} der Potenzreihe {{mathl|term= \sum_{n=0}^\infty c_nx^n|SZ=,}} die das {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Produkt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |geometrischen Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r45yiz5sxtgqjrnaavsjl4ebr7353ac 0 49467 783485 757158 2022-08-22T03:36:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in der {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sum_{n= 0}^\infty c_nx^n|SZ=}} des {{ Definitionslink |Prämath= |Kosinus hyperbolicus| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Koeffizienten {{math|term= c_n|SZ=}} für ungerades {{math|term= n|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hyperbelfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4tojhsblwk5nlzk7ujvg7v5k3vmwfiw 0 49482 779775 289023 2022-08-21T17:20:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} und eine positive reelle Zahl {{math|term= r|SZ=}} definieren einen eindeutigen Punkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || (x,y) ||(r {{op:cos|\alpha|}}, r {{op:sin|\alpha|}} ) || r ( {{op:cos|\alpha|}}, {{op:sin|\alpha|}} ) || || |SZ= }} in der reellen Ebene {{math|term= \R^2|SZ=.}} Dabei bedeutet {{math|term= r|SZ=}} den Abstand des Punktes {{math|term= P|SZ=}} vom Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} und {{mathl|term= ( {{op:cos|\alpha|}}, {{op:sin|\alpha|}} )|SZ=}} bedeutet den Durchstoßungspunkt der durch {{math|term= P|SZ=}} definierten Halbgeraden mit dem Einheitskreis. Jeder Punkt {{mathl|term= P =(x,y) \neq 0|SZ=}} besitzt eine eindeutige Darstellung mit {{mathl|term= r= \sqrt{x^2 + y^2}|SZ=}} und mit einem Winkel {{math|term= \alpha|SZ=,}} der je nach dem gewählten Winkelmaß geeignet zu wählen ist, also beispielsweise aus {{mathl|term= [0,2\pi[ |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=der Nullpunkt wird durch {{mathlk|term=r=0|SZ=}} und einen beliebigen Winkel repräsentiert| |ISZ=|ESZ=. }} Die Komponenten {{mathl|term= (r, \alpha)|SZ=}} heißen die {{Stichwort|Polarkoordinaten}} von {{math|term= P|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polarkoordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzssdu37l23t74y8f54gthw7yhw67d8 0 49483 779772 763752 2022-08-21T17:19:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine räumliche Variante von {{ Beispiellink |Präwort=|Polarkoordinaten|Beispielseitenname= Reelle Ebene/Polarkoordinaten/Winkel naiv/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wird durch {{Stichwort|Zylinderkoordinaten}} gegeben. Ein Tripel {{mathl|term= (r, \alpha, z) \in \R_+ \times [0, 2 \pi[ \times \R|SZ=}} wird dabei auf die {{ Definitionslink |Prämath= |kartesischen Koordinaten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |(x,y,z) || (r {{op:cos|\alpha|}} ,r {{op:sin|\alpha|}} ,z) || || || |SZ= }} abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zylinderkoordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} imh2p8t1onw01f32u47g7q6vim4k4y1 0 49491 786426 759497 2022-08-22T11:23:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Drehung| |Kontext=3| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Raumes um die {{math|term= z|SZ=-}}Achse um {{math|term= 45|SZ=}} Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die {{ Definitionslink |Prämath= |beschreibende Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|2|4}} ,\, {{op:Spaltenvektor|3|3|-1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|5|0|7}} |SZ= }} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der räumlichen Drehungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cn93290lh595qfaamswc6o2ekgsqea0 0 49499 779791 751874 2022-08-21T17:22:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| \R_{\geq 0} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |k |\in| \N || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | M || {{Mengebed|x \in \R_{\geq 0} |x^k \leq a}} || || || |SZ=. }} Diese Menge ist wegen {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|M || || || |SZ= }} nicht leer und {{ Definitionslink |Prämath= |nach oben beschränkt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathlk|term=a \leq 1|SZ=}} ist {{math|term= 1|SZ=}} eine obere Schranke, sonst ist {{math|term= a|SZ=}} eine obere Schranke| |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |s ||{{op:sup|M|}} || || || |SZ=, }} das es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} geben muss. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |s^k ||a || || || |SZ=, }} d.h. {{math|term= s|SZ=}} ist eine {{math|term= k|SZ=-}}te Wurzel von {{math|term= a|SZ=,}} da sowohl die Annahme {{ Ma:Vergleichskette |s^k |<|a || || || |SZ= }} als auch die Annahme {{ Ma:Vergleichskette |s^k |>|a || || || |SZ=, }} zu einem Widerspruch führt, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Beliebige Wurzel/Als Supremum/Nachweis/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Wurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kfcatzt0kx14f8wwwswfv20kyjuf8lt 0 49511 782246 509785 2022-08-22T00:09:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Compute the limit of the sequence {{ math/disp|term= x_n = 5 \left( {{op:Bruch|2n+1|n}} \right)^3-4\left( {{op:Bruch|2n+1|n}} \right)^2+2\left( {{op:Bruch|2n+1|n}} \right)-3 |SZ= }} for {{mathl|term= n \rightarrow \infty|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2bu1kuor6bg00h42d6nte7rcustb2j 0 49523 782348 287259 2022-08-22T00:26:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Find a zero for the function {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} x^2+x-1 |SZ=, }} in the interval {{math|term= [0,1]|SZ=}} using the interval bisection method with a maximum error of {{math|term= 1/100|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Intervallhalbierung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qcqlfwujwze426brexes6d330g2j11n 0 49539 782351 287258 2022-08-22T00:27:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Find for the function {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} x^3 -3x+1 |SZ=, }} a zero in the interval {{math|term= [0,1]|SZ=}} using the interval bisection method, with a maximum error of {{math|term= 1/200|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Intervallhalbierung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b88sl3jlammz6vlm86l5rdqtbmmuphl 0 49543 782138 394990 2022-08-21T23:51:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} aus {{ Axiomlink |Präwort=der|Existenzeinführung im Antezedens|Axiomseitenname= Prädikatenlogik/Existenzeinführung im Antezedens/Regel/Axiom |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{Stichwort|All{{latextrenn}}einführung im Sukzedens|SZ=.}} Sie besagt, dass man aus {{ math/disp|term= \vdash {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop|}} \frac{y}{x} |SZ= }} unter der Bedingung, dass {{math|term= y|SZ=}} weder in {{math|term= \forall x {{logprop|}}|SZ=}} noch in {{math|term= {{logprop2|}}|SZ=}} frei vorkommt, auf {{ math/disp|term= \vdash {{logprop2|}} \rightarrow \forall x {{logprop|}} |SZ= }} schließen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dg3ew7b3jqi5ccoacsbin7yzqn7mckn 0 49554 785471 758735 2022-08-22T08:45:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine Ausdrucksmenge aus einer {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{logprop|}}|SZ=}} ein weiterer Ausdruck. Es sei {{math|term= {{logprop|}}|SZ=}} nicht aus {{math|term= \Gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ableitbar| |Kontext=Prädikatenlogik Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man aus {{mathl|term= \Gamma \cup \{\neg {{logprop|}} \}|SZ=}} keinen Widerspruch {{ Zusatz/Klammer |text=also keinen Ausdruck der Form {{mathl|term= {{logprop2|}} {{logund}} \neg {{logprop2|}}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ableiten kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 63bx665cbqgj9dupnfnkhr55vdf5dg8 0 49570 782343 756182 2022-08-22T00:26:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme, für welche Punkte {{mathl|term= x \in \R|SZ=}} die durch {{ math/disp|term= f(x) = \begin{cases} 1 \text{ für } x \leq - 1 \, , \\ x^2 \text{ für } - 1< x < 2 \, , \\ -2x+7 \text{ für } x \geq 2 \, , \end{cases} |SZ= }} definierte Funktion {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mocrtdpgs3ynmbnh109alrwbf5r4yqu 0 49571 782344 756183 2022-08-22T00:26:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= We consider the function {{ math/disp|term= f(x) = \begin{cases} 1 \text{ for } x \leq - 1 \\ x^2 \text{ for } - 1< x < 2 \\ -2x+7 \text{ for } x \geq 2 \, . \end{cases} |SZ= }} Determine the points {{mathl|term= x \in \R|SZ=}} where {{math|term= f|SZ=}} is {{ Definitionslink |Prämath= |continuous| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ldee4vwzq2bfe2sqd2egoobjna384f0 0 49616 784906 758349 2022-08-22T07:17:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |periodische Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=g |\R|\R || |SZ= }} eine beliebige Funktion. a) Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} wieder periodisch ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass die Hintereinanderschaltung {{mathl|term= f \circ g|SZ=}} nicht periodisch sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der periodischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jqod1uegjylk8jdb9hs64tcpc4ffbkt 0 49617 784905 758348 2022-08-22T07:17:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |periodische Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} beschränkt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der periodischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ozos8pj416vmisylt7eiek2k00w6odd 0 49618 784907 758350 2022-08-22T07:17:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=f_1,f_2 |\R|\R || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |periodische Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den Periodenlängen {{ mathkor|term1= L_1 |bzw.|term2= L_2 |SZ=. }} Der Quotient {{mathl|term= L_1/L_2|SZ=}} sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{mathl|term= f_1+f_2|SZ=}} eine periodische Funktion ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der periodischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gx7gwhsbcc5lg5dk7hqi0thqywfj4ik 0 49633 784586 758103 2022-08-22T06:31:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bis zur vierten Ordnung des {{ Definitionslink |Prämath= |natürlichen Logarithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Punkt {{math|term= 1|SZ=}} mit dem in {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Taylorreihe/R/Umkehrfunktion/Bestimmung/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Potenzreihenansatz für Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie2=Theorie der Logarithmen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rgo9u6c78hk8r0x93pa5qrg7yh0xas8 0 49646 782530 509824 2022-08-22T00:57:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{ mathbed|term= x \in \R |,|bedterm1= {{op:Betrag|x|}} <1 ||bedterm2= |SZ=. }} Determine {{ Zusatz/Klammer |text=in dependence of {{math|term= x|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} the sum of the two series {{ math/disp|term= \sum_{k=0 }^\infty x^{2k} \text{ and } \sum_{k=0 }^\infty x^{2k+1} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die geometrische Reihe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r6aq82re0nu3ljm9uplqnhbbn0mhxpu 0 49650 783952 458142 2022-08-22T04:54:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Prove that for the logarithm to base {{math|term= b|SZ=}} the following calculation rules hold. {{ Aufzählung4 |We have {{ mathkor|term1= \log_b(b^x) =x |and|term2= b^{\log_b(y)} =y |SZ=, }} ie, the logarithm to base {{math|term= b|SZ=}} is the inverse to the exponential function to the base {{math|term= b|SZ=.}} |We have {{mathl|term= {{op:log|(y \cdot z) |b}} = {{op:log|y|b}} + {{op:log|z|b}}|SZ=}} |We have {{mathl|term= {{op:log|y^u|b}} = u \cdot {{op:log|y|b}}|SZ=}} for {{mathl|term= u \in \R|SZ=.}} |We have {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:log|y|a}} || {{op:log| ( b^{ {{op:log|y|b}} })|a}} ||{{op:log|y|b}} \cdot {{op:log|b|a}} || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzi2q4meel45ye6ycuq5muen3r35exs 0 49651 782912 288605 2022-08-22T02:01:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= A monetary community has an annual inflation of {{math|term= 2 \%|SZ=.}} After what period of time {{ Zusatz/Klammer |text=in years and days| |ISZ=|ESZ= }}, the prices have doubled? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Logarithmen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cpahg4heqgfpxl2a12bi3zpazu89nvj 0 49652 782525 288606 2022-08-22T00:56:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Compute the coefficients {{mathl|term= c_0,c_1 {{kommadots|}} c_5|SZ=}} of the power series {{mathl|term= \sum_{n=0}^\infty c_nx^n|SZ=,}} which is the Cauchy product of the geometric series with the exponential series. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aaub5h1cz0qf926sjeu8ttmdtmg77oh 0 49655 782156 579084 2022-08-21T23:54:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= For {{math|term= N \in \N|SZ=}} and {{math|term= {{{z|z}}} \in {{{K|{{CC}}}}}|SZ=}} let {{ math/disp|term= R_{N+1} ({{{z|z}}}) = {{op:exp|{{{z|z}}}|}} - \sum_{n=0}^N \frac{ {{{z|z}}}^n}{n!} = \sum_{n=N+1}^\infty \frac{ {{{z|z}}}^n}{n!} |SZ= }} be the remainder of the exponential series. Prove that for {{math|term= {{op:Betrag|{{{z|z}}}|}} \leq 1 + \frac{1}{2}N |SZ=}} the remainder term estimate {{ math/disp|term= {{op:Betrag|R_{N+1}({{{z|z}}})|}} \leq \frac{2}{(N+1)!} {{op:Betrag|{{{z|z}}}|}} ^{N+1} |SZ= }} holds. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialreihe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cftwzxxb3f0v1icbb1hgd1uctbfmo73 0 49656 782127 288050 2022-08-21T23:50:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Compute by hand the first {{math|term= 4|SZ=}} digits in the decimal system of {{ math/disp|term= {{op:exp|1|}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die eulersche Zahl |Kategorie2=Theorie der Exponentialreihe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9qa47pk7ua8shololu7r1y7zo8nz0cn 0 49669 779683 770738 2022-08-21T17:07:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= A function {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} is called {{Definitionswort/-|periodic|msw=Periodische Funktion|SZ=}} with {{Definitionswort/-|period|SZ=}} {{mathl|term=L>0|SZ=,}} if for all {{mathl|term=x \in \R|SZ=}} the equality {{ math/disp|term= f(x)=f(x+L) |SZ= }} holds. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der periodischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Periodische Funktion |Definitionswort2=Periode |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ojjit9ovou0t2pldpvn0hptmduvt080 0 49672 783486 288073 2022-08-22T03:36:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Prove that in the power series {{mathl|term= \sum_{n= 0}^\infty c_nx^n|SZ=}} of the hyperbolic cosine the coefficients {{math|term= c_n|SZ=}} are {{math|term= 0|SZ=}} if {{math|term= n|SZ=}} is odd. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hyperbelfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gc7yq1g1ffp0t4574hatsz1cpvxopw0 0 49673 783484 288826 2022-08-22T03:36:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Prove that the hyperbolic cosine is strictly decreasing on {{math|term= \R_{\leq 0}|SZ=}} and strictly increasing on {{math|term= \R_{\geq 0}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hyperbelfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iwwrd0i9tyzsahtdmd22uy3wc8xm4vw 0 49677 783509 579085 2022-08-22T03:40:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Consider {{math|term= n|SZ=}} complex numbers {{mathl|term= z_1,z_2 {{kommadots|}} z_n|SZ=}} lying in the disc {{math|term= B|SZ=}} with center {{math|term= (0,0)|SZ=}} and radius {{math|term= 1|SZ=,}} that is in {{mathl|term= B={{mengebed|z \in {{CC}}| {{op:Betrag|z|}} \leq 1}} |SZ=.}} Prove that there exists a point {{mathl|term= w \in B|SZ=}} such that {{ math/disp|term= \sum_{i =1}^n {{op:Betrag|z_i-w|}} \geq n |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskreisscheibe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9wamusf6nkooidzeshab9q36u5lw231 0 49692 779803 396879 2022-08-21T17:24:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Programm soll sämtliche natürlichen Zahlen der Reihe nach ausdrucken. Dazu brauchen wir eine Registermaschine mit zwei Registern {{ mathkor|term1= R_1 |und|term2= R_2 |SZ=, }} die zum Start beide leer sind. Das zweite Register bleibt unverändert und wird nur für den unbedingten Sprungbefehl verwendet. Die Haltezeile wird nie erreicht. {{ Aufzählung4 |Drucke |{{math|term= 1+|SZ=}} |Gehe zu {{math|term= 1|SZ=}} |Halte an }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eh6gndmayb7llxn1pd8522ngpftj3o2 0 49693 779811 690600 2022-08-21T17:25:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es soll überprüft werden, ob der Registerinhalt {{math|term= r_t|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= R_t|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} den Registerinhalt {{math|term= r_j|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= R_j|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} teilt. Falls ja soll das Programm {{math|term= 1|SZ=}} ausgeben, andernfalls {{math|term= 0|SZ=.}} Dies leistet das folgende Programm mit den Hilfsregistern {{ mathkor|term1= R_k |und|term2= R_\ell |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=für Teilprogramme braucht man noch weitere Hilfsregister| |ISZ=|ESZ=. }} Das Ausgaberegister {{math|term= R_1|SZ=}} soll zu Beginn leer sein. {{ Aufzählung9 |Leere {{math|term= R_\ell|SZ=}} |Berechne {{mathl|term= r_t \cdot r_\ell |SZ=}} und schreibe das Ergebnis in {{math|term= R_k|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne {{mathl|term= r_t,r_\ell |SZ=}} zu verändern| |ISZ=|ESZ= }} |Bei {{ Ma:Vergleichskette | r_k |>| r_j || || || |SZ= }} gehe zu 8 |Bei {{ Ma:Vergleichskette | r_k || r_j || || || |SZ= }} gehe zu 7 |{{math|term= \ell +|SZ=}} |Gehe zu 2 |{{math|term= 1+|SZ=}} |Drucke |Halte an }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bj5b6vq7rwz3fghf18diq3pqg12xtcb 0 49694 779810 763767 2022-08-21T17:25:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es soll überprüft werden, ob der Registerinhalt {{math|term= r_j|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= R_j|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Falls ja soll das Programm {{math|term= 1|SZ=}} ausgeben, andernfalls {{math|term= 0|SZ=.}} Dies leistet das folgende Programm mit dem Hilfsregister {{math|term= R_t|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für Teilprogramme braucht man noch weitere Hilfsregister| |ISZ=|ESZ=. }} Das Ausgaberegister {{math|term= R_1|SZ=}} soll zu Beginn leer sein. {{ Aufzählung10 |Leere {{math|term= R_t|SZ=}} |{{mathl|term= t +|SZ=}} |{{mathl|term= t +|SZ=}} |Wenn {{mathl|term= r_t = r_j|SZ=,}} so gehe zu 8 |Wenn {{mathl|term= r_t \geq r_j|SZ=,}} so gehe zu 9{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Die Programmzeile (5) ist nur für {{mathl|term= r_j =0,1|SZ=}} von Bedeutung| |ISZ=.|ESZ= }} |Wenn {{math|term= r_j|SZ=}} von {{math|term= r_t|SZ=}} geteilt wird, so gehe zu 9 |Gehe zu 3 |{{math|term= 1+|SZ=}} |Drucke |Halte an }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h61av1gur6dvo1d1rk702zhi7pewdfe 0 49698 779805 693847 2022-08-21T17:24:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sollen die geraden Zahlen {{math|term= \geq 4|SZ=}} daraufhin überprüft werden, ob sie die Eigenschaft in der Goldbachvermutung erfüllen, also ob sie die Summe von zwei Primzahlen sind. Das Programm soll die Ausgabe {{math|term= 0|SZ=}} machen, falls ein Gegenbeispiel gefunden wurde. Dies leistet das folgende Programm mit den Registern {{math|term= R_n|SZ=,}} {{math|term= R_k|SZ=}} und {{math|term= R_i|SZ=,}} die alle zu Beginn auf {{math|term= 0|SZ=}} gesetzt seien. Auch das Ausgaberegister {{math|term= R_1|SZ=}} soll zu Beginn leer sein. Wir testen ab {{math|term= 6|SZ=,}} um uns auf ungerade Primzahlen als Summanden beschränken zu können. {{ Aufzählung13 |{{mathl|term= n + +++|SZ=}} |{{mathl|term= n + +|SZ=}} |Leere {{math|term= R_k|SZ=}} |{{mathl|term= k + |SZ=}} |{{mathl|term= k + + |SZ=}} |Wenn {{ Ma:Vergleichskette | r_k |\geq| r_n || || || |SZ=, }} so gehe zu 12 |Wenn {{math|term= r_k|SZ=}} eine Primzahl ist, so gehe zu 9 |Gehe zu 5 |Berechne {{mathl|term= r_n - r_k |SZ=,}} schreibe das Ergebnis in {{math|term= R_i|SZ=}} |Wenn {{math|term= r_i|SZ=}} eine Primzahl ist, so gehe zu 2 |Gehe zu 5 |Drucke |Halte an }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5f3kynlu6533m8weqx3331yh7i0u1w 0 49704 786121 759282 2022-08-22T10:33:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entwerfe ein Programm für eine {{ Definitionslink |Prämath= |Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das die Potenz {{mathl|term= r_i^{r_j}|SZ=}} berechnet {{ Zusatz/Klammer |text=und ausgibt| |ISZ=|ESZ=, }} wobei {{ mathkor|term1= r_i |bzw.|term2= r_j |SZ= }} die Registerinhalte der Register {{ mathbed|term= R_i, R_j ||bedterm1= i \neq j ||bedterm2= |SZ=, }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8nyasurzhwr0lbud2m9fahda4q6001s 0 49705 786122 759283 2022-08-22T10:33:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entwerfe{{n Sie}} ein Programm für eine {{ Definitionslink |Prämath= |Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das entscheidet, ob der Registerinhalt {{math|term= r_i|SZ=}} des Registers {{math|term= R_i|SZ=}} die echte Potenz einer natürlichen Zahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jm1zbri4aqfsxzfod0bmzn6014ka16i 0 49721 786127 288418 2022-08-22T10:34:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entwerfe{{n Sie}} ein Programm für eine Registermaschine, die für {{mathl|term= r_i \geq r_j|SZ=}} die Differenz {{mathl|term= r_i-r_j|SZ=}} von zwei Registerinhalten berechnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o1guzw9k6kxsq0b6fppuffhubh48scu 0 49743 786125 759286 2022-08-22T10:33:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |b |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} Entwerfe{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Programm für eine Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das bei der Eingabe von {{mathl|term= (r_1 {{kommadots|}} r_k) |SZ=}} in den ersten {{math|term= k|SZ=}} Registern die Zahl {{mathl|term= \sum_{i=1}^k r_ib^{i} |SZ=}} berechnet, ausdruckt und anhält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fs5gin8mewxbaqan9u5ym5gkus84dfu 0 49744 786124 759285 2022-08-22T10:33:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= b \in \N_{\geq 2}|SZ=.}} Entwerfe{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Programm für eine Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das bei Eingabe von {{mathl|term= z|SZ=}} im ersten Register die {{math|term= b|SZ=-}}adische Ziffernentwicklung {{mathl|term= z=\sum_{i=0}^k s_i b^{i}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=0 \leq r_i \leq b-1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} berechnet, nach und nach die Ziffern {{math|term= s_i|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=beginnend mit {{mathlk|term=i=0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ausdruckt und schließlich anhält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qbisjudyh3qk122h3r1i2s210zfbxxn 0 49745 786123 759284 2022-08-22T10:33:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= b \in \N_{\geq 2}|SZ=.}} Entwerfe{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Programm für eine Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das zur Eingabe von {{mathl|term= z|SZ=}} im ersten Register die {{math|term= b|SZ=-}}adische Ziffernentwicklung {{mathl|term= z=\sum_{i=1}^k s_i b^{i}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=0 \leq r_i \leq b-1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} berechnet, nach und nach die Exponenten {{math|term= i|SZ=}} und die zugehörigen Ziffern {{math|term= s_i|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=beginnend mit {{mathlk|term=k|SZ=}} und {{math|term= s_k|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ausdruckt und schließlich anhält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4xjop3d11fcd4bfte2p6logsf144gaz 0 49754 780488 288624 2022-08-21T19:16:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine directly {{ Zusatz/Klammer |text=without the use of derivation rules| |ISZ=|ESZ= }} the derivative of the function {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} x^3+2x^2-5x+3 |SZ=, }} at any point {{math|term= a \in \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 98r89k7ey72af6q2nga74xhvvgltlmi 0 49758 783107 288629 2022-08-22T02:33:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Consider {{math|term= f(x)=x^3+4x^2-1|SZ=}} and {{math|term= g(y) =y^2-y+2 |SZ=.}} Determine the derivative of the composite function {{math|term= h(x)=g(f(x))|SZ=}} directly and by the chain rule (Theorem 19.8). |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mijc1x22uv5pgl6660ejne4j2cc9sus 0 49760 780486 288632 2022-08-21T19:16:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{ Ma:abb/disp |name=f,g |\R|\R || |SZ= }} be two differentiable functions and consider {{ math/disp|term= h(x)=(g(f(x)))^2 f(g(x)) |SZ=. }} a) Determine the derivative {{math|term= h'|SZ=}} from the derivatives of {{ mathkor|term1= f |and|term2= g |SZ=. }} b) Let now {{ math/disp|term= f(x)=x^2-1 \text{ and } g(x) =x+2 |SZ=. }} Compute {{math|term= h'(x)|SZ=}} in two ways, one directly from {{math|term= h(x)|SZ=}} and the other by the formula of part {{math|term= a)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i7hirjta5c6rrgili0v1h5omorirk5q 0 49775 783105 288654 2022-08-22T02:33:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= f(x)=\frac{x^2+5x-2}{x+1}|SZ=}} and {{math|term= g(y) = \frac{y-2}{y^2+3} |SZ=.}} Determine the derivative of the composite {{math|term= h(x)=g(f(x))|SZ=}} directly and by the chain rule (Theorem 19.8). |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 609tacfpa2eoynjb011v2fqb4tbuqep 0 49781 780491 288661 2022-08-21T19:17:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{mathl|term= D \subseteq \R |SZ=}} be a subset and let {{ Ma:abb/disp |name=f_i |D| \R , \, i {{=|}} 1 {{kommadots|}} n || |SZ=, }} be differentiable functions. Prove the formula {{ math/disp|term= (f_1 {{cdots|}} f_n)' = \sum_{i=1}^n f_1 {{cdots|}} f_{i-1} f_{i}' f_{i+1} {{cdots|}} f_n |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} acazry1feg3sii3jtbo7eaqmdrh90xr 0 49800 782646 288722 2022-08-22T01:16:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine the limit of {{ math/disp|term= \frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1} |SZ= }} at point {{math|term= x =1|SZ=,}} and specifically a) by polynomial division. b) by the rule of l'Hospital. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 13hvpfpyhrmw1qtln1avarge2hb55ra 0 49822 781128 288885 2022-08-21T21:03:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= From a sheet of paper with side lengths of {{math|term= 20 |SZ=}} cm and {{mathl|term= 30 |SZ=}} cm we want to realize a box {{ Zusatz/Klammer |text=without cover| |ISZ=|ESZ= }} with the greatest possible volume. We do it in this way. We remove from each corner a square of the same size, then we lift up the sides and we glue them. Which box height do we need to realize the maximum volume? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6xsm0ciguopfi25h1khy3cgn4yrx5zi 0 49840 786126 459637 2022-08-22T10:34:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein nicht anhaltendes, Register-beschränktes Programm {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. es gibt eine Schranke {{mathl|term= S \in \N|SZ=,}} die die Registerinhalte zu keinem Zeitpunkt des Programmablaufes überschreiten| |ISZ=|ESZ= }} Zustands-periodisch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9iw4o4920nuy4pcr0jaj8vsu7tewvic 0 49967 782385 526204 2022-08-22T00:33:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine for the following functions if the function limit exists and, in case, what value it takes. {{ Aufzählung4 |{{math|term= {{op:Funktionslimes|x|0|\frac{ {{op:sin|x|}} }{x}|}} |SZ=,}} |{{math|term= {{op:Funktionslimes|x|0|\frac{ ({{op:sin|x|}})^2 }{x}|}} |SZ=,}} |{{math|term= {{op:Funktionslimes|x|0|\frac{ {{op:sin|x|}} }{x^2}|}} |SZ=,}} |{{math|term= {{op:Funktionslimes|x|1|\frac{x-1}{ {{op:ln|x|}} }|}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c76zeplokxuzpa4czosu1wzlg6y4cvv 0 49968 782383 291857 2022-08-22T00:32:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine for the following functions, if the limit function for {{ mathbed|term= x \in \R \setminus \{0\} ||bedterm1= x \rightarrow 0 ||bedterm2= |SZ=, }} exists, and, in case, what value it takes. {{ Aufzählung3 |{{math|term= {{op:sin|\frac{1}{x}|}}|SZ=,}} |{{math|term= x \cdot {{op:sin|\frac{1}{x}|}}|SZ=,}} |{{math|term= \frac{1}{x} \cdot {{op:sin|\frac{1}{x}|}}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c418vrt94f06pl3a560ay6xduw941pi 0 49977 782328 291886 2022-08-22T00:23:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= We consider the function {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_+|\R |x|f(x) {{=|}} 1 + {{op:ln|x|}} - \frac{1}{x} |SZ=. }} a) Prove that {{math|term= f|SZ=}} gives a continuous bijection between {{ mathkor|term1= \R_+ |and|term2= \R |SZ=. }} b) Determine the inverse image {{math|term= u|SZ=}} of {{math|term= 0|SZ=}} under {{math|term= f|SZ=}}, then compute {{math|term= f'(u)|SZ=}} and {{math|term= (f^{-1})'(0)|SZ=.}} Draw a rough sketch for the inverse function {{math|term= f^{-1}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kurvendiskussion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bo9shvweikeypv9zo7wa5zxymrrd6vo 0 49978 781410 291890 2022-08-21T21:50:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{ Ma:abb/disp |name=f,g |\R|\R || |SZ= }} be two differentiable functions. Let {{math|term= a \in \R|SZ=.}} We have that {{ math/disp|term= f(a) \geq g(a) \text{ and } f'(x) \geq g'(x) \text{ for all } x \geq a |SZ=. }} Prove that {{ math/disp|term= f(x) \geq g(x) \text{ for all } x \geq a |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mzdbcr6xdr8x9bhcwhomghp3o3g8sio 0 49980 783591 490829 2022-08-22T03:54:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= We consider the function {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R \setminus \{0\}|\R |x|f(x) {{=}} e^{ - {{op:Bruch|1|x}} } |SZ=. }} a) Investigate the monotony behavior of this function. b) Prove that this function is injective. c) Determine the image of {{math|term= f|SZ=.}} d) Determine the inverse function on the image for this function. e) Sketch the graph of the function {{math|term= f|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie=Die reelle Exponentialfunktion |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} czbcvvwohdjyi6pln14djzexceyc3r5 0 49981 783589 291897 2022-08-22T03:53:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Consider the function {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} (2x+3)e^{-x^2} |SZ=. }} Determine the zeros and the local (global) extrema of {{math|term= f|SZ=.}} Sketch up roughly the graph of the function. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kurvendiskussion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f8596ekxebxqce3663dfm3gj299sd7t 0 49984 783593 526205 2022-08-22T03:54:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Discuss the behavior of the function graph of {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} e^{-2x} -2e^{-x} |SZ=. }} Determine especially the monotony behavior, the extrema of {{math|term= f|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Funktionslimes|x|\infty| f(x)|}} |SZ=}} and also for the derivative {{math|term= f'|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie2=Theorie der Kurvendiskussion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5o0w1r216cmwauxp2re7042f2vxgy6z 0 50109 782961 294746 2022-08-22T02:09:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Subdivide the interval {{mathl|term= [-4,5]|SZ=}} in six subintervals of equal length. b) Determine the Riemann sum of the staircase function on {{mathl|term= [-4,5]|SZ=,}} which takes alternately the values {{mathl|term= 2|SZ=}} and {{math|term= -1|SZ=}} on the subdivision constructed in a). |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Intervall |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpd8sh93viscopsmca1djv1kk62x96i 0 50112 782817 293759 2022-08-22T01:45:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{ Ma:abb/disp |name=f |[a,b]| [c,d] || |SZ= }} be a staircase function and let {{ Ma:abb/disp |name=g |[c,d]|\R || |SZ= }} be a function. Prove that the composite {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} is also a staircase function. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hintereinanderschaltung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nnt9wjrkrinfj0p9cqmldj2lopb0dhg 0 50114 782815 293767 2022-08-22T01:44:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Give an example of a continuous function {{ Ma:abb/disp |name=f |[a,b]|[c,d] || |SZ= }} and a staircase function {{ Ma:abb/disp |name=g |[c,d]|\R || |SZ= }} such that the composite {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} is not a staircase function. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hintereinanderschaltung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h5zqgm2kfgv1asyvuyipbbcjhfudd4q 0 50120 783333 609110 2022-08-22T03:11:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Situation/en|I1==[a,b]|SZ=.}} Prove that {{math|term= f|SZ=}} is Riemann-integrable if and only if there is a subvision {{mathl|term= a=a_0 < a_1 < \cdots < a_n=b|SZ=}} such that the restrictions {{mathl|term= f_i=f {{!}}_{[a_{i-1},a_i]}|SZ=}} are Riemann-integrable. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort=Unterteilung |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2cqj6ciglbzl4ynd0js2kubvzvcfiu5 0 50122 781040 508903 2022-08-21T20:48:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{mathl|term= I=[a,b]|SZ=}} be a compact interval and let {{ Ma:abb |name=f |I|\R || |SZ= }} be a Riemann-integrable function. Prove that {{ math/disp|term= {{op:Betrag| {{op:Integral|a|b|f}} |t}} \leq {{op:Integral|a|b| grand= {{op:Betrag|f(t)|}}| |t}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nx13del804oa3mr8gi9nsn6kggyh4po 0 50131 783331 293800 2022-08-22T03:10:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= {{{I|I}}} {{{Iz|}}}|SZ=}} be a compact interval and let {{ Ma:abb/disp |name=f |{{{I|I}}}|\R || |SZ= }} be a monotone function. Prove that {{math|term= f|SZ=}} is Riemann-integrable. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2=Theorie der monotonen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort=Unterteilung |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1q4a6nsb2mb2xvg5e18g134tpixf9vi 0 50136 782312 295119 2022-08-22T00:20:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= An object is released at time {{math|term= 0|SZ=}} and it falls freely without air resistance from a certain height down to the earth thanks to the (constant) gravity force. Determine the velocity {{mathl|term= v(t)|SZ=}} and the distance {{mathl|term= s(t)|SZ=}} as a function of time {{math|term= t|SZ=.}} After which time the object has traveled {{math|term= 100|SZ=}} meters? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2=Mathematische Physik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ai3cjzgjih9bi30pkjrhuq697l1tskz 0 50139 783467 293810 2022-08-22T03:33:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{mathl|term= \sum_{n=1}^{\infty} a_n|SZ=}} be a convergent series with {{mathl|term= a_n \in [0,1]|SZ=}} for all {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} and let {{ Ma:abb |name=f |[0,1]|\R || |SZ= }} be a Riemann-integrable function. Prove that the series {{math/disp|term=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{a_n} f(x) dx|SZ=}} is absolutely convergent. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor=Moyano |Bearbeitungsstand= }} c54uu90a1wzmg6hux7djeuwn5ucarqb 0 50141 781043 293820 2022-08-21T20:49:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Prove that the equation {{math/disp|term=\int_{0}^{x} e^{t^2} dt =1|SZ=}} has exactly one solution {{math|term= x \in [0,1]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor=Moyano |Bearbeitungsstand= }} m5hg8evkpue324vn4rp9bjnlz71omhd 0 50143 782242 293822 2022-08-22T00:09:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine the area below{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Here we mean the area between the graph and the {{math|term= x|SZ=-}}axis| |ISZ=.|ESZ= }} the graph of the sine function between {{ mathkor|term1= 0 |and|term2= \pi |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cbze3pad4loxmz5korx0wmemfc59uww 0 50268 781439 688429 2022-08-21T21:55:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x| \sqrt[3]{x^2} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Punkte {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|\R || || || |SZ=, }} in denen {{math|term= f|SZ=}} differenzierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Wurzelfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l1lzm0pplu8gbi8mog0xbg6q6jbxwkn 0 50272 783950 635310 2022-08-22T04:54:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} {{op:ln(|\sqrt{1+x^2}|}} |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die Ableitung {{math|term= f'|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} die zweite Ableitung {{math|term= f^{\prime \prime}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der Logarithmen |Kategorie3=Theorie der reellen Quadratwurzelfunktion |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a3mrzvrwsl8zrl2chs7a6ub0t60odp9 0 50282 780946 501034 2022-08-21T20:33:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu {{ Ma:Vergleichskette |b ||7 || || || |SZ= }} mit dem Startwert {{ Ma:Vergleichskette |x_0 ||3 || || || |SZ= }} durch {{ Zusatz/Klammer |text=es sollen also die Approximationen {{mathl|term= x_1,x_2,x_3|SZ=}} für {{math|term= \sqrt{7}|SZ=}} berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gwjjn96he5gc0rj0k9i49eki1zlgs8e 0 50287 783356 664330 2022-08-22T03:15:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die komplexen Zahlen {{math|term= z|SZ=,}} für die die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|z|2|2z+1|3|1|4|z|5|z}} |SZ= }} nicht invertierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oqpe7wktv5hsj1z9r75qsisd3ny4fvv 0 50307 783379 535640 2022-08-22T03:18:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= (4-7 {{Imaginäre Einheit|}})(5+3 {{Imaginäre Einheit|}}) |SZ=. }} b) Bestimme{{n Sie}} das inverse Element {{mathl|term= z^{-1}|SZ=}} zu {{mathl|term= z=3+4 {{Imaginäre Einheit|}}|SZ=.}} c) Welchen Abstand hat {{math|term= z^{-1}|SZ=}} aus Teil (b) zum Nullpunkt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=0.5 |p2=1 |p3=0.5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9nenk7qauu84xrmvvupq1zgcga20uj7 0 50319 780845 581817 2022-08-21T20:16:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine auflösbare Gruppe und {{mathl|term= H \subseteq G|SZ=}} eine Untergruppe. Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term= H|SZ=}} auflösbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jw0c9ibtt0g35hcrjylrd5dxridp8hq 0 50321 783533 573290 2022-08-22T03:44:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele Unterkörper besitzt der Kreisteilungskörper {{mathl|term= {{op:Kreisteilungskörper|13|}} |SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der dreizehnte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kiupb7kon4vfi1kb1tc2rnhsm6xn82s 0 50323 783537 757200 2022-08-22T03:45:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Kreisteilungspolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{math|term= {{op:Kreisteilungspolynom|15|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3818xhfm0yyqvyr247e4vbfsljj53ui 0 50325 786160 564968 2022-08-22T10:39:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= a \in \N|SZ=}} eine Primzahl. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \Q \subseteq \Q[ \sqrt[3]{a}]|SZ=}} eine Körpererweiterung ist, die keine Galoiserweiterung ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie2=Galoistheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} plvc9wrjj01ztezr95xf0jf2v16e5dl 0 50327 781841 755746 2022-08-21T23:02:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\Phi |{\mathbb F}_{49}|{\mathbb F}_{49} || |SZ= }} bezüglich einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath={\mathbb F}_7 |Basis| |Kontext=lineare Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {\mathbb F}_{49}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 49 Elementen |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hwltdtdc9epcm92emaekcitnv4ytu1q 0 50329 783703 571418 2022-08-22T04:13:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körpererweiterung {{ math/disp|term= \Q \subseteq \Q [\sqrt{3}, {{Imaginäre Einheit}} ] =L |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} den Grad der Körpererweiterung {{mathl|term= \Q \subseteq L|SZ=.}} b) Beschreibe{{n Sie}} eine möglichst einfache {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis von {{math|term= L|SZ=.}} c) Zeige{{n Sie}}, dass eine graduierte Körpererweiterung vorliegt. Was ist die graduierende Gruppe? d) Bestimme{{n Sie}} die {{math|term= \Q|SZ=-}}Automorphismen von {{math|term= L|SZ=.}} e) Bestimme{{n Sie}} das Minimalpolynom von {{mathl|term= \sqrt{3} + {{Imaginäre Einheit}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie3= |Objektkategorie=Der zwölfte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Punkte=9 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=2 |p5=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tjm8t8x8x6kl5nypznefigeyid0hm3x 0 50331 785810 758978 2022-08-22T09:41:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{math|term= \Q[X]/(X^3+4X^2-7)|SZ=}} das {{ Definitionslink |Inverse| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Bruch|1|3}} x+5|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= x|SZ=}} bezeichnet die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}}| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe vom Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o16qnos18ljuzwimwut3si7d2h2fv90 0 50333 783923 510403 2022-08-22T04:49:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper {{mathl|term= K={\mathbb F}_9 = {{op:Zmod|3}} [U]/(U^2+1)|SZ=,}} wobei die Restklasse von {{math|term= U|SZ=}} mit {{math|term= u|SZ=}} bezeichnet sei. {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1+2u|2|2+u|2+2u }} {{op:Spaltenvektor|x|y}} = {{op:Spaltenvektor|1+u| 1 +2u}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34g07w2yyu767mxie2najm0r3bw7ga3 0 50368 781038 294771 2022-08-21T20:48:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Compute the definite integral of the function {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} 2x^3 +3e^x - {{op:sin|x|}} |SZ=, }} on {{mathl|term= [-1,0]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jiq54jecma68blhg0bzq3gk9eelln7w 0 50369 781042 509871 2022-08-21T20:49:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Compute the definite integral of the function {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_+|\R |x|f(x) {{=|}} \sqrt{x} - {{op:Bruch|1|\sqrt{x} }} + {{op:Bruch|1|2x+3|}} -e^{-x} |SZ=, }} on {{mathl|term= [1,4]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hor9pyge40vi895jmp86zh33829l5ua 0 50425 784513 758079 2022-08-22T06:21:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Teilmengen {{math|term= T|SZ=}} der natürlichen Zahlen {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetisch repräsentierbar| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. {{ Aufzählung5 |Eine konkrete endliche Menge {{mathl|term= \{n_1 {{kommadots|}} n_k\}|SZ=.}} |Die Menge aller Vielfachen von {{math|term= 5|SZ=.}} |Die Menge der Primzahlen. |Die Menge der Quadratzahlen. |Die Menge der Zahlen, in deren Primfaktorzerlegung jeder Exponent maximal {{math|term= 1|SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dm2ikqv9x2igny9iy68cz54xqd8m2d5 0 50426 784495 758069 2022-08-22T06:18:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Abbildungen {{ Ma:abb |name=\varphi |\N^r|\N || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetisch repräsentierbar| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. {{ Aufzählung4 |Die Addition {{ Ma:abbele/disp |name= |\N^2|\N |(x,y)|x+y |SZ=. }} |Die Multiplikation {{ Ma:abbele/disp |name= |\N^2|\N |(x,y)|x \cdot y |SZ=. }} |Die eingeschränkte Subtraktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\N^2|\N |(x,y)|{{opsyn|max|x - y, 0|tief=|hoch=}} |SZ=, }} die bei {{mathl|term= y> x|SZ=}} den Wert {{math|term= 0|SZ=}} besitzt. |Die Restfunktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\N^2|\N |(n,t)|r(n,t) |SZ=, }} die den Rest {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= t-1 |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} bei Division von {{math|term= n|SZ=}} durch {{math|term= t|SZ=}} angibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c9ducb4kpk7egdq1iqr7denzt0wmh0a 0 50427 784497 758070 2022-08-22T06:18:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\N^r|\N^s || |SZ= }} eine Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetisch repräsentierbar| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |Komponentenfunktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi_i|SZ=,}} {{mathl|term= 1 \leq i \leq s|SZ=,}} arithmetisch repräsentierbar sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m94ga0het7tnm5dzs3eur0ltmr5yp4v 0 50537 786119 759280 2022-08-22T10:32:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} für das {{ Definitionslink |Prämath= |Registerprogramm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit zwei Registern {{mathl|term= R_1,R_2|SZ=}} und leerer Anfangsbelegung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Aufzählung3 |{{math|term= 1+|SZ=}} |{{mathl|term= C(2,1)|SZ=}} |Halte an }} den zugehörigen arithmetischen Ausdruck, der die Anhalteeigenschaft beschreibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1a25algwdow91nsqy4vdikoarefrl13 0 50539 786110 759267 2022-08-22T10:31:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} für das {{ Definitionslink |Prämath= |Registerprogramm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit zwei Registern {{mathl|term= R_1,R_2|SZ=}} und leerer Anfangsbelegung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Aufzählung3 |{{math|term= 1+|SZ=}} |{{mathl|term= 2-|SZ=}} |Halte an }} den zugehörigen arithmetischen Ausdruck, der die Anhalteeigenschaft beschreibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2=Theorie der Berechenbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dr43f0i8183huaivsku50993nj2skh4 0 50548 782924 511150 2022-08-22T02:03:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine for which {{mathl|term= a \in \R|SZ=}} the function {{ math/disp|term= a \longmapsto {{op:Integral|-1|2|grand=at^2-a^2t||t}} |SZ= }} has a maximum or a minimum. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9dic3r36almqpapqoen8dfeltjske37 0 50549 780851 297208 2022-08-21T20:17:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= According to recent studies the student's attention skills during the day are described by the following function {{ Ma:abbele/disp |name= |[8,18]|\R |x|f(x) {{=|}} -x^2+25x-100 |SZ=. }} Here {{math|term= x|SZ=}} is the time in hours and {{mathl|term= y=f(x)|SZ=}} is the attention measured in micro-credit points per second. When should one start a one and a half hour lecture, such that the total attention skills are optimal? How many micro-credit points will be added during this lecture? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jot8rl9d9sxvif06zpnjt76zfgp5fou 0 50566 782346 296782 2022-08-22T00:26:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{mathl|term= x \in \R|SZ=}} and consider the function {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_+|\R |t| f(t) {{=|}} t^x e^{-t} |SZ=. }} Determine the extrema of this function. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sp14g0162msp0s5wk0josd5dz2lfkcx 0 50569 782187 511131 2022-08-22T00:00:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Prove that for {{mathl|term= x \geq 1|SZ=}} the estimate {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|1|\infty|grand=t^x e^{-t}||t}} |\leq|1 || || || |SZ= }} holds. b) Prove that the function {{mathl|term= H(x)|SZ=}} defined by {{ math/disp|term= H(x) = {{op:Integral|1|\infty|grand=t^x e^{-t}||t }} |SZ= }} for {{mathl|term= x \geq 1|SZ=}} is increasing. c) Prove that {{mathl|term= 10! \geq e^{11} +1 |SZ=.}} d) Prove that for the factorial function for {{mathl|term= x \geq 10|SZ=}} the estimate {{ math/disp|term= {{op:Fak(|x|}} \geq e^x |SZ= }} holds. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Fakultätsfunktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fd6phfrlbrmash2rz3889fc77eadozc 0 50587 783851 511168 2022-08-22T04:37:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{ math/disp|term= y'=g(t) y |SZ= }} be a homogeneous linear ordinary differential equation with a function {{mathl|term= g|SZ=}} differentiable infinitely many times and let {{math|term= y|SZ=}} be a differentiable solution. a) Prove that {{mathl|term= y|SZ=}} is also infinitely differentiable. b) Let {{mathl|term= y(t_0)=0|SZ=}} for a time-point {{math|term= t_0|SZ=.}} Prove, using the formula {{ math/disp|term= (f \cdot g)^{(n)}= \sum_{k=0}^n {{op:Binom|n|k}} f^{(k)} \cdot g^{(n-k)} |SZ=, }} that {{mathl|term= y^{(n)}(t_0)=0|SZ=}} for all {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der höheren Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 05u2w36dppafgj4zrdscum42f81va7a 0 50588 783868 296848 2022-08-22T04:40:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=}} be a real interval and let {{ Ma:abb/disp |name=g,h_1,h_2 |I|\R || |SZ= }} be functions. Let {{math|term= y_1|SZ=}} be a solution to the differential equation {{mathl|term= y'= g(t) y +h_1(t)|SZ=}} and let {{math|term= y_2|SZ=}} be a solution to the differential equation {{mathl|term= y'= g(t) y +h_2(t)|SZ=.}} Prove that {{mathl|term= y_1+y_2|SZ=}} is a solution to the differential equation {{ math/disp|term= y'= g(t)y +h_1(t) +h_2(t) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7tq0pibe1u3ase39n3ikcrwdgw4emus 0 50590 783849 298539 2022-08-22T04:37:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R_+ || |SZ= }} be a differentiable function on the interval {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=.}} Find a homogeneous linear ordinary differential equation for which {{math|term= f|SZ=}} is a solution. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} htinxt94995b8vmb70oev6i36fg6mu8 0 50605 782569 457785 2022-08-22T01:03:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Prove that a differential equation of the shape {{ math/disp|term= y'= g(t)\cdot y^2 |SZ= }} with a continuous function {{ Ma:abbele/disp |name=g |\R|\R |t|g(t) |SZ=, }} on an interval {{math|term= I'|SZ=}} has the solution {{ math/disp|term= y(t) = - \frac{1}{G(t)} |SZ=, }} where {{mathl|term= G|SZ=}} is an antiderivative of {{math|term= g|SZ=}} such that {{mathl|term= G(I') \subseteq \R_+|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k53zm2n287tfwc3usekhappyewq006c 0 50628 786575 509389 2022-08-22T11:48:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle für die rationale Funktion {{mathl|term= f(x)= {{op:Bruch|x-2|x^2(x-3)}} |SZ=}} eine Skizze, die die reelle Partialbruchzerlegung dieser Funktion darstellt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Partialbruchzerlegung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ds62dnknyx78li2dznfhexnnx4sbenp 0 50630 785899 759052 2022-08-22T09:56:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} eine Darstellung der {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 1/60|SZ=}} als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlpotenzen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tfcg4r3pn6x4nfwmu03du1gv76raxn7 0 50631 784856 758301 2022-08-22T07:10:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) || {{op:Bruch|x^3+7x^2-5x+4|x^2-3}} || || || |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Partialbruchzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= f(x)|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Stammfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= f(x)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung |Kategorie2=Theorie der Stammfunktionen rationaler Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=5 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} si6xpzvfdewodz4vlaiobotcqx7gnu5 0 50635 783487 605958 2022-08-22T03:36:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_+|\R |x|f(x) {{=|}} {{op:cos|( {{op:ln|x|}} )|}} |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die Ableitung {{math|term= f'|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} die zweite Ableitung {{math|term= f^{\prime \prime}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} prtnpvba06bx2ozvioh2qxvja1l8q3u 0 50658 782379 712494 2022-08-22T00:32:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |b,d |>|0 || || || |SZ= }} und {{math|term= d|SZ=}} fixiert. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|b|0|b^d}} || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4l73jdseln76j72np9atepknminylqt 0 50659 782380 526206 2022-08-22T00:32:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{mathl|term= b,c >0|SZ=.}} Show that {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|b|0|b^c}} =0 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie2=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} izujm3wwwd7u51moib4k89vots7gurj 106 50707 779725 579089 2022-08-21T17:13:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Vorlesungsgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|term=Algebraische Kurven – Einige Beispiele}} Was ist eine algebraische Kurve? Zum Beispiel das, was auf den folgenden schönen Bildern zu sehen ist: {{:Algebraische Kurven/Einführung/Gallerie}} Nun kann man natürlich viel malen. Schön sind auch die folgenden Kurven, doch das sind keine algebraischen Kurven: {{ inputbild |Cicloide|svg| 200px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Elborgo |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Logarithmic spiral|png| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Logarithmic_spiral |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Sin|svg| 200px {{!}} {{!}} |Autor=Keytotime |Benutzer=Ysae |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Quadratic Koch|png| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Quadratic_Koch |Autor=Alexis Monnerot-Dumaine |Benutzer=Prokofiev |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} Das {{Anführung|algebraisch}} in algebraische Kurve kommt daher, dass zu ihrer Definition nur algebraische Operationen verwendet werden dürfen, d.h. Addition und Multiplikation, nicht aber analytische Prozesse wie Limes nehmen, unendliche Summen, Approximieren, Differenzieren und Integrieren. Die erlaubten Abbildungen in unserem Kontext sind durch Polynome in mehreren Variablen gegeben. In den obigen Bildern geht es um ebene algebraische Kurven, die durch ein Polynom in zwei Variablen definiert werden. Die beiden ersten Bilder sind {{Stichwort|Graphen|msw=Graph}} zu einer polynomialen Funktion in einer Variablen, sie werden beschrieben durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y || P(X) || || || |SZ= }} wobei im ersten Bild {{ Ma:Vergleichskette |P(X) ||X || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=es liegt also ein lineares Polynom vor| |ISZ=|ESZ= }} und im zweiten Bild etwas wie {{ Ma:Vergleichskette/disp | P(X) || a_4X^4+a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0 || || || |SZ= }} mit gewissen Koeffizienten {{math|term=a_i}} aus einem Körper {{math|term=K}} vorliegt. In der algebraischen Geometrie fixiert man einen {{Stichwort|Grundkörper}} {{math|term=K|SZ=.}} Wichtige Körper sind für uns die {{Stichwort|reellen Zahlen|msw=Reelle Zahlen}} {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere sind die Bilder so zu verstehen| |ISZ=!|ESZ= }} oder die {{Stichwort|komplexen Zahlen|msw=Komplexe Zahlen}} {{math|term={{CC}} |SZ=.}} Ein solcher Graph ist insofern ein einfaches Gebilde, dass es zu jedem Wert für {{math|term=X}} genau einen Wert für {{math|term=Y}} {{ Zusatz/Klammer |text=den Funktionswert| |ISZ=|ESZ= }} gibt, und den man auch noch einfach ausrechnen kann, wenn man im gegebenen Körper rechnen kann. Der Graph ist in gewissem Sinne eine {{anführung|gebogene}} Kopie der Grundlinie, der {{math|term=X|SZ=-}}Achse. Betrachten wir das dritte Bild. Das ist der Graph einer {{Stichwort|rationalen Abbildung|msw=Rationale Abbildung|SZ=,}} d.h. man hat zwei Polynome {{mathl|term=P,Q}} in einer Variablen {{math|term=X}} und schaut sich den Quotienten {{mathl|term= {{op:Bruch|P(X)|Q(X)}} |SZ= }} an. Dieser Ausdruck macht nur dort Sinn, wo der Nenner nicht null ist. An den Nullstellen des Nennerpolynoms ist die rationale Funktion nicht definiert {{ Zusatz/Klammer |text=wenn Nenner und Zähler an der gleichen Stelle beide null sind, so kann man durch kürzen manchmal erreichen, dass der Quotient auch an dieser Stelle einen Sinn bekommt| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn der Nenner null ist, der Zähler aber nicht, so ist die Undefiniertheitsstelle ein {{Anführung|Pol}} {{ Zusatz/Gs |text=der reelle Graph strebt nach {{math|term=+ \infty }} bzw. {{math|term=-\infty}}| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist verlockend zu sagen, dass der Wert der rationalen Funktion an diesen undefinierten Stellen {{Anführung|unendlich}} ist, und im Kontext der projektiven Geometrie macht das durchaus Sinn, wie wir später sehen werden. Die {{Anführung|Graphengleichung}} {{ Ma:Vergleichskette | Y || {{op:Bruch|P(X)|Q(X)}} || || || |SZ= }} ist jedenfalls wegen den Undefinierbarkeitsstellen keine optimale Beschreibung für die Kurve. Wenn man sie hingegen mit dem Nenner multipliziert, so erhält man die Bedingung {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Gleichung}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= Y Q(X) = P(X) \text{ bzw. genauer } {{Mengebed|(x,y) \in K^2| yQ(x) {{=|}} P(x) |}} |SZ=, }} in der links und rechts wohldefinierte Polynome stehen. Die {{Stichwort|Erfüllungsmenge}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Lösungsmenge|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist eindeutig definiert, wobei bei {{ Ma:Vergleichskette |Q(x) ||0 || || || |SZ= }} für ein bestimmtes {{math|term=x}} die linke Seite {{math|term=0|SZ=}} ist, und es dann dort bei {{ Ma:Vergleichskette |P(x) | \neq |0 || || || |SZ= }} keine Lösung gibt {{ Zusatz/Klammer |text=wie im Bild| |ISZ=|ESZ= }} und bei {{ Ma:Vergleichskette |P(x) ||0 || || || |SZ= }} jeder {{math|term=Y|SZ=-}}Wert erlaubt ist. In letzterem Fall gehört also eine zur {{math|term=X|SZ=-}}Achse senkrechte Gerade durch {{mathl|term=(x,0)}} zu dem Gebilde. {{inputbeispiel|Ebene affine Kurven/Hyperbel/zur Einführung/Beispiel|}} Das vierte Bild ist ein {{Stichwort|Kreis|SZ=,}} seine Gleichung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |K || {{Mengebed|(x,y)| x^2+y^2 {{=}} r^2}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term=r}} den Radius des Kreises bezeichnet. Schon das Bild zeigt, dass dieses Gebilde nicht der Graph einer Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=Abbildung| |ISZ=|ESZ= }} sein kann, da bei einem Graphen zu einem {{math|term=x|SZ=-}}Wert stets genau ein {{math|term=y|SZ=-}}Wert gehört. Man kann aber keine Funktion finden mit {{mathl|term=y=\varphi(x)}} und {{mathl|term=K={{Mengebed| (x,\varphi(x))| x \in \R }} |SZ=.}} Die Frage, ob man ein algebraisches Lösungsgebilde als einen Graphen realisieren kann, ist äquivalent dazu, ob man die definierende Gleichung nach {{math|term=y}} {{Anführung|auflösen}} kann. Im Beispiel kann man {{ Ma:Vergleichskette |y^ 2 ||r^2-x^2 || || || |SZ= }} und damit {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || \sqrt{r^2-x^2} || \sqrt{(r-x)(r+x)} || || |SZ= }} schreiben. Ist es also doch ein Graph? Hier gibt es zwei Interpretationen: {{ Auflistung2 |Wenn man sich auf reelle Zahlen und auf positive Wurzeln beschränkt, so hat man im letzten Schritt keine Äquivalenzumformung durchgeführt, und Information {{anführung|hinzugefügt|SZ=,}} die in der ursprünglichen Gleichung nicht vorhanden war. Die positive Wurzel zu nehmen bedeutet, sich auf den oberen Halbkreis zu beschränken (Information, also Bedingungen hinzufügen, bewirkt, dass die Lösungsmenge verkleinert wird). |Wenn man stattdessen unter {{math|term=\sqrt{\, } }} alle Lösungen berücksichtigt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. im Reellen die positive und die negative Quadratwurzel, was man häufig als {{math|term= \pm \sqrt{\, } }} schreibt| |ISZ=|ESZ=, }} so hat man keine Information hinzugetan, aber auch nicht nach einer Funktion aufgelöst {{ Zusatz/Klammer |text=sondern nur, wie man manchmal sagt, nach einer {{Anführung|mehrwertigen Funktion|SZ=| |ISZ=|ESZ=. }} }} }} Beide Standpunkte haben etwas für sich. Dass man für einen Teil des geometrischen Objektes {{ Zusatz/Klammer |text=dem oberen Halbbogen| |ISZ=|ESZ= }} versucht, eine einfache Beschreibung als Graphen zu finden, kehrt im Satz über implizite Funktionen, im Potenzreihenansatz, in Parametrisierungen und in der lokalen Theorie wieder. {{Zwischenüberschrift|term=Gleichungen der Form {{mathl|term=Y^2=G(X)}} }} {{ inputbild |Newtonbig|gif| {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Pokipsy76 |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |GodfreyKneller-IsaacNewton-1689|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |Text= [[w:Isaac Newton|Isaac Newton (1643–1727)]] |Autor=Godfrey Kneller |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine Kreisgleichung kann man auffassen als eine Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y^2 || G(X) || || || |SZ=, }} wobei {{math|term=G}} ein Polynom in der einen Variablen {{math|term=X}} bezeichnet {{ Zusatz/Klammer |text=im Fall eines Kreises ist {{mathlk|term=G=-X^2+1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Das ist kein Graph, aber die {{anführung|Wurzel}} eines Graphen. Betrachten wir generell eine solche Situation, wo {{mathl|term=G(X)}} komplizierter sein darf. Das Lösungsmenge repräsentiert hier die Quadratwurzel {{mathl|term=\sqrt{G(X)}|SZ=.}} Wenn man sich für {{math|term=X}} einen beliebigen Wert {{math|term=x}} vorgibt, so gibt es {{ Zusatz/Klammer |text=im Reellen| |ISZ=|ESZ= }} drei Möglichkeiten für zugehörige Lösungen: {{ Auflistung3 |Wenn {{mathl|term=G(x)}} negativ ist, so gibt es keine Lösung. |Wenn {{mathl|term=G(x)=0}} ist, so gibt es genau die Lösung {{mathl|term=y=0|SZ=.}} |Wenn {{mathl|term=G(x)}} positiv ist, so gibt es die zwei Lösungen {{mathl|term=y= \pm \sqrt{G(x)}|SZ=.}} }} Das gibt auch einen Ansatz, wie das reelle Bild aussieht: Für jedes {{math|term=x}} berechnet man {{mathl|term=G(x)}} und markiert bei {{mathl|term=(x,\pm \sqrt{G(x)}) }} {{ Zusatz/Klammer |text=falls {{mathlk|term=G(x)|SZ=}} nichtnegativ ist| |ISZ=|ESZ= }} einen Punkt. Im Komplexen sind nur die Fälle {{mathl|term=G(x)=0}} oder {{mathl|term=G(x) \neq 0}} zu unterscheiden. Wenn {{math|term=G}} selbst nur den Grad zwei besitzt, so handelt es sich um einen {{Stichwort|Kegelschnitt|SZ=,}} die schon in der Antike betrachtet wurden. Mit dem Fall, dass {{mathl|term=G(X)}} ein kubisches {{ Zusatz/Klammer |text=reelles| |ISZ=|ESZ= }} Polynom ist {{ Zusatz/Klammer |text=also den Grad drei besitzt| |ISZ=|ESZ=, }} hat sich Isaac Newton intensiv beschäftigt. Dieses Beispielmaterial ist schon sehr reichhaltig. {{ inputbild |ECexamples01|png| 300px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Dake |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Betrachten wir den Fall {{mathl|term=G(X)=X^3|SZ=,}} also das durch {{ math/disp|term= {{Mengebed|(x,y)| y^2 {{=}} x^3 }} }} beschriebene Gebilde. Dieses Gebilde nennt man die {{Stichwort|Neilsche Parabel|SZ=.}} Hier tritt ein neues Phänomen auf, nämlich, dass der Nullpunkt anders ist als alle anderen Punkte. Man spricht von einer {{Stichwort|Singularität|SZ=;}} im Gegensatz dazu nennt man die anderen Punkte {{Stichwort|glatt}} oder {{Stichwort|nicht-singulär|SZ=.}} Eine genaue Definition zu geben ist Teil dieses Kurses, als erste ungenaue Formulierung kann man sagen, dass eine Kurve in einem glatten Punkt lokal und in geeigneten Koordinaten so aussieht wie der {{ Zusatz/Klammer |text=gedrehte| |ISZ=|ESZ= }} Graph einer differenzierbaren Funktion. Die Singularität in der Neilschen Parabel nennt man auch eine {{Stichwort|Spitze}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine {{Stichwort|Kuspe|SZ=,}} was einfach Spitze bedeutet| |ISZ=|ESZ=. }} Dagegen ist die Singularität im Bild 8 ein {{Stichwort|Kreuzungspunkt}} oder {{Stichwort|Doppelpunkt|SZ=.}} Im Bild 7 vom Anfang und oben sieht man ebenfalls die Lösungsmenge einer polynomialen Gleichung der Form {{mathl|term=Y^2=G(X)|SZ=,}} wobei {{mathl|term=G(X)}} ein Polynom vom Grad drei ist. Wie sieht {{mathl|term=G(X)}} aus, damit sich solch eine Kurve ergibt? Die zuletzt genannten Beispiele zeigen auch, dass es von der genauen Gestalt von {{mathl|term=G(X)}} abhängt, ob die Kurve eine Singularität besitzt oder nicht. Bleiben wir noch bei der Neilschen Parabel {{math|term=C|SZ=.}} Wenn {{math|term=t }} irgendeine reelle oder komplexe Zahl ist, so liegt der Punkt mit den Koordinaten {{mathl|term=(x,y)= {{makl| t^2,t^3 |}} }} stets auf der Neilschen Parabel, da ja {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| t^2 |}}^3 || t^6 || {{makl| t^3 |}}^2 || || |SZ= }} ist. Man kann auch umgekehrt zeigen, dass jeder Punkt der Neilschen Parabel eine solche Gestalt besitzt, dass es also zu {{mathl|term=(x,y)}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 ||x^3 || || || |SZ= }} ein {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar genau ein| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term=t}} mit {{ Ma:Vergleichskette | (x,y) || (t^2,t^3) || || || |SZ= }} gibt. Man sagt, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|C |t| (t^2,t^3) |SZ=, }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=bijektive polynomiale| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|Parametrisierung}} der Neilschen Parabel ist. Es ist eine nicht-triviale Frage, welche algebraischen Kurven eine polynomiale Parametrisierung besitzen. Eine Kurve, die durch eine Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||G(X) || || || |SZ= }} gegeben ist, die glatt ist und wo {{math|term=G}} den Grad drei hat, besitzt keine solche Parametrisierung. In der elementaren Zahlentheorie lernt man, dass alle {{Stichwort|pythagoreischen Tripel|msw=Pythagoreisches Tripel}} auf eine einfache übersichtliche Gestalt gebracht werden können. Äquivalent dazu ist eine {{ Zusatz/Klammer |text=rationale| |ISZ=|ESZ= }} Parametrisierung des rationalen Einheitskreises. Siehe [[Mathematik/Einführender Text/Pythagoreische Tripel und der Einheitskreis/Vortrag|hier]]. {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe}} Nach diesen einführenden Beispielen fixieren wir ein paar Begrifflichkeiten, die wahrscheinlich schon bekannt sind. {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|}} Darauf aufbauend kann man auch Polynomringe in mehreren Variablen definieren. Man setzt {{ math/disp|term= K[X,Y] {{defeq}} (K[X] )[Y], \, K[X,Y,Z] {{defeq}} (K[X,Y])[Z] |SZ=, }} etc. Ein Polynom in {{math|term=n}} Variablen hat die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || \sum_{(\nu_1, \ldots ,\nu_n)} a_{(\nu_1, \ldots ,\nu_n)} X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} || || || |SZ=. }} Es wird dabei summiert über eine endliche Summe von {{Stichwort|Exponententupel}} {{mathl|term=(\nu_1 {{kommadots}} \nu_n)|SZ=.}} Die Ausdrücke {{mathl|term= X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} }} nennt man auch {{Stichwort|Monome|msw=Monom|SZ=.}} Ein Polynom schreibt man zumeist abkürzend als {{mathl|term=F=\sum_{\nu} a_{\nu} X^{\nu}|SZ=.}} Das Produkt von zwei Monomen bedeutet Addition der Exponententupel, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} |}} \cdot {{makl| X_1^{\mu_1} \cdots X_n^{\mu_n} |}} |{{defeq}}| X_1^{\nu_1+\mu_1} \cdots X_n^{\nu_n+ \mu_n} || || || |SZ=. }} Für uns, im Kontext der algebraischen Geometrie, ist hauptsächlich der Fall interessant, wo der Grundring {{math|term=R}} ein Körper ist. In der algebraischen Geometrie interessiert man sich für die Gestalt von Nullstellengebilden von Polynomen in mehreren Variablen. Wir werden später sehen, dass die Beziehung zwischen algebraischen und geometrischen Eigenschaften besonders stark ist, wenn der Grundkörper algebraisch abgeschlossen ist. {{inputdefinition|Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition|}} {{ inputbild |Carl Friedrich Gauss|jpg|{{!}} 230px {{!}} right {{!}} |epsname=Carl_Friedrich_Gauss |Text=[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss (1777–1855)]] |Autor= |Benutzer=Bcrowell |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputfaktbeweisverweis|Fundamentalsatz der Algebra/Algebraisch abgeschlossen/Fakt|Satz|}} Der Fundamentalsatz der Algebra wurde erstmals von Gauss bewiesen. {{Zwischenüberschrift|term=Ebene affin-algebraische Kurven}} Wir kommen zur Definition unseres Hauptgegenstandes. {{inputdefinition|Ebene affin-algebraische Kurve/Definition|}} Man spricht auch von der {{Stichwort|Nullstellenmenge|SZ=}} zu {{math|term=F|SZ=}} oder der {{Stichwort|Varietät|SZ=}} zu {{math|term=F|SZ=}} oder der {{Stichwort|Lösungsmenge|SZ=}} zur Gleichung {{mathl|term=F=0|SZ=.}} Aus dem folgenden Lemma ergibt sich, dass die oben zuletzt angeführten Kurven nicht algebraisch sind. {{inputfaktbeweis|Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt|Lemma|}} In den obigen Beispielen gibt es aber Geraden, die die Kurven in unendlich vielen Punkten schneiden, ohne dass sie die gesamte Gerade enthalten – deshalb sind sie nicht algebraisch. }} m42lu4pz821acbllqr7xn4e3n6yp3fz 0 50780 779201 629357 2022-08-21T15:51:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette |y' ||y || || || |SZ=, }} in der {{math|term= t|SZ=}} gar nicht explizit vorkommt {{ Zusatz/Klammer |text=solche Differentialgleichungen nennt man zeitunabhängig| |ISZ=|ESZ=. }} Durch diese Differentialgleichung werden Wachstumsprozesse beschrieben, bei denen beispielsweise der Zuwachs gleich der Bevölkerung ist. Gesucht ist also nach einer Funktion {{mathl|term= y(t)|SZ=,}} die differenzierbar ist und die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion {{ Ma:Vergleichskette |y(t) || e^t || || || |SZ= }} diese Eigenschaft besitzt. Ebenso ist jede Funktion {{mathl|term= a e^t|SZ=}} mit einem festen {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R || || || |SZ= }} eine Lösungsfunktion. Wenn der Zuwachs zur Bevölkerung proportional ist, so führt dies zur Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' ||cy || || || |SZ= }} mit einer festen Zahl {{math|term= c|SZ=.}} In diesem Fall sind {{ Ma:Vergleichskette |y(t) || a e^{ct} || || || |SZ= }} die Lösungen. Bei {{ Ma:Vergleichskette |c |>|0 || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|exponentiellem Wachstum|msw=Exponentielles Wachstum|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |c |<|0 || || || |SZ= }} von {{Stichwort|exponentiellem Verfall|msw=Exponentieller Verfall|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sqburki7h0t43ncnbe8telz107ptde6 0 50782 779200 628800 2022-08-21T15:51:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette |y' || yt || || || |SZ=. }} Gesucht ist also nach einer Funktion {{mathl|term= y(t)|SZ=,}} die differenzierbar ist und deren Ableitung die Gestalt {{mathl|term= y(t) t|SZ=}} besitzt. Hier ist nicht unmittelbar klar, wie eine Lösung aussieht und wie man sie findet. Durch Probieren findet man die Lösung {{ Ma:Vergleichskette |y(t) ||e^{ {{op:Bruch|1|2}} t^2 } || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m2732gs13cu5q3yhbpu6bvp265ctvtq 0 50794 778942 763136 2022-08-21T15:10:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |ortsunabhängige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y'= {{op:Bruch|1|t^2-1}} \text{ mit der Anfangsbedingung } y(5)= 3 |SZ=. }} Die Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1|t^2-1}} |SZ=}} besitzt die{{{zusatz1|}}} {{ Definitionslink |Prämath= |Partialbruchzerlegung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|t^2-1}} ||{{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:Bruch|1|t-1}} - {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:Bruch| 1|t + 1}} || || || |SZ=, }} daher sind die Stammfunktionen {{ Zusatz/Klammer |text=wir beschränken uns auf {{ Ma:Vergleichskette/k |t |>|1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |y(t) ||{{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:ln|(t-1)|}} - {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:ln|( t +1) }} +c || || || |SZ=. }} Die Anfangsbedingung {{ Ma:Vergleichskette | y(5) || 3 || || || |SZ= }} führt auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:ln|4|}} - {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:ln|6}} +c || 3 || || || |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |c || 3 - {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:ln|4|}} + {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:ln|6}} || || || |SZ= }} und die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | y(t) || {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:ln|(t-1)|}} - {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:ln|(t+1)}} + 3 - {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:ln|4|}} + {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:ln|6}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ortsunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fgf4na9eclwsq0rt9852qmkmw85d1mp 0 50814 780861 754962 2022-08-21T20:18:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^{\rm ar}|SZ=}} eine Ausdrucksmenge, die {{ Definitionslink |Prämath= |Repräsentierungen erlaube| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jede größere Ausdrucksmenge {{mathl|term= \Gamma' \supseteq \Gamma|SZ=}} ebenfalls Repräsentierungen erlaubt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tlxltbh1g1jfohk3lm6njnbm4vktj70 0 50826 778882 555952 2022-08-21T15:00:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer Ausdrucksmenge {{math|term= \Gamma|SZ=}} kann man die Menge {{ math/disp|term= {{Mengebed|GN({{logprop|}})|\Gamma \vdash {{logprop|}} }} |SZ= }} betrachten, also die Menge der Gödelnummern von Ausdrücken, die aus {{math|term= \Gamma|SZ=}} ableitbar sind. Dies ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, daher kann man auf diese Menge den Begriff der Repräsentierbarkeit anwenden. Eine natürliche Frage ist, ob diese Menge in {{math|term= \Gamma|SZ=}} selbst repräsentierbar ist und welche Konsequenzen das hat. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p44ru5qya06wtnlcn5b16sr1viubg9v 0 50841 786576 406434 2022-08-22T11:48:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall {{mathl|term= [6,22]|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in Stunden| |ISZ=|ESZ= }} durch die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[6,22] | \R |t|f(t) {{=|}} -t^3+27t^2-120t |SZ=, }} beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sqbgowv04d2148y8via7085n7pvrti6 0 50875 780040 773010 2022-08-21T18:01:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum mit Zariski-Topologie/Definition|}} Die Elemente in einem {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum {{mathl|term= {{op:KSpek|R|}} }} betrachten wir als Punkte und bezeichnen sie üblicherweise mit {{math|term= P }}, obwohl es definitionsgemäß Abbildungen sind, nämlich {{math|term= K |SZ=-}}Algebrahomomorphismen von {{math|term= R }} nach {{math|term= K |SZ=.}} Für ein Ringelement {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| R || || || |SZ= }} schreiben wir dann auch einfach {{mathl|term= f(P) }} {{ Zusatz/Klammer |text=statt {{mathlk|term= P(f) }}| |ISZ=|ESZ= }} für den Wert von {{math|term= f }} unter dem mit {{math|term= P }} bezeichneten Ringhomomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=es ist nicht unüblich, einen Punkt als eine Auswertung von Funktionen anzusehen, die in einer gewissen Umgebung des Punktes definiert sind| |ISZ=|ESZ=. }} Das {{math|term= K|SZ=-}}Spektrum wird wieder mit einer {{Stichwort|Zariski-Topologie}} versehen, wobei zu einem Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder zu einer beliebigen Teilmenge aus {{math|term= R}}| |ISZ=|ESZ= }} die Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp | V( {{ideala}} ) || {{Mengebed| P \in {{op:KSpek|R|}} |f(P) {{=}} 0 \text{ für alle } f \in {{ideala}} }} || || || |SZ= }} als abgeschlossen erklärt wird. In der Tat wird dadurch eine Topologie definiert, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum mit Zariski-Topologie/Ist Topologie/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die komplementären offenen Mengen werden mit {{math|term= D( {{ideala|}} )|SZ=}} bezeichnet. {{inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt|Lemma| }} {{inputbeispiel |Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/von K ist Punkt/Beispiel|}} Entscheidend ist nun der folgende Satz, der eine bijektive Beziehung zwischen dem {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum von {{math|term= R}} und dem Nullstellengebilde stiftet, das von einer Restklassendarstellung von {{math|term= R }} herrührt. {{inputfaktbeweis |Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt|Satz| |}} Dieser Satz besagt also, dass man jedes {{math|term= K|SZ=-}}Spektrum einer endlich erzeugten {{math|term= K |SZ=-}}Algebra {{math|term= R |SZ=}} mit einer Zariski-abgeschlossenen Menge eines {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ= }} identifizieren kann. Man spricht von einer {{Stichwort|abgeschlossenen Einbettung|msw=Abgeschlossene Einbettung|SZ=.}} {{inputfaktbeweis|Endlich erzeugte K-Algebren/Nullenstellengebilde zu verschiedenen Restklassendarstellungen sind isomorph/über K-Spektrum/Fakt|Korollar| |}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8ret62wk9s2hl7u731kvzx262ydlf2q 780042 780040 2022-08-21T18:02:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum mit Zariski-Topologie/Definition|}} Die Elemente in einem {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum {{mathl|term= {{op:KSpek|R|}} }} betrachten wir als Punkte und bezeichnen sie üblicherweise mit {{math|term= P |SZ=,}} obwohl es definitionsgemäß Abbildungen sind, nämlich {{math|term= K |SZ=-}}Algebrahomomorphismen von {{math|term= R }} nach {{math|term= K |SZ=.}} Für ein Ringelement {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| R || || || |SZ= }} schreiben wir dann auch einfach {{mathl|term= f(P) }} {{ Zusatz/Klammer |text=statt {{mathlk|term= P(f) }}| |ISZ=|ESZ= }} für den Wert von {{math|term= f }} unter dem mit {{math|term= P }} bezeichneten Ringhomomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=es ist nicht unüblich, einen Punkt als eine Auswertung von Funktionen anzusehen, die in einer gewissen Umgebung des Punktes definiert sind| |ISZ=|ESZ=. }} Das {{math|term= K|SZ=-}}Spektrum wird wieder mit einer {{Stichwort|Zariski-Topologie}} versehen, wobei zu einem Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder zu einer beliebigen Teilmenge aus {{math|term= R}}| |ISZ=|ESZ= }} die Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp | V( {{ideala}} ) || {{Mengebed| P \in {{op:KSpek|R|}} |f(P) {{=}} 0 \text{ für alle } f \in {{ideala}} }} || || || |SZ= }} als abgeschlossen erklärt wird. In der Tat wird dadurch eine Topologie definiert, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum mit Zariski-Topologie/Ist Topologie/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die komplementären offenen Mengen werden mit {{math|term= D( {{ideala|}} )|SZ=}} bezeichnet. {{inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt|Lemma| }} {{inputbeispiel |Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/von K ist Punkt/Beispiel|}} Entscheidend ist nun der folgende Satz, der eine bijektive Beziehung zwischen dem {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum von {{math|term= R}} und dem Nullstellengebilde stiftet, das von einer Restklassendarstellung von {{math|term= R }} herrührt. {{inputfaktbeweis |Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt|Satz| |}} Dieser Satz besagt also, dass man jedes {{math|term= K|SZ=-}}Spektrum einer endlich erzeugten {{math|term= K |SZ=-}}Algebra {{math|term= R |SZ=}} mit einer Zariski-abgeschlossenen Menge eines {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ= }} identifizieren kann. Man spricht von einer {{Stichwort|abgeschlossenen Einbettung|msw=Abgeschlossene Einbettung|SZ=.}} {{inputfaktbeweis|Endlich erzeugte K-Algebren/Nullenstellengebilde zu verschiedenen Restklassendarstellungen sind isomorph/über K-Spektrum/Fakt|Korollar| |}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} d2a7ujf84yj0lnnffnwv0z8t7jps8qc 0 50943 780029 773295 2022-08-21T18:00:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Projektive Varietäten/Über Körper/Nullstellengebilde zu homogenen Polynomen/Definition|}} Eine projektive Varietät {{math|term= Y |SZ=}} ist also die Nullstellenmenge im projektiven Raum einer {{ Zusatz/Klammer |text=endlichen| |ISZ=|ESZ= }} Menge von homogenen Polynomen. Über die induzierte Topologie ist eine projektive Varietät wieder mit einer Zariski-Topologie versehen. Die offenen Mengen haben wieder die Form {{mathl|term= D_+({{idealb}}) |SZ=}} zu einem homogenen Ideal {{math|term= {{idealb|}} |SZ=}} aus {{mathl|term= K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} bzw. aus dem Restklassenring {{mathl|term= K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]/{{ideala}} |SZ=,}} den man auch den {{Stichwort|homogenen Koordinatenring|msw=Homogener Koordinatenring}} zu {{mathl|term= V_+({{ideala}}) |SZ=}} nennt. Insbesondere definiert jedes homogene Element {{ Ma:Vergleichskette | F |\in| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} eine offene Menge {{ Ma:Vergleichskette | D_+(F) |\subseteq| Y || || || |SZ=. }} {{inputfaktbeweis|Projektive Varietät/Wird überdeckt von affinen Varietäten/Fakt|Lemma|||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der projektiven Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} pddiaes3piz7cqmxskcy43yf4sfbbat 0 50961 779017 750985 2022-08-21T15:22:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' ||ay +b || || || |SZ= }} mit Konstanten {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|\R || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | z(t) || e^{at} || || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Lösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} müssen wir daher eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= b e^{-at}|SZ=}} bestimmen. Diese sind durch {{mathl|term= - {{op:Bruch|b|a}} e^{-at} +c|SZ=}} gegeben. Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl|- {{op:Bruch|b|a}} e^{-at} +c|}} \cdot e^{at} || c \cdot e^{at} - {{op:Bruch|b|a}} || || || |SZ=. }} {{ inputbild |Cup of coffee 5084862159|jpg|230px {{!}} right {{!}} |epsname=Cup_of_coffee_5084862159 |Text=Lieber den Kaffee trinken, bevor er gemäß einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung die Außentemperatur angenommen hat. |Autor=Jason Walsh |Benutzer=Lobo |Domäne= |Lizenz=CC-by-2.0 |Bemerkung= }} Eine solche Differentialgleichung tritt bei Abkühlungsprozessen auf. Wenn ein {{ Zusatz/Klammer |text=heißer| |ISZ=|ESZ= }} Körper {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise eine Tasse Kaffee| |ISZ=|ESZ= }} sich in einem umgebenden Medium {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise in einem Straßencafé| |ISZ=|ESZ= }} mit konstanter Außentemperatur {{math|term= A|SZ=}} befindet, so wird die Temperaturentwicklung {{mathl|term= y(t)|SZ=}} des Körpers nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz durch die Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y'(t) || - d (y(t) - A ) || || || |SZ= }} beschrieben. Dieses Gesetz besagt, dass die Abkühlung proportional zur Differenz zwischen Außentemperatur und Körpertemperatur ist {{ Zusatz/Klammer |text=der Proportionalitätsfaktor {{ Ma:Vergleichskette |d |>|0 || || || |SZ= }} hängt von der Wärmeleitfähigkeit des Körpers ab| |ISZ=|ESZ=. }} Die Lösungen sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || c e^{-dt} + A || || || |SZ=. }} Dabei ist das {{math|term= c|SZ=}} durch eine Anfangsbedingung bestimmt, also typischerweise durch die Anfangs{{latextrenn}}temperatur des Körpers zum Zeitpunkt {{math|term= 0|SZ=.}} Für {{mathl|term= t \rightarrow +\infty|SZ=}} nimmt der Körper die Außentemperatur {{math|term= A|SZ=}} an. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2=Mathematische Physik |Kategorie3=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f766erg1n3mfre3eu73r2o2b15ruynq 0 51094 782925 756672 2022-08-22T02:03:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, für welches {{mathl|term= a \in [-2,2]|SZ=}} die Funktion {{ math/disp|term= a \longmapsto {{op:Integral|a|a+2|grand=x^3+2x^2||x}} |SZ= }} ihr globales {{ Definitionslink |Maximum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} annimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hyy3ofoy2l3amcxa8cp172jw6mw3mrq 0 51097 780444 754640 2022-08-21T19:09:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gegeben seien die {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=f |\R^2|\R^3 || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=g |\R^3|\R^2 || |SZ=, }} die durch {{ mathkor/disp|term1= f(x,y)=(x,y-x^2,y^5) |und|term2= g(x,y,z)=(2x-y,z) |SZ= }} definiert sind. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Abbildungsvorschriften der {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= f\circ g|SZ=}} und {{mathl|term= g \circ f|SZ=.}} |Sind die Abbildungen {{mathl|term= f|SZ=,}} {{mathl|term= g|SZ=}} {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2=Theorie der injektiven Abbildungen |Kategorie3=Theorie der surjektiven Abbildungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ly3xv9hiu1var8o7hmivocm42shmmj2 0 51099 782063 755959 2022-08-21T23:39:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob die folgenden Vektoren {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. {{ Aufzählung4 |{{ math|term= (-1,1,-1) |SZ=, }} {{ math|term= (0,6,4) |SZ=, }} {{ math|term= (1,2,3) |SZ=, }} im {{math|term= \R|SZ=}}-{{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \R^3|SZ=.}} |{{math|term= 1+ {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=,}} {{math|term= 1+2{{Imaginäre Einheit|}}|SZ=}} im {{math|term= \R|SZ=}}-{{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} |{{math|term= 1+{{Imaginäre Einheit|}}|SZ=,}} {{math|term= 1+2{{Imaginäre Einheit|}}|SZ=}} im {{math|term= {{CC}}|SZ=}}-{{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} |{{math|term= 1|SZ=,}} {{math|term= \sqrt{3}|SZ=}} im {{math|term= \Q|SZ=}}-{{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \R|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g3ae7uvqdzqyg32z8g7dkiriab7irli 0 51101 783832 757458 2022-08-22T04:34:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\phi |\R^3|\R^3 | {{op:Zeilenvektor|x|y|z}}|{{op:Zeilenvektor|2x+y+3z|x+4y-z|-7y+5z}} |SZ=. }} {{ManSie|Man bestimme|Bestimmen Sie}} {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= {{op:Kern|\phi|}} |SZ=}} und für {{mathl|term= {{op:Bild|\phi|}} |SZ=}} und ergänze sie zu {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=LinAlg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8vceljlldvhoxlolur2c5nybyub5ktx 0 51102 780979 755052 2022-08-21T20:38:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Vektorenfamilien {{ mathkor/disp|term1= {{basis|u|}} = {{op:Spaltenvektor|1|0|1|0}}, \, {{op:Spaltenvektor|0|1|1|0}}, \, {{op:Spaltenvektor|0|0|1|1}}, \, {{op:Spaltenvektor|1|0|0|1}} |und|term2= {{basis|v|}} = {{op:Spaltenvektor|1|0|1}}, \, {{op:Spaltenvektor|0|1|1}}, \, {{op:Spaltenvektor|0|0|1}} |SZ= }} im {{math|term= \R^4|SZ=}} bzw. {{math|term= \R^3|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Standardbasen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien mit {{math|term= {{basis|e}}_4|SZ=}} und {{math|term= {{basis|e}}_3|SZ=}} bezeichnet. Die {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^4|\R^3|SZ= }} sei durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |A || {{op:Matrix34|-2|3|2|3|-3|5|0|1|-1|2|-2|-2}} || || || |SZ= }} bezüglich der Standardbasen gegeben. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |beschreibenden Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} a) {{math|term= {{basis|e}}_4|SZ=}} und {{math|term= {{basis|v}}|SZ=,}} b) {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} und {{math|term= {{basis|e}}_3|SZ=,}} c) {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} und {{math|term= {{basis|v}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s91wtqil8qyyvxcs9yp35ugmmy2h22w 0 51104 782531 667743 2022-08-22T00:57:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einen Klärteich mit einem Fassungsvermögen von {{math|term= 2000\,\mathrm m^3|SZ=}} werden zu Beginn eines jeden Tages {{math|term= 200\,\mathrm m^3|SZ=}} Wasser eingelassen, das einen bestimmten Schadstoff in einer Volumen-Konzentration von {{math|term= 10\,\%|SZ=}} enthält und vollständig mit dem vorhandenen Wasser vermischt. Im Laufe eines Tages reduziert sich durch biologische Reaktion die vorhandene Schadstoffmenge jeweils um {{math|term= 20\,\%|SZ=.}} Gegen Ende eines Tages werden dann {{math|term= 200\,\mathrm m^3|SZ=}} Wasser aus dem Klärteich abgepumpt. Welche Schadstoffkonzentration {{ Zusatz/Klammer |text=in Prozent| |ISZ=|ESZ= }} stellt sich auf Dauer bei dem abgepumptem Wasser ein, wenn ganz am Anfang der Teich mit {{math|term= 1800\,\mathrm m^3|SZ=}} klarem Wasser gefüllt war? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Klärteich |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i4pf6f60skcjz5ecj4nevopfvzv87lk 0 51106 786549 759580 2022-08-22T11:44:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die Koeffizienten {{mathl|term= c_0,c_1 {{kommadots|}} c_5|SZ=}} der Potenzreihe {{mathl|term= \sum_{n=0}^\infty c_nx^n|SZ=,}} die das {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Produkt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Sinusreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Kosinusreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonometrischen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 346327x2x5u6y1fj8lh6cqs9pq3a1ve 0 51107 780398 754601 2022-08-21T19:01:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=|}} \frac{3e^x-4e^{2x} }{e^x-1} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{Definitionslink|Nullstellen| |Kontext=| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} und die lokalen (globalen) {{Definitionslink |Extrema| |Kontext=R| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=}} von {{math|term= f|SZ=.}} Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ch9qx5gjlid5warcl0qe7v6xfwmqtc 0 51109 781380 755397 2022-08-21T21:45:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} alle Lösungen der {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y'= {{makl| {{op:sin|t|}} -2t |}} {{makl| y^2+1 |}} , \, y > 0 |SZ=, }} mit dem {{ Faktlink |Lösungsansatz für getrennte Variablen|Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Welche Lösung hat das Anfangswertproblem {{math|term= y(0)=\pi|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1g0z0wzpgcjvn052eeh9f5grcjx82ki 0 51110 783869 757494 2022-08-22T04:40:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Lösungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |inhomogenen linearen Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y' = (t+2)y+t {{op:exp|{{makl|\frac{1}{2}t^2+2t|}}|}} |SZ=. }} Welche Lösung hat das Anfangswertproblem {{math|term= y(1)=\pi|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wqz3zyqlrnnvoryti2mzkcwwz7kzlg 0 51201 780056 752327 2022-08-21T18:04:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x^2-y^3,xy) |SZ= }} und den Weg {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[-3,4]|\R^2 |t|(t^2,t^3-5t) |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \gamma|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\gamma'(t) ||(2t , 3t^2-5) || || || |SZ=. }} Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich {{ Ma:Vergleichskette/align | \int_\gamma F || \int_{-3}^5 {{op:Skalarprodukt|F| \gamma'(t)}} dt ||\int_{-3}^5 {{mak|\gamma_1(t)^2 - \gamma_2(t)^3|}} \cdot \gamma_1'(t) + \gamma_1(t) \gamma_2(t) \cdot \gamma_2'(t) dt ||\int_{-3}^5 {{mak| t^4 - (t^3-5t)^3|}} \cdot 2t + t^2 (t^3-5t) \cdot (3t^2-5) dt ||\int_{-3}^5 {{mak|t^4-t^9 + 15 t^7 - 75 t^5 + 125 t^3|}} 2t + t^2 {{mak|3t^5 -5t^3-15t^3+25t|}} dt ||\int_{-3}^5 2t^5-2t^{10} + 30 t^8 - 150 t^6 + 250 t^4 +3t^7 -20t^4+25t^3 dt ||\int_{-3}^5 -2t^{10} + 30 t^8 +3t^7 - 150 t^6 + 2t^5 + 230 t^4 +25t^3 dt |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hjecdaufk1n8gnl9qolscixxoa84c7f 0 51211 778722 762650 2022-08-21T12:45:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_n|SZ=}} die Komponentenfunktionen von {{math|term= F|SZ=}} und {{mathl|term= \gamma_1 {{kommadots|}} \gamma_n|SZ=}} die Komponentenfunktionen von {{math|term= \gamma|SZ=.}} Dann gilt mit der Substitution {{ Ma:Vergleichskette/disp |t || g(s) || || || |SZ= }} unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \int_\gamma F || \sum_{i {{=}} 1}^n \int_a^b F_i {{makl| \gamma_1(t) {{kommadots|}} \gamma_n(t) |}} \cdot \gamma_i'(t)dt || \sum_{i {{=}} 1}^n \int_c^d F_i {{makl| \gamma_1(g(s) ) {{kommadots|}} \gamma_n( g(s) ) |}} \cdot \gamma_i'(g(s)) \cdot g'(s) ds || \sum_{i {{=}} 1}^n \int_c^d F_i {{makl| \tilde{\gamma}_1(s) {{kommadots|}} \tilde{\gamma}_n(s) |}} \cdot \tilde{\gamma}_i'(s) ds || \int_{\tilde{\gamma} } F |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1i2q9iujst34q57ntabdydsrkcqqz0b 0 51213 780013 738003 2022-08-21T17:57:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |\R^2|\R^2 |(x,y)|(-y,x) |SZ= }} und den Weg {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[0,2 \pi ]|\R^2 |t|( {{op:cos|t|}} , {{op:sin|t|}}) |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \gamma|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma'(t) || (- {{op:sin|t|}} , {{op:cos|t|}} ) || || || |SZ=. }} Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich {{ Ma:Vergleichskette/align | \int_\gamma F || \int_{0}^{2 \pi} {{op:Skalarprodukt|F(\gamma(t))| \gamma'(t)}} dt || \int_{0}^{2 \pi} {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor|- {{op:sin|t|}} | {{op:cos|t|}} }} | {{op:Spaltenvektor|- {{op:sin|t|}} | {{op:cos|t|}} }} | }} dt || \int_{0}^{2 \pi} {{op:sin|t|pot=2}} + {{op:cos|t|pot=2}} dt || \int_{0}^{2 \pi} 1 dt || 2 \pi || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ia5qtv9rztwmfrg9p51s22d0jtmpot 0 51227 786304 738903 2022-08-22T11:03:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | \R^2 | \R |(x,y)|xy |SZ=, }} {{ Aufzählung6 |im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (2,5)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (0,1)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (2,3)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (-1,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (3,7)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (5,-4)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nskpidbhc6wvb8wxijgcxf7a5cq82rw 0 51228 786300 738905 2022-08-22T11:02:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f | \R | \R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|\R || || || |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} in Richtung {{math|term= 1|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=Richtung, R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dass dann die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Richtungsableitung|f|P|1}} ||f'(P) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m803e4ap4eejjnqh3flhv3d5cc5albg 0 51229 786305 738915 2022-08-22T11:03:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | \R^2 | \R |(x,y)|x^2 {{op:sin|y|}} -e^{x} y -x |SZ=, }} {{ Aufzählung8 |im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (0,1)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (2,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,-3)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (1,1)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,1)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (-1, {{op:Bruch|1|2}})|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (5,7)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (5,7)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2iqwn7eryxcw7vco6lnabfncv36l6w 0 51231 786301 738917 2022-08-22T11:03:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Richtungsableitungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= r_i \in \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^n | \R |(x_1 {{kommadots|}} x_n)| x_1^{r_1} {{cdots|}} x_n^{r_n} |SZ=, }} in einem Punkt {{ math/disp|term= a = (a_1 {{kommadots|}} a_n) |SZ= }} in Richtung {{ math/disp|term= v = (v_1 {{kommadots|}} v_n) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sj5s5xpsfapp8nly381z2al2k7yi1h6 0 51232 786302 738919 2022-08-22T11:03:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, unter Verwendung von {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Richtungsableitung/R/Monom in beliebige Richtung/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass zu einer {{ Definitionslink |polynomialen Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | \R^n | \R | {{op:Zeilenvektor1n|x}} |\varphi {{op:Zeilenvektor1n|x}} |SZ=, }} zu einer fixierten Richtung {{mathl|term= v \in \R^n |SZ=}} die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung|\varphi||v}} |SZ=}} existiert und selbst polynomial ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der höheren Richtungsableitungen (R) |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qg26885x1af6cm6noi4p6ozyozzqjlq 0 51271 778554 762476 2022-08-21T12:20:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die Implikation {{mathl|term= (1) \Rightarrow (2)|SZ=}} folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gradientenfeld/Wegintegral/Berechnung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei umgekehrt die Eigenschaft {{math|term= (2)|SZ=}} erfüllt. Wir geben eine auf {{math|term= U |SZ=}} definierte Funktion {{math|term= {{{h|h}}} |SZ=}} an, die differenzierbar ist und deren {{ Definitionslink |Prämath= |Gradientenfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|U || || || |SZ= }} fixiert. Für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |Q |\in|U || || || |SZ= }} gibt es einen {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbaren Weg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Aus der Existenz eines verbindenden stetigen Weges folgt die Existenz eines verbindenden stetig differenzierbaren Weges. Man könnte also auch diese Eigenschaft als Definition für zusammenhängend nehmen| |ISZ=.|ESZ= }} }} {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[a,b]|U || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= \gamma(a)=P |und|term2= \gamma(b)=Q |SZ=. }} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{{h|h}}} (Q) | {{defeq|}} | \int_\gamma G || || || |SZ=. }} Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist {{mathl|term= {{{h|h}}}(Q) |SZ=}} wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |Q |\in|U || || || |SZ= }} und in jede Richtung {{ Ma:Vergleichskette |v ||(v_1 {{kommadots|}} v_n) |\in| \R^n || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=Richtung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und die Richtungsableitung mit {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|G(Q)|v||}} |SZ=}} übereinstimmt. Dazu betrachten wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{h|h}}} (Q+tv) - {{{h|h}}} (Q) || \int_\delta G || \int_0^t {{op:Skalarprodukt|G(Q+sv)|v}} ds || \int_0^t \sum_{i {{=}} 1}^n G_i(Q+sv) \cdot v_i ds || |SZ=, }} wobei {{math|term= \delta |SZ=}} der verbindende lineare Weg von {{math|term= Q|SZ=}} nach {{mathl|term= Q+tv |SZ=}} auf {{mathl|term= [0,t] |SZ=}} sei {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= t |SZ=}} hinreichend klein sei, so dass {{ Ma:Vergleichskette/k | Q+tv |\in|U || || || |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Für den {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialquotienten| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Funktionslimes|t|0|{{op:Bruch|{{{h|h}}} (Q+tv) - {{{h|h}}} (Q)|t}}||}} || \sum_{i {{=|}} 1}^n {{op:Funktionslimes|t|0| {{op:Bruch|1|t}} \int_0^t G_i(Q+sv) \cdot v_i ds ||}} || \sum_{i {{=|}} 1}^n G_i(Q) \cdot v_i || {{op:Skalarprodukt|G(Q)|v||}} || |SZ=. }} Somit existiert die Richtungsableitung von {{math|term= h|SZ=}} in Richtung {{math|term= v|SZ=}} und hängt stetig von {{math|term= Q|SZ=}} ab. Diese Gleichung zeigt ferner {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|h|Q|v}} || {{op:Richtungsableitung|h|Q|v}} || {{op:Skalarprodukt|G(Q)|v||}} || || |SZ=, }} so dass {{math|term= G|SZ=}} das Gradientenfeld zu {{math|term= h|SZ=}} ist. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s9o5haef2foeyoekk7ay6vdlb773pi4 0 51742 779507 763602 2022-08-21T16:39:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es gibt zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der nur aus einem Element besteht: Die {{ Definitionslink |Prämath= |triviale Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der einzig möglichen Art diese als {{math|term= R|SZ=}}-Modul aufzufassen. Man nennt diesen {{Stichwort|Nullmodul|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Modultheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8rxcw9iert9kjjiuqzovdlsnmfa9qqn 0 51744 779299 763388 2022-08-21T16:06:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel |Text= Es gibt zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ=, }} der nur aus einem Element besteht: Die {{ Definitionslink |Prämath= |triviale Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} mit der einzig möglichen Art diese als {{math|term= R|SZ=}}-Modul aufzufassen. Man nennt ihn {{Stichwort|Nullmodul|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Modultheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dr4mhef0nm4tfy53dbbqjvbd5bolgvh 0 51766 779300 763390 2022-08-21T16:06:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Das Produkt {{mathl|term= R^n|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |freier| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Modul| |Kontext=kommutativ| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Modul, kommutativ| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} Er besteht aus den {{math|term= n|SZ=-}}Tupeln von Elementen aus {{math|term= R|SZ=:}} {{ math/disp|term= (r_1 {{kommadots|}} r_n) |SZ=. }} Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also {{ math/disp|term= (a_1,\ldots,a_n)+ (b_1,\ldots,b_n) = (a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n) |SZ= }} und {{ math/disp|term= s(a_1,\ldots,a_n) = (sa_1,\ldots,sa_n) |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= R^n|SZ=}} bilden die Elemente {{math/disp|term=e_1 {{kommadots|}} e_n|SZ=,}} wobei {{mathl|term= e_i = (0 {{kommadots|}} 0, 1, 0 {{kommadots|}} 0|SZ=}} ) so definiert ist, dass an der {{math|term= i|SZ=-}}ten Stelle des Tupels eine {{math|term= 1|SZ=}} steht und alle anderen Koordinaten {{math|term= 0|SZ=}} sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modultheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q55ehiawb5p7uy115m7lfp78l1cdd7h 0 51767 779298 763386 2022-08-21T16:06:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= N|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= \varphi:M\rightarrow N|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann sind {{mathl|term= {{op:Kern|\varphi|}}|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Bild|\varphi|}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Untermoduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} bzw. {{math|term= N|SZ=.}} Denn seien {{mathl|term= u,v\in {{op:Kern|\varphi|}}|SZ=}} und {{mathl|term= r\in R|SZ=,}} dann gilt {{ math/disp|term= \varphi(u+v) = \varphi(u)+\varphi(v) = 0+0 = 0 |SZ= }} und {{ math/disp|term= \varphi(ru) = r\varphi(u) = r\cdot 0 = 0 |SZ=. }} Seien nun {{mathl|term= x,y\in {{op:Bild|\varphi||}}|SZ=}} und {{mathl|term= r\in R|SZ=.}} Dann gibt es {{math|term= u|SZ=,}} {{math|term= v|SZ=}} mit {{mathl|term= u \in\varphi^{-1}(x)|SZ=}} und {{mathl|term= v\in\varphi^{-1}(y)|SZ=.}} Es gilt {{ math/disp|term= \varphi(u+v) = \varphi(u)+\varphi(v) = x+y |SZ= }} und {{ math/disp|term= \varphi(ru) = r\varphi(u) = rx |SZ=. }} Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A|SZ=}} kann man über den durch die Matrix bezüglich einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= M|SZ=}} und einem {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= N|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |beschriebenen| |Kontext=Modulhomomorphismus durch Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genauso auch {{mathl|term= {{op:Kern|A|}}|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Bild|A|}}|SZ=}} als Untermoduln beschreiben. Für {{mathl|term= {{op:Bild|A|}}|SZ=}} schreibt man auch oft {{mathl|term= AM|SZ=,}} sinnbildlich als den Untermodul, der aus allen Elementen besteht, die entstehen, wenn man an {{math|term= A|SZ=}} alle Elemente aus {{math|term= M|SZ=}} von rechts multipliziert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3u20ipk5lbo81dw6t629yhrscrsnqh5 0 51798 779297 763384 2022-08-21T16:06:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Jede {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} ist auf natürliche Weise ein {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Skalarmultiplikation ist folgendermaßen definiert: {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z\times G|G |(z,g)|zg |SZ=. }} Daher ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} als Gruppe auch ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} als {{math|term= \Z|SZ=-}}Modul und umgekehrt. Da jeder Modul als Grundmenge definitionsgemäß eine kommutative Gruppe besitzt und alle {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{ Definitionslink |Prämath= |Körpern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} insbesondere Moduln sind, zeigt uns dieses Beispiel unter Anderem, dass es im Allgemeinen viele Möglichkeiten gibt, eine gegebene Gruppe als Grundmenge eines Moduls zu interpretieren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modultheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} irho6xvoo9hi3gt7yybut4w1rcfnaa2 0 51844 779505 763600 2022-08-21T16:39:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Jede {{ Definitionslink |Prämath= |abelsche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} ist nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kommutative_Algebra/Modultheorie/Abelsche_Gruppen/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf natürliche Weise ein {{math|term= \Z|SZ=-}}Modul. Ein Element {{mathl|term= g\in G|SZ=}} gehört genau dann zur Primärkomponente {{mathl|term= G(p)|SZ=,}} wenn {{mathl|term= {{op:Gruppenelementordnung|g|}} = p^{\nu}|SZ=}} für ein {{mathl|term= \nu\in\N|SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modultheorie über Hauptidealbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m07bmqbz9s6n045meg7j5rckq4xntqn 0 51847 779506 751527 2022-08-21T16:39:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= \varphi\in\operatorname{End}_KV|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= V|SZ=.}} Dann trägt {{math|term= V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Modulstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K[X]|SZ=,}} die vermittelt wird durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarmultiplikation| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]\times V|V |P\times v|P(\varphi)(v) |SZ=. }} Die linearen Polynome {{mathl|term= X-a|SZ=}} für {{mathl|term= a\in K|SZ=}} sind {{ Definitionslink |Prämath= |Primpolynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{ Definitionslink |Prämath= |Primelemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= K[X]|SZ=}} . Der {{ Definitionslink |Prämath=(X-a) |Sockel| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= V^1(X-a) = \left\{x\in V: (\varphi-a\cdot{{Op:Identität}})(x) = \varphi(x)-ax = 0 \right \} |SZ= }} ist gerade der {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Wert {{math|term= a|SZ=.}} Die Verallgemeinerung {{mathl|term= V(X-a)|SZ=}} heißt der zugehörige {{Stichwort|Hauptraum|SZ=}} (dies ist also der Raum, in dem {{mathl|term= \varphi(x)-ax|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist). |Textart=Beispiel |Kategorie=Modultheorie über Hauptidealbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7sdqr3gtxb8i2ikvro6zi6damypov93 0 51866 778678 762598 2022-08-21T12:39:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir müssen für {{math|term= V|SZ=}} über {{mathl|term= K[X]|SZ=}} die Eigenschaften eines Moduls nachweisen. Die additive {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist die selbe wie im {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Seien nun {{mathl|term= P=\sum_{i=0}^n{a_iX^i},Q=\sum_{j=0}^n{b_jX^j}\in K[X]|SZ=}} und {{mathl|term= u,v\in V|SZ=.}} Die gewünschte Eigenschaften der Skalarmultiplikation zeigen sich wie folgt: {{ Aufzählung4 |{{mathl|term= P(Qu) = \sum_{i=0}^na_i\varphi^i\left (\sum_{j=0}^nb_j\varphi^j(u)\right ) = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^na_ib_j\varphi^{i+j}(u) =(PQ)(u) |SZ=,}} |{{mathl|term= P(u+v) = \sum_{i=0}^na_i\varphi^i(u+v) = \sum_{i=0}^na_i\varphi^i(u) + \sum_{i=0}^na_i\varphi^i(v) = (Pu) + (Pv) |SZ=, }} |{{mathl|term= (P+Q)u = \sum_{i=0}^n(a_i+b_i)\varphi^i(u) = \sum_{i=0}^na_i\varphi^i(u) +\sum_{i=0}^nb_i\varphi^i(u) = (Pu)+ (Qu) |SZ=,}} |{{mathl|term= 1u = 1\varphi^0(u) = {{Op:Identität}}(u) = u |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m4i9j2ze9g1z7h6dzoidpoise4jte6o 0 51905 778553 762475 2022-08-21T12:20:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ein Element {{mathl|term= x\in \mathfrak a|SZ=}} ist ein Vielfaches aller {{mathl|term= a_i, i\in I|SZ=,}} also nach Definition ein {{ Definitionslink |Prämath= |gemeinsames Vielfaches| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und jedes gemeinsame Vielfache liegt in {{mathl|term= \mathfrak a|SZ=.}} Ein erzeugendes Element des Ideals {{mathl|term= \mathfrak a|SZ=}} ist Teiler aller anderen gemeinsamen Vielfachen und daher nach Definition ein {{ Definitionslink |Prämath= |kleinstes gemeinsames Vielfaches| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und jedes kleinste gemeinsame Vielfache erzeugt {{mathl|term= \mathfrak a|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r6urg9azyr71rzjnpohk4dczf2e0xu8 0 52058 784898 758342 2022-08-22T07:16:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man für jede Teilmenge {{mathl|term= T\subseteq \N|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetische Sprache erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} um ein einstelliges Relationssymbol {{math|term= R_T|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Peano-Axiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} um geeignete Axiome ergänzen kann, derart, dass diese neue Axiomatik in der Standardinterpretation {{math|term= \N|SZ=}} genau dann gilt, wenn {{math|term= R_T|SZ=}} als {{math|term= T|SZ=}} interpretiert wird. {{ManSie|Man folgere|Folgern Sie}} daraus, dass mit überabzählbar vielen Relationssymbolen alle Teilmengen der natürlichen Zahlen {{Anführung|adressierbar}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erststufigen Peano-Arithmetik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor=Idee:Max Koall |Bearbeitungsstand= }} b5p3oyglv0sr4s4b1ill1uzuu6j6ffh 0 52094 778534 762465 2022-08-21T12:17:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Querschnittsfläche zu {{math|term= t|SZ=}} ist ein Kreis mit Radius {{mathl|term= f(t)|SZ=,}} dessen Flächeninhalt ist {{mathl|term= \pi f(t)^2|SZ=}} {{ Beispiellink |Präwort=nach||Beispielseitenname= Einheitskreis/Integral von Wurzel 1-x^2/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Somit folgt die Aussage aus {{ Faktlink |Präwort=dem|Cavalieri-Prinzip|Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Cavalieri/Stetige Querschnitte/Integration/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5fpqbe8bebjr5exv0g3igihuvkfyace 0 52099 779395 696017 2022-08-21T16:21:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen das Volumen einer dreidimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius {{math|term= r|SZ=}} berechnen, also von {{ Ma:Vergleichskette/disp | B(r) || {{mengebed|x \in \R^3| {{op:Norm|x|}} \leq r }} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt dabei {{ Ma:Vergleichskette | \lambda^3 (B(r)) || r^3 \lambda^3 ( B(1)) || || || |SZ=, }} d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen. Für jedes fixierte {{ mathbed|term= {{{u|u}}} ||bedterm1= -1 \leq {{{u|u}}} \leq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} kann man den Querschnitt als {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | T( {{{u|u}}}) || {{mengebed|(x_1 ,x_2, x_3) \in B(1) | x_{3} {{=|}} {{{u|u}}} }} || {{mengebed|(x_1 , x_{2}) \in \R^{2} |x_1^2 + x_{2}^2 \leq 1 -{{{u|u}}}^2 }} || |SZ= }} schreiben, d.h. als eine Kreisfläche vom Radius {{mathl|term= \sqrt{ 1-{{{u|u}}}^2 } |SZ=.}} Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Cavalieri-Prinzips|Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Cavalieri/Stetige Querschnitte/Integration/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette/align | \lambda^{3} (B (1)) || {{op:Integral|-1|1|grand= \lambda^{2} {{makl| B_{2} {{makl| \sqrt{1-{{{u|u}}}^2} |}} |}} ||h}} || \pi {{op:Integral|-1|1|grand= 1-{{{u|u}}}^2||{{{u|u}}} }} || \pi {{op:Integralstamm|-1|1|stamm= {{makl| {{{u|u}}} - {{op:Bruch|1|3}} {{{u|u}}}^3 |}} ||}} || \pi {{makl| 1- {{op:Bruch|1|3}} - {{makl| -1 + {{op:Bruch|1|3}} |}} |}} || \pi {{op:Bruch|4|3}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aycsyv7j58rjaocj2x8c3n163yh1sjs 0 52147 779844 763779 2022-08-21T17:30:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^3|\R |(x,y,z)|2x+3y-z |SZ=. }} Als Unterraum des {{math|term= \R^3|SZ=}} trägt {{math|term= V|SZ=}} ein Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von {{math|term= V|SZ=}} bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis aus den Vektoren {{ mathkor/disp|term1= v_1= {{op:Spaltenvektor|1|0|2}} |und|term2= v_2 = {{op:Spaltenvektor|0|1|3}} |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|v_1|v_2}} ||6 || || || |SZ=, }} die Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander. Wir ersetzen {{math|term= v_2|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | w_2 ||v_2 - {{op:Bruch|{{op:Skalarprodukt|v_1|v_2}}| {{op:Norm|v_1|}}^2 |}} v_1 ||{{op:Spaltenvektor|0|1|3}} - {{op:Bruch|6|5|}} {{op:Spaltenvektor|1|0|2}} ||{{op:Spaltenvektor|- {{op:Bruch|6|5|}} |1| {{op:Bruch|3|5|}} }} || |SZ=. }} Jetzt stehen {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= w_2 |SZ= }} senkrecht aufeinander. Somit ist {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|1|\sqrt{5} }} {{op:Spaltenvektor|1|0|2}} = {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|1|\sqrt{5} }} |0| {{op:Bruch|2|\sqrt{5} }} }} |und|term2= {{op:Bruch|\sqrt{5}|\sqrt{14} }} {{op:Spaltenvektor|- {{op:Bruch|6|5|}} |1| {{op:Bruch|3|5|}} }} ={{op:Spaltenvektor|- {{op:Bruch|6|\sqrt{70} |}} | {{op:Bruch|\sqrt{5}|\sqrt{14} }}| {{op:Bruch|3|\sqrt{70}|}} }} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ftwjz1ajeu2f2hi1fqrsfjblcwx7zd4 0 52150 786563 759590 2022-08-22T11:46:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^4|SZ=}} sei mit dem {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Es sei {{math|term= U \subseteq \R^4|SZ=}} der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^4|\R |(x,y,z,w)|4x-3y+2z-5w |SZ=, }} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. {{ManSie|Man bestimme|Bestimmen Sie}} eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= U|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 37lw47nwpsj6yh64es8tor2uggfu9ro 0 52163 786556 759584 2022-08-22T11:45:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wende{{n Sie}} das {{ Faktlink |Präwort=|Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren|Faktseitenname= Euklidischer Vektorraum/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf die Basis {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|-1|2|3}} ,\, {{op:Spaltenvektor|2|-4|5}} ,\, {{op:Spaltenvektor|7|3|1}} |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=,}} versehen mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ghx14lvs2pttmh9h9ukehh4eiqcb288 0 52277 785796 391258 2022-08-22T09:39:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere die folgenden Beziehungen {{ Zusatz/Klammer |text=ein- oder mehrstellige Prädikate| |SZ= }} innerhalb der natürlichen Zahlen {{math|term= \N=\{0,1,2,3, \ldots \}|SZ=}} allein mittels Gleichheit, den Konstanten {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=, }} Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren. {{ Aufzählung6 | {{math|term= x < y|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} ist ein Vielfaches von {{math|term= y|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} ist ein Vielfaches von {{math|term= 3|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} ist eine dritte Potenz. | {{math|term= x|SZ=}} ist keine Primzahl. | {{math|term= x|SZ=}} und {{math|term= y|SZ=}} besitzen die gleichen Primfaktoren.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bbrn66i9dwcuud6wd0s3rsttc378hmj 0 52280 780826 556003 2022-08-21T20:13:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was besagt die Repräsentierbarkeit einer Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=F |\N^r|\N^s || |SZ= }} durch eine Menge {{math|term= \Gamma|SZ=}} von arithmetischen Ausdrücken? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bpkuw3zvakzxtmyqdyzcnh7pz930oey 0 52282 785493 398902 2022-08-22T08:48:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle einen prädikatenlogischen Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=,}} der in einer Struktur genau dann gilt, wenn die Grundmenge der Struktur genau {{math|term= 5|SZ=}} Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4brd3r9ubqbcoduj75f1hw3as4wulo5 0 52287 782437 711374 2022-08-22T00:41:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} durch Induktion über {{math|term= n|SZ=,}} dass es zu natürlichen Zahlen {{math|term= a,n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |>|0 || || || |SZ= }} natürliche Zahlen {{math|term= q,r|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |r |<|a || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |n || aq+r || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2=Vollständige Induktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24iclgheijpjbbrq9c61qgcu0lplqj6 0 52303 782247 756103 2022-08-22T00:10:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob die {{Definitionslink |Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname=/Definition|Refname= {{{def|}}} |SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n | {{defeq|}}| {{op:Bruch|3 {{op:sin|n|pot=4}} -7n^3 +11n |5 n^3 -4n^2 - {{op:cos|n|}} }} || || || |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=reelle Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} und bestimme{{n Sie}} gegebenenfalls den {{Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=reelle Folge| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q9gx27r7afm659jd3qjavbrddy6js2x 0 52305 783797 757425 2022-08-22T04:28:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K|SZ=}} ein Körper, {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} seien {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} sei eine {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass der Kern von {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Untervektorraum von {{math|term= V|SZ=}} ist. b) Beweise{{n Sie}} das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3emdifsoeh3muerl979lmdznkouhl1s 0 52307 783815 510284 2022-08-22T04:31:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ= }} die durch die Matrix {{mathl|term= M= {{op:Matrix22|5|1|2|3}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der Standardbasis| |ISZ=|ESZ= }} festgelegte lineare Abbildung. Bestimme{{n Sie}} die beschreibende Matrix zu {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich der Basis {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|4}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|4|2}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m0md2oyu00fshhg5szmkf36s5iwrhxf 0 52309 784978 534725 2022-08-22T07:28:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien die beiden komplexen Polynome {{ mathkor/disp|term1= P=X^3-2 {{Imaginäre Einheit}} X^2+4X-1 |und|term2= Q= {{Imaginäre Einheit}} X-3+2 {{Imaginäre Einheit}} |SZ= }} gegeben. Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= P(Q)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=es soll also {{math|term= Q|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} eingesetzt werden| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9wx4z4r8sz46lazutzamx1iwzo9udas 0 52314 782235 572787 2022-08-22T00:08:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zwei Personen, {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=, }} liegen unter einer Palme, {{math|term= A|SZ=}} besitzt {{math|term= 2|SZ=}} Fladenbrote und {{math|term= B|SZ=}} besitzt {{math|term= 3|SZ=}} Fladenbrote. Eine dritte Person {{math|term= C|SZ=}} kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber {{math|term= 5|SZ=}} Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die {{math|term= 5|SZ=}} Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt {{math|term= C|SZ=}} an {{math|term= A|SZ=}} und an {{math|term= B|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 98wmbwsf4fkgi8b174ucr3my2wy4eu0 0 52430 779853 748814 2022-08-21T17:31:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |V ||\R^n || || || |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Zum eindimensionalen Untervektorraum {{mathl|term= \R e_i|SZ=}} zum Standardvektor {{math|term= e_i|SZ=}} besteht das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus allen Vektoren {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x_1|\vdots|x_{i-1}|0|x_{i+1}|\vdots| x_n}} |SZ=,}} deren {{math|term= i|SZ=-}}ter Eintrag {{math|term= 0|SZ=}} ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum {{mathl|term= \R v|SZ=}} zu einem Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2|\vdots|a_n}} |\neq|0 || || |SZ= }} kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_1x_1 {{plusdots|}} a_nx_n ||0 || || || |SZ= }} bestimmt. Der Orthogonalraum {{ Ma:Vergleichskette/disp | U || {{op:Orthogonalraum|(\R v)|}} || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor|x_1|\vdots |x_n}}| a_1x_1 {{plusdots|}} a_nx_n {{=|}} 0|}} || || |SZ= }} besitzt die Dimension {{math|term= n-1|SZ=,}} es handelt sich also um eine sogenannte {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperebene| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man nennt dann {{math|term= v|SZ=}} einen {{Stichwort|Normalenvektor|SZ=}} für die Hyperebene {{math|term= U|SZ=.}} Zu einem Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|\R^n || || || |SZ=, }} der durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr|m |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ mathbed|term= v_i = {{op:Spaltenvektor|a_{i1}|\vdots|a_{in}|}} ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} k ||bedterm2= |SZ=, }} gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichungssystems| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A {{op:Spaltenvektor|x_1|\vdots|x_n}} ||0 || || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette |A || {{makl| a_{i j } |}} || || || |SZ= }} die aus den {{math|term= v_i|SZ=}} gebildete Matrix ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der orthogonalen Komplemente |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0158wojuu1hhf865xttisakyl3qjs23 0 52433 784254 757892 2022-08-22T05:45:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |induzierte Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel |SZ= }} auf {{math|term= T|SZ=}} in der Tat eine {{ Definitionslink |Prämath= |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pdjpgumvytlpv2euqartao4riud1o7l 0 52439 779846 763781 2022-08-21T17:30:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^3|\R |(x,y,z)|2x+3y-z |SZ=. }} Als Unterraum des {{math|term= \R^3|SZ=}} trägt {{math|term= V|SZ=}} ein Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von {{math|term= V|SZ=}} bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren {{ mathkor/disp|term1= v_1= {{op:Spaltenvektor|1|0|2}} |und|term2= v_2 = {{op:Spaltenvektor|0|1|3}} |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|v_1|}} || \sqrt{5} || || || |SZ= }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | u_1 || {{op:Bruch|v_1| {{op:Norm|v_1|}} }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|1|\sqrt{5} }}|0|{{op:Bruch|2|\sqrt{5} }} }} || || |SZ= }} der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= R^3/Kern von 2x+3y-z/Orthonormalbasis/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} |ISZ=.|ESZ= }} {{ Faktlink |Präwort=|Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren|Faktseitenname= Euklidischer Vektorraum/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} setzen wir {{ Ma:Vergleichskette/align | w_2 ||v_2 - {{op:Skalarprodukt|v_2|u_1}} u_1 || {{op:Spaltenvektor|0|1|3}} - {{op:Skalarprodukt|{{op:Spaltenvektor|0|1|3}}|{{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|1|\sqrt{5} }}|0|{{op:Bruch|2|\sqrt{5} }}|}} }} {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|1|\sqrt{5} }}|0|{{op:Bruch|2|\sqrt{5} }} }} || {{op:Spaltenvektor|0|1|3}} - {{op:Bruch|6|\sqrt{5} }} {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|1|\sqrt{5} }}|0|{{op:Bruch|2|\sqrt{5} }} }} || {{op:Spaltenvektor|0|1|3}} - {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|6| 5 }}|0|{{op:Bruch|12| 5 }} }} || {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch|6| 5 }}|1|{{op:Bruch|3| 5 }} }} |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|w_2|}} || {{op:Norm|{{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch|6| 5 }}|1|{{op:Bruch|3| 5 }} }} |}} || \sqrt{ {{op:Bruch|36|25}} + 1 + {{op:Bruch|9|25}} } || \sqrt{ {{op:Bruch|70|25}} } || {{op:Bruch|\sqrt{14}|\sqrt{5} }} || |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |u_2 || {{op:Bruch|\sqrt{5}|\sqrt{14}}} {{op:Spaltenvektor|- {{op:Bruch|6|5}}|1|{{op:Bruch|3|5}} }} || {{op:Spaltenvektor|- {{op:Bruch|6|\sqrt{70} |}}|{{op:Bruch|\sqrt{5}|\sqrt{14} }}| {{op:Bruch|3|\sqrt{70}|}} }} || || |SZ= }} der zweite Vektor der Orthonormalbasis. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cewuduj0d6gub0as85ez2n8habpphw9 0 52446 781412 755432 2022-08-21T21:50:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Kurve {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R_+ |\R^3 |t| {{makl| {{op:Bruch| {{op:sin|t^2|}} |t^5}} ,4^t, {{op:Bruch|e^{-t}|\sqrt{t} }} |}} |SZ=, }} für jeden Punkt {{mathl|term= t \in \R_+|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tff7jrc1th1fer2aeu97a964pd8cvph 0 52450 779071 763207 2022-08-21T15:31:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{Stichwort|trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises|SZ=}}{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |I|M || |SZ=, }} wobei {{math|term= I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reelles Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich einer {{Anführung|Kurve}} {{ Ma:Vergleichskette/k |C |\subseteq|M || || || |SZ= }} ist, nennt man eine {{Stichwort|Parametrisierung|SZ=}} von {{math|term= C|SZ=}}| |ISZ=.|ESZ=, }} also die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R^2 |t|f(t) {{=|}} ( {{op:cos|t|}} , {{op:sin|t|}} ) |SZ=. }} Einer reellen Zahl {{math|term= t|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Bogenmaß| |ISZ=|ESZ= }} wird dabei der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis {{ Ma:Vergleichskette/disp | S^1 || {{mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2 {{=|}} 1}} || || || |SZ= }} zugeordnet. Diese Abbildung ist periodisch mit der Periode {{math|term= 2 \pi|SZ=.}} Sie ist {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da die {{ Definitionslink |Prämath= |trigonometrischen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Sinus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Kosinus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Potenzreihe/Konvergenz/Stetige Funktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind und daraus nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Stetigkeit/K/Metrischer Raum/Funktionen und Produktraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Stetigkeit der Gesamtabbildung folgt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Elementkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2vpoqjnjai9x5vtxqszq2u68zjus8jw 0 52459 780057 738001 2022-08-21T18:04:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x^2-y^3,xy) |SZ= }} und den Weg {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[0,1]|\R^2 |t|(t^2,t^3-5t) |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \gamma|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma'(t) || (2t , 3t^2-5) || || || |SZ=. }} Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \int_\gamma F || \int_{0}^1 {{op:Skalarprodukt|F(\gamma(t))| \gamma'(t)}} dt || \int_{0}^1 {{mak|\gamma_1(t)^2 - \gamma_2(t)^3|}} \cdot \gamma_1'(t) + \gamma_1(t) \gamma_2(t) \cdot \gamma_2'(t) dt || \int_{0}^1 {{mak| t^4 - (t^3-5t)^3|}} \cdot 2t + t^2 (t^3-5t) \cdot (3t^2-5) dt || \int_{0}^1 {{mak|t^4-t^9 + 15 t^7 - 75 t^5 + 125 t^3|}} 2t + t^2 {{mak|3t^5 -5t^3-15t^3+25t|}} dt || \int_{0}^1 2t^5-2t^{10} + 30 t^8 - 150 t^6 + 250 t^4 +3t^7 -20t^5 +25t^3 dt || \int_{0}^1 -2t^{10} + 30 t^8 +3t^7 - 150 t^6 - 18 t^5 + 250 t^4 +25t^3 dt || {{op:Integralstamm|0|1| {{makl| - {{op:Bruch|2|11}} t^{11} + {{op:Bruch|10|3}} t^9 + {{op:Bruch|3|8}} t^8 - {{op:Bruch|150|7|}} t^7 -3 t^6 + 50 t^5 + {{op:Bruch|25|4|}} t^4 |}} }} || 47 + {{op:Bruch| -336 +6160 + 693 - 39600 + 11550 |1848}} || 47 -{{op:Bruch| 21533 |1848}} || {{op:Bruch| 65323 |1848}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mc1tooko7jlrwovnw1nyizxlw9zmgof 0 52460 783438 737561 2022-08-22T03:28:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das konstante {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |\R^n|\R^n |P|v |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für zwei Punkte {{ Ma:Vergleichskette | P,Q |\in| \R^n || || || |SZ= }} und jeden {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbaren Weg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\gamma |[a,b]|\R^n || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= \gamma(a)=P |und|term2= \gamma(b)=Q |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \int_\gamma F |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|Q-P|v}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q2ytiiwib2agl7xg47076bwhuo8pa7m 0 52470 779568 763644 2022-08-21T16:49:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei einer {{Stichwort|orthogonalen Spiegelung|msw=Orthogonale Spiegelung|SZ=}} des {{math|term= \R^n|SZ=}} an einem {{mathl|term= (n-1)|SZ=-}}dimensionalen Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} wird dieser Untervektorraum fixiert und jeder Vektor wird senkrecht zu {{math|term= U|SZ=}} auf die andere Seite von {{math|term= U|SZ=}} abgebildet. Wenn {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_{n-1}|SZ=}} eine Basis von {{math|term= U|SZ=}} und {{math|term= v_n|SZ=}} ein zu {{math|term= U|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Vektor ist, so wird die Spiegelung bezüglich dieser Basis durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Diagonalmatrix5|1|1|\ddots|1|-1}} |SZ= }} beschrieben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72qlcgu1exjsn4i5w1ru0o5irvykbvd 0 52474 779196 763286 2022-08-21T15:50:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten ein konstantes Vektorfeld auf dem {{math|term= \R^n|SZ=,}} also eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R \times \R^n| \R^n |(t,x_1 {{kommadots|}} x_n)| w |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette |w |\in| \R^n || || || |SZ= }} ein fixierter Vektor ist. Im {{Anführung|Windmodell}} bedeutet dies, dass überall und zu jeder Zeit eine konstante Windgeschwindigkeit herrscht. Die Bewegung eines {{ Zusatz/Klammer |text=durch den Wind getragenen| |ISZ=|ESZ= }} Teilchens muss sich also auf der durch einen Startpunkt und den Richtungsvektor {{math|term= w|SZ=}} gegebenen Geraden vollziehen. In der Tat besitzt das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= v' = w \text{ und } v(t_0)=P |SZ= }} die eindeutige{{{zusatz1|}}} {{ Zusatz/Klammer |text={{ Definitionslink |Prämath= |affin-lineare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} Lösung {{ Ma:abbele/disp |name=v |\R|\R^n |t|v(t) {{=|}} P + {{makl| t-t_0 |}} w |SZ=, }} wie man durch Ableiten bestätigt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ortsunabhängigen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dq1lswove2lyu5olcp48rnx4zl71qrv 0 52476 779197 634528 2022-08-21T15:50:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten ein stetiges ortsunabhängiges Vektorfeld auf dem {{math|term= \R^n|SZ=,}} d.h. es sei eine stetige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=g |I|\R^n || |SZ= }} auf einem reellen Intervall {{math|term= I|SZ=}} gegeben, die wir als Vektorfeld {{ Ma:abbele/disp |name=F |I \times \R^n| \R^n |(t,x_1 {{kommadots|}} x_n)|g(t) |SZ=, }} auffassen. Im {{Anführung|Windmodell}} bedeutet dies, dass zu einem festen Zeitpunkt überall die gleiche Windgeschwindigkeit herrscht, diese sich aber mit der Zeit ändert. Die Bewegungskurven der {{ Zusatz/Klammer |text=durch den Wind getragenen| |ISZ=|ESZ= }} Teilchen müssen also parallel zueinander sein, also durch eine Ortsverschiebung auseinander hervorgehen. Der Differenzvektor zwischen den Positionen von zwei Teilchen bleibt während des Bewegungsvorgangs erhalten. Die Lösungskurven zu einem Anfangswertproblem {{ math/disp|term= v'=F(t,v)=g(t) \text{ und } v(t_0) = P |SZ= }} lassen sich einfach berechnen: Die eindeutige Lösung ist die Integralkurve {{ Ma:abbele/disp |name=v |\R|\R^n |t|v(t) {{=|}} P + {{op:Zeilenvektor| \int_{t_0}^t g_1(s) ds , \int_{t_0}^t g_2(s) ds {{kommadots|}} \int_{t_0}^t g_n(s) ds|}} |SZ=, }} wobei die {{math|term= g_i|SZ=}} die Komponentenfunktionen von {{math|term= g|SZ=}} sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ortsunabhängigen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7l2mfq7lm853kxrbrjf1wb1fq0vmxv7 0 52477 779569 763646 2022-08-21T16:49:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Zusatz/Klammer |text=zeitunabhängige| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |\R \times \R^2|\R^2 |(t,x,y)|(-y,x) |SZ=. }} Hier steht also der Richtungsvektor {{ Ma:Vergleichskette | F(t,x,y) || (-y,x) || || || || |SZ= }} stets {{ Definitionslink |Prämath= |senkrecht| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem Ortsvektor {{mathl|term= (x,y)|SZ=,}} und ihre Normen stimmen überein. Man erwartet kreisförmige Bewegungen. In der Tat ist zur Anfangsbedingung {{ Ma:Vergleichskette | v(0) ||(r,0) || || || |SZ= }} die Kurve {{ Ma:abbele/disp |name=v |\R|\R^2 |t| {{makl| r {{op:cos|t|}} , r {{op:sin|t|}} |}} |SZ=, }} die eindeutige Lösung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8bsyxae41iqtoes4l3lov42xq2kmlb2 0 52485 784821 758275 2022-08-22T07:05:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Lösung des {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblems| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |\R \times \R^2|\R^2 |(t,x,y)| (-ay, ax) |SZ=, }} und zur Anfangsbedingung {{mathl|term= v(s)=(b,c)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{mathl|term= a,b,c,s \in \R|SZ=}} fixierte reelle Zahlen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iurnrisinecmq33y0hbt7w18wpze6zj 0 52489 779198 763287 2022-08-21T15:51:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= n|SZ=}} reellwertige Funktionen {{mathl|term= f_i(t,x)|SZ=}} in zwei Variablen gegeben. Diese kann man zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |\R \times \R^n|\R^n |(t,x_1 {{kommadots|}} x_n)| {{makl| f_1(t,x_1),f_2(t,x_2) {{kommadots|}} f_n(t,x_n) |}} |SZ= }} zusammenfassen. Dabei hängt die {{math|term= i|SZ=-}}te Koordinatenfunktion des Vektorfeldes nur von {{math|term= t|SZ=}} und der {{math|term= i|SZ=-}}ten Ortskoordinaten {{math|term= x_i|SZ=}} ab. Eine Lösungskurve {{ Ma:Vergleichskette | x(t) ||(x_1(t) {{kommadots|}} x_n(t)) || || || |SZ= }} muss die Bedingungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | x'_i(t) || F_i(t,x_1 {{kommadots|}} x_n) || f_i(t,x_i) || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Ma:Vergleichskette/k | i || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} erfüllen. Diese {{math|term= n|SZ=}} Bedingungen sind unabhängig voneinander, d.h. man kann die {{math|term= n|SZ=}} Komponentenfunktionen {{mathl|term= x_i(t) |SZ=}} getrennt mit einem eindimensionalen Ansatz bestimmen. Daher spricht man von einem {{Stichwort|entkoppelten Differentialgleichungssystem|msw=Entkoppeltes Differentialgleichungssystem|SZ=.}} Manchmal ist ein Differentialgleichungssystem in den ursprünglich gegebenen Koordinaten nicht entkoppelt, lässt sich aber durch einen Koordinatenwechsel entkoppeln und dann lösen. Dies ist vor allem für {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wichtig, die mit Mitteln der linearen Algebra entkoppelt werden können. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k96v2l27xmo82n54b9arysuwjykecxr 0 52516 778999 738889 2022-08-21T15:19:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|2|5|-3|4}} || || || |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} || {{op:Determinante|{{op:Matrix22|X-2|-5|3|X-4}}|}} || (X-2)(X-4) +15 || X^2 -6X +23 || |SZ=. }} Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | (X-3)^2 ||-23 +9 ||-14 || || |SZ=, }} die über {{math|term= \R|SZ=}} nicht erfüllbar ist, so dass die Matrix über {{math|term= \R|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. Über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} hingegegen gibt es die beiden Eigenwerte {{ mathkor|term1= 3+\sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} |und|term2= 3 - \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }} Für den {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= 3+\sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} muss man {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Eigenraum|M|3+\sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} }} || {{op:Kern| {{makl| {{makl| 3+ \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} |}} E_2 - M |}} |}} || {{op:Kern| {{op:Matrix22|1 + \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} |-5|3|-1 + \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} }} |}} || || |SZ= }} bestimmen, ein Basisvektor {{ Zusatz/Klammer |text=also ein Eigenvektor| |ISZ=|ESZ= }} davon ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|5|1+ \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} }} |SZ=.}} Analog ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Eigenraum|M|3 -\sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} }} || {{op:Kern| {{op:Matrix22|1 - \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} |-5|3|-1 - \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} }} |}} || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|5|1 - \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} }} |}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gkznre8y8kdpho9x1fybtfneyrugst2 0 52518 779994 763847 2022-08-21T17:55:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für eine {{ Definitionslink |Prämath= |obere Dreiecksmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Obere Dreiecksmatrix|d}} || || || |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Determinante/Körper/Obere Dreiecksmatrix/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} || (X-d_1)(X-d_2) \cdots (X-d_n) || || |SZ=. }} In diesem Fall liegt das charakteristische Polynom direkt in der Zerlegung in lineare Faktoren vor, so dass unmittelbar seine Nullstellen und damit die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} ablesbar sind, nämlich die Diagonalelemente {{mathl|term= d_1,d_2 {{kommadots|}} d_n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die nicht alle verschieden sein müssen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8e38l7g04070u0cw4czhk1xfw69xay1 0 52523 779453 763548 2022-08-21T16:30:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{mathl|term= 2\times 2|SZ=-}}{{Stichwort|Scherungsmatrizen|msw=Scherungsmatrix|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Matrix22|1|a|0|1}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} ||(X-1)(X-1) || || || |SZ=, }} so dass {{math|term= 1|SZ=}} der einzige {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} ist. Den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} berechnet man als {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Eigenraum|M|1 }} || {{op:Kern| {{op:Matrix22|0|-a|0|0}} |}} || || || || |SZ=. }} Aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|0|-a|0|0}} {{op:Spaltenvektor|r|s}} || {{op:Spaltenvektor|-as|0}} || || || |SZ= }} folgt, dass {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|0}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dass bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} der Eigenraum eindimensional ist {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathlk|term=a=0|SZ=}} liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Vielfachheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Eigenwerts {{math|term= 1|SZ=}} gleich {{math|term= 2|SZ=,}} die {{ Definitionslink |Prämath= |geometrische Vielfachheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= 1|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vielfachheiten von Eigenwerten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Scherung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r0e6h2ag720bvjkx1am4n4p83wubl6g 0 52526 781192 755238 2022-08-21T21:14:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|5|7|3|4}} |SZ= }} über {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5qgkznchihibusx6k8fjs7iqaipf3c2 0 52527 781191 755237 2022-08-21T21:13:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2|7|5|4}} |SZ= }} über {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1nrko4hhbh3aswxpr8796wk6kdlnwi2 0 52531 784027 757655 2022-08-22T05:07:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} werde bezüglich der Standardbasis durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|-2|2|7|0|-2|-6|0|0|-2}} |SZ= }} beschrieben. Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezüglich der {{math|term= \varphi|SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|-2|1|0|0|-2|1|0|0|-2}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Jordan |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ktcrevj4a7wg5v1kgkkklzf5lj99nhs 0 52532 784045 757682 2022-08-22T05:10:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ= }} werde bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|3|5|0|3}} |SZ= }} beschrieben. Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezüglich der {{math|term= \varphi|SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|3|1|0|3}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Jordan |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8oe1455rycdw0pe7kpulvd39w4dxad 0 52533 784753 758219 2022-08-22T06:55:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=,}} bezüglich der die Matrix zur {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |obere Dreiecksmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Span|v_1 {{kommadots|}} v_i|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invariant| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für jedes {{math|term= i|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie3=Theorie der Fahnen von Untervektorräumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oydoz8u27cgt41i2omoa6d85cyy6rtr 0 52538 779246 763344 2022-08-21T15:58:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf einer Geraden, wobei die auf den Punkt {{ Zusatz/Klammer |text=in Richtung des Nullpunkts| |ISZ=|ESZ= }} wirkende Kraft {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. Beschleunigung| |ISZ=|ESZ= }} proportional zur Lage des Punktes sein soll. Wenn der Punkt sich in {{math|term= \R_+ |SZ=}} befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante {{math|term= 1|SZ=}} gelangt man zur {{ Definitionslink |{{{zusatz1|linearen|}}} Differentialgleichung| |Kontext=höher| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zweiter Ordnung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^{\prime \prime} || -y || || || |SZ=, }} die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir {{ mathkor|term1= y(0)=0 |und|term2= y'(0)=v |SZ=, }} zum Zeitpunkt {{math|term= 0|SZ=}} soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit {{math|term= v|SZ=}} besitzen. Man kann sofort die Lösung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || v \cdot {{op:sin|t|}} || || || |SZ= }} angeben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Harmonischer Oszillator |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kkkzprlexmpw8drmgu417fz2yc56iqg 0 52547 778940 763134 2022-08-21T15:10:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|x|y}}' = {{op:Spaltenvektor|tx-y^2|xy-t^2}} \text{ mit } x(0)=0 \text{ und } y(0)=1 |SZ= }} und machen den Potenzreihenansatz {{ mathkor|term1= x(t) = \sum_{k= 0}^\infty a_k t^k |und|term2= y(t) = \sum_{k=0}^\infty b_k t^k |SZ=. }} Aufgrund der Anfangsbedingung ist {{ mathkor/disp|term1= a_0=0 |und|term2= b_0=1 |SZ=. }} Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenreihengleichungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}}^\prime || \sum_{k {{=|}} 1}^\infty k a_k t^{k-1} || t {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}} - {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty b_k t^k |}}^2 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty b_k t^k |}}^\prime || \sum_{k {{=|}} 1}^\infty k b_k t^{k-1} || {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}} {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty b_k t^k |}} - t^2 || || |SZ=, }} die wir gradweise auswerten. Für den Grad {{math|term= 0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der Potenzreihengleichungen| |ISZ=|ESZ= }} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ mathkor/disp|term1= a_1 =- b_0^2 =-1 |und|term2= b_1 =a_0b_0 = 0 |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= 1|SZ=}} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ mathkor/disp|term1= 2 a_2 = a_0 - 2b_0b_1 =0 |und|term2= 2 b_2 =a_0b_1+a_1b_0 = -1 |SZ=, }} also ist {{ mathkor|term1= a_2=0 |und|term2= b_2 = - {{op:Bruch|1|2}} |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= 2|SZ=}} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ mathkor/disp|term1= 3 a_3 = a_1 - 2b_0b_2-b_1^2 =-1+ 1 = 0 |und|term2= 3 b_3 =a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0 -1 =-1 |SZ=, }} also ist {{ mathkor|term1= a_3= 0 |und|term2= b_3 = - {{op:Bruch|1|3}} |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= 3|SZ=}} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ mathkor/disp|term1= 4 a_4 = a_2 - 2b_0b_3- 2 b_1b_2 = {{op:Bruch|2|3}} |und|term2= 4 b_4 =a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1 +a_3b_0 = {{op:Bruch| 1|2}} |SZ=, }} also ist {{ mathkor|term1= a_4= {{op:Bruch|1|6}} |und|term2= b_4 = {{op:Bruch| 1|8}} |SZ=. }} Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung {{math|term= 4|SZ=}} ist demnach {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|-t + {{op:Bruch|1|6}} t^4 |1 - {{op:Bruch|1|2}}t^2 - {{op:Bruch|1|3}}t^3 + {{op:Bruch| 1|8}} t^4 }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hh3qzptjbpbvfycteafnz0szs752hc0 0 52568 778941 763135 2022-08-21T15:10:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachen das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y'= y^2t-y+t^3+e^t \text{ mit } y(0) =0 |SZ= }} und wollen es mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihenansatz| |Kontext=DG| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} lösen. Sei also {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k || || || || |SZ=, }} die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}}^\prime || \sum_{k {{=|}} 1}^\infty ka_k t^{k-1} || {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}}^2 t - \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k +t^3 + \sum_{k {{=|}} 0}^\infty {{op:Bruch|1|k!}} t^k || || |SZ=. }} Die Anfangsbedingung legt {{ Ma:Vergleichskette |a_0 ||0 || || || |SZ= }} fest. Für den konstanten Term {{ Zusatz/Klammer |text=also zu {{math|term= t^0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ergibt sich aus der Potenzreihengleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | a_1 || -a_0 +1 || 1 || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^1|SZ=}} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2a_2 || a_0^2 -a_1 +1 || 0 || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^2|SZ=}} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | 3a_3 || 2 a_0a_1 - a_2 + {{op:Bruch|1|2}} || {{op:Bruch|1|2}} || || |SZ= }} also ist {{ Ma:Vergleichskette | a_3 || {{op:Bruch|1|6}} || || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^3|SZ=}} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | 4a_4 || 2 a_0a_2+a_1^2 - a_3 +1+ {{op:Bruch|1|6}} || 1- {{op:Bruch|1|6}} +1+ {{op:Bruch|1|6}} || 2 || |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette | a_4 || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^4|SZ=}} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | 5a_5 || 2 a_0a_3 + 2a_1a_2 - a_4 + {{op:Bruch|1|24}} || - {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|1|24}} || - {{op:Bruch|11|24}} || |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette | a_5 || - {{op:Bruch|11|120}} || || || |SZ=. }} Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung {{math|term= 5|SZ=}} ist demnach {{ math/disp|term= t + {{op:Bruch|1|6}}t^3 + {{op:Bruch|1|2}} t^4 - {{op:Bruch|11|120}} t^5 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j0gtgk0eyqp4e5suald4uwfluz4pm55 0 52570 778945 763139 2022-08-21T15:11:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachen das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=höhere Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y^{\prime \prime} = y' y + {{op:sin|t|}} \text{ mit } y(0) =0 \text{ und } y'(0)=1 |SZ= }} und wollen es mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihenansatz| |Kontext=DG, höhere Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} lösen. Sei also {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k || || || |SZ=, }} die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}}^{\prime \prime} || \sum_{k {{=|}} 2}^\infty k (k-1) a_k t^{k-2} || {{makl| \sum_{k {{=|}} 1}^\infty k a_k t^{k-1} |}} \cdot {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}} + \sum_{n {{=|}} 0}^\infty (-1)^n {{op:Bruch|1|(2n+1) !}} t^{2n+1} || || |SZ=. }} Die Anfangsbedingung legt {{ mathkor|term1= a_0=0 |und|term2= a_1=1 |SZ= }} fest. Für den konstanten Term {{ Zusatz/Klammer |text=also zu {{math|term= t^0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ergibt sich aus der Potenzreihengleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 a_2 || a_1a_0 || 0 || || |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette |a_2 ||0 || || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^1|SZ=}} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp |6a_3 ||a_1^2+2a_2a_0+1 ||2 || || |SZ= }} also ist {{ Ma:Vergleichskette | a_3 ||{{op:Bruch|1|3}} || || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^2|SZ=}} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | 12 a_4 || a_1a_2+2 a_2 a_1 +3a_3a_0 || 0 || || |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette |a_4 ||0 || || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^3|SZ=}} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | 20a_5 || a_1a_3 + 2a_2^2 +3a_3a_1 + 4a_4a_0 - {{op:Bruch|1|6}} || {{op:Bruch|4|3}} - {{op:Bruch|1|6}} || {{op:Bruch|7|6}} || |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette |a_5 || {{op:Bruch|7|120}} || || || |SZ=. }} Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung {{math|term= 5|SZ=}} ist demnach {{ math/disp|term= t + {{op:Bruch|1|3}} t^3 + {{op:Bruch|7|120}} t^5 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fvebphq876vrzdy847d7ztct3ipkqez 0 52584 786303 738904 2022-08-22T11:03:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | \R \times \R \setminus \{0\} | \R |(x,y)| {{op:Bruch|x|y}} |SZ=, }} {{ Aufzählung5 |im Punkt {{mathl|term= (0,1)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (0,1)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (0,1)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (1,3)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (2,4)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (-1,6)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (-3,-1)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|1| {{op:Bruch|1|100}}|}} |SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (0,-1)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d191fgpinvq9dkgz72nzpmdv3koxuy2 0 52585 786307 738916 2022-08-22T11:03:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext=R|m |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | \R^2 \setminus {{mengebed|(x,y)|x^2+y^3 {{=|}} 0}} | \R |(x,y)| {{op:Bruch|x^2-xy+y^4|x^2+y^3}} |SZ=, }} {{ Aufzählung4 |im Punkt {{mathl|term= (1,1)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (1,0)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (0,1)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (0,1)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (0,1)|SZ=,}} |im Punkt {{mathl|term= (3,-2)|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= (2,-5)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d23379e2vkfkh89o135ozk8uacge6v2 0 52590 780014 752281 2022-08-21T17:58:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(t,x,y) || {{op:Zeilenvektor|tx+t^3,y^2 }} || || || |SZ=. }} Dieses System ist {{ Definitionslink |Prämath= |entkoppelt| |Kontext=DG| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und besteht aus den beiden einzelnen Gleichungen {{ Zusatz/Klammer |text=in jeweils einer Raumvariablen| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= x'=t x+t^3 \text{ und } y'= y^2 |SZ=. }} Eine Lösung der linken Differentialgleichung ist {{ Ma:Vergleichskette | x(t) ||-t^2-2 || || || |SZ=, }} eine Lösung der rechten ist {{ Ma:Vergleichskette | y(t) || -t^{-1} || || || |SZ=. }} Daher ist {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|-t^2-2|-t^{-1}| }} |SZ= }} eine Lösung zu {{math|term= F|SZ=.}} Wir betrachten nun die lineare Transformation {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi || {{op:Matrix22|4|3|-3|-2}} || || || |SZ= }} mit der inversen Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^{-1} || {{op:Matrix22|-2|-3|3|4}} || || || |SZ=. }} Das transformierte Vektorfeld ist {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | G(t,u,v) || \varphi (F(t, \varphi^{-1}(u,v))) || \varphi (F(t,-2u-3v,3u+4v )) || \varphi (t(-2u-3v)+t^3, (3u+4v)^2 ) || \varphi (t(-2u-3v)+t^3, 9u^2+24uv+16v^2 ) || ( 4(t(-2u-3v)+t^3)+3 (9u^2+24uv+16v^2) , -3(t(-2u-3v)+t^3)-2 (9u^2+24uv+16v^2) ) || (-8tu-12tv+4t^3+27u^2+72uv+48v^2, 6tu+9tv-3t^3-18u^2-48uv+32v^2) |SZ=. }} Für die zu {{math|term= G|SZ=}} gehörende Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|u'|v'}} || G(t,u,v) || || || || |SZ= }} ist gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Lineare Transformation/Lösung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi ( {{op:Spaltenvektor|-t^2-2|-t^{-1}| }} ) || {{op:Spaltenvektor| -4t^2-8-3t^{-1}| 3t^2+6+2t^{-1}|}} || || || |SZ= }} eine Lösung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sqgaeegut36rdewfxv3hod5elhyxnb7 0 52611 779576 739452 2022-08-21T16:50:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name={{{f|f}}} |\R^2 \setminus \{(0,0)\}|\R |(x,y)| {{op:Bruch|xy^3|x^2+y^2}} |SZ=. }} Um die {{ Definitionslink |Prämath= |partielle Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{math|term= x|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in jedem Punkt| |ISZ=|ESZ= }} zu berechnen, betrachtet man {{math|term= y|SZ=}} als eine Konstante, so dass eine nur von {{math|term= x|SZ=}} abhängige Funktion dasteht. Diese wird gemäß den Ableitungsregeln für Funktionen in einer Variablen abgeleitet, so dass sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung|{{{f|f}}} |x}} || {{op:Bruch|y^3(x^2+y^2)-xy^3(2x)|(x^2+y^2)^2}} || {{op:Bruch|-x^2 y^3+y^5|x^4+2x^2y^2+ y^4 }} || || |SZ= }} ergibt. Für die partielle Ableitung nach {{math|term= y|SZ=}} betrachtet man {{math|term= x|SZ=}} als eine Konstante und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung|{{{f|f}}} |y}} || {{op:Bruch|3xy^2 (x^2+y^2)-xy^3(2y)|(x^2+y^2)^2}} || {{op:Bruch|3x^3y^2+xy^4|x^4+2x^2y^2+ y^4 }} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8g9qrruf4papr4v2awlm1lwlbv73t2 0 52635 779260 752514 2022-08-21T16:00:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen die {{ Definitionslink |Prämath= |Richtungsableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f | \R^2|\R |(x,y)|x^2-xy-y^3 |SZ=, }} in Richtung {{ Ma:Vergleichskette | v || {{op:Zeilenvektor|4|-1}} || || || |SZ=. }} Zu einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||(x,y) | \in|\R^2 || || |SZ= }} müssen wir die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=p |\R|\R |t| f(P+tv) |SZ=, }} nach {{math|term= t|SZ=}} im Nullpunkt ableiten. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |p(t) || f(P+tv) || (x+4t)^2 -(x+4t)( y-t)-(y-t)^3 || x^2+ 8xt+16t^2 -xy - 4ty +xt +4t^2-y^3 +3y^2t -3yt^2+t^3 || x^2-xy-y^3 + 9xt - 4ty +3y^2t +20 t^2 -3yt^2+t^3 || |SZ=. }} Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | p'(0) || 9x-4y +3y^2 || || || |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | g(x,y) |{{defeq}}| (D_vf) (x,y) || 9x-4y +3y^2 || || |SZ=. }} Für diese Funktion können wir nun die Richtungsableitung in Richtung {{ Ma:Vergleichskette |u || {{op:Zeilenvektor|2|-3}} || || || |SZ= }} ausrechnen. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align |q (t) | {{defeq|}} | g(P+tu) || 9(x+2t)-4(y-3t) +3(y-3t)^2 || 9x-4y +3y^2 + 18t+12t-18yt +27t^2 || || |SZ=. }} Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | q'(0) || 30 -18y || || || |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (D_ug) (x,y) || (D_u (D_vf)) (x,y) || 30 -18y || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der höheren Richtungsableitungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ia2ns172xamachfsyhzblqfe1zz8u9 0 52776 779991 752177 2022-08-21T17:54:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die {{ Faktlink |Präwort=|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anhand der beiden Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name={{{f|f}}} |\R^3|\R^2 |{{op:Zeilenvektor|u|v|w}}|{{op:Zeilenvektor|uv^3w^2|u^2-v^2w}} |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name={{{g|g}}} |\R^2|\R^3 |{{op:Zeilenvektor|x|y}}|{{op:Zeilenvektor|xy-y^2| {{op:cos|(xy)|}} |x-y}} |SZ= }} illustrieren. Diese Abbildungen sind {{ Definitionslink |Prämath= |stetig partiell differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=|daher|Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrizen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu diesen Abbildungen {{ Zusatz/Klammer |text=in einem beliebigen Punkt {{mathlk|term=P=(u,v,w) \in\R^3|SZ=}} bzw. {{mathlk|term=Q=(x,y) \in \R^2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname {Jac} (f)_P || {{op:Matrix23| {{op:Partielle Ableitung|f_1|u|P}}|{{op:Partielle Ableitung|f_1|v|P}}|{{op:Partielle Ableitung|f_1|w|P}}| {{op:Partielle Ableitung|f_2|u|P}}|{{op:Partielle Ableitung|f_2|v|P}}|{{op:Partielle Ableitung|f_2|w|P}} |}} || {{op:Matrix23| v^3w^2|3uv^2w^2 |2uv^3w |2u| -2vw |-v^2}} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname {Jac} (g)_Q || {{op:Matrix32| {{op:Partielle Ableitung|g_1|x|Q}}|{{op:Partielle Ableitung|g_1|y|Q}}|{{op:Partielle Ableitung|g_2|x|Q}}| {{op:Partielle Ableitung|g_2|y|Q}}|{{op:Partielle Ableitung|g_3|x|Q}}|{{op:Partielle Ableitung|g_3|y|Q}} |}} || {{op:Matrix32|y |x-2y | - y {{op:sin|(xy)|}} |- x {{op:sin|(xy)|}}| 1 |-1}} || || |SZ=. }} Die zusammengesetzte Abbildung {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | g(f(u,v,w)) || {{op:Zeilenvektor|uv^3w^2 {{makl| u^2-v^2w |}}- {{makl| u^2-v^2w |}}^2| {{op:cos| {{makl| uv^3w^2(u^2-v^2w) |}} |}} |uv^3w^3-u^2+v^2w }} || {{op:Zeilenvektor| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3-u^4-v^4w^2+2u^2v^2w | {{op:cos| {{makl| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3 |}} }} |uv^3w^3-u^2+v^2w }} || || |SZ=, }} die zugehörige Jacobi-Matrix in {{mathl|term= P=(u,v,w)|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname {Jac} (g \circ f)_P || {{op:Matrix33|3u^2v^3w^2-v^5w^3-4u^3+4uv^2w|3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw |2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 | {{makl| 3u^2v^3w^2-v^5w^3 |}} {{op:sin| {{makl| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3 |}} }} | {{makl| 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3 |}} {{op:sin| {{makl| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3 |}} }} | {{makl| 2u^3v^3w-3uv^5w^2 |}}{{op:sin| {{makl| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3 |}} }} |v^3w^3-2u|3uv^2w^3+2vw | 3uv^3w^2+v^2 }} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a426lud95euojw9rrsmk90jbxhdrs26 0 52777 779990 752176 2022-08-21T17:54:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die {{ Faktlink |Präwort=|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anhand der beiden Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name={{{f|f}}} |\R^3|\R^2 |{{op:Zeilenvektor|u|v|w}}|{{op:Zeilenvektor|uv^3w^2|u^2-v^2w}} |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name={{{g|g}}} |\R^2|\R^3 |{{op:Zeilenvektor|x|y}}|{{op:Zeilenvektor|xy-y^2| {{op:cos|x|}} |x-y}} |SZ= }} illustrieren. Diese Abbildungen sind {{ Definitionslink |Prämath= |stetig partiell differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und daher nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrizen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu diesen Abbildungen {{ Zusatz/Klammer |text=in einem beliebigen Punkt {{ Ma:Vergleichskette/k | P || (u,v,w) |\in| \R^3 || || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/k |Q || (x,y) |\in | \R^2 || || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname {Jac} (f)_P || {{op:Matrix23| {{op:Partielle Ableitung|f_1|u|P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_1|v|P}}| {{op:Partielle Ableitung|f_1|w|P}}| {{op:Partielle Ableitung|f_2|u|P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2|v|P}}| {{op:Partielle Ableitung|f_2|w|P}} |}} || {{op:Matrix23| v^3w^2|3uv^2w^2 |2uv^3w |2u| -2vw |-v^2}} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname {Jac} (g)_Q || {{op:Matrix32| {{op:Partielle Ableitung|g_1|x|Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_1|y|Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_2|x|Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_2|y|Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_3|x|Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_3|y|Q}} |}} || {{op:Matrix32|y |x-2y | - {{op:sin|x|}} |0| 1 |-1}} || || |SZ=. }} Die zusammengesetzte Abbildung {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | g(f(u,v,w)) || {{op:Zeilenvektor| uv^3w^2 {{makl| u^2-v^2w |}}- {{makl| u^2-v^2w |}}^2 | {{op:cos| {{makl| uv^3w^2|}} |}} | uv^3w^2-u^2+v^2w }} || {{op:Zeilenvektor| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3-u^4-v^4w^2+2u^2v^2w | {{op:cos| {{makl|uv^3w^2 |}} }} | uv^3w^2-u^2+v^2w }} || || |SZ=, }} die zugehörige Jacobi-Matrix in {{ Ma:Vergleichskette |P ||(u,v,w) || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | \operatorname {Jac} (g \circ f)_P || {{op:Matrix33| 3u^2v^3w^2-v^5w^3-4u^3+4uv^2w | 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw |2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 | - v^3w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2|}} }} | - 3uv^2w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 2uv^3w {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} |v^3w^2-2u|3uv^2w^2+2vw | 2uv^3w+v^2 }} || || |SZ=. }} Die zusammengesetzte lineare Abbildung ist {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | \operatorname{Jak}({{{g|g}}} )_{ {{{f|f}}}(P)} \circ \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || \operatorname{Jak}({{{g|g}}} )_{ (uv^3w^2,u^2-v^2w)} \circ \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || {{op:Matrix32|u^2-v^2w |uv^3w^2-2u^2+2v^2w | - {{op:sin(|uv^3w^2|}} |0| 1 |-1}} \circ {{op:Matrix23| v^3w^2|3uv^2w^2 |2uv^3w |2u| -2vw |-v^2}} || {{op:Matrix33| {{makl| u^2-v^2w |}}v^3w^2 + {{makl| uv^3w^2-2u^2+2v^2w |}} 2u| {{makl| u^2-v^2w |}} 3uv^2w^2 - {{makl| uv^3w^2-2u^2+2v^2w |}} 2vw | {{makl| u^2-v^2w |}} 2uv^3w - {{makl| uv^3w^2-2u^2+2v^2w |}} v^2 | - v^3w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2|}} }} | - 3uv^2w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 2uv^3w {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} |v^3w^2-2u|3uv^2w^2+2vw | 2uv^3w+v^2 }} || {{op:Matrix33|3u^2v^3w^2-^5w^3-4u^3+4uv^2w| 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw | 2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 | - v^3w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2|}} }} | - 3uv^2w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 2uv^3w {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} |v^3w^2-2u|3uv^2w^2+2vw | 2uv^3w+v^2 }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8d2c9xhlfot21828orsl6n16gqcpzz8 0 52840 779495 739857 2022-08-21T16:37:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^2|\R |(x,y)|x^2+y^2 |SZ=, }} hat in {{ Ma:Vergleichskette |P || (0,0) || || || |SZ= }} den Wert {{math|term= 0|SZ=}} und überall sonst positive Werte, daher liegt in {{math|term= P|SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=isoliertes| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |globales Minimum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} grmirkm9i3i92f3q40xuv7ysc7ruh4n 0 52841 779858 751977 2022-08-21T17:32:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Verhalten der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^2|\R |(x,y)|x^2-y^2 |SZ=. }} in {{ Ma:Vergleichskette |P ||(0,0) || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Funktion auf die durch {{ Ma:Vergleichskette |y ||0 || || || |SZ= }} gegebene Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=also auf der {{math|term= x|SZ=-}}Achse| |ISZ=|ESZ= }} ist die Funktion {{mathl|term= x \mapsto x^2|SZ=,}} die in {{math|term= P|SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=isoliertes| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |globales Minimum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. Die Einschränkung dieser Funktion auf die durch {{ Ma:Vergleichskette |x || 0 || || || |SZ= }} gegebene Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=also auf der {{math|term= y|SZ=-}}Achse| |ISZ=|ESZ= }} ist die Funktion {{mathl|term= y \mapsto -y^2|SZ=,}} die in {{math|term= P|SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=isoliertes| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |globales Maximum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. Daher kann {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} kein Extremum besitzen. Auf den durch {{ Ma:Vergleichskette |y ||x || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |y ||-x || || || |SZ= }} gegebenen Geraden ist die Funktion die Nullfunktion. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onxnvbgvlcu5vmwo73ic0we8poqypz8 0 52842 779142 763257 2022-08-21T15:42:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{math|term= \R^2|SZ=}} die beiden Kreise {{ mathkor|term1= K_1 |und|term2= K_2 |SZ=, }} wobei {{math|term= K_1|SZ=}} den Mittelpunkt {{mathl|term= (0,1)|SZ=}} und Radius {{math|term= 1|SZ=}} und {{math|term= K_2|SZ=}} den Mittelpunkt {{mathl|term= (0,2)|SZ=}} und Radius {{math|term= 2|SZ=}} habe. {{math|term= K_1|SZ=}} liegt innerhalb von {{math|term= K_2|SZ=,}} und die beiden Kreise berühren sich in {{ Ma:Vergleichskette |P ||(0,0) || || || |SZ=. }} Durch diese beiden Kreise wird die Ebene {{ Zusatz/Klammer |text=neben den zwei Kreislinien selbst| |ISZ=|ESZ= }} in drei offene Gebiete aufgeteilt: Das Innere des Kreises {{math|term= K_1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= =A|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} die große offene Kreisscheibe ohne die kleine abgeschlossene Kreisscheibe {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= =B|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und das Äußere von {{math|term= K_2|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= =C|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Der innere Kreis {{math|term= K_1|SZ=}} wird als Nullstelle der Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_1(x,y) || x^2+(y-1)^2 -1 || || || || |SZ= }} beschrieben. Im Innern von {{math|term= K_1|SZ=}} ist diese Funktion negativ, auf {{math|term= K_1|SZ=}} hat sie den Wert {{math|term= 0|SZ=}} und außerhalb davon hat sie positive Werte. Entsprechendes gilt für {{math|term= K_2|SZ=}} und die Funktion {{ Ma:Vergleichskette | f_2(x,y) || x^2+(y-2)^2 -4 || || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/align | f(x,y) | {{defeq|}} |f_1(x,y) \cdot f_2(x,y) || {{makl| x^2+(y-1)^2 -1 |}} \cdot {{makl| x^2+(y-2)^2 -4 |}} || {{makl| x^2+y^2 -2y |}} \cdot {{makl| x^2+y^2 -4y |}} || x^4+y^4+2x^2y^2-6y^3-6x^2y+8y^2 |SZ=. }} Diese Funktion nimmt auf den beiden Kreisen den Wert {{math|term= 0|SZ=}} an, sie ist auf {{math|term= A|SZ=}} positiv, auf {{math|term= B|SZ=}} negativ und auf {{math|term= C|SZ=}} wieder positiv. Die Funktion {{math|term= f|SZ=}} besitzt in {{math|term= P|SZ=}} kein lokales Minimum, da sie dort den Wert {{math|term= 0|SZ=}} besitzt und da jede beliebig kleine Ballumgebung {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P|\epsilon}} |SZ=}} den Bereich {{math|term= B|SZ=}} trifft, wo {{math|term= f|SZ=}} negative Werte besitzt. Die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch den Nullpunkt besitzt aber dort ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokales Minimum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sei dazu {{math|term= G|SZ=}} eine solche Gerade. Wenn {{math|term= G|SZ=}} die {{math|term= x|SZ=-}}Achse ist, so verläuft diese Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf {{math|term= P|SZ=}} selbst| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= C|SZ=,}} wo {{math|term= f|SZ=}} nur positive Werte annimmt, so dass in {{math|term= P|SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=sogar globales| |ISZ=|ESZ= }} Minimum vorliegt. Sei also {{math|term= G|SZ=}} eine von der {{math|term= x|SZ=-}}Achse verschiedene Gerade durch {{math|term= P|SZ=.}} Die eine Hälfte der Geraden verläuft ganz in {{math|term= C|SZ=,}} wo die Funktion positiv ist. Die andere Hälfte verläuft, ausgehend von {{math|term= P|SZ=,}} zuerst in {{math|term= A|SZ=,}} dann in {{math|term= B|SZ=}} und schließlich wieder in {{math|term= C|SZ=.}} Da die Funktion auf {{math|term= A|SZ=}} positiv ist, kann man ein Teilintervall {{mathl|term= [- \delta, \delta] |SZ=}} der Geraden derart wählen, dass dieses Teilstück {{ Zusatz/Klammer |text=abgesehen von {{math|term= P|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} nur in {{ mathkor|term1= A |und|term2= C |SZ= }} verläuft. Auf diesem Teilintervall nimmt die Funktion in {{math|term= P|SZ=}} den Wert {{math|term= 0|SZ=}} und sonst überall positive Werte an. Daher besitzt die eingeschränkte Funktion ein lokales Minimum. Das dabei zu wählende {{math|term= \delta |SZ=}} hängt natürlich wesentlich von der Steigung der Geraden ab, es gibt kein gemeinsames {{math|term= \delta|SZ=}} für alle Geraden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Quadriken in zwei Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o1b2fdc4zvuvtvdupppphfjs5f6urey 0 52866 779470 741102 2022-08-21T16:33:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen für die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=g |\R|\R |t|g(t) {{=|}} 1-t^3 |SZ=, }} und das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsintervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} bestimmen, für welche zwei Unterteilungspunkte {{ Ma:Vergleichskette |0 |<|x |<|y |<|1 || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Treppenintegral| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der zugehörigen {{ Zusatz/Klammer |text=dreistufigen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |unteren Treppenfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x,y) || x {{makl| 1-x^3 |}} + {{makl| y-x |}} {{makl| 1-y^3 |}} || x-x^4+y-y^4-x+xy^3 || -x^4+y-y^4 +xy^3 || |SZ= }} beschrieben. Die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Funktion sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung|f|x}} || -4x^3+y^3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung|f|y}} || 1 -4y^3 +3xy^2 || || || |SZ=. }} Wir bestimmen die {{ Definitionslink |Prämath= |kritischen Punkte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Aus der ersten partiellen Ableitung ergibt sich die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || \sqrt[3]{4} x || || || |SZ= }} und daraus ergibt sich mit der zweiten partiellen Ableitung die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 1 -16 x^3 +3 \cdot 4^{2/3}x^3 || 0 || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| 16 - 3 \cdot 4^{2/3} |}} x^3 || 1 || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || {{op:Bruch|1|\sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} }||}} || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | P || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1|\sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} }||}} | {{op:Bruch|\sqrt[3]{4}|\sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} }||}} }} |\cong| {{op:Zeilenvektor| 0,4911 |0,7796}} || || || |SZ= }} der einzige kritische Punkt. Wir bestimmen die {{ Definitionslink |Prämath= |Hesse-Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in diesem Punkt, sie ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hesse|f|P}} || {{op:Matrix22|-12x^2|3y^2|3y^2|-12y^2+6xy }} || || || |SZ= }} und in {{math|term= P|SZ=}} gleich {{ math/disp|term= {{op:Matrix22 |- 2,8942| 1,8233|1,8233 |-4,9961 }} |SZ=, }} also {{ Definitionslink |Prämath= |negativ definit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Daher liegt in {{math|term= P|SZ=}} ein Maximum {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Integrationstheorie in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie3=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} foybrfyzwbazui98deexs77zq8vl1z5 0 52869 779471 741101 2022-08-21T16:33:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen für die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=g |\R|\R |t|t |SZ=, }} und das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsintervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} bestimmen, für welche {{math|term= n|SZ=}} Unterteilungspunkte {{ Ma:Vergleichskette | 0 |<| x_1 | <| \ldots | <|x_n |<|1 |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Treppenintegral| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der zugehörigen {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=(n+1)|SZ=-}}stufigen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |unteren Treppenfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | f(x_1 {{kommadots|}} x_n) || x_1(x_2-x_1) +x_2(x_3-x_2) {{plusdots|}} x_{n-1} (x_n-x_{n-1}) + x_n(1-x_n) || \sum_{i {{=|}} 1}^{n-1} x_{i}x_{i+1} +x_n - \sum_{i {{=|}} 1}^n x_i^2 || || |SZ= }} beschrieben. Die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Funktion sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung|f|x_1}} || x_2 -2x_1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung|f|x_i}} || x_{i-1} +x_{i+1} -2x_i || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | i || 2 {{kommadots|}} n-1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung|f|x_n}} || x_{n-1} + 1 - 2x_n || || || |SZ=. }} Wir bestimmen die {{ Definitionslink |Prämath= |kritischen Punkte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} indem wir die partiellen Ableitungen gleich {{math|term= 0|SZ=}} setzen. Die ersten {{mathl|term= n-1|SZ=}} Gleichungen ergeben sukzessive die Bedingungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_i || i x_1 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i|SZ=.}} Dies zeigt man durch {{ Definitionslink |Prämath= |Induktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der Induktionsanfang {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |i ||1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist trivial, {{ Ma:Vergleichskette |i ||2 || || || |SZ= }} folgt direkt aus der ersten Gleichung und der Induktionsschritt ergibt sich aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_{i+1} || -x_{i-1} +2x_i || -(i-1)x_1 +2ix_1 || (i+1 ) x_1 || |SZ=. }} Aus der letzen Gleichung folgt schließlich {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 || x_{n-1} +1 -2x_n || 1 +( n-1 -2n ) x_1 || 1 -(n+1) x_1 || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette | x_1 || {{op:Bruch|1|n+1}} || || || |SZ=. }} Der einzige kritische Punkt liegt also in der äquidistanten Unterteilung vor. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Hesse-Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=unabhängig vom Punkt| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{ math/disp|term= {{op:Matrix66|-2|1|0|\ldots|\ldots|0|1|-2|1|0|\ldots|0|0|1|-2|1|\ddots|0|\vdots|\ddots|\ddots|\ddots|\ddots|\vdots|0|\ldots|0|1|-2|1|0|\ldots|\ldots |0|1|-2|}} |SZ=. }} Diese Matrix ist {{ Definitionslink |Prämath= |negativ definit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Daher liegt in der äquidistanten Unterteilung {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das Maximum vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Integrationstheorie in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie3=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 15wdjm92aygb9y35ln8qotk8ia3drmh 0 52877 784815 758270 2022-08-22T07:04:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dem von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|-2|8|9}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der orthogonalen Komplemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bgk3xypldr7rx3n9kijg0ob0ykzs8mc 0 52878 784816 758271 2022-08-22T07:04:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dem von {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor|5|8|-3|9}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|6|2|0|3}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^4|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der orthogonalen Komplemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kspjmyxhuguc51owd6ya08u8nzbnjs1 0 52893 782061 755957 2022-08-21T23:39:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Faktlink |Präwort=|entkoppeltes Differentialgleichungssystem|Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Vektorfeld/Entkoppelt/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(t,x_1 {{kommadots|}} x_n) || (f_1(t,x_1) {{kommadots|}} f_n(t,x_n)) || || || |SZ= }} gegeben. {{ManSie|Erläutere|Erläutern Sie}}, wie sich die Lösungen der einzelnen Differentialgleichungen {{mathl|term= x_i'=f_i(t,x_i)|SZ=}} zur Gesamtlösung verhalten, wie dabei die Definitionsintervalle der Lösungen zusammenhängen und was man über die Eindeutigkeit von Lösungen aussagen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lry4vhwhhgkr5bhwes94klpz485yugk 0 52897 785092 758469 2022-08-22T07:46:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= R[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} den {{Stichwort|Polynomialsatz|SZ=,}} das ist die Gleichung {{ math/disp|term= (X_1 {{plusdots|}} X_{ {{{n|n}}} })^{ {{{k|k}}} } = \sum_{ {{{m|m}}}=( {{{m|m}}}_1 {{kommadots|}} {{{m|m}}}_{ {{{n|n}}} }), \, \sum_{i=1}^{ {{{n|n}}} } {{{m|m}}}_i ={{{k|k}}} } \binom{ {{{k|k}}} }{ {{{m|m}}} } X_1^{ {{{m|m}}}_1} X_2^{ {{{m|m}}}_2} \cdots X_{ {{{n|n}}} }^{ {{{m|m}}}_{ {{{n|n}}}} } |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Multinomialsatz |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem kommutativen Ring |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Polynomialsatz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lvm0e14iv9db4ikshjgh57geemwahgd 0 52898 780637 310535 2022-08-21T19:41:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} im {{math|term= \R^2|SZ=}} die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen. {{ Aufzählung10 |{{mathl|term= x^2-y^2 -1 {{=|}} 0|SZ=,}} |{{mathl|term= x^2+xy+y^2 {{=|}} 0|SZ=,}} |{{mathl|term= x^2+y^2 +1 {{=|}} 0|SZ=,}} |{{mathl|term= x^2+y^2 {{=|}} 0|SZ=,}} |{{mathl|term= x^2+y^3 {{=|}} 0|SZ=,}} |{{mathl|term= x^3-y^5 {{=|}} 0|SZ=,}} |{{mathl|term= x^2-x^3 {{=|}} 0|SZ=,}} |{{mathl|term= x^3+y^3 {{=|}} 1|SZ=,}} |{{mathl|term= x^4+y^4 {{=|}} 1|SZ=,}} |{{mathl|term= -5+3x+4x^2+x^3-y^2 {{=|}} 1|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f6r5awja4kxkf7sgqrf7dtwtoke37en 0 52899 780636 312544 2022-08-21T19:41:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den Durchschnitt der Kurven aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Skizziere/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit den folgenden Geraden. {{ Aufzählung7 | {{mathl|term= x=0|SZ=,}} | {{mathl|term= y=0|SZ=,}} | {{mathl|term= x=1|SZ=,}} | {{mathl|term= y=-2|SZ=,}} | {{mathl|term= x=y|SZ=,}} | {{mathl|term= x=-y|SZ=,}} | {{mathl|term= 2x-3y+4=0|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3qe6gvtovxe7mxqhthtbxhkfdlofaeb 0 52902 785081 758463 2022-08-22T07:44:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= C \subseteq {{CC}}^2|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter der polynomialen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}}^2 |t| {{op:Zeilenvektor|t^3-t^2+4t+3|-t^2+5t-1}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} ein Polynom {{mathl|term= F\neq 0|SZ=}} in zwei Variablen derart, dass {{math|term= C|SZ=}} auf dem Nullstellengebilde zu {{math|term= F|SZ=}} liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0qbixhz6lu6idxkxib8obyspek0pshr 0 52903 785080 758462 2022-08-22T07:44:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= C \subseteq \R^2|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter der polynomialen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R^2 |t| {{op:Zeilenvektor|t^3-1|t^2-1}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} ein Polynom {{mathl|term= F\neq 0|SZ=}} in zwei Variablen derart, dass {{math|term= C|SZ=}} auf dem Nullstellengebilde zu {{math|term= F|SZ=}} liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h6xbi5dlfoj1zc311vu8h00j2x3abqe 0 52910 784232 757869 2022-08-22T05:41:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Metrischer Raum/Folge/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann gegen einen Punkt {{mathl|term= x \in {{{M|M}}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Folge mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= d(x_n,x)|SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Folge R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3op6dh94jfqhq7gr2pjgh13kza0xgw1 0 52911 782274 756128 2022-08-22T00:14:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob im {{math|term= \R^3|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= x_n= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|n^5-4n^2|e^n}} | {{op:Bruch|-5n^4+n^3-n^{-1} |13n^4-9n^2+5n+6}}| {{op:Bruch|4 {{op:cos|n|pot=3}} +6n^2+5n-2 | 2n^2- {{op:sin|n|pot=7}} }} }} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Folge mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und bestimme{{n Sie}} gegebenenfalls den {{ Definitionslink |Prämath= |Grenzwert| |Kontext=Folge mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6l1ey82sj0yzz9pfdm6bzeocj8k2i7c 0 52912 782118 756006 2022-08-21T23:48:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= v \in V|SZ=}} ein Vektor. Zeige{{n Sie}}, dass der Abstand {{mathl|term= d(v,u)|SZ=}} zu einem Vektor {{mathl|term= u \in U|SZ=}} genau in dem {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmten| |ISZ=|ESZ= }} Punkt {{mathl|term= u_0 \in U|SZ=}} minimal wird, für den {{mathl|term= v-u_0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonal| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= U|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3rne8kuuryk0gqvwn9waosmu7zws5sh 0 52913 786381 550405 2022-08-22T11:16:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den minimalen Abstand von {{mathl|term= (4,1,-5)|SZ=}} zu einem Punkt der Ebene {{math|term= E|SZ=,}} die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | 2x-7y+3z ||0 || || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ekb740igxnphnsg3a0t235xwaz2ztcq 0 52927 781417 755436 2022-08-21T21:51:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= P \in \R^n|SZ=}} ein Punkt. Es sei {{mathl|term= t_0 \in \R|SZ=}} derart, dass der Abstand {{mathl|term= d(P,f(t))|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen {{math|term= P|SZ=}} und einem Kurvenpunkt| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= t_0|SZ=}} minimal werde. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= P-f(t_0)|SZ=}} senkrecht zu {{mathl|term= f'(t_0)|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hobq2uaipqcqu9f5km6mt91ugfjwhzt 0 52928 781419 640142 2022-08-21T21:52:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R^2 |t|{{op:Zeilenvektor|t^2|t^3}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Punkte {{mathl|term= t_0 \in \R|SZ=,}} für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte {{mathl|term= f(t)={{op:Zeilenvektor|t^2|t^3}}|SZ=}} zum Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} minimal wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3=Theorie der Abstände von Teilmengen in metrischen Räumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 52492onnha2tb6baddk6727lbwd2aj7 0 52938 780696 738397 2022-08-21T19:51:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Übersetze das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem zweiter Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y^{\prime \prime} =- y \text{ mit } y(0)=0 \text{ und } y'(0) = 1 |SZ= }} in ein {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialgleichungssystem erster Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} b) Bestimme{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=mit dem|Polygonzugverfahren|Faktseitenname= Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Polygonzugverfahren/Verfahren |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zur Schrittweite {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} die Näherungspunkte {{mathl|term= P_0,P_1,P_2,P_3,P_4|SZ=}} für dieses System. c) Berechne{{n Sie}} den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle {{ Ma:Vergleichskette | t || \pi/2 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Polygonzugverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Harmonischer Oszillator |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ldd6bdhu7nhirqz9q5xa4p7sy1qfoy 0 52940 780343 738373 2022-08-21T18:52:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Schreibe{{n Sie}} ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= (x,y)' ist (x^2-ty,txy)/Polygonzugverfahren/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu einem Startzeitpunkt {{math|term= t_0|SZ=,}} einem Startpunkt {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|a|b}} || || || |SZ= }} und einer vorgegebenen Schrittweite {{ Ma:Vergleichskette | s |>| 0 || || || |SZ= }} die approximierenden Punkte {{mathl|term= P_n|SZ=}} berechnet. b) Berechne{{n Sie}} mit diesem Programm die Punkte {{math|term= P_n|SZ=}} für {{ Aufzählung8 |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1|1}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|10}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 0,1,2,3,4,5, 10 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1|1}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|100}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 100 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1|1}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|1000}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 1000 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1,001|0,999}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|1000}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 1000 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1,01|0,99}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|1000}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n ||1000 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1,1|0,9}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|1000}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 1000 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || -3 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|-2|5}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|10}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 100 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1|0}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|1000}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 1000 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Polygonzugverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3vi3z1i3gz3yaza2ggaemfea1b8xnnv 780374 780343 2022-08-21T18:57:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Schreibe{{n Sie}} ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= (x,y)' ist (x^2-ty,txy)/Polygonzugverfahren/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu einem Startzeitpunkt {{math|term= t_0|SZ=,}} einem Startpunkt {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|a|b}} || || || |SZ= }} und einer vorgegebenen Schrittweite {{ Ma:Vergleichskette | s |>| 0 || || || |SZ= }} die approximierenden Punkte {{mathl|term= P_n|SZ=}} berechnet. b) Berechne{{n Sie}} mit diesem Programm die Punkte {{math|term= P_n|SZ=}} für {{ Aufzählung8 |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1|1}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|10}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 0,1,2,3,4,5, 10 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1|1}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|100}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 100 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1|1}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|1000}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 1000 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1,001|0,999}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|1000}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 1000 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1,01|0,99}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|1000}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n ||1000 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1,1|0,9}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|1000}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 1000 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || -3 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|-2|5}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|10}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 100 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | t_0 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P_0 || {{op:Spaltenvektor|1|0}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|1|1000}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n || 1000 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Polygonzugverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m34tmrte9phmnzdo0fufvmzdi1qgjxf 0 52942 780695 754808 2022-08-21T19:51:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y'=y |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{math|term= y(0)=1|SZ=.}} Bestimme zur Schrittweite {{mathl|term= s= {{op:Bruch|1|k}} |SZ=}} die approximierenden Punkte {{math|term= P_n|SZ=}} {{ Faktlink |Präwort=gemäß dem|Polygonzugverfahren|Faktseitenname= Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Polygonzugverfahren/Verfahren |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} insbesondere {{math|term= P_k|SZ=.}} Was passiert mit {{math|term= P_k|SZ=}} für {{mathl|term= k \rightarrow \infty|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Polygonzugverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Differentialgleichung y'=y |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gc064sug4iegspopikaof0ootvz56ow 0 52943 779589 738870 2022-08-21T16:53:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei einer eindimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= |ortsunabhängigen Differentialgleichung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | y' || g(t) || || || |SZ= }} ergibt sich {{math|term= y |SZ=}} einfach als eine {{ Definitionslink |Prämath= |Stammfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= g|SZ=.}} Wendet man in dieser Situation {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Polygonzugverfahren/Verfahren |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zum Startzeitpunkt {{math|term= t_0 |SZ=,}} zum Startpunkt {{math|term= c|SZ=}} und zur Schrittweite {{math|term= s|SZ=}} an, so ergibt sich die rekursive Beziehung {{ math/disp|term= P_0= c \text{ und } P_{n+1} = P_n +s g(t_0 + ns) |SZ=. }} Daher ist offenbar {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | P_n || c + s {{makl|g(t_0) + g(t_0 + s) + g(t_0 + 2s) {{plusdots|}} g(t_0 + (n-1)s) |}} || || || |SZ=. }} D.h. dass man zu dem Ausgangswert {{math|term= c|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Treppenintegral| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur äquidistanten Unterteilung {{mathl|term= t_0,t_0+s,t_0+2s {{kommadots|}} t_0+ (n-1)s |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und zur durch {{mathlk|term= g(t_0+ks) |SZ=}} auf dem Teilintervall {{mathl|term= [t_0+ks, t_0+(k+1)s[ |SZ=}} gegebenen Treppenfunktion| |ISZ=|ESZ= }} hinzuaddiert. Der zugehörige Streckenzug ist die {{ Zusatz/Klammer |text=stückweise lineare| |ISZ=|ESZ= }} Integralfunktion zu dieser Treppenfunktion. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Polygonzugverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hr1ccm4g4p0m1o0be5jhwzwo7foxrd4 0 52946 779219 691743 2022-08-21T15:54:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Gegenstand der Masse {{math|term= m|SZ=}} wird aus der Höhe losgelassen und fällt unter dem Einfluss der Gravitation zu Boden. Dabei wirkt auf den Körper einerseits die Gravitationskraft {{mathl|term= gm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Erdbeschleunigung {{math|term= g|SZ=}} nehmen wir für diesen Bewegungsvorgang als konstant an| |ISZ=|ESZ=, }} die ihn beschleunigt, andererseits wird diese Beschleunigung durch den Luftwiderstand verringert. Nach einem physikalischen Gesetz ist die Reibung {{ Zusatz/Klammer |text=bei relativ kleinen Geschwindigkeiten| |ISZ=|ESZ= }} proportional und entgegengesetzt zur Geschwindigkeit des Körpers. Es sei {{math|term= \beta|SZ=}} der Reibungswiderstand, also dieser Proportionalitätsfaktor. Die auf den Körper {{ Zusatz/Klammer |text=nach unten| |ISZ=|ESZ= }} wirkende Gesamtkraft ist daher {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(t) || gm - \beta y'(t) || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^{\prime \prime} (t) || {{op:Bruch|F(t)|m}} || || || |SZ= }} gilt daher für diesen Bewegungsvorgang die Differentialgleichung zweiter Ordnung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^{\prime \prime} ||- {{op:Bruch|\beta|m}} y' +g || || || |SZ=. }} Wenn wir dies mit der Ableitungsfunktion {{ Ma:Vergleichskette |v ||y' || || || |SZ= }} schreiben, so erhalten wir die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |v' || - {{op:Bruch|\beta|m}} v +g || || || |SZ=, }} die nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Differentialgleichung/Inhomogen/Konstante affin-lineare Koeffizienten/Abkühlung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Lösungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |v(t) || c e^{- {{op:Bruch|\beta|m}} t } + {{op:Bruch|gm|\beta}} || || || |SZ= }} besitzt. Durch Intergration erhält man für die Differentialgleichung zweiter Ordnung die Lösungsfunktionen {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || - c {{op:Bruch|m|\beta}} e^{- {{op:Bruch|\beta|m}} t } + {{op:Bruch|g m|\beta}} t +d || || || |SZ= }} mit beliebigen Konstanten {{ Ma:Vergleichskette |c,d |\in| \R || || || |SZ=. }} Siehe auch {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Gravitation/Luftwiderstand/Stokes/Lineare_Differentialgleichung_zweiter_Ordnung/Beispiel/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung |Kategorie2=Gravitationstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ejhyshtc9lfddlv5iux1vmyhgk1zd9 0 52986 783891 738399 2022-08-22T04:44:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Differentialgleichungssystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|x|y}}' || {{op:Matrix22| {{op:cos|t|}} | - {{op:sin|t|}} | {{op:sin|t|}}| {{op:cos|t|}} }} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Erstelle{{n Sie}} eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion {{ Ma:Vergleichskette | z(t) || x^2(t)+y^2(t) || || || |SZ= }} zu einer Lösung {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} erfüllen muss. |Finde{{n Sie}} eine Lösung für {{math|term= z(t)|SZ=}} aus Teil (1). |Finde{{n Sie}} eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} an1jzekp0asl4o37mqzyis3twspfxdw 0 53030 780633 754763 2022-08-21T19:40:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= n \geq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass ein Punkt {{mathl|term= P \in {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} nicht die {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem einzigen Polynom ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Punktmengen im affinen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c2stqdo8iulyq8iuf4f91ga2kp4olrk 0 53031 781963 755855 2022-08-21T23:22:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= M=\{ P_1,P_2 {{kommadots|}} P_m \} \in {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} eine endliche Menge von Punkten. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines einzigen Polynoms ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Punktmengen im affinen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0gzhvaeiylnrv1q623e6xfce4u6cm72 0 53032 786401 759476 2022-08-22T11:19:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M=\{ P_1,P_2 {{kommadots|}} P_m \} \in {{op:Affiner Raum|n|\R}} |SZ=}} eine endliche Menge von Punkten. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines einzigen Polynoms ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Punktmengen im affinen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3wwlv4vzraglegue1m1dmpt5lwqzhl9 0 53033 785854 759018 2022-08-22T09:48:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der reellen {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbaren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=(2\times 2) |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|4|\R}} |SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Varietäten zu linearen Objekten |Kategorie2=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4i56uhn3pywcz65p903vwi6hyv6t7ua 0 53038 783892 509245 2022-08-22T04:44:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne zum Vektorfeld {{ Ma:abbele/disp |name=F | {{makl| \R \setminus \{0\} |}} \times \R^2|\R^2 | {{op:Spaltenvektor|x|y}} | F(t,x,y) {{=|}} {{op:Spaltenvektor|x {{op:sin|t|}} - {{op:sin|t|}} | {{op:Bruch|y|t}} +t^5}} |SZ= }} aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Entkoppelt/x sin t - sin t,y 1 durch t -y +t^5/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das {{ Faktlink |Präwort=|transformierte Vektorfeld|Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Lineare Transformation/Lösung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zur durch die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|2|5|1|6}} |SZ=}} gegebenen linearen Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die Lösungen zu diesem transformierten Vektorfeld. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mebfupx429uhpv08fe0flio7e1pakvo 0 53043 778862 763089 2022-08-21T14:57:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R |(x,y)|e^y {{op:sin|x|}} -3xy |SZ=, }} und wollen die Taylor-Polynome bis zur Ordnung {{math|term= 3|SZ=}} dazu im Nullpunkt berechnen. Das {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= 0|SZ=}} ist das konstante Nullpolynom, da {{ Ma:Vergleichskette | f(0,0) || 0 || || || |SZ= }} ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung {{math|term= 1|SZ=}} müssen wir die beiden partiellen Ableitungen ausrechnen. Diese sind {{ mathkor/disp|term1= {{op:Partielle Ableitung|f|x}} = e^y {{op:cos|x|}} -3y |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|f|y}} = e^y {{op:sin|x|}} -3x |SZ= }} mit den Werten {{ mathbed|term= 1 |und|bedterm1= 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Daher ist {{math|term= x|SZ=}} die lineare Approximation zu {{math|term= f|SZ=,}} also das Taylor-Polynom der Ordnung {{math|term= 1|SZ=.}} Für das Taylor-Polynom der Ordnung {{math|term= 2|SZ=}} berechnen wir die zweiten Ableitungen, diese sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung|f|x}} || - e^y {{op:sin|x|}} || || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung||y}} {{op:Partielle Ableitung|f|x}} || e^y {{op:cos|x|}} -3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung||y}} {{op:Partielle Ableitung|f|y}} || e^y {{op:sin|x|}} || || || |SZ=. }} Die Werte dieser zweiten partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind der Reihe nach {{mathl|term= 0,-2,0|SZ=,}} sodass das zweite Taylor-Polynom {{ Zusatz/Klammer |text=also die quadratische Approximation| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{ math/disp|term= x -2 xy |SZ= }} ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung {{math|term= 3|SZ=}} berechnen wir die dritten Ableitungen, diese sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung|f|x}} || - e^y {{op:cos|x|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung||y}} {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung|f|x}} || - e^y {{op:sin|x|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung||y}} {{op:Partielle Ableitung||y}} {{op:Partielle Ableitung|f|x}} || e^y {{op:cos|x|}} || || || || |SZ=, }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung||y}} {{op:Partielle Ableitung||y}} {{op:Partielle Ableitung|f|y}} ||e^y {{op:sin|x|}} || || || |SZ=. }} Die Werte dieser dritten partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind {{mathl|term= -1,0,1,0|SZ=,}} sodass {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{mathlk|term=(3,0)!=6|SZ=}} und {{mathlk|term=(1,2)!=2|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} das dritte Taylor-Polynom gleich {{ math/disp|term= x -2 xy - {{op:Bruch|1|6}} x^3 + {{op:Bruch|1|2}} xy^2 |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bzd7vwo1bz69locy92dkj0t2ot5wc4d 0 53075 783082 756828 2022-08-22T02:29:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf einem Jahrmarkt befindet sich ein {{Anführung|Doppel-Karussell|SZ=,}} bei dem sich ein Sitz alle {{math|term= 2|SZ=}} Sekunden um einen kleinen Kreis mit Radius {{math|term= 3|SZ=}} Meter dreht, wobei sich der Mittelpunkt dieses Kreises seinerseits alle {{math|term= 8|SZ=}} Sekunden um einen großen Kreis mit Radius {{math|term= 10|SZ=}} Meter dreht. Beide Drehungen sind im Uhrzeigersinn. Zum Zeitpunkt {{mathl|term= t=0|SZ=}} besitzt der Sitz zum Mittelpunkt den Abstand {{math|term= 13|SZ=}} Meter. a) Beschreibe{{n Sie}} diesen Bewegungsvorgang {{ Zusatz/Klammer |text=in einem geeigneten Koordinatensystem| |ISZ=|ESZ= }} als eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Gefragt ist hier nach der mathematischen Überlagerung der beiden Bewegungen, d.h. die große Bewegung verdreht nicht das Koordinatensystem der kleinen Bewegung. Eine volle Umdrehung des kleinen Kreises liegt vor, wenn der Verbindungspfeil aus dem äußeren Drehmittelpunkt und dem Sitz wieder in die gleiche Himmelsrichtung zeigt. Bei der mechanischen Überlagerung, die vorliegt, wenn die Umdrehungsgeschwindigkeit des äußeren montierten Motors feststeht, sieht dies anders aus| |ISZ=.|ESZ=. }} }} b) Berechne{{n Sie}} den Geschwindigkeitsvektor dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt. c) Berechne{{n Sie}} die Geschwindigkeit {{ Zusatz/Klammer |text=den Betrag des Geschwindigkeitsvektors| |ISZ=|ESZ= }} dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tgb26t6w0cu9wibfd6e31ixw157ayec 0 53089 778922 763121 2022-08-21T15:07:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Prämath= |Verschwindungsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur leeren Menge ist das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da es keinen Punkt gibt, auf dem die Nullstellenbedingung überprüft werden müsste. Das Verschwindungsideal zum Gesamtraum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} hängt vom Körper ab. Wenn dieser unendlich ist, so gibt es nur das Nullpolynom, das überall verschwindet, und folglich ist das Verschwindungsideal gleich dem Nullideal. Dies folgt aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zariski-Topologie/Affiner Raum/Offene Mengen sind dicht/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Ist hingegen der Körper endlich mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen, so ist {{mathl|term= x^q-x=0|SZ=}} für jedes {{mathl|term= x \in K|SZ=.}} Also verschwindet das Polynom {{mathl|term= X^q-X|SZ=}} auf jedem Punkt der affinen Geraden und gehört somit zum Verschwindungsideal der affinen Geraden. In höherer Dimension ist das Verschwindungsideal gleich {{mathl|term= (X_1^q-X_1,X_2^q-X_2 {{kommadots|}} X_n^q-X_n)|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jp2urjezm5436w6uou64bjlmt08twgr 0 53116 779373 763456 2022-08-21T16:17:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R^2 |t| {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|t|}}| {{op:sin|t|}} }} |SZ= }} besitzt {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar und Komponenten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=und nach||Faktseitenname= Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f'(t) || {{op:Zeilenvektor| - {{op:sin|t|}}| {{op:cos|t|}} }} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor| {{op:cos|t|}}| {{op:sin|t|}} }} |{{op:Spaltenvektor| - {{op:sin|t|}}| {{op:cos|t|}} }} }} || - {{op:cos|t|}} {{op:sin|t|}} +{{op:sin|t|}} {{op:cos|t|}} ||0 || || |SZ= }} steht der {{ Definitionslink |Prämath= |Geschwindigkeitsvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} stets {{ Definitionslink |Prämath= |senkrecht| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem Ortsvektor. Die Norm des Geschwindigkeitsvektors ist stets gleich {{math|term= 1|SZ=,}} der Kreis wird also mit konstanter Geschwindigkeitsnorm durchlaufen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} prdkzicnri3s7bk4c7oyvv18cfwiliy 0 53123 781415 746670 2022-08-21T21:51:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | G || {{mengebed|(x, {{op:Betrag|x|}})|x \in \R }} | \subseteq | \R^2 || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Betragsfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R^2 || |SZ= }} an, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau {{math|term= G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2=Theorie des Betrags für die reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die reelle Betragsfunktion |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cjtci43urvqvjuk8ogrbpeke73wwlpy 0 53126 779444 739499 2022-08-21T16:29:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |homogene lineare Differentialgleichungssystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|x|y}}^\prime || {{op:Matrix22| {{op:Bruch|1|t}} |t-1|0| {{op:Bruch|2t|t^2+1}} }} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |t |>|0 || || || |SZ=. }} Die zweite Zeile dieses Systems bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp | y' || {{op:Bruch|2t|t^2+1}} \cdot y || || || |SZ=, }} das ist eine homogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen. Ihre Lösungen sind {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || c {{makl| t^2+1 |}} || ct^2+c || || |SZ= }} mit einem {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|\R || || || |SZ=. }} Die erste Zeile des Systems führt daher auf {{ Ma:Vergleichskette/align | x' || {{op:Bruch|1|t}} x + (t-1) y || {{op:Bruch|1|t}} x + c(t-1) {{makl| t^2+1 |}} || {{op:Bruch|1|t}} x + c {{makl| t^3-t^2+t-1 |}} || |SZ=. }} Dies ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die zugehörige homogene Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |x' || {{op:Bruch|1|t}} x || || || |SZ= }} besitzt {{math|term= t|SZ=}} als eine Lösung. {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} müssen wir eine Stammfunktion von {{ Ma:Vergleichskette/disp | c {{op:Bruch|t^3-t^2+t-1 |t}} || c {{makl| t^2-t+1- {{op:Bruch|1 |t}} |}} || || || |SZ= }} finden, eine solche ist {{ math/disp|term= c {{makl| {{op:Bruch|1|3}} t^3 - {{op:Bruch|1|2}} t^2 +t - {{op:ln| t |}} |}} +d |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | t {{makl| c {{makl| {{op:Bruch|1|3}} t^3 - {{op:Bruch|1|2}} t^2 +t - {{op:ln| t |}} }} +d |}} || {{op:Bruch|c|3}} t^4 - {{op:Bruch|c|2}} t^3 +ct^2 - ct {{op:ln| t |}} +d t || || || |SZ= }} die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung. Also ist die allgemeine Lösung des Systems gleich {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|c|3}} t^4 - {{op:Bruch|c|2}} t^3 +ct^2 - ct {{op:ln| t |}} +d t |ct^2+c }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tmobfyk9he9ddcuvs7zryvi6iyc73ib 0 53129 782381 736669 2022-08-22T00:32:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| M || || || |SZ= }} eine Teilmenge eines {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Raumes| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| M || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Berührpunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=,}} {{ Ma:abbele/disp |name=g |T|L || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einen weiteren metrischen Raum und {{ Ma:Vergleichskette | b |\in| L || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für den {{ Definitionslink |Prämath= |Limes| |Kontext=Abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|x|a|g(x)}} || b || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|x|a| {{op:Abstand|g(x)| b|}} }} || 0 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tvw28xxt0xu1xuhwhpy6cd2qp4zrbmo 0 53143 784168 643813 2022-08-22T05:30:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Mehrere Variablen/k fach stetig differenzierbar/Längs einer Geraden/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für {{mathl|term= f(x,y)=x^ay^b|SZ=}} in {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} und {{mathl|term= v=(2,3)|SZ=}} bis zur dritten Ableitung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Formel in mehreren Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 76xdhuoq29y2xsc0fwyq3bij8cigp5m 0 53161 784307 757938 2022-08-22T05:53:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]|\R^2 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= f(a) \neq f(b)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es kein {{mathl|term= c \in [a,b]|SZ=}} derart geben muss, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | f'(c) ||s \cdot {{makl| f(b)-f(a) |}} || || || |SZ= }} mit einem {{ mathbed|term= s \in \R ||bedterm1= s \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Mittelwertabschätzung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hteygy6doqh5gnrcaww8fckjcbasmm7 0 53163 784308 757939 2022-08-22T05:53:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]|\R^3 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= f'(t) \neq 0|SZ=}} für alle {{mathl|term= t \in [a,b]|SZ=}} und mit {{mathl|term= f(a) \neq f(b)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es kein {{mathl|term= c \in [a,b]|SZ=}} derart geben muss, dass {{ mathkor|term1= f'(c) |und|term2= f(b)-f(a) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear abhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Mittelwertabschätzung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0u316xdun6jm0r3tmeipceedwn0aon1 0 53164 784305 757936 2022-08-22T05:53:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]|\R^2 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= f'(t) \neq 0|SZ=}} für alle {{mathl|term= t \in [a,b]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{mathl|term= c \in [a,b]|SZ=}} derart gibt, dass {{ mathkor|term1= f'(c) |und|term2= f(b)-f(a) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear abhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Mittelwertabschätzung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hcrnpwo5ranacvzyr21haiv7czx8euc 0 53165 784306 757937 2022-08-22T05:53:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]|\R^2 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= f'(t) \neq 0|SZ=}} für alle {{mathl|term= t \in [a,b]|SZ=}} und mit {{mathl|term= f(a) \neq f(b)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es kein {{mathl|term= c \in [a,b]|SZ=}} derart geben muss, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | f'(c) ||s \cdot {{makl| f(b)-f(a) |}} || || || |SZ= }} mit einem {{ mathbed|term= s \in \R ||bedterm1= s > 0 ||bedterm2= |SZ=, }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Mittelwertabschätzung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 805arb1wn59yo3179he5ulpwqc2rhzw 0 53197 783040 421382 2022-08-22T02:22:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein unendlicher Körper und es sei {{mathl|term= F\in K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} ein Polynom mit der zugehörigen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=F | {{op:Affiner Raum|n|K}} |{{op:Affiner Raum|1|K}} || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} mit und ohne {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affine Räume/K unendlich/Bild unter polynomialer Abbildung/ist irreduzibel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass das Bild von {{math|term= F|SZ=}} einpunktig oder unendlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der polynomialen Abbildungen zwischen affinen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1etvvobh68ma7znqkdl61rjiezohwld 0 53198 780582 538912 2022-08-21T19:32:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= P=(a,b)|SZ=}} ein Punkt in der affinen Ebene und {{math|term= L|SZ=}} und {{math|term= L'|SZ=}} verschiedene Geraden durch {{math|term= P|SZ=.}} Es sei {{ mathbed|term= C = V(F) ||bedterm1= F \in K[X,Y] ||bedterm2= |SZ=, }} eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe{{n Sie}} explizit eine Variablentransformation {{ Zusatz/Klammer |text=einen Koordinatenwechsel| |ISZ=|ESZ= }} derart, dass in den neuen Koordinaten {{math|term= P|SZ=}} der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der affin-linearen Äquivalenz von affinen Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort=Transformation |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7rhn3r7meqw8q5gvfqbudx64icgej9d 0 53208 779253 312922 2022-08-21T15:59:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die durch {{mathl|term= xy=1|SZ=}} gegebene Hyperbel lässt sich unter Verwendung der linearen Transformation {{mathl|term= x=u+v,\, y=u|SZ=}} wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |xy-1 ||(u+v) u -1 || u^2+vu-1 || || |SZ= }} auch als {{mathl|term= V(u^2+vu-1)|SZ=}} beschreiben. In den neuen Variablen {{mathl|term= u,v|SZ=}} kann man {{math|term= v|SZ=}} beliebig vorgeben und erhält stets mindestens eine {{ Zusatz/Klammer |text=fast immer zwei| |ISZ=|ESZ= }} Lösung der Kurvengleichung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Noethersche Normalisierung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitshyperbel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ge3p0nmqx57e0c1opzy4xs4crytoorg 0 53277 781962 755854 2022-08-21T23:22:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen und {{ math/disp|term= P_1 {{kommadots|}} P_n \in {{op:Affine Ebene|K|}} |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} Punkte in der affinen Ebene. Zeige{{n Sie}}, dass es genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |polynomiale Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{op:Affine Gerade|K|}} | {{op:Affine Ebene|K|}} || |SZ= }} mit {{mathl|term= {{op:Bild|\varphi|}} = \{P_1 {{kommadots|}} P_n \} |SZ=}} gibt, wenn {{mathl|term= 1 \leq n \leq q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4l9axqx2cx17jefrkhci7vm0lg9b12f 0 53343 780598 754749 2022-08-21T19:35:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraischen Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} und von {{ Definitionslink |Prämath= |Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung4/a |Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette {{ math/disp|term= V_0 \subseteq V_1 \subseteq V_2 \subseteq \ldots |SZ= }} von affin-algebraischen Mengen stationär. |Für einen unendlichen Körper und {{mathl|term= n \geq 1|SZ=}} wird nicht jede aufsteigende Kette {{ math/disp|term= V_0 \subseteq V_1 \subseteq V_2 \subseteq \ldots |SZ= }} von affin-algebraischen Mengen stationär. |Für {{ Zusatz/Klammer |text=einen beliebigen Körper und| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= n \geq 1|SZ=}} wird nicht jede absteigende Idealkette {{ math/disp|term= {{ideala|}}_0 \supseteq {{ideala|}}_1 \supseteq {{ideala|}}_2 \supseteq \ldots |SZ= }} stationär. |Für einen unendlichen Körper und {{mathl|term= n \geq 1|SZ=}} gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Basissatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p1p3gmrksbj3bdoi4fm2kzhsru20hms 0 53355 779059 763197 2022-08-21T15:29:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine lineare Abbildung von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} ist die Multiplikation mit einer festen Zahl {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dem {{Stichwort|Streckungsfaktor|SZ=}} oder {{Stichwort|Proportionalitätsfaktor|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Daher ist jede Zahl {{ Ma:Vergleichskette |v |\neq|0 || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= a|SZ=}} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu diesem Eigenwert ist ganz {{math|term= \R|SZ=.}} Es gibt neben {{math|term= a|SZ=}} keinen weiteren Eigenwert, sämtliche Eigenräume zu {{ Ma:Vergleichskette | \lambda |\neq|a || || || |SZ= }} sind {{math|term= 0|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s2ydptkcivjuapxjtg27ro78md3ginu 0 53356 779060 763198 2022-08-21T15:29:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R^2|SZ=}} nach {{math|term= \R^2|SZ=}} ist bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch eine {{ Definitionslink |Prämath=2\times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. Wir betrachten die Eigenwerte zu einigen elementaren Beispielen. Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Streckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist durch {{mathl|term= v \mapsto av|SZ=}} mit einem Streckungsfaktor {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| \R || || || |SZ= }} gegeben. Jeder Vektor {{ Ma:Vergleichskette |v |\neq|0 || || || |SZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= a|SZ=}} und der Eigenraum zu diesem Eigenwert ist ganz {{math|term= \R^2|SZ=.}} Es gibt neben {{math|term= a|SZ=}} keinen weiteren Eigenwert, sämtliche Eigenräume zu {{ Ma:Vergleichskette | \lambda |\neq|a || || || |SZ= }} sind {{math|term= 0|SZ=.}} Die Identität besitzt den einzigen Eigenwert {{math|term= 1|SZ=.}} Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Achsenspiegelung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an der {{math|term= x|SZ=-}}Achse wird durch die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|1|0|0|-1}} |SZ=}} beschrieben. Der Eigenraum zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=}} ist die {{math|term= x|SZ=-}}Achse, der Eigenraum zum Eigenwert {{math|term= -1|SZ=}} ist die {{math|term= y|SZ=-}}Achse. Ein Vektor {{mathl|term= (s,t)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |s,t |\neq|0 || || || |SZ= }} kann kein Eigenvektor sein, da die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | (s,-t) || \lambda (s,t) || || || |SZ= }} dann keine Lösung besitzt. Eine {{ Definitionslink |Prämath= |ebene Drehung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird durch die Drehmatrix {{mathl|term= {{op:Drehmatrix|\alpha}}|SZ=}} zu einem Drehwinkel {{ mathbed|term= \alpha ||bedterm1= 0 \leq \alpha <2 \pi ||bedterm2= |SZ=, }} gegeben. Bei {{ Ma:Vergleichskette |\alpha || 0 || || || |SZ= }} liegt die Identität vor, bei {{ Ma:Vergleichskette |\alpha || \pi || || || |SZ= }} liegt die Halbdrehung vor, also die Punktspiegelung bzw. die Streckung mit dem Faktor {{math|term= -1|SZ=.}} Bei allen anderen Drehwinkeln wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet, so dass diese Drehungen keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren besitzen {{ Zusatz/Klammer |text=und alle Eigenräume {{math|term= 0|SZ=}} sind| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bjk6nln6vtpc1ymabsotpf4twwursto 0 53357 783887 757512 2022-08-22T04:43:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ=, }} die durch eine Matrix der Form {{mathl|term= {{op:Matrix22|a|b|0|d}} |SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tnt6mpe7tqq1mfm1eetzuzz677m806j 0 53358 780496 748653 2022-08-21T19:18:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} besteht. {{ Aufzählung3/a |Zeige{{n Sie}}, dass die Ableitung {{mathl|term= f \mapsto f'|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} nach {{math|term= V|SZ=}} ist. |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=In diesem Zusammenhang spricht man auch von {{Stichwort|Eigenfunktionen|msw=Eigenfunktion||SZ=}}| |ISZ=.|ESZ=. }} }} |Bestimme{{n Sie}} zu jeder reellen Zahl die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und deren {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der Abbildungsräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j5ey4rjwluw6s3ljnpw2g23scoff21d 0 53361 783287 756989 2022-08-22T03:03:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Modul/Situation|SZ=.}} Dann ist {{math|term= M|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |noethersch| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn jede aufsteigende Kette {{ math/disp|term= M_0 \subseteq M_1 \subseteq M_2 \subseteq \ldots |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermoduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} stationär wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der noetherschen Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l5rdqn3scnw2iby4u1ktmfhvfghcj71 0 53500 780122 752414 2022-08-21T18:13:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G_1 |und|term2= G_2 |SZ= }} zwei Geraden im {{math|term= \R^2|SZ=}} durch den Nullpunkt und es seien {{ mathkor|term1= \varphi_1 |und|term2= \varphi_2 |SZ= }} die Achsenspiegelungen an diesen Achsen. Eine Achsenspiegelung ist stets {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und zwar sind die Spiegelungsachse und die dazu senkrechte Gerade Eigengeraden {{ Zusatz/Klammer |text=zu den Eigenwerten {{math|term= 1|SZ=}} und {{math|term= -1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi || \varphi_2 \circ \varphi_1 || || || |SZ= }} dieser Spiegelungen ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Drehung| |Kontext=eben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und zwar ist der Drehwinkel das Doppelte des Winkels zwischen den beiden Achsen. Eine Drehung ist aber nur dann diagonalisierbar, wenn der Drehwinkel {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 180 |SZ= }} Grad beträgt. Wenn der Winkel zwischen den Achsen von {{mathl|term= 0,90|SZ=}} Grad verschieden ist, so besitzt {{math|term= \psi|SZ=}} keinen Eigenvektor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7yyea7c5un8o83ves9ioj4rir108tyi 0 53501 779782 763754 2022-08-21T17:21:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine reelle {{math|term= 2 \times 2|SZ=-}}Matrix {{ Ma:Vergleichskette |M || {{op:Matrix22|a|b|c|d}} || || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} || {{op:Determinante| {{makl| x E_2 - M |}} |}} || {{op:Determinante|{{op:Matrix22|x-a|-b|-c|x-d}} |}} || (x-a)(x-d)-bc || x^2 -(a+d)x +ad-bc || {{makl| x- {{op:Bruch|a+d|2}} |}}^2 - {{makl| {{op:Bruch|a+d|2}} |}}^2 +ad-bc || {{makl| x- {{op:Bruch|a+d|2}} |}}^2- {{makl| {{op:Bruch|a-d|2}} |}}^2 -bc |SZ=. }} Dieses Polynom zerfällt in {{ Zusatz/Klammer |text=reelle| |ISZ=|ESZ= }} Linearfaktoren genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| {{op:Bruch|a-d|2}} |}}^2 +bc |\geq| 0 || || || |SZ= }} ist. Genau in diesem Fall ist die Matrix {{ Faktlink |Präwort=nach| |Faktseitenname= Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt |Faktseitenname2= Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierung mit charakteristischem Polynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8xtxuo920rdlnpuoietdec1x7ibz095 0 53513 783480 757156 2022-08-22T03:35:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen und sei {{mathl|term= V =V( {{ideala|}} ) \subseteq {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Koordinatenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} nicht gleich {{mathl|term= K[x_1 {{kommadots|}} x_n]/(x_1^q-x_1 {{kommadots|}} x_n^q-x_n) + {{ideala|}} |SZ=}} sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Koordinatenrings von affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxz6see7dk8d13k6n8167pjiazvb4e8 0 53518 783894 697104 2022-08-22T04:45:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M(t)=(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n}|SZ=}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=variable| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrix, deren Einträge Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=a_{ij} |I|\R || |SZ= }} seien. Es sei {{mathl|term= u \in \R^n|SZ=}} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term= \lambda|SZ=}} für alle {{mathl|term= t \in I|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= e^{\lambda t} \cdot u|SZ=}} eine Lösung der linearen Differentialgleichung {{mathl|term= v'=Mv|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cg3a5ivwwff9cg11aeeulckz6m1lv1r 0 53519 783895 697105 2022-08-22T04:45:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | M(t) ||(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n} || || || |SZ= }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=variable| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrix, deren Einträge stetige Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=a_{ij} |I|\R || |SZ= }} seien. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |u(t) |\in| \R^n || || || |SZ= }} ein {{ Zusatz/Klammer |text=variabler, von {{math|term= t|SZ=}} differenzierbar abhängiger| |ISZ=|ESZ= }} Eigenvektor von {{math|term= M(t)|SZ=}} zum konstanten Eigenwert {{math|term= \lambda|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass {{mathl|term= e^{\lambda t} \cdot u(t) |SZ=}} keine Lösung der linearen Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette |v' ||Mv || || || |SZ= }} sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ma4c6jainglss1bgpueiletij3i20p 0 53520 783898 697111 2022-08-22T04:45:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M(t) || (a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n} || || || |SZ= }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=variable| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrix, deren Einträge stetige Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=a_{ij} |I|\R || |SZ= }} seien. Es sei {{mathl|term= u \in \R^n|SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=konstanter| |ISZ=|ESZ= }} Eigenvektor von {{math|term= M(t)|SZ=}} zum {{ Zusatz/Klammer |text=variablen, von {{math|term= t|SZ=}} differenzierbar abhängigen| |ISZ=|ESZ= }} Eigenwert {{math|term= \lambda(t) |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass {{mathl|term= e^{\lambda(t) t} \cdot u |SZ=}} keine Lösung der linearen Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette |v' ||Mv || || || |SZ= }} sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iaqqqculx43cpht03et745onwqxe402 0 53583 782913 756659 2022-08-22T02:01:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Finde alle {{ Definitionslink |Lösungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |inhomogenen linearen Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y' = - {{op:Bruch| {{op:sin|t|}} | {{op:cos|t|}} |}} y + (t^2-3) {{op:cos|t|}} |SZ= }} für {{mathl|term= t \in {]{- {{op:Bruch|\pi|2}}} , {{op:Bruch|\pi|2}} [}|SZ=.}} b) Löse{{n Sie}} das Anfangswertproblem {{ math/disp|term= y' = - {{op:Bruch| {{op:sin|t|}} | {{op:cos|t|}} |}} y + ( t^2-3 ) {{op:cos|t|}} \text{ mit } y(0)=7 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=4 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5y4drlslffq8el7or48kp5oqlfeejpu 0 53590 784446 593777 2022-08-22T06:12:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Funktion {{mathl|term= f(x)=x+ {{op:sin|x|}} |SZ=}} streng wachsend ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6cz9flbjdppvggwtldy4gaeloiv9nar 0 53593 784703 414926 2022-08-22T06:48:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|x^3-3x +1 |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}}, ausgehend vom Intervall {{mathl|term= [0,1]|SZ=,}} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge {{mathl|term= 1/8|SZ=,}} in dem eine Nullstelle von {{math|term= f|SZ=}} liegen muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 793tiegxavoj455f8tmo3cm01gg6104 0 53605 781411 755431 2022-08-21T21:50:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=g_1,g_2 {{kommadots|}} g_n |\R|\R \setminus \{0\} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} durch Induktion über {{math|term= n|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|1|g_1 \cdot g_2 \cdots g_n}} |}}^\prime || {{op:Bruch|- 1|g_1 \cdot g_2 \cdots g_n}} \cdot {{makl| {{op:Bruch|g_1'|g_1}} + {{op:Bruch|g_2'|g_2}} {{plusdots|}} {{op:Bruch|g_n'|g_n}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1z2i6uz6bny8s6vv1h466ebfifrj7z0 0 53607 785036 406469 2022-08-22T07:37:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien die beiden Polynome {{ mathkor/disp|term1= P=X^2+3X-5 |und|term2= Q= X^2-4X+7 |SZ= }} gegeben. a) Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= P(Q)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=es soll also {{math|term= Q|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} eingesetzt werden| |ISZ=|ESZ=. }} b) Berechne{{n Sie}} die Ableitung von {{mathl|term= P(Q)|SZ=}} direkt und mit Hilfe der Kettenregel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n6hg38ppgihdxi3j4prs722q7uhbkmz 0 53610 783855 579103 2022-08-22T04:38:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die lineare Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |(2+5 {{Imaginäre Einheit|}}) z ||(3-7 {{Imaginäre Einheit|}}) || || || |SZ= }} über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} und berechne{{n Sie}} den Betrag der Lösung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gl1ai0xhsv7yyz3etadjatbantf9as2 0 53612 782422 414923 2022-08-22T00:39:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für jede ungerade Zahl {{math|term= n|SZ=}} die Zahl {{mathl|term= 25n^2-17|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= 8|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ep7oqb22gbzzscsbyjqizfnzz8ztw18 0 53614 782169 572774 2022-08-21T23:57:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zwei Fahrradfahrer, {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=, }} fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer {{math|term= A|SZ=}} macht pro Minute {{math|term= 40|SZ=}} Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von {{math|term= 1|SZ=}} zu {{math|term= 6|SZ=}} und Reifen mit einem Radius von {{math|term= 39|SZ=}} Zentimetern. Fahrer {{math|term= B|SZ=}} braucht für eine Pedaldrehung {{math|term= 2|SZ=}} Sekunden, hat eine Übersetzung von {{math|term= 1|SZ=}} zu {{math|term= 7|SZ=}} und Reifen mit einem Radius von {{math|term= 45|SZ=}} Zentimetern. Wer fährt schneller? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evr3rfyevz51rxyn5bptxsq6jnza2l7 0 53764 784824 510416 2022-08-22T07:05:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wende{{n Sie}} das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|0|1|1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|1|0|1}},\, {{op:Spaltenvektor|1|1|0}} |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} refjpd42qxsmxpbvs78o34o9pdczdb9 0 53770 783103 426995 2022-08-22T02:32:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} die Kettenregel für {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} für die beiden differenzierbaren Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R^2 |t|(t^3-t,-t^2) |SZ=, }} und {{ Ma:abbele/disp |name=g |\R^2|\R |(x,y)|xy+x+y |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} adcus0outmxnjmpg30z4p7ufbgr90rz 0 53772 786310 641357 2022-08-22T11:04:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zur Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |t|t^2 |SZ=, }} die Richtungsableitung in Richtung {{math|term= 3|SZ=}} für jeden Punkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h6nty3i9mdi1rty01s8vhxy9h5pjdhj 0 53853 779390 763468 2022-08-21T16:20:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | \R^3 | \R^3 | (r, \theta,\varphi)| {{op:Zeilenvektor|r {{op:cos|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | r {{op:sin|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | r {{op:cos|\theta|}} }} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. die Einschränkung davon auf Teilmengen wie {{mathlk|term= \R_{\geq 0} \times [0, \pi] \times [0,2 \pi]|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|Kugelkoordinatenauswertung|SZ=.}} Diese Abbildung bildet die {{Stichwort|Kugelkoordinaten|SZ=}} {{mathl|term= (r, \theta,\varphi) |SZ=}} auf die zugehörigen kartesischen Koordinaten {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} ab. {{ inputbild |3D Spherical|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Andeggs |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Die Bedeutung der Kugelkoordinaten sind folgendermaßen: {{math|term= r|SZ=}} ist der Abstand von {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} zum Nullpunkt. Bei {{ Ma:Vergleichskette |r ||1 || || || |SZ= }} definieren die beiden Winkel {{ mathkor|term1= \varphi |und|term2= \theta |SZ= }} einen Punkt auf der Einheitskugel, und zwar bestimmt {{math|term= \varphi|SZ=}} einen Punkt auf dem Einheitskreis in der {{mathl|term= x-y|SZ=-}}Ebene {{ Zusatz/Klammer |text=auf dem Äquator| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= \theta|SZ=}} bestimmt einen Punkt auf dem zugehörigen Halbkreis {{ Zusatz/Klammer |text=der durch den Äquatorpunkt und Nord- und Südpol festgelegt ist| |ISZ=|ESZ=, }} wobei der Winkel zum Nordpol gemessen wird. Für {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |r ||1 || || || |SZ= }} und| |ISZ=|ESZ= }} einen festen Winkel {{math|term= \theta |SZ=}} parametrisiert {{math|term= \varphi |SZ=}} einen {{Stichwort|Breitenkreis|SZ=,}} wobei {{ Ma:Vergleichskette | \theta || {{op:Bruch|\pi|2}} || || || |SZ= }} den Äquator beschreibt. Bei einem festen Winkel {{math|term= \varphi |SZ=}} hingegen parametrisiert {{math|term= \theta |SZ=}} den oben angesprochenen Halbkreis, einen {{Stichwort|Längenkreis|SZ=.}} In der Geographie herrschen übrigens etwas andere Konventionen, man wählt den zweiten Winkel aus {{mathl|term= [- {{op:Bruch|\pi|2}}, {{op:Bruch|\pi|2}} ] |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=statt {{ mathkor|term1= + |und|term2= - |SZ= }} spricht man von nördlicher und südlicher Breite| |ISZ=|ESZ= }} und nimmt {{mathl|term= - {{op:sin|\theta|}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung ist {{ math/disp|term= {{op:Matrix33| {{op:cos|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | r {{op:cos|\varphi|}} {{op:cos|\theta|}} | -r {{op:sin|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | {{op:sin|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | r {{op:sin|\varphi|}} {{op:cos|\theta|}} | r {{op:cos|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | {{op:cos|\theta|}} |-r {{op:sin|\theta|}}|0}} |SZ= }} und die Determinante davon ist {{ math/disp|term= r^2 {{op:sin|\theta|}} |SZ=. }} D.h. bei {{ Ma:Vergleichskette |r |\neq|0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \theta |\notin|\Z \pi || || || |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |Prämath= |totale Differential| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} invertierbar und daher liegt {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Die inhaltliche Interpretation der Abbildung zeigt, dass hier überhaupt ein Diffeomorphismus zwischen {{mathl|term= \R_+ \times ]0, \pi[ \times [0, 2 \pi[|SZ=}} und {{mathl|term= \R^3 \setminus {{Mengebed|(0,0,z)| z \in \R}}|SZ=}} vorliegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kugelkoordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nuw2iagrg0sns2mba0l7loy715cc120 0 53856 779265 763362 2022-08-21T16:01:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R |(x,y)|x^2+y^2 |SZ=. }} Da diese nur nichtnegative Werte annimmt, sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |z |\in|\R_- || || || |SZ= }} leer. Die Faser zum Wert {{math|term= 0|SZ=}} besteht aus dem einzigen Punkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=.}} Die Faser zu einem positiven Wert {{ Ma:Vergleichskette |z |\in|\R_+ || || || |SZ= }} ist {{ math/disp|term= {{mengebed|(x,y)|x^2+y^2 {{=}} z}} |SZ=, }} das ist der Kreis mit dem Radius {{math|term= \sqrt{z}|SZ=.}} Zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||(x_0,y_0) |\neq| (0,0) || || || |SZ= }} ist die Faser {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Niveaumenge| |ISZ=|ESZ= }} durch diesen Punkt also ein Kreis {{math|term= Z|SZ=.}} Eine hinreichend kleine offene Ballumgebung {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P|\delta}} |SZ=}} von {{math|term= P|SZ=}} enthält nur einen Teil des Kreisbogens, der homöomorph zu einem offenen Intervall ist. Die differenzierbare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |]a,b[|\R^2 |t| \sqrt{x_0^2+y_0^2} {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|t|}}| {{op:sin|t|}} |}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit geeignet gewählten Intervallgrenzen| |ISZ=|ESZ= }} induziert dabei eine Homöomorphie zwischen {{mathl|term= ]a,b[ |SZ=}} und dem Kreisbogenausschnitt {{mathl|term= Z \cap {{op:Offener Ball|P|\delta}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nm32xyg62qsckla7nnkbbkd4e8otf8h 0 53887 779248 763348 2022-08-21T15:58:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptidealbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} |\subseteq| A || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dieses ist ein Hauptideal und wird durch ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primelement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sagen wir {{mathl|term= {{idealm|}} =(p) |SZ=,}} erzeugt. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||A_{{idealm}} || {{Mengebed| {{op:Bruch|f|g}}|f \in A| g \not\in {{idealm}} }} || || |SZ= }} ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem maximalen Ideal {{mathl|term= {{idealm|}} A_{{idealm}} |SZ=,}} das ebenfalls von {{mathl|term= p|SZ=}} erzeugt wird. Alle {{ Definitionslink |Prämath= |Primelemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= q \in A|SZ=,}} die nicht zu {{math|term= p|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |assoziiert| |Kontext=Einheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, werden in der Lokalisierung zu Einheiten. Daher gibt es in der Lokalisierung bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement, und somit liegt ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Für {{mathl|term= A=\Z|SZ=}} und eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} ist {{math|term= \Z_{(p)} \subseteq \Q|SZ=}} der Unterring der rationalen Zahlen, deren Nenner kein Vielfaches von {{math|term= p|SZ=}} sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5ykgt0878wrbnn457vv8mh5e66iq31 0 53894 778555 762477 2022-08-21T12:20:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Äquivalenz {{mathl|term= (1) \Longleftrightarrow (3) |SZ=}} folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Teilmenge/R^n/Gradientenfeld/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und die Implikation {{mathl|term= (1) \Longrightarrow (2) |SZ=}} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gradientenfeld/Integrabilitätsbedingung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es bleibt also {{mathl|term= (2) \Longrightarrow (1) |SZ=}} zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammfunktion {{math|term= {{{h|h}}}|SZ=}} zum Vektorfeld {{math|term= G|SZ=}} angeben. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| U || || || |SZ= }} ein Punkt derart, dass {{math|term= U|SZ=}} bezüglich {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |sternförmig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wir definieren {{mathl|term= {{{h|h}}} (Q)|SZ=}} über das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= G|SZ=}} zum linearen Verbindungsweg {{ Ma:abbele/disp |name= \gamma |[0,1] | U |t| P+ t(Q-P) |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{h|h}}} (Q) | {{defeq|}} | \int_\gamma G || \int_0^1 {{op:Skalarprodukt|G(\gamma(t))| Q-P }} dt || || |SZ=. }} Wir müssen zeigen, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Gradient| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= {{{h|h}}}|SZ=}} gleich {{math|term= G|SZ=}} ist, d.h. es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung|{{{h|h}}}|x_i}} || G_i || || |SZ= }} zu zeigen. Dafür können wir {{ Ma:Vergleichskette |P ||0 || || || |SZ= }} annehmen und wir schreiben {{math|term= v |SZ=}} statt {{math|term= Q|SZ=.}} Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Partielle Ableitung||x_i|}} {{{h|h}}} (v) ||{{op:Partielle Ableitung||x_i|}} {{makl| \int_0^1 {{op:Skalarprodukt|G(tv) |v}} dt |}} || \int_0^1 {{makl| {{op:Partielle Ableitung||x_i|}} {{op:Skalarprodukt|G(tv) |v}} |}} dt || \int_0^1 {{makl| {{op:Partielle Ableitung||x_i|}} {{makl| \sum_{j{{=}}1}^n G_j(tv) \cdot v_j |}} |}} dt || \int_0^1 t \sum_{j{{=}} 1}^n v_j {{makl| {{op:Partielle Ableitung||x_i|}} G_j |}} (tv) + G_i(tv) dt || \int_0^1 t \sum_{j{{=}} 1}^n v_j {{makl| {{op:Partielle Ableitung||x_j|}} G_i |}} (tv) + G_i(tv) dt || \int_0^1 {{makl| t \mapsto t \cdot G_i(tv) |}}^\prime dt || {{makl| t \cdot G_i(tv) |}} {{|}}_0^1 || G_i (v) |SZ=. }} Dabei beruht die zweite Gleichung auf {{ Faktlink |Präwort=der|Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation|Faktseitenname= Integration und partielle Differentiation/Vertauschbarkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ={{{zusatz1|}}} }} {{ Zusatz/Klammer |text=angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion {{ Ma:abbele |name= |[0,1] \times U| \R |(t,v)| {{op:Skalarprodukt|G(tv)|v}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} die vierte Gleichung auf {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Skalarprodukt von Abbildungen/Richtungsableitung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} die fünfte Gleichung auf der Integrabilitätsbedingung, die sechste Gleichung auf der {{ Faktlink |Präwort=|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der {{ Faktlink |Präwort=|Newton-Leibniz-Formel|Faktseitenname= Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q164pjv1wt3dlwalwz0o36iyxnqgxjm 0 53896 783498 757166 2022-08-22T03:38:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte zu {{mathl|term= r,s \in \R_+ |SZ=}} mit {{mathl|term= r+s > 1|SZ=}} und {{mathl|term= s < r+1|SZ=}} die {{Anführung|sichelförmige|}} Menge {{ math/disp|term= M_{r,s} = {{mengebed|(x,y) \in \R^2| \sqrt{x^2+y^2} \leq r|\sqrt{(x-1)^2+y^2} \geq s }} |SZ=. }} Für welche {{math|term= r,s|SZ=}} ist diese Menge {{ Definitionslink |Prämath= |sternförmig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der sternförmigen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q95siztwnvukwxvsu0foh8gaxv6skzc 0 53978 779191 763283 2022-08-21T15:50:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wenden die {{ Definitionslink |Prämath= |Picard-Lindelöf-Iteration| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf die Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y' ||F(t,y) ||ty || || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(0) ||1 || || || |SZ= }} an {{ Zusatz/Klammer |text=die Lösung ist {{mathlk|term= e^{ {{op:Bruch|1|2}} t^2}|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette | \varphi_0 || 1 || || || |SZ=. }} Die erste Iteration liefert {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi_1 (t) || 1 + \int_0^t s ds || 1 + {{op:Bruch|1|2}} t^2 || || |SZ=. }} Die zweite Iteration liefert {{ Ma:Vergleichskette/align | \varphi_2 (t) || 1 + \int_0^t F {{makl| s, \varphi_1(s) |}} ds || 1 + \int_0^t F {{makl| s, 1 + {{op:Bruch|1|2}} s^2 |}} ds || 1 + \int_0^t s+ {{op:Bruch|1|2}} s^3 ds || 1 + {{op:Bruch|1|2}} t^2 + {{op:Bruch|1|8}} t^4 || |SZ=. }} Die dritte Iteration liefert {{ Ma:Vergleichskette/align | \varphi_3 (t) || 1 + \int_0^t F {{makl| s, \varphi_2(s) |}} ds || 1 + \int_0^t F {{makl| s,1 + {{op:Bruch|1|2}} s^2 + {{op:Bruch|1|8}} s^4 |}} ds || 1 + \int_0^t s+ {{op:Bruch|1|2}} s^3 + {{op:Bruch|1|8}} s^5 ds || 1 + {{op:Bruch|1|2}} t^2 + {{op:Bruch|1|8}} t^4 + {{op:Bruch|1|48}} t^6 || |SZ=. }} Dabei stimmt die {{math|term= i|SZ=-}}te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung {{math|term= 2i|SZ=}} der Lösung überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2=Die Picard-Lindelöf-Iteration |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wkqst45gevvbdt4offytwv3f86gmm8 0 53984 781382 755409 2022-08-21T21:45:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die ersten vier Iterationen in der {{ Definitionslink |Prämath= |Picard-Lindelöf-Iteration| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' ||y+t+yt^2 || || || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{mathl|term= y(0)=0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Picard-Lindelöf-Iteration |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9cdhmzt2c9ljqp2nlp8x4pvbzsl01oy 0 53988 782562 320025 2022-08-22T01:02:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Getrennte Variablen/y' ist ty/Picard-Lindelöf/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine explizite Formel für die Iterationen {{math|term= \varphi_n|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Picard-Lindelöf-Iteration |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aymdi5gffptv1gzfbtd9cxw35twefu3 0 54003 781384 755411 2022-08-21T21:46:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die ersten vier Iterationen in der {{ Definitionslink |Prämath= |Picard-Lindelöf-Iteration| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' ||y^2+t+yt^2 || || || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{mathl|term= y(0)=0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Picard-Lindelöf-Iteration |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4jn5mulytpas78de1oaj0ne6v4d2pgr 0 54019 779121 763245 2022-08-21T15:39:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |q ||p^e || || || |SZ= }} Elementen, wobei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= e \geq 1|SZ=}} ist. Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Affine Gerade|K|}} | {{op:Affine Ebene|K|}} |t| {{op:Zeilenvektor|t^q-t|t^q-t}} |SZ= }} besitzt den einzigen Bildpunkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|0|0}}|SZ=.}} Der formale Ableitungsvektor dieser Parametrisierung ist aber {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|-1,-1}} |SZ=. }} Eine geometrisch konstante Kurve kann also in positiver Charakteristik eine nicht-verschwindende Ableitung besitzen. Der Nullpunkt ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |glatter Punkt| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf sämtlichen Geraden {{ Ma:Vergleichskette |C || V(aX+bY) || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Tangente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Ebene algebraische Kurven/Tangentialabbildung und Tangente in einem glatten Punkt als Kern/Bemerkung |SZ= }} stimmt mit der Geradengleichung überein, diese annulliert aber nur bei {{mathl|term= a=-b|SZ=}} den Vektor {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|-1,-1}} |SZ=.}} In {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Verhältnis Tangenten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kann man also nicht auf die Unendlichkeitsvoraussetzung verzichten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8o000af0359z0v4fqmtoc06lc3agnws 0 54042 778434 762387 2022-08-21T12:02:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Abschätzung {{math|term= \leq|SZ=}} folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Monotonie und endliche Vereinigung/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Für die andere Abschätzung sei eine Überpflasterung von {{mathl|term= T_1 \cup T_2 |SZ=}} gegeben. Aufgrund der Disjunktheit und der Kompaktheit {{{zusatz1|}}} gibt es einen positiven Abstand zwischen den beiden Mengen, d.h. es gibt ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette | d(P_1,P_2) |>| 0 || || || |SZ= }} für alle {{ mathkor|term1= P_1 \in T_1 |,|term2= P_2 \in T_2 |SZ=, }} ist. Einen Quader aus der Überpflasterung, der beide Teilmengen schneidet, kann man dann in endlich viele Quader unterteilen, so dass diese zu {{ Zusatz/Klammer |text=mindestens| |ISZ=|ESZ= }} einer der beiden Mengen disjunkt sind. So erreicht man eine Verfeinerung der Überpflasterung mit der gleichen Quadervolumensumme, deren Quader jeweils nur eine Teilmenge treffen. Daher ist die Volumensumme dieser Überpflasterung gleich der Summe der Volumensumme der beiden Teilüberpflasterungen und damit mindestens so groß wie {{mathl|term= \lambda^n(T_1) + \lambda^n (T_2) |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6o7m0gpmzw4koiefz2f2ijp4n39q73h 0 54048 779078 763212 2022-08-21T15:32:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Den Flächeninhalt des Einheitskreises haben wir in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Einheitskreis/Integral von Wurzel 1-x^2/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} über ein Integral als {{math|term= \pi|SZ=}} bestimmt. Unter der durch die Matrix {{ Ma:Vergleichskette |M || {{op:Matrix22|a|0|0|b}} || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird die Einheitskreisscheibe {{mathl|term= {{mengebed|(x,y)|x^2+y^2 \leq 1}} |SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{mengebed|(ax,by)| x^2+y^2 \leq 1}} || {{mengebed|(u,v)| \frac{1}{a^2} u^2+ \frac{1}{b^2} v^2 \leq 1}} || {{mengebed|(u,v)| b^2 u^2+ a^2 v^2 \leq a^2b^2 }} || || |SZ= }} abgebildet. Das Bild ist eine {{ Zusatz/Klammer |text=achsenparallele| |ISZ=|ESZ= }} Ellipsenscheibe. Ihr Flächeninhalt ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{mathl|term= \pi ab|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Maßtheorie für lineare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskreisscheibe |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8p6cbl3dk899czjsj5tpm22xi60u9i1 0 54057 779031 696648 2022-08-21T15:24:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} die obere Einheitskreishälfte und {{ Ma:abbele/disp |name=f |T|\R |(x,y)|f(x,y) {{=}} x^2y+xy^3 |SZ=. }} Dann ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Flächenstück/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | \int_T f d \lambda^2 || \int_{-1}^1 {{makl| \int_0^{ \sqrt{1-x^2} } x^2y+xy^3 dy |}} dx || \int_{-1}^1 {{makl| {{op:Bruch|1|2}} x^2y^2 + {{op:Bruch|1|4}}xy^4 |}} {{|}}_0^{ \sqrt{1-x^2} } dx || \int_{-1}^1 {{makl| {{op:Bruch|1|2}} x^2 \sqrt{1-x^2} ^2 + {{op:Bruch|1|4}}x\sqrt{1-x^2}^4 |}} dx || \int_{-1}^1 {{makl| {{op:Bruch|1|2}} x^2 {{makl| 1-x^2 |}} + {{op:Bruch|1|4}} x {{makl| 1-x^2 |}}^2 }} dx || \int_{-1}^1 {{makl| {{op:Bruch|1|2}} x^2 - {{op:Bruch|1|2}} x^4 + {{op:Bruch|1|4}} x - {{op:Bruch|1|2}} x^3 + {{op:Bruch|1|4}} x^5 }} dx || {{makl| {{op:Bruch|1|8}} x^2 + {{op:Bruch|1|6}} x^3 - {{op:Bruch|1|8}} x^4 - {{op:Bruch|1|10}} x^5 + {{op:Bruch|1|24}} x^6 }}{{|}}_{-1}^1 || {{op:Bruch|2|15}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Doppelintegrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5i3seg32zl7q406z15n0jlbwussrk7n 0 54065 779562 763642 2022-08-21T16:48:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir berechnen den {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der oberen Einheitshalbkugel, also von {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || {{mengebed|(x,y,z) \in \R^3|x^2+y^2+z^2 \leq 1|z \geq 0}} || || || |SZ=. }} Die {{math|term= x|SZ=-}} und die {{math|term= y|SZ=-}}Koordinate muss aus Symmetriegründen natürlich {{math|term= 0|SZ=}} sein. Für die {{math|term= z|SZ=-}}Koordinate berechnen wir {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | \int_{-1}^1 \int_{- \sqrt{1-x^2} }^{ \sqrt{1-x^2} } \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2} } zdzdydx || \int_{-1}^1 \int_{- \sqrt{1-x^2} }^{ \sqrt{1-x^2} } {{op:Bruch|1|2}} {{makl| 1-x^2-y^2 |}} dydx || {{op:Bruch|1|2}} \int_{-1}^1 {{makl| {{makl| 1-x^2 |}} y - {{op:Bruch|1|3}} y^3 |}} {{|}}_{- \sqrt{1-x^2} }^{ \sqrt{1-x^2} } dx || {{op:Bruch|1|2}} \int_{-1}^1 {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} - {{op:Bruch|1|3}} {{makl|1-x^2|}} \sqrt{1-x^2} - {{makl|- {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} + {{op:Bruch|1|3}} {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} |}} dx || {{op:Bruch|1|2}} \int_{-1}^1 {{op:Bruch|4|3}} {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} dx || {{op:Bruch|2|3}} \int_{-1}^1 {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} dx |SZ=. }} Wir führen die {{ Faktlink |Präwort=|Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |x || {{op:sin|u|}} || || || |SZ= }} durch und erhalten {{ Zusatz/Klammer |text=ohne den Vorfaktor| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \int_{ - {{op:Bruch|\pi|2}} }^{ {{op:Bruch|\pi|2}} } {{makl| 1- {{op:sin|u|pot=2}} |}} {{op:cos|u|}} \cdot {{op:cos|u|}} du || \int_{ - {{op:Bruch|\pi|2}} }^{ {{op:Bruch|\pi|2}} } {{makl| 1- {{op:sin|u|pot=2}} |}} {{makl| 1- {{op:sin|u|pot=2}} |}} du || \int_{ - {{op:Bruch|\pi|2}} }^{ {{op:Bruch|\pi|2}} } 1- 2{{op:sin|u|pot=2}} + {{op:sin|u|pot=4}} du || 2 \int_{ 0 }^{ {{op:Bruch|\pi|2}} } 1- 2{{op:sin|u|pot=2}} + {{op:sin|u|pot=4}} du || |SZ=. }} Unter Verwendung von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Integral/Potenzen von Sinus/Rekursion/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dieses Integral gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 {{makl| {{op:Bruch|\pi|2}} - 2 {{op:Bruch|\pi|4}} + {{op:Bruch|3|8}} \cdot {{op:Bruch|\pi|2}} |}} || {{op:Bruch|3|8}} \pi || || || |SZ=. }} Das Volumen der halben Einheitskugel ist {{ Beispiellink |Präwort=nach||Beispielseitenname= Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip aus Kreisfläche/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|2|3}} \pi |SZ=.}} Daher ist die {{math|term= z|SZ=-}}Koordinate des Schwerpunkts gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Bruch|2|3}} \cdot {{op:Bruch|3|8}} \pi| {{op:Bruch|2|3}} \pi |}} || {{op:Bruch|3|8}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2gxb2x7w1gxi1dwp3bb8oryf0lnw6db 0 54145 781573 320779 2022-08-21T22:17:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien drei Punkte {{mathl|term= P_1,P_2,P_3 \in \Q^2 \subset \R^2|SZ=}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2=Dreiecksgeometrie |Kategorie3=Maßtheorie für euklidische Räume |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7okogmti33vif4tejv7igq3r7jfxs9n 0 54164 779417 763506 2022-08-21T16:24:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R ||[a,b] \times [c,d] || || || |SZ= }} ein Rechteck, {{ Ma:abbele/disp |name=q |[a,b] \times [c,d] | \R_{\geq 0} |(x,y)| q(x,y) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= T|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Subgraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Funktion, also {{ Ma:Vergleichskette |T || {{mengebed|(x,y,z)|a \leq x \leq b|c\leq y \leq d| 0 \leq z \leq q(x,y)}} || || || |SZ=. }} Für eine auf {{math|term= T|SZ=}} definierte stetige Funktion {{math|term= f|SZ=}} ist somit {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Körper/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\int_T f d \lambda^3 || \int_a^b \int_c^d \int_0^{q(x,y)} f(x,y,z) dz dy dx || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dreifachintegrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n7wslgjzfzavvkrohqirhh7jatc5xf3 0 54166 783501 509733 2022-08-22T03:39:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} ein Kreissektor des Einheitskreises zum Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Bogenmaß| |ISZ=|ESZ=. }} Begründe{{n Sie}} mit Überpflasterungseigenschaften und mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass der Flächeninhalt von {{math|term= T|SZ=}} gleich {{math|term= {{op:Bruch|\alpha|2 }} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für lineare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h3onll0wc365prf5ylcn88sk4mh56on 0 54171 778435 762388 2022-08-21T12:02:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir argumentieren über die Überpflasterungseigenschaft im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Endliche Überpflasterung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Eigenschaft (1) ist klar, da eine {{ Definitionslink |Prämath= |Quaderüberpflasterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der größeren Menge insbesondere eine Überpflasterung der kleineren Menge ist. Zum Beweis von (2) können wir uns auf zwei kompakte Teilmengen {{ mathkor|term1= S |und|term2= T |SZ= }} beschränken. Nehmen wir an, dass die Aussage nicht stimmt, sei also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^n (S \cup T) |>| \lambda^n(S) + \lambda^n(T) || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} die Differenz. Wir können das Volumen von {{math|term= S|SZ=}} durch eine Quaderüberpflasterung {{ mathbed|term= Q_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} bis auf einen Fehler {{math|term= \leq {{op:Bruch|\epsilon|3}} |SZ=}} und ebenso das Volumen von {{math|term= T|SZ=}} durch eine Quaderüberpflasterung {{ mathbed|term= P_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} bis auf einen Fehler {{math|term= \leq {{op:Bruch|\epsilon|3}} |SZ=}} approximieren. Die Vereinigung der beiden Quaderüberpflasterungen ist eine Quaderüberpflasterung von {{mathl|term= S \cup T|SZ=}} mit einem Fehler von maximal {{math|term= {{op:Bruch|2 \epsilon|3}} |SZ=.}} Das ergibt einen Widerspruch. (3) folgt direkt aus (1) und (2). |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qlx53gi3z8hi26ikumeka5tgaw6n6z4 0 54172 781578 755534 2022-08-21T22:18:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} mittels Integration den {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Dreiecks, das durch die drei Punkte {{ mathlist|term1= (0,0) ||term2= (a,0) |und|term3= (b,c) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathl|term= a, c >0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} gegeben sei. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2=Dreiecksgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b7mjys4g8dlar70qjbqqg7t5b00yq2u 0 54175 781592 320902 2022-08-21T22:20:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Integral {{mathl|term= \int_T f d \lambda^3|SZ=,}} wobei {{mathl|term= f(x,y,z)=xz|SZ=}} und {{math|term= T|SZ=}} der Einheitszylinder {{mathl|term= {{mengebed|(x,y,z)|x^2+y^2 \leq 1|-1 \leq x,y \leq 1|0 \leq z \leq 1}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dreifachintegrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 42uwz5wf90tv5fhbfpjlm7sxek92giu 0 54181 779357 763442 2022-08-21T16:15:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das komplexe Quadrieren {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |z|z^2 |SZ=. }} In reellen Koordinaten ist dies die differenzierbare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x^2-y^2,2xy) |SZ=. }} Diese Abbildung ist wegen {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(x,y) || \varphi(-x,-y) || || || |SZ= }} nicht injektiv. Allerdings ist die Einschränkung auf die positive Halbebene {{ Ma:Vergleichskette |G || {{mengebed|(x,y)|x>0}} || || || |SZ= }} injektiv, und das Bild davon ist {{ Ma:Vergleichskette |H || \R^2 \setminus \R_- || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also die Ebene ohne die negative reelle Achse| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{Jak}( \varphi )_{(x,y)} || {{op:Matrix22|2x|-2y|2y|2x}} || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | (J(\varphi))(x,y) || 4x^2+4y^2 || || || |SZ=. }} Wir möchten den Flächeninhalt des Bildes {{ Ma:Vergleichskette | T || \varphi(S) || || || |SZ= }} des Einheitsquadrates {{ Ma:Vergleichskette |S || [0,1] \times [0,1] || || || |SZ= }} unter dieser Abbildung berechnen {{ Zusatz/Klammer |text=die eine Seite des Einheitsquadrates gehört nicht zu {{math|term= G|SZ=,}} dieser Rand ist aber eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/In echtem Unterraum/Null/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und daher für den Flächeninhalt und die Integration unerheblich| |ISZ=|ESZ=. }} Aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dann {{ Ma:Vergleichskette/align | \lambda^2(T) || \int_S 4x^2+4y^2 d \lambda^2 || \int_0^1 \int_0^1 {{makl| 4x^2+4y^2 |}} dx dy || \int_0^1 {{makl| {{op:Bruch|4|3}} x^3 + 4x y^2 |}} {{|}}_0^1 dy || \int_0^1 {{makl| {{op:Bruch|4|3}} + 4 y^2 |}} dy || {{makl| {{op:Bruch|4|3}} y + {{op:Bruch|4|3}} y^3 |}} {{|}}_0^1 || {{op:Bruch|8|3}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2=Theorie der Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nlwmabcjemerdi499tfns88zz2t5662 0 54191 778612 762531 2022-08-21T12:29:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kugelkoordinaten/Diffeomorphismus/Einführung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Psi|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|r|\theta|\varphi}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= r^2 {{op:sin|\theta|}} |SZ=,}} so dass die Aussage aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} folgt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tmxgrweyy5yqkhipi81tcl9pjud6trr 0 54222 778613 762532 2022-08-21T12:30:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} da die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Zylinderkoordinatenauswertung gleich {{math|term= r|SZ=}} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} svnhp2m5bsyom268dumexyx7l9eq7yy 0 54225 783339 757026 2022-08-22T03:12:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |z|z^3 |SZ=, }} in reellen Koordinaten und bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon. Ebenso für {{math|term= z^4|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aoqgren2j9kzrqny31emoxf3cm10qdw 0 54230 783340 757027 2022-08-22T03:12:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} möglichst große offene Teilmengen {{mathl|term= G \subseteq {{CC}} \cong \R^2|SZ=}} und {{mathl|term= H \subseteq {{CC}}|SZ=}} derart, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |z|z^3 |SZ=, }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} nach {{math|term= H|SZ=}} induziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7czthdvovv3pnl8j9wmsb17gm8qodzq 0 54244 784169 696442 2022-08-22T05:30:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Integral {{mathl|term= \int_{B(P,r)} x^2-y^3 d \lambda^2|SZ=}} über der Kreisscheibe {{mathl|term= B(P,r)|SZ=}} in Abhängigkeit von {{mathl|term= P=(a,b) \in\R^2|SZ=}} und {{mathl|term= r \in \R_+|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Doppelintegrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvzfl3esrlcc45oan6jxh2pbuzowde1 0 54246 783728 757375 2022-08-22T04:17:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf der quadratischen Platte {{mathl|term= P=[-1,1] \times [-1,1]|SZ=}} sei eine elektrische Ladung gemäß {{mathl|term= f(x,y)=y-x^2|SZ=}} verteilt. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der positiven Teilladung und den Schwerpunkt der negativen Teilladung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Doppelintegrale |Kategorie2=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pre45tw2l1bz0dbrxp81qmp6ro7b8gj 0 54262 784764 758232 2022-08-22T06:56:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} durch Integration die {{math|term= x|SZ=-}} und die {{math|term= y-|SZ=}}Koordinate des {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunktes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der oberen Einheitshalbkugel {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Obere Einheitshalbkugel/Geometrischer Schwerpunkt/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n15atmwd8h58makeknueiojptxltcnq 0 54263 786499 759537 2022-08-22T11:35:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte Teilmenge| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R^n|SZ=}} mit den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Koordinatenfunktionen| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= y_1 {{kommadots|}} y_n |SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |T|\R| || |SZ= }} eine stetige Massenverteilung auf {{math|term= T|SZ=}} mit der Gesamtmasse {{mathl|term= M >0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |t_i || {{op:Bruch|1|M}} \int_T y_i \cdot f d \lambda^n || || || |SZ= }} die {{math|term= i|SZ=-}}te Koordinate des {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunktes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} bezüglich dieser Basis ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3xvwjfetnohffz12bs163zgosycsndy 0 54266 779158 763263 2022-08-21T15:45:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |h |\in| \R[y] || || || |SZ= }} ein beliebiges Polynom in der einen Variablen {{math|term= y|SZ=.}} Dann ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)| (x+h(y),y) |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |flächentreuer Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ist ja {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{Jak}( \varphi )_{(x,y)} || {{op:Matrix22|1|h'(y)|0|1}} || || || |SZ=, }} so dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} konstant gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. Wenn man die Rollen von {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} vertauscht und die Hintereinanderschaltung von solchen Abbildungen betrachtet, so erhält man flächentreue Abbildungen, denen man es nicht auf den ersten Blick ansieht. Beispielsweise ist zu {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(x,y) || (x+y^2,y) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \psi(x,y) || (x,y+x^3) || || || |SZ= }} die Hintereinanderschaltung {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | (\psi \circ \varphi) (x,y) || \psi( \varphi (x,y) ) || \psi {{op:Zeilenvektor|x+y^2|y|}} || {{op:Zeilenvektor| x+y^2| y+ {{makl| x+y^2 |}}^3 }} || {{op:Zeilenvektor|x+y^2| y+x^3 +3x^2y^2+3xy^4+y^6}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der maßtreuen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Automorphismen des affinen Raumes |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8obdf0ddej6bttroomdodxksurz4gq3 0 54268 786501 759539 2022-08-22T11:35:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel eines {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismus| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G|H || |SZ= }} auf offenen Mengen {{mathl|term= G,H \subseteq \R^n|SZ=}} und einer {{ Definitionslink |Prämath= |kompakten Teilmenge| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= T \subseteq G|SZ=}} an derart, dass für den {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S|SZ=}} von {{math|term= T|SZ=}} und den Schwerpunkt {{math|term= S'|SZ=}} von {{mathl|term= \varphi(T)|SZ=}} {{Betonung/Negation|nicht}} {{mathl|term= \varphi(S)=S'|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2=Theorie der Diffeomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q5ol3noc0nt36og93buezm7ccdiqjwl 0 54269 786500 759538 2022-08-22T11:35:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass unter den {{ Definitionslink |Prämath= |Polarkoordinaten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer kompakten Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq \R^2|SZ=}} {{Betonung/Negation|nicht}} in den Schwerpunkt des Bildes {{math|term= \varphi(T)|SZ=}} überführt werden muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2=Theorie der Polarkoordinaten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4p33xu6ftwhjn266uvbdsf1tcequ77g 0 54272 785848 759012 2022-08-22T09:47:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= U \subseteq [0,1]|SZ=,}} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Metrischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsintervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Borel-Lebesgue-Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aber kleiner als {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5a4ljitxujwph4gsezxxmeaejt2fymy 0 54299 779863 751981 2022-08-21T17:33:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq \R^2|SZ=}} die Teilmenge, die durch die {{math|term= x|SZ=-}}Achse, die Gleichung {{mathl|term= x=1|SZ=}} und den Parabelbogen begrenzt wird, und es sei {{ Ma:Vergleichskette |F(x,y) ||(e^x,xy) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir wollen die beiden Integrale {{ Faktlink |Präwort=im|Satz von Green|Faktseitenname= Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} unabhängig voneinander berechnen. Den Rand von {{math|term= T|SZ=}} kann man durch drei Wege {{mathl|term= \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3|SZ=}} regulär parametrisieren, wobei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\gamma_1(t) || (t,0) || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\gamma_2(t) || (1,t) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\gamma_3(t) || {{op:Zeilenvektor|1-t|(1-t)^2|}} || || || |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils mit {{mathlk|term=t \in [0,1]|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist. Für das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt somit {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \int_{\partial T} F || \int_{\gamma_1} F + \int_{\gamma_2} F + \int_{\gamma_3} F || \int_0^1 F_1(t,0) dt + \int_0^1 F_2(1,t) dt + \int_0^1 F_1(1-t,1-2t+t^2) (-1) +F_2(1-t,1-2t+t^2)(2t-2) dt || \int_0^1 e^t dt + \int_0^1 t dt + \int_0^1 -e^{1-t} +(1-t) (1-2t+t^2)(2t-2) dt || e-1 + {{op:Bruch|1|2}} + {{makl| e^{1-t} |}}{{|}}_0^1 -2 \int_0^1 (1-t)^4 dt || {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|2|5}} {{makl| (1-t)^5 |}} {{|}}_0^1 || {{op:Bruch|1|2}}- {{op:Bruch|2|5}} || {{op:Bruch|1|10}} |SZ=. }} Zur Berechnung des Doppelintegrals ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung|F_2|x}} - {{op:Partielle Ableitung|F_1|y}} || y || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/align | \int_T {{op:Partielle Ableitung|F_2|x}} - {{op:Partielle Ableitung|F_1|y}} d \lambda^2 || \int_T y d \lambda^2 || \int_0^1 \int_0^{x^2} y dydx || \int_0^1 {{makl| {{op:Bruch|1|2}} y^2 |}} {{|}}_0^{x^2} dx || {{op:Bruch|1|2}} \int_0^1 x^4 dx || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:Bruch|1|5}} x^5 |}}{{|}}_0^1 || {{op:Bruch|1|10}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rvinahpp3trkzn3d5a82x64p5jatr8c 0 54300 782921 756668 2022-08-22T02:02:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} das durch {{ mathlist|term1= (0,2) |,|term2= (1,-1) |und|term3= (-2,-1) |SZ= }} gegebene Dreieck und {{mathl|term= h(x,y) = x^2y |SZ=.}} Finde{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbares Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |h(x,y) ||{{op:Partielle Ableitung|F_2|x}} - {{op:Partielle Ableitung|F_1|y}} || || || |SZ= }} und berechne{{n Sie}} damit {{mathl|term= \int_T h d \lambda^2 |SZ=}} durch ein {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über den Dreiecksrand. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} so5pqwdpe4cum1rmfi7op5kv0s5x5oi 0 54302 782920 756667 2022-08-22T02:02:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} das durch {{ mathlist|term1= (0,2) |,|term2= (1,-1) |und|term3= (-2,-1) |SZ= }} gegebene Dreieck und {{ Ma:Vergleichskette/disp | h(x,y) || 3x^2y^5-x {{op:sin|y|}} || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbares Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | h(x,y) || {{op:Partielle Ableitung|F_2|x}} - {{op:Partielle Ableitung|F_1|y}} || || || |SZ= }} und berechne{{n Sie}} damit {{mathl|term= \int_T h d \lambda^2 |SZ=}} durch ein {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über den Dreiecksrand. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gq0yarw12d0mkbqh5o3jbkdnm4965ps 0 54303 786443 759511 2022-08-22T11:26:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Green|Faktseitenname= Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für das Einheitsquadrat {{mathl|term= T=[0,1] \times [0,1]|SZ=}} und das {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(x,y) ||(xy,y^2) || || || |SZ= }} durch explizite Berechnungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ieuuyq64iadqghgoawn22bae1eigxr6 0 54304 786444 759512 2022-08-22T11:26:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Green|Faktseitenname= Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für das Einheitsquadrat {{mathl|term= T=[0,1] \times [0,1]|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfelder| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(x,y) ||(x^ay^b,x^cy^d) || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= a,b,c,d \in \N|SZ=}} durch explizite Berechnungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p1hm0jqk5z5fskc1ypcnj43hkg9wlkx 0 54305 786446 759514 2022-08-22T11:26:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq \R^2|SZ=}} die Teilmenge, die durch die {{math|term= x|SZ=-}}Achse, die Gleichung {{mathl|term= x=1|SZ=}} und den Parabelbogen begrenzt wird, und es sei {{ Ma:Vergleichskette |F(x,y) ||(x+y^2,x^2y) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Green|Faktseitenname= Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für diese Situation durch explizite Berechnungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3721902rqr0kd1jwx82mmq7kklev1zi 0 54307 782858 756625 2022-08-22T01:52:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \gamma|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |stückweise regulärer Weg| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der das durch die {{math|term= x-|SZ=}}Achse, die beiden Gleichungen {{ mathkor|term1= x= {{op:Bruch|1|3}} |und|term2= x=5 |SZ= }} und die Hyperbel {{ Zusatz/Klammer |text=also den Graph der Funktion {{mathl|term= y= {{op:Bruch|1|x}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} gegebene Gebiet gegen den Uhrzeigersinn umrandet. Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \gamma|SZ=}} zum {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{mathlk|term=\R_+ \times \R_{> -1}|SZ=}} definierten| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(x,y) || {{op:Zeilenvektor| {{op:sin(|x^5|}} | {{op:ln|x|}} + {{op:Bruch|1|(1+y)^2}} }} || || || |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitshyperbel |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sh9fku2h6lu3jxu56uje01a96sqj0gz 0 54308 786442 759510 2022-08-22T11:26:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Green|Faktseitenname= Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch explizite Berechnungen für die Menge {{mathl|term= T=[-2,2] \times [-2,2] \setminus {{op:Offener Ball|0|1}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also das zentrierte Quadrat der Seitenlänge {{math|term= 4|SZ=}} ohne den offenen Einheitskreis| |ISZ=|ESZ= }} und das {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |F(x,y) ||(x-y,xy) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1z4mejiu3do6xu9zfk32nqal26l5soz 0 54309 786445 759513 2022-08-22T11:26:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Green|Faktseitenname= Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch explizite Berechnungen für die Menge {{mathl|term= T={{op:Abgeschlossener Ball|0|2}} \setminus {{op:Offener Ball|0|1}} |SZ=}} und das {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |F(x,y) ||(2x^2-xy,xy^3) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6428f3thqhe5zixetlrgh70pi7ri67l 0 54312 779879 763812 2022-08-21T17:35:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Subgraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Sinusfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= \pi |SZ=. }} Wir wollen den {{ Definitionslink |Prämath= |geometrischen Schwerpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} mit Hilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Versionen für Schwerpunkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} berechnen. Der Flächeninhalt von {{math|term= T|SZ=}} ist bekanntlich {{ Ma:Vergleichskette/disp |m || \int_0^\pi {{op:sin|t|}} || - {{op:cos|t|}}{{|}}_0^\pi ||2 || |SZ=. }} Der Rand von {{math|term= T|SZ=}} wird durch die beiden Wege {{ Ma:Vergleichskette | \gamma_1(t) ||(t,0) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \gamma_2(t) ||(\pi- t, {{op:sin(|\pi-t |}} ) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils für {{mathlk|term=t \in [0, \pi]|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} parametrisiert. Daher ist die {{math|term= x|SZ=-}}Koordinate des Schwerpunkts mit Hilfe des Vektorfeldes {{mathl|term= F(x,y)=(xy,0)|SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/align |x_S || - {{op:Bruch|1|2}} \int_{\partial T} F || -{{op:Bruch|1|2}} \int_{ \gamma_2} F || -{{op:Bruch|1|2}} \int_{0}^\pi (\pi-t) {{op:sin(|\pi-t|}} (-1) dt || {{op:Bruch|1|2}} \int_{0}^\pi u {{op:sin|u|}} du || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| - u {{op:cos|u|}} + {{op:sin|u|}} |}} {{|}}_0^\pi || {{op:Bruch|1|2}} \pi |SZ=, }} was auch aus Symmetriegründen klar ist. Die {{math|term= y|SZ=-}}Koordinate des Schwerpunktes berechnet sich mit Hilfe des Vektorfeldes {{mathl|term= G(x,y)= (y^2,0)|SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette/align |y_S || - {{op:Bruch|1|4}} \int_{\partial T} G || -{{op:Bruch|1|4}} \int_{ \gamma_2} G || {{op:Bruch|1|4}} \int_{0}^\pi {{op:sin|(\pi-t)|pot=2}} dt || {{op:Bruch|1|4}} \int_{0}^\pi {{op:sin|u|pot=2}} du || {{op:Bruch|1|4}} \cdot {{op:Bruch|1|2}} \pi ||{{op:Bruch|1|8}} \pi |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fuqnrlg1q9n2f93h9xg522lum0gau7d 0 54331 779862 763800 2022-08-21T17:33:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=u |\R^2|\R |(x,y)|x^2-y^2 |SZ= }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |harmonisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher ist für eine {{ Definitionslink |Prämath= |regulär berandete, ebene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= T|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_T \triangle u d \lambda^2 ||0 || || || |SZ= }} und daher ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Satz von Gauss/Ebene/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_{\partial T} {{makl|- {{op:Partielle Ableitung|u|y}} , {{op:Partielle Ableitung|u|x}} |}} ||\int_{\partial T} {{makl|2y , 2x |}} ||0 || || |SZ=. }} Für {{mathl|term= T= {{op:Abgeschlossener Ball|0|1}} |SZ=}} ist beispielsweise mit der {{ Definitionslink |Prämath= |trigonometrischen Parametrisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \gamma|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\int_{\gamma} {{makl|2y , 2x |}} ||0 || || |SZ=. }} Dies ergibt sich auch direkt aus {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \int_{\gamma} {{makl|y , x |}} || \int_0^{2 \pi} - {{op:sin|t|}} \cdot {{op:sin|t|}} + {{op:cos|t|}} \cdot {{op:cos|t|}} dt || \int_0^{2 \pi} 1- 2 {{op:sin|t|pot=2}} dt || {{makl| t - t + {{op:sin|t|}} {{op:cos|t|}} |}} {{|}}_0^{2 \pi} || 0 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Satz von Gauss (Ebene) |Kategorie2=Theorie der harmonischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j2znkya4rjb3jgq1e9op79cydfv93bx 0 54333 779861 763799 2022-08-21T17:32:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=u |\R^2|\R |(x,y)|x^2+y^2 |SZ= }} ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |harmonisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \triangle u|SZ=}} ist konstant gleich {{math|term= 4|SZ=.}} Für die Einheitskreisscheibe {{mathl|term= T= {{op:Abgeschlossener Ball|0|1}} |SZ=}} ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_T \triangle u d \lambda^2 ||\int_T 4 d \lambda^2 ||4 \pi || || |SZ=. }} Daher ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Satz von Gauss/Ebene/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_{\partial T} {{makl|- {{op:Partielle Ableitung|u|y}} , {{op:Partielle Ableitung|u|x}} |}} ||\int_{\gamma} {{makl|- 2y , 2x |}} ||4 \pi || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \gamma|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |trigonometrische Parametrisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Einheitskreises bezeichnet. Dies ergibt sich auch direkt aus {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \int_{\gamma} {{makl| -2y , 2x |}} ||2 \int_{\gamma} {{makl| -y , x |}} ||2 \int_0^{2 \pi} {{op:sin|t|}} \cdot {{op:sin|t|}} + {{op:cos|t|}} \cdot {{op:cos|t|}} dt ||2 \int_0^{2 \pi} 1 dt || 4 \pi || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Satz von Gauss (Ebene) |Kategorie2=Theorie der harmonischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} koheeebxpjlj6jr5b40f4stx17cxoht 0 54334 783418 757099 2022-08-22T03:25:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=P |{{CC}}|{{CC}} || |SZ= }} eine komplexe Polynomfunktion. Zeige{{n Sie}}, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil dieser Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils aufgefasst als eine Funktion von {{math|term= \R^2|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |harmonische Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der harmonischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} haqtkzzc51q89iz25w4wyvqm7x909y5 0 54336 783417 757098 2022-08-22T03:25:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |{{CC}} \setminus \{0 \}|{{CC}} \setminus \{0 \} |z|z^{-1} |SZ=, }} das komplexe Invertieren. Zeige{{n Sie}}, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil dieser Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils aufgefasst als eine Funktion von {{math|term= \R^2|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |harmonische Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der harmonischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der analytischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 23o4gqkrz0v3yiops5dcf2o5ti7yr48 0 54661 785174 758522 2022-08-22T07:58:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen und {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n,Z] |SZ=}} der Polynomring in {{mathl|term= n+1|SZ=}} Variablen. Zu {{mathl|term= F \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} sei {{mathl|term= \hat{F} \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n,Z] |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Homogenisierung| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term= Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und zu {{mathl|term= G \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n,Z] |SZ=}} sei {{mathl|term= {{op:Dehomogenisierung|G}} |SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=durch {{mathl|term= Z \mapsto 1|SZ=}} gegebene| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Dehomogenisierung| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Dehomogenisierung| {{op:Homogenisierung|F|}} |}} =F|SZ=,}} aber nicht {{mathl|term= {{op:Homogenisierung| {{op:Dehomogenisierung|G|}} |}}=G|SZ=}} gelten muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j7hi1kzwenrzzm05i6l7u5kgt1s0os2 0 54662 785143 758502 2022-08-22T07:54:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n,Z]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} in {{mathl|term= n+1|SZ=}} Variablen. Es seien {{mathl|term= G,H \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n,Z] |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Polynome| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom gleichen Grad. Für die {{ Definitionslink |Prämath= |Dehomogenisierungen| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term= Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} gelte {{mathl|term= {{op:Dehomogenisierung|G|}} = {{op:Dehomogenisierung|H|}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{mathl|term= G=H|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ssae3d49txiivqba582bv2csqp1hzxl 0 54670 782840 756606 2022-08-22T01:49:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= F \in K[X_1, \ldots , X_n]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= F=GH|SZ=}} ein Faktorzerlegung. Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} ebenfalls homogen sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1tp08tv5o14bpooe46nxi7t7iu4qua7 0 55053 786475 759531 2022-08-22T11:31:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=.}} Wir betrachten die beiden Kurven {{mathl|term= C=V {{makl| Y^2-X^b |}} |SZ=}} und {{mathl|term= D=V {{makl| Y^2-X^c |}} |SZ=}} mit {{mathl|term= c > b \geq 3|SZ=,}} {{math|term= b,c|SZ=}} ungerade. a) Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Schnittmultiplizität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der beiden Kurven im Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=.}} b) Berechne{{n Sie}} die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in {{mathl|term= (1,1)|SZ=.}} c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen projektiven Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=4 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 48cefcwgqm94qyzqwscvhui3vm8f5qb 0 55055 781685 755612 2022-08-21T22:36:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |C |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |ebene projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette |C || C_1 \cup C_2 || || || |SZ= }} mit zwei affinen, in {{math|term= C|SZ=}} offenen {{ Definitionslink |Prämath= |ebenen Kurven| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= C_1 |und|term2= C_2 |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a8t9wyq18p6cnkz13dywi8vhil4vrmd 0 55058 781628 524114 2022-08-21T22:26:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die ebene algebraische Kurve {{ math/disp|term= V(X^4-X^2+3Y^2-2XY^3) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über einem Körper der Charakteristik {{math|term= 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine nichtkonstante Potenzreihenlösung {{mathl|term= Y=F(X)|SZ=}} im Nullpunkt bis zum dritten Grad. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sxve5tht37y9yjh5ztb2ynkm2axy3ve 0 55061 781637 579125 2022-08-21T22:28:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Multiplizität und die Tangenten {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich ihrer Multiplizitäten| |ISZ=|ESZ= }} im Nullpunkt {{math|term= (0,0)|SZ=}} der ebenen algebraischen Kurve {{ Ma:Vergleichskette/disp |C || V {{makl| Y^6-2XY^5+X^2Y^3+3X^3Y^2+5X^4Y |}} |\subseteq |{{op:Affine Ebene|{{CC}}}} || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplizität von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oaslkusjozrmrd0l37waehsbki4hlth 0 55063 784431 758029 2022-08-22T06:10:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Geldfälscher stellt {{math|term= 6-, 9-, 14-|SZ=}} und {{math|term= 25-|SZ=}}Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplizität| |Kontext=numerisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Einbettungsdimension| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des zugehörigen numerischen Monoids. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2d43jdyu2qrtjtwhu919k9307m81kgi 0 55068 781665 524105 2022-08-21T22:33:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper. Betrachte{{n Sie}} die durch {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Affine Gerade|K}} |{{op:Affine Ebene|K}} |t| {{op:Zeilenvektor|t^2+1|t^3-t}} |SZ= }} definierte polynomiale Abbildung. Bestimme{{n Sie}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=nichttriviale| |ISZ=|ESZ= }} algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cjf5942mv99a3y4a4c9jnwchqtib0rf 0 55070 782999 756759 2022-08-22T02:15:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= V \subseteq {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} eine irreduzible {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Verschwindungsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Definition |SZ= }} {{mathl|term= \operatorname{Id} \,(V)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \operatorname{Id} \, (V)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Irreduzibilität von affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pnzvo2mmqy3s3f996feu196br8wekuq 0 55703 779939 752105 2022-08-21T17:45:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei {{mathl|term= n=1|SZ=}} sind alle Polynome {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da dort allein die Identität vorliegt. Bei {{mathl|term= n=2|SZ=}} sind die Konstanten und beispielsweise {{mathl|term= x+y, xy, 5+x+y, 3x+3y+x^2y^2 |SZ=}} symmetrische Polynome. Bei {{mathl|term= n=3|SZ=}} sind {{mathl|term= x+y+z, \, xy+xz+yz,\, xyz, \, x^4+y^4+z^4 |SZ=}} typische Beispiele. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der symmetrischen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bsfemgyjkg6rogze86yc27bbmcko57u 0 55706 778539 762469 2022-08-21T12:18:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über die {{ Definitionslink |Prämath= |gradlexikographische Ordnung| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Teilbeweis |Teilziel=Zur Existenz.|Teilstrategie= |Teilbeweis= Es sei {{math|term= F|SZ=}} ein symmetrisches Polynom. Es sei {{mathl|term= X_1^{a_1} \cdots X_n^{a_n}|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Leitmonom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem Koeffizienten {{mathlk|term=c \neq 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} Es ist {{mathl|term= a_{i+1}\leq a_i|SZ=}} für alle {{math|term= i|SZ=.}} Andernfalls nämlich betrachtet man die Permutation, die {{ mathkor|term1= X_{i+1} |und|term2= X_i |SZ= }} vertauscht. Das resultierende Monom muss wegen der Symmetrie ebenfalls in {{math|term= F|SZ=}} vorkommen, wäre aber größer in der gradlexikographischen Ordnung. Wir betrachten das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp | G ||F - cE_1^{a_1-a_2} E_2^{a_2-a_3} \cdots E_{n-1}^{a_{n-1}-a_n} E_n^{a_n} || || || |SZ=. }} Dabei treten rechts die elementarsymmetrischen Polynome mit nichtnegativen Exponenten auf. Das Polynom rechts enthält ebenfalls {{mathl|term= X_1^{a_1} \cdots X_n^{a_n}|SZ=}} als Leitmonom: Hierzu muss man sich die Monome in {{math|term= E_i|SZ=}} klar machen. Das Leitmonom von {{math|term= E_i|SZ=}} ist {{mathl|term= X_1\cdots X_i|SZ=}} und das Leitmonom von {{mathl|term= E^k_i|SZ=}} ist {{mathl|term= (X_1\cdots X_i)^k|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Leitmonom ist multiplikativ, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Gradlexikographische Ordnung/Leitmonom/Multiplikativ/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Daher hat das Polynom rechts das Leitmonom {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | X_1^{a_1-a_2}\cdot(X_1X_2)^{a_2-a_3} \cdots (X_1\cdots X_{n-1})^{a_{n-1} - a_n} \cdot (X_1\cdots X_n)^{a_n} || X_1^{a_1} X_2^{a_2} \cdots X_{n-1}^{a_{n-1} } X_n^{a_n} || || || |SZ=. }} In der Differenz {{math|term= G|SZ=}} verschwindet also dieses Monom, d.h. {{math|term= G|SZ=}} hat einen kleineren Grad in der gradlexikographischen Ordung. Da {{math|term= G|SZ=}} ebenfalls symmetrisch ist, liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=Zur Eindeutigkeit.|Teilstrategie= |Teilbeweis= Wir zeigen, dass die elementarsymmetrischen Polynome {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Sei also {{ Ma:Vergleichskette/disp | H(E_1 {{kommadots|}} E_n) ||0 || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= H \neq 0|SZ=}} ein Polynom in den {{math|term= n|SZ=}} Variablen {{mathl|term= Y_1 {{kommadots|}} Y_n|SZ=}} sei. Wir schreiben {{math|term= H|SZ=}} als Summe von Monomen der Form {{ math/disp|term= Y^{a_1-a_2}_1 Y^{a_2-a_3}_2\cdots Y^{a_n}_n |SZ= }} mit {{mathl|term= a_1\ge\ldots\ge a_n|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= (a_1 {{kommadots|}} a_n)|SZ=}} dasjenige Tupel mit {{mathl|term= a_i \geq a_{i+1}|SZ=,}} das in der gradlexikographischen Ordnung maximal ist unter allen Tupeln, für die {{mathl|term= Y^{a_1-a_2}_1 Y^{a_2-a_3}_2\cdots Y^{a_n}_n|SZ=}} in {{math|term= H|SZ=}} vorkommt {{ Zusatz/Klammer |text=es werden also die {{math|term= a|SZ=}} verglichen, nicht die Differenzen| |ISZ=|ESZ=. }} Dann besitzt {{mathl|term= H(E_1 {{kommadots|}} E_n)|SZ=}} als Polynom in {{math|term= X|SZ=}} das Leitmonom {{mathl|term= X^{a_1}_1\cdots X^{a_n}_n|SZ=}} und wäre nicht {{math|term= 0|SZ=.}} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d4hekyd6mc3k9f2dx5xvxp23twrvrpw 0 55722 779416 763504 2022-08-21T16:24:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} hat bekanntlich nur zwei Ideale, nämlich das Einheitsideal {{math|term= K|SZ=,}} das kein Primideal ist, und das Nullideal {{math|term= 0|SZ=,}} das ein Primideal ist. Das {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Körpers besteht also aus einem einzigen Punkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t5fjwes34jqi85j13y61fsc0tka9mbl 0 55723 780091 763885 2022-08-21T18:09:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Spektrum von Z|xcf|230px {{!}} right {{!}} |Text=So stellt man sich das Spektrum von {{math|term= \Z|SZ=}} vor. Die Verbindungslinien sollen vermitteln, dass es sich um ein eindimensionales Objekt handelt. Das Nullideal malt man fett, um anzudeuten, dass es sich um einen dichten Punkt handelt. |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Die Primideale in {{math|term= \Z|SZ=}} sind einerseits die maximalen Ideale {{mathl|term= (p)|SZ=,}} wobei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und andererseits das Nullideal {{math|term= 0|SZ=.}} Die maximalen Ideale bilden die abgeschlossenen Punkte von {{mathl|term= {{op:Spek|\Z|}} |SZ=.}} Das Nullideal ist darin ein weiterer nicht abgeschlossener Punkt. Die einzige abgeschlossene Menge, in der dieser Punkt enthalten ist, ist die ganze Menge. Die abgeschlossenen Mengen in {{mathl|term= {{op:Spek|\Z|}} |SZ=}} sind neben der Gesamtmenge die endlichen Teilmengen aus maximalen Idealen. Man visualisiert {{mathl|term= {{op:Spek|\Z|}}|SZ=}} als eine {{ Zusatz/Klammer |text=gedachte Gerade| |ISZ=|ESZ=, }} auf der die Primzahlen diskret liegen, während der Nullpunkt ein fetter Punkt ist, der die gesamte Gerade repräsentiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Spektrum von Z |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8u2p1zbs6ajxuy0o8fjdp291ws8y6nk 0 55731 779600 751618 2022-08-21T16:54:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für den {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} vermitteln die sogenannten Punktideale eine gute geometrische Vorstellung von {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=.}} Ein Punktideal hat die Form {{math/disp|term=(X_1-a_1,X_2-a_2 {{kommadots|}} X_n-a_n)|SZ=}} zu einem festen Tupel {{ Ma:Vergleichskette |a ||(a_1 ,a_2 {{kommadots|}} a_n) |\in|K^n || || |SZ=. }} Ein Punktideal ist der Kern des durch {{mathl|term= X_i \mapsto a_i|SZ=}} festgelegten {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_a |R|K || |SZ= }} und daher ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Diese Zuordnung definiert insgesamt eine injektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | K^n| {{op:Spek|R|}} || |SZ=. }} Wenn {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so werden dadurch sogar alle maximale Ideale von {{math|term= R|SZ=}} erfasst. Daher stellt man sich das Spektrum des Polynomrings in {{math|term= n|SZ=}} Variablen als den affinen Raum vor, der allerdings auch noch weitere nicht{{latextrenn|}}abgeschlossene Punkte enthält. Zu einem Polynom {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} besitzt {{mathl|term= V(f) \cap K^n|SZ=}} eine anschauliche Interpretation: Es ist {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|V(f) \cap K^n || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette | f(a_1 {{kommadots|}} a_n) || 0 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra)‎ |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5niw9u3qo3yshbyi29fnwxab0asbcq3 0 55780 779618 751652 2022-08-21T16:57:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= R[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen über {{math|term= R|SZ=.}} Dieser ist in naheliegender Weise {{ Definitionslink |Prämath=\Z|graduiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man definiert für ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= X_1^{k_1}X_2^{k_2} \cdots X_n^{k_n}|SZ=}} den Grad durch {{mathl|term= k_1+k_2 {{plusdots|}} k_n|SZ=}} und setzt {{math|term= A_d|SZ=}} als den {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aller Polynome an, die {{ Definitionslink |Prämath=R |Linearkombinationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Monomen von Grad {{math|term= d|SZ=}} sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, so dass dadurch eine graduierte {{math|term= R|SZ=-}}Algebra entsteht. Es ist {{mathl|term= A_0=R|SZ=}} und {{mathl|term= A_n=0|SZ=}} für negativen Grad {{math|term= n|SZ=.}} Diese Graduierung heißt auch die {{Stichwort|Standardgraduierung|SZ=}} auf dem Polynomring. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e55i5wpiq88wcvzlpnfx6g2odpfo2hw 0 55789 778732 762659 2022-08-21T12:46:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} genügt es, die {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für ein {{ Definitionslink |Prämath=A^{(k)} |Algebraerzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=}} zu zeigen. Ein solches liegt in den {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Elementen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=}} vor. Sei also {{mathl|term= f \in A_d|SZ=}} homogen. Dann ist {{mathl|term= f^k \in A_{dk} \in A^{(k)}|SZ=,}} so dass {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=reine| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o965h4y9odpeony9ds9krlkauqerf3z 0 55792 778731 762658 2022-08-21T12:46:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten {{math|term= A|SZ=}} als {{mathl|term= {{op:Zmod| {{{s|s}}} |}} |SZ=-}}graduiert durch den kanonischen Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abb |name= |\Z|{{op:Zmod| {{{s|s}}} |}} || |SZ=. }} Dann ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Veronese-Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= A^{( {{{s|s}}} )}|SZ=}} die {{math|term= 0|SZ=-}}te Stufe von {{math|term= A|SZ=}} in dieser neuen Graduierung. Daher folgt die Aussage aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqku08u8vm4zvqikgk5qqeza1xxbwga 0 55808 779603 763670 2022-08-21T16:55:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum Polynomring {{mathl|term= K[X]|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} und jedem {{mathl|term= {{{k|k}}} \in \N_+|SZ=}} ist der {{math|term= {{{k|k}}}|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Veronese-Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} isomorph zum Polynomring selbst. Es handelt sich einfach um den von {{math|term= X^{ {{{k|k}}} }|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} erzeugten Unterring. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Veronese-Unterringe |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tusnqbq51xke1i03eor6y5tz4hf45wq 0 55811 779606 751622 2022-08-21T16:55:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum Polynomring {{mathl|term= A=K[X,Y]|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} und einem {{mathl|term= {{{k|k}}} \in \N_+|SZ=}} wird der {{math|term= {{{k|k}}}|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Veronese-Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch die Monome {{mathl|term= X^{ {{{k|k}}} },X^{ {{{k|k}}}-1}Y {{kommadots|}} XY^{ {{{k|k}}}-1} , Y^{ {{{k|k}}} }|SZ=}} erzeugt. Bei {{mathl|term= {{{k|k}}}=2|SZ=}} handelt es sich um {{ math/disp|term= K[X^2,XY,Y^2] \cong K[U,V,W]/(UW-V^2) |SZ=. }} Bei {{mathl|term= {{{k|k}}} =3|SZ=}} handelt es sich um {{ math/disp|term= K[X^3,X^2Y,XY^2,Y^3] \cong K[U,V,W,Z]/(UZ-VW,UW - V^2,VZ -W^2 ) |SZ=. }} Diese Ringe sind nicht isomorph zum Polynomring in zwei Variablen. Beispielsweise ist {{mathl|term= A^{(2)}|SZ=}} im Gegensatz zum Polynomring nicht faktoriell, die Elemente {{mathl|term= U,V,W|SZ=}} sind {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht prim, und die Gleichung {{mathl|term= UW=V^2|SZ=}} bedeutet, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen dieses Elementes vorliegen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Veronese-Unterringe |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cx85t6dxj4h3tlsf3gjyjeeu0j45jnw 0 55813 778730 762657 2022-08-21T12:46:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es genügt zu zeigen, dass jedes homogene Element von {{mathl|term= A^{( {{{s|s}}} )}|SZ=}} von {{math|term= A_{{{s|s}}} |SZ=}} erzeugt wird. Sei also {{mathl|term= f \in A_{ {{{s|s}}} d}|SZ=.}} Nach Voraussetzung ist {{mathl|term= f = \sum_{\nu \in \N^n} r_\nu x_1^{\nu_1} \cdots x_n^{\nu_n} |SZ=}} mit Elementen {{mathl|term= x_i \in A_1|SZ=}} und mit {{mathl|term= \sum_{i=1}^n \nu_i = {{{s|s}}} d|SZ=.}} Diese Summe kann man in {{math|term= d|SZ=}} Teilsummen aufspalten, d.h. man kann {{mathl|term= x^\nu =x^{\mu_1} \cdots x^{\mu_d}|SZ=}} schreiben, wobei die {{math|term= \mu_j|SZ=}} jeweils Gradtupel vom Grad {{math|term= {{{s|s}}} |SZ=}} sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d8ni1lz1bmomzdhvk9t66r7zcg25btq 0 55824 779290 763376 2022-08-21T16:05:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A|SZ=}} eine von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |direkter Summand| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=.}} Dies beruht darauf, dass man die {{math|term= 1|SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=}} ergänzen kann. Mit dem von den anderen Basiselementen {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V \subset A|SZ=}} ist dann {{ Ma:Vergleichskette |A |\cong| K \cdot 1 \oplus V || || || |SZ=. }} Im Allgemeinen muss es aber keinen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |A|K || |SZ= }} geben. Bei einer {{ Zusatz/Klammer |text=nichttrivialen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K \subset L|SZ=}} gibt es keinen Ringhomomorphismus von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der direkten Summanden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mm5gr7tcjxk53zuho3coqm04duraoi2 0 55834 779633 751680 2022-08-21T17:00:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= R^{( {{{s|s}}} )}|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Veronese-Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{{s|s}}} \in \N_+|SZ=.}} {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Graduierter Ring/Beliebige Gruppe/Grad 0 Ring/Direkter Summand/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{mathl|term= R^{( {{{s|s}}} )} \subseteq R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |direkter Summand| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bei {{mathl|term= {{{s|s}}} \geq 2|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{mathlk|term=n \geq 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} gibt es keinen {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |R|R^{( {{{s|s}}} )} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \psi \circ \iota || {{op:Identität|R^{( {{{s|s}}} )}|}} || || || |SZ=. }} Dies liegt daran, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi(X_1) || a_0 + a_{{{s|s}}} +a_{2 {{{s|s}}} } {{plusdots|}} a_{r {{{s|s}}} } ||X_1 || || |SZ= }} mit {{mathl|term= a_{i {{{s|s}}} } \in R_{i {{{s|s}}} }|SZ=}} keine Lösung besitzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der direkten Summanden |Kategorie2=Theorie der Veronese-Unterringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 36wnupjd46y3z4wvcuzul95d7dgmn8c 0 55847 778562 762484 2022-08-21T12:21:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1) folgt unmittelbar aus der Definition des {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukts| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} (2). Da die {{mathl|term= v_1 {{tensordots|}} v_n |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulerzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= V_1 {{tensordots|R}} V_n|SZ=}} sind und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bar{\psi}(v_1 {{tensordots|}} v_n) || \psi (v_1 {{kommadots|}} v_n) || || || |SZ= }} gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den {{ Definitionslink |Prämath= |freien Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F|SZ=}} aus der Konstruktion des Tensorprodukts. Die Symbole {{mathl|term= v_1 {{tensordots|}} v_n|SZ=}} bilden eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=,}} daher legt die Vorschrift {{mathl|term= \varphi {{makl| v_1 {{tensordots|}} v_n |}} {{defeq|}} \psi( v_1 {{kommadots|}} v_n)|SZ=}} eine lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |F|W || |SZ= }} fest. Wegen der {{ Definitionslink |Prämath= |Multilinearität| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \psi|SZ=}} wird der Untermodul {{math|term= U|SZ=}} auf {{math|term= 0|SZ=}} abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |F/U \cong V_1 {{tensordots|R}} V_n|W || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ulreasg0xr6cuf02brdoit0izay71u 0 55854 779072 763208 2022-08-21T15:31:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der eine primitive {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \xi|SZ=}} enthalte. Wir betrachten die Untergruppe {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || {{mengebed| {{op:Matrix22|\zeta|0|0|\zeta^{-1} }} |\zeta^n{{=}}1|}} |\subseteq| {{op:GLG|2|K}} || || || |SZ= }} und die zugehörige Operation auf {{math|term= K^2|SZ=}} bzw. auf {{mathl|term= K[U,V]|SZ=.}} Es handelt sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= n|SZ=,}} die von {{ Ma:Vergleichskette/disp |g || {{op:Matrix22|\xi|0|0|\xi^{-1} }} || || || |SZ= }} erzeugt wird. Die Operation von {{math|term= g|SZ=}} auf {{mathl|term= K[U,V]|SZ=}} ist durch {{ mathkor|term1= U \mapsto \xi U |und|term2= V \mapsto \xi^{-1} V |SZ= }} gegeben. Offenbar sind {{ math/disp|term= X=U^n,\, Y=V^n,\, Z=UV |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |invariante Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter dieser Gruppenoperation, die in der Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | XY ||Z^n || || || |SZ= }} stehen. Dass diese drei Invarianten den Invariantenring erzeugen, sieht man am besten, wenn man die Situation graduiert realisiert. Dazu sei der Polynomring {{ Definitionslink |Prämath=\Z \times \Z |graduiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= U|SZ=}} den Grad {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} und {{math|term= V|SZ=}} den Grad {{mathl|term= (0,1)|SZ=}} besitze. Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \delta |\Z^2| {{op:Zmod|n|}} {{defeqr|}} D |(a,b)| a-b |SZ=, }} und die zugehörige {{math|term= D|SZ=-}}Graduierung des Polynomringes. Wir identifizieren die {{ Definitionslink |Prämath= |Charaktergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Charakterdual|D|}} |SZ=}} mit der obigen Gruppe {{math|term= G|SZ=,}} indem wir {{ Ma:abbele/disp |name=\chi |D|K^\times || |SZ= }} mit {{mathl|term= {{op:Matrix22|\chi(1)|0|0|\chi(-1)|}} |SZ=}} identifizieren. Bei dieser Identifizierung entspricht die obige explizite Operation von {{math|term= G|SZ=}} auf {{mathl|term= K[U,V]|SZ=}} der natürlichen Operation der Charaktergruppe {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der Invariantenring unter der {{math|term= G|SZ=-}}Operation gleich der neutralen Stufe unter der {{ Definitionslink |Prämath=D |Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Kern von {{math|term= \delta|SZ=}} wird durch {{mathl|term= (n,0),(0,n),(1,1)|SZ=}} erzeugt. Die zugehörigen Stufen bilden somit den Invariantenring. Der Invariantenring ist also {{mathl|term= K[U^n,V^n,UV]|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nb70vt6xi0vuary0v2f51xw4zmp0kk4 0 55931 778937 763131 2022-08-21T15:09:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die natürliche Operation der {{ Definitionslink |Prämath= |alternierenden Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= A_3 \cong {{op:Zmod|3|}} |SZ=}} auf dem {{math|term= K^3|SZ=}} wird durch den Zykel {{ math/disp|term= e_1\longmapsto e_2,\, e_2\longmapsto e_3,\, e_3\longmapsto e_1 |SZ= }} erzeugt. Besitzt {{math|term= K|SZ=}} dritte {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so kann man die zugehörige Matrix diagonalisieren und man erhält eine neue Basis mit den Eigenvektoren {{ math/disp|term= e_1+e_2+e_3,\, e_1+\zeta e_2+\zeta^2e_3,\, e_1+\zeta^2 e_2+\zeta e_3 |SZ=. }} Wir führen die neuen Variablen {{math/disp|term=U=X+Y+Z,\, V=X+\zeta Y+\zeta^2 Z,\, W=X+\zeta^2 Y+\zeta Z|SZ=}} ein. In dieser Basis ist der erzeugende Automorphismus durch {{ math/disp|term= U\longmapsto U,\, V\longmapsto \zeta V,\, W\longmapsto\zeta^2W |SZ= }} gegeben und der Invariantenring ist in dieser Basis gleich {{ math/disp|term= K[U,V^3,VW,W^3] |SZ=. }} Die einzige Relation ist gegeben durch {{mathl|term= V^3W^3=(VW)^3|SZ=.}} Wie sieht der Unterring der symmetrischen Polynome aus? Die Transposition {{mathl|term= Y \leftrightarrow Z|SZ=}} lässt {{math|term= U|SZ=}} unverändert und vertauscht {{math|term= V|SZ=}} und {{math|term= W|SZ=.}} Das bedeutet für den alternierenden Invariantenring, dass {{math|term= V^3|SZ=}} und {{math|term= W^3|SZ=}} vertauscht werden. Der symmetrische Invariantenring ist daher {{ math/disp|term= K[U, VW, V^3+W^3] |SZ=. }} Dabei sind {{ Ma:Vergleichskette/disp |VW || X^2+Y^2+Z^2+\zeta XY+\zeta^2XY+\zeta XZ+\zeta^2XZ+\zeta YZ+\zeta^2YZ || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |V^3 || X^3+Y^3+Z^3+6XYZ+ 3\xi^2 XY^2+ 3\xi X^2Y + 3\xi XZ^2 + 3\xi^2 X^2Z + 3\xi^2 YZ^2 + 3\xi Y^2Z || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |W^3 || X^3+Y^3+Z^3+6XYZ+ 3\xi XY^2+ 3\xi^2 X^2Y + 3\xi^2 XZ^2 + 3\xi X^2Z + 3\xi YZ^2 + 3\xi^2 Y^2Z || || || |SZ=. }} Für die {{ Definitionslink |Prämath= |Vandermondesche Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/align |\triangle || (Y-X)(Z-X)(Z-Y) || XY^2 -X^2Y + X^2Z-XZ^2 +YZ^2- Y^2 Z || {{op:Bruch|1| 3 {{makl| \xi^2- \xi |}} }} {{makl| V^3-W^3 |}} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der alternierenden Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3vm8c28hy3swqkienvktm3iu20wy8v1 0 55937 783420 757100 2022-08-22T03:25:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Schreibe{{n Sie}} die komplexe Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |{{CC}}|{{CC}} |z|z^3 |SZ=, }} in reellen Koordinaten {{ Zusatz/Klammer |text=mit Hilfe der Identifizierung {{mathlk|term={{CC}}=\R + \R {{imaginäre Einheit|}} \cong \R^2|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} b) Zeige{{n Sie}}, dass die beiden Komponentenfunktionen aus Teil a) {{ Zusatz/Klammer |text=also der Realteil und der Imaginärteil von {{math|term= f|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |harmonische Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der harmonischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mayzpoap2f70ludmwyge0hwh3ld4mea 0 55942 784024 757652 2022-08-22T05:06:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf einer kreisförmigen Platte {{math|term= P|SZ=}} mit Radius {{math|term= 1|SZ=}} und Mittelpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} sei durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x,y) || x^2y+1 || || || |SZ= }} eine Massenverteilung gegeben. a) Bestimme{{n Sie}} die Gesamtmasse von {{math|term= P|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= P|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=3 |p2=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rivs16tvmb0m4j0xt9l6la3thszwgj1 0 55954 782606 756371 2022-08-22T01:10:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=G |\R^2 \times \R_{>0} |\R^3 |(x,y,z)| {{op:Zeilenvektor| ye^{xy} + {{op:ln|z|}} | xe^{xy} - 2yz| {{op:Bruch|x|z}} -y^2 }} |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}} mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass {{math|term= G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gradientenfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Bestimme{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Potential| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= G|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxi7z3x7zbqwhfq1hndsunv7pj8ad9f 0 55956 781383 755410 2022-08-21T21:46:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die ersten drei Iterationen in der {{ Definitionslink |Prämath= |Picard-Lindelöf-Iteration| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' ||y^2+t+yt^2 || || || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{mathl|term= y(0)=0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Picard-Lindelöf-Iteration |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8jounmrd8smvapzymyogwug88pgs0ja 0 55962 783893 757516 2022-08-22T04:44:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Situation}} und es sei {{mathl|term= u \in {{KRC}}^n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} zum Eigenwert {{mathl|term= \lambda \in {{KRC|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | \R | {{KRC|}}^n |t| c e^{\lambda t} u {{=|}} c {{op:Spaltenvektor| e^{\lambda t} u_1| \vdots| e^{\lambda t} u_n }} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=c \in {{KRC}}|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Lösung| |Kontext=gdgsystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieses {{ Definitionslink |Differentialgleichungssystems| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ls6xk7ucja9blkbl9jvm9i02vlog9ps 0 55991 778933 763129 2022-08-21T15:09:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektor{{latextrenn|}}raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= r \in \N|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man denke an {{mathlk|term=r \leq n|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und wir betrachten die Wirkungsweise von {{mathl|term= {{op:GLG|r|K}} |SZ=}} auf dem {{math|term= r|SZ=-}}fachen Produkt von {{math|term= V|SZ=}} mit sich selbst, bei der ein {{math|term= r|SZ=-}}Tupel {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_r|SZ=}} von {{math|term= r|SZ=}} Vektoren aus {{math|term= V|SZ=}} auf ein anderes, durch die Matrix {{mathl|term= g \in {{op:GLG|r|K}}|SZ=}} bestimmtes {{math|term= r|SZ=-}}Tupel abgebildet wird. Mit {{mathl|term= g = {{op:Matrixaij|n=r}} |SZ=}} interessieren wir uns also für die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:GLG|r|K}} \times V^r | V^r |( {{op:Matrixaij|n=r}}, v_1,v_2 {{kommadots|}} v_r)| {{op:Zeilenvektor|\sum_{i {{=}} 1}^r a_{1i} v_i | \sum_{i {{=}} 1}^r a_{2i} v_i |\ldots| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{ri} v_i||}} |SZ=. }} Ein Tupel wird also stets auf ein Tupel aus Linearkombinationen der Einträge abgebildet. Daher ist der von {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_r|SZ=}} erzeugte {{ Definitionslink |Prämath=K |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich dem vom Bildtupel {{mathl|term= g(v_1 {{kommadots|}} v_r) |SZ=}} erzeugten Untervektorraum. Wenn die {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_r |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, so gilt dies auch für das Bildtupel. Für einen {{math|term= r|SZ=-}}dimensionalen Untervektorraum {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} und zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=}} gibt es stets einen {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=,}} der die eine Basis in die andere Basis überführt. Wenn man also die Operation von {{mathl|term= {{op:GLG|r|K}} |SZ=}} auf die {{ Zusatz/Klammer |text=offene und dichte| |ISZ=|ESZ= }} Teilmenge {{mathl|term= {{{T|T}}} \subseteq V^r|SZ=}} einschränkt, die aus allen linear unabhängigen {{math|term= r|SZ=-}}Tupeln besteht, so entsprechen die {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen der Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} den {{math|term= r|SZ=-}}dimensionalen Untervektorräumen von {{math|term= V|SZ=,}} und die Elemente der einzelnen Bahnen durchlaufen sämtliche Basen des zugehörigen Raumes. Die Bahnen der Operation auf ganz {{math|term= V^r|SZ=}} sind schwieriger zu charakterisieren. Wir beschreiben die algebraische Version dieser Operation. Die linearen Funktionen auf dem der Operation zugrunde liegenden Vektorraum {{mathl|term= W=V^r|SZ=}} sind die Linearformen {{mathl|term= f=(f_1 {{kommadots|}} f_r)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(v_1 {{kommadots|}} v_r) || f_1(v_1) {{plusdots|}} f_r (v_r) || || || |SZ=. }} Dabei sind die {{math|term= f_i|SZ=}} Linearformen auf {{math|term= V|SZ=,}} die wir direkt als Linearformen auf {{math|term= V^r|SZ=}} über die {{math|term= i|SZ=-}}te Projektion auffassen. Zu {{mathl|term= g \in {{op:GLG|r|K}} |SZ=}} und {{mathl|term= f= {{op:Zeilenvektor|f_1|\ldots|f_r}} |SZ=}} ist die verknüpfte Abbildung gleich {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | (f g) {{op:Zeilenvektor|v_1 |\ldots|v_r}} || f {{op:Zeilenvektor|\sum_{i {{=}} 1}^r a_{1i} v_i | \sum_{i {{=}} 1}^r a_{2i} v_i |\ldots| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{ri} v_i||}} || f_1 {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{1i} v_i |}} + f_2 {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{2i} v_i |}} {{plusdots}} f_r {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{ri} v_i |}} || \sum_{i {{=}} 1}^r a_{1i} f_1 {{makl| v_i |}} + \sum_{i {{=}} 1}^r a_{2i} f_2 {{makl|v_i |}} {{plusdots}} \sum_{i {{=}} 1}^r a_{ri} f_r {{makl| v_i |}} || \sum_{i,j} a_{ji} f_j {{makl| v_i |}} ||\sum_{j {{=}} 1}^r a_{j1} f_j {{makl| v_1 |}} + \sum_{j {{=}} 1}^r a_{j2} f_j {{makl|v_2 |}} {{plusdots}} \sum_{j {{=}} 1}^r a_{jr} f_j {{makl| v_r |}} || {{op:Zeilenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^r a_{j1} f_j |\sum_{j {{=}} 1}^r a_{j2} f_j |\ldots| \sum_{j {{=}} 1}^r a_{jr} f_j}} {{op:Zeilenvektor|v_1 |\ldots|v_r}} |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align |fg || {{op:Zeilenvektor|f_1 |\ldots| f_r}} g || {{op:Zeilenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^r a_{j1} f_j |\sum_{j {{=}} 1}^r a_{j2} f_j |\ldots| \sum_{j {{=}} 1}^r a_{jr} f_j}} || || || |SZ=. }} Es sei nun {{mathl|term= V=K^n|SZ=,}} so dass wir die Gesamtsituation mit Variablen schreiben können. Zum Vektorraum {{math|term= V^r |SZ=}} gehört der Polynomring {{ math/disp|term= K[ X_{ij}\, ,1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq r ] |SZ=. }} Dabei repräsentieren die {{ mathbed|term= X_{ij} ||bedterm1= 1 \leq i \leq n ||bedterm2= |SZ=, }} die Koordinatenfunktionen der {{math|term= j|SZ=-}}ten Kopie des Vektorraums {{math|term= K^n|SZ=.}} Die Variable {{mathl|term= X_{ij}|SZ=}} ist die {{math|term= j|SZ=-}}te Projektion von {{math|term= V^r|SZ=}} auf {{mathl|term= V=K^n|SZ=}} gefolgt von der {{math|term= i|SZ=-}}ten Projektion {{math|term= p_i|SZ=}} von {{math|term= K^n|SZ=}} auf {{math|term= K|SZ=.}} Somit ist {{ Zusatz/Klammer |text=es steht {{math|term= p_i|SZ=}} an der {{math|term= j|SZ=-}}ten Stelle| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | X_{ij} g || {{op:Zeilenvektor|0 |\ldots|p_i|0 |\ldots| 0 }} g || {{op:Zeilenvektor|a_{j1} p_i |\ldots| a_{jr} p_i }} || \sum_{k {{=}} 1}^r a_{jk} X_{ik} || |SZ=. }} Wenn eine Linearform {{ Zusatz/Klammer |text=also eine Linearkombination aller {{math|term= X_{ij}|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} in Matrixform als {{math/disp|term={{op:Matrixmn|c|m=n|n=r}}|SZ=}} gegeben ist, wobei die {{mathl|term= c_{ij}|SZ=}} die Koeffizienten zu {{mathl|term= X_{ij}|SZ=}} bezeichnen, so erhält man die durch {{math|term= g|SZ=}} transformierte Linearform, indem man die Matrix von rechts mit der transponierten Matrix zu {{math|term= g|SZ=}} multipliziert, also {{ math/disp|term= {{op:Matrixmn|c'|m=n|n=r}} = {{op:Matrixmn|c|m=n|n=r}} \circ {{op:transponiert|{{op:Matrixaij|n=r}} |}} |SZ=. }} Damit liegt eine Operation der {{mathl|term= {{op:GLG|r|K}}|SZ=}} auf dem Polynomring in {{math|term= nr|SZ=}} Variablen vor. Um invariante Polynome zu bekommen, schränken wir die Operation auf die spezielle lineare Gruppe {{mathl|term= {{op:SLG|r|K}} \subseteq {{op:GLG|r|K}} |SZ=}} ein. Dann sind sämtliche {{ Definitionslink |Prämath=r |Minoren| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Variablenmatrix {{ math/disp|term= {{op:Matrixmn|X|m=n|n=r}} |SZ= }} invariant unter der Gruppenoperation. Dazu betrachten wir die {{ Definitionslink |Prämath= |universelle alternierende Abbildung| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Dachprodukt/Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V^r| \bigwedge^r V |(v_1 {{kommadots|}} v_r)| v_1 {{wedgedots|}} v_r |SZ=. }} Diese Abbildung ist nach einer geeigneten Verallgemeinerung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dachprodukt/Transformation des äußersten Dachprodukts/Determinante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} invariant unter der Gruppenoperation {{ Zusatz/Klammer |text=dafür braucht man, dass die Determinanten von {{math|term= g|SZ=}} gleich {{math|term= 1|SZ=}} sind| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{math|term= r|SZ=-}}Minoren sind Linearformen auf dem {{math|term= r|SZ=-}}ten Dachprodukt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sz067438varb16j709pw8ys7496x1ee 0 56010 779499 763592 2022-08-21T16:38:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper. Wir betrachten Paare von Matrizen {{ math/disp|term= (B,C) |SZ=, }} wobei {{math|term= B|SZ=}} eine {{mathl|term= m \times n|SZ=-}}Matrix und {{math|term= C|SZ=}} eine {{mathl|term= n \times k|SZ=-}}Matrix ist. Es gibt also insgesamt {{mathl|term= n (k+m)|SZ=}} Koordinaten. Die {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeine lineare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G= {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} operiert auf der Menge dieser Matrizenpaare in folgender Weise: Zu {{mathl|term= A \in {{op:GLG|n|K}}|SZ=}} setzen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |A \cdot (B,C) | {{defeq|}} | (BA^{-1}, A C) || || || |SZ=. }} Dass eine Operation vorliegt, folgt aus {{ Ma:Vergleichskette/align |A_1 \cdot {{makl| A_2 \cdot (B,C)|}} || A_1 \cdot {{makl| BA_2^{-1},A_2 C |}} ||((B A_2^{-1}) A_1^{-1}, A_1 (A_2 C)) || (B (A_2^{-1}) A_1^{-1} ) ,(A_1 A_2) C) || (B (A_1A_2)^{-1},(A_1 A_2) C) ||(A_1 A_2) \cdot (B,C) |SZ=, }} woraus auch die Wahl der Reihenfolge und der Grund der Invertierung klar wird. Mit Hilfe der Variablenmatrizen {{ mathkor/disp|term1= X= {{op:Matrixmn|X||}} |und|term2= Y= {{op:Matrixmn|Y|m=n|n=k}} |SZ= }} kann man einfach invariante Polynome aus {{mathl|term= R=K[X,Y]|SZ=}} angeben, nämlich die Einträge der Produktmatrix {{math|term= XY|SZ=,}} also die Ausdrücke der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_{ij} |{{defeq}}| X_{i1}Y_{1j} + X_{i2}Y_{2j} {{plusdots|}} X_{in}Y_{nj} || || || |SZ=. }} Die Invarianz dieser Formen folgt direkt aus der Invarianz der Produktabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |{{op:Mat|m|k}} \times {{op:Mat|m=n|n=k}} | {{op:Mat||n=k}} |(B,C)| BC |SZ=, }} welche sich direkt aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi (A \cdot (B,C)) || \psi ( BA^{-1},AC ) || BA^{-1} AC || BC ||\psi (B,C) |SZ= }} ergibt. Darüber hinaus kann man zeigen, dass der Invariantenring von den {{mathl|term= F_{ij}|SZ=}} erzeugt wird und auch eine explizite Restklassendarstellung ist bekannt: Wenn man den Polynomring {{mathl|term= K[W] = K[W_{i j},\, 1 \leq i \leq m ,\, 1 \leq j \leq k]|SZ=}} heranzieht und die surjektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |K[W] | R^G |W_{ij}|F_{ij} |SZ=, }} betrachtet, so wird der Kern von {{math|term= \pi|SZ=}} durch sämtliche {{ Definitionslink |Prämath=n+1 |Minoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Variablenmatrix {{math|term= W|SZ=}} erzeugt. Dieser Invariantenring ist daher ein sogenannter {{Stichwort|Minorenring|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Determinantenring|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} und insbesondere lassen sich Minorenringe als Invariantenringe realisieren. Wenn beispielsweise {{mathl|term= n=1|SZ=}} ist, so gibt es die Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_m|SZ=}} und {{mathl|term= Y_1 {{kommadots|}} Y_k|SZ=}} und es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |F_{ij} ||X_iY_j || || || |SZ=. }} Zwischen den {{mathl|term= F_{ij}|SZ=}} bestehen die Relationen {{ Ma:Vergleichskette/disp |F_{ij} F_{rs} || X_iY_j X_rY_s || X_iY_s X_rY_j || F_{is} F_{rj} || |SZ=, }} d.h. {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_{ij} F_{rs} - F_{is} F_{rj} || 0 || || || |SZ=. }} Diese Relationen sind die {{math|term= 2|SZ=-}}Minoren der Matrix {{mathl|term= (W_{ij})_{ij}|SZ=.}} In diesem Fall ist der Invariantenring sogar ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie2=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3=Theorie der Determinantenringe |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tflfe48riawxpfai09hx764kp1v3d16 0 56026 778930 748660 2022-08-21T15:08:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die natürliche Operation der {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeinen linearen Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G = {{op:GLG||V}} |SZ=}} besitzt nur zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nämlich den Nullpunkt {{math|term= 0|SZ=}} und {{mathl|term= V \setminus \{0\}|SZ=.}} Je zwei von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene Vektoren können ja mit einem geeigneten {{mathl|term= g \in G|SZ=}} ineinander überführt werden. Hier sind also keine interessanten Invarianten zu erwarten. Ein {{ Ma:Vergleichskette | g |\in| G || || || |SZ= }} transformiert aber nicht nur einen einzigen Punkt {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einen Vektor| |ISZ=|ESZ=, }} sondern beliebige Teilmengen {{mathl|term= T \subseteq V|SZ=.}} Die Frage, ob zwei Teilmengen {{mathl|term= T_1,T_2 \subseteq V|SZ=}} mittels einem {{ Ma:Vergleichskette | g |\in| G || || || |SZ= }} ineinander überführt werden können, wird schnell kompliziert {{ Zusatz/Klammer |text=die Menge der betrachteten Objekte muss im Allgemeinen kein Vektorraum mehr sein| |ISZ=|ESZ=. }} Hier betrachten wir endliche geordnete Punktmengen. Wir fixieren eine Zahl {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und betrachten Punkttupel {{ math/disp|term= (P_1 {{kommadots|}} P_n) \in V^n |SZ=, }} die wir uns als eine geordnete Punktkonfiguration in {{math|term= V|SZ=}} vorstellen. Die Punkte sind also durchnummeriert, und es ist auch der Fall erlaubt, dass {{mathl|term= P_i=P_j|SZ=}} ist. Die Operation der allgemeinen linearen Gruppe dehnt sich sofort auf diese Situation aus, und zwar ist die Operation durch {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:GLG||V}} \times V^n |V^n |(g,v_1,v_2 {{kommadots|}} v_n) |(g(v_1),g(v_2) {{kommadots|}} g(v_n)) |SZ=, }} gegeben. Im einfachsten Fall, bei {{mathl|term= V=K|SZ=,}} geht es um die Operation der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|K}} |SZ=}} auf {{math|term= K^n|SZ=}} durch skalare komponentenweise Multiplikation. Die Bahnen sind neben dem Nullpunkt die punktierten Geraden durch den Nullpunkt. Außer den konstanten Funktionen gibt es keine invarianten Polynome. Die auf {{mathl|term= K^n \setminus \{0\} |SZ=}} eingeschränkte Operation besitzt den {{math|term= n-1|SZ=-}}dimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Quotienten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie2=Theorie der Graßmann-Varietät |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2jfxa32fjn506fj3mqwiqsjt4pto3iu 0 56058 783426 664195 2022-08-22T03:26:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} die Funktion {{math|term= \nu^2|SZ=}} als Funktion der {{mathl|term= L_{ij}^2|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe [[Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 1|Vorlesung 1]]| |ISZ=|ESZ= }} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie (R) |Kategorie2=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o1wly27wu67kkxjbxxxxt1q9zijm3l0 0 56059 783427 331714 2022-08-22T03:26:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} die Funktion {{math|term= S_{12}+S_{13}+S_{23}|SZ=}} als Funktion der {{mathl|term= L_{ij}^2|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe [[Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 1|Vorlesung 1]]| |ISZ=|ESZ= }} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kn2hjtfvsznzawasn1czc5tab25r1tu 0 56069 783754 757392 2022-08-22T04:21:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zu {{ mathbed|term= f \in R ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} sei {{mathl|term= {{opsyn|LM|f|tief=|hoch=}}|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Leitmonom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |lexikographischen Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Leitmonom sich multiplikativ verhält, dass also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{opsyn|LM|fg|tief=|hoch=}} || {{opsyn|LM|f|tief=|hoch=}} \cdot {{opsyn|LM|g|tief=|hoch=}} || || || |SZ= }} für Polynome {{mathl|term= f,g \neq 0|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8vi1af8bxdj9fuuktkklusgtdnlesuu 0 56075 781568 755526 2022-08-21T22:16:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^6|\R^3 | {{op:Zeilenvektor|x_1|y_1|x_2|y_2|x_2|y_2|}} | {{op:Zeilenvektor|\sqrt{ {{makl| x_1-x_2 |}}^2 + {{makl| y_1- y_2 |}}^2 }| \sqrt{ {{makl| x_1-x_3 |}}^2 + {{makl| y_1- y_3 |}}^2 } | \sqrt{ {{makl| x_2-x_3 |}}^2 + {{makl| y_2- y_3 |}}^2 }|}} |SZ=, }} die einem Dreieck die Längen seiner Seiten zuordnet. Zeige{{n Sie}}, dass das Bild dieser Abbildung die Punkte {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|\ell_1|\ell_2|\ell_3}} \in \R_{\geq 0}^3 |SZ=}} sind, die die {{ Definitionslink |Prämath= |Dreiecksungleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3i8nyuejwcke1iph34lb5xjajs818t6 0 56076 780629 754759 2022-08-21T19:40:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K^6|K^3 | {{op:Zeilenvektor|x_1|y_1|x_2|y_2|x_2|y_2|}} | {{op:Zeilenvektor| {{makl| x_1-x_2 |}}^2 + {{makl| y_1- y_2 |}}^2 | {{makl| x_1-x_3 |}}^2 + {{makl| y_1- y_3 |}}^2 | {{makl| x_2-x_3 |}}^2 + {{makl| y_2- y_3 |}}^2 |}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qla1r8f1014flpnkwo6lhqntjrd5n75 0 56077 781569 755527 2022-08-21T22:17:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=L |\R^6|\R^3 | {{op:Zeilenvektor|x_1|y_1|x_2|y_2|x_2|y_2|}} | {{op:Zeilenvektor|\sqrt{ {{makl| x_1-x_2 |}}^2 + {{makl| y_1- y_2 |}}^2 }| \sqrt{ {{makl| x_1-x_3 |}}^2 + {{makl| y_1- y_3 |}}^2 } | \sqrt{ {{makl| x_2-x_3 |}}^2 + {{makl| y_2- y_3 |}}^2 }|}} |SZ=, }} die einem Dreieck die Längen seiner Seiten zuordnet. Es sei {{math|term= B|SZ=}} das Bild der Abbildung. Gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=s |B|\R^6 || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |L \circ s || {{op:Identität|B|}} || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l5azlsxuk0fr18p2hlxt5zxw29d0je6 0 56091 778929 763127 2022-08-21T15:08:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeine lineare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG||V}} |SZ=}} operiert in natürlicher Weise {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=.}} Die Elemente {{mathl|term= \varphi \in {{op:GLG||V}} |SZ=}} sind ja definiert als {{ Definitionslink |Prämath=K |Automorphismen| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} in sich und somit ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:GLG||V}} \times V|V |(\varphi,v)| \varphi(v) |SZ=, }} wohldefiniert. Da die {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= {{op:GLG||V}} |SZ=}} einfach die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung von Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, ergibt sich sofort {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi (\psi(v)) || ( \varphi \circ \psi) (v) || || || |SZ=, }} so dass es sich um eine Gruppenoperation handelt. Diese Operation besitzt nur zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nämlich den Nullpunkt {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= V \setminus \{0\} |SZ=, }} da es zu zwei von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenen Vektoren {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} stets einen Automorphismus gibt, der {{math|term= v_1|SZ=}} in {{math|term= v_2|SZ=}} überführt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die allgemeine lineare Gruppe |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} deuqlyfduj7krv8tk9558r6nlcebrvy 0 56097 779584 751579 2022-08-21T16:52:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die symmetrische Gruppe {{math|term= S_n|SZ=}} ist die Gruppe der Permutationen auf der Menge {{mathl|term= I=\{1 {{kommadots|}} n \}|SZ=,}} also {{ math/disp|term= S_n={{Mengebed|\sigma:I\rightarrow I|\sigma \text{ Bijektion} }} |SZ= }} mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Das neutrale Element ist die Identität. Eine Permutation wird typischerweise als Wertetabelle geschrieben, {{ math/disp|term= \begin{pmatrix} 1 & \ldots & n\\ \sigma(1) & \ldots &\sigma(n) \end{pmatrix} |SZ=. }} {{math|term= S_n|SZ=}} ist eine Gruppe mit {{math|term= n!|SZ=}} Elementen. Die Permutationsgruppe {{math|term= S_n|SZ=}} operiert als Gruppe von linearen Automorphismen auf {{math|term= K^n|SZ=}} wie folgt: Der {{math|term= i|SZ=-}}te Basisvektor {{math|term= e_i|SZ=}} wird auf {{mathl|term= e_{\sigma(i)} |SZ=}} geschickt, also {{mathl|term= e_i\mapsto e_{\sigma(i)}|SZ=.}} Dies definiert {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Automorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\sigma |K^n|K^n || |SZ=, }} den wir ebenfalls mit {{math|term= \sigma|SZ=}} bezeichnen. In Matrizenschreibweise wird diese lineare Abbildung durch diejenige Matrix beschrieben, bei der in der {{math|term= i|SZ=-}}ten Spalte in der {{mathl|term= \sigma(i)|SZ=-}}ten Zeile eine {{math|term= 1|SZ=}} steht, und sonst überall {{math|term= 0|SZ=.}} Eine solche Matrix nennt man eine {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wenn {{mathl|term= E_{ij}|SZ=}} diejenige Matrix bezeichnet, die genau an der Stelle {{math|term= ij|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= i|SZ=-}}te Zeile, {{math|term= j|SZ=-}}te Spalte| |ISZ=|ESZ= }} eine {{math|term= 1|SZ=}} und sonst überall eine {{math|term= 0|SZ=}} als Eintrag besitzt, so ist die zu {{math|term= \sigma|SZ=}} gehörende Permutationsmatrix gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | E_\sigma ||\sum^n_{j {{=}} 1}E_{\sigma(j) j} || || || |SZ=. }} Diese Matrix ist in gewissem Sinn der Graph der Permutation. Die Menge der Permutationsmatrizen bilden eine endliche Untergruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeinen linearen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG|n|K}} |SZ=,}} und die Zuordnung {{mathl|term= \sigma \mapsto E_\sigma|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen der Permutationsgruppe {{math|term= S_n|SZ=}} und dieser endlichen Untergruppe. {{ Beispiellink |Präwort=Nach||Beispielseitenname= Allgemeine lineare Gruppe/Untergruppe/Natürliche Operation/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} operiert die Permutationsgruppe {{math|term= S_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= K^n|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie3=Theorie der Permutationsmatrizen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j2m50g2zp84ypgyfcttcs5xqfogvd5s 0 56098 778931 748661 2022-08-21T15:08:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |natürliche| |Definitionsseitenname= Allgemeine lineare Gruppe/Natürliche Operation/Beispiel |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeinen linearen Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG||V}} |SZ=}} auf {{math|term= V|SZ=,}} also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:GLG||V}} \times V|V |(\varphi,v)| \varphi(v) |SZ=, }} induziert für jede Untergruppe {{mathl|term= G \subseteq {{op:GLG||V}} |SZ=}} eine lineare Operation {{ Ma:abbele/disp |name= | G \times V|V |(\varphi,v)| \varphi(v) |SZ=. }} Diese einfache Konstruktion beinhaltet eine Vielzahl von interessanten Operationen. Wichtige Untergruppen der {{mathl|term= {{op:GLG||V}} |SZ=}} sind die {{ Definitionslink |Prämath= |spezielle lineare Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:SLG||V}}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=dazu muss {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensional| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein| |ISZ=|ESZ= }} und alle endlichen Gruppen {{ Zusatz/Klammer |text=wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} hinreichend groß ist{{{zusatz1|}}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn der Vektorraum weitere Strukturen trägt, beispielsweise eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise ein {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bei {{mathlk|term=K=\R|SZ=}} oder {{mathlk|term=K={{CC}}|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} so lassen sich weitere wichtige Untergruppen definieren, wie die {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Orthogonale Gruppe||V}} |SZ=}} und die eigentliche {{ Definitionslink |Prämath= |Isometriegruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spezielle orthogonale Gruppe||V}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7e0zyuuwitw32e3ezhxbar2zbz7wnxf 0 56121 779468 763558 2022-08-21T16:33:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In der Situation von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Matrizen/Konjugation/Invariantenring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist bei {{mathl|term= n=2|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|X_{11}|X_{12}|X_{21}|X_{22}|}} |SZ=}} gleich {{ math/disp|term= T^2 - {{makl| X_{11}+X_{12} |}} T+X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21} |SZ=. }} Die Abbildung der Koeffizienten ist demnach {{ Ma:abbele/disp |name=p | {{op:Matq|2|}} | {{op:Affiner Raum|2|K}} | {{op:Matrix22|X_{11}|X_{12}|X_{21}|X_{22}|}} |(X_{11}+X_{22} , X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}) |SZ=. }} Die Diskriminante eines normierten Polynoms vom Grad zwei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \Lambda_1-\Lambda_2 |}}^2 ||\Lambda^2_1-\Lambda^2_2-2\Lambda_1\Lambda_2 ||{{makl| \Lambda_1+\Lambda_2 |}}^2-2\Lambda_1\Lambda_2 || E^2_1-4E_2 || |SZ= }} mit den beiden elementarsymmetrischen Polynomen {{ mathkor|term1= E_1 |und|term2= E_2 |SZ=. }} Daher ist das Polynom in den vier Variablen, das angibt, ob es mehrfache Eigenwerte gibt oder nicht, gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| X_{11}-X_{22} |}}^2-4 {{makl| X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21} |}} ||X^2_{11}+X^2_{22}-2X_{11} X_{22}+4X_{12}X_{21} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n9rxirhdi6h32giym8zvgrwrdt72gyt 0 56122 778984 750903 2022-08-21T15:17:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Matrizen {{ math/disp|term= A = {{op:Matrix22|i|0|0|-i}} ,\, B = {{op:Matrix22|0|i|i|0}} \text{ und } C = {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von {{mathl|term= {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungen| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | A^2 || B^2 ||{{op:Matrix22|-1 |0|0|-1}} || || |SZ=, }} also besitzen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} die Ordnung {{math|term= 4|SZ=.}} Mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \zeta || e^{ {{op:Bruch|2 \pi i|8}} } ||e^{ {{op:Bruch| \pi i|4}} } || {{op:Bruch|1+i| \sqrt{2} }} || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align |C^3 || {{op:Bruch|1|2 \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} ||{{op:Bruch|1|2 \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^6 + \zeta^4|\zeta^6+1|\zeta^4 + \zeta^6| \zeta^4+\zeta^2 }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} ||{{op:Bruch|1|2 \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^5 + \zeta^3 +\zeta^3 + \zeta^5 |\zeta^5 + \zeta^3 +\zeta^7 + \zeta^1| \zeta^3 + \zeta^5 +\zeta + \zeta^7| \zeta^3 + \zeta^5 +\zeta^5 + \zeta^3 }} ||{{op:Matrix22|-1 |0|0|-1}} |SZ=, }} so dass die Ordnung von {{math|term= C|SZ=}} gleich {{math|term= 6|SZ=}} ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als {{mathl|term= A^{i}B^{j}C^{k}|SZ=}} schreiben, wobei die Exponenten maximal bis zur Ordnung laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit {{ mathkor|term1= A |oder|term2= B |SZ= }} rechterhand multipliziert. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align |CA || {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|i|0|0|-i}} ||{{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|\zeta^2|0|0|-\zeta^2}} || {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta |\zeta^5|\zeta^7| \zeta^7}} ||{{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|0|-1|1|0}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} ||{{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|i|0|0|-i}} {{op:Matrix22|0|i|i|0}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} || A B C |SZ=, }} man kann also {{math|term= A|SZ=}} von rechts an {{math|term= C|SZ=}} vorbeischieben. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align |CB || {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}}{{op:Matrix22|0|i|i|0}} || {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta|\zeta|\zeta^3| \zeta^7}} || {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|i|0|0|-i}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} ||AC |SZ= }} kann man {{math|term= B|SZ=}} von rechts an {{math|term= C|SZ=}} vorbeischieben. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align |BA || {{op:Matrix22|0|i|i|0}} {{op:Matrix22|i|0|0|-i}} || {{op:Matrix22|0|1|-1|0}} || {{op:Matrix22|-i|0|0|i}} {{op:Matrix22|0|i|i|0}} || {{op:Matrix22|i|0|0|-i}}^3 {{op:Matrix22|0|i|i|0}} ||A^3 B |SZ= }} kann man {{math|term= B|SZ=}} von rechts an {{math|term= A|SZ=}} vorbeischieben. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |C^3 || {{op:Matrix22|-1|0|0|-1}} ||A^2 ||B^2 || |SZ= }} kann man sogar jedes Gruppenelement als {{ mathbed/disp|term= A^{i}B^{j}C^{k} |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq 3,\, 0 \leq j \leq 1,\, 0 \leq k \leq 2,\, ||bedterm2= |SZ= }} schreiben. Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Es handelt sich also um eine Gruppe mit {{math|term= 24|SZ=}} Elementen, die die {{Stichwort|binäre Tetraedergruppe|SZ=}} heißt. Die Produkte {{ mathbed|term= A^{i}B^{j} |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq 3,\, 0 \leq j \leq 1, ||bedterm2= |SZ= }} bilden nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binäre Diedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |binäre Diedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= 8|SZ=,}} dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung {{math|term= 8|SZ=}} aber auch eine Untergruppe der Ordnung {{math|term= 3|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die von {{math|term= C^2|SZ=}} erzeugte Untergruppe| |ISZ=|ESZ=, }} also muss ihre Ordnung {{math|term= 24|SZ=}} sein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ageq85cborgvbnr5yngutfp3ykgcsv6 0 56125 778981 750902 2022-08-21T15:16:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Matrizen {{ math/disp|term= A = A_8= {{op:Matrix22|\zeta|0|0|\zeta^7}} ,\, B = {{op:Matrix22|0|{{Imaginäre Einheit|}} |{{Imaginäre Einheit|}} |0}} \text{ und } C = {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von {{mathl|term= {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungen| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | A^4 || {{op:Matrix22|-1 |0|0|-1}} ||B^2 || || |SZ=, }} also besitzt {{math|term= A|SZ=}} die Ordnung {{math|term= 8|SZ=}} und {{math|term= B|SZ=}} die Ordnung {{math|term= 4|SZ=.}} Mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \zeta || e^{ {{op:Bruch|2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} |8}} } || e^{ {{op:Bruch| \pi {{Imaginäre Einheit|}} |4}} } || {{op:Bruch|1+{{Imaginäre Einheit|}} | \sqrt{2} }} || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align |C^3 || {{op:Bruch|1|2 \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} || {{op:Bruch|1|2 \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^6 + \zeta^4|\zeta^6+1|\zeta^4 + \zeta^6| \zeta^4+\zeta^2 }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} || {{op:Bruch|1|2 \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^5 + \zeta^3 +\zeta^3 + \zeta^5 |\zeta^5 + \zeta^3 +\zeta^7 + \zeta| \zeta^3 + \zeta^5 +\zeta + \zeta^7| \zeta^3 + \zeta^5 +\zeta^5 + \zeta^3 }} || {{op:Matrix22|-1 |0|0|-1}} |SZ=, }} so dass die Ordnung von {{math|term= C|SZ=}} gleich {{math|term= 6|SZ=}} ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als {{mathl|term= A^{i}B^{j}C^{k}|SZ=}} schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit {{ mathkor|term1= A |oder|term2= B |SZ= }} rechterhand multipliziert. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align |C A || {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|\zeta|0|0|\zeta^7}} || {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|1|\zeta^6|\zeta^6|1}} || {{op:Bruch|1| 2 }} {{op:Matrix22| \sqrt{2}|-\sqrt{2} {{Imaginäre Einheit|}} | -\sqrt{2} {{Imaginäre Einheit|}} |\sqrt{2} }} || {{op:Bruch|1| 2 }} {{op:Matrix22|\zeta +\zeta^7 |\zeta^5 + \zeta^7|\zeta^7 + \zeta^5| \zeta^7 + \zeta}} || {{op:Bruch|1| 2 }} {{op:Matrix22|\zeta|0|0|\zeta^7}} {{op:Matrix22|1 +\zeta^6 |\zeta^4 + \zeta^6|1 + \zeta^6| 1 + \zeta^2}} || {{op:Bruch|1| 2 }} {{op:Matrix22|\zeta|0|0|\zeta^7}} {{op:Matrix22|0|{{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} |0}} {{op:Matrix22|\zeta^6+ \zeta^4 |\zeta^6+1|\zeta^4+ \zeta^6| \zeta^4 + \zeta^2}} || {{op:Bruch|1| 2 }} {{op:Matrix22|\zeta|0|0|\zeta^7}} {{op:Matrix22|0| {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} |0}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}}^2 || A B C^2 |SZ=, }} man kann also {{math|term= A|SZ=}} von rechts an {{math|term= C|SZ=}} vorbeischieben. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align |CB || {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|0|{{Imaginäre Einheit|}} |{{Imaginäre Einheit|}} |0}} || {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta|\zeta|\zeta^3| \zeta^7}} || {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|{{Imaginäre Einheit|}} |0|0|-{{Imaginäre Einheit|}} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} ||A^2 C |SZ= }} kann man {{math|term= B|SZ=}} von rechts an {{math|term= C|SZ=}} vorbeischieben. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align |BA || {{op:Matrix22|0|{{Imaginäre Einheit|}} |{{Imaginäre Einheit|}} |0}} {{op:Matrix22|\zeta|0|0| \zeta^7 }} || {{op:Matrix22|0| \zeta|\zeta^3|0}} || {{op:Matrix22|\zeta^7|0|0| \zeta }} {{op:Matrix22|0| {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} |0}} || {{op:Matrix22|\zeta|0|0| \zeta^7 }}^7 {{op:Matrix22|0| {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} |0}} || A^7 B |SZ= }} kann man {{math|term= B|SZ=}} von rechts an {{math|term= A|SZ=}} vorbeischieben. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |C^3 || {{op:Matrix22|-1|0|0|-1}} || A^4 || B^2 || |SZ= }} kann man sogar jedes Gruppenelement als {{ mathbed/disp|term= A^{i}B^{j}C^{k} |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq 7,\, 0 \leq j \leq 1,\, 0 \leq k \leq 2,\, ||bedterm2= |SZ= }} schreiben. Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte {{ mathbed|term= A^{i}B^{j} |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq 7,\, 0 \leq j \leq 1, ||bedterm2= |SZ= }} bilden nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binäre Diedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |binäre Diedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= BD_4|SZ=}} der Ordnung {{math|term= 16|SZ=,}} dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung {{math|term= 16|SZ=}} aber auch eine Untergruppe der Ordnung {{math|term= 3|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die von {{math|term= C^2|SZ=}} erzeugte Untergruppe| |ISZ=|ESZ=, }} also muss ihre Ordnung {{math|term= 48|SZ=}} sein {{ Zusatz/Klammer |text=und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben| |ISZ=|ESZ=. }} Es handelt sich also um eine Gruppe mit {{math|term= 48|SZ=}} Elementen, die die {{Stichwort|binäre Oktaedergruppe|SZ=}} heißt. Sie wird mit {{math|term= BO|SZ=}} bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | Z_8 |\subseteq|BD_4 |\subseteq|BO || || |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s0wszbbi71hdcuynk1ri0etql41awr9 0 56127 778987 763169 2022-08-21T15:17:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ math/disp|term= A = {{op:Matrix22| \zeta|0|0| \zeta^7}} ,\, B = {{op:Matrix22|0| {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} |0}} \text{ und } C = {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive achte Einheitswurzel ist, die Erzeuger der {{ Definitionslink |Prämath= |binären Oktaedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= BO|SZ=.}} Die darin von {{mathl|term= A^2,B,C|SZ=}} erzeugte Untergruppe besteht aus allen Elementen {{ mathbed|term= A^{2i}B^{j}C^k |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq 3,\, 0 \leq j \leq 1,\, 0 \leq k \leq 2 ||bedterm2= |SZ=, }} wie ähnliche Berechnungen wie die aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zeigen, und besitzt demnach {{math|term= 24|SZ=}} Elemente. Diese Gruppe nennt man die {{Stichwort|binäre Tetraedergruppe|SZ=,}} sie wird mit {{math|term= BT |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4i5w62e7mt7fv7wxomn8uielit24os8 0 56128 778978 750900 2022-08-21T15:16:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \xi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |primitive| |Kontext=EHW| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 5|SZ=-}}te komplexe Einheitswurzel. Wir setzen {{ mathkor/disp|term1= E= - {{op:Matrix22| \xi^3|0|0| \xi^2}} |und|term2= F= {{op:Bruch|1| \sqrt{5} }} {{op:Matrix22|- \xi + \xi^4|\xi^2-\xi^3| \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} |SZ=. }} Die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe der {{mathl|term= {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ=}} heißt die {{Stichwort|binäre Ikosaedergruppe|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |E^5 || {{op:Matrix22|-1|0|0|-1}} || || || |SZ= }} und somit besitzt {{math|term= E|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 10|SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align |F^2 || {{op:Bruch|1|5}} {{op:Matrix22|- \xi + \xi^4|\xi^2-\xi^3| \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} \cdot {{op:Matrix22|- \xi + \xi^4|\xi^2-\xi^3| \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} || {{op:Bruch|1|5}} {{op:Matrix22|\xi^2 + \xi^3 -2+ \xi^4+\xi -2 | 0| 0 | \xi^4+\xi -2+\xi^2 + \xi^3 -2 }} || {{op:Bruch|1|5}} {{op:Matrix22|-5 | 0| 0 | -5 }} || {{op:Matrix22|-1 | 0| 0 | -1 }} |SZ= }} besitzt {{math|term= F|SZ=}} die Ordnung {{math|term= 4|SZ=.}} Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette/align |EF || - {{op:Matrix22| \xi^3|0|0| \xi^2}} \cdot {{op:Bruch|1|\sqrt{5} }} {{op:Matrix22|- \xi + \xi^4|\xi^2-\xi^3| \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} || - {{op:Bruch|1|\sqrt{5} }} {{op:Matrix22|- \xi^4 + \xi^2|1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }} || || |SZ=. }} Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Matrix22|- \xi^4 + \xi^2|1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }} \cdot {{op:Matrix22|- \xi^4 + \xi^2|1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }} || {{op:Matrix22|2 \xi^4 + \xi^3- \xi -2|-2 \xi^4 +2 \xi^2 - \xi +1 |\xi^4-2 \xi^3 +2\xi -1 | - \xi^4 + \xi^2 +2 \xi -2 }} || || || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=unter Verwendung von {{ Ma:Vergleichskette/k | \xi^2+\xi^3 || - {{op:Bruch|1 + \sqrt{5}|2}} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Matrix22|- \xi^4 + \xi^2|1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }}^3 || {{op:Matrix22|2 \xi^4 + \xi^3- \xi -2|-2 \xi^4 +2 \xi^2 - \xi +1 |\xi^4-2 \xi^3 +2\xi -1 | - \xi^4 + \xi^2 +2 \xi -2 }} \cdot {{op:Matrix22|- \xi^4 + \xi^2|1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }} || {{op:Matrix22|5 \xi^4 -5 \xi^3 -5 \xi^2 +5 \xi |0 |0 | 5 \xi^4 -5 \xi^3 -5 \xi^2 +5 \xi }} || {{op:Matrix22|-5 -10 {{makl| \xi^3+ \xi^2 |}} |0 |0 |-5 -10 {{makl| \xi^3+ \xi^2 |}} }} || {{op:Matrix22| 5 \sqrt{5} |0 |0 | 5 \sqrt{5} }} || || |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |(EF)^3 || {{op:Matrix22|-1 | 0| 0 | -1 }} || || || |SZ= }} und die Ordnung von {{math|term= EF|SZ=}} ist {{math|term= 6|SZ=.}} Diese Gruppe besitzt {{mathl|term= 120|SZ=}} Elemente und heißt die {{Stichwort|binäre Ikosaedergruppe|SZ=,}} sie wird mit {{math|term= BI|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3m8n4s0suoq7ikiedk0i00zqyh32jxk 0 56129 780140 763902 2022-08-21T18:16:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= n|SZ=}} lässt sich einfach als eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{mathl|term= {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ=}} realisieren. Dazu sei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te komplexe {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette | \zeta || e^{ {{op:Bruch|2 \pi {{Imaginäre Einheit}} |n}} } || || || |SZ=. }} Die von {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|\zeta|0|0|\zeta^{n-1} }} ||{{op:Matrix22|\zeta|0|0|\zeta^{-1} }} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{mengebed| {{op:Matrix22|\zeta^{j}|0|0|\zeta^{-j} }} |j {{=}}0 {{kommadots|}} n-1 }} |\subseteq | {{op:SLG|2|{{CC}} }} || || || |SZ=, }} ist eine zyklische Gruppe der Ordnung {{math|term= n|SZ=.}} Diese Untergruppe wird mit {{math|term= Z_n|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2=Theorie der zyklischen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bc9dq6a8bzwx3zh8urzh6rk1cv33l1a 0 56130 778977 763165 2022-08-21T15:16:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und sei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= 2n|SZ=-}}te komplexe {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette/disp | \zeta || e^{ {{op:Bruch|2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} |2n}} } || e^{ {{op:Bruch| \pi {{Imaginäre Einheit|}} |n}} } || || |SZ=. }} Die von den Matrizen {{ mathkor/disp|term1= A= A_{2n} = {{op:Matrix22|\zeta|0|0|\zeta^{-1}| }} |und|term2= B= {{op:Matrix22|0|{{Imaginäre Einheit|}} |{{Imaginäre Einheit|}} |0| }} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{mathl|term= {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ=}} heißt die {{Stichwort|binäre Diedergruppe|SZ=.}} Sie wird mit {{math|term= BD_n|SZ=}} bezeichnet. Das Element {{math|term= A|SZ=}} besitzt die Ordnung {{math|term= 2n|SZ=}} und es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |A^n || {{op:Matrix22|\zeta^n|0|0|\zeta^{-n}| }} || {{op:Matrix22|-1|0|0| -1| }} || B^2 || |SZ=. }} Insbesondere besitzt {{math|term= B|SZ=}} die Ordnung {{math|term= 4|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | BA || {{op:Matrix22|0|{{Imaginäre Einheit|}} |{{Imaginäre Einheit|}} |0| }} {{op:Matrix22|\zeta|0|0|\zeta^{-1}| }} || {{op:Matrix22|0|{{Imaginäre Einheit|}} \zeta^{-1}|{{Imaginäre Einheit|}} \zeta|0 }} || {{op:Matrix22|\zeta^{-1} |0|0|\zeta | }} {{op:Matrix22|0|{{Imaginäre Einheit|}} |{{Imaginäre Einheit|}} |0| }} || A^{2n-1} B |SZ=. }} Somit lassen sich alle Elemente der Gruppe als {{ mathbed/disp|term= A^{i} B^{j} |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq 2n-1,\, 0 \leq j \leq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} schreiben. Da {{math|term= B|SZ=}} nicht zu der von {{math|term= A|SZ=}} erzeugten Untergruppe gehört und {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} umgekehrt, ist diese Darstellung bei {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} eindeutig und {{mathl|term= BD_n|SZ=}} besitzt genau {{math|term= 4n|SZ=}} Elemente. Es liegt die Untergruppenbeziehung {{ Ma:Vergleichskette | Z_{2n} |\subseteq| BD_n || || || |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Index| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die binäre Diedergruppe |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} okzg8a0j2iu75g5rm6a6dvz6i4ujbl3 0 56140 778976 763164 2022-08-21T15:16:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= m \in \N_+|SZ=}} und es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=,}} der eine vierte {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} und eine {{math|term= 2m|SZ=-}}te primitive Einheitswurzel {{math|term= \zeta|SZ=}} enthalte. Wir betrachten die von den Matrizen {{ mathkor/disp|term1= A = {{op:Matrix22|\zeta|0|0|\zeta^{-1}| }} |und|term2= B = {{op:Matrix22|0|{{Imaginäre Einheit|}} |{{Imaginäre Einheit|}} |0| }} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die man auch als {{mathl|term= BD_{m}|SZ=}} bezeichnet| |ISZ=|ESZ= }} der {{mathl|term= {{op:SLG|2|K}} |SZ=}} mit ihrer natürlichen Operation auf {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[U,V] || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq|G || || || |SZ= }} die von {{math|term= A|SZ=}} erzeugte {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= 2m|SZ=.}} Da {{math|term= G|SZ=}} die Ordnung {{math|term= 4m|SZ=}} besitzt, ist {{math|term= H|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= G|SZ=.}} Daher können wir {{ Faktlink |Präwort=mit Hilfe von||Faktseitenname= Invariantenring/Untergruppe/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} den Invariantenring {{mathl|term= K[U,V]^{G }|SZ=}} ausrechnen. Es ist ja {{ Ma:Vergleichskette/disp |S |{{defeq|}}|K[U,V]^{H} ||K[U^{2m},V^{2m}, UV] ||K[X,Y,Z]/ {{makl| XY-Z^{2m} |}} |SZ=. }} Die Operation des nichttrivialen Elementes aus {{ Ma:Vergleichskette |G/H |\cong| {{op:Zmod|2|}} || || || |SZ= }} auf diesem Invariantenring wird durch die Operation von {{math|term= B|SZ=}} auf {{mathl|term= K[U,V]|SZ=}} repräsentiert. Sie ist also durch {{ mathkor|term1= U \mapsto {{Imaginäre Einheit|}} V |und|term2= V \mapsto {{Imaginäre Einheit|}} U |SZ= }} gegeben und induziert {{ math/disp|term= X = U^{2m} \longmapsto {{Imaginäre Einheit|}}^{2m} V^{2m} = \rho Y |SZ=, }} {{ math/disp|term= Y = V^{2m} \longmapsto {{Imaginäre Einheit|}}^{2m} U^{2m} = \rho X |SZ=, }} {{ math/disp|term= Z = UV \longmapsto {{Imaginäre Einheit|}}^{2} UV = - Z |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette | \rho ||\pm 1 || || || |SZ= }} ist, je nachdem, ob {{math|term= m|SZ=}} gerade oder ungerade ist. Durch diese Operation ist {{math|term= S|SZ=}} {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=-}}graduiert. Bei {{math|term= m|SZ=}} gerade sind {{math/disp|term=X+Y, Z^2, Z(X-Y)|SZ=}} invariante Polynome {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= m|SZ=}} ungerade {{mathlk|term=X-Y, Z^2, Z(X+Y) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und {{ mathkor|term1= Z |und|term2= X-Y |SZ= }} sind {{ Definitionslink |Prämath= |semiinvariante Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Mittels {{ mathkor|term1= X = {{op:Bruch|1|2}} (X+Y) + {{op:Bruch|1|2}} (X-Y) |und|term2= Y = {{op:Bruch|1|2}} (X+Y) - {{op:Bruch|1|2}} (X-Y) |SZ= }} lässt sich für jedes Monom {{mathl|term= X^{i}Y^{j}Z^{k}|SZ=}} die homogene Zerlegung bezüglich dieser Graduierung angeben {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{mathlk|term=(X-Y)^2= (X+Y)^2-4Z^{2m}|SZ=}} kann diese Invariante durch die anderen ausgedrückt werden| |ISZ=|ESZ=. }} Deshalb bilden {{mathl|term= L=X+Y,\, M= Z^2,\, N= Z(X-Y)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Algebraerzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Invariantenringes {{ Ma:Vergleichskette/disp | R^G ||S^{ {{op:Zmod|2|}} } || || || |SZ=. }} Es besteht die Relation {{ Ma:Vergleichskette/align | N^2 ||Z^2 (X-Y)^2 ||M {{makl| X^2+Y^2-2XY |}} || M {{makl| L^2 - 4XY |}} || M L^2 - 4M M^{m} ||ML^2 -4 M^{m+1} |SZ=. }} Da das Polynom {{ math/disp|term= N^2 -ML^2 +4 M^{m+1} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und der Invariantenring zweidimensional sein muss, ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R^G |\cong|K[L,M,N]/ {{makl| N^2 -ML^2 +4 M^{m+1} |}} || || || |SZ=. }} Unter schwachen Bedingungen an den Körper {{math|term= K|SZ=}} ist dieser Ring isomorph zu {{ math/disp|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+YZ^2 + Y^{m+1} |}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die binäre Diedergruppe |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1y9rx62r13y44cnviid44q0q4ddyu08 0 56142 778986 763168 2022-08-21T15:17:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen den {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |binären Tetraedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Binäre Tetraedergruppe||}} |\subseteq| {{op:SLG|2|{{CC}}}} || || || |SZ= }} berechnen, die auf dem Polynomring {{mathl|term= {{CC}}[U,V] |SZ=}} operiert. Wir verwenden den {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |{{op:Binäre Diedergruppe|2|}} |\subseteq|{{op:Binäre Tetraedergruppe||}} || || || |SZ=. }} Der Invariantenring {{mathl|term= {{CC}}[U,V]^{{op:Binäre Diedergruppe|2|}} |SZ=}} wird {{ Beispiellink |Präwort=nach||Beispielseitenname= Binäre Diedergruppe/Invariantenring über xy-z^n/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} von {{ math/disp|term= L = U^4+V^4, \, M = U^2V^2 \text{ und } N = UV {{makl| U^4-V^4 |}} |SZ= }} erzeugt mit der Relation {{ math/disp|term= N^2-ML^2+4M^3=0 |SZ=. }} Auf diesem Invariantenring wirkt die Restklassengruppe {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Binäre Tetraedergruppe|}} / {{op:Binäre Diedergruppe|2|}} | \cong | {{op:Zmod|3|}} || || || |SZ=, }} wobei das nichttriviale Element {{ Zusatz/Klammer |text=die {{math|term= 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} durch {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} |SZ= }} repräsentiert wird. Diese Matrix schickt {{math|term= U|SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Bruch|1|\sqrt{2}|}} {{makl| \zeta^7 U + \zeta^7 V |}} |SZ=}} und {{math|term= V|SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Bruch|1|\sqrt{2}|}} {{makl| \zeta^5 U + \zeta V |}} |SZ=.}} Daher ist {{ math/disp|term= U^4 \longmapsto - {{op:Bruch|1|4|}} {{makl| U^4+4U^3V+6U^2V^2+4UV^3+V^4 |}} |SZ= }} und {{ math/disp|term= V^4 \longmapsto - {{op:Bruch|1|4|}} {{makl| -U+V |}}^4 = - {{op:Bruch|1|4|}} {{makl| U^4-4U^3V+6U^2V^2-4UV^3+V^4 |}} |SZ= }} und damit {{ math/disp|term= L= U^4+V^4 \longmapsto - {{op:Bruch|1|2|}} {{makl| U^4 + 6 U^2V^2 +V^4 |}} = - {{op:Bruch|1|2|}} L - 3 M |SZ=. }} Ferner wird {{mathl|term= M=U^2V^2|SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Bruch|1|4}} {{makl| \zeta^7 U + \zeta^7 V |}}^2 {{makl| \zeta^5 U + \zeta V |}}^2 ||{{op:Bruch|1|4}} {{makl| U + V |}}^2 {{makl| - U + V |}}^2 ||{{op:Bruch|1|4}} {{makl| U^4 -2 U^2V^2+V^4 |}} || {{op:Bruch|1|4}} {{makl|L -2M |}} ||{{op:Bruch|1|4}} L - {{op:Bruch|1|2}} M |SZ= }} geschickt. Das Element {{ Ma:Vergleichskette |N ||UV {{makl| U^4-V^4 |}} || || || |SZ= }} wird auf {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Bruch|1|\sqrt{2}|}} {{makl| \zeta^7 U + \zeta^7 V |}} {{op:Bruch|1|\sqrt{2}|}} {{makl| \zeta^5 U + \zeta V |}} {{makl| -2 U^3V - 2 UV^3 |}} || (U+V)(-U+V) {{makl| - U^3V - UV^3 |}} || (U+V)(-U+V) (-1) UV {{makl| U^2 + V^2 |}} ||UV (U-V) (U+V) (U+iV)(U-iV) ||UV {{makl| U^4-V^4 |}} ||N |SZ=, }} also auf sich selbst geschickt. Neben {{ Ma:Vergleichskette/disp |N ||UV(U^4-V^4) || || || |SZ= }} sind, wie man direkt nachrechnet, auch {{ Ma:Vergleichskette/disp |P | {{defeq|}} | L^2+12M^2 ||U^8+14 U^4V^4 +V^8 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q | {{defeq|}} | L^3 -36 LM^2 ||U^{12} -33U^8V^4-33U^4V^8 +V^{12} || || || |SZ= }} invariant. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |N^4 || {{makl| ML^2-4M^3 |}}^2 || M^2L^4 -8 M^4 L^2 +16 M^6 || || |SZ= }} einerseits und {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{makl| L^3 -36 LM^2 |}}^2 - {{makl| L^2+12M^2 |}}^3 || -72 L^4M^2 + 1296 L^2M^4 - 36 L^4M^2 - 432 L^2M^4 - 1728 M^6 || -108 L^4M^2 + 864 L^2M^4 - 1728 M^6 || - 108 {{makl| M^2L^4 -8 M^4 L^2 +16 M^6 |}} || |SZ= }} andererseits haben wir zwischen diesen Invarianten die Relation {{ Ma:Vergleichskette/disp |-108 N^4 || {{makl| L^3-36 LM^2 |}}^2 - {{makl| L^2+12M^2 |}}^3 || || || |SZ=. }} Mit {{ mathkor|term1= P=L^2+12M^2 |und|term2= Q= L^3-36 LM^2 |SZ= }} liegt also die Relation {{ Ma:Vergleichskette/disp | Q^2-P^3+108 N^4 || 0 || || || |SZ= }} vor. Wir müssen noch zeigen, dass damit alle Invarianten erfasst sind, dass also der Invariantenring von {{mathl|term= N,P,Q|SZ=}} erzeugt wird. Dazu lassen wir uns davon leiten, dass eine Operation der {{mathl|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=}} vorliegt, die von einer {{ Definitionslink |Prämath={{op:Zmod|3|}} |Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} herrühren muss. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der Invariantenring gleich dem Ring der neutralen Stufe, der häufig einfacher zu bestimmen ist. Wie oben berechnet, wirkt der Erzeuger der Gruppe durch {{ mathkor|term1= L \mapsto - {{op:Bruch|1|2|}} L - 3 M |und|term2= N \mapsto {{op:Bruch|1|4|}} L - {{op:Bruch|1|2|}} M |SZ=. }} Durch {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Matrix erhält man, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |A ||\sqrt{3 } {{Imaginäre Einheit}} L-6M || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |B ||\sqrt{3 } {{Imaginäre Einheit}} L + 6M || || || |SZ= }} Eigenvektoren zu den Eigenwerten {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|-1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} |2}} |bzw.|term2= {{op:Bruch|-1 -\sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} |2}} |SZ= }} sind, die dritte Einheitswurzeln sind. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | L || {{op:Bruch|1|2 \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }} (A+B) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | M || {{op:Bruch|1|12}} ( B-A) || || || |SZ= }} kann man die definierende Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text=des Invariantenringes zu {{mathlk|term=BD_2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} in den Variablen {{mathl|term= N,A,B|SZ=}} als {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | N^2 -ML^2+ 4M^3 ||N^2 - {{op:Bruch|1|12}} {{makl| {{op:Bruch|1|2 \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }} |}}^2 ( B-A) (A+B)^2 + 4 {{makl| {{op:Bruch|1|12}} |}}^3 ( B-A)^3 ||N^2 + {{op:Bruch|1|144}} {{makl| B^3 + B^2A - BA^2 -A^3 |}} + {{op:Bruch|1|432}} {{makl| B^3-3B^2A+3 BA^2-A^3 |}} ||N^2 + {{op:Bruch|1|108}} {{makl| B^3 -A^3 |}} || |SZ=. }} Wir können also davon ausgehen, dass der Ring {{ math/disp|term= K[N,A,B]/ {{makl| N^2 + {{op:Bruch|1|108}} B^3 - {{op:Bruch|1|108}} A^3 |}} |SZ= }} vorliegt, der {{math|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=-}}graduiert ist, wobei {{math|term= N|SZ=}} den Grad {{math|term= 0|SZ=,}} {{math|term= B|SZ=}} den Grad {{math|term= 1|SZ=}} und {{math|term= A|SZ=}} den Grad {{math|term= 2|SZ=}} bekommt. Die definierende Gleichung besitzt den Grad {{math|term= 0|SZ=.}} Der Ring der nullten Stufe wird offenbar von {{mathl|term= N,A^3,B^3,AB|SZ=}} erzeugt. Für die oben gefundenen invarianten Polynome gilt {{ Ma:Vergleichskette/align |P ||L^2+12M^2 || - {{op:Bruch|1|12}} {{makl| A+B |}}^2 +{{op:Bruch|1|12}} (B-A)^2 || - {{op:Bruch|1|3}} AB || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/align | Q ||L^3-36 LM^2 ||{{op:Bruch|1|2\sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }} (A+B) {{makl| - {{op:Bruch|1|12}} (A+B)^2 - {{op:Bruch|1|4}} (B-A)^2 |}} ||{{op:Bruch|1|6 \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }} (A+B) {{makl|- A^2 + AB - B^2 |}} ||{{op:Bruch|1|6 \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }} {{makl| A^3 + B^3 |}} |SZ=. }} Mit Hilfe der Relation kann man {{math|term= A^3|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= B^3|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} als Linearkombination von {{mathl|term= N,P,Q|SZ=}} ausdrücken. Daher sind dies Algebraerzeuger des Invariantenrings und dieser ist zu {{ math/disp|term= {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+Z^4 |}} |SZ= }} isomorph. Man spricht von der {{math|term= E_6|SZ=-}}{{Stichwort|Singularität|msw= E6-Singularität|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2kvn60qm8n2wtkv0b9pwb3xupyazxn 0 56143 778982 763166 2022-08-21T15:17:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Berechnung des {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |binären Oktaedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Binäre Oktaedergruppe}} |SZ=}} auf {{mathl|term= {{CC}}[U,V]|SZ=}} benutzen wir die Normalteilerbeziehung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Binäre Tetraedergruppe}} | \subseteq | {{op:Binäre Oktaedergruppe}} || || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Restklassengruppe {{mathlk|term= {{op:Zmod|2|}}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Invariantenring/Untergruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Das Element {{mathl|term= {{op:Matrix22|\xi|0|0|\xi^7}} \in {{op:Binäre Oktaedergruppe}} \setminus {{op:Binäre Tetraedergruppe}} |SZ=,}} wobei {{math|term= \xi|SZ=}} eine achte {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wirkt durch {{ mathkor|term1= U \mapsto \xi U |und|term2= V \mapsto \xi^7 V |SZ=. }} Somit wird in der Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{CC}}[U,V]^{{{op:Binäre Tetraedergruppe}} } ||{{CC}}[N,P,Q]/ {{makl| Q^2-P^3+108N^4 |}} || || || |SZ= }} das Polynom {{ Ma:Vergleichskette |N ||UV {{makl| U^4-V^4 |}} || || || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |UV{{makl|- U^4 +V^4 |}} ||-N || || || |SZ=, }} {{math|term= P|SZ=}} auf {{math|term= P|SZ=}} und {{math|term= Q|SZ=}} auf {{math|term= -Q|SZ=}} geschickt. Auf dem isomorphen Ring {{mathl|term= {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+Z^4 |}} |SZ=}} ist dies einfach die Operation, die {{math|term= Y|SZ=}} auf sich und {{math|term= X,Z|SZ=}} auf ihr Negatives abbildet. Wir arbeiten mit der {{math|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=-}}Graduierung, bei der {{math|term= Y|SZ=}} den Grad {{math|term= 0|SZ=}} und {{math|term= X,Z|SZ=}} den Grad {{math|term= 1|SZ=}} besitzen. {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der Invariantenring gleich der neutralen Stufe in der Graduierung. Diese Stufe wird neben {{math|term= Y|SZ=}} von {{ mathkor|term1= R=XZ |und|term2= S=Z^2 |SZ= }} erzeugt {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{mathlk|term=X^2=-Y^3- {{makl| Z^2 |}}^2|SZ=}} kann man auf {{math|term= X^2|SZ=}} verzichten| |ISZ=|ESZ=. }} Zwischen {{mathl|term= Y,R,S|SZ=}} besteht die Relation {{ Ma:Vergleichskette/disp | R^2 +Y^3S +S^3 || (XZ)^2 +Y^3 Z^2 +Z^6 || Z^2 {{makl| X^2 +Y^3 +Z^4 |}} || 0 || |SZ=. }} Nach Umbenennung der Variablen ist also der Invariantenring zur binären Oktaedergruppe isomorph zu {{ math/disp|term= {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2 +Y^3 +YZ^3 |}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9j7i8pzy4kh5f2fsfciodfha100se6d 0 56161 778496 762433 2022-08-21T12:11:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=komplex| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= {{CC}}^n|SZ=.}} Wir definieren zuerst unter Bezug auf die endliche Gruppe {{ Ma:Vergleichskette/disp |G |\subseteq|{{op:SLG|n|{{CC}}}} || || || |SZ= }} ein neues {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=komplex| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{CC}}^n|SZ=,}} nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Phi(w,z) | {{defeq|}} | {{op:Bruch|1| {{op:Anzahl|G|}} }} \sum_{ \sigma \in G} {{op:Skalarprodukt| \sigma w|\sigma z}} || || || |SZ=. }} {{ Aufgabelink |Präwort=Nach||Aufgabeseitenname= Lineare Gruppenoperation/C^n/Endlich/Neues Skalarprodukt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} handelt es sich in der Tat um ein Skalarprodukt. Für ein Gruppenelement {{mathl|term= \tau \in G|SZ=}} ist ferner {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Phi( \tau w , \tau z) || {{op:Bruch|1| {{op:Anzahl|G|}} }} \sum_{ \sigma \in G} {{op:Skalarprodukt| \sigma \tau w|\sigma \tau z}} || {{op:Bruch|1| {{op:Anzahl|G|}} }} \sum_{ \sigma \in G} {{op:Skalarprodukt| \sigma w|\sigma z}} ||\Phi( w , z) || |SZ=, }} da ja insgesamt über die gleichen Gruppenelemente aufsummiert wird. Die zu {{math|term= G|SZ=}} gehörenden linearen Abbildungen sind also {{ Definitionslink |Prämath= |unitär| |Kontext=Abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich {{math|term= \Phi|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=komplex| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{CC}}^n|SZ=}} bezüglich {{math|term= \Phi|SZ=}} und sei {{math|term= M|SZ=}} die Matrix, deren Spalten die {{math|term= u_i|SZ=}} sind. Wir betrachten die konjugierte Gruppe {{ Ma:Vergleichskette/disp |H | {{defeq|}} | M^{-1} G M || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |H || {{mengebed|M^{-1} \sigma M|\sigma \in G}} || || || |SZ=. }} Dabei gilt die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt| w | z}} ||\Phi ( Mw, Mz ) || || || || |SZ=, }} da dies für die Standardbasis git. Für {{mathl|term= \tau \in H|SZ=}} und {{mathl|term= w,z \in {{CC}}^n|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Skalarprodukt| \tau w | \tau z}} || {{op:Skalarprodukt| M^{-1} \sigma M w | M^{-1} \sigma M z}} || \Phi ( \sigma Mw, \sigma Mz ) || \Phi ( Mw, Mz ) ||{{op:Skalarprodukt| w | z}} |SZ=, }} d.h. {{math|term= H|SZ=}} ist bezüglich des Standardskalarproduktes unitär. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\tau || M^{-1} \sigma M || || || |SZ= }} und {{mathl|term= \sigma \in {{op:SLG|n|{{CC}}}} |SZ=}} besitzt auch {{math|term= \tau|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=,}} und daher ist {{mathl|term= H \subseteq {{op:SUG|n|{{CC}}}} |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ik8jw7iyi0mpd30bsycac2mix8sz6l 0 56166 778495 762432 2022-08-21T12:11:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= SLnC/Endliche Untergruppe/Konjugiert zu SUnC/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} können wir davon ausgehen, dass {{mathl|term= G \subseteq {{op:SUG|2|{{CC}}}} |SZ=}} ist. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \pi | {{op:SUG|2|{{CC}}}} | {{op:SOG|3|\R}} || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |surjektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= H=\pi(G)|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Bildgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} unter dieser Abbildung, für die es {{ Faktlink |Präwort=aufgrund von||Faktseitenname= Endliche Symmetriegruppe/Klassifizierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} starke Einschränkungen gibt. {{ Fallunterscheidung |Fall1= Wenn {{mathl|term= {{op:Anzahl|G|}} |SZ=}} ungerade ist, so enthält {{math|term= G|SZ=}} kein Element der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=.}} Also ist {{mathl|term= G \cap {{makl| {{op:Kern|\pi|}} |}} |SZ=}} trivial und somit ist {{ Ma:abb |name= |G|H || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Aufgrund der Klassifikation für endliche Symmetriegruppen muss {{math|term= G|SZ=}} zyklisch sein. |Fall2= Sei also {{mathl|term= {{op:Anzahl|G|}} |SZ=}} gerade, sagen wir {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Anzahl|G|}} || 2^m u || || || |SZ= }} mit {{math|term= u|SZ=}} ungerade. {{ Faktlink |Präwort=Nach dem|Satz von Sylow|Faktseitenname= Gruppentheorie/Sylow/Primpotenzteiler als Ordnung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt {{math|term= G|SZ=}} eine Untergruppe mit {{math|term= 2^m|SZ=}} Elementen und damit insbesondere auch ein Element der Ordnung {{math|term= 2|SZ=.}} {{ Faktlink |Präwort=Wegen||Faktseitenname= SU2C/Element der Ordnung 2/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es in {{mathl|term= {{op:SUG|2|{{CC}}}} |SZ=}} nur das Element {{mathl|term= {{op:Matrix22|-1|0|0|-1}} |SZ=}} der Ordnung {{math|term= 2|SZ=.}} Also ist {{mathl|term= {{op:Matrix22|-1|0|0|-1}} \in G |SZ=}} und somit ist {{mathl|term= {{op:Kern|\pi|}} \subseteq G |SZ=.}} Damit ist insbesondere {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || \pi^{-1}(\pi(G)) || || || |SZ=, }} d.h. {{math|term= G|SZ=}} ist das {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer endlichen Untergruppe {{mathl|term= H \subseteq {{op:SOG|3|\R}} |SZ=.}} {{math|term= H|SZ=}} ist also eine der Untergruppen aus der Liste von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Symmetriegruppe/Klassifizierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zwei isomorphe Gruppen {{mathl|term= H_1,H_2 \subseteq {{op:SOG|3|\R}} |SZ=}} sind sogar {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wenn {{mathl|term= \alpha \in {{op:SOG|3|\R}} |SZ=}} den inneren Automorphismus stiftet und {{mathl|term= \tilde{\alpha} \in {{op:SUG|2|{{CC}}}}|SZ=}} ein Urbild ist, so vermittelt {{math|term= \tilde{\alpha}|SZ=}} einen Isomorphismus der Urbildgruppen {{ mathkor|term1= \pi^{-1}(H_1) |und|term2= \pi^{-1}(H_2) |SZ=. }} Der Isomorphietyp von {{math|term= G|SZ=}} ist also durch {{mathl|term= \pi(G)|SZ=}} festgelegt. Wenn {{mathl|term= \pi(G)=D_n, T,O,I|SZ=}} ist, so muss {{mathl|term= G=BD_n,BT,BO,BI|SZ=}} sein, da der Isomorphietyp festgelegt ist und die in den definierenden Beispielen {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binäre Diedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Untergruppe der binären Oktaedergruppe/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binäre Ikosaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen Gruppen modulo dem Element der Ordnung {{math|term= 2|SZ=}} die entsprechenden reellen Symmetriegruppen ergeben. |Fall3=|Fall4=|Fall5= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56b5uajzatiud05s0mj0p6isr1i2ds9 0 56169 778533 762464 2022-08-21T12:17:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Matrix22|u|- {{op:Komplexe Konjugation|v|}}|v| {{op:Komplexe Konjugation|u|}} }} || || || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= u = a+b {{Imaginäre Einheit}} |,|term2= v = c+d {{Imaginäre Einheit}} |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette |M^2 ||{{op:Matrix22|1|0|0|1 }} || || || |SZ=. }} Das bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Matrix22|u|- {{op:Komplexe Konjugation|v|}}|v| {{op:Komplexe Konjugation|u|}} }} {{op:Matrix22|u|- {{op:Komplexe Konjugation|v|}}|v| {{op:Komplexe Konjugation|u|}} }} ||{{op:Matrix22|u^2-v {{op:Komplexe Konjugation|v|}} |- u {{op:Komplexe Konjugation|v|}}- {{op:Komplexe Konjugation|u|}} {{op:Komplexe Konjugation|v|}} |uv + {{op:Komplexe Konjugation|u|}} v|-v {{op:Komplexe Konjugation|v|}} + {{op:Komplexe Konjugation|u|}} {{op:Komplexe Konjugation|u|}} }} ||{{op:Matrix22|1|0|0|1 }} || || |SZ=. }} {{ Fallunterscheidung |Fall1= Wir nehmen zunächst {{mathl|term= v \neq 0|SZ=}} an. Daraus folgt {{ Ma:Vergleichskette | u+{{op:Komplexe Konjugation|u|}} ||0 || || || |SZ=, }} also ist der Realteil von {{math|term= u|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=.}} Daher ist {{math|term= u|SZ=}} imaginär und sein Quadrat ist negativ. Dann ist aber auch {{mathl|term= u^2- v {{op:Komplexe Konjugation|v|}} |SZ=}} negativ und nicht gleich {{math|term= 1|SZ=.}} |Fall2= Also ist {{mathl|term= v=0|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |u^2 ||1 || || || |SZ= }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette |u || \pm 1 || || || |SZ=. }} |Fall3=|Fall4=|Fall5= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t0qy5pds5bcwroxhb5v2fr2qfaooszu 0 56180 778983 763167 2022-08-21T15:17:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |binäre Diedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= BD_2|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in der {{ Definitionslink |Prämath= |binären Tetraedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= BT|SZ=.}} Die Untergruppenbeziehung kann man direkt aus den expliziten Beschreibungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | BD_2 ||\langle {{op:Matrix22| {{Imaginäre Einheit}}|0|0|- {{Imaginäre Einheit}} | }} , \, {{op:Matrix22|0| {{Imaginäre Einheit}} | {{Imaginäre Einheit}} |0| }} \rangle |\subseteq|\langle {{op:Matrix22| {{Imaginäre Einheit}}|0|0|- {{Imaginäre Einheit}} | }} , \, {{op:Matrix22|0| {{Imaginäre Einheit}}| {{Imaginäre Einheit}}|0| }}, \, {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5|\zeta}} \rangle || BT || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive achte Einheitswurzel ist| |ISZ=|ESZ= }} ablesen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3s04shicvowvxrpxhezncqhzo4990dl 0 56189 778979 750901 2022-08-21T15:16:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Mit Hilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Untergruppe der SU2C/Produkte der Linearformen/Semiinvarianten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Binäre Ikosaedergruppe/Kein Charakter/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kann man direkt invariante Polynome für die binäre Ikosaedergruppe angeben. Ein Ikosaeder hat {{math|term= 12|SZ=}} Ecken, {{math|term= 20|SZ=}} Flächen und {{math|term= 30|SZ=}} Kanten, wobei die Ecken, die Flächenmittelpunkte und die Kantenmittelpunkte die Halbachsenklassen bilden. Daher gibt es invariante Polynome {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} vom Grad {{mathl|term= 12,20|SZ=}} und {{math|term= 30|SZ=.}} Diese kann man mit einigem Rechenaufwand explizit ausrechnen, indem man explizit die Halbachsenklassen der reellen Ikosaedergruppe angibt {{ Zusatz/Klammer |text=also beispielsweise alle zwölf Eckpunkte| |ISZ=|ESZ=, }} diese ins Komplexe übersetzt und die zugehörigen Linearformen multipliziert. Unabhängig davon, ob diese Polynome explizit oder nicht vorliegen, kann man zeigen, dass diese den Invarianenring erzeugen, dass also {{ Ma:Vergleichskette |R^G ||{{CC}}[A,B,C] || || || |SZ= }} gilt. Sei dazu {{mathl|term= {{{P|P}}} \in R^G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |invariant| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das wir als homogen annehmen dürfen. Wir führen Induktion über den Grad, wobei der Grad {{math|term= 0|SZ=}} der {{ Zusatz/Klammer |text=triviale| |ISZ=|ESZ= }} Induktionsbeginn ist. Es sei {{math|term= {{{P|P}}}|SZ=}} homogen von positivem Grad und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{P|P}}} || \prod_{j {{=}} 1}^s {{makl| d_j U - c_jV |}} || || || |SZ= }} die Faktorzerlegung in Linearfaktoren. {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Endliche Untergruppe der SU2C/Produkte der Linearformen/Semiinvarianten/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} enthält die {{ Zusatz/Klammer |text=nichtleere| |ISZ=|ESZ= }} Indexmenge eine volle Bahn der Operation der reellen Ikosaedergruppe auf {{math|term= S^2|SZ=}} bzw. {{math|term= {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} |SZ=.}} Wenn diese Bahn eine Halbachsenklasse ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{P|P}}} ||HD || || || |SZ= }} mit {{math|term= D=A,B|SZ=}} oder {{math|term= =C|SZ=.}} Wegen der Invarianz von {{ mathkor|term1= {{{P|P}}} |und|term2= D |SZ= }} ist auch {{math|term= H|SZ=}} invariant. Nach Induktionsvoraussetzung ist also {{mathl|term= H\in {{CC}}[A,B,C]|SZ=.}} Wenn dagegen die Indexmenge keine Halbachsenklasse enthält, so enthält sie eine Bahn mit sechzig Elementen {{ Zusatz/Klammer |text=aus {{mathlk|term=\sigma(P)=P|SZ=}} für {{mathlk|term=\sigma \in I|SZ=}} folgt, dass {{math|term= P|SZ=}} ein Halbachsenpunkt ist| |ISZ=|ESZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{P|P}}} ||HD || || || |SZ= }} und {{math|term= D|SZ=}} ist invariant vom Grad {{math|term= 60|SZ=.}} {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Binäre Ikosaedergruppe/Hilbert-Reihe/Grad 60/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der Raum der invarianten Polynome vom Grad {{math|term= 60|SZ=}} zweidimensional. Die Polynome {{math|term= A^5,B^3,C^2|SZ=}} erzeugen diesen Raum, da sie paarweise linear unabhängig sind, was daraus folgt, dass sie {{ Zusatz/Klammer |text=in {{mathlk|term={{CC}}[U,V]|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} aus unterschiedlichen Linearfaktoren zusammengesetzt sind. Daher ist {{mathl|term= D \in {{CC}}[A,B,C]|SZ=}} und dies gilt nach Induktionsvoraussetzung auch für {{math|term= H|SZ=.}} Weiterhin folgt aus der Zweidimensionalität der sechzigsten Stufe des Invariantenringes, dass eine Relation der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |\alpha A^5 + \beta B^3 + \gamma C^2 ||0 || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= \alpha, \beta,\gamma \neq 0|SZ=}} vorliegen muss, was den Isomorphietyp des Ringes bereits bestimmt. Wir geben noch die invarianten Polynome zu den Halbachsen an, und zwar geben wir homogene invariante Polynome vom Grad {{mathl|term= 12,20,30|SZ=}} an, wobei wir die Invarianz nur exemplarisch überprüfen. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\tilde{A} || U^{11}V + 11 U^{6} V^{6} -UV^{11} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\tilde{B} || U^{20} -228 U^{15}V^5 +494 U^{10} V^{10} + 228 U^{5} V^{15} + V^{20} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\tilde{C} || U^{30} + 522 U^{25}V^5 -10005 U^{20} V^{10} -10005 U^{10} V^{20} - 522 U^{5}V^{25} + V^{30} || || || |SZ=. }} Wenn man nachweist, dass diese Polynome invariant sind, so muss wegen {{mathl|term= \tilde{A}, \tilde{B}, \tilde{C} \in {{CC}}[A,B,C]|SZ=}} und aus Gradgründen {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Skalierung| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= \tilde{A}=A|SZ=,}} {{mathl|term= \tilde{B} =B|SZ=}} und {{mathl|term= \tilde{C} =C|SZ=}} gelten. Die erzeugenden Matrizen {{ mathkor/disp|term1= E= - {{op:Matrix22| \xi^3|0|0| \xi^2}} |und|term2= F= {{op:Bruch|1| \sqrt{5} }} {{op:Matrix22|- \xi + \xi^4|\xi^2-\xi^3| \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= \xi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |primitive| |Kontext=EHW| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 5|SZ=-}}te komplexe Einheitswurzel sei| |ISZ=|ESZ= }} der binären Ikosaedergruppe wirken durch {{ math/disp|term= U \mapsto - \xi^3 U,\, V \mapsto - \xi^2 V |SZ= }} bzw. {{ math/disp|term= U \mapsto {{op:Bruch|1| \sqrt{5 } }} {{makl| ( - \xi + \xi^4 )U +(\xi^2 - \xi^3) V |}}, \, V \mapsto {{op:Bruch|1| \sqrt{5 } }} {{makl| ( \xi^2 - \xi^3 )U +(\xi - \xi^4 )V |}} |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | (\tilde{A}) E || (U^{11}V + 11 U^{6} V^{6} -UV^{11})E || ( - \xi^{33} )(- \xi^2 ) U^{11} V + 11 ( \xi^{18} \xi^{12} ) U^{6} V^{6} - ( - \xi^{3} )(- \xi^{22} ) UV^{11} ||U^{11}V + 11 U^{6} V^{6} - UV^{11} || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=mit einer aufwändigen Rechnung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | (\tilde{A}) F || (U^{11}V + 11 U^{6} V^{6} -UV^{11})F || U^{11}V + 11 U^{6} V^{6} -UV^{11} || || |SZ=. }} Zwischen diesen invarianten Polynomen besteht, wie eine aufwändige Rechnung zeigt, die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |\tilde{C}^2 - \tilde{B}^3 -1728 \tilde{A}^5 || {{makl|U^{30} + 522 U^{25}V^5 -10005 U^{20} V^{10} -10005 U^{10} V^{20} - 522 U^{5}V^{25} + V^{30} |}}^2 - {{makl| U^{20} -228 U^{15}V^5 +494 U^{10} V^{10} +228 U^{5} V^{15} + V^{20} |}}^3 -1728 {{makl| U^{11}V + 11 U^{6} V^{6} -UV^{11} |}}^5 || U^{55}V^5 {{makl| 1044 +684 -1728 |}} + \ldots ||0 || |SZ=. }} Dies überprüft man, indem man die Koeffizienten zu den Monomen {{ mathbed|term= U^{5i}V^{5j} ||bedterm1= i+j=12 ||bedterm2= |SZ=, }} berechnet. Da diese Relation irreduzibel ist, liegt die Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{CC}}[U,V]^{ BI } || {{CC}}[\tilde{A}, \tilde{B}, \tilde{C}]/(\tilde{C}^2 - \tilde{B}^3 -1728 \tilde{A}^5) || || || |SZ= }} vor. Nach Umbenennung und Streckung der Variablen ist dieser Ring isomorph zu {{mathl|term= {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+Z^5 |}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 93mtxgw58vaqoudxiucvvf44m7syv7x 0 56197 779032 763190 2022-08-21T15:24:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten Dreiecke im {{math|term= \R^2|SZ=.}} Die Ebene {{math|term= \R^2|SZ=}} sei mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen, so dass wir Längen, Winkel und Flächeninhalte zur Verfügung haben. Eine {{Stichwort|affine Isometrie|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine {{Stichwort|Kongruenz|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} der Ebene ist eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^2|\R^2 || |SZ= }} der Form {{ math/disp|term= P \mapsto AP + v |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette |A ||{{op:Matrix22|a|b|c|d}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, also durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschrieben wird, und wobei {{mathl|term= v \in \R^2|SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=Verschiebungs| |ISZ=|ESZ=- }}Vektor ist. In Koordinaten liegt also die Abbildung {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|x|y}} \mapsto {{op:Matrix22|a|b|c|d}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} + {{op:Spaltenvektor|v_1|v_2}} |SZ= }} vor. Orthogonal bedeutet, dass die Spaltenvektoren eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. Im zweidimensionalen bedeutet dies, dass entweder {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Drehmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |A ||{{op:Drehmatrix|\alpha}} || || || |SZ= }} oder eine {{Stichwort|gespiegelte Drehmatrix|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|uneigentliche Drehmatrix|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |A ||{{op:Drehmatrix/uneigentlich|\alpha}} || || || |SZ= }} ist. Zu den ebenen Kongruenzen gehören insbesondere {{Stichwort|Verschiebungen|msw=Verschiebung|SZ=,}} {{Stichwort|Achsenspiegelungen|msw=Achsenspiegelung|SZ=,}} {{Stichwort|Punktspiegelungen|msw=Punktspiegelung|SZ=}} und {{Stichwort|Drehungen|msw=Drehung|SZ=,}} die auch aus der Schule bekannt sind. Diese Abbildungen erhalten allesamt das Skalarprodukt, Längen, Winkel {{ Zusatz/Klammer |text=aber ohne die Orientierung| |ISZ=|ESZ= }} und Flächeninhalte. Unter einem {{Stichwort|Dreieck|SZ=}} in der Ebene verstehen wir einfach ein Tupel aus drei Punkten der Ebene, also ein geordnetes Tripel {{mathl|term= {{op:Dreiertupel|P}} |SZ=}} mit {{mathl|term= P_i=(x_i,y_i)|SZ=.}} Die Dreieckspunkte sind also geordnet und wir erlauben auch {{Stichwort|degenerierte|msw=degeneriert|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|ausgeartete|msw=ausgeartet|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} Dreiecke, beispielsweise können die Punkte {{Stichwort|kolinear|SZ=}} sein oder auch zusammenfallen. Eine Kongruenz {{math|term= g|SZ=}} überführt ein Dreieck {{math|term= \triangle |SZ=}} in ein neues Dreieck, und zwar ist das Bilddreieck durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | g (\triangle) || g {{op:Dreiertupel|P}} || {{Tupel|g( P_1)|g(P_2)|g(P_3)}} || || |SZ= }} definiert. Zwei Dreiecke {{ mathbed|term= \triangle_1 |und|bedterm1= \triangle_2 ||bedterm2= |SZ= }} heißen {{Stichwort|geordnet kongruent|SZ=,}} wenn es eine Kongruenz gibt, die das eine Dreieck in das andere überführt {{ Zusatz/Klammer |text=bei einer nicht geordneten Kongruenz kann man noch die Nummerierung der Punkte ändern| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Zusatz/Klammer |text=geordnete| |ISZ=|ESZ= }} Kongruenz von Dreiecken ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Unter einer Kongruenz bleiben diejenigen Größen eines Dreiecks erhalten, die generell unter einer Kongruenz erhalten bleiben, also der Flächeninhalt, die Länge der Seiten, und daraus abgeleitete Größen wie der Umfang des Dreiecks, die Länge der kleinsten Seite, usw., dagegen werden andere Größen des Dreiecks verändert, seine Lage im Raum, die Koordinaten seiner Punkte. Da ein Dreieck durch die Koordinaten seiner Eckpunkte vollständig beschrieben wird, müssen alle dem Dreieck zugeordneten Größen als eine Funktion der sechs Koordinaten {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x_1|y_1|x_2|y_2|x_3|y_3}} |SZ=}} ausdrückbar sein. Eine Größe ist also einfach eine zunächst beliebige Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= \mu |\R^6|\R |\triangle| \mu(\triangle) |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=man kann auch andere Wertebereiche zulassen| |ISZ=|ESZ=. }} Man sagt, dass eine solche Funktion {{Stichwort|nur von der Kongruenzklasse abhängt|msw=Nur von der Kongruenzklasse abhängig|SZ=}} oder {{Stichwort|invariant|SZ=}} unter der Kongruenz ist, wenn für jedes Dreieck {{mathl|term= \triangle \in \R^6|SZ=}} und jede Kongruenz {{math|term= g|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu (\triangle) || \mu (g( \triangle)) || || || |SZ= }} gilt. Eine solche invariante Funktion nennt man auch eine {{Stichwort|innere Größe|SZ=}} des Dreiecks, da sie nicht von der Lage des Dreiecks in der Ebene abhängt {{ Zusatz/Klammer |text=wobei man sowohl die invariante Funktion als auch den Wert einer solchen an einem bestimmten Dreieck als innere Größe bezeichnet| |ISZ=|ESZ=. }} Der Flächeninhalt {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Determinante und Volumen/Fläche/Parallelogramm/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=; }} man verschiebe den Eckpunkt {{mathlk|term= (x_3,y_3) |SZ=}} des Dreiecks in den Nullpunkt und betrachte dann die daran anliegenden Seiten als Vektoren| |ISZ=|ESZ= }} des Dreiecks wird durch {{ Ma:Vergleichskette/align | \mu (\triangle) || {{op:Bruch|1|2}} {{op:Betrag| {{op:Determinante| {{op:Matrix22|x_1-x_3|x_2-x_3|y_1-y_3|y_2-y_3}} |}}||}} || {{op:Bruch|1|2}} {{op:Betrag| {{makl| x_1-x_3 |}} {{makl| y_2-y_3 |}} - {{makl| y_1-y_3 |}} {{makl| x_2-x_3 |}} |}} || {{op:Bruch|1|2}} {{op:Betrag| x_1y_2-x_2y_1 - x_1y_3+ x_3y_1 -x_3y_2 +x_2y_3 }} || |SZ= }} gegeben. Aufgrund der inhaltlichen Interpretation als Flächeninhalt eines Dreiecks muss es sich um eine innere Größe handeln. Dies lässt sich aber auch numerisch überprüfen. Um den Rechenaufwand zu minimieren, sind folgende einfache Vorüberlegungen sinnvoll: {{ Auflistung2 |Wenn eine Funktion {{math|term= \mu|SZ=}} invariant ist, so ist auch jede Funktion invariant, die nur von dieser Funktion abhängt; wenn also der Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette | \nu(\triangle) || x_1y_2-x_2y_1 - x_1y_3+ x_3y_1 -x_3y_2 +x_2y_3 || || || |SZ= }} unter einer bestimmten Kongruenz invariant ist, so ist insbesondere auch der Betrag davon unter dieser Kongruenz invariant. |Da man jede Kongruenz als {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von besonders einfachen Kongruenzen schreiben kann, nämlich von Verschiebungen, Drehungen und eventuell einer Spiegelung an der {{math|term= x|SZ=-}}Achse, genügt es, die Invarianz unter diesen erzeugenden Kongruenzen zu zeigen. }} Betrachten wir also diese speziellen Kongruenzen. Bei einer Verschiebung {{math|term= g|SZ=}} um den Vektor {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|w|z}} |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \nu( g(\triangle)) || \nu {{op:Zeilenvektor|x_1+w|y_1+z|x_2+w|y_2+z|x_3+w|y_3+z}} ||{{op:Determinante| {{op:Matrix22|x_1-w - {{makl| x_3-w |}}| x_2-w- {{makl| x_3-w |}}|y_1-z- {{makl| y_3-z |}}|y_2-z- {{makl| y_3 -z|}} |}} |}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22|x_1-x_3|x_2-x_3|y_1-y_3|y_2-y_3}} }} || \nu(\triangle) |SZ=. }} Für eine Drehung {{math|term= D|SZ=}} um den Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} und einen Vektor {{mathl|term= v\in V|SZ=}} und die zugehörige Verschiebung {{math|term= V_v|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette |V_{-D(v) } \circ D \circ V_v ||D || || || |SZ=. }} Da wir die Invarianz unter einer Verschiebung schon bewiesen haben, können wir annehmen, dass der dritte Eckpunkt der Nullpunkt ist, dass also {{mathl|term= (x_3,y_3)=(0,0)|SZ=}} ist. Damit ist {{ Faktlink |Präwort=aufgrund des|Determinantenmultiplikationssatzes|Faktseitenname= Determinante/Multiplikationssatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | \nu (D (\triangle)) || {{op:Determinante| {{makl| {{op:Drehmatrix|\alpha|}} {{op:Matrix22|x_1|x_2|y_1|y_2}} |}} |}} || {{op:Determinante| {{op:Drehmatrix|\alpha|}} |}} {{op:Determinante| {{op:Matrix22|x_1|x_2|y_1|y_2}} |}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22|x_1|x_2|y_1|y_2}} |}} ||\nu (\triangle) |SZ=. }} Für die Spiegelung {{ Ma:Vergleichskette |S || {{op:Matrix22|1|0|0|-1}} || || || |SZ= }} ist schließlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \nu (S (\triangle)) || \nu {{makl| {{op:Matrix22|1|0|0|-1}} {{op:Matrix22|x_1-x_3|x_2-x_3|y_1-y_3|y_2-y_3}} |}} || - \nu ( \triangle ) || || || |SZ=. }} Die Funktion {{math|term= \nu|SZ=}} ist also nicht invariant unter der Spiegelung, wohl aber ihr Betrag oder das Quadrat davon {{ Zusatz/Klammer |text=letzteres gilt über jedem Körper| |ISZ=|ESZ=. }} Die Funktion {{math|term= \nu|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{mathlk|term=\nu^2|SZ=}} oder {{mathlk|term= {{op:Betrag|\nu|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} enthält auch die Information, ob das Dreieck ausgeartet ist oder nicht, nämlich genau dann, wenn {{math|term= \nu|SZ=}} den Wert {{math|term= 0|SZ=}} annimmt. Betrachten wir die Seitenlängen. Da wir mit geordneten Dreiecken arbeiten, sind {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathlk|term=i \neq j|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} die Seitenlängen {{ Ma:Vergleichskette/disp |L_{ij} || \sqrt{ {{makl| x_i-x_j |}}^2 + {{makl| y_i-y_j |}}^2 } || || || |SZ= }} invariant unter Kongruenzen {{ Zusatz/Klammer |text=sie sind nicht invariant unter Umnummerierungen, da diese ja beispielsweise {{mathlk|term=L_{12}|SZ=}} in {{mathlk|term=L_{13}|SZ=}} überführen| |ISZ=|ESZ=. }} Der Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette |U ||L_{12} + L_{13} + L_{23} || || || |SZ=, }} also der Umfang, ist invariant unter den Kongruenzen, aber auch unter Umnummerierungen. Die Invarianz der Seitenlängen ist ein Spezialfall der Invarianz der Skalarprodukte. Isometrien erhalten das Skalarprodukt, dies ist ihre definierende Eigenschaft. Zu {{mathl|term= i \neq j|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= k|SZ=}} die dritte Zahl aus {{mathlk|term=\{1,2,3\}|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} sei {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |S_{ij} | {{defeq|}} | {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor|x_i-x_k|y_i-y_k}} |{{op:Spaltenvektor|x_j-x_k|y_j-y_k}} |}} || {{makl| x_i-x_k |}} {{makl| x_j-x_k |}} + {{makl| y_i-y_k |}} {{makl| y_j-y_k |}} || x_ix_j-x_ix_k -x_jx_k +x_k^2 + y_iy_j-y_iy_k -y_jy_k +y_k^2 || |SZ=. }} Das ist also das Skalarprodukt der beiden vektoriellen Seiten, die am Eckpunkt {{math|term= P_k|SZ=}} anliegen. Diese Funktionen sind invariant unter geordneten Kongruenzen. Die Invarianz der Winkel {{ Zusatz/Klammer |text=an einer bestimmten Ecke| |ISZ=|ESZ= }} zwischen zwei Dreiecksseiten folgt direkt aus der Invarianz der Skalarprodukte der zwei Seiten. Es gibt eine Reihe von elementargeometrischen Sätzen, die besagen, dass ein Dreieck bis auf Kongruenz durch die Angabe gewisser Größen bestimmt ist, z.B. durch die Angabe der drei Seitenlängen oder die Angabe eines Winkels und der Längen der beiden anliegenden Seiten. Betrachten wir die drei Längen als Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text=die wir die {{Stichwort|Längenabbildung|SZ=}} nennen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=L |\R^6|\R^3 |\triangle| {{op:Zeilenvektor|L_{12}(\triangle)|L_{13}(\triangle)|L_{23}(\triangle)|}} |SZ=. }} Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn ihre Werte unter der Abbildung {{math|term= L|SZ=}} übereinstimmen. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung über einem Längentupel {{mathl|term= \ell_1,\ell_2,\ell_3|SZ=}} besteht aus allen geordneten Dreiecken, deren Seitenlängen gleich {{math|term= \ell_i|SZ=}} sind. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da das Längentupel eines Dreiecks in {{mathl|term= \R_{\geq 0}^3|SZ=}} liegt und die Dreiecksungleichung {{ Ma:Vergleichskette |\ell_1 |\leq| \ell_2+ \ell_3 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und Permutationen davon| |ISZ=|ESZ= }} erfüllen muss {{ Zusatz/Klammer |text=über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist die Abbildung aber surjektiv| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn {{ Ma:abb |name=\mu |\R^6|\R || |SZ= }} irgendeine invariante Funktion ist, so ist diese auf den Kongruenzklassen, also den Fasern von {{math|term= L|SZ=,}} konstant, und somit gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion {{ Ma:abb |name=\tilde{\mu} |\R^3|\R || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\mu || \tilde{\mu} \circ L || || || |SZ=. }} In einem gewissen Sinn beschreiben die {{mathl|term= L_{ij}|SZ=}} sämtliche invarianten Funktionen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie3=Dreiecksgeometrie |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} te9nt40r5j3cl4s3ib21jwd3n7m994m 0 56201 781561 755520 2022-08-21T22:15:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir fassen ein Dreieck {{math|term= \triangle|SZ=}} als ein geordnetes Tripel {{mathl|term= (P_1,P_2,P_3) \in \R^6|SZ=}} auf. Begründe{{n Sie}} die folgenden topologischen Eigenschaften. {{ Aufzählung3 |Die Menge der nichtentarteten Dreiecke ist {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Menge der gleichseitigen Dreiecke ist {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Menge der gleichschenkligen Dreiecke ist abgeschlossen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kl2002g08zm3v06qs867oi2at37odc9 0 56202 781570 755528 2022-08-21T22:17:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Fasern {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Längenabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Dreiecke/Kongruenzen/Einführung in Invariantentheorie/Beispiel |SZ= }} {{math|term= L|SZ=}} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Dreiecke/Kongruenzen/Einführung in Invariantentheorie/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fva8y9nrrpo2m88i4yku5zw2604wya7 0 56211 781458 755469 2022-08-21T21:58:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= R\subseteq S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |direkter Summand| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= I \subseteq R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f \in R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass aus {{mathl|term= f \in IS|SZ=}} die Zugehörigkeit {{mathl|term= f \in I|SZ=}} folgt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summanden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4vai7o930dwaivso5u5hq7gn231pec3 0 56213 782688 756466 2022-08-22T01:23:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Gruppe/Menge/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{op:Permutationsgruppe|M|}}|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe der Permutationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} folgende Aussagen. {{ Aufzählung2 |Wenn {{math|term= G|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiert| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |G| {{op:Permutationsgruppe|M|}} |g| (x \mapsto gx) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|{{op:Permutationsgruppe|M|}} |g| \varphi(x) |SZ=, }} vorliegt, so wird durch {{ Ma:abbele/disp |name= |G\times M|M |(g,x)| (\varphi(g))(x) |SZ=, }} eine Gruppenoperation von {{math|term= G|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=}} definiert. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tkn2qxmvblykb36ex4aifjo7xk43sed 0 56216 783430 757110 2022-08-22T03:27:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Kongruenzen die {{ Definitionslink |Prämath= |Isotropiegruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu jedem Dreieck {{mathl|term= \triangle =(P_1,P_2,P_3) \in \R^6|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4crw8wmnadicyktnokfcz16y4x8r5th 0 56217 783865 757490 2022-08-22T04:40:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein endlichdimensionaler {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= G= {{op:GLG||V}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeine lineare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit ihrer natürlichen Operation auf {{math|term= V \setminus \{0\}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese Gruppenoperation {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wie sieht es aus, wenn man {{mathl|term= {{op:SLG||V}} |SZ=}} betrachtet? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7pxf2v4627emeokizxk2v12n95njbfz 0 56218 780668 748662 2022-08-21T19:46:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= G= {{op:GLG||V}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeine lineare Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zusammen mit ihrer natürlichen Operation auf der Menge {{ math/disp|term= M={{mengebed| (v_1 {{kommadots|}} v_n) \in V^n | \text{Basis} }} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Operation {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wie sieht es auf ganz {{math|term= V^n|SZ=}} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8p676g7atmq3p9waxej0y8rc4zkh96p 0 56227 779881 752035 2022-08-21T17:36:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein unendlicher {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten auf {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y] || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} durch skalare Multiplikation. Zu {{mathl|term= \lambda \in {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} gehört also der durch {{mathl|term= X \mapsto \lambda X,\, Y \mapsto \lambda Y|SZ=}} gegebene {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Invariantenring dazu ist {{math|term= K|SZ=,}} also ein Körper. Der Quotientenkörper von {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Kontext=2 Variablen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K(X,Y)|SZ=}} in zwei Variablen. Sein Invariantenring unter der Operation ist {{mathl|term= K {{makl| {{op:Bruch|X|Y}} |}} |SZ=,}} also der Funktionenkörper in einer Variablen. In dieser Situation gilt also {{ Ma:Vergleichskette/disp | Q {{makl| R^G |}} |\neq| ( Q(R))^G || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4vvhdb46xj9p4bxw4ipl724bghtlzvu 0 56228 786554 759583 2022-08-22T11:44:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Skalare Operation auf KX,Y/Invariantenring und Quotientenkörper/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für den Fall, dass {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o3g2kytqjfcmsa3aw6688oxe0zznr39 0 56231 779360 763446 2022-08-21T16:15:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} der Körper mit zwei Elementen. Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeinen linearen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG|2|K}}|SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Matq|2|K}} |SZ=}} durch {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Jede invertierbare Matrix hat die Determinante {{math|term= 1|SZ=}} und für die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kommen nur die Werte {{math|term= 0|SZ=}} und {{math|term= 1|SZ=}} in Frage. Die Einheitsmatrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|1|0|0|1}}|SZ=}} hat die Spur {{math|term= 0|SZ=,}} ebenso die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|0|1|1|0}}|SZ=.}} Diese beiden Matrizen liegen also unter der Quotientenabbildung {{math|term= q|SZ=}} in der gleichen Faser. Sie sind aber nicht zueinander konjugiert {{ Zusatz/Klammer |text=dies gilt für jeden Körper der Charakteristik zwei| |ISZ=|ESZ=. }} Da {{mathl|term= {{op:Matq|2|K}}|SZ=}} endlich ist, kann man sich sofort eine polynomiale Abbildung {{ Ma:abb |name= |{{op:Matq|2|K}}| {{op:Affine Gerade|K|}} || |SZ= }} hinschreiben, die auf der Einheitsmatrix den Wert {{math|term= 1|SZ=}} und sonst überall den Wert {{math|term= 0|SZ=}} hat und daher nicht durch die obige Quotientenabbildung faktorisiert {{ Zusatz/Klammer |text=eine solche Abbildung ist aber auf {{mathl|term= {{op:Matq|2|K}}|SZ=}} nicht invariant ausdehnbar| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5jlg4tf93a0w5285tq7jxbyv4hol74m 0 56257 780134 752419 2022-08-21T18:15:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |positiven Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= p >0|SZ=.}} Dann bilden die Matrizen {{ math/disp|term= {{Mengebed|{{op:Matrix22|1|a|0|1}} | a \in {{op:Zmod|p|}} |}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{mathl|term= {{op:SLG|2|K}} |SZ=}} mit {{math|term= p|SZ=}} Elementen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q4lkfcboyopugsbg12vie4t4vtv1oy2 0 56261 784359 757993 2022-08-22T06:01:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |positiven Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=.}} Wir betrachten die durch {{mathl|term= {{op:Matrix22|1|1|0|1}} |SZ=}} erzeugte zyklische Gruppe und ihre natürliche Operation auf {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ math/disp|term= K[Y, X^p - XY^{p-1}] |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qmh0qqsti7p04k1emofhue5gusw8bwc 0 56265 782532 756318 2022-08-22T00:57:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die geordneten Dreiecke {{mathl|term= \triangle = {{op:Zeilenvektor|P_1|P_2|P_3}} |SZ=}} als Punkte im {{math|term= \R^6|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} eine Gruppenoperation der {{math|term= S_3|SZ=}} auf dem {{math|term= \R^6|SZ=}} derart, dass die Bahnen den ungeordneten Dreiecken {{ Zusatz/Klammer |text=also den Dreiecken ohne Nummerierung| |ISZ=|ESZ= }} entsprechen. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Isotropiegruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu jedem Dreieck. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6xcickfl9p0tx0jolx350dgmuksfrxz 0 56266 782533 756319 2022-08-22T00:57:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die geordneten Dreiecke {{mathl|term= \triangle = {{op:Zeilenvektor|P_1|P_2|P_3}} |SZ=}} als Punkte im {{math|term= \R^6|SZ=.}} Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenoperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term= S_3|SZ=}} auf dem {{math|term= \R^6|SZ=}} durch Umnummerierung der Eckpunkte. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} sechs reelle Polynome {{mathl|term= {{op:Zeilenvektordots|F_1|F_6}} |SZ=}} an derart, dass die Fasern der dadurch definierten Gesamtabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=F |\R^6|\R^6 || |SZ= }} genau die {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Operation sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l8mz8vrcwk4cw8p01kai5gt0v9fymkd 0 56267 783380 757069 2022-08-22T03:19:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \N || || || |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenoperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term= n|SZ=-}}ten Einheitswurzeln durch Multiplikation auf {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Isotropiegruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Operation. Kann man die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenabbildung| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch eine polynomiale Funktion realisieren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5lkx2tdcjfvva29sku5lnpon471ae9u 0 56268 782695 756474 2022-08-22T01:24:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (\R,+)|SZ=}} auf der Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{ Ma:abbele/disp |name= |\R \times {{CC}}|{{CC}} |(t,z)| e^{ 2 \pi {{Imaginäre Einheit}} t} z |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Isotropiegruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenabbildung| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Operation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} grok2897jk8ft6ba2fphhyjz8x6qoos 0 56279 779636 751686 2022-08-21T17:00:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |positiven Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X]|SZ=}} sei durch {{mathl|term= D= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} über {{ Ma:abb |name= |\Z| {{op:Zmod|p|}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |graduiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |neutrale Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist offenbar {{mathl|term= K[X^p]|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Charaktergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} ist aber trivial, da es wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |(x-1)^p ||x^p-1 || || || |SZ= }} neben der {{math|term= 1|SZ=}} keine weiteren {{math|term= p|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} gibt. Damit ist natürlich auch die induzierte {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} trivial und der Invariantenring ist {{mathl|term= K[X]|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 02oznh849ylrk6uem8u7e1194aevzy5 0 56282 785100 758470 2022-08-22T07:47:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\delta |\Z^2|\Z || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |neutrale Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} zur Graduierung, die durch {{mathl|term= {{op:Grad Polynom|X_1|}} = \delta(e_1)|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Grad Polynom|X_2|}} = \delta(e_2)|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g7vst7kmsouu7bo3aas3ogs3szwwlx5 0 56285 782627 756399 2022-08-22T01:13:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |D|E || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |F || {{op:Kern|\pi|}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} folgende Aussagen. {{ Aufzählung4 |{{math|term= R|SZ=}} ist in natürlicher Weise {{math|term= E|SZ=-}}graduiert. |Die Operation von {{mathl|term= {{op:Charakterdual|E|}} |SZ=}} auf {{math|term= R|SZ=}} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} stimmt mit der Operation via {{ Ma:abbele/disp |name={{op:Charakterdual|\pi|}} | {{op:Charakterdual|E|}} | {{op:Charakterdual|D|}} || |SZ= }} überein. |Die neutrale Stufe von {{math|term= R|SZ=}} bezüglich der {{math|term= E|SZ=-}}Graduierung ist {{mathl|term= \bigoplus_{d \in F} R_d|SZ=.}} Dieser Ring ist {{math|term= F|SZ=-}}graduiert und seine neutrale Stufe stimmt mit der neutralen Stufe von {{math|term= R|SZ=}} in der {{math|term= D|SZ=-}}Graduierung überein. |Vergleiche die letzte Aussage mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Invariantenring/Untergruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sokid4pkwpri6o6yn2dpmybta9707oq 0 56289 782626 756398 2022-08-22T01:13:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G || {{op:Charakterdual|D|}} || || || |SZ= }} mit der natürlichen Operation auf {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= d \in D|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Charakter| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \lambda|SZ=}} auf {{math|term= G|SZ=}} derart definiert, dass {{ Zusatz/Klammer |text=unter geeigneten Voraussetzungen an {{math|term= D|SZ=}} und {{math|term= K|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Semiinvarianten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich {{math|term= \lambda|SZ=}} gerade die {{math|term= d|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Graduierung ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kdfo4a893rlzcau4b8j1hlbjemgr44c 0 56296 782693 756472 2022-08-22T01:24:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgende Aussagen. {{ Aufzählung2 |Für die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Einheiten(|R^G|}} || R^G \cap {{op:Einheiten|R|}} || || || |SZ=. }} | Wenn {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so ist auch {{math|term= R^G|SZ=}} ein Körper. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 98ooe84ucbb8o6vuhf2a31z36z82uoz 0 56300 781928 755824 2022-08-21T23:16:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrischen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Operation durch Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppe/Konjugation/Als Gruppenoperation/Beispiel |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Isotropiegruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= n \leq 5|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eliz47i53bf6beh00pfr8wzavot43pp 0 56305 782689 756468 2022-08-22T01:23:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} und einer {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenoperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} auf {{math|term= R|SZ=}} derart, dass nicht jeder Zwischenring {{ mathbed|term= S ||bedterm1= R^G \subseteq S \subseteq R ||bedterm2= |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Untergruppe von {{math|term= G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o0ubpziiazddut7he6qapj0trvycq4m 0 56312 780135 752420 2022-08-21T18:15:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der eine {{math|term= {{{r|r}}}|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} besitzt. Dann ist die Untergruppe {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Einheitswurzelgruppe|{{{r|r}}}|K}} | {{defeq|}} | {{mengebed| \zeta^{ {{{i|i}}} } | {{{i|i}}} {{=}} 0,1 {{kommadots|}} {{{r|r}}} -1 }} | \subseteq| {{op:Einheiten|K|}} || || |SZ= }} eine zyklische Gruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=.}} Somit ist die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zmod|{{{r|r}}}|}} | {{op:Einheiten|K|}} |{{{i|i}}}| \zeta^{ {{{i|i}}} } |SZ=, }} eine {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Definitionslink |Prämath= |treue| |Kontext=Darstellung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |eindimensionale Darstellung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{{zusatz1|}}} einer zyklischen Gruppe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 52qx58sf5l8glncpsrjlzckhwc1y4qb 0 56315 779282 763368 2022-08-21T16:04:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine jede {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{{M|M}}} \in {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} endlicher Ordnung über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} erzeugt eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeinen linearen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} muss eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein, deren Ordnung die Ordnung der Matrix teilt. Auch die Eigenwerte einer solchen Matrix müssen Einheitswurzeln sein. Wie das reelle Beispiel {{mathl|term= {{op:Matrix22|0|1|1|0}} |SZ=}} zeigt, muss eine Matrix endlicher Ordnung weder {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} noch {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein. Über einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt jede invertierbare Matrix eine endliche Ordnung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j03y7nekhi05h1ih5cgw4ob8j02fi9t 0 56316 780662 754783 2022-08-21T19:45:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {\mathbb F}_q |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen| |ISZ=|ESZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Elemente in {{ math/disp|term= {{op:GLG|n|{\mathbb F}_q }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e7zcnqcepm40ikqobw38m0zgmt4zwof 0 56320 786605 759624 2022-08-22T11:53:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Elemente in {{ math/disp|term= {{op:SLG|n| {{op:Endlicher Körper|q|}} }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der speziellen linearen Gruppen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9p4lq6b4gz7ixi5a5z8j6913qrorcvj 0 56323 784066 757710 2022-08-22T05:13:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|2|4|1|3|2|0|0|1|3|}} |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {\mathbb F}_5|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe über endlichen Körpern |Kategorie2=Ordnung (Gruppentheorie) |Kategorie3= |Objektkategorie= Der Restklassenkörper Z mod 5‎ |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9lbkvxr18v6s1oz9wcbw53ppbf6dw3s 0 56324 780136 752421 2022-08-21T18:15:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der eine {{math|term= {{{r|r}}}|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} besitzt. Dann ist die Untergruppe {{ math/disp|term= {{mengebed| {{op:Matrix22|\zeta^{ {{{i|i}}} }|0|0| \zeta^{-{{{i|i}}} }|}} | {{{i|i}}} {{=}}0,1 {{kommadots|}} {{{r|r}}} -1 }} |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath= |speziellen linearen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:SLG|2|K}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=}} ist. Die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zmod|{{{r|r}}}|}} | {{op:SLG|2|K|}} |{{{i|i}}}| {{op:Matrix22|\zeta^{ {{{i|i}}} }|0|0| \zeta^{- {{{i|i}}} }|}} |SZ=, }} ist eine zweidimensionale {{ Definitionslink |Prämath= |Darstellung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer zyklischen Gruppe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9inkd22l0frtxvp7n0nqtd0hopz71zu 0 56325 780139 752422 2022-08-21T18:16:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= \zeta_1 {{kommadots|}} \zeta_n \in K|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{ math/disp|term= {{mengebed| {{op:Diagonalmatrix5|\zeta_1^{ {{{i|i}}} } | \zeta_2^{ {{{i|i}}} } |\ddots|\zeta_{n-1}^{ {{{i|i}}} } | \zeta_n^{ {{{i|i}}} } |}} | {{{i|i}}} {{=}}0,1, \ldots }} |SZ=, }} eine zyklische Untergruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeinen linearen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG|n|K}} |SZ=.}} Ihre Ordnung ist das {{ Definitionslink |Prämath= |kleinste gemeinsame Vielfache| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nennen wir es {{math|term= {{{r|r}}}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} der Ordnungen der {{math|term= \zeta_j|SZ=.}} Die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zmod|{{{r|r}}}|}} | {{op:GLG|n|K|}} |{{{i|i}}}| {{op:Diagonalmatrix5|\zeta_1^{ {{{i|i}}} } | \zeta_2^{ {{{i|i}}} } |\ddots|\zeta_{n-1}^{ {{{i|i}}} } | \zeta_n^{ {{{i|i}}} } |}} |SZ=, }} ist eine {{math|term= n|SZ=-}}dimensionale {{ Definitionslink |Prämath= |Darstellung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer zyklischen Gruppe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ex850cam7nihqd8rtboqf8fpjqiy7qs 0 56349 781943 755836 2022-08-21T23:19:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer Untergruppe {{mathl|term= G \subseteq {{op:GLG|r|K}} |SZ=}} mit {{mathl|term= r \geq 2|SZ=,}} die von zwei Elementen erzeugt wird, die beide als {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, derart, dass die einzigen {{ Definitionslink |Prämath=G |invarianten Untervektorräume| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= K^r |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie2=Theorie der linearen Gruppenoperationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 36k7w2s20gfbbs85ci35gogjgalx6ni 0 56361 785610 758849 2022-08-22T09:08:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} {{ Definitionslink |Prämath= |treue Darstellungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fumzj9j8spaluerqbnb666mu901uirr 0 56362 784932 758374 2022-08-22T07:21:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die natürliche {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G=S_n|SZ=}} auf {{math|term= K^n|SZ=.}} a) Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Fixraum| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F|SZ=}} der Operation. b) Finde{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath=G |invariantes Komplement| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also einen {{ Definitionslink |Prämath=G |invarianten Unterraum| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= U \subseteq K^n|SZ=}} mit {{mathl|term= F \oplus U=K^n|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppenoperationen |Kategorie2=Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8qswfly6d4kk71hnhdrvu7b2hmeeoem 0 56388 782607 756372 2022-08-22T01:10:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zu {{ mathbed|term= f \in R ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} sei {{mathl|term= {{opsyn|LM|f|tief=|hoch=}}|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Leitmonom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |gradlexikographischen Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Leitmonom sich multiplikativ verhält, dass also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{opsyn|LM|fg|tief=|hoch=}} || {{opsyn|LM|f|tief=|hoch=}} \cdot {{opsyn|LM|g|tief=|hoch=}} || || || |SZ= }} für Polynome {{mathl|term= f,g \neq 0|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dffftnwlbv1wtf2hd672a5vae6dm7r0 0 56389 785733 758944 2022-08-22T09:28:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge der quadratischen Polynome {{ math/disp|term= M= {{Mengebed| aX^2+bX+c | a,b,c \in K,\, a \neq 0 }} |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} und es sei {{math|term= G|SZ=}} die Menge der Transformationen vom Typ {{mathl|term= X \mapsto \alpha X + \beta|SZ=}} mit {{mathl|term= \alpha \neq 0|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=}} in natürlicher Weise operiert. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} auf {{math|term= K|SZ=}} durch Multiplikation mit {{math|term= \alpha^2|SZ=}} operiert. c) Zeige{{n Sie}}, dass die {{Stichwort/Betonung|Diskriminante|SZ=,}} also der Ausdruck {{mathl|term= b^2-4ac|SZ=,}} der einem quadratischen Polynom zugeordnet ist, {{ Definitionslink |Prämath=G |verträglich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppenoperation/Zwei Mengen/Invariante Abbildung/Definition |SZ= }} bezüglich dieser beiden Operationen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q5ki8j3yii3py63tkd95brh2lnbcv4r 0 56391 783297 756999 2022-08-22T03:05:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf {{math|term= R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} operiere. Zeige{{n Sie}}, dass die Operation genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |trivial| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= R^G=R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9cfol3cm2v9c7rv9lfbdzzbo629q3sr 0 56392 783296 756998 2022-08-22T03:05:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= G=(R,+)|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |additive Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= R|SZ=.}} a) Zeige, dass durch die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= |G| {{HomalgK|K=R|R[X]|R[X]}} |r| \varphi_r |SZ=, }} wobei {{math|term= \varphi_r|SZ=}} den durch {{math|term= X \mapsto X+r|SZ=}} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet, eine Gruppenoperation von {{math|term= G|SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R[X]|SZ=}} definiert ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Operation gleich {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4suo9revnhc9r0hugcfeq2likf1hmve 0 56393 783272 756976 2022-08-22T03:01:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= G=( {{op:Einheiten|R|}} ,\cdot)|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= R|SZ=.}} a) Zeige, dass durch die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= |G | {{HomalgK|K=R|R[X]|R[X]}} |r| \psi_r |SZ=, }} wobei {{math|term= \psi_r|SZ=}} den durch {{math|term= X \mapsto r X|SZ=}} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet, eine Gruppenoperation von {{math|term= G|SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R[X]|SZ=}} definiert ist. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Operation gleich {{math|term= R|SZ=}} ist. c) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Operation nicht gleich {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ija8l9ie767b3yy4hqiztmbg9x5ukl 0 56394 786161 759320 2022-08-22T10:39:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= 2 \neq 0|SZ=}} und {{mathl|term= a \in S|SZ=.}} Zeige, dass die Gruppe {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} \cong \{1,-1\} |SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Erweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R | {{defeq|}} |S[X]/(X^2-a) || || || |SZ= }} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath=S |Algebrahomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} operiert, indem {{math|term= -1|SZ=}} durch {{math|term= X \mapsto -X|SZ=}} wirkt. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Operation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 353o8hhwegk2cmfp3osfab228926o7s 0 56399 781941 755834 2022-08-21T23:19:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrischen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu {{mathlk|term=n=2,3,4|SZ=}} und in geeigneter {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} für jede {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= H \subseteq S_n|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Reynolds-Operator| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} nach {{math|term= R^H|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Reynolds-Operatoren |Kategorie2=Theorie der symmetrischen Polynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0vjn5wx5nbo3tjy4lldr5wzcnichmqn 0 56400 781830 755733 2022-08-21T23:00:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} operiere, wobei die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} sei. Es sei {{mathl|term= H \subseteq G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= \rho|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Reynolds-Operator| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= G|SZ=,}} {{math|term= \delta|SZ=}} der Reynolds-Operator zu {{math|term= H|SZ=}} und {{math|term= \gamma|SZ=}} der Reynolds-Operator zur Operation von {{mathl|term= G/H|SZ=}} auf {{math|term= R^H|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Invariantenring/Untergruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige {{ Ma:Vergleichskette/disp | \rho || \gamma \circ \delta || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Reynolds-Operatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dwhmvt1befq15kb8wvic2qcyui3d71f 0 56401 783966 757601 2022-08-22T04:57:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einem kommutativen {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R^G|SZ=}} ebenfalls lokal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der lokalen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 220i0q65nijter2gcxr3hoqng6ur70h 0 56403 785222 758559 2022-08-22T08:05:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |unendlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch skalare Multiplikation auf {{math|term= R|SZ=,}} d.h. zu {{mathl|term= \lambda \in {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} gehört der durch {{mathl|term= X_i \mapsto \lambda X_i|SZ=}} definierte {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Operation {{math|term= K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jxffqup3u3yhbv9svpaxn2sogc4jg50 0 56405 780529 752994 2022-08-21T19:23:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass auf {{mathl|term= K[X,Y]/(XY)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenoperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} gegeben ist, indem das nichttriviale Gruppenelement {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} vertauscht. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Operation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} suovjo9tet2fhfqn5rqjro1iapt89g5 0 56406 786553 759582 2022-08-22T11:44:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |unendlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K(X,Y)|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=,}} wobei {{mathl|term= \lambda \in {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} durch {{mathl|term= X \mapsto \lambda X, \,Y \mapsto \lambda Y |SZ=}} auf {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} wirkt und diese Wirkung auf den {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} fortgesetzt wird. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Operation gleich {{math|term= K {{makl| {{op:Bruch|X|Y}} |}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Unendliche Galoistheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzeyv7tbp45voaz7b3p78gkjngez0ed 0 56408 783270 756974 2022-08-22T03:00:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||A \times A {{timesdots|}} A || || || |SZ= }} der {{math|term= n|SZ=-}}fache {{ Definitionslink |Prämath= |Produktring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=}} mit sich selbst. a) Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=}} auf {{math|term= R|SZ=}} durch Vertauschen der Komponenten {{ Definitionslink |Prämath= |operiert| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} b) Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Operation. c) Zeige{{n Sie}}, dass für jede {{ Definitionslink |Prämath= |transitive Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= H \subseteq S_n|SZ=}} der Fixring gleich dem Fixring aus Teil (b) ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie3=Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qq1wcx1jdsvxa0873phxgtr1ogws6o1 0 56412 781828 755731 2022-08-21T23:00:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem {{mathl|term= f \in R|SZ=}} sowohl {{ mathkor|term1= \sum_{\sigma \in G} f \sigma |als auch|term2= \prod_{\sigma \in G} f \sigma |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R^G|SZ=}} gehören. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 124c7zp4pzus2vn7gioeaubeenlxflw 0 56420 782662 756438 2022-08-22T01:19:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Gruppenoperation/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dadurch in natürlicher Weise die folgenden linearen Operationen induziert sind. {{ Aufzählung3 |Die Operation auf dem {{math|term= k|SZ=-}}ten Produkt von {{math|term= V |SZ=}} mit sich selbst, also {{ Ma:abbele/disp |name= |G \times V^k | V^k |(\sigma, v_1 {{kommadots|}} v_k)| (\sigma(v_1) {{kommadots|}} \sigma(v_k) ) |SZ=. }} |Die Operation auf dem {{math|term= k|SZ=-}}ten Dachprodukt {{mathl|term= \bigwedge^k V |SZ=,}} also {{ Ma:abb/disp |name= |G \times \bigwedge^k V | \bigwedge^k V || |SZ=, }} die durch {{mathl|term= v_1 {{wedgedots|}} v_k \mapsto \sigma(v_1) {{wedgedots|}} \sigma(v_k)|SZ=}} festgelegt ist. |Die duale Operation {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=,}} also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Dualraum|V|}} \times G|{{op:Dualraum|V|}} |(f, \sigma)| f \circ \sigma |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zw2zixq92113l8cd9mvjn2v3t34koo 0 56431 779937 763831 2022-08-21T17:45:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=,}} die auf {{math|term= K^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear operiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} indem {{mathl|term= \sigma \in S_n|SZ=}} den {{math|term= i|SZ=-}}ten Standardvektor {{math|term= e_i|SZ=}} auf {{mathl|term= e_{\sigma(i)}|SZ=}} schickt {{ Zusatz/Klammer |text= wie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Permutationsgruppe/Natürliche lineare Operation/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} Diese Gruppenoperation induziert gemäß {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppe/Lineare Darstellung/Operation auf Polynomring/Definition |SZ= }} eine Operation auf dem Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=.}} Dabei wird {{math|term= X_i|SZ=}} auf {{mathl|term= X_{\sigma^{-1} (i)}|SZ=}} geschickt! {{{zusatz1|}}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der symmetrischen Polynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pgny4155to3l5vd7o7d1wietsyyyic3 0 56433 779073 763209 2022-08-21T15:31:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der eine {{math|term= {{{r|r}}}|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} besitzt. Wir betrachten die {{ Beispiellink |Präwort=in||Beispielseitenname= Zyklische Gruppe/Eindimensionale Einheitswurzel-Darstellung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebene Operation von {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|{{{r|r}}}|}} |\cong|{{op:Einheitswurzelgruppe|{{{r|r}}}|K}} || || || |SZ= }} auf {{math|term= K|SZ=}} durch skalare Multiplikation. Die zugehörige Operation auf dem Polynomring {{mathl|term= K[X]|SZ=}} ist dadurch gegeben, dass {{mathl|term= \zeta^{i} \in {{op:Einheitswurzelgruppe|{{{r|r}}}|K}} |SZ=}} durch {{mathl|term= X \mapsto \zeta^{i} X|SZ=}} wirkt. Somit wird eine Potenz {{math|term= X^{j}|SZ=}} auf {{mathl|term= \zeta^{ij} X^j|SZ=}} abgebildet. Insbesondere ist das Polynom {{math|term= X^r|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |fix| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter dieser Gruppenoperation. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie3=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} isahqt9s5yqlaq7u5dv22h9mwlvav6b 0 56435 779108 763232 2022-08-21T15:36:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} operiert die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} durch {{ Definitionslink |Prämath= |skalare Multiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die entsprechende {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppe/Lineare Darstellung/Operation auf Polynomring/Definition |SZ= }} auf dem Polynomring {{mathl|term= K[V]|SZ=}} ist für {{mathl|term= \lambda \in {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} durch {{mathl|term= f \mapsto \lambda f|SZ=}} für eine Linearform {{math|term= f|SZ=}} gegeben. Ein Produkt {{mathl|term= f_1 \cdots f_d|SZ=}} von Linearformen wird auf {{mathl|term= \lambda^d f_1 \cdots f_d|SZ=}} abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie2=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} phnragjz4audedfbun8fp8dms4as3c0 0 56461 783341 757029 2022-08-22T03:12:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Operation der {{math|term= r|SZ=-}}ten komplexen {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G= {{op:Einheitswurzelgruppe|r|{{CC}}}} |SZ=}} auf {{math|term= {{CC}}|SZ=}} durch Multiplikation und die zugehörige Operation auf dem Polynomring {{math|term= {{CC}}[X]|SZ=,}} dessen {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{CC}}[X^r]|SZ=}} ist. Ferner betrachten wir die reelle Entsprechung dieser Situation, also die Operation auf {{math|term= \R^2|SZ=}} durch die Gruppe der Drehmatrizen der Ordnung {{math|term= r|SZ=}} und die zugehörige Operation auf {{mathl|term= \R[X,Y]|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \R[ {{op:Realteil|z^r|}} ,\, {{op:Imaginärteil|z^r|}} ] |\subseteq| \R[X,Y]^G || || || |SZ=. }} b) Zeige{{n Sie}}, dass diese Inklusion echt sein kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fj6stwfs7ty836blvjo8lm7bdptj2v5 0 56496 783875 748734 2022-08-22T04:41:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endlichdimensionaler Vektorraum/Gruppenoperation/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |induzierte Operation| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[V]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |homogen| |Kontext=Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} d.h. dass für jedes {{mathl|term= \sigma \in G|SZ=}} und {{mathl|term= f \in R_d|SZ=}} auch {{mathl|term= f \sigma \in R_d|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fyk9ed3a16kca66p4jxxdnjm1cpi383 0 56497 783874 332340 2022-08-22T04:41:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Zyklische Gruppe/Mehrdimensionale Einheitswurzel-Darstellung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Zyklische Gruppe/Charakteristik p/Scherungsdarstellung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die induzierte Wirkung der Gruppe auf der {{math|term= d|SZ=-}}ten Stufe des Polynomringes {{math|term= K[V]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evhznirzxcf54zde7l12nvbwk6bwmhx 0 56501 779074 763210 2022-08-21T15:31:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der eine {{math|term= {{{r|r}}}|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} besitzt. Wir betrachten die Operation von {{mathl|term= {{op:Einheitswurzelgruppe|{{{r|r}}}|K}} |SZ=}} auf {{math|term= K|SZ=}} und auf {{mathl|term= K[X]|SZ=}} durch skalare Multiplikation {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Zyklische Gruppe/Eindimensionale Einheitswurzel-Darstellung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Einheitswurzeln/Eindimensional/Polynomring/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Operation ist {{mathl|term= K[X^r]|SZ=.}} Dazu muss man nur die Wirkungsweise des Erzeugers {{math|term= \zeta|SZ=}} der Gruppe verstehen und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Gruppenoperation/Invariantenring/Graduiert/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} muss man nur die {{ Zusatz/Klammer |text=eindimensionalen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Stufen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K[X]_d ||K \cdot X^d || || || |SZ= }} betrachten. Die induzierte Operation ist {{mathl|term= X^d \mapsto \zeta^{d} X^d|SZ=.}} Dies ist genau dann die Identität, wenn {{math|term= d|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= r|SZ=}} ist. Daher bilden die Stufen {{mathl|term= K[X]_{md}|SZ=}} den Invariantenring. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie3=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dg7gz6zdkg0gg4i6vssw8djtj2jx7o2 0 56502 779935 763830 2022-08-21T17:45:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur natürlichen Operation der {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrischen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=}} auf {{math|term= K^n|SZ=}} bzw. auf {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[X_1 {{kommadots|}} X_n]^{S_n} || K[E_1 {{kommadots|}} E_n] || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term= E_i|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |elementarsymmetrischen Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Dies ist die Existenzaussage von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Symmetrische Polynome/Körper/Hauptsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=; }} die dortige Eindeutigkeitsaussage bedeutet, dass der Fixring isomorph zu einem Polynomring in {{math|term= n|SZ=}} Variablen ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der symmetrischen Polynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9it28pe4zd6m3iqgz10rvttl380wa8n 0 56505 783876 757503 2022-08-22T04:42:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |unendlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf dem eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear operiere| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= f \in K[V]|SZ=}} genau dann zu {{mathl|term= K[V]^G|SZ=}} gehört, wenn {{ Ma:abb |name=f |V|K || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=G |invariant| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7aki74pvlzt2e4z61ong0x8o0p8b2rk 0 56506 779143 763258 2022-08-21T15:42:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die natürliche Operation der {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrischen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G = S_2 \cong {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} auf {{mathl|term= V= {{makl| {{op:Zmod|p|}} |}}^2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=p \geq 3|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} das nichttriviale Element vertauscht die Komponenten {{ Zusatz/Klammer |text=das entspricht der Matrix {{mathlk|term= {{op:Matrix22|0|1|1|0}} |SZ=}} bzw. {{mathlk|term=X \longleftrightarrow Y|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | f || XY^p -X^pY || X {{makl| Y^p-Y |}} - Y {{makl| X^p-X |}} || || |SZ= }} ist dieses Polynom, aufgefasst als Funktion auf {{math|term= V|SZ=,}} die Nullfunktion und somit insbesondere {{ Definitionslink |Prämath=G |invariant| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dagegen ist {{math|term= f|SZ=}} kein {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisches Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und gehört nicht zu {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}[X,Y]^G |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} orl8kwunpzf55pcddhm177dc39970h7 0 56508 780550 753004 2022-08-21T19:27:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reeller Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= w \in V|SZ=}} ein fixierter Vektor. a) Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= |\R \times V|V |(t,v)| v +tw |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= (\R,+)|SZ=}} auf {{math|term= V|SZ=}} definiert ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |V|\R || |SZ= }} genau dann unter dieser Operation {{ Definitionslink |Prämath= |invariant| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn für die {{ Definitionslink |Prämath= |Richtungsableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in Richtung {{math|term= w|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette |{{op:Richtungsableitung|f||w}} ||0 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie3=Theorie der Gruppenoperationen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} flz0fhcbnhau6dc3ahfll5azn1j4l3k 0 56509 782694 756473 2022-08-22T01:24:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einer Menge {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette | H |\subseteq| G || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M / H|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G/H|SZ=}} in natürlicher Weise operiert, und dass der Bahnenraum {{mathl|term= {{makl| M / H |}} / {{makl| G/H |}} |SZ=}} mit dem Bahnenraum {{mathl|term= M/ G|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Quotienten zu einer Gruppenoperation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ccda4gyts9k121cs5wxgsx83tk763lb 0 56510 779358 763444 2022-08-21T16:15:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge der Dreiecke, aufgefasst mit der Operation der Kongruenzabbildungen, siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Dreiecke/Kongruenzen/Einführung in Invariantentheorie/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Vektoren {{mathl|term= v \in \R^2|SZ=}} fasst man als Verschiebungen {{math|term= T_v|SZ=}} und damit als Kongruenzabbildungen auf. Mit einer beliebigen Kongruenz {{math|term= \varphi|SZ=}} besteht die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette | \varphi \circ T_v || T_{ \varphi (v) } \circ \varphi || || || |SZ=. }} Daher bilden die Verschiebungen einen Normalteiler in der Kongruenzgruppe {{math|term= G|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der uneigentlichen affinen Isometriegruppe| |ISZ=|ESZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Invariantenring/Untergruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kann man den Invariantenring {{mathl|term= \R[X_1,Y_1,X_2,Y_2,X_3,Y_3]^G|SZ=}} sukzessive berechnen. Unter der Untergruppe {{math|term= V|SZ=}} der Verschiebungen ist der Invariantenring offenbar gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | \R[X_1,Y_1,X_2,Y_2,X_3,Y_3]^V || \R[X_1-X_3,Y_1-Y_3,X_2-X_3,Y_2-Y_3] || || || |SZ=. }} Dieser Übergang entspricht geometrisch der Verschiebung des dritten Eckpunktes in den Nullpunkt. Die Operation der Restklassengruppe, die ja die uneigentliche Drehgruppe ist, auf diesem Polynomring in vier Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=die wir jetzt {{mathl|term= U_1,V_1,U_2,V_2|SZ=}} nennen| |ISZ=|ESZ= }} rührt von der natürlichen {{ Zusatz/Klammer |text=und {{ Definitionslink |Prämath= |linearen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} Operation der Drehgruppe auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} her. Die Determinante induziert einen surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Orthogonale Gruppe|2|\R}} | \{ 1,-1 \} || |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die eigentliche Drehgruppe {{mathl|term= {{op:SOG|2|\R}} |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=das Urbild von {{math|term= -1|SZ=}} bilden die {{Stichwort|Drehspiegelungen|msw=Drehspiegelung|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Daher gibt es eine natürliche Operation der {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} auf {{ math/disp|term= \R[U_1,V_1,U_2,V_2]^{ {{op:SOG|2|\R}} } |SZ=, }} und man sollte zuerst diesen Invariantenring ausrechnen. Aufgrund der geometrischen Interpretation {{ Zusatz/Klammer |text=die drei Quadrate der Längen des Dreiecks, das Skalarprodukt der Seiten am Nullpunkt, der orientierte Flächeninhalt {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Skalierung| |ISZ=|ESZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} müssen {{ math/disp|term= U_1^2+V_1^2,\, U_2^2+V_2^2,\, {{makl| U_1-U_2 |}}^2+ {{makl|V_1- V_2 |}}^2, \, U_1U_2+V_1V_2,\, U_1V_2-U_2V_1 |SZ= }} invariante Polynome sein, was man auch direkt durch Rechnungen bestätigen kann. Das Skalarprodukt ist dabei unmittelbar mit den ersten drei Längenquadraten polynomial ausdrückbar{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Genauso gut kann man das dritte Längequadrat durch die beiden ersten und das Skalarprodukt ausdrücken| |ISZ=.|ESZ=. }} Da die drei Längen zwar die unorientierte Kongruenzklasse des Dreiecks bestimmen, es zu einem {{ Zusatz/Klammer |text=nicht entarteten| |ISZ=|ESZ= }} Längentripel aber zwei entgegengesetzt orientierte Dreiecke gibt, muss es ein weiteres {{mathl|term= {{op:SOG|2|\R}} |SZ=-}}invariantes Polynom geben, das aber nicht {{mathl|term= {{Op:Orthogonale Gruppe|2|\R}} |SZ=-}}invariant ist, sondern Orientierungswechsel respektiert. Die Orientierung ist am fünften Polynom, der Determinante, ablesbar. Die drei Längenquadrate und die Determinante bestimmen die orientierte Kongruenzklasse des Dreiecks eindeutig, somit repräsentieren diese vier Funktionen die Quotientenabbildung. Das Quadrat der Determinante kann man als Polynom in den Längenquadraten ausdrücken {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise ausgehend von der {{Stichwort|Heronschen Flächenformel|msw=Heronsche Flächenformel|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 25tenw9vaoabvrmk0s7wjz8ljlx5z40 0 56526 781542 579163 2022-08-21T22:12:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die natürliche Operation der Drehgruppe {{mathl|term= {{op:SO|2|\R}} |SZ=}} auf dem {{mathl|term= \R^4 = {{makl| \R^2 |}}^2 |SZ=.}} Mit den natürlichen Identifizierungen {{mathl|term= {{CC}} \cong \R^2|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:SO|2|\R}} |\cong| {{mengebed|u \in {{CC}}| {{op:Betrag|u|}} {{=|}} 1}} || || || |SZ= }} kann man dies als eine lineare Operation auf dem {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} auffassen. Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörige Operation auf dem Polynomring {{mathl|term= {{CC}}[w,z]|SZ=}} nur die Konstanten als Invarianten besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 80lfnylku9zqusexo7wz4oe0vslexsg 0 56560 779465 579164 2022-08-21T16:32:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= M \in {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} eine Matrix, so dass keine Potenz davon die Einheitsmatrix ist, d.h. die von {{math|term= M|SZ=}} erzeugte Untergruppe ist {{math|term= \Z|SZ=.}} Das einfachste Beispiel ergibt sich für {{mathl|term= n=1|SZ=}} und ein Element {{mathl|term= a\in {{CC}}^\times|SZ=,}} das keine Einheitswurzel ist. Das ist keine algebraische Gruppe. Ebenso ist {{mathl|term= \Q^\times \subseteq {{CC}}^\times|SZ=}} keine algebraische Gruppe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der unendlichen zyklischen Gruppe |Kategorie2=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e8rq627ca59wb1s0dcdacyyvffhbux0 0 56562 780141 763903 2022-08-21T18:16:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= G= {{op:Zmod|r|}} |SZ=.}} Der Erzeuger {{math|term= 1|SZ=}} operiert auf {{mathl|term= {{op:Zmod|r|}}|SZ=}} durch Addition mit {{math|term= 1|SZ=,}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also durch {{mathl|term= k \mapsto k+1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{mathl|term= r \mapsto 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} gegeben. Die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ math/disp|term= {{Op:Matrix55|0|0|\ldots |0|1|1|0|0|\ldots|0|0 |1 |0|\ldots|0 |\vdots|\ddots|\ddots|\ddots|\vdots |0|\ldots|0|1|0 |}} |SZ=. }} Somit ist die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zmod|{{{r|r}}}|}} | {{op:GLG|{{{r|r}}}|K|}} |{{{i|i}}}| {{Op:Matrix55|0|0|\ldots |0|1|1|0|0|\ldots|0|0 |1 |0|\ldots|0 |\vdots|\ddots|\ddots|\ddots|\vdots |0|\ldots|0|1|0 |}}^{ {{{i|i}}} } |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |reguläre Darstellung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der zyklischen Gruppe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Der Satz von Cayley |Kategorie3=Theorie der Permutationsmatrizen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e1quz3syk8xjelw23z4jwxv4pdyzf3h 0 56568 779130 763250 2022-08-21T15:40:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und {{mathl|term= A=K[X,Y]|SZ=.}} Auf der {{ Definitionslink |Prämath=A |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |B ||A[S,T]/(XS+YT+1) ||K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1) || || |SZ= }} operiert die {{ Definitionslink |Prämath= |additive Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (K,+)|SZ=,}} indem ein {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=}} durch {{ math/disp|term= X \mapsto X,\, Y \mapsto Y,\, S \mapsto S+ \lambda Y,\, T \mapsto T- \lambda X |SZ= }} wirkt. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | X( S+ \lambda Y) + Y(T- \lambda X) || XS+YT || - 1 || || |SZ= }} sind diese zunächst auf {{mathl|term= K[X,Y,S,T] |SZ=}} definierten Ringautomorphismen auch auf der Restklassenalgebra Automorphismen. Der Invariantenring ist {{ Ma:Vergleichskette |A ||K[X,Y] || || || |SZ=, }} wobei die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette/disp |A |\subseteq|B^G || || || |SZ= }} unmittelbar klar ist. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |A|A_X || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= |B|B_X || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |B_X || {{makl| K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1) |}}_X |\cong| {{makl| A_X [S,T] |}}/(XS+YT+1) |\cong| A_X[T] || |SZ=, }} wobei beim letzten Isomorphismus {{math|term= S|SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Bruch|-1-YT|X}} |SZ=}} abgebildet wird. Ebenso ist {{mathl|term= B_Y \cong A_Y[S]|SZ=.}} Die Operation lässt sich auf diese beiden Nenneraufnahmen fortsetzen. Für die Operation auf {{mathl|term= B_X=A_X[T]|SZ=}} ist {{math|term= A_X|SZ=}} der Invariantenring. Zu einem {{ mathbed|term= \lambda \in K ||bedterm1= \lambda \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} wird ein Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||a_0 + a_1 T {{plusdots|}} a_{n-1} T^{n-1} + a_n T^n || || || |SZ= }} auf {{ math/disp|term= a_0 + a_1( T- \lambda X ) {{plusdots|}} a_{n-1}( T- \lambda X )^{n-1} + a_n ( T- \lambda X )^n |SZ= }} abgebildet. Bei {{mathl|term= n \geq 1|SZ=}} ist der Koeffizient zu {{mathl|term= T^{n-1}|SZ=}} {{ math/disp|term= a_{n-1} - n \lambda X a_n |SZ= }} und dies ist bei {{mathl|term= \lambda \neq 0|SZ=}} nicht gleich {{mathl|term= a_{n-1}|SZ=.}} Also ist ein solches Polynom nicht invariant. Das gleiche Argument gilt für {{mathl|term= A_Y \subseteq A_Y[S] = B_Y |SZ=.}} Es sei nun {{mathl|term= F \in B|SZ=}} invariant. Dann ist {{math|term= F|SZ=}} auch als Element in {{ mathkor|term1= B_X |bzw. in|term2= B_Y |SZ= }} invariant und daher ist sowohl {{mathl|term= F \in A_Y|SZ=}} als auch {{mathl|term= F \in A_X|SZ=.}} Aus {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || {{op:Bruch|G|X^n}} || {{op:Bruch|H|Y^m}} || || |SZ= }} folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp |GY^m ||HX^n || || || |SZ= }} und aus der {{ Definitionslink |Prämath= |Faktorialität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} ergibt sich, dass {{math|term= G|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= X^n|SZ=}} sein muss. Somit gehört {{math|term= F|SZ=}} zu {{math|term= A|SZ=.}} Der Invariantenring ist also {{math|term= A|SZ=.}} Dieser ist aber kein {{ Definitionslink |Prämath= |direkter Summand| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= B|SZ=.}} Es ist {{mathl|term= 1 \not \in (X,Y)|SZ=}} in {{math|term= A|SZ=,}} aber {{mathl|term= 1 \in (X,Y)|SZ=}} in {{math|term= B|SZ=,}} was unmittelbar aus der definierenden Gleichung {{mathl|term= XS+YT=-1|SZ=}} folgt. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Direkter Summand/Zyklisch rein/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kann daher kein direkter Summand vorliegen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der erzwingenden Algebren |Kategorie2=Theorie der direkten Summanden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0lneo4wsmbvmbtoerijvn64azx3u7y4 0 56573 782685 756462 2022-08-22T01:23:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf dem eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= {{ideala|}} \subseteq R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das unter der Gruppenoperation {{ Definitionslink |Prämath= |invariant| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=es gelte also {{mathl|term= f \sigma \in {{ideala}}|SZ=}} für {{mathl|term= f \in {{ideala}}|SZ=}} und jedes {{mathl|term= \sigma \in G|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung4 |Es gibt eine natürliche Operation von {{math|term= G|SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=.}} |Es gibt einen {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |R^G/ {{makl| {{ideala|}} \cap R^G |}} | {{makl| R/ {{ideala|}} |}}^G || |SZ=. }} |Die Abbildung {{math|term= \psi|SZ=}} aus Teil (2) ist injektiv. |Wenn {{math|term= G|SZ=}} endlich ist und {{math|term= R|SZ=}} einen Körper der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} enthält, so ist {{math|term= \psi|SZ=}} surjektiv. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 54y4rfrjz7n4m5wrw4wwl3x4gjqsb25 0 56574 784101 757751 2022-08-22T05:19:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\rho |G| {{op:GLG||V|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Darstellung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} in einen {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= u_1 {{kommadots|}} u_n |und|term2= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ= }} zwei Basen von {{math|term= V|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=\rho_u, \rho_v | G| {{op:GLG|n|K}} || |SZ= }} seien die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Matrixdarstellungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Invariantenringe {{ mathkor|term1= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]^{G, \rho_u} |und|term2= K[Y_1 {{kommadots|}} Y_n]^{G, \rho_v} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8nyx5wd47l4cmv5vqay56guftus8loa 0 56575 782691 756470 2022-08-22T01:24:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge, auf der eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= T \subseteq M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=G |invariante Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Es gibt eine natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | T \backslash G| M \backslash G || |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnenräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} muss nicht {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lm3j0vbuots1hkbj86vad1fpp3hz3pu 0 56578 782982 756721 2022-08-22T02:12:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge, auf der eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= T \subseteq M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath=G |invariante Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= T|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Vereinigung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kju7o13lb9mf66kvzvkbkazo6ssy74e 0 56601 779131 763251 2022-08-21T15:40:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und {{mathl|term= A=K[X,Y]|SZ=.}} Auf der {{ Definitionslink |Prämath=A |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |B ||A[S,T]/(XS+YT+1) ||K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1) || || |SZ= }} operiert die {{ Definitionslink |Prämath= |additive Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (K,+)|SZ=,}} indem ein {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=}} durch {{ math/disp|term= X \mapsto X,\, Y \mapsto Y,\, S \mapsto S+ \lambda Y,\, T \mapsto T- \lambda X |SZ= }} wirkt. Wie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Erzwingende Algebra/Parameter auf Polynomring/Affine Gerade/Kein Reynoldsoperator/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gezeigt wurde, ist der Invariantenring unter dieser Gruppenoperation gleich {{mathl|term= A=K[X,Y]|SZ=.}} Die Spektrumsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Spek|B|}} | {{op:Spek|A|}} || |SZ= }} ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Für das {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}} || (X,Y) |\subset| A || || |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |Prämath= |Erweiterungsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X,Y)B|SZ=}} offenbar gleich dem {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Somit ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser ist leer/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} leer. Zu jedem anderen Primideal {{ mathbed|term= {{idealp|}} \in {{op:Spek|A|}} ||bedterm1= {{idealp|}} \neq {{idealm|}} ||bedterm2= |SZ= }} ist die Faser gleich {{mathl|term= \kappa( {{idealp|}} )[S,T]/(\psi(X)S + \psi(Y)T +1 ) |SZ=,}} wobei {{ Ma:abbele/disp |name= \psi |A{{=}} K[X,Y]| \kappa ( {{idealp|}} ) || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |kanonische Ringhomomorphismus| |Kontext=Restekörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in den {{ Definitionslink |Prämath= |Restekörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Nach Voraussetzung ist mindestens eines der {{mathl|term= \psi(X),\psi(Y)|SZ=}} eine Einheit, so dass eine Isomorphie zu {{mathl|term= \kappa({{idealp}})[U]|SZ=}} vorliegt. Die Fasern sind also affine Geraden. Diese sind wiederum genau die Bahnen der Operation, so dass die offene Teilmenge {{ math/disp|term= D( {{idealm|}} ) \subset {{op:Spek|A|}} |SZ= }} der Quotient der Operation ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen auf affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der erzwingenden Algebren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dpwvupz2zm7c2q8tdzhe6zw0qknqjji 0 56609 779617 751651 2022-08-21T16:57:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= R[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen über {{math|term= R|SZ=.}} Die additive Gruppe des Polynomrings ist einfach {{ math/disp|term= \bigoplus_{\nu \in \N^n} R \cdot X^\nu |SZ=. }} Daher ist der Polynomring {{ Definitionslink |Prämath=\Z^n|graduiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei die {{mathl|term= \nu=(\nu_1 {{kommadots|}} \nu_n)|SZ=-}}te Stufe einfach aus allen {{math|term= R|SZ=-}}Vielfachen des Monoms {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^\nu ||X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} || || || |SZ= }} besteht. Die Stufen zu {{mathl|term= \nu \in \N^n|SZ=}} sind also isomorph zu {{math|term= R|SZ=,}} die anderen Stufen, bei denen mindestens eine Komponente negativ ist, sind {{math|term= 0|SZ=.}} Diese Graduierung nennt man die {{Stichwort|feine Graduierung|SZ=}} des Polynomringes. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ta6enyeu9z2g1cws06ehj5kf319660d 0 56616 785165 758516 2022-08-22T07:57:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} im Sinne von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Graduierter Ring/Gruppenhomomorphismus der graduierenden Gruppe/Beziehung zu Charakteren/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} wie auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |feine Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardgraduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zusammenhängt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5v5imiujix3obvzt8gqgrzglzdv7h7d 0 56619 785103 758473 2022-08-22T07:48:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[V]|SZ=}} keine kanonische {{ Definitionslink |Prämath= |feine Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fpj31t625bt8852o021vpppqya4nahy 0 56624 786552 759581 2022-08-22T11:44:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |unendlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardgraduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiert linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= K^n|SZ=}} und auf dem Polynomring durch {{ Definitionslink |Prämath= |skalare Multiplikation| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= d|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_d|SZ=}} mit dem Raum der {{ Definitionslink |Prämath= |relativen Invarianten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich des {{ Definitionslink |Prämath= |Charakters| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|K|}} | {{op:Einheiten|K|}} | z|z^d |SZ=, }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2=Theorie der Charaktere |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kpt258ag0ug8kol53pmlye7l9ejr9nf 0 56625 782684 756461 2022-08-22T01:23:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf der eine Gruppe {{math|term= G|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein Element {{ mathbed|term= f \in R ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} allenfalls bezüglich eines {{ Definitionslink |Prämath= |Charakters| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |semiinvariant| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der Charaktere |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a84txl24gio8kon4eagrxb61bb13nlv 0 56641 781831 755735 2022-08-21T23:00:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf dem eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Zu jedem {{mathl|term= k \in \N|SZ=}} und jedem {{mathl|term= f \in R|SZ=}} ist der Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi_k(f) || \sum_{T \subseteq G,\, {{op:Anzahl|T|}} {{=}} k } \prod_{\sigma \in T} f \sigma || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |invariant| |Kontext=Invariantenring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Wenn {{math|term= R|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} enthält, so erzeugen die {{ mathbed|term= \psi_k(f) ||bedterm1= f \in R |,|bedterm2= k \in \N |SZ=, }} den Invariantenring. |Teil (2) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k1yv3b85m50sqeupe5zb6ek0p4wdqmm 0 56643 782584 756356 2022-08-22T01:06:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man mache sich klar|Machen Sie sich klar}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_3|SZ=}} die uneigentliche Symmetriegruppe eines {{ Definitionslink |Prämath= |gleichseitigen Dreiecks| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und die {{ Definitionslink |Prämath= |alternierende Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A_3|SZ=}} dabei die {{ Definitionslink |Prämath= |eigentliche Symmetriegruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Ebenso für die {{math|term= S_4|SZ=,}} die {{math|term= A_4|SZ=}} und das {{ Zusatz/Klammer |text=gleichseitige| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Tetraeder| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} im1bg9gne25mtrg2u055a2pkl0noxh0 0 56648 783294 756996 2022-08-22T03:04:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} genau dann der {{ Definitionslink |Prämath= |Nullring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn sein {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} leer ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cm0zt0hb9e7vwygjp3i4k4kqceoy87e 0 56650 778921 763120 2022-08-21T15:07:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Körpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} auf dem {{math|term= K^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=n \geq 2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Definitionslink |Prämath= |skalare Multiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt den Nullpunkt als {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkt| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Geraden durch den Nullpunkt ohne diesen als weitere {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die zugehörige Operation auf dem Polynomring {{mathl|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Skalare Operation auf KX,Y/Invariantenring und Quotientenkörper/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} besitzt bei unendlichem {{math|term= K|SZ=}} nur die Konstanten als invariante Polynome. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Spek|R|}} | {{op:Spek|R^G|}} || |SZ= }} ist also konstant und vermag nicht die Bahnen zu trennen. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= R oder C/Skalare Multiplikation auf R^n/Nur konstante stetige Funktionen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es bei {{mathl|term= K=\R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= {{CC}}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} noch nicht einmal stetige Funktionen des {{math|term= \R^n|SZ=}} in einen metrischen Raum, die die Bahnen trennen. Wenn man hingegen den Nullpunkt herausnimmt, so ist der Bahnenraum nach Definition der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=,}} einer der wichtigsten Räume überhaupt. Dieser ist nicht das Spektrum eines kommutativen Ringes, er wird aber überdeckt durch offene Teilmengen, die Spektren zu kommutativen Ringen sind. Ein solches geometrisches Objekt nennt man ein {{Stichwort|Schema|SZ=.}} Die skalare Multiplikation auf dem punktierten affinen Raum besitzt also einen sinnvollen Quotienten in der Kategorie der Schemata. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rpb9kyc8lp3wktx58977la3sxm0kg2f 0 56652 785831 758997 2022-08-22T09:44:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{KRC|}} = \R |SZ=}} oder {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |skalare Multiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Einheiten| {{KRC|}} |}} |SZ=}} auf {{mathl|term= {{KRC|}}^n |SZ=.}} Es sei {{math|term= Y|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{KRC|}}^n |Y || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf den {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen der Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} konstant sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} konstant ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5skyg4c14cdjbraeyyl8o0psx7tgtnn 0 56657 779794 751880 2022-08-21T17:22:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=reell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist bekanntlich ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |(\R,0,+)| (\R_+ , 1, \cdot ) \subset {{op:Einheiten|\R|}} |t| e^t |SZ=, }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |natürlichen Logarithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher kann man jede {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenoperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der additiven Gruppe {{math|term= \R|SZ=}} auf einer beliebigen Menge auch als eine Operation der positiven multiplikativen Gruppe {{math|term= \R_+ |SZ=}} ansehen und umgekehrt. Sämtliche operationstheoretischen Konzepte wie Bahn, Isotropiegruppe, Invariantenring stimmen dabei überein. Beispielsweise kann man die skalare Multiplikation von {{math|term= {{op:Einheiten|\R|}} |SZ=}} auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} als die Operation {{ Ma:abbele/disp |name= |(\R,0,+) \times \R^n| \R^n |(t,x_1 {{kommadots|}} x_n) | ( e^t x_1 {{kommadots|}} e^t x_n ) |SZ=, }} auffassen. Diese Operation kann man nur unter Verwendung einer {{ Definitionslink |Prämath= |transzendenten Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} hinschreiben. Wenn man nur {{Anführung|algebraische Operationen}} zulassen möchte, so sind die multiplikative und die additive Gruppe nicht isomorph, und sie besitzen sehr unterschiedliche Operationen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die reelle Exponentialfunktion |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6bfxsc0eb6iuba5q67t88qf5wkrcd2f 0 56668 779110 763234 2022-08-21T15:37:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (G,1,\cdot)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |H | {{defeq|}} | {{op:Abbildungsmenge|G|K}} || || || |SZ= }} mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von {{math|term= G|SZ=}} sind. Wir definieren auf {{math|term= H|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebrastruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation {{ Ma:abbele/disp |name=\mu |G \times G| G || |SZ= }} führt zur Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Abbildungsmenge|G|K}} | {{op:Abbildungsmenge|G|K}} {{tensor|}} {{op:Abbildungsmenge|G|K}} \cong {{op:Abbildungsmenge|G \times G|K}} |f| f \circ \mu |SZ=, }} wodurch wir die {{ Definitionslink |Prämath= |Komultiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\Delta |H |H {{tensor|}}_{ {{{K|K}}} } H || |SZ= }} festlegen. Das Basiselement {{math|term= e_\sigma |SZ=}} zu {{mathl|term= \sigma \in G|SZ=}} wird dabei auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{ \tau \cdot \rho {{=}} \sigma } e_\tau {{tensor|}} e_\rho ||\sum_{ \tau } e_\tau {{tensor|}} e_ {\tau^{-1} \cdot \sigma} || || || |SZ= }} abgebildet. Das neutrale Element {{mathl|term= 1 \in G|SZ=}} induziert die Auswertungsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\epsilon |H {{=|}} {{op:Abbildungsmenge|G|K}} | K |f| f(1) |SZ=, }} und die Inversenbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \operatorname{inv} |G|G |\sigma|\sigma^{-1} |SZ=, }} führt zu {{ Ma:abbele/disp |name=S | {{op:Abbildungsmenge|G|K}} | {{op:Abbildungsmenge|G|K}} |f| f \circ \operatorname{inv} |SZ=, }} wobei das Basiselement {{math|term= e_{\sigma} |SZ=}} auf {{mathl|term= e_{\sigma^{-1} }|SZ=}} abgebildet wird. Die Abbildungen {{mathl|term= \Delta,\epsilon, S|SZ=}} sind offenbar {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|-|K}} |SZ=}} in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r5mgww58a9a9yy25w56nzx9n2evucwt 0 56675 778893 763111 2022-08-21T15:02:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X]|SZ=}} kann man folgendermaßen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erklären. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Komultiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird durch {{ Ma:abbele/disp |name=\Delta |K[X]| K[X] {{tensor|K}} K[X] \cong K[X,Y] |X| X {{tensor|}}1 + 1 {{tensor|}} X {{=}} X+Y |SZ=, }} erklärt. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Koeinheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird durch {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]|K |X|0 |SZ=, }} festgelegt und das {{ Definitionslink |Prämath= |Koinverse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist durch {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]|K[X] |X|-X |SZ=, }} definiert. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Hopf-Algebra/Additive Gruppe/Überprüfe/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die {{Stichwort|Hopf-Algebra der additiven Gruppe|SZ=}} nennt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jz76ppmogrhezla1egba2sp32fs3ovk 0 56676 779522 763616 2022-08-21T16:42:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Auf {{mathl|term= K[X,X^{-1}] \cong K[X]_X|SZ=}} kann man folgendermaßen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erklären. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Komultiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird durch {{ Ma:abbele/disp |name=\Delta |K[X,X^{-1}]| K[X,X^{-1}] {{tensor|K}} K[X,X^{-1}] \cong K[X,X^{-1},Y,Y^{-1}] |X| X {{tensor|}}1 \cdot 1 {{tensor|}} X {{=}} X \cdot Y |SZ=, }} erklärt. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Koeinheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird durch {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]|K |X|1 |SZ=, }} festgelegt und das {{ Definitionslink |Prämath= |Koinverse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist durch {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X,X^{-1}]|K[X ,X^{-1}] |X|X^{-1} |SZ=, }} definiert. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Hopf-Algebra/Multiplikative Gruppe/Überprüfe/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die {{Stichwort|Hopf-Algebra der multiplikativen Gruppe|SZ=}} nennt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fsn0vdqvncinsklpkhr7e6n2wariyj9 0 56678 779302 763394 2022-08-21T16:07:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (D,0,+)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[D]|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[D] || \bigoplus_{d \in D} K X^d || || || |SZ=. }} Darauf lässt sich die Struktur einer {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erklären, indem man die {{ Definitionslink |Prämath= |Komultiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Ma:abbele/disp |name=\Delta |K[D]| K[D] {{tensor|K}} K[D] |X^d| X^d {{tensor|}} X^d |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Koeinheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Ma:abbele/disp |name=\epsilon |K[D]|K |X^d|X^0 {{=}} 1 |SZ=, }} und das {{ Definitionslink |Prämath= |Koinverse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Ma:abbele/disp |name=S |K[D]|K[D] |X^d|X^{-d} |SZ=, }} ansetzt. Diese {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gehören zu den Gruppenhomomorphismen {{ Ma:abbele |name= |D|D \times D |d|(d,d) |SZ=, }} {{ Ma:abb |name= |D|0 || |SZ= }} und {{ Ma:abbele |name= |D|D |d|-d |SZ=, }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Gruppenringe |Kategorie2=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c6ux769y5tjxwywwrp6ruuv1b8bsccd 0 56684 778928 763126 2022-08-21T15:08:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Wir möchten eine {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} konstruieren, derart, dass die Menge ihrer {{math|term= K|SZ=-}}Punkte mit der induzierten Gruppenstruktur gleich der Gruppe der invertierbaren {{mathl|term= n \times n|SZ=-}}Matrizen {{mathl|term= {{op:GLG|n|{{{K|K}}}|}} |SZ=}} über {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ist. Eine solche Matrix besteht aus {{math|term= n^2|SZ=}} Einträgen, von daher betrachten wir zunächst den Polynomring {{ math/disp|term= {{{K|K}}} [X_{ij},\, 1 \leq i,j \leq n] |SZ=. }} Einen {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=-}}Punkt dieses Ringes, also eine Belegung der Variablen, fassen wir als eine Matrix auf. Die Bedingung, dass die Matrix {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, kann man über die Determinante ausdrücken, und zwar muss diese eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} sein. Eine Belegung der Variablen, die einer invertierbaren Matrix entspricht, muss also aufgrund der {{ Faktlink |Präwort=|universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme|Faktseitenname= Nenneraufnahme/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |H ||{{{K|K}}} [X_{ij},\, 1 \leq i,j \leq n]_{D} || || || |SZ= }} faktorisieren, wobei {{math|term= D|SZ=}} die Determinante in den Variablen {{mathl|term= X_{ij}|SZ=}} bezeichnet. Wir erklären auf {{math|term= H|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebrastruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei wir uns von der Gruppenstruktur auf der allgemeinen linearen Gruppe leiten lassen. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Komultiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird durch {{ Ma:abbele/disp |name= |H|H {{tensor|{{{K|K}}}}} H |X_{ij}| \sum_{k {{=}} 1}^n Y_{ik} {{tensor|}} Z_{kj} |SZ=, }} definiert. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Koeinheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird durch {{ math/disp|term= \epsilon (X_{ij} ) = \begin{cases} 1 \text{ für } i =j, \\ 0 \text{ sonst,} \end{cases} |SZ= }} festgelegt, das {{ Definitionslink |Prämath= |Koinverse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird mit Hilfe der {{ Faktlink |Präwort=|Formel|Faktseitenname= Matrix/Adjungierte/Formel mit Determinante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | M^{-1} || \frac{1}{ {{op:Determinante|M|}} } \cdot {{op:Adjungierte Matrix|M|}} || || || |SZ= }} erstellt, wobei die {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierte Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein Polynom in den Einträgen der Matrix ist. Das Koinverse bildet demnach {{mathl|term= X_{ij} |SZ=}} auf den {{mathl|term= (i,j)|SZ=-}}ten Eintrag in der rechten Seite der obigen Formel ab. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hd1hytuhztjkuabdfo467k1nb4o4yi1 0 56687 779111 763235 2022-08-21T15:37:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (G,1,\cdot)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die gemäß {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Endliche Gruppe/Zugehörige Hopf-Algebra (kontravariant)/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist einfach {{ Ma:Vergleichskette |H ||{{op:Abbildungsmenge|G|K}} || || || |SZ=, }} also das {{mathl|term= {{op:Anzahl|G|}} |SZ=-}}fache {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Produkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K|SZ=}} mit sich selbst. Ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{op:Abbildungsmenge|G|K}} |K || |SZ= }} muss {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{mathlk|term=e_\sigma \cdot e_\tau =0|SZ=}} für {{mathlk|term=\sigma \neq \tau|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} eine Projektion auf eine Komponente sein. D.h. {{math|term= \varphi|SZ=}} muss die Auswertung von {{mathl|term= f \in {{op:Abbildungsmenge|G|K}} |SZ=}} an einem Gruppenelement {{mathl|term= \sigma \in G|SZ=}} sein. Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:KSpek| {{op:Abbildungsmenge|G|K}} |}} || G || || || |SZ=. }} Darüber hinaus ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spek| {{op:Abbildungsmenge|G|K}} |}} ||{{op:KSpek| {{op:Abbildungsmenge|G|K}} |}} || || || |SZ=. }} Wir identifizieren also Gruppenelemente, Primideale von {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|G|K}} |SZ=}} und ihre zugehörigen {{math|term= K|SZ=-}}Algebrahomomorphismen {{ Zusatz/Klammer |text=einen Gruppenelement {{mathlk|term=\sigma \in G|SZ=}} entspricht die Projektion {{math|term= p_\sigma|SZ=}} auf die {{math|term= \sigma|SZ=-}}Komponente und ihr Kern| |ISZ=|ESZ=. }} Ebenso ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |G \times G || {{op:KSpek|H|}} \times_K {{op:KSpek|H|}} || {{op:KSpek|H {{tensor|K}} H|}} || || |SZ=. }} Ein Paar {{mathl|term= {{makl| \sigma, \tau |}} \in G \times G |SZ=}} entspricht dabei dem {{math|term= K|SZ=-}}Algebrahomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | H {{tensor|K}} H | K | f_1 {{tensor|}} f_2 | \sigma(f_1) \cdot \tau (f_2) |SZ=. }} Die durch die Hopf-Algebrastruktur induzierte Multiplikation {{math|term= \mu|SZ=}} auf {{math|term= G|SZ=}} von {{ mathkor|term1= \sigma |und|term2= \tau |SZ=, }} angewendet auf {{math|term= e_\rho|SZ=,}} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \mu{{makl| \sigma, \tau |}} ( e_\rho ) || {{makl| {{makl| \sigma {{tensor|}} \tau |}} \circ \Delta |}} ( e_\rho) || {{makl| \sigma {{tensor|}} \tau |}} {{makl| \sum_{ \rho_1 \cdot \rho_2 {{=}} \rho} e_{\rho_1} {{tensor|}} e_{\rho_2} |}} || \sum_{ \rho_1 \cdot \rho_2 {{=}} \rho} \sigma (e_{\rho_1}) \cdot \tau(e_{\rho_2}) || || |SZ=. }} Die Summanden sind nur dann gleich {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=andernfalls sind sie {{math|term= 0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn {{ Ma:Vergleichskette |\rho_1 || \sigma || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\rho_2 ||\tau || || || |SZ= }} ist. Daher ist die Summe nur im Fall {{ Ma:Vergleichskette/disp |\rho || \sigma \tau || || || |SZ= }} gleich {{math|term= 1|SZ=}} und sonst gleich {{math|term= 0|SZ=.}} Dies bedeutet wiederum {{ Ma:Vergleichskette/disp |\mu( \sigma ,\tau) || \sigma \tau || || || |SZ=, }} da ja {{math|term= \sigma \tau |SZ=}} ebenfalls genau an {{mathl|term= e_{\sigma \tau}|SZ=}} den Wert {{math|term= 1|SZ=}} und sonst überall den Wert {{math|term= 0|SZ=}} besitzt und die {{math|term= K|SZ=-}}Algebrahomomorphismen von {{math|term= H|SZ=}} nach {{math|term= K|SZ=}} auf der Basis festgelegt sind. Also stimmt die durch die Hopf-Struktur gegebene Multiplikation mit der vorgegebenen Multiplikation überein. Das gleiche gilt für das neutrale Element und die Inversen. Insgesamt gewinnt man also die endliche Gruppe als affines Gruppenschema zur Hopf-Algebra zurück. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rfnxyk06g5g5zbzbw82tlg6ccdsidty 0 56701 778560 762482 2022-08-21T12:21:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Über die natürlichen {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebrahomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Ring und Ringhomomorphismen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |A| A {{tensor|R}} B |a| a {{tensor|}} 1 |SZ=, }} und {{ Ma:abbele/disp |name= |B| A {{tensor|R}} B |b| 1 {{tensor|}} b |SZ=, }} erhält man eine Abbildung von links nach rechts. Da die {{mathl|term= a {{tensor|}} 1 |SZ=}} und {{mathl|term= 1 {{tensor|}} b|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebraerzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= A {{tensor|R}} B|SZ=}} bilden, ist darauf ein {{math|term= R|SZ=-}}Algebrahomomorphismus nach {{math|term= S|SZ=}} festgelegt. Es kann also zu {{math/disp|term=(\varphi,\psi) \in {{HomalgK|K=R|A |S }} \times {{HomalgK|K=R| B |S}}|SZ=}} maximal einen Homomorphismus links geben, der darauf abbildet. Die Abbildung ist also injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei {{mathl|term= (\varphi,\psi) |SZ=}} gegeben. Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |A \times B| S |(a,b)| \varphi(a) \psi(b) |SZ=. }} Diese Abbildung ist offenbar {{ Definitionslink |Prämath=R |bilinear| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} daher gibt es dazu {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Tensorprodukt/Moduln/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \theta |A {{tensor|R}} B|S || |SZ=. }} Dieser ist wegen {{ Ma:Vergleichskette/align | \theta ( a_1 {{tensor|}} b_1 \cdot a_2 {{tensor|}} b_2 ) || \theta ( a_1 a_2 {{tensor|}} b_1 b_2 ) || \varphi(a_1 a_2 ) \cdot \psi ( b_1 b_2 ) || \varphi(a_1) \varphi(a_2) \psi(b_1) \psi(b_2) ||\theta ( a_1 {{tensor|}} b_1) \cdot \theta( a_2 {{tensor|}} b_2 ) |SZ= }} auch mit der Multiplikation verträglich. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0iv4dd77wvkiasetmb1d1dkaylj3m3i 0 56708 778894 763112 2022-08-21T15:02:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= H=K[X]|SZ=}} der Polynomring versehen mit der in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Additive Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eingeführten {{ Zusatz/Klammer |text=additiven| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Hopf-Algebrastruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu einer kommutativen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L|SZ=}} haben wir die natürliche Bijektion {{ Ma:abbele/disp |name= |L| {{HomalgK|H|L}} || |SZ=, }} wobei ein Element {{mathl|term= a\in L|SZ=}} auf den {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} abgebildet wird, der durch {{mathl|term= X \mapsto a|SZ=}} festgelegt ist. Unter dieser Bijektion wird die durch die Hopf-Struktur induzierte Verknüpfung zur Addition auf {{math|term= L|SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Additive Gruppe/Hopf/Additiv/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Daher nennt man {{mathl|term= {{op:Spek|K[X]|}} |SZ=}} auch die {{Stichwort|additive Gruppe|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 02a5nzpuja6xxxyo7bb59r0y1hmv6wi 0 56709 779523 763618 2022-08-21T16:42:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= H=K[X,X^{-1}]=K[X]_X|SZ=}} sei mit der in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Multiplikative Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eingeführten {{ Zusatz/Klammer |text=multiplikativen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Hopf-Algebrastruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Zu einer kommutativen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L|SZ=}} haben wir die natürliche Bijektion {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|L|}} | {{HomalgK|H|L}} || |SZ=, }} wobei eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= a \in {{op:Einheiten|L|}} |SZ=}} auf den {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} abgebildet wird, der durch {{mathl|term= X \mapsto a|SZ=}} festgelegt ist. Da {{math|term= a|SZ=}} eine Einheit ist, ist dies auf genau eine Weise möglich. Unter dieser Bijektion wird die durch die Hopf-Struktur induzierte Verknüpfung zur Multiplikation auf {{math|term= {{op:Einheiten|L|}} |SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Multiplikative Gruppe/Hopf/Multiplikativ/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Daher nennt man {{mathl|term= {{op:Spek|K[X,X^{-1}]|}} |SZ=}} auch die {{Stichwort|multiplikative Gruppe|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oktt8iwd24yqkfs610y4myuts95m36h 0 56739 783601 757253 2022-08-22T03:55:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= XY-Z^n |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in drei Variablen über einem Körper |Kategorie3=Teilbarkeitstheorie in Polynomringen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h950fiexi9co5zjwvws0suz8lwxxs9v 0 56740 782625 756397 2022-08-22T01:13:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=,}} {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kommutative {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{ideala|}} \subseteq A|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Ideal| |Kontext=D| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} ebenfalls {{math|term= D|SZ=-}}graduiert ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b6nd9e32gub71tiedmfl03pcmd10l77 0 56745 783098 756835 2022-08-22T02:32:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |r |\in|R || || || |SZ= }} ein Element, das keine {{ Definitionslink |Prämath= |Quadratwurzel| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} besitze. Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | X^2 -r |\in| R[X] || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in Polynomringen |Kategorie2=Theorie der Quadratwurzeln in kommutativen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pepxztnez0t3z9sds387c50dmjtyfel 0 56758 782855 756621 2022-08-22T01:51:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= H|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Hopf-Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zusammen mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Kooperation| |Kontext=Hopf| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der kommutativen {{math|term= K|SZ=-}}Algebra {{math|term= R|SZ=.}} Wir betrachten die beiden {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= N |R| H {{tensor|K}} R || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die Kooperation| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= \iota_2 |R| H {{tensor|K}} R |r| 1 {{tensor|}} r |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ math/disp|term= {{mengebed| r \in R| N (r) {{=}} \iota_2(r) }} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Unterring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5swzn2orjf235u93fim96ov2tnmojy2 0 56760 781829 755732 2022-08-21T23:00:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} eine kommutative {{math|term= K|SZ=-}}Algebra, auf der eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Definiere{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Kooperation| |Kontext=Hopf| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= H={{op:Abbildungsmenge|G|K}} |SZ=}} auf {{math|term= R|SZ=}} derart, dass man über die zugehörige Operation der Spektren die ursprüngliche Operation zurückgewinnt. |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R^G|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring zur Kooperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{{zusatz1|}}} übereinstimmt{{{zusatz2|}}}. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ln94zeofag6i54u8cb572xigcvefrfq 0 56761 782690 756469 2022-08-22T01:24:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} eine Menge, auf der eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |X|Y || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in eine weitere Menge {{math|term= Y|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath=G |invariant| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn das Diagramm {{ math/disp|term= G \times X \stackrel{\nu, p_2}{\longrightarrow} X \longrightarrow Y |SZ= }} kommutiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} syfd9g642r49zb2zl3mg6pip2f45fsr 0 56812 782310 756156 2022-08-22T00:20:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |flach| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der flachen Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jvg0luzr2dxw74craivn8udk0v6pxwe 0 56813 784607 758123 2022-08-22T06:34:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R_S|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |flach| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5lzpfglscd6fzdenmiouv3dtcri7vu9 0 56815 779635 751683 2022-08-21T17:00:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomringen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= A=R[X_1 {{kommadots|}} X_m]|SZ=}} und {{mathl|term= B=R[Y_1 {{kommadots|}} Y_n]|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |A {{tensor|R}} B ||R[X_1 {{kommadots|}} X_m,Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] || || || |SZ=. }} Die Vorgabe {{mathl|term= X_i \mapsto X_i {{tensor|}} 1|SZ=}} und {{mathl|term= Y_j \mapsto 1 {{tensor|}} Y_j|SZ=}} definiert den {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R[X_1 {{kommadots|}} X_m,Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] | A {{tensor|R}} B || |SZ=. }} Die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= |A \times B| R[X_1 {{kommadots|}} X_m,Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] |(a,b)| a \cdot b |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath=R |bilinear| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und definiert {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Tensorprodukt/Moduln/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |A {{tensor|R}} B |R[X_1 {{kommadots|}} X_m,Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] || |SZ=. }} Beide Abbildungen sind invers zueinander. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem kommutativen Ring |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m6send2t43ea4elrfq7azpt2kl1s9vm 0 56824 781898 755798 2022-08-21T23:11:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man jede Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=h |X \times Y|K || |SZ= }} in der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |h || \sum_{i{{=}} 1}^n f_i \cdot g_i || || || |SZ= }} mit Funktionen {{ Ma:abb |name=f_i |X|K || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=g_i |Y|K || |SZ= }} schreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4vx9q688xn9yv0pcz5kvwrhdfc9hp4u 0 56826 784742 758207 2022-08-22T06:53:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man nicht jede Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=h |\N \times \N|K || |SZ= }} in der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |h || \sum_{i{{=}} 1}^n f_i \cdot g_i || || || |SZ= }} mit Funktionen {{ Ma:abb |name=f_i |\N|K || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=g_i |\N|K || |SZ= }} schreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gf4ho9wct1de1gqgz0o28gxzs7rzary 0 56854 779627 751678 2022-08-21T16:59:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} und {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugten| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= A=R[X_1 {{kommadots|}} X_m]/ {{ideala|}} |SZ=}} und {{mathl|term= B=R[Y_1 {{kommadots|}} Y_n]/ {{idealb|}} |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |A {{tensor|R}} B ||R[X_1 {{kommadots|}} X_m,Y_1 {{kommadots|}} Y_n ]/( {{ideala|}} + {{idealb|}} ) || || || |SZ=. }} Dies wird ähnlich wie die Isomorphie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Polynomringe/Tensorprodukt/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} begründet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3mzfncr60evzpb72p5tzrsuyh3nrikj 0 56855 778557 762479 2022-08-21T12:20:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1). Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |U \times M| V {{tensor|R}} M |(u,m)| \varphi(u) {{tensor|}} m |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath=R |bilinear| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und induziert daher einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |U {{tensor|R}} M |V {{tensor|R}} M || |SZ=. }} (2). Die Surjektivität der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |V {{tensor|R}} M |W {{tensor|R}} M || |SZ= }} ist klar, da die {{mathl|term= w {{tensor|}} m |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulerzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= W {{tensor|R}} N|SZ=}} bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | V {{tensor|R}} M / {{op:Bild| {{makl| U {{tensor|R}} M |}} |}} |\cong| W {{tensor|R}} M || || || |SZ= }} nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also {{ Ma:abbele/disp |name= |W \times M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=R |multilineare Abbildung| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einen {{math|term= R|SZ=-}}Modul {{math|term= N|SZ=.}} Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |V \times M|N || |SZ= }} und damit eine {{math|term= R|SZ=-}}lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{\psi} | V {{tensor|R}} M| N || |SZ= }} vor. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi ( {{op:Bild| U}} \times M) || 0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\tilde{\psi} {{makl| {{op:Bild| U}} {{tensor|R}} M |}} ||0 || || || |SZ= }} und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung {{ Ma:abbele/disp |name= | V {{tensor|R}} M / {{op:Bild| {{makl| U {{tensor|R}} M |}} |}} |N || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ebor8k8ln8fo9vrhxqpzasi8mu45iky 0 56863 779278 770661 2022-08-21T16:03:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{mathl|term= D=\chi\leftrightarrow G=G_m=K^x|SZ=}} {{mathl|term= K[X_n,\ldots,X_m]|SZ=}} {{mathl|term= d(X_i=1|SZ=}} {{math|term= t|SZ=}} operiert durch Skalarmultipliktion {{mathl|term= d(X_i)=d\leftrightarrow \begin{pmatrix} t^{d_1} & & &\\ & \ddots & & 0\\ 0 & & \ddots &\\ & & & t^{d_n} \end{pmatrix} |SZ=}} {{ inputbild |8_1|svg|400px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbild |8_2|svg|400px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbild |8_3|svg|400px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=,}} {{mathl|term= d(X)=1,\, d(x)=2|SZ=}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=unfertig }} s8lf1lmjfu6g03f2h34qo11gj0r1nqm 0 56891 783288 756990 2022-08-22T03:03:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Skalarmultiplikation {{ Ma:abbele/disp |name= |R \times M|M |(r,m)|rm |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath=R |bilinear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} in1295lz74pxg3lue7363fzv646aj66 0 56893 778561 762483 2022-08-21T12:21:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Multiplikationen auf {{ mathkor|term1= A |bzw. auf|term2= B |SZ= }} führen zu {{ Definitionslink |Prämath=R |linearen Abbildungen| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\mu_A |A {{tensor|R}} A|A || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\mu_B |B {{tensor|R}} B|B || |SZ=. }} Dies ergibt eine {{ Definitionslink |Prämath=R |bilineare Abbildung| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{makl| A {{tensor|R}} A |}} \times {{makl| B {{tensor|R}} B |}} | A {{tensor|R}} B || |SZ= }} und damit zu einer {{math|term= R|SZ=-}}linearen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \mu | {{makl| A {{tensor|R}} A |}} {{tensor|R}} {{makl| B {{tensor|R}} B |}} | A {{tensor|R}} B || |SZ=. }} Aufgrund der {{ Faktlink |Präwort=|Kommutativität des Tensorprodukts|Faktseitenname= Moduln/Tensorprodukt/Grundlegende Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} können wir dies als eine {{math|term= R|SZ=-}}lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \mu | {{makl| A {{tensor|R}} B |}} {{tensor|R}} {{makl| A {{tensor|R}} B |}} | A {{tensor|R}} B || |SZ=}} auffassen, wodurch eine Multiplikation auf {{mathl|term= A {{tensor|R}} B |SZ=}} definiert wird. Diese Multiplikation wird auf den zerlegbaren Tensoren explizit durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| a_1 {{tensor|}} b_1 |}} \cdot {{makl| a_2 {{tensor|}} b_2 |}} || a_1a_2 {{tensor|}} b_1b_2 || || || |SZ= }} und allgemein durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl|\sum_{i {{=}} 1}^m a_i {{tensor|}} b_i |}} \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 1}^n c_j {{tensor|}} d_j |}} || \sum_{i,j } a_ic_j {{tensor|}} b_ib_j || || || |SZ= }} gegeben. Die bisherige Überlegung sichert, dass dies wohldefiniert ist. Der Nachweis, dass durch diese Multiplikation das Tensorprodukt zu einem kommutativen Ring wird, erfolgt über diese explizite Beschreibung, wobei man sich auf die zerlegbaren Elementen beschränken kann. Dass Ringhomomorphismen vorliegen ergibt sich ebenfalls aus der expliziten Beschreibung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 37ci6ggspaqc76j9vaw9grnt8yo0be3 0 56895 784362 757995 2022-08-22T06:01:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= U,V,W|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |U {{tensor|R}} V |\cong|V {{tensor|R}} U || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |U {{tensor|R}} {{makl| V {{tensor|R}} W |}} |\cong| {{makl| U {{tensor|R}} V |}} {{tensor|R}} W || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |U {{tensor|R}} {{makl| V \oplus W |}} |\cong| {{makl| U {{tensor|R}} V |}} \oplus {{makl| U {{tensor|R}} W |}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tgjsjgfg94gh2cjq4s9tae1izv9qzn7 0 56913 779511 763606 2022-08-21T16:40:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum Restklassenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= \delta |\Z| {{op:Zmod|\ell|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} ist der Kern durch {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma ||\Z \ell || || || |SZ= }} gegeben. Die zugehörige Operation ist die von {{mathl|term= {{op:Einheitswurzelgruppe|\ell|{{CC}}}} |SZ=}} auf {{math|term= {{CC}}|SZ=}} durch Multiplikation mit dem einzigen Fixpunkt {{math|term= 0|SZ=}} bzw. fixpunktfrei auf {{math|term= {{op:Einheiten|{{CC}}|}} |SZ=.}} Die Quotientenabbildung ist durch das {{math|term= \ell|SZ=-}}te Potenzieren {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |z|z^\ell |SZ=, }} gegeben. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentalgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Einheiten|{{CC}}|}} |SZ=}} ist bekanntlich {{math|term= \Z|SZ=.}} Hier kann man {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht anwenden, da der Raum, auf dem fixpunktfrei operiert wird, nämlich {{ Ma:Vergleichskette |{{op:Einheiten|{{CC}}|}} || {{CC}} \setminus \{0\} || || || || |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |einfach zusammenhängend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8s9svfbvxpbtgjb1je54pe5te4c8yzr 0 56917 779513 752626 2022-08-21T16:40:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:abbele/disp |name=\delta |\Z^3| {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= \delta(e_1) = (1,0),\, \delta(e_2) = (0,1),\, \delta(e_3) = (1,1) |SZ= }} festgelegte {{ Definitionslink |Prämath= |Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= {{CC}}[U,V,W]|SZ=.}} Die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= {{CC}}^3|SZ=}} ist durch die Matrizen {{ math/disp|term= {{op:Diagonalmatrix3|1|1|1}} ,\, {{op:Diagonalmatrix3|1|-1|-1}} ,\, {{op:Diagonalmatrix3|-1|1|-1}} ,\, {{op:Diagonalmatrix3|-1|-1|1}} |SZ= }} gegeben. Die drei letzten Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^3 \setminus \{0\}|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dagegen ist die Operation auf {{ Ma:Vergleichskette |X ||{{CC}}^3 \setminus Z || || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette |Z ||{{CC}} e_1 \cup {{CC}} e_2 \cup {{CC}} e_3 || || || |SZ= }} die Vereinigung der Achsen bezeichnet, frei. Da {{math|term= Z|SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=komplexe| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink/- |Prämath= |Kodimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}} besitzt, ist {{math|term= X|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |einfach zusammenhängend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Invariantenring ist {{mathl|term= {{CC}}[U^2,V^2,W^2,UVW]|SZ=}} mit der Relation {{ Ma:Vergleichskette | (UVW)^2 || U^2V^2W^2 || || || |SZ=. }} Daher ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Fundamentalgruppe von {{mathl|term= {{op:Spek|{{CC}}[U^2,V^2,W^2,UVW]|}}_{{CC}} \setminus q(Z) |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9m5di9qubezmtyjmvhq7uiifbji3djs 0 56918 779512 752625 2022-08-21T16:40:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:abbele/disp |name=\delta |\Z^2| {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= \delta(e_1) = (1,0),\, \delta(e_2) = (0,1) |SZ= }} festgelegte {{ Definitionslink |Prämath= |Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= {{CC}}[U,V]|SZ=.}} Die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} ist durch die Matrizen {{ math/disp|term= {{op:Diagonalmatrix2|1|1}} ,\, {{op:Diagonalmatrix2|1|-1}} ,\, {{op:Diagonalmatrix2|-1|1}} ,\, {{op:Diagonalmatrix2|-1|-1}} |SZ= }} gegeben. Die beiden mittleren Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^2 \setminus \{0\}|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |frei| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Operation auf {{ Ma:Vergleichskette |X ||{{CC}}^2 \setminus Z || || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette |Z ||{{CC}} e_1 \cup {{CC}} e_2 || || || |SZ= }} das Achsenkreuz bezeichnet, ist frei, doch besitzt {{math|term= Z|SZ=}} die {{ Definitionslink/- |Prämath= |Kodimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=}} in der Ebene. Der Invariantenring ist {{mathl|term= {{CC}}[U^2,V^2]|SZ=,}} ein Polynomring in zwei Variablen, {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist in diesem Fall nicht anwendbar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t3yhxmtb5z4y8ylw69tke75ge45w501 0 56920 780145 752425 2022-08-21T18:17:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:abbele/disp |name=\delta |\Z^2| {{op:Zmod|\ell|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= \delta(e_1) = 1 ,\, \delta(e_2) = \ell -1 |SZ= }} gegebene Graduierung auf {{mathl|term= {{CC}}[U,V]|SZ=,}} die der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrizen {{ math/disp|term= {{op:Diagonalmatrix2|\zeta^{i}|\zeta^{-i} }} ,\, i = 1 {{kommadots|}} \ell-1 |SZ= }} zu einer {{math|term= \ell|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |primitiven Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} entspricht, vergleiche dazu auch {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Zyklische Gruppe/Einheitswurzel-SL2-Darstellung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Der Kern ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Gamma || \langle \ell e_1, e_1+e_2 \rangle || || || |SZ= }} und das Monoid durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | M || \langle \ell e_1, \ell e_2, e_1+e_2 \rangle || || || |SZ= }} gegeben, der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{mathl|term= {{CC}}[X,Y,Z]/{{makl| XY-Z^\ell |}} |SZ=.}} Die Bedingungen von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Zyklische Gruppe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind dabei erfüllt, es ist also {{mathl|term= 0 \in {{CC}}^2|SZ=}} der einzige Fixpunkt und die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^2 \setminus \{0\}|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher kann man {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also {{ math/disp|term= {{op:Spek|{{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY - Z^\ell |}} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |SZ=, }} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|\ell|}} |SZ=}} ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf dem Differenzengitter| |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |\Gamma {{=}} {{op:Kern|\delta|}} | \Z || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= \gamma(\ell e_1) =1,\, \gamma( e_1+e_2) = 0 \text{ und } \gamma(\ell e_2) =-1 |SZ= }} gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach {{math|term= \Z^2|SZ=}} fortsetzen, allerdings lässt sich das {{math|term= \ell|SZ=-}}fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY - Z^\ell |}} |{{CC}}[T,T^{-1}] || |SZ= }} mit {{mathl|term= \varphi(X)= T|SZ=,}} {{mathl|term= \varphi(Y)= T^{-1} |SZ=}} und {{mathl|term= \varphi(Z)=1|SZ=,}} was wiederum der stetigen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|{{CC}}|}} | {{op:Spek| {{CC}}[X,Y,Z]/(XY - Z^\ell)|}}_{{CC}} {{=|}} V {{makl| XY-Z^\ell |}} | t| (t,t^{-1},1) |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ins punktierte Spektrum| |ISZ=|ESZ= }} entspricht. Somit ist {{ Ma:abbele/disp |name= |[0,2 \pi]| {{op:Spek| {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY - Z^\ell |}} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |s| {{op:Zeilenvektor|e^{ {{Imaginäre Einheit|}} s}|e^{- {{Imaginäre Einheit|}} s}|1}} |SZ=, }} ein Erzeuger der {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Fundamentalgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieses Monoidringes. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o29cdr9nk4zpaqjlktpg452u1lt87gv 0 56922 780039 752312 2022-08-21T18:01:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:abbele/disp |name=\delta |\Z^{{{n|n}}}| {{op:Zmod|\ell|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= \delta(e_j) = 1 \text{ für alle } j |SZ= }} gegebene Graduierung auf {{mathl|term= {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]|SZ=,}} die der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrizen {{ math/disp|term= {{op:Diagonalmatrix5|\zeta^{ {{{i|i}}} } | \zeta^{ {{{i|i}}} } |\ddots|\zeta^{ {{{i|i}}} } | \zeta^{ {{{i|i}}} } |}} ,\, i =1 {{kommadots|}} \ell-1 |SZ=, }} zu einer {{math|term= \ell|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |primitiven Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} entspricht. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Operation der {{math|term= \ell|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Veronese-Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term={{CC}}[X_1 {{kommadots}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)}|SZ=.}} Die Bedingungen von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Zyklische Gruppe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind dabei erfüllt, es ist also {{mathl|term= 0 \in {{CC}}^{{{n|n}}}|SZ=}} der einzige Fixpunkt und die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^{{{n|n}}} \setminus \{0\}|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher kann man bei {{ Ma:Vergleichskette | {{{n|n}}} | \geq | 2 || || || |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also {{ math/disp|term= {{op:Spek|{{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}} ]^{(\ell)} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |SZ=, }} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|\ell|}} |SZ=}} ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf dem Differenzengitter| |ISZ=|ESZ= }} durch den Homomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |\Gamma {{=}} {{op:Kern|\delta|}} | \Z || |SZ= }} gegeben, der die Erzeuger {{math|term= e_j|SZ=}} des umgebenden {{math|term= \Z^{{{n|n}}}|SZ=}} auf {{math|term= {{op:Bruch|1|\ell}} |SZ=}} abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf {{math|term= 1|SZ=}} abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}} ]^{(\ell)} |{{CC}}[T,T^{-1}] || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi {{makl| X^\nu |}} ||T^{ {{op:Bruch|{{op:Betrag|\nu||}} |\ell }} } || || || |SZ= }} für alle Monome {{math|term= X^\nu|SZ=}} aus dem Veronese-Ring {{ Zusatz/Klammer |text=die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome {{ mathbed|term= X^{\nu} ||bedterm1= {{op:Betrag| \nu|}} {{=}} \ell ||bedterm2= |SZ=, }} werden einfach auf {{math|term= W|SZ=}} abgebildet| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|{{CC}}|}} | {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |}}_{{CC}} | t| (t : \, {{op:Betrag|\nu|}} {{=}} \ell ) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ins punktierte Spektrum| |ISZ=|ESZ=. }} Somit ist {{ Ma:abbele/disp |name= |[0,2 \pi]| {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |s| {{makl| e^{ {{Imaginäre Einheit|}} s } :\, {{op:Betrag|\nu|}} {{=}} \ell |}} |SZ=, }} ein Erzeuger der {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Fundamentalgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Veronese-Ringes. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2=Theorie der Veronese-Unterringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fn3rfxe89l7kcp40glh6dkjhs9ojlet 0 56931 784494 758068 2022-08-22T06:18:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf der eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen| |Kontext=Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| A^{(s)} |}}^G || {{makl| A^G |}}^{(s)} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Veronese-Unterringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a12wi7riwxrffufvem49i541vak4281 0 56932 783727 757372 2022-08-22T04:17:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= d_1 {{kommadots|}} d_r|SZ=}} seien ganze Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheitswurzelgruppe|\ell|K}} | {{op:GLG|r|K}} |t| {{op:Diagonalmatrix5|t^{d_1}|t^{d_2}|\ddots|t^{d_{r-1} }|t^{d_r} }} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen |Kategorie2=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tallqbk4p4vq8dyxct1e3vph01bxhhb 0 56934 783084 756829 2022-08-22T02:29:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch den {{ Definitionslink |Prämath= |Kegel| |Kontext=polyedrisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |C || {{mengebed| av+bw|a,b \in \R_{\geq 0} }} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |v || {{op:Spaltenvektor|3|2}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |w ||{{op:Spaltenvektor|2|5}} || || || |SZ= }} bestimmt ist. Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} derart, dass der Monoidring der {{ Definitionslink |Prämath= |Ring der neutralen Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rn6lg56ahmbqect479y9k1yqex6yoyb 0 56936 782204 756073 2022-08-22T00:02:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zur durch einen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\delta |\Z^2| {{op:Zmod|3|}} || |SZ= }} bestimmten {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Zmod|3|}} |Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= K[U,V]|SZ=}} den Ring der neutralen Stufe in Abhängigkeit von {{math|term= \delta|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 53bxqhp457e0dwwq1avmxefeve8z23p 0 56937 784673 758174 2022-08-22T06:43:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normaler Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die {{ Definitionslink |Prämath= |neutrale Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_0|SZ=}} normal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Integritätsbereiche |Kategorie2=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rcjgplxrgfgqcb47cd4e4wssxd6hb11 0 56938 781799 755705 2022-08-21T22:55:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ganz| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über der {{ Definitionslink |Prämath= |neutralen Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g2oy2d4l4c3bvpsgqdazh2klpwzbn5b 0 56940 780684 754802 2022-08-21T19:49:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die natürliche Operation der {{ Definitionslink |Prämath= |alternierenden Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A_n|SZ=}} auf dem {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=.}} Für welche {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]^{A_n} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie2=Theorie der alternierenden Gruppen |Kategorie3=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mnjvtgnhce5fi3kqmpbtvdh9bzdlos4 0 56942 785968 759110 2022-08-22T10:07:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Reduktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R|R/ {{idealn|}}_R || |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2=Theorie der Reduktion (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0w08qybfo4n88pd1xt244kvu5oklxgd 0 56943 782317 756159 2022-08-22T00:21:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |positiven Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= p >0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R|R |f|f^p |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2=Der Frobeniushomomorphismus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ck3uslbv7wjou8gc29cgv2tt4bx3hwf 0 56945 785189 758534 2022-08-22T08:00:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass bei {{mathl|term= R \subset R[X]|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |going-up| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=- }}Eigenschaft nicht gelten muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 68vgn0cvqgsxzmhlcfws6nwx91dhzfh 0 56946 785197 758543 2022-08-22T08:02:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Ringerweiterung {{mathl|term= R \subseteq R[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem kommutativen Ring |Kategorie3=Theorie der Faserringe |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rinp5wco39u81be32ssze9loywuso22 0 56959 779279 770664 2022-08-21T16:03:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{mathl|term= D\longrightarrow K/n|SZ=}} Operation von {{mathl|term= \langle\xi_n\rangle|SZ=}} auf {{math|term= K^n|SZ=}} {{ Aufzählung3 |in zwei Variablen {{mathl|term= d(x)=1|SZ=}} {{mathl|term= d(y)=n-1|SZ=}} {{mathl|term= d(x)=??? x|SZ=}} {{math|term= \xi|SZ=}} operiert durch {{mathl|term= \begin{pmatrix} \xi & 0\\ 0&\xi^{n-1}\end{pmatrix}|SZ=}} Invariantenring: {{ math/disp|term= v_1d_1+v_2d_2=0\text{ in } K/n |SZ= }} {{ math/disp|term= v_1+v_2(n-1)=0\text{ in } K/n |SZ= }} Lösungen: {{ math/disp|term= \begin{array}{c} (n,0)\\ (0,n)\\ (1,1)\end{array} \rightsquigarrow K[X^n,Y^n,XY] |SZ= }} {{ math/disp|term= K[X^n,Y^n,XY]\cong K[U,V,W]/(UV-W^n) |SZ= }} {{math|term= A|SZ=-}}Singularitäten {{math|term= A_{n-1}|SZ=-}}Quotientensingularitäten | {{mathl|term= d(x)=1=d(y)|SZ=}} in {{mathl|term= K/n|SZ=}} {{mathl|term= \begin{pmatrix} \xi & 0\\ 0&\xi^{n-1}\end{pmatrix}|SZ=}} {{mathl|term= v_1+v_2=0|SZ=}} in {{mathl|term= K/n|SZ=}} Lösungen: {{ math/disp|term= \begin{array}{c} (n,0)\\ (n-1,1)\\ \vdots\\(1,n-1)\\ (0,n)\end{array} \rightsquigarrow K[X^n,X^{n-1}Y,X^{n-2}y^2,\ldots,y^n] |SZ= }} Veronesering {{math|term= \rightsquigarrow|SZ=}} nach Gleichungen | }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=unfertig }} qbeh7vdncoyq02rknopv2b9lb4snki6 0 56963 782700 756480 2022-08-22T01:25:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und damit auf {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= {{idealp|}} \in {{op:Spek|R|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Stabilisator| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G_{{idealp|}} |SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} und auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Restekörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \kappa( {{idealp|}} )|SZ=}} in natürlicher Weise operiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxos1ylhmx0hhra91rmax88sby5luth 0 56970 783978 757612 2022-08-22T04:59:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spek|R_{{idealp|}} |}} |SZ=}} einer {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} an einem {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der affinen Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iepdmlryy66n0s60u1agoadlwknx869 0 56972 786338 759415 2022-08-22T11:08:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |R|S || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} und es sei {{mathl|term= {{idealp||}} \in {{op:Spek|S|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es natürliche Ringhomomorphismen {{ Ma:abbele/disp |name= |R_{ \varphi^{-1}( {{idealp|}} )}| S_{{idealp|}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= |\kappa {{makl| \varphi^{-1}( {{idealp|}} ) |}} | \kappa {{makl| {{idealp|}} |}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |Restekörpern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lvhv586667ksm1t4dcsfytdewmy61wg 0 56973 783980 757613 2022-08-22T04:59:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ= }} und sei {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|{{ideala}} || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn für alle {{ Definitionslink |Lokalisierungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=}} gilt, dass {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{ideala}} R_{{idealp}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Idealzugehörigkeit |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kuiv4relx6rwwqyygdex4b1ebqkuinv 0 56976 782697 756477 2022-08-22T01:25:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Nullideal {{mathl|term= (0) \in {{op:Spek|R|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkt| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Operation von {{math|term= G|SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2jyg5wrjjoaze7evo17em3co9esd5h2 0 56977 780588 754739 2022-08-21T19:33:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=.}} Wir betrachten die Operation von {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Spek|K[T]|}} |SZ=,}} wobei das nichttriviale Element durch {{mathl|term= T \mapsto -T|SZ=}} operieren möge. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkte| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Operation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6cf0kvxamtf81kui7hvpmb8d5usgqln 0 56978 782687 756465 2022-08-22T01:23:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} auf einer Menge {{math|term= M|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn für jeden Punkt {{mathl|term= x \in M|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Stabilisator| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G_x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |trivial| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j15vs0lszob293fxguufiwop9jom6ir 0 56979 783871 757500 2022-08-22T04:41:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkte| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Operationen auf {{mathl|term= {{op:Spek|{{CC}}[X,Y]|}} |SZ=,}} die durch folgende Untergruppen {{math|term= G|SZ=}} der {{mathl|term= {{op:GLG|2|{{CC}}}} |SZ=}} gegeben sind. {{ Aufzählung5 | {{mathl|term= G= {{op:GLG|2|{{CC}}}}|SZ=,}} |{{mathl|term= G= {{op:SLG|2|{{CC}}}}|SZ=,}} | {{mathl|term= G= {{op:Einheiten|{{CC}}|}}={{op:Einheiten|{{CC}}|}} \cdot {{op:Matrix22|1|0|0|1}} |SZ=.}} | {{mathl|term= G|SZ=}} die Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen. |{{mathl|term= G |SZ=}} die Gruppe der reellen Drehmatrizen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} thxw52rdz0k2hlpkgn5gzmhv52jvqc5 0 56982 786336 759411 2022-08-22T11:08:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\sigma |R|R || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{mengebed|f-f \sigma|f \in R}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} eine Untergruppe von {{math|term= (R,+)|SZ=}} ist, aber im Allgemeinen kein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringhomomorphismen |Kategorie2=Idealtheorie (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k1z7yz79otb4r9rbbx8cfm21s0l0y32 0 56983 786334 759409 2022-08-22T11:08:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\sigma |R|R || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{mengebed|f-f \sigma|f \in R}} || || || |SZ= }} und betrachten ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass aus {{mathl|term= M \subseteq {{idealp|}} |SZ=}} folgt, dass {{mathl|term= {{idealp|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkt| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter der {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \sigma|SZ=}} ist, und dass davon nicht die Umkehrung gelten muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mmmjg4hulzmd8hz0ziasmvczslfvsla 0 56984 786335 759410 2022-08-22T11:08:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\sigma |R|R || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der abgeschlossenen Fixpunkte der {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \sigma^* | {{op:Spek|R|}} | {{op:Spek|R|}} || |SZ= }} gleich der Menge der abgeschlossenen Punkte in {{mathl|term= V(M)|SZ=}} mit {{mathl|term= M= {{mengebed|f-f\sigma|f \in R|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2=Theorie der K-Algebra-Automorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m15shxpb0hzz77q1qoai47piesieuz7 0 56985 782699 756479 2022-08-22T01:25:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf {{math|term= R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} operiere. Es sei {{math|term= {{idealm|}} \in {{op:Spek|R|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das unter der zugehörigen Gruppenoperation auf {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkt| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Aufgabelink |Präwort=nach||Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Spektrum/Stabilisator auf Restekörper/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zugehörige Operation von {{math|term= G|SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Restekörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \kappa( {{idealm|}} ) |SZ=}} trivial ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dxan70iso0l5omb5q9w927qyny9n9yt 0 56987 782698 756478 2022-08-22T01:25:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= {{idealp|}} \in {{op:Spek|R|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkt| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der zugehörigen Operation auf {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Teilmenge| |Kontext=Zariski| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V( {{idealp|}} ) |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=G |invariant| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gpgg6npohtzqslv3808rd3rv98f12d5 0 56999 783265 756969 2022-08-22T02:59:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= 2 \in {{op:Einheiten|R|}} |SZ=,}} auf dem die Gruppe {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= R|SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Zmod|2|}} |Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen kann derart, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |neutrale Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nfykhixf2hlk7n00mgunltuply76wzj 0 57005 782957 756701 2022-08-22T02:08:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |R|S || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiver| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereichen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Krulldimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Ringe sei endlich und gleich. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= \varphi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Krulldimension |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hcxlquxn973nwclcu0w6l43pe9za4dk 0 57015 781986 755878 2022-08-21T23:26:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe, dass {{mathl|term= K[x,y] \subseteq K[x,y,z]/(xy-z^n)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wie sieht es über {{mathl|term= K[x,z]|SZ=}} bzw. {{mathl|term= K[y,z]|SZ=}} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owmkq3mroutqxa83e9hutv80hafciql 0 57016 781987 755879 2022-08-21T23:26:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}}, dass {{mathl|term= K[y,z] \subseteq K[x,y,z]/(x^2+yz^2+z^{m+1})|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wie sieht es über {{mathl|term= K[x,y]|SZ=}} bzw. {{mathl|term= K[x,z]|SZ=}} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m927gtcw2fbnhfk9bz2psnil6i0l30i 0 57018 782938 756681 2022-08-22T02:05:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |integre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf dem eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\chi |G| {{op:Einheiten|K|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Charakter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= R^G_\chi|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath=R^G |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Semiinvarianten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= R^G_\chi \neq 0|SZ=}} vorausgesetzt. Zeige, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath=R^G |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |R^G|R^G_\chi || |SZ= }} derart gibt, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} nach {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an einem Element {{ mathbed|term= f \in R^G ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qijyrp8tkt97zq5wo2wnj2ed4xq2ao3 0 57019 783041 756798 2022-08-22T02:22:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf dem eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\chi |G| {{op:Einheiten|K|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Charakter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem {{mathl|term= f \in R|SZ=}} die Summe {{ math/disp|term= \sum_{\sigma \in G} {{op:Bruch|f \sigma| \chi(\sigma)}} |SZ= }} zu {{mathl|term= R^G_\chi|SZ=}} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ttb0oi928brc65n0zbe5xd8gw7wn7om 0 57020 782629 756401 2022-08-22T01:13:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[U,V]|SZ=}} sei mit der {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Zmod|n|}} |Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen, bei der {{math|term= U|SZ=}} den Grad {{math|term= 1|SZ=}} und {{math|term= V|SZ=}} den Grad {{math|term= -1|SZ=}} bekommt. Zeige{{n Sie}}, dass die Stufen {{ mathbed|term= R_d ||bedterm1= d \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=als {{ Definitionslink |Prämath=R_0 |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} nicht isomorph zu {{mathl|term= R_0|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxt7yoorsnowzk6k43quw5adb9l79kf 0 57034 784677 758178 2022-08-22T06:44:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M \subseteq \Gamma =\Z^n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normales| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |spitzes| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= \Gamma|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Differenzengitter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} sei. Es sei {{mathl|term= C= \R_{\geq} M \subseteq \R^n|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Kegel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass bei {{mathl|term= n=2|SZ=}} dieser Kegel durch zwei Halbräume {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. Linearformen| |ISZ=|ESZ= }} beschreibbar ist, und dass bei {{mathl|term= n=3|SZ=}} jede Anzahl an Halbräumen {{mathl|term= r \geq n|SZ=}} auftreten kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2=Theorie der rationalen Kegel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k5tiku58js2hzfwps5482grxqgk5raa 0 57036 782631 756403 2022-08-22T01:14:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= A= \bigoplus_{d \in D} A_d|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |graduierter| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= A_e|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthalte. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A_e|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=A_0 |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} isomorph zu {{math|term= A_0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mhq1m37a789b7e27ifw9izw1lwtsz9z 0 57040 784425 758026 2022-08-22T06:09:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Monoide| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebraisomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R[M \times N] |\cong| R[M] {{tensor|R}} R[N] || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9greed7uyinhdr5uiupfqrshdwgplyt 0 57043 782622 756394 2022-08-22T01:12:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{mathl|term= A=\bigoplus_{d\in D} A_d|SZ=}} und {{mathl|term= B=\bigoplus_{e\in E} B_e|SZ=}} kommutative {{ Definitionslink |Prämath= |graduierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{ mathkor|term1= D |und|term2= E |SZ= }} kommutative Gruppen seien. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A {{tensor|R}} B|SZ=}} in natürlicher Weise eine {{mathl|term= D \times E|SZ=-}}Graduierung trägt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ld0fg94w7ui3bp1j0pubfgrxquto449 0 57047 786328 759403 2022-08-22T11:07:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebrahomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} in natürlicher Weise auch auf den {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= A {{tensor|R}} A|SZ=,}} {{mathl|term= A {{tensor|R}} A {{tensor|R}} A|SZ=,}} etc. operiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fz4pb5uwhpiexss5jm0vbn7fwuz1gcr 0 57048 779799 751916 2022-08-21T17:23:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reeller Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Körperwechsel/Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath=\R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC}}|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_{{CC}} | {{defeq|}} | {{CC}} {{tensor|\R}} V || || || |SZ=, }} nennt man die {{Stichwort|Komplexifizierung|SZ=}} von {{math|term= V|SZ=.}} Wenn {{math|term= V|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} besitzt, so besitzt {{math|term= V_{{CC}}|SZ=}} als komplexer Vektorraum ebenfalls die Dimension {{math|term= n|SZ=.}} Wenn man {{math|term= V_{{CC}}|SZ=}} als reellen Vektorraum betrachtet, so besitzt er die {{ Definitionslink |Prämath= |reelle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Dimension {{math|term= 2n|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplexen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9m8z4uo21jjzg72fr8bjjptvt5ffrv3 0 57053 782696 756475 2022-08-22T01:25:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{math|term= A,B|SZ=}} kommutative {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf {{math|term= R,A,B|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei die Operationen mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Strukturhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |verträglich| |Kontext=Gruppenoperation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} in natürlicher Weise auf {{mathl|term= A {{tensor|R}} B |SZ=}} operiert. |Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | A^G {{tensor|R^G}} B^G| {{makl| A {{tensor|R}} B |}}^G || |SZ= }} gibt. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel, das zeigt, dass der Ringhomomorphismus aus (2) kein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein muss. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie2=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aj2mw0ql7dxqstouzbo3pnxlb52skf7 0 57066 783711 757358 2022-08-22T04:14:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= L {{tensor|K}} L|SZ=}} kein Körper sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte für kommutative Algebren über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8q2cyqsqyzv97rf6qjsvg06jme683lt 0 57067 779839 763775 2022-08-21T17:29:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |R|S || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi^* | {{op:Spek|S|}} | {{op:Spek|R|}} || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{idealp|}} \in {{op:Spek|R|}} |SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi^*|SZ=}} über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Spek| \kappa( {{idealp|}} ) {{tensor|R}} S|}} |SZ=.}} Dies folgt aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | \kappa( {{idealp|}} ) {{tensor|R}} S || R_{{idealp|}}/ {{idealp|}} R_{{idealp|}} {{tensor|R}} S |\cong| {{makl| S/ {{idealp|}} |}}_{ \varphi(R \setminus {{idealp|}} )} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tensorprodukt/Moduln/Nenneraufnahme/Ideal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und der Beschreibung der Faser in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r8szhge9zkcnmgsvqdw5aizeu6h2uxb 0 57088 779515 752628 2022-08-21T16:41:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= {{{k|k}}}\in \N_+|SZ=}} fixiert. Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq|\Z^2 || || || |SZ=, }} das durch die Vektoren {{ math/disp|term= (0,1),\, (1,1),\, (2,1) {{kommadots|}} (k-1,1),\, (k,1) |SZ= }} erzgeut wird. Das {{ Definitionslink |Prämath= |Differenzengitter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Monoids ist der umgebende {{math|term= \Z^2|SZ=.}} Das Monoid kann man auch mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Kegel| |Kontext=rational| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschreiben, und zwar mit dem durch die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Linearformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \pi_1= (1,0)|SZ=}} und {{mathl|term= \pi_2=(-1,{{{k|k}}})|SZ=}} festgelegten Kegel {{math|term= C|SZ=.}} Für die Gleichheit {{mathl|term= M=C \cap \Z^2|SZ=}} muss man sich klar machen, dass man jeden Gitterpunkt innerhalb des Kegels als eine additive Kombination der vorgegebenen {{mathl|term= {{{k|k}}}+1|SZ=}} Vektoren schreiben kann. Insbesondere ist somit das Monoid {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir wollen dieses Monoid mit einer Graduierung im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Zusammenhang/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschreiben. Dazu fassen wir die beiden Linearformen zu einer {{ Zusatz/Klammer |text=injektiven| |ISZ=|ESZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |\Z^2|\Z^2 || |SZ= }} zusammen, wobei für die Standardvektoren {{ Ma:Vergleichskette | \pi(1,0) ||( 1,-1) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \pi(0,1) ||( 0,{{{k|k}}}) || || || |SZ= }} gilt {{ Zusatz/Klammer |text=die Bilder der erzeugenden Vektoren {{mathlk|term=(j,1)|SZ=}} sind {{ Ma:Vergleichskette |\pi(j,1) || (j,k-j) || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist also {{ Ma:Vergleichskette | \pi(\Z^2) || \Delta ||\langle (1,-1), (0,{{{k|k}}}) \rangle || |SZ= }} und dies ist auch der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter dem surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\delta |\Z^2| {{op:Zmod|{{{k|k}}}|}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \delta(e_1) ||\delta(e_2) || 1 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie3=Theorie der Veronese-Unterringe |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qkg3zozzgt1d8ph4aq86nqwhytr41u5 0 57092 786331 759406 2022-08-22T11:07:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf dem eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf dem {{math|term= G|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} operiere, wobei die beiden Operationen {{ Definitionslink |Prämath= |verträglich| |Kontext=Modul Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Fixmodul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V^G|SZ=}} ein {{math|term= R^G|SZ=-}}Modul. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} np2s2wqxcmvd18gj3luizkhzztpow4w 0 57095 786327 759402 2022-08-22T11:07:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf dem eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R^G|SZ=.}} Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R^G |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= R {{tensor|R^G}} M|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |durch Ringwechsel gewonnene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=-}}Modul. Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |verträgliche Operation| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} auf {{mathl|term= R {{tensor|R^G}} M|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt, und dass es eine natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M| {{makl| R {{tensor|R^G}} M |}}^G || |SZ= }} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass unter der Bedingung, dass {{math|term= R^G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |direkter Summand| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} ist, diese Abbildung injektiv ist, und dass dies ohne diese Voraussetzung nicht gelten muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1x19bh13o19xchwrm1efx3ezbmxqfh 0 57101 779514 763608 2022-08-21T16:40:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=aufgefasst als Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abb |name= |\Z^4|\Z || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{mathl|term= K[U_1,U_2,V_1,V_2]|SZ=,}} bei der {{math|term= U_1,U_2|SZ=}} den Grad {{math|term= 1|SZ=}} und {{math|term= V_1,V_2|SZ=}} den Grad {{math|term= -1|SZ=}} bekommen. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Graduierung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Z^3 |\cong| \Delta | {{defeq|}} |\langle {{op:Spaltenvektor|1|0|1|0}},\,{{op:Spaltenvektor|1|0|0|1}},\, {{op:Spaltenvektor|0|1|1|0}} \rangle |\subset|\Z^4 || |SZ=. }} Das Monoid wird zusätzlich von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|0|1|0|1}} |SZ=}} erzeugt. Wir berechnen die Linearformen, die im Sinne des Beweises der Rückrichtung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Zusammenhang/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} den Kegel im {{math|term= \R^3|SZ=}} beschreiben, der das Monoid festlegt. Diese Linearformen ergeben sich durch die vier Projektionen des {{math|term= \R^4|SZ=}} eingeschränkt auf {{math|term= \R^3|SZ=}} mit der obigen Einbettung. Dies ergibt die Linearformen {{ math/disp|term= \pi_1= (1,1,0),\, \pi_2=(0,0,1),\, \pi_3=(1,0,1),\, \pi_4 =(0,1,0) |SZ=. }} Die Erzeuger dieses Kegels im {{math|term= \R^3|SZ=}} sind {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|0|0}},\,{{op:Spaltenvektor|0|1|0}},\, {{op:Spaltenvektor|0|0|1}},\, {{op:Spaltenvektor|-1|1|1}} |SZ=. }} Sie werden durch {{math|term= \pi|SZ=}} auf die oben erwähnten Monoiderzeuger abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardquadrik in vier Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 75fk6a7voe14xy63fxid9xqm9cxm988 0 57105 782608 756373 2022-08-22T01:10:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=,}} {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=|ESZ= }} und {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierte| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=-}}Algebra. Zeige{{n Sie}} {{mathl|term= 1 \in A_0|SZ=}} und {{ManSie|folgere|folgern Sie}}, dass {{math|term= A_0|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Unteralgebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9iiiiylnjwqnype0q8bjxx4chgofu62 0 57106 786326 759401 2022-08-22T11:06:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= R|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Ferner liege eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} vor. Zeige{{n Sie}}, dass auf dem {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R {{tensor|K}} V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |verträgliche Operation| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie2=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rffdg9xrpfn26dnigwwjvta658ojvym 0 57108 782854 756620 2022-08-22T01:51:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X]|SZ=}} durch {{ Ma:abbele/disp |name=\Delta |K[X]| K[X] {{tensor|K}} K[X] \cong K[X,Y] |X| X {{tensor|}}1 + 1 {{tensor|}} X {{=}} X+Y |SZ=, }} durch {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]|K |X|0 |SZ=, }} und durch {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]|K[X] |X|-X |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erklärt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0vvmyq2ojcqdzyw6o2qvsobgc9di96n 0 57109 782856 756622 2022-08-22T01:51:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auf {{mathl|term= K[X,X^{-1}] \cong K[X]_X|SZ=}} durch {{ Ma:abbele/disp |name=\Delta |K[X,X^{-1}]| K[X,X^{-1}] {{tensor|K}} K[X,X^{-1}] \cong K[X,X^{-1},Y,Y^{-1}] |X| X {{tensor|}}1 \cdot 1 {{tensor|}} X {{=}} X \cdot Y |SZ=, }} durch {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X,X^{-1}]|K |X|1 |SZ=, }} und durch {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X,X^{-1}]|K[X ,X^{-1}] |X|X^{-1} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erklärt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3aegd30fe91xyau8u5oeiagi6jo7b4z 0 57110 784465 758056 2022-08-22T06:15:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= H=K[X,X^{-1}]=K[X]_X|SZ=}} sei mit der in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Multiplikative Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eingeführten {{ Zusatz/Klammer |text=multiplikativen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Hopf-Algebrastruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Zeige{{n Sie}}, dass zu einer kommutativen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |induzierte Gruppenstruktur| |Kontext=Hopf, L| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= {{op:Einheiten|L|}} \cong {{makl| {{op:Spek|H|}} |}} (L)|SZ=}} mit der Multiplikation übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kkgfwr7jc3zpd1ko4k8urtoukap27gr 0 57111 780547 753001 2022-08-21T19:26:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= H=K[X ] |SZ=}} sei mit der in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Additive Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eingeführten {{ Zusatz/Klammer |text=additiven| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Hopf-Algebrastruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Zeige{{n Sie}}, dass zu einer kommutativen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |induzierte Gruppenstruktur| |Kontext=Hopf, L| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= L \cong {{makl| {{op:Spek|H|}} |}} (L)|SZ=}} mit der Addition auf {{math|term= L|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kzx91jiqmd7fd0h6jwbk4syn1wvr0q7 0 57112 781343 755417 2022-08-21T21:39:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{R|R}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{{R|R}}}[D]|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kommutative Gruppe/Gruppenring/Hopf-Algebra/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= A|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath={{{R|R}}} |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Es liege eine {{ Definitionslink |Prämath=D |Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=als {{math|term= {{{R|R}}}|SZ=-}}Algebra| |ISZ=|ESZ= }} vor. Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= |A| {{{R|R}}}[D] {{tensor|{{{R|R}}}|}} A |a_d| T^d {{tensor||}} a_d |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath={{{R|R}}} |Kooperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{{R|R}}}[D] |SZ=}} auf {{math|term= A|SZ=}} festgelegt wird. |Es liege eine {{math|term= {{{R|R}}}|SZ=-}}Kooperation {{ Ma:abbele/disp |name=N | A| {{{R|R}}}[D] {{tensor|{{{R|R}}}|}} A || |SZ= }} von {{mathl|term= {{{R|R}}}[D] |SZ=}} auf {{math|term= A|SZ=}} vor. Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |A_d | {{defeq|}} | {{mengebed|a \in A| T^d {{tensor|}} a {{=}} N(a) }} || || || |SZ= }} eine {{math|term= D|SZ=-}}Graduierung auf {{math|term= A|SZ=}} festgelegt wird. |Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnungen aus (1) und (2) invers zueinander sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Gruppenringe |Kategorie2=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1klmzycsjgydebonhq814et5zplqqmh 0 57114 783158 756874 2022-08-22T02:42:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[D]|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} zu einer kommutativen {{math|term= K|SZ=-}}Algebra {{math|term= L|SZ=}} die Gruppe {{mathl|term= {{makl| {{op:Spek| K[D]|}} |}} (L)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Gruppenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iat4g6u3h3r3x0lczo3t3vs6dkjb0x7 0 57118 786621 737614 2022-08-22T11:55:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{opsyn|End|V|tief=|hoch=}} |K |\varphi| {{op:Spur|\varphi|}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath=K |linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9fiar3jb4xnq6dyrdoe45tok01eziae 0 57142 784413 758023 2022-08-22T06:08:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M \subseteq \Z^n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normales| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |spitzes| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugtes| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[M]|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |positive Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der positiv-graduierten Algebren |Kategorie2=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l5vz8w6ip55tw37txm8f3jejk328sca 0 57179 786601 759620 2022-08-22T11:52:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math/disp|term=K[X,Y]/(XY)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz (affin-algebraische Kurve) |Stichwort=Achsenkreuz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bh13mlmfblnip1yjl4hholdt96fcs6i 0 57181 782876 756639 2022-08-22T01:55:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=,}} {{mathl|term= {{ideala|}} \subseteq R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= M \subseteq R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} \cap M || \emptyset || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} mit dem {{ Faktlink |Präwort=|Lemma von Zorn|Faktseitenname= Ordnungstheorie/Lemma von Zorn/Kurzübersicht/Textabschnitt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass es dann auch ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq| {{idealp|}} || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} \cap M || \emptyset || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Existenztheorie für Primideale in kommutativen Ringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g8qc9z7wiv77tp80d2w646nqqbjqqe9 0 57206 784970 758399 2022-08-22T07:27:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= P \in {{CC}}[X]|SZ=}} ein nichtkonstantes {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |z| P(z) |SZ=, }} die Eigenschaft besitzt, dass {{ Definitionslink |Prämath= |Urbilder| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkten Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= T \subseteq {{CC}}|SZ=}} beschränkt sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g58o5mh7ngf4wp1iikqwx5duogm40m5 0 57207 784972 758400 2022-08-22T07:28:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_k \in {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} Polynome mit der Eigenschaft, dass der dadurch definierte {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}[Y_1 {{kommadots|}} Y_k] |{{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_n] |Y_j|F_j |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |ganz| |Kontext=Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}^n|{{CC}}^k |(x_1 {{kommadots|}} x_n)|(F_1(x_1 {{kommadots|}} x_n) {{kommadots|}} F_k (x_1 {{kommadots|}} x_n) ) |SZ=, }} die Eigenschaft besitzt, dass {{ Definitionslink |Prämath= |Urbilder| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkten Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= T \subseteq {{CC}}^k|SZ=}} wieder beschränkt sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lofxp2s1ro0d1ga7zab7cw9cpphxuel 0 57208 781156 755197 2022-08-21T21:08:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es auf dem {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:KSpek|R|K={{CC}}}} |SZ=}} eine {{Stichwort|natürliche Topologie|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|komplexe Topologie|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} gibt, die im Falle des Polynomringes {{mathl|term= {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} mit der metrischen Topologie auf dem {{math|term= {{CC}}^n|SZ=}} übereinstimmt. Zeige{{n Sie}} ferner, dass zu einem {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |R|S || |SZ= }} zwischen endlich erzeugten {{math|term= {{CC}}|SZ=-}}Algebren {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} die induzierte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:KSpek|S|K={{CC}}}} | {{op:KSpek|R|K={{CC}}}} || |SZ= }} stetig in der natürlichen Topologie ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sqq9bgdklxv5get37g7ot4j1bl0fswl 0 57209 781823 755726 2022-08-21T22:59:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf dem {{math|term= {{CC}}^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear operiere| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= S={{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_n ]^G|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{CC}}^n \backslash G|SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Bildtopologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Zusatz/Klammer |text=euklidischen| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= {{CC}}^n|SZ=,}} mit dem {{math|term= {{CC}}|SZ=-}}Spektrum {{mathl|term= {{op:KSpek|K={{CC}}|S}} |SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |natürlichen Topologie| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie2=Theorie der Gruppenoperationen auf affinen Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7o5nin214elol1k45xmvsretbadmywn 0 57929 779598 763666 2022-08-21T16:54:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X_1 {{kommadots|}} X_n]| K[Y_1 {{kommadots|}} Y_m] |X_i|P_i |SZ=, }} gegeben. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wird die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{mathl|term= (X_1-a_1 {{kommadots|}} X_n-a_n) |SZ=}} durch {{mathl|term= V(P_1-a_1 {{kommadots|}} P_n-a_n)|SZ=}} beschrieben. Ein {{math|term= K|SZ=-}}Punkt {{mathl|term= (Y_1-b_1 {{kommadots|}} Y_m-b_m)|SZ=}} gehört zu dieser abgeschlossenen Menge genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |P_i(b_1 {{kommadots|}} b_m) ||a_i || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |i ||1 {{kommadots|}} n || || || |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o2nbdq0ulf4c0x6xp5jsjarj9ef5eea 0 57930 779602 763668 2022-08-21T16:55:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Spek|\Z[X]|}} | {{op:Spek|\Z|}} || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (p)|SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | V(p \Z[X] ) || {{op:Spek| \Z [X] /p \Z[X] |}} || {{op:Spek| {{op:Zmod|p|}} [X] |}} || || |SZ=. }} Über dem Nullideal {{mathl|term= (0)|SZ=}} ist die Faser gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spek|(\Z[X])_{\Z \setminus \{0\} }|}} || {{op:Spek|\Q[X] |}} || || || |SZ=. }} In jedem Fall ist also die Faser gleich {{mathl|term= {{op:Spek|K[X]|}} |SZ=,}} wenn {{math|term= K|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Restekörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Primideal bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} slhawqelaeqq4xj1jxvq8wzl8i2db3m 0 57933 785808 758976 2022-08-22T09:41:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= \Q[X] \subseteq \R[X]|SZ=.}} Welche sind endlich? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2=Theorie der Faserringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e99smupo8x80sderinwcwnmtnj7v0ba 0 57974 781456 755467 2022-08-21T21:58:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= R|SZ=}} und {{math|term= S|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Ringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |direkter Summand| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= S|SZ=}} sei, sagen wir {{mathl|term= S=R \oplus V|SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M \subseteq R|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |S_M || R_M \oplus V_M || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summanden |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4xfd1ge9ouy3agk465j4aa2908ewt0c 0 57975 781455 755466 2022-08-21T21:58:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= R|SZ=}} und {{math|term= S|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Ringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |direkter Summand| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= S|SZ=}} sei, sagen wir {{mathl|term= S=R \oplus V|SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= I \subseteq R|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |S /IS || R/I \oplus V/IV || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der direkten Summanden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bhbvcdc9xmhjc47qxcbk09efkf9e4yi 0 58078 779275 748873 2022-08-21T16:02:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= Q(R)|SZ=}} und einem {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} erhält man im {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= Q(R) {{tensor|R}} M|SZ=}} einen Modul über dem Quotientenkörper {{math|term= Q(R)|SZ=,}} also einen {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dieser Vektorraum trägt häufig schon wesentliche Informationen über den Modul. Seine {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nennt man auch den {{Stichwort|Rang|SZ=}} des Moduls. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2zh8b5a0dfvds1e75pmbgg88hrmidld 0 58079 779304 763396 2022-08-21T16:07:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu jeder {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{{H|H}}}|SZ=}} und jedem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} enthält man im {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R {{tensor|\Z}} {{{H|H}}}|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wenn {{math|term= {{{H|H}}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugt| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Zerlegung {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche den {{ Faktlink |Präwort=|Hauptsatz über endlich erzeugte kommutative Gruppen|Faktseitenname= Gruppentheorie/Kommutativ/Endlich erzeugt/Hauptsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{{H|H}}} |\cong|\Z^r \times {{op:Zmod|n_1|}} {{timesdots|}} {{op:Zmod|n_s|}} || || || |SZ= }} vorliegt, so ist der tensorierte Modul die direkte Summe aus {{mathl|term= R^r|SZ=}} und den {{ Ma:Vergleichskette/disp | R {{tensor|\Z}} {{op:Zmod|n_j|}} |\cong| R/(n_jR) || || || |SZ=, }} wobei deren Gestalt von der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Ringes abhängt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie2=Theorie der endlich erzeugten kommutativen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ba9ab7pwzpdr7kh80x6nu1mk8ez3qya 0 58081 779277 763364 2022-08-21T16:03:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und es sei {{math|term= R^G|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann gehört zu jedem {{math|term= R^G|SZ=-}}Modul {{math|term= M|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R {{tensor|R^G}} M|SZ=.}} Auf diesem {{math|term= R|SZ=-}}Modul operiert die Gruppe {{math|term= G|SZ=}} in natürlicher und mit der Operation auf {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |verträglichen| |Kontext=Operation Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Weise, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Ring/Gruppenoperation/Ringwechsel zu Modul/Verträglich/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie2=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f18nas7ex3tqu4t7pjq975t9g7e1kjp 0 58085 781457 755468 2022-08-21T21:58:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Ringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= R \subseteq S|SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |direkter Summand| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jeden {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} die natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M|S {{tensor|R}} M || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summanden |Kategorie2=Theorie der reinen Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o5jk10qci8rtsrzefzwgofr7zcyvfs2 0 58092 781798 755704 2022-08-21T22:55:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{H|H}}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{{H|H}}} |\cong|\Z^r \times {{op:Zmod|n_1|}} {{timesdots|}} {{op:Zmod|n_s|}} || || || |SZ= }} eine direkte Zerlegung {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=n_j \in \N_+|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}} mit Hilfe des {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorproduktes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dass die Zahl {{math|term= r|SZ=}} in jeder direkten Zerlegung von {{math|term= {{{H|H}}}|SZ=}} gleich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlich erzeugten kommutativen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jqq04mij7b7qsh0q2i8fq05bc50woke 0 58144 786603 759622 2022-08-22T11:52:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |R|S || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi^* | {{op:Spek|S|}} | {{op:Spek|R|}} || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} |\in| {{op:Spek|S|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Spek| R {{tensor|S|}} \kappa( {{idealp|}} )|}} |SZ=}} ist, wobei {{mathl|term= \kappa( {{idealp|}} ) |SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Restekörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie3=Theorie der Faserringe |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} asjhbxx87en3pcf2utb4yq85l3idxfo 0 58145 785205 758548 2022-08-22T08:03:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi^* | {{op:Spek|K[X]|}} | {{op:Spek|K[X]|}} || |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K[X]|K[X] |X|X^n |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Fasern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu jedem Punkt {{mathl|term= {{idealp|}} \in {{op:Spek|K[X]|}} |SZ=.}} Worin unterscheiden sich die Fasern, welche Eigenschaften sind für jede Faser gleich? Wie viele Isomorphietypen der Fasern gibt es bei {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0sxbi9rhxp52m7ngsgusgdfeiibmsmr 0 58194 780681 754799 2022-08-21T19:48:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |alternierende Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A_n|SZ=}} in ihrer natürlichen Realisierung in {{mathl|term= {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Pseudoreflektionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Pseudoreflektionen |Kategorie2=Theorie der alternierenden Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h8wpp1u7t7nev9kikuj9f6pb190co7u 0 58210 782692 756471 2022-08-22T01:24:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Gruppenoperation/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Isotropiegruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu zwei {{ Definitionslink |Prämath= |äquivalenten| |Kontext=Bahn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Elementen {{mathl|term= x,y\in M|SZ=}} in natürlicher Weise {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} skvvookme9qifdq5itl6wb5egrr7ani 0 58280 779880 752034 2022-08-21T17:36:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} lässt sich die skalare Multiplikation auf dem {{mathl|term= {{{K|K}}}^n|SZ=}} bzw. auf dem Polynomring {{mathl|term= R= {{{K|K}}}[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} folgendermaßen als eine {{ Definitionslink |Prämath= |Kooperation| |Kontext=Hopf| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= H= {{{K|K}}}[U,U^{-1}] |SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikativen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} realisieren: Man definiert die Kooperation durch {{ Ma:abbele/disp |name= |{{{K|K}}}[X_1 {{kommadots|}} X_n] | {{{K|K}}}[U,U^{-1}] {{tensor|{{{K|K}}} }} {{{K|K}}}[X_1 {{kommadots|}} X_n] |X_i| U {{tensor|}} X_i |SZ=. }} Ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Punkt| |Kontext=wertig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= H {{tensor|K}} R|SZ=}} ist dabei nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Produkteigenschaft/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch einen {{math|term= K|SZ=-}}Punkt von {{math|term= H|SZ=}} und einen {{math|term= K|SZ=-}}Punkt von {{math|term= R|SZ=}} gegeben, also durch eine Einheit {{mathl|term= t \in {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} und ein {{math|term= n|SZ=-}}Tupel {{mathl|term= (a_1 {{kommadots|}} a_n) \in {{{K|K}}}^n|SZ=}} festgelegt. Dieser wird unter der Kooperation wie gewünscht auf {{mathl|term= (ta_1 {{kommadots|}} ta_n) |SZ=}} abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2=Theorie der affinen Gruppenschemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mh2xldtl4q8201j8g4tah566vwxqr71 0 58282 779892 763819 2022-08-21T17:38:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |spezielle lineare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird als {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |H ||K[X_{ij},\, 1 \leq i,j \leq n]/(D-1) || || || |SZ= }} festgelegt, wobei {{math|term= D|SZ=}} die Determinante in den Variablen {{mathl|term= X_{ij}|SZ=}} bezeichnet. Die Komultiplikation, die Koeinheit und das Koinverse sind wie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Allgemeine lineare Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu wählen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2=Theorie der speziellen linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r0g2oen2ekidyj2g2c7evuxo1w3rwg4 0 58318 783866 757492 2022-08-22T04:40:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= G \subseteq {{op:GLG|n|{{CC}}}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=komplex| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= {{CC}}^n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Phi(w,z) | {{defeq|}} | {{op:Bruch|1| {{op:Anzahl|G|}} }} \sum_{ \sigma \in G} {{op:Skalarprodukt| \sigma w|\sigma z}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=komplex| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{CC}}^n|SZ=}} definiert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24bqayk29x4s7bhss5izjd0b8b4roi7 0 58325 778532 762463 2022-08-21T12:17:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} |S^2 || |SZ= }} die explizite Homöomorphie zwischen der komplex-projektiven Geraden und der {{ Definitionslink |Prämath=2 |Sphäre| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S^2|SZ=.}} Durch {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:GLG|2|{{CC}}}} | {{opsyn|Aut|S^2|tief=|hoch=}} |\sigma| \varphi^{-1} \sigma \circ \varphi |SZ=, }} erhält man einen Gruppenhomomorphismus der allgemeinen linearen Gruppe in die Gruppe der stetigen Automorphismen {{ Zusatz/Klammer |text=also der Homöomorphismen| |ISZ=|ESZ= }} der Sphäre. Eine explizite Rechnung für {{mathl|term= \sigma \in {{op:SUG|2|{{CC}}}} |SZ=}} zeigt, dass der zugehörige Homöomorphismus von einer linearen Abbildung der angegebenen Gestalt herrührt. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=Zur Surjektivität.|Teilstrategie= |Teilbeweis= Für {{mathl|term= v=0|SZ=}} und {{mathl|term= u=a+b {{Imaginäre Einheit|}}|SZ=}} mit {{mathl|term= a^2+b^2=1|SZ=}} geht die Matrix links auf {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|1 |0|0 |0|a^2-b^2|-2ab|0|2ab|a^2-b^2|}} |SZ=. }} Wenn man {{mathl|term= s= {{op:cos|\alpha|}} |SZ=}} und {{mathl|term= t={{op:sin|\alpha|}} |SZ=}} vorgibt und {{mathl|term= a= {{op:Bruch|\sqrt{s+1} |\sqrt{2} }} |SZ=}} und {{mathl|term= b = \pm {{op:Bruch|\sqrt{1-s} |\sqrt{2} }} |SZ=}} setzt {{ Zusatz/Klammer |text=das Vorzeichen ist geeignet zu wählen| |ISZ=|ESZ=, }} so wird die Matrix zu {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|1 |0|0|0| {{op:cos|\alpha|}} |- {{op:sin|\alpha|}}|0| {{op:sin|\alpha|}} | {{op:cos|\alpha|}}|}} |SZ=, }} d.h. sie beschreibt die Drehung um den Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse. Diese Drehung liegt also im Bild der Abbildung. Indem man die Rollen von {{mathl|term= a,b,c,d|SZ=}} ändert, sieht man, dass auch die Drehungen um die beiden anderen Koordinatenachsen im Bild der Abbildung liegen. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Raumisometrie/Drehung um Koordinatenachsen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} lässt sich jede Isometrie als eine Verknüpfung von Drehungen um die Koordinatenachsen erhalten. Also ist die Abbildung surjektiv. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zur Bestimmung des Kerns addieren wir jeweils die beiden Einträge der Matrix, die nicht auf der Diagonalen liegen und symmetrisch zur Diagonalen sind. Dies ergibt die Bedingungen {{ Ma:Vergleichskette | bc ||bd ||cd ||0 || |SZ=. }} Die Differenzen von je zwei Einträgen der Diagonalen ergibt die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette |b^2 ||c^2 ||d^2 ||0 || |SZ=, }} woraus insgesamt {{ Ma:Vergleichskette |b ||c ||d ||0 || |SZ= }} folgt. Die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette |a^2 ||1 || || || |SZ= }} führt dann zu den beiden Elementen im Kern. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} noz7un3lc2j0n6rbvvjehm8q7rxol1t 0 58335 781620 579191 2022-08-21T22:25:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Matrix {{ math/disp|term= F= {{op:Bruch|1| \sqrt{5} }} {{op:Matrix22|- \xi + \xi^4|\xi^2-\xi^3| \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:SUG|2|{{CC}}}} |SZ=}} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qsjehweujdflnt8m0mifuydc3f5mtva 0 58336 781946 579192 2022-08-21T23:19:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Zyklische Gruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binäre Diedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Untergruppe der binären Oktaedergruppe/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen Gruppen bereits Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SUG|2|{{CC}}}} |SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jog693p5gbpz73008b4exbjft19uvrp 0 58337 782794 756560 2022-08-22T01:41:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbert-Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= K[X,Y]/(X^3,Y^5,X^2Y^2)|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardgraduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbert-Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ezetpgy65dei87gw3nwhx49wxit8u43 0 58339 785237 758569 2022-08-22T08:07:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |positiv-graduierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbert-Reihen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | H(A {{tensor|K}} B ) || H(A) \cdot H(B) || || || |SZ= }} besteht, wobei {{mathl|term= A {{tensor|K}} B |SZ=}} mit der natürlichen {{math|term= \N|SZ=-}}Graduierung {{ Zusatz/Klammer |text=wie sieht die aus?| |ISZ=|ESZ= }} versehen sei. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbert-Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4f79yxkna6kky91t70pc50jsl5l2ik0 0 58340 782793 756559 2022-08-22T01:41:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |positiv-graduierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbert-Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} genau dann ein Polynom ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Krulldimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} null ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbert-Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejfzosxra0d3fgktt9kqna0wsvj6czo 0 58341 785236 758568 2022-08-22T08:07:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |positiv-graduierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= \ell \in \N|SZ=.}} Welche Beziehung besteht zwischen der {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbert-Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} und der Hilbert-Reihe des {{math|term= \ell|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Veronese-Ringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R^{(\ell)}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbert-Reihen |Kategorie2=Theorie der Veronese-Unterringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oodbakfq8qofrp7rqgmrbohb55ryxwa 0 58343 782084 755972 2022-08-21T23:42:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n \in R|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |A ||R[T_1 {{kommadots|}} T_n ]/(f_1T_1 {{plusdots|}} f_nT_n) || || || |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebrastruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= A|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2=Theorie der erzwingenden Algebren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 297ptzoapoj8wa6oa84j0lfbt5vnk48 0 58344 782085 755973 2022-08-21T23:43:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n, f \in R|SZ=.}} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |A ||R[T_1 {{kommadots|}} T_n ]/(f_1T_1 {{plusdots|}} f_nT_n) || || || |SZ=, }} versehen mit der in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Erzwingende Algebra/Homogen/Hopf-Algebrastruktur/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} diskutierten {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebrastruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |B ||R[T_1 {{kommadots|}} T_n ]/(f_1T_1 {{plusdots|}} f_nT_n + f) || || || |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Kooperation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=}} auf {{math|term= B|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2=Theorie der erzwingenden Algebren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} reao30u60ezr1q5r9ysgb1s3ogq1jf0 0 58345 785198 758544 2022-08-22T08:02:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= A=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebrastruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= A|SZ=}} derart, dass zu jeder kommutativen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L|SZ=}} ein natürlicher {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Spek|K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|}}|}} (L) |\cong|(L^n,+) || || || |SZ= }} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0q7wc6lczq4soq5n0zatm5pr4wsml7j 0 58394 786604 759623 2022-08-22T11:53:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |spezielle lineare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:SLG|n|K}} |SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Pseudoreflektionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Pseudoreflektionen |Kategorie2=Theorie der speziellen linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8mw8d39w8miptjwvj38aixlq2sdl5ac 0 58497 781783 755687 2022-08-21T22:52:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |freier Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem Polynomring {{mathl|term= K[E_1 {{kommadots|}} E_n] |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |elementarsymmetrischen Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der symmetrischen Polynome |Kategorie2=Der Satz von Chevalley-Shephard-Todd |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7o15qmk3603h6nui98vznljprn51z49 0 58499 782307 756154 2022-08-22T00:20:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_m \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} und {{mathl|term= G_1 {{kommadots|}} G_k \in K[Y_1 {{kommadots|}} Y_m] |SZ=}} Polynome. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |H_i ||G_i(F_1 {{kommadots|}} F_m) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |formalen partiellen Ableitungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{Anführung|formale Kettenregel}} {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Jacobimatrix|n|k|{{{H|H}}}|X|}} || {{op:Jacobimatrix|m|k|{{{G|G}}}|Y| }} {{makl| {{op:Bruch|F_j|Y_j}} |}} \circ {{op:Jacobimatrix|n|m|{{{F|F}}}|X| }} || || || |SZ= }} erfüllen, wobei der Ausdruck {{mathl|term= {{op:Bruch|F_j|Y_j}}|SZ=}} bedeutet, dass die Variablen {{math|term= Y_j|SZ=}} durch die Polynome {{math|term= F_j|SZ=}} zu ersetzen sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i23j9v0v3agnide2i291olr8h5uvz41 0 58500 782838 756605 2022-08-22T01:48:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= H \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=in der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardgraduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= {{{e|e}}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{{e|e}}} H || X_1 {{op:Partielle Ableitung|H|X_1}} {{plusdots|}} X_n {{op:Partielle Ableitung|H|X_n}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2=Theorie der homogenen Polynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pb6gj55pvm6pv28f2paynsrbe31cbcn 0 58507 785554 758805 2022-08-22T08:58:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} {{mathl|term= \sigma \in {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Pseudoreflektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= G|SZ=}} die von {{math|term= \sigma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} direkt, dass der Invariantenring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]^G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=Körper n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Pseudoreflektionen |Kategorie2=Der Satz von Chevalley-Shephard-Todd |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3m8sskrolqb8crngwhjb7jjn7ioyigb 0 58508 781826 755729 2022-08-21T22:59:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |Reflektionsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} und eine nichttrivale Untergruppe {{mathl|term= H \subseteq G|SZ=,}} die keine {{ Definitionslink |Prämath= |Pseudoreflektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Pseudoreflektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9uxcv7aj193kxibaobg6gft0ryhr5j6 0 58510 780635 754766 2022-08-21T19:41:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und seien {{mathl|term= {{{Q|Q}}}_1 {{kommadots|}} {{{Q|Q}}}_n \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch unabhängige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Polynome. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante(| {{makl| {{op:Partielle Ableitung| {{{Q|Q}}}_i |X_j}} |}}_{ij} |}} |\neq|0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fw7417kzjeqqrwxuxt3rvzfz5sddmtk 0 58511 785555 758806 2022-08-22T08:58:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele {{ Definitionslink |Prämath= |Pseudoreflektionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält die {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeine lineare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG|2|{\mathbb F}_3}} |SZ=}} über dem Körper {{math|term= {\mathbb F}_3|SZ=}} mit drei Elementen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Pseudoreflektionen |Kategorie2=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 3 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7oz7kceu1ya91dh6u3z93yga3a8ctcy 0 58523 785171 758520 2022-08-22T07:58:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=Körper n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardgraduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{mathl|term= Q, P_1 {{kommadots|}} P_m \in R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Polynome| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ math/disp|term= Q \in K[P_1 {{kommadots|}} P_m] |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ mathl|term= Q \in K[P_j, \, j \in J ] |SZ=, }} wobei der Grad der {{ mathbed|term= P_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} maximal gleich dem Grad von {{math|term= Q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gi599uduie57u0r8s9sd9kasoqni4ff 0 58826 781359 755378 2022-08-21T21:42:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Diedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= D_2|SZ=}} isomorph zur {{ Definitionslink |Prämath= |Kleinschen Vierergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diedergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Kleinsche Vierergruppe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6gsyh6khhxvzkw5qvngv4xmedfym7im 0 58829 781360 755379 2022-08-21T21:42:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Diedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= D_3|SZ=}} isomorph zur {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_3|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diedergruppen |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7pz34wgfrtnvxi5e7qd1g68vnk70s5g 0 59005 781135 413957 2022-08-21T21:04:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die rechteckige Grundseite {{ Zusatz/Klammer |text=Unterseite| |ISZ=|ESZ= }} eines Bootes {{ Zusatz/Klammer |text=unter Wasser| |ISZ=|ESZ= }} habe die Breite {{math|term= 2{\rm m}|SZ=}} und die Länge {{math|term= 10{\rm m}|SZ=,}} die {{ Zusatz/Klammer |text=ebenfalls rechteckige| |ISZ=|ESZ= }} Deckseite {{ Zusatz/Klammer |text=Oberseite| |ISZ=|ESZ= }} habe die Breite {{math|term= 3{\rm m}|SZ=}} und die Länge {{math|term= 12{\rm m}|SZ=,}} wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand {{math|term= 2{\rm m}|SZ=}} besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung {{mathl|term= 12.000 {\rm kg}|SZ=.}} Der Tiefgang des Bootes soll maximal {{math|term= 1,5{\rm m}|SZ=}} betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2=Integrationstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aj8f2eluf2w6ey91qrqc0an8485z23t 0 59020 780697 754810 2022-08-21T19:51:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|x|y}}' = {{op:Spaltenvektor|t^2x -xy|t^3 +x^2}} \text{ mit } x(0)=1 \text{ und } y(0)=0 |SZ= }} durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung {{math|term= 4|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nwq0v807fogq54bl18789e7hs3kearb 0 59025 781194 755240 2022-08-21T21:14:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|- {{op:Bruch|1|2}}| {{op:Bruch|1|4}}|- 3|- {{op:Bruch|1|2}} }} || || || |SZ= }} über {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8of39llp5kqbim0oslneym7ug21gfj 0 59027 781684 427006 2022-08-21T22:36:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die reelle Ebene {{math|term= \R^2|SZ=}} ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt {{math|term= M=(0,0)|SZ=}} und Radius {{math|term= 3|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || {{mengebed|(x,y) \in \R^2| \sqrt{x^2+y^2} \geq 3 }} || || || |SZ=. }} Eine Person befindet sich im Punkt {{mathl|term= A=(5,0)|SZ=}} und möchte zum Punkt {{mathl|term= B=(-5,0)|SZ=,}} wobei sie sich nur in {{math|term= T|SZ=}} bewegen darf. a) Zeige{{n Sie}}, dass die Person von {{math|term= A|SZ=}} nach {{math|term= B|SZ=}} entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge {{math|term= 12,5|SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass die Person von {{math|term= A|SZ=}} nach {{math|term= B|SZ=}} entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal {{math|term= 11,9|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=4 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dsqa14f37o5rgfqdby3ht2g6y57255b 0 59030 781026 641192 2022-08-21T20:46:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktionen {{ math/disp|term= B_0(t) = (1-t)^{2},\, B_1(t) = 2t(1-t) \text{ und } B_2(t) =t^2 |SZ=. }} Es seien {{mathl|term= v_0,v_1,v_2 \in \R^n|SZ=}} drei Vektoren. Wir definieren die Kurve {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(t) | {{defeq|}} | B_0(t)v_0 + B_1(t) v_1 + B_2(t) v_2 || || || |SZ=. }} a) Berechne {{ mathkor|term1= f(0) |und|term2= f(1) |SZ=. }} b) Berechne {{mathl|term= f'(t)|SZ=.}} c) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= f'(0)|SZ=}} ein Vielfaches von {{mathl|term= v_1-v_0|SZ=}} und {{mathl|term= f'(1)|SZ=}} ein Vielfaches von {{mathl|term= v_2-v_1|SZ=}} ist. d) Skizziere{{n Sie}} für {{mathl|term= v_0=(0,1)|SZ=,}} {{mathl|term= v_1=(1,1)|SZ=}} und {{mathl|term= v_2=(2,0)|SZ=}} das Bild der Kurve {{mathl|term= f(t)|SZ=}} für {{mathl|term= 0 \leq t \leq 1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lu959jxnt4r0vrch9puov9x59a13w6n 0 59033 784825 758278 2022-08-22T07:05:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wende{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf die {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2|1|0}} ,\, {{op:Spaltenvektor|1|0|-1}},\, {{op:Spaltenvektor|0|0|3}} |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0n315s20q5m54n04l9yn456xl5n1168 0 59045 783595 757247 2022-08-22T03:54:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und sei {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow L \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow 0 }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= L,M,N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dies zu einer exakten Sequenz {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:Dualer Modul|N|}} \longrightarrow {{op:Dualer Modul|M|}} \longrightarrow {{op:Dualer Modul|L|}} |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |dualen Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} führt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der dualen Moduln |Kategorie2=Theorie der kurzen exakten Sequenzen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9fa82pck52saaxvitjhvu8uq24e3dzr 0 59047 782955 756699 2022-08-22T02:08:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Integritätsbereich/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Torsionsmodul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |duale Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Dualer Modul|M|}}=0 |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modultheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der dualen Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t031xkuc2m2xonxc8vcb84hwkwicn9l 0 59053 783829 738523 2022-08-22T04:34:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\Z^n|\Z^m || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |injektiver| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{Kurze exakte Sequenz/disp|\Z^n| \Z^m | D|abblm=\varphi}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= D|SZ=}} endlich ist. Zeige{{n Sie}}, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz {{ math/disp|term= 0 \cong {{op:Hom| D |\Z|\Z}} \longrightarrow \Z^n \cong {{op:Hom| \Z^n |\Z|\Z}} \longrightarrow \Z^n \cong {{op:Hom|\Z^n |\Z|\Z}} \longrightarrow E \longrightarrow 0 |SZ= }} führt, wobei {{math|term= E|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= D|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlich erzeugten kommutativen Gruppen |Kategorie2=Theorie der kurzen exakten Sequenzen (kommutative Gruppen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 20513jbjxwnl3ud9v1mnydw9w8zrfl8 0 59061 786108 759264 2022-08-22T10:31:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= G \subseteq {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} eine nichttriviale {{ Definitionslink |Prämath= |Reflektionsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu einer fixpunktfreien, offenen {{ Definitionslink |Prämath=G |invarianten Teilmenge| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= U \subseteq K^n|SZ=}} das Komplement {{mathl|term= K^n \setminus U|SZ=}} eine Dimension {{mathl|term= \geq n-1|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Pseudoreflektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b75wdygf6u0rja94wsb86ld3vhsnipk 0 59068 780612 753038 2022-08-21T19:37:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |affine Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=partiell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i6a2463tszou9utpq42d4p91fw8mc6d 0 59070 780691 754806 2022-08-21T19:50:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Ringe {{mathl|term= K[X,Y,Z]/(XY-Z^n)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=n \geq 2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} genau in {{mathl|term= P=(0,0,0)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |singulär| |Kontext=partiell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e5jakjll41w4gn559hts9jwpeytwl4c 0 59072 781529 755505 2022-08-21T22:10:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Ringe {{mathl|term= K[X,Y,Z]/(X^2+YZ^2+Y^{m+1})|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=m \geq 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} genau in {{mathl|term= P=(0,0,0)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |singulär| |Kontext=partiell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen D-Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eb1okfbchhmvhmhggt3r5g3q9cner0u 0 59073 781612 755559 2022-08-21T22:24:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Ring {{mathl|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+Z^4 |}} |SZ=}} genau in {{mathl|term= P=(0,0,0)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |singulär| |Kontext=partiell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 18vz5whj1fvb03sdanqx5da2cbtd6id 0 59074 781615 755563 2022-08-21T22:24:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Ring {{mathl|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+YZ^3 |}} |SZ=}} genau in {{mathl|term= P=(0,0,0)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |singulär| |Kontext=partiell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qrkd4bb0l67iw8wp8hr1whta3d6ylkv 0 59075 781619 755570 2022-08-21T22:25:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Ring {{mathl|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+Z^5 |}} |SZ=}} genau in {{mathl|term= P=(0,0,0)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |singulär| |Kontext=partiell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p0m99k8e5i2hg80ovcmxbbbjrpdn5ov 0 59076 780945 755030 2022-08-21T20:32:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |singuläre Ort| |Kontext=partiell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der affinen Varietät {{ Ma:Vergleichskette/disp | V {{makl| A^2-BCD |}} |\subseteq | {{op:Affiner Raum|4|K}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} aus drei Geraden besteht, und dass diese die Bilder der Koordinatenachsen des {{math|term= {{op:Affiner Raum|3|K}} |SZ=}} unter der in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Monoidring/Graduierung/Z^3 nach Kleinsche Vierergruppe/Fixpunktfreier Ort/Fundamentalgruppe/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besprochenen Quotientenabbildung sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oqyeab7wr50mo616kv9gh4t5wrsi292 0 59281 785321 758627 2022-08-22T08:20:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \zeta \in K|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die {{Anführung|Schwerpunktformel}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |1 + \zeta + \zeta^2 {{plusdots|}} \zeta^{n-1} ||0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} swgjnas08j1gfq4yosmbc6ukzux9xk9 0 59282 781111 755167 2022-08-21T21:00:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} {{op:Matrix22| {{Imaginäre Einheit|}} |- {{Imaginäre Einheit|}} |\zeta|- {{Imaginäre Einheit|}} }} |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |binären Oktaedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gehört {{ Zusatz/Klammer |text=dabei ist {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive achte Einheitswurzel| |ISZ=|ESZ=. }} Gehört sie auch zur {{ Definitionslink |Prämath= |binären Tetraedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2pqf4oqcgdqfitdh0g6f7v17499is2r 0 59283 781109 755164 2022-08-21T21:00:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |binäre Ikosaedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 120|SZ=}} Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hv4wnqprqfmb4wu2ezf1xk64x3rajme 0 59291 781106 755160 2022-08-21T20:59:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |binäre Diedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= BD_n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass bei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|3 || || || |SZ= }} die von {{ Ma:Vergleichskette/disp |B ||{{op:Matrix22|0| {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} |0| }} || || || |SZ= }} erzeugte Untergruppe kein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die binäre Diedergruppe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m4jdh9kewa3smqi17h24ntzvlp5c98t 0 59292 781107 755161 2022-08-21T20:59:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \zeta \in {{CC}}|SZ=}} eine {{math|term= 2n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |binäre Diedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= BD_n|SZ=}} auf der Geradenmenge {{ math/disp|term= {{mengebed| \langle {{op:Spaltenvektor|\zeta^j|\zeta^{-j} }} \rangle|j {{=}} 0 {{kommadots|}} n-1}} \cup \{ \langle {{op:Spaltenvektor|1|0 }} \rangle ,\, \langle {{op:Spaltenvektor|0|1 }} \rangle\} |SZ= }} operiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die binäre Diedergruppe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dbk7dqfvkcqlb420yjdadzp5ibx8jpk 0 59305 785949 759095 2022-08-22T10:04:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass sich jede eigentliche {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=Abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Drehungen um die drei {{ Definitionslink |Prämath= |Koordinatenachsen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} realisieren lässt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der räumlichen Drehungen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dsrdee8w2iou8cvzbxxdivpnlvg1j3i 0 59311 781689 755615 2022-08-21T22:37:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |\alpha || {{op:Bruch|360|n}} || || || |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} die Untergruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |Drehmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || {{Mengebed| {{op:Drehmatrix| \alpha|}}^{j}|j {{=}} 0 {{kommadots|}} n-1 }} |\subseteq| {{op:SLG|2|\R}} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Gruppe, aufgefasst in {{mathl|term= {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ=,}} {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= Z_n|SZ=}} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Zyklische Gruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 85l8o3rnhotu4hqzl4x2crshea86u37 0 59313 783872 757501 2022-08-22T04:41:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= G \subseteq {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} eine Untergruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeinen linearen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[ X_1 {{kommadots|}} X_n]^G ||K[ X_1 {{kommadots|}} X_n] \cap L[ X_1 {{kommadots|}} X_n]^G || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5br8dg2512vnz73keu5v9dd2t92wglv 0 59315 786611 759626 2022-08-22T11:54:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |speziellen unitären Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|u|- \overline{v}|v| \overline{u} }} \in {{op:SUG|2|{{CC}}}} |SZ= }} die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aufgefasst in {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} \cong S^2 |SZ=,}} {{ Definitionslink |Prämath= |antipodal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unitären Gruppe |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} puzg5aa745h95yzmqqa9qlhq630qeqv 0 59316 786606 759625 2022-08-22T11:53:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbaren Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|u|v|w| z }} \in {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ= }} die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aufgefasst in {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} \cong S^2 |SZ=,}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |antipodal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein müssen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unitären Gruppe |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72919s7vj3qnjercbklhd1u0o5fuwbb 0 59317 783338 757025 2022-08-22T03:12:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe{{n Sie}}, dass die in [[Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 24|Vorlesung 24]] angegebenen Abbildungen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} |SZ=}} und {{math|term= S^2|SZ=}} stiften. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4thgumfxonh0n0umr3j3r48rn9ke0mb 0 59318 782686 756464 2022-08-22T01:23:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einer Menge {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und es sei {{ Ma:abb |name=\psi |M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bijektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch eine natürliche Operation von {{math|term= G|SZ=}} auf {{math|term= N|SZ=}} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 61ypg917pq6i9zl9fkeqmhaq2s9gtfo 0 59319 784784 758247 2022-08-22T06:59:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M \in {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |spezielle Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der zugehörigen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} \cong S^2 |{{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} \cong S^2 || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |längentreue Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und nicht zu einer linearen Abbildung von {{math|term= \R^3|SZ=}} nach {{math|term= \R^3|SZ=}} fortsetzbar sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0blj5npfpwur2jxi2s9iys6eumir04u 0 59326 785806 758975 2022-08-22T09:40:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Quotient {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1-x_3|x_1+x_2 {{Imaginäre Einheit|}} }} |SZ= }} für {{mathl|term= x_1,x_2 \to 0|SZ=}} und {{mathl|term= x_3= \pm \sqrt{1-x_1^2-x_2^2}|SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Funktionslimes| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} daqrxpw8bsjsvl5n73usjbyt29rorkx 0 59349 781105 755159 2022-08-21T20:59:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |binäre Diedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= BD_1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 4|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die binäre Diedergruppe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kmj98z0h3k5gnmzfut55ul7hnf73eg9 0 59358 780551 753005 2022-08-21T19:27:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es auf den {{math|term= A|SZ=-}} und den {{math|term= D|SZ=-}}Singularitäten und auf der {{mathl|term= E_6|SZ=}} und der {{mathl|term= E_7|SZ=-}}Singularität glatte Kurven gibt, die durch den {{ Definitionslink |Prämath= |singulären Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} laufen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} esqdj1mtbm7mqcoqy4jwivfd2dei091 0 59359 781618 755568 2022-08-21T22:25:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es auf der {{mathl|term= E_8|SZ=-}}Singularität keine glatte Kurve gibt, die durch den {{ Definitionslink |Prämath= |singulären Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} läuft. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dlg20vzqbze38rfp3o5nyqi4rsmgbl6 0 59361 781363 755381 2022-08-21T21:42:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} explizit, dass der Ring {{mathl|term= {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+YZ^2+Y^{2} |}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die Diedersingularität zu {{mathlk|term=m = 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{CC}}[S,T,U]/ {{makl| ST-U^4 |}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sap0ikj3ckjuxq9rj1uiyp9engksxo6 0 59365 783139 756864 2022-08-22T02:38:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man die {{ Definitionslink |Prämath= |Kleinsche Vierergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht als {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{mathl|term= {{op:SLG|2|{{CC}}}}|SZ=,}} wohl aber als Untergruppe der {{mathl|term= {{op:GLG|2|{{CC}}}} |SZ=}} realisieren kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Kleinsche Vierergruppe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bm7uz8mw9xq85jz6s24ysehw4bs2b1m 0 59366 781944 755837 2022-08-21T23:19:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel von zwei endlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G,H \subseteq {{op:GLG|2|{{CC}}}} |SZ=,}} die zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cog1mho8rf0ljvgboxfmw7yf992g2vs 0 59367 781945 755838 2022-08-21T23:19:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel von zwei endlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G,H \subseteq {{op:SLG|3|{{CC}}}} |SZ=,}} die zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7hoavgerav7v4h08qb8z46w5opmudpj 0 59369 781364 755382 2022-08-21T21:42:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} direkt, dass die Polynome {{ math/disp|term= U^{2m}+V^{2m}, \, U^2V^2 \text{ und } UV(U^{2m} - V^{2m}) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |invariant| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Operation der {{ Definitionslink |Prämath= |binären Diedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= BD_m|SZ=}} auf {{mathl|term= {{CC}}[U,V]|SZ=}} sind, und bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=Algebraelemente| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen diesen Polynomen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4dsy198b7fshvvxdmlpz2szaiich1n7 0 59371 780680 754797 2022-08-21T19:48:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungen| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Elemente aus der {{ Definitionslink |Prämath= |alternierenden Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A_5|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der alternierenden Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die alternierende Gruppe A5 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bggdof0tgl873r0pzzr08imz2vzsx3h 0 59458 781617 755566 2022-08-21T22:25:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}}, dass die in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binäre Ikosaedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} angegebenen Polynome {{mathl|term= \tilde{A}, \tilde{B}, \tilde{C}|SZ=}} in der Tat {{ Definitionslink |Prämath= |invariant| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, und dass die dort angegebene Relation besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgrj0i82qztc03b6oho7bos8fpazckc 0 59460 781108 755162 2022-08-21T21:00:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zu den endlichen Untergruppen {{mathl|term= G \subseteq {{op:SUG|2|{{CC}}}} |SZ=}} jeweils die {{ Definitionslink |Prämath= |Kommutatoruntergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Abelianisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kmwujkljxj1ftw8vp658psrwtsns79u 0 59466 786384 759461 2022-08-22T11:16:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \R^3 \setminus \{P\}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |einfach zusammenhängend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der einfach zusammenhängenden Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rqovsfdr9yzbvff7edxwxy2f90v0jtj 0 59469 785238 758570 2022-08-22T08:07:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= R={{CC}}[T_1 {{kommadots|}} T_n]/ {{ideala|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |positiv-graduierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= X = {{op:KSpek|K={{CC}}|R}} \subseteq {{CC}}^n|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Spektrum| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Es sei {{math|term= S= {{mengebed|z \in X| {{op:Norm|z|}} {{=}} 1 }} |SZ=}} die {{Anführung|Sphäre}} von {{math|term= X|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der gegebenen Einbettung| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Homotopie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= X \setminus \{0\} |und|term2= S |SZ= }} gibt. {{ManSie|Man folgere|Folgern Sie}}, dass die punktierte Fundamentalgruppe von {{math|term= R|SZ=}} gleich der Fundamentalgruppe von {{math|term= S|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe |Kategorie2=Theorie der positiv-graduierten Algebren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f4z8i4bh957l165fz2gi7ebqrzl7q1m 0 59484 781613 755560 2022-08-21T22:24:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |binäre Tetraedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Dimension von {{mathl|term= {{CC}}[U,V]^{BT}_d|SZ=}} für {{mathl|term= d \leq 12|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie2=Theorie der Hilbert-Reihen von Invariantenringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 78puozg0kjjq0emiihssajmramnkifm 0 59485 781616 755564 2022-08-21T22:24:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |binäre Oktaedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Dimension von {{mathl|term= {{CC}}[U,V]^{BO}_d|SZ=}} für {{mathl|term= d \leq 24|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie2=Theorie der Hilbert-Reihen von Invariantenringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6uo6yoat8unwn3eow2nua7unuo56noq 0 59490 782853 744442 2022-08-22T01:51:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | x,y |\in|X || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Homotopie von Wegen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen Wege| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= x|SZ=}} nach {{math|term= y|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Homotopietheorie für stetige Wege |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ijxecv21w3wru3ysy9xb1k1ggiz2d6z 0 59493 783436 744393 2022-08-22T03:28:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges {{math|term= \gamma |SZ=}} mit Aufpunkt {{math|term= x |SZ=}} mit dem konstanten Weg {{math|term= x |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |homotop| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \gamma |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fundamentalgruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} famfririhgxaucsk0d421o0ezqoe41g 0 59494 786406 759480 2022-08-22T11:20:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{math|term= \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |kontrahierbar| |Kontext=Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der einfach zusammenhängenden Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qbwco1syljsnt68fccxpv0mndd0gca9 0 59495 782321 744445 2022-08-22T00:22:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= x,y \in X|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[0,1]|X || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |stetiger Weg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= x |nach|term2= y |SZ= }} und sei {{mathl|term= \gamma^{-1} |SZ=}} der umgekehrt durchlaufene Weg, also {{ Ma:Vergleichskette | \gamma^{-1}(t) | {{defeq|}} | \gamma(1-t) || || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=Weg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \gamma \gamma^{-1}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |homotop| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum konstanten Weg {{math|term= x|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Homotopietheorie für stetige Wege |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g0zbjmuugcd5aixhgutrzpjlwfpqgw6 0 59496 782320 756162 2022-08-22T00:22:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= x \in X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=Weg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Homotopieklassen| |Kontext=Weg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |geschlossener Wege| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Aufpunkt {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |assoziativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fundamentalgruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9nv349n07yxlx7lcbgnpx8nbsmyedym 0 59500 786408 759482 2022-08-22T11:20:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass bei {{mathl|term= n \geq 3|SZ=}} der {{mathl|term= \R^n \setminus \{P\}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |einfach zusammenhängend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der einfach zusammenhängenden Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} epciwjs8y2ivy1iteopfv73t4emi741 0 59503 785972 759111 2022-08-22T10:08:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentalgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |reell-projektiven Raumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|n|\R}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2=Theorie der Fundamentalgruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 05uuvke34d5a8klejiyq77mf188gvz8 0 59506 781110 755165 2022-08-21T21:00:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |binäre Ikosaedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_5|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} futu38esthhgqxvu37uiay7750f4wn0 0 59541 779368 763452 2022-08-21T16:16:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der {{math|term= 1|SZ=-}}Sphäre {{math|term= S^1|SZ=}} lässt sich das Haarsche Maß einfach direkt definieren. Für einen Kreisbogen {{mathl|term= A \subseteq S^1|SZ=}} zu einem Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} im Bogenmaß muss natürlich {{mathl|term= \mu(A)= \alpha/2 \pi|SZ=}} sein. Das Haarsche Maß ist also das {{mathl|term= 1/2\pi|SZ=-}}fache des Bogenmaßes. Dieser Ansatz liefert nicht nur ein Maß für zusammenhängende Teilbögen, sondern für jede Borelmenge, indem man von der messbaren Bijektion {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |[0,2 \pi)|S^1 |t| ( {{op:cos|t|}}, {{op:sin|t|}} ) |SZ=, }} ausgeht und für eine Borelmenge {{mathl|term= B \subseteq S^1|SZ=}} das Haarsche Maß durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu(B) || {{op:Bruch|\lambda ( \varphi^{-1}(B))|2 \pi|}} || || || |SZ= }} definiert, wobei {{math|term= \lambda|SZ=}} das eindimensionale {{ Definitionslink |Prämath= |Borel-Lebesgue-Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Lie-Gruppen |Kategorie2=Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tis5hdukzjdrmmx6uok2hi421z56l0t 0 59556 782146 756018 2022-08-21T23:53:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= A \in {{op:Matq|n|K={{CC}}}} |SZ=}} eine Matrix. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:exp|A|}} |SZ=}} in der {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Unteralgebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{CC}}[A] |SZ=}} liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialabbildung (Matrix) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8tp8fm71phh28449k0pj6alwgcgpio6 0 59559 782149 756022 2022-08-21T23:53:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass für {{ Definitionslink |Prämath= |vertauschbare Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= A,B \in {{op:Matq|n|K={{CC}}}} |SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:exp(|A \circ B|}} || {{makl| {{op:exp|A|}} |}} \circ {{makl| {{op:exp|B|}} |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialabbildung (Matrix) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ntpoqcwa0jvgiok9zg9yeraizxy062n 0 59560 782147 756019 2022-08-21T23:53:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= A \in {{op:Matq|n|K={{CC}}}} |SZ=}} eine Matrix. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}| {{op:GLG|n|{{CC}}}} \subseteq {{op:Matq|n|K={{CC}}}} |t| {{op:exp(|tA|}} |SZ=, }} gleich {{mathl|term= A \circ {{op:exp(|tA|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialabbildung (Matrix) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6jkjvjs9sejtr8iwtnwcrrhexm8ndud 0 59561 782148 756021 2022-08-21T23:53:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= A \in {{op:Matq|n|K={{CC}}}} |SZ=}} eine Matrix mit der Eigenschaft {{mathl|term= {{op:exp(|tA|}} \in {{op:UG|n|{{CC}}}} |SZ=}} für alle {{mathl|term= t \in {{CC}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |schiefhermitesch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialabbildung (Matrix) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oc35fno2mqr4k5vod4bnckl9q8idxvt 0 59568 780545 752999 2022-08-21T19:26:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |additive Gruppe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| {{CC}},+,0 |}} |SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält, die in der {{ Definitionslink |Prämath= |Zariski-Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |dicht| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kompakten Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} apdkvxp45n0p496n25l06bm6gd66obv 0 59570 781240 755276 2022-08-21T21:22:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} folgende Aussage über das Dachprodukt: {{Vektorraum/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= v_1 {{kommadots|}} v_r |und|term2= w_1 {{kommadots|}} w_r |SZ= }} Vektoren in {{mathl|term= V|SZ=,}} die miteinander in der Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor| w_1|\vdots| w_r}} || M {{op:Spaltenvektor|v_1|\vdots|v_r}} || || || |SZ= }} stehen, wobei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=r \times r|Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. Dann gilt in {{mathl|term= \bigwedge^r V|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |w_1 {{wedgedots|}} w_r || ( {{op:Determinante|M|}}) v_1 {{wedgedots|}} v_r || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kcbjtedf7coofv03z56ztdkx917iwcs 0 59571 786620 759636 2022-08-22T11:55:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und es sei {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= B|SZ=}} eine {{mathl|term= n \times m|SZ=-}}Matrix über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spur|A \circ B|}} || {{op:Spur|B \circ A|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pgva4h25hc0u72mg4f9h7xbwgxlu58f 0 59576 780549 753003 2022-08-21T19:26:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |additive Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (K,+,0)|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |linear reduktiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linear reduktiven Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6v1i9rkfk4l6pa3mahqjnn8xihc879s 0 59578 783761 757397 2022-08-22T04:22:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |linear reduktive Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=,}} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |rational operiere| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} unter Betrachtung der homogenen Komponenten von {{mathl|term= K[V]|SZ=}} ohne Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Rationale Gruppenoperation/G(K)-stabiler endlicher Unterraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{mathl|term= K[V]^G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |direkter Summand| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= K[V]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linear reduktiven Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8j8x16ia0yf0hmbz01dhaxvvgi17vm 0 59589 784397 758016 2022-08-22T06:06:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein endlich erzeugtes Monoid und {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |M|\Z || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|{{CC}}|}} \cong {{makl| {{op:Spek|{{CC}}[T,T^{-1}]|}} |}}_{{CC}} | {{makl| {{op:Spek|{{CC}}[M]|}} |}}_{{CC}} || |SZ= }} und dem induzierten stetigen geschlossenen Weg {{ Ma:abbele/disp |name= |S^1 | {{makl| {{op:Spek|{{CC}}[M]|}} |}}_{{CC}} || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dieser Weg nullhomotop ist, wenn der Monoidhomomorphismus {{math|term= \gamma|SZ=}} durch {{math|term= \N|SZ=}} faktorisiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fvjw51d9oj17q7jro2eljbel7hot2ge 0 59609 783126 756856 2022-08-22T02:36:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= G \subseteq {{op:GLG|n|{{CC}}}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kleine Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= U \subseteq {{makl| {{op:Spek|K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]^G|}} |}}_{{CC}} |SZ=}} gibt, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentalgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kleinen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Fundamentalgruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8rnvuk2p2luu8024cnnhbrwjklkxp1j 0 59617 781344 755362 2022-08-21T21:39:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Zariski-Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der von der Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|2|0|0|1}} |SZ=}} erzeugten Untergruppe {{math|term= G \subseteq {{op:GLG|2|{{CC}}}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unendlichen zyklischen Gruppe |Kategorie2=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 372cmmesgg2lz5l51kfeuhqswpdzvwo 0 59618 784464 758055 2022-08-22T06:14:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= ( {{op:Einheiten|{{CC}}}},1,\cdot ) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7l6y712n6i6r2mz2xi6t8r3hl59u8d9 0 59619 784034 757667 2022-08-22T05:08:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Zariski-Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der von der Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|1|1|0|1}} |SZ=}} erzeugten Untergruppe {{math|term= G \subseteq {{op:GLG|2|{{CC}}}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unendlichen zyklischen Gruppe |Kategorie2=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p12o8q3fv61oss958guodjbueo1qwxo 0 59620 780546 753000 2022-08-21T19:26:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |additive Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= ( {{CC}},0,+) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 81c4ttv66vyk25mm95p0dq7ub1iu1bd 0 59621 780661 754782 2022-08-21T19:45:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G \subseteq {{op:GLG|n|{{CC}}}} |SZ=}} bei {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |Zariski-dicht| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} piw4hzob2qqpn7e2zgsw4d74nx5qi68 0 59627 781243 748865 2022-08-21T21:22:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Darstellung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer Gruppe {{math|term= G|SZ=}} in einen {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Charakter| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |G| {{op:Einheiten|K|}} || |SZ= }} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fde7va7x4w0r7vezm4m2ewpjtsfmwrv 0 59666 784762 758230 2022-08-22T06:56:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |oberen Dreiecksmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{mathl|term= {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4q154xqfmags8rb7wsjcn8rf1qbqjcv 0 59667 786469 759530 2022-08-22T11:30:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |oberen Scherungsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{mathl|term= {{op:SLG|n|K}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qqsy0xv8n2mpm1zo1f0het30hpfa11o 0 59668 784761 758229 2022-08-22T06:56:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:ODG|n|K}} |SZ=}} die Gruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |oberen Dreiecksmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Zusatz/Klammer |text=natürlichen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{op:ODG|n|K}} | {{makl| {{op:Einheiten|K|}}, \cdot, 1 |}}^n || |SZ= }} gibt. Bestimme{{n Sie}} den Kern von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie3=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lfydr8dm30cb1n12db625q3r733sv4k 0 59670 786468 759529 2022-08-22T11:30:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:OSG|n|K}} |SZ=}} die Gruppe der {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |oberen Scherungsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Zusatz/Klammer |text=natürlichen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{op:OSG|n|K}} | {{makl| K, +, 0 |}}^{n-1} || |SZ= }} gibt. Bestimme{{n Sie}} den Kern von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie3=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6zpdvj5acnyr80ncdyttodnd6dpxldn 0 59672 786467 759528 2022-08-22T11:30:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:OSG|3|K}} |SZ=}} die Gruppe der {{ Definitionslink |Prämath=3 \times 3 |oberen Scherungsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow K \longrightarrow {{op:OSG|3|K}} \longrightarrow K^2 \longrightarrow 0 |SZ= }} gibt, und dass {{mathl|term= {{op:OSG|3|K}} |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= K^3|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie3=Theorie der kurzen exakten Sequenzen (Gruppen) |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fclqpd8ld46rnbycsj87rvm55wwn75c 0 59675 785553 758804 2022-08-22T08:58:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und es sei {{mathl|term= \psi \in {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Pseudoreflektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \psi|SZ=}} ebenfalls eine Pseudoreflektion ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Pseudoreflektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lw1e1ctgcpnfb2i00exrvg1utg5dq1l 0 59676 785556 758807 2022-08-22T08:59:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} {{mathl|term= G \subseteq {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= H \subseteq G|SZ=}} die von allen {{ Definitionslink |Prämath= |Pseudoreflektionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= G|SZ=}} erzeugte Untergruppe. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= H|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Pseudoreflektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8t4ft13rr8nsruuzs7tnbnl9pamhol 0 59678 784622 758132 2022-08-22T06:36:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} {{mathl|term= G \subseteq {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} sei, und {{mathl|term= H \subseteq G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]^H|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= H|SZ=,}} auf dem {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Invariantenring/Untergruppe/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G/H|SZ=}} operiert. Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Untervektorraum {{mathl|term= W \subseteq R|SZ=}} gibt, der {{math|term= R|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erzeugt und auf dem die Operation von {{mathl|term= G/H|SZ=}} linear ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} grylul3x1pd2hdji5yq5a784c3b0mzi 0 59681 784621 758131 2022-08-22T06:36:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= G \subseteq {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]^G|SZ=}} auch als Invariantenring zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |kleinen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G' \subseteq {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} auftritt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kleinen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sjz17foe0hc44azwc4fl731js02hz39 0 59687 785815 758982 2022-08-22T09:42:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Darstellung| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= ( {{op:Einheiten|\Q|}},\cdot,1)|SZ=}} in einen {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an, die nicht {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig reduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} edu9sgmzijx2qk0lmdsyxi9ynupcidc 0 59688 781885 755786 2022-08-21T23:09:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Gruppe {{ math/disp|term= G=\{ {{op:Matrix22|1|0|0|1}},\, {{op:Matrix22|0|1|1|0}},\, {{op:Matrix22|-1|0|0|-1}},\, {{op:Matrix22|0|-1|-1|0|}} \} \subseteq {{op:GLG|2|K}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= K|SZ=}} sei ein Körper der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= S_2 \subseteq G|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für den Invariantenring {{mathl|term= K[U,V]^{S_2}|SZ=}} zwei Algebraerzeugendensysteme aus jeweils zwei Erzeugern an, derart, dass {{mathl|term= G/S_2|SZ=}} auf dem einen System linear operiert und auf dem anderen nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Kleinsche Vierergruppe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ngay5j0xuwywhmenwz8kft7uj8woab1 0 59711 783760 757396 2022-08-22T04:22:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |linear reduktive Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} und es seien zwei {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Darstellungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} in die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} gegeben. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine surjektive {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die mit den Operationen verträglich sei. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(V^G) ||W^G || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linear reduktiven Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gnbuj5y39xui0l5o7ebeu96a6hivyqy 106 60843 780158 604302 2022-08-21T18:18:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|term=Mengen}} {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Georg_Cantor |Text=[[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor= |Benutzer=Taxiarchos228 |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg |200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=David_Hilbert_1886 |Text=[[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies}}, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=Unbekannt (1886) |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{:Mengen/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen}} {{:Mengen/Beschreibungsmöglichkeiten/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Mengenoperationen}} So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen. {{ Auflistung3 | {{Stichwort|Vereinigung|SZ=}} {{ math/disp|term= A \cup B {{defeq}} {{Mengebed|x|x \in A \text{ oder } x \in B}} |SZ=, }} |{{Stichwort|Durchschnitt|SZ=}} {{ math/disp|term= A \cap B {{defeq}} {{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \in B}} |SZ=, }} |{{Stichwort|Differenzmenge|SZ=}} {{ math/disp|term= A \setminus B {{defeq}} {{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \not\in B}} |SZ=. }} }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{mathl|term=A \subseteq G|SZ=,}} das durch {{ math/disp|term= {{op:Mengenkomplement|A}} {{defeq}} G \setminus A = {{Mengebed|x \in G|x \not\in A}} |SZ= }} definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also {{mathl|term=A \cap B= \emptyset|SZ=}} gilt, so nennen wir sie {{Definitionswort/enp|disjunkt|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Konstruktion von Mengen}} {{:Mengen/Konstruktionen/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Induktion}} Mathematische Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen, können mit dem Beweisprinzip der {{Stichwort|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=}} bewiesen werden. Die folgende Aussage begründet dieses Prinzip. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz||opt1=Damit enthält {{math|term=M|SZ=}} die {{math|term=0|SZ=,}} daher die {{math|term=1|SZ=,}} daher die {{math|term=2|SZ=,}} usw., und damit überhaupt alle natürlichen Zahlen. }} Der Nachweis von {{ Zusatz/Klammer |text=der Gültigkeit von| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term=A(0)|SZ=}} heißt dabei der {{Stichwort|Induktionsanfang|SZ=}} und der Schluss von {{mathl|term=A(n)|SZ=}} auf {{mathl|term=A(n+1)|SZ=}} heißt der {{Stichwort|Induktionsschluss|SZ=.}} Innerhalb des Induktionsschlusses nennt man die Gültigkeit von {{mathl|term=A(n)|SZ=}} auch die {{Stichwort|Induktionsvoraussetzung|SZ=.}} In manchen Situationen ist die Aussage {{mathl|term=A(n)|SZ=}} erst für {{mathl|term=n \geq n_0|SZ=}} für ein gewisses {{math|term=n_0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=definiert oder| |ISZ=|ESZ= }} wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage {{mathl|term=A(n_0)|SZ=}} und den Induktionsschluss führt man für {{mathl|term=n \geq n_0|SZ=}} durch. Das folgende Standardbeispiel für einen Induktionsbeweis verwendet das Summenzeichen. Für gegebene {{ Zusatz/Klammer |text=natürliche, reelle, komplexe| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen {{mathl|term=a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ=. }} Dabei hängen im Allgemeinen die {{math|term=a_k|SZ=}} in einer formelhaften Weise von {{math|term=k|SZ=}} ab. Entsprechend ist das Produktzeichen definiert, nämlich durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \prod_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 \cdot a_2 {{cdots|}} a_{n-1} \cdot a_n || || || |SZ=. }} Insbesondere sind für {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} die Potenzen durch {{ math/disp|term= a^n = \prod_{i=1}^n a =a^{n-1} \cdot a = \underbrace{a \cdot a{{cdots|}}a}_{n\text{-mal} } |SZ= }} definiert. Dabei gelten die Konventionen {{mathl|term=0a=0|SZ=}} und {{mathl|term=a^0=1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die erste lässt sich auch über die Multiplikation begründen, die zweite ist aber auch sinnvoll| |SZ=. }} Als Rechenregeln für das Potenzieren gelten {{ Aufzählung3 | {{ Ma:Vergleichskette/disp |(a\cdot b)^n || a^n \cdot b^n || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |a^{n+m} || a^n \cdot a^m || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |(a^{n})^m || a^{n m} || || || |SZ=. }} }} {{ inputaufgabelösung |Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe|| }} {{ inputaufgabelösung |Induktion/6^(n+2)+7^(2n+1) teilbar durch 43/Aufgabe|| }} {{Fußnotenliste}} }} b5fqwdvmbwwsamluvkzj3w19ecn8lzo 106 60845 778673 699807 2022-08-21T12:39:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Wir werden nun die Eigenschaften der reellen Zahlen besprechen. Grundlegende Eigenschaften von mathematischen Strukturen werden als {{Stichwort|Axiome|msw=Axiom|SZ=}} bezeichnet. In der Mathematik werden sämtliche Eigenschaften aus den Axiomen logisch abgeleitet. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Die algebraischen Axiome werden im Begriff des Körpers zusammengefasst. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei reellen Zahlen eine weitere reelle Zahl zu, es handelt sich also um Verknüpfungen. {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition|| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule bekannt. Unter Verwendung des Gruppenbegriffs kann man auch sagen, dass ein Körper eine Menge mit zwei Verknüpfungen {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} und zwei fixierten Elementen {{mathl|term=0 \neq 1|SZ=}} ist, derart, dass {{mathl|term=(K,+,0)|SZ=}} und {{mathl|term=K \setminus \{0\}, \cdot, 1|SZ=}} jeweils kommutative Gruppen sind und dass das Distributivgesetz gilt. Daher gelten für die Addition und die Multiplikation häufig strukturell ähnliche Eigenschaften. Da wir in dieser Vorlesung die Gruppentheorie nicht systematisch entwickeln werden, ist das nur eine Nebenbemerkung. In einem Körper gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term=a \cdot b + c \cdot d|SZ=}} statt {{mathl|term=(a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} in einem Körper werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein. Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen, die wir später kennenlernen werden. {{ inputfaktbeweis |Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt|Lemma|| |ref1=||Beweistext=Dies folgt aus der allgemeinen Eindeutigkeitsaussage für inverse Elemente in jeder Gruppe, siehe die letzte Vorlesung. }} Zu einem Element {{mathl|term=a \in K|SZ=}} nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=y|SZ=}} mit {{mathl|term=a+y=0|SZ=}} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Es ist {{mathl|term=-(-a)=a|SZ=,}} da wegen {{mathl|term=a+(-a)=0|SZ=}} das Element {{math|term=a|SZ=}} gleich dem eindeutig bestimmten Negativen von {{math|term=-a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term=b+(-a)|SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=z|SZ=}} mit {{mathl|term=az=1|SZ=}} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Ma:Vergleichskette/disp | a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} |{{defeq|}}|ab^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also eine Abkürzung für den rechten Ausdruck. Zu einem Körperelement {{mathl|term=a \in K|SZ=}} und {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} wird {{mathl|term=a^n|SZ=}} als das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term=a|SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{mathl|term=a\neq0|SZ=}} wird {{mathl|term=a^{-n}|SZ=}} als {{mathl|term=(a^{-1})^n|SZ=}} interpretiert. Ein {{Anführung|kurioser}} Körper wird im folgenden Beispiel beschrieben. Dieser Körper mit zwei Elementen ist in der Informatik und der Kodierungstheorie wichtig, wird für uns aber keine große Rolle spielen. Er zeigt, dass es nicht für jeden Körper sinnvoll ist, seine Elemente auf der Zahlengeraden zu verorten. {{ inputbeispiel |Körper/Zwei Elemente/Beispiel|| }} Die folgenden Eigenschaften sind für den Körper der reellen Zahlen vertraut, wir beweisen sie aber allein aus den Axiomen eines Körpers. Sie gelten daher für einen jeden Körper. {{ inputfaktbeweis |Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die rationalen Zahlen}} Wir geben eine Definition der rationalen Zahlen allein unter Bezug auf die ganzen Zahlen. {{:Rationale Zahlen/Brüche/Einführung/Textabschnitt|zusatz2=&nbsp; Mit all diesen Festlegungen ist {{math|term=\Q|SZ=}} ein Körper.}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Binomialkoeffizienten}} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} Dabei setzt man {{mathl|term=0!=1|SZ=.}} Bei einer {{math|term=n|SZ=-}}elementigen Menge {{math|term=M|SZ=}} gibt es {{math|term=n!|SZ=}} bijektive Abbildungen von {{math|term=M|SZ=}} nach {{math|term=M|SZ=.}} Gleichbedeutend damit ist, dass es {{math|term=n!|SZ=}} Möglichkeiten gibt, {{math|term=n|SZ=}} Objekte auf {{math|term=n|SZ=}} Plätze zu verteilen. {{:Binomialkoeffizienten/Einführung/Textabschnitt}} Der Binomialkoeffizient {{mathl|term= {{op:Binom|n|k}}|SZ=}} hat die folgende inhaltliche Bedeutung: Er gibt für eine {{math|term=n|SZ=-}}elementige Menge {{math|term=M|SZ=}} die Anzahl sämtlicher {{math|term=k|SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{math|term=M|SZ=}} an, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die folgende Formel bringt die Addition und die Multiplikation in einem Körper miteinander in Beziehung. {{ inputfaktbeweis |Körper/Binomi/Fakt|Satz|| }} {{ inputbild |A plus b au carre|svg| 200px {{!}} {{!}} |epsname=A_plus_b_au_carre |Autor= |Benutzer=Alkarex |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Binomio al cubo|svg| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Binomio_al_cubo |Autor=Drini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Fußnotenliste}} }} 6kh5hp2f785czenxghrjgsxdrfsjuer 106 60858 784457 579249 2022-08-22T06:14:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|16| {{Zwischenüberschrift|term=Funktionenfolgen}} {{ inputbild |Exp series|gif| 250px {{!}}thumb {{!}} |epsname=Exp_series |Text=Eine (vertikal gestauchte) Darstellung der ersten acht polynomialen Approximationen der reellen Exponentialfunktion |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir haben das letzte Mal gesehen, dass die Exponentialreihe {{mathl|term=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} |SZ=}} für jedes {{mathl|term=z \in {{CC}}|SZ=}} konvergiert. Für jedes {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} stellt also die Polynomfunktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_n(z) || \sum_{k {{=|}} 0}^n \frac{z^k}{k!} || 1+z+ \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} {{plusdots|}} \frac{z^n}{n!} || || |SZ= }} eine {{Anführung|approximierende Funktion|}} für die Exponentialfunktion dar. Dabei ist allerdings die Güte der Approximation abhängig von {{math|term=z|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei fixiertem {{math|term=n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} In dieser Vorlesung werden wir verschiedene Konzepte vorstellen, wie man eine Funktion als Grenzfunktion einer Funktionenfolge auffassen kann. Eine unmittelbare Anwendung wird sein, dass die Exponentialfunktion stetig ist. {{:Funktionenfolgen/K/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Die Funktionenfolge {{mathl|term=f_n=\sum_{k =}^n {{op:Bruch|1|k!}} z^k }} konvergiert punktweise, die Grenzfunktion ist die Exponentialfunktion.}} {{Zwischenüberschrift|term=Das Konvergenzkriterium von Weierstraß}} {{ inputdefinition |Funktion nach K/Supremumsnorm/Definition|K= {{KRC|}} | }} Die folgende Aussage heißt das {{Stichwort|Konvergenzkriterium von Weierstraß|SZ=.}} Es geht darin um Funktionenfolgen {{math|term=f_n|SZ=,}} die als Partialsummen {{mathl|term= f_n= \sum_{k=0}^n g_k |SZ=}} von Funktionen {{math|term=g_k|SZ=}} gegeben sind, wie dies auch bei Potenzreihen der Fall ist. {{ inputfaktbeweis |Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Konvergenz von Potenzreihen}} Es seien {{mathl|term=c_n,\, n \in \N|SZ=,}} komplexe Zahlen und {{mathl|term=a \in {{CC}}|SZ=.}} Wir betrachten die Funktionenfolge {{math|term=f_n|SZ=}} mit {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |{{CC}}|{{CC}} |z| \sum_{k {{=|}} 0}^n c_k (z-a)^{k} |SZ=. }} Für jedes {{mathl|term=z \in {{CC}}|SZ=}} ist dies eine Potenzreihe in {{mathl|term=z-a|SZ=.}} Im Folgenden werden wir auch die Funktionenreihe {{mathl|term=\sum_{k=0}^\infty c_k (z-a)^{k}|SZ=}} mit variablem {{math|term=z|SZ=}} als Potenzreihe bezeichnen. Dabei heißt {{math|term=a|SZ=}} der {{Stichwort|Entwicklungspunkt der Potenzreihe|SZ=.}} Im Allgemeinen konvergiert diese Funktionenreihe weder punktweise auf ganz {{math|term={{CC}}|SZ=}} noch gleichmäßig. Wir werden aber sehen, dass häufig auf geeigneten Teilmengen {{mathl|term=T \subseteq {{CC}}|SZ=}} gleichmäßige Konvergenz vorliegt. {{ inputfaktbeweis |Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputdefinition |Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|| }} Jede Potenzreihe hat also grundsätzlich das gleiche Konvergenzverhalten: Es gibt eine Kreischeibe {{ Zusatz/Klammer |text=die eben durch den Konvergenzradius bestimmt ist, wobei die Extremfälle {{mathl|term=r=0|SZ=}} und {{mathl|term=r=\infty|SZ=}} erlaubt sind| |ISZ=|ESZ= }} um den Entwicklungspunkt, in deren Innerem die Potenzreihe konvergiert und so, dass sie außerhalb davon in keinem Punkt konvergiert. Nur auf dem Rand der Kreisscheibe kann alles mögliche passieren. Der Fall {{mathl|term=r=0|SZ=}} ist nicht sehr interessant. Bei positivem Konvergenzradius {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich dem Fall {{mathlk|term=r= \infty|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} sagt man auch, dass die Potenzreihe konvergiert. {{ inputfaktbeweis |Potenzreihe/Positiver Konvergenzradius/Stetige Funktion/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen/Stetig/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Exponentialfunktion/Potenzreihendarstellung und Exponentdarstellung/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} Die reelle Zahl {{mathl|term= {{op:exp|1|}} = \sum_{n=0}^\infty 1/n! |SZ=}} stimmt mit der als {{mathl|term= e = {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| 1 + \frac{1}{n} |}}^n|}} |SZ=}} eingeführten {{Stichwort|eulerschen Zahl|msw=Eulersche Zahl|SZ=}} überein, was wir aber noch nicht bewiesen haben. Aufgrund dieses Sachverhaltes und der vorstehenden Aussage schreiben wir häufig {{mathl|term=e^z = {{op:exp|z|}} |SZ=,}} und zwar auch für komplexe Argumente. {{Zwischenüberschrift|term=Der Identitätssatz für Potenzreihen}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Potenzreihen/Summe/Produkt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Potenzreihen/Identitätssatz/Fakt|Satz|| || }} }} ndp6usq1o21ub3tkc4tbm05qnv9neda 106 60943 784529 583459 2022-08-22T06:23:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|33| {{Zwischenüberschrift|term=Metrische Räume}} Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines Vektors und den Abstand zwischen zwei Vektoren definieren. Die wichtigsten Eigenschaften dieses euklidischen Abstandes werden im Begriff der Metrik bzw. des metrischen Raumes axiomatisiert. {{inputdefinition|Metrik/Metrischer Raum/Definition|}} Man kann leicht aus den Bedingungen folgen, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert {{mathl|term= d(x,y)}} gibt den Abstand der Punkte {{math|term=x}} und {{math|term= y}} bezüglich {{math|term= d}} an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt, obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden. {{ inputbeispiel |Euklidischer Vektorraum/Als metrischer Raum/Beispiel|| }} Wenn wir nichts anderes sagen, so versehen wir den {{math|term=\R^n|SZ=}} und den {{mathl|term={{CC}}^n \cong \R^{2n}|SZ=}} stets mit dem euklidischen Abstand. Insbesondere sind die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen {{mathl|term={{CC}} \cong \R^2|SZ=}} mit der durch den Betrag definierten Metrik ein metrischer Raum. Als gemeinsame Bezeichnung für {{ mathkor|term1= \R |und|term2= {{CC}} |SZ= }} werden wir wieder {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} verwenden. {{ inputbild |Manhattan distance|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} right {{!}} |epsname=Manhattan_distance |Text=Die Summenmetrik heißt auch {{Stichwort|Taxi-Metrik|SZ=.}} Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand. |Autor= |Benutzer=Psychonaut |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |R^n/Summenmetrik/Metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |R^n/Maximumsmetrik/Metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Menge/Diskrete Metrik/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Teilmengen in einem metrischen Raum}} {{ inputbild |Unit disc metrics|svg| 150px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |epsname=Unit_disc_metrics |Text=Die Gestalt der Kugelumgebungen hängt von der Metrik ab. |Autor= |Benutzer=Krishnavedala |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition|Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition|}} Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Norm. Für {{mathl|term=x \in \R|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} einfach das beidseitig offene Intervall {{math|term=]x- \epsilon, x+ \epsilon[|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} ist einfach das beidseitig abgeschlossene Intervall {{math|term=[x- \epsilon, x+ \epsilon]|SZ=.}} {{ inputbild |Neighborhood illust1|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} right {{!}} |epsname=Neighborhood_illust1 |Text=Eine Teilmenge ist offen, wenn jeder Punkt darin gleich mit einer vollen Kugelumgebung drin liegt. Bei einer solchen Menge ist es entscheidend, ob die {{Stichwort|Randpunkte|msw=Randpunkt|SZ=}} dazu gehören oder nicht. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition|Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition|}} {{inputdefinition|Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition|}} Achtung! Abgeschlossen ist nicht das {{Anführung|Gegenteil|}} von offen. Die {{Anführung|allermeisten|}} Teilmengen eines metrischen Raumes sind weder offen noch abgeschlossen, es gibt aber auch Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. die leere Teilmenge und die Gesamtmenge. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Metrischer Raum/Strukturelle Eigenschaften der offenen Mengen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Folgen in metrischen Räumen}} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition|| }} Diese Definition stimmt natürlich für {{mathl|term=M=\R|SZ=}} mit unserem bisherigen Begriff für konvergente Folge überein. Allerdings hatten wir, als wir diesen Begriff für angeordnete Körper einführten, die reellen Zahlen selbst noch nicht zur Verfügung. {{ inputfaktbeweis |Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Insbesondere konvergiert eine Folge von komplexen Zahlen genau dann, wenn die zugehörigen Folgen der Realteile und der Imaginärteile konvergieren, was bereits in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Komplexe Folge/Real- und Imaginärteil/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gezeigt wurde. {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Folge/Häufungspunkt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Folge/Teilfolge/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Abgeschlossen in Teilmengen/Supremum/Fakt|Korollar| |ref1=|| }} Wenn man z.B. das offene Intervall {{mathl|term=(0,1)|SZ=}} in {{math|term=\R|SZ=}} nimmt und {{mathl|term=A=T=(0,1)|SZ=}} betrachtet, so ist {{math|term=A|SZ=}} abgeschlossen in {{math|term=T|SZ=,}} das Supremum dieser Menge gehört aber nicht dazu. Ein wichtiger Spezialfall ist das folgende Korollar. {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Abgeschlossene nach oben beschränkte Menge/Enthält Supremum/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} }} su0co6jrjgqzefu5mgk0ul8szm9j2wc 106 60946 784467 508870 2022-08-22T06:15:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|37| {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Kurven}} {{ inputbild |ComplexSinInATimeAxe|gif| 350px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |Text=Eine Animation des Graphen der trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises. Die grünen Punkte sind Punkte des Graphen. |Autor=Nashev |Benutzer= |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung= }} Es sei {{math|term=I|SZ=}} ein reelles Intervall, {{math|term=V|SZ=}} ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und {{ Ma:abb/disp |name=f |I|V || |SZ= }} eine Abbildung. Eine solche Abbildung nennen wir auch eine {{Stichwort|Kurve|SZ=}} oder einen {{Stichwort|Weg|SZ=}} in {{math|term=V|SZ=.}} Häufig stellt man sich dabei {{math|term=I|SZ=}} als ein Zeitintervall und die Abbildung als einen Bewegungsprozess im Raum {{math|term=V|SZ=}} vor. Jedem Zeitpunkt {{mathl|term=t \in I|SZ=}} wird also ein Ortspunkt {{mathl|term=f(t) \in V|SZ=}} zugeordnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sich eine solche Abbildung zu veranschaulichen. Bei eindimensionalem {{math|term=V|SZ=,}} also {{mathl|term=V=\R|SZ=,}} ist der Graph die übliche Darstellungsweise. Einen Graphen gibt es bekanntlich zu jeder Abbildung. Bei {{mathl|term=V \cong \R^2|SZ=}} ist der Graph eine Teilmenge von {{mathl|term=\R \times \R^2 = \R^3|SZ=.}} Häufig skizziert man bei einer Kurve bei {{mathl|term=V=\R^2|SZ=}} oder {{mathl|term=V=\R^3|SZ=}} nur das Bild {{ Zusatz/Klammer |text=die Bahn| |ISZ=|ESZ= }} der Kurve. Man beachte aber, dass das Bild nur eine Teilinformation der Abbildung aufzeigt. Bei einem Bewegungsprozess interessiert man sich natürlich für die {{Anführung|Geschwindigkeit}} zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei versteht man unter Geschwindigkeit nicht nur deren Betrag, sondern auch deren Richtung {{ Zusatz/Klammer |text=die Sprechweisen sind uneinheitlich| |ISZ=|ESZ=. }} Eine gleichmäßige Bewegung auf einem Kreis mit Mittelpunkt {{mathl|term=(0,0)|SZ=}} und Radius {{math|term=r|SZ=,}} bei der eine volle Kreisbewegung die Zeit {{math|term=a|SZ=}} benötigt, die zum Zeitpunkt {{math|term=0|SZ=}} im Punkt {{mathl|term=(r,0)|SZ=}} startet und gegen den Uhrzeigersinn verläuft, wird durch {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R^2 |t| {{op:Zeilenvektor|r {{op:cos| {{op:Bruch|2 \pi | a||}} t|}} |r {{op:sin| {{op:Bruch|2 \pi | a||}} t|}}}} |SZ=, }} beschrieben. Der Geschwindigkeitsvektor der Kreisbewegung ist zu jedem Zeitpunkt {{math|term=t|SZ=}} {{Stichwort|tangential|SZ=}} an den Ortspunkt auf dem Kreis {{ Zusatz/Klammer |text=und steht senkrecht zum Ortsvektor| |ISZ=|ESZ=. }} Die Norm der Geschwindigkeit ist bei einer Kreisbewegung konstant, aber die Richtung ändert sich kontinuierlich. Die Vorstellung der {{Stichwort|Momentangeschwindigkeit|SZ=}} wird durch den Begriff der {{Stichwort|differenzierbaren Kurve|msw=Differenzierbare Kurve|SZ=}} und ihrer Ableitung präzisiert, der eine direkte Verallgemeinerung von differenzierbaren Funktionen ist. Die Idee ist wieder, zu zwei Zeitpunkten {{mathl|term=t <t'|SZ=}} den Durchschnittsgeschwindigkeitsvektor {{ Zusatz/Klammer |text=die wir den {{Stichwort|Differenzenquotienten|msw=Differenzenquotient|SZ=}} nennen| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= \frac{ f(t') - f(t) }{t'-t} \in V |SZ= }} zu betrachten und davon den Limes für {{mathl|term=t' \mapsto t|SZ=}} zu bestimmen. Um einen Limes bilden zu können, brauchen wir, wie schon im Eindimensionalen, eine Metrik {{ Zusatz/Klammer |text=eine Abstandsfunktion| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=V|SZ=.}} Wir werden daher euklidische Vektorräume betrachten, also reelle endlichdimensionale Vektorräume, für die ein Skalarprodukt erklärt ist. Für den Begriff des Skalarprodukt siehe die [[Kurs:Analysis_(Osnabrück_2013-2015)/Teil_II/Vorlesung_32|32. Vorlesung]]. Ein Skalarprodukt auf {{math|term=V|SZ=}} definiert über {{ math/disp|term= {{op:Norm|v|}} {{defeq}} \sqrt{ {{op:Skalarprodukt|v|v}} } |SZ= }} eine Norm und über {{ math/disp|term= d(u,v) {{defeq}} {{op:Norm|u-v|}} |SZ= }} eine Metrik. Für einen Vektor {{math|term=v|SZ=,}} der bezüglich einer Orthonormalbasis durch die Koordinaten {{ math/disp|term= v=(v_1 {{kommadots|}} v_n) |SZ= }} gegeben ist, lautet die Formel für die Norm {{ math/disp|term= {{op:Norm|v|}} = \sqrt{ v_1^2 {{plusdots|}} v_n^2 } |SZ=. }} Da es auf jedem endlichdimensionalen Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} eine Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} und damit eine dadurch induzierte bijektive lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^n|V |e_i|v_i |SZ=, }} gibt, gibt es auch auf jedem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ein Skalarprodukt und damit eine euklidische Metrik. Diese hängt jedoch von der gewählten Basis ab. Allerdings hängen die offenen Mengen, der Konvergenzbegriff und Grenzwerteigenschaften nicht von einer solchen Wahl ab, wie das folgende Lemma zeigt. {{ inputfaktbeweis |Reelle endlichdimensionale Vektorräume/Euklidische Struktur/Unabhängigkeit/Fakt|Lemma|| || }} Für uns bedeutet das, dass die im Folgenden zu entwickelnden Differenzierbarkeitsbegriffe nicht vom gewählten Skalarprodukt abhängt. Mit etwa mehr Aufwand kann man auch zeigen, dass eine beliebige {{ Zusatz/Klammer |text=nicht notwendigerweise euklidische| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Norm| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/K/Norm/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ebenfalls die gleiche Topologie definiert, und man genauso gut mit einer beliebigen Norm arbeiten könnte. Wenn wir es mit komplexen endlichdimensionalen Vektorräumen zu tun haben, so werden wir diese einfach als reelle Vektorräume {{ Zusatz/Klammer |text=der doppelten Dimension| |ISZ=|ESZ= }} auffassen und ebenfalls mit einer euklidischen Norm versehen. {{:Differenzierbare Kurven/Vektorraum/Textabschnitt}} }} axri9uf87kviv7ouuwa0xy59dvwja4m 106 60949 784470 647563 2022-08-22T06:15:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|43| Wir wenden uns nun der Differentialrechnung für Abbildungen zu, bei denen der Definitionsbereich höherdimensional ist. Dazu seien zwei reelle {{ Zusatz/Klammer |text=oder komplexe| |ISZ=|ESZ= }} endlichdimensionale Vektorräume {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} gegeben. Ferner sei {{mathl|term=G \subseteq V|SZ=}} eine offene Teilmenge und {{ Ma:abb/disp |name=f |G|W || |SZ= }} eine Abbildung. Diese Abbildung wollen wir {{Anführung|differenzieren|SZ=.}} Anders als in den bisher behandelten Situationen gibt es bei einem höherdimensionalen Definitionsbereich mehrere nicht äquivalente Konzepte von Differenzierbarkeit. Wir werden nacheinander die {{Stichwort|Richtungsableitung|SZ=,}} {{Stichwort|partielle Ableitungen|SZ=}} und das {{Stichwort|totale Differential|SZ=}} sowie ihre Beziehungen untereinander diskutieren. Wir werden durchgehend voraussetzen, dass die Vektorräume endlichdimensional sind und mit einem Skalarprodukt und damit mit einer euklidischen Metrik versehen sind. {{ inputbild |Monkey Saddle Surface (Shaded)|png| 300px {{!}} left {{!}} |epsname=Monkey_Saddle_Surface_(Shaded) |Text= |Autor= |Benutzer=Inductiveload |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Feldberg 3913|jpg| 300px {{!}} right {{!}} |epsname=Feldberg_3913 |Text= |Autor= |Benutzer=Flominator |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es ist erstmal keine Einschränkung, wenn man sich auf reelle Vektorräume beschränkt und überdies den Zielraum als {{mathl|term=W=\R|SZ=}} ansetzt. Als Definitionsmenge kann man sich zunächst auf {{mathl|term=G=\R^2=V|SZ=}} beschränken, und sich vorstellen, dass die Abbildung jedem Grundpunkt {{mathl|term=(x,y) \in \R^2|SZ=}} einen Höhepunkt zuordnet, so dass die Abbildung insgesamt ein Gebirge über einer Grundfläche beschreibt. {{Zwischenüberschrift|term=Richtungsableitung}} Wir stellen uns vor, wir sind an einem Ort im Gebirge und entschließen uns, in eine bestimmte Richtung, beispielsweise nach Nordwest zu gehen, egal was kommen mag. Damit machen wir sämtliche Steigungen und Abhänge mit, die das Gebirge uns in dieser vorgegebenen Richtung bietet. Dabei lernen wir nur den Höhenverlauf des Gebirges entlang dieses linearen Ausschnitts {{ Zusatz/Klammer |text=Querschnitts| |ISZ=|ESZ= }} kennen. Durch die gewählte Richtung bewegen wir uns auf dem Graphen zu einer Funktion in einer einzigen Variablen, nämlich einer Variablen der Grundgeraden. Dies ist die Grundidee der {{Stichwort|Richtungsableitung|SZ=.}} {{ inputdefinition |Richtungsableitung/Punkt/Definition|adj=| }} Den Ausdruck {{ math/disp|term= {{op:Bruch|f(P+sv) -f(P)|s}} |SZ= }} nennt man wieder den {{Stichwort|Differenzenquotienten|msw=Differenzenquotient|SZ=}} im Punkt {{math|term=P|SZ=}} in Richtung {{math|term=v|SZ=}} von {{math|term=0|SZ=}} bis {{math|term=s|SZ=.}} Er misst die Durchschnitt(ziel)srichtung {{ Zusatz/Klammer |text=oder Durchschnittssteigung bei {{mathl|term=W=\R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term=f|SZ=}} in Richtung {{math|term=v|SZ=}} für das Zeitintervall {{mathl|term=[0,s]|SZ=.}} Die Richtungsableitung in einem Punkt und in eine Richtung ist selbst ein Vektor in {{math|term=W|SZ=.}} Bei {{mathl|term=W= {{KRC|}} |SZ=}} ist die Richtungsableitung eine reelle oder komplexe Zahl. Die Existenz von {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung|f|P|v}} }} hängt nur von der Abbildung {{ Ma:abbele |name= |{{op:Offener Ball|0|\delta}}|W |s|f(P+sv) |SZ=, }} ab {{ Zusatz/Klammer |text=wobei das Intervall {{mathl|term= {{op:Offener Ball|0|\delta}} |SZ=}} (im reellen Fall) bzw. der offene Ball (im komplexen Fall) so gewählt ist, dass {{mathl|term=s \in {{op:Offener Ball|0|\delta}}|SZ=}} auch {{mathl|term=P + sv \in G|SZ=}} impliziert. D.h. dass {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P|\delta}} \subseteq G |SZ=}} gilt| |ISZ=|ESZ=. }} Daher kann man die Richtungsableitung im Wesentlichen auf die Ableitung von Kurven zurückführen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Richtungsableitung/K/Lineare Realisierung/Differenzierbare Kurve/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Richtungsableitung/K/x^2y/Verschiedene Punkte und Richtungen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Richtungsableitung/K/Lineare Abbildung/Beispiel||| }} {{ inputfaktbeweis |Richtungsableitung/K/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma||| || }} Im Rahmen der Theorie des totalen Differentials wird die Frage beantwortet, wie sich die Richtungsableitungen zu verschiedenen Richtungen zueinander verhalten. Wenn im Werteraum eine Basis gegeben ist, so kann man die Richtungsableitung komponentenweise bestimmen. {{ inputfaktbeweis |Richtungsableitung/K/Summenzerlegung und Basis/Fakt|Lemma||| || }} Aufgrund von diesem Lemma muss man vor allem die Richtungssableitung für den Fall verstehen, wo der Wertebereich gleich {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} ist. Das folgende einfache Beispiel zeigt, dass durchaus alle Richtungsableitungen existieren können, die Abbildung selbst aber noch nicht einmal stetig sein muss. {{ inputbeispiel |Differenzierbarkeit/Partielle Differenzierbarkeit ist schwach/Beispiel|| }} Im Allgemeinen möchte man nicht nur in einem einzigen Punkt {{mathl|term=P \in V|SZ=}} ableiten können, sondern in jedem Punkt, was durch die folgende naheliegende Definition präzisiert wird. {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Endlichdimensional/Richtungsableitung/Jedem Punkt/Definition|| }} Die Richtungsableitung zu einem fixierten Vektor ist also vom selben Typ wie die Ausgangsabbildung. {{ inputbeispiel |K^n/x_1...x_n/Richtungsableitung/Beispiel|| }} In den Aufgaben werden wir sehen, dass die Richtungsableitung zu einer polynomialen Funktion in jede Richtung existiert und selbst wieder polynomial ist. Dies wird sich auch einfach im Rahmen des totalen Differentials ergeben. }} 15hqmjdoglsswyr1osqjojzm1ekrp1k 0 61046 780163 773167 2022-08-21T18:19:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die meisten Mengen in der Mathematik ergeben sich ausgehend von einigen wenigen Mengen wie beispielsweise den endlichen Mengen und {{math|term= \N |SZ=}} durch bestimmte Konstruktionen von neuen Mengen aus schon bekannten oder schon zuvor konstruierten Mengen{{ Zusatz/Fußnote |text=Darunter fallen auch der Schnitt und die Vereinigung, doch bleiben diese innerhalb einer vorgegebenen Grundmenge, während es hier um Konstruktionen geht, die darüber hinaus gehen|ISZ=. |ESZ=. }} Wir definieren:{{ Zusatz/Fußnote |text={{:Definitionen/Rolle in Mathematik/Erläuterung/Bemerkung|opt=Text}} }} {{ inputdefinition |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition||zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Man spricht auch vom {{Stichwort|kartesischen Produkt|msw=Kartesisches Produkt|SZ=}} der beiden Mengen| |ISZ=. }} }} Die Elemente der Produktmenge nennt man {{Stichwort|Paare|msw=Paar|SZ=}} und schreibt {{mathl|term= (x,y)|SZ=.}} Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten {{Stichwort|Komponente|SZ=}} ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponente ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind. Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein, beispielsweise ist {{math|term= \R \times \R|SZ=}} die reelle Ebene. In diesem Fall ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. Wenn es in der ersten Menge {{math|term= n|SZ=}} Elemente{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Dass es in einer Menge {{math|term= n|SZ=}} Elemente gibt, bedeutet, dass man die Elemente der Menge mit den natürlichen Zahlen von {{math|term= 1|SZ=}} bis {{math|term= n|SZ=}} durchnummerieren kann. Anders formuliert, dass es eine bijektive Abbildung zwischen der Menge {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} n\} |SZ=}} und der gegebenen Menge gibt| |ISZ=.|ESZ= }} und in der zweiten Menge {{math|term= k|SZ=}} Elemente gibt, so gibt es in der Produktmenge {{mathl|term= n \cdot k|SZ=}} Elemente. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. Man kann auch für mehr als nur zwei Mengen die Produktmenge bilden, worauf wir bald zurückkommen werden. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Vornamen und Nachnamen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Schachbrett/Beispiel|| }} Wenn zwei geometrische Punktmengen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} gegeben sind, beispielsweise als Teilmengen einer Ebene {{math|term= E|SZ=,}} so kann man die Produktmenge {{mathl|term= A\times B|SZ=}} als Teilmenge von {{mathl|term= E \times E|SZ=}} auffassen. Dadurch entsteht ein neues geometrisches Gebilde, das man manchmal auch in einer kleineren Dimension realisieren kann. {{ inputbild |Geometri cylinder|png| 250px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Geometri_cylinder |Text=Ein Zylindermantel ist die Produktmenge aus einem Kreis und einer Strecke. |Autor= |Benutzer=Anp |Domäne=sv Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Kreislinie und Strecke ergibt Zylinder/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} Eine andere wichtige Konstruktion, um aus einer Menge eine neue Menge zu erhalten, ist die Potenzmenge. {{ inputdefinition |Mengen/Potenzmenge/Definition|| }} Es ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Potenzmenge|M|}} || {{Mengebed|T|T \text{ ist Teilmenge von } M}} || || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= M|SZ=}} die Menge der Kursteilnehmer ist, so kann man sich jede Teilmenge als eine kursinterne Party vorstellen, zu der eine gewisse Auswahl an Leuten hingeht {{ Zusatz/Klammer |text=es werden also die Parties mit den anwesenden Leuten identifiziert| |ISZ=|ESZ=. }} Die Potenzmenge ist dann die Menge aller möglichen Parties. Wenn eine Menge {{math|term= n|SZ=}} Elemente besitzt, so besitzt ihre Potenzmenge {{math|term= 2^n|SZ=}} Elemente. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |Fußnoten=x |pdf= }} l2wl7joh6j8i2b1uj2ufakpd4ml20r7 106 61148 784419 604297 2022-08-22T06:09:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Vorlesungsgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|term=Ganze Zahlen und Rechengesetze}} Wir arbeiten mit den folgenden Mengen, deren Kenntnis wir voraussetzen. {{ math/disp|term= \N=\{0,1,2, \ldots \} |SZ=, }} die Menge der {{Stichwort|natürlichen Zahlen|msw=Natürliche Zahlen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der {{math|term=0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ math/disp|term= \Z= \{\ldots, -2,-1, 0,1,2, \ldots \} |SZ=, }} die Menge der {{Stichwort|ganzen Zahlen|msw=Ganze Zahlen|SZ=.}} Diese Mengen sind mit den natürlichen Operationen Addition und Multiplikation versehen, an deren Eigenschaften wir erinnern. {{:Ganze Zahlen/Rechengesetze/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Induktion}} {{ inputbild |Domen-indukto|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor=Joachim Mohr |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Mathematische Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen, können mit dem Beweisprinzip der {{Stichwort|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=}} bewiesen werden. Die folgende Aussage präzisiert und begründet dieses Prinzip. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz||opt1=Damit enthält {{math|term=M|SZ=}} die {{math|term=0|SZ=,}} daher die {{math|term=1|SZ=,}} daher die {{math|term=2|SZ=,}} usw., und damit überhaupt alle natürlichen Zahlen. }} Der Nachweis von {{ Zusatz/Klammer |text=der Gültigkeit von| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term=A(0)|SZ=}} heißt dabei der {{Stichwort|Induktionsanfang|SZ=}} und der Schluss von {{mathl|term=A(n)|SZ=}} auf {{mathl|term=A(n+1)|SZ=}} heißt der {{Stichwort|Induktionsschluss|SZ=.}} Innerhalb des Induktionsschlusses nennt man die Gültigkeit von {{mathl|term=A(n)|SZ=}} auch die {{Stichwort|Induktionsvoraussetzung|SZ=.}} In manchen Situationen ist die Aussage {{mathl|term=A(n)|SZ=}} erst für {{mathl|term=n \geq n_0|SZ=}} für ein gewisses {{math|term=n_0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=definiert oder| |ISZ=|ESZ= }} wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage {{mathl|term=A(n_0)|SZ=}} und den Induktionsschluss führt man für alle {{mathl|term=n \geq n_0|SZ=}} durch. Das folgende Standardbeispiel für einen Induktionsbeweis verwendet das {{Stichwort|Summenzeichen|SZ=.}} Für gegebene reelle Zahlen {{mathl|term=a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ=. }} Dabei hängen im Allgemeinen die {{math|term=a_k|SZ=}} in einer formelhaften Weise von {{math|term=k|SZ=}} ab. Entsprechend ist das {{Stichwort|Produktzeichen}} definiert, nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \prod_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 \cdot a_2 {{cdots|}} a_{n-1} \cdot a_n || || || |SZ=. }} Insbesondere sind für {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} die {{Stichwort|Potenzen|msw=Potenz}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | a^n ||\prod_{i{{=}}1}^n a ||a^{n-1} \cdot a ||\underbrace{a \cdot a {{cdots|}} a}_{n\text{-mal} } || |SZ= }} definiert. Dabei gelten die Konventionen {{mathl|term=0a=0|SZ=}} und {{mathl|term=a^0=1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die erste lässt sich auch über die Multiplikation begründen, die zweite ist aber auch sinnvoll| |SZ=. }} Als Rechenregeln für das Potenzieren gelten {{ Aufzählung3 | {{ Ma:Vergleichskette/disp |(a\cdot b)^n || a^n \cdot b^n || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |a^{n+m} || a^n \cdot a^m || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |(a^{n})^m || a^{n m} || || || |SZ=. }} }} {{ inputaufgabelösung |Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe|| }} Aussagen, die durch Induktion bewiesen werden können, können manchmal auch auf andere Art bewiesen werden. Im vorstehenden Beispiel gibt es die elegantere und einsichtigere Lösung, die Zahlen einmal aufsteigend und einmal absteigend untereinander hinzuschreiben, also {{ math/disp|term= 1 \, \,\, \, \, \, \, \,\, \, \, \, 2\, \, \, \,\, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \,3 \, \, \, \, {{cdots|}}\, \, \, \, n-2 \, \, \, \, n-1\, \, \, \, n |SZ= }} {{ math/disp|term= n\, \, \, \, \, n-1 \, \, \, \, \, \, n-2 \, \,\, \, {{cdots|}}\, \,\, \, 3\, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2\, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, 1 |SZ= }} Spaltenweise ergibt sich {{mathl|term=n+1|SZ=,}} und diese Summe kommt {{math|term=n|SZ=-}}mal vor. Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 {{makl| \sum_{i{{=}} 1}^n i |}} || n {{makl| n+1 |}} || || || |SZ=. }} {{ inputaufgabelösung |Induktion/6^(n+2)+7^(2n+1) teilbar durch 43/Aufgabe|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Division mit Rest}} Jede natürliche Zahl lässt sich bekanntlich als eine Ziffernfolge {{Anführung|im Zehnersystem}} ausdrücken. Dies beruht auf der {{ Zusatz/Klammer |text=sukzessiven| |ISZ=|ESZ= }} Division mit Rest. {{ inputfaktbeweis |Division mit Rest/N/Induktion/Fakt|Satz||zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Bei {{math|term=q|SZ=}} denke man an Quotient und bei {{math|term=r|SZ=}} an Rest| |ISZ=.|ESZ= }} }} Mit der Division mit Rest können wir die Existenz und Eindeutigkeit der üblichen Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl beweisen. Hinter der Zifferndarstellung verbirgt sich eine Mischung aus Addition, Multiplikation und Potenzierung. {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt|Satz|| || }} Eine entsprechende Aussage gilt für jede Basis {{mathl|term=g \geq 2|SZ=}} statt {{mathl|term=g=10|SZ=.}} Bei {{mathl|term=g=2|SZ=}} spricht man vom {{Stichwort|Dualsystem|SZ=,}} die einzigen Ziffern sind {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=, }} bei {{mathl|term=g=3|SZ=}} vom {{Stichwort|Dreiersystem|SZ=}} mit den Ziffern {{mathl|term=0,1,2|SZ=}} u.s.w.. Bei {{mathl|term=g=16|SZ=}} spricht man vom {{Stichwort|Hexadezimalsystem|SZ=}} und verwendet die Ziffern {{mathl|term=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F|SZ=.}} {{Fußnotenliste}} }} jbxrqqfyhv4invuyloe0p3mmz0n0d4f 106 61150 778702 699815 2022-08-21T12:42:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Die rationalen Zahlen}} {{:Rationale Zahlen/Brüche/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Die reellen Zahlen}} {{ inputbild |Real number line|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Real_number_line |Text= |Autor= |Benutzer=Phrood |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir werden nun die reellen Zahlen besprechen, die wir uns durch alle Punkte der Zahlengeraden vorstellen. Diese Vorstellung ist keineswegs unproblematisch, sie ist aber intuitiv sehr wertvoll. Allerdings ist die Intuition in der Mathematik kein Beweismittel. Ferner wird die Intuition häufig überschätzt und mit Gewohnheit verwechselt. Haben Sie eine sichere intuitive Vorstellung zur Multiplikation auf der Zahlengeraden? Unsere Vorgehensweise ist daher, grundlegende Eigenschaften der reellen Zahlen ein für allemal zu formulieren und dann alle weiteren Eigenschaften aus diesen Grundeigenschaften abzuleiten. Diese grundlegenden Eigenschaften decken sich mit unserer intuitiven Vorstellung einer kontinuierlichen Zahlengeraden und mit unserer Rechenerfahrung mit reellen Zahlen. Grundlegende Eigenschaften von mathematischen Strukturen werden als {{Stichwort|Axiome|SZ=}} bezeichnet. In der Mathematik werden sämtliche Eigenschaften aus den Axiomen logisch abgeleitet. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei reellen Zahlen eine weitere reelle Zahl zu, man spricht auch von {{Stichwort|Verknüpfungen|msw=Verknüpfung|SZ=.}} Es genügt, nur Gesetzmäßigkeiten für die Addition und die Multiplikation aufzulisten, Subtraktion und Division ergeben sich als abgeleitete Operationen. Die Existenz der Addition und der Multiplikation ist Teil der Axiome. {{ inputfakt |Reelle Zahlen/Algebraische Axiome/Fakt|Proposition| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule vertraut. Zur Vereinfachung der Schreibweisen verwenden wir die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term=a \cdot b + c \cdot d|SZ=}} statt {{mathl|term=(a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Es ist Teil der Axiomatik, dass sie verschieden sind. Zu einer reellen Zahl {{math|term=a |SZ=}} nennt man das Element {{math|term=b|SZ=}} mit {{mathl|term=a+b=0|SZ=}} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=.}} Es ist durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt und man bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Es ist {{mathl|term= -(-a)=a|SZ=,}} da wegen {{mathl|term=a+(-a)=0|SZ=}} das Element {{math|term=a|SZ=}} gleich dem {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmten| |ISZ=|ESZ= }} Negativen von {{math|term=-a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term=b+(-a)|SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Zu einer reellen Zahl {{ mathbed|term= a ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man das Element {{math|term=c|SZ=}} mit {{mathl|term=ac=1|SZ=}} das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in \R ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Ma:Vergleichskette/disp | a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} | {{defeq|}} |a b^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also Abkürzungen für den rechten Ausdruck. Zu einer reellen Zahl {{math|term=a |SZ=}} und {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} wird {{mathl|term=a^n|SZ=}} als das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term=a|SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{mathl|term=a\neq 0|SZ=}} wird {{mathl|term=a^{-n}|SZ=}} als {{mathl|term=(a^{-1})^n|SZ=}} interpretiert. {{Zwischenüberschrift|term=Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen}} Bekanntlich kann man die reellen Zahlen mit einer Geraden identifizieren. Auf der Zahlengeraden liegen von zwei Punkten einer weiter rechts als der andere, was bedeutet, dass sein Wert größer ist. Wir besprechen nun diese Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen. {{:Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Intervalle/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text={{:Logische Äquivalenz/Kurzerläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |ISZ=|ESZ= }}}} Für die reellen Zahlen bilden die ganzzahligen Intervalle {{ mathbed|term= [n,n+1[ ||bedterm1= n \in \Z ||bedterm2= |SZ=, }} aufgrund des Archimedes-Axioms eine disjunkte {{Stichwort|Überdeckung|SZ=.}} Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll. {{ inputbild |Floor function|svg|250px {{!}} right {{!}} |epsname=Floor_function |Autor= |Benutzer=Omegatron |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es ist also {{mathl|term= \lfloor x \rfloor|SZ=}} die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich {{math|term=x|SZ=}} ist. {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Gaußklammer/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Betrag}} {{ inputbild |Absolute value|svg|250px {{!}} right {{!}} |epsname=Absolute_value |Autor= |Benutzer= Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Betrag/Definition|| }} Der Betrag ist also nie negativ und hat nur bei {{mathl|term=x=0|SZ=}} den Wert {{math|term=0|SZ=,}} sonst ist er immer positiv. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|{{op:Betrag|x}} |SZ=, }} nennt man auch {{Stichwort|Betragsfunktion|SZ=.}} Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch {{Stichwort|stückweise linear|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Reelle Zahlen/Betragseigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Fußnotenliste}} }} g3zrzxrq3imtc6q7tv6w8znihef5j7w 784441 778702 2022-08-22T06:11:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Die rationalen Zahlen}} {{:Rationale Zahlen/Brüche/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Die reellen Zahlen}} {{ inputbild |Real number line|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Real_number_line |Text= |Autor= |Benutzer=Phrood |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir werden nun die reellen Zahlen besprechen, die wir uns durch alle Punkte der Zahlengeraden vorstellen. Diese Vorstellung ist keineswegs unproblematisch, sie ist aber intuitiv sehr wertvoll. Allerdings ist die Intuition in der Mathematik kein Beweismittel. Ferner wird die Intuition häufig überschätzt und mit Gewohnheit verwechselt. Haben Sie eine sichere intuitive Vorstellung zur Multiplikation auf der Zahlengeraden? Unsere Vorgehensweise ist daher, grundlegende Eigenschaften der reellen Zahlen ein für allemal zu formulieren und dann alle weiteren Eigenschaften aus diesen Grundeigenschaften abzuleiten. Diese grundlegenden Eigenschaften decken sich mit unserer intuitiven Vorstellung einer kontinuierlichen Zahlengeraden und mit unserer Rechenerfahrung mit reellen Zahlen. Grundlegende Eigenschaften von mathematischen Strukturen werden als {{Stichwort|Axiome|msw=Axiom|SZ=}} bezeichnet. In der Mathematik werden sämtliche Eigenschaften aus den Axiomen logisch abgeleitet. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei reellen Zahlen eine weitere reelle Zahl zu, man spricht auch von {{Stichwort|Verknüpfungen|msw=Verknüpfung|SZ=.}} Es genügt, nur Gesetzmäßigkeiten für die Addition und die Multiplikation aufzulisten, Subtraktion und Division ergeben sich als abgeleitete Operationen. Die Existenz der Addition und der Multiplikation ist Teil der Axiome. {{ inputfakt |Reelle Zahlen/Algebraische Axiome/Fakt|Proposition| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule vertraut. Zur Vereinfachung der Schreibweisen verwenden wir die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term=a \cdot b + c \cdot d|SZ=}} statt {{mathl|term=(a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Es ist Teil der Axiomatik, dass sie verschieden sind. Zu einer reellen Zahl {{math|term=a |SZ=}} nennt man das Element {{math|term=b|SZ=}} mit {{mathl|term=a+b=0|SZ=}} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=.}} Es ist durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt und man bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Es ist {{mathl|term= -(-a)=a|SZ=,}} da wegen {{mathl|term=a+(-a)=0|SZ=}} das Element {{math|term=a|SZ=}} gleich dem {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmten| |ISZ=|ESZ= }} Negativen von {{math|term=-a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term=b+(-a)|SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Zu einer reellen Zahl {{ mathbed|term= a ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man das Element {{math|term=c|SZ=}} mit {{mathl|term=ac=1|SZ=}} das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in \R ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Ma:Vergleichskette/disp | a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} | {{defeq|}} |a b^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also Abkürzungen für den rechten Ausdruck. Zu einer reellen Zahl {{math|term=a |SZ=}} und {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} wird {{mathl|term=a^n|SZ=}} als das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term=a|SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{mathl|term=a\neq 0|SZ=}} wird {{mathl|term=a^{-n}|SZ=}} als {{mathl|term=(a^{-1})^n|SZ=}} interpretiert. {{Zwischenüberschrift|term=Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen}} Bekanntlich kann man die reellen Zahlen mit einer Geraden identifizieren. Auf der Zahlengeraden liegen von zwei Punkten einer weiter rechts als der andere, was bedeutet, dass sein Wert größer ist. Wir besprechen nun diese Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen. {{:Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Intervalle/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text={{:Logische Äquivalenz/Kurzerläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |ISZ=|ESZ= }}}} Für die reellen Zahlen bilden die ganzzahligen Intervalle {{ mathbed|term= [n,n+1[ ||bedterm1= n \in \Z ||bedterm2= |SZ=, }} aufgrund des Archimedes-Axioms eine disjunkte {{Stichwort|Überdeckung|SZ=.}} Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll. {{ inputbild |Floor function|svg|250px {{!}} right {{!}} |epsname=Floor_function |Autor= |Benutzer=Omegatron |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es ist also {{mathl|term= \lfloor x \rfloor|SZ=}} die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich {{math|term=x|SZ=}} ist. {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Gaußklammer/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Betrag}} {{ inputbild |Absolute value|svg|250px {{!}} right {{!}} |epsname=Absolute_value |Autor= |Benutzer= Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Betrag/Definition|| }} Der Betrag ist also nie negativ und hat nur bei {{mathl|term=x=0|SZ=}} den Wert {{math|term=0|SZ=,}} sonst ist er immer positiv. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|{{op:Betrag|x}} |SZ=, }} nennt man auch {{Stichwort|Betragsfunktion|SZ=.}} Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch {{Stichwort|stückweise linear|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Reelle Zahlen/Betragseigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Fußnotenliste}} }} rjbae74qw0o6hyx519xp59bnxjiqneq 0 61183 778803 749035 2022-08-21T12:56:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{Beweisstruktur |Strategie=Wir beweisen die Existenz durch Induktion über {{math|term= n |SZ=.}} {{ Induktionsbeweis |Strategie= |Anfang= Für {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} liegt eine Primzahl vor{{{zusatz1|.}}} |Schluss= Bei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|3 || || || |SZ= }} ist entweder {{math|term= n |SZ=}} eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber {{math|term= n |SZ=}} ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette | n || ab || || || |SZ= }} mit kleineren Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |a,b |<| n || || || |SZ=. }} Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für {{math|term= n |SZ=}} zusammen{{{zusatz2|.}}} |Zusammenfassung= }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ndos74k5e8r051on7ukv9pjp3k24rgo 0 61187 782076 367970 2022-08-21T23:41:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Wasserspedition {{Anführung|Alles im Eimer}} verfügt über einen {{math|term= 7|SZ=-}} und einen {{math|term= 10|SZ=-}}Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mbl1r8kpz2yonpppw2tq3l7h9y1oep8 0 61201 782728 756504 2022-08-22T01:30:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= I=[a,b[|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |halboffenes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Kann man {{math|term= I|SZ=}} in zwei disjunkte {{ Definitionslink |Prämath= |Unterräume| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= I=T_1 \cup T_2|SZ=}} derart zerlegen, dass {{ mathkor|term1= T_1 |und|term2= T_2 |SZ= }} untereinander {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdzce5t7hjbj7dqo1yrh1k2xg3wvl3m 0 61202 784781 758246 2022-08-22T06:59:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= I={]a,b[}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |offenes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Kann man {{math|term= I|SZ=}} in zwei disjunkte {{ Definitionslink |Prämath= |Unterräume| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= I=T_1 \cup T_2|SZ=}} derart zerlegen, dass {{ mathkor|term1= T_1 |und|term2= T_2 |SZ= }} untereinander {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie3=Theorie der Homöomorphismen zwischen metrischen Räumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iqj3bjmfeev78jf44dust2o50eyxf5p 0 61203 780484 748891 2022-08-21T19:16:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I || [a,b] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossenes Intervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Kann man {{math|term= I|SZ=}} in zwei disjunkte {{ Definitionslink |Prämath= |Unterräume| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |I ||T_1 \cup T_2 || || || |SZ= }} derart zerlegen, dass {{ mathkor|term1= T_1 |und|term2= T_2 |SZ= }} untereinander {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie3=Theorie der Homöomorphismen zwischen metrischen Räumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 11bxh43nc0p9ycil92hijjwcungell9 0 61212 781325 368182 2022-08-21T21:36:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= a|SZ=}} eine natürliche Zahl und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |a ||\sum_{i {{=}} 0}^\ell a_i 10^{i} || || || |SZ= }} die Darstellung von {{math|term= a|SZ=}} im Dezimalsystem. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= a|SZ=}} von {{math|term= 3|SZ=}} genau dann geteilt wird, wenn die {{Stichwort|Quersumme|SZ=}} {{math|term= \sum_{i=0}^\ell a_i|SZ=}} von {{math|term= 3|SZ=}} geteilt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quersumme |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r265u5lr0f50yl5s88qdnra5pyt0dz1 0 61213 781486 473435 2022-08-21T22:03:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{{d|d}}}|SZ=}} eine positive natürliche Zahl. Es seien {{math|term= a,b |SZ=}} natürliche Zahlen und es seien {{ mathkor|term1= r |bzw.|term2= s |SZ= }} die Reste von {{math|term= a|SZ=}} bzw. {{math|term= b|SZ=}} bei Division durch {{math|term= {{{d|d}}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Rest von {{mathl|term= a+b|SZ=}} bei Division durch {{math|term= {{{d|d}}}|SZ=}} gleich dem Rest von {{mathl|term= r+s|SZ=}} bei Division durch {{math|term= d|SZ=}} ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bahch22i463a3jf3qo0q4pav7xlll12 0 61230 781242 472816 2022-08-21T21:22:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} eine Darstellung der {{math|term= 1|SZ=}}{{{zusatz1|}}} für die folgenden Zahlenpaare: {{ mathkor|term1= 5 |und|term2= 7 |SZ=; }} {{ mathkor|term1= 20 |und|term2= 27 |SZ=; }} {{ mathkor|term1= 23 |und|term2= 157 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9qphpi44zh5bn0apk90ekc1z7ldvpt0 0 61237 778786 772853 2022-08-21T12:54:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Intervallschachtelung e|gif| 350px {{!}} right {{!}} |epsname=Intervallschachtelung_e |Autor= |Benutzer=Caldrac |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir besprechen eine Beschreibung der sogenannten {{Stichwort|eulerschen Zahl|msw=Eulersche Zahl|SZ=}} {{math|term= e|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Intervallschachtelung/Eulersche Zahl/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbild |Leonhard Euler by Handmann |png| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Leonhard_Euler_by_Handmann_ |Text=[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler (1707-1783)]] |Autor=Emanuel Handmann |Benutzer=QWerk |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.euler-2007.ch/doc/Bild0015.pdf }} Durch diese {{ Definitionslink |Intervallschachtelung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt |Refname= |SZ= }} eindeutig eine reelle Zahl bestimmt. {{ inputdefinition |Eulersche Zahl/Bezug auf Intervallschachtelung/Definition|| }} Ihr numerischer Wert ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |e ||2{,}718281828459 {{ldots|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die eulersche Zahl |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4a7c2sil666ckz7z2dge1uvfnem4c6l 0 61262 780126 772597 2022-08-21T18:14:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Ma:abb |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term= L|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term= M|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}}| |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{mathl|term= x \in L|SZ=}} heißt das Element {{ math/disp|term= F(x) \in M |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term= F|SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term= x|SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ Ma:abb/disp |name=F,G |L|M|| |SZ= }} sind gleich, wenn sie die gleiche Definitionsmenge und die gleiche Wertemenge besitzen und wenn für alle {{mathl|term= x \in L|SZ=}} die Gleichheit {{mathl|term= F(x)=G(x)|SZ=}} in {{math|term= M|SZ=}} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Eine Abbildung kann man auch sehen als eine spezielle Relation {{mathl|term= R \subseteq L \times M|SZ=,}} nämlich als eine Relation mit der Eigenschaft, dass es zu jedem {{math|term= x\in L|SZ=}} genau ein {{mathl|term= y \in M|SZ=}} gibt mit {{mathl|term= (x,y) \in R|SZ=.}} Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort|Funktionen|msw=Funktion|SZ=}} genannt. Wir werden den Begriff {{Stichwort|Funktion|SZ=}} für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge ein Zahlbereich wie die reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} ist. Zu jeder Menge {{math|term= M|SZ=}} nennt man die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M|M |x|x |SZ=, }} also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die {{Stichwort|Identität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{math|term= M|SZ=}}| |SZ=. }} Sie wird mit {{math|term= \operatorname{Id}_M |SZ=}} bezeichnet. {{Zwischenüberschrift|term=Darstellungsmöglichkeiten von Abbildungen}} Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graph der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen. {{:Abbildung/Darstellungsmöglichkeiten/Gallerie/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Injektive und surjektive Abbildungen}} {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition|| }} Diese Begriffe sind fundamental! Die Frage, ob eine Abbildung {{math|term= F|SZ=}} diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung {{ math/disp|term= F(x)=y |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den beiden Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }}| |SZ= }} erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term= y \in M|SZ=}} mindestens eine Lösung {{mathl|term= x\in L|SZ=}} für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term= y \in M|SZ=}} maximal eine Lösung {{mathl|term= x\in L|SZ=}} für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term= y \in M|SZ=}} genau eine Lösung {{mathl|term= x\in L|SZ=}} für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden. Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} aus der Voraussetzung {{mathl|term= F(x)=F(x')|SZ=}} erschließt, dass {{mathl|term= x=x'|SZ=}} ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus {{mathl|term= x \neq x'|SZ=}} auf {{mathl|term= F(x) \neq F(x')|SZ=}} zu schließen. {{ inputdefinition |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Graph, Bild und Urbild einer Abbildung}} {{ inputdefinition |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} Abbildungen und ihre Graphen sind im wesentlichen äquivalente Objekte. Formal kann man auch Abbildungen als Graphen {{ Zusatz/Klammer |text=spezielle Relationen| |ISZ=|ESZ= }} einführen. Man muss den Graph von seiner visuellen Realisierung unterscheiden, eine solche ist nicht immer möglich und hängt davon ab, ob man die Produktmenge aus Definitionsmenge und Wertemenge gut visualisieren kann. {{ inputdefinition |Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Urbild einer Abbildung/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Hintereinanderschaltung von Abbildungen}} {{ inputdefinition |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition|| }} Es gilt also {{ math/disp|term= ({{verknüpf|F|G}})(x) = G(F(x)) |SZ=, }} wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt {{ Zusatz/Klammer |text=und nach Möglichkeit vereinfacht| |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Abbildung/Bijektiv und Existenz von links und rechts Inversem/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jg42fhqs1sh4amfi19vn2p3v0jns5h1 0 61274 786578 473671 2022-08-22T11:48:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein findet, dass die Tage zu kurz sind. Daher entschließt sie sich, jeden Tag, und zwar bei Tageslicht, um eine Zeitzone nach Westen zu fliegen, damit jeder Tag {{math|term= 25|SZ=}} statt {{math|term= 24|SZ=}} Stunden besitzt. {{ Aufzählung5 |Kann Lucy Sonnenschein mit dieser Strategie den Anteil an Lichtstunden in ihrem Leben erhöhen? |Kann Lucy Sonnenschein mit dieser Strategie ihr Leben verlängern? |Lucy hat jetzt Freunde in aller Welt. Nach wie vielen Tagen sieht sie sie wieder? |Wodurch erlebt Lucy zeitliche Einbußen, die ihren täglichen Zeitgewinn ausgleichen? |Hat das was mit Relativitätstheorie zu tun? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tbq3d97fw19d4c435hnvjqi88vqd0ag 0 61278 780402 699840 2022-08-21T19:02:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq| \N_+ || || || |SZ= }} diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch {{math|term= 4|SZ=}} den Rest {{math|term= 1|SZ=}} besitzen, also {{ Ma:Vergleichskette | M || \{1,5,9,13,17, {{ldots|}} \} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= 441 |SZ=}} innerhalb von {{math|term= M|SZ=}} auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in {{math|term= M|SZ=}} nicht weiter zerlegbar sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6q0xoab13gnu3afguughbq2awewsvqs 0 61281 785927 572789 2022-08-22T10:00:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, und zwar allein unter Bezug auf Rechengesetze in {{math|term= \Z|SZ=,}} dass die durch {{ Aufzählung2 |{{math/disp|term= {{op:Bruch|a|c}} \cdot {{op:Bruch|b|d}} {{defeq}} {{op:Bruch|ab|cd}} |SZ=}} |{{math/disp|term= {{op:Bruch|a|c}} + {{op:Bruch|b|d}} {{defeq}} {{op:Bruch|ad+bc|cd}} |SZ=}} }} definierte Addition und Multiplikation auf den rationalen Zahlen wohldefiniert ist, und dass die Assoziativität, die Kommutativität und das Distributivgesetz gelten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bruchdarstellung rationaler Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hd8ge5j2jmsca42ej0uoq0xrk1ik09e 0 61296 779480 763562 2022-08-21T16:35:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} eine Menge und es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiven Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= X|SZ=}} nach {{math|term= X|SZ=.}} Die Hintereinanderschaltung von Abbildungen führt zu einer Verknüpfung auf {{math|term= M|SZ=,}} die {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} assoziativ ist. Die Identität auf {{math|term= X|SZ=,}} also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst abbildet, wird mit {{mathl|term= {{op:Identität|X|}}|SZ=}} bezeichnet. Es ist offenbar {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Identität|X|}} \circ F || F ||F \circ {{op:Identität|X|}} || || |SZ= }} für eine beliebige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=F |X|X || |SZ=, }} daher ist {{mathl|term= {{op:Identität|X|}} |SZ=}} das neutrale Element von {{math|term= M|SZ=.}} Zu jeder bijektiven Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=F |X|X || |SZ= }} gibt es die Umkehrabbildung {{mathl|term= F^{-1}|SZ=,}} daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | F \circ F^{-1} || {{op:Identität|X|}} ||F^{-1} \circ F || || |SZ=, }} und somit gibt es zu jedem {{mathl|term= F \in M|SZ=}} ein inverses Element. Insgesamt ist also {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1sqmnslqwa3ueefv7tspkwv83tim09y 0 62594 779595 763660 2022-08-21T16:54:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir führen die {{ Definitionslink |Polynomdivision| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= P=6 X^3+X+1 \text{ durch } T= 3X^2+2X-4 |SZ= }} durch. Es wird also ein Polynom vom Grad {{math|term= 3|SZ=}} durch ein Polynom vom Grad {{math|term= 2|SZ=}} dividiert, d.h. dass der Quotient und auch der Rest {{ Zusatz/Klammer |text=maximal| |ISZ=|ESZ= }} vom Grad {{math|term= 1|SZ=}} sind. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man {{math|term= T|SZ=}} multiplizieren muss, damit das Produkt mit {{math|term= P|SZ=}} im Leitterm übereinstimmt. Das ist offenbar {{math|term= 2X |SZ=.}} Das Produkt ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2X {{makl| 3X^2+2X-4 |}} || 6X^3 +4 X^2 -8 X || || || |SZ=. }} Die Differenz von {{math|term= P |SZ=}} zu diesem Produkt ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | 6 X^3+X+1 - {{makl| 6X^3 +4 X^2 -8 X |}} || -4 X^2 +9X +1 || || || |SZ=. }} Mit diesem Polynom, nennen wir es {{math|term= P' |SZ=,}} setzen wir die Division durch {{math|term= T|SZ=}} fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man {{math|term= T|SZ=}} mit {{mathl|term= {{op:Bruch|-4|3}} |SZ=}} multiplizieren. Dies ergibt {{ Ma:Vergleichskette/disp |- {{op:Bruch|4|3}} T || - {{op:Bruch|4|3}} {{makl| 3X^2 +2X-4 |}} || -4X^2 - {{op:Bruch|8|3}} X + {{op:Bruch|16|3}} || || |SZ=. }} Die Differenz zu {{math|term= P' |SZ=}} ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | -4 X^2 +9X +1 - {{makl| -4X^2 - {{op:Bruch|8|3}} X + {{op:Bruch|16|3}} |}} || {{op:Bruch|35|3}} X - {{op:Bruch|13|3}} || || || |SZ=. }} Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | 6 X^3 +X + 1 || {{makl| 3X^2 +2 X-4 |}} {{makl| 2X - {{op:Bruch|4|3}} |}} + {{op:Bruch|35|3}} X - {{op:Bruch|13|3}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3fc823cr1x0xgkj7bjnczev0qkcuzgc 0 62603 781092 755155 2022-08-21T20:57:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}elementige Menge. Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der {{math|term= k|SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} gleich dem {{ Definitionslink |Binomialkoeffizienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Binom|n|k}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 70f6ncukik6cx0yifvop94zk5d9zrq3 0 62606 785400 758684 2022-08-22T08:33:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P=\R^2|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |komponentenweisen| |Kontext=verknüpfung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber kein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3dfw89shn7nrvcwhxu7q2xo8anonrlp 0 62633 779919 752080 2022-08-21T17:42:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine konstante Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | {{KRC|}}| {{KRC|}} |x|c |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jedem vorgegeben {{math|term= \epsilon|SZ=}} kann man hier ein beliebiges {{math|term= \delta|SZ=}} wählen, da ja ohnehin {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(f(x),f(x')) ||d(c,c) ||0 |\leq|\epsilon || |SZ= }} gilt. Die Identität {{ Ma:abbele/disp |name= | {{KRC|}} | {{KRC|}} |x|x |SZ=, }} ist ebenfalls {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon|SZ=}} und kann man hier {{ Ma:Vergleichskette | \delta || \epsilon || || || |SZ= }} wählen, was zu der Tautologie führt: Wenn {{ Ma:Vergleichskette | d(x,x') |\leq| \delta || \epsilon || || || || |SZ=, }} so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(f(x),f(x')) || d(x,x') |\leq|\epsilon || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Objektkategorie2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hunl4fl8ba1wjt9ma7sf95k0lpdmwkg 0 62636 778526 701096 2022-08-21T12:16:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei (1) erfüllt und sei {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} eine Folge in {{math|term= {{{T|T}}} |SZ=,}} die gegen {{math|term= x |SZ=}} konvergiert. Wir müssen zeigen, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied=f(x_n)}} || f(x) || || || |SZ= }} ist. Dazu sei {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette | \delta |>| 0 || || || |SZ= }} mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} gegen {{math|term= x |SZ=}} gibt es eine natürliche Zahl {{math|term= n_0 |SZ=}} derart, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq| n_0 || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(x_n,x) | \leq | \delta || || || || |SZ= }} gilt. Nach der Wahl von {{math|term= \delta |SZ=}} ist dann {{ math/disp|term= d(f(x_n), f(x)) \leq \epsilon \text{ für alle } n \geq n_0 |SZ=, }} so dass die Bildfolge gegen {{mathl|term= f(x)|SZ=}} konvergiert. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei (2) erfüllt. {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Wir nehmen an, dass {{math|term= f|SZ=}} nicht stetig ist. Dann gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>|0 || || || |SZ= }} derart, dass es für alle {{ Ma:Vergleichskette | \delta |>|0 || || || |SZ= }} Elemente {{ Ma:Vergleichskette |z |\in| {{{T|T}}} || || || |SZ= }} gibt, deren Abstand zu {{math|term= x |SZ=}} maximal gleich {{math|term= \delta |SZ=}} ist, deren Wert {{mathl|term= f(z) |SZ=}} unter der Abbildung aber zu {{mathl|term= f(x) |SZ=}} einen Abstand besitzt, der größer als {{math|term= \epsilon |SZ=}} ist. |Argumentation= Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche {{ mathbed|term= \delta=1/n ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=. }} D.h. für jede natürliche Zahl {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |x_n |\in| {{{T|T}}} || || || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= d(x_n ,x) \leq \frac{1}{n} \text{ und mit } d(f(x_n), f(x)) > \epsilon |SZ=. }} Diese so konstruierte Folge {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} konvergiert gegen {{math|term= x |SZ=,}} aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen {{mathl|term= f(x) |SZ=,}} da der Abstand der Bildfolgenglieder zu {{mathl|term= f(x) |SZ=}} zumindest {{math|term= \epsilon |SZ=}} ist. |Widerspruch= Dies ist ein Widerspruch zu (2). |Zusammenfassung= }} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 062wunoc0dw3vv932iusr0c31k8kol3 0 62678 778520 752084 2022-08-21T12:15:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation=Es sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| \tilde{T} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} vorgegeben. |Beweis= Da {{math|term= a|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Berührpunkt| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} ist und da der Grenzwert von {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= a|SZ=}} existiert {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Ma:Vergleichskette/k |a |\in|T || || || |SZ= }} existiert er aufgrund der Stetigkeit| |ISZ=|ESZ=, }} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette | \delta |>| 0 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Abstand|f(x)| \tilde{f}(a)}} |\leq| \epsilon/2 || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x \in T, \, {{op:Abstand|x|a}} \leq \delta |SZ=.}} Wir behaupten, dass die Stetigkeitsbedingung mit der Aufwandsgenauigkeit {{math|term= \delta/2 |SZ=}} erfüllt ist. Sei also ein {{ Ma:Vergleichskette |y |\in| \tilde{T} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Abstand|y|a}} |\leq| \delta/2 || || || |SZ= }} gegeben. Es gibt ein {{ Ma:Vergleichskette | x |\in|T || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Abstand|x|y}} |\leq|\delta/2 || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Abstand|f(x) |\tilde{f}(y)| }} |\leq| \epsilon/2 || || || |SZ=. }} Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an {{math|term= y|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Abstand|x|a}} |\leq| \delta || || || |SZ=. }} Insgesamt ist daher {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|\tilde{f}(a)|\tilde{f} (y) }} |\leq| {{op:Abstand|\tilde{f}(a)|f(x) }} + {{op:Abstand|f(x) |\tilde{f} (y) }} |\leq| \epsilon || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7tdhvnpc136fznnj8ryujkz5jtqs6la 0 62699 786078 375930 2022-08-22T10:26:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= a|SZ=}} eine reelle Zahl. Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichung {{math|term= x^2=a|SZ=}} höchstens zwei Lösungen in {{math|term= \R|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dim26tyvphft0flt8m21f08unvquks4 0 62803 782332 756174 2022-08-22T00:24:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{K/Teilmenge/Punkt/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb |name=f |T| {{KRC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= b \in {{KRC|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung2 |Es ist {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|a|f(x)}} = b |SZ=. }} |Für jedes {{mathl|term= \epsilon >0|SZ=}} gibt es ein {{mathl|term= \delta >0|SZ=}} derart, dass für alle {{mathl|term= x \in T|SZ=}} mit {{mathl|term= d(x,a) \leq \delta|SZ=}} die Abschätzung {{mathl|term= d(f(x),b) \leq \epsilon|SZ=}} folgt. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage={{math|term= \epsilon-\delta|SZ=-}}Charakterisierung von Grenzwert |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 148oom5xw6e1amws5uhjyp2e3x52wqq 0 62830 783387 757076 2022-08-22T03:20:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergente Folgen| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung5 |Die Folge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=x_n+y_n}}|SZ=}} ist konvergent und es gilt {{ math/disp|term= {{op:Folgenlimes|Glied=(x_n+y_n)}} = ({{op:Folgenlimes|}}) + ({{op:Folgenlimes|y}}) |SZ=. }} |Die Folge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=x_n \cdot y_n}}|SZ=}} ist konvergent und es gilt {{ math/disp|term= {{op:Folgenlimes|Glied= (x_n \cdot y_n)}} = ({{op:Folgenlimes|}}) \cdot ({{op:Folgenlimes|y}}) |SZ=. }} |Für {{mathl|term= c \in {{CC}} |SZ=}} gilt {{ math/disp|term= {{op:Folgenlimes|Glied=cx_n}} =c ( {{op:Folgenlimes|}}) |SZ=. }} |Es sei {{mathl|term= {{op:Folgenlimes|}}=x \neq 0|SZ=}} und {{mathl|term= x_n \neq 0|SZ=}} für alle {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= {{op:Folge|Glied= \frac{1}{x_n} }}|SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ math/disp|term= {{op:Folgenlimes|Glied= \frac{1}{x_n} }}= \frac{1}{x} |SZ=. }} |Es sei {{mathl|term= {{op:Folgenlimes|}}=x \neq 0|SZ=}} und {{mathl|term= x_n \neq 0|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N |SZ=.}} Dann ist {{math|term= {{op:Folge|Glied= \frac{y_n}{x_n} }}|SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ math/disp|term= {{op:Folgenlimes| Glied= \frac{y_n}{x_n} }}= \frac{ {{op:Folgenlimes|y}} }{x} |SZ=. }}}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g3tejg80aq6q83k5rkcy6w9mfwn2tug 0 62833 783347 757035 2022-08-22T03:13:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine Folge komplexer Zahlen {{ Ma:Vergleichskette/disp |z_n ||x_n + {{Imaginäre Einheit|}} y_n || || || |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn sowohl {{math|term= x_n|SZ=}} als auch {{math|term= y_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Für den Grenzwert gilt dabei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|z|}} || {{op:Folgenlimes|x|}} + {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Folgenlimes|y|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxewdac9emihp3119hdkffzfyn5tzz6 0 62855 781019 415021 2022-08-21T20:45:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die {{Stichwort/Abfrage|Bernoulli-Ungleichung|SZ=,}} das ist die Aussage, dass für reelle Zahlen {{mathl|term= x \geq -1|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| 1+x |}}^n |\geq| 1+nx || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Bernoullische Ungleichung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 94s6ydesi3i229cuy4fq8sw4698zemu 0 62892 781314 488603 2022-08-21T21:34:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Dezimalentwicklung von {{mathl|term= {{op:Bruch|5|7}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 446jrpsxpioj5swhtbj9kw43fbmj99n 0 62893 781315 377037 2022-08-21T21:34:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Dezimalentwicklung von {{mathl|term= {{op:Bruch|5|7}} |SZ=}} anhand des in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besprochenen Rekursionsschemas. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dkog1a0r331hps6dzpm00nkcylclbi3 0 62895 784443 758043 2022-08-22T06:12:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|x|}} |SZ=}} eine monoton wachsende reelle Folge, die nach oben beschränkt ist.{{{zusatz1|}}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{Op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Cauchy-Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3edal8rinyn6h4wyd9kd0xwgr9ocpy4 0 62900 781322 377083 2022-08-21T21:35:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für eine rationale Zahl {{mathl|term= x = {{op:Bruch|a|b}} \in [0,1[|SZ=}} das Rekursionsschema aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Eigenschaft besitzt, dass {{mathl|term= s_i = {{op:Bruch|r_i|b}} |SZ=}} ein Bruch mit {{math|term= b|SZ=}} als Nenner ist und dass die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |a 10^i || b q_i +r_i || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |q_i || \sum_{j {{=}} 1}^{i} z_j 10^{i-j} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7mombqxztyg4tqm82ozadnrwcoqphp0 0 62901 781313 755339 2022-08-21T21:34:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= x|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} von welcher der Beginn der {{ Definitionslink |Prämath= |kanonischen Dezimalbruchentwicklung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ math/disp|term= 0{,}3333333333\dotso |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die weiteren Ziffern sind nicht bekannt| |ISZ=|ESZ=. }} Was kann man über die Dezimal{{latextrenn}}bruchentwicklung von {{math|term= 3x|SZ=}} sagen? In welchem {{ Zusatz/Klammer |text=möglichst kleinen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} liegt {{math|term= 3x|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8heyihpqvfdxswdsbchwvln2k6w46uz 0 62905 781488 473430 2022-08-21T22:03:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= q,d,s \in \N|SZ=}} mit {{mathl|term= d \geq 1|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |n ||qd+s || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Rest von {{math|term= n|SZ=}} bei Division durch {{math|term= d|SZ=}} gleich dem Rest von {{math|term= s|SZ=}} bei Division durch {{math|term= d|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fy73d7hmugmerxnddeoehdjuaei01eh 0 62906 781500 472587 2022-08-21T22:05:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,d \in \N|SZ=,}} {{mathl|term= d \geq 1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass bei Division mit Rest durch {{math|term= d|SZ=}} aller Potenzen von {{math|term= a|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term=a^0,a^1,a^2, \ldots|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also {{mathl|term= i<j|SZ=}} derart, dass sich die Reste von {{mathl|term= a^i,a^{i+1},a^{i+2} {{kommadots|}}a^{j-2}, a^{j-1} |SZ=}} bei den folgenden Potenzen periodisch {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Anführung|zyklisch}}| |ISZ=|ESZ= }} wiederholen {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere besitzen also {{mathl|term= a^i|SZ=}} und {{math|term= a^j|SZ=}} den gleichen Rest| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}} ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei {{math|term= a^0=1|SZ=}} anfangen muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} danvciks43emgzyipwzuwr3ee7szdca 0 62907 781501 755484 2022-08-21T22:05:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= a |und|term2= d |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremde| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ganze Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass es eine Potenz {{math|term= a^i|SZ=}} mit {{math|term= i \geq 1|SZ=}} gibt, deren Rest bei Division durch {{math|term= d|SZ=}} gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie3=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} np7nmbi5bo8hej3yx14h38kwax5s4x3 0 62909 785328 758633 2022-08-22T08:21:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p \neq 2,5|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche Zahl der Form {{ Zusatz/Klammer |text=im Dezimalsystem| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= 111 \ldots 111 |SZ= }} gibt, die ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vielfaches| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= p|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sau0uaq270bzc6wwhl3oh9hpw4gs3tv 0 62913 786051 759204 2022-08-22T10:21:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die beiden reellen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} seien durch ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruchentwicklung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= x=0,z_1z_2z_3 \ldots |SZ= }} und {{ math/disp|term= y=0,u_1u_2u_3 \ldots |SZ= }} gegeben. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen {{math|term= xy|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nktj9hm0vm4ebzw7i4ekmjp4pzrl30b 0 62943 780719 754834 2022-08-21T19:55:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Intervalle| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind. a) {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|4x-3|}} |<| {{op:Betrag|2x-3|}} || || || |SZ=. }} b) {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| {{op:Bruch|x-2|3x-1}} |}} |\leq| 1 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie des Betrags für einen angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iecrf2179ry24lhujp6uozqdnd2s9fs 0 62944 781912 474994 2022-08-21T23:14:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die Mengen {{ math/disp|term= M=\{a,b,c,d,e\},\, N=\{a,c,e\},\, P=\{b\},\, R = \{b,d,e,f\} |SZ= }} die Mengen {{ Aufzählung8 | {{mathl|term= M \cap N|SZ=,}} | {{mathl|term= M \cap N \cap P \cap R|SZ=,}} | {{mathl|term= M \cup R|SZ=,}} | {{mathl|term= {{makl| N \cup P |}} \cap R|SZ=,}} | {{mathl|term= N \setminus R|SZ=,}} | {{mathl|term= {{makl| M \cup P |}} \setminus {{makl| R \setminus N |}}|SZ=,}} | {{mathl|term= {{makl| {{makl| P \cup R |}} \cap N |}} \cap R |SZ=,}} | {{mathl|term= {{makl| R \setminus P |}} \cap {{makl| M \setminus N |}}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oe7sdukhu2uy2xittcscjmletschf0a 0 62945 783405 579263 2022-08-22T03:23:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} die folgenden Teilmengen. {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= {{mengebed|z \in {{CC}}| {{op:Realteil|z|}} \geq -3 }}|SZ=,}} |{{mathl|term= {{mengebed|z \in {{CC}}| {{op:Imaginärteil|z|}} \leq 2 }}|SZ=,}} |{{mathl|term= {{mengebed|z \in {{CC}}| {{op:Betrag|z|}} \leq 5 }}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h76rukqkkln9lose3ra2h509u5d4a80 0 62946 784530 472207 2022-08-22T06:23:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für {{math|term= n \geq 4 |SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2^n |\leq |n ! || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ms6u77gbk5ax9u8e2odocwzf72pp4on 0 63012 780421 754621 2022-08-21T19:05:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= L,M,N|SZ=}} Mengen und {{ Ma:abb |name=F |L|M || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=G |M|N || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektive Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G \circ F|SZ=}} ebenfalls injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fax2um8jl1rupd0sr9s72414jcvpldt 0 63013 780422 754622 2022-08-21T19:05:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= L,M,N|SZ=}} Mengen und {{ Ma:abb |name=F |L|M || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=G |M|N || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektive Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G \circ F|SZ=}} ebenfalls surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8r1ikbhlidrjxatx2lqb8j7n73c6yi9 0 63029 780443 754639 2022-08-21T19:09:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} Mengen. Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi |{{op:Abbildungsmenge|L|M}} | {{op:Abbildungsmenge| {{op:Potenzmenge|M|}} |{{op:Potenzmenge|L|}} }} |f| f^{-1}| |SZ=, }} bei der einer Abbildung das {{ Definitionslink |Prämath= |Urbildnehmen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zugeordnet wird. a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Psi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Es sei {{ Ma:Vergleichskette |L |\neq|\emptyset || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Psi|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0izfcdzvzy495hvo80vupm4j3xtrvcm 0 63094 778875 763095 2022-08-21T14:59:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{L|L}}}|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Abbildungsmenge|{{{L|L}}}|{{{L|L}}}}} || || || |SZ= }} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{{L|L}}}|SZ=}} in sich. Durch die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung von Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} liegt eine {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} vor, die aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |assoziativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dagegen ist sie nicht {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Identität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{{L|L}}}|SZ=}} ist das {{ Definitionslink |Prämath= |neutrale Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine Abbildung {{ Ma:abb |name=f |L|L || |SZ= }} besitzt genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |inverses Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn sie {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist; das inverse Element ist einfach die {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie_der_Abbildungsmonoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ysjcxwr2735vp394ni0qut8hlll5he 0 63104 785906 759058 2022-08-22T09:57:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Q|SZ=}} mit der durch {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|a|b}} |\geq| {{op:Bruch|c|d}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathlk|term=b,d \in \N_+|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette | ad |\geq|cb || || || |SZ= }} in {{math|term= \Z|SZ=}} gilt, definierten Beziehung ein {{ Definitionslink |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf {{math|term= \Z|SZ=}} verwendet werden| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdexb6sgbe28wxj3g1jn367xe21q4ty 0 63106 780499 377878 2022-08-21T19:18:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp |2n^n |\leq|(n+1)^n || || || |SZ= }} für {{mathl|term= n\in \N_+|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Bernoullische Ungleichung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0kueewcr7cxzmp6h45n3e5ken14jhul 0 63107 780500 485537 2022-08-21T19:18:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp |n! | \leq | {{makl| {{op:Bruch|n+1|2}} |}}^n || || || |SZ= }} für {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s34vk7289mlf87rjblbyau6q3hx4k9c 0 63201 785907 577094 2022-08-22T09:57:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{Anführung|Rechenregel}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|a|b}} + {{op:Bruch|c|d}} || {{op:Bruch|a+c|b+d}} || || || |SZ= }} bei {{mathl|term= a,c \in \N_+|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{mathl|term= b,d, b+d \in \Z \setminus \{0\} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} niemals gilt. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel mit {{mathl|term= a,b,c,d,b+d \neq 0|SZ=,}} wo diese Regel gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mediant-Addition rationaler Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f1p7ce33b9o99x2utbpbqkf51wwxiiw 0 63203 783633 757285 2022-08-22T04:01:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} die folgenden Eigenschaften. (1) Für jedes {{mathl|term= a \in K|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha_a |K|K |x|x+a |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} (2) Für jedes {{ mathbed|term= b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\mu_b |K|K |x|bx |SZ=, }} bijektiv. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rbtzre07bbgc9f4vfd632po708nkas1 0 63204 785905 759057 2022-08-22T09:57:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |(\Q,0,+)|(\Q \setminus \{0\},1,\cdot) || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} trivial ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 66ylnj60qw9cl37av2rbhhmactiwvmi 0 63205 785923 759072 2022-08-22T10:00:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |(\Q \setminus \{0\},1,\cdot)|(\Q,0,+) || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a8romk9xeaiaxctnat1b2ufa46u17v4 0 63230 780809 754910 2022-08-21T20:10:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|K || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x|}} |<| 1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n | {{defeq|}} |x^n || || || |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in archimedisch angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} arfs3cip0pmj62fuw2kilc7ou2iboe7 0 63237 780726 754842 2022-08-21T19:56:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Betrachte die in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Körper/N und Z/Kanonische Abbildung/Aufgabe |Refname= |SZ= }} konstruierte Zuordnung {{math|term= \Z \rightarrow K|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass diese Zuordnung {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass man diese Zuordnung zu einer Zuordnung {{math|term= \Q \subseteq K|SZ=}} fortsetzen kann, und zwar derart, dass die {{ Definitionslink |Verknüpfungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=}} mit den Verknüpfungen in {{math|term= K|SZ=}} übereinstimmen und die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \Q|SZ=}} mit der Ordnung auf {{math|term= K|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rational |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i1tmwwg6wut459ecz33lxwig9u42uh4 0 63272 780729 506918 2022-08-21T19:56:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die folgenden {{ Zusatz/Klammer |text=Pseudo| |ISZ=|ESZ=- }}Definitionen. {{:Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition}} Vergleiche{{n Sie}} diese Definitionen mit der Definition von Konvergenz. Worin besteht der Unterschied? Welche Bedeutung haben die einzelnen Definitionen? Welche Definitionen sind zueinander äquivalent, zwischen welchen besteht eine Implikation {{ Zusatz/Klammer |text=Beweis oder Gegenbeispiel| |ISZ=|ESZ=? }} Für welche Definitionen ist das {{math|term= x|SZ=}} eindeutig bestimmt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ixhbbpqce72833818e7z4ymcghpfpf2 0 63273 780705 754822 2022-08-21T19:52:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= K|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordnet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Stammbrüche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|1|n}},\, n \geq 1 |SZ=,}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in archimedisch angeordneten Körpern |Kategorie2=Theorie der Stammbrüche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iperjjefz7i2tocf9edup10rbavxs3d 0 63276 782259 540310 2022-08-22T00:12:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|}}|SZ=}} eine gegen {{math|x}} konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen {{math|x}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Q |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 25oe51r9ql8uss8vph0hjwbp2fixj2g 0 63278 782782 501659 2022-08-22T01:39:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} von Hand die Approximationen {{math|term= x_1,x_2,x_3,x_4|SZ=}} im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von {{math|term= 5|SZ=}} zum Startwert {{math|term= x_0=3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e6r0t500okivwjlsa1pkb6nxt0il208 0 63283 780710 540311 2022-08-21T19:53:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=,}} es sei {{math|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} eine Nullfolge in {{math|term= K |SZ=}} und {{math|term= {{Op:Folge|y}} |SZ=}} eine beschränkte Folge in {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die Produktfolge {{math|term= ( x_n y_n)_{n \in \N}|SZ=}} eine Nullfolge ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ia1cpncftvwrhjnry44c66irgkhys2 0 63398 780721 754836 2022-08-21T19:55:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=,}} die eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Teilfolge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthalte. Zeige{{n Sie}}, dass die Folge konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5wewlbctlicijrnwaqf2fjt08daf7r 0 63399 780755 754871 2022-08-21T20:01:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} eine wachsende Folge in {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn die Menge {{math|term= {{Mengebed|x_n|n \in \N}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Supremum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 04861ypv68vjxip6xi769f5vvtaskjc 0 63400 786004 508191 2022-08-22T10:13:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass jede Folge in {{math|term= \R|SZ=}} eine monotone Teilfolge besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fs1dh37lr8c5ao7bi6a8u667eymr1j4 0 63401 780776 754888 2022-08-21T20:04:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass in ihm jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |vollständig| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2=Theorie der vollständig angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} las6u0gbw0k5d040u56fjekym250y2t 0 63406 780998 710282 2022-08-21T20:41:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| \R_{\geq 0} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |k |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu einem beliebigen Startwert {{ Ma:Vergleichskette |x_0 |\in| \R_{+} || || || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_{n+1} |{{defeq}}| {{op:Bruch| (k-1)x_n + {{op:Bruch|a|x_n^{k-1} }}|k}} || || || |SZ= }} eine Folge definiert wird, die gegen {{math|term= \sqrt[k]{a}|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie der reellen Wurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nfoyg3kd3tlqbo99kbpbwz0av0u68pz 0 63407 786046 508193 2022-08-22T10:20:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= a \in \R_{\geq 0}|SZ=,}} {{mathl|term= k \in \N|SZ=,}} {{mathl|term= M = {{Mengebed|x \in \R_{\geq 0} |x^k \leq a}} |SZ=}} und {{mathl|term= s= {{op:sup|M|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{mathl|term= s^k=a |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Wurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} loxp79a1wbrgmtmtmyu78jhbcncx1vk 0 63484 785995 508210 2022-08-22T10:12:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= a \in \R|SZ=.}} Zu einem Startwert {{math|term= x_0 \in \R|SZ=}} sei eine reelle Folge rekursiv durch {{math/disp|term=x_{n+1} = {{op:Bruch|x_n+a|2}} |SZ=}} definiert. Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. (a) Bei {{math|term= x_0 > a|SZ=}} ist {{math|term= x_n > a|SZ=}} für alle {{math|term= n \in \N|SZ=}} und die Folge ist streng fallend. (b) Bei {{math|term= x_0 = a|SZ=}} ist die Folge konstant. (c) Bei {{math|term= x_0 < a|SZ=}} ist {{math|term= x_n < a|SZ=}} für alle {{math|term= n \in \N|SZ=}} und die Folge ist streng wachsend. (d) Die Folge konvergiert. (e) Der Grenzwert ist {{math|term= a|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie des arithmetischen Mittels |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=1 |p3=2 |p4=1 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 983oxv6vs6aso1a1a6yiep4hdxoqbfh 0 63492 784623 508152 2022-08-22T06:36:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= x \in \R_{\geq 0} |SZ=}} eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes {{math|term= \epsilon \in \R,\, \epsilon >0 |SZ=,}} gelte {{math|term= x \leq \epsilon |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{math|term= x = 0 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1jmy8y81qzvv98sbr8chr1zov2036hp 0 63555 784991 706680 2022-08-22T07:31:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein Körper und es seien {{math|term= n}} verschiedene Elemente {{math|term= a_1 {{kommadots}} a_n \in K}} und {{math|term= n}} Elemente {{math|term= b_1 {{kommadots}} b_n \in K}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass es ein eindeutiges Polynom {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} vom Grad {{math|term= \leq n-1}} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette | P(a_i) || b_i || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g23cqx28iq1jd89y0em2z3wvmgjr0th 0 63573 785217 758556 2022-08-22T08:04:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{mathl|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ math/disp|term= {{Mengebed| {{op:Bruch|P|Q}}| P,Q \in K[X]|Q \neq 0 }} |SZ=, }} wobei zwei Brüche {{mathl|term= {{op:Bruch|P|Q}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Bruch|P'|Q'}} |SZ=}} genau dann als gleich gelten, wenn {{mathl|term= P Q' =P'Q |SZ=}} ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5c8vobixq7cu32g6i7zjrnr583zxstw 0 63608 780460 400795 2022-08-21T19:12:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass die Menge der Abbildungen von {{math|term= \N}} nach {{math|term= \N}} die Mächtigkeit des Kontinuums besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mächtigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bav0g1odaulxa78uxf10h28ilk4b1ia 0 63620 785999 759140 2022-08-22T10:12:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge}}|SZ=}} eine reelle Folge und {{mathl|term= x \in \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= x |SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Häufungspunkt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Folge ist, wenn es eine gegen {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergente| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilfolge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jgaizpeg10ya75w13pe7v6u819078qz 0 63627 781134 504449 2022-08-21T21:04:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein angeordneter Körper, der nicht archimedisch angeordnet sei. Zeige{{n Sie}}, dass für {{math|term= K|SZ=}} die Aussage das Satzes von Bolzano-Weierstraß nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nicht archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g7n6mj9fn4260402e4xevyh3opct81p 0 63635 781892 755793 2022-08-21T23:10:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} {{ Definitionslink |endliche Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen. Zeige{{n Sie|}}, dass für eine Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=F |M|N || |SZ= }} die Begriffe {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} äquivalent sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bcb7n8ivts6b1blattpukc9qtt1hxp2 0 63651 780775 508207 2022-08-21T20:04:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein angeordneter Körper und {{math|term= M \subseteq K}} eine Teilmenge, die ein Supremum {{math|term= T}} besitze. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T}} genau dann das Maximum von {{math|term= M}} ist, wenn {{math|term= T \in M}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7yplxeaingfp4z544o9nw0vwp6sy5vs 0 63653 781932 755827 2022-08-21T23:17:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T \subseteq \R|SZ=}} eine endliche Teilmenge und {{ Ma:abb/disp |name=f |T|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kio9xgpslk5ag6c52b3cana9ubszjd1 0 63654 786007 712049 2022-08-22T10:14:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge}} |SZ=}} eine reelle Folge und {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|\R || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |T ||{{Mengebed| {{op:Bruch|1|n}}|n \in \N_+ }} \cup \{0\} |\subseteq |\R || || || |SZ=. }} Die Funktion {{ Ma:abb/disp |name=f |T|\R || |SZ= }} sei durch {{ Math/disp |term= f {{makl| {{op:Bruch|1|n}} |}} = x_n \text{ und } f(0)=x |SZ= }} festgelegt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f |SZ=}} genau dann stetig ist, wenn die Folge gegen {{math|term= x|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3=Theorie der Folgenringe |Objektkategorie=Der Stammbruchraum |Stichwort=Endlich |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2aml5d7p05x5vjr201ygbi3lbe4p9jy 0 63669 782498 406420 2022-08-22T00:51:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= x,y}} reelle Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | x- {{op:Gaußklammer|x|}} || y- {{op:Gaußklammer|y|}} || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn es ein {{mathl|term= n \in \Z }} mit {{mathl|term= y=x+n}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Gaußklammer |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c4ywhtzze6hz1qg7gu96sqgp1rh1rf4 0 63681 785997 759137 2022-08-22T10:12:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob die {{ Definitionslink |reelle Folge||Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n ||{{op:Bruch| 5n^{{op:Bruch|3|2}} +4 n^{{op:Bruch|4|3}} +n |7n^{{op:Bruch|5|3}} +6 n^{{op:Bruch|3|2}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= n \geq 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} und bestimme{{n Sie}} gegebenenfalls den {{Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7m99zfunvwesckckpowixm4chqj6p5e 0 63705 786016 508197 2022-08-22T10:15:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine Funktion und {{mathl|term= a \in \R|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} die Begriffe {{Anführung|linksseitiger}} und {{Anführung|rechtsseitiger Grenzwert}} von {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= a|SZ=}} sowie den Begriff {{Anführung|Sprungstelle|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ihra2jqldyn1068r080897jxauv2uc 0 63782 783346 757034 2022-08-22T03:13:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktionen| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |z|a^z |SZ=, }} zur Basis {{mathl|a \in \R_+}} die folgenden Rechenregeln gelten {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{mathlk|term=a,b \in \R_+|SZ=}} und {{mathlk|term=z,w \in {{CC}}|SZ=,}} bei (4) sei zusätzlich {{mathlk|term=z \in \R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |{{mathl|term= a^{z+w} = a^z \cdot a^w|SZ=.}} |{{mathl|term= a^{-z} = {{op:Bruch|1|a^z}}|SZ=.}} |{{mathl|term= (ab)^z = a^z b^z|SZ=.}} |{{mathl|term= (a^z)^w = a^{zw}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} so619tmwb9zhrj8hiqfsz23214fgbdt 0 63786 782257 540320 2022-08-22T00:11:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|z}} }} eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert {{math|term= z}} und {{mathl|term= {{Op:Folge|a}} }} eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem positiven Grenzwert {{math|term= a|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die durch {{mathl|term= w_n = a_n^{z_n} }} definierte Folge gegen {{mathl|term= a^z }} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Exponentialfunktionen |Kategorie2=Theorie der komplexen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9lbcm6c64qxm616tv32q46c2wcgh6tv 0 63787 784698 540321 2022-08-22T06:47:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|z}} }} eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert {{math|z}} und {{mathl|term= {{Op:Folge|a}} }} eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem Grenzwert {{math|term= 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass die durch {{mathl|term= w_n = a_n^{z_n} }} definierte Folge nicht konvergieren muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Exponentialfunktionen |Kategorie2=Theorie der komplexen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nhn9vtahefeu4xzarajrj61642vv33b 0 63804 785297 758614 2022-08-22T08:16:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= f={{Potenzreihe|a| z}} |SZ=}} und {{math|term= g={{Potenzreihe|b| z}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum {{math|term= r |SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{Aufzählung2 |Die Potenzreihe {{math|term= {{Potenzreihe|c| z}} |SZ=}} mit {{math|term= c_n =a_n+b_n|SZ=}} ist konvergent auf {{math|term= {{op:Offener Ball|0|r}} |SZ=}} und stellt dort die Summenfunktion {{math|term= f+g |SZ=}} dar. |Die Potenzreihe {{math|term= {{Potenzreihe|d| z}} |SZ=}} mit {{math|term= d_n = \sum_{i=0}^n a_ib_{n-i}|SZ=}} ist konvergent auf {{math|term= {{op:Offener Ball|0|r}} |SZ=}} und stellt dort die Produktfunktion {{math|term= fg |SZ=}} dar. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jsszzdlw52ion7lcdpetl7w4hk9p821 0 63805 782266 508216 2022-08-22T00:13:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ math/disp|term= x_n = \sqrt[ n ]{n} |SZ= }} definierte Folge ({{mathlk|term=n \geq 1|SZ=}}). Zeige{{n Sie}} folgende Aussagen. {{Aufzählung2 |Für {{math|term= n \geq 3|SZ=}} ist die Folge monoton fallend. |Die Folge konvergiert gegen {{mathlk|term=1|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=5 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hnwjm6qxfx0bmtb4eocc4b0qdtv11hq 0 63808 786508 593756 2022-08-22T11:37:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{math/disp|term=f(x) = \begin{cases}x \cdot {{op:sin|\frac{1}{x}|}} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases} |SZ=}} definierte Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{mathl|term= \lambda,\, - 1 \leq \lambda \leq 1|SZ=,}} eine Nullfolge {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} \in \R_+|SZ=}} derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten {{math/disp|term={{op:Bruch|f(x_n) -f(0)|x_n}} |SZ=}} gegen {{math|term= \lambda|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0owjswaxt4yqxx9y67f2c0vku6z1wjq 0 63811 782331 508219 2022-08-22T00:24:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math/disp|term=f(x) = x^2+x- {{op:Bruch|7|4}} |SZ=.}} Zu jedem Startwert {{mathl|term= x_0 \in \R|SZ=}} betrachten wir die reelle Folge {{math/disp|term= x_n = f^n(x_0)|SZ=,}} es gilt also die rekursive Beziehung {{mathl|term= x_{n +1} =f(x_{n})|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge für {{mathl|term= x_0 \in [-2,1]}} einen Häufungspunkt besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rtwicqwzxgnmtuq9pre3ldnuqcysj6m 0 63819 785609 508179 2022-08-22T09:07:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} die Details im Beweis zu {{Faktlink{{{opt|}}} |Faktseitenname= Q/q auf b^q/Gleichmäßig stetig auf Intervall/Fakt|}} für den Fall {{mathl|term= b <1}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vw1kgc82wpgi5nmcn2a2sirb41ojbc 0 63821 783870 508220 2022-08-22T04:41:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= [a,b]}} ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung {{ math/disp|term= a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{k-1} < x_k=b |SZ= }} und Werte {{mathl|term= y_0,y_1,y_2 {{kommadots}}y_{k-1}, y_k \in \R }} gegeben. Beschreibe{{n Sie}} die zugehörige lineare Interpolation durch funktionale Ausdrücke und zeige{{n Sie}}, dass es sich um eine stetige Funktion handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stückweise linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fc1ikicgtolsgj1zlw56cv24v27w4wv 0 63822 783334 508233 2022-08-22T03:11:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= [a,b]}} ein reelles Intervall und {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]|\R |x|f(x) |SZ=, }} eine Funktion. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f}} genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem {{mathl|term= \epsilon > 0}} gibt es eine Unterteilung {{ math/disp|term= a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{k-1} < x_k=b |SZ= }} derart, dass die lineare Interpolation {{math|term= g}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu dieser Unterteilung und zu {{mathl|term= f}}| |ISZ=|ESZ= }} die Eigenschaft {{ math/disp|term= {{op:Betrag|f(x) -g(x) }} \leq \epsilon \text{ für alle } x \in [a,b] |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stückweise linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fv8s1ae4sg8jhxxgvgd57q5zd1gbl2d 0 63826 786546 593799 2022-08-22T11:43:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu einem Startwert {{mathl|term= x_0 \in [0, {{op:Bruch|\pi|2}}]|SZ=}} sei eine Folge rekursiv durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_{n+1} | {{defeq|}} |{{op:sin|x_n}} || || || |SZ= }} definiert. Entscheide{{n Sie}}, ob {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} konvergiert und bestimme{{n Sie}} gegebenenfalls den Grenzwert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o2juk6mfemd4903mosefzxtt8a1rjnm 0 63831 782273 540324 2022-08-22T00:14:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Folge {{mathl|term= {{Op:Folge}} }} sei rekursiv durch {{mathl|term= x_0=1 }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_{n+1} || \sqrt{ x_n+1 } || || || |SZ= }} definiert. Zeige{{n Sie}}, dass diese Folge konvergiert und berechne{{n Sie}} den Grenzwert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} su265a87l9dam3azxyzh2tg71ycjnh1 0 63832 786166 540325 2022-08-22T10:40:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu einem Startwert {{mathl|term= x_0 \in \R|SZ=}} sei die Folge {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} rekursiv durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_{n+1} || e^{x_n}-1 || || || |SZ= }} definiert. Entscheide{{n Sie}}, für welche {{mathl|term= x_0 |SZ=}} die Folge konvergiert und bestimme{{n Sie}} gegebenenfalls den Grenzwert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tdfm54awlvgcniehfjf6esm8ikiffnb 0 63845 778851 590960 2022-08-21T13:04:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{ Ma:Vergleichskette |J ||f(I) || || || |SZ=. }} Aus dem {{ Faktlink|Zwischenwertsatz| |Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} folgt sofort, dass wenn {{ Ma:Vergleichskette |y,z |\in|J || || || |SZ= }} sind und {{ Ma:Vergleichskette |u |\in| \R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |y |\leq|u |\leq|z || || |SZ= }} gegeben ist, auch {{ Ma:Vergleichskette |u |\in|J || || || |SZ= }} sein muss. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Angeordneter Körper/Abschnitt/Reell/Intervall/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= J }} ein Intervall. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iw6ncvfefnif26q9vaoamfnyxx5r52j 0 63851 785969 540326 2022-08-22T10:07:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge aller reellen konvergenten Folgen und {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi |M|\R |{{Op:Folge|}} | {{makl| {{op:Folgenlimes|x}} }} |SZ=, }} die Abbildung, die einer konvergenten Folge ihren Grenzwert zuordnet. Warum ist dies eine (wohldefinierte) Abbildung? Ist {{math|term= \Psi|SZ=}} injektiv? Ist {{math|term= \Psi|SZ=}} surjektiv? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie der Abbildungen |Kategorie3=Theorie der Folgenringe |Objektkategorie= |Stichwort=Mittelwert |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3nphdakhlijniv3ko9c77dq7uz2x20m 0 63858 782964 756705 2022-08-22T02:09:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} ein reelles Intervall und {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R || |SZ=, }} eine stetige, injektive Funktion. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |streng wachsend| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder streng fallend ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der monotonen reellen Funktionen |Kategorie3=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ja742i080yoikeowow5nok367mubew 0 63888 784837 635358 2022-08-22T07:07:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | f(x) || x^2 || || || |SZ=. }} Für welche Punkte {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|\R || || || |SZ= }} verläuft die Tangente durch {{mathl|term= (x,f(x))}} durch den Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iezok1bttmywlznbwsy19zo31sqm4ay 0 63914 781400 755424 2022-08-21T21:48:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= I \subseteq \R|SZ=}} ein Intervall und {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R || |SZ= }} eine zweimal {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung {{mathl|term= f^{\prime \prime}(x) \geq 0 |SZ=}} für alle {{mathl|term= x \in I |SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mb0it2h1hk3egf40z4i9etiv3h8eq4k 0 63916 783475 746777 2022-08-22T03:34:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g |I|\R || |SZ= }} {{ Definitionslink |konvexe Funktionen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Summe {{math|term= f+g|SZ=}} ebenfalls konvex ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} crway4zt2uzetrh8xl1gn0rn39i19hb 0 63917 783471 757147 2022-08-22T03:34:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g |I|\R || |SZ= }} {{ Definitionslink |konvexe Funktionen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} durch Beispiele, dass die Differenz {{math|term= f-g|SZ=}} konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4lxj9net9pvkzfh37ulpoxyfjpxim2x 0 63918 783474 757150 2022-08-22T03:34:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g |I|\R || |SZ= }} {{ Definitionslink |konvexe Funktionen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} durch Beispiele, dass das Produkt {{math|term= fg|SZ=}} konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2go74xhlz5c2ua560kgils4wlganxw5 0 63919 783473 757149 2022-08-22T03:34:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann konvex ist, wenn {{math|term= -f|SZ=}} konkav ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p8fhum63ioa00370r8of5a6x12uvjeo 0 63921 784960 579273 2022-08-22T07:26:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= z_n \in {{CC}}}} eine Folge von komplexen Zahlen, die wir in Polarkoordinaten als {{math/disp|term= z_n =r_n e^{ {{Imaginäre Einheit}} \varphi_n} }} mit {{mathl|term= r_n \in \R_{\geq 0} }} und {{mathl|term= \varphi_n \in [0, 2 \pi[ }} schreiben. Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt. {{Aufzählung3 |Die Folge {{mathl|term= r_n }} konvergiert gegen {{mathl|term= 0|SZ=.}} |Die beiden Folgen {{mathl|term= r_n }} und {{mathl|term= \varphi_n}} konvergieren (in {{mathl|term= \R}}). |Die Folge {{mathl|term= r_n}} konvergiert und die Folge {{mathl|term= \varphi_n}} besitzt die Punkte {{mathl|term= 0}} und {{mathl|term= 2 \pi}} als einzige Häufungspunkte.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polarkoordinaten für komplexe Zahlen |Kategorie2=Theorie der komplexen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dr42k03mpm4ha0xr9pp2akxnelc7d4c 0 63924 783472 757148 2022-08-22T03:34:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |konvexe Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} seien {{math|term= x_1 {{kommadots}} x_n \in I |SZ=}} und {{math|term= t_1 {{kommadots}} t_n \in \R_{\geq 0} |SZ=}} mit {{math|term= \sum_{i=1}^n t_i=1 |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die Jensensche Ungleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | f {{makl|\sum_{i{{=}}1}^n t_i x_i }} |\leq | \sum_{i{{=}}1}^n t_i f (x_i) || || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sf5nhdz5g1u707pf7a7xsefyspbtv1x 0 63931 785022 508203 2022-08-22T07:35:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= f \in \R[X]|SZ=}} ein Polynom mit ungeradem Grad {{mathl|term= \geq 3|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} weder konvex noch konkav sein kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} msulqaoijnurcm6mvd5ut8gs6hxmk7p 0 63971 783468 757144 2022-08-22T03:33:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Reihe|c}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Reihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= c_k \in {{CC}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die durch die Reihenglieder {{ math/disp|term= a_n := c_{2n} + c_{2n+1} |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ebenfalls und zwar gegen die gleiche Summe konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bhj704doo1dpnz002m3ageop4fo3d5p 0 63975 782158 756032 2022-08-21T23:55:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für {{math|term= N \in \N|SZ=}} und {{math|term= {{{z|z}}} \in {{{K|{{CC}}}}}|SZ=}} sei {{ math/disp|term= R_{N+1} ({{{z|z}}}) = {{op:exp|{{{z|z}}}|}} - \sum_{n=0}^N \frac{ {{{z|z}}}^n}{n!} = \sum_{n=N+1}^\infty \frac{ {{{z|z}}}^n}{n!} |SZ= }} das {{Stichwort|Restglied|SZ=}} der {{ Definitionslink |Exponentialreihe| |Kontext={{{K|C}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für {{math|term= {{op:Betrag|{{{z|z}}}|}} \leq 1 + \frac{1}{2}N |SZ=}} die {{Stichwort|Rest{{latextrenn}}gliedabschätzung|SZ=}} {{ math/disp|term= {{op:Betrag|R_{N+1}({{{z|z}}})|}} \leq \frac{2}{(N+1)!} {{op:Betrag|{{{z|z}}}|}} ^{N+1} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialreihe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 61127uox07y53ufgcuh1pm07j30noog 0 63980 785275 381805 2022-08-22T08:13:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine konvergente Potenzreihe {{mathl|term= \sum_{k=0}^\infty c_k z^k|SZ=}} mit {{mathl|term= c_k=0|SZ=}} für alle geraden (ungeraden) Indizes eine ungerade (gerade) Funktion darstellt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8109blh0a2mykrgotc2dyx59ui2kr1f 0 63981 785279 758598 2022-08-22T08:13:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \sum_{k=0}^\infty c_k z^k|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Potenzreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die eine {{ Definitionslink |Prämath= |gerade Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} darstelle. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= c_k=0|SZ=}} für alle ungeraden Indizes ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i7vd1a7knj8i3z9ghf5cm679uffucyc 0 64000 785019 758422 2022-08-22T07:34:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Schreibe{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= Z^3-(2 i)Z^2+ 3iZ-(4 5i) |SZ= }} in der neuen Variablen {{math|term= W =Z+ 2-i|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Umentwicklung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k8yhv5ev48vr8xiwlmhwdc34gjjr62z 0 64001 785020 758423 2022-08-22T07:35:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Schreibe{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= Z^3-(2+ {{Imaginäre Einheit|}})Z^2 +3{{Imaginäre Einheit|}}Z+4- 5{{Imaginäre Einheit|}} |SZ= }} in der neuen Variablen {{math|term= W =Z+ 2- {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Umentwicklung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ksp4vpzqg3emmb7hiluta4qmlxt1j0 0 64002 782523 756314 2022-08-22T00:56:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Koeffizienten {{math|term= d_0 {{kommadots|}} d_3 |SZ=}} der {{ Definitionslink |geometrischen Reihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Entwicklungspunkt| |Kontext=Potenzreihe C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Bruch|1|2}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihenentwicklung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die geometrische Reihe |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tci3119r00ow7xyjgbhkl5zg5gtv9be 0 64017 780492 670739 2022-08-21T19:17:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine bijektive differenzierbare Funktion mit {{ Ma:Vergleichskette | f'(x) |\neq|0 || || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|\R || || || |SZ= }} und der Umkehrfunktion {{math|term= f^{-1}|SZ=.}} Was ist an folgendem {{Anführung|Beweis}} für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt? Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (f \circ f^{-1}) (y) || y || || || |SZ=. }} Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | (f' (f^{-1}(y)) ( f^{-1})' (y) || 1 || || || |SZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( f^{-1})' (y) || {{op:Bruch| 1 | (f' (f^{-1}(y)) }} || || || |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 05gmr1ry16voswg45oro4eaz4dgou9p 0 64025 785738 635340 2022-08-22T09:29:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Math/disp|term= f(x) =ax^2 +bx +c, \, a \neq 0 |SZ=, }} ein reelles Polynom vom Grad {{math|term= 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen Polynomfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qabolu8iwyatnz0ml9eqmpgctkkqqyx 0 64034 785085 406384 2022-08-22T07:45:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von {{math|term= 42}} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=2 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8jexq0t26rxq0fkkfa0fpljarh1kirl 0 64059 782342 406383 2022-08-22T00:25:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g |\R|\R || |SZ= }} streng wachsende Funktionen, die auf {{mathl|term= \Q}} übereinstimmen. Folgt daraus {{mathl|term= f=g|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kontraktion |Lösung= |Punkte=3 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} inafk0unpnulwm0zwteo2lq7kle52ka 0 64061 785291 758608 2022-08-22T08:15:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Potenzreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sum_{n=0}^\infty c_n z^n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |c_n ||0 || || || |SZ= }} für alle geraden Indizes eine {{ Definitionslink |Prämath= |ungerade Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} darstellt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dta9yjbotis11ji6e1ke61e91c6rkl3 0 64091 783364 579279 2022-08-22T03:16:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= F={{Potenzreihe|c| z|n=i}}|SZ=}} eine komplexe auf {{mathl|term= {{CC}}|SZ=}} konvergente Potenzreihe und {{math|term= n \in \N_+|SZ=.}} Für jede {{math|term= n|SZ=-}}te komplexe Einheitswurzel {{mathl|term= \zeta|SZ=}} gelte {{mathl|term= F( \zeta z) =F( z) |SZ=}} für alle {{mathl|term= z \in {{CC}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= c_i =0|SZ=}} für alle {{mathl|term= i|SZ=}} gilt, die kein Vielfaches von {{mathl|term= n|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cnm3tmr3n7mnhq2lg0gi6kt4wrkjzwx 0 64092 783365 757055 2022-08-22T03:16:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{n|n}}} \in \N_+|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= F|SZ=}} eine komplexe, auf {{mathl|term= {{CC}}|SZ=}} konvergente {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || \sum _{ {{{j|j}}} {{=}} 0}^\infty c_{ j {{{n|n}}} } {{{z|z}}}^{ j {{{n|n}}} } || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jede {{math|term= {{{n|n}}}|SZ=-}}te komplexe Einheitswurzel {{mathl|term= \zeta|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette | F( \zeta z) ||F( z) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= z \in {{CC}}|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n872h2g8kujnrh23pvqa7wva7816k75 0 64096 780951 666343 2022-08-21T20:33:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Eine Bahncard {{math|term= 25|SZ=,}} mit der man ein Jahr lang {{math|term= 25|SZ=}} Prozent des Normalpreises einspart, kostet {{math|term= 62|SZ=}} Euro und eine Bahncard {{math|term= 50|SZ=,}} mit der man ein Jahr lang {{math|term= 50|SZ=}} Prozent des Normalpreises einspart, kostet {{math|term= 255|SZ=}} Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard {{math|term= 25|SZ=}} oder die Bahncard {{math|term= 50|SZ=}} die günstigste Option? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} biqp1r88j35mc3qiy4pgx9paam9iuqa 0 64100 783350 614452 2022-08-22T03:14:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |{{CC}}|{{CC}} |z|f(z) |SZ=, }} eine Funktion, die die Funktionalgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(z+w) || f(z) \cdot f(w) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= z,w \in {{CC}}|SZ=}} erfülle und die in {{mathl|term= 0|SZ=}} differenzierbar sei. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= f|SZ=}} in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette | f'(z) || \lambda f(z) || || || |SZ= }} mit einem festen {{mathl|term= \lambda \in {{CC}}|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Exponentialfunktionen |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5u1pnlugohgeo9fd3i7b7w72yhaggo 0 64104 786012 508204 2022-08-22T10:15:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R_+ |x|f(x) |SZ=, }} eine differenzierbare Funktion mit {{mathl|term= f(0)=1|SZ=}} und mit {{mathl|term= f'(x)= \lambda f(x) |SZ=}} für alle {{mathl|term= x \in \R |SZ=}} und ein {{mathl|term= \lambda \in \R |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} die Funktionalgleichung {{math/disp|term= f(x+y) = f(x) \cdot f(y) |SZ=}} für alle {{mathl|term= x,y \in \R|SZ=}} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nvpgi3jm5vbzcm5o7nhw4zq40wx27u9 0 64107 781379 629364 2022-08-21T21:45:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} unendlich oft differenzierbare Funktionen {{Ma:abbele/disp |name=f |{{CC}}|{{CC}} |z|f(z) |SZ=,}} derart gibt, dass die {{math|term= n |SZ=-}}te Ableitung {{mathl|term= f^{(n)} |SZ=}} mit {{math|term= f|SZ=}} übereinstimmt, die Ableitungen {{ mathbed|term= f^{(i)} ||bedterm1= i < n ||bedterm2= |SZ=, }} aber nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen höherer Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hhdc23z3diwk0rqposg5gjdk185j60n 0 64108 784973 614399 2022-08-22T07:28:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{Ma:abbele/disp |name=f |{{CC}}|{{CC}} |z|f(z) |SZ=,}} ein Polynom vom Grad {{math|term= d \geq 2 |SZ=,}} {{mathl|term= w \in {{CC}} |SZ=}} ein Punkt und {{math|term= t(z)|SZ=}} die Tangente an {{math|term= f |SZ=}} im Punkt {{math|term= w |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(z)-t(z) || (z-w)^2 g(z) || || || || |SZ= }} mit einem Polynom {{mathl|term= g(z) |SZ=}} vom Grad {{mathl|term= d-2 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qybe0m5hsp5yg6wbfkmwseyoeb9l5yn 0 64110 785023 579284 2022-08-22T07:35:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{Ma:abbele/disp |name=f |{{CC}}|{{CC}} |z|f(z) |SZ=,}} ein Polynom vom Grad {{math|term= d \geq 2 |SZ=}} und {{math|term= t(z)|SZ=}} die Tangente an {{math|term= f |SZ=}} im Punkt {{math|term= 0 |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(z)-t(z) || z^2 g(z) || || || |SZ= }} mit einem Polynom {{mathl|term= g(z) |SZ=}} vom Grad {{mathl|term= d-2 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4qww4k6kv8yiho67jtkg9ko7fh43cuh 0 64111 785030 579285 2022-08-22T07:36:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Polynom {{math/disp|term= f(x)= x^4 -x^3+5x+2 \in {{CC}}[X] |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{math|term= x|SZ=-}}Koordinaten sämtlicher Schnittpunkte der Tangente an {{math|term= f |SZ=}} im Punkt {{math|term= x=1 |SZ=}} mit dem Graphen von {{math|term= f |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xn0maccelqhgxspijewmh3zew25o2g 0 64121 781402 579287 2022-08-21T21:49:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n \in \N_+|SZ=}} und sei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te komplexe Einheitswurzel. Es sei {{Ma:abbele/disp |name=f |{{CC}}|{{CC}} |z|f(z) |SZ=,}} eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit {{mathl|term= f( \zeta z) =f( z) |SZ=}} für alle {{mathl|term= z \in {{CC}}|SZ=}} gelte. Zeige{{n Sie}} unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung {{mathl|term= f'(\zeta z) = \zeta^{n-1} f' ( z) |SZ=}} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7jjkfv4i5ya6j031s9ni79jk3f37cg5 0 64122 785289 758606 2022-08-22T08:15:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math/disp|term= {{potenzreihe|a}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |absolut konvergente| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Potenzreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Konvergenzradius {{math|term= r >0|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= I \subseteq \N|SZ=}} eine Teilmenge. Zeige{{n Sie}}, dass die Potenzreihe {{ math/disp|term= {{potenzreihe|b}} |SZ= }} mit {{ math/disp|term= b_n = \begin{cases} a_n,\, \text{ falls } n \in I, \\ 0 \text{ sonst}, \end{cases} |SZ= }} ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius {{mathl|term= \geq r|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o8da84pje3d9c2c5zy5mw4kgvoo9h5u 0 64125 783492 399937 2022-08-22T03:37:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt {{mathl|term= (0,0)}} und Radius {{math|term= r}} und ein {{mathl|term= s > r}} gegeben. Für welches {{mathl|term= x \in \R}} verläuft die Tangente zu {{math|term= x}} an den oberen Kreisbogen durch den Punkt {{mathl|term= (s,0)|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fjzf3cvmx7d9fn2fxci3jvy9qkbm86y 0 64141 783959 604126 2022-08-22T04:55:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=}} {{op:Bruch|e^x|1+e^x}} |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die erste Ableitung von {{math|term= f|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} die zweite Ableitung von {{math|term= f|SZ=.}} c) Bestimme{{n Sie}} den Wendepunkt von {{math|term= f|SZ=.}} d) Bestimme{{n Sie}} das Monotonieverhalten von {{math|term= f|SZ=.}} e) Bestimme{{n Sie}} die Grenzwerte der Funktion {{math|term= f|SZ=}} für {{math|term= x \rightarrow + \infty |SZ=}} und {{math|term= x \rightarrow - \infty |SZ=.}} f) Bestimme{{n Sie}} eine Stammfunktion von {{math|term= f|SZ=.}} g) Bestimme{{n Sie}} das uneigentliche Integral der Funktion {{math|term= f|SZ=}} über {{math|term= ]{-\infty},0] |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der logistischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5giaz69mwrrrspztzseh8t7ow3d99pe 0 64317 782930 508160 2022-08-22T02:04:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der Graph der Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) || -x^2+5x || || || |SZ= }} und die {{math|term= x|SZ=-}}Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme{{n Sie}} die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r9hh3i3lehwdpl91zwbbokaieayumix 0 64360 781392 504448 2022-08-21T21:47:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die lineare Approximation einer Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |{{KRC}}|{{KRC}} || |SZ= }} in einem Punkt {{mathl|term= a \in {{KRC}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 622ypk89rq30116ije3f4tmpkali2rm 0 64377 782866 614411 2022-08-22T01:53:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |{{CC}}|{{CC}} |x|f(x) {{=}} 2xe^{3x} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass die {{math|term= n|SZ=-}}te Ableitung {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=n \geq 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |f^{(n)}(x) || {{makl| 3^n \cdot 2 x + 3^{n-1} \cdot 2 n |}} e^{3x} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Theorie der höheren Ableitungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pxnbeb1hnyifvrxxks9zp567kau9o7o 0 64380 782867 613926 2022-08-22T01:53:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |{{CC}}|{{CC}} |x|f(x) {{=}} xe^{x} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass die {{math|term= n|SZ=-}}te Ableitung {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=n \geq 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |f^{(n)}(x) || {{makl|x+n |}} e^{x} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Theorie der höheren Ableitungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j8krcmu4flkxsdqivlrq9w3ordq7kba 0 64405 782130 526234 2022-08-21T23:50:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die beiden Definitionen für die Zahl {{math|term= e|SZ=}} übereinstimmen, beweise{{n Sie}} also die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| 1 + \frac{1}{n} |}}^n|}} || \sum_{k {{=}} 0}^\infty {{op:Bruch|1|k!}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2uufq93zhd6ry6w63626i5ypeyfoc2p 0 64427 782522 579302 2022-08-22T00:55:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Reihe {{ math/disp|term= \sum_{i = 1}^\infty a_i 10^{-i} |SZ= }} mit {{mathl|term= a_i \in {{CC}}|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Betrag|a_i|}} \leq 9^i |SZ=}} für alle {{mathl|term= i \in \N_+|SZ=}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass die Reihe absolut konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ruxsctojrag5eta4q7kpcgd1w7tjic 0 64449 781408 755429 2022-08-21T21:50:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=g_1,g_2 {{kommadots|}} g_n |{{CC}}|{{CC}} \setminus \{0\} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} durch Induktion über {{math|term= n|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|1|g_1 \cdot g_2 \cdots g_n}} |}}^\prime || {{op:Bruch|- 1|g_1 \cdot g_2 \cdots g_n}} \cdot {{makl| {{op:Bruch|g_1'|g_1}} + {{op:Bruch|g_2'|g_2}} {{plusdots|}} {{op:Bruch|g_n'|g_n}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b54lw4twg1rj2irhfsaoxdxaxewzd9r 0 64452 783370 622513 2022-08-22T03:17:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= z=a+b {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} eine komplexe Zahl mit {{math|term= b <0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || \frac{1}{ \sqrt{2} } {{makl| - \sqrt{ {{op:Betrag|z|}} +a } + {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{ {{op:Betrag|z|}}-a } }} || || || |SZ= }} eine Quadratwurzel von {{math|term= z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 53rgn4m4ykb33knu7wv7mpzgbz0cnxk 0 64455 785016 644050 2022-08-22T07:34:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(z) || z^3 +3z^2-7z-4 || || || |SZ=. }} in der neuen Variablen {{mathl|term= z-2|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also das umentwickelte Polynom| |ISZ=|ESZ= }} auf zwei verschiedene Arten, nämlich a) direkt durch Einsetzen, b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt {{math|term= 2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l8myxsgy36pcq85t3vvgh4brh27y3px 0 64456 785015 644014 2022-08-22T07:34:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(z) ||z^3+(4- {{Imaginäre Einheit|}} )z^2-2{{Imaginäre Einheit|}}z+5 || || || |SZ=. }} in der neuen Variablen {{mathl|term= z-1-{{Imaginäre Einheit|}}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also das umentwickelte Polynom| |ISZ=|ESZ= }} auf zwei verschiedene Arten, nämlich a) direkt durch Einsetzen, b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt {{math|term= 1+{{Imaginäre Einheit|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6kp8amj76mq81mx612y1r469d291b2a 0 64464 779942 763832 2022-08-21T17:46:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten für die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |{{CC}}|{{CC}} |x|x {{op:sin|x|}} |SZ=, }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= 4|SZ=}} im Entwicklungspunkt {{ Ma:Vergleichskette | a || {{op:Bruch|\pi|4}} || || || |SZ= }} bestimmen. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | f'(x) || {{op:sin|x|}} +x {{op:cos|x|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^{\prime \prime} (x) || {{op:cos|x|}} + {{op:cos|x|}} -x{{op:sin|x|}} || 2 {{op:cos|x|}} -x{{op:sin|x|}} || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^{\prime \prime \prime}(x) || -2 {{op:sin|x|}} - {{op:sin|x|}} -x {{op:cos|x|}} || -3 {{op:sin|x|}} -x {{op:cos|x|}} || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^{\prime \prime \prime \prime}(x) || -3 {{op:cos|x|}} - {{op:cos|x|}} +x {{op:sin|x|}} || -4 {{op:cos|x|}} +x {{op:sin|x|}} || || |SZ=. }} Unter Verwendung von {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:sin| {{op:Bruch|\pi|4}} |}} || {{op:cos| {{op:Bruch|\pi|4}} |}} || {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} || || |SZ= }} ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f {{makl| {{op:Bruch|\pi|4}} |}} || {{op:Bruch|\pi|4}} {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} || {{op:Bruch|\pi|4 \sqrt{2} }} || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f' {{makl| {{op:Bruch|\pi|4}} |}} || {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} {{makl| 1 + {{op:Bruch|\pi|4}} |}} || {{op:Bruch|4+\pi|4 \sqrt{2} }} || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^{\prime \prime} {{makl| {{op:Bruch|\pi|4}} |}} || {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} {{makl| 2 - {{op:Bruch|\pi|4}} |}} || {{op:Bruch|8 - \pi |4 \sqrt{2} }} || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^{\prime \prime \prime} {{makl| {{op:Bruch|\pi|4}} |}} || {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} {{makl| - 3 - {{op:Bruch|\pi|4}} |}} || {{op:Bruch|-12-\pi|4 \sqrt{2} }} || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^{\prime \prime \prime \prime} {{makl| {{op:Bruch|\pi|4}} |}} || {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} {{makl| -4 + {{op:Bruch|\pi|4}} |}} || {{op:Bruch| -16 + \pi|4 \sqrt{2} }} || || |SZ=. }} Das Taylor-Polynom vom Grad {{math|term= 4|SZ=}} ist daher {{ math/disp|term= {{op:Bruch|\pi|4 \sqrt{2} }} + {{op:Bruch|4+\pi|4 \sqrt{2} }} {{makl| x - {{op:Bruch|\pi|4}} |}} + {{op:Bruch|8- \pi |8 \sqrt{2} }} {{makl| x - {{op:Bruch|\pi|4}} |}}^2 + {{op:Bruch|-12-\pi|24 \sqrt{2} }} {{makl| x - {{op:Bruch|\pi|4}} |}}^3 + {{op:Bruch| -16 + \pi|96 \sqrt{2} }} {{makl| x - {{op:Bruch|\pi|4}} |}}^4 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ops4rspys8p88g73jfg0mrnft73hj9b 0 64467 784311 741121 2022-08-22T05:53:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} anhand der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |{{CC}}|{{CC}} |z|e^{ {{imaginäre Einheit|}} z} |SZ=, }} dass der Mittelwertsatz der Differentialrechnung für komplexwertige Funktionen nicht gelten muss. Man gebe also zwei Punkte {{ Ma:Vergleichskette | a,b |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} an derart, dass die Gesamtsteigung {{mathl|term= {{op:Bruch|f(b)-f(a)|b-a}} |SZ=}} nicht als Ableitung eines Punktes auf der Verbindungsstrecke von {{math|term= a|SZ=}} nach {{math|term= b|SZ=}} auftritt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aseioxdem8qkmh12t4zh72ovf2akzgv 0 64475 785086 406442 2022-08-22T07:45:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von {{math|term= 42}} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4t71kyiw1gobllmyc5qtnzbxx18z1bv 0 64496 786002 540340 2022-08-22T10:13:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} eine reelle Folge. Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a010ywxbrj8c77zscuul9t71i2iqmrq 0 64527 784312 593752 2022-08-22T05:54:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} die Punkte {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. den Punkt| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= a \in [0, {{op:Bruch|\pi|2|}}]|SZ=}} derart, dass die Steigung der Sinusfunktion {{mathl|term= \operatorname{sin}|SZ=}} in {{math|term= a|SZ=}} gleich der Gesamtsteigung von {{mathl|term= \operatorname{sin}|SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= {{op:Bruch|\pi|2|}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xs91fmpimt2u7f3ddt5kpmaqddjbay 0 64570 786633 701239 2022-08-22T11:57:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|n+1}} + {{op:Bruch|1|n+2}} {{plusdots|}} {{op:Bruch|1|2n}} |\leq| {{op:ln|2|}} || || || |SZ= }} gilt. Tipp: Betrachte die Funktion {{ Ma:Vergleichskette | f(x) || {{op:Bruch|1|x}} || || || |SZ= }} auf dem Intervall {{mathl|term= [1,2] |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2=Theorie des natürlichen Logarithmus |Kategorie3= |Objektkategorie=Natürlicher Logarithmus (reell) |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m72huly1a1lnwreh7ng8e7s52jcf9lz 0 64583 786317 406461 2022-08-22T11:05:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]|\R || |SZ= }} eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} sei {{ Ma:abbele/disp |name=s_n |[a,b] |\R || |SZ= }} diejenige untere Treppenfunktion zu {{math|term= f|SZ=}} zur äquidistanten Unterteilung in {{math|term= n|SZ=}} gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall {{math/disp|term=I_j=[a+ {{op:Bruch|(j-1)(b-a)|n}} ,a+ {{op:Bruch|j(b-a)|n}} [, \, j=1 {{kommadots|}} n|SZ=,}} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathl|term= j=n|SZ=}} sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen| |ISZ=|ESZ= }} das Infimum von {{ mathbed|term= f(x) ||bedterm1= x \in I_j ||bedterm2= |SZ=, }} annimmt. Zeige{{n Sie}}, dass die Folge der Treppenintegrale zu {{math|term= s_n|SZ=}} gegen {{mathl|term= \int_a^b f(x)dx|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ji97xyczevxgwmgvl9bgyxspag5vrwr 0 64600 782151 644036 2022-08-21T23:54:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall {{mathl|term= [-5,3]|SZ=}} maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal {{mathl|term= 0,001|SZ=}} cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynom zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7a8hwarp10slnnp0rsqd9zmmqlg9y6v 0 64612 785998 759138 2022-08-22T10:12:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob die {{ Definitionslink |reelle Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n ||{{op:Bruch| 3 n^{{op:Bruch|5|4}} -2 n^{{op:Bruch|4|3}} + n |4n^{{op:Bruch|7|5}} +5 n^{{op:Bruch|1|2}} +1 }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= n \geq 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} und bestimme{{n Sie}} gegebenenfalls den {{Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5h841o3op9xf04y3jxzchqajkw5ymu 0 64633 786100 403847 2022-08-22T10:29:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr {{mathl|term= 7:21|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe| |ISZ=|ESZ=. }} Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie {{mathl|term= 7:26|SZ=}} an. Bestimme{{n Sie}} das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} re8qxmmxdwvu1oakpkzwitoy8oz0g3m 0 64639 786095 593753 2022-08-22T10:28:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Bestimme{{n Sie}} für die Funktionen {{mathl|term= {{op:sin|x|pot=n}} |SZ=,}} {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=,}} das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte auf {{mathl|term= [0, {{op:Bruch|\pi|2}}] |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6u3y0azmbf3rdn5mndorsi2kp807vwk 0 64680 784832 688971 2022-08-22T07:06:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das Anfangswertproblem {{ Ma:Vergleichskette/disp | y'(t) || {{op:Bruch|1| {{op:sinh|t|}} }} || || || |SZ= }} auf {{mathl|term= \R_+ |SZ=}} mit der Anfangsbedingung {{ Ma:Vergleichskette |y(1) || 7 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ortsunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2=Theorie der Hyperbelfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fu5s67t1k8uegz04lnzcy4psiwisyxj 0 64682 778943 763137 2022-08-21T15:10:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |ortsunabhängige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y' = {{op:Bruch|1| {{op:cosh|t|}} }} \text{ mit der Anfangsbedingung } y(0)= 5 |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1| {{op:cosh|t|}} }} ||{{op:Bruch|2| e^t +e^{-t} }} ||{{op:Bruch|2 e^t| e^{2t} + 1 }} || || |SZ=, }} so dass eine rationale Funktion in der Exponentialfunktion vorliegt, die wir nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in Exponentialfunktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} über die Substitution {{mathl|term= t= {{op:ln|s|}} |SZ=}} lösen können. Das transformierte Integral ist dabei {{ math/disp|term= \int {{op:Bruch|2s|s^2 +1}} \cdot {{op:Bruch|1|s}} ds |SZ=. }} Eine Stammfunktion dazu ist {{ math/disp|term= 2 {{op:arctan|s|}} |SZ=. }} Somit ist {{ math/disp|term= 2 {{op:arctan| {{makl| e^t |}} |}} |SZ= }} eine Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:Bruch|1| {{op:cosh|t|}} }}|SZ=.}} Für das Anfangswertproblem setzen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 {{op:arctan| {{makl| e^0 |}} |}} +c || 5 || || || |SZ= }} an. Dies führt auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |c || 5- 2 {{op:arctan| 1}} || || |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |y(t) ||2 {{op:arctan| {{makl| e^t |}} |}} +5 -2 {{op:arctan| 1 |}} || || || |SZ= }} die Lösung des Anfangswertproblems. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ortsunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hn7pqrck1fgndc5t2qa41708ww3woh4 0 64683 779218 635620 2022-08-21T15:54:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Gegenstand der Masse {{math|term= m|SZ=}} wird im Vakuum aus einer Höhe {{math|term= 0|SZ=}} zum Zeitpunkt {{math|term= 0|SZ=}} losgelassen und fällt unter dem Einfluss der Gravitation zu Boden {{ Zusatz/Klammer |text=freier Fall im Vakuum| |ISZ=|ESZ=. }} Dabei wirkt auf den Körper die Gravitationskraft {{mathl|term= gm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Erdbeschleunigung {{math|term= g|SZ=}} nehmen wir für diesen Bewegungsvorgang als konstant an| |ISZ=|ESZ=, }} die ihn nach dem Gesetz {{Anführung|Kraft ist Masse mal Beschleunigung}} beschleunigt. Die Beschleunigung ist also konstant und unabhängig von der Masse. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit {{mathl|term= v(t)|SZ=}} des Körpers die Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |v'(t) ||-g || || || |SZ= }} erfüllt {{ Zusatz/Klammer |text=die Wahl des Vorzeichens bewirkt, dass der Körper ins Negative fällt| |ISZ=|ESZ=. }} Die durch die Anfangsbedingung {{ Zusatz/Klammer |text=der Gegenstand ruhe zum Zeitpunkt {{math|term= 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |v(0) ||0 || || || |SZ= }} festgelegte Lösung für die Geschwindigkeit ist daher {{ Ma:Vergleichskette/disp |v(t) ||-gt || || || |SZ=. }} Der zurückgelegte Weg {{mathl|term= y(t)|SZ=}} des Körpers ergibt sich wiederum aus der Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |y'(t) ||v(t) ||-gt || || |SZ=, }} die besagt, dass die Ableitung des Weges nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit beschreibt. Die Lösung davon ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || - {{op:Bruch|g|2}} t^2 || || || |SZ=. }} Den Gesamtvorgang kann man durch die Differentialgleichung zweiter Ordnung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^{\prime \prime} || - g || || || |SZ= }} ausdrücken. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung |Kategorie2=Gravitationstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lyd4zxbgyqdgj7lfseyzgf6nd6m09eu 0 64684 779193 688583 2022-08-21T15:50:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die zeitliche Entwicklung einer Population, die durch folgende Eigenschaften charakterisiert ist. {{ Aufzählung4 |Die Individuen der Population leben ewig. |Alle Individuen beteiligen sich ab ihrer Geburt mit gleichem {{ Zusatz/Klammer |text=durchschnittlichen| |ISZ=|ESZ= }} Engagement und Erfolg an der Fortpflanzung. |Zeugung und Geburt finden gleichzeitig statt. |Der Fortpflanzungserfolg eines Individuums ist unabhängig von der Größe der Gesamtpopulation. }} Unter diesen Bedingungen ist die Vermehrung, also der Zuwachs der Population, allein von der momentanen Populationsgröße abhängig und proportional zu dieser. Wenn man die Populationsentwicklung als {{mathl|term= y(t)|SZ=}} ansetzt, so erhält man eine gewöhnliche Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |y'(t) || c y(t) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder kurz {{ Ma:Vergleichskette/k | y' || cy || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} mit einer Konstanten {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|\R_+ || || || |SZ=. }} Die Lösungsfunktionen sind {{ math/disp|term= \lambda e^{ct} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei im Populationsbeispiel {{ Ma:Vergleichskette/k | \lambda |\in| \R_+ || || || |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Man spricht von {{Stichwort|exponentiellem Wachstum|msw=Exponentielles Wachstum|SZ=}} der Population, und zwar unabhängig davon, ob {{math|term= c|SZ=}} groß oder klein ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5teb0oxvuzbearwme64k7sanc6501v1 0 64687 779199 688584 2022-08-21T15:51:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine Wüste {{ Zusatz/Klammer |text=oder ein Kornblumenfeld| |ISZ=|ESZ= }} sei kreisrund und breite sich mit der Zeit kontinuierlich aus, indem die Grenze gleichmäßig nach außen geschoben werde, und zwar pro Zeiteinheit um einen gewissen Vortrieb. Die Fläche der Wüste werde durch die Funktion {{mathl|term= z(t) |SZ=}} beschrieben. Die Grenze der Wüste hat somit die Länge {{mathl|term= 2 \sqrt{\pi} \sqrt{z(t)} |SZ=}} und diese Länge ist proportional zum Wüstenzuwachs zum Zeitpunkt {{math|term= t|SZ=.}} Es ergibt sich daher eine Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |z'(t) || c \sqrt{z(t)} || || || |SZ= }} mit einer Konstanten {{ Ma:Vergleichskette |c |\in| \R_+ || || || |SZ=. }} Die Lösungen haben die Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |z(t) || {{op:Bruch|c^2|4}} t^2 || || || |SZ=, }} wie man direkt durch Ableiten bestätigen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} obzxwa2m66kpo27qujgmkddfyyj1gh4 0 64707 781381 387445 2022-08-21T21:45:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^{(n)} || 0 || || || |SZ= }} einen {{math|term= n|SZ=-}}dimensionalen reellen Vektorraum bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen höherer Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpi5zimau5fmwszjq1i7e3h4kzxil89 0 64731 782580 725952 2022-08-22T01:05:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion {{mathl|term= T\longrightarrow {{KRC|}} |SZ=,}} wobei {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| {{KRC|}} || || || |SZ= }} eine Teilmenge ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qa4rfm55tuwx5eu4kmg7kjf88h330ah 0 64755 779448 763544 2022-08-21T16:29:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp |h(x,y) ||x^3-xy^2 || || || |SZ= }} auf dem Einheitskreis {{ Ma:Vergleichskette/disp | K || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2|x^2+y^2 {{=}} 1}} || || || |SZ= }} und interessieren uns für die Punkte {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| K || || || |SZ=, }} auf denen {{math|term= h|SZ=}} ein lokales Extremum annehmen kann. Das {{ Definitionslink |Prämath= |totale Differential| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= h|SZ=}} ist {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor| 3x^2 -y^2| -2xy|}} |SZ= }} und das totale Differential von {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x,y) || x^2+y^2 || || || |SZ= }} ist {{ math/disp|term= (2x,2y) |SZ=. }} Gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Extrema/Nebenbedingung/Hyperfläche/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} müssen wir die Punkte {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} bestimmen, für die die beiden Differentiale linear abhängig sind. Die Determinante ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|2x|2y|3x^2-y^2|-2xy}} |}} || -4x^2y - 6x^2y + 2y^3 || -10 x^2y + 2y^3 || 2 y {{makl| -5x^2 +y^2 |}} || |SZ=. }} Somit liegt bei {{ Ma:Vergleichskette |y ||0 || || || |SZ= }} und bei {{ Ma:Vergleichskette |y || \pm \sqrt{5} x || || || |SZ= }} lineare Abhängigkeit vor. Die Kreisbedingung führt somit auf die Punkte {{ math/disp|term= a_1 = {{op:Zeilenvektor|1|0}},\, a_2 = {{op:Zeilenvektor|-1|0}},\, a_3= {{op:Zeilenvektor| \sqrt{ {{op:Bruch|1|6}} }|\sqrt{5} \sqrt{ {{op:Bruch|1|6}} } }},\, a_4= {{op:Zeilenvektor| \sqrt{ {{op:Bruch|1|6}} }|-\sqrt{5} \sqrt{ {{op:Bruch|1|6}} } }}, \,a_5= {{op:Zeilenvektor| -\sqrt{ {{op:Bruch|1|6}} }|\sqrt{5} \sqrt{ {{op:Bruch|1|6}} } }},\, a_6= {{op:Zeilenvektor|-\sqrt{ {{op:Bruch|1|6}} }|-\sqrt{5} \sqrt{ {{op:Bruch|1|6}} }||}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7e7mf5zthgx0vxj4y4ocilfqsu4v6hp 0 64761 779141 763256 2022-08-21T15:42:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Nilpferd hat die ganze Nacht an Land gegrast und befindet sich gerade im Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P || (r,s) |\in| \R^2 || || |SZ=. }} Jetzt kommt plötzlich die heiße Sonne hervor und es muss möglichst schnell zurück in seinen Teich. Es sucht also den Punkt {{ Ma:Vergleichskette |a ||(x,y) |\in|M || || |SZ= }} des Teichufers {{math|term= M|SZ=,}} der seiner momentanen Position am nächsten ist, d.h. es soll die Abstandsfunktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | h(x,y) || d(P,(x,y)) || \sqrt{(x-r)^2 + (y-s)^2} || || |SZ= }} minimiert werden, wobei allerdings nur die Punkte {{ Ma:Vergleichskette |(x,y) |\in|M || || || |SZ= }} relevant sind. Es geht also um ein Minimierungsproblem, wobei die Punkte die {{Stichwort|Nebenbedingung}} erfüllen müssen, zum Teichufer zu gehören. Das Teichufer werde mit Hilfe der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R || |SZ= }} als {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{mengebed|(x,y) \in \R^2|f(x,y){{=}} b}} || || || |SZ= }} zu einem gewissen {{ Ma:Vergleichskette |b |\in|\R || || || |SZ= }} beschrieben, d.h., es liegt als Faser einer Funktion vor. Wenn der Teich beispielsweise eine Ellipse ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette |f(x,y) || \alpha x^2 + \beta y^2 || || || |SZ=. }} Wir nehmen weiter an, dass die Funktion {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbar| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und jeder Punkt der Faser {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Kann man die Punkte des Teichufers, in denen ein lokales Extremum vorliegt, mit Mitteln der Differentialrechnung charakterisieren? Nach dem {{ Faktlink |Präwort=|Satz über implizite Funktionen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es lokal eine differenzierbare Parametrisierung des Teichufers, d.h. eine Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |I|\R^2 || |SZ= }} auf einem offenen Intervall {{math|term= I|SZ=,}} deren Bild gerade ein Ausschnitt aus dem Teichufer ist. Insgesamt erhält man die zusammengesetzte Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= h \circ \gamma |I|\R || |SZ=, }} und genau dann besitzt {{math|term= h|SZ=}} in {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|M || || || |SZ= }} ein lokales Extremum, wenn {{mathl|term= h \circ \gamma|SZ=}} ein lokales Extremum in {{ Ma:Vergleichskette | \gamma^{-1}(a) |\in|I || || || |SZ= }} besitzt. Auf {{mathl|term= h \circ \gamma |SZ=}} kann man die Kriterien für lokale Extrema {{ Zusatz/Klammer |text=also {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Funktion/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} anwenden, da jetzt der Definitionsbereich {{ Zusatz/Klammer |text=man hat die Nebenbedingung sozusagen eliminiert| |ISZ=|ESZ= }} eine offene Teilmenge von {{math|term= \R|SZ=}} ist. Wenn ein lokales Extremum vorliegt, so ist einerseits {{ Ma:Vergleichskette/disp | (h \circ \gamma)'( \gamma^{-1}(a) ) || {{op:Totales Differential| h | a}} ( \gamma'( \gamma^{-1}(a) )) || 0 || || |SZ=. }} Andererseits bestimmt {{mathl|term= \gamma'( \gamma^{-1}(a) ) |SZ=}} den {{ Zusatz/Klammer |text=eindimensionalen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraum| |Kontext=Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= T_aM |SZ=,}} und dieser ist wiederum der Kern des totalen Differentials {{mathl|term= {{op:Totales Differential| f | a}} |SZ=.}} Daher müssen {{ mathkor|term1= {{op:Totales Differential| h | a}} |und|term2= {{op:Totales Differential| f | a}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear abhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein. Das Nilpferd muss also nach Punkten {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|M || || || |SZ= }} Ausschau halten, für die es ein {{ Ma:Vergleichskette |\lambda |\in|\R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential| h | a}} || \lambda {{op:Totales Differential| f | a}} || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e0lh97bawf0lhm957nxl4uwwt8lr678 0 64768 779254 763356 2022-08-21T15:59:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x,y) || xy || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{mengebed|(x,y) \in \R^2|f(x,y){{=}}1 }} || || || |SZ= }} die Standardhyperbel, realisiert als Faser einer Funktion. Jeder Punkt der Hyperbel ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |regulärer Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=,}} die Hyperbel ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die beiden Linearformen {{ mathkor|term1= x |bzw.|term2= y |SZ= }} besitzen kein lokales Extremum auf {{math|term= M|SZ=}} und die beiden Koordinatenrichtungen treten nicht als Tangentialräume der Hyperbel auf. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5pqo1pch1bxkfd3b31rlassl465gck1 0 64775 778952 763146 2022-08-21T15:12:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x,y) || {{makl| x^2+y^2-1 |}}^3+27 x^2y^2 || || || |SZ= }} und das zugehörige Nullstellengebilde, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{{Z|Z}}} || {{mengebed|(x,y) \in \R^2|f(x,y) {{=}} 0}} || || || |SZ=. }} Dieses nennt man eine {{Stichwort|Astroide|SZ={{{zusatz1|}}}.}} Dieses Nullstellengebilde liegt innerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe und ist daher {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung|f|x}} || 3 {{makl| x^2+y^2-1 |}}^2 \cdot 2x + 54 xy^2 || 6 x {{makl| {{makl| x^2+y^2-1 |}}^2 + 9 y^2 |}} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung|f|y}} || 3 {{makl| x^2+y^2-1 |}}^2 \cdot 2y + 54 x^2y || 6 y {{makl| {{makl| x^2+y^2-1 |}}^2 + 9 x^2 |}} || || |SZ=. }} Beide partiellen Ableitungen verschwinden genau für die vier Punkte {{ math/disp|term= (0,1),\, (0,-1),\, (1,0),\, (-1,0) |SZ=, }} die alle zu {{math|term= {{{Z|Z}}} |SZ=}} gehören. Die {{math|term= x |SZ=-}}Achse {{mathl|term= \R(1,0) |SZ=}} tritt nicht als Tangente von {{math|term= {{{Z|Z}}} |SZ=}} auf. Die zweite partielle Ableitung verschwindet nämlich nur bei {{ Ma:Vergleichskette | y || 0 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette | (x,y) || (0, \pm 1) || || || |SZ=, }} in diesen Fällen verschwinden aber bereits beide partielle Ableitungen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Astroide |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a8ahrg5f1odwk6qqrmje2k6eiw9uijg 0 64782 780839 754944 2022-08-21T20:15:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Extrema| |Kontext=Nb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp |h(x,y) ||x || || || |SZ= }} auf der Standardastroide {{ Ma:Vergleichskette/disp | M || {{mengebed|(x,y) \in \R^2| {{makl| x^2+y^2-1 |}}^3+27 x^2y^2 {{=}} 0}} || || || |SZ= }} unter Verwendung der durch {{ Ma:Vergleichskette | (x,y) ||{{op:Zeilenvektor| {{op:cos|t|pot=3}} | {{op:sin|t|pot=3}}|}} || || || |SZ= }} gegebenen Parametrisierung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Astroide/Trigonometrische Parametrisierung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Astroide |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7kw760bo1opa01dj5vl3eqmdqle6gog 0 64808 779577 553983 2022-08-21T16:51:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |M |\subseteq| \Z[V] || || || |SZ= }} des Polynomrings in der Variablen {{math|term= V|SZ=}} über {{math|term= \Z|SZ=,}} die aus dem Nullpolynom und allen Polynomen {{mathl|term= P \in \Z[V]|SZ=}} besteht, deren Leitkoeffizient zu {{math|term= \N_+|SZ=}} gehört. Die Menge {{math|term= M|SZ=}} umfasst die natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=als Polynome vom Grad {{math|term= 0|SZ=}} mit nichtnegativem Leitkoeffizient| |ISZ=|ESZ= }} und sie ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Es gelten die erststufigen {{ Axiomlink |Präwort=|Peano-Axiome|Axiomseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} (1)-(6), wie man direkt sieht. Auch gilt die Vorgängereigenschaft, d.h. jedes von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene Element besitzt einen eindeutigen Vorgänger {{ Zusatz/Klammer |text=dies ist der Grund, warum wir abgesehen für den Leitkoeffizienten auch negative Koeffizienten zulassen| |ISZ=|ESZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Beispiel/Vorgängereigenschaft/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dagegen gilt das erststufige Induktionsschema nicht, und die natürlichen Zahlen lassen sich als Teilmenge von {{math|term= M|SZ=}} erststufig charakterisieren. Zur Vereinfachung der folgenden Formulierung definieren wir die {{math|term= \leq|SZ=-}}Relation durch {{ math/disp|term= x \geq y \text{ genau dann, wenn } \exists z (x=y+z) |SZ= }} und die Eigenschaft, ein größter gemeinsamer Teiler {{math|term= u|SZ=}} von {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} zu sein, durch {{math/disp|term= (u {{|}} x) {{logund}} (u {{|}} y) {{logund}} {{makl| (v {{|}} x) {{logund}} (v {{|}} y) \rightarrow v {{|}} u |}} |SZ=.}} Damit setzen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{logprop|}} (x) || \forall y ( (y \leq x) \rightarrow \forall u (u \text{ ist GgT} (x,y) \rightarrow \exists a \exists b \exists c \exists d ( u +ax+ by {{=|}} cx +dy ))) || || || |SZ=. }} Dies ist ein Ausdruck mit der einzigen freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} der inhaltlich besagt, dass für jedes Element {{math|term= y|SZ=}} unterhalb von {{math|term= x|SZ=}} der größte gemeinsame Teiler von {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} als Linearkombination aus {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} darstellbar ist. Dieser Ausdruck gilt innerhalb der natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=also für {{mathl|term= x \in \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} es handelt sich um {{ Faktlink |Präwort=das|Lemma von Bezout|Faktseitenname= Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ={{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=In {{math|term= \Z|SZ=}} formuliert man die Aussage als {{mathl|term= ax+by=u|SZ=}} mit {{mathl|term= a,b \in \Z|SZ=.}} Da hier nur die natürlichen Zahlen zur Verfügung stehen, müssen wir die negativen Zahlen auf die andere Seite bringen| |ISZ=.|ESZ=. }} }} Dagegen gilt sie in {{math|term= M|SZ=}} nicht, und zwar gilt sie dort nur für die natürlichen Zahlen. Für ein Polynom {{math|term= x|SZ=}} aus {{math|term= M|SZ=}} vom Grad {{mathl|term= \geq 1|SZ=}} kann man nämlich für {{math|term= y|SZ=}} eine Primzahl {{ Zusatz/Klammer |text=aus {{math|term= \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} nehmen, die den Leitkoeffizienten von {{math|term= x|SZ=}} nicht teilt. Wegen {{ Ma:Vergleichskette |x ||(x-y) +y || || || |SZ= }} ist auch {{ Ma:Vergleichskette |y |\leq|x || || || |SZ=. }} Der größte gemeinsame Teiler von {{math|term= x|SZ=}} und {{math|term= y|SZ=}} ist dann {{math|term= 1|SZ=,}} doch die {{math|term= 1|SZ=}} ist nicht als Linearkombination von {{math|term= y|SZ=}} und dem Polynom {{math|term= x|SZ=}} darstellbar {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man modulo {{math|term= y|SZ=}} geht, so verändert sich der Grad von {{math|term= x|SZ=}} nicht| |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten nun die Induktionsversion dieser Aussage, also {{ math/disp|term= {{logprop|}} \frac{0}{x} {{logund}} \forall x {{makl| {{logprop|}} \rightarrow {{logprop|}} \frac{x+1}{x} |}} \rightarrow \forall x {{logprop|}} |SZ=. }} Der Vordersatz gilt in {{math|term= M|SZ=,}} da die beschriebene Eigenschaft genau für die natürlichen Zahlen und für alle anderen Elemente nicht gilt, und daher genau dann gilt, wenn sie auch für den Nachfolger gilt {{ Zusatz/Klammer |text=die echten Polynome sind nicht als Nachfolger von natürlichen Zahlen erreichbar| |ISZ=|ESZ=. }} Da der Nachsatz nicht gilt, ergibt sich, dass die Gesamtaussage nicht gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ltbhvfjjntjv0h86hovn0lv0wl3u45b 0 64844 779797 763763 2022-08-21T17:23:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |R | {{defeq|}} | \R^\N || {{mengebed|{{Op:Folge|x}}|\text{reelle Folge} }} || || |SZ=. }} Diese Menge ist mit komponentenweiser Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring {{ Zusatz/Klammer |text=mit der konstanten Nullfolge bzw. Einsfolge als {{math|term= 0|SZ=}} und {{math|term= 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Zu jedem festen {{ Ma:Vergleichskette |k |\in|\N || || || |SZ= }} ist die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |I_k || {{mengebed|{{Op:Folge|x}} \in R|x_k {{=}} 0 }} || || || |SZ= }} ein maximales Ideal. Die Idealeigenschaft kann man unmittelbar nachprüfen, die Maximalität ergibt sich daraus, dass ein größeres Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp |I_k |\subset|I || || || |SZ= }} ein Element {{ Ma:Vergleichskette |y || {{Op:Folge|y}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |y_k |\neq|0 || || || |SZ= }} enthält. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|y_k}} y + {{makl| 1 - {{op:Bruch|1|y_k}} y|}} || 1 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | 1 - {{op:Bruch|1|y_k}} y |\in| I_k || || || |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette |1 |\in|I || || || |SZ=. }} Mit dieser Konstruktion bekommt man also direkt maximale Ideale. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu diesen maximalen Idealen sind {{ Zusatz/Klammer |text=isomorph zu| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= \R|SZ=,}} der Restklassenhomomorphismus ist einfach die Projektion auf die {{math|term= k|SZ=-}}te Komponente. Wir betrachten nun das Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp | I || {{mengebed| {{Op:Folge|x}}| x_n \neq 0 \text{ für endlich viele } n \in \N }} || || || |SZ=, }} das ist also die Menge aller Folgen, die bis auf endlich viele Glieder mit der Nullfolge übereinstimmen. Es gibt daher nach {{ Zusatz/Klammer |text=einer Variante von| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer_Ring/Maximales_Ideal/Existenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} maximale Ideale {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |I |\subseteq| {{idealm|}} || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}} |\not\subseteq| I_k || || || |SZ=, }} da die Folge, die an der {{math|term= k|SZ=-}}ten Stelle eine {{math|term= 1|SZ=}} und sonst überall eine {{math|term= 0|SZ=}} stehen hat, links dazu gehört, aber nicht rechts. Ein solches maximales Ideal kann man nicht explizit beschreiben. Selbst wenn man sich auf Folgen beschränkt, die lediglich die beiden Werte {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} annehmen, so ist kein explizites Verfahren bekannt, zu bestimmen, ob die Folge zu {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} gehören soll oder nicht. Für jede Folge mit unendlich vielen Nullen und mit unendlich vielen Einsen gibt es ein solches maximales Ideal {{math|term= {{idealm|}} |SZ=,}} das diese Folge enthält, und auch eines, das sie nicht enthält. Die Restklassenkörper zu einem solchen maximalen Ideal sind nicht isomorph zu {{math|term= \R|SZ=.}} Die dabei auftretenden Körper sind vielmehr der Gegenstand der sogenannten {{Stichwort|Nichtstandardanalysis|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der maximalen Ideale (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Folgenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tn0mrk1ui6w3tnfd755xexhvlxgqmbe 0 64851 778719 762646 2022-08-21T12:45:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} |SZ=}} vorausgesetzt. Dann gibt es endlich viele Ausdrücke {{ Ma:Vergleichskette | {{logprop|}}_1 {{kommadots|}} {{logprop|}}_n |\in| \Gamma || || || |SZ= }} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette |\varphi ||{{logprop|}}_1 {{logunddots|}} {{logprop|}}_n \rightarrow {{logprop|}} || || || |SZ= }} eine formale Tautologie ist. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vollständigkeitssatz/Korrektheitssatz für Tautologien/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= \varphi|SZ=}} auch allgemeingültig. Es sei {{math|term= I|SZ=}} eine Interpretation mit {{mathl|term= I \vDash \Gamma|SZ=.}} Dann ist insbesondere {{mathl|term= I \vDash {{logprop|}}_1 {{logunddots|}} {{logprop|}}_n |SZ=}} und wegen der Allgemeingültigkeit von {{math|term= \varphi |SZ=}} gilt {{mathl|term= I \vDash \varphi |SZ=.}} Also gilt auch {{mathl|term= I \vDash {{logprop|}} |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ai8w7892rmhcb9daimqmorr5n31frxx 0 64877 779788 763758 2022-08-21T17:22:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Symbolmenge {{math|term= S|SZ=}} bestehe aus {{mathl|term= 0,1,+,\cdot|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und abzählbar unendlich vielen Variablen| |ISZ=|ESZ=, }} die in den reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} in natürlicher Weise interpretiert werden. Die Ausdrucksmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma ||\R^\vDash || || || |SZ= }} ist somit widerspruchsfrei. Der Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Auffüllung mit Beispielen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zeigt, dass es dann eine abzählbare Symbol{{latextrenn}}erweiterung {{ Ma:Vergleichskette |S' |\supseteq|S || || || |SZ= }} und eine {{math|term= S'|SZ=-}}Ausdrucksmenge {{math|term= \Gamma'|SZ=}} gibt, die Beispiele enthält {{ Zusatz/Klammer |text=es ist nicht selbstverständlich, ob {{math|term= \Gamma|SZ=}} selbst Beispiele enthält. Da es überabzählbar viele reelle Zahl gibt, liegt nicht jede reelle Zahl im Bild der Terminterpretation, so dass man {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Logik/Modell/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht anwenden kann| |ISZ=|ESZ=, }} und die nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Maximalisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu einer maximal widerspruchsfreien Ausdrucksmenge ergänzt werden kann. Nach dem {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Henkin|Faktseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Henkin/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es ein erfüllendes Modell, das aus Identifizieren von Termen entsteht. Da die Termmenge abzählbar ist, ist auch dieses Modell abzählbar. Es gibt daher ein abzählbares {{ Definitionslink |Prämath= |Nichtstandardmodell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der reellen Zahlen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Nichtstandardanalysis |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rt9lsyfyts1q8scmrr9vmk0s4pgrvh5 0 64884 779789 763760 2022-08-21T17:22:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Symbolalphabet {{math|term= S|SZ=}} bestehe aus den Zeichen {{mathl|term= 0,1,+,\cdot |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und abzählbar unendlich vielen Variablen| |ISZ=|ESZ=, }} die in den reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} in natürlicher Weise interpretiert werden. Die Ausdrucksmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma ||\R^\vDash || || || |SZ= }} ist somit widerspruchsfrei. Wir betrachten für {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} den Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logprop2|}}_n || x \geq n || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= \Gamma' |SZ=}} die Vereinigung von {{math|term= \Gamma|SZ=}} mit {{mathl|term= {{mengebed|{{logprop2|}}_n|n \in \N}} |SZ=.}} Jede endliche Teilmenge von {{math|term= \Gamma'|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |erfüllbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich in {{math|term= \R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} also ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Prädikatenlogik/Endlichkeitssatz für Erfüllbarkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch {{math|term= \Gamma'|SZ=}} erfüllbar. Es gibt also eine {{math|term= S|SZ=-}}Struktur {{math|term= M|SZ=,}} in der alle erststufigen Sätze von {{math|term= \R|SZ=}} gelten und auch alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq|n || || || |SZ= }} bei geeigneter Belegung gelten, d.h. es gibt ein Element {{ Ma:Vergleichskette | m |\in| M || || || |SZ=, }} das jenseits jeder natürlichen Zahl liegt. Insbesondere ist {{math|term= M|SZ=}} ein nicht-archimedisch angeordneter Körper. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Nichtstandardanalysis |Kategorie3=Theorie der nicht archimedisch angeordneten Körper |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owfff5c2eu1100cw91tx1gr67nyyeok 106 64918 784384 456820 2022-08-22T06:04:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Allgemeingültige Ausdrücke}} Es sei {{mathl|term=L^{{symbolalphabet|}}|SZ=}} eine Sprache erster Stufe über einem Symbolalphabet {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=.}} Für einen Ausdruck {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^S|SZ=}} und eine Interpretation {{math|term=I|SZ=}} haben wir in der letzten Vorlesung die Gültigkeit {{mathl|term=I \vDash {{logprop|}}|SZ=}} über den Aufbau der Sprache rekursiv definiert. Wie im aussagenlogischen Kontext führen wir semantische Tautologien über die Gültigkeit bei jeder Interpretation ein. {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes Modell/Definition|| }} Allgemeingültige Ausdrücke sind {{Stichwort|Tautologien|msw=Tautologie|SZ=}} im semantischen Sinn. Wir werden später noch Tautologien im syntaktischen Sinn kennenlernen und die Übereinstimmung der beiden Konzepte zeigen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Faktlink |Präwort=|Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik|Faktseitenname= Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologieversion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Beispiele sind die Ausdrücke {{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z ((x=y {{logund}} y=z) \rightarrow x=z) |SZ= }} oder {{ math/disp|term= (\forall x {{logprop|}}) \rightarrow {{logprop|}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} ein Ausdruck ist| |ISZ=|ESZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Beispielaussagen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wenn man in eine aussagenlogische Tautologie für die Aussagenvariablen beliebige prädikatenlogische Ausdrücke einsetzt{{ Zusatz/Fußnote |text=Insofern ist auch die Bezeichnung Aussagenvariable gerechtfertigt, da für sie prädikatenlogische Ausdrücke eingesetzt werden können| |ISZ=.|ESZ=, }} so erhält man auch eine Tautologie im obigen Sinn, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Aussagenlogische Tautologie/Prädikatenlogische Ersetzung/Allgemeingültig/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die entprechende syntaktische Version wird in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Prädikatenlogik/Aussagenlogische Tautologie/Einsetzen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} behandelt | |ISZ=|ESZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Gültigkeit von Ausdrucksmengen}} Für eine Menge {{mathl|term=\Gamma \subseteq L^{{symbolalphabet|}}|SZ=}} von Ausdrücken schreibt man {{mathl|term=I \vDash \Gamma|SZ=,}} wenn in {{math|term=I|SZ=}} jeder Ausdruck aus {{math|term=\Gamma|SZ=}} gilt. Man sagt, dass {{math|term=I|SZ=}} ein {{Stichwort|Modell|SZ=}} für {{math|term=\Gamma|SZ=}} ist. Eine {{math|term= {{symbolalphabet|}}|SZ=-}}Struktur heißt ein {{Stichwort|Modell|SZ=}} für {{math|term=\Gamma |SZ=,}} wenn jede Variablenbelegung zu dieser Struktur eine Interpretation liefert, die ein Modell für {{math|term=\Gamma |SZ=}} ist. Diese Sprechweise wird insbesondere für Axiomensysteme {{math|term=\Gamma|SZ=}} verwendet, die eine mathematisch wichtige Struktur festlegen. Die erfüllenden Modelle heißen dann so, wie der Definitionsname in der Definition lautet, die dieses Axiomensystem verwendet. Die Modelle nennt man im üblichen mathematischen Sprachgebrauch Beispiele für diejenige mathematische Struktur, die durch die Definition festgelegt wird. {{Zwischenüberschrift|Axiomensysteme}} Grundsätzlich gibt es zwei Bedeutungen von Axiomensystemen. Einerseits wird ein Axiomensystem aufgestellt, um eine in einem gewissen Sinn vertraute Struktur präzise zu erfassen und ihre Eigenschaften aus den fixierten Grundeigenschaften zu folgern. Man spricht von einem {{Stichwort|intendierten Modell|msw=Intendiertes Modell|SZ=,}} das durch das Aufstellen eines Axiomensystems mathematisch beschrieben werden soll. Die Axiome selbst werden dann durch die Gültigkeit im intendierten Modell gerechtfertigt und können nicht weiter hinterfragt werden. In diesem Sinne gibt es in der Geometrie die euklidische Axiome für die Ebene bzw. den Raum, oder die Dedekind-Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen, die wir später behandeln werden, oder die Axiome für die reellen Zahlen, die man in der Analysis I einführt, oder die Axiome für die Mengenlehre {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise [[w:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|Zermelo-Fraenkel]] mit Auswahlaxiom| |ISZ=|ESZ=, }} die eine Festlegung für den mengentheoretischen Rahmen der gesamten Mathematik bilden. Eine wichtige Fragestellung ist, ob die Axiome die Struktur eindeutig festlegen. Andererseits kann man jede willkürliche Vorgabe einer Menge von Ausdrücken als ein Axiomensystem ansehen. Es gibt dann jeweils mehrere verschiedene Strukturen, die diese Axiome erfüllen. Ein Axiomensystem in diesem Sinn will nicht ein bestimmtes Modell charakterisieren, sondern abstrakte Eigenschaft, die in unterschiedlichen Kontexten auftreten, bereitstellen. Eigenschaften, die man aus den Axiomen erschließen kann, gelten dann für sämtliche Modelle, die die Axiome erfüllen. Die Ökonomie dieses mathematischen Ansatzes liegt eben darin, dass man Schlüsse nicht am Objekt durchführt, sondern abstrakt und allgemein. Wichtige Axiomensysteme sind die Axiome für Gruppen, Ringe, Körper, angeordnete Körper, Vektorräume, metrische Räume, topologische Räume, Maßräume, Mannigfaltigkeiten. Wichtige Bewertungskriterien für beide Arten von Axiomensystemen sind. {{ Aufzählung4 |Die Axiome sollen möglichst einfach formuliert sein. |Die Axiome sollen möglichst einfach {{ Zusatz/Klammer |text=in einem Modell| |ISZ=|ESZ= }} überprüfbar sein. |Die Axiome sollen reichhaltige Folgerungen erlauben. |Die Axiome eines Systems sollen untereinander unabhängig sein; es darf kein Axiom re{{latextrenn|}}dundant sein. }} Für uns stehen zunächst Axiomensysteme im zweiten Sinne im Mittelpunkt; grundsätzlich kann man jede Ausdrucksmenge {{mathl|term=\Gamma \subseteq L^{{symbolalphabet|}} |SZ=}} als ein Axiomensystem auffassen. Als Beispiele betrachten wir aber nur mathematisch relevante Axiomensysteme. Um ein Axiomensystem prädikatenlogisch zu repräsentieren, muss man zuerst das Symbolalphabet und anschließend die Axiome festlegen. Betrachten wir beispielsweise die mathematische Definition einer Gruppe. {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition|v=*| }} In formal-prädikatenlogischer Formulierung besteht das Symbolalphabet {{ Zusatz/Klammer |text=neben den Variablen| |ISZ=|ESZ= }} aus einer Konstanten {{math|term= e |SZ=}} und aus einem zweistelligen Funktionssymbol {{math|term=\mu|SZ=.}} Die in der Gruppendefinition auftretenden Axiome {{ Zusatz/Klammer |text=die Gruppenaxiome, also die drei auftretenden Bedingungen| |ISZ=|ESZ= }} kann man mit diesen Symbolen einfach schreiben als {{ Aufzählung3 |{{ math/disp|term= \forall x (\forall y (\forall z \, \mu x \mu y z = \mu \mu x y z)) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x (\mu x e = x {{logund}} \mu e x = x ) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \exists y (\mu x y = e {{logund}} \mu y x = e) |SZ=. }} }} Nennen wir diese drei Ausdrücke zusammen {{math|term=\Gamma|SZ=.}} Dann ist eine Gruppe eine Menge mit einer Interpretation {{math|term=I|SZ=}} für {{math|term=e|SZ=}} und für {{math|term=\mu|SZ=,}} d.h. es muss ein ausgezeichnetes Element {{math|term=e^G|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=häufig schreibt man {{math|term=e_G|SZ=}} oder {{math|term=e|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} geben und eine zweistellige Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=eine Verknüpfung| |ISZ=|ESZ=, }} derart, dass {{mathl|term=I \vDash \Gamma|SZ=}} gilt. Eine Gruppe ist also ein Modell für {{math|term=\Gamma|SZ=.}} Als weiteres Beispiel wiederholen wir die Definition der Ordnungsrelation, die wir in der fünften Vorlesung behandelt haben. {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} Neben den Variablen besteht das zugehörige Symbolalphabet allein aus einem zweistelligen Relationssymbol, das wir ebenfalls mit {{math|term=\preccurlyeq|SZ=}} bezeichnen. Die für eine Ordnung verlangten Eigenschaften führen zu dem folgenden Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |{{ math/disp|term= \forall x (x \preccurlyeq x) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z ( x \preccurlyeq y {{logund}} y \preccurlyeq z \rightarrow x \preccurlyeq z) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \forall y ( x \preccurlyeq y {{logund}} y \preccurlyeq x \rightarrow x = y) |SZ=. }} }} In einer Menge mit einer zweistelligen Relation {{math|term=R|SZ=}} gilt das Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=}} genau dann, wenn die Relation eine Ordnungsrelation ist. Eine geordnete Menge ist also ein Modell für {{math|term=\Gamma|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Die Folgerungsbeziehung}} Mit Axiomensystemen verbindet man die Vorstellung, dass daraus {{Anführung|wichtige}} weitere Eigenschaften beweisbar sind. In einer jeden Gruppe gelten nicht nur die Gruppenaxiome, sondern auch alle Gesetzmäßigkeiten, die man aus den Gruppenaxiomen folgern kann. Dies wird in der mathematischen Logik durch den Folgerungsbegriff präzisiert. {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Folgerung/Über Modelle/Definition|| }} Die Folgerungsbeziehung verwendet also das gleiche Symbol wie die Gültigkeitsbeziehung. Dass aus einer gewissen Ausdrucksmenge {{math|term=\Gamma|SZ=}} ein gewisser Audruck {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} folgt, erfordert eine mathematische Argumentation, die aufzeigt, dass eine Menge mit zusätzlichen Strukturen, die {{math|term=\Gamma|SZ=}} erfüllt, stets auch {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} erfüllen muss. {{ inputbeispiel |Gruppenaxiome/Eindeutigkeit des inversen Elementes/Beispiel|| }} Da ein allgemeingültiger Ausdruck {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} in jeder Interpretation gilt, kann man auch sagen, dass {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} aus der leeren Ausdrucksmenge folgt, also {{mathl|term=\emptyset \vDash {{logprop|}}|SZ=}} gilt. Wenn {{mathl|term={{logprop|}}_1,{{logprop|}}_2,{{logprop|}}_3|SZ=}} die Gruppenaxiome sind, und {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} die im obigen Beispiel erwähnte Eindeutigkeitsausssage für das inverse Element ist, so ist auch {{ math/disp|term= {{logprop|}}_1 {{logund}} {{logprop|}}_2 {{logund}} {{logprop|}}_3 \rightarrow {{logprop|}} |SZ= }} allgemeingültig. {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Erfüllbar/Durch Modell/Definition|| }} Für eine Ausdrucksmenge {{math|term=\Gamma|SZ=}} bedeutet die Erfüllbarkeit, dass die darin enthaltenen Ausdrücke simultan in einer Interpretation erfüllbar sind. Zwischen Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit besteht die Beziehung, dass {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} genau dann allgemeingültig ist, wenn die Negation {{mathl|term=\neg {{logprop|}}|SZ=}} nicht erfüllbar ist. Zwischen Folgerung und Erfüllbarkeit besteht der folgende Zusammenhang. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Prädikatenlogik/Folgerung/Unerfüllbarkeit/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Sortenprädikate}} {{:Sortenprädikate/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} ml4d5l0qisbxckw7dpy00cpavm3n1ri 0 64987 780054 752324 2022-08-21T18:03:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V ||\{p,q,r\} || || || |SZ= }} und {{math|term= \lambda|SZ=}} sei die {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrheitsbelegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= \lambda(p)=1,\, \lambda(q)=1, \, \lambda(r)=0|SZ=.}} Es sei {{math|term= I|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Interpretation| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zur Berechnung des Wahrheitswertes von {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logprop|}} || {{makl| \neg {{makl| (p) {{logund|}} (\neg (q) ) |}} |}} \rightarrow ( r ) || || || |SZ= }} unter dieser Interpretation muss man rekursiv gemäß {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Interpretation/Definition |SZ= }} die einzelnen Bestandteile auswerten. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | I((\neg q)) || 0 || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | I( (p) {{logund|}} ( \neg (q))) || 0 || || || |SZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | I {{makl| \neg {{makl| (p) {{logund|}} ( \neg (q)) |}} |}} || 1 || || || |SZ=. }} Andererseits ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | I( r) || 0 || || || |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |I(\alpha) ||0 || || || |SZ=. }} Der Ausdruck ist also bei dieser Wahrheitsbelegung nicht wahr. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nmbvcoxqsnxsnu87gg4evnapyk5a4z0 0 64994 778955 763148 2022-08-21T15:12:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der Ausdruck{{{zusatz1|}}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi ||( {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}}) \leftrightarrow ( \neg {{logprop2|}} \rightarrow \neg {{logprop|}}) || || || |SZ=, }} genannt {{Stichwort|Kontraposition|SZ=,}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Tautologie| |Kontext=Aussagenlogik Semantik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=unabhängig davon, ob {{mathl|term= {{logprop|}}, {{logprop2|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder Aussagen bezeichnen| |ISZ=|ESZ=. }} Um dies nachzuweisen, muss man den Wahrheitswert dieses Ausdruckes bei jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrheitsbelegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} berechnen, was wir mit einer Wahrheitstabelle durchführen. {{Wahrheitstabelle/2/5|Kontraposition|p= {{logprop|}} |q= {{logprop2|}}| {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} | w|f|w|w| \neg {{logprop|}} |f|f|w|w| \neg {{logprop2|}} |f|w|f|w| \neg {{logprop2|}} \rightarrow \neg {{logprop|}} | w|f|w|w | ({{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}}) \leftrightarrow ( \neg {{logprop2|}} \rightarrow \neg {{logprop|}}) | w|w|w|w }} Dagegen ist der Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi || {{makl| \neg {{makl| (p) {{logund|}} (\neg (q) ) |}} |}} \rightarrow ( r ) || || || |SZ= }} keine Tautologie, da wir in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Wahrheitsbelegung/Verschiedene Ausdrücke/1/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Wahrheitsbelegung mit dem Gesamtwert {{math|term= f|SZ=}} angegeben haben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gietlddd6dk0k7vfpcfdx9cih0worpo 0 65021 778958 763151 2022-08-21T15:13:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Aussagenvariablenmenge {{mathl|term= \{p_1,p_2,p_3, \ldots \}|SZ=}} und die Ausdrucksmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma ||\{p_1 \rightarrow p_2,\, p_2 \rightarrow p_3,\, p_3 \rightarrow p_4,\, \ldots \} || || || |SZ=. }} Diese wollen wir zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |maximal widerspruchsfreien| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Menge gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbar/Auffüllungsstrategie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergänzen. Wenn wir im ersten Schritt {{math|term= p_1|SZ=}} hinzunehmen, so ergibt sich sukzessive {{mathl|term= p_i \in \Gamma_1|SZ=}} für alle {{mathl|term= i \in \N|SZ=.}} Es ist dann {{math|term= \Gamma_1|SZ=}} schon maximal widerspruchsfrei. Wählt man hingegen im ersten Schritt {{mathl|term= \neg p_1|SZ=,}} so gehört weder {{ mathkor|term1= p_2 |noch|term2= \neg p_2 |SZ= }} zu {{math|term= \Gamma_1|SZ=.}} Beim zweiten Schritt hat man dann die Freiheit, ob man {{ mathkor|term1= p_2 |oder|term2= \neg p_2 |SZ= }} zur Definition von {{math|term= \Gamma_2|SZ=}} hinzunimmt, und so weiter. |Textart=Beispiel |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j53o6fa50feanssylcacllevkoklqdi 0 65026 780870 754967 2022-08-21T20:20:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass in keiner Aussage {{mathl|term= \alpha \in \Gamma|SZ=}} das Negationszeichen {{math|term= \neg|SZ=}} vorkommt. Zeige{{n Sie}}, dass dann die {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrheitsbelegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} den Wert {{math|term= 1|SZ=}} zuweist, zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Interpretation| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= I|SZ=}} mit {{mathl|term= \Gamma \subseteq I^\vDash|SZ=}} führt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3isogo9dpbuq0vnk9csrscbstr5a30z 0 65094 779701 763698 2022-08-21T17:10:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= c,d|SZ=}} Konstanten einer {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= x,y,z,v|SZ=}} Variablen, {{math|term= p|SZ=}} ein einstelliges und {{mathl|term= f,g,h|SZ=}} zweistellige Funktionssymbole. Wir betrachten den Term {{ math/disp|term= t= f px gcy |SZ= }} und die Substitution {{ math/disp|term= {{op:Bruch|d, \, \, \, hvx , \, \, \, v|x, \, \, \,\, \, \, y, \, \, \, \,\, \, z}} |SZ=. }} Die Substitution wird durchgeführt, indem man die kleinsten Bestandteile des Termes, also {{mathl|term= x,y,c|SZ=,}} ersetzt und ansonsten den funktionalen Aufbau des Termes übernimmt. Für diese gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | x {{op:Bruch|d, \, \, \, hvx, \, \, \, v|x, \, \, \,\, \, \, y, \, \, \, \,\, \, z}} || d || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | y {{op:Bruch|d, \, \, \, hvx, \, \, \, v|x, \, \, \,\, \, \, y, \, \, \, \,\, \, z}} || hvx || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | c {{op:Bruch|d ,\, \, \, hvx , \, \, \, v|x , \, \, \,\, \, \, y, \, \, \, \,\, \, z}} || c || || || |SZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | fpxgcy {{op:Bruch|d, \, \, \, hvx, \, \, \, v|x, \, \, \,\, \, \, y, \, \, \, \,\, \, z}} || fpd g chvx || || || |SZ=. }} Man beachte, dass das letzte {{math|term= x|SZ=}} nicht zu ersetzen ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 852shjkmqaxvnopu5zdcb8xb2nhxjv2 0 65096 779693 763692 2022-08-21T17:08:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= c,d|SZ=}} Konstanten einer {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= x,y,z,u|SZ=}} Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=so geordnet| |ISZ=|ESZ=, }} {{math|term= f,g|SZ=}} einstellige Funktionssymbole und {{math|term= R|SZ=}} ein zweistelliges Relationssymbol. Wir betrachten den Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logprop|}} || \forall x \neg R y fx || || || |SZ= }} und die Substitution {{ math/disp|term= {{op:Bruch|u,\, \, \, \, g c |x, \, \, \,\, \, \, y }} |SZ=. }} Von den zu substituierenden Variablen ist {{math|term= x|SZ=}} gebunden und {{math|term= y|SZ=}} frei. Die Variable {{math|term= x|SZ=}} kommt in den substituierenden Termen nicht vor. Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \forall x \neg R y fx |}} {{op:Bruch|u, \, \, \, \, g c |x, \, \, \,\, \, \, y }} || \forall x {{makl| \neg R y f x {{op:Bruch| g c | y }} |}} || \forall x \neg R gc f x || || |SZ=. }} Bei der Substitution {{ math/disp|term= {{op:Bruch|u, \, \, \, \, g x |x , \, \, \, \, \, \, y }} |SZ= }} kommt jetzt die gebundene Variable {{math|term= x|SZ=}} in dem substituierenden Term {{math|term= gx|SZ=}} vor. Es ist {{ Ma:Vergleichskette |v ||z || || || |SZ= }} die nächste Variable in der gegebenen Reihenfolge. Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \forall x \neg R y fx |}} {{op:Bruch|u, \, \, \, \, g x |x , \, \, \, \, \, \, y }} || \forall z {{makl| \neg R y f x {{op:Bruch| g x, \, \, \, \, z| y,\, \, \, \, \, \, x }} |}} || \forall z \neg R gx f z || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7h961do8icdlbudy0wly5bmgi7cjqy5 0 65097 785534 758786 2022-08-22T08:55:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= c,d|SZ=}} Konstanten einer {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= x,y,z,v|SZ=}} Variablen, {{math|term= f|SZ=}} ein einstelliges und {{mathl|term= g,h|SZ=}} zweistellige Funktionssymbole. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Substitution| |Kontext=Term| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= ghhxcdfz {{op:Bruch|fx, \, \, \, \, \,gxz,\, \, \, \, \, hvfx|x,\, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, y, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, z}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5gelqo3cq2h9geew54pnvtyge6dq0y 0 65098 785522 758778 2022-08-22T08:53:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= c|SZ=}} eine Konstante einer {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= x,y,z,u|SZ=}} Variablen, {{math|term= f|SZ=}} ein einstelliges Funktionssymbol, {{mathl|term= g,h|SZ=}} zweistellige Funktionssymbole und {{math|term= R|SZ=}} ein zweistelliges Relationssymbol. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Substitution| |Kontext=Ausdruck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{makl| \forall y Rxy {{logund}} \neg R y fz |}} {{op:Bruch|fx, \, \, \, \, \,gxz,\, \, \, \, \, hcfx|x,\, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, y, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, z}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 35964bc27kja8zbar72pc9bjsqpffgo 0 65100 785506 758763 2022-08-22T08:50:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= L,M,N|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath=S |Strukturen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} folgende Aussagen. {{ Aufzählung3 |Die Identität {{ Ma:abb/disp |name= {{op:Identität|M|}} |M|M || |SZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zu einem Isomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} ist die Umkehrabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi^{-1} |N|M || |SZ= }} ein Isomorphismus. |Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=\psi | L|M || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | M|N || |SZ= }} Homomorphismen {{ Zusatz/Klammer |text=Isomorphismen| |ISZ=|ESZ=. }} Dann ist auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi \circ \psi|SZ=}} ein Homomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=Isomorphismus| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9av1gexc8u91omllok3m71yz8pggbzm 0 65101 785482 758744 2022-08-22T08:46:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= M|SZ=}} sei eine {{ Definitionslink |Prämath=S |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{math|term= S|SZ=-}}Automorphismen auf {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} texon44wvgre8dkt05j1vpscuna33np 0 65102 785509 758765 2022-08-22T08:51:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= M,N|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath=S |isomorphe| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=S |Strukturen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppen| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Aut|M|S}} |und|term2= {{op:Aut|N|S}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cwgm2oev68leqm7isrmi5n9z2bb2j9m 0 65103 782845 756609 2022-08-22T01:49:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} seien {{ Definitionslink |Prämath=S |Strukturen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |M|N || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= \lambda|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Variablenbelegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= \varphi \circ \lambda|SZ=}} die nach {{math|term= N|SZ=}} übertragene Variablenbelegung. Es seien {{ mathkor|term1= I |und|term2= J |SZ= }} die zugehörigen Interpretationen. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(I(t)) ||J(t) || || || |SZ= }} für alle {{ Definitionslink |Prämath=S |Terme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= t|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fnoleka8qex7o3q0fbp9ovahi4f9kb4 0 65109 778689 762607 2022-08-21T12:41:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= V|SZ=}} ein Vektorraum über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks |M || {{mengebed|T \subseteq V| \text{ Die Elemente aus } T \text{ sind linear unabhängig} }} || || || |SZ=. }} Die leere Menge gehört zu {{math|term= M|SZ=,}} also ist {{math|term= M|SZ=}} nicht leer. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} eine total geordnete Teilmenge. Wir behaupten, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || \bigcup_{T \in N} T || || || |SZ= }} ebenfalls linear unabhängig ist und daher eine obere Schranke von {{math|term= N|SZ=}} in {{math|term= M|SZ=}} bildet. Andernfalls gäbe es nämlich eine endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |E |\subseteq|S || || || |SZ=, }} deren Elemente linear abhängig sind, und es gäbe auch ein {{ Ma:Vergleichskette |T |\in|N || || || |SZ=, }} das {{math|term= E|SZ=}} umfasst und daher selbst linear abhängig wäre. Nach dem {{ Faktlink |Präwort=|Lemma von Zorn|Faktseitenname= Lemma von Zorn/Obere Schranke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt {{math|term= M|SZ=}} also maximale Elemente, d.h. es gibt eine Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|V || || || |SZ=, }} die linear unabhängig ist und derart, dass es keine echt größere linear unabhängige Teilmenge von {{math|term= V|SZ=}} gibt. Wir behaupten, dass {{math|term= T|SZ=}} auch ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} ist. Sei dazu {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|T || || || |SZ= }} sind wir fertig. Bei {{ Ma:Vergleichskette |v |\notin|T || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= T \cup \{v\}|SZ=}} linear abhängig, d.h. es gibt eine Linearkombination {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i{{=}}1}^n c_i t_i +cv ||0 || || || |SZ= }} mit Elementen {{ Ma:Vergleichskette |t_i |\in|T || || || |SZ= }} und Koeffizienten {{ Ma:Vergleichskette |c_i,c |\in|K || || || |SZ=, }} die nicht alle {{math|term= 0|SZ=}} sind. Dabei kann {{math|term= c|SZ=}} nicht {{math|term= 0|SZ=}} sein, da sonst eine lineare Abhängigkeit zwischen Elementen aus {{math|term= T|SZ=}} vorliegen würde. Also kann man {{math|term= v|SZ=}} als Linearkombination der {{mathl|term= t_1 {{kommadots|}} t_n |SZ=}} ausdrücken. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} prbb3qggg7dfroq6rf5sv5h8izbx7kh 0 65110 785338 758638 2022-08-22T08:23:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} als {{math|term= \mathbb Q|SZ=-}}Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen {{math|term= \ln p|SZ=,}} wobei {{math|term= p|SZ=}} durch die Menge der Primzahlen läuft, {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Bleibt das Ergebnis gültig, wenn man den natürlichen Logarithmus {{math|term= \ln|SZ=}} durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Natürlicher Logarithmus (reell) |Kategorie2=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie3=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=3 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sq32txyshv7dwx5kkv33gjbpu904hsi 0 65111 786453 540344 2022-08-22T11:28:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man mache sich an den folgenden Beispielen klar, dass der {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Hamel|Faktseitenname= Vektorraum/Satz von Hamel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} keineswegs selbstverständlich ist. {{ Aufzählung3 |Die reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} als {{math|term= \Q|SZ=-}}Vektorraum betrachtet. |Die Menge der reellen Folgen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\R^\N || {{mengebed| {{Op:Folge|x}}| x_n \in \R }} || || || |SZ=. }} |Die Menge aller stetigen Funktionen von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qm87f9pb68ea3zad4xiwijmn3yonnvs 0 65114 784580 758099 2022-08-22T06:30:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Prämath= |Filter| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= F \subseteq {{op:Potenzmenge|\N|}} |SZ=}} ist genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ultrafilter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn für jede Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq \N|SZ=}} entweder {{mathl|term= T \in F|SZ=}} oder {{mathl|term= \N \setminus T \in F|SZ=}} gilt |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Filter |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ike7qkpj8fxtx2g5fom5g29srpnmef 0 65115 784576 758096 2022-08-22T06:29:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} eine fixierte Zahl. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || {{mengebed|T \subseteq \N| n \in T}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ultrafilter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Filter |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8g4cwdxtnca6rx75362zz5pknnqn8fi 0 65116 784581 758100 2022-08-22T06:30:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= \N|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Ultrafilter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt, die keine endlichen Teilmengen enthalten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Filter |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rakl56tslob2s5w9sz2k0iug26van46 0 65152 780733 754848 2022-08-21T19:57:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |S || \{ 0,1,+,\cdot,\geq\} \cup V || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für einen {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= f|SZ=}} ein einstelliges Funktionssymbol. Formuliere{{n Sie}} über {{ Ma:Vergleichskette |S' ||S \cup \{f\} || || || |SZ= }} folgende Eigenschaften. {{ Aufzählung3 |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Stetigkeit| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßige Stetigkeit| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Differenzierbarkeit| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8jpmy7o0zbdeju1w1baaiz2g4hmx5xe 0 65153 780734 754849 2022-08-21T19:57:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |S || \{ 0,1,+,\cdot,\geq\} \cup V || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für einen {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= f|SZ=}} ein einstelliges Funktionssymbol. Formuliere über {{mathl|term= S'=S \cup \{f\}|SZ=}} die Aussage des {{ Faktlink |Präwort=|Zwischenwertsatzes|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3=Der Zwischenwertsatz |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bjvag35oxo84qopf3hjqvz4303dgd1 0 65154 780791 754898 2022-08-21T20:07:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |S || \{ 0,1,+,\cdot,\geq\} \cup V || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für einen {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Formuliere{{n Sie}} über {{math|term= S|SZ=}} die Aussage des {{ Faktlink |Präwort=|Zwischenwertsatzes|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für Polynome vom Grad {{math|term= d|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3=Der Zwischenwertsatz |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 77r2zl0wlkqmuviekv2clhooysnwbkz 0 65156 780789 754896 2022-08-21T20:06:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |S || \{ 0,1,+,\cdot,\geq\} \cup V || || || |SZ= }} die Symbolmenge für einen {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= f,g|SZ=}} zwei einstellige Funktionssymbole. Formuliere{{n Sie}} über {{mathl|term= S'=S \cup \{f,g\}|SZ=}} die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei stetigen Funktionen wieder stetig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 14vg30loi8sx1jwct00hhhwk18i2l5v 0 65157 780762 754878 2022-08-21T20:02:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= S=\{ 0,1,+,\cdot,\geq\} |SZ=}} die Symbolmenge für einen {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ math/disp|term= \R \vDash \forall x \forall y {{makl| x \geq y \leftrightarrow \exists z {{makl| x-y {{=}} z^2 |}} |}} |SZ= }} und {{ math/disp|term= \Q \vDash \neg {{makl| \forall x \forall y {{makl| x \geq y \leftrightarrow \exists z {{ Zusatz/Klammer |text=x-y {{=}} z^2| |ISZ=|ESZ= }} |}} |}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qnu5318t9kuybdptjslonzafhk2sbas 0 65158 783658 757305 2022-08-22T04:05:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= S=\{0,1,+,\cdot\}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppen| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term= S|SZ=-}}Strukturen {{ mathkor|term1= \Q |und|term2= \R |SZ= }} jeweils {{ Definitionslink |Prämath= |trivial| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3=Theorie der rationalen Zahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f9lm6r2vhsd1fj8nu4v5vx2o1b1fprk 0 65159 783664 757312 2022-08-22T04:06:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= S=\{0,1,+,\cdot\}|SZ=}} die Symbolmenge eines {{ Definitionslink |Prämath= |Körpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Unterkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K \subseteq \R|SZ=}} derart gibt, dass {{mathl|term= S-{{op:Aut|K|}} |SZ=}} nicht trivial ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3=Galoistheorie |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iu9c0t4u4ejjstsyaqimpspu10sr1y5 0 65160 780708 754825 2022-08-21T19:53:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= S=\{0,1,+,\cdot, \geq \}|SZ=}} die Symbolmenge eines {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen angeordneten Körper {{math|term= K|SZ=}} derart gibt, dass {{mathl|term= S-{{op:Aut|K|}} |SZ=}} nicht trivial ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ozs1zaln1esl8ms95ndoenkg9oe3jm2 0 65161 780777 754890 2022-08-21T20:04:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= S=\{0,1,+,\cdot, \geq\}|SZ=}} die Symbolmenge eines {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jeden {{ Definitionslink |Prämath= |Unterkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K \subseteq \R|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= S-{{op:Aut|K|}} |SZ=}} trivial ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d03tlg7adphylaokjwftl6t5f55fzp2 0 65162 785536 758790 2022-08-22T08:55:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} eine {{math|term= S|SZ=-}}{{Anführung|Unterstruktur}} in einer {{ Definitionslink |Prämath=S |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1phl3us427n61zr6gqaspo98felw86k 0 65163 780632 754762 2022-08-21T19:40:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} über der Symbolmenge {{mathl|term= \{0,1,+,\cdot\}|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Hilfe eines Axiomenschemas. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper |Kategorie2=Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e5zbnvku1w0sfit4x3bxy0td6vfleqk 0 65164 782916 756662 2022-08-22T02:01:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formalisiere{{n Sie}} mit dem Symbolalphabet {{mathl|term= S=\{f,g\}|SZ=,}} wobei {{mathl|term= f,g|SZ=}} einstellige Funktionssymbole sind, die Aussage, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wieder injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3=Theorie der injektiven Abbildungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3lhs8ev2703r6wze8aeo9xt8e3ffa7t 0 65182 781936 755831 2022-08-21T23:18:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein Symbolmenge und {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=S |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zwei Elemente {{mathl|term= m,n \in M|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |elementar äquivalent| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, wenn es einen {{ Definitionslink |Prämath=S |Automorphismus| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|M || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(m) ||n || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxrqk7nbg48nmtc1esxtgywfo0r3jrx 0 65186 786333 759408 2022-08-22T11:08:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Termmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Konstantenmenge {{mathl|term= \{0,1\} |SZ=,}} zur Variablenmenge {{ mathbed|term= x_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ= }} und zur zweistelligen Funktionssymbolmenge {{mathl|term= \{+, \cdot\}|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} eine natürliche Abbildung von {{math|term= T|SZ=}} in den Polynomring {{mathl|term= \Z[x_i: i \in I]|SZ=.}} Ist diese Abbildung injektiv? Ist sie surjektiv? Was ist das Bild? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0lm03xinh8zmg9vjor1ljb49443pprl 0 65189 780763 754879 2022-08-21T20:02:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomfunktionen in einer Variablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=angeordneter Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Formuliere{{n Sie}} diese Aussage über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= S=\{0,1,+,\cdot, \geq\}|SZ=}} für Polynome eines festes Grades. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c26tpcjf4ltuvdh3kiukspigs2dga5e 0 65192 778874 691375 2022-08-21T14:59:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine angemessene prädikatenlogische Formulierung für Abbildungen zwischen zwei Mengen wird durch das Symbolalphabet beschrieben, das neben Variablen aus {{mathl|term= \{ F,D,Z\} |SZ=}} besteht, wobei {{math|term= F|SZ=}} ein einstelliges Funktionssymbol und {{math|term= D|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{Anführung|Definitionsbereich}}| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= Z|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{Anführung|Zielbereich}}| |ISZ=|ESZ= }} zwei einstellige Relationssymbole sind, mit denen man den Definitionsbereich und den Zielbereich einer Abbildung erfassen möchte. Bei Interpretation in einer Menge {{math|term= M|SZ=}} ist die Funktion {{ Ma:Vergleichskette |f ||F^M || || || |SZ= }} zwar auf jedes Element aus {{math|term= M|SZ=}} anwendbar, man kann aber relevante Eigenschaften einer Abbildung spezifisch für die durch {{ mathkor|term1= D |bzw.|term2= Z |SZ= }} bestimmten Teilmengen {{ Zusatz/Klammer |text=den Definitionsbereich bzw. Zielbereich| |ISZ=|ESZ= }} formulieren. Beispielsweise besagt der Ausdruck {{ math/disp|term= \forall x (Dx \rightarrow Zfx) |SZ=, }} dass für jedes {{math|term= x|SZ=,}} das zum Definitionsbereich gehört, der Funktionswert zu {{math|term= Z|SZ=}} gehören muss. Die Surjektivität {{ Zusatz/Klammer |text=als Abbildung von der durch {{math|term= D|SZ=}} beschriebenen Menge, also {{mathlk|term=D^M|SZ=,}} in die durch {{math|term= Z|SZ=}} beschriebene Menge, also {{mathlk|term=Z^M|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird durch {{ math/disp|term= \forall y {{makl| Zy \rightarrow \exists x {{makl| Dx {{logund|}} fx {{=}} y |}} |}} |SZ= }} beschrieben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Sortenprädikate |Kategorie2=Theorie der Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} itt5etwivwel2kzlj0xq0qby68ycrs4 0 65193 780030 691371 2022-08-21T18:00:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine angemessene prädikatenlogische Formulierung für Vektorräume wird neben Variablen durch {{ math/disp|term= \{0_K,1,+_K, \cdot_K, 0_V, +_V,\cdot, K,V\} |SZ= }} beschrieben, wobei {{math|term= \{0_K,1,0_V\}|SZ=}} Konstanten, {{mathl|term= \{+_K,\cdot_K,+_V, \cdot \} |SZ=}} zweistellige Funktionssymbole und {{math|term= K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für Körper| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= V|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für Vektorraum| |ISZ=|ESZ= }} zwei einstellige Relationssymbole sind, mit denen man den Körper und den Vektorraum erfassen möchte. Die grundlegende Skalarmultiplikation wird durch {{ math/disp|term= \forall x \forall y {{makl| Kx {{logund|}} Vy \rightarrow V x \cdot y |}} |SZ= }} beschrieben, die beiden Distributivgesetze durch {{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z {{makl| Kx {{logund|}} Ky {{logund|}} Vz \rightarrow {{makl| x +_K y |}} \cdot z {{=|}} {{makl| {{makl| x \cdot z |}} +_V {{makl| y \cdot z |}} |}} |}} |SZ= }} und {{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z {{makl| Kx {{logund|}} Vy {{logund|}} Vz \rightarrow x \cdot {{makl| y +_V z |}} {{=|}} {{makl| x \cdot y |}} +_V {{makl| x \cdot z |}} |}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Sortenprädikate |Kategorie2=Theorie der Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} liixigc7zqtj4eoejg0unjact9mza25 0 65204 785352 456445 2022-08-22T08:25:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es eine gerade Zahl {{ mathbed|term= g ||bedterm1= 2 \leq g \leq 252 ||bedterm2= |SZ=, }} mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen {{math|term= p|SZ=}} derart gibt, dass auch {{mathl|term= p+g|SZ=}} eine Primzahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primzahlzwillinge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pn8vniys8x6aylvdrgz4u2s94dkfpwr 0 65304 780902 755000 2022-08-21T20:25:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= L^V|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{math|term= \lambda|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrheitsbelegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Variablen mit zugehöriger {{ Definitionslink |Prämath= |Interpretation| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= I|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= I^\vDash|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |maximal widerspruchsfrei| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ppfx281fp5w4fq8iljxtrwzqezusc77 0 65305 778956 763149 2022-08-21T15:12:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p,q,r|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann sind beispielsweise {{ math/disp|term= p,\, \neg (p),\, \neg (\neg( \neg (p))) , \,(p) {{logund|}} (\neg ( q) ), \, ((p) {{logund|}} (\neg (q))) {{logund|}} (\neg (r)),\, ((( \neg (\neg (p))) \rightarrow (\neg ( q))) {{logoder|}} ((\neg (r))) \leftrightarrow ( \neg (r) ) {{logund|}} (q )) |SZ= }} korrekt gebildete Aussagen, d.h. sie gehören zu {{math|term= L^V|SZ=.}} Dagegen sind {{ math/disp|term= \neg,\, \rightarrow ,\, p {{logund|}},\, p {{logund|}} q ,\, (p) {{logund|}} (\neg q, \, (p) {{logund|}} (q) {{logund|}} (r),\, |SZ= }} keine Aussagen in {{math|term= L^V|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aber natürlich Wörter über dem gegebenen Alphabet| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Sprache der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ritlgjaqkhyhwqwu66kgyb88s544x6 0 65371 778436 762389 2022-08-21T12:02:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die eine Richtung folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Zusammenhängend/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Für die andere Richtung sei {{math|term= U |SZ=}} zusammenhängend. Zu einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|U || || || |SZ= }} betrachten wir die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks |Z(x) || {{mengebed|y \in U|\text{ Es gibt einen stetigen Weg von } x \text{ nach } y}} || || || |SZ=. }} Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte {{ Ma:Vergleichskette | x_1,x_2 |\in|U || || || |SZ= }} entweder {{ Ma:Vergleichskette |Z(x_1) ||Z(x_2) || || || |SZ= }} oder aber {{ Ma:Vergleichskette |Z(x_1) \cap Z(x_2) || \emptyset || || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= U|SZ=}} nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre {{ Ma:Vergleichskette |U |\neq|Z(x) || || || |SZ= }} und es gäbe eine Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |U ||Z(x) \uplus \bigcup_{y \notin Z(x) } Z(y) || || || |SZ= }} in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dywq26evh1zoc1tubj1wru9xf5yqb49 0 65385 782966 756708 2022-08-22T02:10:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |reelles Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |wegzusammenhängend| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der wegzusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s3kue5ndyhq4lh7vm7sqqt4zshnkbcj 0 65407 780502 660696 2022-08-21T19:19:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens {{math|term= 200|SZ=}} Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige{{n Sie}} durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Professor Knopfloch |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7gclre68w17zzmajk4g7tl7c45r73ol 0 65426 781391 423496 2022-08-21T21:47:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Kettenregel für die Hintereinanderschaltung {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} von zwei differenzierbaren Funktionen {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=g |\R|\R || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6qegr43gc7yug24viuqsconvic3dn12 0 65433 780489 754675 2022-08-21T19:16:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine differenzierbare Funktion. Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass für die {{math|term= n|SZ=-}}fache {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=n \geq 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= f^{\circ n} =f \circ f {{circdots|}} f \, \, \, ( n\text{ mal} ) |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| f^{\circ n} |}}' || f' \cdot \prod_{i {{=}} 1}^{n-1} {{makl| f' \circ f^{\circ i} |}} || || || |SZ= }} gilt{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Das leere Produkt ist als {{math|term= 1|SZ=}} zu interpretieren| |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8j3rgpd2xuev4ikvtpp0wtmtyqqggrv 0 65465 785857 458169 2022-08-22T09:49:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Überabzählbarkeit von {{math|term= \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t9zuh09m5ot4za9szyassk9eclk9s1t 0 65471 783631 757280 2022-08-22T04:01:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |2 |\neq|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für {{mathl|term= f,g \in K|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |fg || {{op:Bruch|1|4}} {{makl| {{makl| f+g |}}^2 - {{makl| f-g |}}^2 |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2=Theorie der Quadratabbildung |Kategorie3=Der Binomische Lehrsatz |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} af2d3dll693zdm33xqao1p4k4fo79ik 0 65518 782434 756262 2022-08-22T00:41:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Wohlordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge der ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1wdlpyvwwmdzlpqenatchpkuu1lpvrg 0 65520 784584 758101 2022-08-22T06:31:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} durch Induktion, dass die natürliche Ordnung auf den natürlichen Zahlen {{math|term= \N|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Wohlordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2=Vollständige Induktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56xgesgyempyzw82lcft2zoaie4kfpx 0 65525 786403 540346 2022-08-22T11:19:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Folgenring {{mathl|term= R=\R^\N|SZ=.}} Zu einer Folge {{mathl|term= x= {{Op:Folge|x}} \in R |SZ=}} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z(x) || {{mengebed|n \in \N|x_n {{=}} 0}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass über die Zuordnungen {{ math/disp|term= I \longmapsto {{mengebed|T \subseteq \N|T {{=}} Z(x) \text{ für ein } x \in I}} |SZ= }} und {{ math/disp|term= F \longmapsto {{mengebed|x \in R| Z(x) \in F }} |SZ= }} sich die Ideale aus {{math|term= R|SZ=}} und die Filter aus {{math|term= \N|SZ=}} entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Filter |Kategorie2=Theorie der Folgenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fmpbqhp9qzurnesmjiwqjjf84w0o89e 0 65530 780875 754971 2022-08-21T20:21:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^V|SZ=}} eine Ausdrucksmenge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einer Aussagenvariablenmenge {{math|term= V|SZ=}} und es seien {{mathl|term= {{logprop|}}, {{logprop2|}} \in L^V |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= \Gamma \cup \{ {{logprop|}} \} \vdash {{logprop2|}} |SZ= }} zu {{ math/disp|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ= }} äquivalent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bhr6im0yueul50f4hr5h6lytlfpdw0u 0 65538 780933 755021 2022-08-21T20:30:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma \subseteq L^V|SZ=}} eine Ausdrucksmenge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 | {{math|term= \Gamma|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |widersprüchlich| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jedes {{mathl|term= {{logprop2|}} \in L^V |SZ=}} ist {{ mathkor|term1= \Gamma \vdash {{logprop2|}} |und|term2= \Gamma \vdash \neg {{logprop2|}} |SZ=. }} |Es ist {{mathl|term= \Gamma^\vdash= L^V|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fpqm7srzromv5y5gfc7e3hw1vxn3rcs 0 65580 785339 458150 2022-08-22T08:23:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}: Ist {{mathl|term= 2^n-1|SZ=}} eine Primzahl, so ist auch {{math|term= n|SZ=}} eine Primzahl. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ya8b3msspb9h4llf4oaotv0ier4gc8 0 65583 780918 755011 2022-08-21T20:28:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das erste Symbol in jeder Aussage aus {{math|term= L^V|SZ=}} entweder eine {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariable| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= p \in V|SZ=}} oder das Negationszeichen {{math|term= \neg|SZ=}} oder eine linksseitige Klammer {{math|term= (|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g8pngekza65cm7q6lufvfvq1otmjxx4 0 65588 780915 456884 2022-08-21T20:27:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise durch Induktion über den rekursiven Aufbau der Sprache {{math|term= L^V|SZ=,}} dass in jeder Aussage {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=}} die Anzahl der linken Klammern mit der Anzahl der rechten Klammern übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iabnih1pqd2av0l4mo2jxjzjt0blnui 0 65589 780916 456906 2022-08-21T20:28:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise durch Induktion über den rekursiven Aufbau der Sprache {{math|term= L^V|SZ=,}} dass in jeder Aussage {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=}} und für jedes Symbol {{math|term= s|SZ=}} in {{math|term= {{logprop|}} |SZ=,}} das keine Klammer ist, folgendes zutrifft: Links von {{math|term= s|SZ=}} ist die Anzahl der linken Klammern mindestens so groß wie die Anzahl der rechten Klammern. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kpp8kq0pcx04cjfcibego34giifwl22 0 65595 780867 392288 2022-08-21T20:19:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Wahrheitswert der Aussage {{ math/disp|term= ( ( \neg(\neg(p)) ) \leftrightarrow (\neg(q)) ) {{logoder|}} ( (p) \rightarrow ( ( \neg(r) ) {{logund|}} ( \neg(q) ) ) ) |SZ= }} bei der Belegung {{mathl|term= \lambda(p)=0|SZ=}} und {{mathl|term= \lambda(q)=\lambda(r)=1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3qsumyo65slg563euz30ngzchkig7c3 0 65596 780868 456904 2022-08-21T20:20:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Wahrheitswert der Aussage {{ math/disp|term= ((( \neg (\neg (p))) \rightarrow (\neg ( q))) {{logoder|}} (\neg (r))) \leftrightarrow ( (\neg (r) ) {{logund|}} ( q )) |SZ= }} bei der Belegung {{mathl|term= \lambda(p)=\lambda(r)=0|SZ=}} und {{mathl|term= \lambda(q)=1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} btjeim143a8md7qdfjvvwt8cxenzdsl 0 65598 780920 755012 2022-08-21T20:28:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine Aussage {{mathl|term= {{logprop}} \in L^V |SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Kontradiktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= \neg {{logprop|}} |SZ=}} eine Tautologie ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rwkmteu5z2i6wvjmtnc5v4m8b8htwwf 0 65643 785487 394895 2022-08-22T08:47:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gehört in einem Ausdruck der Form {{mathl|term= {{makl|x{{=}}y|}} {{op:Bruch|t|x}} |SZ=}} die Symbolfolge {{mathl|term= {{op:Bruch|t|x}} |SZ=}} zur prädikatenlogischen Sprache? Gehört {{mathl|term= {{makl|x{{=}}y|}} {{op:Bruch|t|x}} |SZ=}} dazu? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ijap6m3p5dixz6iz9gpkzdj3mtiyvby 0 65644 785530 394288 2022-08-22T08:54:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^ {{symbolalphabet|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{logprop|}} {{op:Bruch|y|x}} |}} {{op:Bruch|z|y}} || {{logprop|}} {{op:Bruch|y, z|x, y}} || || || |SZ= }} im Allgemeinen nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fgvxwgaop8nr735ajmf6yelimkm8dzy 0 65687 782139 756015 2022-08-21T23:52:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Ausdruck {{ math/disp|term= {{makl| {{logprop|}} {{op:Bruch|y|x}} \rightarrow {{logprop2|}} |}} \rightarrow {{makl| \exists x {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} |}} |SZ= }} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Tautologie| |Kontext=Prädikatenlogik allgemeingültig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=auch nicht, wenn {{math|term= y|SZ=}} weder in {{math|term= \exists x {{logprop|}} |SZ=}} noch in {{math|term= {{logprop2|}}|SZ=}} frei vorkommt| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dqep3kgr3hztckmahuz3vlfy54f55pu 0 65688 778926 763123 2022-08-21T15:07:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Nehmen wir an, wir möchten die Aussage beweisen, dass in einer jeden Gruppe das neutrale Element eindeutig bestimmt ist. Wir formalisieren diese Aussage als {{ math/disp|term= {{logprop2|}} \rightarrow \forall x {{logprop|}} |SZ=, }} wobei {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=}} die Konjunktion der drei {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenaxiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{logprop|}} ||\forall z (xz {{=|}} z) \rightarrow x {{=|}} e || || || |SZ= }} ist. In {{mathl|term= {{logprop|}} |SZ=}} ist {{math|term= x|SZ=}} nicht gebunden, in {{mathl|term= \forall x {{logprop|}} |SZ=}} schon. In einem mathematischen Beweis wird man sich dann eine {{Anführung|feste, aber beliebige|}} Gruppe {{math|term= G|SZ=}} {{Anführung|denken|SZ=,}} und darin ein {{Anführung|festes, aber beliebiges|}} {{mathl|term= x \in G|SZ=.}} Für dieses {{math|term= x|SZ=}} beweist man dann die Aussage, dass wenn {{ Ma:Vergleichskette |xz ||z || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= z \in G|SZ=}} gilt, dass dann {{ Ma:Vergleichskette |x ||e || || || |SZ= }} sein muss. Im Beweis selbst wird nicht über {{math|term= x|SZ=}} quantifiziert, dies steckt gewissermaßen in der gewählten Beliebigkeit drin. Man beweist also eher{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Diese Unschärfe in der Begrifflichkeit ist kaum zu vermeiden, da eine formale Interpretation oder Rekonstruktion dessen, was in der mathematischen Praxis passiert, nie ganz eindeutig ist| |ISZ=.|ESZ= }} die Aussage {{ math/disp|term= {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop|}} |SZ=, }} und betrachtet dies als einen Beweis für die oben notierte Version. Da {{math|term= x|SZ=}} in {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=}} gar nicht oder allenfalls gebunden vorkommt, ist die Ableitbarkeit beider Versionen auch prädikatenlogisch gleichwertig. Insofern spiegelt sich in der Alleinführung im Sukzedens eine wichtiger Aspekt der mathematischen Praxis. |Textart=Beispiel |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2=Gruppentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2osrjjo4uizrjugfdoq09zzocgdjwv 0 65721 785505 758762 2022-08-22T08:50:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Begriffe {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |monotone Abbildung zwischen geordneten Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter den {{ Definitionslink |Prämath= |abstrakten Homomorphiebegriff| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über welchem {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=?}}| |ISZ=|ESZ= }} fallen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zjtxqaz4rbnlbh069gydvuyuejba6s 0 65723 785483 758745 2022-08-22T08:47:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das keine Relationssymbole enthalte. Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiver| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{symbolalphabet|}} |Homomorphismus| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen zwei {{ Definitionslink |Prämath= {{symbolalphabet|}} |Strukturen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bereits ein {{ Definitionslink |Prämath= {{symbolalphabet|}} |Isomorphismus| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dxf1saet1aei6e2il5ocw9wskm9ibmk 0 65725 784802 758261 2022-08-22T07:02:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M|SZ=}} die Menge aller unendlichen Teilmengen von {{math|term= \N_+|SZ=,}} versehen mit der Inklusion als {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und es sei {{mathl|term= [0,1[|SZ=}} das rechtsseitig offene {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Einheitsintervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Kleinergleich-Relation als Ordnung. Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi |M|[0,1[ |T| \sum_{n \not \in T} {{makl| {{op:Bruch|1|2}} |}}^n |SZ=, }} eine bijektive, {{ Definitionslink |Prämath= |ordnungstreue| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung ist, deren Umkehrabbildung nicht ordnungstreu ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen geordneten Mengen |Kategorie2=Theorie der Anordnung der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ngzsz5u5tkbju3rgbksw5tdoxcaesf5 0 65809 779700 751760 2022-08-21T17:09:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das nur aus einer Variablenmenge besteht, die Konstantenmenge und die Mengen der Funktionssymbole und der Relationssymbole seien also leer. Dann ist jede {{ Zusatz/Klammer |text=nichtleere| |ISZ=|ESZ= }} Menge {{math|term= M|SZ=}} unmittelbar eine {{ Definitionslink |Prämath= {{symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und jede Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= {{symbolalphabet|}} |Homomorphismus| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Insbesondere ist jede bijektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{symbolalphabet|}} |Isomorphismus| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nhdepxzqdokb9cuv9adgcer96kio2k9 0 65821 779696 763694 2022-08-21T17:09:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wenn man in der {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Definition |SZ= }} auch Ausdrücke in mehreren freien Variablen zulassen würde, so wären Elemente nur mit sich selbst äquivalent. Betrachten wir dazu den Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette |x ||y || || || |SZ=, }} den wir {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} nennen, und zwei Elemente {{ Ma:Vergleichskette |m |\neq|n || || || |SZ= }} aus {{math|term= M|SZ=.}} In der Interpretation {{math|term= I|SZ=}} sei {{math|term= y|SZ=}} durch {{math|term= m|SZ=}} belegt. Dann gilt {{mathl|term= I {{op:Bruch|m|x}} \vDash {{logprop|}} |SZ=,}} denn dies bedeutet {{ Ma:Vergleichskette |m ||m || || || |SZ=, }} aber {{mathl|term= I {{op:Bruch|n|x}} \not\vDash {{logprop|}} |SZ=,}} denn dies bedeuet {{ Ma:Vergleichskette |n ||m || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dgg6udvfo40tgxs4magg826smjh88q8 0 65840 783740 757382 2022-08-22T04:19:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das nur aus einer Variablenmenge besteht, die Konstantenmenge und die Mengen der Funktionssymbole und der Relationssymbole seien also leer. Zeige{{n Sie}}, dass je zwei Elemente {{mathl|term= m,n \in M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |elementar äquivalent| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 98a8h2odoa7jty111higgklh86n6ucm 0 65851 779694 751742 2022-08-21T17:08:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für das Symbolalphabet {{mathl|term= \{0, ' \}|SZ=}} und die natürlichen Zahlen {{math|term= \N|SZ=}} mit der kanonischen Interpretation sind sämtliche Klassen zur {{ Definitionslink |Prämath= |elementaren Äquivalenz| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einelementig und können auch durch Ausdrücke charakterisiert werden, und zwar wird die Zahl {{math|term= n|SZ=}} durch den Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette |x ||0^{\prime \prime \ldots \prime} || || || |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Strichen eindeutig beschrieben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e6zwz73ow3rodf3iel0p7d631nbqjzp 0 65852 779695 751743 2022-08-21T17:09:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} das Symbolalphabet, das außer Variablen für jedes {{ Ma:Vergleichskette |k |\in| \N_+ || || || |SZ= }} ein einstelliges Relationssymbol {{math|term= R_k|SZ=}} enthält, und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logprop|}}_k || R_k x || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette |M ||\N_+ || || || |SZ=, }} wobei wir das Relationssymbol {{math|term= R_k|SZ=}} durch {{ math/disp|term= R_k^M (n) \text{ genau dann, wenn } n \text{ ein Vielfaches von } k \text{ ist } |SZ= }} interpretieren. Zwei Elemente {{ Ma:Vergleichskette/disp |m |\neq|n |\in| \N || || |SZ= }} können dann nicht {{ Definitionslink |Prämath= |elementar äquivalent| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein, da sie sich nicht gegenseitig teilen können und daher beispielsweise {{mathl|term= R_m^M (m) |SZ=,}} also {{mathl|term= I {{op:Bruch|m|x}} \vDash {{logprop|}}_m |SZ=,}} aber nicht {{mathl|term= R_m^M (n) |SZ=,}} also {{mathl|term= I {{op:Bruch|n|x}} \vDash \neg {{logprop|}}_m |SZ=,}} gilt. Die Äquivalenzklassen sind also einelementig. Es ist aber nicht möglich, diese Klassen durch einen Ausdruck in dieser Sprache zu charakterisieren, da die Gültigkeitsmengen zu jedem Ausdruck entweder leer sind oder unendlich viele Elemente enthalten, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Vielfachklassen/Keine trennenden Ausdrücke/Beispiel/Gemeinsames Vielfaches/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1r45t7r5sfvqj5ydpqdrqupevo0tdxh 0 65897 782644 756422 2022-08-22T01:16:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= [a,+ \infty [|SZ=}} ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und {{ Ma:abb |name=f,g |[a, +\infty [| \R || |SZ= }} seien {{ Definitionslink |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass die {{ Definitionslink |Grenzwerte| |Kontext=unendlich R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Funktionslimes|x|+\infty|f(x)}} |und|term2= {{op:Funktionslimes|x|+\infty|g(x)}} |SZ= }} existieren. Zeige{{n Sie}}, dass folgende Beziehungen gelten. {{ Aufzählung3 |Die Summe {{mathl|term= f+g|SZ=}} besitzt einen Grenzwert für {{mathl|term= x \rightarrow +\infty|SZ=,}} und zwar ist {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|+\infty|(f(x)+g(x))}} = {{op:Funktionslimes|x|+\infty|f(x)}} + {{op:Funktionslimes|x|+\infty|g(x)}} |SZ=. }} |Das Produkt {{mathl|term= f \cdot g|SZ=}} besitzt einen Grenzwert für {{mathl|term= x \rightarrow +\infty|SZ=,}} und zwar ist {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|+\infty |(f(x) \cdot g(x))}} = {{op:Funktionslimes|x|+\infty|f(x)}} \cdot {{op:Funktionslimes|x|+\infty |g(x)}} |SZ=. }} |Es sei {{mathl|term= g(x) \neq 0|SZ=}} für alle {{mathl|term= x \in [a, + \infty [|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Funktionslimes|x|+\infty|g(x)}} \neq 0 |SZ=.}} Dann besitzt der Quotient {{mathl|term= f/g|SZ=}} einen Grenzwert für {{math|term= x \rightarrow +\infty|SZ=,}} und zwar ist {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|+\infty| \frac{f(x)}{ g(x)} }} = \frac{ {{op:Funktionslimes|x|+\infty|f(x)}} }{ {{op:Funktionslimes|x|+\infty|g(x)}} } |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen gegen unendlich |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i1snxsw5ujttsgnb2hzz068p28ovkjx 0 65910 786630 759642 2022-08-22T11:57:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | {\mathcal F} ||{{mengebed|T \subseteq \N_+ | \sum_{n \not\in T} {{op:Bruch|1|n}} \text{ ist eine konvergente Reihe} }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {\mathcal F} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Filter| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \N_+|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Filter |Kategorie2=Theorie der reellen Reihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qgxgk4wy1r48cw790ch56iyhsn27uml 0 65911 786632 759644 2022-08-22T11:57:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ math/disp|term= {\mathcal G} = {{mengebed|T \subseteq \N_+ | \sum_{n \in T} {{op:Bruch|1|n}} \text{ ist eine divergente Reihe} }} |SZ=. }} Ist {{math|term= {\mathcal G} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Filter| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Filter |Kategorie2=Theorie der reellen Reihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} be9va9beodp0gz60j8ymiqkyv9h8ywc 0 65915 779061 763199 2022-08-21T15:29:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} bestehe {{ Zusatz/Klammer |text=neben Variablen| |ISZ=|ESZ= }} aus einem einstelligen Funktionssymbol {{math|term= f|SZ=.}} Die Ausdrucksmenge {{math|term= \Gamma|SZ=}} bestehe aus einem Satz, der inhaltlich besagt, dass eine erfüllende Menge genau {{math|term= n|SZ=}} Elemente besitzen muss, und einen Satz, der besagt, dass die Funktion {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Ein Modell für {{math|term= \Gamma|SZ=}} ist also eine {{math|term= n|SZ=-}}elementige Menge {{math|term= M|SZ=}} zusammen mit einer fixierten {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f^M |M|M || |SZ= }} auf dieser Menge. Eine Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|M || || || |SZ= }} der Form {{ Zusatz/Klammer |text=wir schreiben {{math|term= f|SZ=}} statt {{math|term= f^M|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || \{ m, f(m), f^2(m) {{kommadots|}} f^{k-1} (m) \} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | f^k(m) ||m || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette | f^{i}(m) | \neq|m || || || |SZ= }} für alle {{ mathbed|term= i ||bedterm1= 1 \leq i \leq k-1 ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man Zykel zu {{math|term= f|SZ=}} der Länge {{math|term= k|SZ=.}} Die Menge {{math|term= M|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Vereinigung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Zykeln unterschiedlicher Länge. Zwei Elemente {{ Ma:Vergleichskette | m,n |\in| M || || || |SZ= }} sind genau dann elementar äquivalent, wenn sie beide in einem gleichlangen {{ Zusatz/Klammer |text=aber nicht unbedingt im gleichen| |ISZ=|ESZ= }} Zykel liegen: Einerseits lässt sich die Zykellänge {{math|term= k|SZ=}} erststufig formalisieren, etwa durch {{ math/disp|term= f^kx=x {{logund|}} f^{k-1}x \neq x {{logunddots|}} fx \neq x |SZ=, }} wobei die Potenzen ausgeschrieben werden müssen. Andererseits kann man einfach Automorphismen angeben, indem man aus jedem Zykel {{math|term= Z_j|SZ=}} ein Element {{math|term= m_j|SZ=}} auswählt und dieses auf ein beliebiges Element {{ Ma:Vergleichskette | n_j || \psi(m_j) || || || |SZ= }} eines Zykels gleicher Länge schickt, wobei jeder Zykel genau einmal getroffen wird. Durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi(f^i(m_j)) | {{defeq|}} |f^i( \psi(m_j)) || || || |SZ= }} erhält man einen wohldefinierten Automorphismus. Insbesondere kann man einen Automorphismus konstruieren, der {{math|term= m|SZ=}} auf {{math|term= n|SZ=}} abbildet. Wenn man {{math|term= m|SZ=}} auf {{math|term= n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=elementar äquivalent zu {{math|term= m|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} abbilden möchte, so ist dadurch schon bestimmt, wohin man die Elemente aus dem Zyklel zu {{math|term= m|SZ=}} abbilden muss. Es muss nämlich {{ Ma:Vergleichskette | \psi(f(m)) || f (\psi(m)) || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | \psi(f(f(m))) || f(f (\psi(m))) || || || |SZ=, }} u.s.w. gelten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rzsvhqwd0tcvr9nlb3b7npcy498ry6c 0 65919 780935 755022 2022-08-21T20:31:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein aussagenlogischer Ausdruck der Form {{ math/disp|term= ( ... ) * (...) |SZ= }} gegeben, wobei {{mathl|term= *= {{logund|}}, {{logoder|}}, \rightarrow, \leftrightarrow |SZ=}} ist. Es sei vorausgesetzt, dass die Klammer {{math|term= )|SZ=}} links von {{math|term= *|SZ=}} die linke öffnende Klammer abschließt {{ Zusatz/Klammer |text=wie ist das zu definieren?| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann die Zeichenketten innerhalb der beiden Klammern Aussagen sind, und dass der Gesamtausdruck durch einen dritten Schritt im {{ Definitionslink |Prämath= |rekursiven Aufbau| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Aussagenlogik/Variablenmenge/Junktoren/Definition |SZ= }} der Sprache aus diesen beiden Aussagen entstanden ist. Zeige{{n Sie}}, dass dies ohne die Klammervoraussetzung nicht der Fall sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 47c3tqjhrxatuhkcuk0qdyqskk9bgks 0 65921 783423 757103 2022-08-22T03:26:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |komplexer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=komplex| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Realteil| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieses Skalarproduktes ein {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=reell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3iha0cyqgxdzic9ml8fkorhm9uk84gv 0 65922 781549 399856 2022-08-21T22:13:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Stadt {{mathl|term= S=(0,0)|SZ=}} soll mit den beiden Städten {{mathl|term= T=(a,b)|SZ=}} und {{mathl|term= U=(a,-b)|SZ=}} mit {{mathl|term= a \geq 0, b>0|SZ=}} durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der {{math|term= x|SZ=-}}Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Ebene |Kategorie2=Theorie der Extrema von reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fx5l9fi2q5kuxf9w0oraj5h19t4x6bl 0 65928 780928 755017 2022-08-21T20:30:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p_1 {{kommadots|}} p_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{logprop2||}}_1 {{kommadots|}} {{logprop2|}}_n |SZ=}} Aussagen. Zeige{{n Sie}} durch Induktion über den Aufbau der aussagenlogischen Sprache, dass man zu jeder Aussage {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} in den gegebenen Variablen eine Aussage erhält, wenn man jedes Vorkommen von {{math|term= p_i |SZ=}} in {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} durch {{math|term= {{logprop2|}}_i|SZ=}} ersetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 153cfqu692n384k390bhmbaxj600ih2 0 66029 780106 773171 2022-08-21T18:11:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein wichtiges Prinzip, Mengen zu definieren, ist das der {{Stichwort|rekursiven Definition|msw=Rekursive Definition|SZ=.}} Eine rekursive Definition besteht aus zwei Sorten von Regeln. (1) Einerseits gewisse Startregeln, die sagen, was direkt zu der Menge gehört, und (2) Rekursionsregeln {{ Zusatz/Klammer |text=Generierungsregeln| |ISZ=|ESZ=, }} die die Form einer Bedingung haben, und besagen, dass wenn gewisse Objekte zu der Menge gehören, und wenn neue Objekte aus diesen Objekten in bestimmter Weise gebildet sind, dass dann diese neuen Objekte ebenfalls dazu gehören {{ Zusatz/Klammer |text=die dritte stillschweigende Bedingung an eine rekursive Definition ist, dass es keine weitere Möglichkeit gibt, zu der Menge zu gehören, außer den in (1) und (2) genannten| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Alphabet/Wörter/Rekursive Definition/Beispiel|| }} Natürlich kann man {{mathl|term= abbac|SZ=}} sofort ansehen, dass es sich um eine linear angeordnete Zeichenreihe über {{mathl|term= \{a,b,c\}|SZ=}} handelt, und der rekursive Nachweis scheint übertrieben pedantisch zu sein. Bei komplexer gebildeten Mengen ist aber die rekursive Definition unerlässlich, vor allem auch deshalb, da sie ermöglicht, Eigenschaften der Elemente einer Menge über den rekursiven Aufbau nachzuweisen. {{ inputbemerkung |Rekursive Definition/Beweisprinzip/Bemerkung||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Ein Spezialfall dieses Beweisprinzips ist das Prinzip der vollständigen Induktion für natürliche Zahlen. Die natürlichen Zahlen sind rekursiv durch das Startelement {{math|term= 0|SZ=}} und eine einzige Rekursionsregel, nämlich die Nachfolgerregel festgelegt: Wenn {{math|term= n|SZ=}} eine natürliche Zahl ist, so ist auch der Nachfolger {{ Ma:Vergleichskette |n' ||n+1 || || || |SZ= }} von {{math|term= n|SZ=}} eine natürliche Zahl. {{ inputbemerkung |Rekursive Definition/Abbildung/Definition/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der rekursiv definierten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ge32xj7pddyvmrhoulr1x309swp3qw5 0 66030 778935 548306 2022-08-21T15:09:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Menge der Wörter über einem Alphabet {{math|term= A|SZ=}} kann man auch folgendermaßen rekursiv definieren. {{ Aufzählung2 |{{math|term= \emptyset|SZ=}} ist ein Wort über {{math|term= A|SZ=.}} |Wenn {{math|term= x|SZ=}} ein Wort ist und {{mathl|term= a \in A|SZ=}} ein Buchstabe, so ist auch {{math|term= xa|SZ=}} ein Wort. }} Hier repräsentiert {{math|term= x|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine Variable| |ISZ=|ESZ= }} ein beliebiges schon konstruiertes Wort. Dabei ist {{math|term= \emptyset a|SZ=}} als {{math|term= a|SZ=}} zu lesen, so dass die beiden erlaubten Konstruktionsschritte {{ Zusatz/Klammer |text=also der Anfangsschritt und der Rekursionsschritt| |ISZ=|ESZ= }} sichern, dass die einzelnen Symbole aus {{math|term= A|SZ=}} Wörter sind. Wenn das Alphabet durch {{ Ma:Vergleichskette |A ||\{a,b,c\} || || || |SZ= }} gegeben ist, so würde der rekursive Nachweis, dass {{mathl|term= abbac|SZ=}} ein Wort ist, folgendermaßen gehen. {{ Aufzählung6 |Wegen der Anfangsbedingung ist {{math|term= \emptyset|SZ=}} ein Wort. |Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist {{ Ma:Vergleichskette | \emptyset a || a || || || |SZ= }} ein Wort. |Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist {{math|term= ab|SZ=}} ein Wort {{ Zusatz/Klammer |text=hier ist also {{ Ma:Vergleichskette |x ||a || || || |SZ= }} das schon nachgewiesene Wort und der Buchstabe {{math|term= b|SZ=}} wird angehängt| |ISZ=|ESZ=. }} |Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist {{mathl|term= abb|SZ=}} ein Wort {{ Zusatz/Klammer |text=hier ist also {{ Ma:Vergleichskette |x ||ab || || || |SZ= }} das schon nachgewiesene Wort und der Buchstabe {{math|term= b|SZ=}} wird angehängt| |ISZ=|ESZ=. }} |Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist {{mathl|term= abba|SZ=}} ein Wort {{ Zusatz/Klammer |text=hier ist also {{ Ma:Vergleichskette |x ||abb || || || |SZ= }} das schon nachgewiesene Wort und der Buchstabe {{math|term= a|SZ=}} wird angehängt| |ISZ=|ESZ=. }} |Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist {{mathl|term= abbac|SZ=}} ein Wort {{ Zusatz/Klammer |text=hier ist also {{ Ma:Vergleichskette | x ||abba || || || |SZ= }} das schon nachgewiesene Wort und der Buchstabe {{math|term= c|SZ=}} wird angehängt| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rekursiv definierten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fcxx54xlkoszsxwaortmfuw4su17kde 0 66042 778954 688784 2022-08-21T15:12:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine Ableitungskette für {{ math/disp|term= ( (p) {{logund|}} (r) ) \rightarrow ( ( \neg (q) ) {{logoder|}} (r) ) |SZ= }} sieht folgendermaßen aus. {{ Aufzählung7 | {{math|term= p|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Aussagenvariable| |ISZ=|ESZ=, }} |{{math|term= q|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Aussagenvariable| |ISZ=|ESZ=, }} |{{math|term= r|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Aussagenvariable| |ISZ=|ESZ=, }} | {{mathl|term= \neg (q)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Negation auf 2| |ISZ=|ESZ=, }} |{{mathl|term= (p) {{logund|}} (r) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Konjunktion auf 1 und 3| |ISZ=|ESZ=, }} |{{mathl|term= ( \neg (q) ) {{logoder|}} (r)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Disjunktion auf 4 und 3| |ISZ=|ESZ=, }} | {{mathl|term= ( (p) {{logund|}} (r) ) \rightarrow ( ( \neg (q) ) {{logoder|}} (r) )|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Implikation auf 5 und 6| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Sprache der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jwpkuh5ey5ckgqjzqcoy4vltzwdprf4 0 66044 786165 392454 2022-08-22T10:40:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= S=\{A,B,C\}|SZ=.}} Betrachte{{n Sie}} die rekursiv definierte Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq S^*|SZ=,}} die wie folgt festgelegt wird. {{ Aufzählung2 |Jedes Element aus {{math|term= S|SZ=}} gehört zu {{math|term= T|SZ=.}} |Wenn {{mathl|term= X,Y \in T|SZ=}} sind, so gehört auch {{mathl|term= XXY|SZ=}} zu {{math|term= T|SZ=.}} }} Bestimme{{n Sie}}, welche der folgenden Wörter zu {{math|term= T|SZ=}} gehören. {{ math/disp|term= A,\, ABABC,\, AABBB,\, AABAABA,\, AAAA,\, AABABAAB,\, AAAAAABBB |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung4 |Jedes Element aus {{math|term= T|SZ=}} besitzt eine ungerade Wortlänge. |Jede ungerade Zahl kommt als Wortlänge eines Elements aus {{math|term= T|SZ=}} vor. |Es gibt Elemente in {{math|term= T|SZ=,}} die auf mehrfache Weise generiert werden können. |Jedes Wort {{mathl|term= t \in T\setminus S|SZ=}} beginnt mit zwei gleichen Buchstaben. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rekursiv definierten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0s8bt8zzwzkehjho9wkzy8npewxn5di 0 66049 780865 754965 2022-08-21T20:19:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} zu jeder Aussage {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=}} die Menge {{mathl|term= {{opsyn|Var| {{logprop|}} |tief=|hoch=}}|SZ=}} der in {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} vorkommenden {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ipnijhst6bp32j6kpu7lqsg78qf8x8a 0 66051 780866 754966 2022-08-21T20:19:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Interpretation einer Aussage| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=}} nur von der {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrheitsbelegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der in {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} vorkommenden {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} abhängt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ra4pf6j5je15qtwgtunn5dmhy9uctlg 0 66054 780911 755007 2022-08-21T20:27:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Beziehung {{ math/disp|term= {{logprop|}} \sim {{logprop2|}} , \text{ falls } ({{logprop|}}) \leftrightarrow ({{logprop2|}}) \text{ allgemeingültig ist} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= L^V|SZ=}} definiert. Zeige{{n Sie}}, dass sowohl alle {{ Definitionslink |Tautologien| |Kontext=semantisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als auch alle Kontradiktionen eine {{ Definitionslink |Äquivalenzklasse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. Wie viele Äquivalenzklassen besitzt diese Äquivalenzrelation, falls {{math|term= V|SZ=}} {{math|term= n|SZ=}} Elemente besitzt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ip0y3byu9it3xb45eshwxrcsidnecys 0 66055 780913 755009 2022-08-21T20:27:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \sim|SZ=}} die in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Aussagenlogik/Semantische Äquivalenz als Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} diskutierte Äquivalenzrelation auf {{math|term= L^V|SZ=}} und sei {{math|term= Q|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= \lambda|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrheitsbelegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dies eine wohldefinierte Abbildung auf {{math|term= Q|SZ=}} induziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 65heb74tp7y7iedghiv49p77u6socr5 0 66056 780912 755008 2022-08-21T20:27:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \sim|SZ=}} die in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Aussagenlogik/Semantische Äquivalenz als Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} diskutierte Äquivalenzrelation auf {{math|term= L^V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklasse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= [{{logprop|}}]|SZ=}} einen Repräsentanten in {{ Definitionslink |Prämath= |disjunktiver Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{zusatz1|}}} }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ma9bxr8admp49c5kw52wxpollhsa0s 0 66058 786369 420824 2022-08-22T11:14:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob für vier Punkte {{mathl|term= A,B,C,X|SZ=}} in der euklidischen Ebene {{math|term= \R^2|SZ=}} stets die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(A,B) +d(B,C) |\leq|d(A,X)+ d(B,X) +d(C,X) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Ebene |Kategorie2=Dreiecksgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bx67ht4wjiufpf0h4ch86428zfqfqh6 0 66059 781562 405353 2022-08-21T22:15:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Dreieck soll die Grundseite {{mathl|term= [0,s]|SZ=}} und die Höhe {{math|term= h|SZ=}} besitzen {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=s,h >0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Für welchen Höhenfußpunkt {{math|term= x|SZ=}} besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der Extrema von reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rjxrglj6fqe761kf0rdsfaj7ps8lfqf 0 66071 780894 754991 2022-08-21T20:24:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Konstruiere eine Ausdrucksmenge {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^V|SZ=,}} die abgeschlossen unter Ableitungen und nicht {{ Definitionslink |Prämath= |maximal widerspruchsfrei| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, die aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede Aussagenvariable {{math|term= p|SZ=}} sowohl {{math|term= (\Gamma \cup \{p\})^\vdash|SZ=}} als auch {{math|term= (\Gamma \cup \{\neg p\})^\vdash|SZ=}} maximal widerspruchsfrei ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c8vlpokwtz61fg70pao49ex4uq5px66 0 66073 780874 754970 2022-08-21T20:21:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man aus {{mathl|term= \Gamma=\{p\}|SZ=}} unendlich viele Aussagen ableiten kann, die keine {{ Definitionslink |Prämath= |Tautologien| |Kontext=syntaktisch, Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wgzhuw2e8dz7y4zh3yejk9i2rgd8s6 0 66074 780857 457444 2022-08-21T20:18:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^V|SZ=}} eine widerspruchsfreie, aber nicht maximal widerspruchsfreie Aussagenmenge, die unter Ableitungen abgeschlossen sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Gamma|SZ=}} nicht durch die Hinzunahme von endlich vielen Aussagen zu einer maximal widerspruchsfreien Aussagenmenge aufgefüllt werden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ocki7tnxf98ol6mf6lyuxwmk79k39pd 0 66086 781078 690616 2022-08-21T20:55:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Billardtisch sei {{math|term= 127|SZ=}} cm breit und {{math|term= 254|SZ=}} cm lang, die Kugeln haben einen Radius von {{math|term= 2|SZ=}} cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Diese Aufgabe ergibt auch Sinn, wenn die Löcher volle Kreise um die Eckpunkte sind, hat aber ein anderes Ergebnis| |ISZ=.|ESZ= }} mit Radius {{math|term= 5|SZ=}} cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei. Berechne{{n Sie}} für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten? Eine Kugel soll nun direkt {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln| |ISZ=|ESZ= }} in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren {{Anführung|Äquator|}} durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt: a) (63.5, 63.5) b) (100, 100) c) (63.5, 192,5) d) (63.5, 10) Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2=Billard-Mathematik |Kategorie3=Winkeltheorie |Objektkategorie= |Stichwort=Billard |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} npmrvtuk7bb4tmlvpe6qh85dylz21av 0 66087 784779 758244 2022-08-22T06:58:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphie| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{math|term= ]0,1[|SZ=}} und {{math|term= \R|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Homöomorphismen zwischen metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pq262e602sakjufp8vhcjxqni953yq5 0 66090 780483 748890 2022-08-21T19:15:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |offene Einheitsintervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= ]0,1[|SZ=}} und das {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Einheitsintervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= [0,1 ]|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Homöomorphismen zwischen metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mpoxg1005qwect4kttxy8ho0jqtvcn7 0 66096 784248 757887 2022-08-22T05:44:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_{\geq 0} |\R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |konkave Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |f(0) ||0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f(t) |>|0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |t |>|0 || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=d |M \times M|\R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{mathl|term= f \circ d|SZ=}} eine Metrik ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} itjh7rzap34ybihv60xsbphy11co9du 0 66097 784835 746617 2022-08-22T07:07:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Parabel, also der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Quadratfunktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|x^2 |SZ=. }} Entscheide{{n Sie}}, ob auf {{math|term= M|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |d_1((x_1,y_1), (x_2,y_2)) | {{defeq|}} | {{op:Betrag|x_1 -x_2|}} || || || |SZ= }} bzw. durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |d_2((x_1,y_1), (x_2,y_2)) | {{defeq|}} | {{op:Betrag|y_1 -y_2|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Metrik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6uwvucs64y4ey4xcw2x63cnn0jsp9fu 0 66098 786614 420822 2022-08-22T11:54:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Definiere auf der Einheitssphäre, also der Kugeloberfläche {{ math/disp|term= S= {{mengebed|(x,y,z) \in \R^3| x^2+y^2+z^2 {{=}} 1}} |SZ=, }} die {{Anführung|geodätische Metrik}}, bei der der Abstand zweier Punkte {{mathl|term= P,Q \in S|SZ=}} durch die Länge der kürzesten Verbindung auf der Oberfläche gegeben ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass es sich um eine Metrik handelt. c) Welchen Abstand besitzen die Punkte {{mathl|term= (0,0,1)|SZ=}} und {{mathl|term= (1,0,0)|SZ=}} in der euklidischen und in der geodätischen Metrik? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e2acr4kcsmgg71m142578mztf7ju9ur 0 66099 781743 392656 2022-08-21T22:46:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |K || {{mengebed|(x,y) \in \R^2|x^2 +y^2 {{=}} 1}} || || || |SZ= }} der Einheitskreis. Zeige{{n Sie}}, dass man auf {{math|term= K|SZ=}} eine Metrik definieren kann, indem man {{mathl|term= d(P,Q)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=P,Q \in K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} ansetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2=Winkeltheorie |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bm9lv4ldlkdqzhuh23srbov93rbqet 0 66102 780927 755016 2022-08-21T20:29:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p_1 {{kommadots|}} p_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{logprop2||}}_1 {{kommadots|}} {{logprop2|}}_n |SZ=}} Aussagen. Zeige{{n Sie}}, dass man, wenn man in einer allgemeingültigen Aussage {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} jedes Vorkommen von {{math|term= p_i|SZ=}} durch {{math|term= {{logprop2|}}_i |SZ=}} ersetzt, wieder eine allgemeingültige Aussage erhält. Zeige{{n Sie}}, dass die Umkehrung davon nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nsqiz9hynrqbtzp59mx4xh3ygs0dd5w 0 66103 780929 755018 2022-08-21T20:30:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p_1 {{kommadots|}} p_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{logprop2||}}_1 {{kommadots|}} {{logprop2|}}_n |SZ=}} Aussagen. Zeige{{n Sie}}, dass man, wenn man in einer {{ Definitionslink |Prämath= |syntaktischen Tautologie| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} jedes Vorkommen von {{math|term= p_i|SZ=}} durch {{math|term= {{logprop2|}}_i |SZ=}} ersetzt, wieder eine Tautologie erhält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cyh6sfg67mwxbdgdsn4f1a8q3vbu1sr 0 66104 780921 755014 2022-08-21T20:28:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass folgende rekursive Definition zur gleichen Menge an syntaktischen Tautologien führt: Die Grundtautologien werden nur mit {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} formuliert. Neben dem Modus ponens gibt es die Ersetzungsregel, d.h. wenn {{math|term= \vdash {{logprop|}} |SZ=,}} so ist auch {{math|term= \vdash {{logprop|}}' |SZ=,}} wobei {{math|term= {{logprop|}}' |SZ=}} ein Ausdruck ist, der entsteht, wenn man in {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} Aussagenvariablen durch beliebige Aussagen ersetzt. Zeige{{n Sie}}, dass ohne diese Ersetzungsregel nicht die gleiche Menge beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ib1plwu96mwivvrqaqyz3vwyocv491z 0 66146 778489 548790 2022-08-21T12:10:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Bei {{ Ma:Vergleichskette |w ||0 || || || |SZ= }} ist die Aussage richtig. Sei also {{ Ma:Vergleichskette |w |\neq|0 || || || |SZ= }} und damit auch {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|w|}} |\neq|0 || || || |SZ=. }} Damit hat man die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |0 |\leq|{{op:Skalarprodukt| v - \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}} }{ {{op:Norm|w|}}^2 } w| v - \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}} }{ {{op:Norm|w|}}^2 } w }} || {{op:Skalarprodukt|v|v}} - \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}} }{ {{op:Norm|w|}}^2 } {{op:Skalarprodukt|w|v}} - \frac{ {{op:Komplexe Konjugation|{{op:Skalarprodukt|v|w}}||}} }{ {{op:Norm|w|}}^2 } {{op:Skalarprodukt|v|w}} + \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}} {{op:Komplexe Konjugation|{{op:Skalarprodukt|v|w}} }} }{ {{op:Norm|w|}}^4 } {{op:Skalarprodukt|w|w}} || {{op:Skalarprodukt|v|v}} - \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}} }{ {{op:Norm|w|}}^2 } {{op:Komplexe Konjugation| {{op:Skalarprodukt|v|w}} }} - \frac{ {{op:Komplexe Konjugation|{{op:Skalarprodukt|v|w}}||}} }{ {{op:Norm|w|}}^2 } {{op:Skalarprodukt|v|w}} + \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}} {{op:Komplexe Konjugation|{{op:Skalarprodukt|v|w}} }} }{ {{op:Norm|w|}}^2 } || {{op:Skalarprodukt|v|v}} - \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}} {{op:Komplexe Konjugation| {{op:Skalarprodukt|v|w}} }} }{ {{op:Norm|w|}}^2 } || {{op:Skalarprodukt|v|v}} - \frac{ {{op:Betrag| {{op:Skalarprodukt|v|w}} }}^2 }{ {{op:Norm|w|}}^2 } |SZ=. }} Multiplikation mit {{mathl|term= {{op:Norm|w|}}^2 |SZ=}} und Wurzelziehen ergibt das Resultat. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qk94d1tf2pei3c4injfdqz7plerif1d 0 66148 778491 752038 2022-08-21T12:10:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des {{ Definitionslink |Skalarprodukts| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die Multiplikativität folgt aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\lambda v|}}^2 || {{op:Skalarprodukt|\lambda v| \lambda v}} || \lambda {{op:Skalarprodukt| v| \lambda v}} ||\lambda {{op:Komplexe Konjugation|\lambda|}} {{op:Skalarprodukt| v| v}} || {{op:Betrag|\lambda||}} ^2 {{op:Norm|v|}}^2 |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm|v+w|}}^2 || {{op:Skalarprodukt|v+w|v+w}} || {{op:Norm|v|}}^2 + {{op:Norm|w|}}^2 + {{op:Skalarprodukt|v|w}} + {{op:Komplexe Konjugation| {{op:Skalarprodukt|v|w}} |}} || {{op:Norm|v|}}^2 + {{op:Norm|w|}}^2 +2 {{op:Realteil| {{op:Skalarprodukt|v|w}}||}} |\leq| {{op:Norm|v|}}^2 + {{op:Norm|w|}}^2 +2 {{op:Betrag| {{op:Skalarprodukt|v|w}}||}} |SZ= }} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Skalarprodukt/K/Cauchy Schwarz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dies {{mathl|term= \leq {{makl| {{op:Norm|v|}} + {{op:Norm|w|}} |}}^2|SZ=.}} Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qgwlp3ov0hjl6nb9m42zygfkhpfsrzr 0 66154 780884 754980 2022-08-21T20:22:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Aussagenvariablenmenge {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Regeln für die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitungsbeziehung| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{mathlk|term= {{logprop|}}, {{logprop2|}}, {{logprop3|}}, {{logprop|}}_i |SZ=}} Aussagen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung7 |Konjunktionsregel: {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop}} {{logund|}} {{logprop2|}} |SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop}} |SZ=}} und {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop2}} |SZ=.}} |Kettenschlussregel: Wenn {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=}} und {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop3|}} |SZ=,}} dann auch {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} \rightarrow {{logprop3|}} |SZ=.}} |Modus ponens: Wenn {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} |SZ=}} und {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=,}} dann ist auch {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop2|}} |SZ=.}} |Wenn {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} |SZ=,}} so auch {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop|}} |SZ=.}} |Wenn {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}}_1 {{kommadots|}} \Gamma \vdash {{logprop|}}_n |SZ=}} und {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}}_1 {{logunddots|}} {{logprop|}}_n \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=,}} dann auch {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop2|}} |SZ=.}} |Widerspruchsregel: Wenn {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} |SZ=}} und {{mathl|term= \Gamma \vdash \neg {{logprop|}} |SZ=,}} dann auch {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop2|}} |SZ=.}} |Fallunterscheidungsregel: Wenn {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=}} und {{mathl|term= \Gamma \vdash \neg {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=,}} dann auch {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop2|}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ahay90wu7wrnv7mc7nicoh2odftdp73 0 66155 780883 754979 2022-08-21T20:22:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma || \{ p, \neg q, r \rightarrow s \} |\subseteq| L^V || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=p,q,r,s|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Welche der folgenden Aussagen lassen sich aus {{math|term= \Gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ableiten| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} {{ math/disp|term= p \rightarrow q,\, \neg p \rightarrow q,\, p \rightarrow \neg q,\, \neg p \rightarrow \neg q,\, r \rightarrow q,\, {{makl| r \rightarrow q |}} \rightarrow \neg p, \, {{makl| s \rightarrow p |}} \rightarrow {{makl| r \rightarrow \neg q |}} , \, {{makl| \neg q \rightarrow \neg p |}} \rightarrow s |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8secutorlrf53oo9oewn3r8hmhrhmw2 0 66159 780876 754972 2022-08-21T20:21:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitungsbeziehung| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Folgerungsbeziehung| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Gamma \vDash {{logprop|}} |SZ=}} impliziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9bw905i0dd2w3glws6urf47m62o4ilp 0 66162 785982 759119 2022-08-22T10:10:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängende| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge {{mathl|term= U \subseteq \R^2|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Abschluss| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=}} zusammenhängend ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie2=Topologie von euklidischen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} itc3h0fzbw7tmeir4x2llnecc05pluo 0 66163 785983 759120 2022-08-22T10:10:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme den {{ Definitionslink |Prämath= |Abschluss| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Menge {{mathl|term= T= {{op:Offener Ball|0|1}} \cap \Q^2|SZ=}} in {{math|term= \R^2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie von euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dk9nngfsryqufgvyzg748a5yebh88qq 0 66164 784227 736016 2022-08-22T05:40:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| M || || || |SZ= }} eine Teilmenge in einem {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} für den {{ Definitionslink |Prämath= |Abschluss| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T |SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \overline{T} || \bigcap_{T \subseteq A \subseteq M, \, A \text{ abgeschlossen} } A || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ngzaq9ytmlxwmb84kpptqoiuy4imv7e 0 66172 780903 392994 2022-08-21T20:25:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass aus {{mathl|term= \vdash {{logprop|}}_1 {{kommadots|}} \vdash {{logprop|}}_n |SZ=}} und {{mathl|term= \vdash {{logprop|}}_1 {{logunddots|}} {{logprop|}}_n \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=}} die Ableitbarkeit {{mathl|term= \vdash {{logprop2|}} |SZ=}} folgt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a7bjledkm0tvbddv54k440gddtlef4z 0 66173 780904 461637 2022-08-21T20:26:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine Regel der Form Wenn {{mathl|term= \vdash {{logprop|}} |SZ=,}} dann {{mathl|term= \vdash {{logprop2|}} |SZ=}} gelten kann, ohne dass {{mathl|term= \vdash {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} psr9tcmx7bx14nh1ofxzni5yp6pube3 0 66237 785596 736500 2022-08-22T09:05:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Abschluss| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=}} in {{math|term= \R|SZ=}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Topologie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxq2agqfnlwmdcxb6xj4tvq8ggignth 0 66238 784246 736017 2022-08-22T05:43:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Rand| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{{T|T}}}|SZ=}} gleich dem Durchschnitt von {{ mathkor|term1= {{op:Topologischer Abschluss|{{{T|T}}}|}} |und|term2= {{op:Topologischer Abschluss| {{{M|M}}} \setminus {{{T|T}}} }} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rand |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p0lpxc3v3bme1eao3a102zqm67ss2q8 0 66241 779898 752056 2022-08-21T17:39:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{Mengebed| {{op:Bruch|1|n}} |n \in \N_+ }} \cup \{0\} || || || |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der von {{math|term= \R|SZ=}} induzierten Metrik| |ISZ=|ESZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |T ||{{Mengebed| {{op:Bruch|1|n}} |n \in \N_+ }} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |a ||0 || || || |SZ=, }} der ein {{ Definitionslink |Prämath= |Berührpunkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} ist. Eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |T|L || |SZ= }} in einen metrischen Raum {{math|term= L|SZ=}} ist dasselbe wie eine Folge in {{math|term= L|SZ=,}} da ja einfach jedem {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} ein Element {{ Ma:Vergleichskette | x_n || f( {{op:Bruch|1|n}}) | \in |L || || || || |SZ= }} zugeordnet wird. Sei {{ Ma:Vergleichskette | b |\in| L || || || |SZ=. }} Dann besitzt die Abbildung {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= 0|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grenzwert| |Kontext=mr abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= b|SZ=}} genau dann, wenn die Folge gegen {{math|term= b|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Stammbruchraum |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5qe6p7bbswn6fo9ndth78sv31qoztsz 0 66243 780882 754978 2022-08-21T20:22:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma =\{ p, \neg q \rightarrow r \} \subseteq L^V|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=p,q,r|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Welche der folgenden Aussagen lassen sich aus {{math|term= \Gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ableiten| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} {{ math/disp|term= p \rightarrow q,\, \neg q \rightarrow p ,\, \neg p \rightarrow r,\, \neg q \rightarrow r {{logund|}} p ,\, \neg r \rightarrow q,\, r \rightarrow {{makl|q \rightarrow \neg p|}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} izarpbuiu8c2886zvo8xovwd2hqkydd 0 66257 780898 754997 2022-08-21T20:25:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den {{Stichwort|Endlichkeitssatz für die Aussagenlogik|SZ=:}} Wenn die Aussage {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} aus der Aussagenmenge {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |folgt| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dann gibt es eine endliche Teilmenge {{mathl|term= \Gamma_0 \subseteq \Gamma|SZ=,}} aus der diese Aussage folgt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3grnabpigpgpyvxxwv1r9f6mx2yt4k9 0 66266 783325 757019 2022-08-22T03:09:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= T \subseteq \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |kompakte Teilmenge| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=f |T|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einen {{ Definitionslink |metrischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |gleichmäßig stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iej6w3manf0n7t3t1gf9acnl90gnpdn 0 66269 784243 757883 2022-08-22T05:43:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} mit dem Grenzwert {{math|term= x|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || {{mengebed|x_n|n \in \N}} \cup \{x\} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der {{ Definitionslink |Prämath= |induzierten Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der vollständigen metrischen Räume |Kategorie2=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5q2b38uubyjqas8mweyctn8gbjzxjvx 0 66270 781399 755421 2022-08-21T21:48:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |wachsende| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f'(x) |\leq|c || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x \in \R|SZ=}} und ein {{ Ma:Vergleichskette | c |<| 1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |starke Kontraktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lipschitz-stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kkxga4g557su50pnmb1q1xh0w8ce2kg 0 66271 782165 736728 2022-08-21T23:56:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_{\leq 0} |\R_{\leq 0} |x| e^x -1 |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= 0 |SZ=}} der einzige {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Lipschitz-stetig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Lipschitz-Konstante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f |SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |starke Kontraktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem Startwert {{ Ma:Vergleichskette | x_0 |\in| \R_{\leq 0} || || || |SZ= }} die rekursiv definierte Folge {{ Ma:Vergleichskette | x_{n+1} | {{defeq|}} | f(x_n) || || || |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lipschitz-stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie3=Der Banachsche Fixpunktsatz |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rd8h4sdl4yksqoxjkxrlhsyfn1ba0cr 0 66399 786170 458619 2022-08-22T10:41:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für Punkte {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} in der Ebene bedeute {{mathl|term= R(A,B,C)|SZ=}} die Rechtwinkligkeit des durch {{math|term= A,B,C|SZ=}} gegebenen Dreiecks an der Ecke {{math|term= A|SZ=}} und {{mathl|term= S(A,B,C) |SZ=}} die pythagoreische Längenbeziehung. Betrachte die beiden formalen Aussagen {{ math/disp|term= \forall A \forall B \forall C (R(A,B,C) \longrightarrow S(A,B,C)) |SZ= }} und {{ math/disp|term= \forall A \forall B \forall C R(A,B,C) \longrightarrow \forall A \forall B \forall C S(A,B,C) |SZ=. }} Welche ist (sind) eine Formalisierung des Satzes von Pythagoras, welche ist (sind) wahr? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mx5pbukahgbkda76g7imjfd3wqjhod6 0 66400 782650 756428 2022-08-22T01:17:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erläutere den Unterschied zwischen {{mathl|term= G=(V,K,F_n, n \in \N_+)|SZ=}} und {{mathl|term= A=V \cup K \cup \bigcup_{n \in \N_+} F_n |SZ=}} in {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Rekursiv definierte Termmenge/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 28ohzhk8cqo9vki746r1s30j9l4cdov 0 66441 785518 758774 2022-08-22T08:52:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |erststufige Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das aus den Variablen {{mathl|term= x,y,z|SZ=,}} den Konstanten {{mathl|term= 0,c |SZ=,}} dem einstelligen Funktionssymbol {{math|term= F|SZ=,}} den zweistelligen Funktionssymbolen {{math|term= \alpha, \beta|SZ=}} und dem zweistelligen Relationssymbol {{mathl|term= R|SZ=}} bestehe. Überprüfe{{n Sie}}, ob die folgenden Wörter zur Sprache {{math|term= L^ {{symbolalphabet|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei korrekter Klammerung| |ISZ=|ESZ= }} gehören. {{ Aufzählung8 | {{mathl|term= Fx|SZ=,}} | {{mathl|term= \forall x {{makl| Fx {{=|}} c |}} |SZ=,}} | {{mathl|term= x=w|SZ=,}} | {{mathl|term= {{makl| Fx {{=|}} c |}} \rightarrow {{makl| \alpha|}}|SZ=,}} | {{mathl|term= {{makl| Fx {{=|}} c |}} \rightarrow {{makl| \neg {{makl| \exists y {{makl| Fx {{=|}} c |}} |}} |}} |SZ=,}} | {{mathl|term= R0|SZ=,}} | {{mathl|term= {{makl| \forall z {{makl| R0x |}} |}} {{logund|}} {{makl| \neg {{makl| \beta \alpha y z y {{=|}} Rcz |}} |}} |SZ=,}} | {{mathl|term= {{makl| \forall z {{makl| R0x |}} |}} {{logund|}} {{makl| \neg {{makl| \beta \alpha y z y {{=|}} \beta cz |}} |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} coy05q5cgmgopnrpjvszjl27venyp3j 0 66442 785519 758775 2022-08-22T08:52:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |erststufige Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das aus den Variablen {{mathl|term= x,y,z|SZ=,}} den Konstanten {{mathl|term= 0,1 , 2 |SZ=,}} den einstelligen Funktionssymbolen {{math|term= F,G|SZ=,}} den zweistelligen Funktionssymbolen {{math|term= \alpha, \beta|SZ=,}} den einstelligen Relationssymbolen {{math|term= P,Q|SZ=}} und dem zweistelligen Relationssymbol {{mathl|term= R|SZ=}} bestehe. Überprüfe{{n Sie}}, ob die folgenden Wörter zur Sprache {{math|term= L^{{symbolalphabet|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei korrekter Klammerung| |ISZ=|ESZ= }} gehören. {{ Aufzählung8 | {{mathl|term= Fx=P2|SZ=,}} | {{mathl|term= Fx=G1|SZ=,}} | {{mathl|term= \forall x {{makl| 0 {{=|}} 1 |}} |SZ=,}} | {{mathl|term= {{makl| \beta 12 {{=|}} 22 |}} \rightarrow {{makl| Q0 |}}|SZ=,}} | {{mathl|term= {{makl| Fx {{=|}} 1 |}} \rightarrow {{makl| \neg {{makl|G2 {{=|}} 0 |}} |}} |SZ=,}} | {{mathl|term= \exists 0 {{makl| P0 |}} |SZ=,}} | {{mathl|term= {{makl| \exists x {{makl| R0x |}} |}} {{logund|}} {{makl| \neg {{makl| \alpha \beta 012 {{=|}} Rcz |}} |}} |SZ=,}} | {{mathl|term= {{makl| R \alpha 0x G y |}} {{logund|}} {{makl| \neg Q1 |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2aw639lv6i1v7p1y77dumjcdrsc7tgz 0 66448 778721 762648 2022-08-21T12:45:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_n |SZ=}} die Komponentenfunktionen von {{math|term= F |SZ=}} und {{mathl|term= \gamma_1 {{kommadots|}} \gamma_n |SZ=}} die Komponentenfunktionen von {{math|term= \gamma |SZ=}} bezüglich einer fixierten {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Dann gilt mit der Substitution {{ Ma:Vergleichskette | t || g(s) || || || |SZ= }} unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \int_\gamma F || \sum_{i {{=}} 1}^n \int_a^b F_i {{makl| \gamma_1(t) {{kommadots|}} \gamma_n(t) |}} \cdot \gamma_i'(t)dt || \sum_{i {{=}} 1}^n \int_c^d F_i {{makl| \gamma_1(g(s) ) {{kommadots|}} \gamma_n( g(s) ) |}} \cdot \gamma_i'(g(s)) \cdot g'(s) ds || \sum_{i {{=}} 1}^n \int_c^d F_i {{makl| \tilde{\gamma}_1(s) {{kommadots|}} \tilde{\gamma}_n(s) |}} \cdot \tilde{\gamma}_i'(s) ds || \int_{\tilde{\gamma} } F |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e0wse053saoshs13mtny6pphxmqri4j 0 66462 780855 754958 2022-08-21T20:17:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\N|\Z || |SZ= }} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(n) | {{defeq|}} | \begin{cases} {{op:Bruch|n|2}}\, , \text{ falls } n \text { gerade}\, , \\ - {{op:Bruch|n+1|2}}\, , \text{ falls } n \text { ungerade}\, ,\end{cases} || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi^{-1}|SZ=.}} Auf {{math|term= \Z|SZ=}} seien die zweistelligen Funktionen {{ mathkor|term1= \circ |und|term2= \heartsuit |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |m \circ n | {{defeq|}} | \varphi (\varphi^{-1} (m) + \varphi^{-1} (n)) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |m \heartsuit n | {{defeq|}} | \varphi (\varphi^{-1} (m) \cdot \varphi^{-1} (n)) || || || |SZ= }} gegeben, wobei {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} die üblichen Verknüpfungen auf {{math|term= \N|SZ=}} seien. Die Menge {{math|term= \Z|SZ=}} zusammen mit diesen Verknüpfungen nennen wir {{math|term= M|SZ=.}} a) Berechne{{n Sie}} in {{math|term= M|SZ=}} {{ math/disp|term= ( 5 \heartsuit (-2)) \circ ((-6) \heartsuit 3) |SZ=. }} b) Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} das Symbolalphabet, das aus den Variablen {{mathl|term= x,y|SZ=,}} einer Konstanten {{math|term= c|SZ=}} und zwei zweistelligen Funktionssymbolen {{mathl|term= \alpha , \beta |SZ=}} bestehe. Es sei {{math|term= I|SZ=}} die Interpretation von {{math|term= L^S|SZ=}} in {{math|term= M|SZ=,}} die {{math|term= \alpha |SZ=}} als {{math|term= \circ|SZ=,}} {{math|term= \beta|SZ=}} als {{math|term= \heartsuit|SZ=,}} {{math|term= c|SZ=}} als {{math|term= 1|SZ=}} und die Variablen als {{math|term= 2|SZ=}} interpretiere. Berechne{{n Sie}} {{ math|term= I(t) |SZ= }} für den Term {{ Ma:Vergleichskette/disp |t || \beta \alpha c c \beta x c || || || |SZ=. }} c) Gilt bei der Interpretation {{math|term= I|SZ=}} der Ausdruck {{ math/disp|term= \forall x {{makl| \exists y {{makl| c \circ y {{=}} x |}} |}} |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mxv59wbrz2njzz9brcmdnsy4agun8co 0 66465 780936 755023 2022-08-21T20:31:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p_1 {{kommadots|}} p_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{logprop2||}}_1 {{kommadots|}} {{logprop2|}}_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |prädikatenlogische Ausdrücke| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man, wenn man in einer {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeingültigen| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |aussagenlogischen Aussage| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{logprop|}} |SZ=,}} in dem keine weiteren Aussagenvariablen vorkommen, jedes Vorkommen von {{math|term= p_i|SZ=}} durch {{math|term= {{logprop2|}}_i |SZ=}} ersetzt, einen {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeingültigen| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} prädikatenlogischen Ausdruck erhält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mr7u8mi0asagd6l013xfg5bvuie5ewu 0 66469 779978 393908 2022-08-21T17:52:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten ein Symbolalphabet, dass neben Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=die wir hier mit {{mathl|term= x,y,z,U,V,I,J|SZ=}} bezeichnen| |ISZ=|ESZ= }} aus einem einstelligen Funktionssymbol {{math|term= \bigcup|SZ=,}} aus zwei zweistelligen Funktionssymbolen {{mathl|term= \cup, \cap |SZ=}} vier einstelligen Relationssymbolen {{mathl|term= R_0,R_1,R_2, T|SZ=,}} einem zweistelligen Relationssymbol {{math|term= E|SZ=,}} besteht. {{ math/disp|term= \forall U \forall V {{makl| T U {{logund|}} T V \rightarrow T U \cap V |}} |SZ=. }} {{ math/disp|term= \forall I {{makl| R_2 I \rightarrow {{makl| \forall U {{makl| E U I \rightarrow T U |}} \rightarrow T \bigcup I |}} |}} |SZ= }} Einen topologischen Raum kann man als eine Interpretation dieser Ausdrucksmenge auffassen, indem man als Grundmenge der Interpretation {{math/disp|term=M=X \cup {{op:Potenzmenge|X|}} \cup {{op:Potenzmenge| {{op:Potenzmenge|X|}} }} \cup \{\delta \}|SZ=}} wählt und {{math/disp|term=R_0^M =X, R_1^M= {{op:Potenzmenge|X|}}, R_2^M= {{op:Potenzmenge| {{op:Potenzmenge|X|}} }} |SZ=,}} {{ math/disp|term= Exy \text{ als } x \in y |SZ= }} {{ math/disp|term= \cap \text{ und } \cup \text{ als Durchschnitt und Vereinigung von zwei Mengen} |SZ= }} setzt, wobei man das Ergebnis der Funktionen, für die es keine sinnvolle inhaltliche Interpretation gibt, als {{math|term= \delta|SZ=}} ansetzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=unfertig }} h4mh8fx8u34dpuhf13y7k8mj2ueuw5i 0 66476 785473 758737 2022-08-22T08:45:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche der folgenden {{ Definitionslink |Prämath= |prädikatenlogischen Ausdrücke| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeingültig| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= x,y|SZ=}} seien Variablen| |ISZ=|ESZ=? }} {{ Aufzählung4 | {{mathl|term= \forall x (\exists y (x=y)) |SZ=,}} | {{mathl|term= \forall x (\forall y (x=y) )|SZ=,}} | {{mathl|term= \exists x (\forall y (x=y)) |SZ=,}} | {{mathl|term= \exists x (\exists y (x=y)) |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxox139a2lz3myyb325bqoj4vypqu8h 0 66485 779224 763306 2022-08-21T15:55:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einer {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist das inverse Element zu einem jeden Element, das es aufgrund der Definition einer Gruppe geben muss, eindeutig bestimmt. Mathematisch wird dies so bewiesen: Sei {{math|term= e|SZ=}} das neutrale Element der Gruppe, sei {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|G || || || |SZ= }} vorgegeben und seien {{ Ma:Vergleichskette |y,z |\in|G || || || |SZ= }} inverse Elemente zu {{math|term= x|SZ=,}} d.h. es gelte {{ Ma:Vergleichskette |yx ||xy ||e || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |zx ||xz ||e || || |SZ=. }} Dann ist insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/disp | y ||y e || y (xz) || (yx) z || ez ||z |SZ=. }} Die Eindeutigkeit des inversen Elementes kann man mit den Symbolen {{mathl|term= \{e, \mu\} |SZ=,}} wobei {{math|term= e|SZ=}} eine Konstante und {{math|term= \mu|SZ=}} ein zweistelliges Funktionssymbol ist, als den Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logprop|}} |{{defeq}}| \forall x ( \forall y ( \forall z ( \mu yx {{=|}} e {{logund}} \mu xy {{=|}} e {{logund|}} \mu zx {{=|}} e {{logund}} \mu xz {{=|}} e \rightarrow y {{=|}} z ))) || || || |SZ= }} ansetzen, und die obige mathematische Argumentation bedeutet, dass der Ausdruck {{math|term= {{logprop|}}|SZ=}} aus den Gruppenaxiomen {{math|term= \Gamma|SZ=}} folgt, also die Folgerungsbeziehung {{ math/disp|term= \Gamma \vDash {{logprop|}} |SZ= }} vorliegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Gruppentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ccgfaj1gu7ozw3hnfyxclfs7nvb3ap 0 66487 785501 758759 2022-08-22T08:49:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= {{logprop|}}_1, {{logprop|}}_2,{{logprop|}}_3 |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenaxiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logprop|}} | {{defeq|}} |\forall x ( \forall y ( \forall z ( \mu yx {{=|}} e {{logund}} \mu x y {{=|}} e {{logund|}} \mu zx {{=|}} e {{logund}} \mu x z {{=|}} e \rightarrow y {{=|}} z ))) || || || |SZ=, }} also die Aussage, dass das inverse Element eindeutig bestimmt ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} aus keiner echten Teilmenge {{mathl|term= \Gamma \subset \{ {{logprop|}}_1, {{logprop|}}_2,{{logprop|}}_3 \}|SZ=}} folgt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Gruppentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} st7bsqgamcpsufq3ah0oi8q6l7uzbty 0 66492 782813 550973 2022-08-22T01:44:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= u, x,y,z|SZ=}} Variablen und {{mathl|term= f,g|SZ=}} einstellige Funktionssymbole. Bestimme{{n Sie}}, welche der folgenden Ausdrücke untereinander äquivalent sind. a) {{ Aufzählung3 | {{math|term= \forall x \forall y ( ( fx =fy \rightarrow x=y ) {{logund|}} (gx =gy \rightarrow x=y))|SZ=,}} | {{math|term= \forall x \forall y ( fx =fy \rightarrow x=y ) {{logund|}} \forall x \forall y ( gx =gy \rightarrow x=y ) |SZ=,}} | {{math|term= \forall x \forall y \forall u \forall z ( ( fx =fy \rightarrow x=y ) {{logund|}} (gu =gz \rightarrow u=z )) |SZ=.}} }} b) {{ Aufzählung4 | {{math|term= \forall x \exists y (fy=x) {{logund|}}\forall x \exists y (gy=x) |SZ=,}} | {{math|term= \forall x \exists y {{makl| fy {{=|}} x {{logund|}} gy {{=|}} x |}} |SZ=,}} | {{math|term= \forall x \exists y \forall u \exists z ( fy =x {{logund|}} gz = u ) |SZ=,}} | {{math|term= \forall x \forall u \exists y \exists z ( fy =x {{logund|}} gz =u ) |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aepbh55av7o2uznvopylv8x207tv45h 0 66508 785490 394263 2022-08-22T08:48:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die freien Variablen in den folgenden Ausdrücken, wobei {{mathl|term= x,y,z|SZ=}} Variablen seien und {{math|term= f|SZ=}} ein einstelliges Funktionssymbol und {{math|term= R|SZ=}} ein zweistelliges Relationssymbol sei. {{ Aufzählung4 | {{math|term= \forall x {{makl| fx {{=|}} y |}}|SZ=,}} | {{math|term= \forall x {{makl| fx {{=|}} y |}} {{logund|}} \exists z {{makl| fx {{=|}} y |}}|SZ=,}} | {{math|term= \forall x\exists y Rxfy|SZ=,}} | {{math|term= {{makl| \forall x \exists y Rxfy |}} \rightarrow x {{=|}} y|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2sije5goijtcb1plvcbkxn04lpuhnx 0 66509 785479 394265 2022-08-22T08:46:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die kleinsten Symbolmengen, mit denen die folgenden Ausdrücke formulierbar sind. {{ Aufzählung3 | {{math|term= \exists y {{makl| fx {{=|}} y |}}|SZ=,}} | {{math|term= \forall x {{makl| fx {{=|}} g yc |}} {{logund|}} \exists z {{makl| R z x y |}}|SZ=,}} | {{math|term= \forall x \exists y S x huy|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q98fkx9nl68c9wzktklnv17rgbkmlrc 0 66510 785516 758772 2022-08-22T08:52:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^{{symbolalphabet}}_0 |SZ=}} ein Satz einer {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Symbolalphabet {{math|term= {{symbolalphabet}} |SZ=.}} Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath= {{symbolalphabet}} |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Trägermenge {{math|term= M|SZ=}} gegeben und {{ mathkor|term1= I_1 |und|term2= I_2 |SZ= }} zwei auf {{math|term= M|SZ=}} definierte {{ Definitionslink |Prämath={{symbolalphabet}} |Interpretationen| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{mathl|term= I_1 \vDash {{logprop|}} |SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= I_2 \vDash {{logprop|}} |SZ=}} gilt. |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} judhbmhpx42hf8mjnxqoyv05d953b4h 0 66511 785520 758776 2022-08-22T08:53:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet}}|SZ=}} einer {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. Es seien {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_k|SZ=}} paarweise verschiedene Variablen und {{mathl|term= t_1 {{kommadots|}} t_k|SZ=}} fixierte {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}}|Terme| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Interpretiere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Termsubstitution| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{logSubstitution||k}}|SZ=}} als Abbildung. b) Interpretiere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Substitution von Ausdrücken| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{logSubstitution||k}}|SZ=}} als Abbildung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2kr659v9ef8r7pjp9i297l5tqe0beqk 0 66512 785531 758783 2022-08-22T08:54:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet}}|SZ=}} einer {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Substitution| |Kontext=Term| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|x|x}}|SZ=}} für die Terme die Identität ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Substitution| |Kontext=Ausdruck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|x|x}}|SZ=}} für die Ausdrücke die Identität ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qup7i74c24ul5ivlofslqfw4excflbd 0 66513 785521 758777 2022-08-22T08:53:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet}}|SZ=}} einer Sprache erster Stufe gegeben, es sei {{math|term= x|SZ=}} eine Variable und {{mathl|term= t |SZ=}} ein fixierter {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}}|Term| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Gehört die Symbolkette {{ Zusatz/Klammer |text=!| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= {{logprop|}} {{op:Bruch|t|x}} |SZ=}} zu {{math|term= L^S|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onwmekvusu0cg0b303paoq2xfjvjl8h 0 66514 785529 394278 2022-08-22T08:54:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet}}|SZ=}} einer Sprache erster Stufe gegeben. Man gebe ein Beispiel für eine Substitution {{mathl|term= {{logSubstitution||k}} |SZ=}} und einen {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=-}}Ausdruck {{mathl|term= {{logprop|}} |SZ=}} derart, dass die sukzessive substituierten Ausdrücke {{ math/disp|term= {{logSubstitution| {{logprop|}} |k}}, {{logSubstitution| {{makl| {{logSubstitution| {{logprop|}} |k}} |}} |k}}, {{logSubstitution| {{makl| {{logSubstitution| {{makl| {{logSubstitution| {{logprop|}} |k}} |}} |k}} |}} |k}}, \ldots |SZ= }} immer länger werden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n0g9cvckv9diukf8ofnaetn8jwvhqpg 0 66515 785517 758773 2022-08-22T08:52:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet}}|SZ=}} einer {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. Es seien {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_k|SZ=}} paarweise verschiedene Variablen und {{mathl|term= t_1 {{kommadots|}} t_k|SZ=}} fixierte {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}}|Terme| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jeden {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=-}}Satz {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^{{Symbolalphabet|}}_0|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logSubstitution| {{logprop}} |k}} || {{logprop|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ro0kvjz86pi7it4fo9fr4ia8gk1cbh 0 66516 785528 459588 2022-08-22T08:54:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe für jedes {{mathl|term= r \in \N_+|SZ=}} ein Beispiel für eine Substitution {{mathl|term= {{logSubstitution||k}} |SZ=}} und einen {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=-}}Ausdruck {{mathl|term= {{logprop|}} |SZ=}} derart, dass die sukzessive substituierten Ausdrücke {{ math/disp|term= {{logSubstitution| {{logprop|}} |k}}, {{logSubstitution| {{makl| {{logSubstitution| {{logprop|}} |k}} |}} |k}}, {{logSubstitution| {{makl| {{logSubstitution| {{makl| {{logSubstitution| {{logprop|}} |k}} |}} |k}} |}} |k}}, \ldots |SZ= }} eine Periode der Länge {{math|term= r|SZ=}} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 66ku3qnn9ry8r130eauf3vyxh7j6dwi 0 66517 785491 459587 2022-08-22T08:48:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} ein {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=-}}Ausdruck. Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=-}}Ausdruck {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=}} der Form {{math|term= {{logprop2|}}= {{logprop}} {{logund|}} {{logprop3|}} |SZ=}} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{opsyn|Frei| {{logprop2|}} |tief=|hoch=}} ||{{opsyn|Var| {{logprop|}} |tief=|hoch=}} ||{{opsyn|Var| {{logprop2|}} |tief=|hoch=}} || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n6exd4y5lgxppgwqdi330jg1gmope77 0 66520 780453 754648 2022-08-21T19:10:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f|SZ=}} ein einstelliges Funktionssymbol. Bestimme{{n Sie}}, welche der folgenden Ausdrücke untereinander äquivalent{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Zwei Ausdrücke {{ mathkor|term1= {{logprop|}} |und|term2= {{logprop2|}} |SZ= }} heißen äquivalent, wenn {{mathl|term= {{logprop|}} \leftrightarrow {{logprop2|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeingültig| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist | |ISZ=.|ESZ= }} sind. {{ Aufzählung3 | {{math|term= \forall x \exists y (fx=y)|SZ=,}} | {{math|term= \forall x \exists x (fx=x)|SZ=,}} | {{math|term= \exists x (fx=x)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e2cgbmpe7j6r6hkjuwkvhnqpbki5v5o 0 66521 785476 758740 2022-08-22T08:45:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{Symbolalphabet}}|SZ=}} einer {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. Es seien {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_k|SZ=}} paarweise verschiedene Variablen und {{mathl|term= t_1 {{kommadots|}} t_k|SZ=}} fixierte {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}}|Terme| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeingültigen| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} auch die Substitution {{mathl|term= {{logSubstitution| {{logprop}} |k}} |SZ=}} allgemeingültig ist. Gilt hiervon auch die Umkehrung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nsb46eaxxuttexrhptx1hzzl1ny8ee5 0 66586 781388 394581 2022-08-21T21:46:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} und {{math|term= D|SZ=}} die Ableitung, aufgefasst als Operator{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Eine Abbildung, die Funktionen in Funktionen überführt, nennt man häufig Operator| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=D |M|M |f|D(f) {{=|}} f' |SZ=. }} Zu einem Polynom {{mathl|term= P \in \R[X]|SZ=,}} {{mathl|term= P=a_nX^n {{plusdots|}} a_2X^2+ a_1 X +a_0 |SZ=,}} betrachten wir den Operator {{ Ma:abbele/disp |name=P(D) |M |M |f| (P(D))(f) {{=|}} a_nD^n(f) {{plusdots|}} a_2D^2(f) + a_1D (f) + a_0 f |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} {{math|term= (P(D))(f) |SZ=}} für {{mathl|term= P=2X^3-4X^2+7X-3|SZ=}} und {{mathl|term= f=x^4, e^x, e^{2x}, {{op:sin|x|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P(D)|SZ=}} eine lineare Abbildung auf {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qvoqduk8t6qciuohfbysdlfjl6wgo92 0 66587 781387 755414 2022-08-21T21:46:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \lambda \in \R|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink- |Prämath= |Differentialoperator| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (D- \lambda)^n|SZ=}} die Funktionen {{mathl|term= x^j e^{\lambda x }|SZ=}} mit {{mathl|term= 0 \leq j < n|SZ=}} auf die Nullfunktion abbildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ounczkhqhu8o1sv3av7enw6cox5savj 0 66591 784830 641199 2022-08-22T07:06:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine Lösungskurve der ortsunabhängigen Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Spaltenvektor|x'(t)| y'(t)|}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|t|1+t^2}} | {{op:tan|t|}} }} || || || |SZ= }} auf {{mathl|term= ]0, {{op:Bruch|\pi|2}} [|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ortsunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lph74w70vjhsucso0cwqp9hygfjpo3y 0 66593 782735 756512 2022-08-22T01:31:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} eine nichtleere Menge, {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und {{mathl|term= M=A^n|SZ=}} das {{math|term= n|SZ=-}}fache Produkt der Menge mit sich selbst. a) Zeige{{n Sie}}, dass auf {{math|term= M|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(x,y) ||d((x_1 {{kommadots|}} x_n ),(y_1 {{kommadots|}} y_n)) | {{defeq|}} | {{op:Anzahl| {{mengebed|i| x_i \neq y_i}} |}} || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert wird. b) Bestimme{{n Sie}} zu {{math|term= A=\{a,b,c\}|SZ=}} und {{math|term= n=4|SZ=}} den Abstand {{mathl|term= d((a,a,b,c),(c,a,b,a))|SZ=.}} c) Liste{{n Sie}} für {{math|term= A=\{a,b,c\}|SZ=}} und {{math|term= n=3|SZ=}} alle Elemente aus der offenen Kugel {{mathl|term= {{op:Offener Ball|(a,a,b)|2}} |SZ=}} auf. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wh3m3lhyvz3sc7lu0bqxg23yhrpbzx 0 66597 782282 540347 2022-08-22T00:15:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Aussage, dass eine Folge {{mathl|term= {{Op:Folge|z}} |SZ=}} im {{mathl|term= \R^m|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=versehen mit der euklidischen Metrik| |ISZ=|ESZ= }} genau dann konvergiert, wenn sämtliche Komponentenfolgen konvergieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} on70gyf74f6w2o77i0o58tgxsfl2l1t 0 66599 781133 427051 2022-08-21T21:04:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]|\R || |SZ= }} eine stetig differenzierbare Funktion mit {{mathl|term= f'(x) >0|SZ=}} für {{mathl|term= x \in [a,b]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=die anschaulich klare Aussage| |ISZ=|ESZ=, }} dass die Bogenlänge des Graphen von {{math|term= f|SZ=}} über {{mathl|term= [a,b]|SZ=}} mit der Bogenlänge des Graphen der Umkehrfunktion {{math|term= f^{-1}|SZ=}} über {{mathl|term= [f(a),f(b)]|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t2gino4t3deud09jb5i2qxnz9fkidic 0 66648 786309 738906 2022-08-22T11:04:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Richtungsableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer Abbildung in Richtung {{math|term= 0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iqnufdthc2cwz5cqxefzhbressa1uva 0 66652 786293 738907 2022-08-22T11:01:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC/{{{K|K}}}|}} |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und {{ Ma:abb |name={{{f|f}}} |G|W || |SZ= }} eine Abbildung. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} ein Punkt und {{ Ma:Vergleichskette |v |\in| V || || || |SZ= }} ein fixierter Vektor. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} in Richtung {{math|term= v|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=Richtung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Zusatz/Klammer |text=auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um {{mathl|term= 0 \in {{KRC/{{{K|K}}}|}} |SZ=}} definierte| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=g |I|W |t| g(t) {{=}} f(P+tv) |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dass in diesem Fall die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Richtungsableitung|f|P|v}} || g'(0) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ipaeiw84zzouvqdzaw4k9s1jq84wk5q 0 66656 785497 758756 2022-08-22T08:49:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} direkt{{{zusatz1|}}}, dass die folgenden Ausdrücke {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeingültig| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{mathl|term= r,s,t,s_1 {{kommadots|}} s_n, t_1 {{kommadots|}} t_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Terme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= f|SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol und {{math|term= R|SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}stelliges Relationssymbol| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |{{ math/disp|term= \vDash s=t \rightarrow t=s |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \vDash r=s {{logund}} s=t \rightarrow r=t |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \vDash s_1=t_1 {{logunddots}} s_n=t_n \rightarrow fs_1 \ldots s_n =ft_1 \ldots t_n |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \vDash s_1=t_1 {{logunddots}} s_n=t_n {{logund}} Rs_1 \ldots s_n \rightarrow Rt_1 \ldots t_n |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4o4fuk47nyyzkzgvd4ikxb3r4qyraxx 0 66657 785481 394814 2022-08-22T08:46:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ersetze{{n Sie}} in den folgenden aussagenlogischen Tautologien {{ math/disp|term= p_1 \text{ durch } {{logprop2|}}_1 {{defeq|}} \exists x Rxy,\, p_2 \text{ durch } {{logprop2|}}_2 {{defeq|}} \forall u {{makl| fu {{=|}} c \rightarrow Pc |}} ,\, p_3 \text{ durch } {{logprop2|}}_3 {{defeq|}} \exists y \forall x gxz= y,\, p_4 \text{ durch } {{logprop2|}}_4 {{defeq|}} Rcu \rightarrow c=u |SZ=. }} {{ Aufzählung4 | {{math|term= p_1 {{logund|}} p_2 \rightarrow p_1|SZ=,}} | {{math|term= {{makl| p_1 {{logund|}} p_4 \rightarrow \neg p_2 |}} {{logund|}} {{makl| p_1 {{logund|}} p_4 \rightarrow {{makl| p_2 \rightarrow p_1 |}} |}} \rightarrow {{makl| p_1 {{logund|}} p_4 \rightarrow \neg p_2 {{logund|}} {{makl| p_2 \rightarrow p_1 |}} |}}|SZ=,}} | {{math|term= p_3 {{logund|}} \neg p_3 \rightarrow p_4|SZ=,}} | {{math|term= {{makl| p_1 {{logund|}} p_4 \rightarrow p_3 |}} {{logund|}} {{makl| \neg {{makl| p_1 {{logund|}} p_4 |}} \rightarrow p_3|}} \rightarrow p_3 |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} livq46llccoblfzn7ce1zn3qa5poo8z 0 66665 780659 754780 2022-08-21T19:45:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= s_1 {{kommadots|}} s_n,t_1 {{kommadots|}} t_n|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}}|Terme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} verschiedene Variablen und {{math|term= {{logprop|}}|SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}}|Ausdruck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die Allgemeingültigkeit {{math/disp|term=\vDash s_1=t_1 {{logunddots}} s_n=t_n \rightarrow {{makl| {{logprop|}} {{op:Bruch|s_1 {{kommadots|}} s_n|x_1 {{kommadots|}} x_n }} \rightarrow {{logprop|}} {{op:Bruch|t_1 {{kommadots|}} t_n|x_1 {{kommadots|}} x_n }} |}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ttq8szuvt2v5a0hjg1672hzc6vytj3f 0 66674 780660 754781 2022-08-21T19:45:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= s_1 {{kommadots|}} s_n, t_1 {{kommadots|}} t_n |SZ=}} Terme einer {{ Definitionslink |Prämath= |prädikatenlogischen Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L^{{symbolalphabet|}} |SZ=}} und seien {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n|SZ=}} verschiedene Variablen. {{ Aufzählung2 |Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{math|term= k|SZ=-}}stelliges Relationssymbol und {{mathl|term= r_1 {{kommadots|}}r_k|SZ=}} seien Terme. Zeige{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitbarkeit| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \vdash s_1=t_1 {{logunddots}} s_n=t_n \rightarrow {{makl| (R r_1 \ldots r_k) {{op:Bruch|s_1 {{kommadots|}} s_n|x_1 {{kommadots|}} x_n }} \rightarrow (R r_1 \ldots r_k) {{op:Bruch|t_1 {{kommadots|}} t_n|x_1 {{kommadots|}} x_n }} |}} |SZ=. }} |Es seien {{ mathkor|term1= r_1 |und|term2= r_2 |SZ= }} Terme. Zeige{{n Sie}} die Ableitbarkeit {{ math/disp|term= \vdash s_1=t_1 {{logunddots}} s_n=t_n \rightarrow {{makl| r_1 {{op:Bruch|s_1 {{kommadots|}} s_n|x_1 {{kommadots|}} x_n }} {{=|}} r_2 {{op:Bruch|s_1 {{kommadots|}} s_n|x_1 {{kommadots|}} x_n }} \rightarrow r_1 {{op:Bruch|t_1 {{kommadots|}} t_n|x_1 {{kommadots|}} x_n }} {{=|}} r_2 {{op:Bruch|t_1 {{kommadots|}} t_n|x_1 {{kommadots|}} x_n }} |}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8kl3gvcp3ypuked1qdas2kiuzeeal6r 0 66675 785495 758754 2022-08-22T08:49:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= t_1 {{kommadots|}} t_n|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}}|Terme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitbarkeit| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \vdash t_1=t_2 {{logund|}} t_2=t_3 {{logunddots|}} t_{n-1} =t_n \rightarrow t_1 =t_n |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l6obir7gxzekn2oh0e2bodd7rbj1w02 0 66680 786290 738910 2022-08-22T11:01:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, für welche Punkte {{mathl|term= P\in \R^2|SZ=}} und welche Richtungen {{mathl|term= v \in \R^2|SZ=}} die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^2|\R | (x,y)| {{op:Betrag|x+y|}} |SZ=, }} existiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2dcb616nht42tycqy9epp8xne8ytw47 0 66683 785500 758758 2022-08-22T08:49:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= s_1 {{kommadots|}} s_n, t_1 {{kommadots|}} t_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Terme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= f|SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Ableitbarkeit| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \vdash s_1=t_1 {{logunddots}} s_n=t_n \rightarrow fs_1 \ldots s_n =ft_1 \ldots t_n |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cl8u583bks3ay3g6pc66oskgxxezgbl 0 66696 780656 754778 2022-08-21T19:44:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^{{symbolalphabet}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitbarkeit| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \vdash \exists x \forall y {{logprop|}} \rightarrow \forall y \exists x {{logprop|}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= \forall y \exists x {{logprop|}} \rightarrow \exists x \forall y {{logprop|}} |SZ= }} nicht ableitbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pmvogk3vix9elxnoxwh7q77g3g9wvkl 0 66699 783362 757053 2022-08-22T03:16:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |z|z^2 |SZ=, }} in reellen Koordinaten und bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Ebenso für {{math|term= z^3, z^4, z^5|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d2lx0j7t66pjrnkttbzmpkt2qenc01v 0 66701 780498 394989 2022-08-21T19:18:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}} die folgenden Ableitungsregeln {{ Zusatz/Klammer |text=es seien {{math|term= s,t|SZ=}} Terme, {{math|term= {{logprop|}}, {{logprop2|}}|SZ=}} Ausdrücke und {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine Ausdrucksmenge| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Wenn {{math|term= \Gamma \vdash s=t|SZ=,}} dann ist auch {{math|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} {{op:Bruch|s|x}} \rightarrow {{logprop|}} {{op:Bruch|t|x}}|SZ=,}} |Wenn {{math|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} {{op:Bruch|t|x}} |SZ=,}} dann ist auch {{math|term= \Gamma \vdash \exists x {{logprop|}} |SZ=,}} |Wenn {{math|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} \frac{y}{x} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=,}} dann ist auch {{math|term= \Gamma \vdash \exists x {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=,}} unter der Bedingung, dass {{math|term= y|SZ=}} nicht frei in {{math|term= \Gamma, \exists x {{logprop|}}, {{logprop2|}} |SZ=}} vorkommt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p5r5dkk4z4uawc0owmcsrbnrgh3ivz5 0 66767 781251 755279 2022-08-21T21:23:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} auf der Menge der Wörter zum einelementigen Alphabet {{mathl|term= A=\{ {{|}} \}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekind-Peano-Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Worauf beruht die Gültigkeit der Dedekind-Peano-Axiome? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 08mps6dp0h395mt89bu4wamwx7l4i9n 0 66768 781253 755281 2022-08-21T21:24:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}|SZ=}} das Ziffernalphabet. Definiere{{n Sie}} die Teilmenge {{mathl|term= N \subseteq A^*|SZ=,}} die aus den korrekt gebildeten Zifferndarstellungen einer natürlichen Zahl besteht. Definiere{{n Sie}} auf {{math|term= N|SZ=}} eine Nachfolgerabbildung und zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= N|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekind-Peano-Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. Worauf beruht die Gültigkeit der Dedekind-Peano-Axiome? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r6gdfsxv10kmi3m4mlpf5jbldy4tydb 0 66769 784551 758088 2022-08-22T06:26:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (N,0,')|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekind-Peano-Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der natürlichen Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Axiomlink |Prämath= |erststufige Axiomenschema für die Induktion| |Kontext=| |Axiomseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Nachfolger/Erste Stufe/Axiom |SZ= }} in {{math|term= N|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erststufigen Peano-Arithmetik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hzxvrhh6988hhebmxnxjwpiizh8fhd2 0 66773 785090 758468 2022-08-22T07:46:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f | {{KRC|}}^n | {{KRC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomfunktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} im Nullpunkt {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j25nzyrdev8o5rohi8qhmr8o6baxvyy 0 66774 785089 758467 2022-08-22T07:45:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f | {{KRC|}}^n | {{KRC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomfunktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} in jedem Punkt {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hhw6xe1fme2zioh7d9ksv43qzy5w6m7 0 66775 786555 739162 2022-08-22T11:45:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC/{{{K|K}}}|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarmultiplikation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{KRC/{{{K|K}}}|}} \times V| V |(s,v)|sv |SZ=, }} in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P || (s,v) || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|\varphi|P}} (t,w) ||tv+ sw || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rz46odd6os61wzutnhsawl7r2tn9j3t 0 66789 781254 755282 2022-08-21T21:24:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= N_1 |und|term2= N_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekind-Peano-Modelle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der natürlichen Zahlen. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |N_1|N_2 || |SZ= }} der eindeutig bestimmte Isomorphismus mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(0_1) ||0_2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(n') || (\varphi(n))' || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n \in N_1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} die Addition respektiert, dass also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi (m+n) || \varphi(m) + \varphi(n) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= m,n \in N_1|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mwgictm7ypparm9etv8en442e87hvqa 0 66790 781255 755283 2022-08-21T21:24:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= N_1 |und|term2= N_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekind-Peano-Modelle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der natürlichen Zahlen. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |N_1|N_2 || |SZ= }} der eindeutig bestimmte Isomorphismus mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(0_1) ||0_2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(n') || (\varphi(n))' || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n \in N_1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} die Multiplikation respektiert, dass also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi (m \cdot n) || \varphi(m) \cdot \varphi(n) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= m,n \in N_1|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ipe9hwpcxtf68e0ww122akyb3r5hbr7 0 66807 781256 755284 2022-08-21T21:24:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \N|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Dedekind-Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der natürlichen Zahlen und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\N|M || |SZ= }} mit {{mathl|term= \varphi(0)=0|SZ=}} und {{mathl|term= \varphi(n')= \varphi(n) + 1|SZ=}} gibt. Zeige{{n Sie}} ferner, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und die Addition und die Multiplikation respektiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dmrpv2vakopj0f6yjy7ryy2xfn9hulk 0 66811 784888 758330 2022-08-22T07:14:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist und dass {{math|term= 1|SZ=}} das neutrale Element ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bzfymvkkav26110pmdx6h3umr92m4eu 0 66813 784886 758328 2022-08-22T07:14:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Kürzungseigenschaft gilt, d.h. dass aus {{math|term= xz=yz|SZ=}} mit {{mathl|term= z \neq 0|SZ=}} die Gleichheit {{mathl|term= x=y|SZ=}} folgt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kce0mrobhauiduz8et4jimnk3otffox 0 66814 785847 759011 2022-08-22T09:47:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \R_{\geq 0}|SZ=}} mit {{mathl|term= 0,1|SZ=}} und der natürlichen Addition und Multiplikation die ersten sechs {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Axiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom |SZ= }} erfüllt, aber nicht das Induktionsaxiom. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ow743fzk4wa9pdv1hkr96uvmov9oeib 0 66817 784891 758335 2022-08-22T07:15:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Vereinigung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{math|term= \N|SZ=}} und aus {{math|term= \Z|SZ={{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Dabei muss man darauf achten, die Elemente aus {{math|term= \N|SZ=}} nicht mit denen aus {{math|term= \Z_{\geq 0}|SZ=}} zu verwechseln. Beispielsweise kann man die Elemente einerseits mit {{math|term= 5|SZ=}} und andererseits mit {{math|term= 5_\Z|SZ=}} bezeichnen| |ISZ=.|ESZ=. }}|}} Wir definieren auf {{math|term= M|SZ=}} eine Nachfolgerfunktion, die auf den beiden Bestandteilen durch den üblichen Nachfolger gegeben ist {{ Zusatz/Klammer |text=also durch {{math|term= +1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} und wir betrachten die {{math|term= 0 \in \N|SZ=}} als die Null von {{math|term= M|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} die ersten beiden Axiome aus den {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Peano-Axiomen für die Nachfolgerfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Nachfolger/Erste Stufe/Axiom |SZ= }} erfüllt. b) Zeige{{n Sie}}, dass es keine Addition auf {{math|term= M|SZ=}} gibt, die mit den Additionen auf {{math|term= \N|SZ=}} und auf {{math|term= \Z|SZ=}} übereinstimmt und für die die Abziehregel gilt. c) Gilt das {{ Definitionslink |Prämath= |erststufige Induktionsaxiom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Nachfolger/Erste Stufe/Axiom |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=formuliert für die Nachfolgerfunktion| |ISZ=|ESZ={{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Diese Aufgabe ist wohl schwierig| |ISZ=.|ESZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erststufigen Peano-Arithmetik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7keyj2coqv3is2qwgzvhql1i48wwzbv 0 66871 783957 757594 2022-08-22T04:55:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Das Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} bestehe aus einer einzigen Variablen {{math|term= x|SZ=}} und einem einzigen einstelligen Relationssymbol {{math|term= P|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Interpretation| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= I|SZ=}} die Gültigkeitsmenge {{mathl|term= I^\vDash \subseteq L^S|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Beispiele enthalten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor=Vorschlag: Katthän |Bearbeitungsstand= }} 6403karxaxncxa9eoyvzui135lqahrd 0 66876 783996 757621 2022-08-22T05:02:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^S|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} widerspruchsfreie Ausdrucksmenge. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Gamma|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |erfüllendes Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit abzählbar vielen Elementen besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1gxm035w74yfcot6tcubcey5w8idzd1 0 66877 784890 758332 2022-08-22T07:15:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} mit der Eigenschaft gibt, dass es darin ein Element {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|M || || || |SZ= }} gibt, das größer als jede natürliche Zahl in {{math|term= M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also Zahlen der Form {{mathl|term= 1+1 {{plusdots|}} 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2=Siehe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1lxh50t65zqn0tfeevg53qhdtsx7d6z 0 66878 785514 758770 2022-08-22T08:52:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Ausdruck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der folgenden Ausdrücke. {{ Aufzählung4 | {{math|term= a {{=|}} fx|SZ=,}} | {{math|term= \exists x a {{=|}} fx |SZ=,}} |{{math|term= {{makl| \neg Rxy {{logund|}} ffx {{=|}} c |}} \rightarrow {{makl| \exists x a {{=|}} fx |}} |SZ=,}} | {{math|term= {{makl| \forall y Rxy |}} \rightarrow {{makl| \exists x a {{=|}} fx |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s62gxub5k7mv0fkm9wd2ooout0lkjbd 0 66879 785568 758812 2022-08-22T09:01:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{mathl|term= \geq 2|SZ=}} und {{mathl|term= v,w \in V|SZ=}} Punkte mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v|}} || {{op:Norm|w|}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine stetig differenzierbare Kurve {{ Ma:abbele/disp |name= \gamma |[0,1]|V |t| \gamma(t) |SZ=, }} mit {{mathl|term= \gamma(0)=v|SZ=,}} {{mathl|term= \gamma(1)=w|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Norm|\gamma(t)|}} = {{op:Norm|v}} |SZ=}} für alle {{mathl|term= t \in [0,1]|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8kmsgwm5k0naiqmg8ja8wwzy58hk1r 0 66881 782596 756362 2022-08-22T01:08:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Gradienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |G|\R |(x,y,z)| {{op:Bruch|xyz-z^2 | {{op:ln|(xy)|}} +z^2}} |SZ=, }} in jedem Punkt {{mathl|term= P \in G|SZ=}} mit {{mathl|term= G=\R_{> 1} \times \R_{> 1} \times \R|SZ=}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Gradienten einer Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f27bmr2401i0ipei32tgmh2ifedg78h 0 66883 785515 758771 2022-08-22T08:52:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Ausdruck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der folgenden Ausdrücke. {{ Aufzählung4 | {{math|term= gxy {{=|}} c|SZ=,}} | {{math|term= \forall x gcx {{=|}} gxx |SZ=,}} |{{math|term= {{makl| \neg Pz {{logoder|}} ggxyy {{=|}} gcc |}} \rightarrow {{makl| \exists x Px |}} |SZ=,}} | {{math|term= {{makl| \forall y Py |}} \rightarrow {{makl| \neg \exists x gcx {{=|}} gcgcx {{logund|}} c {{=|}} c |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ephyrfl0709b06b69uqmoebfy72n0zb 0 66885 781693 755620 2022-08-21T22:37:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= M,N \subseteq \R|SZ=}} Teilmengen und {{mathl|term= M \times N \subseteq \R^2|SZ=}} ihre Produktmenge. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= M \times N|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R^2|SZ=}} ist, wenn {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} offen sind. |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= M \times N|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R^2|SZ=}} ist, wenn {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} abgeschlossen sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k1coquvnpse12lv541q7yk2y9dli7jg 0 66889 782428 756258 2022-08-22T00:40:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die auf {{math|term= \N \times \N|SZ=}} durch {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } a+d=b+c |SZ=, }} gegebene {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evyjh049k7n8ac8mb2pnonw2cf5t5ks 0 66890 785262 758582 2022-08-22T08:11:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten für je zwei Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette |A,B |\subseteq|\N || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |symmetrische Differenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \triangle B | {{defeq|}} |(A \setminus B) \cup (B \setminus A) || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette |A |\sim|B || || || |SZ=, }} falls {{mathl|term= A \triangle B |SZ=}} {{ Definitionslink |endlich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass dadurch eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|\N|}} |SZ=}} definiert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3=Theorie der Potenzmenge |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hlrym78cd67y0vereikxrafoazxmfq4 0 66896 780841 754948 2022-08-21T20:15:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{logprop|}} \in L^{{symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |atomarer Ausdruck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der zugleich eine Tautologie ist, also {{mathl|term= \vdash {{logprop|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= s=s|SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Prämath={{symbolalphabet|}} |Term| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= s|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mxfr4iq0elr82aiwc7188zufgk25xun 0 66897 782958 756702 2022-08-22T02:08:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer Sprache erster Stufe, {{math|term= T|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath={{symbolalphabet|}} |Terme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= I|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath={{symbolalphabet|}} |Interpretation| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auf {{math|term= T|SZ=}} durch {{ math/disp|term= s \sim t, \text{ falls } I(s)=I(t) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4x69l0ty1rbed0xiixsnrq8kcxmedrq 0 66898 780864 754964 2022-08-21T20:19:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= \Gamma \subseteq \Gamma' \subseteq L^{{Symbolalphabet|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |widerspruchsfreie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ausdrucksmengen, die unter Ableitungen abgeschlossen seien, und seien {{ mathkor|term1= M |bzw.|term2= M' |SZ= }} die gemäß der {{ Definitionslink |Prämath= |Konstruktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion |SZ= }}{{{zusatz1|}}} zugehörigen Modelle. Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= {{Symbolalphabet|}} |Homomorphismus| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |M|M' || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} anyno4qeduvdda6esygta08fqct56ek 0 66902 784740 758206 2022-08-22T06:53:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Produktmenge {{mathl|term= \N \times \N|SZ=}} mit der Nachfolgerfunktion {{ Ma:Vergleichskette/disp |(a,b)' | {{defeq|}} | (a,b') || || || |SZ= }} und der sogenannten {{Betonung|lexikographische Ordnung|SZ=,}} für die {{ math/disp|term= (a_1,b_1) \leq (a_2,b_2) |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{mathl|term= a_1 < a_2|SZ=}} oder {{mathl|term= a_1=a_2|SZ=}} und {{math|term= b_1 \leq b_2|SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}} folgende Aussagen. {{ Aufzählung5 |Es handelt sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |x' |\geq|x || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x \in \N \times \N|SZ=.}} |{{mathl|term= (0,0)|SZ=}} ist das kleinste Element. |Es liegt eine {{ Definitionslink |Prämath= |Wohlordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nach unten| |ISZ=|ESZ= }} vor. |Diese Menge mit der Nachfolgerfunktion erfüllt nicht das {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekind-Peano-Induktionsaxiom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition |SZ= }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0lghf40y2o0ek4p61f8aai7297ctr7h 0 66903 782069 396030 2022-08-21T23:40:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^{{Symbolalphabet|}} |SZ=}} eine Ausdrucksmenge, die über beliebig großen endlichen Grundmengen erfüllbar ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Gamma|SZ=}} auch über einer unendlichen Menge erfüllbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ch7oy3mwgfkxx668a35r6yic1lb3vk 0 66911 782787 756552 2022-08-22T01:40:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^n|\R || |SZ= }} eine zweimal {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= P \in \R^n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kritischer Punkt| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= v \in \R^n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= P|SZ=}} mit einem positiven {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} kein {{ Definitionslink |Prämath= |lokales Maximum| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hesse-Form |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Typ |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} isky49k0yjqsmwi6hqjyk6qlmd8wwl4 0 66912 782789 756555 2022-08-22T01:40:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^n|\R || |SZ= }} eine zweimal {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= P \in \R^n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kritischer Punkt| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= P|SZ=}} besitze sowohl positive als auch negative {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} kein {{ Definitionslink |Prämath= |lokales Extremum| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hesse-Form |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Typ |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c8tv6777h9pcghgcl57vfep15fmizqn 0 66913 782871 756637 2022-08-22T01:54:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^n|\R || |SZ= }} eine {{math|term= k|SZ=-}}fach {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= P \in \R^n|SZ=}} ein Punkt und {{mathl|term= v \in \R^n|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |h(t) | {{defeq|}} | f(P+tv) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= h|SZ=}} {{math|term= k|SZ=-}}fach stetig differenzierbar ist und dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |h^{(k)}(0) ||D_v \cdots D_vf (P) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= k|SZ=}} Richtungsableitungen| |ISZ=|ESZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der höheren Richtungsableitungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Typ |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ighnjimcpv6asphzeq3vsa07lbzn4ey 0 66924 783335 715051 2022-08-22T03:11:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen {{mathl|term= T \subseteq \R^m|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 707flo1woh60w0tt9lfyuf2zyjh2l70 0 66949 781035 755101 2022-08-21T20:47:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= T_1 \subseteq \R^n|SZ=}} und {{mathl|term= T_2 \subseteq \R^m|SZ=}} Teilmengen und {{mathl|term= T_1 \times T_2 \subseteq \R^{n+m}|SZ=}} ihre Produktmenge. a) Zeige{{n Sie}}, dass wenn {{ mathkor|term1= T_1 |und|term2= T_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, dass dann auch {{mathl|term= T_1 \times T_2 |SZ=}} beschränkt ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass wenn {{ mathkor|term1= T_1 |und|term2= T_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, dass dann auch {{mathl|term= T_1 \times T_2 |SZ=}} kompakt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kompakten Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 52x3p9ji7eqbqi8jq5pnc6l19ekkpln 0 66957 784862 738924 2022-08-22T07:10:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R || |SZ=, }} die im Nullpunkt {{ Definitionslink |Prämath= |partiell differenzierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Richtungsableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in keine Richtung {{mathl|term= v=(a,b)|SZ=}} mit {{mathl|term= a,b \neq 0|SZ=}} existiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} osenbn2vb7yiuut0j2jfqrojq8hvmii 0 66961 785025 758426 2022-08-22T07:35:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x,y) ||x^2y-3xy+5y^2+4x || || || |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= 3|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= P=(1,-2)|SZ=}} algebraisch {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen {{mathl|term= u=x-1,v=y+2|SZ=}} aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab| |ISZ=|ESZ= }} und über Ableitungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} au0q1u86gyuv7s5pap8p2cw7k0g3rsg 0 66962 781788 755690 2022-08-21T22:53:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath={{symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |elementare Äquivalenz| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Elementen {{mathl|term= m,n \in M|SZ=}} eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7kgvacnb6h0hbzeowmm2mnq7xlcgfal 0 66964 782392 756229 2022-08-22T00:34:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol {{math|term= G|SZ=}} besteht und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma || \{ \forall x \forall y {{makl| Gxy \rightarrow \neg Gyx |}} \} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine vierelementige {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{math|term= \Gamma|SZ=}} erfüllt, äquivalent zur Gewinnstruktur in einer Vorgruppe bei einer Fußballweltmeisterschaft ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rmy2pi2f84n4zqvqv2y123c90ry34dg 0 66965 782393 756230 2022-08-22T00:34:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol {{math|term= G|SZ=}} besteht und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||\{ \text{Bra},\text{Kam},\text{Kro},\text{Mex} \} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= {{Symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der {{math|term= G(m,n) |SZ=}} als {{math|term= m|SZ=}} gewinnt gegen {{math|term= n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei der Fußballweltmeisterschaft 2014| |ISZ=|ESZ= }} interpretiert wird. Bestimme{{n Sie}} die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz, charakterisierende Ausdrücke und die Automorphismengruppe. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s7a81zdxvopbeuyrzrejrv91kwojeri 0 66966 782394 756231 2022-08-22T00:34:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol {{math|term= G|SZ=}} besteht und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||\{ \text{Deu}, \text{Gha}, \text{Por}, \text{USA} \} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= {{Symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der {{math|term= G(m,n) |SZ=}} als {{math|term= m|SZ=}} gewinnt gegen {{math|term= n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei der Fußballweltmeisterschaft 2014| |ISZ=|ESZ= }} interpretiert wird. Bestimme{{n Sie}} die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz, charakterisierende Ausdrücke und die Automorphismengruppe. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1a0sukivu2ybgec583bpck2ana8973h 0 66968 782349 756187 2022-08-22T00:27:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x,y) | {{defeq|}} | \begin{cases} {{op:Bruch|x^3|x^2+y^2}} \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) {{=}} (0,0) \, . \end{cases} || || || |SZ= }} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass die Einschränkung von {{math|term= f|SZ=}} auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist. c) Zeige{{n Sie}}, dass zu {{math|term= f|SZ=}} im Nullpunkt in jede Richtung die {{ Definitionslink |Prämath= |Richtungsableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} existiert. d) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} im Nullpunkt nicht {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |p4=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpxbm7y6hneu6cm79hh7iuekiflqx7k 0 66969 782395 756232 2022-08-22T00:34:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol {{math|term= G|SZ=}} besteht. Wir betrachten Modelle, die aus einer vierelementigen Menge {{math|term= M|SZ=}} mit einer zweistelligen {{ Zusatz/Klammer |text=Gewinn| |ISZ=|ESZ=- }}relation {{math|term= G^M|SZ=}} bestehen und die die Aussage {{mathl|term= \forall x \forall y {{makl| Gxy \rightarrow \neg Gyx |}} |SZ=}} erfüllen. Zeige{{n Sie}}, dass zwei verschiedene Elemente {{mathl|term= m,n \in M|SZ=}} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |elementar äquivalent| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein können, obwohl {{mathl|term= G^M(m,n)|SZ=}} gilt {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= m|SZ=}} und {{math|term= n|SZ=}} spielen also nicht unentschieden| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fhq0skuqwbum064qkcc2x837d5dt5a2 0 66978 784965 758397 2022-08-22T07:26:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x,y) ||-2xy^3-5x^2y^2+4xy^2-7y+3 || || || |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= 3|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= P=(-3,4)|SZ=}} algebraisch {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen {{mathl|term= u=x+3,v=y-4|SZ=}} aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab| |ISZ=|ESZ= }} und über Ableitungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bpxmrv5fagopsyvuutshb40a8ccif5g 0 66984 785485 758747 2022-08-22T08:47:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= {{symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Für jede {{ Definitionslink |Prämath= |elementare Äquivalenzklasse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= [m] \subseteq M|SZ=}} gebe es einen {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=-}}Ausdruck {{mathl|term= {{logprop|}}_{[m]} |SZ=}} in einer freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} der die Klasse {{mathl|term= [m]|SZ=}} beschreibt. Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{math|term= k|SZ=-}}stellige Funktionssymbol {{math|term= f|SZ=}} aus {{mathl|term= m_1 \sim m_1' {{kommadots|}} m_k \sim m_k' |SZ=}} die elementare Äquivalenz {{mathl|term= f^M(m_1 {{kommadots}} m_k) \sim f^M( m'_1 {{kommadots}} m'_k)|SZ=}} folgt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k839f0hb7tzwtl0znyddttadi92cnl2 0 66985 785484 758746 2022-08-22T08:47:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= {{symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Für jede {{ Definitionslink |Prämath= |elementare Äquivalenzklasse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= [m] \subseteq M|SZ=}} gebe es einen {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=-}}Ausdruck {{mathl|term= {{logprop|}}_{[m]} |SZ=}} in einer freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} der die Klasse {{mathl|term= [m]|SZ=}} beschreibt. Zeige{{n Sie}}, dass für ein {{math|term= k|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol {{math|term= f|SZ=}} aus {{mathl|term= m_1 \sim m_1' {{kommadots|}} m_k \sim m_k' |SZ=}} nicht die Gleichheit {{mathl|term= f^M(m_1 {{kommadots}} m_k) = f^M( m'_1 {{kommadots}} m'_k)|SZ=}} folgen muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6fiuuhc5755aixt6hio4f5x1ernod8m 0 66987 782396 756233 2022-08-22T00:34:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol {{math|term= G|SZ=}} besteht. Wir betrachten vierelementige {{ Definitionslink |Prämath={{symbolalphabet|}} |Strukturen| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{mathl|term= \forall x \forall y {{makl| Gxy \rightarrow \neg Gyx |}} |SZ=}} erfüllen {{ Zusatz/Klammer |text=also WM-Fußballgruppen, wobei {{math|term= G(m,n)|SZ=}} als {{math|term= m|SZ=}} gewinnt gegen {{math|term= n|SZ=}} interpretiert wird| |ISZ=|ESZ=. }} Erstelle{{n Sie}} Aussagen {{mathl|term= {{logprop|}}_0, {{logprop|}}_1 {{kommadots|}} {{logprop|}}_9 |SZ=}} in einer freien Variablen {{math|term= x|SZ=}} derart, dass {{ math/disp|term= M {{op:Bruch|m|x}} \vDash {{logprop|}}_k |SZ= }} bedeutet, dass {{math|term= m|SZ=}} in der Abschlusstabelle {{math|term= k|SZ=}} Punkte hat. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} abaxd7jcvzsi1glmijc46b49xyanos5 0 66989 785486 758748 2022-08-22T08:47:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} das Symbolalphabet, das außer Variablen für jedes {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=}} ein einstelliges Relationssymbol {{math|term= R_k|SZ=}} enthält. Wir betrachten die Menge {{mathl|term= M=\N_+|SZ=,}} wobei wir das Relationssymbol {{math|term= R_k|SZ=}} durch {{ math/disp|term= R_k^M (n) \text{ genau dann, wenn } n \text{ ein Vielfaches von } k \text{ ist } |SZ= }} interpretieren. Es sei {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^{{symbolalphabet|}} |SZ=}} ein Ausdruck in einer freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} wobei in {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} die Relationssymbole {{mathl|term= R_{k_1} {{kommadots|}} R_{k_m} |SZ=}} vorkommen mögen. Es sei {{math|term= k|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |kleinste gemeinsame Vielfache| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= k_1 {{kommadots|}} k_m |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= M {{op:Bruch|n|x}} \vDash {{logprop|}} |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ math/disp|term= M {{op:Bruch|n+k|x}} \vDash {{logprop|}} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} haixc0f8bwycnv3tcpw5j0a8m6d48rd 0 66999 782670 756446 2022-08-22T01:20:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (\Z,0,+)|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |funktionale Hülle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= T=\{15,20\}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=hier spricht man vom erzeugten Untermonoid| |ISZ=|ESZ= }} und die von {{math|term= T|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} reik4zvtfwjrjekxw2u52kmrqvjzs64 0 67002 784789 758251 2022-08-22T07:00:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[0,1]|\R |t|t^2 |SZ=. }} Für welche {{ mathbed|term= x,y \in {]0,1[} ||bedterm1= x <y ||bedterm2= |SZ=, }} besitzt die zugehörige dreistufige {{ Zusatz/Klammer |text=maximale| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |untere Treppenfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=}} den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie3=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ex10dg91dkyay9uqclzpywchfzci21i 0 67004 782353 756190 2022-08-22T00:27:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} ein erststufiges Symbolalphabet, {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath={{symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= T \subseteq M|SZ=}} eine Teilmenge. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Zusatz/Klammer |text=rekursiv definierte| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |funktionale Hülle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} gleich dem Durchschnitt über alle funktional abgeschlossenen Teilmengen {{math|term= N \subseteq M|SZ=}} ist, die {{math|term= T|SZ=}} umfassen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rpyk5utjz5l3bieaezfqarwzbex7m8z 0 67017 784774 758241 2022-08-22T06:58:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine offene Kreisscheibe {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P|r}} \subseteq \R^2|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=r >0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und ein offenes Rechteck {{mathl|term= ]a,b[ \times ]c,d[|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=b >a, d>c|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |diffeomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rj8p0y62q84r7n3e0y9z4df7jh7ji83 0 67018 785984 759121 2022-08-22T10:10:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n|SZ=}} und {{mathl|term= Q_1 {{kommadots|}} Q_n|SZ=}} Punkte in der Ebene {{math|term= \R^2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die beiden offenen Mengen {{mathl|term= U=\R^2 \setminus \{P_1 {{kommadots|}} P_n\}|SZ=}} und {{mathl|term= V=\R^2 \setminus \{Q_1 {{kommadots|}} Q_n\}|SZ=}} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |diffeomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} doks5nxh2ee2sohtr9g30y2rqhuz3u0 0 67069 779264 742416 2022-08-21T16:01:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^2|\R |(x,y)|f(x,y) {{=}} x+y^2+x^2y |SZ=. }} Der Punkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} gehört zur {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= 0|SZ=,}} was kann man über die Gestalt der Faser durch diesen Punkt sagen? Die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ math/disp|term= (1+2xy, 2y+x^2) |SZ=. }} Im Nullpunkt ist dies {{mathl|term= (1 ,0) |SZ=,}} der Kern dieser linearen Abbildung ist somit {{mathl|term= \R (0,1) |SZ=.}} Die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x+y^2+x^2y || 0 || || || |SZ= }} lässt sich sowohl nach {{math|term= x |SZ=}} als auch nach {{math|term= y |SZ=}} in gewissen Umgebungen der {{math|term= 0 |SZ=}} auflösen. Für {{ Ma:Vergleichskette | y || 0 || || || |SZ= }} muss {{ Ma:Vergleichskette | x || 0 || || || |SZ= }} sein. Für {{ Ma:Vergleichskette | y |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^2 + {{op:Bruch|x|y}} +y ||0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathlk|term= y \leq \sqrt[3]{ {{op:Bruch|1|4}} }|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || \pm \sqrt{ {{op:Bruch|1-4y^3 |4y^2}} } - {{op:Bruch|1|2y}} || || || |SZ=. }} Dabei konvergiert die Lösung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_1(y) ||\sqrt{ {{op:Bruch|1-4y^3 |4y^2}} } - {{op:Bruch|1|2y}} || {{op:Bruch| \sqrt{ 1-4y^3 } - 1|2y}} || || |SZ= }} für {{mathl|term= y \rightarrow 0|SZ=}} gegen {{mathl|term= (0,0)|SZ=,}} die Lösung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_1(y) ||- \sqrt{ {{op:Bruch|1-4y^3 |4y^2}} } - {{op:Bruch|1|2y}} ||{{op:Bruch| - \sqrt{ 1-4y^3 } - 1|2y}} || || |SZ= }} divergiert hingegen für {{mathl|term= y \rightarrow 0 |SZ=}} gegen {{mathl|term= - \infty |SZ=.}} Daher liegt der Nullpunkt auf dem ersten {{Anführung|Lösungsstrang|SZ=,}} und in einer gewissen kleinen Umgebung des Nullpunktes wird die Faser vollständig durch den ersten Strang beschrieben {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Ma:Vergleichskette/k | y || \sqrt[3]{ {{op:Bruch|1|4}} } || || || |SZ= }} gehen diese beiden Stränge ineinander über| |ISZ=|ESZ=. }} Die Auflösung nach {{math|term= y |SZ=}} ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || \pm \sqrt{ {{op:Bruch|x^4|4}} - x } - {{op:Bruch|x^2|2}} || || || |SZ= }} gegeben. Hier treffen sich beide Stränge im Nullpunkt. Die Projektion der Faser auf die {{math|term= x|SZ=-}}Achse ist in keiner noch so kleinen Umgebung der {{math|term= 0 |SZ=}} eine Bijektion. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1p534rmrx93ysbpern1766kjfwm6ptn 0 67071 780823 754925 2022-08-21T20:12:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\N^r|\N^s || |SZ= }} eine Abbildung und {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|\N^r \times \N^s || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Gamma || {{Mengebed|(n_1 {{kommadots|}} n_{r+s} )| \varphi(n_{ 1} {{kommadots|}} n_{r }) {{=}} ( n_{r+1} {{kommadots|}} n_{r+s} ) }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetisch repräsentierbar| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= \Gamma|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=als Relation| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetisch repräsentierbar| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} skxwwweuql1jqzhha2ft5vn6sts4znf 0 67080 783937 757577 2022-08-22T04:52:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und es seien {{mathl|term= L,L_1 {{kommadots|}} L_m|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Linearformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bigcap_{i {{=}} 1}^m {{op:Kern|L_i|}} |\subseteq| {{op:Kern|L|}} || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{math|term= L|SZ=}} zu dem von den {{mathl|term= L_1 {{kommadots|}} L_m |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=im {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b8zbczui0xnx0kpu9lq1a7360cv5b7n 0 67084 782065 397534 2022-08-21T23:39:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Kann es ein Entscheidungsverfahren für mathematisch relevante Untertheorien {{mathl|term= T \subseteq L^{\rm Ar}_0|SZ=}} geben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Unentscheidbarkeit der Arithmetik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b0vjoful6q7ffkt2744xtyqrt946ecw 0 67086 782064 397595 2022-08-21T23:39:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Kann es ein Entscheidungsverfahren für die Symbolalphabete {{mathl|term= \{0,1,+\}|SZ=}} bzw. {{mathl|term= \{0,1,\cdot\}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils mit Variablen| |ISZ=|ESZ= }} geben? Wo geht bei der Arithmetisierung der Registerprogramme die Addition und wo die Multiplikation ein? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Unentscheidbarkeit der Arithmetik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6dxpl7qske7zux5rr0qj1tm1gp2j8r 0 67098 781766 743961 2022-08-21T22:49:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im Einheitswürfel {{mathl|term= E=[-1,1]^3 \subseteq \R^3 |SZ=}} eingeschriebene Vierecke mit den Eckpunkten {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=-1 \leq a,b \leq 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= (1,a,-1),\, (b,1,-1),\, (-1,-a,1),\, (-b,-1,1) |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen. |Unter welcher Bedingung an {{math|term= a,b|SZ=}} handelt es sich um ein Raute? |Unter welcher Bedingung an {{math|term= a,b|SZ=}} handelt es sich um ein Quadrat? |Für welche {{math|term= a,b|SZ=}} erhält man eine Raute mit maximalem Flächeninhalt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxzkq6xwim0iodydln8rd887kx1xs3n 0 67111 784515 470242 2022-08-22T06:21:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{mathl|term= T, S \subseteq \N|SZ=}} entscheidbare Mengen. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die Vereinigung {{mathl|term= T \cup S|SZ=,}} der Durchschnitt {{mathl|term= T \cap S|SZ=}} und auch das Komplement {{mathl|term= \N \setminus T|SZ=}} entscheidbar sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Entscheidungstheorie (Registermaschine) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor=Lukas Katthän |Bearbeitungsstand= }} c46ht1t60xfvbw2qnmfharjse55dbfr 0 67112 784504 397659 2022-08-22T06:19:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es nur abzählbar viele entscheidbare Teilmengen von {{math|term= \N|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Entscheidungstheorie (Registermaschine) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor=Lukas Katthän |Bearbeitungsstand= }} tpr4zu5wh6mofyduue1uezo74rmksg7 0 67113 780828 397660 2022-08-21T20:13:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^{\mathrm{Ar} }|SZ=}} ein Ausdruck in der Sprache der Arithmetik {{ Zusatz/Klammer |text=mit den Konstanten {{mathl|term= 0,1|SZ=,}} den Funktionssymbolen {{mathl|term= +, \cdot|SZ=}} und dem Relationssymbol {{math|term= \geq|SZ=}} |ISZ=|ESZ=, }} der keine Quantoren enthält und nur eine einzige Variable {{math|term= x|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}: Die Menge {{math|term= T|SZ=}} aller {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} die {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} erfüllen, d.h. {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || {{mengebed| n \in \N|\N \frac{n}{x} \vDash {{logprop}} }} || || || |SZ=, }} ist entscheidbar. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Entscheidungstheorie (Registermaschine) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor=Lukas Katthän |Bearbeitungsstand= }} 8lgg5qlnfajzm2ihvtjy3lr8xe3mejz 0 67114 784502 459639 2022-08-22T06:19:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass jede endliche Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq \N|SZ=}} der natürlichen Zahlen entscheidbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Entscheidungstheorie (Registermaschine) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor=Lukas Katthän |Bearbeitungsstand= }} 4mnfics04gvvcba78i3lro0yqtgj06l 0 67115 784514 459640 2022-08-22T06:21:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{mathl|term= A, B \subseteq \N|SZ=}} Teilmengen, deren symmetrische Differenz {{mathl|term= A \mathop{\triangle} B|SZ=}} endlich sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A|SZ=}} genau dann aufzählbar bzw. entscheidbar ist, wenn {{math|term= B|SZ=}} aufzählbar bzw. entscheidbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Entscheidungstheorie (Registermaschine) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor=Lukas Katthän |Bearbeitungsstand= }} nhp6oxydocy67kzxudefecln4kmlsei 0 67116 784512 758078 2022-08-22T06:20:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= T \subseteq \N|SZ=}} eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Es gebe ein {{ Definitionslink |Prämath= |Programm für eine Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das die Elemente von {{math|term= T|SZ=}} in aufsteigender Reihenfolge ausgibt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} entscheidbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Entscheidungstheorie (Registermaschine) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor=Lukas Katthän |Bearbeitungsstand= }} n7wqv6syuleqdnpofpoto13e5248m40 0 67150 780852 754955 2022-08-21T20:17:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq L^{{Symbolalphabet|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |aufzählbar axiomatisierbare Theorie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{logprop|}}_1 {{kommadots|}} {{logprop|}}_n \in L^{{Symbolalphabet|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{ Ma:Vergleichskette/disp |T' || {{makl| T \cup \{ {{logprop|}}_1 {{kommadots|}} {{logprop|}}_n \} |}}^\vdash || || || |SZ= }} aufzählbar axiomatisierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 50hr3tkr6yowqtmqdvyzlawbeij5f1k 0 67151 786619 759635 2022-08-22T11:55:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{math|term= R|SZ=-}}Aufzählung der in {{math|term= {{Symbolalphabet|}}|SZ=}} vorkommenden Variablen, Konstanten und Funktionssymbole. Zeige{{n Sie}}, dass es auch eine {{math|term= R|SZ=-}}Aufzählung der {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}} |Terme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s4zyp51zybu2e942ufznl15biajvsv0 0 67152 786618 759634 2022-08-22T11:55:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{math|term= R|SZ=-}}Aufzählung der in {{math|term= {{Symbolalphabet|}}|SZ=}} vorkommenden Variablen, Konstanten, Funktionssymbole und Relationssymbole. Zeige{{n Sie}}, dass es auch eine {{math|term= R|SZ=-}}Aufzählung der {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}} |Ausdrücke| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pnc7gdkar4tj0i3qqr3gpkkjfoi73n5 0 67155 782387 756226 2022-08-22T00:33:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f \in {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol. Zeige{{n Sie}}, dass der Ausdruck {{ math/disp|term= \exists y {{makl| {{makl| fx_1 {{ldots|}} x_n {{=|}} y |}} {{logund|}} \forall z {{makl| {{makl| fx_1 {{ldots|}} x_n {{=|}} z |}} \rightarrow y {{=|}} z |}} |}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeingültig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oflh7bs8h7csblvly7huuwc8a9eq2n8 0 67156 782386 756225 2022-08-22T00:33:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f \in {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol. Erstelle{{n Sie}} eine Ableitung für den Ausdruck {{ math/disp|term= \exists y {{makl| {{makl| fx_1 {{ldots|}} x_n {{=|}} y |}} {{logund|}} \forall z {{makl| {{makl| fx_1 {{ldots|}} x_n {{=|}} z |}} \rightarrow y {{=|}} z |}} |}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hj7uuy38rj4o0994xyb9to31ditpn7c 0 67160 784117 757773 2022-08-22T05:22:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M_k=({(a_{ij} })_k)_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}|SZ=}} eine Folge von reellen {{mathl|term= m\times n|SZ=-}}Matrizen und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_k |\R^n|\R^m || |SZ= }} die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige{{n Sie}}, dass die Folgen der Einträge {{mathl|term= ({a_{ij} })_k |SZ=}} für alle {{mathl|term= i,j|SZ=}} genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen {{ Definitionslink |Prämath= |punktweise konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Homomorphismenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fvjdt5a2230nktr02m8cu9td6idojb5 0 67165 781030 755095 2022-08-21T20:47:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine Menge und {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{mengebed|f:T \rightarrow E| {{op:Norm|f|}}_T < \infty }} || || || |SZ= }} die Menge der beschränkten {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} nach {{math|term= E|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Supremumsnorm| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} folgende Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung4 |{{mathl|term= {{op:Norm|f|}} \geq 0|SZ=}} für alle {{math|term= f \in M|SZ=.}} |{{mathl|term= {{op:Norm|f|}} = 0|SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= f=0|SZ=}} ist. |Für {{mathl|term= \lambda \in \R |SZ=}} und {{mathl|term= f \in M|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\lambda f|}} ||{{op:Betrag|\lambda|}} \cdot {{op:Norm|f|}} || || || |SZ=. }} |Für {{mathl|term= g,f \in M|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|g+f|}} | \leq| {{op:Norm|g|}} + {{op:Norm|f|}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jprh9yb5qec90ppavga1i664z5eo3w0 0 67166 781028 755093 2022-08-21T20:46:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine Menge, {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{mengebed|f:T \rightarrow E| {{op:Norm|f|}}_T < \infty }} || || || |SZ= }} die Menge der beschränkten {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} nach {{math|term= E|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass eine Folge {{mathl|term= {{Op:Folge|f}} |SZ=}} aus {{math|term= M|SZ=}} genau dann gegen {{math|term= f \in M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn diese Folge im durch die {{ Definitionslink |Supremumsnorm| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Abbildungsfolgen in metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7hq9r8efub2umiyopfotgxg7j3o2vvm 0 67167 781029 755094 2022-08-21T20:46:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine Menge und {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{mengebed|f:T \rightarrow E| {{op:Norm|f|}}_T < \infty }} || || || |SZ= }} die Menge der beschränkten {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} nach {{math|term= E|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Supremumsnorm| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ya6gfvm6yq8cy06tm0a7wq67icl4mr 0 67171 783250 756950 2022-08-22T02:57:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^{\rm Ar}|SZ=}} das Axiomensystem eines {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Gamma|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Repräsentierungen erlaubt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0fj7f3of9e1zyw20zfotmwtinwtjtik 0 67175 782073 755963 2022-08-21T23:41:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichheit von natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=also die Diagonalrelation in {{math|term= \N^2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} durch den Ausdruck {{mathl|term= x=y|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Peano-Arithmetik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |repräsentierbar| |Kontext=Relation Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2=Theorie der erststufigen Peano-Arithmetik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ctirueztr6ckky6set2hon5boq9ekj 0 67176 783251 756951 2022-08-22T02:57:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^{\rm Ar}|SZ=}} das Axiomensystem eines {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichheit von natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=also die Diagonalrelation in {{math|term= \N^2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} durch den Ausdruck {{mathl|term= x=y|SZ=}} in {{math|term= \Gamma|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |repräsentiert| |Kontext=Relation Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qkqcshn7iorgj6tpj2rgvj6v8w1aomk 0 67177 782074 755966 2022-08-21T23:41:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= k \in \N|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logprop|}} | {{defeq|}} | \exists y (y {{plusdots|}} y {{=|}} x) || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= k|SZ=-}}mal der Summand {{math|term= y|SZ=}} vorkommt. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \N k \subseteq \N|SZ=,}} also die Menge der Vielfachen von {{math|term= k|SZ=,}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Peano-Arithmetik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |repräsentiert| |Kontext=Relation Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2=Theorie der erststufigen Peano-Arithmetik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} if3zu7azncl6k7ln0eftg2rohz8o8zt 0 67185 780462 748892 2022-08-21T19:12:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |T|\R^m || |SZ= }} eine Folge von Abbildungen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f_n|SZ=}} genau dann gegen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Grenzabbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |T|\R^m || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Komponentenfunktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (f_i)_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig| |Kontext=Konvergenz R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term= f_i|SZ=}} konvergieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsfolgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gthfl90piw07qqoghlnwryn8wgl4gbd 0 67187 781395 755416 2022-08-21T21:48:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= G \subseteq \R^m|SZ=}} offen und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G|\R^n || |SZ= }} eine in {{math|term= P \in G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |injektivem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |totalen Differential| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Umgebung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= U|SZ=}} von {{math|term= P|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi^{-1}(\varphi(P)) \cap U || \{P\} || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über die injektive Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tpz8e3ie6ihn06y9m4p6q97q1homj9n 0 67188 784964 758396 2022-08-22T07:26:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\N|\N || |SZ= }} eine Polynomfunktion mit {{ Ma:Vergleichskette |f(n) ||a_d n^d +a_{d-1}n^{d-1} {{plusdots|}} a_1n+a_0 || || || |SZ= }} mit Koeffizienten {{mathl|term= a_i \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} durch den Ausdruck {{mathl|term= y=a_d x^d +a_{d-1}x^{d-1} {{plusdots|}} a_1x+a_0|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Peano-Arithmetik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |repräsentiert| |Kontext=Abbildung Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=6 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bwodulrqj1xocls2vgz4yn5cu7eflip 0 67201 786410 739201 2022-08-22T11:20:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | U | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= U|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängend| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn man je zwei Punkte {{ Ma:Vergleichskette | P,Q |\in| U || || || |SZ= }} durch einen {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbaren Weg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} verbinden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der wegzusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie2=Theorie der zusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie3=Topologie von euklidischen Vektorräumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ku5nhicshcnpe2990mf0nj24qu9oh3a 0 67275 780825 754929 2022-08-21T20:12:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^{\rm Ar}|SZ=}} eine arithmetische Ausdrucksmenge ohne freie Variablen und {{mathl|term= R \subseteq \N|SZ=}} eine Relation. Es seien {{mathl|term= {{logprop|}}, {{logprop2|}} \in L^{\rm Ar} |SZ=}} Ausdrücke in einer freien Variablen {{math|term= x|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass aus {{ math/disp|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} \leftrightarrow {{logprop2|}} |SZ= }} folgt, dass {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} in {{math|term= \Gamma|SZ=}} die Relation {{math|term= R|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |repräsentiert| |Kontext=Relation Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{mathl|term= {{logprop2|}} |SZ=}} in {{math|term= \Gamma|SZ=}} die Relation {{math|term= R|SZ=}} repräsentiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3m7ov77g1oqgeqebjg4vofw5z7t6q6 0 67300 781596 755544 2022-08-21T22:21:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} ein dreistelliges Relationssymbol und {{math|term= L|SZ=}} die zugehörige prädikatenlogische Sprache. Es sei {{math|term= I|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Interpretation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der die Grundmenge die euklidische Ebene ist und {{math|term= G|SZ=}} durch die dreistellige Relation interpretiert wird, bei der {{mathl|term= G(A,B,C)|SZ=}} zutrifft, wenn die Punkte {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} auf einer Geraden liegen. {{ Aufzählung5 |Zeige{{n Sie}} {{mathl|term= I \vDash Gxyz \leftrightarrow Gyxz |SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass im Allgemeinen nicht {{mathl|term= I \vDash \forall x \forall y \forall z {{makl| Gxyz \rightarrow Gxyu |}} |SZ=}} gelten muss. |Es sei {{mathl|term= \Gamma=\{ \forall x \forall y \forall z {{makl| Gxyz \leftrightarrow Gyxz |}} , \, \forall x \forall y \forall z {{makl| Gxyz \leftrightarrow Gxzy |}} \}|SZ=.}} Erstelle{{n Sie}} eine Ableitung für {{mathl|term= \Gamma \vdash Gxyz \leftrightarrow Gyzx|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass der Ausdruck {{mathl|term= Gxyz {{logund|}} Gxyu |SZ=}} bei der gegebenen Interpretation nicht bedeutet, dass die die freien Variablen {{mathl|term= x,y,z,u|SZ=}} belegenden Punkte auf einer Geraden liegen. |Formuliere{{n Sie}} einen Ausdruck aus {{math|term= L|SZ=}} in vier freien Variablen, der bei der gegebenen Interpretation besagt, dass die die freien Variablen belegenden Punkte auf einer Geraden liegen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der euklidischen Ebene |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |p1=1 |p2=1 |p3=4 |p4=2 |p5=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o82hljvp4mv17earzu8h26qmp4zkztg 0 67302 785571 398872 2022-08-22T09:01:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden folgenden Punktkonfigurationen im {{math|term= \R^2|SZ=,}} {{ math/disp|term= M=\{(0,0), (0,1), (1,0), (2,0) \} \text{ und } N=\{(0,0), (0,1), (1,0), (3,0) \} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es keine lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\R^2| \R^2 || |SZ= }} gibt, die {{math|term= M|SZ=}} in {{math|term= N|SZ=}} überführt. Widerspricht dies {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3z4no8ryhvn7r4uorxnji5na36mwsgv 0 67315 785492 468154 2022-08-22T08:48:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle einen prädikatenlogischen Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=,}} der in einer Struktur genau dann gilt, wenn die Grundmenge der Struktur genau {{math|term= 4|SZ=}} Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eko0e2vcvl6r02s1f5i15wo7zsxdxxr 0 67321 783956 757593 2022-08-22T04:55:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= I|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}} |Interpretation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einer Menge {{math|term= M|SZ=,}} wobei die {{ Definitionslink |Prämath= |Terminterpretation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass die Gültigkeitsmenge {{mathl|term= \Gamma =I^\vDash|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |maximal widerspruchsfrei| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und {{ Definitionslink |Prämath= |Beispiele enthält| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l7heh2yoh4wfjl4k7qf5y82xnpyxbce 0 67325 786114 759272 2022-08-22T10:32:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq \N|SZ=}} eine Teilmenge von natürlichen Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath=R |entscheidbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn sowohl {{math|term= T|SZ=}} als auch das Komplement {{mathl|term= \N \setminus T|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=R |aufzählbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bznnxq9rpfdj4yh3w5gvf89nm1l3ys 0 67363 780824 754928 2022-08-21T20:12:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^{\rm Ar}|SZ=}} eine arithmetische Ausdrucksmenge und {{mathl|term= R \subseteq \N|SZ=}} eine Relation. Es seien {{mathl|term= {{logprop|}}, {{logprop2|}} \in L^{\rm Ar} |SZ=}} Ausdrücke in einer freien Variablen {{math|term= x|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass aus {{ math/disp|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} \leftrightarrow {{logprop2|}} |SZ= }} {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} folgt, dass {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} in {{math|term= \Gamma|SZ=}} die Relation {{math|term= R|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |repräsentiert| |Kontext=Relation Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{mathl|term= {{logprop2|}} |SZ=}} in {{math|term= \Gamma|SZ=}} die Relation {{math|term= R|SZ=}} repräsentiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ifloxj2m137onepqo6z1kls77r39o7z 0 67366 782579 756352 2022-08-22T01:05:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= x,y,u,v|SZ=}} Variablen und {{mathl|term= \Gamma =\{ \forall x \forall y {{makl| x {{=|}} y |}} \}|SZ=}} und {{mathl|term= \Delta = \{ x {{=|}} y \} |SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Bezug auf den Vollständigkeitssatz| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= \Gamma \vdash u=v|SZ=.}} |Charakterisiere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Modelle| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} mit {{mathl|term= M \vDash \Gamma|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}} {{mathl|term= \Delta \not\vdash u=v|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ossn4tf26yjkkormafi58cyw6sjcst 0 67371 786120 759281 2022-08-22T10:33:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Entwerfe{{n Sie}} ein Programm für eine {{ Definitionslink |Prämath= |Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das die Potenz {{mathl|term= r_j^{r_k}|SZ=}} berechnet, wobei {{mathl|term= r_j|SZ=}} und {{mathl|term= r_k|SZ=}} die Inhalte im {{math|term= j|SZ=-}}ten bzw. {{math|term= k|SZ=-}}ten Register sind. |Entwerfe{{n Sie}} ein Programm für eine Registermaschine, das entscheidet, ob der Registerinhalt {{math|term= r_i|SZ=}} des Registers {{math|term= R_i|SZ=}} die echte Potenz einer natürlichen Zahl ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6mmox13c7e1mywjm9dzcnwnn6ydh87y 0 67372 784498 758071 2022-08-22T06:19:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=F |\N|\N || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(n) ||\begin{cases} \sqrt{n} \, ,\text{ falls } \sqrt{n} \in \N \, ,\\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases} || || || |SZ= }} einen Ausdruck an, der {{math|term= F|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetisch repräsentiert| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nja2p4qttfydkz99fephyq28zeid3i0 0 67378 786193 759339 2022-08-22T10:45:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= L^{{symbolalphabet|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |prädikatenlogische Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol {{math|term= A|SZ=}} und einem dreistelligen Relationssymbol {{math|term= B|SZ=}} bestehe. Wir betrachten {{ Definitionslink |Prämath={{symbolalphabet|}} |Interpretationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= I|SZ=,}} wobei die Grundmenge jeweils aus einem {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} bestehe und {{math|term= A|SZ=}} als die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Unabhängigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von zwei und {{math|term= B|SZ=}} als die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren interpretiert werde. {{ Aufzählung5 |Zeige{{n Sie}} {{ math/disp|term= I \vDash Bxyz \rightarrow Axy |SZ=. }} |Gilt {{ math/disp|term= I \vDash Axy {{logund|}} Axz {{logund|}} Ayz \rightarrow Bxyz |SZ= }} für einen beliebigen Vektorraum? |Gibt es Vektorräume, für die die Aussage in Teil 2 gilt? |Es sei {{mathl|term= V= \R^3|SZ=}} und {{mathl|term= e_1,e_2,e_3|SZ=}} sei die Standardbasis. Gilt {{ math/disp|term= I {{op:Bruch|e_1,e_2,e_3|x,y,z}} \vDash Bxyz |SZ=? }} |Es sei {{mathl|term= V=\R|SZ=}} als {{math|term= \Q|SZ=-}}Vektorraum betrachtet. Gilt {{ math/disp|term= I {{op:Bruch| 1, \sqrt{2}|x,y}} \vDash Axy |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=1 |p2=3 |p3=2 |p4=1 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qqaia9m0qzwdo1mvda3zjl0awo6y4eq 0 67379 786192 759338 2022-08-22T10:45:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= L^{{symbolalphabet|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |prädikatenlogische Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ, }} die neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol {{math|term= A|SZ=}} und einem dreistelligen Relationssymbol {{math|term= B|SZ=}} bestehe. Wir betrachten {{ Definitionslink |Prämath={{symbolalphabet|}} |Interpretationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= I|SZ=,}} wobei die Grundmenge jeweils aus einem {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} bestehe und {{math|term= A|SZ=}} als die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Unabhängigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von zwei und {{math|term= B|SZ=}} als die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren interpretiert werde. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}} {{ math/disp|term= I \vDash Bxyz \rightarrow Axy |SZ=. }} |Gilt {{ math/disp|term= I \vDash Axy {{logund|}} Axz {{logund|}} Ayz \rightarrow Bxyz |SZ= }} für einen beliebigen Vektorraum? |Gibt es Vektorräume, für die die Aussage in Teil 2 gilt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7cptpuzl2boc14g7t8duwnp6671exya 0 67427 786134 759291 2022-08-22T10:35:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|0|0|0}} |SZ=}} der einzige {{ Definitionslink |Prämath= |nichtreguläre Punkt| |Kontext=R Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Faser zur Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3|\R |(x,y,z)|x^2 + y^3 + z^7 +xyz |SZ=, }} über {{math|term= 0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 990ekuj9drplem1qiar09lc4xlssyt0 0 67471 783889 510232 2022-08-22T04:44:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|x|y|z}}' ||{{op:Matrix33|0|1|0|0|0|-2|0|0|0}} {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=v |\R|\R^3 || |SZ= }} eine Lösung dieser Differentialgleichung. Zeige{{n Sie}}, dass die beiden Funktionen {{mathl|term= f(x,y,z)=z|SZ=}} und {{mathl|term= g(x,y,z)= 4xz+y^2|SZ=}} auf {{ Zusatz/Klammer |text=dem Bild| |ISZ=|ESZ= }} der Lösung konstant sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2=Theorie der lokal nilpotenten Derivationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ly9nwsfm8xs5huz8ro0lh4yb27c68cq 0 67489 782236 604576 2022-08-22T00:08:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Karl trinkt eine Flasche Bier {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= 0{,}5|SZ=}} Liter| |ISZ=|ESZ= }} mit einem Alkoholgehalt von {{math|term= 5|SZ=}} Prozent. {{math|term= 10|SZ=}} Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat {{ Zusatz/Klammer |text=diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert| |ISZ=|ESZ=. }} Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n1kj290gi2j4kicurrgzth2jexvc311 0 67506 781241 472815 2022-08-21T21:22:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} eine Darstellung der {{math|term= 1|SZ=}} für das Zahlenpaar {{ mathkor|term1= 11 |und|term2= 13 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mostbxxdnb7wc4x8jjl89jfcwvb1web 0 67524 785043 738925 2022-08-22T07:38:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= P,Q|SZ=}} zwei komplexe {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. reelle| |ISZ=|ESZ= }} Polynome und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{KRC}}^2|{{KRC}}^2 |(x,y)|(P(x,y),Q(x,y)) |SZ=, }} die zugehörige Abbildung. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} sei in jedem Punkt {{mathl|term= P \in {{KRC}}^2|SZ=}} von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass bei {{mathl|term= {{KRC}}= {{CC}} |SZ=}} die Determinante konstant ist. |Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass bei {{mathl|term= {{KRC}}= \R |SZ=}} die Determinante nicht konstant sein muss. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (K) |Kategorie2=Fundamentalsatz der Algebra |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=5 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6kyh0wgzig7n3g4887w4vr2l1y9tvuu 0 67528 783729 456252 2022-08-22T04:17:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von {{math|term= 20|SZ=}} Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie. Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten? {{ Aufzählung3 |Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur. |Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur. |Linda engagiert sich bei Attac. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Wahrscheinlichkeitstheorie |Kategorie2=Alltagslogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l7xs4dg19a08uc2hxytwuw60j06roda 106 67568 784423 696572 2022-08-22T06:09:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Vorlesungsgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|term=Ganze Zahlen und Rechengesetze}} Wir arbeiten mit den folgenden Mengen, deren Kenntnis wir voraussetzen. {{ Ma:Vergleichskette/disp |\N || \{0,1,2, \ldots \} || || || |SZ=, }} die Menge der {{Stichwort|natürlichen Zahlen|msw=Natürliche Zahlen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der {{math|term=0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Z || \{\ldots, -2,-1, 0,1,2, \ldots \} || || || |SZ=, }} die Menge der {{Stichwort|ganzen Zahlen|msw=Ganze Zahlen|SZ=.}} Diese Mengen sind mit den natürlichen Operationen Addition und Multiplikation versehen, an deren Eigenschaften wir erinnern. {{:Ganze Zahlen/Rechengesetze/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Induktion}} {{ inputbild |Domen-indukto|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor=Joachim Mohr |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Mathematische Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen, können mit dem Beweisprinzip der {{Stichwort|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=}} bewiesen werden. Die folgende Aussage präzisiert und begründet dieses Prinzip. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz||opt1=Damit enthält {{math|term=M|SZ=}} die {{math|term=0|SZ=,}} daher die {{math|term=1|SZ=,}} daher die {{math|term=2|SZ=,}} usw., und damit überhaupt alle natürlichen Zahlen. }} Der Nachweis von {{ Zusatz/Klammer |text=der Gültigkeit von| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term=A(0)|SZ=}} heißt dabei der {{Stichwort|Induktionsanfang|SZ=}} und der Schluss von {{mathl|term=A(n)|SZ=}} auf {{mathl|term=A(n+1)|SZ=}} heißt der {{Stichwort|Induktionsschluss|SZ=.}} Innerhalb des Induktionsschlusses nennt man die Gültigkeit von {{mathl|term=A(n)|SZ=}} auch die {{Stichwort|Induktionsvoraussetzung|SZ=.}} In manchen Situationen ist die Aussage {{mathl|term=A(n)|SZ=}} erst für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} für ein gewisses {{math|term=n_0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=definiert oder| |ISZ=|ESZ= }} wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage {{mathl|term=A(n_0)|SZ=}} und den Induktionsschluss führt man für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} durch. Das folgende Standardbeispiel für einen Induktionsbeweis verwendet das {{Stichwort|Summenzeichen|SZ=.}} Für gegebene reelle Zahlen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ=. }} Dabei hängen im Allgemeinen die {{math|term= a_k |SZ=}} in einer formelhaften Weise von {{math|term=k|SZ=}} ab. Entsprechend ist das {{Stichwort|Produktzeichen}} definiert, nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \prod_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 \cdot a_2 {{cdots|}} a_{n-1} \cdot a_n || || || |SZ=. }} Insbesondere sind für {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} die {{Stichwort|Potenzen|msw=Potenz}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | a^n || \prod_{i{{=}}1}^n a || a^{n-1} \cdot a || \underbrace{a \cdot a {{cdots|}} a}_{n\text{-mal} } || |SZ= }} definiert. Dabei gelten die Konventionen {{ Ma:Vergleichskette |0 a || 0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | a^0 || 1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die erste lässt sich auch über die Multiplikation begründen, die zweite ist aber auch sinnvoll| |SZ=. }} Als Rechenregeln für das Potenzieren gelten {{ Aufzählung3 | {{ Ma:Vergleichskette/disp | (a\cdot b)^n || a^n \cdot b^n || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | a^{n+m} || a^n \cdot a^m || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | (a^{n})^m || a^{n m} || || || |SZ=. }} }} {{ inputaufgabelösung |Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe|| }} Aussagen, die durch Induktion bewiesen werden können, können manchmal auch auf andere Art bewiesen werden. Im vorstehenden Beispiel gibt es die elegantere und einsichtigere Lösung, die Zahlen einmal aufsteigend und einmal absteigend untereinander hinzuschreiben, also {{ math/disp|term= 1 \, \,\, \, \, \, \, \,\, \, \, \, 2\, \, \, \,\, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \,3 \, \, \, \, {{cdots|}}\, \, \, \, n-2 \, \, \, \, n-1\, \, \, \, n |SZ= }} {{ math/disp|term= n\, \, \, \, \, n-1 \, \, \, \, \, \, n-2 \, \,\, \, {{cdots|}}\, \,\, \, 3\, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2\, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, 1 |SZ= }} Spaltenweise ergibt sich {{mathl|term= n+1 |SZ=,}} und diese Summe kommt {{math|term=n|SZ=-}}mal vor. Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 {{makl| \sum_{i{{=}} 1}^n i |}} || n {{makl| n+1 |}} || || || |SZ=. }} {{ inputaufgabelösung |Induktion/6^(n+2)+7^(2n+1) teilbar durch 43/Aufgabe|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Division mit Rest}} Jede natürliche Zahl lässt sich bekanntlich als eine Ziffernfolge {{Anführung|im Zehnersystem}} ausdrücken. Dies beruht auf der {{ Zusatz/Klammer |text=sukzessiven| |ISZ=|ESZ= }} Division mit Rest. {{ inputfaktbeweis |Division mit Rest/N/Induktion/Fakt|Satz||zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Bei {{math|term=q|SZ=}} denke man an Quotient und bei {{math|term=r|SZ=}} an Rest| |ISZ=.|ESZ= }} }} Mit der Division mit Rest können wir die Existenz und Eindeutigkeit der üblichen Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl beweisen. Hinter der Zifferndarstellung verbirgt sich eine Mischung aus Addition, Multiplikation und Potenzierung. {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt|Satz|| || }} Eine entsprechende Aussage gilt für jede Basis {{ Ma:Vergleichskette |g |\geq|2 || || || |SZ= }} statt {{ Ma:Vergleichskette |g || 10 || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |g ||2 || || || |SZ= }} spricht man vom {{Stichwort|Dualsystem|SZ=,}} die einzigen Ziffern sind {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=, }} bei {{ Ma:Vergleichskette |g ||3 || || || |SZ= }} vom {{Stichwort|Dreiersystem|SZ=}} mit den Ziffern {{mathl|term=0,1,2|SZ=}} u.s.w.. Bei {{ Ma:Vergleichskette |g ||16 || || || |SZ= }} spricht man vom {{Stichwort|Hexadezimalsystem|SZ=}} und verwendet die Ziffern {{mathl|term= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F |SZ=.}} {{Fußnotenliste}} }} jarqbca5rrco7se5qwdksadrkmsriee 106 67571 778711 699809 2022-08-21T12:44:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Die rationalen Zahlen}} {{:Rationale Zahlen/Brüche/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Die reellen Zahlen}} {{ inputbild |Real number line|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Real_number_line |Text= |Autor= |Benutzer=Phrood |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir werden nun die reellen Zahlen besprechen, die wir uns durch alle Punkte der Zahlengeraden vorstellen. Diese Vorstellung ist keineswegs unproblematisch, sie ist aber intuitiv sehr wertvoll. Allerdings ist die Intuition in der Mathematik kein Beweismittel. Ferner wird die Intuition häufig überschätzt und mit Gewohnheit verwechselt. Haben Sie eine sichere intuitive Vorstellung zur Multiplikation auf der Zahlengeraden? Unsere Vorgehensweise ist daher, grundlegende Eigenschaften der reellen Zahlen ein für allemal zu formulieren und dann alle weiteren Eigenschaften aus diesen Grundeigenschaften abzuleiten. Diese grundlegenden Eigenschaften decken sich mit unserer intuitiven Vorstellung einer kontinuierlichen Zahlengeraden und mit unserer Rechenerfahrung mit reellen Zahlen. Grundlegende Eigenschaften von mathematischen Strukturen werden als {{Stichwort|Axiome|SZ=}} bezeichnet. In der Mathematik werden sämtliche Eigenschaften aus den Axiomen logisch abgeleitet. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei reellen Zahlen eine weitere reelle Zahl zu, man spricht auch von {{Stichwort|Verknüpfungen|msw=Verknüpfung|SZ=.}} Es genügt, nur Gesetzmäßigkeiten für die Addition und die Multiplikation aufzulisten, Subtraktion und Division ergeben sich als abgeleitete Operationen. Die Existenz der Addition und der Multiplikation ist Teil der Axiome. {{ inputfakt |Reelle Zahlen/Algebraische Axiome/Fakt|Proposition| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule vertraut. Zur Vereinfachung der Schreibweisen verwenden wir die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term= a \cdot b + c \cdot d |SZ=}} statt {{mathl|term= (a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Es ist Teil der Axiomatik, dass sie verschieden sind. Zu einer reellen Zahl {{math|term=a |SZ=}} nennt man das Element {{math|term=b|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a+b || 0 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=.}} Es ist durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt und man bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette | -(-a) || a || || || |SZ=, }} da wegen {{ Ma:Vergleichskette | a+(-a) || 0 || || || |SZ= }} das Element {{math|term=a|SZ=}} gleich dem {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmten| |ISZ=|ESZ= }} Negativen von {{math|term=-a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term= b+(-a) |SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Zu einer reellen Zahl {{ mathbed|term= a ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man das Element {{math|term=c|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |ac ||1 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in \R ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Ma:Vergleichskette/disp | a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} | {{defeq|}} |a b^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also Abkürzungen für den rechten Ausdruck. Zu einer reellen Zahl {{math|term=a |SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} wird die Potenz {{mathl|term= a^n |SZ=}} als das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term=a|SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} wird {{mathl|term= a^{-n} |SZ=}} als {{mathl|term= (a^{-1})^n |SZ=}} interpretiert. {{Zwischenüberschrift|term=Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen}} Bekanntlich kann man die reellen Zahlen mit einer Geraden identifizieren. Auf der Zahlengeraden liegen von zwei Punkten einer weiter rechts als der andere, was bedeutet, dass sein Wert größer ist. Wir besprechen nun diese Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen. {{:Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Intervalle/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text={{:Logische Äquivalenz/Kurzerläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |ISZ=|ESZ= }}}} {{Zwischenüberschrift|term=Der Betrag}} {{ inputbild |Absolute value|svg|250px {{!}} right {{!}} |epsname=Absolute_value |Autor= |Benutzer= Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Betrag/Definition|| }} Der Betrag ist also nie negativ und hat nur bei {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ= }} den Wert {{math|term=0|SZ=,}} sonst ist er immer positiv. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|{{op:Betrag|x}} |SZ=, }} nennt man auch {{Stichwort|Betragsfunktion|SZ=.}} Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch {{Stichwort|stückweise linear|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Reelle Zahlen/Betragseigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Fußnotenliste}} }} 6sns8zo6zpn888qqwto9jq3ju41b1ll 784444 778711 2022-08-22T06:12:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Die rationalen Zahlen}} {{:Rationale Zahlen/Brüche/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Die reellen Zahlen}} {{ inputbild |Real number line|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Real_number_line |Text= |Autor= |Benutzer=Phrood |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir werden nun die reellen Zahlen besprechen, die wir uns durch alle Punkte der Zahlengeraden vorstellen. Diese Vorstellung ist keineswegs unproblematisch, sie ist aber intuitiv sehr wertvoll. Allerdings ist die Intuition in der Mathematik kein Beweismittel. Ferner wird die Intuition häufig überschätzt und mit Gewohnheit verwechselt. Haben Sie eine sichere intuitive Vorstellung zur Multiplikation auf der Zahlengeraden? Unsere Vorgehensweise ist daher, grundlegende Eigenschaften der reellen Zahlen ein für allemal zu formulieren und dann alle weiteren Eigenschaften aus diesen Grundeigenschaften abzuleiten. Diese grundlegenden Eigenschaften decken sich mit unserer intuitiven Vorstellung einer kontinuierlichen Zahlengeraden und mit unserer Rechenerfahrung mit reellen Zahlen. Grundlegende Eigenschaften von mathematischen Strukturen werden als {{Stichwort|Axiome|msw=Axiom|SZ=}} bezeichnet. In der Mathematik werden sämtliche Eigenschaften aus den Axiomen logisch abgeleitet. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei reellen Zahlen eine weitere reelle Zahl zu, man spricht auch von {{Stichwort|Verknüpfungen|msw=Verknüpfung|SZ=.}} Es genügt, nur Gesetzmäßigkeiten für die Addition und die Multiplikation aufzulisten, Subtraktion und Division ergeben sich als abgeleitete Operationen. Die Existenz der Addition und der Multiplikation ist Teil der Axiome. {{ inputfakt |Reelle Zahlen/Algebraische Axiome/Fakt|Proposition| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule vertraut. Zur Vereinfachung der Schreibweisen verwenden wir die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term= a \cdot b + c \cdot d |SZ=}} statt {{mathl|term= (a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Es ist Teil der Axiomatik, dass sie verschieden sind. Zu einer reellen Zahl {{math|term=a |SZ=}} nennt man das Element {{math|term=b|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a+b || 0 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=.}} Es ist durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt und man bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette | -(-a) || a || || || |SZ=, }} da wegen {{ Ma:Vergleichskette | a+(-a) || 0 || || || |SZ= }} das Element {{math|term=a|SZ=}} gleich dem {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmten| |ISZ=|ESZ= }} Negativen von {{math|term=-a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term= b+(-a) |SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Zu einer reellen Zahl {{ mathbed|term= a ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man das Element {{math|term=c|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |ac ||1 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in \R ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Ma:Vergleichskette/disp | a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} | {{defeq|}} |a b^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also Abkürzungen für den rechten Ausdruck. Zu einer reellen Zahl {{math|term=a |SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} wird die Potenz {{mathl|term= a^n |SZ=}} als das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term=a|SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} wird {{mathl|term= a^{-n} |SZ=}} als {{mathl|term= (a^{-1})^n |SZ=}} interpretiert. {{Zwischenüberschrift|term=Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen}} Bekanntlich kann man die reellen Zahlen mit einer Geraden identifizieren. Auf der Zahlengeraden liegen von zwei Punkten einer weiter rechts als der andere, was bedeutet, dass sein Wert größer ist. Wir besprechen nun diese Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen. {{:Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Intervalle/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text={{:Logische Äquivalenz/Kurzerläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |ISZ=|ESZ= }}}} {{Zwischenüberschrift|term=Der Betrag}} {{ inputbild |Absolute value|svg|250px {{!}} right {{!}} |epsname=Absolute_value |Autor= |Benutzer= Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Betrag/Definition|| }} Der Betrag ist also nie negativ und hat nur bei {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ= }} den Wert {{math|term=0|SZ=,}} sonst ist er immer positiv. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|{{op:Betrag|x}} |SZ=, }} nennt man auch {{Stichwort|Betragsfunktion|SZ=.}} Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch {{Stichwort|stückweise linear|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Reelle Zahlen/Betragseigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Fußnotenliste}} }} ixs8v5fmhkdyz39idn6qm64fa0buulu 0 67600 782164 400019 2022-08-21T23:56:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R |(x,y)| f(x,y) {{=|}} x^2+ 3xy-y^3 |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die kritischen Punkte und Extrema von {{math|term= f|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} für jeden kritischen Punkt {{math|term= P|SZ=}} von {{math|term= f|SZ=}} und jede Gerade durch {{math|term= P|SZ=,}} ob {{math|term= f|SZ=}} längs dieser Geraden in {{math|term= P|SZ=}} lokale Extrema besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=4 |p2=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o8ue8tk9mhw1ep7ttimj5unjxvhztg0 0 67614 786428 759499 2022-08-22T11:23:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine mathematische Begriffsbildung, die als {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}} |Homomorphismus| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem geeigneten Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} verstanden werden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} puz48uokm0gzh5oh4du3wia4tqqieu1 0 67617 782314 399986 2022-08-22T00:21:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie {{math|term= 5|SZ=,}} die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren {{mathl|term= :\!01, :\!11, :\!21 |SZ=}} etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Alltagslogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bemerkung=irgendwo so ähnlich gehört |Bearbeitungsstand= }} 5eokm96z5sn544y83w9l9z3u817zcvc 0 67682 786411 759484 2022-08-22T11:21:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= U \subseteq \R^n|SZ=}} eine offene {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängende Teilmenge| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= U|SZ=}} auch {{ Definitionslink |Prämath= |wegzusammenhängend| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} exa3cpdmc5g1ofgyauob93gpgd7y0sj 106 67739 784434 700802 2022-08-22T06:11:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Wir werden nun die Eigenschaften der reellen Zahlen besprechen. Grundlegende Eigenschaften von mathematischen Strukturen werden als {{Stichwort|Axiome|msw=Axiom|SZ=}} bezeichnet. In der Mathematik werden sämtliche Eigenschaften aus den Axiomen logisch abgeleitet. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Die algebraischen Axiome werden im Begriff des Körpers zusammengefasst. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei reellen Zahlen eine weitere reelle Zahl zu, es handelt sich also um Verknüpfungen. {{:Körper/Fokus auf R/Erste Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Die rationalen Zahlen}} Wir geben eine Definition der rationalen Zahlen allein unter Bezug auf die ganzen Zahlen. {{:Rationale Zahlen/Brüche/Einführung/Textabschnitt|zusatz2=&nbsp; Mit all diesen Festlegungen ist {{math|term=\Q|SZ=}} ein Körper.}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Binomialkoeffizienten}} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} Bei einer {{math|term=n|SZ=-}}elementigen Menge {{math|term=M|SZ=}} gibt es {{math|term=n!|SZ=}} bijektive Abbildungen von {{math|term=M|SZ=}} nach {{math|term=M|SZ=.}} Gleichbedeutend damit ist, dass es {{math|term=n!|SZ=}} Möglichkeiten gibt, {{math|term=n|SZ=}} Objekte auf {{math|term=n|SZ=}} Plätze zu verteilen. {{:Binomialkoeffizienten/Einführung/Textabschnitt}} Der Binomialkoeffizient {{mathl|term= {{op:Binom|n|k}}|SZ=}} hat die folgende inhaltliche Bedeutung: Er gibt für eine {{math|term=n|SZ=-}}elementige Menge {{math|term=M|SZ=}} die Anzahl sämtlicher {{math|term=k|SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{math|term=M|SZ=}} an, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die folgende {{Stichwort|allgemeine binomische Formel}} bringt die Addition und die Multiplikation in einem Körper miteinander in Beziehung. {{ inputfaktbeweis |Körper/Binomi/Fakt|Satz|| }} {{ inputbild |A plus b au carre|svg| 200px {{!}} {{!}} |epsname=A_plus_b_au_carre |Autor= |Benutzer=Alkarex |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Binomio al cubo|svg| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Binomio_al_cubo |Autor=Drini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Fußnotenliste}} }} kv69xtzsx9a2jks6sjo9wxjnx36km09 106 67902 784405 584031 2022-08-22T06:07:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|62| Wir beschäftigen uns weiter mit der Frage, welchen Teilmengen des {{math|term=\R^n|SZ=}} man ein sinnvolles Volumen zuordnen kann. Es wird sich herausstellen, dass diese {{Anführung|messbaren Mengen|}} eine {{math|term=\sigma|SZ=-}}Algebra bilden, nämlich die {{math|term=\sigma|SZ=-}}Algebra der {{Stichwort|Borel-Mengen|msw=Borel-Menge|SZ=.}} Diese ist zwar sehr groß, und zwar gehören nahezu alle irgendwie {{Anführung|kohärent beschreibbaren}} Teilmengen dazu, aber eben doch nicht alle. Die Borel-Mengen explizit zu beschreiben, ist nicht möglich, stattdessen gibt man ein einfaches Erzeugendensystem für diese {{math|term=\sigma|SZ=-}}Algebra an, nämlich die Menge aller offenen Teilmengen des euklidischen Raumes. Es empfiehlt sich, diese Konstruktion sofort für topologische Räume durchzuführen. {{Zwischenüberschrift|term=Topologische Räume}} Die Menge der offenen Teilmengen des {{mathl|term=\R^n|SZ=,}} oder allgemeiner eines {{ Definitionslink |metrischen Raumes| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=, }} bilden ein Mengensystem, dass eine Topologie im Sinne der folgenden Definition ist. {{ inputdefinition |Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|| }} Die Teilmengen von {{math|term=X|SZ=,}} die zu {{math|term= {{mengensystem|T}}|SZ=}} gehören, heißen {{Stichwort|offene Mengen|msw=Offene Menge|SZ=.}} Eine Teilmenge {{mathl|term=A \subseteq X|SZ=}} heißt {{Stichwort|abgeschlossen|SZ=,}} wenn ihr Komplement offen ist, also zur Topologie gehört. {{ inputbild |Hausdorff space|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Hausdorff_space |Text= |Autor=Toby Bartels |Benutzer=Fibonacci |Domäne= |Lizenz=copyleft |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Hausdorff/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologie/Basis/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition|| }} Im {{math|term=\R^n|SZ=}} gibt es {{ Definitionslink |überabzählbar| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} viele offene Mengen, es gibt aber eine abzählbare Basis, nämlich alle offenen Bälle {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P|r}} |SZ=,}} deren Mittelpunktskoordinaten und deren Radien {{ Definitionslink |rationale Zahlen| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} sind, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= R^n/Abzählbare Topologie durch Bälle/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputdefinition |Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition|| }} Diese Definition stimmt wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit der Definition für metrische Räume überein. {{ inputdefinition |Topologische Räume/Homöomorph/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Borel-Mengen}} {{:Topologie/Borel-Mengen/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Stetige Abbildungen/Borel-messbar/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Maße und Maßräume}} In der Praxis gibt man einen Flächeninhalt in Quadratmeter {{math|term=m^2|SZ=}} und ein Volumen in Kubikmeter {{math|term=m^3|SZ=}} an. Diese Einheiten legen die Skala fest, auf der dann mit nichtnegativen reellen Zahlen gemessen wird. Als Wertemenge für ein Maß bieten sich demnach die nichtnegativen reellen Zahlen an. Besitzt der Gesamtraum {{math|term=\R^3|SZ=}} ein Volumen? Sicherlich keines, das durch eine reelle Zahl ausgedrückt werden könnte. Daher erlaubt man bei einem Maß auch den Wert {{math|term=\infty|SZ=,}} und setzt {{ mathkor/disp|term1= {{op:abschlussnum|\R|}}_{\geq} = \R_{\geq 0} \cup \{ \infty\} |und|term2= {{op:abschlussnum|\R|}} = \R \cup \{ \infty\} \cup \{ - \infty\} |SZ=. }} Das bedeutet nicht, dass wir die reellen Zahlen ändern, sondern dass wir im maßtheoretischen Kontext mit einer bestimmten Mengenerweiterung der reellen Zahlen arbeiten. Einen Teil der Rechenoperationen dehnen wir auf die zusätzlichen Symbole aus, aber nicht alles, wobei man sich von der maßtheoretischen Zweckmäßigkeit leiten lässt. Die Ordnungsrelation wird durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | - \infty |<|r |<|\infty || || |SZ= }} für jede reelle Zahl {{math|term=r|SZ=}} ausgedehnt. Wir setzen {{ math/disp|term= r+ \infty = \infty \text{ und } r - \infty = - \infty |SZ= }} für {{mathl|term=r \in \R|SZ=.}} Der Ausdruck {{mathl|term= \infty + (- \infty) |SZ=}} ist nicht definiert. Für positive reelle Zahlen ist {{mathl|term=r \cdot \infty = \infty|SZ=,}} und wir setzen {{mathl|term=0 \cdot \infty = 0|SZ=.}} {{ inputbild |Measure illustration|png| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Measure_illustration |Text= |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{:Maße und Maßräume/Prämaß/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Beispiele für diskrete Maße}} Wir besprechen kurz einige {{Anführung|diskrete Maße|SZ=.}} Das für uns wichtigste Maß, das {{Stichwort|Borel-Lebesgue-Maß|SZ=}} auf dem {{math|term=\R^n|SZ=,}} ist kein diskretes Maß, sondern ein {{Anführung|stetiges Maß|SZ=.}} {{:Maßtheorie/Diskrete Maße/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste}} }} 4ue82u9cxx90l905jobllg4mejhic6u 0 68024 781401 579336 2022-08-21T21:49:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathkor|term1= a \in {{CC}} ||term2= a \neq 0 |SZ=, }} und es sei {{Ma:abbele/disp |name=f |{{CC}}|{{CC}} |z|f(z) |SZ=,}} eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit {{mathl|term= f( a z) =f( z) |SZ=}} für alle {{mathl|term= z \in {{CC}}|SZ=}} gelte. Zeige{{n Sie}}, dass die Ableitung die Beziehung {{mathl|term= f'( a z) = a^{-1} f' ( z) |SZ=}} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9e6vv81uobwdrh4b75z0em70rjycf1b 0 68026 782336 401454 2022-08-22T00:24:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass die Funktion {{mathl|term= x \mapsto f {{makl| {{op:Betrag|x|}} |}} |SZ=}} differenzierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} smmr80zwcheifa61tyi6wqgjd5a4ej4 0 68090 780950 501023 2022-08-21T20:33:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert {{math|term= x_0|SZ=}} die Quadratwurzel von {{mathl|term= c \in \R_+|SZ=}} berechnen möchte? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4f5t5lccbcz6izs61wpa8siu9dy14vr 0 68091 780949 501020 2022-08-21T20:33:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl {{mathl|term= c \in \R_-|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit einem positiven Startwert {{math|term= x_0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} berechnen möchte? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4wnqfu2xim8ddpu6iyld9xt9zscues0 0 68308 783491 402338 2022-08-22T03:37:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt {{mathl|term= (0,0)}} und Radius {{math|term= r}} und ein {{mathl|term= s > r}} gegeben. a) Beschreibe{{n Sie}} den oberen Kreisbogen als Graph einer Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[-r,r]|\R_{\geq 0} || |SZ=. }} b) Für welches {{mathl|term= x \in [-r,r]}} verläuft die Tangente durch den Punkt {{mathl|term= (x,f(x))}} durch den Punkt {{mathl|term= (s,0)|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 40batz5fp2xtdiwhg5b44hl94suqnle 0 68314 782868 613924 2022-08-22T01:53:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|f(x) {{=}} 2xe^{3x} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass die {{math|term= n|SZ=-}}te Ableitung {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=n \geq 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |f^{(n)}(x) || {{makl| 3^n \cdot 2 x + 3^{n-1} \cdot 2 n |}} e^{3x} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Theorie der höheren Ableitungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0narajt5gtrvm3ld2e85vtccztbubuh 0 68316 782539 756323 2022-08-22T00:58:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |natürliche Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich {{mathl|term= 0,2,4,6|SZ=}} oder {{math|term= 8|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i0ctt3khe5tvrfg2n5hwcunkwhoao3w 0 68325 785919 485725 2022-08-22T09:59:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Person {{math|term= A|SZ=}} wird {{math|term= 80|SZ=}} Jahre alt und Person {{math|term= B|SZ=}} wird {{math|term= 70|SZ=}} Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten. {{ Aufzählung2 |{{math|term= A|SZ=}} schläft jede Nacht {{math|term= 7|SZ=}} Stunden und {{math|term= B|SZ=}} schläft jede Nacht {{math|term= 8|SZ=}} Stunden. |{{math|term= A|SZ=}} schläft jede Nacht {{math|term= 8|SZ=}} Stunden und {{math|term= B|SZ=}} schläft jede Nacht {{math|term= 7|SZ=}} Stunden. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o498jphyztrpn6pbaoxkszx9y0os1oq 0 68331 784997 421416 2022-08-22T07:32:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zwei Personen {{math|term= A|SZ=}} und {{math|term= B|SZ=}} spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich {{math|term= A|SZ=}} ein Polynom {{math|term= P(x)|SZ=}} aus, wobei alle Koeffizienten aus {{math|term= \N|SZ=}} sein müssen. Person {{math|term= B|SZ=}} darf fragen, was der Wert {{mathl|term= P(n_1), P(n_2) {{kommadots}} P(n_r)|SZ=}} zu gewissen natürlichen Zahlen {{mathl|term= n_1 , n_2 {{kommadots}} n_r|SZ=}} ist. Dabei darf {{math|term= B|SZ=}} diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen. Entwickle eine Fragestrategie für {{math|term= B|SZ=,}} die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen {{ Zusatz/Klammer |text=unabhängig vom Polynom| |ISZ=|ESZ= }} beschränkt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzwertigen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor=Idee mitgeteilt von A. Sannai |Bearbeitungsstand= }} 83u9k52piodxnn9o1noebga19cqhk55 0 68332 785860 572781 2022-08-22T09:49:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass man jede rationale Zahl als Bruch {{math|term= a/b|SZ=}} mit teilerfremdem Zähler und Nenner darstellen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bruchdarstellung rationaler Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} elgv0pf93igniwtp1570jcum977fbun 0 68349 784998 402572 2022-08-22T07:32:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zwei Personen {{math|term= A|SZ=}} und {{math|term= B|SZ=}} spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich {{math|term= A|SZ=}} ein Polynom {{math|term= P(x)|SZ=}} aus, wobei alle Koeffizienten aus {{math|term= \N|SZ=}} sein müssen. Person {{math|term= B|SZ=}} darf fragen, was der Wert {{mathl|term= P(n_1), P(n_2) {{kommadots}} P(n_r)|SZ=}} zu gewissen natürlichen Zahlen {{mathl|term= n_1 , n_2 {{kommadots}} n_r|SZ=}} ist, vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Polynom/N/Erfragen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abfrage der Werte zu fixierten Zahlen {{mathl|term= n_1 , n_2 {{kommadots}} n_r|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also unabhängig von vorhergehenden Teilantworten| |ISZ=|ESZ= }} im Allgemeinen keine erfolgreiche Strategie ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzwertigen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor=Idee mitgeteilt von A. Sannai |Bearbeitungsstand= }} h64xaoy109ymhzhr3latsnbdbuyr4qs 0 68351 778962 763153 2022-08-21T15:13:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl {{Anführung|berechnen|SZ=,}} sagen wir von {{math|term= 5|SZ=.}} Eine solche Zahl {{math|term= x|SZ=}} mit der Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette |x^2 ||5 || || || |SZ= }} gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. Wenn {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|\R || || || |SZ= }} ein solches Element ist, so hat auch {{math|term= -x|SZ=}} diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber {{ Aufgabelink |Präwort=nach||Aufgabeseitenname= Angeordneter Körper/Quadratwurzel/Maximal zwei/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref1|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht geben, so dass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen. Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |x^2 ||5 || || || |SZ= }} gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Abweichung| |SZ= }} unter jede positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzel beliebig gut anzunähern, ist das {{Stichwort|Heron-Verfahren|SZ=,}} das man auch {{Stichwort|babylonisches Wurzelziehen|SZ=}} nennt. Dies ist ein {{Stichwort|iteratives Verfahren|SZ=,}} d.h., die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit {{ Ma:Vergleichskette |a |{{defeq|}}| x_0 |{{defeq|}}| 3 || || || |SZ= }} als erster Näherung. Wegen {{ Ma:Vergleichskette |x_0^2 || 3^2 || 9 |>|5 || |SZ= }} ist {{math|term= x_0|SZ=}} zu groß, d.h. es ist {{ Ma:Vergleichskette |x_0 |>| \sqrt{5} || || || |SZ=. }} Aus {{ Ma:Vergleichskette |a^2 |>|5 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= a|SZ=}} positiv| |SZ= }} folgt zunächst {{ Ma:Vergleichskette | 5/a^2 |<| 1 || || || |SZ= }} und daraus {{ Ma:Vergleichskette | (5/a)^2 |<| 5 || || || || |SZ=, }} d.h. {{ Ma:Vergleichskette | 5/a |<| \sqrt{5} || || || || |SZ=. }} Man hat also die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|5|a}} |<| \sqrt{5} |<| a || || |SZ= }} wobei links eine rationale Zahl steht, wenn rechts eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} liegt. Die Differenz {{mathl|term= a - 5/a |SZ=}} ist ein Maß für die Güte der Approximation. Beim Startwert {{math|term= 3|SZ=}} ergibt sich, dass die Quadratwurzel von {{math|term= 5|SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 5/3 |und|term2= 3 |SZ= }} liegt. Man nimmt nun das {{ Definitionslink |arithmetische Mittel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der beiden Intervallgrenzen, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_1 | {{defeq|}} |\frac{3+ \frac{5}{3} }{2} ||\frac{7}{3} |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette | {{makl|\frac{7}{3}|}}^2 ||\frac{49}{9} |>|5 |SZ= }} ist dieser Wert wieder zu groß und daher liegt {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} im Intervall {{mathl|term= [5\cdot\frac{3}{7} , \frac{7}{3}]|SZ=.}} Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_2 | {{defeq|}} | \frac{ \frac{15}{7} + \frac{7}{3} }{2} ||\frac{47}{21} |SZ= }} als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende rationale Approximation von {{math|term= \sqrt{5}|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Abstraktere Version=Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/Angeordneter Körper/Beispiel |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tniclr2m16r1mb5sje3quarhqq6q3be 0 68352 785892 699833 2022-08-22T09:55:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |q ||a/b || || || |SZ= }} eine rationale Zahl in gekürzter Darstellung. Zeige{{n Sie}}, dass die Dezimaldarstellung von {{math|term= q|SZ=}} genau dann abbricht, wenn in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur die Primzahlen {{math|term= 2|SZ=}} und {{math|term= 5|SZ=}} vorkommen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bruchdarstellung rationaler Zahlen |Kategorie2=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} suwitaaqryh1saydjpsijtgwqtc4jnt 0 68360 781323 402614 2022-08-21T21:35:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} durch Induktion nach {{math|term= k|SZ=,}} dass für eine reelle Zahl {{mathl|term= x \in [0,1[ |SZ=}} und die durch das Rekursionsschema aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} definierten Zahlen {{math|term= z_i|SZ=}} und {{math|term= s_i|SZ=}} die Gleichheiten {{ Ma:Vergleichskette/disp | x || \sum_{i {{=}} 1}^k z_i 10^{-i} + s_k 10^{-k} || || || |SZ= }} gelten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5uheq4z5ss51hsoq4dhe3gro8xdqljn 0 68460 784499 758073 2022-08-22T06:19:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Mengensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \N|SZ=,}} das aus allen Teilmengen {{mathl|term= T \subseteq \N|SZ=}} besteht, die durch einen mathematischen Ausdruck beschreibbar sind. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Mengenalgebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber keine {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j3e1yqcsytee1ww5t6fk8oybuv8x06o 0 68469 785567 403413 2022-08-22T09:00:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was ist das Volumen {{ Zusatz/Klammer |text=der Inhalt, das Maß| |ISZ=|ESZ= }} eines einzelnen Punktes im {{math|term= \R^0|SZ=,}} im {{math|term= \R^1|SZ=,}} im {{math|term= \R^2|SZ=}} u.s.w.? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tddy2tbu20tl81whofpyzg36gdqeybz 0 68483 784490 758066 2022-08-22T06:18:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Messraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= (\N_+, {{op:Potenzmenge|\N_+}})|SZ=}} sei mit dem {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen, bei der die Zahl {{math|term= n|SZ=}} den Wert {{ Ma:Vergleichskette |\mu(n) || {{op:Bruch|1|n}} || || || |SZ= }} erhält. Bestimme{{n Sie}} für möglichst viele Teilmengen {{mathl|term= T \subseteq \N_+|SZ=}} den Wert {{mathl|term= \mu(T)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Maßtheorie |Kategorie2=Theorie der reellen Reihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reihe |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ru4b3u62jwtf2zekgz7uv4jkrooumr 0 68489 785268 758588 2022-08-22T08:12:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{{G|G}}}|SZ=}} eine Menge und {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|{{{G|G}}} }} |SZ=}} ihre {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Definitionsseitenname= Mengen/Potenzmenge/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Potenzmenge|{{{G|G}}} }} | {{op:Potenzmenge|{{{G|G}}} }} |T| {{op:Mengenkomplement|T}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wie lautet die {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzmenge |Kategorie2=Theorie der bijektiven Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g1yakelfdiw1pt11pc4td75k3nqebwe 0 68492 782633 746691 2022-08-22T01:14:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Woran erkennt man am {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= f |\R| \R || |SZ=, }} ob {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bzw. {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Graphen einer Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ptspn80re46dj2sv7va0x0yj97dfswc 0 68602 786522 759555 2022-08-22T11:39:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M|SZ=}} eine Menge und {{mathl|term= {{mengensystem|E}} \subseteq {{mengensystem|E}}' |SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath= |Mengensysteme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dabei sei {{math|term= {{mengensystem|E}}' |SZ=}} in der von {{math|term= {{mengensystem|E}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten |Kontext=Sigmaalgebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sigma ({{Mengensystem|E}})|SZ=}} enthalten. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sigma {{makl| {{Mengensystem|E}} |}} || \sigma {{makl| {{Mengensystem|E}}' |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dg65h28vqcowygf44lbi843h4vhgvhu 0 68603 784259 757897 2022-08-22T05:45:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |L|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Räumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ=. }} Ist das {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Balles| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Offener Ball|y|\epsilon}} \subseteq M|SZ=}} stets wieder ein offener Ball in {{math|term= L|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cm4xp7c5iynrknrvis6bn6tmbpl5we1 0 68606 782753 756529 2022-08-22T01:34:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hausdorff-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle ||{{mengebed|(x,y) \in X \times X|x {{=|}} y}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Prämath= |Produktraum| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= X \times X|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkträume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Diagonale |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s463lec9ba6bvkyztolftb22a56btq4 0 68608 785353 758646 2022-08-22T08:25:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Produkttopologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= X \times Y|SZ=}} die kleinste Topologie ist, bezüglich der die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Projektionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= X \times Y \rightarrow X |und|term2= X \times Y \rightarrow Y |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkträume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Diagonale |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} na9ee817r4reom92tdwrl3ae211mrmr 0 68609 780943 755029 2022-08-21T20:32:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[0,1]|\R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |streng wachsende Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=}} betrachten wir die {{ Definitionslink |Prämath= |äquidistante Unterteilung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Einheitsintervalls in {{math|term= k|SZ=}} gleichlange Teilintervalle und die zugehörige maximale untere {{ Definitionslink |Prämath= |Treppenfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= s_k|SZ=}} von {{math|term= f|SZ=}} und die zugehörige minimale obere Treppenfunktion {{math|term= t_k|SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= S_k |bzw.|term2= T_k |SZ= }} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Subgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass im Allgemeinen {{ mathbed|term= S_{k} ||bedterm1= k \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Ausschöpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathbed|term= T_{k} ||bedterm1= k \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Schrumpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathbed|term= S_{2^n} ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} eine Ausschöpfung und {{ mathbed|term= T_{2^n} ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} eine Schrumpfung ist. c) Welche Mengen werden in (b) ausgeschöpft bzw. geschrumpft, und wie verhalten sich diese Mengen zum Subgraphen von {{math|term= f|SZ=?}} d) Wogegen {{ Definitionslink |Prämath= |konvergieren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die zugehörigen Folgen von {{ Definitionslink |Prämath= |Treppenintegrale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1qa8hzz5h554htzqq60s6f89lmh76t8 0 68610 780997 755066 2022-08-21T20:41:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} {{ Definitionslink |Messräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |messbare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \beta |M| \R_{\geq 0} \cup \{ \infty \} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Belegungsfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem zugehörigen Summationsmaß {{math|term= \mu|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Bildmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi_* \mu|SZ=}} ebenfalls ein Summationsmaß ist und bestimme{{n Sie}} die zugehörige Belegungsfunktion. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bildmaße |Kategorie2=Diskrete Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1r9gpfkkjqp2odx0y1wbjrl8wpt4ho6 0 68617 784144 757805 2022-08-22T05:26:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \beta |\R^k| \R_{\geq 0} \cup \{ \infty \} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Belegungsfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem zugehörigen Summationsmaß {{math|term= \mu|SZ=.}} Für jede {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Folge| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{Op:Folge|x}}|SZ=}} in {{math|term= \R^k|SZ=}} sei die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette | \sum_{n {{=}} 0}^\infty \beta (x_n) |<| \infty || || || |SZ= }} erfüllt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \mu|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endlich| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Maßtheorie |Kategorie2=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzflgviz8df5hq4gzy334dmwm9v70fg 0 68619 784143 757804 2022-08-22T05:26:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \beta |\R^k| \R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Belegungsfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem zugehörigen Summationsmaß {{math|term= \mu|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || {{mengebed|x \in \R^n| \beta (x) >0 }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \mu|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endlich| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= T|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Maßtheorie |Kategorie2=Theorie der Abzählbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hnylr1bm31wjllij9mmhgmnmi5gyp2h 0 68646 780505 754688 2022-08-21T19:19:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq \R^k|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbare Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Infimum| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über die Summe der Volumina der beteiligten offenen {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall-Quader| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Definitionslink |Prämath= |Überpflasterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} aus solchen Quadern gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2=Theorie der Abzählbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9sdkegocx3pq1aameikms8amq56qwrl 0 68699 785392 758676 2022-08-22T08:32:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= X,Y,Z|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=f |X|Y || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=g |X|Z || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildungen| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=(f,g) | X|Y \times Z |x| (f(x),g(x)) |SZ=, }} ebenfalls stetig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkträume |Kategorie2=Theorie der stetigen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p8tk4l5c7zdeu1frbj5tbwi5mlslzyr 0 68703 780784 404246 2022-08-21T20:06:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= x,y>0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq|y || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |x/y | \geq 1| || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oyijpd6qkzfl91xzmyz5ro1o0h50b47 0 68727 779786 604658 2022-08-21T17:21:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine reelle Zahl {{math|term= x|SZ=}} aus {{mathl|term= [0,1[|SZ=}} wird im Zehnersystem durch eine unendliche Dezimalbruchentwicklung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||0{,}z_1 z_2 z_3 z_4 \ldots || || || |SZ= }} wiedergegeben. Dabei sind die {{ mathbed|term= z_n ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} Ziffern aus {{mathl|term= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}|SZ=}} und {{math|term= z_n|SZ=}} bezeichnet die {{math|term= n|SZ=-}}te Nachkommaziffer. Wenn man eine solche unendliche Ziffernentwicklung nur bis zur {{math|term= n|SZ=-}}ten Stelle liest und die weiteren Stellen vernachlässigt, so erhält man die rationalen Zahlen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || 0{,}z_1 z_2 \ldots z_n || {{op:Bruch| z_1 10^{n-1} + z_2 10^{n-2} {{plusdots}} z_{n-1} 10 + z_n |10^n }} || || |SZ=, }} die eine zunehmend bessere Approximation von {{math|term= x|SZ=}} darstellen. Der Fehler der {{math|term= n|SZ=-}}ten Approximation {{math|term= x_n|SZ=,}} also der Abstand {{mathl|term= x-x_n|SZ=,}} ist höchstens {{mathl|term= 1/10^n|SZ=.}} Man kann also den Fehler beliebig klein machen, indem man die rationalen Approximationen {{math|term= x_n|SZ=}} für hinreichend große {{math|term= n|SZ=}} betrachtet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} axduo8yar7gbtsdqr0yl9ypoctvhdm6 0 68729 780783 485817 2022-08-21T20:05:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= x,y \geq 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq|y || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Ma:Vergleichskette |x^2 | \geq |y^2 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9kftfiy582wg6n586dvt9odgs4tlf62 0 68748 785008 758418 2022-08-22T07:33:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |polynomialen Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} vom Grad {{mathl|term= \neq 1|SZ=}} das Urbild eines rechtsseitig halboffenen Intervalls nicht rechtsseitig halboffen sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie2=Theorie der Mengensysteme auf den reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 77f905vdpcs1oombqblswgxvzhx69y5 0 68750 782575 756347 2022-08-22T01:04:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Gittermaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Gitterabstand {{mathl|term= \epsilon > 0|SZ=}} auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |translationsinvariant| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber auf dem Einheitswürfel beschränkt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie2=Diskrete Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s23qswime9ggngi41pwt0v9kyelgtqr 0 68753 778431 762386 2022-08-21T12:01:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zu {{mathl|term= v \in \R^n|SZ=}} betrachten wir die Translationsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_v |\R^n|\R^n |P|P+v |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\mu |{{defeq}}| (\varphi_v)_* \lambda^n || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bildmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter der Translationsabbildung. Dieses ist wieder ein {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endliches| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Maß. Für jeden Quader {{ Ma:Vergleichskette | Q || [a_1,b_1[ {{timesdots}} [a_n,b_n[ || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= Q'=Q+v|SZ=}} bzw. {{mathl|term= \tilde{Q} =Q-v|SZ=}} wieder ein achsenparalleler Quader, wobei sich die Seitenlängen nicht ändern. Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu (Q) || ((\varphi_v)_* \lambda^n) (Q) || \lambda^n( \varphi_v^{-1} (Q) ) || \lambda^n ( Q-v ) ||\lambda^n ( \tilde{Q} ) ||\lambda^n (Q) |SZ=. }} Das Maß {{math|term= \mu|SZ=}} stimmt also auf den Quadern mit {{math|term= \lambda^n|SZ=}} überein und daher ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Borel-Lebesgue-Maß/R^n/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} überhaupt {{ Ma:Vergleichskette/disp |\mu || \lambda^n || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rf83esgk99qqpmqm8cjczssb535uc2p 0 68763 780749 754864 2022-08-21T20:00:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergente Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Produktfolge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=x_n \cdot y_n}}|SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| x_n \cdot y_n |}} }} || {{makl| {{op:Folgenlimes|}} |}} \cdot {{makl| {{op:Folgenlimes|y}} |}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a6ntw36yd0ozsl32n7tnjkmo7meo4n3 0 68859 786009 759148 2022-08-22T10:14:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= x_n|SZ=}} eine gegen {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\N|\N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |y_n |{{defeq}}| x_{\varphi( n)} || || || |SZ= }} definierte Folge gegen {{math|term= x|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} co4xj9ymqmoyuvxeu17p0bm8l6j7jum 0 68867 784148 757809 2022-08-22T05:27:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endlicher| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |M| {{op:abschlussnum|\R|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |messbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= c \in \ {{op:abschlussnum|\R|}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{mengebed|(x,c)|f(x) {{=}} c}} \subseteq M \times {{op:abschlussnum|\R|}} |SZ=}} eine Nullmenge ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0b655y1sd9w2bz0remeca6ysmnmvul7 0 68872 784790 405020 2022-08-22T07:00:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[-1,1]|\R |t| 1- t^2 |SZ=. }} Für welches {{mathl|term= a \in [0,1]|SZ=}} ist die {{ Faktlink |Tschebyschow-Abschätzung|Faktseitenname= Messbare Funktion/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für diese Funktion am besten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Tschebyschow-Abschätzung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3u8z7qfkvnqjvgkymorzpculcv9430e 0 68941 783144 756866 2022-08-22T02:39:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Familie der {{ Definitionslink |Prämath= |Kochschen Schneeflocken| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Koch Schneeflocke/Rekursiv/Beschreibung/Flächenkonvergenz und Längendivergenz/Beispiel |SZ=, }} wobei die Grundseite des gleichseitigen Ausgangsdreiecks {{math|term= K_0|SZ=}} das Einheitsintervall sei. Zeige{{n Sie}}, dass es {{ Definitionslink |Prämath= |überabzählbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} viele Punkte {{mathl|term= a \in [0,1]|SZ=}} gibt, die für jedes {{math|term= K_n|SZ=}} zur Kante gehören. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mächtigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 90ojwyp22hvgy8bnnqocs06e3i76hbb 0 68957 780690 509035 2022-08-21T19:50:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die alternierende Reihe der Stammbrüche {{mathl|term= \sum_{n=1}^\infty x_n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || (-1)^{n+1} {{op:Bruch|1|n}} || || || |SZ=, }} also {{ math/disp|term= 1 - {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|1|3}}- {{op:Bruch|1|4}} + {{op:Bruch|1|5}}- {{op:Bruch|1|6}} + {{op:Bruch|1|7}} - {{op:Bruch|1|8}} + {{op:Bruch|1|9}} \cdots |SZ=, }} die bekanntlich konvergiert. a) Zeige{{n Sie}}, dass die umgeordnete Reihe {{ math/disp|term= 1 + {{op:Bruch|1|3}} - {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|1|5}}+ {{op:Bruch|1|7}}- {{op:Bruch|1|4}} + {{op:Bruch|1|9}}+ {{op:Bruch|1|11}}- {{op:Bruch|1|6}} \cdots |SZ=, }} konvergiert. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Umordnung der Reihe an, die divergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=5 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ccl6sop4w5t2snmam8cgip19utva96d 0 68970 784848 405438 2022-08-22T07:08:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abb |name=h |[a,b]|\R || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=g |[c,d]|\R || |SZ= }} differenzierbare Funktionen. Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Parameterabhängiges Integral/Maßraum und reelles Intervall/Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für a) {{mathl|term= f(x,y) =g(x) + h(y) |SZ=,}} b) {{mathl|term= f(x,y) =g(x) \cdot h(y) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2qdvsicmol0y9favea3li6mix2y1vx 0 68978 786629 759641 2022-08-22T11:57:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |E ||{{Mengebed| {{op:Bruch|1|n}} |n \in \N_+ }} \cup \{0\} || || || |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der von {{math|term= \R|SZ=}} induzierten Metrik| |ISZ=|ESZ= }} und es seien {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=n \in \N_+|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=g, f_n |M|\R || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |messbare Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endlichen| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=.}} Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |E \times M |\R || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f({{op:Bruch|1|n}},x) || f_n(x) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(0,x) || g(x) || || || |SZ=. }} Diskutiere{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von der majorisierten Konvergenz|Faktseitenname= Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in dieser Situation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie3=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Objektkategorie=Der Stammbruchraum |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ihfrzeqj8n0q6ymvxo4noqhgdd43ks3 0 68991 784846 758292 2022-08-22T07:08:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= [a,b]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kompaktes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R \times [a,b]| \R |(x,y)| x^iy^j |SZ=. }} Wir setzen {{ math/disp|term= \varphi(x) = \int_a^b x^i y^j dy |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= \varphi'(x)|SZ=}} auf zwei unterschiedliche Weisen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} czbovuuhdi4rqs2gab4agjr1fsu83a9 0 68994 785128 441273 2022-08-22T07:51:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Multiplikation auf {{mathl|term= K[X]|SZ=}} assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das {{ Zusatz/Klammer |text=konstante| |ISZ=|ESZ= }} Polynom {{math|term= 1|SZ=}} neutrales Element der Multiplikation ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7qounl8yca43qzmehvfnmgbhk2hbm23 0 68999 784985 758406 2022-08-22T07:30:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f|SZ=}} vom Grad {{mathl|term= \leq 3|SZ=,}} für welches {{ math/disp|term= f(0)=-1,\, f(-1) =-3,\, f(1) = 7,\, f(2) = 21 |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qwx4ulf33kp748vydiqla9yfaujfo0f 0 69003 785557 758808 2022-08-22T08:59:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen {{math|term= n|SZ=}} Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis {{ Zusatz/Klammer |text=die Ja-Antworten| |ISZ=|ESZ= }} in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab {{mathl|term= ,5|SZ=}} nach oben gerundet wird. a) Erstelle{{n Sie}} eine Formel mit Hilfe der {{ Definitionslink |Prämath= |Gaußklammer| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \lfloor \, \, \rfloor|SZ=,}} die bei gegebenem {{math|term= n|SZ=}} aus {{math|term= i|SZ=}} die Prozentzahl {{mathl|term= p(i)|SZ=}} berechnet. b) Für welche {{math|term= n|SZ=}} ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv? c) Es sei {{mathl|term= n=99|SZ=.}} Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf? d) Es sei {{mathl|term= n=101|SZ=.}} Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen? e) Es sei {{mathl|term= n=102|SZ=.}} Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8z6746dv4ybza3mtj5af6g8pasysa5p 0 69024 782333 756175 2022-08-22T00:24:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{K/Teilmenge/Punkt/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb |name=f |T| {{KRC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= b \in {{KRC|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung2 |Es ist {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|a|f(x)}} = b |SZ=. }} |Für jede Folge {{mathl|term= {{op:Folge|}} |SZ=}} in {{math|term= T|SZ=,}} die gegen {{math|term= a|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} konvergiert auch die Bildfolge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied={{{f|f}}}(x_n)}} |SZ=}} gegen {{math|term= b|SZ=.}} }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cbgv9377989zrnj3q8h2rduyphn998l 0 69115 781368 755387 2022-08-21T21:43:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |G|H || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=C^1 |Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |offenen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängenden| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Mengen {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} im {{math|term= \R^n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |maßtreu| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} überall den Wert {{math|term= 1|SZ=}} oder überall den Wert {{math|term= -1|SZ=}} hat. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jsdkccfs16adgzwfc1tlvge7u02aqh1 0 69125 785852 759016 2022-08-22T09:48:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |stetigen Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |\R| \R || |SZ=, }} derart, dass das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und {{math|term= f|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |gleichmäßig stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gleichmäßigen Stetigkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} azglnm5l37h3vspx8m57444oqzlmd31 0 69184 786352 406087 2022-08-22T11:11:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]| \R_+ || |SZ= }} eine stetig differenzierbare Funktion. Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=die|Volumenformel|Faktseitenname= Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für den zugehörigen Rotationskörper {{math|term= K|SZ=}} mit {{ Faktlink |Präwort=der|Transformationsformel|Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel für Maße/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |[a,b] \times D| K |(x,y,z)| (x, f(x)y, f(x) z) |SZ=, }} wobei {{math|term= D|SZ=}} die Einheitskreisscheibe bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hcvuah2b8fugiq2o9ot0rwwzzowunc5 0 69185 783088 756831 2022-08-22T02:30:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= B \subseteq \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |messbar| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= P =(a_1 {{kommadots|}} a_n,a_{n+1}) \in \R^{n+1}|SZ=}} ein Punkt mit {{mathl|term= a_{n+1} >0|SZ=}} und {{math|term= K_B|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Kegel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=die|Maßformel|Faktseitenname= Kegel/Über messbarer Basis/Maßformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für den Kegel mit {{ Faktlink |Präwort=der|Transformationsformel|Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel für Maße/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | \R^n \times [0, a_{n+1}] | \R^n \times [0, a_{n+1}] |(x_1 {{kommadots|}} x_n, t) | (x_1 {{kommadots|}} x_n,0) + {{op:Bruch|t|a_{n+1} }} (a_1-x_1 {{kommadots|}} a_n-x_n,a_{n+1} ) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sg48vmutu1opfxpzuh17vlv9ny3omy7 0 69202 784023 757651 2022-08-22T05:06:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= M= \bigcup_{i \in I} U_i|SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Überdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Karten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\alpha_i |U_i|V_i || |SZ= }} mit {{mathl|term= V_i \subseteq \R^n|SZ=.}} Zu {{mathl|term= i,j \in I|SZ=}} seien {{ Ma:abb/disp |name= \varphi_{ij} {{=}} \alpha_j \circ (\alpha_i)^{-1} |V_i \cap \alpha_i(U_i \cap U_j) | V_j \cap \alpha_j(U_i \cap U_j) || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Übergangsabbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu {{mathl|term= i,j,k \in I|SZ=}} die sogenannte {{Stichwort|Kozykelbedingung}} {{ Zusatz/Klammer |text=auf welchen Teilmengen| |ISZ=?|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi_{ij} ||\varphi_{kj} \circ \varphi_{ik} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8dm2jzcw6ufnznmk4kbgmmq9c6j6gsd 0 69204 781753 406194 2022-08-21T22:47:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe die Kozykelbedingung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Mannigfaltigkeit/Übergangsabbildungen/Kozykelbedingung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} für die Einheitssphäre {{math|term= M=S^2|SZ=}} und die drei stereographischen Projektionen vom Nordpol, vom Südpol und von {{mathl|term= P=(1,0,0)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} igx7tc5gcxlxe4fgsdz6s9j65jxrkcv 0 69206 781754 440004 2022-08-21T22:47:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu zwei Punkten {{mathl|term= A,B \neq N,S|SZ=}} auf der Einheitssphäre {{math|term= S^2|SZ=}} die Differenz der in den beiden stereographischen Standardkarten genommenen Abständen, also {{ mathkor|term1= d( \alpha_1(A),\alpha_1(B)) |und|term2= d( \alpha_2(A),\alpha_2(B)) |SZ=, }} beliebig klein und beliebig groß sein kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} miylo6jnara9pi41brt3i30i7hoiu24 0 69207 784021 757649 2022-08-22T05:06:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die offene Zylinderoberfläche {{mathl|term= S^1 \times {]0,1[} |SZ=}} zu {{mathl|term= S^1 \times \R|SZ=,}} zur punktierten Ebene {{mathl|term= \R^2 \setminus \{(0,0)\}|SZ=}} und zu {{mathl|term= S^2 \setminus \{N,S\}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} plowulapalpwm0bbp083hnkrup6ub4b 0 69209 786355 759429 2022-08-22T11:11:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= ]a,b[|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |offenes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=f |]a,b[|\R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= M|SZ=}} die äußere Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige{{n Sie}}, dass diese Menge bei {{mathl|term= f >0|SZ=}} eine zu einem offenen Zylindermantel homöomorphe Mannigfaltigkeit ist. Zeige{{n Sie}} ferner, dass keine Mannigfaltigkeit vorliegt, wenn {{math|term= f|SZ=}} sowohl Nullstellen als auch positive Werte besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eo7psejjtsbohogni3x51d12lfn5wiq 0 69211 786534 746667 2022-08-22T11:41:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) ||\begin{cases} {{op:sin|\frac{1}{x}|}} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases} || || || |SZ= }} gegebenen Funktion {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der wegzusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie2=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie3=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejztxr97ly0tpw5c01avn2g7cq56ovc 0 69255 784022 757650 2022-08-22T05:06:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die offene Zylinderoberfläche {{mathl|term= S^1 \times {]0,1[} |SZ=}} zu {{mathl|term= S^1 \times \R|SZ=,}} zur punktierten Ebene {{mathl|term= \R^2 \setminus \{(0,0)\}|SZ=}} und zu {{mathl|term= S^2 \setminus \{N,S\}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diffeomorph| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} js8ijs0y5cbcwem8i9g9ihlk8k3y4ac 0 69256 786356 759430 2022-08-22T11:11:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= ]a,b[|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |offenes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=f |]a,b[|\R_{+} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige{{n Sie}}, dass diese Menge eine zu einem offenen Zylinder diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k7p4op89tx6u24t5sm39c15sqax8019 0 69258 783358 579338 2022-08-22T03:15:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}^2| {{CC}} |(z,w)| zw |SZ=. }} Für welche Punkte {{mathl|term= u \in {{CC}}|SZ=}} ist die Faser über {{math|term= u|SZ=}} eine Mannigfaltigkeit? {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} jeweils eine möglichst einfache Beschreibung des Diffeomorphietyps. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dqdsalt80adjdm77exp9ie2pk6evftu 0 69263 785777 720574 2022-08-22T09:35:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Durchschnittswert der Quadratwurzel {{mathl|term= \sqrt{x}|SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| [1,4] || || || |SZ=. }} Vergleiche{{n Sie}} diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 4 |SZ= }} und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von {{math|term= 1|SZ=}} und der Wurzel von {{math|term= 4|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3=Theorie des arithmetischen Mittels |Kategorie4=Der Mittelwertsatz der Integralrechnung |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sz42q2wwr1eno3bzpzprgyjofx2wda3 0 69275 785281 758600 2022-08-22T08:14:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \sum_{n=0}^\infty c_n z^n|SZ=}} eine Potenzreihe mit {{mathl|term= c_n \in {{CC}} \setminus \{0\}=0|SZ=.}} Wir betrachten die Folge {{mathl|term= {{op:Bruch|{{op:Betrag|c_{n+1} }}|{{op:Betrag|c_n}} }}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. a) Wenn {{mathl|term= {{op:Bruch|{{op:Betrag|c_{n+1} }}|{{op:Betrag|c_n}} }}|SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so hat die Potenzreihe unendlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Konvergenzradius| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} b) Wenn {{mathl|term= {{op:Bruch|{{op:Betrag|c_{n+1} }}|{{op:Betrag|c_n}} }}|SZ=}} gegen {{math|term= a > 0|SZ=}} konvergiert, so hat die Potenzreihe den {{ Definitionslink |Prämath= |Konvergenzradius| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|1|a}}|SZ=.}} c) Wenn {{mathl|term= {{op:Bruch|{{op:Betrag|c_{n+1} }}|{{op:Betrag|c_n}} }}|SZ=}} bestimmt gegen {{math|term= + \infty |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |divergiert| |Kontext=bestimmt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so hat die Potenzreihe den {{ Definitionslink |Prämath= |Konvergenzradius| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvi1m5p9zq27otf4rx0gpcw1xgouyb9 0 69276 782360 756200 2022-08-22T00:28:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq {{KRC|}} |SZ=}} eine Teilmenge und es sei {{ Ma:abb/disp |name=f_n |T| {{KRC|}} || |SZ= }} eine Folge von {{ Definitionslink |gleichmäßig stetigen Funktionen| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |gleichmäßig| |Kontext=Funktionenfolge K|msw=gleichmäßig konvergent| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen die Funktion {{math|term= f|SZ=}} konvergiert. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} gleichmäßig stetig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2=Theorie der gleichmäßigen Stetigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rg7c2fog3w75kwidlveqir5uwa7e4bz 0 69282 780387 735252 2022-08-21T18:59:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man jeden {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialvektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| T_PS^2 || || || |SZ= }} in einem Punkt {{math|term= P|SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitssphäre| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch einen {{Anführung|uniformen}} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Weg| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Großkreis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} realisieren kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qtcf1mawrqxngnj37l8o0f7j3tqklhu 0 69284 784012 757637 2022-08-22T05:04:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Abbildung| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} zwischen zwei {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} derart, dass die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=T_P(\varphi) |T_PM|T_{\varphi(P)}N || |SZ= }} in einem Punkt {{mathl|term= P \in M|SZ=}} nicht surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qio8a5ozfr4gjgxa080f7n63yprm1pj 0 69285 784011 757634 2022-08-22T05:04:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Abbildung| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} zwischen zwei {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} derart, dass die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=T_P(\varphi) |T_PM|T_{\varphi(P)}N || |SZ= }} in einem Punkt {{mathl|term= P \in M|SZ=}} nicht injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qz1yt6uo0w96szlc56m7709ow0pd6t0 0 69288 785845 759009 2022-08-22T09:47:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Abbildung| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R|\R || |SZ= }} derart, dass die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=T_P(\varphi) |T_P \R|T_{\varphi(P)} \R || |SZ= }} in jedem Punkt {{mathl|term= P \in \R|SZ=}} bijektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mivk9ha4ddfbaw0ica1l6cs6nzv0tfg 0 69289 781744 755655 2022-08-21T22:46:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Abbildung| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |S^1|S^1 || |SZ= }} derart, dass die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=T_P(\varphi) |T_P S^1|T_{\varphi(P)} S^1 || |SZ= }} in jedem Punkt {{mathl|term= P \in S^1|SZ=}} bijektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3qjn2w9pubhpa60shi9fxi6ubrfgw2 0 69296 780481 754670 2022-08-21T19:15:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass deren {{ Definitionslink |Prämath= |Vereinigung| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M \cup N|SZ=}} ebenfalls eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, und dass diese Aussage ohne die Voraussetzung der Disjunktheit nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Disjunkt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nniomungwrd2pwhfn5dfrnzc6j6a1au 0 69297 785836 759000 2022-08-22T09:45:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r3n8lgw4swa9elc6fjctg73zyhoen07 0 69299 784124 757781 2022-08-22T05:23:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller reellen {{mathl|term= n\times n|SZ=-}}Matrizen mit {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=}} eine {{mathl|term= (n^2-1)|SZ=-}}dimensionale {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^{n^2}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2=Determinantentheorie (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1tkv815o4u7iks5y57pz15844p3v11b 0 69300 786345 746692 2022-08-22T11:10:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R_+ || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Rotationsfläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^{3}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jpfgx6tf5td4h03pe0icbyq09n40s46 0 69301 782605 756370 2022-08-22T01:09:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=G |\R^3 |\R^3 |(x,y,z)| {{op:Zeilenvektor|y - {{op:cos(|x+z}} | x |2z - {{op:cos(|x+z}} }} |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}} mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass {{math|term= G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gradientenfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Bestimme{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Potential| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= G|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0mwnw1w84z3tgu9ibrfasrblakqugjp 0 69305 786421 759494 2022-08-22T11:22:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M \subseteq \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Interpretiere{{n Sie}} die Hintereinanderschaltung {{ math/disp|term= TM \longrightarrow T\R^n = \R^n \times \R^n \stackrel{+}{\longrightarrow} \R^n |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d0fd2z6r3s6xqfi5kpjxhrgau5y63us 0 69306 781759 406781 2022-08-21T22:48:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |TS^1| \R^2 |( (a,b),t (-b,a))| (a,b) + t (-b,a) |SZ=, }} für jeden Punkt {{mathl|term= (x,y) \in \R^2|SZ=}} außerhalb der Einheitskreisscheibe zwei Urbildpunkte, auf dem Einheitskreis einen Urbildpunkt und innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe keinen Urbildpunkt besitzt. {{ManSie|Man interpretiere|Interpretieren Sie}} dies geometrisch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ltium0hi6oiym0hgalz3rxhqqkybmbf 0 69318 782640 756414 2022-08-22T01:15:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine Funktion. a) Realisiere{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^2|\R || |SZ= }} über {{math|term= 0|SZ=.}} b) Sei {{math|term= f|SZ=}} stetig differenzierbar. Zeige{{n Sie}}, dass die Punkte auf dem Graphen von {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} shki8ye16szw3q8xc57lojbxa3b8jzd 0 69327 783110 756843 2022-08-22T02:34:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f(x) ||{{op:Bruch|x^2-1|x}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |g(y) ||{{op:Bruch|y^2|y-1}} || || || |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= f |und von|term2= g |SZ=. }} b) Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |h(x) ||g(f(x)) || || || |SZ=. }} c) Bestimme{{n Sie}} die Ableitung von {{math|term= h|SZ=}} mit Hilfe von Teil b). d) Bestimme{{n Sie}} die Ableitung von {{math|term= h|SZ=}} mittels der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n7zcbonz3g598mei51bs5avfta5w2ia 0 69329 780132 605283 2022-08-21T18:15:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein regelmäßiger quadratischer Tisch mit vier Beinen {{mathl|term= A,B,C,D|SZ=}} steht auf einem unebenen, aber stufenfreien Untergrund. Im Moment steht er auf den Beinen {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} und das Bein {{math|term= D|SZ=}} ragt in die Höhe {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man {{math|term= B,C|SZ=}} in ihrer Position belässt und {{math|term= D|SZ=}} auf den Boden drückt, würde {{math|term= A|SZ=}} versinken| |ISZ=|ESZ=. }} Wir behaupten, dass man den Tisch durch eine {{ Zusatz/Klammer |text=maximal Viertel| |ISZ=|ESZ=- }}Drehung um die eigene Achse {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir gegen den Uhrzeigersinn| |ISZ=|ESZ= }} in eine Position bringen kann, wo er auf allen vier Beinen steht {{ Zusatz/Klammer |text=wobei der Tisch nicht unbedingt genau horizontal stehen muss| |ISZ=|ESZ=. }} Dazu betrachten wir die Funktion, die einem Drehwinkel {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen {{ mathkor/k|term1= 0 |und|term2= 90 |SZ= }} Grad| |ISZ=|ESZ= }} die Höhe des Beines {{math|term= D|SZ=}} über dem Grund zuordnet, wenn die drei übrigen Beine auf dem Boden stehen {{ Zusatz/Klammer |text=würden| |ISZ=|ESZ=. }} Dabei kann diese Höhe auch negativ werden {{ Zusatz/Klammer |text=was sich bei einem sandigen Untergrund praktisch realisieren lässt; sonst denke man sich dies {{Anführung|virtuell}}| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{math|term= 0|SZ=}} Grad ist die Höhe positiv. Bei {{mathl|term= 90|SZ=}} Grad erhält man eine Situation, die symmetrisch zur Ausgangssposition ist, wobei aber nach wie vor die Beine {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} auf dem Boden sein sollen. Wegen der in der Klammer formulierten Beobachtung muss die Höhe von {{math|term= D|SZ=}} negativ sein. Die Funktion hat also auf dem Intervall sowohl positive als auch negative Werte. Da sie wegen der Stufenfreiheit stetig ist, besitzt sie {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Zwischenwertsatz|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch eine Nullstelle. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5l7a8w0tdga6or4n8u8fxr0dqvw3k7h 0 69334 785355 758649 2022-08-22T08:26:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M \times N|SZ=}} von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |wegzusammenhängenden| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} wieder wegzusammenhängend ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkte von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24rd224zxktv5c9kc16sicppo5zkzqs 0 69337 780477 754666 2022-08-21T19:14:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M \subseteq N|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |differenzierbaren Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= TM \subseteq TN|SZ=}} eine abgeschlossene Teilmenge ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k268x4b2sbn9d99dg6q2iudc6632pib 0 69343 781435 755451 2022-08-21T21:54:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Vertauschungsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M \times M| M \times M |(P,Q)|(Q,P) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismus| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Produkte von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aqxhyjpt6g1wwlu30hoqqdk0jokhk5e 0 69353 782536 407027 2022-08-22T00:58:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_{< 1} | \R || |SZ= }} sei für negatives {{math|term= x|SZ=}} konstant gleich {{math|term= 0|SZ=}} und folge für {{mathl|term= x \in [0,1[|SZ=}} dem unteren rechten Viertelkreis mit Mittelpunkt {{mathl|term= (0,1)|SZ=}} und Radius {{math|term= 1|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} den Grad der Differenzierbarkeit dieser Funktion. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fs95yfjxzpya046osk77okq2wl6gt32 0 69354 784020 757647 2022-08-22T05:06:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} der Dimension {{mathl|term= n \geq 1|SZ=}} unendlich viele {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismen| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|M || |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mhkscdl7y07jo6ovsrl02iyl7utnxhd 0 69358 785853 759017 2022-08-22T09:48:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|S^1 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder zu {{math|term= S^1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der stetigen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3q5nyduuwj9o68z8ksy0j9eowey180o 0 69360 786612 759628 2022-08-22T11:54:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitssphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= S^2|SZ=}} bewege sich in einer Sekunde vollständig {{ Zusatz/Klammer |text=vom Nordpol aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn| |ISZ=|ESZ= }} um die Polachse. Welche differenzierbare Kurve und welcher Tangentialvektor an einen Punkt {{mathl|term= P \in S^2|SZ=}} gehört zu dieser Bewegung? Beschreibe das zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |S^2|TS^2 \subseteq T\R^3 {{=}} \R^6 || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} em3v2wu755easzs47dsw648s4dc3jdl 0 69375 782642 756420 2022-08-22T01:16:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grenzwert| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|x|1| {{op:Bruch|( x-1)^\alpha| {{op:ln|x}} }} }} |SZ= }} in Abhängigkeit von {{mathl|term= \alpha \in \R_+|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dxg2l1ax7iry0rjen7dovvp4ldv1p4h 0 69377 780476 754665 2022-08-21T19:14:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M \subseteq \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= P\in M|SZ=}} ein Punkt. Es sei {{mathl|term= T_P(i)|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Inklusion {{ Ma:abbele/disp |name=i |M|\R^n || |SZ= }} und {{math|term= \gamma|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbarer Weg| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= M|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\gamma(0) ||P || || || |SZ=. }} Zeige, dass in {{math|term= \R^n\cong T_P \R^n|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_P(i) ( [\gamma] ) || {{makl| i \circ \gamma |}} '(0) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kenxuairkfxht3zbp68exqcc8d8lh0n 0 69476 778591 746204 2022-08-21T12:26:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei {{math|term= X|SZ=}} kompakt und sei eine Folge {{mathl|term= {{op:Folge|}} |SZ=}} gegeben. {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. |Argumentation= Das bedeutet, dass es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| X || || || |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| U_y || || || |SZ= }} gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | X || \bigcup_{y \in X} U_y || || || |SZ= }} gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X || \bigcup_{i {{=|}} 1}^n U_{y_i} || || || |SZ=. }} |Widerspruch= Diese enthält einerseits alle Folgenglieder und andererseits nur endlich viele Folgenglieder, ein Widerspruch. |Zusammenfassung= }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis=Sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei {{ Ma:Vergleichskette | X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |abzählbare Basis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, gibt es nach {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Überdeckung besitzt abzählbare Teilüberdeckung/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine abzählbare Teilmenge {{mathl|term= J \subseteq I|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | X || \bigcup_{i \in J} U_i || || || |SZ=. }} Wir können {{mathl|term= J=\N|SZ=}} annehmen. {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Nehmen wir an, dass die Überdeckung {{mathl|term= X= \bigcup_{i \in \N} U_i |SZ=}} keine endliche Teilüberdeckung besitzt. |Argumentation= Dann ist insbesondere {{mathl|term= \bigcup_{i =0}^n U_i \neq X |SZ=,}} und daher gibt es zu jedem {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} ein {{ mathbed|term= x_n \in X |mit|bedterm1= x_n \not\in \bigcup_{i =0}^n U_i ||bedterm2= |SZ=. }} Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt {{math|term= x|SZ=.}} Da eine Überdeckung {{mathl|term= X= \bigcup_{i \in \N} U_i |SZ=}} vorliegt, gibt es ein {{mathl|term= k \in \N|SZ=}} mit {{mathl|term= x \in U_k|SZ=.}} Da {{math|term= x|SZ=}} ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in {{math|term= U_k|SZ=.}} |Widerspruch= Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für {{mathl|term= n \geq k|SZ=}} die Folgenglieder {{math|term= x_n|SZ=}} nicht zu {{math|term= U_k|SZ=}} gehören. |Zusammenfassung= }} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lgji5ynyosfvnq63bq94fedydv2bvwv 0 69500 783343 558841 2022-08-22T03:12:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und {{mathl|term= j \in \Z|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ math/disp|term= \sum_{k=0}^{n-1} e^{ {{op:Bruch|2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} j k|n}} } = \begin{cases} n, \text{ falls } j \text{ ein Vielfaches von } n \text{ ist}, \\ 0 \text{ sonst} \, . \end{cases} |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ospko34h0mcjvy9scba54ton6jdcbqi 0 69526 779214 763296 2022-08-21T15:53:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= V \subseteq \R^n|SZ=}} eine offene Teilmenge, {{ Ma:abbele/disp |name=h |V|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |M |\subset| \R^n \times \R ||\R^{n+1} || || |SZ= }} der zugehörige Graph, den wir als {{math|term= n|SZ=-}}dimensionale {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auffassen, die zu {{math|term= V|SZ=}} über {{mathl|term= (x_1 {{kommadots}} x_n) \mapsto (x_1 {{kommadots}} x_n, h (x_1 {{kommadots}} x_n) )|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diffeomorph| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Diese Mannigfaltigkeit ist zugleich die Faser über {{math|term= 0|SZ=}} unter der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^{n+1}|\R |(x_1 {{kommadots}} x_n,y)| h( x_1 {{kommadots}} x_n)-y |SZ=. }} Der Gradient dieser Abbildung ist {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|\frac{ \partial h } { \partial x_1 } (P)|\ldots|\frac{ \partial h } { \partial x_n } (P)| -1}} |SZ= }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liefert daher die Zuordnung {{ math/disp|term= (v_1 {{kommadots}} v_n) \mapsto {{op:Determinante| {{op:Matrix44| \frac{ \partial h } { \partial x_1 }(P) |v_{11}| \ldots|v_{n1}| \vdots|\vdots| \ddots|\vdots| \frac{ \partial h } { \partial x_n } (P)|v_{1n}| \ldots|v_{nn}|-1|v_{1 n+1}|\ldots|v_{n n+1} }} |}} |SZ= }} eine stetige nullstellenfreie {{math|term= n|SZ=-}}Form {{math|term= \omega|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=.}} Wenn man diese Form über die oben beschriebene {{ Zusatz/Klammer |text=einzige| |ISZ=|ESZ= }} Karte nach {{math|term= V|SZ=}} zurückzieht, so ist {{mathl|term= \alpha_*\omega=f dx_1 {{wedgedots}} dx_n |SZ=,}} wobei sich {{mathl|term= f(Q)|SZ=}} als Wert der Form {{math|term= \omega|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= \alpha^{-1}(Q) \in M|SZ=}} bezüglich der Vektoren {{mathl|term= T_Q (\alpha^{-1})(e_1) {{kommadots}} T_Q (\alpha^{-1})(e_n) |SZ=}} ergibt. Wegen {{ Ma:Vergleichskette | T_Q (\alpha^{-1})(e_i) ||( e_i , \frac{ \partial h } { \partial x_i } (Q)) || || || |SZ= }} ist dies {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(Q) || {{op:Determinante| {{Op:Matrix55| \frac{ \partial h } { \partial x_1 }(Q) |1|0| \ldots|0| \frac{ \partial h } { \partial x_2 }(Q) |0|1| \ldots|0| \vdots|\vdots |\vdots| \ddots |\vdots| \frac{ \partial h } { \partial x_n } (Q)|0|0| \ldots|1|-1| \frac{ \partial h } { \partial x_1 }(Q) | \frac{ \partial h } { \partial x_2 }(Q)| \ldots| \frac{ \partial h } { \partial x_n }(Q) }} |}} || \pm {{makl| {{makl|\frac{ \partial h } { \partial x_1 } (Q) |}}^2 {{plusdots}} {{makl| \frac{ \partial h } { \partial x_n } (Q) |}}^2 +1 |}} || || |SZ=, }} wobei das Vorzeichen von {{math|term= n|SZ=}} abhängt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Volumenformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 22en22ct9d5xr3l5n4adfh47iycenv6 0 69554 786323 759397 2022-08-22T11:06:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |riemannsche Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{symbol:Vektorfelder|M}} | {{symbol:Differentialformen|M|1}} |F|\omega_F |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \omega_F(P) |}} (v) | {{defeq|}} | {{op:Skalarprodukt|F(P)|v}}_P || || || |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Vektorfelder |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 35icz9jipi3dt0qxetttfeambscqbo6 0 69559 784804 758263 2022-08-22T07:02:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}dimensionaler reeller orientierter Vektorraum und {{math|term= \lambda|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |translationsinvariantes Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= |V {{timesdots}} V|\R |(v_1 {{kommadots}} v_n) | \pm \lambda (P(v_1 {{kommadots}} v_n)) |SZ=, }} wobei das Vorzeichen positiv zu wählen ist, wenn die Vektoren die Orientierung repräsentieren, eine alternierende multilineare Abbildung ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie3= Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume)‎ |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3aiz8vk5fucuemooeix38jb43uj27pu 0 69563 782197 756067 2022-08-22T00:01:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n|\R^\ell || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=m=n - \ell \geq 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in jedem Punkt der {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} über {{mathl|term= 0 \in \R^\ell|SZ=}} {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Wir fassen {{math|term= M|SZ=}} als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass die Gradienten {{ math/disp|term= {{op:Gradient|\varphi_1|P}} {{kommadots|}} {{op:Gradient|\varphi_\ell|P}} |SZ= }} für jeden Punkt von {{mathl|term= P\in M|SZ=}} senkrecht aufeinander stehen. Zeige{{n Sie}}, dass zwischen der Volumenform {{math|term= \tau|SZ=}} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Prämath= |kanonischen Volumenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \omega|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\tau(P,v_1 {{kommadots}} v_m) || \pm {{op:Norm| {{op:Gradient|\varphi_1|P}} }} \cdots {{op:Norm| {{op:Gradient|\varphi_\ell|P}} }} \omega(P, v_1 {{kommadots}} v_m) || || || |SZ= }} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Volumenformen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 701uzofke86cytjktqglc4c30gyo4s0 0 69566 782196 756066 2022-08-22T00:01:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n|\R || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=m=n -1 \geq 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in jedem Punkt der {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} über {{mathl|term= 0 \in \R|SZ=}} {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Wir fassen {{math|term= M|SZ=}} als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige{{n Sie}}, dass zwischen der Volumenform {{math|term= \tau|SZ=}} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Prämath= |kanonischen Volumenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \omega|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\tau(P,v_1 {{kommadots}} v_m) || \pm {{op:Norm| {{op:Gradient|\varphi|P}} }} \omega(P, v_1 {{kommadots}} v_m) || || || |SZ= }} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Volumenformen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bumgyssaeilgydnqmmnnombsnpyptus 0 69567 781543 439893 2022-08-21T22:12:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sollen drei Kugeln mit Radius {{math|term= 1|SZ=}} straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne{{n Sie}} das Volumen des Gesamtpakets, wenn a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden, b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Punkte=11 |p1=3 |p2=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} reyhwtp6dgf7r876b81rfdxrmdh9k4s 0 69575 786545 719631 2022-08-22T11:43:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | f(x) || {{op:sin|x}} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} Polynome {{math|term= P,Q,R |SZ=}} vom Grad {{mathl|term= \leq 3 |SZ=,}} die jeweils folgende Bedingungen erfüllen. (a) {{math|term= P |SZ=}} stimmt mit {{math|term= f |SZ=}} an den Stellen {{mathl|term= - \pi, 0, \pi |SZ=}} überein. (b) {{math|term= Q |SZ=}} stimmt mit {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= 0 |SZ=}} und in {{math|term= \pi |SZ=}} bis zur ersten Ableitung überein. (c) {{math|term= R |SZ=}} stimmt mit {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= \pi/2 |SZ=}} bis zur dritten Ableitung überein. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=4 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 425qfb4nvoz4ls1nkgfjbqlqezypjy6 0 69591 784302 408432 2022-08-22T05:52:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=g |\R|\R || |SZ= }} und ein kompaktes Intervall {{mathl|term= [a,b] \subset \R|SZ=}} aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung {{ Zusatz/Klammer |text=es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung |Kategorie2=Der Mittelwertsatz der Integralrechnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ezzyfa36wpk107xisk8dokufjji8c23 0 69606 780378 754589 2022-08-21T18:58:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= U \subseteq \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= \omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=1 |Form| |Kontext=Differential| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= U|SZ=}} mit dem gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F|SZ=}} auf {{math|term= U|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \omega|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |geschlossen| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= F|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Integrabilitätsbedingung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie2=Theorie der 1-Formen auf einer Mannigfaltigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qp8dcl2ohzfcucvakh71w7uy4idapfx 0 69607 780377 754588 2022-08-21T18:58:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= U \subseteq \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= \omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=1 |Form| |Kontext=Differential| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= U|SZ=}} mit dem gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F|SZ=}} auf {{math|term= U|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \omega|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |exakt| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= F|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gradientenfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie2=Theorie der 1-Formen auf einer Mannigfaltigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ia89qx8w3nitwd4qfsp4d5atoenojm6 0 69608 781372 755391 2022-08-21T21:44:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einer Mannigfaltigkeit {{math|term= M|SZ=}} und {{ Ma:abb |name=\varphi |L|M || |SZ= }} eine auf der Mannigfaltigkeit {{math|term= L|SZ=}} definierte differenzierbare Abbildung. a) Es sei {{math|term= \omega|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |geschlossen| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die {{ Definitionslink |Prämath= |zurückgezogene| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Differentialform {{math|term= \varphi^*\omega|SZ=}} geschlossen ist. a) Es sei {{math|term= \omega|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |exakt| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die zurückgezogene Differentialform {{math|term= \varphi^*\omega|SZ=}} exakt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2=Theorie des Zurückziehens von Differentialformen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 93fzh67n54k4cr5exbio1nbfumsyakc 0 69609 780376 740354 2022-08-21T18:58:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängende| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= \omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=1 |Form| |Kontext=Differential| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \omega|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |exakt| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn für jeden {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbaren| |Kontext=Weg|| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Weg {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[a,b]|M || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Mannigfaltigkeit Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \int_\gamma \omega|SZ=}} nur von {{mathl|term= \gamma(a)|SZ=}} und {{mathl|term= \gamma(b)|SZ=}} abhängt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2=Theorie der Wegintegrale zu einer Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5jmlklpz698nnjkdujwgqote5fcjsrq 0 69649 784003 757626 2022-08-22T05:03:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Unter einem {{Stichwort|differenzierbaren Halbweg|msw=differenzierbarer Halbweg|SZ=}} verstehen wir jede {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[0, \epsilon [ |M || |SZ= }} oder {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |] -\epsilon, 0]|M || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=\epsilon >0|SZ=.}} Sie heißen nach innen bzw. nach außen gerichtet| |ISZ=|ESZ=. }} Definiere{{n Sie}}, wann zwei Halbwege mit {{mathl|term= \gamma_1(0) = \gamma_2(0) =P \in M|SZ=}} {{Stichwort|tangential äquivalent|SZ=}} sind, und zeige{{n Sie}}, dass dadurch eine Äquivalenzrelation gegeben ist, und dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein reeller Vektorraum ist, der der {{Stichwort|Tangentialraum|msw=Tangentialraum (Rand)}} in {{math|term= P|SZ=}} heißt. Charakterisiere{{n Sie}} die Äquivalenzklassen, die sowohl nach innen als auch nach außen repräsentierbar sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cf1iceioo1qhsfd5mqi8ecqaw5e7nbx 0 69651 782730 756506 2022-08-22T01:30:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= U_1 \subseteq H_1 \subset \R^n|SZ=}} und {{mathl|term= U_2 \subseteq H_2 \subset \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |offene Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{ Definitionslink |euklidischen Halbräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= H_1 |und|term2= H_2 |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |U_1|U_2 || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Kontext=Halbraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem Punkt {{mathl|term= P\in U_1|SZ=}} offene Umgebungen {{mathl|term= P\in V_1 \subset \R^n|SZ=}} und {{mathl|term= \varphi(P) \in V_2 \subset \R^n|SZ=}} und eine diffeomorphe Fortsetzung {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{\varphi} |V_1|V_2 || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Halbräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} krozxrvip3g0kdc831y2jsp3e17e33n 0 69654 782732 756508 2022-08-22T01:31:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= H \subset \R^n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Halbraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= P \in H|SZ=.}} Es gebe eine in {{math|term= \R^n|SZ=}} offene Menge {{math|term= V|SZ=}} mit {{mathl|term= P \in V \subseteq H|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= P|SZ=}} kein Randpunkt von {{math|term= H|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Halbräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hh9fnru3qybv8amla6kryrjq1mjgu8v 0 69661 786635 759648 2022-08-22T11:58:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathl|term= 0 <t < {{op:Bruch|\pi|2}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1| {{op:sin|t|}} + {{op:cos|t|}} }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen in trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cl8uxhqqbykxa5pyd7ltms6pdcesn4l 0 69672 784005 757628 2022-08-22T05:03:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |berandete Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= \partial M|SZ=}} sei der Rand. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Rand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= M \setminus \partial M|SZ=}} gleich {{math|term= \partial M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rbu447beciiwwplnvufutuxpq2dq83r 0 69681 784869 741812 2022-08-22T07:11:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} zur Überdeckung von {{math|term= X|SZ=}} durch {{math|term= X|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |untergeordnete Partition der Eins| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen der Eins |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} th22m2yinliupiucc1i1tve9grgtu77 0 69695 782827 756598 2022-08-22T01:46:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^n|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in der {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F|SZ=}} über {{mathl|term= a \neq 0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass jede Faser zu {{mathl|term= b \neq 0|SZ=}} eine zu {{math|term= F|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diffeomorphe| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8d7b1splhn8yrdtqt006vrcdjzjlw7a 0 69733 782731 756507 2022-08-22T01:30:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= V \subseteq H|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Prämath= |Halbraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= H \subset \R^n|SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |V|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine offene Menge {{mathl|term= \tilde{V} \subseteq \R^n|SZ=}} und eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{f} |\tilde{V}| \R || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{V} \cap H ||V || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{f} {{|}}_{\tilde{V} } ||f || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Halbräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7h9byxx8nhy1sw0mtsqfvr0woge3ilr 0 69734 786451 759517 2022-08-22T11:27:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]| \R_{+} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir fassen den {{ Definitionslink |Prämath= |Subgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als eine {{ Definitionslink |Prämath= |Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Berechne{{n Sie}} den Flächeninhalt des Subgraphen mit den beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= xdy|SZ=}} und {{mathl|term= ydx|SZ=}} über den Rand. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h5ii8phs3dtr0sa9cffcwg5mmhmpahk 0 69738 785827 748561 2022-08-22T09:44:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |kompaktem Träger| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f'|SZ=}} ebenfalls kompakten Träger hat, und dass {{ Ma:Vergleichskette | \int_\R f' d \lambda^1 ||0 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2=Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iheajso4npccmibytj5zfweflq9sb5m 0 69739 780475 735963 2022-08-21T19:14:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das Volumen der {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossenen Einheitskugel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch ein geeignetes Flächenintegral über die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitssphäre| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S^2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Objektkategorie2=Die Einheitskugel |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m1gf3x6km1321w3h6889fjpvwstbk9u 0 69740 786449 759516 2022-08-22T11:27:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Green|Faktseitenname= Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für das Einheitsquadrat {{mathl|term= T=[0,1] \times [0,1]|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \omega || x^ay^b dx + x^cy^d dy || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= a,b,c,d \in \N|SZ=}} durch explizite Berechnungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cmlhvxk9ywwambrs94igmcpfrvvftgl 0 69741 786448 759515 2022-08-22T11:27:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Green|Faktseitenname= Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch explizite Berechnungen für die Menge {{mathl|term= T=[-2,2] \times [-2,2] \setminus {{op:Offener Ball|0|1}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also das zentrierte Quadrat der Seitenlänge {{math|term= 4|SZ=}} ohne den offenen Einheitskreis| |ISZ=|ESZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \omega ||(x-y)dx + xy dy || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6k3ra9hsqplqk1e1wtcugg0jkdq9noz 0 69744 785834 741814 2022-08-22T09:45:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_{\geq 0}|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |kompaktem Träger| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f' |SZ=}} ebenfalls kompakten Träger hat, und dass {{ Ma:Vergleichskette | \int_{\R_{\geq 0} } f' d \lambda^1 || f(0) || || || |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass diese Aussage nicht gelten muss, wenn {{math|term= f|SZ=}} nicht kompakten Träger besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2=Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sk616xxy21zehj4ebi7p3gfa4uveqqc 0 69745 782561 756334 2022-08-22T01:02:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n|dimensionale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |orientierte| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und mit {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbarer Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= \omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |geschlossene| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=(n-1)|Differentialform |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |kompaktem Träger| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_{\partial M} \omega || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4z16qgtw4jpq2umokvbhi4iqaawbxm6 0 69746 783507 757174 2022-08-22T03:40:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M= {{op:Abgeschlossener Ball|0|1}} \setminus \{(0,0)\} \subset \R^2 |SZ=}} mit dem Rand {{math|term= \partial M=S^1|SZ=.}} Wir betrachten die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbaren| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=1 |Differentialformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor/disp|term1= \omega= ydx-xdy |und|term2= \tau= {{op:Bruch|1|x^2+y^2}} {{makl| ydx-xdy |}} |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Einschränkungen der beiden Formen auf den Rand übereinstimmen und insbesondere {{ Ma:Vergleichskette | \int_{\partial M} \omega || \int_{\partial M} \tau || || || |SZ= }} gilt. Vergleiche{{n Sie}} {{ mathkor|term1= \int_M d \omega |und|term2= \int_M d \tau |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} exqqtsfau1olpmmluie3ewwseifwzgv 0 69747 780474 754664 2022-08-21T19:14:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath=2 |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\omega || x dy \wedge dz -y dx \wedge dz + z dx \wedge dy || || || |SZ= }} auf der Einheitskugel {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|0|1}} |SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= d \omega|SZ=}} das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \omega{{|}}_{S^2}|SZ=}} die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist. c) Berechne{{n Sie}} die Kugeloberfläche aus dem {{ Faktlink |Präwort=|Kugelvolumen|Faktseitenname= Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit dem {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Stokes|Faktseitenname= Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Stokes/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Punkte=10 |p1=2 |p2=6 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 13h6gryq8pn19a0mtra3fnpxdpmfdro 0 69757 783076 689052 2022-08-22T02:28:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Petra sitzt im Straßenkaffee bei einer Außentemperatur von {{math|term= 20|SZ=}} Grad. Ihr wird ein Kaffee serviert mit einer Temperatur von {{math|term= 90|SZ=}} Grad, den sie erst in fünf Minuten nach einem wichtigen Telefonat trinken möchte. Sie trinkt ihren Kaffee ohne Zucker, aber mit einem Milchanteil von {{math|term= 10|SZ=}} Prozent. Die Milch wird mit einer Temperatur von {{math|term= 10|SZ=}} Grad in einer Kühlbox serviert, die die Temperatur konstant hält. Der Abkühlungskoeffizient für Kaffee und Milch {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Differentialgleichung/Inhomogen/Konstante affin-lineare Koeffizienten/Abkühlung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} sei {{ Ma:Vergleichskette |d || {{op:Bruch|1|500}} || || || |SZ=, }} wobei die Zeit in Sekunden aufgefasst werde. a) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch sofort in den Kaffee gekippt wird. b) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird. c) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird, und die Kühlbox nicht funktioniert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ar00abwtatqc80xy6dxh4x17bo2d5gh 0 69784 784902 758346 2022-08-22T07:17:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |periodische Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Periode {{math|term= L>0|SZ=.}} a) Es sei {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Ableitung {{math|term= f'|SZ=}} ebenfalls periodisch mit der Periode {{math|term= L|SZ=}} ist. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer nichtkonstanten, periodischen, {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Stammfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht periodisch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der periodischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie3=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dswlawg23nc9hiuipjfrywwh0zfv3h7 106 70192 778713 772437 2022-08-21T12:44:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesungsgestaltung|3| In dieser Vorlesung besprechen wir Körper, das sind kommutative Ringe, in denen jedes von {{math|term=0|SZ=}} verschiedene Element ein Inverses {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} besitzt. Solche Elemente nennt man Einheiten. Als einen wichtigen Körper führen wir die komplexen Zahlen ein. {{Zwischenüberschrift|term=Einheiten}} {{inputdefinition|Ringtheorie/Einheit/Definition|}} Das Element {{math|term=v|SZ=}} mit der Eigenschaft {{mathl|term=uv=vu=1|SZ=}} ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch {{math|term=w|SZ=}} die Eigenschaft {{mathl|term=uw=wu=1|SZ=,}} so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |v ||v 1 || v (u w) || (v u) w || 1w ||w |SZ=. }} Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte {{math|term=v|SZ=}} mit {{mathl|term=uv=vu=1|SZ=}} nennt man das {{ Zusatz/Klammer |text=multiplikativ| |ISZ=|ESZ= }} {{Definitionswort/enp|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} zu {{math|term=u|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math/disp|term=u^{-1}|SZ=}} oder auch mit {{mathl|term= {{op:Bruch|1|u}} |SZ=.}} Im kommutativen Fall muss man natürlich nur die Eigenschaft {{mathl|term=uv=1|SZ=}} überprüfen. Eine Einheit ist stets ein Nichtnullteiler. Aus {{mathl|term=ux=0|SZ=}} folgt ja sofort {{ Zusatz/Klammer |text=unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | x || u^{-1}ux ||0 || || |SZ=. }} {{inputdefinition|Ringtheorie/Einheitengruppe/Definition|}} Die Menge aller Einheiten in einem Ring bilden in der Tat eine Gruppe {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der Multiplikation mit {{math|term=1|SZ=}} als neutralem Element| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn nämlich {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} die Inversen {{ mathkor|term1= v^{-1} |und|term2= w^{-1} |SZ= }} haben, so ist das Inverse von {{math|term=vw|SZ=}} gleich {{mathl|term=w^{-1}v^{-1}|SZ=}} und somit ist das Produkt von zwei Einheiten wieder eine Einheit. Zu einer Einheit {{mathl|term=u\in R|SZ=}} machen auch Potenzen mit einem negativen Exponenten Sinn, d.h. es ist dann {{math|term=u^n|SZ=}} für alle {{mathl|term=n\in\Z|SZ=}} definiert. Die Zahl {{math|term=-1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also das Negative zu {{math|term=1|SZ=}} | |SZ= }} ist stets eine Einheit, da ja {{ Zusatz/Klammer |text= nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term=(-1)(-1)=1|SZ=}} ist. Bei {{math|term=\Z|SZ=}} besteht die Einheitengruppe aus diesen beiden Elementen, also {{mathl|term={{op:Einheiten|\Z}} =\{1,-1\}|SZ=.}} Die Null ist mit der Ausnahme des Nullrings nie eine Einheit. {{ inputbeispiel |Einheit/Z mod 5 und Z mod 12/Beispiel|| }} Für eine Einheit ist auch die {{Stichwort|term=Bruchschreibweise|SZ=}} erlaubt und gebräuchlich. D.h. wenn {{math|term=u|SZ=}} eine Einheit ist und {{math|term=x\in R|SZ=}} beliebig, so setzt man {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|u}} || xu^{-1} || || || |SZ=, }} Wie gesagt, der Nenner muss eine Einheit sein! Wenn außer der Null alle Elemente Einheiten sind, so verdient das einen eigenen Namen, wovon der folgende Abschnitt handelt. {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Viele wichtige Zahlbereiche wie {{ mathkor|term1= \Q |und|term2= \R |SZ= }} haben die Eigenschaft, dass man durch jede Zahl {{ Zusatz/Gs |text=mit der Ausnahme der Null!| |SZ= }} auch dividieren darf. Dies wird durch den Begriff des Körpers präzisiert. {{inputdefinition|Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition|}} Es wird also explizit gefordert, dass {{ Ma:Vergleichskette |1 |\neq|0 || || || |SZ= }} ist und dass jedes von {{math|term=0|SZ=}} verschiedene Element eine Einheit ist. Die rationalen Zahlen {{math|term=\Q|SZ=}} und die reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=}} bilden einen Körper, die ganzen Zahlen dagegen nicht. Im obigen Beispiel haben wir gesehen, dass {{mathl|term= {{op:Zmod|5}} |SZ=}} ein Körper ist, aber {{mathl|term= {{op:Zmod|12}} |SZ=}} nicht. Wir werden im Laufe dieser Vorlesung noch viele weitere Körper kennenlernen. Einen Körper kann man auch charakterisieren als einen kommutativen Ring, bei der die von {{math|term=0|SZ=}} verschiedenen Elemente eine Gruppe {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Multiplikation| |SZ= }} bilden. {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Unterkörper/Definition|| }} Beispielsweise ist {{math|term=\Q|SZ=}} ein Unterkörper von {{math|term=\R|SZ=.}} Wenn ein Unterring {{mathl|term=R \subseteq K|SZ=}} in einem Körper vorliegt, so muss man nur noch schauen, ob {{math|term=R|SZ=}} mit jedem von null verschiedenen Element {{math|term=x|SZ=}} auch das Inverse {{math|term=x^{-1}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das in {{math|term=K|SZ=}} existiert| |SZ= }} enthält. Bei einem Unterring {{mathl|term=R \subseteq S|SZ=,}} wobei {{math|term=R|SZ=}} ein Körper ist, aber {{math|term=S|SZ=}} nicht, so spricht man nicht von einem Unterkörper. Die Situation, wo ein Körper in einem anderen Körper liegt, wird als Körpererweiterung bezeichnet. {{ inputdefinition |Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Komplexe Zahlen}} Die Produktmenge {{ Ma:Vergleichskette | \R^2 || \R \times \R || || || |SZ= }} ist mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Multiplikation ein kommutativer Ring {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{mathlk|term=(0,0)|SZ=}} das Nullelement und {{mathlk|term=(1,1)|SZ=}} das Einselement ist| |ISZ=|ESZ=. }} Es handelt sich aber nicht um einen Körper, da beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette |(1,0) \cdot (0,1) ||(0,0) || || || |SZ= }} zeigt, dass es darin Nullteiler gibt. Allerdings kann man {{math|term=\R^2|SZ=}} mit einer anderen Multiplikation zu einem Körper machen. {{ inputdefinition |Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition|| }} Die Addition ist also einfach die vektorielle Addition im {{math|term=\R^2|SZ=,}} während die Multiplikation eine neuartige Verknüpfung ist, die zwar numerisch einfach durchführbar ist, an die man sich aber dennoch gewöhnen muss. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Komplexe Zahlen/Körper/Fakt|Lemma|| |ref1=||refa= }} Hierbei sind nur das Assoziativgesetz, das Distibutivgesetz und die Existenz der Inversen nicht unmittelbar klar. Wir lösen uns von der Paarschreibweise und schreiben {{ Ma:Vergleichskette/disp | a+b {{Imaginäre Einheit}} | {{defeq|}} |(a,b) || || || |SZ=. }} Insbesondere ist {{mathl|term={{Imaginäre Einheit}}=(0,1)|SZ=,}} diese Zahl heißt {{Stichwort|imaginäre Einheit|SZ=.}} Diese Zahl hat die wichtige Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{Imaginäre Einheit}}^2 ||-1 || || || |SZ=. }} Aus dieser Eigenschaft ergeben sich sämtliche algebraischen Eigenschaften der komplexen Zahlen durch die Körpergesetze. So kann man sich auch die obige Multiplikationsregel merken, es ist ja {{ Ma:Vergleichskette/disp |(a+b {{Imaginäre Einheit}})(c+d {{Imaginäre Einheit}} ) ||ac+ad {{Imaginäre Einheit}} + b {{Imaginäre Einheit}} c+b {{Imaginäre Einheit}} d {{Imaginäre Einheit}} ||ac+bd {{Imaginäre Einheit}}^2 +(ad+bc) {{Imaginäre Einheit}} ||ac-bd +(ad+bc) {{Imaginäre Einheit}} || |SZ=. }} Wir fassen eine reelle Zahl {{math|term=a|SZ=}} als die komplexe Zahl {{mathl|term=a+0{{Imaginäre Einheit}} =(a,0)|SZ=}} auf. In diesem Sinne ist {{mathl|term=\R \subset {{CC}} |SZ=}} eine Körpererweiterung. Es ist gleichgültig, ob man zwei reelle Zahlen als reelle Zahlen oder als komplexe Zahlen addiert oder multipliziert. {{ inputdefinition |Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition|| }} Man sollte sich allerdings die Menge der komplexen Zahlen nicht als etwas vorstellen, das weniger real als andere Zahlensysteme ist. Die Konstruktion der komplexen Zahlen aus den reellen Zahlen ist bei Weitem einfacher als die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen. Allerdings war es historisch ein langer Prozess, bis die komplexen Zahlen als Zahlen anerkannt wurden; das Irreale daran ist, dass sie einen Körper bilden, der nicht angeordnet werden kann, und dass es sich daher scheinbar um keine Größen handelt, mit denen man sinnvollerweise etwas messen kann. {{ inputbild |Complex number illustration|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Complex_number_illustration |Autor= |Benutzer=Wolfkeeper |Domäne=en. Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Man kann sich die komplexen Zahlen als die Punkte in einer Ebene vorstellen; für die additive Struktur gilt ja einfach {{mathl|term={{CC}}= \R^2|SZ=.}} In diesem Zusammenhang spricht man von der {{Stichwort|Gaussschen Zahlenebene|msw=Gausssche Zahlenebene|SZ=.}} Die horizontale Achse nennt man dann die {{Stichwort|reelle Achse|SZ=}} und die vertikale Achse die {{Stichwort|imaginäre Achse|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=||refa= }} {{ inputdefinition |Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition|| }} Zu {{math|term=z|SZ=}} heißt {{math|term= {{op:Komplexe Konjugation|z}} |SZ=}} die {{Stichwort|konjugiert-komplexe Zahl|SZ=}} von {{math|term=z|SZ=.}} Geometrisch betrachtet ist die komplexe Konjugation zu {{mathl|term=z \in {{CC}}|SZ=}} einfach die Achsenspiegelung an der reellen Achse. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Komplexe Konjugation/Rechenregeln/Fakt|Lemma|| |ref1=||refa= }} Das Quadrat {{mathl|term=d^2|SZ=}} einer reellen Zahl ist stets nichtnegativ, und die Summe von zwei nichtnegativen reellen Zahlen ist wieder nichtnegativ. Zu einer nichtnegativen reellen Zahl {{math|term= c|SZ=}} gibt es eine eindeutige nichtnegative {{Stichwort|Quadratwurzel|SZ=}} {{math|term=\sqrt{c}|SZ=.}} Daher liefert folgende Definition eine wohldefinierte nichtnegative reelle Zahl. {{ inputdefinition |Komplexe Zahl/Betrag/Definition|| }} Der Betrag einer komplexen Zahl {{math|term=z|SZ=}} ist aufgrund des {{Stichwort|Satzes des Pythagoras|msw=Satz des Pythagoras|SZ=}} der Abstand von {{math|term=z|SZ=}} zum Nullpunkt {{mathl|term=0=(0,0)|SZ=.}} Insgesamt ist der Betrag eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|\R_{\geq 0} |z| {{op:Betrag|z}} |SZ=. }} {{ inputbild |Euler's formula|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Eulers_formula |Autor= |Benutzer=Wereon |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Menge aller komplexen Zahlen mit einem bestimmten Betrag bilden einen Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit dem Betrag als Radius. Insbesondere bilden alle komplexen Zahlen mit dem Betrag {{math|term=1|SZ=}} den {{Stichwort|komplexen Einheitskreis|msw=Komplexer Einheitskreis|SZ=.}} Es sei hier erwähnt, dass das Produkt von zwei komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis sich ergibt, indem man die zugehörigen Winkel, gemessen von der positiven reellen Achse aus gegen den Uhrzeigersinn, addiert. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Komplexe Zahlen/Konjugation Realteil Betrag/Fakt|Lemma|| |ref1=||refa= }} {{ inputfaktbeweishier |Komplexe Zahlen/Rechenregeln für Betrag/Fakt|Lemma|| |ref1=||Beweistext=Wir zeigen die Dreiecksungleichung, für die anderen Aussagen siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Komplexe Zahlen/Rechenregeln für Betrag/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zunächst gilt nach (5) für jede komplexe Zahl {{math|term=u|SZ=}} die Abschätzung {{mathl|term= {{op:Realteil|u|}} \leq {{op:Betrag|u|}} |SZ=.}} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Realteil|z {{op:Komplexe Konjugation|w|}} |}} |\leq| {{op:Betrag|z|}} {{op:Betrag|w|}} || || || |SZ=, }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Betrag|z+w|}}^2 ||(z+w)( {{op:Komplexe Konjugation|z|}} + {{op:Komplexe Konjugation|w|}} ) ||z {{op:Komplexe Konjugation|z|}} + z {{op:Komplexe Konjugation|w|}} + w {{op:Komplexe Konjugation|z|}} + w {{op:Komplexe Konjugation|w|}} || {{op:Betrag|z|}}^2 + 2 {{op:Realteil|z {{op:Komplexe Konjugation|w|}} |}} + {{op:Betrag|w|}} ^2 |\leq| {{op:Betrag|z|}} ^2 + 2 {{op:Betrag|z|}} {{op:Betrag|w|}} + {{op:Betrag|w|}} ^2 ||( {{op:Betrag|z|}} + {{op:Betrag|w|}} )^2 |SZ=. }} Durch Wurzelziehen ergibt sich die gewünschte Abschätzung. }} }} h5q6vmm57aydbolbtcvgpptz6uuh2de 106 70193 784329 526365 2022-08-22T05:56:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesungsgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|term=Terme und Gleichungen}} {{:Terme und Gleichungen/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe in einer Variablen}} Zu einem kommutativen Ausgangsring wie {{math|term=\Z|SZ=}} oder {{math|term=\R|SZ=}} und einer fixierten Variablen {{math|term=X|SZ=}} kann man sich fragen, welche Terme man mit dieser Variablen über diesem Ring {{Anführung|basteln}} kann. Dazu gehören {{ math/disp|term= 5, \, 3X+3,\, 3(X+1),\, (2X-6)(4X+3), \, X \cdot ( X \cdot X), \,5 +3 X -6X^2+7X^3, \, X^2-4 + 5X^2 +7X -13X |SZ=, }} wobei wir Potenzschreibweise verwendet und einige Klammern weggelassen haben. Als Terme sind {{ mathkor|term1= 3X+3 |und|term2= 3(X+1) |SZ= }} verschieden. Bei jeder Interpretation von {{math|term=X|SZ=}} in einem Ring sind diese Ausdrücke aber gleich. Der Polynomring besteht aus genau diesen Termen, wobei allerdings Terme miteinander identifiziert werden, wenn dies in jedem kommutativen Ring gilt {{ Zusatz/Klammer |text=die Menge aller Terme ist kein Ring| |ISZ=|ESZ=! }} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|| }} Ein Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||{{polynomX|n|a|i}} ||{{polynomX/dots|n|a}} || || |SZ= }} ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel {{mathl|term=(a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n )|SZ=,}} die die {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} des Polynoms heißen. Der Ring {{math|term=R|SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|term=Grundring|SZ=}} des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem {{Stichwort|Nullpolynom|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem alle Koeffizienten null sind| |SZ= }} als neutralem Element. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit {{mathl|term=a_i=0|SZ=}} für alle {{mathl|term=i \geq 1|SZ=}} heißen {{Stichwort|term=konstante Polynome|msw=Konstantes Polynom|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term=a_0|SZ=.}} Ein von {{math|term=0|SZ=}} verschiedenes Polynom kann man als {{mathl|term={{polynomX|n|a|i}}|SZ=}} mit {{mathl|term=a_n \neq 0|SZ=}} schreiben. Der Koeffizient {{math|term=a_n|SZ=}} heißt dann der {{Stichwort|Leitkoeffizient}} des Polynoms. Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt {{mathl|term=X^{i} X^{j}|SZ=}} ist nämlich durch die Addition der Exponenten gegeben. Dabei nennt man {{math|term=X|SZ=}} die {{Stichwort|term=Variable|SZ=}} des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, {{Anführung|alles mit allem}} zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben: {{ math/disp|term= {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} |SZ=. }} Beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| iX^2 + (3-i)X+5 |}} {{makl|-X^2 + 4X+2i |}} ||-iX^4 + ( 4i -(3-i) ) X^3 + (2ii +(3-i)4 -5 )X^2 +( (3-i) 2i +20 )X +10i ||-iX^4 + ( -3 + 5i ) X^3 + ( 5 -4i )X^2 + ( 22 +6i )X +10i || || |SZ= }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Eine Variable/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Unterring/Zugehörige Polynomringe/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} Die vorstehende Aussage bedeutet einfach, dass man ein Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term=S|SZ=}} direkt auch als Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term=R|SZ=}} auffassen kann. So ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten insbesondere auch ein Polynom mit rationalen Koeffizienten und mit reellen Koeffizienten. Die Addition und die Multiplikation von zwei Polynomen hängt nicht davon ab, ob man sie über einem kleineren oder einem größeren Grundring ausrechnet, so lange dieser nur alle beteiligten Koeffizienten enthält. Es gibt aber auch viele wichtige Eigenschaften, die vom Grundring abhängen, wie beispielsweise die Eigenschaft, irreduzibel zu sein, siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Irreduzible Polynome/Abhängigkeit vom Grundkörper/Q,R,C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} In ein Polynom {{mathl|term=P\in R[X]|SZ=}} kann man ein Element {{mathl|term=r \in R|SZ=}} einsetzen. Dabei ersetzt man überall die Variable {{math|term=X|SZ=}} durch {{math|term=r|SZ=}} und rechnet das Ergebnis in {{math|term=R|SZ=}} aus. Dieses Ergebnis wird mit {{math|term=P(r)|SZ=}} bezeichnet. Ein fixiertes Element {{mathl|term=r \in R|SZ=}} definiert dann eine Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|Auswertungsabbildung}} zu {{math|term=r|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R[X]|R |P|P(r) |SZ=. }} Andererseits definiert ein fixiertes Polynom {{mathl|term=P \in R[X]|SZ=}} die zugehörige Polynomfunktion, die durch {{ Ma:abbele/disp |name= |R|R |x|P(x) |SZ=. }} Diese wird insbesondere bei einem Körper {{mathl|term=R=K|SZ=}} studiert, siehe weiter unten. {{Zwischenüberschrift|term=Der Grad eines Polynoms}} {{ inputdefinition |Polynomring/Grad/Definition|| }} Wenn der Leitkoeffizient {{math|term=a_n=1|SZ=}} ist, so nennt man das Polynom {{Definitionswort/enp|normiert|msw=Normiertes Polynom|SZ=.}} Dem Nullpolynom wird im Allgemeinen kein Grad zugewiesen; manchmal sind gewisse Gleichungen oder Bedingungen aber auch so zu verstehen, dass dem Nullpolynom jeder Grad zugewiesen wird. Polynome vom Grad {{math|term=0|SZ=}} heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=konstantes Polynom|SZ=,}} Polynome vom Grad {{math|term=1|SZ=}} heißen {{Stichwort|lineare Polynome|msw=lineares Polynom|SZ=}} und Polynome vom Grad {{math|term=2|SZ=}} heißen {{Stichwort|quadratische Polynome|msw=quadratisches Polynom|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Polynomring/Grad/Einfache Regeln/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe in mehreren Variablen}} Die Konstruktion von Polynomringen aus einem Grundring kann man iterieren. Aus {{mathl|term=R|SZ=}} kann man {{math|term=R[X]|SZ=}} machen und daraus mit einer neuen Variablen den Ring {{mathl|term=(R[X])[Y]|SZ=}} bilden. Für diesen Ring schreibt man auch {{mathl|term=R[X,Y]|SZ=.}} Ein Element darin hat die Gestalt {{ math/disp|term= \sum_{i,j} a_{ij} X^{i}Y^{j} |SZ=, }} wobei die Summe endlich ist. Ein Ausdruck der Form {{mathl|term=X^{i}Y^{j}|SZ=}} heißt Monom. Polynome kann man auf unterschiedliche Art sortieren. Man kann die Potenz einer Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=etwa {{math|term=Y|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} herausnehmen und schauen, welche Polynome in {{math|term=X|SZ=}} sich darauf beziehen. Dann sieht ein Polynom folgendermaßen aus: {{ math/disp|term= 2+3X-X^2- 5X^3 + (1+3X -X^2 +3X^5)Y + (4+X+7X^2-6X^4)Y^2+ (2-X^3)Y^3 |SZ=. }} Oder man kann entlang dem Summengrad sortieren, dies ergibt {{ math/disp|term= 2+3X+Y -X^2 +3XY +4 Y^2 - 5X^3 -X^2Y +XY^2 + 2Y^3 + 7X^2Y^2 + 3X^5 Y +6X^4Y^2-X^3Y^3 |SZ=. }} Polynomiale Identitäten haben viel mit allgemeingültigen Termidentitäten zu tun. In {{mathl|term=\Z[X,Y]|SZ=}} gilt beispielsweise {{ math/disp|term= {{Binomische Formel|n|X|Y|k||}} |SZ=. }} Diese Identität zwischen zwei Polynomen entspricht der allgemeinen binomischen Formel. Einerseits ist sie ein Spezialfall davon, da wir in dem kommutativen Ring {{mathl|term=\Z[X,Y]|SZ=}} sind und die speziellen Elemente {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} anschauen. Andererseits kann man aus dieser polynomialen Identität die allgemeine binomische Formel zurückgewinnen, da man für {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} beliebige Elemente {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} eines kommutativen Ringes einsetzen kann {{ Zusatz/Klammer |text=und man weiß, wie man ganze Zahlen in jedem Ring interpretiert| |ISZ=|ESZ= }} und sich dabei die Identität erhält. Natürlich gibt es auch Polynomringe in beliebig vielen Variablen, dafür schreibt man {{mathl|term=R[X_1, X_2 {{kommadots}} X_n]|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe über einem Körper}} Für uns sind zunächst die Polynomringe über einem Körper von besonderer Bedeutung. {{ inputdefinition |Polynomfunktion/Körper/Definition|| |zusatz= |tipp= }} Man muss zwischen Polynomen und Polynomfunktionen unterscheiden, insbesondere für {{mathl|term=K={{op:Zmod|p}}|SZ=.}} Das Polynom {{math/disp|term=X^p-X|SZ=}} hat beispielsweise nach {{ Faktlink |Präwort=dem|kleinen Fermat|Faktseitenname= Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für jedes {{mathl|term=a \in K|SZ=}} den Wert {{mathl|term=a^p-a=0|SZ=.}} D.h. die durch dieses Polynom definierte Polynomfunktion ist die Nullfunktion, obwohl das Polynom selbst nicht das Nullpolynom ist. Bei {{mathl|term=K=\R|SZ=}} lassen sich die Polynomfunktionen graphisch veranschaulichen. {{ inputbild |Polynomialdeg2|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor=Enoch Lau |Benutzer= |Domäne=englische Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }}{{ inputbild |Polynomialdeg3|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor=Enoch Lau |Benutzer= |Domäne=englische Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }}{{ inputbild |Polynomialdeg4|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor=Enoch Lau |Benutzer= |Domäne=englische Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Polynomialdeg5|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor=Enoch Lau |Benutzer= |Domäne=englische Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Eine wichtige Frage ist, für welche Elemente {{mathl|term=x \in K|SZ=}} die Polynomfunktion einen bestimmten Wert annimmt. Hierbei ist insbesondere der Wert {{math|term=0|SZ=}} wichtig, da ja die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |P(x) ||a || || || |SZ= }} äquivalent zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(x)-a ||0 || || || |SZ= }} ist und {{mathl|term=P-a|SZ=}} wieder ein Polynom ist. Für lineare Polynome {{mathl|term=aX+b|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=a\neq 0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist {{mathl|term=x= {{op:Bruch|-b|a}}|SZ=}} die einzige Lösung. Für quadratische Polynome der reinen Form {{mathl|term=X^2+c|SZ=}} sind die Quadratwurzeln von {{math|term=-c|SZ=}} aus {{math|term=K|SZ=,}} falls sie denn existieren, die Lösungen. Für ein quadratisches Polynom {{mathl|term=aX^2+bX+c|SZ=}} kann man das Bestimmen der Nullstellen durch quadratisches Ergänzen auf die reine Form zurückführen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Quadratische Lösungsformel/R/Formuliere/Beweise/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Interpolationssatz|SZ}} und beschreibt die Interpolation von vorgegebenen Funktionswerten durch Polynome. {{ inputfaktbeweis |Polynom/K/Interpolation/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} }} mqql3sum55r5zcva886u68gcikqj5wd 106 70195 785010 579348 2022-08-22T07:33:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesungsgestaltung|6| Wir wollen für den Polynomring in einer Variablen über einem Körper zeigen, dass dort viele wichtige Sätze, die für den Ring der ganzen Zahlen gelten, ebenfalls Gültigkeit haben. Dass ein euklidischer Bereich vorliegt, haben wir schon gesehen. Es gilt aber auch die eindeutige Primfaktorzerlegung. Um diese adäquat formulieren zu können, brauchen wir einige Vorbereitungen zur allgemeinen Teilbarkeitslehre. {{Zwischenüberschrift|Teilbarkeitsbegriffe}} {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Teilen/Definition|}} Beispielsweise ist {{math|term=2|SZ=}} ein Teiler von {{math|term=6|SZ=}} in {{math|term=\Z|SZ=,}} aber kein Teiler von {{math|term=5|SZ=.}} In {{mathl|term={{CC}}[X]|SZ=}} ist {{mathl|term=X-i|SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term=X^2+1|SZ=,}} aber nicht von {{math|term=X+2|SZ=.}} {{inputfaktbeweisaufgabe|Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Verschiedene Eigenschaften/Fakt|Lemma||ref1=}} {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition|}} Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Kommutative Ringtheorie/Einheit/Assoziiertheit/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} In {{mathl|term=R=\Z|SZ=}} sind zwei Zahlen genau dann zueinander assoziiert, wenn ihr Betrag übereinstimmt, wenn sie also gleich oder negativ zueinander sind. Bei {{mathl|term=R=K[X]|SZ=}} sind zwei Polynome zueinander assoziiert, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar {{ mathbed|term= \lambda \in K ||bedterm1= \lambda \neq 0 |SZ=, }} ineinander übergehen. Durch diese Operation kann man erreichen, dass der Leitkoeffizient eins wird. Jedes Polynom ist also assoziiert zu einen normierten Polynom. Das folgende Lemma besagt, dass es für die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt. {{inputfaktbeweisaufgabe|Kommutative Ringtheorie/Teilen und Assoziiertheit/Verschiedene Eigenschaften/Fakt|Lemma|}} {{Zwischenüberschrift|term=Irreduzibel und prim}} Für Teilbarkeitsuntersuchungen sind die beiden folgenden Begriffe fundamental. Unter bestimmten Voraussetzungen, etwa wenn ein Hauptidealbereich {{ Zusatz/Klammer |text=siehe nächste Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} vorliegt, sind sie äquivalent. {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition|}} Diese Begriffsbildung orientiert sich offenbar an den Primzahlen. Dagegen taucht das Wort {{Anführung|prim||}} in der folgenden Definition auf. {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition|}} Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass {{math|term=1|SZ=}} keine Primzahl ist. Dabei ist die {{math|term=1|SZ=}} nicht deshalb keine Primzahl, weil sie {{Anführung|zu schlecht}} ist, sondern weil sie {{Anführung|zu gut}} ist. Für die ganzen Zahlen und für viele weitere Ringe fallen die beiden Begriffe zusammen. Im Allgemeinen ist irreduzibel einfacher nachzuweisen, und prim ist der stärkere Begriff, jedenfalls für Integritätsbereiche. {{inputfaktbeweis|Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt|Lemma|}} In vielen wichtigen Ringen gilt hiervon auch die Umkehrung, worauf wir noch ausführlich zu sprechen kommen. {{Zwischenüberschrift|term=Irreduzible Polynome}} Die irreduziblen Elemente im Polynomring {{mathl|term=K[X]|SZ=}} über einem Körper {{math|term=K|SZ=}} sind nicht einfach zu charakterisieren. Die Antwort hängt auch wesentlich vom Körper ab, und nicht für jeden Körper lassen sich die irreduziblen Polynome übersichtlich beschreiben. Bei Irreduzibilitätsfragen kann man stets mit Einheiten multiplizieren, daher muss man nur normierte Polynome untersuchen. {{ inputbeispiel |Irreduzible Polynome/Abhängigkeit vom Grundkörper/Q,R,C/Beispiel|| }} Als echte Faktoren für ein Polynom kommen nur Polynome von kleinerem Grad in Frage. Insbesondere sind daher {{Stichwort|lineare Polynome|msw=Lineares Polynom|SZ=,}} also Polynome von Typ {{ mathbed|term= aX+b ||bedterm1= a\neq 0 |SZ=, }} stets irreduzibel. Eine notwendige Bedingung an die Irreduzibilität eines Polynoms {{mathl|term=P \in K[X]|SZ=}} ist wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass es keine Nullstelle in {{math|term=K|SZ=}} besitzt. Deshalb und aufgrund des {{ Faktlink |Präwort=|Fundamentalsatzes der Algebra|Faktseitenname= Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind daher in {{mathl|term={{CC}}[X]|SZ=}} die linearen Polynome die einzigen irreduziblen Polynome. {{ inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Reelles Polynom/X^4+1/Zerlegung/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Größter gemeinsamer Teiler}} {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/gt und ggt/Definition|}} {{Anführung|Größer}} ist hier bezüglich der Teilbarkeitsrelation zu verstehen, wenn {{math|term=b|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} geteilt wird, so gilt es gemäß diesem Sprachgebrauch als größer. Dies rührt natürlich von der Situation in {{math|term=\N|SZ=}} her, wo Vielfache in der Tat größer im Sinne der natürlichen Ordnung als die Teiler sind. {{inputbemerkung|Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/gt und ggt/Bemerkung|}} {{ inputdefinition |Teilbarkeitstheorie/gemeinsames Vielfaches/gV und kgV/Definition|| }} }} n6ibwx4w5zxo3fqm10sk5z3ap787owu 106 70198 785045 584740 2022-08-22T07:39:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesungsgestaltung|9| {{Zwischenüberschrift|term=Faktorielle Ringe}} In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass in einem Hauptidealbereich einerseits jedes irreduzible Element prim ist und andererseits jedes Element ein Produkt von irreduziblen Elementen und damit auch von Primelementen ist. Wir werden gleich zeigen, dass unter diesen Voraussetzung die Zerlegung in Primelemente sogar im Wesentlichen eindeutig ist. Um dies prägnant fassen zu können, dient der Begriff des faktoriellen Bereiches. {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition|}} {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{inputfaktbeweis|Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt|Satz||ref1=|ref2=|ref3=}} {{Zwischenüberschrift|term=Zerlegung in irreduzible Polynome}} Wir möchten nun, abhängig von einem gewählten Grundkörper {{math|term=K|SZ=,}} Aussagen über die irreduziblen Elemente in {{mathl|term=K[X]|SZ=}} und über die Primfaktorzerlegung von Polynomen treffen. {{ inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Eine Variable/Eindeutige Zerlegung in normierte Polynome/Fakt|Korollar||| |ref1=|| }} Die irreduziblen Elemente stimmen mit den Primelementen überein, man spricht meist von {{Stichwort|irreduziblen Polynomen|msw=Irreduzibles Polynom|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Faktorzerlegung/X^6-1/Über Q/Beispiel|| }} Im Allgemeinen ist es schwierig, zu einem gegebenen Polynom die Primfaktorzerlegung zu finden. {{Zwischenüberschrift|term=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie}} Wir beweisen nun, dass sich jede natürliche Zahl in eindeutiger Weise als Produkt von Primzahlen darstellen lässt. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz||bv=2 |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Exponententest}} {{ inputdefinition |Faktorieller Bereich/Primelement/Exponent/Definition|| }} Wenn von {{math|term=f|SZ=}} die kanonische Primfaktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |f ||u \cdot p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k} || || || |SZ= }} und {{math|term=p|SZ=}} zu {{math|term=p_i|SZ=}} assoziiert ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{opsyn|exp|f|tief=p|hoch=}} ||r_i || || || |SZ=. }} Denn offenbar wird {{math|term=f|SZ=}} von {{math|term=p_i^{r_i}|SZ=}} geteilt, aber nicht von {{mathl|term= p_i^{r_i+1}|SZ=,}} da nach kürzen mit {{mathl|term=p_i^{r_i}|SZ=}} folgen würde, dass {{math|term=p_i|SZ=}} einen der übrigen Faktoren {{mathl|term=p_2 {{kommadots}} p_k|SZ=}} teilt. Insbesondere ist also der Exponent wohldefiniert. {{ inputfaktbeweis |Faktorieller Bereich/Primelement/Exponent/Fakt|Lemma|| || }} Der Exponent übersetzt also die Multiplikation in die Addition. Mit diesen Bezeichnungen kann man die Primfaktorzerlegung in einem faktoriellen Bereich als {{ Ma:Vergleichskette/disp |f ||u \prod_p p^{{op:pexp|n|}} || || || |SZ= }} mit einer Einheit {{math|term=u|SZ=}} schreiben, wobei das Produkt rechts endlich in dem Sinne ist, dass nur endlich viele Exponenten von {{math|term=0|SZ=}} verschieden sind, und wobei für zueinander assoziierte Primelemente jeweils ein Vertreter genommen wird {{ Zusatz/Klammer |text=das Produkt erstreckt sich also beispielsweise über alle positiven Primzahlen oder über alle irreduziblen normierten Polynome| |ISZ=|ESZ=. }} Die Teilbarkeit und einen größten gemeinsamen Teiler und ein kleinstes gemeinsames Vielfaches kann man aus den Exponenten ablesen. {{ inputfaktbeweis |Faktorieller Bereich/Exponentenkriterium/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Faktorieller Bereich/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} Insbesondere kann man den größten gemeinsamen Teiler primelementweise bestimmen, indem man schaut, mit welcher Potenz {{math|term=p|SZ=}} in {{mathl|term=a_1,a_2|SZ=}} etc. aufgeht. In einem faktoriellen Bereich muss ein größter gemeinsamer Teiler nicht als Linearkombination der Elemente darstellbar sein. Beispielsweise ist {{mathl|term=K[X,Y]|SZ=}} faktoriell, aber kein Hauptidealbereich, die beiden Variablen {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} sind prim und teilerfremd, erzeugen aber nicht das Einheitsideal. }} 844yau0eb0aasgz2yopkoowhk451c90 106 70204 785062 510837 2022-08-22T07:41:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesungsgestaltung|15| In dieser Vorlesung wollen wir die Restklassenringe von Hauptidealbereichen verstehen. {{Zwischenüberschrift|Restklassenringe von Hauptidealbereichen}} {{inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt|Satz|}} {{ inputfaktbeweis |Restklassenringe von Z/Körper/Integer/Primzahl/Fakt|Satz||bv=2 |ref1= |ref2= }} Wenn also {{math|term=p|SZ=}} eine Primzahl ist, so ist der Restklassenring {{mathl|term={{op:Zmod|p|}}|SZ=}} ein Körper mit {{math|term=p|SZ=}} Elementen, den man auch den {{Definitionswort/enp|Restklassenkörper|SZ=}} nennt. Die Einheitengruppe {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Einheiten|{{op:Zmod|p|}} }} ||\{ 1 {{kommadots|}} p-1 \} || || || |SZ= }} ist eine Gruppe mit {{math|term=p-1|SZ=}} Elementen {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der Multiplikation| |SZ=. }} Bei {{math|term=p=5|SZ=}} hat man beispielsweise {{ math/disp|term= {{op:kl|2}}^0={{op:kl|1}} ,\, {{op:kl|2}}^1= {{op:kl|2}} ,\, {{op:kl|2}}^2= {{op:kl|4}}= {{op:kl|-1}},\, {{op:kl|2}}^3= {{op:kl|8}}= {{op:kl|3}} |SZ=, }} d.h. die Potenzen von {{math|term= {{op:kl|2|}}|SZ=}} durchlaufen sämtliche vier Elemente dieser Gruppe, die sich damit als zyklisch erweist. Es gilt generell, was wir aber nicht beweisen werden, dass für jede Primzahl {{math|term=p|SZ=}} die Einheitengruppe des Restklassenkörpers {{math|term={{op:Zmod|p|}}|SZ=}} zyklisch ist! Diese Gruppen nennt man auch die {{Definitionswort/enp|primen Restklassengruppen|msw=Prime Restklassengruppe|SZ=.}} {{ inputbild |Pierre de Fermat|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Pierre_de_Fermat |Text=[[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat (1607/08-1665)]] |Autor= |Benutzer=Magnus Manske |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Fermat.html }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|kleiner Fermat|SZ=.}} {{inputfaktbeweis|Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt|Satz||ref1=Satz von Lagrange}} Für {{ Ma:Vergleichskette |p ||5 || || || |SZ= }} gilt beispielsweise in {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=}} {{ math/disp|term= 1^p = 1,\, 2^5 =32 =2,\, 3^5 = 243 =3, \ 4^5 =1024= 4 |SZ=, }} Für Zahlen, die keine Primzahlen sind, gilt die entsprechende Aussage nicht. So ist etwa in {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |3^4 || 81 || 1 |\neq|3 || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Produktringe}} Um die Restklassenringe von {{math|term=\Z|SZ=}} besser verstehen zu können, insbesondere dann, wenn man {{math|term=n|SZ=}} als Produkt von kleineren Zahlen schreiben kann {{ Zusatz/Gs |text=z.B., wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist| |SZ=, }} braucht man den Begriff des Produktringes. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Produktring/Definition|| }} Eng verwandt mit dem Begriff des Produktringes ist das Konzept der idempotenten Elemente. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition|| }} Die Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} besitzen, idempotent, also beispielsweise {{mathl|term=(1,0)|SZ=.}} In einem Integritätsbereich gibt es nur die beiden trivialen idempotenten Elemente: Ein idempotentes Element {{math|term=e|SZ=}} besitzt die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/disp |e(1-e) ||e-e^2 ||e-e ||0 |SZ=. }} Im nullteilerfreien Fall folgt daraus {{ mathkor|term1= e=1 |oder|term2= e=0 |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Produktring/Einheitengruppe/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der chinesische Restsatz}} Für die Restklassenringe von Hauptidealbereichen gilt der sogenannte {{Stichwort|chinesische Restsatz|msw=Chinesischer Restsatz|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für beliebige faktorielle Bereiche gilt er nicht, da das Lemma von Bezout dafür im Allgemeinen nicht gilt| |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} }} axls3fhw14gf4njonl3rt7601xgjfg2 106 70208 785104 579349 2022-08-22T07:48:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesungsgestaltung|19| {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume}} {{ inputbild |Vector Addition|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Addition von zwei Pfeilen {{math|term=a|SZ=}} und {{math|term=b|SZ=,}} ein typisches Beispiel für Vektoren. |Autor= |Benutzer=Booyabazooka |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der zentrale Begriff der linearen Algebra ist der Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/Direkt/Definition||zusatz1= }} Die Verknüpfung in {{math|term=V|SZ=}} nennt man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition und die Operation {{ Ma:abb |name= |K \times V|V || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=.}} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|msw=Vektor|SZ=,}} und die Elemente {{mathl|term=r \in K|SZ=}} heißen {{Stichwort|Skalare|msw=Skalar|SZ=.}} Das Nullelement {{mathl|term=0\in V|SZ=}} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{mathl|term=v \in V|SZ=}} heißt das inverse Element das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term=v|SZ=}} und wird mit {{math|term=-v|SZ=}} bezeichnet. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{mathl|term=K=\R|SZ=}} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{mathl|term=K={{CC}}|SZ=}} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0|SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{mathl|term=K^0=0|SZ=}} auffassen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term=K^n|SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{math/disp|term={{op:Zeilenvektor|a_1|a_2| \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektor {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2| \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ math/disp|term= e_i {{defeq}} {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} |SZ=, }} wobei die {{math|term=1|SZ=}} an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term=i|SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel|opt1=als additive Struktur|zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= i |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Untervektorräume}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|| }} Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} sind der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} und der gesamte Vektorraum {{math|term=V|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man spricht daher auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=}} des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. {{Fußnotenliste}} }} 97n9iqevh0w47512dvpakvyuoz2o79p 106 70219 779734 599825 2022-08-21T17:15:05Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblattgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Ring mit 0 ist 1/Ist Nullring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unterring/Kein Zwischenring zwischen R und C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/Allgemeines Distributivitätsgesetz/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/(x^2-3yzy-2zy^2+4xy^2)(2xy^3x-z^2xyx)(1-3zyxz^2y)/Berechne/Aufgabe||x=\spadesuit|y=\heartsuit|z=\clubsuit |zusatz |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Summe und Produkt von polynomialen Ausdrücken/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formeln/R/Distributivgesetz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz=Man mache sich dies auch für {{math|term=k<0|SZ=}} und {{math|term=k \geq n|SZ=}} klar. |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringstruktur auf Menge der Abbildungen nach Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nichtnullteiler/Produkt ist Nichtnullteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/Durchschnitt von Unterringen ist Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Ringstruktur mit symmetrischer Differenz/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizient/Inzidenzformel/Aufgabe|p+| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 12/Nullteiler/Aufgabe|p+| |zusatz= |tipp= }} Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des {{Stichwort/-|nilpotenten|SZ=}} Elementes in einem Ring. {{:Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition|}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nilpotente Elemente/Summe/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unterringe von Q/Nenneraufnahme an einer Zahl/Ist Unterring/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unterringe von Q/Von 2/3 erzeugt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 0xgjdppgx94b6gemclibb483hv6blx3 0 70293 782874 450379 2022-08-22T01:54:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit {{math|term= V|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=vordere Tafel| |ISZ=|ESZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mittlere Tafel| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= H|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=hintere Tafel| |ISZ=|ESZ= }} bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur {{ Zusatz/Klammer |text=maximal| |ISZ=|ESZ= }} zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge {{ Zusatz/Klammer |text=alle Möglichkeiten| |ISZ=!|ESZ= }} muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Alltagslogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fff11hkmmo8yrk6l0j6ca8dhdv0mrbo 0 70296 785367 414934 2022-08-22T08:28:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} den oder die Fehler im folgenden {{Anführung|Beweis|SZ=}} für die Aussage, dass man zu zwei stetigen Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=f,g |\R_{\geq 0} |\R_{+} || |SZ= }} eine Stammfunktion zu {{math|term= fg|SZ=}} finden kann, indem man {{ Zusatz/Klammer |text=geeignete| |ISZ=|ESZ= }} Stammfunktionen zu {{math|term= f|SZ=}} und zu {{math|term= g|SZ=}} miteinander multipliziert. {{Anführung|Es sei {{math|term= F|SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= f|SZ=}} und {{math|term= G|SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= g|SZ=,}} die wir beide positiv wählen, was wegen der Positivität von {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} möglich ist. Für positive Zahlen ist der natürliche Logarithmus definiert, so dass man diese Funktionen mit dem Logarithmus verknüpfen kann. Dann ist {{mathl|term= {{op:ln|F}}|SZ=}} eine Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:ln|f}}|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:ln|G}}|SZ=}} eine Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:ln|g}}|SZ=.}} Nach der Additionsregel für Stammfunktionen ist somit {{mathl|term= {{op:ln|F}} +{{op:ln|G}} |SZ=}} eine Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:ln|f}} +{{op:ln|g}} |SZ=.}} Wir wenden auf diese Situation die Umkehrfunktion des Logarithmus, also die Exponentialfunktion an, und erhalten mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:exp(| {{op:ln|F}} +{{op:ln|G}} }} || {{op:exp(| {{op:ln|F}} }} \cdot {{op:exp(|{{op:ln|G}} }} || F \cdot G || || |SZ= }} eine Stammfunktion von {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:exp(| {{op:ln|f}} +{{op:ln|g}} }} || {{op:exp(| {{op:ln|f}} }} \cdot {{op:exp(|{{op:ln|g}} }} || f \cdot g || || |SZ= }} ist.|SZ=}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgzfqy2bpx5gwi1dpjgc7kb49kf2cna 0 70303 782643 756421 2022-08-22T01:16:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grenzwert| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:Vergleichskette | f(x) || {{makl| {{op:cos|x}} |}}^{1/x} || || || |SZ= }} für {{mathl|term= x \rightarrow 0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |x |>|0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Regel von Hospital |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0n3hmpifkq17f9f3gjj72yf51gdw7g2 0 71428 783758 757395 2022-08-22T04:22:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|x}}|SZ=}} eine beschränkte reelle Folge, {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= y_n=f(x_n)|SZ=}} die Bildfolge. Es sei {{math|term= H|SZ=}} die Menge der Häufungspunkte von {{mathl|term= {{op:Folge|x}}|SZ=}} und {{math|term= G|SZ=}} die Menge der Häufungspunkte von {{mathl|term= {{op:Folge|y}}|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}} {{mathl|term= f(H) \subseteq G|SZ=.}} b) Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f {{makl| {{op:Limes superior| {{op:Folge|x|}} |}} |}} |\leq| {{op:Limes superior| {{op:Folge|y|}} |}} || || || |SZ=. }} c) Zeige{{n Sie}}, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iewmvmotd7bs1xxa6o30knh6xy6xsmk 0 71448 785359 458154 2022-08-22T08:26:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq M \times N|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pua3i79dtw3ytei75w13cqpu001g6s3 0 71450 783324 413956 2022-08-22T03:09:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine kompakte topologische {{math|term= d|SZ=-}}dimensionale Mannigfaltigkeit, {{mathl|term= d \geq 1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine beschränkte offene Teilmenge {{mathl|term= U \subseteq \R^d|SZ=}} und eine stetige surjektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |U|M || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der kompakten topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fw1b8jcu831p5gomuyagh2hild3zpjo 0 71459 780388 754593 2022-08-21T19:00:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für jeden {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v \in T_PS^2 \subseteq \R^3|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|v}} ||1 || || || |SZ= }} in einem Punkt {{math|term= P \in S^2 \subset \R^3|SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitssphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Repräsentanten {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |I|S^2 || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\gamma(0) ||P || || || |SZ= }} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} brlm1bpabqd2epn5ljokt876xvt5op9 0 71509 779573 425916 2022-08-21T16:50:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir berechnen die Partialbruchzerlegung von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|100}} |SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |100 ||4 \cdot 25 ||2^2 \cdot 5^2 || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |25 -6 \cdot 4 ||1 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|100}} || {{op:Bruch|1|4}} - 6 {{op:Bruch|1|25}} || {{op:Bruch|1|4}} - {{op:Bruch|1|5}} - {{op:Bruch|1|25}} || || |SZ=. }} Wenn man nichtnegative Zähler haben möchte, so schreibt man {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|4}} - 6 {{op:Bruch|1|25}} ||- 1+ {{op:Bruch|1|4}} +1 - 6 {{op:Bruch|1|25}} ||- 1+ {{op:Bruch|1|4}} + {{op:Bruch|25-6|25}} ||- 1+ {{op:Bruch|1|4}} + {{op:Bruch|19|25}} ||- 1+ {{op:Bruch|1|4}} + {{op:Bruch|3|5}} + {{op:Bruch|4|25}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ogtu0gzkjh0tv6ygalgnhbkze3fmu5m 0 71534 779800 414449 2022-08-21T17:23:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das Polynom {{mathl|term= X^4+1|SZ=}} ist im Reellen stets positiv und hat daher keine reelle Nullstelle. Daher besitzt es in {{mathl|term= \R[X]|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch keinen linearen Faktor. Wegen der Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^4+1 || {{makl|X^2+ \sqrt{2} X+1 |}} {{makl| X^2- \sqrt{2} X+1 |}} || || || |SZ= }} ist das Polynom aber nicht irreduzibel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über R |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 12ftv66ww43la0qftz2b2bkaiy80cmq 0 71562 782865 696034 2022-08-22T01:53:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von {{mathl|term= 3 \times 3|SZ=}} Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von {{math|term= 5|SZ=}} Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen. a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht? b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes für kompakte Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g29mnc5jozbjhgqr66dop5ulnnrlzch 0 71567 785898 759051 2022-08-22T09:56:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} eine Darstellung der {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 1/210|SZ=}} als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlpotenzen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r9insxhigjeu8dlcf9yk46vp29wocrj 0 71642 785094 443831 2022-08-22T07:46:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Sei {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} ein Polynom und {{mathl|term= a \in K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= a|SZ=}} genau dann eine Nullstelle von {{math|term= P|SZ=}} ist, wenn {{math|term= P|SZ=}} ein Vielfaches des linearen Polynoms {{mathl|term= X-a|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m8g72aglwbxb16arcj7f9vserd32afx 0 71715 783140 516808 2022-08-22T02:39:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von {{math|term= 12|SZ=}} cm und einen inneren Durchmesser von {{math|term= 4|SZ=}} cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von {{math|term= 20|SZ=}} Metern. Wie dick ist das Klopapier? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l9xcg565ey3mfsqjeve13s1w09j75cu 0 71877 783238 756939 2022-08-22T02:55:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= a,b \in R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} folgende Aussagen. {{Aufzählung4 |Das Element {{math|term= a|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Teiler| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= b|SZ=}} (also {{mathl|term= a {{|}} b|SZ=),}} genau dann, wenn {{mathl|term= (b) \subseteq (a)|SZ=.}} |{{math|term= a|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann, wenn {{mathl|term= (a)=R=(1)|SZ=.}} |Jede Einheit teilt jedes Element. |Teilt {{math|term= a|SZ=}} eine Einheit, so ist {{math|term= a|SZ=}} selbst eine Einheit. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4fzu930cuxjy0jm1qvs1zwrx0apy5sb 0 71973 785588 758830 2022-08-22T09:04:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{mengebed|q \in \Q|0 \leq q < 1}} || || || |SZ= }} Zeige{{n Sie}}, dass auf {{math|term= M|SZ=}} durch {{ math/disp|term= a \oplus b {{defeq}} \begin{cases} a+b , \text{ falls } a+b < 1 \, , \\ a+b -1 \text{ sonst} \, . \end{cases} |SZ= }} eine wohldefinierte {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Q mod Z |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f03cpj0i29h8e9zpxe9c5r96d3w0cb1 0 72037 781404 755425 2022-08-21T21:49:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte {{mathl|term= P\neq Q|SZ=}} besitze. Zeige{{n Sie}}, dass der Graph der Ableitung {{math|term= f'|SZ=}} einen Schnittpunkt mit der durch {{mathl|term= y=1|SZ=}} definierten Geraden besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5bv8b5n0sfqrmyuukpykcsbyhn5ypm6 0 72366 781608 755555 2022-08-21T22:23:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} und {{mathbed|term=H_i \subseteq G|bedterm1=i \in I|SZ=,}} eine Familie von {{ Definitionslink |Untergruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt {{ math/disp|term= \bigcap_{i \in I} H_i |SZ= }} eine Untergruppe von {{math|term= G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n14arrn9y6hz2o56t55heh8adpboj0t 0 72367 784374 758005 2022-08-22T06:03:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M,\circ,e)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |x,y,a |\in|M || || || |SZ=. }} a) Folgt aus {{mathl|term= x=y|SZ=}} die Beziehung {{mathl|term= a \circ x= a \circ y|SZ=?}} b) Folgt aus {{mathl|term= a \circ x= a \circ y|SZ=}} die Beziehung {{mathl|term= x= y|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tkfyc9z9qkb4u0mv9h0p5bkzrnz6atu 0 72389 783856 579355 2022-08-22T04:38:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die lineare Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |(4- {{Imaginäre Einheit}}) z ||(6+5 {{Imaginäre Einheit}}) || || || |SZ= }} über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} und berechne{{n Sie}} den Betrag der Lösung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fso7w7frsulh9qj8c0xrt0c0cetk8jx 0 72445 784240 757880 2022-08-22T05:42:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |metrischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann gegen {{mathl|term= x\in M|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn die Folge der Abstände {{mathl|term= d(x_n,x)|SZ=}} in {{math|term= \R|SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 37l2ho1nncbaje77ypuhopajx1nlr28 0 72446 784242 757882 2022-08-22T05:43:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |metrischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann gegen {{mathl|term= x\in M|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn in jeder {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= U|SZ=}} mit {{mathl|term= x \in U|SZ=}} alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0cqtm8sx3tgm5nx74aamx22qo0qba4f 0 72456 779064 763202 2022-08-21T15:30:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Ring {{mathl|term= {{op:Zmod|5}} |SZ=.}} Die Elemente {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 4=-1 |SZ= }} sind wie in jedem Ring {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 \cdot 3 ||6 ||1 || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 3 |SZ= }} invers zueinander und insbesondere Einheiten. Die Einheitengruppe ist also {{math|term= \{1,2,3,4\} = {{op:Zmod|5}} \setminus \{0\} |SZ=.}} Bei {{mathl|term= {{op:Zmod|12}} |SZ=}} sind wieder {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 11=-1 |SZ= }} Einheiten. Ferner sind wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |5 \cdot 5 ||25 ||1 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |7 \cdot 7 ||49 ||1 || || |SZ= }} auch {{ mathkor|term1= 5 |und|term2= 7 |SZ= }} Einheiten. Die anderen acht Zahlen sind keine Einheiten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 5 |Objektkategorie2=Der Restklassenring Z mod 12 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tfzxqf9c6izo2c7mbiee75l6fr1ybqr 0 72458 783410 757090 2022-08-22T03:24:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |inversen Elemente| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der folgenden {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |{{math|term= 3|SZ=.}} |{{math|term= 5 {{Imaginäre Einheit}}|SZ=.}} |{{math|term= 3+5 {{Imaginäre Einheit}}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Rechnen |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hr3u4qqb2vjjgi5rb5x0ca3dim756e5 0 72537 785732 578126 2022-08-22T09:28:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt {{math|term= 200|SZ=}} Euro, ein Meter Hecke kostet {{math|term= 30|SZ=}} Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet {{math|term= 1000|SZ=}} Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} psxmjru3spi04wkev7spfbh4sdx3k1y 0 72550 785169 758518 2022-08-22T07:57:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Grad| |Definitionsseitenname= Polynomring/Grad/Definition |SZ= }} folgende Eigenschaft erfüllt. {{ Aufzählung3 |{{math|term= {{op:Grad Polynom|P+Q}} \leq \max \{ {{op:Grad Polynom|P}},\, {{op:Grad Polynom|Q}}\}|SZ=}} |{{math|term= {{op:Grad Polynom|P \cdot Q}} \leq {{op:Grad Polynom|P}} + {{op:Grad Polynom|Q}} |SZ=}} |Wenn {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so gilt in (2) die Gleichheit. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 96jkehqoj7mzdoqol0si2vbbnkbopta 0 72551 785047 758438 2022-08-22T07:39:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Produkt {{ math/disp|term= ( 2X^3+4X+5) \cdot ( X^4+5 X^2+6 ) |SZ= }} im {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|7}}[X]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Polynomring in einer Variablen über F 7 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mqw5gdl2bqwnlmvaoepavc7j73r96h6 0 72552 781098 755157 2022-08-21T20:58:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Identität {{ math/disp|term= {{Binomische Formel|n|X|Y|k| |}} |SZ= }} im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Z[X,Y]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k6xzfh8z656lwzxpm69pbx96grfv1r8 0 72566 785148 758503 2022-08-22T07:54:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= P,T \in K[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Polynome| |Kontext=Körper 1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es für die {{ Definitionslink |Division mit Rest| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Division mit Rest/Konstruktiv/Bemerkung |SZ= }} {{Anführung|{{math|term= P|SZ=}} durch {{math|term= T|SZ=}}|}} unerheblich ist, ob man sie in {{mathl|term= K[X]|SZ=}} oder in {{mathl|term= L[X]|SZ=}} durchführt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e5vrb5lto857atnn6fbfa0aevxjnll3 0 72569 784994 579356 2022-08-22T07:31:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms {{ math/disp|term= X^4-1 |SZ= }} und gebe{{n Sie}} die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in {{math|term= \R[X]|SZ=}} und in {{math|term= {{CC}}[X]|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie= Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R oder C‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8mkxu7pxmntbnbmwkd0ao8rsh2fp4s4 0 72574 783241 756940 2022-08-22T02:55:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten. {{Aufzählung2 |Sind {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= b|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |assoziiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so gilt {{mathl|term= a {{!}} c|SZ=}} genau dann, wenn {{math|term= b {{!}} c|SZ=.}} |Ist {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so gilt hiervon auch die Umkehrung. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1t8fvspp3ikux5kibogaswik5255ovl 0 72637 783127 756857 2022-08-22T02:36:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Primzahlen {{math|term= 2,3,5|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Primelemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \Z|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0syrj1rhfrjx3lsi6uobc72kygy82a0 0 72638 785187 758532 2022-08-22T08:00:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1 K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K[X]|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} die Variable {{math|term= X|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |prim| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} keottq4g0q2rld9si7ggw2wzyo51lz0 0 72639 785186 758531 2022-08-22T08:00:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1 K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K[X]|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} die linearen Polynome {{math|term= aX+b|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathl|term= a \neq 0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |prim| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kof4mfk0b3bn8i3gqleg1m2wkc9uojl 0 72656 783205 756913 2022-08-22T02:49:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |maximales Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{idealm}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Morphismus |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5adl66q7nq4e8x41x3ijebm0m8ghutr 0 72659 782882 756645 2022-08-22T01:56:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass für {{mathl|term= R=\Z|SZ=}} die Begriffe Untergruppe und Ideal zusammenfallen. c) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Beispiel für einen kommutativen Ring {{math|term= R|SZ=}} und eine Untergruppe {{mathl|term= U \subseteq R|SZ=,}} die kein Ideal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rbm9oapj3243ehieybbkj4h93zu8z4i 0 72668 783606 757258 2022-08-22T03:56:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X,Y)|SZ=}} kein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptideale (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kjcwtrxt8aztritwnpcfaqt6etcksml 0 72671 782880 756643 2022-08-22T01:55:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{ideala|}} \subseteq R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Idealoperationen/Idealprodukt/Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{ideala}}^n,\, n \in \N_+|SZ=,}} alle dasselbe {{ Definitionslink |Prämath= |Radikal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Theorie der Radikale (kommutative Algebra)/Radikal zu einem Ideal/Definition |SZ= }} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Radikale (kommutative Algebra) |Kategorie2=Potenzen von Idealen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 45nl3okhehdbuwecv06g7drvpgrrp0y 0 72672 783607 757259 2022-08-22T03:57:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{mathl|term= K |SZ=}} und {{mathl|term= a,b \in K|SZ=}} zwei Elemente. Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{idealm}} ||{{mengebed|P \in K[X,Y]|P(a,b) {{=}} 0 }} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptideale (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qv81wcsjnzng80xrq64nn6x9zp81phe 0 72675 782883 756646 2022-08-22T01:56:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ mathbed|term= {{ideala|}}_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von {{ Definitionslink |Prämath= |Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt {{mathl|term= \bigcap_{j \in J} {{ideala|}}_j |SZ=}} wieder ein Ideal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealoperationen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1u8qqbb7u6fcbqfdc5bz27zytvqndla 0 72677 782881 756644 2022-08-22T01:55:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=,}} die wir mit den beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Summe von Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt von Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Welche {{ Definitionslink |Prämath= |Ringaxiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gelten dafür? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealoperationen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3pglmzoqt2y3yo0i20t0o5tfrdm37g0 0 72680 783602 757254 2022-08-22T03:56:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{mathl|term= K |SZ=}} und {{mathl|term= P=aX+b |SZ=}} ein lineares Polynom {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=a \neq 0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |maximal| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptideale (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6ctiil0vvlt2yk7emp3z64rxp51f27 0 72690 783605 757257 2022-08-22T03:56:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{mathl|term= d \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ math/disp|term= {{mengebed|P{{=}} \sum_{i{{=}} 0 }^n a_iX^{i} \in K[X]| a_0 {{=}} a_1 {{gleichdots}} a_d {{=}} 0 }} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= K[X]|SZ=}} ist. Ist es ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptideale (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sqbhabm9glzj3wv3c9n6dc4gmsngbcx 0 72723 782742 756519 2022-08-22T01:32:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptidealbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} zu beliebigen Elementen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n \in R|SZ=}} sowohl ein {{ Definitionslink |Prämath= |größter gemeinsame Teiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als auch ein {{ Definitionslink |Prämath= |kleinstes gemeinsames Vielfaches| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} existieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in Hauptidealbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cr4w41msnw5fjhokogqcrvcmi99bn9y 0 72727 782942 756685 2022-08-22T02:06:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b \in R|SZ=}} zwei {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |assoziierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Elemente in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bf4rjymtrfltcqrto01krxf50uakb35 0 72738 782943 756686 2022-08-22T02:06:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= a \in R|SZ=}} ein Element. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= a|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn das {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (a)|SZ=}} unter allen vom {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} verschiedenen Hauptidealen maximal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptideale (kommutative Algebra) |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gjfk9isbym5b5ro9dqg7ficzjl6k7gu 0 72747 781738 755651 2022-08-21T22:45:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiven Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |[0,1]|[0,1] \subseteq \R || |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |rektifizierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, deren Länge aber {{mathl|term= > 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2og4che5hn3xqkmah13h9uu2fm3favb 0 72750 784602 758119 2022-08-22T06:33:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Unterring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||K[X^2,X^3,X^4,X^5, \ldots ] |\subset | K[X] || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= X^6|SZ=}} zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen in {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2uf3rb4vh1b93j8s8kil2w15k0uzito 0 72757 785976 759114 2022-08-22T10:09:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{math|term= \R^2|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Bälle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= U= {{op:Offener Ball|(0,0)|1}} |und|term2= V= {{op:Offener Ball|(2,0)|2}} |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||(a,b) |\in |U \cap V || || |SZ= }} einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt {{math|term= x|SZ=}} an, der ganz innerhalb von {{mathl|term= U \cap V|SZ=}} liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ju00jre1m8409ei98yq0b0tjir7198 0 72770 784403 422533 2022-08-22T06:06:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{math|term= R=K[\Q_{\geq 0}]|SZ=}} der kommutative Ring, der aus allen Ausdrücken der Form {{ math/disp|term= a_1X^{q_1} + a_2X^{q_2} {{plusdots}} a_nX^{q_n} |SZ= }} mit {{mathl|term= a_i \in K|SZ=}} und {{mathl|term= q_i \in \Q_{\geq 0}|SZ=}} besteht, und wobei die Addition komponentenweise und die Multiplikation durch distributive Fortsetzung der Regel {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^q \cdot X^p |{{defeq}} |X^{p+q} || || || |SZ= }} gegeben ist. Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= R|SZ=}} das Element {{math|term= X|SZ=}} keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring K Q_+ |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oatoli98y68nehptxa16c9up30zcdvn 0 72788 782174 756049 2022-08-21T23:57:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |faktorieller Bereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= a,b \in R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= ab|SZ=}} und das Produkt aus {{mathl|term= {{opsyn|kgV|a,b|tief=|hoch=}}|SZ=}} und {{mathl|term= {{opsyn|ggT|ab|tief=|hoch=}}|SZ=}} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |assoziiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eqq9audwyp5tvpwsahnkplq8l79xf2s 0 72789 782747 756524 2022-08-22T01:33:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= x,y \in R|SZ=}} Elemente in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Welche der folgenden Formulierungen sind zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |Rx | \subseteq|Ry || || || |SZ= }} äquivalent. {{ Aufzählung10 |{{math|term= x|SZ=}} teilt {{math|term= y|SZ=.}} |{{math|term= x|SZ=}} wird von {{math|term= y|SZ=}} geteilt. |{{math|term= y|SZ=}} wird von {{math|term= x|SZ=}} geteilt. |{{math|term= x|SZ=}} ist ein Vielfaches von {{math|term= y|SZ=.}} |{{math|term= x|SZ=}} ist ein Vielfaches von {{math|term= x|SZ=.}} |{{math|term= y|SZ=}} teilt {{math|term= x|SZ=.}} |{{math|term= Rx \cap Ry = Rx|SZ=.}} |Jedes Vielfache von {{math|term= y|SZ=}} ist auch ein Vielfaches von {{math|term= x|SZ=.}} |Jeder Teiler von {{math|term= y|SZ=}} ist auch ein Teiler von {{math|term= x|SZ=.}} |Ein Maikäfer ist ein Schmetterling. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3jc3kwqt5yjovdz3yqn87e8jzz45n4t 0 72796 782173 756048 2022-08-21T23:57:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a_1,a_2 {{kommadots|}} a_n \in R |SZ=}} Elemente in einem {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriellen Bereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} und {{mathl|term= k \in \N|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor/disp|term1= {{opsyn|kgV|a_1^k,a_2^k {{kommadots}} a_n^k|tief=|hoch=}} |und|term2= {{makl| {{opsyn|kgV|a_1,a_2 {{kommadots}} a_n|tief=|hoch=}} |}}^k |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |assoziiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor/disp|term1= {{opsyn|ggT|a_1^k,a_2^k {{kommadots}} a_n^k|tief=|hoch=}} |und|term2= {{makl| {{opsyn|ggT|a_1,a_2 {{kommadots}} a_n|tief=|hoch=}} |}}^k |SZ= }} zueinander assoziiert sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 83fnjc2kb45isuy75rpqqym8p2uze8d 0 72797 784407 422536 2022-08-22T06:07:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} in {{math|term= R=\R[\Q_{\geq 0}]|SZ=}} das Produkt {{ math/disp|term= {{makl| X^2 +4 X^{3/2}-5X+ X^{1/2} |}} {{makl| 2 X^{3/2}+4X-7X^{1/2} |}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring K Q_+ |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2n6emykm4sdc95ztu8mf5or3pwvzx60 0 72798 784406 422535 2022-08-22T06:07:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man jedes Element {{math|term= F \in R=K[\Q_{\geq 0}]|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= K|SZ=}} ein Körper| |ISZ=|ESZ= }} als ein Polynom in {{mathl|term= X^{1/b}|SZ=}} mit einem {{mathl|term= b \in \N_+|SZ=}} schreiben kann, dass es also ein {{mathl|term= P \in K[Y]|SZ=}} derart gibt, dass {{mathl|term= F=P(X^{1/b})|SZ=}} gilt. Welches Polynom kann man bei {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||X^{1/2} +X^{1/3} + X^{1/5} || || || |SZ= }} nehmen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring K Q_+ |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qfrenmekp3au1bcdfbdpx18765bf60j 0 72799 784404 422534 2022-08-22T06:07:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= R=K[\Q_{\geq 0}]|SZ=}} das Element {{math|term= X|SZ=}} keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring K Q_+ |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hu5pgcr70odyl28wsx5140aabv8dzil 0 72800 784408 758019 2022-08-22T06:07:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= R={{CC}}[\Q_{\geq 0}]|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring K Q_+ |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 73sqe2wq1knxqx394n7gp34j2n0dbnd 0 72801 784410 758021 2022-08-22T06:07:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= R=\R[\Q_{\geq 0}]|SZ=}} das Element {{math|term= X^2+1|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring K Q_+ |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o23xfl8ayqgoq7qvb8dsr4k1c79ae04 0 72809 782517 756312 2022-08-22T00:55:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= a_1, a_2 {{kommadots}} a_n, b,f \in R|SZ=}} Elemente. Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. 1) Wenn {{math|term= b|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |größter gemeinsamer Teiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{mathl|term= a_1, a_2 {{kommadots}} a_n |SZ=}} ist, so ist auch {{math|term= fb|SZ=}} ein größter gemeinsamer Teiler der {{mathl|term= fa_1, fa_2 {{kommadots}} fa_n |SZ=.}} 2) Wenn {{math|term= f|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Nichtnullteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oyejpb8ker5gi8rzc41c4sb0keeks4v 0 72829 781377 755395 2022-08-21T21:45:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Zeige{{n Sie}}, dass die archimedischen Spiralen {{ Ma:abbele/disp |name= |\R_{\geq 0}| \R^2 |t| {{op:Zeilenvektor|a t {{op:cos|t}} |a t {{op:sin|t}} }} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=zu {{mathl|term= a >0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Lösungskurven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathl|term= t >0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|x|y}}' || {{op:Spaltenvektor|-y + {{op:Bruch|x|t}} | x + {{op:Bruch|y|t}}}} || || || |SZ= }} sind. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Lösung für das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |v {{makl| {{op:Bruch|\pi|2}} |}} || {{op:Spaltenvektor|3|3}} || || |SZ= }} zu dieser Differentialgleichung an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cn5qgqnrt3kzmpmxs4osxucty5rrevi 0 72848 780058 738000 2022-08-21T18:04:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem konstanten {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |V|V |x|v |SZ=, }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} mit einem Vektor {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} und einem {{ Definitionslink |Prämath= |affin-linearen Weg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \gamma |[a,b]|V |t| w+ tu |SZ=, }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\int_\gamma F || \int_a^b {{op:Skalarprodukt|v|u}} dt || (b-a) {{op:Skalarprodukt|v|u}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oquwulf2rzmez9bctn9s2gyur7p0nfy 0 72850 779145 422420 2022-08-21T15:43:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das Polynom {{mathl|term= X^6-1|SZ=}} besitzt in {{mathl|term= \Q[X]|SZ=}} die Primfaktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^6-1 ||(X-1)(X+1) (X^2+X+1)(X^2-X+1) || || || |SZ=, }} die quadratischen Polynome sind nicht weiter zerlegbar, da sie in {{math|term= \Q|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ebenson in {{math|term= \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} keine Nullstelle besitzen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 67v99ece4xdyh6swap9xeq3s9yevvm9 0 72870 781378 755396 2022-08-21T21:45:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Zeige{{n Sie}}, dass die archimedischen Spiralen {{ Ma:abbele/disp |name= |\R_{\geq 0}| \R^2 |t| {{op:Zeilenvektor|a t {{op:cos(|t+t_0}} |a t {{op:sin(|t+t_0}} }} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=zu fixierten {{mathlk|term=a,t_0 \in \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Lösungskurven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathl|term= t >0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|x|y}}' || {{op:Spaltenvektor|-y + {{op:Bruch|x|t}} | x + {{op:Bruch|y|t}}}} || || || |SZ= }} sind. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Lösung für das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |v {{makl| {{op:Bruch|\pi|2}} |}} || {{op:Spaltenvektor|2|3}} || || |SZ= }} zu dieser Differentialgleichung an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lyu8ddol37q3ov7aqv1xo6y7njgvltw 0 72874 784409 758020 2022-08-22T06:07:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} sämtliche Teiler von {{math|term= X|SZ=}} im Ring {{math|term= R=K[\Q_{\geq 0}]|SZ=,}} wobei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring K Q_+ |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t5xlbtems8efpmo2acp31tfxe7ehlrk 0 72877 784411 758022 2022-08-22T06:08:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Ring {{math|term= R=K[\Q]|SZ=,}} wobei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Gruppenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring K Q |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pujxjw4bcwuz3tpdttsgwdwev8ovh1b 0 72883 779261 763358 2022-08-21T16:00:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Zentralfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum zeitunabhängigen identischen Vektorfeld {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R \times V|V |(t,v)| v |SZ=, }} die beschreibende Hilfsfunktion ist also durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |g(t,v) ||1 || || || |SZ= }} gegeben. Sei {{math|term= t_0|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |w |\in|V || || || |SZ= }} vorgegeben. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zentralfeld/Zeitabhängig/Lösungsverfahren/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} müssen wir die {{ Definitionslink |Prämath= |eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | z' || z || || || |SZ= }} betrachten, die gesuchte Lösung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |z(t) || e^{t-t_0} || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |v(t) || e^{t-t_0} w || || || |SZ= }} die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu Zentralfeldern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f814iygmnz9byksc1kvjswfzrnq8u1s 0 72907 782062 755958 2022-08-21T23:39:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=F |\R^n | \R^n || |SZ= }} ein stetiges {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei die {{math|term= i|SZ=-}}te Komponente nur von der {{math|term= i|SZ=-}}ten Variabeln abhängen möge. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[a,b]|U || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbarer Weg| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Feld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \int_\gamma F|SZ=}} nur von {{ mathkor|term1= \gamma(a) |und|term2= \gamma(b) |SZ= }} abhängt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie2=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b0pfrmm6p4t573og6tespvqlf4wauv5 0 72909 782419 425762 2022-08-22T00:38:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n|SZ=}} eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind: {{ Aufzählung5 |{{math|term= n|SZ=}} ist negativ. |{{math|term= n|SZ=}} ist ein Vielfaches von {{math|term= 8|SZ=,}} aber nicht von {{mathl|term= -16|SZ=.}} |{{math|term= n|SZ=}} ist kein Vielfaches von {{mathl|term= 36|SZ=.}} |{{math|term= n|SZ=}} ist ein Vielfaches von {{math|term= 150|SZ=,}} aber nicht von {{mathl|term= 125|SZ=.}} |In der Primfaktorzerlegung von {{math|term= n|SZ=}} gibt es keine Primzahl, die größer als {{math|term= 5|SZ=}} ist. }} Was ist {{math|term= n|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mydks8pwlomg6lol84v0gvjh4zst9z5 0 72945 779233 763322 2022-08-21T15:56:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= d \in \N|SZ=}} fixiert. Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z|\Z |n|dn |SZ=, }} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für {{ Ma:Vergleichskette |d |\geq|1 || || || |SZ= }} ist die Abbildung {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das Bild ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \Z d |\subseteq| \Z || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |d ||0 || || || |SZ= }} liegt die Nullabbildung vor. Bei {{ Ma:Vergleichskette |d ||1 || || || |SZ= }} ist die Abbildung die {{ Definitionslink |Prämath= |Identität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei {{ Ma:Vergleichskette |d |\geq|2 || || || |SZ= }} ist die Abbildung nicht {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0r1btp0t1fv82eio87drkf4c5s0k4u9 0 72946 779229 763314 2022-08-21T15:55:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir fassen den {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Betrag| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Betrag|-|}} | {{op:Einheiten|{{CC}}|}} {{=}} ({{CC}} \setminus \{ 0\}, \cdot ,1) | (\R_{+} , \cdot ,1) |z| {{op:Betrag|z|}} |SZ=, }} auf. Dabei liegen links und rechts Gruppen vor, und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Komplexe Zahlen/Rechenregeln für Betrag/Fakt |Nr=4 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liegt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Die Abbildung ist surjektiv {{ Zusatz/Klammer |text=da wir eben die positiven reellen Zahlen als Zielbereich gewählt haben| |ISZ=|ESZ=, }} aber nicht injektiv, da beispielsweise der gesamte Einheitskreis auf {{math|term= 1|SZ=}} abgebildet wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3xrtrz8ozk6vxsd77iw849vi6j1jyi 0 72948 779232 763320 2022-08-21T15:56:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= d \in \N_+|SZ=.}} Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|d|}} || \{0,1 {{kommadots}} d-1\} || || || |SZ= }} mit der in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Z modulo n/Repräsentanten/Assoziativität und Gruppe/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\Z| {{op:Zmod|d|}} || |SZ=, }} die eine ganze Zahl {{math|term= n|SZ=}} auf ihren Rest bei Division durch {{math|term= d|SZ=}} abbildet, ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sind nämlich {{ mathkor|term1= m=ad+r |und|term2= n=bd+s |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\leq| r,s |<|d || || |SZ= }} gegeben, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |m+n ||(a+b)d +r+s || || || |SZ=, }} wobei allerdings {{ Ma:Vergleichskette |r+s |\geq|d || || || |SZ= }} sein kann. In diesem Fall ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(m+n) || r+s-d || || || |SZ= }} und das stimmt mit der Addition von {{ mathkor|term1= r |und|term2= s |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Zmod|d|}} |SZ=}} überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cjd2tncrdd1q36yarljitcz0t07d8tt 0 72950 785061 758450 2022-08-22T07:41:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Für welche reellen Polynome {{mathl|term= P \in \R[X]|SZ=}} ist die zugehörige polynomiale Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |(\R,0,+)|(\R,0,+) |x| P(x) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} b) Für welche reellen Polynome {{mathl|term= Q\in \R[X]|SZ=}} ist allenfalls {{math|term= 0|SZ=}} eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | ({{op:Einheiten|\R|}}, 1, \cdot) |({{op:Einheiten|\R|}}, 1, \cdot) |x|Q(x) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über R |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q9wh2hbn5n9gdjbwjttj0ev6oxeaw1y 0 72951 782657 756434 2022-08-22T01:18:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= h \in G|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |G|G |g|hgh^{-1} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pva2t88h11e0q3m696txupg0f6zuwtp 0 72952 786040 759196 2022-08-22T10:19:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für jedes {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} den {{ Definitionslink |Kern| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition |SZ= }} des Potenzierens {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^\times| \R^\times|z|z^n |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Potenz |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} irzf5rtiskaobwmcldkfnu0kqvk8ght 0 72953 783291 756993 2022-08-22T03:04:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= h \in R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |R|R |f|hf |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Beschreibe{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Abbildung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1tab5recwkvbtvkrabhn7q159mfzpbc 0 72956 784072 757718 2022-08-22T05:14:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring und {{ math/disp|term= {{op:Matrixmn|a}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Matrix/nxm/Kommutativer Ring/Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Matrix einen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R^n|R^m || |SZ= }} definiert, indem man {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|x_1|x_2|\vdots|x_n}} \longmapsto {{op:Matrixmn|a}} {{op:Spaltenvektor|x_1|x_2|\vdots|x_n}} |SZ= }} anwendet, wobei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrixmn|a}} {{op:Spaltenvektor|x_1|x_2|\vdots|x_n}} || {{op:Spaltenvektor| \sum_{i {{=}} 1}^n a_{1 i} x_i | \sum_{i {{=}} 1}^n a_{2 i} x_i |\vdots| \sum_{i {{=}} 1}^n a_{m i} x_i}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Theorie der Matrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vg552xoaoy3getuc8h7il2jxdwhw57 0 72960 780397 754600 2022-08-21T19:01:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{mengebed| {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |a,b,c,d \in K|ad -bc \neq 0 }} || || || |SZ= }} die Menge aller invertierbaren {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Bezug zur Determinante| |ISZ=|ESZ=, }} dass {{math|term= M|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Matrizenmultiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet. b) Zeige{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Bezug zur Determinante| |ISZ=|ESZ=, }} dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M| {{op:Einheiten|K}} | {{op:Matrix22|a|b|c|d}}| ad-bc |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5ek2q4k529ew35eolio2jowed6v8pg 0 72964 780089 763883 2022-08-21T18:09:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{mathl|term= d \in \N|SZ=}} bzw. zur Untergruppe {{mathl|term= \Z d \subseteq \Z|SZ=}} gibt es die {{math|term= d|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Nebenklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \Z d, 1 +\Z d, 2+\Z d {{kommadots}} d-1 + \Z d |SZ=. }} Die Nebenklasse {{mathl|term= i + \Z d|SZ=}} besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch {{math|term= d|SZ=}} den Rest {{math|term= i|SZ=}} ergeben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} orofayhktntsqjtlcnany6rmkab21nv 0 72965 779344 579359 2022-08-21T16:13:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Einheitengruppe von {{math|term= {{CC}}|SZ=,}} also {{mathl|term= ({{CC}}^\times, 1 , \cdot)|SZ=.}} Zur Untergruppe {{mathl|term= \R_+ \subseteq {{CC}}^\times|SZ=}} sind zwei komplexe Zahlen äquivalent, wenn sie durch Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl auseinander hervorgehen. Die Nebenklassen sind also die Halbstrahlen, die vom Nullpunkt ausgehen. Zur Untergruppe {{mathl|term= S^1 ={{Mengebed|z \in {{CC}}|{{op:Betrag|z}} {{=}} 1}} \subseteq {{CC}}^\times|SZ=}} sind zwei komplexe Zahlen äquivalent, wenn sie den gleichen Betrag besitzen, also durch eine Drehung ineinander überführbar sind. Die Nebenklassen sind also die Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Untergruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fqag10wgccc81cljtsz0xs320lb6mpa 0 72984 783102 422880 2022-08-22T02:32:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle {{ Zusatz/Klammer |text=in geeigneten Maßeinheiten| |ISZ=|ESZ= }} wiedergegeben: {{Tabelle54|Sorte|Kalorien|Vitamin C|Fett|Schokokeks|10|5|3|Waffelröllchen|8|7|6|Mandelstern|7|3|1|Nougatring|12|0|5}} a) Beschreibe{{n Sie}} mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel {{mathl|term= (x,y,z,w)|SZ=}} das Aufnahmetupel {{mathl|term= (K,V,F)|SZ=}} berechnet. b) Heinz isst {{math|term= 100|SZ=}} Schokokekse. Berechne{{n Sie}} seine Vitaminaufnahme. c) Ludmilla isst {{math|term= 10|SZ=}} Nougatringe und {{math|term= 11|SZ=}} Waffelröllchen. Berechne{{n Sie}} ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen. d) Peter isst {{math|term= 5|SZ=}} Mandelsterne mehr und {{math|term= 7|SZ=}} Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme{{n Sie}} die Differenz ihrer Kalorienaufnahme. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} npeo36ivlnvgthqrrogazrtvyt9fh4k 0 72996 783298 757000 2022-08-22T03:05:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= p|SZ=}} Elementen, wobei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2=Der Satz von Lagrange (Gruppentheorie) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bwoi2o2dle3vzc0ixz5aevaef0jlxy8 0 73000 779439 738279 2022-08-21T16:28:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |v' ||Mv || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|5|9|-1|-1|}} || || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|M}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22|t-5|-9|1|t+1 |}} |}} || (t-5)(t+1)+9 || t^2-4t+4 || (t-2)^2 |SZ=. }} Das bedeutet, dass {{math|term= 2|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix mit {{ Definitionslink |Prämath= |algebraischer Vielfachheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}} ist. Der Kern der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|-3|-9|1|3|}} |SZ= }} ist von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|3|-1}} |SZ=}} erzeugt, dies ist also ein einfacher {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |geometrische Vielfachheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Eigenwertes ist {{math|term= 1|SZ=.}} Aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt sich direkt die Lösung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(t) || e^{2t} {{op:Spaltenvektor|3|-1}} || || || |SZ=. }} Um alle Lösungen zu finden, arbeiten wir mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Basiswechsel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wir verwenden die Basis {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor|3|-1}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|-5|2}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=der zweite Vektor ist gewählt, um Jordanform zu erreichen, was aber für das Lösungsverfahren nicht wesentlich ist| |ISZ=|ESZ= }} und berechnen mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | B^{-1} || {{op:Matrix22|3 |-5|-1|2}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | B || {{op:Matrix22|2|5|1|3}} || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |N || BMB^{-1} || {{op:Matrix22|2|5|1|3}} {{op:Matrix22|5 |9|-1|-1}} {{op:Matrix22|3 |-5|-1|2}} || {{op:Matrix22|2|5|1|3}} {{op:Matrix22|6 |-7|-2|3}} || {{op:Matrix22|2|1|0|2}} |SZ=. }} Für das transformierte System {{ Ma:Vergleichskette |w' ||Nw || || || |SZ= }} ergibt sich direkt die Lösung {{mathl|term= e^{2t} {{op:Spaltenvektor|1|0}} |SZ=.}} Um eine weitere Lösung zu erhalten muss man mit einer nichttrivialen Lösung der zweiten Zeile {{ Ma:Vergleichskette | w_2 ' || 2 w_2 || || || |SZ= }} starten, also mit {{ Ma:Vergleichskette | w_2(t) || e^{2t} || || || || |SZ=. }} Die erste Zeile führt dann auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | w_1'(t) || 2 w_1(t) + w_2(t) || 2 w_1(t) + e^{2t} || || |SZ=. }} Die zugehörige homogene Gleichung hat die Lösung {{math|term= e^{2t}|SZ=,}} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} brauchen wir eine Stammfunktion von {{ Ma:Vergleichskette/disp |e^{-2t} e^{2t} ||1 || || || |SZ=. }} Eine solche ist {{math|term= t|SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | w_2(t) || te^{2t} || || || |SZ= }} die Lösung in der ersten Komponenten. Eine zweite Lösung ist also {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor| te^{2t}| e^{2t} }} |SZ=. }} Um Lösungen für das ursprüngliche System zu erhalten, müssen wir mit {{math|term= B^{-1}|SZ=}} zurücktransformieren. Aus der ersten Lösung erhält man die schon bekannte Lösung zum Eigenvektor und aus der soeben gefundenen Lösung erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi(t) || B^{-1} {{op:Spaltenvektor| te^{2t}| e^{2t} }} || {{op:Matrix22|3|-5|-1|2}} {{op:Spaltenvektor| te^{2t}| e^{2t} }} || {{op:Spaltenvektor| 3 te^{2t} -5 e^{2t}|-te^{2t} +2e^{2t} }} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 82o0ky07k964c8ux7c4jaqufvr8pl5p 0 73003 783852 738395 2022-08-22T04:37:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |v' ||Mv || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lineares Differentialgleichungssystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= I \times \R^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= I|SZ=}} ein reelles Intervall| |ISZ=|ESZ= }} mit einer Funktionenmatrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M(t) ||(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n} || || || |SZ=, }} wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zentralfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass die Matrix die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp |M(t) || \varphi(t) {{Einheitsmatrix|}} || || || |SZ= }} mit einer geeigneten Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |I|\R || |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der Zentralfelder |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fjvntm32jk9iwxol0juav34g1y2lbiy 0 73008 781924 755820 2022-08-21T23:16:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe {{math|term= S_n|SZ=}} zu einer Menge mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen. a) Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= S_n|SZ=}} Elemente der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} gibt. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine Permutationsgruppe {{math|term= S_n|SZ=}} und einem Element darin, dessen Ordnung größer als {{math|term= n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2=Ordnung (Gruppentheorie) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mcpi0s5bl2tuycco6c82fwohvhkjvnc 0 73026 785587 758829 2022-08-22T09:04:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bringe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Q/\Z|SZ=}} mit der in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} direkt eingeführten Gruppe in Verbindung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Q mod Z |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r24prqrh5jf5f0qejkvwdrr1zgbblrs 0 73053 782238 756089 2022-08-22T00:08:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^3 |(s,t)| (s, -s-t^2, t^3) {{=}} (x,y,z) |SZ=. }} a) Erstelle{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} b) Bestimme die {{ Definitionslink |Prämath= |regulären Punkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (s,t)|SZ=}} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} c) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \varphi(s,t)|SZ=}} die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x+y)^3+z^2 || 0 || || || |SZ= }} erfüllt. d) Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie2=Theorie der Normalisierung (Integritätsbereich) |Kategorie3=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} de5ilan1e9a9434xb233ofptl8jui5t 0 73060 779186 639903 2022-08-21T15:49:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S^1 \subset \R^2|SZ=}} der Einheitskreis und {{ Ma:abbele/disp |name= \psi |S^1|\R || |SZ= }} eine Funktion mit der Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi(-P) ||- \psi(P) || || || |SZ=. }} Mit dieser Funktion definieren wir {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\R^2|\R || |SZ= }} durch {{ math/disp|term= \varphi(x,y) {{defeq}} \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2} \cdot \psi {{makl| {{op:Bruch|(x,y)| \sqrt{x^2+y^2} }} |}} \text{ für } (x,y) \neq 0 \, , \\ 0 \text{ sonst} \, . \end{cases} |SZ= }} Der Graph dieser Funktion besteht aus einem Büschel von Geraden durch den Nullpunkt. Insbesondere existieren im Nullpunkt sämtliche Richtungsableitungen. Da man aber {{math|term= \psi|SZ=}} willkürlich vorgeben kann, haben die Richtungsableitungen nichts miteinander zu tun. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3z1d7ktnajtxvh7coejektclbs0wpwv 0 73063 785855 759019 2022-08-22T09:48:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für jede reelle Zahl {{mathl|term= a \neq 0|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \R/\Z a|SZ=}} untereinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jkyim3e8jeak4m9om2yd5vynfjqo9ue 0 73064 785832 423217 2022-08-22T09:45:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Restklassengruppe zu {{mathl|term= \{ 1, -1\} \subset {{op:Einheiten|\R}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 84a1ye5xo3jxrqvxw4rxgknvbkgl67c 0 73065 786060 759211 2022-08-22T10:23:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es eine Gruppe {{math|term= G|SZ=}} und einen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |(\R,0,+)|G || |SZ= }} mit der Eigenschaft gibt, dass {{mathl|term= r \in \R|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |rational| |Kontext=Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= \varphi(r)=0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe |Kategorie2=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 17h8r8y4lakcd1ph95pb9xv3faupl3g 0 73066 786064 759214 2022-08-22T10:23:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es keinen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |(\R,0,+)|G || |SZ= }} in eine Gruppe {{math|term= G|SZ=}} mit der Eigenschaft gibt, dass {{mathl|term= r \in \R|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |irrational| |Kontext=Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= \varphi(r)=0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der irrationalen Zahlen |Kategorie2=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2lm2kmretoikrhmm9c1nmnqc2tx1meo 0 73067 785364 758656 2022-08-22T08:27:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G_1 |und|term2= G_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= N_1 \subseteq G_1|SZ=}} und {{mathl|term= N_2 \subseteq G_2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= N_1 \times N_2|SZ=}} ein Normalteiler in {{mathl|term= G_1 \times G_2|SZ=}} ist und dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |(G_1 \times G_2)/(N_1 \times N_2) |\cong| (G_1/N_1) \times (G_2/N_2) || || || |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Normalteiler |Kategorie2=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8u5i54bq6u6maf7mxphympux6n4523x 0 73069 779333 579361 2022-08-21T16:11:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Einheitengruppe von {{math|term= {{CC}}|SZ=,}} also {{mathl|term= ({{CC}}^\times, 1 , \cdot)|SZ=.}} Zur Untergruppe {{mathl|term= \R_+ \subseteq {{CC}}^\times|SZ=}} ist die Abbildung {{ math/disp|term= S^1={{Mengebed|z \in {{CC}}|{{op:Betrag|z}} {{=}} 1}} \longrightarrow {{op:Einheiten|{{CC}}}} \longrightarrow {{CC}}/\R_+ |SZ= }} ein Isomorphismus, die Restklassengruppe ist also isomorph zur Kreisgruppe. Der Kern der Gesamtabbildung besteht aus dem Durchschnitt {{ Ma:Vergleichskette/disp |S^1 \cap \R_+ || \{1\} || || || |SZ=, }} daher ist die Abbildung nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} injektiv. Zum Beweis der Surjektivität müssen wir zeigen, dass die Äquivalenzklasse zu jedem {{mathl|term= x \in {{op:Einheiten|{{CC}}|}} |SZ=}} durch ein Element des Einheitskreises repräsentiert werden kann. Hierzu kann man {{mathl|term= {{op:Bruch|x| {{op:Betrag|x|}} }} |SZ=}} nehmen. Zur Untergruppe {{mathl|term= S^1 \subseteq {{CC}}^\times|SZ=}} ist die Abbildung {{ math/disp|term= \R_+ \longrightarrow {{op:Einheiten|{{CC}}}} \longrightarrow {{CC}}/S^1 |SZ= }} bijektiv, die Restklassengruppe ist also isomorph zur Gruppe der positiven reellen Zahlen. Die Injektivität ergibt sich wie eben. Die Surjektivität ergibt sich daraus, dass {{mathl|term= x \in {{op:Einheiten|{{CC}}|}} |SZ=}} zu {{mathl|term= {{op:Betrag|x|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der Untergruppe {{math|term= S^1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} äquivalent ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Untergruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k0aeb6aij3s1kw58v4dszz3avszxc2r 0 73070 785589 758832 2022-08-22T09:04:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es keine Untergruppe {{mathl|term= F \subseteq (\Q,0,+)|SZ=}} derart gibt, dass {{ Ma:abbele/disp |name= |F| \Q/\Z || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Q mod Z |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9a3numi8iqtcp6xps5px9c5vatgbcaq 0 73071 785590 758833 2022-08-22T09:04:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es in der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Q/\Z|SZ=}} zu jedem {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} Elemente gibt, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie2=Ordnung (Gruppentheorie) |Kategorie3= |Objektkategorie=Q mod Z |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qky0q5c2se1ci1tz61rrrm9pvakimw1 0 73072 786427 759498 2022-08-22T11:23:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_3|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= N \neq 0, S_3|SZ=}} und bestimme{{n Sie}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sb60slk131iatv64d152rea1qd9dwlm 0 73074 782655 756432 2022-08-22T01:18:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= g \in G|SZ=}} ein Element mit endlicher {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Ordnung von {{math|term= g|SZ=}} mit dem minimalen {{mathl|term= d \in \N_+|SZ=}} übereinstimmt, zu dem es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zmod|d|}} |G || |SZ= }} gibt, in dessen Bild das Element {{math|term= g|SZ=}} liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2=Ordnung (Gruppentheorie) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6jcqtv9xubkw4hy3lr9pml4xi4q3lbd 0 73083 783101 756838 2022-08-22T02:32:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es keinen {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \Q|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringhomomorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nfrg0wgyt7mi199yd430r3waxg8kvfi 0 73084 783100 756837 2022-08-22T02:32:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es keinen {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=}} nach {{math|term= \Z|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringhomomorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7pzvesg68bpxivkbcziy24y9xa5yd70 0 73085 783099 756836 2022-08-22T02:32:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es keinen {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{CC}}|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringhomomorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ghpcriei0hp8z7j0ghepj14mtb6yyrd 0 73088 784701 758192 2022-08-22T06:47:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= 0|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Nullring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} nach {{math|term= 0|SZ=}} und die Ringhomomorphismen von {{math|term= 0|SZ=}} nach {{math|term= R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringhomomorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Nullring |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mwbhmell7mjtsrwkxb20th3dkq37dck 0 73092 782937 756680 2022-08-22T02:05:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von jedem Element {{ mathbed|term= x \in R ||bedterm1= x \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ebenfalls {{math|term= n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Charakteristik eines kommutativen Ringes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oph1b9zt1m6sbfpij19r50c0rbbvjd0 0 73093 783269 756973 2022-08-22T03:00:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von jedem Element {{ mathbed|term= x \in R ||bedterm1= x \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ein Teiler von {{math|term= n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Charakteristik eines kommutativen Ringes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j0klga6jk3i0zmy0o3bncdfa5lt49ni 0 73106 786337 759414 2022-08-22T11:08:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= R,S,T|SZ=}} {{ Definitionslink |Ringe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung3 |Die Identität {{mathl|term= \operatorname{id} \,:R \rightarrow R|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= Gruppenhomomorphismus/Definition |SZ=. }} |Sind {{ mathkor|term1= \varphi:R \rightarrow S |und|term2= \psi: S \rightarrow T |SZ= }} Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung {{mathl|term= {{verknüpf|\varphi|\psi}}:R \rightarrow T|SZ=}} ein Ringhomomorphismus. |Ist {{mathl|term= R \subseteq S|SZ=}} ein Unterring, so ist die Inklusion {{mathl|term= R \hookrightarrow S|SZ=}} ein Ringhomomorphismus. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7pyhha4f43i1ta62khljzi084pwi9zi 0 73109 783283 756985 2022-08-22T03:02:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= I,J \subseteq R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Sequenz {{ math/disp|term= {{kurzeexaktesequenz/disp |R/ I \cap J |R/I \times R/J |R/I+J |SZ= }} }} mit {{mathl|term= r \mapsto (r,r)|SZ=}} und {{mathl|term= (s,t) \mapsto s-t|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |exakt| |Kontext=Sequenz| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kurzen exakten Sequenzen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 25rta061s3hodzefhdy28n9escuqya4 0 73111 783284 756986 2022-08-22T03:03:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= I,J \subseteq R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |R/I \cap J| R/I \times R/J |r| (r,r) |SZ=, }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |R/I \times R/J |R/I +J |(s,t)|s-t |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dass {{math|term= \psi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bild|\varphi|}} || {{op:Kern|\psi|}} || || || |SZ= }} ist. Sind {{ mathkor|term1= \varphi |und|term2= \psi |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kurzen exakten Sequenzen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ngqo1ovyq5m057q2caef8t3e7t0e6w 0 73163 782679 756456 2022-08-22T01:22:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G|H || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiver| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= H|SZ=}} ebenfalls kommutativ ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} muytei39ai8pdmu1xuk6aut6hztih13 0 73185 785812 423975 2022-08-22T09:41:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} in {{mathl|term= \Q[X]/(X^5)|SZ=}} das Produkt {{ math/disp|term= {{makl| 7 X^4- {{op:Bruch|2|3}}X^3 +2X + {{op:Bruch|1|5}} |}} {{makl| - {{op:Bruch|4|7}} X^3 + 4X^2 -3 |}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe vom Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9msnefzjzxxi5nkuw875e41lih8lfum 0 73190 783603 757255 2022-08-22T03:56:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= d|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass jedes Element im {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R=K[X]/(P)|SZ=}} durch ein Polynom vom Grad {{mathl|term= <d|SZ=}} repräsentiert werden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe vom Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bu00f6mu8wy223tm813vqc2kmm5uwio 0 73192 783604 757256 2022-08-22T03:56:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= a \in K|SZ=}} ein fixiertes Element. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X]/(X-a)|SZ=}} zu {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe vom Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstante |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3e46qj2u4bbvi4g1a57rzm7miuozuxp 0 73193 786360 759433 2022-08-22T11:12:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \R[X]/(X^2+1)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= {{CC}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe vom Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstante |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bz0yvnv44d7akv2jo8y6bkl4ornlnct 0 73194 786361 759434 2022-08-22T11:12:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= a|SZ=}} eine positive {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \R[X]/(X^2+a)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= {{CC}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe vom Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c54ufqi712v1yy0d5ogo7pqc2ifsac8 0 73195 785398 758682 2022-08-22T08:33:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Realisiere{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Produktring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \R \times \R \times \R \times \R \times {{CC}} \times {{CC}} \times {{CC}} |SZ= }} als einen {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \R[X]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der chinesische Restsatz für den Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e169j3yyn9mqtfe5319x0kqb0591sch 0 73200 781214 755254 2022-08-21T21:17:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass jeder echte {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{CC}}[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Produktring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ math/disp|term= {{CC}} {{timesdots}} {{CC}} \times {{CC}}[X]/(X^2) {{timesdots}} {{CC}}[X]/(X^2) \times {{CC}}[X]/(X^3) {{timesdots}} {{CC}}[X]/(X^3) {{timesdots}} {{CC}}[X]/(X^m) {{timesdots}} {{CC}}[X]/(X^m) |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der chinesische Restsatz für den Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j39kh6p1keymrx1fat0vvtd8mn5xaub 0 73230 783268 756972 2022-08-22T03:00:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man konstruiere|Konstruieren Sie}} zu jedem {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} derart, dass es in {{math|term= R|SZ=}} ein Element der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der additiven Struktur| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= n|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe |Kategorie2=Charakteristik eines kommutativen Ringes |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4h56qvw9ad40rdgtc3p7rr4spa9kpmd 0 73264 780004 763855 2022-08-21T17:56:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{mengebed|(x,y)| x^2 + y^2 < 1}} |\R |(x,y)| 1 - \sqrt{1 - x ^2 - y^2} |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die untere Hälfte der Kugel mit Radius {{math|term= 1|SZ=}} und Mittelpunkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|0|0|1}} |SZ=}} ist. Wir interessieren uns, ob {{math|term= \varphi |SZ=}} im Nullpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Aus Symmetriegründen kommt als totales Differential nur die Nullabbildung in Frage. Es geht somit darum, ob für {{ Ma:Vergleichskette |v || {{op:Spaltenvektor|x|y}} || || || |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} der Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| \varphi(v) | {{op:Norm|v|}} }} || {{op:Bruch| \varphi(x,y) | {{op:sqrt|x^2+y^2|}} }} || {{op:Bruch|1 - \sqrt{1 - x^2 - y^2} | {{op:sqrt|x^2+y^2|}} }} || || |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} konvergiert. Mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |r || \sqrt{ x^2+y^2 } || || || |SZ= }} ist dies {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1- \sqrt{1 - r^2}|r}} |SZ=. }} Wir wenden darauf {{ Faktlink |Präwort=die|Regel von l'Hospital|Faktseitenname= Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an. Der abgeleitete Nenner ist {{math|term= 1|SZ=}} und der abgeleitete Zähler ist {{ math/disp|term= {{op:Bruch| r| \sqrt{1 - r^2} }} |SZ= }} und konvergiert gegen {{math|term= 0|SZ=,}} so dass Konvergenz gegen {{math|term= 0|SZ=}} vorliegt. Die Nullabbildung ist also in der Tat das totale Differential. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fv7m53qkizphw6s115dyaggubflyfv0 0 73268 780005 739945 2022-08-21T17:56:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{mengebed|(x,y)| x^2 + y^2 < 1}} |\R |(x,y)| 1 - \sqrt{1 - x ^2 - y^2} |SZ=, }} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Untere Halbkugel/Nullpunkt/Total differenzierbar/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in einem beliebigen Punkt {{ Ma:Vergleichskette | P || (x,y) || || || |SZ=. }} Wir schreiben die Abbildung als Hintereinanderschaltung von {{ mathkor/disp|term1= (x,y) \longmapsto 1 - x^2 - y^2 |und|term2= u \longmapsto 1 - \sqrt{u} |SZ=. }} Die erste Funktion ist überall {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|-2x|-2y}} |SZ= }} und die zweite Funktion ist für {{ Ma:Vergleichskette | u |>| 0 || || || |SZ= }} differenzierbar mit der Ableitung {{mathl|term= {{op:Bruch|-1|2 \sqrt{u} }} |SZ=.}} Die Gesamtabbildung ist somit {{ Faktlink |Präwort=nach der|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ebenfalls total differenzierbar mit dem totalen Differential {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Bruch|-1|2 \sqrt{ 1-x^2-y^2 } }} {{op:Zeilenvektor|-2x|-2y}} || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|x | \sqrt{ 1-x^2-y^2 } }} | {{op:Bruch|y | \sqrt{ 1-x^2-y^2 } }} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 85bfsvg9wuxflo7xz2ka2pje7ghd8a5 0 73273 780459 754653 2022-08-21T19:11:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= V,W|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC/{{{K|K}}}|}} |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | G |\subseteq| V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge. Weiter seien {{ Ma:abb |name=f,g |G |W || |SZ= }} Abbildungen und {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| G || || || |SZ=. }} Wir nennen {{mathl|term= f,g|SZ=}} im Punkt {{math|term= P|SZ=}} {{Stichwort|tangential äquivalent|SZ=,}} wenn der {{ Definitionslink |Prämath= |Limes| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|v|0| {{op:Bruch|(f-g)(P+v)| {{op:Norm|v|}} }} }} |SZ= }} existiert und gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass dadurch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Abbildungsmenge von {{math|term= G|SZ=}} nach {{math|term= W|SZ=}} gegeben ist. |Es sei {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Kontext={{{K|K}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist. |Es seien {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} tangential äquivalent. Zeige{{n Sie}}, dass in diesem Fall {{math|term= f|SZ=}} genau dann in {{math|term= P|SZ=}} total differenzierbar ist, wenn dies für {{math|term= g|SZ=}} gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt {{math|term= P|SZ=}} übereinstimmen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen auf Abbildungsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} as0zkapip0vdiybzk8q9ji9y1di3ujd 0 73278 783267 756971 2022-08-22T03:00:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man konstruiere|Konstruieren Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=,}} in dem die {{math|term= 4|SZ=}} mindestens drei {{ Definitionslink |Prämath= |Quadratwurzeln| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l4wo14lb4jqywiuw5su6f4ex0wh8srh 0 73282 783128 756858 2022-08-22T02:37:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|kleinen Fermat|Faktseitenname= Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} direkt für die {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= p=2,3,5,7,11|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Fermat |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 94j4mxdtootln5fayz9ba4jl8cgwakh 0 73304 786234 759359 2022-08-22T10:52:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|d|}} |SZ=}} an, in dem es nichttriviale {{ Definitionslink |Prämath= |idempotente Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jqdizdgp324knp1h2y3eu0cka195p37 0 73305 785809 758977 2022-08-22T09:41:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} in {{mathl|term= \Q[X]/(X^2-1)|SZ=}} nichttriviale {{ Definitionslink |Prämath= |idempotente Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der chinesische Restsatz für den Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} av460ivx7vdwlo8d77050lc7phm178k 0 73306 785814 758981 2022-08-22T09:42:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \Q[X]/(X^3-5)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und bestimme{{n Sie}} das Inverse von {{mathl|term= 5x^2-x+7|SZ=,}} wobei {{math|term= x|SZ=}} die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} bezeichne. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe vom Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5612qbkdrfn5qyare9pprtv2u28r4yy 0 73307 785813 758980 2022-08-22T09:41:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \Q[X]/(X^3-2)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und bestimme{{n Sie}} das Inverse von {{mathl|term= 4x^2-2x+5|SZ=,}} wobei {{math|term= x|SZ=}} die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} bezeichne. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe vom Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6688r2hqie4zfcsyld60ddh1azep5ra 0 73329 785395 758679 2022-08-22T08:32:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= R_1, R_2 {{kommadots}} R_n }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Ringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || R_1 \times R_2 {{timesdots|}} R_n || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Es seien {{ math/disp|term= I_1 \subseteq R_1, I_2 \subseteq R_2 {{kommadots|}} I_n \subseteq R_n |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Produktmenge {{ math/disp|term= I_1 \times I_2 {{timesdots|}} I_n |SZ= }} ein Ideal in {{math|term= R|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass jedes Ideal {{mathl|term= I \subseteq R|SZ=}} die Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |I || I_1 \times I_2 {{timesdots|}} I_n || || || |SZ= }} mit Idealen {{mathl|term= I_j \subseteq R_j|SZ=}} besitzt. |Sei{{ Ma:Vergleichskette/disp |I || I_1 \times I_2 {{timesdots|}} I_n || || || |SZ= }} ein Ideal in {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= I|SZ=}} genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche {{math|term= I_j|SZ=}} Hauptideale sind. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptidealring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn alle {{math|term= R_j|SZ=}} Hauptidealringe sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Hauptidealringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |p1=3 |p2=5 |p3=3 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nnku6ryj4jmpbepj9xl213md3d0zye7 0 73376 786558 745827 2022-08-22T11:45:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |V|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} der zugehörige Gradient im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Gradient {{ Ma:Vergleichskette | u |\in| U || || || |SZ= }} zur Einschränkung {{mathl|term= f {{|}}_U|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Projektion| |Kontext=euklidisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= v|SZ=}} auf {{math|term= U|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Gradienten zu einer Linearform auf einem euklidischen Vektorraum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eb79hvbzipuf3s053qorun002ocat1k 0 73381 781201 424751 2022-08-21T21:15:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gibt es eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=,}} die modulo {{math|term= 4|SZ=}} den Rest {{math|term= 3|SZ=}} und modulo {{math|term= 6|SZ=}} den Rest {{math|term= 2|SZ=}} besitzt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Chinesische Restsatz (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} shtn72mrwbfp39ptkpb10zyi54s09n3 0 73418 782790 756556 2022-08-22T01:40:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Offen/Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=,}} {{mathl|term= P \in G \cap U|SZ=}} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \tilde{f} |G \cap U|\R || |SZ= }} die Einschränkung von {{math|term= f|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Hesse|f|P}} |}} {{|}}_U || {{op:Hesse|\tilde{f}|P}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hesse-Form |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Symmetrisch |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} shckb67gcf78tytpaggfngfmeixqgai 0 73421 778970 763160 2022-08-21T15:15:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p,q ,n|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette |p+q |\leq|n || || || |SZ=. }} Wir betrachten auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Bilinearform| {{op:Spaltenvektor|x_1|\vdots|x_n}} | {{op:Spaltenvektor|y_1|\vdots|y_n}} }} | {{defeq|}} | x_1y_1 {{plusdots|}} x_py_p - x_{p+1}y_{p+1} {{minusdots|}} x_{p+q}y_{p+q} || || || |SZ= }} gegeben ist. Sie hat den {{ Definitionslink |Prämath= |Typ| |Kontext=Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (p,q)|SZ=,}} und zwar ist die Einschränkung auf den Unterraum {{mathl|term= \R e_1 {{plusdots|}} \R e_p |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |positiv definit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Einschränkung auf den Unterraum {{mathl|term= \R e_{p+1} {{plusdots|}} \R e_{p+q} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |negativ definit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8wovlvtaihn788ktqmwcuitnaqhw1x4 0 73423 782792 756558 2022-08-22T01:41:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für vorgegebene natürliche Zahlen {{mathl|term= p,q,n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |p+q |\leq|n || || || |SZ= }} eine zweimal {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^n|\R || |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Hesse-Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Nullpunkt den {{ Definitionslink |Prämath= |Typ| |Kontext=Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (p,q)|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hesse-Form |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fnbfluycfekz0yxz65mjl3ncp1eqwpo 0 73497 785883 759044 2022-08-22T09:53:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine Wertetabelle für die {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|X^2+4X+3|X^3+X+2}} \in {{op:Zmod|7|}}(X) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g7s40k0d0ivo63rxp3dd2iasc8cflvc 0 73500 785882 425517 2022-08-22T09:53:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|3X^4+2X^3+4X^2+1|X^3+X+1}} || X^2+ 3X+ 1 || || || |SZ= }} als Funktion von {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mt43ouig14t63vnvmvkid3dkut7xnkt 0 73504 785343 758642 2022-08-22T08:24:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq {\mathbb P}|SZ=}} eine Teilmenge der {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ math/disp|term= R_T = {{mengebed|q \in \Q| q \text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus } T \text{ vorkommen} }} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Unterring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=}} ist. Was ergibt sich bei {{math|term= T= \emptyset|SZ=,}} {{mathl|term= T= \{3 \} |SZ=,}} {{mathl|term= T= \{2,5 \}|SZ=,}} {{mathl|term= T= {\mathbb P} |SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unterringe der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 01ke690bi2a4m5q5ow5uuwqj973ca5x 0 73505 785335 758635 2022-08-22T08:22:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {\mathbb P}|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= \alpha |{\mathbb P}| \Z || |SZ= }} eine Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |G_\alpha || {{mengebed|q \in {{op:Einheiten|\Q}} | {{opsyn|exp|q|tief=p|hoch=}} \geq \alpha(p) \text{ für alle } p }} \cup \{0\} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= (\Q,0,+)|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzq8qn06nhkxjorj67bwh26dkbl1xew 0 73506 785886 603360 2022-08-22T09:54:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} in {{mathl|term= \Q(X)|SZ=}} die folgenden Ausdrücke. {{ Aufzählung3 |Das Produkt {{math/disp|term={{op:Bruch|2X^3-5X^2+X-1| X^2-2X+6}} \cdot {{op:Bruch|X^2+3| 5X^3-4X^2-7 }}|SZ=.}} |Die Summe {{math/disp|term={{op:Bruch|4X^3-X^2+6X-2| X^2-4X-3}} + {{op:Bruch|X^2-3| 3X^2 +5 }}|SZ=.}} |Das Inverse von {{math/disp|term={{op:Bruch|6X^3-9X^2+5X-1| X^4-4X^3+3X^2-8X-3}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33aad3ta42lth6alu9ykc6ea2zdwz49 0 73541 780382 425555 2022-08-21T18:59:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Finde{{n Sie}} die Zahlen {{mathl|term= z \in \{0,1 {{kommadots|}} 9 \}|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates {{ Zusatz/Klammer |text=in der Dezimaldarstellung| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= z|SZ=}} ist. b) Finde{{n Sie}} die Zahlen {{mathl|term= z \in \{0,1 {{kommadots|}} 99 \}|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates {{ Zusatz/Klammer |text=in der Dezimaldarstellung| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Chinesische Restsatz (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0vzqdgzbnx3q87ffsrn5n1qhuaky7ij 0 73576 784857 425824 2022-08-22T07:10:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für Zahlen {{mathl|term= n,r \in \N_+|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|n^r-1|n^r}} || {{op:Bruch|n-1|n}} + {{op:Bruch|n-1|n^2}} {{plusdots|}} {{op:Bruch|n-1|n^{r-1}}} + {{op:Bruch|n-1|n^r}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die geometrische Reihe |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5rhq7y5vdtuamh420ujdvyuiepvjrdj 0 73578 784853 758298 2022-08-22T07:09:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass im {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K(X)|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|X^r-1|X^r}} || {{op:Bruch|X-1|X}} + {{op:Bruch|X-1|X^2}} {{plusdots|}} {{op:Bruch|X-1|X^{r-1}}} + {{op:Bruch|X-1|X^r}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die geometrische Reihe |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7dwdospskhvujn45n7c9ryq0z564d0v 0 73579 783361 757049 2022-08-22T03:15:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die {{ Definitionslink |Prämath= |Partialbruchzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|X(X-1)}} |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} guiwkjzx1ya5gju8q930nlukt1uip7f 0 73601 784854 758299 2022-08-22T07:09:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= X^2+1|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \Q[X]|SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= X^4+1|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \Q[X]|SZ=}} ist. {{ Zusatz/Klammer |text=Tipp: In {{mathl|term= \R[X]|SZ=}} gilt die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette |X^4+1 || {{makl| X^2+ \sqrt{2} X+1 |}} {{makl| X^2- \sqrt{2} X+1 |}} || || || |SZ= }}| |ISZ=.|ESZ= }} c) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Partialbruchzerlegung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1| {{makl| X^2+1 |}} {{makl| X^4+1 |}} }} |SZ= }} in {{mathl|term= \Q(X)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung (Q) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=2 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6s9lyzqawefy0bmvgx9vrgi7cj9kj8x 0 73606 784861 758308 2022-08-22T07:10:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= X^2+2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{op:Zmod|5|}} [X]|SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= X^3+X+1|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{op:Zmod|5|}} [X]|SZ=}} ist. c) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Partialbruchzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1| {{makl| X^2+2 |}} {{makl| X^3+X +1 |}} }} |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} (X)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=1 |p3=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} amt8ryvpm7jrykga3a49v6d5mceuxzm 0 73617 784855 758300 2022-08-22T07:10:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Finde{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Partialbruchzerlegung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|X^p -1}} |SZ= }} in {{mathl|term= \Q(X)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung (Q) |Kategorie2=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0gz94fp4mjk93xtwhfyf8lb8yfxvx3l 0 73618 784511 426284 2022-08-22T06:20:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe {{mathl|term= 65|SZ=}} und deren Produkt {{math|term= 1000|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aw33973jhqyqxsnfws7allxiv3hezju 0 73621 779843 741825 2022-08-21T17:30:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x+y,xy) |SZ=. }} Diese Abbildung ist nicht injektiv, da {{ mathkor|term1= (x,y) |und|term2= (y,x) |SZ= }} auf das gleiche Tupel abgebildet werden, und auch nicht surjektiv, da beispielsweise {{mathl|term= (0,1)|SZ=}} nicht im Bild liegt. Trotzdem kann man das Gleichungssystem {{ mathkor|term1= u = x+y |und|term2= v = xy |SZ= }} in gewisser Hinsicht auflösen, also {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} durch {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} ausdrücken. Zunächst ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | x ||u-y || || || |SZ= }} und damit {{ Ma:Vergleichskette/disp | v || xy || (u-y) y || uy -y^2 || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 -uy +v || 0 || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || \pm \sqrt{ {{op:Bruch|u^2|4}} -v } + {{op:Bruch|u|2}} || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || \mp \sqrt{ {{op:Bruch|u^2|4}} -v } + {{op:Bruch|u|2}} || || || |SZ=. }} Bis auf die Wahl der Vorzeichen kann man also die Urbilder zu {{mathl|term= (u,v)|SZ=}} rekonstruieren. Dies zeigt erneut, dass es manchmal mehrere Urbilder und manchmal keine Urbilder gibt {{ Zusatz/Klammer |text=wenn die Wurzel keine reelle Lösung hat| |ISZ=|ESZ=. }} Ein eindeutiges Urbild existiert genau dann, wenn der Radikand gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist, also bei {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 || {{op:Bruch|u^2|4}} - v || {{op:Bruch| (x+y)^2|4}} - xy || {{op:Bruch| x^2 +2xy +y^2 - 4xy |4}} || {{op:Bruch| x^2 -2xy +y^2 |4}} ||{{op:Bruch| (y-x)^2 |4}} |SZ=, }} d.h. bei {{ Ma:Vergleichskette |x ||y || || || |SZ=. }} In einem Punkt {{mathl|term= (x,x)|SZ=}} verhält sich die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} insofern gut, dass das Bild davon {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term=(2x,x^2)|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} nur ein Urbild {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich {{mathlk|term=(x,x)|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} besitzt. Diese Eigenschaft überträgt sich aber auf keine offene Umgebung des Punktes, da ja {{ mathkor|term1= (x+ h,x-h) |und|term2= (x-h,x+h) |SZ= }} beide auf {{mathl|term= (2x, x^2-h^2)|SZ=}} abgebildet werden. In dieser Hinsicht verhalten sich die anderen Punkte besser. Sei {{mathl|term= (x_0,y_0)|SZ=}} gegeben mit {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y_0 |>|x_0 || || || |SZ=. }} Dann besitzt {{ Ma:Vergleichskette/disp |(u_0,v_0) ||(x_0+y_0,x_0y_0) || || || |SZ= }} wie oben ausgerechnet zwei Urbildpunkte, und zwar ist {{ Zusatz/Klammer |text=der Startpunkt legt die Vorzeichen fest| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |(x_0, y_0) ||{{op:Zeilenvektor| - \sqrt{ {{op:Bruch|u_0^2|4}} - v_0 } + {{op:Bruch|u_0|2}} | \sqrt{ {{op:Bruch|u_0^2|4}} - v_0 } + {{op:Bruch|u_0|2}} }} || || || |SZ=. }} Diese Formeln kann man unter der Bedingung, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|u^2|4}} - v |>|0 || || || |SZ=, }} als {{Anführung|lokale Umkehrabbildung}} interpretieren, und dies ist in einer offenen Umgebung {{math|term= U_2|SZ=}} von {{mathl|term= (u_0,v_0)|SZ=}} erfüllt. Das Bild von {{math|term= U_2|SZ=}} unter dieser lokalen Umkehrabbildung ist eine offene Umgebung {{math|term= U_1|SZ=}} von {{mathl|term= (x_0,y_0)|SZ=,}} und die Einschränkung führt zu einer bijektiven Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi {{|}}_{U_1} |U_1|U_2 || |SZ= }} mit der angegebenen Umkehrabbildung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über die Umkehrabbildung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1lypg1wi9xndaej6o2theack8qx340t 0 73622 780543 641655 2022-08-21T19:25:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || {{mengebed|(x,y) \in \R^2|x >y > 0}} || || || |SZ=. }} Wie betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G | \R^3 |(x,y)|(x+y,xy,x^y) {{=}} (u,v,w) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |w^2 2^u {{makl| u + \sqrt{u^4-4v} |}}^{ \sqrt{u^2- 4v} } || {{makl| u + \sqrt{ u^2 -4 v } |}}^u 2^{ \sqrt{u^2 -4v} } || || || |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mp7470luxf4rx354a99d7d9gqnpsyyc 0 73629 784859 758307 2022-08-22T07:10:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= X^3+X^2+2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{op:Zmod|3|}} [X]|SZ=}} ist. b) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Partialbruchzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ math/disp|term= {{op:Bruch|X^4| {{makl| X^3+X^2+2 |}}^2 }} |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Zmod|3|}} (X)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gp3w871tpb8c554id17eh9ihfhvmmjw 0 73633 783295 756997 2022-08-22T03:04:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} zu jedem {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} und ein Element {{ mathbed|term= x \in R ||bedterm1= x \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} an, für das {{ mathkor|term1= nx=0 |und|term2= x^n =0 |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Charakteristik eines kommutativen Ringes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9jg83obehcy1j8ouu526zoa8mkbhnm9 0 73642 781153 755193 2022-08-21T21:07:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Grad der {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \R \subseteq {{CC}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Körpererweiterung R in C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eg2q323netm6f152c359vlhzjv5epiy 0 73653 782877 756640 2022-08-22T01:55:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= I |und|term2= J |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} und sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp |(I+J)^n || I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 {{plusdots|}} I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Produkt von Idealen (kommutative Algebra)‎ |Kategorie2=Die Summe von Idealen (kommutative Algebra)‎ |Kategorie3=Potenzen von Idealen (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 48patq0ut5lbehg77h041wdyi2pdgak 0 73673 780147 763904 2022-08-21T18:17:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine räumliche Variante der {{ Definitionslink |Prämath= |Polarkoordinaten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Polarkoordinaten/Differenzierbarkeitseigenschaften/Beispiel |SZ= }} sind die {{Stichwort|Zylinderkoordinaten|SZ=.}} Die zugehörige {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird durch {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 |(r, \alpha,z)| (r {{op:cos|\alpha|}} , r {{op:sin|\alpha|}} ,z) |SZ=, }} beschrieben. Für jedes feste {{math|term= z|SZ=}} werden {{mathl|term= (r, \alpha)|SZ=}} als Polarkoordinaten ausgewertet und die Höhe {{math|term= z|SZ=}} wird einfach übernommen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zylinderkoordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9wsix6kxqjd3mkg6zffrxo7mu2tpne6 0 73677 784268 757905 2022-08-22T05:47:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sqrt{2}-\sqrt{5} |SZ=}} über {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie3=Theorie der reell-algebraischen Zahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 46bzhwyw566y3gbc7n56746sq34mrf6 0 73678 784264 757901 2022-08-22T05:46:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 2 {{Imaginäre Einheit}}-3 \sqrt{3} |SZ=}} über {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie3=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e2dhcdlgdc46wv53jitdejhngeu4sfs 0 73681 781221 748556 2022-08-21T21:18:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{CC}}^2|{{CC}}^2 |(x,y)|(xe^y, -e^{-y}) |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass die Determinante des {{ Definitionslink |Prämath= |totalen Differentials| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi |SZ=}} in jedem Punkt gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} nicht injektiv ist. c) Bestimme{{n Sie}} das Bild von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der maßtreuen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rgyniy4lm3t0u2niopuc1pmxt1pc4ax 0 73686 783419 579372 2022-08-22T03:25:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= P \in {{CC}}[X]|SZ=}} ein nichtkonstantes Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}|{{CC}} |z|P(z) |SZ=, }} surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Fundamentalsatz der Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jbmaxbh7jh4lysq0gkg7pu909utsfet 0 73688 785774 427069 2022-08-22T09:35:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p,q \in \Q_{\geq 0} |SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || \sqrt{p} + \sqrt{q} || || || |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass es ein Polynom {{mathl|term= G \in \Q[X] |SZ=}} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || X^4 + c X^2 + d || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= G(f)=0|SZ=}} gibt. b) Es seien nun zusätzlich {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom {{math|term= G|SZ=}} aus Teil a) das Minimalpolynom zu {{math|term= f|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=3 |p2=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bhkblqsj8p0kkab8pccwywjt5goey3i 0 73710 786136 759293 2022-08-22T10:35:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= G \subseteq \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G|\R^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |regulären Punkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} offen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3mmskwwq15830bw0vmpkg5oe34wa0x3 0 73712 784706 758193 2022-08-22T06:48:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f | \R|\R || |SZ= }} eine nullstellenfreie {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=R n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= g|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Stammfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\R^2| \R^2 || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(x,y) || {{op:Zeilenvektor |{{op:Bruch|x|f(y) }} | g(y)||}} || || || |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=.}} b) Zeige{{n Sie}}, dass man auf {{math|term= \varphi|SZ=}} in jedem Punkt den {{ Faktlink |Präwort=|Satz über die lokale Umkehrbarkeit|Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden kann. c) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über die Umkehrabbildung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5s1kc5m9ljpotdwvb0dqcurvygxtplf 0 73722 781959 755851 2022-08-21T23:22:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Charakteristik {{ Ma:Vergleichskette |p |\neq|2 || || || |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= K|SZ=}} Elemente gibt, die keine {{ Definitionslink |Prämath= |Quadratwurzel| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. b) Zeige, dass es eine endliche nichttriviale {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwei gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=3 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bsg9pspx3txgx6rb5k8rfl7pxx1jhzv 0 73726 783662 757309 2022-08-22T04:06:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{mengebed|x \in {{op:Einheiten|K}}|x \text{ besitzt eine Quadratwurzel in } K}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|K}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratwurzeln in Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p5yziexwor14jca24ijmdqjqqnv0lmf 0 73728 785668 758884 2022-08-22T09:17:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und {{ Ma:Vergleichskette/disp |K ||\Q [\sqrt{p}] || || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Elemente {{mathl|term= x \in K|SZ=,}} die {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Quadratwurzel| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen, von der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||y^2 || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= y \in \Q|SZ=}} oder von der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||pz^2 || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= z \in \Q|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k4melx35d3p6mpdoegkz5zqg2158w0c 0 73729 781123 755182 2022-08-21T21:02:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Unterkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der komplexen Zahlen, {{ mathkor|term1= K = \Q[ \sqrt{p}, {{Imaginäre Einheit|}} ] |und|term2= L = \Q[ \sqrt{p} , \sqrt{- p}] |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |K ||L || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 562yrxaz1u7s6fomac1a98hrmhvhy41 0 73730 783680 757330 2022-08-22T04:09:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |L |\subseteq|{{CC}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Unterkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 23|SZ=}} ist. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | K ||L \cap \R || || || |SZ= }} Zeige{{n Sie}}, dass entweder {{ Ma:Vergleichskette |K ||\Q || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |K ||L || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kd8kfjbzcqdozk4udq1vfm64z1pak7w 0 73736 786159 759318 2022-08-22T10:39:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= q \in \Q|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in {{math|term= \Q|SZ=}} keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L|SZ=}} des Polynoms {{mathl|term= X^3 -q|SZ=}} über {{math|term= \Q|SZ=.}} Welchen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt er? {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von {{math|term= {{CC}}|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie2=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie3=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie4=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} buxyfu14t9klvj6rg5xv5baomlqryte 0 73743 781369 755388 2022-08-21T21:43:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= U_1 \subseteq V_1|SZ=,}} {{mathl|term= U_2 \subseteq V_2|SZ=,}} {{mathl|term= U_3 \subseteq V_3|SZ=,}} und {{mathl|term= U_4 \subseteq V_4|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in reellen endlichdimensionalen Vektorräumen. Es seien {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | U_1|U_3 || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |U_2|U_4 || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=C^1 |Diffeomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Produktabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi \times \psi |U_1 \times U_3|U_2 \times U_4 || |SZ= }} ein {{math|term= C^1|SZ=-}}Diffeomorphismus ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pn10vu279e6hby8hn11l35w6nrxhnbo 0 73785 786479 428169 2022-08-22T11:32:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die Schnittpunkte der beiden Kreise {{ mathkor|term1= K_1 |und|term2= K_2 |SZ=, }} wobei {{math|term= K_1|SZ=}} den Mittelpunkt {{mathl|term= (3,4)|SZ=}} und den Radius {{math|term= 6|SZ=}} und {{math|term= K_2|SZ=}} den Mittelpunkt {{math|term= (-8,1)|SZ=}} und den Radius {{math|term= 7|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Kreisgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e9r8xc79mezcspiwmkgp24dwpc9duio 0 73786 783571 757231 2022-08-22T03:50:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl. a) Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq |\Q[ \sqrt[3]{p} ] || || || |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} auch eine {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \Q[ \sqrt[3]{p} ]|SZ=}} an. b) Zeige{{n Sie}}, dass in {{mathl|term= \Q[ \sqrt[3]{p}] |SZ=}} alle Elemente der Form {{ mathkor|term1= m^3 p |und|term2= n^3 p^2 |SZ= }} mit {{mathl|term= m,n\in \Q|SZ=}} eine dritte Wurzel besitzen. c) Die rationale Zahl {{mathl|term= x \in \Q|SZ=}} besitze in {{mathl|term= \Q[ \sqrt[3]{p}] |SZ=}} eine dritte Wurzel. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= x|SZ=}} die Form {{ math/disp|term= x= k^3 \text{ oder } x= m^3 p \text{ oder } x =n^3 p^2 |SZ= }} mit {{mathl|term= k,m,n \in \Q|SZ=}} besitzt. d) Es sei nun {{math|term= q|SZ=}} eine weitere, von {{math|term= p|SZ=}} verschiedene Primzahl. Bestimme{{n Sie}} den Grad der Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq |\Q[ \sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{q} ] || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der reellen Wurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |p1=3 |p2=1 |p3=6 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e1ethni09jjw1zl0cp36gm3epiegin2 0 73792 779140 743190 2022-08-21T15:42:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wenn man ein bestimmtes Budget {{math|term= b|SZ=}} zur Verfügung hat und {{math|term= n|SZ=}} verschiedene Produkte zum fixierten Stückpreis {{math|term= a_i|SZ=}} kaufen möchte, wobei noch nicht feststeht, wie viel man von jedem Produkt kaufen möchte, so ergibt sich die Nebenbedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x_1 {{kommadots|}} x_n) || a_1x_1+a_2x_2 {{plusdots|}} a_nx_n || {{{b|b}}} || || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette |U || \R_+^n || || || |SZ=. }} Unter dieser Nebenbedingung möchte man den Nutzen optimieren. Betrachten wir eine Zielfunktion der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | h(x_1 {{kommadots|}} x_n) || x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Extrema/Nebenbedingung/Bedingung durch Linearform/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt sich die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor| \alpha_1 x_1^{\alpha_1 - 1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n} | \alpha_2 x_1^{\alpha_1 } x_2^{\alpha_2 -1} \cdots x_n^{\alpha_n} |\vdots| \alpha_n x_1^{\alpha_1 - 1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n -1} }} || \lambda {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2|\vdots|a_n}} || || || |SZ=. }} Wir multiplizieren die {{math|term= i|SZ=-}}te Bedingung mit {{math|term= x_i |SZ=}} und erhalten die Bedingungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha_i x_1^{\alpha_1 } x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n} || \lambda a_i x_i || || || |SZ=. }} Mit dem Ansatz {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda || c x_1^{\alpha_1 } x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n} || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_i || {{op:Bruch|\alpha_i|c a_i}} || || || |SZ=, }} wobei man {{math|term= c|SZ=}} so bestimmt, dass der Punkt auf dem affin-linearen Unterraum liegt, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | c || {{op:Bruch|\alpha_1 + \alpha_2 {{plusdots|}} \alpha_n| {{{b|b}}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5ocs8xf5sdl5c7ywzcqez2bn524w8t 0 73795 782162 427311 2022-08-21T23:55:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man beweise{{n Sie}}|en Sie}} die Formel aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Extrema/Linearform/Preis/Monomiale Zielfunktion/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} indem man den durch die Linearform {{math|term= f|SZ=}} gegebenen affinen Unterraum linear parametrisiert und das Optimierungsproblem für {{math|term= h|SZ=}} auf dem zugehörigen {{mathl|term= \R^{n-1}|SZ=}} betrachtet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jn7y49rhbg65wfpcdq98dad9bwpais6 0 73801 783450 427373 2022-08-22T03:30:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} die Potenz {{mathl|term= a^b|SZ=}} nicht konstruierbar sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dk0wonwqvgtwo59ljihx63umeacha17 0 73807 782161 756034 2022-08-21T23:55:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=g |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion. a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= g|SZ=}} in einem Punkt {{math|term= a \in \R|SZ=}} genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=y |\R^2|\R |(x,y)|y |SZ=, }} auf den Graphen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma || {{mengebed|(x,y)|y {{=}} g(x)}} || || || |SZ= }} im Punkt {{mathl|term= (a,g(a))|SZ=}} ein lokales Maximum besitzt. b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung? c) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=f,h |\R^2|\R || |SZ= }} und einem Punkt {{mathl|term= P \in \R^2|SZ=}} derart, dass {{ mathkor|term1= {{op:Totales Differential|f|P}} |und|term2= {{op:Totales Differential|h|P}} |SZ= }} linear abhängig sind und dass {{math|term= h|SZ=}} auf der Faser zu {{math|term= f|SZ=}} durch {{math|term= P|SZ=}} kein lokales Extremum besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=3 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sv9uylq6xxzv7nrjsh1he7zgqlyk5zd 0 73899 784587 697097 2022-08-22T06:31:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es soll eine {{ Zusatz/Klammer |text=quaderförmige| |ISZ=|ESZ= }} Schachtel mit den Seitenlängen {{ Ma:Vergleichskette | a,b,c |\in| \R_+ || || || |SZ= }} angefertigt werden, deren Inhalt gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |abc || 1000 \, \rm{cm}^3 || || || |SZ= }} sein soll. a) Wie müssen {{mathl|term= a,b,c,|SZ=}} gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch {{ Zusatz/Klammer |text=also extremal sein könnte| |ISZ=|ESZ= }} wird? b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal? c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche {{ Zusatz/Klammer |text=vorne und hinten| |ISZ=|ESZ= }} mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |p1=4 |p2=4 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6cx24ex1kj7r98nlv1bpuwe9up36u1p 0 73946 784953 758392 2022-08-22T07:24:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wogegen konvergiert die Picard-Lindelöf-Itertion in der Situation von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Picard-Lindelöf/Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} wenn {{math|term= w|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Picard-Lindelöf-Iteration |Kategorie2=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rktqc5r0pyswp9s4l2j6m73fovdxawr 0 73958 784222 747330 2022-08-22T05:39:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= L|SZ=}} und {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |metrische Räume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{math|term= C|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen Abbildungen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(f,g) | {{defeq|}} | {{op:min| {{op:sup| d(f(x), g(x))|x \in L|}} |1}} || || || |SZ= }} zu einem metrischen Raum wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c3n5ncvk4hgwfbfrt82trb0qfuwvqkt 0 73959 784223 747329 2022-08-22T05:39:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= L|SZ=}} und {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |metrische Räume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{math|term= C|SZ=}} der stetigen Abbildungen von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(f,g) | {{defeq|}} | {{op:min| {{op:sup| d(f(x), g(x))|x \in L|}} |1}} || || || |SZ= }} zu einem vollständigen metrischen Raum wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f12j1dw9eqxyf98fhicr665ui5jkbu7 0 73968 786506 428054 2022-08-22T11:36:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} eine natürliche Zahl, für die das regelmäßige {{math|term= n|SZ=-}}Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Es sei eine Strecke {{math|term= S|SZ=}} durch zwei Punkte {{mathl|term= P,Q \in E|SZ=}} gegeben. Konstruiere{{n Sie}} mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges {{math|term= n|SZ=-}}Eck {{math|term= R|SZ=}} derart, dass {{math|term= S|SZ=}} eine der Kanten von {{math|term= R|SZ=}} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Konstruktion regelmäßiger n-Ecke |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h06xddxr2ofjxhm0fe4tf8wvrz783l1 0 73969 781579 428058 2022-08-21T22:18:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Dreieck {{math|term= D|SZ=}} durch die Eckpunkte {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} in der Ebene {{math|term= E|SZ=}} mit den Seiten {{mathl|term= S,T,R|SZ=}} gegeben. Es sei ferner eine Strecke {{math|term= S'|SZ=}} durch zwei Punkte {{mathl|term= P,Q \in E|SZ=}} gegeben. Konstruiere{{n Sie}} mit Zirkel und Lineal ein zu {{math|term= D|SZ=}} ähnliches {{ Zusatz/Klammer |text=also winkelgleiches| |ISZ=|ESZ= }} Dreieck {{math|term= D' |SZ=}} derart, dass {{math|term= S'|SZ=}} eine Seite von {{math|term= D'|SZ=}} ist und dass {{math|term= S'|SZ=}} der Seite {{math|term= S|SZ=}} entspricht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bvtide4k5t9h8fdk0hh31n03mthz6lc 0 73970 783451 579385 2022-08-22T03:30:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= z,w \in {{CC}}|SZ=}} konstruierbare Zahlen. Bestimme{{n Sie}}, ob die Zahl {{ math/disp|term= z^2 -3 z \sqrt{w} + \sqrt{z +w^2} - {{op:Bruch|5|7}} +4 \sqrt{ \sqrt{z} + w } + \sqrt{11} |SZ= }} konstruierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7bb5nae2039mw9apd2h8umzntspu62e 0 74011 781202 428221 2022-08-21T21:15:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Das Polynom {{mathl|term= X^3-7X^2+3X-21|SZ=}} besitzt in {{math|term= \R[X]|SZ=}} die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^3-7X^2+3X-21 || (X-7)(X^2+3) || || || |SZ= }} in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | \R[X]/(X^3-7X^2+3X-21) |\cong| \R[X]/ (X-7) \times \R[X]/(X^2+3) || || || |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} entspricht. a) Bestimme{{n Sie}} das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element {{mathl|term= (0,1)|SZ=}} entspricht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der chinesische Restsatz für den Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ra6ihvniqlr4qvlj6pcc3jz12elshoi 0 74021 782125 756012 2022-08-21T23:49:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= a \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |eulersche Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|}} |SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Eulersche Phi-Funktion|a^n|}} || a^{n-1} {{op:Eulersche Phi-Funktion|a|}} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Eulersche Funktion (Zahlentheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5j6mvorx9ic2a1b2rsx4923f1ivlwhm 0 74088 782598 756365 2022-08-22T01:08:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=h |\R^n|\R || |SZ= }} eine zweimal {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion und {{mathl|term= P \in \R^n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kritischer Punkt| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= h|SZ=.}} Wie sieht die Lösung des Anfangswertproblems {{ Ma:Vergleichskette/disp |v(0) ||P || || || |SZ= }} zum zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Gradientenfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Gradient|h|P}} |SZ=}} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu Gradientenfeldern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7i04i8zbxmkzwer4smwb2x3tkw07jeo 0 74090 782603 736933 2022-08-22T01:09:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Lösung zum Anfangswertproblem {{ Ma:Vergleichskette/disp |v' || {{op:Gradient|h|v}} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= v(0)=w|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=w \in\R^2|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zum Gradientenfeld zur Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=h |\R^2|\R |(x,y)| x^2+y^2 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu linearen Gradientenfeldern mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nlawp5crarp8f6qerf5yvapjb3bwp9s 0 74099 782604 736926 2022-08-22T01:09:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Lösung zum Anfangswertproblem {{ Ma:Vergleichskette/disp |v' || {{op:Gradient|h|v}} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= v(0)=w|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette | w |\in| \R^3 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Gradientenfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=h |\R^3|\R |(x,y,z)| x^2-y^2+3yz |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu linearen Gradientenfeldern mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} anjw4p4pov2r5dspmbhhvnv9hz47d22 0 74114 781572 743641 2022-08-21T22:17:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgeartetes Dreieck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in der Ebene mit den drei Eckpunkten {{math|term= A,B,C|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2=Dreiecksgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sw8qtsx2jil0wjdwvn5369pbrbffh5z 0 74118 781540 428609 2022-08-21T22:12:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= P \in \R^2|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ= }} eine Drehung um den Drehpunkt {{math|term= P|SZ=}} um den Winkel {{ mathbed|term= \beta ||bedterm1= {{op:Winkelgrad|0}} < \beta < {{op:Winkelgrad|360}} ||bedterm2= |SZ=, }} mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden. a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} ein konstruierbarer Punkt ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass der Drehwinkel {{math|term= \beta|SZ=}} in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=5 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} id8a9rx4xffuy9dfbmnewe7an9ixjl7 0 74120 784620 579387 2022-08-22T06:36:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P \in {{CC}}|SZ=}} ein nichtkonstruierbarer Punkt. a) Zeige{{n Sie}}, dass es unendlich viele Geraden durch {{math|term= P|SZ=}} gibt, auf denen mindestens ein konstruierbarer Punkt liegt. b) Zeige{{n Sie}}, dass es maximal eine Gerade durch {{math|term= P |SZ=}} gibt, auf der es mindestens zwei konstruierbare Punkte gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Tangente |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9f7n8053281xz3v2vimz8i41p5a6kgv 0 74122 781536 428615 2022-08-21T22:11:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \beta|SZ=}} ein Winkel, der durch zwei konstruierbare {{ Zusatz/Klammer |text=Halb| |ISZ=|ESZ=- }}Geraden durch den Nullpunkt gegeben ist. Zeige{{n Sie}}, dass die Drehung um den Nullpunkt um den Winkel {{math|term= \beta|SZ=}} konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=5 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ppb79m94ygghd0s2g8a4pgcmchoz5x 0 74127 781139 428629 2022-08-21T21:05:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei {{math|term= 100|SZ=}} Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist {{ Ma:abbele/disp |name= |\R_+^4|\R |(x,y,z,w)| x+y+5z+3w |SZ=. }} Die Stimmungsfunktion {{math|term= h|SZ=}} wird durch {{ Ma:abbele/disp |name=h |\R_+^4 | \R |(x,y,z,w)| x^3y \sqrt{z}w |SZ=, }} beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert? {{ Zusatz/Klammer |text=Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 443dqvir63ts6w97vi1oifv9xwys9ge 0 74134 785851 759015 2022-08-22T09:48:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq \R|SZ=}} eine Teilmenge. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} genau dann ein {{ Zusatz/Klammer |text=nichtleeres| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= T|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |sternförmig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der sternförmigen Mengen |Kategorie2=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bo2k5jtqbx2x42m6ayfqkrrdfye27o9 0 74135 786413 759486 2022-08-22T11:21:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_k |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=k \geq 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} endlich viele Punkte im {{math|term= \R^n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \R^n \setminus \{P_1 {{kommadots|}} P_k \}|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |sternförmig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der sternförmigen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ko47pwgy5wi29bgdqqzyf853d4e5dep 0 74136 786375 759450 2022-08-22T11:15:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |sternförmige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq \R^2|SZ=}} an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der sternförmigen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eapx22l2s5vyvuido4axwskbi64m104 0 74137 786374 759449 2022-08-22T11:14:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |sternförmige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq \R^2|SZ=}} an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der sternförmigen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d7d5eohkohju9l2nq4f7ob66xig68ed 0 74138 786420 759493 2022-08-22T11:22:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |sternförmige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge. Zeige{{n Sie}}, dass auch der {{ Definitionslink |Prämath= |Abschluss| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Topologischer Abschluss|T|}} |SZ=}} sternförmig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der sternförmigen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dfuuwqqm9td9z2jvp1i37merqr9ufnh 0 74139 782537 579388 2022-08-22T00:58:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Gerade {{math|term= G|SZ=}} in der Ebene {{math|term= \R^2={{CC}}|SZ=}} an, die keine algebraische Zahl enthält. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} einen Kreis {{math|term= K|SZ=}} in der Ebene {{math|term= \R^2={{CC}}|SZ=}} an, der keine algebraische Zahl enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} emia7u99vbhm9s9o5y9gdg9euvs5w0w 0 74152 785574 758818 2022-08-22T09:02:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^n|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(P) ||f(-P) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= P \in \R^n|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= 0|SZ=}} einen kritischen Punkt besitzt. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine solche Funktion, die in {{math|term= 0|SZ=}} ein isoliertes lokales Maximum besitzt. c) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine solche Funktion, die in {{math|term= 0|SZ=}} kein Extremum besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=4 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ihsw4emxq8pkpu126rrrdhp737stk1r 0 74155 782599 756366 2022-08-22T01:08:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=h |\R^n|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |G(P) || {{op:Gradient|h|P}} || || || |SZ= }} das zugehörige Gradientenfeld. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R|\R^n || |SZ= }} eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser {{math|term= F|SZ=}} zu {{math|term= h|SZ=}} zu zwei verschiedenen Zeitpunkten {{ Ma:Vergleichskette |t_0 |<|t_1 || || || |SZ= }} trifft. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \varphi {{|}}_{[t_0,t_1]}|SZ=}} konstant ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu Gradientenfeldern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 816b7vntbdnliozi49ejvdoli0r6fpw 0 74157 782600 748559 2022-08-22T01:09:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=h |\R^n|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | G(P) || {{op:Gradient|h|P}} || || || |SZ= }} das zugehörige Gradientenfeld. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R|\R^n || |SZ= }} eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei {{ Ma:Vergleichskette | t |\in| \R || || || |SZ= }} ein Zeitpunkt mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi'(t) || 0 || || || |SZ=. }} a) Es sei {{math|term= h |SZ=}} zweimal stetig differenzierbar. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} konstant ist. b) Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) {{math|term= \varphi |SZ=}} nicht konstant sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu Gradientenfeldern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=4 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9c3arelxronf8f9xvi9q2rp0hxka9ms 0 74173 779025 743820 2022-08-21T15:23:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Integral {{ math/disp|term= \int_1^2 t^x dt |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette | x |>| -1 || || || |SZ= }} sei. Eine Stammfunktion zu {{mathl|term= t \mapsto t^x |SZ=}} ist durch {{mathl|term= {{op:Bruch|1|x+1}} t^{x+1} |SZ=}} gegeben. Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_1^2 t^x dt || {{makl| {{op:Bruch|1|x+1}} t^{x+1} |}} {{|}}_1^2 || {{op:Bruch|1|x+1}} {{makl| 2^{x+1} -1 |}} || g(x) || |SZ=. }} Diese Funktion {{mathl|term= g(x) |SZ=}} drückt den Wert des bestimmten Integrals zum Parameter {{math|term= x|SZ=}} aus. Ein Blick auf die Bauart zeigt, dass {{math|term= g |SZ=}} stetig und auch differenzierbar ist, und zwar ist nach der {{ Faktlink |Präwort=|Produktregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Produktregel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | g'(x) || {{op:Bruch|-1|(x+1)^2}} {{makl| 2^{x+1} -1 |}} + {{op:Bruch|1|x+1}} {{makl| {{makl| {{op:ln|2|}} |}} 2^{x+1} |}} || || || |SZ=. }} Andererseits kann man auch die Funktion {{math|term= t^x |SZ=}} nach {{math|term= x |SZ=}} ableiten und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung||x}} t^x || {{makl| {{op:ln|t|}} |}} t^x || || || |SZ=. }} Eine Stammfunktion nach {{math|term= t |SZ=}} zu dieser Funktion findet man mittels {{ Faktlink |Präwort=|partieller Integration|Faktseitenname= Partielle Integration/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int {{makl| {{op:ln|t|}} |}} t^x || {{makl| {{op:ln|t|}} |}} {{op:Bruch| t^{x+1}|x+1}} - \int {{op:Bruch|1|t}} \cdot {{op:Bruch|t^{x+1} |x+1}} || || || |SZ=, }} und somit ist {{ math/disp|term= {{op:Bruch| {{op:ln|t|}} |x+1}} \cdot t^{x+1} - {{op:Bruch|1|(x+1)^2}} t^{x+1} |SZ= }} eine Stammfunktion. Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align | \int_1^2 {{op:Partielle Ableitung||x}} t^x dt || {{op:Integralstamm|1| 2| {{makl| {{op:Bruch| {{op:ln|t|}} |x+1}} \cdot t^{x+1} - {{op:Bruch|1|(x+1)^2}} t^{x+1} |}} |}} || {{op:Bruch| {{op:ln|2|}} |x+1}} \cdot 2^{x+1} - {{op:Bruch|1|(x+1)^2}} 2^{x+1} + {{op:Bruch|1|(x+1)^2}} || |SZ=. }} Dies stimmt mit der Ableitung von {{math|term= g|SZ=}} überein, d.h. es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| x \mapsto \int_1^2 t^x dt |}}' || \int_1^2 {{op:Partielle Ableitung||x}} t^x dt || || || |SZ=. }} Dahinter verbirgt sich ein allgemeiner Zusammenhang, der in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Integration und Differentiation/Vertauschbarkeit/Intervall/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hhqeaegqv5wuk2vcww2lx3g2yq1abu0 0 74175 783949 757589 2022-08-22T04:54:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |M|M || |SZ= }} eine Abbildung. Mit {{mathl|term= f^{\circ n}|SZ=}} bezeichnen wir die {{math|term= n|SZ=-}}fache Hintereinanderschaltung von {{math|term= f|SZ=}} mit sich selbst. a) Zeige{{n Sie}}, dass wenn {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Lipschitz-stetig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dass dann auch {{mathl|term= f^{\circ n}|SZ=}} Lipschitz-stetig ist. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung {{math|term= f|SZ=,}} die keine {{ Definitionslink |Prämath= |starke Kontraktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wo aber jedes {{mathl|term= f^{\circ n} |SZ=}} für {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} eine starke Kontraktion ist. c) Es sei {{math|term= f|SZ=}} Lipschitz-stetig und es sei {{mathl|term= f^{\circ k}|SZ=}} eine starke Kontraktion für ein gewisses {{math|term= k|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{math|term= n_0|SZ=}} derart gibt, dass {{mathl|term= f^{\circ n}|SZ=}} für jedes {{mathl|term= n \geq n_0|SZ=}} eine starke Kontraktion ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lipschitz-stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=3 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mnfa98lq9wyneso9ydvdhrkirs0xsxn 0 74209 784747 758210 2022-08-22T06:54:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n|SZ=}} eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl {{mathl|term= n^2-1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primzahlen |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fkdtzsp9bkzbdrmmi72pk9zq25txvyb 0 74229 780375 429024 2022-08-21T18:57:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |]0,1[|\R |x| {{op:Bruch|1| {{op:ln|x|}} }} |SZ=. }} a) Skizziere {{math|term= f|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} die Ableitung von {{math|term= f|SZ=.}} c) Bestimme{{n Sie}} die zweite Ableitung von {{math|term= f|SZ=.}} d) Untersuche{{n Sie}} {{math|term= f|SZ=}} auf Extrema, Monotonieverhalten und Wendepunkte. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Logarithmen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sa5clchus35vqtzqhi1khduloq1vtd4 0 74250 786394 759471 2022-08-22T11:18:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n|M || |SZ= }} eine Abbildung. a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} injektiv ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi {{|}}_G |SZ=}} auf jede {{ Zusatz/Klammer |text=affine| |ISZ=|ESZ= }} Gerade {{mathl|term= G \subseteq \R^n|SZ=}} injektiv ist. b) Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} nicht injektiv sein muss, wenn die Einschränkung {{mathl|term= \varphi {{|}}_G |SZ=}} auf jede Gerade {{mathl|term= G \subseteq \R^n|SZ=}} durch den Nullpunkt injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1h11uzqfq8u2fl4kknws89fvua1zpsv 0 74271 782602 736932 2022-08-22T01:09:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R |(x,y)|x^2+2y^2 |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} das zugehörige Gradientenfeld {{mathl|term= {{op:Gradient|f|}} |SZ=.}} b) Beschreibe{{n Sie}} die Lösungskurven zur zugehörigen Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |v' ||{{op:Gradient|f|}} (v) || || || |SZ= }} zu einer Anfangsbedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | v(0) || {{op:Spaltenvektor|a|b}} || || || |SZ=. }} c) Bestimme{{n Sie}} in Abhängigkeit von {{mathl|term= (a,b)|SZ=}} den Ort, wo sich die Lösung zum Zeitpunkt {{ Ma:Vergleichskette |t ||1 || || || |SZ= }} befindet. d) Wir beschränken uns nun auf Anfangsbedingungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | v(0) || {{op:Spaltenvektor|a|b}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(a,b) || 1 || || || |SZ=. }} Für welchen dieser Anfangspunkte ist der Wert von {{math|term= f|SZ=}} am Ortspunkt der Lösung zum Zeitpunkt {{ Ma:Vergleichskette |t ||1 || || || |SZ= }} extremal? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu linearen Gradientenfeldern mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=1 |p2=2 |p3=1 |p4=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3m4aa1j43c755ededdimwzq5gu3lw74 0 74394 782823 429834 2022-08-22T01:46:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es soll Holz unterschiedlicher Länge {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Abfall| |ISZ=|ESZ= }} in Stücke zerlegt werden, die zwischen {{math|term= 30|SZ=}} und {{mathl|term= 40|SZ=}} cm lang sein sollen {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils einschließlich| |ISZ=|ESZ=. }} Für welche Holzlängen ist dies möglich? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eo9rf2lex9y0jk782t47df8k6erel70 106 74533 778720 520089 2022-08-21T12:45:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|3| {{Motto| |Text=Kultur ist Reichtum an Problemen. |Autor=Egon Friedell }} {{Zwischenüberschrift|term=Gruppen}} In der linearen Algebra wird im Allgemeinen ein {{Stichwort|Grundkörper|SZ=}} {{math|term=K|SZ=}} zugrunde gelegt, über dem sich alles aufbaut. Der wichtigste Körper ist für uns der Körper der reellen Zahlen, den wir schon verwendet haben und der in der Analysis axiomatisch eingeführt wird. Wie die reellen Zahlen ist ein Körper durch die Existenz von zwei Verknüpfungen mit bestimmten Eigenschaften festgelegt, nämlich einer Addition und einer Multiplikation. Erstaunlicherweise gehören diese beiden Verknüpfungen {{ Zusatz/Klammer |text=bei der Multiplikation muss man die {{math|term=0|SZ=}} herausnehmen| |ISZ=|ESZ= }} für sich genommen zu einer wichtigen algebraische Struktur: Es handelt sich um Gruppen. {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ }} Eine Gruppe heißt {{Stichwort|kommutativ|msw=Kommutative Gruppe|SZ=,}} wenn die Verknüpfung kommutativ ist. Wichtige Beispiele für kommutative Gruppen sind {{mathl|term=(\Z,0,+)|SZ=,}} {{mathl|term=(\R,0,+)|SZ=,}} {{mathl|term=(\R \setminus \{0\},1, \cdot )|SZ=}} oder {{mathl|term=(\R^n, 0, +)|SZ=}} mit der komponentenweisen Null {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 ||(0,0 {{kommadots|}} 0) || || || |SZ= }} und der komponentenweisen Addition. In einer Gruppe {{mathl|term=(G,e,\circ)|SZ=}} ist das neutrale Element eindeutig bestimmt. Wenn nämlich {{math|term=e'|SZ=}} ein weiteres Element mit der für das neutrale Element charakteristischen Eigenschaft, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | x \circ e' || e' \circ x ||x || || |SZ= }} für alle {{mathl|term=x \in G|SZ=}} erfüllt, so ergibt sich direkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |e ||e \circ e' ||e' || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt|Lemma|| || }} Solche abstrakte Strukturen wie eine Gruppe führen ein Doppelleben: Einerseits sind sie wirklich nur die gegebene formale Struktur, die Elemente sind nur irgendwelche Elemente einer irgendwie gegebenen Menge, die Verknüpfung ist irgendeine Verknüpfung, unter der man sich nichts Bestimmtes vorstellen soll. Die gewählten Symbole sind willkürlich und ohne Bedeutung. Andererseits erhalten solche abstrakte Strukturen dadurch ihr Leben, dass konkrete mathematische Strukturen darunter subsummiert werden können. Die konkreten Strukturen sind {{Stichwort|Beispiele|msw=Beispiel|SZ=}} oder {{Stichwort|Modelle|msw=Modell|SZ=}} für die abstrakte Struktur {{ Zusatz/Klammer |text=und sie sind mathematikhistorisch auch die Motivation, abstraktere Strukturen einzuführen| |ISZ=|ESZ=. }} Beide Ebenen sind wichtig, man sollte sie aber stets auseinander halten. Die Gruppentheorie ist ein eigenständiger Zweig in der Mathematik, den wir hier aber nicht systematisch entwickeln werden. Stattdessen beschäftigen wir uns mit Ringen und vor allem mit Körpern. {{Zwischenüberschrift|term=Ringe}} {{ inputdefinition |Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition|| }} Die wichtigsten kommutativen Ringe sind für uns die Mengen der ganzen Zahlen {{math|term=\Z|SZ=,}} die rationalen Zahlen {{math|term=\Q|SZ=}} und die reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=.}} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule bekannt. Eine axiomatische Begründung ist möglich, wird aber hier nicht durchgeführt. Mit der Addition ist ein Ring {{mathl|term=(R,0,+)|SZ=}} insbesondere eine kommutative Gruppe. In einem Ring gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Punktrechnung vor Strichrechnung|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Man kann daher {{mathl|term=a \cdot b + c \cdot d|SZ=}} statt {{mathl|term=(a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} in einem Ring werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Zu einem Element {{mathl|term=a \in R|SZ=}} nennt man das nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eindeutig bestimmte Element {{math|term=y|SZ=}} mit {{mathl|term=a+y=0|SZ=}} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Es ist {{mathl|term=-(-a)=a|SZ=,}} da wegen {{mathl|term=a+(-a)=0|SZ=}} das Element {{math|term=a|SZ=}} gleich dem eindeutig bestimmten Negativen von {{math|term=-a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term=b+(-a)|SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Die folgenden Eigenschaften sind für den Ring der reellen Zahlen vertraut, wir beweisen sie aber allein aus den Axiomen eines Rings. Sie gelten daher für jeden Ring. {{ inputfaktbeweis |Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Einen Großteil der linearen Algebra kann man über einem beliebigen Ring aufbauen, was aber einen ungleich umfassenderen Begriffsapparat erfordert. Stattdessen werden wir stets über einem Körper arbeiten. {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition|| }} Ausgeschrieben bedeutet dies: {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition|| }} Die oben beschriebenen Eigenschaften {{ Zusatz/Klammer |text=und Konventionen| |ISZ=|ESZ= }} für Ringe gelten insbesondere für Körper. Unter Verwendung des Gruppenbegriffs kann man auch sagen, dass ein Körper eine Menge mit zwei Verknüpfungen {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} und zwei fixierten Elementen {{mathl|term=0 \neq 1|SZ=}} ist, derart, dass {{mathl|term=(K,+,0)|SZ=}} und {{mathl|term=(K \setminus \{0\}, \cdot, 1)|SZ=}} jeweils kommutative Gruppen{{ Zusatz/Fußnote |text=Das beinhaltet hier insbesondere, dass die Multiplikation sich zu einer Verknüpfung auf {{mathl|term=K \setminus \{0\} |SZ=}} einschränken lässt. Aus den Körperaxiomen folgt dies, wie wir gleich sehen werden | |ISZ=.|ESZ= }} sind und dass das Distributivgesetz gilt. Zu einem Element {{mathl|term=x \in K|SZ=}} und einer natürlichen Zahl {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} definiert man {{mathl|term=nx|SZ=}} als die {{math|term=n|SZ=-}}fache Summe von {{math|term=x|SZ=}} mit sich selbst. Dabei setzt man {{mathl|term=0x=0|SZ=.}} Für {{mathl|term=n 1_K|SZ=}} schreibt man auch einfach {{mathl|term=n_k|SZ=}} oder {{math|term=n|SZ=.}} Man findet also jede natürliche Zahl in jedem Körper {{ Zusatz/Klammer |text=auch in jedem Ring| |ISZ=|ESZ= }} wieder, allerdings kann es sein, dass diese Zuordnung nicht injektiv ist und beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette |2 ||0 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |7 ||0 || || || |SZ= }} in einem Körper gilt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe die Beispiele weiter unten| |ISZ=|ESZ=. }} Für negative ganze Zahlen {{math|term=n|SZ=}} setzt man {{ Ma:Vergleichskette/disp |nx ||(-n) (-x) || || || |SZ=, }} wobei {{math|term=-x|SZ=}} das Negative von {{math|term=x|SZ=}} in dem Körper ist. Aufgrund von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Körper/N und Z/Kanonische Abbildung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} passt alles zusammen. Z.B. kann man {{mathl|term=(-n) (-x) |SZ=}} wie eben als die {{math|term=-n|SZ=-}}fache Summe von {{math|term=-x|SZ=}} mit sich selbst verstehen oder als Produkt aus {{math|term=-x|SZ=}} und {{math|term=-n|SZ=,}} letzteres als die {{math|term=-n|SZ=-}}fache Summe von {{math|term=1_K|SZ=}} mit sich selbst. {{ inputbild |Function-1 x|svg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Function-1_x |Text=Der Graph zur reellen Funktion, die einer Zahl {{mathl|term=a \neq 0|SZ=}} ihr Inverses zuordnet. Im Nullpunkt ist die Abbildung nicht definiert und auch nicht stetig fortsetzbar. |Autor= |Benutzer=Qualc1 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=hier lohnt sich schon der Gruppenbegriff| |ISZ=|ESZ= }} eindeutig bestimmte Element {{math|term=z|SZ=}} mit {{mathl|term=az=1|SZ=}} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Ma:Vergleichskette/disp | a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} |{{defeq|}}|ab^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also Abkürzungen für den rechten Ausdruck. Zu einem Körperelement {{mathl|term=a \in K|SZ=}} und {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} wird die {{math|term=n|SZ=-}}{{Stichwort|Potenz|SZ=,}} geschrieben {{mathl|term=a^n|SZ=,}} als das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term=a|SZ=}} mit sich selbst definiert. Man setzt weiterhin {{mathl|term=a^0=1|SZ=,}} und bei {{mathl|term=a \neq 0|SZ=}} wird für {{mathl|term=n \in \N_+|SZ=}} der Ausdruck {{mathl|term=a^{-n}|SZ=}} als {{mathl|term=(a^{-1})^n|SZ=}} interpretiert. Ein {{Anführung|kurioser}} Körper wird im folgenden Beispiel beschrieben. Dieser Körper mit zwei Elementen ist in der Informatik und der Kodierungstheorie wichtig, wird für uns aber keine große Rolle spielen. Er zeigt, dass es nicht für jeden Körper sinnvoll ist, seine Elemente auf der Zahlengeraden zu verorten. {{ inputbeispiel |Körper/Zwei Elemente/Beispiel||opt1=/link2 }} {{ inputbeispiel |Körper/7 Elemente/Einführung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma|| || }} {{Fußnotenliste}} }} fhih6szxbypbtomfq5dn6ydq6zetcji 106 74536 785111 612830 2022-08-22T07:49:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume}} {{ inputbild |Vector Addition|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Addition von zwei Pfeilen {{math|term=a|SZ=}} und {{math|term=b|SZ=,}} ein typisches Beispiel für Vektoren. |Autor= |Benutzer=Booyabazooka |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der zentrale Begriff der linearen Algebra ist der Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/Direkt/Definition||zusatz1=Fußnote }} Die Verknüpfung in {{math|term=V|SZ=}} nennt man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition und die Operation {{ Ma:abb |name= |K \times V|V || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=.}} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|msw=Vektor|SZ=,}} und die Elemente {{mathl|term=r \in K|SZ=}} heißen {{Stichwort|Skalare|msw=Skalar|SZ=.}} Das Nullelement {{mathl|term=0\in V|SZ=}} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{mathl|term=v \in V|SZ=}} heißt das inverse Element das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term=v|SZ=}} und wird mit {{math|term=-v|SZ=}} bezeichnet. Wie in Ringen gilt wieder {{Stichwort|Punktrechnung vor Strichrechnung|SZ=,}} d.h. die Skalarmultiplikation bindet stärker als die Vektoraddition. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{mathl|term=K=\R|SZ=}} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{mathl|term=K={{CC}}|SZ=}} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0|SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{mathl|term=K^0=0|SZ=}} auffassen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term=K^n|SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{math/disp|term={{op:Zeilenvektor|a_1|a_2| \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2| \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_i |{{defeq}} | {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term=1|SZ=}} an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term=i|SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Ebene/Vektorraum/Anschaulich/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel|opt1=als additive Struktur|zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= i |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel|| }} Polynome werden wir später einführen, sie sind vermutlich aus der Schule bekannt. {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Reelle Zahlen als Vektorraum über Q/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Körper/Abbildungsmenge/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Untervektorräume}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|| }} Auf einen solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} sind der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} und der gesamte Vektorraum {{math|term=V|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man spricht daher auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=}} des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber, wie in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Homogen und inhomogen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gezeigt, zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. {{ inputbeispiel |Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel|| }} An diesem Beispiel kann man sich Folgendes klar machen: Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems über {{math|term=K|SZ=}} ist {{Anführung|in natürlicher Weise|SZ=,}} d.h. unabhängig von jeder Auswahl, ein Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term=n|SZ=}} die Anzahl der Variablen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Der Lösungsraum kann auch stets in eine {{Anführung|lineare Bijektion}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Isomorphie|}} | |ISZ=|ESZ= }} mit einem {{mathl|term=K^{d}|SZ=}} ({{mathlk|term=d \leq n|SZ=}}) gebracht werden, doch gibt es dafür keine natürliche Wahl. Dies ist einer der Hauptgründe dafür, mit dem abstrakten Vektorraumbegriff zu arbeiten anstatt lediglich mit dem {{math|term=K^n|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Erzeugendensysteme}} Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems in {{math|term=n|SZ=}} Variablen über einem Körper {{math|term=K|SZ=}} ist ein Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=.}} Häufig wird dieser Lösungsraum durch die Menge aller {{Anführung|Linearkombinationen}} von endlich vielen (besonders einfachen) Lösungen beschrieben. In dieser und der nächsten Vorlesung entwickeln wir die dazu notwendigen Begriffe. {{ inputbild |VectorGenerado|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die von zwei Vektoren {{math|term=v_1|SZ=}} und {{math|term=v_2|SZ=}} erzeugte Ebene besteht aus allen Linearkombinationen {{mathl|term=u=xv_1+yv_2|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Marianov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Vektorraum/Linearkombination/Definition|| }} Zwei unterschiedliche Koeffiziententupel können denselben Vektor definieren. {{ inputdefinition |Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition|| }} Im {{math|term=K^n|SZ=}} bilden die Standardvektoren {{ mathbed|term= e_i ||bedterm1= 1 \leq i \leq n ||bedterm2= |SZ=, }} ein Erzeugendensystem. Im Polynomring {{mathl|term=K[X]|SZ=}} bilden die Potenzen {{ mathbed|term= X^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{ Zusatz/Klammer |text=unendliches| |ISZ=|ESZ= }} Erzeugendensystem. {{ inputdefinition |Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition|| }} Der von der leeren Menge erzeugte Unterraum ist der Nullraum{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies kann man als Definition nehmen oder aber aus der Definition ableiten, wenn man die Konvention berücksichtigt, dass die leere Summe gleich {{math|term=0|SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ=. }} Dieser wird ebenso von der {{math|term=0|SZ=}} erzeugt. Zu einem einzigen Vektor {{math|term=v |SZ=}} besteht der aufgespannte Raum aus {{mathl|term=Kv= {{Mengebed|{{skalar|}} v|{{skalar|}} \in K}} |SZ=.}} Bei {{mathl|term=v \neq 0|SZ=}} ist dies eine {{Stichwort|Gerade|SZ=,}} was wir im Rahmen der Dimensionstheorie noch präzisieren werden. Bei zwei Vektoren {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} hängt die {{Anführung|Gestalt}} des aufgespannten Raumes davon ab, wie die beiden Vektoren sich zueinander verhalten. Wenn sie beide auf einer Geraden liegen, d.h. wenn {{ Ma:Vergleichskette |w ||s v || || || |SZ= }} gilt, so ist {{math|term=w|SZ=}} überflüssig und der von den beiden Vektoren erzeugte Unterraum stimmt mit dem von {{math|term=v|SZ=}} erzeugten Unterraum überein. Wenn dies nicht der Fall ist {{ Zusatz/Klammer |text=und {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} nicht {{math|term=0|SZ=}} sind| |ISZ=|ESZ=, }} so erzeugen die beiden Vektoren eine {{Anführung|Ebene|SZ=.}} Wir fassen einige einfache Eigenschaften für Erzeugendensysteme und Unterräume zusammen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Durchschnitt/Erzeugendensystem und aufgespannter Unterraum/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote|zusatz2={{ Zusatz/Fußnote |text=Der Durchschnitt {{mathl|term=\bigcap_{j \in J} T_j|SZ=}} zu einer beliebigen Indexmenge {{math|term=J|SZ=}} und einer durch {{math|term=J|SZ=}} indizierten Familie {{ mathbed|term= T_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} von Teilmengen einer festen Obermenge {{math|term=M|SZ=}} besteht aus allen Elementen aus {{math|term=M|SZ=,}} die in allen Mengen {{math|term=T_j|SZ=}} enthalten sind| |ISZ=.|ESZ= }} |ref1=|| }} {{Fußnotenliste}} }} ppydgxl8ipyni1eajhhywhh0baevo3q 106 74565 785213 448320 2022-08-22T08:04:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_I/Arbeitsblattgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|term=Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/2x+3y ist 7 und 5x+4y ist 3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Lineare Gleichung/3x ist 5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Der Körper der komplexen Zahlen wird in der Analysis eingeführt. Eine komplexe Zahl hat die Form {{mathl|term=a+bi|SZ=}} mit reellen Zahlen {{math|term=a,b|SZ=.}} Bei der Multiplikation rechnet man {{math|term=i\cdot i=-1|SZ=.}} Die inverse komplexe Zahl zu {{mathl|term=a+bi\neq 0|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Bruch|a|a^2+b^2}} - {{op:Bruch|b|a^2+b^2}} i |SZ=.}} {{ inputaufgabe |Lineare Gleichung/(2+5i)z ist (3-7i)/Betrag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fladenbrot/Taler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Familie/Alter/Lineares Gleichungssystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/Schneeglöckchen und Mistelzweige/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uhr/6/Stunden und Minutenzeiger/Gegenüberliegend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Reihe und Spalte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Unter dem {{math|term=i|SZ=-}}ten {{Stichwort/-|Standardvektor|SZ=}} der Länge {{math|term=n|SZ=}} versteht man den Vektor, der an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle eine {{math|term=1|SZ=}} und sonst nur Nullen stehen hat. {{ inputaufgabe |Matrixmultiplikation/e_i e_j/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Wirkungsweise auf Standardspalten und Standardzeilen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixprodukt/2-i -1-3i -1 i 0 4-21 mal 1+i 1-i 2+5i/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Komplexe Matrizen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu einer Matrix {{math|term=M|SZ=}} bezeichnet man mit {{math|term=M^n|SZ=}} die {{math|term=n|SZ=-}}fache Verknüpfung {{ Zusatz/Klammer |text=Matrizenmultiplikation| |ISZ=|ESZ= }} mit sich selbst. Man spricht dann auch von {{math|term=n|SZ=-}}ten {{Stichwort/-|Potenzen|SZ=}} der Matrix. {{ inputaufgabe |Matrix/Potenzen/246/135/012/bis 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diagonalmatrix/Wirkungsweise/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Transponierte Matrix/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/3-2i 1+5i 0 7i 2+i 4-i mal 1-2i -i 3-4i 2+3i 5-7i 2-i/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Obere Dreiecksmatrix/4/Nulldiagonale/Nilpotent/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben. {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Assoziativität/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenpotenzen/ab0d/Formel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} q6blt6pudjewwz9qp4a20zgnbodjtx9 0 74610 778531 762461 2022-08-21T12:16:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ohne Einschränkung sei {{ Ma:Vergleichskette |s_1 ||A_1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |s_2 ||A_2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |v ||A_2-A_1 || || || |SZ=, }} da dies die beteiligten Geraden nicht ändert. Wir schreiben {{ Ma:Vergleichskette |B_1 ||t A_1 || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |A_2 || A_1+v || || || |SZ= }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | t A_2 ||t A_1+tv || B_1 +tv || || |SZ=. }} Dieser Punkt gehört sowohl zu {{math|term= S_2|SZ=}} als auch zu {{math|term= H|SZ=,}} was bedeutet, dass es sich um den Punkt {{math|term= B_2|SZ=}} handelt. Es ist also {{ Ma:Vergleichskette | B_2 || tA_2 || || || |SZ= }} und daher {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Norm|B_1-B_2|}}| {{op:Norm|B_1|}} |}} || {{op:Bruch| {{op:Norm|tA_1-tA_2|}}| {{op:Norm|tA_1|}} |}} || {{op:Bruch| {{op:Norm|A_1-A_2|}}| {{op:Norm|A_1|}} |}} || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mpbxfxciciq7e82h4ij1mnw00z80ate 0 74615 778529 762460 2022-08-21T12:16:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Durch doppelte Anwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Strahlensatz/Zwei Strahlen/Ähnlichkeit der Dreiecke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf die beiden durch {{mathl|term= s_1,s_2|SZ=}} bzw. {{mathl|term= s_2,s_3|SZ=}} gegebenen zweistrahligen Situationen erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|d(B_1,B_2)|d(A_1,A_2)}} || {{op:Bruch| {{op:Norm|B_2|}} | {{op:Norm|A_2|}} }} || {{op:Bruch|d(B_2,B_3)|d(A_2,A_3)}} || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3iv0x16d63bxeyb5yxojxkqvz6le1nn 0 74619 778437 762390 2022-08-21T12:02:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ohne Einschränkung sei {{ Ma:Vergleichskette |E ||\R^2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |P ||0 || || || |SZ=. }} Wir schreiben {{Anführung|vektoriell}} {{ Ma:Vergleichskette |w ||C || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |v ||A || || || |SZ=, }} somit ist {{ Ma:Vergleichskette |B ||-v || || || |SZ=. }} Der Verbindungsvektor von {{math|term= A|SZ=}} nach {{math|term= C|SZ=}} ist dann {{mathl|term= -v+w|SZ=}} und der Verbindungsvektor von {{math|term= B|SZ=}} nach {{math|term= C|SZ=}} ist dann {{mathl|term= v+w|SZ=.}} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Skalarprodukt|-v+w|v+w}} || {{op:Skalarprodukt|-v|v}} + {{op:Skalarprodukt|-v|w}} + {{op:Skalarprodukt|w|v}} + {{op:Skalarprodukt|w|w}} || - {{op:Skalarprodukt|v|v}} - {{op:Skalarprodukt|v|w}} + {{op:Skalarprodukt|v|w}} + {{op:Skalarprodukt|w|w}} || - {{op:Skalarprodukt|v|v}} + {{op:Skalarprodukt|w|w}} || -r^2 +r^2 || 0 |SZ=, }} also sind diese Seiten senkrecht zueinander. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7bxhf5xuwlyr1fjgydy0qydw8e2augg 0 74770 778686 762606 2022-08-21T12:40:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (1). Die Multiplikation {{ Ma:abbele/disp |name= |L \times L|L |(r,s)|rs |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath=L |bilinear| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und insbesondere {{math|term= K|SZ=-}}bilinear und führt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tensorprodukt/Vektorraum/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath=K |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |L {{tensor|K}} L|L || |SZ=. }} Dies induziert nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Tensorprodukt/Multiplikative Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tensorprodukt/Funktorialität im Vektorraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | L {{tensor|K}} {{makl| L {{tensor|K}} V |}} \cong {{makl| L {{tensor|K}} L |}} {{tensor|K}} V | L {{tensor|K}} V || |SZ=. }} Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation {{ Ma:abbele/disp |name= |L \times {{makl|L {{tensor|K}} V |}} | {{makl| L {{tensor|K}} V |}} || |SZ=, }} die explizit durch{{ Zusatz/{{{zusatz|}}} |text=Wenn man die Skalarmultiplikation direkt über diese Formel definieren möchte hat man das Problem der Wohldefiniertheit| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | s \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 1}^n r_j {{tensor|}} m_j |}} || \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| sr_j |}} {{tensor|}} m_j || || || |SZ= }} gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Ska{{latextrenn|}}larmultiplikation. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (2). Die {{math|term= K|SZ=-}}Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei {{mathl|term= L=K|SZ=}} ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation {{ Ma:abb |name= |K \times V|V || |SZ= }} induziert eine {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K {{tensor|K}} V| V || |SZ=. }} Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung {{ Ma:abb |name= |V|K {{tensor|K}} V || |SZ= }} mit dieser Abbildung ist die Identität auf {{math|term= V|SZ=,}} so dass die erste Abbildung auch injektiv ist. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1). |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (4) folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tensorprodukt/Direkte Summe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (5) folgt aus (4). |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (6). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine {{math|term= K|SZ=-}}lineare Abbildung {{ Ma:abb |name= | V| L {{tensor|K}} V || |SZ=. }} Dies führt zu einer {{math|term= K|SZ=-}}multilinearen Abbildung {{ math/disp|term= M \times V \longrightarrow M \times {{makl| L {{tensor|K}} V |}} \longrightarrow M {{tensor|L}} {{makl| L {{tensor|K}} V|}} |SZ=, }} die eine {{math|term= K|SZ=-}}lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M {{tensor|K}} V | M {{tensor|L}} {{makl| L {{tensor|K}} V |}} || |SZ= }} induziert. Andererseits haben wir eine {{math|term= L|SZ=-}}lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L {{tensor|K}} V | M {{tensor|K}} V || |SZ=. }} Rechts steht ein {{math|term= M|SZ=-}}Vektorraum, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine {{math|term= L|SZ=-}}multilineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M \times {{makl| L {{tensor|K}}V |}} | L {{tensor|K}} V || |SZ= }} auffassen, die ihrerseits zu einer {{math|term= L|SZ=-}}linearen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M {{tensor|L}} {{makl| L {{tensor|K}} V |}} | L {{tensor|K}} V || |SZ= }} führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die {{math|term= M |SZ=-}}Multiplikationen entsprechen. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ri6ax0lawg4l377nj2vauk73shn2wbt 0 74774 778563 762486 2022-08-21T12:21:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1) folgt unmittelbar aus der Definition des {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukts| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} (2). Da die {{mathl|term= v_1 {{tensordots|}} v_n |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Erzeugendensystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= V_1 {{tensordots|K}} V_n|SZ=}} sind und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bar{\psi}(v_1 {{tensordots|}} v_n) || \psi (v_1 {{kommadots|}} v_n) || || || |SZ= }} gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den {{math|term= K|SZ=-}}Vektorraum {{math|term= F|SZ=}} aus der Konstruktion des Tensorproduktes. Die {{mathl|term= e_{ (v_1 {{kommadots|}} v_n)}|SZ=}} bilden eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=,}} daher legt die Vorschrift {{ Ma:Vergleichskette/disp |\tilde{\psi} {{makl| e_{ (v_1 {{kommadots|}} v_n)} |}} | {{defeq|}} | \psi( v_1 {{kommadots|}} v_n) || || || |SZ= }} eine lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{\psi} |F|W || |SZ= }} fest. Wegen der {{ Definitionslink |Prämath= |Multilinearität| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \psi|SZ=}} wird der Untervektorraum {{math|term= U|SZ=}} auf {{math|term= 0|SZ=}} abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Faktorisierungssatz|Faktseitenname= Vektorräume/Lineare Abbildung/Faktorisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\overline{\psi} |F/U \cong V_1 {{tensordots|K}} V_n|W || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t0rc7pn1b4dxd15udsy6wkhln88ktpl 0 74777 778558 762480 2022-08-21T12:21:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1). Dies ist ein Spezialfall von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Wohldefiniertheit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} (2). Die Surjektivität der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |U {{tensor|K}} Z |V {{tensor|K}} Z || |SZ= }} ist klar, da die {{mathl|term= v {{tensor|}} z |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Erzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= V {{tensor|K}} Z|SZ=}} bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. (3). Wegen der Injektivität können wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} als Untervektorraum auffasen. Eine Basis {{ mathbed|term= u_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} von {{math|term= U|SZ=}} können wir zu einer Basis {{ mathbed|term= u_i ||bedterm1= i \in J ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|J || || || |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} ergänzen. Sei {{ mathbed|term= z_\ell ||bedterm1= \ell \in L ||bedterm2= |SZ=, }} eine Basis von {{math|term= Z|SZ=.}} Dann ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Tensorprodukt/Erzeugendensystem/Basis/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Familie {{ mathbed|term= v_j {{tensor}} z_\ell ||bedterm1= (j, \ell) \in J \times L ||bedterm2= |SZ=, }} eine Basis von {{mathl|term= V {{tensor}} Z|SZ=}} und {{ mathbed|term= v_i {{tensor}} z_\ell ||bedterm1= (i, \ell) \in I \times L ||bedterm2= |SZ=, }} ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von {{mathl|term= U {{tensor}} Z|SZ=}} ist. Also wird unter {{ Ma:abbele/disp |name= |U {{tensor}} Z |V {{tensor}} Z || |SZ= }} eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} stnmuadtqqwzk8btb3fkzcagfsfuzbg 106 74787 784605 476151 2022-08-22T06:34:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|18| {{Motto| |Text=Wahr ist wahre Freundschaft doch wohl nur, wenn sie begrenzt ist. |Autor=Bertolt Brecht }} {{Zwischenüberschrift|term=Permutationen}} In dieser Vorlesung stellen wir eine weitere Beschreibung für die Determinante mit Hilfe von Permutationen vor. {{:Permutationsgruppe/Anzahlberechnung/Einführung/2/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Transpositionen}} {{ inputdefinition |Permutation/Transposition/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Permutation/Darstellung mit Transpositionen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Das Signum einer Permutation}} {{ inputdefinition |Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition|| }} Das Signum ist {{ mathkor|term1= 1 |oder|term2= -1 |SZ=, }} da im Zähler und im Nenner die bis auf das Vorzeichen gleichen Differenzen {{mathl|term=\pm ( j-i)|SZ=}} stehen. Es gibt für das Signum also nur zwei mögliche Werte. Bei {{mathl|term={{op:Signum|\sigma}}=1|SZ=}} spricht man von einer {{Definitionswort/enp|geraden Permutation|msw=Gerade Permutation|SZ=}} und bei {{mathl|term={{op:Signum|\sigma}}=-1|SZ=}} von einer {{Definitionswort/enp|ungeraden Permutation|msw=Ungerade Permutation|SZ=.}} {{ inputdefinition |Permutation/Fehlstand/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/246531/Fehlstände und Signum/Beispiel|| }} Das Signum ist ein Gruppenhomomorphismus im Sinne der folgenden Definition. {{ inputdefinition |Gruppenhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Signum ist Gruppenhomomorphismus/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Signum über Transpositionen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbemerkung |Signum/Übertragung von geordneter Menge auf beliebige/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Leibnizformel für die Determinante}} {{ inputbild |Gottfried Wilhelm Leibniz c1700|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Gottfried_Wilhelm_Leibniz_c1700 |Text=[[w:Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)]] |Autor=Johann Friedrich Wentzel d. Ä. |Benutzer=AndreasPraefcke |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=<nowiki>http://archiv.bbaw.de/archiv/archivbestaende/abteilung-sammlungen/gesamtbestand-des-kunstbesitzes/gelehrtengemaelde/gelehrtengemalde-seiten/VZLOBO-0031.html</nowiki> }} {{ inputfaktbeweis |Determinante/Leibnizformel/Fakt|Satz||r=\rho|p=\pi || }} }} 5nuu7kq7lkoaa5bcqtrf9zirngahy87 106 74789 784310 579397 2022-08-22T05:53:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|19| In den folgenden Vorlesungen werden wir versuchen, eine quadratische {{ Definitionslink |Prämath=d \times d |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. einen Endomorphismus| |ISZ=|ESZ= }} dadurch zu verstehen, dass wir Ausdrücke der Form {{ math/disp|term= a_nM^n + a_{n-1} M^{n-1} {{plusdots|}} a_2M^2 +a_1 M^1 + a_0 M^0 |SZ= }} untersuchen, wobei {{math|term=M^{i}|SZ=}} als das {{math|term=i|SZ=-}}fache Matrixprodukt der Matrix mit sich selbst und {{math|term=M^0|SZ=}} als Einheitsmatrix {{math|term=E_d|SZ=}} zu interpretieren ist. Solche Ausdrücke ergeben sich, indem man in Polynome Matrizen einsetzt. In dieser Vorlesung führen wir Polynome und den Polynomring ein. {{Zwischenüberschrift|term=Der Polynomring über einem Körper}} {{ inputdefinition |Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition|| }} Ein Polynom {{mathl|term=P={{polynomX|n|a|i}}={{polynomX/dots|n|a}}|SZ=}} ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel {{mathl|term=(a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n )|SZ=,}} die die {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} des Polynoms heißen. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Der Körper {{math|term=K|SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|Grundkörper|SZ=}} des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem {{Stichwort|Nullpolynom|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem alle Koeffizienten {{math|term=0|SZ=}} sind| |SZ= }} als neutralem Element. Die Polynome mit {{mathl|term=a_i=0|SZ=}} für alle {{mathl|term=i \geq 1|SZ=}} heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=Konstantes Polynom|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term=a_0|SZ=.}} Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt {{mathl|term=X^{n} \cdot X^{m}|SZ=}} ist nämlich durch die Addition der Exponenten, also {{ Ma:Vergleichskette | X^{n} \cdot X^{m} |{{defeq}}| X^{n+m} || || || |SZ=, }} gegeben. Dabei nennt man {{math|term=X|SZ=}} die {{Stichwort|term=Variable|SZ=}} des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, {{Anführung|alles mit allem}} zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:{{Zusatz/Fußnote|text=Wobei wir natürlich, wie auch bei der Addition oder dem Vergleichen von Polynomen verschiedener Grade, die Polynome für {{mathl|term=r>n}} bzw. {{mathl|term={k-r}>m}} mit den Koeffizienten {{mathl|term=a_r=0}} bzw. {{mathl|term=b_{k-r}=0}} ergänzen können|ESZ=|ISZ=.}} {{ math/disp|term= {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} |SZ=. }} Die Multiplikation ist assoziativ, kommutativ, distributiv und besitzt das konstante Polynom {{math|term=1|SZ=}} als neutrales Element, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Polynomring/1/Multiplikationseigenschaften/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Insgesamt liegt also ein kommutativer Ring vor. {{ inputbild |Polynomialdeg5|svg|250px {{!}} thumb {{!}} |Text=Der Graph einer Polynomfunktion von {{math|term=\R|SZ=}} nach {{math|term=\R|SZ=}} vom Grad {{math|term=5|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} In ein Polynom {{mathl|term=P \in K[X]|SZ=}} kann man ein Element {{mathl|term=a \in K|SZ=}} {{Stichwort|einsetzen|SZ=,}} indem man die Variable {{math|term=X|SZ=}} an jeder Stelle durch {{math|term=a|SZ=}} ersetzt. Dies führt zu einer Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K |a|P(a) |SZ=, }} die die durch das Polynom definierte {{Stichwort|Polynomfunktion|SZ=}} heißt. Diese Abbildung ist im Allgemeinen nicht linear, Linearität liegt nur bei {{ Ma:Vergleichskette |P ||a_1X || || || |SZ= }} vor. {{ inputdefinition |Polynomring/Grad/Definition|| }} Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient {{math|term=a_n|SZ=,}} der zum Grad {{math|term=n|SZ=}} des Polynoms gehört, heißt {{Stichwort|Leitkoeffizient|SZ=}} des Polynoms. Der Ausdruck {{mathl|term=a_nX^n|SZ=}} heißt {{Stichwort|Leitterm|SZ=.}} Ein Polynom mit Leitkoeffizient {{math|term=1|SZ=}} heißt {{Stichwort|normiert|msw=Normiertes Polynom|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Division mit Rest}} {{ inputdefinition |Polynomring/K/Teiler/Definition|| }} Wenn {{math|term=P|SZ=}} von {{math|term=T|SZ=}} geteilt wird, so sagt man auch, dass {{math|term=P|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term=T|SZ=}} ist. In {{mathl|term=K[X]|SZ=}} ist es, anders wie in einem Körper, aber ähnlich wie in {{math|term=\Z|SZ=,}} nicht möglich, ein Element durch ein anderes Element {{math|term=\neq 0|SZ=}} zu teilen. Es gibt aber einen wichtigen Ersatz dafür, die {{Stichwort|Division mit Rest|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring_über_Körper/Eine_Variable/Division_mit_Rest/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Das Polynom {{math|term=T|SZ=}} ist genau dann ein Teiler von {{math|term=P|SZ=,}} wenn bei der Division mit Rest von {{math|term=P|SZ=}} durch {{math|term=T|SZ=}} der Rest gleich {{math|term=0|SZ=}} ist. Der Beweis des Satzes ist konstruktiv, d.h. es wird in ihm ein Verfahren beschrieben, mit der man die Division mit Rest berechnen kann. Dazu muss man die Rechenoperationen des Grundkörpers beherrschen. Wir geben dazu zwei Beispiele, eines über den rationalen Zahlen und eines über den komplexen Zahlen. {{ inputbeispiel |Polynomdivision/6x^3+x+1 durch 3x^2+2x-4/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Polynomdivision/(4+3i)x^3+x^2+5i durch (1+i)x^2+x -3+2i/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Nullstellen}} Unter einer Nullstelle eines Polynoms {{math|term=P}} versteht man ein {{mathl|term=a \in K}} mit {{mathl|term=P(a)= 0|SZ=.}} Ein Polynom muss keine Nullstellen besitzen, ferner hängt dies vom Grundkörper ab. Das Polynom {{mathl|term=X^2+1}} hat keine reelle Nullstelle, dagegen gibt es die komplexen Nullstellen {{ mathkor|term1= i |und|term2= -i |SZ=. }} Als Element in {{mathl|term=\R[X]}} kann man {{mathl|term=X^2+1}} nicht als Produkt von einfacheren Polynomen schreiben, in {{mathl|term={{CC}}[X]}} hingegen hat man die Zerlegung {{mathl|term=X^2+1 =(X-i)(X+i)|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Polynomring/Auswertung/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Fundamentalsatz der Algebra}} Es gilt der folgende {{Stichwort|Fundamentalsatz der Algebra|SZ=,}} den wir hier ohne Beweis erwähnen. {{ inputfakt |Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt|Satz|| || }} Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass jedes von {{math|term=0|SZ=}} verschiedene Polynom {{mathl|term=P\in {{CC}}[X]|SZ=}} in Linearfaktoren zerfällt, d.h. man kann schreiben {{ Ma:Vergleichskette/disp | P ||c(X-z_1)(X-z_2) \cdots (X-z_n) || || || |SZ= }} mit eindeutig bestimmten komplexen Zahlen {{mathl|term=c, z_1 {{kommadots|}} z_n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei Wiederholungen erlaubt sind| |ISZ=|ESZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Rationale Funktionen}} Der Polynomring {{mathl|term=K[X]|SZ=}} ist ein kommutativer Ring, aber kein Körper. Man kann aber mit Hilfe von formal-rationalen Funktionen einen Körper konstruieren, der den Polynomring enthält, ähnlich wie man aus {{math|term=\Z|SZ=}} die rationalen Zahlen {{math|term=\Q|SZ=}} konstruieren kann. Dazu definiert man {{ Ma:Vergleichskette/disp | K(X) |{{defeq|}}| {{Mengebed| \frac{P}{Q}| P, Q \in K[X]| Q \neq 0}} || || || |SZ=, }} wobei man wie bei {{math|term=\Q|SZ=}} zwei Brüche {{ mathkor|term1= \frac{P}{Q} |und|term2= \frac{P'}{Q'} |SZ= }} miteinander identifiziert, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |PQ' ||P'Q || || || |SZ= }} ist. Auf diese Weise entsteht der {{Stichwort|Körper der rationalen Funktionen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Einen formalen Ausdruck {{mathl|term=P/Q|SZ=}} kann man in folgender Weise wieder als eine Funktion auffassen. {{ inputdefinition |Rationale Funktion/Körper/Definition|| }} Die nach den Polynomfunktionen einfachsten Funktionen sind die rationalen Funktionen. {{ inputbild |Function-1 x|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Function-1_x |Text=Man kann Brüche {{math|term=P/Q|SZ=}} von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graph der rationalen Funktion {{math|term=1/X|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Qualc1 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{Fußnotenliste|}} }} px7z2ddog1iamredfztpsuorx35kmze 0 74822 778664 762585 2022-08-21T12:37:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{mathl|term= v \in V|SZ=}} fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass {{mathl|term= \Psi(v)|SZ=}} eine Linearform auf dem Dualraum {{math|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} ist. Offenbar ist {{mathl|term= \Psi(v)|SZ=}} eine Abbildung von {{math|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} nach {{math|term= K|SZ=.}} Die Additivität ergibt sich aus {{ Ma:Vergleichskette/disp |( \Psi(v))(f_1+f_2) || (f_1+f_2) (v) || f_1(v) +f_2(v) ||( \Psi(v))(f_1) + ( \Psi(v))(f_2) || |SZ=, }} wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels {{ Ma:Vergleichskette/disp |( \Psi(v))(s f ) || (s f ) (v) || s ( f(v)) ||s ( ( \Psi(v))(f) ) || |SZ=. }} Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien {{mathl|term= v,w \in V|SZ=.}} Es ist die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Psi (v+w) || \Psi(v) + \Psi(w) || || || |SZ= }} zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in {{mathl|term= {{op:Dualraum| {{makl| {{op:Dualraum|V|}} |}} |}} |SZ=}} ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei {{mathl|term= f \in {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} beliebig. Dann folgt die Additivität aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( \Psi (v+w) )(f) || f(v+w) || f(v) +f(w) || ( \Psi (v) )(f) + ( \Psi (w) )(f) || |SZ=. }} Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( \Psi (s v) )(f) || f(s v) || s (f(v)) ||s ( ( \Psi (v) )(f) ) || |SZ=. }} Zum Nachweis der Injektivität sei {{mathl|term= v \in V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\Psi(v) || 0 || || || |SZ= }} gegeben. D.h. für alle Linearformen {{mathl|term= f \in {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette |f(v) ||0 || || || |SZ=. }} Dann ist aber nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektor/Linearform/Nulltest/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} schon {{ Ma:Vergleichskette/disp |v ||0 || || || |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Injektivitätskriterium|Faktseitenname= Lineare_Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= \Psi|SZ=}} injektiv. Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Homomorphismenraum/Dimension/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qg7vrkoat2d4mlcuo436i9dkpmy4xuc 0 74824 779447 439399 2022-08-21T16:29:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine Reihe von prominenten Bespielen von Linearformen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen finden sich in der Analysis. Zu einem reellen Intervall {{mathl|term= [a,b]|SZ=}} sind die Menge der Funktionen {{mathl|term= \operatorname{Abb} ( [a,b], \R) |SZ=}} bzw. die Menge der stetigen Funktionen {{mathl|term= C([a,b],\R) |SZ=}} bzw. die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen {{mathl|term= C^1([a,b],\R) |SZ=}} reelle {{ Zusatz/Klammer |text=ineinander enthaltene| |ISZ=|ESZ= }} Vektorräume. Zu einem Punkt {{mathl|term= P \in [a,b]|SZ=}} ist jeweils die Auswertung {{mathl|term= f \mapsto f(P)|SZ=}} eine Linearform {{ Zusatz/Klammer |text=wegen der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation auf diesen Räumen| |ISZ=|ESZ=. }} Ebenso ist die Auswertung der Ableitung {{ Ma:abbele/disp |name= | C^1([a,b],\R) |\R |f|f'(P) |SZ=, }} eine Linearform. Für {{mathl|term= C([a,b],\R) |SZ=}} ist ferner das Integral, also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | C([a,b],\R)| \R |f| \int_a^b f(t) dt |SZ=, }} eine Linearform. Dies beruht auf der Linearität des Integrals. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ltzvh691ikrpr675rqa2td54dwqq0u 106 74861 785172 746246 2022-08-22T07:58:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|62| Wir beschäftigen uns weiter mit der Frage, welchen Teilmengen des {{math|term= \R^n |SZ=}} man ein sinnvolles Volumen zuordnen kann. Es wird sich herausstellen, dass diese {{Anführung|messbaren Mengen|}} eine {{math|term= \sigma |SZ=-}}Algebra bilden, nämlich die {{math|term= \sigma |SZ=-}}Algebra der {{Stichwort|Borel-Mengen|msw=Borel-Menge|SZ=.}} Diese ist zwar sehr groß, und zwar gehören nahezu alle irgendwie {{Anführung|kohärent beschreibbaren}} Teilmengen dazu, aber eben doch nicht alle. Die Borel-Mengen explizit zu beschreiben, ist nicht möglich, stattdessen gibt man ein einfaches Erzeugendensystem für diese {{math|term= \sigma |SZ=-}}Algebra an, nämlich die Menge aller offenen Teilmengen des euklidischen Raumes. Es empfiehlt sich, diese Konstruktion sofort für topologische Räume durchzuführen. {{Zwischenüberschrift|term=Topologische Räume}} {{:Topologischer Raum/Grundbegriffe/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Borel-Mengen}} {{:Topologie/Borel-Mengen/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Stetige Abbildungen/Borel-messbar/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Maße und Maßräume}} {{:Maßtheorie/R/Numerischer Abschluss/Einführung/Textabschnitt}} {{:Maße und Maßräume/Prämaß/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Beispiele für diskrete Maße}} Wir besprechen kurz einige {{Anführung|diskrete Maße|SZ=.}} Das für uns wichtigste Maß, das {{Stichwort|Borel-Lebesgue-Maß|SZ=}} auf dem {{math|term= \R^n |SZ=,}} ist kein diskretes Maß, sondern ein {{Anführung|stetiges Maß|SZ=.}} {{:Maßtheorie/Diskrete Maße/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste}} }} o7k1bvrhdm45yro21pqk331csv8n4bt 0 74921 779056 436348 2022-08-21T15:28:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} eine {{anführung|Ebene}} mit einem fixierten {{anführung|Ursprungspunkt}} {{mathl|term= Q \in E|SZ=.}} Wir identifizieren einen Punkt {{mathl|term= P \in E|SZ=}} mit dem Verbindungsvektor {{mathl|term= {{op:Vektor|Q|P}} |SZ=.}} In dieser Situation kann man ein anschauliche koordinatenfreie Vektoraddition und eine koordinatenfreie Skalarmultiplikation einführen. Zwei Vektoren {{ mathkor|term1= {{op:Vektor|Q|P}} |und|term2= {{op:Vektor|Q|R}} |SZ= }} werden miteinander addiert, indem man das Parallelogramm zu diesen beiden Vektoren konstruiert. Das Ergebnis der Addition ist die Ecke des Parallelogramms, das {{math|term= Q|SZ=}} gegenüberliegt. Bei der Konstruktion muss man die zu {{mathl|term= {{op:Vektor|Q|P}} |SZ=}} parallele Gerade durch {{math|term= R|SZ=}} und die zu {{mathl|term= {{op:Vektor|Q|R}} |SZ=}} parallele Gerade durch {{math|term= P|SZ=}} zeichnen. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist der gesuchte Punkt. Eine entsprechende Vorstellung ist, dass man den Vektor {{mathl|term= {{op:Vektor|Q|P}}|SZ=}} parallel verschiebt und an {{mathl|term= {{op:Vektor|Q|R}} |SZ=}} {{anführung|anlegt|SZ=,}} d.h. dass man den Startpunkt des einen Pfeiles an den Endpunkt des anderen anheftet. Für die Multiplikation eines Vektors {{mathl|term= {{op:Vektor|Q|P}}|SZ=}} mit einem Skalar {{math|term= s|SZ=}} muss dieser als ein Punkt auf einer Geraden {{math|term= G|SZ=}} gegeben sein, auf der darüber hinaus ein Nullpunkt {{mathl|term= 0 \in G|SZ=}} und eine Eins {{mathl|term= 1 \in G|SZ=}} fixiert sind. Wie diese Gerade in der Ebene liegt, ist zunächst gleichgültig. Man bewegt die Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=dabei darf man verschieben und auch drehen| |ISZ=|ESZ= }} so, dass der Nullpunkt auf {{math|term= Q|SZ=}} zu liegen kommt und vermeidet, dass die Gerade deckungsgleich zu der von {{mathl|term= {{op:Vektor|Q|P}} |SZ=}} erzeugten Geraden {{ Zusatz/Gs |text=nennen wir sie {{math|term= H|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} wird. Nun verbindet man {{math|term= 1|SZ=}} und {{math|term= P|SZ=}} mit einer Geraden {{math|term= L|SZ=}} und zeichnet dazu die zu {{math|term= L|SZ=}} parallele Gerade {{math|term= L'|SZ=}} durch {{math|term= s|SZ=.}} Der Schnittpunkt von {{ mathkor|term1= L' |und|term2= H |SZ= }} ist {{mathl|term= s{{op:Vektor|Q|P}} |SZ=.}} Diese Überlegungen kann man auch höherdimensional anstellen, wobei sich allerdings das Wesentliche in der von den beiden beteiligten Vektoren {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. Geraden| |ISZ=|ESZ= }} erzeugten Ebene abspielt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hvlchi8gsg08avujx8pznyashpi0ppp 0 74924 778917 763118 2022-08-21T15:06:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= P_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E|SZ=}} über dem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Dann besitzt der Punkt {{math|term= P_j|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=j \in I|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrischen Koordinaten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (0 {{kommadots|}} 0,1,0 {{kommadots|}} 0)|SZ=,}} wobei die {{math|term= 1|SZ=}} an der {{math|term= j|SZ=-}}ten Stelle steht {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= I|SZ=}} als endlich und geordnet angenommen wird| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Basen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qhf3e0mwrn5u8p98rp3bkgsy3xdv3ey 0 74932 781984 550849 2022-08-21T23:26:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^n|SZ=}} sei mit der euklidischen Metrik versehen. a) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum {{ Zusatz/Klammer |text=mit der induzierten Metrik| |ISZ=|ESZ= }} des {{math|term= \R^2|SZ=,}} aber nicht als Teilraum von {{math|term= \R|SZ=}} realisieren kann. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des {{math|term= \R^2|SZ=}} realisieren kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ixmg0r37iuca71nbvbft3ctt02o8c7 0 74934 779404 763486 2022-08-21T16:22:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= K^n|SZ=}} ist von der Form {{ Ma:abbele/disp |name= |K^n|K | {{op:Zeilenvektor|x_1|\ldots|x_n}} | \sum_{i {{=}}1 }^n a_ix_i |SZ=, }} zu einem Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|a_1|\ldots|a_n}} |SZ=.}} Besonders einfache Linearformen sind die Projektionen {{ Ma:abbele/disp |name=p_j |K^n|K | {{op:Zeilenvektor|x_1|\ldots|x_n}} | x_j |SZ=. }} Die Nullabbildung nach {{math|term= K|SZ=}} ist ebenfalls eine Linearform, die man auch die {{Stichwort|Nullform|SZ=}} nennt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hl6f4go06spfabn89wxkrpxcs6gfmp2 0 74953 779771 510070 2022-08-21T17:19:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{mengebed| {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} \in \R^3| 5x-y+3z {{=|}} 0}} || || || |SZ=. }} Es handelt sich also um diejenige Teilmenge des {{math|term= \R^3|SZ=,}} die alle Punkte mit den Koordinaten {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x|y|z}}|SZ=}} enthält, die die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 5x-y+3z || 0 || || || |SZ= }} erfüllen. Da diese Bedingung für jeden Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x|y|z}}|SZ=}} eine klare Bedeutung besitzt, also wahr oder falsch sein kann, handelt es sich um eine wohldefinierte Teilmenge. Beispielsweise gehören die Punkte {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 0|0|0 }} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 2|-3|- {{op:Bruch|13|3}} }} |SZ= }} dazu, der Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|2|4|0}}|SZ=}} dagegen nicht. Wenn man für einen Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x|y|z}}|SZ=}} testen soll, ob er zu {{math|term= E|SZ=}} gehört, so überprüft man einfach die Bedingung. In dieser Hinsicht ist also die gegebene Beschreibung von {{math|term= E|SZ=}} sehr gut. Wenn man aber beispielsweise eine gute Übersicht über {{math|term= E|SZ=}} als Ganzes bekommen möchte, so ist die Beschreibung direkt nicht sehr aussagekräftig. Wir behaupten, dass {{math|term= E|SZ=}} mit der Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |E' || {{mengebed| r {{op:Spaltenvektor|3|0|-5}} + s {{op:Spaltenvektor|0|3|1}} |r,s \in \R }} || || || |SZ= }} übereinstimmt. In dieser zweiten Beschreibung wird die Menge als die Menge aller Elemente beschrieben, die auf eine gewisse Art gebaut werden können, nämlich als {{Betonung|Linearkombination}} von den zwei Punkten {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor|3|0|-5}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|0|3|1}} |SZ= }} mit beliebigen reellen Koeffizienten. Der Vorteil dieser Beschreibung ist, dass man sofort einen Überblick über alle Elemente hat und beispielsweise sieht, dass es unendlich viele Elemente darin gibt. Dagegen ist es bei dieser Beschreibung schwieriger zu entscheiden, ob ein gegebener Punkt dazu gehört oder nicht. Zum Nachweise, dass die beiden Mengen übereinstimmen, müssen wir {{ mathkor|term1= E \subseteq E' |und|term2= E' \subseteq E |SZ= }} zeigen. Sei hierzu {{mathl|term= P= {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} \in E|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} || {{op:Bruch|x|3}} {{op:Spaltenvektor|3|0|-5}} + {{op:Bruch|y|3}} {{op:Spaltenvektor|0|3|1}} || || || |SZ=, }} wobei die Gleichheit in den ersten beiden Komponenten unmittelbar erfüllt ist und die Gleichheit in der dritten Komponenten eine Umformung der Ausgangsgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 5x-y+3z || 0 || || || |SZ= }} ist. Mit {{ Ma:Vergleichskette |r || {{op:Bruch|x|3}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |s || {{op:Bruch|y|3}} || || || |SZ= }} sieht man, dass {{mathl|term= P \in E'|SZ=}} ist. Sei umgekehrt {{mathl|term= P= {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} \in E'|SZ=,}} d.h. es gibt eine Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||{{op:Spaltenvektor|x|y|z}} || r {{op:Spaltenvektor|3|0|-5}} + s {{op:Spaltenvektor|0|3|1}} || {{op:Spaltenvektor|3r|3s |-5r +s}} || |SZ= }} mit gewissen reellen Zahlen {{mathl|term= r,s \in \R|SZ=.}} Um zu zeigen, dass dieser Punkt zu {{math|term= E|SZ=}} gehört, müssen wir zeigen, dass er die {{math|term= E|SZ=}} definierende Bedingung erfüllt. Dies ist wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | 5 x-y+3z || 5(3r) -3s +3 (-5r+s) ||0 || || |SZ= }} der Fall. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2=Mengentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hkqxa1ci471vaeabik4g6o8d6863ouo 0 74954 779770 521540 2022-08-21T17:19:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden Mengen {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{mengebed| {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} \in \R^3| 5x-y+3z {{=|}} 0}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Mengen/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || {{mengebed| {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} \in \R^3| 4x +2y-7 z {{=|}} 0}} || || || |SZ= }} und interessieren uns für den Durchschnitt {{ Ma:Vergleichskette/disp |G | {{defeq|}} |E \cap F || {{mengebed| {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} \in \R^3|5x-y+3z {{=|}} 0 \text{ und } 4x +2y-7 z {{=|}} 0}} || || || |SZ=. }} Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen {{ Zusatz/Klammer |text=nennen wir sie {{ mathkor|term1= I |und|term2= II |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} erfüllt. Gibt es eine {{Anführung|einfachere}} Beschreibung dieser Durchschnittsmenge? Ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt, erfüllt auch die Gleichung, die entsteht, wenn man die beiden Gleichungen miteinander addiert oder die Gleichungen mit reellen Zahlen multipliziert. Eine solche {{Betonung|Linearkombination}} der Gleichungen ist beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette/disp | 4 I -5 II || -14 y + 47 z || 0 || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |G || {{mengebed| {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} \in \R^3|5x-y+3z {{=|}} 0 \text{ und } 4x +2y-7 z {{=|}} 0}} || {{mengebed| {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} \in \R^3|5x-y+3z {{=|}} 0 \text{ und } -14 y + 47 z {{=|}} 0}} || || |SZ=, }} da man aus der neuen zweiten Gleichung die alte zweite Gleichung zurückkonstruieren kann und daher die Bedingungen links und rechts insgesamt äquivalent sind. Der Vorteil der zweiten Beschreibung ist, dass man die Variable {{math|term= x|SZ=}} in der neuen zweiten Gleichung {{Betonung|eliminiert}} hat. Daher kann man nach {{math|term= y|SZ=}} auflösen und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || {{op:Bruch|47|14}} z || || || |SZ= }} und für {{math|term= x|SZ=}} muss dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || {{op:Bruch|1|5}} y - {{op:Bruch|3|5}} z || {{op:Bruch|1|5}} \cdot {{op:Bruch|47|14}} z - {{op:Bruch|3|5}} z || {{op:Bruch|47|70}} z - {{op:Bruch|42|70}} z || {{op:Bruch|1|14}} z |SZ= }} sein. Auch diese zwei aufgelösten Gleichungen sind zusammen äquivalent zu den beiden ersten und somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || {{mengebed| {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|1|14}} z | {{op:Bruch|47|14}} z|z |}} | z \in \R }} || || || |SZ=. }} Diese Beschreibung liefert einen expliziteren Überblick über die Menge {{math|term= G|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2=Theorie der Untervektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jkgwmxl9sag41g6wxc1a3s7dvsfs3yz 0 74957 779759 763748 2022-08-21T17:18:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= a \in \R|SZ=}} fixiert. Diese reelle Zahl definiert eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|ax |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |a ||0 || || || |SZ= }} liegt die konstante Nullabbildung vor. Bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} liegt eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |y| {{op:Bruch|1|a}} y || |SZ= }} vor. Die Umkehrabbildung hat hier also eine ähnliche Bauart wie die Ausgangsabbildung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zep2ea2n4j0uutc3g4f11m15db0zfz 0 74958 779466 763556 2022-08-21T16:32:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath= m \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrixmn|a|}} |SZ= }} gegeben, wobei die Einträge {{mathl|term= a_{ij}|SZ=}} reelle Zahlen seien. Eine solche Matrix definiert eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\R^n |\R^m || |SZ=, }} indem ein {{math|term= n|SZ=-}}Tupel {{mathl|term= x= {{op:Spaltenvektor|x_1|x_2|\vdots|x_n}} \in \R^n |SZ=}} auf das {{math|term= m|SZ=-}}Tupel {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(x) || {{op:Matrixmn|a|}} {{op:Spaltenvektor|x_1|x_2|\vdots|x_n}} || {{op:Spaltenvektor| a_{11} x_1 + a_{12} x_2 {{plusdots}} a_{1n} x_n | a_{21} x_1 + a_{22} x_2 {{plusdots}} a_{2n} x_n |\vdots| a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 {{plusdots}} a_{mn} x_n }} || {{op:Spaltenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^n a_{1j} x_j | \sum_{j {{=}} 1}^n a_{2j} x_j |\vdots| \sum_{j {{=}} 1}^n a_{mj} x_j }} || || |SZ= }} abgebildet wird. Die {{math|term= i|SZ=-}}te Komponente des Bildvektors ergibt sich also als{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Das Summenzeichen {{math|term= \sum|SZ=}} ist für gegebene reelle Zahlen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ= }} definiert| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y_i || {{op:Zeilenvektor|a_{i1} |a_{i2}|\ldots|a_{in} }} {{op:Spaltenvektor|x_1|x_2|\vdots|x_n}} || \sum_{j {{=}} 1}^n a_{ij} x_j || || |SZ=, }} man muss also die {{math|term= i|SZ=-}}te Zeile der Matrix in der beschriebenen Weise auf den Spaltenvektor {{math|term= x|SZ=}} anwenden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizen (R) |Kategorie2=Theorie der Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rcxd5c9i1ie4p4rvu8rpgmbt14vjpus 0 74966 779414 763502 2022-08-21T16:24:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und es sei {{math|term= I|SZ=}} eine Menge. Wir betrachten die Menge der {{ Definitionslink |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= I|SZ=}} nach {{math|term= K|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | V || {{op:Abbildungsmenge|I|K}} || {{Mengebed|f| f : I \rightarrow K \text{ Abbildung} }} || || |SZ=. }} Diese Menge ist mit {{ Definitionslink |komponentenweiser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Verknüpfung/Produktmenge/Definition |SZ= }} Addition, bei der also die Summe von zwei Funktionen {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | (f+g) (z) | {{defeq|}} f(z) + g(z) || || || |SZ= }} erklärt wird, und mit der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | (s f) (z) |{{defeq|}}| s f(z) || || || |SZ= }} definierten Skalarmultiplikation ein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Funktionenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Folge |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d7t62868v8y8mjs4w10k6duy7e7stwn 0 74973 778644 762558 2022-08-21T12:34:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_k|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= U_1 \cap U_2|SZ=.}} Diese ergänzen wir gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einerseits zu einer Basis {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_k, u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} von {{math|term= U_1|SZ=}} und andererseits zu einer Basis {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_k, v_1 {{kommadots|}} v_m |SZ=}} von {{math|term= U_2|SZ=.}} Dann ist {{ math/disp|term= w_1 {{kommadots|}} w_k, u_1 {{kommadots|}} u_n , v_1 {{kommadots|}} v_m |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= U_1+U_2|SZ=.}} Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt. Sei dazu {{ Ma:Vergleichskette/disp | a_1w_1 {{plusdots|}} a_k w_k + b_1 u_1 {{plusdots|}} b_n u_n + c_1 v_1 {{plusdots|}} c_mv_m || 0 || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich, dass das Element {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | a_1w_1 {{plusdots|}} a_k w_k + b_1 u_1 {{plusdots|}} b_n u_n ||- c_1 v_1 {{minusdots|}} c_mv_m || || || |SZ= }} zu {{mathl|term= U_1 \cap U_2|SZ=}} gehört. Daraus folgt direkt {{ Ma:Vergleichskette |b_i ||0 || || || |SZ= }} für {{mathl|term= i=1 {{kommadots|}} n|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |c_j ||0 || || || |SZ= }} für {{mathl|term= j=1 {{kommadots|}} m|SZ=.}} Somit ergibt sich dann auch {{ Ma:Vergleichskette |a_\ell ||0 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= \ell|SZ=.}} Also liegt {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Unabhängigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Insgesamt ist also {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:dim vr|U_1 \cap U_2}} + {{op:dim vr|U_1 + U_2}} || k + k +n +m || k+n +k+m || {{op:dim vr|U_1 }} + {{op:dim vr| U_2}} || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s76287spom3tgz56xciu2nwu919lqi3 0 74980 780015 748826 2022-08-21T17:58:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\{ 1 {{kommadots|}} n\} ||I_1 {{uplusdots|}} I_k || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Zerlegung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Indexmenge. Es seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |U_j || {{op:Span|v_i|i \in I_j}} || || || |SZ= }} die durch die Teilfamilien {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || U_1 {{oplusdots|}} U_k || || || |SZ=. }} Der Extremfall {{mathl|term= I_j=\{j\}|SZ=}} ergibt die direkte Summe {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || K v_1 {{oplusdots|}} K v_n || || || |SZ= }} mit eindimensionalen Untervektorräumen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der direkten Summen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1s5ysoa84a1ssv435wvsygd0xtuvxik 0 74987 778676 748828 2022-08-21T12:39:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_k |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=.}} Diese können wir nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu einer Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_k, v_{k+1} {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} ergänzen. Dann erfüllt {{ Ma:Vergleichskette/disp |W || {{op:Span| v_{k+1} {{kommadots|}} v_n |}} || || || |SZ= }} die gewünschten Eigenschaften. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bfltju2vu1zra8brxg3ydj954ouk66p 0 74997 779854 763792 2022-08-21T17:31:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} im {{math|term= \R^n|SZ=}} besteht die {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus den Projektionen auf eine Komponente, also gleich {{ Ma:Vergleichskette |e_i^* ||p_i || || || |SZ= }} mit {{ Ma:abbele/disp |name=p_i |\R^n|\R | {{op:Zeilenvektor|x_1|\ldots|x_n}} | x_i |SZ=. }} Sie heißt die {{Stichwort|Standarddualbasis|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} km00r1qhleir13eyqdi2grntkzvag0c 0 75009 779116 763240 2022-08-21T15:38:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Permutation {{Wertetabelle5 |text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5 |text2={{math|term= \pi (x)|SZ=}}|2|1|5|3|4 }} Man kann sie als Produkt der beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Zykel| |Kontext=Permutation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \langle 1, 2 \rangle |SZ=}} und {{mathl|term= \langle 3, 5, 4 \rangle |SZ=}} schreiben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ptpivigt0ol4eit2kuqdwcb3op0e1ol 0 75020 779494 763586 2022-08-21T16:37:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Identität {{mathl|term= {{op:Identität|V|}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{mathl|term= X-1|SZ=.}} Dieses geht ja unter dem Einsetzungshomomorphismus auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Identität|V|}}- {{op:Identität|V|}} || 0 || || || |SZ=. }} Ein konstantes Polynom {{math|term= a_0|SZ=}} geht auf {{mathl|term= a_0 {{op:Identität||}} |SZ=,}} was, außer bei {{ Ma:Vergleichskette |a_0 ||0 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |V ||0 || || || |SZ=, }} nicht die Nullabbildung ist. Für eine Streckung, also eine Abbildung der Form {{mathl|term= \lambda {{op:Identität|V|}} |SZ=,}} ist das Minimalpolynom, vorausgesetzt {{ Ma:Vergleichskette | \lambda |\neq|0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V |\neq|0 || || || |SZ=, }} gleich {{mathl|term= X - \lambda|SZ=.}} Für die Nullabbildung auf {{ Ma:Vergleichskette |V |\neq|0 || || || |SZ= }} ist {{math|term= X|SZ=}} das Minimalpolynom, bei {{ Ma:Vergleichskette |V ||0 || || || |SZ= }} ist es das konstante Polynom {{math|term= 1|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rwm02lhihg5v28fjxixu63t72th6wkt 0 75022 779493 763584 2022-08-21T16:37:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= M={{op:Diagonalmatrix4dots|d_1|d_2|\ddots|d_{{{n|n}}} }} |SZ= }} mit verschiedenen Einträgen {{math|term= d_i|SZ=}} ist das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | P ||(X-d_1)(X-d_2) \cdots (X-d_n) || || || |SZ=. }} Dieses Polynom geht unter der Einsetzung auf {{ math/disp|term= (M-d_1 E_n ) \circ (M-d_2 E_n ) \circ (M-d_n E_n ) |SZ=. }} Wenden wir darauf den Standardvektor {{math|term= e_i|SZ=}} an, so wird er von dem Faktor {{mathl|term= (M-d_jE_n ) |SZ=}} auf {{mathl|term= (d_i-d_j )e_i |SZ=}} abgebildet. Der {{math|term= i|SZ=-}}te Faktor sichert also, dass {{math|term= e_i|SZ=}} insgesamt annulliert wird. Da somit eine Basis durch {{mathl|term= P(M)|SZ=}} auf {{math|term= 0|SZ=}} abgebildet wird, muss es sich insgesamt um die Nullabbildung handeln. Angenommen, {{math|term= P|SZ=}} wäre nicht das Minimalpolynom {{math|term= \mu|SZ=.}} Dann gibt es {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Minimalpolynom/Hauptideal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein Polynom {{math|term= Q|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || Q \mu || || || |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} muss {{math|term= \mu |SZ=}} ein Teilprodukt der Linearfaktoren von {{math|term= P|SZ=}} sein. Sobald man aber einen Faktor von {{math|term= P|SZ=}} weglässt, sagen wir {{mathl|term= X-d_i|SZ=,}} so wird {{math|term= e_i|SZ=}} durch die zugehörige Abbildung nicht mehr annulliert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5r1tad47uoyj0628umlpb2aztjc0h0u 0 75023 779492 763582 2022-08-21T16:37:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Matrix22|0|1|0 |0}} || || || |SZ= }} ist {{math|term= X^2|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dieses Polynom wird beim Einsetzen zur Nullabbildung, wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |M^2 || {{op:Matrix22|0|0|0 |0}} || || || |SZ=. }} Die Teiler von {{math|term= X^2|SZ=}} von kleinerem Grad sind konstante Polynome {{math|term= \neq 0|SZ=}} und {{mathl|term= a_1X|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a_1 |\neq|0 || || || |SZ=, }} aber diese Polynome annullieren nicht {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9s11t62e4z4z56903tkp8v59s66mm12 0 75066 779463 751413 2022-08-21T16:32:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |obere Dreiecksmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der alle Diagonalelemente {{math|term= 0|SZ=}} seien. {{math|term= M|SZ=}} hat also die Gestalt {{ math/disp|term= {{obere Dreiecksmatrixdiag0|}} |SZ=. }} Dann ist {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |nilpotent| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und zwar bewegt sich mit jedem Potenzieren die {{math|term= 0|SZ=-}}Hauptdiagonale nach rechts oben. Wenn man nämlich beispielsweise das Produkt für die {{math|term= i|SZ=-}}te Zeile und die {{math|term= j|SZ=-}}te Spalte mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |i |\geq|j-1 || || || |SZ= }} ausrechnet, so kommt in den Teilprodukten stets eine {{math|term= 0|SZ=}} vor und das Ergebnis ist {{math|term= 0|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} as03do7q7oleim5sdoqa27u67wdlzrc 0 75071 784629 758136 2022-08-22T06:37:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi | {{defeq|}} | {{op:Identität||}} + \varphi || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der unipotenten Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lfwsll6kzdnswut02q0vbqlw7ytzedm 0 75079 779464 542168 2022-08-21T16:32:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Spezialfall zu {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Matrix/Nilpotent/Typische Gestalt/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix66|0|1|0| \cdots|\cdots |0|0|0| 1|0|\cdots |0|\vdots| \ddots|\ddots|\ddots|\ddots|\vdots|0| \cdots|0|0|1|0|0|\cdots|\cdots|0|0|1|0|\cdots|\cdots|\cdots|0|0}} |SZ=. }} Eine wichtige Beobachtung dabei ist, dass unter dieser Abbildung {{math|term= e_n|SZ=}} auf {{mathl|term= e_{n-1}|SZ=}} abgebildet wird, {{math|term= e_{n-1}|SZ=}} auf {{mathl|term= e_{n-2}|SZ=}} und schließlich {{math|term= e_2|SZ=}} auf {{math|term= e_1|SZ=,}} welches auf {{math|term= 0|SZ=}} abgebildet wird. Die {{math|term= (n-1)|SZ=-}}te Potenz der Matrix bildet {{math|term= e_1|SZ=}} auf {{math|term= e_n|SZ=}} ab und ist nicht die Nullmatrix, die {{math|term= n|SZ=-}}te Potenz der Matrix ist die Nullmatrix. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o6nv34ay01qscu7gdwekgdf3gli6icj 0 75080 779127 751078 2022-08-21T15:40:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=}} besitzt der {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |H ||{{op:Hauptraum|\varphi|\lambda}} || || || |SZ= }} die Eigenschaft, dass die Einschränkung von {{mathl|term= \varphi- \lambda {{op:Identität|V|}} |SZ=}} auf {{math|term= H|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Haupträume |Kategorie2=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gdnpi1dr9gud7tonoxn1sd20wvz4lsb 0 75082 782040 755934 2022-08-21T23:35:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus endlichdimensional nilpotent/Situation|SZ=.}} Was ist die {{ Definitionslink |Spur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n6hgtszz78698ymngk9skqtffu9sc58 0 75083 782008 755902 2022-08-21T23:30:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn sowohl die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Der Determinantenmultiplikationssatz (Körper) |Kategorie3=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1lu8ao7d85njpnxo3yev5dg2131ae6b 0 75086 778619 762535 2022-08-21T12:30:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da {{math|term= \varphi|SZ=}} trigonalisierbar ist, können wir {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden. Es gibt also eine direkte Summenzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda_1}} {{oplusdots}} {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda_m}} || || || |SZ=, }} wobei die Haupträume {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invariant| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Indem wir die Situation auf den einzelnen {{ Definitionslink |Prämath= |Haupträumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} analysieren, können wir davon ausgehen, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} nur einen Eigenwert {{math|term= \lambda|SZ=}} besitzt und {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda}} || || || |SZ= }} ist. Es ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi ||\varphi- \lambda {{op:Identität|V|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Basis, bezüglich der {{math|term= \psi|SZ=}} die Gestalt {{ math/disp|term= {{op:Matrix66|0|c_1|0| \cdots|\cdots |0|0|0| c_2|0|\cdots |0|\vdots| \ddots|\ddots|\ddots|\ddots|\vdots|0| \cdots|0|0|c_{n-2}|0|0|\cdots|\cdots|0|0|c_{n-1}|0|\cdots|\cdots|\cdots|0|0}} |SZ= }} besitzt, wobei die {{math|term= c_i|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=}} oder gleich {{math|term= 1|SZ=}} sind. Bezüglich dieser Basis hat {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || \psi + \lambda {{op:Identität|V|}} || || || |SZ= }} die Gestalt {{ math/disp|term= {{op:Matrix66|\lambda |c_1|0| \cdots|\cdots |0|0|\lambda | c_2|0|\cdots |0|\vdots| \ddots|\ddots|\ddots|\ddots|\vdots|0| \cdots|0|\lambda|c_{n-2}|0|0|\cdots|\cdots|0|\lambda |c_{n-1}|0|\cdots|\cdots|\cdots|0|\lambda }} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5q2fr2kiycmio4q9vqzyn81hgo4dpv8 0 75093 782850 756616 2022-08-22T01:50:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorräume/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |Eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |U|V || |SZ= }} mit einem weiteren Vektorraum {{math|term= U|SZ=}} induziert eine lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Hom|V|W}} | {{op:Hom|U|W}} |f| f \circ \varphi |SZ=. }} |Eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |W|T || |SZ= }} mit einem weiteren Vektorraum {{math|term= T|SZ=}} induziert eine lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Hom|V|W}} | {{op:Hom|V|T}} |f| \psi \circ f |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9gcjp61mrmfhn4b1z54rrur53avz4oa 0 75094 783614 748852 2022-08-22T03:58:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= G_1,G_2|SZ=}} und {{mathl|term= H_1,H_2 |SZ=}} jeweils verschiedene Geraden im {{math|term= K^3|SZ=.}} Welche {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} hat der Raum {{ Ma:Vergleichskette/disp | W || {{mengebed|\varphi \in {{op:Hom|K^3|K^3}} | \varphi(G_1) \subseteq H_1 \text{ und } \varphi(G_2) \subseteq H_2 }} || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hfsba1k1sf9c23wnv53vwqhmyzqj71c 0 75097 784633 758140 2022-08-22T06:38:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotente| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |V|V || |SZ= }} eine weitere lineare Abbildung mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi \circ \varphi || \varphi \circ \psi || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \psi \circ \varphi|SZ=}} ebenfalls nilpotent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} huydllv10khin3qiiu81bw5m1206rcz 0 75099 784634 758142 2022-08-22T06:38:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi, \psi |V|V || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotente| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi \circ \psi || \psi \circ \varphi || || || |SZ= }} erfüllen. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{mathl|term= \psi + \varphi |SZ=}} nilpotent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2xz5gp8wujlingmoi0d6ja4s59oe0op 0 75100 785844 759008 2022-08-22T09:47:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= a \in \R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|a|}} |<|1 || || || |SZ=. }} Bekanntlich ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied=a^n|}} ||0 || || || |SZ=. }} Ist die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|ax |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gc6cwxjdue4nzgl9d1ts34ea067axep 0 75101 780962 748664 2022-08-21T20:35:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= v_n ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} diejenige {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(v_1) ||0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(v_n) ||v_{n-1} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} festgelegt ist. Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pdo6i2uyzvlh2with68my9a7b7mjcy7 0 75106 779410 763496 2022-08-21T16:23:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath=K |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subset|K^n || || || |SZ=, }} der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{mengebed|v \in K^n|\sum_{i {{=}}1 }^n v_i {{=}} 0}} || || || |SZ= }} gegeben ist. Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist durch die {{mathl|term= n-1|SZ=}} Vektoren {{ math/disp|term= u_1=(1,-1,0 ,0 {{kommadots|}} 0),\, u_2 = (0, 1,-1, 0 {{kommadots|}} 0),\, {{kommadots|}} u_{n-1} = (0 ,0 {{kommadots|}} 0,1,-1),\, |SZ= }} gegeben. Diese Vektoren gehören offenbar zu {{math|term= U|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Unabhängigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kann man in {{math|term= K^n|SZ=}} überprüfen. Aus einer Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\sum_{i {{=}} 1}^{n-1} a_iu_i ||0 || || || |SZ= }} folgt schrittweise {{mathl|term= a_1=0|SZ=,}} {{mathl|term= a_2=0|SZ=,}} u.s.w. Dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt, ergibt sich aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|v_1|v_2|v_3|\vdots|v_{n-1}|v_n}} || v_1 {{op:Spaltenvektor|1|-1|0|\vdots|0 |0}} + (v_1+v_2) {{op:Spaltenvektor|0|1|-1|\vdots|0 |0}} + (v_1+v_2+v_3) {{op:Spaltenvektor|0|0|1|-1|\vdots|0 }} {{plusdots|}} (v_1+v_2+v_3 {{plusdots|}} v_{n-1} ) {{op:Spaltenvektor|0|0|0|\vdots|1|-1 }} || || || |SZ=, }} wobei die Gültigkeit in der letzten Zeile auf der Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\sum_{i {{=}}1 }^n v_i ||0 || || || |SZ= }} beruht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Basen von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mibn91aygvqtpsg1rt8efd4xtftfh17 0 75108 779406 763488 2022-08-21T16:22:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es stehen {{math|term= n|SZ=}} verschiedene Produkte zum Verkauf an, wobei das {{math|term= i|SZ=-}}te Produkt {{ Zusatz/Klammer |text=pro Einheit| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= a_i|SZ=}} kostet. Ein Einkauf wird durch das {{math|term= n|SZ=-}}Tupel {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|x_1|x_2|\ldots|x_n}} |SZ= }} repräsentiert, wobei {{math|term= x_i|SZ=}} die vom {{math|term= i|SZ=-}}ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch {{mathl|term= \sum_{i=1}^n a_ix_i|SZ=}} beschrieben. Die Preisabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^n|\R | {{op:Zeilenvektor|x_1|x_2|\ldots|x_n}} | \sum_{i {{=}} 1}^n a_ix_i |SZ=. }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies bedeutet beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x_1|x_2|\ldots|x_n}} |SZ=}} tätigt und eine Woche später den Einkauf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|y_1|y_2|\ldots|y_n}} |SZ=,}} dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x_1+y_1|x_2+y_2|\ldots|x_n+y_n}} |SZ=}} gekauft hätte. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iobr1qe8vcukrh0hwyql2z6w6yao2gb 0 75109 778879 763099 2022-08-21T15:00:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= C^0(\R,\R)|SZ=}} der Raum der stetigen Funktionen von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} und {{mathl|term= C^1(\R,\R)|SZ=}} der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=D |C^1(\R,\R) |C^0(\R,\R) |f|f' |SZ=, }} die einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} In der Analysis wird ja {{ Ma:Vergleichskette/disp |(af+bg)' || af' + bg' || || || |SZ= }} für {{mathl|term= a,b \in \R|SZ=}} und eine weitere Funktion {{mathl|term= g \in C^1(\R,\R)|SZ=}} bewiesen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pv2rjskgt81o182r09klo3sky2zvbh8 0 75115 779443 763542 2022-08-21T16:29:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei ein homogenes {{ Definitionslink |Prämath= |lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{Lineares Gleichungssystem|a|x|m|n|}} |SZ= }} gegeben, wobei wir die {{math|term= i|SZ=-}}te Gleichung als Kernbedingung für die {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=L_i |K^n|K | {{op:Zeilenvektor|x_1|\ldots|x_n}} | \sum_{j {{=}} 1}^n a_{ij}x_j |SZ=, }} auffassen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || {{op:Span|L_1 {{kommadots|}} L_m }} || || || |SZ= }} der von diesen Linearformen im {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Dualraum|K^n|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{math|term= {{op:Orthogonalraum|F|}} |SZ=}} der Lösungsraum des Gleichungssystems. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der Dualräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kou3heeqiqt7u1csyctp9nyjttlh50w 0 75117 780016 748835 2022-08-21T17:58:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= v_i^* ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{op:Span|v_j|j \in J}} || || || |SZ= }} zu einer Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |J |\subseteq|I || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Orthogonalraum|U|}} || {{op:Span| v_i^*| i \not\in J}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d6m7mj3g2i65kspv16fxa21nj6mrc2k 0 75118 781602 748839 2022-08-21T22:22:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{math|term= n|SZ=,}} {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_r \in {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || {{op:Span|f_1 {{kommadots|}} f_r|}} |\subseteq| {{op:Dualraum|V|}} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Linearformen genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:dim vr| {{op:Orthogonalraum|F|}} |}} || n-r || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ptg1a3xb1v3q9vjyv5tyn05ss5fhzwi 0 75119 778643 762556 2022-08-21T12:34:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette/disp | U |\subseteq | {{op:Orthogonalraum| {{makl| {{op:Orthogonalraum|U|}} |}} |}} || || || |SZ= }} ist auch klar. Sei {{ mathbed|term= v \in V ||bedterm1= v \not\in U ||bedterm2= |SZ=. }} Dann kann man eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_r |SZ=}} von {{math|term= U|SZ=}} zu einer Basis {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_r, v, v_1 {{kommadots|}} v_\ell |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} ergänzen. Die Linearform {{math|term= v^*|SZ=}} verschwindet auf {{math|term= U|SZ=}} und gehört daher zu {{math|term= {{op:Orthogonalraum|U|}} |SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |v^*(v) ||1 |\neq|0 || || |SZ= }} ist {{mathl|term= v \not\in {{op:Orthogonalraum| {{makl| {{op:Orthogonalraum|U|}} |}} |}} |SZ=.}} (4). Es sei {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_r|SZ=}} eine Basis von {{math|term= F |SZ=}} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|K^r || |SZ= }} die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Orthogonalraum|F|}} || {{op:Kern|\varphi|}} || || || |SZ=. }} Wenn die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} nicht surjektiv wäre, so wäre {{mathl|term= {{op:Bild|\varphi|}} |SZ=}} ein echter Untervektorraum von {{math|term= K^r|SZ=}} und hätte maximal die Dimension {{mathl|term= r-1|SZ=.}} Es sei {{math|term= W|SZ=}} ein {{mathl|term= r-1|SZ=-}}dimensionaler Untervektorraum mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bild|\varphi|}} |\subseteq|W |\subseteq| K^r || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hyperfläche/Kern einer Linearform/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es eine von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= g |K^r|K || |SZ=, }} deren Kern genau {{math|term= W|SZ=}} ist. Sei {{ Ma:Vergleichskette |g || \sum_{i{{=}} 1}^r a_ip_i || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\sum_{i{{=}} 1}^r a_if_i || g \circ \varphi || 0 || || |SZ=, }} was der linearen Unabhängigkeit der {{math|term= f_i|SZ=}} widerspricht. Also ist {{math|term= \varphi|SZ=}} surjektiv ist und die Aussage folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d6cbjvc02en8qhr1dmr89c01wyk1pd2 0 75120 781604 755553 2022-08-21T22:22:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalraum| |Kontext=dual| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |{{op:Orthogonalraum|U|}} |\subseteq|{{op:Dualraum|V|}} || || || |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalraum| |Kontext=dual| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Orthogonalraum|F|}} |\subseteq| V || || || |SZ= }} zu einem Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette |F |\subseteq| {{op:Dualraum|V||}} || || || |SZ= }} Untervektorräume sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4eshmlxv8lk2pvmp7luoj2rzu7hkocz 0 75122 778669 762590 2022-08-21T12:38:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^n b_{ij} v_i^* |}} (w_r) || {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^n b_{ij} v_i^* |}} {{makl| \sum_{k {{=}} 1}^n a_{kr} v_k |}} || \sum_{1 \leq i,k \leq n} b_{ij} a_{kr} v_i^*(v_k) || \sum_{i {{=}} 1}^n b_{ij} a_{ir} || || |SZ=. }} Hier steht das {{Anführung|Produkt}} aus der {{math|term= j|SZ=-}}ten Spalte von {{math|term= B|SZ=}} und der {{math|term= r|SZ=-}}ten Spalte von {{math|term= A|SZ=,}} also das Produkt aus der {{math|term= j|SZ=-}}ten Zeile von {{ Ma:Vergleichskette | {{op:transponiert|B|}} || A^{-1} || || || |SZ= }} und der {{math|term= r|SZ=-}}ten Spalte von {{math|term= A|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |r ||j || || || |SZ= }} ist dies {{math|term= 1|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |r |\neq|j || || || |SZ= }} ist dies {{math|term= 0|SZ=.}} Daher stimmt die angegebene Linearform mit {{math|term= w_j^*|SZ=}} überein. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8eu5cgdv776l46jh68gzd4684z3xwpj 0 75127 779841 763777 2022-08-21T17:30:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{math|term= \R^2|SZ=}} mit der Standardbasis {{mathl|term= e_1,e_2|SZ=,}} seiner Dualbasis {{mathl|term= e_1^*,e_2^*|SZ=}} und die Basis bestehend aus {{mathl|term= u_1= {{op:Spaltenvektor|2|1}} |SZ=}} und {{mathl|term= u_2 = {{op:Spaltenvektor|-1|3}} |SZ=.}} Wir wollen die Dualbasis {{ mathkor|term1= u_1^* |und|term2= u_2^* |SZ= }} als Linearkombinationen der Standarddualbasis ausdrücken, also in {{ Ma:Vergleichskette/disp |u_1^* || ae_1^* + be_2^* || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. in {{ Ma:Vergleichskette |u_2^* || ce_1^* + de_2^* || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} die Koeffizienten {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= c|SZ=}} und {{math|term= d|SZ=}} |ISZ=|ESZ= }} bestimmen. Dabei ist {{ mathkor|term1= a = u_1^*(e_1) |und|term2= b = u_1^*(e_2) |SZ=. }} Um dies berechnen zu können, müssen wir {{ mathkor|term1= e_1 |und|term2= e_2 |SZ= }} als Linearkombination der {{ mathkor|term1= u_1 |und|term2= u_2 |SZ= }} ausdrücken. Dies ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |e_1 || {{op:Bruch|3|7}} {{op:Spaltenvektor|2|1}} - {{op:Bruch|1|7}} {{op:Spaltenvektor|-1|3}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |e_2 || {{op:Bruch|1|7}} {{op:Spaltenvektor|2|1}} + {{op:Bruch|2|7}} {{op:Spaltenvektor|-1|3}} || || || |SZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |a || u_1^*(e_1) || u_1^* {{makl| {{op:Bruch|3|7}} u_1 - {{op:Bruch|1|7}} u_2 }} ||{{op:Bruch|3|7}} || |SZ= }} und entsprechend {{ Ma:Vergleichskette/disp |b ||u_1^*(e_2) || u_1^* {{makl| {{op:Bruch|1|7}} u_1 + {{op:Bruch|2|7}} u_2 }} ||{{op:Bruch|1|7}} || || || || |SZ= }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | u_1^* ||{{op:Bruch|3|7}} e_1^* + {{op:Bruch|1|7}} e_2^* || || || |SZ=. }} Mit den gleichen Rechnungen ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | u_2^* || - {{op:Bruch|1|7}} e_1^* + {{op:Bruch|2|7}} e_2^* || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= u^* |SZ=}} zu {{mathl|term= e^* |SZ=}} ist daher {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Übergangsmatrix| u^*|e^* }} || {{op:Matrix22| {{op:Bruch|3|7}} | - {{op:Bruch|1|7}} | {{op:Bruch|1|7}} |{{op:Bruch|2|7}} | }} || || || |SZ=. }} Die transponierte Matrix davon ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:transponiert| {{makl| {{op:Übergangsmatrix| u^*|e^* }} |}} ||}} || {{op:Matrix22| {{op:Bruch|3|7}} | {{op:Bruch|1|7}} | - {{op:Bruch|1|7}} |{{op:Bruch|2|7}} | }} || {{op:Matrix22| 2|-1|1|3 }}^{-1} || {{makl| {{op:Übergangsmatrix|u|e}} |}}^{-1} || |SZ=. }} Die umgekehrte Aufgabe, die Standarddualbasis durch {{ mathkor|term1= u_1^* |und|term2= u_2^* |SZ= }} auszudrücken, ist einfacher zu lösen, da man dies aus der Darstellung der {{math|term= u_i|SZ=}} bezüglich der Standardbasis direkt ablesen kann. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |e_1^* || 2u_1^* + u_2^* || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |e_2^* || - u_1^* + 3 u_2^* || || || |SZ=, }} wie man überprüft, wenn man beidseitig an {{mathl|term= u_1,u_2|SZ=}} auswertet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rm314aci17uf905t7rizqjt5vetbt8n 0 75130 786365 759440 2022-08-22T11:13:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} die Vektoren {{mathl|term= u_1^*,u_2^*|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Basis {{mathl|term= u_1 = {{op:Spaltenvektor|1|3}},\, u_2 = {{op:Spaltenvektor|2|-5}} |SZ=}} im {{math|term= \R^2|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Linearkombinationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der Standarddualbasis {{mathl|term= e_1^*,e_2^*|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pbhxjcs094pu8yj1mnr1vnoymdhfavr 0 75131 786367 759442 2022-08-22T11:13:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} die Vektoren {{mathl|term= u_1^*,u_2^*|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Basis {{mathl|term= u_1 = {{op:Spaltenvektor|4|7}},\, u_2 = {{op:Spaltenvektor|6|-1}} |SZ=}} im {{math|term= \R^2|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Linearkombinationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der Standarddualbasis {{mathl|term= e_1^*,e_2^*|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bwd7kxmty7ewjsx7clxs7re95rw50gg 0 75132 786380 759455 2022-08-22T11:15:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} die Vektoren {{mathl|term= u_1^*,u_2^*,u_3^*|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Basis {{mathl|term= u_1 = {{op:Spaltenvektor|4|-2|1}},\, u_2 = {{op:Spaltenvektor|5|3|2}} ,\, u_3 = {{op:Spaltenvektor|0|-1|7}} |SZ=}} im {{math|term= \R^3|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Linearkombinationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der Standarddualbasis {{mathl|term= e_1^*, e_2^*, e_3^*|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h2vsrz010s7axbqseww79omi8a65idv 0 75133 786366 759441 2022-08-22T11:13:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} die Vektoren {{mathl|term= e_1^*,e_2^*|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Standarddualbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Linearkombinationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= u_1^*,u_2^*|SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= u_1 = {{op:Spaltenvektor|1|4}}\, , u_2= {{op:Spaltenvektor|-2|2}} |SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s9pauqnu4xxut1jobaohrxoc04s1fn6 0 75134 786386 759464 2022-08-22T11:16:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalraum| |Kontext=dual| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= \R {{op:Spaltenvektor|5|-4|1}} \subseteq \R^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ic376cpngyil0vopqp32ea31rb1jtgy 0 75135 781054 755113 2022-08-21T20:51:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=eeVR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} und {{ Definitionslink |Prämath= |Bidual| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Dualraum|{{op:Dualraum|V|}} |}} |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= F \subseteq {{op:Dualraum|V|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die beiden Orthogonalräume {{mathl|term= {{op:Orthogonalraum|F|}} \subseteq V |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Untervektorraum im Dualraum/Orthogonalraum/Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und {{mathl|term= {{op:Orthogonalraum|F|}} \subseteq {{op:Dualraum|{{op:Dualraum|V|}} |}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Untervektorraum/Orthogonalraum im Dualraum/Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} über die natürliche Identifizierung von Raum und Bidual gleich sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oed5jaymgk6head9cbsaz6ccb2dv65x 0 75136 781450 755462 2022-08-21T21:57:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||\R^{(\N)} || || || |SZ= }} die abzählbar direkte Summe von {{math|term= \R|SZ=}} mit sich selbst mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= e_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=. }} Es seien {{ mathbed|term= p_k ||bedterm1= k \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} die Projektionen {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^{(\N )}| \R | \sum_{n \in \N} a_n e_n |a_k |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |V|\R |\sum_{n \in \N} a_n e_n| \sum_{n \in \N} a_n |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=}} ist, die keine Linearkombination der Projektionen ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass die natürliche Abbildung von {{math|term= V|SZ=}} in sein {{ Definitionslink |Prämath= |Bidual| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Dualraum|{{op:Dualraum|V|}}|}} |SZ=}} nicht surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hp3xw1atzub5yllx99kazmt6e7twncz 0 75147 781280 700543 2022-08-21T21:28:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine quadratische Matrix, die man als {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Matrix22|A|B|C|D}} || || || |SZ= }} mit quadratischen Matrizen {{ mathkor|term1= A,B,C |und|term2= D |SZ= }} schreiben kann. Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante|M|}} || {{op:Determinante|A|}} \cdot {{op:Determinante|D|}} - {{op:Determinante|B|}} \cdot {{op:Determinante|C|}} || || || |SZ= }} im Allgemeinen nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l336hcup9kk5p0d49m49y4gzb5546p0 0 75153 780017 748836 2022-08-21T17:58:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= v_i,\, i \in I|SZ=,}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Zu einer Teilmenge {{mathl|term= J \subseteq I|SZ=}} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_J || {{op:Span|v_i|i \in J|}} || || || |SZ= }} der zu {{math|term= J|SZ=}} gehörende {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= p_J |V|V |\sum_{i \in I} a_iv_i | \sum_{i \in J} a_iv_i |SZ=, }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion| |Kontext=idempotent| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Das Bild dieser Projektion ist {{math|term= V_J|SZ=}} und man kann die Abbildung auch als {{ Ma:abbele/disp |name=p_J |V|V_J || |SZ= }} auffassen. Auf {{math|term= V_J|SZ=}} liegt die Identität vor. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kern|p_J|}} || {{op:Span|v_i|i \not\in J|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l2kp24tg5mdqois5560zwn44m6yuqct 0 75155 779850 763788 2022-08-21T17:31:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für den {{math|term= \R^3|SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} ergeben sich {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Vektorraum/Basis/Teilfamilie/Projektion/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} betrachtet man die zweielementigen Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette |J |\subset| \{1,2,3\} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} drei verschiedene Projektionen{{{zusatz1|}}} auf die Koordinaten{{latextrenn}}ebenen. Man nennt {{ Ma:abbele/disp |name=p_{\{1,2\} } |\R^3| \R^3 |(a,b,c)| (a,b,0) |SZ=, }} die Projektion auf die Grundebene, {{ Ma:abbele/disp |name=p_{\{1,3\} } |\R^3| \R^3 |(a,b,c)| (a,0,c) |SZ=, }} die Projektion auf die Aufebene, {{ Ma:abbele/disp |name=p_{\{2,3\} } |\R^3| \R^3 |(a,b,c)| (0,b,c) |SZ=, }} die Projektion auf die Kreuzebene {{ Zusatz/Klammer |text=oder Seitenebene| |ISZ=|ESZ=. }} Die Bilder eines Gegenstandes im {{math|term= \R^3|SZ=}} unter diesen Projektionen heißen auch Grundriss, Aufriss und Kreuzriss. Zu den einelementigen Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette | \{j\} |\subseteq| \{1,2,3\} || || || |SZ= }} gehören die Projektionen auf die Achsen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gktduqtsng66ka8fsvp9ssx53rzjz1f 0 75157 779849 763786 2022-08-21T17:30:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Schrägbild eines Würfels|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=WissensDürster |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} In vielen Situationen soll ein Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise ein Würfel| |ISZ=|ESZ= }} im Raum {{math|term= \R^3|SZ=}}in einer Ebene {{math|term= \R^2|SZ=}} dargestellt werden. Eine Möglichkeit ergibt sich mit Hilfe einer {{Stichwort|Parallelprojektion|SZ=.}} Dabei handelt es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^3| \R^2 || |SZ= }} die bezüglich der Standardbasen {{mathl|term= e_1,e_2,e_3|SZ=}} bzw. {{mathl|term= f_1,f_2|SZ=}} durch {{ math/disp|term= e_1 \longmapsto f_1, \, e_2 \longmapsto a f_1 + b f_2, \, e_3 \longmapsto f_2 |SZ= }} gegeben ist, wobei die Koeffizienten {{mathl|term= a,b|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|Tiefenschrägen}}| |ISZ=|ESZ= }} typischerweise im Bereich {{mathl|term= [ {{op:Bruch|1|3}}, {{op:Bruch|1|2}} ] |SZ=}} gewählt werden. Die Linearität wirkt sich dahingehend aus, dass parallele Geraden in parallele Geraden überführt werden {{ Zusatz/Klammer |text=oder Punkte werden| |ISZ=|ESZ=. }} Der Punkt {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=}} wird dabei auf {{mathl|term= (x+ a y,b y+z)|SZ=}} abgebildet. Das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Objektes unter einer solchen linearen Abbildung nennt man ein {{Stichwort|Schrägbild|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1c11cdpnhtzkgktiibx93dyn5akl06t 0 75178 778657 762576 2022-08-21T12:36:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1). Sei {{mathl|term= v \in {{op:Orthogonales Komplement|U|}} |SZ=}} und {{mathl|term= u \in U|SZ=.}} Wegen der Invarianz von {{math|term= U|SZ=}} ist auch {{mathl|term= \varphi(u) \in U|SZ=.}} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt| \varphi(v)|u}} || {{op:Skalarprodukt| v|\varphi(u)}} || 0 || || |SZ=. }} Also steht {{mathl|term= \varphi(v)|SZ=}} senkrecht auf {{math|term= U|SZ=}} und gehört damit zu {{mathl|term= {{op:Orthogonales Komplement|U|}}|SZ=,}} was dessen Invarianz bedeutet. (2). Dies ist nur bei {{ Ma:Vergleichskette | {{KRC|}} || {{CC}} || || || |SZ= }} relevant. Sei {{mathl|term= \lambda \in {{CC}}|SZ=}} ein Eigenwert und {{mathl|term= v \in V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(v) || \lambda v || || || |SZ=. }} Wir können diesen Eigenvektor als normiert annehmen. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda || {{op:Skalarprodukt|\lambda v |v}} || {{op:Skalarprodukt| \varphi(v)|v}} || {{op:Skalarprodukt|v| \varphi(v) }} ||{{op:Skalarprodukt|v| \lambda v }} || {{op:Komplexe Konjugation|\lambda|}} |SZ=, }} also ist {{math|term= \lambda|SZ=}} reell. (3). Sei {{math|term= v_1|SZ=}} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term= \lambda_1|SZ=}} und {{math|term= v_2|SZ=}} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{ Ma:Vergleichskette | \lambda_2 |\neq| \lambda_1 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda_1 {{op:Skalarprodukt| v_1 |v_2}} || {{op:Skalarprodukt| \lambda_1 v_1 |v_2}} || {{op:Skalarprodukt| \varphi( v_1) |v_2}} || {{op:Skalarprodukt| v_1 | \varphi(v_2) }} || {{op:Skalarprodukt| v_1 | \lambda_2(v_2) }} || {{op:Komplexe Konjugation|\lambda_2||}} {{op:Skalarprodukt| v_1 | v_2 }} || \lambda_2 {{op:Skalarprodukt| v_1 | v_2 }} |SZ=. }} Dies ist nur bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt| v_1 |v_2}} || 0 || || || |SZ= }} möglich. (4). Wir können annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette |V || {{KRC|}}^n || || || |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. Bei {{ Ma:Vergleichskette |{{KRC}} ||{{CC}} || || || |SZ= }} ist die Aussage bekannt, sei also {{ Ma:Vergleichskette |{{KRC}} ||\R || || || |SZ=. }} Wir können die Abbildung auch als Abbildung von {{math|term= {{CC}}^n|SZ=}} nach {{math|term= {{CC}}^n|SZ=}} auffassen, wobei die Selbstadjungiertheit erhalten bleibt und wobei sich das charakteristische Polynom nicht ändert. Es zerfällt daher in Linearfaktoren, wobei die Nullstellen nach (2) reell sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 26etxro7nuwwodm7exhg01iulnsqjcr 0 75180 778658 762577 2022-08-21T12:36:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über die Dimension von {{math|term= V|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Eigentheorie/Fakt |Nr=4 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt {{math|term= \varphi|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= v|SZ=,}} den wir als normiert voraussetzen können, und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Eigentheorie/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |W || {{op:Orthogonales Komplement| {{KRC}} v|}} || || || |SZ= }} dazu ebenfalls invariant. Daher liegt eine direkte Summenzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || {{KRC|}} v \oplus W || || || |SZ= }} vor. Die Einschränkung von {{math|term= \varphi|SZ=}} auf {{math|term= W|SZ=}} ist ebenfalls selbstadjungiert und daher liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4x8o2dtkw39gfnar3v87k0upr0luu1d 0 75188 778691 762609 2022-08-21T12:41:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1). Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align | \psi_\varphi (av_1 +b v_2,w) || {{op:Skalarprodukt| \varphi(a v_1+b v_2)|w}} || {{op:Skalarprodukt| a \varphi(v_1)+b \varphi(v_2)|w}} || a {{op:Skalarprodukt| \varphi(v_1)|w}} + b {{op:Skalarprodukt| \varphi(v_2)|w}} || a \psi_\varphi (v_1,w) + b \psi_\varphi (v_2,w) |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/align | \psi_\varphi ( v ,a w_1 +b w_2) || {{op:Skalarprodukt| \varphi(v)|aw_1 +b w_2 }} || {{op:Komplexe Konjugation|a||}} {{op:Skalarprodukt| \varphi(v)| w_1}} + {{op:Komplexe Konjugation|b||}} {{op:Skalarprodukt| \varphi(v)|w_2}} || {{op:Komplexe Konjugation|a||}} \psi_\varphi (v,w_1) + {{op:Komplexe Konjugation|b||}} \psi_\varphi (v,w_2) |SZ=, }} also ist die Zuordnung in der ersten Komponente linear und in der zweiten Komponente semilinear. Daher ist {{mathl|term= \Psi_\varphi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Sesquilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} (2). Die Linearität ergibt sich aus der Linearität des Skalarproduktes in der ersten Komponente. Im endlichdimensionalen Fall stehen links und rechts Vektorräume der Dimension {{mathl|term= {{makl| {{op:dim vr|V|}} |}}^2 |SZ=,}} es genügt also, die Injektivität zu zeigen. Bei {{ Ma:Vergleichskette |\Psi_\varphi ||0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Skalarprodukt| \varphi(v)|w}} ||0 || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= v,w|SZ=,}} so dass insbesondere {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Skalarprodukt| \varphi(v)| \varphi(v) }} ||0 || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(v) ||0 || || || |SZ= }} gilt. (3). Wenn {{math|term= \varphi|SZ=}} nicht bijektiv ist, so sei {{mathl|term= v \in {{op:Kern|\varphi|}} |SZ=,}} {{mathl|term= v \neq 0|SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= \Psi_\varphi(v, -)|SZ=}} die Nullabbildung in der zweiten Komponente und die Form ist ausgeartet. Sei umgekehrt {{mathl|term= \Psi_\varphi(-,-)|SZ=}} ausgeartet. Dann gibt es einen Vektor {{ mathbed|term= v \in V ||bedterm1= v \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} derart, dass {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|\varphi(v)|-}} |SZ=}} die Nullabbildung ist. Da ein Skalarprodukt nicht ausgeartet ist, folgt {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(v) ||0 || || || |SZ= }} und damit ist {{math|term= \varphi|SZ=}} nicht bijektiv. (4). Im selbstadjungierten Fall ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Psi_\varphi (v,w) || {{op:Skalarprodukt|\varphi(v)|w}} || {{op:Skalarprodukt|v|\varphi(w)}} || {{op:Komplexe Konjugation| {{op:Skalarprodukt|\varphi(w)|v}} ||}} || {{op:Komplexe Konjugation|\Psi_\varphi (w,v)||}} |SZ=. }} Die Umkehrung folgt aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|\varphi(v)|w}} || \Psi_\varphi (v,w) || {{op:Komplexe Konjugation|\Psi_\varphi (w,v)||}} || {{op:Komplexe Konjugation| {{op:Skalarprodukt|\varphi(w)|v}} ||}} || {{op:Skalarprodukt|v|\varphi(w)}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} imv8z44pq3zld62cc82dwatt4kugnmt 0 75207 782824 756595 2022-08-22T01:46:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= \varphi_1 {{kommadots|}} \varphi_k \in {{op:Hom|V|W}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Rang| {{makl| \varphi_1 {{plusdots|}} \varphi_k |}} |}} |\leq| \sum_{i {{=}} 1}^k {{op:Rang| \varphi_i |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bpsx6rs393c50oioqlcudqroi1px3zp 0 75211 784000 757623 2022-08-22T05:02:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |linear-magischen Quadrate| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Länge {{math|term= n|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Raum aller {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2=Theorie der magischen Quadrate |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t81gpil3hj1im9sboda3c5sradx2own 0 75212 783999 757622 2022-08-22T05:02:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Raumes aller {{ Definitionslink |Prämath= |linear-magischen Quadrate| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Länge {{math|term= n|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2=Theorie der magischen Quadrate |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4s0gxqb46la6htfig2up8bfqvmcsk79 0 75217 780060 763872 2022-08-21T18:04:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zwei {{ Zusatz/Klammer |text=affine| |ISZ=|ESZ= }} Geraden {{mathl|term= G,H \subseteq \R^3|SZ=}} heißen windschief, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und auch nicht parallel sind, ihre Richtungsvektoren also nicht linear abhängig sind. Dann erzeugen die Richtungsvektoren eine Ebene, und auf dieser Ebene steht ein {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Streckung eindeutiger| |ISZ=|ESZ= }} Vektor {{math|term= u|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |senkrecht| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Einen solchen normierten Vektor, den {{Stichwort|Normalenvektor|SZ=,}} kann man mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} berechnen. Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |G ||P+ \R v || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |H ||Q+ \R w || || || |SZ=. }} Wir können die Situation verschieben und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q ||0 || || || |SZ= }} annehmen. Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2|a_3}} || || || |SZ=. }} Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten {{ Ma:Vergleichskette/disp |P' || {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2|a_3}} + s {{op:Spaltenvektor|v_1|v_2|v_3}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q' ||t {{op:Spaltenvektor|w_1|w_2|w_3}} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | d(P',Q')^2 || {{makl| a_1 +sv_1 -tw_1 |}}^2 + {{makl| a_2 +sv_2 -tw_2 |}}^2 + {{makl| a_3 +sv_3 -tw_3 |}}^2 || a_1^2 + s^2v_1^2 + t^2w_1^2 + 2sa_1v_1 -2ta_1w_1 -2stv_1w_1 + a_2^2 + s^2v_2^2 + t^2w_2^2 + 2sa_2v_2 -2ta_2w_2-2stv_2w_2 + a_3^2 + s^2v_3^2 + t^2w_3^2 + 2sa_3v_3 -2ta_3w_3 -2stv_3w_3 || a_1^2+a_2^2+a_3^2 + 2s {{makl|a_1v_1 + a_2v_2 +a_3v_3 |}} - 2t {{makl|a_1 w_1 + a_2w_2 +a_3w_3 |}} +s^2 {{makl|v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 |}} +t^2 {{makl|w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 |}} -2st {{makl|v_1w_1 + v_2w_2 +v_3w_3 |}} || |SZ=. }} Diesen Ausdruck kann man mit Mitteln der Analysis 2 interpretieren. Wir betrachten die durch die Geraden gegebenen Daten als fixierte Parameter, so dass ein reellwertiger funktionaler Ausdruck {{mathl|term= f(s,t)|SZ=}} in den beiden reellen Variablen {{ mathkor|term1= s |und|term2= t |SZ= }} vorliegt, für den Extrema zu bestimmen sind. Die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Partielle Ableitung|f|s}} || 2 {{makl|a_1v_1 + a_2v_2 +a_3v_3 |}}+ 2s {{makl|v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 |}} -2t {{makl|v_1w_1 + v_2w_2 +v_3w_3 |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Partielle Ableitung|f|t}} || 2 {{makl|a_1w_1 + a_2w_2 +a_3w_3 |}}+ 2t {{makl| w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 |}} -2s {{makl|v_1w_1 + v_2w_2 +v_3w_3 |}} || || || |SZ=. }} Wenn wir diese gleich {{math|term= 0|SZ=}} setzen, so erhalten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Variablen {{ mathkor|term1= s |und|term2= t |SZ=. }} Mit {{ Faktlink |Präwort=der|Cramerschen Regel|Faktseitenname= Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp | s || {{op:Bruch| {{op:Determinante|{{op:Matrix22| - a_1v_1 - a_2v_2 -a_3v_3 |-v_1w_1 -v_2w_2 -v_3w_3|- a_1 w_1 - a_2 w_2 -a_3 w_3 | w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 }} |}} | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 | -v_1w_1 -v_2w_2 -v_3w_3 |- v_1w_1 - v_2w_2 -v_3w_3 | w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 }} |}} }} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |t || {{op:Bruch| {{op:Determinante| {{op:Matrix22| v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 | - a_1v_1 - a_2v_2 -a_3v_3 | - v_1w_1 - v_2w_2 -v_3w_3 |-a_1w_1 -a_2w_2 -a_3w_3| }} |}} | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 |-v_1w_1 -v_2w_2 -v_3w_3|- v_1w_1 - v_2w_2 -v_3w_3 | w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 }} |}} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} imhohti7dbyv0wuntw35ht423p8k0zr 0 75295 778674 762594 2022-08-21T12:39:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} gegeben und {{mathl|term= w \in V|SZ=}} fixiert. Dann ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |V| {{KRC|}} |v| {{op:Skalarprodukt| \varphi(v)|w}} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=.}} Daher gibt es {{ Zusatz/Klammer |text=nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} im reellen Fall, für den komplexen Fall siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Komplexes Skalarprodukt/Linearform/Links- und Rechtsgradient/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} einen durch {{math|term= \varphi|SZ=}} und {{math|term= w|SZ=}} eindeutig bestimmten {{ Definitionslink |Prämath= |Rechtsgradienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |r || {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w) || || || |SZ= }} aus {{math|term= V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|v| {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w) }} || {{op:Skalarprodukt|\varphi(v)| w }} || || || |SZ=. }} Wir müssen zeigen, dass die Zuordnung {{math/disp|term=w \longmapsto {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w) |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Skalarprodukt|v | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w_1+w_2) }} || {{op:Skalarprodukt|\varphi(v) | w_1+w_2 }} || {{op:Skalarprodukt|\varphi(v) | w_1 }} + {{op:Skalarprodukt|\varphi(v) |w_2 }} || {{op:Skalarprodukt|v | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w_1) }} + {{op:Skalarprodukt|v | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w_2) }} ||{{op:Skalarprodukt|v | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w_1) + {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w_2) }} |SZ=. }} Da dies für alle {{mathl|term= v \in V|SZ=}} gilt, muss {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w_1+w_2) || {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w_1) + {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w_2) || || || |SZ= }} sein. Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Skalarprodukt|v | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (s w ) }} || {{op:Skalarprodukt|\varphi(v) | sw }} || {{op:Komplexe Konjugation|s|}} {{op:Skalarprodukt|\varphi(v) | w }} || {{op:Komplexe Konjugation|s|}} {{op:Skalarprodukt|v | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w) }} ||{{op:Skalarprodukt|v | s {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w) }} |SZ=. }} Da dies für alle {{mathl|term= v \in V|SZ=}} gilt, ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (s w) || s {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w) || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q2lektnt854k8xunuajsnvorn8uaqp4 0 75297 778675 762595 2022-08-21T12:39:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} die Orthonormalbasis und es seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || (a_{ij})_{ij} || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp |N || (b_{ij})_{ij} || || || |SZ= }} die Matrizen von {{math|term= \varphi|SZ=}} bzw. {{math|term= {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} |SZ=}} bezüglich dieser Basis. Dann ist insbesondere {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi (u_i) || \sum_{ k {{=}} 1}^n a_{ki} u_k || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (u_i) || \sum_{ k {{=}} 1}^n b_{ki} u_k || || || |SZ=. }} Aufgrund der Adjungiertheit gilt die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/align | a_{ji} || \sum_{ k {{=}} 1}^n a_{k i} {{op:Skalarprodukt| u_k | u_j }} || {{op:Skalarprodukt| \sum_{ k {{=}} 1}^n a_{ki} u_k | u_j }} || {{op:Skalarprodukt| \varphi (u_i) | u_j }} || {{op:Skalarprodukt| u_i | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (u_j) }} || {{op:Skalarprodukt| u_i | \sum_{ k {{=}} 1}^n b_{kj} u_k }} || {{op:Skalarprodukt| u_i | b_{ij} u_i }} || {{op:Komplexe Konjugation| b_{ij}|}} |SZ=. }} D.h. {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:transponiert| {{op:Komplexe Konjugation| N|}} }} || M || || || |SZ= }} und umgekehrt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fwdfnbm3ctr3hq5ufx4gizwgid0fasw 0 75299 778656 762574 2022-08-21T12:36:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wenn {{math|term= \varphi|SZ=}} selbstadjungiert ist, so folgt die Aussage aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Matrix/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wenn umgekehrt {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich einer Orthonormalbasis durch eine hermitesche Matrix {{math|term= M|SZ=}} beschrieben wird, so wird, wiederum nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Matrix/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} der adjungierte Endomorphismus {{math|term= {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} |SZ=}} bezüglich der Basis durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:transponiert| {{op:Komplexe Konjugation| M|}} }} ||M || || || |SZ= }} beschrieben, stimmt also mit {{math|term= \varphi|SZ=}} überein. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l2mcw1o5sfd0puh6b3xchd3lbo6qj1p 0 75302 778429 762384 2022-08-21T12:01:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||c_1u_1 + c_2u_2+c_3u_3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y ||d_1u_1 + d_2u_2+d_3u_3 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |x \times y || (c_1u_1 + c_2u_2+c_3u_3) \times (d_1u_1 + d_2u_2+d_3u_3) || \sum_{1 \leq i,j \leq 3} c_id_j {{makl| u_i \times u_j |}} || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |u_i \times u_i ||0 || || || |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |u_i \times u_j || - u_j \times u_i || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt |Nr=6 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} steht {{mathl|term= u_1 \times u_2 |SZ=}} senkrecht auf {{math|term= u_1|SZ=}} und {{math|term= u_2|SZ=,}} daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |u_1 \times u_2 || \lambda u_3 || || || |SZ= }} mit einem {{mathl|term= \lambda \in \R|SZ=,}} da diese Orthogonalitätsbedingung eine Gerade definiert. Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt |Nr=5 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und der Voraussetzung ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda || {{op:Skalarprodukt| \lambda u_3| u_3 }} || {{op:Skalarprodukt|u_1 \times u_2| u_3 }} || {{op:Determinante(| u_1, \, u_2, \, u_3|}} || 1 |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |u_1 \times u_2 || u_3 || || || |SZ=. }} Ebenso ergibt sich, unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Determinantenfunktion/Verhalten bei Zeilenumformungen/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |u_1 \times u_3 ||- u_2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |u_2 \times u_3 || u_1 || || || |SZ=. }} Somit ist insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |x \times y || \sum_{1 \leq i,j \leq 3} c_id_j {{makl| u_i \times u_j |}} || \sum_{i < j} (c_id_j -c_jd_i) {{makl| u_i \times u_j |}} ||(c_1d_2 -c_2d_1) u_3 - (c_1d_3 -c_3d_1) u_2 + (c_2d_3 - c_3d_2) u_1 || || |SZ= }} und dies ist die Behauptung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} apdi85p1zj8kt6quxoro1wuw4i3g3zv 0 75312 778681 762600 2022-08-21T12:40:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|\varphi (v) | \varphi (w) }} || {{op:Skalarprodukt|v | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} ( \varphi (w) )}} || {{op:Skalarprodukt|v | ( {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} \circ \varphi ) (w) )}} || || |SZ= }} und unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt| {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (v) | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w) }} || {{op:Skalarprodukt| v | \varphi( {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w)) }} || {{op:Skalarprodukt| v | ( \varphi \circ {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} ) (w) )}} || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= \varphi|SZ=}} und {{math|term= {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}}|SZ=}} vertauschen, so gilt also auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt| {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (v) | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w) }} || {{op:Skalarprodukt|\varphi (v) | \varphi (w) }} || || || |SZ= }} für beliebige {{mathl|term= v,w \in V|SZ=.}} Wenn dies umgekehrt gilt, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|v | ( {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} \circ \varphi ) (w) )}} || {{op:Skalarprodukt|v | ( \varphi \circ {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} ) (w) )}} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= v \in V|SZ=}} und daher sind die Endomorphismen vertauschbar. Daher sind (1) und (2) äquivalent. Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Umgekehrt kann man aus (3) auch (2) gewinnen, da man das Skalarprodukt {{ Faktlink |Präwort=gemäß der|Polarisationsformel|Faktseitenname= Skalarprodukt/K/Polarisationsformel mit Norm/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} aus der Norm erhalten kann. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4cg53atnr64atiequvo6zo9w647nb2x 0 75317 778680 762599 2022-08-21T12:40:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= U|SZ=}} invariant unter {{math|term= \varphi|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= u \in U|SZ=}} und {{mathl|term= v \in {{op:Orthogonales Komplement|U|}} |SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|u| {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (v) }} || {{op:Skalarprodukt| \varphi(u )| v }} || 0 || || |SZ=. }} Die Umkehrung ergibt sich daraus, dass die Situation wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/K/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} symmetrisch ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdcc9nehxf6675tkaau0r1qng43nbhf 0 75323 778683 762601 2022-08-21T12:40:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi | {{defeq|}} | \varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} || || || |SZ=, }} dessen Kern der {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} zum Eigenwert {{math|term= \lambda|SZ=}} ist. Der {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierte Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \psi|SZ=}} ist unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\psi|}} || {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} - {{op:Adjungierter Endomorphismus(|\lambda {{op:Identität|V|}} |}} || {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} - {{op:Komplexe Konjugation|\lambda|}} {{op:Adjungierter Endomorphismus(| {{op:Identität|V|}} |}} || {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} - {{op:Komplexe Konjugation|\lambda|}} {{op:Identität|V|}} || |SZ=. }} Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Endomorphismus/Normal/Summe mit Streckung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist auch {{math|term= \psi|SZ=}} normal und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Kern/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} || {{op:Kern| {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} |}} |}} || {{op:Kern| {{makl| {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} - {{op:Komplexe Konjugation|\lambda|}} {{op:Identität|V|}} |}} |}} || {{op:Eigenraum|{{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} |{{op:Komplexe Konjugation|\lambda|}} }} || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k92skl6mfj2q0dz4eddcnfjo8pfy6zd 0 75325 778665 762586 2022-08-21T12:37:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei zunächst {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=,}} wobei die {{math|term= u_i|SZ=}} Eigenvektoren zu {{math|term= \varphi|SZ=}} seien. Die beschreibende Matrix {{math|term= M|SZ=}} ist dann eine Diagonalmatrix, deren Diagonaleinträge die Eigenwerte sind. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Matrix/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wird der {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierte Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch die konjugiert-transponierte Matrix beschrieben. Daher ist diese ebenfalls eine Diagonalmatrix und damit mit {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |vertauschbar| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Also ist {{math|term= \varphi|SZ=}} normal. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über die Dimension von {{math|term= V|SZ=.}} Sei also {{math|term= \varphi|SZ=}} normal. Der eindimensionale Fall ist klar. Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Fundamentalsatzes der Algebra|Faktseitenname= Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v \in V|SZ=}} von {{math|term= \varphi|SZ=,}} den wir als normiert annehmen können. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Eigenwerte/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= v|SZ=}} auch ein Eigenvektor zu {{math|term= {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} |SZ=.}} Daraus folgt mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/K/Endlichdimensional/Endomorphismus/Invariante Unterräume/Orthogonales Komplement/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{ Ma:Vergleichskette |W || {{op:Orthogonales Komplement|{{CC}} v|}} || || || |SZ= }} invariant unter {{math|term= \varphi|SZ=}} ist. Die Einschränkung von {{math|term= \varphi|SZ=}} auf {{math|term= W|SZ=}} ist wieder normal und die Induktionsvoraussetzung liefert die Behauptung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k52ad5pygaf6vhv5pjfyl0bfrrwoqca 0 75447 778624 762540 2022-08-21T12:31:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir machen {{math|term= U|SZ=}} zum Ursprungspunkt, so dass die Punkte {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} die gleiche Norm besitzen. Der in Frage stehende Punkt ist dann {{mathl|term= A+B+C|SZ=.}} Die durch diesen Punkt und {{math|term= A|SZ=}} gegebene Gerade hat den Richtungsvektor {{mathl|term= B+C|SZ=.}} Sie verläuft durch {{math|term= A|SZ=}} und es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|B+C|B-C}} || {{op:Skalarprodukt|B|B}} - {{op:Skalarprodukt|C|C}} || || || |SZ=. }} Wegen der Normgleichheit ist dies {{math|term= 0|SZ=,}} also handelt es sich um die Höhengerade durch {{math|term= A|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gvx2tspy11bjitl4ubus67cans6y12o 0 75484 779407 763490 2022-08-21T16:23:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= {{KRC|}}^n |SZ=}} ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|x|}}_{\rm max} | {{defeq|}} | {{op:max| {{op:Betrag|x_i|}} |i {{=}} 1 {{kommadots|}} n}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert, die die {{Stichwort|Maximumsnorm|SZ=}} heißt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i9b1d2t9ua0d7b47vkvzcixq7yo2doo 0 75487 779409 763494 2022-08-21T16:23:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= {{KRC|}}^n |SZ=}} ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Summennorm|x|}} | {{defeq|}} | \sum_{i {{=}} 1}^n {{op:Betrag|x_i|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert, die die {{Stichwort|Summennorm|SZ=}} heißt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o6kxjyudr7gi75ebw8li4sy9ty54fai 0 75490 786560 759587 2022-08-22T11:45:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} und der zugehörigen {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Norm|-|}} |SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass bei {{ Ma:Vergleichskette | {{KRC|}} || \R || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|v|w}} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:Norm|v+w|}}^2 - {{op:Norm|v|}}^2 - {{op:Norm|w|}}^2 |}} || || || |SZ= }} gilt. b) Zeige{{n Sie}}, dass bei {{ Ma:Vergleichskette | {{KRC|}} || {{CC}} || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|v|w}} || {{op:Bruch|1|4}} {{makl| {{op:Norm|v+w|}}^2 - {{op:Norm|v-w|}}^2 + {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Norm|v+ {{Imaginäre Einheit|}}w|}}^2 - {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Norm|v- {{Imaginäre Einheit|}} w|}}^2 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0qgd7ux9ultznlsnm2qz9q5twx3pkiz 0 75498 778654 762572 2022-08-21T12:35:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Induktionsbeweis |Strategie= Die Aussage wird durch Induktion über {{math|term= i|SZ=}} bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. |Anfang= Für {{ Ma:Vergleichskette |i ||1 || || || |SZ= }} muss man lediglich {{math|term= v_1|SZ=}} normieren, also durch {{ Ma:Vergleichskette | u_1 || {{op:Bruch|v_1| {{op:Norm|v_1|}} }} || || || |SZ= }} ersetzen. |Schluss= Sei die Aussage für {{math|term= i|SZ=}} schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_i |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Span|u_1 {{kommadots|}} u_i |}} || {{op:Span|v_1 {{kommadots|}} v_i}} || || || |SZ= }} bereits konstruiert. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | w_{i+1} || v_{i+1} - {{op:Skalarprodukt|v_{i+1}|u_1}} u_1 {{minusdots|}} {{op:Skalarprodukt|v_{i+1}|u_i}} u_i || || || |SZ=. }} Dieser Vektor steht wegen {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Skalarprodukt |w_{i+1}|u_j }} || {{op:Skalarprodukt |v_{i+1} - {{op:Skalarprodukt|v_{i+1}|u_1}} u_1 {{minusdots|}} {{op:Skalarprodukt|v_{i+1}|u_i}} u_i|u_j }} ||{{op:Skalarprodukt |v_{i+1}|u_j }} - \sum_{k \leq i, k \neq j} {{op:Skalarprodukt|v_{i+1}|u_k}} {{op:Skalarprodukt|u_k |u_j}} - {{op:Skalarprodukt|v_{i+1}|u_j}} {{op:Skalarprodukt| u_j|u_j }} ||{{op:Skalarprodukt |v_{i+1}|u_j }} - {{op:Skalarprodukt |v_{i+1}|u_j }} ||0 |SZ= }} senkrecht auf allen {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_i|SZ=}} und offenbar ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Span|u_1 {{kommadots|}} u_i ,w_{i+1} |}} || {{op:Span|v_1 {{kommadots|}} v_i ,v_{i+1} |}} || || || |SZ=. }} Durch Normieren von {{mathl|term= w_{i+1}|SZ=}} erhält man {{mathl|term= u_{i+1}|SZ=.}} |Zusammenfassung= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 12yejmpkszzhrkduu5n7fejowar2bkr 0 75502 778655 762573 2022-08-21T12:36:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir ergänzen die Basis zu einer Orthonormalbasis {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=.}} Das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= U|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Orthogonales Komplement|U|}} || {{op:Span|u_{m+1} {{kommadots|}} u_n|}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Koeffizienten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || \sum_{i {{=}} 1}^n {{op:Skalarprodukt|v|u_i}} u_i || {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^m {{op:Skalarprodukt|v|u_i}} u_i |}} + {{makl| \sum_{i {{=}} m+1}^n {{op:Skalarprodukt|v|u_i}} u_i |}} || || |SZ=. }} Somit ist {{mathl|term= \sum_{i {{=}} 1}^m {{op:Skalarprodukt|v|u_i}} u_i|SZ=}} die Projektion auf {{math|term= U|SZ=}} längs {{math|term= {{op:Orthogonales Komplement|U|}} |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 83ykw5jouvglz1awk8h44khmyr9nue8 0 75504 778659 762579 2022-08-21T12:36:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da eine Basis vorliegt, gibt es eine eindeutige Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || \sum_{j \in I } a_j u_j || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei alle {{math|term= a_j|SZ=}} bis auf endlich viele gleich {{math|term= 0|SZ=}} sind| |ISZ=|ESZ=. }} Die Behauptung ergibt sich somit aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|v|u_i}} || {{op:Skalarprodukt| \sum_{j \in I} a_j u_j |u_i}} || \sum_{j \in I} a_j {{op:Skalarprodukt| u_j |u_i}} || a_i || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ho62pdfynu5g6b9xnjxkxcqtdic3aib 0 75506 778653 762568 2022-08-21T12:35:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aus {{mathl|term= u \in U \cap {{op:Orthogonales Komplement|U|}} |SZ=}} folgt direkt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|u|u}} || 0 || || || |SZ= }} und daher {{ Ma:Vergleichskette |u ||0 || || || |SZ=. }} Somit ist die Summe direkt. Sei {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_k|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=,}} die wir zu einer Orthonormalbasis {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n|SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} ergänzen. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Orthogonales Komplement|U|}} || {{op:Span|u_{k+1} {{kommadots|}} u_n|}} || || || |SZ= }} und somit ist {{math|term= V|SZ=}} die Summe aus den Unterräumen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gpwpc4k91csntxbie26lj2bdi1qdcep 0 75547 783804 757435 2022-08-22T04:29:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ math/disp|term= {{Mengebed|P \in K[X]|P(f) {{=}} 0}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Polynomring {{mathl|term= K[X]|SZ=}} ist, das vom {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \mu_f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugt| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2j5zcbhe6iyy54t6enl41ee8ls61vem 0 75606 779857 751976 2022-08-21T17:32:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} sind die {{ Definitionslink |Prämath= |euklidische Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Summennorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |äquivalent| |Kontext=Norm| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sei dazu {{ Ma:Vergleichskette |x || {{op:Zeilenvektor|x_1|\ldots|x_n}} |\in|\R^n || || |SZ= }} ein Vektor, wobei ohne Einschränkung {{math|term= x_1|SZ=}} betragsmäßig der größte Eintrag sei. Dann gelten die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|x|}}_{\rm max} || {{op:Betrag|x_1|}} || \sqrt{ x_1^2 } |\leq| \sqrt{ x_1^2+x_2^2 {{plusdots|}} x_n^2 } |\leq| \sqrt{ nx_1^2 } || \sqrt{n} {{op:Betrag|x_1|}} || \sqrt{n} {{op:Norm|x|}}_{\rm max} |SZ= }} und diese ergeben im Wesentlichen die Äquivalenz von euklidischer Norm und Maximumsnorm. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qk222qothbkcpuj6km2jhoi608hcj37 0 75621 778685 762604 2022-08-21T12:40:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir verwenden {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/K/Normen äquivalent/Stetigkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Norm und die Topologie hängen nur von dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ab, wir können also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{KRC|}} || \R || || || |SZ= }} annehmen. Zu einer Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n \in V|SZ=}} gibt es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n| V || |SZ= }} mit {{mathl|term= e_i \mapsto v_i|SZ=.}} Da unter dem Isomorphismus {{math|term= \varphi|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|u|}}' | {{defeq|}} | {{op:Norm| \varphi( u )|}} || || || |SZ= }} eine Norm auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} definiert wird, können wir direkt {{ Ma:Vergleichskette |V || \R^n || || || |SZ= }} annehmen. Wir vergleichen nun eine beliebige Norm auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} mit der Maximumsnorm bzw. der euklidischen Norm, von denen wir nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= R^n/Äquivalente Normen/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} schon wissen, dass sie untereinander äquivalent sind. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |v || \sum_{i {{=}} 1}^n a_i e_i || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm| v |}} || {{op:Norm| \sum_{i {{=}} 1}^n a_i e_i |}} |\leq| \sum_{i {{=}} 1}^n {{op:Norm|a_i e_i |}} || \sum_{i {{=}} 1}^n {{op:Betrag|a_i||}} \cdot {{op:Norm| e_i |}} |\leq| n \cdot {{op:max| {{op:Norm|e_i|}}|i {{=}} 1 {{kommadots||}} n |}} {{op:Norm| v |}}_{\rm max} |SZ= }} sind hinreichend kleine {{mathl|term= {{op:Norm|-|}}_{\rm max} |SZ=-}}offene Bälle in {{mathl|term= {{op:Norm|-|}} |SZ=-}}offenen Bällen enthalten. Die Topologie zur Maximumsnorm ist also mindestens so fein wie die Topologie zu jeder anderen Norm. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Identität {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^n| \R^n || |SZ=, }} wobei die Topologie links durch die euklidische {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. Maximumsnorm| |ISZ=|ESZ= }} und rechts durch die Norm gegeben sei. Diese Abbildung ist nach der bisherigen Überlegung stetig. Die euklidische Einheitssphäre {{math|term= S|SZ=}} links ist {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= S|SZ=}} bezüglich der Norm {{mathl|term= {{op:Norm|-|}} |SZ=}} ebenfalls überdeckungskompakt. Diese nennen wir {{math|term= S'|SZ=.}} Da {{math|term= \R^n|SZ=}} mit jeder Norm ein Hausdorff-Raum ist, ist {{math|term= S'|SZ=}} wegen {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} insbesondere abgeschlossen. Da der Nullpunkt nicht zu {{math|term= S'|SZ=}} gehört, gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette/disp |\delta |>|0 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Offener Ball|0| \delta}} \cap S' || \emptyset || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=der offene Ball in der {{mathl|term= {{op:Norm|-|}} |SZ=-}}Topologie| |ISZ=|ESZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |v |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist wegen {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|v| {{op:Norm|v|}}_{\rm euk} }} |\in| S || S' || || |SZ= }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm| {{op:Bruch|v| {{op:Norm|v|}}_{\rm euk} }} |}} |\geq| \delta || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v|}}_{\rm euk} | \leq | {{op:Bruch|1|\delta}} {{op:Norm|v|}} || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eb9srpdw0rztb1x38wmtxmayh6r0fq1 0 75927 779289 579409 2022-08-21T16:05:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | M ||{{op:Matrix22|\lambda|1|0|\lambda||}} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= \lambda \in {{CC}}|SZ=.}} Dann ist nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Jordan-Block/2/Potenzen/Induktion/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M^n ||{{op:Matrix22|\lambda^n|n \lambda^{n-1}|0|\lambda^n||}} || || || |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|\lambda|}} |<|1 || || || |SZ= }} konvergiert diese Matrixfolge gegen die Nullmatrix, da jeder Eintrag gegen {{math|term= 0|SZ=}} konvergiert, für {{ Ma:Vergleichskette/disp |\lambda ||1 || || || |SZ= }} konvergiert die Folge nicht, da der Eintrag rechts oben nicht konvergiert und noch nicht einmal beschränkt ist. Dies ist generell bei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|\lambda|}} |\geq| 1 || || || |SZ= }} der Fall. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ffopkdpz1s7udgnqyvqf346e1eyqir 0 75930 783025 433151 2022-08-22T02:19:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | M ||{{op:Matrix22|\lambda|1|0|\lambda||}} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |M^n ||{{op:Matrix22|\lambda^n|n \lambda^{n-1}|0|\lambda^n||}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2=Theorie der Potenzen von Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mum6dm0yrki8ntv3sdsqup70gk7z7i5 0 75943 778501 762438 2022-08-21T12:12:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= \lambda|SZ=}} ein Eigenwert von {{math|term= \varphi|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|\lambda||}} || \rho(\varphi) || || || |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= v \in V|SZ=}} ein Eigenvektor zu {{math|term= \lambda|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|\lambda||}} \cdot {{op:Norm|v|}} || {{op:Norm| \lambda v }} || {{op:Norm| \varphi( v ) }} | \leq |{{op:Norm| \varphi }}_{\rm max} \cdot {{op:Norm| v }} || |SZ= }} und Division durch {{mathl|term= {{op:Norm| v }} |SZ=}} liefert die Behauptung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2udzfluw07q3ijr6slbhalsyzlmbiz4 0 75949 778499 762436 2022-08-21T12:11:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1). Die {{ Definitionslink |Prämath= |transponierte Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |zeilenstochastisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und besitzt daher den {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|1|\vdots|1}} |SZ=}} zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=.}} Daher besitzt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der transponierten Matrix eine Nullstelle an der Stelle {{math|term= 1|SZ=}} und dies gilt nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Charakteristisches_Polynom/Transponierte_Matrix/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} dann auch für die ursprüngliche Matrix. Daher besitzt {{math|term= M|SZ=}} einen Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=.}} (2). Es seien nun zusätzlich alle Einträge der {{math|term= k|SZ=-}}ten Zeile positiv und {{mathl|term= v \in V|SZ=}} sei ein Vektor mit {{ Zusatz/Klammer |text=mindestens| |ISZ=|ESZ= }} einem positiven und einem negativen Eintrag. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Summennorm|Mv}} || \sum_{ i {{=}} 1}^n {{op:Betrag| (Mv)_i}} || \sum_{ i {{=}} 1}^n {{op:Betrag| \sum_{j {{=}} 1}^n a_{ij} v_j }} || \sum_{ i \neq k} {{op:Betrag| \sum_{j {{=}} 1}^n a_{ij} v_j }} + {{op:Betrag| \sum_{j {{=}} 1}^n a_{kj} v_j }} |<| \sum_{i \neq k} \sum_{ j {{=}} 1}^n a_{ij} {{op:Betrag| v_j}} + \sum_{j {{=}} 1}^n {{op:Betrag| a_{kj} v_j }} || \sum_{i {{=}} 1}^n \sum_{j {{=}} 1}^n a_{ij} {{op:Betrag|v_j|}} || \sum_{ j {{=}} 1}^n {{op:Betrag|v_j|}} {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^n a_{ij} |}} || \sum_{ j {{=}} 1}^n {{op:Betrag|v_j|}} || {{op:Summennorm|v}} |SZ=. }} (3). Wie im Beweis zu (2) seien alle Einträge der {{math|term= k|SZ=-}}ten Zeile positiv. Für einen jeden Eigenvektor {{math|term= v|SZ=}} zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=}} sind nach (2) entweder alle Einträge nichtnegativ oder nichtpositiv. Somit ist für einen solchen Vektor wegen {{ Ma:Vergleichskette |Mv ||v || || || |SZ= }} der {{math|term= k|SZ=-}}te Eintrag ungleich {{math|term= 0|SZ=.}} Seien {{math|term= v,w|SZ=}} solche Eigenvektoren. Dann gehört auch {{mathl|term= {{op:Bruch|w_k|v_k}} v-w|SZ=}} zum Fixraum. Allerdings ist die {{math|term= k|SZ=-}}te Komponente davon gleich {{math|term= 0|SZ=}} und daher ist es der Nullvektor. Das bedeutet, dass {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear abhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Somit ist dieser Eigenraum eindimensional. Wegen (2) gibt es einen Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=}} mit nichtnegativen Einträgen. Durch Normieren sieht man, dass es auch eine stationäre Verteilung gibt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} htkweoqbtzbq9340weqghamz17qc0j5 0 75954 779885 763814 2022-08-21T17:36:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath= |spaltenstochastische| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} hat die Form {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|p_1|p_2|1-p_1|1-p_2}} |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |\leq|p_1,p_2 |\leq|1 || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks |(X-p_1)(X-1+p_2) - (1-p_1)p_2 || X^2 + (p_2-p_1-1)X + p_1(1-p_2) - p_2(1-p_1) || X^2 + (p_2-p_1-1)X + p_1-p_2 ||(X-1)(X+p_2-p_1) || |SZ=. }} Eigenwerte sind also {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= p_1-p_2 |SZ=. }} Eine stationäre Verteilung ist {{ Zusatz/Klammer |text=der Fall {{mathlk|term=p_1=1|SZ=}} und {{mathlk|term=p_2=0|SZ=}} ist für die folgende Rechnung auszuschließen| |ISZ=|ESZ= }} durch {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|p_2| p_2-p_1+1}} | {{op:Bruch|1-p_1| p_2-p_1+1}} }} |SZ=}} gegeben, es ist ja {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Matrix22|p_1|p_2|1-p_1|1-p_2}} {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|p_2| p_2-p_1+1}} | {{op:Bruch|1-p_1| p_2-p_1+1}} }} || {{op:Spaltenvektor| p_1 {{op:Bruch|p_2| p_2-p_1+1}} + p_2 {{op:Bruch|1-p_1| p_2-p_1+1}} | (1- p_1) {{op:Bruch|p_2| p_2-p_1+1}} +(1-p_2) {{op:Bruch|1-p_1| p_2-p_1+1}} }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|p_1 p_2 +p_2 ( 1-p_1)|p_2-p_1+1 }} | {{op:Bruch|(1- p_1) p_2 + (1- p_2)(1- p_1) | p_2-p_1+1}} }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|p_2| p_2-p_1+1}} | {{op:Bruch|1-p_1| p_2-p_1+1}} }} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5tjjjrwoje82u48rapff8hcu47cnsuw 0 75958 778497 762434 2022-08-21T12:11:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine spaltenstochastische Matrix und {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || {{op:Spaltenvektor|v_1|\vdots|v_n}} || || || |SZ= }} ein Vektor mit nichtnegativen Einträgen. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm| M v|}}_{\rm sum} || \sum_{ i {{=}} 1}^n (Mv)_i || \sum_{ i {{=}} 1}^n {{makl| \sum_{j {{=}} 1}^n a_{ij} v_j |}} || \sum_{ j {{=}} 1}^n v_j {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^n a_{ij} |}} ||\sum_{ j {{=}} 1}^n v_j || {{op:Norm| v|}}_{\rm sum} |SZ=. }} Wenn umgekehrt die angegebene isometrische Eigenschaft gilt, so gilt insbesondere für die Bilder der Standardvektoren, dass ihre Summennorm gleich {{math|term= 1|SZ=}} sein muss. Diese Bilder stehen in der entsprechenden Spalte der Matrix, alle Spaltensummen haben also den Wert {{math|term= 1|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l48nac7r1rorodra7e8nbm74mv74dwq 0 75959 779884 763813 2022-08-21T17:36:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |spaltenstochastische| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|0|1|1 |0}} |SZ= }} führt die Verteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|p|1-p}} |SZ=}} in die Verteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1-p|p}} |SZ=}} über. Die Verteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|1|2}} | {{op:Bruch|1|2}} }} |SZ=}} wird in sich selbst überführt, ist also eine stationäre Verteilung. Die Verteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|0}} |SZ=}} wird in {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|0|1}} |SZ=}} überführt und umgekehrt, es handelt sich also um periodische Verteilungen der Periodenlänge {{math|term= 2|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0pwfr5qbbjlw1xak2s64qs343urqr88 0 75960 779886 763815 2022-08-21T17:37:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |spaltenstochastische| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix44|1|1| \cdots |1|0|0|\cdots |0|\vdots|\vdots|\cdots|\vdots|0|0|\cdots |0|}} |SZ= }} führt die Verteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|v_1| \vdots |v_n}} |SZ=}} in die Verteilung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix44|1|1| \cdots |1|0|0|\cdots |0|\vdots|\vdots|\cdots|\vdots|0|0|\cdots |0|}} {{op:Spaltenvektor|v_1|v_2| \vdots |v_n}} || {{op:Spaltenvektor|\sum_{i{{=}} 1}^n v_i|0| \vdots| 0}} || {{op:Spaltenvektor|1|0 |\vdots| 0}} || || || |SZ= }} über. Der erste Standardvektor ist ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=,}} die weiteren Standardvektoren werden, wie jeder Verteilungsvektor, in den ersten Standardvektor überführt. Der Kern wird von den Vektoren {{ mathbed|term= e_1-e_j ||bedterm1= j \geq 2 ||bedterm2= |SZ=, }} erzeugt und enthält keine Verteilungsvektoren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h9ryaycjbeac2rhwwsmustwtm88quih 0 76000 779887 763816 2022-08-21T17:37:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für die {{ Definitionslink |Prämath= |spaltenstochastische| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=3 \times 3 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|1|0| {{op:Bruch|1|3}}| 0|1| {{op:Bruch|1|3}} |0|0| {{op:Bruch|1|3}} }} |SZ= }} ist der Eigenraum zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Span|e_1|e_2}} |SZ=,}} also zweidimensional. Die Aussage {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt also nicht, wenn es eine Spalte {{ Zusatz/Klammer |text=aber keine Zeile| |ISZ=|ESZ= }} mit ausschließlich positiven Einträgen gibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fv1lg8e404ciuplq2jtqhbq8h45lpst 0 76004 778500 762437 2022-08-21T12:12:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= w \in \R^n|SZ=}} die nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eindeutig bestimmte stationäre Verteilung und {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor|u_1|\vdots|u_n}} |\sum_{i {{=}} 1}^n u_i {{=}} 0 }} |\subseteq| \R^n || || |SZ=. }} Dies ist ein Untervektorraum von {{math|term= \R^n|SZ=}} der Dimension {{math|term= n-1|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} hat {{math|term= w|SZ=}} ausschließlich nichtnegative Einträge und gehört damit nicht zu {{math|term= U|SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align | \sum_{ i {{=}} 1}^n (Mu)_i || \sum_{ i {{=}} 1}^n {{makl| \sum_{j {{=}} 1}^n a_{ij} u_j |}} || \sum_{ j {{=}} 1}^n u_j {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^n a_{ij} |}} || \sum_{ j {{=}} 1}^n u_j || |SZ= }} ist {{math|term= U|SZ=}} invariant unter der Matrix {{math|term= M|SZ=.}} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || U \oplus \R w || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in invariante Untervektorräume. Für jedes {{mathl|term= u \in U|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Summennorm|u|}} ||1 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Summennorm| M u|}} |<|1 || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Da die Sphäre zum Radius {{math|term= 1|SZ=}} bezüglich jeder Norm {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, ist die induzierte Maximumsnorm von {{math|term= M{{|}}_U|SZ=}} kleiner als {{math|term= 1|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Spektralradius/Maximumsnorm/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konvergiert daher die Folge {{mathl|term= M^n u|SZ=}} für jedes {{mathl|term= u \in U|SZ=}} gegen den Nullvektor. Es sei nun {{mathl|term= v \in V|SZ=}} ein Verteilungsvektor, den wir wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=}}1 }^n v_i || 1 || \sum_{i {{=}}1 }^n w_i || || |SZ= }} als {{ Ma:Vergleichskette/disp |v ||w +u || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= u \in U|SZ=}} schreiben können. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |M^nv || M^n (w+u) || M^n w +M^nu || w +M^nu || || |SZ= }} und der Vorüberlegung konvergiert diese Folge gegen {{math|term= w|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rnksouh8vhs5i9d7q1673moq9ca5uz5 0 76014 778498 762435 2022-08-21T12:11:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für einen beliebigen Vektor {{mathl|term= v \in V|SZ=}} ist Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Summennorm|Mv}} || \sum_{ i {{=}} 1}^n {{op:Betrag| (Mv)_i}} || \sum_{ i {{=}} 1}^n {{op:Betrag| \sum_{j {{=}} 1}^n a_{ij} v_j }} |\leq| \sum_{ i {{=}} 1}^n {{makl| \sum_{ j {{=}} 1}^n a_{ij} {{op:Betrag| v_j}} |}} || \sum_{ j {{=}} 1}^n {{op:Betrag|v_j|}} {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^n a_{ij} |}} || \sum_{ j {{=}} 1}^n {{op:Betrag|v_j|}} || {{op:Summennorm|v}} |SZ=. }} Iterative Anwendung dieser Beobachtung zeigt, dass {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erfüllt ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} omay1m0ox6971omcvnump8kdkiiwqsa 0 76015 779555 763634 2022-08-21T16:47:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= N|SZ=}} ein Netzwerk {{ Zusatz/Klammer |text=oder ein {{Anführung|gerichteter Graph}}| |ISZ=|ESZ=, }} bestehend aus einer Menge {{math|term= K|SZ=}} aus Knotenpunkten und einer Menge an gerichteten Verbindungen, die zwischen Knotenpunkten bestehen können. Beispielsweise ist {{math|term= K|SZ=}} die Menge aller Seiten im Internet und von der Seite {{mathl|term= j \in K|SZ=}} besteht ein Verbindungspfeil nach {{mathl|term= i \in K|SZ=,}} falls es auf der Internetseite {{math|term= j|SZ=}} einen Link auf die Seite {{math|term= i|SZ=}} gibt. Die Verlinkungsstruktur kann man durch die {{Stichwort|Adjazenzmatrix |SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |A || {{makl| a_{ij} |}} || || || |SZ= }} ausdrücken, wobei {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_{ij} |{{defeq}}| \begin{cases} 1,\, \text{falls es einen Link von } j \text{ auf } i \text{ gibt}, \\ 0,\, \text{ sonst},\end{cases} || || || |SZ= }} festgelegt ist {{ Zusatz/Klammer |text=in der {{math|term= j|SZ=-}}ten Spalte sind die von {{math|term= j|SZ=}} ausgehenden Links ablesbar| |ISZ=|ESZ=, }} oder aber durch die {{ Definitionslink |Prämath= |spaltenstochastische Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |B || {{makl| b_{ij} |}} || || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette/disp |b_{ij} || {{op:Bruch|a_{ij }| d_j}} || || || |SZ= }} und {{math|term= d_j|SZ=}} die Anzahl der Links angibt, die vom {{math|term= j|SZ=-}}ten Knoten überhaupt ausgehen. Diese Division sichert, dass die Spaltensummennorm gleich {{math|term= 1|SZ=}} wird {{ Zusatz/Klammer |text=es sei vorausgesetzt, dass von jedem Knoten mindestens ein Link ausgeht| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2=Theorie der Adjazenzmatrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} payxpu2t7nb338ppgehnkaaunl1abd0 0 76026 786600 759619 2022-08-22T11:52:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |W || {{op:End|V|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Welche Eigenschaften einer {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt der {{ Definitionslink |Prämath= |Spektralradius| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi \mapsto \rho(\varphi)|SZ=,}} welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hn4rxumzij7bdlq9hqq1x7tkjaes4xt 0 76349 786412 759485 2022-08-22T11:21:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathl|term= n\geq 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{math|term= d|SZ=}} eine Metrik auf {{math|term= \R^n|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= d(x,y)|SZ=}} für {{math|term= x \not\in T|SZ=}} und {{mathl|term= y \in \R^n|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übereinstimmt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= d|SZ=}} auf ganz {{math|term= \R^n|SZ=}} die euklidische Metrik ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l9ptzes07yu3cpiq8v47ro6m1708vqo 0 76485 780675 434838 2022-08-21T19:47:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= LA|SZ=}} die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, {{math|term= GA|SZ=}} die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und {{math|term= RA|SZ=}} die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen. {{ Aufzählung5 | {{mathl|term= GA \setminus RA|SZ=.}} | {{mathl|term= {{makl| LA \cap GA |}} \cup {{makl| LA \cap RA |}} |SZ=.}} | {{mathl|term= RA \setminus {{makl| GA \cup RA |}} |SZ=.}} |{{mathl|term= RA \setminus {{makl| GA \cup LA |}} |SZ=.}} |{{mathl|term= {{makl| RA \setminus GA |}} \cap {{makl| {{makl| LA \cup GA|}} \setminus {{makl| GA \cap RA |}} |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejz3gc3cgw3m6vvl3rozrrknjs00jqz 0 76489 782564 434846 2022-08-22T01:02:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} Nach dem {{ Faktlink |Präwort=|Zwischenwertsatz|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{math|term= 5|SZ=}} {{ math/disp|term= |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' |<| {{op:Bruch|2t|t^2+1}} y |<|100 || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e1r50dx86tzb90yvsxwd7u0fk5hy4qb 0 76493 780148 773563 2022-08-21T18:17:28Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die natürlichen Zahlen sind dadurch ausgezeichnet, dass man mit ihnen zählen kann, d.h. dass man in ihnen ausgehend von {{math|term= 0|SZ=}} durch den Übergang von {{math|term= n|SZ=}} zum Nachfolger {{ Ma:Vergleichskette |n' ||n+1 || || || |SZ= }} jede natürliche Zahl erreicht. Dies begründet die folgende Eigenschaft: Wenn {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq| \N || || || |SZ= }} eine Teilmenge ist, die einerseits die {{math|term= 0|SZ=}} enthält und die andererseits mit jedem {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|T || || || |SZ= }} auch den Nachfolger enthält {{ Zusatz/Klammer |text=also {{ Ma:Vergleichskette/k |n+1 |\in|T || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} so ist bereits {{ Ma:Vergleichskette |T || \N || || || |SZ=. }} Mit dem Startglied {{math|term= 0|SZ=}} folgt ja dann zunächst {{ Ma:Vergleichskette |1 |\in|T || || || |SZ=, }} sodann {{ Ma:Vergleichskette |2 |\in|T || || || |SZ=, }} sodann {{ Ma:Vergleichskette |3 |\in|T || || || |SZ= }} u.s.w, und da dieser Zählprozess jede natürliche Zahl erreicht, gehört jede natürliche Zahl zu {{math|term= T|SZ=.}} Diese Beobachtung ist die Grundlage der vollständigen Induktion. Mathematische Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen, können mit dem Beweisprinzip der {{Stichwort|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=}} bewiesen werden. Die folgende Aussage begründet dieses Prinzip. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz||opt1=Damit enthält {{math|term= M |SZ=}} die {{math|term= 0 |SZ=,}} daher die {{math|term= 1 |SZ=,}} daher die {{math|term= 2 |SZ=,}} usw., und damit überhaupt alle natürlichen Zahlen. }} Der Nachweis von {{ Zusatz/Klammer |text=der Gültigkeit von| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= A(0) |SZ=}} heißt dabei der {{Stichwort|Induktionsanfang|SZ=}} und der Schluss von {{mathl|term= A(n )|SZ=}} auf {{mathl|term= A(n+1)|SZ=}} heißt der {{Stichwort|Induktionsschluss|SZ=.}} Innerhalb des Induktionsschlusses nennt man die Gültigkeit von {{mathl|term= A(n)|SZ=}} auch die {{Stichwort|Induktionsvoraussetzung|SZ=.}} In manchen Situationen ist die Aussage {{mathl|term= A(n)|SZ=}} erst für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} für ein gewisses {{math|term= n_0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=definiert oder| |ISZ=|ESZ= }} wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage {{mathl|term= A(n_0)|SZ=}} und den Induktionsschluss führt man für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} durch. Das folgende Standardbeispiel für einen Induktionsbeweis verwendet das Summenzeichen. Für gegebene {{ Zusatz/Klammer |text=natürliche, reelle, komplexe| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ=. }} Dabei hängen im Allgemeinen die {{math|term= a_k |SZ=}} in einer formelhaften Weise von {{math|term= k|SZ=}} ab. Entsprechend ist das Produktzeichen definiert, nämlich durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \prod_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 \cdot a_2 {{cdots|}} a_{n-1} \cdot a_n || || || |SZ=. }} Insbesondere sind für {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N || || || |SZ= }} die Potenzen durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | a^n || \prod_{i {{=|}} 1}^n a || a^{n-1} \cdot a || \underbrace{a \cdot a{{cdots|}}a}_{n\text{-mal} } || || |SZ= }} definiert. Dabei gelten die Konventionen {{ Ma:Vergleichskette |0a ||0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |a^0 ||1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die erste lässt sich auch über die Multiplikation begründen, die zweite ist aber auch sinnvoll| |SZ=. }} Als Rechenregeln für das Potenzieren gelten {{ Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette/disp | (a\cdot b)^n || a^n \cdot b^n || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | a^{n+m} || a^n \cdot a^m || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | (a^{n})^m || a^{n m} || || || |SZ=. }} }} {{ inputaufgabelösung |Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe|| }} {{ inputaufgabelösung |Induktion/6^(n+2)+7^(2n+1) teilbar durch 43/Aufgabe|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} rogtosbuvbrlt6byyqfg7ya0m9mzg5o 0 76504 781902 755802 2022-08-21T23:12:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine Menge und es seien {{ mathbed|term= M_i \subseteq G ||bedterm1= i =1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |endliche Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Endliche Menge/1...n/Definition |SZ=. }} Für eine Teilmenge {{math|term= J \subseteq \{1 {{kommadots|}} n\}|SZ=}} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | M_J || \bigcap_{i \in J} M_i || || || |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} die Anzahlformel {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Anzahl| \bigcup_{i {{=}} 1}^n M_i|}} || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{makl| \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots}} n \} ,\, {{op:Anzahl|J|}} {{=}} k } {{op:Anzahl|M_J}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Durchschnitt |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ov6snxlqcz5v7r95tq4qj9g9er9wadb 0 76521 779483 763568 2022-08-21T16:35:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= {{mengensystem|C}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Mengensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=,}} das aus allen endlichen Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} und deren {{ Definitionslink |Prämath= |Komplementen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht. Dann ist {{math|term= {{mengensystem|C}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Mengenalgebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die ganze Menge ist das Komplement der leeren Menge und gehört somit dazu. Das System ist nach Definition unter Komplementbildung abgeschlossen. Die Vereinigung zweier endlicher Teilmengen ist wieder endlich, und die Vereinigung einer Menge, deren Komplement endlich ist, mit einer weiteren Menge {{ Zusatz/Klammer |text=egal, ob sie zu dem System gehört oder nicht| |ISZ=|ESZ= }} besitzt ebenfalls diese Eigenschaft. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tjbgx8e8jkj8slv6zfglw0p1qg9o5j4 0 76543 779563 586860 2022-08-21T16:48:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Fruit salad (1)|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Fæ |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils in Milligramm| |ISZ=|ESZ= }} unterschiedliche Früchte {{ Zusatz/Klammer |text=pro 100 Gramm| |ISZ=|ESZ= }} besitzen. {{Tabelle54|Frucht|Vitamin C|Calcium|Magnesium|Apfel|12|7|6|Orange|53|40|10|Traube|4|12|8|Banane|9|5|27}} Dies führt zu einer Abbildung, die einem {{math|term= 4|SZ=-}}Tupel {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x_1|x_2|x_3|x_4}} |SZ=,}} das die verarbeiteten {{ Zusatz/Klammer |text=oder verzehrten| |ISZ=|ESZ= }} Früchte beschreibt, den Gesamtgehalt des Obstsalats an Vitamin C, Calcium und Magnesium in Form eines {{math|term= 3|SZ=-}}Tupels {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|y_1|y_2|y_3 }} |SZ=}} zuordnet. Diese Abbildung kann mit der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix34|12|53|4|9|7|40|12|5|6|10|8|27|}} |SZ= }} unter Verwendung der Matrixmultiplikation als Zuordnung {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|x_1|x_2|x_3|x_4}} \longmapsto {{op:Matrix34|12|53|4|9|7|40|12|5|6|10|8|27|}} {{op:Spaltenvektor|x_1|x_2|x_3|x_4}} = {{op:Spaltenvektor|12x_1 +53x_2 +4x_3+9 x_4|7x_1 +40x_2 +12x_3+ 5 x_4| 6 x_1 + 10 x_2 + 8x_3+ 27 x_4 }} = {{op:Spaltenvektor|y_1|y_2|y_3 }} |SZ= }} beschrieben werden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6p87edjb6l7ovqjcyrfr7qmn2okz1qd 0 76567 781918 435181 2022-08-21T23:15:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |[n] ||\{0,1,2, \ldots, n \} || || || |SZ=. }} Zu jedem {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und jedem {{mathl|term= 0 \leq k \leq n|SZ=}} seien die Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=D_k |[n]|[n+1] || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |D_k(j) || \begin{cases} j, \text{ falls } j < k, \\ j+1 \text{ sonst}, \end{cases} || || || |SZ= }} und die Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=S_k |[n+1]|[n] || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |S_k(j) || \begin{cases} j, \text{ falls } j \leq k, \\ j-1 \text{ sonst}, \end{cases} || || || |SZ= }} definiert. a) Erstelle{{n Sie}} eine Wertetabelle für {{ Ma:abbele/disp |name=D_3 |[4]|[5] || |SZ=. }} b) Erstelle{{n Sie}} eine Wertetabelle für {{ Ma:abbele/disp |name=S_3 |[6]|[5] || |SZ=. }} c) Beschreibe{{n Sie}} die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle6|text1= {{math|term= j|SZ=}} |0|1|2|3|4|5|text2= {{math|term= \varphi(j)|SZ=}} |0|2|2|4|5|5}} gegebene Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |[5]|[5] || |SZ= }} als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten {{math|term= D_k|SZ=}} und {{math|term= S_i|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen geordneten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ksomhwukw9yhm57zajutzzhpx3qrdmz 0 76574 781809 435194 2022-08-21T22:57:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle7 |text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7 |text2={{math|term= \varphi(x)|SZ=}}|4|7|4|5|1|1|2}} gegebene Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\{1,2,3,4,5,6,7\} |\{1,2,3,4,5,6,7\} || |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} das Bild von {{mathl|term= \{1,2,3\}|SZ=}} unter {{math|term= \varphi|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} das Urbild von {{mathl|term= \{4,5,6,7\}|SZ=}} unter {{math|term= \varphi|SZ=.}} c) Erstelle eine Wertetabelle für {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi^3 || \varphi \circ \varphi \circ \varphi || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} axeudpfiuuz63o9n21te0zu9oglrwz7 0 76577 781886 755787 2022-08-21T23:09:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine endliche Menge und {{ Ma:abb |name=\varphi |M|M || |SZ= }} eine Abbildung. Es sei {{math|term= \varphi^n|SZ=}} die {{math|term= n|SZ=-}}fache {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen {{mathl|term= m>n \geq 1|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi^n || \varphi^m || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9r01fj6ci9i6z2sv8r7qc9a8jlgopxw 0 76580 784107 757761 2022-08-22T05:20:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} die Menge aller reellen {{math|term= 2 \times 2|SZ=-}}Matrizen {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|a_{11}|a_{12}|a_{21}|a_{22}|}} |SZ=, }} die die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12} ||0 || || || |SZ= }} erfüllen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= D|SZ=}} kein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Raum aller {{math|term= 2 \times 2|SZ=-}}Matrizen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n80cswo2b1idnobdjayts6yjmlhpejg 0 76606 780418 475431 2022-08-21T19:05:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |L|M || |SZ= }} eine Abbildung. a) Zeige{{n Sie}}, dass es eine Menge {{math|term= N|SZ=}} gibt und eine surjektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=F |L|N || |SZ= }} und eine injektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=G |N|M || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi ||G \circ F || || || |SZ=. }} b) Zeige{{n Sie}}, dass es eine Menge {{math|term= P|SZ=}} gibt und eine injektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=H |L|P || |SZ= }} und eine surjektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=I |P|M || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || I \circ H || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 65iq1bmtqnbjra4audcu78ajnn49tod 0 76674 778969 763159 2022-08-21T15:15:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R| \R_+ |x|10^x |SZ=, }} die Exponentialfunktion zur Basis {{math|term= 10|SZ=}} und {{math|term= \nu|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bildmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maß {{math|term= \lambda^1 |SZ=}}{{{zusatz1|.}}} Für ein Intervall {{ Ma:Vergleichskette | [a,b] |\subseteq| \R_+ || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \nu ([a,b]) || \lambda^1( \varphi^{-1} ([a,b])) || \lambda^1 ( [{{opsyn|log|a|tief=10|hoch=}} , {{opsyn|log|b|tief=10|hoch=}}]) || {{opsyn|log|b|tief=10|hoch=}} - {{opsyn|log|a|tief=10|hoch=}} || |SZ=. }} Insbesondere haben die Intervalle {{math/disp|term= \ldots ,[{{op:Bruch|1|100}}, {{op:Bruch|1|10}} ] ,\, [ {{op:Bruch|1|10}}, 1] ,\, [1,10] ,\, [10,100] ,\, [100,1000] , \ldots |SZ=}} unter {{math|term= \nu |SZ=}} alle das Maß {{math|term= 1|SZ=.}} Das Maß {{math|term= \nu |SZ=}} ist also {{Anführung|unter Berücksichtigung der Größenordnung gleichverteilt|SZ=.}} Wenn man zur Menge aller Städte {{ Zusatz/Klammer |text=auf der Erde oder in Deutschland| |ISZ=|ESZ= }} die Einwohnerzahl nimmt und davon die erste Ziffer, so kann man beobachten, dass die Ziffer {{math|term= 1|SZ=}} deutlich häufiger vorkommt als die Ziffern {{math|term= 2,3, \ldots|SZ=.}} Beispielsweise gibt es in Deutschland relativ viele Städte mit zwischen {{mathl|term= 100 000 |SZ=}} und {{mathl|term= 200 000|SZ=}} Einwohnern, aber keine mit zwischen {{mathl|term= 800 000 |SZ=}} und {{mathl|term= 900 000 |SZ=}} Einwohnern. Diese Beobachtung kann man in sehr vielen verschiedenen Situationen machen, und zwar genügt die erste Ziffer dem sogenannnten {{Stichwort|Benfordschen Gesetz|msw=Benfordsches Gesetz|SZ=.}} Wenn man davon ausgeht, dass Städte zu unterschiedlichen Zeitpunkten gegründet werden, dass sie exponentiell wachsen {{ Zusatz/Klammer |text=mit einer kleinen Basis| |ISZ=|ESZ=, }} und dass die Verteilung der Stadtgründungen mit der Zeit gleichverteilt ist {{ Zusatz/Klammer |text=in einem endlichen Zeitintervall| |ISZ=|ESZ=, }} so kann man die Stadtgründungen durch {{math|term= \lambda^1 |SZ=}} modellieren und erhält für die Verteilung der Stadtgrößen das Maß {{math|term= \nu |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf einen Streckungsfaktor mit der Zeit| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist dann beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette/disp | \nu ( [1,2]) || {{opsyn|log|2|tief=10|hoch=}} || 0, 301 \ldots || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \nu ( [8,9]) || {{opsyn|log|2|tief=10|hoch=}} || 0, 051 \ldots || || |SZ= }} und entsprechend für die Intervalle {{mathl|term= [10,20] |SZ=,}} {{mathl|term= [100,200] |SZ=,}} etc., was das Benfordsche Gesetz erklärt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Bildmaße |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l8pa3f6pleen5d6olgrfimbjvlvhg2p 0 76677 779413 435388 2022-08-21T16:24:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der Menge {{mathl|term= \{0,1,2,3,4,5,6\}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit sieben Elementen| |ISZ=|ESZ= }} kann man durch die Festlegungen {{:Restklassenringe (Z)/mod 7/Additionstafel}} {{:Restklassenringe (Z)/mod 7/Multiplikationstafel}} ebenfalls einen Körper machen. Ohne weitere Theorie ist der Nachweis der Körpereigenschaften sehr aufwändig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 7 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owg4b9vlwow36vin5vu3r172dmz2x9f 0 76679 783634 512145 2022-08-22T04:01:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die allgemeine binomische Formel, also die Formel {{ math/disp|term= {{Binomische Formel|n|a|b|k| |}} |SZ= }} für {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und beliebige Elemente {{mathl|term= a,b \in K|SZ=}} in einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d9rebq1ipxebp4za3049xvx19l6j60i 0 76703 784191 451098 2022-08-22T05:34:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= T_n ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von Mengen. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |S_n || T_n \setminus {{makl| \bigcup_{i {{=}} 1}^{n-1} T_i |}} || || || |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bigcup_{i {{=}} 1}^{n} T_i || \bigcup_{i {{=}} 1}^{n} S_i || || || |SZ=. }} b) Zeige{{n Sie}}, dass die Vereinigung {{mathl|term= \bigcup_{i {{=}} 1}^{n} S_i |SZ=}} disjunkt ist, dass also {{ Ma:Vergleichskette/disp |S_n \cap S_k || \emptyset || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\neq|k || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n9hlxo16wd3pczq7mau2vuwbyp4d7ht 0 76720 784127 757786 2022-08-22T05:23:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Finde{{n Sie}} und beweise{{n Sie}} eine Formel für die {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Potenz| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|a|b|0|c}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p983c2nt28wq2y8spswqbiqe1qkf9ia 0 76722 783925 757552 2022-08-22T04:50:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|3|4|2|6}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || {{op:Spaltenvektor|5|1}} || || || |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K=\{0,1,2,3,4,5,6\}|SZ=}} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Körper/7 Elemente/Einführung/2/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 7 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hlpdg1yj9l3xcxdpj9kwvx0q8nfh5vi 0 76723 783926 501778 2022-08-22T04:50:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper {{mathl|term= K=\{0,1,2,3,4,5,6\}|SZ=}} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Körper/7 Elemente/Einführung/2/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | 5 x || 4 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 7 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 21ks7tmhsfupsib9zb0jh6j9hr2m5ih 0 76725 784108 757762 2022-08-22T05:20:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Raumes der {{mathl|term= 2 \times 2|SZ=-}}Matrizen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume‎ |Kategorie2=Theorie der Matrizenräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ssa5egfknl0ow67h285m7z1ac3a2o9s 0 76752 783858 523089 2022-08-22T04:38:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die lineare Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |3x ||5 || || || |SZ= }} für die folgenden Körper {{math|term= K |SZ=:}} a) {{math|term= K=\Q|SZ=,}} b) {{math|term= K=\R|SZ=,}} c) {{mathl|term= K=\{0,1\}|SZ=,}} der Körper mit zwei Elementen aus {{ Beispiellink{{{optlink1|}}} |Präwort=||Beispielseitenname2= Körper/Zwei Elemente/Beispiel |Beispielseitenname= Kommutativer Halbring/Körper/Zwei Elemente/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} d) {{mathl|term= K=\{0,1,2,3,4,5,6\}|SZ=,}} der Körper mit sieben Elementen aus {{ Beispiellink{{{optlink2|}}} |Präwort=||Beispielseitenname= Körper/7 Elemente/Einführung/2/Beispiel |Beispielseitenname2= Körper/7 Elemente/Einführung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sqxvqj82a44fzmetphipyo4cihf312j 0 76786 785816 758984 2022-08-22T09:42:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T ||\Q \times \R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Infimum| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über die Summe der Flächen zu {{ Definitionslink |Prämath= |Überpflasterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} mit offenen Rechtecken gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9a7ddmyb710sn2l4i5uj6d6zhiqtp1h 0 76787 786318 759391 2022-08-22T11:05:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]| \R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Riemann-integrierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= T|SZ=}} der {{ Zusatz/Klammer |text=abgeschlossene| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Subgraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |äußere Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu dem Rechtecksprämaß| |ISZ=|ESZ= }} gleich dem {{ Definitionslink |Prämath= |bestimmten Integral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \int_a^b f(t)dt|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o77jebyy3jvj06ivlwklintoddx476t 0 76789 785606 758846 2022-08-22T09:07:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Infimum| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die {{math|term= \Q|SZ=}} überdecken. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9m6mbdmpaueqqjlhwtfn1sr3ro9xpm4 0 76790 785607 604228 2022-08-22T09:07:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu jeder rationalen Zahl {{mathl|term= q \in \Q|SZ=}} sei ein Intervall {{mathl|term= [a_q,b_q]|SZ=}} derart gegeben, dass {{math|term= q|SZ=}} in dessen Innern liegt, also {{mathl|term= q \in {]a_q,b_q[}|SZ=.}} Ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\bigcup_{q \in \Q} [a_q,b_q] || \R || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9g09jqks6rlq8t984n7gol2ygdk4pnr 0 76905 781348 755370 2022-08-21T21:40:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |D || {{Op:Diagonalmatrix|d}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} eine {{math|term= n\times n|SZ=-}}Matrix. Beschreibe{{n Sie}} {{ mathkor|term1= DM |und|term2= MD |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ldl72xds8hwfz7uxo6hxskdypfwhnfg 0 76906 781346 755368 2022-08-21T21:39:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |D || {{Op:Diagonalmatrix|d}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |c ||{{op:Spaltenvektor|c_1|\vdots|c_n}} || || || |SZ= }} ein {{math|term= n|SZ=-}}Tupel über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |x ||{{op:Spaltenvektor|x_1|\vdots|x_n}} || || || |SZ= }} ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette/disp |Dx ||c || || || |SZ=, }} und wie löst man es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oyg7lljqm103nv5q8ziobwz8jpgcs62 0 76932 783930 436249 2022-08-22T04:51:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |3punktsmodell|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Indolences |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_1x+b_1y |\geq|c_1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_2x+b_2y |\geq|c_2 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_3x+b3y |\geq|c_3 || || || |SZ=, }} ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung {{math|term= \geq|SZ=}} durch {{math|term= \leq|SZ=}} ersetzt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Ungleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b8ufctugthm16ubk1x388zwhwmkaebs 0 76946 785371 758660 2022-08-22T08:28:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= (M, {{mengensystem|A}} ) |und|term2= (N, {{mengensystem|B}} ) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Messräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= \mu|SZ=}} das in {{mathl|term= x \in M|SZ=}} konzentrierte {{ Definitionslink |Prämath= |Dirac-Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= \nu|SZ=}} das in {{mathl|term= y \in N|SZ=}} konzentrierte Dirac-Maß auf {{math|term= N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \mu \otimes \nu|SZ=}} das in {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} konzentrierte Dirac-Maß auf {{mathl|term= M \times N|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie2=Diskrete Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |p1= |p2= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jncq26dho232irzkrugc7w88bx8m6fi 0 76947 785373 758662 2022-08-22T08:29:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= (M, {{mengensystem|A}} ) |und|term2= (N, {{mengensystem|B}} ) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Messräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= \mu|SZ=}} das zur {{ Definitionslink |Prämath= |Belegungsfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=b |M|\R_{\geq 0} |x|b_x |SZ=, }} gehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= \nu|SZ=}} das zur Belegungsfunktion {{ Ma:abbele/disp |name=c |N|\R_{\geq 0} |y| c_y |SZ=, }} gehörige Maß auf {{math|term= N|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=diese Maße seien als {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endlich| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} angenommen | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \mu \otimes \nu|SZ=}} das zur Belegungsfunktion {{ Ma:abbele/disp |name= |M \times N|\R_{\geq} |(x,y)| b_xc_y |SZ=, }} gehörige Maß auf {{mathl|term= M \times N|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie2=Diskrete Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9wagi2nvxqs6y7vz9wc1wlevk0te71i 0 76948 785372 758661 2022-08-22T08:29:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= (M, {{mengensystem|A}} , \mu) |und|term2= (N, {{mengensystem|B}} , \nu) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Maß{{latextrenn|}}räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= (M \times N, {{mengensystem|A}} \otimes {{mengensystem|B}}, \mu \otimes \nu )|SZ=}} ihr {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmaßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Bildmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \mu \otimes \nu |SZ=}} unter der Projektion {{ Ma:abbele/disp |name= |M \times N|M |(x,y)|x |SZ=, }} gleich {{ Zusatz/Klammer |text=dem unskalierten Maß| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= \nu(N) \cdot \mu|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie2=Theorie der Bildmaße |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q4i9h59gqrwoh5dbiot9jzqzj873t1x 0 76949 785370 758659 2022-08-22T08:28:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Maß{{latextrenn|}}räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und einem Maß {{math|term= \lambda |SZ=}} auf {{mathl|term= (M \times N, {{mengensystem|A}} \otimes {{mengensystem|B}} )|SZ=,}} das nicht das {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, das aber {{ Ma:Vergleichskette/disp |\lambda (S \times N) || \mu(S) \times \nu(N) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\lambda(M \times T) || \mu(M) \times \nu(T) || || || |SZ= }} für alle messbaren Teilmengen {{mathl|term= S \subseteq M|SZ=}} und {{mathl|term= T \subseteq N|SZ=}} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3tv5wvzysw0xsz7p2weldlsxgyjhce7 0 76950 784214 757855 2022-08-22T05:38:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M, {{mengensystem|A}})|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Messraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der als abzählbare disjunkte Vereinigung {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || \bigcup_{i \in I} M_i || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= M_i \in {{mengensystem|A}} |SZ=}} gegeben ist. Es seien {{ mathbed|term= \mu_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} Maße auf {{mathl|term= (M_i, {{mengensystem|A}}{{|}}_{M_i} )|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es ein eindeutiges Maß {{math|term= \mu|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=}} derart gibt, dass die Einschränkungen von {{math|term= \mu|SZ=}} auf die {{mathl|term= (M_i, {{mengensystem|A}}{{|}}_{M_i} )|SZ=}} mit {{math|term= \mu_i|SZ=}} übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nf51i59w9tn17nuomytgew6fcwplblc 0 76952 784772 758240 2022-08-22T06:57:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{mengensystem|M}} |SZ=}} das Mengensystem, das aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von {{ Definitionslink |offenen| |Kontext=Intervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |reellen Intervallen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{mengensystem|M}} |SZ=}} kein {{ Definitionslink |Mengen-Präring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf den reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bablqup0cryacpyugaogz0e2ii4rx2o 0 76953 781137 755186 2022-08-21T21:04:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T \subseteq \R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Borel-Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |\lambda(T) || {{op:inf| {{mengebed| \sum_{i \in I} (b_i-a_i)| T \subseteq \bigcup_{i \in I}[a_i,b_i[| I \text{ abzählbar} }} |}} || || || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= {{op:inf| {{mengebed| \sum_{i \in I} (b_i-a_i) | T \subseteq \bigcup_{i \in I}[a_i,b_i]| I \text{ abzählbar} }} |}} |SZ= }} und mit {{ math/disp|term= {{op:inf| {{mengebed| \sum_{i \in I} (b_i-a_i) | T \subseteq \bigcup_{i \in I} ]a_i,b_i[| I \text{ abzählbar} }} |}} |SZ= }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ozy5flf3gp5bvvnziv1kgrufvghg6iw 0 76984 784200 464162 2022-08-22T05:36:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und seien {{ math/disp|term= T_1, T_2 {{kommadots|}} T_n \subseteq M |SZ= }} Teilmengen {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= n \geq 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten die Menge {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=,}} die aus allen Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} besteht, die man als Durchschnitte der Form {{ math/disp|term= S_1 {{capdots}} S_k |SZ= }} erhalten kann, wobei die Menge {{math|term= S_i|SZ=}} jeweils ein {{math|term= T_j|SZ=}} oder ein {{mathl|term= M \setminus T_j|SZ=}} ist. a) Zeige{{n Sie}}, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} erhalten kann. b) Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=}} eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_m|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || \biguplus_{\ell {{=}} 1}^m A_\ell || || || |SZ= }} und mit der Eigenschaft, dass jedes {{ mathbed|term= A \in {{mengensystem|A}} ||bedterm1= A\neq \emptyset ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{math|term= A_\ell|SZ=}} umfasst gibt. c) Zeige{{n Sie}}, dass man jede Menge {{math|term= T_j|SZ=}} als {{ Ma:Vergleichskette/disp |T_j || \biguplus_{\ell \in L_j }^m A_\ell || || || |SZ= }} mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge {{mathl|term= L_j \subseteq \{1 {{kommadots|}} m \} |SZ=}} darstellen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=3 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0mlmepjdwvlwrggpmp6q1hciht0m245 0 77050 780982 755055 2022-08-21T20:39:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Übergangsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix|u|v}} |und|term2= {{op:Übergangsmatrix|v|u}} |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} und die durch die Vektoren {{ mathlist/disp|term1= v_1 = {{op:Spaltenvektor|2|3|7}} ||term2= v_2 = {{op:Spaltenvektor|1|-3|4}} |und|term3= v_3 = {{op:Spaltenvektor|5|6|9}} |SZ= }} gegebene Basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} im {{math|term= \R^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2fk38mfo3gh1xp7stavui9uuhp9ter5 0 77053 785161 758513 2022-08-22T07:56:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Ergebnis, wenn man im {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term=2X^3-5X^2+7X-4 |SZ= }} die Variable {{math|term= X|SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|4|1|5|3}} |SZ= }} ersetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1p4pzoggt7ksbvhweod7aympunwsj1f 0 77063 779611 751628 2022-08-21T16:56:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im Polynomring {{mathl|term= K[X]|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} sind die Potenzen {{ mathbed|term= X^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Nach Definition kann man jedes Polynom {{ math/disp|term= a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} {{plusdots}} a_2X^2+a_1X+a_0 |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Linearkombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Potenzen {{mathl|term= X^0=1,X^1=X {{kommadots|}} X^n |SZ=}} schreiben. Ferner sind diese Potenzen {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wenn nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} {{plusdots}} a_2X^2+a_1X+a_0 ||0 || || || |SZ= }} ist, so müssen alle Koeffizienten gleich {{math|term= 0|SZ=}} sein {{ Zusatz/Klammer |text=dies gehört zum Begriff eines Polynoms| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2=Theorie der Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4qvoz4ysc8858kc5y24qseltux71c3j 0 77065 784121 757778 2022-08-22T05:22:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass im Raum der {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Mat|m|n|K}}|SZ=}} die Matrizen {{mathl|term= E_{ij}|SZ=,}} die genau an der Stelle {{math|term= (i,j)|SZ=}} den Eintrag {{math|term= 1|SZ=}} und sonst überall den Eintrag {{math|term= 0|SZ=}} haben, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie2=Theorie der Basen von Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9t2b2nul4o0n15e2t7gzeul50u6mk8i 0 77074 778965 763156 2022-08-21T15:14:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= e_1,e_2,e_3|SZ=}} des {{math|term= K^3|SZ=}} und die beiden linear unabhängigen Vektoren {{ mathkor|term1= u_1 = {{op:Spaltenvektor|3|2|1}} |und|term2= u_2 = {{op:Spaltenvektor|5|4|2}} |SZ=, }} die wir mit Hilfe der Standardbasis gemäß dem im Beweis {{ Faktlink |Präwort=zum|Basisaustauschsatz|Faktseitenname= Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen Verfahren zu einer Basis ergänzen wollen. Betrachten wir zunächst {{ Ma:Vergleichskette/disp |u_1 || 3 e_1 +2e_2 + e_3 || || || |SZ=. }} Da sämtliche Koeffizienten nicht {{math|term= 0|SZ=}} sind, kann man {{math|term= u_1|SZ=}} mit je zwei der Standardvektoren zu einer Basis ergänzen. Wir nehmen die neue Basis {{ math/disp|term= u_1,e_1,e_2 |SZ=. }} Als zweiten Schritt wollen wir {{math|term= u_2|SZ=}} in die Basis mitaufnehmen. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |u_2 || {{op:Spaltenvektor|5|4|2}} || 2 {{op:Spaltenvektor|3|2|1}} -e_1 || 2u_1 -e_1 +0e_2 || |SZ=. }} Nach dem Beweis müssen wir {{math|term= e_1|SZ=}} rauswerfen, da es mit einem Koeffizienten {{math|term= \neq 0|SZ=}} in dieser Gleichung vorkommt {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= e_2|SZ=}} dürften wir nicht rauswerfen| |ISZ=|ESZ=. }} Die neue Basis ist somit {{ math/disp|term= u_1,u_2,e_2 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q9klvd2lzbx6cvyodsc74qfv6ekk34a 0 77079 786466 759527 2022-08-22T11:30:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man eine Scherungsmatrix {{ Ma:Vergleichskette/disp | A_{ij}(a) ||{{Einheitsmatrix/ab|n}} + a B_{ij} || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Matrizenprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M\circ N \circ L|SZ=}} schreiben kann, wobei {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= L|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind und {{math|term= N|SZ=}} eine Scherungsmatrix der Form {{math|term= A_{ij}(1)|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxqztx0vrpvkdfjytttc2q379c8jr9a 0 77087 783767 757401 2022-08-22T04:23:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{mathl|term= v_1,v_2,v_3 \in V|SZ=}} Vektoren. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= v_1,v_2,v_3|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, wenn {{mathl|term= v_1,v_1+v_2,v_1+v_2+v_3|SZ=}} linear unabhängig sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1qyegc0b2cj4v7hm5tp72r02xa7such 0 77133 783906 757536 2022-08-22T04:47:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Lösungsraumes des {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichungssystems| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |4x-3y+7z+5u -v ||0 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y+6z-10u+3v || 0 || || || |SZ= }} in den Variablen {{mathl|term= x,y,z,u,v|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0jv6i63er32kwl4nw6sokb72wlhajdi 0 77135 783907 757537 2022-08-22T04:47:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Lösungsraumes des {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichungssystems| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2x+5y+7z+4u -3v +2w ||0 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |4 x+ 9y+6z+5u -v +w || 0 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |7 x+ 8y-3z+u +3v +3w || 0 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |- x+ 6y+16z+8u -7v || 0 || || || |SZ= }} in den Variablen {{mathl|term= x,y,z,u,v,w|SZ=.}} b) Was ist die Dimension des Lösungsraumes, wenn man dieses System in den Variablen {{mathl|term= x,y,z,u,v,w,r,s|SZ=}} auffasst? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=3 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ck4l9d2bnopmais1subzn67u4vjbjnk 0 77144 786566 759594 2022-08-22T11:46:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= (V_1, {{op:Skalarprodukt|-|-}}_1) |und|term2= (V_2, {{op:Skalarprodukt|-|-}}_2) |SZ= }} reelle Vektorräume mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Produktraum| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V_1 \times V_2|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|(v_1,v_2)|(w_1,w_2)}} |{{defeq}}| {{op:Skalarprodukt|v_1|w_1}}_1 + {{op:Skalarprodukt|v_2|w_2}}_2 || || || |SZ= }} ein Skalarprodukt definiert ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2=Theorie der Produkträume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rvhgoq7iyozfo34s4f5n77cjob1uf9p 0 77148 784851 448327 2022-08-22T07:09:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c \in \R|SZ=}} reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a|b|c}} ,\, {{op:Spaltenvektor|c|a|b}} ,\, {{op:Spaltenvektor|b|c|a}} \in \R^3 |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} Beispiele für {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension {{mathl|term= 0,1,2,3|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ssnptb0y777or5revmyg204zwy09o46 0 77154 783756 437577 2022-08-22T04:21:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f_n:[1,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}_{\geq0}|SZ=}}, für {{math|term= n\in\mathbb{Z}_+|SZ=}}, die Funktionenfolge {{ math/disp|term= f_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{n^2}, \text{ falls } x\in[n,+\infty[ \, , \\ 0, \text{ anderfalls } . \end{cases} |SZ= }} Berechnen Sie {{ math/disp|term= \lim_{n\rightarrow+\infty}f_n \text{ und } \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{[1,+\infty]}f_n d\lambda^1. |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie auf den reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Funktionenfolge |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 77d3fy49k7ugst08sm4lzvrf7halj7m 0 77155 783757 437576 2022-08-22T04:22:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f_n:[0,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}_{\geq0}|SZ=}}, für {{math|term= n\in\mathbb{Z}_+|SZ=}}, die Funktionenfolge {{ math/disp|term= f_n(x) = \frac{\mathrm{exp}(-nx)}{x+n}. |SZ= }} Berechnen Sie {{ math/disp|term= \lim_{n\rightarrow+\infty}f_n \text{ und } \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{[0,+\infty]}f_n d\lambda^1. |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie auf den reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Funktionenfolge |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1488akf0m1felduu9utocauuoiktxkj 0 77157 784845 437594 2022-08-22T07:08:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= f:\mathbb{R}:\rightarrow\mathbb{R}|SZ=}} so definiert {{ math/disp|term= f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{t^4+x^2t^2+1}\mathrm{d}t. |SZ= }} Untersuchen Sie {{math|term= f|SZ=}} auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Falls {{math|term= f|SZ=}} differenzierbar ist, was ist die Ableitung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie auf den reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Funktionenfolge |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lvbgnmkzlatk3lct4afma3zu3oab8v0 0 77159 786346 446795 2022-08-22T11:10:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} den Ellipsoid {{ math/disp|term= M={{Mengebed|(x,y,z)\in \R^3| \ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} {{=}}1 }} |SZ=, }} für {{math|term= a,b,c\in\mathbb{R}_{+}|SZ=}}. Berechne{{n Sie}} den Flächeninhalt von M für {{mathl|term= a=b|SZ=.}} Was passiert für {{mathl|term= a\rightarrow c|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2vcfyqm7u44g1r73qjz62rycj3tphy 0 77165 781443 755456 2022-08-21T21:56:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des von den Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|1|1|0}} ,\, {{op:Spaltenvektor|1|1|0|1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|1|0|1|1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|1|1|1}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^4|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1bx3zja7cki9mqt01astswozrqxwh0e 0 77166 781445 755458 2022-08-21T21:56:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des von den Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|1|0|0}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|0|1|1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|1|0|0|1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|1|1|0}} ,\, {{op:Spaltenvektor|1|0|1|0}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|1|0|1}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \Q^4|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d4sy41il3xbct02751dhpyo4qiz86uu 0 77167 781349 755371 2022-08-21T21:40:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Raum aller {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} ist und bestimme{{n Sie}} seine {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenräume |Kategorie2=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ju0vrkhc0kkoqd60j5mruvaknuv3u3v 0 77168 784763 758231 2022-08-22T06:56:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |oberen Dreiecksmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Raum aller {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} ist und bestimme{{n Sie}} seine {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenräume |Kategorie2=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qenhjq6acdds5gdicg5durzcc6knq4u 0 77170 781800 755706 2022-08-21T22:55:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und seien {{mathl|term= T_1 {{kommadots|}} T_n \subseteq M|SZ=}} Teilmengen. Zeige{{n Sie}}, dass die von diesen Teilmengen erzeugte {{ Definitionslink |Prämath= |Mengenalgebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann {{math|term= 2^{n+1}|SZ=}} Mengen besitzt, wenn die Indikatorfunktionen {{ math/disp|term= {{op:Indikatorfunktion|T_1|}} {{kommadots|}} {{op:Indikatorfunktion|T_n|}} , {{op:Indikatorfunktion|M|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Raum {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|M|\R}} |SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=unfertig }} jwtlpbh783yz2ud6z8z9phikapxcoq7 0 77199 780978 755051 2022-08-21T20:38:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Übergangsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix|u|v}} |und|term2= {{op:Übergangsmatrix|v|u}} |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{basis|u}}|SZ=}} und die durch die Vektoren {{ mathlist/disp|term1= v_1 = {{op:Spaltenvektor|0|1|0}}, \, v_2 = {{op:Spaltenvektor|0|0|1}} |und|term2= v_3 = {{op:Spaltenvektor|1|0|0}} |SZ= }} gegebene Basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} im {{math|term= \R^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ld4lp9kxh3x4cji41pk8q2r5o0wvskv 0 77200 780969 748714 2022-08-21T20:36:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{Basis|v|}} = v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= w \in V|SZ=}} ein Vektor mit einer Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |w || \sum_{i {{=}} 1}^n {{skalar|}}_i v_i || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= {{skalar|}}_k \neq 0|SZ=}} sei für ein bestimmtes {{math|term= k|SZ=.}} Es sei {{ math/disp|term= {{Basis|w|}} = v_1 {{kommadots|}} v_{k-1} , w, v_{k+1} {{kommadots|}} v_n |SZ=. }} Bestimme die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrizen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix|v|w}} |und|term2= {{op:Übergangsmatrix|w|v}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cpbpmw2sn69iz8veejpwnuvl4bdagrd 0 77201 780971 755044 2022-08-21T20:37:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Übergangsmatrix|v|v}}|SZ=}} zum identischen Basiswechsel von {{math|term= {{Basis|v}} |SZ=}} nach {{math|term= {{Basis|v}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6jf79onopez38dftxm6xm2shwhpa6nj 0 77202 780976 755049 2022-08-21T20:38:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} der Vektorraum der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynome| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \leq 3|SZ=}} mit der Basis {{mathl|term= {{Basis|u}} =X^0,X^1,X^2,X^3 |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Polynome {{ math/disp|term= X^3+3X^2-X+4,\, -X^3 +4 X^2+5X+3,\, 2X^2 - X+1,\, 3X^3 +5X^2+7X -2 |SZ= }} ebenfalls eine Basis von {{math|term= V|SZ=}} bilden und bestimme{{n Sie}} die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern als Vektorraum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7bxe50ek0tqtswsjhtt4rhj3rmet8nq 0 77203 783615 748762 2022-08-22T03:58:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass der von {{math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|5|3|-1|4}},\, {{op:Spaltenvektor|2|6|5|-3}} , \,{{op:Spaltenvektor|4|-2|-1|1}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= U \subseteq K^4|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3|SZ=}} besitzt. b) Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Dimension des {{ Definitionslink |Prämath= |Lösungsraumes| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= L \subseteq K^4|SZ=}} der linearen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 7x_1+5x_2+3x_3 -6x_4 ||0 || || || |SZ=. }} c) Bestimme{{n Sie}} eine Basis und die Dimension des Durchschnitts {{mathl|term= U \cap L|SZ=.}} d) Bestätige {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in diesem Beispiel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=3 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ev2did07f0glmaifw9ml0leu8mjh6w 0 77204 783612 757264 2022-08-22T03:57:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass der von {{math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|3|2|-4}},\, {{op:Spaltenvektor|2|8|-3}} }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= U \subseteq K^3|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}} besitzt. b) Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Dimension des {{ Definitionslink |Prämath= |Lösungsraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= L \subseteq K^3|SZ=}} der linearen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |-6x_1+4x_2+5x_3 ||0 || || || |SZ=. }} c) Bestimme{{n Sie}} eine Basis und die Dimension des Durchschnitts {{mathl|term= U \cap L|SZ=.}} d) Bestätige {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in diesem Beispiel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1oq2kqfyco11mjolw9h83ahfusbidrm 0 77205 780973 755046 2022-08-21T20:37:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} der Vektorraum der {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Standardbasis {{math/disp|term= {{Basis|u}} = {{op:Matrix22|1|0|0|0}},\, {{op:Matrix22|0|1|0|0}},\, {{op:Matrix22|0|0|1|0}},\, {{op:Matrix22|0|0|0|1}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math/disp|term= {{Basis|v}} = {{op:Matrix22|1|0|0|1}},\, {{op:Matrix22|1|0|0|-1}},\, {{op:Matrix22|0|1|1|0}},\, {{op:Matrix22|0|1|-1|0}} |SZ=}} ebenfalls eine Basis von {{math|term= V|SZ=}} ist und bestimme die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q4lloivqcfnlsdgif5wcctkxxlwweae 0 77206 783613 757265 2022-08-22T03:58:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |direktes Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dem von {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor|-5|4|9}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|2|-7|3}} |SZ= }} erzeugten Untervektorraum {{mathl|term= U \subseteq \R^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} puhvgc5ocrm7z4hsfyw9cyw88hsje4e 0 77207 784130 757791 2022-08-22T05:24:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Raum der {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} die direkte Summe aus dem Raum der {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dem Raum der oberen Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale und dem Raum der unteren Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summen |Kategorie2=Theorie der Matrizenräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g58b39siclgxu3gnw2v3uc54g6wgz1w 0 77208 779263 763360 2022-08-21T16:00:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein Vektorraum mit {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{basis|v}} |und|term2= {{basis|w}} |SZ=. }} Wenn man die Identität {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Identität||}} |V|V || |SZ= }} bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|v}} |SZ=}} vorne und der Basis {{math|term= {{basis|w}} |SZ=}} hinten betrachtet, so ist wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Identität||}} (v_j) || v_j || \sum a_{ij} w_i || || |SZ= }} direkt {{ Ma:Vergleichskette/disp | M^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|w}} } ( {{op:Identität||}} ) || {{op:Übergangsmatrix|v|w}} || || || |SZ=, }} d.h. die beschreibende Matrix zur identischen linearen Abbildung ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Basiswechsel von {{math|term= {{basis|v}} |SZ=}} nach {{math|term= {{basis|w}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Basiswechsel für lineare Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s752836y9b4xb80oimkzisufjsjcuzk 0 77211 780970 748665 2022-08-21T20:37:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= {{basis|u}} = {{liste1n|u}} ,\, {{basis|v}} = {{liste1n|v}} |und|term2= {{basis|w}} = {{liste1n|w}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrizen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zueinander in der Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Übergangsmatrix|u|w}} ||{{op:Übergangsmatrix|v|w}} \circ {{op:Übergangsmatrix|u|v}} || || || |SZ= }} stehen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lmkzyx8g4i5fbgned49oc9eb21fqsdz 0 77266 784131 757793 2022-08-22T05:24:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Raum der {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} die direkte Summe aus den Spaltenräumen {{ mathbed|term= S_j ||bedterm1= j=1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} ist, wobei der {{math|term= j|SZ=-}}te Spaltenraum aus denjenigen {{mathl|term= m \times n|SZ=-}}Matrizen besteht, die in der {{math|term= j|SZ=-}}ten Spalte beliebige Einträge und sonst überall den Eintrag {{math|term= 0|SZ=}} besitzen. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} die direkte Summenzerlegung für die {{mathl|term= 3 \times 4|SZ=-}}Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix34|-3|8|10|-2|2|6|4|5|5|3|0|7||||}} |SZ= }} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mp7uyb4qxz1syb2i15np7zd67tt7uzd 0 77267 785828 758991 2022-08-22T09:44:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V || \operatorname{Abb} (\R,\R) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aller {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||G \oplus U || || || |SZ= }} gibt, wobei {{math|term= G|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |geraden Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= U|SZ=}} den Untervektorraum der {{ Definitionslink |Prämath= |ungeraden Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie2=Theorie der direkten Summen |Kategorie3=Theorie der Funktionenräume |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7bez8hvr7ph8mp24ka6bsoknc84uvh1 0 77273 784833 438084 2022-08-22T07:06:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für Untervektorräume {{mathl|term= U_1,U_2,U_3|SZ=}} in einem Vektorraum {{math|term= V|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= V=U_1+U_2+U_3|SZ=}} ist, dass {{ Ma:Vergleichskette | U_i \cap U_j ||0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |i |\neq|j || || || |SZ= }} ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s2n76f74hl8qvuky5kq19ommcev4ynx 0 77316 785463 471976 2022-08-22T08:43:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Unze Gold kostet {{math|term= 1100|SZ=}} {{Euro|SZ=.}} a) Wie viel kosten sieben Unzen Gold? b) Wie viel Gold bekommt man für {{mathl|term= 10000|SZ=}} {{Euro|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b4q480taj52ifls9701ny4qd6oc8n4g 0 77317 785462 471973 2022-08-22T08:43:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Von einer Brotsorte kostet ein Laib mit {{mathl|term= 750|SZ=}} Gramm {{math|term= 3 |SZ=}} {{Euro|SZ=.}} a) Wie viel kostet ein Laib mit {{mathl|term= 1000|SZ=}} Gramm? b) Wie viel Brot bekommt man für {{mathl|term= 10|SZ=}} {{Euro|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} krmymw1vb1191y1532q95nvn7bytjgd 0 77321 781955 755848 2022-08-21T23:21:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein endlicher {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen. Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9pcwxz8mhe01g6l8bwd5jg2hynfmktf 0 77352 786362 759437 2022-08-22T11:12:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R^2|SZ=}} nach {{math|term= \R^2|SZ=}} auftreten? {{ inputbild |Regular quadrilateral|svg|100px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Gustavb |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |U+25B1|svg|100px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Sarang |Domäne=Public domain |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Regular triangle|svg|100px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Gustavb |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Trapezoid2|png|100px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Rzukow |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Hexagon|svg|100px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbild |Blancuco|jpg|100px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Tronch~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Zero-dimension|GIF|100px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=斬雲割風 |Domäne=zh.wikipedia |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Segment graphe|jpg|100px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Tartalacitrouille |Domäne= |Lizenz=CC-ba-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Disk 1|svg|100px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Paris 16 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Geometri romb|png|100px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Nicke |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} joaa1jyuf8wayvexw95519aefe5c6jl 0 77355 783807 757441 2022-08-22T04:30:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= v \in V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |\varphi( -v) ||- \varphi(v) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fbjircxtrq9puw5hvukzr2eve3mpmzs 0 77374 784126 757783 2022-08-22T05:23:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= B|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times p |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A|SZ=}} eine {{math|term= m\times n|SZ=-}}Matrix und es seien {{ math/disp|term= K^p \stackrel{B}{\longrightarrow} K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^m |SZ= }} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Matrixprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= A \circ B|SZ=}} die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qdkpu892cn6xkvwj0oajmggwkdt39qh 0 77378 785294 758611 2022-08-22T08:16:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir interpretieren eine {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sum_{n \in \N} c_n z^n|SZ=}} als eine Funktion auf {{mathl|term= {{op:Offener Ball|0|r}} \times \N|SZ=,}} wobei der offene Ball {{mathl|term= E= {{op:Offener Ball|0|r}} \subseteq {{CC}} |SZ=}} mit der induzierten Metrik und {{math|term= \N|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Zählmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen sei. Welche Eigenschaften von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und von {{ Zusatz/Klammer |text=einer komplexen Version von| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Parameterabhängiges Integral/Maßraum und reelles Intervall/Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind {{ Zusatz/Klammer |text=in Abhängigkeit von {{math|term= r|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} erfüllt? Wie kann man daraus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Potenzreihe/Positiver Konvergenzradius/Stetige Funktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erhalten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2kt9ly8y20d9lkfxfwivb0rwrw7max 0 77404 786583 759605 2022-08-22T11:49:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= B|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times p |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A|SZ=}} eine {{math|term= m\times n|SZ=-}}Matrix. Zeige{{n Sie}}, dass für den {{ Definitionslink |Prämath= |Spaltenrang| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Rang| A \circ B|}} |\leq| {{op:min| {{op:Rang|A|}} , {{op:Rang|B|}} |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} knjm7zz23uchr66wzoo1kiety3qbaed 0 77405 786582 759604 2022-08-22T11:49:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= m\times m|SZ=-}}Matrix. Zeige{{n Sie}}, dass für den {{ Definitionslink |Prämath= |Spaltenrang| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Rang| A \circ M|}} || {{op:Rang|M|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jk2s44j1as6m4mqyd0shb0qw2g29llp 0 77406 785001 636678 2022-08-22T07:32:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\neq|0 || || || |SZ= }} ein Polynom in {{math|term= n|SZ=}} Variablen über {{math|term= \R|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || {{mengebed|x \in \R^n| F(x) {{=}} 0 }} || || || |SZ= }} die Nullstellenmenge des Polynoms. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^n(T) || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie2=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie3=Theorie der affin-algebraischen Hyperflächen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdzox2pv06rebxynl1tg64hsxe0d1p6 0 77408 785858 439173 2022-08-22T09:49:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=r |[0,2 \pi]| \R_{\geq 0} || |SZ= }} eine stetige Funktion mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |r(0) ||r(2 \pi) || || || |SZ=, }} die einem Winkel {{mathl|term= t \in [0,2 \pi]|SZ=}} einen Radius zuweist, und es sei {{math|term= F|SZ=}} die Fläche, die aus den Verbindungsstrecken des Nullpunktes und den Randpunkten {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| r(t) {{op:cos|t|}} | r(t) {{op:sin|t|}} |}} |SZ=}} zusammengesetzt ist {{ Zusatz/Klammer |text=also eine Art Kugel mit variablem Radius| |ISZ=|ESZ=. }} Gilt für den Inhalt dieser Fläche die Formel {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^2(F) || {{op:Bruch|1|2}} \int_0^{2 \pi} r(t) dt || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} okjs1ahcr4y538pimwngufq1v00s35p 0 77437 785416 758699 2022-08-22T08:36:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22| {{op:Bruch|1 \pm \sqrt{1-4bc}|2}} |b|c| {{op:Bruch|1 \mp \sqrt{1-4bc}|2}} }} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Projektionen| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschreiben. Dabei sind {{mathl|term= b,c\in K|SZ=}} derart, dass eine Quadratwurzel {{mathl|term= \sqrt{1-4bc}|SZ=}} existiert. b) Bestimme sämtliche {{mathl|term= 2 \times 2|SZ=-}}Matrizen {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |SZ=, }} die eine Projektion beschreiben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2z2noeaa8kmeujbx3ct7fpk1ke8cmxm 0 77439 783645 757295 2022-08-22T04:03:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |idempotenten Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also Elemente {{mathl|term= e \in K|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |e^2 ||e || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Projektionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \varphi |K|K || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie2=Körpertheorie |Kategorie3=Theorie der linearen Projektionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pn4wv2x1emegd3vpwopl3dt4w99yggm 0 77440 783881 757507 2022-08-22T04:42:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Projektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s11vhzxm8671lnphtloq6u10pu0ndeo 0 77442 783879 757506 2022-08-22T04:42:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Projektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} durch eine Matrix der Form {{ math/disp|term= {{op:Diagonalmatrix6|1 |\ddots|1|0| \ddots|0 |}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fddsjhmtkbr6qqut0y623jvmg85pps0 0 77450 783877 757504 2022-08-22T04:42:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2|-5}} , {{op:Spaltenvektor|4|3}} |SZ= }} im {{math|term= \R^2|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb |name= \varphi |\R^2| \R^2 || |SZ= }} die Projektion von {{math|term= \R^2|SZ=}} auf {{mathl|term= \R {{op:Spaltenvektor|2|-5}} \subseteq \R^2 |SZ=}} bezüglich dieser Basis. Bestimme{{n Sie}} die Matrix zu {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3pldwwb8s4mslpx4xwksujf3kq04oq 0 77451 783878 757505 2022-08-22T04:42:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|3|7}} , {{op:Spaltenvektor|4|-9}} |SZ= }} im {{math|term= \R^2|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb |name= \varphi |\R^2| \R^2 || |SZ= }} die Projektion von {{math|term= \R^2|SZ=}} auf {{mathl|term= \R {{op:Spaltenvektor|3|7}} \subseteq \R^2 |SZ=}} bezüglich dieser Basis. Bestimme{{n Sie}} die Matrix zu {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onpx40fxs4iijvba3a37wytsd6vb9bk 0 77459 783880 439582 2022-08-22T04:42:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= L \subseteq \R^3|SZ=}} der Lösungsraum zur linearen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |3x+4y+6z ||0 || || || |SZ= }} und {{math|term= W= \R {{op:Spaltenvektor|2|0|5|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\R^3 || L \oplus W || || || |SZ= }} und beschreibe{{n Sie}} die Projektionen auf {{math|term= L|SZ=}} und auf {{math|term= W|SZ=}} bezüglich der Standardbasis. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} noyxnst6v7yzrkdgmfgw49bgf4744ax 0 77460 782852 756618 2022-08-22T01:51:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorräume/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Homomorphismenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Hom|V|W}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |prä=K|Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungsraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{opsyn|Abb|V,W|tief=|hoch=}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2=Theorie der Abbildungsräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} juvfnrgs6iqze4wmhoh1j9mvl1yd3bj 0 77463 782012 755906 2022-08-21T23:30:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Raumes der {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(v_i) |\in| K v_i || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i|SZ=.}} Wie sehen die Matrizen zu einem solchen {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich dieser Basis aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cwn28j6o6bwphc8agay02iphnupnmzi 0 77464 782003 755895 2022-08-21T23:29:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi, \psi |V|V || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismen| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass für jeden {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(U) || \psi(U) || || || |SZ= }} gilt. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette | \varphi || a \psi || || || |SZ= }} mit einem {{mathl|term= a \in K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8hyaa25p4vs3g3a8kxx9zym7crstcv5 0 77466 779251 748876 2022-08-21T15:59:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= W|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Dann ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Hom|K|W}} |W | \varphi| \varphi(1) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Vektorräumen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Homomorphismenraum/K nach W/Beispiel/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o5w6un00gpku9179gveul9minhk9bn1 0 77469 782851 756617 2022-08-22T01:50:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= W|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Hom|K|W}} |W | \varphi| \varphi(1) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Vektorräumen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kuqe0e31jnslunbygqjq19zeo1xqymf 0 77471 782341 694684 2022-08-22T00:25:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^d|\R || |SZ= }} eine messbare integrierbare Funktion. Zu einem fixierten Startpunkt {{mathl|term= (a_1 {{kommadots|}} a_d) \in \R^d|SZ=}} betrachten wir {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathl|term= (x_1 {{kommadots|}} x_d) \in \R_{\geq a_1} {{timesdots|}} \R_{\geq a_d} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} die Abbildung {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(x_1 {{kommadots|}} x_d) | {{defeq|}} | \int_{ [a_1,x_1] {{timesdots}} [a_d,x_d]} f d \lambda^d || || || |SZ=. }} a) Sei {{math|term= f|SZ=}} stetig. Zeige {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung||x_1}} {{op:Partielle Ableitung||x_2}} \cdots {{op:Partielle Ableitung||x_d}} F || f || || || |SZ= }} b) Wie ist {{mathl|term= F(x_1 {{kommadots|}} x_d )|SZ=}} für beliebige {{mathl|term= x \in \R^d|SZ=}} zu definieren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Fubini |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tl9c3v635pfdldb5r838s7f8citgtyk 0 77489 784133 757795 2022-08-22T05:24:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V || {{op:Matq|n|}} || || || |SZ= }} der Raum der {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem Körper {{math|term= K|SZ=}} mit der Standardbasis {{mathl|term= e_{ij}|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} die Spur als Linearkombination bezüglich der dualen Basis {{mathl|term= e_{ij}^*|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e3tfze2v63ia8t94booa18d635fiha7 0 77490 781158 755200 2022-08-21T21:08:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Definitionslink |Prämath= |Realteil| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Imaginärteil| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} reelle {{ Definitionslink |Prämath= |Linearformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{CC}}|SZ=}} definiert sind, wobei {{math|term= {{CC}}|SZ=}} als reeller Vektorraum betrachtet wird. Ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Betrag| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer komplexen Zahl eine reelle Linearform? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 345pjpgtpvloyouryd68htedqxi2dge 0 77492 782862 748692 2022-08-22T01:52:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} ein {{mathl|term= (n-1)|SZ=-}}dimensionaler {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=f |V|K || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |U || {{op:Kern|f}} || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6c8cl77bpf55hc9uir37zajt81orxpt 0 77498 783931 757566 2022-08-22T04:51:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= a,b,c \in K|SZ=.}} 1) Zeige{{n Sie}}, dass die Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|b|-a|0}} , \, {{op:Spaltenvektor|0|c|-b}} , \, {{op:Spaltenvektor|c|0|-a}} \in K^3 |SZ= }} Lösungen zur linearen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |ax+by+cz || 0 || || || |SZ= }} sind. 2) Zeige{{n Sie}}, dass diese drei Vektoren {{ Definitionslink |Prämath= |linear abhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. 3) Unter welchen Bedingungen erzeugen diese Vektoren den Lösungsraum der Gleichung? 4) Unter welchen Bedingungen erzeugen die ersten beiden Vektoren den Lösungsraum der Gleichung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qj721ltojkh5wyl6zjlwr2bln4trujd 0 77507 781365 755383 2022-08-21T21:43:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= {{{H|H}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |offene Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^n|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|{{{H|H}}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=C^1 |Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |{{{H|H}}}|\R_+ || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Definiere{{n Sie}} einen Diffeomorphismus zwischen den offenen Subgraphen zu {{math|term= f|SZ=}} bzw. zu {{math|term= f \circ \varphi|SZ=.}} b) Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=die|Transformationsformel für Integrale|Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in diesem Fall direkt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel für Maße/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} angewendet auf den Subgraphen, mit Hilfe von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Sigmaendlicher Maßraum/Nichtnegative Funktionen/Produkt/Über Subgraph/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jp3pt5c2hw3ua3h65ij1y5m5l2xgd1l 0 77508 786524 759557 2022-08-22T11:39:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M, {{Mengensystem|A}} , \mu)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endlicher| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=h_1, h_2 |M| \R_{\geq 0} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |messbare Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_M h_1h_2 d \mu || \int_{S(h_1)} h_2 d \mu \otimes \lambda^1 || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= h_2|SZ=}} in natürlicher Weise als Funktion auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Subgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= S(h_1)|SZ=}} zu {{math|term= h_1|SZ=}} aufgefasst wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lu6ffxn95mm9a9wau3cx5gxu7qav5r4 0 77516 781807 755715 2022-08-21T22:56:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es {{ Definitionslink |Prämath= |Linearformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= L_1 {{kommadots|}} L_r|SZ=}} auf {{math|term= V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || \bigcap_{i {{=}} 1}^r {{op:Kern|L_i|}} || || || |SZ= }} gibt. b) {{ManSie|Man folgere|Folgern Sie}}, dass jeder Untervektorraum {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des {{math|term= K^n|SZ=}} der Lösungsraum eines {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichungssystems| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=4 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r6uxigiq9zu7a5eozqxcovwqdewtocp 0 77518 782847 756613 2022-08-22T01:50:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} und einer Basis {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_m |SZ=}} von {{math|term= W|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathbed/disp|term= v_i^* w_j ||bedterm1= i = 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= j= 1 {{kommadots|}} m |SZ=, }} eine Basis des {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismenraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Hom|V|W}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6r4f92vdk1orqroav7ya89jtto7l9cc 0 77521 781452 748674 2022-08-21T21:57:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |direkten Summenzerlegung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V_1 \oplus V_2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Dualraum|V|}} || {{op:Orthogonalraum|V_1|}} \oplus {{op:Orthogonalraum|V_2|}} || || || |SZ= }} und dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |dualen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Dualraum|V|}} | {{op:Dualraum|V_1|}} || |SZ= }} auf {{mathl|term= {{op:Orthogonalraum|V_2|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der dualen Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bvef1gtve294adyhvoeh8574nskdini 0 77524 781603 755551 2022-08-21T22:22:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= U_1,U_2 \subseteq V|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Orthogonalraum| {{makl| U_1 \cap U_2 |}} |}} || {{op:Orthogonalraum|U_1|}} + {{op:Orthogonalraum|U_2|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 28ivkmvvq55s87xqhn0td7krj92sxnh 0 77528 784112 757769 2022-08-22T05:21:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|3|4|8}}| {{op:Spaltenvektor|2|1|-1}} }} |\subseteq| K^3 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|7|1|3}}| {{op:Spaltenvektor|5|4|2}} }} |\subseteq| K^3 || || |SZ=. }} a) Beschreibe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= W|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=3 \times 3 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die den Untervektorraum {{math|term= U|SZ=}} in den Untervektorraum {{math|term= T|SZ=}} abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems. b) Beschreibe{{n Sie}} {{math|term= W |SZ=}} durch ein eliminiertes Gleichungssystem. c) Bestimme{{n Sie}} die Dimension von {{math|term= W|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=4 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6sbiacjarzzqc6s080q5keegcjzd80g 0 77532 786354 759428 2022-08-22T11:11:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]|\R_+ |x|f(x) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |positive| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= a \leq b|SZ=}} aus {{math|term= \R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}} direkt {{ Zusatz/Klammer |text=ohne die Transformationsformel| |ISZ=|ESZ=, }} dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge {{ math/disp|term= M = {{mengebed|(x, f(x) {{op:cos|\alpha|}} , f(x) {{op:sin|\alpha|}} ) | x \in [a,b]|\alpha \in [0, 2 \pi[ }} \subseteq \R^3 |SZ=, }} das Volumen {{math|term= 0|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n7nix1vu8euv0irsdqjp2gncjl1itah 0 77533 784113 757770 2022-08-22T05:21:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|-2|5|-4}}| {{op:Spaltenvektor|3|4|6}} }} |\subseteq| K^3 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|6|3|4}}| {{op:Spaltenvektor|1|5|-8}} }} |\subseteq| K^3 || || |SZ=. }} a) Beschreibe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= W|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=3 \times 3 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die den Untervektorraum {{math|term= U|SZ=}} in den Untervektorraum {{math|term= T|SZ=}} abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems. b) Beschreibe{{n Sie}} {{math|term= W |SZ=}} durch ein eliminiertes Gleichungssystem. c) Bestimme{{n Sie}} die Dimension von {{math|term= W|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=4 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} terzwb6b5f9iznloenp9fowud8um5wf 0 77539 778650 762565 2022-08-21T12:35:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der eindimensionale {{ Definitionslink |Prämath=K |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= Kv \subseteq V|SZ=}} besitzt ein {{ Definitionslink |Prämath= |direktes Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || Kv \oplus U || || || |SZ= }} mit einem Untervektorraum {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=.}} Die Projektion auf {{math|term= Kv|SZ=}} zu dieser Zerlegung bildet {{math|term= v|SZ=}} auf {{math|term= 1|SZ=}} ab. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cj45txmcm6j1qwefxe45d27xb1vy8xx 0 77549 784106 757759 2022-08-22T05:20:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|4|-7}}| }} |\subseteq| K^2 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|-2|5}}| }} |\subseteq| K^2 || || |SZ=. }} a) Beschreibe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= W|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die den Untervektorraum {{math|term= U|SZ=}} in den Untervektorraum {{math|term= T|SZ=}} abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems. b) Beschreibe{{n Sie}} {{math|term= W |SZ=}} durch ein eliminiertes Gleichungssystem. c) Bestimme{{n Sie}} die Dimension von {{math|term= W|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=4 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p15js82gdwwhsfy7gu0kwfo8c668hef 0 77550 784119 757775 2022-08-22T05:22:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Es sei {{math|term= L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= \ell \times m |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= N|SZ=}} eine {{math|term= n \times p|SZ=-}}Matrix. Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{mengebed|M|M \in {{op:Mat|m|n|K}} | L \circ M \circ N {{=}} 0}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Mat|m|n|K}}|SZ=}} ist. b) Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= W|SZ=}} ein {{math|term= m|SZ=-}}dimensionaler {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} und {{mathl|term= T \subseteq W|SZ=}} Untervektorräume. Beschreibe{{n Sie}} den Untervektorraum {{ math/disp|term= {{Mengebed|\varphi \in {{op:Hom|V|W}} | \varphi(U) \subseteq T}} |SZ= }} mit Hilfe von geeigneten Basen und Teil a). |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pzts6q3qxfs4n67wpfzhf94qt61mgre 0 77565 784455 758051 2022-08-22T06:13:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{mathl| {{liste1n|V}} |SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Es seien {{ mathbed|term= v_{i_j} ||bedterm1= i_j \in I_j ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensysteme| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathbed|term= V_j ||bedterm1= j= 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |multilineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= \triangle | V_1 {{timesdots|}} V_n |W || |SZ= }} durch {{ math/disp|term= \triangle ( v_{i_1} {{kommadots|}} v_{i_n} ) |SZ= }} festgelegt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0mm7ylx2e2b3z7cmg0fyjacjl5ss09n 0 77566 784459 758054 2022-08-22T06:14:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{mathl| {{liste1n|V}} |SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |multilinearen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildungen, die mit {{mathl|term= {{op:Mult|V_1 {{kommadots|}} V_n|W}}|SZ=}} bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 738rsyoz5yeh0n8ihb5j8ge5u3p3e5v 0 77570 784453 758049 2022-08-22T06:13:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} seien {{math| V |SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |alternierenden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildungen, die mit {{mathl|term= {{op:Alt|V |W|n}}|SZ=}} bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Mult|V {{kommadots|}} V |W|K}}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei der Vektorraum {{math|term= V|SZ=}} {{math|term= n|SZ=-}}fach auftritt| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der alternierenden Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} geprv87mr33gi3yc410tp3woxzr6f0i 0 77579 784454 758050 2022-08-22T06:13:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{mathl| {{liste1n|V}} |SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name= \Phi | V_1 {{timesdots|}} V_n |W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |multilineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{mathl|term= v_{1 j} {{kommadots|}} v_{m_j j} \in V_j |SZ=}} und {{mathl|term= a_{i j} \in K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Phi {{makl| \sum_{ i {{=}} 1 }^{m_1} a_{i 1} v_{i1} {{kommadots|}} \sum_{ i {{=}} 1 }^{m_n} a_{i n} v_{in} |}} || \sum_{ (i_1 {{kommadots|}} i_n )\in \{1 {{kommadots|}} m_1 \} {{timesdots }} \{1 {{kommadots|}} m_n \} } a_{i_1} \cdots a_{i_n} \Phi {{makl| v_{i_1 1} {{kommadots|}} v_{i_n n}|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Distributivgesetz für multilineare Abbildungen |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34rxllydg6kvjf3ljkrrvezj7l3wku8 0 77594 782541 756325 2022-08-22T00:59:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die reelle Gerade zweifach, also {{ Ma:Vergleichskette |G_1 ||\R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |G_2 ||\R || || || |SZ= }} zusammen mit der Verklebungsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Identität||}} |G_1 \setminus \{0\} |G_2 \setminus \{0\} || |SZ=. }} Es sei {{math|term= M|SZ=}} der entstehende topologische Raum gemäß der in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Topologische Mannigfaltigkeit/Rekonstruktion aus Karten/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen Konstruktion. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nepp1ehajzg4rj78j174yl4hq447jzc 0 77595 786616 759631 2022-08-22T11:55:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= S^2 \subseteq \R^3|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Sphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} unter Verwendung der {{ Definitionslink |Prämath= |stereographischen Karten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dass die Einschränkungen der Koordinaten {{mathl|term= x,y,z|SZ=}} des Raumes auf die Sphäre {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktionen| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6irmf0wzuzd6f8tbgmup1br6cxjkd1x 0 77598 784458 758053 2022-08-22T06:14:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} es seien {{mathl| {{liste1n|V}} |SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb/disp |name= \Phi | V_1 {{timesdots|}} V_n |W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |multilineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ math/disp|term= {{Mengebed| {{op:Zeilenvektor|v_1|\ldots|v_n}} \in V_1 {{timesdots|}} V_n| \Phi {{op:Zeilenvektor|v_1|\ldots|v_n}} {{=}} 0|}} |SZ= }} im Allgemeinen kein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= V_1 {{timesdots|}} V_n |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t4ays67y2unxu5eqwczn3r1vb7dq8at 0 77619 786431 759501 2022-08-22T11:24:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die {{Stichwort|Sarrusminante|SZ=}} einer {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} berechnet sich, indem man die ersten {{math|term= n-1|SZ=}} Spalten der Matrix in der gleichen Reihenfolge an die Matrix anfügt und dann die {{math|term= n|SZ=}} Produkte der Hauptdiagonalen aufaddiert und die {{math|term= n|SZ=}} Produkte der Nebendiagonalen davon subtrahiert. Wir beschränken uns auf den Fall {{ Ma:Vergleichskette |n ||4 || || || |SZ=. }} Für eine Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp | M || {{op:Matrix44|a|b|c|d|e|f|g|h|l|m|n|p|q|r|s|t}} || || || |SZ= }} betrachtet man also {{ math/disp|term= {{op:Matrix47|a|b|c|d|a|b|c|e|f|g|h|e|f|g|l|m|n|p|l|m|n|q|r|s|t|q|r|s|}} |SZ= }} und die Sarrusminante ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{opsyn|sar|M|tief=|hoch=}} ||afnt+bgpq+ch l r +dems -qmgd-rnha-speb-tlfc || || || |SZ=. }} 1) Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi | {{op:Matq|4|K}} |K |M| {{opsyn|sar|M|tief=|hoch=}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |multilinear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den Zeilen der Matrix| |ISZ=|ESZ= }} ist. 2) Zeige{{n Sie}}, dass für {{mathl|term= 4 \times 4|SZ=-}}Matrizen, die eine Nullzeile enthalten, die Sarrusminante {{math|term= 0|SZ=}} ist. 3) Zeige{{n Sie}}, dass für {{mathl|term= 4 \times 4|SZ=-}}Matrizen, die eine Nullspalte enthalten, die Sarrusminante {{math|term= 0|SZ=}} ist. 4) Zeige{{n Sie}}, dass für eine obere Dreiecksmatrix die Sarrusminante das Produkt der Diagonalelemente ist. 5) Zeige{{n Sie}}, dass die Sarrusminante nicht alternierend ist. 6) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist. 7) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine nicht-invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |p1=3 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=2 |p6=2 |p7=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 87vrmuyv79tphntv5fmyxemkcwr4vp6 0 77623 781283 755317 2022-08-21T21:29:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante| {{makl| M^{-1} |}} |}} || {{makl| {{op:Determinante|M|}} |}}^{-1} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Determinantenmultiplikationssatz (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} omk26g6pwbwfkhur5cb5id4rkjpbtps 0 77634 784103 757753 2022-08-22T05:19:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= B|SZ=}} eine {{mathl|term= n \times k |SZ=-}}Matrix, wobei die Spalten von {{math|term= B|SZ=}} {{ Definitionslink |linear abhängig| |Kontext=|msw=linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien. Zeige{{n Sie}}, dass die Spalten von {{mathl|term= A \circ B|SZ=}} ebenfalls linear abhängig sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6sh8va960zuua7b8bxpybyny39y1zqk 0 77637 785679 758892 2022-08-22T09:19:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Einträgen aus {{math|term= \Z|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_M |\Z^n| \Z^n || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi_M|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} gleich {{math|term= 1|SZ=}} oder gleich {{math|term= -1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ylx2xvgimajb5r406khbpyv6awag59 0 77638 781288 755323 2022-08-21T21:30:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= n,r \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:GLG|n|K}} |(K \setminus \{0\},\cdot, 1) |M|{{op:Determinante|M|}}^r |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Determinantenmultiplikationssatz (Körper) |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ari9wb4xwpfzjx957xf053rfi33bsh 0 77674 784916 758359 2022-08-22T07:19:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine Permutation auf {{mathl|term= {{menge1n}}|SZ=}} genau dann die Identität ist, wenn sie keinen {{ Definitionslink |Prämath= |Fehlstand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2z329f2gypx3j0bc6h8kh25h35npg09 0 77677 783745 757383 2022-08-22T04:20:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n | Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |M || (a_{ij})_{ij} || || || |SZ= }} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \delta(M) || {{Determinanteleibnizformel|n|a|\pi}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen direkt, ohne die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette |\delta(M) || {{op:Determinante|M|}} || || || |SZ= }} zu verwenden {{ Zusatz/Klammer |text=Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden| |ISZ=|ESZ=. }} a) Es ist {{ Ma:Vergleichskette |\delta(E_n) ||1 || || || |SZ=. }} b) {{math|term= \delta|SZ=}} ist multilinear in den Zeilen der Matrix. c) {{math|term= \delta|SZ=}} ist alternierend in den Zeilen der Matrix. d) {{ManSie|Man folgere|Folgern Sie}} aus a),b),c), dass {{ Ma:Vergleichskette | \delta(M) || {{op:Determinante|M|}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=1 |p2=2 |p3=6 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4207wmf41qc65ssh4snf5rk8vwb5g6b 0 77713 785163 758514 2022-08-22T07:56:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Ergebnis, wenn man im {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= X^2-5X+3 |SZ= }} die Variable {{math|term= X|SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|6|7|-4|5}} |SZ= }} ersetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einsetzung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ms7to0fgvy2q70eriltfa7dy3icw043 0 77719 782035 755928 2022-08-21T23:34:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=g |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | g P(f) g^{-1} ||P (gfg^{-1}) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} epyo87hx4ufvxccwjbfmi354fkwsnpa 0 77720 785159 758511 2022-08-22T07:56:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f,g |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(f \circ g) ||P (f) \circ P(g) || || || |SZ= }} im Allgemeinen {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3uxsrucderwzimvyrm8rioh0kd2l2p 0 77721 782006 755898 2022-08-21T23:29:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=g |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi_g | {{op:End|V|}} | {{op:End|V|}} |f|gfg^{-1} |SZ=, }} ein Vektorraum-Isomorphismus ist und dass darüber hinaus {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Psi_g(f_1 \circ f_2) ||\Psi_g(f_1 ) \circ \Psi_g (f_2) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Psi_g( {{op:Identität|V|}} ) ||{{op:Identität|V|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Endomorphismenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gj8vmshasifj7zxg734jdi8t8ju0uop 0 77722 783608 757261 2022-08-22T03:57:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K^{(\N)} |K^{(\N)} || |SZ=, }} die durch {{mathl|term= e_n \mapsto e_{n+1}|SZ=}} festgelegt ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} nur vom Nullpolynom annulliert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hh7gxkdgbw3vk529l3wzyif1zh7ufn0 0 77723 781790 755693 2022-08-21T22:53:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir besprechen die {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynome| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu den {{ Definitionslink |Prämath= |Elementarmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass das Minimalpolynom einer Vertauschungsmatrix {{mathl|term= V_{ij}|SZ=}} gleich {{mathl|term= X^2 -1|SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass das Minimalpolynom einer skalaren Elementarmatrix {{math|term= S_k (s) |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |s |\neq|1 || || || |SZ= }} gleich {{ math/disp|term= X^2 -(s+1)X +s |SZ= }} ist. c) Zeige{{n Sie}}, dass das Minimalpolynom einer Additionsmatrix {{math|term= A_{ij}(a) |SZ=}} von der Form {{ math/disp|term= (X-1)^k |SZ= }} ist. Was ist dabei {{math|term= k|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen‎ |Kategorie2=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kkk6rzqg9pc9mp8rwjowabbxslxoquu 0 77724 782875 756638 2022-08-22T01:54:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} eine endliche Menge und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |I|I || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= \varphi|SZ=}} als die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || \tau_1 {{circdots}} \tau_k \circ \rho_1 {{circdots}} \rho_m || || || |SZ= }} schreiben kann, wobei die {{math|term= \tau_i|SZ=}} Transpositionen und die {{math|term= \rho_j|SZ=}} Abbildungen derart sind, dass es {{mathl|term= r , s \in I|SZ=}} gibt mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\rho {{|}}_{I \setminus \{r\} } || {{op:Identität| I \setminus \{r\} |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\rho (r) ||s || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b1d684fqh6q5ocyg6cnev7c2eh241xh 0 77753 785570 758815 2022-08-22T09:01:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \R^2 \setminus \{0\}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diffeomorph| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem Produkt aus eindimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= |Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkte von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Torus |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rkcjfqkrzj69uzvkovdrxmtg1myaz17 0 77754 780666 754787 2022-08-21T19:46:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeine lineare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |G ||{{op:GLG|n|\R}} |\subseteq | \R^{n^2} || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |offene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^{n^2}|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} eine {{Stichwort|differenzierbare Gruppenstruktur|SZ=}} auf {{math|term= G|SZ=,}} also ein neutrales Element {{mathl|term= P \in G|SZ=,}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |G|G |x| \alpha (x) |SZ=, }} und eine differenzierbare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G \times G|G |(x,y)| \varphi(x,y) |SZ=, }} derart, dass {{math|term= G|SZ=}} mit diesen Daten zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lie-Gruppen |Kategorie2=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cgn2x6oqbtfz96rgp9ny2pkwtahw3ol 0 77783 784917 758360 2022-08-22T07:19:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Permutation1n/Situation|M=I|SZ=.}} Die zugehörige {{Stichwort/Betonung|term=Permutationsmatrix|SZ=}} {{math|term= M_\pi |SZ=}} ist dadurch gegeben, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | a_{ \pi (j),j} ||1 || || || |SZ= }} ist und alle anderen Einträge {{math|term= 0|SZ=}} sind. a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4 |text2={{math|term= \pi (x)|SZ=}}|3|1|4|2 }} b) Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |S_n| {{op:GLG|n|K}} | \pi| M_\pi |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. c) Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante|M_\pi|}} || {{op:Signum|\pi }} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=3 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5qgiblxb6z7gy5oogzkad2d9jpg872o 0 77887 785029 579415 2022-08-22T07:36:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Schreibe{{n Sie}} das Polynom {{ math/disp|term= X^4-1 |SZ= }} als Produkt von Linearfaktoren in {{math|term= {{CC}}[X]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie= Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jpbcq1vca4tvwx328hiudiwbs7949a2 0 77889 785188 758533 2022-08-22T08:00:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{ideala|}} \subseteq K[X] |SZ=}} ein Ideal, das die beiden Elemente {{ mathkor|term1= X^2+7X+5 |und|term2= 6X+3 |SZ= }} enthält. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{ideala|}}|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6r8bujesvkwzp9v2gaze4hfa617shki 0 77891 785115 758479 2022-08-22T07:49:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass im Polynomring {{mathl|term= K[X]|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} jedes {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} golyc9hefyuus1r2vgtikmw037eemdd 0 77893 781771 755675 2022-08-21T22:50:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= a \in K|SZ=}} ein fixiertes Element. a) Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} || {{Mengebed|F \in K[X]| F(a) {{=}} 0}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) Bestimme{{n Sie}} ein Polynom {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} || (P) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstante |Punkte=5 |p1=2 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fidl8s167rr7rkpjt0iam2nmq4vpy6q 0 77896 785215 758555 2022-08-22T08:04:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten in {{mathl|term= \Q[X]|SZ=}} die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= (X-2) |und|term2= (X+3) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt {{ math/disp|term= (X-2) \cap (X+3) |SZ= }} gleich dem Hauptideal {{mathl|term= ( (X-2)\cdot(X+3) )|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} npaoy318ofut9i5zqviy1a7xbdublkq 0 77901 784751 758215 2022-08-22T06:54:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|a|b|0|d}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |M^2 ||0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2f75mnbinzlfbr2r4u6ug48ny80h0jy 0 77906 785156 758508 2022-08-22T07:55:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Ergebnis, wenn man im {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= X^2+(1+4 {{Imaginäre Einheit|}} )X+3- {{Imaginäre Einheit|}} |SZ= }} die Variable {{math|term= X|SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2- {{Imaginäre Einheit|}} |1+3 {{Imaginäre Einheit|}} |5|-3+4 {{Imaginäre Einheit|}} }} |SZ= }} ersetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einsetzung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 09ggertkxgzsijnz01ujz4wwl94qygk 0 77908 785157 758509 2022-08-22T07:56:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Ergebnis, wenn man im {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= X^3 - 4X+2 |SZ= }} die Variable {{math|term= X|SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22| 3 |-2| 1|5}} |SZ= }} ersetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einsetzung |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2gmiwv82hekq7oewy1bzvtzcu2f1q2w 0 77910 785158 758510 2022-08-22T07:56:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Ergebnis, wenn man im {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= X^7-3X^6+4X^4+5X^3+7X^2-4X+5 |SZ= }} die Variable {{math|term= X|SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Prämath=3 \times 3 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|0| 2 |4|0|0| 1|0|0|0}} |SZ= }} ersetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einsetzung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} guiz0hex20ngllclm5cz92z91u73ew8 0 77920 784752 758216 2022-08-22T06:54:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=}} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|a|b|0|d}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |M^2 +3M -4 E_2 ||0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o6xnemas27zee1m2s1652e3p1tgehrq 0 77925 783911 614658 2022-08-22T04:47:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in {{math|term= n|SZ=}} Variablen über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4b0sqpvmec96i2u8eix6eeknmtow5j5 0 77934 783839 757465 2022-08-22T04:35:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Es seien {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=L_i |V_i|V_i || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |Prämath= |Produktabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= L_1 {{timesdots|}} L_n |V_1 {{timesdots|}} V_n |V_1 {{timesdots|}} V_n || |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante(| L_1 {{timesdots|}} L_n |}} || {{op:Determinante| L_1 |}} \cdots {{op:Determinante| L_n |}} || || || |SZ= }} gilt. b) Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= T |SZ= }} endlichdimensionale {{math|term= K|SZ=-}}Vektorräume und {{ Ma:abbele/disp |name=L |V|V || |SZ= }} eine lineare Abbildung. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{op:Hom|T|V}} |{{op:Hom|T|V}} | f| L \circ f |SZ=, }} die induzierte Abbildung. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante|\varphi|}} || {{makl| {{op:Determinante|L|}} |}}^{ {{op:dim vr|T|}} } || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2=Determinantentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=5 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pqfdm2jarq3hexs2yz74ekx8w1dootc 0 77938 781964 755856 2022-08-21T23:22:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen. a) Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{math|term= d|SZ=.}} Wie viele Elemente besitzt {{math|term= V|SZ=?}} b) Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann endlich ist, wenn er {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensional| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. c) Wie viele Basen besitzt ein {{math|term= d|SZ=-}}dimensionaler {{math|term= K|SZ=-}}Vektorraum? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gm4yz4yacezxlkb42q1ke9pt4r4co5q 0 77943 785337 758637 2022-08-22T08:23:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der reellen Zahlen {{math|term= \ln p|SZ=,}} wobei {{math|term= p|SZ=}} durch die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} läuft, {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Tipp: Verwende{{n Sie}}, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des natürlichen Logarithmus |Kategorie2=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie3=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie |Objektkategorie=Natürlicher Logarithmus (reell) |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6wnk45tcah02nvb302fl5hkngyohqrm 0 77946 785093 443371 2022-08-22T07:46:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b7spwy90pk1kx831f469cjjync5crbo 0 77949 785112 632675 2022-08-22T07:49:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die Division mit Rest im Polynomring {{mathl|term= K[X]|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} njdws5n22lhcshaiqavy9naqi5xhco2 0 77973 783646 443143 2022-08-22T04:03:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die {{Stichwort/Abfrage|Nichtnullteilereigenschaft|SZ=}} für einen Körper {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b93asxy17f82ptdng0xr8ihg49va6e5 0 77977 784922 758365 2022-08-22T07:19:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Signum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |Transposition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= -1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m6u69aczl2f5l3dnzfbs39zer8x4k6q 0 77992 781728 755641 2022-08-21T22:43:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was sind bei einer {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K|K || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hr6nu9sqx82sp7qllgvlasl73vnlgm8 0 77993 784756 758222 2022-08-22T06:55:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Obere Dreiecksmatrix|d}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |obere Dreiecksmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} ein Diagonaleintrag von {{math|term= M|SZ=}} sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rgnscnika3o5dq83ol4p5mya76pw1me 0 77995 781460 755470 2022-08-21T21:58:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i |V_i|V_i || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= a \in K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi_k|SZ=}} für ein bestimmtes {{math|term= k|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= a|SZ=}} auch ein Eigenwert zur {{ Definitionslink |Prämath= |Produktabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_1 {{timesdots|}} \varphi_n |V_1 {{timesdots|}} V_n |V_1 {{timesdots|}} V_n || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 48si6ko22es1vcxczwn6lmxmdz6ftoz 0 77996 783886 757511 2022-08-22T04:43:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer durch eine Matrix der Form {{mathl|term= {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |SZ=}} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K^2|K^2 || |SZ= }} ist, wenn {{math|term= \lambda|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstelle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Polynoms {{ math/disp|term= X^2 -(a+d)X + ad-cb |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Das charakteristische Polynom |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i5wrpotxck48rl9suwsmnigv4ikgq9t 0 77997 781710 755632 2022-08-21T22:40:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und sei {{math|term= v \in V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Dualraum|\varphi|}} | {{op:Dualraum|V|}} | {{op:Dualraum|V|}} || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |duale Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=.}} Wir betrachten Basen von {{math|term= V|SZ=}} der Form {{mathl|term= v, u_1 {{kommadots|}} u_r|SZ=}} mit der Dualbasis {{mathl|term= v^*, u_1^* {{kommadots|}} u_r^*|SZ=.}} Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten. a) {{math|term= v^*|SZ=}} ist Eigenvektor von {{math|term= {{op:Dualraum|\varphi|}} |SZ=}} zum Eigenwert {{math|term= \lambda|SZ=}} unabhängig von {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_r|SZ=.}} b) {{math|term= v^*|SZ=}} ist Eigenvektor von {{math|term= {{op:Dualraum|\varphi|}} |SZ=}} zum Eigenwert {{math|term= \lambda|SZ=}} bezüglich einer Basis {{mathl|term= v, u_1 {{kommadots|}} u_r|SZ=,}} aber nicht bezüglich einer Basis {{mathl|term= v, w_1 {{kommadots|}} w_r|SZ=.}} c) {{math|term= v^*|SZ=}} ist bezüglich keiner Basis {{mathl|term= v, u_1 {{kommadots|}} u_r|SZ=}} ein Eigenvektor von {{math|term= {{op:Dualraum|\varphi|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der dualen Abbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=1 |p2=4 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nnfa5gnd4u7shifdx2s4p8c67io7398 0 78002 781224 755266 2022-08-21T21:19:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\bigwedge^m \varphi |\bigwedge^m V | \bigwedge^m V || |SZ= }} das {{math|term= m|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Dachprodukt| |Kontext=lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} zu den {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_m|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= a_1 \cdots a_m|SZ=}} ein Eigenwert von {{math|term= \bigwedge^m \varphi|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1yw5yr5r139kwr50tn4ibyp8nkxufh7 0 78004 781711 755634 2022-08-21T22:40:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi, \psi |V|V || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{math|term= v \in V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} und von {{math|term= \psi|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= v|SZ=}} auch ein Eigenvektor von {{math|term= \varphi \circ \psi|SZ=}} ist. Was ist der Eigenwert? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jm1pgzbhcvb31hl2el1rsbvyszdwrqk 0 78008 781716 755635 2022-08-21T22:41:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und sei {{mathl|term= a \in K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= a|SZ=}} auch ein Eigenwert der {{ Definitionslink |Prämath= |dualen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Dualraum|\varphi|}} | {{op:Dualraum|V|}} | {{op:Dualraum|V|}} || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der dualen Abbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j459j5tojd1zkgihozn2ud0p3mhqi5x 0 78018 781717 755636 2022-08-21T22:41:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} zu einem {{mathl|term= a \in K|SZ=}} und einem {{ mathbed|term= m ||bedterm1= 1 \leq m \leq n ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} an, deren einziger {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= a|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |geometrischer Vielfachheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= m|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geometrischen Vielfachheit von Eigenwerten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ggxuqy4b5c1tskbohfg2728mlklpdx3 0 78022 782019 755913 2022-08-21T23:32:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus n dimensional/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ist, wenn {{math|term= \lambda|SZ=}} eine Nullstelle des {{ Definitionslink |charakteristischen Polynoms| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qk4hf2s3nunbdaw0em9g27lv7fl9kl0 0 78024 784078 757726 2022-08-22T05:15:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math/disp|term= M \in {{op:Matq|n}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=paarweise| |ISZ=|ESZ= }} verschiedenen {{ Definitionslink |Eigenwerten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Spur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} die Summe der Eigenwerte ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i73kqpujbqxmv86js9nxokw49o8y6g9 0 78025 781340 755357 2022-08-21T21:38:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Dualraum|\varphi|}} | {{op:Dualraum|V|}} | {{op:Dualraum|V|}} || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |duale Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= {{op:Dualraum|\varphi|}} |SZ=}} diagonalisierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der dualen Abbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8pasoiufrgrtwetpsium4d335su3fsf 0 78026 781449 755461 2022-08-21T21:57:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i |V_i|V_i || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi {{=}} \varphi_1 {{timesdots|}} \varphi_n |V_1 {{timesdots|}} V_n |V_1 {{timesdots|}} V_n || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Produktabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn dies für alle {{math|term= \varphi_i|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2d8e80bwycc50b86aqkofs9sxed1ig5 0 78029 784032 757663 2022-08-22T05:08:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term= {{op:Matrix22|0|1|1|0|}} |SZ=}} über {{math|term= \Q|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hgdokanj52knfv0hyi66ng39jq7gydm 0 78030 784031 757661 2022-08-22T05:07:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term= {{op:Matrix22|0|1|1|0|}} |SZ=}} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper mit zwei Elementen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {\mathbb F}_2|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8s3g1lbf4fawje0yuwjrdmtly18grkj 0 78031 784030 757660 2022-08-22T05:07:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term= {{op:Matrix22|0|1|-1|0|}} |SZ=}} über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, nicht aber über {{math|term= \R |SZ=.}} Führe{{n Sie}} die Diagonalisierung über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} durch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fl1jbfu48j96rtb2wpdr2wzbg3n7asy 0 78032 782987 756744 2022-08-22T02:13:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |inverse Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M^{-1}|SZ=}} diagonalisierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ls2k09hlgmhxgwsrvedhqrjbpsfrdby 0 78033 782046 755940 2022-08-21T23:36:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbarer Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und sei {{math|term= P \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= P(\varphi)|SZ=}} ebenfalls diagonalisierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dxl78tkfruh04ooizsg0wkh01egx279 0 78034 782848 756614 2022-08-22T01:50:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorräume/Situation|SZ=,}} wobei {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensional| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{liste1n|v}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} sei. Es sei {{math|term= {{op:Hom|V|W}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=}} von {{mathkor|term1= V|nach|term2= W |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp|name=F |{{op:Hom|V|W}}|W^n | \varphi|F(\varphi) :{{=|}} {{op:Zeilenvektor| \varphi(v_1)|\ldots | \varphi(v_n) }} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K|SZ=-}}Vektorräumen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oyuiaontqeivk8g4divqyk8h8p2awda 0 78036 783022 756782 2022-08-22T02:19:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektor{{latextrenn|}}raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi^{-1}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= a \in K|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ist, wenn {{mathl|term= a^{-1}|SZ=}} ein Eigenwert von {{mathl|term= \varphi^{-1}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdf4nbsghfq78sruitcdohkaeh9myej 0 78051 784048 757687 2022-08-22T05:10:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe{{n Sie}}, ob der Vektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|3|1|-1}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|-2|-5|1|0|-2|2|4|-3|5|}} |SZ= }} ist und bestimme{{n Sie}}, falls ein Eigenvektor vorliegt, den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m50iyl8io1run9raev1quj4ezctasgj 0 78055 784088 757734 2022-08-22T05:17:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= a \in \R|SZ=}} eine reelle Zahl, die ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} ist, wenn man diese als eine komplexe Matrix auffasst. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= a|SZ=}} schon im Reellen ein Eigenwert von {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2opohxsy3ahba3jdbazsqcl8gqhxbtr 0 78058 784261 757898 2022-08-22T05:46:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom|f|}} |SZ=}} und das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \mu_f|SZ=}} die gleichen Nullstellen besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 66f5w0zvpu083i843ahthkiafeueybs 0 78086 780386 754592 2022-08-21T18:59:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= 2|SZ=-}}Sphäre {{math|term= S^2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |orientierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 430ni46nfbr7dafoe0moqy435rs4lat 0 78095 781701 755624 2022-08-21T22:39:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme den {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |geometrische Vielfachheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= -2|SZ=}} zur Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|2|1|3|5|0|7|9|3|8|}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} osgm7e8l8p6ciha6wubpg6spsohq5cm 0 78096 784042 757677 2022-08-22T05:09:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2|3|0|5|}} |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Basiswechsel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0cj2eh9nnwc4ihsdtotgyt445cqeruj 0 78097 784054 757695 2022-08-22T05:11:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|6|1|0|0|2|4|0|0|7|}} |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und bestimme{{n Sie}} eine Basis aus Eigenvektoren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} grejbtz2m57c30z7l8qi9fmk9o65fev 0 78100 779454 763550 2022-08-21T16:30:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{mathl|term= 2\times 2|SZ=-}}{{Stichwort|Scherungsmatrizen|msw=Scherungsmatrix|SZ=}} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1|a|0|1}} |SZ= }} mit {{mathl|term= a \in K|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Eigenwertbedingung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für ein {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=}} bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|1|a|0|1}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || \lambda {{op:Spaltenvektor|x|y}} || || || |SZ=, }} was zu den beiden Gleichungen {{ math/disp|term= x+ay = \lambda x \text{ und } y = \lambda y |SZ= }} führt. Bei {{ Ma:Vergleichskette |\lambda |\neq |1 || || || |SZ= }} folgt {{ Ma:Vergleichskette |y ||0 || || || |SZ= }} und dann auch {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ=, }} d.h. es kann nur {{math|term= 1|SZ=}} ein Eigenwert sein. In diesem Fall ist die zweite Gleichung erfüllt und die erste Gleichung wird zu {{ math/disp|term= x+ay=x \text{ bzw. } ay =0 |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} muss also {{ Ma:Vergleichskette |y ||0 || || || |SZ= }} sein und dann ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x|0}} |SZ=}} der Eigenraum zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=,}} und {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|0}}|SZ=}} ist ein Eigenvektor, der den Eigenraum aufspannt. Bei {{mathl|term= a=0|SZ=}} liegt die Einheitsmatrix vor, und der {{ Definitionslink |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=}} ist die gesamte Ebene. Bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} gibt es also nur einen eindimensionalen Eigenraum und die Abbildung ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Scherung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jpw13w7tnk819pejriz6tndcj7itxa7 0 78102 783784 757416 2022-08-22T04:26:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es maximal {{mathl|term= {{op:dim vr|V|}} |SZ=}} viele {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o6qbzwui9jhfercdfd08ehbvk3lp0vw 0 78133 782654 445228 2022-08-22T01:18:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über das inverse Element in einer Gruppe {{mathl|term= (G, \circ ,e)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ti1l7nhq5ykz77a11fyipgsehzyah6v 0 78203 784757 758223 2022-08-22T06:55:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Obere Dreiecksmatrix|d}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |obere Dreiecksmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} direkt {{ Zusatz/Klammer |text=ohne charakteristisches Polynom| |ISZ=|ESZ=, }} dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} ein Diagonaleintrag von {{math|term= M|SZ=}} sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxrbulb8kbnnxm3ijgx83xgwoj2zpo5 0 78205 784754 758220 2022-08-22T06:55:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Obere Dreiecksmatrix|d}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |obere Dreiecksmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} direkt {{ Zusatz/Klammer |text=ohne charakteristisches Polynom| |ISZ=|ESZ=, }} dass ein Diagonalelement von {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 88yh4b8k9j58joa4bg16swigpqorjut 0 78231 784056 757697 2022-08-22T05:12:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und sei {{math/disp|term=P= a_0 +a_1X {{plusdots|}} a_m X^m \in K[X]|SZ=}} ein Polynom mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(M) ||0 || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette |a_0 |\neq|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass die {{ Definitionslink |Prämath= |inverse Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |M^{-1} || - {{op:Bruch|1|a_0}} {{makl| a_1+ a_2 M {{plusdots|}} a_m M^{m-1} |}} || || || |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p1hq5bpv3r7637ickea6teindofzyw7 0 78250 782027 755921 2022-08-21T23:33:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Exponent, mit dem {{mathl|term= X- \lambda|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} vorkommt, sowohl kleiner als auch größer als die {{ Definitionslink |Prämath= |geometrische Vielfachheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \lambda|SZ=}} sein kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geometrischen Vielfachheit von Eigenwerten |Kategorie2=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5c6gy9isevbi0zo4tw25v2y8bjdoe7z 0 78278 781342 755359 2022-08-21T21:39:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |diagonalisierbare Matrix| |Kontext=ev| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} die Form {{ math/disp|term= (X- \lambda_1) \cdots (X- \lambda_k) |SZ= }} mit verschiedenen {{math|term= \lambda_i|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5qv6v84rlo293owriawhceix3oq6joy 0 78280 782016 755910 2022-08-21T23:31:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=}} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\psi=\varphi {{oplusdots}} \varphi |V {{oplusdots}} V| V {{oplusdots}} V || |SZ= }} die {{math|term= m|SZ=-}}fache {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=Lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} mit sich selbst. Wie verhält sich das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= \psi|SZ=}} zum Minimalpolynom {{ Zusatz/Klammer |text=zum charakteristischen Polynom| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom |Kategorie2= Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen‎ |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nkwf1ba5plstnij6kgnfl3i52c1ib54 0 78281 782005 755897 2022-08-21T23:29:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= \psi |W|W || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynomen| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= P |bzw.|term2= Q |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Minimalpolynom von {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi \oplus \psi | V \oplus W| V \oplus W || |SZ= }} gleich dem {{ Definitionslink |Prämath= |normierten| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeuger| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Ideals| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (P) \cap (Q)|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t5r50lf9p2t47k1neggsx9jlu9ho7s0 0 78283 784941 758383 2022-08-22T07:23:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7nwyfixf5u63q6cb4xc6m3qlyyy9gqa 0 78284 784948 758389 2022-08-22T07:24:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Von einer {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \pi \in S_n|SZ=}} sei die {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bekannt. Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M_\pi|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie2=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie3=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a7iqqydjm63z2h8zxpmfseusj8coh6p 0 78285 784058 757701 2022-08-22T05:12:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} \in K[X] |SZ=}} mit dem charakteristischen Polynom zu {{math|term= M|SZ=}} übereinstimmt, wenn man die Matrix über {{math|term= L|SZ=}} auffasst. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r8arcd5pljlbzdjovpttbqxt773y0kw 0 78286 784076 757723 2022-08-22T05:15:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= P \in K[X] |SZ=}} mit dem Minimalpolynom zu {{math|term= M|SZ=}} übereinstimmt, wenn man die Matrix über {{math|term= L|SZ=}} auffasst. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8tnj88m64novxl2qkcftmd1ryse7t09 0 78288 784265 757902 2022-08-22T05:46:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= P \in K[X]|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||F_1 \cdots F_k || || || |SZ= }} eine Faktorzerlegung in Polynome {{math|term= F_i|SZ=}} von positivem Grad. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= F_i(M)|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8gh7af9ihdyjh4d9gue0okzybft6yfr 0 78290 784273 757909 2022-08-22T05:48:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n\times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=,}} dessen {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Form {{ math/disp|term= (X- \lambda_1) \cdots (X- \lambda_k) |SZ= }} mit verschiedenen {{math|term= \lambda_i|SZ=}} besitze. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jsm4aaprdtxwtr6q89xrudjq8ezabij 0 78294 784266 757903 2022-08-22T05:47:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X-a|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Streckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Streckungsfaktor {{math|term= a|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der Streckungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 21zneo3hijzbryavfyzbricz6vahckr 0 78297 781960 755852 2022-08-21T23:22:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0418w8ab9labdq9f45vq08eve5gu8cr 0 78298 781977 755869 2022-08-21T23:25:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|0|1|2|0|}} |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 3|SZ=}} Elementen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 3‎ |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lpqk6onn9b0lsc9im5me4nsthj2j6hj 0 78301 781972 755864 2022-08-21T23:24:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} endliche {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen über endlichen Körpern |Kategorie2=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nt6ndizztr1r06r6ii8u8k311eg6wuf 0 78307 784085 446319 2022-08-22T05:16:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Schreibe{{n Sie}} die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|4X^2-3X+2|X^3-2X+8|3X^4-X^3-2X^2+7|X^4-6|}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit Einträgen aus {{mathl|term= \Q[X] \subset \Q(X)|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} als {{ math/disp|term= A_4 X^4 + A_3X^3+A_2X^2+A_1X+A_0 |SZ= }} mit Matrizen {{mathl|term= A_4,A_3,A_2,A_1,A_0 \in {{op:Matq|2|K=\Q}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 81x0l78eg4nfo59w5vmjdk67jtur6c3 0 78308 781197 755242 2022-08-21T21:14:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was ist falsch an der folgenden Argumentation: {{Anführung|Zu zwei quadratischen {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M,N|SZ=}} gilt für die {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristischen Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|M \circ N|}} || {{op:Charakteristisches Polynom|M |}} {{op:Charakteristisches Polynom| N|}} || || || |SZ=. }} Nach Definition ist nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|M \circ N|}} || {{op:Determinante(|XE_n - M \circ N|}} || {{op:Determinante(|XE_n - M |}} {{op:Determinante(|XE_n - N|}} || {{op:Charakteristisches Polynom|M |}} \cdot {{op:Charakteristisches Polynom| N|}} || |SZ=,}} wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9kvtqvlyujtmalt4ifudvs5py4ulf6h 0 78310 784755 758221 2022-08-22T06:55:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was ist falsch an der folgenden Argumentation: {{Anführung|Aussage: Es sei {{math|term= \lambda|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |oberen Dreiecksmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Obere Dreiecksmatrix|d}} || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda || d_n || || || |SZ=. }} Beweis: Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || {{op:Spaltenvektor|x_1|\vdots|x_n}} || || || |SZ= }} ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert {{math|term= \lambda|SZ=.}} Dies bedeutet die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Obere Dreiecksmatrix|d}} {{op:Spaltenvektor|x_1|\vdots|x_n}} || \lambda {{op:Spaltenvektor|x_1|\vdots|x_n}} || || || |SZ=. }} Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |d_nx_n || \lambda x_n || || || |SZ=. }} Da {{math|term= x|SZ=}} als Eigenvektor von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenen sein muss, kann man durch {{math|term= x_n|SZ=}} dividieren und erhält {{ Ma:Vergleichskette | d_n || \lambda || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} npvp4cmfofst86x705ss4thoi7wharf 0 78319 782048 755942 2022-08-21T23:36:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbarer Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und sei {{math|term= P \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= P(\varphi)|SZ=}} ebenfalls trigonalisierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8eo89wyncjouyvkleijtm88p1xdb2xh 0 78327 779592 751597 2022-08-21T16:53:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten den größten gemeinsamen Teiler für die beiden Polynome {{ mathkor|term1= X^3+6X^2-7X+3 |und|term2= X^2-5X+4 |SZ= }} aus {{math|term= \Q[X]|SZ=}} berechnen. Dazu führt man die {{ Definitionslink |Prämath= |Division mit Rest| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | X^3+6X^2-7X+3 || {{makl| X^2-5X+4 |}} {{makl| X+11 |}} + 44X-41 || || || |SZ=. }} Nach {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} haben die beiden Ausgangspolynome und {{ mathkor|term1= X^2-5X+4 |und|term2= 44X-41 |SZ= }} den gleichen größten gemeinsamen Teiler. Eine weitere Division mit Rest ergibt {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | X^2-5X+4 || {{makl| 44X-41 |}} {{makl| {{op:Bruch|1|44}} X - {{op:Bruch|179|1936 }} |}} + {{op:Bruch|405 |1936}} || || || |SZ=. }} Daher sind die beiden Polynome teilerfremd. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Lemma von Bezout (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5rbicyxjew6mpzkj9x1l6rgnauby300 0 78354 780393 754597 2022-08-21T19:00:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|a|b|c|d}} || || || |SZ= }} eine Matrix über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass es eine zu {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ähnliche Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass es nicht unbedingt eine zu {{math|term= M|SZ=}} ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich {{math|term= 0|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=3 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bicgvnlbykk6883muehpq3iedag8rmv 0 78356 780394 754599 2022-08-21T19:01:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|a|b|c|d}} || || || |SZ= }} eine Matrix über {{math|term= \Q|SZ=,}} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= 0|SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass es eine zu {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ähnliche Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= N|SZ=}} der Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp |N || {{op:Matrix22|0|r|s|0}} || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nss0w4xglqz7e6embshvn97v37hqvzd 0 78364 782017 755911 2022-08-21T23:31:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Dualraum|\varphi|}} | {{op:Dualraum|V|}} | {{op:Dualraum|V|}} || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |duale Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= {{op:Dualraum|\varphi|}} |SZ=}} trigonalisierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der dualen Abbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lsgftvo6u402w5ur6oam4mw1rlnmrf6 0 78365 782058 755952 2022-08-21T23:38:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= \varphi |SZ=}} bezüglich einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |untere Dreiecksmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Untere Dreiecksmatrix|a}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j1chdfz4guxb96hzvfhy11s4h26ppo6 0 78370 784096 757743 2022-08-22T05:18:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber weder {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} noch {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |Prämath=3 \times 3 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=,}} die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9wpnnxrwhs2rf9j89wo3xppddf2hlzs 0 78371 780497 754683 2022-08-21T19:18:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=D | \R[X]_{\geq m}| \R[X]_{\geq m} || |SZ= }} die Einschränkung des {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitungsoperators| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= P \mapsto P'|SZ=}} auf die Polynome vom Grad {{mathl|term= \leq m|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= D|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}} ebenfalls, dass {{ Ma:abbele/disp |name=D | \R[X]| \R[X] || |SZ= }} nicht nilpotent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t9orna209ybyeieaiver7fbhc8q3vbc 0 78374 785241 758573 2022-08-22T08:08:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |positiver Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |p |>|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1|1|0|1}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume über endlichen Körpern |Kategorie2=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie3=Theorie der jordanschen Normalform |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s4ddesovft5us8xjocmzrc7kb0y91r0 0 78383 784943 758384 2022-08-22T07:23:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \pi \in S_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M_\pi|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zu {{mathl|term= J \subseteq {{menge1n}} |SZ=}} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_J || {{op:Span|e_j|j \in J}} |\subseteq|K^n || || |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= V_J|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath=M_\pi |invariant| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette |\pi(J) |\subseteq| J || || || |SZ= }} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass es {{math|term= M_\pi|SZ=-}}invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form {{math|term= V_J|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie2=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jwd1mbmlw2e0evu2k0iraxyebiadd1f 0 78386 779455 751401 2022-08-21T16:31:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir behaupten, dass die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|3|1|-1|1}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |B || {{op:Matrix22|3|2|1|1}} || || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |inversen Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |B^{-1} || {{op:Matrix22|1|-2|-1|3}} || || || |SZ=. }} Eine direkte Rechnung zeigt {{ Ma:Vergleichskette/disp/enger | BMB^{-1} || {{op:Matrix22|3|2|1|1}} {{op:Matrix22|3|1|-1|1}} {{op:Matrix22|1|-2|-1|3}} || {{op:Matrix22|3|2|1|1}} {{op:Matrix22|2|-3|-2|5}} || {{op:Matrix22|2|1|0|2}} || |SZ=. }} Bei diesem Nachweis der Trigonalisierbarkeit taucht die Übergangsmatrix {{math|term= B|SZ=}} aus dem Nichts auf. Ein einsichtigerer Trigonalisierbarkeitsnachweis ergibt sich mit Hilfe des charakteristischen Polynoms und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Das charakteristische Polynom ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/enger | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22|X-3|-1|1|X-1}} |}} || (X-3)(X-1) +1 || X^2 -4X +4 || (X-2)^2 |SZ=, }} zerfällt also in Linearfaktoren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} om2gri5ivvds6tndlow0yfu3t6gi2gy 0 78392 781341 755358 2022-08-21T21:38:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für eine {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} und jedes {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} || {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Haupträume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6wf0rjxmhm5jo805qve221a3ghm3evz 0 78465 785118 758482 2022-08-22T07:50:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= P \in K[X]|SZ=}} ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei {{math|term= T|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Teiler| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= P|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors {{mathl|term= X-a|SZ=}} in {{math|term= T|SZ=}} durch seine Vielfachheit in {{math|term= P|SZ=}} beschränkt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Teilen |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 37rbfh80fw68v19fgscbm2qwloyoc67 0 78475 784080 447038 2022-08-22T05:16:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Kerne der Potenzen {{mathl|term= M^i|SZ=}} zur Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix55|0|1|0|0|0|0|0|1|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|1|0|0|0|0|0|0|}} || || || |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der Haupträume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2pxxhk8ub4vvlxcalf6t2suidzq6z8e 0 78476 784079 757727 2022-08-22T05:15:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Kerne| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Potenzen {{mathl|term= M^i|SZ=}} zur Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix55|0|1|0|0|0|0|0|1|0|0|0|0|0|1|0|0|0|0|0|1|0|0|0|0|0|0|}} || || || |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der Haupträume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1zkivfrkgxpbnq9ve250vqb4d8rhzu 0 78500 781425 755442 2022-08-21T21:53:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= N|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= \omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n |Form| |Kontext=Differential| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= N|SZ=,}} wobei {{math|term= n|SZ=}} die Dimension von {{math|term= N|SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi^* \omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |geschlossene| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2=Theorie des Zurückziehens von Differentialformen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eamg9hsb6jlq35ungx88g1cd0bdlmvc 0 78501 784015 757640 2022-08-22T05:05:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= \omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |exakte| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Es sei {{math|term= S|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |orientierte| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rand| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbarer Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |S|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralform| \varphi^*\omega |S}} || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ftggwx7ksjczf4xvjdnhwgxpz3o2bee 0 78502 786393 759470 2022-08-22T11:18:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=n \geq 2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |\R^n \setminus \{0\}| S^{n-1} |(x_1 {{kommadots|}} x_n) | {{op:Bruch|1| \sqrt{x_1^2 {{plusdots|}} x_n^2} }} (x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ=. }} Es sei {{math|term= \omega|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |kanonische Volumenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= S^{n-1}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \pi^* \omega|SZ=}} auf {{math|term= \R^n \setminus \{0\}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |geschlossene| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber keine {{ Definitionslink |Prämath= |exakte| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n-1 |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2=Theorie des Zurückziehens von Differentialformen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7zwqf8yiwubcse08k1sx76p131z657g 0 78506 779561 763640 2022-08-21T16:48:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix44|3|1|0|4|0|-1|2|1 |0|0|-1|0|0|0|0|3}} || || || |SZ= }} und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Hier gibt es zwei Eigenwerte und somit zwei zweidimensionale Haupträume, die getrennt behandelt werden können. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |M -3 E_4 || {{op:Matrix44|0|1|0|4|0|-4|2|1 |0|0|-4|0|0|0|0|0}} || || || |SZ=, }} somit gehört {{math|term= {{op:Spaltenvektor|1|0|0|0}} |SZ=}} zum Kern. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Untermatrix rechts oben ist nicht {{math|term= 0|SZ=,}} daher ist der Rang der Matrix gleich {{math|term= 3|SZ=}} und der Kern ist eindimensional. Die zweite Potenz ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Matrix44|0|1|0|4|0|-4|2|1 |0|0|-4|0|0|0|0|0}}^2 || {{op:Matrix44|0|1|0|4|0|-4|2|1 |0|0|-4|0|0|0|0|0}} {{op:Matrix44|0|1|0|4|0|-4|2|1 |0|0|-4|0|0|0|0|0}} || {{op:Matrix44|0|-4|2|1|0|16|-16|-4 |0|0|16|0|0|0|0|0}} || || |SZ=, }} ein neues Kernelement ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|0|1|0|4}} |SZ=.}} Es ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hauptraum|M| 3}} || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|1|0|0|0}}| {{op:Spaltenvektor|0|1|0|4}} |}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix44|0|1|0|4|0|-4|2|1 |0|0|-4|0|0|0|0|0}} {{op:Spaltenvektor|0|1|0|4}} || {{op:Spaltenvektor|17|0|0|0}} || || || |SZ= }} können die Vektoren {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor|17|0|0|0}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|0|1|0|4}} |SZ= }} zum Aufstellen des ersten Jordanblockes verwendet werden. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |M +1 E_4 || {{op:Matrix44|4|1|0|4|0|0|2|1 |0|0|0|0|0|0|0|4}} || || || |SZ=, }} somit gehört {{math|term= {{op:Spaltenvektor|1|-4|0|0}} |SZ=}} zum Kern. Der Rang der Matrix ist wieder gleich {{math|term= 3|SZ=}} und der Kern ist eindimensional. Die zweite Potenz ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Matrix44|4|1|0|4|0|0|2|1 |0|0|0|0|0|0|0|4}}^2 || {{op:Matrix44|4|1|0|4|0|0|2|1 |0|0|0|0|0|0|0|4}} {{op:Matrix44|4|1|0|4|0|0|2|1 |0|0|0|0|0|0|0|4}} || {{op:Matrix44|16|4|2|33|0|0|0|4 |0|0|0|0|0|0|0|16}} || || |SZ=, }} ein neues Kernelement ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|0|1|-2|0|}} |SZ=.}} Es ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hauptraum|M| -1 }} || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|1|-4|0|0}} | {{op:Spaltenvektor|0|1|-2|0|}} |}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix44|4|1|0|4|0|0|2|1 |0|0|0|0|0|0|0|4}} {{op:Spaltenvektor|0|1|-2|0|}} || {{op:Spaltenvektor|1|-4|0|0}} || || || |SZ= }} können die Vektoren {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor|1|-4|0|0}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|0|1|-2|0|}} |SZ= }} zum Aufstellen des zweiten Jordanblockes verwendet werden. Insgesamt besitzt also {{math|term= M|SZ=}} bezüglich der Basis {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|17|0|0|0}} \, , {{op:Spaltenvektor|0|1|0|4}} \, , {{op:Spaltenvektor|1|-4|0|0}} \, , {{op:Spaltenvektor|0|1|-2|0|}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix44|3|1|0|0|0|3|0|0 |0|0|-1|1|0|0|0|-1}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l89oecf85o44052y9l5i1nm7fykt5vg 0 78508 783489 757159 2022-08-22T03:37:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{mengebed|(x,y) \in \R^2|x^2+y^2 {{=}} 1|y \geq 0}} || || || |SZ= }} der obere Einheitshalbkreis und {{ Ma:abbele/disp |name=p |M| [-1,1] |(x,y)|x |SZ=, }} die Projektion auf die {{math|term= x|SZ=-}}Achse. Zu {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} seien {{mathl|term= n+1|SZ=}} Punkte auf {{math|term= M|SZ=}} gleichverteilt in dem Sinne, dass {{ mathkor|term1= (1,0) |und|term2= (-1,0) |SZ= }} dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist. a) Skizziere die Situation für {{ Ma:Vergleichskette |n ||7 || || || |SZ= }} einschließlich der Bildpunkte unter {{math|term= p|SZ=.}} b) Es sei {{math|term= \mu_n|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Zählmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=,}} bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert {{math|term= 1|SZ=}} erhält und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\nu_n || p_* \mu_n || || || |SZ= }} das zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Bildmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= [-1,1]|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Formel für {{ math/disp|term= \nu_n([ t ,1]) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= t \in [-1,1]|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} mit Hilfe des {{ Definitionslink |Prämath= |Arkuskosinus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an. c) Bestimme{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{op:Folgenlimes|Glied= \nu_n([1- {{op:Bruch|2|n}} ,1]) }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bildmaße |Kategorie2=Diskrete Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=1 |p2=4 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} or37sbbyc3ip4uvyuypdvkvlkh6wtyp 0 78511 784188 757840 2022-08-22T05:34:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf der Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |S ||\{1 {{kommadots|}} n,* \} || || || |SZ= }} die Menge der Abbildungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |B || {{mengebed| \pi:S \rightarrow S| \pi(*) {{=}} * }} || || || |SZ=. }} Zu {{math|term= \pi \in B|SZ=}} assoziieren wir {{ Zusatz/Klammer |text=bei einem fixierten Körper {{math|term= K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} die lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |K^n|K^n || |SZ=, }} die durch {{ math/disp|term= \varphi(e_i) = \begin{cases} e_{\pi(i)}, \text{ falls } \pi(i) \neq *\, , \\ 0, \text{ falls } \pi(i) {{=}} * \, , \end{cases} |SZ= }} festgelegt ist. Mit {{math|term= M_\pi|SZ=}} bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis. a) Erstelle{{n Sie}} die Matrix {{math|term= M_\pi|SZ=}} bei {{math|term= n=4|SZ=}} für die folgenden {{math|term= \pi|SZ=:}} (1) {{Wertetabelle5|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|*|text2 = {{math|term= \pi(x) |SZ=}}|2|*|3|*|*||}} (2) {{Wertetabelle5|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|*|text2 = {{math|term= \pi(x) |SZ=}}|*|1|2|3|*||}} (3) {{Wertetabelle5|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|*|text2 = {{math|term= \pi(x) |SZ=}}|*|*|*|*|*||}} (4) {{Wertetabelle5|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|*|text2 = {{math|term= \pi(x) |SZ=}}|2|2|2|2|*||}} b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von {{math|term= M_\pi|SZ=?}} c) Für welche {{math|term= \pi|SZ=}} ist {{math|term= M_\pi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} d) Für welche {{math|term= \pi|SZ=}} ist {{math|term= M_\pi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} e) Welche Dimension besitzt der Kern von {{math|term= M_\pi|SZ=?}} f) Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M_{\pi \circ \rho} || M_\pi \circ M_\rho || || || |SZ=. }} g) Zeige{{n Sie}}, dass jede nilpotente {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ähnlich| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Matrix der Form {{math|term= M_\pi|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie3=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ss6acnf2i3xjsd73l9c17u1q22s9r7 0 78538 779941 752110 2022-08-21T17:46:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath=2|Sphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S^2|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= 0|SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Abbildung| |Kontext=R total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3|\R |(x,y,z)|x^2+y^2+z^2-1 |SZ=. }} Wir können darauf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden und erhalten durch {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^2 T_P S^2|\R |v_1 \wedge v_2| {{op:Determinante| ({{op:Gradient|\varphi(P)|}},v_1,v_2) |}} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die Tangentenvektoren {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} wegen {{mathl|term= T_PS^2 \subseteq T_P\R^3=\R^3|SZ=}} direkt im {{math|term= \R^3|SZ=}} aufgefasst werden können| |ISZ=.|ESZ=, }} eine stetige nullstellenfreie {{ Definitionslink |Prämath= |Flächenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \omega|SZ=.}} Dies führt zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |positiven Flächenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Orientierung| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= S^2|SZ=.}} Zwei linear unabhängige Tangentialvektoren {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} repräsentieren die Orientierung, wenn {{mathl|term= \omega(v_1,v_2) >0|SZ=}} ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Vektoren {{mathl|term= {{op:Gradient|\varphi(P)|}},\, v_1,\, v_2 |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Standardorientierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=}} repräsentieren. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbare reguläre Funktion/R^n/Volumenform über Gradienten/Als Differentialform/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kann man diese Flächenform auch als das Doppelte von {{ math/disp|term= x dy \wedge dz -y dx \wedge dz + z dx \wedge dy |SZ= }} schreiben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Sphären |Kategorie2=Theorie der Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie3=Theorie der Volumenformen |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0d04y3ut2cxrafcyi03jntjhvc21y7e 0 78539 786613 759629 2022-08-22T11:54:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |kanonische Flächenform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitssphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |S^2 |\subset| \R^3 || || || |SZ= }} gleich {{ math/disp|term= x dy \wedge dz -y dx \wedge dz + z dx \wedge dy |SZ= }} ist, wobei {{math|term= x,y,z|SZ=}} die Koordinaten des {{math|term= \R^3|SZ=}} seien. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Sphären |Kategorie2=Theorie der Volumenformen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0jjb2l23hwo6x5kzkmslgubcnhrh15e 0 78639 781129 658475 2022-08-21T21:03:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Aus einem Blatt Papier mit den Seitenlängen {{math|term= 30|SZ=}} und {{math|term= 20|SZ=}} cm sollen kreisförmige Konfettiplättchen mit einem Durchmesser von {{mathl|term= 0{,}5|SZ=}} cm herausgestanzt werden. a) Zeige{{n Sie}}, dass man höchstens {{mathl|term= 3057|SZ=}} Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann. b) Zeige{{n Sie}}, dass man mindestens {{mathl|term= 2607 |SZ=}} Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann. c) Der geniale Narr Karl-Heinz kommt auf die Idee, das Blatt insgesamt neunmal zu falten, wobei jeweils die längere Seite halbiert wird. Anschließend wird das entstandene Bündel gestanzt. Wie viele Plättchen kann man mit dieser Methode erhalten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=2 |p2=4 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jaybjg8j6w8s6w0nle3tdpyynbty6fv 0 78649 781426 447674 2022-08-21T21:53:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt {{math|term= P|SZ=}} mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e0tz20co1gocdneqw1clbf78ynbr4sb 0 78651 786398 456155 2022-08-22T11:18:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das Borel-Lebesgue-Maß das einzige translationsinvariante Maß auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} ist, das für den Einheitswürfel den Wert {{math|term= 1|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} re475mkvmwd7iao9ij4wgkwlnv3r81f 0 78662 784639 758147 2022-08-22T06:39:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |N || {{mengebed|A{{=}} {{op:Matrix22|a|b|c|d}}|A \text{ ist nilpotent} }} |\subseteq|\R^4 || || |SZ= }} der reellen nilpotenten {{ Definitionslink |Prämath=2\times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sowie die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || N \setminus \{ {{op:Matrix22|0|0|0|0}} \} || || || |SZ=. }} a) Ist {{math|term= N|SZ=}} zusammenhängend? b) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer offenen Teilmenge {{mathl|term= G \subseteq \R^4|SZ=}} ist. c) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} d) Ist {{math|term= M|SZ=}} zusammenhängend? e) Überdecke{{n Sie}} {{mathl|term= M|SZ=}} mit expliziten topologischen Karten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=11 |p1=1 |p2=3 |p3=1 |p4=2 |p5=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} isv3cbnzdi6710249gc9yn5oeb6e22v 0 78664 784775 758242 2022-08-22T06:58:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass jede stetige {{ Definitionslink |Prämath=n |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \omega|SZ=}} auf einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |exakt| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s2h5brr8e364vsvl0b8yzqrr1lw7fch 0 78666 784644 758155 2022-08-22T06:39:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die im [[Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt/Beweis|Beweis]] zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konstruierten Untervektorräume {{math|term= U_i|SZ=}} im Allgemeinen nicht {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invariant| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7xulwqniunm5t7sj90oac6fqythxpi4 0 78667 784059 757702 2022-08-22T05:12:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristischen Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} ||X^n + c_{n-1}X^{n-1}+c_{n-2}X^{n-2} {{plusdots|}} c_2X^2+c_1X+c_0 || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} das charakteristische Polynom der mit {{mathl|term= s \in K|SZ=}} gestreckten Matrix {{mathl|term= sM|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5i0c9aagquyduyp1wj3fzyd6debmyib 0 78669 785417 758701 2022-08-22T08:36:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V\neq 0|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion| |Kontext=idempotent| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es für das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} drei Möglichkeiten gibt, nämlich {{mathl|term= X,X-1|SZ=}} und {{mathl|term= X(X-1)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i2t27l8lntexp0sxdbexod0p4phjgjr 0 78671 786409 759483 2022-08-22T11:20:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \omega|SZ=}} eine stetig differenzierbare {{ Definitionslink |Prämath=n-1 |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= U \subseteq \R^n|SZ=}} und sei die {{ Definitionslink |Prämath= |äußere Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |d \omega || fdx_1 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ= }} mit einer Funktion {{ Ma:abb |name=f |U|\R || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} für {{mathl|term= P\in U|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(P) ||{{op:Bruch|1| \beta_n}} \cdot {{op:Funktionslimes|\epsilon|0}} {{op:Bruch|1| \epsilon^n}} \int_{S^{n-1}(P, \epsilon)} \omega || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \beta_n|SZ=}} das {{ Faktlink |Präwort=|Volumen|Faktseitenname= Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der {{math|term= n|SZ=-}}dimensionalen Einheitskugel bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j9ma8dqryukvhwgzt4uvgbxrx2mqu9a 0 78678 784643 758154 2022-08-22T06:39:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotenter Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem endlichdimensionalen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektor{{latextrenn|}}raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_i |{{defeq}}| {{op:Kern|\varphi^{i}|}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für die Dimensionsprünge die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:dim vr|V_i|}} - {{op:dim vr|V_i-1|}} |\geq| {{op:dim vr|V_{i+1}|}} - {{op:dim vr|V_i|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} plrjk5oiipajfbqevg2x0vkib4eiv46 0 78681 784645 758156 2022-08-22T06:40:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es eine Familie von (bis zu) {{mathl|term= 2^{n-1}|SZ=}} verschiedenen {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft gibt, dass jeder {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotente Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{math|term= n|SZ=-}}dimensionalen Vektorraum {{math|term= V|SZ=}} durch eine der Matrizen beschrieben werden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b0fjxmobayot65r4cenme6ii5pgr1kj 0 78682 784004 757627 2022-08-22T05:03:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jede offene Teilmenge {{mathl|term= N \subseteq M|SZ=}} ebenfalls eine Mannigfaltigkeit mit {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell leerem| |ISZ=|ESZ= }} Rand ist, und dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | \partial N || \partial M \cap N || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} et1n1ttv3ioi43u8k4pn0k2cteicqv1 0 78691 785977 759115 2022-08-22T10:09:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}}, dass der {{math|term= \R^2|SZ=}} keine Struktur einer {{ Definitionslink |Prämath= |Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart trägt, dass die angegebene Teilmenge {{math|term= T|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Rand| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. a) {{mathl|term= T={]0,1[}|SZ=,}} wobei das Intervall auf der {{math|term= x|SZ=-}}Achse liegt. b) {{mathl|term= T=[0,1]|SZ=,}} wobei das Intervall auf der {{math|term= x|SZ=-}}Achse liegt. c) {{mathl|term= T=\R|SZ=,}} wobei {{math|term= \R|SZ=}} die {{math|term= x|SZ=-}}Achse sei. d) {{mathl|term= T=S^1|SZ=,}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=3 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k5au7375nmmc1r10du6g6cnlvdidk6u 0 78694 784001 757624 2022-08-22T05:02:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |{]{-\epsilon}, \epsilon[}|M || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbarer Weg| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\gamma (0) ||P |\in|\partial M || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{mathl|term= \gamma'(0) \in T_P \partial M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lxyec7wfeuh6ynda916q0eqchiymdp9 0 78697 781345 542325 2022-08-21T21:39:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |D || {{op:Diagonalmatrix|a|}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= D|SZ=}} mit jeder anderen {{mathl|term= n \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term= M|SZ=}} genau dann kommutiert, wenn alle Diagonaleinträge übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Streckungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3bqkkhx5tdptm20hqbljio317w82d9k 0 78708 782057 755951 2022-08-21T23:38:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe die {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term= p_i|SZ=}} bezüglich der Haupträume aus dem Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Zerlegungssätze für trigonalisierbare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0jzxpb3zkrs7h38692dpaog5j3k4lan 0 78713 783029 756786 2022-08-22T02:20:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der bezüglich einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Jordanmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschrieben wird. Zeige{{n Sie}}, dass es keine {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || U \oplus W || || || |SZ= }} in {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invariante| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= U,W \subset V|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdgefn7jtf81bz56djdczy8j0hvi9qb 0 78714 783030 756787 2022-08-22T02:20:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Jordanmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \lambda|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5rovbltdc8o45mmxwn5ri02t3v1wg23 0 78715 783035 756792 2022-08-22T02:21:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Jordanblöcken| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= J_1 {{kommadots|}} J_k |SZ=,}} wobei die Diagonaleinträge konstant gleich {{math|term= \lambda|SZ=}} seien. Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i5iprtpu6zdqt14fj1duudf1p5o2jz1 0 78716 783031 756788 2022-08-22T02:20:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotente| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Jordanmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Kerne| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kern| M^{i}|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Fahne| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K^n|SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2=Theorie der Fahnen von Untervektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ieltxc4tykz42h0oajwz8qp19teumgo 0 78723 783039 756796 2022-08-22T02:22:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{ Definitionslink |Prämath= |jordanscher Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= D|SZ=}} die zugehörige Diagonalmatrix. Zeige{{n Sie}}, dass die kanonische additive Zerlegung im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||D+(M-D) || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2=Zerlegungssätze für trigonalisierbare Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cxerd5ch7pf6hggh649pe12x6z8w6rd 0 78724 784636 758145 2022-08-22T06:38:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} der Charakteristik {{math|term= 0|SZ=}} fixiert. Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotenten| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term= M|SZ=}} sei {{mathl|term= {{op:exp|M|}} |SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:exp|M|}} || \sum_{k {{=}} 0}^{n} {{op:Bruch|1|k!}} M^{k} || || || |SZ= }} definiert. a) Zeige{{n Sie}}, dass für {{ Definitionslink |Prämath= |vertauschbare| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nilpotente Matrizen {{mathl|term= M,N|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:exp| {{makl| M+N |}} |}} || {{op:exp|M|}} \circ {{op:exp|N|}} || || || |SZ= }} gilt. b) Zeige{{n Sie}}, dass für eine nilpotente Matrix {{math|term= M|SZ=}} die Matrix {{mathl|term= {{op:exp|M|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. c) Zeige{{n Sie}}, dass für eine nilpotente Matrix {{math|term= M|SZ=}} die Matrix {{mathl|term= {{op:exp|M|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |unipotent| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der unipotenten Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=4 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bomkqg0a3597nbvf0rtazcyfsorpobx 0 78732 780482 754671 2022-08-21T19:15:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man konstruiere eine Folge von {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= f_n |[0,1]|[0,1] || |SZ= }} zu {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} derart, dass {{math|term= 0|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Träger| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer jeden Funktion {{math|term= f_n|SZ=}} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen der Eins |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t42m624cxbl7dep20f9ljib1glhaqdf 0 78742 783034 756791 2022-08-22T02:21:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Matrix in {{ Definitionslink |Prämath= |jordanscher Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei nur ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auftrete. Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der Jordanblöcke in {{math|term= M|SZ=}} gleich der Dimension des {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 19sanyf7wscyjcjxm4f1oxq2gnt2a16 0 78751 784635 758144 2022-08-22T06:38:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Charakterisiere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotenten| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=2\times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|x|y|z|w}} |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen {{mathl|term= x,y,z,w|SZ=.}} b) Sind die Gleichungen linear? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Formen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m4txswmdc9z0zbrpctxu58zyw6g5471 0 78770 785048 758439 2022-08-22T07:39:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= d \in \N_+|SZ=}} und ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} fixiert. Es seien {{math|term= n}} verschiedene Elemente {{mathl|term= a_1 {{kommadots}} a_n \in K}} und {{math|term= n}} Elemente {{mathl|term= b_1 {{kommadots}} b_n \in K}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{math|term= E|SZ=}} der Polynome {{mathl|term= P|SZ=}} vom Grad maximal {{math|term= d|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(a_i) ||b_i || || || |SZ= }} für {{mathl|term= i=1 {{kommadots|}} n|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Unterraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= K[X]_{\leq d}|SZ=}} bilden. Was ist der zugehörige Untervektorraum? Was kann man über die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=affiner Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= E|SZ=}} sagen, wann ist {{math|term= E|SZ=}} leer? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7cvt4l2hbx45262vhz6u9q3g7sqcttk 0 78775 779432 751264 2022-08-21T16:27:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} und einem Element {{mathl|term= Q \in W|SZ=}} ist das {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= Q|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= Q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^{-1} (Q ) || {{mengebed|P\in V|\varphi(P) {{=}} Q }} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Unterraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Im nichtleeren Fall kann man jeden Punkt {{mathl|term= P_0 \in V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(P_0) ||Q || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Aufpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} verwenden. Der Verschiebungsraum ist dann gerade der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} Durch eine lineare Abbildung wird {{math|term= V|SZ=}} in eine geschichtete Familie von zueinander parallelen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Affine Unterräume heißen parallel, wenn zwischen den zugehörigen Untervektorräumen eine Inklusion besteht| |ISZ=.|ESZ= }} affinen Unterräumen zerlegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 12m06rey2rw646o408fs1uboc850s8u 0 78778 783739 757381 2022-08-22T04:19:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die leere Menge ein affiner Raum im Sinne der {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition |SZ= }} ist, und zwar über jedem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c1f8g85kx9yusablvrer6boilf5pdt1 0 78784 780613 753039 2022-08-21T19:37:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Identitäten in {{math|term= V|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette |{{op:Vektor|P|P}} ||0 || || || |SZ= }} für {{mathl|term= P \in E|SZ=.}} |{{ Ma:Vergleichskette |{{op:Vektor|P|Q}} ||- {{op:Vektor|Q|P}} || || || |SZ= }} für {{mathl|term= P,Q \in E|SZ=.}} |{{ Ma:Vergleichskette |{{op:Vektor|P|Q}} + {{op:Vektor|Q|R}} || {{op:Vektor|P|R}} || || || |SZ= }} für {{mathl|term= P,Q,R \in E|SZ=,}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cg7e0ukydq0vmgmay4cortm1svie4e6 0 78785 779442 763540 2022-08-21T16:28:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die homogene {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Gleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |7x-3y+4z ||0 || || || |SZ= }} hat den Lösungsraum {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|3|7|0}}|{{op:Spaltenvektor|0|4|3}} |}} || || || |SZ= }} und die inhomogene lineare Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |7x-3y+4z ||2 || || || |SZ= }} hat die Lösungsmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{op:Spaltenvektor|0|0| {{op:Bruch|1|2}} }} + U || {{op:Spaltenvektor|0|0| {{op:Bruch|1|2}} }} + {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|3|7|0}}|{{op:Spaltenvektor|0|4|3}} |}} || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |affine Addition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |U \times E|E |(u,P)| (u+P) |SZ=, }} die einem Paar bestehend aus einer Lösung der homogenen Gleichung und einer Lösung der inhomogenen Gleichung ihre Summe zuordnet, die eine Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Zu zwei Lösungen der inhomogenen Gleichung ist die Differenz eine Lösung der homogenen Gleichung. Zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |u || - 2 {{op:Spaltenvektor|3|7|0}} + 3{{op:Spaltenvektor|0|4|3}} || {{op:Spaltenvektor|-6|- 2|9}} |\in|U || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|0|0| {{op:Bruch|1|2}} }} + {{op:Spaltenvektor|-6|- 2|9}} || {{op:Spaltenvektor|-6| 2| {{op:Bruch|19|2}} }} || || || |SZ= }} eine weitere Lösung aus {{math|term= E|SZ=.}} Die beiden Lösungen {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor|1|3|1}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|2|4|0}} |SZ= }} aus {{math|term= E|SZ=}} werden durch den Verbindungsvektor {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|2|4|0 }} - {{op:Spaltenvektor|1 |3 | 1 }} || {{op:Spaltenvektor|1 |1 | - 1 }} || || || |SZ= }} ineinander überführt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0yd6kzo3hzszpnqim605v5f2s36i6qy 0 78799 780617 753044 2022-08-21T19:38:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein nichtleerer affiner Raum über einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektor{{latextrenn|}}raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= P\in E|SZ=}} ein fixierter Punkt und {{ Ma:abbele/disp |name=\theta |V|E |v|P+v |SZ=, }} die zugehörige Bijektion. Mit Hilfe dieser Bijektion identifizieren wir {{math|term= E|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | E' || {{Mengebed|(v,1) \in V \times K|v \in V|}} || || || |SZ= }} durch die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |E|E' |P|( \theta^{-1}(P),1 ) |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= E'|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Unterraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= V \times K|SZ=}} ist mit dem Translationsraum {{mathl|term= V \times 0|SZ=.}} b) Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(Q+v) || \varphi(Q) + v || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= Q \in E|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jrwyg1qma6ks0xe9iw6buo22ug1mqfo 0 78800 780618 753045 2022-08-21T19:38:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{Mengebed|(v,1)|v \in V}} |\subset|V \times K || || |SZ=, }} die ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= V|SZ=}} ist. a) Zeige{{n Sie}}, dass die Punkte {{ math/disp|term= P_i =(v_i,1),\, i=1 {{kommadots|}} n |SZ=, }} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= E|SZ=}} bilden, wenn die {{math|term= P_i|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aufgefasst als Vektoren in {{mathl|term= V \times K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraumbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= V \times K|SZ=}} bilden. b) Zeige{{n Sie}}, dass in diesem Fall zu einem Punkt {{math|term= P \in E|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrischen Koordinaten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= P|SZ=}} bezüglich {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ=}} gleich den Koordinaten von {{math|term= P|SZ=}} bezüglich der Vektorraumbasis {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Basen |Kategorie2=Theorie der baryzentrischen Koordinaten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lflknrgopxekz114n9x7partsbshz31 0 78805 780591 754742 2022-08-21T19:33:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affine Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Räume genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, wenn ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=affiner Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kttosqrqdy3l3rruffvo6o0n32unbmo 0 78806 785041 758435 2022-08-22T07:38:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= P\in \R[X]|SZ=,}} die eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=P |\R|\R || |SZ= }} definieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kewts1l2uv7jj9h3sicuanm2rqsbayb 0 78812 780609 753035 2022-08-21T19:36:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{ math/disp|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ= }} eine endliche Familie von Punkten aus {{math|term= E|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |Die Punkte {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ=}} sind {{ Definitionslink |Prämath= |affin unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jedes {{mathl|term= i \in {{menge1n}}|SZ=}} ist die Vektorfamilie {{ math/disp|term= {{op:Vektor|P_i|P_1|}} {{kommadots|}} {{op:Vektor|P_i|P_{i-1}|}}, \, {{op:Vektor|P_i|P_{i+1}|}} {{kommadots|}} {{op:Vektor|P_i|P_n|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es gibt ein {{mathl|term= i \in {{menge1n}}|SZ=}} derart, dass die Vektorfamilie {{ math/disp|term= {{op:Vektor|P_i|P_1|}} {{kommadots|}} {{op:Vektor|P_i|P_{i-1}|}}, \, {{op:Vektor|P_i|P_{i+1}|}} {{kommadots|}} {{op:Vektor|P_i|P_n|}} |SZ= }} linear unabhängig ist. |Die Punkte {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ=}} bilden in dem von ihnen {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Unterraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 94kpdzaqw5hsjju9rjiy2cj4oq6a3pu 0 78814 780608 753034 2022-08-21T19:36:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ= }} eine endliche Familie von Punkten aus {{math|term= E|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || {{mengebed| {{op:Zeilenvektor|a_1|\ldots|a_n}} \in K^n| \sum_{i {{=}} 1}^n a_i {{=|}} 1}} |\subset|K^n || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch die Zuordnung {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|a_1|\ldots|a_n}} \longmapsto \sum_{i {{=}} 1}^n a_iP_i |SZ= }} eine wohldefinierte {{ Definitionslink |Prämath= |affin-lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} nach {{math|term= E|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 26svm6itppac3kqgi28z97uwg83j6oc 0 78818 780611 753037 2022-08-21T19:37:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{ mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ= }} eine endliche Familie von Punkten aus {{math|term= E|SZ=.}} Für {{mathl|term= j=1 {{kommadots|}} k|SZ=}} sei durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q_j || \sum_{i {{=}}1}^n a_{ij} P_i || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \sum_{i {{=}}1}^n a_{ij} ||1 || || || |SZ= }} eine Familie von {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrischen Kombinationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term= P_i|SZ=}} gegeben. Es seien {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_k \in K|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | \sum_{j {{=}} 1}^k b_j ||1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man {{ math/disp|term= \sum_{j =1 }^k b_j Q_j |SZ= }} als baryzentrische Kombination der {{math|term= P_i|SZ=}} schreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der baryzentrischen Koordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 92ecbhz9w8cba3qa3j54oipd4juo8kt 0 78822 780619 753046 2022-08-21T19:38:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= P_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von Punkten in einem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrische Kombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathl|term= \sum_{i \in I} a_iP_i |SZ= }} ein eindeutiger Punkt in {{math|term= E|SZ=}} definiert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qem926hoeueq5wktcgr1a98f9z2m1h8 0 78824 780590 754741 2022-08-21T19:33:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |E|F || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Räumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Unterraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|F || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi^{-1}(G)|SZ=}} ein affiner Unterraum von {{math|term= E|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lmclp99ms9l1zetp2uv1chkchzc043i 0 78834 780572 753016 2022-08-21T19:30:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |E|F || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Räumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Unterraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Produktraumes| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= E \times F|SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |E|G |P|(P, \varphi (P)) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von affinen Räumen ist. c) Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || p_2 \circ \psi || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= p_2|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= F|SZ=}} bezeichne. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie des Graphen einer Abbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=2 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1fzl05x0njqapua3rxt68rmkm2kdysk 0 78843 780595 754746 2022-08-21T19:34:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affine Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Projektionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |E \times F|E || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= |E \times F|F || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affine Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q551epf0ox86pv7ggjtndl4t0zmxkyf 0 78844 780594 754745 2022-08-21T19:34:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affine Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= E \times F|SZ=}} ebenfalls ein affiner Raum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2=Theorie der Produkträume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c94mn4k8n3msvwzs1qrjoycy0v5b3bh 0 78847 780593 754744 2022-08-21T19:34:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affine Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n|SZ=}} von {{math|term= E|SZ=}} und einer affinen Basis {{mathl|term= Q_1 {{kommadots|}} Q_m|SZ=}} von {{math|term= F|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= (P_1,Q_1),\, (P_1,Q_2) {{kommadots|}} (P_1,Q_m),\, (P_2,Q_1),\, (P_3,Q_1) {{kommadots|}} (P_n, Q_1) |SZ= }} eine affine Basis des Produktraumes {{mathl|term= E \times F|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Basen |Kategorie2=Theorie der Produkträume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rkr4fzzemj3426204u7izf23ytcd6hy 0 78848 780571 753015 2022-08-21T19:30:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=affiner Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |E|E || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_{n+1} \in E|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |affin unabhängige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Punkte, die zugleich {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \psi|SZ=}} seien. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \psi|SZ=}} die Identität ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d7ll8bf88ff4sf4x5xnamixweuws23r 0 78849 780610 753036 2022-08-21T19:37:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{ mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ= }} eine endliche Familie von Punkten aus {{math|term= E|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Die Punkte bilden eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= E|SZ=.}} |Die Punkte bilden ein minimales {{ Definitionslink |Prämath= |affines Erzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= E|SZ=.}} |Die Punkte sind maximal {{ Definitionslink |Prämath= |affin unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Basen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b40onagzzye7ybfs5x8cdsg4sgf5p5d 0 78850 780599 753025 2022-08-21T19:35:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |affine Ebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor|3|1|4}} + s {{op:Spaltenvektor|2|7|-6}} +t{{op:Spaltenvektor|-1|5|1}} |s,t \in \R }} || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= 1|SZ=}} einer {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \psi |\R^3|\R || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2dlmtlx28e9e231kuala1n5aermvnoq 0 78851 780600 753026 2022-08-21T19:35:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |affine Ebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor|5|6|-2}} + s {{op:Spaltenvektor|3|-4|8}} +t{{op:Spaltenvektor|5|4|7}} |s,t \in \R }} || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= 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|Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \psi |\R^3|\R^2 || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ra65hfauvmctae51gtoukpv1sk5zq5x 0 78856 780567 753012 2022-08-21T19:29:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |E|F || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Räumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Unterraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq|E || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi (H)|SZ=}} ein affiner Unterraum von {{math|term= F|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oywy583ir1uyuwkw8qhj6o6r385g1h5 0 78857 780574 753019 2022-08-21T19:31:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |E|E || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Anteil| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \psi_0|SZ=}} genau dann die {{ Definitionslink |Prämath= |Identität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= \psi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Translation| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} an4dx5x3fblv4ltjyx03q31u3btogf6 0 78858 780573 753018 2022-08-21T19:30:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung, die einer {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |E|E || |SZ= }} ihren {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Anteil| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \psi_0|SZ=}} zuordnet, folgende Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung2 |{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Identität|E|}} |}}_0 || {{op:Identität|V|}} || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | ( \psi \circ \varphi)_0 || \psi_0 \circ \varphi_0 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jolj0yzz4tz8btdjaoapmm8gtditzwl 0 78859 780570 753014 2022-08-21T19:30:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |E|F || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Räumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Urbilder| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi^{-1} (Q)|SZ=}} zu allen {{mathl|term= Q\in F|SZ=}} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |parallel| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mo2xrep1swir597dr0ep2ls20a72l6d 0 78860 780568 753013 2022-08-21T19:30:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affine Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} es sei {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n \in E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= E|SZ=}} und seien {{mathl|term= Q_1 {{kommadots|}} Q_n \in F|SZ=}} Punkte. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |E|F || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |affin-lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi(P_i) ||Q_i || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |{{math|term= \psi|SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{mathl|term= Q_1 {{kommadots|}} Q_n |SZ=}} eine affine Basis von {{math|term= F|SZ=}} ist. |{{math|term= \psi|SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{mathl|term= Q_1 {{kommadots|}} Q_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |affin unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |{{math|term= \psi|SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{mathl|term= Q_1 {{kommadots|}} Q_n |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affines Erzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1kbjomdcazien7ixxvpljwfh4xvpkx8 0 78876 780596 754747 2022-08-21T19:34:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affine Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} mit Punkten {{mathl|term= P_1,P_2 \in E|SZ=}} und {{mathl|term= Q_1,Q_2 \in F|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass im {{ Definitionslink |Prämath= |Produktraum| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrische| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |(P_2,Q_2) || (P_1,Q_2) + (P_2,Q_1)- (P_1,Q_1) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jw2pu6ohmmj53ge3ms38hctl4itm9wh 0 78880 785405 563274 2022-08-22T08:34:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest. {{ Aufzählung4 |Ein Tag heißt {{Stichwort|sockenzerstreut|SZ=,}} wenn er verschiedene Socken anhat. |Ein Tag heißt {{Stichwort|schuhzerstreut|SZ=,}} wenn er verschiedene Schuhe anhat. |Ein Tag heißt {{Stichwort|zerstreut|SZ=,}} wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist. |Ein Tag heißt {{Stichwort|total zerstreut|SZ=,}} wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist. }} a) Vom Jahr {{mathl|term= 2015|SZ=}} weiß man, dass {{math|term= 17|SZ=}} Tage sockenzerstreut und {{math|term= 11|SZ=}} Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut? b) Vom Jahr {{mathl|term= 2013|SZ=}} weiß man, dass {{math|term= 270|SZ=}} Tage sockenzerstreut und {{math|term= 120|SZ=}} Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut? c) Erstelle{{n Sie}} eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Alltagslogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Professor Knopfloch |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=1 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ho6d59hm9xzltwaclb39sfndgpahqv 0 78894 786455 759519 2022-08-22T11:28:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die {{ Faktlink |Präwort=|Quaderversion des Satzes von Stokes|Faktseitenname= Satz von Stokes/Quaderversion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} direkt für einen Quader {{mathl|term= [a_1,b_1] {{timesdots}} [a_n,b_n]|SZ=}} und eine {{ Definitionslink |Prämath=n-1 |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \omega|SZ=}} der Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp |\omega || x_1^{m_1} \cdots x_n^{m_n} dx_2 {{wedgedots}} dx_n || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1y25n7adf9oce2welvzy8nvqh8ide1l 0 78895 779864 449103 2022-08-21T17:33:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Spezielfall des {{ Faktlink |Präwort=|Satzes von Stokes|Faktseitenname= Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Stokes/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der sogenannte {{Stichwort|Divergenzsatz|SZ=}} oder {{Stichwort|Satz von Gauß|SZ=.}} Er besagt für eine kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand {{mathl|term= M \subset U \subseteq \R^3|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= U|SZ=}} eine offene Teilmenge |ISZ=|ESZ= }} und eine {{math|term= 2|SZ=-}}Differentialform {{math|term= \omega|SZ=}} auf {{math|term= U|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\int_{\partial M} \omega || \int_M d \omega || || || |SZ=. }} Dieser Satz bezieht sich auf die physikalische Situation einer Strömung. Die Form {{math|term= \omega|SZ=}} beschreibt für einen Punkt {{mathl|term= P \in U|SZ=}} und ein infinitesimales Parallelogramm an diesem Punkt, wie viel Flüssigkeit pro Zeiteinheit durch dieses Stück durchfließt. Bei der äquivalenten Beschreibung dieser Situation mit einem Vektorfeld beschreibt {{mathl|term= F(P)|SZ=}} die Flussrichtung zusammen mit ihrer Stärke. Die Ableitung {{math|term= d \omega|SZ=}} ist eine Volumenform, die sogenannte {{Stichwort|Divergenz|SZ=.}} Sie beschreibt für einen Punkt den infinitesimalen Zuwachs an Flussmaterial {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Quelle|SZ=}} oder {{Stichwort|Senke|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} an diesem Punkt. Dabei ist die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette |d \omega ||0 || || || |SZ= }} häufig erfüllt und bedeutet, dass es für die Flüssigkeit in {{math|term= U|SZ=}} keinen Materialgewinn gibt. Der Satz von Gauß besagt dann, dass die Gesamtdurchströmung durch den Rand {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die Orientierung festlegt, welche Strömung als nach draußen oder als nach innen zu betrachten ist| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist. Was also irgendwo in {{math|term= M|SZ=}} hineinfließt, fließt irgendwo sonst wieder heraus. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qww4d5bm91jjf4xvs1hy6fynfrqmiuy 0 78902 780575 753020 2022-08-21T19:31:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n|SZ=}} und {{mathl|term= Q_1 {{kommadots|}} Q_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |affine Basen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Raumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E|SZ=.}} Die Darstellung mit {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrischen Koordinaten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= P_i|SZ=}} bezüglich der {{math|term= Q_j|SZ=}} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | P_i || \sum_{ j {{=}} 1}^n a_{ij} Q_j || || || |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} aus der baryzentrischen Darstellung eines Punktes {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || \sum_{i {{=}} 1}^n b_i P_i || || || |SZ= }} bezüglich der {{math|term= P_i|SZ=}} die baryzentrische Darstellung von {{math|term= P|SZ=}} bezüglich der {{math|term= Q_j|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Basen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bpk9g2x0s7qtuuq7g4czwyoxfr6wps0 0 78910 786452 759518 2022-08-22T11:27:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]| \R_{+} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir fassen den {{ Definitionslink |Prämath= |Subgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als eine {{ Definitionslink |Prämath= |Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Bestätige den Satz von Stokes direkt für die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \omega = xdy|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 54zn44u280daa3xkzooef205wkrp8rd 0 78931 780565 753010 2022-08-21T19:29:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Siebenpunkte|png|270px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} zeichnerisch den Bildpunkt von {{math|term= P|SZ=}} unter der {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(P_i) ||Q_i || || || |SZ= }} festgelegt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pjj619qkp9eslr65quolm6c51b8hkyg 0 78932 780566 753011 2022-08-21T19:29:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |PunktLinie2|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} zeichnerisch den Bildpunkt von {{math|term= P|SZ=}} unter der {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(P_i) ||Q_i || || || |SZ= }} festgelegt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 32mohog43pq1ftmjb3ehj0cerra2v6v 0 78933 780576 753021 2022-08-21T19:31:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{ mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ= }} eine endliche Familie von Punkten aus {{math|term= E|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese Punkte genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= E|SZ=}} bilden, wenn sie sowohl {{ Definitionslink |Prämath= |affin unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind als auch ein {{ Definitionslink |Prämath= |affines Erzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= E|SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Basen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bt4vmfytb7vcx9fy7swp11nrr6v9kbz 0 78941 784946 758386 2022-08-22T07:23:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Permutation1n/Situation|SZ=}} und {{math|term= M_\pi |SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |orientierungstreu| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Signum|\pi|}} ||1 || || || |SZ= }} ist |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie3=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cxd883dcuqi3z67avd21kmx1s2vtqmc 0 78964 783944 757584 2022-08-22T04:53:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} in {{math|term= \R^3|SZ=}} den Vektor {{ math/disp|term= (0,1,0) |SZ= }} als {{ Definitionslink |Linearkombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Vektoren {{ math/disp|term= (9,6,5), (2,2,5) \text{ und } (7,3,4) |SZ= }} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 62fn31vb9clf29v98o6qs81usbruniy 0 78965 780955 755034 2022-08-21T20:34:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob im {{math|term= \R^3|SZ=}} der Ausdruck {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2}} {{op:Spaltenvektor|2|7|6}} + {{op:Bruch|1|3}} {{op:Spaltenvektor|9|0|9}} + {{op:Bruch|1|5}} {{op:Spaltenvektor|5|5|2}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrische Kombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der baryzentrischen Koordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ij9yc0uhmrzya3dx8r3mvly4jltxsc4 0 78966 780956 755035 2022-08-21T20:34:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob im {{math|term= \R^3|SZ=}} der Ausdruck {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2}} {{op:Spaltenvektor|2|7|6}} + {{op:Bruch|1|3}} {{op:Spaltenvektor|9|0|9}} + {{op:Bruch|1|6}} {{op:Spaltenvektor|5|5|2}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrische Kombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der baryzentrischen Koordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} axncf2h2dt8kmzqt707btybzmvynk9l 0 78969 783628 757277 2022-08-22T04:00:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zwei Elementen und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||K^2 || || || |SZ= }} der zweidimensionale Standardraum über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass jede zweielementige Teilmenge {{mathl|term= G \subset K^2|SZ=}} eine affine Gerade ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f775nk0cj7ozyhqun8khc26k0v42h86 0 78972 781444 755457 2022-08-21T21:56:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Körper mit zwei Elementen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des von den Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|1|0|0}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|0|1|1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|1|0|0|1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|1|1|0}} ,\, {{op:Spaltenvektor|1|0|1|0}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|1|0|1}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= K^4|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rdhmnv67msmqkexbljo1z4lcfxnfoeo 0 78976 784052 757693 2022-08-22T05:11:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} werde bezüglich der Standardbasis durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|5|7|1|0|5|4|0|0|5}} |SZ= }} beschrieben. Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezüglich der {{math|term= \varphi|SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|5|1|0|0|5|1|0|0|5}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9a741l5w42b58mbcwoxs8weno16l8gb 0 78981 784029 757658 2022-08-22T05:07:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\Q^3|\Q^3 || |SZ= }} werde bezüglich der Standardbasis durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|-3|-6|-1|0|-3|-2|0|0|-3}} |SZ= }} beschrieben. Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezüglich der {{math|term= \varphi|SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|-3|1|0|0|-3|1|0|0|-3}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h0nsk7ochsze5rv5mf4006rcts72r7v 0 78999 784044 757681 2022-08-22T05:10:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|11|-20|6|-11}} || || || |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M^2 ||E_2 || || || |SZ=. }} b) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |inverse Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=.}} c) Löse{{n Sie}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |M {{op:Spaltenvektor|x|y}} || {{op:Spaltenvektor|4|-9}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 68hzxa1r7pzlmgymfvff3i7m4g4qhpl 0 79002 784082 757728 2022-08-22T05:16:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |N M ||0 || || || |SZ= }} für jede {{mathl|term= n \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term= N|SZ=}} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2=Rangtheorie für Matrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 71f0zqjco38oenr1ednsqc6afqodqcu 0 79004 784083 757729 2022-08-22T05:16:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | M N ||0 || || || |SZ= }} für jede {{mathl|term= n \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term= N|SZ=}} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2=Rangtheorie für Matrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gup768icrc5nn8hs7fj27zsmd8uwclz 0 79015 784758 758226 2022-08-22T06:55:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix33|5|2|3|0|5|6|0|0|4}} || || || |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=.}} a) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} b) Bestimme die kanonische Zerlegung von {{math|term= M|SZ=}} in einen {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbaren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Anteil und einen {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotenten| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Anteil. c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix33|5|2|3|0|5|6|0|0|4}} || {{op:Matrix33|5|0|0|0|5|0|0|0|4}} + {{op:Matrix33|0|2|3|0|0|6|0|0|0}} || || || |SZ=, }} welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Zerlegungssätze für trigonalisierbare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} enf7dgy0mqzeoc9xn3iaqr22mmoetbk 0 79017 784940 758382 2022-08-22T07:22:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath=4 \times 4 |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der in jeder Diagonalen (Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen) höchstens eine {{math|term= 1|SZ=}} steht. b) Zeige{{n Sie}}, dass es keine Lösung zu a) gibt, bei der {{mathl|term= a_{11} = 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c2kielm0rveb07ptli2d71vl7o0h4zi 0 79022 784028 757656 2022-08-22T05:07:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\Q^3|\Q^3 || |SZ= }} werde bezüglich der Standardbasis durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|-2|7|8|0|-2|-2|0|0|-2}} |SZ= }} beschrieben. Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezüglich der {{math|term= \varphi|SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|-2|1|0|0|-2|1|0|0|-2}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56obttnwqq1ph51in2z58412fx2r3ue 0 79026 784759 758227 2022-08-22T06:56:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix33|4|0|1|0|4|-1|0|0|4}} || || || |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=.}} a) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} b) Bestimme die kanonische Zerlegung von {{math|term= M|SZ=}} in einen {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbaren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Anteil und einen {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotenten| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Anteil. c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix33|4|0|1|0|4|-1|0|0|4}} || {{op:Matrix33|4|0|0|0|4|0|0|0|4}} + {{op:Matrix33|0|0|1|0|0|-1|0|0|0}} || || || |SZ=, }} welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Zerlegungssätze für trigonalisierbare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 81ee0dwqmv8b020qzd9m3uf45kmt1sz 0 79028 780563 753009 2022-08-21T19:29:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affine Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über den {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= V |bzw.|term2= W |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu einer bijektiven {{ Definitionslink |Prämath= |affin-linearen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |E|F || |SZ= }} auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} affin-linear ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fvz5qak4pbzl2g65z7ud34qo6tg1h75 0 79045 784055 757696 2022-08-22T05:11:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|6|1|0|0|2|4|0|0|7|}} |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und bestimme{{n Sie}} eine Basis aus Eigenvektoren. Führe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Basiswechsel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} explizit durch, der zu einer beschreibenden {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} führt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5txyu5lvanpyc9q3h4n47jn5o9c8mbq 0 79047 781983 755875 2022-08-21T23:26:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen und sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= v_1,v_2,v_3, \ldots|SZ=}} eine Aufzählung {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Wiederholung| |ISZ=|ESZ= }} der Elemente aus {{math|term= V|SZ=.}} Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} sind? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 01ucc3g4xoo9j4zlmlgc1h8y5fq1c6t 0 79056 785368 664284 2022-08-22T08:28:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Aus den Rohstoffen {{math|term= R_1,R_2|SZ=}} und {{math|term= R_3|SZ=}} werden verschiedene Produkte {{mathl|term= P_1,P_2,P_3,P_4|SZ=}} hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils in geeigneten Einheiten| |ISZ=|ESZ=. }} {{Tabelle54|| {{math|term= R_1|SZ=}} |{{math|term= R_2|SZ=}} |{{math|term= R_3|SZ=}}| {{math|term= P_1|SZ=}} |11|5|3|{{math|term= P_2|SZ=}} |8|4|6|{{math|term= P_3|SZ=}} |7|30|1|{{math|term= P_4|SZ=}} |12|0|15}} a) Erstelle{{n Sie}} eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet. b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll. {{Wertetabelle4| P_1 | P_2 | P_3 |P_4 |8|5|7|4}} Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt? c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird. {{Wertetabelle3| R_1 |R_2 |R_3 |8|15|7}} Zeige{{n Sie}}, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann. d) Wie viel vom Produkt {{math|term= P_2|SZ=}} kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt {{math|term= P_3|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=1 |p2=1 |p3=6 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} trnzp7tnfc5i3p07qchlpebakh51i1k 0 79060 785369 664285 2022-08-22T08:28:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Aus den Rohstoffen {{math|term= R_1,R_2|SZ=}} und {{math|term= R_3|SZ=}} werden verschiedene Produkte {{mathl|term= P_1,P_2,P_3,P_4|SZ=}} hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils in geeigneten Einheiten| |ISZ=|ESZ=. }} {{Tabelle54|| {{math|term= R_1|SZ=}} |{{math|term= R_2|SZ=}} |{{math|term= R_3|SZ=}}| {{math|term= P_1|SZ=}} |6|2|3|{{math|term= P_2|SZ=}} |4|1|2|{{math|term= P_3|SZ=}} |0|5|2|{{math|term= P_4|SZ=}} |2|1|5}} a) Erstelle{{n Sie}} eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet. b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll. {{Wertetabelle4| P_1 | P_2 | P_3 |P_4 |6|4|7|5}} Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt? c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird. {{Wertetabelle3| R_1 |R_2 |R_3 |12|9|13}} Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=1 |p2=1 |p3=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d0h2f3m87ovmzpphae9rrb8li3nhox4 0 79169 780985 755058 2022-08-21T20:39:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Basis|v}}= v_1,v_2,v_3|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines dreidimensionalen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{Basis|w}} = v_1,v_1+v_2,v_2+v_3|SZ=}} ebenfalls eine Basis von {{math|term= V|SZ=}} ist. b) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Übergangsmatrix|w|v}}|SZ=.}} c) Bestimme{{n Sie}} die Übergangsmatrix {{mathl|term= {{op:Übergangsmatrix|v|w}}|SZ=.}} d) Berechne{{n Sie}} die Koordinaten bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|w}}|SZ=}} die Koordinaten {{mathl|term= {{op:Spaltentupel|4|8|-9}} |SZ=}} besitzt. e) Berechne{{n Sie}} die Koordinaten bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|w}}|SZ=}} für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} die Koordinaten {{mathl|term= {{op:Spaltentupel|3|-7|5}} |SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=1 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rsosz8lg49kx44nx5md7ypisx6vig7r 0 79172 781459 748676 2022-08-21T21:58:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{ mathkor|term1= {{basis|v}} = v_1 {{kommadots|}} v_n |und|term2= {{basis|u}} =u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} und {{ mathkor|term1= {{basis|w}} = w_1 {{kommadots|}} w_m |und|term2= {{basis|z}} = z_1 {{kommadots|}} z_m |SZ= }} Basen von {{math|term= W|SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix|v|u}} |und|term2= {{op:Übergangsmatrix|w|z}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrizen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis {{mathl|term= (v_1 ,0) {{kommadots|}} (v_n,0),(0, w_1) {{kommadots|}} (0, w_m) |SZ=}} zur Basis {{mathl|term= (u_1 ,0) {{kommadots|}} (u_n,0),(0, z_1) {{kommadots|}} (0, z_m) |SZ=}} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Produktraum| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V \times W |SZ=}} beschrieben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} atsb4atmycfc6p1cwxqbuscfi81haqt 0 79174 780972 755045 2022-08-21T20:37:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{basis|v}} =v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n \in K |SZ=}} von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene Elemente. a) Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{Basis|w}} = a_1 v_1, a_2 v_2, a_3v_3 {{kommadots}} a_nw_n |SZ=}} ebenfalls eine Basis von {{math|term= V|SZ=}} ist. b) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Übergangsmatrix|w|v}}|SZ=.}} c) Bestimme{{n Sie}} die Übergangsmatrix {{mathl|term= {{op:Übergangsmatrix|v|w}}|SZ=.}} d) Berechne{{n Sie}} die Koordinaten bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|w}}|SZ=}} die Koordinaten {{mathl|term= {{op:Spaltentupel|1|2|3|\vdots| n}} |SZ=}} besitzt. e) Berechne{{n Sie}} die Koordinaten bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|w}}|SZ=}} für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|v}}|SZ=}} die Koordinaten {{mathl|term= {{op:Spaltentupel|1|2|2^2|\vdots|2^n }} |SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=1 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dbrsr1muxteau0spp9xuo3wzpryei3n 0 79178 784120 757777 2022-08-22T05:22:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n \in \N_+|SZ=}} und es sei {{math|term= M|SZ=}} der reelle {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aller {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{math|term= S|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrischen| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrizen ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} ist. b) Bestimme{{n Sie}} die Dimension von {{math|term= S|SZ=.}} c) Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{math|term= A|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |antisymmetrischen| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrizen ein Untervektorraum von {{math|term= M|SZ=}} ist. d) Bestimme{{n Sie}} die Dimension von {{math|term= A|SZ=.}} e) Schreibe die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|3|6|1|2}} |SZ= }} als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix. f) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ mathkor|term1= S |und|term2= A |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=1 |p2=3 |p3=1 |p4=2 |p5=1 |p6=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hufgp3asxovu8pkfxgvcf9as5wbp6g6 0 79185 781289 694715 2022-08-21T21:30:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} quadratische Matrizen über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante(|A \circ B|}} || {{op:Determinante(|B \circ A|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Determinantenmultiplikationssatz (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3gw9znbjorzt2wwidk5idssccbk99ov 0 79338 779501 763594 2022-08-21T16:38:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten für {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |modallogische Ausdrucksmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha_n || \Diamond (p_1 {{logunddots|}} p_{n-1} {{logund}} \neg p_n) || || || |SZ= }} gegeben ist. Da sich die Ausdrücke, die innerhalb des {{math|term= \Diamond|SZ=-}}Operators von {{math|term= \alpha_n|SZ=}} stehen, gegenseitig ausschließen, braucht man zur Realisierung von {{mathl|term= \alpha_1 {{logunddots|}} \alpha_n |SZ=}} mindestens {{math|term= n|SZ=}} Punkte. Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Gamma ||{{Mengebed| \alpha_n|n \in \N_+ }} || || || |SZ= }} nicht durch einen endlichen gerichteten Graphen erfüllbar. Die Ausdrucksmenge ist aber problemlos durch einen unendlichen gerichteten Graphen erfüllbar: Es seien {{ mathbed|term= W_n ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} die unendlich vielen Welten, in {{math|term= W_n|SZ=}} gilt {{mathl|term= p_1 {{logunddots|}} p_{n-1} {{logund}} \neg p_n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Wahrheitsbelegung ist ansonsten unerheblich| |ISZ=|ESZ= }} und jede Welt sei von jeder Welt aus erreichbar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} phxofo6no932m9l2jiywtp3jif0wjsk 0 79352 784325 757957 2022-08-22T05:55:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine Menge von {{ Definitionslink |Prämath= |modallogischen Ausdrücken| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die allesamt nicht {{ Definitionslink |Prämath= |paradox| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien und es sei {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \alpha |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \alpha|SZ=}} ebenfalls nicht paradox ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4diosk8hvoco7iyv0sfw5bm6w55f1uo 0 79353 784326 757959 2022-08-22T05:56:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} der trivale Graph in dem Sinne, dass {{math|term= M|SZ=}} einpunktig ist und dieser Punkt mit sich in Relation steht. Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= (M,R) \vDash \alpha |SZ= }} genau dann bei jeder Belegung gilt, wenn {{math|term= \alpha|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |paradox| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qcf6wi2pr381ld3qr5ktv5ll089c19o 0 79398 784322 757954 2022-08-22T05:55:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} durch Angabe eines {{ Definitionslink |Prämath= |modallogischen Modelles| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dass im {{ Definitionslink |Prämath=K |System| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ausdruck {{ math/disp|term= \Box ( p {{logoder|}} q) \rightarrow \Box p {{logoder|}} \Box q |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |ableitbar| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{math|term= p,q|SZ=}} Aussagenvariablen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k59btlps1bbkr4fljxpr6cqb43hin4z 0 79404 778679 451118 2022-08-21T12:39:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir nehmen zunächst an, dass {{math|V}} und {{math|W}} isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} existiert. Sei {{ mathl|term= w_1{{kommadots|}} w_n |SZ= }} eine Basis von {{math|W|SZ=.}} Aufgrund der Surjektivität von {{math|\varphi}} existieren Elemente {{ mathl|term= v_1{{kommadots|}} v_n |SZ= }} in {{math|V|SZ=}} mit {{mathl|term= \varphi(v_i){{=}}w_i|SZ=.}} Sei {{ mathl|term= a_1v_1+\cdots+ a_nv_n = 0 |SZ= }} eine Darstellung der 0. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/align |0 || \varphi(0) || \varphi(a_1v_1+\cdots+ a_nv_n) || a_1\varphi(v_1)+\cdots+ a_n\varphi(v_n) || a_1w_1+\cdots+ a_nw_n || |SZ=;}} weil {{ mathl|term= w_1{{kommadots|}} w_n |SZ= }} linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass {{ mathl|term= v_1{{kommadots|}} v_n |SZ= }} linear unabhängig sind und wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt |Nr=4 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Dimension von {{math|V}} damit mindestens so hoch wie die von {{math|W|SZ=.}} Mithilfe der Umkehrabbildung zu {{math|\varphi}} können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von {{math|W}} mindestens so hoch ist, wie die von {{math|V|SZ=.}} Also sind die Vektorräume gleichdimensional. Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen {{ mathl|term= v_1{{kommadots|}} v_n |SZ= }} von {{math|V}} und {{ mathl|term= w_1{{kommadots|}} w_n |SZ= }} von {{math|W}} gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen {{mathl|term= \varphi(v_i){{=}}w_i|SZ=}} bzw. {{mathl|term= \psi(w_i){{=}}v_i|SZ=}} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare_Abbildung/Festlegung_auf_Basis/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind {{math|V}} und {{math|W}} isomorph. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qb8yxlb97553xvdmgfqkb1e0v231rkw 0 79405 782217 451126 2022-08-22T00:05:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die reelle Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|1|1|1|0}} || || || |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} {{ math/disp|term= M^{n} {{op:Spaltenvektor|1|0}} |SZ= }} für {{mathl|term= n=1,2,3,4|SZ=.}} b) Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|x_{n+1}| y_{n+1}| }} |{{defeq}}| M^n {{op:Spaltenvektor|1|0}} || || || |SZ=. }} Erstelle{{n Sie}} eine Beziehung zwischen den Folgen {{math|term= x_n|SZ=}} und {{math|term= y_n|SZ=}} und Rekursionsformeln für diese Folgen. c) Bestimme{{n Sie}} die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Folge der Fibonacci-Zahlen |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=2 |p2=3 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1a2wi578po6ti8lwg47fsr2ej84cxl3 0 79432 778556 762478 2022-08-21T12:20:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies ergibt sich aus der {{ Definitionslink |Prämath= |alternierenden Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V^k| \bigwedge^k V |(v_1 {{kommadots|}} v_k)| v_1 {{wedgedots|}} v_k |SZ=, }} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tensorprodukt/Vektorraum/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Surjektivität beruht darauf, dass das Erzeugendensystem {{mathl|term= v_1 {{wedgedots|}} v_k|SZ=}} im Bild liegt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o4fd7bz72brvosagkpw27ryu55hjhdo 0 79481 786418 759491 2022-08-22T11:22:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} in der Tat ein {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n83g3t0wce76k5iaxdp1zujnw9oy4ei 0 79501 779923 763828 2022-08-21T17:43:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= [a,b]|SZ=}} ein abgeschlossenes reelles Intervall mit {{ Ma:Vergleichskette |a |<|b || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || {{Mengebed| f :[a,b] \rightarrow {{CC}}| f \text{ stetig} }} || || || |SZ=, }} versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|f|g}} | {{defeq|}} | \int_a^b f(t) {{op:Komplexe Konjugation|g(t)|}} dt || || || |SZ= }} und erhalten damit ein {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Additivität folgt beispielsweise aus {{ Ma:Vergleichskette/disp/druckalign | {{op:Skalarprodukt|f_1+f_2|g}} || \int_a^b (f_1(t) +f_2(t)) {{op:Komplexe Konjugation|g(t)|}} dt || \int_a^b f_1(t) {{op:Komplexe Konjugation|g(t)|}} dt + \int_a^b f_2(t) {{op:Komplexe Konjugation|g(t)|}} dt || {{op:Skalarprodukt|f_1|g}} + {{op:Skalarprodukt|f_2|g}} || |SZ=. }} Die positive Definitheit folgt so: Wenn {{math|term= f|SZ=}} nicht die Nullfunktion ist, so sei {{mathl|term= s \in [a,b]|SZ=}} ein Punkt mit {{ Ma:Vergleichskette |f(s) |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|f(s)||}} |>| 0 || || || |SZ= }} und wegen der Stetigkeit von {{math|term= f|SZ=}} gibt es dann auch eine Umgebung {{mathl|term= [ s-\epsilon, s + \epsilon ] \cap [a,b]|SZ=}} der Länge {{mathl|term= \geq \epsilon|SZ=,}} auf der überall {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|f(t)|}} |\geq| c |>|0 || || |SZ= }} ist. Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|f|f}} || \int_a^b {{op:Betrag|f (t)|}}^2 dt |\geq| \int_{ {{op:max|a|s - \epsilon}} }^{ {{op:min|b|s + \epsilon}} } {{op:Betrag|f (t)|}}^2 dt |\geq| \epsilon c^2 |>|0 || |SZ= }} positiv. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Funktionenräume |Kategorie2=Theorie der Skalarprodukte |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} naiw1t4vq8ue60xiwsppfsugxioo858 0 79505 784814 758269 2022-08-22T07:04:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{KRC}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |U |\subseteq| W |\subseteq|V || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es bezeichne {{mathl|term= p^V_U|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Projektion| |Kontext=euklidisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=}} auf {{math|term= V|SZ=.}} Zeige {{ Ma:Vergleichskette/disp |p^V_U || p_U^W \circ p_W^V || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der orthogonalen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t81q4qq4d0jj2bx5isma9kom6md4df9 0 79508 783013 756772 2022-08-22T02:17:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} gleich {{ mathkor|term1= 1 |oder|term2= -1 |SZ= }} ist. Ferner besitze {{math|term= \varphi|SZ=}} die Eigenschaft, dass zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale| |Kontext=Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1cps0csomx178fg8e3gwym9mehvhsm 0 79524 784813 758268 2022-08-22T07:04:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Wert des Vektors {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Spaltenvektor|3|-5|-3}} |\in| \R^3 || || || |SZ= }} unter der {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonalen Projektion| |Kontext=euklidisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf die von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|2|4|9}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Gerade| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der orthogonalen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7oj82qiowinhzg68k5xeuat27hwpnsi 0 79531 783555 757217 2022-08-22T03:48:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für Vektoren {{mathl|term= x,y,z \in K^3|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x \times (y \times z) + y \times (z \times x) + z \times (x \times y) ||0 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5yzi77854uryh7h5gtftykjx2gldq9 0 79533 783547 757209 2022-08-22T03:46:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|4|7|-1}} \times {{op:Spaltenvektor|6|-5|8}} |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9h1169oi7aep9gahuo16o1imdti8d89 0 79534 783548 757210 2022-08-22T03:47:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|3|5|2}} \times {{op:Spaltenvektor|-4|6|-5}} |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sdfrzo69ashowbmnqk679u3xi3lx8wd 0 79535 783550 757212 2022-08-22T03:47:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|4|6|1}} \times {{op:Spaltenvektor|5|2|5}} |SZ= }} im {{math|term= K^3|SZ=,}} wobei {{math|term= K|SZ=}} den Körper mit sieben Elementen bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 41303nypdidnvpvb90n4iikax3zd943 0 79537 783551 757213 2022-08-22T03:47:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|3|2|5}} \times {{op:Spaltenvektor|4|6|2}} |SZ= }} im {{math|term= K^3|SZ=,}} wobei {{math|term= K|SZ=}} den Körper mit sieben Elementen bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6o1mqtjsidj6vw5xnj7thttom5hkrca 0 79539 783549 757211 2022-08-22T03:47:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|3|1|4}} \times {{op:Spaltenvektor|2|4|3}} |SZ= }} im {{math|term= K^3|SZ=,}} wobei {{math|term= K|SZ=}} den Körper mit fünf Elementen bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} plysyv6x8bry51kd1itaf2q03zhiv97 0 79544 779848 763783 2022-08-21T17:30:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der beiden Vektoren {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|5|8|-2}}, {{op:Spaltenvektor|3|4|1}} \in \R^3|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Spaltenvektor|5|8|-2}} \times {{op:Spaltenvektor|3|4|1}} || {{op:Spaltenvektor|8 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) | -5 \cdot 1 - 2 \cdot 3 | 5 \cdot 4 - 8 \cdot 3 }} || {{op:Spaltenvektor|16|-11|-4}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gaf3rehhlkjcs22r0v1jdhvt0m32yzu 0 79548 784817 758272 2022-08-22T07:04:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dem von {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor|8|3|-6|-4}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|4|-2|7|5}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^4|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der orthogonalen Komplemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e4nb0w3unc3kakalhq7sv5s3a8bi4b7 0 79550 784823 758277 2022-08-22T07:05:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=,}} die ein Vielfaches von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|1|1}} |SZ=}} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orthonormalbasen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0o7z22s41y24whli2cyam5ysynj55oa 0 79554 783017 756776 2022-08-22T02:18:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= V|SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |euklidische Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{math|term= \varphi|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jede {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= u_i, {{laufi|1|n|}} |SZ=,}} von {{math|term= V|SZ=}} ist {{math|term= \varphi(u_i), {{laufi|1|n|}} |SZ=,}} Teil einer Orthonormalbasis von {{math|term= W|SZ=.}} |Es gibt eine Orthonormalbasis {{math|term= u_i, {{laufi|1|n|}} |SZ=,}} von {{math|term= V|SZ=}} derart, dass {{math|term= \varphi(u_i), {{laufi|1|n|}} |SZ=,}} Teil einer Orthonormalbasis von {{math|term= W|SZ=}} ist.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien zwischen euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i5icswpg8mtkn5gn6unjntj0rvv2fb5 0 79563 781700 755622 2022-08-21T22:38:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} eine Ecke in einem {{ Zusatz/Klammer |text=rechtwinkligen| |ISZ=|ESZ= }} Zimmer. Bilden die drei Diagonalvektoren in den beiden anliegenden Wänden und dem Boden der Länge {{math|term= 1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orthonormalbasen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ab0xwh853wr0618hxkx6at9x2fn9xrm 0 79583 779402 763482 2022-08-21T16:22:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |V ||K^n || || || |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |a_{ij} |\in| K || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |1 |\leq|i,j |\leq|n || || |SZ= }} fixiert. Dann ist die Zuordnung {{ math/disp|term= ( {{op:Spaltenvektor|x_1|\vdots|x_n}}, {{op:Spaltenvektor|y_1|\vdots|y_n}} ) \longmapsto \Psi(x_1 {{kommadots|}} x_n,y_1 {{kommadots|}} y_n) = \sum_{ij} a_{ij} x_iy_j |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_{ij} ||0 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i,j|SZ=}} ist dies die Nullform; bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | a_{ij} || \delta_{ij} || \begin{cases} 1, \text{ falls } i {{=}} j \, , \\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases} || || |SZ= }} liegt das Standardskalarprodukt vor {{ Zusatz/Klammer |text=wobei der Ausdruck für jeden Körper einen Sinn ergibt, aber die Eigenschaft, positiv definit zu sein, gegenstandslos ist| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||4 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Psi(x_1 {{kommadots|}} x_4 ,y_1 {{kommadots|}} y_4) || x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3-x_4y_4 || || || |SZ= }} spricht man von einer {{Stichwort|Minkowski-Form|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Psi(x_1,x_2,y_1,y_2) || x_1y_2-x_2y_1 || || || |SZ= }} handelt es sich um die Determinante im zweidimensionalen Fall. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} av67hak91yh5p3z11ed7ij1emfn5sp7 0 79591 778537 762467 2022-08-21T12:17:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= A|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ausartungsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Bilinearform und {{math|term= U|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |direktes Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || A \oplus U || || || |SZ=. }} Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf {{math|term= U|SZ=}} nicht ausgeartet. Es sei {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_s |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=}} und {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m |SZ=}} eine Basis von {{math|term= U|SZ=.}} Die Vektoren {{math|term= w_i|SZ=}} können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonal| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} stehen. Wir müssen uns also nur noch um {{math|term= U|SZ=}} kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf {{math|term= V|SZ=}} haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch {{mathl|term= v \in V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v|v}} |\neq|0 || || || |SZ=. }} Der Orthogonalraum zu {{math|term= v|SZ=}} besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension {{mathl|term= {{op:dim vr|V|}} -1 |SZ=.}} Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v_i|v_i}} | \neq |0 || || || |SZ=. }} Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis {{mathl|term= v_1' {{kommadots|}} v_n' |SZ=}} finden mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Span |v_1 {{kommadots|}} v_i|}} || {{op:Span |v_1' {{kommadots|}} v_i'|}} || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i|SZ=.}} Dies zeigen wir durch Induktion, seien {{mathl|term= v_1' {{kommadots|}} v_i'|SZ=}} schon konstruiert. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |c_j | {{defeq|}} | {{op:Bilinearform| v_j|v_{i+1} }} || || || |SZ= }} und setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |v_{i+1}' || v_{i+1} - \sum_{j {{=}} 1 }^{i} {{op:Bruch|c_j| {{op:Bilinearform|v_j|v_j}} |}} v_j || || || |SZ=. }} Dann ist für {{ Ma:Vergleichskette |k |\leq|i || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v_{i+1}^' | v_k}} || {{op:Bilinearform|v_{i+1} - \sum_{j {{=}} 1 }^{i} {{op:Bruch|c_j| {{op:Bilinearform|v_j|v_j}} |}} v_j | v_k}} || {{op:Bilinearform|v_{i+1} |v_k}} - {{op:Bruch|c_k| {{op:Bilinearform|v_k|v_k }} |}} {{op:Bilinearform|v_k|v_k }} ||0 || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1i3f1wrpg08ehwtv5u46jvilyksuuw4 0 79610 781060 755122 2022-08-21T20:52:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dessen {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht {{math|term= 2|SZ=}} sei. Es sei {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=,}} die sowohl {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als auch {{ Definitionslink |Prämath= |alternierend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass es sich um die Nullform handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4d4frxur0vpbby4zckt9jf72uatzm0q 0 79616 778672 762593 2022-08-21T12:38:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Injektivität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} die Surjektivität daraus, dass man eine beliebige Matrix im Sinne von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= K^n/Bilinearformen/Vorgabe/Spezialfälle/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} als Bilinearform interpretieren kann. Die Linearität folgt unmittelbar aus der punktweisen Definition der Vektorraumstruktur auf {{mathl|term= {{op:Bilin|V|}} |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2ok1d3xp2u3tsqxexa10u2luiemu1p 0 79618 781062 755124 2022-08-21T20:52:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Zeige{{n Sie}}, dass die Summe von {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= \Psi_1 |und|term2= \Psi_2 |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} wieder eine Bilinearform ist. b) Zeige{{n Sie}} ebenso, dass das skalare Vielfache einer Bilinearform wieder eine Bilinearform ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} np90ntx47f1hwkc919uhfkcn3jzzjbh 0 79619 781076 755138 2022-08-21T20:54:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} einen {{math|term= K|SZ=-}}Vektorraum bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i01lgfms3suv8ih2wmfalli8go2u7tw 0 79623 779288 763374 2022-08-21T16:04:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi^{-1}|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierte Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es ist ja in diesem Fall {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|\varphi(v)|w}} || {{op:Skalarprodukt| \varphi^{-1} (\varphi(v))| \varphi^{-1}(w) }} || {{op:Skalarprodukt|v| \varphi^{-1}(w) }} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie2=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m4666mq1lg8wsor5itxtsjmvd81dn43 0 79642 779741 772536 2022-08-21T17:15:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den zwei Variablen {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf {{mathl|term= 0,1,-1|SZ=}} beschränken. Wenn nur die eine Variable {{math|term= X|SZ=}} vorkommt, so hat man im Wesentlichen die drei folgenden Möglichkeiten. {{ Auflistung3 |{{mathl|term= X^2 \, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das Nullstellengebilde ist eine {{Anführung|term=verdoppelte Gerade|SZ=.}} |{{mathl|term= X^2-1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das bedeutet {{ Ma:Vergleichskette |X || \pm 1 || || || |SZ=, }} das Nullstellengebilde besteht also aus {{Stichwort|zwei parallelen Geraden|msw=zwei parallele Geraden|SZ=.}} |{{mathl|term= X^2+1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das Nullstellengebilde ist {{Stichwort|leer}}. }} In diesen Fällen ist das Nullstellengebilde einfach die {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines nulldimensionalen Nullstellengebildes {{ Zusatz/Klammer |text=endlich viele Punkte| |ISZ=|ESZ= }} und einer Geraden. Nun betrachten wir die Polynome, wo beide Variablen vorkommen. {{ Auflistung6 |{{mathl|term= Y^2-X \, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das Nullstellengebilde ist eine {{Stichwort|Parabel|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2- X^2\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das bedeutet {{ Ma:Vergleichskette | (Y-X)(Y+X) || 0 || || || |SZ=, }} das Nullstellengebilde besteht also aus {{Stichwort|zwei sich kreuzenden Geraden|msw=Zwei sich kreuzende Geraden|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2+ X^2\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Die einzige Lösung ist der {{Stichwort|Punkt}} {{mathl|term= (0,0)|SZ=,}} das Nullstellengebilde ist also ein einziger Punkt. |{{mathl|term= Y^2-X^2-1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das bedeutet {{ Ma:Vergleichskette | (Y-X)(Y+X) || 1 || || || |SZ=, }} das Nullstellengebilde ist also eine {{Stichwort|Hyperbel|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2+X^2-1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das Nullstellengebilde ist der {{Stichwort|Einheitskreis|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2+X^2+1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist wieder {{Stichwort|leer|SZ=.}} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen (R) |Kategorie2=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oabcj8e1ie9k4a9xn1x3ott80ckadhm 0 79660 779742 772537 2022-08-21T17:15:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den drei Variablen {{ mathkor|term1= X, Y |und|term2= Z |SZ= }} mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf {{mathl|term= 0,1,-1|SZ=}} beschränken. Ferner betrachten wir nur solche Polynome, wo sämtliche Variablen vorkommen und deren Nullstellengebilde nicht leer ist. {{ Auflistung7 |{{mathl|term= Y^2+X^2-Z \, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das Nullstellengebilde ist ein {{Stichwort|Paraboloid|SZ=.}} |{{mathl|term= Y^2-X^2 -Z \, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das Nullstellengebilde ist eine {{Stichwort|Sattelfläche|SZ=.}} |{{mathl|term= X^2 + Y^2 + Z^2 }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Die einzige Lösung ist der {{Stichwort|Punkt}} {{mathl|term= (0,0,0)|SZ=,}} das Nullstellengebilde ist also ein einziger Punkt. |{{mathl|term= X^2 + Y^2 + Z^2 -1 }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das Nullstellengebilde ist eine {{Stichwort|Sphäre|SZ=,}} also die Oberfläche einer Kugel. |{{mathl|term= X^2 + Y^2 - Z^2 }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das Nullstellengebilde ist die Lösungsmenge zur Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |Z^2 ||X^2+Y^2 || || || |SZ=. }} Das ist ein runder {{ Zusatz/Klammer |text=Doppel| |ISZ=|ESZ=- }}{{Stichwort|Kegel|SZ=.}} |{{mathl|term= X^2 + Y^2 - Z^2 -1}} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das Nullstellengebilde ist ein {{Stichwort|einschaliges Hyperboloid|SZ=.}} |{{mathl|term= X^2 + Y^2 - Z^2 +1 }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das Nullstellengebilde ist ein {{Stichwort|zweischaliges Hyperboloid|SZ=.}} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen (R) |Kategorie2=Theorie der Quadriken in drei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} meaxqm1zrt5lcie5myhmnufnt98vgff 0 79664 786569 759597 2022-08-22T11:47:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/R/Skalarprodukt/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der zugehörige {{ Definitionslink |Abstand| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die folgenden Eigenschaften besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=dabei sind {{math|term= u,v,w \in V|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |Es ist {{math|term= {{op:Distanz|v|w}} \geq 0 |SZ=.}} |Es ist {{math|term= {{op:Distanz|v|w}} = 0 |SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= v=w|SZ=.}} |Es ist {{math|term= {{op:Distanz|v|w|}} = {{op:Distanz|w|v|}} |SZ=.}} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Distanz|u|w}} |\leq| {{op:Distanz|u|v}} + {{op:Distanz|v|w}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7eun7qp33gw41lpb3yhzwwcsgfemwhh 0 79683 782262 756115 2022-08-22T00:12:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= {{Op:Folge|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{{M|M}}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge in {{math|term= M|SZ=}} genau dann im Sinne der Metrik {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Metrik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn sie im Sinne der Topologie {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in topologischen Räumen |Kategorie2=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8nm2aklqirb4zmacmtl42spphdw9spk 0 79716 782034 755927 2022-08-21T23:34:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung5 |Die Folge {{math|term= \varphi^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:End|V|}} |SZ=.}} |Zu jedem {{mathl|term= v \in V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Folge {{ mathbed|term= \varphi^n(v) ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=. }} |Es gibt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m \in V|SZ=}} derart, dass {{ mathbed|term= \varphi^n (v_j) ||bedterm1= j {{=}} 1 {{kommadots|}} m ||bedterm2= |SZ=, }} konvergiert. |Der Betrag eines jeden {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Eigenwerts| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ist kleiner oder gleich {{math|term= 1|SZ=}} und falls der Betrag {{math|term= 1|SZ=}} ist, so ist der Eigenwert selbst {{math|term= 1|SZ=}} und {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für eine beschreibende Matrix {{math|term= M|SZ=}} von {{math|term= \varphi|SZ=,}} aufgefasst über {{math|term= {{CC}}|SZ=,}} sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Jordan-Blöcke| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |jordanschen Normalform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ math/disp|term= {{Jordanblock/klein|\lambda}} |SZ= }} mit {{mathl|term= {{op:Betrag|\lambda|}} <1 |SZ=}} oder gleich {{math|term= (1)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} im484qb8r5him3a2th3jzkcszoj5xv9 0 79719 782011 755905 2022-08-21T23:30:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||U \oplus W || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |direkten Summenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || \psi \oplus \theta || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |asymptotisch stabil| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn sowohl {{ mathkor|term1= \psi |als auch|term2= \theta |SZ= }} asymptotisch stabil sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summen |Kategorie2=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 96mb57aplalxkd3804qh66rm3rsu62x 0 79721 782055 755949 2022-08-21T23:38:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||U \oplus W || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |direkten Summenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || \psi \oplus \theta || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |stabil| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn sowohl {{ mathkor|term1= \psi |als auch|term2= \theta |SZ= }} stabil sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summen |Kategorie2=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iutqcobukpghqyeu4hpuppt91xx1g3b 0 79722 782036 755929 2022-08-21T23:34:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||U \oplus W || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |direkten Summenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || \psi \oplus \theta || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{math|term= \varphi^n|SZ=}} genau dann konvergiert, wenn sowohl {{ mathkor|term1= \psi^n |als auch|term2= \theta^n |SZ= }} konvergieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summen |Kategorie2=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ay9sqqmgwmdnlx5abjrindp0j2qwe7a 0 79730 780840 754947 2022-08-21T20:15:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_{{CC}} |V_{{CC}}|V_{{CC}} || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Komplexifizierung| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Zusatz/Klammer |text={{ Definitionslink |Prämath= |asymptotisch| |Kontext=stabil| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stabil| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn dies für {{math|term= \varphi_{{CC}}|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hj67u0zasgj9r5fm6uzxffe77dzg4sb 0 79733 786587 759608 2022-08-22T11:50:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|p_1|p_2|1-p_1|1-p_2}} |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |\leq|p_1,p_2 |\leq|1 || || |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= p_1-p_2|SZ=.}} Handelt es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenverteilung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nid8hkaddjdbp5qnkxd4x9csl2wex8w 0 79737 786592 759613 2022-08-22T11:51:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |spaltenstochastische| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrix. Zeige{{n Sie}} direkt, dass {{math|term= 1|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tvipj3ar8ou66xphvqyms2d9z8xd5p8 0 79739 784640 758151 2022-08-22T06:39:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotenter Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |asymptotisch stabil| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5m7wplm0ho1b9iyd3xh0z87v5nmqk2d 0 79740 784065 757709 2022-08-22T05:13:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Ordnung| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stabil| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 36svh8ki6hpm68agz93bfrntlua7qn6 0 79760 778700 762624 2022-08-21T12:42:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1). Nach Konstruktion bilden die zerlegbaren Tensoren {{mathl|term= v_1 {{tensordots|}} v_n|SZ=}} ein Erzeugendensystem des Tensorproduktes. Somit muss man nur von diesen nachweisen, dass sie als Linearkombination der gegebenen Familie darstellbar sind. Dies ergibt sich aber aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Tensorprodukt/Rechengesetze/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} (2). Zum Beweis können wir uns auf endliche Familien beschränken. Wir wollen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Unabhängigkeit/Test mit Linearformen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden. Sei {{mathl|term= (r_1 {{kommadots|}} r_n) |SZ=}} fixiert. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Familien {{mathl|term= v_{ij}|SZ=}} in {{math|term= V_i|SZ=}} gibt es Linearformen {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i |V_i|K || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi_i (v_{i r_i} ) |\neq|0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\varphi_i (v_{i j} ) ||0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |j |\neq|r_i || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Ma:abbele/disp |name= |V_1 {{timesdots}} V_n|K |(w_1 {{kommadots|}} w_n)| \varphi_1 (w_1) \cdots \varphi_n (w_n) |SZ=, }} nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Linearformen/Produkt/Multilinear/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |multilineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Tensorprodukt/Multilineare Abbildungen nach K und Dualraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zugehörige lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |V_1 {{tensordots|}} V_n |K || |SZ= }} schickt {{mathl|term= v_{1 r_1} {{tensordots|}} v_{n r_n}|SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi_1(v_{1 r_1} ) \cdots \varphi_n(v_{n r_n} ) |\neq|0 || || || |SZ= }} und alle anderen Elemente {{mathl|term= v_{1 j_1} \cdots v_{n j_n} |SZ=}} der Familie auf {{math|term= 0|SZ=.}} (3) folgt aus (1) und (2). |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} elci1c81fvm2fsio0ruwqpwjld7ge0o 0 79763 778701 762626 2022-08-21T12:42:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1) folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Tensorprodukt/Rechengesetze/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} (2). Die Skalarmultiplikation {{ Ma:abbele/disp |name= |V \times K|V |(v,s)| sv |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |multilinear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} daher gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tensorprodukt/Vektorraum/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V {{tensor|}} K | V |v {{tensor}} s| sv |SZ=. }} Diese ist {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da {{mathl|term= v {{tensor}} 1 |SZ=}} auf {{math|term= v|SZ=}} abgebildet wird. Ein Element im Tensorprodukt hat die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=}} 1}^n a_i ( v_i {{tensor}} s_i) ||\sum_{i {{=}} 1}^n (a_i s_i) ( v_i {{tensor}} 1) || {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^n a_i s_i v_i |}} {{tensor}} 1 || || |SZ=. }} Wenn dieses auf {{math|term= 0|SZ=}} abgebildet wird, so ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=}} 1}^n a_i s_i v_i ||0 || || || |SZ= }} und damit ist das Tensorelement auch {{math|term= 0|SZ=,}} die Abbildung ist also auch {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ybpe3xgfid0j8rz5wg2ygklh5oyvkd 0 79773 783885 757510 2022-08-22T04:43:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|}} und {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n \in V|SZ=.}} Zu jedem {{math|term= k|SZ=}} gebe es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_k | V|K || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= \varphi_k(v_k) \neq 0 \text{ und } \varphi_k(v_i) = 0 \text{ für } i \neq k |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g7o3lefjfcqbi68jnuv4s5z7oqz2d18 0 79776 778703 762634 2022-08-21T12:43:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da {{ Ma:abb |name= |V_1 {{timesdots}} V_n|Z || |SZ= }} multilinear ist, gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |V_1 {{tensordots}} V_n | Z || |SZ=. }} Wegen der vorausgesetzten universellen Eigenschaft von {{math|term= Z|SZ=}} und der Multilinearität von {{ Ma:abb |name= \pi |V_1 {{timesdots}} V_n|V_1 {{tensordots}} V_n || |SZ= }} gibt es auch eine lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |Z |V_1 {{tensordots}} V_n || |SZ=. }} Wegen der universellen Eigenschaft müssen diese invers zueinander sein. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e7pomvhu20n3hfdik3nsgxr2wio1bvp 0 79780 778699 762622 2022-08-21T12:42:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für fixierte Linearformen {{mathl|term= f_1 \in {{op:Dualraum|V_1}} {{kommadots||}} f_n \in {{op:Dualraum|V_n}} |SZ=}} ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |V_1 {{timesdots}} V_n |K |(v_1 {{kommadots|}} v_n)| f_1(v_1) \cdots f_n(v_n) |SZ=, }} nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Linearformen/Produkt/Multilinear/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |multilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und definiert daher eine Linearform auf {{mathl|term= V_1 {{tensordots|}} V_n |SZ=.}} Dies ergibt die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi | {{handzieh|}} {{op:Dualraum|V_1}} {{timesdots||}} {{op:Dualraum| V_n |}} | {{handzieh|}} {{op:Dualraum| {{makl| V_1 {{tensordots|}} V_n |}} }} | (f_1 {{kommadots|}} f_n) | {{makl| (v_1 {{tensordots|}} v_n) \mapsto f_1(v_1) \cdots f_n(v_n) |}} |SZ=. }} Diese Gesamtzuordnung {{math|term= \Psi|SZ=}} ist ebenfalls multilinear und ergibt somit eine lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Dualraum|V_1}} {{tensordots||}} {{op:Dualraum| V_n |}} | {{op:Dualraum| {{makl| V_1 {{tensordots|}} V_n |}} }} || |SZ= }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Tensorprodukt/Dimension/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Homomorphismenraum/Dimension/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} haben die Räume die gleiche Dimension. Es seien {{ mathbed|term= v_{ij} ||bedterm1= 1 \leq j \leq {{op:dim vr|V_i|}} ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term= V_i|SZ=.}} Dann bilden die {{mathl|term= v_{1j_1} {{tensordots|}} v_{nj_n}|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Tensorprodukt/Erzeugendensystem/Basis/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Basis von {{mathl|term= V_1 {{tensordots|}} V_n |SZ=}} und die Dualbasis dazu eine Basis des Dualraumes. Wir behaupten die Gleichheit der linearen Abbildungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Psi ( v_{1j_1}^* {{tensordots|}} v_{nj_n}^* ) || {{makl| v_{1j_1} {{tensordots|}} v_{nj_n} |}}^* || || || |SZ=. }} Diese ergibt sich, da beide Abbildungen, angewendet auf die Basiselemente {{mathl|term= v_{1 k_1} {{tensordots|}} v_{n k_n} |SZ=,}} bei {{mathl|term= (k_1 {{kommadots|}} k_n)=(j_1 {{kommadots|}} j_n) |SZ=}} den Wert {{math|term= 1|SZ=}} und andernfalls den Wert {{math|term= 0|SZ=}} ergeben. Daher ist {{math|term= \Psi|SZ=}} surjektiv und damit auch injektiv. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 10tyybab2vnd01bofgg99lcvqoqr7pn 0 79796 780032 465648 2022-08-21T18:00:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im {{mathl|term= \R^2 {{tensor|\R}} \R^2 |SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Spaltenvektor|5|-7}} {{tensor||}} {{op:Spaltenvektor|-3|4}} || {{makl| 5 e_1 -7 e_2|}} {{tensor||}} {{makl| -3e_1 +4e_2 |}} || -15 e_1 {{tensor||}} e_1 +20 e_1 {{tensor||}} e_2 +21 e_2 {{tensor||}} e_1 - 28 e_2 {{tensor||}} e_2 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l12w8d8o6sl9uk0levpkk2tpfvockbx 0 79815 780655 754777 2022-08-21T19:44:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|}} und seien {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Algebren| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= A {{tensor|K}} B|SZ=}} ebenfalls eine {{math|term= K|SZ=-}}Algebra ist, wobei die {{math|term= 1|SZ=}} durch {{math|term= 1 {{tensor|}} 1|SZ=}} und die Multiplikation für zerlegbare Tensoren durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( a {{tensor|}} b) \cdot ( c {{tensor|}} d) | {{defeq|}} | (a \cdot c) {{tensor|}} (b \cdot d) || || || |SZ= }} festgelegt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte für kommutative Algebren über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mb4mqzeqpbwfgwpqf04lqljsgdd7nkv 0 79820 783677 757326 2022-08-22T04:08:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=direkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= L {{tensor|K}} A|SZ=}} eine {{math|term= L|SZ=-}}Algebra ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte für kommutative Algebren über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p9yvjjnyh47wja5dzhxecfh111plhon 0 79823 780031 579431 2022-08-21T18:00:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{math|term= \R^2|SZ=}} mit den Basen {{mathl|term= {{basis|v}} = {{op:Spaltenvektor|5|6}}, {{op:Spaltenvektor|-3|8}} |SZ=}} und der Standardbasis {{math|term= {{basis|w}} |SZ=}} und {{math|term= {{CC}}|SZ=}} als reellen Vektorraum mit den Basen {{mathl|term= {{basis|x}} =3-2 {{Imaginäre Einheit|}} , 4+5{{Imaginäre Einheit|}}|SZ=}} und {{mathl|term= {{basis|y}} =1,{{Imaginäre Einheit|}}|SZ=.}} Damit sind die Basiswechselmatrizen, wie sie in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Tensorprodukt/Basen/Übergangsmatrix/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auftreten, gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | B_1 || {{op:Matrix22| 5|-3|6|8}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | B_2 || {{op:Matrix22| 3|4|-2|5}} || || || |SZ=. }} Wir folgen der Anordnung {{mathl|term= (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)|SZ=}} und erhalten die Basiswechselmatrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix44| 15|20|-9|-12|-10|25|6|-15|18|24|24|32|-12|30|-16|40||}} |SZ=. }} In der zweiten Spalte steht beispielsweise, wie man {{mathl|term= v_1 {{tensor|}} x_2 |SZ=}} als Linearkombination der {{mathl|term= w_1 {{tensor|}} y_1 , \, w_1 {{tensor|}} y_2 , \,w_2 {{tensor|}} y_1 , \, w_2 {{tensor|}} y_2 |SZ=}} ausdrückt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tm00ptpbtu8foyss6t23lf6kbavvids 0 79826 782825 756596 2022-08-22T01:46:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorräume/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. a) Es gibt eine {{ Definitionslink |Prämath= |multilineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Dualraum|V|}} \times W | {{op:Hom|V|W}} |(f,w)| {{makl| v \mapsto f(v)w |}} |SZ=. }} b) Es gibt eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |{{op:Dualraum|V|}} {{tensor}} W | {{op:Hom|V|W}} || |SZ=, }} die {{mathl|term= f {{tensor}} w|SZ=}} auf die lineare Abbildung {{mathl|term= v \mapsto f(v)w |SZ=}} abbildet. c) Wenn {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensional| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, so ist {{math|term= \psi|SZ=}} aus Teil (b) ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie3=Theorie der Dualräume |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bhv4mgz8kgr9g4h9icnp5b3zw82d7in 0 79827 782826 756597 2022-08-22T01:46:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{math|term= U,V,W|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Stifte{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Hom|U|V}} {{tensor|}} {{op:Hom|V|W}} | {{op:Hom|U|W}} || |SZ=, }} die {{mathl|term= \psi {{tensor|}} \varphi |SZ=}} auf {{mathl|term= \varphi \circ \psi|SZ=}} abbildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8d24cb9h48uee1v7pg5d4bh3qjqtipa 0 79882 784091 757737 2022-08-22T05:17:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= r|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{mathl|term= r \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term= A|SZ=}} und eine {{mathl|term= m \times r|SZ=-}}Matrix {{math|term= B|SZ=,}} beide mit dem Rang {{math|term= r|SZ=,}} mit {{ Ma:Vergleichskette |M ||B \circ A || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Rangtheorie für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dh4n84xlv5z6db30p0ovvproqf1gru2 0 79888 786206 463708 2022-08-22T10:47:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{math|term= \R|SZ=}} als {{math|term= \Q|SZ=-}}Vektorraum. Man mache sich klar, dass in {{mathl|term= \R/\Q|SZ=}} die Gleichheit {{mathl|term= [r]=[s]|SZ=}} für zwei reelle Zahlen {{mathl|term= r,s|SZ=}} genau dann gilt, wenn die Differenz {{mathl|term= r-s|SZ=}} eine rationale Zahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenräume |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3=Theorie der reellen Zahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rdm3yux5ax2nxgg66fcf1qmrr3vj6je 0 79893 778677 762596 2022-08-21T12:39:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die {{ Definitionslink |Prämath= |kanonische Projektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V|V/U || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und besitzt {{math|term= U|SZ=}} als Kern. Nach {{ Faktlink |Präwort=der|Dimensionsformel|Faktseitenname= Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:dim vr|V/U||}} || {{op:dim vr| V||}} - {{op:dim vr|U||}} || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7giavu8ipt76r6xwz85chn20enuvlhj 0 79973 778668 762589 2022-08-21T12:38:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Projektion {{ Ma:abbele/disp |name= |V|W || |SZ= }} besitzt {{math|term= U|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher ergibt sich die Aussage aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorräume/Lineare Abbildung/Surjektiv und Restklassenraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mt1ht3fxt4e19a2tida3fox70pslsz8 106 80085 784386 459382 2022-08-22T06:04:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Allgemeingültige Ausdrücke}} Es sei {{mathl|term=L^{{symbolalphabet|}}|SZ=}} eine Sprache erster Stufe über einem Symbolalphabet {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=.}} Für einen Ausdruck {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^S|SZ=}} und eine Interpretation {{math|term=I|SZ=}} haben wir in der letzten Vorlesung die Gültigkeit {{mathl|term=I \vDash {{logprop|}}|SZ=}} über den Aufbau der Sprache rekursiv definiert. Wie im aussagenlogischen Kontext führen wir semantische Tautologien über die Gültigkeit bei jeder Interpretation ein. {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes Modell/Definition|| }} Allgemeingültige Ausdrücke sind {{Stichwort|Tautologien|msw=Tautologie|SZ=}} im semantischen Sinn. Wir werden später noch Tautologien im syntaktischen Sinn kennenlernen und die Übereinstimmung der beiden Konzepte zeigen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Faktlink |Präwort=|Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik|Faktseitenname= Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologieversion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Beispiele sind die Ausdrücke {{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z ((x=y {{logund}} y=z) \rightarrow x=z) |SZ= }} oder {{ math/disp|term= (\forall x {{logprop|}}) \rightarrow {{logprop|}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} ein Ausdruck ist| |ISZ=|ESZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Beispielaussagen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wenn man in eine aussagenlogische Tautologie für die Aussagenvariablen beliebige prädikatenlogische Ausdrücke einsetzt{{ Zusatz/Fußnote |text=Insofern ist auch die Bezeichnung Aussagenvariable gerechtfertigt, da für sie prädikatenlogische Ausdrücke eingesetzt werden können| |ISZ=.|ESZ=, }} so erhält man auch eine Tautologie im obigen Sinn, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Aussagenlogische Tautologie/Prädikatenlogische Ersetzung/Allgemeingültig/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die entprechende syntaktische Version wird in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Prädikatenlogik/Aussagenlogische Tautologie/Einsetzen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} behandelt| |ISZ=|ESZ=. }} Beispielsweise erhält man aus der aussagenlogischen Tautologie {{ math/disp|term= {{logprop|}} \rightarrow {{makl| {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop|}} |}} |SZ= }} die prädikatenlogische Tautologie {{ Zusatz/Klammer |text=mit naheliegenden Zugehörigkeiten der Symbole| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= \forall x (fx {{=}} y) \rightarrow {{makl| \exists u (Rgz u) \rightarrow \forall x (fx {{=}} y) |}} |SZ=, }} die aber keinen eigentlichen prädikatenlogischen Sachverhalt ausdrückt. {{Zwischenüberschrift|Gültigkeit von Ausdrucksmengen}} Für eine Menge {{mathl|term=\Gamma \subseteq L^{{symbolalphabet|}}|SZ=}} von Ausdrücken und einer {{math|term=S|SZ=-}}Interpretation schreibt man {{mathl|term=I \vDash \Gamma|SZ=,}} wenn in {{math|term=I|SZ=}} jeder Ausdruck aus {{math|term=\Gamma|SZ=}} gilt. Man sagt, dass {{math|term=I|SZ=}} ein {{Stichwort|Modell|SZ=}} für {{math|term=\Gamma|SZ=}} ist. Eine {{math|term= {{symbolalphabet|}}|SZ=-}}Struktur heißt ein {{Stichwort|Modell|SZ=}} für {{math|term=\Gamma |SZ=,}} wenn jede Variablenbelegung zu dieser Struktur eine Interpretation liefert, die ein Modell für {{math|term=\Gamma |SZ=}} ist. Diese Sprechweise wird insbesondere für Axiomensysteme {{math|term=\Gamma|SZ=}} verwendet, die eine mathematisch wichtige Struktur festlegen. Die erfüllenden Modelle heißen dann so, wie der Definitionsname in der Definition lautet, die dieses Axiomensystem verwendet. Die Modelle nennt man im üblichen mathematischen Sprachgebrauch Beispiele für diejenige mathematische Struktur, die durch die Definition festgelegt wird. {{Zwischenüberschrift|Axiomensysteme}} Grundsätzlich gibt es zwei Bedeutungen von Axiomensystemen. Einerseits wird ein Axiomensystem aufgestellt, um eine in einem gewissen Sinn vertraute Struktur präzise zu erfassen und ihre Eigenschaften aus den fixierten Grundeigenschaften zu folgern. Man spricht von einem {{Stichwort|intendierten Modell|msw=Intendiertes Modell|SZ=,}} das durch das Aufstellen eines Axiomensystems mathematisch beschrieben werden soll. Die Axiome selbst werden dann durch die Gültigkeit im intendierten Modell gerechtfertigt und können nicht weiter hinterfragt werden. In diesem Sinne gibt es in der Geometrie die euklidische Axiome für die Ebene bzw. den Raum, oder die Dedekind-Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen, die wir später behandeln werden, oder die Axiome für die reellen Zahlen, die man in der Analysis I einführt, oder die Axiome für die Mengenlehre {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise [[w:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|Zermelo-Fraenkel]] mit Auswahlaxiom| |ISZ=|ESZ=, }} die eine Festlegung für den mengentheoretischen Rahmen der gesamten Mathematik bilden. Eine wichtige Fragestellung hierbei ist, ob die Axiome die Struktur eindeutig festlegen. Andererseits kann man jede willkürliche Vorgabe einer Menge von Ausdrücken als ein Axiomensystem ansehen. Es gibt dann jeweils mehrere verschiedene Strukturen, die diese Axiome erfüllen. Ein Axiomensystem in diesem Sinn will nicht ein bestimmtes Modell charakterisieren, sondern abstrakte Eigenschaft, die in unterschiedlichen Kontexten auftreten, bereitstellen. Eigenschaften, die man aus den Axiomen erschließen kann, gelten dann für sämtliche Modelle, die die Axiome erfüllen. Die Ökonomie dieses mathematischen Ansatzes liegt eben darin, dass man Schlüsse nicht am Objekt durchführt, sondern abstrakt und allgemein. Wichtige Axiomensysteme sind die Axiome für Gruppen, Ringe, Körper, angeordnete Körper, Vektorräume, metrische Räume, topologische Räume, Maßräume, Mannigfaltigkeiten. Wichtige Bewertungskriterien für beide Arten von Axiomensystemen sind. {{ Aufzählung4 |Die Axiome sollen möglichst einfach formuliert sein. |Die Axiome sollen möglichst einfach {{ Zusatz/Klammer |text=in einem Modell| |ISZ=|ESZ= }} überprüfbar sein. |Die Axiome sollen reichhaltige Folgerungen erlauben. |Die Axiome eines Systems sollen untereinander unabhängig sein; es darf kein Axiom re{{latextrenn|}}dundant sein. }} Für uns stehen zunächst Axiomensysteme im zweiten Sinne im Mittelpunkt; grundsätzlich kann man jede Ausdrucksmenge {{mathl|term=\Gamma \subseteq L^{{symbolalphabet|}} |SZ=}} als ein Axiomensystem auffassen. Als Beispiele betrachten wir aber nur mathematisch relevante Axiomensysteme. Um ein Axiomensystem prädikatenlogisch zu repräsentieren, muss man zuerst das Symbolalphabet und anschließend die Axiome festlegen. Betrachten wir beispielsweise die mathematische Definition einer Gruppe. {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition|v=*| }} In formal-prädikatenlogischer Formulierung besteht das Symbolalphabet {{ Zusatz/Klammer |text=neben den Variablen| |ISZ=|ESZ= }} aus einer Konstanten {{math|term= e |SZ=}} und aus einem zweistelligen Funktionssymbol {{math|term=\mu|SZ=.}} Die in der Gruppendefinition auftretenden Axiome {{ Zusatz/Klammer |text=die Gruppenaxiome, also die drei auftretenden Bedingungen| |ISZ=|ESZ= }} kann man mit diesen Symbolen einfach schreiben als {{ Aufzählung3 |{{ math/disp|term= \forall x (\forall y (\forall z \, \mu x \mu y z = \mu \mu x y z)) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x (\mu x e = x {{logund}} \mu e x = x ) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \exists y (\mu x y = e {{logund}} \mu y x = e) |SZ=. }} }} Nennen wir diese drei Ausdrücke zusammen {{math|term=\Gamma|SZ=.}} Dann ist eine Gruppe eine Menge {{math|term=G|SZ=}} mit einer Interpretation {{math|term=I|SZ=}} für {{math|term=e|SZ=}} und für {{math|term=\mu|SZ=,}} d.h. es muss ein ausgezeichnetes Element {{math|term=e^G|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=häufig schreibt man {{math|term=e_G|SZ=}} oder {{math|term=e|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} geben und eine zweistellige Funktion auf {{math|term=G|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine Verknüpfung| |ISZ=|ESZ=, }} derart, dass {{mathl|term=I \vDash \Gamma|SZ=}} gilt. Eine Gruppe ist also ein Modell für {{math|term=\Gamma|SZ=.}} Als weiteres Beispiel wiederholen wir die Definition der Ordnungsrelation, die wir in der fünften Vorlesung behandelt haben. {{:Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition}} Neben den Variablen besteht das zugehörige Symbolalphabet allein aus einem zweistelligen Relationssymbol, das wir ebenfalls mit {{math|term=\preccurlyeq|SZ=}} bezeichnen. Die für eine Ordnung verlangten Eigenschaften führen zu dem folgenden Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |{{ math/disp|term= \forall x (x \preccurlyeq x) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z ( x \preccurlyeq y {{logund}} y \preccurlyeq z \rightarrow x \preccurlyeq z) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \forall y ( x \preccurlyeq y {{logund}} y \preccurlyeq x \rightarrow x = y) |SZ=. }} }} In einer Menge {{math|term=M|SZ=}} mit einer zweistelligen Relation {{math|term=R|SZ=}} gilt das Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=}} genau dann, wenn die Relation eine Ordnungsrelation ist. Eine geordnete Menge ist also ein Modell für {{math|term=\Gamma|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Die Folgerungsbeziehung}} Mit Axiomensystemen verbindet man die Vorstellung, dass daraus {{Anführung|wichtige}} weitere Eigenschaften beweisbar sind. In einer jeden Gruppe gelten nicht nur die Gruppenaxiome, sondern auch alle Gesetzmäßigkeiten, die man aus den Gruppenaxiomen folgern kann. Dies wird in der mathematischen Logik durch den Folgerungsbegriff präzisiert. {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Folgerung/Über Modelle/Definition|| }} Die Folgerungsbeziehung verwendet also {{ Zusatz/Klammer |text=wie schon im aussagenlogischen Kontext| |ISZ=|ESZ= }} das gleiche Symbol wie die Gültigkeitsbeziehung. Dass aus einer gewissen Ausdrucksmenge {{math|term=\Gamma|SZ=}} ein gewisser Audruck {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} folgt, erfordert eine mathematische Argumentation, die aufzeigt, dass eine Menge mit gewissen zusätzlichen Strukturen, die {{math|term=\Gamma|SZ=}} erfüllt, stets auch {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} erfüllen muss. {{ inputbeispiel |Gruppenaxiome/Eindeutigkeit des inversen Elementes/Beispiel|| }} Da ein allgemeingültiger Ausdruck {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} in jeder Interpretation gilt, kann man auch sagen, dass {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} aus der leeren Ausdrucksmenge folgt, also {{mathl|term=\emptyset \vDash {{logprop|}}|SZ=}} gilt. Wenn {{mathl|term={{logprop|}}_1,{{logprop|}}_2,{{logprop|}}_3|SZ=}} die Gruppenaxiome sind, und {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} die im obigen Beispiel erwähnte Eindeutigkeitsausssage für das inverse Element ist, so ist auch {{ math/disp|term= {{logprop|}}_1 {{logund}} {{logprop|}}_2 {{logund}} {{logprop|}}_3 \rightarrow {{logprop|}} |SZ= }} allgemeingültig. {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Erfüllbar/Durch Modell/Definition|| }} Für eine Ausdrucksmenge {{math|term=\Gamma|SZ=}} bedeutet die Erfüllbarkeit, dass die darin enthaltenen Ausdrücke simultan in einer Interpretation erfüllbar sind. Zwischen Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit besteht die Beziehung, dass {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} genau dann allgemeingültig ist, wenn die Negation {{mathl|term=\neg {{logprop|}}|SZ=}} nicht erfüllbar ist. Zwischen Folgerung und Erfüllbarkeit besteht der folgende Zusammenhang. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Prädikatenlogik/Folgerung/Unerfüllbarkeit/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Sortenprädikate}} {{:Sortenprädikate/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} q06i1iyn3p085secyq8j7wgj7o4glfe 0 80477 778883 748654 2022-08-21T15:00:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein reeller {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| E || || || |SZ= }} ein Punkt und {{ Ma:Vergleichskette |F |\subseteq|E || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Unterraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| F || || || |SZ= }} ist der Abstand von {{math|term= P|SZ=}} zu {{math|term= F|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=.}} Im Allgemeinen schreibt man {{ Ma:Vergleichskette/disp | F || Q+U || || || |SZ= }} mit einem Aufpunkt {{ Ma:Vergleichskette | Q |\in| F || || || |SZ= }} und mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} und bestimmt das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | W || {{op:Orthogonales Komplement|U|}} || || || |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=}} in {{math|term= V|SZ=.}} Wenn {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_m |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=}} und {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_k |SZ=}} eine Basis von {{math|term= W|SZ=}} ist, so gibt es eine eindeutige Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Vektor|P|Q}} || \sum_{i {{=}}1 }^m a_i u_i + \sum_{j {{=}} 1 }^k b_j w_j || || || |SZ=. }} Es ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | L || P + \sum_{j {{=}} 1 }^k b_j w_j || Q - \sum_{ i {{=}} 1}^m a_iu_i || || |SZ= }} der Lotfußpunkt von {{math|term= P|SZ=}} auf {{math|term= F|SZ=}} und der Abstand von {{math|term= P|SZ=}} zu {{math|term= L|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|P|F}} || {{op:Abstand|P|L}} || {{op:Norm|\sum_{j {{=}} 1 }^k b_j w_j |}} || || |SZ=. }} Wenn die {{math|term= w_j|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=}} bilden, so ist dies gleich {{mathl|term= \sqrt{ \sum_{j=1}^k b_j^2} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ll5la4obsb19fl52xf3ssfx5h8mhe76 0 80478 779133 550362 2022-08-21T15:41:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen in der euklidischen Ebene den Abstand des Punktes {{ Ma:Vergleichskette |P || {{op:Spaltenvektor|4|5}} || || || |SZ= }} zu der Geraden {{math|term= G|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette | 2x-3y || 7 || || || |SZ= }} gegeben ist, berechnen. Die Gerade hat die Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || {{mengebed| {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|7|2}} |0 }} + t {{op:Spaltenvektor| 3|2}} |t \in \R }} || || || |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|2|-3}}|SZ=}} ist ein zu {{math|term= G|SZ=}} orthogonaler Vektor. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|7|2}} |0 }} - {{op:Spaltenvektor|4|5}} || {{op:Spaltenvektor|- {{op:Bruch|1|2}}|- 5}} || - {{op:Bruch|23|26}} {{op:Spaltenvektor|3|2}} + {{op:Bruch|14|13}} {{op:Spaltenvektor|2|-3}} || || |SZ=. }} Somit ist der Lotfußpunkt gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|4|5}} + {{op:Bruch|14|13}} {{op:Spaltenvektor|2|-3}} || {{op:Spaltenvektor|{{op:Bruch|80|13}}| {{op:Bruch|23|13}} }} || || || |SZ= }} und der Abstand ist {{ math/disp|term= {{op:Bruch|14|13}} \sqrt{13} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4qeh1qrlv58lvnk1jawzpaxinxzcs87 0 80479 780952 755031 2022-08-21T20:34:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge aller {{ Zusatz/Klammer |text=Personen| |ISZ=|ESZ=- }}Bahnhöfe in Deutschland. Zu {{mathl|term= a,b \in M|SZ=}} sei {{ math/disp|term= d(a,b) |SZ= }} die {{ Zusatz/Klammer |text=zeitlich| |ISZ=|ESZ= }} kürzeste fahrplanmäßige Verbindung von {{math|term= a|SZ=}} nach {{math|term= b|SZ=.}} Handelt es sich dabei um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nmgsv9h1h74bjpf34gqwhht0qjq2lni 0 80482 782277 756130 2022-08-22T00:15:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=,}} wobei alle Folgenglieder verschieden seien. Es sei {{mathl|term= A= {{Mengebed| x_n| n \in \N }} |SZ=}} und {{math|term= P|SZ=}} ein von allen Folgengliedern verschiedener Punkt aus {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Häufungspunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Folge ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|A|P}} || 0 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2gl4m818rkkfk1pxxrypsrinc91wwr7 0 80484 783497 455965 2022-08-22T03:38:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} der Kreis in {{math|term= \R^2|SZ=}} mit dem Mittelpunkt {{math|term= (3,-4)|SZ=}} und dem Radius {{math|term= 2|SZ=}} und {{math|term= B|SZ=}} der Kreis in {{math|term= \R^2|SZ=}} mit dem Mittelpunkt {{math|term= (7,2)|SZ=}} und dem Radius {{math|term= 3|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} den Abstand zwischen den beiden Kreisen und an welchen Kreispunkten dieser angenommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4idud9dr0mj16o298kjo9herpk9z7wy 0 80486 785560 455968 2022-08-22T08:59:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Abstand zwischen dem Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|5|-6}} |SZ=}} und der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |3x-7y ||8 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8l9y62v9jsqb37bkrs8wlz34j9q5sb1 0 80487 785561 457863 2022-08-22T08:59:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Abstand zwischen dem Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|4|1}} |SZ=}} und der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |-6x+3y ||11 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7tpza2xjile2x4d5cvk09u5mwmp408m 0 80488 783490 455971 2022-08-22T03:37:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} der Kreis in {{math|term= \R^2|SZ=}} mit dem Mittelpunkt {{math|term= (1,-3)|SZ=}} und dem Radius {{math|term= 2|SZ=}} und {{math|term= B|SZ=}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |6x+5y ||30 || || || |SZ= }} gegebene Gerade. Bestimme{{n Sie}} den Abstand zwischen dem Kreis und der Geraden und an welchen Punkten dieser angenommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2y5omi0keglfxdiurzzl703aigl3ley 0 80490 785565 455984 2022-08-22T09:00:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Abstand zwischen dem Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|3|-5|7}} |SZ=}} und der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |4x-7y +6z ||3 || || || |SZ= }} gegebenen Ebene im {{math|term= \R^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a92lglfcz446y4culp6pdyjqex72c7n 0 80492 783500 757167 2022-08-22T03:39:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien zwei {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Kreise| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= K_1 |und|term2= K_2 |SZ= }} in der euklidischen Ebene mit den Mittelpunkten {{mathl|term= M_1 \neq M_2|SZ=}} und den Radien {{ mathkor|term1= r_1 |und|term2= r_2 |SZ= }} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Mengen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den beiden Kreisen in Punkten angenommen wird, die auf der Verbindungsgeraden der Kreismittelpunkte liegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5spgucnepjvjigwkz0ri88emnxemn4e 0 80523 785952 759100 2022-08-22T10:05:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reeller Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} Bestätige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|x+y|}}^2-{{op:Norm|x-y|}}^2 || 4 {{op:Skalarprodukt|x|y}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6lgljyjcxt3hz8dyzbdikco0fwwf788 0 80524 785953 759101 2022-08-22T10:05:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= V|SZ=}} ein reeller Vektorraum mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=.}} Bestätige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|x+y|}}^2 + {{op:Norm|x-y|}}^2 || 2 {{op:Norm|x|}}^2 + 2 {{op:Norm|y|}}^2 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 898l50bv3eyjgy64ib1yg3ypyii0mzd 0 80526 782965 756707 2022-08-22T02:09:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= [a,b]|SZ=}} ein abgeschlossenes reelles Intervall mit {{mathl|term= a<b|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |V || {{Mengebed| f :[a,b] \rightarrow \R| f \text{ stetig} }} || || || |SZ=. }} Zu {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und {{mathl|term= f,g \in V|SZ=}} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|f|g}}_n |{{defeq}}| \sum_{i {{=}} 0 }^n f {{makl| a+ i {{op:Bruch|b-a|n }} |}} g {{makl| a+i {{op:Bruch|b-a|n }} |}} || || || |SZ=. }} Welche Eigenschaften eines {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarproduktes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}_n |SZ=,}} welche nicht? Welche Beziehung besteht zwischen {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}_n |SZ=}} und dem Skalarprodukt aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Stetige Funktionen/Intervall/C-wertig/Skalarprodukt/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9bipbec4unhjpmqg5cseowfnszlpbc1 0 80542 786559 759586 2022-08-22T11:45:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=}} und sei {{math|term= U \subseteq V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |orthogonale Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ebenfalls ein Untervektorraum von {{math|term= V|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der orthogonalen Komplemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Untervektorraum |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lnl81c8ngui0hz6o3ovf9nenol8ogeb 0 80551 784819 758273 2022-08-22T07:04:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die komplexen Zahlen {{math|term= {{CC}}|SZ=}} seien mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} versehen. {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} zu dem von {{mathl|term= 4+7 {{Imaginäre Einheit|}}|SZ=}} erzeugten komplexen Untervektorraum von {{math|term= {{CC}}|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} zu dem von {{mathl|term= 4+7 {{Imaginäre Einheit|}}|SZ=}} erzeugten komplexen Untervektorraum von {{math|term= {{CC}}|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich des Realteils zu {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also dem zugehörigen reellen Skalarprodukt| |ISZ=|ESZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} zu dem von {{mathl|term= 4+7 {{Imaginäre Einheit|}}|SZ=}} erzeugten reellen Untervektorraum von {{math|term= {{CC}}|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich des Realteils zu {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der orthogonalen Komplemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ss7jzs2rjcxvxsd901xa219cx891tge 0 80555 784826 758279 2022-08-22T07:06:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wende{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf die {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|4- {{Imaginäre Einheit}} |3|}},\, {{op:Spaltenvektor|{{Imaginäre Einheit}} |2- {{Imaginäre Einheit}} }} |SZ= }} des {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ixm6lf9q21vecdw8la3emn4enypumh9 0 80556 784827 758280 2022-08-22T07:06:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wende{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf die {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|5-2{{Imaginäre Einheit}} |3-3{{Imaginäre Einheit}} |}},\, {{op:Spaltenvektor|6-{{Imaginäre Einheit}} |-2+4 {{Imaginäre Einheit}} }} |SZ= }} des {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2e75c9okz62wymv4zqhuzuowy06vi71 0 80559 784822 758276 2022-08-22T07:05:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |komplexer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} und sei {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= u_1, {{Imaginäre Einheit|}} u_1,u_2, {{Imaginäre Einheit|}} u_2 {{kommadots|}} u_n, {{Imaginäre Einheit|}} u_n |SZ= }} eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums {{math|term= V|SZ=}} bezüglich des zugehörigen reellen Skalarprodukts ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o297rr6v5y276688mb47edkos9izc17 0 80573 784518 456899 2022-08-22T06:21:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Geldfälscher stellt {{math|term= 3|SZ=-}} und {{math|term= 7|SZ=-}}Euro-Scheine her. {{ Aufzählung3 |Beschreibe{{n Sie}} die Menge {{math|term= M|SZ=}} der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen {{ Zusatz/Klammer |text=exakt| |ISZ=|ESZ= }} begleichen kann, als eine rekursive Teilmenge von {{math|term= \N|SZ=,}} also durch eine Startmenge und Rekursionsvorschriften. |Zeige{{n Sie}}, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann? |Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2=Theorie der rekursiv definierten Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 26e39qbrchvz9es1cw7azns0yijie6c 0 80574 786167 456876 2022-08-22T10:40:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die rekursiv definierte Teilmenge {{math|term= M|SZ=}} von {{mathl|term= \Z^2=\Z \times \Z|SZ=,}} die durch die Startmenge {{ Ma:Vergleichskette |S ||\{ (0,0)\} || || || |SZ= }} und die folgenden Rekursionsvorschriften gegeben ist. {{ Aufzählung3 |Wenn {{mathl|term= P \in M|SZ=}} ist, so ist auch {{mathl|term= P + {{op:Zeilenvektor|3|0}} \in M |SZ=.}} |Wenn {{mathl|term= P \in M|SZ=}} ist, so ist auch {{mathl|term= P + {{op:Zeilenvektor|-1|-2}} \in M |SZ=.}} |Wenn {{mathl|term= P \in M|SZ=}} ist, so ist auch {{mathl|term= P + {{op:Zeilenvektor|2|7}} \in M |SZ=.}} }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung6 |Der Punkt {{math|term= {{op:Zeilenvektor|-3|0}}|SZ=}} gehört zu {{math|term= M|SZ=.}} |Der Punkt {{math|term= {{op:Zeilenvektor|0|3}}|SZ=}} gehört zu {{math|term= M|SZ=.}} |Der Punkt {{math|term= {{op:Zeilenvektor|0|-3}}|SZ=}} gehört zu {{math|term= M|SZ=.}} |Ein Punkt {{mathl|term= Q \in M|SZ=}} besitzt im Allgemeinen keine eindeutige Generierung. |Jeder Punkt {{mathl|term= Q=(a,b) \in M|SZ=}} besitzt die Eigenschaft, dass {{mathl|term= a+b|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= 3|SZ=}} ist. |Wenn {{mathl|term= Q=(a,b) \in \Z^2|SZ=}} die Eigenschaft besitzt, dass {{mathl|term= a+b|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= 3|SZ=}} ist, so ist {{mathl|term= Q \in M|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rekursiv definierten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jn170w2maq6pwfktgxjqm26ujv65lo5 0 80575 784520 456900 2022-08-22T06:22:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Geldfälscher stellt {{math|term= 4|SZ=-,}} {{math|term= 9|SZ=-}} und {{math|term= 11|SZ=-}}Euro-Scheine her. {{ Aufzählung3 |Beschreibe{{n Sie}} die Menge {{math|term= M|SZ=}} der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen {{ Zusatz/Klammer |text=exakt| |ISZ=|ESZ= }} begleichen kann, als eine rekursive Teilmenge von {{math|term= \N|SZ=,}} also durch eine Startmenge und Rekursionsvorschriften. |Zeige{{n Sie}}, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann? |Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2=Theorie der rekursiv definierten Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=2 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jkm9is1m3ymvewqm6vdtfjf650m1bbv 0 80622 780917 457060 2022-08-21T20:28:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gehört das leere Wort {{math|term= \emptyset|SZ=}} zur Sprache der Aussagenlogik {{math|term= L^V|SZ=}} zu einer Aussagenvariablenmenge {{math|term= V|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} deutyqza2bj3s6picg3bdxkqliyrihi 0 80646 782243 756091 2022-08-22T00:09:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ= }} derart, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |flächentreu| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber keine {{ Definitionslink |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2=Maßtheorie für lineare Abbildungen |Kategorie3=Theorie der maßtreuen Abbildungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0v4d81l0kg676ffrzv8uu2cirs8lpjq 0 80647 783010 756769 2022-08-22T02:17:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrien| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lc7ldc0etki98ggb6cjvxda0ccfzyzl 0 80648 783553 757215 2022-08-22T03:47:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= K^3|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |bilinear| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rop1wz5gi9d7ahs513xdp38oiol3g4s 0 80654 786565 759593 2022-08-22T11:46:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein reeller {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} und sei {{ mathbed|term= u_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für Vektoren {{mathl|term= v= \sum_{i \in I}a_i u_i|SZ=}} und {{mathl|term= w= \sum_{i \in I}b_i u_i|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|v|w}} || \sum_{i \in I} a_ib_i || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2=Theorie der Orthonormalbasen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rsrmjanc7abf7eotex9s3h4zulqpb0t 0 80656 783367 757058 2022-08-22T03:16:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= V,W|SZ=}} komplexe Vektorräume mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der gegebenen komplexen Skalarprodukte ist, wenn {{math|term= \varphi|SZ=}} eine Isometrie bezüglich der zugehörigen reellen Skalarprodukte ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unitären Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ac0qopklofc4t1l8mz5dtde0uf8zloo 0 80663 778708 457277 2022-08-21T12:43:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Richtungen {{math|term= (1) \Rightarrow (2)|SZ=,}} {{math|term= (2) \Rightarrow (3)|SZ=}} und {{math|term= (3) \Rightarrow (4)|SZ=}} sind Einschränkungen. {{math|term= (4) \Rightarrow (3)|SZ=.}} Für den Nullvektor ist die Aussage {{math|term= (3)|SZ=}} klar, sei also {{ Ma:Vergleichskette |v |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dann besitzt {{mathl|term= {{op:Bruch|v| {{op:Norm|v|}} }}|SZ=}} die Norm {{math|term= 1|SZ=}} und wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(v) || \varphi {{makl| {{op:Norm|v|}} {{op:Bruch|v| {{op:Norm|v|}} }} |}} || {{op:Norm|v|}} \varphi {{makl| {{op:Bruch|v| {{op:Norm|v|}} }} |}} || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\varphi (v) |}} || {{op:Norm|v|}} || || || |SZ=. }} {{math|term= (3) \Rightarrow (1)|SZ=}} folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Skalarprodukt/K/Polarisationsformel mit Norm/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} caee5kw7cckuv0dmtz6sua4yca18c8y 0 80674 780910 755006 2022-08-21T20:27:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} ein Entscheidungsverfahren, das für eine gegebene Aussage {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=}} entscheidet, ob es sich um eine aussagenlogische {{ Definitionslink |Prämath= |Tautologie| |Kontext=semantisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 86bcamdzul6h94az1r7tucpbszqh01o 0 80678 785950 759096 2022-08-22T10:04:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu {{mathl|term= a,b,c,d \in \R|SZ=}} mit {{mathlk|term=a^2+b^2+c^2+d^2=1|SZ=}} die Matrix {{ math/disp|term= {{Op:Matrix33|a^2+b^2-c^2-d^2|2(-ad+bc)|2( ac+bd) |2(ad+bc)|a^2-b^2+c^2-d^2|2(-ab+cd)|2(-ac+bd)|2(ab+cd)|a^2-b^2-c^2+d^2|||||}} }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=}} definiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der räumlichen Drehungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} czw53kpj5dt0d508ioxr71ashjuq2oy 0 80679 781660 755595 2022-08-21T22:32:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine komplexe {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass die Spalten eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} bilden und die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|u| - {{op:Komplexe Konjugation|v|}} |v |{{op:Komplexe Konjugation|u|}} }} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= u,v \in {{CC}}|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Norm| {{op:Spaltenvektor|u|v}} }} =1 |SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unitären Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9nuo2pi0r8sfgo79oetrf4avzu1nh3i 0 80690 781652 755590 2022-08-21T22:30:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22| {{op:Bruch|5|13}} | - {{op:Bruch|12|13}}| {{op:Bruch|12|13}} | {{op:Bruch|5|13}} }} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} und dem {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} definiert. |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=.}} |Bestimme eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{CC}}^2|SZ=,}} die aus {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} besteht. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unitären Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dcfdgjgky6pn0pz3cauz3qo6sr2l4px 0 80691 781651 755589 2022-08-21T22:30:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22| {{op:Bruch|3|5}} | - {{op:Bruch|4|5}}| {{op:Bruch|4|5}} | {{op:Bruch|3|5}} }} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} und dem {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} definiert. |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=.}} |Bestimme eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{CC}}^2|SZ=,}} die aus {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} besteht. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unitären Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fqe8u0ax1e3a0d90cf2y17xkyi54wfb 0 80692 783011 756770 2022-08-22T02:17:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invarianter| |Kontext=Unterraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi{{|}}_U |U|U || |SZ= }} ebenfalls eine Isometrie ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien (Vektorraum mit Skalarprodukt) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2imdfjq75v8zg3xgl8c5rz4jryw62jz 0 80702 778637 549917 2022-08-21T12:33:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | U^{{senkrecht|}} ||{{Mengebed|v \in V| {{op:Skalarprodukt|v|u}}{{=}}0 \text{ für } \text{alle } u \in U}} || || || |SZ=. }} Für ein solches {{mathl|term= v \in U^{{senkrecht|}} |SZ=}} und ein beliebiges {{mathl|term= u \in U|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|\varphi(v)|u}} ||{{op:Skalarprodukt|\varphi^{-1}(\varphi(v))|\varphi^{-1}(u)}} ||{{op:Skalarprodukt|v|u'}} ||0 |SZ=, }} da {{ Ma:Vergleichskette |u' || \varphi^{-1}(u) |\in| U || || |SZ= }} wegen der Invarianz von {{math|term= U|SZ=}} liegt. Also ist wieder {{mathl|term= \varphi(v) \in U^{{senkrecht|}}|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3sbgeiydbq2lzeqmdg186407nlmmq8g 0 80710 778636 762552 2022-08-21T12:33:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(v) || \lambda v || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |v |\neq|0 || || || |SZ=, }} d.h. {{math|term= v|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Eigenvektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Eigenwert {{math|term= \lambda \in {{KRC|}} |SZ=.}} Wegen der Isometrieeigenschaft gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v}} || {{op:Norm|\varphi(v)}} || {{op:Norm|\lambda v}} || {{op:Betrag|\lambda }} \cdot {{op:Norm|v}} |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|v}} |\neq|0 || || || |SZ= }} folgt daraus {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|\lambda }} ||1 || || || |SZ=. }} Im Reellen bedeutet dies {{ Ma:Vergleichskette | \lambda || \pm 1 || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j7bf5yp9ih0vnul1t5sjujgj24c8h3t 0 80713 780495 754682 2022-08-21T19:17:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariable| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=}} eine Aussage, in der die Variable {{math|term= p|SZ=}} nicht vorkommt. Es gelte {{ math/disp|term= \{p\} \vdash {{logprop|}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass bereits {{ math/disp|term= \vdash {{logprop|}} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ox43os8kpqvq32empxtcz7q7trcwmht 0 80714 780494 754681 2022-08-21T19:17:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V=\{ p,q,r\}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Welche der folgenden Aussagen aus {{math|term= L^V|SZ=}} lassen sich aus {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma ||V || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |ableiten| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} {{ Aufzählung7 |{{ math/disp|term= p |SZ=, }} |{{ math/disp|term= p {{logund||}} q \rightarrow r |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \neg p {{logund||}} q \rightarrow r |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \neg p {{logund||}} \neg q \rightarrow \neg r |SZ=, }} | {{ math/disp|term= p \rightarrow ( q \rightarrow r) |SZ=, }} |{{ math/disp|term= p \rightarrow ( q \rightarrow \neg r) |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \neg q |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 26z6ke15z34y3y9jtb0w3tu7hm9nnky 0 80716 780887 754983 2022-08-21T20:23:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=.}} Es gelte {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es dann auch eine endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |\Delta |\subseteq|\Gamma || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= \Delta \vdash {{logprop|}} |SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} blc8oilrsi9yhnhlb100y5itm00ltpf 0 80725 783012 756771 2022-08-22T02:17:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn für beliebige Teilmengen {{mathl|term= A,B \subseteq V|SZ=}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(\varphi(A), \varphi(B)) ||d(A,B) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien zwischen euklidischen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ket74cohe09le2ysvsod2278d851ry 0 80731 782122 756010 2022-08-21T23:49:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |winkeltreuen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:GLG||V|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der winkeltreuen linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ncprk9ig4ft5to630irfqx977n1gh0 0 80732 786414 759487 2022-08-22T11:21:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} zu jedem {{ mathbed|term= r ||bedterm1= 0 \leq r < n ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n|\R^n || |SZ= }} vom Rang {{math|term= r|SZ=}} an, die {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Vektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf orthogonale Vektoren abbildet, aber keine {{ Definitionslink |Prämath= |winkeltreue Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der winkeltreuen linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b62t97czfnhc6r44at549pijohzc5nc 0 80743 782099 755989 2022-08-21T23:45:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |euklidische Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |injektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |winkeltreu| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der winkeltreuen linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bp284leli7ulnvwmfvtxunz3ybm8d3u 0 80745 781347 755369 2022-08-21T21:39:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Diagonalmatrix|d||}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n| \R^n || |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |winkeltreu| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= {{op:Betrag|d_{ii}|}} |SZ=}} konstant und von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der winkeltreuen linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4jmr9o98vv7sl2rwxfcxz4j6kyrebgp 0 80757 779851 751970 2022-08-21T17:31:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |J | \subseteq |{{Menge1n}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |U ||{{op:Span| e_i|i \in J}} |\subseteq|\R^n || || |SZ= }} der von dieser Auswahl an {{ Definitionslink |Prämath= |Standardvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aufgespannte Achsenunterraum. Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || {{op:Spaltenvektor|v_1|\vdots|v_n}} || || || |SZ=. }} Dann ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= v|SZ=}} zu {{math|term= U|SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(v,U) || \sqrt{ \sum_{i \not\in J} v_i^2} || || || |SZ=. }} Der Lotfußpunkt von {{math|term= v|SZ=}} auf {{math|term= U|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |p_U(v) || {{op:Spaltenvektor|w_1|\vdots|w_n}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |w_i || \begin{cases} v_i,\, \text{ falls } i \in J ,\,\\ 0,\, \text{ falls } i \not\in J \, .\end{cases} || || || |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der orthogonalen Projektionen |Kategorie2=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0bfysfhyqj7qx3gj20y9cqzpz4mxrcb 0 80764 786075 759227 2022-08-22T10:25:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Besitzt die Menge {{math|term= \N|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |natürlichen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |obere Schranke| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Wie sieht das in anderen {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körpern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ajeycavfzx64jfa49sasw2o5j7w1gif 0 80780 780926 457656 2022-08-21T20:29:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} eine aussagenlogische Aussage und es seien {{mathl|term= p_1 {{kommadots|}} p_n |SZ=}} die darin vorkommenden Aussagenvariablen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logprop3|}} || \pm p_1 {{logunddots|}} \pm p_n || || || |SZ= }} eine fixierte Konjunktion dieser {{ Zusatz/Klammer |text=negierten| |ISZ=|ESZ= }} Aussagenvariablen. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ mathkor/disp|term1= \vdash {{logprop3|}} \rightarrow {{logprop|}} |oder|term2= \vdash {{logprop3|}} \rightarrow \neg {{logprop|}} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gbsddcrgrnnrqvz9nntg834a9j1svvq 0 80789 782448 756271 2022-08-22T00:43:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= \Z|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau die von {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Z p = {{mengebed|kp|k \in \Z}} |SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der maximalen Ideale (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Untergruppen von Z und Teilbarkeitstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ee917z6ulh8uc25yh2j14bgaxaj3ev3 0 80791 780063 763874 2022-08-21T18:05:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zwei {{ Zusatz/Klammer |text=affine| |ISZ=|ESZ= }} Geraden {{ Ma:Vergleichskette |G,H |\subseteq| \R^3 || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|windschief|msw=Windschiefe Geraden|SZ=,}} wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und auch nicht parallel sind, ihre Richtungsvektoren also nicht linear abhängig sind. Dann erzeugen die Richtungsvektoren eine Ebene, und auf dieser Ebene steht ein {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Streckung eindeutiger| |ISZ=|ESZ= }} Vektor {{math|term= u|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |senkrecht| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Einen solchen Vektor, den {{Stichwort|Normalenvektor|SZ=,}} kann man mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} berechnen. Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || P + \R v || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |H || Q+ \R w || || || |SZ=. }} Das lineare Gleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette/disp | P-Q || av+bw+cu || || || |SZ= }} besitzt eine eindeutige Lösung {{mathl|term= (a,b,c) \in \R^3|SZ=.}} Dabei sind {{mathl|term= P- av \in G|SZ=}} und {{mathl|term= Q+bw \in H|SZ=}} die Lotfußpunkte, in denen nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Euklidischer Raum/Affine Unterräume/Senkrecht/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Abstand der Geraden angenommen wird. Dieser Abstand ist {{mathl|term= {{op:Norm|cu|}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sr0f2ad3yi14mpd3ro9z1jxxy812dih 0 80793 778724 762652 2022-08-21T12:45:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir gehen von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Windschiefe Geraden/R^3/Abstand/Fußpunkte/Lineares Gleichungssystem/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} aus und betrachten {{ Ma:Vergleichskette/disp |P-Q || av+bw+cu || || || |SZ=, }} Mit {{ Faktlink |Präwort=der|Cramerschen Regel|Faktseitenname= Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erhalten wir unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt |Nr=5 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und da {{math|term= u|SZ=}} ein lineares Vielfaches von {{mathl|term= v \times w|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/align |c || {{op:Bruch| {{op:Determinante| {{op:Matrix33|v_1|w_1|P_1-Q_1|v_2|w_2|P_2-Q_2|v_3|w_3|P_3-Q_3| }} |}} | {{op:Determinante| {{op:Matrix33|v_1|w_1|u_1|v_2|w_2|u_2|v_3|w_3|u_3| }} |}} }} || {{op:Bruch| {{op:Skalarprodukt| v \times w|P-Q|}} |{{op:Skalarprodukt| v \times w|u|}} }} || {{op:Bruch| {{op:Skalarprodukt|u|P-Q|}} |{{op:Skalarprodukt|u|u|}} }} ||{{op:Skalarprodukt|u|P-Q|}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d1dgtvu04djeoym1dkuh82cj2jnqm3y 0 80794 780062 763873 2022-08-21T18:05:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text=Es seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |G ||P+ \R v || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |H ||Q+ \R w || || || |SZ= }} windschiefe Geraden. Wir wollen das Abstandsproblem zwischen den beiden Geraden als Extremalproblem im Sinne der höherdimensionalen Analysis verstehen. Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2|a_3}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q || {{op:Spaltenvektor|b_1|b_2|b_3}} || || || |SZ=. }} Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten {{ Ma:Vergleichskette/disp |P' || {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2|a_3}} + s {{op:Spaltenvektor|v_1|v_2|v_3}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q' || {{op:Spaltenvektor|b_1|b_2|b_3}} + t {{op:Spaltenvektor|w_1|w_2|w_3}} || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette |c_i ||a_i-b_i || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |d(P',Q')^2 || {{makl| c_1 +sv_1 -tw_1 |}}^2 + {{makl| c_2 +sv_2 -tw_2 |}}^2 + {{makl| c_3 +sv_3 -tw_3 |}}^2 || c_1^2 + s^2v_1^2 + t^2w_1^2 + 2sc_1v_1 -2tc_1w_1 -2stv_1w_1 + c_2^2 + s^2v_2^2 + t^2w_2^2 + 2sa_2v_2 -2tc_2w_2-2stv_2w_2 + c_3^2 + s^2v_3^2 + t^2w_3^2 + 2sc_3v_3 -2tc_3w_3 -2stv_3w_3 || c_1^2+c_2^2+c_3^2 + 2s {{makl|c_1v_1 + c_2v_2 +c_3v_3 |}} - 2t {{makl|c_1 w_1 + c_2w_2 +c_3w_3 |}} +s^2 {{makl|v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 |}} +t^2 {{makl|w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 |}} -2st {{makl|v_1w_1 + v_2w_2 +v_3w_3 |}} || |SZ=. }} Diesen Ausdruck kann man mit Mitteln der Analysis 2 interpretieren. Wir betrachten die durch die Geraden gegebenen Daten als fixierte Parameter, so dass ein reellwertiger funktionaler Ausdruck {{mathl|term= f(s,t)|SZ=}} in den beiden reellen Variablen {{ mathkor|term1= s |und|term2= t |SZ= }} vorliegt, für den Extrema zu bestimmen sind. Die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Partielle Ableitung|f|s}} || 2 {{makl|c_1v_1 +c_2v_2 +c_3v_3 |}}+ 2s {{makl|v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 |}} -2t {{makl|v_1w_1 + v_2w_2 +v_3w_3 |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Partielle Ableitung|f|t}} || 2 {{makl|c_1w_1 + c_2w_2 +c_3w_3 |}}+ 2t {{makl| w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 |}} -2s {{makl|v_1w_1 + v_2w_2 +v_3w_3 |}} || || || |SZ=. }} Wenn wir diese gleich {{math|term= 0|SZ=}} setzen, so erhalten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Variablen {{ mathkor|term1= s |und|term2= t |SZ=. }} Mit {{ Faktlink |Präwort=der|Cramerschen Regel|Faktseitenname= Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp |s || {{op:Bruch| {{op:Determinante|{{op:Matrix22| - c_1v_1 - c_2v_2 -c_3v_3 |-v_1w_1 -v_2w_2 -v_3w_3|- c_1 w_1 - c_2 w_2 -c_3 w_3 | w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 }} |}} | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 |-v_1w_1 -v_2w_2 -v_3w_3|- v_1w_1 - v_2w_2 -v_3w_3 | w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 }} |}} }} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |t || {{op:Bruch| {{op:Determinante|{{op:Matrix22| v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 | - c_1v_1 - c_2v_2 -c_3v_3 | - v_1w_1 - v_2w_2 -v_3w_3 |-c_1w_1 -c_2w_2 -c_3w_3| }} |}} | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 |-v_1w_1 -v_2w_2 -v_3w_3|- v_1w_1 - v_2w_2 -v_3w_3 | w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 }} |}} }} || || || |SZ=. }} Wenn {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} normiert sind, so vereinfachen sich diese Ausdrücke zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |s || {{op:Bruch| - {{op:Skalarprodukt|P-Q|v}} - {{op:Skalarprodukt|P-Q |w}} {{op:Skalarprodukt|v|w}} | 1- {{op:Skalarprodukt|v|w}}^2 }} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |t || {{op:Bruch| - {{op:Skalarprodukt|P-Q|w}} - {{op:Skalarprodukt|P-Q |v}} {{op:Skalarprodukt|v|w}} | 1- {{op:Skalarprodukt|v|w}}^2 }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4uorb4dtfra8nk73foeqzbjpcloi8nq 0 80800 778992 763171 2022-08-21T15:18:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{CC}}|{{CC}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl {{ Ma:Vergleichskette/disp |w ||a+b {{Imaginäre Einheit|}} |\neq|0 || || |SZ= }} gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis {{mathl|term= 1, {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} von {{ Ma:Vergleichskette |{{CC}} ||\R^2 || || || |SZ= }} wird diese Abbildung durch die reelle {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|a|-b|b|a|}} |SZ= }} beschrieben. Diese schreiben wir als {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|a|-b|b|a|}} || {{op:Matrix22|\sqrt{a^2+b^2} |0|0|\sqrt{a^2+b^2} |}} {{op:Matrix22| {{op:Bruch|a| \sqrt{a^2+b^2} }} |- {{op:Bruch|b| \sqrt{a^2+b^2} }} | {{op:Bruch|b| \sqrt{a^2+b^2} }} |{{op:Bruch|a| \sqrt{a^2+b^2} }} |}} || || || |SZ=. }} Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie {{ Zusatz/Klammer |text=einer {{ Definitionslink |Prämath= |Drehung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und einer {{ Definitionslink |Prämath= |Streckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Streckungsfaktor {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|w|}} ||\sqrt{a^2+b^2} || || || |SZ= }} und insbesondere eine {{ Definitionslink |Prämath= |winkeltreue Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der winkeltreuen linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lygw8d9y9kip48m9n0utpdsutdmrd24 0 80802 782094 755982 2022-08-21T23:44:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |euklidische Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |injektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |winkeltreu| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn für alle {{ mathbed|term= u,v \in V ||bedterm1= u,v \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|\varphi(u)|\varphi(v)|}} || {{op:Bruch| {{op:Norm|\varphi(u)||}} | {{op:Norm|u||}} }} \cdot {{op:Bruch| {{op:Norm|\varphi(v)||}} | {{op:Norm|v||}} }} \cdot {{op:Skalarprodukt|u|v|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der winkeltreuen linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cgyzlmpqnd4rz2jhbnbgzqfkx7eta6x 0 80803 785563 550365 2022-08-22T09:00:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Abstand zwischen dem Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|4|1}} |SZ=}} und der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |-6x+3y ||11 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ikv5nnuxw4to0x06ntlwx4l97vmiym3 0 80804 785562 550368 2022-08-22T09:00:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Abstand zwischen dem Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|5|-6}} |SZ=}} und der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |3x-7y ||8 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b6gyq34kbmjs3alhbbtpqkcn1x3y4u8 0 80809 782113 756001 2022-08-21T23:47:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |winkeltreue| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Vektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |V|V || |SZ= }} und eine {{ Definitionslink |Prämath= |Streckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \sigma |V|V || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || \psi \circ \sigma || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der winkeltreuen linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gqeoss223yy84p45ip2fa7o59k8nhzx 0 80842 781587 458383 2022-08-21T22:20:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} elementargeometrisch, dass die Winkelsumme in einem Dreieck gleich {{math|term= 180|SZ=}} Grad ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 861gr1d6aqpsezo4cq9qrs8g3s0nvuf 0 80847 781589 743643 2022-08-21T22:20:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In den {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Ebenen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= E_1 |und|term2= E_2 |SZ= }} seien {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgeartete Dreiecke| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Delta_1= (A_1,B_1,C_1)|SZ=}} und {{mathl|term= \Delta_2=(A_2,B_2,C_2)|SZ=}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass es eine bijektive {{ Definitionslink |Prämath= |affine Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |E_1|E_2 || |SZ= }} gibt, die die Dreiecke ineinander überführt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 38g5ke4pihna7e8gq7kfc3936pa791x 0 80850 786433 458515 2022-08-22T11:24:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn in einem Dreieck die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |c^2 ||a^2+b^2 || || || |SZ= }} zwischen den Seitenlängen {{math|term= a,b,c|SZ=}} gilt, so ist das Dreieck rechtwinklig. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz des Pythagoras |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jrmy3ceqhuvyjkpaw3fxwvlq8i118wt 0 80868 786434 458512 2022-08-22T11:24:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Umkehrung {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Thales|Faktseitenname= Satz des Thales/Lineare Algebra/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=: }} Es sei {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an {{math|term= C|SZ=.}} Es sei {{math|term= M|SZ=}} der Mittelpunkt der Strecke {{mathl|term= \overline{A,B}|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(C,M) || d(A,M) ||d(B,M) || || |SZ=, }} d.h. {{math|term= C|SZ=}} liegt auf dem Kreis mit Mittelpunkt {{math|term= M|SZ=}} durch {{math|term= A|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= B|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz des Thales |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ailnby644jlmqreq0nvrqradubr0xe3 0 80870 781575 755531 2022-08-21T22:18:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das Dreieck im {{math|term= \R^2|SZ=}} mit den Eckpunkten {{mathl|term= (2,-3), (4,1), (5,6),|SZ=}} die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhengeraden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die Länge der Höhen und die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhenfußpunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q18r9wiki2b93dreywaeh7ctsfnaqh1 0 80871 781574 755530 2022-08-21T22:17:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das Dreieck im {{math|term= \R^2|SZ=}} mit den Eckpunkten {{mathl|term= (0,0), (3,0), (0,5)|SZ=}} die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhengeraden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die Länge der Höhen und die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhenfußpunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ok6t1mtfbgsnlaga9p5p1nu1dn2l6u 0 80872 781552 755514 2022-08-21T22:14:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= \R^3|SZ=}} sei das Dreieck mit den Eckpunkten {{mathl|term= (4, 2,-5), (4,3,7), (-5,0,-6)|SZ=}} gegeben. a) Bestimme{{n Sie}} eine Gleichung und eine Parameterdarstellung für die affine Ebene, in der das Dreieck liegt. b) Bestimme{{n Sie}} die Seitenlängen des Dreiecks. c) Bestimme{{n Sie}} die Winkel des Dreiecks. d) Bestimme{{n Sie}} eine Parameterdarstellung für die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhengerade| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch den Punkt {{mathl|term= (4,2,-5)|SZ=,}} die Länge dieser Höhe und den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Höhenfußpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |p4=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6f7l19ge6arys196opnofivq6t6tz1g 0 80876 781555 755517 2022-08-21T22:14:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} ein Dreieck in einer {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Ebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Mengen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Eckpunktes {{math|term= C|SZ=}} zur Seite {{mathl|term= \overline{AB}|SZ=}} im Punkt {{math|term= A|SZ=}} oder im Punkt {{math|term= B|SZ=}} oder im {{ Definitionslink |Prämath= |Höhenfußpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=Dreieck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{math|term= C|SZ=}} angenommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jz5z3r9xvptc7ebfomgosqey8puabgk 0 80905 780831 550439 2022-08-21T20:13:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f|SZ=}} ein zweistelliges Funktionssymbol und {{mathl|term= x,y,z|SZ=}} Variablen. Formuliere{{n Sie}} das Assoziativgesetz {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= f|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} als eine Allaussage mit Hilfe der Identität von zwei Termen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9rxpldjmvf0e67157vdm2ja0abczyry 0 80906 783665 757313 2022-08-22T04:06:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= V=\{x_1 {{kommadots|}} x_n \} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Variablenmenge| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Grundtermmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} sei durch {{math|term= K|SZ=}} als Konstantenmenge, {{math|term= V|SZ=}} als Variablenmenge und den beiden zweistelligen Funktionssymbolen {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} festgelegt. In welcher Beziehung steht die {{ Definitionslink |Prämath= |Termmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= T(G)|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[x_1 {{kommadots|}} x_n]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 61ylw5qqgq0t4rnw7940d0x27poah5l 0 80907 782649 756427 2022-08-22T01:17:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Grundtermmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} sei durch eine einelementige Konstantenmenge {{ Ma:Vergleichskette |K ||\{c\} || || || |SZ=, }} eine leere Variablenmenge und eine einelementige einstellige Funktionssymbolmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |F_1 || \{f\} || || || |SZ= }} gegeben. Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass es eine bijektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\N| T(G) || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(0) ||c || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(n+1) || f \varphi(n) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7dr9tmxueyhq3l0op500695cyey8psb 0 80908 783319 550438 2022-08-22T03:08:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f|SZ=}} ein zweistelliges Funktionssymbol und {{mathl|term= x,y|SZ=}} Variablen. Formuliere{{n Sie}} das Kommutativgesetz {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= f|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} als eine Allaussage mit Hilfe der Identität von zwei Termen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mcgxdr1nzteebolj1g7nzyat1hgp8ny 0 80911 781583 743632 2022-08-21T22:19:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Umkreismittelpunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgearteten Dreiecks| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (A,B,C)|SZ=}} in einer {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Ebene| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |Verschiebung| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |winkeltreuen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p2muvv91tjcdz0owhl3sbkzc7mhwq13 0 80912 781567 755525 2022-08-21T22:16:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Inkreismittelpunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgearteten Dreiecks| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (A,B,C)|SZ=}} in einer {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Ebene| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |Verschiebung| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |winkeltreuen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf den Inkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a3v1bjsxp286lr9k0cq6n0pc65j1srf 0 80913 781565 743638 2022-08-21T22:16:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Höhenschnittpunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgearteten Dreiecks| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (A,B,C)|SZ=}} in einer {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Ebene| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |Verschiebung| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |winkeltreuen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf den Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bdhb8uc6nim1ilg8av1mv5980lbx2tb 0 80914 781566 743636 2022-08-21T22:16:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Inkreismittelpunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgearteten Dreiecks| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (A,B,C)|SZ=}} in einer {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Ebene| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiven| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affin-linearen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht unbedingt auf den Inkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g2oyr9htpc9js6byc8oolia9kntegxb 0 80915 781581 743633 2022-08-21T22:19:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Umkreismittelpunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgearteten Dreiecks| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (A,B,C)|SZ=}} in einer {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Ebene| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiven| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affin-linearen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht unbedingt auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ex05c8hvtjw52zf214gzi46kyst6k60 0 80916 781564 743639 2022-08-21T22:16:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Höhenschnittpunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgearteten Dreiecks| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (A,B,C)|SZ=}} in einer {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Ebene| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiven| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affin-linearen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht unbedingt auf den Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} izpq5dkn8wmwn6sgvqq3ip0ued15dly 0 80917 781934 755829 2022-08-21T23:17:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= E,F|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |affine Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |E|F || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Punkte {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ=}} unter {{math|term= \varphi|SZ=}} in den Schwerpunkt der Bildpunkte {{mathl|term= \varphi(P_1) {{kommadots|}} \varphi(P_n) |SZ=}} überführt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} edh908w7eecmr0l1srffahhif9iitpp 0 80925 784300 757934 2022-08-22T05:52:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= A,B|SZ=}} verschiedene Punkte in einer {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Ebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Mittelsenkrechte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} aus allen Punkten besteht, die zu {{ mathkor|term1= A |und |term2= B |SZ= }} den gleichen {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=euklidisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} haben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ni3e1qez18z4a5hsg41qbrvc3o6rl5k 0 80930 778725 762654 2022-08-21T12:45:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir können annehmen, dass {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normiert| |Kontext=Vektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Sei {{mathl|term= P \in \R^2|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Skalarprodukt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(P,\R v)^2 || {{op:Norm|P|}}^2 - {{op:Skalarprodukt|P|v}}^2 || || || |SZ= }} und entsprechend {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(P,\R w)^2 || {{op:Norm|P|}}^2 - {{op:Skalarprodukt|P|w}}^2 || || || |SZ=. }} Also sind die Abstände genau dann gleich, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|P|v}} || \pm {{op:Skalarprodukt|P|w}} || || || |SZ= }} ist. Wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || s(v+w) || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|P|v}} || {{op:Skalarprodukt| s(v+w) |v}} || s + s {{op:Skalarprodukt|w |v}} || {{op:Skalarprodukt| s(v+w) |w}} || {{op:Skalarprodukt|P|w}} |SZ= }} und die Gleichung gilt. Für die Umkehrung können wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||sv +tw || || || |SZ= }} ansetzen. Bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|P|v}} || {{op:Skalarprodukt|P|w}} || || || |SZ= }} folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp | s + t {{op:Skalarprodukt|v|w}} || {{op:Skalarprodukt|sv+tw |v}} || {{op:Skalarprodukt|sv+tw |w}} || t + s {{op:Skalarprodukt|v|w}} || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | s {{makl| 1 - {{op:Skalarprodukt|v|w}} |}} || t {{makl| 1 - {{op:Skalarprodukt|v|w}} |}} || || || |SZ=. }} Da {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} normiert und linear unabhängig sind, ist {{ Aufgabelink |Präwort=nach||Aufgabeseitenname= Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Gleich und ungleich/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| {{op:Skalarprodukt|v|w}} |}} |<| 1 || || || |SZ=, }} der rechte Faktor ist nicht {{math|term= 0|SZ=}} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette |s ||t || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|P|v}} || - {{op:Skalarprodukt|P|w}} || || || |SZ= }} folgt mit einer ähnlichen Überlegung {{ Ma:Vergleichskette |s ||-t || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pumft0ig3h8z3psru8tfbz2z3pposel 0 80937 782915 756661 2022-08-22T02:01:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formalisiere{{n Sie}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das neben Variablen aus {{mathl|term= \{f,g\}|SZ=}} besteht, wobei {{mathl|term= f,g|SZ=}} einstellige Funktionssymbole sind, die Aussage, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einer Menge wieder injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3=Theorie der injektiven Abbildungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nbmwqizw2qvlyi9thmjs2s3y4nkvbb8 0 80938 782917 756663 2022-08-22T02:01:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formalisiere{{n Sie}} mit dem Symbolalphabet {{mathl|term= S=\{f,g\} \cup V|SZ=,}} wobei {{mathl|term= f,g|SZ=}} einstellige Funktionssymbole sind, die Aussage, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen Mengen wieder injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Sortenprädikate |Kategorie3=Theorie der injektiven Abbildungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k5x2pa93rwbuaw4g7onmhxl9kh3v50b 0 80940 785962 759106 2022-08-22T10:06:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das Dreieck {{mathl|term= (0,0), (3,0), (0,4)|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=Dreieck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} den {{ Definitionslink |Prämath= |Umkreismittelpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} den {{ Definitionslink |Prämath= |Inkreismittelpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Höhenschnittpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rechtwinkligen Dreiecke |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} any7f4lu3ntm39jd1ms9g3kl1rw02s2 0 80951 781557 755518 2022-08-21T22:15:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das Dreieck {{mathl|term= (2,3), (1,8), (6,-5)|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |eulersche Gerade| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r7e6at5y6o74ozjq8ujnvc9jzo2khgq 0 80952 781558 755519 2022-08-21T22:15:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das Dreieck {{mathl|term= (4,-3), (7,2), (-1,5)|SZ=}} den Mittelpunkt und den Radius des {{ Definitionslink |Prämath= |Feuerbachkreises| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d98xfbc1u1z6tkciy56pf4on0wmrg95 0 80956 786507 759541 2022-08-22T11:37:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Dreieck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \triangle=(A,B,C)|SZ=}} ist das Seitenmittelpunktsdreieck durch die Eckpunkte {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} (A+B), {{op:Bruch|1|2}} (A+C), {{op:Bruch|1|2}} (B+C) |SZ=}} gegeben. Diese Konstruktion ergibt eine rekursiv definierte Folge von Dreiecken {{math|term= \triangle_n|SZ=,}} wobei {{ Ma:Vergleichskette | \triangle_1 ||\triangle || || || |SZ= }} und {{math|term= \triangle_{n+1}|SZ=}} das Seitenmittelpunktsdreieck zu {{math|term= \triangle_n|SZ=}} ist. Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R^2|SZ=}} mit {{mathl|term= x_n \in \triangle_n|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese Folge {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grenzwert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3cvhvybi529s8ag10ay8hp84dv2cjvb 0 80957 781588 755541 2022-08-21T22:20:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir fassen die Menge aller {{ Zusatz/Klammer |text=auch entarteter, geordneter| |ISZ=|ESZ= }} Dreiecke {{mathl|term= \triangle=(A,B,C)|SZ=}} im {{math|term= \R^2|SZ=}} über ihre Koordinaten {{mathl|term= A=(A_1,A_2), B=(B_1,B_2), C=(C_1,C_2)|SZ=}} als den {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \R^6|SZ=}} auf. Insbesondere kann man so Dreiecke miteinander addieren und mit einem Skalar {{mathl|term= s \in \R|SZ=}} multiplizieren. {{ Aufzählung3/a |Zeige{{n Sie}}, dass die Dreiecke {{ mathkor|term1= \triangle |und|term2= s \triangle |SZ= }} mit {{math|term= \triangle|SZ=}} nichtausgeartet und {{mathl|term= s \neq 0|SZ=}} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |ähnlich| |Kontext=Dreieck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Es sei {{math|term= S|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=Dreieck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Dreiecks {{mathl|term= (A,B,C)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Dreiecke {{ math/disp|term= (A,B,C), \, (B,C,A),\, (C,A,B) \text{ und } (S,S,S) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear abhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Bestimme{{n Sie}}, ob die folgenden Mengen an Dreiecken {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Dreiecksraumes bilden oder nicht. Wenn ja, so bestimme{{n Sie}} ihre Dimension. {{ Aufzählung9 |Die Menge aller nichtentarteten Dreiecke. |Die Menge aller Dreiecke mit {{math|term= 0|SZ=}} als erstem Eckpunkt. |Die Menge aller Dreiecke mit Schwerpunkt {{math|term= 0|SZ=.}} |Die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |gleichseitigen Dreiecke| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Menge aller Dreiecke, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Umkreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Einheitskreis ist. |Die Menge aller zu einem Punkt zusammengeschrumpften Dreiecke. |Die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |rechtwinkligen Dreiecke| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke, deren rechter Winkel sich als erster Punkt in {{math|term= 0|SZ=}} befindet und deren zweiter Punkt auf der {{math|term= x|SZ=-}}Achse liegt. |Die Menge aller Dreiecke mit {{ Definitionslink |Prämath= |Höhenschnittpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= 0|SZ=.}} }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der Untervektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e9pv8aiogj3en4ee1xpaxzubq3bj3tj 0 80971 784954 670741 2022-08-22T07:25:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Alle Tiere gehören einer eindeutigen Generation an. {{ Aufzählung4 |Die {{math|term= n|SZ=-}}te Generation bestehe nur aus einem einzigen Geschlecht. Zeige{{n Sie}}, dass jede weitere Generation auch aus diesem Geschlecht besteht. |Die {{math|term= n|SZ=-}}te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige{{n Sie}}, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben. |Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige{{n Sie}}, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt. |Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe{{n Sie}} die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rekursiv definierten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ey6p9ut6230nm95tm0lty8jy2r1thrn 0 81009 786570 759598 2022-08-22T11:47:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarproduktes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^2|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathlist|term1= {{op:Spaltenvektor|2|-3|}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|-5|1|}} |und|term3= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hi4tj8wt6bb0sravj02l61edk635anp 0 81014 785508 459225 2022-08-22T08:51:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K=\{E,m,c\}|SZ=}} eine Konstantenmenge, {{math|term= Q|SZ=}} ein einstelliges Funktionssymbol und {{math|term= P|SZ=}} ein zweistelliges Funktionssymbol. Es sei {{math|term= I|SZ=}} die Interpretation mit {{ Ma:Vergleichskette |M ||\N || || || |SZ= }} als Grundmenge, bei der {{math|term= Q|SZ=}} als Quadrieren, {{math|term= P|SZ=}} als Multiplikation und die Konstanten als {{ Ma:Vergleichskette |I(E) ||9 000 000 000 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |I(m) ||1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |I(c) ||300 000 || || || |SZ= }} interpretiert wird. Ist der Ausdruck {{ math/disp|term= E {{=}} P m Q c |SZ= }} unter dieser Interpretation gültig? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5fiptkh2mr38tyls5ovtj1ufx8qef17 0 81016 785575 462545 2022-08-22T09:02:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= V=\{x,y,z,u,v,w\}|SZ=}} eine Variablenmenge, {{math|term= 0|SZ=}} eine Konstante und {{mathl|term= -,+, \cdot|SZ=}} zweistellige Funktionssymbole, die wir zentral unter der Zuhilfenahme von Klammern schreiben. Wir betrachten den prädikatenlogischen Ausdruck {{mathl|term= {{logprop|}} |SZ=,}} der durch {{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z \forall u \forall v \forall w {{makl| {{makle| (z-x)(z-y) + (w-u)(w-v) {{=|}} 0|}} \longrightarrow {{makle|(x-y)(x-y) + (u-v)(u-v) {{=|}} (x-z)(x-z) +(u-w)(u-w) + (y-z)(y-z) + (v-w)(v-w) |}} |}} |SZ= }} gegeben ist. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{logprop||}} |SZ=}} bei Interpretation in einem Körper {{math|term= K|SZ=}} wahr wird, wenn man {{math|term= 0|SZ=}} als {{math|term= 0|SZ=}} und {{mathl|term= \{-,+,\cdot\}|SZ=}} als Subtraktion, Addition und Multiplikation interpretiert. |Welcher wichtige mathematische Satz verbirgt sich dahinter? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Der Satz des Pythagoras |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=3 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5fc0jav3mtvgw3nil90l860ezuocxim 0 81021 781075 755137 2022-08-21T20:54:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer von {{math|term= 2|SZ=}} verschiedenen {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrische| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v|w}} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:Bilinearform|v+w|v+w}} - {{op:Bilinearform|v|v}} - {{op:Bilinearform|w|w}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6qn4oyyjqxqeobo3accjpprfz9j3x6b 0 81024 781069 755132 2022-08-21T20:53:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} auf einem Vektorraum {{math|term= V|SZ=}} geben kann, die nicht die {{ Definitionslink |Prämath= |Nullform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, für die aber {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v|v}} ||0 || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= v \in V|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 844geuduadcdof077pw24q7cnk3w4qj 0 81025 781061 755123 2022-08-21T20:52:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|0|v}} || 0 || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= v \in V|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9zetex2ggkxczuu02uuxng7nk1kg2ir 0 81027 781073 748648 2022-08-21T20:54:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese Form genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Gramsche Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von ihr bezüglich einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2=Theorie der symmetrischen Matrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 15fv1w2im4ae8vbzry9sivml96ho4c6 0 81029 783934 757574 2022-08-22T04:51:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=L |\R^2|\R |(x,y)|4x+7y |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Linksgradienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Rechtsgradienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} bezüglich der Determinante. |Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Gradienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} bezüglich des {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarproduktes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hqdtbpxsecdugy2vsb4h7wuzmnjb1cc 0 81037 781064 755127 2022-08-21T20:52:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{math|term= G|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gramsche Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich dieser Basis. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi |V| {{op:Dualraum|V|}} |v| {{makl| w \mapsto {{op:Bilinearform|v|w}} |}} |SZ=, }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in den {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} und es sei {{mathl|term= v_1^* {{kommadots|}} v_n^* |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die beschreibende Matrix von {{math|term= \Psi|SZ=}} bezüglich der beiden Basen die {{ Definitionslink |Prämath= |transponierte Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1xrfoya9etppspw9jsovr7bnsq9eg7 0 81042 785510 758766 2022-08-22T08:51:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erster Stufe und {{mathl|term= U \subseteq {{Symbolalphabet|}}|SZ=}} eine Teilmenge. Es sei {{math|term= t|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=U|Term| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=U|Ausdruck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien zwei {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}}|Interpretationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= I_1 |und|term2= I_2 |SZ= }} in einer gemeinsamen Grundmenge {{math|term= M|SZ=}} gegeben, die auf {{math|term= U|SZ=}} identisch seien. Beweise{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |Es ist {{mathl|term= I_1(t)=I_2(t)|SZ=.}} |Es ist {{mathl|term= I_1 \vDash {{logprop|}} |SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= I_2 \vDash {{logprop|}} |SZ=}} (dazu genügt bereits, dass die Interpretationen auf den Symbolen aus {{math|term= U|SZ=}} und auf den in {{math|term= {{logprop|}}|SZ=}} frei vorkommenden Variablen identisch sind). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=3 |p2=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ahcqzvxvrwc9o5d6jiqp7muushpfuq 0 81051 781063 755126 2022-08-21T20:52:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zusammen mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrischen Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} und es sei {{mathl|term= T \subseteq V|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ausartungsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V/T|SZ=}} ein nichtausgeartete symmetrische Bilinearform {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}}' |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|[v]|[w] }}' || {{op:Bilinearform|v|w }} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= v,w \in V|SZ=}} existiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2=Theorie der Restklassenräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qek9mh66tb8q40esale7frtv7j2xhl6 0 81064 782762 756536 2022-08-22T01:36:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |Sesquilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Vek{{latextrenn|}}torraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |hermitesch| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Gramsche Matrix| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form bezüglich einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |hermitesch| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der hermiteschen Formen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dzshp70ma7dpnhgfja597sl1vu9sqqd 0 81080 784287 757921 2022-08-22T05:50:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einem {{ Definitionslink |Prämath= |vierdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitze ein Ereignis die Koordinaten {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|2|-3|1|4|}} |SZ=}} bezüglich einer {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des {{ Definitionslink |Prämath= |Beobachtervektors| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|3|4}}|0|0| {{op:Bruch|5|4}} }} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cklnhm4eybk3vm4zucug9thv1c42g8c 0 81082 784289 757922 2022-08-22T05:50:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einem {{ Definitionslink |Prämath= |vierdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitze ein Ereignis die Koordinaten {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|-1|5|2|-3|}} |SZ=}} bezüglich einer {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des {{ Definitionslink |Prämath= |Beobachtervektors| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 0| {{op:Bruch|5|12}}|0| {{op:Bruch|13|12}} }} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kjdygol6eowlcxcypjo1lqerd4xvdjt 0 81124 778538 762468 2022-08-21T12:18:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir fassen die Matrix {{math|term= M|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Gramsche Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrischen Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Symmetrische Bilinearform/Typ/Ausartungsdimension/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||p+q+a || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= (p,q)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Typ| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Bilinearform und {{math|term= a|SZ=}} die Dimension des {{ Definitionslink |Prämath= |Ausartungsraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Symmetrische Bilinearform/K/Eigenraum/0/Ausartungsraum/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der Ausartungsraum der Eigenraum zu {{math|term= M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aufgefasst als lineare Abbildung auf {{math|term= \R^n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} zum Eigenwert {{math|term= 0|SZ=}} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= p|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} die Summe der Eigenraumdimensionen zu positiven {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. negativen| |ISZ=|ESZ= }} Eigenwerten. Also ist {{math|term= \R^n|SZ=}} die Summe von Eigenräumen und damit {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cs3kmevp75a6saokymty3vs79gnafa4 0 81148 784296 757929 2022-08-22T05:51:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass ein skalares Vielfaches eines {{ Definitionslink |Prämath= |zeitartigen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=raumartigen, lichtartigen| |ISZ=|ESZ= }} Vektors wieder zeitartig {{ Zusatz/Klammer |text=raumartig, lichtartig| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die Summe von zwei zeitartigen {{ Zusatz/Klammer |text=raumartigen, lichtartigen| |ISZ=|ESZ= }} Vektoren im Allgemeinen nicht wieder zeitartig {{ Zusatz/Klammer |text=raumartig, lichtartig| |ISZ=|ESZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qjb0gdvnw04oz2nyepz3xiinjv52c8v 0 81153 784292 757925 2022-08-22T05:51:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |Beobachtervektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v\in V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || \R v \oplus (\R v)^\perp || || || |SZ= }} gibt, wobei die Einschränkung der Minkowski-Form auf {{mathl|term= \R v|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |negativ definit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Einschränkung der Minkowski-Form auf {{mathl|term= (\R v)^\perp|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |positiv definit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d1orggwsp97wym74me3vp9hax01zb9f 0 81154 784291 757924 2022-08-22T05:50:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} und es seien {{mathl|term= v,w|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichgerichtete Beobachtervektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v|w}} |<|0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7im7g03h8v04dn6nydq03cdrtc5pksf 0 81155 784290 757923 2022-08-22T05:50:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} und es seien {{mathl|term= v,w|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |zeitartige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Vektoren. Zeige{{n Sie}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v|w}}^2 |\geq | {{op:Bilinearform|v|v}} \cdot {{op:Bilinearform|w|w}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hnnbufat7ined24jsu0x6kso375u4sk 0 81156 784293 757926 2022-08-22T05:51:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Beobachtervektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Wegzusammenhangskomponenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zerfallen. Zeige{{n Sie}}, dass zwei Beobachtervektoren {{mathl|term= v,w|SZ=}} genau dann zur gleichen Komponente gehören, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v|w}} |< |0 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9veweao6xl8j7ybizk3bq90hxf40px1 0 81158 786037 759192 2022-08-22T10:19:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reeller Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bildet die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukte| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Raumes aller {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} btsqym0n7zm4773pchkh2ol3hsbjq1n 0 81199 784279 693106 2022-08-22T05:49:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^2|SZ=}} sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|{{op:Bruch|25|24}}| {{op:Bruch|7|24}} |}} |SZ=}} der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme{{n Sie}} die Raumkomponente zu diesem Vektor. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mfzu4xslgdsqye4ps0rsi443o3onuaq 0 81200 784278 460840 2022-08-22T05:49:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^2|SZ=}} sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige{{n Sie}}, dass zu {{mathl|term= \alpha \in \R|SZ=}} der Vektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:sinh|\alpha }}| {{op:cosh|\alpha}} |}} |SZ=}} der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme{{n Sie}} die Raumkomponente zu diesem Vektor. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2=Theorie der Hyperbelfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dqcrqz2blnfeemo4tj8r123pit5ufqk 0 81201 784277 462374 2022-08-22T05:48:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^2|SZ=}} sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige{{n Sie}}, dass zu {{ mathbed|term= z \in \R ||bedterm1= z \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} die Vektoren {{ mathkor/disp|term1= {{op:Bruch|1|2}} {{op:Spaltenvektor| z - {{op:Bruch|1|z}} | z + {{op:Bruch|1|z}} |}} |und|term2= {{op:Bruch|1|2}} {{op:Spaltenvektor|- z + {{op:Bruch|1|z}} | z + {{op:Bruch|1|z}} |}} |SZ= }} Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige{{n Sie}}, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} olc11goqtjst33pe0um2j2jug0z1z64 0 81202 784276 470300 2022-08-22T05:48:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^2|SZ=}} sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| \sqrt{5} |2}} | {{op:Bruch|3|2}} }} |SZ=}} ein Beobachtervektor ist und bestimme{{n Sie}} die Raumkomponente dazu. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9t571btoqz1xhuwjxi7w61qkumw1fgr 0 81203 784283 460845 2022-08-22T05:49:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^3|SZ=}} sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| \sqrt{6} |3}} | {{op:Bruch| 1 |3}} | {{op:Bruch|4|3}} }} |SZ=}} ein Beobachtervektor ist und bestimme{{n Sie}} eine Orthonormalbasis der Raumkomponente dazu. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a5kdptiid6htn9u6dlwn4srd57wpxzk 0 81204 781068 755131 2022-08-21T20:53:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Hom|V| {{op:Dualraum|V|}} }} | {{op:Bilin|V|}} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2=Theorie der Dualräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s6c1jo12shrtifvgiuyyzes4hbtqjyv 0 81205 784281 757912 2022-08-22T05:49:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein zweidimensionaler {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Gramschen Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich dieser Basis gleich {{math|term= 1|SZ=}} sind. |Zeige{{n Sie}}, dass es eine Basis von {{math|term= V|SZ=}} derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich {{math|term= -1|SZ=}} sind. |Zeige{{n Sie}}, dass es eine Basis von {{math|term= V|SZ=}} derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich {{math|term= 0|SZ=}} sind. | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1k9b0vz03m1fkbc4iec04rj3u8noek 0 81206 784285 757919 2022-08-22T05:50:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^4|SZ=}} sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. {{ Aufzählung3 |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^4|SZ=}} an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Gramschen Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich dieser Basis gleich {{math|term= 1|SZ=}} sind. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Basis des {{math|term= \R^4|SZ=}} an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich {{math|term= -1|SZ=}} sind. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Basis des {{math|term= \R^4|SZ=}} an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich {{math|term= 0|SZ=}} sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1kg2kbiv30xzzxvcgrxwdp148om8mis 0 81207 784284 757915 2022-08-22T05:49:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^3|SZ=}} sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. {{ Aufzählung3 |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=}} an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Gramschen Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich dieser Basis gleich {{math|term= 1|SZ=}} sind. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Basis des {{math|term= \R^3|SZ=}} an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich {{math|term= -1|SZ=}} sind. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Basis des {{math|term= \R^3|SZ=}} an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich {{math|term= 0|SZ=}} sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iaub1ccz55b8pm92zee2n03dy6u5pn1 0 81209 784274 757910 2022-08-22T05:48:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ist die Einschränkung einer {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^n|SZ=}} auf einen {{mathl|term= n-1|SZ=-}}dimensio{{latextrenn|}}nalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rs2c788dx324d2di1n6wt5ydamq9kpb 0 81244 779927 752090 2022-08-21T17:43:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Streckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |V|V || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Streckungsfaktor {{mathl|term= s \in {{KRC|}} |SZ=}} ist die Streckung mit dem Streckungsfaktor {{math|term= {{op:Komplexe Konjugation|s|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierte Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es ist ja {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|sv|w}} || s {{op:Skalarprodukt|v|w}} || {{op:Komplexe Konjugation|{{op:Komplexe Konjugation|s|}}|}} {{op:Skalarprodukt|v|w}} ||{{op:Skalarprodukt|v| {{op:Komplexe Konjugation|s|}} w}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie2=Theorie der Streckungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rlnvu69me1wrpe6p633hek7cxc96rhs 0 81246 784043 757678 2022-08-22T05:09:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|2|3|4|6}} |SZ=}} und den Kern der {{ Definitionslink |Prämath= |transponierten Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Matrix22|2|4|3|6}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie2=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mtj6e14dhfn0p14jirhbnuurdbmzdfj 0 81247 786512 759545 2022-08-22T11:37:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |V|V || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= \psi |V|V || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |antilineare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildungen. Zeige{{n Sie}}, dass die Verknüpfung {{mathl|term= \varphi \circ \psi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der antilinearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 486i7cl23t2ix2zwxfh8e07z597k7x9 0 81249 786513 759546 2022-08-22T11:38:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= V_1 {{kommadots|}} V_n, V_{n+1} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{CC}}|SZ=,}} es seien {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_i |V_i|V_{i+1} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder {{ Definitionslink |Prämath= |antilineare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildungen und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || \varphi_n \circ \varphi_{n-1} {{circdots}} \varphi_2 \circ \varphi_1 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildungen. Zeige{{n Sie}} durch Induktion über {{math|term= n|SZ=}} die beiden folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist {{math|term= \varphi|SZ=}} linear. |Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist {{math|term= \varphi|SZ=}} antilinear. }} Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der antilinearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8nzuc0wwrulcgj96ccd2mx7lzefz87d 0 81257 782044 755938 2022-08-21T23:36:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V_1 \oplus V_2 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Untervektorräume {{ mathkor|term1= V_1 |und|term2= V_2 |SZ=. }} Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_1 |V_1|V_1 || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_2 |V_2|V_2 || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || \varphi_1 \oplus \varphi_2 || || || |SZ= }} die Summe davon. {{ Aufzählung2 |Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. {{ mathkor|term1= V_1 |und|term2= V_2 |SZ= }} stehen senkrecht aufeinander. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} || {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi_1|}} \oplus {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi_2|}} || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=4 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sxc45wlk8odotqq494ktkkqx62wawus 0 81261 783422 757102 2022-08-22T03:26:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= f \in {{op:Dualraum|V}} |SZ=}} einen eindeutig bestimmten Vektor {{mathl|term= y \in V |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(v) || {{op:Skalarprodukt|y|v}} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= v \in V|SZ=}} und einen eindeutig bestimmten Vektor {{mathl|term= z \in V |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(v) || {{op:Skalarprodukt|v|z}} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= v \in V|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Skalarprodukte |Kategorie2=Theorie der Dualräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l46p2620yvkv47yhprphlrgox6kc10m 0 81269 784046 757685 2022-08-22T05:10:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob es für die durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|2-5{{Imaginäre Einheit|}}|3-4{{Imaginäre Einheit|}}|1+5{{Imaginäre Einheit|}}|0|1-{{Imaginäre Einheit|}}|2+9{{Imaginäre Einheit|}}|6+3{{Imaginäre Einheit|}}|{{Imaginäre Einheit|}}-7|-4{{Imaginäre Einheit|}}||}} |SZ= }} gegebene lineare Abbildung {{ Ma:abb |name= |{{CC}}^3|{{CC}}^3 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= {{CC}}^3|SZ=}} aus {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q55yry3c6ke8czq58n0tj2zcp9mnl3g 0 81270 784047 757686 2022-08-22T05:10:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob es für die durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|4+{{Imaginäre Einheit|}}|6-7{{Imaginäre Einheit|}}|6+3{{Imaginäre Einheit|}}|4-{{Imaginäre Einheit|}}|2-{{Imaginäre Einheit|}}|2-{{Imaginäre Einheit|}}|5+3{{Imaginäre Einheit|}}|2{{Imaginäre Einheit|}}-11|4+3{{Imaginäre Einheit|}}||}} |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |{{CC}}^3|{{CC}}^3 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= {{CC}}^3|SZ=}} aus {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gsu3521uffgbjf71t6rmd0eoapmdthl 0 81271 784041 757676 2022-08-22T05:09:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob es für die durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2-3{{Imaginäre Einheit|}}|4+5{{Imaginäre Einheit|}}|11-3{{Imaginäre Einheit|}}|6+9{{Imaginäre Einheit|}}|}} |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |{{CC}}^2|{{CC}}^2 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} aus {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jr581mlz5x6pvftjcg1hhc5yi1vottp 0 81279 782045 755939 2022-08-21T23:36:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V_1 \oplus V_2 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Untervektorräume {{ mathkor|term1= V_1 |und|term2= V_2 |SZ=, }} die zueinander orthogonal seien. Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_1 |V_1|V_1 || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_2 |V_2|V_2 || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normale Endomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || \varphi_1 \oplus \varphi_2 || || || |SZ= }} die Summe davon. Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term= \varphi|SZ=}} normal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ff2cxn7yykmk670yw784ab21fp0jylf 0 81280 782121 756009 2022-08-21T23:49:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|f|g}} | {{defeq|}} | {{op:Skalarprodukt| {{op:Gradient|f|}} | {{op:Gradient|g|}} }} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem Dualraum erklärt wird. |Zeige{{n Sie}}, dass die natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |V| {{op:Dualraum|V|}} |v| {{op:Skalarprodukt|v|-}} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= V |und|term2= {{op:Dualraum|V|}} |SZ= }} stiftet. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Dualräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k0rlcu45qr9tnsajsp5gxiw3rrnx3cg 0 81285 784035 757668 2022-08-22T05:08:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1|1|0|2}} |SZ=, }} aufgefasst als lineare Abbildung von {{math|term= \R^2|SZ=}} nach {{math|term= \R^2|SZ=,}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |selbstadjungiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und zwar mit den folgenden Methoden. {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierte Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=.}} |{{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Eigentheorie/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist nicht erfüllt. |{{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Eigentheorie/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist nicht erfüllt. |Es gibt keine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R^2|SZ=}} aus {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. die Konklusion aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Spektralsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist nicht erfüllt. | |ISZ=|ESZ= }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der selbstadjungierten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pvvxht4rqrhz74561kbt7mk42svckum 0 81288 784295 757928 2022-08-22T05:51:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{math|term= n|SZ=.}} Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | T || {{Mengebed|v \in V| {{op:Bilinearform|v|v}} {{=}} 1 }} || || || |SZ=. }} Für welche {{math|term= n|SZ=}} ist {{math|term= T|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |wegzusammenhängend| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} für welche zerfällt es in verschiedene Komponenten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2=Theorie der wegzusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9m3cjzvxkje4do2qgrjufyfzxiz0g6h 0 81289 784294 757927 2022-08-22T05:51:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{math|term= n|SZ=.}} Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | T || {{Mengebed|v \in V| {{op:Bilinearform|v|v}} {{=}} 1 }} || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= w|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Beobachtervektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Beobachters {{math|term= B|SZ=}} und es sei {{math|term= V_B|SZ=}} seine Raumkomponente. Welche Gestalt besitzt {{mathl|term= T \cap V_B|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} puqi3hy7rf4uzq30gzjv7vmwuwjeb23 0 81291 781639 461415 2022-08-21T22:28:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} alle Lösungen der Kreisgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^2+y^2 || 1 || || || |SZ= }} für die Körper {{mathl|term= K= {{op:Zmod|2|}}|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Zmod|3|}}|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}}|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Zmod|7|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort=Einheitskreis |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r56yrg7prk99mnomte0rlodxknb31hk 0 81299 785096 636686 2022-08-22T07:47:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Multipliziere{{n Sie}} in {{mathl|term= \Q[x,y,z]}} die beiden Polynome {{ math/disp|term= x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in drei Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1buulmt7gsq1wirl5exfbist95j708w 0 81304 782052 755946 2022-08-21T23:37:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Die Identität ist {{ Definitionslink |Prämath= |selbstadjungiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von zwei selbstadjungierten Abbildungen ist wieder selbstadjungiert. |Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} selbstadjungierten Abbildung ist auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} selbstadjungiert. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der selbstadjungierten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7nd88bmpkmgqidkdhs0uom00vy4use2 0 81305 782109 755997 2022-08-21T23:47:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |selbstadjungiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} gleich {{math|term= 1|SZ=}} oder gleich {{math|term= 2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der selbstadjungierten Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h99puiavxai8gg0sdzkp7jqwlevfc8c 0 81306 784100 757747 2022-08-22T05:19:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^2| \R^2 || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|2|5}}, {{op:Spaltenvektor|-1|6}} |SZ=}} durch die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|3|-2|-4|7}} |SZ=}} gegeben sei. Bestimme die Matrix zum {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierten Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich dieser Basis. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3xuyzjy0u2llvgngi4h3ib3ymj6dnve 0 81308 784037 757672 2022-08-22T05:08:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |{{CC}}^2| {{CC}}^2 || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|4|-2+ 9 {{Imaginäre Einheit|}} |-2-9 {{Imaginäre Einheit|}} |5}} |SZ=}} gegeben sei. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der selbstadjungierten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 733g7w4op96j1m5jlpad1j1v02hjyin 0 81311 780670 754789 2022-08-21T19:47:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{logprop}}|SZ=}} ein Ausdruck in einer Sprache {{mathl|term= L^{{Symbolalphabet}}|SZ=}} erster Stufe. Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{logprop}} \leftrightarrow \forall x {{logprop}} |SZ= }} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Tautologie| |Kontext=Prädikatenlogik allgemeingültig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kyluatpospv77ovelppi377jj07axrm 0 81313 780939 462132 2022-08-21T20:31:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p,q|SZ=}} verschiedene Aussagenvariablen. Begründe{{n Sie}} die {{ Zusatz/Klammer |text=Un| |ISZ=|ESZ= }}Richtigkeit der beiden folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |{{mathl|term= \vdash p|SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= \vdash q|SZ=.}} |{{mathl|term= \vdash p \leftrightarrow q|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d159alh039hrpol99mob5hg3hap7bdd 0 81318 782031 755925 2022-08-21T23:34:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{KRC}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |selbstadjungierter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Endomorphismus und {{ Ma:Vergleichskette |U | \subseteq |V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invarianter| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Kontext=beidseitig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi{{|}}_U |U|U || |SZ= }} selbstadjungiert ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der selbstadjungierten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bq1yaa0u5p7mdg0vz3noqpsu7rm1p17 0 81319 782030 755924 2022-08-21T23:33:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{KRC}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normaler Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |U | \subseteq |V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invarianter| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Kontext=beidseitig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi{{|}}_U |U|U || |SZ= }} normal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d29bg5zxzje7bfx49mr5gts2p6womuu 0 81321 782763 756537 2022-08-22T01:36:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |hermitesche| |Kontext=Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Sesquilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=.|}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalbasis| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sxqlibdv8fh10ajeip74xc5oougfibh 0 81322 782043 755937 2022-08-21T23:36:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normaler Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{mathl|term= \varphi- \lambda \cdot {{op:Identität|V|}} |SZ=}} normal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dj7ytjfh0zzak1siih76x0mq6mj0x9x 0 81323 779013 750982 2022-08-21T15:21:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{KRC|}}^n | {{KRC|}}^n || |SZ= }} besitze eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich des {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarproduktes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} aus {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt {{ math/disp|term= {{op:Diagonalmatrix1n|\lambda}} |SZ=. }} Dann wird der {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierte Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Diagonalmatrix/Orthogonalbasis/Adjungierter Endomorphismus/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch die komplex-konjugierte Matrix {{ math/disp|term= {{op:Diagonalmatrix1n| {{op:Komplexe Konjugation| \lambda|}} }} |SZ= }} beschrieben. Diese beiden Matrizen sind offenbar {{ Definitionslink |Prämath= |vertauschbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} d.h. es liegt ein {{ Definitionslink |Prämath= |normaler Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 690n36mwuum67rcykvtxeq05c23n1s8 0 81324 779012 763180 2022-08-21T15:21:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{KRC|}}^n | {{KRC|}}^n || |SZ= }} besitze eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich des {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarproduktes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} aus {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt {{ math/disp|term= {{op:Diagonalmatrix1n|\lambda}} |SZ=. }} Dann wird der {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierte Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch die komplex-konjugierte Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi || {{op:Diagonalmatrix1n| {{op:Komplexe Konjugation| \lambda|}} }} || || || |SZ= }} beschrieben. Es ist ja einerseits {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt| \varphi( u_i) | u_j}} || {{op:Skalarprodukt|\lambda_i u_i | u_j}} ||\lambda_i {{op:Skalarprodukt| u_i | u_j}} || || |SZ= }} und andererseits {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt| u_i| \psi (u_j) }} || {{op:Skalarprodukt| u_i |{{op:Komplexe Konjugation|\lambda_j|}} u_j}} || \lambda_j {{op:Skalarprodukt| u_i | u_j}} || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |i |\neq |j || || || |SZ= }} ist dies beides gleich {{math|term= 0|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |i ||j || || || |SZ= }} steht beidseitig {{math|term= \lambda_i|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4w3uuu2mfjfy1iafqfq70qz3qwuthkb 0 81326 780873 754969 2022-08-21T20:20:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^V|SZ=}} eine Ausdrucksmenge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einer Aussagenvariablenmenge {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=.}} Es gelte{{n Sie}} {{ math/disp|term= \Gamma \not \vdash {{logprop|}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ math/disp|term= \Gamma \cup \{ \neg {{logprop|}} \} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |widerspruchsfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2w3ca8fe2v89f46ehkfp2lt7gdp62n 0 81328 782053 755947 2022-08-21T23:37:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |selbstadjungierten Endomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:End|V|}} |SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der selbstadjungierten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 561khoysnshjrjspu8e4pps4s3mz5c7 0 81329 782042 755936 2022-08-21T23:35:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |normalen Endomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} keinen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:End|V|}} |SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p3379ahaui1pp11oruhutxcaumw9y2d 0 81330 780940 755026 2022-08-21T20:32:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= p_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von Aussagenvariablen und {{math|term= L|SZ=}} die zugehörige aussagenlogische Sprache. Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bestehend aus den Variablen {{ mathbed|term= x_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} und dem einen Konstantensymbol {{math|term= c|SZ=}} und es sei {{math|term= L^{{Symbolalphabet|}}|SZ=}} die zugehörige prädikatenlogische Sprache. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{logprop2|}}_i | {{defeq|}} | x_i {{=|}} c |\in| L^{{Symbolalphabet|}} || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Definiere{{n Sie}} rekursiv eine natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi |L|L^S || |SZ=, }} die {{math|term= p_i|SZ=}} auf {{math|term= {{logprop2}}_i |SZ=}} abbildet. |Ist {{math|term= \Psi|SZ=}} injektiv? |Ist {{math|term= \Psi|SZ=}} surjektiv? |Zeige{{n Sie}} für alle {{mathl|term= {{logprop||}} \in L|SZ=,}} dass {{mathl|term= \vdash {{logprop||}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Ableitungskalkül der Aussagenlogik| |ISZ=|ESZ= }} genau dann gilt, wenn {{mathl|term= \vdash \Psi ( {{logprop||}}) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Ableitungskalkül der Prädikatenlogik| |ISZ=|ESZ= }} gilt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=14 |p1=2 |p2=5 |p3=2 |p4=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qsxw03g7f9j11f6rhgc6rxl4yuo340o 0 81361 781066 755129 2022-08-21T20:53:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Form genau dann linksausgeartet ist, wenn sie rechtsausgeartet ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g6kalxdoddzpchif6jwfpwllwk6vl18 0 81362 784670 758172 2022-08-22T06:43:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normaler Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |selbstadjungiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn alle {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} reell sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der selbstadjungierten Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sahifzf4as0sk4e42o16ailx3tbkpaa 0 81372 783836 757462 2022-08-22T04:35:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=KRC| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} und es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= \Psi_\varphi|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Sesquilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Skalarprodukt/Endomorphismus/Sesquilinearform/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wie verhält sich die beschreibende Matrix von {{math|term= \varphi|SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Gramschen Matrix| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= \Psi_\varphi|SZ=?}} Welche Beziehung besteht zur Gramschen Matrix der Form {{mathl|term= \Theta_\varphi|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Theta_\varphi (v,w) || {{op:Skalarprodukt|v|\varphi(w)}} || || || |SZ= }} definiert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Sesquilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 795nu295bqg6163h5w9al3p1boa9nyy 0 81376 778684 762602 2022-08-21T12:40:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{mathl|term= v \in V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(v) ||0 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Charakterisierung mit Norm/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 || {{op:Norm|\varphi(v)|}} || {{op:Norm| {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi||}} (v)|}} || || |SZ=, }} also ist auch {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi||}} (v) ||0 || || || |SZ= }} und {{mathl|term= v \in {{op:Kern| {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi||}} |}} |SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Adjungierter Endomorphismus| {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi||}} |}} || \varphi || || || |SZ= }} gilt davon auch die Umkehrung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} plv1cwnjv37mp7r3dbf2lulbl7s9yeg 0 81380 782764 756538 2022-08-22T01:36:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für eine {{ Definitionslink |Prämath= |hermitesche Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Vek{{latextrenn|}}torraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} die Werte {{mathl|term= {{op:Bilinearform|v|v}} |SZ=}} zu {{mathl|term= v \in V|SZ=}} stets reell sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der hermiteschen Formen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lpe4tkxcbkbtbmzcc1mdxsqgodgr97x 0 81383 784836 758288 2022-08-22T07:07:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Standardparabel {{ Ma:Vergleichskette/disp |y ||x^2 || || || |SZ= }} und {{math|term= M \subseteq \R^3|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Rotationsfläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= T|SZ=}} um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} durch keine {{ Definitionslink |Prämath= |Quadrik| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschrieben wird. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Polynoms in drei Variablen ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen (R) |Kategorie2=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gf2s5wkqvz2y8tjr7olci0tm0eduhj4 0 81384 786389 759467 2022-08-22T11:17:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^4|SZ=}} sei {{ Zusatz/Klammer |text=neben dem {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Standard-Minkowski-Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^4|SZ=}} an, die bezüglich des Skalarproduktes eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und bezüglich der Min{{latextrenn|}}kowski-Form eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalbasis| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2=Theorie der Hauptachsentransformation |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pkhd5vb840webohz8n9v3mkdysmmv3b 0 81386 786372 759446 2022-08-22T11:14:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^2|SZ=}} sei {{ Zusatz/Klammer |text=neben dem {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Standard-Minkowski-Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Bestimme{{n Sie}} sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^2|SZ=,}} die bezüglich des Skalarproduktes eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und bezüglich der Min{{latextrenn}}kowski-Form eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalbasis| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2=Theorie der Hauptachsentransformation |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4c6dkgx2fo18ed3kxohdavkrkymajdp 0 81402 784896 758340 2022-08-22T07:16:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie verhält sich die über die Nachfolgerbeziehung eingeführte {{ Definitionslink |Addition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Natürliche Zahlen/Addition mit n/Als Verschiebung/Definition |SZ= }} auf den natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=das {{Stichwort|Umlegungsmodell|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} zu dem {{Stichwort|Vereinigungsmodell|SZ=,}} dass die Summe {{mathl|term= a+b|SZ=}} zweier natürlichen Zahlen sich als Anzahl von Objekten {{ Zusatz/Klammer |text=Äpfel| |ISZ=|ESZ= }} ergibt, wenn man eine Menge von {{math|term= a|SZ=}} Objekten und eine Menge von {{ Zusatz/Klammer |text=dazu disjunkten| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= b|SZ=}} Objekten zusammenschmeißt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9qijk7826gntql7xgj7nuag91cmqeug 0 81405 784895 758339 2022-08-22T07:15:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}}, dass die Addition von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem {{ Zusatz/Klammer |text=das {{Stichwort|schriftliche Addieren|msw=Schriftliches Addieren|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Umlegungsprinzip| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} respektiert und auch die {{math|term= 0|SZ=}} richtig verarbeitet. Schließe{{n Sie}} daraus, dass die schriftliche Addition korrekt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 083yttqg401dmctwbvazqj8vqurnebw 0 81406 784577 758097 2022-08-22T06:30:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} auf einem {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (\N,0,^\prime)|SZ=}} für die natürlichen Zahlen die Abbildung {{ Ma:abb |name=Q |\N|\N || |SZ= }} rekursiv durch die Bedingungen {{ Zusatz/Klammer |text=die Addition sei mit den wesentlichen Eigenschaften etabliert| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q(0) ||0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q(n') || Q(n) +n+n+1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q(n) ||n \cdot n || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie der Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8z58kb7q72ti90dyyy7t78z9uc1tkvy 0 81414 784893 758337 2022-08-22T07:15:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || \Q_{\geq 0} || || || |SZ= }} die Menge der nichtnegativen rationalen Zahlen mit der {{math|term= 0|SZ=}} und der Abbildung {{ Ma:Vergleichskette/disp |N(x) ||x+1 || || || |SZ=. }} Welche der {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Axiome für den Nachfolger| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Nachfolger/Erste Stufe/Axiom |SZ= }} gelten für {{math|term= M|SZ=,}} welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erststufigen Peano-Arithmetik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tbihr71y6kfcr0os5258fqglb72a751 0 81415 784892 758336 2022-08-22T07:15:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die disjunkte Vereinigung aus zwei Kopien von {{math|term= \N|SZ=}} zusammen mit dem ausgezeichneten Element {{math|term= 0=0_1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aus der ersten Kopie| |ISZ=|ESZ= }} und der Abbildung {{math|term= N|SZ=,}} die auf beiden Kopien die übliche Nachfolgerabbildung ist. Welche der {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Axiome für den Nachfolger| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Nachfolger/Erste Stufe/Axiom |SZ= }} gelten für {{math|term= M|SZ=,}} welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erststufigen Peano-Arithmetik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2e1vshd5he3scq3sbnsydyk3oqjfbj5 0 81426 779740 554014 2022-08-21T17:15:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem quadratischen Polynom {{mathl|term= aX^2+bX+c|SZ=}} in einer Variablen {{math|term= X|SZ=}} mit {{mathl|term= a,b,c \in K|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} findet man die Nullstellen durch {{Stichwort|quadratisches Ergänzen|SZ=.}} D.h. man schreibt {{ Zusatz/Klammer |text=die Charakteristik des Körpers sei nicht {{math|term= 2|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | aX^2+bX+c ||a {{makl| X^2 + {{op:Bruch|b|a}} X + {{op:Bruch|c|a}} |}} ||a {{makl| {{makl| X + {{op:Bruch|b|2a}} |}}^2 - {{op:Bruch|b^2|4a^2}} + {{op:Bruch|c|a}} |}} || || |SZ=. }} Dies ist genau dann gleich {{math|term= 0|SZ=,}} wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |X || \pm \sqrt{ {{op:Bruch|b^2|4a^2}} - {{op:Bruch|c|a}} } - {{op:Bruch|b|2a}} || || || |SZ= }} und die Wurzel {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sqrt{ {{op:Bruch|b^2|4a^2}} - {{op:Bruch|c|a}} } || {{op:Bruch|1|2a}} \sqrt{ b^2-4ac } || || || |SZ= }} in dem Körper existiert. Je nachdem gibt es keine, eine oder zwei Lösungen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4i4ha6gmp9saezd1pqe8tn6rt8ihfho 0 81429 784887 758329 2022-08-22T07:14:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das {{Stichwort|Lemma von Bezout|SZ=}} in der Form gilt, dass es zu zwei teilerfremden {{ Zusatz/Klammer |text=das ist zu definieren| |ISZ=|ESZ= }} Elementen {{mathl|term= x,y|SZ=}} Elemente {{mathl|term= a,b|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |ax ||1+by || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cen3c623mccgagxdktemw9y7ulec8kc 0 81434 783092 756834 2022-08-22T02:31:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Kegel {{ Ma:Vergleichskette/disp |K || {{mengebed|(x,y,z) \in \R^2 |x^2+y^2 {{=}} z^2 }} |\subseteq|\R^3 || || |SZ= }} und es sei {{mathl|term= E \subseteq \R^3|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Ebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Durchschnitt {{mathl|term= K \cap E|SZ=}} heißt {{Stichwort|Kegelschnitt|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass jeder Kegelschnitt {{ Ma:Vergleichskette/disp |K \cap E |\subseteq|E |\cong|\R^2 || || |SZ= }} in geeigneten Koordinaten {{mathl|term= u,v|SZ=}} des {{math|term= \R^2|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines quadratischen Polynoms in {{mathl|term= u,v|SZ=}} beschrieben werden kann. |Bestimme{{n Sie}}, welche der Quadriken aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Reine Form/Liste/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sich als Kegelschnitte realisieren lassen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=4 |p2=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qfve82a37bspeau3c36ioobd0g9t4q9 0 81458 784879 758317 2022-08-22T07:13:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (M,0,N)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Modell| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Axiome für den Nachfolger| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Nachfolger/Erste Stufe/Axiom |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= N|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |fixpunktfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, d.h. dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |N(x) |\neq|x || || || |SZ= }} für alle {{math|term= x \in M|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= N|SZ=}} periodenfrei ist. D.h. für jedes {{mathl|term= \ell \in \N_+|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |N^\ell ( x) |\neq| x || || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette/disp | N^\ell || N {{circdots}} N || || || |SZ= }} die {{math|term= \ell|SZ=-}}fache Hintereinanderschaltung von {{math|term= N|SZ=}} bedeutet. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erststufigen Peano-Arithmetik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dikekemrcdep2fkdrbg6vl3qmzhtszq 0 81468 782712 756490 2022-08-22T01:27:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Gruppe/Definition |SZ= }} und {{mathl|term= g \in G|SZ=}} ein Element, und seien {{mathl|term= m,n \in \Z|SZ=}} ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze. {{ Aufzählung2 |Es ist {{math|term= g^0=e_G|SZ=.}} |Es ist {{math|term= g^{m+n}=g^m g^n|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rpkxhobmxyw2aolfqisym19emhb9pq0 0 81470 779226 763310 2022-08-21T15:55:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Determinante||}} | {{op:GLG|n|K}}|K^\times |M| {{op:Determinante|M|}} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies beruht auf {{ Faktlink |Präwort=dem|Determinantenmultiplikationssatz|Faktseitenname= Determinante/Multiplikationssatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Determinante/Null, Linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8r7bw80vizm9lsnxv7nkszot8yfa4yl 0 81471 779467 751418 2022-08-21T16:33:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer fixierten {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= B \in {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\kappa_B | {{op:GLG|n|K}}| {{op:GLG|n|K}} |M|B M B^{-1} |SZ=, }} gerade diejenige Abbildung, die der beschreibenden Matrix {{math|term= M|SZ=}} zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis die beschreibende Matrix bezüglich einer neuen Basis zuordnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8afb4lp2wvpcmsmimu1fwebq5gr3rhj 0 81480 779758 751797 2022-08-21T17:18:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|S^1 |t| {{op:Spaltenvektor| {{op:cos|t|}} | {{op:sin|t|}} }} |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und aufgrund {{ Faktlink |Präwort=der|Periodizität |Faktseitenname= Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |trigonometrischen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{mathl|term= \Z 2 \pi|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Isomorphiesatz|Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es eine kanonische Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | \R/ \Z 2 \pi |\cong|S^1 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k9qi2a0qu9hcpl4l9qqq9p1o2ratfkd 0 81482 778991 750913 2022-08-21T15:18:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Exponentialfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |({{CC}},0,+)|( {{op:Einheiten|{{CC}}|}} ,1, \cdot) |z| {{op:exp|z|}} |SZ=, }} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiver| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{mathl|term= \Z 2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Isomorphiesatz|Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es eine kanonische Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{CC}}/ \Z 2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} |\cong| {{op:Einheiten|{{CC}}|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2=Theorie der komplexen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rrw7zhy5o940o4elvvpkr4ik904ifhf 0 81484 778932 763128 2022-08-21T15:08:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Determinante||}} | {{op:GLG|n|K}}|K^\times |M| {{op:Determinante|M|}} |SZ=, }} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiver| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist nach Definition die {{ Definitionslink |Prämath= |spezielle lineare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:SLG|n|K}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Isomorphiesatz|Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es eine kanonische Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:GLG|n|K}}/ {{op:SLG|n|K}} |\cong| {{op:Einheiten|K|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ekaq61gb19s1ng4wq7xadlhlvu8dsg 0 81485 783237 756938 2022-08-22T02:55:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |R|S || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 68go214thwaiyhaac5ru08qzdl0nh6c 0 81552 781571 464514 2022-08-21T22:17:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |linie|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Diskutiere{{n Sie}}, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sg4qzt6czsi9vt71iwbbasb922saem3 0 81590 784365 757997 2022-08-22T06:01:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} einstellige Relationssymbole. Zeige{{n Sie}}, dass der {{Stichwort|Modus Barbara|SZ=,}} also die Aussage {{ math/disp|term= ( \forall x (Ax \rightarrow Bx) {{logund|}} \forall x (Bx \rightarrow Cx) ) \rightarrow ( \forall x (Ax \rightarrow Cx) ) |SZ= }} im Prädikatenkalkül {{ Definitionslink |Prämath= |ableitbar| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} amk6jffd3egyqmyzzqg6wwuf01b76b1 0 81594 780085 763880 2022-08-21T18:08:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und betrachte{{n Sie}} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|n}} || {{Repräsentantensystemmodn}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= a + b := (a+b) \mod n = \begin{cases} a+b, \text{ falls } a+b <n\, , \\ a+b-n, \text{ falls } a+b \geq n \, . \end{cases} |SZ= }} Mit dieser Verknüpfung liegt gemäß {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Z modulo n/Repräsentanten/Assoziativität und Gruppe/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Da man jedes Element als eine gewisse Summe der {{math|term= 1|SZ=}} mit sich selbst schreiben kann, liegt eine {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4xmyz8ihlrnoejqfcum837jz7i6s5iw 0 81596 779231 763318 2022-08-21T15:56:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= |S_n|\{1,-1\} |\pi|{{op:Signum|\pi}} |SZ=, }} wobei {{math|term= S_n|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= n|SZ=}} Elementen bezeichnet, ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Permutation/Signum ist Gruppenhomomorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2sdb4cme4y3sbkzv0sg53r0ayqc5zt 0 81610 778852 762742 2022-08-21T13:04:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= G|SZ=}} die zyklische Gruppe und {{mathl|term= g \in G|SZ=}} ein Erzeuger. Dann lassen sich je zwei Elemente {{mathl|term= x,y \in G|SZ=}} darstellen als {{ mathkor|term1= x=g^n |und|term2= y=g^m |SZ= }} mit {{mathl|term= n,m \in \Z|SZ=.}} Somit ist unter Verwendung der Potenzgesetze {{ Ma:Vergleichskette/disp |xy ||g^n g^m || g^{n+m} || g^m g^n ||yx |SZ=, }} also ist die Gruppe kommutativ. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n3ryol8wgttezo29o9356sgwd547cjl 0 81619 785533 758785 2022-08-22T08:55:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet||}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= L^{{Symbolalphabet||}} |SZ=}} die zugehörige Sprache und {{math|term= T |SZ=}} die zugehörige Termmenge. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| L^{{Symbolalphabet||}} || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ math/disp|term= s \cong_\Gamma t \text{ genau dann, wenn } I(s)=I(t) \text{ für jede Interpretation } I \text{ mit } I \vDash \Gamma |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= T|SZ=}} definiert wird. |Wenn man {{math|term= \Gamma|SZ=}} vergrößert, werden dann die Äquivalenzklassen größer oder kleiner? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0v71s36perq66nao7oa5k0rvgslumu8 0 81620 785542 758793 2022-08-22T08:56:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet||}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= T |SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Termmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= L^{{Symbolalphabet||}} |SZ=}} die zugehörige Sprache. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| L^{{Symbolalphabet||}} || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge. Zeige{{n Sie}}, dass die Äquivalenzrelation {{math|term= \sim_\Gamma|SZ=}} aus {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die semantische Äquivalenz {{math|term= \cong_\Gamma|SZ=}} aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Prädikatenlogik/Terme/Identifizierung in Interpretationen/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} impliziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} igrxmowd8pos4dnkorwqlw0wvhen8i7 0 81621 785478 758742 2022-08-22T08:46:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine Menge an {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}}|Ausdrücken| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über einem {{ Definitionslink |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} die folgende Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung3 |Für jeden Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} ist {{mathl|term= {{logprop|}} \in \Gamma|SZ=}} oder {{mathl|term= \neg {{logprop|}} \in \Gamma|SZ=.}} |Aus {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}}|SZ=}} folgt {{mathl|term= {{logprop|}} \in \Gamma|SZ=,}} d.h. {{math|term= \Gamma|SZ=}} ist abgeschlossen unter Ableitungen. |{{math|term= \Gamma|SZ=}} ist widerspruchsfrei. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Gamma|SZ=}} maximal widerspruchsfrei ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 54wsz3d6gvxn7z2i29zkbx8x44q5r3k 0 81622 785511 758767 2022-08-22T08:51:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet||}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= L^{{Symbolalphabet||}} |SZ=}} die zugehörige Sprache. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| L^{{Symbolalphabet||}} || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge. Zu fixiertem {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} sei {{mathl|term= F_n|SZ=}} die Menge der {{math|term= n|SZ=-}}stelligen Funktionssymbole. Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung4 |Durch {{ math/disp|term= f \cong g\, , \text{ falls } I(f) = I(g) \text{ für alle Interpretationen } I \text{ mit } I \vDash \Gamma |SZ=}} wird eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= F_n|SZ=}} definiert. |Durch {{ math/disp|term= f \sim g\, , \text{ falls } \Gamma \vdash \forall x_1 \forall x_2 \ldots \forall x_n fx_1 \ldots x_n = g x_1 \ldots x_n |SZ=}} wird eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= F_n|SZ=}} definiert. |Die Äquivalenzrelation {{math|term= \sim|SZ=}} impliziert die Äquivalenzrelation {{math|term= \cong|SZ=.}} |Es sei {{math|term= \sim|SZ=}} die zu {{math|term= \Gamma|SZ=}} gehörende formale Äquivalenzrelation auf der Termmenge im Sinne von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dann gilt für Terme {{mathl|term= s_1 \sim t_1 {{kommadots|}} s_n \sim t_n|SZ=}} und Funktionssymbole {{mathl|term= f,g \in F_n|SZ=}} mit {{mathl|term= f \sim g|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |fs_1 \ldots s_n |\sim| gt_1 \ldots t_n || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} san6zvhkjea63wtkwd7wmixbqp2nj3z 0 81623 785512 758768 2022-08-22T08:51:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet||}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= L^{{Symbolalphabet||}} |SZ=}} die zugehörige Sprache. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| L^{{Symbolalphabet||}} || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge. Zu fixiertem {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} sei {{mathl|term= R_n|SZ=}} die Menge der {{math|term= n|SZ=-}}stelligen Relationssymbole in {{math|term= {{Symbolalphabet}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung4 |Durch {{ math/disp|term= P \cong Q \, , \text{ falls } I(P) = I(Q) \text{ für alle Interpretationen } I \text{ mit } I \vDash \Gamma |SZ=}} wird eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= R_n|SZ=}} definiert. |Durch {{ math/disp|term= P \simeq Q \, , \text{ falls } \Gamma \vdash \forall x_1 \forall x_2 \ldots \forall x_n {{makl| P x_1 \ldots x_n \leftrightarrow Q x_1 \ldots x_n |}} |SZ=}} wird eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= R_n|SZ=}} definiert. |Die Äquivalenzrelation {{math|term= \simeq|SZ=}} impliziert die Äquivalenzrelation {{math|term= \cong|SZ=.}} |Es sei {{math|term= \sim|SZ=}} die zu {{math|term= \Gamma|SZ=}} gehörende Äquivalenzrelation auf der Termmenge im Sinne von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dann gilt für Terme mit {{mathl|term= s_1 \sim t_1 {{kommadots|}} s_n \sim t_n|SZ=}} und Relationsssymbole {{mathl|term= P,Q \in R_n|SZ=}} mit {{mathl|term= P \simeq Q|SZ=}} die Beziehung {{ math/disp|term= \Gamma \vdash Ps_1 \ldots s_n \leftrightarrow Qt_1 \ldots t_n |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=3 |p3=1 |p4=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iqf20h4nm5qomizvtwgj4ihdt7yl7rs 0 81626 785539 758792 2022-08-22T08:56:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet||}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= L^{{Symbolalphabet||}} |SZ=}} die zugehörige Sprache. Zeige{{n Sie}}, dass zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma || \emptyset || || || |SZ= }} die in {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eingeführte Äquivalenzrelation die Identität ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 58eaqjstfdevk4v5qj690egvd593kye 0 81627 785537 758791 2022-08-22T08:55:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet||}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= L^{{Symbolalphabet||}} |SZ=}} die zugehörige Sprache. Es seien {{mathl|term= s,t|SZ=}} verschiedene Terme. Zeige, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}} |Interpretation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= I|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |I(s) |\neq|I(t) || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4envsabow0wu0ak9rksumpvcg2t0k48 0 81628 785543 758794 2022-08-22T08:56:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet||}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= L^{{Symbolalphabet||}} |SZ=}} die zugehörige Sprache. Die Ausdrucksmenge {{math|term= \Gamma|SZ=}} bestehe aus {{mathl|term= x=y|SZ=,}} wobei {{math|term= x,y|SZ=}} verschiedene Variablen seien. Zeige{{n Sie}}, dass zwei Terme {{mathl|term= s,t|SZ=}} genau dann äquivalent im Sinne von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind, wenn es eine Kette von Termen {{ math/disp|term= t_0=s,t_1, t_2 {{kommadots}} t_{k-1}, t_k=t |SZ= }} derart gibt, dass beim Übergang von {{mathl|term= t_i|SZ=}} nach {{mathl|term= t_{i+1} |SZ=}} genau ein Vorkommen von {{math|term= x|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= y|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= t_i|SZ=}} durch {{math|term= y|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= x|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ersetzt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4a75ojngxlkid2j39rxvtlbgaxvilwb 0 81629 785532 758784 2022-08-22T08:55:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= {{Symbolalphabet||}} \subseteq {{Symbolalphabet||}}' |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabete| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{math|term= L^{{Symbolalphabet||}} \subseteq L^{ {{Symbolalphabet||}}^\prime}|SZ=}} die zugehörigen Sprachen Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| L^{{Symbolalphabet||}} || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge. {{ Aufzählung2 | {{math|term= \Gamma|SZ=}} sei widerspruchsfrei. Ist dann auch {{math|term= \Gamma|SZ=,}} aufgefasst in {{mathl|term= L^{ {{Symbolalphabet||}}^\prime}|SZ=,}} widerspruchsfrei? | {{math|term= \Gamma|SZ=}} sei {{ Definitionslink |Prämath= |maximal widerspruchsfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Ist dann auch {{math|term= \Gamma|SZ=,}} aufgefasst in {{mathl|term= L^{ {{Symbolalphabet||}}^\prime}|SZ=,}} maximal widerspruchsfrei? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jcep8dn2azqa8bbaoz2qskrc8q03y68 0 81649 784366 757998 2022-08-22T06:02:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} einstellige Relationssymbole. Zeige{{n Sie}}, dass der {{Stichwort|Modus Darii|SZ=,}} also die Aussage {{ math/disp|term= ( \forall x (Ax \rightarrow Bx) {{logund|}} \exists x (Ax {{logund|}} Cx) ) \rightarrow ( \exists x (Bx {{logund|}} Cx) ) |SZ= }} im Prädikatenkalkül {{ Definitionslink |Prämath= |ableitbar| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n69o56igqfi9jw0kd8g69aeqvu841j3 0 81663 781590 755542 2022-08-21T22:20:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{math|term= \R^6=(\R^2)^3|SZ=}} als Menge aller {{ Zusatz/Klammer |text=auch entarteter| |ISZ=|ESZ= }} Dreiecke, indem wir ein Dreieck mit den {{ Zusatz/Klammer |text=geordneten| |ISZ=|ESZ= }} Eckpunkten {{mathl|term= P_1= {{op:Spaltenvektor|x_1|y_1}} ,P_2= {{op:Spaltenvektor|x_2|y_2}},P_3= {{op:Spaltenvektor|x_3|y_3}}|SZ=}} mit dem Koordinatentupel {{ math/disp|term= (x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3) |SZ= }} identifizieren. {{ Aufzählung6 |Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der Dreiecke, bei denen zwei Eckpunkte zusammenfallen, eine abgeschlossene Teilmenge des {{math|term= \R^6|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=das Komplement davon ist somit eine offene Menge in {{math|term= \R^6|SZ=,}} die wir {{math|term= U|SZ=}} nennen| |ISZ=|ESZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der Dreiecke, bei denen alle drei Eckpunkte auf einer Geraden liegen, eine abgeschlossene Teilmenge des {{math|term= \R^6|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=das Komplement davon, das aus allen nichtentarteten Dreiecken besteht, ist somit eine offene Menge in {{math|term= \R^6|SZ=,}} die wir {{math|term= V|SZ=}} nennen| |ISZ=|ESZ=. }} |Erstelle{{n Sie}} eine Funktionsvorschrift, die die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=F |\R^6|\R || |SZ= }} beschreibt, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet. |Zeige{{n Sie}}, dass die Funktion {{math|term= F|SZ=}} aus Teil (3) auf der Menge {{math|term= U|SZ=}} stetig differenzierbar ist. |Berechne{{n Sie}} die partielle Ableitung von {{math|term= F|SZ=}} nach {{math|term= x_1|SZ=}} auf {{math|term= U|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der nichtentarteten Dreiecke mit Umfang {{math|term= 1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} bildet. Was ist die Dimension? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=13 |p1=2 |p2=3 |p3=2 |p4=2 |p5=2 |p6=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eaavta8wfhytk7va22uzjvu8gme3nm5 0 81667 782926 462787 2022-08-22T02:03:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Integral zur Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(r,s,t) || rst+ t {{op:sin|s|}} || || || |SZ= }} über dem Einheitswürfel {{mathl|term= W=[0,1]^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Fubini |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fn4x2tyym53aqc075y12z6bf7zaijve 0 81670 781470 755477 2022-08-21T22:00:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf der Menge der natürlichen Zahlen {{math|term= \N|SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \mu|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |\mu {{makl| \{ n \} |}} ||n || || || |SZ= }} gegeben. Bestimme{{n Sie}} {{ math/disp|term= \mu {{makl| \{0,1,2 {{kommadots|}} n \} |}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} psyc2b626i3lhykt6r7pqtoke5xtkdz 0 81683 780667 754788 2022-08-21T19:46:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= n\in \N_+|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeine lineare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:SLG|n|K}} |\subseteq|{{op:GLG|n|K}} || || || |SZ= }} die Untergruppe der Matrizen mit Determinante {{math|term= 1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Linksnebenklasse {{ Zusatz/Klammer |text=und auch die Rechtsnebenklasse| |ISZ=|ESZ= }} zu {{mathl|term= M \in {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} gleich der Menge aller Matrizen ist, deren Determinante mit {{mathl|term= {{op:Determinante|M|}} |SZ=}} übereinstimmt. Zeige{{n Sie}} auf möglichst viele Weisen, dass {{mathl|term= {{op:SLG|n|K}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie2=Theorie der Normalteiler |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6sqea0yoa8sovw34scx3d2s2ih8afz0 0 81692 780088 763882 2022-08-21T18:08:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |d |\in|\N || || || |SZ= }} fixiert. Wir betrachten auf {{math|term= \Z|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sim|SZ=,}} bei der zwei Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|\Z || || || |SZ= }} als äquivalent betrachtet werden, wenn ihre Differenz {{mathl|term= a-b|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= d|SZ=}} ist. Zwei Zahlen sind also zueinander äquivalent, wenn man von der einen Zahl zu der anderen durch Sprünge der Sprungweite {{math|term= d|SZ=}} gelangen kann. Unter Verwendung der {{ Definitionslink |Prämath= |Division mit Rest| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bedeutet dies, dass zwei Zahlen zueinander äquivalent sind, wenn sie bei Division durch {{math|term= d|SZ=}} den gleichen Rest ergeben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Division mit Rest (Z) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1cxx7lzd7ufo70ncg3wv00qo707zmuk 0 81696 780862 462914 2022-08-21T20:19:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es eine widerspruchsfreie, unter Ableitungen abgeschlossene Ausdrucksmenge {{math|term= \Gamma \subseteq L^{{Symbolalphabet}} |SZ=}} geben kann, wobei die Variablenmenge aus {{ mathbed|term= x_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} besteht, derart, dass es einen Ausdruck {{math|term= {{logprop}}|SZ=}} mit {{mathl|term= \exists x_0 {{logprop|}} \in \Gamma |SZ=}} und {{mathl|term= \neg {{logprop|}} {{op:Bruch|x_n|x_0}} \in \Gamma |SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ruvksow8nx1ny8g6y91p52u5pm4un2w 0 81707 780143 752423 2022-08-21T18:16:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem Erzeuger {{math|term= g|SZ=.}} Wir betrachten den im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\Z|G |n| g^n |SZ=. }} Da ein Erzeuger vorliegt, ist diese Abbildung {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Abbildung ist durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= g|SZ=}} gegeben, die wir {{math|term= k|SZ=}} nennen {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= 0|SZ=,}} wenn die Ordnung {{math|term= \infty|SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es eine kanonische Isomorphie {{ Ma:abbele/disp |name= \tilde{\varphi} | {{op:Zmod|k|}} |G || |SZ=. }} Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie für jedes {{math|term= k|SZ=}} genau eine zyklische Gruppe, nämlich {{mathl|term= {{op:Zmod|k|}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zyklischen Gruppen |Kategorie2=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} foq5fcqi7q0fn7gea3r38o6yhzqqjri 0 81708 780620 754750 2022-08-21T19:38:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir definieren auf {{math|term= E|SZ=}} eine Relation {{math|term= \sim|SZ=}} durch {{ math/disp|term= P \sim Q \text{ genau dann, wenn } \exists v \in U \text{ mit } P = Q+v |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \sim|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |F | {{defeq|}} |E/\sim || || || |SZ= }} ein affiner Raum über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V/U|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die kanonische Projektion {{ Ma:abbele/disp |name= |E|E/\sim || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2=Theorie der Restklassenräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fbz754u8i4qaoisnf6org6te9j3ei6n 0 81709 786205 759350 2022-08-22T10:47:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{math|term= {{CC}}|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=\R |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\R ||\R \cdot 1 |\subset| {{CC}} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass im {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{CC}}/\R|SZ=}} zwei {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann gleich werden, wenn ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Imaginärteile| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenräume |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jam8ft8l8j2cktito7o03s4yxmzev4a 0 81716 782288 756135 2022-08-22T00:16:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= W \subseteq \R^{\N_+}|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aller {{ Definitionslink |Prämath= |konvergenten Folgen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |U |\subseteq|W || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |W/U |\cong|\R || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenräume |Kategorie2=Theorie der Restklassenräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aoc9vqzk3ravrup8m0xysur0mnkvapk 0 81721 782289 756136 2022-08-22T00:17:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \R^{\N_+}|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aller {{ Definitionslink |Prämath= |Folgen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Teilmengen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. {{ Aufzählung6 |Die Menge der konstanten Folgen. |Die Menge {{math|term= \R^{(\N_+)}|SZ=}} der Folgen, für die nur endlich viele Folgenglieder von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden sind. |Die Menge {{math|term= F|SZ=}} der Folgen, die bis auf endlich viele Folgenglieder konstant sind. |Die Menge {{math|term= E|SZ=}} der Folgen, die nur endlich viele verschiedene Werte haben. |Die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |konvergenten Folgen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Menge {{math|term= N|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} Welche Beziehungen gelten zwischen diesen Untervektorräumen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenräume |Kategorie2=Theorie der Untervektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 677gboc9wm82iplqg9hbwf8xuh9q9ja 0 81723 782290 756137 2022-08-22T00:17:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden reellen Folgen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n ||\begin{cases} 1\, , \text{ wenn } n \text{ gerade}\, , \\ 0\, , \text{ sonst}\, , \end{cases} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y_n ||\begin{cases} 1\, , \text{ wenn } n \text{ ungerade}\, , \\ 0\, , \text{ sonst}\, , \end{cases} || || || |SZ= }} und wir verwenden einige Bezeichnungen aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Folgenraum/Untervektorräume/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die beiden Folgen {{ mathkor|term1= x_n |und|term2= y_n |SZ= }} in {{mathl|term= \R^{\N_+}/ \R^{(\N_+)} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Zeige{{n Sie}}, dass die beiden Folgen {{ mathkor|term1= x_n |und|term2= y_n |SZ= }} in {{mathl|term= \R^{\N_+}/ F |SZ=}} linear abhängig sind. |Wie sieht es in {{mathl|term= \R^{\N_+}/ N |SZ=}} aus? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenräume |Kategorie2=Theorie der Restklassenräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2wo8kda7zwzifl4taqvnmwkatglk39o 0 81753 785545 758796 2022-08-22T08:57:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien die {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabete| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{Symbolalphabet||}} ||\{ +,0\} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | T ||\{ +,0,1 \} || || || |SZ=, }} und {{ Ma:Vergleichskette |R || \{0,1,+,\cdot \} || || || |SZ= }} gegeben, die wir auf {{math|term= \Z|SZ=}} natürlich interpretieren. Bestimme{{n Sie}} zu diesen Symbolalphabeten jeweils die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |elementaren Äquivalenz| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} np3ltdxnjfrpyk8gjdm3srtz5y9a27x 0 81754 785546 758797 2022-08-22T08:57:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{Symbolalphabet|}} || \{0,+\} || || || |SZ= }} und {{math|term= \Z|SZ=}} sei versehen mit der natürlichen {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}} |Interpretation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}} |Automorphismengruppe| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Z|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} acwmvi41ws5033hbwddwdftdlzr8910 0 81767 785838 759002 2022-08-22T09:46:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{Symbolalphabet|}} || \{0,1,+,\cdot, \geq \} || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für einen {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= \R|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= {{Symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Standardinterpretation. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass die Äquivalenzklassen zur {{ Definitionslink |Prämath= |elementaren Äquivalenz| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einelementig sind. |Zeige{{n Sie}}, dass es für die Elemente im Allgemeinen keinen charakterisierenden Ausdruck gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=4 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 91l58ih1fj8jmrjfbbwvm0xf3jgh5v8 0 81776 784348 757982 2022-08-22T05:59:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=S |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=S |Unterstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die relative Automorphismengruppe {{mathl|term= S-{{op:Aut|M|N}} |SZ=}} eine Untergruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= S-{{op:Aut|M|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rnd82a2iyx98z70tfbceuikswpp6dh4 0 81777 784347 757981 2022-08-22T05:59:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=S |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=S |Unterstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man durch eine Symbolmengenerweiterung {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|S' || || || |SZ=, }} wobei nur Konstanten hinzugenommen werden, erreichen kann, dass die relative Automorphismengruppe {{mathl|term= S-{{op:Aut|M|N}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=S' |Automorphismengruppe| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= S'-{{op:Aut|M|}} |SZ=}} entspricht {{ Zusatz/Klammer |text=dazu muss insbesondere {{math|term= S'|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= N|SZ=}} interpretiert werden | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tgtl5qd5icgzy6jz6qa6klx6k92ejmd 0 81854 782734 464719 2022-08-22T01:31:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein konkretes Registerprogramm {{math|term= P|SZ=}} gegeben. Ist es grundsätzlich menschenmöglich, zu entscheiden, ob dieses anhält oder nicht? Was bedeutet das für die Churchsche These? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Halteproblem |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cgtz5tq1rxjsf9djvmdd9wsb48g4ho3 0 81857 782720 464821 2022-08-22T01:29:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien zwei Halbachsen {{ mathkor|term1= H_1 |und|term2= H_2 |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=}} gegeben. Bestimme{{n Sie}} die Menge der Drehachsen und der Drehwinkel, die {{math|term= H_1|SZ=}} in {{math|term= H_2|SZ=}} überführen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der räumlichen Drehungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 855u1f5uwg9zro8s8icmq8e95r0k3ar 0 81859 781703 755626 2022-08-21T22:39:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche eigentliche Raumsymmetriegruppe/Situation|SZ=}} mit einer fixierten {{ Definitionslink |Halbachsenklasse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |G| \operatorname{Perm} \, (K) |g|\sigma_g : H \mapsto g(H) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jklah7m7bm63ewmaioadjmzrco4qv98 0 81862 781939 556321 2022-08-21T23:18:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche eigentliche Raumsymmetriegruppe/Situation|SZ=,}} die nur eine Halbachsenklasse {{math|term= K|SZ=}} besitze. Welche numerische Beziehung würde zwischen {{math|term= {{op:Anzahl|G|}} |SZ=,}} {{math|term= {{op:Anzahl|K|}} |SZ=}} und {{math|term= {{op:Anzahl|G_H|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=H \in K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} bestehen? {{ManSie|Folgere|Folgern Sie}}, dass es eine solche Symmetriegruppe nicht geben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8vxjyvjvo1djtn5czsktzlsw5h8wfvo 0 81876 785791 758967 2022-08-22T09:38:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine reelle Quadrik, also eine durch ein reelles Polynom vom Grad zwei gegebene Nullstellenmenge{{{zusatz1|}}}, eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8c8gyq7j2xbugcbhinhyasz5gw3da8t 0 81877 784662 758166 2022-08-22T06:42:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein reeller Vektorraum. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenz von Normen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Auf welcher Menge {{Anführung|lebt}} diese Äquivalenzrelation? Wie viele Äquivalenzklassen gibt es, wenn {{math|term= V|SZ=}} endlichdimensional ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tmmdc39uo9aytrdbcsh8q14ho9kccpl 0 81878 784691 758190 2022-08-22T06:46:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normierter| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_w |V|V |v|v+w |SZ=, }} die Verschiebung um den Vektor {{mathl|term= w \in V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi_w|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} al06n6jodkvgxi7j62cf5vu63x86vk3 0 81884 780508 465107 2022-08-21T19:20:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= s_1,s_2,s_3, \ldots|SZ=}} eine Aufzählung einer abzählbar-unendlichen Symbolmengen. Berechne{{n Sie}} die zu Wörtern über diesem Alphabet zugehörige Zahl im Sinne der Primzahlkodierung und umgekehrt. {{ Aufzählung7 | {{mathl|term= s_1s_2s_1s_3s_3s_2|SZ=,}} | {{mathl|term= s_{13}s_{12} s_1s_4s_4s_4|SZ=,}} | {{mathl|term= s_{2}s_{2} s_2s_2s_2s_2|SZ=,}} | {{math|term= 2^1 3^3 5^{17} 7^1|SZ=,}} | {{math|term= 2^1 3^1 5^{1} 7^1 11^1|SZ=,}} | {{math|term= 2^3 3^3 5^{3}7^3 11^3|SZ=,}} | {{math|term= 1728|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 183fm1qmzou7i0fv4gggsxv99ait343 0 81885 780509 465108 2022-08-21T19:20:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= s_1,s_2,s_3, \ldots|SZ=}} eine Aufzählung einer abzählbar-unendlichen Symbolmengen. Berechne{{n Sie}} die zu Wörtern über diesem Alphabet zugehörige Zahl im Sinne der Primzahlkodierung und umgekehrt. {{ Aufzählung4 | {{mathl|term= s_3 s_2 s_1 s_1 s_2 s_3|SZ=,}} | {{mathl|term= s_{20} s_{17} s_{1} s_4 s_{19} |SZ=,}} | {{math|term= 2^1 3^2 5^{3}7^4 11^5|SZ=,}} | {{math|term= 10! |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} torzp67ynfqwfa11rp13spc6gd56wca 0 81895 779888 763817 2022-08-21T17:37:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |spaltenstochastische| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=3 \times 3 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33| {{op:Bruch|1|3}}| {{op:Bruch|1|3}}| {{op:Bruch|1|3}}| {{op:Bruch|1|2}}| {{op:Bruch|2|3}} |0 | {{op:Bruch|1|6}} |0| {{op:Bruch|2|3}} }} |SZ=, }} bei der alle Einträge der ersten Zeile positiv sind. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es eine eindeutige Eigenverteilung. Um diese zu bestimmen, berechnet man den Kern von {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix33|1|0|0|0|1|0|0|0|1|}} - {{op:Matrix33| {{op:Bruch|1|3}}| {{op:Bruch|1|3}}| {{op:Bruch|1|3}}| {{op:Bruch|1|2}}| {{op:Bruch|2|3}} |0 | {{op:Bruch|1|6}} |0| {{op:Bruch|2|3}} }} || {{op:Matrix33| {{op:Bruch|2|3}}| - {{op:Bruch|1|3}}| - {{op:Bruch|1|3}}| -{{op:Bruch|1|2}}| {{op:Bruch|1|3}} |0 | - {{op:Bruch|1|6}} |0| {{op:Bruch|1|3}} }} || || || |SZ=. }} Dieser wird von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|2|3|1}} |SZ=}} erzeugt und die stationäre Verteilung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|2|6}} | {{op:Bruch|3|6}}| {{op:Bruch|1|6}} }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|1|3}} | {{op:Bruch|1|2}}| {{op:Bruch|1|6}} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owjr0que8pen0npsa71oymp48g29486 0 81904 786594 759615 2022-08-22T11:51:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |spaltenstochastischen Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in der Sphäre zum Radius {{math|term= 1|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Spaltensummennorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthalten ist. Gilt hierbei Gleichheit? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iyq9fhhbkuhsrqxt1czwqjk5f29a7d3 0 81905 786585 759606 2022-08-22T11:50:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in der Situation von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Spaltenstochastisch/2x2/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= p_1-p_2|SZ=.}} Handelt es sich um eine Verteilung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2r297ni93wljmb57m7nb5a71fe55wj7 0 81907 786588 759610 2022-08-22T11:50:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |spaltenstochastischen Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Prämath= |Matrizenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Matq|n|K=\R}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2=Theorie der Matrizenräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a5dk93yv1f9ypi662hbsar0k4n0pm6k 0 81908 786584 465298 2022-08-22T11:49:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}} in der Situation von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Spaltenstochastisch/2x2/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Spezialfälle {{ Aufzählung6 |{{mathl|term= p_1=1|SZ=}} und {{mathl|term= p_2=1|SZ=,}} |{{mathl|term= p_1=1|SZ=}} und {{mathl|term= p_2=0|SZ=,}} |{{mathl|term= p_1=0|SZ=}} und {{mathl|term= p_2=1|SZ=,}} |{{mathl|term= p_1=0|SZ=}} und {{mathl|term= p_2=0|SZ=,}} |{{mathl|term= p_1=p_2|SZ=,}} |{{mathl|term= p_1=p_2= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 05ove4n5gyksr3zf9kl09yiny0bon9v 0 81910 786171 759326 2022-08-22T10:41:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man mache|Machen Sie}} sich klar, dass die Konzepte Relation auf einer Menge {{math|term= M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Mengentheorie/Relationen/Relation/Definition |SZ=, }} wobei die beiden beteiligten Mengen gleich sein mögen | |ISZ=|ESZ= }} und gerichteter Graph {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne eines Pfeildiagrammes, wobei es von einem Punkt zu einem weiteren Punkt maximal einen Pfeil geben darf| |ISZ=|ESZ= }} mathematisch äquivalent sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m69zkgb213busbhokxkj477lbai59lz 0 81913 782390 465603 2022-08-22T00:33:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} für die Gruppe {{math|term= C|SZ=}} der [[w:Fußball-Europameisterschaft 2016|Fußball-Europameisterschaft 2016]] die Gewinnstruktur als eine Relation, durch ein Pfeildiagramm {{ Zusatz/Klammer |text=einen gerichteten Graphen| |ISZ=|ESZ= }} und durch eine Adjazenzmatrix aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Adjazenzmatrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzmmnbt5le0tcjh4bn3wjzz4a75jn3a 0 81914 782391 756228 2022-08-22T00:34:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} für die Gruppe {{math|term= C|SZ=}} der [[w:Fußball-Europameisterschaft 2016|Fußball-Europameisterschaft 2016]] die {{ Definitionslink |Prämath= |stochastische Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die sich aus der erweiterten {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Gewinnstruktur ergibt, bei der in der Diagonalen überall Einsen {{ Zusatz/Klammer |text=Selbstsieg| |ISZ=|ESZ= }} stehen {{ Zusatz/Klammer |text=damit keine Nullspalte auftritt| |ISZ=|ESZ=. }} Wie lautet die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenverteilung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie3=Theorie der Adjazenzmatrizen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rvn3v0odv1c3znhgz79y5034ogxm603 0 81915 782389 465576 2022-08-22T00:33:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einer Fußballgruppe mit {{math|term= n|SZ=}} Mannschaften {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise einer EM-Gruppe oder einer Bundesligahinrunde| |ISZ=|ESZ= }} spielt jede Mannschaft gegen jede andere Mannschaft, bei einem Sieg gibt es 3 Punkte, bei einem Unentschieden 1 Punkt und bei einer Niederlage keinen Punkt. Die Ergebnisse werden in einer {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrix derart verbucht, dass der Eintrag an der Stelle {{mathl|term= (M,N)|SZ=}} angibt, wie viele Punkte die Mannschaft {{math|term= M|SZ=}} im Spiel gegen {{math|term= N|SZ=}} erzielt hat {{ Zusatz/Klammer |text=an der Stelle {{mathl|term= (M,M)|SZ=}} steht {{math|term= 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Welcher Vektor kommt heraus, wenn man diese Matrix auf den Vektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|1|\vdots|1}} |SZ=}} anwendet? Erstelle{{n Sie}} diese Matrix für die Gruppe {{math|term= C|SZ=}} der [[w:Fußball-Europameisterschaft 2016|Fußball-Europameisterschaft 2016]]. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kf2o9lt420vd71mmf40e1rpzy3qt35s 0 81920 786590 759611 2022-08-22T11:50:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Kreis mit sechs {{ Zusatz/Klammer |text=äquidistanten| |ISZ=|ESZ= }} Knoten gegeben, die mit {{math|term= 1,2,3,4,5,6|SZ=}} bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich {{math|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=.}} Erstelle{{n Sie}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |stochastische Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und berechne{{n Sie}} die Eigenverteilung{{ Zusatz/Klammer |text=en| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} io5u2j8or39dbmtmv8qoin50w9td6gs 0 81921 786083 759235 2022-08-22T10:26:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Unter welchen Bedingungen gilt für {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= a_1,a_2 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| \sum_{i{{=}}1}^n a_i|}} || \sum_{i{{=}}1}^n {{op:Betrag| a_i|}} || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Betrags für die reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6v74clki6vpq7rr54354se4txay8vdz 0 81930 784680 758180 2022-08-22T06:44:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} endlichdimensionale normierte {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Hom|V|W|{{{KRC|}}}}}|SZ=}} in der Tat eine {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Homomorphismenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kcj3rnbxmtajf7u1hb69gz1ifzuyc4b 0 81933 786597 759618 2022-08-22T11:51:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Spaltensummennorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem Matrizenraum {{mathl|term= {{op:Mat|n|m|K= {{KRC|}} }} |SZ=}} gleich der Maximumsnorm im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Normierte endlichdimensionale Vektorräume/Lineare Abbildung/Maximumsnorm/Definition |SZ= }} ist, wenn man die Räume {{math|term= {{KRC|}}^n |SZ=}} und {{math|term= {{KRC|}}^m |SZ=}} mit der Summennorm versieht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Homomorphismenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g9jx0o2ooe9lsez892bvdrtigknmgco 0 81934 784036 757671 2022-08-22T05:08:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} für die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2|-3|4|5}} |SZ= }} {{ Aufzählung3 |die {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Summennorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |euklidische Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} |die {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} in allen Kombinationen, |die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Homomorphismenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aeypp1o646zsw7afb0icguxyzyov5in 0 81935 784053 757694 2022-08-22T05:11:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} für die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|6|-2|-5|7}} |SZ= }} {{ Aufzählung3 |die {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Summennorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |euklidische Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} |die {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} in allen Kombinationen, |die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Homomorphismenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=3 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8rvanyuw1ziz5erp6jo57zrdol88kto 0 81936 781805 755711 2022-08-21T22:56:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{mathl|term= n \times n|SZ=-}}Matrix über {{math|term= {{KRC|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |In der {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= M^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} gibt es eine Wiederholung, d.h. {{ Ma:Vergleichskette/disp |M^n ||M^m || || || |SZ= }} für ein Zahlenpaar {{mathl|term= n <m|SZ=.}} |In der Folge {{ mathbed|term= M^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} kommen nur endlich viele verschiedene Matrizen vor. |Die Folge {{ mathbed|term= M^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} wird letztlich {{ Zusatz/Klammer |text=also ab einer bestimmten Stelle| |ISZ=|ESZ= }} periodisch. |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jordanblöcke| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= M|SZ=}} über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} haben die Gestalt {{math/disp|term= {{Jordanblock/klein|0}} |SZ=}} oder {{math|term= (\lambda)|SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \lambda|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d6pb42x4fb9pjyyktj1kw10m98f2a1e 0 81940 784688 758186 2022-08-22T06:45:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathbed|term= v_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} eine Folge in {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich einer beliebigen {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn für eine {{ Zusatz/Klammer |text=jede| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sämtliche Komponentenfolgen in {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergieren| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} doejub5k80g8m1mm2p6sh39t43lxa8d 0 81944 786358 465402 2022-08-22T11:12:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In der {{Stichwort|Russellsche Antinomie|SZ=}} wird die Definition {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{Mengebed| N|N \text{ ist eine Menge, die sich nicht selbst enthält} }} || || || |SZ= }} betrachtet. Kann {{math|term= M|SZ=}} eine Menge sein? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mathematische Logik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c0iqv7orel84s1q92e6n40pn5960354 0 81949 781036 660697 2022-08-21T20:48:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine natürliche Zahl heißt {{Stichwort|besonders|msw=Besondere Zahl|SZ=,}} wenn sie eine für sie spezifische, benennbare Eigenschaft erfüllt. Die {{math|term= 0|SZ=}} ist als neutrales Element der Addition und die {{math|term= 1|SZ=}} ist als neutrales Element der Multiplikation besonders. Die {{math|term= 2|SZ=}} ist die erste Primzahl, die {{math|term= 3|SZ=}} ist die kleinste ungerade Primzahl, die {{math|term= 4|SZ=}} ist die erste echte Quadratzahl, die {{math|term= 5|SZ=}} ist die Anzahl der Finger einer Hand, die {{math|term= 6|SZ=}} ist die kleinste aus verschiedenen Faktoren zusammengesetzte Zahl, die {{math|term= 7|SZ=}} ist die Anzahl der Zwerge im Märchen, u.s.w., diese Zahlen sind also alle besonders. Gibt es eine Zahl, die nicht besonders ist? Gibt es eine kleinste Zahl, die nicht besonders ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oj6ht9u9g3buz9rl4m7u509ueiqrywt 0 81963 784685 758183 2022-08-22T06:45:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normierte| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC}} |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Lipschitz-stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen normierten Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} scg4wgv6eyj5sfu8waz4wclcy02upwc 0 81964 784686 758184 2022-08-22T06:45:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |V|W || |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normierten| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC}} |Vektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |stark kontrahierend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= {{op:Norm|\varphi|}} < 1 |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen normierten Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Norm |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} escaw9qd7hjt1wa9ulvnbuq0424u2wh 0 81966 784875 758312 2022-08-22T07:12:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei {{mathl|term= \alpha(x)|SZ=}} das zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitungsprädikat| |Kontext=einstellig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} aus den in {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Peano-Arithmetik/Beweisprädikat/Eigenschaften/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} aufgeführten Eigenschaften für einen Fixpunkt {{math|term= q|SZ=}} mit {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \neg \alpha (GN(q)) \leftrightarrow q |SZ=, }} dass weder {{mathl|term= \Gamma \vdash q|SZ=}} noch {{mathl|term= \Gamma \vdash \neg q|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Beweisbarkeitslogik |Kategorie2=Die Unvollständigkeitssätze von Gödel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5xp4rsfq3gncfdkekhb649d4gp9sy30 0 81969 784874 465495 2022-08-22T07:12:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei {{mathl|term= \alpha(x)|SZ=}} das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat und es sei {{math|term= q|SZ=}} ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \neg \alpha (GN(q)) \leftrightarrow q |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Welche Eigenschaften aus {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Peano-Arithmetik/Beweisprädikat/Eigenschaften/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gelten in {{math|term= \N|SZ=?}} |Gilt {{ math/disp|term= \neg \alpha (GN(q)) \leftrightarrow q |SZ= }} in {{math|term= \N|SZ=?}} |Welche der Ausdrücke {{math|term= q, \neg q , \alpha (GN(q)) ,\neg \alpha (GN(q))|SZ=}} gelten in {{math|term= \N|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Beweisbarkeitslogik |Kategorie2=Die Unvollständigkeitssätze von Gödel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 58j0v974jaqm4mxyj1a0x5xqtchkor4 0 81970 782232 467928 2022-08-22T00:07:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} eine fixierte natürliche Zahl und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha (x) | {{defeq|}} | x {{=}} n || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= n|SZ=}} durch die {{math|term= n|SZ=-}}fache Summe der {{math|term= 1|SZ=}} mit sich selbst realisiert werde. Zeige{{n Sie}} direkt, dass es Sätze {{mathl|term= p,q \in L^{\rm Ar}_0|SZ=}} mit {{ math/disp|term= \vdash \alpha(GN(p)) \leftrightarrow p |SZ= }} und mit {{ math/disp|term= \vdash \neg \alpha(GN(q)) \leftrightarrow q |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kcmyl9e1dijxqrm8gbtpvtnif4y27js 0 81972 782226 465486 2022-08-22T00:06:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= n_1 {{kommadots|}} n_r|SZ=}} natürliche Zahlen und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha (x) | {{defeq|}} | {{makl| x {{=}} n_1 |}} {{logunddots|}} {{makl| x {{=}} n_r |}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= n_j|SZ=}} durch die {{math|term= n_j|SZ=-}}fache Summe der {{math|term= 1|SZ=}} mit sich selbst realisiert werde. Zeige{{n Sie}}, dass es Sätze {{mathl|term= p,q \in L^{\rm Ar}_0|SZ=}} mit {{ math/disp|term= \vdash \alpha(GN(p)) \leftrightarrow p |SZ= }} und mit {{ math/disp|term= \vdash \neg \alpha(GN(q)) \leftrightarrow q |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qt5rz7rzr2xajp8eu5030q2xbolerzk 0 81974 784876 758313 2022-08-22T07:12:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei {{mathl|term= \alpha(x)|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitungsprädikat| |Kontext=einstellig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \Gamma|SZ=}} und es sei {{math|term= q|SZ=}} ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \neg \alpha (GN(q)) \leftrightarrow q |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass aus den in {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Peano-Arithmetik/Beweisprädikat/Eigenschaften/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} angeführten Eigenschaften man {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \neg \alpha (GN( p {{logund}} \neg p)) \rightarrow \neg \alpha(GN(q)) |SZ= }} erhalten kann, wobei {{math|term= p|SZ=}} ein beliebiger Ausdruck ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Beweisbarkeitslogik |Kategorie2=Die Unvollständigkeitssätze von Gödel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tm0pf5clp8gkzlhl0iutf9gzf2kzxa6 0 81999 784315 465569 2022-08-22T05:54:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe, um die folgenden Wörter korrekt gebildete {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich Klammerung| |ISZ=|ESZ= }} modallogische Ausdrücke sind. {{ Aufzählung4 | {{mathl|term= \Box ( (p) {{logund}} (q))|SZ=,}} | {{mathl|term= (p) \rightarrow \Box (q)|SZ=,}} | {{mathl|term= (p) \rightarrow (\Box (q))|SZ=,}} | {{mathl|term= (\Diamond (p)) \rightarrow ( (\Box (q)) \rightarrow (r))|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0icwnqo28qdrdmw2i53mbv6mvetujkw 0 82000 784316 465570 2022-08-22T05:54:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe{{n Sie}}, um die folgenden Wörter korrekt gebildete {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich Klammerung| |ISZ=|ESZ= }} modallogische Ausdrücke sind. {{ Aufzählung4 | {{mathl|term= \Box ( (p) {{logund}} (q)|SZ=,}} | {{mathl|term= (p) \rightarrow \Diamond ( (q) {{logoder}} (r))|SZ=,}} | {{mathl|term= (\Box (\Box ((p)))) \rightarrow (\Box (q))|SZ=,}} | {{mathl|term= ((\Diamond (p)) \rightarrow ( (\Box (q)) \rightarrow (r)))|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pwo0iiamr4hrttw82t2u8efts28jd7l 0 82040 782230 557808 2022-08-22T00:07:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine arithmetische Ausdrucksmenge und {{mathl|term= \alpha|SZ=}} ein einstelliges Prädikat mit {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \alpha (n) |SZ= }} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen Satz {{math|term= q|SZ=}} mit {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \alpha(GN(q)) \leftrightarrow q |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a53868251engbaer7ti1ovng5ba7kpj 0 82041 782229 465761 2022-08-22T00:07:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine arithmetische Ausdrucksmenge und {{mathl|term= \alpha|SZ=}} ein einstelliges Prädikat mit {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \neg \alpha (n) |SZ= }} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen Satz {{math|term= q|SZ=}} mit {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \alpha(GN(q)) \leftrightarrow q |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cx8i1vtrwmqxpk86y1zz2ea25h5xe0w 0 82042 782227 465759 2022-08-22T00:06:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine arithmetische Ausdrucksmenge und {{mathl|term= \alpha|SZ=}} ein einstelliges Prädikat. {{ Aufzählung2 |Es gelte {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \alpha (n) |SZ= }} für endlich viele {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und für alle übrigen natürlichen Zahlen gelte {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \neg \alpha (n) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen Satz {{math|term= q|SZ=}} mit {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \alpha(GN(q)) \leftrightarrow q |SZ= }} gibt. |Es gelte {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \neg \alpha (n) |SZ= }} für endlich viele {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und für alle übrigen natürlichen Zahlen gelte {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \alpha (n) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen Satz {{math|term= q|SZ=}} mit {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \alpha(GN(q)) \leftrightarrow q |SZ= }} gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d9uc2fvaczl7wv4sduhqlmhxdsb2hf1 0 82043 782228 465717 2022-08-22T00:06:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha (x) | {{defeq|}} |\exists y {{makl| x {{=}} y+y |}} || || || |SZ= }} und es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne den Fixpunktsatz zu verwenden| |ISZ=|ESZ=, }} dass es einen Satz {{mathl|term= q \in L^{\rm Ar}_0|SZ=}} mit {{ math/disp|term= PA \vdash \alpha(GN(q)) \leftrightarrow q |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bwqx3l340t5kaqro4tbp9rhahxidld2 0 82044 782231 465716 2022-08-22T00:07:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= k|SZ=}} eine fixierte positive natürliche Zahl und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha (x) | {{defeq|}} |\exists y {{makl| x {{=}} k y |}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= ky|SZ=}} als die {{math|term= k|SZ=-}}fache Addition von {{math|term= y|SZ=}} mit sich selbst realisiert werde. Es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne den Fixpunktsatz zu verwenden| |ISZ=|ESZ=, }} dass es einen Satz {{mathl|term= q \in L^{\rm Ar}_0|SZ=}} mit {{ math/disp|term= PA \vdash \alpha(GN(q)) \leftrightarrow q |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0k4hqb7rnmxu5943gwrqyfsimxvz0id 0 82045 784343 757976 2022-08-22T05:58:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |modallogisches System| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} in dem zusätzlich das {{ Definitionslink |Prämath= |Transitivitätsaxiom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gelte. Ferner sei {{math|term= s|SZ=}} ein modallogischer Ausdruck, für den {{ math/disp|term= M \vdash \neg \Box s \leftrightarrow s |SZ= }} gelte. Zeige{{n Sie}} für einen beliebigen Ausdruck {{math|term= p|SZ=}} die Ableitbarkeit {{ math/disp|term= M \vdash \neg \Box (p {{logund}} \neg p ) \rightarrow \neg \Box s |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Beweisbarkeitslogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2q0yogpolej5016j4eqhl6mhvnoifgn 0 82056 784320 757941 2022-08-22T05:55:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathkor|term1= p_i ||term2= i \in I |SZ=, }} eine Familie von Aussagenvariablen und sei {{math|term= L|SZ=}} die zugehörige modallogische Sprache. Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein prädikatenlogisches Symbolalphabet, das unter anderem Konstanten {{ mathbed|term= c_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} und eine fixierte Variable {{math|term= x|SZ=}} enthalte. {{ Aufzählung3 |Definiere eine natürliche injektive Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\Psi |L|L^S || |SZ=, }} bei der {{math|term= p_i|SZ=}} auf {{mathl|term= x=c_i|SZ=}} und {{math|term= \Box {{logprop|}} |SZ=}} auf {{mathl|term= \forall x \Psi( {{logprop|}} )|SZ=}} abgebildet wird. |Was ist {{mathl|term= \Psi( \Diamond {{logprop|}} ) |SZ=?}} |Zeige{{n Sie}}, dass zu jeder in der {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ableitbaren modallogischen Aussage {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} auch {{mathl|term= \Psi ({{logprop|}} ) |SZ=}} im Prädikatenkalkül ableitbar ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modallogik |Kategorie2=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2q0e0cdbl4thqrdk5duve5j4spc8q7d 0 82057 784321 757943 2022-08-22T05:55:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass in einer {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das Axiomenschema {{ math/disp|term= \Diamond (\alpha {{logund|}} \beta) \rightarrow \Diamond \alpha {{logund|}} \Diamond \beta |SZ= }} gilt. |Zeige{{n Sie}}, dass in einer {{math|term= K|SZ=-}}Modallogik das Axiomenschema {{ math/disp|term= \Diamond \alpha {{logund|}} \Diamond \beta \rightarrow \Diamond (\alpha {{logund|}} \beta) |SZ= }} nicht gelten muss. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m45cczhxkz6z6t7cisfmpt25bgp9c8u 0 82062 784324 757955 2022-08-22T05:55:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass in einer {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das Axiomenschema {{ math/disp|term= \Diamond \alpha {{logoder|}} \Diamond \beta \rightarrow \Diamond (\alpha {{logoder|}} \beta) |SZ= }} gilt. |Zeige{{n Sie}}, dass in einer {{math|term= K|SZ=-}}Modallogik das Axiomenschema {{ math/disp|term= \Diamond (\alpha {{logoder|}} \beta) \rightarrow \Diamond \alpha {{logoder|}} \Diamond \beta |SZ= }} nicht gelten muss. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h2c7fhta7zvuy600xxbjlcpwwfj4lak 0 82072 781067 755130 2022-08-21T20:53:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=,}} die bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_d |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Gramsche Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M=(a_{ij})|SZ=}} beschrieben werde. Beschreibe{{n Sie}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= V {{tensor|K}} V|SZ=}} bezüglich der zugehörigen Basis. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sfjv0tgv5u7omkmk8dlg3yzpcaekks9 0 82074 784275 757911 2022-08-22T05:48:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^4|SZ=}} sei mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Standard-Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Bestimme{{n Sie}} die zugehörige Linearform auf {{mathl|term= \R^4 {{tensor|\R}} \R^4|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g2memz1cmsyn7cm7s03y8g9lmuzk3qc 0 82078 783843 757470 2022-08-22T04:36:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{mathl| {{liste1n|V}}, {{liste1n|W}} |SZ=}} und {{math|term= Z|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Es seien {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_i |V_i|W_i || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |W_1 {{timesdots}} W_n|Z || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |multilineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \pi \circ (\varphi_1 {{timesdots}} \varphi_n ) |V_1 {{timesdots}} V_n|Z |(v_1 {{kommadots|}} v_n) | \pi ( \varphi_1(v_1) {{kommadots|}} \varphi_n(v_n) ) |SZ=, }} ebenfalls multilinear ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1aur0miakkl8lgfrlipgwaovl5um9rq 0 82083 783801 748726 2022-08-22T04:29:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= V,W|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} und {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_m |SZ=}} von {{math|term= W|SZ=}} durch die Matrix {{math|term= M|SZ=}} beschrieben werde. Es sei {{mathl|term= K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= L|SZ=-}}lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_L |V_L|W_L || |SZ= }} bezüglich der {{math|term= L|SZ=-}}Basen {{mathl|term= 1 {{tensor}} v_1 {{kommadots|}} 1 {{tensor}} v_n |SZ=}} von {{math|term= V_L|SZ=}} und {{mathl|term= 1 {{tensor}} w_1 {{kommadots|}} 1 {{tensor}} w_m |SZ=}} von {{math|term= W_L|SZ=}} ebenfalls durch die Matrix {{math|term= M|SZ=}} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} srk9e8qplqm72d9cpi1gz7wrs6xjpmr 0 82098 782554 756328 2022-08-22T01:01:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für einen {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteten Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= (M,R)|SZ=}} die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{math|term= (M,R)|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |euklidisch| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term= (M,R)|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sackgassenfrei. |{{math|term= (M,R)|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eqpt6bepbbt5ngs900ffi1632eko1bm 0 82102 784334 757966 2022-08-22T05:57:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} die folgenden modelltheoretischen Charakterisierungen für modallogische Axiomenschemata. {{ Aufzählung5 |In einem {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteten Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} gilt das {{ Definitionslink |Prämath= |Leerheitsaxiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann, wenn die Relation {{math|term= R|SZ=}} leer ist {{ Zusatz/Klammer |text=wenn es also gar keine Pfeile gibt| |ISZ=|ESZ=. }} |In einem gerichteten Graphen {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} gilt das {{ Definitionslink |Prämath= |Autismusaxiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann, wenn {{math|term= R|SZ=}} nur aus Schleifen besteht. |In einem gerichteten Graphen {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} gilt das {{ Definitionslink |Prämath= |Fatalismusaxiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann, wenn {{math|term= R|SZ=}} genau aus allen Schleifen besteht. |In einem gerichteten Graphen {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} gilt das {{ Definitionslink |Prämath= |Phantasiearmutsaxiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann, wenn von jedem Punkt höchstens ein Pfeil ausgeht. |In einem gerichteten Graphen {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} gilt das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideologieaxiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann, wenn von jedem Punkt genau ein Pfeil ausgeht. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2am0fgtx63tfthwigl1bmd9zfsi0b37 0 82118 782558 756333 2022-08-22T01:01:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteter Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= (M,R)|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn für die {{ Definitionslink |Prämath= |Nachfolgermengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu jeder Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|M || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Nachfolgermenge| {{op:Nachfolgermenge|T|}} |}} | \subseteq| {{op:Nachfolgermenge|T|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gym3iax3s7t7nodjb7rp2kwlerv85e7 0 82119 782557 756332 2022-08-22T01:01:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteter Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= (M,R)|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn für die {{ Definitionslink |Prämath= |Nachfolgermengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu jeder Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|M || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | T | \subseteq| {{op:Nachfolgermenge|T|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pcd9hi52knzfp8bprp4n21hhacl1uvx 0 82133 782555 756330 2022-08-22T01:01:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteter Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Welche der Eigenschaften eines {{ Definitionslink |Prämath= |Hüllenoperators| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Potenzmenge|M|}} | {{op:Potenzmenge|M|}} |T| {{op:Nachfolgermenge|T|}} |SZ=, }} welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Hüllenoperatoren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fh85wllwc32rs3kgakdkrbv7u165jqi 0 82135 782556 756331 2022-08-22T01:01:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteter Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wie kann man graphentheoretisch charakterisieren, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Potenzmenge|M|}} | {{op:Potenzmenge|M|}} |T| {{op:Nachfolgermenge|T|}} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Hüllenoperator| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Hüllenoperatoren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sm1hos1s0sn1m2rv1nev8chire3kdzx 0 82143 784340 757973 2022-08-22T05:58:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteten Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} das modallogische {{ Definitionslink |Prämath= |Symmetrieaxiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dy90hi84j5lkx3l6svqft31l6ya1pcu 0 82146 784336 757969 2022-08-22T05:57:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteten Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} das modallogische {{ Definitionslink |Prämath= |euklidische Axiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |euklidisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} shbyaeli95otabyf2a5dgfrfbi7x3y7 0 82149 784341 757974 2022-08-22T05:58:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteten Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} das modallogische {{ Definitionslink |Prämath= |Transitivitätsaxiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jgh7rpov36q3jksbwpsptv1n1ikut87 0 82154 784339 757972 2022-08-22T05:58:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteten Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} das modallogische {{ Definitionslink |Prämath= |Reflexivitätsaxiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ey697qjt44zylhdkigryt60ius1edqw 0 82159 784338 757971 2022-08-22T05:57:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteten Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} das modallogische {{ Definitionslink |Prämath= |Möglichkeitsaxiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann gilt, wenn in {{math|term= M|SZ=}} jeder Punkt einen Nachfolger besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fywvh6o46za2lzjjbhn4rmzu5k204bt 0 82162 784337 757970 2022-08-22T05:57:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteten Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (M,R)|SZ=}} das modallogische {{ Definitionslink |Prämath= |Löb-Axiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und es in {{math|term= M|SZ=}} keine unendlichen Ketten gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} anig9udkmi24s7tjuovk26hn6r6irgd 0 82171 781806 755713 2022-08-21T22:56:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:End|V|}} |K || |SZ=, }} die sich aus der Identifizierung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:End|V|}} || {{op:Dualraum|V|}} {{tensor|K}} V || || || |SZ= }} gemäß {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Hom/Als Tensorprodukt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und der natürlichen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Dualraum|V|}} {{tensor|K}} V | K |f {{tensor}} v| f(v) |SZ=, }} im Sinne von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Tensorprodukt/Mit Dualraum/Linearform/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt, gleich der {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen/AufgabenTheorie der Räume von Homomorphismen/Aufgaben |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie3=Theorie der Räume von Homomorphismen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7fmg2wuzxq5n44s2xtjeazyrklw5qab 0 82176 780034 763865 2022-08-21T18:01:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V_1 ||\R^2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V_1 ||\R^3 || || || |SZ= }} sind die Elemente aus {{math|term= F|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne der {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorräume/Endliche Familie/Tensorprodukt/Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} Linearkombinationen wie {{ math/disp|term= 4 e_{ ({{op:Spaltenvektor|3|2||}}, {{op:Spaltenvektor|6|-1|5||}} ) }-5e_{ ({{op:Spaltenvektor|1|7||}}, {{op:Spaltenvektor|3|3|4||}} ) } + 6 e_{ ({{op:Spaltenvektor|2|4||}}, {{op:Spaltenvektor|-4|7|8||}} ) } |SZ=. }} Mit den Standardvektoren des {{math|term= \R^2|SZ=}} bzw. des {{math|term= \R^3|SZ=}} ist dies {{ math/disp|term= 4 e_{ (3e_1 +2e_2, 6e_1 -e_2+5e_3 ) }-5e_{ e_1 +7e_2, 3e_1+3 e_2+4e_3 } + 6 e_{ ( 2e_1 + 4e_2, -4e_1 +7e_2+8e_3 ) } |SZ=. }} Da die Tupel untereinander verschieden sind, kann man diesen Ausdruck in {{math|term= F|SZ=}} nicht vereinfachen. Das Bild dieses Elementes in {{ Ma:Vergleichskette |F/U || \R^2 {{tensor|\R}} \R^3 || || || |SZ= }} ist {{ math/disp|term= 4 (3e_1 +2e_2) {{tensor}} ( 6e_1 -e_2+5e_3 ) -5 ( e_1 +7e_2) {{tensor}} ( 3e_1+3 e_2+4e_3 ) +6 ( 2e_1 + 4e_2) {{tensor}} ( -4e_1 +7e_2+8e_3 ) |SZ=. }} Diesen Ausdruck kann man wesentlich vereinfachen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iw6ep03wufqoxoqb5ba33vr6zr8cw5o 0 82178 784335 466082 2022-08-22T05:57:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche modallogischen Axiomenschemata gelten in der Prädikatenlogik, wenn man den Notwendigkeitsoperator {{math|term= \Box|SZ=}} als {{math|term= \forall x|SZ=}} mit einer fixierten Variablen {{math|term= x|SZ=}} interpretiert? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modallogik |Kategorie2=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mbfgm9wpk049k5m6xby025kp8wnuvaf 0 82183 781052 755112 2022-08-21T20:50:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} die durch das {{ Definitionslink |Prämath= |Löb-Axiom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also die Beweisbarkeitslogik. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{Falsum}} |{{defeq}}| p {{logund}} \neg p || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als Abkürzung für einen Widerspruch| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \neg \Box \neg \Box {{Falsum}} \leftrightarrow \neg \Box {{Falsum}} |SZ= }} ableitbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Beweisbarkeitslogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c9wyqyf78jreudtbxyg8n8cah3e3p1y 0 82197 779400 751226 2022-08-21T16:21:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y]/(X^2,Y^2) || || || |SZ= }} und {{mathl|term= M=(X,Y)|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten das Element {{mathl|term= 0 \neq XY \in M|SZ=}} und behaupten, dass für jeden surjektiven {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|Z || |SZ= }} in einen {{ Definitionslink |Prämath= |zyklischen| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Z|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(XY) ||0 || || || |SZ= }} ist. Die Elemente in {{math|term= M|SZ=}} haben eine eindeutige Darstellung {{mathl|term= aX+bY+cXY|SZ=}} mit {{mathl|term= a,b,c \in K|SZ=.}} Daraus sieht man, dass {{math|term= M|SZ=}} nicht zyklisch ist. Ein surjektiver Homomorphismus nach {{math|term= Z|SZ=}} besitzt einen echten Kern. Wenn {{mathl|term= aX+bY+cXY|SZ=}} auf {{math|term= 0|SZ=}} geht, muss aber auch {{math|term= XY|SZ=}} auf {{math|term= 0|SZ=}} gehen, wie man sieht, wenn man die möglichen Fälle für {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} betrachtet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der artinschen Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a320k842b9mrnl0uf0vcnkm1rmsmn8m 0 82202 783818 757448 2022-08-22T04:32:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} sei bezüglich der Basis {{mathl|term= v_1,v_2|SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Jordan-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Matrix22|1|1|0|1|}} |SZ=}} und die lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=\psi |W|W || |SZ= }} sei bezüglich der Basis {{mathl|term= w_1,w_2|SZ=}} durch die Jordan-Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|1|1|0|1|}} |SZ=}} gegeben. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Matrix von {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi {{tensor}} \psi |V {{tensor}} W|V {{tensor}} W || |SZ= }} bezüglich der Basis {{mathl|term= v_1 {{tensor}} w_1, v_1 {{tensor}} w_2, v_2 {{tensor}} w_1, v_2 {{tensor}} w_2 |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \varphi {{tensor}} \psi |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a7w1wzdvwht5rue4nz9qj7gbocou7s7 0 82204 783819 757449 2022-08-22T04:32:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} sei bezüglich der Basis {{mathl|term= v_1,v_2|SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Jordan-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Matrix22|1|1|0|1|}} |SZ=}} und die lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=\psi |W|W || |SZ= }} sei bezüglich der Basis {{mathl|term= w_1,w_2,w_3|SZ=}} durch die Jordan-Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix33|1|1|0|0|1|1|0|0|1}} |SZ=}} gegeben. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Matrix von {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi {{tensor}} \psi |V {{tensor}} W|V {{tensor}} W || |SZ= }} bezüglich der Basis {{mathl|term= v_1 {{tensor}} w_1, v_1 {{tensor}} w_2, v_1 {{tensor}} w_3, v_2 {{tensor}} w_1, v_2 {{tensor}} w_2 , v_2 {{tensor}} w_3 |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \varphi {{tensor}} \psi |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} opi6tnaqcj62nuczu4phag1rmy1ybpy 0 82211 779500 466296 2022-08-21T16:38:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Baby Category 2|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Melikamp |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir arbeiten mit den Aussagenvariablen {{mathl|term= p,q,r|SZ=.}} Im Weltpunkt {{math|term= a|SZ=}} gelte {{ math/disp|term= a \vDash p, q , \neg r |SZ= }} und im Weltpunkt {{math|term= b|SZ=}} gelte {{ math/disp|term= b \vDash p, \neg q , r |SZ=. }} Daraus kann man die Gültigkeit von aussagenlogischen Ausdrücken jeweils erschließen, beispielsweise gilt {{ math/disp|term= a \vDash p {{logund}} \neg r |SZ= }} oder {{ math/disp|term= b \vDash \neg q \rightarrow r |SZ=. }} Für modallogische Ausdrücke muss man den gerichteten Graphen berücksichtigen, wobei man induktiv über die Anzahl der Boxen vorgeht. Es geht also zunächst um Ausdrücke der Form {{math|term= \Box \alpha|SZ=,}} wobei {{math|term= \alpha|SZ=}} ein rein aussagenlogischer Ausdruck ist {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne jede Box| |ISZ=|ESZ=. }} Die Gültigkeit von {{math|term= \Box \alpha|SZ=}} in einem Weltpunkt bedeutet, dass in jedem von diesem Weltpunkt aus erreichbaren Weltpunkt {{math|term= \alpha|SZ=}} gilt. Somit gilt beispielsweise {{ math/disp|term= a \vDash \Box p |SZ= }} und {{ math/disp|term= a \vDash \neg \Box q |SZ= }} und {{ math/disp|term= a \vDash \Box (q {{logoder}} r) |SZ=, }} ferner {{ math/disp|term= b \vDash \Box p |SZ= }} und {{ math/disp|term= b \vDash \Box \neg q |SZ=. }} Damit kann man dann in jedem Punkt aussagenlogisch den Wahrheitswert von jeder modallogischen Aussage bestimmen, in der die Box nur einfach {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne Verschachtelungen| |ISZ=|ESZ= }} auftritt, beispielsweise {{ math/disp|term= a \vDash \Box p {{logund}} \neg r {{logund}} \neg \Box \neg r |SZ=. }} Unter Berücksichtigung des gerichteten Graphen kann man dann auch den Wahrheitswert für jeden modallogischen Ausdruck mit modallogischer Verschachtelungstiefe {{math|term= \leq 2|SZ=}} bestimmen, also etwa {{ math/disp|term= a \vDash \Box \Box p |SZ=, }} u.s.w. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dfvt54fa7zd0e4ehoykebxetojmum3z 0 82212 784317 466304 2022-08-22T05:54:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Baby Category 2|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Melikamp |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Für die Aussagenvariablen {{mathl|term= p,q,r|SZ=}} gelte {{ mathkor/disp|term1= a \vDash \neg p, q, r |und|term2= b \vDash \neg p ,\neg q, r |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} in beiden Weltpunkten die Wahrheitswerte von {{ Aufzählung4 | {{mathl|term= p \rightarrow \Box r|SZ=,}} | {{mathl|term= \Box q \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box (r {{logund}} p))|SZ=,}} | {{mathl|term= ( p {{logoder}} \Box \Box r ) \rightarrow \Diamond r|SZ=,}} | {{mathl|term= \Diamond \Box \neg q \rightarrow ( \Box \Diamond r {{logoder}} \neg p )|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fckb45vig36tomxzqrysdg3a7v3y2rg 0 82213 784319 466305 2022-08-22T05:55:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Relación binaria 01|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=HiTe |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Für die Aussagenvariablen {{mathl|term= p,q,r|SZ=}} gelte {{ math/disp|term= a \vDash \neg p, q, \neg r \, , b \vDash \neg p,\neg q, r \, , c \vDash \neg p, \neg q, r \, , d \vDash p, q, r |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} in den vier Weltpunkten die Wahrheitswerte von {{ Aufzählung3 | {{mathl|term= \Diamond q \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box (r {{logund}} p))|SZ=,}} | {{mathl|term= ( p {{logoder}} \Box \Box \neg r ) \rightarrow \Diamond (\neg p \rightarrow r )|SZ=,}} | {{mathl|term= \Box \Diamond \Box \neg q \rightarrow ( \Box \Diamond r {{logoder}} \neg p )|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7fnh88a2ody1eisrmgjrzxhzz3a68tx 0 82216 783142 756865 2022-08-22T02:39:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Turnier werde im KO-System mit {{math|term= 2^n|SZ=}} Mannschaften ausgetragen, jedes Spiel endet also mit einem Gewinner und einem Verlierer und der Verlierer scheidet direkt aus {{ Zusatz/Klammer |text=es gebe kein Spiel um Platz drei oder ähnliches| |ISZ=|ESZ=. }} Das Turnier sei vorbei. Zeige{{n Sie}}, dass man jede Mannschaft in der Prädikatenlogik allein mit der Gewinnrelation adressieren kann {{ Zusatz/Klammer |text=je zwei Mannschaften sind also nicht {{ Definitionslink |Prämath= |elementar äquivalent| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} frelsutbki4oymyl3mrt57rq6tknql0 0 82223 781228 748679 2022-08-21T21:20:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \bigwedge^n V |SZ=}} nicht der Nullraum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qv3222640cvh5y2hgn39313l04pl5nk 0 82225 781229 755269 2022-08-21T21:20:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körpererweiterung/Situation|SZ=,}} {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine kanonische Isomorphie der {{math|term= L|SZ=-}}Vektorräume {{ mathkor/disp|term1= \bigwedge^n V_L |und|term2= ( \bigwedge^n V )_L |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei links das {{ Definitionslink |Prämath= |Dachprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= L|SZ=}} steht| |ISZ=|ESZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte bei einer Körpererweiterung |Kategorie2=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dtogz0jxz4twqtw9vyhexrs221vjdad 0 82226 781237 466339 2022-08-21T21:21:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Vereinfache{{n Sie}} in {{mathl|term= \bigwedge^2 \R^3|SZ=}} den Ausdruck {{ math/disp|term= e_1 \wedge (e_2 -4 e_3) - e_2 \wedge (5 e_1 +3e_2-4e_3) + {{makl| 7e_3 |}} \wedge e_1 -4 {{makl| 5e_1 \wedge 2 e_3 |}} + (2e_1-8e_2) \wedge (2e_1-8e_2) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jkpg8z25jwm62v3h6qfsmpqdef4gfba 0 82227 781238 466340 2022-08-21T21:21:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Vereinfache{{n Sie}} in {{mathl|term= \bigwedge^3 \R^3|SZ=}} den Ausdruck {{ math/disp|term= ( e_1-e_2) \wedge (e_2 -4 e_3) \wedge (3e_1-5e_2+4e_3) + {{makl| 7e_3 |}} \wedge {{makl| e_1 -4 e_3 |}} \wedge {{makl| 5 e_3 -e_1|}} -(4e_3-2 e_2 ) \wedge e_2 \wedge (4 e_1 +3e_2-4e_3) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2z4h7gwcvvkjclnvmywa7b09t6nl9vw 0 82229 781239 466345 2022-08-21T21:21:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Vereinfache{{n Sie}} in {{mathl|term= \bigwedge^3 \R^3|SZ=}} den Ausdruck {{ math/disp|term= - 7e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 + 6 e_2 \wedge e_3 \wedge e_1 + 4 e_3 \wedge e_2 \wedge e_1 +3 e_2 \wedge e_1 \wedge e_3 +5 e_3 \wedge e_1 \wedge e_2 -11 e_2 \wedge e_3 \wedge e_1 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rr71sr59ezb3nwvdfxv1flg4z28b478 0 82232 781231 755270 2022-08-21T21:20:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Kann man durch die Zuordnung {{ math/disp|term= v_1 {{wedgedots|}} v_n \mapsto v_1 {{tensordots|}} v_n |SZ= }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=lineare| |ISZ=|ESZ= }} Abbildung von {{mathl|term= \bigwedge^n V|SZ=}} nach {{mathl|term= V {{tensordots}} V |SZ=}} festlegen? |Kann man auf die kanonische Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \pi |V {{timesdots}} V | V {{tensordots}} V || |SZ= }} die {{ Faktlink |Präwort=|universelle Eigenschaft für das Dachprodukt|Faktseitenname= Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden, um eine lineare Abbildung von {{mathl|term= \bigwedge^n V|SZ=}} nach {{mathl|term= V {{tensordots}} V |SZ=}} zu erhalten? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4zw6fzb8gtw44qkw4aftt8mz7z8q9j3 0 82233 781232 755271 2022-08-21T21:20:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name= \pi |V {{timesdots}} V| V {{tensordots}} V || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathl|term= n|SZ=}} Faktoren| |ISZ=|ESZ= }} die kanonische multilineare Abbildung. {{ Aufzählung3 |Es sei {{mathl|term= \sigma \in S_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine multilineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \pi \circ \sigma |V {{timesdots}} V| V {{tensordots}} V || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | (\pi \circ \sigma )(v_1 {{kommadots|}} v_n) || v_{\sigma (1) } {{tensordots|}} v_{\sigma (n)} || || || |SZ= }} gibt. |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \sum_{\sigma \in S_n} {{op:Signum|\sigma}} \pi \circ \sigma |SZ=}} multilinear und {{ Definitionslink |Prämath= |alternierend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass es eine lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi |\bigwedge^n V| V {{tensordots}} V || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Psi ( v_1 {{wedgedots}} v_n) || \sum_{\sigma \in S_n} {{op:Signum|\sigma}} v_{\sigma (1) } {{tensordots|}} v_{\sigma (n)} || || || |SZ= }} gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 39494qaarh4flso3ntywz3dle55lbh5 0 82234 779947 763835 2022-08-21T17:47:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten zu zwei endlichen Indexmengen {{ mathkor|term1= I |und|term2= J |SZ= }} die Abbildungsräume {{ mathkor|term1= {{op:Abbildungsmenge|I|K}} |und|term2= {{op:Abbildungsmenge|J|K}} |SZ=, }} die beide {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. In welcher Beziehung stehen sie zur Abbildungsmenge {{ math/disp|term= {{op:Abbildungsmenge|I \times J|K}} |SZ=? }} Zu Abbildungen {{mathl|term= f \in {{op:Abbildungsmenge|I|K}} |SZ=}} und {{mathl|term= g \in {{op:Abbildungsmenge|J|K}} |SZ=}} kann man einfach eine Abbildung auf {{mathl|term= I \times J|SZ=}} erhalten, die man {{mathl|term= f {{tensor}} g|SZ=}} nennt {{ Zusatz/Klammer |text=sprich {{math|term= f|SZ=}} tensor {{math|term= g|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | (f {{tensor}} g) (i,j) |{{defeq}} | f(i) \cdot g(j) || || || |SZ= }} festgelegt ist. Für die Standardvektoren gilt dabei {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_i {{tensor}} e_j || e_{(i,j)} || || || |SZ=. }} Jedes Element {{mathl|term= h \in {{op:Abbildungsmenge|I \times J|K}} |SZ=}} kann man insbesondere als eine Linearkombination zu Elementen {{math|term= f {{tensor}} g|SZ=}} schreiben, aber nicht jedes {{math|term= h|SZ=}} hat diese einfache Gestalt. Es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |(a_1f_1+a_2f_2) {{tensor}} g ||a_1 (f_1 {{tensor}} g ) + a_2 (f_2 {{tensor}} g) || || || |SZ= }} und entsprechend in der zweiten Komponente. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Abbildungsräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e8ns01lnamvod6upuzgklelvpnatkyw 0 82240 783840 757466 2022-08-22T04:35:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|}} und seien {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Es seien {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i |V_i|V_i || |SZ= }} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass auch das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_1 {{tensordots|}} \varphi_n |V_1 {{tensordots|}} V_n |V_1 {{tensordots|}} V_n || |SZ= }} diagonalisierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sraak2pfjrxe8ykdhb7xz27k4fxw9hf 0 82243 783842 757469 2022-08-22T04:36:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|}} und seien {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Es seien {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i |V_i|V_i || |SZ= }} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass auch das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_1 {{tensordots|}} \varphi_n |V_1 {{tensordots|}} V_n |V_1 {{tensordots|}} V_n || |SZ= }} trigonalisierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0i94930852u8pk9hflhts7un4ia5zh2 0 82244 783841 757468 2022-08-22T04:36:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|}} und seien {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_n, W_1 {{kommadots|}} W_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Hom|V_1|W_1}} {{timesdots}} {{op:Hom|V_n|W_n}} | {{op:Hom|V_1 {{tensordots|}} V_n|W_1 {{tensordots|}} W_n}} |(\varphi_1 {{kommadots|}} \varphi_n )|\varphi_1 {{tensordots|}} \varphi_n |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |multilinear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2zr79g4qvmy69xq6lhskz054z3eo8sq 0 82263 781051 755111 2022-08-21T20:50:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{Falsum}} |{{defeq}}| p {{logund}} \neg p || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} in der {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \Box {{Falsum}} \leftrightarrow \Box \neg \Box {{Falsum}} |SZ= }} ableitbar ist. Zeige{{n Sie}}, dass es keine widerspruchsfreie Erweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma |\subseteq| \tilde{\Gamma} || || || |SZ= }} gibt, die aussagenlogisch und unter der Nezessierungsregel abgeschlossen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Beweisbarkeitslogik |Kategorie2=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 14y81naz3xe56q1tlmte9gjjm9ts4b7 0 82264 784331 466463 2022-08-22T05:56:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} vollständig ist, dass also für jedes {{mathl|term= \alpha \in L|SZ=}} die Alternative {{Anführung|Entweder {{mathl|term= \alpha \in T|SZ=}} oder {{mathl|term= \neg \alpha \in T|SZ=}}|}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8zieavwhrcz55sgad4ukuwxdx1p26ba 0 82265 784328 757963 2022-08-22T05:56:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} umfasse und in der die Nezessisierungsregel gelte. Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= T|SZ=}} entweder das {{ Definitionslink |Prämath= |Leerheitsaxiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder das {{ Definitionslink |Prämath= |Fatalismusaxiom| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qmkxrzifm79p29riuhnlb85bun025h4 0 82266 784330 757964 2022-08-22T05:56:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} umfasse und in der es einen {{ Definitionslink |Prämath= |paradoxen| |Kontext=Modallogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ausdruck gebe. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} nicht unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0z38ixco8scv7f2y6bw2al1c6o6e80v 0 82270 784327 757960 2022-08-22T05:56:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K=K^\vdash|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= U|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |universelle modallogische Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |K || \bigcap_{ W \in U} W || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pmoetwfq3dqwzmpsryi48qk4x0k08ne 0 82271 784345 757978 2022-08-22T05:58:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M,S,\mu)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |modallogisches Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= (U,R,\nu)|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |universelle modallogische Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= |M|U |w| (M,S,\mu,w)^\vDash |SZ=, }} eine Abbildung definiert ist, die ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der zweistelligen Relationen {{ mathkor|term1= S |und|term2= R |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dcu744uddihy17zbgw7tjr0t7yv586g 0 82274 784314 466480 2022-08-22T05:54:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} eine modallogische Ausdrucksmenge und {{mathl|term= \alpha |SZ=}} ein modallogischer Ausdruck. Es sei {{mathl|term= \Gamma \vDash \alpha|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine endliche Teilmenge {{mathl|term= \Gamma_e \subseteq \Gamma|SZ=}} mit {{mathl|term= \Gamma_e \vDash \alpha|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nrc9b1ctj60qz01v0vgr2yv213yl3dv 0 82280 784342 757975 2022-08-22T05:58:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M,R,\mu)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |modallogisches Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath=S5 |Modallogik| |Kontext=S5| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für zueinander erreichbare Welten {{mathl|term= v,w \in M|SZ=}} die Gültigkeitsmengen verschieden sein können, dass aber für jeden Ausdruck {{mathl|term= (M,R,\mu,v) \vDash \Box \alpha |SZ=}} genau dann gilt, wenn {{mathl|term= (M,R,\mu,w) \vDash \Box \alpha |SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 92ncjg6yonu8o3vcgn0rl93kg8ogq5z 0 82284 783834 757460 2022-08-22T04:34:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|}} und sei {{mathl|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch das {{ Definitionslink |Prämath= |Dachprodukt| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \bigwedge^n \varphi | \bigwedge^n V | \bigwedge^n V || |SZ= }} diagonalisierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 76hguroy3rooired4fvffr3asjbug5x 0 82285 783835 757461 2022-08-22T04:35:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|}} und sei {{mathl|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch das {{ Definitionslink |Prämath= |Dachprodukt| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \bigwedge^n \varphi | \bigwedge^n V | \bigwedge^n V || |SZ= }} trigonalisierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9mjsbgudm3njoep33zpa2z8ivreft2i 0 82288 784332 757965 2022-08-22T05:56:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein {{ Definitionslink |Prämath= |modallogisches Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (M,R,\nu)|SZ=,}} eine Welt {{mathl|term= w \in M|SZ=}} und einen modallogischen Ausdruck {{mathl|term= \alpha \rightarrow \beta|SZ=}} mit {{ math/disp|term= (M,R,\nu,w) \vDash \alpha \rightarrow \beta |SZ=, }} aber {{ math/disp|term= (M,R,\nu,w) \not \vDash \Box \alpha \rightarrow \Box \beta |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q80k2t1ticgucw2j20mabf8678tmx12 0 82298 784477 758063 2022-08-22T06:16:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einem {{ Definitionslink |Prämath=K |modallogischen System| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S|SZ=}} gelte das Axiomenschema {{ math/disp|term= \alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man in {{math|term= S|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Möglichkeitsaxiom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha |SZ= }} ableiten kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9nv2j8w6aowckfd12mboz0uit04r3ke 0 82404 781225 755267 2022-08-21T21:19:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über Basen in einem Dachprodukt zu einem endlichdimensionalen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qpysjlkdacux6g9kakm4iklhbfi08b6 0 82529 786128 468194 2022-08-22T10:34:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Registerabteilung des VW-Konzerns hat {{ Zusatz/Gs |text=ohne Wissen des Vorstandes und am Aufsichtsrat vorbei| |ISZ=|ESZ= }} in jedes real existierende Registerprogramm {{math|term= P|SZ=}} an einer willkürlich gewählten Stelle die aufeinanderfolgenden Befehlszeilen eingebaut {{ Zusatz/Klammer |text=und dabei die Zeilennummern und die Sprungbefehlsnummern angepasst, {{math|term= k|SZ=}} ist die Nummer eines in {{math|term= P|SZ=}} nicht verwendeten Registers und {{math|term= h'|SZ=}} ist die neue Haltebefehlsnummer| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= k+ |SZ= }} {{ math/disp|term= k+ |SZ= }} {{ math/disp|term= \text{Drucke} |SZ= }} {{ math/disp|term= C(k,h') |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Ändert sich durch diese Manipulation die Halteeigenschaft des Programms? |Ändert sich durch diese Manipulation die Programmabbildung? |Nachdem der Skandal herauskommt und die Öffentlichkeit eine Erklärung fordert, diskutieren Vorstand, Aufsichtsrat und Abteilungsleiter die folgenden möglichen Stellungsnahmen für die anstehende Pressekonferenz: {{ Aufzählung4/a |Man wollte Speicherplatz sparen.<br/> |Man wollte aus Werbezwecken erreichen, dass jedes Registerprogramm mindestens einmal {{Anführung|VW}} ausdruckt.<br/> |Man wollte einen Beitrag zur Entschleunigung leisten, indem man manche Programme etwas langsamer macht.<br/> |Man wollte einen Beitrag zur Entschleunigung leisten, indem man alle Programme etwas langsamer macht.<br/> }} Welche dieser Erklärungen passen inhaltlich zu den Manipulationen? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 762k2cgbk82egj51wwyf37qu158jgku 0 82542 784557 467897 2022-08-22T06:27:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die induktive Definition einer Abbildung auf einem Peano-Dedekind-Modell {{math|term= (N,0,\prime)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fo97ph3awhtpdxj5fijso9ahmsk0hza 0 82555 784333 467925 2022-08-22T05:57:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Skizziere{{n Sie}} ein modallogisches Modell, bei dem es verschiedene Weltpunkte {{math|term= v,w|SZ=}} mit {{ math/disp|term= v \vDash \neg \Box p |SZ= }} und {{ math/disp|term= w \vDash \Box \Box p {{logund|}} \Diamond p {{logund|}} \Diamond \neg p |SZ= }} gibt. |Was ist die minimale Anzahl von Welten in einem modallogischen Modell, in dem die Anforderungen aus 1) realisierbar sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=4 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t9e5rjftwvvour2t980s39y634rnwfl 0 82557 782233 467932 2022-08-22T00:07:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} eine fixierte natürliche Zahl und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha (x) | {{defeq|}} | x {{=}} n || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= n|SZ=}} durch die {{math|term= n|SZ=-}}fache Summe der {{math|term= 1|SZ=}} mit sich selbst realisiert werde. Zeige{{n Sie}} direkt, dass es Sätze {{mathl|term= p,q \in L^{\rm Ar}_0|SZ=}} mit {{ math/disp|term= \N \vDash \alpha(GN(p)) \leftrightarrow p |SZ= }} und mit {{ math/disp|term= \N \vDash \neg \alpha(GN(q)) \leftrightarrow q |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o0zqi937ih2fpe5b6a47ossdycyv3wr 0 82561 786378 759453 2022-08-22T11:15:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Dachprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|4|-1|2}} \wedge {{op:Spaltenvektor|3|5|-6}} |SZ=}} in der Standardbasis von {{mathl|term= \bigwedge^2 \R^3|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cp5nanj8836pojxkjbakbheh0hby3vd 0 82564 784807 758264 2022-08-22T07:03:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^2|SZ=,}} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Spaltenvektor|1|-4}} ,\, {{op:Spaltenvektor|3|-2}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|6|-5}} ,\, {{op:Spaltenvektor|-5|4}} |SZ=, }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Orientierung| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} repräsentieren oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ay2nn6u2z91013m9d9hki2eizaocug1 0 82566 783582 467950 2022-08-22T03:52:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Kugeloberfläche {{math|term= K|SZ=}} wird im {{math|term= \R^3|SZ=}} als Nullstellenmenge der quadratischen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^2+y^2+z^2 || 1 || || || |SZ= }} beschrieben. Wir betrachten die lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ=, }} die bezüglich der Standardbasen durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|2|0|0|0|1|3|0|2|-1}} |SZ= }} beschrieben werde. Durch welche quadratische Form kann das Bild {{mathl|term= \varphi(K)|SZ=}} beschrieben werden? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ljza914lt0k35jaa6ofeyreb25mwr4c 0 82567 783581 467953 2022-08-22T03:52:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Kugeloberfläche {{math|term= K|SZ=}} wird im {{math|term= \R^3|SZ=}} als Nullstellenmenge der quadratischen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^2+y^2+z^2 || 1 || || || |SZ= }} beschrieben. Wir betrachten die lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ=, }} die bezüglich der Standardbasen durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|2|0|0|0|3|0|0|0|-1}} |SZ= }} beschrieben werde. Durch welche quadratische Form kann das Bild {{mathl|term= \varphi(K)|SZ=}} beschrieben werden? Wie nennt man das geometrische Gebilde {{mathl|term= \varphi(K)|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ag1gip82o5zu90dt3t0nq6t6zfsoofc 0 82571 784525 471886 2022-08-22T06:23:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} die kleinste natürliche Zahl, die größer als die ersten drei Quadratzahlen ist. |Beschreibe{{n Sie}} die Bedingung {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar so, dass die Bedingung erkennbar ist| |ISZ=|ESZ= }} aus (1) durch einen prädikatenlogischen arithmetischen Ausdruck {{ Zusatz/Klammer |text=also mit dem Symbolalphabet {{mathl|term= +,\cdot,0,1|SZ=}} und Variablen| |ISZ=|ESZ= }} in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=.}} |Beschreibe{{n Sie}} das Ergebnis aus (1) durch einen einfachen prädikatenlogischen Ausdruck in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=2 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9s24r91vv12ojrolcey722nw9cy7gas 0 82605 782134 563809 2022-08-21T23:51:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= An welcher Stelle bricht der Eindeutigkeitsbeweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zusammen, wenn man mit den Zahlen {{mathl|term= 1,3,5,10|SZ=,}} u.s.w. statt mit den Eurozahlen rechnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l81cfuvqcn7be8c7mroekojgvjbs66k 0 82606 781595 480230 2022-08-21T22:21:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= x|SZ=}} eine dreistellige natürliche Zahl im Zehnersystem und {{math|term= y|SZ=}} die von hinten gelesene Zahl. Zeige{{n Sie}}, dass die {{{zusatz1|}}} Differenz {{mathl|term= x-y|SZ=}} stets ein Vielfaches von {{math|term= 9|SZ=}} und von {{math|term= 11|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d5asi39gta895hiw6j04dz9gb1kqlro 0 82610 782132 563811 2022-08-21T23:50:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von {{math|term= 1|SZ=}} Euro begleichen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r5t62e19ro27zrv3dvcpo6ajxclxkr9 0 82638 784480 563813 2022-08-22T06:16:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Land besitze Münzen im Nennwert von {{math|term= 1,4,5|SZ=}} und {{math|term= 6|SZ=}} Talern. Zeige{{n Sie}}, dass es nicht unbedingt zu einer minimalen Anzahl von Münzen führt, wenn man einen Betrag sukzessive mit der größtmöglichen Münze begleicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a1it0lg8kzu9pqg2lf298i19sq6dnlo 0 82884 780838 754943 2022-08-21T20:15:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R ||C(M,\R) || || || |SZ= }} der Ring der stetigen Funktion auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass zwei zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |assoziierte| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Elemente {{mathl|term= f,g \in R|SZ=}} die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Assoziiertheit (kommutative Ringe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cyq6yn22nsqv7ew5cf9yrf2y5c85j1e 106 82984 784375 476924 2022-08-22T06:03:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|5| {{Motto| |Text=Es gibt nur eine Grundrechenart, das Zählen |Autor= }} {{Zwischenüberschrift|term=Zählen}} {{:Zählen/Nacheinander/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbild |Natural numbers|svg|500px {{!}} right {{!}} |Text=Der natürliche Zahlenstrahl, die Gerade hat im Moment noch keine eigenständige Bedeutung. In diesem Zählmodell bedeutet das Zählen, um eine Schrittlänge nach rechts zu gehen. Die Beschriftung mit den Dezimalzahlen gibt die Identifizierung mit einem anderen Zählmodell. |Autor= |Benutzer=Junaidpv |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir halten die folgenden Eigenschaften eines sinnvollen Zählens fest. {{ Aufzählung5 |Es gibt ein Startelement, mit dem man das Zählen anfängt. |Zu jeder Zahl gibt es eine eindeutig bestimme Nachfolgerzahl. |Das Startelement ist selbst keine Nachfolger. |Jede Zahl, die nicht das Startelement ist, besitzt einen eindeutig bestimmten Vorgänger. |Durch Zählen erhält man ausgehend vom Startelement früher oder später alle Zahlen. }} {{ inputbild |NachfolgermitSchleife|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Welche Eigenschaft erfüllt dieses {{Anführung|Zählsystem}} nicht? |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Damit schließen wir insbesondere aus, dass man im Kreis zählt, wie beispielsweise mit den Wochentagen Montag, Dienstag, ..., Sonntag, Montag. Da hat jeder Tag einen eindeutig bestimmten Vorgängertag und es gibt kein Startelement ohne Vorgänger. Die letzte Eigenschaft stellt sich, dass man keine unnötigen Zahlen mitschleppt, die für das Zählen nicht gebraucht werden. Eine solche Zählmenge nennen wir ein Modell der natürlichen Zahlen oder schlicht natürliche Zahlen. Unabhängig vom Modell bezeichnen wir zu {{math|term=n|SZ=}} den Nachfolger als {{math|term=n^\prime|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=später auch mit {{mathl|term=n+1|SZ=,}} im Moment haben wir aber die Addition noch nicht eingeführt| |ISZ=|ESZ=. }} Wir treffen noch eine wichtige Vereinbarung über das Startelement. In den Beispielen oben hatten wir das Zählen mit einem {{math|term=1|SZ=-}}ähnlichen Symbol begonnen. Von den soeben fixierten Eigenschaften ist die Bezeichnung des Startelements unerheblich. Im Folgenden werden wir allerdings die Zahlen dazu verwenden, Anzahlen von endlichen Mengen auszudrücken, also zu zählen in einem weiteren Sinne. Da es auch die leere Menge gibt, werden wir daher das Startelement {{math|term=0|SZ=}} nennen und den Nachfolger davon {{ Ma:Vergleichskette/disp |0' ||1 || || || |SZ=. }} Für uns ist also {{math|term=0|SZ=}} eine natürliche Zahl. Gründe dafür werden wir schon heute kennen lernen. Die natürlichen Zahlen werden mit {{math|term=\N|SZ=}} bezeichnet, die Menge der positiven natürlichen Zahlen bezeichnen wir mit {{math|term=\N_+|SZ=,}} da gehört die {{math|term=0|SZ=}} nicht dazu. Mit dem Abbildungsbegriff werden wir die bisherigen Beobachtungen in der übernächsten Vorlesung im Rahmen der Dedekind-Peano-Axiome präzisieren und insbesondere beweisen, dass je zwei Modelle der natürlichen Zahlen übereinstimmen. {{Zwischenüberschrift|term=Zählen ohne Zahlen}} {{ inputbild |Mustafa Heinz Sandkasten|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Heinz Ngolo und Mustafa Müller im Sandkasten. |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Bevor wir Mengen mit Hilfe der natürlichen Zahlen abzählen, betrachten wir kurz eine noch fundamentalere Idee, wie man Mengen auch ohne Zählkenntnisse untereinander vergleichen kann. {{ inputbeispiel |Kinder/Sandkasten/Vergleichsidee/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Zählen von endlichen Mengen}} {{:Zählen/Endliche Mengen/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Ma:abb |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term=L|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term=M|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}} | |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{mathl|term=x \in L|SZ=}} heißt das Element {{ math/disp|term= F(x) \in M |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term=F|SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term=x|SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ mathkor|term1= {{ abb |name=F |L_1|M_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name=G |L_2|M_2 || |SZ= }} |SZ= }} sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle {{mathl|term=x \in L_1=L_2|SZ=}} die Gleichheit {{mathl|term=F(x)=G(x)|SZ=}} in {{mathl|term=M_1=M_2|SZ=}} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort|Funktionen|msw=Funktion|SZ=}} genannt. Der Abbildungsbegriff ist fundamental für die Mathematik, es gibt eine Vielzahl an verschiedenen Abbildungen und an Darstellungsmöglichkeiten von Abbildungen. Im jetzigen Kontext interessieren wir uns nur für Abbildungen zwischen endlichen Mengen, die stets durch eine vollständige Wertetabelle angegeben werden können. Für die Mengen {{ Ma:Vergleichskette/disp |L ||\{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||\{a,b,c,d,e,f,g\} || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{Wertetabelle8|text1={{math|term=x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|text2={{math|term=F(x)|SZ=}}|c|a|a|b|e|b|e|d|}} eine vollständige Wertetabelle. Aus ihr kann man unmittelbar den Wert {{math|term=F(3)|SZ=}} als {{math|term=a|SZ=}} ablesen. Es handelt sich aber offenbar nicht um eine korrekte Abzählung dieser Menge, da {{math|term=a|SZ=}} und {{math|term=e|SZ=}} mehrfach im Bild auftauchen {{ Zusatz/Klammer |text=mehrfach gezählt werden| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term=f|SZ=}} überhaupt nicht im Bild auftaucht {{ Zusatz/Klammer |text=übersehen wird| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die obigen Fehlerquellen (1) und (2) ausgeschlossen sind, so ist das {{ Zusatz/Klammer |text=versuchsweise| |ISZ=|ESZ= }} Abzählen einer Menge {{math|term=M|SZ=}} eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{Menge1n}} |M | i| \varphi(i) |SZ=. }} Jeder natürlichen Zahl {{math|term=i|SZ=}} wird also ein eindeutiges Element der Menge {{math|term=M|SZ=}} zugeordnet. Die beiden Fehlerquellen (3) und (4) sind durch den Abbildungsbegriff {{Betonung/Negation|nicht}} ausgeschlossen. Eine Abbildung {{math|term=F|SZ=}} kann für verschiedene Definitionsstellen, also beispielsweise Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |i |\neq|j || || || |SZ= }} den gleichen Wert, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(i) ||F(j) || || || |SZ= }} haben und sie muss nicht jedes Element der Menge {{math|term=M|SZ=}} erfassen. Es kann also Elemente {{mathl|term=m \in M|SZ=}} mit der Eigenschaft geben, dass für jedes {{math|term=i|SZ=}} aus dem Definitionsbereich stets {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(i) | \neq|m || || || |SZ= }} gilt. Diese beiden Fehlerquellen erfassen wir mit den folgenden Begriffen. {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputbild |Aplicación|svg|230px {{!}} left {{!}} |Text=Weder injektiv noch surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva sobreyectiva|svg|230px {{!}} left {{!}} |Text=Injektiv und surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación no inyectiva sobreyectiva|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Nicht injektiv, aber surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva no sobreyectiva|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Injektiv, nicht surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Diese Begriffe sind fundamental! Beispielsweise ist die Nachfolgerabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\N|\N |x|x' |SZ=, }} auf der Menge der natürlichen Zahlen wegen der oben angeführten Eigenschaft (4) injektiv, aber wegen der Eigenschaft (3) nicht surjektiv, da das Startelement nicht der Nachfolger einer Zahl ist. Die Frage, ob eine Abbildung {{math|term=F|SZ=}} diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung{{ Zusatz/Fußnote |text=Über Gleichungen und Variablen werden wir später ausführlicher sprechen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(x) ||y || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den beiden Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }}| |SZ= }} erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term=y \in M|SZ=}} mindestens eine Lösung {{mathl|term=x\in L|SZ=}} für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term=y \in M|SZ=}} maximal eine Lösung {{mathl|term=x \in L|SZ=}} für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term=y \in M|SZ=}} genau eine Lösung {{mathl|term=x \in L|SZ=}} für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden. Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} aus der Voraussetzung {{ Ma:Vergleichskette |F(x) ||F(x') || || || |SZ= }} erschließt, dass {{ Ma:Vergleichskette |x ||x' || || || |SZ= }} ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus {{mathl|term=x \neq x'|SZ=}} auf {{mathl|term=F(x) \neq F(x')|SZ=}} zu schließen. {{ inputbild |Appelbijektion1|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} Unser erstes Hauptanliegen ist es zu begründen, dass die natürliche Zahl {{math|term={{{n|n}}}|SZ=}} dabei eindeutig bestimmt ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass wenn {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{Menge1n|}} |M || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi | {{Menge1k|}} |M || |SZ= }} bijektive Abbildungen sind, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||k || || || |SZ= }} ist. Diese Zahl heißt die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die {{Stichwort|Kardinalität|SZ=}}| |SZ= }} der Menge. Sie wird mit {{mathl|term={{op:Anzahl|M}}|SZ=}} oder mit {{mathl|term={{op:Anzahl/Betrag|M}}|SZ=}} bezeichnet. Die bijektive Abbildung {{ Ma:abb/disp |name= |\{1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \}|M || |SZ= }} kann man eine {{Stichwort|Nummerierung|SZ=}} der Menge {{math|term=M|SZ=}} nennen. Eine Menge besitzt also {{math|term={{{n|n}}}|SZ=}} Elemente, wenn man sie mit den natürlichen Zahlen von {{math|term=1|SZ=}} bis {{math|term={{{n|n}}}|SZ=}} durchnummerieren kann. Zwei endliche Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=, }} für die es eine Bijektion {{ Ma:abb/disp |name= |M|N || |SZ= }} gibt, besitzen die gleiche Anzahl. Dies beruht einfach darauf, dass diese Bijektion verknüpft mit der bijektiven Nummerierung wieder eine Bijektion ist. Eine Menge, die nicht endlich ist, für die es also keine Bijektion mit {{mathl|term={{Menge1n}}|SZ=}} für irgendein {{math|term=n|SZ=}} gibt, heißt {{Stichwort|unendlich|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Mathematik/Zählen/Modellierung/Bemerkung|| }} {{Fußnotenliste}} }} euiznohce10xdtj26fnggbrgdtrl3fp 0 83065 782119 756007 2022-08-21T23:48:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |eigentliche Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nfie0pg1ielpsmcfrrogt0xn5tybbd0 0 83070 786220 759355 2022-08-22T10:49:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Es sei {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Wie kann man die Dimension des {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V/U|SZ=}} ausdrücken? |Kann man mit der Formel aus (1) die Dimension des Dachproduktes {{mathl|term= \bigwedge^n V =F/U|SZ=}} ausrechnen, wobei {{mathl|term= U \subseteq F|SZ=}} die in der Konstruktion des Dachproduktes verwendeten Vektorräume sind? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenräume |Kategorie2=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rzlgypgqrtyl6edb4jlj8hl7a1zv9fj 0 83072 785564 550360 2022-08-22T09:00:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Abstand zwischen dem Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|4|-9}} |SZ=}} und der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |6x-7y ||5 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kyjrw6m5tvyqrhn8i4nliiw0m1b6wwp 0 83098 785615 555637 2022-08-22T09:08:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= Q|SZ=}} das Quadrat im {{math|term= \R^2|SZ=}} mit den Eckpunkten {{mathl|term= (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis. |Bestimme{{n Sie}} zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis. |Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadrat |Punkte=5 |p1=2 |p2=2 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 52fuwzzuyrntvt96gewnax3eibetdsh 0 83145 778892 571860 2022-08-21T15:02:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir arbeiten über den natürlichen Zahlen und betrachten die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |3 + x || 8 || || || |SZ= }} mit der Unbestimmten {{math|term= x|SZ=.}} Gesucht ist also nach derjenigen Zahl, die zu {{math|term= 3|SZ=}} addiert die Zahl {{math|term= 8|SZ=}} ergibt. Diese Gleichung besitzt die einzige Lösung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||5 || || || |SZ=. }} Dies sind zwei Aussagen! Einerseits wird behauptet, dass {{math|term= 5|SZ=}} eine Lösung ist und andererseits, dass es außer der {{math|term= 5|SZ=}} keine weitere Lösung gibt. Das Erste kann man einfach durch Einsetzen und Nachrechnen überprüfen, es ist ja in der Tat {{ Ma:Vergleichskette/disp |3+5 ||8 || || || |SZ=. }} Dass es keine weitere Lösung gibt, ergibt sich einfach aus {{ Faktlink |Präwort=der|Abziehregel|Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Addition mit n/Als Verschiebung/Hilfseigenschaften/Fakt |Nr=5 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wenn {{math|term= y|SZ=}} eine weitere Lösung der Gleichung ist{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Hier ist {{math|term= y|SZ=}} also ein bestimmtes Element der Grundmenge, das die Gleichung erfüllt, keine neue Variable der Gleichung| |ISZ=.|ESZ=, }} so liegt die Gleichungskette {{ Ma:Vergleichskette/disp |3+5 ||8 ||3+y || || |SZ= }} vor, die Abziehregel sichert dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |5 ||y || || || |SZ=. }} Dieses Argument kann man auch dann durchführen, wenn man die eine Lösung {{math|term= 5|SZ=}} noch gar nicht kennt: Aus der Gleichung{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Dies ist keine neue Gleichung mit zwei Variablen, sondern eine Elementgleichung in {{math|term= \N|SZ=}}| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |3+x ||8 ||3+y || || |SZ= }} folgt eben {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||y || || || |SZ=. }} Betrachten wir allgemein eine Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Stichwort|additive Gleichung|SZ=}} oder {{Stichwort|Additionsgleichung|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |a+x ||b || || || |SZ= }} mit fixierten natürlichen Zahlen {{mathl|term= a,b \in \N|SZ=.}} Zwar sind hier {{math|term= a,b|SZ=}} ebenso wie {{math|term= x|SZ=}} Buchstaben, die für natürliche Zahlen stehen, doch ist die Funktion jeweils eine andere. Die Zahlen {{math|term= a,b|SZ=}} stellen jeweils fixierte natürliche Zahlen dar, die somit die Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text=als Parameter| |ISZ=|ESZ= }} festlegen, für die dann {{math|term= x|SZ=}} die zu bestimmende Unbekannte ist. Wenn also {{ Ma:Vergleichskette |a+x ||b || || || |SZ= }} vorliegt, so denke man {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} an die Menge aller Dreiertupel {{mathl|term= (a,b,x) \in \N^3|SZ=}} derart, dass die Gleichheit vorliegt {{ Zusatz/Klammer |text=was ebenfalls eine sinnvolle mathematische Aufgabe ist| |ISZ=|ESZ=, }} sondern an eine Gleichung in {{math|term= x|SZ=,}} die durch die Zahlen {{math|term= a,b|SZ=}} als Parameter bestimmt ist. Das Lösungsverhalten über {{math|term= \N|SZ=}} einer Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |a+x ||b || || || |SZ= }} hängt vom Größenverhältnis zwischen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} ab. Bei {{ Ma:Vergleichskette |a |>|b || || || |SZ= }} gibt es keine Lösung, da wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |a+x |\geq|a |>|b || || |SZ= }} die linke Seite stets {{ Zusatz/Klammer |text=für jedes {{mathlk|term=x \in \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} größer als die rechte Seite ist. Bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\leq |b || || || |SZ= }} hingegen gibt es wie im zuerst genannten Beispiel genau eine Lösung. Die Voraussetzung {{ Ma:Vergleichskette/disp |a |\leq|b || || || |SZ= }} bedeutet ja, dass man von {{math|term= a|SZ=}} aus durch sukzessives Nachfolgerbilden zu {{math|term= b|SZ=}} gelangt. Diese Definition ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} äquivalent dazu, dass es überhaupt ein {{mathl|term= x \in \N|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a+x ||b || || || |SZ= }} gibt. Die eindeutige Lösung ist dann gerade diejenige Zahl, die angibt, wie oft man den Nachfolger von {{math|term= a|SZ=}} nehmen muss, um zu {{math|term= b|SZ=}} zu gelangen. Also ist die Differenz{{ Zusatz/{{{zusatz3|}}} |text=Es ist typisch, dass Gleichungen zu neuen Begriffen führen| |ISZ=.|ESZ= }} {{math/disp|term=b-a|SZ=}} die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |a+x ||b || || || |SZ= }} bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\leq|b || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dfwsddeaog9scw62qkryi8ti0jntozc 0 83156 782457 572231 2022-08-22T00:45:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die übrigen Fälle für die Assoziativität der Addition in {{math|term= \Z|SZ=}} wie im Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Eigenschaften der Addition/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6z3ndax69h1rtkve7l3jb3gerhoo9x 0 83157 782459 471603 2022-08-22T00:45:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Assoziativität der Multiplikation in {{math|term= \Z|SZ=.}} Wie kann man die Anzahl der möglichen Fälle reduzieren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aatljrkh3nhxn3mvnuhrv71i3pzkc1g 0 83161 782438 481638 2022-08-22T00:41:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein hat einen Stand auf dem Flohmarkt. Sie verkauft ein altes Kleid für {{math|term= 8|SZ=}} Euro, trinkt einen Kaffee für {{math|term= 2|SZ=}} Euro, verkauft eine alte Schallplatte für {{math|term= 5|SZ=}} Euro, hat Hunger und holt sich eine Schlachtplatte für {{math|term= 7|SZ=}} Euro, verschenkt einen Aschenbecher und kauft sich beim Nachbarstand eine coole Bluse für {{math|term= 3|SZ=}} Euro. Wie sieht ihr finanzielles Gesamtergebnis vom Flohmarkttag aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1h1hhpqfakt36u25a40dz0ykudzdspy 0 83188 779766 485751 2022-08-21T17:19:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die rationalen Zahlen {{ math/disp|term= {{op:Bruch|11|7}} , {{op:Bruch|3|2}} , {{op:Bruch|8|5}} , 2 |SZ= }} miteinander vergleichen. Man kann alle diese Zahlen auf den gemeinsamen Nenner {{math|term= 70|SZ=}} bringen, wodurch man die Darstellungen {{ math/disp|term= {{op:Bruch|110|70}} , {{op:Bruch|105|70}} , {{op:Bruch| 112|70}} , {{op:Bruch|140|70}} |SZ= }} erhält, aus denen man an den Zählern unmittelbar die Größenverhältnisse ablesen kann. Man kann auch die Brüche paarweise gemäß der Definition vergleichen, wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 \cdot 11 ||22 |\geq |21 || 3 \cdot 7 || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|11|7}} | \geq | {{op:Bruch|3|2}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c4kdxlq6ws92hucmuljf46qcyzyidmg 0 83221 779765 604583 2022-08-21T17:19:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wenden {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette |q || {{op:Bruch|3|7}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |k ||9 || || || |SZ= }} an. Eine Rechnung des Taschenrechners mit menschlichen Korrekturen liefert {{ Ma:Vergleichskette/disp |0{,}428571428 |<| {{op:Bruch|3|7}} |<|0{,}428571429 || || |SZ=. }} Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also eine Approximation des wahren Bruches {{mathl|term= {{op:Bruch|3|7}} |SZ=}} mit einem Fehler, der kleiner als {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10^9}} |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s4d7fad8y0aaok0zl3bifx8uu3gkvvt 0 83237 779324 763428 2022-08-21T16:10:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die einelementige Menge {{ Ma:Vergleichskette |R ||\{0\} || || || |SZ= }} kann man zu einem {{ Definitionslink |kommutativen Halbring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} machen, indem man sowohl die Addition als auch die Multiplikation auf die einzig mögliche Weise erklärt, nämlich durch {{ mathkor|term1= 0+0=0 |und|term2= 0 \cdot 0=0 |SZ=. }} In diesem Fall ist {{ Ma:Vergleichskette |1 ||0 || || || |SZ=, }} dies ist also ausdrücklich erlaubt. Die Rechengesetze in einem Halbring sind hier trivialerweise erfüllt, da bei jeder zu erfüllenden Gleichung links und rechts sowieso immer {{math|term= 0|SZ=}} herauskommt. Diesen Halbring nennt man den {{Definitionswort/enp|Nullring|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Nullring |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dcqs7qi05jlk97g8cksj533wxjxpwgq 0 83239 779323 763426 2022-08-21T16:10:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir suchen nach einer {{ Definitionslink |Halbringstruktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge {{mathl|term= \{0,1\}|SZ=.}} Wenn {{math|term= 0|SZ=}} das neutrale Element einer Addition und {{math|term= 1|SZ=}} das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon viel festgelegt. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} muss {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 \cdot 0 || 0 || || || |SZ= }} gelten. Ferner legen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |1+1 ||0 || || || |SZ= }} fest. Die Verknüpfungstabellen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Operationstafeln| |ISZ=|ESZ= }} sehen somit wie folgt aus. {{:Restklassenringe (Z)/mod 2/Additionstafel}} und {{:Restklassenringe (Z)/mod 2/Multiplikationstafel}} Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen {{ Definitionslink |kommutativen Halbring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Sogar um einen {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} ein Begriff, den wir später einführen werden| |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 2 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3fjk2mnrn1w8oqqd5ct71qqnvj1rau5 0 83250 783262 756965 2022-08-22T02:59:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f , a_i, b_j \in R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Gleichungen: {{ math/disp|term= {{Polynomein Addition Formel|f}} |SZ= }} und {{ math/disp|term= {{Polynomein Multiplikation Formel|f}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Polynom |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0aeoseuzsmvjmuklozmxtnat9vv1639 0 83272 784766 470985 2022-08-22T06:57:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Aussage {{mathl|term= {{logprop||}} {{logoder|}} \neg {{logprop|}} |SZ=}} ist eine Tautologie. Ist somit die Frage {{Anführung|Gilt {{mathl|term= {{logprop||}} |SZ=}} oder {{mathl|term= \neg {{logprop|}}|SZ=?}}|}} unsinnig? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kfmf00yio04wg2pedkafpyf2lmtd55s 0 83276 779322 763424 2022-08-21T16:10:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir suchen nach einer {{ Definitionslink |Halbringstruktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der dreielementigen Menge {{mathl|term= \{0,1,u\}|SZ=.}} Wenn {{math|term= 0|SZ=}} das neutrale Element einer Addition und {{math|term= 1|SZ=}} das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon viel festgelegt. Wir legen die Verknüpfungen durch die Verknüpfungstabellen {{Verknüpfungstabelle3|Symbol=+|0|1|u|a1,1=0|a1,2=1|a1,3=u|a2,1=1|a2,2=1|a2,3=u|a3,1=u|a3,2=u|a3,3=u}} und {{Verknüpfungstabelle3|Symbol=\cdot|0|1|u|a1,1=0|a1,2=0|a1,3=u|a2,1=0|a2,2=1|a2,3=u|a3,1=u|a3,2=u|a3,3=u}} fest. Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen {{ Definitionslink |kommutativen Halbring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3wv29vmphbxuh36ylajo218pev6td56 0 83301 784535 476909 2022-08-22T06:24:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} in {{math|term= \N|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp |(n+k)' ||n' +k || || |SZ= }} durch Induktion über {{math|term= k|SZ=}} unter Verwendung der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |n+k' ||(n+k)' || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= x \mapsto x^\prime|SZ=}} die Nachfolgerabbildung bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qs3dvzq8k5k9uka4fimxw6rt8lc4umm 0 83325 783245 756946 2022-08-22T02:56:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 \cdot {{makl| 1+1 {{plusdots|}} 1 |}} ||0 || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=mit einer beliebig langen Summe von Einsen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4clts3uxvscjj1f1lbq2z5bbj3vp829 0 83329 778542 762472 2022-08-21T12:18:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da der Teiler {{math|term= 0|SZ=}} ausgeschlossen ist, sind bei einer Faktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette |n ||tc || || || |SZ= }} beide Faktoren {{math|term= \geq 1|SZ=.}} Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||tc |\geq|t \cdot 1 ||t || |SZ=. }} Der Zusatz ist klar, da es unterhalb von {{math|term= n|SZ=}} überhaupt nur endlich viele natürliche Zahlen gibt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} svfqel5anc4gunu5sj490x0ibgcv8p1 0 83331 778543 762473 2022-08-21T12:18:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung6 |Ist klar wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |a ||a \cdot 1 || || || |SZ=. }} |Ist klar wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 ||a \cdot 0 || || || |SZ=. }} |Die beiden Voraussetzungen bedeuten die Existenz von {{mathl|term= s,t \in \N|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |b ||as || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |c ||bt || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |c ||bt ||(as)t || a (st) || |SZ= }} und {{math|term= a|SZ=}} ist auch ein Teiler von {{math|term= c|SZ=.}} |Aus den Voraussetzungen {{ Ma:Vergleichskette | b ||as || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |d ||tc || || || |SZ= }} ergibt sich direkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |bd ||astc || ac ts || || |SZ=, }} also ist {{math|term= ac|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= bd|SZ=.}} |Aus der Voraussetzung {{ Ma:Vergleichskette | b ||as || || || |SZ= }} ergibt sich direkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |bc ||acs || || || |SZ=, }} also ist {{math|term= ac|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= bc|SZ=.}} |Aus den Voraussetzungen {{ Ma:Vergleichskette | b || a t || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |c || a u || || || |SZ= }} ergibt sich direkt mit dem Distributivgesetz {{ Ma:Vergleichskette/disp |rb+sc || rat +sau || a (rt+su) || || |SZ=, }} also ist {{math|term= a|SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term= rb+sc|SZ=.}} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nek9h0z6e4oz76ckkkqt0bazg4ggi8o 0 83346 784491 758067 2022-08-22T06:18:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Da man die natürlichen Zahlen zum Zählen von endlichen Mengen nimmt, es aber auch unendliche Mengen gibt, denkt sich Gabi Hochster, dass man die natürlichen Zahlen {{math|term= \N|SZ=}} um ein weiteres Symbol {{math|term= \infty|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=sprich unendlich| |ISZ=|ESZ= }} erweitern sollte. Diese neue Menge bezeichnet sie mit {{math|term= \N^\infty|SZ=.}} Sie möchte die Ordnungsstruktur, die Addition und die Multiplikation der natürlichen Zahlen auf ihre neue Menge ausdehnen, und zwar so, dass möglichst viele vertraute Rechengesetze erhalten bleiben. {{ Aufzählung8 |Wie legt Gabi die Ordnung fest? |Wie legt sie die Nachfolgerabbildung fest? Gelten die Peano-Axiome? |Wie legt sie die Addition fest? Sie möchte ja nur mit dem einzigen neuen Symbol {{math|term= \infty|SZ=}} arbeiten. |Gilt mit dieser Addition die Abziehregel? |Zuerst denkt sie an die Festlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 0 \cdot \infty ||1 || || || |SZ=, }} doch dann stellt sie fest, dass sich das mit dem Distributivgesetz beißt. Warum? |Gabi möchte nun, dass für die neue Menge die Eigenschaften aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nach wie vor gelten. Wie legt sie die Verknüpfungen fest? |Handelt es sich bei {{mathl|term= \N^\infty|SZ=}} mit den Festlegungen aus Teil (6) um einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Gilt die Kürzungsregel? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3lsr4ngy7jz4q672xafaqz9oj9gs1d3 0 83358 778974 490308 2022-08-21T15:15:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einer {{math|term= 49|SZ=-}}elementigen Menge gibt es genau {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Binom|49|6}} || {{op:Bruch|49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44|6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} || 13 983 816 || || |SZ= }} {{math|term= 6|SZ=-}}elementige Teilmengen. Es gibt also so viele mögliche Zahlenkombinationen beim Lotto {{Anführung|Sechs aus 49|SZ=.}} Der Kehrwert von dieser Zahl ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto sechs Richtige zu haben. Es werden dabei die Teilmengen gezählt, nicht die möglichen Ziehreihenfolgen. Die Anzahl der möglichen Ziehreihenfolgen ist {{ math/disp|term= 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 |SZ=, }} zu jeder sechselementigen Teilmenge gibt es {{mathl|term= 6!|SZ=}} mögliche Ziehreihenfolgen die auf diese Teilmenge führen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dajqubjsufxmdo9a0ul7c2ifazt0866 0 83362 781088 755151 2022-08-21T20:56:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= p|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Binomialkoeffizienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Binom|p|k}} |SZ=}} für alle {{mathl|term= k=1 {{kommadots|}} p-1|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilt| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primfaktorzerlegung von Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primzahl |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a4qd80cpnvu3b87ioes9omkz8vbg5ja 0 83367 784469 471507 2022-08-22T06:15:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Mustafa Müller wird {{math|term= 8|SZ=}} Jahre alt und darf deshalb zu seiner Geburtstagsfeier aus seiner Klasse, in der es insgesamt {{mathl|term= 25|SZ=}} Schüler und Schülerinnen gibt, {{math|term= 8|SZ=}} Leute einladen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8kqdrbwpvq52b8lfpnl0pv93lm70mqp 0 83371 779582 763652 2022-08-21T16:51:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten eine vollständige Liste von allen {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiven Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von der Menge {{mathl|term= \{1,2,3\}|SZ=}} in die Menge {{mathl|term= \{a,b,c\}|SZ=}} in der Form von Wertetabellen angeben. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | 3! || 3 \cdot 2 \cdot 1 || 6 || || |SZ= }} gibt es sechs solche Abbildungen. Es gibt keine natürliche Reihenfolge dieser Abbildungen, dennoch kann man hier mehr oder weniger systematisch vorgehen. Beispielsweise kann man den Wert an der Stelle {{math|term= 1|SZ=}} zuerst festlegen und dann die möglichen Kombinationen für {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 3 |SZ= }} durchgehen. Dies führt auf die folgenden Wertetabellen. {{Wertetabelle3|text1= {{math|term= x|SZ=}}|text2= {{math|term= \varphi_1 (x)|SZ=}} |1|2|3|a|b|c}} {{Wertetabelle3|text1= {{math|term= x|SZ=}}|text2= {{math|term= \varphi_2 (x)|SZ=}} |1|2|3|a|c|b}} {{Wertetabelle3|text1= {{math|term= x|SZ=}}|text2= {{math|term= \varphi_3 (x)|SZ=}} |1|2|3|b|a|c}} {{Wertetabelle3|text1= {{math|term= x|SZ=}}|text2= {{math|term= \varphi_4 (x)|SZ=}} |1|2|3|b|c|a}} {{Wertetabelle3|text1= {{math|term= x|SZ=}}|text2= {{math|term= \varphi_5 (x)|SZ=}} |1|2|3|c|a|b}} {{Wertetabelle3|text1= {{math|term= x|SZ=}}|text2= {{math|term= \varphi_6 (x)|SZ=}} |1|2|3|c|b|a}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2pvrxpmrel8w6wjxq547mtpk5gn7ilx 0 83392 779532 479673 2022-08-21T16:43:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die im Dezimalsystem gegebene Zahl {{mathl|term= 187|SZ=}} im Dreiersystem ausdrücken. Dazu müssen wir die größte Dreierpotenz finden, die unterhalb {{math|term= 187|SZ=}} liegt. Das ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |81 ||3^4 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=da {{ Ma:Vergleichskette | 243 || 3^5 || || || |SZ= }} zu groß ist| |ISZ=|ESZ=. }} Für diese Potenz müssen wir schauen, wie oft sie in {{math|term= 187|SZ=}} hineingeht. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 \cdot 81 ||162 |<| 187 || || |SZ= }} sind das zweimal. Wir wissen daher, dass die Entwicklung der Zahl im Dreiersystem {{mathl|term= 2 \cdot 3^4|SZ=}} beinhaltet, die Ziffer {{math|term= 2|SZ=}} steht somit als Anfangsziffer fest. Die weitere Ziffernentwicklung hängt jetzt nur von der Differenz {{ Ma:Vergleichskette/disp |187 -162 || 25 || || || |SZ= }} ab. Diese Zahl ist kleiner als {{ Ma:Vergleichskette/disp |27 ||3^3 || || || |SZ=, }} was bedeutet, dass die dritte Dreierpotenz {{Anführung|gar nicht}} und das heißt hier mit der Ziffer {{math|term= 0|SZ=}} vorkommt. Wir arbeiten dann mit {{math|term= 25|SZ=}} und mit der nächstkleineren Dreierpotenz weiter, also mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |9 ||3^2 || || || |SZ=. }} Diese hat wieder zweimal Platz in {{math|term= 25|SZ=,}} die Differenz ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |25 -18 ||7 || || || |SZ=. }} Die {{ Ma:Vergleichskette/disp |3 ||3^1 || || || |SZ= }} passt wieder zweimal rein, übrig bleibt {{math|term= 1|SZ=.}} Im Dreiersystem lautet also die Ziffernentwicklung {{ math/disp|term= 20221 |SZ=. }} Diese Ziffernfolge kann man sukzessive notieren {{ Zusatz/Klammer |text=Nullen nicht vergessen| |ISZ=|ESZ= }} oder aber in der Rechnung stets deutlich machen, auf welche Potenz sich der jeweilige Rechenschritt bezieht und dann zum Schluss daraus die Ziffernfolge ablesen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4w6kf15a2wkn64dj4ogmkvzc96m6n0e 0 83397 784528 479967 2022-08-22T06:23:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es für jede natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} nur endlich viele Basen {{math|term= g=2,3, \ldots|SZ=}} gibt, für die die Zifferndarstellung von {{math|term= n|SZ=}} nicht einstellig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bbeybt8d4hg62no0wuk42nwx1dmii2l 0 83404 780118 472246 2022-08-21T18:13:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen {{mathl|term= 329+475|SZ=}} berechnen und schreiben {{ math/disp|term= 329 |SZ= }} {{ math/disp|term= \underline{475} |SZ= }} Nach dem ersten Rechenschritt haben wir {{ math/disp|term= 329 |SZ= }} {{ math/disp|term= 475 |SZ= }} {{ math/disp|term= \underline{\,\,\, 1\,\,\, } |SZ= }} {{ math/disp|term= \,\,\,\,\, \, 4 |SZ=. }} Der Punkt im Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist, dass man die hintersten Ziffern der beiden Summanden vergessen kann, die volle Information ist in der Endziffer {{math|term= 4|SZ=}} und dem Übertrag {{math|term= 1|SZ=}} bewahrt, was sich dahingehend niederschlägt, dass {{ math/disp|term= 3 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 4 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 1 \cdot 10 + 4 |SZ= }} gleich der Ausgangssumme ist. Diese Eigenschaft weiß man unabhängig davon, dass diese Summe noch gar nicht explizit ausgerechnet wurde. Es spricht also einiges dafür, dass man im Additionsalgorithmus die abgearbeiteten oberen hinteren Ziffern wegstreicht {{ Zusatz/Klammer |text=für das Überprüfen der Rechnung ist das aber keine gute Idee| |ISZ=|ESZ=. }} Im nächsten Rechenschritt rechnet man {{ Ma:Vergleichskette/disp |2+7+1 ||10 || || || |SZ= }} und man gelangt zu {{ math/disp|term= 329 |SZ= }} {{ math/disp|term= 475 |SZ= }} {{ math/disp|term= \underline{1 \,\,\, \,\,\, } |SZ= }} {{ math/disp|term= \,\,\,0 4 |SZ=. }} Die Invarianz zeigt sich in der Summe {{ math/disp|term= 3 \cdot 100 + 4 \cdot 100 + 1 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 4 |SZ=. }} Im dritten Schritt rechnet man {{ Ma:Vergleichskette/disp | 3+4+1 || 8 || || || |SZ= }} und man gelangt zu {{ math/disp|term= 329 |SZ= }} {{ math/disp|term= \underline{475} |SZ= }} {{ math/disp|term= 8 0 4 |SZ=. }} Die oberen Summanden kann man jetzt vollständig vergessen, das Endergebnis steht unten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h88san072kotnqjofici1zjcnebo84c 0 83507 786493 472709 2022-08-22T11:34:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass beim schriftlichen Multiplizieren im Zehnersystem der Übertrag maximal gleich {{math|term= 8|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g6ww0ky6x7rsuf7f1nrc9seb33k0ts1 0 83508 778825 762729 2022-08-21T13:00:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die linke Faktor sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |m ||a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} || || || |SZ= }} und der rechte Faktor sei {{math|term= b_0|SZ=,}} wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form {{ math/disp|term= a_k \ldots a_2a_1a_0 \, \, \cdot \, \, b_0 |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Verfahren |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl {{mathl|term= c_{k+1}c_k \ldots c_2c_1c_0|SZ=.}} Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Dies zeigen wir durch das folgende Invarianzprinzip des Multiplikationsalgorithmus, dass nämlich nach dem {{math|term= i|SZ=-}}ten Schritt {{ Zusatz/Klammer |text={{ Ma:Vergleichskette/k |i ||-1,0,1 {{kommadots|}} k+1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} der Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks |P_i || {{makl| a_k 10^k {{plusdots}} a_{i+1} 10^{i+1} |}} \cdot b_0 + d_{i+1} 10^{i+1} + c_i 10^{i} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 || || || |SZ= }} konstant ist. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |m \cdot b_0 ||P_{-1} || || || |SZ= }} und da für {{ Ma:Vergleichskette/disp |i |>|k || || || |SZ= }} das Produkt vollständig abgebaut ist, folgt daraus, dass die {{math|term= c_i|SZ=}} die Ziffern des Produktes sind. Die Konstanz ergibt sich unter Verwendung von {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_i b_0 +d_i || d_{i+1} \cdot 10 + c_i || || || |SZ= }} aus {{ Zusatz/Klammer |text=das beschreibt den {{math|term= i|SZ=-}}ten Rechenschritt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |P_{i-1} || {{makl| a_k 10^k {{plusdots}} a_{i} 10^{i} |}} \cdot b_0 + d_{i} 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 || {{makl| a_k 10^k {{plusdots}} a_{i+1} 10^{i+1} |}} \cdot b_0 + a_{i} b_0 10^{i} + d_{i} 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 ||{{makl| a_k 10^k {{plusdots}} a_{i+1} 10^{i+1} |}} \cdot b_0 + {{makl| a_{i} b_0 + d_{i} |}} 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 ||{{makl| a_k 10^k {{plusdots}} a_{i+1} 10^{i+1} |}} \cdot b_0 + {{makl| d_{i+1} 10 +c_i |}} 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 ||{{makl| a_k 10^k {{plusdots}} a_{i+1} 10^{i+1} |}} \cdot b_0 + d_{i+1} 10^{i+1} +c_i 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 ||P_{i} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} smmmba60g25jrub82hpm62c9i0vd5t7 0 83510 778827 762731 2022-08-21T13:00:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die beiden Zahlen seien {{ mathkor/disp|term1= m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} |und|term2= n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 {{plusdots|}} b_{\ell}10^{\ell} |SZ=. }} Beim schriftlichen Multiplizieren berechnet man unabhängig voneinander {{ math/disp|term= a_k \ldots a_2a_1a_0 \, \, \cdot \, \, b_j |SZ= }} für {{mathl|term= j=0,1 {{kommadots|}} \ell|SZ=}} und notiert das Ergebnis so, dass die Einerziffer unterhalb von {{math|term= b_j|SZ=}} steht. So entstehen {{mathl|term= \ell+1|SZ=}} Zahlen, die versetzt übereinander stehen. Diese Zahlen werden nach hinten mit Nullen aufgefüllt {{ Zusatz/Klammer |text=wobei man dies nur gedanklich machen muss| |ISZ=|ESZ=. }} Die Summe dieser Zahlen im Sinne des schriftlichen Addierens ist das Endergebnis {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |m \cdot n || m \cdot {{makl| b_{\ell}10^{\ell} +b_{\ell -1} 10^{\ell -1} {{plusdots|}}b_2 10^2 + b_1 10+ b_0 }} || m \cdot b_\ell 10^{\ell} + m b_{\ell -1} \cdot 10^{\ell -1} {{plusdots|}} m \cdot b_2 10^2 +m \cdot b_1 10+ m \cdot b_0 || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} werden die {{mathl|term= m \cdot b_j|SZ=}} im schriftlichen Multiplizieren korrekt ausgerechnet. Dadurch, dass die Einzelergebnisse unterhalb von {{math|term= b_j|SZ=}} stehen und nach hinten mit Nullen aufgefüllt werden, stehen im Algorithmus wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Zehnerpotenz als Faktor/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Zahlen {{mathl|term= m \cdot b_j 10^{j} |SZ=}} korrekt übereinander, so dass das schriftliche Addieren nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das korrekte Ergebnis liefert. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5omb2y1jvq1l27gd6097grmswkdd49y 0 83519 778828 762733 2022-08-21T13:00:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ mathkor/disp|term1= m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} |und|term2= n= b_0+b_1 10+b_2 10^2 {{plusdots|}} b_{k}10^{k} |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |m |\geq|n || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass für jedes {{mathl|term= i=-1,0,1 {{kommadots|}} k |SZ=}} der Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks |S_i || a_k 10^{k} {{plusdots|}} a_{i+1} 10^{i+1} - d_{i+1}10^{i+1} + b_i 10^{i} {{plusdots|}} b_1 10 + b_0 + c_i 10^{i} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 || || || |SZ= }} konstant gleich {{math|term= m|SZ=}} ist. Für {{ Ma:Vergleichskette/disp |i ||-1 || || || |SZ= }} fehlen die {{math|term= b|SZ=-,}} die {{math|term= c|SZ=-}} und die {{math|term= d|SZ=-}}Ausdrücke, so dass dies richtig ist. Wir betrachten den Übergang von {{math|term= S_{i-1}|SZ=}} nach {{math|term= S_i|SZ=,}} was dem {{math|term= i|SZ=-}}ten Rechenschritt entspricht. Im Fall {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_i |\geq|b_i+d_i || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |d_{i+1} ||0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |a_i-d_i ||b_i+c_i || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks/teile |S_{i -1} ||a_k 10^{k} {{plusdots|}} a_{i} 10^{i} - d_{i}10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} b_1 10 + b_0 |3teil2 = + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 ||a_k 10^{k} {{plusdots|}} a_{i+1} 10^{i+1} + (b_i+c_i) 10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} b_1 10 + b_0|5teil2 = + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 ||a_k 10^{k} {{plusdots|}} a_{i+1} 10^{i+1} - d_{i+1}10^{i+1} + b_i 10^{i} {{plusdots|}} b_1 10 + b_0 |7teil2 = c_i 10^{i} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 ||S_i |SZ=. }} Im Fall {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_i |<|b_i+d_i || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |d_{i+1} || 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |a_i ||b_i+c_i+d_i-10 || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks/teile |S_{i -1} ||a_k 10^{k} {{plusdots|}} a_{i} 10^{i} - d_{i}10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} b_1 10 + b_0|3teil2 = + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 ||a_k 10^{k} {{plusdots|}} a_{i+1} 10^{i+1}+ {{makl| b_i+c_i+d_i -10 |}} 10^{i} - d_{i}10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} b_1 10 + b_0|5teil2 = + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 ||a_k 10^{k} {{plusdots|}} a_{i+1} 10^{i+1} -10 \cdot 10^{i} + b_i 10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} b_1 10 + b_0 + c_i 10^{i}|7teil2 = + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 ||a_k 10^{k} {{plusdots|}} a_{i+1} 10^{i+1} -d_{i+1} \cdot 10^{i+1} + b_i 10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} b_1 10 + b_0 |9teil2 = + c_i 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 ||S_i |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |i ||k || || || |SZ= }} sind die {{math|term= a|SZ=-}} und die {{math|term= d|SZ=-}}Ausdrücke vollständig abgebaut {{ Zusatz/Klammer |text={{ Ma:Vergleichskette/k |d_{k+1} ||0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} und es bleiben die vollständigen {{math|term= b|SZ=-}} und {{math|term= c|SZ=-}}Ausdrücke übrig. Damit ist gezeigt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |m || b_k 10^{k} {{plusdots|}} b_1 10 + b_0 + c_k 10^{k} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 ||n +c_k 10^{k} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 || || |SZ= }} ist und somit ist {{mathl|term= c_k 10^{k} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 |SZ=}} gleich der Differenz {{mathl|term= m-n|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m1509mswlwhlm1lphmayq0xjpjuqfbh 0 83550 779206 472386 2022-08-21T15:52:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x-3 ||10 || || || |SZ= }} kann man beidseitig die Addition {{math|term= +3|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die bijektiv ist| |ISZ=|ESZ= }} loslassen und erhält die umgeformte Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x-3+3 ||10+3 || || || |SZ=. }} Vereinfachungen führen auf die Lösung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||13 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lodxtqp4ewsw24ga849brk89k8cuzu5 0 83561 781821 502044 2022-08-21T22:59:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für beliebige natürliche Zahlen {{math|term= x \geq 1|SZ=}} und {{math|term= n|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^{n}-1 ||(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3} {{plusdots|}} x^2 + x +1) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Terme |Kategorie2=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eudiyfhq06xinjr4evi6d7qz146tdrt 0 83567 786494 472591 2022-08-22T11:34:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gibt es ein Verfahren zum schriftlichen Potenzieren, das die Dezimalentwicklung von {{mathl|term= n^k|SZ=}} berechnet, wenn die natürlichen Zahlen {{mathl|term= n,k|SZ=}} in ihrer Dezimalentwicklung gegeben sind? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie2=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o8v7zh2z4zbcwi3kx2p12sze48lh1d9 0 83578 779928 472756 2022-08-21T17:44:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der monatlich zu zahlende Strompreis hängt unmittelbar vom Verbrauch ab. Es gibt einen Grundpreis für die Kilowattstunde, sagen wir {{math|term= 20|SZ=}} Cent, und dieser Grundpreis wird mit dem Verbrauch {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir im Monat| |ISZ=|ESZ= }} multipliziert und ergibt dann den Gesamtstrompreis. Wenn man {{mathl|term= 1000|SZ=}} Kilowattstunden verbraucht hat, so muss man {{ Ma:Vergleichskette/disp |1000 \cdot 20 \, \rm{Cent} || 20 000 \, \rm{Cent} || 200 \, \rm {Euro} || || |SZ= }} zahlen, wenn man nur die Hälfte, also {{mathl|term= 500|SZ=}} Kilowattstunden verbraucht hat, so muss man auch nur die Hälfte zahlen, gemäß {{ Ma:Vergleichskette/disp | 500 \cdot 20 \, \rm{Cent} || 10 000 \, \rm{Cent} || 100 \, \rm{Euro} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dwtjtsq1ofamszxhjq185amiy14sitg 0 83581 779189 484155 2022-08-21T15:49:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Fahrradfahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von {{math|term= 15|SZ=}} Stundenkilometer durch die Gegend. Nach Definition von Stundenkilometer legt er also in der Stunde {{math|term= 15|SZ=}} Kilometer zurück. In zwei Stunden legt er somit {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 \cdot 15 || 30 || || || |SZ= }} Kilometer zurück, in drei Stunden {{math|term= 45|SZ=}} Kilometer, in vier Stunden {{math|term= 60|SZ=}} Kilometer. Man kann natürlich auch überlegen, wie viele Kilometer er in kleineren Zeitabschnitten zurücklegt. Beispielsweise legt er in einer halben Stunde {{mathl|term= 7,5|SZ=}} Kilometer{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=In dieser Darstellung ist das bereits eine rationale Zahl, was wir ja erst einführen wollen. In Metern gerechnet steht hier einfach {{math|term= 7500|SZ=}}| |ISZ=.|ESZ= }} zurück, in {{math|term= 20|SZ=}} Minuten {{math|term= 5|SZ=}} Kilometer und so weiter. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ckl917zonygxe5pd1y450go5jnds00c 0 83582 779691 575457 2022-08-21T17:08:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Tag besteht bekanntlich aus {{math|term= 24|SZ=}} Stunden, eine Stunde aus {{math|term= 60|SZ=}} Minuten, eine Minute aus {{math|term= 60|SZ=}} Sekunden. Manchmal möchte man, beispielsweise, um verschiedene Angaben besser miteinander vergleichen zu können, eine Angabe in einer Einheit in eine andere Einheit umrechnen. Für die Umrechnung einer Zeitangabe in Stunden in eine Zeitangabe in Minuten muss man einfach die Stundenanzahl mit {{math|term= 60|SZ=}} multiplizieren. Es liegt also die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |y ||60 x || || || |SZ= }} vor, wobei {{math|term= x|SZ=}} die Zeit in Stunden und {{math|term= y|SZ=}} die gleiche Zeit in Minuten angibt. Diesen Sachverhalt kann man sich auch durch eine Wertetabelle sichtbar machen. {{Wertetabelle5|text1=Stunden|text2=Minuten|1|2|3|4|5|60|120|180|240|300}} Die Beziehung zwischen der Zeit in Tagen und in Stunden wird durch die Formel {{ Ma:Vergleichskette/disp |y ||24x || || || |SZ= }} ausgedrückt, wobei jetzt {{math|term= x|SZ=}} die Anzahl der Tage und {{math|term= y|SZ=}} die Anzahl der Stunden ist. {{Wertetabelle5|text1=Tage|text2=Stunden|1|2|3|4|5|24|48|72|96|120}} Wenn man die beiden Umrechnungen als unabhängig voneinander betrachtet, so ist es unproblematisch, hier wieder mit den Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} zu arbeiten, es handelt sich dann um einen neuen Kontext. Wenn man allerdings gleichzeitig mit Tagen, Stunden und Minuten arbeiten möchte, so ist es sehr gefährlich, mit {{math|term= x|SZ=}} einmal die Stunden und einmal die Tage und mit {{math|term= y|SZ=}} einmal die Minuten und einmal die Stunden zu bezeichnen, und die Stunden einmal mit {{math|term= x|SZ=}} und einmal mit {{math|term= y|SZ=}} zu bezeichnen. Um dies zu vermeiden, schreibt man die zweite Formel mit neuen Variablen beispielsweise als {{ Ma:Vergleichskette/disp |v ||24z || || || |SZ=. }} Häufig sind auch suggestive Variablensymbole hilfreich. Wenn man {{math|term= t|SZ=}} für Tage, {{math|term= s|SZ=}} für Stunden und {{math|term= m|SZ=}} für Minuten nimmt, so schreiben sich die Umrechnungsformeln als {{ Ma:Vergleichskette/disp | s || 60 m || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | t ||24 s || || || |SZ=. }} Solche Bezeichnungsphilosophien sollte man aber auch nicht überstrapazieren, wenn man noch Sekunden mitberücksichtigen möchte, ist das {{math|term= s|SZ=}} wegen Stunden schon besetzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owpywjonupjnzo8ewbz6l12yot4p7yv 0 83584 779690 472760 2022-08-21T17:08:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Häufig unterscheiden sich physikalische Einheiten um eine Zehnerpotenz. So gibt es Meter, Zentimeter, Millimeter, Kilometer oder Tonne, Kilogramm, Gramm, Milligramm {{ Zusatz/Klammer |text=Zentner| |ISZ=|ESZ=. }} In diesem Fall ist die Umrechnungsformel besonders einfach, beispielsweise gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | y || 100 x || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= x|SZ=}} die Strecke in Meter und {{math|term= y|SZ=}} die Strecke in Zentimeter ist. Bei der rechnerischen Durchführung muss man dann nur eine gewisse Anzahl an Nullen anhängen oder weglassen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t2fkiaretn6ezeusx24u1zinsdog5a5 0 83598 779524 484160 2022-08-21T16:42:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Aufgabe: Mustafa Müller fährt mit seinem Fahrrad zu seiner Oma, die sechs Kilometer entfernt lebt, er braucht dazu eine halbe Stunde. Wie viele Minuten braucht er zu seinem Freund Heinz Ngolo, der einen Kilometer von ihm entfernt wohnt. Das ist Typ (4) vom Dreisatz mit der zusätzlichen Schwierigkeit, dass die Zeitangaben sich auf unterschiedliche Einheiten, nämlich Stunden und Minuten beziehen. Man kann beispielsweise seine Fahrgeschwindigkeit ausrechnen, es ergibt sich, da er in einer halben Stunde sechs Kilometer zurücklegt, dass er in einer Stunde zwölf Kilometer zurücklegt. Er fährt also zwölf Stundenkilometer, der Proportionalitätsfaktor {{ Zusatz/Klammer |text=nach dem nicht gefragt wurde| |ISZ=|ESZ= }} ist also {{math|term= 12|SZ=.}} Wir fragen uns nun nach der Zeit, die er benötigt, um einen Kilometer zurückzulegen. Da er für {{math|term= 12|SZ=}} Kilometer {{math|term= 60|SZ=}} Minuten braucht, benötigt er für einen Kilometer den zwölften Anteil einer Stunde, also {{math|term= 60/12=5|SZ=}} Minuten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Personenkategorie2=Heinz Ngolo |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6inm1w6vhf4lotwnzc9fti8nzr4ewb5 0 83599 784170 505001 2022-08-22T05:31:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bauer Ernst erntet {{math|term= 100|SZ=}} Kilogramm Wassermelonen, die zu {{math|term= 99|SZ=}} Prozent aus Wasser bestehen. Er lässt sie eine Woche lang in der Sonne liegen, wodurch sie etwas austrocknen und sich ihr Wasseranteil auf {{math|term= 98|SZ=}} Prozent reduziert, die festen Bestandteile ändern sich nicht. Wie viel wiegen die Melonen jetzt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Bauer Ernst |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Link=[[w:Kartoffelparadoxon]] |Bearbeitungsstand= }} i3rlzz5jwaymgganbdl6o3qp8re8dkr 0 83600 782857 472020 2022-08-22T01:51:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Huhn legt pro Tag ein Ei. {{ Aufzählung3 |Wie viele Eier legt ein Huhn in einer Woche? |Wie viele Eier legen {{math|term= 12|SZ=}} Hühner an einem Tag? |Wie viele Eier legen {{math|term= 8|SZ=}} Hühner in {{math|term= 7|SZ=}} Tagen? Ist dies eine Dreisatzaufgabe? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n3heg28dkm5s6riqxkmc8nd6vbl1iu3 0 83607 781099 755158 2022-08-21T20:58:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b \in R|SZ=}} Elemente in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die Formel für die vierte Potenz, {{ Ma:Vergleichskette/disp |(a+b)^4 || a^4 +4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 || || || |SZ= }} auf die beiden folgenden Arten. {{ Aufzählung2 |Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{makl| a+b |}} \cdot {{makl| a+b |}}^3 |SZ=. }} |Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{makl| a+b |}}^2 \cdot {{makl| a+b |}}^2 |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6850pvuypbdrkuwa6h8i13t9g6zoj0a 0 83608 783258 756961 2022-08-22T02:58:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c,d \in R|SZ=}} Elemente in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= (ab+2d) \cdot (a^2 +4bc) \cdot (3bd+ac) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ihp19l734d039cfryijrqe64dl55el8 0 83609 783259 756962 2022-08-22T02:58:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c \in R|SZ=}} Elemente in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= (2ac+b^2) \cdot (a +5bc) \cdot (2a+3bc) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mlwtfp4bu4cuzx6vim1f6k1a35u26bx 0 83610 783260 756963 2022-08-22T02:59:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b \in R|SZ=}} Elemente in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= (a+b) \cdot (a +2b) \cdot (a+3b) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cbrlqqy3jkjqn20a17724ilsof8prfk 0 83611 783249 756949 2022-08-22T02:57:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c \in R|SZ=}} Elemente in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= (a+b+c)^2 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0r9bz9t8jzmwfcu8ot0b84p4dxtwzt9 0 83612 782467 472064 2022-08-22T00:46:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für ganze Zahlen {{mathl|term= a,b,c \in \Z|SZ=}} genau dann das {{Anführung|umgekehrte Distributivgesetz}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |a+ (b \cdot c) || (a+b) \cdot (a+c) || || || |SZ= }} gilt, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |a ||0 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette/disp |a+b+c ||1 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bsqsxj8i3fbylj9n929j88p2h4jwhsg 0 83620 784610 773559 2022-08-22T06:34:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir führen nun die Addition und die Multiplikation von natürlichen Zahlen ein. Dabei müssen wir uns kurz klar machen, um was für ein Objekt es sich überhaupt handelt. Bei der Addition {{ Zusatz/Klammer |text=der Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} wird zwei{{ Zusatz/Fußnote |text=Es ist hier auch erlaubt, dass die beiden Zahlen gleich sind. Dann könnte man sich an dem Wort zwei stören, da ja dann nur eine Zahl vorliegt. In einem solchen Zusammenhang sind die Zahlangaben so zu verstehen, dass sie zählen, wie oft eine Zahl aufgerufen wird| |ISZ=.|ESZ= }} natürlichen Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} eine neue Zahl, ihre Summe {{mathl|term= a+b|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ihr Produkt {{mathlk|term=a\cdot b|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zugeordnet. Weiter ober haben wir schon aus zwei Mengen ihre Vereinigung bzw. ihren Durchschnitt gebildet. Für diese Situationen gibt es das Konzept der Verknüpfung. Um dies angemessen formulieren zu können, benötigen wir die Produktmenge. {{ inputdefinition |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} Die Elemente der Produktmenge nennt man {{Stichwort|Paare|msw=Paar|SZ=}} und schreibt {{mathl|term= (x,y)|SZ=.}} Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten {{Stichwort|Komponenten|msw=Komponente|SZ=}} ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponenten ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind. Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Vornamen und Nachnamen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Reelle Intervalle und Rechtecke/Beispiel|| }} Man kann auch mehrfache Produktmengen bilden, wie etwa {{ Ma:Vergleichskette |\R^ 3 ||\R \times \R \times \R || || || |SZ=. }} Für eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} ist der Graph diejenige Teilmenge von {{ Ma:Vergleichskette |\R \times \R |\cong| \R^ 2 || || || |SZ=, }} die durch alle Paare der Form {{mathl|term= (x,f(x))|SZ=}} gegeben sind. Diese Definition überträgt sich auf beliebige Abbildungen. Es existiert also stets ein Graph unabhängig von seiner zeichnerischen Realisierbarkeit. {{ inputdefinition |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} {{ inputdefinition |Verknüpfung/Definition|| }} Statt Verknüpfung sagt man auch {{Stichwort|Operation|SZ=.}} Das Verknüpfungszeichen {{math|term= \circ|SZ=}} ist hier einigermaßen willkürlich gewählt, um vorschnelle Assoziationen zu vermeiden. In vielen konkreten Situation steht hier {{ mathkor|term1= + |oder|term2= \cdot |SZ=. }} Das {{Anführung|neue}} Element {{mathl|term= x \circ y|SZ=}} heißt dann auch das {{Stichwort|Ergebnis|SZ=}} der Operation. Da das Ergebnis wieder zur Ausgangsmenge {{math|term= M|SZ=}} gehört, kann man es weiter verknüpfen mit weiteren Elementen. Dies erfordert im Allgemeinen Klammerungen, um zu wissen, in welcher Reihenfolge welche Elemente miteinander verknüpft werden sollen. Im Allgemeinen ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |a \circ (b \circ c) |\neq| (a \circ b) \circ c || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Verknüpfung/Assoziativ/Definition|| }} Man sagt auch, dass für die Verknüpfung das {{Stichwort|Assoziativgesetz|SZ=}} oder die {{Stichwort|Klammerregel|SZ=}} gilt. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Kommutativ/Definition|| }} Man sagt auch, dass für die Verknüpfung das {{Stichwort|Kommutativgesetz|SZ=}} oder das {{Stichwort|Vertauschungsgesetz|SZ=}} gilt. Die Addition und die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen sind beide assoziativ und kommutativ. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Neutrales Element/Definition|| }} Bei der Addition auf den natürlichen Zahlen ist {{math|term= 0|SZ=}} das neutrale Element und bei der Multiplikation auf den natürlichen Zahlen ist {{math|term= 1|SZ=}} das neutrale Element. Deshalb ist es in der abstrakten Formulierung sinnvoll, eine unbelastete Bezeichnung zu wählen. Wenn die Verknüpfung kommutativ ist, so muss man die Eigenschaft des neutralen Elementes nur von einer Seite überprüfen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nwrqya9jpjlnzidn6to0p3y20wcnh8w 0 83629 781461 755471 2022-08-21T21:59:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= x \in M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{ mathkor|term1= M \setminus \{x\} |und|term2= N \cup \{ x\} |SZ= }} disjunkt sind und dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |M \cup N || {{makl| M \setminus \{x\} |}} \cup {{makl| N \cup \{ x\} |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hjt51l9s9iwjyq1vj4xf5g41ryyj3ku 0 83636 779945 763834 2022-08-21T17:46:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die positiven natürlichen Zahlen {{math|term= \N_+|SZ=}} zusammen mit der Teilbarkeitsbeziehung. Dies ergibt eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \N_+|SZ=.}} Die Teilbarkeitsrelation ist in der Tat reflexiv, da stets {{mathl|term= n{{|}}n|SZ=}} ist, wie {{ Ma:Vergleichskette |m ||1 || || || |SZ= }} zeigt. Die Transitivität wurde in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gezeigt. Die Antisymmetrie folgt so: Aus {{ mathkor|term1= n=ak |und|term2= k=bn |SZ= }} folgt {{ Ma:Vergleichskette |n ||(ab)n || || || |SZ=. }} Da wir uns auf positive natürliche Zahlen beschränken, folgt {{ Faktlink |Präwort=mit der|Kürzungsregel|Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |ab ||1 || || || |SZ= }} und daraus wegen {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\leq| ab || || || |SZ= }} auch {{ Ma:Vergleichskette |a ||b ||1 || || |SZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette |k ||n || || || |SZ=. }} Einfache Beispiele wie {{mathkon|2|und|3|SZ=}} zeigen, dass hier keine {{ Definitionslink |Prämath= |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt, da weder {{math|term= 2|SZ=}} von {{math|term= 3|SZ=}} noch umgekehrt geteilt wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Teiler |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mvaj9wg62xwlbdhxormhi5kes8b7vca 0 83646 778973 490310 2022-08-21T15:15:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In der vierelementigen Menge {{mathl|term= \{a,b,c,d\}|SZ=}} gibt es {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Binom|4|2}} || {{op:Bruch|4 \cdot 3|2 \cdot 1}} || 6 || || |SZ= }} zweielementige Teilmengen. Diese sind {{ math/disp|term= \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\},\{b,c\}, \{b,d\},\{c,d\} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} db79i6w23hibfphzxrat85hrigyj72l 0 83664 786483 666357 2022-08-22T11:32:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ist für das schriftliche Addieren das Kommutativgesetz klar, ist es klar, dass {{math|term= 0|SZ=}} das neutrale Element ist, ist es klar, dass das Assoziativgesetz gilt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 47u8rxu04x30wm4fupdd358jlt57jd4 0 83666 786484 666360 2022-08-22T11:33:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gabi Hochster sitzt in der Schule neben Heinz Ngolo. Sie üben schriftliches Addieren und rechnen {{mathl|term= 725+638|SZ=.}} Gabi ist fertig und Heinz hat gerade die hinterste Ziffer zusammengerechnet und den Übertrag notiert. Da kritzelt Gabi auf Heinzens Heft rum und radiert die Ziffern {{ mathkor|term1= 5 |und|term2= 8 |SZ= }} weg. Gabi sagt: {{Anführung|Die brauchst du nicht mehr, konzentrier dich auf die anderen Ziffern, dann geht es schneller und wir können endlich weiter Schiffe versenken spielen|SZ=.}} Darauf sagt Heinz: {{Anführung|Lass mich in Ruhe, kleine Klugscheißerin, außerdem brauch ich die Ziffern doch, nämlich zur Probe|SZ=.}} Darauf Gabi: {{Anführung|Wer beim Rechnen eine Probe braucht, sollte zurück in den Kindergarten|SZ=.}} Wir beurteilen Sie die Lage mathematisch und didaktisch? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Personenkategorie2=Heinz Ngolo |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} asl6qznp0mmcq1k6gp3es9grx4ztwux 0 83670 784588 572236 2022-08-22T06:31:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Soll man eine negative Zahl stets mit einem Minuszeichen als {{math|term= -x|SZ=}} schreiben? Oder darf man eine negative Zahl auch mit {{math|term= x|SZ=}} bezeichnen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Negation auf den ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gnlxtgy6ps4bwqtvymgrdghql1cron1 0 83674 784589 472280 2022-08-22T06:31:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was kommt heraus, wenn man {{math|term= -7|SZ=}} {{Anführung|positiv nimmt}} oder von {{math|term= -7|SZ=}} {{Anführung|das Positive nimmt|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7zy54i8fal8wcklikny6inad9yxs0ht 0 83678 782464 472287 2022-08-22T00:46:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es liegen zwei ganze Zahlen {{ mathkor|term1= m |und|term2= n |SZ= }} im Dezimalsystem vor. Lässt sich die letzte Ziffer der Summe {{mathl|term= m+n|SZ=}} allein aus den beiden letzten Ziffern der beiden Zahlen bestimmen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für ganze Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cnqxpsccqyosqpon3zcjh87dd7f82z0 0 83689 780152 772727 2022-08-21T18:18:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Domen-indukto|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text=Eine Visualisierung des Induktionsprinzips. Wenn die Steine nah beieinander stehen und der erste umgestoßen wird, so fallen alle Steine um. |Autor=Joachim Mohr |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die folgende Aussage und ihr Beweis begründen das Beweisprinzip der {{Stichwort|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=.}} Wir schreiben {{mathl|term= n+1|SZ=}} für den Nachfolger. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz|| }} Der Nachweis von {{ Zusatz/Klammer |text=der Gültigkeit von| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= A(0)|SZ=}} heißt dabei der {{Stichwort|Induktionsanfang|SZ=}} und der Schluss von {{mathl|term= A(n)|SZ=}} auf {{mathl|term= A(n+1)|SZ=}} heißt der {{Stichwort|Induktionsschluss|SZ=}} oder {{Stichwort|Induktionsschritt|SZ=.}} Innerhalb des Induktionsschlusses nennt man die Gültigkeit von {{mathl|term= A(n)|SZ=}} auch die {{Stichwort|Induktionsvoraussetzung|SZ=.}} In manchen Situationen ist die Aussage {{mathl|term= A(n)|SZ=}} erst für {{mathl|term= n \geq n_0|SZ=}} für ein gewisses {{math|term= n_0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=definiert oder| |ISZ=|ESZ= }} wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage {{mathl|term= A(n_0)|SZ=}} und den Induktionsschritt führt man für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} durch. Um dieses Beweisprinzip anhand von substantiellem Material demonstrieren zu können, greifen wir etwas vor und setzen die Addition, die Multiplikation und die Größergleichrelation von natürlichen Zahlen voraus. Das folgende Standardbeispiel für einen Induktionsbeweis verwendet das {{Stichwort|Summenzeichen|SZ=.}} Für gegebene {{ Zusatz/Klammer |text=natürliche, reelle| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ=. }} Dabei hängen typischerweise die {{math|term= a_k|SZ={{{zusatz1|}}}|}} in einer formelhaften Weise von {{math|term= k|SZ=}} ab. Entsprechend ist das {{Stichwort|Produktzeichen}} definiert, nämlich durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \prod_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 \cdot a_2 {{cdots|}} a_{n-1} \cdot a_n || || || |SZ=. }} {{ inputaufgabelösung |Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe|| }} Aussagen, die durch Induktion bewiesen werden können, können manchmal auch auf andere Art bewiesen werden. Im vorstehenden Beispiel gibt es die elegantere und einsichtigere Lösung, die Zahlen einmal aufsteigend und einmal absteigend untereinander hinzuschreiben, also {{ math/disp|term= 1 \, \,\, \, \, \, \, \,\, \, \, \, 2\, \, \, \,\, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \,3 \, \, \, \, \ldots \, \, \, \, n-2 \, \, \, \, n-1\, \, \, \, n |SZ= }} {{ math/disp|term= n\, \, \, \, \, n-1 \, \, \, \, \, \, n-2 \, \,\, \, \ldots \, \,\, \, 3\, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2\, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, 1 |SZ= }} Spaltenweise ergibt sich {{mathl|term= n+1|SZ=,}} und diese Summe kommt {{math|term= n|SZ=-}}mal vor. Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 {{makl| \sum_{i{{=}} 1}^n i |}} || n {{makl| n+1 |}} || || || |SZ=. }} {{ inputaufgabelösung |Induktion/6^(n+2)+7^(2n+1) teilbar durch 43/Aufgabe|| }} Aus dem Induktionsprinzip folgt die nächste wichtige Eigenschaft. Vom intuitiven Standpunkt her ist sie selbstverständlich, wir führen sie aber trotzdem auf das Induktionsprinzip zurück. Es geht in diesem Beweis weniger dadrum, sich über die Satzaussage zu vergewissern, sondern vielmehr Einblicke in mathematisches Argumentieren zu gewinnen. Es ist auch ein Beispiel dafür, wie man eine Aussage über Teilmengen zu einer Aussage über natürliche Zahlen macht, um das Induktionsprinzip anwenden zu können.{{{zusatz2|}}} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lwcrpq7y91exnxbg60ndu2fi529g6yr 0 83690 779769 500495 2022-08-21T17:19:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In der Musik entsprechen die Töne den Schwingungen bzw. Frequenzen. In einer Tonleiter bestehen zwischen den verschiedenen Tönen gewisse erlaubte, wohlklingende Verhältnisse. Die Bezeichnungen dafür orientieren sich an der Reihenfolge in einer Tonleiter. Eine Oktave entspricht dem Frequenzverhältnis {{mathl|term= 2:1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der {{Anführung|gleiche|SZ=,}} aber höhere Ton| |ISZ=|ESZ=, }} eine Quinte entspricht beispielsweise dem Frequenzverhältnis {{mathl|term= 3:2|SZ=.}} Als Beispiel geben wir die Verhältnisse in {{math|term= C|SZ=-}}Dur, das Verhältnis bezieht sich immer auf den Grundton {{math|term= C|SZ=.}} Die Verhältnisse und die relativen Namen wie Große Sekunde sind in jeder Dur-Tonart gleich, die Buchstabenbezeichnungen und die anzuschlagenden Tasten ändern sich{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Für die gleichstufige Stimmung des Klaviers, bei der irrationale Schwingungsverhältnisse auftreten, siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Gleichstufige Stimmung/Zwölfte Wurzel/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} | |ISZ=|ESZ=. }} {{Tabelleleitachtxdrei|ls0=|lz1= Verhältnis |lz2= Verhältnisname |lz3= Ton in C-Dur |ls1=|a1,1={{op:Bruch|1|1}} |a1,2= \text{Prime} |a1,3= C | |ls2=|a2,1= {{op:Bruch|9|8}} |a2,2= \text{Große Sekunde} |a2,3= D | |ls3=|a3,1= {{op:Bruch|5|4}} |a3,2= \text{Große Terz} |a3,3= E | |ls4=|a4,1={{op:Bruch|4|3}} |a4,2= \text{Quarte}|a4,3= F | |ls5=|a5,1= {{op:Bruch|3|2}} |a5,2= \text{Quinte} |a5,3= G | |ls6=|a6,1={{op:Bruch|5|3}} |a6,2= \text{Große Sexte} |a6,3= A | |ls7=|a7,1={{op:Bruch|15|8}} |a7,2=\text{Große Septime} |a7,3= H | |ls8=|a8,1= {{op:Bruch|2|1}} |a8,2=\text{Oktave} |a8,3= C | }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d99ttc8qwg052do97batv9po2u1grqj 0 83691 782181 479876 2022-08-21T23:59:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{ Aufzählung4 | {{mathl|term= ((((2!)!)!)!)!|SZ=,}} | {{mathl|term= (3!)!|SZ=,}} | {{mathl|term= (3!)^2|SZ=,}} | {{mathl|term= (3^2)!|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e86bl8gaxdfve628vk7dk4sstat21ju 0 83695 781324 755354 2022-08-21T21:36:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine positive natürliche Zahl genau dann von {{math|term= 10^k|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |geteilt| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird, wenn sie in der Dezimaldarstellung mit mindestens {{math|term= k|SZ=}} Nullen endet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tj12w7r6a2aabem8zftsjt94slulebh 0 83697 784569 758093 2022-08-22T06:28:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |natürliche Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq|b || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |a ||b || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette | a |\geq| b+1 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ub5n94s6uyz7ewutmdwgnq5vnjym5l 0 83724 783125 472589 2022-08-22T02:36:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} das {{Anführung|kleine Einshocheins|SZ=.}} Kann man das allgemeine Potenzieren {{mathl|term= n^k|SZ=}} darauf irgendwie zurückführen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iemx6msq62ism4me4lotsmtv3n38otp 0 83729 782465 756280 2022-08-22T00:46:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Unter welchen Bedingungen gilt für {{ Definitionslink |Prämath= |ganze Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= a_1,a_2 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| \sum_{i{{=}}1}^n a_i|}} || \sum_{i{{=}}1}^n {{op:Betrag| a_i|}} || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7jufigvp6ocij8cfi3k9qrucdvxenqm 0 83730 782431 756259 2022-08-22T00:40:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften für den {{ Definitionslink |Betrag| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ganzer Zahlen. {{ Aufzählung6 | {{math|term= {{op:Betrag|x}} \geq 0|SZ=.}} | {{math|term= {{op:Betrag|x}} = 0|SZ=}} genau dann, wenn {{math|term= x=0|SZ=}} ist. |{{math|term= {{op:Betrag|x}} ={{op:Betrag|y}} |SZ=}} genau dann, wenn {{math|term= x= y|SZ=}} oder {{math|term= x=-y|SZ=}} ist. | {{math|term= {{op:Betrag|y-x}} ={{op:Betrag|x-y}} |SZ=.}} | {{math|term= {{op:Betrag| xy}} = {{op:Betrag| x}} {{op:Betrag| y}} |SZ=.}} |Es ist {{math|term= {{op:Betrag|x+y|}} \leq {{op:Betrag|x}} + {{op:Betrag|y}}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Dreiecksungleichung für den Betrag|SZ=}}| |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Betrag |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ed83ugl85r8bzb2pqp8plt6g55h7jix 0 83731 782471 482030 2022-08-22T00:47:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien zwei Haufen {{ mathkor|term1= H |und|term2= G |SZ= }} an {{ Zusatz/Klammer |text=hinreichend vielen| |ISZ=|ESZ= }} Äpfeln gegeben. Es werden der Reihe nach {{math|term= 7|SZ=}} Äpfel von {{math|term= H|SZ=}} nach {{math|term= G|SZ=,}} {{math|term= 13|SZ=}} Äpfel von {{math|term= G|SZ=}} nach {{math|term= H|SZ=,}} dann {{math|term= 10|SZ=}} Äpfel von {{math|term= G|SZ=}} nach {{math|term= H|SZ=}} und schließlich {{math|term= 9|SZ=}} Äpfel von {{math|term= H|SZ=}} nach {{math|term= G|SZ=}} transportiert. Wie viele Äpfel werden insgesamt und in welche Richtung transportiert? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h5mcoijojiu1fp26ccgm2dlxadtm4s4 0 83753 783290 756992 2022-08-22T03:04:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Multiplikation mit {{math|term= -1|SZ=,}} also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |R|R |g| -g |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t2rl01dthk0sayt2sxnv8s62h103cra 0 83758 782451 756272 2022-08-22T00:44:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Multiplikation mit {{math|term= -1|SZ=}} auf den {{ Definitionslink |Prämath= |ganzen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z| \Z |g| -g |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oys6yy5rex2lap3nav6vqfl8chodlbi 0 83760 782463 472499 2022-08-22T00:46:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine Verknüpfungstabelle für die Multiplikation der ganzen Zahlen, wobei aber nur die drei Symbole {{mathl|term= 0,p,n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für positiv und negativ| |ISZ=|ESZ= }} vorkommen sollen. Ist eine solche Verknüpfungstabelle wohldefiniert und sinnvoll? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, besitzt sie ein neutrales Element? Ist eine entsprechende Verknüpfungstabelle für die Addition sinnvoll? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} if7xdxk4wzzu7hjgnca3bc8zs5g2dp1 0 83773 784585 476892 2022-08-22T06:31:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= N|SZ=}} ein Modell für die natürlichen Zahlen und es sei {{math|term= W|SZ=}} die Menge der Wochentage mit dem Montag als Starttag und dem Nachfolgetag als Nachfolgerabbildung. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass der Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine wohldefinierte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |N|W || |SZ= }} festlegt, die {{math|term= 0|SZ=}} auf Montag abbildet und die Nachfolgerabbildung respektiert. Ist diese Abbildung surjektiv, ist sie injektiv? Wenn nicht, an welcher Stelle bricht der Beweis zusammen? |Zeige{{n Sie}}, dass der Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} keine wohldefinierte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |W|N || |SZ= }} festlegt, die die Nachfolgerabbildung respektiert und den Montag auf {{math|term= 0|SZ=}} abbildet. An welcher Stelle bricht der Beweis zusammen? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8w43tou8jy7l9jgbmjcxjybyiom89el 0 83779 780658 564357 2022-08-21T19:45:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der Alleinherrscher {{math|term= X|SZ=}} herrscht mit großer Willkür und möchte im Alltag des Volkes präsent sein. Deshalb schafft er das übliche Zählen ab und ersetzt es durch die Namen seiner Söhne gemäß der Geburtsreihenfolge. Es soll also hinfort {{ Zusatz/Klammer |text=nach der Null| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ math/disp|term= \text{ Peter }, \text{ Heinz }, \text{ Ulrich } , \text{ Albrecht }, \text{ Karl} |SZ= }} gezählt werden, danach soll es mit Überpeter, Überheinz, ... , Überkarl, Überüberpeter, ..., Überüberkarl, Überüberüberpeter, ... weitergehen. Ist dies ein mathematisch sinnvolles Zählen? Benenne{{n Sie}} die Dezimalzahl {{mathl|term= 27|SZ=}} in diesem Sohnsystem. Welche Dezimalzahl verbirgt sich hinter Überüberüberüberüberüber{{latextrenn}}überalbrecht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eaplk3ppajlrb9p9y12cyh5jmhnaugt 0 83803 782133 563812 2022-08-21T23:51:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei vorausgesetzt, dass man einen konkreten Eurobetrag {{math|term= w|SZ=}} mit {{math|term= k|SZ=}} Eurozahlen begleichen kann. Zeige{{n Sie}}, dass man dann den Eurobetrag {{mathl|term= w+1|SZ=}} mit {{mathl|term= k+1|SZ=}} Eurozahlen begleichen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r3y9lewukr7su46e74x9ikprc78fq8q 0 83816 786496 570837 2022-08-22T11:35:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Korrektheit des schriftlichen Subtrahierens durch den Nachweis, dass beim schriftlichen Subtrahieren {{mathl|term= m-n|SZ=}} und {{mathl|term= (m-1) - (n-1)|SZ=}} das gleiche Ergebnis liefern. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Subtraktion der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1om0woyvn0rfs0qb6vt5istdsy3gjmn 0 83831 784795 758255 2022-08-22T07:01:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= a,b|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |natürliche Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |a^2 +b^2 |\geq| 2ab || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 850ke5ldk0dzx4at88rryuveom2gc34 0 83844 778757 563662 2022-08-21T12:50:04Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Man kann aus verschiedenen Aussagen neue Aussagen bilden. Aus der Aussage {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen}} kann man die {{Stichwort|negierte Aussage|SZ=}} {{Beispielsatz|Ich fresse {{Betonung|nicht|}} einen Besen{{ Zusatz/Fußnote |text=Die sicherste Art, zur {{Stichwort|Negation|SZ=}} zu kommen, ist eine Konstruktion wie {{Anführung|es ist nicht der Fall, dass ...|}} zu verwenden. Dies ist insbesondere beim anderen Beispielsatz zu bedenken, die Aussage {{Anführung|Marsmenschen sind nicht grün}} kann man so verstehen, dass alle Marsmenschen nicht-grün sind, oder, dass eben nicht alle Marsmenschen grün sind, es also Ausnahmen gibt. Siehe auch den Abschnitt über Quantoren weiter unten| |ISZ=. }} }} machen, und aus den beiden Aussagen {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün}} und {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen}} kann man beispielsweise die folgenden neuen Aussagen basteln. {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün {{Betonung|und}} ich fresse einen Besen}} {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün {{Betonung|oder}} ich fresse keinen Besen}} {{Beispielsatz|{{Betonung|Wenn}} Marsmenschen grün sind, {{Betonung|dann}} fresse ich einen Besen}} {{Beispielsatz|Wenn nicht gilt, dass Marsmenschen grün sind, dann fresse ich einen Besen}} {{Beispielsatz|Wenn Marsmenschen grün sind, dann fresse ich keinen Besen}} {{Beispielsatz|Wenn nicht gilt, dass Marsmenschen grün sind, dann fresse ich keinen Besen}} {{Beispielsatz|Marsmenschen sind {{Betonung|genau dann}} grün, {{Betonung|wenn}} ich einen Besen fresse}} Hierbei werden die einzelnen Aussagen für sich genommen nicht verändert {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf gewisse grammatische Anpassungen| |SZ=, }} sondern lediglich in einen logischen Zusammenhang zueinander gebracht. Eine solche logische Verknüpfung ist dadurch gekennzeichnet, dass sich ihr Wahrheitsgehalt allein aus den Wahrheitsgehalten der beteiligten Aussagen und der Bedeutung der {{Stichwort/-|grammatischen Konjunktionen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aussagenlogisch spricht man von {{Stichwort|Junktoren|msw=Junktor|SZ=}}| |SZ= }} ergibt und keine weitere Information dafür erforderlich ist. Die Aussage {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün und ich fresse keinen Besen}} ist beispielsweise genau dann wahr, wenn sowohl Marsmenschen grün sind und ich keinen Besen fresse. Das ist jedenfalls die Bedeutung der logischen {{Stichwort/anf|und|SZ=-}}Verknüpfung. Eine inhaltliche Beziehung zwischen den beiden Teilaussagen ist nicht nötig. Betrachten wir zum Vergleich eine Aussage wie {{Beispielsatz|Die grünen Marsmenschen fressen Besen}} Hier entsteht eine völlig neue Aussage, die lediglich einzelne Vokabeln oder Prädikate der vorgegebenen Aussagen verwendet, ihr Wahrheitsgehalt lässt sich aber keineswegs aus den Wahrheitsgehalten der vorgegebenen Aussagen erschließen. Eine logische Verknüpfung von Aussagen liegt vor, wenn sich der Wahrheitsgehalt der Gesamtaussage aus den Wahrheitsgehalten der Teilaussagen ergibt. Die beteiligten Verknüpfungen legen dabei fest, wie sich die Wahrheitswerte der Gesamtaussage bestimmen lassen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hq04pbmfez7trjoos427g86z0ftyzyh 0 83845 778767 772688 2022-08-21T12:51:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Um sich die Abhängigkeiten von zusammengesetzten Aussagen allein von den einzelnen Wahrheitsgehalten der beteiligten Teilaussagen und den Junktoren, nicht aber von den konkreten Aussagen und ihren Bedeutungen klarer zu machen, ist es sinnvoll, mit {{Stichwort|Aussagenvariablen|msw=Aussagenvariable|SZ=}} zu arbeiten und die Junktoren durch Symbole zu repräsentieren. Für Aussagen schreiben wir jetzt {{ math/disp|term= p,q, \ldots |SZ=, }} und wir interessieren und also nicht für den Gehalt von {{math|term= p|SZ=,}} sondern lediglich für die möglichen Wahrheitswerte {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Belegungen|msw=Belegung|SZ=}} | |SZ= }} von {{math|term= p|SZ=,}} die wir mit {{math|term= w|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= wahr| |SZ= }} oder {{math|term= f|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falsch| |SZ= }} bezeichnen {{ Zusatz/Klammer |text=gelegentlich verwendet man auch die Wahrheitswerte {{ mathkor/k|term1= 1 |und|term2= 0 |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Bei der {{Stichwort|Negation|SZ=}} werden einfach die Wahrheitswerte vertauscht, was man mit einer einfachen {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} ausdrückt: {{Wahrheitstabelle/1|Negation|\neg p |f|w}} Bei einer konkreten Aussage gibt es in der Regel mehrere sprachliche Möglichkeiten, die Negation zu formulieren. Um die Aussage {{Anführung|ich fresse einen Besen}} zu negieren, ist es egal, ob man sagt: {{Beispielsatz|Ich fresse nicht einen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ich fresse keinen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es ist nicht der Fall, dass ich einen Besen fresse|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es trifft nicht zu, dass ich einen Besen fresse|SZ=.}} Die Negation wirkt auf eine einzelne Aussage, man spricht von einem {{Stichwort|einstelligen Operator|msw=Einstelliger Operator|SZ=.}} Kommen wir nun zu {{Stichwort|mehrstelligen Operatoren|msw=Mehrstelliger Operator|SZ=,}} die von mindestens zwei Aussagen abhängen. Bei der Verknüpfung von zwei Aussagen gibt es insgesamt vier mögliche Kombinationen der Wahrheitswerte, so dass jede logische Verknüpfung dadurch festgelegt ist, wie sie diesen vier Kombinationen einen Wahrheitswert zuordnet. Daher gibt es insgesamt {{math|term= 16|SZ=}} logische Verknüpfungen, die wichtigsten sind die folgenden vier. Die {{Stichwort|Konjunktion|SZ=}} ist die {{Stichwort|Und-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind; sie ist also falsch, sobald nur eine der beteiligten Aussagen falsch ist. Die {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} der Konjunktion sieht so aus. {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion|p {{logund|}} q|w|f|f|f}} Die {{Stichwort|Disjunktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Alternation|SZ=}}| |SZ= }} ist die einschließende {{Stichwort|Oder-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist wahr sobald mindestens eine der Teilaussagen wahr ist, und insbesondere auch dann wahr, wenn beide Aussagen zugleich wahr sind. Sie ist nur in dem einzigen Fall falsch, dass beide Teilaussagen falsch sind. Offensichtlich sind bei einer Konjunktion und einer Disjunktion die beteiligten Teilaussagen gleichberechtigt. {{Wahrheitstabelle/2/1|Disjunktion|p {{logoder|}} q |w|w|w|f}} Die {{Stichwort|Implikation|SZ=}} ist die in der Mathematik wichtigste Verknüpfung. Mathematische Sätze haben fast immer die Gestalt einer {{ Zusatz/Klammer |text=verschachtelten| |SZ= }} Implikation. Der logische Gehalt einer Implikation ist, dass aus der Gültigkeit einer {{Stichwort|Voraussetzung|SZ=}} die Gültigkeit einer {{Stichwort|Konklusion|SZ=}} folgt{{ Zusatz/Fußnote |text=Genauer gesagt haben mathematische Sätze fast immer die Gestalt {{math|term= p_1 {{logund|}} p_2 {{logunddots|}} p_n \rightarrow q |SZ=.}}| |ESZ=. }} Sie wird meistens durch {{Anführung|Wenn {{math|term= p|SZ=}} wahr ist, dann ist auch {{math|term= q|SZ=}} wahr}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder kurz: Wenn {{math|term= p|SZ=,}} dann {{math|term= q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ausgedrückt. Ihre Wahrheitsbedingung ist daher, dass wenn {{math|term= p|SZ=}} mit wahr belegt ist, dann muss auch {{math|term= q|SZ=}} mit wahr belegt sein. Dies ist erfüllt, wenn {{math|term= p|SZ=}} falsch ist oder wenn {{math|term= q|SZ=}} wahr ist{{ Zusatz/Fußnote |text=An die Wahrheitsbelegung einer Implikation für den Fall, wo der Vordersatz falsch ist, muss man sich etwas gewöhnen. Der Punkt ist, dass wenn man eine Implikation {{math|term= p \rightarrow q|SZ=}} beweist, dass man dann {{math|term= p|SZ=}} als wahr annimmt und davon ausgehend zeigen muss, dass auch {{math|term= q|SZ=}} wahr ist. Der Fall, dass {{math|term= p|SZ=}} falsch ist, kommt also in einem Implikationsbeweis gar nicht explizit vor. In diesem Fall gilt die Implikation, obwohl sie keine {{Anführung|Schlusskraft}} besitzt. Nehmen wir als Beispiel die mathematische Aussage, dass wenn eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} durch vier teilbar ist, sie dann gerade ist. Dies ist eine wahre Aussage für alle natürlichen Zahlen, sie gilt insbesondere auch für alle Zahlen, die {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} durch vier teilbar sind. Es gibt auch jeweils für alle drei Wahrheitsbelegungen, die eine Implikation wahr machen, Beispiele von natürlichen Zahlen, die genau diese Wahrheitsbelegung repräsentieren, nicht aber für die vierte| |ISZ=. |ESZ=. }} Ihre Wahrheitstabelle ist daher {{Wahrheitstabelle/2/1|Implikation|p \rightarrow q|w|f|w|w}} Bei einer Implikation sind die beiden beteiligten Teilaussagen nicht gleichberechtigt, die Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} sind verschiedene Aussagen. Eine Implikation hat also eine {{Stichwort/anf|Richtung|SZ=}}{{ Zusatz/Fußnote |text=Bei einer Implikation {{math|term= p \rightarrow q|SZ=}} sagt man auch, dass {{math|term= p|SZ=}} eine {{Stichwort|hinreichende Bedingung|SZ=}} für {{math|term= q|SZ=}} und dass {{math|term= q|SZ=}} eine {{Stichwort|notwendige Bedingung|SZ=}} für {{math|term= p|SZ=}} ist. Siehe dazu auch die Wahrheitstabelle zur Kontraposition weiter unten.| |ESZ=. }} Im allgemeinen Gebrauch und auch in der Mathematik werden Implikationen zumeist dann verwendet, wenn der Vordersatz der {{Anführung|Grund|}} für die Konklusion ist, wenn die Implikation also einen kausalen Zusammenhang ausdrückt. Diese Interpretation spielt aber im aussagenlogischen Kontext keine Rolle. Wenn die beiden Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} zugleich gelten, so wird das durch {{Anführung|genau dann ist {{math|term= p|SZ=}} wahr, wenn {{math|term= q|SZ=}} wahr ist}} ausgedrückt. Man spricht von einer {{Stichwort|Äquivalenz|SZ=}} der beiden Aussagen, die Wahrheitstabelle ist {{Wahrheitstabelle/2/1|Äquivalenz|p \leftrightarrow q|w|f|f|w}} Beispiele für eine mathematische Äquivalenzaussage sind: {{Beispielsatz|Eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} ist genau dann gerade, wenn sie im Zehnersystem auf {{mathl|term= 0,2,4,6|SZ=}} oder {{math|term= 8|SZ=}} endet|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn es eine Seite gibt, deren Quadrat gleich der Summe der beiden anderen Seitenquadrate ist|SZ=.}} Die Hinrichtung im zweiten Beispielsatz ist dabei der Satz des Pythagoras, die Rückrichtung gilt aber auch. Achtung: In gewissen Kontexten werden Äquivalenzen als Implikationen formuliert. Dies gilt beispielsweise für Belohnungen, Bestrafungen und auch in mathematische Definitionen. Wenn man sagt: {{Anführung|wenn du nicht durch {{math|term= 0|SZ=}} teilst, bekommst du ein Gummibärchen|SZ=,}} so meint man in aller Regel, dass man auch nur dann eines bekommt, aber nicht, wenn man durch {{math|term= 0|SZ=}} teilt. Mathematische Definitionen wie {{Anführung|eine Zahl heißt gerade, wenn sie ein Vielfaches der {{math|term= 2|SZ=}} ist|SZ=,}} sind als genau dann, wenn zu verstehen. Unter Verwendung der Negation kann man jede logische Verknüpfung durch die angeführten Verknüpfungen ausdrücken, wobei man noch nicht mal alle braucht. Z.B. kann man die Konjunktion {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Implikation und die Äquivalenz| |SZ= }} auf die Disjunktion zurückführen, die Wahrheitstabelle{{ Zusatz/Fußnote |text=Im Folgenden verwenden wir, um Klammern zu sparen, die Konvention, dass die Negation stärker bindet als alle mehrstelligen Junktoren, und dass die Konjunktion stärker bindet als die anderen zweistelligen Junktoren.| |SZ= }} {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion als Disjunktion|\neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |w|f|f|f}} zeigt nämlich, dass die Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= \neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q)|SZ=}} mit der Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= p {{logund|}} q|SZ=}} übereinstimmt. Daher sind die beiden Ausdrücke logisch gleichwertig. Bei einem solchen nur leicht verschachtelten Ausdruck kann man die Wahrheitswerte noch einfach berechnen und damit die Wahrheitsgleichheit mit der Konjunktion feststellen. Bei komplizierteren {{ Zusatz/Klammer |text=tiefer verschachtelten| |SZ= }} Ausdrücken ist es sinnvoll, abhängig von den Belegungen der beteiligten Aussagenvariablen die Wahrheitswerte der Zwischenausdrücke zu berechnen. Im angegebenen Beispiel würde dies zur Tabelle {{Wahrheitstabelle/2/4|Konjunktion als Disjunktion|\neg p | f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg p {{logoder|}} \neg q |f|w|w|w| \neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |w|f|f|f}} führen. Natürlich kann man statt zwei auch beliebig viele Aussagenvariablen verwenden und daraus mit den Verknüpfungen neue Aussagen konstruieren. Die Wahrheitsbelegung der zusammengesetzten Aussagen lassen sich dann ebenfalls in entsprechend größeren Wahrheitstabellen darstellen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} t33at325aq6e8is1vwvy0t2iom809v0 0 83846 778746 772685 2022-08-21T12:48:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Bei Einzelaussagen und zusammengesetzten Aussagen ist jeder Wahrheitswert erlaubt, und die Wahrheitswerte bei den verknüpften Aussagen ergeben sich aus den Einzelbelegungen über die Wahrheitsregeln, die die Junktoren auszeichnen. Abhängig von den Belegungen können somit alle Aussagen wahr oder falsch sein. Besonders interessant sind aber solche Aussagen, die unabhängig von den Einzelbelegungen stets wahr sind. Solche Aussagen nennt man {{Stichwort|Tautologien|msw=Tautologie|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|allgemeingültig|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Sie sind für die Mathematik vor allem deshalb wichtig, weil sie erlaubten Schlussweisen entsprechen, wie sie in Beweisen häufig vorkommen. Wenn man beispielsweise schon die beiden Aussagen {{ mathkor|term1= p |und|term2= p \rightarrow q |SZ= }} bewiesen hat, wobei hier {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} für konkrete Aussagen stehen, so kann man daraus auf die Gültigkeit von {{math|term= q|SZ=}} schließen. Die zugrunde liegende aussagenlogische Tautologie ist {{ math/disp|term= (p {{logund}} ( p \rightarrow q)) \rightarrow q |SZ=. }} Wie gesagt, eine Tautologie ist durch den konstanten Wahrheitswert wahr gekennzeichnet. Der Nachweis, dass eine gegebene Aussage eine Tautologie ist, verläuft am einfachsten über eine Wahrheitstabelle. {{Wahrheitstabelle/2/3|{{Stichwort|Ableitungsregel|SZ=}}&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Modus ponens|SZ=}}| |SZ= }}| p \rightarrow q | w|f|w|w|p {{logund}} ( p \rightarrow q) |w|f|f|f| (p {{logund}} ( p \rightarrow q)) \rightarrow q | w|w|w|w}} {{Wahrheitstabelle/1/3|Doppelnegation| \neg p |f|w | \neg (\neg p) |w|f| p \leftrightarrow \neg ( \neg p) | w|w}} {{Wahrheitstabelle/1/2|Tertium non datur| \neg p |f|w | p {{logoder|}} \neg p |w|w|}} Die Regel {{Stichwort|Tertium non datur|SZ=}} geht auf Aristoteles zurück und besagt, dass eine Aussage {{ Zusatz/Klammer |text=entweder| |SZ= }} wahr oder falsch ist und es keine dritte Möglichkeit gibt. Die obige Regel drückt formal gesehen nur aus, dass mindestens ein Wahrheitswert gelten muss, die Regel davor sagt, dass {{math|term= p|SZ=}} wahr zugleich {{math|term= \neg p|SZ=}} wahr ausschließt, was man auch den {{Stichwort|Satz vom Widerspruch|SZ=}} nennt {{ Zusatz/Klammer |text=zusammenfassend spricht man auch vom {{Stichwort|Bivalenzprinzip|SZ=}} | |SZ=. }} Die Gültigkeit dieser Regeln ist bei vielen umgangssprachlichen Aussagen fragwürdig, im Rahmen der Aussagenlogik und der Mathematik haben sie aber uneingeschränkt Gültigkeit, was wiederum damit zusammenhängt, dass in diesen Gebieten nur solche Aussagen erlaubt sind, denen ein eindeutiger Wahrheitswert zukommt. Als Beweisprinzip schlägt sich dieses logische Prinzip als {{Stichwort|Beweis durch Fallunterscheidung|SZ=}} nieder, wobei die folgende Tautologie dieses Beweisprinzip noch deutlicher ausdrückt. {{Wahrheitstabelle/2/5|Fallunterscheidung| p \rightarrow q | w|f|w|w| \neg p |f|f|w|w| \neg p \rightarrow q | w|w|w|f |((p \rightarrow q) {{logund}} ( \neg p \rightarrow q)) | w|f|w|f | ((p \rightarrow q) {{logund}} ( \neg p \rightarrow q)) \rightarrow q | w|w|w|w }} Bei der Fallunterscheidung will man {{math|term= q|SZ=}} beweisen, und man beweist es dann einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 1| |SZ= }} unter der zusätzlichen Annahme {{math|term= p|SZ=}} und andererseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 2| |SZ= }} unter der zusätzlichen Annahme {{math|term= \neg p|SZ=.}} Man muss dabei zweimal was machen, der Vorteil ist aber, dass die zusätzlichen Annahmen zusätzliche Methoden und Techniken erlauben. Die {{Stichwort|Kontraposition|SZ=}} wird häufig in Beweisen verwendet, ohne dass dies immer explizit gemacht wird. In einem Beweis nimmt man einen pragmatischen Standpunkt ein, und manchmal ist es einfacher, von {{math|term= \neg q|SZ=}} nach {{math|term= \neg p|SZ=}} zu gelangen als von {{math|term= p|SZ=}} nach {{math|term= q|SZ=.}} {{Wahrheitstabelle/2/5|Kontraposition| p \rightarrow q | w|f|w|w| \neg p |f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg q \rightarrow \neg p | w|f|w|w | (p \rightarrow q) \leftrightarrow ( \neg q \rightarrow \neg p) | w|w|w|w }} Die {{Stichwort|Widerspruchsregel|SZ=}} ist auch ein häufiges Argumentationsmuster. Man zeigt, dass aus einer Aussage {{math|term= p|SZ=}} ein Widerspruch, oft von der Form {{mathl|term= q {{logund|}} \neg q |SZ=,}} folgt, und schließt daraus, dass {{math|term= p|SZ=}} nicht gelten kann, also {{math|term= \neg p|SZ=}} gelten muss. {{Wahrheitstabelle/2/5|Widerspruchsregel| p \rightarrow q | w|f|w|w| p \rightarrow \neg q |f|w|w|w| (p \rightarrow q) {{logund|}} (p \rightarrow \neg q) | f|f|w|w | \neg p |f|f|w|w| (p \rightarrow q) {{logund|}} (p \rightarrow \neg q) \rightarrow \neg p | w|w|w|w }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jlf53dzu7a2tv2924ggdtuxoyi19ldl 0 83868 785273 472971 2022-08-22T08:12:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |a^b ||b^a || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |a ||b || || || |SZ= }} ist oder wenn {{ Ma:Vergleichskette |a ||2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |b ||4 || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=oder umgekehrt| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ljmn28r21xnonxqzxqebcplc1v20lq 0 83912 781131 473027 2022-08-21T21:03:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einem Mikroliter menschlichen Blutes befinden sich ca. {{mathl|term= 5 000 000|SZ=}} [[w:Erythrozyten|Erythrozyten]]. Wie viele Erythrozyten befinden sich in einem Kubikkilometer Blut? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j8t7lzo5otdo4we8p1elsc86nf1c256 0 83916 782894 473040 2022-08-22T01:58:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Implikation {{mathl|term= p \rightarrow q|SZ=}} sei bereits bewiesen. Die Aussage {{math|term= p'|SZ=}} hört sich ähnlich an wie die Aussage {{math|term= p|SZ=.}} Kann man daraus die Implikation {{mathl|term= p' \rightarrow q|SZ=}} beweisen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Alltagslogik |Kategorie2=Aussagenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iiy0cztb2gpmwrq30shxpz0mwd9e80q 0 84051 785190 758535 2022-08-22T08:00:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X]|SZ=,}} wobei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei, die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Assoziiertheit| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Gibt es in den Assoziiertheitsklassen besonders schöne Vertreter? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Assoziiertheit (kommutative Ringe) |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s9gupr5rhw8mzqxw7a4rhocxd9r0qkl 0 84056 784695 473319 2022-08-22T06:47:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Aus der Schule ist bekannt, dass man nicht durch {{math|term= 0|SZ=}} dividieren darf. Warum eigentlich nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sd321aelp3c0n1f27o3xt4zd7qqyu1j 0 84066 784519 476540 2022-08-22T06:22:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Geldfälscher stellt {{math|term= 4|SZ=-,}} {{math|term= 9|SZ=-}} und {{math|term= 11|SZ=-}}Euro-Scheine her. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht {{ Zusatz/Klammer |text=exakt| |ISZ=|ESZ= }} begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann? |Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann? |Beschreibe{{n Sie}} explizit die Menge {{math|term= M|SZ=}} der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen begleichen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0pcao67g4kgznn2sg48ee0um4oul40g 0 84067 784516 473376 2022-08-22T06:21:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Geldfälscher stellt {{math|term= 3|SZ=-}} und {{math|term= 7|SZ=-}}Euro-Scheine her. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht {{ Zusatz/Klammer |text=exakt| |ISZ=|ESZ= }} begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann? |Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann? |Beschreibe{{n Sie}} die Menge {{math|term= M|SZ=}} der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen begleichen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2=Theorie der rekursiv definierten Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 143beuizc0f04cd7vc4zapugq1ifept 0 84074 784481 563808 2022-08-22T06:16:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf den quadratischen Inseln, die wegen der annähernd quadratischen Gestalt der Inseln so heißen, sind die Nennwerte der Münzen und Geldscheine die Quadratzahlen {{mathl|term= 1,4,9,16, \ldots|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} für {{ Ma:Vergleichskette |w |\leq| 20 || || || |SZ= }} die minimale{{ Zusatz/Klammer |text=n| |ISZ=|ESZ= }} Darstellung{{ Zusatz/Klammer |text=en| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= w|SZ=.}} |Ist die minimale Darstellung für alle {{ Zusatz/Klammer |text=!| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= w|SZ=}} eindeutig? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie3=Theorie der Quadratzahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ub6byfthgnjak2lci5jlxc5knlgy5n 0 84076 782519 563818 2022-08-22T00:55:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf Riggatong gibt es {{math|term= k|SZ=}} Münzen mit den Werten {{mathl|term= 1,2,3 {{kommadots|}} k-1,k |SZ=.}} Ist die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig? Ist die Darstellung, die so viele {{math|term= k|SZ=-}}Münzen wie möglich verwendet und den Rest mit einer der anderen Münzen auffüllt, minimal? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tppl3ho5glf9tuupv8d6mx0ss5qj41x 0 84080 784493 473427 2022-08-22T06:18:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und seien {{math|term= n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=verschiedene| |ISZ=|ESZ= }} natürliche Zahlen gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass es eine nichtleere Teilmenge dieser Zahlen derart gibt, dass die zugehörige Summe ein Vielfaches von {{math|term= n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor=Idee: Jan-Luca und Holger Spellmann |Bearbeitungsstand= }} f6b8e5gyuo7hfuijb8qwzoc5pkxnklm 0 84084 781103 473456 2022-08-21T20:59:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gelten die binomischen Formeln für Polynome? Gelten sie für beliebige Terme? Kann man für {{math|term= a,b|SZ=}} auch komplexere Ausdrücke wie {{mathl|term= r^2-stu|SZ=}} oder {{mathl|term= 7t^5-4rs^3|SZ=}} einsetzen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2=Theorie der Terme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p2me4o912c8ljsg5vfq50kj2zhkeiq4 0 84087 781100 663461 2022-08-21T20:58:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 1001^2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l2d3c6d1kren42jja6idlgcqhgu12c3 0 84088 781149 483903 2022-08-21T21:06:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Artikuliere{{n Sie}} die beiden folgenden Brüche mit {{Anführung|tel}} {{ Aufzählung2 |{{mathl|term= {{op:Bruch|5700|23}} |SZ=}} |{{mathl|term= {{op:Bruch|5000|723}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bruchdarstellung rationaler Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24bmxzwl6e0xfc3ntoxu3p9ckgeh5f3 0 84089 781148 576863 2022-08-21T21:06:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Artikuliere{{n Sie}} die beiden folgenden Brüche mit {{Anführung|tel}} {{ Aufzählung2 | {{mathl|term= {{op:Bruch|500|19}} |SZ=,}} | {{mathl|term= {{op:Bruch|509|10}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bruchdarstellung rationaler Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oxf3d8tmmybpyduvjrri1zn8y316uxf 0 84146 782515 563820 2022-08-22T00:54:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele volle Geldbeträge zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 100 |SZ= }} Euro kann man mit genau {{mathl|term= 1,2,3,4,5,6|SZ=}} Euromünzen bzw. Scheinen {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rückgeld| |ISZ=|ESZ= }} begleichen? Was ergibt die Summe dieser Zahlen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nqydz4p4zuryblxwhn1bj5z1ul5w6yx 0 84147 782514 563807 2022-08-22T00:54:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele volle Geldbeträge zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 100 |SZ= }} Euro kann man mit genau {{mathl|term= 1,2,3,4,5,6|SZ=}} Euromünzen bzw. Scheinen {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rückgeld| |ISZ=|ESZ= }} minimal begleichen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} le1jodeox9t1us2defu91l5tgyx8031 0 84148 781605 473649 2022-08-21T22:23:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sie wollen im Unterricht in der Grundschule vermitteln, dass man nicht durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen darf. Wie argumentieren Sie, wenn folgende Erfolgsquoten feststehen. {{ Aufzählung3 |Mit einem stichhaltigen mathematischen Argument bewirkt man, dass {{math|term= 80|SZ=}} Prozent der Schüler und Schülerinnen nicht durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen. |Mit dem Argument, dass die {{math|term= 0|SZ=}} ganz ganz traurig wird, wenn durch sie geteilt wird, bewirkt man, dass {{math|term= 90|SZ=}} Prozent der Schüler und Schülerinnen nicht durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen. |Mit dem Argument, dass die Schüler Gummibärchen bekommen, wenn sie nicht durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen, bewirkt man, dass {{math|term= 100|SZ=}} Prozent der Schüler und Schülerinnen nicht durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f3cyta5jzi31ie14toaps6kp1kuow66 0 84149 781606 563543 2022-08-21T22:23:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gabi Hochster hat Mathematikunterricht (vierte Klasse), der von Frau Doris Maier-Sengupta (mit den Fächern Deutsch und buddhistische Philosophie) gehalten wird. Gummibärchen hin oder her, Gabi Hochster möchte sich nicht damit abfinden, dass man anscheinend nicht durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen darf. Die Zahlen {{mathl|term= 1/0, 2/0|SZ=}} u.s.w. würde es geben, ihr Gehalt sei nur etwas mysteriös, und sie möchte sich damit weiter beschäftigen. Man könne für diese Zahlen die Bruchrechenregeln nicht naiv anwenden, beispielsweise gelte nicht die Kürzungsregel {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|0}} \cdot 0 ||1 || || || |SZ=. }} Ansonsten könne man aber mit diesen neuen Zahlen ziemlich gut rechnen, es gelten die Kommutativgesetze, die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz, und es gelte nach wie vor {{ Ma:Vergleichskette |0 \cdot a ||0 || || || |SZ= }} für alle Zahlen {{math|term= a|SZ=,}} auch für die neuen. {{ Aufzählung3 |Frau Maier-Sengupta weiß nicht so recht, wie sie darauf reagieren soll und wendet sich an Sie, da Sie die Fachleiter/In Mathematik an der Schule sind. Wie beurteilen Sie die Situation? Hat Gabi recht? Was ist Ihr Rat an die Kollegin? |Gabi hat mittlerweile Spaß an ihren neuen Zahlen gefunden und bringt die ganze Klasse durcheinander, weil sie ständig sagt {{Anführung|man darf doch durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen|SZ=.}} Frau Maier-Sengupta befürchtet, dass dies die anderen Schüler zu Fehlschlüssen verleitet und ermahnt Gabi, nicht mehr davon zu sprechen, das sei halt so, dass man nicht durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen darf. Daraufhin sagt Gabi: {{Anführung|Frau Maier-Sengupta versteht gar nix von Mathe, noch nicht einmal, dass man durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen darf|SZ=.}} Dies vermerkt Frau Maier-Sengupta im Klassenbuch als eine Beleidigung. Wie hätten Sie reagiert? |Da es der dritte Vermerk war, kommt es zu einem Elterngespräch, zu dem neben Frau Maier-Sengupta, den Eltern, Melissa und Melvin Hochster, und der Schulleitung auch Sie als Fachleiter/In teilnehmen sollen. Die Eltern beschweren sich, dass Frau Maier-Sengupta die kreativen Ansätze ihrer Tochter nicht positiv aufnehmen würde, sondern abblocke. Sie befürchten, dass ihre Tochter in der Schule geistig verarme. Was ist Ihre Position? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tn4gieb5uv5io7xhrbyi7d4iyrfutx4 0 84166 785375 758667 2022-08-22T08:29:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= C|SZ=}} eine weitere Menge. Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | C \times (A \uplus B) || ( C \times A) \uplus ( C \times B ) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 38wy11ta1jpy7fhkig8jz3p9s0cp5b0 0 84326 780403 563805 2022-08-21T19:02:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von {{math|term= 50|SZ=}} Cent begleichen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 30ks1f8f8vu4ykwiwm5kqsm7m85uc6c 0 84327 780389 563806 2022-08-21T19:00:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von {{math|term= 20|SZ=}} Cent begleichen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 11b1xc6r098e95c6dnoqhaxzuov04v2 0 84328 780383 563804 2022-08-21T18:59:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von {{math|term= 10|SZ=}} Cent begleichen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cg4zqcjg1ljjtzdamchseo39479bxb6 0 84343 781101 474388 2022-08-21T20:58:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 999^2|SZ=}} mit Hilfe einer binomischen Formel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pubu005mxq5fkk5u12ot5e5g3b20tt9 0 84346 785233 636666 2022-08-22T08:06:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass im Polynomring {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} nicht {{ Faktlink |Präwort=das|Lemma von Bezout|Faktseitenname= Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie2=Das Lemma von Bezout (Polynomring) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tgxy0xhd92mc9eowbinhfx2ejvtesjr 0 84347 782947 756691 2022-08-22T02:06:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathbed|term= p \in R ||bedterm1= p \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= p|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es genau zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oberhalb von {{mathl|term= (p)|SZ=}} gibt, nämlich {{mathl|term= (p)|SZ=}} selbst und {{mathl|term= (1)=R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen |Kategorie2=Theorie der Hauptideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m5v9s7tbsqwc52to9mrs2lwn0tnwz1e 0 84349 782743 756520 2022-08-22T01:32:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptidealbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} zu beliebigen Elementen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n \in R|SZ=}} sowohl ein {{ Definitionslink |Prämath= |größter gemeinsame Teiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als auch ein {{ Definitionslink |Prämath= |kleinstes gemeinsames Vielfaches| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} existieren. Wie kann man sie berechnen, wenn die Primfaktorzerlegungen der Elemente bekannt sind? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in Hauptidealbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hcuxfym2h49usz8k7tf7w7rakoq2dt9 0 84394 782895 474898 2022-08-22T01:58:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Paraphrasiere{{n Sie}} die folgenden Aussagen als Wenn-dann-Aussagen. {{ Aufzählung10 |Was Hänschen nicht lernt, lernt Hans nimmermehr. |Was der Bauer nicht kennt frisst er nicht. |Sobald die Sonne scheint geht Lucy nach draußen. |Ab {{math|term= 32|SZ=}} Punkten bekommt man eine {{math|term= 1|SZ=.}} |Mit dieser Einstellung sollten Sie nicht Lehrer werden. |Was uns nicht umbringt macht uns härter. |Früh übt sich, wer ein Meister werden will. |Wer {{math|term= A|SZ=}} sagt muss auch {{math|term= B|SZ=}} sagen. |Wer nicht kommt zur rechten Zeit, der muss sehn, was übrig bleibt. |Wer selber ohne Sünde ist werfe den ersten Stein. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4gc3yz7gyvts10ua0dim8qzh9jmk2en 0 84398 780869 660694 2022-08-21T20:20:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Wahrheitswert der Aussage {{ math/disp|term= ((( \neg (\neg (p))) \rightarrow (\neg ( q))) {{logoder|}} (\neg (r))) \leftrightarrow ( (\neg (r) ) {{logund|}} ( q )) |SZ=, }} wenn {{ mathkor|term1= p |und|term2= r |SZ= }} falsch sind und {{math|term= q|SZ=}} wahr ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a3flv2z7cqdo77n80ykhdrxejgh8t01 0 84405 786502 665246 2022-08-22T11:36:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zwei Schwimmer, {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=, }} schwimmen auf einer {{math|term= 50|SZ=-}}Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer {{math|term= A|SZ=}} schwimmt {{math|term= 3 m/s|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das ist besser als der Weltrekord| |ISZ=|ESZ= }} und Schwimmer {{math|term= B|SZ=}} schwimmt {{math|term= 2 m/s|SZ=.}} {{ Aufzählung5 |Erstelle{{n Sie}} in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 100 |SZ= }} Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden| |ISZ=|ESZ= }} entfernt ist. |Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer {{math|term= A|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und Schwimmer {{math|term= B|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} nach {{math|term= 30|SZ=}} Sekunden? |Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal {{ Zusatz/Klammer |text=abgesehen vom Start| |ISZ=|ESZ=? }} |Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer {{ Zusatz/Klammer |text=Start mitzählen| |ISZ=|ESZ=? }} |Wie oft überrundet Schwimmer {{math|term= A|SZ=}} den Schwimmer {{math|term= B|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=2 |p2=1 |p3=2 |p4=2 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a4vfv6c3xq1kboc15r6nw1ifyvx0tyc 0 84410 780923 538005 2022-08-21T20:29:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.{{{zusatz1|}}} {{ Aufzählung2 | {{math|term= ({{logprop|}} {{logund|}} ( {{logprop2|}} {{logoder|}} {{logprop3|}})) \longleftrightarrow ( {{logprop|}} \ {{logund|}} {{logprop2|}}) {{logoder|}} ( {{logprop|}} {{logund|}} {{logprop3|}})|SZ=.}} | {{math|term= ({{logprop|}} {{logoder|}} ( {{logprop2|}} {{logund|}} {{logprop3|}})) \longleftrightarrow ( {{logprop|}} {{logoder|}} {{logprop2|}}) {{logund|}} ( {{logprop|}} {{logoder|}} {{logprop3|}})|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lfzpqh7m82zuzzkl59epz3n6v0u4jw3 0 84411 780924 538023 2022-08-21T20:29:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.{{{zusatz1|}}} {{ Aufzählung2 | {{math|term= {{logprop|}} {{logund|}} {{logprop2|}} \longleftrightarrow {{logprop2|}} {{logund|}} {{logprop|}} |SZ=.}} | {{math|term= {{logprop|}} {{logoder|}} {{logprop2|}} \longleftrightarrow {{logprop2|}} {{logoder|}} {{logprop|}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ju0w4ssopkqrp5ktqyi41ez3z7l89k 0 84412 780922 538006 2022-08-21T20:29:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.{{{zusatz1|}}} {{ Aufzählung2 | {{math|term= {{makl| {{logprop|}} {{logund|}} {{logprop2|}} |}} {{logund|}} {{logprop3|}} \longleftrightarrow {{logprop|}} {{logund|}} {{makl| {{logprop2|}} {{logund|}} {{logprop3|}} |}} |SZ=.}} | {{math|term= {{makl| {{logprop|}} {{logoder|}} {{logprop2|}} |}} {{logoder|}} {{logprop3|}} \longleftrightarrow {{logprop|}} {{logoder|}} {{makl| {{logprop2|}} {{logoder|}} {{logprop3|}} |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5proiy5q23fw86e3c3pxznnk3rdhpnv 0 84413 779713 763707 2022-08-21T17:11:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Ring {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[\sqrt{-3}] || || || |SZ=, }} der aus allen komplexen Zahlen der Form {{ math/disp|term= a+b \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} \text{ mit } a,b \in \Z |SZ= }} besteht und ein Unterring des Ringes der Eisensteinzahlen {{mathl|term= \Z[ \frac{1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }{2} ]|SZ=}} ist. Letzterer Ring ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen und Z(Wurzel -3)/Euklidisch/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} euklidisch und ein Hauptidealbereich. Dagegen gilt in {{math|term= R|SZ=}} noch nicht einmal die eindeutige Primfaktorzerlegung, es ist nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp |(1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} )(1- \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}}) ||4 ||2 \cdot 2 || || |SZ= }} und in beiden Zerlegungen sind die Faktoren irreduzibel, da es in {{math|term= R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und im Eisensteinring| |ISZ=|ESZ= }} keine Elemente mit Betragsquadrat {{math|term= 2|SZ=.}} Im Ring der Eisensteinzahlen sind wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | 1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} || {{op:Bruch|1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} | 2|}} \cdot 2 || || || |SZ= }} die Faktoren zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |assoziiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht in {{math|term= R|SZ=,}} da es dort die Einheit {{mathl|term= {{op:Bruch|1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} | 2|}} |SZ=}} nicht gibt. Das Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp | (2, 1 + \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} ) ||( 1 - \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}}, 1 + \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} ) || || || |SZ= }} ist in {{math|term= R|SZ=}} kein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hauptidealbereiche |Kategorie2=Theorie der quadratischen Erweiterungen von Z |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Objektkategorie2=Der Ring Z(sqrt(-3))‎ |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3aylxwpsjazrkqgw0ozlxvl1s5ew2k3 0 84426 784872 484128 2022-08-22T07:12:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In der Pause isst Mustafa Müller einen Apfel und einen Schokoriegel, Heinz Ngolo isst einen Apfel und ein Butterbrot, Lucy Sonnenschein isst einen Apfel, Gabi Hochster isst ein Butterbrot und einen Schokoriegel und Frau Doris Maier-Sengupta isst einen Apfel, ein Butterbrot und einen Schokoriegel. Die Mengen der Apfel- Butterbrot und Schokoriegelesser seien mit {{mathl|term= A,B,S|SZ=}} bezeichnet. Erstelle{{n Sie}} mengentheoretische Ausdrücke für die folgenden Beschreibungen und liste die Elemente der Mengen auf {{ Zusatz/Klammer |text=die Grundmenge bestehe aus den fünf Personen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung7 |Isst einen Apfel. |Isst keinen Apfel. |Isst ein Butterbrot oder einen Schokoriegel. |Isst einen Apfel aber keinen Schokoriegel. |Isst einen Apfel und einen Schokoriegel aber kein Butterbrot. |Isst ein Butterbrot, aber weder einen Apfel noch einen Schokoriegel. |Isst nichts. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qdgjr7yxdmkrh1ggss74ruoj3e8ocif 0 84429 785797 475005 2022-08-22T09:39:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} die folgenden einstelligen Prädikate innerhalb der natürlichen Zahlen {{math|term= \N=\{0,1,2,3, \ldots \}|SZ=}} allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren. {{ Aufzählung8 | {{math|term= x|SZ=}} ist ein Vielfaches von {{math|term= 10|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} ist größer als {{math|term= 10|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} ist kleiner als {{math|term= 10|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} ist eine Quadratzahl. | {{math|term= x|SZ=}} ist keine Quadratzahl. | {{math|term= x|SZ=}} ist eine Primzahl. | {{math|term= x|SZ=}} ist keine Primzahl. | {{math|term= x|SZ=}} ist das Produkt von genau zwei verschiedenen Primzahlen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qr3g1pujvd3uc9ctjmvabuukk1x42qb 0 84430 785798 475006 2022-08-22T09:39:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} die folgenden einstelligen Prädikate innerhalb der natürlichen Zahlen {{math|term= \N=\{0,1,2,3, \ldots \}|SZ=}} allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren. {{ Aufzählung8 | {{math|term= x|SZ=}} ist ein Vielfaches von {{math|term= 5|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} ist eine ungerade Zahl. | {{math|term= x|SZ=}} ist eine Kubikzahl. | {{math|term= x|SZ=}} ist ein Vielfaches von {{math|term= 5|SZ=}} und ein Vielfaches von {{math|term= 3|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} ist ein Vielfaches von {{math|term= 5|SZ=}} oder ein Vielfaches von {{math|term= 3|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} besitzt bei Division durch {{math|term= 5|SZ=}} den Rest {{math|term= 3|SZ=.}} | {{math|term= x|SZ=}} ist die Summe von zwei Quadratzahlen. | {{math|term= x|SZ=}} ist die Summe von vier Quadratzahlen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qkwx3ovmuub78b5yioc4m81ohluhb7t 0 84462 781138 475503 2022-08-21T21:05:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Mustafa Müller und Heinz Ngolo waren beim Spiel Borussia Dortmund gegen Bayern München. Zum Glück hat Dortmund {{math|term= 5|SZ=}} zu {{math|term= 2|SZ=}} gewonnen, daher ist gute Stimmung im Fanbus auf der Heimreise. Die Torfolge war {{ math/disp|term= 0:1, 1:1,2:1,2:2, 3:2, \text{Halbzeit}, 4:2, 5:2 |SZ=. }} Die beiden überlegen sich die folgenden Fragen. {{ Aufzählung2 |Wie viele mögliche Torreihenfolgen gibt es bei einem {{mathl|term= 5:2|SZ=-}}Sieg? |Wie viele mögliche Torreihenfolgen gibt es bei einem {{mathl|term= 5:2|SZ=-}}Sieg, wenn man noch die Halbzeit mitberücksichtigt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Kombinatorik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Personenkategorie2=Heinz Ngolo |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3w4oprg2oqn5cdeceafmw3vsqqgxh06 0 84464 780511 564538 2022-08-21T19:20:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Teil der Schüler und Schülerinnen der Klasse 4c sind auf einer Wattwanderung, und zwar {{ math/disp|term= \{G,L,H,M,A,B,C ,R,S,T \} |SZ=. }} Sie werden von Wattführer Heino und Frau Maier-Sengupta begleitet. Nach einer scharfen Wende um eine unübersichtliche Düne herum zählen die beiden Aufsichtspersonen die Gruppe durch. Heino zählt {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n|SZ=}}|text2= {{math|term= \varphi(n)|SZ=}} |1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|M|T|A|L|S|B|G|R|H|C}} und Frau Maier-Sengupta zählt {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n|SZ=}}|text2= {{math|term= \psi(n)|SZ=}} |1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|L|A|B|R|T|C|M|G|H|S|}} Es sind also alle Kinder da. {{ Aufzählung5 |Welche Nummer gibt Heino demjenigen Kind, das von Frau Maier-Sengupta die Nummer {{math|term= 8|SZ=}} bekommt? |Welche(s) Kind(er) bekommen von beiden die gleiche Nummer? |Welche(s) Kind(er) bekommen von Heino eine höhere Nummer als von Frau Maier-Sengupta? |Gabi {{ Zusatz/Klammer |text=G| |ISZ=|ESZ= }} denkt sich das folgende Spiel aus: Jedes Kind muss demjenigen Kind, dessen Heino-Nummer gleich seiner {{ Zusatz/Klammer |text=des ersten Kindes| |ISZ=|ESZ= }} Maier-Sengupta-Nummer ist, eine Muschel schenken. Welche Schenkzykel{{{zusatz1|}}} entstehen dabei? |Ist die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(n) || \begin{cases} \varphi(n), \text{ falls } n \text{ ungerade} \, , \\ \psi(n), \text{ falls } n \text{ gerade} \, ,\end{cases} || || || |SZ= }} gegebene Abbildung {{math|term= F|SZ=}} eine Nummerierung der Schülermenge? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zählvorganges (endliche Mengen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte=5 |p1=0.5 |p2=0.5 |p3=1 |p4=2 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f19itfhj7h3mo1873ruedin06pum5qw 0 84466 780693 565549 2022-08-21T19:50:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Menge {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} 6\} |SZ=}} in den in der Vorlesung gegebenen Zählsystemen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zählvorganges (endliche Mengen) |Kategorie2=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3e3qntufvyqem45s5byguq1jhvbg3mh 0 84468 785829 758993 2022-08-22T09:44:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= \R|SZ=}} die reellen Zahlen und {{math|term= \R_{\geq 0}|SZ=}} die nichtnegativen reellen Zahlen. Bestimme{{n Sie}} für die folgenden Abbildungen, ob sie {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und ob sie {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. {{ Aufzählung4 |{{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|x^2 |SZ=. }} |{{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R_{\geq 0} |x|x^2 |SZ=. }} |{{ Ma:abbele/disp |name= |\R_{\geq 0}|\R |x|x^2 |SZ=. }} |{{ Ma:abbele/disp |name= |\R_{\geq 0}|\R_{\geq 0} |x|x^2 |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m7sm9h8ig8hvq9zcm0mhbbnsxhd21uh 0 84483 778871 564814 2022-08-21T14:58:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Wertetabelle {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n|SZ=}}|text2= {{math|term= \varphi(n)|SZ=}} |1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|A|A|B|C|C|B|E|D|D|B}} beschreibt, welche Person der Bearbeitungsgruppe {{ Ma:Vergleichskette |G ||\{A,B,C,D,E\} || || || |SZ= }} welche Aufgabe federführend macht und die Wertetabelle {{Wertetabelle5|text1= {{math|term= P|SZ=}}|text2= {{math|term= \psi(P)|SZ=}} |A|B|C|D|E|S|L|M|M|W|}} mit den möglichen Werten {{mathl|term= \{M,S,L,W,U\}|SZ=}} beschreibt, wie viel Lust die Personen in dieser Woche haben {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= S|SZ=:}} hat Superlust, {{math|term= M|SZ=:}} hat Megalust, {{math|term= L|SZ=}} hat Lust, {{math|term= W|SZ=}} hat wenig Lust, {{math|term= U|SZ=}} hat Unlust |ISZ=|ESZ=. }} Die zusammengesetzte Abbildung {{mathl|term= \psi \circ \varphi|SZ=}} beschreibt dann, mit wie viel Lust die verschiedenen Aufgaben bearbeitet werden, die zugehörige Wertetabelle ist {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n|SZ=}}|text2= {{math|term= \psi(\varphi(n))|SZ=}} |1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|S|S|L|M|M|L|W|M|M|L}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rr7jaqcjuww27nt8fgtomhbuxfmq9lq 0 84484 778968 763158 2022-08-21T15:14:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Nummerierung der Schüler durch Heino, {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n|SZ=}}|text2= {{math|term= \varphi(n)|SZ=}} |1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|M|T|A|L|S|B|G|R|H|C}} ist bijektiv und hat daher eine eindeutig bestimmte {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Wertetabelle dieser Umkehrabbildung ist {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= P|SZ=}}|text2= {{math|term= \varphi^{-1} (P)|SZ=}} |A|B |C |G|H| L|M|R|S|T |3|6|10|7|9|4|1|8|5|2}} Bei einem natürlichen Zählvorgang kann man sich darüber streiten, ob die Zahlen {{Anführung|eher}} den Personen oder die Personen eher den Zahlen zugeordnet wird. Bei einer bijektiven Abbildung liegt eine Entsprechung vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Umkehrabbildungen |Kategorie2=Theorie der bijektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s3y27kfbf843g5tk8dm2mvtrz4wp0ak 0 84491 780084 475619 2022-08-21T18:08:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In {{mathl|term= {{op:Zmod|11|}} |SZ=}} sind die Zahlen {{mathl|term= 0,1,4,9,16=5,25=3|SZ=}} Quadratreste, die Zahlen {{mathl|term= 2,6,7,8,10|SZ=}} sind nichtquadratische Reste. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 11 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nb9stk1209aeya3ipmwzim7d14tj6bf 0 84493 785753 758951 2022-08-22T09:31:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Reste| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} modulo der {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= < 20|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} al437ysnw88mh756awirhct07swqth0 0 84497 785365 758657 2022-08-22T08:27:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |G ||H_1 {{timesdots|}} H_n || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Produktgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der endlichen Gruppen {{mathl|term= H_1 {{kommadots|}} H_n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 | {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:exp|G|}} || {{op:kgv| {{op:exp|H_i|}}| i {{=}} 1 {{kommadots|}} n | |}} || || || |SZ=. }} |{{math|term= G|SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |zyklisch| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn alle {{math|term= H_i|SZ=}} zyklisch sind und wenn deren Ordnungen paarweise {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tqqmii6kkjtxtifnuynvwwjn0tuk5vf 0 84498 781958 755850 2022-08-21T23:21:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 |\neq|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl von {{math|term= K|SZ=}} ungerade ist, und dass es in {{math|term= K|SZ=}} genau {{mathl|term= {{op:Bruch| {{op:Anzahl|K|}} +1|2}} |SZ=}} Quadrate gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sfginp57atws89axhf2nhzeyydp3wx8 0 84504 779745 475713 2022-08-21T17:16:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachten wir die beiden Primzahlen {{ mathkor|term1= 11 |und|term2= 19 |SZ=, }} die beide modulo {{math|term= 4|SZ=}} den Rest {{math|term= 3|SZ=}} haben. Es ist {{ Ma:Vergleichskette |19 ||8 || || || |SZ= }} modulo {{math|term= 11|SZ=}} und dies ist nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Z_modulo_11/Quadratreste/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kein Quadratrest. Gemäß {{ Faktlink |Präwort=dem|Reziprozitätsgesetz|Faktseitenname= Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} muss also {{math|term= 11|SZ=}} modulo {{math|term= 19|SZ=}} ein quadratischer Rest sein. In der Tat ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |7^2 ||49 ||11 \mod 19 || || |SZ=. }} Betrachtet man hingegen die Primzahlen {{ mathkor|term1= 11 |und|term2= 13 |SZ=, }} so hat {{math|term= 11|SZ=}} modulo {{math|term= 4|SZ=}} den Rest {{math|term= 3|SZ=}} und {{math|term= 13|SZ=}} hat modulo {{math|term= 4|SZ=}} den Rest {{math|term= 1|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |13 ||2 \mod 11 || || || |SZ= }} ein nichtquadratischer Rest, und daher ist auch {{math|term= 11|SZ=}} ein nichtquadratischer Rest modulo {{math|term= 13|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pc53l9j9xrpf35shqgbtatq3r3xfe54 0 84505 779179 477406 2022-08-21T15:48:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In {{mathl|term= {{op:Zmod|11|}} |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette |S_+ || \{1,2,3,4,5 \} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |S_- || \{-1,-2,-3,-4,-5 \} || || || |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |k ||3 || || || |SZ= }} muss man, um die Gaußschen Vorzeichen zu bestimmen, die ersten fünf Vielfachen berechnen und schauen, ob sie zur negativen oder zur positiven Hälfte gehören. Es ist {{ math/disp|term= 3 \in S_+,\, 6=-5 \in S_-,\, 9 = -2 \in S_-,\, 12 =1 \in S_+,\, 15 =4 \in S_+ |SZ=, }} die Vorzeichen sind also der Reihe nach {{ math/disp|term= 1,-1,-1,1,1 |SZ=. }} Ihr Produkt ist {{math|term= 1|SZ=,}} und mit {{ Faktlink |Präwort=dem{{{zusatz1|}}}|Gaußschen Vorzeichenlemma|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} folgt, dass {{math|term= 3|SZ=}} ein Quadratrest ist. In der Tat ist {{ Ma:Vergleichskette |3 ||5^2 \mod 11 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 11 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nwzn5jv0psxdqoba2pz4o1klp2m1u7f 0 84508 785681 758894 2022-08-22T09:19:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine ungerade {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} nie ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Rest| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Bestimme{{n Sie}} für die Primzahlen {{math|term= \leq 20|SZ=,}} ob darin jeder nichtquadratische Rest primitiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 69lpyl9votkllpu4b5dckotbuucosml 0 84509 786258 475736 2022-08-22T10:56:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} zu {{mathl|term= p=17|SZ=}} und {{mathl|term= k=5|SZ=}} die Vielfachen {{mathl|term= ik \mod 17|SZ=}} für {{mathl|term= i=1 {{kommadots|}} 8|SZ=}} und repräsentiere{{n Sie}} sie durch Zahlen zwischen {{math|term= -8|SZ=}} und {{math|term= 8|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} damit die Vorzeichen {{mathl|term= \epsilon_i=\epsilon_i(5)|SZ=}} und bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=das|Gaußsche Vorzeichenlemma|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an diesem Beispiel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 17 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ods1x6reuo4li07ofmoqty947ifc46 0 84510 786259 475735 2022-08-22T10:56:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} zu {{mathl|term= p=23|SZ=}} und {{mathl|term= k=8|SZ=}} die Vielfachen {{mathl|term= ik \mod 23|SZ=}} für {{mathl|term= i=1 {{kommadots|}} 11|SZ=}} und repräsentiere{{n Sie}} sie durch Zahlen zwischen {{math|term= -11|SZ=}} und {{math|term= 11|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} damit die Vorzeichen {{mathl|term= \epsilon_i=\epsilon_i(8)|SZ=}} und bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=das|Gaußsche Vorzeichenlemma|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an diesem Beispiel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 23 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f22x9etodypkzz1xrs3dogexj7aenyc 0 84512 785397 758681 2022-08-22T08:33:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= R|SZ=}} und {{mathl|term= S_1 {{kommadots|}} S_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Ringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Produktring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |S ||S_1 {{timesdots|}} S_n || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |R|S || |SZ= }} dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_i |R|S_i || |SZ= }} für {{mathl|term= i {{=|}} 1 {{kommadots|}} n |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iic71lyegkgn26xd0d5jgjty6iju9dc 0 84515 784171 565548 2022-08-22T05:31:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{math|term= {{Menge1n}} |SZ=}} endlich mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ecgxmy5wfkouac46ohbf6k7aedmhso2 0 84517 780450 475819 2022-08-21T19:10:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Mengen {{ math/disp|term= L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\, M= \{a,b,c,d,e,f,g \} \text{ und } N= \{ R, S,T,U, V,W,X,Y,Z \} |SZ= }} und die Abbildungen {{ Ma:abb |name=\varphi |L|M || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\psi |M|N || |SZ=, }} die durch die Wertetabellen {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|text2={{math|term= \varphi(x)|SZ=}}|c|e|f|d|e|a|b|a|}} und {{Wertetabelle7|text1={{math|term= y|SZ=}}|a|b|c|d|e|f|g|text2={{math|term= \psi(y)|SZ=}}|X|Y|R|R|T|W|U|Z}} gegeben sind. {{ Aufzählung3 |Erstelle{{n Sie}} eine Wertetabelle für {{mathl|term= \psi \circ \varphi|SZ=.}} |Sind die Abbildungen {{math|term= \varphi|SZ=,}} {{math|term= \psi|SZ=,}} {{math|term= \psi \circ \varphi|SZ=}} injektiv? |Sind die Abbildungen {{math|term= \varphi|SZ=,}} {{math|term= \psi|SZ=,}} {{math|term= \psi \circ \varphi|SZ=}} surjektiv? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1sm3yr70dwbm6jlwyr1aq00roksb07l 0 84518 780451 475825 2022-08-21T19:10:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Mengen {{ math/disp|term= L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\, M= \{a,b,c,d,e,f,g,h,i \} \text{ und } N= \{ R, S,T,U, V,W,X,Y,Z \} |SZ= }} und die Abbildungen {{ Ma:abb |name=\varphi |L|M || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\psi |M|N || |SZ=, }} die durch die Wertetabellen {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|text2={{math|term= \varphi(x)|SZ=}}|c|i|a|g|d|e|h|b|}} und {{Wertetabelle9|text1={{math|term= y|SZ=}}|a|b|c|d|e|f|g|h|i|text2={{math|term= \psi(y)|SZ=}}|X|Z|Y|S|Z|S|T|W|U|V}} gegeben sind. {{ Aufzählung3 |Erstelle{{n Sie}} eine Wertetabelle für {{mathl|term= \psi \circ \varphi|SZ=.}} |Sind die Abbildungen {{math|term= \varphi|SZ=,}} {{math|term= \psi|SZ=,}} {{math|term= \psi \circ \varphi|SZ=}} injektiv? |Sind die Abbildungen {{math|term= \varphi|SZ=,}} {{math|term= \psi|SZ=,}} {{math|term= \psi \circ \varphi|SZ=}} surjektiv? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 73gbow4186xxae6r72tdc6i3erwuejh 0 84542 781926 755822 2022-08-21T23:16:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle8|text1= {{math|term= x|SZ=}} |1|2|3|4|5|6|7|8|text2= {{math|term= F(x)|SZ=}}|3|5|1|7|8|2|6|4|}} gegebene Abbildung {{math|term= F|SZ=}} von {{mathl|term= M=\{1,2 {{kommadots|}} 8\} |SZ=}} in sich selbst. {{ Aufzählung5 |Erstelle{{n Sie}} eine Wertetabelle für {{ Ma:Vergleichskette |F^2 || F \circ F || || || |SZ=. }} |Erstelle{{n Sie}} eine Wertetabelle für {{ Ma:Vergleichskette |F^3 || F \circ F \circ F || || || |SZ=. }} |Begründe{{n Sie}}, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen {{math|term= F^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Bestimme{{n Sie}} für jedes {{mathl|term= x \in M|SZ=}} das minimale {{math|term= n \in \N_+|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |F^n (x) ||x || || || |SZ= }} ist. |Bestimme{{n Sie}} das minimale {{math|term= n \in \N_+|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |F^n (x) ||x || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x \in M|SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j69huvdtusjvg1sjztucg3bw7tgrge1 0 84554 781888 755789 2022-08-21T23:10:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} Mengen und es sei {{ Ma:abb |name=F |L|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}: Wenn {{math|term= L|SZ=}} endlich mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen ist, so ist auch {{math|term= M|SZ=}} endlich mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ayufy2lrxzooa6d2b7irs6vh5gl5v5f 0 84568 785755 476282 2022-08-22T09:32:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung5 |Finde{{n Sie}} die kleinste Zahl {{math|term= n|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl {{mathl|term= k<n|SZ=}} gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo {{math|term= n|SZ=.}} |Finde{{n Sie}} die kleinste Primzahl {{math|term= p|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl {{mathl|term= k<p|SZ=}} gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo {{math|term= p|SZ=.}} |Finde{{n Sie}} die größte Primzahl {{math|term= p|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo {{math|term= p|SZ=}} die Quadratzahlen {{mathl|term= k<p|SZ=}} sind. |Untersuche {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||8,16,32 || || || |SZ= }} in Hinblick auf die Eigenschaft, ob es neben den Quadraten noch weitere Quadratreste modulo {{math|term= n|SZ=}} gibt. |Finde{{n Sie}} die größte {{ Zusatz/Klammer |text=?| |ISZ=|ESZ= }} Zahl {{math|term= n|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo {{math|term= n|SZ=}} die Quadratzahlen {{mathl|term= k<n|SZ=}} sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4k00betk2aanxmwkfe8rumqpm4se13x 0 84569 785758 476285 2022-08-22T09:32:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Quadrate in {{mathl|term= {{op:Zmod|35|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenring Z mod 35 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lks44a1u3bil0pgocvxy7q6wjjcrf57 0 84571 785754 476300 2022-08-22T09:32:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n|SZ=}} eine ungerade Zahl. Zeige{{n Sie}}, dass es in {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} maximal {{mathl|term= {{op:Bruch|n+1|2}} |SZ=}} Quadratreste gibt. Wie sieht dies bei {{math|term= n|SZ=}} gerade aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rbx6de7ywiyuk9ovai48xzitcffj4ld 0 84572 785757 476305 2022-08-22T09:32:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Ungerade Primzahlpotenz/Reduktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für {{mathl|term= {{op:Zmod|25|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenring Z mod 25 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r1b1jra28pcib4fn14yzk9owmtln008 0 84574 781908 476479 2022-08-21T23:13:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} durch Induktion nach {{math|term= n|SZ=,}} dass jede Teilmenge {{math|term= T|SZ=}} von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} endlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichzahligen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qk2z9ymxeednrg1893gn2lapts0cfa3 0 84576 781905 476315 2022-08-21T23:13:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine endliche Menge und {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq| M || || || |SZ= }} eine Teilmenge. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} ebenfalls endlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2gbyhnjbvjzqtq4ryap1zcto85v187m 0 84594 784558 758090 2022-08-22T06:27:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= k,n|SZ=}} natürliche Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{Menge1k|}} | \{1+n {{kommadots|}} k+n \} | i | i+ n |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichzahligen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4axyzf5k9y8z5q2u3rb07yb3hhx2yfp 0 84595 784559 476716 2022-08-22T06:27:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in den jeweiligen Modellen der natürlichen Zahlen die Anzahl der folgenden Abschnitte von {{math|term= \N|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |{{ math/disp|term= \{ {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{kommadots|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} \} |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \{ 1201 {{kommadots|}} 21010 \} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=im Dreiersystem| |ISZ=|ESZ=. }} |{{ math/disp|term= \{ \text{überübermorgen} {{kommadots|}} \text{überüberüberüberüberüberübermorgen} \} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichzahligen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 91t4rwhd6he2ljmptyeqc8x1u1wdzx9 0 84604 780801 476510 2022-08-21T20:08:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In der Planung für einen Laufwettbewerb wurden die folgenden Bahnen vergeben. {{Wertetabelle8|text1= {{math|term= k|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|text2= {{math|term= F(k)|SZ=}}| N|C|Z|G|R|D|M|S|}} Leider wurden {{ mathkor|term1= C |und|term2= R |SZ= }} des Dopings überführt und dürfen nicht teilnehmen. In dieser Situation möchte man auf die Außenbahnen {{ mathkor|term1= 7 |und|term2= 8 |SZ= }} verzichten. Erstelle{{n Sie}} aus der Nummerierung {{math|term= F|SZ=}} eine möglichst einfache neue Nummerierung {{ Zusatz/Klammer |text=also eine bijektive Abbildung| |ISZ=|ESZ= }} für die neue Situation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} akopzhmxx943vs12i3d037ma4hmfx4z 0 84611 784517 476645 2022-08-22T06:21:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Geldfälscherin stellt {{math|term= 3|SZ=-}} und {{math|term= 7|SZ=-}}Euro-Scheine her. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass es nur endlich viele {{ Zusatz/Klammer |text=volle| |ISZ=|ESZ= }} Eurobeträge gibt, die sie nicht {{ Zusatz/Klammer |text=exakt| |ISZ=|ESZ= }} begleichen kann. |Was ist der höchste Betrag, den sie nicht begleichen kann? |Beschreibe{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne weitere Begründung| |ISZ=|ESZ= }} die Menge {{math|term= M|SZ=}} der Eurobeträge, die sie mit ihren Scheinen nicht begleichen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2=Theorie der rekursiv definierten Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3eua1zbzqe27n6u0n8hvbjilbdyhbm0 0 84613 780439 625220 2022-08-21T19:08:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Kinder sitzen in einem Stuhlkreis mit Stühlen, die von {{math|term= 1|SZ=}} bis {{math|term= 10|SZ=}} durchnummeriert sind. Sie denken sich die folgende feste Wechselvorschrift aus, die durch die folgende Wertetabelle festgelegt wird. {{Wertetabelle10|text1={{math|term= n|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|text2={{math|term= F(n)|SZ=}}|2|9|6|5|10|1|8|7|3|4|}} Bei einem Wechselvorgang muss also das Kind, das auf dem Stuhl mit der Nummer {{math|term= n|SZ=}} sitzt, auf den Stuhl mit der Nummer {{mathl|term= F(n)|SZ=}} hinüberwechseln. Ein Wechselvorgang wird dadurch eingeleitet, dass Frau Maier-Sengupta in die Hände klatscht. {{ Aufzählung5 |Mustafa Müller sitzt zu Begin auf dem Stuhl Nummer {{math|term= 8|SZ=.}} Auf welchem Stuhl sitzt er, nachdem Frau Maier-Sengupta dreimal in die Hände geklatscht hat. |Lucy Sonnenschein sitzt zu Begin auf dem Stuhl Nummer {{math|term= 9|SZ=.}} Auf welchem Stuhl sitzt sie, nachdem Frau Maier-Sengupta achtmal in die Hände geklatscht hat. |Wie oft muss Frau Maier-Sengupta klatschen, damit sowohl Mustafa als auch Lucy wieder auf ihren Ausgangsstühlen sitzen. |Wie oft muss Frau Maier-Sengupta klatschen, damit alle Kinder zum ersten Mal wieder auf ihrem Ausgangsstuhl sitzen. |Beschreibe{{n Sie}} durch eine Wertetabelle die Gesamtwechselvorschrift, wenn Frau Maier-Sengupta {{mathl|term= 973|SZ=-}}mal in die Hände klatscht. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |p5=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 12kwmx95w32pdiet78mddphye2nmbcc 0 84624 784952 613918 2022-08-22T07:24:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben. {{Anführung|Es sei {{math|term= A(n)|SZ=}} die Aussage, dass je {{math|term= n|SZ=}} Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je {{math|term= n|SZ=}} Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt {{mathl|term= n+1|SZ=}} Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden {{math|term= n|SZ=}} Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese {{mathl|term= n+1|SZ=}} Pferde überhaupt die gleiche Farbe|SZ=.}} Analysiere{{n Sie}} diese Argumentation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dic7bt8njym7keueldoufod7wlce6d6 0 84632 785382 758668 2022-08-22T08:30:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \N \times \N|SZ=}} als Teilmenge von {{mathl|term= \R \times \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2=Theorie der reellen Ebene |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ach4b9b1cnrovkm1o40cpo68nmhxv7 0 84635 781248 565449 2022-08-21T21:23:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |NachfolgermitSchleife|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |N_1 ||(\N, 0, \prime) || || || |SZ= }} und es sei {{math|term= N_2|SZ=}} die rechts angegebene Menge mit dem Startsymbol oben links und der durch die Pfeile ausgedrückten Nachfolgerabbildung. An welcher Stelle bricht der Beweis von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in dieser Situation zusammen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie der Zählsysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} trkpsiknp593r0ua04xba3v0ow71jlw 0 84727 785379 477284 2022-08-22T08:30:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe für je zwei {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird| |ESZ= }} der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen. {{ Aufzählung4 |Ein Geradenstück {{math|term= I|SZ=.}} |Eine Kreislinie {{math|term= K|SZ=.}} |Eine Kreisscheibe {{math|term= D|SZ=.}} |Eine Parabel {{math|term= P|SZ=.}} }} Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q15nn4nkubjkyqflqjppauoxr0t5yjj 0 84729 784738 553547 2022-08-22T06:53:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Nach dem Mittagessen wollen Frau Maier-Sengupta und Herr Referendar Lutz mit den Kindern {{mathl|term= A,B,C,G,H,L,M,R,T|SZ=}} eine Bootsfahrt machen, wozu jedes Kind eine Nummer zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 9 |SZ= }} braucht. Frau Maier-Sengupta ist vor dem Mittagessen mit einem Teil der Kinder auf dem Spielplatz und verteilt dabei schon mal die Nummern {{Wertetabelle6|text1= {{math|term= n|SZ=}} |1|2|3|4|5|6|text2= {{math|term= \varphi(n)|SZ=}} |A|G|R|H|L|B}} Beim Abräumdienst nach dem Mittagessen legt Herr Lutz {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rücksprache| |ISZ=|ESZ= }} folgende Nummern fest {{Wertetabelle5|text1= {{math|term= n|SZ=}} |1|2|3|4|5|text2= {{math|term= \psi(n)|SZ=}} |L|C|M|G|T}} Lucy (L) wollte zwar sagen, dass sie schon eine Nummer hat, doch das wurde von Gabi (G) verhindert. Am Boot entscheidet dann Frau Maier-Sengupta, dass die Spielplatzkinder ihre Spielplatznummern behalten und dass die übrigen Kinder die hinteren Nummern {{mathl|term= 7-9|SZ=}} in der von Herrn Lutz vergebenen Reihenfolge bekommen. {{ Aufzählung2 |Erstelle{{n Sie}} eine Wertetabelle für die Bootsnummerierung. |Definiere{{n Sie}} die Bootsnummerierung als Abbildung {{mathl|term= \vartheta|SZ=}} durch eine geeignete Fallunterscheidung. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 04n66k01simq8vg8ye1uxka0y7diryy 0 84849 784462 566882 2022-08-22T06:14:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 5 \cdot 3|SZ=}} allein mit den in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} fixierten Rechenregeln. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 92tdtkpt9vgbp6cuzzu7ofv68m9g32e 0 84850 784460 566880 2022-08-22T06:14:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 3 \cdot 4|SZ=}} allein mit den in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} fixierten Rechenregeln. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qlqxgxuie7k3ow7ml3yzuxbsidgu8n8 0 84854 785383 477465 2022-08-22T08:30:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | \{1 {{kommadots|}} 10 \} \times \{1 {{kommadots|}} 10 \}| \{1 {{kommadots|}} 100 \} | (a,b)| a \cdot b |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} injektiv? |Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} surjektiv? |Was ist das minimale {{math|term= k|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass unter der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi | \{1 {{kommadots|}} k \} \times \{1 {{kommadots|}} k \}| \N_+ | (a,b)| a \cdot b |SZ= }} alle Zahlen zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 100 |SZ= }} im Bild liegen {{ Zusatz/Klammer |text=also erreicht werden| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2eub56x0taxkys6woyp1ug5z0rg21kj 0 84855 785255 478398 2022-08-22T08:09:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gabi Hochster überlegt sich: {{Anführung|Die Addition {{mathl|term= a+b|SZ=}} bedeutet, {{math|term= b|SZ=-}}mal den Nachfolger von {{math|term= a|SZ=}} nehmen, {{mathl|term= a \cdot b|SZ=}} bedeutet, {{math|term= b|SZ=-}}mal {{math|term= a|SZ=}} mit sich selbst zu addieren, {{mathl|term= a^b|SZ=}} bedeutet, {{math|term= b|SZ=-}}mal {{math|term= a|SZ=}} mit sich selbst zu multiplizieren. Dies kann man doch eigentlich unendlich weitermachen, wobei man allerdings auf die Klammerungen achten muss. Also: {{mathl|term= a \heartsuit b|SZ=}} bedeutet, {{math|term= b|SZ=-}}mal {{math|term= a|SZ=}} mit sich selbst zu potenzieren {{ Zusatz/Klammer |text=Anzahl der Operanden, nicht der Operationen| |ISZ=|ESZ=, }} wobei Rechtsklammerung gelte, {{mathl|term= a \clubsuit b|SZ=}} bedeutet, {{math|term= b|SZ=-}}mal {{math|term= a|SZ=}} mit sich selbst die {{math|term= \heartsuit|SZ=-}}Operation durchzuführen, u.s.w. Am besten nennen wir diese Verknüpfungen systematisch {{mathl|term= \heartsuit_1 \text{(Addition)}, \heartsuit_2, ... |SZ=.}} }} {{ Aufzählung6 |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 3 \heartsuit 2|SZ=,}} {{mathl|term= 4 \heartsuit 2|SZ=,}} {{mathl|term= 5 \heartsuit 2|SZ=,}} ... . |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 2 \heartsuit 3|SZ=,}} {{mathl|term= 2 \heartsuit 4|SZ=,}} {{mathl|term= 2 \heartsuit 5|SZ=,}} ... . |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 10 \heartsuit 3|SZ=.}} |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 3 \clubsuit 2|SZ=.}} |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 2 \clubsuit 3|SZ=.}} |Was ist {{mathl|term= 2 \heartsuit_n 2|SZ=}} für jedes {{math|term= n|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8nd8l5qs8diky9i7i2jfk8zxxtod7r9 0 84856 786504 484125 2022-08-22T11:36:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In der Klasse gibt es vier Reihen mit je acht Sitzplätzen, die alle besetzt sind. Vorne stehen Frau Maier-Sengupta und Herr Lutz. Frau Maier Sengupta zählt die Kinder durch, wobei sie reihenweise von {{ Zusatz/Klammer |text=zuerst| |ISZ=|ESZ= }} links nach rechts und {{ Zusatz/Klammer |text=dann| |ISZ=|ESZ= }} von vorne nach hinten durchzählt. Herr Lutz zählt die Kinder von rechts hinten nach links vorne, wobei er zuerst die ganz rechts sitzenden Kinder durchzählt u.s.w. {{ Aufzählung3 |Welche Nummer bekommt dasjenige Kind, das von Frau Maier-Sengupta die Nummer {{math|term= 23|SZ=}} bekommt, von Herrn Lutz? |Welche Nummer bekommt dasjenige Kind, das von Herrn Lutz die Nummer {{math|term= 18|SZ=}} bekommt, von Frau Maier-Sengupta? |Welche Nummer bekommt das Kind, das in der dritten Reihe von vorne auf dem sechsten Stuhl von links sitzt, von den beiden Lehrkräften? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 726qkdhl6q1sm7gok55abbsyx2rvegn 0 84859 784573 477492 2022-08-22T06:29:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für das Potenzieren die folgenden Rechenregeln gelten {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{mathl|term= a,b \in \N_+|SZ=}} und {{mathl|term= m,n \in \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette/disp |a^{m+n} || a^m \cdot a^n || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |(a^{m})^n || a^{m n } || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |(a\cdot b)^n || a^n \cdot b^n || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pp530lqw20opg0dbxcyyj0pwo6orhy3 0 84865 783023 477882 2022-08-22T02:19:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die modische Winterjacke {{Anführung|Nungiduluxe}} wird in den Größen {{mathl|term= XS,S,M,L,XL,XXL|SZ=}} und in den Farben pink, türkis, lavendel, anthrazit, weinrot, ochsenblut, luisenblau und tschitscheringrün angeboten. Ferner gibt es die Ausführung mit Reißverschluss, mit einfachen Knöpfen und mit einer Doppelknopfreihe, sowie mit und ohne Kapuze. {{ Aufzählung5 |Beschreibe{{n Sie}} die Menge der möglichen Nungiduluxe-Jacken als eine Produktmenge. |Wie viele Nungiduluxe-Jacken gibt es? |Der Grundpreis der Jacke beträgt {{mathl|term= 200|SZ=}} Euro, für die Größen {{ mathkor|term1= XL |und|term2= XXL |SZ= }} wird ein Aufschlag von {{math|term= 10|SZ=}} Euro, für die Doppelknopfreihe wird ein Aufschlag von {{math|term= 8|SZ=}} Euro und für die Kapuze wird ein Aufschlag von {{math|term= 12|SZ=}} Euro verlangt. Wie viele Jacken gibt es, die mindestens {{math|term= 220|SZ=}} Euro kosten? |Lucy Sonnenschein möchte sich eine Nungiduluxe-Jacke kaufen. Sie hat Größe {{math|term= M|SZ=}} und möchte maximal {{math|term= 215|SZ=}} Euro ausgeben. Anthrazit und weinrot kommt für sie nicht in Frage, und sie findet, dass Reißverschlüsse meistens klemmen. Da sie zufällig eine luisenblaue und eine tschitscheringrüne Mütze hat, wäre bei diesen Farbe die Kapuze unsinnig. Alle verbleibenden Möglichkeiten möchte sie gerne anprobieren. Wie viele Jacken bestellt sie? |Die Bestellung von Lucy trifft auf folgende Schwierigkeiten: In der Größe {{math|term= M|SZ=}} sind die Farben pink und lavendel in jeder Ausführung ausverkauft und ochsenblut gibt es nur noch mit Reißverschluss. Türkis gibt es nur gleichzeitig mit Doppelknopfreihe und Kapuze und luisenblau nur mit der einfachen Knopfreihe. Wie viele Jacken werden geliefert? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=2 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3x2j0hfwmp868rlojpr9l36whnp8999 0 84866 782513 565344 2022-08-22T00:54:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Ring der Gaußschen Zahlen {{math|term= \Z[ {{Imaginäre Einheit}} ]|SZ=}} die Restklassendarstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z[{{Imaginäre Einheit}}] |\cong| \Z[X]/ (X^2+1) || || || |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Kategorie2=Der Homomorphiesatz (kommutative Ringe) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p9ui5r758df52ynu0bgugrmrc2lhk5t 0 84867 783409 579475 2022-08-22T03:23:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die komplexen Zahlen {{math|term= {{CC}}|SZ=}} die Restklassendarstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{CC}} |\cong| \R[X]/ (X^2+1) || || || |SZ= }} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2=Der Homomorphiesatz (kommutative Ringe) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jm4ea5an2i1a36uocg6kot0ia4zy2ki 0 84870 779930 508061 2022-08-21T17:44:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen in {{mathl|term= {{op:Zmod|29|}} |SZ=}} eine Quadratwurzel für {{math|term= -1|SZ=}} mit Hilfe von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Summe von zwei Quadraten/Daraus Wurzel aus -1/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} finden. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |29 ||5^2 +2^2 || (5+2 {{Imaginäre Einheit}} )(5-2 {{Imaginäre Einheit}} ) || || |SZ=. }} Im Restklassenkörper {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z[ {{Imaginäre Einheit}} ] /(5+ 2 {{Imaginäre Einheit}} ) |\cong| {{op:Zmod|29|}} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{Imaginäre Einheit}} ||-5 \cdot 2^{-1} || - 5 \cdot 15 || -75 || 12 |SZ=. }} In der Tat ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |12^2 ||144 ||-1 \mod 29 || || |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der Quadratreste |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 29 |Objektkategorie2=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a1p9coh95gq99x2lhdqa8urwfxcfoxm 0 84875 779182 508062 2022-08-21T15:48:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |N( 17+13 {{Imaginäre Einheit}} ) || 17^2 +13^2 || 289 +169 || 458 ||2 \cdot 229 |SZ=, }} wobei {{math|term= 229|SZ=}} eine Primzahl ist. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |229 ||225+4 ||15^2+2^2 || || |SZ= }} besitzt {{math|term= 229|SZ=}} in {{math|term= \Z[ {{Imaginäre Einheit}} ]|SZ=}} die Primfaktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |229 || (15 +2 {{Imaginäre Einheit}} )(15-2 {{Imaginäre Einheit}} ) || || || |SZ= }} und somit ergibt sich die Primfaktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |17+13 {{Imaginäre Einheit}} || (1+ {{Imaginäre Einheit}} )(15-2 {{Imaginäre Einheit}} ) || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bb3bjn5qmpi8h4hgu1fnz4afh05hijo 0 84879 785782 758960 2022-08-22T09:36:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine Liste der {{ Definitionslink |Prämath= |Quadratzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bis {{math|term= 400|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j0hch3nf7u2zrq3dd1bwvmbyx8vmfhd 0 84893 782885 756647 2022-08-22T01:56:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{{R|R}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= {{ideala}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{{S|S}}}={{{R|R}}}/{{ideala}} |SZ=.}} Zu einem Ideal {{mathl|term= I \subseteq {{{R|R}}}|SZ=}} welches {{mathl|term= {{ideala}}|SZ=}} enthält, sei {{mathl|term= I^\prime=I {{{R|R}}}/{{ideala}} |SZ=}} das zugehörige Ideal in {{math|term= {{{S|S}}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine kanonische {{ Definitionslink |Prämath= |Ringisomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{R|R}}} /I |\cong| {{{S|S}}}/I^\prime || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie in Restklassenringen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Korrespondenz |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hipif7xz4da6juri0lz7prnfkff71zs 0 84894 781390 477716 2022-08-21T21:47:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Differenz von ganzen Zahlen als eine Verknüpfung {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z \times \Z| \Z |(x,y)|x-y |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Erstelle{{n Sie}} die möglichen Klammerungen für die Differenz von vier ganzen Zahlen {{mathl|term= a,b,c,d|SZ=.}} |Welche Klammerung verbirgt sich üblicherweise hinter dem Ausdruck {{mathl|term= a-b-c-d|SZ=?}} |Welches Ergebnis könnte für Kinder bei {{mathl|term= 3-3-3-3|SZ=}} verlockend sein? |Schreiben sie die Möglichkeiten aus (1) als eine Addition von eventuell negativ genommenen Zahlen. |Wie viele unterschiedliche Ergebnisse kann es in (1) geben? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} db5pgq83uc3kt3gzc68evswmm71gmyd 0 84963 782507 756310 2022-08-22T00:53:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Z[{\mathrm i} ]/(n) |SZ=}} genau {{math|term= n^2|SZ=}} Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxn6b518tpwio3haqrr3hpdplzau49h 0 84977 784578 477950 2022-08-22T06:30:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|\N || || || |SZ= }} eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, die ein Maximum besitze. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} auch ein Minimum besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t6egxd5ulbnzeh5wruiemln7ioc03lo 0 84981 781609 755556 2022-08-21T22:23:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:Vergleichskette | M || {{op:Potenzmenge|G|}} || || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Durchschnitt| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Teilmengen von {{math|term= G|SZ=}} als eine {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzmenge |Kategorie2=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 15ljp2ctvcq96g9z993nt0u49jihxi4 0 84995 784540 478125 2022-08-22T06:24:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bringe{{n Sie}} die folgenden Berechnungen mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Differenz/Rechengesetze/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in Verbindung. {{ Aufzählung3 |In der ersten Halbzeit schießt Borussia Dortmund {{math|term= 3|SZ=}} Tore mehr als Bayern München. In der zweiten Halbzeit schießt Borussia Dortmund {{math|term= 4|SZ=}} Tore mehr als Bayern München. Wie viele Tore schießt Borussia Dortmund insgesamt mehr als Bayern München? |Mustafa Müller hat {{math|term= 7|SZ=}} Fußballbildchen mehr als Heinz Ngolo. Beide bekommen {{math|term= 12|SZ=}} neue hinzu. Was ist jetzt die Differenz? |Gestern hatte Mustafa Müller mindestens so viele Fußballbildchen wie Heinz Ngolo. Heute hat Heinz Geburtstag und bekommt neue Bildchen dazu, so dass er nun mindestens so viele Bildchen wie Mustafa hat. Wie lautet die neue Differenz, wenn man die alte Differenz und die Anzahl der geschenkten Bildchen kennt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Personenkategorie2=Heinz Ngolo |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ou6v9ur688drd5xi6ak93q275x8pvpz 0 84997 785270 758591 2022-08-22T08:12:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:Vergleichskette | M || {{op:Potenzmenge|G|}} || || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auf {{math|term= M|SZ=}} durch die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |S |\subseteq|T || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist. Zeige{{n Sie}}, dass es sich nicht um eine {{ Definitionslink |Prämath= |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzmenge als geordnete Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} orjwhpio4rx7dq7roygvws914pvzh6e 0 84999 784562 478138 2022-08-22T06:27:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= k,n|SZ=}} natürliche Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |k |\leq|n || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{Menge1k||}} |\subseteq| {{Menge1n||}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l7tx8u8q5tgf11f7j5u56mvh7lr2l14 0 85001 779069 478068 2022-08-21T15:30:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wenn man{{{zusatz1|}}} einen rationalen Punkt auf dem Einheitskreis sucht, der möglichst nahe an dem irrationalen Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }}| {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} }} |SZ=}} liegen soll, so kann man {{ Ma:Vergleichskette/disp |t || {{op:Bruch| {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} | 1+ {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} }} || {{op:Bruch| 1 | 1+ \sqrt{2} }} || 0,414213 ... || |SZ= }} berechnen. Die rationale Approximation {{ Ma:Vergleichskette/disp | t' || {{op:Bruch|414213|1000000}} || || || |SZ= }} führt zum rationalen Punkt {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 828427590631 | 1171572409369 }} | {{op:Bruch|828426000000 | 1171572409369 }} }} |SZ= }} auf dem Einheitskreis und zum pythagoreischen Tripel {{ Ma:Vergleichskette/align |x || v^2 - u^2 || 1000000^2 - 414213^2 || 1000000000000 - 171572409369 || 828427590631 |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || 2 \cdot 414213 \cdot 1000000 || 828426000000 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/align |z || u^2+v^2 ||414213^2 + 1000000^2 ||1171572409369 || |SZ=. }} In der Tat ist {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | 828427590631^2 + 828426000000^2 || 686292272918683718978161 + 686289637476000000000000 || 1372581910394683718978161 || 1171572409369^2 || |SZ=, }} wie man unmittelbar nachrechnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2lwjukql24bn571rnaeqi1h1597ov1t 0 85005 781446 478075 2022-08-21T21:56:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} mindestens eine ganzzahlige Lösung {{mathl|term= (x,y) \in \N_+ \times \N_+ |SZ=}} für die diophantische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^{k} +1 || y^n || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |k, n |\geq|2 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diophantischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4hj84nd6gvnchljx9ukuw61f7tjl8zi 0 85006 781597 478080 2022-08-21T22:21:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Approximiere{{n Sie}} die {{ Zusatz/Klammer |text=obere| |ISZ=|ESZ= }} primitive dritte Einheitswurzel auf dem rationalen Einheitskreis mit einem Fehler von maximal {{mathl|term= 1/1000000|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2=Theorie der konstruierbaren Einheitswurzeln‎ |Kategorie3=Theorie der pythagoreischen Tripel |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0uopyenbbc3uwbox20mxkwsog04bude 0 85010 785307 478130 2022-08-22T08:18:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die minimale Potenzzahl echt oberhalb von {{mathl|term= 1000000 |SZ=}} und die maximale Potenzzahl echt unterhalb von {{mathl|term= 1000000 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o40td3mduo7sz1ml1oeraa4yaksd28u 0 85011 784564 478154 2022-08-22T06:28:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\leq|b |\leq|c || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |c-b | \leq| c-a || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aebolcc9e9mhctcdfavd93iqavjghto 0 85015 785935 591582 2022-08-22T10:02:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |n || r^2 +s^2 || (r+ {{Imaginäre Einheit|}} s)(r- {{Imaginäre Einheit|}} s) || || |SZ= }} eine Summen von zwei Quadraten mit der zugehörigen Zerlegung in {{mathl|term= \Z[ {{Imaginäre Einheit|}} ]|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} {{math|term= n^2|SZ=}} auf zwei verschiedene Weisen und zeige{{n Sie}} damit, dass {{ math/disp|term= {{op:Bruch|r^2-s^2+2rs {{Imaginäre Einheit|}} |n}} |SZ= }} ein Punkt auf dem rationalen Einheitskreis ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h7jv934x2pj9cfrwipxgitw2qqdqy8b 0 85017 786093 759248 2022-08-22T10:28:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Einheitskreis {{ Ma:Vergleichskette/disp | S^1_\R || {{mengebed|z \in \R[ {{imaginäre Einheit|}} ] \cong {{CC}} | {{op:Betrag|z}} {{=}} 1 }} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= \R/\Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Einheitskreis |Kategorie2=Theorie der Gitter |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6j59tat83jjy6u0tdqxmkbypegkkeeg 0 85090 781917 628231 2022-08-21T23:15:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n\in \N_+|SZ=.}} Vergleiche{{n Sie}} die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer {{math|term= n|SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= n+1|SZ=-}}elementige Menge mit der Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer {{math|term= n+1|SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= n|SZ=-}}elementige Menge in den folgenden Fällen. {{ Aufzählung3/a | {{mathl|term= n=1|SZ=,}} | {{mathl|term= n=2|SZ=,}} | {{mathl|term= n=3|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2pm1fkpb1zz12yd8yobt4v36kpty5o7 0 85098 783123 756855 2022-08-22T02:36:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \geq 2|SZ=.}} Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im {{math|term= n|SZ=-}}System {{ Zusatz/Klammer |text=ohne die Nuller- und die Zehnerreihe| |ISZ=|ESZ=, }} ob {{math|term= n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primzahlen |Kategorie2=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} awvyd9qbjle0kr3od6f0cro0c2f6gz4 0 85100 783124 478457 2022-08-22T02:36:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass im kleinen Einmaleins {{ Zusatz/Klammer |text=ohne die Zehnerreihe| |ISZ=|ESZ= }} zur Basis {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} nur ein- und zweistellige Zahlen auftreten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 66h8t01hfv55hlyvh92boy4v39aqwid 0 85101 783122 478465 2022-08-22T02:36:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Berechne{{n Sie}} {{math|term= 3^2|SZ=}} im Vierersystem, {{math|term= 4^2|SZ=}} im Fünfersystem und {{math|term= 9^2|SZ=}} im Zehnersystem. |Zeige{{n Sie}}, dass im kleinen Einmaleins {{ Zusatz/Klammer |text=ohne die Zehnerreihe| |ISZ=|ESZ= }} zur Basis {{mathl|term= n \geq 3|SZ=}} rechts unten die Zahl mit den Ziffern {{mathl|term= n-2|SZ=}} und {{math|term= 1|SZ=}} steht. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fqkcg0aygyr2h8wtn9wcr1nrkfmhjp9 0 85106 782512 591583 2022-08-22T00:54:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | \R_+ \times S^1 |\cong| {{op:Einheiten|{{CC}}|}} || || || |SZ=, }} wobei einem Paar {{mathl|term= (r,s)|SZ=}} die komplexe Zahl {{mathl|term= r \cdot s|SZ=}} entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | \Q_+ \times S^1_\Q | {{op:Einheiten| \Q[ {{Imaginäre Einheit|}}] }} |(r,s)| r \cdot s |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist. |Zeige{{n Sie}}, dass jedes Quadrat aus {{mathl|term= {{op:Einheiten| \Q[ {{Imaginäre Einheit|}}] }} |SZ=}} zum Bild gehört. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein {{mathl|term= z \in {{op:Einheiten| \Q[ {{Imaginäre Einheit|}}] }} |SZ=,}} das kein Quadrat ist und zum Bild gehört. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Kategorie2=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7qg3v788kz14dep2pijjsfdb9wyiey3 0 85130 784543 478528 2022-08-22T06:25:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c,d|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |c |\geq|d || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |ac+bd |\geq| bc+ad || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |(a-b) \cdot (c-d) || ac +bd - (bc+ad) || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=3 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvwuzeoeetuwgsh0fs302punpf7esoh 0 85137 784801 758260 2022-08-22T07:02:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge und {{mathl|term= \preccurlyeq|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} durch Induktion über {{math|term= n \geq 2|SZ=}} die Aussage: Wenn für Elemente {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n \in M |SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_1 |\preccurlyeq |a_2 |\preccurlyeq| \ldots |\preccurlyeq| a_{n-1} |\preccurlyeq| a_n || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_n |\preccurlyeq| a_1 || || || |SZ= }} gilt, dann sind alle {{math|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} gleich. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2=Vollständige Induktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9rqyhn9rt0y2jine5hpopu0zgpa8m8i 0 85162 780426 754624 2022-08-21T19:06:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |L|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |injektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|M || || || |SZ= }} derart gibt, dass man {{math|term= \varphi|SZ=}} als Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi' |L|T || |SZ= }} auffassen kann {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= \varphi|SZ=}} und {{math|term= \varphi'|SZ=}} unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs| |ISZ=|ESZ= }} und dass {{math|term= \varphi'|SZ=}} bijektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4qgt74wknm0r4dttyxqyq37u4l70esr 0 85164 780441 754637 2022-08-21T19:08:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |L|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |surjektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|L || || || |SZ= }} derart gibt, dass man {{math|term= \varphi|SZ=}} als Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi' |S|M || |SZ= }} auffassen kann {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= \varphi|SZ=}} und {{math|term= \varphi'|SZ=}} unterscheiden sich nur hinsichtlich des Definitionsbereiches| |ISZ=|ESZ= }} und dass {{math|term= \varphi'|SZ=}} bijektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der surjektiven Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2u7zs9nn9ezqhmswcz1ui8fati78cn1 0 85166 781897 755797 2022-08-21T23:11:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{G|G}}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|{{{G|G}}}|}} |SZ=}} genau {{math|term= 2^n|SZ=}} Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cctevut6x1q04zqn5i4i9xiabh0yqyo 0 85178 786324 759398 2022-08-22T11:06:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Reihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \sum_{n {{=|}} 1}^\infty \frac{1}{n^s} |SZ= }} für eine komplexe Zahl {{math|term= s|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Realteil|s|}} |> |1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |absolut konvergiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Riemannsche Zetafunktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} focj7qs3nhraz92aq62gh43rf2fby0p 0 85179 781855 755759 2022-08-21T23:04:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz, dass für einen {{ Definitionslink |endlichen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} das Produkt aller von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedener Elemente aus {{math|term= K|SZ=}} gleich {{math|term= -1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hfhplfc77zy8k8seo8y7uktxagrmj4n 0 85187 780385 479213 2022-08-21T18:59:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von {{mathl|term= 100!|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8nrzb4hsad38shg6oy9qnvegx1ttmos 0 85194 784174 757829 2022-08-22T05:31:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{{G|G}}} |SZ=}} eine Menge, die als {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Vereinigung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{G|G}}} || A \uplus B || || || |SZ= }} gegeben ist. Definiere{{n Sie}} eine Bijektion zwischen der {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Definitionsseitenname= Mengen/Potenzmenge/Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge| {{{G|G}}} }} |SZ=}} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|A}} \times {{op:Potenzmenge|B}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzmenge |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cqbe35uy55oownfuwb9navhim1b05vx 0 85195 783117 629663 2022-08-22T02:35:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Mustafa Müller hat Geburtstag. Auf jeden Fall lädt er Heinz, Gabi und Lucy ein. Er überlegt sich, ob und wen er aus dem erweiterten Freundeskreis {{mathl|term= \{ \text{Maria}, \text{Bayar}, \text{Peter}, \text{Fritz}, \text{Silvia} \}|SZ=}} noch einladen soll. {{ Aufzählung3 |Wie viele Möglichkeiten besitzt Mustafa? |Nach langem Überlegen erstellt Mustafa eine Wertetabelle {{Wertetabelle5|text1=Name|text2= {{math|term= ?|SZ=}} |\text{Maria}| \text{Bayar}| \text{Peter} | \text{Fritz}| \text{Silvia} |+|+|-|-|+}} Wen lädt er ein? |Wie würde seine Wertetabelle aussehen, wenn er Bayar, Peter und Fritz einladen wollte? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzmenge von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2z9rqhee2qy3bpodcoajj84j8nfw89w 0 85209 782462 491275 2022-08-22T00:45:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir interessieren uns für Eigenschaften von ganzen Zahlen, die nur davon abhängen, ob eine positive {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= p|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} oder eine negative Zahl {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} vorliegt. {{ Aufzählung3 |Erstelle{{n Sie}} eine Verknüpfungstabelle für die Multiplikation auf {{mathl|term= \{ p, n\}|SZ=,}} die die Multiplikation auf {{math|term= \Z|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist| |ISZ=|ESZ= }} widerspiegelt. |Erstelle{{n Sie}} eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung auf {{mathl|term= \{ p, n\}|SZ=,}} die der Verknüpfung {{Anführung|Maximum nehmen}} auf {{math|term= \Z|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist| |ISZ=|ESZ= }} entspricht. |Gibt es eine Beziehung zwischen diesen Verknüpfungen und den Verknüpfungen {{math|term= \cdot|SZ=}} und {{math|term= +|SZ=}} auf {{mathl|term= \{g,u\}|SZ=,}} die das Verhalten von geraden und ungeraden Zahlen bei der Addition und der Multiplikation beschreiben? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d3eso1fkp7r0akk3t8urld75dd9zbxh 0 85227 786058 504443 2022-08-22T10:22:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{mathl|term= x \in \R|SZ=}} die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |\leq| {{op:Gaußklammer|2x|}} - 2 {{op:Gaußklammer|x|}} |\leq| 1 || || |SZ= }} gelten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Gaußklammer |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72psaaabn0l297a5zc6xcv71hsmobpj 0 85237 781775 491277 2022-08-21T22:51:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zur großen Pause fährt der Eiswagen {{Anführung|Largo Maggiore}} auf den Pausenhof. Eisverkäufer Lorenzo di Napoli bietet {{math|term= 10|SZ=}} Eissorten an. Lucy Sonnenschein hat heute Lust auf ein Eis mit drei Kugeln, die in der Eistüte übereinander gestapelt werden. {{ Aufzählung5 |Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird? |Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird? |Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird? |Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird? |Wie kann man mit den Schritten mit denen man (4) beantwortet hat die Antworten zu (1) und zu (3) herleiten? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Kombinatorik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=3 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3jz2cmeqijmngjq8zjn4gzxhygyrgtq 0 85239 785781 479765 2022-08-22T09:36:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine Quadratzahl {{mathl|term= \neq 0|SZ=}} stets eine ungerade Anzahl an Teilern besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Teileranzahl |Kategorie2=Theorie der Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fh1f3r9iyahbs3f83rm9e4xe1npttr9 0 85243 784537 568522 2022-08-22T06:24:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c,d|SZ=}} natürliche Zahlen. Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Es sei {{math|term= b|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= a|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | b \cdot c \cdot {{op:Bruch|a|b}} || c \cdot a || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |b |\neq|0 || || || |SZ=. }} |Es sei {{math|term= b|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= d|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= c|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | b,d |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|ac|bd}} || {{op:Bruch|a|b}} \cdot {{op:Bruch|c|d}} || || || |SZ=. }} Insbesondere gelten, wenn {{math|term= b|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= a|SZ=}} ist, die Beziehungen {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette |b,c |\neq|0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|ac|bc}} || {{op:Bruch|a|b}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|ac|b}} || {{op:Bruch|a|b}} \cdot c || || || |SZ=. }} |Es sei {{math|term= b \neq 0|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= a \neq 0|SZ=}} und {{math|term= a|SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term= bc|SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}}|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= c|SZ=}} und es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|\, \, c \, \, |\, \, {{op:Bruch|a|b}} \, \, }} || {{op:Bruch|cb|a}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdxvg20p6h259k3mh7w6yoheu827l73 0 85244 780694 754807 2022-08-21T19:51:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n|SZ=}} eine fixierte natürliche Zahl und {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{Menge1n||}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten die beiden Verknüpfungen {{ Zusatz/Klammer |text=Maximum und Minimum| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |M \times M|M |(a,b)| \operatorname{max} (a,b) |SZ=, }} und {{ Ma:abbele/disp |name= |M \times M|M |(a,b)| \operatorname{min} (a,b) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} mit diesen beiden Verknüpfungen {{ Zusatz/Klammer |text=mit welchen neutralen Elementen| |ISZ=?|ESZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} leqam3hkkpirlase0ygg7vw8qiqw9nu 0 85246 785945 759094 2022-08-22T10:03:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{Ma:Vergleichskette/disp |M || {{Mengebed|x \in \Q|0 \leq x \leq 1}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten die beiden Verknüpfungen {{ Zusatz/Klammer |text=Maximum und Minimum| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |M \times M|M |(a,b)| \operatorname{max} (a,b) |SZ=, }} und {{ Ma:abbele/disp |name= |M \times M|M |(a,b)| \operatorname{min} (a,b) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} mit diesen beiden Verknüpfungen {{ Zusatz/Klammer |text=mit welchen neutralen Elementen| |ISZ=?|ESZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72zn4o7dtg0i53y7esyq9et7r5dcbu1 0 85249 784534 479281 2022-08-22T06:24:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= b \neq 0|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= d \neq 0|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= c|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= bd|SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term= ad+cb|SZ=}} ist und dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|a|b}} + {{op:Bruch|c|d}} || {{op:Bruch|ad+cb|bd}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1qi81niz09k5qzwqfxjnfuqb8fmdfvw 0 85258 780391 569230 2022-08-21T19:00:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mit Hilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Bertrandschen Postulats|Faktseitenname= Primzahlverteilung/Primzahl zwischen n+1 und 2n/Bertrandsches Postulat/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass für jedes {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ= }} der Binomialkoeffizient {{ math/disp|term= {{op:Binom|2n|n}} |SZ= }} einen Primfaktor größer als {{math|term= n|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Bertrandsche Postulat |Kategorie2=Theorie der Primfaktorzerlegung von Binomialkoeffizienten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3y2o4tpvlrojt2zfw4agqekrde9utpo 0 85260 784527 479764 2022-08-22T06:23:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ= }} eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass die Anzahl ihrer Teiler ungerade ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= n|SZ=}} eine Quadratzahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Teileranzahl |Kategorie2=Theorie der Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rnh8ggxdm1mhdc7zrt3ucw2zetun7vv 0 85342 781859 479546 2022-08-21T23:05:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass {{math|term= L|SZ=}} von {{math|term= z|SZ=}} erzeugt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nwpaaopfmtrruwq1bpy1mjxd6yh9u09 0 85365 782183 480070 2022-08-21T23:59:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das Produkt von {{math|term= n|SZ=}} aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von {{math|term= n!|SZ=}} geteilt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pqwy1z4tjyuybw5hcgn6qwun6wg00s8 0 85366 781091 646376 2022-08-21T20:57:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Formel {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2^n || \sum_{k {{=|}} 0}^n {{op:Binom|n|k}} || || || |SZ= }} durch Induktion nach {{math|term= n|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7v4028bw4b9el2jicwnmqmforbhq2gy 0 85374 781389 481868 2022-08-21T21:47:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c,d|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |a+b ||c+d || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq|c || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette |d | \geq|b || || || |SZ= }} ist und dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |a-c ||d-b || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 59m90rg8ur58swsvzyy61mc889j22o5 0 85389 778799 762716 2022-08-21T12:56:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien {{mathl|term= f,g|SZ=}} multiplikativ und es seien {{mathl|term= m,n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremde| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} natürliche Zahlen. Zu einer Faktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |de ||mn || || || |SZ= }} gibt es aufgrund der Teilerfremdheit eine eindeutige Aufspaltung {{ Ma:Vergleichskette |d ||ru || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |e ||sv || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= r,u|SZ=}} und {{mathl|term= s,v|SZ=}} teilerfremd und mit {{ Ma:Vergleichskette |rs ||m || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |uv ||n || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |(f *g) (m \cdot n) || \sum_{ d\cdot e {{=}} m \cdot n} f(d) g(e) || \sum_{rs {{=}}m,\, uv {{=}} n} f(r u)g(s v) || \sum_{rs {{=}}m,\, uv {{=}} n} f(r)f(u)g(s) g(v) || {{makl| \sum_{ r \cdot s {{=}} m} f(r)g(s) |}} \cdot {{makl| \sum_{ u \cdot v {{=}} n} f(u)g(v) |}} || (f *g) (m) \cdot (f*g)( n) |SZ=, }} also ist auch {{mathl|term= f *g|SZ=}} multiplikativ. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cs5lreehhifav8ixn9doms2u5vpdcce 0 85420 784549 646351 2022-08-22T06:26:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mit dem allgemeinen Distributivgesetz die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | a^{n+1} -1 || (a-1) {{makl| \sum_{k {{=}} 0}^n a^k |}} || || || |SZ= }} für natürliche Zahlen {{math|term= a \in \N_{\geq 1} |SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} skwel2sujl1swkqm8r9x798l8on69uo 0 85424 783143 479842 2022-08-22T02:39:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Pokalwettbewerb werde mit {{mathl|term= 2^{n+1}|SZ=}} Mannschaften im K.-o.-System ausgetragen. Beweise{{n Sie}} die Identität {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 0}^n 2^k || 2^{n+1} -1 || || || |SZ= }} durch eine inhaltliche Überlegung {{ Zusatz/Klammer |text=Wie viele Spiele finden statt| |ISZ=?|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Elementare Kombinatorik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ej5y5n5n4koitj032wemyp9s1vt8e6u 0 85427 784554 758089 2022-08-22T06:26:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen mit den beiden Verknüp{{latextrenn}}fungen {{ Ma:abbele/disp |name= |\N \times \N|\N |(a,b)| {{op:GgT|a|b}} |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= |\N \times \N|\N |(a,b)| {{op:KgV|a|b}} |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass der größte gemeinsame Teiler eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=der größte gemeinsame Teiler von {{math|term= 0|SZ=}} und {{math|term= 0|SZ=}} sei als {{math|term= 0|SZ=}} festgelegt| |ISZ=|ESZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass das kleinste gemeinsame Vielfache eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=das kleinste gemeinsame Vielfache von {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= 0|SZ=}} sei als {{math|term= 0|SZ=}} festgelegt| |ISZ=|ESZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass mit diesen Verknüpfungen {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem GgT als Addition| |ISZ=|ESZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des größten gemeinsamen Teilers (N) |Kategorie2=Theorie des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (N) |Kategorie3=Theorie der kommutativen Halbringe |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |p1=4 |p2=3 |p3=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tsdss54aagr465a86h77gmf0v6akzh0 0 85435 781910 628229 2022-08-21T23:13:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} endliche Mengen mit {{ mathkor|term1= \ell |bzw.|term2= m |SZ= }} Elementen. Wie viele Abbildungen gibt es von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q2dyfwwc2i23obuasadwm4e5uspdx7r 0 85445 781491 479975 2022-08-21T22:04:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Rest von {{mathl|term= 123456789|SZ=}} bei Division durch {{math|term= 7|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ijx7k4cgo4aa3l4gwe6ruvau4nt8x7r 0 85446 781476 479976 2022-08-21T22:01:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch {{math|term= 3|SZ=}} bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r89fhuulhw2v99plr8rgsrow5il8b1q 0 85447 781478 479980 2022-08-21T22:01:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch {{math|term= 5|SZ=}} bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ahpmbbxboykluv3euuh2c866jwnvec2 0 85448 781477 479978 2022-08-21T22:01:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch {{math|term= 4|SZ=}} bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 62334r7utj8528pze168mv8dfwan8rt 0 85449 781496 479979 2022-08-21T22:04:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= d \geq 2|SZ=}} eine natürliche Zahl. In welcher Beziehung stehen die Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch {{math|term= d|SZ=}} bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben, zum kleinen Einsundeins und zum kleinen Einmaleins im {{math|term= d|SZ=-}}System? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1m3xi8y1td47b3sxrl41p6sdrj962ob 0 85452 781495 755483 2022-08-21T22:04:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= n,d|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{mathl|term= d \geq 1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= d|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Teiler| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= n|SZ=}} ist, wenn bei der {{ Definitionslink |Prämath= |Division mit Rest| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= n|SZ=}} durch {{math|term= d|SZ=}} der Rest gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8t58kaq2okdba0hrpjmqq9w7fe9g1r2 0 85453 781494 479988 2022-08-21T22:04:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu einer natürlichen Zahl {{math|term= n|SZ=}} sei {{mathl|term= \psi(n)|SZ=}} gleich der Summe aller Reste, die bei der Division von {{math|term= n|SZ=}} durch die Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |d ||1,2 {{kommadots|}} n || || || |SZ= }} auftreten. {{ Aufzählung2 |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= \psi(n)|SZ=}} für die Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |n ||1,2 {{kommadots|}} 10 || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|7 || || || |SZ= }} stets {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi(n) |\geq|n || || || |SZ= }} gilt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o78qp6iot87m9th0394hcfmtfsczyh1 0 85477 784524 480252 2022-08-22T06:22:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= 0 \leq k \leq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}: Eine positive natürliche Zahl ist genau dann {{mathl|term= < 10^{k}|SZ=,}} wenn sie im Eurozahlensystem aus maximal {{math|term= 3k|SZ=}} Ziffern besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie2=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t5i7atozkd56bzf5xq2ecn4uulpyvl0 0 85524 779180 763278 2022-08-21T15:48:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In der Ringerweiterung {{ Ma:Vergleichskette |\Z |\subseteq| \Z[{{imaginäre Einheit}}] || || || |SZ= }} ist {{math|term= {{imaginäre Einheit}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ganz| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Z|SZ=,}} wie die Ganzheitsgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{imaginäre Einheit}}^2 || -1 || || || |SZ= }} zeigt. Auch für ein beliebiges Element {{ Ma:Vergleichskette |z ||a+b{{imaginäre Einheit}} |\in|\Z[ {{imaginäre Einheit}} ] || || || |SZ= }} kann man direkt eine Ganzheitsgleichung angeben, nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| a+b {{imaginäre Einheit}} |}}^2 -2a {{makl| a+b{{imaginäre Einheit}} |}} +a^2 +b^2 || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fycs68qs2wtx3t8og8usrrjouob04vp 0 85526 779174 763275 2022-08-21T15:47:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || X^n +r_{n-1}X^{n-1} {{plusdots|}} r_2X^2 + r_1X+r_0 |\in| R[X] || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normiertes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=.}} Dann ist in der {{ Definitionslink |Prämath= |Ringerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R |\subseteq| R[X]/(P) || || || |SZ= }} die Restklasse {{math|term= x|SZ=}} von {{math|term= X|SZ=}} im Restklassenring {{ Ma:Vergleichskette |S || R[X]/(P) || || || |SZ= }} ganz über {{math|term= R|SZ=,}} da ja {{math|term= P|SZ=}} unmittelbar die Ganzheitsgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^n +r_{n-1} x^{n-1} {{plusdots|}} r_2x^2 + r_1x+r_0 ||0 || || || |SZ= }} liefert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Restklassenringe vom Polynomring in einer Variablen über einem Körper‎ |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ax9oozuzckedjgn50pvscwwa8wij5z2 0 85551 782478 756289 2022-08-22T00:48:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq|L || || || |SZ= }} ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften: {{ Aufzählung3 | {{math|term= R|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |ganz| |Kontext=Ringerweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Z|SZ=.}} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |Q(R) ||L || || || |SZ=. }} |{{math|term= R|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} Dann ist {{math|term= R|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ring der ganzen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} krzhke3leobivp2y4gj0tda5eelssz9 0 85552 779076 763211 2022-08-21T15:31:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq| \Q[\sqrt{-3}] || || || |SZ=, }} der die Ringe {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Z[\sqrt{-3}] {{=}} A | \subseteq| \Z[ \omega] {{=}} B |\subseteq| \Q[\sqrt{-3}] || || |SZ= }} enthält, wobei {{ Ma:Vergleichskette | \omega || -\frac{1}{2} +\frac{ {{imaginäre Einheit|}} }2\sqrt3 || || || |SZ= }} ist, d.h. {{mathl|term= \Z[\omega]|SZ=}} ist der Ring der {{ Definitionslink |Prämath= |Eisenstein-Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Quotientenkörper von beiden Ringen ist {{math|term= \Q[\sqrt{-3}] |SZ=.}} Das Element {{math|term= \omega|SZ=}} erfüllt die Ganzheitsgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\omega^2 + \omega +1 || 0 || || || |SZ=, }} und somit ist {{mathl|term= \Z[\omega]|SZ=}} ganz über {{math|term= \Z|SZ=.}} Ferner ist {{math|term= \Z[\omega]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies ergibt sich aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen und Z(Wurzel -3)/Euklidisch/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ganzheitsring/Normal/Quotientenkörper/Ganz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist also insgesamt der Ring der Eisenstein-Zahlen der Ring der ganzen Zahlen in {{math|term= \Q[\sqrt{-3}] |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1t2qllkjwqzsmtv7gc3144mgls3b6in 0 85564 782588 510661 2022-08-22T01:06:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, von welcher Art {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne der [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesung 17|Vorlesung]]| |ISZ=|ESZ= }} die folgenden Gleichungen sind. {{ Aufzählung5 | {{mathl|term= \sum_{i {{=|}} 1}^n i {{=|}} {{op:Bruch|n(n+1)|2}} |SZ=,}} | {{mathl|term= \prod_{i {{=|}} 1}^n i {{=|}} n! |SZ=,}} | {{mathl|term= 4+9=13|SZ=,}} | {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Binom|4|2}} ||6 || || || |SZ=, }} |{{mathl|term= x^2 =7 |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1qbsqb4jgyu03owdquirlugudgcikwv 0 85566 785577 481747 2022-08-22T09:02:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= v \geq u \geq 0|SZ=}} natürliche Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= x = v^2-u^2, \, y = 2uv,\, z=u^2+v^2 |SZ= }} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^2 +y^2 ||z^2 || || || |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 50l0eqkb51634n2nfw0i0s3hboyjai5 0 85569 781730 481662 2022-08-21T22:43:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} sämtliche Lösungen aus {{math|term= \N|SZ=}} für die folgenden Gleichungen. {{ Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette |2x+3 ||5x || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette |2x ||x^2 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette |9x ||x^3 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2tziblzt4smbklpk0reul7ua22jg47b 0 85571 782072 755962 2022-08-21T23:40:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p_1 {{kommadots|}} p_n|SZ=}} die ersten {{math|term= n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Finde{{n Sie}} eine Schranke, unterhalb der es eine weitere Primzahl geben muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Unendlichkeit der Primzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jlxqihanhiapn4cabv8at8av3h0qmin 0 85575 782477 756288 2022-08-22T00:48:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||X^ 2-3X+7 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q ||Y^3-Y^2+4Y-5 || || || |SZ=. }} Begründe{{n Sie}}, dass die Ringerweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Z |\subseteq| \Z[X,Y]/(P,Q) || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |ganz| |Kontext=Ringerweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= x+y|SZ=}} und für {{math|term= xy|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9oqjqzubxe6fznf3ml1zbr44i590fv0 0 85576 781150 481753 2022-08-21T21:07:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ersetze{{n Sie}} im Ausdruck {{ math/disp|term= \text{QZVWXYTXUXYSRWZ} |SZ= }} simultan die Buchstaben {{math|term= Q|SZ=}} durch {{math|term= F|SZ=,}} {{math|term= R|SZ=}} durch {{math|term= A|SZ=,}} {{math|term= S|SZ=}} durch {{math|term= J|SZ=,}} {{math|term= T|SZ=}} durch {{math|term= N|SZ=,}} {{math|term= V|SZ=}} durch {{math|term= O|SZ=,}} {{math|term= W|SZ=}} durch {{math|term= H|SZ=,}} {{math|term= X|SZ=}} durch {{math|term= E|SZ=,}} {{math|term= Y|SZ=}} durch {{math|term= S|SZ=}} und {{math|term= Z|SZ=}} durch {{math|term= R|SZ=.}} Handelt es sich um einen Term? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Terme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eek7gtrkk2jfhgybfx5kyew4lppgk23 0 85581 782475 756286 2022-08-22T00:48:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ganz-abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R[X]|SZ=}} ist. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen kommutativen Ring {{math|term= R|SZ=,}} der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem kommutativen Ring |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tn7ddmcvbth2ufe9wumaz8lobeq9qbb 0 85583 781811 755717 2022-08-21T22:57:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} direkt {{ Zusatz/Klammer |text=ohne {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} dass {{math|term= A|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ganz| |Kontext=Ringerweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der endlichen kommutativen Algebren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9v6mzq09cz6b5js3z9swvj22o2n2bs5 0 85585 783132 482160 2022-08-22T02:37:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Einsetzungen {{ Aufzählung3 |{{math|term= A *_1 B|SZ=,}} |{{math|term= A *_2 B|SZ=,}} |{{math|term= A *_3 B|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Operadentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5cziias1jhz5id4b1r3zwyu4pek99tw 0 85588 781200 481730 2022-08-21T21:15:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ersetze{{n Sie}} im Molekül {{ math/disp|term= H-O-C\equiv C-O-O-C \equiv B |SZ= }} jedes Sauerstoffatom {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= O|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} durch {{mathl|term= O-O|SZ=}} und jedes Kohlenstoffaxiom {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= C|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} durch ein Siliciumaxiom {{math|term= Si|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Terme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dj76xvean93ohoxspnpifguu3i9zzb6 0 85589 783133 482161 2022-08-22T02:37:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Einsetzungen {{ Aufzählung3 |{{math|term= A *_1 A|SZ=,}} |{{math|term= A *_2 A|SZ=,}} |{{math|term= A *_3 A|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Operadentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8exzk5noxyk9821wks5199gz9p3g7yu 0 85590 783134 482162 2022-08-22T02:38:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Einsetzungen {{ Aufzählung8 |{{math|term= B *_1 A|SZ=,}} |{{math|term= A *_2 D|SZ=,}} |{{math|term= D *_3 B|SZ=,}} |{{math|term= D *_1 B|SZ=,}} |{{math|term= D *_2 B|SZ=,}} |{{math|term= D *_1 D|SZ=,}} |{{math|term= C*_1 A|SZ=,}} |{{math|term= A *_1 C|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Operadentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qnwhxhrzkkmyha4iptd4qc2je1p9u37 0 85591 783135 482163 2022-08-22T02:38:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Einsetzungen {{ Aufzählung5 |{{math|term= C *_1 C|SZ=,}} |{{math|term= (C *_1 C) *_1 C|SZ=,}} |{{math|term= ((C *_1 C) *_1 C ) *_1 C|SZ=,}} |{{math|term= C *_1 (C *_1 C)|SZ=,}} |{{math|term= (C *_1 C) *_1 (C *_1 C)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Operadentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 39h3t7ve3m0l7fay1jpasn8fbyajlh6 0 85592 783137 481740 2022-08-22T02:38:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Besitzen die Einsetzungen {{mathl|term= *_i|SZ=}} für die kleinen Scheiben ein neutrales Element? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Operadentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p9z90s36gueov012yv4udam7wkyh7ka 0 85594 783136 482164 2022-08-22T02:38:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Einsetzungen {{ Aufzählung4 |{{math|term= B *_2 A|SZ=,}} |{{math|term= D *_3 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tmjm3b5t1gcnw2n4xoau3psl41q0fqf 0 85606 782424 756256 2022-08-22T00:39:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Präzisiere{{n Sie}} an jeder Stelle der Definition der {{ Definitionslink |Prämath= |Addition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition |SZ= }} auf {{math|term= \Z|SZ=,}} ob {{math|term= +|SZ=}} die Addition in {{math|term= \N|SZ=}} oder in {{math|term= \Z|SZ=}} bezeichnet und ob {{math|term= -|SZ=}} die Differenz auf {{math|term= \N|SZ=}} oder die Negation bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kbcvu6rzicwat4gupgq4fymejgs1lpn 0 85607 782452 756273 2022-08-22T00:44:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Präzisiere{{n Sie}} an jeder Stelle der Definition der {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition |SZ= }} auf {{math|term= \Z|SZ=,}} ob {{math|term= \cdot |SZ=}} die Multiplikation in {{math|term= \N|SZ=}} oder in {{math|term= \Z|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 48ftvuexybqkesdcwjyu1x2zpc0xm5p 0 85610 784567 481866 2022-08-22T06:28:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |a-b |\geq| c || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq| b+c || || || |SZ= }} ist und dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |(a-b)-c | |a-(b+c) || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b6dilfuv8kfubsg7dq8ym4pl0x741xr 0 85616 782447 483090 2022-08-22T00:43:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu gegebenen ganzen Zahlen {{mathl|term= a,b \in \Z|SZ=}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |a+x ||b || || || |SZ= }} eine eindeutige Lösung, nämlich {{mathl|term= b-a|SZ=,}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen‎ |Kategorie2=Theorie der Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lvehxu5tcieljx70tnwnioo2regv9j6 0 85618 782460 481889 2022-08-22T00:45:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für zwei von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene ganze Zahlen {{math|term= x,y|SZ=}} auch das Produkt {{mathl|term= x \cdot y|SZ=}} von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mv3ixmh2musf1snjvro3mbzars8c5ul 0 85624 781492 481908 2022-08-21T22:04:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Rest von {{mathl|term= 123456789|SZ=}} bei Division durch {{math|term= 9|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1lb7hp8byswgtohbp5c7netel4naff3 0 85627 781493 481912 2022-08-21T22:04:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Rest von {{mathl|term= 123456789|SZ=}} bei Division durch {{math|term= 8|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division 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es für jede ganze Zahl {{math|term= z|SZ=}} eine eindeutige Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |z || \sum_{i {{=}} 0}^n c_i 10^{i} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |-4 |\leq| c_i |\leq| 5 || || |SZ= }} für alle {{math|term= i|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für ganze Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mt5ihtw43v1oqr7efi48cvsk0ghl6d4 0 85635 782758 483088 2022-08-22T01:35:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Familie Müller hat im Monat Dezember folgende Einnahmen und Ausgaben {{ Zusatz/Klammer |text=alles in Euro| |ISZ=|ESZ=. }} Gehälter: {{mathl|term= 4847|SZ=,}} Lebensmittelkosten: {{mathl|term= 1250|SZ=,}} Kosten für das Silvesterfeuerwerk: {{math|term= 101|SZ=,}} Schuldentilgung: {{math|term= 705|SZ=,}} Zinsen: {{mathl|term= 280|SZ=,}} Geschenke kaufen: {{math|term= 325|SZ=,}} Lottogewinn: {{mathl|term= 253|SZ=,}} Unterstützung an die Oma: {{mathl|term= 300|SZ=,}} Taschengeld für die Kinder: {{mathl|term= 40|SZ=,}} Spende an die Bahnhofsmission: {{mathl|term= 80|SZ=,}} auf der Straße gefunden: {{mathl|term= 20|SZ=,}} Heizungskosten: {{mathl|term= 531|SZ=,}} Fortbildungsseminar: {{mathl|term= 345|SZ=,}} Ausflug an die Nordsee: {{mathl|term= 470|SZ=,}} Wasser- und Strom: {{mathl|term= 360|SZ=,}} Opernbesuch: {{mathl|term= 108|SZ=,}} Erlös durch den Verkauf der Fußballbildchen von Mustafa: {{mathl|term= 35|SZ=.}} Wie hoch sind die Gesamteinnahmen und wie hoch sind die Gesamtausgaben der Familie im Dezember? Wie sieht die Gesamtbilanz für den Monat Dezember aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tuj3pr2w63juco0rzqe0qonoensv3wp 0 85636 782450 574310 2022-08-22T00:43:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen. {{ Aufzählung3/a |{{mathl|term= -6,\,4,\,-5,\,3,\, 5|SZ=,}} |{{mathl|term= -7,\,-5,\,-6,\,-4|SZ=,}} |{{mathl|term= -6+2,\, 2-8,\,5-5,\,3-7,\,5-9|SZ=.}} }} Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1jxyy0gr7c5o8tlif0vvwhlv6q26pzd 0 85637 783308 757008 2022-08-22T03:07:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} die zweite binomische Formel für einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} und führe{{n Sie}} sie auf die erste binomische Formel zurück. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ahrga1f2iyg1a6hqrioz76xsris0wfz 0 85638 783271 756975 2022-08-22T03:00:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} und beweise{{n Sie}} die dritte binomische Formel für einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvdgjilzldxmmmuafvxavqrowaoadk0 0 85639 785617 613545 2022-08-22T09:09:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Squares in a square grid|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=David Epstein |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wie viele Teilquadrate mit positiver Seitenlänge gibt es in einem Quadrat der Seitenlänge {{math|term= 5|SZ=?}} Die Seiten der Teilquadrate sollen wie im Bild auf dem {{Anführung|Gitter}} liegen, ein einzelner Punkt gelte nicht als Quadrat. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Kombinatorik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pvo3s5bz6ya1e5oyvz3mwjzxcf35smw 0 85661 782423 756255 2022-08-22T00:39:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für jede ganze Zahl {{mathl|term= a \in \Z|SZ=}} die Additionsabbildung mit {{math|term= a|SZ=,}} also {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z|\Z |x|x+a |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Was ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Differenz |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1b8q6m2b86p1qtihc1df534uuiczraf 0 85663 781794 755702 2022-08-21T22:54:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |S ||R[X_1 {{kommadots|}} X_n]/{{ideala}} || || || |SZ= }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=als Algebra| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |ganz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugter| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der endlichen kommutativen Algebren |Kategorie3=Theorie der kommutativen Algebren von endlichem Typ |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ars0qeba6f3wwtj5jwrzzkvr83zwnpo 0 85665 782878 756641 2022-08-22T01:55:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}}, {{idealb|}} |\subseteq|R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} \cdot {{idealb|}} |\subseteq| {{ideala|}} \cap {{idealb|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Produkt von Idealen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e9irsmgfrsdrxsxf18uctbjt1ara29m 0 85667 782180 756055 2022-08-21T23:58:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |faktorieller| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\Z |\subseteq|R || || || |SZ= }} die zugehörige Erweiterung. Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |p ||q_1^{r_1} \cdots q_k^{r_k} || || || |SZ= }} die Primfaktorzerlegung von {{math|term= p|SZ=}} in {{math|term= R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{math|term= q_i|SZ=}} seien also paarweise nicht {{ Definitionslink |Prämath= |assoziiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}}|SZ=}} von {{math|term= R|SZ=}} mit der Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} \cap \Z || (p) || || || |SZ= }} genau die Primideale der Form {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} || (q_i) || || || |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Idealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6v0cmvwxu0kz4ir35fat135bj8y1kld 0 85690 785713 758925 2022-08-22T09:25:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= \sqrt{D}|SZ=}} bzw. für {{math|term= \omega|SZ=}} in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sux9ksjsbffthkyrtc4ae7i8qr6bc01 0 85694 785725 758937 2022-08-22T09:27:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definition |SZ= }} auf {{math|term= \Q[\sqrt{D}]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körperautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und auf {{math|term= A_D|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= \Q|SZ=}} bzw. gleich {{math|term= \Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qtj439s06hhetavhak0dvqft7g8fkuj 0 85696 785626 758854 2022-08-22T09:10:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |D |\neq| 0,1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= A_D/ \Z[\sqrt{D}] |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2s99j93ssqkc6faohrbfvattgck8d0k 0 85698 784173 757828 2022-08-22T05:31:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{M|M}}} |SZ=}} eine Menge und es sei {{math|term= {{{B|B}}}|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiven Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{{M|M}}} |SZ=}} nach {{math|term= {{{M|M}}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{{B|B}}} |SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Abbildungen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu {{mathl|term= f \in {{{B|B}}} |SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jtuf916kfni5ssq3zwzcvz2w31g7wx9 0 85699 785714 758926 2022-08-22T09:25:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= 1|SZ=}} Teil einer Ganzheitsbasis von {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q4nbdpay87zelqvdeix1v4ayk273e6v 0 85722 785402 758686 2022-08-22T08:33:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Z^2|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |komponentenweisen| |Kontext=verknüpfung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Gilt in diesem Ring die Eigenschaft, dass aus {{ Ma:Vergleichskette |xy ||0 || || || |SZ= }} folgt, dass {{ mathkor|term1= x |oder|term2= y |SZ= }} gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i3ur4c28wz1dezifm79mcflbqliyr81 0 85723 782669 756445 2022-08-22T01:20:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Gruppe/Element/Situation|SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G|G |x| x \circ g |SZ=, }} die Verknüpfung mit {{math|term= g|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. In welcher Beziehung steht diese Aussage zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jhr2eo3tks5edx15wxjaceod4vnwxph 0 85724 782449 573212 2022-08-22T00:43:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen. {{ Aufzählung3/a |{{mathl|term= 4,-7,-6,8, 5|SZ=,}} |{{mathl|term= -3,-2,-1,0|SZ=,}} |{{mathl|term= -4+3,2-3,4-5,6-7,-4+6|SZ=.}} }} Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8a84agi9b6vp49v2l6j8iogybjcl87j 0 85725 786343 759422 2022-08-22T11:09:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{math|term= {{{x|x}}}, {{{y|y}}}|SZ=}} und {{math|term= {{{z|z}}}|SZ=}} Elemente in {{math|term= {{{R|R}}}|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{makl| 2x^3- xy^2z- 4 x^2 y^2 |}} {{makl| -2 x^3 - z- xyz |}} - x^2 {{makl| 4- 3y-5 xy^5 z |}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Grundlagen der Ringtheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p8x1tx26o88do11nglv7b7ex2ezok3v 0 85726 786332 759407 2022-08-22T11:07:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}}, welche Bedeutungen die Begriffe {{Betonung|positiv}} und {{Betonung|negativ}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. Wie sieht es in {{math|term= \Z|SZ=}} aus? Welche Bedeutung ist relativ, welche absolut? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hfffnwbv2uabf3apc87iit8qebvmchm 0 85729 783275 756978 2022-08-22T03:01:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{mathl|term= k,m,n|SZ=}} ganze Zahlen und {{mathl|term= x,y \in R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung5 |Zu {{math|term= n \in \N|SZ=}} ist {{mathl|term= nx|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die {{math|term= n|SZ=-}}fache Summe von {{math|term= x|SZ=}} mit sich selbst| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{mathl|term= (1 {{plusdots|}} 1) \cdot x|SZ=,}} wobei links die {{math|term= n|SZ=-}}fache Summe der {{math|term= 1 \in R|SZ=}} mit sich selbst steht. |Zu {{math|term= n \in \N|SZ=}} ist {{math|term= -n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die {{math|term= n|SZ=-}}fache Summe des Negativen von {{math|term= 1|SZ=}} mit sich selbst| |ISZ=|ESZ= }} gleich dem Negativen {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= n=1 {{plusdots|}} 1|SZ=.}} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (m+k) x || mx + kx || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | k ( x+y) || k x + ky || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (km) x || k (mx) || || || |SZ=. }} | | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der kanonische Ringhomomorphismus von Z nach einem Ring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3fzexnxq6nsagx1v7pogvedi7uh34c5 0 85731 784996 758413 2022-08-22T07:31:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Es sei {{math|term= F|SZ=}} ein normiertes Polynom aus {{math|term= \Z[X]|SZ=}} und es gebe eine Primzahl {{math|term= q|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass {{math|term= F|SZ=}} modulo {{math|term= q|SZ=,}} also aufgefasst in {{math|term= {{op:Zmod|q|}} [X] |SZ=,}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass dann schon {{math|term= F|SZ=}} irreduzibel ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss. |Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und {{math|term= G \in {{op:Zmod|p|}} [X] |SZ=}} ein normiertes Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass es ein normiertes Polynom {{mathl|term= F\in \Z[X]|SZ=}} gibt, das modulo {{math|term= p|SZ=}} mit {{math|term= G|SZ=}} übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in Polynomringen |Kategorie2=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=2 |p2=2 |p3=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} augvwmtnurp3or2l76dr2xv6fneqxfy 0 85741 781115 755173 2022-08-21T21:01:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= F|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |einfache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Z/Binäre quadratische Form/Einfach/Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |binäre quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die von der Menge der durch {{math|term= F|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |darstellbaren| |Kontext=Quadratische Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zahlen erzeugte Untergruppe gleich {{math|term= \Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2j1q6vwz8m5vn57f2a1oi3vsphyv67w 0 85750 781117 755177 2022-08-21T21:01:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= F=aX^2+bXY+cY^2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |binäre quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= F'|SZ=}} die mittels der Matrix {{ Ma:Vergleichskette | M || {{op:Matrix22|r|s|t|u}} || || || |SZ= }} transformierte Form {{ Ma:Vergleichskette |F' ||F M || || || |SZ=. }} Dann besteht für die Koeffizienten die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|b'|2c'|2a'|b'}} || {{op:Matrix22|u|s|t|r}} {{op:Matrix22|b|2c|2a|b}} {{op:Matrix22|r|s|t|u}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ov0m3kjo9salnx1go1yyk4dyhbwjrmu 0 85753 778733 762660 2022-08-21T12:46:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung3 |Diese beiden Aussagen folgen daraus, dass das Produkt invertierbarer Matrizen {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= \Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wieder invertierbar ist und aus {{ Faktlink |Präwort=dem|Determinantenmultiplikationssatz|Faktseitenname= Determinante/Multiplikationssatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Wir arbeiten mit der Umrechnungsregel für die Koeffizienten in Matrixform, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|a'| {{op:Bruch|1|2}} b' | {{op:Bruch|1|2}} b' |c'}} || {{op:Matrix22|r|t|s|u}} {{op:Matrix22|a|{{op:Bruch|1|2}} b| {{op:Bruch|1|2}} b |c}} {{op:Matrix22|r|s|t|u}} || || || |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=Der|Determinantenmultiplikationssatz|Faktseitenname= Determinante/Multiplikationssatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liefert {{ Ma:Vergleichskette/align | \operatorname{diskr} (F) || -4 \cdot {{op:Determinante| {{op:Matrix22|b'|2c'|2a'|b'}} }} || -4 \cdot ( \pm 1 ) {{op:Determinante| {{op:Matrix22|b|2c|2a|b}} }} (\pm 1) || -4 \cdot {{op:Determinante| {{op:Matrix22|b|2c|2a|b}} }} ||\operatorname{diskr} (F) || |SZ=. }} |Dies folgt unmittelbar aus dem kommutativen Diagramm {{Kommutatives Dreieck|\Z^2|\Z^2|\Z|abb12=M|abb13=F'|abb23=F|SZ=\, .}} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8kgyj58tzyvi3t7hvmyppunsqzz3hoc 0 85758 779731 751787 2022-08-21T17:14:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen für die {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} die binäre quadratische Form, die auf {{math|term= R|SZ=}} durch die Norm gegeben ist. Sei also {{math|term= R|SZ=}} der Ganzheitsring in {{mathl|term= K=\Q[\sqrt{D}]|SZ=}} zu einer quadratfreien Zahl {{math|term= D \neq 0,1|SZ=.}} Sei zunächst {{ Ma:Vergleichskette/disp |D ||2,3 \mod 4 || || || |SZ=. }} Dann ist der Ganzheitsring {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{math|term= \Z[\sqrt{D} ]|SZ=}} und wir arbeiten mit der {{math|term= \Z|SZ=-}}Basis {{mathl|term= 1, \sqrt{D}|SZ=.}} Die Norm eines Elementes {{mathl|term= x + y \sqrt{D}|SZ=}} ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp |N( x+y \sqrt{D} ) || {{op:Determinante| {{op:Matrix22|x|Dy|y|x}} |}} ||x^2 - Dy^2 || || |SZ= }} und dies ist die explizite Beschreibung der durch die Norm gegebenen quadratischen Form. Ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Z/Binäre quadratische Form/Diskriminante/Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{diskr} (N) || 4 D || || || |SZ=, }} was {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \triangle (R)|SZ=}} des Zahlbereichs übereinstimmt. Sei nun {{ Ma:Vergleichskette/disp |D ||1 \mod 4 || || || |SZ=. }} Dann ist der Ganzheitsring {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{math|term= \Z[ \omega ]|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\omega || {{op:Bruch|1+ \sqrt{D} |2 }} || || || |SZ= }} und wir arbeiten mit der {{math|term= \Z|SZ=-}}Basis {{mathl|term= 1, \omega|SZ=.}} Die Norm eines Elementes {{mathl|term= x + y \omega|SZ=}} ist wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| x + y \omega |}} \omega || x \omega +y \omega^2 || x \omega + y {{makl| {{op:Bruch|D-1|4}} + \omega |}} || y {{op:Bruch|D-1|4}} + (x+y) \omega || |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |N( x+y \omega) || {{op:Determinante| {{op:Matrix22|x|{{op:Bruch|D-1|4}}y|y|x+y}} |}} || x^2 +xy - {{op:Bruch|D-1|4}} y^2 || x^2 +xy + {{op:Bruch|1-D|4}} y^2 || |SZ= }} und dies ist die explizite Beschreibung der durch die Norm gegebenen quadratischen Form. Ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Z/Binäre quadratische Form/Diskriminante/Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{diskr} (N) ||1 + ( D-1) ||D || || |SZ=, }} was {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \triangle (R)|SZ=}} des Zahlbereichs übereinstimmt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iud44ze2cso63v3g1sx91ee3lq1p770 0 85784 785712 758924 2022-08-22T09:25:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=quadratischer Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= \sqrt{D}|SZ=}} bzw. für {{math|term= \omega|SZ=}} in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2d64j6qn5807lqlidy9kwuqf7wx5k41 0 85785 785711 758923 2022-08-22T09:24:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definition |SZ= }} für {{math|term= \sqrt{D}|SZ=}} bzw. für {{math|term= \omega|SZ=}} in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 63yyfrtpvrylkv95xbwjdvwq59x3dfw 0 85822 781489 483085 2022-08-21T22:03:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= n,d|SZ=}} positive Zahlen und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||qd+r || || || |SZ= }} mit {{math|term= q\in \N|SZ=}} und {{math|term= r|SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= d-1 |SZ=. }} Wie erhält man daraus die Division mit Rest von {{math|term= -n|SZ=}} durch {{math|term= d|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3tl0e35qypgaa15st6nwank65n432ff 0 85831 782570 483137 2022-08-22T01:03:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den größten gemeinsamen Teiler von {{mathl|term= 4199,2431|SZ=}} und {{math|term= 3553|SZ=,}} sowie eine Darstellung desselben als eine Linearkombination der gegebenen Zahlen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} akcusapdu04qs1h7g0sp350bgm7oiet 0 85832 781498 490046 2022-08-21T22:05:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es zu ganzen Zahlen {{math|term= d,n|SZ=}} mit {{math|term= d>0|SZ=}} eindeutig bestimmte ganze Zahlen {{math|term= k,s|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||k d+s || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | - {{op:Bruch|d|2}} |<| s |\leq| {{op:Bruch|d|2}} || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxtm2l7kafnug2t3l22mx1lv76pzzn7 0 85833 781607 755554 2022-08-21T22:23:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ mathkor|term1= H_1 |und|term2= H_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Untergruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt {{ math/disp|term= H_1 \cap H_2 |SZ= }} ebenfalls eine Untergruppe von {{math|term= G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} au0cddqz7ndziqojwci8lvukzybfn6w 0 85842 778734 762661 2022-08-21T12:46:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Durchschnitt von Untergruppen/Endlich/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der Durchschnitt der Untergruppen {{mathl|term= \Z a_i |SZ=}} wieder eine Untergruppe von {{math|term= \Z |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} gibt es ein eindeutig bestimmtes {{ Ma:Vergleichskette |c |\geq|0 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z a_1 {{capdots|}} \Z a_k || \Z c || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette |\Z c |\subseteq| \Z a_i || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i |SZ=}} ist {{math|term= c |SZ=}} ein Vielfaches von jedem {{math|term= a_i |SZ=,}} also ein gemeinsames Vielfaches der {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=.}} Für jedes gemeinsame Vielfache {{math|term= v |SZ=}} dieser Elemente gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z v |\subseteq|\Z a_1 {{capdots|}} \Z a_k || || || |SZ=. }} Die Zahl {{math|term= c|SZ=}} besitzt also die Eigenschaft, dass jedes gemeinsame Vielfache der Elemente ein Vielfaches von {{math|term= c|SZ=}} ist. Daher ist {{math|term= c|SZ=}} das kleinste gemeinsame Vielfache. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kazd1ndesan8mwdz0x2zwbwzbp80hq1 0 85843 785710 758922 2022-08-22T09:24:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es nur endlich viele Primzahlen mit der Eigenschaft gibt, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Faserring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |reduziert| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3=Verzweigungstheorie für Zahlbereiche |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rkm1z558j7i8o6grb7glc2bkvwzxpl2 0 85844 785724 758936 2022-08-22T09:27:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definition |SZ= }} zu jeder Primzahl {{math|term= p|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Zmod|p|}} |Algebraisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Faserringes über {{math|term= p|SZ=}} in sich selbst induziert. Beschreibe{{n Sie}} diesen in den drei möglichen Fällen im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mup8o9d9fkug9oillslh9xkvwibnz6p 0 85847 785720 758932 2022-08-22T09:26:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq| {{idealb|}} || || || |SZ= }} zwei von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratische Zahlbereiche/Norm eines Ideals/Definition |SZ= }} von {{math|term= {{idealb|}} |SZ=}} die Norm von {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} teilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 18cfcf0nbo7xddfx5r3w2tr0z6gbqjf 0 85849 782719 756496 2022-08-22T01:28:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} ganze Zahlen. Zeige{{n Sie}} für den {{ Definitionslink |Prämath= |größten gemeinsamen Teiler| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{GgT} (a,b,c) || {{op:GgT| {{op:GgT|a|b|}} |c}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des größten gemeinsamen Teilers (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j5kper66eka31xj67vz9mcc1364kf6q 0 85860 783113 756849 2022-08-22T02:34:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu einer positiven natürlichen Zahl {{math|term= n|SZ=}} sei {{math|term= a_n|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |kleinste gemeinsame Vielfache| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Zahlen {{mathl|term= 1,2,3 {{kommadots|}} n|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} {{math|term= a_n|SZ=}} für {{mathl|term= n=1,2,3,4,5|SZ=.}} |Was ist die kleinste Zahl {{math|term= n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_n ||a_{n+1} || || || |SZ=? }} |Was ist die kleinste Zahl {{math|term= n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_n ||a_{n+1} ||a_{n+2} || || |SZ=? }} | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fbfheq97dwxyyej8h3hjnlpu5u2cwm2 0 85875 785718 758930 2022-08-22T09:26:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= \omega |SZ= }} und einem von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenen {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{ideala|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{Mengebed| s | \text{Es gibt } r + s \omega \in {{ideala}} }} |SZ= }} ein Ideal in {{math|term= \Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kyv67rh5hrffgdz9o4b048tomo3oycn 0 85876 779717 751775 2022-08-21T17:12:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette |D ||-5 || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} || (2, 1+ \sqrt{-5}) || || || |SZ=. }} Da es sich nicht um das Einheitsideal handelt, ist unmittelbar klar, dass bereits eine {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} vorliegt. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratische Zahlbereiche/Norm eines Ideals/Definition |SZ= }} dieses Ideals ist {{math|term= 2|SZ=.}} Die Normen der beiden Elemente sind {{ Ma:Vergleichskette/disp |N(2) ||4 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |N(1 + \sqrt{-5}) ||(1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5}) || 6 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7wz09xniq823pcxlfjutvv8m898zrsk 0 85881 785716 758928 2022-08-22T09:25:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratische Zahlbereiche/Norm eines Ideals/Definition |SZ= }} von {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5gyr9a97c22amnmm3ko7e7shozyoy04 0 85882 785726 758938 2022-08-22T09:27:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} derart gibt, das {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ mathkor|term1= p |und|term2= \alpha + p \omega |SZ= }} oder der Form {{ mathkor|term1= p |und|term2= \alpha + \omega |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4vszvbs6jjsqyup1ovyv41bm25yc7hc 0 85883 785709 758921 2022-08-22T09:24:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f \in {{ideala}} |SZ=,}} wobei {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} ein von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= N(f)|SZ=}} ein Vielfaches der {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratische Zahlbereiche/Norm eines Ideals/Definition |SZ= }} von {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4e2f9ak1pg7qpkrz4k45grgwnruydq9 0 85884 785717 758929 2022-08-22T09:25:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= D\neq 0,1|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreie Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |D ||1 \mod 4 || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} || ( \omega) || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A_D|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt {{mathl|term= {{ideala|}} \cap \Z[\sqrt{D} ] |SZ=}} kein Hauptideal in {{math|term= \Z[\sqrt{D} ] |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 96p6be9wih8i1nnj55o335ujcpwtjlc 0 85886 785728 758940 2022-08-22T09:27:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} ein von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |N ( {{ideala||}} ) || \operatorname{GgT} ( {{Mengebed|N(f)| f \in {{ideala}} }} ) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ju5awl1bt0pje6ciosyn70wz2hvzubo 0 85887 785703 758915 2022-08-22T09:23:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= D =2,3 \mod 4 |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreie Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f=n+m \sqrt{D}|SZ=.}} Es sei {{math|term= t|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |größte gemeinsame Teiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= n |und|term2= m |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= (f) \cap \Z|SZ=}} und {{math|term= \beta|SZ=}} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tdetm74r4llczdqgerg63prchmj9uwa 0 85888 779722 751777 2022-08-21T17:13:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette |D ||-5 || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= (2, 1+ \sqrt{-5}) |SZ=, }} wobei die Erzeuger zugleich eine {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratische Zahlbereiche/Norm eines Ideals/Definition |SZ= }} dieses Ideals ist {{math|term= 2|SZ=}} und die durch die Norm gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} hat bezüglich dieser Basis die Gestalt {{ math/disp|term= 4x^2 +4xy +6y^2 |SZ=. }} Durch Vereinfachung im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Vereinfacht/Quadratische Form/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} also Division durch die Norm des Ideals, gelangt man zur quadratischen Form {{ math/disp|term= 2x^2 +2xy +3y^2 |SZ= }} mit der Diskriminante {{ Ma:Vergleichskette/disp |4 -4 \cdot 2 \cdot 3 ||-20 || 4 (-5) || || |SZ=. }} Diese Form ist nicht zur Hauptfrom der Diskriminante {{math|term= -20|SZ=}} aquivalent, denn diese ist {{mathl|term= x^2+5y^2|SZ=.}} Letztere stellt beispielsweise den Wert {{math|term= 5|SZ=}} dar, erstere nicht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dyh5nn5h3tu36rzpq556yykxpyuhq2r 0 85889 785643 758869 2022-08-22T09:13:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man mit der {{ Definitionslink |Prämath= |binären quadratischen Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= 2x^2 +2xy +3y^2 |SZ= }} die Zahl {{math|term= 5|SZ=}} nicht darstellen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bvdnvi3c6b1eehiw8uaswdpo9bp31n 0 85893 783115 756851 2022-08-22T02:34:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |natürliche Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |kleinste gemeinsame Vielfache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= n |und|term2= n+1 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hs8lq5n4yo4ijq8578ogaw46459iyt2 0 85894 782142 483725 2022-08-21T23:52:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Exponenten zu {{math|term= 2|SZ=}} von {{mathl|term= 203264|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 43zz97l4ameujwhwcnhug9khdgb6bgc 0 85899 782143 483786 2022-08-21T23:52:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Exponenten zu {{math|term= 3|SZ=}} von {{mathl|term= 72657|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fu41ay9qshd788vgc3q4szrh37nqhsv 0 85902 783750 757388 2022-08-22T04:20:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} durch Induktion nach {{math|term= n|SZ=,}} dass wenn {{math|term= p|SZ=}} ein Produkt von {{math|term= n|SZ=}} Zahlen teilt, dass {{math|term= p|SZ=}} dann schon eine der Zahlen teilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d0wcuh410oqdpkjepyjnvut1g8htdhc 0 85903 783749 757387 2022-08-22T04:20:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= k \geq 2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |natürliche Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der folgenden Eigenschaft: Sobald {{math|term= k|SZ=}} ein Produkt {{mathl|term= ab|SZ=}} teilt, teilt {{math|term= k|SZ=}} bereits einen Faktor. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= k|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 322s4alufsn2nx64mdqz2z7jh0rx902 0 85911 783624 483735 2022-08-22T03:59:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Das Riesenkänguru Gurru und das Zwergkänguru Gurinu leben entlang des australischen Highways, ihr Schlafplatz liegt am Beginn des Highways {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= 0|SZ=}} Meter| |ISZ=|ESZ=. }} Gurru legt bei jedem Sprung {{math|term= 8|SZ=}} Meter zurück, Gurinu nur {{math|term= 6|SZ=}} Meter. Charakterisiere{{n Sie}} die Streckenmeter, an denen sie sich begegnen können. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pdfsutahw6zo1r14ug3iitmblslj7f0 0 85920 785254 758578 2022-08-22T08:09:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,m,n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |natürliche Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq|1 || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= {{op:ggt|a^m|a^n}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= {{op:kgv|a^m|a^n}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des größten gemeinsamen Teilers (N) |Kategorie2=Theorie des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pnoyax7sie7hu76kta9d8vcg2yhju82 0 85930 786625 759640 2022-08-22T11:56:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b|SZ=}} positive natürliche Zahlen. Die Summe der {{ Definitionslink |Prämath= |Stammbrüche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|a}} + {{op:Bruch|1|b}} || {{op:Bruch|b+a|ab}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass bei {{math|term= a,b|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} diese Darstellung gekürzt ist. |Zeige{{n Sie}}, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bruchdarstellung rationaler Zahlen |Kategorie2=Theorie der Stammbrüche |Kategorie3=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f99rb7jle3joijxn88m7p3jt4cxche6 0 85935 783985 527729 2022-08-22T05:00:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Zug ist {{math|term= 500|SZ=}} Meter lang {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Lokomotive| |ISZ=|ESZ= }} und bewegt sich mit {{math|term= 180|SZ=}} Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von {{math|term= 20|SZ=}} Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne. {{ Aufzählung4 |Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? |Welche Geschwindigkeit {{ Zusatz/Klammer |text=in Meter pro Sekunde| |ISZ=|ESZ= }} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? |Welche Entfernung {{ Zusatz/Klammer |text=in Meter| |ISZ=|ESZ= }} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? |Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy währ{{latextrenn}}end ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b9turu5d7inlnekboqv18cm5sbv9tpb 0 85938 783986 484111 2022-08-22T05:00:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Zug ist {{math|term= 500|SZ=}} Meter lang {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Lokomotive| |ISZ=|ESZ= }} und bewegt sich mit {{math|term= 180|SZ=}} Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von {{math|term= 20|SZ=}} Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten. {{ Aufzählung4 |Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? |Welche Geschwindigkeit {{ Zusatz/Klammer |text=in Meter pro Sekunde| |ISZ=|ESZ= }} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? |Welche Entfernung {{ Zusatz/Klammer |text=in Meter| |ISZ=|ESZ= }} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? |Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r0nsb780ayd3ui2udmp0u8a2c8aznc5 0 85939 783987 484141 2022-08-22T05:00:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Zug ist {{math|term= 600|SZ=}} Meter lang {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Lokomotive| |ISZ=|ESZ= }} und bewegt sich mit {{math|term= 240|SZ=}} Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von {{math|term= 15|SZ=}} Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne. {{ Aufzählung4 |Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? |Welche Geschwindigkeit {{ Zusatz/Klammer |text=in Meter pro Sekunde| |ISZ=|ESZ= }} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? |Welche Entfernung {{ Zusatz/Klammer |text=in Meter| |ISZ=|ESZ= }} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? |Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy währ{{latextrenn}}end ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fj23tzfkvitjyatwgbq3dchd5c23l4y 0 85940 780802 575587 2022-08-21T20:09:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Apfelverkäufer verkauft {{mathl|term= 2483 |SZ=}} Äpfel für {{mathl|term= 2249 |SZ=}} Euro. Beschreibe{{n Sie}} dieses Angebot durch die kleinstmöglichen ganzen Zahlen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r27esr9y45kj899w8a3uysw28s160bg 0 85941 782313 484121 2022-08-22T00:21:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Frau Maier-Sengupta plant eine Schullandheimsfahrt für ihre Klasse. Es ist noch nicht klar, wie viele Kinder genau mitdürfen. Als Fahrtkosten für ein Kind fallen {{math|term= 50|SZ=}} Euro an, für die Unterbringung {{math|term= 80|SZ=}} Euro pro Kind und für die Verpflegung {{math|term= 120|SZ=}} Euro pro Kind. Der Elternbeirat unterstützt jedes Kind mit {{math|term= 30|SZ=}} Euro, aus Landesmitteln stehen weitere {{math|term= 20|SZ=}} Euro pro Kind zur Verfügung. Wie hoch sind die Kosten für den Aufenthalt pro Kind? Wie hoch sind die Gesamtkosten, wenn {{math|term= 20|SZ=}} Kinder mitkommen, wie hoch, wenn {{math|term= 25|SZ=}} Kinder mitkommen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lbqqbnhaoiod26zwapmo3qt0h4ilb78 0 85944 782566 484132 2022-08-22T01:03:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf einer Baustelle gibt es eine große Waage mit zwei Schalen und {{ Zusatz/Klammer |text=beliebig viele| |ISZ=|ESZ= }} Gewichte der Schwere {{math|term= 12|SZ=}} bzw. {{math|term= 50|SZ=}} Kilogramm. {{ Aufzählung2 |Erläutere{{n Sie}}, wie man damit sechs Kilogramm Sand abwiegen kann. |Bestimme{{n Sie}}, welche Massen man damit abwiegen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des größten gemeinsamen Teilers (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 42ne5rb0pqf0umjowppui2iu23vtx0y 0 85945 785464 758732 2022-08-22T08:43:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |proportionaler Zusammenhang| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dadurch gegeben, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(a) ||b || || || |SZ= }} mit ganzen Zahlen {{math|term= a,b|SZ=}} ist. Dieser Zusammenhang wird in der Ebene durch den Graphen, nämlich eine Gerade durch den Nullpunkt, visualisiert, die an der Stelle {{math|term= a|SZ=}} den Wert {{math|term= b|SZ=}} besitzt. Wie bestimmt man das ganzzahlige Paar {{mathl|term= (a',b')|SZ=}} auf dem Graphen, für das {{math|term= a'|SZ=}} positiv und minimal ist? Wie lautet die Antwort für {{ Ma:Vergleichskette |a ||45 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |b ||108 || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a2f9wg9cm825jspiwp5mo4v1ca81kze 0 85946 785465 758733 2022-08-22T08:44:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |proportionaler Zusammenhang| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y ||cx || || || |SZ= }} durch einen Graphen, also eine Gerade durch den Nullpunkt, gegeben. Wie löst man geometrisch die Dreisatzaufgabe zu einem gegebenen {{math|term= x|SZ=,}} wie zu einem gegebenen {{math|term= y|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8wgflw8osdtd2q5civ0r2r6e76k5xzx 0 85947 785461 484137 2022-08-22T08:43:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein proportionaler Zusammenhang sei dadurch gegeben, dass an der Stelle {{math|term= x_0|SZ=}} der Wert {{math|term= y_0|SZ=}} herauskommen soll. Wie erstellt man daraus den Graphen des gesuchten Zusammenhangs? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jh7mn3hylhr99f1z9mvrh0dqzx64txb 0 85954 783854 757484 2022-08-22T04:38:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für welche {{mathl|term= c \in \Z|SZ=}} ist die lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z|\Z |x|cx |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bzw. {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 338evi0hkjmfby68beypl0et0iy9m1l 0 85955 781125 575445 2022-08-21T21:02:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Birnenverkäufer verkauft {{mathl|term= 1221 |SZ=}} Birnen für {{mathl|term= 1067 |SZ=}} Euro. Beschreibe{{n Sie}} dieses Angebot durch die kleinstmöglichen ganzen Zahlen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h2c72hkaaq1hnw45jghb17xmvzk3ss6 0 85961 781308 755338 2022-08-21T21:33:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetische Mittel| |Kontext=Angeordnet| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von zwei Dezimalbrü{{latextrenn|}}chen {{mathl|term= a_1 |SZ=}} und {{math|term= a_2|SZ=}} wieder ein Dezimalbruch ist. Gilt dies auch für das arithmetische Mittel von drei Dezimalbrüchen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2=Theorie des arithmetischen Mittels |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lkeowl0q7itljohu5dap28bpunnq6wq 0 85962 784694 604596 2022-08-22T06:46:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In den Klassenarbeiten hat Mustafa Müller eine {{mathl|term= 3 \text{ plus}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= {=2{,}7}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} eine {{math|term= 1\text{ minus}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= {=1{,}3}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} eine {{math|term= 3|SZ=}} und eine {{math|term= 2\text{ plus}|SZ=}} geschrieben. Berechne{{n Sie}} seinen Notendurchschnitt als Bruch, und runde das Ergebnis. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2=Theorie des arithmetischen Mittels |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} acg3oyt8eidb9xncb8rjl0x01s19e44 0 85965 783114 756850 2022-08-22T02:34:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu einer positiven natürlichen Zahl {{math|term= n|SZ=}} sei {{math|term= a_n|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |kleinste gemeinsame Vielfache| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Zahlen {{mathl|term= 1,2,3 {{kommadots|}} n|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Was ist die kleinste Zahl {{math|term= n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_n ||a_{n+1} ||a_{n+2} || || |SZ=? }} |Zeige{{n Sie}}, dass die Reihe {{ math/disp|term= \sum_{n {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch|1|a_n}} |SZ= }} konvergiert. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tivb25b05yfari8w708yx9j0exjco4o 0 85975 785695 758906 2022-08-22T09:22:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||A_{-5} || \Z[\sqrt{-5}] || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} ||(2,1+\sqrt{-5}) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} direkt, dass das Ideal {{mathl|term= {{idealp|}} R_{{idealp|}} |SZ=}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R_{{idealp}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der diskreten Bewertungsringe (Zahlentheorie) |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1xjrh66nxucfukz52prjno535ei5xw8 0 85979 780803 484425 2022-08-21T20:09:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Apfelverkäufer verkauft {{mathl|term= 2893|SZ=}} Äpfel für {{math|term= 3127|SZ=}} Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft {{math|term= 3417|SZ=}} Äpfel für {{mathl|term= 3693|SZ=}} Euro. Welches Angebot ist günstiger? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2=Theorie der Ordnung auf den ganzen Zahlen |Kategorie3=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nwgvgve8immcx8ftiymicw7906u7xse 0 86000 783083 545604 2022-08-22T02:29:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau {{mathl|term= 23|SZ=}} Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Heinz Ngolo |Personenkategorie2=Mustafa Müller |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0zhfl8um2bb9yu95pbjtu3iupe46mrv 0 86031 786624 759639 2022-08-22T11:56:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ganze Zahlen {{math|term= a,b|SZ=}} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|pq}} || a {{op:Bruch|1|p}} + b {{op:Bruch|1|q}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammbrüche |Kategorie2=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bu205tuc6p2e3w6oyvzkw8pzcsrj9wr 0 86032 786626 577170 2022-08-22T11:56:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es ganze Zahlen {{math|term= a,b|SZ=}} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|100}} || a {{op:Bruch|1|4}} + b {{op:Bruch|1|25}} || || || |SZ= }} gilt. Finde{{n Sie}} solche Zahlen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammbrüche |Kategorie2=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9on6bq2ulqjbhuf9h6g4yagbtm1xf9i 0 86033 786627 486062 2022-08-22T11:56:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} ganze Zahlen {{math|term= a,b|SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|15}} || a {{op:Bruch|1|3}} + b {{op:Bruch|1|5}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammbrüche |Kategorie2=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g77tw4jdfta3ttgez23w5150nbb6r7q 0 86042 785920 485118 2022-08-22T09:59:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} in {{math|term= \Q|SZ=}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|2|3}} x - {{op:Bruch|1|5}} || {{op:Bruch|3|2}} - {{op:Bruch|1|4}} x || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e656mtovxlm3vyu4yt70jmt8qu5wabf 0 86043 785904 577132 2022-08-22T09:57:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} in {{math|term= \Q|SZ=}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|7|11}} +x || {{op:Bruch|5|9}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jpdy5cocbu3evap5tov9ksjxgegvu5c 0 86044 785921 485117 2022-08-22T09:59:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} in {{math|term= \Q|SZ=}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|3|5}} x - {{op:Bruch|2|7}} || {{op:Bruch|4|3}} - {{op:Bruch|5|6}} x + {{op:Bruch|1|2}} x || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q90wsv5erqghv45vw4wgeczchiahs5n 0 86049 785913 759064 2022-08-22T09:58:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} direkt, dass für {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|a|b}} |und|term2= {{op:Bruch|c|d}} |SZ= }} das Produkt nur dann {{math|term= 0|SZ=}} sein kann, wenn eine der Zahlen {{math|term= 0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1rvq5nz950r38bd20ss3ju5wv0lcv81 0 86079 785232 758566 2022-08-22T08:06:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten in {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} || (X) |\subset| (X,Y) || {{idealm|}} || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es kein Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} || {{ideala|}} \cdot {{idealm|}} || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Produkt von Idealen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t753fqyny7vg1lbz3l8yuosbgygi77z 0 86080 782439 756263 2022-08-22T00:42:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= 840|SZ=}} in {{math|term= \Z|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie2=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxz0akv4ekv5h5cxj82h8qpa39tdk12 0 86082 785228 758563 2022-08-22T08:05:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= f \in {{CC}}[X] ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} und {{mathl|term= a \in {{CC}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden {{Anführung|Ordnungen}} von {{math|term= f|SZ=}} an der Stelle {{math|term= a|SZ=}} übereinstimmen. {{ Aufzählung3 |Die Verschwindungsordnung von {{math|term= f|SZ=}} an der Stelle {{math|term= a|SZ=,}} also die maximale Ordnung einer Ableitung mit {{mathl|term= f^{(k)}(a) =0|SZ=.}} |Der Exponent des Linearfaktors {{mathl|term= X-a|SZ=}} in der Zerlegung von {{math|term= f|SZ=.}} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=diskreter Berwertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} an der Lokalisierung {{mathl|term= {{CC}}[X]_{(X-a)}|SZ=}} von {{mathl|term= {{CC}}[X]|SZ=}} am maximalen Ideal {{mathl|term= (X-a)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hdcaqvd4lf2k28fjv7huh0udnwqc45c 0 86083 783292 756994 2022-08-22T03:04:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |R|K || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung {{ math/disp|term= R \longrightarrow \kappa( {{idealp|}} ) \longrightarrow K |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Restekörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \kappa( {{idealp|}} ) |SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restekörper (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} petkhvza5qtnyumoal3d705wv2jysf3 0 86086 785150 758505 2022-08-22T07:55:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu {{mathl|term= a \in {{CC}}|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{CC}}[X]| {{CC}} |X|a |SZ=, }} mit der {{ Definitionslink/- |Prämath= |Evaluationsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den {{ Definitionslink |Prämath= |Restekörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathlk|term={{CC}}[X]_{(X-a)}/ (X-a) {{CC}}[X]_{(X-a)} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X-a)|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restekörper (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie3=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hf4qudx33ibwigohi9n92atx9vd4v5a 0 86087 785141 579488 2022-08-22T07:53:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} ein Polynom {{mathl|term= P \in {{CC}}[X]|SZ=}} minimalen Grades, das an der Stelle {{mathl|term= 3|SZ=}} mit der Ordnung zwei verschwindet, das an der Stelle {{math|term= {\mathrm i} |SZ=}} mit der Ordnung fünf verschwindet und das an den Stellen {{math|term= 0, 3-2 {\mathrm i} |SZ=}} und {{math|term= 7 {\mathrm i}|SZ=}} einfach verschwindet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie2=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 11xstw0h0apxpysx9dv7xpq9x2xcb6g 0 86096 782440 756264 2022-08-22T00:42:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= 840|SZ=}} in {{math|term= \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ibe1l24058ltywwy900jfwqo6vqzgwn 0 86097 778766 762690 2022-08-21T12:51:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir starten mit einem Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\neq|0 || || || |SZ= }} und vergleichen {{ mathkor|term1= {{ideala|}} |und|term2= \operatorname{Id} (\operatorname{div}( {{ideala|}} )) |SZ=. }} Sei zunächst {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|{{ideala|}} || || || |SZ=. }} Es ist dann {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|f|{{idealp}} }} |\geq| \operatorname{min} {{Mengebed| {{op:Bewertungsordnung|g|{{idealp}} }} | g \in {{ideala|}} }} || || || |SZ= }} für jedes Primideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} |\neq|0 || || || |SZ=, }} so dass natürlich {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Hauptdivisor|f|}} |\geq| \operatorname{div}( {{ideala|}} ) || || || |SZ= }} gilt. Also ist {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| \operatorname{Id}(\operatorname{div}( {{ideala|}} )) || || || |SZ=. }} Ist hingegen {{ Ma:Vergleichskette |f |\notin| {{ideala|}} || || || |SZ=, }} so gibt es {{ Aufgabelink |Präwort=nach||Aufgabeseitenname= Lokalisierung/Integritätsbereich/Idealzugehörigkeit/Lokaler Test/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch ein Primideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp}} |\neq| 0 || || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |f |\notin| {{ideala|}} R_{{idealp}} || || || |SZ=. }} Da {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, gilt {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|f|{{idealp}} }} |<| {{op:Bewertungsordnung| {{ideala|}} |{{idealp}} }} || || || |SZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Hauptdivisor|f|}} |\not\geq| \operatorname{div}({{ideala}}) || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette |f |\notin|\operatorname{Id}(\operatorname{div}({{ideala}})) || || || |SZ=. }} Insbesondere ist die Abbildung injektiv. Die Surjektivität ergibt sich aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} was auch den Zusatz ergibt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ideal |Autor= |Bearbeitungsstand= }} thysfmr7t8dy309h2u288wvaiy3zn9g 0 86102 782075 755967 2022-08-21T23:41:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |A|B || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{mathl|term= {{ideala|}}_1, {{ideala|}}_2 |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= A|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Erweiterungsideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Gleichheiten {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{ideala|}}_1 + {{ideala|}}_2 |}} B ||{{ideala|}}_1 B + {{ideala|}}_2 B || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{ideala|}}_1 \cdot {{ideala|}}_2 |}} B || {{makl| {{ideala|}}_1 B |}} \cdot {{makl| {{ideala|}}_2 B |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealoperationen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 45nc996m7lpsnwbbflr9oafri91zkgp 0 86124 781594 485440 2022-08-21T22:21:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine lineare Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\Q|\Q || |SZ= }} hat an der Stelle {{mathl|term= {{op:Bruch|11|13}} |SZ=}} den Wert {{mathl|term= {{op:Bruch|7|17}} |SZ=.}} Welchen Wert hat sie an der Stelle {{mathl|term= {{op:Bruch|3|19}} |SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2=Theorie der linearen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j63p3pvmi5ste1g6otw5gmbr95bglhb 0 86126 786503 485443 2022-08-22T11:36:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Gitarrensaite schwingt beim Ton c ca. {{math|term= 131|SZ=}} mal pro Sekunde hin und her {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= 131|SZ=}} Hertz| |ISZ=|ESZ=. }} Wie oft schwingt die Große Septime dazu pro Sekunde? Wie oft schwingt die Quarte zu c pro Minute? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6fyob59p2bwt7hjgkmo4fxgfmv4100l 0 86127 783847 485458 2022-08-22T04:37:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der Preis für eine Maß Bier auf der Münchner Wiesn steht zum Vorjahrespreis im Verhältnis {{mathl|term= 14:13|SZ=.}} In welchem Verhältnis steht der heutige Preis zum Preis von vor zehn Jahren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4hldnjbg25ne7om528fqywaqiap90zz 0 86141 781310 604472 2022-08-21T21:33:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 0{,}5 \cdot 0{,}2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tglbhghjirbl8b0jo70ork5jmf0kb86 0 86149 780786 603023 2022-08-21T20:06:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= x<0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass auch das inverse Element {{math|term= x^{-1}|SZ=}} negativ ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Invers |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bo8n8buk8ot7sxi3pjtovn8tsxas07n 0 86157 782404 577086 2022-08-22T00:36:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gabi Hochster hat die Addition und die Multiplikation der rationalen Zahlen verstanden und möchte jetzt die Operation verstehen, bei der man {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|a|b}} \oplus {{op:Bruch|c|d}} | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a+c|b+d}} || || || |SZ= }} setzt. Sie beschränkt sich auf positive {{mathl|term= a,b,c,d|SZ=.}} Überprüfe{{n Sie}} ihre Behauptungen: {{ Aufzählung5 |Bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|a|b}} |\leq| {{op:Bruch|c|d}} || || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|a|b}} |\leq| {{op:Bruch|a+c|b+d}} |\leq| {{op:Bruch|c|d}} || || |SZ=. }} Dies kann man algebraisch und geometrisch beweisen. |Die Verknüpfung ist für rationale Zahlen nicht wohldefiniert. |Wenn man für rationale Zahlen stets ihre teilerfremde Darstellung nimmt, so ist die Verknüpfung wohldefiniert. |Die Verknüpfung ist kommutativ. |Die Verknüpfung ist nicht assoziativ. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mediant-Addition rationaler Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hgplso6tq76wrsjoo9k049nb80jdm79 0 86171 779689 580328 2022-08-21T17:08:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Thales theorem|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Helder, Dake (png version) |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Ein wichtiger geometrischer Ursprung für konstante Verhältnisse liefern die Strahlensätze bzw. ähnliche Dreiecke. Man hat zwei durch einen Punkt {{math|term= A|SZ=}} gehende Geraden und zwei parallele Geraden gegeben, die nicht durch den Punkt verlaufen. Dann bestehen zwischen entsprechenden Seitenlängen in den entstehenden Dreiecken konstante Verhältnisse. Im Bild verhält sich beispielsweise die Strecke {{mathl|term= \overline{BC}|SZ=}} zur Strecke {{mathl|term= \overline{BA}|SZ=}} wie die Strecke {{mathl|term= \overline{DE}|SZ=}} zur Strecke {{mathl|term= \overline{DA}|SZ=.}} Wenn man als variable Größe {{math|term= x|SZ=}} den Abstand von {{math|term= B|SZ=}} zu {{math|term= A|SZ=}} und als Größe {{math|term= y|SZ=}} die Streckenlänge der durch {{math|term= B|SZ=}} verlaufenden Dreiecksseite, die zur Strecke {{mathl|term= \overline{DE}|SZ=}} parallel ist, denkt, so liegt zwischen diesen Größen ein konstantes Verhältnis vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2=Die Strahlensätze |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} so5c0z2zkwodes8d8dxbcb2z5sgum6h 0 86177 780702 485822 2022-08-21T19:52:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und seien {{math|term= x, y|SZ=}} positive Elemente. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq|y || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|x|y}} |\geq|1 || || || |SZ= }} äquivalent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} twbnmpbnnr5at7x8ep1e22lj39jrhwb 0 86185 785873 759035 2022-08-22T09:51:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |{{CC}}|{{CC}} || |SZ=, }} die an der Stelle {{mathl|term= 2- {{imaginäre Einheit|}} |SZ=}} einen Pol der Ordnung {{math|term= 4|SZ=,}} in {{mathl|term= -3 +5 {{imaginäre Einheit|}} |SZ=}} eine Nullstelle der Ordnung {{math|term= 2|SZ=}} und in {{math|term= -3|SZ=}} einen Pol der Ordnung {{math|term= 3|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen rationalen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6h78tg67whm13r55q48582ieuoforo5 0 86186 785874 740059 2022-08-22T09:52:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\neq|0 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=f |{{CC}}|{{CC}} || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} in {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|{{CC}} || || || |SZ= }} genau dann eine Nullstelle der Ordnung {{math|term= {{{k|k}}}|SZ=}} besitzt, wenn {{math|term= f^{-1} |SZ=}} in {{math|term= a|SZ=}} einen Pol der Ordnung {{math|term= {{{k|k}}}|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen rationalen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} md0u6u3xgbwu1qzztwsqgcl7uyebs9a 0 86190 783748 633254 2022-08-22T04:20:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} das Lemma von Dickson, das besagt, dass eine nichtleere Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq \N^r|SZ=}} nur endlich viele minimale Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5fda6b8igbnib7zcbrn47z5mur0diu6 0 86194 780103 763891 2022-08-21T18:10:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Z[\sqrt{-5}]|SZ=}} das Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala}} || (2, 1 + \sqrt{-5}) || || || |SZ=. }} Aufgrund der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 \cdot 3 || (1+\sqrt{-5})(1 -\sqrt{-5}) || || || |SZ= }} ist {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1-\sqrt{-5} |2}} \cdot {{ideala}} \subseteq R, \, {{op:Bruch|3|1 +\sqrt{-5} }} \cdot {{ideala}} \subseteq R, \, 1 \cdot {{ideala}} \subseteq R |SZ=. }} Wir behaupten, dass das inverse gebrochene Ideal {{mathl|term= {{ideala|}}^{-1} |SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealf|}} || R {{makl| 1, {{op:Bruch|1-\sqrt{-5} |2}} |}} || || || |SZ= }} ist, wobei sich die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette | {{idealf|}} |\subseteq| {{ideala|}}^{-1} || || || |SZ= }} aus der vorstehenden Zeile ergibt. Andererseits gilt wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | - 2 \cdot 1 + (1+ \sqrt{-5}) {{op:Bruch|1- \sqrt{-5} |2}} || -2 +3 || 1 || || |SZ= }} für das Produkt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala}} \cdot {{idealf}} || R || || || |SZ=, }} und dies impliziert nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zahlbereich/Einheitsgleichung/Inverses Ideal/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette | {{idealf}} || {{ideala}}^{-1} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gebrochenen Ideale (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2z4m60t0bpmh6xxzf7wet5em0sqmd4w 0 86200 780843 485933 2022-08-21T20:15:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Vergleiche{{n Sie}} die beiden rationalen Zahlen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|n|n+1}} |und|term2= {{op:Bruch|n-1|n}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ogy4uzlmjs48q5tdiz4fp17x9gjbrmd 0 86202 780812 754913 2022-08-21T20:10:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es in einem {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu jedem Element {{mathl|term= x \in K|SZ=}} eine ganze Zahl {{math|term= m|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |m |\leq|x || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ncn3q5yzplhhk04hmwtzavmbfgqiz2 0 86203 780781 754893 2022-08-21T20:05:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{ Ma:Vergleichskette |x |>|0 || || || |SZ= }} die Ungleichung {{ Ma:Vergleichskette | x+ {{op:Bruch|1|x}} |\geq| 2 || || || |SZ= }} erfüllt ist. Für welche {{math|term= x|SZ=}} gilt Gleichheit? |Textart=Aufgabe |Kategorie= Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4pte1aqtnvyngjz1v6ip3gt201s8ew9 0 86206 780740 754855 2022-08-21T19:58:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} das Monotonieverhalten der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |K \setminus \{0\}|K |x|x^{-1} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen Abbildungen auf einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2rnrfsw7vvulgp8ne3rh7o9jg0h440n 0 86208 780712 754828 2022-08-21T19:54:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} das Monotonieverhalten der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |K |K |x| {{op:Betrag|x|}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen Abbildungen auf einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hbnkybvyx470fd7oidf9av7is7fi7qu 0 86212 785908 485981 2022-08-22T09:57:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Größergleichrelation {{math|term= \geq|SZ=}} auf {{math|term= \Q|SZ=}} mit der Addition und mit der Multiplikation verträglich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m6y0gqnb1o1qr1ayeut08s35hyugob3 0 86219 785912 485995 2022-08-22T09:58:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Größergleichrelation {{math|term= \geq|SZ=}} auf {{math|term= \Q|SZ=}} wohldefiniert ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bdun4s1v2yuyif5d6onvky3y4m2y6qh 0 86221 785903 577180 2022-08-22T09:56:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Addition auf {{math|term= \Q|SZ=}} wohldefiniert ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 908bqnsqmdwtk69p4klxa09mf97djwr 0 86240 785928 649764 2022-08-22T10:01:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien zwei rationale Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |x |<|y || || || |SZ= }} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass für jede positive natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} die rationale Zahl {{ Ma:Vergleichskette/disp |z_n | {{defeq|}} | {{op:Bruch|x+ny|1+n }} || || || |SZ= }} echt zwischen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} liegt. In welcher Größenbeziehung stehen die Zahlen {{math|term= z_n|SZ=}} zueinander? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5go7xqznm4v56wkw7e5ehoxpl7q5ag8 0 86244 782102 755993 2022-08-21T23:45:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{math|term= \Z|SZ=}} mit Hilfe des {{ Faktlink |Präwort=|euklidischen Algorithmus|Faktseitenname= Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Textabschnitt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} den {{ Definitionslink |Prämath= |größten gemeinsamen Teiler| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= 1085|SZ=}} und {{math|term= 806|SZ=}} und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} twbfl6b87d64lkaxebonj624ne1fpvd 0 86249 779719 751776 2022-08-21T17:12:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir behaupten, dass im {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[\sqrt{-5}] || || || |SZ= }} das Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp}} || (2, 1 + \sqrt{-5}) || || || |SZ= }} kein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, was in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gezeigt wurde, aber die Eigenschaft besitzt, dass das Quadrat davon ein Hauptideal ist. Insbesondere definiert die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Idealklasse| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenes Element in der Divsorenklassengruppe mit der Eigenschaft, dass das Doppelte davon trivial ist. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp}}^2 || (4,2+ 2 \sqrt{-5}, -4+2 \sqrt{-5} ) || (2) || || |SZ=. }} Dabei ist die Inklusion {{math|term= \subseteq |SZ=}} klar und die umgekehrte Inklusion {{math|term= \supseteq|SZ=}} ergibt sich aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | -4 + (2 +2 \sqrt{-5}) - (-4 +2 \sqrt{-5}) || 2 || || || |SZ=. }} Wir betrachten nun das Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealq|}} || (7, 3+ \sqrt{-5}) || || || |SZ=. }} Der Restklassenring ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|7|}} [X]/(X^2+5, 3+X) |\cong| {{op:Zmod|7|}} || || || |SZ=, }} so dass ein Primideal mit der Norm {{math|term= 7|SZ=}} vorliegt, das kein Hauptideal ist, da es kein Element mit Norm {{math|term= 7|SZ=}} gibt. Die beiden Ideale {{ mathkor|term1= {{idealp|}} |und|term2= {{idealq|}} |SZ= }} definieren die gleiche Idealklasse. Dazu betrachten wir die Multiplikation {{ Ma:abbele/disp |name= |Q(R)| Q(R) |h|h {{op:Bruch|3+ \sqrt{-5} |2}} |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 \cdot {{op:Bruch|3+ \sqrt{-5} |2}} ||3+ \sqrt{-5} |\in| {{idealq|}} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | (1+ \sqrt{-5} ) \cdot {{op:Bruch|3+ \sqrt{-5} |2}} || {{op:Bruch| -2 +4 \sqrt{-5} |2}} || -1+2 \sqrt{-5} || -7 +2 (3+ \sqrt{-5} ) |\in| {{idealq|}} || || |SZ= }} induziert dies einen injektiven {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{idealp|}} | {{idealq|}} || |SZ=, }} der wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | 7 || - (-1+2 \sqrt{-5}) +2 (3+\sqrt{-5}) || || || |SZ= }} auch surjektiv ist. Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} \cdot ( {{op:Bruch|3+ \sqrt{-5}| 2}} ) || {{idealq|}} || || || |SZ=. }} In {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Klassengruppe/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wird darüber hinaus gezeigt, dass die Klassengruppe von {{math|term= R|SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ptqnukna9shhi2eh6yufycmmmy05url 0 86254 783666 757314 2022-08-22T04:06:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} genau dann die {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} besitzt, wenn die additive Gruppe {{mathl|term= (K,+,0)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |torsionsfrei| |Kontext=kommutative Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Charakteristik eines Körpers |Kategorie2=Theorie der kommutativen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m5oauy1omd1oxsi3an8jrpixh6sa254 0 86260 785706 758918 2022-08-22T09:24:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= D|SZ=}} quadratfrei mit {{mathl|term= D=3 \mod 4|SZ=}} und {{mathl|term= D < -1|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= (2, 1 + \sqrt{D})|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A_D|SZ=}} ist, aber kein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der imaginär-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2yfn9k0b5ylese4bk38s5t6a2naqgzp 0 86263 785930 759081 2022-08-22T10:01:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Körper der {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Q|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |überabzählbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} viele {{ Definitionslink |Prämath= |Unterringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unterringe der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Mächtigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nrnpl71smhcjurw4pnyehmlm7mamkzw 0 86269 785924 759074 2022-08-22T10:00:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es {{ Definitionslink |Prämath= |überabzählbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} viele {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der multiplikativen Gruppe {{mathl|term= ( {{op:Einheiten|\Q|}}, \cdot, 1 )|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die rationalen Zahlen als multiplikative Gruppe‎ |Kategorie2=Theorie der Mächtigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0astkgiwrdt8n07lulswmi7sorxbmm8 0 86296 784521 489882 2022-08-22T06:22:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= a \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, wie man {{math|term= a^{10}|SZ=}} mit vier Multiplikationen berechnen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} danvatp1azwzu5w9jdjg3g71i8p46jq 0 86298 783266 756970 2022-08-22T03:00:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= a \in R|SZ=}} ein Element in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Berechne {{mathl|term= 20 a|SZ=}} mit maximal fünf Additionen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s5pxbdwwumyu4ej27lvv5v4s52u2csp 0 86300 784471 491691 2022-08-22T06:15:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind {{math|term= 150|SZ=}} Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? {{ Zusatz/Klammer |text=Rechne{{n Sie}} mit Monat = {{math|term= 30|SZ=}} Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2=Prozentrechnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2c6biihes4azlhao0jdtroy74glk22q 0 86329 781497 486445 2022-08-21T22:05:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es zu ganzen Zahlen {{math|term= d,n|SZ=}} mit {{math|term= d>0|SZ=}} eindeutig bestimmte ganze Zahlen {{math|term= q,r|SZ=}} mit {{math|term= 0 \leq r< d|SZ=}} und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||dq+r || || || |SZ= }} gibt. Dabei darf die Division mit Rest für natürliche Zahlen verwendet werden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lf1t724sb2kzeg6wsj58h5kt73hft3l 106 86376 784323 512158 2022-08-22T05:55:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|49| Zu einem Körper {{math|term=K|SZ=}} wie {{math|term=\Q|SZ=}} oder {{math|term=\R|SZ=}} und einer fixierten Variablen {{math|term=X|SZ=}} kann man sich fragen, welche Terme man mit dieser Variablen über diesem Körper {{Anführung|basteln}} kann. Dazu gehören {{ math/disp|term= 5, \, 3X+3,\, 3(X+1),\, (2X-6)(4X+3), \, X \cdot ( X \cdot X), \,5 +3 X -6X^2+7X^3, \, X^2-4 + 5X^2 +7X -13X |SZ=, }} wobei wir Potenzschreibweise verwendet und einige Klammern weggelassen haben. Als Terme sind {{ mathkor|term1= 3X+3 |und|term2= 3(X+1) |SZ= }} verschieden. Bei jeder Interpretation von {{math|term=X|SZ=}} in einem Ring sind diese Ausdrücke aber gleich. Der Polynomring besteht aus genau diesen Termen, wobei allerdings Terme miteinander identifiziert werden, wenn sich dies aus den Rechenregeln für einen kommutativen Ring ergibt. {{Zwischenüberschrift|term=Der Polynomring über einem Körper}} {{ inputdefinition |Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition|| }} Ein Polynom {{mathl|term=P={{polynomX|n|a|i}}={{polynomX/dots|n|a}}|SZ=}} ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel {{mathl|term=(a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n )|SZ=,}} die die {{Stichwort|term=Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} des Polynoms heißen. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Der Körper {{math|term=K|SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|term=Grundkörper|SZ=}} des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem {{Stichwort|term=Nullpolynom|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem alle Koeffizienten {{math|term=0|SZ=}} sind| |SZ= }} als neutralem Element. Die Polynome mit {{mathl|term=a_i=0|SZ=}} für alle {{mathl|term=i \geq 1|SZ=}} heißen {{Stichwort|term=konstante Polynome|msw=Konstantes Polynom|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term=a_0|SZ=.}} Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt {{mathl|term=X^{n} \cdot X^{m}|SZ=}} ist nämlich durch die Addition der Exponenten, also {{ Ma:Vergleichskette | X^{n} \cdot X^{m} |{{defeq}}| X^{n+m} || || || |SZ=, }} gegeben. Dabei nennt man {{math|term=X|SZ=}} die {{Stichwort|term=Variable|SZ=}} des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, {{Anführung|alles mit allem}} zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:{{Zusatz/Fußnote|text=Wobei wir natürlich, wie auch bei der Addition oder dem Vergleichen von Polynomen verschiedener Grade, die Polynome für {{mathl|term=r>n}} bzw. {{mathl|term={k-r}>m}} mit den Koeffizienten {{mathl|term=a_r=0}} bzw. {{mathl|term=b_{k-r}=0}} ergänzen können|ESZ=|ISZ=.}} {{ math/disp|term= {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} |SZ=. }} Beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{makl| 4X^2-5X+6 |}} {{makl| 3X^2+2X-1 |}} ||12X^4 +(4 \cdot 2 -5 \cdot 3 )X^3 +(-4 -5 \cdot 2 +6 \cdot 3 )X^2 +( 5 + 6 \cdot 2)X -6 ||12X^4 -7 X^3 + 4 X^2 + 17 X -6 || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/1/Körper/Kommutativer Ring/Fakt|Lemma|| || }} Der Polynomring ist kein Körper, beispielsweise gibt es zur Variablen {{math|term=X|SZ=}} kein inverses Element. {{ inputdefinition |Polynomring/Grad/Definition|| }} Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient {{math|term=a_n|SZ=,}} der zum Grad {{math|term=n|SZ=}} des Polynoms gehört, heißt {{Stichwort|Leitkoeffizient|SZ=}} des Polynoms. Der Ausdruck {{mathl|term=a_nX^n|SZ=}} heißt {{Stichwort|Leitterm|SZ=.}} Ein Polynom mit Leitkoeffizient {{math|term=1|SZ=}} heißt {{Stichwort|normiert|msw=Normiertes Polynom|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Körper/Grad/Einfache_Regeln/Fakt|Lemma|| || }} Polynome vom Grad {{math|term=0|SZ=}} sind die konstanten Polynome, Polynome vom Grad {{math|term=1|SZ=}} nennt man auch lineare Polynome. {{Zwischenüberschrift|term=Quadratische Polynome}} {{:Quadratische Polynome/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2={{ Zusatz/Fußnote |text=Den Ausdruck {{math|term=b^2-4ac|SZ=}} nennt man auch die {{Stichwort|Diskriminante|SZ=}} der quadratischen Gleichung| |ISZ=.|ESZ=. }}|}} {{Fußnotenliste}} }} 516p82vhvia9axpobt6t76n0io5tjmh 0 86388 783657 757304 2022-08-22T04:05:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= a,b \neq 0|SZ=}} Elemente aus {{math|term= K|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten {{mathl|term= m,n \in \Z|SZ=.}} Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus {{math|term= \N|SZ=}} sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von {{mathl|term= u^k|SZ=}} gleich {{mathl|term= {{makl| u^{-1} |}}^k |SZ=}} ist, verwenden. {{ Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette/disp |a^{m+n} || a^m \cdot a^n || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |(a^{m})^n || a^{m n } || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |(a\cdot b)^n || a^n \cdot b^n || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=11 |p1=5 |p2=4 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c8pceau06wgol80nimfxkkuap0gxdmw 106 86391 785218 496226 2022-08-22T08:04:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblattgestaltung|33| {{Zwischenüberschrift|term=Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Linearkombination/(2,-7) durch/(5,-3) und (-11,4)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Zahlenraum/Vektorraum/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zahlenraum/Erzeugendensystem/Darstellbare Vektoren weglassen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q^2/Nichttriviale Darstellung der Null/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q^3/Nichttriviale Darstellung der Null/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |K^3/215/137/412/Ist Basis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q^3/23-5/926/-14-1/Ist Basis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenraum/Vektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixprodukt/Explizit/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Reihe und Spalte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Nicht kommutativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixmultiplikation/e_i e_j/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Wirkungsweise auf Standardspalten und Standardzeilen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu einer quadratischen Matrix {{math|term=M|SZ=}} bezeichnet man mit {{math|term=M^n|SZ=}} die {{math|term=n|SZ=-}}fache Verknüpfung {{ Zusatz/Klammer |text=Matrizenmultiplikation| |ISZ=|ESZ= }} mit sich selbst. Man spricht dann auch von {{math|term=n|SZ=-}}ten {{Stichwort/-|Potenzen|SZ=}} der Matrix. {{ inputaufgabe |Matrix/Potenzen/246/135/012/bis 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diagonalmatrix/Wirkungsweise/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diagonalmatrix/Lineares Gleichungssystem/Lösungsverfahren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Linearkombination/(5,-8) durch/(6,-4) und (-3,7)/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q^3/Nichttriviale Darstellung der Null/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Obere Dreiecksmatrix/4/Nulldiagonale/Nilpotent/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben. {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Assoziativität/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenpotenzen/ab0d/Formel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} c0qdn95de1zfs7eyi9iei846kt981li 0 86494 785692 486785 2022-08-22T09:21:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{mathl|term= \Z[\sqrt{-2}]|SZ=}} einen größten gemeinsamen Teiler für {{ mathkor|term1= 22 +25 \sqrt{-2} |und|term2= 43- 23 \sqrt{-2} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der imaginär-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -2 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iq0w2xe2799abcajnfy0tgs3y23l28v 0 86495 785693 486786 2022-08-22T09:21:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{mathl|term= \Z[\sqrt{-2}]|SZ=}} einen größten gemeinsamen Teiler für {{ mathkor|term1= -169 + 2 \sqrt{-2} |und|term2= -70 + 113 \sqrt{-2} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der imaginär-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -2 |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3af8rv8qlz0eoirmlk66v6tw4ve15kp 0 86554 785647 758874 2022-08-22T09:14:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man mit der {{ Definitionslink |Prämath= |binären quadratischen Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= x^2 -10 y^2 |SZ= }} weder die Zahl {{math|term= 2|SZ=}} noch die Zahl {{math|term= -2|SZ=}} darstellen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iholdo37psod2r3pxjj4yvdq4my8vn8 0 86555 780756 754872 2022-08-21T20:01:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |K|K || |SZ= }} eine Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |konstant| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= f|SZ=}} gleichzeitig wachsend und fallend ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen Abbildungen auf einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fp9nkzpl2ah7zmsg3epebefa7k3pgo9 0 86556 780757 754873 2022-08-21T20:01:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=f_1 {{kommadots|}} f_n |K|K || |SZ= }} gegeben, die jeweils entweder {{ Definitionslink |Prämath= |streng wachsend| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder streng fallend sind. Es sei {{math|term= k|SZ=}} die Anzahl der streng fallenden Abbildungen darunter. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= f_1 \circ f_2 {{circdots}} f_n |SZ=}} genau dann streng fallend ist, wenn {{math|term= k|SZ=}} ungerade ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen Abbildungen auf einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gpnvw34kgs1ttanq7zvi52r2qgsuzmf 0 86559 780785 754894 2022-08-21T20:06:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Untersuche{{n Sie}} das Monotonieverhalten der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |K \setminus \{0\} |K |x| -x^{-1} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen Abbildungen auf einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eqjtprmgabu0x5e7l9pjne3zqu8ykzg 0 86560 780806 486888 2022-08-21T20:09:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Bakterium möchte entlang des Äquators die Erde umrunden. Es ist ziemlich klein und schafft am Tag genau {{math|term= 2|SZ=}} Millimeter. Wie viele Tage braucht es für eine Erdumrundung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wz0aijbwuxa80dnf77qwi5ef4l0nbt 0 86561 785598 486991 2022-08-22T09:06:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie oft muss man eine Strecke der Länge {{mathl|term= {{op:Bruch|7|4293}} |SZ=}} Meter mindestens hintereinander legen, um einen Kilometer zu erhalten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hv4j5w1pvg4t9gygrwnnhkr0gn6x2mu 0 86562 785600 487934 2022-08-22T09:06:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Population wachse pro Jahr um {{math|term= 0,1|SZ=}} Prozent. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{ Faktlink |Präwort=der|Bernoulli-Ungleichung|Faktseitenname= Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} eine Jahreszahl {{math|term= n|SZ=}} mit der Eigenschaft an, dass sich die Population in diesem Zeitraum mindestens verdoppelt. Gibt es bessere Methoden, ein solches {{math|term= n|SZ=}} zu finden? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3=Prozentrechnung |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iyq04r0wbltpm6bzg8pe8pptg5kie5a 0 86563 783647 486894 2022-08-22T04:03:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{ mathbed|term= x \in K ||bedterm1= x \neq 0 ||bedterm2= |SZ= }} ein Element. Erläutere{{n Sie}}, warum es sinnvoll ist, für das inverse Element zu {{math|term= x|SZ=}} die Bezeichnung {{math|term= x^{-1}|SZ=}} zu verwenden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iojzfva1pc8f8nbe7tpqf07ckrjw3kp 0 86567 785628 758856 2022-08-22T09:11:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für welche {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreien Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |D ||1 \mod 4 || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Bruch|1+ \sqrt{D} |2}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g36u3jqjm022by14q4acx5t2yzod7k6 0 86576 785909 504442 2022-08-22T09:57:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für jede rationale Zahl {{math|term= x |SZ=}} die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |\leq| {{op:Gaußklammer|2x|}} - 2 {{op:Gaußklammer|x|}} |\leq| 1 || || |SZ= }} gelten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Gaußklammer |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s335hxdhb6l4f3g2mriciwgq53xtb0m 0 86577 785910 486928 2022-08-22T09:58:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= x,y}} rationale Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | x- {{op:Gaußklammer|x|}} || y- {{op:Gaußklammer|y|}} || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn es ein {{mathl|term= n \in \Z }} mit {{mathl|term= y=x+n}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Gaußklammer |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k2bqoly1vqyni39gv12bdjtda30tx8t 0 86579 786357 487821 2022-08-22T11:12:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Runde{{n Sie}} die folgenden Brüche auf ganze Zahlen. {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= {{op:Bruch|317|15}} |SZ=,}} |{{mathl|term= {{op:Bruch|982|323}} |SZ=,}} |{{mathl|term= - {{op:Bruch|477|26}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Gaußklammer |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxqo0b3zpo6l0ppiixrlavw5niaii7c 0 86580 782518 487006 2022-08-22T00:55:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe die folgenden Rechnungen durch, wobei die Angaben als gemischte Brüche zu lesen sind. Auch die Ergebnisse sollen als gemischte Brüche angegeben werden. {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= 7 {{op:Bruch|4|9}} + 2 {{op:Bruch|6|7}}|SZ=,}} |{{mathl|term= 8 {{op:Bruch|2|7}} + 4 {{op:Bruch|10|13}}|SZ=,}} |{{mathl|term= 5 {{op:Bruch|8|5}} \cdot 3 {{op:Bruch|3|4}}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gemischten Bruchdarstellung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ah90b87k8a41oidcchj9qw6sm4x4f03 0 86584 783992 487008 2022-08-22T05:01:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein verbringt einen Urlaubsnachmittag in einem Seebad. Sie hält sich eineinviertel Stunden am Strand auf, dann eine halbe Stunde in der Eisdiele, dann eineinhalb Stunden im Park, sodann wieder zweidreiviertel Stunden am Strand und schließlich {{math|term= 40|SZ=}} Minuten im Café. Wie lange war ihr Nachmittag? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gemischten Bruchdarstellung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} esa916i1c6mv63aep20oylr61104y1s 0 86590 780814 754915 2022-08-21T20:11:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Monotonieverhalten| |Kontext=angeordneter Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Gaußklammer| |Kontext=angeordnet| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K |K |x| {{op:Gaußklammer|x|}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen Abbildungen auf einem angeordneten Körper |Kategorie2=Die Gaußklammer |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h4e5t4lmxpia2zbtltdcxoxczrh938k 0 86592 780758 754874 2022-08-21T20:01:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |K|K || |SZ= }} eine Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |wachsend| |Kontext=angeordneter Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K |x| -f(x) |SZ=, }} fallend ist, und dass dies äquivalent dazu ist, dass die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K |x| f(-x) |SZ=, }} fallend ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen Abbildungen auf einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} klsidfw73br56v66h0qmmjsijbjluqr 0 86593 785599 689271 2022-08-22T09:06:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein kleines Sandkorn hat ein Gewicht von {{mathl|term= {{op:Bruch|13|2757}} |SZ=}} Gramm. Wie viele Sandkörner muss man nehmen, um eine Sanddüne aufzubauen, die {{mathl|term= 5906|SZ=}} und eine halbe Tonne wiegt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dtj9lw0gur5zmw46g8c280pi0zan1pc 0 86597 780759 754875 2022-08-21T20:01:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |K|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung mit der Umkehrfunktion {{math|term= f^{-1}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |{{math|term= f|SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |streng wachsend| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{math|term= f^{-1}|SZ=}} streng wachsend ist. |{{math|term= f|SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |streng fallend| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{math|term= f^{-1}|SZ=}} streng fallend ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen Abbildungen auf einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ma7d8ub9n7d97b9yogppwo6mecqrm6l 0 86600 779723 763716 2022-08-21T17:13:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette |D ||-5 || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} || (2, 1+ \sqrt{-5}) || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass es kein Hauptideal ist und verwenden dabei, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratische Zahlbereiche/Norm eines Ideals/Definition |SZ= }} dieses Ideals gleich {{math|term= 2|SZ=}} ist. Wäre nämlich {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} ||(f) || || || |SZ= }} mit einem {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ=, }} so müsste nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Element und Hauptideal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|N(f)|}} ||2 || || || |SZ= }} gelten. Allerdings ist die Norm von {{ Ma:Vergleichskette |f ||a+b \sqrt{-5} || || || |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette |N(f) || a^2+ 5b^2 || || || |SZ= }} und dies kann nicht gleich {{math|term= 2|SZ=}} sein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Norm von Idealen in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2uwy4uq1njaqu0w8z7ryrjia80qhbmi 0 86601 779721 763714 2022-08-21T17:13:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette |D ||-5 || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} || (2, 1+ \sqrt{-5}) || || || |SZ=, }} das nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kein Hauptideal ist. Es sei {{math|term= S|SZ=}} der ganze Abschluss von {{math|term= R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder von {{math|term= \Z|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} im Erweiterungskörper {{ Ma:Vergleichskette |L || \Q[\sqrt{-5}, \sqrt{2}] || || || |SZ= }} vom Grad vier über {{math|term= \Q|SZ=.}} Wir haben also eine Kette {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Z |\subset| R |\subset| S || || |SZ= }} von Zahlbereichen. Wir behaupten, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Erweiterungsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} S || (2, 1+ \sqrt{-5} )S || || || |SZ= }} ein Hauptideal in {{math|term= S|SZ=}} ist, und zwar behaupten wir, dass {{math|term= \sqrt{2}|SZ=}} ein Idealerzeuger davon ist. Dazu betrachten wir zunächst das rationale Element {{ Ma:Vergleichskette |z || {{op:Bruch|\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{-5} |2 }} || {{op:Bruch|1 + \sqrt{-5} |\sqrt{2} }} |\in | L || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |z^2 || {{makl| {{op:Bruch|\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{-5} |2 }} |}}^2 || {{op:Bruch|2 -2 \cdot 5 +4 \sqrt{-5} |4}} || -2 + \sqrt{-5} |\in|R |SZ= }} erfüllt {{math|term= z|SZ=}} eine Ganzheitsgleichung über {{math|term= R|SZ=}} und gehört somit zu {{math|term= S|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso, wenn im Zähler ein Minuszeichen steht| |ISZ=|ESZ=. }} Die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} S || (\sqrt{2}) || || || |SZ= }} folgt einerseits aus {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 || \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |1+ \sqrt{-5} || z \cdot \sqrt{2} || || || |SZ= }} und andererseits aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | - \sqrt{2} \cdot 2 + {{op:Bruch|1-\sqrt{-5}| \sqrt{2} }} (1+ \sqrt{-5}) || - \sqrt{2} \cdot 2 + {{op:Bruch|6| \sqrt{2} }} || - \sqrt{2} \cdot 2 + 3 \cdot \sqrt{2} || \sqrt{2} (-2+3) || \sqrt{2} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der biquadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Objektkategorie2=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -10 |Objektkategorie3=Der Ring Z(sqrt(2)) |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wbjz3zg9erlbhc11lbqmf7ctbihjf5 0 86635 784871 487380 2022-08-22T07:11:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bei der Onlinepartnervermittlung {{Anführung|e-Tarzan meets e-Jane|}} verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange {{ Zusatz/Klammer |text=in gerundeten Jahren| |ISZ=|ESZ= }} dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland {{ Zusatz/Klammer |text=ca. {{math|term= 65 000 000|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rxn24ndbcwxzk8lyi9cr0xcz7yx6em6 0 86637 782214 487343 2022-08-22T00:04:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in {{mathl|term= {{op:Zmod|29|}} |SZ=}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^4 +y^4 +z^4 ||0 || || || |SZ= }} nur die triviale Lösung {{mathl|term= (0,0,0)|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diophantischen Gleichungen |Kategorie2=Die Fermat-Quartik |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 29 |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f9ny1hf3kdluk22dajjnccwtlhchjw1 0 86671 780381 487383 2022-08-21T18:58:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Halbiere{{n Sie}} die {{math|term= 1|SZ=}} im Dezimalsystem zehnmal hintereinander. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 36q92m5jwptfc3urni6pvvx8wxq4w2f 0 86674 781311 604471 2022-08-21T21:33:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 1{,}0205 \cdot 0{,}0073|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvmy0rz49az69znjy326i7ufzf3guvr 0 86675 781312 604580 2022-08-21T21:34:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 401{,}0013507 \cdot 0{,}002056|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bsiegn64pie8b7kwdphj9u5kleea7aq 0 86676 781301 604585 2022-08-21T21:32:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Halbiere{{n Sie}} den Dezimalbruch {{mathl|term= 297{,}0752209|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2owifijpqv8r775oafmh0l8xvaq3wtj 0 86677 781302 604584 2022-08-21T21:32:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Halbiere{{n Sie}} den Dezimalbruch {{mathl|term= 30437{,}09134508902|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sp19zbs7ewsm7dlwx1lw33l5fppeydn 0 86678 781296 755332 2022-08-21T21:31:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Approximiere{{n Sie}} die rationale Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|7|3}} |SZ=}} durch einen {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem Fehler von maximal {{math|term= 10^{-4}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} giyjipm1tg798voz3m6bxfp84lam2eo 0 86679 781297 755333 2022-08-21T21:31:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Approximiere{{n Sie}} die rationale Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|1|7}} |SZ=}} durch einen {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem Fehler von maximal {{math|term= 10^{-6}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lfzp7icssmq5f2hxhkkdhllftl199t6 0 86684 779009 604607 2022-08-21T15:20:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen den Dezimalbruch {{mathl|term= 509{,}273|SZ=}} {{ Faktlink |Präwort=mit dem|Verfahren|Faktseitenname= Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Verfahren |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} halbieren. Wir fangen hinten an, auch wenn wir an jeder Stelle anfangen könnten, und zwar an der Stelle mit dem Index {{math|term= -4|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Zehntausendstel-Stelle| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist {{ Zusatz/Klammer |text=das Aufschreiben ist mühseliger als die Durchführung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |a_{-4} ||0 || || || |SZ=, }} und weil {{ Ma:Vergleichskette |a_{-3} ||3 || || || |SZ= }} ungerade ist, ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |c_{-4} ||5 || || || |SZ=. }} Aus {{ Ma:Vergleichskette |a_{-3} ||3 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette |b_{-3} || {{op:Bruch|3-1|2}} || 1 || || |SZ= }} und da {{ Ma:Vergleichskette |a_{-2} ||7 || || || |SZ= }} ungerade ist, ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | c_{-3} || 6 || || || |SZ=. }} Aus {{ Ma:Vergleichskette |a_{-2} ||7 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette |b_{-2} || {{op:Bruch|7-1|2}} || 3 || || |SZ= }} und da {{ Ma:Vergleichskette |a_{-1} ||2 || || || |SZ= }} gerade ist, ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | c_{-2} || b_{-2} ||3 || || |SZ=. }} So fährt man fort und erhält schließlich {{ math/disp|term= 254{,}6365 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cn6rokijcujqk8bpstdobjhova7zbcm 0 86703 783150 604593 2022-08-22T02:40:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} im {{math|term= 7|SZ=}}er-System {{ math/disp|term= 0{,}026 \cdot 3{,}605 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1z2272e3pxgh28px8qghx22a2q6gs5h 0 86704 783149 604474 2022-08-22T02:40:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} im {{math|term= 5}}er-System {{ math/disp|term= 0{,}0230241 \cdot 32{,}1102 + 4{,}301 \cdot 2{,}133 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9v2qagj17aluqo2oi89qfakfc5g8i1f 0 86705 781298 755334 2022-08-21T21:31:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Approximiere{{n Sie}} die rationale Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|1|6}} |SZ=}} durch einen {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem Fehler von maximal {{math|term= 10^{-2}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bd7rms2j46pq6szzi0nv4rc5fyvxe9z 0 86706 781299 487800 2022-08-21T21:31:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine rationale Zahl {{mathl|term= z\neq 0|SZ=}} sei in der Form {{ math/disp|term= \pm \prod_{p \text{ Primzahl} } p^{\nu_p(z)} |SZ= }} gegeben. Woran erkennt man, ob es sich um einen Dezimalbruch handelt oder nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evrgk01duhf6x4o12jzbvbky9mjwh6c 0 86711 780380 487855 2022-08-21T18:58:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Schüler sollen die {{math|term= 1|SZ=}} im Dezimalsystem zehnmal hintereinander halbieren. Heinz Ngolo wundert sich über Gabi Hochster, die anfängt, die Potenzen der {{math|term= 5|SZ=,}} also {{math|term= 5^1,5^2,5^3, ...|SZ=}} auszurechnen. Er sagt: {{Anführung|Hast du wieder nicht aufgepasst|SZ=?}} Sie sagt: {{Anführung|Doch, das ist doch das gleiche|SZ=.}} Wer hat recht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Personenkategorie2=Heinz Ngolo |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fcu7hsk3grta18pxlkchys0fy7rug1c 0 86725 780804 491288 2022-08-21T20:09:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass für jedes {{math|term= k \in \N_+|SZ=}} der Dezimalbruch {{math/disp|term=\sum_{i {{=}} 1}^k 3 \cdot 10^{-i} |SZ=}} die rationale Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=}} mit einem Fehler von maximal {{math|term= 10^{-k}|SZ=}} approximiert {{ Zusatz/Klammer |text=von unten| |ISZ=|ESZ= }}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jh7smcebsts9dww6lm5g0i3xyjotxvf 0 86733 782499 756304 2022-08-22T00:52:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= z|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= z|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |ganzzahlig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Gaußklammer|-z|}} || - {{op:Gaußklammer|z|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Gaußklammer |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kujep3vi51z69d0siveoexqj4xkc0en 0 86735 782962 727986 2022-08-22T02:09:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Unterteile{{n Sie}} die Strecke von {{mathl|term= {{op:Bruch|2|7}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{op:Bruch|3|4}}|SZ=}} rechnerisch in drei gleichlange Strecken. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tq87vyx7083whcr7d7e8az4kteqj51x 0 86740 786623 759638 2022-08-22T11:56:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Stammbrüche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die zugleich {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbrüche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und größer als {{mathl|term= {{op:Bruch|1|100}} |SZ=}} sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf. |Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|1|1000}} |und|term2= 1 |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammbrüche |Kategorie2=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdboe3ptkb6ne49dcq7zwyzw0j68dnp 0 86744 781146 755191 2022-08-21T21:06:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|84}} |SZ=,}} das ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2=Theorie der Stammbrüche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c5dr4fgu0fn4zvcr65n68vg51nusr2x 0 86759 785895 759048 2022-08-22T09:55:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a \neq b |SZ=}} Basen zu einem Stellenwertsystem {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= a|SZ=-}}er System und {{math|term= b|SZ=-}}er System| |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{math|term= z|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die im Stellenwertsystem zur Basis {{math|term= a|SZ=}} eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis {{math|term= b|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie_der_Zifferndarstellung_für_rationale_Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mvtcxhg5c1xsu8a124hgpei39edc9n6 0 86761 780120 487973 2022-08-21T18:13:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der Übertrag bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl {{math|term= b|SZ=}} wirkt sich im Allgemeinen auf jede Ziffer des Ergebnisses aus, d.h. Überträge setzen sich fort. Daher muss man die einzelnen Ziffern von hinten nach vorne mit {{math|term= b|SZ=}} multiplizieren. Beispielsweise ist bei {{ Ma:Vergleichskette |b ||3 || || || |SZ= }} und {{ mathkor|term1= m= 333 333 333 |bzw.|term2= n = 333 333 334 |SZ= }} einerseits {{ Ma:Vergleichskette/disp | 333 333 333 \cdot 3 || 999 999 999 || || || |SZ= }} und andererseits {{ Ma:Vergleichskette/disp | 333 333 334 \cdot 3 ||1 000 000 002 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} svzup6nuvp4d8uq4dokpvuw70nr6738 0 86790 780709 754826 2022-08-21T19:53:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathbed|term= b \in K ||bedterm1= b> 1 ||bedterm2= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es dann Elemente {{ Ma:Vergleichskette |c,d |>| 1 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |b ||cd || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tnbkzgp5ld9lz6zcgcqklm2nag9ja71 0 86801 781304 755336 2022-08-21T21:32:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn in der gekürzten Bruchdarstellung der Nenner die Form {{mathl|term= 2^{i} \cdot 5^{j}|SZ=}} mit {{mathl|term= i,j \in \N|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sfu6yelf0pmy9bworast3meh4io5x0q 0 86807 785469 488100 2022-08-22T08:44:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zwei Händler spekulieren mit dem gleichen Kapitaleinsatz an der Börse. Händler {{math|term= A|SZ=}} macht in der ersten Woche ein Prozent Gewinn und in der zweiten Woche ein Prozent Verlust, dagegen macht Händler {{math|term= B|SZ=}} in der ersten Woche ein Prozent Verlust und in der zweiten Woche ein Prozent Gewinn. Wie sieht ihre Geschäftsbilanz in den zwei Wochen aus, und wer steht nach zwei Wochen besser da? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g0m3t0tevtmxahtf1f721ekhivecm32 0 86815 781116 755176 2022-08-21T21:01:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= F=aX^2+bXY+cY^2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |binäre quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= F'|SZ=}} die mittels der Matrix {{ Ma:Vergleichskette | M || {{op:Matrix22|r|s|t|u}} || || || |SZ= }} transformierte Form {{ Ma:Vergleichskette |F' ||F M || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für die Koeffizienten die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|a'| {{op:Bruch|1|2}} b' | {{op:Bruch|1|2}} b' |c'}} || {{op:Matrix22|r|t|s|u}} {{op:Matrix22|a|{{op:Bruch|1|2}} b| {{op:Bruch|1|2}} b |c}} {{op:Matrix22|r|s|t|u}} || || || |SZ= }} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mwljvz2seu8s3pnvajwrlxjqqy09y9e 0 86818 781119 755179 2022-08-21T21:01:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |binäre quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= aX^2+bXY+cY^2|SZ=}} eine quadratische Form auf dem {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Z^2|SZ=}} im Sinne der {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Quadratische Form/Modul/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Formen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jftjwi8rw5li1xsbgncq9rtrhuobuv1 0 86819 785644 758870 2022-08-22T09:13:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=Q |L|R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq|L || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Einschränkung von {{math|term= Q|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=}} ebenfalls eine quadratische Form ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iqj0yy65yrzo2nwfhlfs59yenud39ks 0 86820 785645 758871 2022-08-22T09:13:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= L|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=S |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=Q |L|S || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq|S || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Unterring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq|L || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass die Werte von {{math|term= M|SZ=}} unter {{math|term= Q|SZ=}} zu {{math|term= R|SZ=}} gehören. Zeige{{n Sie}}, dass die Einschränkung von {{math|term= Q|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=}} eine quadratische Form über {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0yesgpcly4lus61l3hnaufa6605sgqo 0 86833 778465 762415 2022-08-21T12:06:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung7 |Ist eine Eigenschaft der Division mit Rest. |Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |r_{-i} |\leq|b-1 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | 10 \cdot r_{-i} |\leq |10 \cdot (b-1) || || || |SZ=. }} Bei der Division von {{ Ma:Vergleichskette | 10 \cdot r_{-i} || z_{-i-1} \cdot b + r_{-i-1} || || || |SZ= }} durch {{math|term= b|SZ=}} ist somit der ganzzahlige Anteil {{math|term= z_{-i-1}|SZ=}} echt kleiner als {{math|term= 10|SZ=.}} |Dies folgt unmittelbar aus dem rekursiven Aufbau des Divisionsalgorithmus. |Im Fall, dass für ein {{math|term= k |SZ=}} der Rest {{ Ma:Vergleichskette |r_{-k} ||0 || || || |SZ= }} ist, ergibt sich dies unmittelbar aus (3), wobei man {{ Ma:Vergleichskette |\ell ||1 || || || |SZ= }} wählen kann. Nehmen wir also an, dass alle {{math|term= r_{-i}|SZ=}} von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden sind. Da die Reste {{ math/disp|term= r_{-1}, r_{-2}, r_{-3} |SZ= }} allesamt zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= b-1 |SZ= }} liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |r_{-k - \ell} || r_{-k} || || || |SZ= }} gilt. Da {{mathl|term= z_{-i-1}|SZ=}} und {{mathl|term= r_{-i-1}|SZ=}} allein von {{math|term= r_{-i}|SZ=}} abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge {{ mathkor/disp|term1= r_{-k}, r_{k-1} {{kommadots|}} r_{-k- \ell +1} |bzw.|term2= z_{-k}, z_{k-1} {{kommadots|}} z_{-k- \ell +1} |SZ= }} unendlich oft periodisch. |Aus der Division mit Rest {{ Ma:Vergleichskette/disp | 10 \cdot r_{-i} || z_{-i-1} \cdot b + r_{-i-1} || || || |SZ= }} ergibt sich direkt die entsprechende Division mit Rest {{ Ma:Vergleichskette/disp | 10 \cdot {{makl| m \cdot r_{-i} |}} || z_{-i-1} \cdot {{makl| m \cdot b |}} + {{makl|m \cdot r_{-i-1} |}} || || || |SZ=, }} woraus die Behauptung folgt. |Der Divisionsalgorithmus ist in diesem Fall {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{j {{=}} 0}^t c_j 10^{j} || {{makl| \sum_{j {{=}} s}^t c_j 10^{j-s} |}} 10^s + \sum_{j {{=}} 0}^{s-1} c_j 10^{j} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | 10 \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{s-1} c_j 10^{j} |}} || c_{s-1} 10^s + 10 \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{s-2} c_j 10^{j} }} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | 10^2 \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{s-2} c_j 10^{j} |}} || c_{s-2} 10^s + 10^2 \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{s-3} c_j 10^{j} }} || || || |SZ=, }} u.s.w., woraus die Aussagen ablesbar sind. |Wenn ein Dezimalbruch vorliegt, so können wir wegen (5) annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |b ||10^s || || || |SZ= }} eine Zehnerpotenz ist. Dann folgt die Aussage mit der abbrechenden Ziffernfolge aus (6). Wenn ein {{ Ma:Vergleichskette |r_{-k} ||0 || || || |SZ=, }} so sind nach (3) alle folgenden Ziffern gleich {{math|term= 0|SZ=.}} Wenn umgekehrt {{ Ma:Vergleichskette |z_{-i} ||0 || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |i |\geq|k || || || |SZ= }} gilt, so wird die Rekursionsbedingung für {{ Ma:Vergleichskette |i |\geq|k || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |10 \cdot r_{-i} || r_{-i-1} || || || |SZ=. }} Nehmen wir {{ Ma:Vergleichskette |z_{-k} |\neq|0 || || || |SZ= }} an. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |r_{-k-1} ||10 r_{-k} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |r_{-k-3} ||10 r_{-k-1} || 10^2 r_{-k} || || |SZ=, }} u.s.w., was zu einem Widerspruch führt, da nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Zehnerpotenzen schließlich die Zahl {{math|term= b|SZ=}} überschreiten. Wenn ein {{ Ma:Vergleichskette |r_{-k} || 0 || || || |SZ= }} ist, so folgt rekursiv aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | 10 r_{-i} ||z_{-i-1} \cdot b + r_{-i-1} || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|r_{-i}|b}} || {{op:Bruch|z_{-i-1}|10}} + {{op:Bruch|r_{-i-1}|10 \cdot b}} || || || |SZ=, }} dass die Brüche {{ math/disp|term= {{op:Bruch|r_{-k}|b|}} = 0,\, {{op:Bruch|r_{-k+1}|b|}} ,\,{{op:Bruch|r_{-k+2}|b|}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|r_{-1}|b|}} \, , {{op:Bruch|r_0|b|}} |SZ= }} Dezimalbrüche sind. Somit ist auch {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} ein Dezimalbruch. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lnywkigz3w7erljneqom6gekpof6wnu 0 86850 785727 758939 2022-08-22T09:27:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ mathbed|term= f \in R ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} mit der Eigenschaft gibt, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_f|SZ=}} faktoriell ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1notnuwsuzsqtlo6jmlsz6myv37vres 0 86851 785721 758933 2022-08-22T09:26:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\neq|0 || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche Zahl {{ Ma:Vergleichskette |m |\in|\N || || || |SZ= }} derart gibt, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |inverse Ideal| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{ideala|}}^{-1} |SZ=}} zu {{mathl|term= {{ideala}}^m|SZ=}} äquivalent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} allofybxwuggidnvjll646votuj80qv 0 86853 782505 756308 2022-08-22T00:53:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass der Ring der Gaußschen Zahlen {{math|term= \Z[ {{Imaginäre Einheit|}} ]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6f1m6vh024isqxdme4kalmk44cyga0r 0 86855 782483 488239 2022-08-22T00:49:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} ein {{math|term= m \in \N|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|m || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| 1,1 |}}^n |\geq | n || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 00o5yoruhs24novu2bhjkdqh1cedznb 0 86856 782484 488240 2022-08-22T00:49:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} ein {{math|term= m \in \N|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|m || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| 1,05 |}}^n |\geq | n || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cbh3if42jj3pq4iiaa2ypwmqaoaevr9 0 86857 782486 488243 2022-08-22T00:49:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} ein {{math|term= m \in \N|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|m || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| 1,1 |}}^n |\geq | n^2 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kqtpp0igsyfpc3obwzymd7h2r8ourpw 0 86858 782485 488254 2022-08-22T00:49:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} ein {{math|term= m \in \N|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|m || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2^n |\geq | n^2 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mp79o2hedk282toj63dzh4mwa1f95vr 0 86863 783960 488257 2022-08-22T04:56:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die engagierte Software-Entwicklerin Betti van Deyk verbucht folgende Lohnsteigerungen in ihren ersten drei Berufsjahren: {{mathl|term= +10 {{Prozent|}} |SZ=}} nach einem Jahr, {{mathl|term= +8 {{Prozent|}} |SZ=}} nach dem zweiten Jahr, {{mathl|term= +15 {{Prozent|}} |SZ=}} nach dem dritten Jahr. Wie verhält sich prozentual ihr Gehalt nach drei Jahren zu ihrem Anfangsgehalt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f0fpgsqer99ns2t8nokxow5o2hk41lt 0 86866 783991 488262 2022-08-22T05:01:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |LucySonnenscheinEis4|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Lucy Sonnenschein gibt {{mathl|term= 20 {{Prozent|}} |SZ=}} ihres Taschengeldes für Süßigkeiten aus, davon wiederum {{math|term= 40 {{Prozent|}} |SZ=}} für Eis. Wie viel Prozent ihres Taschengeldes gibt sie für Eis aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evezt9a6mbl38b0i9awahsli277xnoh 0 86870 781526 755502 2022-08-21T22:09:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die natürlichen Zahlen {{mathl|term= a,b|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= b|SZ=}} sei teilerfremd zu {{math|term= 10|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann sämtliche Reste {{math|term= r_{-i}|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= a:b|SZ=}} teilerfremd zu {{math|term= b|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 47lw5hjq05j25vcl8m2xskbkiymlo0l 0 86872 781510 755487 2022-08-21T22:07:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= 1:p|SZ=}} für jede {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p<20|SZ=}} durch. Was kann man an den Periodenlängen beobachten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jany4yvkmzpvlyfp3261kihvf5uyb7z 0 86873 781524 755500 2022-08-21T22:09:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} einen Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch|a|p}} |SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} derart, dass bei der {{ Definitionslink |Prämath= |schriftlichen Division| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine Periodenlänge {{math|term= \ell|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |2 |\leq| \ell |<|p-1 || || |SZ= }} auftritt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} diofm7um3x1o0taj91guchkqetm2wg8 0 86879 783580 488291 2022-08-22T03:52:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Kuchen wurde in zwölf gleich große Stücke unterteilt, von denen bereits {{math|term= 7|SZ=}} gegessen wurden. Wie viel Prozent des Kuchens sind noch da? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evctn14k7afvbrhccrrgrdgqrf0xi9w 0 86883 781593 488338 2022-08-21T22:21:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bei einer Befragung nach der Lieblingseissorte stellt sich heraus, dass jeweils ein Drittel der Befragten für Erdbeereis, für Himbeereis und für Zitroneneins plädiert. In Prozent sind es also jeweils {{math|term= 33|SZ=.}} Wo ist das Prozent {{ Ma:Vergleichskette |100 {{Prozent|}} - 3 \cdot 33 {{Prozent|}} ||1 {{Prozent|}} || || || |SZ= }} geblieben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c6pbqj7qmevwwyujp5cygs7yq0lzavo 0 86884 785621 488333 2022-08-22T09:09:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Quotienten {{ mathl|term= {{makl| {{op:Bruch|n+1|n}} |}}^2 |SZ= }} für {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{math|term= \epsilon > 0|SZ=}} ein {{mathl|term= m \in \N|SZ=}} derart gibt, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|m || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|n+1|n}} |}}^2 |\leq| 1+ \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pmdedr5ihu4ltfyyba0jwlpghcb17iu 0 86886 786631 759643 2022-08-22T11:57:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Stammbrüche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bis {{mathl|term= {{op:Bruch|1|20}} |SZ=}} in gerundeten Promille aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2=Theorie der Stammbrüche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ppwd7cucnti4i8rkrdup4nludadoxai 0 86887 782482 756292 2022-08-22T00:49:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= b \in K_+|SZ=}} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=ganzzahlig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi{{=}}\varphi_{b} |\Z|K |n|b^n |SZ=, }} und es sei {{math|term= \psi|SZ=}} die Exponentialfunktion zur Basis {{math|term= b^{-1}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die beiden Funktionsgraphen zu {{math|term= \varphi|SZ=}} und zu {{math|term= \psi|SZ=}} symmetrisch zur {{math|term= y|SZ=-}}Achse sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f9khe6su10523mk0fq9tbc9qjrdvoj8 0 86888 785466 490306 2022-08-22T08:44:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Wie viel Prozent sind {{math|term= 1000|SZ=?}} |Wie viel sind {{math|term= 1000 {{Prozent||}} |SZ=?}} |Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{op:Bruch|7 {{Prozent|}} |4 {{Promille|}} }} - {{op:Bruch|5 {{Promille|}} |11 {{Prozent|}} }} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7449g6dg5lmxjxi0ssx723ya1tjoqon 0 86889 785467 488330 2022-08-22T08:44:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Sendung erzielt mit durchschnittlich {{mathl|term= 2 200 000|SZ=}} Zuschauern einen Marktanteil von {{mathl|term= 18 {{Prozent|}} |SZ=.}} Welchen Marktanteil erzielt eine gleichzeitig laufende Sendung mit {{mathl|term= 1 500 000|SZ=}} Zuschauern? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2=Theorie der Proportionalität |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1witktqr784gqkm6jcrxtosuftmed2j 0 86894 779138 578846 2022-08-21T15:41:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir vergleichen die Werte der Identität und der Quadratfunktion mit der Exponentialfunktion zur Basis {{ Ma:Vergleichskette/disp |b || {{op:Bruch|3|2}} || || || |SZ=. }} Es ergibt sich die folgende Wertetabelle. {{Tabelleleitdreixelf| |ls0= {{math|term= n|SZ=}} |lz1= {{math|term= 0|SZ=}} |lz2= {{math|term= 1|SZ=}} |lz3= {{math|term= 2|SZ=}} |lz4= {{math|term= 3|SZ=}} |lz5= {{math|term= 4|SZ=}} |lz6= {{math|term= 5|SZ=}} |lz7= {{math|term= 6|SZ=}} |lz8= {{math|term= 7|SZ=}} |lz9= {{math|term= 8|SZ=}} |lz10= {{math|term= 9|SZ=}} | lz11= {{math|term= 10|SZ=}} | |ls1= {{math|term= n^1|SZ=}} |a1,1=0 |a1,2=1 |a1,3= 2 |a1,4= 3 |a1,5= 4 |a1,6= 5 |a1,7= 6 |a1,8= 7 |a1,9= 8 |a1,10= 9 |a1,11= 10 | |ls2= {{math|term= n^2|SZ=}} |a2,1=0 |a2,2=1 |a2,3=4 |a2,4=9 |a2,5= 16 |a2,6= 25 |a2,7= 36 |a2,8= 49 |a2,9= 64 |a2,10= 81 |a2,11= 100 | |ls3= {{math|term= {{makl| {{op:Bruch|3|2}} |}}^n |SZ=}} |a3,1= 1 |a3,2= 1,5 |a3,3= 2,25 |a3,4= 3, 37 |a3,5= 5, 06 |a3,6= 7,59 |a3,7= 11,39 |a3,8= 17,08 |a3,9= 25,63 |a3,10= 38,44 ||a3,11= 57,66 }} Im Vergleich mit der identischen Funktion ist die Exponentialfunktion schon durchgängig größer {{ Zusatz/Klammer |text=außer bei {{ Ma:Vergleichskette/k |n ||0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} im Vergleich mit der Quadratfunktion bleibt die Exponentialfunktion im angegebenen Bereich {{ Zusatz/Klammer |text=außer bei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|0,1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} zurück. Man sieht aber, dass sie {{Anführung|ziemlich schnell}} aufholt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 58i9b5ol66marjnw4bn4ivs18e587qm 0 86902 785964 492828 2022-08-22T10:07:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mit Hilfe der Aussage, dass {{ Ma:Vergleichskette |x^4 -y^4 ||z^2 || || || |SZ= }} keine ganzzahlige nichtriviale Lösung besitzt, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nrzfs5wc69yu2nupnumdio09kczkubj 0 86926 785966 759108 2022-08-22T10:07:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mit Hilfe des {{ Definitionslink |Prämath= |pythagoreischen Tripels| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (9,40,41)|SZ=,}} dass es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich {{math|term= 5|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pl9jyiv0h0s6z70i6x1hgwj55hnxjau 0 86936 781511 755488 2022-08-21T22:07:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} derart, dass sich beim {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= 1:p|SZ=}} eine von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene Ziffer wiederholt, dies aber nicht Teil der Periodizität ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2vatrxck1pgol5gcmm70tt8gxms8uao 0 86937 782275 488541 2022-08-22T00:14:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Folge der Stammbrüche {{ mathbed|term= {{op:Bruch|1|n}} ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \Q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2=Theorie der Stammbrüche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jf1ralrx2f4h02zhgup08gzcojm9k04 0 86938 784099 757746 2022-08-22T05:19:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine ganzzahlige {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} genau dann {{ Zusatz/Klammer |text=als ganzzahlige Matrix| |ISZ=|ESZ= }} invertierbar ist, wenn ihre Determinante gleich {{ mathkor|term1= 1 |oder|term2= -1 |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren ganzzahligen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pd8wee935h735fptfil56vup5b5auzv 0 86944 781520 755497 2022-08-21T22:08:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{math|term= 1|SZ=}} durch {{math|term= 37|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mqhlygwd2xg7el9gsxvo08wz5n2v9fp 0 86945 781518 755495 2022-08-21T22:08:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{math|term= 1|SZ=}} durch {{math|term= 101|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r9642ix5n2o7lzsz7l0kjrge461vte1 0 86946 781521 755498 2022-08-21T22:09:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{math|term= 1|SZ=}} durch {{math|term= 41|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8y327gxopzhjgpnwctwe6a7qf3jnurr 0 86947 781519 755496 2022-08-21T22:08:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{math|term= 1|SZ=}} durch {{math|term= 271|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0dxc7qwmn5fpasge5gucen6ssf47n13 0 86948 782264 756117 2022-08-22T00:12:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Archimedisch angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Folge|Glied=\frac{n^2}{2^n} }} |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in archimedisch angeordneten Körpern |Kategorie2=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} al6m03i4twwawpc0kizukt0zq3cxvlw 0 86954 781515 755492 2022-08-21T22:08:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= 5: 7 |SZ=}} und zu {{mathl|term= 15:21|SZ=}} durch. Notiere{{n Sie}} die Restfolge und die Ziffernfolge. Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede treten auf? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9k6to40ppq8urr4kfkni0h5z0ibtwev 0 86955 781512 755489 2022-08-21T22:07:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= 2:13|SZ=}} die Ziffernfolge, die Restefolge und die Dezimalbruchfolge. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 992ou3qdx2j55mhf3agfuo2dqd0que6 0 86957 781528 755503 2022-08-21T22:10:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= z_{-i} ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} die Ziffernfolge, die sich beim {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= a:b|SZ=}} ergibt. Wann ist diese {{ Definitionslink |Prämath= |konvergent| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie_der_Folgen_in_angeordneten_Körpern |Kategorie2=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3brbexdehfqh1zy40w63i20411ut14p 0 86959 781509 755486 2022-08-21T22:07:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= b|SZ=}} eine zu {{math|term= 10|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremde| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} positive Zahl. Zeige{{n Sie}}, dass die Periodenlänge {{math|term= \ell|SZ=}} beim {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= 1:b|SZ=}} gleich der kleinsten positiven Zahl {{math|term= k|SZ=}} ist, für die {{math|term= 10^k|SZ=}} bei der Division durch {{math|term= b|SZ=}} den Rest {{math|term= 1|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p3dleh9ssw45xfk69c2brr4zfd13gai 0 86962 781120 755180 2022-08-21T21:02:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |binäre quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= aX^2 +bXY +cY^2|SZ=}} mit {{mathl|term= a,b,c \in \Z|SZ=}} über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} in {{ Zusatz/Klammer |text=homogene| |ISZ=|ESZ= }} Linearfaktoren zerfällt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hjrs1fy2nwopar4u1fv919ezbnbdshs 0 86963 781118 755178 2022-08-21T21:01:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= aX^2 +bXY +cY^2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |binäre quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= a,b,c \in \Z|SZ=.}} Charakterisiere{{n Sie}} mit Hilfe der {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=binäre quadratische Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} ob diese Form über {{math|term= \R|SZ=}} in {{ Zusatz/Klammer |text=homogene| |ISZ=|ESZ= }} Linearfaktoren zerfällt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} czb2mouj9egmpatnku36wzqw3ji3jnn 0 86966 785715 758927 2022-08-22T09:25:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Diskriminante {{math|term= \triangle|SZ=}} und sei {{mathl|term= aX^2 +bXY+cY^2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |binäre quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Diskriminante mit {{ Ma:Vergleichskette |a |<|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} wie im Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Ideal mit vereinfachter Norm/Binäre quadratische Form/Korrespondenz/Strikte Äquivalenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} || \sqrt{\triangle} \cdot {{makl| a \Z + {{op:Bruch|b - \sqrt{\triangle} |2}} \Z |}} || || || |SZ= }} ein Ideal in {{math|term= R|SZ=}} ist und die Eigenschaft besitzt, dass die Norm darauf die vorgegebene quadratische Form realisiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p8phf22zr4n8iwmyunjjy2okh7matr7 0 86978 785687 758901 2022-08-22T09:20:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |D ||5 || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}} unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{mathl|term= A_{5}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Sieht nicht die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |- {{makl| 1+ \sqrt{5} |}} {{makl| 1- \sqrt{5} |}} ||4 || 2 \cdot 2 || || |SZ= }} wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von {{math|term= 4|SZ=}} in {{math|term= A_5|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist 5 |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 13g8z0e127woghng87d7o1rq0eqrmzd 0 86982 781513 755490 2022-08-21T22:07:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} im {{math|term= 3|SZ=-}}er System den {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 121:102|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mcttdh484hy1nvmb8x8dhjp6g6nl6by 0 86983 781517 755494 2022-08-21T22:08:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} im {{math|term= 7|SZ=-}}er System den {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 6563203 :1000|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5cklyv673ryu14uag87gggft33qq97u 0 86984 781516 755493 2022-08-21T22:08:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} im {{math|term= 5|SZ=-}}er System den {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 1:3|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hfedi0330qbb1m0yrdgmtp2f9pe4e0c 0 86985 781514 755491 2022-08-21T22:07:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} im {{math|term= 3|SZ=-}}er System den {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 2012:112|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bt6xmv6fetchg3dz3r82iuscmazg5p3 0 86987 781143 755189 2022-08-21T21:05:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b |SZ=}} natürliche Zahlen mit {{math|term= b|SZ=}} positiv und es seien {{ mathbed|term= z_{-i} ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} und {{ mathbed|term= r_{-i} ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} die im {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} berechneten Folgen. Zeige{{n Sie}} durch Induktion nach {{math|term= n|SZ=,}} dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |a || b {{makl| \sum_{i {{=}} 0 }^n z_{-i} 10^{-i} |}} + r_{-n} 10^{-n} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d6gvgnrnvj1t1fl802xahoy65y6a9kn 0 86989 781142 755188 2022-08-21T21:05:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien die {{ mathbed|term= z_{-i} ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} die im {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= a:b|SZ=}} berechneten Ziffern. Ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=}} 0}^n z_{-i} 10^{-i} || {{makl| \sum_{i {{=}} 0}^n z_{-i} 10^{n-i} |}} 10^{-n} || || || |SZ= }} stets die beste Approximation von {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} unter allen ganzzahligen Vielfachen von {{mathl|term= 10^{-n}|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3gb92t4ahzy6job25k2l281p4u1t1ck 0 86995 785667 758883 2022-08-22T09:17:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq |L {{=}} \Q[ \sqrt{D} ] || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |L|L || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=\Q |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erhält. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} die Multiplikation mit einem Element aus {{math|term= L|SZ=}} oder aber die Hintereinanderschaltung der {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugation| |Kontext=quadratische Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer solchen Multiplikation ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4sj7jkol6j7bocx5b8ea8fqqvn3n2he 0 87000 780395 510201 2022-08-21T19:01:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ergänze{{n Sie}} die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|7|11||}} |SZ= }} zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante {{math|term= 1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren ganzzahligen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s3x8xl8y7r9ipnftexa01kll83jmaor 0 87001 780396 510202 2022-08-21T19:01:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ergänze{{n Sie}} die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|7892|1551||}} |SZ= }} zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante {{math|term= 1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren ganzzahligen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0u241himqlx9mzv0gv2y4to0h5myo9f 0 87006 783469 757145 2022-08-22T03:33:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Negiere{{n Sie}} die Aussage, dass eine Folge {{mathl|term= x_n|SZ=}} in einem angeordneten Körper gegen {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} durch Umwandlung der Quantoren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4dhz1a4lcih6vlwjhw579wqzi48wkd2 0 87010 781525 755501 2022-08-21T22:09:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= b|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{math|term= b|SZ=}} positiv. Zeige{{n Sie}} durch Induktion nach {{math|term= i|SZ=,}} dass man die Restfolgenglieder {{mathl|term= r_{-i}|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} direkt durch die Division mit Rest {{ Ma:Vergleichskette/disp | 10^{i} a || xb +r_{-i} || || || |SZ= }} erhalten kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 51n772i2pm8wwo7reqrelqqt6y4y137 0 87022 780792 489022 2022-08-21T20:07:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Ring/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{math|term= x \in R|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette |x^2 ||xx |\geq|0 || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Quadrat |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l863yj65fybev16vxuyphrjbdd0yxau 0 87025 780793 489025 2022-08-21T20:07:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Ring/Situation|SZ=}} und {{math|term= x>y|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= -x<-y|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Negation |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dmg4lrty4tbd8gny3hoaelzk8lpqbmo 0 87026 780794 489026 2022-08-21T20:07:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Ring/Situation|SZ=}} und {{math|term= x,y \geq 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq|y || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Ma:Vergleichskette |x^2 | \geq |y^2 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q4oqeujbcdty87tilojtseq875vkx0n 0 87057 781504 589483 2022-08-21T22:06:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Führe{{n Sie}} sämtliche Divisionen mit Rest {{ Ma:Vergleichskette/disp | 10 \cdot k || q \cdot 17 + r || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette/disp |k || 1 {{kommadots|}} 16 || || || |SZ= }} aus. |Bestimme{{n Sie}} mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von {{mathl|term= {{op:Bruch|3|17}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von {{mathl|term= {{op:Bruch|11|17}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2=Division mit Rest (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ajyo63khgs72ys54vah8hd1wamt3ccs 0 87059 785313 489526 2022-08-22T08:19:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Primfaktorzerlegung von {{math|term= 10!|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen |Kategorie2=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} skzob062ks4fpcyidqt7f83ojqtu26g 0 87065 782182 489219 2022-08-21T23:59:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ= }} die Fakultät {{mathl|term= n!|SZ=}} keine Quadratzahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie2=Das Bertrandsche Postulat |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} merwagx2pwnv0z89pe42m7b3kbeo1wa 0 87085 781097 489322 2022-08-21T20:58:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den binomischen Lehrsatz {{ Zusatz/Klammer |text=für einen kommutativen Halbring| |ISZ=|ESZ= }} für den Exponenten {{math|term= 5|SZ=}} aus dem binomischen Lehrsatz für den Exponenten {{math|term= 4|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7weu618pgtmow4gkwmf81bnyos9uutk 0 87089 781472 551338 2022-08-21T22:00:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring {{math|term= R|SZ=}} durch Induktion über {{math|term= k|SZ=,}} wobei der Fall {{ Ma:Vergleichskette |k ||2 || || || |SZ= }} verwendet werden darf {{ Zusatz/Klammer |text=dabei sind {{mathl|term= n_1 {{kommadots|}} n_k |SZ=}} natürliche Zahlen und {{mathl|term= a_{j,i} \in R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Ma:Vergleichskette/align | {{makl| \sum_{i_1 {{=}} 1}^{n_1} a_{1, i_1} |}} \cdot {{makl| \sum_{i_2 {{=}} 1}^{n_2} a_{2, i_2} |}} \cdots {{makl| \sum_{i_k {{=}} 1}^{n_k} a_{k, i_k} |}} || \sum_{ (i_1, i_2 {{kommadots|}} i_k) \in \{ 1 {{kommadots|}} n_1 \} \times \{ 1 {{kommadots|}} n_2 \} {{timesdots}} \{ 1 {{kommadots|}} n_k \} } a_{1,i_1} \cdot a_{2,i_2} \cdots a_{k, i_k} || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 617ok47sbfgqtxr331muqfkq7sa24qz 0 87091 784260 672427 2022-08-22T05:46:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis {{mathl|term= 3:10^{7}|SZ=}} wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums {{mathl|term= 21|SZ=}} cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm {{math|term= 2|SZ=}} Quadratzentimeter einnimmt. {{ Aufzählung2 |Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit? |Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Sandra O'Neil |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lpvwi2472ecc8spxf983866n0p4fp54 0 87103 782224 489374 2022-08-22T00:06:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gabi Hochster möchte sich die Fingernägel ihrer linken Hand {{ Zusatz/Klammer |text=ohne den Daumennagel| |ISZ=|ESZ= }} lackieren, wobei die drei Farben {{mathl|term= B,G,R|SZ=}} zur Verfügung stehen. Sie möchte nicht, dass zwei benachbarte Finger die gleiche Farbe bekommen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Kombinatorik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ez8wn54fuj5gc75qc4647qywvutwfto 0 87105 782223 489376 2022-08-22T00:06:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gabi Hochster möchte sich die Fingernägel ihrer linken Hand {{ Zusatz/Klammer |text=ohne den Daumennagel| |ISZ=|ESZ= }} lackieren, wobei die drei Farben {{mathl|term= B,G,R|SZ=}} zur Verfügung stehen. Sie möchte nicht, dass zwei benachbarte Finger die gleiche Farbe bekommen. {{ Aufzählung2 |Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn sie nur zwei Farben verwendet? |Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn sie alle drei Farben verwendet? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Kombinatorik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ghvvgzjpw8b4e4bpe4fnjp34pwbcylc 0 87120 785646 758872 2022-08-22T09:14:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=Q |L|R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L|SZ=,}} es sei {{math|term= M|SZ=}} ein weiterer {{math|term= R|SZ=-}}Modul und es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |M|L || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= Q \circ \varphi|SZ=}} eine quadratische Form auf {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pbs9jo933n6sn4cp4rwtim6gsbk3jnv 0 87128 785731 758943 2022-08-22T09:28:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ mathkor|term1= {{ideala|}} |und|term2= {{idealb|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |äquivalente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kurs:Zahlentheorie_(Osnabrück_2016-2017)/Vorlesung_25 |SZ= }} Ideale aus {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |vereinfachten Normen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Vereinfacht/Quadratische Form/Fakt |SZ= }} als quadratische Formen {{ Definitionslink |Prämath= |äquivalent| |Kontext=binäre quadratische Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0bacexeltc8dovumf6o8ek1ev913n40 0 87130 781113 755170 2022-08-21T21:00:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=binäre quadratische Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \triangle|SZ=}} einer {{ Definitionslink |Prämath= |binären quadratischen Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle || 0,1 \mod 4 || || || |SZ= }} gilt, und dass diese beiden Möglichkeiten durch die sogenannten {{Stichwort|Hauptformen|msw=Hauptform (binäre quadratische Form)|SZ=}} {{ mathkor|term1= X^2 - {{op:Bruch|\triangle|4}} Y^2 |bzw.|term2= X^2+ XY - {{op:Bruch|\triangle-1|4}} Y^2 |SZ= }} realisiert werden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bh6dlf3l42xi4g1nktgr1djuzwn4wha 0 87131 781112 755169 2022-08-21T21:00:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= aX^2 +bXY +cY^2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |binäre quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= a,b,c \in \Z|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=binäre quadratische Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann eine Quadratzahl ist, wenn diese Form über {{math|term= \Q|SZ=}} in {{ Zusatz/Klammer |text=homogene| |ISZ=|ESZ= }} Linearfaktoren zerfällt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 59mvll02m40lmimgngbm0bd4ozt5id0 0 87133 781114 755172 2022-08-21T21:01:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |binäre quadratische Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= aX^2 +bXY +cY^2|SZ=}} mit einer quadratfreien {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. bis auf den Faktor {{math|term= 4|SZ=}} quadratfreien| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=binäre quadratische Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |einfach| |Kontext=binäre quadratische Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4fsnjyce05n01rfnjlp142yyr2bo79s 0 87142 783247 489540 2022-08-22T02:56:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Halbring {{math|term= R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h9438uhniev31fdwpry6zpcox8mkash 0 87157 780773 489575 2022-08-21T20:04:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über Wachstum und Injektivität für einen angeordneten Körper {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gn4kavi2cgpcd9jaei9zb513n5vchqf 0 87165 780384 489586 2022-08-21T18:59:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= z|SZ=}} eine natürliche Zahl. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |{{math|term= z|SZ=}} ist teilerfremd zu {{math|term= 10|SZ=.}} |{{math|term= z|SZ=}} ist teilerfremd zu {{math|term= 10^k|SZ=}} für ein {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=.}} |{{math|term= z|SZ=}} ist teilerfremd zu {{math|term= 10^k|SZ=}} für jedes {{mathl|term= k \in \N|SZ=.}} |Die Endziffer von {{math|term= z|SZ=}} im Zehnersystem ist {{mathl|term= 1,3,7|SZ=}} oder {{math|term= 9|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2sn9yiyrqf5lq8fr4bxh6k7fe63gtuv 0 87190 781145 755190 2022-08-21T21:06:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |z |\neq|0 || || || |SZ= }} eine eindeutige Darstellung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |z || \pm \prod_p p^{{{op:pexp|z|}} } || || || |SZ= }} besitzt, wobei das {{ Zusatz/Klammer |text=endliche| |ISZ=|ESZ= }} Produkt sich über {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erstreckt und die Exponenten {{mathl|term= {{op:pexp|z|}} \in \Z|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bruchdarstellung rationaler Zahlen |Kategorie2=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f6o0hcf2yfdillkdrszsp4kd93p7mnx 0 87197 782481 489794 2022-08-22T00:49:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} explizit ein {{math|term= m|SZ=}} mit der Eigenschaft an, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|m || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp |1,03^n |\geq| n^2 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b32rxsb32q4k68uo127yibpyky90bpc 0 87239 783994 604574 2022-08-22T05:01:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein hat im Juni {{math|term= 80|SZ=}} Euro ausgegeben, davon {{math|term= 20\,{{Prozent}}|SZ=}} für Eis, im Juli hat sie {{math|term= 90|SZ=}} Euro ausgegeben, davon {{math|term= 30\,{{Prozent}}|SZ=}} für Eis, und im August hat sie {{math|term= 70|SZ=}} Euro ausgegeben, und zwar hat sie davon {{math|term= 15|SZ=}} Euro für Eis ausgegeben. Wie viel Prozent ihrer Ausgaben in den drei Sommermonaten gab sie für Eis aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gnm4j3l63117i3lfdpn5fpt8kveql5u 0 87246 780717 490040 2022-08-21T19:54:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Lösungsmenge in {{math|term= \Q|SZ=}} für die Ungleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|7x-5|}} |>| {{op:Betrag|6x-7|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8kj7d8rh4vrksvogazjt0ygixvx75zu 0 87267 779527 763620 2022-08-21T16:43:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum einfachen Münzwurf besteht aus zwei Elementen, Kopf und Zahl, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||\{K,Z\} || || || |SZ=, }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Dichte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist konstant gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(K) ||f(Z) || {{op:Bruch|1|2}} || || |SZ=. }} Beide Elementarereignisse sind also gleichwahrscheinlich mit Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=.}} Es gibt nur vier Ereignisse, nämlich {{mathl|term= \emptyset, \, \{K\},\, \{Z\} }} und die Gesamtmenge {{mathl|term= \{K,Z\} |SZ=,}} die leere Menge hat Wahrscheinlichkeit {{math|term= 0|SZ=,}} die Gesamtmenge hat Wahrscheinlichkeit {{math|term= 1|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l4npxy2iq9gwhprne50h4cbgbfyanxu 0 87269 780069 763878 2022-08-21T18:06:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem einfachen Würfelwurf mit einem fairen Würfel besteht aus sechs Elementen, die den Seiten des Würfels entsprechen, und werden üblicherweise mit {{mathl|term= 1,2,3,4,5,6|SZ=}} durchnummeriert, es ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||\{1,2,3,4,5,6\} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Dichte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist konstant gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|1|6}} |SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(i) || {{op:Bruch|1|6}} || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i|SZ=.}} Die Elementarereignisse sind also gleichwahrscheinlich mit Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch|1|6}} |SZ=.}} Es gibt {{ Ma:Vergleichskette/disp |2^6 ||64 || || || |SZ=, }} also {{math|term= 64|SZ=}} Ereignisse. Beispielsweise sind {{ math/disp|term= \emptyset,\, \{2\},\, \{6\},\, \{2,5\},\, \{1,2,3\},\, {{Mengebed|x \in M|x \text{ ist gerade} }} ,\, {{Mengebed|x \in M|x \geq 5 }} |SZ= }} Ereignisse. Ihre Wahrscheinlichkeiten sind einfach zu berechnen, beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu ( \{2,5\}) || {{op:Bruch| {{op:Anzahl| \{2,5\} }} | {{op:Anzahl| \{1,2,3,4,5,6 \} }} | }} || {{op:Bruch|2|6}} || {{op:Bruch|1|3}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fe7519bygqbean3ccadkvyzaa3lrc3f 0 87288 779529 506552 2022-08-21T16:43:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es soll zehnmal mit einer Münze hintereinander geworfen werden. Mit dem Grundraum {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || \{ K,Z \} || || || |SZ= }} wird dies dann mit dem Produktraum {{ Ma:Vergleichskette/disp |N ||M^{10} || || || |SZ= }} beschrieben, die Elemente im Produktraum dokumentieren einen möglichen Ausgang des Gesamtexperimentes, es handelt sich um sämtliche Kombinationen der Länge {{math|term= 10|SZ=}} aus {{ mathkor|term1= K |oder|term2= Z |SZ=, }} {{Anführung|typische}} Elemente sind {{ math/disp|term= (Z,Z,K,Z,K,K,Z,K,K ,Z),\, (K,K,Z,K,K,K, Z,K,Z,K),\, (Z,Z,Z,Z,Z,Z, Z,Z,Z,Z) |SZ=. }} Diese haben alle die Wahrscheinlichkeit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|1|2}} |}}^{10} || {{op:Bruch|1|2^{10} }} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Produkte von endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s12k8updzfwtghhl0ogk9wzhqndw8gk 0 87311 779105 493208 2022-08-21T15:36:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Von einem Elternpaar ist bekannt, dass sie zwei Kinder haben, und dass eines davon ein Mädchen ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das andere Kind ein Mädchen ist? Zunächst muss man sich die Bedeutung der Information klar machen, um Missverständnisse zu vermeiden. Man weiß nicht, ob das erste oder das zweite {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne der Geburtsreihenfolge| |ISZ=|ESZ= }} Kind ein Mädchen ist. Wenn man beispielsweise weiß, dass das erste Kind ein Mädchen ist, so hat dies keine Auswirkungen auf das zweite Kind, und die Wahrscheinlichkeit, für dieses zweite Kind ein Mädchen zu sein, ist einfach {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=.}} Hier weiß man aber nur, dass überhaupt eines der beiden Kinder ein Mädchen ist. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, muss man auf die möglichen gleichberechtigen Konfigurationen bei zwei Kindern zurückgehen und schauen, welche durch die Information ausgeschlossen werden. Die vier gleichwahrscheinlichen Geburtsreihenfolgen sind {{ math/disp|term= (M,M),\, (J,M),\, (M,J) \text{ und } (J,J) |SZ=. }} Durch die angegebene Bedingung ist die letzte Möglichkeit, zwei Jungen, ausgeschlossen, und es verbleiben die drei anderen gleichberechtigten Möglichkeiten. Unter diesen ist nur die erste Möglichkeit für die Frage positiv, die beiden anderen nicht. Die Wahrscheinlichkeit ist also {{math|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} enimz4ag2o98iycoos58ecjt23dcdys 0 87331 778975 763163 2022-08-21T15:16:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binomialkoeffizient/Lotto/Teilmengenanzahl/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} haben wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, {{math|term= 6|SZ=}} Kugeln aus {{math|term= 49|SZ=}} Kugeln zu ziehen, und zwar gibt es {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Binom|49|6}} || {{op:Bruch|49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44|6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} || 13 983 816 || || |SZ= }} Teilmengen. Diese haben alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, somit liegt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor, wobei die einzelnen Elementarereignisse, also eine bestimmte Ziehung, die Wahrscheinlichkeit {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1| 13 983 816}} |SZ= }} besitzen. Wenn man sich für die Wahrscheinlichkeit interessiert, dass die {{math|term= 11|SZ=}} gezogen wird, so muss man alle sechselementigen Teilmengen zählen, in denen die {{math|term= 11|SZ=}} vorkommt. Da die {{math|term= 11|SZ=}} festgelegt ist, geht es um die Anzahl der fünfelementigen Teilmengen der Menge {{mathl|term= \{1,2 {{kommadots}} 49\} \setminus \{11\}|SZ=,}} diese Anzahl ist durch {{mathl|term= {{op:Binom|48|5}} |SZ=}} gegeben. Die Wahrscheinlichkeit ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Binom|48|5}} | {{op:Binom|49|6}} }} || {{op:Bruch| \,\, {{op:Bruch| 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44| 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} \,\, | \,\, {{op:Bruch|49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44|6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} \,\, }} || {{op:Bruch|6|49}} || || |SZ=, }} was man sich auch so klar machen kann: Die Wahrscheinlichkeit, dass die zuerst gezogene Zahl eine {{math|term= 11|SZ=}} ist, beträgt {{mathl|term= {{op:Bruch|1|49}} |SZ=,}} die Wahrscheinlichkeit, dass die als zweite gezogene Zahl eine {{math|term= 11|SZ=}} ist, beträgt ebenfalls {{mathl|term= {{op:Bruch|1|49}} |SZ=,}} u.s.w., und aufsummieren der disjunkten Ereignisse liefert auch {{mathl|term= {{op:Bruch|6|49}} |SZ=.}} Wenn man sich für die Wahrscheinlichkeit interessiert, dass sowohl die {{math|term= 11|SZ=}} als auch die {{math|term= 37|SZ=}} gezogen werden, so muss man alle sechselementigen Teilmengen zählen, in denen die {{math|term= 11|SZ=}} und die {{math|term= 37|SZ=}} vorkommen. Dies ergibt die Wahrscheinlichkeit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Binom|47|4}} | {{op:Binom|49|6}} }} || {{op:Bruch| \,\, {{op:Bruch| 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44| 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} \,\, | \,\, {{op:Bruch|49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44|6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} \,\, }} || {{op:Bruch|6 \cdot 5|49 \cdot 48}} || {{op:Bruch| 5|49 \cdot 8}} || {{op:Bruch| 5| 392}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ilg5w48te3lag8bm7xj0cgeq44a4b41 0 87333 779883 604419 2022-08-21T17:36:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Beim Skat wird mit {{math|term= 32|SZ=}} Karten gespielt, wobei drei Spieler je zehn Karten bekommen und zwei Karten in den {{Anführung|Skat}} gehen. Unter den Karten spielen die vier Buben eine besondere Rolle. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler {{math|term= A|SZ=}} sämtliche Buben bekommt? Die Anzahl der möglichen {{Anführung|Hände|SZ=,}} die Spieler {{math|term= A|SZ=}} bekommen kann, beträgt {{mathl|term= {{op:Binom|32|10}} |SZ=.}} Die Anzahl der Hände, die alle vier Buben umfassen, sind {{mathl|term= {{op:Binom|28|6}} |SZ=.}} Daher ist die Wahrscheinlichkeit, alle Buben zu bekommen, gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Binom|28|6}} |{{op:Binom|32|10}} }} || {{op:Bruch|\,\, {{op:Bruch|28 \cdot 27 \cdots 23|6 \cdot 5 \cdots 1}} \,\, |\,\, {{op:Bruch|32 \cdot 31 \cdots 23 |10 \cdot 9 \cdots 1 }}\,\, }} || {{op:Bruch| 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 |32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 }} ||{{op:Bruch| 3 \cdot 7 |4 \cdot 31 \cdot 29 }} ||{{op:Bruch| 21 |3596 }} |SZ=. }} Das sind ungefähr {{math|term= 0{,}58\,{{Prozent|}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 31uiklx6qf9yqih6iyn8y2vuarz70k5 0 87357 779751 588264 2022-08-21T17:17:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten ein Quadrat mit Seitenlänge {{math|term= 1|SZ=.}} Die Diagonale darin kann man als Hypotenuse des in dem Quadrat zweifach liegenden rechtwinkligen Dreiecks auffassen. Nach dem Satz des Pythagoras hat die Länge der Diagonalen die Eigenschaft, dass ihr Quadrat davon gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |1^2 +1^2 ||2 || || || |SZ= }} ist. Inwiefern gibt es eine Zahl {{math|term= x|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |x^2 ||2 || || || |SZ=? }} Dies ist keine einfache Frage. Was man ziemlich schnell begründen kann, ist, dass es innerhalb der rationalen Zahlen eine solche Zahl nicht geben kann! Wenn wir nämlich annehmen, dass die rationale Zahl {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || {{op:Bruch|a|b}} || || || |SZ= }} die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^2 || {{op:Bruch|a^2|b^2}} ||2 || || |SZ= }} besitzt, so kann man zunächst annehmen, dass die Darstellung gekürzt ist, also {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} keinen gemeinsamen Teiler {{math|term= \geq 2|SZ=}} haben. Durch Multiplikation mit {{math|term= b^2|SZ=}} erhält man innerhalb der natürlichen Zahlen die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |a^2 || 2b^2 || || || |SZ=. }} Nennen wir diese Zahl {{math|term= z|SZ=.}} Aufgrund der rechten Seite sieht man, dass diese Zahl gerade ist. Dann muss auch {{math|term= a|SZ=}} gerade sein, da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist. Wir können also {{ Ma:Vergleichskette/disp |a ||2 d || || || |SZ= }} schreiben und aus der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |(2d)^2 || 2 b^2 || || || |SZ= }} einmal die {{math|term= 2|SZ=}} kürzen, was {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2d^2 ||b^2 || || || |SZ= }} ergibt. Mit dem Argument von eben erhält man, dass auch {{math|term= b|SZ=}} gerade ist, im Widerspruch zur gekürzten Darstellung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Motivation für reelle Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hz20qjenflcvt0dxzwuivork6qestbq 0 87361 779381 571028 2022-08-21T16:18:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Kreis mit der Einheitsstrecke als Durchmesser {{ Zusatz/Klammer |text=oder als Radius| |ISZ=|ESZ= }} hat einen bestimmten {{Anführung|Umfang|SZ=.}} Ist dieser Umfang eine sinnvolle Streckenlänge? Einerseits ist der Kreisbogen gekrümmt und nicht gerade, wie das Strecken sind, von daher ist es keineswegs selbstverständlich, dass der Umfang eine sinnvolle Streckenlänge sein soll. Andererseits ist aber die Vorstellung naheliegend, dass man den Kreis an einer Geraden {{ Zusatz/Klammer |text=wie der Zahlengeraden| |ISZ=|ESZ= }} abrollen kann und dabei schauen kann, wohin man nach genau einer vollen Umdrehung gelangt. Die dadurch auf der Zahlengeraden markierte Zahl, also die Kreisbogenlänge, nennt man {{math|term= \pi|SZ=.}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man die Einheitsstrecke als Radius nimmt, erhält man beim Abrollen {{math|term= 2 \pi|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Dies ist eine sowohl von ihrer mathematischen Natur her als auch von der numerischen Berechnung her schwierige Zahl. Zum Beispiel ist es nicht einfach zu zeigen, dass diese Zahl nicht rational ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Motivation für reelle Zahlen |Kategorie2=Kreisgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4kykbpfxx7lh7bf4q3wsu5t1uefljcb 0 87363 779570 763648 2022-08-21T16:49:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{Stichwort|Standardparabel|SZ=,}} also den Graphen der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K |t|t^2 |SZ=, }} wobei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Kann man dem Ausschnitt des Graphen, der sich oberhalb des Einheitsintervalles von {{ mathkor|term1= 0 |bis|term2= 1 |SZ= }} erstreckt, eine sinnvolle Länge{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Dies wird unter dem Stichwort Kurvenlängen behandelt und gehört zur Integrationstheorie, siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Parabel/Bogenlänge/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} | |ISZ=|ESZ= }} zuordnen? Wenn ja, gehört diese Zahl zu den rationalen Zahlen? |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2=Motivation für reelle Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardparabel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g4kdv2na1tqyz6zwz2ugai4xay6fs6f 0 87371 779749 763740 2022-08-21T17:17:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wissen, dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich {{math|term= 5|SZ=}} ist. Wir können aber für jede rationale Zahl {{math|term= x|SZ=}} einfach bestimmen, ob ihr Quadrat {{math|term= x^2|SZ=}} größer oder kleiner als {{math|term= 5|SZ=}} ist, und das Ergebnis können wir dann so interpretieren, dass {{math|term= x|SZ=}} kleiner oder größer als die nicht vorhandene Zahl {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=wir beschränken uns im Moment auf positive rationale Zahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |x ||2 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |2^2 ||4 |<|5 || || |SZ= }} zu klein und für {{ Ma:Vergleichskette |x ||3 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |3^2 ||9 |>|5 || || |SZ= }} zu groß. Damit müssen wir uns über die rationalen Zahlen, die kleiner als {{math|term= 2|SZ=}} oder aber größer als {{math|term= 3|SZ=}} sind, gar keine Gedanken mehr machen. Aus {{ Ma:Vergleichskette |y |\geq|x |\geq|0 || || |SZ= }} folgt aus den Anordungseigenschaften direkt {{ Ma:Vergleichskette |y^2 |\geq|x^2 || || || |SZ=, }} siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=8 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Man muss also nur Rechnungen für rationale Zahlen zwischen {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 3 |SZ= }} durchführen. Nehmen wir beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette |x || {{op:Bruch|7|3}} || || || |SZ=, }} so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|7|3}} |}}^2 || {{op:Bruch|49|9}} |>| 5 || || |SZ=. }} Nehmen wir {{ Ma:Vergleichskette |x || {{op:Bruch|9|4}} || || || |SZ=, }} so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|9|4}} |}}^2 || {{op:Bruch|81|16}} |>| 5 || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |x || {{op:Bruch|11|5}} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|11|5}} |}}^2 || {{op:Bruch|121|25}} |<| 5 || || |SZ=. }} Wir wissen also, dass alle rationalen Zahlen oberhalb von {{mathl|term= {{op:Bruch|9|4}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{ Ma:Vergleichskette/k | {{op:Bruch|7|3}} |>| {{op:Bruch|9|4}} || || || |SZ= }} ist dies die bessere Grenze| |ISZ=|ESZ= }} zu groß und alle rationalen Zahlen unterhalb von {{mathl|term= {{op:Bruch|11|5}} |SZ=}} zu klein sind, wir müssen also nur noch Zahlen zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|11|5}} = 2,2 |und|term2= {{op:Bruch|9|4}} = 2,25 |SZ= }} überprüfen. Das vermittelt eine gewisse Größenvorstellung für die {{Anführung|gesuchte Zahl}} {{math|term= \sqrt{5} |SZ=,}} es gibt aber unendlich viele Zahlen, die ebenfalls zwischen diesen beiden Zahlen liegen. Wenn wir endlich viele Zahlen dahingehend überprüft haben, ob ihr Quadrat kleiner oder größer als {{math|term= 5|SZ=}} ist, so sind wir stets in einer vergleichbaren Situation, dass die Zahlen zwar einen {{Anführung|kleinen}} Bereich eingrenzen, es aber darin unendlich viele Zahlen gibt. Ein anderer Ansatz ist es, direkt die Mengen {{ Ma:Vergleichskette/disp |K || {{Mengebed|x \in \Q_{\geq 0} |x^2 < 5}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || {{Mengebed|x \in \Q_{\geq 0}|x^2 > 5}} || || || |SZ= }} zu betrachten. Dies ist eine Zerlegung von {{math|term= \Q_{\geq 0}|SZ=}} in zwei disjunkte Teilmengen. Dieses Paar {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. eine Menge davon, da sie ja die andere als Komplement festlegt| |ISZ=|ESZ= }} ist eine exakte Beschreibung der durch {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} in den rationalen Zahlen bedingten Lücke, der Spur, die {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} auf den rationalen Zahlen hinterlässt. Rechnerisch wurde zwar nichts gewonnen, da man nach wie vor für jedes einzelne {{math|term= x|SZ=}} durch eine Rechnung überprüfen muss, ob {{math|term= x|SZ=}} zu {{math|term= K|SZ=}} oder zu {{math|term= G|SZ=}} gehört. Es ist aber immerhin ein mathematisches Objekt gefunden, das {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} eindeutig beschreibt. Der Preis ist, dass dieses mathematische Objekt in der {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der rationalen Zahlen angesiedelt und somit sehr abstrakt ist. Es handelt sich um einen sogenannten {{Stichwort|Dedekindschen Schnitt|msw=Dedekindscher Schnitt|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Motivation für reelle Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3=Theorie der Dedekindschen Schnitte |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dfykeszd1myuv2p4j3toekjhhn3tolz 0 87430 780816 754917 2022-08-21T20:11:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann gegen {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn es für jedes {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=}} ein {{mathl|term= n_0 \in \N|SZ=}} derart gibt, dass für alle {{mathl|term= n \geq n_0|SZ=}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x_n-x|}} |\leq| {{op:Bruch|1|k}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in archimedisch angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Stammbruch |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oeq4rcpxq91h65t5erdglrcepby4ae9 0 87436 779747 763738 2022-08-21T17:16:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir versuchen nun, die Zahl {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} systematisch durch {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbrüche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu approximieren. Wir wissen bereits {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 |<| \sqrt{5} |<| 3 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=eine solche Abschätzung ergibt nur Sinn in einem angeordneten Körper, in dem es ein Element {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} gibt, die Grenzen links und rechts gehören aber jedenfalls zu {{math|term= \Q|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Was ist die beste Approximation mit einem Dezimalbruch mit {{math|term= 10|SZ=}} im Nenner? Durch etwas Probieren erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|22|10}} |<| \sqrt{5} |<|{{op:Bruch|23|10}} || || |SZ=. }} Entsprechend erhält man für den Nenner {{math|term= 10^2|SZ=}} die beste Approximation {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|223|100}} |<| \sqrt{5} |<| {{op:Bruch|224|100}} || || |SZ=, }} für den Nenner {{math|term= 10^3|SZ=}} erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|2236|1000}} |<| \sqrt{5} |<| {{op:Bruch|2237|1000}} || || |SZ=, }} u.s.w. Wenn man die vorhergehende beste Approximation um eine Zehnerpotenz verbessern möchte, so muss man maximal vier nächste Ziffern durchprobieren, man ergänzt die bisherige untere Ziffernfolge um eine {{math|term= 5|SZ=}} u.s.w. Die ersten approximierenden Dezimalbrüche von unten sind {{ math/disp|term= 2,\, {{op:Bruch|22|10}} ,\, {{op:Bruch|223|100}} ,\, {{op:Bruch|2236|1000}} ,\, {{op:Bruch|22360|10000}} ,\, {{op:Bruch|223606|100000}} ,\, {{op:Bruch|2236067|1000000}} , \ldots |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ku76uonwjvlad288qgj7s62lbeme99s 0 87496 778484 762427 2022-08-21T12:09:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung3 |Die erste Eigenschaft ist klar, da {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ( {{{x|x}}} ) || ( {{op:cos| {{{x|x}}} |}}, {{op:sin| {{{x|x}}} |}} ) || || || |SZ= }} nach Definition ein Punkt auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitskreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Folgt aus (1). |Ein negativer Winkel ist so zu verstehen, dass man vom Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} aus startend mit dem Uhrzeigersinn entlang des Kreisbogens läuft. Somit ergibt sich die {{ Zusatz/Klammer |text=Kreisbogen| |ISZ=|ESZ=- }}Bewegung zu {{math|term= -{{{x|x}}} |SZ=,}} wenn man die Bewegung zu {{math|term= {{{x|x}}} |SZ=}} an der {{math|term= x|SZ=-}}Achse spiegelt. Da der Kosinus die {{math|term= x|SZ=-}}Koordinate von {{math|term= P({{{x|x}}}) |SZ=}} ist, ändert er sich nicht bei Spiegelung an der {{math|term= x|SZ=-}}Achse, und da der Sinus die {{math|term= y|SZ=-}}Koordinate von {{mathl|term= P({{{x|x}}}) |SZ=}} ist, wird daraus bei dieser Spiegelung das Negative. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6szeabj5b7yg1btm4y45bfuz2w6d8sm 0 87515 778483 762426 2022-08-21T12:09:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Hintereinanderschaltung der Drehung um den Winkel {{math|term= x|SZ=}} und der Drehung um den Winkel {{math|term= y|SZ=}} ist die Drehung um den Winkel {{mathl|term= x+y|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wird diese Hintereinanderschaltung durch das Matrixprodukt der beiden Drehmatrizen beschrieben. Somit ist aufgrund einer einfachen Matrizenmultiplikation {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | {{op:Drehmatrix|(x+y) }} || {{op:Drehmatrix|x }} \circ {{op:Drehmatrix|y }} || {{op:Matrix22| {{op:cos|x|}} \cdot {{op:cos|y|}} - {{op:sin|x|}} \cdot {{op:sin|y|}} |- {{op:cos|x|}} \cdot {{op:sin|y|}} - {{op:sin|x|}} \cdot {{op:cos|y|}} | {{op:sin|x|}} \cdot {{op:cos|y|}} + {{op:cos|x|}} \cdot {{op:sin|y|}} | {{op:cos|x|}} \cdot {{op:cos|y|}} - {{op:sin|x|}} \cdot {{op:sin|y|}} }} || || |SZ=. }} Betrachten der Komponenten in der ersten Spalte ergibt die Behauptung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} to1n9t0soriz2hbfmo3x0gmctqqkfzh 0 87553 779173 763274 2022-08-21T15:47:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |d |\in|\N || || || |SZ= }} fixiert. Wir bestimmen auf {{math|term= \Z|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sim|SZ=,}} bei der zwei Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|\Z || || || |SZ= }} als äquivalent betrachtet werden, wenn ihre Differenz {{mathl|term= a-b|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= d|SZ=}} ist. Zu jeder Zahl {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\Z || || || |SZ= }} kann man einfach die zugehörige Äquivalenzklasse finden, sie besteht aus allen Zahlen der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | a + \Z d || {{Mengebed|a+ nd|n \in \Z}} || || || |SZ=. }} In jeder Äquivalenzklasse gibt es ein Element {{ Zusatz/Klammer |text=einen Vertreter, einen Repräsentanten| |ISZ=|ESZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= d-1 |SZ=, }} da ja insbesondere {{math|term= a|SZ=}} zu seinem Rest bei der Division durch {{math|term= d|SZ=}} äquivalent ist. Andererseits sind bei {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |\leq|r |<|s |\leq|d-1 || |SZ= }} die Äquivalenzklassen zu {{math|term= r|SZ=}} und zu {{math|term= s|SZ=}} verschieden. Es ist nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp |(r + \Z d ) \cap (s+ \Z d) || \emptyset || || || |SZ=, }} da aus {{ Ma:Vergleichskette/disp |r+nd ||s+md || || || |SZ= }} sofort {{ Ma:Vergleichskette/disp |s-r || (n-m)d || || || |SZ= }} folgt, was wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |<| s-r |<|d || || |SZ= }} nicht sein kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Division mit Rest (Z) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kdk7zmb3izvdiym9mppu5mt58n5enud 0 87555 779053 763194 2022-08-21T15:28:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In der Ebene {{math|term= E|SZ=}} sei ein bestimmter Punkt {{math|term= M|SZ=}} markiert. Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der zwei Punkte {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} als äquivalent gelten, wenn sie zu {{math|term= M|SZ=}} den gleichen Abstand besitzen. Dies wird durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(P,M) ||d(Q,M) || || || |SZ= }} ausgedrückt. Dies ist eine Äquivalenzrelation, wie man direkt überprüfen kann und was auch aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} folgt, da man ja die Situation mittels der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |E|\R_{\geq 0} |P| d(P,M) |SZ=, }} interpretieren kann. Die Äquivalenzklasse zu einem Punkt {{math|term= P|SZ=}} besteht aus allen Punkten der Ebene, die in ihrem Abstand zu {{math|term= M|SZ=}} mit {{mathl|term= d(P,M)|SZ=}} übereinstimmen. Dies ist genau der Kreis mit Mittelpunkt {{math|term= M|SZ=}} durch den Punkt {{math|term= P|SZ=.}} Die Äquivalenzklassen sind also die konzentrischen Kreise um den Mittelpunkt {{math|term= M|SZ=,}} wobei man hier den Punkt {{mathl|term= \{M\}|SZ=}} als Kreis mit Radius {{math|term= 0|SZ=}} mitzählen muss {{ Zusatz/Klammer |text=man kann sich darüber streiten, ob das ein Kreis ist, jedenfalls ist diese einpunktige Menge hier eine Äquivalenzklasse| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q78f5ydcniyrngg84kev9r8m6f299pe 0 87556 779055 763195 2022-08-21T15:28:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der Menge aller Geraden in der Ebene kann man die Parallelität als Äquivalenzrelation auffassen. Eine Gerade ist zu sich selbst parallel, die Relation ist offenbar symmetrisch und wenn {{ mathkor|term1= G_1 |zu|term2= G_2 |SZ= }} parallel und {{ mathkor|term1= G_2 |zu|term2= G_3 |SZ= }} parallel ist, so ist auch {{ mathkor|term1= G_1 |zu|term2= G_3 |SZ= }} parallel. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklasse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Geraden {{math|term= G|SZ=}} besteht aus allen zu {{math|term= G|SZ=}} parallelen Geraden, diese bilden eine parallele Geradenschar. Wir fixieren einen Punkt {{math|term= M|SZ=}} in der Ebene. Dann gibt es zu jeder Geraden {{math|term= G|SZ=}} eine dazu parallele Gerade {{math|term= G'|SZ=,}} die durch den Punkt {{math|term= M|SZ=}} verläuft. Man kann also jede Äquivalenzklasse durch eine Gerade durch den Punkt {{math|term= M|SZ=}} repräsentieren, und zwar eindeutig, da parallele Geraden, die durch einen Punkt verlaufen, übereinstimmen müssen. Die Menge der Geraden durch {{math|term= M|SZ=}} bildet also ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation der Parallelität. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24wypx3mnnpme3zr50mkfn9wvbsai9b 0 87606 779748 588509 2022-08-21T17:16:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Aufgrund der Berechnungen in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Quadratwurzel aus 5/Dezimalbruchfolge/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wissen wir, dass in einem angeordneten Körper, der die {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} enthält, diese in den zunehmend kleiner werdenden Intervallen {{ Ma:Vergleichskette/disp | [2,3] | \supseteq| [ {{op:Bruch|22|10}} , {{op:Bruch|23|10}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch|223|100}} , {{op:Bruch|224|100}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch|2236|1000}} , {{op:Bruch|2237|1000}} ] | \supseteq| \ldots |SZ= }} liegt. Die Länge der Intervalle ist hier {{math|term= 1, {{op:Bruch|1|10}}, {{op:Bruch|1|100}}, {{op:Bruch|1|1000}}, \ldots |SZ=.}} Diese Intervalle gibt es auch in {{math|term= \Q|SZ=}} und sie helfen bei der Lokalisierung von {{math|term= \sqrt{5}|SZ=,}} auch wenn diese Zahl gar nicht zu {{math|term= \Q|SZ=}} gehört. Der Vorteil einer solchen Intervallschachtelung gegenüber der Dezimalbruchfolge ist, dass sie den Wert von beiden Seiten her eingrenzt, während die Dezimalbruchfolge direkt nur untere approximierende Werte liefert. Wenn man beliebige konvergente Folgen betrachtet, so weiß man nur, dass grundsätzlich eine Approximation vorliegt, ohne dass man dies quantitativ ausdrücken kann. Bei einer Intervallschachtelung gibt jedes beteiligte Intervall eine direkte Eingrenzung, aus der der maximale Fehler unmittelbar abschätzbar ist. Eine spezielle Methode ist die {{Stichwort|Intervallhalbierung|SZ=.}} Dabei halbiert man das zuvor gefundene Intervall in zwei gleichlange Hälften und schaut, ob das gesuchte Element zur kleineren oder zur größeren Hälfte gehört und nimmt dann das passende Intervall als nächstes Intervall. Bei diesem Verfahren halbiert sich die Intervalllänge mit jedem Schritt. In unserem Beispiel erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp | [2,3] | \supseteq| [ 2 , {{op:Bruch|5|2}} ] | \supseteq| [ 2 , {{op:Bruch|9|4}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch|17|8}} , {{op:Bruch|9|4}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch|35|16}} , {{op:Bruch|9|4}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch|71|32}} , {{op:Bruch|9|4}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch|143|64}} , {{op:Bruch|9|4}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch|143|64}} , {{op:Bruch|287|128}} ] | \supseteq| \ldots |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vu32bnmgugr6qnhyq3ewxw6digrexu 0 87611 778961 491401 2022-08-21T15:13:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir berechnen eine approximierende Folge zu {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} wie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/5/Startwert 3/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} allerdings mit dem Startwert {{math|term= 2|SZ=.}} Die ersten Folgenglieder sind {{ math/disp|term= 2, {{op:Bruch|9|4}} , {{op:Bruch|161|72}} , {{op:Bruch|51841|23184}} , \ldots |SZ=. }} Der letzte Wert stimmt schon in acht Nachkommastellen mit dem wahren Wert überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nzh9z3ro2v2w4fs37q8kqsvv0u114k8 0 87637 780765 589853 2022-08-21T20:02:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und es seien {{math|term= r,s|SZ=}} nichtnegative reelle Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |r^n |<|s || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} mit Hilfe {{ Faktlink |Präwort=des|binomischen Lehrsatzes|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass es ein {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| r+ {{op:Bruch|1|k}} |}}^n |<|s || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Wurzeln |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8kxmzalafvfjy0epial3jqjf2uc1dk 0 87638 781260 755289 2022-08-21T21:25:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe für jede der vier Bedingungen, die in der Definition eines {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindschen Schnittes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorkommen, ein Beispiel für ein Paar {{math|term= (A,B)|SZ=}} mit {{mathl|term= A,B \subseteq \Q|SZ=,}} das drei dieser Bedingungen erfüllt, aber nicht die vierte. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekindschen Schnitte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3nekepmtie7kxdqi6n7apgydu9wvn5y 0 87641 781259 755287 2022-08-21T21:25:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} auf der Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindschen Schnitte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine Addition, die für rationale Schnitte mit der Addition auf {{math|term= \Q|SZ=}} übereinstimmt. Zeige{{n Sie}}, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt einen negativen Schnitt besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekindschen Schnitte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t6eeyb1tpbdl7cp1t5mpo0ug1wodck1 0 87642 781261 755290 2022-08-21T21:25:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} auf der Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindschen Schnitte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine Multiplikation, die für rationale Schnitte mit der Multiplikation auf {{math|term= \Q|SZ=}} übereinstimmt. Zeige{{n Sie}}, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt {{math|term= \neq 0|SZ=}} einen inversen Schnitt besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekindschen Schnitte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ai9lseoq6ycawdimffkhxarkz7l30y 0 87644 781262 755291 2022-08-21T21:25:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} auf der Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindschen Schnitte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die für rationale Schnitte mit der Größergleichrelation auf {{math|term= \Q|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekindschen Schnitte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejwx5spexsitwkvtix2ove47u2g0ngg 0 87646 778946 763140 2022-08-21T15:11:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Dann ist die {{Stichwort|alternierende Folge|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n ||(-1)^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Beschränktheit ist klar, da ja nur die beiden Werte {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ= }} vorkommen. Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass {{mathl|term= x \geq 0|SZ=}} der Grenzwert sei. Dann gilt für positives {{mathl|term= \epsilon < 1|SZ=}} und jedes ungerade {{math|term= n|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_n-x}} ||1+x |\geq |1 |>|\epsilon || |SZ=, }} so dass es Folgenwerte außerhalb dieser {{math|term= \epsilon|SZ=-}}Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5hldq5lk3s85q3m7iwiwh3mpfkdybb 0 87648 778950 763144 2022-08-21T15:11:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Folge mit den Folgengliedern {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || {{op:Bruch|7n| 2^n}} || || || |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=.}} Die Anfangsglieder sind {{ math/disp|term= 0 ,\, {{op:Bruch|7|2}} ,\, {{op:Bruch|7|2}} ,\, {{op:Bruch|21|8}} ,\, {{op:Bruch|7|4}} ,\, {{op:Bruch|35|32}} ,\, {{op:Bruch|21|32}} ,\, {{op:Bruch|49|128}} \ldots |SZ=. }} In der Tat ist dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu einem vorgegebenen {{ Ma:Vergleichskette |\epsilon |>|0 || || || |SZ= }} gibt es nämlich nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{math|term= m|SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |2^n |\geq| n^2 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|m || || || |SZ= }} gilt. Für diese {{math|term= n|SZ=}} ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|7n|2^n}} |\leq| {{op:Bruch|7n|n^2}} || {{op:Bruch|7|n}} || || |SZ=. }} Wenn zusätzlich noch {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq| {{op:Bruch|7| \epsilon}} || || || |SZ=, }} so ist dies kleinergleich {{math|term= \epsilon|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 03neypaslijcn33gv3f5a4p201pfoxg 0 87653 778949 763143 2022-08-21T15:11:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |r |\leq|s || || || |SZ=. }} Bei einer Folge der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || {{op:Bruch|a_r n^r + a_{r-1} n^{r-1} {{plusdots|}} a_2n^2 + a_1n+a_0|b_s n^s + b_{s-1} n^{s-1} {{plusdots|}} b_2n^2 + b_1n+b_0}} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= a_i,b_j |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= a_r,b_s \neq 0|SZ=}} kann man durch einen einfachen Standardtrick den Grenzwert bestimmen. Man multipliziert Zähler und Nenner mit {{math|term= n^{-s}|SZ=}} und erhält somit die auf den ersten Blick kompliziertere Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/align |x_n || {{op:Bruch| \,\, \, {{op:Bruch|a_r n^r + a_{r-1} n^{r-1} {{plusdots|}} a_2n^2 + a_1n+a_0|n^s|}} \,\, \, | \,\, \,{{op:Bruch|b_s n^s + b_{s-1} n^{s-1} {{plusdots|}} b_2n^2 + b_1n+b_0|n^s}} \,\, \,|}} || {{op:Bruch| \,\, \, {{op:Bruch|a_r n^r|n^s}} + {{op:Bruch|a_{r-1} n^{r-1} |n^s|}} {{plusdots|}}{{op:Bruch| a_2n^2|n^s|}} + {{op:Bruch| a_1n|n^s|}} + {{op:Bruch|a_0|n^s|}} \,\, \, | \,\, \, {{op:Bruch|b_s n^s|n^s|}} +{{op:Bruch| b_{s-1} n^{s-1} |n^s|}} {{plusdots|}} {{op:Bruch|b_2n^2|n^s|}} + {{op:Bruch|b_1n|n^s|}} + {{op:Bruch|b_0|n^s}} \,\, \,|}} || {{op:Bruch| \,\, \, {{op:Bruch| a_r |n^{s-r } }} + {{op:Bruch|a_{r-1} |n^{s-r-1} |}} {{plusdots|}}{{op:Bruch| a_2|n^{s-2} |}} + {{op:Bruch| a_1|n^{s-1}|}} + {{op:Bruch|a_0|n^s|}} \,\, \, | \,\, \, b_s + {{op:Bruch| b_{s-1} |n|}} {{plusdots|}} {{op:Bruch|b_2 |n^{s-2}|}} + {{op:Bruch|b_1|n^{s-1}|}} + {{op:Bruch|b_0|n^s}} \,\, \,|}} || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konvergiert der Nenner gegen {{math|term= b_s|SZ=.}} da die Summanden bis auf den ersten Summanden Nullfolgen sind. Der Zähler konvergiert bei {{ Ma:Vergleichskette |s |>|r || || || |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |s ||r || || || |SZ= }} gegen {{math|term= a_r|SZ=.}} Im ersten Fall liegt insgesamt eine Nullfolge vor, im zweiten Fall konvergiert die Folge geben {{mathl|term= {{op:Bruch|a_r|b_r}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in archimedisch angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b1zen2y6d0v5ybqcxvvvtw0ervw6dzc 0 87656 781166 755207 2022-08-21T21:09:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Negiere{{n Sie}} die Aussage, dass eine Folge {{mathl|term= x_n|SZ=}} in einem angeordneten Körper eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, durch Umwandlung der Quantoren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ttpwdhppeao0ebvw6tlfzs0tx4si4z5 0 87657 779207 588472 2022-08-21T15:52:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Strecke mit den Endpunkten {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} gegeben. Ein Punkt {{math|term= G|SZ=}} auf der Strecke unterteilt die Strecke in zwei Teilstrecken. Wir suchen einen Punkt {{math|term= G|SZ=,}} der die Eigenschaft besitzt, dass das Verhältnis der großen Teilstrecke zur kleinen Teilstrecke mit dem Verhältnis der Gesamtstrecke zur großen Teilstrecke übereinstimmt. Diese Eigenschaft definiert den sogenannten {{Stichwort|goldenen Schnitt|msw=Goldener Schnitt|SZ=.}} Wenn man mit der Einheitsstrecke von {{ mathkor|term1= 0 |bis|term2= 1 |SZ= }} auf der Zahlengeraden arbeitet, so geht es um die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|x}} || {{op:Bruch|x|1-x}} || || || |SZ=. }} Diese Bedingung kann man zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |1-x ||x^2 || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^2+x-1 ||0 || || || |SZ= }} umwandeln. Eine weitere Umformung führt auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| x+ {{op:Bruch|1|2}} |}}^2 - {{op:Bruch|1|4}} -1 || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| x + {{op:Bruch|1|2}} |}}^2 || {{op:Bruch|5|4}} || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | x || {{op:Bruch|\sqrt{5} -1|2}} |\sim|0,6180339 \ldots || || |SZ=. }} Da {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} irrational ist, ist auch die Zahl des Goldenen Schnitts irrational. Der Kehrwert dieser Zahl, also das Verhältnis von großer Strecke zu kleiner Strecke, ist übrigens {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|x}} || {{op:Bruch|\sqrt{5} +1|2}} |\sim|1,6180339 \ldots || || || |SZ=. }} Es liegt also die Besonderheit vor, dass die Nachkommaziffern von {{ mathkor|term1= x |und von|term2= 1/x |SZ= }} übereinstimmen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2qsxhvpcxw1e59e49g80vizx1nkibat 0 87687 780161 772551 2022-08-21T18:19:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N || || || |SZ= }} und {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette |M || K^{n+1} \setminus \{0\} || || || |SZ=. }} Der {{math|term= K^{n+1} }} ist ein Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von {{ Ma:Vergleichskette | \lambda |\in|K || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| K^{n+1} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= \lambda \cdot x}} bezeichnet wird. Sei weiter {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || {{Mengebed| (x,y) \in M \times M | \text{ es gibt ein } \lambda \in K \setminus \{0\} \text{ mit } \lambda \cdot x {{=}} y }} || || || |SZ=. }} Zwei Punkte werden also als äquivalent erklärt, wenn sie durch Skalarmultiplikation mit einem Skalar {{ Ma:Vergleichskette |\lambda |\neq|0 || || || |SZ= }} ineinander überführt werden können. Ebenso könnte man sagen, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn sie dieselbe Gerade durch den Nullpunkt definieren. Dass wirklich eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt, sieht man so. Die Reflexivität folgt aus {{ Ma:Vergleichskette |x ||1x || || || |SZ= }} für jedes {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|M || || || |SZ=. }} Zum Nachweis der Symmetrie sei {{mathl|term= xRy|SZ=,}} d.h. es gibt ein {{ Ma:Vergleichskette |\lambda |\neq|0 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\lambda x || y || || || |SZ=. }} Dann gilt aber auch {{ Ma:Vergleichskette |y || \lambda^{-1}x || || || |SZ=, }} da ja {{math|term= \lambda|SZ=}} ein Inverses besitzt. Zum Nachweis der Transitivität sei {{ mathkor|term1= xRy |und|term2= yRz |SZ= }} angenommen, d.h. es gibt {{ Ma:Vergleichskette | \lambda , \delta |\neq| 0 || || || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= \lambda x=y |und|term2= \delta y =z |SZ=. }} Dann ist insgesamt {{ Ma:Vergleichskette |z ||\delta y ||(\delta \lambda) x |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \delta \lambda |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Äquivalenzrelation sind die einzelnen Geraden durch den Nullpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=aber ohne den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} heißt {{Stichwort|projektiver Raum}} über {{math|term= K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der Dimension {{math|term= n}}| |ISZ=|ESZ= }} und wird mit {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}} }} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der projektiven Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektiv |Autor=Anakin |Autor2=Bocardodarapti |Bearbeitungsstand= }} 1ndbd2pc4fuxs0jgx73wza4iaakuh0u 0 87698 780150 752426 2022-08-21T18:17:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Gaußklammer| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= K|SZ=,}} also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\lfloor \,\, \rfloor |K|\Z |t|\lfloor t \rfloor |SZ=. }} Eine Zahl {{math|term= t|SZ=}} wird also auf die größte ganze Zahl abgebildet, die kleiner oder gleich {{math|term= t|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|Vorkommazahl|SZ=,}} falls die Zahl positiv ist{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Mit dieser Formulierung muss man bei negativen Zahlen vorsichtig sein. Die Zahl {{math|term= -0,7=-1+0,3|SZ=}} besitzt die Gaußklammer {{math|term= -1|SZ=}} und den Bruchanteil {{math|term= 0,3|SZ=.}}| |ISZ=|ESZ= }}| |SZ=. }} Dabei wird das gesamte ganzzahlige einseitig offene Intervall {{ Ma:Vergleichskette/disp | [n,n+1) || {{Mengebed|x \in K| n \leq x < n+1}} || || || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\Z || || || |SZ= }} abgebildet. Bezüglich dieser Abbildung sind also zwei Zahlen genau dann äquivalent, wenn sie im gleichen ganzzahligen Intervall liegen. Statt dem ganzzahligen Anteil kann man auch den {{ Zusatz/Klammer |text=nichtnegativen| |ISZ=|ESZ= }} Bruchanteil {{ Zusatz/Klammer |text=bei positiven Zahlen die {{Anführung|Nachkommazahl}}| |ISZ=|ESZ= }} betrachten. Das ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K|[0,1) |t|t-\lfloor t \rfloor |SZ=. }} Unter der durch diese Abbildung definierten Äquivalenzrelation sind zwei Zahlen genau dann gleich, wenn sie den gleichen Bruchanteil besitzen, und das ist genau dann der Fall, wenn ihre Differenz eine ganze Zahl ist. Wenn man {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |gemischte Brüche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} schreibt, so geht es um die Frage, ob der ganzzahlige Anteil oder ob der Bruchanteil übereinstimmt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Die Gaußklammer |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jathj848dcae0zy9ywkx6iwxvdqtimy 0 87704 780153 763905 2022-08-21T18:18:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir sagen, dass zwei Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |x,y |\in|K || || || |SZ= }} {{Anführung|bis (eventuell) auf das Vorzeichen}} übereinstimmen, wenn {{ Ma:Vergleichskette |x ||y || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |x ||-y || || || |SZ= }} ist. Dafür schreiben wir kurz {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || \pm y || || || |SZ=. }} Dies ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dabei ist die Reflexivität unmittelbar klar, die Symmetrie erhält man, indem man die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |x ||-y || || || |SZ= }} mit {{math|term= -1|SZ=}} multipliziert und {{ Ma:Vergleichskette |(-1)(-1) ||1 || || || |SZ= }} ausnutzt. Ähnlich wird auch die Transitivität begründet. Diese Äquivalenzrelation lässt sich auch einfach im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschreiben. Es ist nämlich {{ Ma:Vergleichskette |x || \pm y || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette |x^2 ||y^2 || || || |SZ= }} gilt. Dabei ist die Hinrichtung klar. Für die Rückrichtung sei also {{ Ma:Vergleichskette |x^2 ||y^2 || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ= }} ist auch {{ Ma:Vergleichskette |y ||0 || || || |SZ= }} und die Aussage gilt, seien also die Zahlen von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden. Durch Division durch {{math|term= y^2|SZ=}} erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|x|y}} |}}^2 || 1 || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette |u^2 - 1 ||(u-1) (u+1) || || || |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körper/Integritätsbereich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind aber {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ= }} die einzigen Lösungen der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |u^2 ||1 || || || |SZ= }} in einem Körper, und somit ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|x|y}} ||\pm 1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |x ||\pm y || || || |SZ=. }} In einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt darüber hinaus auch {{ Ma:Vergleichskette |x || \pm y || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x|}} ||{{op:Betrag|y|}} || || || |SZ= }} gilt. Es gibt also im Allgemeinen mehrere Funktionen, mit denen man eine Äquivalenzrelation erfassen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie des Betrags für einen angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 60d5jlg1uzc2hrnoaqyuxul7ypcf3oc 0 87707 780154 497694 2022-08-21T18:18:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge von Aussagen. Dann ist die Äquivalenz, also die logische Gleichwertigkeit, von Aussagen eine Äquivalenzrelation auf dieser Menge. Beispielsweise ist die Aussage {{mathl|term= \alpha \rightarrow \beta|SZ=}} aufgrund des Kontrapositionsprinzips äquivalent zu {{mathl|term= \neg \beta \rightarrow \neg \alpha |SZ=,}} oder die Aussage {{Anführung|{{mathl|term= 5|SZ=}} ist ein Teiler von {{math|term= x|SZ=}}|}} ist äquivalent zu {{Anführung|{{math|term= x|SZ=}} ist ein Vielfaches von {{math|term= 5|SZ=}}|}} oder zu {{Anführung|{{mathl|term= x \in \Z 5|SZ=}}|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nry8mvyng5v1a61zqvt5pihlgbm71aq 0 87708 780166 763914 2022-08-21T18:19:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge von Termen. Zwei Terme sind nur dann gleich, wenn sie Zeichen für Zeichen gleich sind. Wenn man allerdings einen mathematischen Kontext zugrunde legt, wie, dass sich alle Terme auf einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beziehen sollen, so ergibt sich auf der Menge der Terme eine Äquivalenzrelation dadurch, dass man Terme als äquivalent {{ Zusatz/Klammer |text=gleichwertig| |ISZ=|ESZ= }} ansieht, wenn sie bei jeder {{ Zusatz/Klammer |text=oder einer bestimmten| |ISZ=|ESZ= }} Interpretation in einem kommutativen Halbring das gleiche Element liefern. In diesem Sinne sind {{ mathkor|term1= a + b |und|term2= b +a |SZ= }} oder {{ mathkor|term1= (a+b)^2 |und|term2= a^2+2ab +b^2 |SZ= }} gleichwertige Terme. Ebenso sind die Bruchterme {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|5|7}} |und|term2= {{op:Bruch|10|14}} |SZ= }} als Terme verschieden, ihr Zahlwert in {{math|term= \Q|SZ=}} ist aber gleich. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der Terme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9mi3i47imal0q14uadqvr9dk726g9ne 0 87710 780159 763910 2022-08-21T18:18:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und eine Variablenmenge {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n|SZ=}} fixiert. Wir betrachten die Menge der {{ Zusatz/Klammer |text=endlichen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichungssysteme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in diesen Variablen über diesem Körper. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Definition |SZ= }} von linearen Gleichungssystemen, also die Übereinstimmung der Lösungsmengen {{ Zusatz/Klammer |text=als Teilmengen im {{math|term= K^n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} ist dann offenbar eine Äquivalenzrelation auf dieser Menge. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8b933ilz1rghxayodfr498spl1g4zka 0 87711 780164 492029 2022-08-21T18:19:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Situation gegeben, wo gewisse Orte {{ Zusatz/Klammer |text=oder Objekte| |ISZ=|ESZ= }} von gewissen anderen Orten aus erreichbar sind oder nicht. Die Erreichbarkeit kann dabei durch die Wahl eines Verkehrsmittels oder durch eine abstraktere {{ Zusatz/Klammer |text=Bewegungs| |ISZ=|ESZ=- }}Vorschrift festgelegt sein. Solche Erreichbarkeitsrelationen liefern häufig eine Äquivalenzrelation. Dass ein Ort von sich selbst aus erreichbar ist, sichert die Reflexivität. Die Symmetrie der Erreichbarkeit besagt, dass wenn man von {{math|term= A|SZ=}} nach {{math|term= B|SZ=}} kommen kann, dass man dann auch von {{math|term= B|SZ=}} nach {{math|term= A|SZ=}} kommen kann. Das ist nicht für jede Erreichbarkeit selbstverständlich, für die meisten aber schon. Die Transitivität gilt immer dann, wenn man die Bewegungsvorgänge hintereinander ausführen kann, also zuerst von {{math|term= A|SZ=}} nach {{math|term= B|SZ=}} und dann von {{math|term= B|SZ=}} nach {{math|term= C|SZ=}}. Wenn erreichbar beispielsweise dadurch gegeben ist, dass man auf dem Landweg von einem Ort zu einem anderen kommen kann, so sind zwei Ortspunkte genau dann äquivalent, wenn sie auf der gleichen Insel {{ Zusatz/Klammer |text=oder dem gleichen Kontinent| |ISZ=|ESZ= }} liegen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Erreichbarkeit |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sobtmkoc7s7nvymwx8mxus8njg5i750 0 87712 780167 752428 2022-08-21T18:20:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Äquivalenzrelation/Wäschesortierung/Haufen/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an. Die gesamte Wäsche haben wir gemäß der Waschverträglichkeit sortiert und es haben sich dabei verschiedene Haufen ergeben, wobei zwei Kleidungsstücke genau dann auf dem gleichen Haufen gelandet sind, wenn sie zueinander waschverträglich sind. Die Haufen sind also die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Äquivalenzklasse zu einem bestimmten Kleidungsstück {{math|term= x|SZ=}} besteht aus allen zu {{math|term= x|SZ=}} waschverträglichen Kleidungsstücken, also aus allen Kleidungsstücken, die zusammen mit {{math|term= x|SZ=}} auf dem gleichen Haufen liegen. Wenn wir aus jedem Haufen ein bestimmtes Kleidungsstück auswählen, so haben wir ein {{ Definitionslink |Prämath= |Repräsentantensystem| |Kontext=Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die Waschverträglichkeit. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7bbce5iq8yoob07gorxx0jlmw6i7qmj 0 87727 780117 505002 2022-08-21T18:12:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bauer Ernst möchte ein neues quadratisches Beet für Melonen anlegen. Die Anlage des Beetes kostet pro Quadratmeter {{math|term= 20|SZ=}} Euro. Das Beet muss mit einem Schneckenzaun rundum versehen werden, der pro Meter {{math|term= 8|SZ=}} Euro koste. Ernst möchte {{mathl|term= 300|SZ=}} Euro insgesamt investieren. Wie groß wird das Beet? Es sei {{math|term= x|SZ=}} die Seitenlänge des Beetes. Die Kosten sind dann {{mathl|term= 20 x^2 +4\cdot 8 x |SZ=,}} was zur Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |20 x^2 +32 x ||300 || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp | 20 x^2 +32 x -300 ||0 || || || |SZ= }} führt. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratische Gleichung/R/Lösungsformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} führt dies auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | x || {{op:Bruch| \sqrt{1024 + 24 000 } - 32|40}} || {{op:Bruch| \sqrt{ 25 024 } - 32|40}} |\sim|{{op:Bruch| 158,19 - 32|40}} |\sim|3,155 |SZ=. }} Die Seitenlänge des Beetes ist also ungefähr {{mathl|term= 3,155|SZ=}} Meter. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen |Personenkategorie=Bauer Ernst |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d1nthpc4d0d7jsug9nk2338vplp9b7o 0 87731 780133 504883 2022-08-21T18:15:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen eine Nullstelle des Polynoms {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) ||x^3-4x+2 || || || |SZ= }} mit Hilfe von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/Verfahren |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} approximieren. Es ist {{ Ma:Vergleichskette |f(1) ||-1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f(2) ||2 || || || |SZ=, }} es muss also nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Analysis/Nullstellensatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Nullstelle im Intervall {{mathl|term= [1,2]|SZ=}} geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte {{mathl|term= {{op:Bruch|3|2}} |SZ=}} und erhalten {{ Ma:Vergleichskette/disp |f {{makl| {{op:Bruch|3|2}} |}} || {{op:Bruch|27|8}} - 4 \cdot {{op:Bruch|3|2}} +2 || {{op:Bruch|27- 48+16 |8}} ||{{op:Bruch|-5|8}} |<| 0 |SZ=. }} Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall {{mathl|term= [ {{op:Bruch|3|2}} , 2]|SZ=}} weitermachen. Dessen Intervallmitte ist {{mathl|term= {{op:Bruch|7|4}}|SZ=.}} Der Funktionswert an dieser Stelle ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |f {{makl| {{op:Bruch|7|4}} |}} || {{makl| {{op:Bruch|7|4}} |}}^3 - 4 \cdot {{op:Bruch|7|4}} +2 || {{op:Bruch| 343 |64}} -5 || {{op:Bruch|343 - 320|64}} || {{op:Bruch| 23 |64}} |>| 0 |SZ=. }} Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall {{mathl|term= [ {{op:Bruch|3|2}} , {{op:Bruch|7|4}} ]|SZ=}} weitermachen, dessen Mitte ist {{mathl|term= {{op:Bruch|13|8}} |SZ=.}} Der Funktionswert an dieser Stelle ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |f {{makl| {{op:Bruch|13|8}} |}} || {{makl| {{op:Bruch|13|8}} |}}^3 - 4 \cdot {{op:Bruch|13|8}} +2 || {{op:Bruch| 2197 |512}} - {{op:Bruch|13|2}} +2 || {{op:Bruch|2197 -3328+1024 |512}} || {{op:Bruch| -107 |512}} |<| 0 |SZ=. }} Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|13|8}} |und|term2= {{op:Bruch|7|4}} = {{op:Bruch|14|8}} |SZ= }} gibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wic7ctsqo12tj5q6nq9dupbxhpbxa8 0 87740 779781 635351 2022-08-21T17:21:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir zeigen, dass das Quadrieren {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|x^2 |SZ=, }} stetig ist. Sei dazu {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R || || || |SZ= }} fixiert, wir zeigen die Stetigkeit im Punkt {{math|term= a|SZ=.}} Sei ein {{ Ma:Vergleichskette |\epsilon |>|0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Wir müssen ein {{ Ma:Vergleichskette |\delta |>|0 || || || |SZ= }} finden {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. die Existenz eines solchen {{math|term= \delta|SZ=}} nachweisen| |ISZ=|ESZ=, }} das die Eigenschaft besitzt: Wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x-a|}} |\leq| \delta || || || |SZ=, }} dann ist auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x^2-a^2||}} |\leq|\epsilon || || || |SZ=, }} also wenn {{ mathkor|term1= x |und|term2= a |SZ= }} {{math|term= \delta|SZ=-}}nahe sind, so sind die beiden Funktionswerte {{math|term= \epsilon|SZ=-}}nahe. Es ist klar, dass die Wahl von {{math|term= \delta|SZ=}} nicht nur von {{math|term= \epsilon|SZ=}} abhängt, sondern auch von {{math|term= a|SZ=.}} Wenn man nämlich zu {{math|term= a|SZ=}} eine Zahl {{math|term= \delta|SZ=}} hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |(a+ \delta)^2 ||a^2 +2a \delta + \delta^2 || || || |SZ=, }} und die Differenz zu {{math|term= a^2|SZ=}} ist somit {{mathl|term= 2a \delta + \delta^2|SZ=.}} Insbesondere muss der Betrag dieser Differenz kleinergleich dem vorgegebenen {{math|term= \epsilon|SZ=}} werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden {{mathl|term= 2a \delta |SZ=}} und {{mathl|term= \delta^2 |SZ=}} beide kleinergleich {{mathl|term= \epsilon/2 |SZ=}} sind. Von daher ist bei {{ Ma:Vergleichskette |a |>|0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\epsilon |\leq|1 || || || |SZ= }} die Wahl {{ Ma:Vergleichskette/disp |\delta | {{defeq|}} | {{op:min| {{op:Bruch|\epsilon|4 a }} | {{op:Bruch|\epsilon|2}} }} || || || |SZ= }} naheliegend. Um alle Fälle zu erfassen, wählen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |\delta | {{defeq|}} | {{op:min| {{op:Bruch|\epsilon|4 {{op:Betrag| a }} }} | {{op:Bruch|\epsilon|2}} }} || || || |SZ=, }} wobei der vordere Term bei {{ Ma:Vergleichskette |a ||0 || || || |SZ= }} zu ignorieren ist. Es gelten dann in der Tat für {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|a-x|}} |\leq| \delta || || || |SZ= }} die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Betrag|x^2-a^2|}} || {{op:Betrag|x-a|}} \cdot {{op:Betrag|x+a |}} |\leq| \delta {{makl| 2 {{op:Betrag|a|}} + \delta |}} || 2 {{op:Betrag|a|}} \delta + \delta^2 |\leq| {{op:Bruch|\epsilon|2}} + {{op:Bruch|\epsilon|2}} || \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie2=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ahnvfduagnwftx8s3yyi2efz5xnk5gj 0 87745 779596 763662 2022-08-21T16:54:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir führen die {{ Definitionslink |Polynomdivision| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= P= X^2+X+2 \text{ durch } T= X-5 |SZ= }} durch. Es wird also ein quadratisches Polynom durch ein lineares Polynom dividiert, d.h. der Quotient muss vom Grad {{math|term= 1|SZ=}} und der Rest muss vom Grad {{math|term= 0|SZ=}} sein. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man {{math|term= T|SZ=}} multiplizieren muss, damit das Produkt mit {{math|term= P|SZ=}} im Leitterm übereinstimmt. Das ist offenbar {{math|term= X|SZ=.}} Das Produkt ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |X {{makl|X-5 |}} || X^2-5X || || || |SZ=. }} Die Differenz von {{math|term= P|SZ=}} zu diesem Produkt ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | X^2+X+2 - {{makl| X^2 -5 X |}} || 6 X +2 || || || |SZ=. }} Mit diesem Polynom, nennen wir es {{math|term= P'|SZ=,}} setzen wir die Division durch {{math|term= T|SZ=}} fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man {{math|term= T|SZ=}} mit {{math|term= 6 |SZ=}} multiplizieren, dies ergibt {{ math/disp|term= 6 X -30 |SZ=. }} Die Differenz zu {{math|term= P'|SZ=}} ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | 6 X +2 - {{makl| 6X-30 |}} || 32 || || || |SZ=. }} Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | X^2+X+2 || {{makl| X+6 |}} {{makl| X - 5 |}} +32 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sktijly8ixpbjkbmgrk4wlsrtm5d3vy 0 87746 779597 763664 2022-08-21T16:54:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir führen im endlichen Restklassenkörper {{mathl|term= {{op:Zmod|7|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Polynomdivision| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= P= X^2+3X+5 \text{ durch } T= 3X+4 |SZ= }} durch. Es wird also ein quadratisches Polynom durch ein lineares Polynom dividiert, d.h. der Quotient muss vom Grad {{math|term= 1|SZ=}} und der Rest muss vom Grad {{math|term= 0|SZ=}} sein. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man {{math|term= T|SZ=}} multiplizieren muss, damit das Produkt mit {{math|term= P|SZ=}} im Leitterm übereinstimmt. Mit was muss man also {{math|term= 3|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|7|}} |SZ=}} multiplizieren, um {{math|term= 1|SZ=}} zu erhalten? Eine Schreibweise wie {{mathl|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=}} ist hier wenig hilfreich, es muss ein Element aus {{mathl|term= {{op:Zmod|7|}} |SZ=}} sein. Wegen {{ Ma:Vergleichskette |3 \cdot 5 ||15 ||1 \mod 7 || || |SZ= }} ist {{math|term= 5|SZ=}} das inverse Element, man muss also mit {{math|term= 5X|SZ=}} multiplizieren. Das Produkt ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | 5X {{makl|3X+4 |}} || X^2 +6 X || || || |SZ=. }} Die Differenz von {{math|term= P|SZ=}} zu diesem Produkt ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | X^2+3X+5 - {{makl| X^2 +6 X |}} || 4 X +5 || || || |SZ=. }} Mit diesem Polynom, nennen wir es {{math|term= P'|SZ=,}} setzen wir die Division durch {{math|term= T|SZ=}} fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man {{math|term= T|SZ=}} mit {{math|term= 6 |SZ=}} multiplizieren, da ja {{ Ma:Vergleichskette |3 \cdot 6 ||18 ||4 \mod 7 || || |SZ= }} ist. Dies ergibt {{ math/disp|term= 4 X + 3 |SZ=. }} Die Differenz zu {{math|term= P'|SZ=}} ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | 4 X +5 - {{makl| 4X+3 |}} || 2 || || || |SZ=. }} Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | X^2+3X+5 || {{makl| 5X+6 |}} {{makl| 3X +4 |}} + 2 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 7 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r0c3fhwtctwqutdq4blyyptrti7mnd7 0 87749 785650 492296 2022-08-22T09:14:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine quadratische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |ax^2 +bx +c ||0 || || || |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} maximal zwei Lösungen besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cu3k7ia55uzjwx5re1htn1tzb6xefyz 0 87750 785651 492299 2022-08-22T09:14:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^2 + p x +q ||0 || || || |SZ= }} eine quadratische Gleichung über einem Körper {{math|term= K|SZ=,}} und es sei {{math|term= r\neq 0|SZ=}} eine Lösung davon. Zeige{{n Sie}}, dass auch {{mathl|term= {{op:Bruch|q|r}} |SZ=}} eine Lösung der Gleichung ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} et48h11ewf9vznpwuo47m1bvwonud08 0 87783 785965 492747 2022-08-22T10:07:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich {{math|term= 2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2=Die diophantische Gleichung x^4+y^4 ist z^2 |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3q6nu80c6zegvhrup2yt4g7q1zy65si 0 87785 779405 751234 2022-08-21T16:22:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es stehen {{math|term= n|SZ=}} verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das {{math|term= i|SZ=-}}te Produkt {{ Zusatz/Klammer |text=pro Einheit| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= a_i|SZ=}} kostet. Ein Einkauf wird durch das {{math|term= n|SZ=-}}Tupel {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|x_1|x_2|\ldots|x_n}} |SZ= }} repräsentiert, wobei {{math|term= x_i|SZ=}} die vom {{math|term= i|SZ=-}}ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch {{mathl|term= \sum_{i=1}^n a_ix_i|SZ=}} beschrieben. Die Preisabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\Q^n|\Q | {{op:Zeilenvektor|x_1|x_2|\ldots|x_n}} | \sum_{i {{=}} 1}^n a_ix_i |SZ=. }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies beruht auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(x+y) || \sum_{i {{=}} 1}^n a_i (x_i +y_i) || \sum_{i {{=}} 1}^n a_i x_i + \sum_{i {{=}} 1}^n a_i y_i ||\varphi(x) + \varphi (y) || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(sx) || \sum_{i {{=}} 1}^n a_i sx_i ||s \sum_{i {{=}} 1}^n a_i x_i || s \varphi(x) || |SZ=. }} Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x_1|x_2|\ldots|x_n}} |SZ=}} tätigt und eine Woche später den Einkauf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|y_1|y_2|\ldots|y_n}} |SZ=,}} dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x_1+y_1|x_2+y_2|\ldots|x_n+y_n}} |SZ=}} gekauft hätte. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ln8nkt9aazezr9v4oa16dtlsr7v5oqj 0 87786 783824 757452 2022-08-22T04:33:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung2 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(0) ||0 || || || |SZ=. }} |Für jede {{ Definitionslink |Prämath= |Linearkombination| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sum_{i {{=}} 1}^k {{skalar|}}_i v_i |SZ=}} in {{math|term= K^n|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^k{{skalar|}}_i v_i |}} || \sum_{i {{=}} 1}^k {{skalar|}}_i \varphi {{makl| v_i |}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2h1c8jh2ady2g6fg1kjx24h31cf1q43 0 87787 783825 757453 2022-08-22T04:33:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:abb |name=\psi |K^p|K^n || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildungen| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung2 |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi \circ \psi |K^p|K^m || |SZ= }} ist ebenfalls linear. |Wenn {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so ist auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi^{-1} |K^m|K^n || |SZ= }} linear. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o4m86sq8p832bw1rgm95j5u8ndlz5r6 0 87792 779401 751227 2022-08-21T16:22:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K^2|K^2 |(x,y)| (-x,y) |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und beschreibt die {{Stichwort|Achsenspiegelung|SZ=}} an der {{math|term= y|SZ=-}}Achse. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen Achsenspiegelungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l7qlj1mjnrd643prfi6zv81fq85xp8r 0 87795 779284 763372 2022-08-21T16:04:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen zur Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|5|9|-3|7}} |SZ=}} gemäß dem in {{ Faktlink |Faktseitenname= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} beschriebenen Verfahren die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M^{-1}|SZ=}} bestimmen. {{ma:tabelle24 | {{op:Matrix22|5|9|-3|7}} | {{einheitsmatrix2|}} | {{op:Matrix22|5|9|0 | {{op:Bruch|62|5}} }} | {{op:Matrix22|1|0| {{op:Bruch|3|5}} |1}} | {{op:Matrix22|1| {{op:Bruch|9|5}} |0 | 1 }} | {{op:Matrix22| {{op:Bruch|1|5}} |0| {{op:Bruch|3|62}} | {{op:Bruch|5|62}} }} | {{einheitsmatrix2|}} | {{op:Matrix22| {{op:Bruch|7|62}} | - {{op:Bruch| 9 |62 }} | {{op:Bruch|3|62}} | {{op:Bruch|5|62}} }} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Invertierung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33ohli23vk1leq7titz9pw5ybao0lcr 0 87796 779456 664309 2022-08-21T16:31:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix32|4|1|3|5|2|7}} |SZ=.}} Durch elementare Zeilenumformungen erhält man daraus {{mathl|term= {{op:Matrix32|4|1|0| {{op:Bruch|17|4}} |0 | {{op:Bruch|13|2}} }} |SZ=}} und daraus {{mathl|term= {{op:Matrix32|4|1|0| {{op:Bruch|17|4}} |0 | 0 }} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fhk3of81bhhsihjt6892721coigkoo9 0 87797 779457 664319 2022-08-21T16:31:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix23|4|1|3|5|2|7}} |SZ=.}} Durch elementare Zeilenumformungen erhält man daraus {{mathl|term= {{op:Matrix23|4|1|3| 0 | {{op:Bruch|3|4}} | {{op:Bruch|13|4}} }} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b9wzqvrb4lx89mrrv6ly0cid90fpnsc 0 87798 779462 664320 2022-08-21T16:32:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|0|1|0|0|}} |SZ=}} ist nicht in der in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Matrix/Treppengestalt durch elementare Umformungen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zuletzt beschriebenen Form, und kann auch nicht durch Zeilenumformungen dahin gebracht werden. Durch Spaltenvertauschungen ist das möglich. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ldmyvrpk3paoxh3e79dqrgbu4ky64d 0 87806 779756 495847 2022-08-21T17:17:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{math|term= \Q^2|SZ=}} die drei Vektoren {{ mathlist|term1= {{op:Spaltenvektor|-5|2}} |,|term2= {{op:Spaltenvektor|4|9}} |und|term3= {{op:Spaltenvektor|7|-13}} |SZ=. }} Den Vektor {{math|term= {{op:Spaltenvektor|1|0}} |SZ=}} kann man als {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|1|0}} || - {{op:Bruch|9|53}} \cdot {{op:Spaltenvektor|-5|2}}+ {{op:Bruch|2|53}} \cdot {{op:Spaltenvektor|4|9}} + 0 \cdot {{op:Spaltenvektor|7|-13}} || || || |SZ=, }} aber auch als {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|1|0}} || 2 \cdot {{op:Spaltenvektor|-5|2}} + {{op:Spaltenvektor|4|9}}+ {{op:Spaltenvektor|7|-13}} || || || |SZ= }} schreiben. Besonders deutlich wird das Uneindeutigkeitsphänomen, wenn man den Nullvektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|0|0}} |SZ=}} betrachtet. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|0|0}} || 0 \cdot {{op:Spaltenvektor|-5|2}} + 0 \cdot {{op:Spaltenvektor|4|9}}+ 0 \cdot {{op:Spaltenvektor|7|-13}} || || || |SZ= }} die sogennante {{Stichwort|triviale Darstellung|SZ=}} des Nullvektors, aber es ist auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|0|0}} || 115 \cdot {{op:Spaltenvektor|-5|2}} +51 \cdot {{op:Spaltenvektor|4|9}} + 53 \cdot {{op:Spaltenvektor|7|-13}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5jd2v0j52mb1fbe7o597jupn0a8t6nd 0 87814 779566 604568 2022-08-21T16:49:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein befindet sich an einem Obststand und möchte für {{math|term= 10|SZ=}} Euro Obst kaufen. Dabei kosten {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils pro hundert Gramm| |ISZ=|ESZ= }} die Kirschen {{math|term= 0{,}50|SZ=}} Euro, die Heidelbeeren {{math|term= 1{,}20|SZ=}} Euro, die Himbeeren {{math|term= 0{,}90|SZ=}} Euro und die Trauben {{math|term= 0{,}60|SZ=}} Euro. Ein Einkauf wird durch ein Tupel {{mathl|term= (x,y,z,w)|SZ=}} repräsentiert, wobei sich die einzelnen Zahlen auf die gekaufte Menge {{ Zusatz/Klammer |text=in hundert Gramm| |ISZ=|ESZ= }} der Obstsorten bezieht. Der Einkaufspreis ist somit {{ math/disp|term= 0{,}5 \cdot x +1{,}2 \cdot y+ 0{,}9 \cdot z+0{,}6 \cdot w |SZ= }} und die Bedingung, genau {{math|term= 10|SZ=}} Euro auszugeben, führt auf die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |0{,}5 \cdot x +1{,}2 \cdot y+ 0{,}9 \cdot z+0{,}6 \cdot w || 10 || || || |SZ= }} bzw. in Brüchen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|2}} \cdot x + {{op:Bruch|6|5}} \cdot y+ {{op:Bruch|9|10}} \cdot z+ {{op:Bruch|3|5}} \cdot w || 10 || || || |SZ=. }} Es gibt hier sehr viele Lösungen. Sie kann beispielsweise nur Kirschen kaufen, dann wären das {{math|term= 20|SZ=}} Einheiten von den Kirschen und {{math|term= 0|SZ=}} von den anderen Sorten. Als Tupel geschrieben ist diese Lösung {{mathl|term= (20,0,0,0)|SZ=.}} Oder sie könnte für jede Sorte gleich viel, nämlich {{mathl|term= 2{,}50 |SZ=}} Euro, ausgeben wollen, das würde das Lösungstupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|5| {{op:Bruch|25|12}} | {{op:Bruch| 25|9}} | {{op:Bruch|25|6}} }}|SZ=}} ergeben. Oder sie möchte von jeder Sorte gleich viel kaufen. Dann wäre {{ Ma:Vergleichskette |x ||y ||z ||w || |SZ= }} und es ergibt sich die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|6|5}} + {{op:Bruch|9|10}} + {{op:Bruch|3|5}} |}} x || {{op:Bruch|32|10}} x || 10 || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || {{op:Bruch|100|32}} || {{op:Bruch|25|8}} || || |SZ= }} und das Lösungstupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|25|8}} | {{op:Bruch|25|8}} | {{op:Bruch|25|8}} | {{op:Bruch|25|8}} }} |SZ=.}} Die entscheidende Beobachtung an der Situation ist, dass man sich {{ Zusatz/Klammer |text=zumindest, wenn man auch negative Zahlen zulässt| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=}} frei vorgeben darf und dass dadurch der Wert {{math|term= w|SZ=}} über {{ Ma:Vergleichskette/disp | w || {{op:Bruch|5|3}} {{makl| 10 - {{op:Bruch|1|2}} \cdot x + {{op:Bruch|6|5}} \cdot y+ {{op:Bruch|9|10}} \cdot z |}} || || || |SZ= }} bestimmt ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lyd52q3fdxjkrtewkhz809hzzddc7vk 0 87815 779565 604415 2022-08-21T16:49:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein befindet sich an einem Obststand und möchte für {{math|term= 10|SZ=}} Euro Obst kaufen. Gleichzeitig möchte sie, dass das Obst genau {{math|term= 30|SZ=}} Milligramm Vitamin C enthält. Die Kirschen kosten {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils pro hundert Gramm| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= 0{,}50|SZ=}} Euro und besitzen {{math|term= 3|SZ=}} Milligramm Vitamin C, die Heidelbeeren kosten {{math|term= 1{,}20|SZ=}} Euro und besitzen {{math|term= 5|SZ=}} Milligramm Vitamin C, die Himbeeren kosten {{math|term= 0{,}90|SZ=}} Euro und besitzen {{math|term= 2|SZ=}} Milligramm Vitamin C und die Trauben kosten {{math|term= 0{,}60|SZ=}} Euro und besitzen {{math|term= 4|SZ=}} Milligramm Vitamin C. Ein Einkauf wird durch ein Tupel {{mathl|term= (x,y,z,w)|SZ=}} repräsentiert, wobei sich die einzelnen Zahlen auf die gekauften Mengen {{ Zusatz/Klammer |text=in hundert Gramm| |ISZ=|ESZ= }} der Obstsorten beziehen. Die Geldbedingung führt auf die lineare Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|2}} \cdot x + {{op:Bruch|6|5}} \cdot y+ {{op:Bruch|9|10}} \cdot z+ {{op:Bruch|3|5}} \cdot w || 10 || || || |SZ= }} und die Vitaminbedingung führt auf die lineare Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 3 \cdot x + 5 \cdot y+ 2 \cdot z+ 4 \cdot w || 30 || || || |SZ=. }} Beide Bedingungen sollen simultan erfüllt sein, gesucht sind also die Tupel {{mathl|term= (x,y,z,w)|SZ=,}} die beide linearen Gleichungen erfüllen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ayrwn864kkmvv7cn15qni7epe5md8id 0 87824 779645 595954 2022-08-21T17:02:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Mustafa Müller und Heinz Ngolo sind im Fanshop von Borussia Dortmund. Mustafa zahlt für sieben Wimpel und fünf Aufnäher zusammen 46 Euro und Heinz zahlt für vier Wimpel und sechs Aufnäher zusammen {{math|term= 42|SZ=}} Euro. Wie viel kostet ein Wimpel und wie viel kostet ein Aufnäher? Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen, die beiden Unbekannten sind die Preise für einen Wimpel {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir {{math|term= x|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und einen Aufnäher {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir {{math|term= y|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Mustafas Rechnung führt auf die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 7 x + 5 y ||46 || || || |SZ= }} und Heinz' Rechnung führt auf die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 4 x + 6 y ||42 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Heinz Ngolo |Personenkategorie2=Mustafa Müller |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} phqh1lthrp68uinjx1j4s07y5otxo8x 0 87825 779441 494946 2022-08-21T16:28:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Produkte/Preis/Beispieleinkäufe/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an, d.h. wir möchten das lineare Gleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette/disp | 7 x + 5 y ||46 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | 4 x + 6 y ||42 || || || |SZ= }} lösen. Wir wollen geeignete Vielfache der beiden Gleichungen miteinander addieren mit dem Ziel, dass in der Summe eine Variable herausfällt. Man kann beispielsweise das Vierfache der ersten Gleichung mit dem {{math|term= -7|SZ=-}}fachen der zweiten Gleichung addieren. Diese Vielfachengleichungen sind {{ Ma:Vergleichskette/disp |28x+ 20y || 184 || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp |-28 x -42 y ||- 294 || || || |SZ=. }} Wenn man diese beiden Gleichungen addiert, so erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp |-22 y || -110 || || || |SZ= }} und damit {{ Ma:Vergleichskette/disp |y ||5 || || || |SZ=. }} Somit kennt man den Preis für einen Aufnäher. Diese Information kann man mit einer der Ausgangsgleichungen weiter verarbeiten. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |7x + 5 \cdot 5 || 46 || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp |7x || 46-25 || 21 || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||3 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q13pyzdl51lpwizzet1dej11dfl4rth 0 87841 778798 762713 2022-08-21T12:55:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} da {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|b|-a}}|SZ=}} eine Basislösung der zugehörigen homogenen linearen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |ax+by ||0 || || || |SZ= }} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m4zn8t5u2sxbp2idkr189eu77h4aw8s 0 87843 780112 492947 2022-08-21T18:12:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir berechnen zu den durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |4x-7y ||13 || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp |5x-8y ||- 9 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden den Durchschnitt. Wenn man von der zweiten Gleichung das {{mathl|term= {{op:Bruch|5|4}} |SZ=-}}fache der ersten Gleichung abzieht, so erhält man {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| -8 + {{op:Bruch|5|4}} \cdot 7 |}} y || -9 - {{op:Bruch|5|4}} \cdot 13 || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|3|4}} y || - {{op:Bruch|101|4}} || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || - {{op:Bruch|101|3}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || - {{op:Bruch|167|3}} || || || |SZ=. }} Der Durchschnitt besteht also aus einem einzigen Schnittpunkt mit den Koordinaten {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch|167|3}} |- {{op:Bruch|101|3}} }} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fzpe9kciz4tz3g9xa6ok6lhz7qh9wbw 0 87867 783112 756848 2022-08-22T02:34:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu einer positiven natürlichen Zahl {{math|term= n|SZ=}} sei {{math|term= a_n|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |kleinste gemeinsame Vielfache| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Zahlen {{mathl|term= 1,2,3 {{kommadots|}} n|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} {{math|term= a_n|SZ=}} für {{mathl|term= n=1,2,3,4,5,6,7,8,9|SZ=.}} |Was ist die kleinste Zahl {{math|term= n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_n ||a_{n+1} ||a_{n+2} ||a_{n+3} || |SZ=? }} | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34kym2xxbrrjohcjw7vk0bpbt2xshvi 0 87871 779126 493113 2022-08-21T15:39:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Rechenregeln/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} lässt sich häufig die Wahrscheinlichkeit einfacher berechnen, insbesondere die unscheinbare Komplementregel ist hilfreich. Wenn man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit wissen möchte, dass in einer Lottoziehung die gezogenen Zahlen {{Betonung/Negation|nicht|}} alle in einer Reihe liegen, so könnte man ins Grübeln kommen, wie man diese Ereignismenge geschickt abzählt. Dagegen ist das Komplement einfach zu erfassen, davon gibt es nämlich {{math|term= 44|SZ=}} Stück und die Wahrscheinlichkeit davon ist somit {{mathl|term= {{op:Bruch|44|13 983 816}} |SZ=.}} Die komplementäre Wahrscheinlichkeit ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | 1- {{op:Bruch|44|13 983 816}} || {{op:Bruch|13 983 816 - 44|13 983 816}} ||{{op:Bruch|13 983 772|13 983 816}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8qo0vsvzg1azh6cflgyvgwz05d1rrw 0 87898 780127 763899 2022-08-21T18:14:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine Münze wird zweimal unabhängig voneinander hintereinander geworfen, und wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit, wie oft dabei Zahl fällt. Die Möglichkeiten sind {{mathl|term= 0,1,2|SZ=.}} Diese sind aber nicht gleichwahrscheinlich, sondern die {{math|term= 1|SZ=}} ist deutlich wahrscheinlicher als die {{math|term= 0|SZ=}} und die {{math|term= 2|SZ=.}} Wenn man das Ereignis mit der möglichen Wertemenge {{mathl|term= \{0,1,2\}|SZ=}} beschreibt, so liegt kein {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Es ist besser, die Gesamtsituation durch den Produktraum {{mathl|term= \{ K,Z \} \times \{ K,Z \}|SZ=}} zu beschreiben, wobei die Paare daraus die möglichen Ausgänge des Gesamtexperimentes bezeichnen, bei dem das Ergebnis beim ersten Wurf an erster und das Ergebnis beim zweiten Wurf an zweiter Stelle notiert wird. Die möglichen Ergebnisse sind somit {{ math/disp|term= (Z,Z), \, (Z,K), \, (K,Z),\, (K,K) |SZ=. }} Diese Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich, d.h. mit diesem Produktraum wird das Gesamtexperiment durch einen Laplace-Raum beschrieben, bei dem jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch|1|4}} |SZ=}} besitzt. Die ursprüngliche Frage nach der Wahrscheinlichkeit, wie oft insgesamt Zahl geworfen wird, wird mit Hilfe dieses Produktraumes dadurch beantwortet, dass man zählt, wie viele der Elementarereignisse zur Summenanzahl {{mathl|term= 0,1,2|SZ=}} führen. Somit besitzt keinmal Zahl die Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch|1|4}} |SZ=,}} einmal Zahl die Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} und zweimal Zahl die Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch|1|4}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2la0k1jhxpye1a78wmn0sobyjdv52pd 0 87909 779033 751042 2022-08-21T15:24:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten einen dreifachen Münzwurf, also den Wahrscheinlichkeitsraum {{mathl|term= \{Z, K\}^3|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |p || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ=. }} Das Ereignis, dass bei den ersten beiden Würfen das gleiche Ergebnis herauskommt {{ Zusatz/Klammer |text=also beide Mal Kopf oder beidemal Zahl| |ISZ=|ESZ=, }} sei mit {{math|term= E|SZ=}} bezeichnet, das Ereignis, dass beim ersten und beim dritten Wurf das gleiche Ergebnis herauskommt, sei mit {{math|term= F|SZ=}} bezeichnet, und das Ereignis, dass beim zweiten und beim dritten Wurf das gleiche Ergebnis herauskommt, sei mit {{math|term= G|SZ=}} bezeichnet. Wir behaupten, dass diese Ereignisse {{ Definitionslink |Prämath= |paarweise unabhängig| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig unabhängig| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu {{math|term= E|SZ=}} gehören genau die Elementarereignisse der Form {{mathl|term= (K,K,X)|SZ=}} und {{mathl|term= (Z,Z,X)|SZ=,}} das sind vier Stück. Somit ist die Wahrscheinlichkeit der Einzelereignisse {{math|term= E,F,G|SZ=}} stets {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=.}} Das Ereignis {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} tritt genau dann ein, wenn alle drei Münzwürfe das gleiche Ergebnis haben, also nur bei {{ mathkor|term1= (K,K,K) |oder|term2= (Z,Z,Z) |SZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit davon ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | P (E \cap F) || {{op:Bruch|2|8}} || {{op:Bruch|1|4}} || {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:Bruch|1|2}} || P (E) \cdot P (F) |SZ=. }} Entsprechendes gilt für die Paare {{ mathkor|term1= E |und|term2= G |SZ= }} und {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ=. }} Wenn man dagegen alle drei Ereignisse miteinander schneidet, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |E \cap F \cap G || \{ (K,K,K), (Z,Z,Z) \} || E \cap F || E \cap G || F \cap G |SZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit davon ist nach wie vor {{math|term= {{op:Bruch|1|4}} |SZ=,}} aber das Produkt der drei Einzelwahrscheinlichkeiten ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|1|2}} |}}^3 || {{op:Bruch|1|8}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2=Theorie der vollständigen Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dnjkocvwh5spagpnrx48g19zxxwtf06 0 87914 780075 752336 2022-08-21T18:06:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten einen Würfelwurf mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \{1,2,3,4,5,6\}|SZ=}} und dabei die Ereignisse {{ Ma:Vergleichskette/disp |G ||\{2,4,6\} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |U ||\{1,3,5\} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |E ||\{1,2\} || || || |SZ=. }} Die Ereignisse {{ mathkor|term1= E |und|term2= G |SZ= }} sind {{ Definitionslink |Prämath= |unabhängig| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da {{ Ma:Vergleichskette/disp |E \cap G || \{2\} || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | P (E \cap G) || {{op:Bruch|1|6}} || {{op:Bruch|1|3}} \cdot {{op:Bruch|1|2}} || P (E) \cdot P (G) || |SZ=. }} Ebenso sind {{ mathkor|term1= E |und|term2= U |SZ= }} unabhängig {{ Zusatz/Klammer |text=dies folgt auch aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Dagegen sind {{ mathkor|term1= G |und|term2= U |SZ= }} nicht unabhängig, da {{ Ma:Vergleichskette/disp |G \cap U || \emptyset || || || |SZ= }} ist, aber beide Ereignisse eine positive Wahrscheinlichkeit haben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sx01c3dbs7jnhe56wih0lt8rca1wxn3 0 87924 779428 751254 2022-08-21T16:26:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} gegeben, dessen Anzahl eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} ist. Dann sind zwei Ereignisse {{ Ma:Vergleichskette |E,F |\subseteq|M || || || |SZ= }} nur dann {{ Definitionslink |Prämath= |unabhängig| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn einer von ihnen leer oder gleich {{math|term= M|SZ=}} ist. Die Unabhängigkeitsbedingung bedeutet ja für einen Laplaceraum {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Anzahl|E \cap F|}} |p}} || {{op:Bruch| {{op:Anzahl|E |}} |p}} \cdot {{op:Bruch| {{op:Anzahl|F|}} |p}} || || || |SZ=. }} Dies bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp |p \cdot {{op:Anzahl|E \cap F|}} || {{op:Anzahl|E |}} \cdot {{op:Anzahl|F |}} || || || |SZ=. }} Somit teilt die Primzahl {{math|term= p|SZ=}} das Produkt {{mathl|term= {{op:Anzahl|E |}} \cdot {{op:Anzahl|F |}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Euklid|Faktseitenname= Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kann das nur sein, wenn {{math|term= p|SZ=}} einen der Faktoren teilt. Dann muss aber die Anzahl eines Faktors, sagen wir von {{mathl|term= {{op:Anzahl|E |}} |SZ=,}} gleich {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= p |SZ= }} sein, was {{ Ma:Vergleichskette |E || \emptyset || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |E ||M || || || |SZ= }} bedeutet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 03evcscq6mf4abjic5567zws6m75v9r 0 87927 779427 763522 2022-08-21T16:26:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen und eine Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |B |\subseteq|M || || || |SZ= }} mit {{ mathbed|term= k ||bedterm1= 1 \leq k \leq n ||bedterm2= |SZ=, }} Elementen gegeben. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(E {{|}} B) || {{op:Bruch| {{op:Anzahl|E \cap B|}} |k}} || || || |SZ= }} gegeben. Dies ist mit der einzigen Ausnahme {{ Ma:Vergleichskette |B ||M || || || |SZ= }} kein Laplace-Raum. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7h5jooc62inbke4q4eqyg5ct9yhdb6n 0 87939 783984 593447 2022-08-22T05:00:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Lieblingseissorten von Lucy Sonnenschein sind Himbeereis, Heidelbeereis und Erdbeereis, die sie stets mit Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=}} auswählt. Sie steht am Eisstand und wählt hintereinander und unabhängig voneinander drei Kugeln aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede ihrer Lieblingssorte in ihrem Becher vertreten ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2bup65ui8e6rtfmm3spvcnupf1wf5d 0 87965 779882 593242 2022-08-21T17:36:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die drei Freunde Fritz, Fredo und Fitzgeraldo spielen Skat. Spieler Fredo hat von den bereits an ihn verteilten zehn Karten die ersten drei aufgenommen und alles sind Buben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch noch den vierten Buben bekommt? Die einzige Information, die er hat, ist, dass unter den unbekannten {{ Ma:Vergleichskette |32-3 ||29 || || || |SZ= }} Karten noch ein Bube ist. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch den vierten Buben bekommt, gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|7|29}} |SZ=.}} Dies kann man auch als eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen. Sei {{math|term= B|SZ=}} das Ereignis, dass die ersten drei aufgedeckten Karten alle Buben sind, und {{math|term= A|SZ=}} das Ereignis, dass Fredo alle Buben bekommt. Die Wahrscheinlichkeit von {{math|term= A|SZ=}} ist nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Skat/Vier Buben/Wahrscheinlichkeit/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich{{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Binom|28|6}} |{{op:Binom|32|10}} }} ||{{op:Bruch| 21 |3596 }} |SZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit für {{math|term= B|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| 4 \cdot 3 \cdot 2 |32 \cdot 31 \cdot 30|}} || {{op:Bruch| 1| 4 \cdot 31 \cdot 10|}} || {{op:Bruch| 1| 1240|}} || || |SZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit für {{mathl|term= A \cap B|SZ=}} kann man auf unterschiedliche Arten ausrechnen, nämlich als {{ Zusatz/Klammer |text=Wahrscheinlichkeit, dass die ersten drei Karten nur Buben sind, mal Wahrscheinlichkeit, dass dann noch der vierte Bube kommt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| 1| 1240|}} \cdot {{op:Bruch|7|29}} || {{op:Bruch|7|35960}} || || || |SZ= }} oder als {{ Zusatz/Klammer |text=Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Buben bei einem Spieler landen, mal die Wahrscheinlichkeit, dass dabei drei bestimmte Karten Buben sind| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|21|3596}} \cdot {{op:Bruch|4 \cdot 3 \cdot 2|10 \cdot 9 \cdot 8}} || {{op:Bruch|21|3596}} \cdot {{op:Bruch|1 |10 \cdot 3 }} || {{op:Bruch|7|35960}} || || |SZ=. }} Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist jedenfalls {{ Ma:Vergleichskette/disp | P(A {{|}} B) || {{op:Bruch|P(A \cap B) |P(B)}} || {{op:Bruch| \, \, {{op:Bruch|7|35960}} \, \, | {{op:Bruch|1|1240}} }} || {{op:Bruch| 7 \cdot 124 |3596 }} || {{op:Bruch| 7 |29}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pd8eyrr70tddd9kmeg54qh3xayhqr2x 0 87966 780991 755061 2022-08-21T20:40:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= B \subseteq M|SZ=}} eine Teilmenge eines {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} mit positiver Wahrscheinlichkeit. Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein weiteres Ereignis und es gelte {{ Ma:Vergleichskette/disp | P ( E {{|}} B ) |\leq| P(E) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | P ( E {{|}} M \setminus B ) |\geq| P(E ) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lrn178bgkx32inc6xewu2yjfs2iq2sh 0 87969 779125 593001 2022-08-21T15:39:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Beim Ziegenproblem geht es um die folgende Anordnung. Bei einer Fernsehshow kann ein Kandidat aus drei Türen wählen, wobei hinter einer Tür ein Auto als Preis wartet und hinter zwei Türen jeweils eine Ziege als Niete. Der Kandidat wählt zunächst eine Tür. Diese wird aber nicht geöffnet, stattdessen öffnet der Moderator, der weiß, wo der Gewinn sich verbirgt, eine der beiden anderen Türen, hinter denen eine Ziege steckt. Wenn der Kandidat auf eine Ziegentür gezeigt hat, so hat der Moderator keine Wahl, wenn der Kandidat auf die Autotür gezeigt hat, so wählt der Moderator zufällig eine der Ziegentüren. Danach darf der Kandidat bei seiner ersten Wahl bleiben oder aber sich auf die verbleibende Tür umentscheiden. Die Frage ist, ob der Kandidat seine Gewinnchancen erhöht, wenn er sich umentscheidet. Die Antwort ist ja! Die Wahrscheinlichkeit, dass er mit seiner ursprünglichen Wahl gewinnt, ist {{mathl|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=.}} Die Wahrscheinlichkeit, dass er mit der Umentscheidungsstrategie gewinnt bzw. verliert, berechnet sich folgendermaßen. Man analysiert die Situation entlang der komplementären Ereignisse, dass er bei der ersten Wahl falsch oder richtig liegt. Wenn er richtig liegt, und das hat Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=,}} so verliert er definitiv mit der Umentscheidung. Wenn er aber falsch liegt, und das hat Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch|2|3}} |SZ=,}} so gewinnt er definitiv mit der Umentscheidung. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist also {{mathl|term= {{op:Bruch|2|3}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0eidspt3v1ok5z0f3k54splt48roynu 0 87980 780452 754647 2022-08-21T19:10:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} Mengen und sei {{ Ma:abb |name=f |M|N || |SZ= }} eine Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass durch die Festlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x | \sim |y || || || |SZ=, }} wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) ||f(y) || || || |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} definiert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r0swdqyfbqgnt1o7nj8q997e0zjtzub 0 87981 781357 588273 2022-08-21T21:41:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man durch die Festlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | [(a,b)] \cdot [(c,d)] | {{defeq|}} | [ ( ac, bd)] || || || |SZ= }} auf {{ Zusatz/Klammer |text=dem Äquivalenzklassenmodell von| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= \Q|SZ=}} eine wohldefinierte Verknüpfung erhält, die kommutativ und assoziativ ist und die {{mathl|term= [(1,1)]|SZ=}} als neutrales Element besitzt. Zeige{{n Sie}} ferner, dass bei {{ Ma:Vergleichskette |a |>|0 || || || |SZ= }} die Klassen {{ mathkor|term1= [(a,b)] |und|term2= [(b,a)] |SZ= }} und bei {{ Ma:Vergleichskette |a |<|0 || || || |SZ= }} die Klassen {{ mathkor|term1= [(a,b)] |und|term2= [(-b,-a)] |SZ= }} invers zueinander sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jp3zkuutsy774dvxzpmdshmo4w8a7qh 0 87983 781356 755375 2022-08-21T21:41:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man durch die Festlegung {{ Ma:Vergleichskette | [(a,b)] | \geq |[(c,d)] || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette |a d | \geq | b c || || || |SZ=, }} auf {{ Zusatz/Klammer |text=dem Äquivalenzklassenmodell von| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= \Q|SZ=}} eine wohldefinierte {{ Definitionslink |Prämath= |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erhält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7kabtstkeb9cvlg1v35q6c2ff89034g 0 87985 783955 757592 2022-08-22T04:55:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Logarithmen zur Basis| |Kontext=Umkehrfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= b|SZ=}} die folgenden Rechenregeln erfüllen. {{ Aufzählung3 |Es gilt {{ Ma:Vergleichskette | {{op:log|(y \cdot z) |b}} || {{op:log|y|b}} + {{op:log|z|b}} || || || |SZ=. }} |Es gilt {{ Ma:Vergleichskette |{{op:log|y^u|b}} ||u \cdot {{op:log|y|b}} || || || |SZ= }} für {{mathl|term= u \in \R|SZ=.}} |Es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:log|y|a}} || {{op:log| {{makl| b^{ {{op:log|y|b}} } |}} |a}} ||{{op:log|y|b}} \cdot {{op:log|b|a}} || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o3u054ehqik5sz3wtwlbnym0r1grj3t 0 88625 783932 757569 2022-08-22T04:51:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|7|3}} x - {{op:Bruch|8|5}} y- {{op:Bruch|3|2}} z || {{op:Bruch|4|9}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |äquivalentes| |Kontext=lineares Gleichungssystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Gleichungssystem{{{zusatz1|,}}} dessen Koeffizienten zu {{math|term= \Z|SZ=}} gehören. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5oqc4uehrvruiar29kh0lfaavvleqql 0 88632 783914 495430 2022-08-22T04:48:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob die folgenden Tupel Lösungen des linearen Gleichungssystems {{ Ma:Vergleichskette/disp |3x-6y+4z ||1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |-2x+5y-4z || -3 || || || |SZ=, }} sind. {{ Aufzählung3/a |{{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|-1|0|1}} |SZ=,}} |{{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|2|3| {{op:Bruch|7|2}} }} |SZ=,}} |{{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|1|3|4}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} izf9w5n1tqk8jpyp1qf1tiq4cpfmg3y 0 88633 783933 495317 2022-08-22T04:51:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} die Lösungsmenge der linearen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |4x+7y ||6 || || || |SZ= }} im {{math|term= \Q^2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} liiio42ipsfmc48m7gj0iykat0k7a65 0 88634 783912 495319 2022-08-22T04:48:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Mustafa Müller und Heinz Ngolo sind im Fanshop von Borussia Dortmund. Mustafa zahlt für drei Pappspieler und vier handsignierte Fotos zusammen 55 Euro und Heinz zahlt für fünf Pappspieler und drei handsignierte Fotos zusammen {{math|term= 66|SZ=}} Euro. Wie viel kostet ein Pappspieler und wie viel kostet ein handsigniertes Foto? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} obbu4ioeu2jbvjmau5mx9cuk9zftihw 0 88635 783920 757548 2022-08-22T04:49:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=}} ein dazu {{ Definitionslink |Prämath= |äquivalentes| |Kontext=lineares Gleichungssystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bxcnksgbimzxdbdkp4h2bgro1pv6mue 0 88650 783915 757542 2022-08-22T04:48:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch die Gleichungen {{mathl|term= G_1 {{kommadots|}} G_n|SZ=}} und ein zweites lineares Gleichungssystem durch die Gleichungen {{mathl|term= H_1 {{kommadots|}} H_m|SZ=}} gegeben, beide über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und in den Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_r|SZ=.}} Wie verhält sich die Lösungsmenge {{math|term= L_1|SZ=}} zum ersten System und die Lösungsmenge {{math|term= L_2|SZ=}} zum zweiten System zur Lösungssmenge des Systems, das aus den beiden Systemen zusammengesetzt ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a94p66zlmznpm8h3hydxg9kbby9cw1j 0 88651 783913 757540 2022-08-22T04:48:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in den Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n|SZ=}} und ein zweites lineares Gleichungssystem in den Variablen {{mathl|term= Y_1 {{kommadots|}} Y_m|SZ=}} gegeben. Wie verhält sich die Lösungsmenge {{math|term= L_1|SZ=}} zum ersten System und die Lösungsmenge {{math|term= L_2|SZ=}} zum zweiten System zur Lösungssmenge des Systems, das aus den beiden Systemen zusammengesetzt ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r6jf7xw4e0lsjg4odnc732qb6vprnpn 0 88653 783908 495452 2022-08-22T04:47:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das lineare Gleichungssystem {{ math/disp|term= {{Inhomogenes Gleichungssystem33|-4|-2|6|3|7|5|5|-2|4|b1=3|b2=2|b3=-5|SZ=.}} |SZ= }} Finde{{n Sie}} Tupel {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=,}} die je zwei dieser Gleichungen erfüllen, aber nicht die dritte. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fbn41veqnts56uaodyxb9xrj8qjq3dm 0 88674 783901 495601 2022-08-22T04:46:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das lineare Gleichungssystem {{ math/disp|term= {{Inhomogenes Gleichungssystem33|5|-7|-4|2|1|-3|7|6|-2|4|b1=0|b2=0|b3=0|SZ=}} |SZ= }} nur die triviale Lösung {{mathl|term= (0,0,0)|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bpskb475oexx60l1tdq73f6h9cu2g4x 0 88676 783902 495604 2022-08-22T04:46:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das lineare Gleichungssystem {{ math/disp|term= {{Inhomogenes Gleichungssystem33|8|7|6|12|-9|-5|7|6|-11|4|b1=0|b2=0|b3=0|SZ=}} |SZ= }} nur die triviale Lösung {{mathl|term= (0,0,0)|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1wraacat510mjigjid3c232mzivz96k 0 88677 783900 664190 2022-08-22T04:46:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein lineares Gleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette/disp |ax+by ||0 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |cx+dy ||0 || || || |SZ= }} genau dann nur die triviale Lösung {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} besitzt, wenn {{mathl|term= ad-bc\neq 0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s2kz6npihidvg2iq6eyvxfje8r41ihe 0 88686 783899 495637 2022-08-22T04:45:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das lineare Gleichungssystem {{ math/disp|term= {{Inhomogenes Gleichungssystem22|-4|6|5|8|b1=0|b2=0|SZ=}} |SZ= }} nur die triviale Lösung {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dls8l0r1wvhmudyrqcn9u3a5l87xpz4 0 88689 783919 757547 2022-08-22T04:49:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=}} ein dazu {{ Definitionslink |Prämath= |äquivalentes| |Kontext=lineares Gleichungssystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass darin der Betrag aller Koeffizienten kleiner als {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6m4enso2uyoa5z4wf3ac0d0orlzb65m 0 88694 783862 495655 2022-08-22T04:39:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die lineare Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |2x+2y ||1 || || || |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=}} unendlich viele Lösungen besitzt, aber keine ganzzahlige Lösung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6190021vzdkwwn6gvtxpjj6pj6a1y1g 0 88695 782837 756604 2022-08-22T01:48:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=}} gegeben, das eine nichttriviale Lösung besitze. Zeige{{n Sie}}, dass es auch eine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qrh1rms97da480zwvg3t4pn2qa0dgqj 0 88723 783942 757582 2022-08-22T04:53:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} in {{math|term= \Q^2|SZ=}} den Vektor {{ math/disp|term= (5,-8) |SZ= }} als {{ Definitionslink |Linearkombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Vektoren {{ math/disp|term= (6,-4) \text{ und } (-3,7) |SZ= }} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8s7ik1wnibf0iczahi31sy0aj31w2dc 0 88725 785821 495861 2022-08-22T09:43:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|4|-5|6}} ,\, {{op:Spaltenvektor|5|-1|-6}} ,\, {{op:Spaltenvektor|2|6|7}} ,\, {{op:Spaltenvektor|3|-8|7}} |SZ= }} im {{math|term= \Q^3|SZ=}} eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t7s9wyzwjd1ieo2q4qbdm007nsn8no6 0 88726 785820 495860 2022-08-22T09:43:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|7|-5|3}} ,\, {{op:Spaltenvektor|-4|1|-6}} ,\, {{op:Spaltenvektor|2|8|0}} ,\, {{op:Spaltenvektor|5|-5|8}} |SZ= }} im {{math|term= \Q^3|SZ=}} eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6yp1wq34da2b6dm38ftt09roif08vhp 0 88727 785817 495862 2022-08-22T09:42:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|4|5}} ,\, {{op:Spaltenvektor|1|-4}} ,\, {{op:Spaltenvektor|8|7}} |SZ= }} im {{math|term= \Q^2|SZ=}} eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jiibo42zt53h5ds5a6if11htzbouacn 0 88815 785611 497042 2022-08-22T09:08:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Lösungsmenge des Ungleichungssystems {{ Ma:Vergleichskette/disp |2x |\geq|7 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |5x |\leq| 12 || || || |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lb5xmq429symsd690u00h66rp8e5l62 0 88824 782544 586904 2022-08-22T00:59:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über {{math|term= \Q|SZ=}} gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere{{n Sie}} die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der ebenen Geradenkonfigurationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qngilv1mrkytmjbyqp6nxqm1rk0e0zb 0 88847 784134 757796 2022-08-22T05:25:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= m,n\in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Matrizenraum {{mathl|term= {{op:Mat|n|m|K}} |SZ=}} in natürlicher Weise ein Vektorraum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie2=Theorie der Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ibzlwss1uxuzq1ait2mrarlalecg511 0 88848 782548 496252 2022-08-22T01:00:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |4x+7y ||3 || || || |SZ= }} im {{math|term= \Q^ 2|SZ=}} gegebene Gerade. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 011dgdd0c5s544017676awpcxq8lzdh 0 88849 782549 496253 2022-08-22T01:00:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |-2x+9y ||5 || || || |SZ= }} im {{math|term= \Q^ 2|SZ=}} gegebene Gerade. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aponjc8xy8d6zxxtmvkqyux98ldr783 0 88850 782550 496254 2022-08-22T01:00:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |-7x+3y ||-4 || || || |SZ= }} im {{math|term= \Q^ 2|SZ=}} gegebene Gerade. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3e9fxdjo0krnhpz9fa4akpjmsbbm0qf 0 88852 782551 496261 2022-08-22T01:00:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |5x-8y ||6 || || || |SZ= }} im {{math|term= \Q^ 2|SZ=}} gegebene Gerade. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ni2ckpd58s7xcif8aopw2g8w3drtqwt 0 88854 786173 759329 2022-08-22T10:41:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{a,b\} || || || |SZ= }} eine zweielementige Menge. Beschreibe{{n Sie}} vollständig {{ Zusatz/Klammer |text=durch Auflistung aller zugehörigen Paare| |ISZ=|ESZ= }} die Relation auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M|}} |SZ=,}} die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t8ackhlhm1pocc67ydli8db3gl8qhvh 0 88855 786174 759330 2022-08-22T10:42:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{a,b,c\} || || || |SZ= }} eine dreielementige Menge. Beschreibe{{n Sie}} vollständig {{ Zusatz/Klammer |text=durch Auflistung aller zugehörigen Paare| |ISZ=|ESZ= }} die Relation auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M|}} |SZ=,}} die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0jgxmas3p2ig7555aqfmq4qm7szhe0s 0 88857 785946 615326 2022-08-22T10:04:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die drei Ebenen {{mathl|term= E,F,G|SZ=}} im {{math|term= \Q^3|SZ=,}} die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden. {{ Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{Mengebed|(x,y,z) \in \Q^3| 5x-4y+3z {{=}} 2 }} || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | F || {{Mengebed|(x,y,z) \in \Q^3| 7x-5y+6z {{=}} 3 }} || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | G || {{Mengebed|(x,y,z) \in \Q^3| 2x-y+4z {{=}} 5 }} || || || |SZ=. }} }} Bestimme{{n Sie}} sämtliche Punkte {{mathl|term= E \cap F \setminus E \cap F \cap G|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qxt4u1ts1n4j3ekfbrxzzovjicmsb4o 0 88871 785819 758986 2022-08-22T09:42:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{math|term= \Q^3|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || \langle {{op:Spaltenvektor|2|1|4}} , {{op:Spaltenvektor|3|-2|7}} \rangle || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |W || \langle {{op:Spaltenvektor|5|-1|11}} , {{op:Spaltenvektor|1|-3|3}} \rangle || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |U ||W || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kwzlx17etxxhz74cxxo4myvfsq6bylc 0 88872 785822 758987 2022-08-22T09:43:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{math|term= \Q^4|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || \langle {{op:Spaltenvektor|3|1|-5|2}} , {{op:Spaltenvektor|2|-2|4|-3}}, {{op:Spaltenvektor|1|0|3|2}} \rangle || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |W || \langle {{op:Spaltenvektor|6|-1|2|1}} , {{op:Spaltenvektor|0|-2|-2|-7}}, {{op:Spaltenvektor|9|2|-1|10}} \rangle || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |U ||W || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 43ejf8ofz3uwmsppp2zku5u3cfs037i 0 88873 782836 756603 2022-08-22T01:48:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems {{ math/disp|term= {{Inhomogenes Gleichungssystem23|3|-6|-5|1|7|4|b1=0|b2=0|SZ=}} |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rnq43ndw79rii9chibq20us81qg9mku 0 88878 782552 496376 2022-08-22T01:00:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |-7x+5y ||-4 || || || |SZ= }} im {{math|term= \Q^ 2|SZ=}} gegebene Gerade. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7kxi8dg1yuw6mug190r9hzfth0yhhl0 0 88879 783618 757271 2022-08-22T03:58:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= U_1 {{kommadots|}} U_r \subseteq K^n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt {{mathl|term= U_1 {{capdots|}} U_r |SZ=}} ebenfalls ein Untervektorraum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n6gvqibs8rcpjzlyw3q2p07q5vv1qhk 0 88913 783823 746657 2022-08-22T04:33:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | m,n |\in| \N || || || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\varphi |K^m|K^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= K^m \times K^n |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3lx8roxgcl7zphqqv2w91jggpyumiog 0 88915 783827 757455 2022-08-22T04:33:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K^m|K^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= v \in K^m|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |\varphi( -v) ||- \varphi(v) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t0scn1tyw6s70ex9uvt4g37hcxz4ut5 0 88920 783809 757442 2022-08-22T04:30:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und seien {{ Ma:abb |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\psi |K^n|K^\ell || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildungen| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K^n| K^m \times K^\ell |v| (\varphi(v),\psi(v)) |SZ=, }} eine lineare Abbildung ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejpwnhtxj4c60cdkordgjvwoqxlbmxm 0 88921 783826 757454 2022-08-22T04:33:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= K^n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Untervektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bht6dthocgv47c0yszbc74b06lwykhe 0 88928 779389 604483 2022-08-21T16:20:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu jedem Geburtstag von Mustafa Müller backt seine Oma eine gewisse Anzahl {{ Zusatz/Klammer |text=abhängig von den Wünschen der Gäste| |ISZ=|ESZ= }} an Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen. Ein Himbeerkuchen benötigt {{math|term= 500|SZ=}} Gramm Mehl, {{math|term= 200|SZ=}} Gramm Zucker, {{math|term= 100|SZ=}} Gramm Butter, {{math|term= 250|SZ=}} Gramm Milch und {{mathl|term= 300|SZ=}} Gramm Himbeeren. Ein Käsekuchen benötigt {{math|term= 300|SZ=}} Gramm Mehl, {{math|term= 230|SZ=}} Gramm Zucker, {{math|term= 100|SZ=}} Gramm Butter, {{math|term= 100|SZ=}} Gramm Milch und {{math|term= 450|SZ=}} Gramm Quark. Ein Apfelkuchen benötigt {{math|term= 400|SZ=}} Gramm Mehl, {{math|term= 250|SZ=}} Gramm Zucker, {{math|term= 150|SZ=}} Gramm Butter, {{math|term= 200|SZ=}} Gramm Milch, {{mathl|term= 500|SZ=}} Gramm Äpfel und {{math|term= 100|SZ=}} Gramm Haselnüsse. Die Oma möchte aus der Anzahl der zu backenden Kuchen, repräsentiert durch ein Dreiertupel {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=,}} die insgesamt benötigten Zutaten schematisch berechnen. Für das benötigte Mehl {{ Zusatz/Klammer |text=in Kilogramm| |ISZ=|ESZ= }} gilt beispielsweise die Formel {{ math/disp|term= 0{,}5 x + 0{,}3y + 0{,}4 z |SZ=. }} Insgesamt wird der benötigte Einkauf durch die folgende lineare Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. die Matrix| |ISZ=|ESZ= }} beschrieben {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die Angaben in Kilogramm und die Zutatenreihenfolge Mehl, Zucker, Butter, Milch, Himbeeren, Quark, Äpfel und Haselnüsse sind| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\Q^3| \Q^8 | {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} | {{op:Matrix83|0{,}5|0{,}3|0{,}4|0{,}2|0{,}23|0{,}25|0{,}1|0{,}1|0{,}15|0{,}25|0{,}1|0{,}2|0{,}3|0|0|0|0{,}45|0|0|0|0{,}5|0|0|0{,}1}} {{op:Spaltenvektor|x|y|z}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l4qhdbzjqgcs9gfd7d8wudm23am59bg 0 88932 783822 757451 2022-08-22T04:32:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das Bild einer Geraden {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|K^n || || || |SZ= }} unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} entweder eine Gerade oder ein Punkt im {{mathl|term= K^m|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ck77og8vq9a7i1t68k3ftua4y3oa2u9 0 88933 783828 757456 2022-08-22T04:33:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Punktes {{mathl|term= Q\in K^m|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Unterraum| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= K^n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tr1ee49i6iexspjgr4u7mm97ijrdycn 0 88934 784074 757720 2022-08-22T05:15:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem Körper {{math|term= K|SZ=,}} {{ Ma:abb |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |Mx ||c || || || |SZ= }} das {{ Zusatz/Klammer |text=vom Störvektor {{mathl|term= c \in K^m|SZ=}} abhängige| |ISZ=|ESZ= }} zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Lösungsmenge des Systems gleich dem {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= c|SZ=}} unter der linearen Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j33ktd7q3gmia1su3lktlifmqmcc5vm 0 88940 784075 757721 2022-08-22T05:15:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass es {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrizen {{mathl|term= A,B|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |M \circ A || E_n || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette | B \circ M || E_n || || || |SZ= }} gibt. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |A ||B || || || |SZ= }} und dass {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2bkmtnyt86595rgen2wxog0krqeh55c 0 88941 782993 756752 2022-08-22T02:14:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= N|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{ mathl|term= M \circ N |SZ= }} invertierbar ist, und dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | (M \circ N)^ {-1} || N^{-1} \circ M^{-1} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jiehr2hlop4m4hcmf832r6wsqxlh65v 0 88951 782988 756745 2022-08-22T02:13:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 153ioqo6bnjruh811mnfdz0446tr7w4 0 88952 784038 757674 2022-08-22T05:09:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |M || {{op:Matrix22|a|b|c|d}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |A || {{op:Matrix22|x|y|z|w}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |A \circ M || {{op:Matrix22|1|0|0|1}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}{{{zusatz1|}}}, dass dann auch {{ Ma:Vergleichskette/disp |M \circ A || {{op:Matrix22|1|0|0|1}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} picqbq1ob6fux8mziqtp6y8l9xortg5 0 88954 779011 750981 2022-08-21T15:21:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{Op:Diagonalmatrix|d}} |SZ= }} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn sämtliche Diagonaleinträge von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden sind. Die {{ Definitionslink |Prämath= |inverse Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dazu ist {{ math/disp|term= {{Op:Matrix55| {{op:Bruch|1|d_{11} }} |0| \cdots|\cdots |0|0| {{op:Bruch|1|d_{22} }}|0|\cdots |0|\vdots|\ddots| \ddots |\ddots|\vdots|0|\cdots|0| {{op:Bruch|1|d_{n-1 n-1} }} |0|0|\cdots|\cdots|0| {{op:Bruch|1|d_{nn} }} }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6seeg3dnw7suz7sbadshry71gtla28a 0 88955 779458 496894 2022-08-21T16:31:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix32|4|1|3|5|2|7}} |SZ=.}} Wir wollen diese Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen und diese Manipulatonen durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen realisieren. Die erste Umformung ist, die zweite Zeile durch {{mathl|term= II - {{op:Bruch|3|4}} I |SZ=}} zu ersetzen. Die geschieht durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix33|1|0|0|- {{op:Bruch|3|4}} |1|0|0|0|1|}} {{op:Matrix32|4|1|3|5|2|7}} || {{op:Matrix32|4|1|0| {{op:Bruch|17|4}} |2|7}} || || || |SZ=. }} Die dritte Zeile soll durch {{mathl|term= III-2I|SZ=}} ersetzt werden, dies wird realisiert durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix33|1|0|0|0|1|0|- {{op:Bruch|1|2}} |0|1|}} {{op:Matrix32|4|1|0| {{op:Bruch|17|4}} |2|7}} || {{op:Matrix32|4|1|0| {{op:Bruch|17|4}} |0| {{op:Bruch|13|2}} }} || || || |SZ=. }} Die neue dritte Zeile kann man zu einer Nullzeile machen, indem man sie durch {{mathl|term= III - {{op:Bruch| 2 |13}} II|SZ=}} ersetzt. Dies wird realisiert durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix33|1|0|0|0|1|0|0 | - {{op:Bruch|26|17}} |1|}} {{op:Matrix32|4|1|0| {{op:Bruch|17|4}} |0| {{op:Bruch|13|2}} }} || {{op:Matrix32|4|1|0| {{op:Bruch|17|4}} |0| 0 }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o6gchp6q98ogwnpjnh1kdyjo7unsfze 0 88959 779459 587018 2022-08-21T16:31:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix23|4|1|3|5|2|7}} |SZ=.}} Wir wollen diese Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen und diese Manipulationen durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen realisieren. Die einzige Umformung ist, die zweite Zeile durch {{mathl|term= II - {{op:Bruch|5|4}} I |SZ=}} zu ersetzen. Dies wird durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|1|0|- {{op:Bruch|5|4}} |1|}} {{op:Matrix23|4|1|3|5|2|7}} || {{op:Matrix23|4|1|3| 0 | {{op:Bruch|3|4}} | {{op:Bruch|13|4}} }} || || || |SZ= }} realisiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8fu6kccft9ashr3sx7h8wbm5pva4ldr 0 88961 784062 757706 2022-08-22T05:13:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix33|3|5|-1|4|7|2|2|-3|6}} || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} {{ Definitionslink |Prämath= |Elementarmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= E_1 {{kommadots|}} E_k|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= E_k {{circdots}} E_1 \circ M|SZ=}} die Einheitsmatrix ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ntphovmh1syrxs8xyam6wae6devbf9a 0 88962 784063 757707 2022-08-22T05:13:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix33|8|5|-1|0|4|1|2|7|-6|3}} || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} {{ Definitionslink |Prämath= |Elementarmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= E_1 {{kommadots|}} E_k|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= E_k {{circdots}} E_1 \circ M|SZ=}} die Einheitsmatrix ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r2wcsou46wlw72qpf0yocvew0pd40na 0 88963 784061 757705 2022-08-22T05:12:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|4|6|7|-3}} || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} {{ Definitionslink |Prämath= |Elementarmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= E_1 {{kommadots|}} E_k|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= E_k {{circdots}} E_1 \circ M|SZ=}} die Einheitsmatrix ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} muav6bglm5ihtch5a175347jzu6ac61 0 88964 784064 757708 2022-08-22T05:13:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|4|3|5|1}} || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} {{ Definitionslink |Prämath= |Elementarmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= E_1 {{kommadots|}} E_k|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= E_k {{circdots}} E_1 \circ M|SZ=}} die Einheitsmatrix ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ehmb9lwt6xwelrxzr2jtm6kyx1nnyc 0 88971 784095 757742 2022-08-22T05:18:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} die zugehörige lineare Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es eine {{mathl|term= n \times m|SZ=-}}Matrix {{math|term= A|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |M \circ A ||E_m || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6w2sc8xrneq1pe08oigvfjnueifury6 0 89009 786598 497468 2022-08-22T11:52:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beim Speeddating treffen sich {{math|term= n|SZ=}} Frauen und {{math|term= n|SZ=}} Männer und jede Frau plaudert mit jedem Mann fünf Minuten lang. Danach schreibt jede Frau auf einen Zettel, welche Männer sie wiedersehen möchte, und ebenso schreibt jeder Mann auf einen Zettel, welche Frauen er wiedersehen möchte. Die Moderatorin sammelt die Zettel ein und erstellt daraus eine Liste von Paaren, bei denen sich beide wiedersehen wollen. Beschreibe{{n Sie}} diese Situation mit Relationen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m0nvvxmdbkldo8d7ws0wtvkz0sy4r5q 0 89017 785566 497436 2022-08-22T09:00:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten in {{math|term= \Q^2|SZ=}} die Punkte {{ Ma:Vergleichskette |P ||(0,0) || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |Q ||(0,1) || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||(2,3) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |S ||(6,7) || || || |SZ= }} und die Geraden {{ Ma:Vergleichskette |G || {{op:Spaltenvektor|0|1}} + \Q {{op:Spaltenvektor|1|1}} || || || |SZ=, }} die {{math|term= x|SZ=-}}Achse, die {{math|term= y|SZ=-}}Achse und die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |-4x+3y ||1 || || || |SZ= }} gegebene Gerade {{math|term= H|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} die zugehörige Inzidenzrelation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 723uro88l5qc55twnv4vvd47fc1jn5d 0 89033 784204 757845 2022-08-22T05:36:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq| M \times N || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man eine Relation {{math|term= S|SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= N |und|term2= M |SZ= }} erhält, indem man {{ Ma:Vergleichskette/disp | S || {{Mengebed|(y,x)|(x,y) \in R}} || || || |SZ= }} setzt. Sie heißt die {{ Stichwort |Prämath= |Umkehrrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} ferner, dass bei {{ Ma:Vergleichskette |M || N || || || |SZ= }} die Relation {{math|term= R|SZ=}} genau dann symmetrisch ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette |R ||S || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jb56tpget4uh4x0jek7wg6u0vsbezuh 0 89035 786599 632418 2022-08-22T11:52:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beim neutralgeschlechtlichen Speeddating treffen sich {{math|term= n|SZ=}} Personen, und jede Person plaudert mit jeder von ihr verschiedenen Person fünf Minuten lang. Danach schreibt jede Person auf einen Zettel, welche Personen sie wiedersehen möchte. Die Moderatorin sammelt die Zettel ein und erstellt daraus eine Liste von Paaren, bei denen sich beide wiedersehen wollen. {{ Aufzählung2 |Beschreibe{{n Sie}} diese Situation mit einer Relation und einer Umkehrrelation. |Es sei {{ Ma:Vergleichskette |n ||6 || || || |SZ=. }} Zeichne{{n Sie}} ein Diagramm mit sechs Punkten und verschiedenfarbigen Verbindungsstrecken zwischen den Punkten, das beschreibt, in welcher Reihenfolge die Personen miteinander plaudern {{ Zusatz/Klammer |text=die erste Farbe soll die Gesprächspartner der ersten Runde angeben u.s.w.| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qg35dv01ttrjfi0f39976aqv9b59dw2 0 89040 779894 497555 2022-08-21T17:38:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Fussball1|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Fussball2|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Fussball3|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die Gewinnrelation in einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von {{math|term= A|SZ=}} über {{math|term= B|SZ=}} durch einen Pfeil von {{math|term= A|SZ=}} nach {{math|term= B|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und ein Unentschieden durch keine Verbindung| |ISZ=|ESZ= }} ausdrücken kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qmz46fbww4qdpolkawppmdcae5c5yl1 0 89058 784040 676255 2022-08-22T05:09:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} neben den beiden Matrizen {{mathl|term= {{op:Matrix22|1|0|0|1}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Matrix22|-1|0|0|-1}} |SZ=}} vier weitere Matrizen {{mathl|term= M|SZ=}} mit der Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette |M^2 ||{{op:Matrix22|1|0|0|1}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7yw6w6rdvcszbpc9m12uk4kg99e3c8r 0 89059 784118 757774 2022-08-22T05:22:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge der quadratischen {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrizen, bei der Matrizen {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= N|SZ=}} als äquivalent angesehen werden, wenn es {{ Definitionslink |Prämath= |Elementarmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E_1 {{kommadots}} E_k |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |M || E_k {{circdots}} E_1 \circ N || || || |SZ= }} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Sprünge |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} okjk2r68526prx2sftz7wc44xjwpion 0 89060 780456 504436 2022-08-21T19:11:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} Mengen und sei {{ Ma:abb |name=f |M|N || |SZ= }} eine Abbildung. Es sei {{math|term= \sim|SZ=}} eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{math|term= x \equiv x'|SZ=,}} falls {{mathl|term= f(x) \sim f(x')|SZ=}} gilt, eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= M|SZ=}} definiert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} azzomfxth86h1z1bmin9s791vss25t9 0 89061 780872 497677 2022-08-21T20:20:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p|SZ=}} und {{mathl|term= q|SZ=}} zwei nichtäquivalente Aussagen. Welche der folgenden zusammengesetzten Aussagen sind zueinander äquivalent, welche nicht? {{math/disp|term= p,\, q,\, p {{logund}} q,\, p {{logoder}} q,\, p \rightarrow q,\, p \rightarrow (q \rightarrow p),\, \neg p {{logoder}} q ,\, p {{logoder}} \neg p |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Aussagenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c7cps5q440t6wi7ksua8windnz3h82y 0 89108 783798 757432 2022-08-22T04:28:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |surjektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| K^n || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= \sim|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= K^n|SZ=}} zu diesem Untervektorraum im Sinne von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=p |K^n|K^n/\sim || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |K^n/\sim| K^m || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || \psi \circ p || || || |SZ= }} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \psi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Quotientenmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qh2qt6w4fs9l9qjg12by06ven7417dt 0 89111 784507 758076 2022-08-22T06:20:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} typische {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sim |SZ=}} auf {{mathl|term= \N \times \N|SZ=,}} die durch die Multiplikationsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \cdot |\N \times \N| \N |(x,y)|x \cdot y |SZ=, }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gegeben ist. Wie sieht die Äquivalenzklasse zu {{mathl|term= (6,20)|SZ=}} aus? Markiere{{n Sie}} in {{mathl|term= \N \times \N|SZ=}} mit unterschiedlichen Farben unterschiedliche Äquivalenzklassen. Gibt es Äquivalenzklassen, die nur aus einem Element bestehen? Gibt es Äquivalenzklassen, die aus unendlich vielen Elementen bestehen? Welche Äquivalenzklassen bestehen aus zwei Elementen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8wz1tupt9np1c8ewmfistl2fm5wi9er 0 89113 780455 754651 2022-08-21T19:11:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |surjektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sim|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=}} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es sei {{math|term= Q|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \sim|SZ=}} mit der kanonischen Projektion {{ Ma:abb |name=p |M|Q || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine bijektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \psi |Q|N || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || \psi \circ p || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j9z80qfu9y5hepoeq54xzs14r8wuh5q 0 89114 780713 754829 2022-08-21T19:54:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K_{\geq 0} |x| {{op:Betrag|x|}} |SZ=, }} die Betragsabbildung. Zeige{{n Sie}}, dass man diese Abbildung als {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sim|SZ=}} auf {{math|term= K|SZ=}} auffassen kann, für die {{ Ma:Vergleichskette |x |\sim|y || || || |SZ= }} bei {{ Ma:Vergleichskette |x || \pm y || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i81ee555ew9dzeo5bt4xs1qg5zuqer7 0 89118 783118 635836 2022-08-22T02:35:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In der Klasse {{math|term= 7c|SZ=}} herrscht ein rigides Cliquensystem, jeder Schüler und jede Schülerin gehört genau einer Clique an. Es gibt die {{Anführung|Borussen-Bande}} {{ Zusatz/Klammer |text=Heinz Ngolo, Mustafa Müller, Veronika Zaitsev, Bernd Buxtehude, Paola Rodrigues und Peter Dembele| |ISZ=|ESZ=, }} die {{Anführung|Eisfreunde Sonne}} {{ Zusatz/Klammer |text=Lucy Sonnenschein, Fred Feuerstein, Natascha Schleckmaul, Frodo Gle{{latextrenn}}tscherzunge| |ISZ=|ESZ= }} die {{Anführung|Nutty Nerds}} {{ Zusatz/Klammer |text=Gabi Hochster, Primo von Hinten| |ISZ=|ESZ=, }} das {{Anführung|Anarcho-Syndikat}} {{ Zusatz/Klammer |text=Anna-Lena Müller, Annegret Maier, Ann-Kathrin Schmitt, Anabelle Belami, Antoine de la Playa, Arndt MacDermott| |ISZ=|ESZ=, }} die {{Anführung|Lucky Loosers}} {{ Zusatz/Klammer |text=Yogi Nanging, Manfred Trutzenburg, Roberta Falstaff, Dörte Waterkant| |ISZ=|ESZ=, }} die {{Anführung|Cauchy-Zwillinge}} {{ Zusatz/Klammer |text=Carmen Cauchy, Conchita Cauchy| |ISZ=|ESZ=, }} sowie fünf weitere Einzelpersonen, die für sich jeweils eine Clique bilden. Die Zugehörigkeit zur gleichen Clique definiert eine Äquivalenzrelation in der Klasse {{math|term= 7c|SZ=.}} {{ Aufzählung7 |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= [\text{Natascha Schleckmaul}]|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= [\text{Ann-Kathrin Schmitt}] \cap [\text{Roberta Falstaff}]|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= \{ \text{Ann-Kathrin Schmitt} \} \cap \{ \text{Anabelle Belami} \}|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= [\text{Ann-Kathrin Schmitt}] \cap [\text{Anabelle Belami}]|SZ=.}} |Wie viele Äquivalenzklassen gibt es in der Klasse? |Wie viele Elemente besitzt die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation? |Um das Klima in der Klasse zu verbessern, ruft Frau Maier-Sengupta ein Treffen zusammen, zu dem jede Clique einen Repräsentanten schickt. Wie viele Möglichkeiten für ein solches Treffen gibt es? Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die fünf Einzelpersonen zusammen eine neue Clique bilden und Antoine de la Playa das Anarcho-Syndikat verlässt und sich den Eisfreunden Sonne anschließt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a60gwpbry5ifsuorxa8tu7sual9a2pm 0 89120 785235 758567 2022-08-22T08:07:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Portemonnaie befinden sich vier {{math|term= 2|SZ=-}}Euro-Münzen, sechs {{math|term= 1|SZ=-}}Euro-Münzen, drei {{math|term= 50|SZ=-}}Cent-Münzen, zwei {{math|term= 20|SZ=-}}Cent-Münzen, eine {{math|term= 10|SZ=-}}Cent-Münze, keine {{math|term= 5|SZ=-}}Cent-Münze, fünf {{math|term= 2|SZ=-}}Cent-Münzen und acht {{math|term= 1|SZ=-}}Cent-Münzen. Wir betrachten auf dieser Münzmenge diejenige {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der zwei Münzen als äquivalent gelten, wenn sie den gleichen Münzwert haben. Wie viele {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt es? Wie viele Elemente besitzen die einzigen Äquivalenzklassen? Wie viele Elemente besitzt die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1qko1niywhqhrheei0tsnhu7yht9duh 0 89126 781694 755621 2022-08-21T22:37:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf der Menge der Geraden in der Ebene {{math|term= \Q^2|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch die Parallelität von Geraden gegeben ist. Zeige{{n Sie}}, dass die folgende Menge ein Repräsentantensystem ist: die {{math|term= x|SZ=-}}Achse und diejenigen Geraden, die durch den Nullpunkt und einen Punkt der Form {{mathl|term= (x,1)|SZ=}} mit {{mathl|term= x \in \Q|SZ=}} verlaufen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nr7rxvzkt3ffujjtwv0s3aq97kxrzrt 0 89127 786183 759331 2022-08-22T10:43:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=. }} Wir definieren auf {{math|term= M|SZ=}} die Relation {{math|term= S|SZ=}} durch {{mathl|term= aSb|SZ=,}} wenn für alle {{mathl|term= x \in N|SZ=}} die Beziehung {{mathl|term= aRx|SZ=}} genau dann gilt, wenn {{mathl|term= bRx|SZ=}} gilt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= S|SZ=}} eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d5c5u86bfh18egdbphpigrkfs2nz2sc 0 89130 782194 498006 2022-08-22T00:01:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Anna-Lena, Marie-Simone, Hans-Peter und Fritz-Franz gehen zur Farbberatung. Es ergibt sich folgende Empfehlung. Anna-Lena stehen die Farben grün, gelb und pink, Marie-Simone steht gelb und feuerrot, Hans-Peter steht grün, grau und graublau, Fritz-Franz stehen alle bisher genannten Farben außer graublau, dafür zusätzlich noch violett. Es sei {{math|term= P|SZ=}} die Menge der vier Personen und {{math|term= F|SZ=}} die Menge der erwähnten Farben zuzüglich blau. {{ Aufzählung2 |Erstelle{{n Sie}} eine Tabelle und ein Verbindungsdiagramm, die die Relation aus Personen und Farben wiedergibt. |Bestimme{{n Sie}} die Fasern zu blau, zu grün und zu Marie-Simone. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nhx1rtilmspbtg3pi1lm0rb3cp4spi1 0 89144 781919 755815 2022-08-21T23:15:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= m|SZ=}} bzw. {{math|term= n|SZ=}} Elementen und sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |surjektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wie viele Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=s |N|M || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f \circ s || {{op:Identität|N|}} || || || |SZ= }} gibt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der surjektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9dv8bqhsvvan6cyx2noiy4v2h2o8tfn 0 89145 781914 755811 2022-08-21T23:14:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= m|SZ=}} bzw. {{math|term= n|SZ=}} Elementen und sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |injektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wie viele Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=g |N|M || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |g \circ f || {{op:Identität|M|}} || || || |SZ= }} gibt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der injektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d2ctdobvrv011vcsp74l5cdr9dtdzj9 0 89146 781909 755807 2022-08-21T23:13:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= m|SZ=}} bzw. {{math|term= n|SZ=}} Elementen und sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wie viele Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=s |N|M || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f \circ s || {{op:Identität|N|}} || || || |SZ= }} gibt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} axk8c56r0fj0zlag17vphy6tz83u4ep 0 89158 784104 757758 2022-08-22T05:20:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} über {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Matrizenprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix45|3|0|1|2|3|4|3|3|0|2|3|2|1|2|3|4|2|1|0|3|2}} \cdot {{op:Matrix53/s|3|1|0|4|2|2|3|0|2|3|4|3|1|0|2}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 5 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cpuabyj89vxfcsxt9okzevif958247q 0 89159 780463 754655 2022-08-21T19:12:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= D|SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} Mengen. Wir betrachten auf der Abbildungsmenge {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|D|W}} |SZ=}} diejenige {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der die Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=f,g |D|W || |SZ= }} in Relation stehen, wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |D|D || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || g \circ \pi || || || |SZ= }} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen auf Abbildungsmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxr9djnln3mmzvozgvnu6zz3xlzufyc 0 89160 780464 634819 2022-08-21T19:12:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= D|SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} Mengen, wobei {{math|term= D|SZ=}} endlich sei. Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi | {{op:Abbildungsmenge|D|W}} | {{op:Abbildungsmenge|W|\N}} | f| {{makl| w \mapsto {{op:Anzahl|f^{-1}(w) |}} |}} |SZ=. }} Einer Abbildung {{ Ma:abb |name=f |D|W || |SZ= }} wird also die Abbildung zugeordnet, die jedem Wert {{mathl|term= w \in W|SZ=}} die Anzahl seiner Urbilder zuordnet. Finde{{n Sie}} möglichst viele Interpretationen für diese Situation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pawq3bsr51nijmymvg1xtof7t7psjfx 0 89161 780465 634820 2022-08-21T19:12:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} eine Schulklasse und {{ Ma:Vergleichskette/disp |W ||\{1,2,3,4,5,6\} || || || |SZ= }} die Menge der Schulnoten. Das Ergebnis einer Klausur ist eine Abbildung {{ Ma:abb |name=f |D|W || |SZ=, }} wobei jedem Schüler {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|D || || || |SZ= }} seine in der Klausur erzielte Note {{mathl|term= f(x)|SZ=}} zugeordnet wird. Die zugehörige Notenverteilung ist die Abbildung, die jeder Note {{ Ma:Vergleichskette |w |\in|W || || || |SZ= }} zuordnet, wie oft diese Note in der Klausur vergeben wurde. Die in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Abbildungsmenge/Endliche Definitionsmenge/Zugehörige Verteilungsabbildung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besprochene Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi | {{op:Abbildungsmenge|D|W}} | {{op:Abbildungsmenge|W|\N}} | f| {{makl| w \mapsto {{op:Anzahl|f^{-1}(w) |}} |}} |SZ=, }} ordnet also dem Klausurergebnis die Notenverteilung zu. Es sei nun {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{op:Abbildungsmenge|D|W}} | \Q || |SZ= }} die Abbildung, die jedem Klausurergebnis die Durchschnittsnote zuordnet. {{ Aufzählung6 |Erstelle{{n Sie}} eine Formel für die Durchschnittsnote zu einem Klausurergebnis {{math|term= f|SZ=.}} |Erstelle{{n Sie}} eine Formel für die Durchschnittsnote zu einer Notenverteilung {{ Ma:abb |name=h |W|\N || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass man die Durchschnittsnote zum Klausurergebnis {{math|term= f|SZ=}} allein aus der zugehörigen Notenverteilung {{mathl|term= \Psi(f)|SZ=}} berechnen kann. |Zeige{{n Sie}}, dass es eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{\varphi} |{{op:Abbildungsmenge|W|\N}} | \Q || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi || \tilde{\varphi} \circ \Psi || || || |SZ= }} gibt. |Aus welchen Notenverteilungen ist das Klausurergebnis rekonstruierbar? |Was ist eine sinnvolle Antwort auf die Frage {{Anführung|Wie ist die Klausur ausgefallen|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pa8mbrtxdcjilpxbhsix1u7nipizvmu 0 89162 780466 754656 2022-08-21T19:13:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= D|SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} Mengen, wobei {{math|term= D|SZ=}} endlich sei. Es sei {{math|term= \sim|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|D|W}} |SZ=}} aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Abbildungsmenge/Bijektion auf Definitionsmenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi | {{op:Abbildungsmenge|D|W}} | {{op:Abbildungsmenge|W|\N}} | f| {{makl| w \mapsto {{op:Anzahl|f^{-1}(w) |}} |}} |SZ=, }} die in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Abbildungsmenge/Endliche Definitionsmenge/Zugehörige Verteilungsabbildung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besprochene Abbildung. {{ Aufzählung3 |Es sei {{ Ma:abb |name=\pi |D|D || |SZ= }} eine bijektive Abbildung und {{ Ma:abb |name=f |D|W || |SZ= }} eine Abbildung. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Psi (f) || \Psi (f \circ \pi) || || || |SZ=. }} |Es seien {{ Ma:abb |name=f,g |D|W || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |f |\sim|g || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette |\Psi(f) || \Psi(g) || || || |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |injektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{\Psi} | {{op:Abbildungsmenge|D|W}} /\sim \! | {{op:Abbildungsmenge|W|\N}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \Psi ||\tilde{\Psi} \circ p || || || |SZ= }} gibt, wobei {{math|term= p|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |kanonische Projektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen auf Abbildungsmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 756zj9clgmcwr0giso3nu70bejaeh09 0 89167 781354 755373 2022-08-21T21:41:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die auf {{math|term= \Z \times \N_+|SZ=}} durch {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc |SZ=, }} festgelegte {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 82hh56ly26o3troewcodbzffnltx9s9 0 89168 781350 498281 2022-08-21T21:40:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Äquivalenzrelation auf {{mathl|term= \N \times \N|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette |(a,b) |\sim|(c,d) || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette |a+d ||b+c || || || |SZ= }} ist, festgelegt ist, durch die Sprünge {{mathl|term= \pm {{op:Spaltenvektor|1|1}} |SZ=}} erzeugt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2wotkqb37yrsf8rieesnxnq4fr198cv 0 89169 782472 756281 2022-08-22T00:47:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \sim|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= \N \times \N|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette |(a,b) |\sim|(c,d) || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette |a+d ||b+c || || || |SZ= }} ist, festgelegt ist, und es sei {{math|term= \Z=\N \times \N/ \sim|SZ=}} die zugehörige Quotientenmenge, also das Äquivalenzklassenmodell von {{math|term= \Z|SZ=.}} Es sei {{math|term= G=\N \uplus \N_-|SZ=}} das{{{zusatz1|}}} {{Anführung|direkte Modell}} für die ganzen Zahlen. Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G| \N \times \N || |SZ=, }} die durch {{ math/disp|term=\varphi (n) {{=}}\begin{cases} (n,0), \text{ falls } n \text{ nichtnegativ ist}\, , \\ (0,m), \text{ falls } n=-m \text{ negativ ist} \, ,\end{cases} }} definiert ist, und die zusammengesetzte Abbildung {{ math/disp|term= G \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} \N \times \N \stackrel{p}{\longrightarrow} \Z |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= p \circ \varphi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= p \circ \varphi|SZ=}} mit der Addition verträglich ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= p \circ \varphi|SZ=}} mit der Multiplikation verträglich ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= p \circ \varphi|SZ=}} mit der Ordnung verträglich ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der Konstruktion der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sbtr7ixub1lgwnzyqul99zuc3pn8d6t 0 89176 782446 756270 2022-08-22T00:43:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= \N \times \N|SZ=,}} die durch {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } a+d = b+c |SZ=, }} festgelegt ist, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der Konstruktion der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2vaqneqi7k8gtvbpfxlpy4th63r1ayu 0 89181 782193 499071 2022-08-22T00:01:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Familie {{math|term= A|SZ=}} und {{math|term= B|SZ=}} notieren ihre Einnahmen und Ausgaben pro Monat in der Form {{mathl|term= (x,y) \in \N^2|SZ=,}} wobei der erste Eintrag für die Einnahmen und der zweite Eintrag für die Ausgaben steht. Familie {{math|term= A|SZ=}} notiert für die erste Jahreshälfte die Paare {{math/disp|term=(2500,2800) ,\, (3500,3200) ,\, (3300,2900), \, (2800,2800) ,\, (2400,4200) ,\, (4000,2700) |SZ=.}} Familie {{math|term= B|SZ=}} notiert für die erste Jahreshälfte die Paare {{math/disp|term=(3300,3600) ,\, (3900,3800) ,\, (4300,4300), \, (4000,3800) ,\, (3900,4100) ,\, (4000,3700) |SZ=.}} {{ Aufzählung4 |Notiere{{n Sie}} für jede Familie und jeden Monat den Gewinn bzw. das Defizit in Paarschreibweise mit Hilfe der Standardrepräsentanten. |Berechne{{n Sie}} für jede Familie die Gesamteinnahmen und die Gesamtausgaben im angegebenen Zeitraum. |Bestimme{{n Sie}} auf zwei verschiedene Arten für jede Familie den Gesamtgewinn bzw. das Gesamtdefizit {{ Zusatz/Klammer |text=Standardrepräsentant| |ISZ=|ESZ=. }} |Vergleiche{{n Sie}} für jeden Monat den Haushalt der beiden Familien mit Hilfe der Festlegung aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mwo5f3sts3m8oelcbxg1yjkjijnhqp2 0 89182 783455 757132 2022-08-22T03:31:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |assoziativen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Verknüpfung {{math|term= *|SZ=}} und einem neutralen Element {{math|term= e|SZ=.}} Ferner gelte die Kürzungsregel, dass aus {{ Ma:Vergleichskette |a*c ||b*c || || || |SZ= }} stets {{ Ma:Vergleichskette |a ||b || || || |SZ= }} folgt. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass auf {{mathl|term= M \times M|SZ=}} durch die Festlegung {{ Ma:Vergleichskette |(a,b) |\sim | (c,d) || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette | a*d || b*c || || || |SZ= }} gilt, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert wird. |Zeige{{n Sie}}, dass man auf der Quotientenmenge {{mathl|term= M \times M/\sim|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definieren kann, die die Verknüpfung auf {{math|term= M|SZ=}} fortsetzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0r0nak1vdxgm43a4pqycniqewptdz4l 0 89186 785917 759069 2022-08-22T09:59:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass bei der auf {{math|term= \Z \times \N_+|SZ=}} durch {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc |SZ=, }} festgelegten {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} jedes Paar {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} einen Vertreter {{mathl|term= (x',y')|SZ=}} besitzt, bei dem {{ mathkor|term1= x' |und|term2= y' |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Wohldefiniertheit |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nscdlzngcpzhipgdy4hwrndi2a62js3 0 89187 785914 759066 2022-08-22T09:58:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass im {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassenmodell| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= \Q|SZ=}} die Addition die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | [(a,d)] + [(c,d)] || [(a+c,d)] || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0w11099blrbowmxins7znchvnmrbssg 0 89188 785916 759068 2022-08-22T09:59:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass im {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassenmodell| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= \Q|SZ=}} die Ordnung die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | [(a,d)] |\geq| [( c,d)] || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |a |\geq|c || || || |SZ=, }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 02vvgd4vf2ciyq49fh93lohdua1r3nl 0 89190 785915 759067 2022-08-22T09:58:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Z \times \N_+|SZ=}} mit der durch {{ math/disp|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc |SZ=, }} festgelegten {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Zeige{{n Sie}}, dass es zu {{mathl|term= (a_1,b_1), (a_2,b_2) {{kommadots|}} (a_n,b_n) |SZ=}} eine Zahl {{mathl|term= d \in \N_+|SZ=}} und ganze Zahlen {{mathl|term= c_1,c_2 {{kommadots|}} c_n|SZ=}} mit {{mathl|term= (a_1,b_1) \sim (c_1,d) ,\, (a_2,b_2) \sim (c_2,d) {{kommadots}} (a_n,b_n) \sim (c_n,d) |SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r2jlcicnnm2uhm76lwndjnl509ajhxz 0 89195 782000 755892 2022-08-21T23:28:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (M,*,e)|SZ=}} eine endliche Menge mit einer kommutativen, assoziativen {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem neutralen Element {{math|term= e|SZ=.}} Ferner gelte in {{math|term= M|SZ=}} die {{Anführung|Kürzungsregel|SZ=:}} Aus {{math|term= z * x= z* y|SZ=}} folgt {{math|term= x=y|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nknka9fnexks5xmqx9r6t8mkaa3k7r7 0 89196 784783 498407 2022-08-22T06:59:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Oma Müller und Opa Müller haben heute Geburtstag. Sie wird {{math|term= 69|SZ=}} Jahre alt und er wird {{math|term= 73|SZ=}} Jahre alt. Wie alt waren sie, als man beide Altersangaben zwar mit natürlichen, aber nicht mit positiven natürlichen Zahlen ausdrücken konnte. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j1dsdp4fxtoedg9x5l2se08ry2c1mn2 0 89204 782399 508134 2022-08-22T00:35:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Fußballspiele zwischen dem TSV Wildberg und VfB Effringen endeten in den letzten Jahren wie folgt: {{ math/disp|term= 7:2, \, 3:0, \, 0:0, \, 9:6, \, 8:0, \, 2:1, \, 4:2, \, 3:0, \, 5:5, \, 6:3, \, 3:1, \, 1:1, \, 7:0, \, 2:0, \, 6:4, \, 6:2, \, 3:4, \, 3:2 |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Erstelle{{n Sie}} die Äquivalenzklassen {{ Zusatz/Klammer |text=auf der Menge der angegebenen Ergebnisse| |ISZ=|ESZ= }} gemäß der Äquivalenzrelation auf {{mathl|term= \N \times \N|SZ=,}} die durch {{mathl|term= a:b \sim c:d, \text{ falls } a+d=b+c|SZ=,}} definiert ist. |Erstelle{{n Sie}} die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf {{mathl|term= \N \times \N|SZ=,}} die auf {{mathl|term= \N \times (\N \setminus \{0\} )|SZ=}} durch {{mathl|term= a:b \sim c :d, \text{ falls } ad=bc|SZ=,}} definiert ist und für die {{mathl|term= {{Mengebed| n:0 |n \in \N_+ }}|SZ=}} und {{mathl|term= \{ 0:0 \}|SZ=}} eigene Äquivalenzklassen sind. |Erstelle{{n Sie}} die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf {{mathl|term= \N \times \N|SZ=,}} die auf {{mathl|term= ( \N \setminus \{0\} ) \times (\N \setminus \{0\} )|SZ=}} durch {{mathl|term= a:b \sim c :d, \text{ falls } ad=bc|SZ=,}} definiert ist und für die die anderen Elemente nur zu sich selbst äquivalent sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xuybxewo8rdn796nsd2yh9hst8302s 0 89209 783640 757290 2022-08-22T04:02:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Quadrate| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ftsewqbu8n4nawdn3k2wui3t1inoslz 0 89211 780769 754884 2022-08-21T20:03:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink/- |Prämath= |Quadrate| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K_+ |SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0qwsg17zg7a9gxdqpenb12u1s65a2ym 0 89212 785760 758952 2022-08-22T09:33:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q^2 |\subseteq| \Q_+ || || || |SZ= }} die {{ Zusatz/Klammer |text=multiplikative| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei {{math|term= \sim|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \Q_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist {{ Zusatz/Klammer |text=die {{math|term= 1|SZ=}} erfülle diese Eigenschaft| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die rationalen Zahlen als multiplikative Gruppe |Kategorie2=Theorie der Quadratrestgruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kgifdr4e6hiowgyq8zweicpj49gxfu3 0 89216 780429 754627 2022-08-21T19:06:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abbildungsmenge|K|K}} || {{Mengebed|f:K \rightarrow K|f \text{ Funktion} }} || || || |SZ= }} die Menge der Abbildungen von {{math|term= K|SZ=}} nach {{math|term= K|SZ=.}} Wir betrachten die Relation auf {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|K|K}} |SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette |f |\sim|g || || || |SZ=, }} falls es ein {{mathl|term= d \in K|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f ||g+d || || || |SZ= }} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass es sich dabei um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen auf Abbildungsmengen |Kategorie2=Theorie der Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l2x7k4ac6n2jvq4ykuytiai5ci0uxnh 0 89218 780427 754625 2022-08-21T19:06:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abbildungsmenge|K|K}} || {{Mengebed|f:K \rightarrow K|f \text{ Funktion} }} || || || |SZ= }} die Menge der Abbildungen von {{math|term= K|SZ=}} nach {{math|term= K|SZ=.}} Wir betrachten die Relation auf {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|K|K}} |SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette |f |\sim|g || || || |SZ=, }} falls es ein {{mathl|term= c \in K|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f (x) ||g (x+c) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x \in K|SZ=}} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass es sich dabei um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen auf Abbildungsmengen |Kategorie2=Theorie der Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6vxxgh9uhwa43ijeb6gwgezrjbzmp9k 0 89219 780428 754626 2022-08-21T19:06:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abbildungsmenge|K|K}} || {{Mengebed|f:K \rightarrow K|f \text{ Funktion} }} || || || |SZ= }} die Menge der Abbildungen von {{math|term= K|SZ=}} nach {{math|term= K|SZ=.}} Wir betrachten die Relation auf {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|K|K}} |SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette |f |\sim|g || || || |SZ=, }} falls es ein {{mathl|term= c,d \in K|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f (x) ||g (x+c) +d || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x \in K|SZ=}} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass es sich dabei um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen auf Abbildungsmengen |Kategorie2=Theorie der Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fp8lxzhe6r8wewfg85sc6ok9ef9pttu 0 89221 785734 758945 2022-08-22T09:28:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf der Menge der quadratischen Polynome über dem Körper {{math|term= K|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Abbildung/K/Verschiebung im Werte- und Definitionsbereich/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Finde{{n Sie}} für jedes quadratische Polynom einen besonders einfachen Repräsentanten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen auf Abbildungsmengen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8virl4zrq0zdvjxe1v7gs2pg1gdpebj 0 89260 780137 772548 2022-08-21T18:15:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Untergruppen| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Untergruppe/Definition |SZ= }} der ganzen Zahlen sind nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} von der Form {{ mathkor|term1= \Z n |mit|term2= n \geq 0 |SZ={{{zusatz1|}}}. }} Die {{ Definitionslink |Restklassengruppen| |Definitionsseitenname= Restklassengruppe/Repräsentant/Definition |SZ= }} werden mit {{ math/disp|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ= }} bezeichnet {{ Zusatz/Klammer |text=sprich {{Anführung|{{math|term= \Z|SZ=}} modulo {{math|term= n|SZ=}}|}}| |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||0 || || || |SZ= }} ist das einfach {{math|term= \Z|SZ=}} selbst, bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||1 || || || |SZ= }} ist das die {{ Definitionslink |triviale Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe {{math|term= \Z n|SZ=}} definierte Äquivalenzrelation auf {{math|term= \Z|SZ=}} dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz {{mathl|term= a-b|SZ=}} zu {{math|term= \Z n|SZ=}} gehört, also ein Vielfaches von {{math|term= n|SZ=}} ist. Daher ist {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= n \geq 1|SZ=}}| |SZ= }} jede ganze Zahl zu genau einer der {{math|term= n|SZ=}} Zahlen {{ math/disp|term= 0,1,2 {{kommadots|}} n-1 |SZ= }} äquivalent {{ Zusatz/Klammer |text=oder, wie man auch sagt, {{Stichwort|kongruent modulo {{math|term= n|SZ=}}|msw=Kongruent modulo n|SZ=}}| |SZ=, }} nämlich zum Rest, der sich bei Division durch {{math|term= n|SZ=}} ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt {{math|term= n|SZ=}} Elemente. Diese werden im Allgemeinen mit {{mathl|term= \overline{0}, \overline{1}, \overline{2} {{kommadots|}} \overline{n-1}|SZ=}} bezeichnet. Dabei ist {{math|term= \overline{0}|SZ=}} das neutrale Element, das negative Element zu {{math|term= \overline{k}|SZ=}} ist {{mathl|term= \overline{n-k}|SZ=}} und die Summe {{mathl|term= \overline{i} + \overline{k}|SZ=}} ist {{mathl|term= \overline{i+k} |SZ=}} bzw. {{mathl|term= \overline{i+k-n}|SZ=,}} falls {{ Ma:Vergleichskette |i+k | \geq |n || || || |SZ= }} ist. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z| {{op:Zmod|n|}} |a|[a] {{=|}} a {{modulo}} n |SZ=, }} ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Dies gilt auch für das Produkt von zwei Zahlen, was bedeutet, dass diese Abbildung ein Ringhomomorphismus ist| |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} llh87nzrq8i723jmqo2yw72jgbo719f 0 89268 783927 757553 2022-08-22T04:50:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das folgende {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K=\{0,1,2,3,4,5,6\}|SZ=}} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Körper/7 Elemente/Einführung/2/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|5|1|2|4}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || {{op:Spaltenvektor|3|5}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 7 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tfw9c1yw6rstmbi25kdgee1mfp5nxoy 0 89269 780711 754827 2022-08-21T19:53:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Betrag| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Einheiten|K }} | ( K_+, \cdot,1) |x| {{op:Betrag|x|}} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Was ist der Kern? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Betrags für einen angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ky0s6c09zeffqofmelf3cle80i4a4d 0 89273 782672 756448 2022-08-22T01:21:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= (K,+,0) |nach|term2= (\Z,+,0) |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mwkj20dq6sts1i1qvhyziz67m63f9po 0 89274 782673 756449 2022-08-22T01:21:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es bezeichne {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Einheiten|\Q|}} || \Q \setminus \{0\} || || || |SZ= }} die {{ Zusatz/Klammer |text=multiplikative| |ISZ=|ESZ= }} Einheitengruppe von {{math|term= \Q|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} einen nichttrivialen {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= {{op:Einheiten|\Q|}} |nach|term2= (\Z,+,0) |SZ= }} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7nwytnw1p8231239t5qsfxx0z42htej 0 89275 786264 510577 2022-08-22T10:57:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} für {{mathl|term= n=2,3 {{kommadots|}} 10|SZ=}} Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für die Restklassenringe {{math|term= {{op:Zmod|n}} |SZ=.}} Was haben diese Tabellen mit dem Rechnen im {{math|term= n|SZ=-}}System zu tun? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5iiuztquwj7jkpqrlr9pf7jtkck4nzp 0 89276 786208 759352 2022-08-22T10:47:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= d|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen eindeutig bestimmten {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \psi | {{op:Zmod|n|}} | {{op:Zmod|d|}} || |SZ= }} derart gibt, dass das Diagramm {{kommutatives Dreieck|\Z|{{op:Zmod|n|}} | {{op:Zmod|d|}} }} kommutiert. Warum lassen sich die Reste modulo {{math|term= 2|SZ=}} und modulo {{math|term= 5|SZ=}} besonders einfach berechnen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7493amzhfcy1pprjdj2n2mvpbomhg2g 0 89277 783162 756878 2022-08-22T02:42:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq|G || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sim|SZ=}} auf {{math|term= G|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |G|F || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq| {{op:Kern|\varphi|}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abb |name= \tilde{\varphi} |G/\sim| F || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\tilde{\varphi} \circ p || \varphi || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mukwmfwkemhpjd8mtlziaaf6mt62rmh 0 89278 786244 510578 2022-08-22T10:53:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für den Restklassenring {{math|term= {{op:Zmod|13}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4m931cw78edtc0g8yz5ywaly6fq4961 0 89290 786221 759356 2022-08-22T10:49:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} der zugehörige Restklassenring. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= a \in \Z|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} modulo {{math|term= n|SZ=}} genau dann ist, wenn {{ mathkor|term1= a |und|term2= n |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t97f2bugzym6ebsx3xr2vabfns88yvq 0 89292 786218 510579 2022-08-22T10:49:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das inverse Element zu {{mathl|term= \overline{44}|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|97}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0qa9m78xp61ybjqom4bjrqypku0jz8x 0 89293 786212 510580 2022-08-22T10:48:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das inverse Element zu {{mathl|term= \overline{57}|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|139}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} botejs18v3yr3ujsjyzhc7la16by7eg 0 89294 786213 510581 2022-08-22T10:48:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das inverse Element zu {{mathl|term= \overline{71}|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|167}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6e54zblq7s4rqc0fx5xqysfrwy6dfj0 0 89303 780735 754850 2022-08-21T19:57:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \geq 1 ||bedterm2= |SZ=. }} Es seien {{ Ma:Vergleichskette |m |\geq|n || || || |SZ= }} positive ganze Zahlen. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\sqrt[m]{a} |\leq| \sqrt[n]{a} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wurzeln in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tqukfulsbd4la12ggc1uos7u4rag1ln 0 89308 785622 758852 2022-08-22T09:10:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Quadrate und ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Quadratwurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Restklassenkörper {{mathl|term= {{op:Zmod|13|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 13 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 08lhtuv7x9fkgezlwt015c4w854rrdn 0 89309 785623 758853 2022-08-22T09:10:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Quadrate und ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Quadratwurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Restklassenkörper {{mathl|term= {{op:Zmod|19|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 19 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1jtrbtogdupn8rc11lwyyz0nwis3fsz 0 89319 783661 757308 2022-08-22T04:06:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= a \in K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |x^2 ||a || || || |SZ= }} höchstens zwei Lösungen in {{math|term= K|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratwurzeln in Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r60hnddtqkhi8nweryao05cia61k3xy 0 89321 780780 500411 2022-08-21T20:05:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=,}} {{math|term= a \in K|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |x^n ||a || || || |SZ= }} höchstens zwei Lösungen in {{math|term= K|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wurzeln in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jejtr8o1jpsqcca1jjdk3sjnjosbltb 0 89324 785780 588238 2022-08-22T09:36:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= \sqrt{3}|SZ=}} nicht in der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |\sqrt{3} || p + q \sqrt{2} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= p,q \in \Q|SZ=}} schreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratwurzeln in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pptzjz5sma92i91sg8s2sww45hd0fly 0 89326 780774 754887 2022-08-21T20:04:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= a,b,c \in K_+|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq|b |\geq|c || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\sqrt{ a+b} + \sqrt{a-b} |\leq| \sqrt{ a+c} + \sqrt{a-c} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratwurzeln in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} etywl03zcr1cwmnwd81vo1lm2fw5m1x 0 89332 784692 500428 2022-08-22T06:46:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b|SZ=}} ganze Zahlen und {{mathl|term= x \in \Q|SZ=}} eine Lösung der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^2 +ax+b || 0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= x|SZ=}} eine ganze Zahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen irrationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lmocao40j65fh3i2hfvwh8y96bzbjix 0 89333 785778 758959 2022-08-22T09:36:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= \sqrt{n} \in K_+|SZ=,}} wobei {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} keine Quadratzahl sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{Mengebed|p+q \sqrt{n}|p,q \in \Q}} |\subseteq| K || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejqjsou5n6k72grhhf9fnnbgh273mxi 0 89335 782587 500446 2022-08-22T01:06:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= \sqrt[12]{2}^2 \cdot \sqrt[6]{2}^5|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wurzeln in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cpo6die45zykl53i80isrolo4pwqv0c 0 89336 779205 500455 2022-08-21T15:52:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |C Dur Klaviatur|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} In der gleichstufigen Stimmung eines Klaviers zerlegt man eine Oktave in zwölf gleichgroße Frequenzverhältnisse. Da eine Oktave das Frequenzverhältnis {{mathl|term= 2:1|SZ=}} bedeutet, ist das Frequenzverhältnis von zwei benachbarten {{ Zusatz/Klammer |text=weißen oder schwarzen| |ISZ=|ESZ= }} Tasten durch {{mathl|term= \sqrt[12]{2}|SZ=}} gegeben. Somit sind die Schwingungsverhältnisse zwischen den Tönen im Allgemeinen irrational. Der Vorteil bei dieser Stimmung ist, dass man jede Tonart auf dem Klavier mit unmerklichen Abweichungen von den harmonischen rationalen Verhältnissen spielen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wurzeln in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} she4az8dhnlvq3kx6g0efe0w9bj7m4r 0 89373 780947 501021 2022-08-21T20:33:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl {{mathl|term= c \in K_-|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit einem positiven Startwert {{math|term= x_0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} berechnen möchte? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r73j3th9qgrlt3q6f5tskby506vxu60 0 89374 780948 501025 2022-08-21T20:33:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert {{math|term= x_0|SZ=}} die Quadratwurzel von {{mathl|term= c \in K_+|SZ=}} berechnen möchte? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nmlayon3yh8indf3q63nsmvft4qac6r 0 89376 780471 754661 2022-08-21T19:13:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossenen Intervallen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} wieder ein abgeschlossenes Intervall ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m1uhrqyomu3979xug214fmny16skunp 0 89379 784771 758239 2022-08-22T06:57:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Intervallen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} wieder ein offenes Intervall ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mqukfs7kvuyoka5bjq76iktztf8ntn4 0 89382 782777 501056 2022-08-22T01:38:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} von Hand die Approximationen {{math|term= x_1,x_2,x_3,x_4|SZ=}} im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von {{math|term= 3|SZ=}} zum Startwert {{math|term= x_0=2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} napv2i58naxy69liqwaqido58321wcq 0 89383 782775 501058 2022-08-22T01:38:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} von Hand die Approximationen {{math|term= x_1,x_2,x_3,x_4|SZ=}} im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} zum Startwert {{math|term= x_0=1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jlt0ss2ua4fzlp1jh6bnr69ryr2javb 0 89385 785594 758840 2022-08-22T09:05:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf {{ math|term= \Q_+ \times \N_+ |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |(p,m) |\sim| (q,n) || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette |p^n ||q^m || || || |SZ= }} gilt. {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q || ( \Q_+ \times \N)/\sim || || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auf {{math|term= Q|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | [ (p,m) ] \cdot [(q,n)] |{{defeq}}| [ ( p^n q^m, nm) ] || || || |SZ= }} eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= Q|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} in dem es zu jedem {{mathl|term= p \in \Q_+|SZ=}} und jedes {{mathl|term= m \in \N_+|SZ=}} die Wurzel {{mathl|term= \sqrt[m]{p}|SZ=}} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= |Q|K_+ |[(p,m)]| \sqrt[m]{p} |SZ=, }} ein wohldefinierter {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wurzeln in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nd5wc3k6ghrud1kvqve0k9356d4dal5 0 89387 782969 756712 2022-08-22T02:10:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= I_1,I_2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Intervalle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |I_1 \cap I_2 |\neq| \emptyset || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Vereinigung {{mathl|term= I_1 \cup I_2|SZ=}} wieder ein Intervall ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dwfhz2qlzl5abm0upadii4ncm7nw1ch 0 89388 782968 756710 2022-08-22T02:10:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|K || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den Intervallgrenzen {{ Ma:Vergleichskette |a |<|b || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= I|SZ=}} unendlich viele rationale Zahlen gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8c4vs6b7bewiwgqulaf83qck2x41b55 0 89390 782967 756709 2022-08-22T02:10:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|K || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den Intervallgrenzen {{ Ma:Vergleichskette |a |<|b || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= I|SZ=}} eine rationale Zahl gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9un997bsy8cdookm9vdhnijc4wx46xb 0 89398 783668 757317 2022-08-22T04:07:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} enthalte die Wurzeln {{ mathkor|term1= \sqrt[3]{2} |und|term2= \sqrt[7]{2} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= K|SZ=}} auch {{mathl|term= \sqrt[21]{2}|SZ=}} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wurzeln in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ivj7lm6lwpgrwijj2tbut6k1dl7rsz 0 89406 782283 756134 2022-08-22T00:16:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|x|}} |und|term2= {{Op:Folge|y|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} die beide gegen {{math|term= c \in K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergieren| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mögen. Zeige{{n Sie}}, dass die Differenzfolge {{mathl|term= x_n-y_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ehcypa8pzm2wjx8rttj7sil89rhwaqa 0 89407 782776 501146 2022-08-22T01:38:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} von Hand die Approximationen {{math|term= x_1,x_2,x_3,x_4|SZ=}} im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von {{math|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=}} zum Startwert {{math|term= x_0=1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejpsp55i0lswuktxcbvxdmvsv2h50j1 0 89408 785736 501153 2022-08-22T09:29:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) ||x^2 +4x-3 || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |f(0) ||-3 |<|0 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f(1) ||2 |>|0 || || |SZ=. }} Führe{{n Sie}}, ausgehend vom Intervall {{mathl|term= [0,1]|SZ=,}} Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion {{math|term= f|SZ=}} an der linken Grenze des Intervalls negativ und an der rechten Grenze positiv ist, bis ein Intervall der Länge {{mathl|term= {{op:Bruch|1|16}} |SZ=}} erreicht ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hlz9kno331h4s3308fgd5orobee0hg5 0 89409 785735 501156 2022-08-22T09:28:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) ||x^2 +4 x-3 || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |f(-5) ||2 |>|0 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f(-4) || -3 |<|0 || || |SZ=. }} Führe{{n Sie}}, ausgehend vom Intervall {{mathl|term= [-5,-4]|SZ=,}} Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion {{math|term= f|SZ=}} an der linken Grenze des Intervalls positiv und an der rechten Grenze negativ ist, bis ein Intervall der Länge {{mathl|term= {{op:Bruch|1|16}} |SZ=}} erreicht ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen‎ |Kategorie2=Theorie der quadratischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k95zoy1juq9gnguudfe1r5sivdycnhv 0 89423 786285 510583 2022-08-22T11:00:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe {{mathl|term= {{op:Zmod|n}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r638pp62t9557kyrdzm2xvvqyhzbzvi 0 89425 785867 759030 2022-08-22T09:50:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob die {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n ||{{op:Bruch|7 n^4-2n^2+5|4n^4-5n^3+n-6}} || || || |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} und bestimme{{n Sie}} gegebenenfalls den {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname=/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qn0ysy0ateak5kcx3z1y1pleabtoghs 0 89431 784110 757766 2022-08-22T05:21:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K| {{op:Matq|2|K}} |a| {{op:Matrix22|a|0|0|0 }} |SZ=. }} Welche Eigenschaften eines {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=,}} welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} spyammtu6tsgd1xcjic6nrlzjskdlpv 0 89432 784109 757765 2022-08-22T05:20:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K| {{op:Matq|2|K}} |a| {{op:Matrix22|a|0|0|1 }} |SZ=. }} Welche Eigenschaften eines {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=,}} welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} keen530gc7gd1oblzu13mc0tzqkh9ga 0 89435 781177 755218 2022-08-21T21:11:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|x}} , \, {{Op:Folge|y}} |und|term2= {{Op:Folge|z}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K |SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n |\leq|y_n |\leq|z_n || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N || || || |SZ= }} gilt. Es seien {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|x}} |und|term2= {{Op:Folge|z}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei die Differenzfolge {{mathl|term= z_n-x_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{mathl|term= {{Op:Folge|y}} |SZ=}} eine Cauchy-Folge ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ioqph5y9kkds0epuuow4uuwiv7ehx4w 0 89438 785937 759086 2022-08-22T10:02:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in {{math|term= \Q|SZ=}} konvergenten Folgen ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hrsokc8589l3kmf7190ksld5bmddb2r 0 89439 785938 759087 2022-08-22T10:02:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in {{math|term= \R|SZ=}} konvergenten Folgen ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 57oj2ph9qvpxucqe6t1x5dbrknsy152 0 89440 784111 757767 2022-08-22T05:21:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || {{Mengebed| {{op:Matrix22|a|-b|b|a}} |a,b \in \Q}} |\subseteq| {{op:Matq|2|K=\Q}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung6 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Matq|2|K=\Q}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der Addition| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} die rationalen {{math|term= \Q|SZ=}} als Diagonalmatrizen enthält. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} eine Quadratwurzel zu {{math|term= -1|SZ=}} enthält. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Matrizen (Q) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fag77qr2h6cb281soxc09po40le4n3x 0 89455 782783 603850 2022-08-22T01:39:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} von Hand die Approximationen {{math|term= x_1,x_2,x_3,x_4|SZ=}} im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von {{math|term= 7|SZ=}} zum Startwert {{math|term= x_0=2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f45m7aj6asawtv88l7kd3fon45i7d11 0 89456 780718 754833 2022-08-21T19:55:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Intervalle| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung bilden. {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|5x-8|}} |<| {{op:Betrag|11x-6|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie des Betrags für einen angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 264h3zquwnycpttsx8ka1on8q1szusc 0 89457 784575 501679 2022-08-22T06:29:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf {{math|term= \N_+|SZ=}} die Relation {{math|term= \sim|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |m |\sim|n || || || |SZ= }} festgelegt ist, falls {{math|term= m|SZ=}} eine Potenz von {{math|term= n|SZ=}} und {{math|term= n|SZ=}} eine Potenz von {{math|term= m|SZ=}} teilt. {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \sim|SZ=}} eine Äquivalenzrelation ist. |Bestimme{{n Sie}}, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht. {{ math/disp|term= 100,\, 1000, \, 9,\, 125, \, 500 , \, 27, \, 10, \, 210 |SZ=. }} |Es sei {{math|term= Q|SZ=}} die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei {{math|term= \mathbb P|SZ=}} die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|{\mathbb P}|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\N_+| {{op:Potenzmenge|{\mathbb P}|}} || |SZ= }} gibt, die zu einer injektiven Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \tilde{\varphi} | Q| {{op:Potenzmenge|{\mathbb P}|}} || |SZ= }} führt. Ist {{math|term= \tilde{\varphi} |SZ=}} surjektiv? |Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=2 |p2=2 |p3=5 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l1hfb74zlw4pfvqkcbvlwx3kqvuhurh 0 89458 782771 756548 2022-08-22T01:37:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= c \in K_+|SZ=}} ein Element in einem angeordneten Körper {{math|term= K|SZ=}} und sei {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{c}|SZ=}} mit dem Startwert {{math|term= x_0|SZ=.}} Für ein Folgenglied gelte {{ Ma:Vergleichskette |x_n || \sqrt{c} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch für alle weiteren Glieder die Folge konstant gleich {{math|term= \sqrt{c} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56btuzswj4xde9kpbyvt5ljfdip2hgb 0 89460 780728 754844 2022-08-21T19:56:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass bei einer {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die {{ Definitionslink |Konvergenz| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} noch den {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ändert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} elsya7ytff4ugmiyefkofw0j5mysspe 0 89461 782769 756546 2022-08-22T01:37:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= c \in K_+|SZ=}} ein Element in einem angeordneten Körper {{math|term= K|SZ=}} und sei {{mathl|term= {{op:Folge|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{c}|SZ=}} mit dem Startwert {{mathl|term= x_0 \in K_+|SZ=.}} Sei {{mathl|term= u \in K_+|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |d ||c \cdot u^2 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |y_0 || u x_0 || || || |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Folge|y}} |SZ=}} die Heron-Folge zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{d}|SZ=}} mit dem Startwert {{math|term= y_0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y_n ||u x_n || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= n\in \N|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c7x46bsqhvod0ufl620l341vpvv4axx 0 89463 783928 757554 2022-08-22T04:50:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das folgende {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|7}}|SZ=.}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|3|5|2|1}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || {{op:Spaltenvektor|4|6}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 7 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} shcji7l92uh86pyqp2q1wevkq7pstkw 0 89465 783929 757555 2022-08-22T04:50:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das folgende {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|7}}|SZ=.}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix22|3|6|2|1}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || {{op:Spaltenvektor|4|6}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 7 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r5hd3i7d0qw3ezlon5bo360vekqz2mr 0 89491 782786 501832 2022-08-22T01:40:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Rekursionsvorschrift {{ Ma:Vergleichskette/disp |x' || 2^{-1} \cdot {{makl|x + {{op:Bruch|c|x}} |}} || || || |SZ= }} des Heron-Verfahrens in {{mathl|term= {{op:Zmod|7|}} |SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |c ||3 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 7 |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 82zncard5fx6v742tollyav2ahn7v3w 0 89494 782785 501838 2022-08-22T01:39:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Rekursionsvorschrift {{ Ma:Vergleichskette/disp |x' || 2^{-1} \cdot {{makl|x + {{op:Bruch|c|x}} |}} || || || |SZ= }} des Heron-Verfahrens in {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |c ||3 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für sämtliche Startglieder {{ Ma:Vergleichskette |x_0 |\neq|0 || || || |SZ= }} stets eine nichtkonstante Folge entsteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 5 |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5mfz41kzk9kmr298wf06up6rr5bbvz2 0 89496 782296 756143 2022-08-22T00:18:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller Folgen in {{math|term= K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit gliedweiser Addition und Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mjjtpivtitju7w9qeuzz70cw7uvpy91 0 89497 782292 756139 2022-08-22T00:17:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller konvergenten Folgen in {{math|term= K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit gliedweiser Addition und Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4p8lwdighz1m1qfl0cul3hfeg7k9184 0 89500 780738 754853 2022-08-21T19:58:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |a |<|b || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |streng wachsende| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |[0,1]| [a,b] || |SZ= }} gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 51569a7xeovhhdy7yn5cng07rr9pek3 0 89503 786242 510585 2022-08-22T10:53:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine Multiplikationstafel für den Restklassenring {{math|term= {{op:Zmod|5}} |SZ=.}} |Kategorie=Theorie der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 5 |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9pg19aybbz0cu4pe9p02vsrhag157xq 0 89506 786098 759252 2022-08-22T10:29:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das reelle Einheitsintervall {{mathl|term= [0,1]|SZ=}} unendlich viele {{ Definitionslink |Prämath= |irrationale Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der irrationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxmj0w761bmlr70s9fuyj968yflly8s 0 89509 782291 756138 2022-08-22T00:17:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkten Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit gliedweiser Addition und Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1wwy2hl56e671inojmn0bionoqvlyya 0 89512 780778 754891 2022-08-21T20:05:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge der wachsenden Folgen in {{math|term= K_{\geq 0}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} mit der gliedweisen Addition und Multiplikation ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenringe |Kategorie2=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k6deugs7ep1fv1wq33otiloyykfaw2a 0 89514 782250 756106 2022-08-22T00:10:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} in dem die Wurzeln {{mathl|term= \sqrt[n]{n}|SZ=}} zu {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} existieren. Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{mathl|term= x_n = \sqrt[n]{n} |SZ=}} ab {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|3 || || || |SZ= }} streng fallend ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lgz3javkipkoj0oh5p5nsopc57yz03h 0 89515 782265 756118 2022-08-22T00:13:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Archimedisch angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Folge|Glied=\frac{n^3}{2^n} }} |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in archimedisch angeordneten Körpern |Kategorie2=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oh6kgheufrku1bws4eqw1yf8spjsypt 0 89516 785866 759028 2022-08-22T09:50:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob die {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n ||\frac{6n^3+3n^2-4n+5}{7n^3-6n^2-2} || || || |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} und bestimme{{n Sie}} gegebenenfalls den {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname=/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i0ydzlt83ofemcdpuxsm07vkjsi2dw9 0 89518 786146 759305 2022-08-22T10:37:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{math|term= a,b \in K_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{ak+b} |SZ= }} {{ Definitionslink |divergiert| |Kontext=reihe R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0tj6vma79ydt4924iyy8bxubj1s4qxz 0 89519 778948 763142 2022-08-21T15:11:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu jedem Element {{mathl|term= x \in K|SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} gibt es {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine eindeutig bestimmte {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruchfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die gegen {{math|term= x|SZ=}} konvergiert. Zu zwei Elementen {{math|term= x|SZ=}} und {{math|term= y|SZ=}} muss dabei die Dezimalbruchfolge der Summe {{mathl|term= x+y|SZ=}} nicht die {{ Zusatz/Klammer |text=gliedweise genommene| |ISZ=|ESZ= }} Summe der einzelnen Dezimalbruchfolgen sein. Beispielsweise ist die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl {{math|term= {{op:Bruch|7|9}} |SZ=}} gleich {{ math/disp|term= {{op:Bruch|7|10}} ,\, {{op:Bruch|77|100}} ,\, {{op:Bruch|777|1000}} ,\, {{op:Bruch|7777|10000}} ,\, {{op:Bruch|77777|100000}} ,\, \ldots |SZ= }} und die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl {{math|term= {{op:Bruch|8|9}} |SZ=}} gleich {{ math/disp|term= {{op:Bruch|8|10}} ,\, {{op:Bruch|88|100}} ,\, {{op:Bruch|888|1000}} ,\, {{op:Bruch|8888|10000}} ,\, {{op:Bruch|88888|100000}} ,\, \ldots |SZ=. }} Die Summe dieser beiden Folgen ist {{ math/disp|term= {{op:Bruch|15|10}} ,\, {{op:Bruch|165|100}} ,\, {{op:Bruch|1665|1000}} ,\, {{op:Bruch|16665|10000}} ,\, {{op:Bruch|166665|100000}} ,\, \ldots |SZ=. }} Dagegen besitzt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|7|9}} + {{op:Bruch|8|9}} ||{{op:Bruch|15|9}} || || || |SZ= }} die Dezimalbruchfolge {{ math/disp|term= {{op:Bruch|16|10}} ,\, {{op:Bruch|166|100}} ,\, {{op:Bruch|1666|1000}} ,\, {{op:Bruch|16666|10000}} ,\, {{op:Bruch|1666666|100000}} ,\, \ldots |SZ=. }} Die oben angegebene Summenfolge konvergiert zwar gegen {{mathl|term= {{op:Bruch|15|9}} |SZ=,}} sie ist aber keine Dezimalbruchfolge. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kdd3itewb7zxe09f91ukse85zp1i75l 0 89528 780739 754854 2022-08-21T19:58:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= x,y |SZ=}} verschiedene Punkte aus {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es {{ Definitionslink |Prämath= |Intervalle| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= I_1 |und|term2= I_2 |SZ= }} mit positiver Länge, mit {{mathl|term= x \in I_1|SZ=,}} {{mathl|term= y \in I_2|SZ=}} und mit {{ Ma:Vergleichskette |I_1 \cap I_2 || \emptyset || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n5vbjs72sd60u8ff3zcdeqddtwea54y 0 89529 780743 754858 2022-08-21T19:59:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |I ||[a,b] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossenes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} mit {{mathl|term= x_n \in I|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Die Folge {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiere| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term= x \in K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{mathl|term= x\in I|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8v12c3qmqef55e2idsl5gm6dkuwej8c 0 89558 781170 755211 2022-08-21T21:10:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Teilfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= x_{n_i},\, i \in \N|SZ=,}} mit der Eigenschaft gibt, dass zu jedem {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=}} für alle {{mathl|term= i,j \geq k|SZ=}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| x_{n_i} - x_{n_j}||}} |\leq| {{op:Bruch|1|k}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a63gfcdmbzndjir53gfst19v15v7rlg 0 89560 783273 756977 2022-08-22T03:01:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= x\in R|SZ=}} und {{math|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^{n}-1 ||(x-1) {{makl| x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3} {{plusdots|}} x^2 + x +1 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t2vfvjzgt65z35y7alz18ren0btzepx 0 89561 780724 754840 2022-08-21T19:56:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= x \in K|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\leq| x |\leq| {{op:Bruch|1|2}} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für alle {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 1+x+x^2 {{plusdots|}} x^n |\leq|2 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} susmkon3lyvjm0rnlzgufw1d5q3pmgl 0 89571 782736 604702 2022-08-22T01:31:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n | {{defeq|}} | \sum_{k {{=}} 1 }^n {{op:Bruch|1|k}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Finde{{n Sie}} das kleinste {{math|term= n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n |\geq|2 || || || |SZ=. }} |Finde{{n Sie}} das kleinste {{math|term= n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n |\geq|2{,}5 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ayhvev8t7oihrjur50hsnmib5qa4kj 0 89584 780723 754838 2022-08-21T19:55:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Finde{{n Sie}} alle Lösungen {{mathl|term= (a,b,c) \in K^3|SZ=,}} die das Gleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette/disp |a \cdot b || c || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |b \cdot c || a || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |a \cdot c || b || || || |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1uigbgmsxyima3lxl4390hnva17n4z1 0 89586 780730 754845 2022-08-21T19:57:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Folge {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} sei durch einen Anfangswert {{ Ma:Vergleichskette |x_0 |\in| K_+ || || || |SZ= }} und durch die Rekursionsvorschrift {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_{n+1} || {{makl| x_n |}}^{-1} || || || |SZ= }} gegeben. Bestimme{{n Sie}} die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n8h80ugyafeo7s1iqwfkumy5cqxmiq6 0 89588 782272 756127 2022-08-22T00:14:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine Folge {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} sei durch einen Anfangswert {{ Ma:Vergleichskette |x_0 |\in|K || || || |SZ= }} und durch die Rekursionsvorschrift {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_{n+1} ||- x_n || || || |SZ= }} gegeben. Bestimme{{n Sie}} die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zzug7qk71giahhm7w7png4vsyj9ci2 0 89590 785331 502177 2022-08-22T08:22:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Gibt es eine Primzahl {{math|term= x|SZ=}} derart, dass auch {{mathl|term= x+10|SZ=}} und {{mathl|term= x+20|SZ=}} Primzahlen sind? |Gibt es mehr als eine Primzahl {{math|term= x|SZ=}} derart, dass auch {{mathl|term= x+10|SZ=}} und {{mathl|term= x+20|SZ=}} Primzahlen sind? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primzahlen in arithmetischer Progression |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i9q6e10xrtn8353atbfgq0z3u6hzcpj 0 89593 785332 502182 2022-08-22T08:22:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Gibt es eine Primzahl {{math|term= x|SZ=}} derart, dass auch {{mathl|term= x+6|SZ=,}} {{mathl|term= x+12|SZ=,}} {{mathl|term= x+18|SZ=}} und {{mathl|term= x+24|SZ=}} Primzahlen sind? |Gibt es mehr als eine Primzahl {{math|term= x|SZ=}} derart, dass auch {{mathl|term= x+6|SZ=,}} {{mathl|term= x+12|SZ=,}} {{mathl|term= x+18|SZ=}} und {{mathl|term= x+24|SZ=}} Primzahlen sind? |Gibt es mehr als eine Primzahl {{math|term= x|SZ=}} derart, dass auch {{mathl|term= x+6|SZ=,}} {{mathl|term= x+12|SZ=}} und {{mathl|term= x+18|SZ=}} Primzahlen sind? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primzahlen in arithmetischer Progression |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=3 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ap39yc6dhwwjmxu6xfhnmmctft4iy9l 0 89595 782900 511583 2022-08-22T01:59:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Folge {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} sei durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || \begin{cases} 1,\, \text{ falls } n {{=}} 2^k \text{ mit } k \in \N \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases} || || || |SZ= }} definiert. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= x_8|SZ=}} und {{mathl|term= x_9|SZ=.}} |Konvergiert die Folge in {{math|term= \Q|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ekaor6x6zozh1sepmrt3eokaatieto 0 89597 786628 511584 2022-08-22T11:57:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Folge {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} sei durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || \begin{cases} {{op:Bruch|1|k}} ,\, \text{ falls } n {{=}} 2^k \text{ mit } k \in \N_+ \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases} || || || |SZ= }} definiert. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= x_1|SZ=}} und {{mathl|term= x_{8}|SZ=.}} |Konvergiert die Folge in {{math|term= \Q|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zhhwg6r2fiueagxn22c3rkfrao23ka 0 89599 782899 511580 2022-08-22T01:58:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Folge {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} sei durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || \begin{cases} 1,\, \text{ falls } n \text{ eine Primzahl ist} \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases} || || || |SZ= }} definiert. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= x_{117}|SZ=}} und {{mathl|term= x_{127}|SZ=.}} |Konvergiert die Folge in {{math|term= \Q|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2=Die Unendlichkeit der Primzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ogch2ujuf074kgasm40x1cknsru22dl 0 89601 780748 754863 2022-08-21T20:00:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergente Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Summenfolge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=x_n + y_n}}|SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| x_n+ y_n |}} }} || {{makl| {{op:Folgenlimes|}} |}} + {{makl| {{op:Folgenlimes|y}} |}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rnhjdbteh8rd5wjiuj9spyg7ijr1hj0 0 89603 780751 754866 2022-08-21T20:00:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es sei {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} mit {{mathl|term= x_n \neq 0|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Folgenlimes|}}=x \neq 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Folge|Glied= \frac{1}{x_n} }}|SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ math/disp|term= {{op:Folgenlimes|Glied= \frac{1}{x_n} }}= \frac{1}{x} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 05it4whj4edqyaln1l4cokwqc3ej0os 0 89609 783464 757141 2022-08-22T03:33:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} die in einem größeren angeordneten Körper {{ Ma:Vergleichskette/disp |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} nicht konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7eixc04e34ymggkf7v18i6k4ckkeoec 0 89611 783463 757140 2022-08-22T03:32:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordnete Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= {{op:Folge||}} \in K|SZ=}} eine in {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Folge auch in {{math|term= L|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in archimedisch angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ynx8ci9o6h3r0xkn6784aqjexpmyni 0 89613 782276 756129 2022-08-22T00:14:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} sei {{math|term= a_n|SZ=}} die Summe der ungeraden Zahlen bis {{math|term= n|SZ=}} und {{math|term= b_n|SZ=}} die Summe der geraden Zahlen bis {{math|term= n|SZ=.}} Entscheide{{n Sie}}, ob die Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || {{op:Bruch|a_n|b_n}} || || || |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und bestimme{{n Sie}} gegebenenfalls den Grenzwert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ca1hnxl8j3gloexwlirsx73f6sq0jin 0 89617 780753 754868 2022-08-21T20:00:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge genau dann gegen {{math|term= x \in K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |y_n |{{defeq}}| x_n -x || || || |SZ= }} gegebene Folge eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mhv1fehcqddb80eybvlvfrcdl71jg0i 0 89622 782260 756113 2022-08-22T00:12:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |angeordnete Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=,}} die in {{math|term= L|SZ=}} gegen {{mathl|term= x \in L|SZ=}} konvergiert. Zeige{{n Sie}}, dass die Folge in {{math|term= K|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ez4x0bknqv0ovicz7bioildnzjc3oyw 0 89624 780772 754886 2022-08-21T20:04:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für die Folge der {{ Definitionslink |Prämath= |Stammbrüche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Die Folge {{mathl|term= {{op:Bruch|1|n}} |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Folge {{mathl|term= {{op:Bruch|1|n}} |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Der Körper {{math|term= K|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordnet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k0fdcb8yv7qngorv6cbugf3dsz2tprl 0 89627 782254 756110 2022-08-22T00:11:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir nennen zwei Folgen {{ mathkor|term1= {{op:Folge|x|}} |und|term2= {{op:Folge|y|}} |SZ= }} aus {{math|term= \Q|SZ=}} {{Stichwort|Cauchy-äquivalent|SZ=,}} wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |\epsilon |>|0 || || || |SZ= }} gibt es ein {{mathl|term= n_0 \in \N|SZ=}} derart, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette |m,n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_n-y_m|}} |\leq | \epsilon || || || |SZ= }} gilt. Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung5 |Die Cauchy-Äquivalenz ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrische| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |transitive| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Relation auf dem Folgenring {{mathl|term= \Q^\N|SZ=.}} |Die Folge {{math|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann, wenn sie zu sich selbst Cauchy-äquivalent ist. |Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen ist die Cauchy-Äquivalenz eine Äquivalenzrelation. |Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen stimmt die Cauchy-Äquivalenz von zwei Folgen mit der Eigenschaft überein, dass ihre Differenzfolge eine Nullfolge ist. |Wenn {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine Cauchy-Folge ist und {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} zu {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=}} Cauchy-äquivalent ist, so ist auch {{mathl|term= {{op:Folge|y|}}|SZ=}} eine Cauchy-Folge. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5s4tgbhby425p4cj1rop4cpjr3lbyk3 0 89629 781167 755208 2022-08-21T21:09:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Summenfolge {{ Ma:Vergleichskette/disp |z_n || x_n+y_n || || || |SZ= }} ebenfalls eine Cauchy-Folge ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kt7upsuvownnbquha8d08d5ctdoc2l5 0 89630 781169 755210 2022-08-21T21:10:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Teilfolge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= x_{n_i} ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} derart gibt, dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=}} gilt für alle {{ Ma:Vergleichskette |i,j |\geq |k || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_{n_i} - x_{n_j} |}} |\leq| {{op:Bruch|1|k}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c7lxzuy67yfze7dqy3ced4zqbxfntgs 0 89631 781172 755213 2022-08-21T21:10:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Folge {{mathl|term= \sqrt{ {{op:Bruch|1|n}} } |SZ=}} in {{math|term= \R|SZ=.}} Jedes Folgenglied sei selbst durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= x_{ni}, i \in \N|SZ=,}} mit dem Startwert {{math|term= x_{n0}= 1|SZ=}} repräsentiert. Bestimme{{n Sie}} die Diagonalfolgenglieder {{mathl|term= y_1,y_2,y_3,y_4|SZ=}} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Vollständiger Körper/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2=Das Heron-Verfahren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e5ev3fcypma6rxmoc7ptdcuko3el97b 0 89632 781174 755215 2022-08-21T21:11:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Folge {{ Ma:Vergleichskette | z_n || \sqrt{ {{op:Bruch|n+1|n}} } || || || |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=.}} Jedes Folgenglied sei selbst durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= x_{ni}, i \in \N_+|SZ=,}} mit dem Startwert {{ Ma:Vergleichskette | x_{n0} || 1 || || || |SZ= }} repräsentiert. Bestimme{{n Sie}} die Diagonalfolgenglieder {{mathl|term= y_1,y_2,y_3,y_4|SZ=}} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Vollständiger Körper/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2t01igvm6iionv4dr6vye1zoz1kz3tw 0 89636 782295 756142 2022-08-22T00:18:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller Folgen in {{math|term= K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit gliedweiser Addition und Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} kein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9yxnugx28qfau62iy3riv790r4eh5qv 0 89637 782258 756112 2022-08-22T00:11:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K^\N|SZ=}} der zugehörige Folgenring. Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folge|x|}} |\sim| {{op:Folge|y|}} || || || |SZ=, }} falls sich die beiden Folgen nur in endlich vielen Gliedern unterscheiden, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert ist. Rührt diese Äquivalenzrelation von einem {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} her? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b7y5wprrzcwzxqhhwy2pgw6i52su37y 0 89638 782294 756141 2022-08-22T00:17:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K^\N|SZ=}} der zugehörige Folgenring. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|K^\N || || || |SZ= }} die Menge aller Folgen über {{math|term= K|SZ=,}} bei denen nur endlich viele Glieder von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden sind. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K^\N|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K^\N/I|SZ=}} kein Körper ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6cufvdqqtoi2764xf47suyjfhf53fs3 0 89648 779914 763827 2022-08-21T17:41:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten in {{mathl|term= R=K[X,Y,Z]/(XY)|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |I || ( X+ YZ, Y+XZ) || || || |SZ= }} und das Element {{ Ma:Vergleichskette/disp |f ||ZX+ZY || || || |SZ=. }} Das Element gehört nicht zum Ideal, wie man durch den Ringhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |R|K[U]/(U^2) || |SZ= }} mit {{mathl|term= X \mapsto U|SZ=,}} {{mathl|term= Y \mapsto U|SZ=}} und {{mathl|term= Z \mapsto -1|SZ=}} sieht. Modulo {{math|term= X|SZ=}} ist {{mathl|term= f=ZY|SZ=}} und {{mathl|term= I=(Y)|SZ=}} und somit ist auf dieser Komponente {{mathl|term= f \in {{idealm}} I|SZ=,}} entsprechendes gilt für die Komponente modulo {{math|term= Y|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6tvkkj6ygtovdsmigiucosbj0uyr19x 0 89656 780819 754920 2022-08-21T20:11:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Reihe {{mathl|term= \sum_{k {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch|1|k(k+1)}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und bestimme den Grenzwert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s8kkk6gq2bx9r6e7xjlrne30gvd3dku 0 89657 780771 754885 2022-08-21T20:03:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Reihe {{mathl|term= \sum_{k {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch|1|k^2}} =1 + {{op:Bruch|1|4}} + {{op:Bruch|1|9}} + {{op:Bruch|1|16}} + \ldots |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fhfez65rwpizrwbqus8lw09rcvbpc1t 0 89664 780722 754837 2022-08-21T19:55:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K |SZ=}} derart, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |\delta |>|0 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |x_n |\geq| \delta || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n|SZ=}} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{mathl|term= {{op:Bruch|1|x_n}} |SZ=}} ebenfalls eine Cauchy-Folge ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q7l0d45xcussmypodl9qd3x7usdmkt5 0 89665 785244 758575 2022-08-22T08:08:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|x}} |und|term2= {{Op:Folge|y}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K |SZ=}} mit {{mathl|term= x_n,y_n \in K_+|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Die Quadratfolgen {{mathl|term= x_n^2 |SZ=}} und {{mathl|term= y_n^2 |SZ=}} seien konvergent und es sei {{mathl|term= x_n^2 -y_n^2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= x_n -y_n|SZ=}} ebenfalls eine Nullfolge ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2shdxfk5srpb18uxsfpunb7hd1aqw76 0 89667 782773 756549 2022-08-22T01:37:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= c \in K_+|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= x_0,y_0 \in K_+|SZ=}} Startwerte und {{ mathkor|term1= {{op:Folge|x|}} |bzw.|term2= {{op:Folge|y|}} |SZ= }} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{c}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= x_n-y_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7senp08brg1rmez70b5usy5vfp6gj19 0 89672 780747 754862 2022-08-21T19:59:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge eine wachsende oder eine fallende Teilfolge enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2oyrayzy2z4b3unarunx4qhozfzad6w 0 89676 780808 754909 2022-08-21T20:10:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Archimedisch angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |fallende| |Kontext=Folge ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |nach unten beschränkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition |SZ= }} Folge. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3jfj2rs9wf5cx86wvleqxeoupmcmigu 0 89682 785939 759088 2022-08-22T10:02:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass im Ring der rationalen Folgen {{mathl|term= \Q^\N|SZ=}} die Teilmenge der Nullfolgen kein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dzb6e3syn6ye4mkwdopbb4cqq4m9m2i 0 89690 782249 756105 2022-08-22T00:10:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine Folge in {{math|term= K|SZ=.}} Wir definieren zwei Folgen mit den Anfangswerten {{ Ma:Vergleichskette |y_0 ||x_0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |z_0 ||0 || || || |SZ= }} rekursiv durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |y_{n+1} || \begin{cases} y_n +x_{n+1} -x_n , \text{ falls } x_{n+1} \geq x_n \, , \\ y_n \text{ sonst} \, ,\end{cases} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | z_{n+1} || \begin{cases} z_n +x_{n+1} -x_n , \text{ falls } x_{n+1} <x_n \, , \\ z_n \text{ sonst} \, .\end{cases} || || || |SZ= }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |wachsend| |Kontext=Folge ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Folge|z|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |fallend| |Kontext=Folge ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || y_n +z_n || || || |SZ=. }} Man kann also jede Folge als Summe einer wachsenden und einer fallenden Folge darstellen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor=Idee mit Jonathan Steinbuch |Bearbeitungsstand= }} f57gsaes20t6yf9qa9s4t4mkpa3d7ay 0 89692 780676 754794 2022-08-21T19:48:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man die alternierende Folge {{mathl|term= (-1)^n|SZ=}} nicht als Summe {{ Ma:Vergleichskette/disp |(-1)^n || y_n +z_n || || || |SZ= }} schreiben kann, wenn {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Folge|z|}} |SZ=}} beschränkte und monotone Folgen sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ub5xbuyxqrnumrkkplw9dj366enpgq 0 89693 781165 755206 2022-08-21T21:09:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n || y_n +z_n || || || |SZ= }} mit einer wachsenden Cauchy-Folge {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=}} und einer fallenden Cauchy-Folge {{mathl|term= {{op:Folge|z|}} |SZ=}} schreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bzrpfmxxhm5zfzqi5maiq1jjgu45xhb 0 89703 782293 756140 2022-08-22T00:17:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K^\N|SZ=}} der zugehörige Folgenring. Es sei {{mathl|term= k \in \N|SZ=}} fixiert. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |I_k || {{Mengebed| {{op:Folge|x|}}|x_k {{=}} 0 }} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K^\N|SZ=}} ist. |Welche Bedeutung hat die durch dieses Ideal gegebene Äquivalenzrelation? |Zeige{{n Sie}}, dass die Gesamtabbildung {{ math/disp|term= K \longrightarrow K^\N \longrightarrow K^\N/I_k |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rqebcm0dp1ozw8og6fkqcz39esavyhs 0 89704 785944 759093 2022-08-22T10:03:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq|\Q^\N || || || |SZ= }} der Ring, der aus allen in {{math|term= \Q|SZ=}} konvergenten, rationalen Folgen besteht. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der Nullfolgen ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} bildet. |Zeige{{n Sie}}, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |R|\Q || |SZ= }} gibt. |Zeige{{n Sie}}, dass es einen bijektiven Ringhomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |R/N|\Q || |SZ= }} gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n3m60hg1m9o18qkd5szztndgvofr85i 0 89753 786073 759224 2022-08-22T10:25:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |x_n |\in|\R_{\geq 0} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Grenzwert {{math|term= x|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{mathl|term= \sqrt{x_n} |SZ=}} gegen {{mathl|term= \sqrt{x} |SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 38c3llljlvptcms39mp0yay2scvnpgh 0 89755 786080 759231 2022-08-22T10:26:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Q|SZ=}} in {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |dicht| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Topologie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s3uxxetmhux7arotn0c3asyme07msd3 0 89757 786063 759213 2022-08-22T10:23:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der irrationalen Zahlen in {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |dicht| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der irrationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sdzmga85i7vz6mtzz1hjioget3qnos3 0 89758 786050 759203 2022-08-22T10:21:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbrüche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |dicht| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tnv0bsx3yuopy7b503jof1xbs0jyelr 0 89760 786076 759228 2022-08-22T10:25:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= k \in \N_{\geq 2}|SZ=}} eine fixierte natürliche Zahl und es sei {{math|term= T|SZ=}} die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von {{math|term= k|SZ=}} als Nenner schreiben kann. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} in {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |dicht| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Unterringe der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eirao0pcsuw37lwz7bu11mv0abqvqal 0 89765 785243 758574 2022-08-22T08:08:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{Op:Folge|x}} |und|term2= {{Op:Folge|y}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K |SZ=}} mit {{mathl|term= x_n,y_n \in K_+|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= x_n^2 -y_n^2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= x_n -y_n|SZ=}} ebenfalls eine Nullfolge ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3nkalexay9vkl1i8dabt7mxov3x3hka 0 89767 786052 759205 2022-08-22T10:21:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|\R || || || |SZ= }} eine Teilmenge. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |dicht| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} ist, wenn es zu jeder reellen Zahl {{mathl|term= x \in \R|SZ=}} eine Folge {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} \in T |SZ=}} gibt, die gegen {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bkjltk73b8ozdba97vuqch9usgqe4d2 0 89768 785994 759135 2022-08-22T10:12:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine Folge aus {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbrüchen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=}} derart gibt, dass {{mathl|term= x_n-y_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ddldvkm9slyecaoh8d8z2qto3spoh35 0 89769 785975 759113 2022-08-22T10:08:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine reelle {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruchfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=}} derart gibt, dass {{mathl|term= x_n-y_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Cauchy-Folgen |Kategorie2=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0c7vxm2ov0cmd8809agunl3165h2bd6 0 89770 780741 754856 2022-08-21T19:58:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |a |>|b |>|0 || || |SZ= }} Elemente aus {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|a-b}} + {{op:Bruch|1|a+b}} |\geq| {{op:Bruch|2|a}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4q4rs3qw2lqzs5kc9flmnmv7n4qsvka 0 89840 782996 756756 2022-08-22T02:15:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= u \in \R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |irrationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || {{Mengebed|a+bu|a,b \in \Z }} |\subseteq|\R || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= (\R,0,+)|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass es kein Element {{mathl|term= v \in \R|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || \Z v || {{Mengebed| cv|c \in \Z}} || || |SZ= }} gibt. |Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= G|SZ=}} kein positives minimales Element gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der irrationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=2 |p2=4 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tii8bcas7f8pzxyz33bzbmfq4catutx 0 89842 782997 756757 2022-08-22T02:15:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= u \in \R|SZ=}} und {{mathl|term= v \in \Q|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= u|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |irrational| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= u+v|SZ=}} irrational ist. |Sei zusätzlich {{ Ma:Vergleichskette |v |\neq|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= u|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |irrational| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= u \cdot v|SZ=}} irrational ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der irrationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 37xjdiw78beozmly9pxht0ko3gp1qzw 0 89843 782521 503009 2022-08-22T00:55:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= m \in \N_+|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||0, \overline{0 \ldots 0 1} || || || |SZ= }} die reelle Zahl mit Periodenlänge {{math|term= m|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Periode besteht aus {{mathl|term= m-1|SZ=}} Nullen und einer {{math|term= 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || \sum_{i {{=}} 0}^{m-1} z_i 10^{i} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= z_i \in \{0,1,2 {{kommadots}} 9\} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |xy || 0, \overline{z_{m-1} z_{m-2} \ldots z_1 z_0} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74n4gz0smx67cez4msyywnjxybpk3l0 0 89845 780821 754922 2022-08-21T20:12:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |wachsende| |Kontext=Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nach oben {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkte| |Kontext=Folge ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Folge in {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2nrd11juh3lnw03yhupz4icpn55vgp0 0 89848 780815 754916 2022-08-21T20:11:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Intervallschachtelung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} einen Punkt enthält. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l3qh8y2thbwglqclc4hb5u9xu6vidlv 0 89849 781263 755292 2022-08-21T21:25:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindsche Schnitt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} ein Punktschnitt ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Dedekindschen Schnitte |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0d6e3prflgkcalbqw81ytz6kd231olo 0 89850 780807 754908 2022-08-21T20:09:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruchfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 19ptx4tfo72p9jbl5w7jkwnjjgl4rx3 0 89852 785993 759134 2022-08-22T10:11:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Heinz Ngolo und Mustafa Müller sagen abwechselnd reelle Zahlen auf. Dabei sind die Zahlen von Heinz alle positiv und fallen, die Zahlen von Mustafa sind negativ und wachsen. Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} die dadurch gegebene Folge. {{ Aufzählung2 |Kann {{math|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} gegen eine von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene Zahl {{ Definitionslink |Prämath= |konvergieren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Muss {{math|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} konvergieren? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Heinz Ngolo |Personenkategorie2=Mustafa Müller |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nc19z6ddax8nvcxjkeguxoaloiujxn2 0 89853 781327 755355 2022-08-21T21:36:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne {{ math/disp|term= 3,601473301 ... |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Intervallschachtelung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Intervallen der Länge {{mathl|term= 10,1, {{op:Bruch|1|10}}, {{op:Bruch|1|100}}, {{op:Bruch|1|1000}}, {{op:Bruch|1|10000}}, {{op:Bruch|1|100000}} |SZ=}} und entsprechenden Grenzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0806cpvaywcfe8a3q8hqxo414oghnh9 0 89854 781328 755356 2022-08-21T21:36:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne {{ math/disp|term= -7, 35831149 ... |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Intervallschachtelung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Intervallen der Länge {{mathl|term= 10,1, {{op:Bruch|1|10}}, {{op:Bruch|1|100}}, {{op:Bruch|1|1000}}, {{op:Bruch|1|10000}}, {{op:Bruch|1|100000}} |SZ=}} und entsprechenden Grenzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nq5kxpbcxdzpjegdfbj5l0dtvyxbgva 0 89855 782963 756704 2022-08-22T02:09:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= I=[a,b]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit {{mathl|term= 0 \notin I|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{Mengebed|x\in K| x^{-1} \in [a,b]}} || || || |SZ= }} als ein Intervall. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qj98jqg7zkf3bipgulka2kltx1my51j 0 89857 780736 754851 2022-08-21T19:58:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I ||[a,b] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{{K|K}}} |SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | M || {{Mengebed|x \in {{{K|K}}} | - x \in [a,b]}} || || || |SZ= }} als ein Intervall. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6i2cl32ful84yzg6pa7kv3vze8twc1x 0 89859 781337 604479 2022-08-21T21:38:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} beginnen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || 0{,}24 \ldots || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || 0{,}51 \ldots || || || |SZ=. }} Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe {{mathl|term= x+y|SZ=}} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oniiknchp5zdgpg3dh330kx8k31fzeb 0 89860 781338 604454 2022-08-21T21:38:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} beginnen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || 0{,}24719113 \dotso || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || 0{,}60421809 \dotso || || || |SZ=. }} Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe {{mathl|term= x+y|SZ=}} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8n7qunt4gzbuiv4r6508cvpd4e9ho0w 0 89861 781339 604447 2022-08-21T21:38:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} beginnen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || 0{,}523\,107\,34\dotso || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || 0{,}346\,892\,65\dotso || || || }} Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe {{mathl|term= x+y|SZ=}} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ge1g0cv0m3645hh6wxp62utzwlhej9z 0 89862 781335 503669 2022-08-21T21:37:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} beginnen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || 0,3 \ldots || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || 0,3 \ldots || || || |SZ=. }} Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes {{mathl|term= x \cdot y|SZ=}} sagen? Was kann man über die erste Nachkommaziffer des Produktes sagen, wenn die zweite Nachkommaziffer gleich {{math|term= 5|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fzpma2gja5908hrnje4fvxjtgpex6du 0 89863 781336 604450 2022-08-21T21:38:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} beginnen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || 0{,}536\,080\,713\dotso || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || 0{,}663\,184\,254\dotso || || || }} Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes {{mathl|term= x \cdot y|SZ=}} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sh1st5bft3ljlav0qndtrpkbnfkjg4k 0 89880 781329 604449 2022-08-21T21:36:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine reelle Zahl {{math|term= x|SZ=}} besitze die Ziffernentwicklung {{ math/disp|term= 0{,}523 \dotso |SZ= }} im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von {{math|term= 1/x|SZ=}} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1j2v2ayzw6i0afb5offlzg4y9tzh50g 0 89882 781330 503121 2022-08-21T21:37:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine reelle Zahl {{math|term= x|SZ=}} besitze die Ziffernentwicklung {{ math/disp|term= 0,3715 \ldots |SZ= }} im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von {{math|term= 1/x|SZ=}} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e5kuebwz4xnyu56ip98so5v4itfuk3r 0 89883 781331 503122 2022-08-21T21:37:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine reelle Zahl {{math|term= x|SZ=}} besitze die Ziffernentwicklung {{ math/disp|term= 2,1278 \ldots |SZ= }} im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von {{math|term= 1/x|SZ=}} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 443f8df1vkzze9v9x7bbfmw5urtu0sp 0 89884 785612 503126 2022-08-22T09:08:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Lösungsmenge des Ungleichungssystems {{ Ma:Vergleichskette/disp |4x |\geq|3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |6x |\leq| 11 || || || |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eu7prezxsvgpryi8iou3uro4680uwma 0 89885 785613 503127 2022-08-22T09:08:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Lösungsmenge des Ungleichungssystems {{ Ma:Vergleichskette/disp |3x |\geq|-8 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |7 x |\leq| 10 || || || |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bi6ddfalusn7ln1xbhej81w0aughkn 0 89908 781332 604475 2022-08-21T21:37:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine reelle Zahl {{math|term= x|SZ=}} besitze die Ziffernentwicklung {{ math/disp|term= 0{,}101001000100001000001 \ldots |SZ= }} im Dezimalsystem, die angedeutete Regelmäßigkeit gelte für die gesamte Entwicklung. Bestimme{{n Sie}} die Ziffernentwicklung von {{math|term= 1/x|SZ=}} bis zur vierten Nachkommastelle. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7psb2t5haq0tknb29az6tkxepcxgnxu 0 89931 780746 754861 2022-08-21T19:59:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=Folge ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lxvml6sbubmxbx2u5h4zwdpffvokn7i 0 89940 781334 503368 2022-08-21T21:37:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu den reellen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt, {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || z_0,z_1 \ldots z_k \overline{ z_{k+1} \ldots z_{k+r} } || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || w_0, w_1 \ldots w_\ell \overline{ w_{\ell+1} \ldots z_{\ell+s} } || || |SZ=. }} Was kann man über die Periodenlänge der Summe {{mathl|term= x+y|SZ=}} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8r725x8aoqwl8l7a5748zlo25q80ivr 0 89941 781333 503369 2022-08-21T21:37:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu den reellen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt, {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || z_0,z_1 \ldots z_k \overline{ z_{k+1} \ldots z_{k+r} } || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || w_0, w_1 \ldots w_\ell \overline{ w_{\ell+1} \ldots z_{\ell+s} } || || |SZ=. }} Was kann man über die Periodenlänge des Produktes {{mathl|term= x \cdot y|SZ=}} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvm0rm659lzl5licjak5uplodcwjhks 0 89957 781326 604439 2022-08-21T21:36:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu den reellen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt, {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || z_0{,}\overline{ z_{1} \ldots z_{m} } || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || w_0{,}\overline{ w_{1} \ldots w_{m} } || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Summe {{mathl|term= x + y|SZ=}} ebenfalls eine {{ Zusatz/Klammer |text=nicht unbedingt minimale| |ISZ=|ESZ= }} Periode der Länge {{math|term= m|SZ=}} besitzt. {{ManSie|Erläutere|Erläutern Sie}}, wie sich die Periode der Summe aus den beiden einzelnen Perioden ergibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} juzqwl8m2qoeu89e7img4l4bq8t31dp 0 89963 781320 604496 2022-08-21T21:35:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die beiden reellen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} besitzen die Dezimalentwicklungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||0{,}2 \overline{13} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y ||0{,}\overline{127} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Dezimalentwicklung von {{mathl|term= x+y|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kdn0tfrt4cdz86dqo7dofp9ktzhexj2 0 90007 782981 756720 2022-08-22T02:12:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I_n ||[a_n,b_n] || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Intervallschachtelung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= x|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |J_n ||[c_n,d_n] || || || |SZ= }} eine Intervallschachtelung für {{math|term= y|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} eine Intervallschachtelung für {{mathl|term= x+y|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e7654s02kqp1unx2k4waju4k4tz1pqr 0 90008 782979 756718 2022-08-22T02:12:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I_n ||[a_n,b_n] || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Intervallschachtelung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= x|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |J_n ||[c_n,d_n] || || || |SZ= }} eine Intervallschachtelung für {{math|term= y|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} eine Intervallschachtelung für {{mathl|term= x \cdot y|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gplt858m8iweh12rnenl5dcib55cgvy 0 90010 782131 503455 2022-08-21T23:50:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} für die Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || {{makl| 1+ {{op:Bruch|1|n}} |}}^n || || || |SZ= }} die ersten vier Glieder als Bruch. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal {{mathl|term= {{op:Bruch|1|1000}} |SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die eulersche Zahl |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5cw6t0m862dvy1win5743a6youe8dal 0 90011 782128 503456 2022-08-21T23:50:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} für die Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || \sum_{k {{=}} 0}^n {{op:Bruch|1|k!}} || || || |SZ= }} die Glieder bis {{mathl|term= x_5|SZ=}} als Bruch. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10000}} |SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die eulersche Zahl |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} humjptp6lmw3jbwc713hzihmda6125v 0 90027 780737 754852 2022-08-21T19:58:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= [a,b]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem angeordneten Körper {{math|term= K|SZ=}} und es seien {{mathl|term= x,y \in [a,b]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|y-x|}} |\leq| b-a || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervalle in einem angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ikqffslwh4rdf25tldxrpscxctlkqu 0 90033 781090 755152 2022-08-21T20:57:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |Binomialkoeffizienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Binom|n|k}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Binom|n|k+1}} |SZ=}} der Zusammenhang {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Binom|n|k+1}} ||{{op:Binom|n|k}} \cdot {{op:Bruch|n-k|k+1}} || || || |SZ= }} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzh7y7ey1nzebyvyl43djkdfq5bporn 0 90035 781086 755149 2022-08-21T20:56:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= n \in \N|SZ=}} fixiert. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Binomialkoeffizienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Binom|n|k}} |SZ=}} für {{mathl|term= k=0,1 {{kommadots}} {{op:Bruch|n|2}} |SZ=}} bzw. bis {{mathl|term= {{op:Bruch|n-1|2}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |wachsend| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2yc55lw2i9wdhigcspa6kygce6fnkp2 0 90038 782784 756551 2022-08-22T01:39:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Glieder {{math|term= x_1,x_2|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{3}|SZ=}} mit dem Startglied {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_0 ||1 || || || |SZ=. }} |Finde{{n Sie}} ganze Zahlen {{ Ma:Vergleichskette/disp |a,b |\neq|0 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|a+b \sqrt{3} |}} |\leq| {{op:Bruch|1|10}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untergruppen der reellen Zahlen |Kategorie2=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie3=Das Heron-Verfahren |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} knag3x86g8w0qb6cwox8r14rsorrrnq 0 90041 785958 503540 2022-08-22T10:06:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt {{math|term= c|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2=Rechtecksgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ikq0xvwiknr15e8b4lcg6mjnt2tu2sn 0 90046 785959 503546 2022-08-22T10:06:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang {{math|term= d|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2=Rechtecksgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p9e7yxfsckdvd64pnbyhmsmhaoya17n 0 90052 786021 503561 2022-08-22T10:16:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Hintereinanderschaltung {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} von stetigen Funktionen {{ Ma:abb |name=f,g |\R|\R || |SZ= }} wieder stetig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gke4i93ntbhtm256kd9vhulm522d86t 0 90089 784983 758404 2022-08-22T07:29:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= f=a+bX+cX^2 |SZ= }} mit {{math|term= a,b,c \in \R|SZ=}} derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden. {{ math/disp|term= f(-1) =4,\, f(1) = 0,\, f(2) = -7 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lozx5al2atif0cijdyxhd1zuk6ry0gd 0 90094 780641 590535 2022-08-21T19:42:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Forme{{n Sie}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^3-7x^2+3x+4 || 0 || || || |SZ= }} in eine äquivalente Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^3 +b_1 y + b_0 || 0 || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= b_i \in \Q|SZ=}} um. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Eliminiere |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} crwpxhwq7tdhx5245b6obqduk6385d7 0 90098 786456 578138 2022-08-22T11:28:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= d \in \R|SZ=.}} Finde{{n Sie}} ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^2 - (d+1)x+ d || 0 || || || |SZ= }} mit Hilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Vieta|Faktseitenname= Quadratische Gleichung/Satz von Vieta/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ykck0f5wma8wli22weapeuqcv6zibs 0 90099 785737 578127 2022-08-22T09:29:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Umkehrung des Satzes von Vieta: Wenn eine normierte quadratische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^2+pX+q ||0 || || || |SZ= }} gegeben ist und wenn {{math|term= r,s \in \R|SZ=}} Zahlen sind mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |r+s ||-p || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |rs ||q || || || |SZ=, }} so sind {{ mathkor|term1= r |und|term2= s |SZ= }} die Lösungen der Gleichung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gd1q2m93fnx766kytop07jqddc6sqht 0 90126 785214 758554 2022-08-22T08:04:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Polynom {{ math/disp|term= ( 3X^2-5X+4) \cdot ( X^3-6 X^2+1 ) - (4X^3+2X^2-2X+3) \cdot (-2X^2-5X) |SZ= }} im {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Q[X]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 04uwjg758tmzs0jbv2lrd6opxzc6m6t 0 90127 785231 758565 2022-08-22T08:06:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Produkt {{ math/disp|term= ( X^6+X^3+X^2+X+1) \cdot (X^5+ X^4+ X^2+1 ) |SZ= }} im {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|2}}[X]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} huv8mwjm7viy2xfs706iwihbykadu2p 0 90128 785230 758564 2022-08-22T08:06:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das Polynom {{ math/disp|term= ( 3X^4+4X+5) \cdot ( 2X^4+7X^3 +10 X^2+6X+8 ) + 3X^2 \cdot (4X^2+5) |SZ= }} im {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|11}}[X]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} igen6forapknzfl3trelod3arytu5g4 0 90129 785211 758552 2022-08-22T08:03:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Berechne{{n Sie}} das Produkt {{ math/disp|term= {{makl| 2-3X+X^2 |}} \cdot {{makl| -5+4X-3 X^2 |}} |SZ= }} im {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Q[X]|SZ=.}} |Berechne{{n Sie}} das Produkt {{ math/disp|term= {{makl| 2-3 \sqrt{2} +\sqrt{2}^2 |}} \cdot {{makl| -5+4\sqrt{2}-3 \sqrt{2}^2 |}} |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} auf zwei verschiedene Arten. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m322h41zvbmtjn0b44k450lmyzfv5ko 0 90136 785652 578125 2022-08-22T09:15:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die quadratische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |3x^2-6x+2 || 0 || || || |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s6njw34vghdnpcx52vk084gxgbt0gbg 0 90137 785656 504120 2022-08-22T09:15:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die quadratische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |4 x^2+ 5 x+2 || 0 || || || |SZ= }} über {{math|term= {{op:Zmod|7|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 7 |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hd2qdgiemnj62x5iiu11txc1wrft7ug 0 90138 785655 504121 2022-08-22T09:15:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die quadratische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |2 x^2+ 3 x+ 3 || 0 || || || |SZ= }} über {{math|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 5 |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ghmydllsuwv8ldyjn9d5xtmcoo2yw8 0 90141 781121 505721 2022-08-21T21:02:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die biquadratische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |x^4 +7x^2-11 || 0 || || || |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o16bj7bh64w7qsvqzp7p57q6hbq9h1p 0 90166 784968 504243 2022-08-22T07:27:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||7X^{11}-3X^8+ {{op:Bruch|3|2}} X^6 -X +5 || || || |SZ= }} den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu {{math|term= X^5|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 82ezmxl2w175otjkmjyss4dba75dijy 0 90167 784969 504245 2022-08-22T07:27:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||-6 X^{9}-5X^8 -4X^7+ {{op:Bruch|1|9}} X^6 + X^2 +X || || || |SZ= }} den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu {{math|term= X^6|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c0i9lgz8034n4fggvoffbdwwx7sa937 0 90206 781306 504327 2022-08-21T21:33:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Aussage, dass eine Dezimalbruchfolge in einem archimedisch angeordneten Körper {{math|term= K|SZ=}} eine Cauchy-Folge ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g54oglu04r7342ckufktqjff1qbk9s2 0 90235 783282 504386 2022-08-22T03:02:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe {{math|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} zu einem Ideal {{ Ma:Vergleichskette |{{ideala}} | \subseteq|R || || || |SZ= }} in einem kommutativen Ring {{math|term= R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8z2eebutmyvqcjylv7oddvho474g9fk 0 90242 786097 507703 2022-08-22T10:29:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion {{ Ma:abb |name=f |I|\R || |SZ=, }} zu einem Intervall {{math|term= I\subseteq \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 95figjb1z3af44sxmc9y0m4ksy9dl5g 0 90246 785212 758553 2022-08-22T08:04:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Berechne{{n Sie}} das Produkt {{ math/disp|term= {{makl| 1-{{op:Bruch|5|3}} X+ {{op:Bruch|1|2}} X^2 |}} \cdot {{makl| 2-{{op:Bruch|3|4}} X+ {{op:Bruch|1|3}} X^2 -X^3 |}} |SZ= }} im {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Q[X]|SZ=.}} |Berechne{{n Sie}} das Produkt {{ math/disp|term= {{makl| 1-{{op:Bruch|5|3}} \sqrt{5} + {{op:Bruch|1|2}} \sqrt{5}^2 |}} \cdot {{makl| 2-{{op:Bruch|3|4}} \sqrt{5}+ {{op:Bruch|1|3}} \sqrt{5}^2 -\sqrt{5}^3 |}} |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} auf zwei verschiedene Arten. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3t91ip4lcpteyz5vdn8iep6ij15ibta 0 90276 781490 504511 2022-08-21T22:03:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Vergleiche die Division mit Rest in {{math|term= \Z|SZ=}} und in {{mathl|term= K[X]|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= K|SZ=}} ein Körper| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Bereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1w5q3nznnljkidlfdivrgc3arc4j64l 0 90361 785083 758464 2022-08-22T07:44:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= P= \sum_{k=0}^d a_k x^k \in \R[X]|SZ=}} ein Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |gerade Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert, wenn {{mathl|term= a_k=0|SZ=}} für alle ungeraden Indizes ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie2=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gdqepaq8qduuc5e6wqo08n8uaqt1y7g 0 90362 785084 758465 2022-08-22T07:45:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= P= \sum_{k=0}^d a_k x^k \in \R[X]|SZ=}} ein Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |ungerade Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert, wenn {{mathl|term= a_k=0|SZ=}} für alle geraden Indizes ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie2=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ras5tberrzmypjfbomlst2zrraetar 0 90363 782338 756179 2022-08-22T00:25:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine Funktion. Woran erkennt man am {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=,}} ob {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |gerade Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ls1himckgz14qghvb1x1izkch2ne1j7 0 90364 782339 756181 2022-08-22T00:25:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine Funktion. Woran erkennt man am {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=,}} ob {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |ungerade Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dk5115k8tqk14ou9dh4ldai10o6h4rl 0 90369 784990 504873 2022-08-22T07:30:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} ein Polynom {{mathl|term= f \in \R[X]|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |f(0) ||0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |f(1) ||1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |f(-1) ||1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f(3) ||9 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1uxuphoztt4fgfeqdq4vtphb65h4z7t 0 90371 784987 758408 2022-08-22T07:30:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f|SZ=}} vom Grad {{mathl|term= \leq 2|SZ=,}} für welches {{ math/disp|term= f(1) =10 ,\, f(-2) = 1,\, f(3) = 16 |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a6srj04yq0bwix9dbb10znnv04g5vh8 0 90376 784989 737144 2022-08-22T07:30:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| \R[X] || || || |SZ= }} ein Polynom vom Grad {{ Ma:Vergleichskette | d |\geq| 1 || || || |SZ=. }} {{ Ma:Vergleichskette |P |\neq|X || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} maximal {{math|term= d|SZ=}} {{ Definitionslink |Fixpunkte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fixpunkte von stetigen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Fixpunkt |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} euav4a17mg8k7optyuewo1ylchf1z8w 0 90385 783577 504919 2022-08-22T03:51:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||X^3-X^2-5X+6 || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Finde{{n Sie}} eine ganzzahlige Nullstelle von {{math|term= P|SZ=.}} |Finde{{n Sie}} sämtliche reellen Nullstellen von {{math|term= P|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} eine Zerlegung von {{math|term= P|SZ=}} in Linearfaktoren. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über R |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=4 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pw1gkg3wfemtbq3jwhi8ivdckak4xni 0 90388 783578 670740 2022-08-22T03:52:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||X^3+bX^2+cX+d || || || |SZ= }} ein normiertes Polynom über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= u,v,w |SZ=}} drei {{ Zusatz/Klammer |text=verschiedene| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen aus {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von {{math|term= P|SZ=}} sind, wenn sie das Gleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette/disp | uvw ||-d || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | uv+uw+vw ||c || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | u+v+w ||-b || || || |SZ=, }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bm8gpskixnffylliv37w71z1tjvm042 0 90415 782778 504960 2022-08-22T01:38:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} von Hand die Approximationen {{math|term= x_1,x_2,x_3|SZ=}} im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von {{math|term= 5|SZ=}} zum Startwert {{math|term= x_0=2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} plkbi93rlqq5xnm67wyihf7ckna8h9u 0 90430 780987 505248 2022-08-21T20:39:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte {{math|term= 100|SZ=}} Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen {{math|term= 99|SZ=}} und {{math|term= 101|SZ=}} Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Bauer Ernst |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j9qdtk1wzebukjfi8wb7r2sag2icrhv 0 90435 779779 751838 2022-08-21T17:20:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine konstante Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|c |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=\R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon|SZ=}} kann man hier ein beliebiges {{math|term= \delta|SZ=}} wählen, da ja ohnehin {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(f(x),f(x')) || d(c,c) ||0 |\leq|\epsilon || |SZ= }} gilt. Eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|cx |SZ=, }} mit einem Proportionalitätsfaktor {{ Ma:Vergleichskette |c |\neq|0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Ma:Vergleichskette/k |c ||0 || || || |SZ= }} ist die Funktion konstant und somit auch stetig| |ISZ=|ESZ= }} ist ebenfalls {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=\R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon |SZ=}} kann man unabhängig vom Punkt {{math|term= x|SZ=}} hier {{ Ma:Vergleichskette | \delta || {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag|c|}} }} || || || |SZ= }} wählen: Wenn nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(x,x') |\leq| \delta || {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag|c|}} }} || || || |SZ= }} gilt, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(f(x),f(x')) || d(cx,cx') || {{op:Betrag|c|}} d(x,x') |\leq| {{op:Betrag|c|}} \cdot \delta || {{op:Betrag|c|}} \cdot {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag|c|}} }} || \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Objektkategorie2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvlc0wk06dx8qn3fqveby0j8l7apx0q 0 90451 784702 505056 2022-08-22T06:47:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|x^3+4x^2-x +3 |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}}, ausgehend vom Intervall {{mathl|term= [-5,-4]|SZ=,}} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge {{mathl|term= 1/8|SZ=,}} in dem eine Nullstelle von {{math|term= f|SZ=}} liegen muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5xrcfqv95i3ic8k50jb6x8iw2p8tz0t 0 90483 784269 757906 2022-08-22T05:47:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sqrt{3} + \sqrt{7} |SZ=}} über {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie3=Theorie der reell-algebraischen Zahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n64yz13f10yubmllgnb0chcs8v9rjf5 0 90484 784270 505116 2022-08-22T05:47:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die reelle Zahl {{mathl|term= \sqrt{3} + \sqrt{7} |SZ=}} eine Nullstelle des Polynoms {{mathl|term= X^4-20X^ 2+16 |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie3=Theorie der reell-algebraischen Zahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s4dgzerpoidxd6zs8pazysfyv9y10on 0 90487 785922 577092 2022-08-22T10:00:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c,d \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:min|{{op:Bruch|a|b}} |{{op:Bruch|c|d}} }} | \leq | {{op:Bruch|a+c|b+d}} | \leq| {{op:max|{{op:Bruch|a|b}} |{{op:Bruch|c|d}} }} || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mediant-Addition rationaler Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} llljvrd5qs9nrl4u44ir2l6dqo9dj3p 0 90492 785925 759075 2022-08-22T10:00:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |z || {{op:Bruch|a|b}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass es ein normiertes Polynom {{mathl|term= P \in \Q[X]|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(z) ||0 || || || |SZ= }} gibt. |Zeige{{n Sie}}, dass es ein Polynom {{mathl|term= Q \in \Q[X]|SZ=}} mit ganzzahligen Koeffizienten und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q(z) ||0 || || || |SZ= }} gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 683ub872cx8eu4satghw88ensv3uwlk 0 90494 785970 505143 2022-08-22T10:08:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= z \in \R|SZ=}} eine reelle Zahl. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Es gibt ein Polynom {{ mathbed|term= P \in \R[X] ||bedterm1= P \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} mit ganzzahligen Koeffizienten und mit {{ Ma:Vergleichskette |P(z) ||0 || || || |SZ=. }} |Es gibt ein Polynom {{ mathbed|term= Q \in \Q[X] ||bedterm1= Q \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette |Q(z) ||0 || || || |SZ=. }} |Es gibt ein normiertes Polynom {{mathl|term= R \in \Q[X] |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |R(z) ||0 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reell-algebraischen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ijyin5j2y1um5qrc7c8wrl3qytryqr 0 90496 785971 507170 2022-08-22T10:08:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= z \in \R|SZ=}} derart, dass es ein Polynom {{math|term= P \neq 0|SZ=}} mit rationalen Koeffizienten und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(z) ||0 || || || |SZ= }} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass man {{ Ma:Vergleichskette/disp |z || {{op:Bruch|u|v}} || || || |SZ= }} schreiben kann, wobei {{math|term= v|SZ=}} eine positive natürliche Zahl ist und es zu {{math|term= u|SZ=}} ein normiertes Polynom {{math|term= Q|SZ=}} mit ganzzahligen Koeffizienten und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q(u) ||0 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reell-algebraischen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ez6kyzjdu01lz3464igsb15fbvu2wj 0 90498 779124 763248 2022-08-21T15:39:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{a,b,c,d\} || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrscheinlichkeitsdichte| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= f(a) = {{op:Bruch|1|12}} ,\, f(b) = {{op:Bruch|1|6}} = {{op:Bruch|2|12}} ,\, f(c) = {{op:Bruch|1|4}} = {{op:Bruch|3|12}} ,\, f(d) = {{op:Bruch|1|2}} = {{op:Bruch|6|12}} |SZ=. }} Es gibt {{math|term= 16|SZ=}} Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses {{mathl|term= \{b,c\}|SZ=}} ist beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu_f (\{b,c\}) || f(b) +f(c) || {{op:Bruch|2|12}} + {{op:Bruch|3|12}} || {{op:Bruch|5|12}} |SZ=, }} die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses {{mathl|term= \{a,b,d\}|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu_f (\{a,b,d\}) ||f(a)+ f(b) + f(d) || {{op:Bruch|1|12}} + {{op:Bruch|2|12}} + {{op:Bruch|6|12}} || {{op:Bruch|9|12}} || {{op:Bruch|3|4}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7abj5e6gd98zacvdvpz8gvm9wtfy25r 0 90500 781994 755887 2022-08-21T23:27:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \{ a,b,c,d\}|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrscheinlichkeitsdichte| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= f(a) = {{op:Bruch|1|20}} ,\, f(b) = {{op:Bruch|1|5}} = {{op:Bruch|4|20}} ,\, f(c) = {{op:Bruch|1|4}} = {{op:Bruch|5|20}} ,\, f(d) = {{op:Bruch|1|2}} = {{op:Bruch|10|20}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= \{b,c\}|SZ=,}} |{{mathl|term= \{a,b,c\}|SZ=,}} |{{mathl|term= \{a,b,d\}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} datlm7rszaabsdxmqc2tvwi9wej8vt4 0 90502 781993 755886 2022-08-21T23:27:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \{ a,b,c,d,e\}|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrscheinlichkeitsdichte| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= f(a) = {{op:Bruch|1|100}} ,\, f(b) = {{op:Bruch|1|25}} = {{op:Bruch|4|100}} ,\, f(c) = {{op:Bruch|1|5}} = {{op:Bruch|20|100}} ,\, f(d) = {{op:Bruch|1|4}} = {{op:Bruch|25|100}},\, f(e) = {{op:Bruch|1|2}} = {{op:Bruch|50|100}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: {{ Aufzählung4 |{{mathl|term= \{a, e\}|SZ=,}} |{{mathl|term= \{b,c,e\}|SZ=,}} |{{mathl|term= \{a, c,d\}|SZ=,}} |{{mathl|term= \{a,b,d,e\}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i4x9di827cbu4uou2ma97o7vwhvwzh9 0 90503 781995 755888 2022-08-21T23:28:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term=\{ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k \}|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrscheinlichkeitsdichte| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \psi (a) = {{op:Bruch|1|945}} ,\, \psi (b) = {{op:Bruch|1|105}} = {{op:Bruch|9|945}} ,\, \psi (c) = {{op:Bruch|1|45 }} = {{op:Bruch|21|945}} ,\, \psi (d) = {{op:Bruch|1|35 }} = {{op:Bruch|27|945}} |SZ=, }} {{ math/disp|term= \psi (e) = {{op:Bruch|1|27 }} = {{op:Bruch|35|945}} ,\, \psi(f) = {{op:Bruch|1|21}} = {{op:Bruch|45|945}} ,\, \psi(g) = {{op:Bruch|1|15 }} = {{op:Bruch|63|945}} ,\, \psi(h) = {{op:Bruch|1|9 }} = {{op:Bruch|105|945}} |SZ=, }} {{ math/disp|term= \psi(i) = {{op:Bruch|1|7 }} = {{op:Bruch|135|945}} ,\, \psi(j) = {{op:Bruch|1|5 }} = {{op:Bruch|189|945}} ,\, \psi(k) = {{op:Bruch|1|3 }} = {{op:Bruch|315|945}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: {{ Aufzählung6 |{{mathl|term= \{a,f,j \}|SZ=,}} |{{mathl|term= \{b,c,h,i,k \}|SZ=,}} |{{mathl|term= \{a,c,d,g,i,k \}|SZ=,}} |{{mathl|term= \{a,b,d,e,f,g \}|SZ=,}} |{{mathl|term= \{c,d,e,g,h,i,k \}|SZ=,}} |{{mathl|term= \{a,b,c,d,f,g,h,j,k \}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ed1ij1m10tvpoffhll308fhrykir60b 0 90508 783742 592226 2022-08-22T04:19:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In der Klasse von Frau Maier-Sengupta gibt es {{math|term= 30|SZ=}} Schüler(in{{latextrenn|}}nen). An jedem Tag kontrolliert sie von drei Schülern die Hausaufgaben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von Mustafa Müller heute die Hausaufgaben kontrolliert werden? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3hm80k6v5qo090riypb8zdf2dg1ybag 0 90593 786505 505440 2022-08-22T11:36:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Schüler fragt: {{Anführung|Ist {{mathl|term= \sqrt{2} + \sqrt{5}|SZ=}} auch die Quadratwurzel aus irgendeiner Zahl?}} {{ Aufzählung3 |Was ist Ihre Antwort? |Könnte die Frage anders gemeint gewesen sein? |Was wäre in diesem Fall Ihre Antwort? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kazkrsf8g5qk31ioml21hw1lvxhef60 0 90594 782160 505522 2022-08-21T23:55:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{n Sie}}{{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Exponentialreihe {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) || \sum_{k {{=}} 0}^\infty {{op:Bruch|x^k|k!}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Ableitung von {{math|term= f|SZ=}} mit {{math|term= f|SZ=}} übereinstimmt. Verwende{{n Sie}} dabei, dass in diesem Fall die Ableitung einer unendlichen Summe von Polynomen gleich der Summe der einzelnen Ableitungen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialreihe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1gsljvdp1hqim1ushdfj5pfups7rccv 0 90595 785591 758836 2022-08-22T09:04:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\Q|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |monotone| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=g |\R|\R || |SZ= }} die dazu in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Q nach R/Monoton wachsend/Limes von unten/Fortsetzung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} definierte Funktion. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= g|SZ=}} auf {{math|term= \Q|SZ=}} nicht unbedingt mit {{math|term= f|SZ=}} übereinstimmen muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ujzb5bqoxue3dn5npkt4b6ui6itmq1 0 90596 785592 758837 2022-08-22T09:05:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\Q|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |monotone| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=g |\R|\R || |SZ= }} die dazu in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Q nach R/Monoton wachsend/Limes von unten/Fortsetzung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} definierte Funktion. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= g|SZ=}} ebenfalls monoton ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8eyftqve7wgjnujqma6623z7irrkw4k 0 90597 785593 758838 2022-08-22T09:05:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\Q|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |monotone| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=g |\R|\R || |SZ= }} die dazu in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Q nach R/Monoton wachsend/Limes von unten/Fortsetzung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} definierte Funktion. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= g|SZ=}} auf {{math|term= \Q|SZ=}} mit {{math|term= f|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monotonen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rexgbjvae76ctbqlq2ebsldumuqwd97 0 90599 785248 505553 2022-08-22T08:08:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= 3^{ {{op:Bruch|4|5}} } |SZ= }} bis auf einen Fehler von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 316nb7d0c6ogwa7klxue5vk0pzxxe59 0 90606 785247 505552 2022-08-22T08:08:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= 2^{ {{op:Bruch|9|10}} } |SZ= }} bis auf einen Fehler von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ay597k69jeyvz0be9jvsq3zf8opybd 0 90607 782144 756017 2022-08-21T23:52:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{math|term= e^3|SZ=}} mit Hilfe der {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bis auf einen Fehler von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|1000}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialreihe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n9vv0bw9gx5lbvhhpy61hy4j4dnrqs1 0 90608 785253 505545 2022-08-22T08:09:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= \sqrt{2}^{ \sqrt{3} } |SZ= }} bis auf einen Fehler von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m08ikxqiknsukwt8memd7kscs8afwh7 0 90609 782154 505546 2022-08-21T23:54:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} die Graphen zu den Funktionen {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_k(x) || \sum_{k {{=}} 0}^n {{op:Bruch|x^k|k!}} || || || |SZ= }} für {{mathl|term= n=2,3,4,5, 6 |SZ=}} auf {{mathl|term= [-3,3]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialreihe |Kategorie2=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 075wnruuyts095qjp8jpwc0ulcuqfis 0 90615 785595 758841 2022-08-22T09:05:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |(\Q,+,0)|(\R_+, \cdot,1) || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein reelles {{mathl|term= b>0|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |f(x) ||b^x || || || |SZ= }} für alle {{math|term= x \in \Q|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q4pnzh9wcamq7p512rz4n1nmufjgv4z 0 90622 785250 505580 2022-08-22T08:09:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= 5^{ {{op:Bruch|2|3}} } |SZ= }} bis auf einen Fehler von {{mathl|term= 1 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h8x67epey9tvu1xiorpg9ngqe07zepi 0 90623 785249 505584 2022-08-22T08:09:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= 5^{ {{op:Bruch|2|3}} } |SZ= }} bis auf einen Fehler von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aj75ncd7w58acdsrli7ovcmdnnibi3q 0 90630 785862 759026 2022-08-22T09:50:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=Basis Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\Q |\R |q|b^q |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 59m509vqyc3fszpwa4hrplb9rtuyuj6 0 90633 785990 759131 2022-08-22T10:11:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=Basis R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R |\R |x|b^x |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= 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|Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aefkhuxe6d5u3o2qi8eu3u87rnvpkz6 0 90646 783488 505725 2022-08-22T03:37:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || {{op:Bruch|1|24}} X^4 - {{op:Bruch|1|2}} X^2+1 || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die kleinste positive Nullstelle von {{math|term= P|SZ=.}} |Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und {{math|term= {{op:Bruch|\pi|2}}|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Gleichungen |Kategorie2=Theorie der trigonometrischen Reihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=3 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4kortel4yla881hcz5ze0dkh2z6teub 0 90649 786541 593790 2022-08-22T11:42:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:sin|x|}} |\leq|x || || || |SZ= }} für {{mathl|term= x \in \R_{\geq 0} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 23i1fmpglq5lugkrh76wbzhu1gd975m 0 90653 785014 505743 2022-08-22T07:34:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) || 2x^3-4x+5 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für alle {{mathl|term= x \in \R|SZ=}} die folgende Beziehung gilt: Wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x-3|}} | \leq| {{op:Bruch|1|800}} || || || |SZ=, }} dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|f(x)-f(3)|}} |\leq| {{op:Bruch|1|10}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hf3e5twgsmuq5qrmufka1znpz0u8hbf 0 90664 786478 505761 2022-08-22T11:32:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden {{math|term= G|SZ=}} und des Kreises {{math|term= K|SZ=,}} wobei {{math|term= G|SZ=}} durch die Gleichung {{mathl|term= 3y-4x+2=0|SZ=}} und {{math|term= K|SZ=}} durch den Mittelpunkt {{math|term= (2,5)|SZ=}} und den Radius {{math|term= 7|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Kreisgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Schnittpunkt |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tt0t77vzn1k8is7qtrgnlj0tcolhqw3 0 90668 782271 756126 2022-08-22T00:14:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob die {{Definitionslink |Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname=/Definition|Refname= {{{def|}}} |SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n | {{defeq|}}| {{op:Bruch|5 {{op:sin|n|pot=3}} -6n^4 +13 n^2+ {{makl| {{op:sin|n|}} |}} {{makl| {{op:cos(|n^2|}} |}} |7 n^4 -5n^3 +n^ 2 {{op:sin(|n^3|pot=2}} - {{op:cos|n|}} }} || || || |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=reelle Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} und bestimme{{n Sie}} gegebenenfalls den {{Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=reelle Folge| |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3wu55kuak9o8slq0sn92q0kh7s3m7ao 0 90670 785837 759001 2022-08-22T09:45:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |{\mathcal D} || {{Mengebed| D(\alpha)|\alpha \in \R}} || || || |SZ= }} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Drehmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung. {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= ({\mathcal D}, \circ, E_2)|SZ=}} eine Gruppe ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R| {\mathcal D} |\alpha| D(\alpha) |SZ=, }} ein surjektiver {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= 2 \pi \Z |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung {{mathl|term= \alpha \mapsto D(\alpha) |SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}} die Gruppenisomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp |\R/2 \pi \Z |\cong| {\mathcal D} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Drehungen |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8e1jst2qkvwmfgbqe03fvooy68kk5yq 0 90675 785989 759130 2022-08-22T10:11:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|b^x |SZ=, }} die zugehörige {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=allg R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| b^{x} |}}^{x'} || b^{x x'} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x,x' \in \R|SZ=}} unter Bezug auf die entsprechende Gleichung für rationale Argumente. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 843lq80hta0jastiuy41u4qzc4yzs3t 0 90682 778487 762429 2022-08-21T12:10:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} genügt es, die Aussage für den Sinus zu zeigen. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit des Sinus im Nullpunkt. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Sinus/Kleiner x/Begründung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| {{op:sin|x|}} |}} |\leq| {{op:Betrag|x|}} || || || |SZ=. }} Daraus folgt direkt die Stetigkeit im Nullpunkt. Aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/2/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} folgt daraus auch die Stetigkeit des Kosinus im Nullpunkt. Zum Nachweis der Stetigkeit des Sinus in einem beliebigen Punkt {{math|term= x \in \R|SZ=}} verwenden wir {{ Faktlink |Präwort=das|Folgenkriterium|Faktseitenname= Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es sei also {{math|term= x_n|SZ=}} eine gegen {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die wir als {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n ||x+z_n || || || |SZ= }} mit einer Nullfolge {{math|term= z_n|SZ=}} schreiben. Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Additionstheorems für den Sinus|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Reell/Additionstheoreme/Drehung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:sin(|x+z_n|}} || {{op:sin|x|}} \cdot {{op:cos|z_n|}} + {{op:cos|x|}} \cdot {{op:sin|z_n|}} || || || |SZ=. }} Aufgrund der Vorüberlegung und {{ Faktlink |Präwort=den|Rechenregeln|Faktseitenname= Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für konvergente Folgen konvergiert dieser Ausdruck gegen {{mathl|term= {{op:sin|x|}} |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gncdx7212u2dllehyakr24369g8mbu7 0 90697 779451 506880 2022-08-21T16:30:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Ziehung der Lottozahlen. Sind die Ereignisse, dass zwei bestimmte Zahlen gezogen werden, unabhängig voneinander? Dazu müssen wir die relevanten Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl, sagen wir die {{math|term= 17|SZ=}} gezogen wird, ist {{mathl|term= {{op:Bruch|6|49}}|SZ=.}} Dies ergibt sich beispielsweise aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Binom|48|5}} | {{op:Binom|49|6}} }} || {{op:Bruch| {{op:Bruch|48 \cdot 47 \cdots 44|5 \cdot 4 \cdots 1}} | {{op:Bruch|49 \cdot 48 \cdots 44|6 \cdot 5 \cdots 1}} }} || {{op:Bruch|6|49}} || || |SZ=. }} Diese Wahrscheinlichkeit ist für jede Zahl gleich. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen gezogen werden, sagen wir die {{ mathkor|term1= 17 |und die|term2= 31 |SZ=, }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| {{op:Binom|47|4}} | {{op:Binom|49|6}} }} || {{op:Bruch|\,\, {{op:Bruch|47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44| 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \,\, | {{op:Bruch|49 \cdot 48 \cdots 44|6 \cdot 5 \cdots 1}} }} || {{op:Bruch|6 \cdot 5|49 \cdot 48}} || {{op:Bruch| 5|49 \cdot 8}} || {{op:Bruch| 5|392}} || 0,012755102 |SZ=. }} Die Produktwahrscheinlichkeit der beiden einzelnen Ereignisse ist hingegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|6|49}} \cdot {{op:Bruch|6|49}} || {{op:Bruch|36|2401}} ||0,014993753... || || |SZ=. }} Die Ereignisse sind also nicht unabhängig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qxg0ykfhw0d2xfkxlf2u04yflmt6qqj 0 90698 779449 592999 2022-08-21T16:30:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto eine bestimmte Zahl, sagen wir die {{math|term= 31|SZ=,}} unter der Bedingung gezogen wird, dass auch eine bestimmte andere Zahl, sagen wir die {{math|term= 17|SZ=}} gezogen wird. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|P(17,31) |P(17)}} || {{op:Bruch | {{op:Bruch| 5|392}}| {{op:Bruch|6|49}} }} || {{op:Bruch|245 | 2352 }} || {{op:Bruch|5 | 48 }} || 0,1041666 ... || |SZ=, }} wobei die Wahrscheinlichkeitsberechnungen in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binomialkoeffizient/Lotto/Teilmengenanzahl/Wahrscheinlichkeit/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durchgeführt wurden. Dies ist kleiner als {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|6|49}} ||0,12244897 ... || || || |SZ=. }} Wenn man also weiß, dass eine bestimmte Zahl gezogen wird, so reduziert sich die Wahrscheinlichkeit, dass zugleich eine bestimmte andere Zahl gezogen wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fk18b8qza8k2dgkawvrdox6e9b5e20n 0 90706 784313 505942 2022-08-22T05:54:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || {{op:Binom|n| {{op:Bruch|n|2}} }} \cdot 2^{-n} || || || |SZ= }} für {{math|term= n|SZ=}} gerade gegen {{math|term= 0|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 58eagm30thblcoh9h060t30gq8s0zek 0 90707 783730 757376 2022-08-22T04:17:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= M_1 {{kommadots}} M_n|SZ=}} endliche Wahrscheinlichkeitsräume und es sei der Produktraum {{mathl|term= M_1 {{timesdots}} M_n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jeder {{math|term= M_i|SZ=}} ein Laplace-Raum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2=Theorie der Produkte von endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jfvpx6ptjqx80dj3ukm7cide06euwgk 0 90720 785894 506027 2022-08-22T09:55:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \alpha|SZ=}} eine rationale Zahl mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |<|\alpha |<| {{op:Bruch|1|2}} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha^\alpha (1- \alpha)^{1-\alpha} |<| {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i3m42thcdtghqb331edmlj6z8f9xkmm 0 90733 785948 506046 2022-08-22T10:04:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= \R^3|SZ=}} sei durch {{ math/disp|term= {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor|2|4|5}} +t {{op:Spaltenvektor|1|-3|4}}|t \in \R }} |SZ= }} eine Gerade {{math|term= G|SZ=}} gegeben. In der {{math|term= x-y|SZ=-}}Ebene {{math|term= E|SZ=}} sei {{math|term= K|SZ=}} der Kreis mit dem Mittelpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} und dem Radius {{math|term= 8|SZ=.}} Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden {{math|term= G|SZ=}} mit der Ebene {{math|term= E|SZ=}} innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis {{math|term= K|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geometrischen Figuren im euklidischen Raum |Kategorie2=Kreisgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cbtchk65dis1g9g3lafbwfpnftqw0w9 0 90739 783499 506058 2022-08-22T03:38:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Schnittpunkte des Einheitskreises {{math|term= E|SZ=}} mit dem Kreis {{math|term= K|SZ=,}} der den Mittelpunkt {{math|term= (1,0)|SZ=}} und den Radius {{math|term= 2|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7n7g81rz40bysd9p1dpjzr330gmhcee 0 90741 783989 506069 2022-08-22T05:00:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=.}} Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest {{math|term= 3|SZ=}} besitzt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s8zqoqxlcluzetk4qyh9q4kx7vf5lt5 0 90744 783990 506068 2022-08-22T05:01:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=.}} Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich zum Schluss wieder in ihrem Ausgangspunkt befindet? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oat4q166v6mtkj6y4i7vkldl7ddeqlw 0 90771 786216 510589 2022-08-22T10:49:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das inverse Element zu {{mathl|term= \overline{37}|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|89}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m1npiqf8fkh14uj5nsgu2cz6j74hhuu 0 90773 783564 506198 2022-08-22T03:49:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} ein Polynom {{math|term= P|SZ=}} vom Grad {{math|term= \leq 3|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(-1) ||-4 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(0) ||2 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(1) ||2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(2) ||3 || || || |SZ= }} |Bestimme{{n Sie}} ein normiertes Polynom {{math|term= Q|SZ=}} vom Grad {{math|term= 3|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q(0) ||1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q(2) ||3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q(3) || 10 || || || |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} die Schnittpunkte der Graphen zu {{math|term= P|SZ=}} und zu {{math|term= Q|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=3 |p2=2 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 895dpuse5i8cssq2fzlgr2lz16yn9mo 0 90776 783993 593068 2022-08-22T05:01:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein und ihre kleine Schwester Veronika befinden sich auf der Zahlengeraden im Punkt {{math|term= 0|SZ=.}} Beide führen unabhängig voneinander fünf Sprünge aus, wobei die Sprünge von Lucy mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Einheiten nach rechts oder nach links und die Sprünge von Veronika mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Einheit nach links oder nach rechts gehen. {{ Aufzählung3 |Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy sich zum Schluss in der Position {{math|term= 6|SZ=}} befindet? |Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Veronika sich zum Schluss in einer Position befindet, die vom Nullpunkt den Abstand {{math|term= 5|SZ=}} besitzt? |Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy und Veronika sich zum Schluss in der gleichen Position befinden? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j8fmuz6hokyrn72e0as51zf7sfej450 0 90777 783988 506208 2022-08-22T05:00:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=.}} Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander drei Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest {{math|term= 3|SZ=}} besitzt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rvtpkj42se9i5qy6it9d6272pwff6ge 0 90779 785772 506211 2022-08-22T09:35:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ist die Zahl {{mathl|term= \sqrt{7} + \sqrt{7}|SZ=}} rational? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iqy7e4m6kutyd8yazftvgzlsqjtm8qq 0 90785 784683 758181 2022-08-22T06:45:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |normierte Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= d|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0w65kay8bervm66hbijdmwpxln642ou 0 90787 784681 536702 2022-08-22T06:44:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{math|term= x|SZ=-}}Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||X^3+4X^2-7X+1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q ||X^3-2X^2+5X+3 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über R |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ildr29yi4kits8ujtbeh951ry1yyxjf 0 90792 782779 506253 2022-08-22T01:38:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} von Hand die Approximationen {{math|term= x_1,x_2,x_3|SZ=}} im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von {{math|term= 5|SZ=}} zum Startwert {{math|term= x_0=3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2e7zte4z9ill7d57qqqw5fwsw8iph2 0 90797 781147 592227 2022-08-21T21:06:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Brötchenkorb befinden sich {{math|term= 5|SZ=}} normale Brötchen, {{math|term= 4|SZ=}} Laugenbrötchen, {{math|term= 2|SZ=}} Roggenbrötchen, {{math|term= 3|SZ=}} Körnerbrötchen und ein Sesambrötchen. Mustafa Müller wählt zum Frühstück zufällig zwei davon aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei gleiche Brötchen auswählt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8wod49pad161c7s20zckvt66gzd9fq 0 90822 786217 510591 2022-08-22T10:49:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das inverse Element zu {{mathl|term= \overline{55}|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|93}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2rqflq6k4sodgeylmjm8h0253osnlqs 0 90825 784484 604452 2022-08-22T06:17:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde. {{ Aufzählung3 |In welchem minimalen Bereich der Form {{mathl|term= \{5-k {{kommadots|}} 5+k \} |SZ=}} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von {{math|term= \geq 0{,}9|SZ=?}} |In welchem minimalen Bereich der Form {{mathl|term= \{5-k {{kommadots|}} 5+k \} |SZ=}} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von {{math|term= \geq 0{,}6|SZ=?}} |In welchem minimalen Bereich der Form {{mathl|term= \{5-k {{kommadots|}} 5+k \} |SZ=}} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von {{math|term= \geq 25\,{{Prozent}}|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialverteilung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=2 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 999prry89i1kssf7t2ybuzzu0939bgg 0 90849 781947 755839 2022-08-21T23:20:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (M,P)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ mathbed|term= E_i \subseteq M ||bedterm1= i =1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ereignisse| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= M|SZ=.}} Für eine Teilmenge {{math|term= J \subseteq \{1 {{kommadots|}} n\}|SZ=}} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | E_J || \bigcap_{i \in J} E_i || || || |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} die folgende Formel für die Wahrscheinlichkeit {{ Ma:Vergleichskette/disp | P {{makl| \bigcup_{i {{=}} 1}^n E_i |}} || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{makl| \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots}} n \} ,\, {{op:Anzahl|J|}} {{=}} k } P(E_J) |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Durchschnitt |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} psth2w1bpn2mwnydym7000v69tq6kj0 0 90851 784486 604473 2022-08-22T06:17:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine faire Münze werde zwanzigmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde. In welchem minimalen Bereich der Form {{mathl|term= \{10-k {{kommadots|}} 10 +k \} |SZ=}} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von {{math|term= \geq 0{,}9|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialverteilung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b79ip6tuuogkwdkbn1eblsvs1s4vyos 0 90859 786510 759542 2022-08-22T11:37:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge aller Abbildungen von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=.}} Es wird zufällig eine Abbildung ausgewählt. {{ Aufzählung2 |Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Abbildung {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Es sei {{mathl|term= p(n)|SZ=}} diese Wahrscheinlichkeit. Kann man eine Konvergenzaussage für diese Folge machen? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der Produkte von endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n0fsmzh1ayb633zf25ijf4ym9e6i5jy 0 90864 785381 506615 2022-08-22T08:30:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Produktmenge {{mathl|term= \{K,Z\} \times \{K,Z \}|SZ=}} und ihre Teilmengen. Fridolin sagt: {{Anführung|Jede Teilmenge der Produktmenge ist selbst ein Produkt von Teilmengen. Die Menge {{mathl|term= \{K,Z\}|SZ=}} hat nämlich zwei Elemente, deshalb besitzt ihre Potenzmenge {{math|term= 2^2=4|SZ=}} Elemente. Eine Produktmenge zu zwei Teilmengen besitzt die Form {{mathl|term= E_1 \times E_2|SZ=.}} Da hier jede Kombination erlaubt ist, muss es {{mathl|term= 4 \cdot 4=16|SZ=}} Teilmengen geben, die selbst Produktmengen sind. Die Produktmenge {{mathl|term= \{K,Z\} \times \{K,Z \}|SZ=}} besitzt {{math|term= 4|SZ=}} Elemente, somit besitzt ihre Potenzmenge {{math|term= 16|SZ=}} Elemente. Somit gibt es überhaupt {{math|term= 16|SZ=}} Ereignisse in der Produktmenge und {{math|term= 16|SZ=}} Produktereignisse, also ist jedes Ereignis ein Produktereignis|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Ist diese Aussage korrekt? |Ist diese Argumentation korrekt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie= Theorie der Produkte von endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56zf5isek7j98ly09655dhf3lsjqxkx 0 90895 785468 506719 2022-08-22T08:44:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf einer Party sind {{mathl|term= 80 {{Prozent}} |SZ=}} der anwesenden Frauen sympathisch und {{mathl|term= 70 {{Prozent}} |SZ=}} der anwesenden Männer sympathisch. Was kann man über den Prozentsatz der sympathischen Menschen auf der Party sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3fre4ep5ha1u62ttqhc3cc16j7horlv 0 90903 783982 757615 2022-08-22T04:59:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} das Ereignis, dass bei einer Lottoziehung mindestens eine gerade Zahl gezogen wird. Es sei {{math|term= U|SZ=}} das Ereignis, dass bei einer Lottoziehung mindestens eine ungerade Zahl gezogen wird. Sind diese Ereignisse {{ Definitionslink |Prämath= |unabhängig| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} voneinander? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 81cf12wyh9w9ausioydoi40avjfr8w3 0 90921 782284 511578 2022-08-22T00:16:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für reelle Folgen {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |y_n |\neq| 0 || || || |SZ=, }} derart, dass {{mathl|term= {{op:Bruch|x_n|y_n}} |SZ=}} gegen {{math|term= 1|SZ=}} konvergiert, aber {{math|term= x_n-y_n|SZ=}} nicht konvergiert. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für reelle Folgen {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |y_n |\neq| 0 || || || |SZ=, }} derart, dass {{math|term= x_n-y_n|SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} konvergiert, aber {{mathl|term= {{op:Bruch|x_n|y_n}} |SZ=}} nicht konvergiert. |Es seien {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=}} reelle Folgen derart, dass {{math|term= x_n-y_n|SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} konvergiert. Es gebe ein {{ Ma:Vergleichskette |a |>|0 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |y_n |\geq|a || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Bruch|x_n|y_n}} |SZ=}} gegen {{math|term= 1|SZ=}} konvergiert. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=2 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} az549o16whza5xtq1qwquua1371anuw 0 90932 783731 757377 2022-08-22T04:17:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M,P)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen und seien {{mathl|term= E,F \subseteq M|SZ=}} Ereignisse. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= E|SZ=}} und {{math|term= F|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |unabhängig| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |n \cdot {{op:Anzahl|E \cap F|}} ||{{op:Anzahl|E |}} \cdot {{op:Anzahl| F|}} || || || |SZ= }} gilt. |Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass nichtleere Ereignisse unabhängig sein können, ohne dass ihre Anzahlen Teiler von {{math|term= n|SZ=}} sind. |Es seien {{math|term= r,s|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\leq|r,s |\leq|n || || |SZ= }} und derart, dass {{math|term= n|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= rs|SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}}, dass es unabhängige Ereignisse in {{math|term= M|SZ=}} gibt, deren Anzahlen gleich {{ mathkor|term1= r |bzw.|term2= s |SZ= }} sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hw5tdvxfnrzo85fu89m53fcsyvnj4ht 0 90947 785377 565086 2022-08-22T08:29:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} Mengen und seien {{math|term= A \subseteq M|SZ=}} und {{math|term= B \subseteq N|SZ=}} Teilmengen. Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| A \times N |}} \cap {{makl| M \times B |}} || A \times B || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 127f67fzd5y2dn315wy282aqx2atbh2 0 90948 785376 522138 2022-08-22T08:29:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} Mengen und seien {{math|term= A_1,A_2 \subseteq M|SZ=}} und {{math|term= B_1,B_2 \subseteq N|SZ=}} Teilmengen. Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| A_1 \times B_1 |}} \cap {{makl| A_2 \times B_2 |}} || {{makl| A_1 \cap A_2 |}} \times {{makl| B_1 \cap B_2 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 12iajmbpdyjx1smcu1xz5g2o2un0u5r 0 90951 779528 593000 2022-08-21T16:43:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es wurde zehnmal eine faire Münze geworfen und es sei bekannt, dass mindestens fünfmal dabei Kopf fiel. Wie hoch ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass der erste Wurf Kopf war? Wir müssen die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse {{math|term= B|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mindestens fünfmal Kopf| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= E|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der erste Wurf ist Kopf| |ISZ=|ESZ= }} berechnen. Unter den {{math|term= 2^{10}|SZ=}} möglichen Wurfkombinationen gibt es {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Binom|10|5}} + {{op:Binom|10|6}}+ {{op:Binom|10|7}} + {{op:Binom|10|8}} + {{op:Binom|10|9}} + {{op:Binom|10|10}} || 252 + 210 +120+ 45 + 10+1 || 638 || || |SZ= }} Kombinationen, in denen zumindest fünf Kopfwürfe auftreten. Unter diesen müssen wir die Anzahl der Kombinationen zählen, in denen der erste Wurf Kopf ist. Es geht also um die Anzahl von {{mathl|term= B \cap E|SZ=.}} Diese Menge kann man so charakterisieren, dass der erste Wurf Kopf ist und dass es unter den neun weiteren Würfen zumindest vier Kopfwürfe gibt. Die Anzahl dieser Menge ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Binom|9|4}} + {{op:Binom|9|5}}+ {{op:Binom|9|6}} + {{op:Binom|9|7}} + {{op:Binom|9|8}} + {{op:Binom|9|9}} || 126 + 126 +84 + 36 + 9 +1 || 382 || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | P(E {{|}} B) || {{op:Bruch|P(E \cap B)|P(B)}} || {{op:Bruch| \,\, {{op:Bruch| 382 |2^{10} }} \, \, | {{op:Bruch| 638 |2^{10} }} }} || {{op:Bruch| 382 | 638 }} || {{op:Bruch| 191 | 319 }} |0,598746 ... |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6a81a1cgxmp17tuenut2becnvhjdu9u 0 90960 779530 593112 2022-08-21T16:43:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es werde eine Münze {{math|term= n|SZ=-}}mal hintereinander geworfen. Wir interessieren uns für die Ereignisse {{math|term= E_i|SZ=,}} dass sich das Ergebnis vom {{math|term= i-1|SZ=-}}ten zum {{math|term= i|SZ=-}}ten Wurf ändert {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=i=2 {{kommadots}} n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Sind diese Ereignisse vollständig unabhängig? Das ist nicht so unmittelbar klar, da ja {{math|term= E_i|SZ=}} und {{math|term= E_{i+1}|SZ=}} beide auf den {{math|term= i|SZ=-}}ten Wurf Bezug nehmen. Trotzdem sind diese Ereignisse vollständig unabhängig. Sei dazu {{ Ma:Vergleichskette |2 |\leq| i_1 |<| i_2 |< \ldots < | i_r |\leq|n |SZ= }} fixiert. Ein Wechsel an der {{math|term= i|SZ=-}}ten Stelle {{ Zusatz/Klammer |text=verglichen zum Vorgängerwurf| |ISZ=|ESZ= }} hat die Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=.}} Wenn {{math|term= E_i|SZ=}} gelten soll, so ist der {{math|term= i|SZ=-}}te Würfelwurf durch das Ergebnis des {{math|term= (i-1)|SZ=-}}ten Würfelwurfs festgelegt. Wenn das Ereignis {{mathl|term= E_{i_1} \cap E_{i_2} {{capdots}} E_{i_r} |SZ=}} gelten soll, so gibt es keinerlei Bedingung an den Stellen {{math|term= i|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |i |\neq|i_j || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j|SZ=,}} während dadurch an den Stellen {{math|term= i_j|SZ=}} alles fixiert ist. Somit gibt es {{mathl|term= 2^{n-r}|SZ=}} günstige Kombinationen für dieses Durchschnittsereignis. Seine Wahrscheinlichkeit ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|2^{n-r}|2^n}} || {{op:Bruch|1|2^r}} || {{makl| {{op:Bruch|1|2}} |}}^r || || |SZ=, }} was mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten übereinstimmt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der vollständigen Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onyq0yn10h0ej2ffj0egntct7he51a2 0 90969 781591 755543 2022-08-21T22:20:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Würfel wird dreimal geworfen. Es sei {{math|term= E|SZ=}} das Ereignis, dass das Ergebnis beim zweiten Wurf um eins größer als beim ersten Wurf ist, und es sei {{math|term= F|SZ=}} das Ereignis, dass das Ergebnis beim dritten Wurf um eins größer als beim zweiten Wurf ist. Sind diese Ereignisse {{ Definitionslink |Prämath= |unabhängig| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hnijiri7321pderkl8aws03jsx5x6gf 0 90971 780041 507395 2022-08-21T18:02:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In der Bevölkerung ist ein Virus im Umlauf, und es gibt einen Test für den Virus, der allerdings nicht absolut sicher ist. Wenn jemand den Virus hat, so erkennt der Test dies zu {{math|term= 98 {{Prozent|}} |SZ=.}} Wenn jemand den Virus nicht hat, so erkennt der Test dies zu {{math|term= 99 {{Prozent|}} |SZ=.}} Die Wahrscheinlichkeit, den Virus zu haben, beträgt {{mathl|term= 0,1 {{Prozent}} |SZ=.}} Eine Person geht zum Arzt und lässt sich testen, das Ergebnis des Tests ist positiv, der Virus ist laut Test vorhanden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die getestete Person wirklich den Virus besitzt? Es sei {{math|term= V|SZ=}} das Ereignis, den Virus zu haben, und {{math|term= T|SZ=}} das Ereignis, dass der Test den Virus diagnostiziert. Gefragt ist also nach der bedingten Wahrscheinlichkeit von {{math|term= V|SZ=}} unter der Bedingung {{math|term= T|SZ=,}} also {{mathl|term= P(V{{|}}T)|SZ=,}} wobei die Wahrscheinlichkeiten {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= \neg|SZ=}} bedeutet hier die Negation des Ereignisses| |ISZ=|ESZ= }} {{math/disp|term= P(V)=0,001, \, P(T{{|}}V) =0,98 ,\, P(T {{|}} \neg V)=0,01 |SZ=}} bekannt sind. {{ Faktlink |Präwort=Die|Formel von Bayes|Faktseitenname= Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bayessche Formel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liefert in diesem Fall {{ Ma:Vergleichskette/align | P( V {{|}} T ) || {{op:Bruch|P(V) \cdot P( T {{|}} V ) |P(V) \cdot P(T {{|}} V ) + P( \neg V) \cdot P( T {{|}} \neg V ) }} || {{op:Bruch|0,001 \cdot 0,98 |0,001 \cdot 0,98 + 0,999 \cdot 0,01}} || {{op:Bruch|0,00098 |0,00098 + 0,00999 }} || {{op:Bruch|0,00098 |0,01097 }} ||0,0893345... |SZ=. }} Obwohl sich die Zuverlässigkeit des Tests recht gut anhört, haben doch nur {{math|term= 9 {{Prozent|}} |SZ=}} der positiv getesteten Personen wirklich den Virus. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k55fecco6gbcb820ib624a78w4xffz1 0 90975 780989 755059 2022-08-21T20:40:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ Ma:Vergleichskette |A,B |\subseteq|M || || || |SZ= }} Ereignisse mit {{ Ma:Vergleichskette |P(A \cap B) |\neq|0 || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette |P(A),P(B) |<|1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|P( B {{|}} A)|P( M \setminus B {{|}} A)}} || {{op:Bruch|P( B )|P( M \setminus B )}} \cdot {{op:Bruch|P( A {{|}} B)|P( A {{|}} M \setminus B )}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8o1eqtlq67etbd3g0s90x07lsx31lka 0 90984 783121 508125 2022-08-22T02:35:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einem Kurs nehmen {{math|term= n|SZ=}} Personen teil. Für die Person {{math|term= i|SZ=}} ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Klausur durchzufallen, gleich {{math|term= q_i|SZ=.}} Es wird eine Klausur und eine Nachklausur geschrieben, wobei sich diese Wahrscheinlichkeiten nicht ändern. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in der ersten Klausur durchfällt, gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|1|n}} \sum_{ i {{=}} 1}^n q_i|SZ=}} ist. |Die Nachklausur schreiben nur die Personen mit, die in der ersten Klausur durchgefallen sind. Zeige{{n Sie}}, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus diesem Personenkreis zufällig ausgewählte Person bei der zweiten Klausur ebenfalls durchfällt, gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| \sum_{ i {{=}} 1}^n q_i^2 | \sum_{ i {{=}} 1}^n q_i }}|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die unter (2) berechnete Wahrscheinlichkeit größergleich der unter (1) berechneten Wahrscheinlichkeit ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=2 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1dhyiiif4lkcgw0c9jwbv53jev3bqp4 0 90990 786573 507104 2022-08-22T11:48:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skat wird mit {{math|term= 32|SZ=}} Karten gespielt, dabei gibt es vier Könige und vier Damen {{ Zusatz/Klammer |text=die Buben werden in dieser Aufgabe als Kinder betrachtet| |ISZ=|ESZ=. }} Der {{Anführung|Skat}} besteht aus zwei zufälligen Karten und spielt eine besondere Rolle. {{ Aufzählung3 |Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind? |Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gleichgeschlechtliches Paar ist? |Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gemischtgeschlechtliches Paar ist? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} avk5e7uiw3v0b108berkgo72e7q9kb1 0 91020 785256 507165 2022-08-22T08:10:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= a,b,x,y|SZ=}} positive reelle Zahlen und es gelte {{ Ma:Vergleichskette/disp |a^x |<|b^y || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es positive rationale Zahlen {{mathl|term= c,z|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |a^x |<|c^z |<| b^y || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ijkrkzy6j7n25u5nad4cbzjl904s5pm 0 91022 784617 514693 2022-08-22T06:35:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= \ell,m \in \N_+|SZ=}} und es sei {{math|term= x|SZ=}} die Zahl mit {{math|term= \ell|SZ=}} Neunen und {{math|term= y|SZ=}} die Zahl mit {{math|term= m|SZ=}} Neunen {{ Zusatz/Klammer |text=im Zehnersystem| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= y|SZ=}} genau dann von {{math|term= x|SZ=}} geteilt wird, wenn {{math|term= m|SZ=}} von {{math|term= \ell|SZ=}} geteilt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ojgol2bsb7hjt6eke5c73y2wf43rpb0 0 91024 780992 755062 2022-08-21T20:40:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= x \in M|SZ=}} ein Element mit einer positiven Wahrscheinlichkeit. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | P ( E {{|}} \{x\} ) || \begin{cases} 1,\, \text{ falls } x \in E\, ,\\ 0,\, \text{ falls } x \notin E \, . \end{cases} || || || |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d980nmgx3c1dyfmt6h8ixtr5mfmhdu1 0 91025 780996 507193 2022-08-21T20:41:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine faire Münze wird elfmal geworfen. Es sei {{math|term= B|SZ=}} das Ereignis, dass bei den ersten zehn Würfen stets Kopf geworfen wird. Es sei {{math|term= E_i|SZ=}} das Ereignis, dass beim {{math|term= i|SZ=-}}ten Wurf Kopf geworfen wird. Bestimme{{n Sie}} {{ math/disp|term= P ( E_i {{|}} B ) |SZ= }} für {{mathl|term= i=1 {{kommadots|}} 11 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ft6z5q7dup6pzwqnqfpcrmv1xo01d1f 0 91026 780995 755065 2022-08-21T20:41:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{mathl|term= B_1,B_2 {{kommadots|}} B_n|SZ=}} Ereignisse, deren Gesamtdurchschnitt eine positive Wahrscheinlichkeit besitze. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | P( B_1 \cap B_2 {{capdots|}} B_n ) || P(B_1) \cdot P(B_2 {{|}} B_1 ) \cdot P(B_3 {{|}} B_1 \cap B_2 ) \cdots P(B_n {{|}} B_1 \cap B_2 {{capdots}} B_{n-1} ) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rab172td0gvoswenq3qiik2hp8rpdrk 0 91033 781505 507235 2022-08-21T22:06:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ed soll {{mathl|term= 56:8|SZ=}} ausrechnen. Er rechnet folgendermaßen: {{Anführung|{{ Ma:Vergleichskette/align |56 || 5 \cdot 10 + 6 || 5 \cdot (8+2) +6 || 5 \cdot 8 + 5 \cdot 2 +6 || 5 \cdot 8 + 16 || 5 \cdot 8 + 1 \cdot 10 + 6 || 5 \cdot 8 + 1 \cdot (8+2) + 6 || 5 \cdot 8 + 1 \cdot 8 +2 + 6 || 6 \cdot 8 +8 || 7 \cdot 8 |SZ=, }} die Antwort ist also {{math|term= 7|SZ=.}}|}} Wie rechnet er {{mathl|term= 63:7|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qg7f8s8llubugvskq58jmlb0fw2wa8x 0 91035 782129 507252 2022-08-21T23:50:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für die Eulersche Zahl {{math|term= e|SZ=}} seien die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |2,71 |\leq|e |\leq|2,72 || || |SZ= }} bekannt. {{ Aufzählung2 |Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von {{math|term= e^2|SZ=}} sagen? |Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von {{math|term= e^{-1}|SZ=}} sagen? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die eulersche Zahl |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gispn7qvyjxlg1ntk7obubduhna74t8 0 91038 783116 507261 2022-08-22T02:35:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Mustafa Müller darf zu seinem {{math|term= n|SZ=-}}ten Geburtstag aus seiner Klasse {{math|term= n|SZ=}} Kinder einladen. Heute wird er {{math|term= 8|SZ=,}} in seiner Klasse gibt es neben ihm {{math|term= 30|SZ=}} Kinder. Da alle Kinder nett sind, wählt er zufällig aus. Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeit, dass die {{math|term= 7|SZ=}} Kinder vom letztjährigen Geburtstag wieder eingeladen werden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eib1qbsy61g7ag6tqyj1ify8prd3njg 0 91043 781726 508126 2022-08-21T22:43:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein gestaffelter Eignungstest ist in drei Runden aufgebaut, wobei man die vorhergehende Runde überstehen muss, um in die nächste Runde zu gelangen. Die erste Runde überstehen {{math|term= 10 {{Prozent}} |SZ=,}} die zweite Runde überstehen {{math|term= 20 {{Prozent}} |SZ=}} und die dritte Runde überstehen {{math|term= 15 {{Prozent}} |SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Beschreibe{{n Sie|}} diese Daten mit dem Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit. |Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Erstrundenteilnehmer alle drei Runden? |Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Zweitrundenteilnehmer alle drei Runden? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rlavgb324dl1v8e0fy9lsvk2yyn3nso 0 91044 780993 755063 2022-08-21T20:40:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Menge {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{a,b,c,d\} || || || |SZ= }} sei mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrscheinlichkeitsdichte| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= P(a)= {{op:Bruch|1|3}} ,\, P(b)= {{op:Bruch|1|4}} ,\, P(c)= {{op:Bruch|1|5}} ,\, P(d)= {{op:Bruch|13|60}} |SZ= }} versehen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette | B || \{a,c,d\} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |E || \{a,b,d \} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |bedingte Wahrscheinlichkeit| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= P(E{{|}} B)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i51w9ct0bzv5ixn75le4zixrf3kbgi9 0 91045 780994 755064 2022-08-21T20:41:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Menge {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{a,b,c,d,e,f\} || || || |SZ= }} sei mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrscheinlichkeitsdichte| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= P(a)= {{op:Bruch|1|5}} ,\, P(b)= {{op:Bruch|1|4}} ,\, P(c)= {{op:Bruch|1|10}} ,\, P(d)= {{op:Bruch|9|50}} ,\, P(e)= {{op:Bruch|4|25}} ,\, P(f)= {{op:Bruch|11|100}} |SZ= }} versehen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette | B || \{a,b,c,d\} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |E || \{a,d ,f\} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |bedingte Wahrscheinlichkeit| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= P(E{{|}} B)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pgm2tnrfn74h7iazsbw52qaxz80m39y 0 91049 781053 593230 2022-08-21T20:50:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Aufschrei geht durch die sozialen Medien: An der Tanzhochschule {{Anführung|Parkettschwingungen}} haben sich {{math|term= 1000|SZ=}} Frauen und {{math|term= 1000|SZ=}} Männer für die beiden Fächer Ausdruckstanz und Choreographie beworben, dabei bekamen {{math|term= 760|SZ=}} Frauen einen Studienplatz, aber nur {{math|term= 710 |SZ=}} Männer. Die Tanzbegabungen und die sonstigen Zeugnisse waren bei allen Bewerbern und Bewerberinnnen sehr gut. Ein klarer Fall: Diese Schule diskriminiert Männer! Lässt sich dieser Vorwurf angesichts der folgenden Tabelle, die die genauere Information entlang der beiden einzelnen Fächer beinhaltet, aufrechterhalten? {{Tabelleleitdreixsechs|ls0= |lz1= {{Netz oder Druck|Bewerbungen Männer|Bew. M.}} |lz2= {{Netz oder Druck|Bewerbungen Frauen|Bew. F.}}|lz3= {{Netz oder Druck|Angenommene Männer|Ang. M}} |lz4= {{Netz oder Druck|Angenommene Frauen|Ang. F}} |lz5= {{Netz oder Druck|Annahmequote Männer|Quote M.}} |lz6= {{Netz oder Druck|Annahmequote Frauen|Quote F.}} |ls1={{Netz oder Druck|Ausdruckstanz|Ausdr.}} |a1,1= 900 |a1,2= 200 |a1,3= 630 |a1,4= 136 |a1,5= 70 {{Prozent|}} |a1,6= 68 {{Prozent|}} |ls2= {{Netz oder Druck|Choreographie|Chor.}} |a2,1=100 |a2,2= 800 |a2,3= 80 |a2,4= 624 |a2,5= 80 {{Prozent|}} |a2,6= 78 {{Prozent|}} |ls3= {{Netz oder Druck|Insgesamt|Ges.}} |a3,1=1000 |a3,2=1000 |a3,3= 710 |a3,4= 760 |a3,5= 71 {{Prozent|}} |a3,6= 76 {{Prozent|}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g797q070zk3bag9v1rf35wdjg49tjdj 0 91075 784760 758228 2022-08-22T06:56:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix33|7|0|2|0|7|-1|0|0|7}} || || || |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=.}} a) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} b) Bestimme die kanonische Zerlegung von {{math|term= M|SZ=}} in einen {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbaren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Anteil und einen {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotenten| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Anteil. c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix33|7|0|2|0|7|-1|0|0|7}} || {{op:Matrix33|7|0|0|0|7|0|0|0|7}} + {{op:Matrix33|0|0|2|0|0|-1|0|0|0}} || || || |SZ=, }} welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Zerlegungssätze für trigonalisierbare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ciw4g60eci3ztnhu6evyfm5rq7a4j0p 0 91164 780490 754678 2022-08-21T19:17:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |I|\R_+ || |SZ= }} eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den {{ Definitionslink |Prämath= |Limes| |Kontext=Funktion R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|h|0| {{makl| {{op:Bruch|f(x+h)|f(x)}} |}}^{{op:Bruch|1|h}} }} |SZ= }} zu einem Punkt {{mathl|term= x \in I|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} diesen Limes für die Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) ||a^x || || || |SZ= }} mit einem {{mathl|term= a \in \R_+|SZ=.}} |Es sei {{math|term= f|SZ=}} in {{mathl|term= x \in I|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Funktionslimes|h|0| {{makl| {{op:Bruch|f(x+h)|f(x)}} |}}^{{op:Bruch|1|h}} }} || {{op:exp(| {{op:Bruch|f'(x)|f(x)}} |}} || || || |SZ= }} |Überprüfe{{n Sie}} das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=5 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fk5rulg2xzjwz7qew97qfr5c3h3uir7 0 91202 782152 756028 2022-08-21T23:54:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) ||a^x || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|1 || || || |SZ=. }} Zu jedem {{math|term= x \in \R|SZ=}} definiert die Gerade durch die beiden Punkte {{ mathkor|term1= (x,f(x)) |und|term2= (x+1,f(x+1)) |SZ= }} einen Schnittpunkt mit der {{math|term= x|SZ=-}}Achse, den wir mit {{mathl|term= s(x)|SZ=}} bezeichnen. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |s(x+1) ||s(x) +1 || || || |SZ=. }} Skizziere{{n Sie}} die Situation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0bb3hio9syywyjbrp9ludrt772tezgo 106 91517 785138 612820 2022-08-22T07:53:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume}} {{:Vektorraum/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Untervektorräume}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|| }} Auf einen solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} sind der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} und der gesamte Vektorraum {{math|term=V|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man spricht daher auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=}} des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber, wie in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Homogen und inhomogen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gezeigt, zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. {{ inputbeispiel |Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel|| }} An diesem Beispiel kann man sich Folgendes klar machen: Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems über {{math|term=K|SZ=}} ist {{Anführung|in natürlicher Weise|SZ=,}} d.h. unabhängig von jeder Auswahl, ein Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term=n|SZ=}} die Anzahl der Variablen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Der Lösungsraum kann auch stets in eine {{Anführung|lineare Bijektion}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Isomorphie|}} | |ISZ=|ESZ= }} mit einem {{mathl|term=K^{d}|SZ=}} ({{mathlk|term=d \leq n|SZ=}}) gebracht werden, doch gibt es dafür keine natürliche Wahl. Dies ist einer der Hauptgründe dafür, mit dem abstrakten Vektorraumbegriff zu arbeiten anstatt lediglich mit dem {{math|term=K^n|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Erzeugendensysteme}} Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems in {{math|term=n|SZ=}} Variablen über einem Körper {{math|term=K|SZ=}} ist ein Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=.}} Häufig wird dieser Lösungsraum durch die Menge aller {{Anführung|Linearkombinationen}} von endlich vielen (besonders einfachen) Lösungen beschrieben. In dieser und der nächsten Vorlesung entwickeln wir die dazu notwendigen Begriffe. {{ inputbild |VectorGenerado|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die von zwei Vektoren {{math|term=v_1|SZ=}} und {{math|term=v_2|SZ=}} erzeugte Ebene besteht aus allen Linearkombinationen {{mathl|term=u=xv_1+yv_2|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Marianov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Vektorraum/Linearkombination/Definition|| }} Zwei unterschiedliche Koeffiziententupel können denselben Vektor definieren. {{ inputdefinition |Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition|| }} Im {{math|term=K^n|SZ=}} bilden die Standardvektoren {{ mathbed|term= e_i ||bedterm1= 1 \leq i \leq n ||bedterm2= |SZ=, }} ein Erzeugendensystem. Im Polynomring {{mathl|term=K[X]|SZ=}} bilden die Potenzen {{ mathbed|term= X^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{ Zusatz/Klammer |text=unendliches| |ISZ=|ESZ= }} Erzeugendensystem. {{ inputdefinition |Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition|| }} Der von der leeren Menge erzeugte Unterraum ist der Nullraum{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies kann man als Definition nehmen oder aber aus der Definition ableiten, wenn man die Konvention berücksichtigt, dass die leere Summe gleich {{math|term=0|SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ=. }} Dieser wird ebenso von der {{math|term=0|SZ=}} erzeugt. Zu einem einzigen Vektor {{math|term=v |SZ=}} besteht der aufgespannte Raum aus {{mathl|term=Kv= {{Mengebed|{{skalar|}} v|{{skalar|}} \in K}} |SZ=.}} Bei {{mathl|term=v \neq 0|SZ=}} ist dies eine {{Stichwort|Gerade|SZ=,}} was wir im Rahmen der Dimensionstheorie noch präzisieren werden. Bei zwei Vektoren {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} hängt die {{Anführung|Gestalt}} des aufgespannten Raumes davon ab, wie die beiden Vektoren sich zueinander verhalten. Wenn sie beide auf einer Geraden liegen, d.h. wenn {{ Ma:Vergleichskette |w ||s v || || || |SZ= }} gilt, so ist {{math|term=w|SZ=}} überflüssig und der von den beiden Vektoren erzeugte Unterraum stimmt mit dem von {{math|term=v|SZ=}} erzeugten Unterraum überein. Wenn dies nicht der Fall ist {{ Zusatz/Klammer |text=und {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} nicht {{math|term=0|SZ=}} sind| |ISZ=|ESZ=, }} so erzeugen die beiden Vektoren eine {{Anführung|Ebene|SZ=.}} Wir fassen einige einfache Eigenschaften für Erzeugendensysteme und Unterräume zusammen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Durchschnitt/Erzeugendensystem und aufgespannter Unterraum/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote|zusatz2={{ Zusatz/Fußnote |text=Der Durchschnitt {{mathl|term=\bigcap_{j \in J} T_j|SZ=}} zu einer beliebigen Indexmenge {{math|term=J|SZ=}} und einer durch {{math|term=J|SZ=}} indizierten Familie {{ mathbed|term= T_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} von Teilmengen einer festen Obermenge {{math|term=M|SZ=}} besteht aus allen Elementen aus {{math|term=M|SZ=,}} die in allen Mengen {{math|term=T_j|SZ=}} enthalten sind| |ISZ=.|ESZ= }} |ref1=|| }} {{Fußnotenliste}} }} 5259pv1hxytbe2tlf7pih5ah6q3wbf6 106 91529 784582 534831 2022-08-22T06:30:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|18| {{Motto| |Text=Wahr ist wahre Freundschaft doch wohl nur, wenn sie begrenzt ist. |Autor=Bertolt Brecht }} {{Zwischenüberschrift|term=Permutationen}} In dieser Vorlesung stellen wir eine weitere Beschreibung für die Determinante mit Hilfe von Permutationen vor. {{:Permutationsgruppe/Anzahlberechnung/Einführung/2/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Transpositionen}} {{ inputdefinition |Permutation/Transposition/Definition|| }} Eine Transposition ist also ein Zykel der Länge {{math|term=2|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Endliche Permutation/Darstellung mit Transpositionen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Das Signum einer Permutation}} {{ inputdefinition |Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition|| }} Das Signum ist {{ mathkor|term1= 1 |oder|term2= -1 |SZ=, }} da im Zähler und im Nenner die bis auf das Vorzeichen gleichen Differenzen {{mathl|term=\pm ( j-i)|SZ=}} stehen. Es gibt für das Signum also nur zwei mögliche Werte. Bei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Signum|\pi}} || 1 || || || |SZ= }} spricht man von einer {{Definitionswort/enp|geraden Permutation|msw=Gerade Permutation|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Signum|\pi}} || - 1 || || || |SZ= }} von einer {{Definitionswort/enp|ungeraden Permutation|msw=Ungerade Permutation|SZ=.}} {{ inputdefinition |Permutation/Fehlstand/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/246531/Fehlstände und Signum/Beispiel|| }} Das Signum ist ein Gruppenhomomorphismus im Sinne der folgenden Definition. {{ inputdefinition |Gruppenhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Signum ist Gruppenhomomorphismus/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Signum über Transpositionen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbemerkung |Signum/Übertragung von geordneter Menge auf beliebige/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Leibnizformel für die Determinante}} {{ inputbild |Gottfried Wilhelm Leibniz c1700|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Gottfried_Wilhelm_Leibniz_c1700 |Text=[[w:Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)]] |Autor=Johann Friedrich Wentzel d. Ä. |Benutzer=AndreasPraefcke |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=<nowiki>http://archiv.bbaw.de/archiv/archivbestaende/abteilung-sammlungen/gesamtbestand-des-kunstbesitzes/gelehrtengemaelde/gelehrtengemalde-seiten/VZLOBO-0031.html</nowiki> }} {{ inputfaktbeweis |Determinante/Leibnizformel/Fakt|Satz||r=\rho|p=\pi || }} }} dnjybexc047t8ntybxz8barv1ba7q4q 106 91530 784304 768007 2022-08-22T05:52:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|19| In den folgenden Vorlesungen werden wir versuchen, eine quadratische {{ Definitionslink |Prämath=d \times d |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. einen Endomorphismus| |ISZ=|ESZ= }} dadurch zu verstehen, dass wir Ausdrücke der Form {{ math/disp|term= a_nM^n + a_{n-1} M^{n-1} {{plusdots|}} a_2M^2 +a_1 M^1 + a_0 M^0 |SZ= }} untersuchen, wobei {{math|term=M^{i}|SZ=}} als das {{math|term=i|SZ=-}}fache Matrixprodukt der Matrix mit sich selbst und {{math|term=M^0|SZ=}} als Einheitsmatrix {{math|term=E_d|SZ=}} zu interpretieren ist. Solche Ausdrücke ergeben sich, indem man in Polynome Matrizen einsetzt. In dieser Vorlesung führen wir Polynome und den Polynomring ein. {{Zwischenüberschrift|term=Der Polynomring über einem Körper}} {{ inputdefinition |Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition|| }} Ein Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp | P || {{polynomX|n|a|i}} || {{polynomX/dots|n|a}} || || |SZ= }} ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel {{mathl|term=(a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n ) |SZ=,}} die die {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} des Polynoms heißen. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Der Körper {{math|term=K |SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|Grundkörper|SZ=}} des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine kommutative Gruppe vor, mit dem {{Stichwort|Nullpolynom|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem alle Koeffizienten {{math|term=0 |SZ=}} sind| |SZ= }} als neutralem Element. Die Polynome mit {{ Ma:Vergleichskette | a_i || 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | i |\geq| 1 || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=Konstantes Polynom|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term=a_0 |SZ=.}} Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt {{mathl|term=X^{n} \cdot X^{m} |SZ=}} ist nämlich durch die Addition der Exponenten, also {{ Ma:Vergleichskette | X^{n} \cdot X^{m} |{{defeq}}| X^{n+m} || || || |SZ=, }} gegeben. Dabei nennt man {{math|term=X|SZ=}} die {{Stichwort|Variable|SZ=}} des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, {{Anführung|alles mit allem}} zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:{{Zusatz/Fußnote|text=Wobei wir natürlich, wie auch bei der Addition oder dem Vergleichen von Polynomen verschiedener Grade, die Polynome für {{mathl|term=r>n}} bzw. {{mathl|term={k-r}>m}} mit den Koeffizienten {{mathl|term=a_r=0}} bzw. {{mathl|term=b_{k-r}=0}} ergänzen können|ESZ=|ISZ=.}} {{ math/disp|term= {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} |SZ=. }} Die Multiplikation ist assoziativ, kommutativ, distributiv und besitzt das konstante Polynom {{math|term=1|SZ=}} als neutrales Element, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Polynomring/1/Multiplikationseigenschaften/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Insgesamt liegt also ein kommutativer Ring vor. {{ inputdefinition |Polynomring/Grad/Definition|| }} Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient {{math|term=a_n|SZ=,}} der zum Grad {{math|term=n|SZ=}} des Polynoms gehört, heißt {{Stichwort|Leitkoeffizient|SZ=}} des Polynoms. Der Ausdruck {{mathl|term=a_nX^n|SZ=}} heißt {{Stichwort|Leitterm|SZ=.}} Ein Polynom mit Leitkoeffizient {{math|term=1|SZ=}} heißt {{Stichwort|normiert|msw=Normiertes Polynom|SZ=.}} {{ inputbild |Polynomialdeg5|svg|250px {{!}} thumb {{!}} |Text=Der Graph einer Polynomfunktion von {{math|term=\R|SZ=}} nach {{math|term=\R|SZ=}} vom Grad {{math|term=5|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} In ein Polynom {{mathl|term=P \in K[X]|SZ=}} kann man ein Element {{mathl|term=a \in K|SZ=}} {{Stichwort|einsetzen|SZ=,}} indem man die Variable {{math|term=X|SZ=}} an jeder Stelle durch {{math|term=a|SZ=}} ersetzt. Dies führt zu einer Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K |a|P(a) |SZ=, }} die die durch das Polynom definierte {{Stichwort|Polynomfunktion|SZ=}} heißt. Diese Abbildung ist im Allgemeinen nicht linear, Linearität liegt nur bei {{ Ma:Vergleichskette |P ||a_1X || || || |SZ= }} vor. {{Zwischenüberschrift|term=Die Division mit Rest}} {{ inputdefinition |Polynomring/K/Teiler/Definition|| }} Wenn {{math|term=P|SZ=}} von {{math|term=T|SZ=}} geteilt wird, so sagt man auch, dass {{math|term=P|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term=T|SZ=}} ist. In {{mathl|term=K[X]|SZ=}} ist es, anders wie in einem Körper, aber ähnlich wie in {{math|term=\Z|SZ=,}} nicht möglich, ein Element durch ein anderes Element {{math|term=\neq 0|SZ=}} zu teilen. Es gibt aber einen wichtigen Ersatz dafür, die {{Stichwort|Division mit Rest|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring_über_Körper/Eine_Variable/Division_mit_Rest/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Das Polynom {{math|term=T|SZ=}} ist genau dann ein Teiler von {{math|term=P|SZ=,}} wenn bei der Division mit Rest von {{math|term=P|SZ=}} durch {{math|term=T|SZ=}} der Rest gleich {{math|term=0|SZ=}} ist. Der Beweis des Satzes ist konstruktiv, d.h. es wird in ihm ein Verfahren beschrieben, mit der man die Division mit Rest berechnen kann. Dazu muss man die Rechenoperationen des Grundkörpers beherrschen. Wir geben dazu zwei Beispiele, eines über den rationalen Zahlen und eines über den komplexen Zahlen. {{ inputbeispiel |Polynomdivision/6x^3+x+1 durch 3x^2+2x-4/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Polynomdivision/(4+3i)x^3+x^2+5i durch (1+i)x^2+x -3+2i/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Nullstellen}} Unter einer Nullstelle eines Polynoms {{math|term=P}} versteht man ein {{mathl|term=a \in K}} mit {{ Ma:Vergleichskette |P(a) ||0 || || || |SZ=. }} Ein Polynom muss keine Nullstellen besitzen, ferner hängt dies vom Grundkörper ab. Das Polynom {{mathl|term=X^2+1}} hat keine reelle Nullstelle, dagegen gibt es die komplexen Nullstellen {{ mathkor|term1= {{Imaginäre Einheit}} |und|term2= - {{Imaginäre Einheit}} |SZ=. }} Als Element in {{mathl|term=\R[X]}} kann man {{mathl|term=X^2+1}} nicht als Produkt von einfacheren Polynomen schreiben, in {{mathl|term={{CC}}[X]}} hingegen hat man die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2+1 || (X- {{Imaginäre Einheit}} )(X+ {{Imaginäre Einheit}}) || || || |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Auswertung/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Fundamentalsatz der Algebra}} Es gilt der folgende {{Stichwort|Fundamentalsatz der Algebra|SZ=,}} den wir hier ohne Beweis erwähnen. {{ inputfakt |Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt|Satz|| || }} Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass jedes von {{math|term=0|SZ=}} verschiedene Polynom {{mathl|term=P\in {{CC}}[X]|SZ=}} in Linearfaktoren zerfällt, d.h. man kann {{ Ma:Vergleichskette/disp | P || c(X-z_1)(X-z_2) \cdots (X-z_n) || || || |SZ= }} mit bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmten komplexen Zahlen {{mathl|term=c, z_1 {{kommadots|}} z_n|SZ=}} schreiben {{ Zusatz/Klammer |text=wobei Wiederholungen erlaubt sind| |ISZ=|ESZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Rationale Funktionen}} Der Polynomring {{mathl|term=K[X]|SZ=}} ist ein kommutativer Ring, aber kein Körper. Man kann aber mit Hilfe von formal-rationalen Funktionen einen Körper konstruieren, der den Polynomring enthält, ähnlich wie man aus {{math|term=\Z|SZ=}} die rationalen Zahlen {{math|term=\Q|SZ=}} konstruieren kann. Dazu definiert man {{ Ma:Vergleichskette/disp | K(X) |{{defeq|}}| {{Mengebed| \frac{P}{Q}| P, Q \in K[X]| Q \neq 0}} || || || |SZ=, }} wobei man wie bei {{math|term=\Q|SZ=}} zwei Brüche {{ mathkor|term1= \frac{P}{Q} |und|term2= \frac{P'}{Q'} |SZ= }} miteinander identifiziert, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |PQ' ||P'Q || || || |SZ= }} ist. Auf diese Weise entsteht der {{Stichwort|Körper der rationalen Funktionen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Einen formalen Ausdruck {{mathl|term=P/Q|SZ=}} kann man in folgender Weise wieder als eine Funktion auffassen. {{ inputdefinition |Rationale Funktion/Körper/Definition|| }} Die nach den Polynomfunktionen einfachsten Funktionen sind die rationalen Funktionen. {{ inputbild |Function-1 x|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Function-1_x |Text=Man kann Brüche {{math|term=P/Q|SZ=}} von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graph der rationalen Funktion {{math|term=1/X|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Qualc1 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{Fußnotenliste|}} }} 0m8ejtr22u4kxyvfxv8s4lvqkeqaprt 106 91545 785206 545600 2022-08-22T08:03:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Arbeitsblattgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|term=Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/2x+3y ist 7 und 5x+4y ist 3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Lineare Gleichung/3x ist 5/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Der Körper der komplexen Zahlen wird in der Analysis eingeführt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe auch den Anhang| |ISZ=|ESZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Zahl| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} hat die Form {{mathl|term=a+b {{Imaginäre Einheit||}} |SZ=}} mit reellen Zahlen {{math|term=a,b|SZ=.}} Bei der Multiplikation rechnet man {{math|term={{Imaginäre Einheit||}}\cdot {{Imaginäre Einheit||}}=-1|SZ=.}} Die inverse komplexe Zahl zu {{mathl|term=a+b{{Imaginäre Einheit|}} \neq 0|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Bruch|a|a^2+b^2}} - {{op:Bruch|b|a^2+b^2}}{{Imaginäre Einheit||}} |SZ=.}} {{ inputaufgabe |Lineare Gleichung/(2+5i)z ist (3-7i)/Betrag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/2x2/Nur triviale Lösung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Einführendes Beispiel/Glühwein/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fladenbrot/Taler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partnervermittlung/11 Minuten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Familie/Alter/Lineares Gleichungssystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/Schneeglöckchen und Mistelzweige/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uhr/6/Stunden und Minutenzeiger/Gegenüberliegend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Reihe und Spalte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Unter dem {{math|term=i|SZ=-}}ten {{Stichwort|Standardvektor|SZ=}} der Länge {{math|term=n|SZ=}} versteht man den Vektor, der an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle eine {{math|term=1|SZ=}} und sonst nur Nullen stehen hat. {{ inputaufgabe |Matrixmultiplikation/e_i e_j/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Wirkungsweise auf Standardspalten und Standardzeilen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixprodukt/2-i -1-3i -1 i 0 4-21 mal 1+i 1-i 2+5i/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Komplexe Matrizen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Strassen-Algorithmus/2x2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu einer Matrix {{math|term=M|SZ=}} bezeichnet man mit {{math|term=M^n|SZ=}} die {{math|term=n|SZ=-}}fache Verknüpfung {{ Zusatz/Klammer |text=Matrizenmultiplikation| |ISZ=|ESZ= }} mit sich selbst. Man spricht dann auch von {{math|term=n|SZ=-}}ten {{Stichwort|Potenzen|msw=Potenz|SZ=}} der Matrix. {{ inputaufgabe |Matrix/Potenzen/246/135/012/bis 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diagonalmatrix/Wirkungsweise/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die Hauptschwierigkeit in der folgenden Aufgabe liegt im Nachweis der Assoziativität für die Multiplikation {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Matrizenmultiplikation/Assoziativität/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und des Distributivgesetzes. {{ inputaufgabe |Quadratische Matrizen/Matrizenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Transponierte Matrix/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/3-2i 1+5i 0 7i 2+i 4-i mal 1-2i -i 3-4i 2+3i 5-7i 2-i/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Obere Dreiecksmatrix/4/Nulldiagonale/Nilpotent/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben. {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Assoziativität/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenpotenzen/ab0d/Formel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 3vppefg68ddjbuhh1usg6ht3xqfttk9 0 91593 779510 513685 2022-08-21T16:40:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das durch die (multiplikativ geschriebenen) Gleichungen {{ math/disp|term= Z^2 =XY,\, X^2 =X, \, Y^2=Y |SZ= }} gegebene kommutative Monoid. Es ist nicht kürzbar und auch nicht torsionsfrei, da {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z^2 ||XY ||(XY)^2 || || |SZ=, }} aber {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z |\neq|XY || || || |SZ= }} ist. Die kombinatorischen Primideale sind {{ math/disp|term= (\infty), (X,Z), (Y,Z), (X,Y,Z) |SZ=, }} die kombinatorische Dimension ist {{math|term= 2|SZ=}} und das punktierte Spektrum wird von {{mathl|term= D(X)|SZ=}} und {{mathl|term= D(Y)|SZ=}} überdeckt mit dem Durchschnitt {{ Ma:Vergleichskette/disp | D(X) \cap D(Y) || D(XY) || D(Z) || || |SZ=. }} Wir bestimmen den Picard-Cech-Komplex für die Einheiten zu dieser Überdeckung. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |M_X || \langle Z \rangle / ( Z^4 {{=}} Z^2) || || || |SZ=, }} da zunächst aus {{ Ma:Vergleichskette |X^2 ||X || || || |SZ= }} sofort {{ Ma:Vergleichskette |X ||1 || || || |SZ= }} folgt, wenn {{math|term= X|SZ=}} eine Einheit ist. Damit ist {{ Ma:Vergleichskette |Z^2 ||Y || || || |SZ= }} und man kann {{math|term= Y|SZ=}} eliminieren und aus {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||Y || || || |SZ= }} ergibt sich die angegebene Gleichung. Entsprechend ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |M_Y || \langle Z \rangle /(Z^4 {{=}} Z^2) || || || |SZ=. }} Diese Monoide sind positiv, verfügen also außer der {{math|term= 1|SZ=}} über keine Einheiten {{ Zusatz/Klammer |text=obwohl es Nenneraufnahmen sind| |ISZ=|ESZ=. }} Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |M_Z || \langle Z \rangle /(Z^2 {{=}} 1 ) || || || |SZ=. }} Daher ist {{math|term= Z \neq 1|SZ=}} eine Einheit in {{math|term= M_Z|SZ=}} und der Picard-Cech-Komplex ist {{ Zusatz/Klammer |text=additiv geschrieben| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= 0 \oplus 0 \longrightarrow {{op:Zmod|2}} |SZ=. }} Das bedeutet, dass {{math|term= Z|SZ=}} eine nichttriviale Kohomologieklasse in {{mathl|term= H^1(D(X,Y),{ \mathcal O}^\times) = \operatorname{Pic}^\times M|SZ=}} definiert. Insbesondere gibt es nichttriviale Geradenbündel über dem punktierten kombinatorischen Spektrum. Dagegen ist für einen beliebigen Körper {{math|term= K|SZ=}} die lokale Picardgruppe des Monoidringes {{mathl|term= K[M]|SZ=}} trivial, da diese Ringe nulldimensional sind. Für einen {{math|term= K|SZ=-}}wertigen Punkt besitzt nämlich {{math|term= X|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso {{math|term= Y|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} die möglichen Werte {{math|term= 0,1|SZ=}} und {{math|term= Z|SZ=}} die möglichen Werte {{mathl|term= -1,0,1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Punkte sind {{mathl|term= (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (1,1,1), (1,1,-1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Die endlich erzeugte {{math|term= K|SZ=-}}Algebra {{mathl|term= K[M]|SZ=}} besitzt also nur endlich viele Punkte und ist somit nulldimensional. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i63088d3ievdsp0bg0ekc8ws4fe1zln 106 91680 784428 701427 2022-08-22T06:10:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Kurven_(Osnabrück_2017-2018)/Vorlesungsgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|term=Ebene algebraische Kurven}} Was ist eine algebraische Kurve? Zum Beispiel das, was auf den folgenden schönen Bildern zu sehen ist: {{:Algebraische Kurven/Einführung/Gallerie}} Nun kann man natürlich viel malen. Schön sind auch die folgenden Kurven, doch das sind keine algebraischen Kurven: {{ inputbild |Cicloide|svg| 200px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Elborgo |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Logarithmic spiral|png| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Logarithmic_spiral |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Sin|svg| 200px {{!}} {{!}} |Autor=Keytotime |Benutzer=Ysae |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Quadratic Koch|png| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Quadratic_Koch |Autor=Alexis Monnerot-Dumaine |Benutzer=Prokofiev |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} Das {{Anführung|algebraisch}} in algebraische Kurve kommt daher, dass zu ihrer Definition nur algebraische Operationen verwendet werden dürfen, d.h. Addition und Multiplikation, nicht aber analytische Prozesse wie Limes nehmen, unendliche Summen, Approximieren, Differenzieren und Integrieren. Die erlaubten Abbildungen in unserem Kontext sind durch Polynome in mehreren Variablen gegeben. In den obigen Bildern geht es um ebene algebraische Kurven, die durch ein Polynom in zwei Variablen definiert werden. {{:Algebraische Kurven/Einführung/Gallerie/Erläuterung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Gleichungen der Form {{mathl|term=Y^2=G(X)}} }} {{:Algebraische Kurven/Einführung/Gallerie/Erläuterung/Fortsetzung/Newton/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Klammer |text=siehe die siebte Vorlesung| |ISZ=|ESZ=. }}}} Wir kommen zur ersten allgemeinen Definition. {{inputdefinition |Ebene affin-algebraische Kurve/Definition|}} {{Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Lieblingspolynome/Textabschnitt}} Wir beweisen ein Lemma, aus dem direkt folgt, dass die oben zuletzt abgebildeten Kurven nicht algebraisch sind. {{inputfaktbeweis |Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt|Lemma|}} In den obigen Beispielen gibt es aber Geraden, die die Kurven in unendlich vielen Punkten schneiden – deshalb sind sie nicht algebraisch. {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe}} Nach diesen einführenden Beispielen fixieren wir ein paar Begrifflichkeiten, die wahrscheinlich schon bekannt sind. {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|}} Darauf aufbauend kann man auch Polynomringe in mehreren Variablen definieren. Man setzt {{ math/disp|term= K[X,Y] {{defeq}} (K[X] )[Y], \, K[X,Y,Z] {{defeq}} (K[X,Y])[Z] |SZ=, }} etc. Ein Polynom in {{math|term=n}} Variablen hat die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || \sum_{(\nu_1 {{kommadots}} \nu_n)} a_{(\nu_1 {{kommadots}} \nu_n)} X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} || || || |SZ=. }} Es wird dabei summiert über eine endliche Familie von {{Stichwort|Exponententupel}} {{mathl|term= (\nu_1 {{kommadots}} \nu_n) |SZ=.}} Die Ausdrücke {{mathl|term= X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} }} nennt man auch {{Stichwort|Monome|msw=Monom|SZ=.}} Ein Polynom schreibt man zumeist abkürzend als {{ Ma:Vergleichskette |F || \sum_{\nu} a_{\nu} X^{\nu} || || || |SZ=. }} Das Produkt von zwei Monomen bedeutet Addition der Exponententupel, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} |}} \cdot {{makl| X_1^{\mu_1} \cdots X_n^{\mu_n} |}} | {{defeq|}} | X_1^{\nu_1+\mu_1} \cdots X_n^{\nu_n+ \mu_n} || || || |SZ=. }} Für uns, im Kontext der algebraischen Geometrie, ist hauptsächlich der Fall interessant, wo der Grundring {{math|term=R}} ein Körper ist. In der algebraischen Geometrie interessiert man sich für die Gestalt von Nullstellengebilden von Polynomen in mehreren Variablen. Wir werden später sehen, dass die Beziehung zwischen algebraischen und geometrischen Eigenschaften besonders stark ist, wenn der Grundkörper algebraisch abgeschlossen ist. {{inputdefinition|Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition|}} {{ inputbild |Carl Friedrich Gauss|jpg|{{!}} thumb {{!}} |epsname=Carl_Friedrich_Gauss |Text=[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss (1777–1855)]] |Autor= |Benutzer=Bcrowell |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der sogenannte {{Stichwort|Fundamentalsatz der Algebra}} wurde erstmals von Gauss bewiesen. {{inputfaktbeweisverweis|Fundamentalsatz der Algebra/Algebraisch abgeschlossen/Fakt|Satz|}} }} rurtq3wzei6s39drugl4csx6j0f9saa 0 91820 779509 763604 2022-08-21T16:40:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | XY ||Z^ 2 || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} wird der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Omega_{R/K}|SZ=}} durch die Differentiale {{mathl|term= dx,dy,dz|SZ=}} erzeugt mit der einzigen Relation {{ Ma:Vergleichskette/disp |xdy +ydx ||2z dz || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align | \frac{z}{x} dx || \frac{zy}{z^2} dx || \frac{y}{z} dx || \frac{1}{z} {{makl|-xdy +2zdz |}} || - \frac{x}{z} dy + 2 dz || - \frac{xz}{z^2} dy + 2 dz || - \frac{z}{y} dy + 2 dz |SZ= }} kann man die rationale Differentialform {{mathl|term= \frac{z}{x} dx|SZ=}} mit Nenner {{math|term= x|SZ=}} und mit Nenner {{math|term= y|SZ=}} schreiben, es handelt sich also um eine Differentialform, die auf dem punktierten Spektrum {{mathl|term= D(x,y)|SZ=}} definiert ist, also um eine Zariski-Differentialform. Dies ist keine Kähler-Differentialform, wie man auf {{math|term= R_x|SZ=}} sieht. Es ist {{ Ma:Vergleichskette |R_x || K[x,x^ {-1}, z] || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || \frac{z^2}{x} || || || |SZ= }} und der Modul der Kähler-Differentiale ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Omega_{R_x/K} || R_x dx \oplus R_x dz || || || |SZ=. }} Der globale Modul der Kähler-Differentiale ist darin gleich dem von {{mathl|term= dx,dz|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |dy ||d {{makl| \frac{z^2}{x} |}} || -\frac{z^2}{x^2}dx + 2 \frac{z}{x} dz || || |SZ= }} erzeugten {{math|term= R|SZ=-}}Untermodul, wozu {{mathl|term= \frac{z}{x} dx |SZ=}} nicht gehört. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quadrik Z^2-XY |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t1r35hxb2iegt8w23b7urtjg1c90wtc 0 92786 785979 521663 2022-08-22T10:09:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Skizziere{{n Sie}} die Menge {{mathl|term= M= {{Mengebed|(x,y) \in \R^ 2|4x-7y {{=}} 3}} |SZ=}} und die Menge {{mathl|term= N= {{Mengebed|(x,y) \in \R^ 2| 3x+2y {{=}} 5}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} den Durchschnitt {{mathl|term= M \cap N|SZ=}} zeichnerisch und rechnerisch. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2=Mengentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i4en6rht2meh8aok4bm8ft2npzvxss1 0 92788 785980 521665 2022-08-22T10:09:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Skizziere{{n Sie}} die Menge {{mathl|term= M= {{Mengebed|(x,y) \in \R^2|-5x+2y {{=}} 6}} |SZ=}} und die Menge {{mathl|term= N= {{Mengebed|(x,y) \in \R^ 2| 7x-5y {{=}} 4}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} den Durchschnitt {{mathl|term= M \cap N|SZ=}} zeichnerisch und rechnerisch. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2=Mengentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 91setbijvr9qwf3ccimbr173qrypf54 0 92847 785088 758466 2022-08-22T07:45:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K^2 |t| (P(t),Q(t)) |SZ=, }} eine durch zwei Polynome {{mathl|term= P(t),Q(t) \in K[t]|SZ=}} gegebene Abbildung. Es sei {{math|term= B|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Abbildung und es sei {{mathl|term= G \subseteq K^2|SZ=}} eine Gerade. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= B \subseteq G|SZ=}} ist oder dass der Durchschnitt {{mathl|term= B \cap G|SZ=}} endlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6icqy8o0iifuxeq7sduf6jsqizwkgz3 0 93094 780589 754740 2022-08-21T19:33:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die nicht-leeren {{ Definitionslink |Prämath= |Zariski-offenen| |Kontext=Affiner Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmengen auf der {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Geraden| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Affine Gerade|K|}} |SZ=}} genau die {{ Zusatz/Klammer |text=maximalen| |ISZ=|ESZ= }} Definitionsbereiche von {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Zariski-Topologie |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cb3dvumei945s0fk4opdq5r9i5vhtaz 0 93107 783411 757091 2022-08-22T03:24:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|{{CC}}}} || {{CC}}^n || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Menge. Zeige{{n Sie}}, dass unter der Identifizierung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{CC}}^n || \R^{2n} || || || |SZ= }} die Teilmenge {{math|term= V|SZ=}} auch eine affin-algebraische Menge des {{math|term= {{op:Affiner Raum|2n|\R}} |SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}}, dass die Umkehrung nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pabbgeqb6snl29qbwgy1a8jwnrkqgxf 0 93117 785021 758424 2022-08-22T07:35:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein unendlicher {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} ein nichtkonstantes Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass die durch {{math|term= P|SZ=}} definierte Funktion {{ Ma:abb |name=P |K|K || |SZ= }} unendlich viele Werte annimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} czu09jta1f85mdmih10eew0zwdl0uz8 0 93118 784226 748940 2022-08-22T05:40:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion {{ Ma:abb |name=f |M|\R || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f^{-1}(0) ||T || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8jl6uvp41mdo657bwpp2d4wm2qrdaiy 0 93126 780953 755032 2022-08-21T20:34:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die offenen und die abgeschlossenen Bälle {{ mathkor|term1= {{op:Offener Ball|P|r}} |bzw.|term2= {{op:Abgeschlossener Ball|P|r}} |SZ= }} im {{math|term= \R^n|SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette |r |>|0 || || || |SZ= }} nicht offen bzw. abgeschlossen in der {{ Definitionslink |Prämath= |Zariski-Topologie| |Kontext=Affiner Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Zariski-Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g7tn82n15icaxuox67wm3ygvjb9w1xr 0 93145 780419 526191 2022-08-21T19:05:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=f,g,h |\R|\R || |SZ= }} seien durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) ||x^3+x || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |g(y) ||y^2-1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |h(z) || 3z+4 || || || |SZ= }} gegeben. {{ Aufzählung3 |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= g \circ f|SZ=.}} |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= h \circ g|SZ=.}} |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= h \circ g \circ f|SZ=}} auf zwei unterschiedliche Arten. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k4kdux259cx74maa5kifw4bcxazr1rm 0 93174 783921 522981 2022-08-22T04:49:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Begründung| |ISZ=|ESZ=, }} welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im {{math|term= \R^2|SZ=}} als Lösungsmenge eines linearen {{ Zusatz/Klammer |text=inhomogenen| |ISZ=|ESZ= }} Gleichungssystems auftreten können {{ Zusatz/Klammer |text=man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung5 |{{ inputbild |AY 3 8910 obwiednia 1100|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Masur |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} |{{ inputbild |Primka|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Vojtech001 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} |{{ inputbild |Point and line|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Περίεργος |Domäne=el. Wikipedia |Lizenz=GnuFDL |Bemerkung= }} |{{ inputbild |Disk 1|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Paris 16 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} |{{ inputbild |Zero-dimension|GIF|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=File Upload Bot (Magnus Manske) |Domäne= |Lizenz=Gemeinfrei |Bemerkung= }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qhbprfjrrtqlxit678rzf6userokvo1 0 93188 783857 523090 2022-08-22T04:38:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die lineare Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |3x ||5 || || || |SZ= }} für die folgenden Körper {{math|term= K |SZ=:}} a) {{math|term= K=\Q|SZ=,}} b) {{math|term= K=\R|SZ=,}} c) {{mathl|term= K=\{0,1\}|SZ=,}} der Körper mit zwei Elementen aus {{ Beispiellink{{{optlink1|}}} |Präwort=||Beispielseitenname= Körper/Zwei Elemente/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} d) {{mathl|term= K=\{0,1,2,3,4,5,6\}|SZ=,}} der Körper mit sieben Elementen aus {{ Beispiellink{{{optlink2|}}} |Präwort=||Beispielseitenname= Körper/7 Elemente/Einführung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jhy9vv2i3e9v68hlrtpuvjulbuwpbkl 0 93232 785680 758893 2022-08-22T09:19:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller quadratischen {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} mit der Addition von Matrizen und mit der Verknüpfung von Matrizen als Multiplikation ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dqs9ybbkoxzk3j5rsjfupc52cj0eeg0 0 93249 783130 756860 2022-08-22T02:37:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstablelle, in der alle Produkte {{mathl|term= i \cdot j|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |1 |\leq| i,j |\leq| 9 || || |SZ= }} stehen. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Primfaktorzerlegung| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Produktes über alle Einträge in der Tabelle. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qjdy3zr1cze9w1gnsdp7tvunnt784on 0 93251 782270 756125 2022-08-22T00:13:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}-n || || || |SZ= }} auf {{ Definitionslink |Prämath= |Konvergenz| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Verwende{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \sqrt{n+1} - \sqrt{n}|SZ=}} gegen {{math|term= 0|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8bm360xrpoyav6rqz4egm29t5u2bckn 0 93260 780467 754657 2022-08-21T19:13:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Abbildungsmenge|\R|\R}} || || || |SZ=, }} die mit der stellenweisen Addition {{math|term= +|SZ=}} von Funktionen eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Auf dieser Menge bildet die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Abbildungen {{math|term= \circ|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |assoziative Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Identität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |neutralem Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass das Distributivgesetz in der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |(f+g) \circ h || f \circ h +g \circ h || || || |SZ= }} gilt. |Zeige{{n Sie}}, dass das Distributivgesetz in der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | h \circ (f+g) || h \circ f + h \circ g || || || |SZ= }} nicht gilt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie_der_Abbildungsmonoide |Kategorie2=Grundlagen der Ringtheorie (Algebra) |Kategorie3=Theorie der reellen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} frq1xmsae7ad1liq27e305nfa8f2d4a 0 93320 785319 758624 2022-08-22T08:20:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{idealp|}} =(p) \subset K[X] |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Verschwindungsmenge {{mathl|term= V( {{idealp|}} ) \subseteq {{op:Affine Gerade|K|}} |SZ=}} leer {{ Zusatz/Klammer |text=und damit nicht irreduzibel| |ISZ=|ESZ= }} oder aber einpunktig {{ Zusatz/Klammer |text=und damit irreduzibel| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Irreduzibilität von affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f8mkmam2cus1w07n3lxze3n3kcyyczn 0 93321 785320 758625 2022-08-22T08:20:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{idealp|}} \subset K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Verschwindungsmenge| |Kontext=affiner Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V( {{idealp|}} ) \subseteq {{op:Affiner Raum|n|K|}} |SZ=}} nur dann irreduzibel ist, wenn sie einpunktig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Irreduzibilität von affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dyck3r9zk7030jch1howh6s2cacs8wc 0 93330 785037 524217 2022-08-22T07:37:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= P(X)|SZ=}} und {{math|term= Q(Y)|SZ=}} nichtkonstante Polynome in der einen angegebenen Variablen. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Abschätzung {{ Zusatz/Klammer |text=unter welcher Bedingung| |ISZ=?|ESZ= }} für die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Kurven {{mathl|term= V(Y-P(X))|SZ=}} und {{mathl|term= V(X-Q(Y))|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Schnitttheorie von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} el9n4at07eai3k1wzevmyg4kafy0zv5 0 93338 782829 636672 2022-08-22T01:47:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Faktorzerlegegung für die Polynome {{ math/disp|term= X^n-Y^n \in {{CC}}[X,Y] |SZ= }} für {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lds9li4nt4wwbp7mf6imgqaz9pformf 0 93341 784650 524297 2022-08-22T06:40:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wende{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=den Beweis zu| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} }} auf die Hyperbel {{mathl|term= XY-1|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Noethersche Normalisierung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jx2vefz0jffn7jl5j83s9fh1k4306kb 0 93342 784647 579502 2022-08-22T06:40:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wende{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=den Beweis zu| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} }} auf das Polynom {{mathl|term= X^2Y^3+5X^3Y^2-X^2Y^2+3Y+7\in {{CC}}[X]|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Noethersche Normalisierung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ppto7e206cqjv3f3le2n3pgtzj3b2ve 0 93343 784648 579503 2022-08-22T06:40:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wende{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=den Beweis zu| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} }} auf das Polynom {{mathl|term= X^2Y^2 + 6X^3Y^1-5 X^2Y+3Y^2+8XY-1 \in {{CC}}[X]|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Noethersche Normalisierung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} azrbzpg9gora5iolp5y5brwggv6sdgr 0 93510 780578 754733 2022-08-21T19:31:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei sowohl {{mathl|term= C|SZ=}} als auch {{math|term= D|SZ=}} eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von drei {{ Zusatz/Klammer |text=verschiedenen| |ISZ=|ESZ= }} Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |affin-linearen Koordinatenwechsel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt, der {{math|term= C|SZ=}} in {{math|term= D|SZ=}} überführt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der affin-linearen Äquivalenz von affinen Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Transformation |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a3c5jj2opef66ti0fbdooy289tocrof 0 93511 780583 754735 2022-08-21T19:32:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei sowohl {{mathl|term= C|SZ=}} als auch {{math|term= D|SZ=}} eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von vier {{ Zusatz/Klammer |text=verschiedenen| |ISZ=|ESZ= }} Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige{{n Sie}}, dass es im Allgemeinen keinen {{ Definitionslink |Prämath= |affin-linearen Koordinatenwechsel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt, der {{math|term= C|SZ=}} in {{math|term= D|SZ=}} überführt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der affin-linearen Äquivalenz von affinen Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Transformation |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oab9d5lbc33sj6mxoihmja3wyqfhrwo 0 93514 784619 758130 2022-08-22T06:36:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine nicht-algebraische {{ Zusatz/Klammer |text=nicht polynomiale| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^2|SZ=,}} deren Bild aber mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |algebraischen Kurve| |Kontext=Ebene| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bnk7f09ey9ag7q3etvvz656wxk4625p 0 93530 785137 758498 2022-08-22T07:53:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \R[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=.}} Für {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} setzen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |F_n || 1+2X+3X^2 {{plusdots|}} (n+1)X^n || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathbed|term= F_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R[X]|SZ=}} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern als Vektorraum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0gy1zs492c834ft5wr6rfxm4asec0tg 0 93531 785136 758497 2022-08-22T07:53:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \R[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=.}} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette |P_0 ||1 || || || |SZ= }} und für {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} setzen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |P_n || (X-1)(X-2) \cdots (X-n) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathbed|term= P_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R[X]|SZ=}} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern als Vektorraum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2f4o3i0tp87ooerbh1l6vaz1ueanu68 0 93533 783616 748764 2022-08-22T03:58:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= K^n|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi_{{basis|v}} |K^n| K^n | {{op:Spaltenvektor|s_1|\vdots|s_n}} | {{skalar}}_1 v_1 + {{skalar}}_2 v_2 {{plusdots}} {{skalar}}_n v_n |SZ=, }} die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Basis/Eindeutige Darstellung/Koordinaten/Bijektion/Bemerkung|Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Abbildung im Allgemeinen nicht mit der komponentenweisen Multiplikation im {{math|term= K^n|SZ=}} verträglich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 16441i99uudwh4w0j78bug55wjvjtmp 0 93554 781696 746658 2022-08-21T22:38:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | F(x) |\in| K[x] || || || |SZ= }} ein Polynom in einer Variablen über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K |SZ=.}} Parametrisiere{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= F|SZ=}} durch Polynome. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d0axqqhtsa6xbefcnvqvoor4lrx46l4 0 93555 781664 525451 2022-08-21T22:32:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine polynomiale Parametrisierung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{op:Affine Gerade|\R|}} |C \subset {{op:Affine Ebene|\R|}} || |SZ= }} an, wobei {{math|term= C|SZ=}} der Zariski-Abschluss des Bildes sein soll und wobei unendlich viele Punkte von {{math|term= C|SZ=}} nicht im Bild liegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9oluvbgaump2j3io5cvll033sqz4g4n 0 93556 784984 758405 2022-08-22T07:29:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= f=a+bX+cX^2 |SZ= }} mit {{math|term= a,b,c \in \R|SZ=}} derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden. {{ math/disp|term= f(-2) =3,\, f(0) = 2,\, f(1) = 4 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3cjxll7ue9lp9xr9eesqovpiqu86x5o 0 93581 785149 758504 2022-08-22T07:54:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K[X]|K[X] || |SZ= }} durch {{mathl|term= X \mapsto aX+b|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} gegeben ist {{ Zusatz/Klammer |text=also durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-lineare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Variablentransformation| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismen des affinen Raumes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tfk2uva8zmuh3dh9oqc976evjr4ues7 0 93595 781662 755598 2022-08-21T22:32:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} ein Polynom und {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||V(Y-F(X)) |\subset| {{op:Affine Ebene|K|}} || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= C|SZ=}} zur {{math|term= x|SZ=-}}Achse {{ Ma:Vergleichskette |V(Y) | \subset | {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraisch äquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, aber im Allgemeinen nicht {{ Definitionslink |Prämath= |affin-linear äquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismen des affinen Raumes |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzbegriffe für affine Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kx8uaeo1crakrwrz70ybxlkvqwunssz 0 93613 785792 758968 2022-08-22T09:38:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche Quadriken im {{math|term= \R^2|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} sind zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraisch äquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzbegriffe für affine Varietäten |Kategorie2= Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} npfyrahlcr923domyfzx62t29afits7 0 93640 783764 748763 2022-08-22T04:23:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine Familie von Vektoren in {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Familie genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} gibt, für den die Familie eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} roxrzk76ge4mdai4kehefo9ct3r46mk 0 93642 783094 525811 2022-08-22T02:31:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Standardkegel {{ Ma:Vergleichskette |V(Z^2-X^2-Y^2) |\subset| {{op:Affiner Raum|3|\R}} || || || |SZ= }} und die Ebenen, die durch die Drehachse {{mathl|term= V(X-1,Z)|SZ=}} verlaufen. Bestimme{{n Sie}}, in Abhängigkeit vom Drehwinkel {{math|term= \alpha|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=gemessen in der {{mathl|term= x-z|SZ=-}}Ebene gegen den Uhrzeigersinn| |ISZ=|ESZ=, }} den Typ des durch die Ebene {{math|term= E_\alpha|SZ=}} gegebenen Kegelschnitts. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kegelschnitte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oj2eeqpv2h3lg0edpllvd11jxn9twan 0 93643 783095 525812 2022-08-22T02:31:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Standardkegel {{ Ma:Vergleichskette |V(Z^2-X^2-Y^2) |\subset| {{op:Affiner Raum|3|\R}} || || || |SZ= }} und die Ebenen, die durch die Drehachse {{mathl|term= V(X-1,Z-1)|SZ=}} verlaufen. 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Bestimme{{n Sie}}, in Abhängigkeit vom Drehwinkel {{math|term= \alpha|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=gemessen in der {{mathl|term= x-z|SZ=-}}Ebene gegen den Uhrzeigersinn| |ISZ=|ESZ=, }} den Typ des durch die Ebene {{math|term= E_\alpha|SZ=}} gegebenen Kegelschnitts. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kegelschnitte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3sqm84f12v2ftss63sjz2sfdpt61ft8 0 93666 783905 757534 2022-08-22T04:46:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | 8x-3y+5z+7u +6v ||0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |9x+ 2y+\,\, z \,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, -v || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\, 7 y-\,\, z +4u \,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, || 0 || || || |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=.}} {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{basis|b}}_1 |SZ=}} des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems. |Ergänze{{n Sie}} die Basis {{math|term= {{basis|b}}_1 |SZ=}} zu einer Basis {{math|term= {{basis|b}}_2 |SZ=}} des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht. |Ergänze{{n Sie}} die Basis {{math|term= {{basis|b}}_2 |SZ=}} zu einer Basis {{math|term= {{basis|b}}_3 |SZ=}} des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht. |Ergänze{{n Sie}} die Basis {{math|term= {{basis|b}}_3 |SZ=}} zu einer Basis {{math|term= {{basis|b}}_4 |SZ=}} des Gesamtraumes {{math|term= \R^5|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie= Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=3 |p2=2 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ybsv3cppmvj84aim29af4jscc2digs 0 93667 783904 757533 2022-08-22T04:46:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | 9x-8y+7z-8u +4v ||0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\, 3y+7z -4 u+6v || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \, \,\,\,\,\,\,\, -2z +5 u +7v || 0 || || || |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=.}} {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{basis|b}}_1 |SZ=}} des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems. |Ergänze{{n Sie}} die Basis {{math|term= {{basis|b}}_1 |SZ=}} zu einer Basis {{math|term= {{basis|b}}_2 |SZ=}} des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht. |Ergänze{{n Sie}} die Basis {{math|term= {{basis|b}}_2 |SZ=}} zu einer Basis {{math|term= {{basis|b}}_3 |SZ=}} des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht. |Ergänze{{n Sie}} die Basis {{math|term= {{basis|b}}_3 |SZ=}} zu einer Basis {{math|term= {{basis|b}}_4 |SZ=}} des Gesamtraumes {{math|term= \R^5|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie= Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ek0tscwl8rfw7tufulszlp3h4yltdn 0 93691 783496 757165 2022-08-22T03:38:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p|SZ=}} und {{math|term= q|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= \Q|SZ=}} definierten| |ISZ=|ESZ= }} Quadriken {{ Ma:Vergleichskette/disp |C {{=|}} V(X^2+Y^2-p), D {{=|}} V(X^2+Y^2-q) |\subset| {{op:Affine Ebene|\Q|}} || || || |SZ= }} nicht zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |affin-linear äquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Äquivalenz von affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der quadratischen Erweiterungen von kommutativen Ringen |Kategorie3=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie4=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0w1e6i3nodcteef0r9l1h0o1tiyybxd 0 93704 782953 756697 2022-08-22T02:07:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |2 |\neq|0 || || || |SZ= }} und sei {{mathl|term= r \in R|SZ=}} ein Element, das in {{math|term= R|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Quadratwurzel| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitze. Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Ringerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R |\subset|R [X]/(X^2-r) | {{defeqr|}} |S || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Elemente {{mathl|term= f \in R|SZ=,}} die in {{math|term= S|SZ=}} eine Quadratwurzel besitzen, von der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |f ||y^2 || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= y \in R|SZ=}} oder von der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |f ||r z^2 || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= z \in R|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Erweiterungen von kommutativen Ringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o1ehwpab9vj8nniqy4hatildt9cbl6f 0 93722 785888 526065 2022-08-22T09:54:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} für die rationale Quadrik {{ Ma:Vergleichskette/disp |C {{=|}} V(X^2+Y^2-5) |\subset| {{op:Affine Ebene|\Q|}} || || || |SZ= }} eine rationale Parametrisierung im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit dem Hilfspunkt {{mathl|term= (1,2)|SZ=}} und einer geeigneten Geraden durch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie3= |Kategorie4= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k2kqmx1w1rkqu8i31o87i70dc0rdo44 0 93766 785889 759047 2022-08-22T09:54:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | p \mod 4 ||3 || || || |SZ=. }} Begründe{{n Sie}} unter Bezug auf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass die rationale Quadrik {{ Ma:Vergleichskette/disp |C {{=|}} V(X^2+Y^2-p) |\subset| {{op:Affine Ebene|\Q|}} || || || |SZ= }} leer ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie3= |Kategorie4= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kxxadpudhw17gwaoa0isxpnma6p58nx 0 93774 784167 746683 2022-08-22T05:30:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | H_1,H_2 |\in| K[X] || || || |SZ= }} Polynome in einer Variabeln und {{ Ma:Vergleichskette | C_1 || V(Y-H_1) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | C_2 || V(Y-H_2) || || || |SZ= }} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{mathl|term= {{op:Affine Ebene|K|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man das zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zwei Variablen beschreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c2zyx6je9b5hl0y37yjh0v6pv19v0dj 0 93776 784165 526129 2022-08-22T05:30:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine möglichst einfache Gleichung für das mechanische System, das durch die {{math|term= X|SZ=-}}Achse, die {{ Zusatz/Klammer |text=verschobene| |ISZ=|ESZ= }} Parabel {{ Ma:Vergleichskette |Y ||X^2+1 || || || |SZ= }} und den Abstand {{math|term= 2|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kgdj61lf0mdzdsca4tevh02vev8zxyq 0 93844 782170 577089 2022-08-21T23:57:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie {{math|term= 30|SZ=}} km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch {{math|term= 30|SZ=}} km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mediant-Addition rationaler Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p7diqk0lsjl23px2nj3xpx7gmom0krb 0 93847 784156 757818 2022-08-22T05:28:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} Gleichungen für das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch den Einheitskreis, die {{math|term= x|SZ=-}}Achse und den Abstand {{math|term= 1|SZ=}} gegeben ist. Was sind die {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen Komponenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Systems? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} if7angps6hkb6z8r7nwux8a9to3mtml 0 93848 784153 757815 2022-08-22T05:28:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} Gleichungen für das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch die {{math|term= x|SZ=-}}Achse, die {{math|term= y|SZ=-}}Achse und den Abstand {{math|term= 1|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q5it9aja501uqxkf702q21jf7d8poqt 0 93849 784154 757816 2022-08-22T05:28:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} Gleichungen für das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch das Achsenkreuz {{ Zusatz/Klammer |text=als gemeinsame Bahn| |ISZ=|ESZ= }} und den Abstand {{math|term= 1|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dra0fppgvqgb71yqmq6ottcv81tkayv 0 93850 784160 757822 2022-08-22T05:29:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} Gleichungen für das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch die {{math|term= x|SZ=-}}Achse {{ Zusatz/Klammer |text=als gemeinsame Bahn| |ISZ=|ESZ= }} und den Abstand {{math|term= 1|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2w6r6xq0c5n5pa35o7z3x68vs7b3y61 0 93851 784152 757814 2022-08-22T05:28:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M |\subset| {{op:Affiner Raum|4|\R}} || || || |SZ= }} ein durch die beiden Bahnen {{ mathkor|term1= B_1 |und|term2= B_2 |SZ= }} und den Abstand {{math|term= d|SZ=}} gegebenes {{ Definitionslink |Prämath= |mechanisches System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche {{ Definitionslink |Prämath= |injektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M| B_1 \times B_2 || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qob97any9n8991dqj9060wj6stryg87 0 93852 784155 757817 2022-08-22T05:28:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |B ||V(G) |\subset| {{op:Affine Ebene|\R|}} || || |SZ= }} eine Bahn, die wir als {{ Definitionslink |Prämath= |mechanisches System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} in dem Sinne auffassen, dass die beiden Punkte mit dem Abstand {{math|term= d|SZ=}} auf dieser einen Bahn liegen müssen. Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche {{ Definitionslink |Prämath= |fixpunktfreie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M|M || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der Fixpunkte von Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bathgil5vf58kumrg2njtghahspp6u 0 93854 784158 757820 2022-08-22T05:29:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} Gleichungen für das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch den {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitskreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als gemeinsame Bahn| |ISZ=|ESZ= }} und den Abstand {{math|term= 2|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9bjpicnjgc39wp9e7qqplte0yc0wyqb 0 93855 784157 757819 2022-08-22T05:28:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} Gleichungen für das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch den {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitskreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als gemeinsame Bahn| |ISZ=|ESZ= }} und den Abstand {{math|term= 1|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ijkmyh4b1xin5nv1hav8qvgfsfctqr 0 93856 784166 757827 2022-08-22T05:30:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |B_1 {{=|}} V(F_1), B_2 {{=|}} V(F_2) |\subseteq| {{op:Affine Ebene|\R|}} || || || |SZ= }} zwei Bahnen, und es sei ein Abstand {{math|term= d|SZ=}} fixiert. Vergleiche{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} zu diesen Bahnen mit dem System {{math|term= N|SZ=,}} das zu der einen Bahn {{mathl|term= B_1 \cup B_2|SZ=}} gehört. Zeige{{n Sie}}, dass es zwei natürliche injektive Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name= |M|N || |SZ= }} gibt. Es sei {{math|term= L_i|SZ=}} das mechanische System das zu {{math|term= B_i|SZ=}} als alleiniger Bahn gehört. Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche surjektive Abbildung der Form {{ Ma:abbele/disp |name= |L_1 \uplus L_2 \uplus M \uplus M|N || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9jrc27b1ueztj6esjiy1rp4xmpwmoaq 0 93867 784163 757825 2022-08-22T05:29:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch die {{math|term= x|SZ=-}}Achse und den Kreis mit Radius {{math|term= 1|SZ=}} und Mittelpunkt {{mathl|term= (0,2)|SZ=}} gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei {{math|term= d>0|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Erstelle{{n Sie}} die Gleichungen, die dieses System beschreiben. |Bestimme{{n Sie}}, für welche {{math|term= d|SZ=}} das System in jedem Punkt {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Bestimme{{n Sie}} die kritischen Punkte in Abhängigkeit von {{math|term= d|SZ=.}} Wie kann man diese Punkte als Eigenschaft des mechanischen Systems erklären? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=5 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q3z75cv22mfmlterjcunhjkmpfna9e9 0 93870 784164 757826 2022-08-22T05:30:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch die {{math|term= x|SZ=-}}Achse und den Kreis mit Radius {{math|term= 1|SZ=}} und Mittelpunkt {{mathl|term= (0,2)|SZ=}} gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei {{math|term= d>0|SZ=.}} Wir knüpfen an {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Mechanisches System/Kreis/Gerade/Disjunkt/Regularität über Jacobi-Matrix/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an. {{ Aufzählung2 |Eliminiere{{n Sie}} die Variable {{math|term= y_1|SZ=}} aus den Gleichungen des Systems. |Bestimme{{n Sie}} mit der einen beschreibenden Gleichung des Systems in den Variablen {{ mathkor|term1= x_1 |und|term2= x_2 |SZ=, }} für welche {{math|term= d|SZ=}} das System in jedem Punkt {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c2qjqqdjx4w22h5gvg2illko49p3nsj 0 93877 784162 757824 2022-08-22T05:29:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch die {{math|term= x|SZ=-}}Achse und den Kreis mit Radius {{math|term= 1|SZ=}} und Mittelpunkt {{mathl|term= (0,2)|SZ=}} gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei {{math|term= d>0|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Begründe{{n Sie}} anschaulich und zeige{{n Sie}}, dass dieses mechanische System zu {{ Ma:Vergleichskette |d |>|3 || || || |SZ= }} nicht {{ Zusatz/Klammer |text=in der reellen Topologie| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |wegzusammenhängend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Begründe{{n Sie}} anschaulich und zeige{{n Sie}}, dass dieses mechanische System zu {{ Ma:Vergleichskette |1 |\leq|d |\leq|3 || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |wegzusammenhängend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der zusammenhängenden Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 61zi7mdfzbose9g6ed0ngbxond8gvku 0 93878 784151 757813 2022-08-22T05:27:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | M |\subset| {{op:Affiner Raum|4|\R|}} || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |mechanisches System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= |M| S^1(d) |(P_1,P_2)| P_1-P_2 |SZ=, }} eine Abbildung des Systems auf den Kreis mit Radius {{math|term= d|SZ=}} gegeben ist. Was bedeutet die Surjektivität dieser Abbildung? Kann diese Abbildung nur endlich viele Bildpunkte besitzen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c7syxvco720iri6j0nustgn5cztzjub 0 93880 784150 757811 2022-08-22T05:27:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |M |\subset| {{op:Affiner Raum|4|\R}} || || || |SZ= }} zum Einheitskreis, zum Kreis mit Mittelpunkt {{mathl|term= (0,2)|SZ=}} und Radius {{math|term= 4|SZ=}} und zum Koppelungsabstand {{math|term= 5|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Mechanisches System/Abbildung auf Kreis/Stangenrichtung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht surjektiv ist. Was ist das Bild? |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dw516u6sd8hw4aes20isybarja4f9du 0 93885 780977 755050 2022-08-21T20:38:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} der Vektorraum der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynome| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \leq d|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den Basen {{mathl|term= {{Basis|u}} =X^0,X^1,X^2 {{kommadots|}} X^d |SZ=}} und {{mathl|term= {{Basis|v}} =P_0 , P_1, P_2 {{kommadots}} P_d |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |P_0 ||1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |P_i || (X-1) \cdots (X-i) || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |d ||0,1,2 {{kommadots|}} 4 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern als Vektorraum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3iauvcrawq12oj4fqjuqt3uzxqkxsme 0 93906 783321 757017 2022-08-22T03:09:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Varietät der kommutierenden {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also die Menge der Matrizenpaare {{ Ma:Vergleichskette/disp | V || {{Mengebed|(A,B)| A,B \in {{op:Matq|2|K}} |AB {{=}} BA }} |\subseteq | {{op:Matq|2|K}} \times {{op:Matq|2|K}} |\cong| {{op:Affiner Raum|8|K}} || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Varietät| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und bestimme{{n Sie}} möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben. |Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |V| {{op:Matq|2|K}} |(A,B)| A |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Bestimme{{n Sie}} das Urbild von {{mathl|term= {{op:Matrix22|1|1|0|0}} |SZ=}} unter {{math|term= \pi|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Varietäten zu linearen Objekten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c64q8m6rc6h8uzmix7x837gpxlyjm5i 0 93977 784159 757821 2022-08-22T05:29:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch die {{math|term= x|SZ=-}}Achse, die Parabel {{mathl|term= V(Y-X^2)|SZ=}} und den Koppelungsabstand {{math|term= 1|SZ=}} gegeben ist. {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} Gleichungen {{ Zusatz/Klammer |text=in möglichst wenigen Variablen| |ISZ=|ESZ= }} für das mechanische System. |Besitzt das System kritische Punkte? |Bestimme{{n Sie}} die Gleichung für den Bewegungsvorgang zum Mittelpunkt der Verbindungsstange. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ldb786i57of4zk1ekgpbt8gmuj3gugx 0 93978 784161 757823 2022-08-22T05:29:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch die Parabel {{mathl|term= V(Y-X^2)|SZ=,}} den Kreis mit Mittelpunkt {{mathl|term= (0,2)|SZ=}} und Radius {{math|term= 1|SZ=}} und den Koppelungsabstand {{math|term= 1|SZ=}} gegeben ist. {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} Gleichungen {{ Zusatz/Klammer |text=in möglichst wenigen Variablen| |ISZ=|ESZ= }} für dieses mechanische System. |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Systems in der metrischen Topologie. |Bestimme{{n Sie}} die Zusammenhangskomponenten des Systems in der {{ Definitionslink |Prämath= |Zariski-Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der zusammenhängenden Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tct8s8986g2vl2ywqsjhmgqkejsmro6 0 94045 781454 755465 2022-08-21T21:57:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= U_1 {{kommadots|}} U_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=,}} deren Summe {{math|term= V|SZ=}} ergibt. Zeige{{n Sie}}, dass diese Summe genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |direkt| |Kontext=Summe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die Dimensionsbeziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Vektorraumdimension|V|}} || \sum_{i {{=}} 1}^n {{op:Vektorraumdimension|U_i|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summen |Kategorie2=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6gfm68fzjw33liue1oquy5lvpsyyi86 0 94051 786065 759215 2022-08-22T10:23:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \R|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der noetherschen topologischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6q4sjs29m54kch6my20upu4bbqbuzem 0 94053 784653 758158 2022-08-22T06:40:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R \times S|SZ=}} zu {{ Definitionslink |Prämath= |noetherschen Ringen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} wieder noethersch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der noetherschen kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6kve04gmf9fuz5fuvien295ytw12km9 0 94089 785131 758492 2022-08-22T07:52:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es in {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} keine obere Schranke für die Anzahl der Erzeuger von {{ Definitionslink |Prämath= |Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in einem minimalen {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der noetherschen kommutativen Ringe |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fe6g7usgd02856ach4nz78hprzhrimq 0 94092 782801 756566 2022-08-22T01:42:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{idealb|}} | \subseteq| R[X] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das zumindest ein {{ Definitionslink |Prämath= |normiertes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthalte. Was bedeutet dies für die im Beweis zum {{ Faktlink |Präwort=|Hilbertschen Basissatz|Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konstruierte Idealkette in {{math|term= R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Basissatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7pflraplu5d85ks5qknycjwzovv8b2u 0 94093 782799 756564 2022-08-22T01:42:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Charakterisiere{{n Sie}} diejenigen {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealb|}} | \subseteq| R[X] || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass die im Beweis zum {{ Faktlink |Präwort=|Hilbertschen Basissatz|Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konstruierte Idealkette in {{math|term= R|SZ=}} konstant ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Basissatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5zg5mfao86lsqjcvhvaqnhjwgn7g8vo 0 94094 782800 756565 2022-08-22T01:42:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X] || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} zu den {{ Definitionslink |Prämath= |Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealb|}} || (X,Y)^m |\subseteq| R[Y] {{=}} K[X,Y] || || |SZ= }} die im Beweis zum {{ Faktlink |Präwort=|Hilbertschen Basissatz|Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konstruierte Idealkette in {{math|term= R|SZ=.}} Wann wird sie stationär? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Basissatz |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie3=Potenzen von Idealen (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2cnec3c0x1jh5qa3pn8gyfdtwg56god 0 94099 784149 757810 2022-08-22T05:27:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |mechanische System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das durch den Einheitskreis und die dazu tangentiale Gerade durch {{mathl|term= (0,1)|SZ= }} mit dem Koppelungsabstand {{mathl|term= d=2|SZ=}} definiert ist. Zeige{{n Sie}}, dass man dieses System mit zwei Variablen beschreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der Quartiken in zwei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ndarfsmbtutda1xrqjyktnfqm1thmn3 0 94149 784073 757719 2022-08-22T05:14:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M ||(a_{ij})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K^n|K^m | {{op:Spaltenvektor|s_1|\vdots|s_n|}} | M {{op:Spaltenvektor|s_1|\vdots|s_n|}} {{=}} {{op:Spaltenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^n a_{1j} s_j | \sum_{j {{=}} 1}^n a_{2j} s_j |\vdots| \sum_{j {{=}} 1}^n a_{mj} s_j }} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ky4xwmkojpy03iacyrlksvbupwbbqir 0 94150 783837 757463 2022-08-22T04:35:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{mathl|term= U,V,W|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Es seien {{ Ma:abb |name= \varphi |U|V || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= \psi |U|W || |SZ= }} {{ Definitionslink |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |U | V \times W |u|\varphi (u) \times \psi (u) |SZ= }} in den {{ Definitionslink |Produktraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Produktabbildung/Beliebig/Definition |SZ= }} {{mathl|term= V \times W|SZ=}} eine lineare Abbildung ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ckdec5jzn4iwezabkg1rvbrk9jrmzjv 0 94157 784659 758162 2022-08-22T06:41:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} endlich erzeugt und {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |noethersch| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein kann, ohne dass {{math|term= R|SZ=}} noethersch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der noetherschen kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efh4jgifj08y0dng4e0ww84hr881viq 0 94176 784357 757991 2022-08-22T06:00:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Es seien {{math|term= s_1 {{kommadots|}} s_k \in R|SZ=}} und {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n \in V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^k s_i |}} \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 1}^n v_j |}} || \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modultheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 29ls984wi9xauz94vsv0sebva13w8xt 0 94258 783597 757249 2022-08-22T03:55:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow L \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow 0 }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= L,M,N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:Dualer Modul|N|}} \longrightarrow {{op:Dualer Modul|M|}} \longrightarrow {{op:Dualer Modul|L|}} \longrightarrow 0 |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dualräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} führt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2=Theorie der kurzen exakten Sequenzen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t7w4njkrmr2se7pdgnwb2piehemq4m9 0 94261 783598 757250 2022-08-22T03:55:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} eine ganze Zahl. Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow \Z \stackrel{\cdot a}{ \longrightarrow} \Z \longrightarrow {{op:Zmod|a|}} \longrightarrow 0 }} von {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man die nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Kurze exakte Sequenz/Modul/Duale Sequenz/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} exakte Sequenz {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:Dualer Modul| ( {{op:Zmod|a|}} )|}} \longrightarrow {{op:Dualer Modul|\Z|}} \longrightarrow {{op:Dualer Modul|\Z|}} |SZ= }} bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq|2 || || || |SZ= }} nicht nach rechts durch {{mathl|term= \rightarrow 0|SZ=}} exakt fortsetzen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kurzen exakten Sequenzen (kommutative Gruppen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4xkswh97v9rvstnx9d33a119clyy2uw 0 94268 784967 758398 2022-08-22T07:27:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|}} und sei {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} ein nichtkonstantes {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Elemente über einem Körper |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6vmdgmcdcof7bcg1qlctvhardd4a6wg 0 94274 785054 758443 2022-08-22T07:40:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und seien {{mathl|term= n+1|SZ=}} Polynome {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_{n+1} \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass diese {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraisch abhängigen Elemente über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3tw9ccn3h33kw7g1hik42hd45x3k3by 0 94277 785055 758444 2022-08-22T07:40:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch unabhängig| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraisch abhängigen Elemente über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6mfdhg72ymfenkhimocvylyxwyg5av5 0 94281 780627 754757 2022-08-21T19:39:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und seien {{mathl|term= n|SZ=}} Elemente {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_{n} \in A|SZ=}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass diese Elemente genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch unabhängig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, wenn die von diesen Elementen {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=-}}Algebra {{mathl|term= K[f_1 {{kommadots|}} f_n ]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraisch abhängigen Elemente über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} chwrix9s8ngk12ukyqub2yng9ffhx24 0 94286 783781 757415 2022-08-22T04:26:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |4-petal motif|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Tomruen |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Skizziere{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der dargestellten Kreise unter der durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Matrix22|2|0|0|3}} |SZ=}} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{math|term= \R^2|SZ=}} in sich. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der geometrischen Figuren in der euklidischen Ebene |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqsrnt013he6kauihvhpl4cz6giykln 0 94287 783788 757420 2022-08-22T04:27:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} eine {{Anführung|geometrische Figur|SZ=,}} beispielsweise ein Kreis oder ein Rechteck in der Ebene. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \theta_w |\R^n |\R^n |x|x+w |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Verschiebung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} um den Vektor {{math|term= w|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |F' || \theta_w (F) || || || |SZ= }} die verschobene Figur. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\R^n| \R^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi (F')|SZ=}} aus dem Bild {{mathl|term= \varphi(F)|SZ=}} durch eine Verschiebung hervorgeht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der geometrischen Figuren in der euklidischen Ebene |Kategorie3=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rqnzu4m4viauh03cruh67m3e1dm95yq 0 94289 783778 757412 2022-08-22T04:25:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^2| \R^2 || |SZ=, }} die durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Matrix22|8|4|5|9|}} |SZ=}} gegeben ist. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |5x-7y || 0 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden. |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |6x-11y || 0 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2wujlss0by91r00qhb01v8s6ijw5spl 0 94290 783779 757413 2022-08-22T04:25:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^2| \R^2 || |SZ=, }} die durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Matrix22|2|5|3|4|}} |SZ=}} gegeben ist. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |3x-7y || 0 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden. |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |4x-3y || 0 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lr7henz93e4eqxw66py989ljtpikba8 0 94310 784606 758122 2022-08-22T06:34:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= f \in R|SZ=}} ein Element und {{math|term= R_f|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= R_f|SZ=}} der Nullring ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2=Theorie der nilpotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 20e22qrmn9bdpwbjhokxzwmweu72pxq 0 94314 783953 529085 2022-08-22T04:54:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}} den Zusammenhang {{ Ma:Vergleichskette/disp |\int_1^{ab} {{op:Bruch|1|x}} dx || \int_1^{a} {{op:Bruch|1|x}} dx + \int_1^{b} {{op:Bruch|1|x}} dx || || || |SZ= }} für {{mathl|term= a,b \in \R_+|SZ=}} allein mit der Hilfe von Integrationsregeln. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Logarithmen |Kategorie2=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jp0occb3rn9ekhg418mlsli42e3x0kd 0 94318 786497 759536 2022-08-22T11:35:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^3|\R^2 || |SZ= }} wie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= R^3/Schrägbild/Lineare Abbildung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gegeben, um räumliche Figuren in der Ebene darzustellen. {{ManSie|Man stelle|Stellen Sie}} sich das {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem Punkt {{mathl|term= P \in \R^2|SZ=}} vor. Wie sehen die zugehörigen Geradengleichungen aus? Welche Punkte {{math|term= Q \in \R^3 |SZ=}} besitzen den gleichen Bildpunkt wie der Eckpunkt {{mathl|term= (1,1,1)|SZ=}} des Einheitswürfels? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hhx3h7ian6khwtpndct3cz5mm3m7hou 0 94320 780616 753043 2022-08-21T19:38:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{op:Affiner Raum|m|K}} | {{op:Affiner Raum|n|K}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |polynomiale Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Räumen| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |m |<|n || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der polynomialen Abbildungen zwischen affinen Räumen |Kategorie2=Theorie der algebraisch abhängigen Elemente über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ilosyxbz1oorkmjf5r1sua9umv08chr 0 94323 784349 757983 2022-08-22T05:59:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name= \varphi |M|N || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dies zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |kurzen exakten Sequenz| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:Kern|\varphi|}} \longrightarrow M \longrightarrow {{op:Bild|\varphi|}} \longrightarrow 0 |SZ= }} führt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kurzen exakten Sequenzen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Modulhomomorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bn0tp46hqdjya95226v4kmlc1c5j6y6 0 94329 783596 757248 2022-08-22T03:55:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ math/disp|term= {{kurzeexaktesequenz/disp |L |M |N |SZ= }} }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es gebe ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul-Erzeugen{{latextrenn}}densystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} mit {{math|term= k|SZ=}} Elementen und ein {{math|term= R|SZ=-}}Modul-Erzeugendensystem von {{math|term= N|SZ=}} mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen. Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{math|term= R|SZ=-}}Modul-Erzeugendensystem von {{math|term= M|SZ=}} mit {{math|term= k+n|SZ=}} Elementen gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kurzen exakten Sequenzen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der minimalen Erzeugendenzahl von Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0usalguxp3jksdw79fuzd1srtifjm8h 0 94331 781985 755877 2022-08-21T23:26:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= A|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=A |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} auch ein endlicher {{math|term= R|SZ=-}}Modul ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlich erzeugten Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der endlichen kommutativen Algebren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} irhup1r3pa7551uqfknnu564qspi3zw 0 94339 782810 756574 2022-08-22T01:44:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es nur endlich viele {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellengebilde| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} gibt, aber unendlich viele {{ Definitionslink |Prämath= |Radikale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Nullstellensatz (geometrische Versionen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aslfu9vw3deik1mg25rm8mtjqrc6csv 0 94350 783805 757436 2022-08-22T04:30:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vorlage:Modulhomomorphismus/Kommutativer Ring/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung4 |Für einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq| M || || || |SZ= }} ist auch das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi(S) |SZ=}} ein Untermodul von {{math|term= N|SZ=.}} |Insbesondere ist das Bild {{mathl|term= {{op:Bild|\varphi|}}= \varphi(M) |SZ=}} der Abbildung ein Untermodul von {{math|term= N|SZ=.}} |Für einen Untermodul {{mathl|term= T \subseteq N|SZ=}} ist das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi^{-1}(T) {{{zusatz2|}}}|SZ=}} ein Untermodul von {{math|term= M|SZ=.}} |Insbesondere ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi^{-1}(0)|SZ=}} ein Untermodul von {{math|term= M|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jiz38np67fp5jv8nmmyc4rw3gea3hh6 0 94358 782809 756573 2022-08-22T01:43:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f,g \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |V(f) |\subseteq| V(g) || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn es eine natürliche Zahl {{math|term= r|SZ=}} und ein {{mathl|term= h \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |fh ||g^r || || || |SZ= }} gibt. Betrachte{{n Sie}} auch die Spezialfälle, wo {{ mathkor|term1= f |bzw.|term2= g |SZ= }} konstante Polynome sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Nullstellensatz (geometrische Versionen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2nr1vneec47p8u1n22vb5smmbtf4qr1 0 94359 782808 756572 2022-08-22T01:43:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Hilbertschen Nullstellensatz|Faktseitenname= Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} direkt für den {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1 K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einer Variablen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Nullstellensatz (geometrische Versionen) |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2trbyw9xisow9jfjebev4hnrqmwzclr 0 94360 782886 756648 2022-08-22T01:56:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |{{ideala}} |\subseteq| \R[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f \in \R[X_1 {{kommadots|}} X_n ]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass genau dann {{mathl|term= f \in {{ideala|}} |SZ=}} gilt, wenn {{mathl|term= f \in {{ideala|}} {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_n ] |SZ=}} für das {{ Definitionslink |Prämath= |Erweiterungsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summanden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kr1yte3a9wafii7cdoi348m7pn6iet8 0 94361 785885 759045 2022-08-22T09:53:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Funktionen {{ Ma:abb |name= \varphi |K^n|K || |SZ= }} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi || {{op:Bruch|P|Q}} || || || |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomen| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= P,Q \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} und {{math|term= Q|SZ=}} nullstellenfrei auf {{math|term= K^n|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. Zeige{{n Sie}}, dass bei {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser mit dem Polynomring übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Nullstellensatz (geometrische Versionen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ktrivoc2ed53nhum9zhwmirb483zitt 0 94363 782811 756577 2022-08-22T01:44:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} den folgenden Spezialfall {{ Faktlink |Präwort=des|Hilbertschen Nullstellensatzes|Faktseitenname= Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} direkt: Wenn {{mathl|term= f \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} keine Nullstelle im {{math|term= K^n|SZ=}} besitzt, so ist {{math|term= f|SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenes| |ISZ=|ESZ= }} konstantes Polynom. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Nullstellensatz (geometrische Versionen) |Kategorie2=Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ggrqt6uyukk440mzz6y0ckwqwmsth3p 0 94364 785221 758558 2022-08-22T08:04:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} , {{idealb|}} |\subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Radikal| |Kontext=zu Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übereinstimmt. Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche Bijektion zwischen den Radikalen der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/ {{ideala|}} |und|term2= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/ {{idealb|}} |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Radikale (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} giqfa18z4gg8hyw0m3kv9q8b2fbxuh8 0 94367 781933 755828 2022-08-21T23:17:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Koordinatenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraischen Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ=, }} die aus {{math|term= d|SZ=}} Punkten besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Koordinatenrings von affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7kxt9swh9vxq6shr3irgyqotz3bg2yd 0 94374 782804 756568 2022-08-22T01:43:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Radikal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n] / {{ideala|}} || || || |SZ=, }} der der {{ Definitionslink |Prämath= |Koordinatenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |V ||V( {{ideala|}} ) || || || |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen Komponenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |minimalen Primidealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Nullstellensatz (geometrische Versionen) |Kategorie2=Theorie der minimalen Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9isja9tsh2yrayn13ebl42tephboirr 0 94377 784447 636673 2022-08-22T06:12:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || X^4Y^2+X^2Y^4 -3X^2Y^2+1 || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Finde eine reelle Nullstelle von {{math|term= F|SZ=.}} |Bestätige{{n Sie}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks |F \cdot (X^2+Y^2+1) || (X^2Y-Y)^2 +(XY^2-X)^2 +(X^2Y^2-1)^2 + {{op:Bruch|1|4}} (XY^3-X^3Y)^2 + {{op:Bruch|3|4}} (XY^3+X^3Y-2XY)^2 || || || |SZ=. }} |Sei {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ=. }} {{ManSie|Folgere|Folgern Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(x,y) |\geq|0 || || || |SZ= }} ist für alle Punkte {{mathl|term= (x,y) \in {{op:Affine Ebene|\R|}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mzmdi4pyk0ip7rh74mrdsicgjsnyu9h 0 94415 780449 754645 2022-08-21T19:10:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Diagramm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Abbildung/Verknüpfung/Viererdiagramm/Diagramm|SZ=}} von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | h \circ \varphi || \psi \circ g || || || |SZ=. }} Es seien {{ mathkor|term1= g |und|term2= h |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= \psi|SZ=}} injektiv ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= \psi|SZ=}} surjektiv ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ep8qst6nr3qadjxd05btp95isgrtr98 0 94424 784092 757738 2022-08-22T05:18:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= r|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{mathl|term= r \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term= A|SZ=}} und eine {{mathl|term= m \times r|SZ=-}}Matrix {{math|term= B|SZ=,}} beide mit dem Rang {{math|term= r|SZ=,}} mit {{ Ma:Vergleichskette |M ||B \circ A || || || |SZ= }} gibt. |Sei {{ Ma:Vergleichskette |s |<|r || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es nicht möglich ist, {{ Ma:Vergleichskette |M ||B \circ A || || || |SZ= }} mit einer {{mathl|term= s \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term= A|SZ=}} und einer {{mathl|term= m \times s|SZ=-}}Matrix {{math|term= B|SZ=}} zu schreiben. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Rangtheorie für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=5 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8u2prh9k0tmzrn6klg6r3lfxwv8689u 0 94451 782807 756571 2022-08-22T01:43:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden Polynome {{mathl|term= X^2+Y^2|SZ=}} und {{mathl|term= X^2-Y^3|SZ=}} und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern {{math|term= \R|SZ=}} und {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} {{ Aufzählung4 |Gilt {{ Ma:Vergleichskette |V(X^2+Y^2) |\subseteq| V(X^2-Y^3) || || || |SZ= }} in {{math|term= {{op:Affine Ebene|\R|}} |SZ=?}} |Gilt {{ Ma:Vergleichskette |V(X^2+Y^2) |\subseteq| V(X^2-Y^3) || || || |SZ= }} in {{math|term= {{op:Affine Ebene|{{CC}}|}} |SZ=?}} |Gehört {{mathl|term= X^2-Y^3|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Radikal| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= (X^2+Y^2)|SZ=}} in {{mathl|term= \R[X,Y]|SZ=?}} |Gehört {{mathl|term= X^2-Y^3|SZ=}} zum Radikal von {{mathl|term= (X^2+Y^2)|SZ=}} in {{mathl|term= {{CC}}[X,Y]|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Nullstellensatz (geometrische Versionen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} axulj2tjux3jo40eg66z887uou8tlfu 0 94456 782806 756570 2022-08-22T01:43:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Definitionslink |Prämath= |Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_k \in {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} gegeben, die wir als {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f_i |{{CC}}^n|{{CC}} || |SZ= }} auffassen. Es sei {{mathl|term= f \in {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} ein weiteres Polynom und es seien {{ Ma:abbele/disp |name=g_1 {{kommadots|}} g_k |{{CC}}^n|{{CC}} || |SZ= }} Funktionen, die nicht unbedingt Polynome sind. Es gelte {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || g_1f_1 {{plusdots|}} g_kf_k || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=eine Gleichung von Funktionen| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Radikal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= (f_1 {{kommadots|}} f_k) |SZ=}} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Nullstellensatz (geometrische Versionen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qifaddyxeeq06t5ngnv358uvh647c1m 0 94459 781797 755703 2022-08-21T22:55:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= R}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath=K |Spektrum| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:KSpek|R|}} |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/{{ideala}} }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassendarstellung| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R}} mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|R || |SZ= }} und dem {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellengebilde| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | V( {{ideala}} ) | \subseteq | {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:KSpek|R|}} | {{op:Affiner Raum|n|K}} |P| P \circ \varphi |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bijektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{mathl|term= {{op:KSpek|R|}} }} und {{mathl|term= V( {{ideala}} )|SZ=}} stiftet, die bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Zariski-Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9l1xy4trkbmpqc71n9sgkwse5lql6uu 0 94469 785176 758523 2022-08-22T07:58:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen und {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n,Z] |SZ=}} der Polynomring in {{mathl|term= n+1|SZ=}} Variablen. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Homogenisierung| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term= Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} mit der Multiplikation verträglich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0eed8ifp7sac9bew298z9clbyv15oet 0 94470 785142 758501 2022-08-22T07:53:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen und {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n,Z] |SZ=}} der Polynomring in {{mathl|term= n+1|SZ=}} Variablen. Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dehomogenisierung| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term= Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} als einen {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d02z3vmjj9q9wjuc2cs98jpf9x13aps 0 94471 785195 758541 2022-08-22T08:01:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}} || (X_1 {{kommadots|}} X_n) |\subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und seine {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzen| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealm|}}^d |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Monome {{ mathbed/disp|term= X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} ||bedterm1= \sum_{i = 1}^n \nu_i < d ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] / {{idealm|}}^d |SZ=}} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Kategorie2=Theorie der Restklassenringe (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie4=Potenzen von Idealen (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oh14sxh3um1iilm7pv0fox6pc79ti31 0 94474 782830 756600 2022-08-22T01:47:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || X^4+9X^3Y+7X^2Y^2+XY^3+8Y^4 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |G ||X^3 +5X^2Y || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= Q,R \in \Q[X,Y]|SZ=,}} {{mathl|term= Q \neq 0|SZ=,}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||GQ+R || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2=Theorie der homogenen Polynome |Kategorie3=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h34ydsm1jjy44g8502ko4k1pevcvc73 0 94500 782805 756569 2022-08-22T01:43:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} |\subseteq| A || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= A/ {{idealm|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2=Der Hilbertsche Nullstellensatz (Algebraische Versionen)‎ |Kategorie3=Theorie der kommutativen Algebren von endlichem Typ |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i43xstmydqofl6cvtnbub6h6yf6s73j 0 94505 781442 755455 2022-08-21T21:55:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge. Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Potenzmenge|M|}} \times {{op:Potenzmenge|M|}}| {{op:Potenzmenge|M|}} |(A,B)| A \setminus B |SZ=. }} Ist diese Verknüpfung {{ Definitionslink |Prämath= |assoziativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzmenge |Kategorie2=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} in8xmd1qg72pmdw4e54eklk1isadzzq 0 94507 782376 756222 2022-08-22T00:31:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkten Zerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |X || U \uplus V || || || |SZ= }} aus {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U,V |\subseteq|X || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |C(X, \R) |C(U, \R) \times C(V, \R) |f| ( f \vert_U, f \vert_V) |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der zusammenhängenden Räume |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8yo5bmr6u0reu263p50uaxeh29l2g1r 0 94514 782844 708609 2022-08-22T01:49:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Homogenisiere{{n Sie}} das Polynom {{ math/disp|term= X^3Y^2-8X^4Y-6X^2Y^2+5Y^4-10X^3 +9XY+1 |SZ= }} bezüglich der neuen Variablen {{math|term= Z|SZ=.}} |Dehomogenisiere{{n Sie}} das Polynom {{ math/disp|term= 3X^6+ 2 X^2Y^2Z^2-7X^4Y^2 -6X^2Y^3Z +11XY^4Z-11X^3Y^2Z -4XYZ^4+Z^6 |SZ= }} bezüglich der Variablen {{math|term= Z|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jabfv7ybr6uwxpjj3zaxl9fdgdgpkd6 0 94521 783071 756820 2022-08-22T02:27:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath=\R |Spektrum| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \R[X,Y]/(X^2+Y^2-1)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tj2pe8opvonnnvv61uxtimpsnkvucbd 0 94522 783064 756815 2022-08-22T02:26:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath=K |Spektrum| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= K^n|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2730hd5s2fqfe6lk0cc9np1bgdi7njv 0 94523 783070 756819 2022-08-22T02:27:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath=\R |Spektrum| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath=\R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3nl8ome08f8btov8069jcdl2enegdvr 0 94526 780597 754748 2022-08-21T19:34:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Verschwindungsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Verschwindungsideal|V|}} |SZ=}} und {{ Definitionslink |Prämath= |Koordinatenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R | {{defeq|}} | K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/ {{op:Verschwindungsideal|V|}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath=K |Spektrum| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= V|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie des Koordinatenrings von affinen Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxo531zxs25n8zv88pnrj2264qy1wdy 0 94536 782029 755923 2022-08-21T23:33:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Vektoren {{ Ma:Vergleichskette | u || {{op:Spaltenvektor|8|7|4}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |v || {{op:Spaltenvektor|6|3|9}} || || || |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der aus allen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^3| \R^2 || |SZ= }} besteht, die {{math|term= u|SZ=}} auf die {{math|term= x|SZ=-}}Achse und {{math|term= v|SZ=}} auf die {{math|term= y|SZ=-}}Achse abbilden. Beschreibe{{n Sie}} den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2=Theorie der Matrizenräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ngj5s7kp9d7ndv9d2ascgok9avlrez0 0 94537 782028 755922 2022-08-21T23:33:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Gerade {{ Ma:Vergleichskette | G || \R {{op:Spaltenvektor|-9|8|3}} |\subseteq| \R^3 || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq| {{op:Hom|\R^3|\R^2}} || || || |SZ= }} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die diese Gerade auf das Achsenkreuz abbildet. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} kein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismenraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fzwlcuctpjchv3tqy6mxqkbxbj6qhu9 0 94539 782059 755953 2022-08-21T23:38:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= \R^3|SZ=}} seien die Vektoren {{ Ma:Vergleichskette | u || {{op:Spaltenvektor|6|9|-2}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |v || {{op:Spaltenvektor|4|-4|7}} || || || |SZ= }} gegeben. Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |U |\subseteq| {{op:Hom|\R^3|\R^3}} || || || |SZ=, }} der aus allen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \varphi|SZ=}} besteht, die gleichzeitig die beiden folgenden Bedingungen erfüllen: {{ Aufzählung2/a |{{math|term= \varphi (u) \in {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|2|8|3}}, {{op:Spaltenvektor|7|0|5}} |}} |SZ=.}} |{{math|term= \varphi (v) \in {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|6|-5|4}} |}} |SZ=.}} }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=.}} |Beschreibe{{n Sie}} den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch lineare Gleichungen. |Beschreibe{{n Sie}} den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen durch eine Basis. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2=Theorie der Matrizenräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hoq6l7x0mvypdzeawwwmz1aqf6ygd79 0 94541 784132 757794 2022-08-22T05:24:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Matrizenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Matq|2|K|}} |SZ=}} und fixieren die Matrix {{ Ma:Vergleichskette | A || {{op:Matrix22|9|-8|-7|6}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{op:Matq|2|K|}} |{{op:Matq|2|K|}} |M| A \circ M |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Beschreibe{{n Sie}} die Matrix zu {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich einer geeignet gewählten Basis. |Bestimme{{n Sie}} {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hlar2u2e7ah4kjd2chulryl7ta4wj2k 0 94543 781453 755464 2022-08-21T21:57:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || V_1 {{oplusdots|}} V_m || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Zerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} in {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V_1 {{kommadots|}} V_m|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{math|term= i|SZ=}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \pi_i |V|V_i |v|v_i |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette |v || \sum_{j {{=}} 1}^n v_j || || || |SZ= }} die eindeutige Summenzerlegung von {{math|term= v|SZ=}} ist, {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der direkten Summen |Kategorie2=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ma8kivyw47v7jxhop15bxnx44ty75p1 0 94549 785182 758529 2022-08-22T07:59:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= F_i \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Polynome| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= i=1 {{kommadots|}} m|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K[Y_1 {{kommadots|}} Y_m]| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |Y_i| F_i |SZ=, }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi^* | {{op:Affiner Raum|n|K}} {{=|}} {{op:KSpek|K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|}} | {{op:Affiner Raum|m|K}}{{=|}}{{op:KSpek|K[Y_1 {{kommadots|}} Y_m]|}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= über die Identifizierung aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} mit der direkten {{ Definitionslink |Prämath= |polynomialen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= (x_1 {{kommadots|}} x_n) \longmapsto (F_1(x_1 {{kommadots|}} x_n) {{kommadots|}} F_m(x_1 {{kommadots|}} x_n)) |SZ= }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der polynomialen Abbildungen zwischen affinen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzyse5eg0wfn7xqijdqi8713e9r8nr7 0 94552 783048 756806 2022-08-22T02:23:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}}, dass zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossenen Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath=K |Spektrums| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:KSpek|R|}} |SZ=}} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Radikalen| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} eine bijektive Korrespondenz besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2=Der Hilbertsche Nullstellensatz (geometrische Versionen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f76n1chz261522me4otufas90j89hti 0 94582 781287 755320 2022-08-21T21:29:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|2 |-1| -1|-1|2|-1|-1|-1|2 }} |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Determinante zu jeder Matrix, die entsteht, wenn man in {{math|term= M|SZ=}} eine Zeile und eine Spalte weglässt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2=Theorie der Laplace-Matrix zu ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} irg3xduvmis6uueettesq7f2b03bwl3 0 94583 782890 756652 2022-08-22T01:57:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || K[U,V]/(U^2-U,V^2-V, U-2UV+V) || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |U ||V || || || |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der nilpotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ye0stqlqxqip8gjalnsd4seecir6ri 0 94589 782888 756650 2022-08-22T01:57:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Reduktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung, die den {{ Definitionslink |Prämath= |idempotenten Elementen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{math|term= R|SZ=}} ihre Restklasse in {{math|term= S|SZ=}} zuordnet, {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Reduktion (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jfxejgv6nl2nys2a877qcyy2n3wu5gy 0 94591 782887 756649 2022-08-22T01:56:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem Element {{mathl|term= n \in R|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |n^2 ||0 || || || |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |S ||R/(n) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |idempotenten Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= e|SZ=}} aus {{math|term= S|SZ=}} ein idempotentes Element aus {{math|term= R|SZ=}} gibt, dessen Restklasse gleich {{math|term= e|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der nilpotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hll46qmrsl612duhmki8b1ibly5md1w 0 94609 782889 756651 2022-08-22T01:57:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Reduktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung, die den {{ Definitionslink |Prämath= |idempotenten Elementen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{math|term= R|SZ=}} ihre Restklasse in {{math|term= S|SZ=}} zuordnet, {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Reduktion (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ew9j7v27m5aixa0hbd164evch2tuuzm 0 94610 785967 759109 2022-08-22T10:07:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Reduktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine Folge von kommutativen Ringen {{ mathbed|term= R_i ||bedterm1= 1 \leq i \leq n ||bedterm2= |SZ=, }} und surjektiven {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i |R_i|R_{i+1} || |SZ= }} derart gibt, dass die Gesamtabbildung {{ math/disp|term= R=R_0 \rightarrow R_1 \rightarrow R_2 {{rightarrowdots}} R_{n-1} \rightarrow R_n = S |SZ= }} die Reduktionsabbildung ist und jedes {{math|term= \varphi_i|SZ=}} der Restklassenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |R|R/(x_i) || |SZ= }} zu einem Element {{math|term= x_i \in R_i|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |x_i^2 ||0 || || || |SZ= }} in {{math|term= R_i|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der noetherschen kommutativen Ringe |Kategorie2=Theorie der Reduktion (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nf34e5j2nvsvhaaar377dc1s14ong0q 0 94622 781971 755863 2022-08-21T23:24:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen. Zeige{{n Sie}}, dass man jede Funktion {{ Ma:abb |name= \varphi |K|K || |SZ= }} in eindeutiger Weise als ein Polynom {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} vom Grad {{math|term= < q|SZ=}} schreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der endlichen Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tg3iasvbnqfkwb8ernghxzkpf9barvj 0 94623 781965 755857 2022-08-21T23:23:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass die Polynomfunktionen {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_d |K|K |x| x^d |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\leq| d |<|q || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Zeige{{n Sie}}, dass die Exponentialfunktionen {{ Ma:abbele/disp |name= \psi_b |K|K |x| b^x |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\leq| b |<|q || || |SZ= }} linear unabhängig sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der diskreten Exponentialfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fcsvz3xsgn2s2vfj6klpbi7ufojyshm 0 94643 782939 756682 2022-08-22T02:05:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die ein {{ Definitionslink |Prämath= |faktorieller| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Funktion| |Kontext=K-Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f|SZ=}} auf einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |U |\subseteq| {{op:KSpek|R|}} || || || |SZ= }} die Form {{ Ma:Vergleichskette |f || G/H || || || |SZ= }} mit nicht kürzbaren {{mathl|term= G,H \in R|SZ=}} und mit {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| D(H) || || || |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c6djcub4sshntcb24ayhnan8ng5kcia 0 94649 785123 758486 2022-08-22T07:50:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X] || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Funktion| |Kontext=K-Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f|SZ=}} auf einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |U ||D(F) |\subseteq| {{op:KSpek|R|}} || {{op:Affine Gerade|K|}} || || |SZ= }} die Form {{ Ma:Vergleichskette |f || G/H || || || |SZ= }} mit nicht kürzbaren {{mathl|term= G,H \in R|SZ=}} und mit {{ Ma:Vergleichskette | D(F) |\subseteq| D(H) || || || |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lkqrlrboqsax8fivsc8w4nq187onc5o 0 94656 783055 756811 2022-08-22T02:24:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung, die jeder offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{op:KSpek|R|}} || || || |SZ= }} den {{ Definitionslink |Prämath= |Ring der algebraischen Funktionen| |Kontext=K-Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Schnittring|U|}} |SZ=}} und zu jeder Inklusion {{ Ma:Vergleichskette |U_1 |\subseteq|U_2 || || || |SZ= }} die Restriktionsabbildung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= K-Spektrum/Ring der algebraischen Funktionen/Restriktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Schnittring|U_2|}} | {{op:Schnittring|U_1|}} || |SZ= }} zuordnet, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jyb7y8okyw3pozphv2q94cyj4yvn3ej 0 94666 783054 756810 2022-08-22T02:24:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass zu {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U | \subseteq|V || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Restriktionsabbildung| |Kontext=K-Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Schnittring|V|}} | {{op:Schnittring|U|}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2=Theorie der Integritätsbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8pgdeuhsbhnpcslrzgumyc4x7qlvmhi 0 94669 783052 756808 2022-08-22T02:24:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung, die jeder offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{op:KSpek|R|}} || || || |SZ= }} den {{ Definitionslink |Prämath= |Ring der algebraischen Funktionen| |Kontext=K-Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Schnittring|U|}} |SZ=}} und zu jeder Inklusion {{ Ma:Vergleichskette |U_1 |\subseteq|U_2 || || || |SZ= }} die Restriktionsabbildung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= K-Spektrum/Ring der algebraischen Funktionen/Restriktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Schnittring|U_2|}} | {{op:Schnittring|U_1|}} || |SZ= }} zuordnet, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ma4wh8cg3wk8ede76vm68hvst8frks0 0 94672 779408 763492 2022-08-21T16:23:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} im {{math|term= K^n|SZ=}} besteht die {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus den Projektionen auf eine Komponente, also gleich {{ Ma:Vergleichskette |e_i^* ||p_i || || || |SZ= }} mit {{ Ma:abbele/disp |name=p_i | K^n| K | {{op:Zeilenvektor|x_1|\ldots|x_n}} | x_i |SZ=. }} Sie heißt die {{Stichwort|Standarddualbasis|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} slyz1u4kn6v61j1qog1uu1s3cn5xxqs 0 94673 780007 752265 2022-08-21T17:57:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|8|6|5}} , {{op:Spaltenvektor|4|7|-3}} |}} |\subseteq| \R^3 || || |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalraum| |Kontext=Dualraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= U|SZ=}} besteht aus allen {{ Definitionslink |Prämath= |Linearformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^3| \R || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |f {{op:Spaltenvektor|8|6|5}} ||0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f {{op:Spaltenvektor|4|7|-3}} ||0 || || || |SZ=. }} Da eine Linearform bezüglich der Standardbasis durch eine Zeilenmatrix {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|a|b|c}} |SZ=}} gegeben ist, geht es um die Lösungsmenge des Gleichungssystems {{ Ma:Vergleichskette/disp |8a +6b+5c || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | 4a +7b-3c || 0 || || || |SZ=. }} Der Lösungsraum ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Orthogonalraum|U}} || {{Mengebed| s {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|17|4}} |1|-8 |}}|s \in K}} || || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tm7qj9ogjn89l67tjggl28mar0r7nzp 0 94678 784765 758236 2022-08-22T06:57:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Obstverkäufer verkauft Äpfel, Birnen und Kirschen. Er kann sich nicht genau an seine Einkaufspreise erinnern, aber er weiß, dass er für {{math|term= 5|SZ=}} Kilo Äpfel so viel gezahlt hat wie für {{math|term= 3|SZ=}} Kilo Birnen und ein Kilo Kirschen zusammen. Ferner gilt natürlich die alte Obsthändlerregel {{math|term= 3|SZ=}} Kilo Äpfel entsprechen einem Kilo Birnen und einem Kilo Kirschen zusammen. Wie sieht der {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalraum| |Kontext=Dualraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für diese Preisbedingungen aus? Was kostet ein Kilo Äpfel, wenn er ein Kilo Kirschen für {{math|term= 5|SZ=}} Euro verkauft? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kxizkvw0wzammrrise631451hd66uzb 0 94680 783131 756861 2022-08-22T02:37:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das kleine Einmaleins {{ Zusatz/Klammer |text=ohne die Zehnerreihe| |ISZ=|ESZ= }} als eine Familie von {{math|term= 9|SZ=-}}Tupeln der Länge {{math|term= 9|SZ=.}} Welche {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt der durch diese Tupel {{ Definitionslink |Prämath= |aufgespannte Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^9|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f8u5eleeesvg47n46nuxndmz279yix6 0 94682 783129 756859 2022-08-22T02:37:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins {{ Zusatz/Klammer |text=ohne die Zehnerreihe| |ISZ=|ESZ= }} als eine Familie von {{math|term= 9|SZ=}} Tupeln der Länge {{math|term= 9|SZ=,}} also die Zeilenvektoren in der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix99|1|2|3|4|5|6|7|8|9|2|4|6|8|0|2|4|6|8|3|6|9|2|5|8|1|4|7|4|8|2|6|0|4|8|2|6|5|0|5|0|5|0|5|0|5|6|2|8|4|0|6|2|8|4|7|4|1|8|5|2|9|6|3|8|6|4|2|0|8|6|4|2|9|8|7|6|5|4|3|2|1||}} |SZ=. }} Welche {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt der durch diese Tupel {{ Definitionslink |Prämath= |aufgespannte Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^9|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hlwdrah6a4suah1qv5bdeo8oroxjwl8 0 94705 783021 756781 2022-08-22T02:19:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name= \varphi |V|W || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} und es sei {{ Ma:abb |name=\varphi^* | {{op:Dualraum|W|}} | {{op:Dualraum|V|}} || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |duale Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | T |{{defeq}}| \varphi(U) |\subseteq|W || || || |SZ= }} der entsprechende Untervektorraum in {{math|term= W|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass sich in den Dualräumen die {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalräume| |Kontext=Dualraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Orthogonalraum|U|}} |und|term2= {{op:Orthogonalraum|T|}} |SZ= }} entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der dualen Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} op4pn0vspd8vh041fk4qsn6hh69doe8 0 94713 784593 758113 2022-08-22T06:32:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Neilsche Parabel {{ Ma:Vergleichskette/disp |C || V(X^2-Y^3) | \subseteq| {{op:Affine Ebene|{{CC}}|}} || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass auf {{math|term= C|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette |D(X) ||D(Y) || || || |SZ= }} gilt. |Zeige{{n Sie}}, dass auf {{ Ma:Vergleichskette |U ||D(Y) |\subseteq| C || || |SZ= }} durch {{mathl|term= {{op:Bruch|X|Y}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Funktion| |Kontext=K-Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert ist, die sich nicht auf {{math|term= C|SZ=}} als algebraische Funktion ausdehnen lässt. |Zeige{{n Sie}}, dass die stetige Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Bruch|X|Y}} |D(Y)| {{CC}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Fortsetzung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf ganz {{math|term= C|SZ=}} besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 60szj8fclcah5zi5aaj9moosp5pscrb 0 94715 782210 756078 2022-08-22T00:03:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten den Punkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || (0,1) || V(X^3-Y^3+1) || C | \subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U | {{defeq|}} | C \setminus \{P\} || || || |SZ=. }} Beschreibe eine {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Funktion| |Kontext=K-Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= U|SZ=,}} die sich nicht zu einer algebraischen Funktion auf ganz {{math|term= C|SZ=}} ausdehnen lässt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Fermat-Kubik |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4qoawhigohsjb683cn6yvh50h12vv4o 0 94716 783053 756809 2022-08-22T02:24:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U || D( {{ideala|}} ) | \subseteq| {{op:KSpek|R|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} || (f_1 {{kommadots|}} f_n) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für den Ring der {{ Definitionslink |Prämath= |algebraischen Funktionen| |Kontext=K-Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnittring|U|}} || \bigcap_{i {{=}} 1}^n R_{f_i} || || || |SZ= }} gilt, wobei der Durchschnitt im {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2=Theorie der Integritätsbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} thiyxe7k4eufeg6ahukr6p5jtovtuek 0 94717 780639 748936 2022-08-21T19:41:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||V(Y^2-X^2-X^3) |\subseteq| {{op:Affine Ebene|{{CC}}|}} || || |SZ= }} gegebene Kurve, den Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P || (0,0) |\in|C || || |SZ= }} und das offene Komplement {{ Ma:Vergleichskette |U ||C \setminus \{P\} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Bruch|Y|X}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Funktion| |Kontext=K-Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= U|SZ=}} ist, die nicht auf ganz {{math|term= C|SZ=}} algebraisch ausdehnbar ist. |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungslimes| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi {{=}} {{op:Bruch|Y|X}} |U| {{CC}} || |SZ= }} nicht existiert. |Zeige{{n Sie}}, dass es {{ Definitionslink |Prämath= |Folgen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Folge|w}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Folge|z}} |SZ=}} in {{math|term= U|SZ=}} gibt, die beide gegen {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergieren| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} für die die {{ Definitionslink |Prämath= |Bildfolgen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter {{math|term= \varphi|SZ=}} jeweils konvergieren, aber gegen unterschiedliche Werte. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mn924bxhhyp7bcwgq8rbor56noe1mwk 0 94745 780606 753033 2022-08-21T19:36:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} an {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der lokalen Ringe von Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9otdr4g3koexe2ri9z430vokixrmoy6 0 94746 783967 757602 2022-08-22T04:57:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|}} und {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= S=R_{{idealm|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} an einem {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealm|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Restekörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= S|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Der Hilbertsche Nullstellensatz (Algebraische Versionen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} coe1c9dua6s2fmczxx81tyvfbuugtx4 0 94759 785929 759080 2022-08-22T10:01:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Unterringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Q|SZ=,}} die {{ Definitionslink |Prämath= |lokal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unterringe der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} brak70isun4640ajug4zk8hjf8m519k 0 94760 784596 758114 2022-08-22T06:32:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Neilsche Parabel {{ Ma:Vergleichskette/disp |C || V(X^2-Y^3) | \subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= C|SZ=}} an Punkten {{ Ma:Vergleichskette |P |\neq|(0,0) || || || |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Ringe von Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m8zq8udr6ie7hclzy3283qmyl8fwlqi 0 94763 785801 758970 2022-08-22T09:39:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= U|SZ=}} und {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |quasiaffine Varietäten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |W ||U \uplus V || || || |SZ= }} ihre {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Vereinigung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jede quasiaffine Varietät {{math|term= Z|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=quasiaffin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= W|SZ=}} nach {{math|term= Z|SZ=}} einfach ein Paar bestehend aus einem Morphismus von {{math|term= U|SZ=}} nach {{math|term= Z|SZ=}} und einem Morphismus von {{math|term= V|SZ=}} nach {{math|term= Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mgadkw6p7uod7fyokyyn3jc38hhutf4 0 94764 785802 758971 2022-08-22T09:40:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= X|SZ=}} und {{math|term= Z|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |quasiaffine Varietäten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zu jeder offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} betrachten wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Garbe|F|U}} | {{defeq|}} | {{Mengebed| \varphi:U \rightarrow Z| \varphi \text{ ist ein Morphismus} }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen affinen Varietäten |Kategorie2=Garbentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s1il7a2up8pqrsd6ldb09stqg6v710l 0 94796 782299 533857 2022-08-22T00:18:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings {{mathl|term= {{op:Potenzreihenring|K|T|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ea13sb5oqpli0iymg4gyusaxoi4a8lj 0 94802 783051 533842 2022-08-22T02:24:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über den globalen Schnittring eines {{math|term= K|SZ=-}}Spektrums. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q7fd6fkapq3yc1marl9qcvhtn0009kl 0 94804 782300 533853 2022-08-22T00:18:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über Einheiten im Potenzreihenring {{mathl|term= {{op:Potenzreihenring|K|T|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9d982is2abcyiwowo3d17vh113f4rgg 0 94828 785418 758702 2022-08-22T08:36:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |C |\subseteq|\R^3 || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R^3 |t| (t,t^2,t^3) {{=|}} (x,y,z) |SZ=. }} Skizziere{{n Sie}} die Bilder von {{math|term= C|SZ=}} unter den {{ Definitionslink |Prämath= |Projektionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf die verschiedenen Koordinatenebenen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2=Theorie der monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die monomiale Raumkurve t^3,t^4,t^5 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3iqrxl9z5razymnaqbe0dzh64bh2t4g 0 94829 784598 758117 2022-08-22T06:33:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Neilsche Parabel {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||V(Y^2-X^3) |\subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || |SZ= }} und den Punkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||(1,1) |\in|C || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Funktion| |Kontext=K-Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf {{mathl|term= C \setminus \{P\}|SZ=}} definiert ist, aber nicht auf ganz {{math|term= C|SZ=.}} Tipp: Finde{{n Sie}} unterschiedliche Faktorzerlegungen von {{mathl|term= X^3-X^2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qu94mwv1ucfiii2dupdtngjcxbvptzh 0 94832 784592 758111 2022-08-22T06:32:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Neilsche Parabel {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||V(Y^2-X^3) |\subseteq| {{op:Affine Ebene|{{CC}}|}} || || |SZ= }} und den Punkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||(1,1) |\in|C || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man das maximale Ideal zu {{math|term= P|SZ=,}} also das Ideal {{mathl|term= (X-1,Y-1)|SZ=}} im Koordinatenring {{ Ma:Vergleichskette |R ||{{CC}} [X,Y]/ (Y^2-X^3) || || || |SZ=, }} nicht als {{ Definitionslink |Prämath= |Radikal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem einzigen Element {{mathl|term= f \in R|SZ=}} beschreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Schnitttheorie von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i7jtdqh8bx8f6j3h26l4o14kjggi7wh 0 94863 783309 757009 2022-08-22T03:07:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das kommutative {{ Definitionslink |Prämath= |Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=,}} das durch die drei Erzeuger {{mathl|term= e,f,g|SZ=}} und die einzige Relation {{ Ma:Vergleichskette |e+f ||5g || || || |SZ= }} gegeben ist. Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath=K |Spektrum| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} für verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o703j79hbsp4ctvbw8ak1pd8k0mcswc 0 94865 781997 755890 2022-08-21T23:28:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein endliches kommutatives {{ Definitionslink |Prämath= |Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath=K |Spektrum| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} auch endlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34lr140o3y70dfqfc8vzx6q6sbxmarp 0 94866 784398 758017 2022-08-22T06:06:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} ein kommutatives {{ Definitionslink |Prämath= |Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= f \in M|SZ=.}} Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | M_f || {{Mengebed| m-nf| m \in M| n \in \N }} /\sim || || || |SZ=, }} wobei die Relation {{ Ma:Vergleichskette/disp | m-nf |\sim| m' -n'f || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn es ein {{math|term= k \in \N|SZ=}} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | m +n'f + kf || m' +nf + kf || || || |SZ= }} in {{math|term= M|SZ=}} gilt. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \sim|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Definiere{{n Sie}} auf {{math|term= M_f|SZ=}} eine Monoidstruktur. |Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= T^f \in R[M]|SZ=}} das Monom zu {{math|term= f|SZ=}} im Monoidring. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | R[M_f ] | \cong| R[M]_{T^f} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fp6j1lobqcxixvxkst3kgvdk880kb5o 0 94867 784396 758015 2022-08-22T06:05:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein kommutatives {{ Definitionslink |Prämath= |Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= e \in M|SZ=}} ein Element mit {{ Ma:Vergleichskette | 2e || e || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= K[M]|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T^e|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |idempotentes Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= K[M]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 79yejbu1zdkt3ol4hk53cxvvmmzri8f 0 94868 781833 755738 2022-08-21T23:01:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |G |\neq|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{CC}}[G]|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängend| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, obwohl es in der Gruppe außer {{math|term= 0|SZ=}} kein Element {{math|term= e|SZ=}} gibt, das die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |2e ||e || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Gruppenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bu549s8rvnn6r6648qqzm4cqnei06pu 0 94876 780520 546223 2022-08-21T19:22:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erläutere{{n Sie}}, warum das Achsenkreuz im {{math|term= \R^2|SZ=}} kein Untervektorraum ist |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0coy6av5y4xn8o54b9fqrfeal7rr72m 0 94878 783780 757414 2022-08-22T04:25:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^2| \R^2 || |SZ=, }} die durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Matrix22|8|4|5|9|}} |SZ=}} gegeben ist. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |5x-7y || 0 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden. |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |6x-11y || 0 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sva9mrjrzwjirivuyg55x3redvnbl4f 0 94884 782004 755896 2022-08-21T23:29:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:abb |name= \varphi, \psi |V|V || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Determinante(|\varphi \circ \psi|}} || {{op:Determinante|\varphi |}} {{op:Determinante| \psi|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Determinantenmultiplikationssatz (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8wreb3uho45uk852vqhibh3fli7pa3n 0 94889 781295 694713 2022-08-21T21:31:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Beweise{{n Sie}} den Determinantenmultiplikationssatz {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante(|A \circ B|}} || {{op:Determinante(|A |}} {{op:Determinante(| B|}} || || || |SZ= }} für den Fall, dass {{math|term= A|SZ=}} eine Elementarmatrix ist. |Beweise{{n Sie}} den Determinantenmultiplikationssatz {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante(|A \circ B|}} || {{op:Determinante(|A |}} {{op:Determinante(| B|}} || || || |SZ= }} für den Fall, dass {{math|term= A|SZ=}} ein Produkt aus Elementarmatrizen ist. |Beweise{{n Sie}} den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe von (2). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Determinantenmultiplikationssatz (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=3 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6g0fasf2un8x9wi6uidompg0zlf3x12 0 94893 784368 758000 2022-08-22T06:02:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutatives Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \triangle |M| M \times M |m| (m,m) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist. |Beschreibe{{n Sie}} den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K[M] | K[M \times M] \cong K[M] {{tensor|}} K[M] || |SZ=. }} |Beschreibe{{n Sie}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:KSpek|K[M]|}} \times {{op:KSpek|K[M]|}} | {{op:KSpek|K[M]|}} || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} insbesondere, dass dadurch {{mathl|term= {{op:KSpek|K[M]|}} |SZ=}} selbst zu einem kommutativen Monoid wird. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} huvq2wsq1695axai3wqs3lvk5cmynyq 0 94896 784379 758008 2022-08-22T06:03:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutatives Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= P \in {{op:KSpek|M|}} |SZ=}} ein fixierter Punkt. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi_P | {{op:KSpek|M|}} | {{op:KSpek|M|}} | Q| Q \cdot P |SZ=, }} gibt. |Beschreibe{{n Sie}} den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |K[M] | K[M] || |SZ=. }} |Charakterisiere{{n Sie}}, für welche {{math|term= P|SZ=}} diese Abbildung {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nhex5khpzf466lzoa2d6zhqv9rlcwyi 0 94899 784735 758204 2022-08-22T06:52:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |numerisches Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{mathl|term= f \in K[M]|SZ=}} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette |K[M]_f || K[X]_X || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ojmtmyjt31ytej97xmwnng23dcmvpyy 0 94900 784731 758202 2022-08-22T06:52:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |numerisches Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[M]|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette | K[M] |\cong| K[\N] || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Ma:Vergleichskette |M ||\N || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1twn593h60ghijv3jwode1h6pck6psb 0 94914 784372 758003 2022-08-22T06:02:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= N|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Monoide| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:abb |name=\varphi |M|N || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi^* | {{op:KSpek|N|}} | {{op:KSpek|M|}} || |SZ= }} ebenfalls ein Monoidhomomorphismus ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cxs2uy8fx2uhqy9k4rekzc188vetsw4 0 94939 785361 534797 2022-08-22T08:27:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} für {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \prod_{1 \leq i < j \leq n} (j-i) || \prod_{ k{{=}}1}^{n-1} (k!) || (n-1)! \cdot (n-2)! \cdots 3! \cdot 2! \cdot 1! || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4xidyv7rzg5p8l3o0e9w6wdtau65hka 0 94946 784401 758018 2022-08-22T06:06:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} {{ManSie|Man Erläutere|Erläutern Sie}} die Korrespondenz zwischen den folgenden Objekten. {{ Aufzählung4 |Ein {{math|term= n|SZ=-}}Tupel aus {{math|term= K|SZ=.}} |Ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |\N^n|K || |SZ=. }} |Ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |K[X_1 {{kommadots|}} X_n] | K || |SZ=. }} |Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= | {{op:KSpek|K|}} | {{op:Affiner Raum|n|K}} || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gc22c90r8jylwa3g61pl6c3rma3vd66 0 94952 784927 534936 2022-08-22T07:20:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es gleich viele gerade und ungerade Permutationen auf {{mathl|term= {{Menge1n}}|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b62sxhcasmelo4bf6il0hoooglov4dc 0 94963 783796 757424 2022-08-22T04:28:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \varphi |V|V || |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k0ncyhmwx6hzbg2k12s2km1avbyh024 0 94964 783817 757447 2022-08-22T04:32:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \varphi |V|V || |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nsst52gqi4fkrujazhu35q7jc3m4h9k 0 94967 784925 758368 2022-08-22T07:20:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle7|text1= {{math|term= x|SZ=}} |1|2| 3|\ldots |n-2|n-1 |n|text2= {{math|term= \pi (x)|SZ=}} |2|3|4|\ldots|n-1|n|1|}} gegebene Permutation {{math|term= \pi|SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |n |\geq|2 || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Signum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \pi|SZ=}} auf möglichst viele unterschiedliche Arten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} irq3k2dx1nxgcon6u5prg782jfdbacp 0 94980 783768 539298 2022-08-22T04:23:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= 0|SZ=}} auf die {{math|term= 0|SZ=}} abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d5t7zp25qmmgtuujil681uph4rnn6ep 0 95024 784392 758011 2022-08-22T06:05:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutatives Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= \Gamma|SZ=}} seine {{ Definitionslink |Prämath= |Differenzengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:KSpek|\Gamma|}} | {{op:KSpek|M|}} | | |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3sxg6pmuv0wtzvqhis5df8p2vsonsab 0 95027 784852 758295 2022-08-22T07:09:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= C \subseteq \R^3|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R^3 |t| {{op:Zeilenvektor|t| {{op:cos|t|}} | {{op:sin|t|}} }} {{=|}} {{op:Zeilenvektor|x|y|z}} |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Erfüllt {{math|term= C|SZ=}} eine algebraische Gleichung? |Ist {{math|term= C|SZ=}} eine algebraische Kurve? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c3kw0nehhljpwlo7kbvx3atjpl2wkug 0 95029 781979 755871 2022-08-21T23:25:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen. Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der nicht {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2=Theorie der linearen Abbildungen über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qeno44k485jd17jm9u1cyccgs277szq 0 95030 780957 755036 2022-08-21T20:34:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob im {{math|term= \R^3|SZ=}} der Ausdruck {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|3}} {{op:Spaltenvektor|2|7|6}} + {{op:Bruch|3|7}} {{op:Spaltenvektor|9|0|9}} + {{op:Bruch|3|13}} {{op:Spaltenvektor|5|5|2}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrische Kombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der baryzentrischen Koordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} scgedv5bwgvy5uu2brajnf3oj9ukfye 0 95038 783506 757173 2022-08-22T03:40:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | R || {{KRC|}} [X,Y] /(X^2+Y^2-1) || || || |SZ= }} und darin das Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} || (X,Y-1) || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} gleich {{ mathbed|term= \R |oder|bedterm1= {{CC}} ||bedterm2= |SZ= }} sei. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass im komplexen Fall das Ideal ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} einen Erzeuger an. |Zeige{{n Sie}}, dass im reellen Fall das Ideal kein Hauptideal ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptideale (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Dedekindbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=7 |p1=4 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 44t0ho16yeqztmnaol5syj1ra0relqt 0 95043 781740 755652 2022-08-21T22:45:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=.}} Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || K[X,Y]/{{makl| X^2+Y^2-1 |}} || || || |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath=S |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align |B || K[X,Y,Z,W] / {{makl| X^2+Y^2-1 , (1-X)Z -YW, YZ- (1+X) W|}} || S[Z,W] / {{makl| (1-X)Z -YW, YZ- (1+X) W|}} || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U || {{op:KSpek|S|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |L || {{op:KSpek|B|}} || || || |SZ= }} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= p | L {{=|}} {{op:KSpek|B|}} | U {{=|}} {{op:KSpek|S|}} || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= D(1-X) |und|term2= D(1+X) |SZ= }} eine offene affine Überdeckung von {{math|term= U|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | B_{ 1-X } |\cong| S_{1-X} [W] || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | B_{ 1+X } |\cong| S_{1+X} [Z] || || || |SZ= }} |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= L|SZ=}} ein Geradenbündel über {{math|term= U|SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Möbiusband |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=5 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 603in053tkax27y9g049rbimpelkwho 0 95047 781747 602236 2022-08-21T22:46:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Situation aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Einheitskreis/K/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Beispiel/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |K || \R || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |[0, 2\pi]| {{op:KSpek|S|K=\R}} |t| {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|t|}} | {{op:sin|t|}} }} |SZ=, }} die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. Zeige{{n Sie}}, dass das Bild von {{ Ma:abbele/disp |name= \psi |[0, 2\pi]| \R^4 |t| {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|t|}} | {{op:sin|t|}}| {{op:cos| {{op:Bruch|1|2}} t|}} | {{op:sin| {{op:Bruch|1|2}} t|}} }} |SZ=, }} in {{mathl|term= {{op:KSpek|B|K=\R}} |SZ=}} landet, dass {{ Ma:Vergleichskette | \varphi || p \circ \psi || || || |SZ= }} gilt, und dass das Bild von {{math|term= \psi |SZ=}} niemals den Nullschnitt trifft. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Varietäten |Kategorie2=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Möbiusband |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 408e5zdec2ghqmmzycq6ng8wkd1g2dd 0 95049 781746 602231 2022-08-21T22:46:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Situation aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Einheitskreis/K/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Beispiel/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |K || \R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= L |SZ=}} ohne den Nullschnitt, aufgefasst mit der metrischen Topologie, zusammenhängend ist. Folgere, dass dieses Geradenbündel nicht trivial ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Möbiusband |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cphewx7vlz6uzfy26yid36ih1n5gocv 0 95058 780411 754611 2022-08-21T19:03:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} das durch die Erzeuger {{math|term= e,f,g|SZ=}} mit der Relation {{ Ma:Vergleichskette/disp |e+f || 2g || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen. Bestimme{{n Sie}} die Anzahl des {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Endlicher Körper|q|}} |Spektrums| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9cxeee1q6j7f4xti77929au2w4vtyyy 0 95063 784595 535508 2022-08-22T06:32:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Punkte der Neilschen Parabel {{ math/disp|term= V(Y^2-X^3) |SZ= }} über dem Körper {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g3n3c0sd0ksfy7oqn0iwjn4yo3gnmdc 0 95068 782546 756327 2022-08-22T00:59:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= U|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Varietät| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=p |L|U || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Geradenbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= U|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem Punkt {{mathl|term= P \in U|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= p^{-1} (P)|SZ=}} isomorph zu einer affinen Geraden {{mathl|term= {{op:Affine Gerade|K|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s80tfw0rjwl1d93o43ylikhxemlp1z8 0 95069 782545 756326 2022-08-22T00:59:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= U|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Varietät| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=p |L|U || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Geradenbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= U|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem Punkt {{mathl|term= P \in U|SZ=}} eine wohldefinierte {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= p^{-1} (P)|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 42l7jvgaajbl4nbftyuf3n1kk0wfbhm 0 95076 780585 535578 2022-08-21T19:32:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^3+Y^3 ||1 || || || |SZ= }} gegebene ebene algebraische Kurve. {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper {{mathl|term= {{op:Zmod|7|}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper {{mathl|term= {{op:Zmod|13|}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Punkte dieser Kurve für einen endlichen Körper {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} mit der Eigenschaft, dass {{math|term= q-1|SZ=}} und {{math|term= 3|SZ=}} teilerfremd sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8chgu8aebeb3ue2ng6vo4mlt3j3z1ms 0 95082 783502 757169 2022-08-22T03:39:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V(Z^2+W^2-1)| V(X^2+Y^2-1) |(Z,W)| ( Z^2 - W^2 , 2ZW ) {{=}} (X,Y) |SZ=. }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige{{n Sie}}, dass das Urbild zu jedem Punkt {{mathl|term= P \in V(X^2+Y^2-1)|SZ=}} aus zwei Punkten besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen affinen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k6jwk3xz7tfy5ikw2zo08j5hs4m3iom 0 95085 781741 755653 2022-08-21T22:45:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass in {{mathl|term= K[X,Y,Z,W]|SZ=}} die drei Ideale {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} || {{makl| Z^2+W^2 -1, \, X - 2Z^2 +1 ,\, Y-2ZW |}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealb|}} ||{{makl| Z^2+W^2 -1 ,\, X^2+Y^2 -1 ,\, (1-X)Z -YW,\, YZ- (1+X) W |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealc|}} ||{{makl| Z^2+W^2 -1 ,\, (1-X)Z -YW,\, YZ- (1+X) W |}} || || || |SZ= }} übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Varietäten |Kategorie2=Idealtheorie (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h00yp12h5twcyzdtxyfg1ce5ydenmg4 0 95091 784090 757736 2022-08-22T05:17:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, abhängig von {{mathl|term= a,b,c,d|SZ=,}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix44|a|4b|a-c|d|0|b|b^2|b^3|0|0|c^2|a^2|0|0|0|d|}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Rangtheorie für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kquphmmb6qm7jz0buk1swaeuigd0gbo 0 95093 783918 535613 2022-08-22T04:49:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in Abhängigkeit vom Parameter {{mathl|term= a \in \R|SZ=}} den Lösungsraum {{math|term= L_a \subseteq \R^3|SZ=}} der linearen Gleichungssystems {{ Ma:Vergleichskette/disp | 5 x +a y + (1-a) z ||0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2a x +a^2 y + 3 z ||0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} adjmqxnb5ct05l75s24asngghqfa58z 0 95095 783503 593782 2022-08-22T03:39:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |S^1 || V(X^2+Y^2-1) || || |SZ= }} der reelle Einheitskreis. Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |S^1| S^1 | {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|t|}} | {{op:sin|t|}} }} | {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|nt|}} | {{op:sin|nt|}} }} |SZ=, }} ein algebraischer Morphismus ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen Varietäten |Kategorie3=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8p0xajsyz7zh05zq5hx0g9klf6x1obd 0 95105 781751 579527 2022-08-21T22:47:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{math|term= x|SZ=-}}Koordinaten der Schnittpunkte von {{mathl|term= V(X^2+Y^2-1)|SZ=}} und {{mathl|term= V(Y-3X^2+2)|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Affine Ebene|{{CC}}|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der biquadratischen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} po20lrdsibhi9hv4gactcfyqw844pnp 0 95107 781750 579528 2022-08-21T22:47:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{math|term= x|SZ=-}}Koordinaten der Schnittpunkte von {{mathl|term= V(X^2+Y^2-1)|SZ=}} und {{mathl|term= V(Y-2X^2+2)|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Affine Ebene|{{CC}}|}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der biquadratischen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g8sepk09ajcqr8e9tnxv84sa0jr74u1 0 95121 780517 582673 2022-08-21T19:21:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Skizziere{{n Sie}} die Nullstellengebilde {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || V(XY,XZ,YZ) |\subseteq | {{op:Affiner Raum|3|K}} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |W ||V(ST(S-T)) |\subseteq | {{op:Affine Ebene|K}} || || |SZ= }} im reellen Fall. |Stifte{{n Sie}} einen bijektiven Morphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass der Morphismus {{math|term= \varphi|SZ=}} außerhalb des Nullpunktes ein Isomorphismus ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Charakteristik des Körpers sei {{math|term= \neq 2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen Varietäten |Kategorie2=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie3=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte=10 |p1=1 |p2=3 |p3=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 04a8fd5uz27k3p658zyyv04ttufbjuq 0 95123 784414 758024 2022-08-22T06:08:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten zu {{mathl|term= n \in \Z|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_n |\Z|\Z |b|nb |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Beschreibe{{n Sie}} die induzierte Spektrumsabbildung zu einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass bei {{ Ma:Vergleichskette |n |\neq|0 || || || |SZ= }} und {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Spektrumsabbildung {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Wie viele Urbilder hat die Spektrumsabbildung bei {{ Ma:Vergleichskette |n |\neq|0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |K ||{{CC}} || || || |SZ= }} in jedem Punkt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gbg1gkoji01qsjyr1c2anxhsii069wk 0 95133 779872 763806 2022-08-21T17:34:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten über {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf dem punktierten Spektrum davon| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | R || K[X,Y,Z]/(XYZ) || || || |SZ= }} die durch die Erzeuger {{mathl|term= e_1,e_2,f_1,f_2,g_1,g_2|SZ=}} und die Relationen {{ Ma:Vergleichskette/disp |y \cdot e_1 ||x \cdot f_1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y \cdot e_2 ||x \cdot f_2 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | z \cdot f_1 ||y \cdot g_1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | z\cdot f_2 || y \cdot g_2 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |z \cdot e_1 ||x \cdot g_2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |z \cdot e_2 ||x \cdot g_1 || || || |SZ= }} gegebene {{math|term= R|SZ=-}}Algebra {{math|term= B|SZ=.}} Man beachte, dass im letzten Gleichungspaar die Indexreihenfolge vorne und hinten vertauscht ist. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |U ||D(x,y,z) |\subseteq| {{op:Spek|R|}} || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass die Einschränkung von {{mathl|term= {{op:Spek|B|}} |SZ=}} ein Vektorbündel vom Rang zwei über {{math|term= U|SZ=}} ist. Auf {{mathl|term= D(x)|SZ=}} kann man mit dem ersten und dem dritten Gleichungspaar nach {{mathl|term= f_1,f_2,g_2,g_1|SZ=}} auflösen und es verbleiben die Erzeuger {{mathl|term= e_1,e_2|SZ=.}} Bei diesen Substitutionen wird aus der ersten Gleichung des mittleren Gleichungspaars {{ Ma:Vergleichskette/disp |z f_1 || z {{op:Bruch|y e_1|x}} || y {{op:Bruch|z e_2|x}} || y g_1 || |SZ=. }} Dabei ist die mittlere Gleichung aber automatisch erfüllt, da ja {{ Ma:Vergleichskette |xyz ||0 || || || |SZ= }} ist. Entsprechendes gilt für die zweite Gleichung. Somit ist nach der Nenneraufnahme an {{math|term= x|SZ=}} das mittlere Gleichungspaar überflüssig und es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |B_x || R_x[e_1,e_2] || || || |SZ=. }} Ebeneso sind {{mathl|term= B_y|SZ=}} und {{math|term= B_z|SZ=}} Polynomalgebren in zwei Variablen über der Basis. Wenn man auf {{math|term= D(x)|SZ=}} als Erzeuger {{mathl|term= {{op:Bruch|e_1|x}}, {{op:Bruch|e_2|x}} |SZ=,}} auf {{math|term= D(y)|SZ=}} als Erzeuger {{mathl|term= {{op:Bruch|f_1|y}}, {{op:Bruch|f_2|y}} |SZ=}} und auf {{math|term= D(z)|SZ=}} als Erzeuger {{mathl|term= {{op:Bruch|g_1|z}}, {{op:Bruch|g_2|z}} |SZ=}} nimmt, so gilt auf den Zweierdurchschnitten {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|g_1|z}} || {{op:Bruch|f_1|y}} || {{op:Bruch|e_1|x}} || {{op:Bruch|g_2|z}} || |SZ=, }} wobei die {{Anführung|paradoxe}} Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|g_1|z}} || {{op:Bruch|g_2|z}} || || || |SZ= }} nur auf der leeren Menge {{mathl|term= D(xyz)|SZ=}} gilt, also gegenstandslos ist. Die Übergangsmatrizen bezüglich dieser Erzeuger sind zweimal die Einheitsmatrix und einmal die Transpositionsmatrix. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2=Theorie der simplizialen Komplexe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q22hie6zjh45xy8w96sqco10q0hjgd2 0 95134 784049 535884 2022-08-22T05:10:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Rang der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|1|x|x^2|x|x^2|x^3|x^2|x^3|x^4||<}} |SZ= }} zu {{mathl|term= x \in K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Rangtheorie für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t1wsrxwiimt89ql79o7h3lsb9xgrh5q 0 95138 784594 535894 2022-08-22T06:32:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}} analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises {{mathl|term= V(x^2+y^2-1)|SZ=}} mit der Neilschen Parabel {{mathl|term= V( y^2-x^3)|SZ=}} gibt und bestimme{{n Sie}} numerisch die reelle {{math|term= x|SZ=-}}Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler {{math|term= \leq 0,1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Schnitttheorie von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Objektkategorie2=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gz1jn3fgupx7ljblvsqstono5lkgp55 0 95146 784371 758002 2022-08-22T06:02:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq| \N \times {{op:Zmod|n|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untermonoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= m \in M|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= m|SZ=}} aufgefasst in {{mathl|term= \N \times {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} eine Einheit ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nmf028jy4yhsvj2pdxyqp7x3mcjypkc 0 95158 784369 758001 2022-08-22T06:02:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutatives Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= m \in M|SZ=}} und {{mathl|term= T^m \in K[M]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= m|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= M|SZ=}} ist, wenn {{math|term= T^m|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= K[M]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 092zj0a5mx54rq77f7fzfuswbxqvkdg 0 95160 784743 758208 2022-08-22T06:53:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Spektrum| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Monoids| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |M || \N \times {{op:Zmod|n|}} || || || |SZ= }} aus {{math|term= n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen Komponenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht, die alle isomorph zur affinen Geraden {{mathl|term= {{op:Affine Gerade|{{CC}}|}} |SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Spektren von kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tep12u32kxnl6wkyzzv6fafvtle0rfb 0 95162 784435 758033 2022-08-22T06:11:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Schnittpunkte und die {{ Definitionslink |Prämath= |Schnittmultiplizitäten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der beiden Kurven {{mathl|term= V(Y^2-X^3)|SZ=}} und {{mathl|term= V(Y^2-X^5)|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Affine Ebene|{{CC}}|}} |SZ=}} und ihrer projektiver Abschlüsse im {{mathl|term= {{op:Projektive Ebene|{{CC}}|}} |SZ=}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8thdjis5mjj4l6h53fxpperzyggdyca 0 95188 781670 755603 2022-08-21T22:33:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die beiden reellen Kurven {{ math/disp|term= V(X^5-X^3+2XY+7Y^2-9) |SZ= }} im Punkt {{mathl|term= (1,1)|SZ=}} und {{ math/disp|term= V(X^4+Y^4-3X^2Y^2 +5X+7Y) |SZ= }} im Nullpunkt. 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Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|0|1|2|0|}} |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 3|SZ=}} Elementen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 3‎ |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lpqk6onn9b0lsc9im5me4nsthj2j6hj 0 95216 781713 579539 2022-08-21T22:41:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die lineare Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |{{CC}}^3|{{CC}}^3 || |SZ=, }} die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |A || 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Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezüglich der {{math|term= \varphi|SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|3|1|0|0|3|1|0|0|3}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 45g6kelqk89mtfe8kxr5fm7hurjpja6 0 95230 782984 748630 2022-08-22T02:13:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} werde bezüglich der Standardbasis durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|9|5|1|0|9|3|0|0|9}} |SZ= }} beschrieben. Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezüglich der {{math|term= \varphi |SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|9|1|0|0|9|1|0|0|9}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8oph27k2f5wlplb7lrkdqr3qc03qc3l 0 95231 782985 748862 2022-08-22T02:13:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} werde bezüglich der Standardbasis durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|13|2|1|0|13|2|0|0|13}} |SZ= }} beschrieben. 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|Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} acgbky3f0jp3xpwhh0082t9civzlz0w 0 95269 783354 664159 2022-08-22T03:14:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die komplexen Zahlen {{math|term= z|SZ=,}} für die die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|z|2|2z+1|3|1|4|z|5|z}} |SZ= }} nicht invertierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oqpe7wktv5hsj1z9r75qsisd3ny4fvv 0 95271 783355 664164 2022-08-22T03:14:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die komplexen Zahlen {{math|term= z|SZ=,}} für die die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|2z|0|-z+1|1|1|3|z|2|-z}} |SZ= }} nicht invertierbar ist. |Textart=Aufgabe 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|Text= {{Permutation1n/Situation|M=I|SZ=.}} Die zugehörige {{Stichwort/Betonung|term=Permutationsmatrix|SZ=}} {{math|term= M_\pi |SZ=}} ist dadurch gegeben, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | a_{ \pi (j),j} ||1 || || || |SZ= }} ist und alle anderen Einträge {{math|term= 0|SZ=}} sind. a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4 |text2={{math|term= \pi (x)|SZ=}}|4|3|1|2 }} b) Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |S_n| {{op:GLG|n|K}} | \pi| M_\pi |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. c) Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante|M_\pi|}} || {{op:Signum|\pi }} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=3 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h03p7ndc2s6c257nhshpq2mn2u9b5qd 0 95275 781810 541181 2022-08-21T22:57:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle7 |text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7 |text2={{math|term= \varphi(x)|SZ=}}|1|5|2|5|4|7|4}} gegebene Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\{1,2,3,4,5,6,7\} |\{1,2,3,4,5,6,7\} || |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} das Bild von {{mathl|term= \{5,6,7\}|SZ=}} unter {{math|term= \varphi|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} das Urbild von {{mathl|term= \{1,2,3,4\}|SZ=}} unter {{math|term= \varphi|SZ=.}} c) Erstelle eine Wertetabelle für {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi^3 || \varphi \circ \varphi \circ \varphi || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gnianpkhxniuveoz7gsywksd4oz70ap 0 95276 783946 757586 2022-08-22T04:53:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} in {{math|term= \R^3|SZ=}} den Vektor {{ math/disp|term= (0,0,1) |SZ= }} als {{ Definitionslink |Linearkombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Vektoren {{ math/disp|term= (2,3,0), (4,-1,2) \text{ und } (1,2,1) |SZ= }} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bjdkppxl4ei0qr0s2yyexz2r6vhctd6 0 95283 783299 757001 2022-08-22T03:05:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= R[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq| R[X] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal|disp |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugern| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} || (F_0, F_1 {{kommadots|}} F_n) || || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette |F_0 ||X-r || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= r \in R|SZ=}} sei. Für {{ Ma:Vergleichskette |i |\geq|1 || || || |SZ= }} seien {{mathl|term= G_i|SZ=}} die Elemente aus {{math|term= R|SZ=,}} die entstehen, wenn man in {{math|term= F_i|SZ=}} die Variable {{math|term= X|SZ=}} durch {{math|term= r|SZ=}} ersetzt. Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ringisomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R[X] / {{ideala|}} |\cong| R/(G_1 {{kommadots|}} G_n) || || || |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem kommutativen Ring |Kategorie3=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1wtw2xwo3ennfoa3euejmzmci3lrnzl 0 95357 783974 757609 2022-08-22T04:58:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |lokaler Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|R|}} | {{op:Einheiten(|R/ {{ideala|}} |}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Ringe |Kategorie2=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5bx8o096z81h3w4qxydgma40uptkdqj 0 95361 784682 536703 2022-08-22T06:44:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{math|term= x|SZ=-}}Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||X^3+8X^2-8X+3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q ||X^3-5X^2+4X+7 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über R |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h6za2mpz0eanqwlgjf9h3ua0gievygj 0 95363 781294 536793 2022-08-21T21:31:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || D(X,Y) || {{op:Affine Ebene|K|}} \setminus \{(0,0)\} |\subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || V(XU+YV) | \subseteq| {{op:Affiner Raum|4|K}} || || |SZ= }} zusammen mit der natürlichen Abbildung {{ Ma:abb |name=p |L {{|}}_U | U || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= L {{|}}_U|SZ=}} das triviale Geradenbündel ist. Ist {{ Ma:abbele/disp |name=p |L | {{op:Affine Ebene|K}} || |SZ= }} ein Geradenbündel? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 97gol5qqzzwldo8aoqa2yeys8a7zb8u 0 95365 785191 758536 2022-08-22T08:01:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X]|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Elemente, also Polynome {{math|term= P|SZ=,}} für die es ein weiteres Polynom {{math|term= Q|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |PQ ||1 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} slt6nm88pnflosv3hlzznkv5kefiw1z 0 95369 783180 756893 2022-08-22T02:45:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f \in R|SZ=}} sei nicht {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} mit {{mathl|term= f \notin {{idealp|}} |SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5q2so3x29wy10ryxv6ajtpugxw5e4n8 0 95378 784433 758031 2022-08-22T06:11:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq|\N || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |numerisches Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das von teilerfremden Erzeugern erzeugt werde, es sei {{mathl|term= K[M]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || K[M]_{{idealm|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} am {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || K[ M_+] || \langle T^m ,\, m \in M \rangle || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} allein im Fall {{ Ma:Vergleichskette |M || \N || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2=Theorie der monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5f9ddjjqsrbw6kirxih0aye7hbials8 0 95384 783972 757607 2022-08-22T04:58:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (R, {{idealm|}} )|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass aus {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}}^{n+1} || {{idealm|}}^n || || || |SZ= }} folgt, dass {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}}^n || 0 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Lemma von Nakayama |Kategorie2=Potenzen von Idealen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ffm5xmwvur40dw26cg9yvxjc4z6snv 0 95385 783973 757608 2022-08-22T04:58:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (R, {{idealm|}} )|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der kein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Es sei {{math|term= Q|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} Q || Q || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Lemma von Nakayama |Kategorie2=Theorie der Quotientenkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qs2nl3levrdnjdrmrmwzuw03na5ygcq 0 95388 779612 751634 2022-08-21T16:56:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X]_{ (X)} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} am {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (X) || || || |SZ=. }} Dann ist {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die beiden einzigen {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} sind {{ Ma:Vergleichskette |(0) |\subset| (X) || || || |SZ=, }} und ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptidealbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} liegt vor, da ja {{mathl|term= K[X]|SZ=}} ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf {{ Definitionslink |Prämath= |Assoziiertheit| |Kontext=Einheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auch nur ein Primelement geben, nämlich {{math|term= X|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2=Theorie der lokalen Ringe von Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6yibfztlpsqria745ep95ds0a8wz9us 0 95391 780087 763881 2022-08-21T18:08:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |R || \Z_{ (p )} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} am {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (p) || || || |SZ=. }} Dann ist {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die beiden einzigen {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} sind {{ Ma:Vergleichskette |(0) |\subset| (p) || || || |SZ=, }} und ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptidealbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} liegt vor, da ja {{mathl|term= \Z|SZ=}} ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf {{ Definitionslink |Prämath= |Assoziiertheit| |Kontext=Einheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auch nur ein Primelement geben, nämlich {{math|term= p|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe (Zahlentheorie) |Kategorie2=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie3=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qge4j0kkoic0b6zcicccde1koscf66g 0 95394 781745 755656 2022-08-21T22:46:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V ||V(x^2+y^2-1) |\subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ= }} der Einheitskreis über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= P=(a,b) |und|term2= Q=(c,d) |SZ= }} Punkte auf {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismus| |Kontext=affine Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(P) || Q || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der Ringisomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cw526f0axbs2hf31a0fiuko8e436t5b 0 95400 781742 755654 2022-08-21T22:45:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V || V(x^2+y^2-1) |\subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ= }} der {{Stichwort|Einheitskreis|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |P ||(a,b) |\in|V || || |SZ= }} ein Punkt. {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} im Punkt {{math|term= P|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |{{ManSie|Folgere|Folgern Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Koordinatenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X,Y]/(X^2+Y^2-1)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=man kann {{math|term= K|SZ=}} algebraisch abgeschlossen annehmen| |ISZ=|ESZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= K[X,Y]/(X^2+Y^2-1) |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Bewertung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= X|SZ=}} und von {{math|term= Y-1|SZ=}} im lokalen Ring zum Punkt {{mathl|term= (0,1)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gykwfdqm68c52a3yl28i55y3owqvhog 0 95407 781465 744908 2022-08-21T21:59:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || ( \pi) || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K ||R/ (\pi) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es für jedes {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \N || || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulisomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | (\pi^ n)/( \pi^ {n+1} )| K || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cs8hhw0mkk5sg98rmxalc2k68vaix20 0 95458 786330 759405 2022-08-22T11:07:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{idealn|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Es sei {{math|term= R_{{idealn|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} an {{math|term= {{idealn|}} |SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || {{idealn|}} R_{{idealn|}} || || || |SZ= }} das maximale Ideal von {{math|term= R_{{idealn|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | R/ {{idealn|}} ||R_{{idealn|}} /{{idealm|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restekörper (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxf8ng226fkl4mzwnp4dakvtsjclwbk 0 95459 780516 754691 2022-08-21T19:21:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Überkreuzungspunkt des dreidimensionalen Achsenkreuzes. Bestimme{{n Sie}} dessen {{ Definitionslink |Prämath= |Einbettungsdimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einbettungsdimension (lokale kommutative Ringe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} czoup0hab84esem97y7mpacggva0v8g 0 95462 785951 759097 2022-08-22T10:04:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine Kurve {{ Ma:Vergleichskette |C |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} derart, dass es auf ihr Punkte {{mathl|term= P_1,P_2,P_3 \in C|SZ=}} gibt, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Einbettungsdimensionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= 1,2,3|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einbettungsdimension (lokale kommutative Ringe) |Kategorie2=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1uyqghn7me87vk828iczae3u1sh4h2k 0 95498 785201 758546 2022-08-22T08:02:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung||X_1}} |SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=formale| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |partielle Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich {{math|term= X_1|SZ=,}} also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |f| {{op:Partielle Ableitung|f|X_1}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Derivation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 28e66w1xtqc4bxj6msdu33efoxlqmdc 0 95540 784733 538067 2022-08-22T06:52:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= e \in \N_+|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |M | {{defeq|}} | \{0\} \cup \N_{ \geq e} |\subseteq| \N || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= nM_+|SZ=}} für {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= {{op:Anzahl|M \setminus nM_+||}} |SZ=.}} |Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und setze {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[M]_{ {{idealm|}} } || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (M_+) |\subseteq| K[M] || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= {{op:Vektorraumdimension| R/ {{idealm|}}^n |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monomialen Kurven |Kategorie2=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität von eindimensionalen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hnzopjy6hjydtn222mraltre8rzqf3v 0 95546 782298 756147 2022-08-22T00:18:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= R[[X_1 {{kommadots|}} X_n]] |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung||X_1}} |SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=formale| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |partielle Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich {{math|term= X_1|SZ=,}} also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | R[ [X_1 {{kommadots|}} X_n] ]| R[ [X_1 {{kommadots|}} X_n] ] |f| {{op:Partielle Ableitung|f|X_1}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Derivation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4uh65z1pksunj9yrg1dmqg5mulfj3y6 0 95548 785076 758461 2022-08-22T07:43:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette | F_1 {{kommadots|}} F_m |\in| K[X_1 {{kommadots|}} X_\ell ] || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |G_1 {{kommadots|}} G_n | \in| K[X_1 {{kommadots|}} X_m ] || || || || |SZ= }} Polynome, die zu den {{ Definitionslink |Prämath= |polynomialen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Affiner Raum|\ell|K}} \stackrel{F}{\longrightarrow} {{op:Affiner Raum|m|K}} \stackrel{G}{\longrightarrow} {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ= }} Anlass geben. Es seien {{ mathkor|term1= J (F)_P |und|term2= J (G)_Q |SZ= }} die durch {{ Definitionslink |Prämath= |formales partielles Ableiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definierten {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} die formale Kettenregel {{ Ma:Vergleichskette/disp | J ( G \circ F)_P || J(G)_{F(P)} \circ J(F)_P || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2=Theorie der polynomialen Abbildungen zwischen affinen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1emw0acougrie8z0ganonf67tiojpt 0 95552 781663 746664 2022-08-21T22:32:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |H(X) |\in|K[X] || || || |SZ=, }} sei {{ Ma:Vergleichskette |F ||Y-H || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |C ||V(F) |\subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= H|SZ=,}} aufgefasst als {{ Definitionslink |Prämath= |ebene algebraische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || (a,b) || (a, H(a)) || || |SZ= }} ein Punkt des Graphen. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplizität| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= C |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=}} gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Tangente| |Kontext=ebene Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= P |SZ=}} an {{math|term= C |SZ=}} mit der üblichen Tangente an einen Graphen im Punkt {{math|term= a |SZ=}} übereinstimmt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie des Graphen einer Abbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4f8usyhq5nq361qz2ouelbouaa3tdg1 0 95568 782013 755907 2022-08-21T23:31:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das charakteristische Polynom zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 023915kzgcfbo3th1k7lt2415glrxmv 0 95574 784737 758205 2022-08-22T06:53:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq|\N || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |numerisches Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Singularitätsgrad| |Kontext=numerisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} mit den drei folgenden Zahlen übereinstimmt. {{ Aufzählung3 |Die maximale Länge einer Kette von Monoiden {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||M_0 |\subset|M_1 |\subset|M_2 |{{subsetdots}}|M_n ||\N |SZ= }} |Die maximale Länge einer Kette von {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[M] || R_0 |\subset|R_1 |\subset|R_2 |{{subsetdots}}|R_n || K[T] |SZ=. }} |Die maximale Länge einer Kette {{ Zusatz/Klammer |text=einer {{ Definitionslink |Prämath= |Fahne| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath=K |Untervektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[M] || V_0 |\subset|V_1 |\subset|V_2 |{{subsetdots}}|V_n || K[T] |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2=Theorie der monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q3pyj9xbxg8a4g59hfboo1hdv8ovh3a 0 95579 784625 738762 2022-08-22T06:37:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f \in R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Nichtnullteiler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dies zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |kurzen exakten Sequenz| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{kurzeexaktesequenz/disp |R |R |R/f |abblm=\cdot f |SZ= }} }} von {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} führt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kurzen exakten Sequenzen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Nullteiler (kommutative Ringe) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f23mx8royajhsppq97g6ajfx5mz32l5 0 95584 784378 758007 2022-08-22T06:03:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutatives Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name=\delta |M|\N || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass zu jedem {{mathl|term= d \in \N|SZ=}} das Urbild {{ Ma:Vergleichskette |M_d || {{Mengebed|m \in M| \delta(m) {{=}} d}} || || || |SZ= }} endlich sei. Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | R[ [M] ] || {{Mengebed| \sum_{m \in M} a_m T^m|a_m \in R}} || || || |SZ= }} mit naheliegenden Verknüpfungen eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, die den {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R[M]|SZ=}} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplettierten Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g94xqnloccet0sz0qntpntbcd4show8 0 95587 784377 758006 2022-08-22T06:03:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M=\N^r|SZ=}} und sei {{ Ma:abb |name=\delta |\N^r|\N || |SZ= }} die Standardgraduierung auf {{math|term= \N^r|SZ=,}} also die durch {{mathl|term= e_i \mapsto 1|SZ=}} gegebene Abbildung. Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} und sei {{mathl|term= R[ [\N^r] ]|SZ=}} wie in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Monoid/Semipositive Graduierung/Potenzreihenring/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} definiert. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | R[ [\N^r] ] || R[ [T_1 {{kommadots|}} T_r] ] || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplettierten Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0v3lf0ezjlhzc9tzyuv8cqghd69tjr0 0 95593 784093 757740 2022-08-22T05:18:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22| {{op:Bruch|X^2-4X+7|X-1}} |{{op:Bruch|6X-5|X^2-5}}|{{op:Bruch|4X^2+3X-2|6X^2-3X}}|{{op:Bruch|X^2+8X+9|X^2-3X+5}} }} |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper der rationalen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Q(X)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1yrekqqb80kp6f8s7x4e9lqdqe0ty7q 0 95597 785304 758616 2022-08-22T08:17:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= {{op:Potenzreihenring|R|T}}|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Potenzreihenring|R|T}} | {{op:Potenzreihenring|R|T}} |F| a_0 |SZ=, }} die einer Potenzreihe ihren konstanten Term zuordnet, ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bt0s2qk3cu05toswwghi6rwp7zp6y1p 0 95598 785306 758617 2022-08-22T08:18:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Potenzreihenring|R|T_1 {{kommadots|}} T_n }}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2=Theorie der lokalen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rxq7yoqevqb7tknuf38c0hzo1cipgic 0 95599 785301 737361 2022-08-22T08:17:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper, {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} ||(T) |\subset | K[T] || || |SZ= }} das zum Nullpunkt gehörige {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | R || K[T]_{{idealm|}} || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name= |R| {{op:Potenzreihenring|K|T}} || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Potenzreihenring eine Variable/Abbildung der Lokalisierung an maximalen Ideal/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass sich unter dieser Abbildung die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Bewertung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Elementen nicht ändert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie3=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mv4k94enxkobfvarxqk3lebu1cb10mo 106 95636 784389 550951 2022-08-22T06:04:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Allgemeingültige Ausdrücke}} Es sei {{mathl|term=L^{{symbolalphabet|}}|SZ=}} eine Sprache erster Stufe über einem Symbolalphabet {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=.}} Für einen Ausdruck {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^S|SZ=}} und eine Interpretation {{math|term=I|SZ=}} haben wir in der letzten Vorlesung die Gültigkeit {{mathl|term=I \vDash {{logprop|}}|SZ=}} über den Aufbau der Sprache rekursiv definiert. Wie im aussagenlogischen Kontext führen wir semantische Tautologien über die Gültigkeit bei jeder Interpretation ein. {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes Modell/Definition|| }} Allgemeingültige Ausdrücke sind {{Stichwort|Tautologien|msw=Tautologie|SZ=}} im semantischen Sinn. Wir werden später noch Tautologien im syntaktischen Sinn kennenlernen und die Übereinstimmung der beiden Konzepte zeigen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Faktlink |Präwort=|Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik|Faktseitenname= Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologieversion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Beispiele sind die Ausdrücke {{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z ((x=y {{logund}} y=z) \rightarrow x=z) |SZ= }} oder {{ math/disp|term= (\forall x {{logprop|}}) \rightarrow {{logprop|}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} ein Ausdruck ist| |ISZ=|ESZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Beispielaussagen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wenn man in eine aussagenlogische Tautologie für die Aussagenvariablen beliebige prädikatenlogische Ausdrücke einsetzt{{ Zusatz/Fußnote |text=Insofern ist auch die Bezeichnung Aussagenvariable gerechtfertigt, da für sie prädikatenlogische Ausdrücke eingesetzt werden können| |ISZ=.|ESZ=, }} so erhält man auch eine Tautologie im obigen Sinn, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Aussagenlogische Tautologie/Prädikatenlogische Ersetzung/Allgemeingültig/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die entprechende syntaktische Version wird in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Prädikatenlogik/Aussagenlogische Tautologie/Einsetzen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} behandelt| |ISZ=|ESZ=. }} Beispielsweise erhält man aus der aussagenlogischen Tautologie {{ math/disp|term= {{logprop|}} \rightarrow {{makl| {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop|}} |}} |SZ= }} die prädikatenlogische Tautologie {{ Zusatz/Klammer |text=mit naheliegenden Zugehörigkeiten der Symbole| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= \forall x (fx {{=}} y) \rightarrow {{makl| \exists u (Rgz u) \rightarrow \forall x (fx {{=}} y) |}} |SZ=, }} die aber keinen eigentlichen prädikatenlogischen Sachverhalt ausdrückt. {{Zwischenüberschrift|Gültigkeit von Ausdrucksmengen}} Für eine Menge {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| L^{{symbolalphabet|}} || || || |SZ= }} von Ausdrücken und einer {{math|term=S|SZ=-}}Interpretation {{math|term=I|SZ=}} schreibt man {{mathl|term=I \vDash \Gamma|SZ=,}} wenn in {{math|term=I|SZ=}} jeder Ausdruck aus {{math|term=\Gamma|SZ=}} gilt. Man sagt, dass {{math|term=I|SZ=}} ein {{Stichwort|Modell|SZ=}} für {{math|term=\Gamma|SZ=}} ist. Eine {{math|term= {{symbolalphabet|}}|SZ=-}}Struktur heißt ein {{Stichwort|Modell|SZ=}} für {{math|term=\Gamma |SZ=,}} wenn jede Variablenbelegung zu dieser Struktur eine Interpretation liefert, die ein Modell für {{math|term=\Gamma |SZ=}} ist. Diese Sprechweise wird insbesondere für Axiomensysteme {{math|term=\Gamma|SZ=}} verwendet, die eine mathematisch wichtige Struktur festlegen. Die erfüllenden Modelle heißen dann so, wie der Definitionsname in der Definition lautet, die dieses Axiomensystem verwendet. Die Modelle nennt man im üblichen mathematischen Sprachgebrauch Beispiele für diejenige mathematische Struktur, die durch die Definition festgelegt wird. {{Zwischenüberschrift|Axiomensysteme}} Grundsätzlich gibt es zwei Bedeutungen von Axiomensystemen. Einerseits wird ein Axiomensystem aufgestellt, um eine in einem gewissen Sinn vertraute Struktur präzise zu erfassen und ihre Eigenschaften aus den fixierten Grundeigenschaften zu folgern. Man spricht von einem {{Stichwort|intendierten Modell|msw=Intendiertes Modell|SZ=,}} das durch das Aufstellen eines Axiomensystems mathematisch beschrieben werden soll. Die Axiome selbst werden dann durch die Gültigkeit im intendierten Modell gerechtfertigt und können nicht weiter hinterfragt werden. In diesem Sinne gibt es in der Geometrie die euklidische Axiome für die Ebene bzw. den Raum, oder die Dedekind-Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen, die wir später behandeln werden, oder die Axiome für die reellen Zahlen, die man in der Analysis I einführt, oder die Axiome für die Mengenlehre {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise [[w:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|Zermelo-Fraenkel]] mit Auswahlaxiom| |ISZ=|ESZ=, }} die eine Festlegung für den mengentheoretischen Rahmen der gesamten Mathematik bilden. Eine wichtige Fragestellung hierbei ist, ob die Axiome die Struktur eindeutig festlegen. Andererseits kann man jede willkürliche Vorgabe einer Menge von Ausdrücken als ein Axiomensystem ansehen. Es gibt dann jeweils mehrere verschiedene Strukturen, die diese Axiome erfüllen. Ein Axiomensystem in diesem Sinn will nicht ein bestimmtes Modell charakterisieren, sondern abstrakte Eigenschaft, die in unterschiedlichen Kontexten auftreten, bereitstellen. Eigenschaften, die man aus den Axiomen erschließen kann, gelten dann für sämtliche Modelle, die die Axiome erfüllen. Die Ökonomie dieses mathematischen Ansatzes liegt eben darin, dass man Schlüsse nicht am Objekt durchführt, sondern abstrakt und allgemein. Wichtige Axiomensysteme in diesem zweiten Sinn sind die Axiome für Gruppen, Ringe, Körper, angeordnete Körper, Vektorräume, metrische Räume, topologische Räume, Maßräume, Mannigfaltigkeiten. Wichtige Bewertungskriterien für beide Arten von Axiomensystemen sind. {{ Aufzählung4 |Die Axiome sollen möglichst einfach formuliert sein. |Die Axiome sollen möglichst einfach {{ Zusatz/Klammer |text=in einem Modell| |ISZ=|ESZ= }} überprüfbar sein. |Die Axiome sollen reichhaltige Folgerungen erlauben. |Die Axiome eines Systems sollen untereinander unabhängig sein; es darf kein Axiom re{{latextrenn|}}dundant sein. }} Für uns stehen zunächst Axiomensysteme im zweiten Sinne im Mittelpunkt; grundsätzlich kann man jede Ausdrucksmenge {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| L^{{symbolalphabet|}} || || || |SZ= }} als ein Axiomensystem auffassen. Als Beispiele betrachten wir aber nur mathematisch relevante Axiomensysteme. Um ein Axiomensystem prädikatenlogisch zu repräsentieren, muss man zuerst das Symbolalphabet und anschließend die Axiome festlegen. Betrachten wir beispielsweise die mathematische Definition einer Gruppe. {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition|v=*| }} In formal-prädikatenlogischer Formulierung besteht das Symbolalphabet {{ Zusatz/Klammer |text=neben den Variablen| |ISZ=|ESZ= }} aus einer Konstanten {{math|term= e |SZ=}} und aus einem zweistelligen Funktionssymbol {{math|term=\mu|SZ=.}} Die in der Gruppendefinition auftretenden Axiome {{ Zusatz/Klammer |text=die Gruppenaxiome, also die drei auftretenden Bedingungen| |ISZ=|ESZ= }} kann man mit diesen Symbolen einfach schreiben als {{ Aufzählung3 |{{ math/disp|term= \forall x (\forall y (\forall z \, \mu x \mu y z = \mu \mu x y z)) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x (\mu x e = x {{logund}} \mu e x = x ) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \exists y (\mu x y = e {{logund}} \mu y x = e) |SZ=. }} }} Nennen wir diese drei Ausdrücke zusammen {{math|term=\Gamma|SZ=.}} Dann ist eine Gruppe eine Menge {{math|term=G|SZ=}} mit einer Interpretation {{math|term=I|SZ=}} für {{math|term=e|SZ=}} und für {{math|term=\mu|SZ=,}} d.h. es muss ein ausgezeichnetes Element {{math|term=e^G|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=häufig schreibt man {{math|term=e_G|SZ=}} oder {{math|term=e|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} geben und eine zweistellige Funktion auf {{math|term=G|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine Verknüpfung| |ISZ=|ESZ=, }} derart, dass {{mathl|term=I \vDash \Gamma|SZ=}} gilt. Eine Gruppe ist also ein Modell für {{math|term=\Gamma|SZ=.}} Als weiteres Beispiel wiederholen wir die Definition der Ordnungsrelation, die wir in der fünften Vorlesung behandelt haben. {{:Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition}} Neben den Variablen besteht das zugehörige Symbolalphabet allein aus einem zweistelligen Relationssymbol, das wir ebenfalls mit {{math|term=\preccurlyeq|SZ=}} bezeichnen. Die für eine Ordnung verlangten Eigenschaften führen zu dem folgenden Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |{{ math/disp|term= \forall x (x \preccurlyeq x) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z ( x \preccurlyeq y {{logund}} y \preccurlyeq z \rightarrow x \preccurlyeq z) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \forall y ( x \preccurlyeq y {{logund}} y \preccurlyeq x \rightarrow x = y) |SZ=. }} }} In einer Menge {{math|term=M|SZ=}} mit einer zweistelligen Relation {{math|term=R|SZ=}} gilt das Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=}} genau dann, wenn die Relation eine Ordnungsrelation ist. Eine geordnete Menge ist also ein Modell für {{math|term=\Gamma|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Die Folgerungsbeziehung}} {{:Prädikatenlogik/Folgerung/Axiomensysteme/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Sortenprädikate}} {{:Sortenprädikate/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} k0emaqxm9lnc29djms06eahvwv0hheg 0 95659 786474 746693 2022-08-22T11:31:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= H_1,H_2 \in K[X]|SZ=}} verschiedene Polynome und {{ Ma:Vergleichskette |C ||V(Y-H_1) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |D ||V(Y-H_2) || || || |SZ= }} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aufgefasst als {{ Definitionslink |Prämath= |ebene algebraische Kurven| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Affine Ebene|K}} |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= a \in K|SZ=}} ein Punkt mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |H_1(a) ||H_2(a) |{{defeqr}}| b || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Schnittmultiplizität| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= C |und|term2= D |SZ= }} im Punkt {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} mit der Schnittmultiplizität des Graphen von {{mathl|term= H_1-H_2 |SZ=}} und der {{math|term= X|SZ=-}}Achse im Punkt {{mathl|term= (a,0) |SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fmqfbmznkd66c8x4l0rhmqjq9yc42kp 0 95683 781661 755597 2022-08-21T22:32:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P\in C|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |glatter Punkt| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer ebenen Kurve {{ Ma:Vergleichskette |C |\subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Tangente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Schnittmultiplizität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= C |und|term2= G |SZ= }} im Punkt {{math|term= P|SZ=}} {{mathl|term= \geq 2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sk2me5e7vom1ax1ymjd588jub05y6j9 0 95964 781978 755870 2022-08-21T23:25:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|4|1|2|3|}} |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=}} mit {{math|term= 5|SZ=}} Elementen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 5 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0x1kkeh6mmvrloe7jd8v3ixkkgozyk9 0 96450 778867 541048 2022-08-21T14:58:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |Z^2 ||XY || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || K[X,Y,Z]/(Z^2-XY) || || || |SZ=. }} Der Ring der Hauptteile ist durch {{ math/disp|term= R {{tensor|K}} R |SZ= }} gegeben. Wenn man die Variablen für die zweite Komponente als {{mathl|term= \tilde{X}, \tilde{Y} , \tilde{Z}|SZ=}} ansetzt, so ist dies {{ math/disp|term= K[ X,Y,Z, \tilde{X}, \tilde{Y} , \tilde{Z}]/(Z^2-XY, \tilde{Z}^2- \tilde{X} \tilde{Y} ) |SZ=. }} Mit den Festlegungen {{ math/disp|term= A= \tilde{X} -X, \, B= \tilde{Y} -Y \text{ und } C= \tilde{Z}-Z |SZ= }} kann man dies als {{ math/disp|term= R[A,B,C] /(C^2+2ZC-AB-AY-BX) |SZ= }} schreiben. Die Ideale, die man rausdividieren muss, sind {{mathl|term= (A,B,C)^{n+1}|SZ=.}} Somit sind die {{ Zusatz/Klammer |text=Vergleichsmonome| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= 1,A,B,C,A^2,AB,AC,B^2,BC,C^2, \ldots |SZ= }} Erzeuger über {{math|term= R|SZ=.}} Für die Modulbeschreibung muss man die Ringgleichung mit den Monomen multiplizieren. Es ergibt sich eine Darstellung {{ math/disp|term= \bigoplus_{ {{op:Grad Polynom|\mu|}} \leq n -1 } R A^\mu \stackrel{M} { \longrightarrow }\bigoplus_{ {{op:Grad Polynom|\lambda|}} \leq n } R A^\lambda \longrightarrow P^n_{R {{|}} K} \longrightarrow 0 |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |n ||1 || || || |SZ= }} ergibt sich die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix52||1|1|0|A|-Y|B|-X|C|2Z|}} |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} ergibt sich die Matrix {{ Zusatz/Klammer |text=in der {{math|term= \mu|SZ=-}}Spalte steht die Gleichung multipliziert mit {{math|term= A^\mu|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= {{Op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2| |ux=-Y |uy=-X |uz=2Z |uxy=-1 |uzz=1 |SZ=. }} }} Ein Differentialoperator ist eine Zuordnung {{mathl|term= A^\nu \mapsto a_\nu \in R|SZ=}} mit der Bedingung, dass dieses Tupel ein Element des Kernes von links der Matrix ist. Man sucht also nach {{math|term= \nu|SZ=-}}Tupeln, die eine lineare Abhängigkeit der Zeilen ausdrücken. Damit der Operator unitär ist, muss zumindest ein Koeffizient eine Einheit sein. Dies bedeutet wiederum die Frage, ob man eine Zeile als Linearkombination der anderen schreiben kann. Für die erste Zeile ist das direkt klar, da natürlich durch {{mathl|term= (1,0,0,0 \ldots, 0,0)|SZ=}} eine lineare Abhängigkeit vorliegt. Nichttriviale Abhängigkeiten sind {{ math/disp|term= (0,1,0,0,4X,0,2Z,0,0,Y) |SZ=, }} und {{ math/disp|term= (0,0,1,0,0,0,0,4Y,2Z,X) |SZ= }} und {{ math/disp|term= (0,0,0,1,0,4Z,2X,0,2Y,2Z) |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |n ||3 || || || |SZ= }} ergibt sich die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 3|ux=-Y|uy=-X|uz=2Z|uxx=0|uxy=-1|uxz=0|uyy=0|uyz=0|uzz=1}} |SZ=. }} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 4/Ergänzung|ux=-Y|uy=-X|uz=2Z|uxx=0|uxy=-1|uxz=0|uyy=0|uyz=0|uzz=1}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzgntz5q2be81bsen2got4p37gaxdh8 0 96474 782303 756151 2022-08-22T00:19:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} für das {{ Definitionslink |Prämath= |formale Ableiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Beziehung {{ Zusatz/Klammer |text={{mathl|term= i \leq n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|i !}} {{makl| X^n |}}^{(i)} || {{op:Binom|n|i}} X^{n-i} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des formalen Ableitens |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kodivi2p36qo7fcmy6yb4xuq7wchk0k 0 96477 785124 758487 2022-08-22T07:51:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und sei {{ mathbed|term= f \in K[X] ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} und {{mathl|term= a \in K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden {{Anführung|Ordnungen}} von {{math|term= f|SZ=}} an der Stelle {{math|term= a|SZ=}} übereinstimmen. {{ Aufzählung3 |Die Verschwindungsordnung von {{math|term= f|SZ=}} an der Stelle {{math|term= a|SZ=,}} also die maximale Ordnung einer {{ Definitionslink |Prämath= |formalen Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= f^{(k)}(a) =0|SZ=.}} |Der Exponent des Linearfaktors {{mathl|term= X-a|SZ=}} in der Zerlegung von {{math|term= f|SZ=.}} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=diskreter Berwertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} an der {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X]_{(X-a)}|SZ=}} von {{mathl|term= K[X]|SZ=}} am {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X-a)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3=Theorie des formalen Ableitens |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2tgmtvqv7is1yqxeqmk3u2vcg01gw8l 0 96480 779585 751582 2022-08-21T16:52:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|0|0|1|1|0|0|0|1|0|}} |SZ=. }} Es ist {{mathl|term= K {{op:Spaltenvektor|1|1|1}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=,}} ferner ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{op:Span|{{op:Spaltenvektor|1|-1|0}}, {{op:Spaltenvektor|0|1|-1}} |}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |invarianter Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=der sich über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Permutationsmatrix/Zykel/C/Eigentheorie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in weitere Eigenräume zerlegen lässt| |ISZ=|ESZ=. }} Bezüglich der angegebenen Basis besitzt die Einschränkung der linearen Abbildung auf {{math|term= U|SZ=}} die beschreibende Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|0|-1|1|-1}} |SZ=, }} somit ist das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |X(X+1)+1 || X^2+X+1 || || || |SZ=. }} Dies ist zugleich das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Einschränkung. Das Minimalpolynom zur Permutationsmatrix ist {{mathl|term= X^3-1|SZ=,}} und in der Tat ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^3-1 || (X-1) (X^2+X+1) || || || |SZ= }} in Übereinstimmung mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Minimalpolynom/Teilbarkeit/Fakt |Nr=/Fakten |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie3=Theorie der Permutationsmatrizen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r73tuka8un0k9uh48pyaace87s9e5eu 0 96482 784939 758381 2022-08-22T07:22:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|0|0|1|1|0|0|0|1|0|0}} |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ig3witg87h1b08jmpboxtx5312b798p 0 96524 779006 750965 2022-08-21T15:20:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die einfachsten {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} sind die vom Grad {{math|term= 1|SZ=,}} also Ausdrücke der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||a_0X_0 + a_1X_0 {{plusdots|}} a_nX_n || || || |SZ=, }} wobei nicht alle Koeffizienten gleichzeitig {{math|term= 0|SZ=}} sein dürfen. Die {{ Definitionslink |Prämath= |affine Nullstellenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V(F) |SZ=}} im {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n+1|K}} |SZ=}} ist ein {{math|term= n |SZ=-}}dimensionaler affiner Raum durch den Nullpunkt, die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Nullstellenmenge| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V_+(F) |SZ=}} im {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}} |SZ=}} ist isomorph zu einem {{math|term= (n-1) |SZ=-}}dimensionalen projektiven Raum. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3cwcvez7omgvdg08tkd8so6nllr3joh 0 96535 785436 758716 2022-08-22T08:39:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q ||V {{makl| X_0^2+X_1^2 {{plusdots|}} X_n^2-1 |}} |\subset| {{op:Affiner Raum|n+1|{{CC}}}} || || |SZ= }} und betrachte die Gesamtabbildung {{ math/disp|term= \varphi: Q \longrightarrow {{op:Affiner Raum|n+1|{{CC}}}} \setminus \{0\} \longrightarrow {{op:Projektiver Raum|n|{{CC}}}} |SZ=, }} wobei hinten die {{ Definitionslink |Prämath= |Kegelabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} steht. Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Wie verhält sich {{math|term= \varphi|SZ=}} zur Einschränkung der Kegelabbildung auf die reell {{mathl|term= 2n+1|SZ=-}}dimensionale Sphäre {{mathl|term= S^{2n+1} \subset \R^{2n+2} \cong {{CC}}^{n+1}|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kegelabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lldbrzmw6o33dkp5ggt2l7mrtutd0a4 0 96560 785425 758710 2022-08-22T08:37:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= {{op:Projektive Ebene|K|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Ebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass zwei projektive Geraden {{ Ma:Vergleichskette | L,M |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ= }} stets einen nichtleeren Durchschnitt besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Ebene |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Gerade |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 02q1rf53kllybc3k74j5bxnbign41kr 0 96569 785449 758727 2022-08-22T08:41:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass unter der {{ Definitionslink |Prämath= |Kegelabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |{{op:Affiner Raum|n+1|K|}} \setminus \{0\} |{{op:Projektiver Raum|n|K|}} || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \pi^ {-1} (V_+ ( {{ideala|}} )) || V ( {{ideala|}} ) \cap {{makl| {{op:Affiner Raum|n+1|K|}} \setminus \{0\} |}} || || || |SZ= }} für jedes {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} gilt. Folgere daraus, dass {{math|term= \pi|SZ=}} stetig in der Zariski-Topologie ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kegelabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sihq3klyl5ueqbx2gs15vhavk6pvois 0 96576 785432 758712 2022-08-22T08:38:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Varietät| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} in der natürlichen Topologie {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Varietäten über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} toevpi3ol482j0jkd57u3yhrz26ibqg 0 96579 785431 758711 2022-08-22T08:38:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= Y|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Varietät| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{CC}}|SZ=,}} die zugleich eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Varietät| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= Y|SZ=}} eine endliche Punktmenge ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Varietäten über C |Kategorie2=Theorie der nulldimensionalen Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gzn0209kt2oxudaf5lekcggwki0z4es 0 96584 782167 756044 2022-08-21T23:56:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die affine Nullstellenmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |V | {{defeq|}} |V {{makl| X^2+Y^2+1 |}} |\subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ= }} über dem Körper {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Zmod|2|}} || || || |SZ= }} mit zwei Elementen. {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} die Punkte von {{math|term= V|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass der projektive Abschluss von {{math|term= V|SZ=}} nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur {{ Definitionslink |Prämath= |Homogenisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= X^2+Y^2+1|SZ=}} übereinstimmt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des projektiven Abschlusses von ebenen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} klw9euixtr6azxnw0ujzc0q12c7czoh 0 96587 781980 755872 2022-08-21T23:25:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V( {{ideala|}} ) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affine Varietät| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} mit {{math|term= V|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des projektiven Abschlusses |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bj92w27c6csussqotas1cdflsxvqxrd 0 96607 781695 746642 2022-08-21T22:38:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | F |\in| K[X] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einer Variablen über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | V(Y-F) |\subseteq| {{op:Affine Ebene||}} || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aufgefasst als {{ Definitionslink |Prämath= |ebene affine Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Abschluss| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{C} |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K |}} || || |SZ= }} des Graphen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des projektiven Abschlusses von ebenen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h1kkz5f4uj0zjqlqe6ketjzl3jns6ac 0 96608 781697 746628 2022-08-21T22:38:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= F,G \in K[X],\, G \neq 0|SZ=,}} {{ Definitionslink |Prämath= |Polynome| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einer Variablen über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und sei {{mathl|term= F/G|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | V |\subseteq| {{op:Affine Ebene||}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als {{ Definitionslink |Prämath= |ebene affine Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Abschluss| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{C} |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K |}} || || |SZ= }} des Graphen. Wo finden sich {{Anführung|Asymptoten}} im projektiven Abschluss wieder? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des projektiven Abschlusses von ebenen Kurven |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h69q8wgipcuzamj9ly7q1w9dl6vhpba 0 96609 785437 758717 2022-08-22T08:39:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in |K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= d|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |D_+(f) |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || || || |SZ= }} die zugehörige offene Teilmenge des {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem homogenen Polynom {{ Ma:Vergleichskette |h |\in|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= e|SZ=}} die rationale Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|h|f^n}} |SZ=}} unter der Bedingung {{ Ma:Vergleichskette |e ||nd || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Funktion| |Kontext=quasiprojektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name={{op:Bruch|h|f^n}} |D_+(f) | K || |SZ= }} definiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Funktionen auf Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p57c0f7zzzay2rfz68k31xqw5ekulo2 0 96614 785849 759013 2022-08-22T09:47:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die affine Nullstellenmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |V | {{defeq|}} |V {{makl| X^4+Y^2 |}} |\subseteq| {{op:Affine Ebene|\R|}} || || || |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Punkte von {{math|term= V|SZ=}} und den {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass der projektive Abschluss von {{math|term= V|SZ=}} nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur {{ Definitionslink |Prämath= |Homogenisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= X^4+Y^2|SZ=}} übereinstimmt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des projektiven Abschlusses von ebenen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mzzny8w1tuq3gwanu7f0lwybngv52i2 0 96620 779580 751578 2022-08-21T16:51:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|0|0|1|1|0|0|0|1|0|}} |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=,}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} || X^3-1 || (X-1) {{makl| X^2+X+1 |}} || P\cdot Q || |SZ=, }} wobei die beiden Faktoren {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Wir überprüfen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Zerlegung/Direkte Summe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an diesem Beispiel. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | P(M) || M - E_3 || {{op:Matrix33|-1|0|1|1|-1|0|0|1|-1|}} || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kern|P(M)|}} || {{op:Eigenraum|M|1}} || \R {{op:Spaltenvektor|1|1|1}} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | Q(M) || {{op:Matrix33|0|1|0|0|0|1|1|0|0|}} + {{op:Matrix33|0|0|1|1|0|0|0|1|0|}} +{{op:Matrix33|1|0|0|0|1|0|0|0|1|}} || {{op:Matrix33|1|1|1|1|1|1|1|1|1|}} || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kern|Q(M)|}} || {{op:Span|{{op:Spaltenvektor|1|-1|0}}, {{op:Spaltenvektor|0|1|-1}} |}} || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\R^3 || \R {{op:Spaltenvektor|1|1|1}} \oplus {{op:Span|{{op:Spaltenvektor|1|-1|0}}, {{op:Spaltenvektor|0|1|-1}} |}} || || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette/align | P(M) {{op:Spaltenvektor|1|-1|0}} || {{op:Matrix33|-1|0|1|1|-1|0|0|1|-1|}} {{op:Spaltenvektor|1|-1|0}} || {{op:Spaltenvektor|-1|2|-1}} || - {{op:Spaltenvektor|1|-1|0}} + {{op:Spaltenvektor|0|1|-1}} || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/align | P(M) {{op:Spaltenvektor|0|1|-1}} || {{op:Matrix33|-1|0|1|1|-1|0|0|1|-1|}} {{op:Spaltenvektor|0|1|-1}} || {{op:Spaltenvektor|-1|-1|2}} || - {{op:Spaltenvektor|1|-1|0}} -2 {{op:Spaltenvektor|0|1|-1}} || |SZ=, }} woraus man ablesen kann, dass die Einschränkung von {{math|term= P(M)|SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Kern|Q(M)|}} |SZ=}} bijektiv ist. Die Darstellung der {{math|term= 1|SZ=}} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Polynom/Bezout/X^2+X+1 und X-1/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} führt zur Matrixgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix33|1|0|0|0|1|0|0|0|1|}} ||{{op:Bruch|1|3}} {{op:Matrix33|1|1|1|1|1|1|1|1|1|}} - {{op:Bruch|1|3}} {{op:Matrix33|2|0|1|1|2|0|0|1|2|}} {{op:Matrix33|-1|0|1|1|-1|0|0|1|-1|}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mmqq46ts6o8uoiooo9vidpn8kh4pj1i 0 96623 779591 751596 2022-08-21T16:53:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten den {{ Definitionslink |Prämath= |größten gemeinsamen Teiler| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die beiden Polynome {{ mathkor|term1= X^2+X+1 |und|term2= X-1 |SZ= }} aus {{math|term= \Q[X]|SZ=}} berechnen. Dazu führt man die {{ Definitionslink |Prämath= |Division mit Rest| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2+X+1 || {{makl| X +2 |}} {{makl| X- 1 |}} + 3 || || || |SZ=. }} Daher sind die beiden Polynome teilerfremd. Eine Darstellung der {{math|term= 1|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |1 || {{op:Bruch|1|3}} {{makl| X^2+X+1 |}} - {{op:Bruch|1|3}} {{makl| X +2 |}} {{makl| X- 1 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Lemma von Bezout (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nqovzq5bdxql7czz883ple9828gd89o 0 96632 785229 541515 2022-08-22T08:06:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \geq 2|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |{{:Division mit Rest (Polynomring)/Aufgabenform|K=\Q|P=X^{n-1} + X^ {n-2} {{plusdots|}} X^2+X+1|T= X-1 }} |Finde{{n Sie}} eine Darstellung der {{math|term= 1|SZ=}} mit diesen beiden Polynomen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der euklidische Algorithmus (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} st89p3y66xk8vho6jmlmikwsj3flw4e 0 96633 784947 758388 2022-08-22T07:23:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \pi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zykel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Länge {{math|term= n|SZ=}} und {{math|term= M|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix55|0|0|0|\ldots|1|1|0|0|\ldots|0|0|1|0|\ldots|0|\vdots|\ddots|\ddots|\ddots|\vdots|0|0|\ldots|1|0}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}}|SZ=}} von {{math|term= M|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= P=X-1|SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} |SZ=}} ist und berechne{{n Sie}} die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} || P Q || || |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= P(M)|SZ=}} und {{mathl|term= Q(M)|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= {{op:Kern|P(M)||}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Kern|Q(M)}}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie2=Das charakteristische Polynom von Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 043hhwrt5anq7iuzsqkulg6tanlxfy9 0 96640 785130 758491 2022-08-22T07:52:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= a \in K|SZ=}} und {{mathl|term= P\in K[X]|SZ=}} ein Polynom mit {{ Ma:Vergleichskette |P(a) |\neq|0 || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= X-a|SZ=}} und {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Sei {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= (X-a)^k|SZ=}} und {{math|term= P|SZ=}} teilerfremd sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b3bloc1d804h3j58hqyh38byvqdnq1a 0 96645 782983 756723 2022-08-22T02:12:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invarianter Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= U|SZ=}} zu jedem {{mathl|term= \lambda \in K|SZ=}} invariant bezüglich {{mathl|term= \varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ng3qa8968omvdw8334gsllgovbgw95 0 96649 782014 755908 2022-08-21T23:31:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi|}} |SZ=}} zerfalle in verschiedene {{ Definitionslink |Linearfaktoren| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} agpq4lbzj5a7h6byorjq3yhbxnkzhqs 0 96655 782741 756516 2022-08-22T01:32:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |(H) |\subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Homogenisierung| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Ideals {{math|term= (H)|SZ=}} gleich dem von der {{ Definitionslink |Prämath= |Homogenisierung| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= H|SZ=}} erzeugten Hauptideal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Ideale im Polynomring |Kategorie2=Theorie der Hauptideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8c2ajpyfd8gfjebgrwh5s02tx7yvwie 0 96662 782032 748853 2022-08-21T23:34:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Sei {{mathl|term= k \leq n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es genau dann einen {{ Definitionslink |Prämath= |invarianten Untervektorraum| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} gibt, wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} gibt, bezüglich der die {{ Definitionslink |Prämath= |beschreibende Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} die Gestalt {{ math/disp|term= {{op:Matrix66|a_{11}|\ldots|a_{1k}|a_{1k+1} |\ldots|a_{1n}|\vdots |\vdots|\vdots|\vdots|\vdots|\vdots|a_{k1}|\ldots|a_{kk} |a_{k k+1}|\ldots|a_{kn}|0|\ldots|0| a_{k+1 k+1}|\ldots|a_{k+1 n}| \vdots|\vdots|\vdots| \vdots|\vdots|\vdots|0|\ldots|0| a_{n k+1}|\ldots|a_{n n}||||||||||||||||||||||||||||||||}} |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5mx3xpnlj0rltzl79bp1aiidnfy0st0 0 96663 782033 755926 2022-08-21T23:34:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Sei {{mathl|term= k \leq n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summenzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |V ||U \oplus W || || || |SZ= }} in {{ Definitionslink |Prämath= |invariante Untervektorräume| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U ,W |\subseteq|V || || || |SZ= }} der Dimension {{math|term= k|SZ=}} bzw. {{math|term= n-k|SZ=}} gibt, wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} gibt, bezüglich der die {{ Definitionslink |Prämath= |beschreibende Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} die Gestalt {{ math/disp|term= {{op:Matrix66|a_{11}|\ldots|a_{1k}|0 |\ldots|0|\vdots |\vdots|\vdots|\vdots|\vdots|\vdots|a_{k1}|\ldots|a_{kk} |0|\ldots|0|0|\ldots|0| a_{k+1 k+1}|\ldots|a_{k+1 n}| \vdots|\vdots|\vdots| \vdots|\vdots|\vdots|0|\ldots|0| a_{n k+1}|\ldots|a_{n n}||||||||||||||||||||||||||||||||}} |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t5686s0sc780wmh46e9m380pojsjgn3 0 96669 784750 758213 2022-08-22T06:54:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich {{math|term= c|SZ=}} seien. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qa03v75hs6vdp4oaic04tvb9aq0mc6k 0 96671 784039 757675 2022-08-22T05:09:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= M|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jyjsrh1hp6b8e716k905jcwdgfex8o7 0 96673 782212 582077 2022-08-22T00:04:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Schnittpunkte der Fermat-Kubik {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_+ {{makl| X^3+Y^3+Z^3 |}} |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ= }} mit der Geraden {{mathl|term= V_+(X+Y+Z)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Bezout (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Fermat-Kubik |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7t2loapefb8tu8ibtg2rrr4jxyy8u3t 0 96675 785424 541803 2022-08-22T08:37:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Durchschnitt {{ math/disp|term= V_+(X) \cap V_+(Y) |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Projektive Ebene|K|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Ebene |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iofj1c8ruk63ixqyz3swyc2b8hdweil 0 96710 785132 636698 2022-08-22T07:52:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= (Y-X)(Z-X)(Z-Y) |SZ= }} in {{mathl|term= K[X,Y,Z]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in drei Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s4h510viuabb268w4ibok8jl5gx3lje 0 96736 785582 758822 2022-08-22T09:03:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} \times {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Ebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektive Ebene|K|}}|SZ=}} nicht zueinander isomorph sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ea4k5vnpn22efw6ug5uzo8dfmvwgskg 0 96738 785409 758690 2022-08-22T08:35:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion weg von einem Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektiver Raum|n|K}} \setminus \{(1,0 {{kommadots|}} 0) \} | {{op:Projektiver Raum|n-1|K}} || |SZ= }} auf den affinen Stücken {{mathl|term= D_+(X_i)|SZ=}} eine Projektion {{ Ma:abbele/disp |name= | D_+(X_i) \cong {{op:Affiner Raum|n|K}} \cong {{op:Affiner Raum|n-1|K}} \times {{op:Affine Gerade|K|}} | D_+(X_i) \cong {{op:Affiner Raum|n-1|K}} || |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass somit ein {{ Definitionslink |Prämath= |Geradenbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|n-1|K}} |SZ=}} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Varietäten |Kategorie2=Die Projektion weg von einem Punkt |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nb44c75ztvztbdug7mpq0bzoktgn3p1 0 96747 785415 758697 2022-08-22T08:36:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\pi | {{op:Projektiver Raum|n|K}} \setminus \{(1,0 {{kommadots|}} 0) \} | {{op:Projektiver Raum|n-1|K}} || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion weg von einem Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= a=(a_1 {{kommadots|}} a_n) \in K^{n+1} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:abbele/disp |name=s_a | {{op:Projektiver Raum|n-1|K}} |{{op:Projektiver Raum|n|K}} \setminus \{(1,0 {{kommadots|}} 0) \} | {{op:Zeilenvektor|x_1| \ldots |x_n }} | {{op:Zeilenvektor| \sum_{i {{=}} 1}^n a_ix_i |x_1| \ldots |x_n }} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schnitt| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \pi|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Varietäten |Kategorie2=Die Projektion weg von einem Punkt |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8piqmtdct0ayqofwoil18h574r8azd7 0 96748 785410 758692 2022-08-22T08:35:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Einschränkung der {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion weg von einem Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Ebene|K|}} \setminus \{ P \} | {{op:Projektive Gerade|K}} || |SZ= }} auf eine jede Gerade {{ Ma:Vergleichskette |G |\subset| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ=, }} die nicht durch {{math|term= P|SZ=}} geht, einen Isomorphismus induziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Projektion weg von einem Punkt |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gozydbsogc1b4job2xc7y33fajl1lq8 0 96749 785413 758695 2022-08-22T08:35:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Ring |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |C |\subset| {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |ebene projektive Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= d|SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |C| {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ= }} der durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion weg von einem Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | P |\notin| C || || || |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |Morphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass bis auf endlich viele Ausnahmen die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | t |\in| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} aus genau {{math|term= d|SZ=}} Punkten besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen projektiven Kurven |Kategorie3=Die Projektion weg von einem Punkt |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e5sgmn0lx2zctpxrol2dcv0qwhz8p0z 0 96750 785412 758694 2022-08-22T08:35:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:Vergleichskette |C || V_+ {{makl| X^2+Y^2+Z^2 |}} |\subset| {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |C| {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ= }} der durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion weg vom Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Ebene|K|}} \setminus \{(1,0,0)\}| {{op:Projektive Gerade|K|}} |(x,y,z)| (y,z) |SZ=, }} definierte {{ Definitionslink |Morphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} das Urbild des Punktes {{mathl|term= (3,5) \in {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie3=Die Projektion weg von einem Punkt |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lye8nf3hpd5nxrmvojvv2v490csjmb1 0 96755 785414 758696 2022-08-22T08:35:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zu einem Punkt {{mathl|term= (a,b) \in {{op:Projektive Gerade||}} |SZ=}} die Gleichung für die Urbildgerade zur {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion weg von einem Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Ebene|K|}} \setminus \{ (1,0,0) \} | {{op:Projektive Gerade|K}} |(x,y,z)| (y,z) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Projektion weg von einem Punkt |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} btetmtik4l8vll9kjgvfu11jlwjrq8g 0 96761 780605 753032 2022-08-21T19:36:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |affine Gerade| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor|1|7|2}} + s {{op:Spaltenvektor|-1|2|4}} |s \in \R }} || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= (1,0)|SZ=}} einer {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \psi |\R^3|\R^2 || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 20yuxc31ucov0w1ctasjhhxxt5i5pp5 0 96765 785411 758693 2022-08-22T08:35:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p>0|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |C ||V {{makl| YZ^{p-1} +X^p |}} |\subset| {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion weg vom Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (1,0,0)|SZ=}} definierte {{ Definitionslink |Morphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |C| {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ= }} bijektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen projektiven Kurven |Kategorie3=Die Projektion weg von einem Punkt |Kategorie4=Der Frobeniushomomorphismus |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 28p7hj23lo9pe720czsh3cmvjl29xra 0 96789 781451 755463 2022-08-21T21:57:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |V ||U \oplus W || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invarianten| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Untervektorräumen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{ mathkor|term1= \varphi {{|}}_U |und|term2= \varphi {{|}}_W |SZ= }} nilpotent sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie3=Theorie der direkten Summen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9brzlxoahiunelt6zmiql78k2vc8j1o 0 96790 782009 755903 2022-08-21T23:30:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |K^3|K^3 || |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist, und die nicht {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7mb2ve1j1j75ar60n72fpfnw19txf4d 0 96791 785204 553808 2022-08-22T08:03:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= P = X^n \in K[X]|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq| 1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass sämtliche normierten Teiler von {{math|term= P|SZ=}} die Form {{ mathbed|term= X^k ||bedterm1= 1 \leq k \leq n ||bedterm2= |SZ=, }} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 23lwconq63exfmbentm289kqegw9zdm 0 96793 785875 759036 2022-08-22T09:52:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F ||G/H || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Interpretiere{{n Sie}} {{math|term= F|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F | {{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4vuayrt18sca2g4ot5zb6a39wvj0ef1 0 96796 782213 756079 2022-08-22T00:04:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |C || V_+ {{makl| X^2+Y^2+Z^2 |}} |\subset| {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} eine projektive Parametrisierung von {{math|term= C|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oxzlz92hm4faqprizxnc51mvhp5sbv7 0 96802 784641 758152 2022-08-22T06:39:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_6 |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch {{ math/disp|term= v_1, v_2 \mapsto v_4, \, v_3, v_5 \mapsto v_6, \, v_4 \mapsto 0, \, v_6 \mapsto v_2 |SZ= }} festgelegt ist. {{ Aufzählung4 |Begründe{{n Sie}}, warum {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Bestimme{{n Sie}} das minimale {{math|term= s|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi^s || 0 || || || |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} den Kern von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Finde{{n Sie}} eine Basis von {{math|term= V|SZ=,}} bezüglich der {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} hat. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} phzzqglfe3d20f8k3pznkgwy6u96okq 0 96803 784642 758153 2022-08-22T06:39:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_7 |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath=\R |Vektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch {{ math/disp|term= v_3, v_2 \mapsto v_5, \, v_5 \mapsto 4 v_6, \, v_1, v_4 \mapsto 0, \, v_6 \mapsto 5 v_4,\, v_7 \mapsto 3 v_2 |SZ= }} festgelegt ist. {{ Aufzählung4 |Begründe{{n Sie}}, warum {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Bestimme{{n Sie}} das minimale {{math|term= s|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi^s || 0 || || || |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} den Kern von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Finde{{n Sie}} eine Basis von {{math|term= V|SZ=,}} bezüglich der {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} hat. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f36mxlkr5lrcreomkotjz40sl4drgwd 0 96804 784081 542245 2022-08-22T05:16:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |A || {{makl| a_{ij} |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |B || {{makl|b_{ij} |}} || || || |SZ= }} quadratische Matrizen der Länge {{math|term= n|SZ=.}} Es gelte {{ Ma:Vergleichskette |a_{ij} || 0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | j | \leq|i+d || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |b_{ij} || 0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | j | \leq|i+e || || || |SZ= }} für gewisse {{mathl|term= d,e \in \Z|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Einträge {{mathl|term= c_{ij}|SZ=}} des Produktes {{mathl|term= AB|SZ=}} die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette |c_{ij} ||0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | j |\leq| i+d+e+1 || || || |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sce40e6r03exchlikhebaftgsuk7619 0 96812 780640 542372 2022-08-21T19:42:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Inwiefern kann man in der algebraischen Geometrie durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Algebraische Geometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3070envs6qeay4jayot6ogfxac2gq5g 0 96813 785002 758416 2022-08-22T07:32:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= F\in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Interpretiere{{n Sie}} {{math|term= F|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F | {{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ=. }} Was ist {{mathl|term= F(\infty)|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dfha6mhrypvszp2glt0mdl9l7feiyv3 0 96814 785876 759037 2022-08-22T09:52:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F ||G/H || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über den reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder den komplexen Zahlen {{math|term= {{CC}}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F | {{op:Projektive Gerade| {{KRC|}} |}} | {{op:Projektive Gerade| {{KRC|}}|}} || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |F( \infty) || c |\in| {{op:Projektive Gerade| {{KRC|}}|}} || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Bruch|G(n)|H(n)}} |SZ= }} für {{mathl|term= n \rightarrow \infty|SZ=}} gegen {{math|term= c|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=was für {{mathl|term= c=\infty|SZ=}} sinnvoll zu interpretieren ist| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen rationalen Funktionen |Kategorie2=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie3=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie4=Theorie der rationalen Folgen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h6rfbyajotlpvz60izbiopnhb7n12hx 0 96823 781686 755613 2022-08-21T22:36:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= G,H \in K[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Polynome in einer Variablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{ Ma:Vergleichskette |d |>| e |\geq|0 || || || |SZ= }} ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige{{n Sie}}, dass die in {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Rationale Funktion/X/Graph/Parametrisierung des Abschlusses/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion {{mathl|term= G/H|SZ=,}} also {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|K|}} |{{op:Projektive Ebene|K|}} |(x,y)| {{op:Zeilenvektor| {{op:Homogenisierung|H|}}(x,y) x y^{d-e-1} | {{op:Homogenisierung|G|}}(x,y) |{{op:Homogenisierung|H|}}(x,y) y^ {d-e} }} |SZ=, }} in der Tat die in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gegebene Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Homogenisierung|H|}} (X,Z)YZ^{d-e-1}- {{op:Homogenisierung|G|}} (X,Z) || 0 || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des projektiven Abschlusses von ebenen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ov8o8nj0x0fke4p8uk4juyg2x0gs4y7 0 96827 781687 755614 2022-08-21T22:36:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= G,H \in K[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Polynome in einer Variablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{ Ma:Vergleichskette |d |\leq| e || || || || |SZ= }} ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige{{n Sie}}, dass die in {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Rationale Funktion/X/Graph/Parametrisierung des Abschlusses/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion {{mathl|term= G/H|SZ=,}} also {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|K|}} |{{op:Projektive Ebene|K|}} |(x,y)| {{op:Zeilenvektor| {{op:Homogenisierung|H|}}(x,y) x | {{op:Homogenisierung|G|}}(x,y) y^{e-d+1} | {{op:Homogenisierung|H|}}(x,y) y }} |SZ=, }} in der Tat die in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gegebene Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Homogenisierung|H|}} (X,Z)Y- {{op:Homogenisierung|G|}} (X,Z)Z^{e-d+1} ||0 || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des projektiven Abschlusses von ebenen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1exro6grkcr271n6pmji1airs1mbsjp 0 96831 779859 748830 2022-08-21T17:32:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= F,G \in K[X]|SZ=}} verschiedene Polynome vom Grad {{ Ma:Vergleichskette |d | \geq |e |\geq|1 || || |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||V_+ {{makl| YZ^{d-1} - {{op:Homogenisierung|F|}} (X,Z) |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |D ||V_+ {{makl| YZ^{e-1} - {{op:Homogenisierung|G|}} (X,Z) |}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Abschlüsse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Schnittpunkte von {{ mathkor|term1= C |und|term2= D |SZ= }} in {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Affine Ebene|K|}} |\cong|D_+(Z) || || || |SZ= }} sind einfach die Schnittpunkte der beiden Graphen. Man kann sie bestimmen, indem man die Nullstellen von {{mathl|term= F-G|SZ=}} bestimmt. Dabei gibt es maximal {{math|term= d|SZ=}} Nullstellen, auch wenn man die Multiplizitäten mitzählt {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathl|term= d>e|SZ=}} ist die Multiplizitätensummen genau gleich {{math|term= d|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette |e |\geq|2 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Graph eines Polynoms in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gehört zu beiden Kurven auf {{mathl|term= V_+(Z)|SZ=}} noch der Punkt {{mathl|term= (0,1,0)|SZ=,}} dort muss also eine {{Anführung|hohe}} Schnittmultiplizität liegen, um auf die Gleichheit im {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Bezout|Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu kommen. Die inhomogenen Kurvengleichungen in {{ Ma:Vergleichskette/disp | D_+(Y) |\cong| {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= Z^{d-1} - {{op:Homogenisierung|F|}} (X,Z) |bzw.|term2= Z^{e-1} - {{op:Homogenisierung|G|}} (X,Z) |SZ=. }} Wir müssen die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenrings| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= K[X,Z]_{(X,Z)}/ {{makl| Z^{d-1} - {{op:Homogenisierung|F|}} (X,Z), Z^{e-1} - {{op:Homogenisierung|G|}} (X,Z) |}} |SZ= }} berechnen. Dieser Ring ist isomorph zu {{ math/disp|term= K[X,Z]_{(X,Z)}/ {{makl| {{op:Homogenisierung|F|}} (X,Z) - Z^{d-e} {{op:Homogenisierung|G|}} , Z^{e-1} - {{op:Homogenisierung|G|}} (X,Z) |}} |SZ=. }} Die linke Gleichung ist homogen vom Grad {{math|term= d|SZ=}} und {{math|term= X^d|SZ=}} kommt darin vor {{ Zusatz/Klammer |text=es sei nun {{mathl|term= d>e|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} so dass wir damit {{math|term= X^d|SZ=}} durch {{Anführung|kleinere}} Monome ausdrücken können. Die rechte Gleichung führt auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | Z^{e-1} (1- \beta_e Z - \beta_{e-1} X ) || \sum_{i+j {{=}} e,\, i \geq 2} \beta_j X^iZ^j || || || |SZ=. }} Da {{mathl|term= 1- \beta_e Z^e - \beta_{e-1} X|SZ=}} im lokalen Ring eine Einheit ist, können wir damit {{math|term= Z^{e-1}|SZ=}} durch kleinere Monome ausdrücken. Somit ist {{ mathbed/disp|term= X^iZ^j ||bedterm1= 0 \leq i < d ||bedterm2= 0 \leq j < e-1 |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Restklassenrings, bestehend aus {{mathl|term= d (e-1)|SZ=}} Elementen. Die Schnittmultiplizität in diesem Punkt ist also {{mathl|term= d (e-1)|SZ=,}} und somit gilt {{ Ma:Vergleichskette | d (e-1) +d || de || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Bezout (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ygkf1wi48m7e2ubu0duapaw2aa0s8a 0 96838 785456 758728 2022-08-22T08:42:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= P,Q \in {{op:Projektiver Raum|n|K|}} |SZ=}} Punkte im {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismus| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Projektiver Raum|n|K|}}| {{op:Projektiver Raum|n|K|}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(P) ||Q || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pix1qryd17hz43dqfhdr6lagobqslx5 0 96849 786438 746690 2022-08-22T11:25:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= F,G \in K[X]|SZ=}} verschiedene Polynome vom Grad {{ Ma:Vergleichskette |d | \geq |e || || || |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||V_+ {{makl| YZ^{d-1} - {{op:Homogenisierung|F|}} (X,Z) |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |D ||V_+ {{makl| YZ^{e-1} - {{op:Homogenisierung|G|}} (X,Z) |}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Abschlüsse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Satz von Bezout/Graph zweier Polynome/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Diskutiere den Fall {{ Ma:Vergleichskette |e ||1 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Bezout (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56y4mif6p07r87ep37mgou79vn6erbu 0 96851 785581 758821 2022-08-22T09:03:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 | Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |{{op:Projektive Gerade|K|}} \times {{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektiver Raum|3|K}} |( (s,t),(u,v)) | (su,sv,tu,tv) {{=|}} (x,y,z,w) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist. |Zeige{{n Sie}}, dass das Bild von {{math|term= \varphi|SZ=}} die homogene Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |xw ||yz || || || |SZ= }} erfüllt. |Zeige{{n Sie}}, dass eine bijektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |{{op:Projektive Gerade|K|}} \times {{op:Projektive Gerade|K|}} | V_+(xw-yz) | | |SZ= }} vorliegt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3m64pxbbp6rsxf7xnpixxe2iom3ly51 0 96860 784632 758139 2022-08-22T06:38:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus endlichdimensional nilpotent/Situation|SZ=.}} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} sei eindimensional. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_i || {{op:Kern|\varphi^i|}} || || || |SZ= }} und {{math|term= s|SZ=}} die minimale Zahl mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi^s ||0 || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass alle {{ mathbed|term= V_i ||bedterm1= 1 \leq i \leq s ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Zerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_i || V_{i-1} \oplus U_i || || || |SZ= }} mit {{math|term= U_i|SZ=}} eindimensional haben. |Zeige{{n Sie}}, dass die Einschränkungen {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |U_i | V_{i-1} | | |SZ= }} für {{mathl|term= 1< i < s |SZ=}} bijektiv sind. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= s|SZ=}} mit der Dimension von {{math|term= V|SZ=}} übereinstimmt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ro2v9sdsdcrzgp4t6mq31krlea3joe 0 96862 782025 755919 2022-08-21T23:33:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name= \varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, wenn das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term= X^n-1|SZ=}} für ein {{math|term= n \in \N_+|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie2=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9gfphckneswu4c2tfmxi1u9khelp9y7 0 96864 782024 755918 2022-08-21T23:32:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name= \varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Polynom der Form {{mathl|term= {{makl| X^{n_1}-1 |}} \cdots {{makl| X^{n_r}-1 |}} |SZ=}} teilt. Zeige{{n Sie}}, dass das charakteristische Polynome im Allgemeinen nicht ein Polynom der Form {{mathl|term= X^n-1|SZ=}} teilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie2=Das charakteristische Polynom |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gkdmweez8e8fd2935nq328812odeapo 0 96866 782026 755920 2022-08-21T23:33:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name= \varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\R |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Polynom der Form {{mathl|term= {{makl| X^{n_1}-1 |}} \cdots {{makl| X^{n_r}-1 |}} |SZ=}} teilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie2=Das charakteristische Polynom |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9n4woooi4mgkykadx311igi1t8ckrhp 0 96868 784631 758138 2022-08-22T06:37:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotente| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi^3 ||0 || || || |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Identität|V|}} + \varphi |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unipotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5a0tuwpk1o8moqtkhwfwtzog9rgldag 0 96871 784262 757899 2022-08-22T05:46:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= Q|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= 0|SZ=}} genau dann eine Nullstelle von {{math|term= Q|SZ=}} ist, wenn {{math|term= \varphi|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ri0wcoded7izvt3jrs94cqasrtevxu1 0 96890 785435 758715 2022-08-22T08:39:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K|}} |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |K^{n+1}| K^{n+1} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismus| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{op:Projektiver Raum|n|K|}}| {{op:Projektiver Raum|n|K|}} | {{op:Zeilentupel|x_0|x_1|\ldots|x_n}} | \varphi {{op:Zeilentupel|x_0|x_1|\ldots|x_n}} |SZ=, }} induziert. |Bestimme{{n Sie}} das Urbild von {{mathl|term= D_+(X_i)|SZ=}} in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus? |Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= \varphi_1 |und|term2= \varphi_2 |SZ= }} genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar {{math|term= \neq 0|SZ=}} ineinander überführbar sind. |Induziert jede lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |K^{n+1}| K^{n+1} || |SZ= }} einen Morphismus {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Projektiver Raum|n|K|}}| {{op:Projektiver Raum|n|K|}} |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ntqtv5yt1qm0zso4o4zs7e7nyujzzas 0 96900 785423 758708 2022-08-22T08:37:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplizität| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |ebenen projektiven Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_+ {{makl| X^4+YZ^3+Z^4 |}} |\subset| {{op:Projektive Ebene|{{CC}}|}} || || || |SZ= }} im Punkt {{mathl|term= (0,1,0)|SZ=}} sowie die {{ Zusatz/Klammer |text=projektiven| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Tangente| |Kontext=ebene Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}(n) in diesem Punkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplizität von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4xm82pcqjzg7jofz4y4vqk2p7o6bzzr 0 96903 785421 758704 2022-08-22T08:37:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |ebene projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_+(F) |\subset| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=ebene projektive Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|{{op:Partielle Ableitung|F|X}} |{{op:Partielle Ableitung|F|Y}}|{{op:Partielle Ableitung|F|Z}}|}} |SZ= }} in keinem Punkt der Kurve simultan gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} geyzfnl3caorfiisxbmwxq528y0xpl7 0 96910 782841 756607 2022-08-22T01:49:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass formales {{ Definitionslink |Prämath= |partielles Ableiten| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} bezüglich einer Variablen und {{ Definitionslink |Prämath= |Dehomogenisieren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind. |Zeige{{n Sie}}, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2=Theorie der homogenen Polynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qnmv8ebn8woej8r2463wiv3ck5neg7c 0 96921 786439 759505 2022-08-22T11:25:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Schnittmultiplizitäten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} mit Hilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Bezout|Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |ebenen projektiven Kurven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die affin durch {{ Ma:Vergleichskette |C ||V {{makl| Y^2-X^3 |}} || || || |SZ= }} und den Kreis mit Mittelpunkt {{mathl|term= (-1,0)|SZ=}} und Radius {{math|term= 1|SZ=}} gegeben sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Bezout (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3bh4d2y0tz5u2iwp53ehc8iwyge4yvs 0 96927 785101 758471 2022-08-22T07:47:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem Polynom {{ Ma:Vergleichskette |F |\neq|0 || || || |SZ= }} die Struktur {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[X]/(F) |\cong| K[T]/(T^{n_1}) {{timesdots|}} K[T]/(T^{n_r}) || || || |SZ= }} besitzt. Zeige{{n Sie}}, dass dabei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Grad Polynom|F|}} || n_1 {{plusdots|}} n_r || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der chinesische Restsatz für den Polynomring in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 61vywzed3ayhjdv5q3yhwl92s3nljo5 0 96930 785125 746659 2022-08-22T07:51:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und sei {{ mathbed|term= f \in K[X] ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} und {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| K || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |C || V(Y-f) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=,}} aufgefasst als {{ Definitionslink |Prämath= |ebene algebraische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden {{Anführung|Ordnungen}} von {{math|term= f|SZ=}} an der Stelle {{math|term= a|SZ=}} übereinstimmen. {{ Aufzählung4 |Die Verschwindungsordnung von {{math|term= f|SZ=}} an der Stelle {{math|term= a|SZ=,}} also die maximale Ordnung einer {{ Definitionslink |Prämath= |formalen Ableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | f^{(k)}(a) || 0 || || || |SZ=. }} |Der Exponent des Linearfaktors {{mathl|term= X-a |SZ=}} in der Zerlegung von {{math|term= f |SZ=.}} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=diskreter Berwertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} an der {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X]_{(X-a)} |SZ=}} von {{mathl|term= K[X] |SZ=}} am {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X-a) |SZ=.}} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Schnittmultiplizität| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= C|SZ=}} mit der {{math|term= x|SZ=-}}Achse im Punkt {{mathl|term= (a,0)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3=Theorie des formalen Ableitens |Kategorie4=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mwm92xqcsz35tc9zvkbw7bsgcw76zy0 0 96931 784707 543784 2022-08-22T06:48:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz für numerische Monoide für große {{math|term= n|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d5zbcgnmsodp0ggvwyvk6rjs6rwzd13 0 96951 785408 758689 2022-08-22T08:34:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |C |\subset| {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |ebene projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= P \in C|SZ=}} ein Punkt der Kurve und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |C \setminus \{P\} | {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ= }} der durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion weg vom Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |Morphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ=. }} Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt {{ mathbed|term= Q \in C ||bedterm1=Q \neq P ||bedterm2= |SZ=, }} auf die durch {{ mathkor|term1= Q |und|term2= P |SZ= }} gegebene {{Stichwort|Sekante|SZ=}} abgebildet. {{ Aufzählung3 |Sei {{ Ma:Vergleichskette |K ||{{CC}} || || || |SZ= }} und sei {{math|term= Q_n|SZ=}} eine Folge auf {{math|term= C|SZ=,}} die in der {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Konvergiert {{math|term= \varphi(Q_n)|SZ=?}} |Besitzt {{math|term= \varphi(Q_n)|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Häufungspunkt| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Sei {{math|term= P|SZ=}} ein glatter Punkt. Zeige{{n Sie}}, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz {{math|term= C|SZ=}} gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen projektiven Kurven |Kategorie3=Die Projektion weg von einem Punkt |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d72ohavnpeite0ulfysvnvx1pnd2ywf 0 96956 785407 543910 2022-08-22T08:34:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}} die Situation aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Projektion weg vom Punkt/Auf Kurve/Sekanten/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für das Achsenkreuz {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_+(YZ) |\subset| {{op:Projektive Ebene||}} || || || |SZ= }} und den Kreuzungspunkt {{mathl|term= (1,0,0)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen projektiven Kurven |Kategorie3=Die Projektion weg von einem Punkt |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 43h07u94fa4903e38ut0145u6rsxaid 0 96963 785458 758729 2022-08-22T08:42:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{math|term= n|SZ=}} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |D_+(X_i) \cong {{op:Affiner Raum|n|K}} , D_+(X_j)\cong {{op:Affiner Raum|n|K}} |\subset|{{op:Projektiver Raum|n|K}} || || || |SZ= }} zwei affine offene Teilmengen. Beschreibe{{n Sie}} die {{ Zusatz/Klammer |text=nicht überall definierte| |ISZ=|ESZ= }} Übergangsabbildung von {{math|term= D_+(X_i) |SZ=}} nach {{math|term= D_+(X_j) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bwbk2ze3e0h7uq05aebc19ankx1vign 0 96964 781198 755243 2022-08-21T21:15:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi|}} \in \R[X] |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} auf einem reellen {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen {{math|term= \varphi^n|SZ=}} bestimmen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5161jr0btv2oici4fhoriekj71aoe1y 0 96967 783038 756795 2022-08-22T02:22:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix44|0|1|0|0|0|0|1|0|0|0|0|1|0|0|0|0}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Jordan-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Potenzen {{mathl|term= M^n|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ttl2y8ols4f65h8sdkz5549b2jsybq2 0 96968 783037 756794 2022-08-22T02:21:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix44|3|1|0|0|0|3|1|0|0|0|3|1|0|0|0|3}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Jordan-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Potenz {{mathl|term= M^2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bixprg59w593y8fm2gho8zuvx50jgew 0 96986 781276 755303 2022-08-21T21:28:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ math/disp|term= {{op:Matrix22| {{op:Bruch|x^2-5|x+3}} | {{op:Bruch|x^3-7|2x}} | {{op:Bruch|x^2+1|x^2-4x}} | {{op:Bruch|3x^2-x|x^2-3}} |}} |SZ= }} über dem Körper {{math|term= \R(X)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aho31a7ghc4tj0km3qeytu03a24pce6 0 96999 781193 755239 2022-08-21T21:14:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|T|T-1|T+1| {{op:Bruch|1|T}} }} || || || |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper der rationalen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \R(T)|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}}, ob {{math|term= M|SZ=}} Eigenwerte besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gzav7y0j90xnobnf4mfqubzq2xdv5px 0 97001 781784 545296 2022-08-21T22:52:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind. {{ Aufzählung4 |Die Achsenspiegelung durch die durch {{mathl|term= 4x-7y=0|SZ=}} gegebene Achse. |Die Verschiebung um den Vektor {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|5|-3}} |SZ=.}} |Die Drehung um {{math|term= 30|SZ=}} Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung. |Die Punktspiegelung mit dem Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} als Zentrum. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Elementare Geometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qugzx6xjtum7j3lwfd7t60xliy5jo47 0 97002 781785 545295 2022-08-21T22:53:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind. {{ Aufzählung4 |Die Achsenspiegelung durch die durch {{mathl|term= 4x-7y=5|SZ=}} gegebene Achse. |Die Scherung, die durch die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|1|3|0|1}} |SZ=}} gegeben ist. |Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum. |Die Streckung mit dem Faktor {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Elementare Geometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 83y7oa50y67qmz2ydme2iu1v75xnl5c 0 97010 783036 756793 2022-08-22T02:21:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix33|0|1|0|0|0|1|0|0|0|0}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Jordan-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Potenzen {{mathl|term= M^n|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a2n2vj0d2cn2ljm8pbmplgsf5mp3981 0 97012 783032 756789 2022-08-22T02:21:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf {{ Definitionslink |Prämath= |Ähnlichkeit| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} zu {{math|term= 4 \times 4|SZ=-}}Matrizen gibt es, bei denen in der Diagonalen der konstante Wert {{math|term= c|SZ=}} steht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} al7no660kqwnc4w9qozcdjean619moh 0 97016 781188 755232 2022-08-21T21:13:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:abb |name= \varphi, \psi |V|V || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} von denen die {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristischen Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von {{math|term= \varphi \circ \psi|SZ=}} bestimmen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56td6x9nxjm03anvrcnhvjihmonyrei 0 97017 781189 755233 2022-08-21T21:13:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:abb |name= \varphi, \psi |V|V || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} von denen die {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristischen Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von {{math|term= \varphi + \psi|SZ=}} bestimmen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ioww4dpoh7nf8wyge8ltwxv8d1ncr6 0 97034 784995 758412 2022-08-22T07:31:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Polynom {{math|term= P \in \R[X]|SZ=}} an, das für unendlich viele reelle {{ Definitionslink |Prämath=2\times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxrj4lv5nfy5dgmeen6gn97isfo2h18 0 97038 785024 758425 2022-08-22T07:35:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Zeige{{n Sie}}, dass das Polynom {{math|term= X^2+1 |SZ=}} für unendlich viele reelle {{ Definitionslink |Prämath=2\times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5v6xi0h5p3wtrhgs5ybud0g5vq8zq3q 0 97044 783653 742507 2022-08-22T04:04:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K^n|K^n | {{op:Zeilenvektor|\lambda_1|\lambda_2|\ldots|\lambda_n}} | {{op:Zeilenvektor|c_0|c_1|\ldots|c_{n-1} }} |SZ=, }} die einem Nullstellentupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|\lambda_1|\lambda_2|\ldots|\lambda_n}} |SZ=}} das Koeffiziententupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|c_0|c_1|\ldots|c_{n-1} }}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne die {{math|term= 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |normierten Polynoms| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | (X- \lambda_1) (X- \lambda_2) \cdots (X- \lambda_n) || P || c_0 +c_1X {{plusdots|}} c_{n-1}X^{n-1} +X^n || || |SZ= }} zuordnet. {{ Aufzählung7 |Beschreibe{{n Sie}} {{math|term= \varphi|SZ=}} explizit für {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ=. }} |Beschreibe{{n Sie}} {{math|term= \varphi|SZ=}} explizit für {{ Ma:Vergleichskette |n ||3 || || || |SZ=. }} |Begründe{{n Sie}}, dass die {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |polynomiale Abbildungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Fasern| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} endlich sind. |Wann ist die Faser zu einem Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|c_0|c_1|\ldots|c_{n-1} }} |SZ=}} leer? |Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} Beispiele, dass diese Maximalanzahl für {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} erreicht wird. |Sei {{math|term= K|SZ=}} nun {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} surjektiv ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der symmetrischen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |p4=1 |p5=1 |p6=2 |p7=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cnnk29nuvmi6q3wup784psndkihxz7t 0 97058 784123 757780 2022-08-22T05:23:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U, V |\subseteq| {{op:Matq|3|K}} || || || |SZ=, }} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{Mengebed|M {{=}} {{makl| a_{ij} |}} \in {{op:Matq|3|K}} |a_{31} {{=}} 0 }} || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || {{Mengebed|M {{=}} {{makl| a_{ij} |}} \in {{op:Matq|3|K}} |a_{21} {{=}} 0 \text{ und } a_{31} {{=}} 0 }} || || || |SZ= }} gegeben sind. {{ Aufzählung2 |Ist {{math|term= U|SZ=}} abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation? |Ist {{math|term= V|SZ=}} abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2=Theorie der Matrizenräume |Kategorie3=Theorie der Matrizenmultiplikation |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2nt3hieubi2g5dl3y3c8d02wg4hqwdv 0 97072 784114 757771 2022-08-22T05:21:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|5|0|-6}}| {{op:Spaltenvektor|-4|3|-7}} }} |\subseteq| K^3 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|1|5|-1}}| {{op:Spaltenvektor|-9|3|7}} }} |\subseteq| K^3 || || |SZ=. }} a) Beschreibe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= W|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=3 \times 3 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die den Untervektorraum {{math|term= U|SZ=}} in den Untervektorraum {{math|term= T|SZ=}} abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems. b) Beschreibe{{n Sie}} {{math|term= W |SZ=}} durch ein eliminiertes Gleichungssystem. c) Bestimme{{n Sie}} die Dimension von {{math|term= W|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=4 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ma2e5qi9ra6n0o16blmlj5bvv73dyjx 0 97077 782652 756430 2022-08-22T01:17:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 4|SZ=}} Elementen, in der jedes Element zu sich selbst {{ Definitionslink |Prämath= |invers| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4k59o9573alaz5h0rismp5wkhrgopof 0 97092 784115 622663 2022-08-22T05:21:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten Matrizen der Form {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|a|0|b|0|c|0|d|0|e|}} |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|a|0|b|0|c|0|d|0|e|}} \cdot {{op:Matrix33|f|0|g|0|h|0|i|0|j|}} |SZ=. }} |Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ? |Bestimme{{n Sie}} die Determinante von {{mathl|term= {{op:Matrix33|a|0|b|0|c|0|d|0|e|}}|SZ=.}} |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Matrix der Form {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|1|0|b|0|1|0|d|0|1|}} |SZ= }} an, die nicht invertierbar ist. |Sei {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|a|0|b|0|c|0|d|0|e|}} |SZ= }} invertierbar. Ist die Inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2=Theorie der Matrizenräume |Kategorie3=Theorie der invertierbaren Matrizen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 23md4uazhszek1cv5stdudv5521ycnm 0 97095 781718 755637 2022-08-21T22:41:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=,}} es seien {{mathl|term= a,b \in K|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} und es sei {{mathl|term= a {{op:Identität|V|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Streckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= a|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= b|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} ist, wenn {{math|term= ab|SZ=}} ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung {{mathl|term= a {{op:Identität|V|}} \circ \varphi |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} syro1e4no11gsn63xsma3hmhuceq6ar 0 97097 783026 756784 2022-08-22T02:20:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine quadratische Matrix, die in der Diagonalen aus den {{ Definitionslink |Prämath= |Jordanblöcken| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= 1, \, {{op:Matrix22|1|1|0|1}} ,\,{{op:Matrix33|1|1|0|0|1|1|0|0|1}} ,\,{{op:Matrix44|1|1|0|0|0|1|1|0|0|0|1|1|0|0|0|1}} ,\,{{op:Matrix55|1|1|0|0|0|0|1|1|0|0|0|0|1|1|0|0|0|0|1|1|0|0|0|0|1}} |SZ= }} besteht. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} agwnn0c8vzej997k2qmpqm5j5rcgz08 0 97100 784913 758356 2022-08-22T07:18:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Wertetabelle8 |text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8 |text2={{math|term= \sigma(x)|SZ=}}|4|7|2|5|3|8|6|1}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Fehlstände| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das {{ Definitionslink |Vorzeichen| |Definitionsseitenname= Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Permutationsgruppe S8 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2l9byyciz79xebrm2kz32n5ve3zo2gi 0 97214 784908 758352 2022-08-22T07:17:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Wertetabelle10 |text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10 |text2={{math|term= \sigma(x)|SZ=}}|4|10|1|8|7|2|9|6|5|3}} {{ Aufzählung3 |Berechne{{n Sie}} {{math|term= \sigma^2|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Zykelzerlegung von {{math|term= \sigma|SZ=.}} |Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Vorzeichen| |Definitionsseitenname= Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition |SZ= }} von {{math|term= \sigma|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n8kefq5c3u074ds5bksniqv3gh1e92f 0 97216 784637 758146 2022-08-22T06:38:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ist die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotenten| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Matrizenraums {{mathl|term= {{op:Matq|2|K=\R}} |SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bfciw64qmm3t36i6ufa8qkswvrwf1lf 0 97252 782879 756642 2022-08-22T01:55:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |J | {{defeq|}} | {{Mengebed|f \in R|\text{Es gibt ein } s \in S \text{ mit } sf \in I}} || || || |SZ= }} ein Ideal in {{math|term= R|SZ=}} ist, dass {{math|term= I|SZ=}} umfasst. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2=Idealtheorie (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evrvuw2ee11bwcngcnpr6cpyvrpxrng 0 97257 784450 758047 2022-08-22T06:13:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\triangle |V \times V \times V|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{math|term= u,v,w,z \in V|SZ=.}} Ziehe{{n Sie}} in {{ math/disp|term= \triangle {{op:Spaltenvektor|7u+3v-8w|4u-6z|-2w-2z}} |SZ= }} Summen und Skalare nach außen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jzh1k7stmsyigeh30tqxxwi44lr47jq 0 97263 784449 758046 2022-08-22T06:12:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\triangle |V \times V \times V|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{math|term= u,v,w,z \in V|SZ=.}} Ziehe{{n Sie}} in {{ math/disp|term= \triangle {{op:Spaltenvektor|-4u+5w|7v-3z|-6w-9z}} |SZ= }} Summen und Skalare nach außen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0g5i005eusdt2xoi01olvn9rs64nu1o 0 97283 778559 762481 2022-08-21T12:21:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{mathl|term= \sum_i f_i {{tensor}} g_i \in \Delta|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette | \sum_i f_i g_i || 0 || || || |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/align | \sum_i f_i {{tensor}} g_i || \sum_i f_i {{tensor}} g_i - {{makl| \sum_i f_i g_i |}} {{tensor}} 1 || \sum_i f_i {{tensor}} g_i - \sum_i f_i g_i {{tensor}} 1 || \sum_i {{makl|f_i {{tensor}} g_i - f_i g_i {{tensor}} 1 |}} || \sum_i f_i {{makl| 1 {{tensor}} g_i -g_i {{tensor}} 1|}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} szi6gz356tab1uzyjvfnflos6yzpc48 0 97285 781268 755297 2022-08-21T21:26:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{A|A}}}|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath={{{R|R}}} |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem kommutativen Ring {{math|term= {{{R|R}}} |SZ=.}} Zu {{mathl|term= f \in {{{A|A}}}|SZ=}} bezeichne {{ Ma:abbele/disp |name= \mu_f |{{{A|A}}}|{{{A|A}}} |x|fx |SZ=, }} die {{math|term= {{{R|R}}} |SZ=-}}lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei {{math|term= {{{R|R}}} |SZ=-}}linearen Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_1, \varphi_2 |{{{A|A}}}|{{{A|A}}} || |SZ= }} bezeichne {{ Ma:Vergleichskette/disp | [\varphi_1,\varphi_2] || \varphi_1 \circ \varphi_2-\varphi_2 \circ \varphi_1 || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb |name=\delta |{{{A|A}}}|{{{A|A}}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= {{{R|R}}} |Derivation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige, dass zu jedem {{mathl|term= g \in {{{A|A}}} |SZ=}} die Abbildung {{mathl|term= [\delta, \mu_g ] |SZ=}} eine Multiplikationsabbildung ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Derivationen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9fdke38voku7fgntqgcs38zchn7rxhn 0 97323 781691 755617 2022-08-21T22:37:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein zweidimensionaler {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= v_1,v_2,v_3|SZ=}} und {{mathl|term= w_1,w_2,w_3|SZ=}} Vektoren in {{math|term= V|SZ=,}} die jeweils paarweise {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien. Zeige{{n Sie}}, dass es eine bijektive {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi (v_i) |\in| Kw_i || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |i ||1,2,3 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isomorphismen zwischen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Endomorphismen |Kategorie3=Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hodrd8tlvnw6c5kfdwsyer3uyud6trk 0 97345 780078 546976 2022-08-21T18:07:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||X^2+Y^3+Z^3 || || || |SZ= }} in Charakteristik {{math|term= 2|SZ=.}} Die relevanten Taylor-Ableitungen sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial X}} |}}^2 (F) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|\partial|\partial y}} (F) || Y^2 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} |}}^2(F) || Y || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|6}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} |}}^3(F) || 1 || || || |SZ= }} und ebenso für {{math|term= Z|SZ=}} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |ux= 0 |uy= Y^2 |uz= Z^2 |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= Y |uyz= 0 |uzz= Z }} }} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 3 |ux= 0 |uy= Y^2 |uz= Z^2 |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= Y |uyz= 0 |uzz= Z |uyyy=1 |uzzz=1 }} |SZ=. }} Unitäre Operatoren sind (Ordnung:Operator:Zeilenelimination) {{ math/disp|term= \text{Ordnung } 0 :\, 1 :\,1 |SZ=, }} {{ math/disp|term= \text{Ordnung } 1 :\, \delta = {{op:Bruch|\partial|\partial X}} :\, A |SZ=, }} {{ math/disp|term= \text{Ordnung } 2 :\, {{op:Bruch|\partial|\partial Y}}- Y^2 {{makl| {{op:Bruch|1|2}} {{op:Bruch|\partial|\partial X}} \circ {{op:Bruch|\partial|\partial X}} |}} : B-Y^2A^2 \, , Z^2 {{makl| {{op:Bruch|1|2}} {{op:Bruch|\partial|\partial X}} \circ {{op:Bruch|\partial|\partial X}} |}} - {{op:Bruch|\partial|\partial Z}}:\, C-Z^2A^2 |SZ=, }} {{ math/disp|term= \text{Ordnung } 3 :\, {{op:Bruch|\partial|\partial X}} \circ {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} -Y^2 {{makl| {{op:Bruch|1|6}} {{op:Bruch|\partial|\partial X}} \circ {{op:Bruch|\partial|\partial X}}\circ {{op:Bruch|\partial|\partial X}} |}} :\, AB-Y^2A^3 |SZ=, }} {{ math/disp|term= \text{Ordnung } 3 :\, {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} \circ {{op:Bruch|\partial|\partial Z}} +Z ^2 {{makl| {{op:Bruch|1|2}} {{op:Bruch|\partial|\partial X}} \circ {{op:Bruch|\partial|\partial X}}\circ {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} |}} +Y ^2 {{makl| {{op:Bruch|1|2}} {{op:Bruch|\partial|\partial X}} \circ {{op:Bruch|\partial|\partial X}}\circ {{op:Bruch|\partial|\partial Z}} |}} :\, BC+ Z^2A^2B+Y^2A^2C |SZ=. }} Die unitären Operatoren wachsen also {{mathl|term= 1/1,2/3,4/6,7/10, ...|SZ=.}} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 4/Teilergänzung |ux= 0 |uy= Y^2 |uz= Z^2 |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= Y |uyz= 0 |uzz= Z |uyyy=1 |uzzz=1}} |SZ=. }} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 4/Ergänzung |ux= 0 |uy= Y^2 |uz= Z^2 |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= Y |uyz= 0 |uzz= Z |uyyy=1 |uzzz=1}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6qnrzycxm3ecj305shu14qarupoa95c 0 97352 784982 546835 2022-08-22T07:29:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(x) || 3x^2-7x+5 || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= \varphi {{makl| u^2-2v |}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} py0d6ck2w3dc9eedbv07xagf5wib6yf 0 97354 785618 546850 2022-08-22T09:09:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Quadratabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K|K |x|x^2 |SZ=, }} für verschiedene Körper {{math|term= K|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} linear für {{ Ma:Vergleichskette/disp |K ||\Q || || || |SZ=? }} |Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} linear für {{ Ma:Vergleichskette/disp |K || {{op:Zmod|2|}} || || || |SZ=, }} dem Körper mit zwei Elementen. |Es sei nun {{math|term= K|SZ=}} ein Körper, in dem {{ Ma:Vergleichskette |2 ||1+1 ||0 || || |SZ= }} gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} linear? Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} verträglich mit der Addition? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p_1=1 |p_2=1 |p_3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sapt96kc01kamh4n660xibenup670ey 0 97363 780433 548171 2022-08-21T19:07:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |Es sei {{math|term= H|SZ=}} die Menge aller {{ Zusatz/Klammer |text=lebenden oder verstorbenen| |ISZ=|ESZ= }} Menschen. Untersuche{{n Sie}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |H|H || |SZ=, }} die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität. |Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung {{math|term= \varphi^3|SZ=?}} |Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge {{math|term= E|SZ=}} aller Einzelkinder und auf die Menge {{math|term= M|SZ=}} aller Mütter einschränkt? |Seien Sie spitzfindig {{ Zusatz/Klammer |text=evolutionsbiologisch oder religiös| |ISZ=|ESZ= }} und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} feg7qdpezg5qq5pjh25mepq6decanpz 0 97481 780081 560078 2022-08-21T18:07:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||X^p+Y^{p+1}+Z^{p+1} || || || |SZ= }} in Charakteristik {{math|term= p|SZ=.}} Die relevanten Taylor-Ableitungen sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|p!}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial X}} |}}^p (F) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} |}} (F) || Y^p || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} |}}^2 (F) || \frac{p}{2} Y^{p-1} ||0 || || |SZ=,..., }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|(p-1)!}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} |}}^{p-1} (F) || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|p!}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} |}}^p (F) || Y || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|(p+1)!}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} |}}^{p+1} (F) || 1 || || || |SZ=, }} ( {{mathl|term= p \geq 3|SZ=}}) {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |ux= 0 |uy= Y^p |uz= Z^p |uxx= 0 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 0 |uyz= 0 |uzz= 0 }} }} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 3 |ux= 0 |uy= Y^p |uz= Z^p |uxx= 0 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 0 |uyz= 0 |uzz= 0 |uyyy=0 |uzzz=0 }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ctjosnjpwpfe7w21av6c2cmnf3qpy09 0 97482 780080 547222 2022-08-21T18:07:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||X^3+Y^4+Z^4 || || || |SZ= }} in Charakteristik {{math|term= 3|SZ=.}} Die relevanten Taylor-Ableitungen sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|6}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial X}} |}}^3 (F) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} (F) || Y^3 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|3|2}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} |}}^2(F) || 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|6}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} |}}^3(F) || Y || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|24}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} |}}^4(F) || 1 || || || |SZ=, }} und ebenso für {{math|term= Z|SZ=}} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |ux= 0 |uy= Y^3 |uz= Z^3 |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 0 |uyz= 0 |uzz= 0 }} }} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 3 |ux= 0 |uy= Y^p |uz= Z^p |uxx= 0 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 0 |uyz= 0 |uzz= 0 |uxxx=1 |uyyy=Y |uzzz=Z }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fwnnid4cj1wr2cf4ykr8blo4eco9h0p 0 97661 786204 547989 2022-08-22T10:47:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Das Personal im Restaurant ist angewiesen, eine Tischdecke auszutauschen, sobald sich auf ihr ein Fleck befindet. Welche der folgende(n) Aussagen sind eine logisch äquivalente Formulierung dieser Aufforderung? Dabei steht {{mathl|term= Z(f,t)|SZ=}} für die zweistellige Relation, dass ein Fleck {{ Zusatz/Klammer |text=oder ein Flecktyp| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= f|SZ=}} sich auf der Tischdecke {{math|term= t|SZ=}} befindet, und {{math|term= A(t)|SZ=}} für die einstellige Relation, dass die Tischdecke {{math|term= t|SZ=}} ausgewechselt werden soll. {{ Aufzählung10 |{{ math/disp|term= \forall t \exists f {{makl| Z(f,t) \rightarrow A(t) |}} |SZ= }} |{{ math/disp|term= \forall t \forall f {{makl| Z(f,t) \rightarrow A(t) |}} |SZ= }} |{{ math/disp|term= \forall t {{makl| \forall f {{makl| Z(f,t) \rightarrow A(t) |}} |}} |SZ= }} |{{ math/disp|term= \forall t {{makl|\forall f Z(f,t) \rightarrow A(t) |}} |SZ= }} |{{ math/disp|term= \forall t {{makl|\exist f Z(f,t) \rightarrow A(t) |}} |SZ= }} |{{ math/disp|term= \forall t {{makl|\exist f {{makl| Z(f,t) \rightarrow A(t) |}} |}} |SZ= }} |{{ math/disp|term= \forall f \forall t {{makl| Z(f,t) \rightarrow A(t) |}} |SZ= }} |{{ math/disp|term= \forall f {{makl| \forall t {{makl| \neg A(t) \rightarrow \neg Z(f,t) |}} |}} |SZ= }} |{{ math/disp|term= \forall f {{makl| \exists t {{makl| Z(f,t) \rightarrow A(t) |}} |}} |SZ= }} |{{ math/disp|term= \neg \exists f {{makl|\exists t {{makl| Z(f,t) {{logund}} \neg A(t) |}} |}} |SZ= }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nozrwfn564s6vugl5ugtximohat2zoe 0 97696 784745 758209 2022-08-22T06:53:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |natürliche Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= n^2-1|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ungerade| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder aber durch {{math|term= 8|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilbar| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h2pzbgmnuy3pwksnlmj0clh1iibbsp6 0 97699 784748 758211 2022-08-22T06:54:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |natürliche Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= n^2-n|SZ=}} stets {{ Definitionslink |Prämath= |gerade| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mf560jhym85tf8lxr2242orxo65g56h 0 97701 780434 602459 2022-08-21T19:07:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge aller {{ Zusatz/Klammer |text=lebenden oder verstorbenen| |ISZ=|ESZ= }} Mütter und {{math|term= H|SZ=}} die Menge aller {{ Zusatz/Klammer |text=lebenden oder verstorbenen| |ISZ=|ESZ= }} Menschen. Untersuche{{n Sie}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|H || |SZ=, }} die jeder Mutter ihr erstgeborenes Kind zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität. |Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, die Menge {{math|term= H|SZ=}} aber durch die Menge {{math|term= E|SZ=}} der mütterlicherseits erstgeborenen Kinder ersetzt? |Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, die Menge {{math|term= H|SZ=}} aber durch die Menge {{math|term= F|SZ=}} der mütterlicher- oder väterlicherseits erstgeborenen Kinder ersetzt?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b9wzsgc0qr803cvwsrrpsavrz2cokfu 0 97707 782759 733665 2022-08-22T01:35:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit {{ Zusatz/Klammer |text=16 Stunden pro Tag| |ISZ=|ESZ= }} zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei {{mathl|term= 2000|SZ=}} kcal und {{math|term= 100|SZ=}} Gramm Heidelbeeren enthalten {{math|term= 42|SZ=}} kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt {{math|term= 1,5|SZ=}} Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Heidi Gonzales |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} httg2nilkhvvwrxcawbnf8v0gnb2j8p 0 97711 782832 756601 2022-08-22T01:47:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen genau {{mathl|term= {{op:Binom|d+n-1|n-1}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Monome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= d|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie3=Theorie der monomialen Ideale im Polynomring |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e1kb2589hvxlbgn429hxe2dbp8fpi1v 0 97715 785776 758957 2022-08-22T09:35:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \sqrt{2}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |irrationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2=Siehe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} diq0jtq4w8uax7ghldbpgcf9utsea1x 0 97727 780592 754743 2022-08-21T19:34:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{math|term= d|SZ=}} und es seien {{ Ma:Vergleichskette |F,G |\subseteq|E || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affine Unterräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{ mathkor|term1= r |bzw.|term2= s |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |F\cap G || \emptyset || || || |SZ= }} leer ist, oder eine Dimension von zumindest {{mathl|term= r+s -n|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rrch5bgavonjjciu0ebmnly71bs1654 0 97733 783903 757532 2022-08-22T04:46:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die lineare Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |4x-9y ||5 || || || |SZ=, }} es sei {{math|term= L|SZ=}} die Lösungsmenge. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |P || {{op:Spaltenvektor|35|15}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | Q || {{op:Spaltenvektor|2 | {{op:Bruch|1|3}} }} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affin-unabhängige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Punkte von {{math|term= L|SZ=}} sind. |Bestimme{{n Sie}} die baryzentrischen Koordinaten von {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|7|2}} |1}} |\in |L || || |SZ= }} bezüglich {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2=Theorie der baryzentrischen Koordinaten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tijeoqzjzgn42jphf6rpeflmu8cms48 0 97742 780958 755037 2022-08-21T20:35:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P|SZ=}} ein Punkt in einem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E|SZ=}} über {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Ausdrücke {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrische Kombinationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= P|SZ=}} sind {{ Zusatz/Klammer |text=es sei {{mathl|term= Q\in E|SZ=}} und {{mathl|term= v \in V|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |{{math|term= P|SZ=.}} |{{mathl|term= P+Q-Q|SZ=.}} |{{mathl|term= (P+v)-(Q+v)+Q|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der baryzentrischen Koordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qaizgox824rfqaulfqa163k9d6ddrah 0 97753 785572 758816 2022-08-22T09:01:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe{{n Sie}}, ob die Punkte {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|5|4|7}} , \, {{op:Spaltenvektor|-2|1|6}} , \, {{op:Spaltenvektor|3|-9|4}} , \, {{op:Spaltenvektor|-8|8|3}} |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |affin-unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g32melhqe4v3dspptue9eq6121hqzod 0 97761 780569 754726 2022-08-21T19:30:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affine Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über den {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= V |bzw.|bedterm1= W ||bedterm2= |SZ=. }} Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |E|F || |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} und ein Punkt {{mathl|term= P\in E|SZ=}} derart gegeben, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi (P+v) || \psi(P) + \varphi(v) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= v \in V|SZ=}} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \psi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |affin-linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3yj57yare7gw6ercjinr3om791v7na 0 97763 785826 758990 2022-08-22T09:44:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\psi |\R|\R || |SZ= }} eine Abbildung mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi(x) || ax+b || || || |SZ= }} für gewisse {{mathl|term= a,b \in \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} direkt, dass {{math|term= \psi|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrischen Kombinationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} verträglich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fmrgno34oy45gsrz32txrpc6dzf4ji6 0 97765 780671 754790 2022-08-21T19:47:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Alphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 5|SZ=}} Symbolen. Wie viele Wörter über {{math|term= A|SZ=}} der Länge {{math|term= 7|SZ=}} gibt es, wenn man nicht zwischen den Leserichtungen unterscheiden kann? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wörter über einem Alphabet |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e2lx2mn7o3vi0jynoh84k7wsnxh0o4z 0 97771 781530 548501 2022-08-21T22:10:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein DNA-Doppelstrang der Länge {{math|term= n|SZ=}} gegeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||1,2 || || || |SZ=, }} wenn man weder die beiden Stränge noch die Leserichtungen unterscheiden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wörter über einem Alphabet |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lptgpji37jdlr40bjjocvsuxpwp9uk3 0 97772 781531 548591 2022-08-21T22:10:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein DNA-Doppelstrang der Länge {{math|term= n|SZ=}} gegeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||3,4 || || || |SZ=, }} wenn man weder die Stränge noch die Leserichtungen unterscheiden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wörter über einem Alphabet |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} soed8vx3rdfye0kzs2siompslfsoz7e 0 97774 780674 754793 2022-08-21T19:47:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Alphabete| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi |A|B || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dies eine natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{\varphi} |A^*|B^* || |SZ= }} zwischen den Wortmengen induziert. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} ist, wenn {{math|term= \tilde{\varphi}|SZ=}} injektiv {{ Zusatz/Klammer |text=surjektiv| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wörter über einem Alphabet |Kategorie2=Theorie der Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ljiv0r4pntv9065regtmyfpeqpv786l 0 97775 780673 754792 2022-08-21T19:47:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Alphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 4|SZ=}} Symbolen. Wie viele Wörter der Länge {{math|term= 9|SZ=}} gibt es über {{math|term= A|SZ=,}} wenn man Symbole in einem Wort simultan vertauschen kann? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wörter über einem Alphabet |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tjp54v0mtaxhq6qq1bc05l5tg42z1f3 0 97776 780937 755024 2022-08-21T20:31:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= V|SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablenmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dies eine natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=L^\varphi |L^V|L^W || |SZ= }} induziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o47why4go1ii1ppskchu81o93kkqnu5 0 97777 780938 755025 2022-08-21T20:31:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= V|SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablenmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=L^\varphi |L^V|L^W || |SZ= }} die nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Aussagenvariable/Abbildung/Sprache/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zugehörige Abbildung. Es sei {{math|term= \lambda|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrheitsbelegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= W|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |I^{\lambda \circ \varphi} || I^\lambda \circ L^\varphi || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5l7wdvxkj1j75eb3fvtucic2e1o7g6x 0 97783 780959 755038 2022-08-21T20:35:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Es seien {{ mathbed|term= P_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} und {{mathl|term= P,Q|SZ=}} Punkte in {{math|term= E|SZ=}} und {{mathl|term= \sum_{i \in I} a_i P_i |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrische Kombination| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | P-Q + \sum_{i \in I} a_i P_i || {{op:Vektor|Q|P}} + {{makl| \sum_{i \in I} a_i P_i |}} || || || |SZ=, }} wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der baryzentrischen Koordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1mgxtish9uvke8a4nrtowc53xahqwsq 0 97822 780672 754791 2022-08-21T19:47:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Alphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 3|SZ=}} Symbolen. Wie viele Wörter über {{math|term= A|SZ=}} der Länge {{math|term= 5|SZ=}} gibt es, wenn man nicht zwischen den Leserichtungen unterscheiden kann? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wörter über einem Alphabet |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rjpue78o19ucm121rzqy49v7xuti8gb 0 97879 781070 755133 2022-08-21T20:53:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} mit den Werten {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bilinearform|e_1|e_1}} ||5 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bilinearform|e_1|e_2}} ||-4 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bilinearform|e_2|e_1}} ||7 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bilinearform|e_2|e_2}} || -3 || || || |SZ=. }} Berechne {{mathl|term= {{op:Bilinearform| {{op:Spaltenvektor|3|-4}} | {{op:Spaltenvektor|-5|-6}} }} |SZ=.}} Handelt es sich um ein {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wspzo4i6i54yhdr2owas2kkoummnsp 0 97880 780615 748652 2022-08-21T19:37:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normierter| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= E|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(P,Q) | {{defeq|}} | {{op:Norm| {{op:Vektor|P|Q}} |}} || || || |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Räume über einem normierten Vektorraum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m5ckrv7lq0lv18015gm8knnz7ucxujs 0 97883 784687 758185 2022-08-22T06:45:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normierter Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= V|SZ=,}} aufgefasst als reeller Vektorraum, mit der gleichen Norm ebenfalls ein normierter Vektorraum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r2nf8k0tgjscpl001hnipax0v6ybhcp 0 97884 784138 757799 2022-08-22T05:25:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{mathl|term= {{KRC|}}^n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t3ui0spv7wqziy9fzjzapygk90r56wo 0 97889 780521 754695 2022-08-21T19:22:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |A |\subseteq|\R^2 || || || |SZ= }} das Achsenkreuz, also die Vereinigung von {{math|term= x|SZ=-}}Achse und {{math|term= y|SZ=-}}Achse. {{ Aufzählung3 |Definiere{{n Sie}} auf {{math|term= A|SZ=}} den Abstand, der durch die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten {{mathl|term= P,Q\in A|SZ=}} durch einen Weg auf {{math|term= A|SZ=}} gegeben ist. |Zeige{{n Sie}}, dass es sich dabei um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Metrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} derart, dass die Einschränkung der zugehörigen Metrik mit unserer Verbindungsmetrik übereinstimmt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oq4btfbno0eiubh3zclj0czs64w5em4 0 97894 778493 762431 2022-08-21T12:10:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm|v+w|}}^2 - {{op:Norm|v|}}^2 - {{op:Norm|w|}}^2 || {{op:Skalarprodukt|v+w|v+w}} - {{op:Skalarprodukt|v|v}} - {{op:Skalarprodukt|w|w}} || {{op:Skalarprodukt|v|v}} + {{op:Skalarprodukt|v|w}} + {{op:Skalarprodukt|w|v}} + {{op:Skalarprodukt|w|w}}- {{op:Skalarprodukt|v|v}} - {{op:Skalarprodukt|w|w}} || {{op:Skalarprodukt|v|w}} + {{op:Skalarprodukt|w|v}} || 2 {{op:Skalarprodukt|v|w}} |SZ=. }} Division durch {{math|term= 2|SZ=}} ergibt die Behauptung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b8qe690jl2hh28fpomhhnskzfvw75v8 0 97897 780941 755027 2022-08-21T20:32:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine Teilmenge, die ausschließlich aus Aussagenvariablen oder aus negierten Aussagenvariablen besteht, wobei jede Aussagenvariable höchstens direkt oder in ihrer Negation auftritt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erfüllbar| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1o8pv3upbwn16i4le0yy0pfz03z5hi4 0 97908 778488 762430 2022-08-21T12:10:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align | |\,| {{op:Norm|v+w|}}^2 - {{op:Norm|v-w|}}^2 + {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Norm|v+ {{Imaginäre Einheit|}}w|}}^2 - {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Norm|v- {{Imaginäre Einheit|}} w|}}^2 || {{op:Skalarprodukt|v+w|v+w}} - {{op:Skalarprodukt|v-w|v-w}} + {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Skalarprodukt|v + {{Imaginäre Einheit|}}w|v + {{Imaginäre Einheit|}} w}} - {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Skalarprodukt|v- {{Imaginäre Einheit|}}w|v - {{Imaginäre Einheit|}} w}} ||2 {{op:Skalarprodukt|v|w}}+2{{op:Skalarprodukt|w|v}}+ {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Skalarprodukt|v + {{Imaginäre Einheit|}}w|v + {{Imaginäre Einheit|}} w}} - {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Skalarprodukt|v- {{Imaginäre Einheit|}}w|v - {{Imaginäre Einheit|}} w}} ||2 {{op:Skalarprodukt|v|w}}+2{{op:Skalarprodukt|w|v}} + {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Skalarprodukt|v| {{Imaginäre Einheit|}} w}} + {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Skalarprodukt| {{Imaginäre Einheit|}} w|v}} - {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Skalarprodukt|v| - {{Imaginäre Einheit|}} w}} - {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Skalarprodukt| - {{Imaginäre Einheit|}} w|v}} ||2 {{op:Skalarprodukt|v|w}}+2 {{op:Skalarprodukt|w|v}} + {{op:Skalarprodukt|v| w}} - {{op:Skalarprodukt| w|v}} + {{op:Skalarprodukt|v| w}} - {{op:Skalarprodukt| w|v}} || 4 {{op:Skalarprodukt|v|w}} |SZ=. }} Division durch {{math|term= 4|SZ=}} liefert das Resultat. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8d54ln7pmkxr2i208kpomfuysr2mpgc 0 97912 786557 759585 2022-08-22T11:45:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} und der zugehörigen {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Norm|-|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|v|w}} || {{op:Bruch|1|4}} {{makl| {{op:Norm|v+w|}}^2 - {{op:Norm|v-w|}}^2 + {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Norm|v+ {{Imaginäre Einheit|}}w|}}^2 - {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Norm|v- {{Imaginäre Einheit|}} w|}}^2 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} igtp0j5wz2935flops9efr3wt90r2zu 0 97914 780888 754985 2022-08-21T20:23:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} ein Verfahren, wie man {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} eine Auflistung sämtlicher {{ Definitionslink |Prämath= |syntaktischer Tautologien| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{math|term= L^V|SZ=}} erhalten kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ik0juz48azhtv2vens74jtor7u8m075 0 97919 780896 754995 2022-08-21T20:24:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} ein aussagenlogischer Ausdruck in {{ Definitionslink |Prämath= |disjunktive Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} in dem die Aussagenvariablen {{mathl|term= p_1 {{kommadots|}} p_n |SZ=}} vorkommen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Tautologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} die {{math|term= {{logoder|}} |SZ=-}}Verknüpfung von sämtlichen Kombinationen {{mathl|term= \pm p_1 {{logunddots|}} \pm p_n |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Disjunktive Normalform |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kjsnqmnoeo22vtf0usqrsmk1on06wcr 0 97922 780901 548961 2022-08-21T20:25:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} die folgende Ableitungsregel für die Aussagenlogik. Aus {{mathl|term= \vdash {{logprop|}} \rightarrow ( {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop3|}})|SZ=}} und {{mathl|term= \vdash {{logprop4|}} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=}} folgt {{mathl|term= \vdash {{logprop|}} \rightarrow ({{logprop4|}} \rightarrow {{logprop3|}}) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 81yc4jqrtve5qqkblg6fj65trwh09ug 0 97924 780908 755003 2022-08-21T20:26:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu einer Aussage {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} bezeichne {{mathl|term= \neg^n {{logprop|}} |SZ=}} die {{math|term= n|SZ=-}}fache Negation von {{math|term= {{logprop|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \neg^n {{logprop|}} \leftrightarrow \neg^m {{logprop|}}|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeingültig| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= n-m|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= 2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1r54ivu1pg4ywtrg2raeiw77ni4crq 0 97925 780907 548965 2022-08-21T20:26:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu einer Aussage {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} bezeichne {{mathl|term= \neg^n {{logprop|}} |SZ=}} die {{math|term= n|SZ=-}}fache Negation von {{math|term= {{logprop|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \vdash \neg^n {{logprop|}} \rightarrow \neg^m {{logprop|}}|SZ=}} genau dann gilt, wenn {{mathl|term= n-m|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= 2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4b512hocqvqxkgsj7lwuy0tqvzaox56 0 97959 780899 754998 2022-08-21T20:25:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob der aussagenlogische Ausdruck {{mathl|term= {{makl| \neg p {{logoder}} q |}} \rightarrow {{makl| p {{logoder}} \neg q |}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erfüllbar| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p0yh7l3iazqry4su511eh1trjm7o8gq 0 97982 786564 759591 2022-08-22T11:46:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= v \in V|SZ=}} ein fixierter Vektor und {{mathl|term= a \in {{KRC}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{Mengebed|u \in V| {{op:Skalarprodukt|u|v}} {{=}} a }} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Unterraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Skalarprodukte |Kategorie2=Theorie der affinen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jg1sabfat207b9ox1o1zfhq8afo2px8 0 97991 780886 754982 2022-08-21T20:23:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Gamma^\vdash || {{makl| \Gamma^\vdash |}}^\vdash || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pqqm0vywjf9qtxonequj3z30u1mj3t6 0 97994 780878 754974 2022-08-21T20:21:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \Gamma \subseteq L^V|SZ=}} eine Ausdrucksmenge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Aussagenvariablenmenge {{math|term= V|SZ=.}} Es gelte {{mathl|term= p \rightarrow q \in \Gamma|SZ=}} und {{mathl|term= q \rightarrow r \in \Gamma|SZ=.}} Folgt daraus {{mathl|term= p \rightarrow r \in \Gamma|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 66648a83k8so7odv5qj6bdwrhqz8pf2 0 97995 780909 755004 2022-08-21T20:26:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=.}} Es gebe eine Interpretation {{math|term= I|SZ=}} mit {{mathl|term= I \vDash \Gamma|SZ=}} und {{mathl|term= I \vDash \neg {{logprop|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{mathl|term= \Gamma 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{{logund|}} {{logprop2|}} |SZ=.}} |Es gelte {{mathl|term= \Gamma_1 \vdash {{logprop|}} |SZ=}} und {{mathl|term= \Gamma_2 \vdash {{logprop|}} |SZ=.}} Folgt daraus {{mathl|term= \Gamma_1 \cap \Gamma_2 \vdash {{logprop|}} |SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8j2l7sgutdlogt2xbox2kxl5j2m8syg 0 97998 780863 754963 2022-08-21T20:19:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Delta |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=,}} die zu jeder Aussagenvariablen {{mathl|term= p \in V|SZ=}} entweder {{math|term= p|SZ=}} oder {{math|term= \neg p|SZ=}} enthalte. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Delta^\vdash|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |maximal widerspruchsfrei| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fhbxztmpucf7ge34iw8tdg9k4m9fty9 0 97999 780877 754973 2022-08-21T20:21:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Aussagenvariablenmenge {{math|term= V|SZ=.}} Begründe{{n Sie}} die Fallunterscheidungsregel für die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitungsbeziehung| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=: }} Wenn {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} 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{{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=}} und {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop3|}} |SZ=,}} dann auch {{mathl|term= \Gamma \vdash {{logprop|}} \rightarrow {{logprop3|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n8tlmbkcy6he19tu8t8uvp2ga6pdgbu 0 98013 782153 756029 2022-08-21T23:54:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=f_m | [0,1]|{{CC}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f_m(x) | {{defeq|}} | e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit}} m x } || || || |SZ= }} zu {{mathl|term= m \in \Z|SZ=}} im Raum der stetigen Funktionen von {{math|term= [0,1]|SZ=}} nach {{math|term= {{CC}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalsystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich des durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|f|g}} | {{defeq|}} | \int_0^1 f {{op:Komplexe Konjugation|g}} dx || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarproduktes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. Verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ary337xnjqbcsaeio4vhij921pguc40 0 98015 784820 758274 2022-08-22T07:05:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ mathbed|term= u_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass ein Vektor {{mathl|term= v \in V|SZ=}} genau dann zum {{ Definitionslink |orthogonalen Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Orthogonales Komplement|U|}} |SZ=}} gehört, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|v|u_i}} ||0 || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= i \in I|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der orthogonalen Komplemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tb1w76ddf83av2v9vvg785h8nz72g0g 0 98017 784812 758267 2022-08-22T07:03:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=}} und sei {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Zu jeder Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |J |\subseteq|I || || || |SZ= }} sei der von {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in J ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= U_J|SZ=}} bezeichnet. Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |orthogonale Komplement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U_J|SZ=}} gleich {{mathl|term= U_{I \setminus J}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der orthogonalen Komplemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bt1svmsmim14xw57u8etotmxiimhxha 0 98019 786379 759454 2022-08-22T11:15:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, welche der folgenden Vektoren im {{math|term= \R^3|SZ=}} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonal| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich des {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarproduktes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|6|1|5}} ,\, {{op:Spaltenvektor|3|-8|-2}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|-1|4}} ,\, {{op:Spaltenvektor|-5|4|-1}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s384kvhtzybua4g8695ypa8ykzh5at0 0 98020 781219 755258 2022-08-21T21:18:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, welche der folgenden Vektoren im {{math|term= {{CC}}^2|SZ=}} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich des {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarproduktes| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|6-3 {{Imaginäre Einheit}} |- {{Imaginäre Einheit}}|}} ,\, {{op:Spaltenvektor|4-7 {{Imaginäre Einheit}} |-9-5 {{Imaginäre Einheit}}|}} ,\, {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|1|3}} {{Imaginäre Einheit}} |2 + {{Imaginäre Einheit}}|}} ,\, {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|1|3}} |-1-2 {{Imaginäre Einheit}}|}} ,\, {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|1|3}} |-1+2 {{Imaginäre Einheit}}|}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 44my4aceub8g9nvkab8qk3dsx19korm 0 98057 780858 754959 2022-08-21T20:18:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} eine Menge von {{ Definitionslink |Prämath= |überabzählbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vielen {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ausdrucksmenge. Ist {{math|term= \Gamma^\vdash|SZ=}} abzählbar oder überabzählbar? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2=Theorie der Mächtigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9u7876lfezxdg1nlwfd2e02e9juxx98 0 98072 780905 755001 2022-08-21T20:26:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} eine Menge an {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma | \subseteq |L^V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |maximal widerspruchsfreie| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V|SZ=}} entweder {{mathl|term= {{logprop|}} \in \Gamma|SZ=}} oder {{mathl|term= \neg {{logprop|}} \in \Gamma|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6dey43jrb11i5eo4pnhy3ybe4kpe40v 0 98077 780892 754989 2022-08-21T20:24:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma | \subseteq |L^V || || || |SZ= }} eine Ausdrucksmenge in der {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Aussagenvariablenmenge {{math|term= V|SZ=.}} Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |widerspruchsfrei| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} abgeschlossen unter Ableitungen und für jede Aussagenvariable {{mathl|term= p \in V|SZ=}} gelte {{mathl|term= p \in \Gamma|SZ=}} oder {{mathl|term= \neg p \in \Gamma|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= \Gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |maximal widerspruchsfrei| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejm7fao3dpxxa8qi0v03h5gqyvgkujt 0 98083 783552 757214 2022-08-22T03:47:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= K^3|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |bilinear| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |alternierend| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0of28hy0o5el2ya47e4tjmvq7v8eg2a 0 98086 783554 757216 2022-08-22T03:48:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= u_1,u_2,u_3|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |u_1 \times u_2 || \pm u_3 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2=Theorie der Orthonormalbasen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgwgqs4g1tcj8w7ryxbkd6z9vn3f56d 0 98091 783020 756779 2022-08-22T02:19:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrien| |Kontext=euklidisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^2|SZ=}} kennen Sie aus der Schule? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dxxt3tiq4h6flmnxrzqw0vlyu52ow3r 0 98100 783545 757207 2022-08-22T03:46:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|4-7 {{Imaginäre Einheit||}} |3+5{{Imaginäre Einheit||}}|-1-2{{Imaginäre Einheit||}}}} \times {{op:Spaltenvektor|-6+ 4{{Imaginäre Einheit||}}|-2-8{{Imaginäre Einheit||}}|1-9{{Imaginäre Einheit||}} }} |SZ= }} im {{math|term= {{CC}}^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2jjopquvarus9lg7cwvc24wsxqxbk6n 0 98101 783019 756778 2022-08-22T02:18:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrien| |Kontext=euklidisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cmy6tsel44h1545j9g6lu9hs4os73r7 0 98102 783018 756777 2022-08-22T02:18:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrien| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien zwischen euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2x7o7oxcrcnwhv5ejki03987g8j2rgu 0 98118 783814 757445 2022-08-22T04:31:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel einer {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass es einerseits eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^2|SZ=}} gibt, die unter {{math|term= \varphi|SZ=}} in eine Orthogonalbasis überführt wird, es andererseits aber auch eine Orthogonalbasis gibt, die unter {{math|term= \varphi|SZ=}} nicht in eine Orthogonalbasis überführt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orthonormalbasen |Kategorie2=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rfvn80q60pvs9n6stiky15zi2p5hpoj 0 98126 781906 755805 2022-08-21T23:13:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine endliche Menge. Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M|}} |SZ=,}} die durch {{ math/disp|term= S \preccurlyeq T, \text{ falls } {{op:Anzahl|S|}} \leq {{op:Anzahl|T|}} |SZ=, }} gegeben ist. Handelt es sich dabei um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungsrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geordneten endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pqkm3umxi8obzuaj5ue3qp5fsro7axr 0 98130 780860 754961 2022-08-21T20:18:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n\in \N_+|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine aussagenlogische {{ Definitionslink |Prämath= |widersprüchliche| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ausdrucksmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma ||\{ {{logprop|}}_1,{{logprop|}}_2 {{kommadots|}} {{logprop|}}_n \} || || || |SZ= }} derart, dass jede echte Teilmenge davon {{ Definitionslink |Prämath= |widerspruchsfrei| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lfa37b4mkukw844zwr43zeca3f0k4zf 0 98136 780897 754996 2022-08-21T20:24:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine endliche Menge an Aussagen. Skizziere{{n Sie}} ein Entscheidungsverfahren, mit dem man feststellen kann, ob {{math|term= \Gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |widersprüchlich| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c21ofxgafduw1r2ur73ei9f117kl66u 0 98143 780890 754987 2022-08-21T20:23:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} eine beliebige {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ausdrucksmenge. Zeige{{n Sie}}, dass man in diesem Fall {{ Faktlink |Präwort=den|Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik|Faktseitenname= Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Beliebiger Fall/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ohne das Lemma von Zorn beweisen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qfxrork2sofxk20d7cfnfpwyu6w4gh8 0 98163 783751 757389 2022-08-22T04:21:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (I, \preccurlyeq)|SZ=}} eine nichtleere {{ Definitionslink |Prämath= |geordnete Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaften, dass alle {{ Definitionslink |Prämath= |Ketten| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= I|SZ=}} endlich seien. Beweise{{n Sie}} in dieser Situation direkt, dass es in {{math|term= I|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Lemma von Zorn |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oxfrexqcudg9gfft6wg21c6nnkyxaal 0 98164 784180 757834 2022-08-22T05:32:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= G|SZ=}} eine unendliche Menge und {{ Ma:Vergleichskette |M |\subset| {{op:Potenzmenge|G|}} || || || |SZ= }} die Menge, die aus sämtlichen endlichen Teilmengen von {{math|term= G|SZ=}} besteht. {{ Aufzählung2 |Ist {{math|term= (M, \subseteq)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |induktiv geordnet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Besitzt {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Lemma von Zorn |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} asfwphmbrj9yu3uim07dt9ln41rddop 0 98167 784179 757833 2022-08-22T05:32:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= G|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq| {{op:Potenzmenge|G|}} || || || |SZ= }} eine Teilmenge der Potenzmenge, die unter beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= (M, \subseteq)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |induktiv geordnet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |größtes Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Lemma von Zorn |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge als geordnete Menge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6gnqbk62oko8322tipc036w5m20sj1e 0 98171 780893 754990 2022-08-21T20:24:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |widerspruchsfreie| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |aussagenlogische| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ausdrucksmenge, die unter Ableitungen abgeschlossen sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Gamma|SZ=}} der Durchschnitt von {{ Definitionslink |Prämath= |maximal widerspruchsfreien| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ausdrucksmengen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6bhiqr4lpqdvgw8abb4ea5v2b93oa4d 0 98172 780895 754992 2022-08-21T20:24:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |aussagenlogische| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ausdrucksmenge und es sei {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=}} mit {{mathl|term= \Gamma \not\vdash {{logprop}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=mit dem|Lemma von Zorn|Faktseitenname= Lemma von Zorn/Obere Schranke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |maximal widerspruchsfreie| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ausdrucksmenge {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|\Gamma' || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= \Gamma' \not\vdash {{logprop}}|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik |Kategorie2=Das Lemma von Zorn |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g6fyd105qnksjvtnkd3dkexq314wtwz 0 98277 786368 759443 2022-08-22T11:13:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Zusatz/Klammer |text=achsensymmetrische| |ISZ=|ESZ= }} Ellipse {{math|term= E|SZ=}} im {{math|term= \R^2|SZ=}} und eine bijektive {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(E) ||E || || || |SZ=, }} die keine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Drehungen |Kategorie2=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eqvrs5616xsion59lnkwpkk3ynmwy2h 0 98278 786373 759448 2022-08-22T11:14:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine bijektive, {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(S^1) ||S^1 || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(sv) ||s \varphi(v) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= s \in \R|SZ=}} und {{mathl|term= v \in \R^2|SZ=,}} die keine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Drehungen |Kategorie2=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dsk1ap50qvm34yyuxbqst4t47rz4l98 0 98279 786385 759462 2022-08-22T11:16:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man bestimme|Bestimmen Sie}} zu jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \pi \in S_3|SZ=}} für die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigengerade| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der räumlichen Drehungen |Kategorie2=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ceauh7y8gez742tmuhmkbiy4qjl7l4s 0 98280 784945 758385 2022-08-22T07:23:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \pi \in S_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=M_\pi |\R^n|\R^n || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bzw. lineare Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M_\pi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wann handelt es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |eigentliche Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie2=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p3jomev1n8cqjjamjnpvxnxbyj87gwr 0 98282 786383 759460 2022-08-22T11:16:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |U_1 || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|4|-8|7}} |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |U_2 || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|4|-8|7}} |{{op:Spaltenvektor|3|-5|2}}|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=.}} Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |U_1 || {{op:Span| \varphi(e_1) |}} || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette |U_2 || {{op:Span| \varphi(e_1) |\varphi(e_2)|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der räumlichen Drehungen |Kategorie2=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jv88ndpb7auwotoxr98rb2v5muos1f9 0 98289 780536 550161 2022-08-21T19:24:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math/disp|term= M={{op:Matrix22| {{op:cos|\alpha|}} | {{op:sin|\alpha|}}| {{op:sin|\alpha|}}| -{{op:cos|\alpha|}} }} |SZ= }} eine ebene Achsenspiegelung. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|- {{op:sin|\alpha|}} | {{op:cos|\alpha|}}-1 }} |SZ=}} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term= 1|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:cos|\alpha|}}-1| {{op:sin|\alpha|}} | }} |SZ=}} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term= -1|SZ=}} von {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Achsenspiegelungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdr0xe5t3wutt31pl2wydz115fyn5gu 0 98294 780342 550178 2022-08-21T18:52:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} mit arithmetischen Grundsymbolen, Gleichheit, Quantoren und Junktoren die Eigenschaft {{ Zusatz/Klammer |text=das Prädikat| |ISZ=|ESZ= }} einer natürlichen Zahl, gerade oder ungerade zu sein. Formuliere{{n Sie}} ebenso die Aussage, dass jede natürliche Zahl entweder gerade oder ungerade ist. Formuliere{{n Sie}} ferner die Aussage, dass zu jeder natürlichen Zahl {{math|term= n|SZ=}} die Zahl {{mathl|term= n^2-n|SZ=}} gerade ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie2=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rhl4jprpgbi3nxmbererviqwdtjz989 780373 780342 2022-08-21T18:57:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} mit arithmetischen Grundsymbolen, Gleichheit, Quantoren und Junktoren die Eigenschaft {{ Zusatz/Klammer |text=das Prädikat| |ISZ=|ESZ= }} einer natürlichen Zahl, gerade oder ungerade zu sein. Formuliere{{n Sie}} ebenso die Aussage, dass jede natürliche Zahl entweder gerade oder ungerade ist. Formuliere{{n Sie}} ferner die Aussage, dass zu jeder natürlichen Zahl {{math|term= n|SZ=}} die Zahl {{mathl|term= n^2-n|SZ=}} gerade ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie2=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9bq9wazu28lux34kd3bwalrd0oibzzy 0 98297 781649 755587 2022-08-21T22:30:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp | M || {{op:Drehmatrix|\alpha|}} || || || |SZ= }} als lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=M |{{CC}}^2|{{CC}}^2 || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Drehungen |Kategorie2=Theorie der unitären Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l48j9pwx3hbhlfsmxq1f2t7iw2gyiyu 0 98301 783014 756773 2022-08-22T02:18:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix44| {{op:cos|\alpha|}} | {{op:sin|\alpha|}}|0 |0|{{op:sin|\alpha|}}| - {{op:cos|\alpha|}} |0|0|0|0| {{op:cos|\beta|}} | {{op:sin|\beta|}}|0 |0|{{op:sin|\beta|}}| - {{op:cos|\beta|}} |0|0| }} |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^4|\R^4 || |SZ= }} gegeben {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathl|term= \alpha, \beta \in [0, \pi[|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Eigenwerte und ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Achsenspiegelungen |Kategorie2=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} etx65pq8zhpl38liwn4zglbfg5v3a0g 0 98303 782100 755991 2022-08-21T23:45:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Streckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem Streckungsfaktor {{ Ma:Vergleichskette |s |\neq|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |winkeltreu| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der winkeltreuen linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Streckungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bz7lb1ugavvjwpkb2be0sgta67mq7b7 0 98304 782112 756000 2022-08-21T23:47:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |winkeltreue| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine reelle Zahl {{math|term= s|SZ=}} derart gibt, dass allenfalls {{mathl|term= s|SZ=}} oder {{math|term= -s|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} auftreten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der winkeltreuen linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} poncaaaaokykumv626lp6op9a86dtco 0 98305 785559 758810 2022-08-22T08:59:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Mengen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen dem Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|7|-3|4}} |SZ=}} und sämtlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | U_I || {{op:Span|e_i|i \in I}} || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq| \{1,2,3\} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m0wjmy5ym6632bzcc64yayph9if1408 0 98308 781650 755588 2022-08-21T22:30:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | D(\alpha) || {{op:Drehmatrix|\alpha|}} || || || |SZ= }} die Beschreibung einer Drehung {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich der Standardbasis {{mathl|term= e_1,e_2|SZ=}} des {{math|term= \R^2|SZ=.}} Es sei {{math|term= u_1,u_2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^2|SZ=}} derart, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den beiden Basen die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=}} besitzt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich der zweiten Basis ebenfalls durch {{math|term= D(\alpha) |SZ=}} beschrieben wird. Zeige{{n Sie}}, dass dies ohne die Determinantenbedingung nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Drehungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lrqsu22qw1oqa7of5mxskvhy0kindms 0 98309 785558 758809 2022-08-22T08:59:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Mengen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen dem Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|-6|-5|7}} |SZ=}} und sämtlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | U_I || {{op:Span|e_i|i \in I}} || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq| \{1,2,3\} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gzpocozhl02rhdm56posg761a02pu1c 0 98330 785794 758969 2022-08-22T09:38:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Das Symbolalphabet {{math|term= S|SZ=}} bestehe neben Variablen aus dem einzigen einstelligen Funktionssymbol {{math|term= f|SZ=.}} Finde{{n Sie}} für die folgenden Ausdrücke aus {{math|term= L^S|SZ=}} jeweils {{ Definitionslink |Prämath= |Interpretationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} in denen der Ausdruck gilt, und Interpretationen, in denen er nicht gilt. {{ Aufzählung4 | {{mathl|term= \forall x (x =fffx)|SZ=.}} | {{mathl|term= \exists x (x =fffx)|SZ=.}} | {{mathl|term= \forall x (fx =fffx)|SZ=.}} | {{mathl|term= \forall x (x =ffx) {{logund|}} \forall x( \neg (x =fx)) |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c1k2szkifpiazp89aw8nx3s4kypwi7c 0 98354 781544 755512 2022-08-21T22:12:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der aus drei Punkten bestehe. Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= M|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Unterraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Ebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} realisieren kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der endlichen metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n3j70ix8sdjutbber19qxh4h3hy0pjl 0 98357 781586 755539 2022-08-21T22:19:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} ein Dreieck in der euklidischen Ebene und es sei {{math|term= R|SZ=}} der Rand des Dreiecks, also die Vereinigung der drei Seiten. {{ Aufzählung3 |Definere{{n Sie}} eine Metrik auf {{math|term= R|SZ=}} derart, dass der Abstand von zwei Punkten, die auf der gleichen Seite liegen, einfach der {{ Definitionslink |Prämath= |induzierte Abstand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und {{ math/disp|term= d(x,y) |SZ= }} der minimale Abstand längs eines Weges auf {{math|term= R|SZ=}} ist. |Handelt es sich um die induzierte Metrik? |Kann es sein, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten über alle drei Seiten läuft? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kby598a5ofp0060vo9ubbxx20w60c2k 0 98363 786400 759475 2022-08-22T11:19:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_m|SZ=}} Punkte im {{math|term= \R^n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |konvexe Hülle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Punkte gleich der durch nichtnegative {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrische Kombinationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegebenen Menge {{ math/disp|term= {{Mengebed| \sum_{i {{=}}1}^m a_iP_i| \sum_{i{{=}} 1}^m a_i {{=}} 1| a_i \geq 0 \text{ für alle } i }} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konvexität (Geometrie) |Kategorie2=Theorie der baryzentrischen Koordinaten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 178ivlivhbilecdtafg4xl4pp2dekno 0 98370 785963 759107 2022-08-22T10:06:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |rechtwinkliges Dreieck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem rechten Winkel im Punkt {{math|term= C|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Höhenfußpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=Dreieck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{math|term= C|SZ=}} auf der Strecke {{mathl|term= \overline{A,B}|SZ=}} liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nj3sqckxayaac1pk14rb8gdh1nfho2m 0 98383 778592 762500 2022-08-21T12:26:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Umgebung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= x|SZ=.}} Die Folgenkonvergenzbedingung sagt, dass diese offene Menge ab einem {{math|term= n_0|SZ=}} sämtliche Folgenglieder, also fast alle Folgenglieder, enthält. Dies ist zu {{mathl|term= U \in U {{makl| {{op:Folge|x|}} |}} |SZ=}} äquivalent. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m8pq0s9ehhllm2i3aoztap3o9djspbv 0 98388 785535 758789 2022-08-22T08:55:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S|SZ=}} erster Stufe mit der Variablenmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||\{x,y,z,w\} || || || |SZ= }} gegeben und eine {{ Definitionslink |Prämath=S |Interpretation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= I|SZ=}} in der Menge {{math|term= \R|SZ=}} mit {{ math/disp|term= I(x)= 5,\, I(y)= \pi, \, I(z) = -\sqrt{2}, \, I(w) = -3 |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Werte von {{mathl|term= x,y,z,w |SZ=}} bei der Interpretation {{ Ma:Vergleichskette |J | {{defeq|}} | I {{op:Bruch|e , -\sqrt{2} , {{op:Bruch|4|7}} , I(x) |x,z,x,y}} || || || |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q6pfztgcq240ww2190djtu9f7zh1jcw 0 98402 785474 758738 2022-08-22T08:45:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f \in {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{math|term= 2|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol. Zeige{{n Sie}}, dass der Ausdruck {{ math/disp|term= (\forall x \forall y \forall z (ffxyz=fxfyz )) \rightarrow (\forall x \forall y \forall z \forall w (fffxyzw=fxfyfzw )) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeingültig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qicrig9vsidxv0ikyx420pq4ed7ryix 0 98406 783281 756984 2022-08-22T03:02:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formalisiere{{n Sie}} prädikatenlogisch mit einem geeigneten Symbolalphabet {{math|term= S|SZ=,}} dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Sortenprädikate |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} buwas1an4r9mvyrnot2umrswoa6ez1g 0 98407 783280 756983 2022-08-22T03:02:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= k \in \N|SZ=}} fixiert. Formalisiere{{n Sie}} prädikatenlogisch mit einem geeigneten Symbolalphabet {{math|term= S|SZ=}} den Sachverhalt, dass {{math|term= k|SZ=}} Elemente eines {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein gegebenes {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erzeugen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Sortenprädikate |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r1f1ic94zpwkt8lza841wi4jvo1i1yp 0 98423 786551 559407 2022-08-22T11:44:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Durch die Punkte {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} sei ein Dreieck mit den Seitenlängen {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} und den Winkeln {{mathl|term= \alpha, \beta, \gamma|SZ=}} gegeben. Es sei {{math|term= F|SZ=}} der Flächeninhalt des Dreiecks. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|a| {{op:sin|\alpha|}} }} || {{op:Bruch|abc|2F}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 69kjyamgu9rojw5h5dt1whpix9oo24t 0 98433 781559 551045 2022-08-21T22:15:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} die Seitenlängen eines Dreiecks. Zeige{{n Sie}}, dass der Flächeninhalt des Dreiecks gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || {{op:Bruch|\sqrt{2a^2c^2 +2c^2b^2+2a^2b^2 -a^4-b^4-c^4}|4}} || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cxoazei4798b2gfiafry51lwz3cifp6 0 98436 781560 551082 2022-08-21T22:15:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}}, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks gleich {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} {{Anführung|Grundseite mal Höhe}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=gemeint ist {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} Grundseitenlänge mal Höhenlänge| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1shdcaaxdssnqn0jxo9gmv0bzk6seu5 0 98444 781553 755515 2022-08-21T22:14:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das Dreieck mit den Eckpunkten {{mathl|term= (-1,3),(0,-5),(2,1) |SZ=}} im {{math|term= \R^2|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Seitenhalbierenden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf unterschiedliche Arten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tmezoaoi5dgr6bdevqn03j72keeu36d 0 98445 781582 743631 2022-08-21T22:19:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= \R^2|SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgeartetes Dreieck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben, wobei die Eckpunkte die Koordinaten {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|x_1|y_1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|x_2|y_2}} ,\, {{op:Spaltenvektor|x_3|y_3}} |SZ= }} haben. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |d || 2 (x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Umkreismittelpunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Dreiecks die Koordinaten {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || {{op:Bruch |(x_1^2 + y_1^2) (y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2) (y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2) (y_1 - y_2)|d}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || {{op:Bruch |(x_1^2 + y_1^ 2) (x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2) (x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^ 2) (x_2 - x_1)|d}} || || || |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6jb0sj4c31y1kanedxlt6j2sct7dea9 0 98446 781554 755516 2022-08-21T22:14:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das Dreieck mit den Eckpunkten {{mathl|term= (-2,2),(0,4),(5,0) |SZ=}} im {{math|term= \R^2|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Mittelsenkrechten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} den {{ Definitionslink |Prämath= |Umkreismittelpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den Radius des Umkreises. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qqhc7zhhwd6yrhm0q66fjt8h9stgddi 0 98447 781577 755533 2022-08-21T22:18:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das durch die Standardvektoren {{mathl|term= e_1,e_2,e_3|SZ=}} im {{math|term= \R^3|SZ=}} gegebene Dreieck die {{ Definitionslink |Prämath= |Seitenhalbierenden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ov6g8xxr9w7be14b78ev4lfzoqmccj 0 98449 781576 755532 2022-08-21T22:18:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das durch die Vektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2|5|6}} ,\, {{op:Spaltenvektor|1|4|9}},\, {{op:Spaltenvektor|3|3|5}} |SZ= }} gegebene Dreieck im {{math|term= \R^3|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=Dreieck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|2|5|6}}|SZ=}} und den Flächeninhalt des Dreiecks. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdon5bg7llw3nifbdn4iyjm80ywofv4 0 98450 784301 743610 2022-08-22T05:52:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgeartetes Dreieck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass je zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Mittelsenkrechten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rwf764xp38wxowwscffktpilwhimzqz 0 98451 781584 755537 2022-08-21T22:19:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} den Vektorraum aller Dreiecke im {{math|term= \R^2|SZ=}} aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Dreiecke/Als Vektorraum/Untervektorräume/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der Linearformen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hc22qpwcs2vmxhsf8qvn04fabj449ma 0 98453 781585 755538 2022-08-21T22:19:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} den Vektorraum aller {{ Zusatz/Klammer |text=geordneten, auch ausgearteten| |ISZ=|ESZ= }} Dreiecke im {{math|term= \R^2|SZ=,}} es geht also um die Menge aller Tupel {{mathl|term= (A,B,C) \in (\R^2)^3 \cong \R^6|SZ=.}} Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der Linearformen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fslafjbrce06j2tpnssw9mcphez5v5m 0 98458 782582 756355 2022-08-22T01:05:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln im Punkt {{math|term= A|SZ=}} und der gegenüberliegenden Seite {{math|term= a|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Seitenhalbierende| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{math|term= A|SZ=,}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Winkelhalbierende| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{math|term= A|SZ=,}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=Dreieck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{math|term= A|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Mittelsenkrechte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= a|SZ=}} übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kji1whu9gpdov8f63gl2q5czo3fzur5 0 98476 785524 551185 2022-08-22T08:53:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= x,y,z|SZ=}} Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=mit der angegebenen Reihenfolge| |ISZ=|ESZ=, }} {{math|term= c|SZ=}} eine Konstante und {{math|term= f|SZ=}} ein einstelliges Funktionssymbol. {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} {{ math/disp|term= (\exists x (x=c)) {{op:Bruch| z |x}} |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} {{ math/disp|term= ( \exists x (x=c)) {{op:Bruch| x |x}} |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} {{ math/disp|term= ( \exists x (x=c) ) {{op:Bruch| fx |x}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oz5xsymfgg1pwm6pnzxeaik2oyocgyl 0 98490 785525 551199 2022-08-22T08:53:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= x|SZ=}} eine Variable, {{math|term= t|SZ=}} ein Term und {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^S |SZ=}} ein Ausdruck. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |( \forall x {{logprop}}) {{op:Bruch|t|x}} ||\forall x {{logprop}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mn1ssk2zfeioyt4nqwjwqyui6x4rf5r 0 98496 785523 758779 2022-08-22T08:53:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= c,d|SZ=}} Konstanten einer {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= x,y,z,u,v,w|SZ=}} Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=in dieser Reihenfolge| |ISZ=|ESZ=, }} {{math|term= f|SZ=}} ein einstelliges Funktionssymbol, {{mathl|term= g|SZ=}} ein zweistelliges Funktionssymbol und {{math|term= P,R|SZ=}} einstellige Relationssymbole. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Substitution| |Kontext=Ausdruck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{makl| \forall y ( y {{=}} c ) {{logoder}} ( \neg R fz \rightarrow \exists x \neg P u|}} {{op:Bruch|gzz, \, \, \, \, \,c,\, \, \, \, \, fu|x,\, \, \, \, \, \, \, \, \, y, \, \, \, \, \, \, \,\, \, z}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2piqe1xuv2o2ff23cajgr6tm7s5wq09 0 98497 785477 758741 2022-08-22T08:46:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{Symbolalphabet}}|SZ=}} einer {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben, {{math|term= {{logprop}} \in L^{{Symbolalphabet}} |SZ=}} und {{math|term= I|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Interpretation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= I \vDash {{logprop|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass daraus nicht im Allgemeinen die Gültigkeit {{mathl|term= I \vDash {{logSubstitution| {{logprop}} |k}} |SZ=}} unter einer {{ Definitionslink |Prämath= |Substitution| |Kontext=Ausdruck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} folgt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} im9eiy2q4y0gpthl8266efy29j08lup 0 98504 778605 762521 2022-08-21T12:28:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die leere Menge gehört nach Definition nicht zu einem Ultrafilter. Seien {{math|term= V,W|SZ=}} offene Mengen mit {{math|term= V \cup W \in F|SZ=,}} aber {{math|term= V,W \notin F|SZ=.}} Würde es sowohl für {{math|term= V|SZ=}} als auch für {{math|term= W|SZ=}} offene Mengen {{mathl|term= U_1,U_2 \in F|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |U_1 \cap V ||\emptyset || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |U_2 \cap W ||\emptyset || || || |SZ= }} geben, so wäre auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | (U_1 \cap U_2) \cap (V \cup W) || \emptyset || || || |SZ= }} im Widerspruch zur Voraussetzung. Also können wir ohne Einschränkung annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | U \cap V |\neq| \emptyset || || || |SZ= }} ist für alle {{mathl|term= U \in F|SZ=.}} Dann ist der durch all diese {{mathl|term= U \cap V|SZ=}} erzeugte Filter {{ Definitionslink |Prämath= |konsistent| |Kontext=Filter| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und muss mit {{math|term= F|SZ=}} übereinstimmen. Also ist {{math|term= V\in F|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6thk4pzzrwli6ufpqbnw3v18i6o89rw 0 98513 778604 762519 2022-08-21T12:28:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= X|SZ=}} quasikompakt und {{math|term= F|SZ=}} ein irreduzibler Filter, von dem wir annehmen, dass er nicht konvergiert. Dann ist für alle Umgebungsfilter {{ Ma:Vergleichskette/disp |U(x) |\not\subseteq|F || || || |SZ=. }} D.h., dass es zu jedem Punkt {{mathl|term= x \in X|SZ=}} eine offene Umgebung {{mathl|term= x \in U_x|SZ=}} mit {{mathl|term= U_x \notin F|SZ=}} gibt. Es ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |X || \bigcup_{x \in X} U_x || || || |SZ= }} eine offene Überdeckung. Wegen der Quasikompaktheit gibt es eine endliche Teilfamilie {{ Ma:Vergleichskette |U_i |{{defeq}}|U_{x_i} || || || |SZ=, }} {{mathl|term= i \in I|SZ=,}} die ebenfalls {{math|term= X|SZ=}} überdeckt. Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |X || \bigcup_{i \in I} U_i |\in |F || || |SZ=. }} Also ist {{mathl|term= U_i \in F|SZ=}} für ein {{math|term= i|SZ=}} wegen der Irreduzibilität. Das ist ein Widerspruch. Sei umgekehrt {{math|term= X|SZ=}} nicht quasikompakt. Der Filter aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Topologischer Raum/Nicht quasikompakt/Filter/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist konsistent und liegt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Filter/Ultrafilter/Existenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in einem Ultrafilter {{math|term= F|SZ=.}} Angenommen, es gelte {{ Ma:Vergleichskette/disp |U(x) |\subseteq|F || || || |SZ= }} für einen Punkt {{mathl|term= x \in X|SZ=.}} Wir behaupten, dass dann {{math|term= X|SZ=}} doch quasikompakt wäre, im Widerspruch zur Voraussetzung. Wenn nämlich {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} eine offene Überdeckung ist, so ist {{mathl|term= x \in U_i|SZ=}} für ein {{math|term= i|SZ=.}} Wegen {{mathl|term= U_i \in F|SZ=}} ist dann |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=unfertig }} ayi9ylpfge19n2hj2h1p269ud2w9svm 0 98514 779976 752159 2022-08-21T17:52:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || {{Mengebed|U \subseteq X \text{ offen }| X \setminus U \text{ ist quasikompakt} }} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Filter| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der im Fall, dass {{math|term= X|SZ=}} nicht selbst {{ Definitionslink |Prämath= |quasikompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, {{ Definitionslink |Prämath= |konsistent| |Kontext=Filter| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dies beruht darauf, dass die leere Menge quasikompakt ist, dass die Vereinigung von zwei quasikompakten Teilmengen quasikompakt ist und dass abgeschlossene Teilmengen quasikompakter Mengen nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wieder quasikompakt sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der topologischen Filter |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jgagglit4av1sl6wo1j6el4urqimmch 0 98529 783248 756948 2022-08-22T02:57:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man definiere|Definieren Sie}} auf der dreielementigen Menge {{mathl|term= \{0,1,u\}|SZ=}} die Struktur eines {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei dem {{ Ma:Vergleichskette | 0 \cdot u |\neq|0 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q4gm1tbll0dbmo2xmcp2xsmshkjnlgt 0 98533 784181 757835 2022-08-22T05:32:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || {{op:Potenzmenge|M|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Menge {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Vereinigung| |Kontext=zwei| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \cup|SZ=}} als Addition und der {{ Definitionslink |Prämath= |leeren Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{math|term= 0|SZ=}} und mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Durchschnitt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \cap|SZ=}} als Multiplikation und der Gesamtmenge {{math|term= M|SZ=}} als {{math|term= 1|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g3xi9fyi3fd2ds0b767if9set5byrk5 0 98535 781275 755302 2022-08-21T21:27:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= K^2|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qpiaj9j1khzgnmf86zydoa6pdjkc9xj 0 98537 781074 755136 2022-08-21T20:54:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer von {{math|term= 2|SZ=}} verschiedenen {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrische| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v|w}} || {{op:Bruch|1|4}} {{makl| {{op:Bilinearform|v+w|v+w}} - {{op:Bilinearform|v-w|v-w}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s3yxskcag7hb3hnskjlfb0fl00dcjly 0 98553 780889 754986 2022-08-21T20:23:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine Variante des Ableitungskalkül {{ Zusatz/Klammer |text=geschrieben {{math|term= \vdash_V |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} der Aussagenlogik, bei dem die Grundtautologien aus {{ Axiomlink |Präwort=||Axiomseitenname= Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiom |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} unverändert übernommen werden, bei der aber der {{ Definitionslink |Prämath= |Modus ponens| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch die Schlussregel Wenn {{mathl|term= \vdash_V {{logprop|}} {{logund|}} ({{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}}) |SZ=,}} dann ist {{mathl|term= \vdash_V {{logprop2|}} |SZ=}} ersetzt wird. Stimmen {{ mathbed|term= \vdash |und|bedterm1= \vdash_V ||bedterm2= |SZ= }} überein? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4yl0j2ouhkli3qepec7txncmpnsg78p 0 98557 785480 551519 2022-08-22T08:46:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= c,d|SZ=}} Konstanten, es sei {{math|term= f|SZ=}} ein zweistelliges Funktionssysmbol und es {{math|term= R|SZ=}} ein dreistelliges Relationssymbol. {{ManSie|Man erläutere|Erläutern Sie}}, wie man die prädikatenlogische Tautologie {{ math/disp|term= {{makl| Rxcfyd {{logoder}} z {{=|}} x |}} {{logund}} \neg {{makl| Rxcfyd {{logoder}} z {{=|}} x |}} \rightarrow {{makl| \exists x fxc{{ =}} d |}} |SZ= }} aus einer aussagenlogischen Tautologie im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Prädikatenlogik/Aussagenlogische Tautologie/Einsetzen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erhält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bl7cjyd75lxt4v95b20hz6ov8houahn 0 98568 785527 758781 2022-08-22T08:54:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= x_1,x_2|SZ=}} Variablen, {{math|term= t_1,t_2|SZ=}} Terme und {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} ein Ausdruck in einer {{ Definitionslink |Prämath= |prädikatenlogischen Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{logprop|}} {{op:Bruch|t_1,t_2|x_1,x_2}} \rightarrow {{makl| {{logprop|}} {{op:Bruch|t_1|x_1}} |}} {{op:Bruch|t_2|x_2}} |SZ= }} im Allgemeinen nicht allgemeingültig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q5bo1h2ivfjcq18toio6lc2vjvzm92k 0 98570 785526 758780 2022-08-22T08:54:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= x_1,x_2|SZ=}} Variablen, {{math|term= t_1,t_2|SZ=}} Terme und {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} ein Ausdruck in einer {{ Definitionslink |Prämath= |prädikatenlogischen Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{makl| {{logprop|}} {{op:Bruch|t_1|x_1}} |}} {{op:Bruch|t_2|x_2}} \rightarrow {{logprop|}} {{op:Bruch|t_1,t_2|x_1,x_2}} |SZ= }} im Allgemeinen nicht allgemeingültig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pel261abou60e0ht5392j9oj8o13col 0 98573 785496 758755 2022-08-22T08:49:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n|SZ=}} Variablen, {{mathl|term= s_1 {{kommadots|}} s_n, t_1 {{kommadots|}} t_n|SZ=}} Terme und {{mathl|term= {{logprop}} |SZ=}} ein Ausdruck in einer {{ Definitionslink |Prämath= |prädikatenlogischen Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L^S|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= s_1=t_1 {{logunddots}} s_n=t_n \rightarrow {{makl| {{logprop}} {{op:Bruch|s_1 {{kommadots|}} s_n|x_1 {{kommadots|}} x_n}} \rightarrow {{logprop}} {{op:Bruch|t_1 {{kommadots|}} t_n|x_1 {{kommadots|}} x_n}} |}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeingültig| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6lf328kjeyoyneehf1onmrka2sm3nw0 0 98578 785547 758798 2022-08-22T08:57:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= x,y|SZ=}} Variablen, {{mathl|term= s,t|SZ=}} Terme und {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} ein Ausdruck in einer {{ Definitionslink |Prämath= |prädikatenlogischen Sprache| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{math|term= u,v|SZ=}} neue Variablen, die weder in {{math|term= s|SZ=}} noch in {{math|term= t|SZ=}} noch in {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} vorkommen. Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{logprop|}} {{op:Bruch|s,t|x,y}} \leftrightarrow {{logprop|}} {{op:Bruch|s {{op:Bruch|v|y}}|x }} {{op:Bruch| t {{op:Bruch|u|x}} |y }} {{op:Bruch|x|u}} {{op:Bruch|y|v}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeingültig| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wobei der Ausdruck rechts als die Hintereinanderausführung von vier Einzelsubstitutionen {{ Zusatz/Klammer |text=von links nach rechts| |ISZ=|ESZ= }} zu lesen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ilnff7662zj10wksawigenku8kyqlp 0 98591 783008 756767 2022-08-22T02:17:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Phi|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrien| |Kontext=Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien (Bilinearform) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ui3hl3vo5p8i19mbcquujveoi1mp5s 0 98593 781065 755128 2022-08-21T20:52:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\R |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrischen Bilinearformen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= \Psi_U |und|term2= \Psi_V |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass auf {{mathl|term= U \oplus V|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Theta ( (u_1,v_1), (u_2,v_2)) || \Psi_U (u_1,u_2) + \Phi_V(v_1,v_2) || || || |SZ= }} eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei {{math|term= U|SZ=}} und {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonal| |Kontext=Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zueinander sind. |Es sei {{math|term= G|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gramsche Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Psi_U|SZ=}} bezüglich einer Basis von {{math|term= U|SZ=}} und {{math|term= H|SZ=}} die Gramsche Matrix von {{math|term= \Psi_V|SZ=}} bezüglich einer Basis von {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Blockmatrix| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{math|term= G|SZ=}} und {{math|term= H|SZ=}} die Gramsche Matrix von {{math|term= \Theta|SZ=}} bezüglich der zusammengesetzten Basis ist. |Der {{ Definitionslink |Prämath= |Typ| |Kontext=Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Bilinearformen sei {{mathl|term= (p,q)|SZ=}} bzw. {{mathl|term= (p',q')|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Typ von {{math|term= \Theta|SZ=}} gleich {{mathl|term= (p+p',q+q')|SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2=Theorie der direkten Summen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=4 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t3zxhyyfdc5ble4x76slulylpav01qf 0 98608 781072 755135 2022-08-21T20:54:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem zweidimensionalen reellen {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die bezüglich einer Basis durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Gramsche Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|0|b|b|c}} |SZ= }} beschrieben werde. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Typ| |Kontext=Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form in Abhängigkeit von {{mathl|term= b,c|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lbqefpszjs37anbwd3tkqgut4768j63 0 98636 784286 757920 2022-08-22T05:50:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einem vierdimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien zwei Beobachter {{ mathkor|term1= B |und|term2= C |SZ= }} mit den zugehörigen Raumkomponenten {{ mathkor|term1= V_B |und|term2= V_C |SZ= }} gegeben. Was kann man über {{mathl|term= V_B \cap V_C|SZ=}} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nhtqp67ddzhor7s5qmut0zj6btarhru 0 98644 778927 763124 2022-08-21T15:08:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Nehmen wir an, wir möchten die Aussage beweisen, dass in einem jeden {{ Definitionslink |Prämath= |Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das neutrale Element eindeutig bestimmt ist. Wir formalisieren diese Aussage als {{ math/disp|term= {{logprop2|}} \rightarrow \forall x {{logprop|}} |SZ=, }} wobei {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=}} die Konjunktion der zwei Monoidaxiome {{ Zusatz/Klammer |text=also Assoziativität und Existenz des neutralen Elementes| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{logprop|}} | {{defeq}} |\forall z (xz {{=|}} z) \rightarrow x {{=|}} e || || || |SZ= }} ist. In {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} ist {{math|term= x|SZ=}} nicht gebunden, in {{mathl|term= \forall x {{logprop|}} |SZ=}} schon. In einem mathematischen Beweis wird man sich dann ein {{Anführung|festes, aber beliebiges|}} Monoid {{math|term= M|SZ=}} {{Anführung|denken|SZ=,}} und darin ein {{Anführung|festes, aber beliebiges|}} {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|M || || || |SZ=. }} Für dieses {{math|term= x|SZ=}} beweist man dann die Aussage, dass wenn {{ Ma:Vergleichskette |xz ||z || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |z |\in|M || || || |SZ= }} gilt, dass dann {{ Ma:Vergleichskette |x ||e || || || |SZ= }} sein muss. Im Beweis selbst wird nicht über {{math|term= x|SZ=}} quantifiziert, dies steckt gewissermaßen in der gewählten Beliebigkeit drin. Man beweist also eher{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Diese Unschärfe in der Begrifflichkeit ist kaum zu vermeiden, da eine formale Interpretation oder Rekonstruktion dessen, was in der mathematischen Praxis passiert, nie ganz eindeutig ist| |ISZ=.|ESZ= }} die Aussage {{ math/disp|term= {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop|}} |SZ=, }} und betrachtet dies als einen Beweis für die oben notierte Version. Da {{math|term= x|SZ=}} in {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=}} gar nicht oder allenfalls gebunden vorkommt, ist die Ableitbarkeit beider Versionen auch prädikatenlogisch gleichwertig. Insofern spiegelt sich in der Alleinführung im Sukzedens eine wichtiger Aspekt der mathematischen Praxis. |Textart=Beispiel |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der Monoide |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kluzzx8xqhu9ee91y1p86c4xeypb3sy 0 98646 785472 758736 2022-08-22T08:45:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= {{logprop|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}} |Ausdruck| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= x|SZ=}} eine Variable. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \vdash {{logprop|}}|SZ=}} genau dann gilt, wenn {{mathl|term= \vdash \forall x {{logprop|}}|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oy961e3zlhlmwwqizjvjqt497x06yhm 0 98663 786200 759346 2022-08-22T10:46:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= B |und|term2= C |SZ= }} Beobachter mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Vierergeschwindigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |v_B || {{op:Spaltenvektor|2|0|0|\sqrt{5} }} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |v_C || {{op:Spaltenvektor|0|0|-1|\sqrt{2} }} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} den Geschwindigkeitsvektor von {{math|term= C|SZ=}} relativ zu {{math|term= B|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} den Geschwindigkeitsvektor von {{math|term= B|SZ=}} relativ zu {{math|term= C|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56nnm223oqeqhiow2b13x98eg1g7k7f 0 98664 786201 759347 2022-08-22T10:46:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= B |und|term2= C |SZ= }} Beobachter mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Vierergeschwindigkeiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |v_B || {{op:Spaltenvektor|3|-2|5| \sqrt{39} }} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |v_C || {{op:Spaltenvektor|1|1|1| 2 }} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} den Geschwindigkeitsvektor von {{math|term= C|SZ=}} relativ zu {{math|term= B|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} den Geschwindigkeitsvektor von {{math|term= B|SZ=}} relativ zu {{math|term= C|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4uf3mh4gbq93t57borjjp1wqeywleq0 0 98665 786198 759344 2022-08-22T10:46:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters {{math|term= B|SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} relativ zu sich selbst und die Relativgeschwindigkeit. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 19wwr87pulbv24zclxzhekcabp9joy3 0 98666 786199 759345 2022-08-22T10:46:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Relativgeschwindigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von zwei Beobachtern in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} liegt. Kann {{math|term= 1|SZ=}} erreicht werden? Was ist die physikalische Signifikanz dieser Aussage? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 76sm5q70y3t02bqcdqhgh49grkmae10 0 98672 779496 763588 2022-08-21T16:37:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einem vierdimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= |Standard-Minkowski-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} soll etwas vom Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P || {{op:Spaltenvektor|p_1|p_2|p_3|r}} || || || |SZ= }} zum Punkt {{ Ma:Vergleichskette |Q || {{op:Spaltenvektor|q_1|q_2|q_3|s}} || || || |SZ= }} gleichmäßig bewegt werden. Im klassischen Ansatz ist einfach der Verbindungsvektor {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Spaltenvektor|y_1|y_2|y_3|t}} | {{defeq|}} | {{op:Spaltenvektor|q_1|q_2|q_3|s}} - {{op:Spaltenvektor|p_1|p_2|p_3|r}} || || || |SZ= }} zu wählen. Dieser ist aber im Allgemeinen kein Beobachtervektor und der anvisierte Bewegungsvorgang ist dann nicht realisierbar. Wenn {{mathl|term= y_1^2+y_2^2+y_3^2- t^2 |SZ=}} negativ ist, was inhaltlich bedeutet, dass ein zeitartiger Vektor vorliegt, so kann man den Vektor aber zu einem Beobachtervektor {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|z_1|z_2|z_3|u}} || {{op:Bruch|1| \sqrt{ - {{op:Bilinearform| {{op:Spaltenvektor|y_1|y_2|y_3|t}}| {{op:Spaltenvektor|y_1|y_2|y_3|t}} }} } }} {{op:Spaltenvektor|y_1|y_2|y_3|t}} || || || |SZ= }} umskalieren. Es beschreibt dann {{ math/disp|term= x \longmapsto {{op:Spaltenvektor|p_1|p_2|p_3|r}} + x {{op:Spaltenvektor|z_1|z_2|z_3|u}} |SZ= }} ein Bewegungsvorgang, der für {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ= }} im Punkt {{math|term= P|SZ=}} startet und für {{ Ma:Vergleichskette |x ||\sqrt{ - {{op:Bilinearform| {{op:Spaltenvektor|y_1|y_2|y_3|t}}| {{op:Spaltenvektor|y_1|y_2|y_3|t}} }} } || || || |SZ= }} im Punkt {{math|term= Q|SZ=}} endet und der physikalisch durchführbar ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f3tke2su9zrpu28z7gfs9ju2vbgld4n 0 98676 782141 756016 2022-08-21T23:52:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} allein aus {{ Axiomlink |Präwort=der|Existenzeinführung im Sukzedens|Axiomseitenname= Prädikatenlogik/Existenzeinführung im Sukzedens/Axiom |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und aussagenlogischen Gesetzen die {{Stichwort|All{{latextrenn}}einführung im Antezedens|SZ=,}} also dass für eine Variable {{math|term= x|SZ=,}} einen Term {{math|term= t|SZ=}} und einen Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} {{ math/disp|term= \vdash \forall x \neg {{logprop|}} \rightarrow \neg {{logprop|}} {{op:Bruch|t|x}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Tautologie| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} czwj3r8o2txebu7grss508z0uf0q9js 0 98696 785203 758547 2022-08-22T08:02:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_d]|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \partial_1^m (X_1 \partial^\nu) || m \partial_1^{m-1} \partial^\mu + X_1 \partial_1^m \partial^\mu || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} flc7do42o7vmrhwmyrw856a2lryp2se 0 98716 784282 757913 2022-08-22T05:49:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^2|SZ=}} sei mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Standard-Minkowski-Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |Beobachtervektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Spaltenvektor|a|b}} |SZ=}} die Raumkomponente des Beobachters die Spiegelung seiner Zeitkomponente an der Hauptdiagonalen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ct22uw2j0qaaf74gz3zke92xxfutk48 0 98739 783416 757097 2022-08-22T03:25:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein endlichdimensionaler {{ Definitionslink |Prämath= |komplexer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und einer {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierte Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} |SZ=}} mit dem adjungierten Endomorphismus zu {{math|term= \varphi|SZ=,}} aufgefasst als reell-lineare Abbildung, bezüglich des zugehörigen reellen Skalarproduktes übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ak9wk9nehujw6ujul3n03sqquv64n1p 0 98742 786363 759438 2022-08-22T11:13:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^2| \R^2 || |SZ= }} werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|-3|7|4|5}} |SZ=}} beschrieben. Auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Psi|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette |\Psi(e_1,e_1) ||4 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |\Psi(e_2,e_2) ||5 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\Psi(e_1,e_2) ||3 || || || |SZ= }} gegeben. Bestimme{{n Sie}} die Matrix des {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierten Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|3|-5}}, {{op:Spaltenvektor|1|4}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rd1lmdtwudi341ru1f10g2s6roud57y 0 98743 786364 759439 2022-08-22T11:13:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^2| \R^2 || |SZ= }} werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|-6|-3|4|5}} |SZ=}} beschrieben. Auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Psi|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette |\Psi(e_1,e_1) ||3 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |\Psi(e_2,e_2) ||7 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\Psi(e_1,e_2) ||2 || || || |SZ= }} gegeben. Bestimme{{n Sie}} die Matrix des {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierten Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|4|-3}}, {{op:Spaltenvektor|-2|-7}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qb1pde25nybf1637jsq1egbwg1bbn3o 0 98749 783830 757457 2022-08-22T04:34:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} das durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|v_i|v_j}} || \begin{cases} 1, \text{ falls } i {{=}} j, \\ 0 \, \text{ sonst}, \end{cases} || || || |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=.}} Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichne {{mathl|term= \Psi_\varphi|SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=über {{mathlk|term={{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Sesquilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Gramsche Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Psi_\varphi|SZ=}} bezüglich der Basis mit der {{ Definitionslink |Prämath= |beschreibenden Matrix| |Kontext=lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich der Basis übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Sesquilinearformen |Kategorie2=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rnvfioooab4d06jzpajtsjrue75ru5g 0 98753 782140 552328 2022-08-21T23:52:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in der Prädikatenlogik die {{Stichwort|All{{latextrenn}}einführung im Antezedens|SZ=}} ableitbar ist, also dass für eine Variable {{math|term= x|SZ=,}} einen Term {{math|term= t|SZ=}} und einen Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} {{ math/disp|term= \vdash \forall x {{logprop|}} \rightarrow {{logprop|}} {{op:Bruch|t|x}} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5utw70dysuydu9g9zmi14ivhtoz72cb 0 98755 785507 758764 2022-08-22T08:50:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kalkül der Prädikatenlogik sei {{mathl|term= \vdash {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ableitbar| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{ math/disp|term= \vdash \exists x {{logprop|}} \rightarrow \exists x {{logprop2|}} |SZ= }} ableitbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1uot50tu3kyseiwmfzhozevjr76t3l6 0 98812 783373 757063 2022-08-22T03:17:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine komplexe Zahl {{mathl|term= z \in {{CC}}|SZ=}} definiert einen {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\mu_z |x| zx || |SZ=. }} Skizziere{{n Sie}} in der Ebene {{math|term= {{CC}}|SZ=}} diejenigen komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass {{math|term= \mu_z|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |selbstadjungiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} eine selbstadjungierte Isometrie bzw. {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9e2hn38g3af5ulo4he6zjumbp92bwxy 0 98815 786465 759526 2022-08-22T11:29:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wann ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Scherung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Matrix22|1|a|0|1}} |SZ=}} auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normaler Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jiraelwqgsfrt1r2aw634bhjmbo5f7y 0 98816 782087 755976 2022-08-21T23:43:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ= }} werde bezüglich der Basis {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|7|-2}}, {{op:Spaltenvektor|-4|3}} |SZ=}} durch die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|3|0|0|5}} |SZ=}} beschrieben. Handelt es sich um einen {{ Definitionslink |Prämath= |normalen Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pxwx3kofpl4nm31865dmrtmzwu3c0at 0 98817 782088 755977 2022-08-21T23:43:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ= }} werde bezüglich der Basis {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|6|-5}}, {{op:Spaltenvektor|-5|2}} |SZ=}} durch die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|7|0|0|7}} |SZ=}} beschrieben. Handelt es sich um einen {{ Definitionslink |Prämath= |normalen Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pnum3znq10w3zyjy4rretymtjhbbvl6 0 98818 782089 755978 2022-08-21T23:43:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ= }} werde bezüglich der Basis {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|7|-2}}, {{op:Spaltenvektor|4|14}} |SZ=}} durch die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|5|0|0|6}} |SZ=}} beschrieben. Handelt es sich um einen {{ Definitionslink |Prämath= |normalen Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rnju04ewksbzhyg3viyn3561aw4648i 0 98819 782090 755979 2022-08-21T23:43:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^2|\R^2 || |SZ= }} werde bezüglich der Basis {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|-5|4}}, {{op:Spaltenvektor|6|-7}} |SZ=}} durch die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|3|0|0|-2}} |SZ=}} beschrieben. Handelt es sich um einen {{ Definitionslink |Prämath= |normalen Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1vsmm3ffgvg0qi9898mq4flfup7mu7t 0 98824 780535 754704 2022-08-21T19:24:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ist eine Achsenspiegelung im {{math|term= \R^2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |selbstadjungiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der selbstadjungierten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qdausorapfyliar9awqabvkytt25zi5 0 98827 786518 759551 2022-08-22T11:38:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein endlichdimensionaler {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem fixierten {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} Wir nennen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Sesquilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Psi|SZ=}} auf {{math|term= V|SZ=}} {{Stichwort|orthogonalisierbar|msw=Orthogonalisierbare Sesquilinearform|SZ=,}} wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich des Skalarproduktes| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Psi (u_i,u_j) || 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |i |\neq|j || || || |SZ= }} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass bei der Korrespondenz {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:End|V|}} | {{op:Sesqui|V|}} | \varphi| \Psi_\varphi |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |normalen Endomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der Sesquilinearformen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} azkfsf31tf5rb8m3vj0iu0tobhykq1p 0 98830 784671 758173 2022-08-22T06:43:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= X^2+(3-2 {{Imaginäre Einheit||}})X- 6{{Imaginäre Einheit||}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |normalen Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |{{CC}}^2|{{CC}}^2 || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} das charakteristische Polynom des {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierten Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8q9czxyxs03ocdxbbtemmcpod9wlmp8 0 98832 781246 553549 2022-08-21T21:23:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |NachfolgermitSchleife|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |N_1 ||(\N, 0, \prime) || || || |SZ= }} und es sei {{math|term= N_2|SZ=}} die rechts angegebene Menge mit dem Startsymbol oben links und der durch die Pfeile ausgedrückten Nachfolgerabbildung. An welcher Stelle bricht der Beweis von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutige Isomorphie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in dieser Situation zusammen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie der Zählsysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lhjw0i4ipgdbxu4jmtg5dxvvxiwzjrr 0 98838 778471 752026 2022-08-21T12:07:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Bezüglich einer {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalbasis| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hermitesche Form/Orthogonalbasis/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt | |ISZ=|ESZ= }} hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt, wobei die Diagonaleinträge reell sind. Es sei {{math|term= p'|SZ=}} die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und {{math|term= q'|SZ=}} die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten {{math|term= p'|SZ=}} Diagonaleinträge positiv, die folgenden {{math|term= q'|SZ=}} Diagonaleinträge negativ und die übrigen {{math|term= 0|SZ=}} seien. Auf dem {{math|term= p'|SZ=-}}dimensionalen Unterraum {{ Ma:Vergleichskette |U || {{op:Span|u_1 {{kommadots|}} u_{p'}|}} || || || |SZ= }} ist die eingeschränkte Sesquilinearform {{ Definitionslink |positiv definit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so dass {{ Ma:Vergleichskette |p' |\leq|p || || || |SZ= }} gilt. |Abschluss= }} Sei {{ Ma:Vergleichskette |W || {{op:Span|u_{p'+1} {{kommadots|}} u_{n}|}} || || || |SZ=, }} auf diesem Unterraum ist die Sesquilinearform {{ Definitionslink |negativ semidefinit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette |V ||U \oplus W || || || |SZ=, }} und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander. {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Angenommen, es gebe einen Unterraum {{math|term= U'|SZ=,}} auf dem die Sesquilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension {{math|term= p|SZ=}} größer als {{math|term= p'|SZ=}} ist. |Argumentation= Die Dimension von {{math|term= W|SZ=}} ist {{mathl|term= n-p'|SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette |W \cap U' |\neq |0 || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Untervektorraum/Durchschnitt/Dimensionsabschätzung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Für einen Vektor {{ mathbed|term= w \in W \cap U' ||bedterm1= w \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ergibt sich aber direkt der |Widerspruch= Widerspruch {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bilinearform|w|w}} |>|0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bilinearform|w|w}} |\leq|0 || || || |SZ=. }} |Zusammenfassung= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9s5h7t7p02lv7z02ehm0z194hjnjvv3 0 98840 778470 752024 2022-08-21T12:07:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht {{math|term= 0|SZ=}} ist, ist nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Sesquilinearform/Hermitesch/Nicht ausgeartet/Gramsche Determinante/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Bilinearform {{ Definitionslink |Prämath= |nicht ausgeartet| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und daher hat der Typ die Form {{mathl|term= (n-q,q)|SZ=.}} Wir müssen zeigen, dass {{ Ma:Vergleichskette |q ||a || || || |SZ= }} ist. {{ Induktionsbeweis |Strategie= Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von {{math|term= V|SZ=,}} |Anfang= wobei der Induktionsanfang trivial ist. |Schluss= Die Aussage sei bis zur Dimension {{mathl|term= n-1|SZ=}} bewiesen und es liege ein {{math|term= n|SZ=-}}dimensionaler Raum mit einer Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{op:Span|v_1 {{kommadots|}} v_{n-1}|}} || || || |SZ= }} hat die Dimension {{mathl|term= n-1|SZ=}} und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der {{ Definitionslink |Gramschen Matrix| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur eingeschränkten Form {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} {{|}}_U |SZ=}} stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied {{ Ma:Vergleichskette/disp | D_n || {{op:Determinante|M_n|}} || {{op:Determinante|G|}} || || |SZ= }} weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} {{|}}_U |SZ=}} den Typ {{mathl|term= (n-1-b,b) |SZ=,}} wobei {{math|term= b|SZ=}} die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge {{ math/disp|term= D_0=1,\, D_1 {{kommadots|}} D_{n-1} |SZ= }} ist. Aufgrund der Definition des {{ Definitionslink |Typs| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |b |\leq|q |\leq|b+1 || || |SZ=, }} da ein {{math|term= q|SZ=-}}dimensionaler Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette |W |\subseteq|V || || || |SZ=, }} auf dem die Bilinearform {{ Definitionslink |negativ definit| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, zu einem Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette/disp |W' ||U \cap W | \subseteq | U || || |SZ= }} führt, der die Dimension {{ mathkor|term1= q |oder|term2= q-1 |SZ= }} besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Sesquilinearform/Hermitesch/Nicht ausgeartet/Vorzeichen der Determinante und Vorzeichenwechsel/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist das Vorzeichen von {{mathl|term= D_{n-1}|SZ=}} gleich {{mathl|term= (-1)^b|SZ=}} und das Vorzeichen von {{mathl|term= D_n|SZ=}} gleich {{mathl|term= (-1)^q|SZ=.}} Das bedeutet, dass zwischen {{ mathkor|term1= D_{n-1} |und|term2= D_n |SZ= }} ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel {{ Zusatz/Klammer |text=und somit {{ Ma:Vergleichskette |a ||b+1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} genau dann vorliegt, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |q ||b+1 || || || |SZ= }} ist. |Zusammenfassung= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} az37urx2d4lqcufqauqr9j441ymnaef 0 98846 786516 748931 2022-08-22T11:38:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}{{ Definitionslink |dimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |hermitesche Sesquilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Die Form ist {{ Definitionslink |nicht ausgeartet| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form bezüglich einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Form ist vom {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (p,n-p)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit einem {{mathl|term= p \in {{menge1n|}} |SZ=.}} | |ISZ=|ESZ= }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der hermiteschen Formen |Kategorie2=Determinantentheorie (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Determinante |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8t2quvwu0m26io816qcjqmn899amkiy 0 98847 786517 759549 2022-08-22T11:38:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |nicht-ausgeartete| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |hermitesche Sesquilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (n-q,q)|SZ=}} auf einem {{math|term= n|SZ=-}}{{ Definitionslink |dimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{math|term= G|SZ=}} die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} bezüglich dieser Basis. Zeige{{n Sie}}, dass das Vorzeichen von {{mathl|term= {{op:Determinante|G|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= (-1)^q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der hermiteschen Formen |Kategorie2=Determinantentheorie (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Determinante |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qpj961t46i7r1tj4lnimpxbhviwzhx3 0 98853 782761 756535 2022-08-22T01:35:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Psi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |hermitesche Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Gramschen Matrix| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich einer Basis| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} reell ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der hermiteschen Formen |Kategorie2=Determinantentheorie (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mj63qvfyuj4m3rv9yukiwftsgqigylp 0 98854 782760 756534 2022-08-22T01:35:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Psi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |hermitesche Form| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Gramschen Matrix| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich einer Basis| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} reelle Koeffizienten besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der hermiteschen Formen |Kategorie2=Das charakteristische Polynom |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 31517zb5vo6lz9ehig5c0921tgkw6mc 0 98862 783253 756956 2022-08-22T02:57:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der die {{ Definitionslink |Prämath= |Kürzungsregel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt. Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primelement| |Kontext=Halbring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} stets {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Halbring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9i358gisu3281x6bxa6aygzauk3ipfz 0 98865 784505 758075 2022-08-22T06:20:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für {{math|term= \N|SZ=}} die Konzepte {{ Definitionslink |Prämath= |Primelement| |Kontext=Halbring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Halbring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zusammenfallen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxxc42eyavtce6qw2skfkx4qmbbixh8 0 98875 784894 758338 2022-08-22T07:15:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || \Q_{\geq 0} || || || |SZ= }} die Menge der nichtnegativen rationalen Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber kein {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qwqtmf464pps3tqf89tygatio2z5vu7 0 98881 779743 737373 2022-08-21T17:16:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Form| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Bruch|3|2}} x^2+2y^2+2xy-2yz |SZ=. }} Die zugehörige symmetrische Matrix ist {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|{{op:Bruch|3|2}} |1|0|1|2|-1|0|-1|0|}} |SZ=. }} Wir möchten eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^3|SZ=}} finden, bezüglich der die Form Diagonalgestalt besitzt. Dazu müssen wir die Eigenwerte {{ Zusatz/Klammer |text=Hauptwerte| |ISZ=|ESZ= }} der Matrix bestimmen. Das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Determinante|{{op:Matrix33|X-{{op:Bruch|3|2}} |-1|0|-1|X-2|1|0|1|X|}} |}} || {{makl| X-{{op:Bruch|3|2}} |}} {{makl| X^2-2X-1 |}} -X || X^3 - {{op:Bruch|7|2}} X^2+X+ {{op:Bruch|3|2}} || (X-1) {{makl| X^2 -{{op:Bruch|5|2}}X- {{op:Bruch|3|2}} |}} ||(X-1) (X-3) {{makl| X + {{op:Bruch|1|2}} |}} |SZ=, }} die Eigenwerte sind also {{ math/disp|term= 1,3, - {{op:Bruch|1|2}} |SZ=. }} Die zugehörigen Hauptgeraden berechnen sich folgendermaßen. Zu {{ Ma:Vergleichskette |x ||1 || || || |SZ= }} ist der Kern der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|- {{op:Bruch|1|2}} |-1|0|-1|-1|1|0|1|1|}} |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|2|-1|1}} |SZ=,}} ein normierter Erzeuger ist {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|2|\sqrt{6} }}| -{{op:Bruch|1|\sqrt{6} }} | {{op:Bruch|1|\sqrt{6} }} |}} |SZ=. }} Zu {{ Ma:Vergleichskette |x ||3 || || || |SZ= }} ist der Kern der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33| {{op:Bruch|3|2}} |-1|0|-1|1|1|0|1|3|}} |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|2|3|-1}} |SZ=,}} ein normierter Erzeuger ist {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|2|\sqrt{14} }}| {{op:Bruch|3|\sqrt{14} }} | - {{op:Bruch|1|\sqrt{14} }} |}} |SZ=. }} Zu {{ Ma:Vergleichskette |x || - {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} ist der Kern der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|- 2 |-1|0|-1|- {{op:Bruch|5|2}} |1|0|1| - {{op:Bruch|1|2}} |}} |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|- {{op:Bruch|1|2}} |1|2}} |SZ=,}} ein normierter Erzeuger ist {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch|1|4 \sqrt{21} }}| {{op:Bruch|1|2 \sqrt{21} }} | {{op:Bruch|1|\sqrt{21} }} |}} |SZ=. }} Wir bezeichnen diese Eigenvektoren mit {{mathl|term= u_1,u_2,u_3 |SZ=,}} sie bilden eine Orthonormalbasis. In den neuen Koordinaten {{mathl|term= y_1,y_2,y_3 |SZ=}} bezüglich der neuen Orthonormalbasis schreibt sich die quadratische Form als {{ math/disp|term= y_1^2 +3 y_2^2 - {{op:Bruch|1|2}} y_3^2 |SZ=. }} Dies weiß man allein aufgrund der Eigenwerte, dazu muss man die Eigenvektoren nicht ausrechnen. Zwischen den beiden Basen besteht die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|u_1|u_2|u_3}} || {{op:Matrix33| {{op:Bruch|2|\sqrt{6} }}| -{{op:Bruch|1|\sqrt{6} }} | {{op:Bruch|1|\sqrt{6} }} | {{op:Bruch|2|\sqrt{14} }}| {{op:Bruch|3|\sqrt{14} }} | - {{op:Bruch|1|\sqrt{14} }} | - {{op:Bruch|1|4 \sqrt{21} }}| {{op:Bruch|1|2 \sqrt{21} }} | {{op:Bruch|1|\sqrt{21} }}|}} {{op:Spaltenvektor|e_1|e_2|e_3}} || || || |SZ= }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Dualbasis/Basiswechsel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt sich für die Koordinaten {{ Zusatz/Klammer |text=die Dualbasen| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= x_1,x_2,x_3|SZ=}} bezüglich der Standardbasis {{ Zusatz/Klammer |text=die eingangs mit {{mathlk|term=x,y,z|SZ=}} bezeichnet worden waren| |ISZ=|ESZ= }} und den Koordinaten {{mathl|term= y_1,y_2,y_3|SZ=}} bezüglich der neuen Orthogonalbasis der Zusammenhang{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Das kann man sich so merken: Das Koordinatentupel {{mathl|term= (1,0,0)|SZ=}} bezüglich der neuen Koordinaten ergibt den ersten Vektor der neuen Basis bezüglich der alten Koordinanten, deshalb muss in der ersten Spalte {{math|term= u_1|SZ=}} stehen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|x_1|x_2|x_3}} || {{op:Matrix33| {{op:Bruch|2|\sqrt{6} }}| {{op:Bruch|2|\sqrt{14} }} | - {{op:Bruch|1|4 \sqrt{21} }} | -{{op:Bruch|1|\sqrt{6} }} | {{op:Bruch|3|\sqrt{14} }} | {{op:Bruch|1|2 \sqrt{21} }}| {{op:Bruch|1|\sqrt{6} }} |- {{op:Bruch|1|\sqrt{14} }} | {{op:Bruch|1|\sqrt{21} }}|}} {{op:Spaltenvektor|y_1|y_2|y_3}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|2|\sqrt{6} }}y_1 + {{op:Bruch|2|\sqrt{14} }} y_2 - {{op:Bruch|1|4 \sqrt{21} }} y_3 | -{{op:Bruch|1|\sqrt{6} }} y_1 +{{op:Bruch|3|\sqrt{14} }} y_2 + {{op:Bruch|1|2 \sqrt{21} }} y_3 | {{op:Bruch|1|\sqrt{6} }} y_1 - {{op:Bruch|1|\sqrt{14} }} y_2 + {{op:Bruch|1|\sqrt{21} }} y_3 }} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen (R) |Kategorie2=Theorie der Quadriken in drei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ovde1w5xij6durjuamju57wivnp6alr 0 98892 781791 553897 2022-08-21T22:54:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= Q_1,Q_2\in \R^2|SZ=}} zwei Punkte, {{ Ma:Vergleichskette |c |>|0 || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{Mengebed|P\in \R^2|d(P,Q_1)+d(P,Q_2) {{=}} c }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= E|SZ=}} die Nullstellenmenge einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen ist. Wie sieht die Standardgestalt aus? Was sind die Hauptachsen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34blzlti6uxhdqkj80znr1w6jojefib 0 98899 784883 758324 2022-08-22T07:13:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette |d |\geq|1 || || || |SZ= }} die {{ Faktlink |Präwort=|Division mit Rest|Faktseitenname= Peano-Halbring/Division mit Rest/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eindeutig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7see2zo0hx63v5kdl5fyns37vu7hl6p 0 98904 783257 756960 2022-08-22T02:58:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||\{0\} \cup \Q_{\geq 1} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung6 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= M|SZ=}} die Relationen {{ math/disp|term= a \text{ teilt } b \text{ oder } a {{=}} 0 |SZ= }} und {{ math/disp|term= a \leq b \text{ oder } b {{=}} 0 |SZ= }} zueinander äquivalent sind. |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Bruch|6|5}} |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Halbring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= M|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= M|SZ=}} keine irreduziblen Elemente gibt. |Es sei {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} die Aussage {{ math/disp|term= x {{=|}} 0 {{logoder}} \exists y (x {{=}} y+ 1) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= M|SZ=}} die Aussage {{ math/disp|term= {{logprop|}} {{op:Bruch|0|x}} {{logund|}} {{makl| {{logprop|}} \rightarrow {{logprop}} {{op:Bruch|x+1|x}} |}} |SZ= }} wahr ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} kein {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |p1=2 |p2=3 |p3=1 |p4=2 |p5=2 |p6=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mewd4gldmecrmxu4ms9fb9trwlobmki 0 98906 784881 553979 2022-08-22T07:13:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq|\Z[V] || || || |SZ= }} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Division mit Rest/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} jedes Element {{mathl|term= \neq 0|SZ=}} einen eindeutig bestimmten Vorgänger besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dcnz37tujb5dwoplhjco3v1vzyrzjbw 0 98915 784880 758321 2022-08-22T07:13:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq|\Z[V] || || || |SZ= }} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Division mit Rest/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq|y || || || |SZ=, }} falls es ein {{mathl|term= z \in M|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |x ||y+z || || || |SZ= }} gibt, eine {{ Definitionslink |Prämath= |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eazlfjfs3dyg1rf0rz9lysnnpb3idlp 0 98916 779578 692225 2022-08-21T16:51:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |M |\subseteq| \Z[V] || || || |SZ= }} des Polynomrings in der Variablen {{math|term= V|SZ=}} über {{math|term= \Z|SZ=,}} die aus dem Nullpolynom und allen Polynomen {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|\Z[V] || || || |SZ= }} besteht, deren Leitkoeffizient zu {{math|term= \N_+|SZ=}} gehört. Die Menge {{math|term= M|SZ=}} umfasst die natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=als Polynome vom Grad {{math|term= 0|SZ=}} mit nichtnegativem Leitkoeffizient| |ISZ=|ESZ= }} und sie ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Es gelten die erststufigen {{ Axiomlink |Präwort=|Peano-Axiome|Axiomseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} (1)-(6), wie man direkt sieht. Auch gilt die Vorgängereigenschaft, d.h. jedes von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene Element besitzt einen eindeutigen Vorgänger {{ Zusatz/Klammer |text=dies ist der Grund, warum wir abgesehen für den Leitkoeffizienten auch negative Koeffizienten zulassen| |ISZ=|ESZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Beispiel/Vorgängereigenschaft/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dagegen gilt das erststufige Induktionsschema nicht, und die natürlichen Zahlen lassen sich als Teilmenge von {{math|term= M|SZ=}} erststufig charakterisieren. Zur Vereinfachung der folgenden Formulierung definieren wir die {{math|term= \leq|SZ=-}}Relation durch {{ math/disp|term= x \geq y \text{ genau dann, wenn } \exists z (x=y+z) |SZ=, }} dies ist eine totale Ordnung nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Beispiel/Totale Ordnung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Damit setzen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{logprop|}} (x) || \forall m \forall d ( (m \leq x {{logund|}} d \leq x {{logund}} d \geq 1 ) \rightarrow \exists q \exists r (m {{=}} qd+r {{logund}} r < d )) || || || |SZ=. }} Dies ist ein Ausdruck mit der einzigen freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} der inhaltlich besagt, dass die Division mit Rest gilt, wenn die beteiligten Eingangsdaten {{ mathkor|term1= m |und|term2= d |SZ= }} unterhalb von {{math|term= x|SZ=}} liegen. Dieser Ausdruck gilt innerhalb der natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=also für {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|\N || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Dagegen gilt sie in {{math|term= M|SZ=}} nicht, und zwar gilt sie dort nur für die natürlichen Zahlen. Für ein Polynom {{math|term= x|SZ=}} aus {{math|term= M|SZ=}} vom Grad {{math|term= \geq 1|SZ=}} kann man nämlich {{ Ma:Vergleichskette |m ||x || a_sV^s {{plusdots}} a_1V + a_0 || || |SZ= }} und für {{math|term= d|SZ=}} eine Primzahl {{ Zusatz/Klammer |text=aus {{math|term= \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} nehmen, die den Leitkoeffizienten {{math|term= a_s|SZ=}} von {{math|term= m|SZ=}} nicht teilt. Die Differenz zwischen {{math|term= x|SZ=}} und einem jeden Vielfachen von {{math|term= d|SZ=}} ist ein nichtkonstantes Polynom, daher gilt die Division mit Rest dafür nicht. Wir betrachten nun die Induktionsversion dieser Aussage, also {{ math/disp|term= {{logprop|}} \frac{0}{x} {{logund}} \forall x {{makl| {{logprop|}} \rightarrow {{logprop|}} \frac{x+1}{x} |}} \rightarrow \forall x {{logprop|}} |SZ=. }} Der Vordersatz gilt in {{math|term= M|SZ=,}} da die beschriebene Eigenschaft genau für die natürlichen Zahlen und für alle anderen Elemente nicht gilt, und daher genau dann gilt, wenn sie auch für den Nachfolger gilt {{ Zusatz/Klammer |text=die echten Polynome sind nicht als Nachfolger von natürlichen Zahlen erreichbar| |ISZ=|ESZ=. }} Da der Nachsatz nicht gilt, ergibt sich, dass die Gesamtaussage nicht gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h8wryk0txda1tzknlgmfa9f9cuprud1 0 98919 783252 756953 2022-08-22T02:57:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= x,y \in M|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |I | {{defeq|}} | {{Mengebed|u \in M|\exists a \exists b \exists c \exists d \text{ mit } u+ ax+by{{=}} cx+dy}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= I|SZ=}} die folgenden drei Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= 0 \in I|SZ=.}} |Wenn {{mathl|term= u,v \in I|SZ=}} sind, so ist auch {{mathl|term= u+v \in I|SZ=.}} |Wenn {{mathl|term= u \in I|SZ=}} und {{mathl|term= r \in M|SZ=}} ist, so ist auch {{mathl|term= ru \in I|SZ=.}} }} |{{math|term= M|SZ=}} erfülle nun die Abziehregel. Zeige{{n Sie}}, dass aus {{mathl|term= u,v \in I|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |u ||v+z || || || |SZ= }} auch {{mathl|term= z \in I|SZ=}} folgt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fi3rjun0i2inotoyo5e08ndz0to2zvy 0 98921 784884 758325 2022-08-22T07:14:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= x,y \in M|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |I | {{defeq|}} | {{Mengebed|u \in M|\exists a \exists b \exists c \exists d \text{ mit } u+ ax+by{{=}} cx+dy}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein eindeutig bestimmtes {{math|term= v \in M|SZ=}} derart gibt, dass {{math|term= I|SZ=}} aus sämtlichen Vielfachen von {{math|term= v|SZ=}} besteht. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= v|SZ=}} der größte gemeinsame Teiler von {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h5sebgyaxo5hyd2abt82beslaejghth 0 98937 782991 756748 2022-08-22T02:14:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c,d|SZ=}} reelle Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette |ad-bc ||1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:GLG|2|\R}} | {{op:GLG|2|\R}} | {{op:Matrix22|x|y|z|w}} | {{op:Matrix22|ad x -acy +bd z -bcw |- ab x+ a^2 y- b^2 z+ab w|cdx-c^2y+d^2 z-cdw |-bc x+acy -bd z+ ad w }} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |innerer Automorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rsva75py7eonls5gz6m6eym8m7a4a17 0 98939 783546 757208 2022-08-22T03:46:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|3-5 {{Imaginäre Einheit||}} |4+8{{Imaginäre Einheit||}}|-{{Imaginäre Einheit||}}}} \times {{op:Spaltenvektor|-2|-6-7{{Imaginäre Einheit||}}|3-4{{Imaginäre Einheit||}} }} |SZ= }} im {{math|term= {{CC}}^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sl062qym3pl4hu8fa0zoz8od7axoruo 0 98941 781141 554643 2022-08-21T21:05:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bei einem Zwei-Personen-Regel-Spiel {{ Zusatz/Klammer |text=wie Schach| |ISZ=|ESZ= }} spielen zwei Personen {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= A|SZ=}} und {{math|term= B|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} nach gewissen Regeln gegeneinander. Die Personen ziehen abwechselnd. Es ist klar, was eine Mattgewinnstellung für {{math|term= A|SZ=}} ist, da ist {{math|term= A|SZ=}} am Zug und kann {{math|term= B|SZ=}} schlagen und das Spiel ist beendet. Definiere{{n Sie}} rekursiv, was innerhalb der Menge {{math|term= S|SZ=}} aller Stellungen eine Gewinnstellung für {{math|term= A|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= A|SZ=}} am Zug| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rekursiv definierten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8hw4mszy0olhum669hvjs41weno1utd 0 98956 784920 758363 2022-08-22T07:19:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |S_n| {{op:GLG|n|\R}} |\pi| M_\pi |SZ=, }} die einer {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \pi|SZ=}} auf {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M_\pi|SZ=}} zuordnet, ein {{ Definitionslink |Prämath= |injektiver| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b06emot72x0w2lxoq45on0q9x92frq3 0 98962 783255 756958 2022-08-22T02:58:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine eindeutig bestimmte {{ Zusatz/Klammer |text=kanonische| |ISZ=|ESZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\N|M || |SZ= }} gibt, die sowohl die Addition als auch die Multiplikation respektiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ebpmkx9itbkmq5cqiytyi91alp53kc 0 98963 784889 758331 2022-08-22T07:14:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\N|M || |SZ= }} die kanonische Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7cay48cd347uxe1xnb4hr6wj764ex9s 0 98965 784882 554133 2022-08-22T07:13:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n\in \N_+|SZ=}} und betrachte{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |M || {{op:Zmod|n|}} || || || |SZ= }} mit den natürlichen Operationen. Welche der {{ Axiomlink |Präwort=|Peano-Axiome|Axiomseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gelten, welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2=Theorie der Restklassenringe von Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2go0csng3qujijx77bwaajkspixcyn5 0 98970 785538 554174 2022-08-22T08:56:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Das Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet||}} |SZ=}} bestehe neben Variablen {{mathl|term= x,y,z, \ldots|SZ=}} aus einer Konstanten {{math|term= 0|SZ=}} und einem einstelligen Funktionssymbol {{math|term= f|SZ=.}} Wir betrachten die Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma_i |\subseteq| L^{{Symbolalphabet||}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma_1 || \{ fff0{{=}} 0 \}^\vdash || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma_2 || \{ fff x{{=}} x \}^\vdash || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma_3 || \{ \forall x {{makl| fffx {{=}} x |}} \}^\vdash || || || |SZ=. }} Es seien {{mathl|term= \sim_i|SZ=}} die zugehörigen Äquivalenzrelationen gemäß {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf der Termmenge. {{ Aufzählung4 |Gelten die Äquivalenzen {{ math/disp|term= ffff0 \sim_1 f0,\, ffffff0 \sim_1 fff0,\, fffffffff0 \sim_1 fffffff0,\, ffffx \sim_1 fx |SZ=? }} |Gelten die Äquivalenzen {{ math/disp|term= ffffx \sim_2 fx,\, ffffy \sim_2 fy,\, fffx \sim_2 y,\, ffffy \sim_3 fy |SZ=? }} |Welche Inklusionsbeziehungen bestehen zwischen {{math|term= \Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3|SZ=?}} |Wie viele Termklassen gibt es zu {{mathl|term= \sim_1,\sim_2,\sim_3|SZ=,}} wenn die Variablenmenge nur aus {{math|term= x|SZ=}} besteht? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 788xw4zituphq2w4483mvawhy9zh43f 0 98971 785541 554159 2022-08-22T08:56:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Das Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet||}} |SZ=}} bestehe neben Variablen {{mathl|term= x,y,z, \ldots|SZ=}} aus einer Konstanten {{math|term= 0|SZ=}} und einem zweistelligen Funktionssymbol {{math|term= +|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| L^{{Symbolalphabet||}} || || || |SZ= }} die Menge aller Ableitungen aus dem Axiomensystem {{ math/disp|term= \forall x (x+0 {{=}} x ) ,\, \forall x (0+x {{=}} x ) ,\, \forall x \forall y \forall z ( (x+y)+z) {{=}} x+ (y+z) ) , \, \forall x (x+x {{=}} 0 ) |SZ=. }} Es sei {{math|term= \sim|SZ=}} die zugehörige Äquivalenzrelation gemäß {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |x+y |\sim|y+x || || || |SZ= }} für jedes Variablenpaar {{mathl|term= x,y|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i84vaewh8shdnbj1xi5n074lrp86z7y 0 98973 785540 554162 2022-08-22T08:56:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^{{symbolalphabet}} || || || |SZ= }} eine unter Ableitungen abgeschlossene Teilmenge, die zu je zwei Termen {{mathl|term= s,t|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette |s ||t || || || |SZ= }} enthalte. Wie viele Termklassen im Sinne von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es? Ist {{math|term= \Gamma|SZ=}} widersprüchlich? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0naf4oohd58irzdh74k5u6sl3bvznif 0 98974 785544 758795 2022-08-22T08:57:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} eine Variablenmenge und {{math|term= \simeq |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=}} mit der Quotientenmenge {{ Ma:Vergleichskette |W ||V/\simeq || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet}} |SZ=}} ein erststufiges Symbolalphabet mit {{math|term= V|SZ=}} als Variablenmenge und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma | {{defeq|}} | {{Mengebed| x{{=}} y|x \simeq y }}^\vdash || || || |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= \sim|SZ=}} die zugehörige Äquivalenzrelation auf der Termmenge gemäß {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Termklassenmenge zu {{math|term= \Gamma|SZ=}} in kanonischer Weise mit der Termmenge zum Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet}}' |SZ=}} in Bijektion steht, wobei {{math|term= {{Symbolalphabet}}' |SZ=}} aus {{math|term= {{Symbolalphabet}} |SZ=}} entsteht, indem man die Variablenmenge {{math|term= V|SZ=}} durch {{math|term= W|SZ=}} ersetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} scqc8welxzq9z2i7bq4e84e9fvpd3yx 0 98975 784885 758326 2022-08-22T07:14:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Peano-Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} die Begriffe {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Halbring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |prim| |Kontext=Halbring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zusammenfallen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0lf6pnot2nv957zntu8ehs2pair2e6d 0 98979 784346 757979 2022-08-22T05:59:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= L^S|SZ=}} die zugehörige Sprache erster Stufe. Es sei {{math|term= I|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=S |Interpretation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Grundmenge {{math|term= N|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma | {{defeq|}} | I^\vDash || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |zugehörigen Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion |SZ= }} {{math|term= \sim|SZ=}} auf der Termmenge {{math|term= T|SZ=.}} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |s |\sim |t || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Ma:Vergleichskette |I(s) ||I(t) || || || |SZ= }} gilt. |Zeige{{n Sie}}, dass es eine injektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |T/\sim | N || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi([t]) || I(t) || || || |SZ= }} gibt. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \psi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=S |Homomorphismus| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die Quotientenmenge {{mathl|term= T/\sim|SZ=}} mit der kanonischen {{ Definitionslink |Prämath=S |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen wird. |Es sei {{math|term= J|SZ=}} die kanonische Interpretation auf {{math|term= T/\sim|SZ=.}} Es sei vorausgesetzt, dass die Terminterpretation für {{math|term= N|SZ=}} surjektiv sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= I \vDash {{logprop|}} |SZ=}} genau dann gilt, wenn {{mathl|term= J \vDash {{logprop|}} |SZ=}} gilt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2=Modelltheorie_der_Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=2 |p3=3 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2yfniz97xl36p1sm9pekdsbkx335vlk 0 98982 783958 757595 2022-08-22T04:55:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet|}} |Interpretation| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet|}}|SZ=}} mit zugehöriger Termabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=I |T({{Symbolalphabet|}})|M |t| I(t) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man mit einer zusätzlichen Variablenmenge {{math|term= W|SZ=}} und mit {{ Ma:Vergleichskette | {{Symbolalphabet|}}' | {{defeq|}} | {{Symbolalphabet|}} \cup W || || || |SZ= }} eine {{math|term= {{Symbolalphabet|}}' |SZ=-}}Interpretation {{math|term= I'|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=}} definieren kann, die auf {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} mit {{math|term= I|SZ=}} übereinstimmt und derart, dass die Termabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=I' |T({{Symbolalphabet|}}')|M |t| I'(t) |SZ= }} surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jduhdd5sshaws6gge79zeznyqgajohy 0 98986 779651 554644 2022-08-21T17:03:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Chess board blank|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Beao |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Ein Schachbrett {{ Zusatz/Klammer |text=genauer: die Menge der Felder auf einem Schachbrett, auf denen eine Figur stehen kann| |ISZ=|ESZ= }} ist die Produktmenge {{mathl|term= \{a,b,c,d,e,f,g,h\} \times\{1,2,3,4,5,6,7,8\}|SZ=.}} Jedes Feld ist ein Paar, beispielsweise {{mathl|term= (a,1), (d,4), (c,7)|SZ=.}} Da die beteiligten Mengen verschieden sind, kann man statt der Paarschreibweise einfach {{mathl|term= a1,d4,c7|SZ=}} schreiben. Diese Notation ist der Ausgangspunkt für die Beschreibung von Stellungen und von ganzen Partien. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rfyqp0282izlw7b67w4smhh6t7pe2wk 0 98990 786195 759341 2022-08-22T10:45:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die durch die Relationstabelle {{Tabelle44||A|B|C|A||x|x|B|x|x||C|x|x|x}} beschriebene {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge {{mathl|term= \{A,B,C\}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |antisymmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j6d0rg1a316mwz3k89aseiits660em2 0 98991 786196 759342 2022-08-22T10:45:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die durch die Relationstabelle {{Verknüpfungstabelle4|Symbol= \, |A|B|C|D|a1,1=\times|a1,2=\,|a1,3=\times|a1,4=\,| |a2,1=\times |a2,2=\times|a2,3=\,|a2,4=\, |a3,1=\,|a3,2=\,|a3,3= \times|a3,4= \, |a4,1=\, |a4,2=\times |a4,3=\,|a4,4= \times ||}} beschriebene {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge {{mathl|term= \{A,B,C,D\}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |antisymmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hcxq227vbdqb377iqf9vusjyuy5sj2j 0 98992 784207 554369 2022-08-22T05:37:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge der Menschen und {{math|term= R|SZ=}} die Verwandtschaftsrelation darauf, die wir großzügig als transitiv interpretieren. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l134estd4fc53gez8qk2n9aja46dh49 0 98996 783428 757108 2022-08-22T03:27:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir fassen ein Dreieck als ein Dreiertupel im {{math|term= \R^2|SZ=}} auf. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Kongruenz von Dreiecken| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Dreiecksgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0e5lt5asa5g7yolr2dwlh41xt81zy19 0 98998 783776 757410 2022-08-22T04:25:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf der Mengen der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |{{CC}}^n|{{CC}}^n || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sim|SZ=,}} bei der {{ Ma:Vergleichskette |\varphi |\sim| \psi || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn es {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} und {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_n |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | M^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|v}} } ( \varphi) ||M^{ {{basis|w|}} }_{ {{basis|w}} } ( \psi) || || || |SZ= }} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wie kann man {{ Faktlink |Präwort=den|Satz über die jordansche Normalform|Faktseitenname= Trigonalisierbarer Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} im Kontext von Äquivalenzrelationen interpretieren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen auf Abbildungsmengen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1haltedpliv51zum7d13basa9svzfey 0 98999 785385 758670 2022-08-22T08:31:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M \times N|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichheit in der ersten Komponente eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sim|SZ=}} auf {{math|term= M \times N|SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}}, dass man jede {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklasse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= N|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M\times N/\sim|SZ=}} mit {{math|term= M|SZ=}} identifizieren kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenmenge |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6c90uzs6quekc6un58us6t39o79vjxu 0 99000 783378 757068 2022-08-22T03:18:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf den komplexen Zahlen die Relation, bei der zwei Zahlen {{mathl|term= z,w|SZ=}} als äquivalent gelten, wenn ihre {{math|term= 17|SZ=-}}te Potenz übereinstimmt. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Wie viele Elemente beinhalten die Äquivalenzklassen {{ Zusatz/Klammer |text=verwende, dass es {{math|term= 17|SZ=}} komplexe Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette |z^ {17} ||1 || || || |SZ= }} gibt| |ISZ=|ESZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0x2elkyvmixso23xufbr616nyv1ikrr 0 99008 784873 554416 2022-08-22T07:12:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= PA|SZ=}} die Menge der aus den erststufigen Peano-Axiomen für die Addition und Multiplikation ableitbaren Ausdrücken. Es sei {{math|term= {{logprop}}|SZ=}} der erststufige Ausdruck, der die Goldbach-Vermutung ausdrückt. Was kann man über die Widerspruchsfreiheit von {{mathl|term= PA \cup \{ {{logprop}} \}|SZ=}} bzw. von {{mathl|term= PA \cup \{ \neg {{logprop}} \}|SZ=}} sagen? Was bedeutet dies für das in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Logik/Vollständigkeitssatz/Maximalisierung/Abzählbarer Fall/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebene Verfahren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jy9b6d48kuxgcuabyt20wam2y461lxd 0 99018 781808 755716 2022-08-21T22:56:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= V\neq 0|SZ=}} ein endlichdimensionaler {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Wir betrachten auf {{math|term= V|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=,}} die durch {{mathl|term= uRv|SZ=}} gegeben ist, falls es eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi (u) ||v || || || |SZ= }} gibt. Welche Eigenschaften einer {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind erfüllt, welche nicht? |Wir betrachten auf {{math|term= V|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S|SZ=,}} die durch {{mathl|term= uSv|SZ=}} gegeben ist, falls es eine bijektive {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi (u) ||v || || || |SZ= }} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. |Bestimme{{n Sie}} die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation {{math|term= S|SZ=}} aus (2). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nr6cwfinv7kq7vu363gw3mo1anvyh7e 0 99022 781563 554540 2022-08-21T22:16:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In den folgenden Teilaufgaben sollen Dreiecke beschrieben werden, für die jeweils {{math|term= (0,1)|SZ=}} ein Eckpunkt und {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} der Höhenfußpunkt durch diese Ecke ist. Es sind jeweils die beiden anderen Eckpunkte anzugeben. {{ Aufzählung3 |Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in {{math|term= (0,1)|SZ=.}} |Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel auf der {{math|term= x|SZ=-}}Achse. |Ein gleichseitiges Dreieck. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} irvy48b933ulxmpdxb808qn8crncqez 0 99025 786459 759520 2022-08-22T11:29:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern. {{ Aufzählung3 |Das {{math|term= 2 \times 2|SZ=-}}Brett. |Das {{math|term= 3 \times 3|SZ=-}}Brett. |Das {{math|term= 4 \times 4|SZ=-}}Brett. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 23u1u4s045s7btvlczmcamgzjyg4sob 0 99028 786458 644617 2022-08-22T11:28:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Züge des Springers im Schach auf einem {{math|term= 4 \times 4|SZ=-}}Brett. Ist es möglich, durch eine Zugfolge mit dem Springer alle Felder genau einmal zu treffen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Kombinatorik |Kategorie2=Theorie der Hamiltonkreise |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1id8z7fnli260w7qp8gjhileiknnfhs 0 99031 783493 757161 2022-08-22T03:37:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} der Kreis in {{math|term= \R^2|SZ=}} mit Mittelpunkt {{math|term= (0,0)|SZ=}} und dem Radius {{math|term= 1|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P || {{op:Spaltenvektor|a|b}} || || || |SZ= }} ein Punkt außerhalb des Kreises. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Mengen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{math|term= K|SZ=}} und {{math|term= P|SZ=,}} und in welchem Kreispunkt er angenommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tj8uxv6di0rpkt1azsy6dtxltt1gsml 0 99036 782990 756747 2022-08-22T02:14:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Gruppe {{math|term= G|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem Körper {{math|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=}} mit {{math|term= 3|SZ=}} Elementen und die Untergruppe {{math|term= H|SZ=,}} die aus allen invertierbaren Matrizen mit {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=}} besteht. Welche der folgenden Matrizen sind untereinander {{ Definitionslink |Prämath= |äquivalent| |Kontext=Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term= H|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} welche nicht? {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2|0|1|2}} ,\, {{op:Matrix22|0|1|2|2}} ,\, {{op:Matrix22|1|1|2|1}} ,\, {{op:Matrix22|2|0|0|2}} ,\, |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nebenklassen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d7cb13a2szm6fylv8bb7vz05g4kkl61 0 99038 786429 759500 2022-08-22T11:24:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_4|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= H|SZ=,}} die vom Dreierzyklus {{mathl|term= a \mapsto b,\, b \mapsto c,\, c \mapsto a|SZ=}} erzeugt wird. Bestimme{{n Sie}} die Links- und die {{ Definitionslink |Prämath= |Rechtsnebenklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Untergruppe. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2=Theorie der Nebenklassen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i685zp0o43okyge0sq1rv3w363xmttf 0 99044 782668 756444 2022-08-22T01:20:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |H_1,H_2 |\subseteq|H || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelationen| |Kontext=Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= \sim_1 |bzw.|term2= \sim_2 |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Äquivalenzrelation zu {{ Ma:Vergleichskette |H ||H_1 \cap H_2 || || || |SZ= }} der Durchschnitt der beiden Äquivalenzrelationen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nebenklassen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3av5e3sbcifsbex2z9d0t0z5g0c8xca 0 99050 779545 763630 2022-08-21T16:46:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einer {{ Zusatz/Klammer |text=additiv geschriebenen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wie {{math|term= \Z|SZ=}} oder einem {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und einer {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= H|SZ=}} bedeutet {{ Ma:Vergleichskette |x |\sim_H|y || || || |SZ=, }} dass {{mathl|term= y-x \in H|SZ=}} ist bzw. dass es ein {{mathl|term= h \in H|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |y ||x+h || || || |SZ= }} gibt. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind von der Form {{ Ma:Vergleichskette | x+H || {{Mengebed|x+h|h \in H}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |H || \Z d |\subseteq|\Z || || |SZ= }} mit einem festen {{math|term= d|SZ=}} besitzen die Äquivalenzklassen die Form {{ math/disp|term= H=\Z d, \, 1+H=\{\ldots, 1 -d, 1,1+d,1+2d, \ldots \}, \, 2+H=\{\ldots, 2-d, 2, 2+d,2+2d, \ldots \}, \ldots |SZ=. }} Die Klassen vereinigen diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch {{math|term= d|SZ=}} den Rest {{math|term= 0|SZ=}} oder {{math|term= 1|SZ=}} oder {{math|term= 2|SZ=}} u.s.w. haben. Diese Klassen bilden eine vollständige Zerlegung von {{math|term= \Z|SZ=.}} {{ inputbild |ParalleleGeradenEbene|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Äquivalenzklassen zu einem Untervektorraum. |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wenn {{ Ma:Vergleichskette |H ||U |\subseteq|V || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so haben die Äquivalenzklassen die Form {{ Ma:Vergleichskette | v+U || {{Mengebed|v+u|u \in U}} || || || |SZ= }} für einen Vektor {{mathl|term= v \in V|SZ=.}} Dies ist der {{ Definitionslink |Prämath= |affine Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Aufpunkt {{math|term= v|SZ=}} und dem Verschiebungsraum {{math|term= U|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affiner Unterraum/Verschobener Untervektorraum/Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Die Äquivalenzklassen bilden eine Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Nebenklassen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gcvzrs2ggypjjvxv4ul6d0aiwdpii7c 0 99053 786207 759351 2022-08-22T10:47:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein eindimensionaler Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|\R^2 || || || |SZ= }} gegeben. Skizziere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ManSie|erläutere|erläuteren Sie}} darin das Problem der Wohldefiniertheit der Addition auf der Quotientenmenge {{math|term= \R^2/U|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nebenklassen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ms8mk5myvizxde4v5eo273oct2otvbj 0 99062 781786 755688 2022-08-21T22:53:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol {{math|term= f|SZ=}} besteht und es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || \{1 {{kommadots|}} 8\} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=S |Struktur| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= f|SZ=}} als die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \pi|SZ=}} mit {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|text2={{math|term= \pi(x)|SZ=}}|2|5|6|8|4|3|1|7|}} interpretiert werde. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |elementar äquivalenten| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Elemente von {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9z1iqdlrporibzkexr7r4s93qf2ezek 0 99070 785513 758769 2022-08-22T08:51:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{Symbolalphabet||}} ||\{ +,0\} || || || |SZ= }} mit der natürlichen Interpretation auf {{math|term= \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass jedes Element nur zu sich selbst {{ Definitionslink |Prämath= |elementar äquivalent| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xjcrjg1znlend6bbp25denu1u2egai 0 99072 785504 758761 2022-08-22T08:50:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Relationssymbol besteht. Was bedeutet ein {{ Definitionslink |Prämath=S |Homomorphismus| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Welche mathematische Signifikanz hat dieser Begriff? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sb2uhpd3t08hfvujy2wagvmx9znl3iv 0 99073 785503 758760 2022-08-22T08:50:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol besteht. Was bedeutet ein {{ Definitionslink |Prämath=S |Homomorphismus| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Welche mathematische Signifikanz hat dieser Begriff? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} burc149gbsbygskkgmrlg6jrpahl5cd 0 99075 781787 755689 2022-08-21T22:53:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol {{math|term= f|SZ=}} besteht und es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || \{1 {{kommadots|}} 10 \} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=S |Struktur| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= f|SZ=}} als die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \pi|SZ=}} mit {{Wertetabelle10|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|text2={{math|term= \pi(x)|SZ=}}|5|10|8|4|3|6|9|1|7|2}} interpretiert werde. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |elementar äquivalenten| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Elemente von {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ibyxtltbw2t4kwk5iyi1cstwofu6p8o 0 99081 779697 751751 2022-08-21T17:09:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol {{math|term= f|SZ=}} besteht und es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || \{1 {{kommadots|}} 6 \} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=S |Struktur| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= f|SZ=}} als die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \pi|SZ=}} mit {{Wertetabelle6|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|text2={{math|term= \pi(x)|SZ=}}|3|5|1|4|6|2|}} interpretiert werde. Hier sind die Äquivalenzklassen zur {{ Definitionslink |Prämath= |elementaren Äquivalenz| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich der sogenannten Zykelzerlegung, nämlich gleich {{mathl|term= \{1,3\}|SZ=,}} {{mathl|term= \{2,5,6\}|SZ=}} und {{mathl|term= \{4\}|SZ=.}} Die Ordnung der Elemente kann man in der Sprache zu {{math|term= S|SZ=}} ausdrücken und erhält dadurch trennende Ausdrücke, beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette |fx ||x || || || |SZ= }} ein Ausdruck in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} der genau dann wahr wird, wenn {{math|term= x|SZ=}} durch {{math|term= 4|SZ=}} belegt wird. Der Ausdruck {{ math/disp|term= {{makl| ffx {{=|}} x |}} {{logund|}} \neg {{makl| fx {{=|}} x |}} |SZ= }} ist ein Ausdruck, der genau dann wahr wird, wenn {{math|term= x|SZ=}} durch {{ mathkor|term1= 1 |oder|term2= 3 |SZ= }} belegt wird, u.s.w. Dass {{ mathkor|term1= 1 |oder|term2= 3 |SZ= }} zueinander elementar äquivalent sind, sieht man am einfachsten, wenn man den Automorphismus betrachtet, der durch die Transposition {{mathl|term= 1 \leftrightarrow 3|SZ=}} gegeben ist. Dieser ist nämlich ein {{ Definitionslink |Prämath=S |Automorphismus| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und daher können wir {{ Faktlink |Präwort=den|Isomorphiesatz|Faktseitenname= Isomorphielemma/Elementare Äquivalenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7uvq1gworz27k4k6oisjruyfvwey1va 0 99084 780399 754602 2022-08-21T19:01:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix44|-1|1|0|0|0|-1|1|0|0|0|-1|1|-1|0|0|1}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von {{math|term= M|SZ=}} und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus. |Begründe{{n Sie}}, dass das charakteristische Polynom von {{math|term= M|SZ=}} zumindest zwei reelle Nullstellen hat. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das charakteristische Polynom |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Vier-Zahlen-Problem |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pyxalvemk0397qksjknn8jw5ogjdmkr 0 99086 780400 754603 2022-08-21T19:02:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \lambda|SZ=}} eine Nullstelle des Polynoms {{ math/disp|term= X^3+2X^2-2 |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|1|(1+\lambda)^3}} | {{op:Bruch|1|(1+\lambda)^2}}| {{op:Bruch|1|(1+\lambda)}}|1|}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix44|-1|1|0|0|0|-1|1|0|0|0|-1|1|-1|0|0|1}} |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \lambda|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Vier-Zahlen-Problem |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} odbg890cyv50osmsvxf7q4z04v1vocz 0 99096 780401 664279 2022-08-21T19:02:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi |\R_{\geq 0}^4| \R_{\geq 0}^4 || |SZ=, }} die einem Vierertupel {{mathl|term= (a,b,c,d)|SZ=}} das Vierertupel {{ math/disp|term= ( {{op:Betrag|b-a|}} , {{op:Betrag|c-b|}} , {{op:Betrag|d-c|}} , {{op:Betrag|a-d|}} ) |SZ= }} zuordnet. Beschreibe{{n Sie}} diese Abbildung unter der Bedingung, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |a |\leq|b |\leq|c |\leq|d || |SZ= }} gilt, mit einer Matrix. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen (R) |Kategorie2=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Vier-Zahlen-Problem |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h1ky1b2rta5wgmaqguzpc014h0hko62 0 99116 785861 759024 2022-08-22T09:49:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= C|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= C|SZ=}} mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|C || || || |SZ=, }} die aus allen {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht, ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= C/N|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie3=Theorie der Folgenringe |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pr2c3cl5kq6zfgyy78yjpt2l2r7ln8y 0 99121 779227 763312 2022-08-21T15:55:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden surjektiven {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\Z| {{op:Zmod|4|}} || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |\Z| {{op:Zmod|12|}} || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kern|\psi|}} || \Z \cdot 12 |\subseteq| \Z \cdot 4 || {{op:Kern|\varphi|}} || |SZ=. }} Daher gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Homomorphiesatz|Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= \tilde{\varphi} | {{op:Zmod|12|}} |{{op:Zmod|4|}} || |SZ=, }} der mit den Restabbildungen verträglich ist. Dieser bildet den Rest der Zahl bei Division durch {{math|term= 12|SZ=}} auf den Rest bei Division durch {{math|term= 4|SZ=}} ab. Der Satz beinhaltet insbesondere die Aussage, dass dieser letztere Rest allein vom ersten Rest abhängt, nicht von der Zahl selbst. Wenn man hingegen {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\Z| {{op:Zmod|5|}} || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |\Z| {{op:Zmod|12|}} || |SZ= }} betrachtet, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kern|\psi|}} || \Z \cdot 12 |\not\subseteq| \Z \cdot 5 || {{op:Kern|\varphi|}} || |SZ= }} und es gibt keine natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zmod|12|}} |{{op:Zmod|5|}} || |SZ=. }} Beispielsweise haben {{mathl|term= 1,13,25,37,49|SZ=,}} die alle modulo {{math|term= 12|SZ=}} den Rest {{math|term= 1|SZ=}} haben, modulo {{math|term= 5|SZ=}} die Reste {{mathl|term= 1,3,0,2,4|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jokugquhlyycwfozie2jkzw9ocp2a7k 0 99122 786286 759376 2022-08-22T11:00:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Restklassenring/Z mod n/Situation|SZ=.|zus=\geq 1}} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= {{op:Zmod|n|}}|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition |SZ=. }} |{{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term= n|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9u2wzsyza7jvrdvdsdendionxs9s6s7 0 99125 784915 758358 2022-08-22T07:18:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |funktionale Hülle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem Element {{mathl|term= x \in M|SZ=,}} wobei auf {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \pi|SZ=}} fixiert sei. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationen |Kategorie2=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4eqt7aaqjq1xvuxpqms4adqjm11dwyd 0 99126 781825 755728 2022-08-21T22:59:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das neben Variablen aus einer Konstanten {{math|term= e|SZ=}} und einem einzigen zweistelligen Funktionssymbol {{math|term= f|SZ=}} bestehe. Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= e|SZ=}} als neutrales Element und {{math|term= f|SZ=}} als die Verknüpfung interpretiert werde. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |funktionale Hülle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem Element {{mathl|term= g \in G|SZ=}} mit der von {{math|term= g|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Gruppen |Kategorie2=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzs0x1glw88xnucx1t4ikmhl7g8wlmi 0 99128 784914 758357 2022-08-22T07:18:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer fixierten {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \pi|SZ=}} auf einer endlichen Menge {{math|term= M|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sf1qtapwqmgl2spqwbwdr8ge6ia5zvs 0 99130 785839 759003 2022-08-22T09:46:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Symbolalphabet {{math|term= S|SZ=,}} welches neben Variablen aus {{mathl|term= 0,1,+,\cdot|SZ=}} besteht, mit der Standardinterpretation auf {{math|term= \R|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die funktionale Hülle der einzelnen Elemente {{mathl|term= 1,3 \sqrt{7}, e,\pi|SZ=.}} Welche sind untereinander {{ Definitionslink |Prämath=S |isomorph| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ttitajatfdiro30ozyfmzj8i6hp3xrv 0 99131 781999 555202 2022-08-21T23:28:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || {{op:Zmod|12|}} || || || |SZ=, }} aufgefasst als Gruppe. Definiere{{n Sie}} entlang von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen Isomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |{{op:Zmod|12|}} |{{op:Zmod|12|}} || |SZ=, }} startend mit {{ Ma:Vergleichskette |S_1 || \{0\} || || || |SZ= }} und weiter mit {{math|term= S_2|SZ=,}} wobei {{math|term= S_2|SZ=}} die funktionale Hülle von {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= m_2 {{=|}} 3 |SZ= }} sei, und {{math|term= n_2|SZ=}} als {{math|term= 9|SZ=}} gewählt wird, etc. Welche Wahlmöglichkeiten hat man für {{mathl|term= \varphi_3(m_3)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |m_3 ||1 || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2lpazsx6rntvoovbludujsy7ltm7cvq 0 99132 782352 756189 2022-08-22T00:27:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |funktional abgeschlossene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|M || || || |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath=S |Struktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} auch unter jedem formal-zusammengesetzten Funktionssymbol abgeschlossen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ks2w6924upkqswg3daiqmy1ot48qc1d 0 99133 781998 755891 2022-08-21T23:28:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= \{1,2 {{kommadots}} 10 \} |SZ=}} zur Permutation {{Wertetabelle10|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|text2={{math|term= \pi(x)|SZ=}}|4|9|3|10|8|5|2|6|7|1|}} anhand von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} wobei im ersten Schritt {{math|term= 4|SZ=}} auf {{mathl|term= 6 |SZ=}} abgebildet werden soll. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} phj961odskmdn31d2nqc7o47omuw102 0 99136 779109 763233 2022-08-21T15:37:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S|SZ=,}} das neben Variablen aus einer Konstanten {{math|term= 0|SZ=}} und einem zweistelligen Funktionssymbol {{math|term= +|SZ=}} besteht. Wir betrachten die Gruppe {{mathl|term= {{op:Zmod|8|}} |SZ=}} mit der natürlichen {{ Definitionslink |Prämath=S |Struktur| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |elementaren Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind durch die Ordnung der Elemente gegeben. Die Klassen sind {{ math/disp|term= \{ \{0\} ,\, \{ 4\},\, \{2,6\}, \{1,3,5,7\} \} |SZ=. }} Bei einen {{ Definitionslink |Prämath=S |Automorphismus| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{op:Zmod|8|}} |SZ=}} müssen die einelementigen Klassen auf sich selbst abgebildet werden, bei den anderen hat man gewisse Freiheiten. Allerdings gibt es Abhängigkeiten zwischen den Wahlmöglichkeiten auf den größeren Klassen. Wenn man {{math|term= 2|SZ=}} auf {{math|term= 6|SZ=}} abbilden möchte, so muss man zunächst {{math|term= 6|SZ=}} auf {{math|term= 2|SZ=}} abbilden. Wenn man diese partielle Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\{0,2,4,6\}| \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\} || |SZ= }} fortsetzen möchte, so muss man beispielsweise {{math|term= 3|SZ=}} wegen {{mathl|term= 3+3=6 \mapsto 2|SZ=}} auf {{math|term= 1|SZ=}} oder auf {{math|term= 5|SZ=}} abbilden, die Werte {{math|term= 3|SZ=}} oder {{math|term= 7|SZ=}} sind ausgeschlossen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7a5mtmh8nzmcahxnkrsowfvbeoosyys 0 99137 779118 763242 2022-08-21T15:38:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein Symbolalphabet, das ausschließlich aus {{ Zusatz/Klammer |text=abzählbar unendlich vielen| |ISZ=|ESZ= }} Variablen bestehe. Zwei endliche {{math|term= S|SZ=-}}Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} sind genau dann elementar äquivalent, wenn sie die gleiche Anzahl an Elementen haben, denn die Elementanzahl kann man durch einen erststufigen Ausdruck aus {{math|term= L^S|SZ=}} ausdrücken. In diesem Fall gibt es eine Bijektion zwischen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} und diese ist ein {{ Definitionslink |Prämath=S |Isomorphismus| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i9z4bhu949rv37okuy41w1od5e69c0b 0 99138 779117 763241 2022-08-21T15:38:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} eine {{math|term= S|SZ=-}}Struktur mit der Eigenschaft, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklasse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |elementaren Äquivalenz| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einelementig sei. Wenn {{math|term= N|SZ=}} eine weitere, zu {{math|term= M|SZ=}} elementar äquivalente {{math|term= S|SZ=-}}Struktur ist, so hat auch diese einelementige Äquivalenzklassen. Die einzige Möglichkeit für einen {{ Definitionslink |Prämath=S |Isomorphismus| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |M|N || |SZ= }} ist dann, ein Element {{math|term= m|SZ=}} auf das einzige Element {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| N || || || |SZ= }} abzubilden, das den entsprechenden charakteristischen Ausdruck erfüllt. Es muss dann allerdings begründet werden, dass es sich wirklich um einen Homomorphismus handelt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 92mirsbdga695g324j6xuqlbjmp7ucw 0 99153 786066 759217 2022-08-22T10:24:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= r,s \in \R \setminus\{0\}|SZ=}} zwei reelle Zahlen {{math|term= \neq 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese genau dann äquivalent bezüglich der durch die Untergruppe {{ Ma:Vergleichskette | ({{op:Einheiten|\Q|}} ,1, \cdot) |\subseteq| ( {{op:Einheiten|\R|}} ,1,\cdot) || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, wenn es eine reelle Zahl {{ Ma:Vergleichskette |t |\neq|0 || || || |SZ= }} und ganze Zahlen {{mathl|term= a,b \in \Z|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |r ||bt || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |s ||at || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kommensurabilität |Kategorie2=Theorie der Nebenklassen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6u9a6grjq4mjxsnacw4ptvykfwwqrw8 0 99158 786081 759232 2022-08-22T10:26:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für reelle Zahlen {{math|term= r,s|SZ=}} setzen wir {{mathl|term= r \sim s|SZ=,}} wenn es {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= u,v \in \Q|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |u |\neq|0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |r ||us+v || || || |SZ= }} ist. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \R|SZ=}} ist. |Bestimme{{n Sie}} die Äquivalenzklasse zu {{mathl|term= {{op:Bruch|3|7}} |SZ=.}} |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für zwei reelle Zahlen, die nicht {{ Definitionslink |Prämath= |kommensurabel| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, die aber unter {{math|term= \sim|SZ=}} äquivalent sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kommensurabilität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eh5gb8g436n5it1hfo2jo574kuzehbl 0 99168 786117 759275 2022-08-22T10:32:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entwerfe{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Programm für eine Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das bei Eingabe von zwei natürlichen Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} in den Registern {{mathl|term= R_2,R_3|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Algorithmus| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durchführt und das Ergebnis, also den größten gemeinsamen Teiler von {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=, }} in {{math|term= R_1|SZ=}} ausgibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aw4bv0kxlt0f53y74sw2ii4tad56mps 0 99169 786113 555388 2022-08-22T10:31:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P|SZ=}} ein Programm für eine Registermaschine, es sei eine feste Anfangsbelegung gegeben und es sei vorausgesetzt, dass das Programm, angesetzt auf diese Anfangsbelegung, irgendwann anhält. Zeige{{n Sie}}, dass man den Ablauf des Programms, also die schrittweise Abfolge der Veränderungen der Registerinhalte, auch durch ein Programm realisieren kann, bei dem der Sprungbefehl nicht verwendet wird. Wozu braucht es dann eigentlich den Sprungbefehl? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 04vffyfjh7hwazbggg6ijdsfj0ucpfc 0 99170 786116 759274 2022-08-22T10:32:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entwerfe{{n Sie}} ein möglichst kurzes {{ Zusatz/Klammer |text=also mit möglichst wenigen Befehlszeilen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Programm für eine Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das bei leerer Startbelegung anhält und zum Schluss die Zahl {{math|term= 20|SZ=}} im ersten Register hat. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rr6fde2wqtsnzuisi8rwfa4gzkswgf0 0 99171 786112 759271 2022-08-22T10:31:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entwerfe{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Programm für eine Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das bei Eingabe von zwei natürlichen Zahlen {{ mathkor|term1= n |und|term2= k |SZ= }} in den Registern {{mathl|term= R_2,R_3|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Binomialkoeffizienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Binom|n|k}} |SZ=}} in {{math|term= R_1|SZ=}} ausgibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ah16mssxa2lgj0xg6m69qdfne0uw0q 0 99172 786118 759276 2022-08-22T10:32:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entwerfe{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Programm für eine Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das bei Eingabe einer natürlichen Zahlen {{math|term= n|SZ=}} im Register {{mathl|term= R_1|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Fakultät| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n!|SZ=}} in {{math|term= R_1|SZ=}} ausgibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6wn8ko58i2mmaqwvytobkocfffvp3yz 0 99173 786115 759273 2022-08-22T10:32:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entwerfe{{n Sie}} ein möglichst kurzes {{ Zusatz/Klammer |text=also mit möglichst wenigen Befehlszeilen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Programm für eine Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das bei leerer Startbelegung anhält und zum Schluss die Zahl {{math|term= 100|SZ=}} im ersten Register hat. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} awp7jlk3sb7776rpk7y2x35om45tqz9 0 99190 786096 759250 2022-08-22T10:29:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und {{ Ma:Vergleichskette |G ||{{op:GLG||V|}} || || || |SZ= }} die Gruppe der bijektiven linearen Abbildungen auf {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der orientierungstreuen Abbildungen in {{math|term= G|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. Welche Beziehung besteht zum Betrag der Determinante? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gsyuivw52edodqj91ol1b26gv5alw4i 0 99191 786109 759266 2022-08-22T10:31:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein regelmäßiges {{math|term= n|SZ=-}}Eck im {{math|term= \R^2|SZ=}} mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} als einem Eckpunkt. Bestimme{{n Sie}} die Matrizen, die die {{ Definitionslink |Prämath= |uneigentlichen Symmetrien| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= E|SZ=}} bezüglich der Standardbasis beschreiben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diedergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hvpc588ohb1x1hlgue1jikcy33u36o4 0 99224 779932 773727 2022-08-21T17:44:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Einheitskreis {{ Ma:Vergleichskette/disp |S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2|x^2+y^2{{=|}}1}} || || || |SZ=. }} Dieser wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert. Diese ordnen einem Winkel {{mathl|term= \alpha \in [0, 2 \pi)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der {{math|term= x|SZ=-}}Achse, gegen den Uhrzeigersinn| |SZ= }} den zugehörigen Punkt {{ math/disp|term= (\cos \alpha, \sin \alpha) |SZ= }} auf dem Kreisbogen zu. Eine gleichmäßige Unterteilung des Intervalls {{mathl|term= [0, 2 \pi]|SZ=}} in {{math|term= n|SZ=}} gleichgroße Stücke, die durch die Grenzen {{ math/disp|term= 0,\, \frac{2 \pi}{n},\,2\frac{2 \pi}{n},\,3 \frac{2 \pi}{n} {{kommadots|}} (n-1) \frac{2 \pi}{n},\, n\frac{2 \pi}{n}=2 \pi |SZ= }} gegeben sind, führt zu einer gleichmäßigen Unterteilung des Kreises mit den Eckpunkten {{ math/disp|term= (1,0),\, {{op:Zeilenvektor| \cos \frac{2 \pi}{n} | \sin \frac{2 \pi}{n}||}} ,\, {{op:Zeilenvektor| \cos 2\frac{2 \pi}{n} | \sin 2\frac{2 \pi}{n} }},\, {{mathbruch|}} {{op:Zeilenvektor| \cos 3 \frac{2 \pi}{n} | \sin 3 \frac{2 \pi}{n} }} {{kommadots|}} {{op:Zeilenvektor| \cos (n-1) \frac{2 \pi}{n} | \sin (n-1) \frac{2 \pi}{n} }} |SZ=. }} Diese Punkte sind die Eckpunkte eines {{Stichwort|regelmäßigen|msw=Regelmäßiges n-Eck||SZ=}} {{math|term= n|SZ=-}}{{Stichwort|Ecks|msw=Regelmäßiges n-Eck|SZ=.}} Das regelmäßige {{Anführung|Zweieck}} besitzt die Ecken {{mathkon|(1,0)|und|(-1,0)|SZ=,}} das regelmäßige {{ Zusatz/Klammer |text= {{Stichwort|gleichseitige|msw=Gleichseitiges Dreieck|SZ=}}| |SZ= }} Dreieck besitzt die Ecken {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|1|0}} ,\, {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch|1|2}} | {{op:Bruch|\sqrt{3} |2}} }} ,\, {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch|1|2}} | - {{op:Bruch|\sqrt{3} |2}} }} |SZ=, }} das regelmäßige Viereck (Quadrat) besitzt die Ecken {{ math/disp|term= (1,0),\, (0,1),\, (-1,0),\, (0,-1) |SZ=, }} usw. Wir fassen ein solches reguläres {{math|term= n|SZ=-}}Eck als ein in sich starres Gebilde auf und interessieren uns dafür, wie man es in sich selbst überführen kann. Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=Schwerpunkt| |ISZ=|ESZ= }} des {{math|term= n|SZ=-}}Eckes, und bleibt bei einer Bewegung des {{math|term= n|SZ=-}}Eckes auf sich selbst unverändert. Da eine solche Bewegung die Längen nicht ändert, muss der Punkt {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} auf einen der Eckpunkte abgebildet werden, da nur diese Punkte des {{math|term= n|SZ=-}}Eckes vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen. Da eine Bewegung auch die Winkel nicht verändert, muss der Nachbarpunkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|\sin \frac{2 \pi}{n}| \cos \frac{2 \pi}{n} |}} |SZ=}} auf einen Nachbarpunkt des Bildpunktes von {{math|term= (1,0)|SZ=}} abgebildet werden. Bei einer eigentlichen {{ Zusatz/Klammer |text=physikalisch in der Ebene!| |ISZ=|ESZ= }} durchführbaren Bewegung bleibt auch die Reihenfolge {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|Orientierung}}| |SZ= }} der Ecken erhalten, so dass die einzigen eigentlichen Bewegungen eines regulären {{math|term= n|SZ=-}}Eckes die Drehungen um ein Vielfaches von {{math|term= 2 \pi/n|SZ=}} sind. Wenn man auch noch uneigentliche Bewegungen zulässt, so gibt es noch die Spiegelungen an einer Achse, und zwar geht bei {{math|term= n|SZ=}} gerade die Achse durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte, und bei {{math|term= n|SZ=}} ungerade durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt. Sei {{math|term= n|SZ=}} fixiert, und setze {{ Ma:Vergleichskette | \alpha || 2 \pi/n || || || |SZ= }} und sei {{math|term= \varphi|SZ=}} die Drehung des {{math|term= n|SZ=-}}Eckes um {{math|term= \alpha|SZ=}} gegen den Uhrzeigersinn. Dann kann man jede Drehung am {{math|term= n|SZ=-}}Eck schreiben als {{math|term= \varphi^k|SZ=}} mit einem eindeutig bestimmten {{math|term= k|SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= n-1 |SZ=. }} Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette |\varphi^0 || {{op:Identität||}} || || || |SZ= }} die Nulldrehung {{ Zusatz/Klammer |text=die identische Bewegung| |ISZ=|ESZ=, }} bei der nichts bewegt wird. Wenn man {{math|term= \varphi|SZ=}} {{math|term= n|SZ=-}}mal ausführt, so hat man physikalisch gesehen eine volle Umdrehung durchgeführt. Vom Ergebnis her stimmt das aber mit der Nulldrehung überein. Allgemeiner gilt, dass wenn man {{math|term= \varphi|SZ=}} {{math|term= m|SZ=-}}mal ausführt, dass dann das Endergebnis {{ Zusatz/Klammer |text=also die effektive Bewegung| |SZ= }} nur vom {{Stichwort|Rest|SZ=}} {{math|term= m \mod n|SZ=}} abhängt. Die inverse Bewegung zu {{mathl|term= \varphi^k|SZ=}} ist {{mathl|term= \varphi^{-k} |SZ=,}} also {{math|term= k|SZ=-}}mal wieder zurück, oder gleichbedeutend {{mathl|term= \varphi^{(n-k) }|SZ=.}} Alle Drehungen an einem regelmäßigen {{math|term= n|SZ=-}}Eck bilden eine {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der regulären n-Ecke |Kategorie3=Theorie der ebenen Drehungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tjlx2kgs45wk11lh0py28cwjbiwzwjv 0 99226 782553 555758 2022-08-22T01:01:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Tred-G|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Dmitry_Dzhus |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Charakterisiere{{n Sie}} den Punkt {{math|term= d|SZ=}} im skizzierten Graphen mit einem Ausdruck in einer freien Variablen {{math|term= x|SZ=}} über dem Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen zweistelligen Relationssymbol {{math|term= R|SZ=}} besteht, das im angegebenen Modell durch einen Pfeil wiedergegeben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzg381vdyqfgzlf7nlc9cu72pz0scil 0 99248 781901 755801 2022-08-21T23:12:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} eine Konfiguration {{math|term= T|SZ=}} aus {{math|term= n|SZ=}} Punkten im {{math|term= \R^3|SZ=}} derart gibt, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |eigentliche Symmetriegruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} unendlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6vph1ynxvfjvfdp3cpynq1u9p5cv54p 0 99249 781900 755800 2022-08-21T23:12:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine Konfiguration aus endlich vielen Punkten im {{math|term= \R^3|SZ=,}} die nicht alle kollinear sind. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |eigentliche Symmetriegruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} endlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} luox5uyow9qey63o93av6n8hb5l87fc 0 99262 784503 555893 2022-08-22T06:19:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq| \N || || || |SZ= }} eine endliche Teilmenge. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Programm für eine Registermaschine an, das nur auf einen einzigen Register {{math|term= R_1|SZ=}} Bezug nimmt, das bei jeder Eingabe {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= R_1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} immer anhält und das im Anhaltezustand in {{mathl|term= R_1|SZ=}} genau dann den Wert {{math|term= 0|SZ=}} besitzt, wenn die Eingabe zu {{math|term= T|SZ=}} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Entscheidungstheorie (Registermaschine) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qqr2cwm3o8f5425bwxfuu2h0l2tqs2w 0 99265 783246 756947 2022-08-22T02:56:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir rechnen mit den Zahlen {{mathl|term= 0,1,2,\text{viele}\,\, (v)|SZ=}} nach den folgenden Verknüpfungstabellen. {{Verknüpfungstabelle4|Symbol=+|0|1| 2| v |a1,1=0 |a1,2=1|a1,3=2|a1,4=v |a2,1=1|a2,2=2|a2,3= v |a2,4=v |a3,1=2|a3,2= v |a3,3= v||a3,4= v |a4,1=v|a4,2= v||a4,3= v||a4,4= v ||||||}} und {{Verknüpfungstabelle4|Symbol= \cdot|0|1| 2| v |a1,1=0 |a1,2=0|a1,3=0|a1,4=0 |a2,1=0|a2,2=1|a2,3= 2 |a2,4=v |a3,1=0|a3,2= 2 |a3,3= v||a3,4= v |a4,1=0|a4,2= v||a4,3= v||a4,4= v ||||||}} Zeige{{n Sie}}, dass es sich dabei um einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. Gilt für diesen die {{ Definitionslink |Prämath= |Abziehregel| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2fa442mrhea7piawqbwkknof1a68jjh 0 99270 783009 756768 2022-08-22T02:17:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Orthogonale Gruppe|n|\R}} | {{op:Spezielle Orthogonale Gruppe|n+1|\R}} || |SZ= }} von der Gruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrien| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^n|SZ=}} in die Gruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |eigentlichen Isometrien| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^{n+1}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2q9g2wtezxarhy5rv39oh1nftl5htui 0 99272 781361 555936 2022-08-21T21:42:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Doppelpyramide der Höhe {{math|term= 5|SZ=}} über dem Quadrat mit den Eckpunkten {{mathl|term= (\pm 1, \pm 1)|SZ=.}} Wie nennt man die eigentliche Symmetriegruppe dieses Objektes? Bestimme{{n Sie}} die Matrizen bezüglich der Standardbasis, die die eigentlichen Symmetrien der Doppelpyramide beschreiben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diedergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} orn5d6u12rbvwgj3g16ne5yzdgkdcos 0 99290 784963 758395 2022-08-22T07:26:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\N|\N || |SZ= }} eine Polynomfunktion mit {{ Ma:Vergleichskette |f(n) ||a_d n^d +a_{d-1}n^{d-1} {{plusdots|}} a_1n+a_0 || || || |SZ= }} mit Koeffizienten {{mathl|term= a_i \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} durch den Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette |y ||a_d x^d +a_{d-1}x^{d-1} {{plusdots|}} a_1x+a_0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetisch repräsentiert| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} brvyntcnd1gzx8x3np72arxlcx2cdby 0 99293 784962 758394 2022-08-22T07:26:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |polynomiale Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit Koeffizienten aus {{math|term= \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |\N^r| \N | {{op:Zeilenvektor|x_1|\ldots|x_n}} | F(x_1 {{kommadots}} x_n) |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetisch repräsentierbar| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=3 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gw1bu7fphpjyit8sdupaylhg8ux61lr 0 99295 786129 556014 2022-08-22T10:34:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Registerprogramm mit drei Registern {{ Zusatz/Klammer |text=bei leerem dritten Register berechnet es die Summe der ersten beiden Registerinhalte| |ISZ=|ESZ= }} {{ Aufzählung5 |{{mathl|term= C(2,5)|SZ=}} |{{math|term= 1+|SZ=}} |{{math|term= 2-|SZ=}} |{{mathl|term= C(3,1)|SZ=}} |Halte an }} {{ Aufzählung3/a |Erstelle{{n Sie}} die Programmabbildung für dieses Programm. |Welche Beziehung besteht zwischen der Programmabbildung und der Additionsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\N \times \N|\N |(x,y)|x+y |SZ=? }} |Erstelle{{n Sie}} eine arithmetische Repräsentierung für dieses Programm. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (N) |Kategorie2=Theorie der Registermaschinen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k7lpgu4fh3279aanot1z7kj1h4gt0cn 0 99296 780822 754924 2022-08-21T20:12:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=F |\N^r|\N^s || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetisch repräsentierbare| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem Punkt {{mathl|term= P \in \N^s|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F^{-1}(P) |\subseteq| \N^r || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetisch repräsentierbar| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pgc3ng0lrngarki1yeom9s7vgkyk5rj 0 99317 780518 754692 2022-08-21T19:21:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |eigentliche Symmetriegruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Achsenkreuzes im {{math|term= \R^3|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gl74fim6lal59qptk0xlp9yqs6lx5dg 0 99326 784956 556663 2022-08-22T07:25:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|2|n}} || {{op:Bruch|1|a}} + {{op:Bruch|1|b}} || || || |SZ= }} in {{math|term= \N|SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette | a,b |\leq|n || || || |SZ= }} nur die Lösungen {{ Ma:Vergleichskette |n ||a ||b || || |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diophantischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} soop1wt0od810tpx85gl8i6cbqplm32 0 99327 784955 556309 2022-08-22T07:25:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|2|n}} || {{op:Bruch|1|a}} + {{op:Bruch|1|b}} || || || |SZ= }} in {{math|term= \Z|SZ=}} auch Lösungen mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|b || || || |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diophantischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jtqczvcd4jul0qfa8jkn0iszypyqc8r 0 99331 781706 755628 2022-08-21T22:39:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq| {{op:Spezielle orthogonale Gruppe|3|\R}} || || || |SZ= }} eine endliche Untergruppe. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Isotropiegruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Halbachse aus dem {{ Definitionslink |Prämath= |Halbachsensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |zyklisch| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ssdau2qmh5o9aiosdbodrttvfpyv2q 0 99332 781707 755629 2022-08-21T22:40:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq| {{op:Spezielle orthogonale Gruppe|3|\R}} || || || |SZ= }} die eigentliche Symmetriegruppe des achsenparallelen Würfels. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} explizite {{ Zusatz/Klammer |text=in Matrixbeschreibung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |innere Automorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Würfelgruppe an, die die folgenden {{ Definitionslink |Prämath= |Isotropiegruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu Achsen ineinander überführen. Welche Matrizen entsprechen dabei welchen Matrizen? {{ Aufzählung3 |Die Isotropiegruppe zur {{math|term= x|SZ=-}}Achse und zur {{math|term= z|SZ=-}}Achse. |Die Isotropiegruppe zur Raumdiagonalen {{mathl|term= \R {{op:Spaltenvektor|1|1|1}} |SZ=}} und zur Raumdiagonalen {{mathl|term= \R {{op:Spaltenvektor|1|1|-1}} |SZ=.}} |Die Isotropiegruppe zur Kantenmittelpunktsachse {{mathl|term= \R {{op:Spaltenvektor|1|1|0}} |SZ=}} und zur Kantenmittelpunktsachse {{mathl|term= \R {{op:Spaltenvektor|1|-1|0}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Würfelgruppe |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3k0ivoq55f0h3ul9y5c7zommqv6iui5 0 99341 781702 755625 2022-08-21T22:39:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche eigentliche Raumsymmetriegruppe/Situation|SZ=}} mit drei {{ Definitionslink |Halbachsenklassen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= K|SZ=}} eine davon. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |G| \operatorname{Perm} \, (K) |g|\sigma_g : H \mapsto g(H) |SZ=, }} injektiv ist. Zeige{{n Sie}}, dass dies nicht stimmt, wenn es nur zwei Halbachsenklassen gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bfux6dc2ksbhqrywq3b3a49msjrumr8 0 99414 781208 755248 2022-08-21T21:16:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entwerfe{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Programm für eine Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das bei Eingabe einer natürlichen Zahlen {{math|term= n|SZ=}} im Register {{mathl|term= R_1|SZ=}} den {{ Faktlink |Präwort=|Collatz-Algorithmus|Faktseitenname= Collatz-Problem/Algorithmische Formulierung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durchführt, dabei die sukzessiven Werte ausdruckt und insbesondere anhält, wenn der Wert {{math|term= 1|SZ=}} erreicht wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2=Das Collatz-Problem |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ra1e4slwnbonlyk22tfgr25vdp2vx35 0 99415 781207 755247 2022-08-21T21:16:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Collatz-Problem/Registermaschine/Programm/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} entworfene {{ Definitionslink |Prämath= |Programm für eine Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bei Eingabe einer natürlichen Zahlen {{math|term= n|SZ=}} im Register {{mathl|term= R_1|SZ=}} genau dann nicht anhält, wenn die Zahl {{math|term= n|SZ=}} eine negative Antwort zum {{ Faktlink |Präwort=|Collatz-Problem|Faktseitenname= Collatz-Problem/Algorithmische Formulierung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liefert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Halteproblem |Kategorie2=Das Collatz-Problem |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 46v7ekhatzwa8o93ocfvlvfm0reccb2 0 99417 784878 556494 2022-08-22T07:13:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die erststufige Peano-Arithmetik {{math|term= PA|SZ=}} eine vollständige widerspruchsfreie erststufige Erweiterung {{math|term= M|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette |PA |\subseteq|M |\subseteq|L^{\rm Ar}_0 || || |SZ=, }} besitzt, die von {{math|term= \N^\vDash_0|SZ=}} verschieden ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Unentscheidbarkeit der Arithmetik |Kategorie2=Theorie der erststufigen Peano-Arithmetik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k6k1p1eaj1asil9t5cbdp71n737yd7c 0 99420 784877 758314 2022-08-22T07:12:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entwerfe{{n Sie}} ein {{math|term= R|SZ=-}}Entscheidungsverfahren dafür, ob die {{ Definitionslink |Prämath= |Goldbach-Vermutung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus der {{ Definitionslink |Prämath= |erststufigen Peano-Arithmetik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ableitbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erststufigen Peano-Arithmetik |Kategorie2=Die Unentscheidbarkeit der Arithmetik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pxm5svzkkdo81p1eev0f50zq7l0bdl2 0 99423 780853 754956 2022-08-21T20:17:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |T_1, T_2 |\subseteq|L^{{Symbolalphabet|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |aufzählbar axiomatisierbare Theorien| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{mathl|term= (T_1 \cup T_2)^\vdash|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |aufzählbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gotz9wskodpktl4ik4fag4zi4uw5hew 0 99425 784478 556508 2022-08-22T06:16:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{math|term= E|SZ=}} wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte. {{ Aufzählung6 |Der Mörder ist {{math|term= A|SZ=}} oder {{math|term= B|SZ=}} oder {{math|term= C|SZ=}} oder {{math|term= D|SZ=.}} |Wenn {{math|term= C|SZ=}} der Mörder ist, dann ist {{math|term= D|SZ=}} nicht der Mörder oder {{math|term= A|SZ=}} ist der Mörder. |{{math|term= A,B,C,D|SZ=}} sind alle verschieden. |Es gibt genau einen Mörder. |Wenn {{math|term= A|SZ=}} nicht der Mörder ist, dann ist {{math|term= D|SZ=}} nicht der Mörder. |{{math|term= A|SZ=}} ist genau dann der Mörder, wenn {{math|term= B|SZ=}} der Mörder ist. }} Wer ist der Mörder? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Alltagslogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hb2ybtk95piy3smezv0s3t1s9stq7r6 0 99434 780527 590871 2022-08-21T19:23:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine uneigentliche Symmetrie des Achsenkreuzes im {{math|term= \R^3|SZ=}} in Matrixform. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rjt9ctowy7y3uliv1kaz16wez1kwt1g 0 99436 781708 755630 2022-08-21T22:40:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |zyklische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|24|}} |SZ=,}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Diedergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= D_{12}|SZ=}} und die Würfelgruppe {{ Ma:Vergleichskette |W |\cong| S_4 || || || |SZ= }} besitzen {{math|term= 24|SZ=}} Elemente und treten als endliche {{ Definitionslink |Prämath= |eigentliche Symmetriegruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=}} auf. Begründe{{n Sie}}, dass diese Gruppen untereinander nicht {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h5pak9yfn0u6ca89ejlnrgufnz8u3zq 0 99558 784957 556676 2022-08-22T07:25:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|2|n}} || {{op:Bruch|1|a}} + {{op:Bruch|1|b}} || || || |SZ= }} in {{math|term= \N|SZ=}} auch Lösungen {{ Ma:Vergleichskette | a |\neq| b || || || |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diophantischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5slhylyhg1556ev2afd2vkjafju3hg7 0 99576 782724 756500 2022-08-22T01:29:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |[0,2 \pi[| S^1 |t| {{op:Zeilentupel| {{op:cos|t|}}| {{op:sin|t|}} |}} |SZ= }} zwischen dem halboffenen Intervall {{mathl|term= [0,2 \pi[|SZ=}} und dem Einheitskreis {{ Ma:Vergleichskette |S^1 || {{Mengebed|P \in \R^2| {{op:Norm|P|}} {{=}} 1 }} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dass die Umkehrabbildung aber nicht stetig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homöomorphismen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3=Theorie der stetigen Kurven |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 01wmgkl3vv0zro1iu4jeu68vukush1v 0 99580 783813 757444 2022-08-22T04:31:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2| \R^2 || |SZ= }} an, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}} ist und die keine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3dqzmxfbw5hxmrhu0asv1839xxzsb7h 0 99583 786202 759348 2022-08-22T10:46:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || \N 2 |\subseteq |\N || || |SZ= }} die Menge der geraden natürlichen Zahlen. Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} die Ausdrucksmenge, die besagt, dass {{math|term= +|SZ=}} eine assoziative, kommutative Verknüpfung mit {{math|term= 0|SZ=}} als neutralem Element ist. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi || \exists y (x {{=}} y+y) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} durch {{math|term= \psi|SZ=}} in {{math|term= \Gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |schwach repräsentiert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird, aber nicht stark. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0p7joof864gax4g545mzr9p7pqsmcox 0 99584 786203 759349 2022-08-22T10:46:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || \N 2 |\subseteq |\N || || |SZ= }} die Menge der geraden natürlichen Zahlen. Es sei {{math|term= \Gamma|SZ=}} die Ausdrucksmenge, die besagt, dass {{math|term= +|SZ=}} eine assoziative, kommutative Verknüpfung mit {{math|term= 0|SZ=}} als neutralem Element ist. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi ||\exists y (x {{=}} y+y) \rightarrow \forall z \neg ( x+1 {{=}} z+z) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Delta || \Gamma \cup \{ \varphi \} || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi || \exists y (x {{=}} y+y) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} durch {{math|term= \psi|SZ=}} in {{math|term= \Delta|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |repräsentiert| |Kontext=stark| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cmu06fn974fmjj6rnpizitq2ned6eyc 0 99637 783016 756775 2022-08-22T02:18:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mit jeder Charakterisierung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stabil| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o9iyzea55uz40n2im4zxz0zdcbyzfjl 0 99639 781802 755708 2022-08-21T22:55:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normierte| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= \psi |V|W || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= f |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |g |{{defeq}}| \psi \circ f \circ \psi^{-1} || || || |SZ= }} der entsprechende Endomorphismus auf {{math|term= W|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |stabil| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Definitionslink |Prämath= |asymptotisch stabil| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ist, wenn dies auf {{math|term= g|SZ=}} zutrifft. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jy3p6bp6o5twuomvm62y02ous1b30uy 0 99645 783033 756790 2022-08-22T02:21:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der kanonischen additiven Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi || \varphi_{\rm diag} + \varphi_{\rm nil} || || || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} und von {{math|term= \varphi_{\rm diag} |SZ=}} übereinstimmen. Gilt dies auch für ihre algebraische Vielfachheit, gilt dies für ihre geometrische Vielfachheit? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2=Zerlegungssätze für trigonalisierbare Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1bqi1o9jp3zuo7dhn7akk2sqh6zhia2 0 99648 783027 557145 2022-08-22T02:20:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22| {{Imaginäre Einheit||}} |1| 0|{{Imaginäre Einheit||}}| }} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Erstelle{{n Sie}} eine Formel für {{mathl|term= M^n|SZ=.}} |Ist die Folge {{mathl|term= M^n|SZ=}} beschränkt, ist sie konvergent? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} okmdhwelpo4rjkp90w9d8a6corzahyw 0 99839 784690 758188 2022-08-22T06:46:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass für jeden Vektor {{mathl|term= v \in V|SZ=}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\varphi(v)|}} |\leq| {{op:Norm|v|}} || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn für die Supremumsnorm {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\varphi|}} |\leq|1 || || || |SZ= }} gilt. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=,}} wenn es die Bedingungen aus Teil (1) erfüllt, {{ Definitionslink |Prämath= |stabil| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein {{math|term= \varphi|SZ=,}} das stabil ist, das aber nicht die Eigenschaften aus Teil (1) besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=3 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxfaitwg4jeornnuziy9k04mg4torm1 0 99843 786586 759607 2022-08-22T11:50:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n} || || || |SZ= }} eine reelle quadratische Matrix mit nichtnegativen Einträgen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |spaltenstochastisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= M|SZ=}} für Vektoren mit nichtnegativen Einträgen isometrisch bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Summennorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm| M v |}}_{\rm sum} || {{op:Norm| v |}}_{\rm sum} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= v \in \R_{\geq 0}^n|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lg79jsgcrg3pwbpeavj6y3t0y59iwi8 0 99858 786593 759614 2022-08-22T11:51:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine {{ Definitionslink |Prämath= |stochastische Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der jede Spalte gleich {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|p_1|p_2|\vdots|p_n}} |SZ=}} ist. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenverteilung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und eine Basis des Kerns zu dieser Matrix. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 285dgur9uhmt6w2y8aty5sm8yi4q581 0 99863 786595 759616 2022-08-22T11:51:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |spaltenstochastische Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor|u_1|\vdots|u_n}} |\sum_{i {{=}} 1}^n u_i {{=}} 0 }} |\subseteq| \R^n || || |SZ= }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= U|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |invariant| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter {{math|term= M|SZ=}} ist und dass {{mathl|term= M {{|}}_U |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |asymptotisch stabil| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ylke0i2ef31spwph1wi70yn4k94b1w 0 99893 781803 755709 2022-08-21T22:56:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Wenn {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |asymptotisch stabil| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dann {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Folge {{ mathbed|term= {{makl| {{op:Determinante|\varphi||}} |}}^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} gegen {{math|term= 0|SZ=.}} |Wenn {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stabil| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dann ist die Folge {{ mathbed|term= {{makl| {{op:Determinante|\varphi||}} |}}^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Wenn die Folge {{ mathbed|term= \varphi^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} konvergiert, dann konvergiert die Folge {{ mathbed|term= {{makl| {{op:Determinante|\varphi||}} |}}^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} oder gegen {{math|term= 1|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2=Determinantentheorie (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hz21zl53he11ys3j0kwn8vju2tz0r5n 0 99894 781804 755710 2022-08-21T22:56:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die nicht {{ Definitionslink |Prämath= |stabil| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, für die aber die Folge {{ mathbed|term= {{makl| {{op:Determinante|\varphi||}} |}}^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2=Determinantentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5daoza7p5228avqkw52e48ny57l32ah 0 99909 786130 557865 2022-08-22T10:34:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Aufbau der Registermaschine wurde der Druckbefehl durch einen Musiktonbefehl ersetzt, der den Inhalt von {{math|term= R_1|SZ=}} in einen Ton umsetzt, damit man mit der Registermaschine auch komponieren bzw. Lieder kodieren kann. Für ein Lied wurden schon Programmabschnitte {{mathl|term= P_1,P_2,P_3,P_4|SZ=}} geschrieben, die die folgende Bedeutung haben: {{math|term= P_1|SZ=}} ist das Vorspiel {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= V|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} {{math|term= P_2|SZ=}} ist die Strophe {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= S|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} {{math|term= P_3|SZ=}} ist der Refrain {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= P_4|SZ=}} ist das Gitarrensolo {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= G|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Es soll nun aus den Programmabschnitten ein {{ Zusatz/Klammer |text=anhaltendes| |ISZ=|ESZ= }} Programm zusammengesetzt werden, derart, dass beim Abspielen des Programms ein Lied der Form {{ math/disp|term= V-S-R-S-R-G-S-R-R |SZ= }} erklingt. Dabei darf jeder der Programmabschnitte {{mathl|term= P_1,P_2,P_3,P_4|SZ=}} nur einmal im Programmcode auftauchen. Verwende{{n Sie}} ausschließlich die Grundbefehle. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 259nbhdco7auc4p8qhgji8sgaljdq7k 0 99911 782891 756653 2022-08-22T01:57:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Identität {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Identität||}} |\N|\N || |SZ= }} und den Ausdruck {{mathl|term= x=y|SZ=,}} den wir mit {{math|term= \psi |SZ=}} bezeichnen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\subseteq| L^{\rm Ar} || || |SZ= }} die Ausdrucksmenge, die die Kommutativität und die Assoziativität der Addition besagt sowie, dass {{math|term= 0|SZ=}} das neutrale Element der Addition ist. {{ Aufzählung5 |Zeige{{n Sie}}, dass der Graph der Identität durch {{math|term= \psi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |schwach repräsentierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \Gamma|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass der Graph der Identität nicht {{ Definitionslink |Prämath= |repräsentierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \Gamma|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass der Graph der Identität {{ Definitionslink |Prämath= |repräsentierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in der Peano-Arithmetik {{math|term= {\rm PA}|SZ=}} ist. |Ist die Identität als Abbildung repräsentierbar in der Peano-Arithmetik? |Gilt {{ math/disp|term= \Gamma \vdash \exists ! y \psi (n, y) |SZ= }} für jedes {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei werde {{math|term= n|SZ=}} durch eine {{math|term= n|SZ=-}}fache Summe der {{math|term= 1|SZ=}} mit sich in beliebiger Klammerung wiedergegeben| |ISZ=|ESZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (Ausdrucksmenge) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=11 |p1=2 |p2=2 |p3=4 |p4=1 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fgtj5fqdxabe0rlgfiy2564h7zigh1w 0 99922 781789 755691 2022-08-21T22:53:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |PuntosAfín|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Marianov |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 1.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten das Symbolalphabet {{math|term= S|SZ=,}} das neben Variablen aus einem einzigen zweistelligen Relationssymbol {{math|term= R|SZ=}} besteht, wobei in der abgebildeten Punktemenge das Relationssymbol {{math|term= R|SZ=}} als {{Anführung|(echt) rechts von}} interpretiert wird. Für zwei Punkte {{mathl|term= P,Q|SZ=}} bedeutet also {{mathl|term= RPQ|SZ=,}} dass sich {{math|term= P|SZ=}} rechts von {{math|term= Q|SZ=}} befindet. {{ Aufzählung2 |Welche(r) Punkt(e) erfüllt(en) {{ math/disp|term= \exists y (Ryx {{logund}} \forall z (Rzx \rightarrow y=z) |SZ=? }} |Charakterisiere{{n Sie}} den Punkt {{mathl|term= p_0|SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Prämath=S |Ausdruck| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j23549h6rrusfp06jlgv4bidxd2lhrv 0 99924 780544 646328 2022-08-21T19:26:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl {{math|term= n|SZ=,}} also {{Verknüpfungstabelle6|Symbol=+|1|2|3|\ldots|n-1|n| |a1,1=1+1|a1,2=1+2|a1,3=1+3|a1,4=\ldots|a1,5=1+n-1|a1,6=1+n |a2,1=2+1|a2,2=2+2|a2,3=2+3|a2,4=\ldots|a2,5=2+n-1|a2,6=2+n |a3,1=3+1|a3,2=3+2|a3,3=3+3|a3,4=\ldots|a3,5=3+n-1|a3,6=3+n |a4,1=\vdots|a4,2=\vdots|a4,3=\vdots|a4,4=\vdots |a4,5=\vdots|a4,6= \vdots |a5,1=n-1+1|a5,2=n-1+2|a5,3=n-1+3|a5,4= \ldots |a5,5=n-1+n-1|a5,6=n-1+n |a6,1=n+1|a6,2=n+2|a6,3=n+3|a6,4= \ldots |a6,5=n+n-1|a6,6= n+n ||||||}} Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich {{mathl|term= (n+1)n^2|SZ=}} ist, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{ 1 \leq i \leq n,\,1\leq j \leq n} (i+j) || (n+1)n^2 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sn6wf3yhq30zxyrkq57gi9r2y2rt8vj 106 99961 785202 592034 2022-08-22T08:02:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_II/Arbeitsblattgestaltung|33| {{Zwischenüberschrift|term=Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Linearkombination/(2,-7) durch/(5,-3) und (-11,4)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Koordinatensystem/Orientierung/Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Koordinatensystem/Tupel/Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Koordinatensystem/Punkt/Operationen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebenes Koordinatensystem/Punkt/Gerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebenes Koordinatensystem/Punkte/Addition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zahlenraum/Vektorraum/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baumarkt/Schraubensets/Tauschaktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q^2/Nichttriviale Darstellung der Null/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q^3/Nichttriviale Darstellung der Null/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zahlenraum/Erzeugendensystem/Darstellbare Vektoren weglassen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |K^3/215/137/412/Ist Basis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q^3/23-5/926/-14-1/Ist Basis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenraum/Vektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixprodukt/Explizit/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Reihe und Spalte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Nicht kommutativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixmultiplikation/e_i e_j/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Wirkungsweise auf Standardspalten und Standardzeilen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu einer quadratischen Matrix {{math|term=M|SZ=}} bezeichnet man mit {{math|term=M^n|SZ=}} die {{math|term=n|SZ=-}}fache Verknüpfung {{ Zusatz/Klammer |text=Matrizenmultiplikation| |ISZ=|ESZ= }} mit sich selbst. Man spricht dann auch von {{math|term=n|SZ=-}}ten {{Stichwort|Potenzen|msw=Potenz|SZ=}} der Matrix. {{ inputaufgabe |Matrix/Potenzen/246/135/012/bis 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diagonalmatrix/Wirkungsweise/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diagonalmatrix/Lineares Gleichungssystem/Lösungsverfahren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Linearkombination/(5,-8) durch/(6,-4) und (-3,7)/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q^3/Nichttriviale Darstellung der Null/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Obere Dreiecksmatrix/4/Nulldiagonale/Nilpotent/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben. {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Assoziativität/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenpotenzen/ab0d/Formel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/2/Wurzeln aus Einheitsmatrix/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} nr70gdgnbn8lt60pnkyig9rplb1xmv0 106 100005 784288 590254 2022-08-22T05:50:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|49| Zu einem Körper {{math|term=K|SZ=}} wie {{math|term=\Q|SZ=}} oder {{math|term=\R|SZ=}} und einer fixierten Variablen {{math|term=X|SZ=}} kann man sich fragen, welche Terme man mit dieser Variablen über diesem Körper {{Anführung|basteln}} kann. Dazu gehören {{ math/disp|term= 5, \, 3X+3,\, 3(X+1),\, (2X-6)(4X+3), \, X \cdot ( X \cdot X), \,5 +3 X -6X^2+7X^3, \, X^2-4 + 5X^2 +7X -13X |SZ=, }} wobei wir Potenzschreibweise verwendet und einige Klammern weggelassen haben. Als Terme sind {{ mathkor|term1= 3X+3 |und|term2= 3(X+1) |SZ= }} verschieden. Bei jeder Interpretation von {{math|term=X|SZ=}} in einem Ring sind diese Ausdrücke aber gleich. Der Polynomring besteht aus genau diesen Termen, wobei allerdings Terme miteinander identifiziert werden, wenn sich dies aus den Rechenregeln für einen kommutativen Ring ergibt. {{Zwischenüberschrift|term=Der Polynomring über einem Körper}} {{ inputdefinition |Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition|| }} Dabei nennt man {{math|term=X|SZ=}} die {{Stichwort|Variable|SZ=}} des Polynomrings. Ein Polynom {{ Ma:Vergleichskette |P || {{polynomX|n|a|i}} || {{polynomX/dots|n|a}} || || || |SZ= }} ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel {{mathl|term=(a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n ) |SZ=,}} die die {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} des Polynoms heißen. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Der Körper {{math|term=K |SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|Grundkörper|SZ=}} des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem {{Stichwort|Nullpolynom|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem alle Koeffizienten {{math|term=0 |SZ=}} sind| |SZ= }} als neutralem Element. Die Polynome mit {{ Ma:Vergleichskette |a_i ||0 || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |i |\geq|1 || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=Konstantes Polynom|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term=a_0 |SZ=.}} Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt {{mathl|term=X^{n} \cdot X^{m}|SZ=}} ist nämlich durch die Addition der Exponenten, also {{ Ma:Vergleichskette | X^{n} \cdot X^{m} |{{defeq}}| X^{n+m} || || || |SZ=, }} gegeben. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, {{Anführung|alles mit allem}} zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:{{Zusatz/Fußnote|text=Wobei wir natürlich, wie auch bei der Addition oder dem Vergleichen von Polynomen verschiedener Grade, die Polynome für {{mathl|term=r>n}} bzw. {{mathl|term={k-r}>m}} mit den Koeffizienten {{mathl|term=a_r=0}} bzw. {{mathl|term=b_{k-r}=0}} ergänzen können|ESZ=|ISZ=.}} {{ math/disp|term= {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} |SZ=. }} Beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{makl| 4X^2-5X+6 |}} {{makl| 3X^2+2X-1 |}} ||12X^4 +(4 \cdot 2 -5 \cdot 3 )X^3 +(-4 -5 \cdot 2 +6 \cdot 3 )X^2 +( 5 + 6 \cdot 2)X -6 ||12X^4 -7 X^3 + 4 X^2 + 17 X -6 || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/1/Körper/Kommutativer Ring/Fakt|Lemma|| || }} Der Polynomring ist kein Körper, beispielsweise gibt es zur Variablen {{math|term=X|SZ=}} kein inverses Element. {{ inputdefinition |Polynomring/Grad/Definition|| }} Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient {{math|term=a_n|SZ=,}} der zum Grad {{math|term=n|SZ=}} des Polynoms gehört, heißt {{Stichwort|Leitkoeffizient|SZ=}} des Polynoms. Der Ausdruck {{mathl|term=a_nX^n|SZ=}} heißt {{Stichwort|Leitterm|SZ=.}} Ein Polynom mit Leitkoeffizient {{math|term=1|SZ=}} heißt {{Stichwort|normiert|msw=Normiertes Polynom|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Körper/Grad/Einfache_Regeln/Fakt|Lemma|| || }} Polynome vom Grad {{math|term=0|SZ=}} sind die konstanten Polynome, Polynome vom Grad {{math|term=1|SZ=}} nennt man auch lineare Polynome. {{Zwischenüberschrift|term=Quadratische Polynome}} {{:Quadratische Polynome/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2={{ Zusatz/Fußnote |text=Den Ausdruck {{math|term=b^2-4ac|SZ=}} nennt man auch die {{Stichwort|Diskriminante|SZ=}} der quadratischen Gleichung| |ISZ=.|ESZ=. }}|}} {{Fußnotenliste}} }} bqtiqqs3a8622xyp6rxq7f5mpjwo9jz 0 100047 781727 696037 2022-08-21T22:43:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist {{math|term= 30|SZ=}} cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von {{math|term= 20|SZ=}} cm und oben am Rand einen Durchmesser von {{math|term= 25|SZ=}} cm. Über Nacht hat es {{math|term= 5|SZ=}} cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes für kompakte Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7sz84v7kz2z1pssxoyhbbmm0htifcba 0 100053 782388 558423 2022-08-22T00:33:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bei einer Fußballweltmeisterschaft werden in der Runde der letzten vier die Plätze {{mathl|term= 1,2,3,4|SZ=}} nach folgendem Modus bestimmt: Es gibt zwei Halbfinals, deren Gewinner das Finale und deren Verlierer das Spiel um Platz {{math|term= 3|SZ=}} bestreiten. Von einer solchen Runde seien die Mannschaften {{math|term= A,B,C,D |SZ=}} und die Ergebnisse der insgesamt vier Spiele bekannt, aber nicht die Rolle der Spiele. {{ Aufzählung3 |Welche Information über die Platzierung kann man stets aus den Daten erschließen? |Unter welcher Bedingung kann man die Rolle aller Spiele erschließen, |unter welcher nicht? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1gnft764ajr7wdqeyng2zo8ad3bamh3 106 100087 779790 575282 2022-08-21T17:22:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki Eine quadratische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | ax^2+bx+c ||0 || || || |SZ= }} lässt sich durch quadratisches Ergänzen lösen, d.h. man findet die Nullstellen der Gleichung, indem man eine äquivalente rein-quadratische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | x^2 || d || || || |SZ= }} löst. Wie sieht es bei einer Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | ax^3+bx^2+cx+d || 0 || || || |SZ= }} aus {{ Zusatz/Klammer |text=oder im Grad vier| |ISZ=|ESZ=? }} Die sogenannten {{Stichwort|Cardanoschen Formeln|msw=Cardanosche Formel|SZ=}} erlauben auch hier, das Auffinden der Nullstellen auf das Lösen von geeigneten reinen Gleichungen {{ Ma:Vergleichskette | x^3 || e || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und reinen quadratischen Gleichungen| |ISZ=|ESZ= }} zurückzuführen. Ob es ein solches Lösungsverfahren auch für polynomiale Gleichungen vom Grad {{mathl|term=\geq 5|SZ=}} gibt war lange Zeit ein offenes mathematisches Problem, das gegen 1830 von Abel und Galois negativ gelöst wurde: ein solches Verfahren kann es nicht geben. Dies ist eines der Hauptergebnisse der Galoistheorie, bei der es darum geht, algebraische Körpererweiterungen mit Hilfe von gruppentheoretischen Eigenschaften der Automorphismengruppe zu studieren. Diese Vorlesung wendet sich an Studierende im zweiten oder dritten Studienjahr und setzt als Grundbegriff nur Polynomringe in einer Variablen über einem Körper voraus.<noinclude>[[Kategorie:Kurs:Körper-_und_Galoistheorie_(Osnabrück_2018-2019)/Information]]</noinclude> 6071o6tzznyuzpiksju1d3t7ytsv5ee 0 100565 784367 559572 2022-08-22T06:02:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} einstellige Relationssymbole. Erstelle{{n Sie}} eine Ableitung im Prädikatenkalkül für den {{Stichwort|Modus Disamis|SZ=,}} also die Aussage {{ math/disp|term= ( \exists x (Ax {{logund|}} Bx) {{logund|}} \forall x (Ax \rightarrow Cx) ) \rightarrow \exists x (Cx {{logund|}} Bx) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qv26lt1jtr1objksihuok9syikaw8g9 0 100568 780714 754830 2022-08-21T19:54:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=In einem {{Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition|SZ=}} ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x|}} | \geq| {{op:Betrag|y|}} || || || |SZ= }} eine zweistellige {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. Drücke{{n Sie}} diese Relation mit den üblichen Symbolen {{mathl|term= 0, -,\geq |SZ=,}} Variablen und aussagenlogischen Junktoren aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie des Betrags für einen angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72zxmj5tkzorlfxpbyxuvam4jpwto7n 0 100570 782400 756234 2022-08-22T00:35:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} das Symbolalphabet, das neben Variablen aus dem einzigen zweistelligen Relationssymbol {{math|term= G|SZ=}} besteht. Wir betrachten die KO-Runden {{ Zusatz/Klammer |text=also ab dem Achtelfinale| |ISZ=|ESZ= }} der Fußballweltmeisterschaften von 2014 und von 2018, ohne das Spiel um Platz {{math|term= 3|SZ=,}} als {{math|term= S|SZ=-}}Modelle, wobei wir {{math|term= G|SZ=}} als die Gewinnrelation interpretieren, d.h. {{mathl|term= xGy|SZ=}} besagt, dass {{math|term= x|SZ=}} gegen {{math|term= y|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=gespielt und| |ISZ=|ESZ= }} gewonnen hat. {{ Aufzählung8 |Welche der folgenden Relationen sind für die WM 2014 wahr: Brasilien G Deutschland, Deutschland G Brasilien, Deutschland G Argentinien, Mexiko G Japan. |Ist {{mathl|term= \forall y xGy |SZ=}} eine Charakterisierung des Weltmeisters? |Charakterisiere durch einen {{math|term= S|SZ=-}}Ausdruck in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} dass eine Mannschaft mindestens das Halbfinale erreicht hat. |Charakterisiere durch einen {{math|term= S|SZ=-}}Ausdruck in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} dass eine Mannschaft das Halbfinale, aber nicht das Finale erreicht hat. |Betrachte Schweden bei der WM 2018. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} einen {{math|term= S|SZ=-}}Ausdruck in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} der Schweden charakterisiert. |Welche(n) Mannschaft(en) der WM 2014 erfüllt (erfüllen) den {{math|term= S|SZ=-}}Ausdruck, der Schweden bei der WM 2018 charakterisiert? |Definiere{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath=S |Isomorphismus| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen der WM 2014 und der WM 2018. |Ist dies auch ein Isomorphismus, wenn man das Spiel um Platz {{math|term= 3|SZ=}} mitberücksichtigt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=2 |p6=1 |p7=2 |p8=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dmvkuc9989mim0jr94y3wdmx6qx18i9 0 100572 786111 759270 2022-08-22T10:31:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Schreibe{{n Sie}} einen Programmabschnitt {{mathl|term= C(i,j,k)|SZ=}} für eine {{ Definitionslink |Prämath= |Registermaschine| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das zum Befehl {{math|term= j|SZ=}} wechselt, wenn im {{math|term= i|SZ=-}}ten Register der Wert {{math|term= k|SZ=}} steht, und ansonsten weiterläuft. Man verwende nur die Grundbefehle. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dje111uejyfp6r1p9y297q46btbyygr 0 100576 784116 757772 2022-08-22T05:22:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^n|SZ=}} sei mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v|}} || {{op:Norm| v |}}_{\rm max} || || || |SZ= }} versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n} || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|Mv|}} || {{op:Norm|v|}} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= v \in \R^n|SZ=.}} Eine solche Matrix nennen wir {{mathl|term= {{op:Norm|-|}}_{\rm max} |SZ=-}}isometrisch. {{ Aufzählung6 |Zeige{{n Sie}}, dass eine {{mathl|term= {{op:Norm|-|}}_{\rm max} |SZ=-}}isometrische Matrix {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{mathl|term= {{op:Norm|-|}}_{\rm max} |SZ=-}}isometrischen Matrizen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeinen linearen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet. |Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Norm|-|}}_{\rm max} |SZ=-}}isometrisch ist. |Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die {{math|term= 1|SZ=}} jeweils ein {{math|term= +|SZ=}} oder ein {{math|term= -|SZ=-}}Zeichen setzt. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{math|term= 3 \times 3|SZ=-}}Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix {{mathl|term= {{op:Norm|-|}}_{\rm max} |SZ=-}}isometrisch ist. |Zeige{{n Sie}}, dass jede {{mathl|term= {{op:Norm|-|}}_{\rm max} |SZ=-}}isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |p1=2 |p2=2 |p3=1 |p4=1 |p5=1 |p6=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jhs7uf2368grerfj0x82m1q14tpiczy 0 100578 781580 755535 2022-08-21T22:18:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Dreieck, das durch die Eckpunkte {{ mathlist|term1= {{op:Spaltenvektor|-1|1}} |,|term2= {{op:Spaltenvektor|5|2}} |und|term3= {{op:Spaltenvektor|2|-3}} |SZ= }} gegeben ist. {{ Aufzählung6 |Bestimme{{n Sie}} den Umfang des Dreiecks. |Bestimme{{n Sie}} eine ganze Zahl {{math|term= n|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass der Dreiecksumfang zwischen {{ mathkor|term1= n |und|term2= n+1 |SZ= }} liegt. |Bestimme{{n Sie}} den Kosinus des Winkels des Dreiecks im Eckpunkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|-1|1}} |SZ=.}} |Erstelle{{n Sie}} eine Gleichung in Parameterform für die Höhengerade durch den Eckpunkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|5|2}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Höhenfußpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Höhe durch den Eckpunkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|5|2}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} den Flächeninhalt des Dreiecks. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |p1=2 |p2=3 |p3=2 |p4=2 |p5=2 |p6=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ikej7ruhz6rdg95s21afr54k1gq3iii 0 100582 785155 758507 2022-08-22T07:55:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X]|SZ=}} der Polynomring in der einen Variablen {{math|term= X|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=.}} Zu einem Polynom {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} und einer Linearform {{ Ma:Vergleichskette/disp |L ||aX+b || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} bezeichnet {{ math/disp|term= P {{op:Bruch|L|X}} |SZ= }} das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von {{math|term= X|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} durch {{mathl|term= aX+b|SZ=}} ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation {{math|term= \sim|SZ=}} auf {{mathl|term= K[X]|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |P |\sim|Q || || || |SZ=, }} falls es eine Linearform {{ mathbed|term= aX+b |mit|bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q ||P {{op:Bruch|aX+b|X}} || || || |SZ= }} gibt. {{ Aufzählung5 |Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{makl| 3X^2-4X+7 |}} {{op:Bruch|3X-5|X}} |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass durch {{math|term= \sim|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist. |Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K ||{{CC}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jedes Polynom einen {{ Definitionslink |Prämath= |Repräsentanten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q(0) ||0 || || || |SZ= }} besitzt. |Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K ||{{CC}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jedes Polynom {{mathl|term= \neq 0|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |normierten| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Repräsentanten besitzt. |Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms {{math|term= P \neq 0 |SZ=}} nur von der Äquivalenzklasse {{mathl|term= [P]|SZ=}} abhängt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=1 |p2=3 |p3=2 |p4=2 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gktm3b9wdq37rf657928hgv9wkaflcv 0 100584 784230 748997 2022-08-22T05:41:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Situation|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| {{{M|M}}} || || || |SZ= }} ein Punkt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \{P\} |SZ=}} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 679jmw21f8zfbk8zz2mwyc1kaf4lcve 0 100599 785219 758557 2022-08-22T08:04:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= K[X]|SZ=}} der Polynomring in der einen Variablen {{math|term= X|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette | Q ||K(X) || || || |SZ= }} der Quotientenkörper davon, also der Körper der rationalen Funktionen. Auf {{mathl|term= Q|SZ=}} definieren wir die Relation {{ Ma:Vergleichskette/disp | f |\sim| g || || || |SZ=, }} wenn es Polynome {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} vom gleichen Grad {{mathl|term= \geq 1 |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | g || {{op:Bruch |R|Z}} f || || || |SZ= }} gibt. {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass durch {{math|term= \sim|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist. |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklasse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= 0|SZ=.}} |Es seien {{mathl|term= A,B,C,D \in K[X]|SZ=}} Polynome {{math|term= \neq 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch |A|B}} |\sim| {{op:Bruch |C|D}} || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Grad Polynom|A|}} - {{op:Grad Polynom|B|}} || {{op:Grad Polynom|C|}} - {{op:Grad Polynom|D|}} || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass jedes {{ mathbed|term= f \in Q ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} einen eindeutig bestimmten Repräsentanten der Form {{mathl|term= X^n|SZ=}} mit {{mathl|term= n \in \Z|SZ=}} besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6st1x9n770x4aea4ed86jt14tdtm1pm 0 100601 779634 763678 2022-08-21T17:00:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem Körper {{math|term= K|SZ=}} und Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n |SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{ (X_1 {{kommadots|}} X_n ) } |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler regulärer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Er besitzt die Dimension {{math|term= n|SZ=}} und das maximale Ideal wird eben durch {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n |SZ=}} erzeugt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 64ccop2hqw17nnqv6ny75gppcuoyyey 0 100612 786172 759328 2022-08-22T10:41:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= \preccurlyeq|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=,}} die reflexiv und transitiv sei. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass auf {{math|term= M|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette |x |\sim|y || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette | x |\preccurlyeq|y || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | y |\preccurlyeq|x || || || |SZ= }} ist, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert wird. |Es sei {{math|term= Q|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} zur Äquivalenzrelation aus (1). Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:Vergleichskette | [x] |\leq| [y] || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette | x |\preccurlyeq| y || || || |SZ=, }} eine wohldefinierte Relation auf {{math|term= Q|SZ=}} gegeben ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die Relation auf {{math|term= Q|SZ=}} aus (2) eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungsrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2=Theorie der Quotientenmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dszsezrqqcwz3nowfbx6rk5a09txzfb 0 100683 778517 762453 2022-08-21T12:14:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || \bigcup_{i \in I} V_i || || || |SZ= }} eine offene Überdeckung einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq|Y || || || |SZ=. }} Dann bilden die {{ mathbed|term= \varphi^{-1} (V_i) ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine offene Überdeckung von {{math|term= \varphi^{-1}(V)|SZ=.}} Seien {{mathl|term= s,t \in \varphi_*{{op:Prägarbe|F}}(V)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | s {{|}}_{V_i \cap V_j} || t {{|}}_{V_i \cap V_j} || || || |SZ= }} gegeben. Dies bedeutet unmittelbar {{mathl|term= s,t \in {{op:Prägarbe|F}} {{makl| \varphi^{-1}(V) |}} |SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | s{{|}}_{ \varphi^{-1}(V_i) \cap \varphi^{-1}(V_j) } || s{{|}}_{ \varphi^{-1}(V_i \cap V_j) } || t{{|}}_{ \varphi^{-1}(V_i \cap V_j) } || t{{|}}_{ \varphi^{-1}(V_i) \cap \varphi^{-1}(V_j) } || |SZ=. }} Daher ist {{ Zusatz/Klammer |text=nach der ersten Garbeneigenschaft von {{math|term= {{op:Prägarbe|F|}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |s ||t || || || |SZ= }} in {{math|term= {{op:Prägarbe|F|}} {{makl| \varphi^{-1} (V) |}} |SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette |s ||t || || || |SZ= }} in {{math|term= \varphi_* {{op:Prägarbe|F|}} (V) |SZ=.}} Seien nun {{mathl|term= s_i \in {{op:Prägarbe|F|}} (V_i) |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | s_i {{|}}_{V_i \cap V_j} || s_j{{|}}_{V_i \cap V_j} || || || |SZ=. }} Dies bedeutet zurückübersetzt nach {{math|term= X|SZ=}} unmittelbar, dass kompatible Schnitte in {{mathl|term= {{op:Prägarbe|F|}} {{makl| \varphi^{-1}(V_i) |}} |SZ=}} vorliegen, denen ein Schnitt in {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Prägarbe|F|}} {{makl| \varphi^{-1}(V) |}} || \varphi_* {{op:Prägarbe|F|}} (V) || || || |SZ= }} entspricht. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gnogh27p07aob7hfess3nj4ececksor 0 100713 778618 762533 2022-08-21T12:30:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die symmetrische Potenz {{math|term= {{op:Sym|q|M}} |SZ=}} der Matrix beschreibt die durch die lineare Abbildung {{mathl|term= X_i \mapsto \sum_{j {{=}} 1}^n t_{ji} X_j|SZ=}} induzierte Abbildung des Polynomrings {{mathl|term= K(T_{ij})[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} auf sich selbst im Grad {{math|term= q|SZ=.}} Der Eintrag in der Zeile {{math|term= \mu|SZ=}} und Spalte {{math|term= \nu |SZ=}} ist also der Koeffizient zu {{math|term= X^\mu|SZ=}} von {{ math/disp|term= {{makl| t_{11}X_1 {{ plusdots|}} t_{n1}X_n |}}^{\nu_1} \cdots {{makl| t_{1n}X_1 {{ plusdots|}} t_{nn}X_n |}}^{\nu_n} |SZ=. }} Die {{math|term= i|SZ=-}}te Potenz ist nach dem Multinomialsatz {{ math/disp|term= \sum_{ {{op:Betrag|\lambda_i||}} {{=}} \nu_i} { { \nu_i } \choose \lambda_i} \cdot t_i^{\lambda_i} X^{\lambda_i} |SZ=. }} Um den Koeffizienten zu {{math|term= X^\mu|SZ=}} des gesamten Produktes zu bestimmen, muss man die Einzelprodukte der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | t_1^{\lambda_1} X^{\lambda_1} \cdots t_n^{\lambda_n} X^{\lambda_n} || t_1^{ \lambda_1} \cdots t_n^{\lambda_n} X^{ \lambda_1 {{plusdots|}} \lambda_n} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit Vorfaktoren| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda_1 {{plusdots|}} \lambda_n || \mu || || || |SZ= }} betrachten. Da die {{mathl|term= t_{ij}|SZ=}} Variablen sind, lässt sich aus dem Monom {{mathl|term= t_1^{ \lambda_1} \cdots t_n^{\lambda_n} |SZ=}} das Mehrfachtupel {{mathl|term= (\lambda_1 {{kommadots}} \lambda_n) |SZ=}} rekonstruieren. Dieses legt {{math|term= \mu|SZ=}} als Summe und auch {{math|term= \nu|SZ=}} über {{ Ma:Vergleichskette |\nu_i || {{op:Betrag|\lambda_i|}} || || || |SZ= }} fest. Dies bedeutet, dass jedes {{mathl|term= t_1^{ \lambda_1} \cdots t_n^{\lambda_n} |SZ=}} in der symmetrischen Potenz einer Variablenmatrix nur in einem Eintrag vorkommt. In Charakteristik {{math|term= 0|SZ=}} sind die Binomialkoeffizienten nicht {{math|term= 0|SZ=,}} daher sind sämtliche Einträge der symmetrischen Potenz linear unabhängig. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ddgc3sxhdx8trfibvq9bsdxiijefkm 0 100752 779147 560074 2022-08-21T15:43:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || X^3 +Y^3 || || || |SZ=. }} in Charakteristik {{math|term= 2|SZ=.}} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 2 Variablen 2 |ux=X^2 |uy=Y^2 |uxx=X |uxy=0 |uyy=Y |uxxx=1 |uyyy=1 }} |SZ=. }} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 2 Variablen 3 |ux=X^2 |uy=Y^2 |uxx=X |uxy=0 |uyy=Y |uxxx=1 |uyyy=1 }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i5ml17po0hj4uqktnftxge80fb59248 0 100753 779547 560075 2022-08-21T16:46:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || X^2 +Y^3 || || || |SZ=. }} in Charakteristik {{math|term= 2|SZ=.}} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 2 Variablen 2 |ux=0 |uy=Y^2 |uxx=1 |uxy=0 |uyy=Y |uxxx=0 |uyyy=1 }} |SZ=. }} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 2 Variablen 3 |ux=0 |uy=Y^2 |uxx=1 |uxy=0 |uyy=Y |uxxx=0 |uyyy=1 }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gqr865t035gc4ln5zxbqf462vf7d7ym 0 100780 779313 752589 2022-08-21T16:08:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |rational-polyedrischen |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Kegel, der im {{math|term= \R^3|SZ=}} durch ein Quadrat in der {{math|term= 1|SZ=-}}Ebene erzeugt wird, nämlich durch die vier Eckpunkte {{ math/disp|term= (0,0,1) ,\, (1,0,1),\, (0,1,1) ,\, (1,1,1) |SZ=. }} Diese vier Eckpunkte erzeugen das Monoid im zugehörigen Kegel. Die Summe des ersten und des vierten Erzeugers stimmt mit der Summe des zweiten und des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[M] |\cong| K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW) || || || |SZ= }} gegeben. Der Kegel wird durch vier Seiten begrenzt und ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |simplizial| |Kontext=Kegel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die definierenden integralen Linearformen sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_1 ||x || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_2 ||y || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_3 ||z-x || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_4 || z-y || || || |SZ=. }} Das {{Anführung| {{math|term= F|SZ=-}}Signatur-Polytop|SZ=,}} das durch die Bedingungen {{ mathbed|term= 0 \leq \ell_j \leq 1 ||bedterm1= 1 \leq j \leq 4 ||bedterm2= |SZ=, }} gegeben ist, ist eine Doppelpyramide mit dem Quadrat als Grundfläche und der {{ Zusatz/Klammer |text=Einzel| |ISZ=|ESZ=- }}Höhe, ihr Volumen {{ Zusatz/Klammer |text=also die kombinatorische {{math|term= F|SZ=-}}Signatur| |ISZ=|ESZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 \cdot {{op:Bruch|1|3}} || {{op:Bruch|2|3}} || || || |SZ=. }} Die Summe der vier Linearformen ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_1+ \ell_2+\ell_3+\ell_4 || 2z || || || |SZ=. }} Somit wird das {{Anführung| {{math|term= D|SZ=-}}Signatur-Polytop|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |z || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} begrenzt, und sein Volumen ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|1|2}} |}}^2 \cdot {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:Bruch|1|3}} || {{op:Bruch|1|24}} || || || |SZ=. }} Die kombinatorische {{math|term= D|SZ=-}}Signatur ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | 3! \cdot {{op:Bruch|1|24}} ||{{op:Bruch|1|4}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der dreidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardquadrik in vier Variablen |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gohenx2kijp1temevhclohbxtiw7jaj 0 100783 779306 763400 2022-08-21T16:07:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |rational-polyedrischen |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Kegel, der im {{math|term= \R^2|SZ=}} durch die zwei Kanten {{ mathkor|term1= (1,0) \R_{\geq 0} |und|term2= (k-1,k) \R_{\geq 0} |SZ= }} begrenzt wird. Das zugehörige Monoid {{math|term= M|SZ=}} ist durch die drei Erzeuger {{ math/disp|term= (1,0) ,\, (k-1,k) ,\, (1,1) |SZ= }} gegeben. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (1,0)+ (k-1,k) ||k (1,1) || || || |SZ=. }} Die Summe der beiden ersten Erzeuger stimmt also mit dem {{math|term= k|SZ=-}}fachen des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[M] |\cong| K[X,Y,Z]/(XY-Z^k) || || || |SZ= }} gegeben. Der Kegel wird wie jeder ebene Kegel durch zwei Kanten begrenzt. Die definierenden integralen Linearformen sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_1 ||y || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_2 || k x - (k-1)y || || || |SZ=. }} Beide Linearformen nehmen im Punkt {{mathl|term= (1,1) |SZ=}} den Wert {{math|term= 1|SZ=}} an. Die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette | \ell_1 || 1 || || || |SZ= }} bestimmt die zur {{math|term= x|SZ=-}}Achse parallele Gerade der Höhe {{math|term= 1|SZ=,}} die die zweite Kante im Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|k-1|k}}|1}} |SZ=}} durchstößt. Durch die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette | \ell_2 ||1 || || || |SZ= }} wird wiederum eine Gerade festgelegt, die parallel zur einen Kanten verläuft, und die die erste Kante, also die {{math|term= x|SZ=-}}Achse, im Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1|k}}|0}} |SZ=}} durchstößt. Durch die Bedingung {{ mathbed|term= 0 \leq \ell_1 \leq 1 |und|bedterm1= 0 \leq \ell_2 \leq 1 ||bedterm2= |SZ= }} wird ein Parallelogramm {{ Zusatz/Klammer |text=das {{Anführung| {{math|term= F|SZ=-}}Signatur-Polytop|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} definiert, das vom Ursprung ausgehend von den beiden Vektoren {{ mathkor|term1= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|k-1|k}}|1}} |und|term2= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1|k}}|0}} |SZ= }} aufgespannt wird. Sein Flächeninhalt ist nach der Determinantenformel gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| {{op:Determinante| {{op:Matrix22| {{op:Bruch|k-1|k}}|{{op:Bruch|1|k}}|1|0}} |}} |}} || {{op:Bruch|1|k}} || || || |SZ=. }} Dies ist die kombinatorische {{math|term= F|SZ=-}}Signatur des Kegels. Die Summe der zwei beschreibenden Linearformen ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_1+ \ell_2 || kx- (k-2)y || || || |SZ=. }} Durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_1+ \ell_2 || 1 || || || |SZ= }} wird das Parallelogramm in zwei Dreiecke zerteilt, deren Flächeninhalte {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2k}} |SZ=}} sind. Durch den Fakultätsfaktor {{math|term= 2!|SZ=}} ergibt sich, dass die {{math|term= D|SZ=-}}Signatur ebenfalls gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|1|k}} |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b42a6gfl2felhbbtruzddzx1389yd00 0 100789 779548 561147 2022-08-21T16:46:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der Neilschen Parabel, die durch die numerische Halbgruppe {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || \{0,2,3, \ldots \} |\subset|\N || || |SZ= }} gegeben ist, lassen sich zu jedem Monom {{ mathbed|term= U^n ||bedterm1= n \in M ||bedterm2= |SZ=, }} direkt unitäre Differentialoperatoren rational angeben. Wir betrachten {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2!}} \partial^2_U|SZ=.}} Dies schickt {{math|term= U^2|SZ=}} auf {{math|term= 1|SZ=,}} ist aber nur eine rationaler Operator, da {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|1|2!}} \partial^2_U |}} {{makl| U^3 |}} || 3 U |\notin| K[M] || || |SZ=. }} Diesen Umstand kann man aber durch einen Korrekturterm einfach beheben. Wir betrachten {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2!}} \partial^2_U -3 U {{op:Bruch|1|3!}} \partial^3_U |SZ=, }} der Koeffizient rechts ist so gewählt, dass {{math|term= U^3|SZ=}} insgesamt auf {{math|term= 0|SZ=}} abgebildet wird. Der Term {{math|term= U^2|SZ=}} wird nach wie vor auf {{math|term= 1|SZ=}} abgebildet. Monome der Form {{ mathbed|term= U^n ||bedterm1= n \geq 4 ||bedterm2= |SZ=, }} werden auf skalare Vielfache von {{mathl|term= U^{n-2}|SZ=}} abgebildet, das Bild gehört also zum Ring. Somit ist der angegebene Operator ein unitärer Operator für {{math|term= U^2|SZ=}} auf {{mathl|term= K[M]|SZ=.}} In der gleichen Weise ergeben sich unitäre Operatoren für {{ mathbed|term= U^n ||bedterm1= n \geq 3 ||bedterm2= |SZ=, }} man kann stets {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|n!}} {{makl| \partial_U^n - U \partial_U^{n+1} |}} |SZ= }} nehmen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4esbjla5r1tl27k62p5h57vzdhk7php 0 100807 782934 721114 2022-08-22T02:04:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} durch Induktion nach {{math|term= n|SZ=}} unter Verwendung {{ Faktlink |Präwort=der|partiellen Integration|Faktseitenname= Partielle Integration/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_0^1 x^m (1-x)^n dx || {{op:Bruch|m! n!|(m+n+1)!}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l33egjn0fvvdqqt86jlpz48xjxbd2gd 0 100835 783735 562366 2022-08-22T04:18:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein und Heidi Gonzales haben jeweils eine zylinderförmige Laugenstange der Länge {{math|term= 20|SZ=}} cm und mit einem Durchmesser von {{math|term= 3|SZ=}} cm. Beide wollen daraus eine Butterlaugenstange machen. Lucy schneidet ihre Stange der Länge nach in der Mitte auf und bestreicht sie einseitig mit Butter der Dicke {{math|term= 0,5|SZ=}} mm. Heidi zerlegt ihre Stange gleichmäßig in Stücke der Höhe {{math|term= 2,5|SZ=}} cm, und bestreicht auf jedem Stück einseitig die runden Querschnitte mit Butter der Dicke {{mathl|term= 0,5|SZ=}} mm. {{ Aufzählung3 |Wer verwendet mehr Butter? |Wie viel Butter verwendet Lucy? |Wie viele Laugenstangen kann Lucy mit ihrer Methode bestreichen, wenn sie eine {{mathl|term= 250|SZ=}} Gramm Butterpackung zur Verfügung hat und wenn ein Kubikzentimeter Butter ein Gramm wiegt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Heidi Gonzales |Personenkategorie2=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 49wrtbtobzi4nj0dfu9q8xr76o89y97 0 100912 779310 585824 2022-08-21T16:08:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den polyedrischen Kegel {{mathl|term= \R_{\geq 0}^n|SZ=}} mit dem zugehörigen Monoid {{math|term= \N^n|SZ=}} und dem Monoidring {{ Ma:Vergleichskette/disp | K[\N^n] || K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ=. }} Das Monoid wird erzeugt durch die Standardvektoren {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n|SZ=}} und die begrenzenden Linearformen sind {{ Ma:Vergleichskette | \ell_i || e_i^* || || || |SZ=, }} also die Dualbasis dazu. Durch die Hyperflächen {{ Ma:Vergleichskette | \ell_i ||1 || || || |SZ= }} und den Kegel wird der {{math|term= n|SZ=-}}dimensionale Würfel eingegrenzt, der das Volumen {{math|term= 1|SZ=}} besitzt. Durch die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_1 {{plusdots|}} \ell_n ||1 || || || |SZ= }} wird zusammen mit dem Kegel ein {{math|term= n|SZ=-}}dimensionaler Standardsimplex festgelegt, der das Volumen {{math|term= {{op:Bruch|1|n!}} |SZ=}} besitzt. Multipliziert mit {{math|term= n!|SZ=}} ergibt sich {{math|term= 1|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mn7mer8nw4njejarzn5q7xo081pofx6 0 100915 779614 561091 2022-08-21T16:57:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Den Operator {{ math/disp|term= x_1 \partial_1 {{plusdots|}} x_n \partial_n |SZ= }} nennt man den {{Stichwort|Homogenitätsoperator|SZ=}} oder die {{Stichwort|Euler-Derivation|SZ=.}} Er bildet ein Monom {{math|term= X^\mu |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Betrag|\mu|}} X^\mu|SZ=}} ab. Allgemeiner wird ein homogenes Polynom {{math|term= f|SZ=}} von Grad {{math|term= {{{m|m}}}|SZ=}} durch diesen Operator auf {{math|term= {{{m|m}}} f|SZ=}} abgebildet. Die homogenen Polynome vom Grad {{math|term= {{{m|m}}}|SZ=}} sind also die Eigenvektoren zum Eigenwert {{math|term= {{{m|m}}} |SZ=}} zu diesem Operator. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Derivationen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cce55wil21k2px6w3oswo34hfr4u06s 0 100934 781385 755413 2022-08-21T21:46:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name=E |R|R || |SZ= }} eine {{math|term= K|SZ=-}}lineare Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung2 |{{math|term= E|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialoperator| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= \leq n|SZ=.}} |Für beliebige Elemente {{mathl|term= f_0,f_1 {{kommadots|}} f_n \in R |SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/align | E(f_0 \cdots f_n) || \sum_{s {{=}}1}^n (-1)^{s+1} \sum_{I \subseteq \{0 {{kommadots|}} n\},\, {{op:Anzahl|I|}} {{=}} s } \prod_{i \in I} f_i \cdot E {{makl| \prod_{i \notin I} f_i |}} || \sum_{I \subseteq \{0 {{kommadots|}} n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ {{op:Anzahl|I|}}+1} \prod_{i \in I} f_i \cdot E {{makl| \prod_{i \notin I} f_i |}} || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4c36lsx20x3ex2ookfv4n9oxg4fp0kv 0 100935 785166 758517 2022-08-22T07:57:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Schwarz|Faktseitenname= Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für den {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} über einem beliebigen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} also die Vertauschbarkeit von {{ Definitionslink |Prämath= |formalen partiellen Ableitungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} daz4kpm3c3te861jih3qdkz9jv4yoc5 0 100936 785144 561016 2022-08-22T07:54:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Ring der Differentialoperatoren auf {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} nicht kommutativ ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ukvtjnsshpz8115pzyuv5rrndeo1nd 0 100939 781266 755296 2022-08-21T21:26:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |W |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb |name=D |R|R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Derivation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | D {{makl| {{op:Bruch|f|g}} |}} | {{defeq|}} | {{op:Bruch|gD(f)-f D(g)|g^2}} || || || |SZ= }} eine Derivation auf der Nenneraufnahme {{math|term= R_W|SZ=}} gegeben ist, die {{math|term= D|SZ=}} fortsetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Derivationen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f01ugzsra9a3vs5lsm1714i48y79hrr 0 100940 784420 561026 2022-08-22T06:09:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} im Monoidring {{mathl|term= K[X,Y,Z]/(Z^2-XY)|SZ=}} die kanonischen unitären Differentialoperatoren {{ Zusatz/Klammer |text=und ihre Ordnung| |ISZ=|ESZ= }} für die Monome {{ Aufzählung3 |{{math|term= X|SZ=,}} |{{math|term= Z|SZ=,}} |{{math|term= XY|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unitären Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7zztf2q3kpcnjvdp0db4uwblyzmi7pt 0 100944 784416 561030 2022-08-22T06:08:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} im Monoidring {{mathl|term= K[X,Y,Z]/(ZW-XY)|SZ=}} die kanonischen unitären Differentialoperatoren {{ Zusatz/Klammer |text=und ihre Ordnung| |ISZ=|ESZ= }} für die Monome {{ Aufzählung3 |{{math|term= X|SZ=,}} |{{math|term= XY|SZ=,}} |{{math|term= X^2|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unitären Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m8w2bbiogfznq9dz6zdpw1q59wemqs0 0 100948 783089 561042 2022-08-22T02:30:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den von den beiden Kanten {{ mathkor|term1= \R_{\geq 0} {{op:Spaltenvektor|7|2}} |und|term2= \R_{\geq 0} {{op:Spaltenvektor|5|6}} |SZ= }} eingeschlossenen zweidimensionalen Kegel {{math|term= C|SZ=}} und das zugehörige Monoid {{mathl|term= C \cap \Z^2|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die beschreibenden Linearformen und die Signaturen des Kegels. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0e3d3tfslt83rdxr8vnt0vjxqs20xlw 0 100954 785167 561079 2022-08-22T07:57:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Prove for the polynomial ring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} over an arbitrary field {{math|term= K|SZ=}} that the formal partial derivatives commute. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gd01wdv8ls7wv4dejfcxfi1u5kwjtho 0 100955 785145 561057 2022-08-22T07:54:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Show that the ring of differential operators on {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} is not commutative. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nnkn8rn3hr3mtcd44fymrkg12g2oxez 0 100956 782839 561058 2022-08-22T01:48:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{mathl|term= H \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} be a homogeneous polynomial of degree {{math|term= {{{e|e}}}|SZ=.}} Show the equality {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{{e|e}}} H || X_1 {{op:Partielle Ableitung|H|X_1}} {{plusdots|}} X_n {{op:Partielle Ableitung|H|X_n}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3clcbgoxhwbjvma08kkjp5bgrea03li 0 100957 781269 561080 2022-08-21T21:26:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= {{{A|A}}}|SZ=}} be a commutative {{math|term= {{{R|R}}}|SZ=-}}algebra over a commutative ring {{math|term= {{{R|R}}} |SZ=.}} Let {{ Ma:abbele/disp |name= \mu_f |{{{A|A}}}|{{{A|A}}} |x|fx |SZ=, }} denote the {{math|term= {{{R|R}}} |SZ=-}}linear multiplication map for {{mathl|term= f \in {{{A|A}}}|SZ=.}} For {{math|term= {{{R|R}}} |SZ=-}}linear maps {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_1, \varphi_2 |{{{A|A}}}|{{{A|A}}} || |SZ= }} set {{ Ma:Vergleichskette/disp | [\varphi_1,\varphi_2] || \varphi_1 \circ \varphi_2-\varphi_2 \circ \varphi_1 || || || |SZ=. }} Suppose that a {{math|term= {{{R|R}}} |SZ=-}}derivation {{ Ma:abb |name=\delta |{{{A|A}}}|{{{A|A}}} || |SZ= }} is given. Show that for all {{mathl|term= g \in {{{A|A}}} |SZ=}} the map {{mathl|term= [\delta, \mu_g ] |SZ=}} is multiplication by some element. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Derivationen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t4yn3i296a135yzcekeeawqb5216ytg 0 100958 781267 561065 2022-08-21T21:26:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= R|SZ=}} denote a commutative {{math|term= K|SZ=-}}algebra and let {{ Ma:Vergleichskette |W |\subseteq|R || || || |SZ= }} denote a multiplicative system. Let {{ Ma:abb |name=D |R|R || |SZ= }} denote a {{math|term= K|SZ=-}}derivation. Show that we get via {{ Ma:Vergleichskette/disp | D {{makl| {{op:Bruch|f|g}} |}} | {{defeq|}} | {{op:Bruch|gD(f)-f D(g)|g^2}} || || || |SZ= }} a derivation on the localization {{math|term= R_W|SZ=}} which extends {{math|term= D|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Derivationen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ats7eti2ydyootxygb6031quh2kyd9e 0 100959 781386 561066 2022-08-21T21:46:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= R|SZ=}} denote a commutative {{math|term= K|SZ=-}}algebra and let {{ Ma:abb |name=E |R|R || |SZ= }} denote a {{math|term= K|SZ=-}}linear map. Show that the following statements are equivalent. {{ Aufzählung2 |{{math|term= E|SZ=}} is a differential operator of order {{math|term= \leq n|SZ=.}} |For arbitrary elements {{mathl|term= f_0,f_1 {{kommadots|}} f_n \in R |SZ=}} we have {{ Ma:Vergleichskette/align | E(f_0 \cdots f_n) || \sum_{s {{=}}1}^n (-1)^{s+1} \sum_{I \subseteq \{0 {{kommadots|}} n\},\, {{op:Anzahl|I|}} {{=}} s } \prod_{i \in I} f_i \cdot E {{makl| \prod_{i \notin I} f_i |}} || \sum_{I \subseteq \{0 {{kommadots|}} n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ {{op:Anzahl|I|}}+1} \prod_{i \in I} f_i \cdot E {{makl| \prod_{i \notin I} f_i |}} || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r0zaf982n8qbnv236194tgyfgfquc47 0 100962 783090 561069 2022-08-22T02:30:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= We consider the twodimensional cone {{math|term= C|SZ=}} given by the edges {{ mathkor|term1= \R_{\geq 0} {{op:Spaltenvektor|7|2}} |and|term2= \R_{\geq 0} {{op:Spaltenvektor|5|6}} |SZ= }} and the corresponding monoid {{mathl|term= C \cap \Z^2|SZ=.}} Determine the describing integral linear forms and the signatures of the cone. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} omlkydfstbbmweo5ywx7vq5hs9mjwq7 0 100963 784421 561070 2022-08-22T06:09:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine for the monoid ring {{mathl|term= K[X,Y,Z]/(Z^2-XY)|SZ=}} the canonical unitary differential operators {{ Zusatz/Klammer |text=and their order| |ISZ=|ESZ= }} for the monomials {{ Aufzählung3 |{{math|term= X|SZ=,}} |{{math|term= Z|SZ=,}} |{{math|term= XY|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unitären Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3jfqjv17zeveiv3iha8qqvtrau7drwf 0 100964 784417 561071 2022-08-22T06:08:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine for the monoid ring {{mathl|term= K[X,Y,Z]/(ZW-XY)|SZ=}} the canonical unitary differential operators {{ Zusatz/Klammer |text=and their order| |ISZ=|ESZ= }} for the monomials {{ Aufzählung3 |{{math|term= X|SZ=,}} |{{math|term= XY|SZ=,}} |{{math|term= X^2|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unitären Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h19wrb544xe53hzxekpiqgc9em0vo95 0 100969 784720 561112 2022-08-22T06:50:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für den numerischen Halbgruppenring {{mathl|term= K[U^3,U^4,U^5, \ldots]|SZ=}} unitäre Differentialoperatoren für die Elemente {{mathl|term= U^3,U^4,U^5 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unitären Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3gp3j1e583gnt0r7ikog2f7q3ny2tbr 0 100970 784722 561113 2022-08-22T06:50:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine for the numerical semigroup ring {{mathl|term= K[U^3,U^4,U^5, \ldots]|SZ=}} unitary differential operators for the elements {{mathl|term= U^3,U^4,U^5 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unitären Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j5fxf8g3j9d554zrjjz24dwktxnc9m5 0 100999 783085 585823 2022-08-22T02:29:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |C |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} ein spitzer rationaler polyedrischer Kegel und {{math|term= F|SZ=}} eine Facette des Kegels. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\ell | \R^n| \R || |SZ= }} eine Linearform, in deren Kern die Facette liege. Die Linearform sei durch teilerfremde ganzzahlige Koeffizienten gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \ell|SZ=}} oder {{math|term= -\ell|SZ=}} die beschreibende integrale Linearform zu {{math|term= F|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Kegel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g1o50136ozgylbw7r48i06wv9aleafx 0 101000 783086 561298 2022-08-22T02:30:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{ Ma:Vergleichskette |C |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} denote a positve rational polyhedrial cone and {{math|term= F|SZ=}} a facet of the cone. Let {{ Ma:abbele/disp |name=\ell | \R^n| \R || |SZ= }} be a linear form, such that its kernel contains the facet. Suppose that the linear form is given by integers which are coprime. Show that {{math|term= \ell|SZ=}} or {{math|term= -\ell|SZ=}} is the canonical integral linear form of {{math|term= F|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Kegel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ptdvmwtxlomo5o8j0c8vxnhdocbqyj4 0 101047 779305 561642 2022-08-21T16:07:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Monoidring {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y,Z]/(XY-Z^p) || || || |SZ= }} in Charakteristik {{math|term= p|SZ=.}} Die Realisierung als Unterring {{ Ma:Vergleichskette | K[U^p,V^p, UV] |\subseteq| K[U,V] || || || |SZ= }} gilt in jeder Charakteristik. Der Differentialoperator {{math|term= \partial_Z|SZ=}} induziert auf {{math|term= R|SZ=}} einen Differentialoperator, der die Ordnung {{math|term= 1|SZ=}} besitzt und {{math|term= Z|SZ=}} auf {{math|term= 1|SZ=}} abbildet. Wie verhält sich dieser zum kanonischen Operator {{math|term= E_\nu|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\nu ||(1,1) || Z || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in der Gitterrealisierung mit {{mathlk|term=(1,0) |SZ=}} und {{mathlk|term= (p-1,p)|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} also zum induzierten Operator zu {{mathl|term= \partial_U\partial_V|SZ=,}} der im Allgemeinen eine Ordnung {{math|term= 2|SZ=}} hat. Beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \partial_Z ( X^iZ^j) || jX^iZ^ {j-1} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/align | E_Z ( X^iZ^j) || \partial_U \partial_V (U^{ip} (UV)^{j} ) || \partial_U \partial_V (U^{ip+j} V^{j}) || (ip+j) j U^{ip-1} V^{j-1} || j^2 U^{ip+j-1} V^{j-1} || j^2 X^i Z^{j-1} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jiut2ulqed2xy8rm7f7jmniz6lkk42e 0 101142 779604 751620 2022-08-21T16:55:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Operationen der Gruppe der {{math|term= n|SZ=-}}ten Einheitswurzeln auf {{mathl|term= K[Y]|SZ=,}} wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} durch {{mathl|term= \varphi_\zeta: Y \mapsto \zeta Y|SZ=}} wirkt. Der invariantenring ist {{ Ma:Vergleichskette |K[Y^n] |\cong|K[X] || || || |SZ=. }} Der Operator {{math|term= \partial_Y|SZ=}} ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |invariant| |Kontext=Differentialoperator| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial_Y \circ \varphi_\zeta)(Y) || ( \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial_Y) ( \zeta Y) || ( \varphi_{\zeta^{-1} } ) ( \zeta) || \zeta || |SZ=, }} da ja die Automorphismen auf {{math|term= K|SZ=}} identisch wirken. Entsprechend ist für {{ Ma:Vergleichskette | \ell |\geq|2 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | ( \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial_Y \circ \varphi_\zeta)(Y^\ell ) || ( \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial_Y ) ( \zeta^\ell Y^\ell ) || ( \varphi_{\zeta^{-1} } ) (\ell \zeta^\ell Y^{\ell -1}) || \ell \zeta^{-\ell +1} \zeta^\ell Y^{\ell -1} || \ell \zeta Y^{\ell -1} |SZ=. }} Es ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial_Y \circ \varphi_\zeta || \zeta \partial_Y || || || |SZ=. }} Der invariant gemachte Operator wirkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |( \sum_\zeta \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial_Y \circ \varphi_\zeta)(Y^\ell) || \ell {{makl| \sum_\zeta \zeta |}} Y^{\ell-1} || 0 || || |SZ=. }} Der Operator {{math|term= \partial^n_Y|SZ=}} ist dagegen invariant, da für {{ Ma:Vergleichskette | \ell |\geq|n || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | ( \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial^n_Y \circ \varphi_\zeta)(Y^\ell ) || ( \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial^n_Y ) ( \zeta^\ell Y^\ell ) || ( \varphi_{\zeta^{-1} } ) (\ell \cdots (\ell-n+1) \zeta^\ell Y^{\ell -n}) || \ell \cdots (\ell-n+1) \zeta^{-\ell +n} \zeta^\ell Y^{\ell -n} ||\ell \cdots (\ell-n+1)\zeta^n Y^{\ell-n} ||\ell \cdots (\ell-n+1) Y^{\ell-n} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Invariantenringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k1d1ni8gqnia87c4yw8yxid8kbbiwx4 0 101166 784195 561926 2022-08-22T05:35:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Hochschule {{Anführung|Tellerrand}} bietet lediglich {{math|term= 4|SZ=}} Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich {{math|term= 2|SZ=-}}Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es {{ Zusatz/Klammer |text=es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden| |ISZ=|ESZ=? }} Skizziere{{n Sie}} ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern widergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 60m2euz1r0a60hn4tr3qw32ul8a82c8 0 101173 779165 561960 2022-08-21T15:46:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |K ||k(X,Y) |\subseteq|k(X,Y)[T]/(T^3+X^3+Y^3) ||L || || |SZ= }} über einem Körper {{math|term= k|SZ=}} der Charakteristik {{math|term= 0|SZ=.}} Im Modul der Kähler-Differentiale {{mathl|term= \Omega_{L {{|}} k}|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |d (T^3+X^3+Y^3) || 3T^2dT+3X^2dX+3Y^2dY || 0 || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | dT || - {{op:Bruch|X^2|T^2|}} dX-{{op:Bruch|X^2|T^2|}} dY || || || |SZ=, }} was explizit einen {{math|term= L|SZ=-}}Isomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |\Omega_{L {{|}} k} |L dX \oplus L dY || |SZ= }} ergibt. Für den {{math|term= L|SZ=-}}Modul der {{math|term= k|SZ=-}}Derivationen ergibt sich entsprechend {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Derivationen|L|k}} |\cong| L \partial_X \oplus L \partial_Y || || || |SZ=. }} Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \partial_X(T) || - {{op:Bruch|X^2|T^2|}} || || || |SZ=, }} da ja generell {{math|term= \partial_X|SZ=}} ein Element {{mathl|term= f\in L|SZ=}} auf den Koeffizienten zu {{math|term= dx|SZ=}} von {{math|term= df|SZ=}} abbildet. Beispielsweise ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \partial_X(T^2) || 2 T \partial_X(T) || -2T {{op:Bruch|X^2|T^2|}} || -2 {{op:Bruch|X^2|T|}} || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette/disp | \partial_X(T^3) || 3 T^2 \partial_X(T) || -3 T^2 {{op:Bruch|X^2|T^2|}} || -3 X^2 || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |T^3 ||- X^3-Y^3 || || || |SZ= }} kann man dies auch schon in {{mathl|term= K(X,Y)|SZ=}} ausrechnen. Entsprechend kann man die Wirkungsweise von Differentialoperatoren höherer Ordnung bestimmen. Diese sind ja die Summe von Hintereinanderschaltungen von Derivationen und Multiplikationen. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Differentialoperatoren|k(X ,Y)|k|n}} || \bigoplus_{\nu\, , {{op:Tupelgrad|\nu|}} \leq n} L \partial^\nu || || || |SZ=. }} Betrachten wir den Differentialoperator {{ Ma:Vergleichskette/disp |E ||T \partial_X \partial_Y-Y \partial_X^2 || || || |SZ=. }} Es ist beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette/align |E {{makl| X^2+YT-XT^2 |}} || {{makl| T \partial_X \partial_Y-Y \partial_X^2 |}} {{makl| X^2+YT-XT^2 |}} || T \partial_X \partial_Y {{makl| X^2+YT-XT^2 |}} -Y \partial_X^2 {{makl| X^2+YT-XT^2 |}} || T \partial_X \partial_Y (YT) - T \partial_X \partial_Y (XT^2) -2Y -Y \partial_X^2 (YT) +Y \partial_X^2 (XT^2) || T \partial_X( Y \partial_Y(T) +T ) -2T \partial_X (XT \partial_Y(T))-2Y - Y^2 \partial_X (\partial_X(T))+ Y \partial_X (2XT \partial_X(T) + T^2 ) || ... |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Funktionenkörpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b4pu4y20c0a3tx3nvw24rcjwg00ysey 0 101226 779166 562032 2022-08-21T15:46:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |K(X) |\subseteq|K(Y) || || || |SZ=, }} die durch {{ Ma:Vergleichskette |Y^n ||X || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=n \geq 2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} gegeben ist. Es ist also {{ Ma:Vergleichskette |K(Y) ||K(X)[Y]/(Y^n-X) || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette |nY^ {n-1} dY || dX || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette | dY || {{op:Bruch|1|nY^ {n-1} }} dX || || || |SZ= }} und die partielle Ableitung {{math|term= \partial_X|SZ=}} setzt sich fort auf {{math|term= K(Y)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\partial_X(Y) || {{op:Bruch|1|nY^{n-1} }} || || || |SZ=. }} Man beachte, dass das Ergebnis nicht im Polynomring {{mathl|term= K[Y]|SZ=}} liegt. Es gibt also keine Fortsetzung der Derivation {{ Ma:abbele/disp |name=\partial_X |K[X]|K[X] || |SZ= }} auf {{mathl|term= K[Y]|SZ=.}} Wenn man die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^n ||X || || || |SZ= }} als {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y || \sqrt[n]{X} || X^{{op:Bruch|1|n}} || || |SZ= }} interpretiert, so ist die obige berechnung eine algebraische Version der analytischen Ableitungsregel {{ Ma:Vergleichskette/disp | \partial_X( \sqrt[n]{X} ) || \partial_X( X^{{op:Bruch|1|n}} ) || {{op:Bruch|1|n}} X^{ {{op:Bruch|1|n}} -1} || {{op:Bruch|1|n}} \cdot {{op:Bruch|1| X^{ 1-{{op:Bruch|1|n}} } }} || {{op:Bruch|1|n}} \cdot {{op:Bruch|1| X^{ {{op:Bruch|n-1|n}} } }} || {{op:Bruch|1|n}} \cdot {{op:Bruch|1| {{makl| X^{ {{op:Bruch|1|n}} } |}}^{n-1} }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Funktionenkörpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1qkjbf5izt5hur2s8xiupm29y5vir5y 0 101308 784971 579602 2022-08-22T07:27:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Es sei {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} ein Polynom über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||aX^n || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} die {{math|term= 0|SZ=}} als einzige Nullstelle besitzt. |Es sei {{mathl|term= F \in {{CC}}[X]|SZ=}} ein Polynom mit der Eigenschaft, dass {{math|term= 0|SZ=}} die einzige komplexe Nullstelle von {{math|term= F|SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} die Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||aX^n || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} hat. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein reelles Polynom {{mathl|term= F\in \R[X]|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass {{math|term= 0|SZ=}} die einzige reelle Nullstelle von {{math|term= F|SZ=}} ist, dass {{math|term= F|SZ=}} aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R oder C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m5d56a0unrwxqps1okgkph3lkbtzgue 0 101478 779397 763478 2022-08-21T16:21:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Cubic with double point|svg| 300px {{!}} {{!}} |epsname=Cubic_with_double_point |Autor= |Benutzer=Gunther |Domäne=de.wikipedia.org |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Das Polynom {{ math/disp|term= Y^2-X^3-X^2 |SZ= }} besitzt im {{math|term= \R^2|SZ=}} ein Nullstellengebilde, das sich selbst transversal {{ Zusatz/Klammer |text=also nicht tangential| |ISZ=|ESZ= }} überkreuzt. Die dabei entstehende Singularität sieht also mikroskopisch betrachtet aus wie der Kreuzungspunkt des Achsenkreuzes im {{math|term= \R^2|SZ=,}} das ja die Nullstelle des Polynoms {{math|term= XY|SZ=}} ist. Es gibt aber einen erheblichen Unterschied: Der zugehörige Ring {{mathl|term= K[X,Y]/(XY)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= K|SZ=}} ein beliebiger Körper| |ISZ=|ESZ= }} ist kein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=es ist ja {{mathlk|term=XY=0|SZ=,}} aber {{mathlk|term=X,Y \neq 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} während {{mathl|term= K[X,Y]/(Y^2-X^3-X^2)|SZ=}} ein Integritätsbereich ist. Letzteres beruht im Wesentlichen darauf, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^3+X^2 || X^2(X+1) || || || |SZ= }} keine Quadratwurzel in {{math|term= K[X]|SZ=}} besitzt. Problematisch ist der Faktor {{mathl|term= X+1|SZ=.}} Die {{ Zusatz/Klammer |text=Nicht| |ISZ=|ESZ=- }}Integrität bleibt auch erhalten, wenn man zur {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} am maximalen Ideal {{mathl|term= (X,Y)|SZ=}} übergeht. Wenn man hingegen die Situation reell oder komplex in einer kleinen {{math|term= \epsilon|SZ=-}}Umgebung des Nullpunktes ansieht, so besitzt {{ Ma:Vergleichskette | X^3+X^2 || X^2 (X+1) || || || |SZ= }} eine wohldefinierte Quadratwurzel, nämlich {{mathl|term= \sqrt{X+1}|SZ=.}} Reell bei {{ Ma:Vergleichskette | X |\leq| -1 || || || |SZ= }} ist dies nicht definiert, für betragsmäßig kleine {{math|term= X|SZ=}} ist dies aber unproblematisch. Mit einer solchen Wurzel ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2-X^2(X+1) || (Y-X \sqrt{X+1})(Y+X\sqrt{X+1}) || || || |SZ=, }} und das beschreibende Polynom zerfällt in zwei Faktoren, die den beiden sich schneidenden Komponenten entsprechen. Es wäre wünschenswert, über eine algebraische Konstruktion zu verfügen, in der die verschiedenen Komponenten ebenfalls sichtbar werden. Dies leistet die Komplettierung, die eine besonders nahe/feine Beschreibung der Singularität bereitstellt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Komplettierung (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom Y^2-X^3-X^2 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bl7lc43j5rqauxj9pm4gmzokhu9ke8t 0 101510 781184 755228 2022-08-21T21:12:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Exponenten| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= m|SZ=,}} und es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der eine {{ Definitionslink |Prämath= |primitive| |Kontext=Einheitswurzel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= m|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. Zeige{{n Sie}}, dass in der in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Charaktergruppe/Exponentbedingung/Charakter-Korrespondenz mit Kernen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen Korrespondenz zwischen den Untergruppen von {{math|term= D|SZ=}} und von {{math|term= {{op:Charakterdual|D|}} |SZ=}} Durchschnitte von Untergruppen in die Summe von Untergruppen überführt werden. Es gilt also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakterkern|(E_1 \cap E_2)|}} || {{op:Charakterkern|E_1 }} + {{op:Charakterkern| E_2|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9rre3y7cntxvdxz12a2w1wxeu0lty0k 0 101513 783286 756988 2022-08-22T03:03:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f \notin {{idealm|}} |SZ=.}} Dann ist zu jedem {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} die Restklasse von {{math|term= f|SZ=}} in {{mathl|term= R/{{idealm}}^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} coklw8mhqc2qpadv46uqdrh8dnulnw9 0 101549 780090 763884 2022-08-21T18:09:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Idealkette {{ Ma:Vergleichskette/disp |(p) |\supset|(p^2) |\supset (p^3) |\supset| \ldots || |SZ= }} liefert die Restklassenhomomorphismen {{ math/disp|term= \longrightarrow {{op:Zmod|p^3}} \longrightarrow {{op:Zmod|p^2}} \longrightarrow {{op:Zmod|p}} \longrightarrow 0 |SZ= }} und somit die {{ Definitionslink |Prämath= |Komplettierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Komplettierung|\Z|(p)}} ||{{op:Komplettierung|\Z_{(p)} |}} || || || |SZ=. }} Jede ganze Zahl {{math|term= a|SZ=}} liefert darin eine Folge {{ math/disp|term= ([a]_1, [a]_2, [a]_3, \ldots) |SZ=, }} wobei {{math|term= [a]_n|SZ=}} die Restklasse von {{math|term= a|SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod|p^n}} |SZ=}} bezeichnet. Wenn man jeweils mit dem kanonischen Vertreter von {{math|term= [a]_n|SZ=,}} also dem zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= p^n -1 |SZ= }} arbeitet, so sieht die Folge typischerweise so aus {{ math/disp|term= ([a]_1, [a]_2, [a]_3, \ldots, [a]_{n-1}, a,a,a,a,a , \ldots) |SZ=, }} da ja iregendwann {{ Ma:Vergleichskette/disp |a |<|p^n || || || |SZ= }} ist und somit {{math|term= a|SZ=}} der kanonische Vertreter selbst ist. Die ganzen Zahlen finden sich also in der Komplettierung in einer ziemlich banalen Weise wieder. Ein wichtiger Punkt ist aber, dass in der Komplettierung zusätzliche Elemente auftreten, die zu diesen banalen Elementen in einer neuen nichttrivialen Beziehung stehen. Es sei beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette |p ||7 || || || |SZ=. }} Die Zahl {{math|term= 2|SZ=}} ist in {{math|term= \Z|SZ=}} keine Einheit. Dagegen ist sie für jeden Exponenten {{math|term= n|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|7^n|}} |SZ=}} eine Einheit, da ja {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 7^n |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Es sei nun {{math|term= u_n|SZ=}} das {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmte| |ISZ=|ESZ= }} inverse Element zur {{math|term= 2|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|7^n|}} |SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |u ||(4, 25, 172, \ldots ) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in diesem Beispiel gibt es eine einfache Formel| |ISZ=|ESZ=. }} Da unter den Projektionen {{ Ma:abb |name= | {{op:Zmod|7^{n+1}|}} | {{op:Zmod|7^n|}} || |SZ= }} inverse Elemente auf inverse Elemente abgebildet werden, ist diese Folge {{ Definitionslink |Prämath= |kompatibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutativer Ring/Ideal/Potenzfamilie/Kompatibel/Definition |SZ= }} und definiert somit ein Element in der Komplettierung. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 \cdot u ||1 || || || |SZ=, }} da dies unter jeder Projektion gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Komplettierung (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ebp2msj0o9q0g3nzl663xkof5h0xmf 0 101616 779866 646861 2022-08-21T17:33:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^n| \R^1 || |SZ= }} eine Funktion der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi || \psi \cdot \theta || || || |SZ= }} mit stetig differenzierbaren Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=\psi, \theta |\R^n| \R^1 || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi (P) || \theta(P) || 0 || || |SZ= }} für einen bestimmten Punkt {{mathl|term= P\in \R^n|SZ=.}} Dann ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Produktregel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|\varphi|{{{P|P}}} }} || \psi ({{{P|P}}}) \cdot {{op:Totales Differential|\theta|{{{P|P}}} }} + \theta ({{{P|P}}}) \cdot {{op:Totales Differential|\psi|{{{P|P}}} }} || 0 || || |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=der|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist im Punkt {{math|term= P|SZ=}} nicht anwendbar. In diesem Beispiel hat das Auftreten der Singularität eine einfache Erklärung. Für die Faser zu {{math|term= \varphi|SZ=}} über dem Nullpunkt gilt die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^{-1}(0) || \psi^{-1}(0) \cup \theta^{-1}(0) || || || |SZ= }} und das bedeutet, dass {{math|term= P|SZ=}} ein Punkt der Faser ist, in dem sich die beiden {{Anführung|Komponenten}} {{ mathbed|term= \psi^{-1}(0) |und|bedterm1= \theta^{-1}(0) ||bedterm2= |SZ= }} treffen. Diese Situation gilt beispielsweise für {{ Ma:Vergleichskette |\varphi ||xy || || || |SZ= }} im Nullpunkt des {{math|term= \R^2|SZ=.}} Die Faser durch den Nullpunkt ist das Achsenkreuz. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pai5yis7267xm5xzz5sbgr5yiag8l5s 0 101617 782516 563814 2022-08-22T00:54:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Mit den üblichen Eurozahlen soll ein Betrag von {{math|term= 10|SZ=}} Euro beglichen werden. Mit welcher Anzahl von Münzen/Scheinen ist dies möglich? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvos8ve3w3mj70c1s1ivztaaos6p483 0 101618 782135 563816 2022-08-21T23:51:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} sei {{mathl|term= f(n)|SZ=}} der minimale Eurobetrag, für den man mindestens {{math|term= n|SZ=}} Münzen/Scheine braucht, um diesen Betrag zu begleichen. {{ Aufzählung2 |Erstelle{{n Sie}} {{{zusatz1|}}} eine Tabelle, aus der die Werte für {{math|term= f(n)|SZ=}} ablesbar sind? |Was ist {{mathl|term= f(1000000)|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9cb5kqdcyt7rxgnrnvwcrb67rqir8z5 0 101622 784482 563603 2022-08-22T06:17:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Ein Münzsystem bestehe aus {{mathl|term= 1|SZ=-}}, {{math|term= 3|SZ=-}} und {{mathl|term= 10|SZ=-}}Taler-Münzen. Ist die minimale Darstellung eines jeden Betrages eindeutig? |Ein Münzsystem bestehe aus {{mathl|term= 1|SZ=-}}, {{math|term= 4|SZ=-}} und {{mathl|term= 10|SZ=-}}Taler-Münzen. Ist die minimale Darstellung eines jeden Betrages eindeutig? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e9argtnruzv7nzkexb2l3ra3tsfs0cd 0 101653 779632 763676 2022-08-21T17:00:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Rees-Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Ideal {{mathl|term= (X_1 {{kommadots|}} X_n) |SZ=}} im Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} ist die von den {{mathl|term= X_1T {{kommadots|}} X_nT |SZ=}} in {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] [T]|SZ=}} erzeugte Unteralgebra. Wenn man diese Erzeuger mit {{mathl|term= Y_1 {{kommadots|}} Y_n|SZ=}} bezeichnet, so hat man die Relationen {{ Ma:Vergleichskette/disp | X_iY_j ||X_jY_i || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i,j|SZ=}} und in der Tat ist die Rees-Algebra gleich {{ math/disp|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n , Y_1 {{kommadots|}} Y_n ]/( X_iY_j- X_jY_i) |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Rees-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 21i2lyzej2bqhzzg3dc8u8e392j3384 0 101674 781154 755194 2022-08-21T21:07:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\R |\subseteq| {{CC}} || || || |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die Matrix der Multiplikationsabbildung zu {{mathl|term= 7+5 {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} bezüglich der reellen Basis {{mathl|term= 1, {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} von {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Körpererweiterung R in C |Kategorie2=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t82co6etej0b4t40v0896nk3445n3fy 0 101675 785666 758882 2022-08-22T09:17:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq| \Q[ \sqrt{3} ] ||L || || |SZ=. }} Erstelle{{n Sie}} die Matrix der Multiplikationsabbildung zu {{mathl|term= -4+9 \sqrt{3} |SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 1, \sqrt{3} |SZ=}} von {{math|term= L|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ayzq6d09i6qptndfxdsn8blvz9f763v 0 101684 782136 564354 2022-08-21T23:51:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Mit den Eurozahlen kann man zählen, indem man für jede natürliche Zahl die minimale Darstellung angibt, also: Ein Einer, ein Zweier, ein Einer und ein Zweier, zwei Zweier, ein Fünfer, ein Einer und ein Fünfer, ein Zweier und ein Fünfer, ein Einer und ein Zweier und ein Fünfer, etc. Zähle in dieser Weise bis {{math|term= 50|SZ=,}} ohne auf die übliche Zählweise im Dezimalsystem Bezug zu nehmen. |Die Koeffizienten in der minimalen Darstellung einer Zahl mit den Eurozahlen schreiben wir als Tupel, also in der Form {{ math/disp|term= (a_1,a_2,a_3,...,a_9) |SZ=, }} wobei sich die {{math|term= a_i|SZ=}} auf die {{math|term= i|SZ=-}}te Münze {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. Geldschein| |ISZ=|ESZ= }} in aufsteigender Reihenfolge bezieht. Das Tupel {{ math/disp|term= (1,1,1,0,2,0,1,0,0) |SZ= }} bedeutet also {{mathl|term= 1\cdot 1 + 1 \cdot 2 +1 \cdot 5 + 2 \cdot 20+1 \cdot 100= 148|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= (1,0,1,1,1,0,0,2,0) + (1,1,0,1,1,0,1,0,0) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das Ergebnis soll wieder in minimaler Darstellung sein| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dglcrjf810mcep7wlto2l0dckuff6pm 0 101713 779372 763454 2022-08-21T16:17:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf dem Kreis die Überdeckung mit zwei offenen {{ Zusatz/Klammer |text=zu reellen Intervallen {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} Kreissegmenten {{ Ma:Vergleichskette/disp |S^1 || U \cup V || || || |SZ=, }} deren Durchschnitt {{ Ma:Vergleichskette/disp |U \cap V || S \cup T || || || |SZ= }} die Vereinigung von zwei Intervallen ist. Wir betrachten verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Garben von kommutativen Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die wir multiplikativ schreiben. Es sei {{math|term= h|SZ=}} die auf {{math|term= U \cap V|SZ=}} definierte Funktion, die durch den konstanten Wert {{math|term= 1|SZ=}} auf {{math|term= S|SZ=}} und den Wert {{math|term= -1|SZ=}} auf {{math|term= T|SZ=}} gegeben ist. Dies ist ein nichttrivialer Čech-Kozykel für die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} zu einem Körper {{math|term= K|SZ=}} und ebenso in der Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in {{math|term= {{op:Einheiten| {{KRC|}} |}} |SZ=,}} wobei {{ Ma:Vergleichskette | {{KRC|}} || \R \text{ oder } {{CC}} || || || |SZ= }} ist. Ob dieser Kozykel eine nichttriviale {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kohomologieklasse| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Cech-Kohomologie|1|\{U,V\}| {{op:Garbe|G|}} }} |SZ=}} definiert ist äquivalent dazu, ob es {{ Zusatz/Klammer |text=lokal konstante, stetige| |ISZ=|ESZ= }} Funktionen {{ Ma:abb |name=f |U| {{op:Einheiten|K|}} || |SZ= }}und {{ Ma:abb |name=g |V| {{op:Einheiten|K|}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |h ||f g^{-1} || || || |SZ= }} gibt. Im lokal konstanten Fall ist dies nicht möglich, da lokal konstante Funktionen auf den zusammenhängenden Segmenten {{ mathkor|term1= U |bzw.|term2= V |SZ= }} konstant sind und daher auch {{math|term= f g^{-1} |SZ=}} konstant ist, also {{math|term= \neq h|SZ=.}} Bei der Garbe der stetigen reellwertigen nullstellenfreien Funktionen ist es ebenfalls nicht möglich. In diesem Fall haben {{math|term= f|SZ=}} und {{math|term= g|SZ=}} konstantes Vorzeichen und somit stimmt {{mathl|term= f g^{-1}|SZ=}} nur auf genau einem Intervall des Durchschnittes mit {{math|term= h|SZ=}} überein. Die zugehörige nichttriviale erste Čech-Kohomologieklasse {{ Ma:Vergleichskette/disp | [h] |\in| {{op:Cech-Kohomologie|1|\{U,V\}| C^0 (- , {{op:Einheiten|\R|}} ) }} || || || |SZ= }} repräsentiert das {{ Definitionslink |Prämath= |Möbiusband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem Einheitskreis. Im komplexen Fall ist es hingegen möglich, {{math|term= h|SZ=}} als einen Quotienten von zwei nullstellenfreien komplexwertigen stetigen Funktionen zu schreiben, man kann {{ Ma:Vergleichskette |g ||1 || || || |SZ= }} und für {{math|term= f|SZ=}} eine Funktion nehmen, die auf {{math|term= S|SZ=}} die konstante {{math|term= 1|SZ=-}}Funktion und auf {{math|term= T|SZ=}} die konstante {{math|term= -1|SZ=-}}Funktion und dazwischen, also auf {{mathl|term= U \setminus \{ S \cup T\}|SZ=,}} die Werte stetig entlang des komplexen Einheitskreises wählt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2=Theorie der Garbe von stetigen Funktionen in topologische Gruppen |Kategorie3=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Objektkategorie=Das Möbiusband |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tvljmyikedrheuttx69zy7jwcnlczg5 0 101797 784488 563799 2022-08-22T06:17:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= n|SZ=-}}Land gibt es Münzen zum Nennwert {{mathl|term= 1,n,n+1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die minimale Darstellung eines Geldbetrages im Allgemeinen nicht eindeutig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jdw5ec2eif7krmlufmqp9vxqwa9ax3w 0 101852 784749 758212 2022-08-22T06:54:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |natürliche Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} mittels einer Fallunterscheidung, dass {{mathl|term= n^2-n|SZ=}} stets {{ Definitionslink |Prämath= |gerade| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ts8vk0lehjj7u8wxjy7dmztksjq4jvc 0 101858 779556 752645 2022-08-21T16:47:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |kürzbaren| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kommutativen Monoide {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || \langle f,g,h \rangle/(nh {{=|}} nf+ng) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |N || \langle a,b,f,g \rangle/(na {{=|}} nf, nb {{=|}} ng) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zu fixiertem {{mathlk|term=n \in \N_+|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} mit dem natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |M|N |h| a+b |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= f,g|SZ=}} auf sich selbst gehen| |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |nh || n(a+b) || na+nb || nf+ng || |SZ= }} ist diese Abbildung wohldefiniert. Für die Nenneraufnahmen gelten {{ Ma:Vergleichskette/disp |M_f || {{makl| \langle f,g,h \rangle/(nh {{=|}} nf+ng) |}}_f ||{{makl| \langle b,g \rangle/(nb {{=|}} ng ) |}} \times \Z || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | h -f ||b || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/align |N_f || {{makl| \langle a,b,f,g \rangle/(na {{=|}} nf, nb {{=|}} ng) |}}_f || {{makl| \langle c,b,f,g \rangle/(nc {{=|}} 0, nb {{=|}} ng) |}}_f || {{makl| \langle b,g \rangle/(nb {{=|}} ng) |}} \times \Z \times {{op:Zmod|n|}} || M_f \times {{op:Zmod|n|}} |SZ=, }} wobei wir {{ Ma:Vergleichskette |c || f-a || || || |SZ= }} gesetzt haben. Entsprechendes gilt für {{ mathkor|term1= M_g |und|term2= N_g |SZ=. }} Somit ist auf dem punktierten Spektrum {{mathl|term= D(f,g)|SZ=}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Spec|N|}}| {{op:Spec|M|}} || |SZ= }} lokal trivial mit der Faser {{mathl|term= {{op:Spec| {{op:Zmod|n|}} |}}|SZ=.}} Es handelt sich um eine {{ Zusatz/Klammer |text=quasifaffine Realisierung einer| |ISZ=|ESZ= }} kombinatorische Überlagerung. Über einem Körper, der sämtliche {{math|term= n|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält, besteht {{mathl|term= {{op:KSpec|M|}} |SZ=}} aus {{math|term= n|SZ=}} Ebenen, da der Monoidring durch {{ math/disp|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| Z^n-X^nY^n |}} |SZ= }} gegeben ist und daher die Faktorisierung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z^n -X^nY^n || {{makl| Z-XY |}} (Z- \zeta XY) \cdots (Z- \zeta^{n-1} XY) || || || |SZ= }} vorliegt, wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in {{ Ma:Vergleichskette |Z ||XY ||0 || || |SZ=, }} also im ebenen Achsenkreuz. Der Monoidring zu {{math|term= N|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[N] || K[X,Y,V,W]/ {{makl| X^n-V^n,Y^n-W^n |}} || || || |SZ=. }} Dagegen besteht {{mathl|term= {{op:KSpec|N|}} |SZ=}} aus {{math|term= n^2|SZ=}} Ebenen, die durch {{ math/disp|term= V( X-\zeta^{i} V, Y- \zeta^j W ),\, (i,j) \in {{op:Zmod|n|}} \times {{op:Zmod|n|}} |SZ= }} gegeben sind. Dabei schneiden sich zwei Ebenen {{ mathkor|term1= E_{ij} |und|term2= E_{rs} |SZ= }} in einer Geraden, wenn ein Index übereinstimmt, sonst im Nullpunkt. Insgesamt ist {{mathl|term= {{op:KSpec|N|}} |SZ=}} zusammenhängend. Über {{math|term= {{op:KSpec|M_f|}} |SZ=}} liegen {{math|term= n|SZ=}} disjunkte Kopien von {{math|term= {{op:KSpec|M_f|}} |SZ=.}} Das Monoid {{math|term= M|SZ=}} ist {{math|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=-}}graduiert, wobei {{mathl|term= f,g,h|SZ=}} den Erzeugergrad {{math|term= 1 \in {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} bekommen. Das Monoid {{math|term= N|SZ=}} ist {{math|term= {{op:Zmod|n|}} \times {{op:Zmod|n|}} |SZ=-}}graduiert, wobei {{mathl|term= a|SZ=}} den Grad {{math|term= (1,0) |SZ=,}} {{mathl|term= b|SZ=}} den Grad {{math|term= (0,1) |SZ=}} und {{mathl|term= f,g|SZ=}} den Grad {{mathl|term= (1,1)|SZ=}} bekommen. Die beiden Graduierungen sind über die Diagonale verträglich. Das Monoid {{math|term= M|SZ=}} ist das Grad {{math|term= 0|SZ=-}}Untermonoid zur Diagonalgraduierung. Auf {{math|term= {{op:KSpec|M|}}|SZ=}} wirkt die Gruppe {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Charakterdual(| {{op:Zmod|n|}} |}} || \mu_n || || || |SZ= }} und auf {{math|term= {{op:KSpec|N|}}|SZ=}} wirkt die Gruppe {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Charakterdual(| {{op:Zmod|n|}} \times {{op:Zmod|n|}} |}} || \mu_n \times \mu_n || || || |SZ=, }} was den Graduierungen entspricht. Die Operation der Charaktergruppe zur Diagonalen besitzt {{mathl|term= K[M]|SZ=}} als Invariantenring. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kürzbaren kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nv9vd3xw7bfr5ef4z2m5er1l61t962h 0 101872 779502 751488 2022-08-21T16:38:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |kürzbare| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kommutative Monoid {{ Ma:Vergleichskette/disp |N || \langle a,b,f,g \rangle/(na {{=|}} nf, nb {{=|}} ng) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zu fixiertem {{mathlk|term=n \in \N_+|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |N_f |\cong| \Z \times {{op:Zmod|n|}} \times \langle b,g \rangle/(nb {{=|}} ng) || || || |SZ= }} und entsprechend für {{math|term= N_g|SZ=.}} Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |N_{f+g} |\cong| \Z \times \Z \times {{op:Zmod|n|}} \times {{op:Zmod|n|}} || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich, dass die Cech-Kohomologie zur Einheitengarbe auf dem punktierten kombinatorischen Spektrum {{ Ma:Vergleichskette/disp |U ||D(f,g) || || || |SZ= }} trivial ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kürzbaren kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rmb0w0j2w66igqx7f9ksgz2fmftvnjw 0 101874 779503 563999 2022-08-21T16:39:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der Monoidring zum Monoid {{math|term= N|SZ=}} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Modul mit Torsion/Doppelpaar/Komomologie der Einheitengarbe/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || K[N] || K[X,Y,V,W]/(X^n-V^n, Y^n-W^n) || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R_X || K[X,X^{-1}, S]/(S^n -1) [Y,W]/(Y^n-W^n) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathl|term= S=V/X|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und die Einheiten sind {{mathl|term= \Z \times (K^\times)^n |SZ=.}} Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R_{XY} || K[X,X^{-1},Y,Y^ {-1}, S,T]/(S^n -1,T^n-1) || || || |SZ= }} und die Einheiten sind {{mathl|term= \Z \times \Z \times (K^\times)^{n^2} |SZ=.}} Auf den konstanten Einheiten ergibt sich der Cech-Komplex {{ math/disp|term= K^\times \longrightarrow ( K^\times)^n \times (K^\times)^n \longrightarrow(K^\times)^{n^2} |SZ= }} und eine große Picardgruppe, obwohl die kombinatorische Picardgruppe trivial ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3g9zy7ybhnq3bgk6zzjucn2lyp4p7ua 0 101875 785185 758530 2022-08-22T08:00:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem endlichdimensionalen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]| {{op:End|V|}} |P|P(\varphi) |SZ=, }} der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Vergleiche diese Situation mit dem durch ein Element {{mathl|term= a \in L|SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} gegebenen Einsetzungshomomorphismus {{mathl|term= P \mapsto P(a)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus für einen Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fdkv6enlo1sd8ebvam0wm8figs73xxo 0 101878 779312 752588 2022-08-21T16:08:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |rational-polyedrischen |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Kegel, der im {{math|term= \R^3|SZ=}} durch ein Quadrat in der {{math|term= 1|SZ=-}}Ebene erzeugt wird, nämlich durch die vier Eckpunkte {{ math/disp|term= (0,0,1) ,\, (1,0,1),\, (0,1,1) ,\, (1,1,1) |SZ=. }} Diese vier Eckpunkte erzeugen das Monoid im zugehörigen Kegel. Die Summe des ersten und des vierten Erzeugers stimmt mit der Summe des zweiten und des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[M] |\cong| K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW) || || || |SZ= }} gegeben. Der Kegel wird durch vier Seiten begrenzt und ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |simplizial| |Kontext=Kegel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die definierenden integralen Linearformen sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_1 ||x || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_2 ||y || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_3 ||z-x || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_4 || z-y || || || |SZ=. }} Die Summe der vier Linearformen ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \ell_1+ \ell_2+\ell_3+\ell_4 || 2z || || || |SZ=. }} Somit wird das {{Anführung| {{math|term= D|SZ=-}}Signatur-Polytop|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |z || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} begrenzt, und sein Volumen ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|1|2}} |}}^2 \cdot {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:Bruch|1|3}} || {{op:Bruch|1|24}} || || || |SZ=. }} Die kombinatorische {{math|term= D|SZ=-}}Signatur ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | 3! \cdot {{op:Bruch|1|24}} ||{{op:Bruch|1|4}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardquadrik in vier Variablen |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4yko9mg8oi16pyz37vwakl8ezjec0km 0 101880 779557 752646 2022-08-21T16:47:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |kürzbare| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kommutative Monoid {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || \langle f,g,h \rangle/(nh {{=|}} nf+ng) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zu fixiertem {{mathlk|term=n \in \N_+|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Für die Nenneraufnahmen gelten {{ Ma:Vergleichskette/disp |M_f || {{makl| \langle f,g,h \rangle/(nh {{=|}} nf+ng) |}}_f || {{makl| \langle b,g \rangle/(nb {{=|}} ng ) |}} \times \Z || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | h -f ||b || || || |SZ= }} und entsprechend für {{math|term= M_g|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |M_{g+f} || \Z \times \Z \times {{op:Zmod|n|}} || || || |SZ=. }} Die Cech-Kohomologie zur Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette/disp |U ||D(f) \cup D(g) || || || |SZ= }} ist daher gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=.}} Die Kohomologieklasse {{ Ma:Vergleichskette/disp |c || i (h-f-g) |\in| \Gamma(D(f+g), {\mathcal O}^\times )_{\operatorname {tor} } |\cong|{{op:Zmod|n|}} || || |SZ= }} wird durch das kombinatorische {{math|term= {{op:Affine punktierte Gerade||}} |SZ=-}}Bündel realisiert, das durch die Identifizierung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_c | M_{f+g} \times \Z |M_{f+g} \times \Z |(m,n)| ( m+nc , n) |SZ= }} gegeben ist. Für ein Geradenbündel muss man die Identifizierung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_c | M_{f+g} \times \N |M_{f+g} \times \N |(m,n)| ( m+nc , n) |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kürzbaren kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 21wncaxpdjkj4x3b2otyuxpc2huj3on 0 101882 779558 763636 2022-08-21T16:47:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || \langle f,g,h \rangle/(nh {{=|}} nf+ng) || || || |SZ= }} das Monoid aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Nh ist nf+ng/Komomologie der Einheitengarbe/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Über einem Körper, der sämtliche {{math|term= n|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält, besteht {{mathl|term= {{op:KSpec|M|}} |SZ=}} aus {{math|term= n|SZ=}} Ebenen, da der Monoidring durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||K[X,Y,Z]/ {{makl| Z^n-X^nY^n |}} || || || |SZ= }} gegeben ist und daher die Faktorisierung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z^n -X^nY^n || {{makl| Z-XY |}} (Z- \zeta XY) \cdots (Z- \zeta^{n-1} XY) || || || |SZ= }} vorliegt, wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in {{ Ma:Vergleichskette |Z ||XY ||0 || || |SZ=, }} also im ebenen Achsenkreuz. Die Einheitengarbe ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma (D(X) , {\mathcal O}^\times) || K^\times \times \Z || || || |SZ=, }} da {{math|term= D(X)|SZ=}} zusammenhängend ist, und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma (D(XY) , {\mathcal O}^\times) || {{makl| K^\times |}}^n \times \Z \times \Z || || || |SZ=. }} Unter den Restriktionsabbildungen gehen die konstanten Einheiten auf die gleiche Untergarbe, als Kokern erhält man also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| K^\times |}}^n/{\rm Diagonale} |\cong| {{makl| K^\times |}}^{n-1} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kürzbaren kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a0ff87g7mj8g4i4bqauwhly512ry92i 0 101898 785470 567739 2022-08-22T08:44:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der Ausdruck {{math|term= D(x,y)|SZ=}} bedeute, dass die Person {{math|term= x|SZ=}} (aus dem Kurs) heute einen Stift mit der Farbe {{math|term= y|SZ=}} (aus einer bestimmten Menge von Farben) dabei hat. Formuliere in normalen Worten, was die folgenden formal geschriebenen Ausdrücke bedeuten. {{ Aufzählung6 |{{math|term= \forall x (\exists y D(x,y))|SZ=.}} |{{math|term= \exists x (\forall y D(x,y))|SZ=.}} |{{math|term= \forall x (\forall y D(x,y))|SZ=.}} |{{math|term= \exists x (\exists y D(x,y))|SZ=.}} |{{math|term= \exists y (\forall x D(x,y))|SZ=.}} |{{math|term= \forall y (\exists x D(x,y))|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=0.5 |p2=0.5 |p3=0.5 |p4=0.5 |p5=0.5 |p6=0.5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ikz5xqhebites9cku6gthcftj86bwm 0 101918 780685 754803 2022-08-21T19:49:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die {{ Definitionslink |Prämath= |alternierende Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A_n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der alternierenden Gruppen |Kategorie2=Theorie der Normalteiler |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4y1d6hsh55b4ryicmdxdvbr7izq5owh 0 101922 783236 756937 2022-08-22T02:55:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |kanonische Homomorphismus| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |\Z|R || |SZ= }} eine eindeutige Faktorisierung {{ math/disp|term= \Z \longrightarrow {{op:Zmod|n|}} \longrightarrow R |SZ= }} besitzt, wobei {{math|term= n|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der kanonische Ringhomomorphismus von Z nach einem Ring |Kategorie2=Charakteristik eines kommutativen Ringes |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i4yhqodfwsyhplzh0xaeci8jm1hbc91 0 101946 781655 755592 2022-08-21T22:31:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugationsklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Drehgruppe {{mathl|term= {{op:SOG|2|\R}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Konjugationsklassen der Elemente {{mathl|term= \varphi \in {{op:SOG|2|\R}} |SZ=}} innerhalb von {{mathl|term= {{op:Orthogonale Gruppe|2|\R}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Konjugationsklassen der Elemente {{mathl|term= \varphi \in {{op:SOG|2|\R}} |SZ=}} innerhalb von {{mathl|term= {{op:SLG|2|\R}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Konjugationsklassen der Elemente {{mathl|term= \varphi \in {{op:SOG|2|\R}} |SZ=}} innerhalb von {{mathl|term= {{op:GLG|2|\R}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ähnlichen Matrizen |Kategorie2=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2xg0ztfmaoxwq83npc7m5glfzjyj4oq 0 101948 784949 758390 2022-08-22T07:24:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|{{CC}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Unterkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |S_n| {{op:GLG|n|K}} |\pi| M_\pi |SZ=, }} der jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \pi|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zuordnet. Zeige{{n Sie}}, dass zwei Permutationen {{math|term= \pi,\rho|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= S_n|SZ=}} sind, wenn ihre zugehörigen Permutationsmatrizen {{mathl|term= M_\pi,M_\rho|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |ähnlich| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie2=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie3=Theorie der ähnlichen Matrizen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iedf9cr7siqmbo2h914ehe2chk3524n 0 101950 782680 756457 2022-08-22T01:22:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |G|H || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiver | |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{mathl|term= U \mapsto \varphi(U)|SZ=}} und {{mathl|term= V \mapsto \varphi^{-1}(V)|SZ=}} eine Bijektion zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= H|SZ=}} und denjenigen Untergruppen von {{math|term= G|SZ=,}} die {{mathl|term= {{op:Kern|\varphi|}} |SZ=}} umfassen, gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Theorie der Untergruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bjyjikjfhcn7i74vaoftpvzax18cuyo 0 101952 779554 564498 2022-08-21T16:47:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^2 ||Y^3 || || || |SZ= }} gehört die Gleichung für die Differentiale {{ Ma:Vergleichskette/disp |2XdX ||3Y^2dY || || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ Ma:Vergleichskette |A ||2dX || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |B ||3dY || || || |SZ= }} und erhalten das Gleichungssystem {{ math/disp|term= X^2=Y^3,\, XA-Y^2B |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align | Y^2 (YA-XB) || Y^3 A-XY^2B || X^2A-XY^2B || X(XA-Y^2B) || |SZ= }} und somit ist, wenn {{math|term= Y|SZ=}} ein Nichtnullteiler ist, auch {{ Ma:Vergleichskette |YA ||XB || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align |(YA-XB)^2 || Y^2A^2 +X^2B^2 -2YAXB || Y^2A^2+Y^3B^2- 2Y^3B^2 ||Y^2A^2 - Y^3B^2 || Y^2 (A^2-YB^2) |SZ= }} sieht man, dass die Primideale {{mathl|term= (X,Y)|SZ=}} und {{mathl|term= (X^2-Y^3, A^2-YB^2)|SZ=}} die Komponenten der Varietät bilden, ihr Durchschnitt ist die durch {{mathl|term= (X,Y,A)|SZ=}} gegebene Gerade. Die Parametrisierung {{ Ma:Vergleichskette |X ||T^3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |Y ||T^2 || || || |SZ= }} liefert wegen {{ Ma:Vergleichskette |dX || 3 T^2dT || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |dY ||2 TdT || || || |SZ= }} die (bis auf einen Faktor) Liftung {{ Ma:Vergleichskette |A ||T^2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |B ||T || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} csxxccblhf2xpvcb614gk54lt5i10b0 0 101954 785665 758881 2022-08-22T09:17:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |einfache Radikalerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mm9p38ek288si0wpuq59v8cr82wub7l 0 101957 779497 564861 2022-08-21T16:38:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Minoren zu {{ math/disp|term= {{op:Matrix23|X|Y|Z|Y|Z|W}} |SZ=, }} also das Ideal {{ math/disp|term= (Y^2-XZ,YW-Z^2,XW-ZY) |SZ= }} und den Restklassenring {{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||K[X,Y,Z,W]/(Y^2-XZ,YW-Z^2,XW-ZY) || || || |SZ=. }} Zwischen den Erzeugern besteht beispielsweise die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |X(YW-Z^2)-Y(XW-ZY) || -XZ^2+ZY^2 || Z(-XZ+Y^2 ) || || |SZ=. }} Die Gleichungen für die Differentiale sind {{ math/disp|term= ( -ZdX+2YdY-XdZ, WdY-2ZdZ+YdW , WdX-ZdY-YdZ+XdW) |SZ=. }} Zwischen diesen drei Erzeugern besteht eine Relation mit den Koeffizienten {{math|term= (Z,-X,Y)|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align | Z( -ZdX+2YdY-XdZ) || -Z^2dX+2YZdY-XZdZ || -YWdX+2YZdY-Y^2dZ || Y( -WdX+2ZdY-YdZ ) || |SZ=. }} Die rechte Seite muss auf der horizontalen Komponente verschwinden. Durch Addition mit dem dritten Differential ergibt sich {{ math/disp|term= ZdY -2YdZ +XdW |SZ=. }} Es ist im rationalen Sinn {{ Ma:Vergleichskette/disp | dZ || - {{op:Bruch|Z|X}} dX + 2 {{op:Bruch|Y|X}} dY || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/align |dW || - {{op:Bruch|W|X}} dX + {{op:Bruch|Z|X}} dY + {{op:Bruch|Y|X}} dZ || - {{op:Bruch|W|X}} dX + {{op:Bruch|Z|X}} dY + {{op:Bruch|Y|X}} {{makl| - {{op:Bruch|Z|X}} dX + 2 {{op:Bruch|Y|X}} dY |}} || - {{makl| {{op:Bruch|W|X}} + {{op:Bruch|YZ|X^2}} |}} dX + {{makl| {{op:Bruch|Z|X}} +2 {{op:Bruch|Y^2|X^2}} |}} dY || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |A_X |\cong|R_X[dX,dY] || || || |SZ=. }} Der Kern der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |A|A_X || |SZ= }} besteht aus allen {{ math/disp|term= \alpha dX + \beta dY+ \gamma dZ+ \delta dW |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha - {{op:Bruch|Z|X}} \gamma - {{op:Bruch|WX+YZ|X^2}} \delta || 0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \beta - 2{{op:Bruch|Y|X}} \gamma + {{op:Bruch| XZ + 2 Y^2|X^2}} \delta || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ttx21tnowf3eksccwh2cdizec8ivtk 0 101965 786179 629514 2022-08-22T10:42:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Ma:Vergleichskette |L || \{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |M || \{a,b,c,d,e,f,g \} || || || |SZ=, }} {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|text2={{math|term= \varphi(x)|SZ=}}|a|e|f|h|e|a|c|d|}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b1gsta9licbl6m99jf1vz5n4hfy9tj0 0 101966 786175 629521 2022-08-22T10:42:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Ma:Vergleichskette |L || \{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |M || \{a,b,c,d,e,f,g,h \} || || || |SZ=, }} {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|text2={{math|term= \varphi(x)|SZ=}}|b|e|f|h|e|g|c|d|}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rj0ae41k5w90i0glkuelxushnbyj2ro 0 101967 786176 629520 2022-08-22T10:42:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Ma:Vergleichskette |L || \{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |M || \{a,b,c,d,e,f,g,h\} || || || |SZ=, }} {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|text2={{math|term= \varphi(x)|SZ=}}|c|e|\,|d|e|a|b|a|}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onj83itvw8ryj4r5xdq3x509arqjc3r 0 101968 786177 629519 2022-08-22T10:42:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Ma:Vergleichskette |L || \{1,2,3,4,5,6,7\} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |M || \{a,b,c,d,e,f,g,h\} || || || |SZ=, }} {{Wertetabelle7|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|text2={{math|term= \varphi(x)|SZ=}}|c|f|d|e|h|b|a|}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r8vj8bup2t3z7tk6mnlui6zkygah3ze 0 101969 786178 629518 2022-08-22T10:42:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Ma:Vergleichskette |L || \{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |M || \{a,b,c,d,e,f,g,h\} || || || |SZ=, }} {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x|SZ=}}|3|7|1|4|6|8|5|2|text2={{math|term= \varphi(x)|SZ=}}|c|d|f|a|e|h|b|g|}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f4bkl5i8annj73cgbuxb33ouz8dr03j 0 101970 786180 629515 2022-08-22T10:43:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Ma:Vergleichskette |L || \{1,2,3,4,5,6,7\} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |M || \{a,b,c,d,e,f,g,h\} || || || |SZ=, }} {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|5|6|7|text2={{math|term= \varphi(x)|SZ=}}|c|e|f|d|e|a|b|a|}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lyt6ldx1m5xme5j0sdb4qjmq480m0ju 0 101971 786181 629516 2022-08-22T10:43:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Ma:Vergleichskette |L || \{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |M || \{a,b,c,d,e,f,g,h\} || || || |SZ=, }} {{Wertetabelle7|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|text2={{math|term= \varphi(x)|SZ=}}|c|e|f|d|e|b|a|}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} enr0tkgw6vf44qg9de5oox9twc81690 0 101972 786182 629517 2022-08-22T10:43:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Ma:Vergleichskette |L || \{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |M || \{a,b,c,d,e,f,g,h\} || || || |SZ=, }} {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x|SZ=}}|2|1|4|3|6|5|8|7|text2={{math|term= \varphi(x)|SZ=}}|h|b|f|d|e|c|g|a|}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wfz1yhuap5lbyb6w5mif1i26s8v1ml 0 102058 784483 565039 2022-08-22T06:17:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Schüler und Schülerinnen sollen sich überlegen, auf wie viele Arten man den Betrag {{mathl|term= 85 |SZ=}} mit den Euro-Scheinen {{mathl|term= 5,10,20,50|SZ=}} begleichen kann. Gabi Hochster überlegt stattdessen, wie man den Betrag {{math|term= 16|SZ=}} mit den Zahlen {{mathl|term= 1,2,4,10|SZ=}} darstellen kann. Wie kam sie auf diese Fragestellung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a36jild6u0s95ab837h8fadqeqmj8aw 0 102072 779396 565191 2022-08-21T16:21:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+X^2 || || || |SZ= }} gegebene Kurve. Für die Differentiale gilt die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |2YdY || (3X^2+2X)dX || || || |SZ=. }} Durch Quadrieren ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp |4Y^2 (dY)^2 || X^2(3X+2)^2 (dX)^2 || || || |SZ=. }} Wir können {{math|term= Y^2|SZ=}} ersetzen und, um die horizontale Komponente zu bestimmen, durch {{math|term= X^2|SZ=}} dividieren, und erhalten {{ Ma:Vergleichskette/disp |4(X+1) (dY)^2 || (3X+2)^2 (dX)^2 || || || |SZ=. }} Die Schnittmenge dieser Komponente mit dem Tangentialraum über der Singularität ist daher das Achsenkreuz {{ Ma:Vergleichskette/disp |(dY + dX) (dY - dX) ||0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom Y^2-X^3-X^2 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gel682r9vbzp5ms7l7wg27382ffy3x0 0 102090 783304 757006 2022-08-22T03:06:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{{R|R}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= {{ideala}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{{S|S}}} ||{{{R|R}}}/{{ideala}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein Element {{mathl|term= f \in {{{R|R}}}|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{{S|S}}}|SZ= }} ist, wenn in {{math|term= {{{R|R}}}|SZ= }} das Ideal {{math|term= {{ideala}} |SZ= }} zusammen mit {{math|term= f|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugt| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenringe (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 16hmpl2ubdvzowak4bmb2be007cqlkq 0 102091 783077 756824 2022-08-22T02:28:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wende{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ringhomomorphismus/Kommutativ/Faktorisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf den {{ Definitionslink |Prämath= |kanonischen Ringhomomorphismus| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |\Z|R || |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Homomorphiesatz (kommutative Ringe) |Kategorie2=Der kanonische Ringhomomorphismus von Z nach einem Ring |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fjynyxkb9iqvbmcsdbwvuvzk6ppbje6 0 102098 781769 755673 2022-08-21T22:50:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem Element {{mathl|term= f \in A|SZ=.}} Wende{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ringhomomorphismus/Kommutativ/Faktorisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele |name= |K[X]|A |X|f |SZ=, }} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Homomorphiesatz (kommutative Ringe) |Kategorie2=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kn5e8v95zy3eomgwsnnncvq8f3zr0r1 0 102110 781247 565452 2022-08-21T21:23:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= N_1|SZ=}} die rechts angegebene Menge mit dem Startsymbol oben links und der durch die Pfeile ausgedrückten Nachfolgerabbildung und {{ Ma:Vergleichskette |N_2 ||(\N, 0, \prime) || || || |SZ=. }} An welcher Stelle bricht der Beweis von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in dieser Situation zusammen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie der Zählsysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a7wx47jq76pxulm9asoiuuqstzu3mom 0 102111 784583 565933 2022-08-22T06:30:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Um Frau Maier-Sengupta und die gesamte Klasse verrückt zu machen, und um ihren persönlichen Charakter zu unterstreichen, entscheiden sich Gabi, Heinz, Lucy und Mustafa, in jeweils eigenen Zählsystemen zu zählen und Mengenangaben grundsätzlich in ihren individuellen Systemen anzugeben. Alle belassen es bei der {{math|term= 0|SZ=}} als Startsymbol, ansonsten zählen sie folgendermaßen: Gabi zählt mit den Primzahlen, also {{mathl|term= 0,2,3,5,7,11, \ldots|SZ=.}} Heinz zählt ohne Schnappszahlen, überspringt also alle mehrstelligen Zahlen, in denen nur eine Ziffer vorkommt. Lucy zählt einfach negativ, also {{mathl|term= 0,-1,-2,-3, -4,-5 ,\ldots|SZ=.}} Mustafa zählt mit den Zehnerpotenzen, also {{mathl|term= 0,1,10,100,1000,10000, \ldots|SZ=.}} Frau Maier-Sengupta fragt die Kinder, wie viele Muscheln sie jeweils vom Schullandheim auf Juist mitgebracht haben. Die Kinder antworten wahrheitsgemäß, allerdings in ihren jeweiligen Systemen, {{Wertetabelle4|text1= {{math|term= P|SZ=}} |text2= {{math|term= n(P)|SZ=}} |G|H|L|M|29|63|-17|1000000000}} Ist die Abbildung injektiv? Wie sieht diese Wertetabelle aus, wenn sie vollständig in den jeweiligen Systemen (einschließlich des Systems der Lehrerin) ausgedrückt wird? Welche Umrechnungsstrategie ist dabei geschickt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bocxa7buqff7tlx6q1x7vjkv3ty219a 0 102112 781249 755277 2022-08-21T21:23:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|\N || || || |SZ= }} eine unendliche Teilmenge der natürlichen Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= T|SZ=}} ebenfalls die {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Axiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit welchem ausgezeichneten Element und mit welcher Nachfolgerabbildung|ISZ=? |ESZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} enn6ndwvo1cjj524l0fcdvoye6iu47j 0 102115 781252 755280 2022-08-21T21:24:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |\N^\infty | {{defeq|}} | \N \cup \{\infty\} || || || |SZ= }} mit {{math|term= 0|SZ=}} als Startsymbol und wobei die übliche Nachfolgerabbildung durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |\infty' || \infty || || || |SZ= }} ergänzt wird. Welche der {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Axiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt diese Menge, welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie der Zählsysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ciraka3tzw2wqot07003hvk5vv0mjjg 0 102117 781250 755278 2022-08-21T21:23:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}} aus den {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Axiomen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung2 |Für die Nachfolgerabbildung gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^\prime |\neq|x || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x \in \N|SZ=.}} |Sei {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} fixiert und sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_n |\N|\N || |SZ= }} die {{math|term= n|SZ=-}}fache {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Nachfolgerabbildung. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(x) |\neq|x || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x \in \N|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f6z7ftek1gktur86njfwwmwf8cbm5su 0 102129 781890 755791 2022-08-21T23:10:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen und sei {{math|term= w|SZ=}} ein Element, das nicht zu {{math|term= M|SZ=}} gehöre. Zeige{{n Sie}}, dass dann die Vereinigung {{mathl|term= M \cup \{w\}|SZ=}} genau {{mathl|term= n'|SZ=}} Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eq8xmmdpalundwcvtmcnccs04ivb4kg 0 102272 782123 669465 2022-08-21T23:49:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n|SZ=}} eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |n || p_1^{r_1} {{cdots||}} p_k^{r_k} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Eulersche Phi-Funktion|n|}} || {{op:Eulersche Phi-Funktion|p_1^{r_1}|}} {{cdots||}} {{op:Eulersche Phi-Funktion|p_k^{r_k}|}} || (p_1-1) p_1^{r_1-1} {{cdots|}} (p_k-1) p_k^{r_k-1} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ssq9h3lgwvuvet1xgp5p2vem2sp8zf 0 102323 780542 754707 2022-08-21T19:25:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung5 |Ist die Addition {{ Ma:abbele/disp |name= |\N \times \N|\N |(x,y)| x+y |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Ist sie {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Ist die Multiplikation {{ Ma:abbele/disp |name= |\N \times \N|\N |(x,y)| x \cdot y |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Ist sie {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Ist die Multiplikation {{ Ma:abbele/disp |name= |\N_{\geq 2} \times \N_{\geq 2}|\N_{\geq 2} |(x,y)| x \cdot y |SZ=, }} auf den natürlichen Zahlen {{math|term= \geq 2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Ist sie {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Kennen Sie eine bijektive Verknüpfung? |Gibt es eine {{Anführung|allgemeine Erwartungstendenz|SZ=,}} ob eine Verknüpfung eher injektiv (surjektiv) oder nicht ist? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} am3glxtx4xnh7no2ieeqb7rdca2hdmg 0 102324 783744 566281 2022-08-22T04:19:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || \{ \text{Studienrat}, \text{Oberstudienrat}, \text{Studiendirektor}, \text{Referendar} \} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |N || \{ \text{Müller}, \text{Maier}, \text{Sengupta}, \text{Hinterwald} , \text{Lutz}, \text{Obermüller} \} || || || |SZ=. }} Aus welchen Elementen besteht {{mathl|term= T \times N|SZ=?}} Kann man die Paarschreibweise hier umgehen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m58wzzjbbloya0stvecp9trrl8pa4g5 0 102332 785605 758845 2022-08-22T09:07:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\epsilon || {{op:Bruch| -1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit|}} |2}} || || || |SZ= }} die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Q |\subseteq|\Q[ \epsilon \sqrt[3]{7} ] ||L |\subseteq|{{CC}} || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \epsilon \sqrt[3]{7}|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} gleich {{math|term= 3|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht {{math|term= L|SZ=}} in {{math|term= L|SZ=}} überführt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der komplexen Konjugation |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=3 |p2=1 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sotigzsttqljdo6p4ab6obac1wicdnl 0 102335 779296 763382 2022-08-21T16:06:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Jede {{ Definitionslink |Prämath= |abelsche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} ist ein {{math|term= \Z|SZ=-}}Modul: Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\cdot |\Z \times G | G || |SZ= }} ist erklärt durch {{ Ma:Vergleichskette | n \cdot g || g + g {{plusdots|}} g || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= n|SZ=}} Summanden| |ISZ=|ESZ= }} für {{math|term= n \in \N|SZ=,}} {{math|term= g \in G|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | (-n)\cdot g || -(n \cdot g) || || || |SZ=. }} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Modultheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9rpzmaf1d5u5292ax2z66m0q83g6dx5 0 102341 785664 758880 2022-08-22T09:17:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |graduiert| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4npvwu9mrlh678fxi8s55dfwfsqm3ou 0 102342 782609 756374 2022-08-22T01:10:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath={{op:Zmod|10|}} |graduierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || \Q[X]/ {{makl| X^{10} - 5 |}} || \Q \oplus 5^{ {{op:Bruch|1|10}} } \cdot \Q\oplus 5^{ {{op:Bruch|2|10}} } \cdot \Q \oplus 5^{ {{op:Bruch|3|10}} } \cdot \Q {{oplusdots}} 5^{ {{op:Bruch|8|10}} } \cdot \Q \oplus 5^{ {{op:Bruch|9|10}} } \cdot \Q || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Berechne{{n Sie}} das Inverse von {{ math/disp|term= 5^{ {{op:Bruch|1|10}} } |SZ=. }} |Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{makl| 5^{ {{op:Bruch|7|10}} } |}}^4 |SZ=. }} |Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{makl| {{op:Bruch|2|7}} - {{op:Bruch|4|3}} \cdot 5^{ {{op:Bruch|3|10}} } - 5 \cdot 5^{ {{op:Bruch|8|10}} } |}} {{makl| {{op:Bruch|2|3}} +{{op:Bruch|5|4}} \cdot 5^{ {{op:Bruch|5|10}} } + 4 \cdot 5^{ {{op:Bruch|7|10}} } - {{op:Bruch|1|2}} \cdot 5^{ {{op:Bruch|9|10}} } |}} |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} graduierte Unterringe von {{math|term= L|SZ=.}} | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mcyi9alqnk6j5z9c3fddp8s8g9ljcm0 0 102343 782620 756391 2022-08-22T01:12:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| \Q[ \sqrt[4]{7} {{Imaginäre Einheit|}} ] ||L || || |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \sqrt[4]{7} {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} gleich {{math|term= 4|SZ=}} ist. |Finde{{n Sie}} einen echten Zwischenkörper {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subset|M |\subset|L || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Zmod|4|}} |graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |L[ {{Imaginäre Einheit|}} ] ||\Q[ \sqrt[4]{7}, {{Imaginäre Einheit|}} ] || || || |SZ= }} eine {{mathl|term= {{op:Zmod|4|}} \times {{op:Zmod|2|}} |SZ=-}} graduierte Körpererweiterung von {{math|term= \Q|SZ=}} ist. Durch welche Untergruppe von {{mathl|term= {{op:Zmod|4|}} \times {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} wird {{math|term= L|SZ=}} beschrieben? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gb3ha5uurw3ujj2gsqqn8pe192tafql 0 102357 782739 567436 2022-08-22T01:32:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf der Haseigelschule wird mit der folgenden Tadelwährung gerechnet. {{math|term= 5|SZ=}} Ermahnungen sind ein Tagebucheintrag, {{math|term= 3|SZ=}} Tagebucheinträge sind ein Strafnachmittag, {{math|term= 4|SZ=}} Strafnachmittage sind ein Elterngespräch. Die Tadelwährung wird in absteigender Tadelschwere angegeben. {{ Aufzählung3 |Im dritten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt {{ Zusatz/Klammer |text=im Zehnersystem| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= 67|SZ=}} Einzelermahnungen. Wie lautet das Ergebnis in der Tadelwährung? |Im vierten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt {{mathl|term= 2114|SZ=}} Einheiten in der Tadelwährung. Wie viele Einzelermahnungen stecken da dahinter? |Inwiefern ist die Analogie mit einem Münzsystem oder dem Dezimalsystem mathematisch fragwürdig? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Haseigelschule |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b40x0i0n7lsb8a1o4rpqtkeyr1wl8o3 0 102390 781952 755845 2022-08-21T23:20:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie viele {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt der {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 529|SZ=}} Elementen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 529 Elementen |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1o8xzk84ggesc9mxcywxeaco4qk2t7m 0 102404 785783 758961 2022-08-22T09:36:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine Liste der {{ Definitionslink |Prämath= |Quadratzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bis {{math|term= 900|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eganddbn7qk8uufdjw6nfg1n20kr4ju 0 102405 784570 628226 2022-08-22T06:29:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= L|SZ=}} eine endliche Menge mit {{math|term= \ell|SZ=}} und {{math|term= M|SZ=}} eine Menge mit {{math|term= m|SZ=}} Elementen. Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller Abbildungen von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=}} genau {{mathl|term= m^\ell|SZ=}} Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Anzahl von Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2zksnum5b4qi9j4l667508h5n6u61in 0 102406 784548 566907 2022-08-22T06:25:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf {{math|term= \N|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fap8wias1uj3sarkh9lr3t7zd0dhgty 0 102407 784574 758094 2022-08-22T06:29:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine rekursive Beziehung für das {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzieren| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= a^{(n^\prime)}|SZ=,}} wobei {{math|term= n^\prime |SZ=}} den Nachfolger von {{math|term= n|SZ=}} bezeichnet. Gibt es auch eine rekursive Beziehung für {{mathl|term= (a^\prime)^n|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fduoknh40v60uocbccxpz0zmuobgkk4 0 102410 784547 758087 2022-08-22T06:25:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir besprechen eine Variante des zweiten Beweises zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es seien {{mathl|term= m,n|SZ=}} positive natürliche Zahlen. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:abbele/disp |name= |\{0 {{kommadots}} m-1 \} \times \{0 {{kommadots}} n-1 \}| \{0 {{kommadots}} mn-1 \} |(i,j)| in +j |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Bringe{{n Sie}} diese Überlegung mit {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Maximal zwei Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in Verbindung. |Bringe diese Überlegung mit dem Stellenwertsystem zur Basis {{math|term= n|SZ=}} in Verbindung. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7zazfpbb0vg7mhmxjgc0zfz1fxysspi 0 102412 780986 566925 2022-08-21T20:39:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Wilhelm Trübner Kartoffelacker in Weßling|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor=Wilhelm Trübner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Bauer Ernst legt einen Kartoffelacker mit {{math|term= 25|SZ=}} Reihen an. Pro Reihe setzt er {{mathl|term= 120|SZ=}} Setzkartoffeln der Sorte Sieglinde. Diese Sorte ergibt pro Setzkartoffel einen Ertrag von {{math|term= 3|SZ=}} Kilogramm. Wie hoch wird seine Ernte ausfallen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Bauer Ernst |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0qd8yuvqjxj1s2bp73xsmgf9saq35zm 0 102428 784571 667887 2022-08-22T06:29:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für positive natürliche Zahlen {{mathl|term= a,n,k|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | a^{(n^k)} || \underbrace{ {{makl| {{makl| \ldots {{makl| {{makl| a^n |}}^n |}}^n \ldots |}}^n |}}^n }_{ k \text{ Potenzierungen} } || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8umgb4h96jguq10j60w58q7so6994sd 0 102462 783173 756888 2022-08-22T02:44:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der einen {{ Definitionslink |Körper| | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der positiven {{ Definitionslink |Charakteristik| | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |p |>|0 || || || |SZ= }} enthalte. Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= e|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |R|R |f|f^p |SZ=, }} durch {{mathl|term= f \mapsto f^q|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |q ||p^e || || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qxhlhfcij2k1u53uu8bjxdnvdxnpdrm 0 102463 781970 755862 2022-08-21T23:23:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |q ||p^e || || || |SZ= }} Elementen. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tiivquckhhn0tu4b3rghyaguhbpp6qw 0 102464 781969 755861 2022-08-21T23:23:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} der {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} {{math|term= p|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körperautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ps7087qj3vey6dg0koekdc1s7symbn 0 102465 781954 755847 2022-08-21T23:21:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das Polynom {{mathl|term= X^9-X \in {{op:Zmod|3|}}[X] |SZ=}} die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/align |X^9-X || {{makl| X^3-X |}} {{makl| X^8+X^6+X^4 +X^2+1|}} || X(X-1)(X+1) {{makl| X^2+1 |}} {{makl| X^2+2X+1 |}} {{makl| X^2+X+2 |}} {{makl| X^2+2X+2 |}} || || || |SZ= }} besitzt, wobei die Faktoren in der zweiten Zerlegung irreduzibel sind. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Zmod|3|}}[X] /{{makl| X^2+1 |}}, \, {{op:Zmod|3|}}[X] /{{makl| X^2+2X+1 |}}, \, {{op:Zmod|3|}}[X] /{{makl| X^2+X+2 |}}, \, {{op:Zmod|3|}}[X] /{{makl| X^2+2X+2 |}} |SZ= }} untereinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Faktorzerlegung in Polynomringen in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 9 Elementen |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bna0rdtur3tno117wbomh63n9znwkao 0 102480 784545 567200 2022-08-22T06:25:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} natürliche Zahlen. Begründe{{n Sie}}, dass {{mathl|term= a-b|SZ=}} der {{math|term= b|SZ=-}}te Vorgänger von {{math|term= a|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 36vg7vxntrtfigsxt8ay2rhz8umteuw 0 102482 784553 567220 2022-08-22T06:26:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir treffen die folgenden induktiven Festlegungen. {{ Aufzählung3 |Die {{math|term= 0|SZ=}} ist gerade {{ Zusatz/Klammer |text=und nicht ungerade| |ISZ=|ESZ=. }} |Wenn eine natürliche Zahl gerade ist, dann ist der Nachfolger {{math|term= n'|SZ=}} ungerade. |Wenn eine natürliche Zahl ungerade ist, dann ist der Nachfolger {{math|term= n'|SZ=}} gerade. }} Zeige{{n Sie}}, dass dadurch für jede natürliche Zahl eindeutig die Eigenschaft gerade bzw. ungerade festgelegt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eh97zvkmcm7gidrrz5tb0jt0tts3e18 0 102493 784568 758092 2022-08-22T06:28:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} die Menge der Paare {{mathl|term= (x,y) \in \N \times \N|SZ=,}} die {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq|y || || || |SZ= }} erfüllen, als Teilmenge der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \N \times \N |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mqvojbs5t7gpk9c1w51xxtq8a22rizj 0 102496 784541 567329 2022-08-22T06:25:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= m|SZ=}} eine natürlich Zahl. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |m' -1 ||m || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie= Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oxnbi2hy0cd2gije1soo4e34w1xsi8k 0 102497 780503 567362 2022-08-21T19:19:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}} Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen der Abziehregel und der Kürzungsregel auf {{math|term= \N|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9n9hrdmnh3k92n2nx0511ew4ijex6av 0 102498 784565 567369 2022-08-22T06:28:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\geq|c || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | (a-c) +b || a+(b-c) || || || |SZ=. }} Gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |(8-5)+3 || 8 +(3-5) || || || |SZ= }} in {{math|term= \N|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aj04xip7kxgmuxaom5gxzcdlcf21cb9 0 102519 782663 567453 2022-08-22T01:19:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe {{math|term= G|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wmzc9qzus38e9br882q4j8si8gvogc 0 102565 782571 569175 2022-08-22T01:04:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |1N3E SVG|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Emily McCullough |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei ein Gitter mit {{math|term= n|SZ=}} Querkästchen und mit {{math|term= m|SZ=}} Hochkästchen gegeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es, von links unten nach rechts oben entlang der Gitterkanten zu wandern, wenn man in jedem Schritt nur nach rechts oder nach oben wandern darf? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dofxpg55kw45t1usxq117fcuecsg9p3 0 102566 780795 754900 2022-08-21T20:07:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die ganzen Zahlen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \preccurlyeq|SZ=,}} bei der {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |\preccurlyeq| \Z_- |\preccurlyeq| \Z_+ || || |SZ= }} gilt und die auf den Teilmengen {{math|term= \Z_- |SZ=}} und {{math|term= \Z_+|SZ=}} mit der Ordnung {{math|term= \leq|SZ=}} übereinstimmt. {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \preccurlyeq |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \Z|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\preccurlyeq|x,y || || || |SZ= }} auch {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |\preccurlyeq| x+y || || || |SZ= }} gilt. |Zeige{{n Sie}}, dass mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\preccurlyeq|x,y || || || |SZ= }} auch {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |\preccurlyeq| x \cdot y || || || |SZ= }} gilt. |Ist {{mathl|term= (\Z, \preccurlyeq )|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der angeordneten Ringe |Kategorie2=Theorie der Ordnung auf den ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cm6isawlei87p6gplvlpkku9nqcleta 0 102580 783685 757335 2022-08-22T04:10:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} und sei {{ mathbed|term= X^p -a ||bedterm1= a \in K ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |K |\subseteq|K[x] ||K[X]/(X^p-a) || || |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen separablen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2kwqu7jz6cz14g341uufxih6y2l9w9c 0 102581 783684 757334 2022-08-22T04:09:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} und sei {{ mathbed|term= X^p -X-a ||bedterm1= a \in K ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |K |\subseteq|K[x] ||K[X]/(X^p-X-a) || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen separablen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jwuncytodwzoti79dsnlvg6axlg461l 0 102584 783638 757288 2022-08-22T04:02:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} und sei {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dessen Grad kein Vielfaches von {{math|term= p|SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der separablen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ylnnfcxv8viuy9rp55kcxuehr7xmgi 0 102585 783683 757333 2022-08-22T04:09:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dessen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kein Vielfaches von {{math|term= p|SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass diese Körpererweiterung {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen separablen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxoc750ibfh7k4uw7mbvit1enhaizx7 0 102586 782612 756377 2022-08-22T01:11:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Erweiterung genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= D|SZ=}} kein Vielfaches von {{math|term= p|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen separablen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eceorhcupk71c6ozsh0b9y0aj2lr06q 0 102588 778467 762417 2022-08-21T12:07:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= x \in L|SZ=}} mit dem Minimalpolynom {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=,}} das nach Voraussetzung {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Es sei {{mathl|term= G \in M[X]|SZ=}} das Minimalpolynom zu {{math|term= x|SZ=,}} aufgefasst in der Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq|L || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette |F(x) ||0 || || || |SZ= }} gilt in {{math|term= M[X]|SZ=}} die Beziehung ist {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| (G) || || || |SZ=, }} d.h. es gibt ein {{mathl|term= H \in M[X]|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||GH || || || |SZ=. }} Da {{math|term= F|SZ=}} in jedem Erweiterungskörper von {{math|term= K|SZ=}} nur einfache Nullstellen besitzt, gilt dies auch für den Teiler {{math|term= G|SZ=}} und damit ist auch {{math|term= G|SZ=}} separabel. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} akhwul6cyf165chl7xya60uy5jzltj0 0 102590 782617 756383 2022-08-22T01:11:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei {{math|term= D|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |zyklisch| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass die Körpererweiterung nicht von einem {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugt| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der einfachen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bh2iwdox6phfxurr44sijnlba68pv15 0 102598 783709 757356 2022-08-22T04:14:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p,q \in \Z|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| \Q[ \sqrt{p}, \sqrt{q}] ||L || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 4|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}}, ob die folgenden Elemente die {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L|SZ=}} erzeugen oder nicht. {{ Aufzählung4 |{{mathl|term= \sqrt{p}|SZ=,}} |{{mathl|term= \sqrt{p} + \sqrt{q} |SZ=,}} |{{mathl|term= \sqrt{pq} |SZ=,}} |{{mathl|term= \sqrt{p} + \sqrt{pq} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=2 |p3=1 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} peuoyu9v2bae7xjcs8jeuxl7h8qphbr 0 102602 785351 758645 2022-08-22T08:25:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} fünf natürliche Zehnerintervalle {{mathl|term= \{ 10a {{kommadots}} 10( a+1) \}|SZ=,}} die jeweils vier {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthalten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primzahltupel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2cxwxbmcrehcnojt6d9yl1h0n5nms5g 0 102613 781837 755742 2022-08-21T23:01:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Zmod|p|}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|q|}} || || || |SZ= }} eine Erweiterung {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |q ||p^e || || || |SZ= }} und es sei {{math|term= u|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=.}} Was ist die erste Potenz {{ mathbed|term= u^n ||bedterm1= n \geq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} die zu {{math|term= {{op:Zmod|p}} |SZ=}} gehört? Ist dieses {{math|term= u^n|SZ=}} ein primitives Element von {{math|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|p|}} |}} |SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hvess2syk1sttuajhrueoocp0qo9hou 0 102615 781856 755760 2022-08-21T23:04:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine ungerade Primzahl. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |q ||p^e || || || |SZ= }} und {{mathl|term= c \in {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} ein Nichtquadrat. {{ Aufzählung5 |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Endlicher Körper|q^2|}} |\cong| {{op:Endlicher Körper|q|}} [X]/ {{makl| X^2-c |}} || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass es eine Kette von {{ Definitionslink |Prämath= |rein-quadratischen Erweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Endlicher Körper|p|}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|p^2 |}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|p^4 |}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|p^8 |}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|p^{16} |}} |\subseteq| \ldots |SZ= }} gibt. |Zeige{{n Sie}}, dass die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|3|}}[X]/ {{makl| X^2-2 |}} |SZ=}} ein Quadrat ist. |Es sei nun {{ Ma:Vergleichskette |p ||1 \mod 4 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Restklasse {{math|term= x|SZ=}} von {{math|term= X|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} [X]/ {{makl| X^2-c |}} |SZ=}} ein Nichtquadrat ist. |Es sei {{ Ma:Vergleichskette |p ||1 \mod 4 || || || |SZ= }} und sei {{math|term= a \in {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} ein Nichtquadrat. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= Y^{2^n}-a|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \geq 1|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |p4=3 |p5=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nj05hkb5h0ojg0xeq8axe7iejdsdjno 0 102622 781734 567814 2022-08-21T22:44:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper/Koeffizientendarstellung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für die Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Zmod|5|}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|625|}} |\cong|{{op:Zmod|5|}} [X]/ {{makl| X^4-2 |}} || || |SZ= }} und den Zwischenkörper {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|25|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der einfachen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der endlichen Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aywb95okinmhgl68fz2wspofyxzfpis 0 102627 778997 763173 2022-08-21T15:19:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Gruppe {{ Ma:Vergleichskette |G ||{{op:Zmod|n|}} || || || |SZ= }} und zum Körper {{math|term= {{CC}}|SZ=}} besteht die {{ Definitionslink |Prämath= |Charaktergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus allen Gruppenhomomorphismen {{ Ma:abb |name= \varphi |{{op:Zmod|n|}} | {{op:Einheiten|{{CC}}|}} || |SZ=. }} Da ein solcher durch das Bild des Erzeugers {{math|term= 1|SZ=}} festgelegt ist, und dieser auf eine {{math|term= n|SZ=-}}te Einheitswurzel geht, besteht eine natürliche Isomorphie zwischen der Charaktergruppe {{mathl|term= {{op:Charakterdual(| {{op:Zmod|n|}} |}} |SZ=}} und der Gruppe {{math|term= \mu_n|SZ=}} der {{math|term= n|SZ=-}}ten komplexen Einheitswurzeln. Diese Gruppe ist selbst isomorph zu {{math|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=,}} aber nicht in kanonischer Weise. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bp2ip6brj7624w2wox0pblh9fcc9ecb 0 102629 782628 756400 2022-08-22T01:13:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |A || \bigoplus_{d \in D} A_d || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= f \in A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |homogene| |Kontext=Graduierung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= d|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das inverse Element {{math|term= f^{-1}|SZ=}} homogen vom Grad {{math|term= -d|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvewgf4ntfcxwc3ncsjpdzw88edwixp 0 102636 783263 756966 2022-08-22T02:59:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= I|SZ=}} eine endliche Menge und seien {{ mathbed|term= a_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} Elemente aus {{math|term= R|SZ=.}} Man definiert die Summe {{mathl|term= \sum_{i \in I} a_i|SZ=,}} indem man eine Nummerierung {{ Zusatz/Klammer |text=eine Bijektion| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\{ 1 {{kommadots|}} n \}|I || |SZ= }} fixiert und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i \in I} a_i |{{defeq}}| \sum_{k {{=}} 1 }^n a_{\varphi (k)} || || || |SZ= }} setzt. {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass diese Summe unabhängig von der gewählten Nummerierung ist. |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i \in I} a_i || {{makl| \sum_{i \in I \setminus \{j\} } a_i |}} +a_j || || || |SZ= }} für ein beliebiges {{mathl|term= j \in I|SZ=.}} |Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |I || I_1 \cup I_2 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Vereinigung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i \in I} a_i || {{makl| \sum_{i \in I_1} a_i |}} + {{makl| \sum_{i \in I_2} a_i |}} || || || |SZ=. }} |Formuliere{{n Sie}} die entsprechenden Gesetze für das Produkt {{mathl|term= \prod_{i \in I} a_i |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3i9imfzez08jxja4pmjb8ju38je5xqa 0 102702 782744 756521 2022-08-22T01:33:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R}} ein {{ Definitionslink |Hauptidealbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |p |\neq|0 || || || |SZ= }} ein Element. Zeige{{n Sie}}, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind. {{Aufzählung3|{{math|term= p }} ist ein {{ Definitionslink |Primelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{mathl|term= R/(p) }} ist ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{mathl|term= R/(p) }} ist ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jf7lr40ciqbghmthvb3q97r4dkep359 0 102706 783639 757289 2022-08-22T04:02:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= K|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |vollkommen| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn der {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der vollkommenen Körper |Kategorie2=Der Frobeniushomomorphismus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8djgrzgdjjjuewiulxfhworsz5bdieu 0 102710 784533 758082 2022-08-22T06:24:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die natürlichen Zahlen {{math|term= \N|SZ=}} mit den beiden Verknüpfungen Addition und Potenzierung und den ausgezeichneten Elementen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=. }} Welche Eigenschaften eines {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt diese Struktur, welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0mt54ad8u7cx7nmx1svnrygn01rbhuk 0 102724 783707 757355 2022-08-22T04:13:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Algebrahomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \Q[\sqrt{3}, \sqrt{7} ]|SZ=}} nach {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Algebra-Homomorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fdotsopzhcsi4zip1i8nlydn97t8s41 0 102725 783705 757353 2022-08-22T04:13:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |primitive| |Kontext=Einheitswurzel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Algebrahomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \Q[\zeta ]|SZ=}} nach {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Algebra-Homomorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Die Kreisteilungskörper über Q |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nyciqqw2ak2kdf4bkfizcn3yw457wuf 0 102727 780538 754705 2022-08-21T19:25:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq|L | {{defeq|}} |\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} , \sqrt{2} ] || \Q[\zeta_8] || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \zeta_8 || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \sqrt{2} + \sqrt{2} {{Imaginäre Einheit|}} |}} || || || |SZ= }} gemäß {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Achter Kreisteilungskörper/Mehrfache Graduierung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der achte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t5exme6l1g4q33507mp6ye7ax4wa60o 0 102728 780539 754706 2022-08-21T19:25:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq|L | {{defeq|}} |\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} , \sqrt{2} ] || \Q[\zeta_8] || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \zeta_8 || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \sqrt{2} + \sqrt{2} {{Imaginäre Einheit|}} |}} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \zeta_8|SZ=}} über den folgenden Zwischenkörpern {{ mathbed|term= M ||bedterm1= \Q \subseteq M \subseteq L ||bedterm2= |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |{{ Ma:Vergleichskette |M ||\Q || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette |M ||\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette |M ||\Q [ \sqrt{2} ] || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette |M ||L || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der achte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n6aa4k3nowpm6gygnz45vg8htu9wvag 0 102730 784523 568332 2022-08-22T06:22:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf wie viele Arten kann man die {{math|term= 5|SZ=}} als Summe von positiven natürlichen Zahlen darstellen {{ Zusatz/Klammer |text=Darstellungen, die man durch Vertauschen der Reihenfolge ineinander überführen kann, gelten dabei als gleich; {{mathl|term= 5=5|SZ=}} ist eine Darstellung| |ISZ=|ESZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cjovyrxuwa2hylt0daeir70wweyilpi 0 102742 781126 568559 2022-08-21T21:03:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zum neunten Geburtstag ihres Enkels Mustafa backt Oma Müller für die Geburtstagsparty ihre beliebten Geburtstagskekse. Mustafa hat {{math|term= 9|SZ=}} Kinder aus seiner Klasse eingeladen, mit ihm werden es maximal {{math|term= 10|SZ=}} Kinder sein. Es ist aber nicht klar, ob alle kommen. In jedem Fall will Oma Müller sicher sein, dass jedes Kind genau gleich viele Kekse bekommt. Wie viele Kekse backt sie? {{ Zusatz/Klammer |text=die Lösung, gar keine Kekse zu backen, würden die Kinder nicht verstehen.| |ISZ=|ESZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3z95a48sknrc1y7pyrwizmy8xkfyy43 0 102744 785272 758593 2022-08-22T08:12:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:Vergleichskette |M || {{op:Potenzmenge|G|}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten auf {{math|term= M|SZ=}} den Durchschnitt {{math|term= \cap|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Gesamtmenge {{math|term= G|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |neutralem Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Was bedeutet in diesem Fall die Teilbarkeitsbeziehung, die analog zur {{ Definitionslink |Prämath= |Teilbarkeit in {{math|term= \N|SZ=}}| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition |SZ= }} zu definieren ist? |Was sind die {{Anführung|Primelemente}} in {{math|term= M|SZ=?}} |Gibt es stets eine Faktorzerlegung in Primelemente? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzmenge |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie in kommutativen Monoiden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7l640p5zjg5iozlsy1i163u2qaiqmws 0 102777 783261 756964 2022-08-22T02:59:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b \in R|SZ=}} Elemente in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= (a+2b) \cdot (2a +3b) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oezg5exhodmvdmeqiheq8t73ayj6kgj 0 102792 779621 751671 2022-08-21T16:58:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen besitzt der {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |K(X_1 {{kommadots|}} X_n) || Q (K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]) || || || |SZ=, }} also der {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktionenkörper| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen, die {{ Definitionslink |Prämath= |Transzendenzbasis| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n|SZ=,}} da die Variablen {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Transzendenzbasen von Körpern |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvnule9h0s1o680xfrdukq4nptp5922 0 102812 778891 763110 2022-08-21T15:02:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L|SZ=}} zum Polynom {{mathl|term= X^8-1|SZ=,}} also den achten Kreisteilungskörper. Er wird von einer primitiven achten Einheitswurzel {{math|term= \zeta|SZ=}} erzeugt und besitzt nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Achter Kreisteilungskörper/Mehrfache Graduierung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Darstellungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || \Q[ \zeta]/ {{makl| \zeta^4+1 |}} || \Q[\sqrt{2}, {{imaginäre Einheit}}] || || |SZ=. }} Die Nullstellen von {{math|term= X^8-1|SZ=}} sind die acht verschiedenen Einheitswurzeln, die die Potenzen von {{math|term= \zeta|SZ=}} sind. Die primitiven Einheitswurzeln besitzen allesamt das Minimalpolynom {{mathl|term= X^4+1|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Automorphismen| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |L|L || |SZ= }} führen die achten Einheitswurzeln ineinander über, und zwar werden primitive Einheitswurzeln auf primitive Einheitswurzeln angebildet. Die komplexe Konjugation bildet {{math|term= \zeta|SZ=}} auf {{math|term= \zeta^7|SZ=}} und {{math|term= \zeta^3|SZ=}} auf {{math|term= \zeta^5|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette | \zeta^2 || {{imaginäre Einheit}} || || || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette | \zeta^6 || - {{imaginäre Einheit}} || || || |SZ= }} ab. Der durch {{mathl|term= \sqrt{2} \mapsto - \sqrt{2} |SZ=}} und {{mathl|term= {{Imaginäre Einheit}} \mapsto {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} gegebene Automorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \zeta || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \sqrt{2} + \sqrt{2} {{Imaginäre Einheit|}} |}} || || || |SZ= }} bildet {{math|term= \zeta|SZ=}} auf {{math|term= \zeta^5|SZ=}} und {{mathl|term= \zeta^3|SZ=}} auf {{math|term= \zeta^7|SZ=}} ab. In jedem Fall induziert jeder Automorphismus eine Permutation der achten Einheitswurzeln, also der Nullstellen des Polynoms {{math|term= X^8-1|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der achte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 216po9724lnosfk70ixm2m67zi7lznp 0 102817 784183 757836 2022-08-22T05:33:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{math|term= G|SZ=}} eine Untergruppe der Menge aller Bijektionen von {{math|term= M|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|M || || || |SZ= }} eine Teilmenge mit der Eigenschaft, dass jedes {{mathl|term= \varphi \in G|SZ=}} die Menge {{math|term= T|SZ=}} in sich selbst überführt. Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |G| {{op:Permutationsgruppe|T|}} |\varphi| \varphi {{|}}_T |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Man gebe Beispiel für solche Situationen, wo {{math|term= \psi|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=nicht| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=nicht| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3=Theorie der Permutationen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} srhjn70jkcsh2m7y0yapw1cgvb7xwxn 0 102818 783015 756774 2022-08-22T02:18:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^n|SZ=}} eine Selbstabbildung der {{mathl|term= (n-1)|SZ=-}}dimensionalen Sphäre {{ Ma:Vergleichskette/disp |S^{n-1} || {{Mengebed|P\in \R^n| {{op:Norm|P|}} {{=}} 1}} || || || |SZ= }} induziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Sphären |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4gir3iu7yd2mqxjjurd70kf8ry6qabf 0 102820 783746 757386 2022-08-22T04:20:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}} mit dem {{ Faktlink |Präwort=|Lemma von Dedekind|Faktseitenname= Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass die reelle Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix44|1|1|1|1|1|1|-1|-1|1|-1|1|-1|1|-1|-1|1|1|}} |SZ= }} den {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 4|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Charaktere (Monoide) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} azvo4gj2y50h0mt6t6i16p05mq4qk92 0 102825 786157 759316 2022-08-22T10:39:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |q |\in|\Q || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in {{math|term= \Q|SZ=}} keine dritte Wurzel besitzt, so dass {{ Ma:Vergleichskette | \Q |\subseteq| L ||\Q[X]/(X^3-q) || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= 3|SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}}, dass das Polynom {{mathl|term= X^3-q |SZ=}} in {{mathl|term= L|SZ=}} genau eine Nullstelle hat und dass diese Körpererweiterung nicht {{ Definitionslink |Prämath= |galoissch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie3=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f1g0loi6te1g0y0dma0puiatce38xjh 0 102828 778995 568769 2022-08-21T15:18:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die kubische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^3-3x+1 || 0 || || || |SZ= }} und wenden darauf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an. Es ist demnach {{ mathlist|term1= p=-3 ||term2= q=2 |und|term3= D=81 |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | u || \sqrt[3]{ {{op:Bruch|1|2}} {{makl| - 1 + \sqrt{-3} |}} } || \sqrt[3]{ {{op:Bruch|1|2}} {{makl| - 1 + \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit |}} }} } || \zeta || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || \sqrt[3]{ {{op:Bruch|1|2}} {{makl| -1 - \sqrt{-3} |}} } || \sqrt[3]{ {{op:Bruch|1|2}} {{makl| -1 - \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit|}} |}} } || \zeta^8 || |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} hier die primitive komplexe neunte Einheitswurzel bezeichnet, die ja eine dritte Wurzel der dritten Einheitswurzel {{ Ma:Vergleichskette |\eta || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| - 1 + \sqrt{-3} |}} || || || |SZ= }} ist. Dabei gilt {{ Ma:Vergleichskette |uv ||1 || || || |SZ=. }} Somit sind {{ mathlist|term1= u+v = \zeta + \zeta^8 ||term2= \eta u + \eta^2 v = \zeta^4+ \zeta^6 \zeta^8 = \zeta^4+ \zeta^5 |und|term3= \eta^2 u + \eta v = \zeta^7 + \zeta^3 \zeta^8 = \zeta^7+ \zeta^2 |SZ= }} die {{ Zusatz/Klammer |text=allesamt reellen| |ISZ=|ESZ= }} Lösungen der Gleichung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0q8o65wsdk960y5u40piuke34uqo2er 0 102830 779387 751211 2022-08-21T16:19:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das Polynom {{ Ma:Vergleichskette | X^3-3X+1 |\in| \Q[X] || || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= X^3-3X+1/Irreduzibel über Q/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und definiert daher eine Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| \Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} |{{defeqr}}| L || || |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3|SZ=.}} Die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} in {{math|term= L|SZ=}} sei mit {{math|term= \alpha|SZ=}} bezeichnet. Es gilt also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha^3 -3 \alpha +1 ||0 || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \beta || \alpha^2 -2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma || - \alpha^2 - \alpha + 2 || || || |SZ= }} Nullstellen der definierenden Gleichung sind und dass daher das Polynom bereits in {{math|term= L|SZ=}} zerfällt. Dies beruht unter Verwendung von {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha^3 || 3 \alpha -1 || || || |SZ= }} auf den Rechnungen {{ Ma:Vergleichskette/align | \beta^3 -3 \beta +1 || {{makl| \alpha^2 -2 |}}^3 -3 {{makl| \alpha^2-2 |}} +1 || \alpha^6 -6 \alpha^4 +12 \alpha^2 -8 - 3 \alpha^2 +6+1 || \alpha^6 -6 \alpha^4 + 9 \alpha^2 -1 || 9 \alpha^2 -6 \alpha +1 -6 \alpha {{makl| 3 \alpha -1 |}} + 9 \alpha^2 -1 || 0 |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/align | \gamma^3 -3 \gamma +1 || - {{makl| \alpha^2 + \alpha -2 |}}^3 + 3 {{makl| \alpha^2 + \alpha-2 |}} +1 || - \alpha^6 -3 \alpha^5 +3 \alpha^4 + 11 \alpha^3 -6 \alpha^2 -12 \alpha +8 + 3 \alpha^2 +3 \alpha -6 +1 || - {{makl| 3 \alpha -1 |}}^2 -3 \alpha^2 {{makl| 3 \alpha -1 |}} +3 \alpha {{makl| 3 \alpha -1 |}} + 11 {{makl| 3 \alpha -1 |}} - 3 \alpha^2 -9 \alpha + 3 || -9 \alpha^2 +6 \alpha - 9 {{makl| 3 \alpha -1 |}} +3 \alpha^2 + 9 \alpha^2 - 3 \alpha +33 \alpha -11 -3 \alpha^2 - 9 \alpha +2 || -9 \alpha^2 +6 \alpha - 27 \alpha + 9 + 3 \alpha^2 + 9 \alpha^2 -3 \alpha +33 \alpha -11 -3 \alpha^2 - 9 \alpha +2 || 0 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gvl0j7jcom2gmpiz7xdl9pcq181wplq 0 102833 779425 751250 2022-08-21T16:26:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das Polynom {{mathl|term= X^3-3X+1 \in \Q[X]|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= X^3-3X+1/Irreduzibel über Q/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und definiert daher eine Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| \Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} |{{defeqr}}| L || || |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3|SZ=.}} Die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} in {{math|term= L|SZ=}} sei mit {{math|term= \alpha|SZ=}} bezeichnet. Es gilt also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha^3 -3 \alpha +1 ||0 || || || |SZ=. }} Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind auch die Elemente aus {{math|term= L|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \beta || \alpha^2 -2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma || - \alpha^2 - \alpha + 2 || || || |SZ= }} Nullstellen der definierenden Gleichung und daher zerfällt das Polynom bereits über {{math|term= L|SZ=.}} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Polynoms {{mathl|term= X^3-3X+1|SZ=}} ist also {{math|term= L|SZ=.}} Die numerischen Werte der Nullstellen des Polynoms sind ungefähr {{ math/disp|term= \alpha= 1,532, \,\, \beta= 0,347,\,\, \gamma =-1,879, \, \, |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3egrd7yj6g0c96j3rn66gttq8p3cpl3 0 102834 783712 757360 2022-08-22T04:14:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Das Polynom {{ Ma:Vergleichskette |F ||X^3-3X+1 |\in|\Q[X] || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}{{{zusatz1|}}} und definiert daher eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| \Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} |{{defeqr}}| L || || |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3|SZ=.}} Die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} in {{math|term= L|SZ=}} sei mit {{math|term= \alpha|SZ=}} bezeichnet. Zeige{{n Sie}}, dass auch die Elemente aus {{math|term= L|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \beta || \alpha^2 -2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma || - \alpha^2 - \alpha + 2 || || || |SZ= }} Nullstellen von {{math|term= F|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 956br90vp2tabvcms32qekqkqv31rrn 0 102839 783579 568794 2022-08-22T03:52:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive neunte Einheitswurzel in einem Körper {{math|term= L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Elemente {{ mathlist/disp|term1= \zeta+\zeta^8 ||term2= \zeta^2+\zeta^7 |und|term3= \zeta^4+\zeta^5 |SZ= }} die Nullstellen des Polynoms {{mathl|term= X^3-3X+1|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h7q9ywplckxrw7ki8sxxxu1mwmtowmm 0 102841 783572 757232 2022-08-22T03:51:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= F \in \Q[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} in der {{math|term= F|SZ=}} in Linearfaktoren zerfällt. Zeige{{n Sie}}, dass die Nullstellen von {{math|term= F|SZ=}} in {{math|term= L|SZ=}} nicht die Form {{mathl|term= \alpha-1,\alpha, \alpha+1|SZ=}} haben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hhy99zaa84f06qf1mfjdanmrmqv47gq 0 102843 783574 757234 2022-08-22T03:51:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= F \in \Q[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} in der {{math|term= F|SZ=}} in Linearfaktoren zerfällt. Zeige{{n Sie}}, dass die Nullstellen von {{math|term= F|SZ=}} in {{math|term= L|SZ=}} nicht die Form {{mathl|term= \alpha,\alpha+ \beta, \alpha+\gamma|SZ=}} mit rationalen Zahlen {{mathl|term= \beta,\gamma|SZ=}} haben können. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8w0so8luuhz07jr00w16p55jf3kxdp9 0 102845 779386 751210 2022-08-21T16:19:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das Polynom {{mathl|term= X^3-3X+1 \in \Q[X]|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= X^3-3X+1/Irreduzibel über Q/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und definiert daher eine Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| \Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} |{{defeqr}}| L || || |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3|SZ=.}} Die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} in {{math|term= L|SZ=}} sei mit {{math|term= \alpha|SZ=}} bezeichnet. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind auch die Elemente aus {{math|term= L|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \beta || \alpha^2 -2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma || - \alpha^2 - \alpha + 2 || || || |SZ= }} Nullstellen der definierenden Gleichung und daher zerfällt das Polynom bereits über {{math|term= L|SZ=.}} Daher ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie3=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nipf4iiawkgwlxzhh9lmoonoup6aw2m 0 102849 779382 751207 2022-08-21T16:18:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabenbezug/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| \Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} |{{defeqr}}| L || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3|SZ=}} und dabei sind, wenn man die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} in {{math|term= L|SZ=}} mit {{math|term= \alpha|SZ=}} bezeichnet, neben {{math|term= \alpha|SZ=}} auch {{ Ma:Vergleichskette | \beta || \alpha^2 -2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \gamma || - \alpha^2 - \alpha + 2 || || || |SZ= }} Nullstellen der definierenden Gleichung. Somit besitzen die Elemente {{mathl|term= \alpha, \beta, \gamma|SZ=}} das Minimalpolynom {{mathl|term= X^3-3X+1|SZ=.}} Durch {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |L {{=|}} \Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} |L {{=|}} \Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} |X| \beta |SZ=, }} wird ein nichtidentischer {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Algebraautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= L|SZ=}} festgelegt. Dieser sendet {{math|term= \alpha|SZ=}} auf {{math|term= \beta|SZ=,}} {{math|term= \beta|SZ=}} wegen {{ Ma:Vergleichskette/align | \varphi(\beta) || \varphi( \alpha^2-2) || \beta^2 -2 || ( \alpha^2-2)^2 -2 || \alpha^4 -4 \alpha^2 +4-2 || \alpha {{makl|3 \alpha -1|}} -4 \alpha^2 +2 || - \alpha^2 -\alpha+2 || \gamma |SZ= }} auf {{math|term= \gamma|SZ=}} und {{math|term= \gamma|SZ=}} aufgrund einer ähnlichen Rechnung zurück auf {{math|term= \alpha|SZ=.}} Die einzigen Automorphismen {{mathl|term= {{op:Identität||}}, \varphi, \varphi^2 |SZ=}} entsprechen also den {{ Definitionslink |Prämath= |geraden Permutationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Identität||}}, \alpha \mapsto \beta \mapsto \gamma \mapsto \alpha , \alpha \mapsto \gamma \mapsto \beta \mapsto \alpha |SZ=}} auf der Nullstellenmenge {{mathl|term= \{ \alpha, \beta, \gamma\} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie3=Galoistheorie |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s8mv51jymlpdimi17v7qpdv1k366vl3 0 102855 782222 568840 2022-08-22T00:05:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Gesamtmenge aller Finger und aller Zehen eines Menschen. Man gebe für jede Faktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |20 ||a \cdot b || || || |SZ= }} eine möglichst natürliche Zerlegung dieser {{math|term= 20|SZ=}} Körperteile in {{math|term= a|SZ=}} Teilmengen mit je {{math|term= b|SZ=}} Elemente an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3d3f0grqal29q73n17l33fp6yzstixq 0 102857 780407 754606 2022-08-21T19:03:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= L|SZ=}} der neunte {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L \cap \R |\cong| \Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der neunte Kreisteilungskörper über Q |Objektkategorie2=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ezp01wldcgaazyeheeosaj655iy2vob 0 102867 781085 755148 2022-08-21T20:56:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}elementige Teilmenge. Wir bezeichnen mit {{mathl|term= {{op:Potenzmengeanzahl|M|k}} |SZ=}} die Menge der {{math|term= k|SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} und mit {{mathl|term= {{op:Nummerierungen|M|}} |SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiven Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \{1,2,3 {{kommadots}} n\}|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also alle Nummerierungen von {{math|term= M|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} unter Verwendung der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi |{{op:Nummerierungen|M|}} | {{op:Potenzmengeanzahl|M|k}} |\varphi| \{\varphi(1), \varphi(2) {{kommadots|}} \varphi(k) \} |SZ=, }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zählvorganges (endliche Mengen) |Kategorie2=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fkqul82xuqtzwejh4e9qypsh89avmgl 0 102871 781093 646349 2022-08-21T20:57:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man beweise die Formel {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Binom|n+1|2}} || {{op:Bruch|n(n+1)|2}} || \sum_{k {{=}} 1}^n k || || |SZ=, }} indem man die Anzahl der zweielementigen Teilmengen einer {{math|term= (n+1)|SZ=-}}elementigen Menge auf zwei verschiedene Arten bestimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ciij6nem17btto8taouz5tbuxyyy89g 0 102872 783119 568916 2022-08-22T02:35:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu Ende des Schullandaufenthalts auf Juist soll ein Klassenfoto der {{math|term= 17|SZ=}} Schüler und Schülerinnen gemacht werden. Dabei sollen {{math|term= 10|SZ=}} Kinder in der ersten Reihe knien und {{math|term= 7|SZ=}} Kinder in der zweiten Reihe stehen. {{ Aufzählung3 |Wie viele Anordnungsmöglichkeiten für ein solches Gruppenfoto gibt es? |Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man sich nur dafür interessiert, wer vorne und wer hinten ist? |Wenn man sich entschieden hat, wer vorne und wer hinten sein soll, wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es dann noch insgesamt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Haseigelschule |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l7rs6w508mgylqrso2i32q3awy52wuj 0 102873 781095 755156 2022-08-21T20:57:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Binomialkoeffizienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als eine {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\N \times \N| \N |(n,k)| {{op:Binom|n|k}} |SZ=, }} wobei bei {{ Ma:Vergleichskette |k |>|n || || || |SZ= }} der Binomialkoeffizient als {{math|term= 0|SZ=}} zu interpretieren ist. Diese Verknüpfung ist offenbar nicht kommutativ. {{ Aufzählung4 |Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von links? |Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von rechts? |Bestimme{{n Sie}} {{ mathkor|term1= {{op:Binom| {{op:Binom|3|2}} |1}} |und|term2= {{op:Binom|3| {{op:Binom|2|1}} }} |SZ=. }} |Ist diese Verknüpfung assoziativ? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8nvxuy7vjtirq1xojey76hag3nfrn78 0 102888 779420 751249 2022-08-21T16:25:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| \Q[ \sqrt[3]{7}, \sqrt{-3}] || \Q[ \sqrt[3]{7}, \eta] |{{defeqr}}| L || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\eta || {{op:Bruch| -1 +\sqrt{3} {{Imaginäre Einheit|}} |2}} || || || |SZ= }} die dritte {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und wobei wir mit {{mathl|term= \sqrt[3]{7} |SZ=}} die reelle Zahl meinen. Dies ist eine Erweiterung vom Grad {{math|term= 6|SZ=,}} wie die Kette {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Q |\subseteq|\Q[ \sqrt[3]{7}] |{{defeqr}}|M |\subseteq| L || || |SZ= }} zeigt. Die Erweiterung {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|M || || || |SZ= }} ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da die beiden anderen dritten Wurzeln der {{math|term= 7|SZ=,}} nämlich {{ mathkor|term1= \sqrt[3]{7} \eta |und|term2= \sqrt[3]{7} \eta^2 |SZ=, }} nicht zu {{math|term= M|SZ=}} gehören, weil sie nicht reell sind. Sie gehören aber zu {{math|term= L|SZ=}} und da mit {{mathl|term= \sqrt{-3}|SZ=}} auch {{mathl|term= -\sqrt{-3}|SZ=}} zu {{math|term= L|SZ=}} gehört ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Gesamterweiterung {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} normal. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Charakterisierung von normal über Grundkörper durch Automorphismen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} muss es {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Automorphismen| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |L|L || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(M) |\neq|M || || || |SZ= }} geben. In der Tat gibt es einen Automorphismus {{math|term= \varphi|SZ=}} auf {{math|term= L|SZ=,}} der {{math|term= \eta|SZ=}} auf sich selbst und {{math|term= \sqrt[3]{7}|SZ=}} auf {{mathl|term= \sqrt[3]{7} \eta |SZ=}} abbildet. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |M' || \varphi(M) || \Q[ \sqrt[3]{7} \eta ] |\neq| M || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie3=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 88r73p2mvnif9h2fe68cryozqbup65l 0 102916 781087 569299 2022-08-21T20:56:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= k,n|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette |2 |\leq|k |\leq| {{op:Bruch|n|2}} || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass der Binomialkoeffizient {{mathl|term= {{op:Binom|n|k}} |SZ=}} zumindest {{mathl|term= 2|SZ=}} Primteiler besitzt. |Man gebe ein Beispiel mit {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|3 || || || |SZ=, }} wo {{mathl|term= {{op:Binom|n|k}} |SZ=}} das Produkt von zwei Primzahlen ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primfaktorzerlegung von Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=3 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k1i3xu4x7ocepn3ax358wt9ku97bahr 0 102930 779423 763516 2022-08-21T16:25:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L ||K[X]/(X^n-a) || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch die Hinzunahme einer {{math|term= n|SZ=-}}ten Wurzel aus einem Element {{mathl|term= a \in K|SZ=}} entstehe. Es sei {{math|term= x|SZ=}} die Restklasse von {{math|term= X|SZ=.}} Dann wird {{math|term= \mu_x|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 1,x,x^2 {{kommadots|}} x^{n-1} |SZ=}} von {{math|term= L|SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix55|0|0|\ldots|0|a|1|0|\ldots|0|0|0|1|\ldots|0|0|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots|\vdots|0|0|\ldots|1|0}} |SZ= }} beschrieben. Somit ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= x|SZ=}} gleich {{math|term= \pm a|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Vorzeichen hängt davon ab, ob {{math|term= n|SZ=}} gerade oder ungerade ist| |ISZ=|ESZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{math|term= 0|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Spur bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3=Theorie der Radikalerweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iyjj9w8savwpj8im87gxvdrl3tzzhh4 0 102937 779714 751771 2022-08-21T17:12:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine quadratische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |X^2+pX+q ||0 || || || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist| |ISZ=|ESZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L {{=}} K[X]/ {{makl| X^2+pX+q |}} || || || |SZ=. }} Wir bestimmen die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Erweiterung zur Basis {{mathl|term= 1,x|SZ=.}} Wir müssen also die {{ Definitionslink |Prämath= |Spuren| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Elemente {{math|term= 1,x,x^2= -px-q|SZ=}} bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind {{ mathlist/disp|term1= {{op:Matrix22|1|0|0|1}} ||term2= {{op:Matrix22|0|-q|1|-p}} |und|term3= {{op:Matrix22|-q|pq|-p|p^2-q}} |SZ= }} und ihre Spuren sind {{ mathlist|term1= 2 ||term2= -p |und|term3= p^ 2-2q |SZ=. }} Somit ist die Diskriminante gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle (1 ,x) || {{op:Determinante| {{op:Matrix22|2|-p|-p|p^2-2q}} |}} || 2 {{makl| p^2-2q |}} - p^2 || p^2-4q || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie2=Die Diskriminante bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7xq4wa6avmoagek56r7n02sfkbqpuh6 0 102941 779385 751208 2022-08-21T16:19:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die kubische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^3 +px+q || 0 || || || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist| |ISZ=|ESZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |kubische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L {{=}} K[X]/ {{makl| X^3+pX+q |}} || || || |SZ=. }} Wir bestimmen die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Erweiterung zur Basis {{mathl|term= 1,x,x^2|SZ=.}} Die Matrix zu {{math|term= x|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Matrix33|0|0|-q|1|0|-p|0|1|0}} |SZ=,}} die Matrix zu {{math|term= x^2|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Matrix33|0|-q|0|0|-p|-q|1|0|-p}} |SZ=,}} die Matrix zu {{ Ma:Vergleichskette |x^3 ||-px-q || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Matrix33|-q|0|pq|-p|-q|p^2|0|-p|-q}} |SZ=,}} die Matrix zu {{ Ma:Vergleichskette |x^4 || -px^2-qx || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Matrix33|0|pq|q^2|-q|p^2|2pq|-p|-q|p^2}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist daher die Determinante der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|3|0|-2p|0|-2p|-3q|-2p|-3q|2p^2||||}} |SZ=, }} also gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | 3 {{makl| -4p^3-9q^2 |}} -2p(-4p^2) || -4p^3 -27q^2 || || || |SZ=. }} Dies ist die Zahl {{math|term= D|SZ=}} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7mavk7jbfo6lnkttizf5jjxy3sa8xey 0 102945 781479 569737 2022-08-21T22:02:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Rest von {{mathl|term= 3 708 175|SZ=}} bei Division durch {{math|term= 1,10,100|SZ=,}}{{math|term= 1000,10000,100000,1000000,100000000|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ggfkg8ogdsfxmc2kgbbttqm72po89xv 0 102946 781483 569723 2022-08-21T22:02:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Rest von {{mathl|term= 100|SZ=}} bei Division durch {{math|term= 1,2,3,4,5,6,7,8,9|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qpkgh9xfzjf9umk70j4s57rfwiji5yc 0 102947 781503 569724 2022-08-21T22:06:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Rest von {{mathl|term= 10|SZ=}} bei Division durch {{math|term= 1,2,3,4,5,6,7,8,9|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 715qbn7tw523uwgma9169p7j1nfauel 0 102950 784782 569733 2022-08-22T06:59:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Oma Müller hat {{mathl|term= 13581|SZ=}} Kekse gebacken, die ihr Enkel Mustafa auf der Haseigelschule unter den insgesamt {{math|term= 187|SZ=}} Schülern und Schülerinnen gerecht verteilen soll, den Rest bekommt Frau Maier-Sengupta. Wie viele Kekse bekommt jedes Kind und wie viele Kekse bekommt Frau Maier-Sengupta? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Haseigelschule |Personenkategorie=Mustafa Müller |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} prh722z5wdkvlhe6ukmyaykhiawvwew 0 102960 781480 569817 2022-08-21T22:02:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Eindeutigkeitsbeweis für die Division mit Rest {{Anführung|{{math|term= n|SZ=}} durch {{math|term= d|SZ=}}|}} stehen folgende Notationsmöglichkeiten zur Auswahl. {{ Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette/disp | qd+r ||n || \tilde{q} d + \tilde{r} || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | qd+r ||n || p d + s || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | q_1d+r_1 ||n || q_2 d + r_2 || || |SZ=. }} Diskutiere Vor- und Nachteile der einzelnen Notationen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tbssnd298v1kzz3wmta176h9nj0t234 0 102963 781484 572770 2022-08-21T22:02:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Jemand bemerkt zur Division mit Rest: {{Anführung|Wegen {{ Ma:Vergleichskette |n ||dq +r || qd+r || || |SZ= }} kann man aus dem Rest der Divison {{math|term= n|SZ=}} durch {{math|term= d|SZ=}} direkt den Rest der Divison {{math|term= n|SZ=}} durch {{math|term= q|SZ=}} ablesen|SZ=.}} Was ist davon zu halten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2f4m4ljdduegsfusbpov2ow51juvoz2 0 102971 779424 763518 2022-08-21T16:25:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F || X^n+a_{n-1}X^{n-1} {{plusdots|}} a_2X^2+a_1X+a_0 |\in|K[X] || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |K |\subseteq|K[X]/ {{makl| X^n+a_{n-1}X^{n-1} {{plusdots|}} a_2X^2+a_1X+a_0 |}} | {{defeqr|}} |L || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bilden die Potenzen {{ mathbed|term= x^i ||bedterm1= 0 \leq i \leq n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= x|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklasse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= X|SZ=}} bezeichnet| |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=.}} Zu einem {{mathl|term= g \in L|SZ=}} wird die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplikationsabbildung| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \mu_g |L|L |y|gy |SZ=, }} bezüglich der gegebenen Basis durch die {{ Definitionslink |Prämath=(n \times n) |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschrieben, deren Spalten aus den Koordinaten zu den Produkten {{ mathbed|term= g \cdot x^ {i} ||bedterm1= 0 \leq i \leq n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} bezüglich der Basis besteht. Wegen {{ Ma:Vergleichskette |x^0 ||1 || || || |SZ= }} stehen in der ersten Spalte einfach die Koordinaten von {{math|term= g|SZ=}} selbst. Zu {{math|term= x|SZ=}} ist diese Matrix gleich {{ math/disp|term= {{op:Matrix55|0|0|\ldots|0|-a_0|1|0|\ldots|0|-a_1|0|1|\ldots|0|-a_2|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots|\vdots|0|0|\ldots|1|-a_{n-1} }} |SZ= }} beschrieben. Zu einem beliebigen Element {{ Ma:Vergleichskette/disp | g || b_0 +b_1x +b_2x^2 {{plusdots}} b_{n-1}x^{n-1} || || || |SZ= }} wird die Matrix schnell kompliziert, wir führen nur die ersten beiden Spalten an {{ math/disp|term= {{op:Matrix55|b_0|-a_0b_{n-1} |\ldots|*|*|b_1|b_0-a_1b_{n-1}|\ldots|*|*|b_2|b_1-a_2b_{n-1}|\ldots|*|*|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots|\vdots|b_{n-1} |b_{n-2}- a_{n-1} b_{n-1}|\ldots|*|* }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hu2fcfs8ryao7tddfpsyscsmrsrf8r6 0 102977 783567 570225 2022-08-22T03:50:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} die Multiplikationsmatrix zum Element {{mathl|term= 7x^2-4x+5|SZ=}} in der kubischen Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq|\Q[X]/ {{makl| X^3-6X^2+5X-8 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b3kxfh13hlwb70zml3lqv6aoe27trls 0 102979 783568 569966 2022-08-22T03:50:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} die Multiplikationsmatrix zum Element {{mathl|term= 7x^2+3x-8|SZ=}} in der kubischen Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q ||\Q[X]/ {{makl| X^3+9X^2-2X+5 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l22mrg2939ghiep3erygq01wo8do7hf 0 102980 783569 569967 2022-08-22T03:50:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} die Multiplikationsmatrix zum Element {{mathl|term= 4x^2+7x-3|SZ=}} in der kubischen Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q ||\Q[X]/ {{makl| X^3 +5X^2-7X+6 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g31a75uth4qdfpl1bdkoznhikpub500 0 102983 785614 758851 2022-08-22T09:08:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p,q|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| \Q[\sqrt{p}, \sqrt{q}] | {{defeqr|}} |L || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Erstelle{{n Sie}} die Multiplikationsmatrix zu einem Element {{mathl|term= a + b \sqrt{p} +c \sqrt{q} +d \sqrt{pq} \in L |SZ=}} bezüglich der Basis {{mathl|term= 1, \sqrt{p} , \sqrt{q}, \sqrt{pq}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bh0hnp0tkbgklyxygmd4mhjekss37mv 0 102992 785673 570051 2022-08-22T09:18:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für sämtliche Elemente der Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|3|}} |\subseteq| {{op:Zmod|3|}} [X]/ {{makl| X^2-2 |}} || || || |SZ= }} die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis {{math|term= 1,x|SZ=}} sowie ihre Norm und ihre Spur. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2=Die Spur bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Objektkategorie=Der Körper mit 9 Elementen |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h1qx20xjcfd9iret762cwdjzui7pupb 0 102997 785672 570060 2022-08-22T09:18:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für sämtliche Elemente der Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|2|}} |\subseteq| {{op:Zmod|2|}} [X]/ {{makl| X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis {{math|term= 1,x|SZ=}} sowie ihre Norm und ihre Spur. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2=Die Spur bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Objektkategorie=Der Körper mit 4 Elementen |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ehbh48h2p2f3p8ox6pcw0d63xxj9zg 0 103000 783715 757363 2022-08-22T04:15:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|M |\subseteq|L || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f \in M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} mit dem Minimalpolynom von {{mathl|term= f |SZ=,}} aufgefasst in {{math|term= L|SZ=,}} über {{math|term= K|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dr7vwrczfh6qdqt142le4el1m0nx8ob 0 103003 783706 757354 2022-08-22T04:13:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} für das Element {{mathl|term= 2+4x+5x^2|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| \Q[ X ]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} | {{defeqr|}} |L || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2=Die Spur bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aa6aw2kh89scygb8gsht7608nocc8dl 0 103018 778824 762728 2022-08-21T13:00:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die beiden Zahlen seien {{ mathkor/disp/hand|term1= m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} |und|term2= n= b_0+b_1 10+b_2 10^2 {{plusdots|}} b_{k}10^{k} |SZ=, }} wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über {{math|term= k|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |k ||0 || || || |SZ= }} handelt es sich um einstellige Zahlen und der Algorithmus ist korrekt. Hierzu macht man eine Fallunterscheidung abhängig davon, ob {{ Ma:Vergleichskette |a_0 + b_0 |<|10 || || || |SZ= }} ist oder nicht. Sei die Aussage nun für beliebige Zahlen, die beide maximal {{math|term= k+1|SZ=}} Ziffern haben, bewiesen, und seien zwei maximal {{math|term= k+2|SZ=-}}stellige Zahlen gegeben. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | m+n || \sum_{ i {{=}} 0}^{k+1} a_i 10^{i} + \sum_{ i {{=}} 0}^{k+1} b_i 10^{i} || a_{k+1} 10^{k+1} + \sum_{ i {{=}} 0}^{k} a_i 10^{i} + b_{k+1} 10^{k+1} + \sum_{ i {{=}} 0}^{k} b_i 10^{i} || {{makl| a_{k+1} + b_{k+1} |}} 10^{k+1} + \underbrace{ \sum_{ i {{=}} 0}^{k} a_i 10^{i} }_{ {{=|}} m'} + \underbrace{ \sum_{ i {{=}} 0}^{k} b_i 10^{i} }_{ {{=|}} n'} || |SZ=. }} Es seien {{math|term= c_i,d_i|SZ=}} die durch den für {{ mathkor|term1= m |und|term2= n |SZ= }} in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Verfahren |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen Algorithmus festgelegten Zahlen. Die entsprechenden Zahlen für {{ mathkor|term1= m' |und|term2= n' |SZ= }} stimmen damit bis auf eventuell {{mathl|term= c_{k+1}, c_{k+2}, d_{k+2}|SZ=}} überein, da diese nur von den Ziffern bis einschließlich {{math|term= a_k|SZ=}} und {{math|term= b_k|SZ=}} abhängen. Für {{mathl|term= m' + n'|SZ=}} bezeichnen wir mit {{mathl|term= c_{k+1}'|SZ=}} die entsprechende Ziffer, und zwar ist {{ Ma:Vergleichskette |c_{k+1}' || d_{k+1} || || || |SZ=. }} Nach Induktionsvoraussetzung ist die Summe der beiden hinteren Summanden gleich {{ math/disp|term= \sum_{ i {{=}} 0}^{k} c_i 10^{i} +c_{k+1}' 10^{k+1} |SZ=. }} Die Gesamtsumme ist somit gleich {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |m+n || {{makl| a_{k+1} + b_{k+1} |}} 10^{k+1} +c_{k+1}' 10^{k+1} + \sum_{ i {{=}} 0}^{k} c_i 10^{i} || {{makl| a_{k+1} + b_{k+1} +c_{k+1}' |}} 10^{k+1} + \sum_{ i {{=}} 0}^{k} c_i 10^{i} || {{makl| a_{k+1} + b_{k+1} + d_{k+1} |}} 10^{k+1} + \sum_{ i {{=}} 0}^{k} c_i 10^{i} || c_{k+2} 10^{k+2}+ c_{k+1} 10^{k+1} + \sum_{ i {{=}} 0}^{k} c_i 10^{i} || \sum_{ i {{=}} 0}^{k+2} c_i 10^{i} || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e9p68frbc7kyvl2qc4aobkrme5ih7ev 0 103022 781864 748837 2022-08-21T23:06:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} und sei {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle (b_1 {{kommadots|}} b_n) |\neq| 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7v7dgbjeai7tne599bzgmk80vbdd1t4 0 103025 781858 579621 2022-08-21T23:05:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} und {{mathl|term= z \in L|SZ=}} ein Element. Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=\rho_1 {{kommadots|}} \rho_n |L |{{CC}} || |SZ= }} die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei {{mathl|term= M=\{ z_1 {{kommadots|}} z_k\}|SZ=}} die Menge der verschiedenen Werte {{mathl|term= \rho_i(z)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann für das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} von {{math|term= z|SZ=}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | G || (X- z_1)(X-z_2) \cdots (X-z_k) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dw251wwvej0kujdw7g3wcp05ehajx4r 0 103027 781860 755763 2022-08-21T23:05:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} und seien {{ Ma:abb |name= \rho_i |L|{{CC}} || |SZ= }} die {{math|term= n|SZ=}} verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei {{mathl|term= z \in L|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |z_i || \rho_i(z) || || || |SZ=, }} {{mathl|term= i=1 {{kommadots|}} n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ math/disp|term= N(z)= z_1 \cdots z_n \text{ und } S(z)= z_1 {{plusdots}} z_n |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vdkv4wnszgpxrr1lutzd627780jmzf 0 103033 783716 757364 2022-08-22T04:15:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|M |\subseteq|L || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= f \in M|SZ=}} und {{math|term= B|SZ=}} die beschreibende Matrix der Multiplikationsabbildung {{ Ma:abb |name= \mu_f |M|M || |SZ= }} bezüglich einer {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass bezüglich einer geeigneten {{math|term= K|SZ=-}}Basis von {{math|term= L|SZ=}} die Multiplikationsabbildung {{ Ma:abb |name= \mu_f |L|L || |SZ= }} durch eine Blockmatrix der Form {{ math/disp|term= {{op:Matrix44|B|0|\ldots|0|0|B|\ldots|0|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots|0|0|\ldots|B}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1kzyna22mpbvkr2slaejwm46u2mjya3 0 103035 783714 757362 2022-08-22T04:14:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= f \in L|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |M ||K[f] || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das charakteristische Polynom der Multiplikationsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \mu_f |L|L || |SZ= }} eine Potenz des {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynoms| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h9qbetu3yzmrykw94qrq7dk4sw7e3qm 0 103036 781471 755478 2022-08-21T22:00:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Basis {{math|term= 1,x,x^2|SZ=}} der kubischen Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq|\Q[X]/ {{makl| X^3-5X^2+6X-3 |}} |{{defeqr}}|L || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Diskriminante bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mbv2w5habe1k4kue6dwflmbzboe4zaz 0 103045 783696 757347 2022-08-22T04:11:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= f \in L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es für die Eigenwerttheorie der {{ Definitionslink |Prämath=K |linearen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplikationsabbildung| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \mu_f |L|L || |SZ= }} grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dnjjce5ggx2ymywh0kd71jy18us1rqn 0 103048 781874 755777 2022-08-21T23:07:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endliche Körpererweiterung/Situation|SZ=}} und es sei {{mathl|term= \varphi \in {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Automorphismus| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplikationsabbildungen| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f \in L|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |\mu_{ \varphi(f)} || \varphi \circ \mu_f \circ \varphi^{-1} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 19sxb8x1ryy8mjkjz5whqqcx8bfvss6 0 103051 783694 757345 2022-08-22T04:11:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= f,g \in L|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konjugierte Elemente| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette |N(f) ||N(g) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |S(f) ||S(g) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie2=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3=Die Spur bei endlichen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jb1e3oyh0cbiib7fz3q6qbqip7y9jeo 0 103055 783527 757190 2022-08-22T03:43:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term= n|SZ=-}}ten komplexen Einheitswurzeln im {{math|term= n|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3=Die Spur bei endlichen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o2mim4mql94tik8bhigi20svlhnhcv9 0 103062 786482 570418 2022-08-22T11:32:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Kinder bekommen die Hausaufgabe, zwei {{math|term= 23|SZ=-}}stellige Zahlen im Dezimalsystem zu addieren. Das ist ziemlich mühselig. Da es genau {{math|term= 23|SZ=}} Kinder in der Klasse gibt, macht Gabi Hochster den Vorschlag, dass jedes Kind genau eine Ziffer {{ Zusatz/Klammer |text=gemäß der Sitzreihenfolge| |ISZ=|ESZ= }} ausrechnet und sie am nächsten Morgen daraus das Ergebnis zusammentragen {{ Zusatz/Klammer |text=hat Gabi etwas vergessen?| |ISZ=|ESZ=. }} Entwerfe{{n Sie}} einen Algorithmus, mit dem man die {{math|term= k|SZ=-}}te Ziffer in der Summe ohne unnötige Rechnungen bestimmen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pv6a6vdr112opuevmrt981va1l58eo6 0 103067 781968 755860 2022-08-21T23:23:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|9|}} |SZ=}} mit {{math|term= 9|SZ=}} Elementen. Für welche Untergruppen {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq| {{op:Einheiten|{{op:Endlicher Körper|9|}} |}} || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= H \cup \{0\}|SZ=}} ein Körper, für welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 9 Elementen |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m1lgyftc1qb6vn1bbfnicdqhsl2ah7h 0 103068 781981 755873 2022-08-21T23:25:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} ein endlicher Körper. Beschreibe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Abbildung von {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Einheiten| {{op:Endlicher Körper|q|}} |}} |\cong| {{op:Zmod|q-1|}} || || || |SZ= }} in sich selbst. Woran erkennt man nach dieser Übersetzung die Bijektivität des Frobenius? Wie sehen die Iterationen aus? Wie kann man die Fixelemente zu einer solchen Iteration als Kern beschreiben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s1vp2nx17s0dzdech1bhy984wh4mrit 0 103074 779301 763392 2022-08-21T16:06:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Untermoduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Dies liegt gerade daran, dass ein Ideal eine nichtleere Teilmenge von {{math|term= R|SZ=}} ist, die unter Addition und Multiplikation mit Elementen von {{math|term= R|SZ=}} abgeschlossen ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Untermoduln (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7dosz0s0fk1ds58r2e29jktqubd0ytg 0 103088 780119 570620 2022-08-21T18:13:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir erläutern den Induktionsschritt im Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anhand eines Beispiels. Wir wollen {{mathl|term= 62973+87515|SZ=}} berechnen. Im Beweis wird diese Rechnung mit der Rechnung {{mathl|term= 2973+7515|SZ=}} in Bezug gesetzt, es wird also die vordere Ziffer weggelassen und die Wirkungsweise des Algorithmus für die beiden Zahlenpaare wird verglichen. Die hinteren Ziffern {{mathl|term= c_0,c_1,c_2,c_3|SZ=}} und die Überträge {{mathl|term= d_0,d_1,d_2,d_3,d_4|SZ=}} stimmen überein {{ Zusatz/Klammer |text=und deshalb werden sie in der Bezeichnung auch nicht unterschieden| |ISZ=|ESZ=. }} Für die kürzere Rechnung ist {{ Ma:Vergleichskette |c'_4 ||1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |d'_5 ||c'_5 ||0 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=letztere Zahlen kommen gar nicht vor| |ISZ=|ESZ=, }} für die längere Rechnung ist aber {{ Ma:Vergleichskette |c_4 || 5 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | d_5 ||1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |c_5 ||1 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4mh6vh0y3csdow8gew251cwahemifnc 0 103101 786490 759533 2022-08-22T11:34:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} die Multiplikation {{mathl|term= 3426 \cdot 517|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Jalousie-Verfahren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lbe20nlkud0cs8s9fwmdjxcoueulfxv 0 103102 786491 759534 2022-08-22T11:34:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} die Multiplikation {{mathl|term= 50317 \cdot 9483|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Jalousie-Verfahren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 64gphpx1xfhg1sntdl705l0w6gdf6fh 0 103103 786492 759535 2022-08-22T11:34:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} die Multiplikation {{mathl|term= 8092 \cdot 714|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Jalousie-Verfahren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ttbxvenmwuiznodn5ydkzspxtwp7t2 0 103105 786488 570827 2022-08-22T11:33:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Ziffer {{math|term= c_{13}|SZ=}} des Produktes {{ math/disp|term= 5771681093069402738186 \cdot 5 |SZ= }} gemäß {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tn13h10usxxrujg2jf8ijxdobra8wfh 0 103106 786489 570828 2022-08-22T11:33:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Ziffer {{math|term= c_{17}|SZ=}} des Produktes {{ math/disp|term= 402738186226577168109506971 \cdot 5 |SZ= }} gemäß {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gjaeutznmdi5lp0zr2l7j6wpd9d5q4x 0 103107 786487 570829 2022-08-22T11:33:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Ziffer {{math|term= c_{19}|SZ=}} des Produktes {{ math/disp|term= 5781864716867740275310931109 \cdot 2 |SZ= }} gemäß {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rhqii0aw2fxy6k4ag4gbhp0ohs0ptsq 0 103114 786485 570845 2022-08-22T11:33:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sollen zwei Zahlen multipliziert werden, von denen die eine mit {{math|term= 7|SZ=}} und die andere mit {{math|term= 8|SZ=}} anfängt. Mit welcher Ziffer kann das Produkt anfangen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b767oqhwovyj792ol102l9latgnx0mk 0 103115 786486 570852 2022-08-22T11:33:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sollen zwei Zahlen {{mathl|term= m,n|SZ=}} multipliziert werden, von denen jeweils nur die beiden Anfangsziffern {{math|term= a|SZ=}} bzw. {{math|term= b|SZ=}} bekannt sind. Erstelle{{n Sie}} eine Tabelle, die die möglichen ersten Anfangsziffern des Produktes auflistet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} npqi9ijv1wsx9cvkbpx8at0aapwd2yz 0 103116 786495 738622 2022-08-22T11:34:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 13-8|SZ=}} direkt und mit dem Algorithmus des schriftlichen Subtrahierens. Was fällt auf? *a/ 3 *b/ 4 *c/ 5 *d/ 6 |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Subtraktion der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i1lppbfng6d53a3dazuusaq8o6t35dr 0 103130 784463 570998 2022-08-22T06:14:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}}, dass bei der Multiplikation einer Zahl {{ Ma:Vergleichskette |m ||a_ka_{k-1} \ldots a_2a_1a_0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=im Dezimalsystem| |ISZ=|ESZ= }} mit {{math|term= 4|SZ=}} die Ziffer {{math|term= c_i|SZ=}} des Produktes nur von den drei Ziffern {{mathl|term= a_i,a_{i-1},a_{i-2}|SZ=}} abhängt, aber im Allgemeinen nicht nur von den zwei Ziffern {{mathl|term= a_i,a_{i-1}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qbi5r7qzrw9uwyhkiy7csxs16c28kbz 0 103141 778826 762730 2022-08-21T13:00:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der andere Faktor sei durch die Zifferndarstellung {{mathl|term= a_ka_{k-1} \cdots a_2 a_2 a_0|SZ=}} gegeben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den Ziffernindex {{math|term= i|SZ=.}} Der Induktionsanfang ist klar. Sei nun vorausgesetzt, dass der Übertrag {{math|term= d_{i}|SZ=,}} der von der {{math|term= (i-1)|SZ=-}}ten Stelle herrührt, {{mathl|term= < b|SZ=}} ist. Der folgende Übertrag {{mathl|term= d_{i+1}|SZ=}} ist durch die Division mit Rest somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_i b +d_i || 10 d_{i+1} + c_i || || || |SZ= }} festgelegt. Für die {{math|term= i|SZ=-}}te Ziffer gilt {{ Ma:Vergleichskette |a_i |\leq|9 || || || |SZ= }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | a_i b +d_i |\leq| 9 b +d_i |<| 9b +b || 10 b || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette |d_{i+1} |<| b || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ct23akepyrtrzxnrouk7s7pjo0jiwrv 0 103148 783691 757342 2022-08-22T04:11:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} entweder genau eine oder genau zwei Untergruppen besitzt. Wie viele Zwischenkörper besitzt die Körpererweiterung, wann ist die Erweiterung {{ Definitionslink |Prämath= |galoissch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Galoiskorrespondenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a0s4lrco0id7aybgpihxnc10lrabanc 0 103151 782414 756250 2022-08-22T00:37:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung {{ math/disp|term= H \longmapsto {{op:Fixkörper|H|}} |SZ=, }} die einer Untergruppe ihren Fixkörper zuordnet, stets injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Galoiskorrespondenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ml606emxqqt4wdxjw66dqxtn4x4xx7l 0 103153 782413 756249 2022-08-22T00:37:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Galoisgruppe|K|L}} |\cong| {{makl| {{op:Zmod|p|}} |}}^n || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Bestimme{{n Sie}} die Untergruppen der Galoisgruppen und skizziere ein Inklusionsdiagramm für die Untergruppen, die Zwischenkör{{latextrenn}}per und die Potenzmenge von {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} n \} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Galoiskorrespondenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 05u7xt6ql1fk1gowtj4nta5qm44t67r 0 103154 782405 756241 2022-08-22T00:36:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |einfach| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass ein Zwischenkörper {{ mathbed|term= M ||bedterm1= K \subseteq M \subseteq L ||bedterm2= |SZ=, }} nur dann galoissch über {{math|term= K|SZ=}} ist, wenn er gleich {{math|term= K|SZ=}} oder {{math|term= L|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Galoiskorrespondenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bbg5x07vwzyrb4ue3a9bu32m8xtvxzp 0 103164 784929 758372 2022-08-22T07:21:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S_3|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der bijektiven Abbildungen auf einer dreielementigen Menge. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= S_3|SZ=}} und welche zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Welche Untergruppen sind Normalteiler? {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Galoisgruppe {{math|term= S_3|SZ=}} an und bestimme{{n Sie}} die zu den Untergruppen gehörenden Zwischenkörper. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Galoiskorrespondenz |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Permutationsgruppe S3 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o6qd6rhw6c4lwibfazue85fnu8yvn8d 0 103189 779989 763846 2022-08-21T17:54:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath= |total geordnete Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (M, \leq)|SZ=}} ist stets ein {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da ja zu zwei Elementen {{ Ma:Vergleichskette |x,y |\in|M || || || |SZ= }} das eine Element das Minimum und das andere das Maximum der beiden ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cyj2flkdy5y8gpxw7masi3czu5ylouu 0 103192 779536 752639 2022-08-21T16:44:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die positiven natürlichen Zahlen {{math|term= \N_+|SZ=}} bilden mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Teilbarkeit| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und dem {{ Definitionslink |Prämath= |kleinsten gemeinsamen Vielfachen| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Supremum und dem {{ Definitionslink |Prämath= |größten gemeinsamen Teiler| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Infimum einen {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies gilt auch für {{math|term= \N|SZ=}} mit der Teilbarkeitsrelation, wobei dann der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache richtig zu definieren sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} icz9qlsgkxj3nt97i7ffheyphdkhy8o 0 103196 779223 763302 2022-08-21T15:55:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= V|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=.}} Dann ist {{math|term= V|SZ=}} mit der Inklusion als Ordnung ein {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Das Infimum ist durch den Durchschnitt von Untergruppen und das Supremum ist durch die von zwei Untergruppen erzeugte Untergruppe gegeben. Man spricht vom {{Stichwort|Untergruppenverband|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Theorie der Untergruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h5iatlctmgcz3bps64086j19f4fsnip 0 103197 779426 763520 2022-08-21T16:26:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= V|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Zwischenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{math|term= V|SZ=}} mit der Inklusion als Ordnung ein {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Das Infimum ist durch den Durchschnitt von Zwischenkörpern und das Supremum ist durch das {{ Definitionslink |Prämath= |Kompositum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von zwei Zwischenkörpern {{ Zusatz/Klammer |text=also dem durch zwei Zwischenkörper erzeugte Unterring, der wegen der Endlichkeitsvoraussetzung wieder ein Körper ist| |ISZ=|ESZ= }} gegeben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6wl510fcyrufeadfuv8yugc3w53i4hc 0 103199 782667 756443 2022-08-22T01:20:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} mit der Inklusion, dem Durchschnitt von Untergruppen und der {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Theorie der Untergruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9a4oifne6ny3d1rfd7h9ylchbper0ef 0 103202 782408 756244 2022-08-22T00:36:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= V|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Zwischenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Erweiterung und sei {{math|term= W|SZ=}} der Verband der Untergruppen der {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiskorrespondenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine bijektive antimonotone Abbildung zwischen den Verbänden {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Theorie der Galoiskorrespondenz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7cqy0sno7iqut4r8ibo6lppxpwcr84a 0 103209 782412 756248 2022-08-22T00:37:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= X^4-5 \in \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] [X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] |\subseteq| \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] [X]/ {{makl| X^4-5 |}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |galoissch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sämtliche Zwischenkörper. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Galoiskorrespondenz |Kategorie2=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7kesv0j8ojdkfpgg82ddueetz4fgdu0 0 103212 781780 755684 2022-08-21T22:52:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein Polynom der Form {{mathl|term= X^n-p^2 \in \Q[X]|SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} im Allgemeinen nicht {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Eisensteinkriterium |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nzaslgmhjj96boygew1mxzed7d5ygt3 0 103213 783519 757182 2022-08-22T03:42:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \zeta_n \in {{CC}}|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und {{ Ma:Vergleichskette |K || \Q[\zeta_n] || || || |SZ= }} der zugehörige Kreisteilungskörper. Zeige{{n Sie}}, dass es {{ Definitionslink |Prämath= |galoissche Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} gibt, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |zyklisch| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2=Theorie der Kummererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} igh1axg1eqdbcckxleg8k1h0qrcios3 0 103215 781857 755762 2022-08-21T23:05:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Zmod|13|}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|2197|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Kummererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Exponenten {{math|term= 3|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kummererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 13 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6v02xlr08c56kww2o5gdi8yyx7b7w0x 0 103223 783531 757194 2022-08-22T03:44:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K_n|SZ=}} der {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |L_n ||K_n \cap \R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass bei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|3 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |L_n |\subseteq|K_n || || || |SZ= }} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0re7mu0uupng7m1o904eucq5ohelefr 0 103225 786155 759314 2022-08-22T10:38:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= X^n-a \in \Q[X]|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|4 || || || |SZ= }} gerade. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= X^n-a|SZ=}} maximal den Grad {{mathl|term= {{op:Bruch|n!|2}} |SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nml7b0zzp2nueykfpg1464e21q3emsi 0 103229 780390 571808 2022-08-21T19:00:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} in {{math|term= \N|SZ=}} alle Lösungen der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |xy ||24 || || || |SZ=. }} Markiere{{n Sie}} die Lösungsmenge als Teilmenge im {{math|term= \N^2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k6myje2brtq8qscoaaiz8zwj3exawsv 0 103230 780454 571819 2022-08-21T19:11:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |L|M || |SZ= }} eine Abbildung. Zu jedem {{mathl|term= y \in M|SZ=}} gehört die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) || y || || || |SZ= }} in der Variablen {{math|term= x|SZ=.}} Charakterisiere{{n Sie}} die Injektivität und die Surjektivität von {{math|term= f|SZ=}} durch Eigenschaften des Lösungsverhalten dieser Gleichungen. Was kann man sagen, wenn {{mathl|term= x \in L|SZ=}} fixiert ist und die Gleichung in der Variablen {{math|term= y|SZ=}} betrachtet wird? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2tcb8m64ov8lh53b7mqi0erek8hcil6 0 103240 779531 763622 2022-08-21T16:43:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \N|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekind-Peano-Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der natürlichen Zahlen, d.h. man hat nur die Nachfolgerabbildung {{ Ma:abb |name=N |\N|\N || |SZ= }} mit ihren charakteristischen Eigenschaften zur Verfügung. Damit kann man für jedes feste {{mathl|term= c \in \N|SZ=}} die {{Stichwort|Nachfolgergleichung|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |Nx ||c || || || |SZ= }} formulieren. Dies ist eine Bedingungsgleichung, man sucht nach derjenigen Zahl {{math|term= x|SZ=,}} dessen Nachfolger die Zahl {{math|term= c|SZ=}} ist. Bei {{ Ma:Vergleichskette |c |\neq|0 || || || |SZ= }} besitzt diese Gleichung eine eindeutige Lösung, nämlich den Vorgänger von {{math|term= c|SZ=,}} der aufgrund der Injektivität der Nachfolgerabbildung und dem Induktionsaxiom eindeutig bestimmt ist {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zahlentheorie/Formaler Aufbau/Induktion/Existenz des Vorgängers/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Hingegen besitzt die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Nx ||0 || || || |SZ= }} keine Lösung, da die {{math|term= 0|SZ=}} kein Nachfolger einer natürlichen Zahl ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tgr3zaausr9rzwc8nvplhwpghpgj7ud 0 103255 785649 578132 2022-08-22T09:14:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Finde{{n Sie}} eine quadratische Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^2 +px+q ||0 || || || |SZ= }} mit {{math|term= p,q \in \Z|SZ=,}} für die {{math|term= 17|SZ=}} die einzige Lösung ist. |Finde{{n Sie}} unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^2 +px+q ||0 || || || |SZ= }} mit {{math|term= p,q \in \Z|SZ=,}} für die {{math|term= 17|SZ=}} eine Lösung ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i2dh1pmcfhz3by2bjns5e5xkiuc10mw 0 103286 782432 756260 2022-08-22T00:40:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu jeder ganzen Zahl {{math|term= a|SZ=}} sowohl die Menge {{math|term= \Z_{\geq a}|SZ=}} mit der Nachfolgerabbildung als auch die Menge {{math|term= \Z_{\leq a}|SZ=}} mit der Vorgängerabbildung die {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekind-Peano-Axiome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eikiaw9fqy31136en1fhmwyh9zvlg85 0 103290 782461 572070 2022-08-22T00:45:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Elektron {{math|term= e|SZ=}} hat eine negative Elementarladung und ein Proton {{math|term= p|SZ=}} hat eine positive Elementarladung, die sich gegenseitig neutralisieren. Auf einer bislang ladungstechnisch neutralen Weihnachtskugel landen zuerst {{math|term= 3|SZ=}} Elektronen, dann {{math|term= 5|SZ=}} Protonen, sodann {{math|term= 1|SZ=}} Elektron und schließlich nochmal {{math|term= 2|SZ=}} Elektronen. Durch welchen einfacheren Elementarteilchenflug hätte man die Endladung der Kugel auch erreichen können? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6hxzgts34zw3hlbbs8sw7kyi34i4gui 0 103291 782468 572075 2022-08-22T00:46:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir nehmen die Menge {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} || || || |SZ= }} mit der Nachfolgerabbildung aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zyklisches Zählen/Ganze Zahlen/Vergleich/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} unendlich oft, und zwar für jede natürliche Zahl {{math|term= i|SZ=}} genau einmal, diese Kopie bezeichnen wir mit {{math|term= M_i|SZ=.}} Vergleiche{{n Sie}} die Nachfolgerabbildung auf dieser Gesamtmenge und auf {{math|term= \Z|SZ=.}} Gibt es eine Addition auf dieser Gesamtmenge? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} czzw3l95i564qfm0g4cjd7zx2bchr73 0 103292 782469 572253 2022-08-22T00:47:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst {{math|term= 71|SZ=}} Stunden nach vorne, dann {{ Zusatz/Klammer |text=immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= 23|SZ=}} Stunden nach vorne, dann {{math|term= 87|SZ=}} Stunden zurück, dann {{math|term= 17|SZ=}} Stunden zurück, dann {{math|term= 10|SZ=}} Stunden nach vorne und dann {{math|term= 13|SZ=}} Stunden zurück. {{ Aufzählung2 |Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht? |Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 57c6ulqqogri6aperymjn4rducj9qll 0 103294 784299 572237 2022-08-22T05:52:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man mache sich die verschiedenen Rollen des Minuszeichens klar: Benennungszeichen {{ Zusatz/Klammer |text=Teil des Namens der Zahl| |ISZ=|ESZ=, }} Umkehrungszeichen {{ Zusatz/Klammer |text=Negationszeichen| |ISZ=|ESZ=, }} Verknüpfungszeichen {{ Zusatz/Klammer |text=Subtraktionszeichen bzw. bedingtes Subtraktionszeichen in {{math|term= \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wo könnten prinzipiell Verwechslungen auftreten? Aufgrund von welchen mathematischen Gesetzmäßigkeiten ist diese mehrfache Verwendung des gleichen Zeichens sinnvoll? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Negation auf den ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9798x6ge66ii9ulij0745dak1wglq9f 0 103324 782456 756275 2022-08-22T00:44:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Nachfolgerabbilung| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=N |\Z|\Z || |SZ= }} die folgenden Eigenschaften besitzt. {{ Aufzählung4 |Die Nachfolgerabbildung stimmt auf {{math|term= \N|SZ=}} mit der dortigen Nachfolgerabbildung überein. |Die Nachfolgerabbildung ist bijektiv. |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |N(-a) || -V(a) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V(-b) || -N(b) || || || |SZ= }} für {{math|term= a,b \in \N_+ |SZ=.}} |Jede ganze Zahl lässt sich ausgehend von {{math|term= 0|SZ=}} durch eine Iteration der Nachfolgerabbildung oder eine Iteration der Vorgängerabbildung erreichen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e1vqxluam26cixom16l5v8k31lkomv9 0 103337 784566 572190 2022-08-22T06:28:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq|b+c || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |a-b |\geq|c || || || |SZ= }} gilt, und dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |(a-b)-c ||a-(b+c) || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} clzwwq86eciaohhx98r64kyfe5m6w5e 0 103348 784590 572234 2022-08-22T06:32:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Professor Knopfloch sagt: {{Anführung|Die {{math|term= 7|SZ=}} ist keine negative Zahl, sie ist aber dennoch das Negative einer ganzen Zahl|SZ=.}} Ist dies paradox? Klären Sie die Situation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Negation auf den ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Professor Knopfloch |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 71kfx7dy0dsa9is4fbd9wlbzi27w7ly 0 103352 782470 572247 2022-08-22T00:47:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst {{math|term= 16|SZ=}} Stunden nach vorne, dann {{ Zusatz/Klammer |text=immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= 5|SZ=}} Stunden nach vorne, dann {{math|term= 26|SZ=}} Stunden zurück, dann {{math|term= 4|SZ=}} Stunden zurück, dann {{math|term= 8|SZ=}} Stunden nach vorne und dann {{math|term= 12|SZ=}} Stunden zurück. {{ Aufzählung2 |Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht? |Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gmeahnz2vm6dsc0qjyxy9hdazb3x4yb 0 103357 782453 572273 2022-08-22T00:44:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= N|SZ=}} die Nachfolgerabbildung und {{math|term= V|SZ=}} die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{makl| N \circ V \circ V\circ V\circ N \circ V\circ N\circ N \circ V \circ V \circ V \circ N\circ N\circ V |}} (3) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2miyrok3v274o22ld6xj7x75drxta0x 0 103358 782454 572274 2022-08-22T00:44:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= N|SZ=}} die Nachfolgerabbildung und {{math|term= V|SZ=}} die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{makl|V\circ N\circ N \circ N \circ V \circ V\circ V\circ N \circ V \circ V \circ V \circ N \circ N\circ N\circ V |}} (-2) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 22ya16gzf6v7p8kb9l8vcr6g2b2w4xq 0 103360 782455 572298 2022-08-22T00:44:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= N|SZ=}} die Nachfolgerabbildung, {{math|term= V|SZ=}} die Vorgängerabbildung und {{math|term= -|SZ=}} die Negationsabbildung auf den ganzen Zahlen. Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{makl| -\circ V \circ V\circ -\circ N \circ V \circ - \circ - \circ N\circ - \circ V |}} (-3) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Negation auf den ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cquwso3skx1mmwr2ob0hfcogfdfgb0a 0 103365 782426 572310 2022-08-22T00:39:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es bezeichne {{math|term= N|SZ=}} die Nachfolgerabbildung und {{math|term= V|SZ=}} die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Begründe{{n Sie}} die {{Stichwort|Umlegungsregel|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |x+y || N(x) + V(y) || || || |SZ= }} unter Bezug auf das Assoziativgesetz der Addition. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0o2bgr2c9nnifkq7tptylph1sgv5ro6 0 103366 782425 572312 2022-08-22T00:39:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}}, dass man allein mit Hilfe der Umlegungsregel {{ Ma:Vergleichskette/disp |x+y || N(x) + V(y) || || || |SZ= }} jede Addition innerhalb der ganzen Zahlen ausrechnen kann. Führe{{n Sie}} dies für {{mathl|term= 3+ -(5)|SZ=}} durch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lxckd12q79tntye6efknad71lle7mtg 0 103394 781760 572740 2022-08-21T22:48:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \zeta_{11}|SZ=}} die elfte primitive komplexe Einheitswurzel. Wie oft wird in der Familie {{ mathbed|term= \zeta_{11}^i ||bedterm1= i {{=|}} 1 {{kommadots|}} 100 ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term= 1|SZ=}} durchlaufen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2sntafng3spapxibyjihgn3lu5gkl85 0 103397 782619 756388 2022-08-22T01:12:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit graduierender Gruppe {{math|term= {{op:Zmod|4|}} |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die Matrizen in Diagonalgestalt, die die {{ Definitionslink |Prämath=\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] |Automorphismen| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} beschreiben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 97uo3pk6ql8c75z3t7m7gts4nsc716k 0 103399 780842 584902 2022-08-21T20:15:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gabi Hochster sagt zu Heinz Ngolo: {{Anführung|Also, wir haben im Universum genau {{math|term= 10^{80}|SZ=}} Atome, das nehmen wir jetzt mal so hin. Diese ordnen wir hintereinander von links nach rechts an und zeichnen auf jedem Atom ein Minuszeichen drauf. Nur auf den drei allerletzten Atomen malen wir der Reihe nach eine {{math|term= 1|SZ=,}} eine {{math|term= 7|SZ=}} und eine {{math|term= 4|SZ=}}|SZ=.}} {{Anführung|Ich will aber auf meinen Atomen keine Minuszeichen haben|SZ=,}} sagt Heinz. {{Anführung|Egal, nun mach halt mit, es geht um die abstrakte Rechnung als solche|SZ=,}} bekräftigt Gabi, {{Anführung|also, ist diese geschriebene Zahl positiv oder negativ, ist sie gerade oder ungerade|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Negation auf den ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der geraden und ungeraden ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Personenkategorie2=Heinz Ngolo |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 52frh1c3rcoluyj3k8lucp921kcom8f 0 103404 780501 646367 2022-08-21T19:18:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Zahlen {{ math/disp|term= n,n-1,n-2 {{kommadots|}} 3,2,1 |SZ= }} werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei {{math|term= n|SZ=}} kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summenformeln für ganze Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} apcbpelj2r5df1g4d90a83hvth9gyqo 0 103411 779330 572860 2022-08-21T16:11:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das Binoid {{ Ma:Vergleichskette |M ||\mathsf{F} \mathsf{C}(x,y)/(2(x+y) {{=|}} 4(x+y)) || || || |SZ= }} besitzt das nichttriviale kombinatorische idempotente Element {{ Ma:Vergleichskette |e ||2(x+y) || || || |SZ=. }} Wenn man dieses annulliert, so erhält man das nichtreduzierte Binoid {{ math/disp|term= \mathsf{F} \mathsf{C}(x,y)/ 2(x+y) |SZ=, }} also nach Reduktion ein Achsenkreuz. Wenn man {{math|term= e|SZ=}} gleich der Einheit {{math|term= 0|SZ=}} setzt, so erhält man das Gruppenbinoid {{ math/disp|term= \mathsf{F} \mathsf{C}(x,y)/ 2(x+y) =0 |SZ=, }} das über die Zuordnung {{ math/disp|term= x \mapsto (1,1),\, y \mapsto (-1,1) |SZ=, }} zur Gruppe {{mathl|term= \Z \times {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} gehört. Algebraisch liegt die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | (XY)^2-1 || (XY-1)(XY+1) || 0 || || |SZ= }} vor, das reell-geometrische Objekt besteht aus vier reellen Komponenten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Binoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fvbokry3doqgm7zh4twg652zyvkauov 0 103415 782421 756254 2022-08-22T00:39:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf {{math|term= \Z|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z \times \Z| \Z |(a,b)| a*b {{defeq}} 10a +b |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Was bedeutet die Verknüpfung für einstellige Ziffern? |Ist die Verknüpfung kommutativ? |Ist die Verknüpfung assoziativ? |Gelten die Distributivgesetze {{ Ma:Vergleichskette/disp |(a+b)*c || a*c + b*c || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |c* (a+b) || c*a + c*b || || || |SZ=? }} |Es bezeichne nun zu {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}} das Symbol {{mathl|term= 1^{[n]} |SZ=}} diejenige Zahl im Dezimalsystem, die aus {{math|term= n|SZ=}} Einsen besteht. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |1^{[n]} *1 ||1^{[n+1]} || || || |SZ=. }} | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=0.5 |p2=0.5 |p3=1 |p4=1 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iujeao01ca8ntx2vptkknj6gj1o2m47 0 103418 781761 572882 2022-08-21T22:49:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bei der Einführung der negativen Zahlen denkt sich Gabi Hochster: {{Anführung|Schön, jetzt haben wir also eine neue Zahl, diese {{math|term= -1|SZ=,}} mit der Eigenschaft, dass sie von {{math|term= 1|SZ=}} verschieden ist, und deren Quadrat {{ Ma:Vergleichskette/disp |(-1)^2 ||1 || || || |SZ= }} ist. Die {{math|term= -1|SZ=}} ist also eine Quadratwurzel der {{math|term= 1|SZ=.}} Da sollte es eigentlich doch auch zu jeder natürlichen Zahl {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|3 || || || |SZ= }} eine neue Zahl, nennen wir sie mal {{math|term= z_n|SZ=,}} geben, die nicht {{math|term= 1|SZ=}} ist, die aber auch {{ Ma:Vergleichskette/disp |(z_n)^n ||1 || || || |SZ= }} erfüllt. Mit dieser neuen Zahl sollte sich doch zusammen mit den Kommutativgesetzen, Assoziativgesetzen und dem Distributivgesetz ein sinnvoller Zahlenbereich, nennen wir ihn {{math|term= Z_n|SZ=,}} ergeben. Ich schau mir die Sache zuerst mal für {{ Ma:Vergleichskette |n ||3 || || || |SZ= }} genauer an.}} {{ Aufzählung7 |Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{makl| z_3 |}}^{17} |SZ=. }} |Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{makl| 5+ 11z_3 +8z_3^2 |}} + {{makl| 6+ 8z_3 +9z_3^2 |}} |SZ=. }} |Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= {{makl| 2+ 5z_3 +z_3^2 |}} \cdot {{makl| 4+ 3z_3 +2z_3^2 |}} |SZ=. }} |Gabi kommt auf die Idee, ihre Zahl {{math|term= z_3|SZ=}} in die Ebene einzuzeichnen. Da die {{math|term= -1|SZ=}} der {{math|term= 1|SZ=}} auf der Zahlengeraden direkt gegenüberliegt, man also von der {{math|term= 1|SZ=}} zur {{math|term= -1|SZ=}} mit einer {{math|term= 180 = {{op:Bruch|360|2}} |SZ=}} Grad Drehung um den Nullpunkt gelangt, setzt sie für {{math|term= z_3|SZ=}} von der {{math|term= 1|SZ=}} ausgehend eine Drehung um den Nullpunkt um {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|360|3}} || 120 || || || |SZ= }} Grad an, und die gleiche Länge wie die {{math|term= 1|SZ=.}} Skizziere{{n Sie}} die Situation. Wo platziert sie {{math|term= z_3^2|SZ=?}} |Bestätige{{n Sie}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^3-1 || (x-1) {{makl| x^2+x+1 |}} || || || |SZ= }} für ein beliebiges {{mathl|term= x \in \Z|SZ=.}} |Aufgrund von dieser Gleichung sagt Gabi, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | z_3^2+z_2+1 ||0 || || || |SZ= }} gelten muss. Wie kommt sie darauf? |Kann man die zuletzt formulierte Eigenschaft für {{math|term= z_3|SZ=}} auch von der Skizze her begründen? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=1 |p5=1 |p6=1 |p7=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d12m8zv4q6m3zx3wa5crlc0efc4rf20 0 103435 784526 758081 2022-08-22T06:23:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine {{math|term= 3|SZ=}} ist, die kein Vielfaches der {{math|term= 3|SZ=}} ist und die keine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hybbvfzeufncs6w9xyf3uwki4lnrzcn 0 103442 785843 759007 2022-08-22T09:46:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} afvfo408b57se1jpqz30eefzjnx0ze2 0 103443 780406 754605 2022-08-21T19:03:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Zwischenkörper des {{math|term= 7|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörpers| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kreisteilungskörper|7 }} |SZ=.}} Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der siebte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Punkte=9 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r61vw2vh0bjuy9jc14kdg407mchjclb 0 103448 783529 757192 2022-08-22T03:43:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Kreisteilungskörper|n|}} |SZ=}} der {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass derjenige Automophismus von {{math|term= {{op:Kreisteilungskörper|n|}} |SZ=,}} der der Einheit {{mathl|term= -1 \in {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|n|}} |}} |SZ=}} entspricht, die Einschränkung der {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2=Theorie der komplexen Konjugation |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tajiwin7abdg33xv5opj91zg1vwwmbp 0 103452 785322 758628 2022-08-22T08:20:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für {{ Ma:Vergleichskette |n || 1,2 {{kommadots|}} 10 || || || |SZ= }} die primitiven komplexen Einheitswurzeln {{mathl|term= \zeta_n^k|SZ=,}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\zeta_n || e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} / n} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für jedes {{math|term= n|SZ=,}} für welche {{math|term= k|SZ=}} der durch {{ math/disp|term= \zeta_n \mapsto \zeta_n^k |SZ= }} festgelegte Automorphismus des {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörpers| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kreisteilungskörper|n|}} |SZ=}} ein Erzeuger der {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0l6bc8ipvqm00ox6crek1vnlyrztjy4 0 103453 783516 757180 2022-08-22T03:41:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper {{math|term= {{op:Kreisteilungskörper|5|}} |SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 1, \zeta, \zeta^2, \zeta^3|SZ=,}} wobei {{ Ma:Vergleichskette |\zeta || e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} / 5} || || || |SZ= }} ist. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Multiplikationsmatrizen zu {{ mathbed|term= \zeta^i ||bedterm1= i = 0,1,2,3 ||bedterm2= |SZ=, }} bezüglich dieser Basis. |Bestimme{{n Sie}} die Matrizen zu den Elementen der {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|\Q|{{op:Kreisteilungskörper|5|}} }} |SZ=}} bezüglich dieser Basis. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3k3xomsu0c408g10blbr86ix2ntnpzy 0 103456 785324 758629 2022-08-22T08:21:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für jedes {{ Ma:Vergleichskette |n || 1,2 {{kommadots|}} 10 || || || |SZ=, }} für welche {{math|term= k|SZ=}} der durch {{ math/disp|term= \zeta_n \mapsto \zeta_n^k |SZ= }} festgelegte Automorphismus des {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörpers| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kreisteilungskörper|n|}} |SZ=}} ein Erzeuger der {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cahz7nr2tvg32kttfrzh42x2vz9w6ki 0 103457 785323 573462 2022-08-22T08:21:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für {{ Ma:Vergleichskette |n || 1,2 {{kommadots|}} 10 || || || |SZ= }} die primitiven komplexen Einheitswurzeln {{mathl|term= \zeta_n^k|SZ=,}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\zeta_n || e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} / n} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4jnesswyo4c5y2kwa36bsljere7nfyg 0 103468 783699 757349 2022-08-22T04:12:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Erweiterung genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |normale Hülle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= L|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Hülle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sz70xskqapxq1mat4xjifxowgwpofhe 0 103470 784999 758414 2022-08-22T07:32:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= F \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |normale Hülle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq| K[X]/(F) || || || |SZ= }} gleich dem {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen Hülle |Kategorie2=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cjmv0sm1uxqtibvnmn56kpgw7xx5yik 0 103471 785007 573627 2022-08-22T07:33:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= P \in \Q[X]|SZ=}} ein Polynom vom Grad {{math|term= 3|SZ=.}} Setze{{n Sie}} die Körpererweiterungen von {{math|term= \Q|SZ=,}} die sich aus {{ Faktlink |Präwort=der|Cardanoschen Formel|Faktseitenname= Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergeben, mit den Körpererweiterungen in Beziehung, die sich aus der Galoistheorie über {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Charakteristik 0/Auflösbare Körpererweiterung/Auflösbare Gruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergeben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Körpererweiterungen |Kategorie2=Die Cardanoschen Formeln (Grad 3) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1bxbq8rag2a8pp2fd8f7ywl5ew2f1oz 0 103477 783528 757191 2022-08-22T03:43:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq| {{op:Kreisteilungskörper|n|}} || || || |SZ= }} der {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{math|term= k|SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=benachbarten| |ISZ=|ESZ= }} Einheitswurzeln {{ math/disp|term= \zeta^k, \zeta^{k+1} {{kommadots|}} \zeta^{k+ {{op:Eulersche Phi-Funktion|n|}} -1} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Kreisteilungskörper|n|}} |SZ=.}} |Bilden die primitiven {{math|term= n|SZ=-}}ten Einheitswurzeln stets eine {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis von {{math|term= {{op:Kreisteilungskörper|n|}} |SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mcauaxfic8y460wmpcfljjiusw8r1aq 0 103497 783440 757117 2022-08-22T03:29:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq| {{CC}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Unterkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= z \in {{CC}}|SZ=.}} Es gebe eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|M || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= z \in M|SZ=}} gibt, deren Grad eine Zweierpotenz sei. Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} eine Körperkette aus {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |K ||L_0 | \subset| L_1 | {{subsetdots|}}|L_r ||L || |SZ= }} mit {{mathl|term= z \in L|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qfldnj5gej3wxdqa0qlj4f2hip4yflv 0 103507 782458 756276 2022-08-22T00:45:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Größergleichrelation| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \geq|SZ=}} auf den {{ Definitionslink |Prämath= |ganzen Zahlen| |Kontext=direkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dtht9ghddm3ziyvpqvz66nwsfwnjuxs 0 103531 785366 758658 2022-08-22T08:28:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |\N^2 || \N \times \N || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |komponentenweisen| |Kontext=verknüpfung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein {{ Definitionslink |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Gilt in diesem Halbring die Eigenschaft, dass aus {{ Ma:Vergleichskette |xy ||0 || || || |SZ= }} folgt, dass {{ mathkor|term1= x |oder|term2= y |SZ= }} gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e40u4z2mjav9rhgvmnys3e9q377wzdq 0 103532 782435 574364 2022-08-22T00:41:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gilt für ganze Zahlen, die im Dezimalsystem gegeben sind, für die Teilbarkeit durch {{math|term= 3|SZ=}} ein Quersummentest? Wie ist dieser zu formulieren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dmrnputyrpjebapwetagqikqx4bztmc 0 103540 783514 757178 2022-08-22T03:41:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \zeta || e^{ 2 \pi {{Imaginäre Einheit}} /10} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Zusatz/Klammer |text=alle?| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Körperautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= | {{op:Kreisteilungskörper|10|}} | {{op:Kreisteilungskörper|10|}} || |SZ=, }} der {{math|term= \zeta^3|SZ=}} auf {{math|term= \zeta^7|SZ=}} abbildet. Wohin wird {{math|term= \zeta^{9}|SZ=}} abgebildet? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hsg4j66ij3tpeapycsd72hdjdknz21v 0 103553 781880 755783 2022-08-21T23:08:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L_1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L_2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine endliche Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|M || || || |SZ= }} gibt, die sowohl {{ mathkor|term1= L_1 |als auch|term2= L_2 |SZ= }} als Zwischenkörper enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kompositums (Körper) |Kategorie2=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ekxxr0616klnlhclbr0bb70k0ll235o 0 103559 783534 757197 2022-08-22T03:44:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für Zwischenkörper {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q | \subseteq|L,M |\subseteq| {{op:Kreisteilungskörper|n|}} || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Kreisteilungskörper|n|}} |SZ=,}} die beide die gleichen {{math|term= n|SZ=-}}ten Einheitswurzeln enthalten, aber verschieden sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q2giwj5kmu7su041n5oai1e3lubjxe9 0 103566 783163 756879 2022-08-22T02:42:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Realisiere{{n Sie}} die folgenden Gruppen als {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4 | {{mathl|term= {{op:Zmod|4|}}|SZ=,}} | {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}}|SZ=,}} | {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|4|}}|SZ=,}} | {{mathl|term= {{op:Zmod|8|}}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der abelschen Galoiserweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cz2fle6farswp84tgo5ojresl8tfs2b 0 103572 783526 757189 2022-08-22T03:43:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \zeta || e^{ 2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} /9 } || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}}, ob die folgenden {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge der primitiven neunten Einheitswurzeln {{mathl|term= \zeta, \zeta^2, \zeta^4, \zeta^5, \zeta^7, \zeta^8|SZ=}} durch einen Körperautomorphismus des neunten {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörpers| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} herrühren. {{ Aufzählung4 | {{Wertetabelle6|text1= {{math|term= x|SZ=}} |text2= {{math|term= \sigma(x)|SZ=}} |\zeta | \zeta^2| \zeta^4| \zeta^5| \zeta^7| \zeta^8| \zeta^2 | \zeta^4| \zeta^8| \zeta | \zeta^7| \zeta^5 }} | {{Wertetabelle6|text1= {{math|term= x|SZ=}} |text2= {{math|term= \sigma(x)|SZ=}} |\zeta | \zeta^2| \zeta^4| \zeta^5| \zeta^7| \zeta^8| \zeta^8 | \zeta^7| \zeta^5| \zeta^4| \zeta^2| \zeta }} | {{Wertetabelle6|text1= {{math|term= x|SZ=}} |text2= {{math|term= \sigma(x)|SZ=}} |\zeta | \zeta^2| \zeta^4| \zeta^5| \zeta^7| \zeta^8| \zeta | \zeta^2| \zeta^4| \zeta^5| \zeta^7| \zeta^8 }} | {{Wertetabelle6|text1= {{math|term= x|SZ=}} |text2= {{math|term= \sigma(x)|SZ=}} |\zeta | \zeta^2| \zeta^4| \zeta^5| \zeta^7| \zeta^8| \zeta^5 | \zeta | \zeta^2| \zeta^4| \zeta^8| \zeta^7 }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der neunte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qurbmj0j2jalov48faqdxruunlp35q4 0 103590 783535 757198 2022-08-22T03:44:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungspolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Kreisteilungspolynom|12|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungspolynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fz21ux4vfu6me35nmbnyqvle4xvel9i 0 103599 784951 574791 2022-08-22T07:24:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Zusatz/Klammer |text=beliebige viele| |ISZ=|ESZ= }} gemalte Pfeile der Länge {{math|term= 7|SZ=}} und der Länge {{math|term= 12|SZ=}} gegeben. Wie muss man die Pfeile hintereinanderlegen {{ Zusatz/Klammer |text=wobei immer ein Pfeilende an der Pfeilspitze des Vorgängerpfeils anliegt| |ISZ=|ESZ=, }} damit insgesamt ein Gesamtpfeil der Länge {{math|term= -1|SZ=}} entsteht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Lemma von Bezout (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kmde0ivr3opeok3xc4b5r6i9sdaw0ag 0 103607 782104 574974 2022-08-21T23:46:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine {{ Zusatz/Klammer |text=einfachere, aber langsamere| |ISZ=|ESZ= }} Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen {{mathl|term= a,b|SZ=.}} Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|b || || || |SZ= }} ist, so ersetzte das Paar {{mathl|term= (a,b)|SZ=}} durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn {{ Ma:Vergleichskette |a ||b || || || |SZ= }} ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis {{math|term= a|SZ=}} ausgegeben. {{ Aufzählung4 |Führe{{n Sie}} diesen Algorithmus für das Paar {{mathl|term= (7,3)|SZ=}} durch. |Zeige{{n Sie}}, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört. |Zeige{{n Sie}}, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsmen Teiler ausgibt. |Man gebe für jedes {{math|term= n|SZ=}} ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante {{math|term= n|SZ=}} Schritte benötigt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=2 |p3=3 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ngcl2aspbxy37wtkhicry98k9v2p3cm 0 103615 780083 752338 2022-08-21T18:08:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem Restklassenkörper {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} ist der Frobeniushomomorphismus die Identität nach dem kleinen Fermat. Auf dem Polynomring {{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||{{op:Zmod|p|}} [X_1 {{kommadots|}}X_d ] || || || |SZ= }} stimmt daher der Frobeniushomomorphismus mit dem Einsetzungshomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zmod|p|}} [X_1 {{kommadots|}}X_d ]|{{op:Zmod|p|}} [X_1 {{kommadots|}}X_d] |X_i| X_i^p |SZ=, }} überein. Daher bilden die Monome {{ mathbed|term= X_1^{r_1} \cdots X_d^{r_d} ||bedterm1= 0 \leq r_j < p ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{math|term= R|SZ=-}}Basis von {{mathl|term= \,^1 R|SZ=.}} Dabei ist klar, dass ein Erzeugendensystem vorliegt, da man jedes Monom {{mathl|term= X_1^{s_1} \cdots X_d^{s_d} |SZ=}} wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |s_j || m_j p +r_j || || || |SZ= }} als {{ Ma:Vergleichskette/disp | X_1^{s_1} \cdots X_d^{s_n} || {{makl| X_1^{p} |}}^{m_1} \cdots {{makl| X_d^{p} |}}^{m_d} \cdot X_1^{r_1} \cdots X_d^{r_d} || || || |SZ= }} schreiben kann, und das Monom links vom Frobenius herrührt. Da diese Darstellung eindeutig ist, sind die angegebenen Monome auch linear unabhängig. Der {{math|term= R|SZ=-}}Modul {{math|term= \,^1 R|SZ=}} ist also {{ Definitionslink |Prämath= |frei| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Rang {{mathl|term= p^d|SZ=.}} Die entsprechende Überlegung zeigt, dass {{math|term= \,^e R|SZ=}} frei vom Rang {{mathl|term= {{makl| p^{e} |}}^d |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jyd4r3nwt4rli75x8dwhy1ctcn0r4k6 0 103725 780848 754953 2022-08-21T20:16:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |auflösbare Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das Produkt {{math|term= FG|SZ=}} ebenfalls auflösbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} np3zadyus4cykckwx5iv5kcm537s7b3 0 103789 784931 576576 2022-08-22T07:21:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Permutationsgruppe/Gruppe umfasst Teilmengenpermutationen/Vereinigung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Voraussetzung, dass die beiden Teilmengen {{mathl|term= T_1,T_2|SZ=}} nicht disjunkt sind, wesentlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8qyng1pr0s2behbnyalmwpq3ocq2mjn 0 103790 784934 758376 2022-08-22T07:21:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für jede Untergruppe {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|S_4 || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_4|SZ=,}} ob es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |transitive Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der transitiven Untergruppen von endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} srn8meddmefvw6t13c7oby08cv3rjak 0 103791 784936 758379 2022-08-22T07:22:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|S_n || || || |SZ= }} eine Untergruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |transitive Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es ein Element {{mathl|term= z \in {{Menge1n}}|SZ=}} derart gibt, dass es zu jedem Element {{mathl|term= w \in {{Menge1n}}|SZ=}} eine Permutation {{math|term= \pi \in G|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\pi (z) ||w || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der transitiven Untergruppen von endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ofaejo9cov0c8720o8i8n22gaab0u4y 0 103792 784935 758378 2022-08-22T07:22:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|S_n || || || |SZ= }} eine Untergruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} genau dann keine {{ Definitionslink |Prämath= |transitive Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es eine echte Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{Menge1n|}} || S \uplus T || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |G |\subseteq| {{op:Permutationsgruppe|S|}} \times {{op:Permutationsgruppe|T|}} |\subseteq|S_n || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der transitiven Untergruppen von endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i5yawsn3v6r4t7y9wktyzuytv47xlag 0 103793 784930 758373 2022-08-22T07:21:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|S_n || || || |SZ= }} eine Untergruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass auf {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} durch {{mathl|term= x \sim_G y|SZ=,}} falls es ein {{mathl|term= \pi \in G|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\pi(x) ||y || || || |SZ= }} gibt, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} keb8mgkziq60ulhxn8qfxwifeehftnc 0 103800 784937 758380 2022-08-22T07:22:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |transitive Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|S_n || || || |SZ= }} zumindest {{math|term= n|SZ=}} Elemente besitzt. |Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |transitive Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|S_n || || || |SZ= }} mit genau {{math|term= n|SZ=}} Elementen gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der transitiven Untergruppen von endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 07lc8nq66w1u39f5jn795uq6s1ahqqa 0 103803 782592 756360 2022-08-22T01:07:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= a|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |F ||X^5 +a^2X^4 -a |\in| \Q[X] || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |L ||Z(F) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} den Grad der Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq| \R \cap L || || || |SZ=. }} Handelt es sich um eine Galoiserweiterung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qig30k69p7hct7bsmosrrdclwa31gf9 0 103804 782591 756359 2022-08-22T01:07:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= a|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |F ||X^5 +a^2X^4 -a |\in| \Q[X] || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |L ||Z(F) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= \alpha_1 {{kommadots|}} \alpha_5 |SZ=}} die Nullstellen von {{math|term= F|SZ=}} in {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= \sum_{ i {{=}} 1}^5 \alpha_i \text{ und } \prod_{ i {{=}} 1}^5 \alpha_i |SZ= }} rationale Zahlen sind. |Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= \prod_{ 1 \leq i < j \leq 5} {{makl| \alpha_i - \alpha_j |}} |SZ= }} zu {{math|term= L^{A_n} |SZ=}} gehört, aber nicht zu {{math|term= \Q|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= \prod_{ 1 \leq i < j \leq 5} {{makl| \alpha_i - \alpha_j |}}^2 |SZ= }} eine rationale Zahl ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rpeuvum00txnmfdn88rzglwq2smyb28 0 103805 782590 591938 2022-08-22T01:07:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe ein irreduzibles Polynom {{mathl|term= F \in \Q[X]|SZ=}} vom Grad {{math|term= 4|SZ=}} an, das in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} genau zwei reelle Nullstellen hat und dessen Galoisgruppe nicht die {{math|term= S_4|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7b0z0dnm7tpiq3jw57hkkqhzlqvkocx 0 103815 785911 576857 2022-08-22T09:58:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein legt mit ihrem Fahrrad {{math|term= 15|SZ=}} Meter pro {{math|term= 2|SZ=}} Sekunden zurück, ihre Schwester Veronika {{math|term= 20|SZ=}} Meter pro {{math|term= 3|SZ=}} Sekunden. Besitzt die Summe bzw. das Produkt der beiden Geschwindigkeiten eine sinnvolle inhaltliche Interpretation? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} act77muo35i8tcajjtxopfthewoo24b 0 103840 785932 577425 2022-08-22T10:01:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir wollen {{ Zusatz/Klammer |text=ohne den Strahlensatz zu benutzen| |ISZ=|ESZ= }} begründen, dass die geometrische Multiplikation von rationalen Zahlen auf dem Zahlenstrahl korrekt ist, also mit der algebraisch eingeführten Multiplikation übereinstimmt. Wir beschränken uns auf positive rationale Zahlen und bezeichnen die geometrische Multiplikation mit {{math|term= \star|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass für positive natürliche Zahlen {{math|term= n|SZ=}} und rationale Zahlen {{math|term= x|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp |n \star x || nx || || || |SZ= }} gilt. |Zeige{{n Sie}}, dass für positive natürliche Zahlen {{math|term= n|SZ=}} und rationale Zahlen {{math|term= x,y|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| nx |}} \star y || n {{makl| x \star y|}} || || || |SZ= }} gilt. |Zeige{{n Sie}}, dass generell für rationale Zahlen {{mathl|term= x,y|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp |x \star y || xy || || || |SZ= }} gilt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p1sznrdk5vvy5aa0mj4xeomgwhqilqf 0 103859 785957 696662 2022-08-22T10:05:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Einheitsquadrat| |ISZ=|ESZ= }} wird als {{math|term= 1|SZ=}} festgelegt. {{ Aufzählung2 |Begründe{{n Sie}}, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen {{mathl|term= a,b \in \N|SZ=}} sind, den Flächeninhalt {{mathl|term= ab|SZ=}} besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet? |Begründe{{n Sie}}, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen {{mathl|term= x,y \in \Q_+|SZ=}} sind, den Flächeninhalt {{mathl|term= xy|SZ=}} besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Multiplikation der rationalen Zahlen |Kategorie3=Maßtheorie |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=3 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rrgjitgti8tq8xxc6g2gsnnyjut8k53 0 103880 778868 577482 2022-08-21T14:58:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im Ring {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y,Z]/ {{makl| XY-Z^2 |}} || || || |SZ= }} das Primideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} || (X,Z) || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}}^2 || {{makl| X^2,XZ,Z^2 |}} || {{makl| X^2,XZ,XY|}} || (X) {{makl| X,Z,Y|}} || |SZ=. }} Dagegen gilt wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |X || {{op:Bruch|1|Y}} \cdot Z^2 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= R_{{idealp}} |SZ=}} die Zugehörigkeit {{mathl|term= X \in {{idealp|}}^{(2)} |SZ=}} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}}^2 || ( X ) {{makl| X,Y,Z|}} |\subset | (X) || {{idealp|}}^{(2)} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der symbolischen Potenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der monomiale Standardkegel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oimqb85y9d38c7lhi27puuvfkup2zmb 0 103925 785956 578066 2022-08-22T10:05:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Konstruiere{{n Sie}} zu einem gegebenen Rechteck mit den Seitenlän{{latextrenn}}gen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} ein flächengleiches Quadrat, wobei eine Seitenlänge als {{math|term= 1|SZ=}} angesetzt werden soll. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r46pxo8mfbw7uaob3jreudpmg9vmn92 0 103929 783120 756852 2022-08-22T02:35:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=die|Klassengleichung|Faktseitenname= Konjugation/Klassengleichung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppen| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= S_2,S_3,S_4,S_5|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Klassengleichung |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bh6mpqui2eevi6in7g3c8x8e5uegrap 0 103932 783444 757121 2022-08-22T03:29:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |konstruierbare Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= z \in {{CC|}} |SZ=}} in einer {{ Definitionslink |Prämath= |auflösbaren Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L |\subseteq| {{CC|}} || || |SZ= }} liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Zahlen |Kategorie2=Theorie der auflösbaren Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1x5yn19hf00p8m6b6rbeidu6x3k0mfq 0 103960 780798 754907 2022-08-21T20:08:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir interessieren uns für alle Rechtecke eines vorgegebenen Flächeninhalts {{math|term= c|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass zwischen den Rechtecksseiten ein {{ Definitionslink |Prämath= |antiproportionaler Zusammenhang| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Antiproportionalität |Kategorie2=Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qmexe6l7ricm5qbs7rbz8uphx6lbef4 0 103964 785603 578174 2022-08-22T09:06:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Wald lebt ein Riese, der {{math|term= 8|SZ=}} Meter und {{math|term= 37|SZ=}} cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von {{math|term= 3|SZ=}} cm haben und mit dem Kopf insgesamt {{math|term= 4|SZ=}} cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind {{math|term= 1,23|SZ=}} Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander {{ Zusatz/Klammer |text=auf den Schultern| |ISZ=|ESZ= }} stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t8n70zepvsyooc4um2i2pglhy455bqo 0 103965 785406 578029 2022-08-22T08:34:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für ein aufwändiges Projekt hat die Teamleitung {{math|term= 120|SZ=}} Personenjahre angesetzt. Welche ganzzahligen Realisierungen gibt es für dieses Projekt, wenn es spätestens in zwanzig Jahren fertig sein soll und wenn höchstens {{math|term= 50|SZ=}} qualifizierte Mitarbeiter zur Verfügung stehen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Antiproportionalität |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mlkg5tyumkz4lh3s924mxyf1oydbht4 0 103971 786430 578178 2022-08-22T11:24:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es soll eine Düne aus {{math|term= 300|SZ=}} Tonnen Sand vom Nordseestrand zum Ostseestrand transportiert werden. Zur Erledigung dieser Aufgabe stehen der beauftragten Firma folgende Geräte zur Verfügung: eine Schaufel, mit der man auf einmal {{math|term= 4|SZ=}} kg transportieren kann, eine Schubkarre mit Platz für einen Zentner, ein Bagger, der {{math|term= 1,6|SZ=}} Tonnen aufladen kann und ein Laster mit einem Fassungsvermögen von {{math|term= 7|SZ=}} Tonnen. Wie oft muss das Gerät jeweils eingesetzt werden, um {{ Zusatz/Klammer |text=mit diesem Gerät allein| |ISZ=|ESZ= }} den Auftrag zu erfüllen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Antiproportionalität |Kategorie2=Theorie der archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fm74rlfi6xpyk1vnq038mdo3ddzgu5k 0 103975 779619 578065 2022-08-21T16:58:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} || (XY,XZ,YZ) || (X,Y) \cap (X,Z) \cap (Y,Z) || || |SZ= }} im Polynomring {{mathl|term= K[X,Y,Z]|SZ=.}} Daran kann man direkt die minimalen Primoberideale ablesen. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}}^{(2)} || (X,Y)^2 \cap (X,Z)^2 \cap (Y,Z)^2 || || || |SZ= }} und da gehört {{math|term= XYZ|SZ=}} dazu. Allerdings gehört {{math|term= XYZ|SZ=}} nicht zu {{mathl|term= {{ideala|}}^2 |SZ=,}} es liegt also eine echte Inklusion {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}}^2 |\subset |{{ideala|}}^{(2)} || || || |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der symbolischen Potenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m7a1lzxgm6fppm5v5z07re43oevs9x2 0 103979 785653 739280 2022-08-22T09:15:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |z^2+pz+q ||0 || || || |SZ= }} eine quadratische Gleichung mit {{mathl|term= p,q \in \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden {{ Ma:Vergleichskette/disp |x+y ||-p || || || |SZ= }} und des Kreises {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^2+y^2 || p^2-2q || || || |SZ= }} die Lösungen der quadratischen Gleichung sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie2=Theorie der polynomialen Funktionsscharen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lvft4z18cwcg5dpls4d9tcy9vz2d2jn 0 103981 785648 578143 2022-08-22T09:14:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}}, wie man zu einer quadratischen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |z^2+pz+q ||0 || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= p,q \in \R|SZ=}} aus den gegebenen Parametern {{math|term= p,q|SZ=}} die reellen Lösungen {{mathl|term= x,y|SZ=}} der Gleichung mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie2=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bms7dfclpxci6oh9gjepef5f2l4pvck 0 104003 780797 578182 2022-08-21T20:08:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Mustafa Müller will mit Freunden zelten gehen, dafür hat ihm seine Oma eine stattliche Portion Kuchen mitgegeben. Wenn er drei Freunde mitnimmt, so reicht der Kuchen für {{math|term= 8|SZ=}} Tage. Wie lange reicht der Kuchen, wenn er sieben Freunde mitnimmt? Wie lange reicht der Kuchen, wenn er allein geht? Mustafa entschließt sich, mit seiner ganzen Klasse einschließlich der Klassenlehrerin, Frau Maier-Sengupta, zelten zu gehen. Der Kuchenvorrat reicht genau für einen Tag. Wie viele Kinder sind in der Klasse? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Antiproportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k5dpcf7nul2mivc47qo9ap75ca2emtc 0 104004 782407 756243 2022-08-22T00:36:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p^r|SZ=}} mit einer Primzahl {{math|term= p|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |r |\geq|1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen echten Zwischenkörper {{ Ma:Vergleichskette |K |\subset|M |\subset|L || || |SZ= }} gibt, der über {{math|term= K|SZ=}} eine Galoiserweiterung ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Galoiskorrespondenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3kil9k8c5pqy8vf23381o0comduvj7l 0 104005 785674 758886 2022-08-22T09:18:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | K || L_0 | \subset | L_1 | {{subsetdots|}} | L_r || L || |SZ= }} eine Kette von {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC}}|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen {{ Ma:Vergleichskette | L || M_0 | \subset | M_1 | {{subsetdots|}} | M_s || M || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|M || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Zahlen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} noi8t6603b514gl99mxpjq69yi3y5to 0 104006 785670 578212 2022-08-22T09:18:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} zur Kette aus quadratischen Körpererweiterungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subset| \Q[\sqrt{2}] |\subset|\Q[\sqrt[4]{2}] ||L || |SZ= }} eine Galoiserweiterung {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|M || || || |SZ= }} minimalen Grades mit {{mathl|term= \sqrt[4]{2} \in M |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2itoanphiw0qxneo4mwr2w7ctzsuakc 0 104008 784938 578247 2022-08-22T07:22:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zu jeder Permutation {{ mathbed|term= \pi \in S_n ||bedterm1= n=2,3,4,5 ||bedterm2= |SZ=, }} die Isotropiegruppe {{math|term= G_\pi|SZ=}} und die Konjugationsklasse {{mathl|term= [\pi]|SZ=,}} und bestätige die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Gruppenordnung|G_\pi|}} \cdot {{op:Anzahl|[\pi]|}} || n! || || || |SZ= }} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Gruppe/Konjugationsklassen/Standgruppe und Anzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qwjcd6pode6oh7wlgxap7f2gs4fpmvi 0 104009 785601 578290 2022-08-22T09:06:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|10001|10000}} |}}^n |\geq| 1000 000 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5l9ztc96irh8pbb4fvdlikpw0a0enrx 0 104010 785602 578295 2022-08-22T09:06:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|8|7}} |}}^n |\geq| 1000 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dk4u4xk725mftssv6g5gybr5o3y885w 0 104011 779294 763380 2022-08-21T16:05:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Seien {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= N \ R|SZ=-}} {{ Definitionslink |Prämath= |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Ist {{math|term= (x_i)_{i \in I}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=,}} so gibt es nach dem vorherigem Lemma für eine andere Indexmenge {{math|term= J|SZ=}} mit {{math|term= {{op:Anzahl|I}} < {{op:Anzahl|J}}|SZ=}} außer der Nullabbildung keine {{ Definitionslink |Prämath= |multilineare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{math|term= \Phi \colon M^J \to N|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Kommutative Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iebheujxrztccpa64d8i86215ul4e0c 0 104015 781923 755819 2022-08-21T23:16:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl und {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= p^r|SZ=}} Elementen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |auflösbar| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der auflösbaren Gruppen |Kategorie2=Theorie der p-Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ojuyatfvf5o1xm542y3lzl8lq5e5w4n 0 104029 780647 578367 2022-08-21T19:43:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element {{mathl|term= f \in L|SZ=}} in einer Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} irreduzibel ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c2mfj4dx1poenjw0juq5ufos8cp8llf 0 104066 785893 604592 2022-08-22T09:55:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |0{,}428571428 |<| {{op:Bruch|3|7}} |<|0{,}428571429 || || |SZ= }} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/3 durch 7/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch Multiplikation der Abschätzungen mit {{math|term= 7|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pbpvxw9d7a1sbvd5zlru6afnf2f1ry5 0 104081 781303 578689 2022-08-21T21:32:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}}, dass sich bei der Halbierung {{ Zusatz/Klammer |text=und bei der Fünftelung| |ISZ=|ESZ= }} eines Dezimalbruches die Anzahl der Nachkommastellen um höchstens {{math|term= 1|SZ=}} erhöht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t1qhu0i60o2ptkor490h5pfevcs1xhz 0 104082 781300 578699 2022-08-21T21:32:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Klasse soll den fünften Teil einer Zahl ausrechnen, die im Zehnersystem durch {{math|term= 27|SZ=}} Ziffern gegeben ist. In der Klasse gibt es {{math|term= 28|SZ=}} Kinder. Wie teilt Gabi Hochster die Aufgabe auf? Inwiefern ist die Halbierung {{ Zusatz/Klammer |text=Fünftelung| |ISZ=|ESZ= }} eines Dezimalbruches parallelisierbar? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} op09z8gnbom56v0qnhkhgacm8iplwjt 0 104091 779753 763742 2022-08-21T17:17:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf der Quadrik {{mathl|term= K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Derivation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |D ||Y \partial_X - X \partial_Y || || || |SZ= }} {{math|term= Y|SZ=.}} Diese wird auf eine Nenneraufnahme {{mathl|term= R_{XYZ} |SZ=}} fortgesetzt, beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette/align | D {{makl| {{op:Bruch|W|XYZ}} |}} || {{op:Bruch|XYZ D(W)-W D(XYZ)|X^2Y^2Z^2}} || - W{{op:Bruch| {{makl| Y \partial_X - X \partial_Y |}} (XYZ)|X^2Y^2Z^2}} || - W{{op:Bruch| Y^2Z - X^2Z |X^2Y^2Z^2}} || |SZ=. }} |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardquadrik in vier Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l6qwy913js1xqntarv7vfrqd4tn0vws 0 104110 782740 578849 2022-08-22T01:32:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bei einer zunehmend aggressiver geführten Schneeballschlacht auf dem Schulhof der Haseigelschule wächst der durchschnittliche Durchmesser der geworfenen Schneebälle pro Minute um {{math|term= 5 {{Prozent|}} |SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Um wie viel Prozent wächst das Volumen der Schneebälle pro Minute? |In welchem Zeitraum verdoppelt sich das Volumen der Schneebälle? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Haseigelschule |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f4vz7fuku2imtyx3hh1ojlyf9e0x0py 0 104111 785404 606347 2022-08-22T08:34:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu Beginn des Studiums ist Professor Knopfloch doppelt so schlau wie die Studenten. Innerhalb eines Studienjahres werden die Studenten um {{math|term= 10 {{Prozent|}} |SZ=}} schlauer. Leider baut der Professor ab und verliert pro Jahr {{math|term= 10 {{Prozent|}} |SZ=}} seiner Schlauheit. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass nach drei Studienjahren der Professor immer noch schlauer als die Studenten ist. |Zeige{{n Sie}}, dass nach vier Studienjahren die Studenten den Professor an Schlauheit übertreffen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Professor Knopfloch |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jehur7x8dhhs3y03ezyamvto56kpz5x 0 104120 783523 757186 2022-08-22T03:42:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kreisteilungskörper||}} |SZ=}} genau dann ein Unterkörper der konstruierbaren Zahlen ist, wenn sein Grad eine Zweierpotenz ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jhh0gmdbhfidgtjndkzlwso5fw6h1ef 0 104122 783515 757179 2022-08-22T03:41:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für den {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kreisteilungskörper|15|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Einheitswurzeln |Kategorie2=Galoistheorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfzehnte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gk3bo2my1dzjo3lph7vrccv5dwniiq8 0 104137 780625 754755 2022-08-21T19:39:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} und seien {{ Ma:Vergleichskette |f_1 {{kommadots|}} f_n |\in| A || || || |SZ= }} eine Elementfamilie. Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Die Elemente {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} sind {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Der {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R[X_1 {{kommadots|}} X_n]| A |X_i| f_i |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Der {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R[X_1 {{kommadots|}} X_n]| R[f_1 {{kommadots|}} f_n ] |X_i| f_i |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iqt2f98ksr5bresjr6eb7jwswk7l0lq 0 104139 783686 757337 2022-08-22T04:10:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine echte Unterfamilie einer {{ Definitionslink |Prämath= |Transzendenzbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} keine Transzendenzbasis ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Transzendenzbasen von Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 32pyh8ygzp5scux0mrqh71nruuebmsr 0 104142 783687 757338 2022-08-22T04:10:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |L |\subseteq|M || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n \in L |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Transzendenzbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese Familie auch eine Transzendenzbasis von {{math|term= M|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Transzendenzbasen von Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gi9r3ujv41pevs9v6hlxuilq4ouomvf 0 104143 783667 757315 2022-08-22T04:07:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |L |\subseteq| M || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f_1 {{kommadots|}} f_r |\in| L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Transzendenzbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |g_1 {{kommadots|}} g_s |\in|M || || || |SZ= }} eine Transzendenzbasis von {{math|term= M|SZ=}} über {{math|term= L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Familie {{ Ma:Vergleichskette/disp |f_1 {{kommadots|}} f_r,g_1 {{kommadots|}} g_s |\in|M || || || |SZ= }} eine Transzendenzbasis von {{math|term= M|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jf4s1b6t5mmo2dfkxt0rqtocpms7ve8 0 104144 785063 758451 2022-08-22T07:41:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |f_1 {{kommadots|}} f_n |\in | K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} Polynome, die für den {{ Definitionslink |Prämath= |Körper der rationalen Funktionen| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K (X_1 {{kommadots|}} X_n )|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Transzendenzbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} bilden. Es sei {{math|term= f_n|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primpolynom| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Restklassen der {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_{n-1} |SZ=}} im {{n Sie}}Quotientenkörper {{mathl|term= Q(K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/(f_n) )|SZ=}} eine Transzendenzbasis bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Transzendenzbasen von Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tmbldfry0hyw33f6nta0z4vqs9j5lj1 0 104156 786539 759574 2022-08-22T11:42:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Transzendenzgrad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des von den beiden {{ Definitionslink |Prämath= |trigonometrischen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Sinus und Kosinus über {{math|term= \R|SZ=}} erzeugten Körpers. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Transzendenzgrades von Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 92ax0uk0l4oqbe6984g3dyitb0c761w 0 104167 785329 758634 2022-08-22T08:22:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten die Körperkette der {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| {{op:Kreisteilungskörper|p|}} |\subseteq| {{op:Kreisteilungskörper|p^2|}} |\subseteq| {{op:Kreisteilungskörper|p^3|}} |\subseteq| \ldots |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |L_p |{{defeq}} | \bigcup_{r \in \N} {{op:Kreisteilungskörper|p^r|}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= L|SZ=}} ein Körper ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Für welche Primzahlen {{math|term= p|SZ=}} besteht {{math|term= L_p|SZ=}} nur aus {{ Definitionslink |Prämath= |konstruierbaren Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2=Theorie der konstruierbaren Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 67pge46wqcjkz6xssjm2yiesvz99s4m 0 104168 783443 757120 2022-08-22T03:29:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |konstruierbare Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der konstruierbaren Strahlen, die von {{math|term= P|SZ=}} ausgehen, in einer natürlichen Bijektion zur Menge der konstruierbaren Strahlen steht, die von {{math|term= Q|SZ=}} ausgehen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lvr3j8kcstnzfn7yatxcjfuo1oy6e91 0 104171 782370 756213 2022-08-22T00:30:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |L ||K(X_1 {{kommadots|}} X_n ) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktionenkörper| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen. Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Polynomalgebra/Linearer Automorphismus/Algebraautomorphismus/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass es einen natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:GLG|n|K}} | {{op:Galoisgruppe|K|L}} || |SZ= }} |Zeige{{n Sie}}, dass dieser nicht {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Es sei nun zusätzlich vorausgesetzt, dass der Körper {{math|term= K|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} habe. Zeige{{n Sie}} für den {{ Definitionslink |Prämath= |Fixkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | L^{ {{op:GLG|n|K}} } || K || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie2=Theorie der Automorphismen des affinen Raumes |Kategorie3=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8mjkn2q162egbv787tc6o7epcm8s9t 0 104176 782372 756215 2022-08-22T00:30:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |L ||K(X_1 {{kommadots|}} X_n ) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktionenkörper| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|{{op:Galoisgruppe|K|L}} || || || |SZ= }} eine endliche Untergruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Transzendenzgrad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Fixkörpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= L^G|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} gleich {{math|term= n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie2=Theorie des Transzendenzgrades von Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mbqwd8pb6474j5cugu39z6yzz5hv3eq 0 104178 782368 756210 2022-08-22T00:30:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Funktionenkörper in zwei Variablen {{ Ma:Vergleichskette |L ||K(X,Y) || || || |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=.}} Die Gruppe {{math|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} ist eine Untergruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=,}} indem man {{ Ma:Vergleichskette |s |\neq|0 || || || |SZ= }} als den durch {{mathl|term= X \mapsto sX,\, Y \mapsto sY|SZ=}} festgelegten Automorphismus auffasst. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Fixkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K(X,Y)^{ {{op:Einheiten|K|}} }|SZ=}} sowie dessen {{ Definitionslink |Prämath= |Transzendenzgrad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie2=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3=Theorie des Transzendenzgrades von Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fov1vymbfi957kr7jfmofaurayr6l8y 0 104184 782373 756216 2022-08-22T00:31:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Funktionenkörper {{ Ma:Vergleichskette |L ||K(X_1 {{kommadots|}} X_n ) || || || |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} Wie betrachten auf der Menge {{mathl|term= \mathcal Z|SZ=}} aller Zwischenkörper die Relation, die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |M_1 |\sim| M_2 || || || |SZ=, }} falls es einen Zwischenkörper {{math|term= M|SZ=}} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette |M_1 |\subseteq|M || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |M_2 |\subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, gegeben ist. Zeige{{n Sie}}, dass es sich dabei um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie2=Theorie des Transzendenzgrades von Körpererweiterungen |Kategorie3=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpmcac664b4pcxtsnbogdpjeck3u1jh 0 104185 782374 756217 2022-08-22T00:31:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |L ||K(X_1 {{kommadots|}} X_n ) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktionenkörper| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} Wie betrachten auf der Menge {{mathl|term= \mathcal Z|SZ=}} aller Zwischenkörper die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Funktionenkörper/n/Endlichkeitsäquivalenz/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Transzendenzgrad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf den {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wohldefiniert ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie2=Theorie des Transzendenzgrades von Körpererweiterungen |Kategorie3=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jhc5r67kllyrbqdy90m7l7s24v6i4g6 0 104189 782371 756214 2022-08-22T00:30:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |L ||K(X_1 {{kommadots|}} X_n ) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktionenkörper| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} Es seien Zwischenkörper {{ Ma:Vergleichskette/disp |K |\subseteq|M_1,M_2 |\subseteq| L || || |SZ= }} mit der Eigenschaft gegeben, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M_1 \cap M_2 |\subseteq| M_1 , M_2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien. Zeige{{n Sie}}, dass es dann auch einen Zwischenkörper {{math|term= N|SZ=}} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette |M_1,M_2 |\subseteq| N || || || |SZ= }} endlich sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie2=Theorie des Transzendenzgrades von Körpererweiterungen |Kategorie3=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s86h821woo9lmix7yffzf9v43nxfeml 0 104197 782367 579957 2022-08-22T00:30:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} in {{mathl|term= \Q(X,Y)|SZ=}} {{ math/disp|term= {{op:Bruch|7X^2-XY^3+Y^4|5X- {{op:Bruch|1|3}} Y^4}} \cdot {{op:Bruch|1|X^2 Y^3}} + {{op:Bruch|3X^3+X^2Y^2-XY^2|2+4 X^3-X^{257} }} \cdot {{op:Bruch|1|X^2 Y^3}} - {{op:Bruch|1|7}} X^3+XY+Y^{6}+9 |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lutnvqcxxbumq5zxsoz527qd7d64k8m 0 104199 782366 756209 2022-08-22T00:29:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Funktionenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC|}} (X) |SZ=}} die Gruppe der {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Körperautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch {{mathl|term= X \mapsto \zeta_n X |SZ=}} erzeugt wird, wobei {{math|term= \zeta_n|SZ=}} eine primitive {{math|term= n|SZ=-}}te Einheitswurzel bezeichnet. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Fixkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC}}(X)^{ {{op:Zmod|n|}} } |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dz14yx4ih5m4ejk333qr10081giqp9w 0 104202 783632 757282 2022-08-22T04:01:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} Elemente eines {{ Definitionslink |Prämath= |Körpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und seien {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_{n-1} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Familie {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} genau dann algebraisch unabhängig ist, wenn {{math|term= f_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |transzendent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{mathl|term= K(f_1 {{kommadots|}} f_{n-1})|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraisch abhängigen Elemente über einem kommutativen Ring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kab8zjo01gdcv4r4y8hs3ipi2tib6el 0 104220 779620 751670 2022-08-21T16:58:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= F \in K(X_1 {{kommadots|}} X_n )[T]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die Koeffizienten des Polynoms sind also rationale Funktionen in den {{math|term= n|SZ=}} Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring/Eine Variable/Körper/Restklassencharakterisierung von irreduzibel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der Restklassenring {{ Ma:Vergleichskette/disp |L |{{defeq}}|K(X_1 {{kommadots|}} X_n )[T]/(F) || || || |SZ= }} ein Körper, und zwar eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= K(X_1 {{kommadots|}} X_n )|SZ=,}} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch den Grad des Polynoms gegeben ist. Insbesondere bilden die Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Transzendenzbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Transzendenzbasen von Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zzffrwgk904q2xbcdf8p4vo82w78uv 0 104227 785942 759091 2022-08-22T10:03:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= K|SZ=}} in einer {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |K |\subseteq| K(X_1 {{kommadots|}} X_n) || || || |SZ= }} algebraisch abgeschlossen ist, also mit seinem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraischen Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= K(X_1 {{kommadots|}} X_n)|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des algebraischen Abschlusses in einer Körpererweiterung |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t79avq02cg8owseas0oax4sptgepn5b 0 104236 783678 757327 2022-08-22T04:08:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |L |\subseteq| M || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f_1 {{kommadots|}} f_r |\in| L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |g_1 {{kommadots|}} g_s |\in|M || || || |SZ= }} algebraisch unabhängig über {{math|term= L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Familie {{ Ma:Vergleichskette/disp |f_1 {{kommadots|}} f_r,g_1 {{kommadots|}} g_s |\in|M || || || |SZ= }} algebraisch unabhängig über {{math|term= K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraisch abhängigen Elemente über einem kommutativen Ring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pwk63m8zaef0ptcps46m02bpitehqkj 0 104238 781507 580107 2022-08-21T22:06:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{mathl|term= 1000|SZ=.}} Nachkommastelle bei der schriftlichen Division {{mathl|term= 1:7|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 75yy3mzkobqy27u85lt205pcnliaded 0 104239 781508 699829 2022-08-21T22:06:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |z ||999 \ldots 999 || || || |SZ= }} diejenige Zahl im Zehnersystem, die aus {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ= }} Neunen bestehe. Bestimme{{n Sie}} das Ergebnis der schriftlichen Division {{mathl|term= 1:z|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p8dvlm22gjdpo0n5rvstcpau3uxjal6 0 104240 781523 580114 2022-08-21T22:09:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass jede endliche Ziffernfolge {{mathl|term= z_1z_2 \ldots z_\ell|SZ=}} als Periode bei einer schriftlichen Division auftritt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c26i1piy7288zis8xmt9nv67uxbz77h 0 104242 781527 580120 2022-08-21T22:10:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= a|SZ=}} und {{math|term= b|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{math|term= b|SZ=}} positiv. Zeige{{n Sie}}, dass beim Divisionsalgorithmus zu {{ math/disp|term= a:b,\, 10^ka :b,\, a:10^nb |SZ= }} die gleiche Ziffernfolge auftritt, allerdings mit verändeter Indizierung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qlw4w27t1z1qvb582ev9ra0w8vfcdfh 0 104244 781506 755485 2022-08-21T22:06:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die ersten acht Glieder der {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruchfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Bruch|1|11}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bvktoqvdbsh0qjx2ky5q3ztkus29jc 0 104293 781187 580381 2022-08-21T21:13:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen in Charakteristik {{math|term= 0|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdqwvzk087esg6no2zo0qq5gokxdglq 0 104307 784508 583897 2022-08-22T06:20:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In die Klasse kommt ein neues Kind. Es stellt sich heraus, dass es auf die Frage, ob {{math|term= 13|SZ=}} oder ob {{math|term= 17|SZ=}} größer ist, keine Antwort weiß. Die Lehrkraft möchte genauer wissen, was das Kind über die Ordnung weiß oder nicht weiß, um es besser fördern zu können. Betrachte{{n Sie}} die folgenden möglichen Nachfragen der Lehrkraft. {{ Aufzählung5 |{{Anführung|Weißt du, ob {{ mathkor|term1= 44 |oder ob|term2= 49 |SZ= }} größer ist?|}} |{{Anführung|Weißt du, ob {{ mathkor|term1= 13 |oder ob|term2= 14 |SZ= }} größer ist?|}} |{{Anführung|Weißt du, ob {{ mathkor|term1= 3 |oder ob|term2= 7 |SZ= }} größer ist?|}} |{{Anführung|Weißt du, ob {{ mathkor|term1= 1 |oder ob|term2= 10 |SZ= }} größer ist?|}} |{{ Zusatz/Klammer |text=nachdem die Lehrkraft zwei Mengen mit unterschiedlich vielen Plättchen hingelegt hat| |ISZ=|ESZ= }} {{Anführung|Welche der beiden Mengen ist größer?|}} }} An welchem mathematischen Sachverhalt orientiert sich vermutlich die Lehrkraft bei den einzelnen Nachfragen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Haseigelschule |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eabhkcdmc9m4owblu2xm2xnboyyi9oe 0 104378 779152 581881 2022-08-21T15:44:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || K[X,Y,Z]/ {{makl| X^3+Y^3-Z^3 |}} || || || |SZ= }} die Operation von {{mathl|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=,}} wobei ein Erzeuger durch {{ math/disp|term= X \mapsto \zeta X,\, Y \mapsto \zeta Y, \, Z \mapsto \zeta^2 Z |SZ= }} operiere. Aus der Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |(x,y,z) || (\zeta x, \zeta y, \zeta^2 z) || || || |SZ= }} folgt direkt, dass der Nullpunkt der einzige Fixpunkt der Operation ist. Außerhalb dieses Punktes ist die Operation frei und dort ist der Quotient etale. Es sei {{math|term= R|SZ=}} der Invariantenring. Dieser ist normal Cohen-Macaulay und hat eine rationale Singularität. Invariante Erzeuger sind {{ math/disp|term= X^3,X^2Y, XY^2, Y^3, XZ, YZ |SZ=. }} Die invarianten Differentialoperatoren sind die Differentialoperatoren von {{math|term= R|SZ=.}} Insbesondere gibt es außer der Identität keine unitären Differentialoperatoren. Der Invariantenring wird durch die {{math|term= 2 \times 2|SZ=-}}Minoren der Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix34|x^3|x^2y|xy^2| xz |x^2y|xy^2|y^3|yz|x^2z^2|xyz^2|y^2z^2|x^3+y^3||||||||||||}} || {{op:Matrix34|A|B|C| E |B|C|D|F|E^2|EF|F^2|A+D||||||||||||}} || || || |SZ= }} beschrieben. Wir behaupten, dass der Quotientenkörper des Invariantenringes der rationale Funktionenkörper in den zwei Erzeugern {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|X|Y}} |und|term2= {{op:Bruch|Z^2|Y}} |SZ= }} ist. Zunächst gehört {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|Z|Y}} |}}^3 || {{makl| {{op:Bruch|X|Y}} |}}^3 +1 || || || |SZ= }} da dazu. Ferner gehört auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|Z|Y^2}} || {{op:Bruch|Z^3|Y^3}} \cdot {{op:Bruch|Y|Z^2}} || || || |SZ= }} dazu. Damit gehört auch {{ Ma:Vergleichskette/disp |YZ || {{op:Bruch|Z^2|Y}} \cdot {{op:Bruch|Y^2|Z}} || || || |SZ= }} dazu. Also gehört auch {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z^3 || YZ \cdot {{op:Bruch|Z^2|Y}} || || || |SZ= }} und damit auch {{ mathkor|term1= Y^3 |und|term2= X^3 |SZ= }} dazu. Wenn man {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{op:Bruch|X|Y}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || {{op:Bruch|Z^2|Y}} || || || |SZ= }} setzt, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^3 || {{op:Bruch|U^3V^3| {{makl| U^3+1 |}}^2 }} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^2Y || {{op:Bruch|U^2V^3| {{makl| U^3+1 |}}^2 }} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |XY^2 || {{op:Bruch|UV^3| {{makl| U^3+1 |}}^2 }} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^3 || {{op:Bruch|V^3| {{makl| U^3+1 |}}^2 }} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | YZ || {{op:Bruch|V^2|U^3+1}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |XZ || {{op:Bruch|UV^2|U^3+1}} || || || |SZ=. }} Die Kohomologieklasse {{mathl|term= {{op:Bruch|Z^2|XY}} |SZ=}} wird auf {{mathl|term= {{op:Bruch|\zeta Z^2|XY}} |SZ=}} abgebildet, ist also nicht invariant, die invariante Klasse {{mathl|term= {{op:Bruch|Z^2|XY}} + {{op:Bruch|\zeta Z^2|XY}} + {{op:Bruch|\zeta^2 Z^2|XY}} |SZ=}} ist {{math|term= 0|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der unitären Differentialoperatoren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d3iz7sffzejkxmt9f54bhgb8zyviho9 0 104401 779767 764318 2022-08-21T17:19:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=\operatorname{Mat}_{I}(R)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Matrizenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine Matrix {{math|term=A \in \operatorname{Mat}_{I}(R)|SZ=}} heißt {{ Definitionswort |Prämath= |invertierbar| |msw=Invertierbare Matrix |SZ=, }} falls es eine weitere Matrix {{math|term=B \in \operatorname{Mat}_{I}(R)|SZ=}} gibt, mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |A \cdot B ||B \cdot A ||E_n || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Invertierbare Matrix |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8x8i33rowz6xc5j6i2imphker1z64h8 0 104411 783522 581775 2022-08-22T03:42:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pdxfsek104yy7h3zidu6jwi3roiuzvi 0 104464 783457 757134 2022-08-22T03:31:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man aus dem Einheitskreis {{ Ma:Vergleichskette/disp |S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2 {{=}} 1 }} || || || |SZ= }} als Startmenge den gesamten {{math|term= \R^2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |mit Zirkel und Lineal konstruieren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} js0gmsr8rinug2jkgc0olp2iq28uh1m 0 104466 783456 757133 2022-08-22T03:31:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man aus dem Einheitsintervall {{mathl|term= [0,1]|SZ=}} als Startmenge den gesamten {{math|term= \R^2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |mit Zirkel und Lineal konstruieren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ictotesunw3b6x0x6mcbi7t6o6imtlq 0 104481 779909 582040 2022-08-21T17:40:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Quadrik {{mathl|term= K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)|SZ=}} kann man als Unterring des Polynomringes {{mathl|term= K[S_1,S_2,T_1,T_2]|SZ=}} realisieren. Wenn man diesen {{math|term= \Z|SZ=-}}graduiert, indem die {{math|term= S|SZ=}} den Grad {{math|term= 1|SZ=}} und die {{math|term= T|SZ=}} den Grad {{math|term= -1|SZ=}} bekommen, so wird der Unterring vom Grad {{math|term= 0|SZ=}} von den Produkten {{ math/disp|term= S_1T_1,\, S_1T_2,\, S_2T_1,\, S_2T_2 |SZ= }} erzeugt, die die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette | S_1T_1 \cdot S_2T_2 || S_1T_2 \cdot S_2T_1 || || || |SZ= }} erfüllen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der dreidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardquadrik in vier Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qyaew56f01cbw905bujygsn5017p9k5 0 104483 779908 684361 2022-08-21T17:40:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Standardquadrik/4_Variablen/Unterringrealisierung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an und betrachten {{ Ma:Vergleichskette/disp | K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW) |\cong| K[S_1T_1, S_2T_2 , S_1T_2, S_2T_1 ] |\subseteq|K[S_1,S_2,T_1,T_2] || || |SZ=. }} Im Polynomring ist {{mathl|term= \partial_{S_1} \partial_{T_1}|SZ=}} ein unitärer Differentialoperator, der {{ Ma:Vergleichskette |X ||S_1T_1 || || || |SZ= }} auf {{math|term= 1|SZ=}} abbildet. Die Restklassenbeschreibung dieses Operators auf der Quadrik erhält man, wenn man {{mathl|term= \partial_{S_1} \partial_{T_1} |SZ=}} auf allen Monomen in {{mathl|term= X,Y,Z,W|SZ=}} vom Grad {{math|term= \leq 2|SZ=}} auswertet und auf den Unterring projiziert. Dies ergibt den Operator {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||\partial_X + X \partial^2_X + Z \partial_X \partial_Z+ Y \partial_Z \partial_W+ W \partial_X \partial_W || || || |SZ=, }} Es ist in der Tat {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(XY-ZW) || Y-Y || 0 || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(X^2Y-XZW) || 2XY -ZW +2XY+ZW-ZW-ZW || 0 || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(XY^2-YZW) || Y^2 -Y^2 || 0 || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(XYZ-Z^2W) || YZ +YZ -2YZ || 0 || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(XYW-ZW^2) || YW -2YW +YW || 0 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der unitären Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardquadrik in vier Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e8xcrroxgyesrk3uwa8d051im7li00u 0 104490 779148 582092 2022-08-21T15:43:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^3-Y^3 ||Z^3-W^3 || || || |SZ= }} gegebene Quadrik. Wir schreiben dies als {{ Ma:Vergleichskette/disp |(X-Y) (X- \zeta Y) (X- \zeta^2 Y) || (Z-W) (Z- \zeta W) (Z- \zeta^2 W) || || || |SZ= }} mit einer primitiven dritten Einheitswurzel {{math|term= \zeta|SZ=.}} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |A || X-Y || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |B || Z-W || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||X- \zeta Y || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |D ||Z- \zeta W || || || |SZ=. }} Die Gleichung hat dann die Bauart {{ Ma:Vergleichskette/disp |AC (A+uC) ||BD (B +uD) || || || |SZ= }} mit einer Zahl {{math|term= u|SZ=.}} Die Ebenen {{ Zusatz/Klammer |text=projektiv Geraden| |ISZ=|ESZ= }} {{ mathkor|term1= V(A,B) |und|term2= V(C,D) |SZ= }} liegen auf der Varietät. Dies führt zu den rationalen Funktionen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|A|B}} || {{op:Bruch|D(B+uD)|C(A+uC)}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|C|D}} || {{op:Bruch|B(B+uD)|A(A+uC)}} || || || |SZ=. }} Dies führt zur birationalen Abbildung {{ math/disp|term= \operatorname{Proj}\, R \cdots \longrightarrow {{op:Projektive Gerade|K|}} \times {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=, }} die man mit der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|K|}} \times {{op:Projektive Gerade|K|}} | V_+(XY-ZW) \subseteq {{op:Projektiver Raum|K|}} |(s,t), (u,v) | (su, sv,tu,tv) |SZ=, }} verknüpfen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kubiken in vier Variablen |Kategorie2=Theorie der birationalen Morphismen zwischen Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Fermat-Kubik in vier Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} towv25cfzqx3rj5i2oktnprwi7sn9rv 0 104510 779256 752508 2022-08-21T16:00:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch ein Polynom der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || X^a +Y^b+Z^c || || || |SZ= }} gegebene Hyperfläche im Nullpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette/k |a,b,c |\geq|1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Der Körper sei so, dass die Exponenten in {{math|term= K|SZ=}} von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden seien. Das {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobiideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| aX^{a-1}, bY^{b-1}, cZ^{c-1} }} || {{makl| X^{a-1}, Y^{b-1}, Z^{c-1} }} || || || |SZ=. }} Im Restklassenring {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring/Global isolierte Singularität/Globale und lokale Milnoralgebra/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | K[X,Y,Z]_{(0,0,0)} / {{makl| X^{a-1}, Y^{b-1}, Z^{c-1} }} || K[X,Y,Z] / {{makl| X^{a-1}, Y^{b-1}, Z^{c-1} }} || || || |SZ= }} bilden die Monome {{ mathbed|term= X^iY^jZ^k |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq a-1,\, 0 \leq j \leq b-1,\, 0 \leq k \leq c-1,\, ||bedterm2= |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und somit ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Hyperfläche gleich {{mathl|term= (a-1)(b-1)(c-1)|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vwb2zfr5mzphx2yu1ln5qq8tt068kx 0 104513 779258 748845 2022-08-21T16:00:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch ein Polynom der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || X_1 \cdots X_n || || || |SZ= }} gegebene Hyperfläche im Nullpunkt. Das {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobiideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |J_F || {{makl| X_2 \cdots X_n , X_1 X_3 \cdots X_n {{kommadots|}} X_1 \cdots X_{n-1} }} || || || |SZ=. }} Wir betrachten den Restklassenring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]_{(0{{kommadots|}} 0)} / J_F |SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} ist dieser eindimensional und die Milnorzahl ist {{math|term= 1|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|3 || || || |SZ= }} hingegen sind die Monome {{ math/disp|term= X_1^n,\, n \in \N |SZ=, }} linear unabhängig und daher besitzt der Restklassenring die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unendlich. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Hyperfläche ist also unendlich. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r9d2j88txgkkzvzmg12b6mi9z91drl4 0 104525 779865 763801 2022-08-21T17:33:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= F |\R^3| \R |(x,y,z) | x^2 +y^3+z^5 |SZ= }} und die Faser {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z || F^{-1} (0) |\subseteq| \R^3 || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|2x|3y^2|5z^4}} |SZ= }} mit dem einzigen singulären Punkt {{mathl|term= (0,0,0) \in Z|SZ=.}} Das bedeutet, dass {{mathl|term= Z \setminus \{ (0,0,0) \} |SZ=}} eine zweidimensionale reelle Mannigfaltigkeit ist. Es ist keineswegs klar, dass ganz {{math|term= Z|SZ=}} keine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, nur weil man den Satz über implizite Abbildungen im Nullpunkt nicht anwenden kann. Es handelt sich sogar um eine {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Fermat-Brieskorn/3 Variablen/Ungerader Exponent/Reelle Realisierung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Das entsprechende Gebilde über den komplexen Zahlen {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} ist keine topologische Mannigfaltigkeit. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jwgm99grbtxy976kbaift0sj5l4z1d4 0 104526 778866 641701 2022-08-21T14:58:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die durch {{mathl|term= Z^2-XY|SZ=}} gegebene Nullstellenmenge hat im Nullpunkt eine Singularität. Wir betrachten auf dem {{math|term= \R^2|SZ=}} den Automorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=die Punktspiegelung| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= u \mapsto -u, v \mapsto -v|SZ=.}} Jeder Punkt wird also auf den gegenüberliegenden Punkt abgebildet, nur der Nullpunkt wird auf sich selbst abgebildet. Welches geometrische Objekt entsteht, wenn man jeden Punkt mit seinem Gegenüber identifiziert? Ein sinnvoller Ansatz ist hier, nach Funkionen auf dem {{math|term= K^2|SZ=}} zu suchen, die für je zwei gegenüberliegende Punkte den gleichen Wert haben. Beispiele für solche Funktionen sind {{mathl|term= u^2,v^2,uv|SZ=.}} Alle Polynome in {{mathl|term= u,v|SZ=}} mit dieser Invarianzeigenschaft lassen sich als Polynom in diesen drei Monomen schreiben. Diese drei Monome stehen untereinander in einer Beziehung, es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |(uv)^2 || u^2 v^2 || || || |SZ=. }} Wenn man {{ Ma:Vergleichskette |z ||uv || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |x ||u^2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |y ||v^2 || || || |SZ= }} setzt, so ist dies die Gleichung vom Anfang. Wir haben also ein Beispiel einer Singularität, die sich als Nullstellenmenge eines Polynom und als Quotientenmenge unter einer natürlichen Identifizierung erhalten lässt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der monomiale Standardkegel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mhpzpj0oxw295e2u8frh94um7xsb843 0 104671 779550 749010 2022-08-21T16:46:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Funktion {{mathl|term= X^2-Y^3|SZ=}} bilden {{mathl|term= 1,Y|SZ=}} eine Basis von {{mathl|term= {\mathcal O}/ {{makl| 2X,3Y^2 |}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Standardentfaltung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also {{ Ma:abbele/disp |name= | {{CC|}}^2 \times {{CC|}}^2 | {{CC|}} |(x,y,v,w)| x^2-y^3 +v+wy |SZ=. }} Zu einem fixierten Parameterpaar {{mathl|term= (v,w)|SZ=}} besitzt die dadurch parametrisierte Funktion {{math|term= f_{v,w} |SZ=}} die partiellen Ableitungen {{ mathkor|term1= 2x |und|term2= - 3y^2+w |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |w ||0 || || || |SZ= }} besitzt {{math|term= f_{v,w}|SZ=}} den einzigen singulären Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der aber nur bei {{mathlk|term=v=0|SZ=}} auf der Faser liegt| |ISZ=|ESZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath= |ausgeartet| |Kontext=Hesse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} bei {{ Ma:Vergleichskette |w |\neq|0 || || || |SZ= }} besitzt {{math|term= f_{v,w}|SZ=}} die beiden singulären Punkte {{ mathkor|term1= (0, \sqrt{w/3)} |und|term2= (0,- \sqrt{w/3)} |SZ=, }} die beide nicht ausgeartet sind. Die Anzahl der nichtausgearteten kritischen Punkte stimmt also mit der Milnorzahl der Ausgangshyperfläche überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d7wkzq3r8ijfxowa6b6djr2dx8m5o7q 0 104702 778885 763104 2022-08-21T15:01:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |DoubleCone|png| 200px {{!}} right {{!}} |Autor=Lars H. Rohwedder |Benutzer=RokerHRO |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f | {{CC|}}^2 | {{CC|}} |(x,y)| xy |SZ=, }} die im Nullpunkt einen isolierten kritischen Punkt besitzt. Die Hyperfläche {{mathl|term= f^{-1} (0)|SZ=}} ist das komplexe Achsenkreuz und besteht, aus zwei reellen Ebenen, die sich in einem Punkt treffen. Der Schnitt mit einem abgeschlossenen Ball {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|0| \delta}} |SZ=}} mit beliebigem Radius besteht entsprechend aus zwei abgeschlossenen Kreisscheiben, die sich in ihrem Mittelpunkt treffen. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Umgebungsrand| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= f^{-1} (0) \cap {{op:Sphäre|0| \delta}} |SZ= }} besteht aus zwei disjunkten Kreisen. Den Schnitt mit dem abgeschlossenen Kreis kann man als Kegel über den beiden Kreisen auffassen, die Singularität ist davon die Spitze dieses Doppelkegels. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Umgebungsrandes einer isolierten Hyperflächensingularität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ozckw46m1m5w269ca7kabapjyflmawd 0 104716 778884 763103 2022-08-21T15:01:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Not-star-shaped|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Sarang |Domäne=en. Wikipedia |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f | {{CC|}}^2 | {{CC|}} |(x,y)| xy |SZ=, }} die im Nullpunkt einen isolierten kritischen Punkt besitzt. Die Hyperfläche {{mathl|term= f^{-1} (0)|SZ=}} ist das komplexe Achsenkreuz. Jede Faser über einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} ist eine komplexe Hyperbel und biholomorph zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || {{CC|}} \setminus \{0\} || || || |SZ=, }} und zwar über die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |f^{-1}(a) {{=|}} {{Mengebed|(x,y) \in {{CC|}}^2|xy {{=}} a }} | {{CC|}} \setminus \{0\} |(x,y)|x |SZ=, }} mit der Umkehrabbildung {{mathl|term= x \mapsto {{op:Zeilenvektor|x| {{op:Bruch|a|x}}||}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorfaser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also der Schnitt von {{mathl|term= f^{-1}(a)|SZ=}} mit dem reellen abgeschlossen Ball {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|0|\delta }} |SZ=,}} der ja durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x|}}^2 + {{op:Betrag|y|}}^2 |\leq| \delta^2 || || || |SZ= }} gegeben ist, wird unter der biholomorphen Abbildung zu {{ math/disp|term= {{Mengebed|x \in {{CC|}} \setminus \{0\} | {{op:Betrag|x|}}^2 + {{op:Betrag| {{op:Bruch|a|x}} |}}^2 \leq \delta^2 }} |SZ=. }} Diese Bedingung bedeutet für die reelle Zahl {{mathl|term= {{op:Betrag|x|}} |SZ=,}} dass sie zu einem abgeschlossenen Intervall mit positiven Intervallgrenzen gehören muss, und für die komplexe Zahl {{math|term= x|SZ=,}} dass sie zu einem Annulus {{ Zusatz/Klammer |text=Kreisring| |ISZ=|ESZ= }} mit irgendeinem Mittelpunkt und gewissen Radien gehören muss. Ein Kreisring ist homotop zu einem Kreis, man kann ihn ja auf einen der Randkreise kontrahieren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorfaserung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6uu91p34di4xyzwbyu04evn7l4jwch8 0 104799 779250 763352 2022-08-21T15:59:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine nichtkonstante {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=f |U| {{CC|}} || |SZ= }} in einer Variablen {{math|term= y|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|U |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ist im Nullpunkt {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Potenz {{mathl|term= y^k|SZ=.}} Die Potenzreihenentwicklung von {{math|term= f|SZ=}} im Nullpunkt hat die Form {{ math/disp|term= a y^k + g y^k |SZ= }} mit {{ mathbed|term= a \in {{CC|}} ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} und {{ Ma:Vergleichskette |g |\in | {{idealm|}} || (y) || || |SZ=. }} Dann ist in einer offenen Umgebung von {{math|term= 0|SZ=}} die Funktion {{mathl|term= a+g|SZ=}} nullstellenfrei und daher ist auf einer offenen Umgebung der {{math|term= 0|SZ=}} auch eine Wurzel {{mathl|term= \sqrt[k] {a+g} |SZ=}} wohldefiniert und holomorph. Daher ist dort durch {{mathl|term= y \mapsto y \sqrt[k]{a +h}|SZ=}} eine biholomorphe Abbildung gegeben, die {{math|term= f|SZ=}} und {{math|term= y^k|SZ=}} als rechtsäquivalent erweist. Verschiedene Potenzen sind untereinander nicht rechtsäquivalent nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Biholmorphe Nullstellenmenge/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2g5gmwe4tmpy3lxaryjcotio9geo8hg 0 104828 779870 763804 2022-08-21T17:34:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |simplizialen Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Delta|SZ=}} auf einer Menge {{math|term= V|SZ=,}} der nur aus einzelnen Punkten {{ Ma:Vergleichskette |W |\subseteq|V || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und der leeren Menge| |ISZ=|ESZ= }} besteht, besteht die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Achsenraumkonfiguration| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einfach aus den Achsen zu {{mathl|term= w \in W|SZ=.}} Das ist eine Teilmenge des vollen Achsenkreuzes. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 54b1q29yuz3qcd8ajyzu9frqym5us9e 0 104829 779871 763805 2022-08-21T17:34:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Complete bipartite graph K2,1|svg|230px {{!}} left {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Illes |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Intersecting planes|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=David Eppstein |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Zu einem Graphen {{math|term= \Gamma|SZ=}} auf einer Menge {{math|term= V|SZ=}} bzw. dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |simplizialen Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Delta|SZ=}} besteht die zugehörige Achsenraumkonfiguration aus allen Achsen {{mathl|term= K e_v|SZ=}} und genau aus denjenigen Achsenebenen {{mathl|term= K e_v + Ke_w |SZ=,}} für die {{mathl|term= \{v,w\}|SZ=}} eine Kante des Graphen ist. Bei {{ Ma:Vergleichskette |V || \{1,2,3\} || || || |SZ= }} ergibt der leere Graph {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem die Kantenmenge leer ist| |ISZ=|ESZ= }} das Achsenkreuz im Raum, der Graph mit einer Kante ergibt eine Ebene mit einer dazu senkrechten Geraden, der Graph mit zwei Kanten ergibt zwei Ebenen, die sich in einer Geraden senkrecht schneiden, und der Graph mit drei Kanten ergibt die drei Achsenebenen im Raum. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nrfcq8q3sa8sd7zpveqb87u2k8xu2di 0 104839 778476 762419 2022-08-21T12:08:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Zuordnungen von (1) nach (2) ist dabei durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Definition |SZ= }} gegeben. Aus einer Achsenraumkonfiguration {{math|term= A|SZ=}} erhält man einen simplizialen Komplex durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Delta_A || {{Mengebed|F \subseteq V|K^F \subseteq A}} || || || |SZ=. }} Diese beiden Zuordnungen sind offenbar invers zueinander. Aus (2) erhält man (3), indem man die Achsenraumkonfiguration mit {{math|term= H|SZ=}} schneidet. Aus einer Menge {{math|term= T|SZ=}} wie in (3) beschrieben erhält man eine Achsenraumkonfiguration, indem man die Vereinigung der {{math|term= K^F|SZ=}} zu denjenigen {{math|term= F|SZ=}} nimmt, die einen Punkt in {{math|term= H|SZ=}} mit Träger {{math|term= F|SZ=}} besitzen. Auch diese Zuordnungen sind invers zueinander, da es zu einem Achsenraum {{math|term= K^F|SZ=,}} der zu einer Achsenraumkonfiguration {{math|term= A|SZ=}} gehört, den Punkt {{mathl|term= {{op:Bruch|1| {{op:Anzahl|F|}} }} \sum_{v \in F} e_v|SZ=}} auf {{mathl|term= A \cap H|SZ=}} gibt, aus dem {{math|term= A|SZ=}} zurückkonstruiert wird. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pzypxbcmkmo5k9bb3syew19dg9fdpy2 0 105017 779877 752031 2022-08-21T17:35:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Simplex| |Kontext=simplizialer Komplex| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Delta || {{op:Potenzmenge|V|}} || || || |SZ= }} ist der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Stanley-Reisner-Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einfach der Polynomring {{mathl|term= R[X_v:\, v \in V]|SZ=,}} da es keine Nichtseite gibt und daher das {{ Definitionslink |Prämath= |Stanley-Reisner-Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das Nullideal ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dw2d4lqt1sjtufw88ui16gh5urlqs1f 0 105021 779878 763811 2022-08-21T17:35:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf einer zweielementigen Menge {{ Ma:Vergleichskette |V || \{e,f\} || || || |SZ= }} ist der einzige nichttriviale {{ Definitionslink |Prämath= |simpliziale Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Delta || \{ \emptyset, \{e\}, \{f\} \} || || || |SZ=. }} Die einzige Nichtseite ist {{mathl|term= \{e,f\}|SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R [\Delta] || R[X_e,X_f]/ {{makl| X_eX_f |}} |\cong| R[X,Y] /(XY) || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe zu ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 36a6gg9y8xg8jwdi2bj3tozykbtjgd1 0 105022 779873 763807 2022-08-21T17:34:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf einer dreielementigen Menge {{ Ma:Vergleichskette |V || \{e, f, g\} || || || |SZ= }} betrachten wir die nichttrivialen {{ Definitionslink |Prämath= |simplizialen Komplexe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Stanley-Reisner-Ringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei wir die Variablen mit {{mathl|term= X,Y,Z|SZ=}} bezeichnen. Bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Delta || \{ \emptyset, \{e\}, \{f\}, \{g \} \} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R [\Delta] || R[X,Y,Z]/ {{makl| XY,XZ,YZ |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Delta || \{ \emptyset, \{e\}, \{f\}, \{g \}, \{e,f\} \} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R [\Delta] || R[X,Y,Z]/ {{makl| XZ, YZ |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Delta || \{ \emptyset, \{e\}, \{f\}, \{g \}, \{e,f\} , \{e,g\} \} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R [\Delta] || R[X,Y,Z]/ {{makl| YZ |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Delta || \{ \emptyset, \{e\}, \{f\}, \{g \}, \{e,f\} , \{e,g\} , \{f,g\} \} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R [\Delta] || R[X,Y,Z]/ {{makl| XYZ |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} du67z0v1aqyndg08qgwpty0diy3keac 0 105026 779876 763810 2022-08-21T17:35:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum leeren {{ Definitionslink |Prämath= |simplizialen Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Stanley-Reisner-Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Nullring, da in diesem Fall die leere Menge eine Nichtseite ist und das Produkt über die leere Menge {{math|term= 1|SZ=}} ist. Das {{ Definitionslink |Prämath= |Stanley-Reisner-Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und somit ist der Restklassenring der Nullring. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qjjupbe6kcse96galvw9ipw8kjzrts3 0 105027 779875 763809 2022-08-21T17:35:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu dem {{ Definitionslink |Prämath= |simplizialen Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der allein aus der leeren Menge besteht, ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Stanley-Reisner-Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Grundring {{math|term= R|SZ=.}} In diesem Fall ist jede Ecke {{math|term= v|SZ=}} eine Nichtseite und daher gehören die Variablen {{math|term= X_v|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Stanley-Reisner-Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und erzeugen dieses. Der Restklassenring ist daher der Grundring. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 32ywb61r4ykalp7ycnjbt8d1kjmjrxd 0 105028 779874 763808 2022-08-21T17:35:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |ungerichteten Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (V,E)|SZ=,}} aufgefasst als {{ Definitionslink |Prämath= |simplizialer Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} besteht das {{ Definitionslink |Prämath= |Stanley-Reisner-Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus sämtlichen Dreierprodukten {{mathl|term= X_uX_vX_w|SZ=}} mit {{mathl|term= u,v,w|SZ=}} paarweise verschieden und aus denjenigen Produkten {{math|term= X_uX_v|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass {{mathl|term= \{u,v\}|SZ=}} keine Kante des Graphen ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Dreierprodukte, die eine Nichtkante beinhalten, braucht man nicht als Erzeuger| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe zu ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 40udfewyjn9kb4nxyasnns33ea3s8dc 0 105045 785620 583036 2022-08-22T09:09:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Kann man ein Quadrat mit Seitenlänge {{math|term= 5|SZ=}} durch drei Quadrate mit Seitenlänge {{math|term= 4|SZ=}} überdecken? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Rechtecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pp1njo9h76jh2705i2r0w7jac47s1et 0 105058 779615 751644 2022-08-21T16:57:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_m] || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= m|SZ=}} Variablen über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Dann gibt es nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Homogene Polynome/n Variablen/Monomanzahl/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} genau {{mathl|term= {{op:Binom|n+m-1|m-1}} |SZ=}} Monome vom Grad {{math|term= n|SZ=.}} Dies ist somit die {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumdimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term= n|SZ=-}}ten Stufe des standard-graduierten Polynomringes. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbertfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des graduierten {{math|term= R|SZ=-}}Moduls {{math|term= R|SZ=}} ist also {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |H_R(n) || {{op:Binom|n+m-1|m-1}} || {{op:Bruch|(n+m-1) \cdots (n+1)|(m-1)!}} || {{op:Bruch|1|(m-1)!}} n^{m-1} + {{op:Bruch|m|2 (m-2)!}} n^{m-2} + \text{ kleinere Terme} || |SZ=. }} Insbesondere ist die Hilbertfunktion ein Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term= \Q|SZ=,}} das aber an jeder natürlichen Stelle eine natürliche Zahl als Wert besitzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tvh4smz8u1jz7l0ag0v81a2pz5j8b2l 0 105101 780009 763856 2022-08-21T17:57:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer Variablenpotenz {{ Ma:Vergleichskette |f(x) ||x^n || || || |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f | {{CC|}} | {{CC|}} |x|x^n |SZ=, }} ist die Ableitung {{ Ma:Vergleichskette |f'(x) || nx^{n-1} || || || |SZ= }} und somit bilden die Funktionen {{mathl|term= 1,x,x^2 {{kommadots|}} x^{n-2} |SZ=}} eine Basis von {{mathl|term= {\mathcal O}/ {{makl| nx^{n-1}|}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Standardentfaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also {{ Ma:abbele/disp |name= | {{CC|}} \times {{CC|}}^{n-1} | {{CC|}} |(x,a_0,a_1 {{kommadots|}} a_{n-2}) | x^n +a_0+a_1x {{plusdots|}} a_{n-2} x^{n-2} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten |Kategorie3=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 825jp45dsb4hmtzhx0e8ifwe6r29mnd 0 105144 779046 721844 2022-08-21T15:27:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Love_Heart_symbol_rings|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Nevit |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir betrachen die monomiale Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |z^2 ||w^2 || || || |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}}^2 |SZ=,}} wo also die beiden Exponenten nicht teilerfremd sind. Diese Kurve kann auch durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |zw ||0 || || || |SZ= }} beschrieben werden, es handelt sich also um das komplexe Achsenkreuz {{ Ma:Vergleichskette |V ||V(zw) || V(z) \cup V(w) || || |SZ=. }} In diesem Fall besteht der Durchschnitt {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || V \cap S^3 || || || |SZ= }} aus zwei disjunkten Kreisen. Diese beiden Kreise sind einfach ineinander verschlungen. Man spricht von der {{Stichwort|Hopfverschlingung|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lodb98zm3tf6d8x8wold24jqpoq34d8 0 105146 779052 748782 2022-08-21T15:28:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)} /(XY,XZ) || || || |SZ=, }} der geometrisch aus einer Ebene und einer Geraden besteht. Für die {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzen| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideals| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (X,Y,Z) || || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}}^n || (X^n) + (Y,Z)^n || || || |SZ=, }} da ja sämtliche Monome, in denen neben {{math|term= X|SZ=}} noch eine weitere Variable vorkommt, gleich {{math|term= 0|SZ=}} sind. Somit gilt für die Restklassenräume {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}}^n/ {{idealm|}}^{n+1} || K \langle X^n,Y^n,Y^{n-1}Z {{kommadots|}} Z^n \rangle || || || |SZ= }} und dessen {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{math|term= n+2|SZ=.}} Somit ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbert-Samuel-Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Ringes gleich {{ Ma:Vergleichskette |H_R(n) || n+2 || || || |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbert-Samuel-Multiplizität| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Ringes ist {{math|term= 1|SZ=.}} Der Ring ist aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=lokaler Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie2=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 37toomq0i5judjj8gdxthwp8gjy4g02 0 105155 779911 752071 2022-08-21T17:41:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X,Y,W,Z]|SZ=}} betrachten wir die Primideale {{ Ma:Vergleichskette |(XY-ZW) |\subset| {{idealp|}} {{=|}} (X,Z), {{idealq|}} {{=|}} (Y,W) || || || |SZ=. }} Hierbei ist {{mathl|term= (XY-ZW) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primhauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und hat die Höhe {{math|term= 1|SZ=}} und {{ mathkor|term1= (X,Z) |und|term2= (Y,W) |SZ= }} sind Primideale der Höhe {{math|term= 2|SZ=.}} Die zugehörigen Varietäten {{ mathkor|term1= V (X,Z) |und|term2= V (Y,W) |SZ= }} sind affine Ebenen im {{math|term= {{op:Affiner Raum|4|K}} |SZ=}} und haben die Dimension {{math|term= 2|SZ=.}} Wir betrachten die entsprechende Situation im {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || K[X,Y,W,Z]/ (XY-ZW) || || || |SZ=, }} der die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=Krull| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3|SZ=}} besitzt. Die Dimensionen der beiden Primideale bzw. der dadurch definierten Ebenen sind nach wie vor {{math|term= 2|SZ=,}} allerdings ist ihre Höhe bzw. Kodimension jetzt {{math|term= 1|SZ=.}} Der Durchschnitt dieser beiden Ebenen ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ( {{idealp|}} ) \cap V ( {{idealq|}} ) || V ( {{idealp|}} + {{idealq|}} ) || V( X,Y,W,Z ) || V( {{idealm|}} ) || |SZ=, }} also einfach ein Punkt der Kodimension {{math|term= 3|SZ=.}} Der Ring {{math|term= R|SZ=}} mit den beiden Untervarietäten {{ mathkor|term1= V ( {{idealp|}} ) |und|term2= V ( {{idealq|}} ) |SZ= }} liefert also ein Beispiel, das zeigt, dass die Summe der Kodimensionen von Untervarietäten kleiner als die Kodimension ihres Schnittes sein kann. Dabei sind die Untervarietäten {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die Gesamtvarietät {{mathl|term= V(XY-ZW)|SZ=}} ist aber eine {{ Definitionslink |Prämath= |isolierte| |Kontext=Singularität| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperflächensingularität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Schnitttheorie (algebraische Geometrie) |Kategorie2=Theorie der dreidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quadrik UX-VY |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ld7ono1kgr15ud2ueu9g707cnmxir3s 0 105193 778647 762563 2022-08-21T12:34:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_m ]/ {{ideala|}} || || || |SZ= }} der Koordinatenring von {{math|term= V|SZ=}} und sei {{math|term= {{idealm|}}_P |SZ=}} das maximale Ideale zu {{math|term= P|SZ=}} in {{math|term= R|SZ=.}} Im lokalen Ring {{ Ma:Vergleichskette |{\mathcal O}_P || R_{ {{idealm}}_P} || || || |SZ= }} gibt es nach Voraussetzung und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Beschreibung der Form {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}}_P || {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_n |}} || || || |SZ=. }} Wir können nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nenneraufnahme/Idealerzeuger/Nenneraufnahme an Element/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} verkleinern, d.h. zu einer affinen offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |P |\in|U ||D(g) |\subseteq|V || |SZ= }} übergehen und dann annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette | f_1 {{kommadots|}} f_n |\in|R || || || |SZ= }} und dort bereits {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}}_P || {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_n |}} || || || |SZ= }} gilt. Es ist {{mathl|term= R {{tensor|K}} R|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Teilmenge affiner Raum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutative Ringe/Restklassendarstellung/Tensorprodukt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Koordinatenring des Produktes {{mathl|term= V \times V|SZ=.}} Wir betrachten die Funktionen {{ Ma:Vergleichskette/disp |h_i || f_i {{tensor}} 1 - 1 {{tensor}} f_i |\in| R {{tensor|K}} R || || |SZ=, }} diese Funktionen wirken auf {{math|term= V \times V|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| f_i {{tensor}} 1 - 1 {{tensor}} f_i |}} (Q,Q') || f_i(Q) - f_i(Q') || || || |SZ=. }} Bezüglich der Einbettung {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V \cong V \times \{P\} | V \times V || |SZ= }} erhält man durch einschränken aus den {{math|term= h_i|SZ=}} die {{math|term= f_i|SZ=}} zurück. Da die {{math|term= f_i|SZ=}} modulo {{mathl|term= {{idealm|}}_P^2 |SZ=}} linear unabhängig sind, gilt dies auch für {{math|term= h_i|SZ=}} modulo {{mathl|term= {{idealm}}_{(P,P)}^2 |SZ=.}} Für die Diagonale ist offenbar {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Delta |\subseteq| V(h_1 {{kommadots|}} h_n) || || || |SZ=. }} Der Punkt {{ Ma:Vergleichskette |(P,P) |\in| \Delta || || || |SZ= }} ist in {{mathl|term= V \times V|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Varietäten/Glatte Punkte/Produkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein glatter Punkt und damit ist der lokale Ring {{mathl|term= {\mathcal O}_{(P,P)}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=lokaler Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Seine Dimension ist {{math|term= 2n|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{mathl|term= {\mathcal O}_{V \times V, (P,P)} /(h_1 {{kommadots|}} h_n ) |SZ=}} regulär der Dimension {{math|term= n|SZ=.}} Insbesondere ist {{mathl|term= (h_1 {{kommadots|}} h_n )|SZ=}} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein Primideal in {{mathl|term= {\mathcal O}_{V \times V, (P,P)}|SZ=}} der Dimension {{math|term= n|SZ=}} und daher muss {{ Ma:Vergleichskette | \Delta || V(h_1 {{kommadots|}} h_n) || || || |SZ= }} gelten. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kuqoto223yed64htrt5uodhgndim6vq 0 105197 778646 762562 2022-08-21T12:34:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten die Diagonaleinbettung {{ Ma:abbele/disp |name= |V| V \times V |Q| (Q,Q) |SZ=, }} das Bild sei mit {{math|term= \Delta|SZ=}} bezeichnet. Es liegt dadurch nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Varietät/Diagonale/Abgeschlossene Einbettung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein Isomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |V |\cong|\Delta || || || |SZ= }} von Varietäten vor. Unter diesem Isomorphismus entsprechen sich die Mengen {{ mathkor|term1= Y \cap Z |und|term2= \Delta \cap (Y \times Z) |SZ=, }} wobei rechts das Produkt {{mathl|term= Y \times Z|SZ=}} in natürlicher Weise als abgeschlossene Untervarietät von {{mathl|term= V \times V|SZ=}} aufgefasst wird. Damit entsprechen sich auch die Komponenten des Schnittes {{mathl|term= Y \cap Z|SZ=}} im Punkt {{math|term= P|SZ=}} und die Komponenten des Schnittes {{mathl|term= \Delta \cap (Y \times Z)|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= (P,P)|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt {{mathl|term= Y \times Z|SZ=}} die Dimension {{mathl|term= r+s|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Varietät/Glatter Punkt/Selbstprodukt/Beschreibung der Diagonalen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wird {{math|term= \Delta|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= (P,P)|SZ=}} lokal durch {{math|term= n|SZ=}} Funktionen beschrieben. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Untervarietät/Lokal durch Funktionen/Schnittverhalten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{dim}_{(P,P)} {{makl| \Delta \cap Y \times Z |}} |\geq| r+s-n || || || |SZ= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ipkwjld0ue258mgzuyk8hwmkbo7r8ls 0 105198 778649 762564 2022-08-21T12:35:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| V |\subseteq| {{op:Affiner Raum|m|K}} || || || |SZ= }} wobei {{math|term= V|SZ=}} durch die Polynome {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_r|SZ=}} auf dem affinen Raum {{math|term= {{op:Affiner Raum|m|K}} |SZ=}} beschrieben werde, deren Jacobimatrix im Punkt {{math|term= P|SZ=}} einen Rang {{mathl|term= \geq m-\operatorname{dim} V|SZ=}} besitze. Entsprechend sei {{ Ma:Vergleichskette |Q |\in| W |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} wobei {{math|term= W|SZ=}} durch die Polynome {{mathl|term= g_1 {{kommadots|}} g_s|SZ=}} auf dem affinen Raum {{math|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} beschrieben werde, deren Jacobimatrix im Punkt {{math|term= Q|SZ=}} einen Rang {{mathl|term= \geq n- {{op:Krulldimension|W|}} |SZ=}} besitze. Dann beschreiben die Polynome {{ Ma:abbele/disp |name=(f,g) {{=}} (f_1 {{kommadots|}} f_r, g_1 {{kommadots|}} g_s) | {{op:Affiner Raum|m|K}} \times {{op:Affiner Raum|n|K}}| {{op:Affine Gerade|K|}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die {{math|term= f_i|SZ=}} nur von den vorderen und die {{math|term= g_j|SZ=}} nur von den hinteren Variablen abhängen| |ISZ=|ESZ= }} die Produktvarietät {{mathl|term= V \times W|SZ=.}} Die Jacobimatrix zu {{mathl|term= (f,g)|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Blockmatrix| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} deshalb ist ihr Rang gleich der Summe der Einzelränge und insbesondere {{mathl|term= \geq m-{{op:Krulldimension|V |}} +n-{{op:Krulldimension|W |}} |SZ=.}} Die Dimension von {{math|term= V \times W|SZ=}} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Krulldimension|V |}} + {{op:Krulldimension|W |}} |SZ=,}} daher erfüllen {{mathl|term= (f_1 {{kommadots|}} f_r, g_1 {{kommadots|}} g_s)|SZ=}} insgesamt die Rangbedingung und {{mathl|term= (P,Q)|SZ=}} ist ein glatter Punkt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56lrl70p3mq6fuzzqr0pfl9eyusoiab 0 105216 779007 763176 2022-08-21T15:20:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/(F) || || || |SZ= }} und {{math|term= E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Derivation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= R|SZ=.}} Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette/disp |S ||K[X_1 {{kommadots|}} X_n,U ]/(F+ U^r ) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |r |\geq|1 || || || |SZ=. }} Es ist {{mathl|term= E(F)|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= F|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |E(F) ||AF || || || |SZ= }} im Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]|SZ=.}} Wir definieren {{math|term= \tilde{E}|SZ=}} auf {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n,U ]|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{E} (X_i) || E(X_i) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\tilde{E} (U) || {{op:Bruch|1|r}} A U || || || |SZ=. }} Dies legt eine Derivation auf dem großen Polynomring fest. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde { E} (F+U^r) || E(F)+ \tilde{E} (U^r) || E(F) + r U^{r-1} E(U) || AF+ r U^{r-1} {{op:Bruch|1|r}} AU || A(F+U^r) || |SZ= }} induziert dies eine Derivation auf {{math|term= S|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Derivationen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 63k3jupwzka3ee48t69mx2h6nym36u8 0 105217 779019 763183 2022-08-21T15:22:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/(F) || || || |SZ= }} und {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialoperator| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ordnung {{math|term= 2|SZ=}} auf {{math|term= R|SZ=.}} Dieser ist als Operator auf dem Polynomring der Form {{ math/disp|term= \sum_i G_i \partial_i + \sum_{ i \leq j} H_{ij} \partial_i \partial_j |SZ= }} gegeben und insbesondere durch die Wert auf den Variablen und quadratischen Monomen festgelegt. Es müssen {{mathl|term= E(F)|SZ=}} und die {{mathl|term= E(X_iF)|SZ=}} Vielfache von {{math|term= F|SZ=}} sein, sagen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |E(F) ||AF || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |E(X_iF) || B_iF || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |A,B_i |\in| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ=. }} Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette/disp |S ||K[X_1 {{kommadots|}} X_n,U ]/(F+ U^2 ) || || || |SZ=. }} Wir definieren {{math|term= \tilde{E}|SZ=}} auf {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n,U ] |SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{E} (X^\mu) || E(X^\mu) || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\tilde{E} (U) || C || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{E}(X_i U) || D_i || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{E}(U^2) || L || || || |SZ= }} Dies legt einen Differentialoperator auf dem großen Polynomring fest. Dieser Operator is mit partiellen Ableitungen beschrieben gleich {{ math/disp|term= \sum_i G_i \partial_i + \sum_{ i \leq j} H_{ij} \partial_i \partial_j + C \partial_U + \sum_i D_i \partial_i \partial_U + {{op:Bruch|1|2}} L \partial_U \partial_U |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde { E} (F+U^2) || E(F)+ \tilde{E} (U^2) || AF +2 CU+ L || || |SZ=. }} Das führt zur Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2CU+L || AU^2 || || || |SZ=. }} Ferner kriegen wir nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differentialoperator/Algebraisch/Induktiv und Produktbedingung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Bedingungen {{ Ma:Vergleichskette/align | \tilde{E} (X_i (F+U^2)) || \tilde{E} (X_i F) + \tilde{E} (X_iU^2) || E(X_iF) + X_i\tilde{E} (U^2) + 2U \tilde{E}(X_iU)- U^2 \tilde{E}(X_i)- 2X_iU\tilde{E}(U) || B_iF + X_i AU^2 +2UD_i -U^2G_i -2X_iU C || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/align | \tilde{E} (U (F+U^2)) || \tilde{E} (U F) + \tilde{E} (U^3) || \tilde{E} (U F) + 3 U \tilde{E} (U^2) - 3U^2 \tilde{E}(U ) || \tilde{E} (U F) + 3U^3A -3U^2 C || |SZ=, }} um einen Operator auf {{math|term= S|SZ=}} zu induzieren. Mit dem Ansatz {{ Ma:Vergleichskette |C || \tilde{C} U || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |D_i || \tilde{D}_i U || || || |SZ= }} werden die ersten Bedingungen erfüllt, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |X_iA+ 2 \tilde{D}_i - G_i -2X_i \tilde{C} ||B_i || || || |SZ= }} gilt, was man nach {{mathl|term= \tilde{D}_i|SZ=}} auflösen kann. Weiter ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{E} (UF) || U E(F) +CF+ \sum_i D_i \partial_i F || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/align | \tilde{E} (U (F+U^2)) || \tilde{E} (U F) + 3U^3A -3U^2 C || U E(F) +CF+ \sum_i D_i \partial_i F + 3U^3A -3U^2 C || U {{makl| AF + \tilde{C} F+ \sum_i \tilde{D}_i \partial_i F + 3U^2A -3U^2 \tilde{C} |}} || |SZ=. }} Anderer Ansatz von Jacobi-Taylor-Matrix her. {{ Ma:Vergleichskette/disp |D_i || {{op:Bruch|1|2}} U B_i || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || - \sum B_i \partial_i F || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |2CU || AU^2 - L || AU^2 + \sum B_i \partial_i F || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mkago9qsy4j0qjdkzzyf0mhog6jkjpp 0 105232 779609 751624 2022-08-21T16:56:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Polynomring {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (X,Y) || || || |SZ= }} und dem {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} || (X-1) || || || |SZ=, }} das nicht in {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} liegt. Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikative System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || {{Mengebed| f \in K[X,Y]| f \notin {{idealm|}} \text{ und } f \notin {{idealp|}} }} || K[X,Y] \setminus {{idealm}} \cap K[X,Y] \setminus {{idealp}} || || |SZ=. }} In der {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y]_S || || || |SZ= }} sind die Primideale {{ mathkor|term1= {{idealm|}} R |und|term2= {{idealp|}} R |SZ= }} die einzigen maximalen Ideale, das eine hat die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}} und das andere die Höhe {{math|term= 1|SZ=.}} Die Aussage {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Gleichlange Ketten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt also nicht für integre Algebren, die {{ Definitionslink |Prämath= |im Wesentlichen vom endlichen Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Krulldimension |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9rycu14lf6301y13dba11marh74k1ol 0 105259 782873 583700 2022-08-22T01:54:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang ins Freie kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit. {{ Aufzählung2 |Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau {{math|term= 13|SZ=}} Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen? |Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau {{math|term= 12|SZ=}} Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Alltagslogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 184iythdly1zo5x9ibiirxukziz5f3i 0 105263 780076 583721 2022-08-21T18:07:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||X^2+Y^2+Z^3 || || || |SZ=. }} Die relevanten Taylor-Ableitungen sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|\partial|\partial X}} (F) || 2X || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} (F) || 2 Y || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|\partial|\partial Z}} (F) || 3Z^2 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial X}} |}}^2 (F) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial Y}} |}}^2(F) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:Bruch|\partial|\partial Z}} |}}^2 (F) || 3 Z || || || |SZ=. }} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |ux= 2X |uy= 2Y |uz= 3Z^2 |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 1 |uyz= 0 |uzz= 3Z }} }} Ein Linkskernelement ist {{ math/disp|term= (0, 0,0,2 ,- 9Z^2,0,6 X, - 9Z^2,6Y,4Z) |SZ=. }} Nur in der letzten Spalte ist die Summe {{math|term= 12 F|SZ=,}} sonst kommt in den Spalten schon im Polynomring {{math|term= 0|SZ=}} raus. {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 4 Variablen 2 |ux= 2X |uy= 2Y |uz= 3Z^2 |uw=2W |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 1 |uyz= 0 |uzz= 3Z |uww=1 }} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ls4r9idkwdlyhb391k0l4g4zkcgcr5r 0 105286 778511 762445 2022-08-21T12:13:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zunächst sind nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Standard-graduierter Ring/K/Modul/Endlich erzeugt/Stufen endlichdimensional/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Stufen {{math|term= M_d|SZ=}} endlichdimensional, so dass die Hilbertfunktion wohldefiniert ist. Nach Voraussetzung ist das {{ Definitionslink |Prämath= |irrelevante Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R_+ || \bigoplus_{d \geq 1} R_d || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugt| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und zwar wird es von Elementen aus {{math|term= R_1|SZ=}} erzeugt. Wir führen Induktion über die Erzeugendenanzahl {{math|term= r|SZ=}} dieses Ideals. Bei {{ Ma:Vergleichskette |r || 0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |R ||R_0 || K || || |SZ= }} ein Körper und {{math|term= M|SZ=}} ist als ganzes ein endlichdimensionaler Vektorraum. Deshalb sind alle Stufen {{math|term= M_d|SZ=}} zu hinreichend großen {{math|term= d|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=.}} Zum Induktionsschluss sei {{ Ma:Vergleichskette |R_+ || (f_1 {{kommadots|}} f_r) || || || |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein endlicher erzeugter graduierter {{math|term= R|SZ=-}}Modul. Der Restklassenring {{ Ma:Vergleichskette |S ||R/(f_r) || || || |SZ= }} ist ebenfalls standard-graduiert und sein irrelevantes Ideal besitzt einen Erzeuger weniger, auf ihn können wir also die Induktionsvoraussetzung anwenden. Der Restklassenmodul {{ Ma:Vergleichskette |N || M/(f_r)M || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=ein graduierter {{math|term= R|SZ=-}} und damit auch| |ISZ=|ESZ= }} ein graduierter {{math|term= S|SZ=-}}Modul. Folglich gibt es ein Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q |\in| \Q[X] || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | H_N(d) || Q(d) || || || |SZ= }} für {{math|term= d|SZ=}} hinreichend groß. Es liegt eine exakte Sequenz {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow L {{=}} {{Mengebed|m \in M| f_r \cdot m {{=}} 0 }} \longrightarrow M \stackrel{\cdot f_r} { \longrightarrow} M(1) \longrightarrow {{makl| M/f_r M |}} (1) \longrightarrow 0 |SZ= }} von graduierten endlich erzeugten {{math|term= R|SZ=-}}Moduln vor. Dabei ist der Modul links ebenfalls ein {{math|term= S|SZ=-}}Modul, und somit gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein weiteres Polynom {{ Ma:Vergleichskette |T |\in| \Q[X] || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | H_L(d) || T(d) || || || |SZ= }} für {{math|term= d|SZ=}} hinreichend groß. Da sich die Vektorraumdimensionen für exakte Komplexe von {{math|term= K|SZ=-}}Vektorräumen additiv verhalten, gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | H_M(d+1) -H_M(d) || H_N(d) -H_L(d) || Q(d)-T(d) || || |SZ= }} für {{math|term= d|SZ=}} hinreichend groß. Ab einem gewissen {{math|term= d_0|SZ=}} verhält sich also der Zuwachs von {{mathl|term= H_M(d)|SZ=}} polynomial und daher ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynom/Q/Ganzwertig/Differenzoperator/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Funktion {{mathl|term= H_M(d)|SZ=}} selbst polynomial. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5mijigbe844lr0ebk4mrc8wpeg86eey 0 105305 782833 756602 2022-08-22T01:47:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen genau {{mathl|term= {{op:Binom|d+n|n}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Monome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \leq d|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ip25lm2cyxk19sqogezyb3vrypmyhrd 0 105351 782972 583904 2022-08-22T02:11:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall {{mathl|term= [0,1]|SZ=}} aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen {{ mathbed|term= I_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} entsteht {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= I_0|SZ=}} ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird. |Erstelle{{n Sie}} eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls {{mathl|term= I_{n}|SZ=,}} {{mathl|term= n \in \N|SZ=,}} ausdrückt. |Es gibt genau eine rationale Zahl {{math|term= c|SZ=,}} die in jedem Intervall {{math|term= I_n|SZ=}} enthalten ist. Bestimme{{n Sie}} {{math|term= c|SZ=}} als Bruch. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=3 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2um6uj8rdm7eu64tqcmc1asxv3nzpgj 0 105358 782973 583905 2022-08-22T02:11:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall {{mathl|term= [0,1]|SZ=}} aus. Das Intervall wird in sieben gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das sechste Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in sieben gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das sechste Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen {{ mathbed|term= I_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} entsteht {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= I_0|SZ=}} ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} die Intervallgrenzen des Intervalls, das im ersten Schritt konstruiert wird. |Erstelle{{n Sie}} eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls {{mathl|term= I_{n}|SZ=,}} {{mathl|term= n \in \N|SZ=,}} ausdrückt. |Es gibt genau eine rationale Zahl {{math|term= c|SZ=,}} die in jedem Intervall {{math|term= I_n|SZ=}} enthalten ist. Bestimme{{n Sie}} {{math|term= c|SZ=}} als Bruch. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=3 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lpncwokzr5l5sgdijyo9afj3h42kmqu 0 105364 778477 762420 2022-08-21T12:08:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |V {{makl| \prod_{v \in A} X_v {{|}} A \text{ Nichtseite von } \Delta |}} || \bigcap_{A \text{ Nichtseite von } \Delta} V ( \prod_{v \in A} X_v ) || \bigcap_{A \text{ Nichtseite von } \Delta} \bigcup_{v \in A} V ( X_v ) || || |SZ=. }} Wenn {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| K^F || || || |SZ= }} mit einer Seite {{math|term= F|SZ=}} von {{math|term= \Delta|SZ=}} ist, so sind sämtliche Koordinaten von {{math|term= P|SZ=,}} die nicht zu {{math|term= F|SZ=}} gehören, gleich {{math|term= 0|SZ=.}} Wir können annehmen, dass {{math|term= F|SZ=}} eine Facette ist. Es sei {{math|term= A|SZ=}} eine Nichtseite. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |A |\not\subseteq|F || || || |SZ= }} und somit gibt es eine Ecke {{ Ma:Vergleichskette |z |\in| A || || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |z |\notin|F || || || |SZ=. }} Dann ist die {{math|term= z|SZ=-}}te Komponente von {{math|term= P|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=}} und somit {{ Ma:Vergleichskette |P | \in| V(X_z) || || || |SZ= }} und {{math|term= P|SZ=}} gehört zur rechten Seite dazu. Sei nun umgekehrt {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || (x_v) |\notin| \bigcup_{ F \in \Delta} K^F || || || |SZ= }} angenommen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |B |\subseteq|V || || || |SZ= }} der Träger von {{math|term= P|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|B || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette |x_v |\neq|0 || || || |SZ= }} ist. Dann ist {{math|term= B|SZ=}} eine Nichtseite, da andernfalls {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| K^B |\subseteq| \bigcup_{F \in \Delta} K^F || || |SZ= }} gelten würde. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |P |\notin| \bigcup_{ v \in B} V(X_v) || || || |SZ= }} gehört {{math|term= P|SZ=}} auch nicht zur rechten Seite. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m5vt3cltkxr2cy4secnmk6g40c7226p 0 105368 778479 762422 2022-08-21T12:08:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V || {{Menge1n}} || || || |SZ= }} die Grundmenge und {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_m |SZ=}} eine Aufzählung aller minimalen Nichtseiten. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:abbele/disp |name=(\prod_{v \in A_1 }X_v {{kommadots|}} \prod_{v \in A_m }X_v ) |K^n| K^m || |SZ= }} eine Abbildung, deren Faser über {{math|term= 0|SZ=}} die Achsenraumkonfiguration zum simplizialen Komplex {{math|term= \Delta|SZ=}} ist. Wir schreiben die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobimatrix| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ math/disp|term= {{op:Matrix44| \prod_{v \in A_1 \setminus \{1\} }X_v|\prod_{v \in A_1 \setminus \{2\} }X_v|\ldots|\prod_{v \in A_1 \setminus \{n\} }X_v|\prod_{v \in A_2 \setminus \{1\} }X_v|\prod_{v \in A_2 \setminus \{2\} }X_v|\ldots|\prod_{v \in A_2 \setminus \{n\} }X_v|\vdots|\vdots|\vdots|\vdots|\prod_{v \in A_m \setminus \{1\} }X_v|\prod_{v \in A_m \setminus \{2\} }X_v|\ldots|\prod_{v \in A_m \setminus \{n\} }X_v|||||||||||||||||}} |SZ=, }} wobei {{mathl|term= \prod_{v \in A_i \setminus \{j\} }X_v|SZ=}} als {{math|term= 0|SZ=}} zu verstehen ist, falls {{ Ma:Vergleichskette |j |\notin|A_i || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|K^n || || || |SZ= }} ein Punkt, der auf {{math|term= K^F|SZ=}} zu genau einer Facette {{math|term= F|SZ=}} liegt. Es sei {{math|term= S|SZ=}} der Träger von {{math|term= P|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der in {{math|term= F|SZ=}} enthalten ist| |ISZ=|ESZ=. }} Für jeden Index {{ Ma:Vergleichskette |z |\notin| F || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= S \cup \{z \} |SZ=}} eine Nichtseite, da der Punkt sonst in einer weiteren Facette liegen müsste. Die Anzahl von {{math|term= F|SZ=}} sei {{math|term= d|SZ=,}} was auch die Dimension von {{math|term= K^F|SZ=}} ist, also die Dimension der Achsenraumkonfiguration im Punkt {{math|term= P|SZ=.}} Es gibt also {{mathl|term= n-d|SZ=}} solche Indizes. Nach Umnummerierung seien {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} n-d\} |SZ=}} diese Indizes und seien {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_{n-d} |SZ=}} die Nichtseiten der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |A_j || S \cup \{j \} || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |j ||1 {{kommadots|}} n-d || || || |SZ=. }} Wir betrachten die {{mathl|term= (n-d) \times (n-d)|SZ=-}}Untermatrix oben links der Jacobimatrix, also {{ math/disp|term= {{op:Matrix44| \prod_{v \in A_1 \setminus \{1\} } X_v|\prod_{v \in A_1 \setminus \{2\} }X_v|\ldots|\prod_{v \in A_1 \setminus \{n-d\} }X_v|\prod_{v \in A_2 \setminus \{1\} }X_v|\prod_{v \in A_2 \setminus \{2\} }X_v|\ldots|\prod_{v \in A_2 \setminus \{n-d\} }X_v|\vdots|\vdots|\vdots|\vdots|\prod_{v \in A_{n-d} \setminus \{1\} }X_v|\prod_{v \in A_{n-d} \setminus \{2\} }X_v|\ldots|\prod_{v \in A_{n-d} \setminus \{n-d\} }X_v|||||||||||||||||}} |SZ=. }} In der Diagonalen ist stets {{ Ma:Vergleichskette/disp |A_j \setminus \{j\} || {{makl| S \cup \{j\} |}} \setminus \{j\} || S || || |SZ= }} und die Auswertung der Monome im Punkt {{math|term= P|SZ=}} ergibt in der Diagonalen Werte {{math|term= \neq 0|SZ=.}} An einer Stelle zum Index {{mathl|term= (i,j) |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |i |\neq|j || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | A_i \setminus \{j\} || {{makl| S \cup \{i\} |}} \setminus \{j\} || || || |SZ=. }} Der Index {{math|term= i|SZ=}} gehört nicht zu {{math|term= S|SZ=}} und taucht in der Indexmenge des Monoms auf, daher sind diese Einträge an der Stelle {{math|term= P|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=.}} Daher ist diese Untermatrix eine Diagonalmatrix mit von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenen Diagonaleinträgen. Daher hat sie den vollen Rang {{mathl|term= n-d|SZ=,}} und das bedeutet, dass der Rang der Jacobimatrix zumindest {{mathl|term= n-d|SZ=}} ist, also glatt nach der Definition. Es sei nun vorausgesetzt, dass der Träger {{math|term= S|SZ=}} des Punktes {{math|term= P|SZ=}} in den zwei Facetten {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ= }} liegt, und {{math|term= F|SZ=}} aus {{math|term= d|SZ=}} Indizes besteht. Wir können {{ Zusatz/Klammer |text=nach Umbenennungen| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= F|SZ=}} als {{ Ma:Vergleichskette |F || \{n-d+1 {{kommadots|}} n\} || || || |SZ= }} ansetzen und darüberhinaus annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | n-d |\in| G || || || |SZ= }} liegt. Es sei nun {{math|term= A|SZ=}} eine Nichtseite, die von den {{math|term= n-d-1|SZ=}} Nichtseiten {{ mathbed|term= S \cup \{ j \} ||bedterm1= j = 1 {{kommadots|}} n-d-1 ||bedterm2= |SZ=, }} verschieden sei. Sei {{ Ma:Vergleichskette |k |\in|V || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |k |\notin| A || || || |SZ= }} steht an der Stelle {{mathl|term= (A,k)|SZ=}} in der Jacobimatrix die {{math|term= 0|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |k |\in| A || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \setminus \{k\} |\not \subseteq| S || || || |SZ=, }} da wir {{ Ma:Vergleichskette |A ||S \cup \{k\} || || || |SZ= }} ausgeschlossen haben. Somit ist der Wert des Monoms zum Index {{mathl|term= (A,k)|SZ=}} an der Stelle {{math|term= P|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=.}} Daher ist überhaupt die Zeile zu {{math|term= A|SZ=}} in der Jacobimatrix ausgewertet am Punkt {{math|term= P|SZ=}} die Nullzeile. Die Jacobimatrix besitzt also höchstens {{math|term= n-d-1|SZ=}} Nichtnullzeilen und damit ist ihr Rang höchstens {{mathl|term= n-d-1|SZ=.}} Der Punkt ist also nicht glatt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8u313shqb0hzi3zvywicyc6zmjaii28 0 105369 780010 752268 2022-08-21T17:57:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Ma:abbele/disp |name= |K^3|K |(x,y,z)| xyz |SZ=, }} ist die Nullstellenmenge die Vereinigung der drei Achsenebenen, also zweidimensional. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobimatrix| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ math/disp|term= (yz,xz,xy) |SZ=. }} Im Nullpunkt ist das die Nullmatrix und es liegt ein singulärer Punkt vor. Aber auch in einem Punkt mit {{ Ma:Vergleichskette |x ||y ||0 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=unabhängig vom Wert von {{math|term= z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} liegt die Nullmatrix vor und der Punkt ist singulär. Wenn hingegen {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ= }} ist und die beiden anderen Koordinaten {{mathl|term= y,z|SZ=}} nicht {{math|term= 0|SZ=}} sind, so ist die Jacobimatrix gleich {{mathl|term= (yz,0,0)|SZ=}} und hat den Rang {{math|term= 1|SZ=,}} ein solcher Punkt ist also glatt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8g00l0uqiy0lq7wkw9txwaas4812je 0 105424 779498 763590 2022-08-21T16:38:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K^6| K^3 |(x,y,z,u,v,w)| (xv-yu, yw-zv,xw-zu) |SZ=, }} wobei man die Koeffizientenfunktionen als die {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Minoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix23|x|y|z|u|v|w}} |SZ= }} interpretieren sollte. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ math/disp|term= {{op:Matrix36|v|-u|0|-y|x|0|0|w|-v|0|-z|y|w|0|-u|-z|0|x|||||}} |SZ=. }} Im Nullpunkt liegt die Nullmatrix vor und somit liegt dort jedenfalls eine Singularität vor. Sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|K^6 || || || |SZ= }} ein Punkt mit {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dann zeigt die Untermatrix aus der ersten und dritten Zeile und der vorletzten und letzten Spalte, dass der Rang zumindest {{math|term= 2|SZ=}} ist. Wenn {{math|term= P|SZ=}} nicht zum Nullstellenmenge {{ Ma:Vergleichskette |V || \varphi^{-1}(0) || || || |SZ= }} gehört, so ist beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette/disp |uv-yu |\neq|0 || || || |SZ=. }} Doch dann ist auch die Determinante der Untermatrix bestehend aus der {{mathl|term= 3.,5.|SZ=}} und {{math|term= 6.|SZ=}} Spalte nicht {{math|term= 0|SZ=}} und es liegt Rang {{math|term= 3|SZ=}} vor. Dies gilt in allen Punkten außerhalb des Nullstellengebildes, d.h. nach dem Satz über implizite Abbildungen sind die anderen Fasern glatt und haben die Dimension {{math|term= 3|SZ=.}} In einem Punkt der Nullfaser, der nicht der Nullpunkt ist, ist der Rang der Jacobi-Matrix genau {{math|term= 2|SZ=.}} Beispielsweise ist die Determinante der eben erwähnten Untermatrix gleich {{mathl|term= x(vx-uy)|SZ=,}} und da steckt eine definierende Gleichung als Faktor drin. Welche Dimension besitzt die Nullfaser, also die Nullstellenmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || \varphi^{-1} (0) || V(XV-YU, YW - ZW, XW-ZU) || || |SZ=, }} und ist sie außerhalb des Nullpunktes glatt? Diese Nullstellenmenge umfasst unmittelbar die Nullstellenmengen {{ mathkor|term1= V(X,Y,Z) |und|term2= V(U,V,W) |SZ=, }} was beides zwei affine Räume sind. Daher liegt zumindest die Dimension {{math|term= 3|SZ=}} vor. Da die anderen Fasern dreidimensional sind und da das Nullstellengebilde durch drei Funktionen beschrieben wird, könnte man ebenfalls Dimension {{math|term= 3|SZ=}} erwarten {{ Zusatz/Klammer |text=drei algebraische Bedingungen für sechs Variablen| |ISZ=|ESZ=. }} Es liegen aber zwischen den drei definierenden Gleichungen die Beziehungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y (XW-ZU) || Z (XV-YU) + X(YW-ZV) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | V (XW-ZU) || W (XV-YU ) + U(YW-ZV) || || || |SZ= }} vor, sie sind also nicht {{Anführung|unabhängig|SZ=.}} Als Zwischenschritt betrachten wir das Nullstellengebilde, das von den ersten beiden Gleichungen definiert wird, also {{ math/disp|term= V(XV-YU, YW-ZV) |SZ=. }} Für einen Punkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |P |\in|V(XV-YU, YW-ZV) || || || |SZ= }} muss wegen den oben formulierten Beziehungen auch {{ Ma:Vergleichskette/disp |P |\in| V( Y (XW-ZU) , V (XW-ZU) ) || || || |SZ= }} gelten. Bei {{ Ma:Vergleichskette |P |\notin| V (XW-ZU) || || || |SZ= }} muss somit {{ Ma:Vergleichskette/disp |P |\in| V(Y,V) || || || |SZ= }} gelten. Daher gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | V(XV-YU, YW-ZV) || V(XV-YU, YW-ZV,XW-ZU) \cap V(Y, V) || || || |SZ=. }} Die Jacobi-Matrix zur Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K^6| K^2 |(x,y,z,u,v,w)| (xv-yu, yw-zv) |SZ=, }} ist {{ math/disp|term= {{op:Matrix26|v|-u|0|-y|x|0|0|w|-v|0|-z|y||}} |SZ=, }} woran man direkt ablesen kann, dass für Punkte außerhalb von {{mathl|term= V(Y,V)|SZ=}} der Rang gleich {{math|term= 2|SZ=}} ist und damit wieder nach dem Satz über implizite Abbildungen ein glatter Punkt vorliegt und diese Nullstellenmenge vierdimensional ist. Daraus folgt, dass die ursprüngliche Nullstellenmenge eine offene Teilmenge, nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | D(Y,V) || K^6 \setminus V(Y,V) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=eingeschränkt auf diese Menge| |ISZ=|ESZ= }} enthält, auf der die Menge die Dimension {{math|term= 4|SZ=}} besitzt. Wegen der Symmetrie der Situation liegt dies in jedem Punkt außer eventuell dem Nullpunkt vor {{ Zusatz/Klammer |text=ein Extremfall könnte sein, dass der Nullpunkt ein isolierter Punkt der Nullstellenmenge ist, der mit dieser gar nichts zu tun hat| |ISZ=|ESZ=. }} Man kann aber zeigen, dass das Ideal {{ Ma:Vergleichskette/disp | (XV-YU, YW-ZV,XW-ZU) |\subseteq| K[X,Y,Z,U,V,W] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Minorenring/3x2/Primideal/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Determinantenringe |Kategorie2=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} omqz4437rg9adxsdgv6y3aitqv1k0tu 0 105428 778972 763162 2022-08-21T15:15:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K^2|K^2 |(x,y)|(x^2-x,xy-y) |SZ=. }} Das Nullstellengebilde besteht aus dem isolierten Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} und der durch {{ Ma:Vergleichskette |x ||1 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden. Dieses Gebilde ist glatt und besitzt eine nulldimensionale und eine eindimensionale Komponente. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung ist {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2x-1|0|y|x-1}} |SZ=. }} Im isolierten Nullpunkt besitzt die Matrix den {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}} und man kann den Satz über die implizite Abbildung bzw. die entsprechende Definition anwenden {{ Zusatz/Klammer |text=und erhält wieder, dass lokal die Faser nulldimensional ist| |ISZ=|ESZ=. }} In einem Punkt der Form {{mathl|term= (1,y)|SZ=}} ist der Rang gleich {{math|term= 1|SZ=}} und man kann diesen Satz nicht anwenden. Da die direkte Betrachtung gezeigt hat, dass in diesen Punkten lokal die Dimension der Faser gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist, können wir die {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition |SZ= }} anwenden und auf Glattheit schließen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a2y65q1nud1ef1obfcvqjyokqlz7k12 0 105495 783301 757003 2022-08-22T03:05:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} gleich der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=Krull| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qsafov8pgsfmwyl7yvdd0e9qkuc8did 0 105499 780077 584342 2022-08-21T18:07:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||X^2+Y^2+Z^k || || || |SZ=. }} Die transponierte Jacobi-Taylor-Matrix ist {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |ux= 2X |uy= 2Y |uz= kZ^{k-1} |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 1 |uyz= 0 |uzz= {{op:Bruch|k(k-1)|2|}} Z^{k-2} }} }} Ein Linkskernelement ist {{ math/disp|term= (0, 0,0, 2 ,- k^2Z^{k-1},0,2k X, - k^2 Z^{k-1} ,2k Y,4Z) |SZ=. }} In der hintersten Spalte kommt das {{math|term= 4k|SZ=-}}Vielfache von {{math|term= F|SZ=}} raus, sonst direkt {{math|term= 0|SZ=.}} {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 4 Variablen 2 |ux= 2X |uy= 2Y |uz= kZ^{k-1} |uw=2W |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 1 |uyz= 0 |uzz= {{op:Bruch|k(k-1)|2|}} Z^{k-2} |uww=1 }} }} Ein Linkskernelement ist {{ math/disp|term= (0, 0,0, k+2 ,0 ,- k^2Z^{k-1},0,2k X,0, - k^2 Z^{k-1} ,2k Y,0 ,4Z ,2kW,- k^2 Z^{k-1}) |SZ=. }} Der zugehörige Differentialoperator der Ordnung {{math|term= 2|SZ=,}} homogen vom Grad {{math|term= -2|SZ=,}} ist {{ math/disp|term= (k+2) \partial_Z - {{op:Bruch|k^2|2|}} Z^{k-1} \partial_X \partial_X +2k X \partial_X \partial_Z - {{op:Bruch|k^2|2|}} Z^{k-1} \partial_Y \partial_Y +2k Y \partial_Y \partial_Z +2 Z \partial_Z \partial_Z +2kW \partial_Z\partial_W- {{op:Bruch|k^2|2|}} Z^{k-1} \partial_W \partial_W |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} roi4zxkbx09fpye6no7nlo9of7zfip9 106 105511 784318 660602 2022-08-22T05:55:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesungsgestaltung|2| {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe in einer Variablen}} Zu einem kommutativen Ausgangsring wie {{math|term=\Z|SZ=}} oder {{math|term=\R|SZ=}} und einer fixierten Variablen {{math|term=X|SZ=}} kann man sich fragen, welche Terme man mit dieser Variablen über diesem Ring {{Anführung|basteln}} kann. Dazu gehören {{ math/disp|term= 5, \, 3X+3,\, 3(X+1),\, (2X-6)(4X+3), \, X \cdot ( X \cdot X), \,5 +3 X -6X^2+7X^3, \, X^2-4 + 5X^2 +7X -13X |SZ=, }} wobei wir Potenzschreibweise verwendet und einige Klammern weggelassen haben. Als Terme sind {{ mathkor|term1= 3X+3 |und|term2= 3(X+1) |SZ= }} verschieden. Bei jeder Interpretation von {{math|term=X|SZ=}} in einem Ring sind diese Ausdrücke aber gleich. Der Polynomring besteht aus genau diesen Termen, wobei allerdings Terme miteinander identifiziert werden, wenn dies in jedem kommutativen Ring gilt {{ Zusatz/Klammer |text=die Menge aller Terme ist kein Ring| |ISZ=|ESZ=! }} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|| }} Ein Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||{{polynomX|n|a|i}} ||{{polynomX/dots|n|a}} || || |SZ= }} ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel {{mathl|term=(a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n )|SZ=,}} die die {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} des Polynoms heißen. Der Ring {{math|term=R|SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|Grundring|SZ=}} des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem {{Stichwort|Nullpolynom|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem alle Koeffizienten null sind| |SZ= }} als neutralem Element. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit {{mathl|term=a_i=0|SZ=}} für alle {{mathl|term=i \geq 1|SZ=}} heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=Konstantes Polynom|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term=a_0|SZ=.}} Ein von {{math|term=0|SZ=}} verschiedenes Polynom kann man als {{mathl|term={{polynomX|n|a|i}} |SZ=}} mit {{mathl|term=a_n \neq 0|SZ=}} schreiben. Der Koeffizient {{math|term=a_n|SZ=}} heißt dann der {{Stichwort|Leitkoeffizient}} des Polynoms. Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt {{mathl|term=X^{i} X^{j}|SZ=}} ist nämlich durch die Addition der Exponenten gegeben. Dabei nennt man {{math|term=X|SZ=}} die {{Stichwort|Variable|SZ=}} des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, {{Anführung|alles mit allem}} zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben: {{ math/disp|term= {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} |SZ=. }} Beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| iX^2 + (3-i)X+5 |}} {{makl|-X^2 + 4X+2i |}} ||-iX^4 + ( 4i -(3-i) ) X^3 + (2ii +(3-i)4 -5 )X^2 +( (3-i) 2i +20 )X +10i ||-iX^4 + ( -3 + 5i ) X^3 + ( 5 -4i )X^2 + ( 22 +6i )X +10i || || |SZ= }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Eine Variable/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Unterring/Zugehörige Polynomringe/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} Die vorstehende Aussage bedeutet einfach, dass man ein Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term=S|SZ=}} direkt auch als Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term=R|SZ=}} auffassen kann. So ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten insbesondere auch ein Polynom mit rationalen Koeffizienten und mit reellen Koeffizienten. Die Addition und die Multiplikation von zwei Polynomen hängt nicht davon ab, ob man sie über einem kleineren oder einem größeren Grundring ausrechnet, so lange dieser nur alle beteiligten Koeffizienten enthält. Es gibt aber auch viele wichtige Eigenschaften, die vom Grundring abhängen, wie beispielsweise die Eigenschaft, irreduzibel zu sein, siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Irreduzible Polynome/Abhängigkeit vom Grundkörper/Q,R,C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} In ein Polynom {{mathl|term=P\in R[X]|SZ=}} kann man ein Element {{mathl|term=r \in R|SZ=}} einsetzen. Dabei ersetzt man überall die Variable {{math|term=X|SZ=}} durch {{math|term=r|SZ=}} und rechnet das Ergebnis in {{math|term=R|SZ=}} aus. Dieses Ergebnis wird mit {{math|term=P(r)|SZ=}} bezeichnet. Ein fixiertes Element {{mathl|term=r \in R|SZ=}} definiert dann eine Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|Auswertungsabbildung}} zu {{math|term=r|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R[X]|R |P|P(r) |SZ=. }} Andererseits definiert ein fixiertes Polynom {{mathl|term=P \in R[X]|SZ=}} die zugehörige Polynomfunktion, die durch {{ Ma:abbele/disp |name= |R|R |x|P(x) |SZ=. }} Diese wird insbesondere bei einem Körper {{mathl|term=R=K|SZ=}} studiert, siehe weiter unten. {{Zwischenüberschrift|term=Der Grad eines Polynoms}} {{ inputdefinition |Polynomring/Grad/Definition|| }} Wenn der Leitkoeffizient {{math|term=a_n=1|SZ=}} ist, so nennt man das Polynom {{Definitionswort/enp|normiert|msw=Normiertes Polynom|SZ=.}} Dem Nullpolynom wird im Allgemeinen kein Grad zugewiesen; manchmal sind gewisse Gleichungen oder Bedingungen aber auch so zu verstehen, dass dem Nullpolynom jeder Grad zugewiesen wird. Polynome vom Grad {{math|term=0|SZ=}} heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=konstantes Polynom|SZ=,}} Polynome vom Grad {{math|term=1|SZ=}} heißen {{Stichwort|lineare Polynome|msw=lineares Polynom|SZ=}} und Polynome vom Grad {{math|term=2|SZ=}} heißen {{Stichwort|quadratische Polynome|msw=quadratisches Polynom|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Polynomring/Grad/Einfache Regeln/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe in mehreren Variablen}} Die Konstruktion von Polynomringen aus einem Grundring kann man iterieren. Aus {{mathl|term=R|SZ=}} kann man {{math|term=R[X]|SZ=}} machen und daraus mit einer neuen Variablen den Ring {{mathl|term=(R[X])[Y]|SZ=}} bilden. Für diesen Ring schreibt man auch {{mathl|term=R[X,Y]|SZ=.}} Ein Element darin hat die Gestalt {{ math/disp|term= \sum_{i,j} a_{ij} X^{i}Y^{j} |SZ=, }} wobei die Summe endlich ist. Ein Ausdruck der Form {{mathl|term=X^{i}Y^{j}|SZ=}} heißt Monom. Polynome kann man auf unterschiedliche Art sortieren. Man kann die Potenz einer Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=etwa {{math|term=Y|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} herausnehmen und schauen, welche Polynome in {{math|term=X|SZ=}} sich darauf beziehen. Dann sieht ein Polynom folgendermaßen aus: {{ math/disp|term= 2+3X-X^2- 5X^3 + (1+3X -X^2 +3X^5)Y + (4+X+7X^2-6X^4)Y^2+ (2-X^3)Y^3 |SZ=. }} Oder man kann entlang dem Summengrad sortieren, dies ergibt {{ math/disp|term= 2+3X+Y -X^2 +3XY +4 Y^2 - 5X^3 -X^2Y +XY^2 + 2Y^3 + 7X^2Y^2 + 3X^5 Y +6X^4Y^2-X^3Y^3 |SZ=. }} Polynomiale Identitäten haben viel mit allgemeingültigen Termidentitäten zu tun. In {{mathl|term=\Z[X,Y]|SZ=}} gilt beispielsweise {{ math/disp|term= {{Binomische Formel|n|X|Y|k||}} |SZ=. }} Diese Identität zwischen zwei Polynomen entspricht der allgemeinen binomischen Formel. Einerseits ist sie ein Spezialfall davon, da wir in dem kommutativen Ring {{mathl|term=\Z[X,Y]|SZ=}} sind und die speziellen Elemente {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} anschauen. Andererseits kann man aus dieser polynomialen Identität die allgemeine binomische Formel zurückgewinnen, da man für {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} beliebige Elemente {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} eines kommutativen Ringes einsetzen kann {{ Zusatz/Klammer |text=und man weiß, wie man ganze Zahlen in jedem Ring interpretiert| |ISZ=|ESZ= }} und sich dabei die Identität erhält. Natürlich gibt es auch Polynomringe in beliebig vielen Variablen, dafür schreibt man {{mathl|term=R[X_1, X_2 {{kommadots}} X_n]|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Zerlegung in irreduzible Polynome}} Wir möchten nun, abhängig von einem gewählten Grundkörper {{math|term=K|SZ=,}} Aussagen über die irreduziblen Elemente in {{math|term=K[X]|SZ=}} und über die Primfaktorzerlegung von Polynomen treffen. {{ inputfaktbeweishier |Polynomring über Körper/Eine Variable/Eindeutige Zerlegung in normierte Polynome/Fakt|Korollar||Beweistext=Dies folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring_über_Körper/Eine_Variable/Hauptidealbereich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und daraus, dass jedes Polynom {{math|term=\neq 0|SZ=}} zu einem normierten Polynom assoziiert ist. }} Die irreduziblen Elemente stimmen mit den Primelementen überein, man spricht meist von {{Stichwort|irreduziblen Polynomen|SZ=.}} Diese Eigenschaft hängt wesentlich vom gewählten Körper ab, und nicht für jeden Körper lassen sich die irreduziblen Polynome übersichtlich beschreiben. Bei Irreduzibilitätsfragen kann man stets mit Einheiten multiplizieren, daher muss man nur normierte Polynome untersuchen. Als echte Faktoren für ein Polynom kommen nur Polynome von kleinerem Grad in Frage. Insbesondere sind daher {{Stichwort|lineare Polynome|SZ=,}} also Polynome von Typ {{ mathbed|term= aX+b ||bedterm1= a\neq 0 |SZ=, }} stets irreduzibel. Ob ein lineares Polynom ein Faktor eines anderen Polynoms {{ Zusatz/Klammer |text=und damit ein Primfaktor davon| |SZ= }} ist, hängt direkt mit den Nullstellen des Polynoms zusammen. {{Zwischenüberschrift|term=Nullstellen von Polynomen}} {{inputfaktbeweis|Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt|Lemma||ref1=}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} {{inputfaktbeweis|Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt|Korollar||ref1=}} {{ inputbeispiel |Irreduzible Polynome/Abhängigkeit vom Grundkörper/Q,R,C/Beispiel|| }} }} mykmjxvv2j514ibq4fz40b2aczer7lb 785003 784318 2022-08-22T07:33:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesungsgestaltung|2| {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe in einer Variablen}} Zu einem kommutativen Ausgangsring wie {{math|term=\Z|SZ=}} oder {{math|term=\R|SZ=}} und einer fixierten Variablen {{math|term=X|SZ=}} kann man sich fragen, welche Terme man mit dieser Variablen über diesem Ring {{Anführung|basteln}} kann. Dazu gehören {{ math/disp|term= 5, \, 3X+3,\, 3(X+1),\, (2X-6)(4X+3), \, X \cdot ( X \cdot X), \,5 +3 X -6X^2+7X^3, \, X^2-4 + 5X^2 +7X -13X |SZ=, }} wobei wir Potenzschreibweise verwendet und einige Klammern weggelassen haben. Als Terme sind {{ mathkor|term1= 3X+3 |und|term2= 3(X+1) |SZ= }} verschieden. Bei jeder Interpretation von {{math|term=X|SZ=}} in einem Ring sind diese Ausdrücke aber gleich. Der Polynomring besteht aus genau diesen Termen, wobei allerdings Terme miteinander identifiziert werden, wenn dies in jedem kommutativen Ring gilt {{ Zusatz/Klammer |text=die Menge aller Terme ist kein Ring| |ISZ=|ESZ=! }} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|| }} Ein Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||{{polynomX|n|a|i}} ||{{polynomX/dots|n|a}} || || |SZ= }} ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel {{mathl|term=(a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n )|SZ=,}} die die {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} des Polynoms heißen. Der Ring {{math|term=R|SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|Grundring|SZ=}} des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem {{Stichwort|Nullpolynom|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem alle Koeffizienten null sind| |SZ= }} als neutralem Element. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit {{mathl|term=a_i=0|SZ=}} für alle {{mathl|term=i \geq 1|SZ=}} heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=Konstantes Polynom|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term=a_0|SZ=.}} Ein von {{math|term=0|SZ=}} verschiedenes Polynom kann man als {{mathl|term={{polynomX|n|a|i}} |SZ=}} mit {{mathl|term=a_n \neq 0|SZ=}} schreiben. Der Koeffizient {{math|term=a_n|SZ=}} heißt dann der {{Stichwort|Leitkoeffizient}} des Polynoms. Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt {{mathl|term=X^{i} X^{j}|SZ=}} ist nämlich durch die Addition der Exponenten gegeben. Dabei nennt man {{math|term=X|SZ=}} die {{Stichwort|Variable|SZ=}} des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, {{Anführung|alles mit allem}} zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben: {{ math/disp|term= {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} |SZ=. }} Beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| iX^2 + (3-i)X+5 |}} {{makl|-X^2 + 4X+2i |}} ||-iX^4 + ( 4i -(3-i) ) X^3 + (2ii +(3-i)4 -5 )X^2 +( (3-i) 2i +20 )X +10i ||-iX^4 + ( -3 + 5i ) X^3 + ( 5 -4i )X^2 + ( 22 +6i )X +10i || || |SZ= }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Eine Variable/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Unterring/Zugehörige Polynomringe/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} Die vorstehende Aussage bedeutet einfach, dass man ein Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term=S|SZ=}} direkt auch als Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term=R|SZ=}} auffassen kann. So ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten insbesondere auch ein Polynom mit rationalen Koeffizienten und mit reellen Koeffizienten. Die Addition und die Multiplikation von zwei Polynomen hängt nicht davon ab, ob man sie über einem kleineren oder einem größeren Grundring ausrechnet, so lange dieser nur alle beteiligten Koeffizienten enthält. Es gibt aber auch viele wichtige Eigenschaften, die vom Grundring abhängen, wie beispielsweise die Eigenschaft, irreduzibel zu sein, siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Irreduzible Polynome/Abhängigkeit vom Grundkörper/Q,R,C/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} In ein Polynom {{mathl|term=P\in R[X]|SZ=}} kann man ein Element {{mathl|term=r \in R|SZ=}} einsetzen. Dabei ersetzt man überall die Variable {{math|term=X|SZ=}} durch {{math|term=r|SZ=}} und rechnet das Ergebnis in {{math|term=R|SZ=}} aus. Dieses Ergebnis wird mit {{math|term=P(r)|SZ=}} bezeichnet. Ein fixiertes Element {{mathl|term=r \in R|SZ=}} definiert dann eine Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|Auswertungsabbildung}} zu {{math|term=r|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R[X]|R |P|P(r) |SZ=. }} Andererseits definiert ein fixiertes Polynom {{mathl|term=P \in R[X]|SZ=}} die zugehörige Polynomfunktion, die durch {{ Ma:abbele/disp |name= |R|R |x|P(x) |SZ=. }} Diese wird insbesondere bei einem Körper {{mathl|term=R=K|SZ=}} studiert, siehe weiter unten. {{Zwischenüberschrift|term=Der Grad eines Polynoms}} {{ inputdefinition |Polynomring/Grad/Definition|| }} Wenn der Leitkoeffizient {{math|term=a_n=1|SZ=}} ist, so nennt man das Polynom {{Definitionswort/enp|normiert|msw=Normiertes Polynom|SZ=.}} Dem Nullpolynom wird im Allgemeinen kein Grad zugewiesen; manchmal sind gewisse Gleichungen oder Bedingungen aber auch so zu verstehen, dass dem Nullpolynom jeder Grad zugewiesen wird. Polynome vom Grad {{math|term=0|SZ=}} heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=konstantes Polynom|SZ=,}} Polynome vom Grad {{math|term=1|SZ=}} heißen {{Stichwort|lineare Polynome|msw=lineares Polynom|SZ=}} und Polynome vom Grad {{math|term=2|SZ=}} heißen {{Stichwort|quadratische Polynome|msw=quadratisches Polynom|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Polynomring/Grad/Einfache Regeln/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe in mehreren Variablen}} Die Konstruktion von Polynomringen aus einem Grundring kann man iterieren. Aus {{mathl|term=R|SZ=}} kann man {{math|term=R[X]|SZ=}} machen und daraus mit einer neuen Variablen den Ring {{mathl|term=(R[X])[Y]|SZ=}} bilden. Für diesen Ring schreibt man auch {{mathl|term=R[X,Y]|SZ=.}} Ein Element darin hat die Gestalt {{ math/disp|term= \sum_{i,j} a_{ij} X^{i}Y^{j} |SZ=, }} wobei die Summe endlich ist. Ein Ausdruck der Form {{mathl|term=X^{i}Y^{j}|SZ=}} heißt Monom. Polynome kann man auf unterschiedliche Art sortieren. Man kann die Potenz einer Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=etwa {{math|term=Y|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} herausnehmen und schauen, welche Polynome in {{math|term=X|SZ=}} sich darauf beziehen. Dann sieht ein Polynom folgendermaßen aus: {{ math/disp|term= 2+3X-X^2- 5X^3 + (1+3X -X^2 +3X^5)Y + (4+X+7X^2-6X^4)Y^2+ (2-X^3)Y^3 |SZ=. }} Oder man kann entlang dem Summengrad sortieren, dies ergibt {{ math/disp|term= 2+3X+Y -X^2 +3XY +4 Y^2 - 5X^3 -X^2Y +XY^2 + 2Y^3 + 7X^2Y^2 + 3X^5 Y +6X^4Y^2-X^3Y^3 |SZ=. }} Polynomiale Identitäten haben viel mit allgemeingültigen Termidentitäten zu tun. In {{mathl|term=\Z[X,Y]|SZ=}} gilt beispielsweise {{ math/disp|term= {{Binomische Formel|n|X|Y|k||}} |SZ=. }} Diese Identität zwischen zwei Polynomen entspricht der allgemeinen binomischen Formel. Einerseits ist sie ein Spezialfall davon, da wir in dem kommutativen Ring {{mathl|term=\Z[X,Y]|SZ=}} sind und die speziellen Elemente {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} anschauen. Andererseits kann man aus dieser polynomialen Identität die allgemeine binomische Formel zurückgewinnen, da man für {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} beliebige Elemente {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} eines kommutativen Ringes einsetzen kann {{ Zusatz/Klammer |text=und man weiß, wie man ganze Zahlen in jedem Ring interpretiert| |ISZ=|ESZ= }} und sich dabei die Identität erhält. Natürlich gibt es auch Polynomringe in beliebig vielen Variablen, dafür schreibt man {{mathl|term=R[X_1, X_2 {{kommadots}} X_n]|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Zerlegung in irreduzible Polynome}} Wir möchten nun, abhängig von einem gewählten Grundkörper {{math|term=K|SZ=,}} Aussagen über die irreduziblen Elemente in {{math|term=K[X]|SZ=}} und über die Primfaktorzerlegung von Polynomen treffen. {{ inputfaktbeweishier |Polynomring über Körper/Eine Variable/Eindeutige Zerlegung in normierte Polynome/Fakt|Korollar||Beweistext=Dies folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring_über_Körper/Eine_Variable/Hauptidealbereich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und daraus, dass jedes Polynom {{math|term=\neq 0|SZ=}} zu einem normierten Polynom assoziiert ist. }} Die irreduziblen Elemente stimmen mit den Primelementen überein, man spricht meist von {{Stichwort|irreduziblen Polynomen|msw=Irreduzibles Polynom|SZ=.}} Diese Eigenschaft hängt wesentlich vom gewählten Körper ab, und nicht für jeden Körper lassen sich die irreduziblen Polynome übersichtlich beschreiben. Bei Irreduzibilitätsfragen kann man stets mit Einheiten multiplizieren, daher muss man nur normierte Polynome untersuchen. Als echte Faktoren für ein Polynom kommen nur Polynome von kleinerem Grad in Frage. Insbesondere sind daher {{Stichwort|lineare Polynome|msw=Lineares Polynom|SZ=,}} also Polynome von Typ {{ mathbed|term= aX+b ||bedterm1= a\neq 0 |SZ=, }} stets irreduzibel. Ob ein lineares Polynom ein Faktor eines anderen Polynoms {{ Zusatz/Klammer |text=und damit ein Primfaktor davon| |SZ= }} ist, hängt direkt mit den Nullstellen des Polynoms zusammen. {{Zwischenüberschrift|term=Nullstellen von Polynomen}} {{inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt|Lemma||ref1=}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} {{inputfaktbeweis|Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt|Korollar||ref1=}} {{ inputbeispiel |Irreduzible Polynome/Abhängigkeit vom Grundkörper/Q,R,C/Beispiel|| }} }} 72nncp1sa61r339iq9jffki13qcof10 0 105810 784182 584813 2022-08-22T05:33:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|M || || || |SZ= }} eine Teilmenge einer Menge {{math|term= M|SZ=}} mit dem Komplement {{mathl|term= M \setminus T|SZ=.}} {{ Aufzählung5 |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Potenzmenge|T}} |\subseteq| {{op:Potenzmenge|M}} || || || |SZ=. }} |Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || \{a,b,c,d,e\} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |T || \{b,c,e \} || || || |SZ=. }} Zu welchen Potenzmengen gehört die Menge {{mathl|term= \{a\}|SZ=?}} Zu {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|T}}|SZ=?}} Zu {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M}}|SZ=?}} Zu {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M \setminus T}}|SZ=?}} |Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M ||\N || || || |SZ= }} und {{math|term= T|SZ=}} die Teilmenge der geraden Zahlen. Formuliere in Worten, was die Zugehörigkeit einer Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |A |\subseteq| \N || || || |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M}} \setminus {{op:Potenzmenge|T}} |SZ=}} und zu {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M \setminus T }}|SZ=}} bedeutet. |Gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Potenzmenge|M}} \setminus {{op:Potenzmenge|T}} |\subseteq| {{op:Potenzmenge|M \setminus T}} || || || |SZ=? }} |Gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Potenzmenge|M \setminus T}} |\subseteq| {{op:Potenzmenge|M}} \setminus {{op:Potenzmenge|T}} || || |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o8vv84sd6p7dga9fe8zung41g35vvs3 0 105812 780716 754832 2022-08-21T19:54:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wir betrachten die Betragsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K |x| {{op:Betrag|x|}} |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Ist diese Abbildung injektiv? |Ist diese Abbildung surjektiv? |Wir nennen die Betragsabbildung kurz {{math|term= \varphi|SZ=.}} Was kann man über die Hintereinanderschaltungen {{mathl|term= \varphi^2, \varphi^3, \varphi^4, \ldots |SZ=}} in Bezug auf {{math|term= \varphi |SZ=}} sagen? |Wir schränken die Betragsabbildung auf {{mathl|term= K_{\leq 0} |SZ=}} ein. Bestimme{{n Sie}} die Monotonieeigenschaft von {{ Ma:abbele/disp |name= |K_{\leq 0}|K |x| {{op:Betrag|x|}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Betrags für einen angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i9cs4wyqb8vth538w4c95xzgzhx36z4 0 105815 781144 584818 2022-08-21T21:06:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob der Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch|3337|2491}} |SZ=}} gekürzt ist. Falls nicht, kürze{{n Sie}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bruchdarstellung rationaler Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l6la7ys7vxcn4pqpcdmq313nfrqmoa3 0 105819 781305 584823 2022-08-21T21:32:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=,}} die einen im Zehnersystem gegebenen Dezimalbruch {{ Ma:Vergleichskette/disp |z || \sum_{i {{=}} m}^n a_i 10^{i} || || || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(z) || \sum_{i {{=}} m}^n a_i 10^{-i} || || || |SZ= }} abbildet. Bei {{math|term= \varphi(z) |SZ=}} bezieht sich also die Ziffer {{math|term= a_i|SZ=}} nicht mehr auf {{math|term= 10^{i}|SZ=,}} sondern auf {{math|term= 10^{-i}|SZ=.}} {{ Aufzählung5 |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= \varphi(514,73)|SZ=.}} |Welche Dezimalbrüche werden unter {{math|term= \varphi|SZ=}} auf sich selbst abgebildet? |Gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(z+w) || \varphi(z) + \varphi(w) || || || |SZ=? }} |Zeige{{n Sie}}, dass die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(10^k \cdot z) || {{op:Bruch|1|10^k}} \cdot \varphi(z) || || || |SZ= }} für alle Dezimalbrüche {{math|term= z|SZ=}} und ganze Zahlen {{math|term= k|SZ=}} gilt. |Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} bijektiv? Was ist gegebenenfalls die Umkehrabbildung? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=3 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qpb09u6py7o86yuaugtgbk2kih9ll74 0 105825 782974 584832 2022-08-22T02:11:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall {{mathl|term= [0,1]|SZ=}} aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte {{ Zusatz/Klammer |text=Regel 1| |ISZ=|ESZ=. }} Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte {{ Zusatz/Klammer |text=Regel 2| |ISZ=|ESZ=. }} Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen {{ mathbed|term= I_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= I_0|SZ=}} ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung6 |Bestimme{{n Sie}} die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird {{ Zusatz/Klammer |text=also von {{math|term= I_2|SZ=,}} nachdem einmal die Regel {{math|term= 1|SZ=}} und einmal die Regel 2 angewendet wurde| |ISZ=|ESZ=. }} |Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken? |Bestimme{{n Sie}} ein Intervall der Form {{math|term= [ {{op:Bruch|a|100}} , {{op:Bruch|a|100}}+ {{op:Bruch|1|100}}] |SZ=}} mit {{mathl|term= a \in \N|SZ=,}} das ganz in {{math|term= I_2|SZ=}} enthalten ist. |Erstelle{{n Sie}} eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls {{mathl|term= I_{2k}|SZ=,}} {{mathl|term= k \in \N|SZ=,}} ausdrückt. |Es gibt genau eine rationale Zahl {{math|term= c|SZ=,}} die in jedem Intervall {{math|term= I_n|SZ=}} enthalten ist. Bestimme{{n Sie}} {{math|term= c|SZ=}} als Bruch. |Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl {{math|term= c|SZ=}} aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge {{math|term= 1|SZ=}} besitzt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |p1=2 |p2=1 |p3=2 |p4=3 |p5=2 |p6=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m5kh5804szmnzv49xt755rmyasgejq6 0 105845 781840 755745 2022-08-21T23:02:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\Phi |{\mathbb F}_{27}|{\mathbb F}_{27} || |SZ= }} bezüglich einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath={\mathbb F}_3 |Basis| |Kontext=lineare Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {\mathbb F}_{27}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 27 Elementen |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lgf3w0048ssqs41ifh192yn9yb7qub8 0 105847 781157 755198 2022-08-21T21:08:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge aller Zwischenkörper zwischen {{ mathkor|term1= \Q |und|term2= {{CC|}} |SZ=. }} Für Körper {{mathl|term= K_1,K_2 \in M|SZ=}} setzen wir {{ Ma:Vergleichskette |K_1 |\sim|K_2 || || || |SZ=, }} falls es einen Körper {{mathl|term= L \in M|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |K_1 |\subseteq|L || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |K_2 |\subseteq|L || || || |SZ= }} endlich gibt. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \sim|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Ist {{ Ma:Vergleichskette |\R |\sim| {{CC|}} || || || |SZ=? }} |Ist {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\sim| {{CC|}} || || || |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0vqosx8s5cia1rxyvbrv4ceh56clly7 0 105849 781155 755196 2022-08-21T21:07:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ math/disp|term= {{op:Bruch|X^3 - {{makl| 2X^4-X |}} {{imaginäre Einheit|}} |X^3-1 +X^2 {{imaginäre Einheit|}} }} \in {{CC|}} (X) |SZ= }} über {{math|term= \R (X) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6sybiukx3efv7at55pffw36ha278fx8 0 105851 781535 755509 2022-08-21T22:11:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= n \in \N_{\geq 3}|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | \alpha || {{op:Bruch|360 {{op:Winkelgrad||}} |n}} || || || |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} die im Ring der reellen {{mathl|term= 2 \times 2|SZ=-}}Matrizen von den Matrizen {{ mathbed|term= {{op:Matrix22| {{op:cos| k \alpha |}} | - {{op:sin| k \alpha |}} | {{op:sin| k \alpha |}} | {{op:cos| k \alpha |}} }} ||bedterm1= k=0,1 {{kommadots|}} n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} erzeugte {{math|term= \Q|SZ=-}}Unteralgebra {{math|term= A|SZ=.}}{{ Aufzählung4 |Mit wie vielen Matrizen kann man {{math|term= A|SZ=}} minimal erzeugen? |Ist diese Algebra kommutativ? |Ist diese Algebra ein Körper? |Ist diese Algebra ein endlichdimensionaler {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Falls ja, was ist seine Dimension? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Endomorphismen mit endlicher Ordnung |Kategorie2=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t7usfambyai7tu6hiwuo7ym2tfko14y 0 105853 783458 757135 2022-08-22T03:32:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man aus {{mathl|term= \R \setminus \Q |SZ=}} als Startmenge den gesamten {{math|term= \R^2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |mit Zirkel und Lineal konstruieren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d1e0ctdi2ihty1tr986xu0jd64b8160 0 105855 782211 591943 2022-08-22T00:04:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Das Polynom {{ Ma:Vergleichskette | Z^3 -X^3-Y^3 |\in| {{CC}}(X,Y)[Z] || || || |SZ= }} ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{CC}}(X,Y) |\subseteq| {{CC}}(X,Y)[Z]/ {{makl| Z^3 -X^3-Y^3 |}} | {{defeqr|}} | L || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= 3|SZ=.}} Es sei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei {{ Ma:Vergleichskette |G || \{1, \zeta,\zeta^2\} || || || |SZ= }} die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln. {{ Aufzählung5 |Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ math/disp|term= X \mapsto X, \, Y \mapsto Y, \, Z \mapsto \zeta Z |SZ= }} ein {{mathl|term= {{CC}}(X,Y)|SZ=-}}Automorphismus auf {{math|term= L|SZ=}} gegeben ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette | {{CC}}(X,Y) |\subseteq| L || || || |SZ= }} eine Galoiserweiterung ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette | {{CC}}(X,Y) |\subseteq| L || || || |SZ= }} eine graduierte Körpererweiterung ist. |Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ math/disp|term= X \mapsto \zeta X, \, Y \mapsto \zeta Y, \, Z \mapsto \zeta^2 Z |SZ= }} ein {{mathl|term= {{CC|}}|SZ=-}}Automorphismus auf {{math|term= L|SZ=}} der Ordnung {{math|term= 3|SZ=}} gegeben ist. |Zeige{{n Sie}}, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie2=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Fermat-Kubik |Stichwort= |Punkte=13 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |p4=1 |p5=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xzd8pwz049bf2nvwfumg9jpt1sezme 0 105940 782822 756594 2022-08-22T01:46:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abb |name= g_1 |V| {{CC|}} || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= g_2 |V'| {{CC|}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|V,V' |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktionen| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |g_1,g_2 |\in | {{idealm|}}^3 || || || || |SZ= }} in den Variablen {{mathl|term= y_1 {{kommadots|}} y_n |SZ=}} bzw. {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_n |SZ=}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |U \times V| W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |biholomorphe Abbildung| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{CC|}}^k || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |W |\subseteq| {{CC|}}^{k+n} || || || |SZ= }} offen und mit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(0) || 0 || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_1^2 {{plusdots|}} x_k^2 + g_1 || {{makl| z_1^2 {{plusdots|}} z_k^2 + g_2 |}} \circ \varphi || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann die {{ Definitionslink |Prämath=k \times k |Untermatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| \partial_{x_i} \varphi_j |}} _{1 \leq i,j \leq k} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} im Nullpunkt {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzljuj9nfkoe92aeew48p0ligmib8df 0 105951 780944 585113 2022-08-21T20:32:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{CC|}}^3 | {{CC|}}^3 |(x,y,z) |(x-2(xz+y^2)y-(xz+y^2)^2z,y+(xz+y^2)z,z) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Automorphismus ist, der {{mathl|term= y^2 +xz|SZ=}} auf sich selbst abbildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismen des affinen Raumes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2fbr4jllabowypm1pn7xj39fxxo2hnf 0 105960 781309 585172 2022-08-21T21:33:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien zwei Dezimalbrüche der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||0, 000 \ldots 000 a || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |y ||0, 000 \ldots 000 b || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| \{1 ,2 {{kommadots|}} 9\} || || || |SZ= }} gegeben. Dabei sei die Anzahl der Nullen nach dem Komma von {{math|term= x|SZ=}} gleich {{math|term= m|SZ=}} und von {{math|term= y|SZ=}} gleich {{math|term= n|SZ=.}} Wie viele Nullen nach dem Komma besitzt das Produkt {{math|term= xy|SZ=,}} und wovon hängt das ab? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 41b91dnbzac811xkw1gz4x7bny6xmx1 0 106043 779808 773270 2022-08-21T17:24:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition|Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition|}} Der affine Raum ist also zunächst einfach eine Menge aus Punkten. Ein Punkt im affinen Raum ist einfach ein {{math|term= n|SZ=-}}Tupel {{mathl|term= (a_1 {{kommadots|}} a_n)}} mit Koordinaten aus {{math|term= K|SZ=.}} Für {{ Ma:Vergleichskette |n ||1 || || || |SZ= }} spricht man von der {{Stichwort|affinen Geraden|msw=Affine Gerade}} und für {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} von der {{Stichwort|affinen Ebene|msw=Affine Ebene|SZ=.}} Ein Polynom {{ Ma:Vergleichskette |F |\in|K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} fasst man in natürlicher Weise als Funktion auf dem affinen Raum auf: Einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |P || {{makl| a_1{{kommadots|}} a_n |}} || || || |SZ= }} wird der Wert {{ Ma:Vergleichskette |F(P) || F {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n |}} || || || |SZ= }} zugeordnet, indem die Variable {{math|term= X_i}} durch {{math|term= a_i}} ersetzt wird und alles in {{math|term= K}} ausgerechnet wird. Zu einen Polynom {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} kann man insbesondere fragen, ob {{ Ma:Vergleichskette |F(P) ||0 || || || |SZ= }} ist oder nicht. Zu {{math|term= F}} rückt dann insbesondere das dadurch definierte {{Anführung|Nullstellengebilde}} ins Interesse. {{ inputdefinition |Affiner Raum/Polynom/Hyperfläche/Definition|| }} Neben Nullstellengebilden, die durch eine Gleichung definiert sind, ist es auch sinnvoll, zu untersuchen, wie das gemeinsame {{ Zusatz/Klammer |text=simultane| |ISZ=|ESZ= }} Nullstellengebilde zu mehreren Polynomen aussieht. Dieses beschreibt den Durchschnitt der einzelnen beteiligten Nullstellengebilde {{ Zusatz/Klammer |text=wie beispielsweise bei Kegelschnitten, wo man einen Kegel im dreidimensionalen Raum mit verschiedenen Ebenen schneidet| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbild |Conic sections 2n|png|300px {{!}} right {{!}} |epsname=Conic_sections_2n |Text=Kegelschnitte sind die Nullstellengebilde, die als Durchschnitt des Doppelkegels mit einer Ebenen entstehen.| |Benutzer=NK |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 }} Daher definieren wir allgemein. {{inputdefinition|Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge/Definition|}} Diejenigen Teilmengen des affinen Raumes, die als Nullstellenmengen auftreten, verdienen einen eigenen Namen. {{inputdefinition|Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition|}} Oft spricht man auch von Varietäten, wobei dieser Begriff eigentlich für irreduzible affin-algebraische Mengen reserviert wird. Die einfachsten Beispiele sind eine endliche Punktemenge auf der affinen Geraden {{mathl|term= {{op:Affine Gerade|K|}} |SZ=,}} die durch ein einzelnes Polynom gegeben sind, und affin-lineare Unterräume im {{math|term= {{op:Affiner Raum|n|K|}} |SZ=,}} die ja als Lösungsmenge eines {{ Definitionslink |Prämath= |inhomogenen linearen Gleichungssystems| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} gegeben sind. Wir führen ohne Beweise einige wichtige Aussagen für affin-algebraische Mengen an. {{inputfakt|Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge und zu Ideal/Fakt|Lemma| }} Wir können also im Folgenden bei jeder Nullstellenmenge davon ausgehen, dass sie durch ein Ideal gegeben ist. Affin-algebraische Teilmengen des affinen Raumes erfüllen einige wichtige strukturelle Eigenschaften. {{inputfakt|Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt|Proposition| }} Diese strukturellen Eigenschaften erlauben es, eine Topologie auf dem affine Raum einzuführen, die für das Studium von Polynomen angemessen ist. {{ inputdefinition |Affine Varietäten/Affiner Raum/Zariski-Topologie/Definition|| }} Die offenen Mengen in dieser Topologie werden mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |D( {{ideala|}} ) || {{op:Affiner Raum|n|K}} \setminus V( {{ideala|}} ) || || || |SZ= }} bezeichnet. Die Zariski-Topologie ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |Hausdorffsch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} es gibt keine kleinen offenen Bälle. Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Hilbertscher Basissatz|SZ=.}} Er besagt, dass Ideale im Polynomring endlich erzeugt sind und damit auch, dass affin-algebraische Mengen stets durch eine endliche Familie von Polynomen beschrieben werden können. {{ inputfakt |Kommutative Ringtheorie/Polynomring über Körper/Endliche viele Variablen/Noethersch/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} doal7c73enstmezf9vtvxv2n7z12vsz 0 106120 779746 763736 2022-08-21T17:16:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^n| \R | {{op:Zeilenvektor|x_1|\ldots|x_n}} |x_1^2 {{plusdots|}} x_n^2 |SZ=, }} die durch die Summe der Quadrate gegeben ist, besteht die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem Nullpunkt allein aus dem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|0|\ldots|0}} |SZ=.}} Ein einziger Punkt besitzt aber {{ Zusatz/Klammer |text=in jeder sinnvollen Dimensionstheorie| |ISZ=|ESZ= }} die Dimension {{math|term= 0|SZ=}} und nicht, wie bei komplexen Hyperflächen, die Dimension {{mathl|term= n-1|SZ=.}} Über {{math|term= {{CC}}|SZ=}} kann man sich die ersten {{math|term= n-1|SZ=}} Koordinaten frei vorgeben und hat dann für die letzte Variable {{math|term= x_n|SZ=}} noch zwei {{ Zusatz/Klammer |text=gelegentlich eine| |ISZ=|ESZ= }} Wahlmöglichkeiten, da jede komplexe Zahl {{math|term= \neq 0|SZ=}} zwei Quadratwurzel besitzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der Quadratsummen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rs18552usmhufw758pevtrov6gurjrp 0 106142 786457 646865 2022-08-22T11:28:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was besagt {{ Faktlink |Präwort=der|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion {{ Ma:abb |name=\varphi |\R|\R || |SZ=? }} Für welche Punkte {{mathl|term= P \in \R|SZ=}} sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt? Wie sieht es aus, wenn {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Polynom ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sy5kvs4skxqwkzb88q6vt2fklaq3kbe 0 106290 783909 585880 2022-08-22T04:47:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe{{n Sie}}, ob die folgenden Tupel Lösungen der linearen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |3x-5y+4z ||11 || || || |SZ= }} sind. {{ Aufzählung6 | {{mathl|term= (2,1,3)|SZ=,}} | {{mathl|term= (0,0, {{op:Bruch|11|4}} )|SZ=,}} | {{mathl|term= (1,2,1)|SZ=,}} | {{mathl|term= (4,2,6)|SZ=,}} | {{mathl|term= (3,{{op:Bruch|2|5}} ,1 )|SZ=,}} | {{mathl|term= (1,11,111)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sovd1t3dmawb8w06okcxux6w7l4jxo9 0 106291 783910 585881 2022-08-22T04:47:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe{{n Sie}}, ob die folgenden Tupel Lösungen der linearen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |7x+2y-9z ||-3 || || || |SZ= }} sind. {{ Aufzählung4 |{{mathl|term= (0,0,0)|SZ=,}} |{{mathl|term= (3,3, 3 )|SZ=,}} |{{mathl|term= (0, {{op:Bruch|1|5}} ,0)|SZ=,}} |{{mathl|term= (-2,7, {{op:Bruch|1|3}} )|SZ=.}} }} Wähle{{n Sie}} {{Anführung|zufällig}} eine Dreiertupel. Ist es eine Lösung der Gleichung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jn4763feka7jq8pvfgdei8e36hw8jdk 0 106315 784693 586150 2022-08-22T06:46:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Punkte {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen {{math|term= 0|SZ=}} und {{math|term= 15|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} in einem Kurs setzen sich aus der mündlichen Note, die zu einem Drittel eingeht, und der schriftlichen Note, die zu zwei Dritteln eingeht, zusammen. {{ Aufzählung6 |Erstelle{{n Sie}} eine Funktion, die die Gesamtpunktzahl aus den Teilergebnissen berechnet. |Erstelle{{n Sie}} eine Gleichung, die beschreibt, dass die Gesamtpunktzahl gleich {{math|term= 11|SZ=}} ist. |Lucy Sonnenschein war während der Unterrichtsstunden etwas unaufmerksam, was sich in ihrer mündlichen Note mit {{math|term= 7|SZ=}} Punkten niederschlägt. Wie muss sie schriftlich abschneiden, um auf ihre ge{{latextrenn|}}wünschte Gesamtpunktzahl von {{math|term= 11|SZ=}} Punkten zu kommen? |Löse{{n Sie}} das Gleichungssystem aus Teil (2). Unterscheide zwischen mathematisch korrekten Lösungen und korrekten Lösungen, die im Kontext sinnvoll interpretiert werden können. |Finde{{n Sie}} für mathematisch korrekte Lösungen, die auf den ersten Blick im gegebenen Kontext nicht sinnvoll interpretiert werden können, doch eine sinnvolle Interpretation. |Interpretiere{{n Sie}} die zugehörige homogene Gleichung. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fu2xw5rpfayiiawnc9o6uyp9vt79nir 0 106364 782207 756076 2022-08-22T00:03:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f(x,y,z) ||x^a +y^b+z^c || || || |SZ=, }} wobei alle Exponenten gerade {{math|term= \geq 2|SZ=}} seien und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z | {{defeq|}} | f^{-1}(0) |\subset| \R^3 || || |SZ= }} die Faser über {{math|term= 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= Z \setminus \{0,0,0\}|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zusammenhängenden Räume |Kategorie2=Theorie der algebraischen Hyperflächensingularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p9rc7g5sk9236fd9gks6si4i3j7b5jm 0 106366 782208 756077 2022-08-22T00:03:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f(x,y,z) ||x^a +y^b+z^c || || || |SZ=, }} wobei alle Exponenten {{math|term= \geq 1|SZ=}} seien und zumindest ein Exponent ungerade sei. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z | {{defeq|}} | f^{-1}(0) |\subset| \R^3 || || |SZ= }} die Faser über {{math|term= 0|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}{{{zusatz1|}}} zwischen {{math|term= \R^2|SZ=}} und {{math|term= Z|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese nicht überall {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=Ausnahmen| |ISZ=|ESZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Hyperflächensingularitäten |Kategorie2=Theorie der Homöomorphismen zwischen metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} phssiituil8f3tw259t0vhw1b7w3d3a 0 106367 780412 754612 2022-08-21T19:04:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Fixkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Funktionenkörper| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K(U,V)|SZ=}} zur Gruppe, die neben der Identität aus dem durch {{mathl|term= U \mapsto -U|SZ=,}} {{mathl|term= V \mapsto -V|SZ=,}} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Körperautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besteht {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= A1-Singularität/Gleichung und Quotient/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der monomiale Standardkegel |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bsunq1fkvk6yaz5ja3hhmzbxydaiwxg 0 106369 782206 756075 2022-08-22T00:03:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f(x,y,z) ||x^2 +y^3+z^6 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |Z | {{defeq|}} | f^{-1}(0) |\subset| {{CC|}}^3 || || |SZ= }} die Faser über {{math|term= 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= \gamma | {{CC|}} | {{CC|}}^3 |t| ( {{imaginäre Einheit|}} t^3 ,0,t) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |injektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist, deren Bild ganz in {{math|term= Z|SZ=}} liegt und die durch die {{ Definitionslink |Prämath= |isolierte Singularität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= Z|SZ=}} läuft. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Hyperflächensingularitäten |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Kurven (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} neamrb2k5yp4gaccryfcnh1xttyg5dj 0 106370 780414 586017 2022-08-21T19:04:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass auf dem durch {{mathl|term= X^2+Y^2-Z^2|SZ=}} gegebenen Kegel Geraden liegen, die durch die Singularität laufen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Hyperflächensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der monomiale Standardkegel |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aonkai42uyq40c7uh29izc017su1151 0 106374 782398 586033 2022-08-22T00:35:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ihre Fußballmannschaft hat das vorletzte Spiel mit {{mathl|term= 5:1|SZ=}} und das letzte Spiel mit {{mathl|term= 10:5|SZ=}} gewonnen. Welchen Sieg finden Sie überzeugender? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5sof0yo33gmwwaewaqpfdelk80gzo7o 0 106381 782834 586062 2022-08-22T01:48:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse das lineare Gleichungssystem in den Variablen {{mathl|term= x_1,x_2 {{kommadots|}} x_{10}|SZ=,}} das durch die beiden Gleichungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_1 +x_2+x_3 +x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9 +x_{10} ||0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_1 -x_2+x_3 - x_4+x_5-x_6+x_7-x_8+x_9- x_{10} ||0 || || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 345rfgibvrqnyc2oc6ch9ah0l8ei36y 0 106392 781630 755577 2022-08-21T22:27:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V ||V(f) |\subseteq| \R^2 || || |SZ= }} eine reelle {{ Definitionslink |Prämath= |ebene algebraische Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch das Polynom {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| \R[X,Y] || || || |SZ= }} definiert werde. Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörige Rotationsfläche, die im {{math|term= \R^3|SZ=}} durch Rotation um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse entsteht, als Nullstellenmenge zu einem Polynom aus {{math|term= \R[X,Y,Z]|SZ=}} beschrieben werden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2wwzouxebxjmdwfq25z6as394uo9tm1 0 106393 781632 586102 2022-08-21T22:27:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse zu den folgenden algebraischen Kurven {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V(f) |\subset| \R^2 || || |SZ= }} beschreibt. Skizziere{{n Sie}} die Situation. {{ Aufzählung6 | {{mathl|term= V(X-1)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2+Y^2-1)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X-Y^2)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2-Y^2)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^3+Y^2)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2+X^3+ Y^2 )|SZ=.}} }} Bestimme{{n Sie}} die singulären Punkte und die singulären Punkte der Rotationsflächen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 65ga6hel2t4i8o0ge973hx077kjoed4 0 106394 781631 586101 2022-08-21T22:27:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse zu den folgenden algebraischen Kurven {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V(f) |\subset| \R^2 || || |SZ= }} beschreibt. Skizziere{{n Sie}} die Situation. {{ Aufzählung7 | {{mathl|term= V(Y-1)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(XY)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(Y-X)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(Y-X^2)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(Y-X^2+1)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2+Y^3)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2+Y^3+ Y^2 )|SZ=.}} }} Bestimme{{n Sie}} die singulären Punkte und die singulären Punkte der Rotationsflächen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 00lpuurauweheycrl10gtwk4lip1uoh 0 106396 784236 757876 2022-08-22T05:42:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} nur dann {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn er einpunktig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2=Theorie der Irreduzibilität (Topologie) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k1qugzzzky0wx7msxvbcczf97sknih7 0 106410 778781 773148 2022-08-21T12:53:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein lineares Gleichungssystem lässt sich am einfachsten mit Matrizen schreiben. Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Variablen mitschleppen zu müssen. Matrizen {{ Zusatz/Klammer |text=und der zugehörige Kalkül| |ISZ=|ESZ= }} sind recht einfache Objekte; sie können aber ganz unterschiedliche mathematische Objekte beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=eine Familie von Spaltenvektoren, eine Familie von Zeilenvektoren, eine lineare Abbildung, eine Tabelle von Wechselwirkungen, eine zweistellige Relation etc.| |ISZ=|ESZ=, }} die man stets im Hinterkopf haben sollte, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein. {{ inputdefinition |Matrix/nxm/Definition|| }} Zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |i |\in|I ||{{Menge1m}} || || |SZ= }} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term= i|SZ=-}}te {{Stichwort|Zeile|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als ein {{Stichwort|Zeilentupel|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder einen {{Stichwort|Zeilenvektor|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= (a_{i1}, a_{i2} {{kommadots|}} a_{in}) |SZ= }} schreibt. Zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |j |\in| J ||{{Menge1n}} || || |SZ= }} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term= j|SZ=-}}te {{Stichwort|Spalte|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als ein {{Stichwort|Spaltentupel|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder einen {{Stichwort|Spaltenvektor|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_{1j}|a_{2j}|\vdots|a_{mj} }} |SZ= }} schreibt. Die Elemente {{mathl|term= a_{ij} |SZ=}} heißen die {{Stichwort|Einträge|msw=Eintrag|SZ=}} der Matrix. Zu {{mathl|term= a_{ij} |SZ=}} heißt {{math|term= i|SZ=}} der {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} und {{math|term= j|SZ=}} der {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} des Eintrags. Man findet den Eintrag {{mathl|term= a_{ij}|SZ=,}} indem man die {{math|term= i|SZ=-}}te Zeile mit der {{math|term= j|SZ=-}}ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit {{mathl|term= m=n|SZ=}} nennt man eine {{Stichwort|quadratische Matrix|SZ=.}} Eine {{mathl|term= m \times 1|SZ=-}}Matrix ist einfach ein einziges Spaltentupel der Länge {{math|term= m|SZ=,}} und eine {{mathl|term= 1 \times n|SZ=-}}Matrix ist einfach ein einziges Zeilentupel der Länge {{math|term= n|SZ=.}} Die Menge aller Matrizen mit {{math|term= m|SZ=}} Zeilen und {{math|term= n|SZ=}} Spalten {{ Zusatz/Klammer |text=und mit Einträgen in {{math|term= K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:Mat|n|m|K}}|SZ=}} bezeichnet, bei {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} schreibt man {{mathl|term= {{op:Matq|n|K}} |SZ=.}} Zwei Matrizen {{ Ma:Vergleichskette |A,B |\in| {{op:Mat|n|m|K}} || || || |SZ= }} werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix {{math|term= A|SZ=}} mit einem Element {{ Ma:Vergleichskette |r |\in|K || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einem {{Stichwort|Skalar}}| |ISZ=|ESZ= }} komponentenweise definiert, also {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | {{op:Matrixmn|a}} + {{op:Matrixmn|b}} || \begin{pmatrix} a_{11 } +b_{11} & a_{1 2} +b_{12} & \ldots & a_{1 {{{n|n}}} } +b_{1n}\\ a_{21 } +b_{21} & a_{2 2} +b_{22} & \ldots & a_{2 {{{n|n}}} } +b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ {{{m|m}}} 1 } +b_{m1} & a_{ {{{m|m}}} 2 } +b_{m2} & \ldots & a_{ {{{m|m}}} {{{n|n}}} } +b_{mn} \end{pmatrix} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | r {{op:Matrixmn|a}} || {{op:Matrixmn|ra}} || || || |SZ=. }} Die Matrizenmultiplikation wird folgendermaßen definiert. {{ inputdefinition |Matrizenmultiplikation/Definition|| }} Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merk{{latextrenn}}regel kann man das Schema {{ Ma:Vergleichskette/disp | (Z E I L E) {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} || (ZS+EP+IA+L^2+ET) || || || |SZ= }} verwenden, das Ergebnis ist eine {{math|term= 1 \times 1|SZ=-}}Matrix. Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren {{ Zusatz/Klammer |text=was nicht immer möglich ist| |ISZ=|ESZ= }} und man erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} (Z E I L E) || {{Op:Matrix55|SZ|SE|SI|SL|SE|PZ|PE|PI|PL|PE|AZ|AE|AI|AL|AE|LZ|LE|LI|L^2|LE|TZ|TE|TI|TL|TE}} || || || |SZ=. }} Insbesondere kann man eine {{mathl|term= m \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term= A|SZ=}} mit einem Spaltenvektor der Länge {{math|term= n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge {{math|term= m|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Matrizenmultiplikation/1/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung||zusatz2=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=siehe die übernächste Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} }} {{ inputdefinition |Einheitsmatrix/Definition|| }} Die Einheitsmatrix {{math|term= E_n|SZ=}} besitzt die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | E_n M || M || M E_n || || |SZ= }} für eine beliebige {{mathl|term= n\times n|SZ=-}}Matrix {{math|term= M|SZ=.}} Sie ist also das neutrale Element bezüglich der Multiplikation von quadratischen Matrizen. {{ inputdefinition |Diagonalmatrix/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} pp74wi7fzfoam8iir86zjbiw9q1z6po 0 106419 786529 759562 2022-08-22T11:40:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |simplizialer Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Delta|SZ=}} auf der Menge {{math|term= V|SZ=}} und ein Körper {{math|term= K|SZ=}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass die zu {{math|term= \Delta|SZ=}} gehörende {{ Definitionslink |Prämath= |Achsenraumkonfiguration| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} die Beschreibungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Delta (K) || \bigcup_{ F \in \Delta} K^F || \bigcup_{ F \in \Delta,\, F \text{ Facette} } K^F || || |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hv201cctjfweyskkwxgd1b6kcg6spho 0 106426 780532 754701 2022-08-21T19:24:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme und skizziere für jede {{ Definitionslink |Prämath= |Achsenraumkonfiguration| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A|SZ=}} im {{math|term= \R^n|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |n ||1,2,3 || || || |SZ=, }} den Durchschnitt {{mathl|term= A \cap S^{n-1}|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Sphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Welche topologischen Eigenschaften besitzt dieser Schnitt {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentalgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} Mannigfaltigkeitsstruktur | |ISZ=|ESZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 66qkoin4wemqbj6h4uqd25iakime74j 0 106427 786531 759565 2022-08-22T11:41:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche Vor- oder Nachteile hat es, einen {{ Definitionslink |Prämath= |simplizialen Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einer beliebigen Menge {{math|term= V|SZ=}} oder auf {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} anzusetzen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der simplizialen Komplexe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mprnnmi6kyy0j7dk12yxvidcoybjd8s 0 106428 785075 758460 2022-08-22T07:43:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette | F, G |\in| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} Polynome. Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Produktregel {{ Ma:Vergleichskette/disp | \partial_i (FG) || F \partial_i (G) + G \partial_i (F) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h73jt4npjapdonaedllyzb8pzyrelj9 0 106429 780531 754700 2022-08-21T19:23:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die reelle {{ Definitionslink |Prämath= |Achsenraumkonfiguration| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A|SZ=}} im {{math|term= \R^n|SZ=}} sich aus dem Schnitt {{mathl|term= A \cap H|SZ=,}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |H || {{Mengebed| (x_1 {{kommadots|}} x_n) \in \R^n| \sum_{ j {{=}} 1}^n x_j {{=|}} 1 }} || || || |SZ=, }} rekonstruieren läst, indem man zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| A \cap H || || || |SZ= }} die Gerade durch den Nullpunkt und {{math|term= P|SZ=}} nimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ddmr6ltnii1k47sbrqaeglp14g58qu 0 106430 786528 759561 2022-08-22T11:40:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass sich über dem Körper {{math|term= K|SZ=}} mit zwei Elementen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Achsenraumkonfiguration| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |A |\subseteq|K^n || || || |SZ= }} im Allgemeinen nicht aus dem Durchschnitt {{mathl|term= A \cap H|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |H || {{Mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_n)|x_1 {{plusdots|}} x_n {{=}} 1 }} || || || |SZ= }} rekonstruieren lässt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fw7y4q0htv3vvd340tgtszym7vc2x2s 0 106441 780557 754720 2022-08-21T19:28:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V |\subset| {{op:Affiner Raum|n| {{CC|}} }} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |U | {{defeq|}} | {{op:Affiner Raum|n| {{CC|}} }} \setminus V || || || |SZ= }} das offene Komplement. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= U|SZ=}} in der metrischen Topologie {{ Definitionslink |Prämath= |wegzusammenhängend| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tibzmehhsk7e1gvoey3myaxm3hcmy85 0 106442 781621 755573 2022-08-21T22:25:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene ebene {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V(f) |\subset| {{op:Affine Ebene|K|}} || || |SZ= }} zu entwickeln, ist es, die Schnitte von {{math|term= V|SZ=}} mit der Geradenschar {{ mathbed|term= V(X-c) ||bedterm1= c \in K ||bedterm2= |SZ=, }} zu betrachten. Diese Schnitte sind eine endliche Ansammlung von Punkten auf der Geraden oder aber {{ Zusatz/Klammer |text=das ist ein Ausnahmefall| |ISZ=|ESZ= }} die volle Gerade. Diese Punktemengen variieren mit dem Parameter {{math|term= c|SZ=.}} Man kann sich also eine ebene Kurve als eine variierende Familie von nulldimensionalen Objekten vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Ma:Vergleichskette/k |K ||\R || || || |SZ= }} oder {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} durchzuführen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2te427ml5005onuukwqwn479a9trz31 0 106443 780556 754719 2022-08-21T19:28:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V(f_1 {{kommadots|}} f_m ) |\subset| {{op:Affiner Raum|n|K|}} || || |SZ= }} zu entwickeln, ist es, die Schnitte von {{math|term= V|SZ=}} mit der Hyperebenenschar {{ mathbed|term= V(X-c) ||bedterm1= c \in K ||bedterm2= |SZ=, }} zu betrachten. Diese Schnitte sind affin-algebraische Mengen, die in einer kleineren Dimension leben, und mit dem Parameter {{math|term= c|SZ=}} variieren. Man kann sich also beispielsweise eine affin-algebraische Fläche {{ Ma:Vergleichskette |V(f) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|3|K}} || || || |SZ= }} als eine variierende Familie von ebenen algebraischen Kurven vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Ma:Vergleichskette/k |K ||\R || || || |SZ= }} oder {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} durchzuführen, beispielsweise für den Doppelkegel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mddr2xhhd87mljaljq85ah7zbvcon4n 0 106444 780560 754723 2022-08-21T19:28:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V(f_1 {{kommadots|}} f_m) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |W ||V(g_1 {{kommadots|}} g_ \ell ) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine affin-algebraische Menge im {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n+1|K}} |SZ=}} gibt, die die {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Vereinigung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der beiden Mengen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} esk5btr9gnd9xh2h6jf1jyqidxb5v3d 0 106446 778480 762423 2022-08-21T12:09:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette | I_\Delta | \subseteq|{{op:Verschwindungsideal| \Delta (K)|}} || || || |SZ= }} ist klar nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Sei nun {{ Ma:Vergleichskette/disp |f |\notin|I_\Delta || || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || \sum_\nu a_\nu X^\nu || || || |SZ=, }} wobei wir direkt davon ausgehen können, dass nur solche Monome {{math|term= X^\nu|SZ=}} mit einem Koeffizienten {{ Ma:Vergleichskette |a_\nu |\neq| 0 || || || |SZ= }} auftreten, deren Träger eine Seite des simplizialen Komplexes ist {{ Zusatz/Klammer |text=da die Monome zu Nichtseiten die Nullfunktion induzieren| |ISZ=|ESZ=. }} Dabei sei {{math|term= S|SZ=}} eine Seite des simplizialen Komplexes, die als Träger eines Monoms in {{math|term= f|SZ=}} vorkommt. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|F || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Facette| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= K^F|SZ=}} der zugehörige Achsenraum, der nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Irreduzible Komponenten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible Komponente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Achsenraumkonfiguration ist. Ein Monom {{math|term= X^\nu|SZ=,}} das in {{math|term= f|SZ=}} vorkommt und dessen Träger nicht in {{math|term= F|SZ=}} liegt, induziert auf dem Achsenraum {{math|term= K^F|SZ=}} die Nullfunktion und man kann es weglassen, da dies den Wert der Polynomfunktion auf diesem Achsenraum nicht ändert. Ohne Einschränkung liege also der Träger eines jedes Monoms von {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= F|SZ=.}} Dann ist aber {{math|term= f|SZ=}} einfach ein Polynom in den Variablen {{ mathbed|term= X_v ||bedterm1= v \in F ||bedterm2= |SZ=, }} und der {{math|term= K^F|SZ=}} ist der natürliche affine Raum, auf dem diese Polynome als Funktionen wirken. Bei einem unendlichen Körper ist aber nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Polynomring/Unendlicher Körper/F nicht null/Nicht Nullfunktion/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom nicht die Nullfunktion auf dem affinen Raum. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6va0oqf88boqz7cx6lt3eqr0xt3fej8 0 106450 786530 759564 2022-08-22T11:40:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Delta|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |simplizialer Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge {{math|term= V|SZ=}} und {{math|term= \Delta'|SZ=}} ein simplizialer Komplex auf der Menge {{math|term= W|SZ=}} mit den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Achsenraumkonfigurationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Delta (K) |\subseteq| K^V || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\Delta' (K) |\subseteq| K^W || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann in {{mathl|term= K^{V \cup W} |SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | K(\Delta) \times K(\Delta') || K( \Delta \wedge \Delta') || || || |SZ= }} besteht, wobei {{mathl|term= \Delta \wedge \Delta' |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Smashprodukt| |Kontext=simplizialer Komplex| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der beiden simplizialen Komplexe bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der simplizialen Komplexe |Kategorie2=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mrvje4d3iixid3ry80clvr287eiivt6 0 106460 784426 758027 2022-08-22T06:10:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |K^3|K^2 |(x,y,z)|(xy,xz) |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |glatten Punkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} Für welche Punkte kann man {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Ma:Vergleichskette/k |K ||\R || || || |SZ= }} oder {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/K/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden, für welche muss man die {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition |SZ= }} heranziehen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a0fjyppp1g4qb1n4jqormhxjs8wjzo0 0 106462 780519 754694 2022-08-21T19:21:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und betrachte das Achsenkreuz {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || V(XY) |\subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V || || || |SZ=, }} ob der {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an {{math|term= P|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen eindimensionalen Ringe |Kategorie2=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz (affin-algebraische Kurve) |Stichwort=Achsenkreuz |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mz76q50qj9a7zd26fmqxuop68ssp273 0 106475 778971 763161 2022-08-21T15:15:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die binomiale Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |X_1 \cdots X_n ||1 || || || |SZ=. }} Die Nullstellenmenge {{ Ma:Vergleichskette |V ||V(X_1 \cdots X_n-1) || || || |SZ= }} besteht aus sämtlichen Punkten, deren Produkt der Koordinaten gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. Insbesondere darf kein Eintrag gleich {{math|term= 0|SZ=}} sein. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobimatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|X_2 \cdots X_n| X_1 X_3\cdots X_n |\ldots| X_1 \cdots X_{n-2} X_n| X_1 \cdots X_{n-1}|}} |SZ= }} und diese besitzt in jedem Punkt der Nullstellenmenge den Rang {{math|term= 1|SZ=,}} es liegt also eine {{ Definitionslink |Prämath= |glatte Varietät| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Der Satz über implizite Abbildungen liefert lokal die Existenz eines Diffeomorphismus zu {{math|term= K^{n-1}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Ma:Vergleichskette/k |K || \R || || || |SZ= }} oder {{math|term= {{CC|}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} doch gibt es hier unmittelbar die bijektive algebraische {{ Zusatz/Klammer |text=rationale| |ISZ=|ESZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{makl| {{op:Einheiten|K|}} |}}^{n-1} | V | {{op:Zeilenvektor|x_1|\ldots|x_{n-1} }} | {{op:Zeilenvektor|x_1|\ldots|x_{n-1}| {{op:Bruch|1|x_1 \cdots x_{n-1} }} }} |SZ=. }} Dies kann man so verstehen, dass {{math|term= V|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur rationalen Funktion auf {{mathl|term= {{makl| {{op:Einheiten|K|}} |}}^{n-1} |SZ=}} ist. Es liegt hier also ein Isomorphismus zwischen der Zariski-offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Einheiten|K|}} |}}^{n-1} || K^{n-1} \setminus V(X_1 \cdots X_{n-1} ) |\subseteq| K^{n-1} || || |SZ= }} und der Zariski-abgeschlossenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq|K^n || || || |SZ= }} vor. Die Menge {{mathl|term= {{makl| {{op:Einheiten|K|}} |}}^{n-1}|SZ=}} nennt man auch den {{mathl|term= (n-1)|SZ=-}}dimensionalen {{Stichwort|Torus|SZ=.}} {{ inputbild |Rectangular hyperbola|svg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Rectangular_hyperbola |Autor= |Benutzer=Qef |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} ist das der Isomorphismus zwischen der punktierten Geraden und der Hyperbel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m2kjircwkmq51uxs9u0a0uocp07i4zg 0 106476 779521 763614 2022-08-21T16:42:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |binomialen Gleichungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |XY ||Z^3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^2Z ||Y^3 || || || |SZ= }} in den drei Variablen {{mathl|term= X,Y,Z|SZ=}} und versuchen uns über das zugehörige Nullstellengebilde {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V {{makl| XY - Z^3, X^2Z - Y^3 |}} || || || |SZ= }} ein Bild zu machen. Zunächst gehört die Gerade {{ Ma:Vergleichskette/disp |V(Y,Z) || {{Mengebed| (x,0,0)|x \in K}} || || || |SZ= }} zu {{math|term= V|SZ=.}} Dies kann aber nicht ganz {{math|term= V|SZ=}} sein, da der Punkt {{mathl|term= (1,1,1)|SZ=}} zu {{math|term= V|SZ=}} gehört. Wenn in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || (x,y,z) |\in| V || || |SZ= }} die Koordinate {{ Ma:Vergleichskette |y |\neq|0 || || || |SZ= }} ist, so sind auch {{ Ma:Vergleichskette |x,z |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dort gilt also {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || {{op:Bruch|z^3|y}} || || || |SZ= }} und damit {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^2 || {{op:Bruch|z^6|y^2}} || {{op:Bruch|y^3|z}} || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | z^7 || y^5 || || || |SZ=. }} In der Tat gehört auch das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^5- Z^7 || Z {{makl| XY+Z^3 |}} {{makl| XY-Z^3 |}} - Y^2 {{makl| X^2Z-Y^3 |}} |\in| {{makl| XY-Z^3, X^2Z-Y^3 |}} || |SZ= }} zu dem von den beiden binomialen Polynomen erzeugten Ideal. Das Nullstellengebilde erfüllt also insbesondere eine binomiale Gleichung, in der nur die beiden Variablen {{ mathkor|term1= Y |und|term2= Z |SZ= }} vorkommen. Sei nach wie vor {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=}} ein Punkt von {{math|term= V|SZ=,}} für den sämtliche Komponenten nicht {{math|term= 0|SZ=}} sind. Dann gilt aufgrund von ähnlichen Überlegungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^5 || z^8 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^7 || y^8 || || || |SZ=. }} Allerdings gehören die Polynome {{ mathkor|term1= X^5-Z^8 |und|term2= X^7-Y^8 |SZ= }} nicht zum Ideal, da sie auf der eingangs erwähnten Geraden nicht verschwinden. Unsere Überlegung hat die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | V {{makl| XY-Z^3, X^2Z-Y^3 |}} |\subseteq| V(Y,Z) \cup V {{makl| Y^5-Z^7 , X^5-Z^8 , X^7-Y^8 |}} || || || |SZ= }} gezeigt, wir werden gleich begründen, dass hier Gleichheit gilt. Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K| K^3 |t| {{op:Zeilenvektor|t^8| t^7| t^5|}} |SZ=. }} Das Bild dieser Abbildung liegt offenbar in der zweiten Teilmenge. Umgekehrt ist jeder Punkt der zweiten Menge von dieser Form zu einem eindeutig bestimmten {{ Ma:Vergleichskette |t |\in|K || || || |SZ=. }} Da die Bildpunkte {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|t^8| t^7| t^5|}} |SZ=}} auch die ursprünglichen Gleichungen erfüllt, gehört die rechte Teilmenge auch links dazu und oben gilt Gleichheit. Als bijektives Abbild der affinen Geraden ist über einem unendlichen Körper die rechte Teilmenge ebenfalls eine irreduzible Kurve. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der monomialen affinen Raumkurven |Kategorie2=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} na7csvfizeyb46hn4xbucx2mvbuzp4j 0 106477 778865 763091 2022-08-21T14:57:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |binomiale Gleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |XY ||Z^n || || || |SZ= }} definiert eine algebraische Fläche {{ Ma:Vergleichskette/disp |V(XY-Z^n) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|3|K}} || || || |SZ= }} über jedem Körper {{math|term= K|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|Y|X|nZ^{n-1} }} |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||1 || || || |SZ= }} ist dies überall glatt, bei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ= }} liegt im Nullpunkt eine {{ Definitionslink |Prämath= |isolierte Singularität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Man spricht von den {{math|term= A_{n-1}|SZ=-}}{{Stichwort|Singularitäten|msw=A-Singularität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Indizierung ist so gewählt, dass {{math|term= A_1|SZ=}} schon eine Singularität ist| |ISZ=|ESZ=. }} Das Polynom {{ Ma:Vergleichskette |Z^n-XY |\in |K[X,Y,Z] || || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} für {{math|term= n|SZ=}} prim ergibt sich dies aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Capelli/Irreduzibilitätskriterium/Exponent ist prim/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| XY-Z^n |}} |SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktionenkörper| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K(X,Z)|SZ=,}} da man {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y || Z^n/X || || || |SZ= }} ausdrücken kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2by0n3wfxczyw0oct2qpm1rfrk0j6ka 0 106478 780059 752333 2022-08-21T18:04:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Whitney unbrella|png| 200px {{!}} right {{!}} |epsname= Whitney unbrella |Autor=Claudio Rocchini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2 Z || Y^2 || || || |SZ= }} gegeben ist, also {{ Ma:Vergleichskette |V ||V {{makl| X^2Z-Y^2 |}} |\subseteq| {{op:Affiner Raum|3|K}} || || |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Koordinatenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2Z-Y^2 |}} || || || |SZ=. }} Diese Fläche heißt {{Stichwort|Whitney-Regenschirm|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Funktion {{mathl|term= X^2Z-Y^2 |SZ=}} ist {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|2XZ|2Y|X^2}} |SZ=. }} Die Gerade {{ Ma:Vergleichskette/disp |V(X,Y) || {{Mengebed|(0,0,z)|z \in K }} || || || |SZ= }} liegt auf {{math|term= V|SZ=}} und genau dort ist die Jacobi-Matrix die Nullmatrix. Der singuläre Ort ist also eine eindimensionale Untervarietät. Im {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q(R)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Polynom ist irreduzibel| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z || {{makl| {{op:Bruch|Y|X}} |}}^2 || || || |SZ= }} und der Quotientenkörper ist isomorph zum {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Funktionenkörper| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K(X,Y)|SZ=.}} Das Element {{mathl|term= Y/X |SZ=}} aus dem Quotientenkörper hat also die kuriose Eigenschaft, dass sein Quadrat, nämlich {{math|term= Z|SZ=,}} zu {{math|term= R|SZ=}} gehört, das Element selbst aber nicht. Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K^2| V |(x,u)| {{op:Zeilenvektor|x|ux|u^2}} |SZ=, }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=wohldefiniert und bei {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} surjektiv, die Punkte {{ mathkor|term1= (0,u) |und|term2= (0,-u) |SZ= }} werden beide auf {{mathl|term= (0,0,u^2)|SZ=}} abgebildet und für {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|0 || || || |SZ= }} liegt eine Bijektion vor, da sich dann {{math|term= u|SZ=}} aus {{math|term= ux|SZ=}} rekonstruieren lässt. Das bedeutet, dass {{math|term= V|SZ=}} aus der affinen Ebene entsteht, indem man auf einer Geraden durch den Nullpunkt gegenüberliegende Punkte miteinander identifiziert. Das Bild dieser Geraden ist die singuläre Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=im reellen Bild eine Halbgerade| |ISZ=|ESZ=. }} Die Gesamtabbildung heißt Normalisierung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Whitney-Regenschirm |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m4gse91txoorxeeyf98h8dyq5v64k0q 0 106484 783482 586419 2022-08-22T03:36:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Markiere die folgenden Punkte in der kartesischen Ebene {{math|term= \R^2|SZ=.}} {{ math/disp|term= (3,-7),\, (-1,-2),\, (0,5),\, (4,4),\, (4,5),\, (-3,0),\, (0,0) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kartesischen Ebene |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8oqyr4098njhn9yhorynlaxe1hbxi1 0 106485 783481 586415 2022-08-22T03:35:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||(x,y) || || || |SZ= }} in der Ebene {{math|term= \R^2|SZ=}} gegeben. Skizziere{{n Sie}} die Punkte {{ math/disp|term= (-x,y),\, (x,-y),\, (-x,-y), \, (3x,3y), (-2x,-2y) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kartesischen Ebene |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ok1kyse3ji7vmo7osq65uqwret7ud51 0 106488 781698 586421 2022-08-21T22:38:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||(x,y) || || || |SZ= }} in der Ebene {{math|term= \R^2|SZ=}} gegeben. Skizziere{{n Sie}} die Menge aller Punkte {{ math/disp|term= (cx,cy),\, c \in \R |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kartesischen Ebene |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ob9bgamainepa3hgso6g6ylxb8291ja 0 106489 781699 586422 2022-08-21T22:38:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Markiere zwei Punkte {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} in der kartesischen Ebene {{math|term= \R^2|SZ=}} und addiere sie. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kartesischen Ebene |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2mh69o6jklpkb6okjgpljkvtowwwuok 0 106490 780988 586425 2022-08-21T20:40:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Rahmen einer Werbeaktion verkauft ein Baumarkt Schraubensets, die jeweils große, mittlere und kleine Schrauben enthalten. Set {{math|term= A|SZ=}} enthält {{math|term= 10|SZ=}} große, {{math|term= 10|SZ=}} mittlere und {{math|term= 5|SZ=}} kleine Schrauben, Set {{math|term= B|SZ=}} enthält {{math|term= 15|SZ=}} große, {{math|term= 5|SZ=}} mittlere und {{math|term= 20|SZ=}} kleine Schrauben, Set {{math|term= C|SZ=}} enthält {{math|term= 8|SZ=}} große, {{math|term= 12|SZ=}} mittlere und {{math|term= 6|SZ=}} kleine Schrauben. Da das Angebot sehr günstig ist, läuft der Verkauf hervorragend. Allerdings gibt es kaum jemand, der genau eines der vorgebenen Sets brauchen kann, daher entwickelt sich auf dem Parkplatz eine rege Tauschbörse für Schrauben. Lässt sich jeder Schraubenwunsch mit den gegebenen Sets exakt erfüllen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fgs6sjrqmyz7y6f45d9izas048l419r 0 106500 780530 754699 2022-08-21T19:23:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Delta(K) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Achsenraumkonfiguration| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \Delta(K)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Unterhalbgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des affinen Raumes ist, wenn man diesen mit der komponentenweisen Multiplikation als Verknüpfung versieht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} derixu6thvep34dtydrw5ootjmt9bgp 0 106514 780577 754732 2022-08-21T19:31:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |C || V {{makl| X^{d+1}-Y^d |}} || || || |SZ= }} definierte algebraische Kurve {{math|term= C|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=d \geq 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man folgendermaßen, ausgehend von der Geraden {{ Ma:Vergleichskette |H ||V(X-1) || || || |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Parametrisierung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= C|SZ=}} erhält: Zu einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|H || || || |SZ= }} bestimmt man die Verbindungsgerade {{math|term= G_P|SZ=}} von {{math|term= P|SZ=}} und dem Nullpunkt und den einzigen {{ Zusatz/Klammer |text=?| |ISZ=|ESZ= }} vom Nullpunkt verschiedenen Punkt von {{mathl|term= C \cap G_P|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung, die {{math|term= P|SZ=}} auf diesen Punkt abbildet, algebraisch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} igpxfemykck04tzabh4l4owgad9ex5k 0 106515 781080 755141 2022-08-21T20:55:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere die folgenden {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellengebilde| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R^2|SZ=.}} {{ Aufzählung5 | {{mathl|term= V(X^2-Y^2)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2Y-XY^2)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2-XY^2)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2-Y^3)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2-Y^4)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aop6qpty9xfyxiqjh0wplmu16fu9l9z 0 106516 781079 755140 2022-08-21T20:55:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere die folgenden {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellengebilde| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R^2|SZ=.}} {{ Aufzählung4 | {{mathl|term= V(XY-1)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(XY+1)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2Y-1)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2Y^2-1)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tw2gxrw026ziqu3v9bp89m5ugg8dwzv 0 106520 780533 754702 2022-08-21T19:24:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man eine {{ Definitionslink |Prämath= |Achsenraumkonfiguration| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A|SZ=}} im {{math|term= \R^n|SZ=}} aus ihrem Durchschnitt {{mathl|term= A \cap S^{n-1}|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Sphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} rekonstruieren kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tphzlx45uthbaosd1gu309n0pxz0hwc 0 106521 780514 594139 2022-08-21T19:21:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V ||V(XYZ) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|3|K}} || || |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die möglichen Schnitte von {{math|term= V|SZ=}} mit einer Ebene durch den Nullpunkt. Was ist der {{Anführung|typische}} Schnitt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ken4hyx5279r043xda2vqdn7crgs9i 0 106529 782542 586809 2022-08-22T00:59:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= n|SZ=}} Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere{{n Sie}} und beweise{{n Sie}} eine Formel {{ Zusatz/Klammer |text=in Abhängigkeit von {{math|term= n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Geradenkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eqdpjrp79oi6z4kwrpqicggojkiv7iw 0 106570 779157 739397 2022-08-21T15:45:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |f ||X^2+Y^2+Z^2-1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |g ||XZ-1 || || || |SZ=, }} die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Resultante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term= Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Resultante|f|g}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix33|1|0|X^2+Y^2-1|X|-1|0|0|X|-1}} }} || 1 -X^2(X^2+Y^2-1) || 1-X^4-X^2-X^2Y^2 || |SZ=. }} Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} Flächen {{ Zusatz/Klammer |text=also die Kugel und der Zylinder über einer Hyperbel| |ISZ=|ESZ= }} in {{mathl|term= V(1-X^4-X^2-X^2Y^2)|SZ=}} liegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Resultante |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mtfzq7vgpexem72p06ozc2mcwrkpliz 0 106572 779398 739398 2022-08-21T16:21:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |f ||X^2+Y^2-1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |g ||Y-X^2 || || || |SZ=, }} die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Resultante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term= Y|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Resultante|f|g}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix33|1|0|X^2-1|1|-X^2|0|0|1|-X^2}} }} || X^4 -(X^2-1) || X^4 - X^2 +1 || |SZ=. }} Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} Kurven {{ Zusatz/Klammer |text=also der Kreis und die Parabel| |ISZ=|ESZ= }} in {{mathl|term= V( X^4 - X^2 +1)|SZ=}} liegt. Wenn man die Resultante bezüglich {{math|term= X|SZ=}} nimmt, so ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Resultante|f|g}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix44|1|0|Y^2-1|0|0|1|0|Y^2-1| - 1|0|Y|0|0| - 1|0|Y}} }} || Y^2 + Y(Y^2-1) - ( -(Y^2-1)Y- (Y^2-1)^2) || Y^2 + Y^3-Y + (Y^2-1)Y + (Y^2-1)^2 ||Y^4+ 2Y^3 - Y^2 -2Y +1 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Resultante |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bket6w2vdyx9ck6ikrwiizvtkhgy65z 0 106597 781762 755667 2022-08-21T22:49:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |binomialen Gleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |X^n ||1 || || || |SZ= }} über {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e121thmfruwwttgbbef4yr2evpngotd 0 106601 778869 763092 2022-08-21T14:58:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der Nullpunkt von {{mathl|term= V(Z^2-XY)|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |isolierte Singularität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Fläche über jedem Körper. Hat dies bei {{ Ma:Vergleichskette |K || \R || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC}} || || || |SZ= }} eine topologische Auswirkung? Im Komplexen kann man {{ Ma:Vergleichskette/disp |XY || (U+ {{Imaginäre Einheit|}} V)(U - {{Imaginäre Einheit|}} V) || U^2 +V^2 || || |SZ= }} schreiben und sieht, dass man genauso gut mit der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z^2 || U^2+V^2 || || || |SZ= }} für den Standardkegel arbeiten kann. Eine topologische Besonderheit des reellen Standardkegels ist, dass, wenn man die Singularität, also die Kegelspitze, herausnimmt, der Kegel in zwei Zusammenhangskomponenten zerfällt, die jeweils homöomorph zur punktierten Ebene sind und deren {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentalgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Z|SZ=}} ist. Eine glatte reelle Ebene bleibt dagegen, wenn man einen Punkt herausnimmt, zusammenhängend, und die Fundamentalgruppe ist {{math|term= \Z|SZ=.}} Es ist ein typisches Phänomen, dass topologische Eigenschaften hervortreten, wenn man die Singularität herausnimmt und Eigenschaften des Komplements betrachtet. In {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Monomialer Standardkegel/R/Topologischer Homöomorphietyp/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} werden wir sehen, dass auch das reelle Nullstellengebilde {{math|term= V(Z^2-XY)|SZ=}} in zwei Zusammenhangskomponenten zerfällt, wenn man die Singularität herausnimmt. Die komplexe Ebene ist reell betrachtet ein vierdimensionaler Raum. Wenn man einen Punkt herausnimmt, bleibt das Komplement zusammenhängend und sogar {{ Definitionslink |Prämath= |einfach zusammenhängend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} d.h. die Fundamentalgruppe ist trivial. Wir werden als Korollar zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= ADE/Zweidimensional/Fixpunktfreie Operation/Lokale Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sehen, dass das komplexe Nullstellengebilde {{mathl|term= V( Z^2-XY )|SZ=}} hingegen die Eigenschaft hat, dass das Komplement zur Singularität zwar auch zusammenhängend ist, seine Fundamentalgruppe aber gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fpjmyau5o565j3uh28s91cs86ve0ynz 0 106602 780410 754610 2022-08-21T19:03:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V ||V(XY-Z^n) |\subset| {{op:Affiner Raum|3|K}} || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt von {{math|term= V|SZ=}} mit jeder Ebene durch den Nullpunkt nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht. |Zeige{{n Sie}}, dass es Geraden durch den Nullpunkt derart gibt, dass der Durchschnitt {{mathl|term= V \cap G |SZ=}} nur aus endlich vielen Punkten besteht. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie2=Dimensionstheorie für affine Varietäten über Schnitte mit linearen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d4h6fpe3e6bv4ne0b1aftznh3yikj7e 0 106610 781083 755144 2022-08-21T20:55:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} seien {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|\N || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremde| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zahlen und sei {{ Ma:Vergleichskette | X^a-Y^b |\in| K[X,Y] || || || |SZ= }} das zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |binomiale Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung3 |Das Polynom {{mathl|term= X^a-Y^b|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es gibt eine bijektive polynomiale Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | K| V(X^a-Y^b) \subseteq K^2 |t| (t^b,t^a) |SZ=. }} |Bei {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\geq|2 || || || |SZ= }} besitzt {{mathl|term= V(X^a-Y^b) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |isolierte Singularität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Nullpunkt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fedny83j6vlebgk8twzdeojfe9kjm0g 0 106611 779520 752633 2022-08-21T16:41:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Nullstellenmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V(X-YZ,Y-XZ) |\subseteq| K^3 || || |SZ= }} und bestimmen die {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen Komponenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon. Die {{math|term= z|SZ=-}}Achse {{mathl|term= V(X,Y)|SZ=}} ist eine Teilmenge von {{math|term= V|SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y(X-YZ) -X(Y-XZ) || -(Y^2-X^2) Z || -(Y-X)(Y+X)Z || || |SZ= }} gehört auch das Produkt {{mathl|term= (Y-X)(Y+X)Z|SZ=}} zum definierenden Ideal. Für einen jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||(x,y,z) |\in|V || || || |SZ= }} gilt also {{ Ma:Vergleichskette |z ||0 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |x ||y || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |x ||-y || || || |SZ=. }} Im ersten Fall ist auch {{ Ma:Vergleichskette |x ||y ||0 || || |SZ=. }} Im zweiten Fall werden die beiden definierenden Polynome zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |X-XZ ||X(1-Z) || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette/disp |x ||0 || || || |SZ= }} gehört der Punkt zur {{math|term= z|SZ=-}}Achse, anderfalls ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |P |\in| V(Y-X, Z-1) || || || |SZ=. }} Im dritten Fall kommt noch die Möglichkeit {{ Ma:Vergleichskette/disp |P |\in| V(Y+X, Z+1) || || || |SZ= }} hinzu. Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || V(X,Y) \cup V(Y-X, Z-1) \cup V(Y+X, Z+1) || || || |SZ= }} eine Vereinigung von drei Geraden, wobei sich die erste und die zweite in {{mathl|term= (0,0,1)|SZ=}} und die erste und die dritte in {{mathl|term= (0,0,-1)|SZ=}} treffen. Insbesondere ist {{math|term= V|SZ=}} eindimensional und zusammenhängend. Wir betrachten nun die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} diese ist {{ math/disp|term= {{op:Matrix23|1|-Z|-Y|-Z|1|-X}} |SZ=. }} Diese hat in einem Punkt {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=}} genau dann den {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=,}} wenn die zweite Zeile das {{math|term= -z|SZ=-}}fache der ersten Zeile ist. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |z^2 ||1 || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette |z ||1 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |z ||-1 || || || |SZ=. }} Im ersten Fall ist wegen der letzten Spalte der Jacobi-Matrix {{ Ma:Vergleichskette | y || (-1) (-y) || -x || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |z ||1 || || || |SZ= }} werden aber beide definierenden Gleichungen zu {{ Ma:Vergleichskette |x ||y || || || |SZ=, }} so dass nur im Kreuzungspunkt {{mathl|term= (0,0,1)|SZ=}} eine Singularität vorliegt. Der zweite Fall {{ Ma:Vergleichskette |z ||-1 || || || |SZ= }} führt entsprechend zur Singularität {{mathl|term= (0,0,-1)|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o2rjtl1blsuuw3kgs8v6hrwrvdr85l8 0 106615 784298 757931 2022-08-22T05:52:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | V(XV-YU, YW-ZV,XW-ZU) |\subseteq| K^6 || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt {{mathl|term= V \cap L|SZ=}} mit dreidimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |L |\subset|K^6 || || || |SZ= }} nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht. |Zeige{{n Sie}}, dass es zweidimensionale Untervektorräume {{ Ma:Vergleichskette |L |\subset|K^6 || || || |SZ= }} derart gibt, dass der Durchschnitt {{mathl|term= V \cap L|SZ=}} nur aus endlich vielen Punkten besteht.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Determinantenringe |Kategorie2=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie3=Dimensionstheorie für affine Varietäten über Schnitte mit linearen Räumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9wg0deu5xvc79jbrermf19rr3ouqhcf 0 106617 784297 757930 2022-08-22T05:51:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |K[X,Y,Z,U,V,W]| K[X,Y,Z,T] || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= X \mapsto X,\, Y \mapsto Y,\, Z\mapsto Z,\, U \mapsto XT,\, V \mapsto YT,\, W \mapsto ZT, |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (XV-YU, YW-ZV,XW-ZU) |SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gehört. Zeige{{n Sie}}, dass der induzierte Ringhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{makl| K[X,Y,Z,U,V,W]/(XV-YU, YW-ZV,XW-ZU) |}}_Z | K[X,Y,Z,T]_Z || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Determinantenringe |Kategorie2=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qvp609fj4m03f18k97ktkkdx92vg028 0 106628 781082 755143 2022-08-21T20:55:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} seien {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|\N || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremde| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zahlen und sei {{ Ma:Vergleichskette | X^a-Y^b |\in| K[X,Y] || || || |SZ= }} das zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |binomiale Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass der durch {{mathl|term= X \mapsto T^b|SZ=,}} {{mathl|term= Y \mapsto T^a|SZ=,}} gegebene {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X,Y]/ {{makl| X^a-Y^b |}} | K[T] || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass dieser Homomorphismus einen {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{makl| K[X,Y]/ {{makl| X^a-Y^b |}} |}}_X | K[T]_T || |SZ= }} induziert. |{{ManSie|Man folgere|Folgern Sie}}, dass für jedes {{ mathbed|term= c \in K ||bedterm1= c \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ein Isomorphismus von {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Ringen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{makl| K[X,Y]/ {{makl| X^a-Y^b |}} |}}_{(X- c^b,Y-c^a)} | K[T]_{(T-c)} || |SZ= }} vorliegt. |Zeige{{n Sie}}, dass der induzierte Homomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{makl| K[X,Y]/ {{makl| X^a-Y^b |}} |}}_{(X,Y)} | K[T]_{(T)} || |SZ= }} kein Isomorphismus ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0luvneemm6v949ywsm0lkodbi6z2rf7 0 106634 780634 754764 2022-08-21T19:41:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V(f) |\subseteq|K^n || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Hyperfläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem nichtkonstanten Polynom {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V || || || |SZ= }} ein Punkt. Zeige{{n Sie}}, dass es Geraden durch den Punkt {{math|term= P|SZ=}} gibt, deren Durchschnitt mit {{math|term= V|SZ=}} endlich ist. Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt von {{math|term= V|SZ=}} mit jeder Ebene durch den Punkt {{math|term= P|SZ=}} nicht endlich ist {{ Zusatz/Klammer |text=und dass {{math|term= P|SZ=}} kein isolierter Punkt des Durchschnitts ist| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für affine Varietäten über Schnitte mit linearen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} acev1ltyb9pcbh8mkeq88jhi5dz96a4 0 106645 783793 586849 2022-08-22T04:28:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein arbeitet als Fahrradkurier und bekommt einen Stundenlohn von {{math|term= 12|SZ=}} {{Euro|SZ=.}} Am Obststand kosten Himbeeren {{math|term= 3|SZ=}} {{Euro|SZ=,}} Erdbeeren kosten {{math|term= 2|SZ=}} {{Euro|}} und Äpfel {{math|term= 0,4|SZ=}} {{Euro|}} {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils pro Hundert Gramm| |ISZ=|ESZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die Abbildung, die einem Einkauf die Zeit zuordnet, die Lucy für den Einkauf arbeiten muss, als eine Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} spchnchg7eqvext7m8tq5y4v8c9qtyz 0 106646 783783 586865 2022-08-22T04:26:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Laden kostet Schokolade {{math|term= 1|SZ=}} {{Euro|SZ=,}} Kartoffeln {{math|term= 4|SZ=}} {{Euro|}} und Spinat {{math|term= 2|SZ=}} {{Euro|SZ=}} pro Tafel bzw. Sack bzw. Packung. Oma Müller kauft zwei Tafeln Schokolade, drei Säcke Kartoffeln und drei Packungen Spinat und zahlt dafür {{math|term= 20|SZ=}} {{Euro|SZ=.}} Mustafa ist vom Einkauf etwas enttäuscht und sagt: {{Anführung|wenn du zwei Säcke Kartoffeln und eine Packung Spinat weniger und dafür zehn Tafeln mehr gekauft hättest, so hätte das genau gleich viel gekostet|SZ=.}} Gabi Hochster ist zu Besuch und sagt: {{Anführung|oder wenigstens einen Sack Kartoffeln weniger und dafür vier Tafeln mehr, das hätte den Preis auch nicht geändert|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Finde{{n Sie}} weitere Möglichkeiten, den Einkauf abzuändern, ohne den Gesamtpreis zu ändern. |Bestimme{{n Sie}} den Kern {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq| \Q^3 || || || |SZ= }} der Preisabbildung. |Welche Elemente des Kerns lassen sich im eingangs beschriebenen Kontext sinnvoll interpretieren {{ Zusatz/Klammer |text=wenn nur ganzzahlige Einkäufe mö{{latextrenn}}glich sind| |ISZ=|ESZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s78dki901b2kpu31n1nuj8kdjzxokfm 0 106648 783787 757419 2022-08-22T04:27:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= m,n \in \N|SZ=.}} Es sei {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i {{=|}} 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= K^n|SZ=}} und seien {{ mathbed|term= w_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} Elemente in {{math|term= K^m|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es genau eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= \varphi(v_i) = w_i \text { für alle } i {{=}} 1 {{kommadots|}} n |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} md7ap82oq4ywvrukvttv2sjcno4qgtr 0 106653 784067 757711 2022-08-22T05:13:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem Körper {{math|term= K|SZ=,}} {{ Ma:abb |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |Mx ||0 || || || |SZ= }} das zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |homogene lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Lösungsmenge des Systems gleich dem {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2scxapk06ap2ed09t454rhoobxuhjke 0 106664 782543 586911 2022-08-22T00:59:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= n|SZ=}} Geraden in der Ebene gegeben. Was kann man über die mögliche Anzahl von Schnittpunkten aussagen? Man mache sich die Situation für {{ Ma:Vergleichskette |n ||2,3,4,5 || || || |SZ= }} klar und versuche, Gesetzmäßigkeiten zu erkennen, diese für beliebiges {{math|term= n|SZ=}} zu formulieren und zu beweisen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Geradenkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6k9irfntmcg7z1nvdp5rx43345sgduh 0 106667 784437 758036 2022-08-22T06:11:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= K[X,Y,Z]/(X - YZ,Y - XZ ) |SZ= }} zum Restklassenring {{ math/disp|term= K[X,Z]/ {{makl| X - XZ^2 |}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen Komponenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:Vergleichskette/disp |V {{makl| X-XZ^2 |}} |\subseteq|K^2 || || || |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} die singulären Punkte von {{mathl|term= V {{makl| X-XZ^2 |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2814hgv80zw9iu0sulg3x3spyuhca6g 0 106673 783318 757016 2022-08-22T03:08:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \sim|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M/\sim|SZ=}} eine eindeutig bestimmte Verknüpfung derart gibt, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |kanonische Projektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |M|M/\sim || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2=Theorie der Quotientenmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s07v8mhm0wdwadn1q5ch9qe6invpdcr 0 106685 784440 758040 2022-08-22T06:11:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath=\R |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= \R[X,Y,Z]/(Z^2-X^2-Y^2) |und|term2= \R[X,Y,Z]/(Z^2-XY) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, aber nicht, wenn man {{math|term= Z|SZ=}} auf {{math|term= Z|SZ=}} abbildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j8znd912s2nu529uvb1sl9bdzxq1egg 0 106696 784394 758012 2022-08-22T06:05:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M,N|SZ=}} kommutative Monoide. Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \varphi |M|N || |SZ= }} werde der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R[M]|R[N] || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit {{mathl|term= R[\varphi]|SZ=}} bezeichnet. Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung2 |Zur Identität {{math|term= {{op:Identität|M|}} |SZ=}} ist auch {{mathl|term= R[ {{op:Identität|M|}}]|SZ=}} die Identität. |Für eine {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Monoidhomomorphismen ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | R[ \varphi \circ \psi] || R[ \varphi] \circ R[ \psi] || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jxguep46054b8ynmsw9xzdci9rr9ngg 0 106700 783313 757013 2022-08-22T03:07:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |M|N || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Monoiden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sim|SZ=}} auf {{math|term= M|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette |\mu |\sim| \nu || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette | \varphi (\mu) || \varphi(\nu) || || || |SZ= }} ist, definiert. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \sim|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |mit der Verknüpfung verträglich| |Kontext=Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2=Theorie der Quotientenmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p9b5042dct3v3zz8fsuh4vwsdgtrz4s 0 106703 783161 756877 2022-08-22T02:42:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M,+,0)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= \sim|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \sim|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |mit der Verknüpfung verträglich| |Kontext=Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es eine Untergruppe {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq|M || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette |\mu |\sim| \nu || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Ma:Vergleichskette | \mu - \nu |\in|H || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2=Theorie der Normalteiler |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzz96i1trub0gw3brbnx8bgbqye1u6d 0 106705 783314 757014 2022-08-22T03:08:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine kleinste, {{ Definitionslink |Prämath= |mit der Verknüpfung verträgliche| |Kontext=Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} gibt, die {{math|term= R|SZ=}} umfasst. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8dtpdg6f4vgegbs2vztg3gpdyjmao5h 0 106706 784376 587078 2022-08-22T06:03:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} eine Realisierung des Monoids {{mathl|term= \N^2/ 2e \sim 4f |SZ=}} als Untermonoid von {{mathl|term= \N \times {{op:Zmod|2|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c4wf0lpjf6wxqac20odnz19mb8jgtu0 0 106709 781081 755142 2022-08-21T20:55:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |singulären Punkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch {{ Ma:Vergleichskette |X^aY^b ||Z^c || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperfläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term= {{CC|}}^3 |SZ.=}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 78f18eerllbtocy5lvsxnmlyd4e0qk3 0 106714 783310 757010 2022-08-22T03:07:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutatives Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die von einer einzigen Relation {{ Ma:Vergleichskette |\alpha |\sim| \beta || || || |SZ= }} erzeugte {{ Definitionslink |Prämath= |mit der Verknüpfung verträgliche| |Kontext=Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} folgendermaßen gegeben ist: Es ist {{ Ma:Vergleichskette |x |\sim|y || || || |SZ= }} genau dann, wenn es eine Kette {{ math/disp|term= x_1=x {{kommadots|}} x_n=y |SZ= }} gibt, wobei es für jedes {{math|term= i|SZ=}} ein {{ Ma:Vergleichskette |r |\in| \N || || || |SZ= }} und ein {{ Ma:Vergleichskette | \gamma |\in|M || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |x_i || r \alpha + \gamma || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |x_{i+1} || r \beta + \gamma || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder umgekehrt| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sok5trz7vtffodcr7hg9sdtlwx2ygis 0 106723 781692 755619 2022-08-21T22:37:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge aller Geraden in der Ebene. Wir sagen, dass die Geraden {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} in Relation stehen, wenn sie {{ Zusatz/Klammer |text=mindestens| |ISZ=|ESZ= }} einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Welche {{ Definitionslink |Prämath= |Relationseigenschaften| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Mengen/Relation/Verschiedene Eigenschaften/Definition |SZ= }} treffen für diese Relation zu, welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} arudzko0ahzt4nzw9r9wk97nzx5kvie 0 106724 783511 757175 2022-08-22T03:40:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Einheitskreisscheibe {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{Mengebed|(x,y)| x^2 +y^2 \leq 1}} |\subseteq| \R^2 || || || |SZ= }} als Relation auf {{math|term= \R|SZ=.}} {{ Aufzählung5 |Gehört {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|2|3}} | {{op:Bruch|3|4}} }} |SZ=}} zur Relation? |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= 0|SZ=}} in der ersten Komponente. |Ist die Relation {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Wenn {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} zur Relation gehört, gehört dann auch {{mathl|term= (-y,-x)|SZ=}} zur Relation? |Es sei {{ Ma:abb |name= \varphi |\R^2| \R^2 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wenn {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} zur Relation gehört, gehört dann auch {{mathl|term= \varphi(x,y)|SZ=}} zur Relation? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=1 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jvxtlevfxf3bjrcs3xca3a9lb7ndm2l 0 106746 779479 587275 2022-08-21T16:35:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Example of a set|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Stephan Kulla |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 1.0 |Bemerkung= }} Es sei eine Menge von geometrischen Objekten, beispielsweise eine Menge von {{math|term= n|SZ=-}}Ecken, gegeben, die sortiert werden sollen. Die Sortierung soll vollständig sein und jedem Objekt genau einen Typ zuweisen. Objekte, die den gleichen Typ repräsentieren, heißen äquivalent {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne der Sortierung| |ISZ=|ESZ=. }} Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die mehr oder weniger natürlich sind. Eine naheliegende Möglichkeit bei den {{math|term= n|SZ=-}}Ecken ist es, sie nach der Anzahl der Ecken zu sortieren. Zwei Objekte sind genau dann äquivalent, wenn sie die gleiche Anzahl an Ecken besitzen. Man kann sie aber auch nach der Farbe oder gemäß der Person, die die Figur gemalt hat, oder nach dem Flächeninhalt sortieren. {{ inputbild |Six Quadrilaterals|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Jim.belk |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Oder man kann eine Menge von gegebenen Vierecken gemäß gewisser {{ Zusatz/Klammer |text=geometrisch relevanter| |ISZ=|ESZ= }} Eigenschaften sortieren. Wenn man sich nur auf eine Eigenschaft konzentriert, beispielsweise, ob ein Viereck ein Rechteck ist oder nicht, so gibt es nur zwei Typen bzw. Klassen. Man kann natürlich auch eine feinere Einteilung vornehmen. Man beachte dabei allerdings, dass die mathematischen Begriffe inklusiv sind {{ Zusatz/Klammer |text=ein Quadrat ist insbesondere ein Rechteck| |ISZ=|ESZ=, }} eine vollständige Aufteilung ergibt sich also nur dann, wenn man Konzepte wie Quadrat, Rechteck, aber kein Quadrat, Parallelogramm, aber kein Rechteck, etc. verwendet. Es gibt keine natürliche optimale Aufteilung der Menge aller Vierecke. Ein typisches Phänomen bei solchen Klassifikationen ist, dass es einen großen Rest von Objekten gibt, der außerhalb jedes Regularitätskonzeptes liegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der Polygone |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} inksdaupnbu2n3wrwna296s2215wy89 0 106752 783753 757391 2022-08-22T04:21:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge der Leute im Kurs. Bestimme{{n Sie}} für die folgenden, durch eine Eigenschaft festgelegten {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=,}} wer zu wem äquivalent ist. {{ Aufzählung3 |Hat im gleichen Monat Geburtstag. |Hat das gleiche Zweitfach {{ Zusatz/Klammer |text=neben Mathematik| |ISZ=|ESZ=. }} |Wohnt in der gleichen Stadt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p17gcfnz1r5z9ckj5q2dsbyne89j7lt 0 106754 784509 758077 2022-08-22T06:20:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge der natürlichen Zahlen {{math|term= \N|SZ=}} übereinstimmen. {{ Aufzählung3 |Die Einerziffer in der {{ Definitionslink |Prämath= |Zifferndarstellung| |Kontext=adisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Basis {{math|term= 7|SZ=}} von {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} ist gleich. |Die Differenz {{mathl|term= a-b|SZ=}} ist ein Vielfaches der {{math|term= 7|SZ=.}} |{{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} haben bei der Division durch {{math|term= 7|SZ=}} den gleichen Rest. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Division mit Rest (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejk8mb68p76up02wm0aclkz7fhal156 0 106759 784522 632344 2022-08-22T06:22:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Arctic food web|svg|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Offnfopt |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten die Relation im nebenstehenden Diagramm, wobei eine Pfeil {{mathl|term= x \rightarrow y|SZ=}} bedeutet, dass {{math|term= x|SZ=}} von {{math|term= y|SZ=}} gefressen wird. {{ Aufzählung5 |Was frisst ein Polarbear? |Von wem wird ein Capelin gefressen? |Welche Tiere stehen an der Spitze der Nahrungskette? |Ist die Relation transitiv? |Ist die Relation antisymmetrisch? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=0.5 |p2=0.5 |p3=1 |p4=1 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wkcuguv068psfz5i3oh1ozikp5ez9g 0 106762 785170 758519 2022-08-22T07:57:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= \delta |\Z^r|D || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath=D |Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_r]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Unterring der neutralen Stufe ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fgyswiyjxcn7bo7l81jlkvmjgsav08j 0 106764 782701 756481 2022-08-22T01:25:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || \Z^r \times {{op:Zmod|n_1|}} \times {{op:Zmod|n_2|}} {{timesdots}} {{op:Zmod|n_s|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathl|term= n_1 {{kommadots|}} n_s \in \N_{\geq 2} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[G]|SZ=}} durch Variablen und Relationen. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Zusatz/Klammer |text=unter gewissen Voraussetzungen an den Körper| |ISZ=|ESZ= }} das entsprechende {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellengebilde| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Gruppenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oeukys3w5atbtd6n9da0ewcop75hm9e 0 106767 783873 757502 2022-08-22T04:41:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq| {{op:GLG|n|K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die zur {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]|SZ=}} führt. Zeige{{n Sie}}, dass dies auch eine Operation von {{math|term= G|SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{ (X_1 {{kommadots|}} X_n) } |SZ=}} induziert, und dass {{mathl|term= {{makl| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{ (X_1 {{kommadots|}} X_n ) } |}}^G |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{makl| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]^G |}}_{ {{idealn}} } |SZ=}} ist, wobei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealn|}} || (X_1 {{kommadots|}} X_n) \cap K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]^G || || || |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qm7g31spsjsn4u7ogjym0uagi8j7eoe 0 106788 786498 646134 2022-08-22T11:35:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Schüler und Schülerinnen der Klasse 3b werden für den Schwimmunterricht in die vier Leistungsklassen {{mathl|term= A,B,C,D|SZ=}} eingeteilt. Wenn der Schwimmunterricht im Freibad stattfindet, so schwimmen die Leistungsklassen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} im großen Becken und die Leistungsklassen {{ mathkor|term1= C |und|term2= D |SZ= }} im kleinen Becken. Wenn der Schwimmunterricht im Hallenbad stattfindet, so schwimmt die Leistungsklasse {{math|term= A|SZ=}} auf den Bahnen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 2 |SZ=, }} die Leistungsklassen {{ mathkor|term1= B|und|term2= C |SZ= }} auf den Bahnen {{math|term= 3|SZ=}} bis {{math|term= 6|SZ=}} und die Leistungsklasse {{math|term= D|SZ=}} macht Trockenübungen. Erläutere diese Situation mit Hilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Haseigelschule |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ptlsupnfk27bps8q5rjus0unmqss7kr 0 106790 782445 756269 2022-08-22T00:43:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man durch die Festlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | [(a,b)] \cdot [(c,d)] | {{defeq|}} |[(ac+bd, ad+bc)] || || || |SZ= }} auf {{ Zusatz/Klammer |text=dem {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassenmodell| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= \Z|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Verknüpfung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erhält, die {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |assoziativ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und die {{mathl|term= [(1,0)]|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |neutrales Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hg4htl13d7j6wdpnnyi6kqs35n124fo 0 106793 782444 756268 2022-08-22T00:42:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man durch die Festlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | [(a,b)] | \geq |[(c,d)] || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette/disp |a+d | \geq | b+c || || || |SZ=, }} auf {{ Zusatz/Klammer |text=dem Äquivalenzklassenmodell von| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= \Z|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erhält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kackdcmkmtwm8kv13cdbl0nt21onlad 0 106798 785140 758500 2022-08-22T07:53:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Kontraktion| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=,}} die von der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardgraduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Positiv graduierte Algebra/C/Kontrahierbar/Triviale Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} herrührt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der positiv-graduierten Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eysqfwg9c1dt80f86hv1inak3zbj1e2 0 106799 785139 758499 2022-08-22T07:53:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Kontraktion| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=,}} die von einer {{ Definitionslink |Prämath= |positiven Graduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Positiv graduierte Algebra/C/Kontrahierbar/Triviale Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} herrührt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der positiv-graduierten Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hm1bnp5rg89tjnevcrrou12492xwyza 0 106802 781676 755606 2022-08-21T22:34:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Fundamentalgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Kurven {{ Ma:Vergleichskette/disp |V {{makl| X^a-Y^b |}} |\subset| {{CC|}}^2 || || || |SZ= }} zu {{mathl|term= a,b|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 13w7tuxujjqfuau5x0eqrdzivbge5l0 0 106803 780409 754609 2022-08-21T19:03:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= k|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= \ell|SZ=.}} Definiere{{n Sie}} eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V {{makl| XY-Z^k |}} |V {{makl| XY-Z^\ell |}} || |SZ= }} die mit den Quotientenabbildungen des {{math|term= {{CC|}}^2 |SZ=}} verträglich ist. Beschreibe{{n Sie}} die Abbildung der {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Fundamentalgruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter dieser Abbildung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2tdhc8ujafb7jj6wud9gj6zt9zrjwp6 0 106810 781220 755259 2022-08-21T21:18:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette | n |\geq| 2 || || || |SZ= }} und {{math|term= \xi|SZ=}} eine {{math|term= n|SZ=-}}te primitive komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Operation der Matrizen {{ Ma:Vergleichskette | \varphi_j || {{op:Matrix22| \xi^j|0|0|\xi^{-j}|}} || || || |SZ= }} auf dem {{math|term= {{CC|}}^2 |SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P || (u,v) |\neq| (0,0) || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} einen Radius {{ Ma:Vergleichskette |r |>|0 || || || |SZ= }} derart, dass die Bälle {{mathl|term= {{op:Offener Ball| \varphi_j(P)| r}} |SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette |j |\neq|0 || || || |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qfvymk9jme4l5tg1wabnua5nbwvjb77 0 106815 786622 587576 2022-08-22T11:56:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es finden ein Gipfeltreffen von {{math|term= n|SZ=}} Staaten statt, wobei jeder Staat entweder den Präsidenten(-in) oder den Vizepräsidenten hinschickt. Das Gastgeberland ist jedenfalls mit dem Präsidenten vertreten. Wie viele Möglichkeiten für das Gipfeltreffen {{ Zusatz/Klammer |text=also Kombinationsmöglichkeiten an Repräsentanten| |ISZ=|ESZ= }} gibt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l8tjf3oxmoc7ux90kxup00i0pkmlcn7 0 106823 780144 752424 2022-08-21T18:16:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:abbele/disp |name=\delta |\Z^2| {{op:Zmod|\ell|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= \delta(e_1) = 1 ,\, \delta(e_2) = \ell -1 |SZ= }} gegebene Graduierung auf {{mathl|term= {{CC}}[U,V]|SZ=,}} die der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrizen {{ math/disp|term= {{op:Diagonalmatrix2|\zeta^{i}|\zeta^{-i} }} ,\, i = 1 {{kommadots|}} \ell-1 |SZ= }} zu einer {{math|term= \ell|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |primitiven Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} entspricht, vergleiche dazu {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Der Kern ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Gamma || \langle \ell e_1, e_1+e_2 \rangle || || || |SZ= }} und das Monoid durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | M || \langle \ell e_1, \ell e_2, e_1+e_2 \rangle || || || |SZ= }} gegeben, der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{mathl|term= {{CC}}[X,Y,Z]/{{makl| XY-Z^\ell |}} |SZ=.}} Die Bedingungen von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Zyklische Gruppe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind dabei erfüllt, es ist also {{mathl|term= 0 \in {{CC}}^2|SZ=}} der einzige Fixpunkt und die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^2 \setminus \{0\}|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher kann man {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also {{ math/disp|term= {{op:Spek|{{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY - Z^\ell |}} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |SZ=, }} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|\ell|}} |SZ=}} ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf dem Differenzengitter| |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |\Gamma {{=}} {{op:Kern|\delta|}} | \Z || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= \gamma(\ell e_1) =1,\, \gamma( e_1+e_2) = 0 \text{ und } \gamma(\ell e_2) =-1 |SZ= }} gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach {{math|term= \Z^2|SZ=}} fortsetzen, allerdings lässt sich das {{math|term= \ell|SZ=-}}fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY - Z^\ell |}} |{{CC}}[T,T^{-1}] || |SZ= }} mit {{mathl|term= \varphi(X)= T|SZ=,}} {{mathl|term= \varphi(Y)= T^{-1} |SZ=}} und {{mathl|term= \varphi(Z)=1|SZ=,}} was wiederum der stetigen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|{{CC}}|}} | {{op:Spek| {{CC}}[X,Y,Z]/(XY - Z^\ell)|}}_{{CC}} {{=|}} V {{makl| XY-Z^\ell |}} | t| (t,t^{-1},1) |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ins punktierte Spektrum| |ISZ=|ESZ= }} entspricht. Somit ist {{ Ma:abbele/disp |name= |[0,2 \pi]| {{op:Spek| {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY - Z^\ell |}} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |s| {{op:Zeilenvektor|e^{ {{Imaginäre Einheit|}} s}|e^{- {{Imaginäre Einheit|}} s}|1}} |SZ=, }} ein Erzeuger der {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Fundamentalgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieses Monoidringes. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o7rhtnb3dospa8guh1uqtssvattegcr 0 106828 785226 758561 2022-08-22T08:05:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen und {{mathl|term= {{{s|s}}} \in \N_+|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Veronese-Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R^{({{{s|s}}})}|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Monoid {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{mengebed|m{{=}} (m_1 {{kommadots|}} m_n) \in \N^n| \sum_{i{{=}} 1}^n m_i \in \N {{{s|s}}}|}} |\subseteq|\N^n || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4lpyscejbnc4segoezvk1ku0478bv5i 0 106829 780038 752311 2022-08-21T18:01:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:abbele/disp |name=\delta |\Z^{{{n|n}}}| {{op:Zmod|\ell|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ math/disp|term= \delta(e_j) = 1 \text{ für alle } j |SZ= }} gegebene Graduierung auf {{mathl|term= {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]|SZ=,}} die der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrizen {{ math/disp|term= {{op:Diagonalmatrix5|\zeta^{ {{{i|i}}} } | \zeta^{ {{{i|i}}} } |\ddots|\zeta^{ {{{i|i}}} } | \zeta^{ {{{i|i}}} } |}} ,\, i =1 {{kommadots|}} \ell-1 |SZ=, }} zu einer {{math|term= \ell|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |primitiven Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} entspricht. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Operation der {{math|term= \ell|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Veronese-Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term={{CC}}[X_1 {{kommadots}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)}|SZ=.}} Die Bedingungen von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Zyklische Gruppe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind dabei erfüllt, es ist also {{mathl|term= 0 \in {{CC}}^{{{n|n}}}|SZ=}} der einzige Fixpunkt und die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^{{{n|n}}} \setminus \{0\}|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher kann man bei {{ Ma:Vergleichskette | {{{n|n}}} | \geq | 2 || || || |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also {{ math/disp|term= {{op:Spek|{{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}} ]^{(\ell)} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |SZ=, }} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|\ell|}} |SZ=}} ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf dem Differenzengitter| |ISZ=|ESZ= }} durch den Homomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |\Gamma {{=}} {{op:Kern|\delta|}} | \Z || |SZ= }} gegeben, der die Erzeuger {{math|term= e_j|SZ=}} des umgebenden {{math|term= \Z^{{{n|n}}}|SZ=}} auf {{math|term= {{op:Bruch|1|\ell}} |SZ=}} abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf {{math|term= 1|SZ=}} abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}} ]^{(\ell)} |{{CC}}[T,T^{-1}] || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi {{makl| X^\nu |}} ||T^{ {{op:Bruch|{{op:Betrag|\nu||}} |\ell }} } || || || |SZ= }} für alle Monome {{math|term= X^\nu|SZ=}} aus dem Veronese-Ring {{ Zusatz/Klammer |text=die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome {{ mathbed|term= X^{\nu} ||bedterm1= {{op:Betrag| \nu|}} {{=}} \ell ||bedterm2= |SZ=, }} werden einfach auf {{math|term= W|SZ=}} abgebildet| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|{{CC}}|}} | {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |}}_{{CC}} | t| (t : \, {{op:Betrag|\nu|}} {{=}} \ell ) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ins punktierte Spektrum| |ISZ=|ESZ=. }} Somit ist {{ Ma:abbele/disp |name= |[0,2 \pi]| {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |s| {{makl| e^{ {{Imaginäre Einheit|}} s } :\, {{op:Betrag|\nu|}} {{=}} \ell |}} |SZ=, }} ein Erzeuger der {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Fundamentalgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Veronese-Ringes. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2=Theorie der Veronese-Unterringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rihisnmaxid6hyi1jrudcpcrscshide 0 106839 782397 587643 2022-08-22T00:35:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Fußballmannschaft des TSV Wildberg verfügt über drei Torwarte, sieben Verteidigungsspieler, sechs Mittelfeldspieler und vier Angreifer. Im anstehenden Spiel gegen Effringen will sie {{ Zusatz/Klammer |text=neben einem Torwart| |ISZ=|ESZ= }} mit vier Verteidigern, drei Mittelfeldspielern und drei Angreifern agieren. {{ Aufzählung3 |Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es? |Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn man zusätzlich noch berücksichtigt, dass einer der eingesetzten Spieler der Kapitän sein soll? |Wildberg geht in der {{math|term= 80.|SZ=}} Minute mit {{mathl|term= 1:0|SZ=}} in Führung und entschließt sich, die Verteidigung zu stärken, indem zwei Angreifer durch zwei Verteidiger ersetzt werden. Wie viele Auswechlungsmöglichkeiten gibt es dafür? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Kombinatorik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t55ezlwz0kjk2xs4ih43bbzfwmibwk8 0 106845 781942 755835 2022-08-21T23:19:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq| {{op:SUG|n|}} || || || |SZ= }} eine endliche Untergruppe. Zeige{{n Sie}}, dass man die natürlich {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} auf dem {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=}} auf einen jeden {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Ball| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Offener Ball|0|r}} |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} einschränken kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mlsutk1zzilpo2afofwsqyi5y8dlf79 0 106847 780554 754716 2022-08-21T19:27:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq| {{op:SUG|2|}} || || || |SZ= }} eine endliche Untergruppe mit der zugehörigen Operation auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Ball| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Offener Ball|0|r}} |\subseteq| {{CC|}}^2 || || || |SZ= }} und dem Quotienten {{ Ma:Vergleichskette/disp |W || U /G |\subseteq|V || {{CC|}}^2/G || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} dass die Fundamentalgruppe von {{mathl|term= W \setminus \{ P \}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= P|SZ=}} den singulären Punkt des Quotienten bezeichnet| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ssic7c05uoo1l204f90twhye4nzkjkh 0 106867 783160 756876 2022-08-22T02:42:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq|G || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} und sei {{ Ma:abb |name= \varphi |H| \Z || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abb |name= |G| \Q || |SZ= }} gibt, der {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=als Abbildung nach {{math|term= \Q|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} fortsetzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der divisiblen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pw87fz01ytdwdd33dy5073je3g4br5b 0 106874 783609 757262 2022-08-22T03:57:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Seien {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| \N_+ || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|K|}} \times K^2| K^2 |(t, (x,y))| {{op:Zeilenvektor| t^ax | t^by}} |SZ=, }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Ebene {{math|term= K^2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass neben dem Nullpunkt die {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Operation die Form {{ math/disp|term= V {{makl| cX^b-dY^a |}} \setminus \{ (0,0)\} |SZ= }} haben, wobei ein Koeffizient {{ mathkor|term1= c |oder|term2= d |SZ= }} als {{math|term= 1|SZ=}} gewählt werden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2=Theorie der Gruppenoperationen der Einheitengruppe |Kategorie3=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pk7zic9ekuhvyzbfqs92px2u69c8pyp 0 106879 786027 587855 2022-08-22T10:17:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die reelle algebraische Kurve {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||V {{makl| Y^4-Y^2+X^2 |}} |\subset| \R^2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= | [0,2 \pi [ |C | \theta| {{op:Zeilenvektor| {{op:sin|\theta|}} {{op:cos|\theta|}} | {{op:sin|\theta|}} | }} |SZ=, }} eine Parametrisierung von {{math|term= C|SZ=}} gegeben ist, die surjektiv und abgesehen von einem Punktepaar injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ftqu2pr02rt4x5k3jn05nxrptqpydgw 0 106882 782755 756531 2022-08-22T01:34:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein nichtkompakter {{ Definitionslink |Prämath= |Hausdorffraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen eindeutig bestimmten {{ Definitionslink |Prämath= |kompakten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Y|SZ=}} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette |X |\subseteq|Y || || || |SZ= }} offen ist und {{mathl|term= Y \setminus X|SZ=}} aus einem einzigen Punkt besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kompaktifizierung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pwp394tkgb3w4t6u9x0i5ht4m7bllau 0 106889 786399 759474 2022-08-22T11:19:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Ein-Punkt-Kompaktifizierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^n|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Sphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S^n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kompaktifizierung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ui2jjt0eetq03vaahkkwe8ul67lzqm 0 106908 784430 758028 2022-08-22T06:10:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Seien {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| \N_+ || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V {{makl| Z^a-W^b |}} |\subseteq| K^2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die bijektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K| V |t| {{op:Zeilenvektor|t^b|t^a}} |SZ=, }} mit den Operationen der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} verträglich ist, wenn {{math|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=}} auf {{math|term= K|SZ=}} durch Multiplikation wirkt und auf {{math|term= V|SZ=}} durch Einschränkung der Operation {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|K|}} \times K^2| K^2 |(t, (z,w))| {{op:Zeilenvektor| t^b z | t^aw}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2=Theorie der Gruppenoperationen der Einheitengruppe |Kategorie3=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q0la3rp0npmgsaho3gqq75ix1djlyzn 0 106911 784600 641678 2022-08-22T06:33:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Lösungsmenge des Gleichungssystems {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_1^2-x_2^2-y_1^3+3y_1y_2^2 ||0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |2x_1x_2-3y_1^2y_2+y_2^3 ||0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2 ||1 || || || |SZ=, }} im {{math|term= \R^4|SZ=}} eine reelle eindimensionale Mannigfaltigkeit ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} inggrbyv2iejw2rggeb3rncagrb2afr 0 106923 781792 755698 2022-08-21T22:54:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine Ellipse {{ Ma:Vergleichskette |E |\subseteq|V |\subseteq| \R^3 || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |trivial| |Kontext=Knoten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wobei {{math|term= V|SZ=}} eine Ebene im {{math|term= \R^3|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Knotentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dcieeq6wpfhtr4vnqjqydgv9qdljb3t 0 106930 779047 587982 2022-08-21T15:27:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachen die monomiale Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z^2 ||W^4 || || || |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=,}}die beiden Exponenten sind also nicht teilerfremd sind. Das beschreibende Polynome zerfällt {{ Ma:Vergleichskette | Z^2-W^4 || {{makl| Z-W^2 |}} {{makl| Z+W^2 |}} || || || |SZ=, }} die Nullstellenmenge {{math|term= V|SZ=}} ist also die Vereinigung von zwei Parablen. Der Durchschnitt {{mathl|term= V {{makl| Z-W^2 |}} \cap V {{makl| Z+W^2 |}} |SZ=}} besteht allein aus dem Nullpunkt. Daher besteht {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || V \cap S^3 || {{makl| V {{makl| Z-W^2 |}} \cap S^3 |}} \cup {{makl| V {{makl| Z+W^2 |}} \cap S^3 |}} || || |SZ= }} aus zwei disjunkten Kreisen. Diese beiden Kreise sind doppelt ineinander verschlungen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 91ihbxxo166mw7n34dmkkobviv1u30q 0 106938 782487 756293 2022-08-22T00:50:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= b \in K_+|SZ=}} ein positives Element. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |ganzzahlige Exponentialfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z| (K\setminus \{0\}, \cdot,1) |n|b^n |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8x7ryx7snqv54rbaw4l8a1w9ov2v9xv 0 106941 785586 758828 2022-08-22T09:04:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Stelle{{n Sie}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Q \text{ mod } \Z|SZ=}} die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} dar. {{ Aufzählung4 | {{mathl|term= {{op:Bruch|2|3}} + {{op:Bruch|1|2}}|SZ=,}} | {{mathl|term= - {{op:Bruch|3|4}} |SZ=,}} | {{math|term= 11|SZ=,}} | {{mathl|term= {{op:Bruch|4|7}} + {{op:Bruch|5|6}}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r1hbxvq9au7ld8biczil3v6dmmvmffo 0 106942 785585 758827 2022-08-22T09:03:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Stelle{{n Sie}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Q \text{ mod } \Z|SZ=}} die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} dar. {{ Aufzählung3 | {{mathl|term= {{op:Bruch|3|8}} + {{op:Bruch|5|7}}|SZ=,}} | {{mathl|term= - {{op:Bruch|6|5}} |SZ=,}} | {{mathl|term= {{op:Bruch|6|7}} \cdot {{op:Bruch|3|2}}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ofiuvv18e8qpcaxlsaj70abhis7gi7 0 106964 781678 755608 2022-08-21T22:35:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V {{makl| Z^a-W^b |}} |\subseteq| {{CC|}}^2 || \R^4 || || |SZ= }} mit {{mathl|term= a,b|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} {{math|term= V|SZ=}} durch zwei reelle Gleichungen in vier reellen Variablen. Beschreibe{{n Sie}} {{math|term= V \cap S^3|SZ=}} durch drei reelle Gleichungen in vier reellen Variablen und zeige, dass dies eine eindimensionalen reelle Mannigfaltigkeit ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dtqt5v6mm0ls2iqsi6x6t7rjqr26tj4 0 106984 781271 755299 2022-08-21T21:27:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= A|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=D |A|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Derivation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |D {{makl| f^n |}} || n f^{n-1} D (f) || || || |SZ= }} für jedes {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|A || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Derivationen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mnti39m4fvbaehym9nsx30vr3x8ahal 0 106985 781265 755295 2022-08-21T21:26:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= A|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=D |A|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Derivation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |D {{makl| f_1 \cdots f_r |}} || f_2 \cdots f_r D {{makl| f_1 |}} + f_1 f_3 \cdots f_r D {{makl| f_2 |}} {{plusdots|}} f_1 \cdots f_{r-1} D {{makl| f_r |}} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |f_1 {{kommadots|}} f_r |\in|A || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Derivationen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tt65clod8ny42vnap0hkg4mbusei7er 0 106986 781270 755298 2022-08-21T21:27:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= A|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=D |A|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Derivation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |x_1^{n_1} \cdots x_r^{n_r} |\in|A || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |D {{makl| x_1^{n_1} \cdots x_r^{n_r} |}} || n_1 x_1^{n_1-1} x_2^{n_2} \cdots x_{r-1}^{n_{r-1} } x_r^{n_r} D {{makl| x_1 |}} {{plusdots}} n_r x_1^{n_1} \cdots x_{r-1}^{n_{r-1} } x_r^{n_r-1} D {{makl| x_r |}} || || || |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Derivationen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ttw9oaghz8aohjnugwy234edwkxxu17 0 106993 782639 756413 2022-08-22T01:15:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |A ||R[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{makl| X_n- f {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_{n-1} |}} |}} || || || |SZ= }} mit einem Polynom {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R[X_1 {{kommadots|}} X_{n-1} ] || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die Nullstellenmenge ist also der Graph zu {{math|term= f|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}} auf zwei verschiedene Arten, dass {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A|R}} |SZ=}} ein freier {{ Definitionslink |Prämath=A |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=freier Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n-1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s2widfvlk0to9b1izmr15keg8ifv7og 0 106998 779711 588272 2022-08-21T17:11:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |QuadratSpurKreuzung1|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |QuadratSpurKreuzung2|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten ein Quadrat mit den Eckpunkten {{mathl|term= (0,0),\, (0,1),\, (1,0),\, (1,1) |SZ=.}} Eine Schnecke kriecht innerhalb des Quadrates von {{ mathkor|term1= (0,0) |nach|term2= (1,1) |SZ= }} und eine zweite Schnecke von {{ mathkor|term1= (1,0) |nach|term2= (0,1) |SZ=. }} Treffen sich die beiden Schleimspuren? Diese Frage ist nicht ohne Bezug auf Zahlenbereiche zu beantworten. Wenn es sich um {{ Zusatz/Klammer |text=stückweise| |ISZ=|ESZ= }} lineare Bewegungen handelt, die beispielsweise über den rationalen Zahlen definiert sind, so gibt es auch einen Schnittpunkt mit rationalen Koordinaten {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlenebene/Zwei Geraden/Schnittmöglichkeiten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Wenn sich dagegen die beiden Schnecken längs der Kreise mit Radius {{math|term= 1|SZ=}} bewegen, so gibt es {{Anführung|optisch}} betrachtet einen Schnittpunkt {{mathl|term= (x,y)|SZ=.}} Da dieser auf den beiden Kreisen liegt, erhalten wir die beiden Bedingungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^2+y^2 ||1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |(x-1)^2 +y^2 ||1 || || || |SZ=, }} was auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 || x^2 - (x-1)^2 || 2x-1 || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |x || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} führt und auch von der Symmetrie der Situation her klar ist. Dies führt allerdings zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 ||{{op:Bruch|3|4}} || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || {{op:Bruch|\sqrt{3} |2}} || || || |SZ=, }} und dies ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/2/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine irrationale Zahl. Es gibt also innerhalb der rationalen Zahlen keinen Schnittpunkt. Innerhalb der reellen Zahlen werden wir mit dem Stetigkeitskonzept und {{ Faktlink |Präwort=dem|Zwischenwertsatz|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Situation kennenlernen, indem es stets Schnittpunkts gibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ovk3asdjn8ugcgt11govxu2p2e9tmqi 0 107004 781272 755300 2022-08-21T21:27:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=A |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Derivationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird, wenn man {{mathl|term= f \delta|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( f \delta )(a) || f \delta(a) || || || |SZ= }} definiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Derivationen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l06o6jqvnk68pf16mmo3elgd6t0vq8y 0 107063 783620 757273 2022-08-22T03:59:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= A|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|A || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|A_S|R}} |\cong| {{makl| {{op:Kählermodul|A|R}} |}} _S || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3hkmtpyh515o0e4cf6z3sqj93zsjqod 0 107064 783983 588452 2022-08-22T04:59:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein möchte wissen, ob sie von ihrem Bauchnabel im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt wird. Sie selbst ist {{mathl|term= 1,75|SZ=}} Meter groß und ihr Bauchnabel befindet sich auf {{mathl|term= 1,05|SZ=}} Meter Höhe. 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|Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eccvofyd0owam175v5z0uz9vzy3j2xv 0 107077 784834 758286 2022-08-22T07:07:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R_{\geq 1} | \R_{\geq 1} || |SZ=, }} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) | {{defeq|}} | \begin{cases} {{op:Bruch|2|x}}\, , \text{ falls } x \leq 2 \, , \\ {{op:Bruch|x|2}} \, , \text{ falls } x > 2 \, , \end{cases} || || || |SZ= }} definiert ist. {{ Aufzählung6 |Skizziere{{n Sie}} den Graphen der Funktion. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} wohldefiniert ist. |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von der Hintereinanderschaltung {{math|term= f \circ f|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} stetig ist. |Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fixpunkte von stetigen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=3 |p5=2 |p6=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 87u0k0gatfblm3eb9782msgt4usdo1c 0 107083 783621 588529 2022-08-22T03:59:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= {{op:Kählermodul| {{CC|}} |\R}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1jn9emajqkynf88omnt3q0dpm561yl6 0 107084 783623 680615 2022-08-22T03:59:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= {{op:Kählermodul| \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] |\Z}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qoj6rfwwxqsgvzs8beoln9j1gyzar1g 0 107087 783622 588533 2022-08-22T03:59:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= {{op:Kählermodul| {{CC|}} |\R}} |SZ=}} mit Hilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ge54tieyfsltz798p1j3gg3gqkar9rm 0 107090 780750 754865 2022-08-21T20:00:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es sei {{mathl|term= {{op:Folge|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=.}} Sei {{mathl|term= c \in K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=c \cdot x_n }}|SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| c \cdot x_n |}} }} || c \cdot {{makl| {{op:Folgenlimes|}} |}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9enafyr037g5bqzes1ejicyyry7l6i4 0 107091 780752 754867 2022-08-21T20:00:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergente Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{op:Folgenlimes|}}=x \neq 0|SZ=}} und {{mathl|term= x_n \neq 0|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Folge|Glied= \frac{y_n}{x_n} }}|SZ=}} ebenfalls konvergent ist mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= \frac{y_n}{x_n} }} || \frac{ {{op:Folgenlimes|y}} }{x} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pulcy361pcwzhc42aoyu7a9qt6redf5 0 107092 780779 754892 2022-08-21T20:05:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} Beispiele für positive monoton wachsende unbeschränkte {{ Definitionslink |Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} in einem angeordneten Körper {{math|term= K|SZ=}} derart, dass die Folge {{ math/disp|term= {{op:Folge|Glied= \frac{y_n}{x_n} }} |SZ= }} {{ Aufzählung3 |gegen {{math|term= 0|SZ=}} konvergiert, |gegen {{math|term= 1|SZ=}} konvergiert, |divergiert.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rov0vq4j7rsc4jtzpjygd2vrrs318zo 0 107100 785121 707207 2022-08-22T07:50:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |g ||X+X^2 |\in| K[X] || || |SZ= }} die Voraussetzung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring/n Polynome/Ableitungen/Differentialmodul/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erfüllt, und dass daher {{ Ma:Vergleichskette |(g) || (X) || || || |SZ= }} in {{mathl|term= K[X]_{(X)} |SZ=}} gilt, dass dies aber nicht in {{mathl|term= K[X]|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des formalen Ableitens |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dh2q5hjxgc9t2rswe5ae0au1k5q1whc 0 107103 782766 756543 2022-08-22T01:36:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= c \in \Q_+|SZ=,}} {{math|term= x_0 \in \Q_+|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{c}|SZ=.}} Wann konvergiert diese Folge in {{math|term= \Q|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mfl6xaratcjeqnylwbbcujpt2xt27ud 0 107104 782765 756542 2022-08-22T01:36:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} zum Startwert {{ Ma:Vergleichskette |x_0 ||2 || || || |SZ=. }} Konvergiert diese Folge in {{math|term= \Q|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5efzt7uognxxj79xv7hguczquucy4yl 0 107105 784700 588643 2022-08-22T06:47:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n | {{defeq|}} | {{op:Bruch|2|3n+5}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\epsilon || {{op:Bruch|1|10}} , \, {{op:Bruch|1|100}} , \, {{op:Bruch|1|1000}} , \, {{op:Bruch|1|10000}} , \ldots || || || |SZ=, }} ab welchem {{ Zusatz/Klammer |text=minimalen| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= n|SZ=}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n |\leq| \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 49ufhgyrs4ykxjql14nr8r27rm3kowl 0 107106 785865 603955 2022-08-22T09:50:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n | {{defeq|}} | {{op:Bruch|4n-3|5n-2}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\epsilon || {{op:Bruch|1|10}} , \, {{op:Bruch|1|100}} , \, {{op:Bruch|1|1000}} , \, {{op:Bruch|1|10000}} , \ldots || || || |SZ=, }} ab welchem {{ Zusatz/Klammer |text=minimalen| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= n|SZ=}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_n - {{op:Bruch|4|5}} |}} |\leq| \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f3aaathaxlab0w0t9g7j1jalzbv45ct 0 107115 781677 755607 2022-08-21T22:35:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die Kurven {{mathl|term= V {{makl| X^a-Y^b |}} |SZ=}} im Nullpunkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 75my6y7cyvaynh2jqx5kwp09mroven3 0 107116 782863 756633 2022-08-22T01:52:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} ein Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} im Nullpunkt mit der Milnorzahl des Polynoms {{ Ma:Vergleichskette |F+Z^2 |\in| K[X_1 {{kommadots|}} X_n,Z] || || || |SZ= }} im Nullpunkt übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ieyddhfm5ooshsoa439t81i8hou3vrg 0 107117 785181 758528 2022-08-22T07:59:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} ein Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|K^n || || || |SZ= }} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |kritischer Punkt| |Kontext=algebraisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} ist, wenn das {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealm}}_P |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobiideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= J_F |SZ=}} umfasst. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} telbuihi1638tcpdr657064mpfomi4y 0 107118 785122 758485 2022-08-22T07:50:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[X] || || || |SZ= }} ein Polynom. Bringe{{n Sie}} die Begriffe {{ Definitionslink |Prämath= |kritischer Punkt| |Kontext=algebraisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=,}} Nullstelle der {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F'|SZ=}} und {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oberhalb des {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobiideals| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= J_F |SZ=}} miteinander in Verbindung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2=Theorie des formalen Ableitens |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l6sywfegrxn8d5gpxgdkl0kadrrls06 0 107119 785127 758489 2022-08-22T07:51:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[X] || || || |SZ= }} ein Polynom. Es sei {{math|term= P|SZ=}} eine Nullstelle von {{math|term= F|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Vielfachheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Nullstelle um {{math|term= 1|SZ=}} größer als die {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2=Theorie des formalen Ableitens |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gjbreftjqjmetyjfprcv7toicczw5ya 0 107120 780644 754768 2022-08-21T19:42:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| \R[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} ein reelles Polynom und {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|\R^n || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kritischer Punkt| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Algebraische Hyperfläche/Isolierte Singularität/Hesse-Matrix/Nichtausgeartet/Milnorzahl 1/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit Hilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} angewendet auf die {{ Definitionslink |Prämath= |Hesse-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der symmetrischen Matrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} akteqhxkltbavtubz7pd9bjlscpnz0y 0 107148 782767 756544 2022-08-22T01:36:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= x_n|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} mit Startwert {{ Ma:Vergleichskette |x_0 ||2 || || || |SZ= }} und {{math|term= y_n|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} mit Startwert {{ Ma:Vergleichskette |y_0 ||3 || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= y_1-x_1|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass die Differenzfolge {{ Ma:Vergleichskette/disp |z_n |{{defeq}}|y_n-x_n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i1ywg0mcgdquny2v2scmsxdjwiooux7 0 107152 783074 756822 2022-08-22T02:28:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} die sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Folgenglieder besitzt. Zeige{{n Sie}}, dass es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5nmndtocduat99wbhq5nzv5mzvlmy67 0 107153 780742 754857 2022-08-21T19:59:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Folge|y|}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} wobei die Differenzfolge {{mathl|term= y_n-x_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass für {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} genau dann eine der Alternativen aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Angeordneter Körper/Keine Nullfolge/Abschätzung/Alternative/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt, wenn sie für {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} clgof2434il46m5vw39liky8ez3rlyl 0 107155 781178 755219 2022-08-21T21:11:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Teilfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon das gleiche Element im {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folgen-Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3drl2nsan1emf9q5drxbx9hm6r5kb5 0 107157 780706 754823 2022-08-21T19:53:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |vollständiger Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|K || || || |SZ= }} genau dann nichtnegativ ist, wenn {{math|term= x|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Quadratwurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o5p05st08vg2bp1sjbe59t26576fuqo 0 107163 779552 588994 2022-08-21T16:47:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Neilsche Parabel {{ Ma:Vergleichskette |V {{makl| X^2-Y^3 |}} |\subseteq| K^2 || || || |SZ= }} und bestimmen die Durchschnitte mit den Geraden {{mathl|term= G_\alpha|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha(t) || {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2}} t + {{op:Spaltenvektor|b_1|b_2}} || {{op:Spaltenvektor|a_1t+b_1|a_2t+b_2}} || || |SZ= }} parametrisiert sind. Die Einsetzung ergibt die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |-a_2^3 t^3 + {{makl| a_1^2 -3a_2^2b_2 |}} t^2 + {{makl| 2a_1b_1 -3a_2b_2^2 |}} t + b_1^ 2-b_2^3 ||0 || || || |SZ= }} für {{math|term= t|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |a_2 ||0 || || || |SZ= }} hat dies den Grad {{math|term= 2|SZ=,}} andernfalls den Grad {{math|term= 3|SZ=.}} Die Nullstellen dieses Polynoms und ihre Vielfachheiten variieren mit den Parametern der Gerade. Die Gerade {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha(t) || {{op:Spaltenvektor|2 t+ 1|1t+1}} || || || || |SZ= }} führt beispielsweise zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |- t^3 + t^2 + t || - t {{makl| t- {{op:Bruch|\sqrt{5} +1 |2}} |}} {{makl| t- {{op:Bruch|-\sqrt{5} +1 |2}} |}} || || || |SZ= }} mit drei einfachen Nullstellen, die Gerade {{ Ma:Vergleichskette/disp | \beta(t) || {{op:Spaltenvektor| t+ 1|t+1}} || || || || |SZ= }} führt hingegen zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |- t^3 -2 t^2 - t || - t {{makl| t + 1 |}}^2 || || || |SZ= }} mit der doppelten Nullstelle bei {{ Ma:Vergleichskette |t ||-1 || || || |SZ=. }} Eine Gerade durch den Nullpunkt kann man als {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha(t) || {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2}} t || || || |SZ= }} ansetzen, was zur Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | -a_2^3t^3 +a_1^2t^2 || 0 || || || |SZ= }} führt. Hierbei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |t ||0 || || || |SZ= }} stets eine zumindest doppelte Nullstelle und bei {{ Ma:Vergleichskette |a_1 ||0 || || || |SZ= }} sogar eine dreifache Nullstelle. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fgudlvvwahl35prxoke478gfnk8fit7 0 107164 780413 588865 2022-08-21T19:04:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, welche Geraden {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha(t) || {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2|a_3}} t || || || |SZ= }} ganz auf der {{math|term= A_1|SZ=-}}Singularität {{mathl|term= V {{makl| XY-Z^2 |}} |SZ=}} verlaufen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bhzfrxlmdv66jh7sihz9u0vwrahz4dy 0 107165 782860 756631 2022-08-22T01:52:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V || V(F) |\subseteq| K^n || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |glatter Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine Gerade durch {{math|term= P|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Vielfachheit von {{math|term= P|SZ=}} in {{mathl|term= V \cap G|SZ=}} genau dann {{math|term= \geq 2|SZ=}} ist, wenn {{math|term= G|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraum| |Kontext=extrinsisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} an {{math|term= P|SZ=}} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} msgc5bydmid1p2x9c1wgl0pb4i2s9gm 0 107170 784966 588879 2022-08-22T07:27:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|K[X] || || || |SZ= }} ein Polynom {{math|term= \neq 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die einzige Gerade durch einen Punkt {{mathl|term= (x,f(x))|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass {{math|term= Y-f(X) |SZ=}} aufgefasst auf dieser Geraden in diesem Punkt eine mehrfache Nullstelle besitzt, die Tangente durch diesen Punkt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r5euc3x8ufumuvcr7xbvimyrwsvgzp3 0 107171 781681 588997 2022-08-21T22:35:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Analysiere{{n Sie}} das Schnittverhalten von ebenen monomialen Kurven {{mathl|term= V {{makl| X^r-Y^s |}} |SZ=}} mit beliebigen Geraden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxbzjwx85vq9hrqvxz9s6j4pt17paoj 0 107178 778510 762444 2022-08-21T12:13:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zunächst ist {{math|term= R|SZ=}} ein Restklassenring eines standard-graduierten Polynomringes und somit sind die homogenen Stufen von {{math|term= R|SZ=}} nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Polynomring/K/Hilbertfunktion/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} endlichdimensional. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Homogene Surjektion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt dies auch für die Stufen des Moduls. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} quzucdbf6mwucqbdy4y4u9x8mh56ng7 0 107191 782540 756324 2022-08-22T00:58:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |E |\subset|K^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ=. }} Dann ist die generische Gerade nicht parallel zu {{math|term= E|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Algebraische Geometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} czlcmvluguv40tuc7apnphbnb561cln 0 107193 780528 588998 2022-08-21T19:23:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Analysiere{{n Sie}} das Schnittverhalten des Achsenkreuzes {{mathl|term= V {{makl| XY |}} |SZ=}} mit beliebigen Geraden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tlb7pviuz7qawhzzpad8chxdylwiie9 0 107194 780515 594148 2022-08-21T19:21:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Analysiere{{n Sie}} das Schnittverhalten von {{mathl|term= V {{makl| XYZ |}} |SZ=}} mit beliebigen Geraden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8h0mcqh89a8mk60o4ulbyjhzx05a2vq 0 107196 783277 756980 2022-08-22T03:01:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || \bigoplus_{d \in \Z} R_d || || || |SZ= }} ein kommutativer {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |M || \bigoplus_{d \in \Z} M_d || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | N || \bigoplus_{d \in \Z} N_d || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierte Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | M| N || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogener| |Kontext=Modulhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} ist, wenn für jede Stufe {{math|term= \varphi_n|SZ=}} surjektiv {{ Zusatz/Klammer |text=injektiv| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Homomorphismen von Z-graduierten Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p0xm3ltyu4ku7ywtr772y2p45nqhofo 0 107203 782479 756290 2022-08-22T00:48:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionen vom polynomialen Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die letztlich den Wert {{math|term= 0|SZ=}} haben, im Ring der polynomialen Funktionen ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzwertigen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ht9lx7o9woor7bkvfodc4tk704994s0 0 107212 782842 756608 2022-08-22T01:49:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in|K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= m|SZ=.}} Präzisiere und begründe die Aussage, dass zu einer Geraden, die nahe am Nullpunkt verläuft, sämtliche Schnittpunkte der Geraden mit {{math|term= V(F)|SZ=}} sich in der Nähe des Nullpunktes befinden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} shkt370jnaiegb4snvp86on7s2u6dur 0 107214 781175 755216 2022-08-21T21:11:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|x|}} |und|term2= {{op:Folge|y|}} |SZ= }} rationale {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass in {{ Ma:Vergleichskette |\R || C/N || || || |SZ= }} die Ordnungsbeziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | [ {{op:Folge|x|}} ] |\geq| [ {{op:Folge|y|}} ] || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn es ein {{math|term= n_0 \in \N|SZ=}} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette |x_n |\geq|y_n || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34o7kz7mybppqgpmjsoxgj16i9opca3 0 107216 781176 755217 2022-08-21T21:11:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|x|}} |und|term2= {{op:Folge|y|}} |SZ= }} rationale {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass in {{ Ma:Vergleichskette |\R || C/N || || || |SZ= }} die Ordnungsbeziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | [ {{op:Folge|x|}} ] |\geq| [ {{op:Folge|y|}} ] || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn es unendlich viele {{math|term= n \in \N|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |x_n |\geq|y_n || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e2e1j7ddcath5h5bel74edxizneycik 0 107218 780835 754939 2022-08-21T20:14:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} || {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |assoziierte graduierte Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Polynomring ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der assoziierten graduierten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0yxa9ywtadkdhygfi4c8ypbchvvrirp 0 107221 780834 754938 2022-08-21T20:14:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Multiplikation auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |assoziierten graduierten Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Assoziierter graduierter Ring| {{ideala|}}|R }} |SZ=}} wohldefiniert ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der assoziierten graduierten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ec7qi9m29jvhism2d2levttijrv90nv 0 107225 784355 757989 2022-08-22T06:00:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} , {{idealb}} |\subseteq|R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Idealprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{ideala|}} {{idealb}} |SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutativer Ring/Modul/Untermodul/Ideal/Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{ideala|}} {{idealb}} |SZ=}} aus dem Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} und dem {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealb}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Produkt von Idealen und Untermoduln (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3sr93mccxhpyxgonvuv7zfjru7jgqcm 0 107227 784351 757986 2022-08-22T05:59:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} , {{idealb}} |\subseteq|R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduls| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{ideala}} \cdot {{idealb}} |}} \cdot U || {{ideala}} \cdot {{makl| {{idealb}} \cdot U |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Produkt von Idealen und Untermoduln (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72lbyv88ptof5zw0kcsa65smqkg2arg 0 107228 784353 757987 2022-08-22T06:00:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} , {{idealb}} |\subseteq|R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduls| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{ideala}}+ {{idealb}} |}} \cdot U || {{ideala}} \cdot U + {{idealb}} \cdot U || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Produkt von Idealen und Untermoduln (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pueil8muvfj7reskvy8mryhwsa6wejt 0 107229 784354 757988 2022-08-22T06:00:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |U,W |\subseteq|V || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermoduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduls| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala}} \cdot {{makl| U +W |}} || {{ideala}} \cdot U + {{ideala}} \cdot W || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Produkt von Idealen und Untermoduln (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6abc9ezlr6zyllmvp4smo0axzio4wwq 0 107247 781173 755214 2022-08-21T21:10:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= u_n |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} mit dem Startwert {{ Ma:Vergleichskette |u_0 ||1 || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |u_1 || 3 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |u_2 || {{op:Bruch|7|3}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |u_3 || {{op:Bruch|47|21}} || || || |SZ=, ... }} Wir betrachten die reelle Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |z_n |{{defeq}} | \sqrt{u_n} || || || |SZ=. }} Zu jedem {{math|term= n|SZ=}} sei {{mathl|term= x_{ni},\, i \in \N|SZ=,}} die Heron-Folge zur Berechnung von {{math|term= z_n= \sqrt{u_n}|SZ=}} mit dem Startwert {{ Ma:Vergleichskette |x_{n0} || 1 || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Diagonalfolgenglieder {{mathl|term= y_1,y_2,y_3,y_4|SZ=}} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Vollständiger Körper/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= z_n|SZ=}} eine Cauchy-Folge ist und bestimme{{n Sie}} den Grenzwert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2=Das Heron-Verfahren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owrrgvlxaqnsyyd16u37o29hvmelzyz 0 107250 783075 756823 2022-08-22T02:28:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R ||R_0 ||K || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} den wir als einen {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierten Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auffassen, bei dem sämtliche Stufen {{ Ma:Vergleichskette |R_d ||0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |d |\neq|0 || || || |SZ= }} sind. Zeige{{n Sie}}, dass man jede Funktion {{ Ma:abb |name=f | \Z| \Z || |SZ=, }} die für fast alle Zahlen den Wert {{math|term= 0|SZ=}} annimmt, als die {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbertfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugten| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |graduierten Moduls| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} über {{math|term= R|SZ=}} erhalten kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i5x6ztwfv6ia3dx41bmn5aoqhr68pip 0 107252 785240 758572 2022-08-22T08:07:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |positiv-graduierte| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{ Ma:Vergleichskette |R_0 ||K || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbertfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} sei ab einem bestimmten {{math|term= n_0|SZ=}} konstant gleich {{math|term= 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass jedes Element {{ mathbed|term= a \in R ||bedterm1= a \notin K ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j6komvzx3gb9b7p7dm4153zoo9842f0 0 107253 783276 756979 2022-08-22T03:01:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || \bigoplus_{d \in \Z} R_d || || || |SZ= }} ein kommutativer {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |M || \bigoplus_{d \in \Z} M_d || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierter Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=,}} der {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugt| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} auch von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt wird und dass es einen surjektiven {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ Ma:abbele/disp |name= | \bigoplus_{i {{=}} 1}^k R(-d_i)| M || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dkbuawkbfxblbig11e0h1omp8216ior 0 107255 785239 758571 2022-08-22T08:07:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |positiv-graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugter| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierter| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |m |\in|\Z || || || |SZ= }} derart gibt, dass für die {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbertfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |H_M(n) ||0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\leq|m || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q0bw9sj4n1qsn60zixr4lciwubtgcng 0 107267 783278 756981 2022-08-22T03:02:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || \bigoplus_{d \in \Z} R_d || || || |SZ= }} ein kommutativer {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |M || \bigoplus_{d \in \Z} M_d || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | N || \bigoplus_{d \in \Z} N_d || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierte Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | M| N || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogener| |Kontext=Modulhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Kokern| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} wieder {{math|term= \Z|SZ=-}}graduierte {{math|term= R|SZ=-}}Moduln sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Homomorphismen von Z-graduierten Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6paxrpf210dxbne3j30u7zh4d27kbnb 0 107270 784356 757990 2022-08-22T06:00:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |IM ||0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} in natürlicher Weise ein {{mathl|term= R/I|SZ=-}}Modul ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mgv3bqq8aizxqdbxmzoe12q6qxga3sc 0 107272 786241 759363 2022-08-22T10:53:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |I || {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_s |}} |\subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_m ] ||P || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit homogenen Erzeugern {{math|term= f_j|SZ=}} vom Grad {{math|term= d_j|SZ=.}} Es sei {{math|term= d|SZ=}} das Minimum der {{math|term= d_j|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbertfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des graduierten {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X_1 {{kommadots|}} X_m ]/I || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |H_R (n) || H_P(n) || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |<|d || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2dquw2ku71pzqx13pnmczbgtmegpoqi 0 107283 780764 754880 2022-08-21T20:02:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Folge|y|}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} die im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Angeordneter Körper/Keine Nullfolge/Abschätzung/Alternative/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} positiv seien. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die Summenfolge {{mathl|term= x_n+y_n|SZ=}} und die Produktfolge {{mathl|term= x_ny_n|SZ=}} positiv sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cs0sjc6b8p2p1cmbboa3blbrsccoimx 0 107285 781171 755212 2022-08-21T21:10:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|z|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von reellen Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass man die {{math|term= z_n|SZ=}} durch rationale Cauchy-Folgen {{mathl|term= x_{ni},\, i \in \N|SZ=,}} derart repräsentieren kann, dass die Diagonalfolge {{ Ma:Vergleichskette/disp |y_{n} |{{defeq}}| x_{nn} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Vollständiger Körper/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Aufzählung3 |in {{math|term= \R|SZ=}} nicht konvergiert, |in {{math|term= \R|SZ=}} konvergiert, aber nicht gegen den Grenzwert von {{math|term= z_n|SZ=,}} |in {{math|term= \R|SZ=}} konvergiert, und zwar gegen den Grenzwert von {{math|term= z_n|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qo9hit8phhvbytuvk92d4eee8e0p6qn 0 107292 780811 754912 2022-08-21T20:10:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine Folge in einem {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} ein Element mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\leq|a |<|1 || || |SZ=. }} Es gelte {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_{n+1} - x_n|}} |\leq| a^n || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kiksr0idl5alpumuh1oam2wzb90fvvr 0 107293 780810 754911 2022-08-21T20:10:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine Folge in einem {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} ein Element mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\leq|a |<|1 || || |SZ=. }} Es gebe ein {{math|term= N|SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_{n+1} - x_n|}} |\leq| a^n || || || |SZ= }} gelte für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|N || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6aqgb3yn0bcvsw3rkl8upl02x0fdgbc 0 107295 782268 756121 2022-08-22T00:13:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine Folge in einem {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Es gelte {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_{n} - x_{n-1}|}} |\leq| {{op:Bruch|1|n}} || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n \in \N_+|SZ=.}} Folgt daraus, dass {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r5asmj8s428hkfmhw0vggbf407qfdha 0 107296 782267 756120 2022-08-22T00:13:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine Folge in einem {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Es gelte {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_{n} - x_{n-1}|}} |\leq| {{op:Bruch|1|1000}} || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Folgt daraus, dass {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvn73v9n1o0bcyh63vovrxd7t5wavgo 0 107314 782774 756550 2022-08-22T01:38:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{3}|SZ=}} mit dem Startwert {{ Ma:Vergleichskette |x_0 ||1 || || || |SZ= }} und {{math|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{ {{op:Bruch|1|3}} }|SZ=}} mit dem Startwert {{ Ma:Vergleichskette |y_0 ||1 || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Berechne{{n Sie}} {{ mathkor|term1= x_1 |und|term2= x_2 |SZ=. }} |Berechne{{n Sie}} {{ mathkor|term1= y_1 |und|term2= y_2 |SZ=. }} |Berechne{{n Sie}} {{ mathkor|term1= x_0 \cdot y_0, \, x_1 \cdot y_1 |und|term2= x_2 \cdot y_2 |SZ=. }} |Konvergiert die {{ Definitionslink |Prämath= |Produktfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |z_n ||x_n \cdot y_n || || || |SZ= }} innerhalb der rationalen Zahlen? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6mntacuua8huzz4r78gfkg10cikwmmw 0 107354 785110 758477 2022-08-22T07:49:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper Polynomring 1/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass ein Polynom vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Polynomring/Grad/Definition |SZ= }} zwei oder drei genau dann {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es keine Nullstelle in {{math|term= K|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cweyx6ustb4qnfkz7ov4l7gwszhv16e 0 107454 781307 755337 2022-08-21T21:33:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruchfolgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{mathl|term= 0,z_{-1} z_{-2}z_{-3} \ldots |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |z_i |\in| \{0 {{kommadots}} 9\} || || || |SZ= }} sind {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=?}} Welche in {{math|term= \Q|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0t26yz9q2gkghzrxmh8pynq6wib1jt7 0 107459 782248 589753 2022-08-22T00:10:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In {{math|term= \Q|SZ=}} sei eine Folge {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} gegeben, deren Anfangsglieder durch {{ Ma:Vergleichskette |x_0 ||0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |x_1 || 0,7 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |x_2 || 0,73 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |x_3 || 0,734 || || || |SZ= }} gegeben sind. Muss die Folge in {{math|term= \Q|SZ=}} konvergieren? Muss die Folge in {{math|term= \R|SZ=}} konvergieren? Kann die Folge in {{math|term= \Q|SZ=}} konvergieren? Kann die Folge in {{math|term= \R|SZ=}} konvergieren? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ii2gmafzds9g8iofecea8mo9xauity 0 107461 781321 755353 2022-08-21T21:35:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|\R || || || |SZ= }} die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die {{math|term= 17.|SZ=}} Nachkommastelle in der {{ Zusatz/Klammer |text=kanonischen| |ISZ=|ESZ= }} Dezimalentwicklung eine {{math|term= 0|SZ=}} ist. Welche Eigenschaften eines {{ Definitionslink |Prämath= |Ideals| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt diese Menge, welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2=Idealtheorie (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 46r52ejq2p50hz7fiywbpyl66to1wh0 0 107465 780837 754942 2022-08-21T20:14:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R || \Z_{ (p)} || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (p) \Z_{ (p)} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |assoziierten graduierten Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= {{idealm|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der assoziierten graduierten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3fowo505zb2klqlunhmvzfjtte1zttn 0 107466 780832 754935 2022-08-21T20:14:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} || {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_n |}} | \subseteq|R || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= | R/ {{ideala|}} [X_1 {{kommadots|}} X_n]| {{op:Assoziierter graduierter Ring| {{ideala|}} |R}} |X_i| [f_i] |SZ=, }} wobei {{mathl|term= [f_i] |SZ=}} die Restklasse von {{math|term= f_i|SZ=}} in {{mathl|term= {{ideala|}}/ {{ideala|}}^2 |SZ=}} bezeichnet, ein {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiver| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |graduierter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R/ {{ideala|}} |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der assoziierten graduierten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ttbj1wqk8pvahgab9cm9fr9g2l2e6hs 0 107467 780836 754941 2022-08-21T20:14:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] / {{idealb|}} || || |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | K [ T_1 {{kommadots|}} T_n ]| {{op:Assoziierter graduierter Ring| {{idealm|}} | R}} |T_i| \tilde{X}_i |SZ=, }} wobei {{mathl|term= \tilde{X}_i |SZ=}} die Restklasse von {{math|term= X_i|SZ=}} modulo {{math|term= {{idealm|}}^2 |SZ=}} bezeichnet. Sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| {{idealb|}} || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Zerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || F_d + F_{d+1} {{plusdots|}} F_m |\in| K [ X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= F_d(T_1 {{kommadots|}} T_n) |SZ=}} zum Kern von {{math|term= \varphi|SZ=}} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der assoziierten graduierten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ibmthu8zkibhwbna2e793rhnx758nz0 0 107471 780833 754936 2022-08-21T20:14:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zu einer monomialen {{ Definitionslink |Prämath= |ebenen Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V {{makl| X^a-Y^b |}} |SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |assoziierten graduierten Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Assoziierter graduierter Ring| {{idealm|}} |R}} |SZ=,}} mit {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X,Y] / {{makl| X^a-Y^b |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (X,Y) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der assoziierten graduierten Ringe |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c31u4h5zwj6gj87uiipqr3s27fy5qew 0 107474 781168 589785 2022-08-21T21:10:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |D || {{Mengebed| {{op:Folge||}} | \text{ Cauchy-Folge in } \R }} || || || |SZ= }} und {{math|term= N|SZ=}} das Ideal der Nullfolgen in {{math|term= D|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= \psi |D| \R || |SZ= }} gibt. |Zeige{{n Sie}}, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |D/N| \R || |SZ= }} gibt. |Zeige{{n Sie}}, dass die Gesamtabbildung {{ math/disp|term= \R \longrightarrow D \stackrel{\psi}{ \longrightarrow } \R |SZ= }} bijektiv ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=2 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} by3k9kuhltnsrykwrjiefyue52uov82 0 107475 781599 755545 2022-08-21T22:22:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die ersten Intervalle {{ mathbed|term= I_n ||bedterm1= n=1,2,3,4,5 ||bedterm2= |SZ=, }} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Intervallhalbierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \sqrt[3]{20}|SZ=,}} ausgehend von {{ Ma:Vergleichskette |I_0 || [0,10] || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2=Theorie der reellen Wurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pa9e1rq3jjhm85bu2mnm6lg76foflu0 0 107477 786519 759552 2022-08-22T11:39:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die ersten Intervalle {{ mathbed|term= I_n ||bedterm1= n=1,2,3,4,5 ||bedterm2= |SZ=, }} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Intervallhalbierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \sqrt[7]{ {{op:Bruch|2|3}} }|SZ=,}} ausgehend von {{ Ma:Vergleichskette |I_0 || [0,1] || || || |SZ=. }} Was besagt das Ergebnis für die Ziffernentwicklung von {{math|term= \sqrt[7]{ {{op:Bruch|2|3}} }|SZ=}} im Zweiersystem? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2=Theorie der reellen Wurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 431yqalrf2xljxcqhpmzbqvsakzdky5 0 107480 782980 756719 2022-08-22T02:12:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen {{ Zusatz/Klammer |text={{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |I_n ||[a_n,b_n] |\subseteq|\R || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |I_{n+1} |\subseteq|I_n || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n|SZ=,}} wobei {{math|term= a_n|SZ=}} streng wachsend und {{math|term= b_n|SZ=}} streng fallend ist, wo aber keine {{ Definitionslink |Prämath= |Intervallschachtelung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kaba659xw564gsc7gai4pnvnhjua6k7 0 107482 782978 756717 2022-08-22T02:12:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen {{ Zusatz/Klammer |text={{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |I_n ||[a_n,b_n] |\subseteq|\R || || |SZ= }} derart an, dass {{mathl|term= b_n-a_n|SZ=}} eine Nullfolge ist, dass {{mathl|term= \bigcap_{n\in \N_+} I_n |SZ=}} aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine {{ Definitionslink |Prämath= |Intervallschachtelung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} scm92msxapv0ovovjoe1bz9oqe5krb3 0 107484 782977 756716 2022-08-22T02:11:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Intervallschachtelungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= K|SZ=.}} Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen {{ mathkor|term1= I_n,\, n \in \N, |und|term2= J_n,\, n \in \N, |SZ= }} zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |m |\in|\N || || || |SZ= }} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | J_n | \subseteq| I_m || || || |SZ= }} und zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N || || || |SZ= }} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |k |\in|\N || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | I_k | \subseteq| J_n || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} ist. |Sei {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kwuak8qwqwrln3ecvkfjzo52lg8jmac 0 107488 782861 756632 2022-08-22T01:52:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||F_m +F_{m+1} {{plusdots|}} F_d |\in|K [X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Zerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Polynoms und {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || {{makl| K [X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{ {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} } |}} /(F) || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Obergrad {{math|term= d|SZ=}} keine Invariante des lokalen Ringes {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Hyperflächensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 188hlmomf5kgui8j2pye9ztnj0e8p3c 0 107496 779549 763632 2022-08-21T16:46:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum Ring der Neilschen Parabel, also zu {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X,Y]/ {{makl| X^2-Y^3 |}} || || || |SZ= }} mit dem maximalen Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || {{makl| X,Y |}} || || || |SZ=, }} kann man den {{ Definitionslink |Prämath= |assoziierten graduierten Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wie folgt berechnen. Es gibt eine surjektive Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |K[S,T]| {{op:Assoziierter graduierter Ring| {{idealm|}} |R}} || |SZ=, }} die {{math|term= S|SZ=}} auf die Restklasse von {{math|term= X|SZ=}} und {{math|term= T|SZ=}} auf die Restklasse von {{math|term= Y|SZ=}} in {{mathl|term= {{idealm|}}/ {{idealm|}}^2 |SZ=}} abbildet. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi {{makl| S^2 |}} || [X]^2 || [X^2] || [Y^3] || 0 |SZ=, }} da ja die dritte Potenz von {{math|term= Y|SZ=}} zu {{mathl|term= {{idealm|}}^3 |SZ=}} gehört. Da die Monome {{mathl|term= X^iY^j|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |i ||0,1 || || || |SZ= }} nicht in einer höheren Potenz liegen, hat man die Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[S,T]/ {{makl| S^2 |}} |\cong| {{op:Assoziierter graduierter Ring| {{idealm|}} |R}} || || || |SZ=. }} Insbesondere ist der assoziierte graduierte Ring nicht reduziert, obwohl {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der assoziierten graduierten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ktje12wiwqlq3gvkek1sn6r845zya8m 0 107552 786577 590180 2022-08-22T11:48:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es ist heiß. Lucy Sonnenschein möchte einen würfelförmigen Pool mit Seitenlänge {{math|term= x|SZ=}} voll mit Wasser haben. Der Kubikmeter Wasser kostet {{math|term= 10|SZ=}} Euro, der Quadratmeter Kacheln für Wände und Boden kostet {{math|term= 100|SZ=}} Euro, der Überlaufrand kostet {{math|term= 30|SZ=}} Euro pro Meter und die Baugenehmigung kostet {{math|term= 200|SZ=}} Euro. Erstelle eine Kostenfunktion für den Pool in Abhängigkeit von der gewählten Seitenlänge. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nh50b6bk428q7xw4y2bk1of6poda8vg 0 107553 780552 754711 2022-08-21T19:27:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für die Ringe der zweidimensionalen ADE-Singularitäten jeweils eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primidealkette| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Länge {{math|term= 2|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Krulldimension |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iyqlwcpwzmtlkkuzp7mhbz32ek4lcbt 0 107555 784438 758038 2022-08-22T06:11:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für den Ring {{mathl|term= K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primidealkette| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Länge {{math|term= 3|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Krulldimension |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quadrik UX-VY |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o4bzevdg1autkcfj83j0u3xtszuefpc 0 107564 783300 757002 2022-08-22T03:05:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} gleich der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=Krull| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R/{{idealp|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m5q5arngzmgpw6ye6d7nhuze5rk14d3 0 107568 783561 590301 2022-08-22T03:49:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |X^2+Y^2 |\in| \R[X,Y] || || || |SZ=. }} Die Nullstellenmenge {{ Ma:Vergleichskette |V(X^2+Y^2) |\subseteq| \R^2 || || || |SZ= }} besteht aus dem einzigen Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=,}} durch die eine Gleichung geht also die Dimension von {{math|term= 2|SZ=}} auf {{math|term= 0|SZ=}} runter. Warum widerspricht das nicht {{ Faktlink |Präwort=dem|Krullschen Hauptidealsatz|Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der_Krullsche_Hauptidealsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ht4g9odwqiq1etw0n20492v3dwndwr 0 107570 785210 758551 2022-08-22T08:03:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm}} ||{{makl| X_1 -a_1, X_2-a_2 {{kommadots|}} X_n -a_n |}} |\subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Punktideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Polynomring. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{idealm}}|SZ=}} gleich {{math|term= n|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Krulldimension |Kategorie2=Theorie der maximalen Ideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5t6uofq3ah8fjs08dz6j18ps2ya10oe 0 107571 785196 758542 2022-08-22T08:01:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm}} |\subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Polynomring. Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} und ein {{ Definitionslink |Prämath= |Punktideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealn|}} || {{makl| X_1-b_1 {{kommadots|}} X_n-b_n |}} |\subset| L [X_1 {{kommadots|}} X_n] || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}} || {{idealn}} \cap K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der maximalen Ideale (kommutative Algebra) |Kategorie2=Der Hilbertsche Nullstellensatz (Algebraische Versionen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} om64weyosectii7nri3htobbvxx8enb 0 107578 784979 590391 2022-08-22T07:29:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Setze{{n Sie}} in das Polynom {{mathl|term= 2X^3 - {{op:Bruch|1|4}} X^2 + {{op:Bruch|2|5}}X + {{op:Bruch|3|4}} |SZ=}} die Zahl {{math|term= {{op:Bruch|2|3}} |SZ=}} ein. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Konstante |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} chy2vkmy79rlx8v2xlddwceasi9ee6r 0 107579 784980 590392 2022-08-22T07:29:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Setze{{n Sie}} in das Polynom {{mathl|term= 2X^4 +X^3 - 3 X^2 + X + 5 |SZ=}} die Zahl {{math|term= \sqrt{2} |SZ=}} ein. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k03u5y9b07ame89oxx1201v3kf6mtf3 0 107580 781989 755881 2022-08-21T23:27:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq|S || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Ringerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|S || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Nichtnullteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= R \cap (f)|SZ=}} nicht das Nullideal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p61ni5lkycnur3tkt2aj2zz82icpaja 0 107581 781990 755882 2022-08-21T23:27:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq|R[X]/ {{makl| X^2 |}} | {{defeqr|}} |S || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Ringerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass die Restklasse {{ Ma:Vergleichskette |[X] |\in|S || || || |SZ= }} nicht {{math|term= 0|SZ=}} ist, dass aber {{mathl|term= R \cap ([X])|SZ=}} das Nullideal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ppfjbyjti8gnhao26cl8hts5lw0pgnz 0 107606 781690 755616 2022-08-21T22:37:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[X+Y, Z] |\subseteq| K[X,Y,Z]/(XY,XZ) || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= X+Y |und|term2= Z |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch unabhängige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Elemente in {{math|term= K[X,Y,Z]/(XY,XZ)|SZ=}} sind. |Bestimme{{n Sie}} für die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |minimalen Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= (X) |und|term2= (Y,Z) |SZ= }} die Durchschnitte mit {{mathl|term= K[X+Y,Z]|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Noethersche Normalisierung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3d2a4iejse3ayyb2a8ekyzz3y3m3yi6 0 107607 784981 590497 2022-08-22T07:29:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Setze{{n Sie}} in das Polynom {{mathl|term= -5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5} |SZ=}} die Zahl {{math|term= \sqrt{2}+\sqrt{3} |SZ=}} ein. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ibb8fe8gqlqcaxbfszhwhx55vyjht2d 0 107611 785657 590532 2022-08-22T09:15:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die quadratische Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | 3 x^2+ x+4 || 0 || || || |SZ= }} über {{math|term= {{op:Zmod|7|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 7 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} trodjj9nu8ugm31vz067q1fx7b19d2i 0 107613 783563 590533 2022-08-22T03:49:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eliminiere{{n Sie}} im kubischen Polynom {{ math/disp|term= X^3 +6X^2-5X-2 |SZ= }} den quadratischen Term, d.h. schreibe dieses Polynom als {{ math/disp|term= (X+d)^3+e(X+d) +f |SZ= }} mit geeigneten {{mathl|term= d,e,f|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a7vt0ib7rp1miqj49h30m7w7kr1s5w1 0 107615 781319 755352 2022-08-21T21:35:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge {{math|term= 0,1|SZ=}} oder {{math|term= 3|SZ=}} besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=Periodenlänge {{math|term= 0|SZ=}} bedeutet {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung5 |Gehört {{mathl|term= {{op:Bruch|1|11}} |SZ=}} zu {{math|term= M|SZ=?}} |Gehört {{mathl|term= {{op:Bruch|1|37}} |SZ=}} zu {{math|term= M|SZ=?}} |Wie sieht man einem gekürzten Bruch {{mathl|term= a/b|SZ=}} an, ob er zu {{math|term= M|SZ=}} gehört oder nicht? |Ist {{math|term= M|SZ=}} mit der Addition eine Untergruppe von {{math|term= \R|SZ=?}} |Ist {{math|term= M|SZ=}} mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von {{math|term= \R|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=1 |p3=5 |p4=2 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jr8ltxi7kqfhf2vh1f64l7mll1w38vx 0 107616 781318 755351 2022-08-21T21:35:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge {{math|term= 0,1|SZ=}} oder {{math|term= 2|SZ=}} besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=Periodenlänge {{math|term= 0|SZ=}} bedeutet {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung5 |Gehört {{mathl|term= {{op:Bruch|1|11}} |SZ=}} zu {{math|term= M|SZ=?}} |Gehört {{mathl|term= {{op:Bruch|1|37}} |SZ=}} zu {{math|term= M|SZ=?}} |Wie sieht man einem gekürzten Bruch {{mathl|term= a/b|SZ=}} an, ob er zu {{math|term= M|SZ=}} gehört oder nicht? |Ist {{math|term= M|SZ=}} mit der Addition eine Untergruppe von {{math|term= \R|SZ=?}} |Ist {{math|term= M|SZ=}} mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von {{math|term= \R|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=1 |p2=1 |p3=5 |p4=2 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j37iys2k4ccpkao5472vjqfiktjzvcd 0 107617 781317 755350 2022-08-21T21:34:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge {{math|term= 0|SZ=}} oder {{math|term= 1|SZ=}} besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=Periodenlänge {{math|term= 0|SZ=}} bedeutet {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung5 |Gehört {{mathl|term= {{op:Bruch|1|11}} |SZ=}} zu {{math|term= M|SZ=?}} |Gehört {{mathl|term= {{op:Bruch|1|45}} |SZ=}} zu {{math|term= M|SZ=?}} |Wie sieht man einem gekürzten Bruch {{mathl|term= a/b|SZ=}} an, ob er zu {{math|term= M|SZ=}} gehört oder nicht? |Ist {{math|term= M|SZ=}} mit der Addition eine Untergruppe von {{math|term= \R|SZ=?}} |Ist {{math|term= M|SZ=}} mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von {{math|term= \R|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=1 |p2=1 |p3=4 |p4=2 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pbdnz7ngvqxidpictqhlxwr0491yq4r 0 107623 779057 763196 2022-08-21T15:28:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung, bei der zwei Punkte der Ebene miteinander identifiziert werden, sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{op:Affine Ebene|K|}} |X || |SZ= }} die entsprechende Abbildung, {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(P_1) || \varphi(P_2) || Q |\in|X || |SZ=. }} Es liegt eine Isomorphismus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Affine Ebene|K|}}\setminus \{P_1, P_2\} |\cong| X \setminus \{Q\} || || || |SZ= }} vor. Es sei {{math|term= H|SZ=}} eine Gerade, die durch {{math|term= P_1|SZ=,}} aber nicht durch {{math|term= P_2|SZ=}} verläuft, und {{math|term= G|SZ=}} die Bildkurve davon, die durch {{math|term= Q|SZ=}} verläuft. Es sei {{math|term= R|SZ=}} der Koordinantering zu {{math|term= X|SZ=.}} Die relevanten Primideale in {{ mathkor|term1= K[X,Y] |bzw. in|term2= R |SZ= }} seien einerseits {{ Ma:Vergleichskette |P_1 ||V( {{idealn|}}_1 ) |\subseteq| V({{idealq}}) ||H || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |P_2 ||V( {{idealn|}}_2 ) |\not\subseteq| V({{idealq}}) ||H || |SZ= }} und andererseits {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q ||V( {{idealm}}) | \subset | G ||V( {{idealp}}) || || || |SZ=. }} Unter dem {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R |\subseteq|K[X,Y] || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm}} || {{idealn}}_1 \cap R || {{idealn}}_2 \cap R || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp}} || {{idealq}} \cap R || || || |SZ= }} und dies sind jeweils die einzigen Urbilder. Daher lässt sich die Kette {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{idealp}} | \subset| {{idealm}} || || || |SZ= }} nicht unterhalb von {{math|term= {{idealn}}_2 |SZ=}} liften. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Normalisierung (Integritätsbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r9ab7wp1emrd9ied81v0qo3csl00i1o 0 107647 781522 755499 2022-08-21T22:09:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{math|term= 1|SZ=}} durch {{math|term= 81|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 60w6k0wm5higx3xv2g4yd12wbb92r6g 0 107649 785403 758688 2022-08-22T08:34:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|V || || || |SZ= }} ein Punkt. Beschreibe{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= x \times W|SZ=}} im Koordinantering zu {{mathl|term= V \times W|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkte von affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3eplw68d3yex71ihfslzwgoltcopbdf 0 107652 785315 758621 2022-08-22T08:19:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die kleinste Zahl {{math|term= n|SZ=}} derart, dass in der Primfaktorzerlegung von {{math|term= n!|SZ=}} die {{math|term= 17|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Exponenten| |Kontext=Primfaktorzerlegung Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}} vorkommt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen |Kategorie2=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3i25gaafc5w0tg37pod1gqwcdl0xsnx 0 107658 783970 757605 2022-08-22T04:57:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugter| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ math/disp|term= \ldots \longrightarrow F_2 \longrightarrow F_1 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0 |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |minimale freie Auflösung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Rang von {{math|term= F_i|SZ=}} gleich der {{ Definitionslink |Prämath=R/ {{idealm|}} |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= M_i {{tensor|R}} R/ {{idealm|}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |M_i || {{op:Kern(|\theta_{i-1}|}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} doy8rcmkbylcfy8az53r494b7y6hz0k 0 107664 779780 635348 2022-08-21T17:20:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir zeigen, dass das Quadrieren {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|x^2 |SZ=, }} an der Stelle {{math|term= 7|SZ=}} stetig ist. Sei ein {{ Ma:Vergleichskette |\epsilon |>|0 || || || |SZ= }} vorgegeben, das wir als {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |\leq|1 || || || |SZ= }} annehmen dürfen. Wir müssen ein {{ Ma:Vergleichskette |\delta |>|0 || || || |SZ= }} finden, das die Eigenschaft besitzt: Wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x-7|}} |\leq| \delta || || || |SZ=, }} dann ist auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x^2-7^2|}} |\leq|\epsilon || || || |SZ=, }} also wenn {{ mathkor|term1= x |und|term2= 7 |SZ= }} {{math|term= \delta|SZ=-}}nahe beieinander sind, so sind die beiden Funktionswerte {{math|term= \epsilon|SZ=-}}nahe beieinander. Wenn man zu {{math|term= 7|SZ=}} eine Zahl {{math|term= \delta|SZ=}} hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |(7+ \delta)^2 ||7^2 +14 \delta + \delta^2 || || || |SZ=, }} und die Differenz zu {{math|term= 7^2|SZ=}} ist somit {{mathl|term= 14 \delta + \delta^2|SZ=.}} Insbesondere muss diese Differenz kleinergleich dem vorgegebenen {{math|term= \epsilon|SZ=}} werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden {{mathl|term= 14 \delta |SZ=}} und {{mathl|term= \delta^2 |SZ=}} beide kleinergleich {{mathl|term= \epsilon/2 |SZ=}} sind. Dies legt die Wahl {{ Ma:Vergleichskette/disp |\delta | {{defeq|}} | {{op:Bruch|\epsilon|28 }} || || || |SZ= }} nahe. Es gelten dann in der Tat für {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x-7|}} |\leq| \delta || || || |SZ= }} die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Betrag|x^2-7^2|}} || {{op:Betrag|x-7|}} \cdot {{op:Betrag|x+7 |}} |\leq| \delta {{makl| 14 + \delta |}} || 14 \delta + \delta^2 |\leq| {{op:Bruch|\epsilon|2}} + {{op:Bruch|\epsilon|2}} || \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie2=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i23h9j9aqfq68js2ypufp4xi4xf0cxw 0 107671 783654 757301 2022-08-22T04:04:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} durch Induktion über {{math|term= n|SZ=,}} dass jedes {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] |SZ=}} von {{math|term= n|SZ=}} Elementen {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugt| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 89sid0p0oi1j7blnq4ry6ejxt3ym808 0 107675 786139 759297 2022-08-22T10:36:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |regulärer lokaler Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R[X]|SZ=}} regulär ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4juyj57a33nshdubtjdawbf0u188k7b 0 107688 783963 757598 2022-08-22T04:56:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (R, {{idealm|}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= | Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath=R/ {{idealm|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M/ {{idealm|}} M|SZ=}} und der {{math|term= Q(R)|SZ=}} Vektorraum {{mathl|term= M {{tensor|R}} Q(R)|SZ=}} habe die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= d|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |freier Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Rang {{math|term= d|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der freien Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dq1wqdn4q5w3lg1iu6100pchngaitgg 0 107718 781982 755874 2022-08-21T23:25:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|p|}} |\subseteq| {{op:Zmod|p|}} (X) |\subseteq| {{makl| {{op:Zmod|p|}} (X) |}} [Y]/ {{makl| Y^p-X |}} || || |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die hintere Körpererweiterung {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=endliche Körperweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \{X \}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Transzendenzbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Gesamterweiterung, aber keine {{ Definitionslink |Prämath= |separierende Transzendenzbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Finde eine separierende Transzendenzbasis für die Gesamterweiterung. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der separablen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ldke9ieef01l2lawzulmjzjuq2ugeqk 0 107730 786425 590859 2022-08-22T11:23:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir schließen an {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Räume/Produkt/Funktionen/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an. Die Hintereinanderschaltung {{ math/disp|term= V \times W \stackrel{f \times g}{ \longrightarrow} K \times K \stackrel{+}{\longrightarrow} K |SZ= }} nennen wir {{mathl|term= f \oplus g|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f \oplus g || {{makl| f {{tensor|}} 1 |}} + {{makl| 1 {{tensor|}} g |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkte von affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie3=Theorie der Produktmenge |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r9a8v4nlzf5ezoq9djly3krq7cmt5tr 0 107736 780559 754722 2022-08-21T19:28:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= r |bzw.|term2= s |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Produktvarietät| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Dimension {{mathl|term= r+s|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkte von affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der Krulldimension von endlich erzeugten Algebren über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9rgctpigveu7x854kbzv1x5leyujuqc 0 107750 781931 755826 2022-08-21T23:17:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. {{ Aufzählung3 |Der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K \times K \times K|SZ=.}} |Der Restklassenring {{mathl|term= K[X]/(X^3-X)|SZ=.}} |Der Restklassenring {{mathl|term= K[X,Y]/(X,Y) \cdot (X-1,Y-1) \cdot (X,Y-7)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Koordinatenrings von affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f0bm628gm1d5ikcl2qz2jryfittp700 0 107768 781679 755609 2022-08-21T22:35:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V {{makl| X^a-Y^b |}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\geq|2 || || || |SZ= }} und teilerfremd der {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| K[X,Y]_{ {{idealm}}_P} |}} /{{makl| X^a-Y^b |}} |SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |P ||(0,0) || || || |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=lokaler Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und für alle anderen Punkte regulär ist. Man gebe für {{ Ma:Vergleichskette |P ||(1,1) || || || |SZ= }} einen Erzeuger des maximalen Ideals an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hzws9uqws8n4b0bv7afu30279o827y1 0 107770 780558 754721 2022-08-21T19:28:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V ||V ( {{ideala|}} ) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V || || || |SZ= }} ein Punkt, in dem {{math|term= V|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=Krull| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= d|SZ=}} besitzt. Es sei {{mathl|term= {\mathcal O}_P|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= P|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {\mathcal O}_P|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |regulärer Ring| |Kontext=lokal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es einen {{mathl|term= (n-d)|SZ=-}}dimensionalen linearen Raum {{ Ma:Vergleichskette |L ||V( {{idealb|}} ) |\subseteq|{{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} derart gibt, dass im lokalen Ring die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} + {{idealb|}} || {{idealm|}}_P || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2=Theorie der lokalen Ringe von Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dqg682704lqxho5d0l7f5q4xiv2hujk 0 107777 785009 591045 2022-08-22T07:33:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist. |Zeige{{n Sie}}, dass durch das Polynom {{math|term= X^5|SZ=}} eine bijektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zmod|7|}} |{{op:Zmod|7|}} |x|x^5 |SZ=, }} gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Polynomfunktionen |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} re0dg4dx5yifm2iv1svb5gavgznkh5m 0 107783 783968 757603 2022-08-22T04:57:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugter| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer Summenzerlegung {{ Ma:Vergleichskette |M ||M_1 \oplus M_2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |Prämath= |minimale Erzeugendenzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Minimale Erzeugendenzahl|M|}} ||{{op:Minimale Erzeugendenzahl|M_1|}} + {{op:Minimale Erzeugendenzahl|M_2|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der minimalen Erzeugendenzahl von Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mmutiv479havvvfvqnu9pyzzxl1ejdc 0 107786 783971 757606 2022-08-22T04:57:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow M_1 \longrightarrow M \longrightarrow M_2 \longrightarrow 0 |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugten| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass für die {{ Definitionslink |Prämath= |minimale Erzeugendenzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Minimale Erzeugendenzahl|M|}} |\neq|{{op:Minimale Erzeugendenzahl|M_1|}} + {{op:Minimale Erzeugendenzahl|M_2|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der minimalen Erzeugendenzahl von Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d8dvr77zu6kyo2bsuax5xc1zpsmx1d9 0 107794 785133 758494 2022-08-22T07:52:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} mit Hilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} ob die folgenden Restklassenringe {{mathl|term= R/(f_1 {{kommadots|}} f_n) |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=lokal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ Zusatz/Klammer |text=und von welcher Dimension| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung6 |{{ Ma:Vergleichskette |f_1 ||0 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette |f_1 ||X+3Y+Z^7-XYZ^2 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette |f_1 ||XY+X^2 -Y^3 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette |f_1 ||X+Y^3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f_2 ||X+Z^5 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette |f_1 ||2X-3Y+Y^2Z-XYZ || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f_2 ||X+Z^4-Y^{17} || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette |f_1 ||2X-5Y+Z+XY-Z^3 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |f_2 ||X-3Y+Z+X^2Y^2Z^2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f_3 ||-3X+Z- Z^2-XYZ^{2} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3cw4c4ujtpjua3h63e9ehcaekzgcr5t 0 107795 779551 752643 2022-08-21T16:46:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Neilsche Parabel {{ Ma:Vergleichskette |V ||V {{makl| X^2-Y^3 |}} |\subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ=. }} In jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V || || || |SZ= }} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Einbettungsdimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Ringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {\mathcal O}_P || K[X,Y]_{ {{idealn}}_P}/ {{makl| X^2-Y^3 |}} || || || |SZ= }} höchstens {{math|term= 2|SZ=,}} da dies für {{mathl|term= K[X,Y]_{ {{idealm}}_P} |SZ=}} gilt. Dabei ist {{math|term= {{idealn|}}_P |SZ=}} das zugehörige maximale Ideal im Polynomring und {{math|term= {{idealm|}}_P |SZ=}} sei das maximale Ideal im lokalen Ring {{math|term= {\mathcal O}_P |SZ=.}} Es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}}_P / {{idealm|}}^2_P || {{idealn|}}_P / {{makl| {{idealn|}}^2_P + {{makl| X^2-Y^3 |}} |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |P ||(0,0) || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{idealn|}}_P || (X,Y) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |X^2-Y^3 |\in | {{idealn|}}^2_P || || || |SZ=, }} also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}}_P / {{idealm|}}^2_P || {{idealn|}}_P / {{makl| {{idealn|}}^2_P + {{makl| X^2-Y^3 |}} |}} || {{idealn|}}_P / {{idealn|}}^2_P || K^2 || |SZ= }} und die Einbettungsdimension ist {{math|term= 2|SZ=.}} Der lokale Ring im Nullpunkt ist also nicht {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=lokal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Im Punkt {{ Ma:Vergleichskette |Q ||(1,1) || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{idealn|}}_Q || (X-1,Y-1) || || || |SZ= }} und wir schreiben {{ Ma:Vergleichskette |X^2-Y^3 || (X-1)(X+1) - (Y-1) {{makl| Y^2+Y+1 |}} || || || |SZ=. }} In {{math|term= {\mathcal O}_Q |SZ=}} gilt daher {{ Ma:Vergleichskette/disp | X-1 || {{op:Bruch|Y^2+Y+1| X+1|}} (Y-1) || || || |SZ=, }} wobei eben die rationale Funktion zu {{math|term= {\mathcal O}_Q |SZ=}} gehört. Daher ist dort {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}}_Q || {{makl| Y-1 |}} || || || |SZ= }} und die Einbettungsdimension ist {{math|term= 1|SZ=.}} Der lokale Ring in {{math|term= (1,1)|SZ=}} ist also regulär. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6pypxkhqkg90x7x34ttvtbjxfttyz20 0 107797 785318 758623 2022-08-22T08:20:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |{{idealp}} |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass aus einer Inklusionsbeziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} \cap {{idealb|}} |\subseteq| {{idealp|}} || || || |SZ= }} die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq| {{idealp|}} || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette | {{idealb|}} |\subseteq| {{idealp|}} || || || |SZ= }} folgt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ak72373n7wuu32ldflapai2j6i0k1g7 0 107800 784627 758135 2022-08-22T06:37:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |K || {{op:Zmod|p|}} (U) |\subseteq| R ||K[Y] / {{makl| Y^p -U |}} || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |R |\cong| K(Y) || || || |SZ= }} ist, dass {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=lokal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul|R|K}} |SZ=}} nicht frei ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie3=Theorie der rein-inseparablen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} knhzz6ieg2gnbgvs032kpfupd2l0w8e 0 107801 783274 591129 2022-08-22T03:01:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} der lokale Ring zu einer affinen Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Beweise {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Primideal/Höhe/Parameterrealisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit Hilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dimensionstheorie/Affiner Raum/Schnitt mit linearen Unterräumen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Welche Verschärfung gilt dabei für die Parameter? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für affine Varietäten über Schnitte mit linearen Räumen |Kategorie2=Der Krullsche Hauptidealsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8x1y38r5x75v367klcozqpgbkl1to4 0 107831 786039 759194 2022-08-22T10:19:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |b |\geq|1 || || || |SZ= }} eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n |{{defeq}}| b^{ {{op:Bruch|1|n}} } || \sqrt[n]{b} || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die Folge monoton fallend ist. |Zeige{{n Sie}}, dass sämtliche Folgenglieder {{math|term= \geq 1|SZ=}} sind. |Zeige{{n Sie}}, dass die Folge gegen {{math|term= 1|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie der reellen Wurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=3 |p2=1 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ff266iqgi2086wwbuy54g9f8b9bra0x 0 107837 780626 754756 2022-08-21T19:39:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} eine dreidimensionale {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die ein {{ Definitionslink |Prämath= |faktorieller Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass für {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{idealp|}} |und|term2= {{idealq|}} |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= r |bzw.|term2= s |SZ= }} jedes {{ Definitionslink |Prämath= |minimale Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oberhalb von {{mathl|term= {{idealp|}}+ {{idealq|}} |SZ=}} eine Höhe {{mathl|term= \leq r+s|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie2=Schnitttheorie (algebraische Geometrie) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tut7ry1l0q9dbijd0zqqbv4vnxusvjp 0 107840 778642 762555 2022-08-21T12:34:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ohne Einschränkung sei {{ Ma:Vergleichskette |Z ||V( {{idealq|}} ) || || || |SZ= }} ebenfalls irreduzibel und entspreche einem Primideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealq|}} |\subseteq|R || || || |SZ= }} der Höhe {{math|term= s|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |W ||V( {{idealr|}} ) || || || |SZ= }} mit einem Primideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealr|}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} der Höhe {{math|term= m|SZ=,}} das {{ Definitionslink |Prämath= |minimal| |Kontext=Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{mathl|term= {{idealp|}} + {{idealq|}} |SZ=}} ist. Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Algebra/Körper/Primideal/Dimension plus Höhe/Integer/Gleichlange Ketten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | m |\leq| r+s || || || |SZ= }} zu zeigen. In {{mathl|term= R_{{idealr}}/{{idealq}} |SZ=}} ist {{math|term= {{idealr|}} |SZ=}} minimal über {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealq|}} || {{op:Radikal|f_1 {{kommadots|}} f_r|}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dort die Höhe von {{math|term= {{idealr|}} |SZ=}} höchstens {{math|term= r|SZ=.}} Zurückübersetzt nach {{math|term= R_{{idealr}} |SZ=}} bedeutet dies {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Höhe| {{idealr|}} |}} |\leq| r+s || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ncqfatl3uocfo9sdzmelfkp508hg5ib 0 107845 784608 758124 2022-08-22T06:34:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} In der {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_S|SZ=}} gelte {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} R_S || {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_n |}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |g |\in|S || || || |SZ= }} und Elemente {{ Ma:Vergleichskette |a_1 {{kommadots|}} a_n |\in|R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} R_g || {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n |}} || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4tvlwni4s8v5v60rqnoyhcdw0v54zar 0 107849 784612 758127 2022-08-22T06:35:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der {{math|term= R_S|SZ=-}}Modul {{math|term= M_S|SZ=}} werde durch {{math|term= n|SZ=}} Elemente erzeugt. Zeige{{n Sie}}, dass es dann ein {{ Ma:Vergleichskette |g |\in|S || || || |SZ= }} derart gibt, dass auch der {{math|term= S_g|SZ=-}}Modul {{math|term= M_g|SZ=}} durch {{math|term= n|SZ=}} Elemente erzeugt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fu3yxqmy71u58a4h1ncvmi6lznxf3sr 0 107851 781130 755184 2022-08-21T21:03:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |Blockmatrix| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | M || {{op:Matrix22| A | 0 |0| B }} || || || |SZ= }} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} gleich der Summe der Ränge von {{math|term= A|SZ=}} und von {{math|term= B|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Rangtheorie für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56fhlpq398n9q5w1nb06nt3j1clxxpq 0 107854 785252 591361 2022-08-22T08:09:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{ math/disp|term= 5^{ {{op:Bruch|3|7}} } |SZ= }} bis auf einen Fehler von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o0du3kkyjczk28g2zu4vgex8sxoskfo 0 107858 785597 758844 2022-08-22T09:05:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der einzige {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |(\Q,+,0)| (\Q_+,\cdot,1) || |SZ= }} die konstante Abbildung auf {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} etqhwtbx3chitb92x7kgx9cfb1gcy5e 0 107860 783256 756959 2022-08-22T02:58:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |m,n |\in| \N || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden {{Stichwort|Potenzgesetze|SZ=}} gelten. {{ Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette/disp |a^{m+n} || a^m \cdot a^n || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |(a^{m})^n || a^{m n } || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |(a\cdot b)^n || a^n \cdot b^n || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0fjb4u15zg84rsj8btynmxp5h07t8r4 0 107863 780541 591396 2022-08-21T19:25:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}} Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der Addition und der Multiplikation? Betrachte{{n Sie}} dazu die verschiedenen Zahlenbereiche {{math|term= \N,\Z,\Q,\R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2=Elementare Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c4vunbxi8wnlw6u56myc9jlonoy1xi3 0 107864 779760 591403 2022-08-21T17:18:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= \R^3|SZ=}} betrachten wir die Ebene {{ Ma:Vergleichskette |Y ||V(z) || || || |SZ= }} und das Paraboloid {{ Ma:Vergleichskette |Z ||V {{makl| z-x^2-y^2 |}} || || || |SZ=. }} Der Durchschnitt besteht allein aus dem Nullpunkt. Das bedeutet, dass der Durchschnitt der beiden Flächen, die jeweils die Kodimension {{math|term= 1|SZ=}} haben, die Kodimension {{math|term= 3|SZ=}} besitzt. Allerdings sieht diese Berechnung anders aus, wenn man die Krulldimensionen der Ringe und nicht die {{Anführung|sichtbaren}} reellen Punkte betrachtet. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y \cap Z ||V {{makl| z,z-x^2-y^2 |}} ||V {{makl| z,x^2+y^2 |}} || || |SZ= }} und der zugehörige Koordinatenring des Durchschnittes ist {{mathl|term= K[x,y]/ {{makl| x^2+y^2 |}} |SZ=,}} der eindimensional ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Schnitttheorie (algebraische Geometrie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0mh6rzzxu7pnejw5ztpxprfb2ncrtgc 0 107865 780607 591405 2022-08-21T19:36:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Diagonale {{ Ma:Vergleichskette |\Delta |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} \times {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} durch {{math|term= n|SZ=}} Polynome beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkte von affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f8r7l24ff6u2g8buewcj1msp523x0v7 0 107876 779818 751931 2022-08-21T17:26:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein zweidimensionaler {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |regulärer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (x,y) || || || |SZ=. }} Dann ist {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow R \stackrel{ {{op:Spaltenvektor|y|-x}} }{ \longrightarrow} R^2 \stackrel{ (x,y)}{\longrightarrow} R \longrightarrow R/ {{idealm|}} \longrightarrow 0 |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |freie Auflösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R/ {{idealm|}} |SZ=.}} Dieser besitzt also die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Dimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=.}} Die einzige Stelle, an der die Exaktheit nicht direkt klar ist, ist für {{math|term= R^2|SZ=.}} Seien {{ Ma:Vergleichskette |(a,b) |\in|R^2 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |ax+by ||0 || || || |SZ=. }} Dies bedeutet {{ Ma:Vergleichskette |ax ||-by || || || |SZ= }} und dies bedeutet {{ Ma:Vergleichskette | ax || 0 || || || |SZ= }} in {{math|term= R/(y)|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dies ein regulärer Ring der Dimension {{math|term= 1|SZ=}} und {{math|term= x|SZ=}} erzeugt darin das maximale Ideal. Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= R/(y)|SZ=}} ein Integritätsbereich und somit ist dort {{ Ma:Vergleichskette |a ||0 || || || |SZ=. }} Dies heißt zurückübersetzt nach {{math|term= R|SZ=,}} dass {{ Ma:Vergleichskette |a ||cy || || || |SZ= }} ist. Da {{math|term= y|SZ=}} ein Nichtnullteiler in {{math|term= R|SZ=}} ist, folgt {{ Ma:Vergleichskette |b ||-cx || || || |SZ= }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|a|b}} || c {{op:Spaltenvektor|y|-x}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der freien Auflösungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bu0hbaoungkdirtuyqwoy2sm4mztkwl 0 107904 785396 758680 2022-08-22T08:32:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R ||K^n || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jeder {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |projektiv| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Moduln |Kategorie2=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h7t48xwmb08iwp8n3una75ecmrfizow 0 107906 783293 756995 2022-08-22T03:04:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath= |artinschen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und einen {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugten| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=,}} der nicht {{ Definitionslink |Prämath= |projektiv| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Moduln |Kategorie2=Theorie der artinschen kommutativen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d7gly4xva3uisj8ucofpdgq8ri3yarq 0 107913 781739 591584 2022-08-21T22:45:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den rationalen Einheitskreis {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{Mengebed|(x,y) \in \Q^2|x^2+y^2 {{=|}} 1 }} || || || |SZ= }} und die Gerade {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || {{Mengebed|(x,y) \in \Q^2|x+y {{=|}} 0 }} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} die Schnittpunkte {{mathl|term= E \cap G|SZ=.}} |Wie sieht es aus, wenn man statt {{math|term= \Q|SZ=}} die reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} nimmt? |Kann man einen Kreis erst dann verstehen, wenn man die reellen Zahlen verstanden hat? |Welche Beziehung besteht zum Zwischenwertsatz? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Kreisgeometrie |Kategorie2=Der Zwischenwertsatz |Kategorie3=Theorie des rationalen Einheitskreises |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0bcfihcn97m3gwoe5n1wi7oaxf8grtd 0 107918 783495 757164 2022-08-22T03:38:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung6 |Skizziere{{n Sie}} einen Kreis mit einem bestimmten Radius. |{{ManSie|Trage|Tragen Sie}} auf einem Faden den Radius als Einheitsstrecke und Vielfache davon ein. |Bestimme{{n Sie}} mit dem Faden den ungefähren Wert des Kreisumfanges. |Lege einen Startpunkt auf dem Kreis fest {{ Zusatz/Klammer |text=der Kreismittelpunkt als Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} und der Startpunkt als {{mathl|term= (1,0)|SZ=}} legen ein Koordinatensystem fest| |ISZ=|ESZ=. }} |Finde{{n Sie}} zu verschiedenen Punkten {{ Zusatz/Klammer |text=etwa Einheitsstrecke, halbe Einheitsstrecke, doppelte Einheitsstrecke| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Faden den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |trigonometrischen Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Schätze{{n Sie}} seine Koordinaten jeweils ab. |Finde{{n Sie}} zu verschiedenen Punkten auf dem Kreis den zugehörigen Punkt auf dem Faden. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Kreisgeometrie |Kategorie2=Winkeltheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4qzc4rvc38v5cdrmcy7nuzb1t80dteq 0 107920 782234 756086 2022-08-22T00:07:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |flacher| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= S|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= M {{tensor|R}} S|SZ=}} ein flacher {{math|term= S|SZ=-}}Modul ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der flachen Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dkoprx7vu6rbjzl7ixt6pet6627f1s0 0 107921 785434 758714 2022-08-22T08:39:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |projektiver| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= S|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= M {{tensor|R}} S|SZ=}} ein projektiver {{math|term= S|SZ=-}}Modul ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tjh2sbinrogxllc71vf5a8gl6300f00 0 107922 785433 758713 2022-08-22T08:39:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |projektiver| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= M_T|SZ=}} ein projektiver {{math|term= R_T|SZ=-}}Modul ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Moduln |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme für Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2venqkxxam2nwdvzq193srruescqu7o 0 107923 780128 752415 2022-08-21T18:14:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die reelle Sphäre {{ Ma:Vergleichskette/disp |S^2 || {{Mengebed|(x,y,z)|x^2+y^2+z^2 {{=}} 1}} |\subseteq| \R^3 || || |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Koordinatenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || \R [X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^2+Z^2-1 |}} || || || |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul der Kählerdifferentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|R|\R}} || R dX \oplus R dY \oplus R dZ /( XdX+YdY +ZdZ) || || || |SZ=. }} Eine direkte Überprüfung zeigt, dass die reelle Sphäre {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lokaler Ring/Restkörperbedingung/Regulär und Freier Kählermodul/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist somit {{mathl|term= {{op:Kählermodul|R|\R}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |lokal frei| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=von konstantem Rang {{math|term= 2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Dies kann man auch direkt von der Darstellung her begründen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zweidimensionale_Sphäre/Kählermodul/Lokal_frei/Explizit/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dagegen ist {{mathl|term= {{op:Kählermodul|R|\R}} |SZ=}} nicht frei. Dies ist eine algebraische Version des Satzes vom Igel, dass man ihn nicht glattkämmen kann, also die Stacheln nicht wirbelfrei tangential an die Kugel anlegen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokal freien Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der projektiven Moduln |Kategorie3=Der Satz vom Igel |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ksh8krq4zc32kzlvsgafz68jek25ee 0 107939 783303 757005 2022-08-22T03:06:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kommutativer Ring/Modul/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |projektiver Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn es einen weiteren Modul {{math|term= N|SZ=}} derart gibt, dass die direkte Summe {{mathl|term= M \oplus N|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |frei| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ch5f4hycdl6ugtvai0qdrj9xinowb9b 0 107946 784350 757984 2022-08-22T05:59:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugter| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |lokal frei| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es Elemente {{ Ma:Vergleichskette |f_1 {{kommadots|}} f_n |\in| R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_n |}} || R || || || |SZ= }} derart gibt, dass die {{math|term= M_{f_i} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |frei| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 10wzwp3ywqs77cfk6m6dtdkntmnkqb5 0 107968 783969 757604 2022-08-22T04:57:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= (R,{{idealm}})|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugter| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |F|M || |SZ= }} ein surjektiver {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |freien Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F|SZ=,}} wobei eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf ein {{ Definitionslink |Prämath= |minimales Erzeugendensystem| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} abgebildet werde. Zeige{{n Sie}}, dass die Einschränkung von {{math|term= \varphi|SZ=}} auf einen echten Untermodul {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|F || || || |SZ= }} nicht surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Lemma von Nakayama |Kategorie2=Theorie der minimalen Erzeugendenzahl von Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 08x7cbkft6qoxdmthc71a89a3bn9jfl 0 107969 783976 757610 2022-08-22T04:58:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= (R,{{idealm}})|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |M || R/ {{idealb|}} || || || |SZ= }} mit einem Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealb|}} |\neq| (1) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann für jedes Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\neq| (1) || || || |SZ= }} die natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{ideala|}} | R/ {{idealb|}} || |SZ= }} nicht surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Lemma von Nakayama |Kategorie2=Theorie der zyklischen Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fgodevwh6ydziiyr6hn71f38d26lr2i 0 107976 786476 591804 2022-08-22T11:31:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden {{math|term= G|SZ=}} und des Kreises {{math|term= K|SZ=,}} wobei {{math|term= G|SZ=}} durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | y-3x+1 || 0 || || || |SZ= }} und {{math|term= K|SZ=}} durch den Mittelpunkt {{math|term= (-2,3)|SZ=}} und den Radius {{math|term= 4|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Kreisgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Schnittpunkt |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6f2mvbmj0hclto9n8lxz0poydirxb3l 0 107981 785901 759054 2022-08-22T09:56:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (\Q,+,0)|SZ=}} versehen mit der üblichen Addition. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |c |\neq|0 || || || |SZ= }} fixiert. Zeige{{n Sie}}, dass mit der Verknüpfung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x * y | {{defeq|}} | {{op:Bruch|xy|c}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. Was ist dabei das neutrale Element zur neuen Multiplikation {{math|term= *|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe |Kategorie3=Theorie der Proportionalität |Kategorie4=Theorie der Ringisomorphismen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ddzpbqe5ik8j79q6suk5hrz6mu3qnj 0 107984 785902 759055 2022-08-22T09:56:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (\Q,+,0)|SZ=}} versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung {{math|term= *|SZ=}} auf {{math|term= \Q|SZ=}} derart gegeben, dass {{mathl|term= (\Q,+,0,*,1)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Ferner gelte {{ Ma:Vergleichskette | 1* 1 ||1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= *|SZ=}} die übliche Multiplikation sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe |Kategorie3= |Kategorie4= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fp8pmuz8gtmq7kq3hrotv816zdu8fqk 0 108019 779924 634753 2022-08-21T17:43:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen auf {{math|term= \R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder auf einer Intervallumgebung des Nullpunktes oder den Ring der Keime stetiger Funktionen| |ISZ=|ESZ=. }} Die Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) |{{defeq}}| \begin{cases} {{op:Bruch|1|e^{1/x} }} \text{ für } x > 0\, , \\0 \text{ sonst} \, ,\end{cases} || || || |SZ= }} ist stetig. Für jedes {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Bruch|f|x^n}} |SZ=}} stetig im Nullpunkt fortsetzbar, da {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|e^{- 1/x} |x^n}} || e^{-u} u^n || {{op:Bruch|u^n|e^u}} || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette/disp |u || {{op:Bruch|1|x}} | \rightarrow |\infty || || |SZ= }} gegen {{math|term= 0|SZ=}} geht. Somit gilt in diesem Ring die faktorielle Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || x^n \cdot g_n || || || |SZ= }} für beliebiges {{math|term= n|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Ringe von stetigen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qy8f7djuevr9j3lrlku11fe6t5ibgju 0 108030 784654 758159 2022-08-22T06:41:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |f,g |\neq|0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Nichteinheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen maximalen Exponenten {{math|term= n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |f ||g^n h || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c2lt4ic71kvwtb7ezzeb1uc5673dypk 0 108040 782941 756684 2022-08-22T02:05:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathbed|term= f \in R ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die minimale {{ Definitionslink |Prämath= |freie Auflösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduls| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R/(f)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen freien Auflösungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qcns6ex09fbt87r63p7vdjggpqgcyg6 0 108041 783599 757251 2022-08-22T03:55:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X]/ {{makl| X^2 |}} || || || |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R/(X) |\cong|K || || || |SZ= }} die minimale {{ Definitionslink |Prämath= |freie Auflösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{math|term= R|SZ=-}}Modul. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen freien Auflösungen |Kategorie2=Theorie der artinschen kommutativen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5vv217eih4qw7hp3jgtblu6hh4lh5pu 0 108042 783600 757252 2022-08-22T03:55:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X]/ {{makl| X^n |}} || || || |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R/(X) |\cong|K || || || |SZ= }} die minimale {{ Definitionslink |Prämath= |freie Auflösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{math|term= R|SZ=-}}Modul. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen freien Auflösungen |Kategorie2=Theorie der artinschen kommutativen Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 046230cnoxyxiovum7xm8hsesutglej 0 108043 784068 757712 2022-08-22T05:14:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=,}} die eine injektive lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=M |R^m|R^n || |SZ= }} definiere. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Dimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Kokerns| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \leq 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen freien Auflösungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1l28d6p42ovbvms6i9s7ozprw25dvir 0 108056 780525 754697 2022-08-21T19:22:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das Achsenkreuz {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y]/ {{makl| XY |}} || || || |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} die minimale {{ Definitionslink |Prämath= |freie Auflösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{math|term= R|SZ=-}}Modul. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen freien Auflösungen |Kategorie2=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} av0zby175t39nqizdlq82oybabsylk7 0 108057 784601 758118 2022-08-22T06:33:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die Neilsche Parabel {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y]/ {{makl| X^2-Y^3 |}} || || || |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} die minimale {{ Definitionslink |Prämath= |freie Auflösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{math|term= R|SZ=-}}Modul. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen freien Auflösungen |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fd9u2oi0x7ahu3yj0s65gr5bm6q771w 0 108059 781468 755476 2022-08-21T22:00:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |maximalem Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (\pi) || || || |SZ= }} und dem {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Q ||Q(R) ||R_\pi || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow R^{(\N)} \longrightarrow R^{(\N)} \longrightarrow Q \longrightarrow 0 |SZ=, }} wobei rechts die Basiselemente {{math|term= e_n|SZ=}} auf {{math|term= {{op:Bruch|1|\pi^n}} |SZ=}} und links die Basiselemente {{math|term= f_n|SZ=}} auf {{mathl|term= e_n- \pi e_{n+1}|SZ=}} abgebildet werden, eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |freie Auflösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Quotientenkörpers {{math|term= Q|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2=Theorie der endlichen freien Auflösungen |Kategorie3=Theorie der Quotientenkörper von faktoriellen Bereichen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nzg4cs11lrk75s4kyjmaeuta1234sr3 0 108060 782864 756634 2022-08-22T01:53:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |A ||K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/(F) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |F |\neq|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath=A |Modul der Kählerdifferentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A|K}} |SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |freie Auflösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen freien Auflösungen |Kategorie2=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie3=Theorie der algebraischen Hyperflächensingularitäten |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rq6ps4d344jccpnfbkxxz8urndlj4x3 0 108061 786137 759295 2022-08-22T10:35:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein dreidimensionaler {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |regulärer Ring| |Kontext=lokal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Konstruiere eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |freie Auflösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ähnlich zu {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Regulärer Ring/Zweidimensional/Koszul-Auflösung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2=Theorie der endlichen freien Auflösungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t363pvh3kueac42zcq0mndgqndwuqn1 0 108064 781814 755719 2022-08-21T22:57:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow F_n \longrightarrow \ldots \longrightarrow F_2 \longrightarrow F_1 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0 |SZ= }} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |freie Auflösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass sämtliche Kerne zu {{ Ma:abb |name=d_i |F_{i+1}|F_i || |SZ= }} eine endliche freie Auflösung besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen freien Auflösungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i090r4vxybqbo2k23g0sk85t7quy4z3 0 108072 783078 592175 2022-08-22T02:28:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^3+Y^3-3XY |\in|K[X,Y] |\subseteq| K[X,Y]_{(X,Y)} || || |SZ= }} ein Primelement ist, aber nicht im Ring {{mathl|term= {\mathcal O}_2|SZ=}} der holomorphen Funktionen in zwei Variablen. Wie lautet dort die Faktorzerlegung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2=Theorie der holomorphen Funktionen in mehreren Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Kartesische Blatt |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k8tusgjp5756dz758ht804tdja6mcmq 0 108074 783079 756827 2022-08-22T02:28:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Kartesisches-Blatt|svg| 200px {{!}} right {{!}} |Autor= |Benutzer=Georg-Johann |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 & GFDL |Bemerkung= }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= K[X,Y]_{(X,Y)}/ {{makl| X^3+Y^3-3XY |}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass der entsprechende analytische Ring {{mathl|term= {\mathcal O}_2/ {{makl| X^3+Y^3-3XY |}} |SZ=}} nicht integer ist. Zeige{{n Sie}} ferner, dass dieser Ring isomorph zu {{math|term= {\mathcal O}_2/ {{makl| XY |}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen eindimensionalen Ringe |Kategorie2=Theorie der holomorphen Funktionen in mehreren Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Kartesische Blatt |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rfwozvz9gtfgn97zq5xdrdnjevbopxc 0 108075 780526 754698 2022-08-21T19:23:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für das Achsenkreuz {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y]/ {{makl| XY |}} || || || |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R/(X) |\cong| K[Y] || || || |SZ= }} die minimale {{ Definitionslink |Prämath= |freie Auflösung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{math|term= R|SZ=-}}Modul. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen freien Auflösungen |Kategorie2=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6e5izmd92y3azetw06pc1tycyggx9ro 0 108076 780408 754608 2022-08-21T19:03:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} in den Koordinatenringen zu den {{math|term= A|SZ=-}}Singularitäten, also in {{mathl|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| XY-Z^n |}} |SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ=, }} Elemente, die {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |prim| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j93wzsc4caghdumwukxc3st0710tchq 0 108080 781222 755263 2022-08-21T21:19:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} in den Koordinatenringen zu den {{math|term= D|SZ=-}}Singularitäten, also in {{mathl|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+YZ^2 + Y^{m+1} |}} |SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette |m |\geq|2 || || || |SZ=, }} Elemente, die {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |prim| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen D-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} se5bxxl2tz0bxmpta8xx5j68golxrpz 0 108081 781611 755558 2022-08-21T22:24:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} im Koordinatenring zur {{math|term= E_6|SZ=-}}Singularität, also in {{mathl|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+ Y^3 + Z^4 |}} |SZ=,}} Elemente, die {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |prim| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qn7hkgs6l9wx5oacsfdwliq2wx4chvz 0 108082 781614 755562 2022-08-21T22:24:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} im Koordinatenring zur {{math|term= E_7|SZ=-}}Singularität, also in {{mathl|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2 +Y^3 +YZ^3 |}} |SZ=,}} Elemente, die {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |prim| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gb6min1rmmsugz1p2e8jdqlekv5lpmd 0 108087 781551 755513 2022-08-21T22:14:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} in in {{mathl|term= K[X,Y,Z,W]/ {{makl| XY-ZW |}} |SZ=}} Elemente, die {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |prim| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der dreidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quadrik UX-VY‎ |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ou03x8m8rsrqbm213w55d5liu64xp7i 0 108089 781991 755884 2022-08-21T23:27:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \{a,b,c,d\}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrscheinlichkeitsmaß| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \mu|SZ=.}} Die folgenden Werte seien bekannt: {{ Ma:Vergleichskette |\mu(\{a,b\}) || {{op:Bruch|7|12}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |\mu(\{a,c\}) || {{op:Bruch|8|15}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |\mu(\{b,c\}) || {{op:Bruch|9|20}} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= \mu(\{x\})|SZ=}} für jedes Elementarereignis. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} selq23pbpl4wrzs1o7hohdyhnc8xpch 0 108090 781992 755885 2022-08-21T23:27:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \{a,b,c\}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrscheinlichkeitsmaß| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \mu|SZ=.}} Die folgenden Beziehungen seien bekannt: {{ Ma:Vergleichskette |\mu(\{a\}) || \mu(\{b,c\} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |\mu(\{a,c\}) || {{op:Bruch|4|5}} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= \mu(\{x\})|SZ=}} für jedes Elementarereignis. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b1is41a77ulxg7bre4naw09v8i1737s 0 108092 781022 755089 2022-08-21T20:45:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bernoulli-Verteilung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= \{0,1\}|SZ=}} gegeben. Das Ereignis {{math|term= 1|SZ=}} sei fünfmal so wahrscheinlich wie das Ereignis {{math|term= 0|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeit von {{math|term= 0|SZ=}} in Prozent. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2=Prozentrechnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 45fs4cek8rn1hakb0ildcqdxmfmxy46 0 108095 783732 757378 2022-08-22T04:17:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einem {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} trete ein Elementarereignis mit der Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= 3{,}\overline{3}\,{{Prozent}} |SZ=}} ein. Wie viele Elemente besitzt der Raum? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8lyftuvqcpniowxma1x15r4fktna3cz 0 108096 781463 592243 2022-08-21T21:59:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Aus der Menge {{mathl|term= \{0,1,2,3,4,5\} \times \{0,1,2,3,4,5 \} |SZ=}} werden zufällig zwei Punkte ausgewählt und dann wird die durch diese beiden Punkte definierte Gerade bestimmt. {{ Aufzählung2 |Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Diagonale herauskommt? |Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine zur Diagonalen parallele Gerade herauskommt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} epkw2isnsy0a8h4fkyfpvvl7prrlsyw 0 108100 780830 754934 2022-08-21T20:13:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |artinscher Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= \varphi |F|G || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugten| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |freien| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduls| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= F|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |direkter Summand| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der artinschen kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j756vrif2nshdpwsgqmsw561amngzzy 0 108103 786415 759488 2022-08-22T11:21:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|\R^n || || || |SZ=. }} Betrachte{{n Sie}} die Menge aller Paare {{ math/disp|term= (U,f) \text{ mit } 0 \in U \subseteq \R^n \text{ offen und } f:U \longrightarrow \R \text{ stetig } |SZ= }} mit der Identifizierung {{ Ma:Vergleichskette/disp | (U,f) |\sim|(V,g) || || || |SZ=, }} falls es eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|W |\subseteq| U \cap V || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f {{|}} _W ||g {{|}} _W || || || |SZ= }} gibt. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \sim|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Es sei {{math|term= R|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \sim|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es auf {{math|term= R|SZ=}} eine natürliche Struktur als {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} Diesen Ring nennt man den {{Stichwort|Ring der Keime stetiger Funktionen|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von Keimen stetiger Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 64an117gfjrvubjxegmuww8ok5f2oif 0 108107 786416 759489 2022-08-22T11:21:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ring der Keime stetiger Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|\R^n || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Nullteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von Keimen stetiger Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p9678p8vwgcc09pp0rr7wx0po955zax 0 108111 785850 759014 2022-08-22T09:48:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ring der Keime stetiger Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in Punkt {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|\R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= R|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht von {{math|term= X|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also der Identität| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugt| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von Keimen stetiger Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ucxyt0m7tc13fym17nhcvjl0111mon 0 108112 784017 757642 2022-08-22T05:05:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|M || || || |SZ= }} ein Punkt einer {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Ring der Keime stetiger Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= P|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=\R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Ring der Keime stetiger Funktionen in {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|\R^n || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von Keimen stetiger Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3k10i3fzslriokx9b8rb8rlmrj0e7pm 0 108115 785058 758447 2022-08-22T07:41:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R ||\R[X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{ {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} } || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomringes| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} am {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}}|SZ=}} und sei {{math|term= S|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ring der Keime stetiger Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in Punkt {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|\R^n || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen natürlichen injektiven {{ Definitionslink |Prämath=\R |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R|S || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von Keimen stetiger Funktionen |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie3=Theorie der lokalen Ringe von Varietäten |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oo908l4gzn2zllpevht3907duqym9as 0 108148 781752 592484 2022-08-21T22:47:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Einheitskreis über dem Körper {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=,}} also die Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |E |\subseteq| {{Mengebed|(x,y) \in {{makl| {{op:Zmod|5|}} |}}^2|x^2+y^2 {{=|}} 1 }} || || || |SZ=. }} Aus {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| {{op:Zmod|5|}} |}}^2 || {{op:Zmod|5|}} \times {{op:Zmod|5|}} || || || |SZ= }} werden zufällig Punkte ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewählter Punkt auf dem Einheitskreis liegt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkte von endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen |Kategorie2=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 5 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ki7v27unk7jhqxw87rpst7rqe4tg76b 0 108159 781096 592557 2022-08-21T20:58:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Durch langjährige Beobachtungen weiß man, dass Heinz in einer Mathearbeit mit Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=}} eine Zwei oder besser schreibt. Im Schuljahr werden vier Arbeiten geschrieben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Heinz keinmal, einmal, zweimal, dreimal, viermal eine Zwei oder besser hat? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialverteilung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b3ucbdx7f60bqw5gcqn0r3s4idzoy5b 0 108160 784487 592560 2022-08-22T06:17:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man gebe eine hinreichend große Zehnerpotenz {{ Ma:Vergleichskette |n ||10^k || || || |SZ= }} derart an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem {{math|term= n|SZ=-}}fachen Münzwurf die Anzahl der Kopfwürfe zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|n|2}} -10 |und|term2= {{op:Bruch|n|2}} +10 |SZ= }} liegt, kleiner als {{math|term= {{op:Bruch|1|10}}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Gesetz der großen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lex03dhgdsvfe738w4rmczctpa9sj10 0 108161 785394 758678 2022-08-22T08:32:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Produktring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R \times S|SZ=}} die Aussage aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Noetherscher Integritätsbereich/Faktorzerlegung/Exponentschranke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht gelten muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in noetherschen Integritätsbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 66xuw6525ifhvsrotnt3xgz9xvvq5bg 0 108164 784624 758133 2022-08-22T06:36:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und betrachte den {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || K[X,Y_0,Y_1,Y_2, \ldots]/ {{makl| Y_0-XY_1,Y_1-XY_2,Y_2-XY_3, \ldots |}} || K[X, Y_n,n \in \N]/ {{makl| Y_i -XY_{i+1}, i \in \N |}} || || |SZ=. }} {{ Aufzählung6 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primelement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= (X)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} || \bigcap_{n \in \N} {{makl| X^n |}} || {{makl| Y_j, j \in \N |}} || || || |SZ= }} gilt und dass dies ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, das nicht {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugt| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wie lautet der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= {{idealp|}} |SZ=?}} |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Krulldimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} zumindest {{math|term= 2|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= Y_0|SZ=}} keine Faktorzerlegung in {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen |Kategorie2=Der Krullsche Durchschnittssatz |Kategorie3=Der Krullsche Hauptidealsatz |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sy8bw5u1yb92vetvrzaltk0r22bmfyp 0 108166 782950 756694 2022-08-22T02:07:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || \bigoplus_{n \in \N} R_n || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |positiv-graduierter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R_0 ||K || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |f |\neq|0 || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= 1|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der positiv-graduierten Algebren |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} og9gof0mpip6a8b3v4m1ry5m1gcgjze 0 108169 780587 754737 2022-08-21T19:33:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der Ring {{mathl|term= {{CC|}} [X,Y]/ {{makl| X^3+Y^3+1 |}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Ringe |Kategorie2=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Fermat-Kubik |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0haiw7rb293as3izu9m5irqxodhubex 0 108170 780553 754713 2022-08-21T19:27:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten {{ Zusatz/Klammer |text=gegeben durch den Ring {{math|term= R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} Ringelemente {{ Ma:Vergleichskette |f |\neq|0 || || || |SZ= }} derart, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6qj60pyb6sfmr96c2hs5ntf0pz8czp8 0 108187 781020 755087 2022-08-21T20:45:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken| |ISZ=|ESZ=. }} Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man aus zwei benachbarten Zahlen der Zeile das {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetische Mittel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet und dieses in der nächsten Zeile unterhalb der beiden Zahlen hinschreibt. {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} die ersten fünf Zeilen {{ Zusatz/Klammer |text=also Zeile {{math|term= 0|SZ=}} bis Zeile {{math|term= 4|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Begründe{{n Sie}} induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass in der {{math|term= n|SZ=-}}ten Zeile die Zahlen {{mathl|term= B_{ {{op:Bruch|1|2}},n } (k)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |k ||0,1 {{kommadots|}} n || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Binomialverteilung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} stehen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialverteilung |Kategorie2=Theorie der rekursiven Dreiecke |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fjt238u31zxcqlh89ccjdv3o6t593wc 0 108192 781021 755088 2022-08-21T20:45:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Die Zahlen darin seien mit {{mathl|term= b_{n,k}|SZ=}} bezeichnet, wobei sich {{math|term= n \in \N_+|SZ=}} auf die Zeilennummer und {{math|term= k|SZ=}} auf die Position in der Zeile bezieht. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken| |ISZ=|ESZ=. }} Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man {{ Ma:Vergleichskette/disp |b_{n+1,k} |{{defeq}}| {{op:Bruch|1|3}} b_{n,k-1} + {{op:Bruch|2|3}} b_{n,k} || || || |SZ= }} setzt. Dies legt rekursiv jede Zeile fest. {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} die ersten fünf Zeilen {{ Zusatz/Klammer |text=also Zeile {{math|term= 0|SZ=}} bis Zeile {{math|term= 4|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Begründe{{n Sie}} induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass in der {{math|term= n|SZ=-}}ten Zeile die Zahlen {{mathl|term= B_{ {{op:Bruch|2|3}},n } (k)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |k ||0,1 {{kommadots|}} n || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Binomialverteilung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch|2|3}} |SZ=}} und zur Stichprobenlänge {{math|term= n|SZ=}} stehen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialverteilung |Kategorie2=Theorie der rekursiven Dreiecke |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0mxool72qx122uzrf9z58dswdadk2vn 0 108201 779050 592847 2022-08-21T15:27:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Polynom {{ Ma:Vergleichskette |f ||X^3-Y^2 || || || |SZ= }} und das zugehörige Nullstellengebilde {{ Ma:Vergleichskette | V(f) |\subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ=, }} also die zugehörige ebenen monomiale Kurve. Wir betrachten die polynomiale Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |{{op:Affine Ebene|K|}} |{{op:Affine Ebene|K|}} | (x,z)| (x,xz) {{=|}} (x,y) |SZ=, }} die einen Isomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |V_1 {{=|}} D(X)| V_2 {{=|}} D(X) || |SZ= }} induziert, die Umkehrabbildung ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |z || {{op:Bruch|y|x}} || || || |SZ= }} gegeben. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | f \circ \varphi || X^3-X^2Z^2 || X^2 {{makl| X-Z^2 |}} || || |SZ=. }} Somit liefert {{math|term= \varphi,|SZ=}} eingeschränkt auf {{math|term= V_1|SZ=}} bzw. {{math|term= V_2|SZ=}} einen Isomorphismus, der die monomialen Kurve ohne die Singularität in die Parabel {{mathl|term= V {{makl| X-Z^2 |}} |SZ=}} ohne den Nullpunkt überführt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3=Theorie der Aufblasungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fwob15j18nl4mvp8icl0rpqok4eifrd 0 108213 785779 714359 2022-08-22T09:36:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Zusatz/Klammer |text=verschobene| |ISZ=|ESZ= }} Quadratwurzelfunktion {{math|term= \sqrt{1+x}| SZ=}} im Entwicklungspunkt {{math|term= 0|SZ=}} die Potenzreihenentwicklung {{ Ma:Vergleichskette/align | \sqrt{1+x} || 1 + \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2+ \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3 - \frac{1\cdot3 \cdot 5}{2\cdot4\cdot6 \cdot 8 } x^4 + \frac{1\cdot3 \cdot 5 \cdot 7}{2\cdot4\cdot6 \cdot 8 \cdot 10} x^5 \mp \ldots ||1+ \sum_{n {{=}}1}^\infty (-1)^{n+1} {{op:Bruch|1 \cdot 3 \cdots \cdots (2n-3) | 2 \cdot 4 \cdots (2n-2)(2n) }} x^n || || |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2=Theorie der komplexen Quadratwurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6rjvj857q7am9o674bq0443uwcn208q 0 108216 786168 759324 2022-08-22T10:41:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck {{ Zusatz/Klammer |text=analog zum Pascalschen Dreieck| |ISZ=|ESZ= }} führt. In der ersten Zeile steht zentral die {{math|term= 256|SZ=,}} links und rechts davon stehen unendlich viele {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die nicht aufgeführt werden müssen| |ISZ=|ESZ=. }} Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das {{ Definitionslink |Prämath= |geometrische Mittel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als {{math|term= 6|SZ=}} sind. |Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2=Theorie der rekursiven Dreiecke |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eit98u2zy5s416vf40stm1hvh64u38g 0 108226 783743 599874 2022-08-22T04:19:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Frau Selena Popescu ist eine gut ausgebildete und engagierte Lehrerin. Wenn sie eine Klasse ein Jahr lang unterrichtet, kann man im langjährigen Mittel folgende Notenbewegungen beobachten. Ein Kind, das zuvor eine {{math|term= 1|SZ=}} hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch|5|6}} |SZ=}} bei einer {{math|term= 1|SZ=}} und verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch|1|6}} |SZ=}} auf eine {{math|term= 2|SZ=.}} Ein Kind, das zuvor eine {{math|term= 2,3,4|SZ=}} oder {{math|term= 5|SZ=}} hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} bei seiner Note, es verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=}} um eine Note und es verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch|1|6}} |SZ=}} um eine Note. Ein Kind, das zuvor eine {{math|term= 6|SZ=}} hatte, verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} auf eine {{math|term= 5|SZ=}} und bleibt mit Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} bei der {{math|term= 6|SZ=.}} Adriane hatte zuletzt eine {{math|term= 3|SZ=,}} dann bekam sie Frau Popescu als Lehrerin. {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeiten, dass Adriane nach zwei Jahren bei Frau Popescu eine {{math|term= 1,2,3,4,5,6|SZ=}} bekommt. |Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Adriane nach drei Jahren bei Frau Popescu eine {{math|term= 1|SZ=}} bekommt? |Angenommen, alle Kinder hatten zuvor eine {{math|term= 3|SZ=.}} Was ist der Klassendurchschnitt, wenn Frau Popescu zwei Jahre lang die Klasse unterrichtet {{ Zusatz/Klammer |text=man denke an {{math|term= 36|SZ=}} Kinder| |ISZ=|ESZ=? }} |Ist es möglich, dass sich der Klassendurchschnitt in einem Jahr verschlechtert, wenn Frau Popescu eine Klasse übernimmt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkte von endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |p1=3 |p2=2 |p3=2 |p4=1 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dgbyrwle0hen01vh9yts08s8r67jqiz 0 108228 781244 592918 2022-08-21T21:22:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gabi Hochster möchte heute abend mit einem Jungen ihrer Klasse ins Kino. Erfahrungsgemäß sagt ein Junge, den sie fragt, mit Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=}} zu und mit Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch|2|3}} |SZ=}} ab. Einerseits möchte sie eine Begleitung haben, andererseits möchte sie auch ungern bei vielen selbst absagen, falls zu viele zusagen. Deshalb fragt sie {{math|term= 5|SZ=}} Jungs. {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeit, dass alle {{math|term= 5|SZ=}} absagen {{ Zusatz/Klammer |text=als Bruch und als Prozentangabe| |ISZ=|ESZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer zusagt. |Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens einem Jungen absagen muss. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialverteilung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=2 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fwf9488jxxolhbzs7jsmjsxtps11ksv 0 108236 782821 756593 2022-08-22T01:45:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |U| {{CC|}} || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in| U |\subseteq| {{CC|}}^n || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |f(0) ||0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, das folgende Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{math|term= 0|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |regulärer Punkt| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} |Das {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobiideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=}} in {{mathl|term= {\mathcal O}_n|SZ=}} ist das Einheitsideal. |{{math|term= f|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath=1 |bestimmt| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Bestimmtheit von holomorphen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie3=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (K) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 46oxmqkyurl6mpaaqmwfh2qn9m2onn7 0 108239 782820 756590 2022-08-22T01:45:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |U| {{CC|}} || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in| U |\subseteq| {{CC|}}^1 || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |f(0) ||0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, das die folgenden Charakterisierungen einer Zahl {{math|term= r|SZ=}} äquivalent sind. {{ Aufzählung5 |{{math|term= 0|SZ=}} ist eine {{math|term= r|SZ=-}}fache Nullstelle von {{math|term= f|SZ=.}} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |f ||x^r h || || || |SZ= }} mit {{math|term= h|SZ=}} nullstellenfrei im Nullpunkt. |Das {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobiideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=}} in {{mathl|term= {\mathcal O}_1|SZ=}} ist {{mathl|term= (x^{r-1})|SZ=.}} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=}} im Nullpunkt ist {{math|term= r-1|SZ=.}} |{{math|term= f|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath=r |bestimmt| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{math|term= (r-1)|SZ=-}}bestimmt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Bestimmtheit von holomorphen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie3=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (K) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l6cox0welqtzs88w9lad8zgs2m5tql3 0 108255 781682 755610 2022-08-21T22:35:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |b |\geq|3 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= X^3+Y^b|SZ=}} zu {{mathl|term= X^3+Y^b+X^4|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kb2t23wums5s0hkh4nfbpchg9kj49jp 0 108256 779450 592984 2022-08-21T16:30:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Ziehung der Lottozahlen. Sind die Ereignisse, dass zwei bestimmte Zahlen gezogen werden, unabhängig voneinander? Dazu müssen wir die relevanten Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl, sagen wir die {{math|term= 17|SZ=}} gezogen wird, ist, wie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binomialkoeffizient/Lotto/Teilmengenanzahl/Wahrscheinlichkeit/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} berechnet, gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|6|49}}|SZ=.}} Diese Wahrscheinlichkeit ist für jede Zahl gleich. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen gezogen werden, sagen wir die {{ mathkor|term1= 17 |und die|term2= 31 |SZ=, }} ist, ebenfalls wie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Binomialkoeffizient/Lotto/Teilmengenanzahl/Wahrscheinlichkeit/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} berechnet, gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| 5|392}} || 0,012755102 ... |SZ=. }} Die Produktwahrscheinlichkeit der beiden einzelnen Ereignisse ist hingegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|6|49}} \cdot {{op:Bruch|6|49}} || {{op:Bruch|36|2401}} ||0,014993753... || || |SZ=. }} Die Ereignisse sind also nicht unabhängig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qa0j4ys7t1w2c688zmu82t4yb7en321 0 108265 785056 758445 2022-08-22T07:40:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P|SZ=}} ein Polynom in den Variablen {{mathl|term= X_2 {{kommadots|}} X_n |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= X_1|SZ=}} und {{math|term= X_1- P|SZ=}} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Rechtsäquivalenz von rationalen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Automorphismen des affinen Raumes |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jqcsvquijglboeeoadc12l35ix8nx89 0 108268 785057 758446 2022-08-22T07:40:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P || \sum_{i {{=}} 1}^n a_i X_i || || || |SZ= }} ein lineares Polynom {{math|term= \neq 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= X_1|SZ=}} und {{math|term= P|SZ=}} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Rechtsäquivalenz von rationalen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Automorphismen des affinen Raumes |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6x2q7rnpeyhwv7bpbtcr1ffcy0bzn43 0 108272 785872 759034 2022-08-22T09:51:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in|K (X_1 {{kommadots|}} X_n) || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |rational rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Variablen {{math|term= X|SZ=}} ist, wenn es rationale Funktionen {{mathl|term= F_2 {{kommadots|}} F_n |SZ=}} derart gibt, dass die Körpergleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | K (F , F_2 {{kommadots|}} F_n) || K (X_1 {{kommadots|}} X_n) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Rechtsäquivalenz von rationalen Funktionen |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2k4t86i3r6veoxbllknrh70lradnix6 0 108275 785032 758429 2022-08-22T07:37:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das Polynom {{mathl|term= X^n-Y^2|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Variablen {{math|term= X|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Rechtsäquivalenz von rationalen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Automorphismen des affinen Raumes |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8b4f1bfkm738d7ydtiut475juzdjcw9 0 108276 785027 758427 2022-08-22T07:36:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das Polynom {{mathl|term= X^3-Y^2|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |rational rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Variablen {{math|term= X|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Rechtsäquivalenz von rationalen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5yn8fnm32frtcuavjw209t4lkkis8ks 0 108277 780586 754736 2022-08-21T19:33:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das Polynom {{mathl|term= X^3+Y^3-1|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |rational rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Variablen {{math|term= X|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Rechtsäquivalenz von rationalen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sw80t5g7fmhdcvi52fc67ivff47kzw2 0 108282 786591 593072 2022-08-22T11:51:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Kreis mit sechs {{ Zusatz/Klammer |text=äquidistanten| |ISZ=|ESZ= }} Knoten gegeben, die mit {{math|term= 1,2,3,4,5,6|SZ=}} bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich {{math|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt. |Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt. |Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b1xrmndwuv2yfvxjzumhiw3xlpvvqyq 0 108284 783734 757380 2022-08-22T04:18:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{1,2,3 {{kommadots}} 143\} || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Dichte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= E|SZ=}} das Ereignis, dass eine Zahl aus {{math|term= M|SZ=}} ein Vielfaches der {{math|term= 11|SZ=}} ist, und {{math|term= F|SZ=}} das Ereignis, dass eine Zahl aus {{math|term= M|SZ=}} ein Vielfaches der {{math|term= 13|SZ=}} ist. Sind {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |unabhängig| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2fg5mwvr00o0y22z3tsvkha9temt92y 0 108285 783733 757379 2022-08-22T04:18:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{1,2,3 {{kommadots}} 142 \} || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Dichte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= E|SZ=}} das Ereignis, dass eine Zahl aus {{math|term= M|SZ=}} ein Vielfaches der {{math|term= 11|SZ=}} ist, und {{math|term= F|SZ=}} das Ereignis, dass eine Zahl aus {{math|term= M|SZ=}} ein Vielfaches der {{math|term= 13|SZ=}} ist. Sind {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |unabhängig| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kth8ub9moj9da1tnlf447fetanrkxth 0 108288 785340 758640 2022-08-22T08:23:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p_1 {{kommadots|}} p_k |SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= n|SZ=}} ihr Produkt. Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |M ||{{Menge1n|}} || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Dichte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= E_i|SZ=}} das Ereignis, das eine Zahl aus {{math|term= M|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= p_i|SZ=}} ist. Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= E_i|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig unabhängig| |Kontext=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der vollständigen Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2=Theorie der Primzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cu86iml0k84mvmni69v18friu3q7ifw 0 108298 781996 755889 2022-08-21T23:28:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (M,P)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= E_1 {{kommadots|}} E_r |SZ=}} eine Familie von {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig unabhängigen| |Kontext=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ereignissen. Zeige{{n Sie}}, dass die Familie vollständig unabhängig bleibt, wenn man die leere Menge und die Gesamtmenge {{math|term= M|SZ=}} hinzunimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der vollständigen Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 21ye0o614cfuq26gxzjmjhav82s7e1j 0 108304 779519 763612 2022-08-21T16:41:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachten wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |f ||x^3+y^4 || || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobiideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{mathl|term= {{makl| x^2,y^3 |}} |SZ=,}} das Quadrat davon ist {{mathl|term= {{makl| x^4,x^2y^3,y^6 |}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Dritte Potenz/Summe/Zweite Jacobiidealpotenz/Rechtsäquivalenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist beispielsweise {{mathl|term= x^3+y^4+5x^4+ x^3y^3+7xy^9|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= f|SZ=.}} In der {{ Definitionslink |Prämath= |Entfaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= x^3+y^4+tx^4|SZ=}} kommen also nur zu {{math|term= f|SZ=}} rechtsäquivalente Deformationen vor. Wenn man hingegen die Entfaltung {{mathl|term= sx^3+y^4+x^4|SZ=}} betrachtet, so ist für {{ Ma:Vergleichskette |s |\neq|0 || || || |SZ= }} die Deformation rechtsäquivalent zu {{math|term= f|SZ=,}} für {{ Ma:Vergleichskette |s ||0 || || || |SZ= }} geht es hingegen um {{mathl|term= y^4+x^4|SZ=,}} das, weil es reduzibel ist, nicht rechtsäquivalent zu {{math|term= f|SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o7wr84ud6tdrlkv9majgkilf93wnm3l 0 108305 782819 756589 2022-08-22T01:45:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Rechtsäquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Entfaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= tx^n+(1-t)x^m|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |1 ||n |<|m || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o6qfft2qg6gxk1xuwfn3hub6w4dbx15 0 108312 785028 593152 2022-08-22T07:36:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten Polynome {{mathl|term= x^4+ux^2+vx|SZ=}} mit Parametern {{mathl|term= u,v \in {{CC}} |SZ=.}} Finde{{n Sie}} eine algebraische Bedingung an die Parameter {{math|term= u,v|SZ=,}} die beschreibt, dass das Polynom einen ausgearteten kritischen Punkt besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der höheren Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rmu7d6xhoklph990enbwzdc70jrj0pq 0 108315 782835 593175 2022-08-22T01:48:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überführe{{n Sie}} ein Polynom der Form {{mathl|term= xy(x+ \gamma y)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\gamma |\neq|0 || || || |SZ= }} durch eine lineare Transformation in ein Polynom der Form {{mathl|term= zw(z+w)|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kubiken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ovdrjizprtuyzlrtj9jzuu085p5pdu7 0 108334 783141 688616 2022-08-22T02:39:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Professor Knopfloch und Professor Zahnrad spielen gegeneinander Schach, wobei sie abwechselnd mit weiß oder mit schwarz spielen. Wenn Professor Knopfloch mit weiß spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch|3|4}} |SZ=,}} wenn er mit schwarz spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch|2|3}} |SZ=,}} andernfalls gewinnt Professor Zahnrad. Heute hat Professor Zahnrad gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Professor Knopfloch heute mit weiß gespielt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Professor Knopfloch |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1s0rwjaawv5xzdtfd6qil6fei6e1uce 0 108349 786574 593316 2022-08-22T11:48:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beim Skat gibt es {{math|term= 32|SZ=}} Karten, darunter {{math|term= 4|SZ=}} Buben, und jeder Spieler bekommt {{math|term= 10|SZ=}} Karten. {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler alle {{math|term= 4|SZ=}} Buben bekommt. |Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeit, dass einer der drei Spieler alle {{math|term= 4|SZ=}} Buben bekommt. |Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler (genau) {{math|term= 2|SZ=}} Buben bekommt. |Spieler {{math|term= A|SZ=}} hat zwei Buben bekommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler {{math|term= B|SZ=}} ebenfalls zwei Buben hat? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=2 |p2=1 |p3=2 |p4=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hd2redo3vlc9gq1n55fue6y3q0as4an 0 108441 780990 755060 2022-08-21T20:40:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= B \subseteq M|SZ=}} eine Teilmenge eines {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} mit positiver Wahrscheinlichkeit. Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein weiteres Ereignis und es gelte {{ Ma:Vergleichskette/disp | P ( E {{|}} B ) |\geq| P(E) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | P ( E {{|}} M \setminus B ) |\leq| P(E ) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8n4lxp4rj0821h6bypuyvm16de1djp 0 108446 783816 757446 2022-08-22T04:31:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |\Q^3|\Q^2 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=Zahlenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(e_1) || {{op:Spaltenvektor|5|7}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(e_2) || {{op:Spaltenvektor|3|-3}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(e_3) || {{op:Spaltenvektor|4|-11}} || || || |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= \varphi {{makl| {{op:Spaltenvektor|3|-4|2}} |}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jqwov8tb5cx2b59qisd9q4b9c9asome 0 108448 786211 593627 2022-08-22T10:48:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das inverse Element zu {{mathl|term= \overline{35}|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|101}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r68ji08cij6hrqpaaumavo7so70brk4 0 108450 785087 593633 2022-08-22T07:45:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von {{math|term= 17}} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=2 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 307ick79fmn331jch8rasiis764hbdk 0 108453 784705 593652 2022-08-22T06:48:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|x^3-4x +2 |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}}, ausgehend vom Intervall {{mathl|term= [1,2]|SZ=,}} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge {{mathl|term= 1/8|SZ=,}} in dem eine Nullstelle von {{math|term= f|SZ=}} liegen muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ui27nwjfcrhuowwybom9el4uuv9eji 0 108456 786589 593658 2022-08-22T11:50:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Kreis mit fünf {{ Zusatz/Klammer |text=äquidistanten| |ISZ=|ESZ= }} Knoten gegeben, die mit {{math|term= 1,2,3,4,5|SZ=}} bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich {{math|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt. |Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt. |Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=3 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rjee8kow2xmbr4a6tj94al6flhw42ic 0 108458 786214 593666 2022-08-22T10:48:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das inverse Element zu {{mathl|term= \overline{8}|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|17}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 80ytqex2mtdd867zo63005yt3zdzheg 0 108463 786169 759325 2022-08-22T10:41:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Austria States Cities|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Gevin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Karte zeigt Österreich mit seinen Bundesländern und den zugehörigen Hauptstädten {{ Zusatz/Klammer |text=die Hauptstadt des Bundeslandes Wien ist Wien, Tirol ist ein Bundesland| |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge der Bundesländer und sei {{math|term= R|SZ=}} die Relation auf {{math|term= M|SZ=,}} die die Angrenzungsbeziehung {{ Zusatz/Klammer |text=Nachbarschaftsbeziehung| |ISZ=|ESZ= }} beschreibt. Dabei legen wir fest, dass ein Land auch zu sich selbst benachbart ist. {{ Aufzählung3 |Welche Eigenschaften einer {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllt diese Relation? |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu Kärnten. |Gibt es eine Kette {{math|term= x_1,x_2 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} in {{math|term= M|SZ=}} mit {{mathl|term= x_iRx_{i+1}|SZ=}} für alle {{math|term= i|SZ=,}} bei der jedes Bundesland genau einmal vorkommt? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ihr6wsuolr63kzngtd3oxuohggulwpg 0 108465 785881 648133 2022-08-22T09:53:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^2 + {{op:Bruch|1|x}} ||3 || || || |SZ= }} eine reelle Lösung im Intervall {{mathl|term= [1,2]|SZ=}} besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4wch2e4wzqemexyt48rr7eu0j5t31db 0 108468 786289 759377 2022-08-22T11:01:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name= p |\Z| {{op:Zmod|2|}} || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= q |\Z| {{op:Zmod|5|}} || |SZ= }} die kanonischen Abbildungen in die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Zmod|2|}} |bzw.|term2= {{op:Zmod|5|}} |SZ=. }} Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\Z | {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|5|}} |x| (p(x),q(x)) |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= \varphi(113)|SZ=.}} |Finde{{n Sie}} ein Urbild von {{mathl|term= (\overline{1}, \overline{0})|SZ=}} und eines von {{mathl|term= (\overline{0}, \overline{1})|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Chinesische Restsatz (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h09y0ylavzw2xfmivwpdihysk3h7tja 0 108492 785245 758576 2022-08-22T08:08:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die positiven reellen Zahlen {{mathl|term= \R_+|SZ=}} mit den Verknüpfungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x \oplus y |{{defeq}}| x \cdot y || || || |SZ= }} als neuer Addition und {{ Ma:Vergleichskette/disp | x {{tensor}} y |{{defeq}}| e^{ ( {{op:ln|x|}} )( {{op:ln|y|}} )} || || || |SZ= }} als neuer Multiplikation. Ist {{math|term= \R_+|SZ=}} mit diesen Verknüpfungen {{ Zusatz/Klammer |text=und mit welchen neutralen Elementen| |ISZ=|ESZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j5zy8n7kflj4y3mb6p3xoirkd553qwg 0 108500 786197 759343 2022-08-22T10:45:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die durch die Relationstabelle {{Verknüpfungstabelle4|Symbol= \, |A|B|C|D|a1,1=\,|a1,2=\,|a1,3=\,|a1,4=\,| |a2,1=\, |a2,2=\times|a2,3=\,|a2,4=\times |a3,1=\,|a3,2=\,|a3,3= \times|a3,4= \, |a4,1=\, |a4,2=\times |a4,3=\,|a4,4= \times ||}} beschriebene {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} auf der Menge {{mathl|term= \{A,B,C,D\}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |antisymmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tgjjqezfdqiyea33g3vt1ahamkztl1t 0 108507 786215 593874 2022-08-22T10:48:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das inverse Element zu {{mathl|term= \overline{25}|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|89}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fe72ygwu2ok3tkxu039gyzcdu5ob2m2 0 108513 782060 755955 2022-08-21T23:38:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche die Funktion {{math|term= XY-T|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Entfaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= XY|SZ=.}} Welche deformierten Funktionen sind untereinander {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0d9xiuqe7hxtdrhnnsn1y1jfh1fdcn5 0 108548 784977 758403 2022-08-22T07:28:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f(x) ||x^n || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Entfaltung {{mathl|term= x^n+ w_{n-1}x^{n-1} + w_{n-2}x^{n-2} {{plusdots|}} w_1x+w_0 |SZ=}} mit dem Deformationsparameter {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|w_{n-1}|\ldots|w_0|}} \in {{CC|}}^n |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man den Term {{mathl|term= w_{n-1}x^{n-1}|SZ=}} {{Anführung|wegtransformieren}} kann, dass es also eine Transformation {{ Zusatz/Klammer |text=einen Koordinatenwechsel| |ISZ=|ESZ= }} derart gibt, dass man in der transformierten Situation ohne diesen Term auskommt, aber nach wie vor jede deformierte Funktion {{math|term= f_w|SZ=}} vorkommt. Was hat diese Beobachtung mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobiideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardentfaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu tun? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3hd7nl6ewqju0wkuwl56wefcf7l2mp5 0 108553 784976 758402 2022-08-22T07:28:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |E(x,u,v) ||x(x-u)(x-v) || || || |SZ=, }} was wir als {{ Definitionslink |Prämath= |Entfaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= x^3 |SZ=}} auffassen. {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} abhängig von {{mathl|term= (u,v) \in {{CC|}}^2 |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:Vergleichskette |f_{(u,v)} || E (- ,u,v) || || || |SZ= }} im Nullpunkt {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ=. }} |Welche Funktionen {{mathl|term= f_{(u,v)}|SZ=}} sind {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zueinander? |Skizziere{{n Sie}} die Situation im {{ Zusatz/Klammer |text=reellen| |ISZ=|ESZ= }} Parameterraum. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=2 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fpaflxly9pas2rmxu87oh6uw1w69fko 0 108554 781316 594024 2022-08-21T21:34:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Aufgrund der Wohldefiniertheit der Addition und der Multiplikation für die reellen Zahlen können wir je zwei Zahlen, die in der Form {{math/disp|term=z_n z_{n-1} \ldots z_1z_0,z_{-1} z_{-2} \ldots |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit Ziffern {{math|term= z_i|SZ=}} aus {{mathl|term= \{0,1 {{kommadots}} 9\} |SZ=,}} die nach rechts unendlich weiter gehen können| |ISZ=|ESZ= }} miteinander addieren und multiplizieren, insbesondere kommt dabei wieder eine Zahl in einer solchen Form heraus. Jemand kommt auf folgende Idee: {{Anführung|Es müsste dann ebenfalls möglich sein, auch Zahlen der Form {{math/disp|term= \ldots z_1z_0,z_{-1} z_{-2} \ldots z_{-k} |SZ=,}} die also nach links unendlich weiter gehen dürfen, miteinander zu addieren und zu multiplizieren. Die Situation ist ja völlig symmetrisch {{ Zusatz/Klammer |text=Spiegelung an der Einerstelle| |ISZ=|ESZ= }} zur Dezimalentwicklung und man muss nur die gleichen Rechenregeln analog anwenden|SZ=.}} Was ist davon zu halten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bj15bwwht2b0cvx9e1t4xm3dilt41os 0 108563 785194 758540 2022-08-22T08:01:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (X_1 {{kommadots|}} X_n) |\subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} das durch die Variablen erzeugte {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und {{math|term= f|SZ=}} ein Polynom mit {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{idealm}}^s || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jede {{ Definitionslink |Prämath= |formale partielle Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung|f|X_i}} | \in | {{idealm|}}^{s-1} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2=Potenzen von Idealen (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie4= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a5y0wjah24yetjmj534qml53ln62s7b 0 108567 781683 755611 2022-08-21T22:36:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette |f ||X^4+Y^7 || || || |SZ=. }} Für welche der folgenden {{math|term= h|SZ=}} kann man mit Hilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Dritte Potenz/Summe/Zweite Jacobiidealpotenz/Rechtsäquivalenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} darauf schließen, dass {{math|term= f|SZ=}} und {{math|term= f+h|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind? {{ Aufzählung4 |{{ Ma:Vergleichskette/disp |h ||X^4Y^7 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |h ||X^2Y^8 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |h ||5X^6-X^4Y^5-Y^{17} || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |h ||X^{5} + Y^{8} || || || |SZ=. }} Ist {{math|term= f|SZ=}} rechtsäquivalent zu {{mathl|term= X^4+Y^7+X^5+Y^8|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0jkkryjwniwr8aypymje87063wdm1li 0 108575 781656 755593 2022-08-21T22:31:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es definiere {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| K[X,Y,Z] || || || |SZ= }} eine isolierte Singularität im Nullpunkt. Zwischen dem {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobiideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= J_f|SZ=}} zu {{math|term= f|SZ=}} und dem maximalen Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (X,Y,Z) || || || |SZ= }} gelte die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}}^s |\subseteq| J_f || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |s |\in|\N_+ || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} kleinergleich {{mathl|term= {{op:Bruch|s(s+1)(s+2)|6}} |SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=(s+1) |bestimmt| |Kontext=endlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Bestimmtheit von holomorphen Funktionen |Kategorie2= Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n3x0ks9af8hr60vwf3rskb2m3xgrnuv 0 108584 780534 754703 2022-08-21T19:24:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Achsenraumkonfiguration| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |singuläre Ort| |Kontext=partiell| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} ebenfalls eine Achsenraumkonfiguration ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gdbdu8w2szyj1790ug0rfox9mbcpgdo 0 108586 782795 756561 2022-08-22T01:41:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein noetherscher lokaler Ring mit {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbert-Samuel-Multiplizität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= e|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die Hilbert-Samuel-Multiplizität des {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduls| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R^n|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie2=Theorie der freien Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tc00h3majjqormin32fybjx0h28l3tg 0 108587 782796 756562 2022-08-22T01:41:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (R, {{idealm|}}) |SZ=}} ein noetherscher lokaler Ring und {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugter| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= d|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Limes {{ math/disp|term= \lim_{n \rightarrow \infty} d! {{op:Bruch|{{op:Vektorraumdimension|M/{{idealm}}^nM |K=R/{{idealm}} }}|n^d|}} |SZ= }} existiert und mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbert-Samuel-Multiplizität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1naknll8jqd6uked33b75gsgif1kqv1 0 108597 786607 594342 2022-08-22T11:53:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= E_6|SZ=-}}Singularität {{mathl|term= X^2+Y^3+Z^4|SZ=}} birational zu {{mathl|term= X^2+Y^3Z+Z^2|SZ=,}} zu {{mathl|term= X^2+YZ+Z^2|SZ=,}} zur {{math|term= A1|SZ=-}}Singularität und damit zur affinen Ebene ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d97txb9lcdem4ubflfdb4r9in7mxwu9 0 108598 785961 759104 2022-08-22T10:06:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= X^2+XY^3|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= U^2+V^6|SZ=}} ist. Führe{{n Sie}} explizit eine polynomiale Variablentransformation durch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f6r2gs1b7br6fclzqwbp9cpjzs6tkke 0 108599 786609 594347 2022-08-22T11:53:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= E_8|SZ=-}}Singularität {{mathl|term= X^2+Y^3+Z^5|SZ=}} birational zu {{mathl|term= X^2+Y^3Z+Z^3|SZ=,}} zu {{mathl|term= X^2+Y^2Z+YZ^3|SZ=,}} zu {{mathl|term= X^2+Y^2Z +YZ^2|SZ=}} und zu {{mathl|term= X^2+YZ +YZ^2|SZ=}} ist, und damit auch birational zur affinen Ebene ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7u64tfl2qrivku0mgil493nwi5205z0 0 108602 786608 594343 2022-08-22T11:53:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= E_7|SZ=-}}Singularität {{mathl|term= Z^2+X^3+XY^3|SZ=}} birational zu {{mathl|term= Z^2+X^3Y+XY^2|SZ=,}} zu {{mathl|term= Z^2+X^2Y +XY^2|SZ=,}} zu {{mathl|term= Z^2+XY +XY^2|SZ=}} und zu {{math|term= Z^2+Y+XY^2|SZ=}} ist, und damit auch birational zur affinen Ebene ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e3hm3f0i0i2zr3me7mocn6x1wsb3hyw 0 108603 786533 759566 2022-08-22T11:41:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den singulären Ort der Hyperfläche {{mathl|term= V {{makl| X^2+Y^3Z^2+Z^2 |}} |SZ=}} und zeige{{n Sie}}, dass es sich nicht um eine {{ Definitionslink |Prämath= |isolierte Singularität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m5a7b0ixayxp8gntioqspf5kgfvsftj 0 108607 786610 594354 2022-08-22T11:54:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term= D_k|SZ=-}}Singularitäten {{mathl|term= Z^2+X^2Y+Y^{k-1} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathl|term= k \geq 4|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} birational zu {{mathl|term= Z^2+X^2Y+Y^{k-3} |SZ=}} sind {{ Zusatz/Klammer |text=die bei {{math|term= k \geq 6|SZ=}} wieder Diedersingularitäten sind| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= Z^2+X^2Y+Y^{1} |SZ=}} birational zur affinen Ebene ist und dass {{mathl|term= Z^2+X^2Y+Y^{2} |SZ=}} birational zu {{mathl|term= Z^2+XY+Y^2|SZ=}} und damit ebenfalls birational zur affinen Ebene ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8jnmrwrv1ldt5cwbu7m1b85f4d14cuf 0 108608 786532 594355 2022-08-22T11:41:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass die Singularität {{mathl|term= X^2+Y^3+Z^6|SZ=}} birational zu {{mathl|term= X^2+Y^3Z+Z^4|SZ=}} und zu {{mathl|term= X^2+Y^3Z^2+Z^2|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass der Quotientenkörper von {{mathl|term= K[X,Y,Z] / {{makl| X^2+Y^3Z^2+Z^2 |}}|SZ=}} isomorph zu {{mathl|term= {{makl| K[U,Y]/ {{makl| U^2+Y^3+1 |}} |}} (Z) |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Hyperflächensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ffv8h5u6xpjou0eivqt51ccpd07gpk1 0 108678 779285 752541 2022-08-21T16:04:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y]/(X^2,XY) || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{idealq|}} || (X) || || || |SZ= }} das einzige {{ Definitionslink |Prämath= |minimale Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} und daher ist {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette |Y |\notin| {{idealq|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |XY ||0 || || || |SZ= }} gilt in der {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R_{{idealq}}|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette |X ||0 || || || |SZ=, }} und es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | R_{{idealq}} || K[Y]_{ (0)} || K(Y) || || || |SZ= }} ein Körper. Die Restriktionsabbildung {{ Ma:abb |name= |R| R_{{idealq}} || |SZ= }} ist nicht injektiv. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |D(X) || \emptyset || || || |SZ=, }} das Element {{math|term= X|SZ=}} ist aber in der Lokalisierung {{mathl|term= R_{(X,Y)}|SZ=}} nicht {{math|term= 0|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Reduktion (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der minimalen Primideale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lc00kp7yhdvae273w941u1aqqfg63ua 0 108688 779981 763842 2022-08-21T17:52:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jeder offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Garbe|C|U}} || C^0 (U,\R) || {{Mengebed| f:U \rightarrow \R|f \text{ stetig} }} || || || |SZ= }} ein kommutativer Ring und die Zuordnung {{mathl|term= U \mapsto {{op:Garbe|C|U}} |SZ=}} ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wodurch {{math|term= X|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. Für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|X || || || |SZ= }} und eine in einer offenen Umgebung von {{math|term= x|SZ=}} definierte stetige Funktion {{math|term= f|SZ=}} gilt gilt {{ Ma:Vergleichskette |f(x) |\neq|0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der {{math|term= f|SZ=}} invertierbar ist. Daher sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Halme| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {\mathcal O}_x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Ringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= X|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokal beringter Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokal beringten Räume |Kategorie2=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g4wfh7vtga69qcqfujp1e6tycvdfr9t 0 108695 779610 751625 2022-08-21T16:56:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |A ||R[X,Y,Z] || || || |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Čechkomplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Strukturgarbe| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow A_{X} \times A_Y \times A_Z \longrightarrow A_{XY} \times A_{XZ} \times A_{YZ} \longrightarrow A_{XYZ } \longrightarrow 0 |SZ=. }} Dieser Komplex ist mit der feinen Monomgraduierung verträglich. Es ist {{math|term= \check{H}^0|SZ=}} gleich {{math|term= A|SZ=,}} {{math|term= \check{H}^1|SZ=}} ist {{math|term= 0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring/n/Cech-Kohomologie/Berechnung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= \check{H}^2|SZ=}} ist der freie {{math|term= R|SZ=-}}Modul mit der Basis {{ mathbed|term= X^iY^jZ^k ||bedterm1= (i,j,k) \in \Z_-^3 ||bedterm2= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Čech-Kohomologie für Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8s9duu1677x4o29dkvxqrqnscudguli 0 108696 779608 751623 2022-08-21T16:56:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |A ||R[X,Y] || || || |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Čechkomplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Strukturgarbe| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Strukturgarbe| {{op:Affine Ebene|R|}} }}|SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette |U ||D(X) \cup D(Y) |\subset| {{op:Affine Ebene|R|}} || || |SZ= }} ist {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow A_{X} \times A_Y \longrightarrow A_{XY} \longrightarrow 0 |SZ=. }} Dieser Komplex ist mit der feinen Monomgraduierung verträglich. Die Komponente zu {{ Ma:Vergleichskette | (\alpha, \beta) | \in| \Z^2 || || || || |SZ= }} hängt im Wesentlichen davon ab, ob die Exponenten positiv oder negativ sind. Wenn {{math|term= \alpha|SZ=}} und {{math|term= \beta|SZ=}} beide nichtnegativ sind, so steht hier insgesamt {{ math/disp|term= ( A_{X} \times A_Y )_{(\alpha, \beta)} = R \cdot X^\alpha Y^\beta \oplus R \cdot X^\alpha Y^\beta \longrightarrow R \cdot X^\alpha Y^\beta \longrightarrow 0 |SZ= }} und der Komplex ist hinten exakt und der Kern vorne ist isomorph zu {{mathl|term= R \cdot X^\alpha Y^\beta |SZ=.}} Wenn {{math|term= \alpha|SZ=}} negativ und {{math|term= \beta|SZ=}} nichtnegativ ist {{ Zusatz/Klammer |text=entsprechend umgekehrt| |ISZ=|ESZ=, }} so steht hier insgesamt {{ math/disp|term= ( A_{X} \times A_Y )_{(\alpha, \beta)} = R \cdot X^\alpha Y^\beta \oplus 0 \longrightarrow R \cdot X^\alpha Y^\beta \longrightarrow 0 |SZ= }} und der Komplex ist exakt. Wenn {{math|term= \alpha|SZ=}} und {{math|term= \beta|SZ=}} beide negativ sind, so steht hier insgesamt {{ math/disp|term= ( A_{X} \times A_Y )_{(\alpha, \beta)} = 0 \oplus 0 \longrightarrow R \cdot X^\alpha Y^\beta \longrightarrow 0 |SZ= }} und die hintere Homologie ist {{mathl|term= R \cdot X^\alpha Y^\beta |SZ=.}} Insgesamt ist daher {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Cech-Kohomologie|0|D(X),D(Y) | {{op:Strukturgarbe| {{op:Affine Ebene|R|}} |}} }} || \bigoplus_{(\alpha, \beta) \in \N^2 } R \cdot X^\alpha Y^\beta || A || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Cech-Kohomologie|1|D(X),D(Y) | {{op:Strukturgarbe| {{op:Affine Ebene|R|}} |}} }} || \bigoplus_{(\alpha, \beta) \in \Z_-^2 } R \cdot X^\alpha Y^\beta || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Čech-Kohomologie für Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5h07q62bte4gr51vhjast7qf23b9q4w 0 108712 786138 759296 2022-08-22T10:36:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler regulärer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=Krull| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= d|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |maximalem Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || {{makl| x_1 {{kommadots|}} x_d |}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^\alpha ||x_1^{\alpha_1} \cdots x_d^{\alpha_d} || x_1^{\beta_1} \cdots x_d^{\beta_d} ||x^\beta || |SZ= }} nur bei {{ Ma:Vergleichskette |\alpha || \beta || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kmc449winbmz8gtyfhdgk6c8oa7mgb0 0 108713 779328 763434 2022-08-21T16:11:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |X ||\{P\} || || || |SZ= }} ein einpunktiger {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dieser wird durch die Festlegung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:SchnittringX|X|}} | {{defeq|}} |R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:SchnittringX|\emptyset|}} | {{defeq|}} |0 || || || |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der beringten Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hax5kc7fmegf643x95dq8lax4xsv8n5 0 108783 779686 763688 2022-08-21T17:07:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Spektrum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum standard-graduierten Polynomring {{mathl|term= R[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ]|SZ=,}} also der projektive Raum, wird durch die {{mathl|term= D_+ {{makl| X_i |}} |SZ=}} überdeckt. Man spricht von der {{Stichwort|affinen Standardüberdeckung des projekiven Raumes|msw=Affine Standardüberdeckung des projekiven Raumes|SZ=.}} Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte|D_+(X_i)| {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|R}} |}} }} || {{makl| R[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{X_i} |}}_0 || R [ {{op:Bruch|X_0|X_i}} , {{op:Bruch|X_1|X_i}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_{i-1}|X_i}} , {{op:Bruch|X_{i+1}|X_i}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_n|X_i}} ] || || || |SZ= }} ein Polynomring in {{math|term= n|SZ=}} Variablen und daher ist {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette/k |Y_j || {{op:Bruch|X_j|X_i}} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette/k |j |\neq|i || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |D_+ {{makl| X_i |}} || {{op:Spek|R[Y_0,Y_1{{kommadots|}} Y_{i-1} , Y_{i+1} {{kommadots|}} Y_n ] |}} || {{op:Affiner Raum|n|R}} || || |SZ=. }} Der projektive {{math|term= n|SZ=-}}dimensionale Raum wird also durch {{math|term= n+1|SZ=}} affine Räume überdeckt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} stj70ztnzdwpwr03jxg9017rfmoxbkj 0 108790 778459 762412 2022-08-21T12:05:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P |\in|W || {{op:Spec|R|}} || || |SZ= }} eine offene affine Umgebung von {{math|term= P|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| U \cap W |\subseteq| {{op:Spek|R|}} || || |SZ= }} eine offene Teilmenge von {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} und damit von der Form {{ Ma:Vergleichskette | U \cap W || D {{makl| {{ideala|}} |}} || || || |SZ= }} mit einem Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq|R || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette | D {{makl| {{ideala|}} |}} || \bigcup_{f \in {{ideala|}} } D(f) || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |P |\in|D(f) |\subseteq| D {{makl| {{ideala|}} |}} |\subseteq| U || |SZ= }} für ein {{math|term= f|SZ=}} und {{mathl|term= D(f)|SZ=}} ist affin nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affines Schema/Hauptmenge/Affin/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t3upw9fagzf5n7usho11zs18vtway3f 0 108794 778458 762411 2022-08-21T12:05:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Als offene Teilmengen eines beringten Raumes ist {{math|term= U|SZ=}} ebenfalls ein beringter Raum. Die Existenz der affinen Überdeckung folgt unmittelbar aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Schema/Punkt/Offene Umgebung/Affin/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s7epcp37g4de92jxu071kjkh6reclol 0 108800 778887 763106 2022-08-21T15:01:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y]/(XY) || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Auf der offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || D(X,Y) || D(X) \cup D(Y) || {{op:Spec|R|}} \setminus \{(X,Y)\} || || |SZ= }} ist diejenige Funktion, die auf der {{ Zusatz/Klammer |text=punktierten| |ISZ=|ESZ= }} Geraden {{ Ma:Vergleichskette | V(X) \cap U || D(Y) || || || |SZ= }} den Wert {{math|term= 0|SZ=}} und auf der {{ Zusatz/Klammer |text=punktierten| |ISZ=|ESZ= }} Geraden {{mathl|term= V(Y) \cap U|SZ=}} den Wert {{math|term= 1|SZ=}} besitzt, eine algebraische Funktion. Durch diese Festlegung ist für jedes Primideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} |\in| U || || || |SZ= }} ein {{ Ma:Vergleichskette |s_{{idealp|}} |\in|R_{{idealp|}} || || || |SZ= }} gegeben. Bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} |\in| V(X) \cap U || D(Y) || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |0 || {{op:Bruch|0|Y}} || || || |SZ= }} eine Beschreibung als Bruch und bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} |\in| V(Y) \cap U || D(X) || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |1 || {{op:Bruch|X|X}} || || || |SZ= }} eine Beschreibung als Bruch. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9jf5ycw1rx4uuy1o1kajyekubsz0xwc 0 108806 778919 610904 2022-08-21T15:06:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf einem affinen Raum {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Affiner Raum|n|K}} || {{op:Spek|K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]|}} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:SchnittringX|D(X_1,X_2)|}} || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ=, }} da eine Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|P|X_1^k}} || {{op:Bruch|Q|X_2^\ell}} || || || |SZ= }} wegen der Faktorialität des Polynomringes nur im trivialen Fall möglich ist, also wenn {{math|term= X_1^k|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= P|SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der affinen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7wa8hkfzwsy8u1ndjc8zjtvcnbd8isc 0 108939 779625 616739 2022-08-21T16:59:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum Polynomring {{ mathbed|term= K[X_0, X_1 {{kommadots|}} X_d ] ||bedterm1= d \geq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} mit der Standardgraduierung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte| {{op:Projektiver Raum|d|K}} | {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|d|K}}|}} (\ell ) |}} ||K[X_0, X_1 {{kommadots|}} X_d ]_\ell || || || |SZ=, }} also die Polynome vom Grad {{math|term= \ell|SZ=}} in {{math|term= d+1|SZ=}} Variablen. Für negatives {{math|term= \ell |SZ=}} ist dies der Nullraum, für {{ Ma:Vergleichskette |\ell ||0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die Strukturgarbe| |ISZ=|ESZ= }} ist dies gleich {{math|term= K|SZ=,}} für {{ Ma:Vergleichskette | \ell ||1 || || || |SZ= }} besteht es aus allen Linearformen, u.s.w. Für die offenen Mengen {{mathl|term= D_+(X_i)|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte| D_+(X_i) | {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|d|K}}|}} (\ell ) |}} || {{makl| K[X_0, X_1 {{kommadots|}} X_d ]_{X_i} |}}_\ell || K[ {{op:Bruch|X_0|X_i}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_{i-1} |X_i}} , {{op:Bruch|X_{i+1} |X_i}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_{d} |X_i}} ] \cdot X_i^\ell || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jiujt64dhnr0unxwqkhp8mcsp9req4w 0 108946 778515 762450 2022-08-21T12:14:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || R_0 [x_1 {{kommadots|}} x_d ] || R_0[X_1 {{kommadots|}} X_d]/ {{ideala|}} || || |SZ= }} mit {{math|term= x_i|SZ=}} vom Grad {{math|term= 1|SZ=.}} Dann erzeugen die {{math|term= x_i|SZ=}} auch das irrelevante Ideal und daher liegt eine offene affine Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Proj|R|}} || \bigcup_{i {{=|}} 1}^d D_+(x_i) || || || |SZ= }} vor. Sei {{math|term= x|SZ=}} eines der {{math|term= x_i|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Graduierter Modul/Garbe/Quasikohärenz/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Getwistete Strukturgarbe|Y|n}} {{|}}_{D_+(x)} || {{op:Garbe|L|}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} die affine Vergarbung des {{ Definitionslink |Prämath= {{makl| R_x |}}_0 |Moduls| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |L || ( R_{x} (n) )_0 || ( R_{x} )_n || || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |D_+(x) || {{op:Spek| {{makl| R_x |}}_0 |}} || || || |SZ= }} bezeichne. In dieser Situation ist aber {{ Ma:abbele/disp |name= | {{makl| R_x |}}_0| {{makl| R_x |}}_n |h| hx^n |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{makl| R_x |}}_0 |Modulisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und daher liegt ein {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|Y|}} {{|}}_{D_+(x)} |Modulisomorphismus| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Strukturgarbe|Y|}} {{|}}_{D_+(x)} | {{op:Getwistete Strukturgarbe|Y|n}} {{|}}_{D_+(x)} || |SZ= }} vor. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 10kufl4y1eyre45t253kw53jhnh93an 0 108993 778457 762409 2022-08-21T12:05:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da die lokale Freiheit eine lokale Eigenschaft ist, können wir direkt annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |X || {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affines Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |noetherschen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} ist und {{ Zusatz/Klammer |text=durch weitere Verkleinerung der offenen Menge| |ISZ=|ESZ= }} dass ein surjektiver {{ Definitionslink |Prämath= |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \theta |R^r| R^s || |SZ= }} vorliegt. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Freie_Moduln/Lineare_Abbildung/Festlegung_auf_Basis/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es ein {{ Ma:abb |name= \varphi |R^s| R^r || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \theta \circ \varphi || {{op:Identität|R^s|}} || || || |SZ=. }} Somit gibt es eine direkte Summenzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |R^r || {{op:Kern|\theta|}} \oplus R^s || || || |SZ= }} und {{math|term= \theta|SZ=}} ist die Projektion auf den Summanden {{math|term= R^s|SZ=.}} Damit ist {{math|term= {{op:Kern|\theta|}}|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Universell und direkter Summand/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |projektiver| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Noethersch/Lokal frei/Projektiv/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} lokal frei. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hb31kz5eseguqlgdjxxw1x0tz6ad37u 0 109273 779437 763536 2022-08-21T16:28:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die allgemeine reelle lineare Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |su +tv || 0 || || || |SZ= }} in den Variablen {{math|term= u,v|SZ=}} und den Parametern {{mathl|term= s,t|SZ=,}} die als unbestimmte Koeffizienten der linearen Gleichung dienen. Wir möchten den Lösungsraum {{ Ma:Vergleichskette/disp |L_{(s,t)} || {{Mengebed|(u,v)|su+tv {{=|}} 0 }} |\subseteq| \R^2 || || |SZ= }} in Abhängigkeit von den Parametern {{mathl|term= (s,t)|SZ=}} verstehen. Ein Extremfall liegt bei {{ Ma:Vergleichskette |(s,t) ||(0,0) || || || |SZ= }} vor, dann ist die Gleichung für beliebige {{mathl|term= (u,v)|SZ=}} erfüllt und der Lösungsraum ist der volle zweidimensionale {{math|term= \R^2|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |(s,t) |\neq|(0,0) || || || |SZ= }} ist der Lösungsraum eindimensional, und ein Basisvektor für diese Lösungsgerade ist durch {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|t|-s}} |SZ=}} gegeben. Insbesondere kann man den Lösungsraum über dem Parameterraum {{mathl|term= \R^2 \setminus \{(0,0)\}|SZ=}} pauschal beschreiben, es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | L_{(s,t)} || {{Mengebed|c {{op:Spaltenvektor|t|-s}}|c \in \R |}} || || || |SZ=. }} Eine kompaktere Interpretation dieses Sachverhaltes ergibt sich, wenn man den Gesamtlösungsraum der Gleichung als {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || {{Mengebed|(s,t,u,v)|su+tv {{=}} 0 }} |\subseteq| \R^4 || || |SZ= }} ansetzt. Man beachte, dass {{math|term= L|SZ=}} kein linearer Untervektorraum des {{math|term= \R^4|SZ=}} ist. Der Lösungsraum zu einem speziellen Parameterwert {{math|term= (s,t)|SZ=}} ergibt sich daraus, wenn man {{math|term= L|SZ=}} mit den affinen Ebenen {{mathl|term= (s,t) \times \R^2|SZ=}} schneidet. Unter der Gesamtabbildung {{mathl|term= p=p_{s,t}|SZ=}} {{ math/disp|term= L \longrightarrow \R^2 \times \R^2 \stackrel{p_{s,t} }{\longrightarrow} \R^2, \, (s,t,u,v) \longmapsto, (s,t) |SZ=, }} ist {{math|term= L_{(s,t)}|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= (s,t)|SZ=.}} Im Gesamtlösungsraum ist die Variation der Lösungsgeraden in Abhängigkeit vom Parameter und die Degenerierung zu einer Lösungsebene über dem Nullpunkt sichtbar. Das Verhalten außerhalb des Parameternullpunktes wird durch die eingeschränkte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L' {{=|}} L \setminus {{makl| \R^2 \times (0,0) |}} {{=|}} p^{-1} {{makl| \R^2 \setminus \{(0,0)\} |}} |\R^2 \setminus \{(0,0)\} || |SZ= }} beschrieben. Jede Faser dieser eingeschränkten Projektion ist der eindimensionale Lösungsraum. Ferner gibt es eine bijektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{makl| \R^2 \setminus \{(0,0)\} |}} \times \R | L' |(s,t;c)| (s,t, ct,-cs) |SZ=, }} die für jeden Parameter {{mathl|term= (s,t)|SZ=}} linear ist. Links steht ein direktes Produkt aus dem Basisraum {{mathl|term= \R^2 \times (0,0) |SZ=}} und der Faser {{math|term= \R|SZ=,}} die unabhängig vom Basispunkt ist, und rechts steht eine Familie von variierenden Geraden im {{math|term= \R^2|SZ=,}} doch die angegebene Bijektion zeigt, dass man das eine in das andere übersetzen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Kernbündel |Kategorie2=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quadrik UX-VY |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ns0odli2s382o5cgu0zsej63rl4rkkd 0 109277 779436 763534 2022-08-21T16:27:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die allgemeine reelle lineare Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |ru +sv +tw || 0 || || || |SZ= }} in den Variablen {{math|term= u,v,w|SZ=}} und den Parametern {{mathl|term= r, s,t|SZ=,}} die als unbestimmte Koeffizienten der lineare Gleichung dienen. Wir möchten den Lösungsraum {{ Ma:Vergleichskette/disp |L_{(r,s,t)} || {{Mengebed|(u,v,w)|ru+sv +tw {{=|}} 0 }} |\subseteq| \R^3 || || |SZ= }} in Abhängigkeit von den Parametern {{mathl|term= (r,s,t)|SZ=}} verstehen. Ein Extremfall liegt bei {{ Ma:Vergleichskette |(r,s,t) ||(0,0,0) || || || |SZ= }} vor, dann ist der Lösungsraum der volle {{math|term= \R^3|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |(r,s,t) |\neq|(0,0,0) || || || |SZ= }} ist der Lösungsraum zweidimensional. Wir schließen den Nullpunkt als Parameter aus und betrachten den Gesamtlösungsraum der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || {{Mengebed|(r,s,t,u,v,w)|ru+sv+tw {{=}} 0|(r,s,t) \neq (0,0,0) }} |\subseteq| \R^3 \setminus \{0,0,0\} \times \R^3 || || |SZ= }} zusammen mit der Projektion {{math|term= p|SZ=}} auf {{mathl|term= \R^3 \setminus \{(0,0,0)\} |SZ=.}} Die Faser unter {{math|term= p|SZ=}} zu einem speziellen Parameterwert {{mathl|term= (r,s,t)|SZ=}} ist der Lösungsraum {{mathl|term= L_{(r,s,t)}|SZ=}} zu der durch dieses Parametertupel definierten Gleichung. Kann man in diesem Beispiel eine Basis für den jeweiligen Lösungsraum angeben, die in einer übersichtlichen, rechnerischen, algebraischen Weise von den Parametern abhängt? Da wir den Nullpunkt rausgeworfen haben, gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \R^3 \setminus \{0,0,0\} || {{Mengebed|(r,s,t)|r \neq 0}} \cup {{Mengebed|(r,s,t)|s \neq 0}} \cup {{Mengebed|(r,s,t)|t \neq 0}} || || || |SZ=, }} man kann also den Basisraum als eine Vereinigung von drei offenen Mengen schreiben. Wenn man das Verhalten über einer solchen offenen Menge betrachtet, sagen wir über die durch {{ Ma:Vergleichskette |r |\neq|0 || || || |SZ= }} gegebene, so kann man darüber eine Basis angeben, nämlich durch {{ mathkor/disp|term1= {{op:Zeilenvektor|s|-r|0}} |und|term2= {{op:Zeilenvektor|t|0|-r}} |SZ=. }} Dabei sichert {{ Ma:Vergleichskette |r |\neq|0 || || || |SZ=, }} dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind. Die beiden Lösungsvektoren sind sogar überall wohldefinierte Lösungen, verlieren aber bei {{ Ma:Vergleichskette |r ||0 || || || |SZ= }} ihre lineare Unabhängikeit und bilden also nicht überall eine Basis. Aber jedenfalls ist {{ Ma:abbele/disp |name= | {{Mengebed|(r,s,t)|r \neq 0}} \times \R^2 | L {{|}}_{ {{Mengebed|(r,s,t)|r \neq 0}} } |(r,s,t;c,d)| c {{op:Zeilenvektor|s|-r|0}} +d {{op:Zeilenvektor|t|0|-r}} |SZ=, }} eine rechnerisch einfache Bijektion zwischen dem Produktraum der Basis und dem {{math|term= \R^2|SZ=}} einerseits und dem Lösungsraum oberhalb von {{mathl|term= {{Mengebed|(r,s,t)|r \neq 0}} |SZ=.}} Wir fragen uns, ob es möglich ist, global, also auf ganz {{mathl|term= \R^3 \setminus \{ {{op:Zeilenvektor|0|0|0}} \}|SZ=,}} eine mit dem Basisraum variiende Basis des Lösungsraums anzugeben. Gefragt ist also nach der Existenz von zwei Funktionen {{ mathkor|term1= u(r,s,t) |und|term2= v(r,s,t) |SZ= }} mit Werten im {{math|term= \R^3|SZ=}} und der Eigenschaft, dass sie stets eine Basis des Lösungsraumes bilden {{ Zusatz/Klammer |text=und insbesondere zum Lösungsraum gehören| |ISZ=|ESZ=. }} Ohne jede weitere Bedingung an {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} ist dies möglich, da man ja durch eine Fallunterscheidung solche Funktionen definieren kann. Aber schon wenn man fordert, dass die beiden Funktionen stetig sein sollen, ist dies nicht mehr möglich. Wegen der Stetigkeit sind die Funktionen {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} bereits auf der offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{Mengebed|(r,s,t)|r \neq 0}} |\subseteq| \R^3 \setminus \{ {{op:Zeilenvektor|0|0|0}} \} || || || |SZ= }} festgelegt, da man jeden Punkt aus {{math|term= \R^3|SZ=}} durch eine Folge aus der offenen Menge {{math|term= U|SZ=}} approximieren kann. Mit der oben angegebenen Basis oberhalb dieser Menge kann man jedenfalls {{ Ma:Vergleichskette/disp | u || \alpha(r,s,t) {{op:Spaltenvektor|s|-r|0}} + \beta(r,s,t) {{op:Spaltenvektor|t|0|-r}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | v || \gamma(r,s,t) {{op:Spaltenvektor|s|-r|0}} + \delta(r,s,t) {{op:Spaltenvektor|t|0|-r}} || || || |SZ= }} mit stetigen reellwertigen Funktionen {{math|term= \alpha, \beta, \gamma, \delta|SZ=}} auf der offenen Menge {{math|term= U|SZ=}} schreiben. Wir können nicht erwarten, dass diese Funktionen auf dem ganzen {{math|term= \R^3|SZ=}} definiert sind, weshalb im stetigen Fall die Argumentation komplizierter werden würde. Das Resultat wird sich aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Sphäre/Satz vom Igel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergeben, siehe {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Satz vom Igel/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Daher beschränken wir uns auf den Fall, dass diese Funktionen rationale Funktionen sind, in deren Nenner eine Potenz von {{math|term= r|SZ=}} vorkommen kann {{ Zusatz/Klammer |text=das sind die rationalen Funktionen auf {{math|term= U|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Betrachten wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |u || \alpha {{op:Spaltenvektor|s|-r|0}} + \beta {{op:Spaltenvektor|t|0|-r}} || {{op:Bruch|P|r^m}} {{op:Spaltenvektor|s|-r|0}} + {{op:Bruch|Q|r^n}} {{op:Spaltenvektor|t|0|-r}} || || |SZ= }} mit Polynomen {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ=, }} wobei der Faktor {{math|term= r|SZ=}} rausgekürzt sei. Da {{math|term= u|SZ=}} insgesamt auf ganz {{math|term= \R^3|SZ=}} definiert ist, kann {{math|term= m|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso {{math|term= n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} höchstens {{math|term= 1|SZ=}} sein {{ Zusatz/Klammer |text=sonst hätte {{math|term= u|SZ=}} einen Pol| |ISZ=|ESZ=. }} Die erste Zeile führt {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Ma:Vergleichskette/k |m ||n ||1 || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} auf eine polynomiale Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | rN+ sP+tQ ||0 || || || |SZ= }} mit Polynomen {{ Ma:Vergleichskette |N,P,Q |\in| \R[r,s,t] || || || |SZ=. }} In diesem Fall ist {{ Zusatz/Klammer |text=Stichwort Koszul-Auflösung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |(N,P,Q) || A (-s,r,0)+ B(t,0,-r) +C(0,t,-s) || || || |SZ= }} mit Polynomen {{ Ma:Vergleichskette |A,B,C |\in| \R[r,s,t] || || || |SZ=. }} Entsprechend ergibt sich für {{math|term= v|SZ=}} eine Darstellung mit {{mathl|term= (N',P',Q')|SZ=}} bzw. {{mathl|term= (A',B',C')|SZ=.}} Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |X \times \R^3| L \subseteq X \times \R^3 |(r,s,t; a,b,c )| (r,s,t; a(-s,r,0)+ b(t,0,-r) + c(0,t,-s) ) |SZ=. }} Unter dieser Abbildung werden die Polynomtupel {{mathl|term= (A,B,C)|SZ=}} bzw. {{mathl|term= (A',B',C')|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die wir als Abbildungen {{ Ma:abb |name= |X|X \times \R^3 || |SZ= }} auffassen| |ISZ=|ESZ= }} auf {{ mathkor|term1= u |bzw.|term2= v |SZ= }} abgebildet. Da diese nach Voraussetzung in jedem Punkt eine Basis der zugehörigen Faser von {{math|term= L|SZ=}} bilden, sind {{ mathkor|term1= (A,B,C) |und|term2= (A',B',C') |SZ= }} in jedem Punkt linear unahängig. Das Tupel {{mathl|term= (t,s,-r)|SZ=}} wird unter {{math|term= \varphi|SZ=}} in jedem Punkt auf {{math|term= 0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in der Faser| |ISZ=|ESZ= }} abgebildet. Daher bilden die {{mathl|term= (A,B,C),\, (A',B',C')|SZ=}} und {{mathl|term= (t,s,-r)|SZ=}} in jedem Punkt eine Basis von {{math|term= \R^3|SZ=,}} da {{mathl|term= (t,s,-r)|SZ=}} in keinem Punkt als Linearkombination von {{ mathkor|term1= (A,B,C) |und|term2= (A',B',C') |SZ= }} geschrieben werden kann. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|A|B|C|A'|B'|C'|t|s|-r}} |SZ= }} ist aber eine Linearkombination der Variablen {{mathl|term= r,s,t|SZ=}} im Polynomring. Daher ist dies keine Einheit im Polynomring. Im reellen Fall kann man daraus noch nicht schließen, dass die Determinante eine reelle Nullstelle in {{math|term= X|SZ=}} hat {{ Zusatz/Klammer |text=wenn die Determinante beispielsweise die Form {{mathl|term= r^2+s^2+t^2|SZ=}} besitzt| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn man aber statt mit {{math|term= \R|SZ=}} mit {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} arbeitet, so ändert sich an der algebraischen Argumentation nichts und man kann folgern, dass die Determinante in {{ Ma:Vergleichskette/disp | X_{{CC}} || {{CC}}^3 \setminus \{ (0,0,0)\} || || || |SZ= }} Nullstellen besitzt und daher nicht überall eine Basis vorliegen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Kernbündel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sqylz4jor83phn0qlcj40jso0uop540 0 109304 780123 763898 2022-08-21T18:13:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das allgemeine reelle lineare Gleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette/disp | au +bv +cw || 0 || || || |SZ=, }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | du +ev +fw || 0 || || || |SZ=, }} in den Variablen {{math|term= u,v,w|SZ=}} und den Parametern {{mathl|term= a, b,c,d,e,f|SZ=,}} die als unbestimmte Koeffizienten des linearen Gleichungssystems dienen. Wenn die Parameter hinreichend allgemein sind, genauer, wenn zwischen den beiden Gleichungen keine lineare Relation besteht, so ist der Lösungsraum {{ Ma:Vergleichskette/disp |L_{(a, b,c,d,e,f)} || {{Mengebed|(u,v,w)|au+bv +cw {{=|}} 0 \text{ und } du+ev +fw {{=|}} 0 }} |\subseteq| \R^3 || || |SZ= }} jeweils eine Gerade im {{math|term= \R^3|SZ=.}} Die Parameter definieren also unter dieser Bedingung eine Familie von variierenden Geraden im {{math|term= \R^3|SZ=.}} Der relevante {{ Zusatz/Klammer |text=für die Geradenfamilie| |ISZ=|ESZ= }} Parameterraum ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || {{Mengebed| {{op:Zeilentupel|a|b|c|d|e|f|}} |{{op:Zeilentupel|a|b|c}} \text{ und } {{op:Zeilentupel|d|e|f}} \text{ linear unabhängig} }} || || || |SZ=, }} es liegt insgesamt der totale Lösungsraum {{ Ma:Vergleichskette/disp | L || {{Mengebed| {{op:Zeilenvektor|a|b|c|d|e|f|u|v|w|}} |au +bv+cw {{=}} 0 \text{ und } du +ev+fw {{=}} 0 }} |\subseteq| P \times \R^3 || || |SZ= }} mit der Projektion auf {{math|term= P|SZ=}} vor. Kann man diese Gerade bzw. ein Basiselement dafür in Abhängigkeit der Parameter global angeben? Wenn man die beiden zu erfüllenden Gleichungen als Orthogonalitätsrelationen betrachtet, so geht es um einen nichtrivialen Vektor, der auf beiden Bedingungsvektoren {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor|a|b |c }} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|e|f |g }} |SZ= }} senkrecht steht. Diese Eigenschaft erfüllt bekanntlich das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der beiden Vektoren, also {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|bf-c e |-a f + c d | ae -b d}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für die relevanten Eigenschaften des Kreuzproduktes| |ISZ=|ESZ=. }} Insgesamt liegt also eine Bijektion {{ Ma:abbele/disp |name= |P \times \R| L | {{op:Zeilenvektor|a|b|c|d|e|f| s}}| {{op:Zeilenvektor|a|b|c|d|e|f| s(bf-ce)|s(-af+ce)|s(ae-bd)}} |SZ=, }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Kernbündel |Kategorie2=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q3lje6adleoyd7ofsfxo99ar6f3ntxp 0 109331 778886 763105 2022-08-21T15:01:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen die {{ Definitionslink |Prämath= |Normalisierung| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Ringes {{mathl|term= K [X,Y]/(XY)|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} Das Element {{math|term= X+Y|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Nichtnullteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und für das Element {{mathl|term= {{op:Bruch|X-Y|X+Y}} |SZ=}} aus dem {{ Definitionslink |Prämath= |totalen Quotientenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q(R)|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|X-Y|X+Y}} |}}^2 || {{op:Bruch|(X-Y)^2|(X+Y)^2}} || {{op:Bruch| X^2 +Y^2|X^2+Y^2}} || 1 || |SZ=, }} d.h. dieses Element erfüllt eine Ganzheitsgleichung und gehört somit zur Normalisierung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Normalisierung (kommutativer Ring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ls2czyle765newzw35go3ivccwtx2rz 0 109406 778450 770090 2022-08-21T12:04:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten zunächst die Situation auf {{ Ma:Vergleichskette |X_i ||X_{s_i} || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Strukturgarbe|X|}} {{|}}_U | {{op:Garbe|L|}} {{|}}_U |1| s_i |SZ=, }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lokal beringter Raum/Invertierbare Garbe/Schnitt/Invertierbarkeit/Trivial/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Modulgarben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X}} |Moduln| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dabei entsprechen unter diesem Isomorphismus die {{math|term= s_k|SZ=}} den Funktionen {{ Ma:Vergleichskette/disp |f_{ki} |\in| {{op:Schnitte|U| {{op:Strukturgarbe|X}} }} || || || |SZ=. }} Dabei gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |f_{ki} || {{op:Bruch|s_k|s_i}} || || || |SZ=, }} und dieser Quotient ist wohldefiniert. Diese Funktionen {{ mathbed|term= f_{ki} ||bedterm1= k \neq i ||bedterm2= |SZ=, }} definieren wiederum nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lokal beringter Raum/Affiner Raum/Morphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen Morphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i |X_i| D_+(x_i) \cong {{op:Affiner Raum|n|R}} \subseteq {{op:Projektiver Raum|n|R}} || |SZ=. }} Insgesamt liegt das kommutative Diagramm {{Gerichteter Graph/Dreieck/Raute|X_i| D_+(x_i) \cong {{op:Affiner Raum|n|R}} |X_i \cap X_j | D_+(x_i) \cap D_+(x_j) | {{op:Projektiver Raum|n|K}} | X_j| D_+(x_j) \cong {{op:Affiner Raum|n|R}} |abb12=\varphi_i|abb67= \varphi_j |abb31= \,| abb36= \, |abb42=\, |abb46=\, |abb25=\,|abb75= \, }} vor, da links so verklebt wird wie im projektiven Raum rechts. Somit setzen sich diese Morphismen zu einem Morphismus auf der Vereinigung der {{math|term= X_i|SZ=}} zusammen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pu08fnv47vdam1yaeovajiu12znxxyd 0 109461 779685 751731 2022-08-21T17:07:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|n|R}}|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} sind die {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|R}}|k}} |SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |sehr ampel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte| {{op:Projektiver Raum|n|R}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|R}}|k}} }} || R[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ]_k || || || |SZ= }} und wir betrachten das durch sämtliche Monome aus {{mathl|term= R[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ] |SZ=}} vom Grad {{math|term= k|SZ=}} erzeugte lineare System und den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{op:Projektiver Raum|n|R}} |{{op:Projektiver Raum|m|R}} || |SZ=, }} wobei {{math|term= m|SZ=}} die Anzahl dieser Monome weniger {{math|term= 1|SZ=}} bezeichne. Auf {{ Ma:Vergleichskette | D_+(X_0 ) || {{makl| {{op:Projektiver Raum|n|R}} |}}_{X_0^k} || || || |SZ= }} ist die Abbildung durch {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Affiner Raum|n|R}} | D_+(Y_\nu) \subseteq {{op:Projektiver Raum|m|R}} | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|X_1|X_0|}} | \ldots | {{op:Bruch|X_n|X_0|}} |}} | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|X^\mu |X_0^k|}} | \mu \text{ Monom vom Grad } k \text{ in } n+1 \text{ Variablen} |}} |SZ= }} gegeben {{ Zusatz/Klammer |text=und entsprechend auf den anderen {{math|term= D_+ (X_i)|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Auf der Ebene der Polynomringe ist dies der {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R [S_\mu ,\, \mu \in I_k ] | R[T_1 {{kommadots|}} T_n ] |S_\mu| T^\mu |SZ=, }} wobei {{math|term= I_k|SZ=}} die Indexmenge aller Monome in {{math|term= n|SZ=}} Variablen vom Grad {{math|term= \leq k|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=!| |ISZ=|ESZ= }} bezeichnet. Diese Abbildung ist surjektiv und somit liegt eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Einbettung| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Bei {{ Ma:Vergleichskette |k |\leq|0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ= }} sind die {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|R}}|k}} |SZ=}} nicht sehr ampel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der sehr amplen invertierbaren Garben |Kategorie2=Theorie der projektiven Räume |Kategorie3=Theorie der Veronese-Unterringe |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8atfqr6fapfk2rsgm9hylnt9zan6kaa 0 109487 780512 596469 2022-08-21T19:20:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V ||V(XYZ) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|3|K}} || || |SZ=. }} {{ Aufzählung6 |Bestimme{{n Sie}} die glatten Punkte von {{math|term= V|SZ=.}} |Skizziere{{n Sie}} {{math|term= V|SZ=}} und den singulären Ort von {{math|term= V|SZ=.}} |Analysiere{{n Sie}} das Schnittverhalten von {{math|term= V|SZ=}} mit beliebigen Ebenen. |Analysiere{{n Sie}} das Schnittverhalten von {{math|term= V|SZ=}} mit beliebigen Geraden. |Berechne die Hilbert-Funktion des Koordinatenringes {{mathl|term= K[X,Y,Z]/(XYZ) |SZ=}} für die Argumente {{ Ma:Vergleichskette |n |\leq|4 || || || |SZ=. }} |Was ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des lokalen Ringes {{mathl|term= K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}/(XYZ) |SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=2 |p2=1 |p3=2 |p4=2 |p5=2 |p6=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 20cz2vurctb8x8to0q4hzxeo102byid 0 109520 778594 762504 2022-08-21T12:27:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da ein Garbenmorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{op:Garbe|F|}} {{|}}_U |{{op:Garbe|G|}} {{|}}_U || |SZ= }} eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Schnitte|V|{{op:Garbe|F|}} }} | {{op:Schnitte|V|{{op:Garbe|G|}} }} || |SZ= }} für jede offene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq|U || || || |SZ= }} beinhaltet, gibt es unmittelbar eine Einschränkung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi {{|}}_V | {{op:Garbe|F|}} {{|}}_V |{{op:Garbe|G|}} {{|}}_V || |SZ=. }} Das bedeutet, dass {{ math/disp|term= U \longmapsto {{op:Garbenmorphismen | {{op:Garbe|F|}} {{|}}_U |{{op:Garbe|G|}} {{|}}_U}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zum Nachweis der Garbeneigenschaften sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi, \psi |{{op:Garbe|F|}} {{|}}_U |{{op:Garbe|G|}} {{|}}_U || |SZ= }} Garbenmorphismen derart, dass die Einschränkungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi_i || \varphi {{|}}_{U_i} ||\psi {{|}}_{U_i} || \psi_i || || |SZ= }} übereinstimmen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|F|}} }} || || || |SZ= }} mit den Einschränkungen {{ Ma:Vergleichskette |s_i | {{defeq|}} | s {{|}}_{U_i} || || || |SZ=. }} Es ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(s_i) || \psi(s_i) || || || |SZ=. }} Somit stimmen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(s), \psi(s) |\in| {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} }} || || || |SZ= }} lokal überein und damit stimmen sie wegen der Garbeneigenschaft auch direkt überein. Zum Nachweis der zweiten Garbeneigenschaft seien Garbenmorphismen {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_i | {{op:Garbe|F|}} {{|}}_{U_i} | {{op:Garbe|G|}} {{|}}_{U_i} || |SZ= }} gegeben, die die Verträglichkeitsbedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi_i {{|}}_{U_i \cap U_j} || \varphi_j {{|}}_{U_i \cap U_j} || || || |SZ= }} erfüllen. Es ist die Existenz eines Garbenmorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{op:Garbe|F|}} {{|}}_U | {{op:Garbe|G|}} {{|}}_U || |SZ= }} nachzuweisen, dessen Einschränkungen die vorgegebenen {{math|term= \varphi_i|SZ=}} ergibt. Sei hierzu wieder {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|F|}} }} || || || |SZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |t_i || \varphi_i {{makl| s {{|}}_{U_i} |}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| s {{|}}_{ U_i} |}} {{|}}_{U_i \cap U_j} || {{makl| s{{|}}_{ U_j} |}} {{|}}_{U_i \cap U_j} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{makl| t_i |}} {{|}}_{U_i \cap U_j} || {{makl| \varphi_i {{makl| s {{|}}_{U_i} |}} |}} {{|}}_{U_i \cap U_j} || {{makl| \varphi_i {{|}}_{U_i \cap U_j} {{makl| s {{|}}_{U_i \cap U_j } |}} |}} || {{makl| \varphi_j {{|}}_{U_i \cap U_j} {{makl| s {{|}}_{U_i \cap U_j } |}} |}} || {{makl| \varphi_j {{makl| s {{|}}_{U_j} |}} |}} {{|}}_{U_i \cap U_j} || {{makl| t_j |}} {{|}}_{U_i \cap U_j} |SZ= }} und somit bilden die {{math|term= t_i|SZ=}} eine verträgliche Familie von Schnitten. Daher gibt es eine eindeutig bestimmtes Element {{ Ma:Vergleichskette |t |\in| {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} }} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |t_i || t {{|}}_{U_i} || || || |SZ=. }} Die Festlegung {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(s) | {{defeq|}} |t || || || |SZ= }} ergibt somit eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|F|}} }} | {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} }} || |SZ=, }} deren Einschränkungen die vorgegebenen {{math|term= \varphi_i|SZ=}} sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bzgncafa5morf8r1p6tvdcei8cm183d 0 109536 779062 763200 2022-08-21T15:29:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || \R[S,T]/ {{makl| S^2+T^2 |}} || || || |SZ=. }} Dies ist ein eindimensionaler Integritätsbereich, da {{math|term= S^2+T^2|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= \R[S,T]|SZ=}} ist. Der Ring ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da ja {{ Ma:Vergleichskette |S^2 || -T^2 || || || |SZ= }} gilt und die Elemente {{ mathkor|term1= S |und|term2= T |SZ= }} irreduzibel, aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |prim| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Der Ring ist auch nicht normal, da {{mathl|term= {{op:Bruch|S|T}} |SZ=}} die Ganzheitsgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|S|T}} |}}^2 || -1 || || || |SZ= }} erfüllt. Die Normalisierung ist {{mathl|term= {{CC|}} [T] |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |S || {{imaginäre Einheit|}} T || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den komplexen Zahlen {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} ergibt {{ Ma:Vergleichskette/disp |R {{tensor|\R}} {{CC|}} || {{CC|}} [S,T]/ {{makl| S^2+T^2 |}} || || || |SZ=, }} was wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |S^2+T^2 || (S- {{imaginäre Einheit|}} T) (S + {{imaginäre Einheit|}} T) || || || |SZ= }} kein Integritätsbereich mehr ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der eindimensionalen noetherschen Integritsbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p07kwe5w7noxkausq0grm3sylj48gbn 0 109579 778598 762513 2022-08-21T12:27:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zunächst ist in einem noetherschen Raum jede offene Teilmenge selbst noethersch. Für die Hinrichtung genügt es also zu zeigen, dass {{math|term= X|SZ=}} quasikompakt ist. Sei {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und angenommen, es gäbe keine endliche Teilüberdeckung. Dann kann man eine echt aufsteigende unendliche Kette von offenen Teilmengen der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_n || \bigcup_{i \in I_n} U_i || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |I_n |\subseteq|I || || || |SZ= }} endlich konstruieren. Sei umgekehrt jede offene Teilmenge quasikompakt und eine aufsteigende Kette {{ Ma:Vergleichskette |U_k |\subseteq|U_{k+1} || || || |SZ= }} gegeben. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || \bigcup_{k \in \N} U_k || || || |SZ= }} offen und quasikompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung. Dies bedeutet, dass es einen Index {{math|term= n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |U_n ||U_k || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|n || || || |SZ= }} gibt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} camrkeuehsj0lv0guqrcbwwv035wnfo 0 109686 780035 763866 2022-08-21T18:01:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Klasse der {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet zusammen mit den {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Morphismenmenge eine {{ Definitionslink |Prämath= |Kategorie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{Stichwort|Kategorie der Vektorräume|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=.}} Dass die Verknüpfung von linearen Abbildungen wieder linear ist beruht auf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Kategorientheorie |Kategorie2=Theorie der Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sxpzdimvdtae7eavg2smsu956ihch1u 0 109693 779327 763432 2022-08-21T16:10:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Klasse der {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet zusammen mit den {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Morphismenmenge eine {{ Definitionslink |Prämath= |Kategorie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{Stichwort|Kategorie der Moduln|SZ=}} über {{math|term= R|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Kategorientheorie |Kategorie2=Theorie der Modulhomomorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2uteodsts5me8u2f8y6gibesnjw4hfw 0 109719 779486 763574 2022-08-21T16:36:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |{\mathcal C} ||{\mathcal D} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Kategorie der Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= T|SZ=}} eine fixierte Menge. Dann ist die Zuordnung, die jeder Menge {{math|term= M|SZ=}} die Abbildungsmenge {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|T|M}} |SZ=}} zuordnet, ein {{ Definitionslink |Prämath= |kovarianter Funktor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Einem Morphismus {{ Ma:abb |name= \varphi |M|N || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also einfach eine Abbildung| |ISZ=|ESZ= }} wird dabei die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Abbildungsmenge|T|M}} | {{op:Abbildungsmenge|T|N}} | \theta| \varphi \circ \theta |SZ=, }} zugeordnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Funktoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cqsegum2xs0whz3w4l2w6l1v3mg158x 0 109722 779485 763572 2022-08-21T16:36:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |{\mathcal C} ||{\mathcal D} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Kategorie der Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= Z|SZ=}} eine fixierte Menge. Dann ist die Zuordnung, die jeder Menge {{math|term= M|SZ=}} die Abbildungsmenge {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|M|Z}} |SZ=}} zuordnet, ein {{ Definitionslink |Prämath= |kontravarianter Funktor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Einem Morphismus {{ Ma:abb |name= \varphi |M|N || |SZ= }} wird dabei die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Abbildungsmenge|N|Z}} | {{op:Abbildungsmenge|M|Z}} | \theta| \theta \circ \varphi |SZ=, }} zugeordnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Funktoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cyiy5pj1974u0symyxc34s8q9zhl5e4 0 109752 779184 763281 2022-08-21T15:49:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (I, \preccurlyeq) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |geordnete Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man kann {{math|term= I|SZ=}} als eine {{ Definitionslink |Prämath= |Kategorie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auffassen, indem man die Elemente aus {{math|term= I|SZ=}} als Objekte nimmt und für Elemente {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|I || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Morphismen|a|b}} || \begin{cases} \empty, \text{ wenn } a \not \preccurlyeq b \, , \\ \{(a,b)\}, \text{ wenn } a \preccurlyeq b \, . \end{cases} || || || |SZ= }} festlegt. Im Fall {{ Ma:Vergleichskette |a |\preccurlyeq|b || || || |SZ= }} ist also die Morphismenmenge einelementig, sonst leer. Die Wahl des Paares {{mathl|term= (a,b)|SZ=}} als Repräsentant einer einelementigen Menge ist zwar natürlich, aber nicht entscheidend für diese Konstruktion. Die kategoriellen Verknüpfungseigenschaften beruhen auf der Reflexivität und der Transitivität einer Ordnungsrelation {{ Zusatz/Klammer |text=die Antisymmetrie ist für diese kategorielle Interpreation nicht wichtig| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Kategorientheorie |Kategorie2=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} duzkfbzbb0pw6vvdyorhe8ksed7c7ff 0 109753 779977 763840 2022-08-21T17:52:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= {\mathcal T}|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= X|SZ=.}} Wir betrachten {{mathl|term= {\mathcal T}|SZ=}} als eine {{ Definitionslink |Prämath= |geordnete Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Inklusion {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} von offenen Mengen als Ordnung. Dadurch wird {{math|term= \mathcal T|SZ=}} wie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Geordnete Menge/Kategorie/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Kategorie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der topologischen Räume |Kategorie2=Kategorientheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 67sgqn31nmlabmjx1ww5yqp28rf7iwe 0 109791 779971 763838 2022-08-21T17:51:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= {{Kategorie|A}} |SZ=}} die Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf {{math|term= X|SZ=,}} also die Zuordnung {{mathl|term= {{op:Garbe|G|}} \mapsto {{op:Schnitte|X|{{op:Garbe|G|}} }} |SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{Kategorie|B}} || {{Kategorie der abelschen Gruppen|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Kategorie der abelschen Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= F|SZ=}} sei die globale Auswertung auf {{math|term= X|SZ=.}} Dann besitzt {{math|term= {{Kategorie|A}} |SZ=}} genügend Injektive und {{math|term= F|SZ=}} ist ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Die Linksexaktheit beruht auf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Garbe/Kommutative Gruppen/Linksexakt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} die Existenz von hinreichend vielen injektiven Garben auf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Beringter Raum/Modulgarbe/Einbettung/Injektive Garbe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Garbentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6o871xepf85qaz38iun6xvc61yp3il 0 109881 778607 762524 2022-08-21T12:29:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Beringter Raum/Modulgarbe/Einbettung/Injektive Garbe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es eine Einbettung von {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} in eine {{ Definitionslink |Prämath= |injektive Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|I|}} |SZ=,}} wir betrachten die zugehörige kurze exakte Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Garbe|G|}}| {{op:Garbe|I|}} | {{op:Garbe|I|}}/ {{op:Garbe|G|}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Beringter Raum/Modul/Injektiv/Welk/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= {{op:Garbe|I|}} |SZ=}} eine welke Garbe. Dann ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Welke Garben/Grundlegende Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch die Quotientengarbe {{mathl|term= {{op:Garbe|I|}}/ {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} welk. Die lange exakte Kohomologiesequenz ergibt unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Injektives Objekt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einerseits {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|G|}} }} \longrightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|I|}} }} \longrightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|I|}}/{{op:Garbe|G|}} }} \longrightarrow H^1 (X, {{op:Garbe|G|}} ) \longrightarrow 0 |SZ= }} und andererseits {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow H^n (X, {{op:Garbe|I|}}/{{op:Garbe|G|}} ) \stackrel{\delta^n}{ \longrightarrow} H^{n+1} (X, {{op:Garbe|G|}} ) \longrightarrow 0 |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ=. }} Aus dem ersten Ausschnitt folgt wegen der Surjektivität {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Welke Garben/Grundlegende Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} von {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|I|}} }} | {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|I|}}/ {{op:Garbe|G|}} }}| || |SZ=, }} dass {{ Ma:Vergleichskette |H^1(X, {{op:Garbe|G|}} ) ||0 || || || |SZ= }} ist. Dies gilt für alle welke Garben. Daher gilt aufgrund des zweiten Ausschnittes, angewendet für {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ=, }} auch {{ Ma:Vergleichskette |H^2(X, {{op:Garbe|G|}} ) ||0 || || || |SZ=, }} u.s.w. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ws8nwtnysly6man7h9cr9wdzlik63x 0 109885 778608 762525 2022-08-21T12:29:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung2 |Sei {{ Ma:Vergleichskette |t |\in| {{op:Schnitte|X|H}} || || || |SZ= }} vorgegeben. Wir verwenden das Lemma von Zorn und betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | {\mathcal M} || {{Mengebed|(U,s)| U \subseteq X \text{ offen und } s \in {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} }} |s \mapsto t \text{ auf } U }} || || || |SZ=. }} Wir führen auf {{math|term= \mathcal M|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette |(U,s) |\preccurlyeq|(U',s') || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|U' || || || |SZ= }} und {{math|term= s'|SZ=}} eine Fortsetzung von {{math|term= s|SZ=}} ist, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein. Diese Menge ist aufgrund der Garbeneigenschaft {{ Definitionslink |Prämath= |induktiv geordnet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Zorn|Faktseitenname= Lemma von Zorn/Obere Schranke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es somit ein maximales Element {{mathl|term= (U,s)|SZ=}} in {{math|term= \mathcal M|SZ=.}} Es ist zu zeigen, dass {{ Ma:Vergleichskette |U ||X || || || |SZ= }} ist. Sei also {{ Ma:Vergleichskette |U |\neq|X || || || |SZ= }} angenommen und sei {{ Ma:Vergleichskette |x |\notin|U || || || |SZ=. }} Wegen der Garbensurjektivität {{ Ma:abb |name= | {{op:Garbe|G|}} | {{op:Garbe|H|}} || |SZ= }} gibt es eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|V || || || |SZ= }} und einen Schnitt {{ Ma:Vergleichskette |r |\in| {{op:Schnitte|V| {{op:Garbe|G|}} }} || || || |SZ=, }} der auf {{ Zusatz/Klammer |text=die Restriktion auf {{math|term= V|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= t|SZ=}} abbildet. Daher bildet {{mathl|term= s {{|}}_{U \cap V} - r{{|}}_{U \cap V}|SZ=}} auf {{math|term= 0|SZ=}} ab und gehört somit zu {{math|term= {{op:Schnitte|U \cap V| {{op:Garbe|F|}} }} |SZ=.}} Wegen der Welkheit von {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} gibt es einen Schnitt {{ Ma:Vergleichskette/disp | z |\in| {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|F|}} }} || || || |SZ=, }} der auf {{mathl|term= s {{|}}_{U \cap V} - r{{|}}_{U \cap V} |SZ=}} einschränkt. Wir ersetzen {{math|term= r|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |r' || r + z {{|}}_V || || || |SZ=. }} Dieses Element wird nach wie vor nach {{math|term= t {{|}}_V |SZ=}} abgebildet und es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | s {{|}}_{U \cap V} - r'{{|}}_{U \cap V} || z {{|}}_V - z{{|}}_V || 0 || || |SZ=. }} Somit sind {{ mathkor|term1= s |und|term2= r' |SZ= }} als Schnitte von {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} über {{ mathkor|term1= U |bzw.|term2= V |SZ= }} verträglich und legen einen Schnitt {{ Ma:Vergleichskette |s' |\in| {{op:Schnitte|U \cup V| {{op:Garbe|F|}} }} || || || |SZ= }} fest, der nach {{math|term= t|SZ=}} abbildet. Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität von {{math|term= U|SZ=.}} |Folgt aus (1). }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nqb8xq8rok85x8c45xbrkuti0n1kjzg 0 109895 781949 755841 2022-08-21T23:20:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Gruppen {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Moduln |Kategorie2=Theorie der divisiblen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7j3s42lzqkte490zfkhz9ces25podzc 0 109934 786435 759502 2022-08-22T11:25:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man beschreibe ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{math|term= 2|SZ=-}}Sphäre mit genau einer Nullstelle. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz vom Igel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gs6g743pndr81z3a4rh2sgjd108iqqi 0 109967 778606 762522 2022-08-21T12:28:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= Y|SZ=}} die disjunkte Vereinigung der {{math|term= U_i|SZ=.}} Wir definieren auf {{math|term= Y|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sim|SZ=,}} wobei wir Punkte {{ Ma:Vergleichskette |x_i |\in|U_i || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |x_j |\in|U_j || || || |SZ= }} als äquivalent ansehen, wenn {{ Ma:Vergleichskette |x_i |\in|U_{ij} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |x_j |\in|U_{ji} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \varphi_{ji} (x_i) ||x_j || || || |SZ= }} ist. Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind dabei durch die Kozykelbedingung gesichert, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |X | {{defeq|}} |Y/ \sim || || || |SZ= }} und versehen {{math|term= X|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Quotiententopologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Verknüpfungen {{ math/disp|term= U_i \longrightarrow Y \longrightarrow X |SZ= }} sind die {{math|term= \psi_i|SZ=,}} und {{math|term= V_i|SZ=}} sind die Bilder dieser Abbildungen. Daher liegen Homöomorphismen {{ Ma:abb |name= \psi_i |U_i|V_i || |SZ= }} vor. Dabei ist zu {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|U_i || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi_i (x) |\in| V_j || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| U_{ij} || || || |SZ= }} ist, da genau in diesem Fall {{math|term= x|SZ=}} mit {{mathl|term= \varphi_{ij}(x) |SZ=}} identifiziert wird. Daher ist {{ Ma:Vergleichskette |\psi_i(U_{ij}) ||V_i \cap V_j || || || |SZ=. }} Die Kommutativität des Diagramms {{Kommutatives Dreieck|U_{ij}|U_{ji}|V_i \cap V_j|abb12= \varphi_{ji}|abb13= \psi_i|abb23=\psi_j|}} folgt ebenso. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5hn8zdfq5b0ehvxdu1sf4dixyc8tube 0 109979 778609 762526 2022-08-21T12:29:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Existenz eines topologischen Raumes {{math|term= E|SZ=}} mit den besagten Eigenschaften ergibt sich aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zu verkleben sind die offenen Mengen {{ Ma:Vergleichskette/k |W_{ij} | {{defeq|}} |E_i {{|}}_{U_i \cap U_j} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} und die Existenz der stetigen Abbildung nach {{math|term= X|SZ=}} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Stetige Abbildung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dabei gibt es eine wohldefinierte Vektorraumstruktur auf jeder Faser {{math|term= E_x|SZ=,}} die von {{math|term= E_i|SZ=}} zu einer beliebigen offenen Umgebung {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|U_i || || || |SZ= }} herrührt. Die Unabhängigkeit beruht darauf, dass für {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| U_i \cap U_j || || || |SZ= }} nach Voraussetzung ein Vektorbündelisomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_{ij} |E_i {{|}}_{U_i \cap U_j} |E_j {{|}}_{U_i \cap U_j} || |SZ= }} vorliegt, der einen {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraumisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{makl| E_i |}}_x | {{makl| E_j |}}_x || |SZ= }} induziert. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r8ppnzad5epca7a11fq27znviavdhlm 0 110056 779979 763841 2022-08-21T17:52:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Jeder offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} kann man die Menge der auf {{math|term= U|SZ=}} definierten reellwertigen stetigen Funktionen zuordnen, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Garbe|C|U}} || C^0 (U,\R) || {{Mengebed| f:U \rightarrow \R|f \text{ stetig} }} || || || |SZ=. }} Da man eine stetige Funktion {{ Ma:abb |name=f |U| \R || |SZ= }} auf jede {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq|U || || || |SZ= }} einschränken kann, erhält man eine {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 457cflq98w3k0b1pgkzd9197drvhub0 0 110108 779526 752636 2022-08-21T16:42:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf der eindimensionalen Sphäre {{ Ma:Vergleichskette/disp |S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2|x^2+y^2 {{=|}} 1}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |S^1 ||U \cup V || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |U ||S^1 \setminus \{(0,1)\} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V ||S^1 \setminus \{(0,-1)\} || || || |SZ=. }} Darauf beschreiben wir ein {{ Definitionslink |Prämath= |Verklebungdatum| |Kontext=reelles Vektorbündel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für ein reelles Vektorbündel vom Rang {{math|term= 1|SZ=.}} Die beiden offenen Mengen sind {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur reellen Geraden. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |U \cap V || S^1 \setminus \{(0,1), (0,-1) \} || {{Mengebed|(x,y) \in S^1 |x \neq 0}} || || |SZ=, }} und dies ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sondern homöomorph zu zwei disjunkten reellen offenen Halbgeraden {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. Geraden| |ISZ=|ESZ=. }} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette |L || U \times \R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |M || V \times \R || || || |SZ=. }} Wir legen einen {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=reelles Vektorbündel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |L {{|}}_{U \cap V} | M{{|}}_{U \cap V} || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(x,y,t) | {{defeq|}} | \begin{cases} (x,y,t) \text{ für } x > 0 \, , \\ (x,y,-t) \text{ für } x < 0 \, \end{cases} || || || |SZ= }} fest. Man beachte, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} stetig ist, da die beiden funktionalen Ausdrücke für zueinander disjunkte offene Teilmengen gelten. Auf der einen Hälfte wird identisch abgebildet, auf der anderen Hälfte wird umgeklappt. Im Sinne von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Verklebungsdatum/Vektorbündel/Trivialisierungen/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liegt die stetige {{ Zusatz/Klammer |text=konstante| |ISZ=|ESZ= }} Matrixbeschreibung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi (x,y) | {{defeq|}} | \begin{cases} (1) \text{ für } x > 0 \, , \\ (-1) \text{ für } x < 0 \, , \end{cases} || || || |SZ= }} auf {{mathl|term= U \cap V|SZ=}} vor. Da nur zwei offene Mengen vorliegen, ist die Kozykelbedingung automatisch erfüllt. Dieses Verklebungsdatum definiert nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologisches reelles Vektorbündel/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein reelles Vektorbündel vom Rang {{math|term= 1|SZ=}} auf der Sphäre, das {{Stichwort|Möbiusband|SZ=}} heißt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Verklebungsdaten für reelle Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Möbiusband |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tufg42718impih86w4twc10w5hkacdl 0 110173 779985 763845 2022-08-21T17:53:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= X |und|term2= Z |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Jeder offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} kann man die Menge der auf {{math|term= U|SZ=}} definierten {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{math|term= Z|SZ=}} zuordnen, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | C^0 (U,Z) || {{Mengebed| \varphi:U \rightarrow Z| \varphi \text{ stetig} }} || || || |SZ=. }} Da man eine stetige Abbildung {{ Ma:abb |name= \varphi |U| Z || |SZ= }} auf jede {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq|U || || || |SZ= }} einschränken kann und da man zu {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V |\subseteq|W || || |SZ= }} die Einschränkung von {{math|term= W|SZ=}} auf {{math|term= U|SZ=}} in einem Schritt oder in zwei Schritten machen kann, erhält man eine {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6z3lifwjuixezo5ccx4nwnp39lm98er 0 110174 779023 763187 2022-08-21T15:23:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Jeder offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} kann man die Menge der auf {{math|term= U|SZ=}} definierten reellwertigen {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Funktionen| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zuordnen, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Garbe|C|U}} || C^1 (U,\R) || {{Mengebed| f:U \rightarrow \R|f \text{ stetig differenzierbar} }} || || || |SZ=. }} Da man eine differenzierbare Funktion {{ Ma:abb |name=f |U| \R || |SZ= }} auf jede {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq|U || || || |SZ= }} einschränken kann, erhält man eine {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wbi3k8q9o3gw272zicek73cgfiq3ys 0 110180 779922 737901 2022-08-21T17:43:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Räume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=p |Y|X || |SZ= }} eine fixierte {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Diese Situation induziert für jede offene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} eine stetige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |Y {{|}}_U {{=|}} p^{-1}(U) | U || |SZ=. }} Somit kann man zu {{math|term= U|SZ=}} die Menge der auf {{math|term= U|SZ=}} definierten {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen Schnitte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:abb |name= | p^{-1}(U) |U || |SZ= }} zuordnen, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | S (U,Y) || {{Mengebed| s:U \rightarrow p^{-1}(U)| s \text{ stetiger Schnitt zu } p }} || || || |SZ=. }} Da man einen stetigen Schnitt auf jede {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq|U || || || |SZ= }} einschränken kann, wobei der Bildbereich entsprechend auf {{mathl|term= p^{-1}(V) |SZ=}} eingeschränkt wird, erhält man eine {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s5qo3hxlijlt7m3c16zu3xvns3suc4b 0 110185 778586 762492 2022-08-21T12:25:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist klar, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Komplex| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Garben von kommutativen Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=}} vorliegt. Die Injektivität links ist ebenfalls klar. Zur Exaktheit in der Mitte: Wenn zu einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} eine stetige Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |U|G || |SZ= }} die Eigenschaft besitzt, dass {{mathl|term= p \circ \varphi|SZ=}} die Nullabbildung ist, so liegt das Bild von {{math|term= \varphi|SZ=}} in {{math|term= F|SZ=.}} Da {{math|term= F|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |induzierte Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} trägt, ist auch die Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |U|F || |SZ= }} stetig. Zur Garbensurjektivität rechts: Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|X || || || |SZ= }} ein Punkt und {{ Ma:abbele/disp |name= \psi | V|H || |SZ= }} eine auf einer offenen Umgebung von {{math|term= P|SZ=}} definierte stetige Abbildung nach {{math|term= H|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \psi(P) || h || || || |SZ=. }} Nach Voraussetzung gibt es eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette |h |\in|W |\subseteq|H || || |SZ= }} und einen Schnitt {{ Ma:abb |name=s | W|G || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | p \circ s || {{op:Identität|W|}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette/disp |U | {{defeq|}} | V \cap \psi^{-1}(W) || || || |SZ=. }} Dann ist {{mathl|term= s \circ \psi|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=eingeschränkt auf {{math|term= U|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ein stetiger Schnitt von {{math|term= G|SZ=,}} der unter {{math|term= p|SZ=}} auf {{math|term= \psi|SZ=}} abgebildet wird. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a8kuc79ghcuypud7o1udz3hw1x6a5e9 0 110186 779972 763839 2022-08-21T17:51:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die kurze exakte {{Stichwort|Exponentialsequenz|SZ=}} {{Kurze exakte Sequenz/disp| 2 \pi {{Imaginäre Einheit}}\Z| {{CC|}} | {{op:Einheiten |{{CC|}}|}} |abbmr=\operatorname{exp} }} von {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Gruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Exaktheit in der Mitte beruht auf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Komplexe Exponentialfunktion/Periodizitätseigenschaften/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} die Homomorphieeigenschaft beruht auf {{ Faktlink |Präwort=der|Funktionalgleichung der Exponentialfunktion|Faktseitenname= Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Exponentialfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} surjektiv auf {{math|term= {{CC|}} \setminus \{0\} |SZ=}} ab {{ Zusatz/Klammer |text=sie ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Überlagerung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Komplexe Exponentalfunktion/Überlagerung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Da es lokal einen Logarithmus gibt, sind die Voraussetzungen von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologische Gruppen/Kommutativ/Kurze exakte Sequenz/Lokal stetiger Schnitt/Garbensequenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erfüllt. Somit gibt es zu jedem topologischen Raum {{math|term= X|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Garbensequenz| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/disp|C^0(-, \Z)|C^0(-, {{CC|}} ) |C^0(-, {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} ) |SZ=,}} die die {{ Zusatz/Klammer |text=stetige komplexe| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|Exponentialsequenz|SZ=}} heißt. Links steht die lokal konstante Garbe mit Werten in {{math|term= \Z|SZ=,}} in der Mitte die Garbe der komplexwertigen stetigen Funktionen und rechts die Garbe der nullstellenfreien komplexwertigen stetigen Funktionen. Wenn man {{ Ma:Vergleichskette |X ||{{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} setzt, so ist die globale Auswertung der hinteren Abbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Exponentialsequenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lhqgomsf6071k13dq9c8p4qe7dyg7ky 0 110260 785179 758526 2022-08-22T07:59:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= K[Y_1 {{kommadots|}} Y_d] |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und {{math|term= H|SZ=}} der von allen Monomen {{math|term= X^\nu |SZ=}} in den Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_d |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | \nu_j |\leq|-1 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j|SZ=}} erzeugte {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |H || K \langle X_1^{\nu_1} \cdots X_d^{\nu_d}, \, \nu_j \leq -1 \rangle || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= | K[Y_1 {{kommadots|}} Y_d] | H |Y^\mu| X^{- \mu- (1,1 {{kommadots|}} 1)} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K|SZ=-}}Vektorräumen gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Čech-Kohomologie für Schemata |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onk6bmqpao5jdvgstuxttdazgap4yu8 0 110262 785178 758525 2022-08-22T07:58:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= K[Y_1 {{kommadots|}} Y_d] |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und {{math|term= H|SZ=}} der von allen Monomen {{math|term= X^\nu |SZ=}} in den Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_d |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | \nu_j |\leq|-1 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j|SZ=}} erzeugte {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |H || K \langle X_1^{\nu_1} \cdots X_d^{\nu_d}, \, \nu_j \leq -1 \rangle || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= \theta | K[Y_1 {{kommadots|}} Y_d] | H |Y^\mu| \mu ! X^{- \mu- (1,1 {{kommadots|}} 1)} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K|SZ=-}}Vektorräumen gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Čech-Kohomologie für Schemata |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 99t3gf5gpnv07t363auberj4ioj522h 0 110263 785180 758527 2022-08-22T07:59:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_d] |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und {{math|term= H|SZ=}} der von allen Monomen {{math|term= X^\nu |SZ=}} in den Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_d |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | \nu_j |\leq|-1 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j|SZ=}} erzeugte {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |H || K \langle X_1^{\nu_1} \cdots X_d^{\nu_d}, \, \nu_j \leq -1 \rangle || || || |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} eine natürliche {{ Definitionslink |Prämath=K[X_1 {{kommadots|}} X_d] |Modulstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= H|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Čech-Kohomologie für Schemata |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ceeins91bwcqsjid04e5wnn2kq3mz1 0 110264 785177 758524 2022-08-22T07:58:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= K[X_1 {{kommadots|}} X_d], K[Y_1 {{kommadots|}} Y_d] |und|term2= K[D_1 {{kommadots|}} D_d] |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomringe| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= d|SZ=}} Variablen. Es sei {{math|term= H|SZ=}} der in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Polynomring/Höchste lokale Kohomologie/Modulstruktur/Direkt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebene {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der natürlichen {{ Definitionslink |Prämath=K[X_1 {{kommadots|}} X_d ] |Modulstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Polynomring {{mathl|term= K[D_1 {{kommadots|}} D_d]|SZ=}} wirke auf dem Polynomring {{mathl|term= K[Y_1 {{kommadots|}} Y_d]|SZ=}} dadurch, dass die {{math|term= D_i|SZ=}} die Wirkungsweise der {{math|term= i|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitung| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} übernehmen, also {{ Ma:Vergleichskette | D_i || \partial_i || {{op:Partielle Ableitung||Y_i}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass mit der Zuordnung {{mathl|term= D_i \mapsto X_i|SZ=}} und der Zuordnung {{ Ma:abb |name= \theta |K[Y_1 {{kommadots|}} Y_d] |H || |SZ= }} aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Polynomring/Höchste lokale Kohomologie/Fakultäten/K-Isomorphie zu Polynomring/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Modulisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Čech-Kohomologie für Schemata |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie3=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dqs05hezizyruot9dkneodzk1mgqs4j 106 110336 784360 733987 2022-08-22T06:01:07Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Mengen}} {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 180px {{!}} right {{!}} |epsname=Georg_Cantor |Text=[[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor= |Benutzer=Taxiarchos228 |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg |180px {{!}} right {{!}} |epsname=David_Hilbert_1886 |Text=[[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies|SZ=,}} aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=Unbekannt (1886) |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Mathematische Strukturen, wie die bereits erwähnten Zahlen, werden als Mengen beschrieben. Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort|Elemente|msw=Element|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term=x|SZ=}} zu einer Menge {{math|term=M|SZ=}} wird durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |\in|M || || || |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |\notin| M || || || |SZ=. }} Für jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|3|7}} |\notin| \N || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|3|7}} |\in| \Q || || || |SZ=. }} Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. Die Menge, die kein Element besitzt, heißt {{Definitionswort/enp|leere Menge|SZ=}} und wird mit {{ math/disp|term= \emptyset |SZ= }} bezeichnet. Eine Menge {{math|term=N|SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term=M|SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term=N|SZ=}} auch zu {{math|term=M|SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{math|term=N \subset M|SZ=}} | |SZ=. }} Man sagt dafür auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/k |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} vorliegt. Für die erwähnten Zahlenmengen gelten die Inklusionen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\N |\subseteq|\Z |\subseteq|\Q |\subseteq|\R || |SZ=. }} Die Teilmengenbeziehung {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} ist eine Allaussage. Im Nachweis, dass {{ Ma:Vergleichskette/k |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|N || || || |SZ= }} ebenfalls die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|M || || || |SZ= }} gilt. Dabei darf man lediglich die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|N || || || |SZ= }} verwenden. Für uns werden Mengen hauptsächlich Zahlenmengen und daraus konstruierte Mengen sein. Eine Menge heißt {{Stichwort|endlich|msw=Endliche Menge|SZ=,}} wenn sie durch die natürlichen Zahlen {{mathl|term=1,2,3 {{kommadots|}} n |SZ=}} für ein gewisses {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} {{Anführung|sinnvoll abgezählt}} werden kann. In diesem Fall nennt man {{math|term=n|SZ=}} die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} der Menge. {{Zwischenüberschrift|term=Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen}} {{:Mengen/Beschreibungsmöglichkeiten/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Mengenoperationen}} Es gibt mehrere Möglichkeiten, aus gegebenen Mengen neue Mengen zu bilden. Die wichtigsten sind die folgenden{{ Zusatz/Fußnote |text=Die Symbolik kann man sich so merken: Bei Vereinigung denke man an englisch union, das {{math|term=\cup|SZ=}} sieht aus wie ein u. Der Durchschnitt ist das {{math|term=\cap|SZ=.}} Die entsprechenden logischen Operationen oder bzw. und haben die analoge eckige Form {{math|term= {{logoder|}} |SZ=}} bzw. {{math|term= {{logund|}} |SZ=}} | |ISZ=.|ESZ=. }} {{ Auflistung3 |{{Stichwort|Vereinigung|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \cup B | {{defeq|}} |{{Mengebed|x|x \in A \text{ oder } x \in B}} || || || |SZ=, }} |{{Stichwort|Durchschnitt|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \cap B | {{defeq|}} |{{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \in B}} || || || |SZ=, }} |{{Stichwort|Differenzmenge|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \setminus B | {{defeq|}} |{{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \notin B }} || || || |SZ=. }} }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge {{math|term=G|SZ=}} ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |A |\subseteq|G || || || |SZ=, }} das durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Mengenkomplement|A}} | {{defeq|}} | G \setminus A || {{Mengebed|x \in G|x \notin A}} || || || |SZ= }} definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also {{ Ma:Vergleichskette |A \cap B || \emptyset || || || |SZ= }} gilt, so nennen wir sie {{Definitionswort/enp|disjunkt|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Produktmenge}} Wir wollen die Rechenoperationen auf den oben erwähnten Zahlenmengen, insbesondere die Addition und die Multiplikation, mengentheoretisch erfassen. Bei der Addition {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise auf {{math|term=\N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird zwei natürlichen Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} eine weitere natürliche Zahl, nämlich {{mathl|term=a+b|SZ=,}} zugeordnet. Die Menge der Paare nennt man Produktmenge und die Zuordnung führt zum Begriff der Abbildung. Wir definieren{{ Zusatz/Fußnote |text={{:Definitionen/Rolle in Mathematik/Erläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} Die Elemente der Produktmenge nennt man {{Stichwort|Paare|msw=Paar|SZ=}} und schreibt {{mathl|term=(x,y)|SZ=.}} Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten {{Stichwort|Komponenten|msw=Komponente|SZ=}} ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponenten ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. Wenn die beiden Mengen {{Stichwort|endlich|SZ=}} sind, und es in der ersten Menge {{math|term=n|SZ=}} Elemente und in der zweiten Menge {{math|term=k|SZ=}} Elemente gibt, so gibt es in der Produktmenge {{mathl|term=n \cdot k|SZ=}} Elemente. Man kann auch für mehr als nur zwei Mengen die Produktmenge bilden. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Vornamen und Nachnamen/Beispiel|| }} {{ inputbild |SquareLattice|svg| 150px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Jim.belk |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Schachbrett/Beispiel|| }} Die Produktmenge {{mathl|term=\R \times \R|SZ=}} stellt man sich als eine Ebene vor, man schreibt dafür auch {{math|term=\R^2|SZ=.}} Die Produktmenge {{mathl|term=\Z \times \Z|SZ=}} kann man sich als eine Menge von Gitterpunkten vorstellen. {{ inputbild |Geometri cylinder|png| 250px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Geometri_cylinder |Text=Ein Zylindermantel ist die Produktmenge aus einem Kreis und einer Strecke |Autor= |Benutzer=Anp |Domäne=sv Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Kreislinie und Strecke ergibt Zylinder/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Abbildungen}} {{:Abbildungen/Anwender/Motivation/Textabschnitt|}} {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Ma:abb |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term=L|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term=M|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}} | |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| L || || || |SZ= }} heißt das Element {{ Ma:Vergleichskette |F(x) |\in| M || || || |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term=F|SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term=x|SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ mathkor|term1= {{ abb |name=F |L_1|M_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name=G |L_2|M_2 || |SZ= }} |SZ= }} sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| L_1 || L_2 || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette |F(x) ||G(x) || || || |SZ= }} in {{ Ma:Vergleichskette |M_1 ||M_2 || || || |SZ= }} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort/-|Funktionen|SZ=}} genannt. Wir werden den Begriff {{Stichwort|Funktion|SZ=}} für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge die reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=}} sind. Zu jeder Menge {{math|term=L|SZ=}} nennt man die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L|L |x|x |SZ=, }} also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die {{Stichwort|Identität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{math|term=L|SZ=}}| |SZ=. }} Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Identität|L|}} |SZ=}} bezeichnet. Zu einer weiteren Menge {{math|term=M|SZ=}} und einem fixierten Element {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|M || || || |SZ= }} nennt man die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L|M |x|c |SZ=, }} die also jedem Element {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|L || || || |SZ= }} den {{Stichwort|konstanten Wert|msw=Konstanter Wert|SZ=}} {{math|term=c|SZ=}} zuordnet, die {{Definitionswort/enp|konstante Abbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= mit dem Wert {{math|term=c|SZ=}}| |ESZ=. }} Sie wird häufig wieder mit {{math|term=c|SZ=}} bezeichnet{{ Zusatz/Fußnote |text=Von Hilbert stammt die etwas überraschende Aussage, die Kunst der Bezeichnung in der Mathematik besteht darin, unterschiedliche Sachen mit denselben Symbolen zu bezeichnen|ISZ=. |ESZ=. }} Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graph der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen. Solche Abbildungsvorschriften sind beispielsweise {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils von {{math|term=\R|SZ=}} nach {{math|term=\R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term=x \mapsto x^2|SZ=,}} {{mathl|term=x \mapsto x^3- e^x + {{op:sin(|x|}} |SZ=,}} etc. In den Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften sind {{Stichwort|empirische Funktionen|msw=Empirische Funktion|SZ=}} wichtig, die reale Bewegungen oder Entwicklungen beschreiben, doch auch bei solchen Funktionen erhebt sich die Frage, ob man diese auch mathematisch gut beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=approximieren| |ISZ=|ESZ= }} kann. {{:Abbildung/Darstellungsmöglichkeiten/Gallerie/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Injektive und surjektive Abbildungen}} {{ inputdefinition |Abbildung/Injektiv/Definition|| }} Bein Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} aus der Voraussetzung {{ Ma:Vergleichskette |F(x) ||F(x') || || || |SZ= }} erschließt, dass {{ Ma:Vergleichskette |x ||x' || || || |SZ= }} ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|x' || || || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette |F(x) |\neq|F(x') || || || |SZ= }} zu schließen. {{ inputdefinition |Abbildung/Surjektiv/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Abbildung/Fußballspiel/Torschütze/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Abbildung/Mutter von/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Abbildung/Quadrieren/Injektiv und surjektiv/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Abbildung/Quantoreneigenschaften/Lösungsinterpretation/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition|| }} Es gilt also {{ Ma:Vergleichskette/disp | (G \circ F)(x) | {{defeq}}| G(F(x)) || || || |SZ=, }} wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt {{ Zusatz/Klammer |text=und nach Möglichkeit vereinfacht| |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Fußnotenliste}} }} 272hxldi2voh8c0g2t3pq3ysyt64ysu 106 110337 778726 728313 2022-08-21T12:45:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|4| {{Motto| |Text=Proof is the end product of a long interaction between creative imagination and critical reasoning. Without proof the program remains incomplete, but without the imaginative input it never gets started |Autor=[[w:Michael Atiyah|Michael Atiyah]] }} {{Zwischenüberschrift|term=Verknüpfungen}} Die Rechenoperationen Addition und Multiplikation innerhalb der reellen Zahlen fassen wir als eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R \times \R |\R || |SZ= }} auf, d.h. es wird dem Paar {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x,y) |\in| \R \times \R || || || || |SZ= }} die reelle Zahl {{mathl|term=x+y|SZ=}} (bzw. {{mathlk|term=x\cdot y|SZ=}}) zugeordnet. Eine solche Abbildung heißt eine Verknüpfung. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Definition|| }} Der Definitionsbereich ist also die Produktmenge von {{math|term=M|SZ=}} mit sich selbst und der Wertebereich ist ebenfalls {{math|term=M|SZ=.}} Addition, Multiplikation und Subtraktion (auf {{math|term=\Z|SZ=,}} auf {{math|term=\Q|SZ=}} oder auf {{math|term=\R|SZ=}}) sind Verknüpfungen. Auf {{ mathkor|term1= \Q |und|term2= \R |SZ= }} ist die Division keine Verknüpfung, da sie nicht definiert ist, wenn die zweite Komponente gleich {{math|term=0|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=und schon gar nicht auf {{math|term=\Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Allerdings ist die Division eine Verknüpfung auf {{mathl|term= \R \setminus \{0\}|SZ=.}} In dieser Vorlesung werden wir die algebraischen Eigenschaften der Addition und der Multiplikation auf den reellen Zahlen im Begriff des {{Anführung|Körpers}} zusammenfassen. {{Zwischenüberschrift|term=Axiomatik}} {{:Axiomatik/Anwender/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Wir werden nun die Eigenschaften der reellen Zahlen in einem axiomatischen Rahmen besprechen. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Die algebraischen Axiome werden im Begriff des Körpers zusammengefasst. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei Elementen der gegebenen Menge {{math|term=M|SZ=,}} also beispielsweise zwei reellen Zahlen, ein weiteres Element der Menge zu, es handelt sich also um Verknüpfungen. Die folgende Definition nimmt nur auf zwei Verknüpfungen, Addition und Multiplikation, Bezug, Subtraktion und Division ergeben sich als abgeleitete Verknüpfungen. {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition|| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule bekannt. In einem Körper gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term=a \cdot b + c \cdot d|SZ=}} statt {{mathl|term=(a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} in einem Körper werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein. Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen, die wir in der nächsten Vorlesung kennenlernen werden. {{ inputfaktbeweis2 |Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt|Lemma|| |ref1=||Beweistext=Dies folgt aus der allgemeinen Eindeutigkeitsaussage für inverse Elemente in jeder Gruppe, siehe die letzte Vorlesung. }} Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=y|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a+y ||0 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |- (-a) || a || || || |SZ=, }} da wegen {{ Ma:Vergleichskette | a + (-a) || 0 || || || |SZ= }} das Element {{math|term=a|SZ=}} gleich dem eindeutig bestimmten Negativen von {{math|term=-a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term=b+(-a)|SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=z|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |az ||1 || || || |SZ= }} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Ma:Vergleichskette/disp |a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} || ab^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also eine Abkürzung für den rechten Ausdruck. Zu einem Körperelement {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} wird {{mathl|term=a^n|SZ=}} als das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term=a|SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} wird {{mathl|term=a^{-n}|SZ=}} als {{mathl|term=(a^{-1})^n|SZ=}} interpretiert. Ein {{Anführung|kurioser}} Körper wird im folgenden Beispiel beschrieben. Dieser Körper mit zwei Elementen ist in der Informatik und der Kodierungstheorie wichtig, wird für uns aber keine große Rolle spielen. Er zeigt, dass es nicht für jeden Körper sinnvoll ist, seine Elemente auf der Zahlengeraden zu verorten. {{ inputbeispiel |Körper/Zwei Elemente/Beispiel|| }} Die folgenden Eigenschaften sind für den Körper der reellen Zahlen vertraut, wir beweisen sie aber allein aus den Axiomen eines Körpers, sie gelten daher für einen beliebigen Körper. {{ inputfaktbeweis2 |Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Exkurs: Widerspruchsbeweise}} Soeben haben wir einen Widerspruchsbeweis durchgeführt, dieses Argumentationsschema wollen wir kurz anhand von typischen Beispielen erläutern. {{:Widerspruchsbeweis/Quadtarwurzel 2 und Euklid/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Der Binomische Lehrsatz}} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} Man setzt {{ Ma:Vergleichskette |0! ||1 || || || |SZ=. }} {{:Binomialkoeffizienten/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} Die folgende Formel bringt die Addition und die Multiplikation miteinander in Beziehung. {{ inputfaktbeweis |Körper/Binomi/Fakt|Satz|| |zusatz2=Fußnote }} {{ inputbemerkung |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Bemerkung|| }} {{ inputbild |A plus b au carre|svg| 200px {{!}} left {{!}} |epsname=A_plus_b_au_carre |Autor= |Benutzer=Alkarex |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Binomio al cubo|svg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Binomio_al_cubo |Autor=Drini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Fußnotenliste}} }} nmt1fcdawkf776tjdxpu7nzlfsg51as 106 110355 784492 728456 2022-08-22T06:18:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|22| {{ inputbeispiel |Obstsalat/Mineralien und Vitamine/Tabelle und Matrix/Lineares Gleichungssystem/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Matrizenkalkül}} Ein lineares Gleichungssystem lässt sich am einfachsten mit Matrizen schreiben. Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Variablen mitschleppen zu müssen. Matrizen {{ Zusatz/Klammer |text=und der zugehörige Kalkül| |ISZ=|ESZ= }} sind recht einfache Objekte; sie können aber ganz unterschiedliche mathematische Objekte beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=eine Familie von Spaltenvektoren, eine Familie von Zeilenvektoren, eine lineare Abbildung, eine Tabelle von Wechselwirkungen, ein Vektorfeld etc.| |ISZ=|ESZ=, }} die man stets im Hinterkopf haben sollte, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein. {{ inputdefinition |Matrizen/IxJ/nxm/Definition|| }} Wir beschränken uns weitgehend auf den durchnummerierten Fall. Zu jedem {{mathl|term=i \in I|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=i|SZ=-}}te {{Stichwort|Zeile|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als einen {{Stichwort|Zeilenvektor|SZ=}} {{ math/disp|term= (a_{i1}, a_{i2} {{kommadots|}} a_{in}) |SZ= }} schreibt. Zu jedem {{mathl|term=j \in J|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=j|SZ=-}}te {{Stichwort|Spalte|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als ein Spaltentupel {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_{1j}|a_{2j}|\vdots|a_{mj} }} |SZ= }} schreibt. Die Elemente {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißen die {{Stichwort|Einträge|msw=Eintrag|SZ=}} der Matrix. Zu {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißt {{math|term=i|SZ=}} der {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} und {{math|term=j|SZ=}} der {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} des Eintrags. Man findet den Eintrag {{mathl|term=a_{ij}|SZ=,}} indem man die {{math|term=i|SZ=-}}te Zeile mit der {{math|term=j|SZ=-}}ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} nennt man eine {{Stichwort|quadratische Matrix|SZ=.}} Eine {{mathl|term=m \times 1|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Spaltentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Spaltenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=m|SZ=,}} und eine {{mathl|term=1 \times n|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Zeilentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Zeilenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=n|SZ=.}} Die Menge aller Matrizen mit {{math|term=m|SZ=}} Zeilen und {{math|term=n|SZ=}} Spalten {{ Zusatz/Klammer |text=und mit Einträgen in {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:Mat|n|m|K}}|SZ=}} bezeichnet, bei {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} schreibt man {{mathl|term={{op:Matq|n|K}}|SZ=.}} Zwei Matrizen {{ Ma:Vergleichskette |A,B |\in| {{op:Mat|n|m|K}} || || || |SZ= }} werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Element {{mathl|term=r \in K|SZ=}} (einem {{Stichwort|Skalar}}) komponentenweise definiert, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrixmn|a}} + {{op:Matrixmn|b}} || \begin{pmatrix} a_{11 } +b_{11} & a_{1 2} +b_{12} & \ldots & a_{1 n } +b_{1n} \\ a_{21 } +b_{21} & a_{2 2} +b_{22} & \ldots & a_{2 n } +b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } +b_{m1} & a_{ m 2 } +b_{m2} & \ldots & a_{ m n } +b_{mn} \end{pmatrix} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | r {{op:Matrixmn|a}} || {{op:Matrixmn|ra}} || || || |SZ=. }} Die Matrizenmultiplikation wird folgendermaßen definiert. {{ inputdefinition |Matrizenmultiplikation/Definition|| }} Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merk{{latextrenn|}}regel kann man das Schema {{ Ma:Vergleichskette/disp | (Z E I L E) {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} ||(ZS+EP+IA+L^2+ET) || || || |SZ= }} verwenden, das Ergebnis ist eine {{math|term=1 \times 1|SZ=-}}Matrix. Insbesondere kann man eine {{mathl|term=m \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Spaltenvektor der Länge {{math|term=n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge {{math|term=m|SZ=.}} Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren {{ Zusatz/Klammer |text=was nicht immer möglich ist| |ISZ=|ESZ= }} und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} (Z E I L E) || {{Op:Matrix55|SZ|SE|SI|SL|SE|PZ|PE|PI|PL|PE|AZ|AE|AI|AL|AE|LZ|LE|LI|L^2|LE|TZ|TE|TI|TL|TE}} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Diagonalmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinition |Einheitsmatrix/Definition|| }} Die Einheitsmatrix {{math|term=E_n|SZ=}} besitzt die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | E_n M || M || M E_n || || || |SZ= }} für eine beliebige {{mathl|term=n\times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=M|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume}} {{ inputbild |Vector Addition|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Addition von zwei Pfeilen {{math|term=a|SZ=}} und {{math|term=b|SZ=,}} ein typisches Beispiel für Vektoren. |Autor= |Benutzer=Booyabazooka |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der zentrale Begriff der linearen Algebra ist der Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/Direkt/Definition||zusatz1=Fußnote }} Die Verknüpfung in {{math|term=V|SZ=}} nennt man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition und die Operation {{ Ma:abb |name= |K \times V|V || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=.}} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|SZ=,}} und die Elemente {{ Ma:Vergleichskette |r | \in |K || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|Skalare|SZ=.}} Das Nullelement {{ Ma:Vergleichskette | 0 |\in|V || || || |SZ= }} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} heißt das inverse Element das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term=v|SZ=}} und wird mit {{math|term=-v|SZ=}} bezeichnet. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC|}} || || || |SZ= }} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0|SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{ Ma:Vergleichskette |K^0 ||0 || || || |SZ= }} auffassen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term=K^n|SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|a_1|a_2| \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektor {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2| \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_i | {{defeq}} | {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term=1|SZ=}} an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term=i|SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel|opt1=als additive Struktur|zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Untervektorräume}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|| }} Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} sind der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} und der gesamte Vektorraum {{math|term=V|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man spricht daher auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=}} des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. {{ inputbeispiel |Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel|| }} An diesem Beispiel kann man sich Folgendes klar machen: Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems über {{math|term=K|SZ=}} ist {{Anführung|in natürlicher Weise|SZ=,}} d.h. unabhängig von jeder Auswahl, ein Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term=n|SZ=}} die Anzahl der Variablen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Der Lösungsraum kann auch stets in eine {{Anführung|lineare Bijektion}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Isomorphie|}} | |ISZ=|ESZ= }} mit einem {{mathl|term=K^{d}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |d |\leq|n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gebracht werden, doch gibt es dafür keine natürliche Wahl. Dies ist einer der Hauptgründe dafür, mit dem abstrakten Vektorraumbegriff zu arbeiten anstatt lediglich mit dem {{math|term=K^n|SZ=.}} {{Fußnotenliste}} }} 1dby25fi8gcw8vt3j0ep7gfowr3kc8i 785168 784492 2022-08-22T07:57:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|22| {{ inputbeispiel |Obstsalat/Mineralien und Vitamine/Tabelle und Matrix/Lineares Gleichungssystem/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Matrizenkalkül}} Ein lineares Gleichungssystem lässt sich am einfachsten mit Matrizen schreiben. Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Variablen mitschleppen zu müssen. Matrizen {{ Zusatz/Klammer |text=und der zugehörige Kalkül| |ISZ=|ESZ= }} sind recht einfache Objekte; sie können aber ganz unterschiedliche mathematische Objekte beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=eine Familie von Spaltenvektoren, eine Familie von Zeilenvektoren, eine lineare Abbildung, eine Tabelle von Wechselwirkungen, ein Vektorfeld etc.| |ISZ=|ESZ=, }} die man stets im Hinterkopf haben sollte, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein. {{ inputdefinition |Matrizen/IxJ/nxm/Definition|| }} Wir beschränken uns weitgehend auf den durchnummerierten Fall. Zu jedem {{mathl|term=i \in I|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=i|SZ=-}}te {{Stichwort|Zeile|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als einen {{Stichwort|Zeilenvektor|SZ=}} {{ math/disp|term= (a_{i1}, a_{i2} {{kommadots|}} a_{in}) |SZ= }} schreibt. Zu jedem {{mathl|term=j \in J|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=j|SZ=-}}te {{Stichwort|Spalte|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als ein Spaltentupel {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_{1j}|a_{2j}|\vdots|a_{mj} }} |SZ= }} schreibt. Die Elemente {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißen die {{Stichwort|Einträge|msw=Eintrag|SZ=}} der Matrix. Zu {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißt {{math|term=i|SZ=}} der {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} und {{math|term=j|SZ=}} der {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} des Eintrags. Man findet den Eintrag {{mathl|term=a_{ij}|SZ=,}} indem man die {{math|term=i|SZ=-}}te Zeile mit der {{math|term=j|SZ=-}}ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} nennt man eine {{Stichwort|quadratische Matrix|SZ=.}} Eine {{mathl|term=m \times 1|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Spaltentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Spaltenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=m|SZ=,}} und eine {{mathl|term=1 \times n|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Zeilentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Zeilenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=n|SZ=.}} Die Menge aller Matrizen mit {{math|term=m|SZ=}} Zeilen und {{math|term=n|SZ=}} Spalten {{ Zusatz/Klammer |text=und mit Einträgen in {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:Mat|n|m|K}}|SZ=}} bezeichnet, bei {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} schreibt man {{mathl|term={{op:Matq|n|K}}|SZ=.}} Zwei Matrizen {{ Ma:Vergleichskette |A,B |\in| {{op:Mat|n|m|K}} || || || |SZ= }} werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Element {{mathl|term=r \in K|SZ=}} (einem {{Stichwort|Skalar}}) komponentenweise definiert, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrixmn|a}} + {{op:Matrixmn|b}} || \begin{pmatrix} a_{11 } +b_{11} & a_{1 2} +b_{12} & \ldots & a_{1 n } +b_{1n} \\ a_{21 } +b_{21} & a_{2 2} +b_{22} & \ldots & a_{2 n } +b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } +b_{m1} & a_{ m 2 } +b_{m2} & \ldots & a_{ m n } +b_{mn} \end{pmatrix} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | r {{op:Matrixmn|a}} || {{op:Matrixmn|ra}} || || || |SZ=. }} Die Matrizenmultiplikation wird folgendermaßen definiert. {{ inputdefinition |Matrizenmultiplikation/Definition|| }} Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merk{{latextrenn|}}regel kann man das Schema {{ Ma:Vergleichskette/disp | (Z E I L E) {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} ||(ZS+EP+IA+L^2+ET) || || || |SZ= }} verwenden, das Ergebnis ist eine {{math|term=1 \times 1|SZ=-}}Matrix. Insbesondere kann man eine {{mathl|term=m \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Spaltenvektor der Länge {{math|term=n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge {{math|term=m|SZ=.}} Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren {{ Zusatz/Klammer |text=was nicht immer möglich ist| |ISZ=|ESZ= }} und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} (Z E I L E) || {{Op:Matrix55|SZ|SE|SI|SL|SE|PZ|PE|PI|PL|PE|AZ|AE|AI|AL|AE|LZ|LE|LI|L^2|LE|TZ|TE|TI|TL|TE}} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Diagonalmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinition |Einheitsmatrix/Definition|| }} Die Einheitsmatrix {{math|term=E_n|SZ=}} besitzt die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | E_n M || M || M E_n || || || |SZ= }} für eine beliebige {{mathl|term=n\times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=M|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume}} {{ inputbild |Vector Addition|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Addition von zwei Pfeilen {{math|term=a|SZ=}} und {{math|term=b|SZ=,}} ein typisches Beispiel für Vektoren. |Autor= |Benutzer=Booyabazooka |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der zentrale Begriff der linearen Algebra ist der Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/Direkt/Definition||zusatz1=Fußnote }} Die Verknüpfung in {{math|term=V|SZ=}} nennt man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition und die Operation {{ Ma:abb |name= |K \times V|V || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=.}} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|msw=Vektor|SZ=,}} und die Elemente {{ Ma:Vergleichskette |r | \in |K || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|Skalare|msw=Skalar|SZ=.}} Das Nullelement {{ Ma:Vergleichskette | 0 |\in|V || || || |SZ= }} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} heißt das inverse Element das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term=v|SZ=}} und wird mit {{math|term=-v|SZ=}} bezeichnet. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC|}} || || || |SZ= }} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0|SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{ Ma:Vergleichskette |K^0 ||0 || || || |SZ= }} auffassen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term=K^n|SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|a_1|a_2| \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektor {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2| \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_i | {{defeq}} | {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term=1|SZ=}} an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term=i|SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel|opt1=als additive Struktur|zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Untervektorräume}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|| }} Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} sind der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} und der gesamte Vektorraum {{math|term=V|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man spricht daher auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=}} des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. {{ inputbeispiel |Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel|| }} An diesem Beispiel kann man sich Folgendes klar machen: Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems über {{math|term=K|SZ=}} ist {{Anführung|in natürlicher Weise|SZ=,}} d.h. unabhängig von jeder Auswahl, ein Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term=n|SZ=}} die Anzahl der Variablen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Der Lösungsraum kann auch stets in eine {{Anführung|lineare Bijektion}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Isomorphie|}} | |ISZ=|ESZ= }} mit einem {{mathl|term=K^{d}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |d |\leq|n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gebracht werden, doch gibt es dafür keine natürliche Wahl. Dies ist einer der Hauptgründe dafür, mit dem abstrakten Vektorraumbegriff zu arbeiten anstatt lediglich mit dem {{math|term=K^n|SZ=.}} {{Fußnotenliste}} }} 9sa3w2n3rc4v1jh9e1egogn5zofqlw7 0 110964 780404 599812 2022-08-21T19:02:42Z Arbota 36910 Ersetzung; kosmetische Änderungen wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von {{math|term= 50|SZ=}} Cent begleichen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} '''Mögliche Lösungen''': 1. Lösung: 50 Mal 1 Cent 2. Lösung: 25 Mal 2 Cent 3. Lösung: 10 Mal 5 Cent 4. Lösung: 5 Mal 10 Cent 5. Lösung: 1 Mal 50 Cent Hinweis: Bei den angegebenen Lösungen wurden ausschließlich Münzen mit dem gleichen Wert genommen. Es können auch Teile der angegebenen Lösungen miteinander gemischt werden, wie z. B. 25 Mal 1 Cent + 5 Mal 5 Cent. Es ist nach der Anzahl aller Darstellungen, also insbesondere auch der gemischten gefragt. Deshalb ist die keine Lösung. 9ahqj2bc9ocdf4fuivyg2q60cogwgiz 0 111009 785129 758490 2022-08-22T07:51:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || {{Mengebed|F \in K[X]| F(0) {{=|}} F(1) }} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Unterring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= K[X]|SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || {{Mengebed|X(X-1)P+a| P \in K[X]|a \in K}} || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Unterringe |Kategorie2=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gqka8nnzljmez48i4x2u1o9lzfnpqf5 0 111253 782237 600833 2022-08-22T00:08:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine leere Flasche stand über Nacht draußen und es hat dann angefangen zu regnen. Am Morgen steht in der Flasche Wasser in einer Höhe von {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} cm. Die Flaschenöffnung hat einen {{ Zusatz/Klammer |text=inneren| |ISZ=|ESZ= }} Durchmesser von {{math|term= 2|SZ=}} cm und die Flasche hat einen Durchmesser von {{math|term= 6|SZ=}} cm. Wie viel Regen fiel in der Nacht {{ Zusatz/Klammer |text=gemessen in Zentimetern| |ISZ=|ESZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Kreisgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rtq31iuihlwx6jw6l4fjk2zdga9glrb 0 111255 778872 763093 2022-08-21T14:59:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= H|SZ=}} die Menge aller {{ Zusatz/Klammer |text=lebenden oder verstorbenen| |ISZ=|ESZ= }} Menschen. Wir untersuchen die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |H|H || |SZ=, }} die jedem Menschen seine {{ Zusatz/Klammer |text=biologische| |ISZ=|ESZ= }} Mutter zuordnet. Dies ist eine wohldefinierte Abbildung, da jeder Mensch eine eindeutig bestimmte Mutter besitzt. Diese Abbildung ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da es ja verschiedene Menschen {{ Zusatz/Klammer |text=Geschwister| |ISZ=|ESZ= }} gibt, die die gleiche Mutter haben. Sie ist auch nicht {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da nicht jeder Mensch Mutter von jemandem ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 928c09e4ne56lpf08z605sv8dybqsfb 0 111256 778870 601460 2022-08-21T14:58:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten zu einem Fußballspiel die Abbildung, die jedem Tor, das die Mannschaft {{math|term= A|SZ=}} erzielt hat, den zugehörigen Torschützen zuordnet. Es gebe keine Eigentore und keine Auswechslungen, die Tore von {{math|term= A|SZ=}} werden mit {{mathl|term= 1,2, \ldots, n|SZ=}} durchnummeriert. Dann liegt eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi | {{Menge1n|}} | A {{=}} \{ \text{Spieler } 1, \,\text{Spieler } 2 {{kommadots|}} \text{Spieler } 11 \} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | \psi(i) || \text{ derjenige Spieler, der das } i\text{-te Tor geschossen hat} || || || |SZ=. }} Die Injektivität von {{math|term= \psi|SZ=}} bedeutet, dass jeder Spieler höchstens ein Tor geschossen hat, und die Surjektivität bedeutet, dass jeder Spieler mindestens ein Tor geschossen hat. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2zew9b9vbpofgx1e2x4mab24rvo4ih4 0 111259 779054 646354 2022-08-21T15:28:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |4Geraden6Schnittpunkte|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne=CC-by-sa 4.0 |Lizenz= |Bemerkung= }} Wir betrachten in der Ebene {{math|term= E|SZ=}} eine Konfiguration von {{math|term= n|SZ=}} Geraden und fragen uns, was die maximale Anzahl an Schnittpunkten ist, die eine solche Konfiguration haben kann. Dabei ist es egal, ob wir uns die Ebene als einen {{math|term= \R^2|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine kartesische Ebene mit Koordinaten| |ISZ=|ESZ= }} oder einfach elementargeometrisch vorstellen, wichtig ist im Moment allein, dass sich zwei Geraden in genau einem Punkt schneiden können oder aber parallel sein können. Wenn {{math|term= n|SZ=}} klein ist, so findet man relativ schnell die Antwort. {{Wertetabelle7|text1= {{math|term= n|SZ=}} |text2= {{math|term= S(n)|SZ=}} |0|1|2|3|4|5|n|0|0|1|3|6|?|?}} Doch schon bei etwas größerem {{math|term= n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |n ||5,10, \ldots || || || |SZ= }}| |ISZ=?|ESZ= }} kann man ins Grübeln kommen, da man sich die Situation irgendwann nicht mehr präzise vorstellen kann. Aus einer präzisen Vorstellung wird eine Vorstellung von vielen Geraden mit vielen Schnittpunkten, woraus man aber keine exakte Anzahl der Schnittpunkte ablesen kann. Ein sinnvoller Ansatz zum Verständnis des Problems ist es, sich zu fragen, was eigentlich passiert, wenn eine neue Gerade hinzukommt, wenn also aus {{math|term= n|SZ=}} Geraden {{math|term= n+1|SZ=}} Geraden werden. Angenommen, man weiß aus irgendeinem Grund, was die maximale Anzahl der Schnittpunkte bei {{math|term= n|SZ=}} Geraden ist, im besten Fall hat man dafür eine Formel. Wenn man dann versteht, wie viele neue Schnittpunkte maximal bei der Hinzunahme von einer neuen Geraden hinzukommen, so weiß man, wie die Anzahl der maximalen Schnittpunkte von {{mathl|term= n+1|SZ=}} Geraden lautet. Dieser Übergang ist in der Tat einfach zu verstehen. Die neue Gerade kann höchstens jede der {{math|term= n|SZ=}} alten Geraden in genau einem Punkt schneiden, deshalb kommen höchstens {{math|term= n|SZ=}} neue Schnittpunkte hinzu. Wenn man die neue Gerade so wählt, dass sie zu keiner der gegebenen Geraden parallel ist {{ Zusatz/Klammer |text=was möglich ist, da es unendlich viele Richtungen gibt| |ISZ=|ESZ= }} und ferner so wählt, dass die neuen Schnittpunkte von den schon gegebenen Schnittpunkten der Konfiguration verschieden sind {{ Zusatz/Klammer |text=was man erreichen kann, indem man die neue Gerade parallel verschiebt, um den alten Schnittpunkten auszuweichen| |ISZ=|ESZ=, }} so erhält man genau {{math|term= n|SZ=}} neue Schnittpunkte. Von daher ergibt sich die {{ Zusatz/Klammer |text=vorläufige| |ISZ=|ESZ= }} Formel {{ Ma:Vergleichskette/disp |S(n+1) || 1+2+3 {{plusdots|}} n-2 + n-1 +n || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp |S(n) || 1+2+3 {{plusdots|}} n-3 + n-2 + n-1 || || || |SZ=, }} also einfach die Summe der ersten {{math|term= n-1|SZ=}} natürlichen Zahlen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Theorie der ebenen Geradenkonfigurationen |Kategorie3=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 76rk7wrpr7ejigp35uej6g2xav346az 0 111264 779534 699193 2022-08-21T16:44:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten für die Summe der ersten {{math|term= n|SZ=}} Zahlen, die die maximale Anzahl der Schnittpunkte in einer Konfiguration aus {{math|term= n-1|SZ=}} Geraden angibt, eine einfachere Formel angeben. Und zwar behaupten wir, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=}} 1}^n k || {{op:Bruch|n(n+1)|2}} || || || |SZ=. }} Für kleinere Zahlen {{math|term= n|SZ=}} stimmt dies aus dem einfachen Grund, dass links und rechts dasselbe herauskommt. Um die Gleichung allgemein zu beweisen, überlegen wir uns, was links und was rechts passiert, wenn wir das {{math|term= n|SZ=}} um {{math|term= 1|SZ=}} erhöhen, so wie wir zuvor die Geradenkonfiguration um eine zusätzliche Gerade verkompliziert haben. Auf der linken Seite kommt einfach der zusätzliche Summand {{math|term= n+1|SZ=}} hinzu. Auf der rechten Seite haben wir den Übergang von {{mathl|term= {{op:Bruch|n(n+1)|2}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{op:Bruch|(n+1)(n+1+1)|2}} |SZ=.}} Wenn wir zeigen können, dass die Differenz zwischen diesen beiden Brüchen ebenfalls {{mathl|term= n+1|SZ=}} ist, so verhält sich die rechte Seite genauso wie die linke Seite. Dann kann man so schließen: die Gleichung gilt für die kleinen {{math|term= n|SZ=,}} etwa für {{ Ma:Vergleichskette |n ||1 || || || |SZ=. }} Durch den Differenzenvergleich gilt es auch für das nächste {{math|term= n|SZ=,}} also für {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ=, }} durch den Differenzenvergleich gilt es für das nächste {{math|term= n|SZ=,}} u.s.w. Da dieses Argument immer funktioniert, und da man jede natürliche Zahl irgendwann durch sukzessives Nachfolgernehmen erreicht, gilt die Formel für jede natürliche Zahl. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} in1m7p492cfxvzqpep2p4ywdumfiarf 0 111331 778753 601158 2022-08-21T12:49:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Man kann aus verschiedenen Aussagen neue Aussagen bilden. Aus der Aussage {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen}} kann man die {{Stichwort|negierte Aussage|SZ=}} {{Beispielsatz|Ich fresse {{Betonung|nicht|}} einen Besen{{ Zusatz/Fußnote |text=Die sicherste Art, zur {{Stichwort|Negation|SZ=}} zu kommen, ist eine Konstruktion wie {{Anführung|es ist nicht der Fall, dass ...|}} zu verwenden. Dies ist insbesondere beim anderen Beispielsatz zu bedenken, die Aussage {{Anführung|Marsmenschen sind nicht grün}} kann man so verstehen, dass alle Marsmenschen nicht-grün sind, oder, dass eben nicht alle Marsmenschen grün sind, es also Ausnahmen gibt. Siehe auch den Abschnitt über Quantoren weiter unten| |ISZ=. }} }} machen, und aus den beiden Aussagen {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün}} und {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen}} kann man beispielsweise die folgenden neuen Aussagen basteln. {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün {{Betonung|und}} ich fresse einen Besen}} {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün {{Betonung|oder}} ich fresse keinen Besen}} {{Beispielsatz|{{Betonung|Wenn}} Marsmenschen grün sind, {{Betonung|dann}} fresse ich einen Besen}} {{Beispielsatz|Wenn nicht gilt, dass Marsmenschen grün sind, dann fresse ich einen Besen}} {{Beispielsatz|Wenn Marsmenschen grün sind, dann fresse ich keinen Besen}} {{Beispielsatz|Wenn nicht gilt, dass Marsmenschen grün sind, dann fresse ich keinen Besen}} {{Beispielsatz|Marsmenschen sind {{Betonung|genau dann}} grün, {{Betonung|wenn}} ich einen Besen fresse}} Hierbei werden die einzelnen Aussagen für sich genommen nicht verändert {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf gewisse grammatische Anpassungen| |SZ=, }} sondern lediglich in einen logischen Zusammenhang zueinander gebracht. Eine solche logische Verknüpfung ist dadurch gekennzeichnet, dass sich ihr Wahrheitsgehalt allein aus den Wahrheitsgehalten der beteiligten Aussagen und der Bedeutung der {{Stichwort/-|grammatischen Konjunktionen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aussagenlogisch spricht man von {{Stichwort|Junktoren|msw=Junktor|SZ=}}| |SZ= }} ergibt und keine weitere Information dafür erforderlich ist. Die Aussage {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün und ich fresse keinen Besen}} ist beispielsweise genau dann wahr, wenn sowohl Marsmenschen grün sind und ich keinen Besen fresse. Das ist jedenfalls die Bedeutung der logischen {{Stichwort/anf|und|SZ=-}}Verknüpfung. Eine inhaltliche Beziehung zwischen den beiden Teilaussagen ist nicht nötig. Betrachten wir zum Vergleich eine Aussage wie {{Beispielsatz|Die grünen Marsmenschen fressen Besen}} Hier entsteht eine völlig neue Aussage, die lediglich einzelne Vokabeln oder Prädikate der vorgegebenen Aussagen verwendet, ihr Wahrheitsgehalt lässt sich aber keineswegs aus den Wahrheitsgehalten der vorgegebenen Aussagen erschließen. Eine logische Verknüpfung von Aussagen liegt vor, wenn sich der Wahrheitsgehalt der Gesamtaussage aus den Wahrheitsgehalten der Teilaussagen ergibt. Die beteiligten Verknüpfungen legen dabei fest, wie sich die Wahrheitswerte der Gesamtaussage bestimmen lassen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hq04pbmfez7trjoos427g86z0ftyzyh 0 111332 784451 772686 2022-08-22T06:13:04Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Um sich die Abhängigkeiten von zusammengesetzten Aussagen allein von den einzelnen Wahrheitsgehalten der beteiligten Teilaussagen und den Junktoren, nicht aber von den konkreten Aussagen und ihren Bedeutungen klarer zu machen, ist es sinnvoll, mit {{Stichwort|Aussagenvariablen|msw=Aussagenvariable|SZ=}} zu arbeiten und die Junktoren durch Symbole zu repräsentieren. Für Aussagen schreiben wir jetzt {{ math/disp|term= p,q, \ldots |SZ=, }} und wir interessieren und also nicht für den Gehalt von {{math|term= p|SZ=,}} sondern lediglich für die möglichen Wahrheitswerte {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Belegungen|msw=Belegung|SZ=}} | |SZ= }} von {{math|term= p|SZ=,}} die wir mit {{math|term= w|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= wahr| |SZ= }} oder {{math|term= f|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falsch| |SZ= }} bezeichnen {{ Zusatz/Klammer |text=gelegentlich verwendet man auch die Wahrheitswerte {{ mathkor/k|term1= 1 |und|term2= 0 |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Bei der {{Stichwort|Negation|SZ=}} werden einfach die Wahrheitswerte vertauscht, was man mit einer einfachen {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} ausdrückt: {{Wahrheitstabelle/1|Negation|\neg p |f|w}} Bei einer konkreten Aussage gibt es in der Regel mehrere sprachliche Möglichkeiten, die Negation zu formulieren. Um die Aussage {{Anführung|ich fresse einen Besen}} zu negieren, ist es egal, ob man sagt: {{Beispielsatz|Ich fresse nicht einen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ich fresse keinen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es ist nicht der Fall, dass ich einen Besen fresse|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es trifft nicht zu, dass ich einen Besen fresse|SZ=.}} Die Negation wirkt auf eine einzelne Aussage, man spricht von einem {{Stichwort|einstelligen Operator|msw=Einstelliger Operator|SZ=.}} Kommen wir nun zu {{Stichwort|mehrstelligen Operatoren|msw=Mehrstelliger Operator|SZ=,}} die von mindestens zwei Aussagen abhängen. Bei der Verknüpfung von zwei Aussagen gibt es insgesamt vier mögliche Kombinationen der Wahrheitswerte, so dass jede logische Verknüpfung dadurch festgelegt ist, wie sie diesen vier Kombinationen einen Wahrheitswert zuordnet. Daher gibt es insgesamt {{math|term= 16|SZ=}} logische Verknüpfungen, die wichtigsten sind die folgenden vier. Die {{Stichwort|Konjunktion|SZ=}} ist die {{Stichwort|Und-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind; sie ist also falsch, sobald nur eine der beteiligten Aussagen falsch ist. Die {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} der Konjunktion sieht so aus. {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion|p {{logund|}} q|w|f|f|f}} Die {{Stichwort|Disjunktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Alternation|SZ=}}| |SZ= }} ist die einschließende {{Stichwort|Oder-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist wahr sobald mindestens eine der Teilaussagen wahr ist, und insbesondere auch dann wahr, wenn beide Aussagen zugleich wahr sind. Sie ist nur in dem einzigen Fall falsch, dass beide Teilaussagen falsch sind. Offensichtlich sind bei einer Konjunktion und einer Disjunktion die beteiligten Teilaussagen gleichberechtigt. {{Wahrheitstabelle/2/1|Disjunktion|p {{logoder|}} q |w|w|w|f}} Die {{Stichwort|Implikation|SZ=}} ist die in der Mathematik wichtigste Verknüpfung. Mathematische Sätze haben fast immer die Gestalt einer {{ Zusatz/Klammer |text=verschachtelten| |SZ= }} Implikation. Beispiele sind {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Ist beschränkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{Beispielsatz|Wenn ein Polynom den Grad {{math|term= d|SZ=}} besitzt, dann hat es höchstens {{math|term= d|SZ=}} Nullstellen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Wenn eine Folge konvergiert, dann ist sie beschränkt|SZ=.}} Der logische Gehalt einer Implikation ist, dass aus der Gültigkeit einer {{Stichwort|Voraussetzung|SZ=}} die Gültigkeit einer {{Stichwort|Konklusion|SZ=}} folgt{{ Zusatz/Fußnote |text=Genauer gesagt haben mathematische Sätze fast immer die Gestalt {{math|term= p_1 {{logund|}} p_2 {{logunddots|}} p_n \rightarrow q |SZ=.}}| |ESZ=. }} Sie wird meistens durch {{Anführung|Wenn {{math|term= p|SZ=}} wahr ist, dann ist auch {{math|term= q|SZ=}} wahr}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder kurz: Wenn {{math|term= p|SZ=,}} dann {{math|term= q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ausgedrückt. Ihre Wahrheitsbedingung ist daher, dass wenn {{math|term= p|SZ=}} mit wahr belegt ist, dann muss auch {{math|term= q|SZ=}} mit wahr belegt sein. Dies ist erfüllt, wenn {{math|term= p|SZ=}} falsch ist oder wenn {{math|term= q|SZ=}} wahr ist{{ Zusatz/Fußnote |text=An die Wahrheitsbelegung einer Implikation für den Fall, wo der Vordersatz falsch ist, muss man sich etwas gewöhnen. Der Punkt ist, dass wenn man eine Implikation {{math|term= p \rightarrow q|SZ=}} beweist, dass man dann {{math|term= p|SZ=}} als wahr annimmt und davon ausgehend zeigen muss, dass auch {{math|term= q|SZ=}} wahr ist. Der Fall, dass {{math|term= p|SZ=}} falsch ist, kommt also in einem Implikationsbeweis gar nicht explizit vor. In diesem Fall gilt die Implikation, obwohl sie keine {{Anführung|Schlusskraft}} besitzt. Nehmen wir als Beispiel die mathematische Aussage, dass wenn eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} durch vier teilbar ist, sie dann gerade ist. Dies ist eine wahre Aussage für alle natürlichen Zahlen, sie gilt insbesondere auch für alle Zahlen, die {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} durch vier teilbar sind. Es gibt auch jeweils für alle drei Wahrheitsbelegungen, die eine Implikation wahr machen, Beispiele von natürlichen Zahlen, die genau diese Wahrheitsbelegung repräsentieren, nicht aber für die vierte| |ISZ=. |ESZ=. }} Ihre Wahrheitstabelle ist daher {{Wahrheitstabelle/2/1|Implikation|p \rightarrow q|w|f|w|w}} Bei einer Implikation sind die beiden beteiligten Teilaussagen nicht gleichberechtigt, die Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} sind verschiedene Aussagen. Eine Implikation hat also eine {{Stichwort/anf|Richtung|SZ=}}{{ Zusatz/Fußnote |text=Bei einer Implikation {{math|term= p \rightarrow q|SZ=}} sagt man auch, dass {{math|term= p|SZ=}} eine {{Stichwort|hinreichende Bedingung|SZ=}} für {{math|term= q|SZ=}} und dass {{math|term= q|SZ=}} eine {{Stichwort|notwendige Bedingung|SZ=}} für {{math|term= p|SZ=}} ist. Siehe dazu auch die Wahrheitstabelle zur Kontraposition weiter unten.| |ESZ=. }} Im allgemeinen Gebrauch und auch in der Mathematik werden Implikationen zumeist dann verwendet, wenn der Vordersatz der {{Anführung|Grund|}} für die Konklusion ist, wenn die Implikation also einen kausalen Zusammenhang ausdrückt. Diese Interpretation spielt aber im aussagenlogischen Kontext keine Rolle. Wenn die beiden Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} zugleich gelten, so wird das durch {{Anführung|genau dann ist {{math|term= p|SZ=}} wahr, wenn {{math|term= q|SZ=}} wahr ist}} ausgedrückt. Man spricht von einer {{Stichwort|Äquivalenz|SZ=}} der beiden Aussagen, die Wahrheitstabelle ist {{Wahrheitstabelle/2/1|Äquivalenz|p \leftrightarrow q|w|f|f|w}} Beispiele für eine mathematische Äquivalenzaussage sind: {{Beispielsatz|Eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} ist genau dann gerade, wenn sie im Zehnersystem auf {{mathl|term= 0,2,4,6|SZ=}} oder {{math|term= 8|SZ=}} endet|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn es eine Seite gibt, deren Quadrat gleich der Summe der beiden anderen Seitenquadrate ist|SZ=.}} Die Hinrichtung im zweiten Beispielsatz ist dabei der Satz des Pythagoras, die Rückrichtung gilt aber auch. Achtung: In gewissen Kontexten werden Äquivalenzen als Implikationen formuliert. Dies gilt beispielsweise für Belohnungen, Bestrafungen und auch in mathematische Definitionen. Wenn man sagt: {{Anführung|wenn du heute brav bist, dann gehen wir morgen in den Zoo|SZ=,}} so meint man in aller Regel, dass man auch nur dann in den Zoo geht, wenn man brav ist. Mathematische Definitionen wie {{Anführung|eine Zahl heißt gerade, wenn sie ein Vielfaches der {{math|term= 2|SZ=}} ist|SZ=,}} sind als genau dann, wenn zu verstehen. Unter Verwendung der Negation kann man jede logische Verknüpfung durch die angeführten Verknüpfungen ausdrücken, wobei man noch nicht mal alle braucht. Z.B. kann man die Konjunktion {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Implikation und die Äquivalenz| |SZ= }} auf die Disjunktion zurückführen, die Wahrheitstabelle{{ Zusatz/Fußnote |text=Im Folgenden verwenden wir, um Klammern zu sparen, die Konvention, dass die Negation stärker bindet als alle mehrstelligen Junktoren, und dass die Konjunktion stärker bindet als die anderen zweistelligen Junktoren.| |SZ= }} {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion als Disjunktion|\neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |w|f|f|f}} zeigt nämlich, dass die Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= \neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q)|SZ=}} mit der Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= p {{logund|}} q|SZ=}} übereinstimmt. Daher sind die beiden Ausdrücke logisch gleichwertig. Bei einem solchen nur leicht verschachtelten Ausdruck kann man die Wahrheitswerte noch einfach berechnen und damit die Wahrheitsgleichheit mit der Konjunktion feststellen. Bei komplizierteren {{ Zusatz/Klammer |text=tiefer verschachtelten| |SZ= }} Ausdrücken ist es sinnvoll, abhängig von den Belegungen der beteiligten Aussagenvariablen die Wahrheitswerte der Zwischenausdrücke zu berechnen. Im angegebenen Beispiel würde dies zur Tabelle {{Wahrheitstabelle/2/4|Konjunktion als Disjunktion|\neg p | f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg p {{logoder|}} \neg q |f|w|w|w| \neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |w|f|f|f}} führen. Natürlich kann man statt zwei auch beliebig viele Aussagenvariablen verwenden und daraus mit den Verknüpfungen neue Aussagen konstruieren. Die Wahrheitsbelegung der zusammengesetzten Aussagen lassen sich dann ebenfalls in entsprechend größeren Wahrheitstabellen darstellen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kczm7pxzsktifyggkzrmmxas9f41h38 0 111333 778741 772684 2022-08-21T12:47:50Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Bei Einzelaussagen und zusammengesetzten Aussagen ist jeder Wahrheitswert erlaubt, und die Wahrheitswerte bei den verknüpften Aussagen ergeben sich aus den Einzelbelegungen über die Wahrheitsregeln, die die Junktoren auszeichnen. Abhängig von den Belegungen können somit alle Aussagen wahr oder falsch sein. Besonders interessant sind aber solche Aussagen, die unabhängig von den Einzelbelegungen stets wahr sind. Solche Aussagen nennt man {{Stichwort|Tautologien|msw=Tautologie|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|allgemeingültig|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Sie sind für die Mathematik vor allem deshalb wichtig, weil sie erlaubten Schlussweisen entsprechen, wie sie in Beweisen häufig vorkommen. Wenn man beispielsweise schon die beiden Aussagen {{ mathkor|term1= p |und|term2= p \rightarrow q |SZ= }} bewiesen hat, wobei hier {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} für konkrete Aussagen stehen, so kann man daraus auf die Gültigkeit von {{math|term= q|SZ=}} schließen. Die zugrunde liegende aussagenlogische Tautologie ist {{ math/disp|term= (p {{logund}} ( p \rightarrow q)) \rightarrow q |SZ=. }} Wie gesagt, eine Tautologie ist durch den konstanten Wahrheitswert wahr gekennzeichnet. Der Nachweis, dass eine gegebene Aussage eine Tautologie ist, verläuft am einfachsten über eine Wahrheitstabelle. {{Wahrheitstabelle/2/3|{{Stichwort|Ableitungsregel|SZ=}}&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Modus ponens|SZ=}}| |SZ= }}| p \rightarrow q | w|f|w|w|p {{logund}} ( p \rightarrow q) |w|f|f|f| (p {{logund}} ( p \rightarrow q)) \rightarrow q | w|w|w|w}} {{Wahrheitstabelle/1/3|Doppelnegation| \neg p |f|w | \neg (\neg p) |w|f| p \leftrightarrow \neg ( \neg p) | w|w}} {{Wahrheitstabelle/1/2|Tertium non datur| \neg p |f|w | p {{logoder|}} \neg p |w|w|}} Die Regel {{Stichwort|Tertium non datur|SZ=}} geht auf Aristoteles zurück und besagt, dass eine Aussage {{ Zusatz/Klammer |text=entweder| |SZ= }} wahr oder falsch ist und es keine dritte Möglichkeit gibt. Die obige Regel drückt formal gesehen nur aus, dass mindestens ein Wahrheitswert gelten muss, die Regel davor sagt, dass {{math|term= p|SZ=}} wahr zugleich {{math|term= \neg p|SZ=}} wahr ausschließt, was man auch den {{Stichwort|Satz vom Widerspruch|SZ=}} nennt {{ Zusatz/Klammer |text=zusammenfassend spricht man auch vom {{Stichwort|Bivalenzprinzip|SZ=}} | |SZ=. }} Die Gültigkeit dieser Regeln ist bei vielen umgangssprachlichen Aussagen fragwürdig, im Rahmen der Aussagenlogik und der Mathematik haben sie aber uneingeschränkt Gültigkeit, was wiederum damit zusammenhängt, dass in diesen Gebieten nur solche Aussagen erlaubt sind, denen ein eindeutiger Wahrheitswert zukommt. Als Beweisprinzip schlägt sich dieses logische Prinzip als {{Stichwort|Beweis durch Fallunterscheidung|SZ=}} nieder, wobei die folgende Tautologie dieses Beweisprinzip noch deutlicher ausdrückt. {{Wahrheitstabelle/2/5|Fallunterscheidung| p \rightarrow q | w|f|w|w| \neg p |f|f|w|w| \neg p \rightarrow q | w|w|w|f |((p \rightarrow q) {{logund}} ( \neg p \rightarrow q)) | w|f|w|f | ((p \rightarrow q) {{logund}} ( \neg p \rightarrow q)) \rightarrow q | w|w|w|w }} Bei der Fallunterscheidung will man {{math|term= q|SZ=}} beweisen, und man beweist es dann einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 1| |SZ= }} unter der zusätzlichen Annahme {{math|term= p|SZ=}} und andererseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 2| |SZ= }} unter der zusätzlichen Annahme {{math|term= \neg p|SZ=.}} Man muss dabei zweimal was machen, der Vorteil ist aber, dass die zusätzlichen Annahmen zusätzliche Methoden und Techniken erlauben. Die {{Stichwort|Kontraposition|SZ=}} wird häufig in Beweisen verwendet, ohne dass dies immer explizit gemacht wird. In einem Beweis nimmt man einen pragmatischen Standpunkt ein, und manchmal ist es einfacher, von {{math|term= \neg q|SZ=}} nach {{math|term= \neg p|SZ=}} zu gelangen als von {{math|term= p|SZ=}} nach {{math|term= q|SZ=.}} {{Wahrheitstabelle/2/5|Kontraposition| p \rightarrow q | w|f|w|w| \neg p |f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg q \rightarrow \neg p | w|f|w|w | (p \rightarrow q) \leftrightarrow ( \neg q \rightarrow \neg p) | w|w|w|w }} Die {{Stichwort|Widerspruchsregel|SZ=}} ist auch ein häufiges Argumentationsmuster. Man zeigt, dass aus einer Aussage {{math|term= p|SZ=}} ein Widerspruch, oft von der Form {{mathl|term= q {{logund|}} \neg q |SZ=,}} folgt, und schließt daraus, dass {{math|term= p|SZ=}} nicht gelten kann, also {{math|term= \neg p|SZ=}} gelten muss. {{Wahrheitstabelle/2/5|Widerspruchsregel| p \rightarrow q | w|f|w|w| p \rightarrow \neg q |f|w|w|w| (p \rightarrow q) {{logund|}} (p \rightarrow \neg q) | f|f|w|w | \neg p |f|f|w|w| (p \rightarrow q) {{logund|}} (p \rightarrow \neg q) \rightarrow \neg p | w|w|w|w }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 6eanccxb37rz0d7qe86f5uw8y8i6ayf 0 111391 780934 601596 2022-08-21T20:31:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Creative-Tail-Halloween-zombie-1|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=So stellt sich unser Künstler einen gutgelaunten Zombie vor. |Autor=Creative Tail |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=Creativetail licensing |Bemerkung= }} Wir betrachten folgendes Zitat von Sven Walter aus dem Artikel {{Anführung|Zombies, Dualismus und Physikalismus}} {{ Zusatz/Klammer |text=Zeitschrift für philosophische Forschung, Bd. 65, H. 2 (2011), pp. 241-254, https://www.jstor.org/stable/pdf/41346224.pdf| |ISZ=|ESZ=. }} {{Zitat| ({{math|term= P_1|SZ=}}) Zombies sind vorstellbar. ({{math|term= P_2|SZ=}}) Wenn Zombies vorstellbar sind, dann sind Zombies möglich. ({{math|term= P_3|SZ=}}) Wenn Zombies möglich sind, dann ist der Physikalismus falsch. Also: Der Physikalismus ist falsch.|}} Formalisiere{{n Sie}} die hier verwendete aussagenlogische Schlussweise und zeige{{n Sie}} mit Hilfe von Wahrheitstabellen, dass sie eine Tautologie ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a8zcw7a0k1es3kp4z0ptn0vuicgrzfv 0 111404 785800 662234 2022-08-22T09:39:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es bedeute {{mathl|term= F(x,y)|SZ=,}} dass {{math|term= x|SZ=}} ein Freund von {{math|term= y|SZ=}} ist. Wir betrachten den Satz {{Anführung|Alle Freunde von Paula {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= P|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} sind auch Freunde von Susanna {{ Zusatz/Klammer |text={{mathl|term= S|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }}}} Beantworte{{n Sie}} für jede der folgenden Formalisierungen, was sie umgangssprachlich bedeuten, ob sie wahr sind {{ Zusatz/Klammer |text=hier gibt es einen gewissen Interpretationsspielraum| |ISZ=|ESZ= }} und ob sie den angegebenen Sachverhalt ausdrücken {{ Zusatz/Klammer |text=die Quantoren beziehen sich dabei auf die Menge der Menschen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung12 |{{ math/disp|term= \forall x \exists y F(x,y) |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \forall x F(P,x) \rightarrow \forall x F(S,x) |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \forall x \forall y {{makl| F(x,y) \rightarrow F(y,x) }} |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \forall x \forall y {{makl| F(x,y) \rightarrow F(x,y) }} |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \exists x \forall y F(x,y) |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \forall x {{makl| F(P,x) \rightarrow F(x,S) }} |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \forall x {{makl| \forall y {{makl| F(x,y) \rightarrow \forall z F(x,z) }} |}} |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \forall x F(x,P) \rightarrow \forall x F(x,S) |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \forall x {{makl| F(x,P) \rightarrow F(x,S) }} |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \forall x {{makl| \forall y F(x,y) \rightarrow F(x,x) }} |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \forall x F(x,x) |SZ=, }} |{{ math/disp|term= \exist x \forall y {{makl| \neg F(x,y) }} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rv34ly1lxorfkybgf2msh64mrtp6mwl 0 111423 781209 755249 2022-08-21T21:16:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Collatz-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Startwert {{mathl|term= 100|SZ=}} im Kopf, bis der Wert {{math|term= 1|SZ=}} erreicht ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Collatz-Problem |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 86inleshh88jigfch7tsjwydmt4ex54 0 111426 781203 755246 2022-08-21T21:15:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Glieder {{mathl|term= a_0,a_1,a_2 {{kommadots|}} a_{10} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Collatz-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Startwert {{ Ma:Vergleichskette |a_0 ||152 || || || |SZ=. }} |Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= \sum_{i = 1}^{8} a_i |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Collatz-Problem |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 (1+1) |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 20ec7t7cfvzfrgykh3a585whpc0w6yb 0 111498 783861 757489 2022-08-22T04:39:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorbündel| |Kontext=topologisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || {{Mengebed|(r,s,t,u,v,w)|ru+sv+tw {{=}} 0|(r,s,t) \neq (0,0,0) }} |\subseteq| \R^3 \setminus \{0,0,0\} \times \R^3 |\longrightarrow| \R^3 \setminus \{0,0,0\} || |SZ= }} lineare Trivialisierungen oberhalb von {{mathl|term= D(r)|SZ=,}} {{mathl|term= D(s)|SZ=}} und {{mathl|term= D(t)|SZ=,}} also von {{math|term= r,s,t|SZ=}} abhängige Basen oberhalb von {{math|term= D(r)|SZ=}} u.s.w. Bestimme{{n Sie}} die Basiswechselabbildungen auf {{ Ma:Vergleichskette |D(rs) || D(r) \cap D(s) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ahpoogy6s4c284z3ifaidr2m3so23qd 0 111562 783860 757487 2022-08-22T04:39:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorbündel| |Kontext=topologisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || {{Mengebed|(r,s,t,u,v,w)|ru+sv+tw {{=}} 0|(r,s,t) \neq (0,0,0) }} |\subseteq| \R^3 \setminus \{0,0,0\} \times \R^3 |\longrightarrow| \R^3 \setminus \{0,0,0\} || |SZ= }} diejenigen Parameter {{mathl|term= (r,s,t)|SZ=,}} für die der Vektor {{math|term= {{op:Zeilenvektor|3|7|4}} |SZ=}} zur Faser {{mathl|term= L_{(r,s,t)}|SZ=}} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p1r0jpve2uwk1jymbeb675igs03dofx 0 111564 780564 754725 2022-08-21T19:29:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y | {{defeq|}} | {{Mengebed|(s,t,u,v) \in \R^4|su+tv {{=}} 1}} || || || |SZ= }} mit der Projektion {{ Ma:abbele/disp |name=p |Y| \R^2 \setminus \{ (0,0) \} {{=|}} X |(s,t,u,v)| (s,t) |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass jede Faser von {{math|term= p|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer reellen Geraden ist. |Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(s,t) ||(s,t,u(s,t),v(s,t)) || {{makl|s,t, {{op:Bruch|s|s^2+t^2}} , {{op:Bruch|t|s^2+t^2}} |}} || || || |SZ= }} eine stetige Abbildung {{ Ma:abb |name= \varphi | X| Y || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | p \circ \varphi || {{op:Identität|X|}} || || || |SZ= }} gegeben ist. |Definiere{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= Y |und|term2= X \times \R |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass es keine polynomiale Abbildung {{ Ma:abb |name= \psi |X|Y || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | p \circ \psi || {{op:Identität|X|}} || || || |SZ= }} gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2=Theorie der speziellen linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hork68yr10ayyqkli650pocybc2gdqm 0 111574 786103 759259 2022-08-22T10:30:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{ Ma:abb |name=p |V|X || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reelles Vektorbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= V|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hausdorffraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= X|SZ=}} ein Hausdorffraum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bi224ah04ug0e3ffpnll6vn8r8nvw0m 0 111575 786104 759260 2022-08-22T10:30:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man die {{ Definitionslink |Prämath= |Identität| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= {{op:Identität|X|}} |X|X || |SZ= }} als ein {{ Definitionslink |Prämath= |reelles Vektorbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Vektorbündel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} auffassen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ruv22rz4xx1dpjbd84aun4508rpvci3 0 111579 783859 601914 2022-08-22T04:39:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf {{mathl|term= D(r)|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |u(r,s,t) || {{op:Bruch|t|r}} {{op:Spaltenvektor|s|-r|0}} - {{op:Bruch|s|r}} {{op:Spaltenvektor|t|0|-r}} || || || |SZ= }} ein {{ Zusatz/Klammer |text=von den Parametern abhängiger| |ISZ=|ESZ= }} Vektor im Lösungsraum definiert ist, der auf ganz {{math|term= \R^3|SZ=}} polynomial fortsetzbar ist, obwohl die Koeffizientenfunktionen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|t|r}} |und|term2= - {{op:Bruch|s|r}} |SZ= }} nur auf {{math|term= D(r)|SZ=}} definiert sind und nicht fortsetzbar sind. Ist {{mathl|term= u(r,s,t)|SZ=}} überall Teil einer Basis? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2qj973hrwjm7cg4d9t9r1oekgu4rcwk 0 111590 785549 758800 2022-08-22T08:57:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= {{op:Prägarbe|F|}} , {{op:Prägarbe|G|}} , {{op:Prägarbe|H|}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Die Identität {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Prägarbe|F|}}| {{op:Prägarbe|F|}} || |SZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus von Prägarben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Wenn {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Prägarbe|F}} | {{op:Prägarbe|G}} || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\psi | {{op:Prägarbe|G}}| {{op:Prägarbe|H}} || |SZ= }} Homomorphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung {{mathl|term= \psi \circ \varphi|SZ=}} ein Homomorphismus von Prägarben. |Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Unterprägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Prägarbe|F}} | \subseteq| {{op:Prägarbe|G}} || || || |SZ= }} ist die natürliche Inklusion ein Homomorphismus von Prägraben. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0q1huji8cjy6sg14iftdvyerd30q5ma 0 111592 783649 757297 2022-08-22T04:04:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass über einem beliebigen Körper {{math|term= K|SZ=}} zu {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängigen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Vektoren {{ mathkor|term1= u= {{op:Spaltenvektor|a|b|c}} |und|term2= v= {{op:Spaltenvektor|d|e|f}} |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Kreuzprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|a|b|c}} \times {{op:Spaltenvektor|d|e|f}} |SZ=}} zusammen mit {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= K^3|SZ=}} bilden müssen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rcpnnbkgmvbiyc4n3udot6whzh1wda9 0 111598 786099 759254 2022-08-22T10:29:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |reelles Geradenbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |L|X || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} genau dann trivial ist, wenn es einen stetigen nullstellenfreien {{ Definitionslink |Prämath= |Schnitt| |Kontext=Vektorbündel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e2q0xe44ldgo4gcsqu8f5kym60c8f5b 0 111617 779525 602481 2022-08-21T16:42:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y | {{defeq|}} | {{Mengebed|(x,y,z,w) \in \R^4| x^2+y^2 {{=|}} 1|(1-y)z {{=|}} xw|xz {{=|}} (1+y)w }} || || || |SZ= }} zusammen mit der natürlichen Projektion auf die eindimensionalen Sphäre {{ Ma:Vergleichskette/disp |S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2|x^2+y^2 {{=|}} 1}} || U \cup V || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |U ||S^1 \setminus \{(0,1)\} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V ||S^1 \setminus \{(0,-1)\} || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass {{math|term= Y|SZ=}} ein Vektorbündel vom Rang {{math|term= 1|SZ=}} ist, das isomorph zum Möbiusband ist. Auf {{math|term= U|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette |y |\neq|1 || || || |SZ= }} und daher kann man die zweite Gleichung nach {{math|term= z|SZ=}} auflösen, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |z || {{op:Bruch|x|1-y}} w || || || |SZ=. }} Damit ist die dritte Gleichung wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | xz || {{op:Bruch|x|1-y}} x w || {{op:Bruch|x^2|1-y}} w || {{op:Bruch|1-y^2|1-y}} w || (1+y) w |SZ= }} automatisch erfüllt. Entsprechend gilt auf {{math|term= V|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | w || {{op:Bruch|x|1+y}} z || || || |SZ= }} und die andere Gleichung ist automatisch erfüllt. Daher ist {{math|term= Y|SZ=}} auf {{math|term= U|SZ=}} bzw. auf {{math|term= V|SZ=}} ein triviales Vektorbündel vom Rang {{math|term= 1|SZ=}} mit der Variablen {{ mathkor|term1= w |bzw.|term2= z |SZ=. }} Die Übergangsabbildung auf {{mathl|term= U \cap V|SZ=}} ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x|1-y}} || {{op:Bruch|1+y|x}} || || || |SZ= }} gegeben, eine Matrixbeschreibung dieses Bündels ist also {{mathl|term= {{makl|{{op:Bruch|x|1-y}} |}} |SZ=.}} Diese Matrix hängt, im Gegensatz zur konstanten Matrix aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Möbiusband/Verklebungsdatum/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} explizit von {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x,y) |\in| U \cap V || || || |SZ= }} ab. Dennoch sind die beiden Vektorbündel zueinander isomorph. Dazu verwenden wir {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Vektorbündel/Matrixbeschreibung/Isomorphie/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und betrachten die beiden stetigen Funktionen {{mathl|term= \sqrt{1-t} |SZ=}} auf {{math|term= U|SZ=}} und {{mathl|term= \sqrt{1+t} |SZ=}} auf {{math|term= V|SZ=,}} die beide nullstellenfrei sind. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1| \sqrt{1+y}||}} \cdot {{op:Bruch|x|1-y}} \cdot \sqrt{1-y} || {{op:Bruch|1| \sqrt{1+y}||}} \cdot {{op:Bruch|x|\sqrt{ 1-y} }} || {{op:Bruch|x| \sqrt{ 1-y^2} }} || {{op:Bruch|x| \sqrt{x^2} }} || {{op:Bruch|x| {{op:Betrag|x|}} }} || \pm 1 || |SZ=, }} abhängig vom Vorzeichen von {{math|term= x|SZ=.}} Daher sind die Bündel isomorph. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Verklebungsdaten für reelle Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2=Theorie der reellen Kernbündel |Kategorie3=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Objektkategorie=Das Möbiusband |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0vljmtb3s1z2m9bvyaeaplycplxrv3t 0 111623 780326 767017 2022-08-21T18:49:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Verklebungsdatum| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= U_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} für {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. Es sei {{math|term= Z|SZ=}} ein weiterer topologischer Raum und es seien {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \theta_i |U_i|Z || |SZ= }} gegeben, die die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette | \theta_i {{|}}_{U_{ij} } || {{makl| \theta_j {{|}}_{U_{ji} } |}} \circ \varphi_{ji} || || || |SZ= }} erfüllen. Zeige{{n Sie}}, dass es dann eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\theta |X|Z || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| \psi_i |}}^{-1} \circ \theta {{|}}_{V_i } || \theta_i || || || |SZ= }} gibt, wobei {{math|term= X|SZ=}} den durch die Verklebungsdaten festgelegten topologischen Raum {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} auch für die Notation |ISZ=|ESZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qrj2ajkxi22c9f89h54ixpabfhudlq2 0 111627 786105 759261 2022-08-22T10:30:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=p |V|U || |SZ= }} ein Vektorbündel über {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|\R^m || || || |SZ=, }} offen, das durch ein {{ Definitionslink |Prämath= |lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n|SZ=}} Variablen mit {{math|term= m|SZ=}} universellen Parametern gegeben ist, wobei {{math|term= U|SZ=}} dadurch gekennzeichnet sei, dass die Dimension der Fasern konstant sei. Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |stetiger Schnitt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= V|SZ=}} das gleiche ist wie eine stetige universelle Lösung des linearen Gleichungssystems. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Kernbündel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m98un1sf6j1gxco5dr45nfbrxvd3dnn 0 111631 786106 759262 2022-08-22T10:30:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=s |X|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |stetiger Schnitt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Vektorbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=p |V|X || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |s(X) |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, die {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= X|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gl29eee0g4vw8kka04pk70pf0gjwsct 0 111639 786024 602190 2022-08-22T10:17:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} jeweils eine reelle Gerade, und diese werden entlang der punktierten Geraden {{ Ma:Vergleichskette |\R \setminus \{0\} |\subseteq| U || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\R \setminus \{0\} |\subseteq| V || || || |SZ= }} mit Hilfe der inversen Abbildung {{mathl|term= t \mapsto t^{-1}|SZ=}} verklebt. Welcher topologische Raum entsteht dabei? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verklebungsdaten für topologische Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0pnipwf5fcrgbxti6ptvhjcpsxfumo4 0 111640 783366 617511 2022-08-22T03:16:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} jeweils eine komplexe Gerade {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die Gaußsche Zahlenebene| |ISZ=|ESZ= }} und diese werden entlang der gelochten Ebene {{ Ma:Vergleichskette | {{CC|}} \setminus \{0\} |\subseteq| U || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{CC|}} \setminus \{0\} |\subseteq| V || || || |SZ= }} mit Hilfe der inversen Abbildung {{mathl|term= z \mapsto z^{-1}|SZ=}} verklebt. Welcher topologische Raum entsteht dabei? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verklebungsdaten für topologische Räume |Kategorie2=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nrbm3njuvdd40kz14e1muk8vzs2uh7j 0 111645 782547 602239 2022-08-22T01:00:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein Verklebungsdatum für ein Geradenbündel zu einer offenen Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} das gleiche ist wie eine Familie von stetigen nullstellenfreien Funktionen {{ Ma:abb |name=f_{ij} |U_i \cap U_j| \R || |SZ=, }} die auf {{mathl|term= U_i \cap U_j \cap U_k|SZ=}} jeweils die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette | f_{ki} || f_{kj} \cdot f_{ji} || || || |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verklebungsdaten für reelle Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aszhv79duki9x1ndzyx7zqu9a1qwueq 0 111655 784475 602233 2022-08-22T06:16:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die algebraische Realisierung des Möbiusbandes aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Möbiusband/Algebraische Realisierung/Verklebungsdatum/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y || {{Mengebed|(x,y,z,w) \in \R^4| x^2+y^2 {{=|}} 1|(1-y)z {{=|}} xw|xz {{=|}} (1+y)w }} |\rightarrow| S^1 || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Bild der stetigen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \psi |[0, 2\pi]| \R^4 |t| {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|t|}} | {{op:sin|t|}}| {{op:cos| {{op:Bruch|t|2}} |}} | {{op:sin| {{op:Bruch|t|2}} |}} }} |SZ=, }} in {{math|term= Y|SZ=}} landet, dass {{mathl|term= p \circ \psi |SZ=}} die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises ist und dass das Bild von {{math|term= \psi |SZ=}} niemals den Nullschnitt trifft. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Möbiusband |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 342jru1huziqebkumy5wrqvfk408ca0 0 111664 780954 755033 2022-08-21T20:34:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Man nehme ein schmales rechteckiges Band, verdrehe es mit einer Volldrehung um die längere Achse und verklebe die beiden kürzeren Ränder. Nun schneide man mit einer Schere das Band längs in der Mitte durch. Ist das entstehende Objekt {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Wie sieht es aus, wenn man {{math|term= n|SZ=}} Halbdrehungen macht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Möbiusband |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nyp8nvhr2ysqlox90c35co31q7gnroi 0 111668 779973 737613 2022-08-21T17:51:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} und zu einer fixierten Menge {{math|term= M|SZ=}} ist die Zuordnung, die jeder {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} die Menge {{math|term= M|SZ=}} und jeder Inklusion die Identität auf {{math|term= M|SZ=}} zuordnet, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die die {{Stichwort|konstante Prägarbe|SZ=}} heißt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lyy1qpz2wn7lkaaoprkb07cr98bu2ab 0 111675 783755 757393 2022-08-22T04:21:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (\R,+)|SZ=,}} {{mathl|term= (\R \setminus \{0\}, \cdot)|SZ=,}} {{mathl|term= ( {{CC|}} ,+)|SZ=,}} {{mathl|term= ( {{CC|}} \setminus \{0\}, \cdot)|SZ=,}} {{mathl|term= (\R^n,+)|SZ=,}} {{mathl|term= (S^1,\text{ mit der Winkeladdition} )|SZ=,}} die {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeine lineare Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG |n|\R|}} |SZ=}} bzw. {{mathl|term= {{op:GLG |n| {{CC|}}|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Lie-Gruppen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lie-Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f01m8sc1x71l4sje6p8ng0rwfhm6mbi 0 111686 785550 758801 2022-08-22T08:58:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Prägarbe|F|}} |und|term2= {{op:Prägarbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{mathl|term= U \mapsto {{op:Prägarbe|F|U}} \times {{op:Prägarbe|G|U}} |SZ=}} mit den natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Produktabbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine Prägarbe auf {{math|term= X|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5iqpdaco315ss6vvvnprlbtze941f2p 0 111688 786107 759263 2022-08-22T10:30:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=p |V|X || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reelles Vektorbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Rang {{math|term= m|SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass zu jeder offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ=, }} auf der {{math|term= V|SZ=}} trivial ist, die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen Schnitte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} isomorph {{ Zusatz/Klammer |text=in welchem Sinn| |ISZ=?|ESZ= }} zu {{mathl|term= C^0(U,\R)^m|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t1ob7y95dn6r8lphg09mltjr54lget7 0 111712 781210 667438 2022-08-21T21:17:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten einen Computer, der nur zwei Speicher besitzt, in denen jeweils eine natürliche Zahl stehen kann. Zu Beginn eines jedes Programms {{ Zusatz/Klammer |text=also einer Aneinanderreihung von Befehlen| |ISZ=|ESZ= }} lautet die Belegung {{math|term= (0,0)|SZ=.}} Der Computer kann einen Speicher leeren, einen Speicher um {{math|term= 1|SZ=}} erhöhen, zu Befehlen springen {{ Zusatz/Klammer |text=unbedingter Sprungbefehl| |ISZ=|ESZ= }} und die beiden Inhalte der Speicher der Größe nach miteinander vergleichen. Ferner kann es zu einem Befehl wechseln, wenn die Vergleichsbedingung erfüllt ist {{ Zusatz/Klammer |text=bedingter Sprungbefehl| |ISZ=|ESZ=. }} Schließlich gibt es einen Druckbefehl, bei dem das momentane Belegungspaar ausgedruckt wird. Schreibe{{n Sie}} ein Computerprogramm, das jedes Paar {{ Ma:Vergleichskette | (n,m) |\in| \N^2 || || || |SZ= }} genau einmal ausdruckt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bijektiven Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Algorithmen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e5tu4q60i72d2niibc790ivdk4lk48x 0 111734 784122 757779 2022-08-22T05:23:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |A || (a_{ij})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | B || (b_{k \ell })_{1 \leq \ell \leq p,\, 1 \leq k \leq r} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=A |K^n |K^m || |SZ= }} bzw. {{ Ma:abb |name=B |K^r |K^p || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser linearen Abbildungen bezüglich der Basen {{ mathbed|term= e_j {{tensor|}} e_k ||bedterm1= 1 \leq j \leq n,\, 1 \leq k \leq r ||bedterm2= |SZ=, }} von {{mathl|term= K^n {{tensor|}} K^r|SZ=}} und {{ mathbed|term= e_i {{tensor|}} e_\ell ||bedterm1= 1 \leq i \leq m,\, 1 \leq \ell \leq p ||bedterm2= |SZ=, }} von {{mathl|term= K^m {{tensor|}} K^p|SZ=}} durch das {{ Definitionslink |Prämath= |Kroneckerprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A|SZ=}} und {{math|term= B|SZ=}} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Kroneckerproduktes von Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mthok36i5s7eninhffc71uc5pb7y3k7 0 111757 781748 755657 2022-08-21T22:46:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grenzwert| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|1-y|x}} || {{op:Bruch|x|1+y}} || || || |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitskreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{mathl|term= (x,y) \rightarrow (0,1)|SZ=.}} Man betrachte dazu auch die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie2=Regel von Hospital |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mkc61n9mjix3y3icuxld1jv5hjr8a76 0 111761 786025 759168 2022-08-22T10:17:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |X || \R \cup \{ 0' \} || || || |SZ=, }} der aus den reellen Zahlen entsteht, indem man ein neues Element {{math|term= 0'|SZ=}} hinzunimmt, und die folgenden zwei Arten von Teilmengen für offen erklärt: Die Mengen {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| \R || || || |SZ= }} offen mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\notin|U || || || |SZ= }} und die Mengen {{mathl|term= V \cup \{0'\}|SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq|\R || || || |SZ= }} offen mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|V || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= X|SZ=}} ein topologischer Raum ist. Ist der Punkt {{math|term= 0|SZ=}} in diesem Raum abgeschlossen? Ist der Punkt {{math|term= 0'|SZ=}} in diesem Raum abgeschlossen? Wie verhält sich dieser Raum zu dem in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reelle Gerade/Identische Verklebung/Punktierte Gerade/Hausdorffeigenschaft/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konstruierten Raum? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Umgebungen in einem topologischen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8w4yeqk53gfv4ceubsofj7uluud16f3 0 111791 783721 757369 2022-08-22T04:16:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} zu jedem Element {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|0 || || || |SZ= }} das Element {{math|term= z|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |xz ||1 || || || |SZ= }} eindeutig bestimmt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} notm0lnv6c1jm8d7p2o45e1g54ozgc7 0 111796 783641 602672 2022-08-22T04:02:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{mathl|term= a,b|SZ=}} Elemente aus {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Vorzeichenregeln gelten. {{ Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette/disp | (-a)b ||-ab || a(-b) || || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | (-a)(-b) ||ab || || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | a(b-c) || ab-ac || || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lkep5ockk2lqmft186n8gn63avt32ww 0 111798 786043 759199 2022-08-22T10:20:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die folgenden Eigenschaften gelten. {{ Aufzählung2 |Zu jedem {{mathl|term= x >0|SZ=}} gibt es eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} mit {{mathl|term= \frac{1}{n} < x|SZ=.}} |Zu zwei Elementen {{mathl|term= x < y|SZ=}} gibt es eine rationale Zahl {{mathl|term= n/k|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= n\in \Z,\, k \in \N_+|SZ=}} | |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |<| {{op:Bruch|n|k}} |<|y || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6nmslgyy1l0iggtukhxv6d7408mwjsf 0 111802 783669 757318 2022-08-22T04:07:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= a|SZ=}} ein von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenes Element in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, wie man {{math|term= a^{10}|SZ=}} mit vier Multiplikationen berechnen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qo1tn7cjn11b6qo9ea8ug080yypspvf 0 111803 783656 757303 2022-08-22T04:05:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= a,b \neq 0|SZ=}} Elemente aus {{math|term= K|SZ=.}} Beweise{{n Sie}} die folgenden Potenzgesetze für natürliche Exponenten {{mathl|term= m,n \in \N|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette/disp |a^{m+n} || a^m \cdot a^n || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |(a^{m})^n || a^{m n } || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |(a\cdot b)^n || a^n \cdot b^n || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 28gv77ou8js6jfideb5kz8rv3hklh3n 0 111820 782489 756294 2022-08-22T00:50:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|F|}} |und|term2= {{op:Garbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{mathl|term= U \mapsto {{op:Garbe|F|U}} \times {{op:Garbe|G|U}} |SZ=}} mit den natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Produktabbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine Garbe auf {{math|term= X|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Garbentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} torklmj0p8sbwubrqm8nyk70b1j2zy7 0 111822 785551 758802 2022-08-22T08:58:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Prägarbe|F|}} |und|term2= {{op:Prägarbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Prägarbe|F|}} \times {{op:Prägarbe|G|}} |SZ=}} ihre Produktprägarbe. Zeige{{n Sie}}, dass für den {{ Definitionslink |Prämath= |Halm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|X || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Prägarbe|F|}} \times {{op:Prägarbe|G|}} |}}_P || {{op:Prägarbe|F|}}_P \times {{op:Prägarbe|G|}}_P || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6bq3cbaj8lk3g008l1kwatkbe589y9z 0 111895 779921 737978 2022-08-21T17:42:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Stetige Abbildung/Prägarbe der stetigen Schnitte/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an, d.h. es seien {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Räume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=p |Y|X || |SZ= }} eine fixierte {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und es sei {{ math/disp|term= U \mapsto S (U,Y) {{=|}} {{Mengebed| s:U \rightarrow p^{-1}(U)| s \text{ stetiger Schnitt zu } p }} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der stetigen Schnitte in {{math|term= Y|SZ=.}} Dies ist eine Garbe. Die erste Serresche Bedingung ist erfüllt, da zwei Schnitte übereinstimmen, wenn sie in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|U || || || |SZ= }} den gleichen Wert haben, was bei einer offenen Überdeckung lokal getestet werden kann. Die zweite Serresche Bedingung ist erfüllt, da man zu einer Familie von stetigen verträglichen Schnitten {{ Ma:abbele/disp |name=s_i |U_i|Y {{|}}_{U_i} || |SZ= }} direkt einen Schnitt {{ Ma:abbele/disp |name=s |U|Y {{|}}_U || |SZ= }} definieren kann, der diese simultan fortsetzt. Die Stetigkeit folgt, da diese lokal getestet werden kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Garbentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ks769ke97cue8ld5ewylpy1wa7bupjv 0 111897 782757 756533 2022-08-22T01:35:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hausdorffraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zumindest zwei Punkten und es sei {{ Ma:Vergleichskette |M |\neq|\emptyset || || || |SZ=. }} eine Menge. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |konstante Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Garbentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0iuwfkohl9luf2gzzwbcsm0dohtfryk 0 111900 782490 756295 2022-08-22T00:50:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem nicht {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängenden Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} mit einer Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette |X || U \uplus V || || || |SZ= }} in {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nichtleere offene Mengen. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Garbe|G|X|}} || {{op:Garbe|G|U|}} \times {{op:Garbe|G|V|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Garbentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} scg7oamzulsvihp2cy8jzza3l8fy9yy 0 111903 785548 758799 2022-08-22T08:57:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Prägarbe|F|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch die Zuordnung {{ math/disp|term= U \mapsto \prod_{P \in U} {{op:Prägarbe|F|}}_P |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die Produktmenge aus allen {{ Definitionslink |Prämath= |Halmen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= U|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Projektionen eine Prägarbe gegeben ist, und dass es einen natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Prägarbe|F|}}|SZ=}} in diese Prägarbe gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nexy5y9u7olfk0ycvp3m0pujd5mkx4j 0 111906 785552 758803 2022-08-22T08:58:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Prägarbe|F|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} und {{math|term= {{op:Vergarbung| {{op:Prägarbe|F|}} |}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Vergarbung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= {{op:Prägarbe|F|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarben-Morphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\psi | {{op:Prägarbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} in eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} eine eindeutige Faktorisierung {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{\psi} | {{op:Vergarbung| {{op:Prägarbe|F|}} |}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vergarbung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fr83x7sncp0vt7lqw2svetofga4s6mg 0 111911 779178 737979 2022-08-21T15:48:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R|S^1 |t| {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|t|}}| {{op:sin|t|}} |}} |SZ=, }} also die periodische {{ Definitionslink |Prämath= |trigonometrische Parametrisierung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Einheitskreises. Dies induziert einen {{ Definitionslink |Prämath= |Garbenmorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | C^0(-, \R)| C^0(- , S^1) || |SZ= }} auf jedem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=.}} Einer stetigen reellwertigen Funktion {{ Ma:abb |name=f |U| \R || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} wird die Hintereinanderschaltung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi \circ f |U|S^1 || |SZ= }} zugeordnet. Dieser Garbenmorphismus ist {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=Garbenmorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da {{math|term= \varphi|SZ=}} lokal umkehrbar ist. Er ist aber im Allgemeinen nicht auf jeder offenen Teilmenge surjektiv. Wenn beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette |X ||S^1 || || || |SZ= }} ist, so besitzt die Identität auf {{math|term= S^1|SZ=}} keine stetige Liftung nach {{math|term= \R|SZ=}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} del6lfdni22r6cs5eqcuc4vf4u20afk 0 111934 779969 737954 2022-08-21T17:50:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} und einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} ist durch {{mathl|term= U \mapsto C^0(U,G) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben, die Garbe der stetigen Abbildungen mit Werten in {{math|term= G |SZ=.}} Es handelt sich um eine Garbe von Gruppen. Die Garbeneigenschaften beruhen darauf, dass die Gleichheit von stetigen Abbildungen punktweise getestet werden kann und dass sich stetige Abbildungen, die auf offenen Mengen definiert sind und auf den Durchschnitten übereinstimmen, zu einer globalen stetigen Abbildung fortsetzen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe von stetigen Funktionen in topologische Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pbebwtuk62cq57y5j8dazs9705et144 0 111936 782497 756300 2022-08-22T00:51:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Garbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Garbenmorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb |name=\varphi_U | {{op:Garbe|F|U}} | {{op:Garbe|G|U}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für jede offene Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch jede {{ Definitionslink |Prämath= |Halmabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi_P | {{op:Garbe|F|}}_P | {{op:Garbe|G|}}_P || |SZ= }} surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Garbenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qlf8nl43573kxug1r6yntjutz567iel 0 111943 784184 757837 2022-08-22T05:33:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} eine Menge mit zwei Topologien {{ mathkor|term1= \tau_1 |und|term2= \tau_2 |SZ= }} derart, dass die Identität {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |X_1 {{=|}} (X, \tau_1)|X_2 {{=|}} (X, \tau_2) || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, die erste Topologie ist also eine Verfeinerung der zweiten Topologie. Es sei {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}}_1 |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X_1|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}}_2 |SZ=}} eine Garbe auf {{math|term= X_2|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} {{math|term= \varphi_* {{op:Garbe|F|}}_1|SZ=}} und {{math|term= \varphi^{-1} {{op:Garbe|F|}}_2|SZ=.}} Wie sieht es aus, wenn {{math|term= \tau_1 |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |diskrete Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= \tau_2|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Klumpentopologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Garbentheorie |Kategorie2=Theorie der diskreten topologischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8yx77b0rpehcovd6tvm2g0zdmk5yvnz 0 111944 784187 603281 2022-08-22T05:33:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= L_1,L_2,M|SZ=}} Mengen und {{ Ma:abbele/disp |name=p_1 |L_1|M || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=p_2 |L_2|M || |SZ= }} Abbildungen. Wir definieren {{ Ma:Vergleichskette/disp |L_1 \times_M L_2 | {{defeq|}} | {{Mengebed|(x_1,x_2)| \varphi_1(x_1) {{=|}} \varphi_2(x_2) }} |\subseteq| L_1 \times L_2 || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass es ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|L_1 \times_M L_2|L_1|L_2|M}} gibt. |Es sei {{math|term= T|SZ=}} eine weitere Menge und {{ Ma:abb |name= \psi_1 |T|L_1 || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= \psi_2 |T|L_2 || |SZ= }} Abbildungen mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | p_1 \circ \psi_1 || p_2 \circ \psi_2 || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |T|L_1 \times_M L_2 || |SZ= }} derart gibt, dass die Projektionen auf {{ mathkor|term1= L_1 |bzw.|term2= L_2 |SZ= }} mit {{math|term= \psi_1,\psi_2|SZ=}} übereinstimmen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ngfsl8v2w47n0z63ft4970qlfrxrjii 0 111991 779975 752158 2022-08-21T17:51:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |X \times \R^n| X \times \R^m || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Vektorbündel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen trivialen Vektorbündeln. Dieser wird durch eine stetige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=M |X| {{op:Mat|m|n|K=C^0(X, \R)}} || |SZ= }} beschrieben, d.h. jedem Punkt wird in stetiger Weise eine Matrix zugeordnet, die für diesen Punkt eine lineare Abbildung von {{math|term= \R^n|SZ=}} nach {{math|term= \R^m|SZ=}} beschreibt. Dies kann man unmittelbar als Homomorphismus von Garben von Gruppen auf {{math|term= X|SZ=}} auffassen, nämlich als {{ Ma:abbele/disp |name= | C^0(-,\R)^n |C^0(-,\R)^m |{{op:Spaltenvektor|f_1 | \vdots| f_n|}} | M {{op:Spaltenvektor|f_1 | \vdots | f_n|}} |SZ=. }} Diese Abbildung ist der Garbenmorphismus auf der Ebene der Schnitte in den Bündeln. In {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liegt zu {{ Ma:Vergleichskette |X || \R^3 || || || |SZ= }} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | \R^3 \times \R^3| \R^3 \times \R |(r,s,t;u,v,w)|(r,s,t;ru +sv+ tw) |SZ=, }} bzw. {{ Ma:abbele/disp |name=M |\R^3| {{op:Mat|m=1|n=3|}} |(r,s,t)| (r,s,t) |SZ=, }} vor. Die Kerngarbe besteht über {{math|term= U|SZ=}} einfach aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Kern|\varphi|}} |}} (U) || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor|f_1 | \vdots| f_n|}} \in C^0(U,\R)^n| M {{op:Spaltenvektor|f_1 | \vdots| f_n|}} {{=|}} 0 }} |\subseteq|C^0(U,\R)^n || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Kernbündel |Kategorie2=Theorie der Garbe von stetigen Funktionen in topologische Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hlh5f2yo2440maex9ggd7xddrfmnhyz 0 111997 783435 757114 2022-08-22T03:28:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Prägarbe|F|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konstante Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} zur Menge {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Halm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Vergarbung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Prägarbe|F|}} |SZ=}} in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|X || || || |SZ= }} gleich {{math|term= M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vergarbung |Kategorie2=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 64815gbabodq971pzibedr3ojr7t60j 0 112000 783434 737962 2022-08-22T03:28:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |diskrete| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{op:Prägarbe|G|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |konstante Prägarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=}} zu {{math|term= G|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Vergarbung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Prägarbe|G|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= C^0(-,G) |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vergarbung |Kategorie2=Theorie der diskreten topologischen Räume |Kategorie3=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qvv66i5bau817ua5ikbofgmm38h77da 0 112009 779970 737934 2022-08-21T17:51:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \varphi | F |G || |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Gruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ= }} wird auf jedem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus von Garben von Gruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} festgelegt, indem auf jeder offenen Teilmenge {{math|term= U|SZ=}} die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= |C^0(U,F) |C^0(U,G) |f| \varphi \circ f |SZ=, }} betrachtet wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe von stetigen Funktionen in topologische Gruppen |Kategorie2=Theorie der Homomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mua7awzm3z9etk8vytq86m2x4781jof 0 112013 782493 756297 2022-08-22T00:51:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Garbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Gruppengarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| {{op:Kern|\varphi|}} |}} (U) | {{defeq|}} | {{op:Kern|\varphi_U |}} || || || |SZ= }} eine Garbe von Gruppen auf {{math|term= X|SZ=}} definiert ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q9bg3pcftmbrrrsnj5mx0zaspywyx8n 0 112015 782494 756298 2022-08-22T00:51:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Garbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Gruppengarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bild|\varphi|}} || {{op:Garbe|G|}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33jwghyadqwx1rz4p94718m6gxa7v1j 0 112016 782492 737964 2022-08-22T00:50:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Garbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Gruppengarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Garben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= {{op:Kern|\varphi|}} |SZ=}} die Nullgarbe ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mmi3tpjwa5mw0p6h2nyjkn6676zfh9d 0 112021 782491 756296 2022-08-22T00:50:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Garbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Gruppengarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|X || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| {{op:Bild|\varphi|}} |}}_P || {{op:Bild(|\varphi_P|}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n9a3y3yc0s6a7nc0v8bkyi74kqlgo4w 0 112022 782496 738132 2022-08-22T00:51:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} von {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Gruppen {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Garbe|F|}} |\subseteq| {{op:Garbe|G|}} || || || |SZ= }} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass es einen kanonischen {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiven| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Garbenhomomorphismus von kommutativen Gruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Garbe|G|}} | {{op:Garbe|G|}} / {{op:Garbe|F|}} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientengarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s32d6ii9e2273qt30oyt1292qkuvobp 0 112024 782495 756299 2022-08-22T00:51:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} von {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Gruppen {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Garbe|F|}} |\subseteq| {{op:Garbe|G|}} || || || |SZ= }} gegeben, und es sei {{mathl|term= {{op:Garbe|G|}} / {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientengarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Garbe|G|}} / {{op:Garbe|F|}} |}}_P ||{{op:Garbe|G|}}_P / {{op:Garbe|F|}}_P || || || |SZ= }} für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|X || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientengarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 38aypvzkpq6jl8a6pcpmd776tdml7p9 0 112057 781016 755084 2022-08-21T20:44:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=}} wieder ein beringter Raum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der beringten Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bn39gj00tnhjd4a85d4xkhjwkax535v 0 112060 779983 763844 2022-08-21T17:53:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jeder offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Garbe|C|U}} || C^0 (U,\R) || {{Mengebed| f:U \rightarrow \R|f \text{ stetig} }} || || || |SZ= }} ein kommutativer Ring und die Zuordnung {{mathl|term= U \mapsto {{op:Garbe|C|U}} |SZ=}} ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wodurch {{math|term= X|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der beringten Räume |Kategorie2=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie3=Theorie der Garbe von stetigen Funktionen in topologische Gruppen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2bkt1e4hke8vvfuwje6ts3cjd8xzn7q 0 112061 779024 763188 2022-08-21T15:23:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} ist zu jeder offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|M || || || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | C^1 (U,\R) || {{Mengebed| f:U \rightarrow \R|f \text{ stetig differenzierbar} }} || || || |SZ= }} ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wodurch {{math|term= M|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der beringten Räume |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q3p4nltzs8h5xergaazlhe3qiuw0ogu 0 112062 779338 737705 2022-08-21T16:12:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} ist zu jeder offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|M || || || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | C^1 (U,{{CC|}} ) || {{Mengebed| f:U \rightarrow {{CC|}} |f \text{ holomorph} }} || || || |SZ= }} ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wodurch {{math|term= M|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der beringten Räume |Kategorie2=Theorie der holomorphen Funktionen auf einer komplexen Mannigfaltigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34hka5d0wr5g5fnim000kssnotvccen 0 112064 779982 763843 2022-08-21T17:53:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} ist mit der Garbe der stetigen Funktionen {{mathl|term= C^0 (-,\R) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokal beringter Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=: }} Für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|X || || || |SZ= }} und eine in einer offenen Umgebung von {{math|term= x|SZ=}} definierte stetige Funktion {{math|term= f|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette |f(P) |\neq|0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der {{math|term= f|SZ=}} invertierbar ist. Daher sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Halme| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {\mathcal O}_P|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Ringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= X|SZ=}} ist lokal beringt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokal beringten Räume |Kategorie2=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i3znfmroa1ao9vzel3n66k65yd70ef5 0 112068 780324 767015 2022-08-21T18:49:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} versehen mit der Garbe der reellwertigen Funktionen, und {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |dichte| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Restriktionsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:SchnittringX|X|}} | {{op:SchnittringX|U|}} |f|f {{|}}_U |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s6h4jiymlbk13czvv1d4lultzepahht 0 112069 780325 767016 2022-08-21T18:49:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} versehen mit der Garbe der reellwertigen Funktionen, und {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |dichte| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Restriktionsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:SchnittringX|X|}} | {{op:SchnittringX|U|}} |f|f {{|}}_U |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8mvi8zlw2zi4jrnzl2kxcxc1uso8o8y 0 112073 786029 759175 2022-08-22T10:17:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die wir einerseits mit der Garbe der stetigen Funktionen {{mathl|term= C^0(-, \R) |SZ=}} und andererseits mit der Garbe der differenzierbaren Funktionen {{mathl|term= C^1(-, \R) |SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} machen. Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus beringter Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |(M,C^0(-,\R)) |(M,C^1(-,\R)) || |SZ= }} gibt, der topologisch die Identität ist, der aber kein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus von beringten Räumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen lokal beringter Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzna220v0msqxiq4wo3idkazye2hidz 0 112088 783962 757597 2022-08-22T04:56:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}} ) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokal beringter Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:SchnittringX|X| }} | \tau(X) |f| X_f |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen dem multiplikativen Monoid des globalen Schnittringes und dem Monoid der offenen Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem Durchschnitt als Verknüpfung| |ISZ=|ESZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal beringten Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1dcsayde4wg11wlwpeqvvukao8hwsuy 0 112108 786339 759416 2022-08-22T11:09:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name= \varphi |R|S || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=}} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi^* | {{op:Spek|S|}} |{{op:Spek|R|}} | {{idealp|}} |\varphi^* ({{idealp|}}) |SZ=, }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Primideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} |\in| {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} in kanonischer Weise {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Spec|S {{tensor|R}} {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} |}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie2=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1x83e5jkq0dpkn3boe687tx4o2o7z9y 0 112110 779793 751879 2022-08-21T17:22:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{Stichwort|alternierende Folge|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n | {{defeq|}} | (-1)^n || || || |SZ= }} ist beschränkt, aber nicht {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Beschränktheit folgt direkt aus {{ Ma:Vergleichskette |x_n | \in| [-1,1] || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n|SZ=.}} Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq| 0 || || || |SZ= }} der Grenzwert, so gilt für positives {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |<| 1 || || || |SZ= }} und jedes ungerade {{math|term= n|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_n-x}} ||{{op:Betrag|-1-x}} ||1+x |\geq |1 |>|\epsilon || |SZ=, }} so dass es Folgenwerte außerhalb dieser {{math|term= \epsilon|SZ=-}}Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Abstrakterer Variante=Angeordneter Körper/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Beispiel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h8kb9xwcqgg4ngm50xhcj4bq101p4cp 0 112111 779787 603691 2022-08-21T17:21:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n ||0, 33 \ldots 33 || || || |SZ= }} mit genau {{math|term= n|SZ=}} Nachkommaziffern und behaupten, dass diese Folge gegen {{math|term= 1/3|SZ=}} konvergiert. Dazu müssen wir {{mathl|term= {{op:Betrag| 0, 33 \ldots 33 - {{op:Bruch|1|3}} |}} |SZ=}} bestimmen, und dafür müssen wir uns an die Bedeutung von Dezimalbrüchen erinnern. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n || 0, 33 \ldots 33 || {{op:Bruch|33 \ldots 33|10^n }} || {{op:Bruch| \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} 3 \cdot 10^j|10^n }} || || |SZ= }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Betrag| 0, 33 \ldots 33 - {{op:Bruch|1|3}} |}} || {{op:Betrag| {{op:Bruch| \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} 3 \cdot 10^j|10^n }} - {{op:Bruch|1|3}} |}} || {{op:Betrag| {{op:Bruch| 3 \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} 3 \cdot 10^j |}} - 10^n |3 \cdot 10^n }} |}} || {{op:Betrag| {{op:Bruch| {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} 9 \cdot 10^j |}} - 10^n |3 \cdot 10^n }} |}} || {{op:Betrag| {{op:Bruch| -1 |3 \cdot 10^n }} |}} || {{op:Bruch| 1 |3 \cdot 10^n }} |SZ=. }} Wenn nun ein positives {{math|term= \epsilon |SZ=}} vorgegeben ist, so ist für {{math|term= n|SZ=}} hinreichend groß dieser letzte Term {{math|term= \leq \epsilon |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n5nsmz13ww3vs23eyg46xrvr3iwc6z3 0 112127 782770 756547 2022-08-22T01:37:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= c \in \R_+|SZ=}} eine positive reelle Zahl und sei {{mathl|term= {{op:Folge|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{c}|SZ=}} mit dem Startwert {{mathl|term= x_0 \in \R_+|SZ=.}} Sei {{mathl|term= u \in \R_+|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |d ||c \cdot u^2 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |y_0 || u x_0 || || || |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Folge|y}} |SZ=}} die Heron-Folge zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{d}|SZ=}} mit dem Startwert {{math|term= y_0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y_n ||u x_n || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= n\in \N|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9wf3n1ndquqhb8qj0801fu97f19tbti 0 112128 783470 757146 2022-08-22T03:34:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Negiere{{n Sie}} die Aussage, dass eine Folge {{mathl|term= x_n|SZ=}} in {{math|term= \R|SZ=}} gegen {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} durch Umwandlung der Quantoren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 62dqe3wdvwwsjc048ouz67sfecdqpoz 0 112130 786086 759238 2022-08-22T10:27:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man untersuche|Untersuchen Sie|SZ=,}} ob die folgenden Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq| \R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind oder nicht. {{ Aufzählung9 | {{math|term= \N |SZ=,}} | {{math|term= \left \{\frac{1}{2},\frac{-3}{7} , \frac{-4}{9} , \frac{5}{9} , \frac{6}{13} , \frac{-1}{3}, \frac{1}{4} \right \} |SZ=,}} | {{math|term= ]{-5}, 2]|SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed/lr| \frac{1}{n}|n \in \N_+ }} |SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed/lr| \frac{1}{n}|n \in \N_+ }} \cup \{0\} |SZ=,}} | {{math|term= \Q_-|SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed|x \in \Q|x^2 \leq 2}} |SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed|x \in \Q|x^2 \geq 4}} |SZ=,}} | {{math|term= {{Mengebed|x^2|x \in \Z}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1i93oe4ob48k63hudiki5ro8z3wsjkz 0 112145 786047 603872 2022-08-22T10:20:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} eine reelle Nullfolge und {{math|term= {{Op:Folge|y}} |SZ=}} eine beschränkte reelle Folge. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die Produktfolge {{math|term= ( x_n y_n)_{n \in \N}|SZ=}} eine Nullfolge ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rntimttysvnjckkhcibdfxjcsmnlp2v 0 112182 782768 756545 2022-08-22T01:37:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man entwerfe|Entwerfen Sie}} ein Computer-Programm {{ Zusatz/Klammer |text=Pseudocode| |ISZ=|ESZ= }} zur Berechnung von rationalen Approximationen der Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl mittels der {{ Definitionslink |Prämath= |Heron-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Auflistung6 |Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können. |Der Computer kann natürliche Zahlen miteinander vergleichen {{ Zusatz/Klammer |text=und abhängig vom Vergleichsergebnis zu Befehlen springen| |ISZ=|ESZ=. }} |Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben. |Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben. |Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken. |Es gibt einen Haltebefehl. }} Die Anfangskonfiguration sei {{ math/disp|term= (a,b,c,d,e,0,0, \ldots ) |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |b,c,e |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Dabei ist {{mathl|term= a/b|SZ=}} die Zahl, von der die Quadratwurzel berechnet werden soll, {{ Ma:Vergleichskette |x_0 ||c || || || |SZ= }} ist das Startglied und {{mathl|term= d/e|SZ=}} ist die gewünschte Genauigkeit. Das Programm soll die Heron-Folge {{mathl|term= x_0,x_1,x_2 ,\ldots|SZ=}} ausrechnen und ausdrucken {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar wird der Zähler und der Nenner hintereinander ausgedruckt| |ISZ=|ESZ= }} und es soll anhalten, wenn das zuletzt ausgedruckte Folgenglied {{math|term= x_n|SZ=}} die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_n^2 - {{op:Bruch|a|b}}||}} |\leq| {{op:Bruch|d|e}} || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c4w13c7wn9dn4ahhaz4t9d6yt13pvbh 0 112186 785842 759006 2022-08-22T09:46:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Op:Folge|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= x|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | y_n | {{defeq|}} | \frac{ x_0 + x_1 {{plusdots||}} x_n }{n+1} || || || |SZ= }} definierte Folge gegen {{math|term= x|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Mittelwert |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9xu2j8w0f5xhd90l2bryya6h006u0e7 0 112189 785863 603959 2022-08-22T09:50:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n | {{defeq|}} | {{op:Bruch|2n+1|3n-4}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\epsilon || {{op:Bruch|1|10}} , \, {{op:Bruch|1|100}} , \, {{op:Bruch|1|1000}} || || || |SZ=, }} ab welchem {{ Zusatz/Klammer |text=minimalen| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= n|SZ=}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_n - {{op:Bruch|2|3}} |}} |\leq| \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ktxzfdvv4hrm4wzxq24k3vv8dicujgv 0 112204 782488 738114 2022-08-22T00:50:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe von kommutativen Gruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Garbe|G|\emptyset}} || 0 || || || |SZ=, }} also die triviale Gruppe ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Garben von kommutativen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 79x7lj8d6xmvkpnim2aostuxnl5ppk7 0 112214 779891 752047 2022-08-21T17:37:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |X || {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Darauf definiert man eine {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von kommutativen Ringen, indem man zu einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} die Festlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Garbe|P|U}} || {{op:Kolimes|R_f| U \subseteq D(f) }} || || || |SZ= }} macht, mit den natürlichen Ringhomomorphismen {{ Ma:abb |name= |R_f |R_g || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| D(g) |\subseteq| D(f) || || |SZ=. }} Dies ist mit den natürlichen Ringhomomorphismen eine Prägarbe. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Garbe|P|D(f) }} || R_f || || || |SZ= }} und insbesondere {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Garbe|P|X }} || R || || || |SZ=, }} da das gerichtete System das finale Objekt {{math|term= D(f)|SZ=}} enthält. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Halm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Prägarbe in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} |\in| X || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kolimes|{{op:Garbe|P|U}} | {{idealp|}} \in U }} || {{op:Kolimes|{{op:Garbe|P|D(f) }} | {{idealp|}} \in D(f) }} || {{op:Kolimes|R_f| f \notin {{idealp|}} }} || R_{{idealp|}} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ddqth6n2njhfz902t78dk21686tnfcg 0 112218 786070 759221 2022-08-22T10:24:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|}}|SZ=}} eine reelle {{ Definitionslink |konvergente Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= c \in \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=c \cdot x_n }}|SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| c \cdot x_n |}} }} || c \cdot {{makl| {{op:Folgenlimes|}} |}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7fzx0vwx9i8rysjnoqrtpb7pjynm1ll 0 112219 786071 759222 2022-08-22T10:24:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine reelle {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{mathl|term= x_n \neq 0|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Folgenlimes|}}=x \neq 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Folge|Glied= \frac{1}{x_n} }}|SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= \frac{1}{x_n} }} || \frac{1}{x} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6b0l2dzkcjdrjrts7uigo6gnse6snzh 0 112220 786072 759223 2022-08-22T10:25:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} reelle {{ Definitionslink |konvergente Folgen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= {{op:Folgenlimes|}}=x \neq 0|SZ=}} und {{mathl|term= x_n \neq 0|SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Folge|Glied= \frac{y_n}{x_n} }}|SZ=}} ebenfalls konvergent ist mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= \frac{y_n}{x_n} }} || \frac{ {{op:Folgenlimes|y}} }{x} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sc6z1qefr9qskgqxptw0v1l7siqoqp5 0 112233 779763 709324 2022-08-21T17:18:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n || {{op:Bruch|-5n^3+6n^2-n+8|11n^3+7n^2 +3n-1}} || || || |SZ= }} definierte Folge und wollen wissen, ob und gegebenenfalls wogegen sie konvergiert. Man kann {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht unmittelbar anwenden, da weder der Zähler noch der Nenner konvergiert. Allerdings kann man den folgenden Trick anwenden, man schreibt {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || {{op:Bruch| -5n^3+6n^2-n+8|11n^3+7n^2 +3n-1}} || {{op:Bruch| {{makl| -5n^3+6n^2-n+8 |}} {{op:Bruch|1|n^3}} | {{makl| 11n^3+7n^2 +3n-1 |}} {{op:Bruch|1|n^3 }} }} || {{op:Bruch| -5 + {{op:Bruch|6|n}} -{{op:Bruch|1|n^2}}+{{op:Bruch|8|n^3}} | 11 + {{op:Bruch|7|n}} +{{op:Bruch|3|n^2}}-{{op:Bruch|1|n^3}} }} || |SZ=. }} In dieser Form sind die Zähler- und die Nennerfolge konvergent, und zwar gegen {{ mathkor|term1= -5 |bzw.|term2= 11 |SZ=, }} und daher konvergiert die Folge gegen {{mathl|term= - {{op:Bruch|5|11}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g2hcwu0pcmffw4af55a9ju54kwvu2zr 0 112244 779910 763825 2022-08-21T17:41:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X,Y,Z,W]/(WX-ZY) || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und die offene Teilemenge {{ Ma:Vergleichskette | D(X,Y) |\subseteq| {{op:Spek|R|}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Integritätsbereich/Spektrum/Strukturgarbe direkt/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | q || \frac{Z}{X} || \frac{W}{Y} || || |SZ= }} eine auf {{math|term= U|SZ=}} definierte algebraische Funktion, also ein Element aus {{mathl|term= {{op:SchnittringX|U|}} |SZ=.}} Es gibt aber außer den Einheiten kein Element {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |(X,Y) |\subseteq| (f) || || || |SZ=, }} da {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Deshalb ist {{math|term= q|SZ=}} kein Schnitt der Prägarbe aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Spektrum/Prägarbe/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} über {{math|term= U|SZ=,}} aber ein Schnitt ihrer {{ Definitionslink |Prämath= |Vergarbung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quadrik UX-VY |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hj1z4pzytg4wvmzxozrk1wstrtm0mqj 0 112247 786602 759621 2022-08-22T11:52:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |X ||{{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || {{op:SchnittringX|X|}} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= D(f)|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Invertierbarkeitsort| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X_f|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ndxpwc64e1tw8nx1rmwrxftnn3limh6 0 112249 782954 756698 2022-08-22T02:08:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || {{op:Spek|R|}} || || |SZ= }} eine offene Teilmenge. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:SchnittringX|U|}} || \bigcap_{ f \neq 0, \, D(f) \subseteq U } R_f || || || |SZ=, }} wobei der Durchschnitt im {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q(R)|SZ=}} genommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r7o26u8yhfmy9z6k8kj8vsmumg59rik 0 112250 782177 756052 2022-08-21T23:58:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |faktorieller Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \geq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Restriktionsabbildung| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R {{=|}} {{op:SchnittringX|X }} | {{op:SchnittringX|X \setminus \{ {{idealm |}} \} }} || |SZ= }} bijektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fvwizynzi3eiqm54fbs4voo0sc6j1gv 0 112264 786038 759193 2022-08-22T10:19:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Die Funktion {{math|term= f|SZ=}} ist durch ihre Werte auf {{math|term= \Q|SZ=}} eindeutig festgelegt. |Der Funktionswert {{mathl|term= f(a)|SZ=}} ist durch die Funktionswerte {{ mathbed|term= f(x) ||bedterm1= x \neq a ||bedterm2= |SZ=, }} festgelegt. |Wenn für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |<|a || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) |\leq|c || || || |SZ= }} gilt, so gilt auch {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(a) |\leq|c || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1rsko85uo9ubdi4gbx103ggl99bjkpb 0 112270 786036 759189 2022-08-22T10:19:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Reihe|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a_k |\geq|0 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= k|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Reihe genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |konvergent| |Kontext=Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn sie {{ Definitionslink |Prämath= |nach oben beschränkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bse5msflo1kgxlnedaa6fpyupze92hn 0 112271 786035 759188 2022-08-22T10:18:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Reihe|}} |SZ=,}} die {{ Zusatz/Klammer |text=als Folge von Partialsummen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0icbvzxzg9koiwzq654gnszs2bjlhfo 0 112272 786034 759187 2022-08-22T10:18:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Reihe|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |absolut konvergente| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch jede {{ Definitionslink |Prämath= |Umordnung| |Kontext=Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Reihe gegen den gleichen Grenzwert konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} olscry50yb7mf52miehxzeg6vglwjc6 0 112297 780523 604795 2022-08-21T19:22:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für die in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Achsenkreuz/Punktiert/Globale Funktion/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} betrachtete offene Menge {{ Ma:Vergleichskette |U ||D(X+Y) || || || |SZ= }} gilt. Beschreibe{{n Sie}} die dort betrachtete Funktion mit dem Nenner {{math|term= X+Y|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} myc9guaq5wl2016chakvmb0pxbgfxzv 0 112301 784604 758121 2022-08-22T06:34:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f,g |\in|R || || || |SZ= }} Elemente. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung7 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |D(f) |\subseteq|D(g) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=im {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Radikal|(f)|}} |\subseteq| {{op:Radikal|(g)|}} || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{op:Radikal|(g)|}} || || || |SZ=. }} |Es gibt {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |f^n |\in| (g) || || || |SZ= }} |Das Element {{math|term= g|SZ=}} teilt eine Potenz von {{math|term= f|SZ=.}} |Es ist {{math|term= g|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R_f|SZ=.}} |Es gibt einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |R_g|R_f || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie2=Theorie der Radikale (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pv5rl9l3san56sgt5tnwxtphn2kd4eq 0 112314 783961 770119 2022-08-22T04:56:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X|}} |}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokal beringter Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jedes Funktionstupel {{ Ma:Vergleichskette |f_1 {{kommadots|}} f_n |\in| {{op:SchnittringX|X|}} || || || |SZ= }} einen eindeutig bestimmten {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus lokal beringter Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |X| {{op:Affiner Raum|n|\Z|}} || |SZ= }} definiert, wobei die Variable {{math|term= T_i|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=des affinen Raumes| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term= f_i|SZ=}} abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} okygiefrtk2fu8w1aeennmzax2aqei2 0 112315 780628 754758 2022-08-21T19:40:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= A,B|SZ=}} seien kommutative {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \varphi |A|B || |SZ= }} dasselbe ist wie ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schemamorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \psi | {{op:Spek|B|}} | {{op:Spek|A|}} || |SZ= }} über {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4xjetd46m3xzif0pifhqkijg66sausm 0 112320 786008 759147 2022-08-22T10:14:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |T ||{{Mengebed| {{op:Bruch|1|n}}|n \in \N_+ }} |\subseteq |\R || || || |SZ= }} die Menge der Stammbrüche und {{mathl|term= {{Op:Folge}} |SZ=}} eine reelle Folge. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |b |\in|\R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |D ||T \cup \{0\} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Die Folge {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term= b|SZ=.}} |Die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |T|\R || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f {{makl| {{op:Bruch|1|n}} |}} || x_n || || || |SZ= }} besitzt den {{ Definitionslink |Prämath= |Grenzwert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |{{op:Funktionslimes|x|0|f(x)}} ||b || || || |SZ=. }} |Die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{f} |D|\R || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{ f} {{makl| {{op:Bruch|1|n}} |}} || x_n || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\tilde{f}(0) ||b || || || |SZ= }} ist stetig. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Objektkategorie=Der Stammbruchraum |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tqj1w3bgdx7gl64xc5rd6s4eyisbvks 0 112325 778903 763115 2022-08-21T15:04:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die affine Gerade zweifach, also {{ Ma:Vergleichskette |U || {{op:Affine Gerade|K|}} || {{op:Spek|K[S]|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V || {{op:Affine Gerade|K|}} || {{op:Spek|K[T]|}} || || || |SZ= }} mit den offenen Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette | U' || {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{ (S) \} || {{op:Spek|K[S,S^{-1}]|}} |\subset|{{op:Affine Gerade|K|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | V' || {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{ (T) \} || {{op:Spek|K[T,T^{-1}]|}} |\subset|{{op:Affine Gerade|K|}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=beringter Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |U'|V' || |SZ=, }} der durch {{mathl|term= S \mapsto T|SZ=}} festgelegt ist und wir wollen {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Beringte Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} miteinander verkleben. Das sich ergebende Gebilde {{math|term= X|SZ=}} ist ein Schema, das man die in einem Punkt verdoppelte Gerade nennt. Die beiden durch {{ mathkor|term1= (S) |bzw.|term2= (T) |SZ= }} gegebenen Punkte auf {{math|term= X|SZ=}} nennen wir {{ mathkor|term1= P |bzw.|term2= Q |SZ=. }} Es liegt das kommutative Diagramm {{ Zusatz/Klammer |text=von Restriktionshomomorphismen| |ISZ=|ESZ= }} {{Kommutatives Quadrat/ru| {{op:SchnittringX|X|}} | {{op:SchnittringX|U|}} {{=|}} K[S] | {{op:SchnittringX|V|}} {{=|}} K[S] | {{op:SchnittringX|U'|}} {{=|}} K[S,S^{-1}] }} vor, wobei wir die Identifizierung {{ Ma:Vergleichskette |S ||T || || || |SZ= }} vorgenommen haben. Aus der Garbenbedingung folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:SchnittringX|X|}} || K[S] || || || |SZ= }} und die globalen Funktionen haben in {{math|term= P|SZ=}} und in {{math|term= Q|SZ=}} den gleichen Wert. Mit einer ähnlichen Überlegung lässt sich zeigen, dass die Halme {{ Ma:Vergleichskette | {\mathcal O}_{X,P} || {\mathcal O}_{X,Q} || K[S]_{(S)} || || |SZ= }} übereinstimmen {{ Zusatz/Klammer |text=alles spielt sich im Funktionenkörper {{math|term= K(S)|SZ=}} ab| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lgqhvjku6vvo21yi75w4mecrmh05ses 0 112332 786464 759525 2022-08-22T11:29:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Trennungseigenschaft| |Kontext=T0| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= T0|SZ=}} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Topologie von Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bpzbvcvyeos2qqhhcb4rc4iirozthl2 0 112335 780623 754753 2022-08-21T19:39:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für ein {{ Definitionslink |Prämath= |affines Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |X || {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} folgende Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |In {{math|term= R|SZ=}} ist jedes {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |maximal| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |In {{math|term= X|SZ=}} ist jeder Punkt {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} | {{math|term= X|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hausdorffraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Topologie von Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oyvjuoy5zqu4rxghh6sa70ywmyb82cm 0 112337 783000 756760 2022-08-22T02:15:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} jede nichtleere offene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |dicht| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Irreduzibilität (Topologie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t43bg28w741n58borg78gnbich3vnyi 0 112340 778902 763114 2022-08-21T15:03:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die affine Gerade zweifach, also {{ Ma:Vergleichskette |U || {{op:Affine Gerade|K|}} || {{op:Spek|K[S]|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V || {{op:Affine Gerade|K|}} || {{op:Spek|K[T]|}} || || || |SZ= }} mit den offenen Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette | U' || {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{ (S) \} || {{op:Spek|K[S,S^{-1}]|}} |\subset|{{op:Affine Gerade|K|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | V' || {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{ (T) \} || {{op:Spek|K[T,T^{-1}]|}} |\subset|{{op:Affine Gerade|K|}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=beringter Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |U'|V' || |SZ=, }} der durch {{mathl|term= S \mapsto T^{-1}|SZ=}} festgelegt ist und wir wollen {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Beringte Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} miteinander verkleben. Das sich ergebende Gebilde {{ Ma:Vergleichskette |X || {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} ist ein Modell für die projektive Gerade über {{math|term= K|SZ=.}} Die beiden durch {{ mathkor|term1= (S) |bzw.|term2= (T) |SZ= }} gegebenen Punkte auf {{math|term= X|SZ=}} nennen wir {{ mathkor|term1= P |bzw.|term2= Q |SZ=. }} Wenn bei {{ Ma:Vergleichskette |K || \R || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der metrischen Topologie| |ISZ=|ESZ= }} eine Folge in {{math|term= U'|SZ=}} gegen {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|U || || || |SZ= }} konvergiert, so divergiert sie in {{math|term= V|SZ=}} bestimmt gegen unendlich. Es liegt das kommutative Diagramm {{ Zusatz/Klammer |text=von Restriktionshomomorphismen| |ISZ=|ESZ= }} {{Kommutatives Quadrat/ru| {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}}|}} |}} | {{op:Schnitte| U | {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}}|}} |}} {{=|}} K[S] | {{op:Schnitte| V| {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}}|}} |}} {{=|}} K[T] {{=|}} K[S^{-1} ] | {{op:Schnitte| U' | {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}}|}} |}} {{=|}} K[S,S^{-1}] }} vor, wobei wir die Identifizierung {{ Ma:Vergleichskette |S ||T^{-1} || || || |SZ= }} vorgenommen haben. Aus der Garbenbedingung folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:SchnittringX|X|}} || K || || || |SZ=, }} da nur die konstanten Funktionen sowohl in {{mathl|term= K[S]|SZ=}} als auch in {{mathl|term= K[S^{-1}]|SZ=}} sind {{ Zusatz/Klammer |text=es wird der Durchschnitt im {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K(S)|SZ=}} genommen| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {\mathcal O}_{X,P} || K[S]_{(S)} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {\mathcal O}_{X,Q} || K[S^{-1} ]_{(S^{-1})} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der projektiven Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0012cfr5z6xyk53un2dnwjcht2lvop8 0 112404 786102 667443 2022-08-22T10:30:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man entwerfe|Entwerfen Sie}} ein Computer-Programm {{ Zusatz/Klammer |text=Pseudocode| |ISZ=|ESZ=, }} das eine reelle Nullstelle zu einem Polynom {{mathl|term= dX^3+cX^2+bX+a|SZ=}} vom Grad {{math|term= 3|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{ Ma:Vergleichskette |d |\neq|0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} bis auf eine vorgegebene Genauigkeit von {{ Ma:Vergleichskette |e |>|0 || || || |SZ= }} berechnet. {{ Auflistung8 |Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die reelle Zahlen enthalten können. |Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben. |Er kann einen Speicherinhalt halbieren und in einen weiteren Speicher schreiben. |Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben. |Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben. |Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen. |Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken. |Es gibt einen Haltebefehl. }} Die Anfangskonfiguration sei {{ math/disp|term= (a,b,c,d,e,1,0, \ldots ) |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |d |\neq| 0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |e |>|0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die Koeffizienten des Polynoms, die gewünschte Genauigkeit {{math|term= e|SZ=}} und die {{math|term= 1|SZ=}} stehen also in den ersten Speichern| |ISZ=|ESZ=. }} Das Programm soll die Intervallgrenzen für eine Nullstelle mit der gewünschten Genauigkeit in einem Antwortsatz ausdrucken und anschließend anhalten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der Algorithmen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kdkjl0satfjk452cp4lcyzocptob8a6 0 112409 778599 762515 2022-08-21T12:27:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion über die abgeschlossenen Teilmengen von {{math|term= X|SZ=.}} Angenommen, nicht jede abgeschlossene Teilmenge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq|X || || || |SZ=, }} ohne eine solche Zerlegung. Diese Menge {{math|term= V}} kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung {{ Ma:Vergleichskette |V ||V_1 \cup V_2 || || || |SZ=. }} Da {{math|term= V_1}} und {{math|term= V_2}} echte Teilmengen von {{math|term= V}} sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von {{math|term= V|SZ=,}} was ein Widerspruch ist. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=Zur Eindeutigkeit.|Teilstrategie= |Teilbeweis= Seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |X || V_1 \cup \ldots \cup V_k || W_1 \cup \ldots \cup W_m || || |SZ= }} zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils ohne Inklusionsbeziehung| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_1 || V_1 \cap X || V_1 \cap (W_1 \cup \ldots \cup W_m) || (V_1 \cap W_1 ) \cup \ldots \cup (V_1 \cap W_m) || |SZ=. }} Da {{math|term= V_1}} irreduzibel ist, muss {{ Ma:Vergleichskette |V_1 |\subseteq| W_j || || || |SZ= }} für ein {{math|term= j}} sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument {{ Ma:Vergleichskette |W_j |\subseteq| V_i || || || |SZ= }} für ein {{math|term= i}}, woraus {{ Ma:Vergleichskette |i ||1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V_1 ||W_j || || || |SZ= }} folgt. Ebenso findet sich {{math|term= V_2}} etc. in der Zerlegung rechts wieder, so dass die Zerlegung eindeutig ist. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e3w4n2h2sksr7imo3pnjr5rhjufi6md 0 112427 778455 762406 2022-08-21T12:05:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach Voraussetzung ist {{math|term= Y|SZ=}} nicht leer. Sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|Y || || || |SZ= }} ein Punkt und {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|W || {{op:Spek|R|}} || || |SZ= }} eine offene {{ Definitionslink |Prämath= |affine Umgebung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y \cap W |\subseteq|W || || || |SZ= }} eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge in einem affinen Schema. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affines Schema/Irreduzible Teilmenge/Primideal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |Y \cap W || V( {{idealp|}} ) || || || |SZ= }} mit einem Primideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} |\in|W || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} der generische Punkt von {{math|term= Y|SZ=}} ist. Wenn {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} offen und {{mathl|term= Y \cap U|SZ=}} nicht leer ist, so ist auch {{mathl|term= Y \cap U \cap W|SZ=}} wegen der Irreduzibilität von {{math|term= Y|SZ=}} nicht leer und daher {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} |\in| U || || || |SZ=. }} Der generische Punkt ist eindeutig bestimmt, da er als Punkt im affinen Schema {{math|term= W|SZ=}} eindeutig bestimmt ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3gxdve4advrht278t7htu85prqmgb43 0 112428 784658 758161 2022-08-22T06:41:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch jede Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |Y |\subseteq|X || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |induzierten Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wieder noethersch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der noetherschen topologischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hl976b8qtqvnumdd123c4n36en89z91 0 112430 784657 758160 2022-08-22T06:41:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jede Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |Y |\subseteq|X || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |induzierten Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quasikompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der noetherschen topologischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h571xrmzl6ses9fotxopnazp1kg10fd 0 112449 781017 770113 2022-08-21T20:44:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beringter Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung2 |{{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |reduzierter beringter Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|X || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Halm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Strukturgarbe||}}_{X,P} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |reduziert| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aac4z4gr5fwovbeja90wkk8tsdubb62 0 112454 780622 754751 2022-08-21T19:39:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |X || {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |Y ||V( {{idealp|}} ) |\subseteq|X || || |SZ= }} die abgeschlossene Teilmenge zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |generische Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= V( {{idealp|}} )|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Topologie von Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1nlmyhdpvalws24a55za2fhze7hkyjb 0 112462 783306 757007 2022-08-22T03:06:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |X || {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} das zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |affine Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= X|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |noethersches Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der noetherschen Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3l9626olw3bfyqt57983xb4m4kouyoh 0 112467 783279 756982 2022-08-22T03:02:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Spek|R|}} || \bigcup_{i \in I} D(f_i) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |f_i |\in| R || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Erweiterungsideale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{ideala|}}R_{f_i} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugt| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} endlich erzeugt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qb6zd7d27ykncirsfub8e83ri00h27m 0 112493 785429 605561 2022-08-22T08:38:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Affine Geraden/Punktiert/Verklebung/Projektive Gerade/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} über Verklebungen konstruierte projektive Gerade {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} mit der projektiven Geraden im Sinne von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Projektiver Raum/Schema/Affine Räume/Überdeckung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} also {{mathl|term= {{op:Proj|K[X,Y]|}} |SZ=,}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9yjga34qgp73w0s2wwmvex51tzle310 0 112499 778514 762449 2022-08-21T12:14:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |A ||A_0 [X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]/ {{ideala|}} || || || |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq| A_0 [X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ=. }} Zur Restklassenabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\theta |A_0 [X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] | A || |SZ= }} gehört nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Schemamorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=i |{{op:Proj|A|}}| {{op:Projektiver Raum|n|A_0}} || |SZ=. }} So wie die {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Spek|A|}} | V( {{ideala|}} ) \subseteq {{op:Affiner Raum|n+1| A_0|}} | {{idealp|}} | \theta^{-1}({{idealp|}}) |SZ=, }} eine Homöomorphie ist, ist auch die vorliegende projektive Variante eine Homöomorphie auf {{mathl|term= V_+( {{ideala|}} )|SZ=.}} D.h. insbesondere, dass {{mathl|term= {{op:Proj|A|}}|SZ=}} in natürlicher Weise einer abgeschlossenen Teilmenge des projektiven Raumes über {{math|term= A_0|SZ=}} entspricht. Wir müssen noch zeigen, dass der Garbenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|A_0}} }} | i_* {{op:Strukturgarbe| {{op:Proj|A}} }} || |SZ= }} surjektiv ist. Auf {{mathl|term= D_+(f)|SZ=}} zu einem homogenen Element {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|A_0[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ]_+ || || || |SZ= }} ist dies aber die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{makl| A_0[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{f} |}}_0| {{makl| A_f |}}_0 || |SZ=, }} und diese ist surjektiv. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6hu6onyfwe9q8u8z89lgb03j3sa2gms 0 112511 785986 759125 2022-08-22T10:10:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=Basis R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R |\R |x|b^x |SZ=, }} bei {{ Ma:Vergleichskette |b |>|1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |streng wachsend| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und bei {{ Ma:Vergleichskette |b |<|1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |streng fallend| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 993vyl0lk9g1uxxok868bvupw1aek09 0 112518 779687 763690 2022-08-21T17:07:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Unterringbeziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |\subseteq|K[X_0, X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} führt im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Schemamorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektiver Raum|n|K}} \supset D_+(X_1 {{kommadots|}} X_n)| {{op:Projektiver Raum|n-1|K}} || |SZ=. }} Einem {{math|term= K|SZ=-}}Punkt mit den homogenen Koordinaten {{mathl|term= (x_0,x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ=}} wird der Punkt {{mathl|term= (x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ=}} zugeordet, und diese Abbildung ist nur auf der angegebenen offenen Teilmenge definiert, es gibt keine sinnvolle Fortsetzung auf den Punkt {{mathl|term= (1,0 {{kommadots}} 0 )|SZ=.}} Man spricht von der {{Stichwort|Projektion weg von einem Punkt|msw=Projektion weg vom Punkt|SZ=.}} In den affinen Räumen {{ mathkor|term1= {{op:Affiner Raum|n+1|K}} |bzw.|term2= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ= }} interpretiert bedeutet die Abbildung, dass eine jede Gerade auf eine Hyperebene projiziert wird. Für die Gerade, die {{Anführung|senkrecht}} auf der Hyperebene steht, ist dies nicht wohldefiniert, da die Projektion keine Gerade liefert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Projektion weg von einem Punkt |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} stsoorolnacm5qj9rbjrjsck9ueuj08 0 112535 778502 762439 2022-08-21T12:12:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies beruht darauf, dass {{math|term= {{op:Modulgarbespektrum|M|}} |SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Vergarbung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= U \mapsto {{op:Kolimes|M_f| U \subseteq D(f) }} |SZ=}} definiert wird und die Modulstruktur sich auf die Vergarbung vererbt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0iok2wfyor6premvxlwty10migpkyab 0 112537 779889 763818 2022-08-21T17:37:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Dann kann man eine {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Moduln definieren, indem man zu einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} die Festlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Garbe|P|U}} || {{op:Kolimes|M_f| U \subseteq D(f) }} || || || |SZ= }} trifft. Dies sind Moduln über dem Ring {{mathl|term= {{op:Kolimes|R_f| U \subseteq D(f) }} |SZ=}} und es liegen natürliche Restriktionshomomorphismen vor, die mit den Modulstrukturen verträglich sind. Der Halm dieser Prägarbe in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ist {{mathl|term= M_{{idealp}} |SZ=}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} imvnblxdzilo62jguaymapaal9mxq6h 0 112541 786463 770122 2022-08-22T11:29:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|F|}} |und|term2= {{op:Garbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quasikohärente Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}} \oplus {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} wieder quasikohärent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i01xe2v8jk89rrjdr21kl2uiu3qzkb9 0 112543 786460 770121 2022-08-22T11:29:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|F|}} |und|term2= {{op:Garbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kohärente Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}} \oplus {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} wieder kohärent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kohärenten Moduln auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cxinar71x8db0z9g46e0bix6zqjkj5l 0 112544 786461 759523 2022-08-22T11:29:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen gelten. {{ Aufzählung4 |Die Strukturgarbe {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X|}} |SZ=}} wird {{ Definitionslink |Prämath= |von globalen Schnitten erzeugt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Ein {{ Definitionslink |Prämath= |quasikohärenter Modul| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|M|}} |SZ=}} wird genau dann von globalen Schnitten erzeugt, wenn es einen {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiven| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Modulhomomorphismus| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= | {{op:Strukturgarbe|X|}}^{(I)} | {{op:Garbe|M|}} || |SZ= }} gibt. |Auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird jeder quasikohärente Modul von globalen Schnitten erzeugt. |Wenn {{math|term= {{op:Garbe|M|}} |SZ=}} von globalen Schnitten erzeugt wird und {{ Ma:abb |name= | {{op:Garbe|M|}}|{{op:Garbe|N|}} || |SZ= }} surjektiv ist, so wird auch {{math|term= {{op:Garbe|N|}}|SZ=}} von globalen Schnitten erzeugt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 73dsdd87t7711z9bmni2ihkokkfowfc 0 112555 779616 751650 2022-08-21T16:57:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum Polynomring {{mathl|term= K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ]|SZ=}} in {{math|term= n+1|SZ=}} Variablen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardgraduierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Kegelabbildung| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition }} gleich {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Affiner Raum|n+1|K}} \supset D( X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ) | {{op:Projektiver Raum|n|K}} | {{idealp|}} | {{idealp|}}^h |SZ=. }} Auf den {{math|term= K|SZ=-}}Punkten ist diese Abbildung einfach durch {{ Ma:abbele/disp |name= | K^{n+1} \setminus\{0\} |{{op:Projektiver Raum|n|}}(K) | {{op:Zeilenvektor|x_0|x_1|\ldots |x_n}} | {{op:Zeilenvektor|x_0|x_1|\ldots |x_n}} |SZ=, }} geben, die einem Punkt {{math|term= \neq 0|SZ=}} die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kegelabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c1jd0y1pqaqokfu26wl4igzum1rrwnf 0 112567 785459 758730 2022-08-22T08:43:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette |D_+( {{ideala|}} ) |\subseteq| {{op:Proj|R|}} || || || |SZ= }} zu {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierten| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ring {{math|term= R|SZ=}} in der Tat eine {{ Definitionslink |Prämath= |Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Spektrum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Proj|R|}} |SZ=}} festlegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3va0b3fgzpfsyvw5cej923o71tvikia 0 112569 785460 758731 2022-08-22T08:43:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die offenen Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette |D_+(f ) |\subseteq| {{op:Proj|R|}} || || || |SZ= }} zu {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Elementen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R_+ || || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierten| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ring {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Spektrum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gmo9yexyfkatuu2qju7a1mq7zk4fgsv 0 112570 783091 756833 2022-08-22T02:30:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]/ {{ideala|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |standard-graduierte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Diagramm {{Kommutatives Rechteck/23/ru| {{op:Spek|R|}} \supseteq D(R_+) |V( {{ideala|}} ) \cap D(X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n) |{{op:Affiner Raum|n+1|K}}\supseteq D(X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n) | {{op:Proj|R|}} | V_+( {{ideala|}} ) | {{op:Projektiver Raum|n|K}} }} aus {{ Definitionslink |Prämath= |Schemamorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kommutiert, wobei die vertikalen Abbildungen links und rechts {{ Definitionslink |Prämath= |Kegelabbildungen| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind und die horizontalen Abbildungen Isomorphien und die natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossenen Einbettungen| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kegelabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kegelabbildung |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} df1g0t6ecyh8qsl5tguf83bl1wqi9s0 0 112572 780522 754696 2022-08-21T19:22:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Spektrum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Achsenkreuz {{mathl|term= {{op:Spek|K[X,Y]/(XY)|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in der Standardgraduierung| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 519z79sc9nnxailxyc122n7b4d8f9oh 0 112573 780513 754690 2022-08-21T19:20:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Spektrum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu den Achsenebenen {{mathl|term= {{op:Spek|K[X,Y,Z]/(XYZ)|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in der Standardgraduierung| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} io08hw86lex28cauli5grwiy3dd67r2 0 112584 781010 770108 2022-08-21T20:43:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|F|}} |und|term2= {{op:Garbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X}} |Moduln| |Kontext=beringter Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}} \oplus {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} ein {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X|}} |SZ=-}}Modul ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Moduln auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n0u27rc5mcfq4neexyqsskzyafzes5u 0 112586 781018 770114 2022-08-21T20:45:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}} )|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beringter Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| {{op:SchnittringX|X|}} || || || |SZ= }} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X}} |Modulhomomorphismus| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= | {{op:Strukturgarbe|X}} | {{op:Strukturgarbe|X}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7wm1oe6wunfgvibuo0aeusi6til1lta 0 112588 780999 770099 2022-08-21T20:41:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}} )|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beringter Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{ Ma:Vergleichskette |s_1 {{kommadots|}} s_n |\in| {{op:SchnittringX|X|}} || || || |SZ= }} globale Schnitte, die in {{mathl|term= {{op:SchnittringX|X|}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erzeugen. Zeige{{n Sie}}, dass der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X}} |Modulhomomorphismus| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele |name= | {{op:Strukturgarbe|X}}^n | {{op:Strukturgarbe|X}} |e_i|s_i |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jnm3k5bbsrbo2l4oodoo66l5mok952k 0 112589 781000 770100 2022-08-21T20:42:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}} )|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beringter Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{ Ma:Vergleichskette |s_1 {{kommadots|}} s_n |\in| {{op:SchnittringX|X|}}^n || || || |SZ= }} globale Schnitte mit {{ Ma:Vergleichskette |s_i || {{op:Zeilentupel|s_{i1}|\ldots|s_{in}|}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| s_{ij} |}}_{1 \leq i,j \leq n} |SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:SchnittringX|X|}} |SZ=}} ist, wenn der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X}} |Modulhomomorphismus| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele |name= | {{op:Strukturgarbe|X}}^n | {{op:Strukturgarbe|X}}^n |e_i|s_i |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2p6kd3rmedsen7zz1fgop32tx78b5cz 0 112590 785569 770120 2022-08-22T09:01:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U || {{makl| {{op:Affine Ebene|K}} \setminus \{ (0,0) \}, {{op:Strukturgarbe|X|}} |}} || || || |SZ= }} die punktierte affine Ebene. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für globale Schnitte {{ Ma:Vergleichskette |s_1,s_2 |\in| {{op:SchnittringX|U|}} || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= (s_1,s_2)|SZ=}} nicht das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dass aber der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X}} |Modulhomomorphismus| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele |name= | {{op:Strukturgarbe|U}}^2 | {{op:Strukturgarbe|U}} |e_i|s_i |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem Schema |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} brud20jvfmsdl4lfpgszgn3zyuiq5c9 0 112599 785444 605993 2022-08-22T08:40:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der globale Schnittring {{mathl|term= {{op:Schnitte| {{op:Projektiver Raum|n|R}} | {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|R}} |}} }} |SZ=}} des projektiven Raumes gleich {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ggy41h9bkha3e1eab415x9shl6t6h5 0 112641 779682 751723 2022-08-21T17:07:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Strukturgarbe| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist für jede offene Teilmenge {{math|term= U|SZ=}} eine Teilmenge des Funktionenkörpers {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte|U| {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|K}}|}} }} |\subseteq| K( {{op:Bruch|X_1|X_0}} {{kommadots}} {{op:Bruch|X_n|X_0}} ) || || || |SZ=. }} Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom {{math|term= f|SZ=}} von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |D_+( {{ideala}} ) |\subseteq| D_+(f) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=daei ist hier {{ Ma:Vergleichskette |f ||1 || || || |SZ= }} erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise {{math|term= D_+(f)|SZ=}} nicht verwendet wird. |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Spektrum/Faktorieller Bereich/Prägarbe/Strukturgarbe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der globale Schnittring gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte|U| {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|K}}|}} }} || {{op:Schnitte|D_+(f)| {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|K}}|}} }} || {{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]_f |}}_0 |\subseteq| K( {{op:Bruch|X_1|X_0}} {{kommadots}} {{op:Bruch|X_n|X_0}} ) || || || |SZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette | \ell |\in|\Z || || || |SZ= }} fixiert. Wir definieren eine Garbe {{math|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|K}} |\ell}}|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte| U| {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|K}} |\ell}} |}} || {{op:Schnitte| D_+(f) | {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|K}} |\ell}} |}} | {{defeq|}} | {{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] _f|}}_\ell || |SZ=. }} Dabei handelt es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D_+(X_0)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso auf den {{mathlk|term=D_+(X_i)|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist nämlich {{ Ma:abbele/disp |name= |{{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]_{X_0} |}}_0 | {{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]_{X_0} |}}_\ell | {{op:Bruch|F|G}} | X_0^\ell \cdot {{op:Bruch|F|G}} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath={{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]_{X_0} |}}_0 |Modulisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach {{mathl|term= {{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] |}}_\ell |SZ=,}} was zeigt, dass {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Ma:Vergleichskette/k |n |\geq|1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} diese invertierbaren Garben zu {{ Ma:Vergleichskette |\ell |\geq|0 || || || |SZ= }} nicht zueinander isomorph sind {{ Zusatz/Klammer |text=das stimmt für alle {{math|term= \ell|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f6ml3rj4vr96ca1g07boumk79cot3ci 0 112658 785290 758607 2022-08-22T08:15:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \sum_{k=0}^\infty c_k z^k|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Potenzreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die eine {{ Definitionslink |Prämath= |ungerade Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} darstelle. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |c_k ||0 || || || |SZ= }} für alle geraden Indizes ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gwq6ex52to13t0gcdbv5d776ci82j5z 0 112659 785280 758599 2022-08-22T08:13:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Potenzreihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sum_{n=0}^\infty c_n z^n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |c_n ||0 || || || |SZ= }} für alle ungeraden Indizes eine {{ Definitionslink |Prämath= |gerade Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} darstellt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cx2mt8b0ive4rklgx5xtj1bl8iisljd 0 112698 781015 770112 2022-08-21T20:44:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beringter Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}} , {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Modulgarben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Halm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= U \longmapsto {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|F|}} }} {{tensor| {{op:SchnittringX|U|}} }} {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} }} |SZ= }} in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|X || || || |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Kolimeses|P \in U| {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|F|}} }} {{tensor| {{op:SchnittringX|U|}} }} {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} }} }} || {{makl| {{op:Kolimeses|P \in U| {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|F|}} }} }} |}} {{tensor| {{makl| {{op:Kolimeses|P \in U| {{op:SchnittringX|U| }} }} |}} }} {{makl| {{op:Kolimeses|P \in U| {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} }} }} |}} || {{op:Garbe|F|}}_P {{tensor| {{op:Garbe|O}}_{X,P} }} {{op:Garbe|G|}}_P || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Moduln auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ekpb4j66n24gd3j3ddhogw0mch8i9rc 0 112699 781002 770102 2022-08-21T20:42:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |duale Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Duale Modulgarbe| {{op:Garbe|L|}} |}} |SZ=}} ebenfalls invertierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf beringten Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lyh7vx8f9a3745f1kxswzl1939wfnxv 0 112701 781004 770104 2022-08-21T20:42:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|L|}} |und|term2= {{op:Garbe|M|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorierung| |Kontext=Modulgarben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Garbe|L|}} {{tensor| {{op:Strukturgarbe|X}} }} {{op:Garbe|M|}} |SZ=}} ebenfalls invertierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf beringten Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fn2vtw15s1r7pygxc6hrs92k6001lsl 0 112702 781003 770103 2022-08-21T20:42:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=}} und sei {{math|term= {{op:Duale Modulgarbe| {{op:Garbe|L|}} |}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |duale Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X}} |Isomorphismus| |Kontext=Modulgarben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Garbe|L|}} {{tensor|{{op:Strukturgarbe|X}} }} {{op:Duale Modulgarbe| {{op:Garbe|L|}} |}} |{{op:Strukturgarbe|X}} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf beringten Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 63y45aefy86q2b8agz1a0xuohbirhtd 0 112703 781014 770111 2022-08-21T20:44:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Modulgarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=}} und sei {{math|term= {{op:Duale Modulgarbe| {{op:Garbe|F|}} |}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |duale Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X}} |Homomorphismus| |Kontext=Modulgarben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Garbe|F|}} {{tensor|{{op:Strukturgarbe|X}} }} {{op:Duale Modulgarbe| {{op:Garbe|F|}} |}} |{{op:Strukturgarbe|X}} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Moduln auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o7bq9e669t8m55okwmgps1xwgwgsb45 0 112712 778513 762448 2022-08-21T12:14:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zu einem homogenen Element {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R_+ || || || |SZ= }} gibt es einen {{ Definitionslink |Prämath=(R_f)_0 |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | (M_f)_0 {{tensor| (R_f)_0 }} (R_f)_n | (M_f)_n |{{op:Bruch|m|f^k}} {{tensor|}} {{op:Bruch|r|f^\ell}} | {{op:Bruch|rm|f^{k+\ell}}} |SZ=, }} der unmittelbar von der {{ Zusatz/Klammer |text=homogenen| |ISZ=|ESZ= }} Modulmultiplikation {{ Ma:abb |name= | M \times R| M || |SZ= }} herrührt. Diese Homomorphismen induzieren für jede offene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{op:Proj|R|}} || || || |SZ= }} einen Modulhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Kolimes| {{makl| (M_f)_0 {{tensor| (R_f)_0 }} (R_f)_n |}} |U \subseteq D_+(f) |}} | {{op:Kolimes|(M_f)_n|U \subseteq D_+(f) |}} || |SZ=, }} der insgesamt ein Homomorphismus von Prägarben ist. Wegen {{ Ma:Vergleichskette | (M(n)_f)_0 || (M_f)_n || || || |SZ= }} ist die Vergarbung der Prägarbe rechts gleich {{mathl|term= {{op:Modulgarbeprojektivesspektrum|M(n)|}} |SZ=.}} Die Vergarbung der linken Seite {{ Zusatz/Klammer |text=in zwei Schritten| |ISZ=|ESZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Modulgarbeprojektivesspektrum|M|}} {{tensor| {{op:Strukturgarbe| {{op:Proj|R|}} |}} }} {{op:Getwistete Strukturgarbe|Y|n}} |SZ=,}} so dass ein Homomorphismus von Moduln {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Modulgarbeprojektivesspektrum|M|}} {{tensor| {{op:Strukturgarbe| {{op:Proj|R|}} |}} }} {{op:Getwistete Strukturgarbe|Y|n}} | {{op:Modulgarbeprojektivesspektrum|M(n)|}} || |SZ=, }} vorliegt. Dass ein Isomorphismus vorliegt kann auf einer affinen Überdeckung gezeigt werden. Wenn {{math|term= f|SZ=}} homogen ist, so ist der obige {{math|term= (R_f)_0|SZ=-}}Modulhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | (M_f)_0 {{tensor| (R_f)_0 }} (R_f)_n | (M_f)_n || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affines Schema/Moduln/Tensorprodukt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Graduierter Modul/Garbe/Quasikohärenz/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich der Auswertung des vergarbten Homomorphismus. Wenn {{math|term= f|SZ=}} den Grad {{math|term= 1|SZ=}} besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=und die zugehörigen offenen Mengen {{math|term= D_+(f)|SZ=}} überdecken {{math|term= Y|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} so liegt ein Isomorphismus vor. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Graduierter Ring/Stufe mit Einheit/Isomorph/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |(R_f)_0 |\cong| (R_f)_n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{mathl|term= 1 \mapsto f^n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} so dass links ein zu {{math|term= (M_f)_0|SZ=}} isomorpher Modul steht. Mit dieser Identifizierung ist die Abbildung durch {{mathl|term= {{op:Bruch|m|f^k}} \mapsto f^n \cdot {{op:Bruch|m|f^k}} |SZ=}} gegeben, und diese ist bijektiv, da {{math|term= f|SZ=}} eine Einheit ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6vlzjg4afhmd4to4sl2xlncqqd4jnao 0 112718 781008 770106 2022-08-21T20:43:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|F|}} |und|term2= {{op:Garbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lokal freie Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=lokal frei| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= r |bzw.|term2= s |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}} {{tensor| {{op:Strukturgarbe|X}} }} {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} lokal frei vom Rang {{math|term= rs|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf beringten Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6xuyef7cidt33ix5dge3gbgr598qy7j 0 112720 781006 755073 2022-08-21T20:43:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|F|}} |und|term2= {{op:Garbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lokal freie Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=lokal frei| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= r |bzw.|term2= s |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}} \oplus {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} lokal frei vom Rang {{math|term= r+s|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf beringten Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4a7jkiwnja11kcew4pondt89jrdsnq3 0 112730 778453 762403 2022-08-21T12:04:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Durch die Addition {{ Ma:abbele/disp |name= | V \times_X V| V || |SZ= }} gibt es aufgrund von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Geometrisches Vektorbündel/Direkte Summe/Garbe der Schnitte/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine wohldefinierte Addition auf der Garbe der Schnitte, wodurch {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} wegen {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Geometrisches Vektorbündel/Addition/Eigenschaften/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu einer Garbe von kommutativen Gruppen wird. Durch die Skalarmultipliaktion {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Affine Gerade|X|}} \times_X V| V || |SZ= }} erhält man eine {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X|}} |Modulstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=.}} Zu einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |V {{|}}_U |\cong| {{op:Affiner Raum|r||}}_U || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Garbe|F|}} {{|}}_U |\cong| {{makl| {{op:Strukturgarbe|X|}} {{|}}_U |}}^r || || || |SZ= }} und {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} ist lokal frei. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fjoozqsp4zfscum9bsgjvxeeywydqi5 0 112732 778452 762402 2022-08-21T12:04:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Auf einer affinen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U || {{op:Spek|R|}} |\subseteq|X || || || |SZ= }} mit einer Trivialisierung {{ Ma:Vergleichskette/disp | V {{|}}_U |\cong| {{op:Affiner Raum|r|U}} |\cong| {{op:Spek|R[T_1 {{kommadots|}} T_r ]|}} || || || |SZ= }} gibt es den durch {{mathl|term= T_i \mapsto 0|SZ=}} gegebenen Nullschnitt. Wegen der Linearität der Übergangsabbildungen ist dieser Schnitt auf dem Durchschnitt {{mathl|term= U_i \cap U_j|SZ=}} unabhängig von der gewählten affinen Menge und somit wohldefiniert. Die Existenz der Addition beruht im Wesentlichen darauf, dass bei einem linearen {{math|term= R|SZ=-}}Algebraisomorphimus {{ Ma:abbele/disp |name= \theta |R[T_1 {{kommadots|}} T_r] |R[U_1 {{kommadots|}} U_r] || |SZ= }} das Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|R[T_1 {{kommadots|}} T_r] | R[T_1 {{kommadots|}} T_r,S_1 {{kommadots|}} S_r ] |R[U_1 {{kommadots|}} U_r] |R[U_1 {{kommadots|}} U_r, V_1 {{kommadots|}} V_r ] |abb13= \theta|abb24= \theta \times \theta|abb12= \alpha^*|abb34= \alpha^*}} kommutiert. Die Existenz der Skalarmultiplikation ergibt sich in ähnlicher Weise. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6cbojaz9fwn17ui867g420c9c4uj2ns 0 112734 779681 763686 2022-08-21T17:07:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Projektiver Raum| n |K}} || {{op:Proj|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ]|}} || || || |SZ= }} und das projektive Spektrum {{ Ma:Vergleichskette/disp | W_k ||{{op:Proj|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n, Y ]|}} || || || |SZ=, }} wobei die Grade von {{math|term= X_i|SZ=}} gleich {{math|term= 1|SZ=}} sind und {{math|term= Y|SZ=}} den Grad {{math|term= k|SZ=}} bekommt. Gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} induziert die homogene Inklusion {{ Ma:Vergleichskette/disp | K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ] |\subset|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n, Y ] || || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Schemamorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=p |W_k \supset D_+(X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n) {{=|}} V_k | {{op:Projektiver Raum| n |K}} || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D_+(X_i)|SZ=}} liegt die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | D_+(X_i) \cong {{op:Spek|K[ {{op:Bruch|X_j|X_i}}, j \neq i , {{op:Bruch|Y|X_i^k}} ]|}} | D_+(X_i) \cong {{op:Spek|K[ {{op:Bruch|X_j|X_i}}, j \neq i ]|}} || |SZ= }} vor, also ein triviales Geradenbündel. Zu {{ mathkor|term1= D_+(X_i) |und|term2= D_+(X_j) |SZ= }} werden die Übergangsabbildungen über {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte|D_+(X_iX_j)| {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}} |}} }} ||K[ {{op:Bruch|X_r|X_i}},r \neq i, {{op:Bruch|X_s|X_j}}, s \neq j ] || || || |SZ= }} durch {{mathl|term= {{op:Bruch|Y|X_i^k}} \mapsto {{op:Bruch|Y|X_j^k}} \cdot {{op:Bruch|X_j^k|X_i^k}} |SZ=}} gegeben. Diese sind also linear und es liegt ein Geradenbündel über dem projektiven Raum vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf projektiven Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kbtfwty5obye0bblkx8nhl7kopaw6kg 0 112760 779980 752163 2022-08-21T17:52:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen {{mathl|term= C(-,\R)|SZ=}} und {{ Ma:abb |name= |L|X || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelles Geradenbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=.}} Dann ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe der stetigen Schnitte| |Kontext=Bündel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S|SZ=}} im Sinne von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Stetige Abbildung/Prägarbe der stetigen Schnitte/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbarer| |Kontext=beringter Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=C(-,\R) |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} mit einer Trivialisierung {{ Ma:Vergleichskette |L {{|}}_U |\cong| \R \times U || || || |SZ= }} ist ja {{ Ma:Vergleichskette | S(U,L {{|}}_U ) |\cong| C(U,\R) || || || |SZ=, }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5x9264u3upojhlftsh3a296niiz9ymv 0 112763 782630 756402 2022-08-22T01:14:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Homogenisierung| |Kontext=Ideal Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}}^h |SZ=}} ebenfalls ein Primideal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kyrstboxywybq3c8cpe6ssz5wchslb5 0 112766 781012 770110 2022-08-21T20:44:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X}} |Modul| |Kontext=beringter Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Garbe|G|}} |\subseteq| {{op:Garbe|F|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath={{op:Strukturgarbe|X}} |Untermodul| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientengarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}} / {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} in natürlicher Weise ein {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=-}}Modul ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Moduln auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5mo4j0c1l1yrn76vafu3n7j4swj8m41 0 112774 781001 770101 2022-08-21T20:42:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=}} in natürlicher Weise {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu ihrem Bidual {{math|term= {{op:Biduale Modulgarbe| {{op:Garbe|L|}} |}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf beringten Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} coidvqkg4k0fbvm4jfrd111h9g9wt67 0 112776 781013 755080 2022-08-21T20:44:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X|}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beringter Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Modulgarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X|}} |Modulhomomorphismus| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Garbe|F|}} | {{op:Biduale Modulgarbe| {{op:Garbe|F|}} |}} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b3mwd4k5un03i9msgtxfv09jco51p9u 0 112777 781011 770109 2022-08-21T20:43:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X}} |Modul| |Kontext=beringter Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|X || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Halm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|F|}}_P |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe||}}_{X,P} |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Moduln auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kypvxb9gb6j89v29ky1jxf086bb1709 0 112782 783289 756991 2022-08-22T03:03:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= M,N|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Modulgarbespektrum| {{op:Homomorphismen|M|N}} |}} |\cong|{{op:Homomorphismengarbe| {{op:Modulgarbespektrum| M}}|{{op:Modulgarbespektrum| N}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem Schema |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0fvzgp5n9fv9xg1tdfgbngabx69dzsl 0 112783 782952 756696 2022-08-22T02:07:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= Q(R)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Modulgarbespektrum|Q(R)|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konstante Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der Quotientenkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} inuvlbzuvmi2rwaxmxufq7dkc9caphq 0 112784 781005 770105 2022-08-21T20:42:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |lokal freie Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=}} in natürlicher Weise {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu ihrem Bidual {{math|term= {{op:Biduale Modulgarbe| {{op:Garbe|F|}} |}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf beringten Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qr2tn5ciukb2mccdy0rfuzupfb6vxoz 0 112785 781009 770107 2022-08-21T20:43:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lokal freie Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Rang {{math|term= r|SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |beringten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |duale Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Duale Modulgarbe| {{op:Garbe|F|}} |}} |SZ=}} ebenfalls lokal frei vom Rang {{math|term= r|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf beringten Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c8o7j84i7t630xalskppta3osj6lwod 0 112798 785439 758719 2022-08-22T08:40:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|1}} |SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} zusammen mit dem globalen Schnitt {{ Ma:Vergleichskette |X_0 |\in| {{op:Schnitte| {{op:Projektiver Raum|n|K}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|1}} }} || || || |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Invertierbarkeitsmenge| |Kontext=invertierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| {{op:Projektiver Raum|n|K}} |}}_{X_0} || D_+(X_0) || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{op:Schnitte|D_+(X_0)| {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}} }} }} || || || |SZ= }} eine auf {{ Ma:Vergleichskette |D_+(X_0) |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || || || |SZ= }} definierte Funktion. Zeige{{n Sie}} direkt, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |m |\in|\N || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | X_0^m f |\in| {{op:Schnitte|{{op:Projektiver Raum|n|K}}| {{makl| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|1 }} |}}^m {{tensor|}} {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}} }} }} || || || |SZ= }} von einem globalen Element aus {{mathl|term= {{op:Schnitte|{{op:Projektiver Raum|n|K}}| {{makl| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|1 }} |}}^m {{tensor|}} {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}} }} }}|SZ=}} herrührt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8mgnbc3acgeaqfa90gbu25nya9af59u 0 112801 785442 758722 2022-08-22T08:40:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|m}} |SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette |m |>|0 || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| {{op:Schnitte| {{op:Projektiver Raum|n|K}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|m}} }} || K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ]_m || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Invertierbarkeitsmenge| |Kontext=invertierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| {{op:Projektiver Raum|n|K}} |}}_{f} || D_+(f) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bmpbloqd3hc1v05gij35pwg3uf9640n 0 112803 782535 756321 2022-08-22T00:58:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |gerade Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die im Punkt {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} auch im Punkt {{math|term= -x|SZ=}} differenzierbar ist und dass die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |f'(-x) || -f'(x) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kmuy7n732lxzewi7qfw8dfr8nswtg72 0 112810 780251 766948 2022-08-21T18:37:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) ||a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} {{plusdots}} a_2x^2+a_1x+a_0 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Approximation| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Restfunktion {{math|term= r(x)|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} im Nullpunkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sab424knzmwtvlbj3jdxvmio1v33c1e 0 112823 780202 766886 2022-08-21T18:29:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K}}|1}} |SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} zusammen mit dem globalen Schnitt {{ Ma:Vergleichskette |X |\in| {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K}}|1}} }} || || || |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Invertierbarkeitsmenge| |Kontext=invertierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| {{op:Projektive Gerade|K}} |}}_{X} || D_+(X) || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} für die folgenden Funktionen {{math|term= f|SZ=}} aus {{mathl|term= {{op:Schnitte|D_+(X)| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K}}|1}} }} |SZ=}} ein geeignetes {{math|term= n|SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette | X^nf |\in| {{op:Schnitte| D_+(X) | {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|K}} |n}} }} || || || |SZ= }} von einem {{ Zusatz/Klammer |text=von welchen| |ISZ=?|ESZ= }} Element aus {{mathl|term= {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|K}} |n}} }} |SZ=}} herrührt. {{ Aufzählung3 |{{math|term= {{op:Bruch|Y|X}} |SZ=,}} |{{math|term= {{op:Bruch|2Y^3-3Y^2X+4X^3|X^3}} |SZ=,}} |{{math|term= {{op:Bruch|Y^{17} +X^{17}|X^{17} }} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ojvahe1qmer8iob3sjhd4uj62i4mwjy 780263 780202 2022-08-21T18:39:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K}}|1}} |SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} zusammen mit dem globalen Schnitt {{ Ma:Vergleichskette |X |\in| {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K}}|1}} }} || || || |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Invertierbarkeitsmenge| |Kontext=invertierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| {{op:Projektive Gerade|K}} |}}_{X} || D_+(X) || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} für die folgenden Funktionen {{math|term= f|SZ=}} aus {{mathl|term= {{op:Schnitte|D_+(X)| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K}}|1}} }} |SZ=}} ein geeignetes {{math|term= n|SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette | X^nf |\in| {{op:Schnitte| D_+(X) | {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|K}} |n}} }} || || || |SZ= }} von einem {{ Zusatz/Klammer |text=von welchen| |ISZ=?|ESZ= }} Element aus {{mathl|term= {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|K}} |n}} }} |SZ=}} herrührt. {{ Aufzählung3 |{{math|term= {{op:Bruch|Y|X}} |SZ=,}} |{{math|term= {{op:Bruch|2Y^3-3Y^2X+4X^3|X^3}} |SZ=,}} |{{math|term= {{op:Bruch|Y^{17} +X^{17}|X^{17} }} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e4qrnabmqrckrcnydy43ncafe8u95zz 0 112826 779176 763276 2022-08-21T15:48:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||A_{-5} || \Z[\sqrt{-5}] || \Z[T]/(T^2+5) || || |SZ= }} gilt die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 \cdot 3 || 6 || (1 +\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} ) (1 -\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} ) || || || |SZ=. }} Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | I ||(2,1+\sqrt{-5}) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und kein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Idealgarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Modulgarbespektrum|I|}} |SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette |X || {{op:Spek|R|}} || || || |SZ=. }} Das Spektrum wird durch die beiden offenen Mengen {{ mathkor|term1= D(2) |und|term2= D(3) |SZ= }} überdeckt. Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Modulgarbespektrum|I|}} {{|}}_{D(2)} |\cong| { {{op:Strukturgarbe|X|}} } {{|}} _{D(2)} || || || |SZ=, }} da {{math|term= 2|SZ=}} zum Ideal gehört und daher das Ideal in der Nenneraufnahme {{mathl|term= R_2|SZ=}} zum Einheitsideal wird. In der Nenneraufnahme {{math|term= R_3|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= also auf {{math|term= D(3)|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist hingegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 || {{op:Bruch|1 -\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} |3}} (1 +\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} ) || || || |SZ= }} und somit ist {{math|term= I_3|SZ=}} ein Hauptideal mit dem Erzeuger {{math|term= 1 +\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} |SZ=.}} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Modulgarbespektrum|I|}} {{|}}_{D(3)} |\cong| { {{op:Strukturgarbe|X|}} } {{|}}_{D(3)} || || || |SZ= }} und {{math|term= {{op:Modulgarbespektrum|I|}} |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf affinen Schemata |Kategorie2=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t1hxh8iote67i8xwho7syurwz0ct0w4 0 112833 778939 763133 2022-08-21T15:10:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten in der {{math|term= A_{n-1}|SZ=-}}Singularität {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X,Y,Z]/ {{makl| XY-Z^n |}} || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |I || (X,Z) || || || |SZ=. }} Es definiert auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Idealgarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Modulgarbespektrum|I|}} |SZ=}} und damit auch die eingeschränkte Idealgarbe {{mathl|term= {{op:Modulgarbespektrum|I|}} {{|}}_U |SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |quasiaffinen Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || D(X,Y,Z) || D(X,Y) || {{op:Spek|R|}} \setminus \{(X,Y,Z)\} |\subset| {{op:Spek|R|}} |SZ=. }} Diese eingeschränkte Idealgarbe ist auf {{math|term= U|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da wegen {{ Ma:Vergleichskette |X |\in|I || || || |SZ= }} und wegen {{ Ma:Vergleichskette |X || {{op:Bruch|Z^{n-1}|Y}} Z || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= R_Y|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphien| |Kontext=Modulgarben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Modulgarbespektrum|I|}} {{|}}_{D(X)} | \cong| {{op:Strukturgarbe| {{op:Spek|R|}} |}} {{|}}_{D(X)} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Modulgarbespektrum|I|}} {{|}}_{D(Y)} | \cong| {{op:Strukturgarbe| {{op:Spek|R|}} |}} {{|}}_{D(Y)} || || || |SZ= }} vorliegen. Dagegen ist {{math|term= {{op:Modulgarbespektrum|I|}} |SZ=}} auf dem gesamten Spektrum nicht invertierbar, da das Ideal in der {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R_{(X,Y,Z)}|SZ=}} kein Hauptideal ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf quasiaffinen Schemata |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gvb2vpfyn5wbjb0oviq0zi7dmhajly6 0 112850 780218 766909 2022-08-21T18:31:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|\ell}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|\ell}} {{tensor|}} {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|m}} |\cong| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|\ell+m}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tg43jijq1zhp2f1vqdl0vvuz9wed325 780279 780218 2022-08-21T18:41:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|\ell}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|\ell}} {{tensor|}} {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|m}} |\cong| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|\ell+m}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f8v56am5fkaj0zypnhpacoklmk4oz0o 0 112865 780295 766969 2022-08-21T18:44:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} mit der zugehörigen kurzen exakten Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp|I|R|R/I|SZ=.}} Interpretiere{{n Sie}} die entsprechende kurze exakte Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Modulgarbespektrum|I|}} | {{op:Modulgarbespektrum|R|}} | {{op:Modulgarbespektrum|R/I|}} |SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Auf welchen offenen Mengen und in welchen Punkten werden die Objekte {{ Zusatz/Klammer |text=Auswertungen bzw. Halme| |ISZ=|ESZ= }} zu {{math|term= 0|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismen| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu Isomorphismen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem Schema |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o7njvm7hw0glgpp9n6uba6dd8p86hes 0 112870 780318 770096 2022-08-21T18:48:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|F|}} |und|term2= {{op:Garbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quasikohärente Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=}} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Garbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Kern {{mathl|term= {{op:Kern|\varphi|}} |SZ=}} ebenfalls quasikohärent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem Schema |Kategorie2=Theorie der quasikohärenten Moduln auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kuhcofyn79817mqgac5niz4iz1a01nv 0 112871 780319 770097 2022-08-21T18:48:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|F|}} |und|term2= {{op:Garbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quasikohärente Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=}} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Garbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Kokern {{mathl|term= {{op:Kokern|\varphi|}} |SZ=}} ebenfalls quasikohärent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem Schema |Kategorie2=Theorie der quasikohärenten Moduln auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hrd3d7nc8bc68xpbyadslhm6p6x35ki 0 112944 780317 767003 2022-08-21T18:48:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Garbe|M|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quasikohärenter Modul| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{op:Garbe|M|}} |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |von globalen Schnitten erzeugt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird, wenn es eine offene affine Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} und Schnitte {{ Ma:Vergleichskette |s_{j} |\in| {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|M|}} }} || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |j |\in|J || || || |SZ= }} derart gibt, dass die Restriktionen {{ Ma:Vergleichskette | \rho_{U_i}(s_j) |\in| {{op:Schnitte|U_i| {{op:Garbe|M|}} }} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath={{op:SchnittringX|U_i| }} |Modulerzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Schnitte|U_i| {{op:Garbe|M|}} }} |SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qsqrh7e4hn8wn457fyeljz608opdhsc 0 112946 785441 758721 2022-08-22T08:40:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektiver Raum|d|R}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |getwisteten Strukturgarben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|R}}|k}} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |von globalen Schnitten erzeugt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} werden und bei {{ Ma:Vergleichskette |k |<|0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |d |\geq|1 || || || |SZ= }} nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hfuf8bwtfkapmwfl08c3gzha2csg9hn 0 113060 779630 763674 2022-08-21T16:59:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Variablen {{ Ma:Vergleichskette | X_1 {{kommadots|}} X_n |\in|K[X_1 {{kommadots|}} X_n] ||R || || |SZ= }} definieren das maximale Ideal {{mathl|term= {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} |SZ=}} und die kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Syz| X_1 {{kommadots|}} X_n|}} |R^n|{{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} }} von {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei der {{math|term= i|SZ=-}}te Standardvektor {{math|term= e_i|SZ=}} auf {{math|term= X_i|SZ=}} geschickt wird. Dies induziert gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affines Schema/Moduln/Exaktheit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine kurze exakte Sequenz von {{ Definitionslink |Prämath= |quasikohärenten Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Modulgarbespektrum|{{op:Syz| X_1 {{kommadots|}} X_n|}}||}} | {{op:Strukturgarbe| {{op:Affiner Raum|n|K}} |}}^n| {{op:Modulgarbespektrum| {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} }} }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=.}} In der Mitte steht eine freie Garbe, links und rechts stehen {{ Zusatz/Klammer |text=außer bei kleinen {{math|term= n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} keine lokal freien Garben. Wenn man diese Sequenz aber auf das {{ Definitionslink |Prämath= |punktierte Spektrum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |U ||D(X_1 {{kommadots|}} X_n) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || |SZ= }} einschränkt, so wird rechts {{ Aufgabelink |Präwort=nach||Aufgabeseitenname= Kommutativer Ring/Ideal/Spektrumsmodul/Isomorphie/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das maximale Ideal zur Strukturgarbe und somit liegt die Situation {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Syz| X_1 {{kommadots|}} X_n|}}| {{op:Strukturgarbe| U |}}^n|{{op:Strukturgarbe| U |}} }} aus {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Affines Schema/Syzygiengarbe zu Idealerzeugern/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} vor, wobei jetzt links die lokal freie Syzygiengarbe steht. Für {{ Ma:Vergleichskette |n ||3 || || || |SZ= }} ist dies die Garbenversion zu {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf quasiaffinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ldzudr00fdujaszifpdpopiabpsrgni 0 113073 780226 766917 2022-08-21T18:33:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f_1 {{kommadots|}} f_n |\in|R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= d_i|SZ=.}} Das von den {{math|term= f_i|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= I|SZ=}} und das {{ Definitionslink |Prämath= |irrelevante Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_+|SZ=}} haben das gleiche Radikal. Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Es liegt eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|}} |\bigoplus_{i {{=|}} 1 }^n R(-d_i) | I}} von {{ Definitionslink |Prämath= |graduierten| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Homomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. |Auf {{ Ma:Vergleichskette |Y || {{op:Proj|R|}} || || || |SZ= }} liegt eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|}} |\bigoplus_{i {{=|}} 1 }^n {{op:Getwistete Strukturgarbe|Y|-d_i|}} | {{op:Strukturgarbe|Y|}} }} von {{ Definitionslink |Prämath= |lokal freien Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. |Auf {{mathl|term= D_+(f_i)|SZ=}} ist die Einschränkung der lokal freien Garbe {{mathl|term= {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer direkten Summe von getwisteten Strukturgarben. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf projektiven Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bd89goezi0oy7ggeavx9gmo6rx79dh3 780287 780226 2022-08-21T18:43:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f_1 {{kommadots|}} f_n |\in|R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= d_i|SZ=.}} Das von den {{math|term= f_i|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= I|SZ=}} und das {{ Definitionslink |Prämath= |irrelevante Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R_+|SZ=}} haben das gleiche Radikal. Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Es liegt eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|}} |\bigoplus_{i {{=|}} 1 }^n R(-d_i) | I}} von {{ Definitionslink |Prämath= |graduierten| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Homomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. |Auf {{ Ma:Vergleichskette |Y || {{op:Proj|R|}} || || || |SZ= }} liegt eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|}} |\bigoplus_{i {{=|}} 1 }^n {{op:Getwistete Strukturgarbe|Y|-d_i|}} | {{op:Strukturgarbe|Y|}} }} von {{ Definitionslink |Prämath= |lokal freien Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. |Auf {{mathl|term= D_+(f_i)|SZ=}} ist die Einschränkung der lokal freien Garbe {{mathl|term= {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer direkten Summe von getwisteten Strukturgarben. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf projektiven Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j55jtqfe4ai19qg5esumkfuuoih2q6a 0 113078 778456 762408 2022-08-21T12:05:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis=Wir zeigen zuerst, dass jede lokal freie Garbe isomorph zu einer Garbe der Schnitte in einem Vektorbündel ist. Eine lokal freie Garbe {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} vom Rang {{math|term= r|SZ=}} ist durch eine offene Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei wir die {{math|term= U_i|SZ=}} als affin annehmen können| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismen| |Kontext=Modulgarben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_i | {{op:Strukturgarbe|U_i|}}^r | {{op:Garbe|F|}} {{|}}_{U_i} || |SZ= }} gegeben. Die Hintereinanderschaltung {{ math/disp|term= {{op:Strukturgarbe|U_i|}}^r {{|}}_{U_i \cap U_j} = {{op:Strukturgarbe|U_i\cap U_j|}}^r \stackrel{ \varphi_i {{|}}_{U_i \cap U_j} }{\longrightarrow} {{op:Garbe|F|}} {{|}}_{U_i \cap U_j} \stackrel{ \varphi_j^{-1} {{|}}_{U_i \cap U_j} } {\longrightarrow} {{op:Strukturgarbe|U_i \cap U_j|}}^r = {{op:Strukturgarbe|U_j|}}^r {{|}}_{U_i \cap U_j} |SZ= }} ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Beringter Raum/Modulgarbe/Schnitte und Modulgarbenhomomorphismus/Festlegungssatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch {{mathl|term= e_k \mapsto f_k|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f_k |\in | {{op:Schnitte|U_i \cap U_j | {{op:Strukturgarbe|U_i \cap U_j|}}^r }} || || || |SZ= }} gegeben. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette |f_k || (f_{k \ell})_{1 \leq \ell \leq r} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f_{k \ell} | \in| {{op:SchnittringX|U_i \cap U_j|}} || || || |SZ=. }} Ferner ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Matrix {{math|term= {{makl| f_{k \ell} |}}_{k \ell} |SZ=}} eine Einheit in {{mathl|term= {{op:SchnittringX|U_i \cap U_j|}} |SZ=}} Dies definiert über {{ math/disp|term= T_k \longmapsto \sum_{ \ell = 1}^r f_{k \ell} S_\ell |SZ= }} einen linearen {{ Definitionslink |Prämath= {{op:SchnittringX|U_i \cap U_j|}} |Algebraisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:SchnittringX|U_i \cap U_j|}} [T_1 {{kommadots|}} T_r] | {{op:SchnittringX|U_i \cap U_j|}} [S_1 {{kommadots|}} S_r] || |SZ= }} und einen {{ Definitionslink |Prämath= |Schemaisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_{ji} | {{op:Affiner Raum|r|U_i \cap U_j|}} | {{op:Affiner Raum|r|U_i \cap U_j|}} || |SZ=, }} der von der in der Definition eines geometrischen Vektorbündels geforderten Form ist. Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Verklebungsdatum von beringten Räumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= (W_i= {{op:Affiner Raum|r|U_i|}} , \, W_{ij} = {{op:Affiner Raum|r|U_i |}} {{|}}_{U_j} \subseteq W_i, \, \varphi_{ji}: W_{ij} \longrightarrow W_{ji} ) |SZ=. }} Die Kozykelbedingung ist dabei erfüllt, da die Daten von dem globalen Objekt {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} herrühren. Aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Beringte Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es ein Schema {{math|term= W|SZ=,}} das dieses Verklebungsdatum realisiert. Die lokalen Projektionen {{ Ma:abbele/disp |name= |W_i {{=|}} {{op:Affiner Raum|r|U_i|}} |U_i || |SZ= }} verkleben dabei zu einem Schemamorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |W |X || |SZ=. }} Aufgrund der Konstruktion handelt es sich um ein geometrisches Vektorbündel über {{math|term= X|SZ=.}} Es sei {{math|term= {{op:Garbe|S|}} |SZ=}} die Garbe der Schnitte zu {{math|term= W|SZ=.}} Wir behaupten, dass es einen natürlichen Isomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Garbe|F|}} |{{op:Garbe|S|}} || |SZ= }} gibt. Wegen der Konstruktion gibt es natürliche Garbenisomorphismen {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Garbe|F|}} {{|}}_{U_i} |{{op:Garbe|S|}} {{|}}_{U_i} || |SZ= }} für jede offene Menge {{math|term= U_i|SZ=,}} und deren Einschränkungen auf die Durchschnitte {{mathl|term= U_i \cap U_j|SZ=}} stimmen überein. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Garben/Überdeckung/Morphismus/Konstruktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es daher einen globalen Garbenhomomorphismus, und dieser ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Garben/Homomorphismus/Isomorphismus/Lokaler Test/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein Isomorphismus. Die Injektivität der Zuordnung ergibt sich, da sich ein Vektorbündel {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Isomomorphie| |ISZ=|ESZ= }} durch seine Garbe der Schnitte durch die beschriebene Konstruktion rekonstruieren lässt. Für die Aussage über die Homomorphismen siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Basisschema/Schema/Morphismus/Garbe der Schnitte/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Basisschema/Vektorbündel/Homomorphismus/Garbe der Schnitte/Modulhomomorphismus/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Schema/Lokal_freie_Garben_und_Vektorbündel/Äquivalenz/Homomorphismus/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i4di2nboexlkc4e73exdilir61o9qgt 0 113110 778512 762447 2022-08-21T12:14:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | R_{X_i} || K[ X_0 {{kommadots|}} X_d ,X_i^{-1} ]/ {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_s |}} || K[ {{op:Bruch|X_0|X_i}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_{i-1} |X_i}} , {{op:Bruch|X_{i+1} |X_i}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_{d} |X_i}}, X_i,X_i^{-1} ]/ {{makl| {{op:Bruch|f_1 | X_i^{d_1} }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|f_s | X_i^{d_s} }} |}} || {{makl| K[ {{op:Bruch|X_0|X_i}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_{i-1} |X_i}} , {{op:Bruch|X_{i+1} |X_i}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_{d} |X_i}} ]/ {{makl| {{op:Bruch|f_1 | X_i^{d_1} }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|f_s | X_i^{d_s} }} |}} |}} [ X_i,X_i^{-1} ] || || |SZ=. }} In dieser letzten Beschreibung ist klar, was der Ring in Grad {{math|term= 0|SZ=}} ist. Wenn man {{ Ma:Vergleichskette |Y_k || {{op:Bruch|X_k|X_i}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette/k |Y_i ||1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} schreibt, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|f_\ell|X_i^{d_\ell} }} || {{op:Bruch|\sum_\nu a_\nu X^\nu |X_i^{d_\ell} }} || \sum_\nu a_\nu Y^\nu || || |SZ=, }} und dies ist die Dehomogenisierung von {{math|term= f_\ell|SZ=}} bezüglich der Variablen {{math|term= X_i|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 88lvqv5waysr4pubwpso6el329kj158 0 113125 781007 755074 2022-08-21T20:43:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X|}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beringter Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Garbe|F|}} || {{op:Garbe|L|}}_1 {{oplusdots}} {{op:Garbe|L|}}_r || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinantengarbe|F|}} |\cong| {{op:Garbe|L|}}_1 {{tensordots|}} {{op:Garbe|L|}}_r || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6fdaen03s87q5lifg0ggntjj0nl6vfq 0 113189 778509 762443 2022-08-21T12:13:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir können direkt annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_d ] || || || |SZ= }} der standard-graduierte Polynomring über einem kommutativen Ring {{math|term= K|SZ=}} ist. Der homogene Restklassenhomomorphismus {{ Ma:abb |name= |R_n| {{makl| R/ {{ideala|}} |}}_n || |SZ= }} definiert einen {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} }} |Modulhomomorphismus| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} |n}} | j_{Z*} {{op:Getwistete Strukturgarbe| Z |n}} || |SZ=. }} Durch Adjunktion im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Beringter Raum/Morphismus/Moduln/Vorschub und Rückzug/Adjunktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} entspricht diesem ein {{math|term= {{op:Strukturgarbe| Z}} |SZ=-}}Modulhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | j_Z^* {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} |n}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe| Z |n}} || |SZ=. }} Dieser ist ein Isomorphismus. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kzqgf452s4u9ttjqdry3sx35fm8f666 0 113270 779890 752046 2022-08-21T17:37:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f | \in |R || || || |SZ= }} ein Element. Dieses definiert über {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Spek|R[T]|}} {{=|}} {{op:Affine Gerade|R|}} |{{op:Spek|R[T]|}} {{=|}} {{op:Affine Gerade|R|}} |T| fT |SZ=, }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus von Vektorbündeln| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dieser ist in den Fasern über den Punkten {{ Ma:Vergleichskette |P |\in | {{op:Spek|R|}} || || || |SZ=, }} in denen {{math|term= f|SZ=}} eine Einheit ist {{ Zusatz/Klammer |text=also den Punkten aus {{math|term= D(f)|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} eine Bijektion und über den anderen Punkten die Nullabbildung. Die Abbildung ist also nur dann injektiv {{ Zusatz/Klammer |text=und zugleich surjektiv und bijektiv| |ISZ=|ESZ=, }} wenn {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Das Element {{math|term= f|SZ=}} definiert aber auch durch Multiplikation einen {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Strukturgarbe in sich {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Strukturgarbe|X|}} | {{op:Strukturgarbe|X|}} |1|f |SZ=. }} Auf jeder offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || {{op:Spek|R|}} || || |SZ= }} liegt also der {{ Definitionslink |Prämath= {{op:SchnittringX|U|}} |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:SchnittringX|U|}} |{{op:SchnittringX|U|}} |r|rf |SZ=, }} vor. Dabei ist dieser Garbenhomomorphismus genau dann injektiv, wenn {{math|term= f|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Nichtnullteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=}} ist, und bijektiv genau dann, wenn {{math|term= f|SZ=}} eine Einheit ist. Der Injektivitätsbegriff fällt also für Vektorbündel und lokal freie Garben auseinander. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf Schemata |Kategorie2=Theorie der Homomorphismen von Vektorbündeln auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8xbu1iqzv1zkwhw47e6kgcn3y899z2j 0 113277 778920 763119 2022-08-21T15:06:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | K[X,Y,Z]|K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW) || |SZ=, }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Spek |K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)|}} | {{op:Affiner Raum|3|K}} || |SZ= }} sowie deren Einschränkung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{op:Spek |K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)|}} \supseteq D(X) \cup D(Y) \cup D(Z) | {{op:Affiner Raum|3|K}} \setminus \{(0,0,0)\} {{=|}} D(X) \cup D(Y) \cup D(Z) || |SZ=. }} Letzteres ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |geometrisches Vektorbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Rang {{math|term= 2|SZ=}} über dem punktierten affinen Raum. Natürliche Trivialisierungen sind auf den {{mathl|term= D(X) , D(Y) , D(Z) |SZ=}} gegeben, vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW) |}}_X |\cong| K[X,Y,Z]_X[V,W] || || || |SZ=, }} da man {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || - {{op:Bruch|YV+ZW|X}} || || || |SZ= }} ausdrücken kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1vhbu892hpto0o6giphnk0rab5pxrws 14 113353 779307 643992 2022-08-21T16:07:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Lösungs-Kategorie unter |Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (K)| ||}} l1twtr8ub6utwx3awp6tzyz2cmxhv6p 0 113384 780256 766953 2022-08-21T18:38:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der sechsten Ordnung zur Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1| {{op:cos|x|}} }} |SZ=}} im Nullpunkt mit einem Potenzreihenansatz unter Verwendung von {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|1|x}} || \sum^\infty_{i {{=}} 0} (-1)^{i} (x-1)^{i} || || |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (K) |Kategorie2=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iklgviy0jemb3hkux66tj7yuixt7bh8 0 113396 779177 763277 2022-08-21T15:48:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R || \Z[\sqrt{-5}] || || |SZ=, }} in dem die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 \cdot 3 || 6 || (1 +\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} ) (1 -\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} ) || || || |SZ= }} gilt und darüber die {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |A || R[X,Y] /(3X- (1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5}) Y) || || || |SZ= }} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= | {{op:Spek|A|}} | {{op:Spek|R|}} || |SZ=. }} Wir behaupten, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |geometrisches Geradenbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt, wofür wir die offene Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Spek|R|}} || D(2) \cup D(3) || || || |SZ= }} heranziehen. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |A_2 || R_2 [ X,Y] /(3X- (1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5}) Y) |\cong| R_2[S] || || |SZ= }} mit {{mathl|term= X \mapsto 2S|SZ=,}} {{mathl|term= Y \mapsto (1+ {{Imaginäre Einheit||}} \sqrt{5})S |SZ=}} wegen {{ Ma:Vergleichskette |S || X/2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |X || 2S || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |Y || {{op:Bruch|3|1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5} }} X || {{op:Bruch|1+ {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5} |2 }} X || {{makl| 1+ {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5} |}} S || |SZ= }} ein Isomorphismus. Ebenso ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |A_3 || R_3 [ X,Y] /(3X- (1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5}) Y) |\cong| R_3[T] || || |SZ= }} mit {{mathl|term= X \mapsto (1 - {{Imaginäre Einheit||}} \sqrt{5}) T|SZ=,}} {{mathl|term= Y \mapsto 3T |SZ=}} wegen {{ Ma:Vergleichskette | T || Y/3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |Y || 3T || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | X || {{op:Bruch|1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5} |3 }} Y || {{1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5}|}} T || || |SZ= }} ein Isomorphismus. Auf {{ Ma:Vergleichskette |D(6) || D(2) \cap D(3) || || || |SZ= }} ist die Übergangsabbildung durch {{ Ma:Vergleichskette |S || {{op:Bruch|X|2}} || {{op:Bruch| 1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5} |2}} T || || |SZ= }} gegeben, also linear. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24fdjhu1ryvy9ma1ndbo4vpf4kniii5 0 113427 780314 767000 2022-08-21T18:47:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} und {{ Ma:abb |name= \varphi |V|W || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiver| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus von Vektorbündeln| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Zusatz/Klammer |text=punktweise genommene| |ISZ=|ESZ= }} Kern ein Vektorbündel über {{math|term= X|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} diuhhpvx0twow5q25ilbwezvzcmcokq 0 113438 780219 766910 2022-08-21T18:31:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe der Schnitte| |Kontext=Vektorbündel Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dem {{ Definitionslink |Prämath= |Geradenbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V_k| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || |SZ= }} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Projektiver Raum/Getwistetes Geradenbündel/Geometrische Realisierung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |getwistete Strukturgarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}} |k}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf projektiven Schemata |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ses5lmiwcpdawi0ab1cya4dzuutzjh 780280 780219 2022-08-21T18:42:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe der Schnitte| |Kontext=Vektorbündel Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dem {{ Definitionslink |Prämath= |Geradenbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V_k| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || |SZ= }} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Projektiver Raum/Getwistetes Geradenbündel/Geometrische Realisierung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |getwistete Strukturgarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}} |k}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf projektiven Schemata |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iz2mwllfop3xi7eonj2stj42u56hak1 0 113468 780294 766967 2022-08-21T18:44:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kompaktes Intervall/Situation|Iz==[a,b]|SZ=}} und es seien {{ Ma:abb |name=f,g |I|\R || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Riemann-integrierbare| |Kontext=kompakt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term= {{op:max|f|g}} |SZ=}} Riemann-integrierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fm8ilg1dfacs1hmxy2dmbi2g0kgn0c6 0 113664 780203 766890 2022-08-21T18:29:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul| {{op:Projektive Gerade|R |}} |R}} |SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|R|}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} isomorph zur {{ Definitionslink |Prämath= |getwisteten Strukturgarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|R |}}|-2}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bobyoxn7pd1z80aw5d22jzh96x8lq2g 780264 780203 2022-08-21T18:39:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul| {{op:Projektive Gerade|R |}} |R}} |SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| 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{{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|R |}}|2}}|SZ=,}} die den globalen Derivationen {{mathl|term= X {{op:Partielle Ableitung||X|}} |SZ=,}} {{mathl|term= Y {{op:Partielle Ableitung||X|}} |SZ=,}} {{mathl|term= X {{op:Partielle Ableitung||Y|}} |SZ=,}} {{mathl|term= Y {{op:Partielle Ableitung||Y|}} |SZ=}} entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iam8i2dmya00cf1i6flrcf232kzgbfb 0 113781 780220 766911 2022-08-21T18:32:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} die Einschränkungen der globalen Derivationen {{mathl|term= X_i {{op:Partielle Ableitung||X_j}} |SZ=}} des {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raumes| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektiver Raum|n|R}} || 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Definitionslink |Prämath= |projektiven Raumes| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektiver Raum|n|R}} || {{op:Proj|R[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]|}} || || || |SZ= }} auf die offene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |D_+(X_0) || {{op:Spek|R[Y_1 {{kommadots|}} Y_n] |}} |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|n|R}} || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette/k |Y_k || {{op:Bruch|X_k|X_0}} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} als Linearkombinationen der Form {{mathl|term= \sum_{k =1}^n g_k {{op:Partielle Ableitung||Y_k}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |g_k |\in|R[Y_1 {{kommadots|}} Y_n] || || || |SZ= }} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ktlg856p55upg3lkkfdhvngxh6bky01 0 113804 780230 766921 2022-08-21T18:33:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}} Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven| |Kontext=Moduln| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Moduln |Kategorie2=Theorie der projektiven Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7j0g9yn8raw2gtiwhrx8d7gryn89kin 0 113820 780229 766920 2022-08-21T18:33:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} derart, dass {{math|term= M|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |divisibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der divisiblen Gruppen |Kategorie2=Theorie der injektiven Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ji2tzxf6add0snkvuye5q7ip7sqdj3 0 113821 780228 766919 2022-08-21T18:33:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen nicht {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} derart, dass {{math|term= M|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |divisibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der divisiblen Gruppen |Kategorie2=Theorie der injektiven Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wrk2uglgf1hvy803tw99olk9hxuwuo 0 113851 780367 767231 2022-08-21T18:56:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beschränktes Intervall| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=f |I| \R || |SZ= }} eine nach unten beschränkte {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei vorausgesetzt, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Supremum| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über alle {{ Definitionslink |Prämath= |Treppenintegrale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen {{ Zusatz/Klammer |text=also das {{ Definitionslink |Prämath= |Unterintegral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bvut8o9rem86kqkfary9tsx9gbpivc7 106 113928 784539 728380 2022-08-22T06:24:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|35| {{ inputbild |Waeller5|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=... dass jeder und jede meint, dass Vorli ihn oder sie ganz besonders mag. |Autor= |Benutzer=Odatrulle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|term=Metrische Räume}} Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines Vektors und den Abstand zwischen zwei Vektoren definieren. Die wichtigsten Eigenschaften dieses euklidischen Abstandes werden im Begriff der {{Stichwort|Metrik|SZ=}} bzw. des {{Stichwort|metrischen Raumes|msw=Metrischer Raum|SZ=}} axiomatisiert. {{inputdefinition|Metrik/Metrischer Raum/Definition|}} Man kann leicht aus den Bedingungen folgern, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert {{mathl|term= d(x,y)}} gibt den Abstand der Punkte {{math|term=x}} und {{math|term= y}} bezüglich {{math|term= d}} an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt {{ Zusatz/Klammer |text=man sagt einfach, dass {{math|term=M|SZ=}} ein metrischer Raum ist| |ISZ=|ESZ=, }} obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden. {{ inputbeispiel |Euklidischer Vektorraum/Als metrischer Raum/Beispiel|| }} Wenn wir nichts anderes sagen, so versehen wir den {{math|term=\R^n|SZ=}} und den {{ Ma:Vergleichskette | {{CC}}^n |\cong| \R^{2n} || || || || |SZ= }} stets mit dem euklidischen Abstand. Insbesondere sind die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen {{ Ma:Vergleichskette | {{CC}} |\cong| \R^{2} || || || || |SZ= }} mit der durch den Betrag definierten Metrik ein metrischer Raum. {{ inputbild |Manhattan distance|svg| 200px {{!}} thumb {{!}} right {{!}} |epsname=Manhattan_distance |Text=Die Summenmetrik heißt auch {{Stichwort|Taxi-Metrik|SZ=.}} Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen den Summenabstand. |Autor= |Benutzer=Psychonaut |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |R^n/Summenmetrik/Metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |R^n/Maximumsmetrik/Metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Menge/Diskrete Metrik/Beispiel|| }} {{ inputbild |Unit disc metrics|svg| 150px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |epsname=Unit_disc_metrics |Text=Die Gestalt der Kugelumgebungen hängt von der Metrik ab. |Autor= |Benutzer=Krishnavedala |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition|Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition|}} Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Metrik. Für {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|\R || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} einfach das beidseitig offene Intervall {{mathl|term=]x- \epsilon, x+ \epsilon[|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Offene Teilmengen}} {{ inputbild |Neighborhood illust1|svg| 200px {{!}} thumb {{!}} right {{!}} |epsname=Neighborhood_illust1 |Text=Eine Teilmenge ist offen, wenn jeder Punkt darin mit einer vollen Kugelumgebung drin liegt. Bei einer solchen Menge ist es entscheidend, ob die {{Stichwort|Randpunkte|msw=Randpunkt|SZ=}} dazu gehören oder nicht. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition|Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition|}} {{inputdefinition|Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition|}} Achtung! Abgeschlossen ist {{Betonung/Negation|nicht|}} das {{Anführung|Gegenteil|}} von offen. Die {{Anführung|allermeisten}} Teilmengen eines metrischen Raumes sind weder offen noch abgeschlossen, es gibt aber auch Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. die leere Teilmenge und die Gesamtmenge. {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Offene Kugel/Abgeschlossene Kugel/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Metrischer Raum/Strukturelle Eigenschaften der offenen Mengen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Folgen in metrischen Räumen}} Wir besprechen die Konvergenz einer Folge in einem metrischen Raum. Eine Folge im {{math|term=\R^2|SZ=}} ist beispielsweise durch {{ math/disp|term= x_n = {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|n|}} | {{op:sin|n|}} }},\, n \in \N |SZ=. }} Es handelt sich um eine Folge, die sich auf dem Einheitskreis bewegt, und zwar dreht sich der Punkt um die Bogenlänge {{math|term=1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also um ca. {{mathlk|term=57,3|SZ=}} Grad| |ISZ=|ESZ=. }} Die Folgenglieder nähern sich also nicht untereinander an, sodass keine Konvergenz zu erwarten ist. Bei der Folge {{ math/disp|term= y_n = {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1|n}} {{op:cos|n|}} | {{op:Bruch|1|n}} {{op:sin|n|}} }},\, n \in \N |SZ=, }} bewegen sich die Glieder auf einer {{Anführung|gedachten Spirale|SZ=.}} Die Punkte drehen sich nach wie vor um den gleichen Winkel, allerdings wird der Abstand zum Nullpunkt immer kleiner, sodass man Konvergenz gegen {{math|term=0|SZ=}} erwarten kann. {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition|| }} Diese Definition stimmt natürlich für {{ Ma:Vergleichskette |M ||\R || || || |SZ= }} mit unserem bisherigen Begriff für konvergente Folge überein. {{ inputfaktbeweis |Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Insbesondere konvergiert eine Folge von komplexen Zahlen genau dann, wenn die zugehörigen Folgen der Realteile und der Imaginärteile konvergieren. Für eine konvergente reelle Folgen {{mathl|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} haben wir im ersten Semester die Eigenschaft kennengelernt, dass wenn sämtliche Folgenglieder {{math|term=\geq a|SZ=}} sind, dass dann auch der Limes {{math|term=\geq a|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=für {{Anführung|{{math|term=>|SZ=}}|}} gilt das nicht| |ISZ=|ESZ=. }} Die Hinrichtung der folgenden Aussage ist eine wesentliche Verallgemeinerung dieses Sachverhalts. {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Berührpunkte}} {{ inputbild |Neighborhood edge|png| 180px {{!}} right {{!}} |epsname=Neighborhood_edge |Autor= |Benutzer=Zasdfgbnm |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Teilmenge/Berührpunkt/Definition|| }} Beispielsweise sind {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} Berührpunkte des offenen Intervalls {{mathl|term=]0,1[|SZ=}} oder {{math|term=0|SZ=}} ist ein Berührpunkt von {{math|term=\R \setminus \{0\}|SZ=.}} Oft ist {{math|term=T|SZ=}} der Definitionsbereich einer Abbildung {{math|term=f|SZ=}} in einen weiteren metrischen Raum {{math|term=N|SZ=}} und man fragt sich, ob es eine sinnvolle Fortsetzung von {{math|term=f|SZ=}} in einen Berührpunkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\notin|T || || || |SZ= }} gibt. Siehe insbesondere die 37. Vorlesung. }} tp5wh3vnfg7f1v8psrjt5tqbxqh2ltv 106 113930 784479 633643 2022-08-22T06:16:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|37| {{ inputbild |Crystal Clear kdm user female|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Dies ist Dr. Ines Eisenbeis. Sie ist für die wissenschaftliche Begleitung des Projektes Vorlesungshund verantwortlich. Ihre Arbeitshypothesen sind: 1) Studierende gehen lieber zur Vorlesung, 2) Außenseiter werden aus ihrer Isolation geholt, 3) Auffälligkeiten reduzieren sich, 4) Positive Sozialkontakte werden gefördert, 5) Profs werden mehr beachtet. |Autor= |Benutzer=Ftiercel |Domäne= |Lizenz=GNU-Lizenz für freie Dokumentatio |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Kurven}} {{ inputbild |ComplexSinInATimeAxe|gif| 350px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |Text=Eine Animation des Graphen der trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises. Die grünen Punkte sind Punkte des Graphen. |Autor=Nashev |Benutzer= |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung= }} Es sei {{math|term=I|SZ=}} ein reelles Intervall, {{math|term=V|SZ=}} ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und {{ Ma:abb/disp |name=f |I|V || |SZ= }} eine Abbildung. Eine solche Abbildung nennen wir auch eine {{Stichwort|Kurve|SZ=}} oder einen {{Stichwort|Weg|SZ=}} in {{math|term=V|SZ=.}} Häufig stellt man sich dabei {{math|term=I|SZ=}} als ein Zeitintervall und die Abbildung als einen Bewegungsprozess im Raum {{math|term=V|SZ=}} vor. Jedem Zeitpunkt {{ Ma:Vergleichskette |t |\in|I || || || |SZ= }} wird also ein Ortspunkt {{ Ma:Vergleichskette |f(t) |\in|V || || || |SZ= }} zugeordnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sich eine solche Abbildung zu veranschaulichen. Bei eindimensionalem {{math|term=V|SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette |V |\cong|\R || || || |SZ=, }} ist der Graph die übliche Darstellungsweise. Einen Graphen gibt es bekanntlich zu jeder Abbildung. Bei {{ Ma:Vergleichskette |V |\cong|\R^2 || || || |SZ= }} ist der Graph eine Teilmenge von {{ Ma:Vergleichskette | \R \times \R^2 || \R^3 || || || || |SZ=. }} Häufig skizziert man bei einer Kurve bei {{ Ma:Vergleichskette |V ||\R^2 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |V ||\R^3 || || || |SZ= }} nur das Bild {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht auch von der {{Stichwort|Bahn|SZ=}} oder der {{Stichwort|Spur|SZ=}} der Kurve| |ISZ=|ESZ= }} der Kurve. Man beachte aber, dass das Bild nur eine Teilinformation der Abbildung aufzeigt. Bei einem Bewegungsprozess interessiert man sich natürlich für die {{Anführung|Geschwindigkeit}} zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei versteht man unter Geschwindigkeit nicht nur deren Betrag {{ Zusatz/Klammer |text=oder Norm| |ISZ=|ESZ=, }} sondern auch deren Richtung {{ Zusatz/Klammer |text=die Sprechweisen sind uneinheitlich| |ISZ=|ESZ=. }} Eine gleichmäßige Bewegung auf einem Kreis mit Mittelpunkt {{mathl|term=(0,0)|SZ=}} und Radius {{math|term=r|SZ=,}} bei der eine volle Kreisbewegung die Zeit {{math|term=a|SZ=}} benötigt, die zum Zeitpunkt {{math|term=0|SZ=}} im Punkt {{mathl|term=(r,0)|SZ=}} startet und gegen den Uhrzeigersinn verläuft, wird durch {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R^2 |t| {{op:Zeilenvektor|r {{op:cos| {{op:Bruch|2 \pi | a||}} t|}} |r {{op:sin| {{op:Bruch|2 \pi | a||}} t|}}}} |SZ=, }} beschrieben. Der Geschwindigkeitsvektor der Kreisbewegung ist zu jedem Zeitpunkt {{math|term=t|SZ=}} {{Stichwort|tangential|SZ=}} an den Ortspunkt auf dem Kreis {{ Zusatz/Klammer |text=und steht senkrecht zum Ortsvektor| |ISZ=|ESZ=. }} Die Norm der Geschwindigkeit ist bei einer Kreisbewegung konstant, aber die Richtung ändert sich kontinuierlich. Die Vorstellung der {{Stichwort|Momentangeschwindigkeit|SZ=}} wird durch den Begriff der {{Stichwort|differenzierbaren Kurve|msw=Differenzierbare Kurve|SZ=}} und ihrer Ableitung präzisiert, der eine direkte Verallgemeinerung von differenzierbaren Funktionen ist. Die Idee ist wieder, zu zwei Zeitpunkten {{ Ma:Vergleichskette |t |<|t' || || || |SZ= }} den Durchschnittsgeschwindigkeitsvektor {{ Zusatz/Klammer |text=die wir den {{Stichwort|Differenzenquotienten|msw=Differenzenquotient|SZ=}} nennen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|f(t') - f(t) |t'-t|}} |\in|V || || || |SZ= }} zu betrachten und davon den Limes für {{mathl|term=t' \mapsto t|SZ=}} zu bestimmen. Um einen Limes bilden zu können, brauchen wir, wie schon im Eindimensionalen, eine Metrik {{ Zusatz/Klammer |text=eine Abstandsfunktion| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=V|SZ=.}} Wir werden daher euklidische Vektorräume betrachten, also reelle endlichdimensionale Vektorräume, für die ein Skalarprodukt erklärt ist. Ein Skalarprodukt auf {{math|term=V|SZ=}} definiert über {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v|}} | {{defeq|}} | \sqrt{ {{op:Skalarprodukt|v|v}} } || || || |SZ= }} eine Norm und über {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(u,v) | {{defeq|}} | {{op:Norm|u-v|}} || || || |SZ= }} eine Metrik. Für einen Vektor {{math|term=v|SZ=,}} der bezüglich einer Orthonormalbasis durch die Koordinaten {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || (v_1 {{kommadots|}} v_n) || || || |SZ= }} gegeben ist, lautet die Formel für die Norm {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v|}} || \sqrt{ v_1^2 {{plusdots|}} v_n^2 } || || || || |SZ=. }} Da es auf jedem endlichdimensionalen Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} eine Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} und damit eine dadurch induzierte bijektive lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^n|V |e_i|v_i |SZ=, }} gibt, gibt es auch auf jedem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ein Skalarprodukt und damit eine euklidische Metrik. Diese hängt jedoch von der gewählten Basis ab. Allerdings hängen die offenen Mengen{{ Zusatz/Fußnote |text=Die Menge der offenen Mengen eines metrischen Raumes wird als {{Stichwort|Topologie|SZ=}} bezeichnet. Wesentliche Begriffe wie Konvergenz und Stetigkeit hängen nur von der Topologie ab| |ISZ=.|ESZ=, }} der Konvergenzbegriff und Grenzwerteigenschaften nicht von einer solchen Wahl ab, wie das folgende Lemma zeigt. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Reelle endlichdimensionale Vektorräume/Euklidische Struktur/Unabhängigkeit/Fakt|Lemma|| || }} Für uns bedeutet das, dass die im Folgenden zu entwickelnden Differenzierbarkeitsbegriffe nicht vom gewählten Skalarprodukt abhängen. Mit etwas mehr Aufwand kann man auch zeigen, dass eine beliebige {{ Zusatz/Klammer |text=nicht notwendigerweise euklidische| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Norm| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/K/Norm/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ebenfalls die gleiche Topologie definiert, und man genauso gut mit einer beliebigen Norm arbeiten könnte. Zunächst müssen wir den Grenzwertbegriff für Abbildungen zwischen metrischen Räumen erweitern. {{ inputdefinition |Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition|f=g| }} Statt mit abgeschlossenen Ballumgebungen kann man auch mit offenen Ballumgebungen arbeiten. Eine alternative Bedingung ist, dass für jede Folge {{mathl|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} aus {{math|term=T|SZ=,}} die gegen {{math|term=a|SZ=}} konvergiert, die Bildfolge {{mathl|term= {{Op:Folge|glied=f(x_n)}} |SZ=}} gegen {{math|term=b|SZ=}} konvergiert. Diese Definition werden wir hier hauptsächlich in der Situation {{ Ma:Vergleichskette |M ||I || || || |SZ= }} ein reelles Intervall, {{ Ma:Vergleichskette |T ||I \setminus \{t \} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |a ||t || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |L ||V || || || |SZ= }} ein euklidischer Vektorraum und den Differenzenquotienten {{ Ma:abbele/disp |name=g |t'| {{op:Bruch|f(t')-f(t)|t'-t}} || |SZ= }} anwenden. Dieser ist für {{ Ma:Vergleichskette |t' ||t || || || |SZ= }} nicht definiert, wir suchen aber dennoch einen sinnvollen Wert für ihn. {{:Differenzierbare Kurven/Vektorraum/Textabschnitt |zusatz1=&nbsp;Bei {{ Ma:Vergleichskette |f'(t) |\neq| 0 || || || |SZ= }} versteht man unter der {{Stichwort|Tangente|SZ=}} an {{mathl|term=f(t)|SZ=}} zum Zeitpunkt {{math|term=t|SZ=}} die durch {{ math/disp|term= {{Mengebed|f(t)+ s \cdot f'(t)|s \in \R }} |SZ= }} gegebene Gerade. |zusatz2=Die vorstehende Aussage wird hauptsächlich für die Standardbasis des {{math|term=\R^n|SZ=}} angewendet. |zusatz3= {{ inputbeispiel |Kreisbewegung/Ableitung/Senkrecht/Beispiel|| }}|}} {{ inputbeispiel |Kurve/Bewegung im Raum/Projektion auf Ebene/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste}} }} tu1yxl05410kckz6qak81sl14wrchkp 0 114115 780213 766903 2022-08-21T18:30:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= P|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |projektiver| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein weiterer {{math|term= R|SZ=-}}Modul. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | \operatorname{Ext}^n(P,M) ||0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq| 1 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Ext-Funktors |Kategorie2=Theorie der projektiven Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lc2tjhjwld1z2l5z5gnhp2gznq7yc8g 780274 780213 2022-08-21T18:41:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= P|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |projektiver| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= M|SZ=}} ein weiterer {{math|term= R|SZ=-}}Modul. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | \operatorname{Ext}^n(P,M) ||0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq| 1 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Ext-Funktors |Kategorie2=Theorie der projektiven Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g1lgwyduehlm49lnij93sd4h0z2s65q 0 114123 779504 763596 2022-08-21T16:39:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A|SZ=}} ein fixierter {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist die Zuordnung, die jedem {{math|term= R|SZ=-}}Modul {{math|term= M|SZ=}} den Homomorphismenmodul {{mathl|term= {{op:Homomorphismen|A|M|Ring=R}} |SZ=}} zuordnet, linksexakt, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Modul/Homomorphismenmodul/Kovariant/Linksexakt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Moduln von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ihx9cvbws1yvn6eosx6cpv22k7830p 0 114471 778454 762405 2022-08-21T12:05:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da {{math|term= X|SZ=}} insbesondere {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, ist die konstante Prägarbe {{math|term= {{op:Garbe|K|}} |SZ=}} zu {{math|term= K|SZ=}} eine Garbe. Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Integres Schema/Injektive Restriktionen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es einen injektiven {{ Definitionslink |Prämath= |Garbenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Strukturgarbe|X|}} | {{op:Garbe|K|}} || |SZ= }} und somit eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Garbensequenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Strukturgarbe|X|}} | {{op:Garbe|K|}} | {{op:Garbe|K|}} / {{op:Strukturgarbe|X|}} | SZ=.}} Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz lautet {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:SchnittringX|X|}} \longrightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|K|}} }} \longrightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|K|}}/ {{op:Strukturgarbe|X|}} }} \longrightarrow H^1(X, {{op:Strukturgarbe|X|}}) \longrightarrow H^1(X, {{op:Garbe|K|}}) \longrightarrow \cdots |SZ=. }} Als konstante Garbe ist {{math|term= {{op:Garbe|K|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |welk| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und somit nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Welke Garbe/Azyklisch/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |azyklisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und insbesondere gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |H^1(X, {{op:Garbe|K|}}) || 0 || || || |SZ=. }} Also ist {{mathl|term= H^1(X, {{op:Strukturgarbe|X|}}) |SZ=}} der Kokern der zuvor stehenden Abbildung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ndhmmqfh08jvder8qkufxokpsa1dcbj 0 114487 778905 611924 2022-08-21T15:04:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die punktierte affine Ebene {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{op:Affine Ebene|K|}} \setminus \{ (0,0) \} || || || |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} und wollen {{mathl|term= H^1(U, {{op:Strukturgarbe|U|}} )|SZ=}} mit Hilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affines Schema/Integer/Strukturgarbe/Funktionenkörper/Erste Kohomologie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} verstehen. Der Funktionenkörper ist {{mathl|term= K(X,Y)|SZ=,}} wir bezeichnen die zugehörige konstante Garbe mit {{math|term= {{op:Garbe|Q|}} |SZ=.}} Die lange exakte Kohomologiesequenz beginnt {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow K[X,Y] \longrightarrow K(X,Y) \longrightarrow {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|Q|}}/ {{op:Strukturgarbe|U}} |}} \longrightarrow H^1(X, {{op:Strukturgarbe|U|}} ) \longrightarrow 0 |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |U ||D(X) \cup D(Y) || || || |SZ=. }} Wir betrachten Schnitte von {{mathl|term= {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|Q|}}/ {{op:Strukturgarbe|U}} |}} |SZ=}} der Form {{mathl|term= (D(X), X^\alpha Y^\beta; D(Y), 0 ) |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\alpha, \beta |\in| \Z || || || |SZ=. }} Der Schnitt wird also auf {{math|term= D(X)|SZ=}} durch die rationale Funktion {{mathl|term= X^\alpha Y^\beta |SZ=}} und auf {{math|term= D(Y)|SZ=}} durch die rationale Funktion {{math|term= 0|SZ=}} festgelegt. Da die Differenz, also einfach {{mathl|term= X^\alpha Y^\beta |SZ=,}} zur Strukturgarbe auf dem Durchschnitt {{ Ma:Vergleichskette | D(X) \cap D(Y) || D(XY) || || || |SZ= }} gehört, liegt in der Tat ein Schnitt der Quotientengarbe vor, vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Garbe von Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Explizite Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wir bestimmen, abhängig von {{ mathkor|term1= \alpha |und|term2= \beta |SZ=, }} ob dieser Schnitt im Bild liegt, was äquivalent zur Frage ist, ob dieser Schnitt ein triviales Element in der ersten Kohomologie definiert. Dass es von links herkommt bedeutet, dass es eine rationale Funktion {{ Ma:Vergleichskette |q |\in|K(X,Y) || || || |SZ= }} gibt, das mit dem Schnitt übereinstimmt, und das bedeutet wiederum, dass die Differenz auf {{ mathkor|term1= D(X) |bzw.|term2= D(Y) |SZ= }} von der Strukturgarbe herkommt, es muss also gleichzeitig {{ Ma:Vergleichskette | q - X^\alpha Y^\beta |\in| {{op:Schnitte|D(X)| {{op:Strukturgarbe|U|}} }} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | q - 0 |\in| {{op:Schnitte|D(Y)| {{op:Strukturgarbe|U|}} }} || || || |SZ= }} sein. Die zweite Bedingung bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp |q || {{op:Bruch|h|Y^n}} || || || |SZ= }} und die erste Bedingung bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|h|Y^n}} - X^\alpha Y^\beta || {{op:Bruch|g|X^m}} || || || |SZ=. }} Es geht also um die Frage, ob die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^\alpha Y^\beta || {{op:Bruch|h|Y^n}} - {{op:Bruch|g|X^m}} || || || |SZ= }} eine Lösung {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette/k |g,h |\in| K[X,Y] || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/k |m,n |\in| \N || || || |SZ= }} besitzt| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn {{ Ma:Vergleichskette |\alpha |\geq|0 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |\beta |\geq|0 || || || |SZ= }} ist, so ist dies möglich. Wenn hingegen {{ Ma:Vergleichskette |\alpha, \beta |<|0 || || || |SZ= }} sind, so ist dies nicht möglich, da ja die rechte Seite gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|hX^m-gY^n|X^mY^n}} |SZ=}} ist. Multiplikation mit {{math|term= X^mY^n|SZ=}} zeigt die Unmöglichkeit, da das Ideal {{math|term= (X^m,Y^n)|SZ=}} nur Monome enthält, die Vielfache der einzelnen Erzeuger sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Garbenkohomologie für Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6cono81w6qs72lmu9a2yrocoymbrtmh 0 114519 780316 767002 2022-08-21T18:48:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X|}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{op:Einheitengarbe|X|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=}} und es sei {{math|term= {{op:Garbe|U|}} |SZ=}} die konstante Garbe zu {{math|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |H^1(X, {{op:Einheitengarbe|X|}} ) || {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|U|}}/ {{op:Einheitengarbe|X|}} }} / {{op:Bild(| {{op:Einheiten|K|}} \rightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|U|}}/ {{op:Einheitengarbe|X|}} }} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gz2ycomgq4gkoit318i9mjcbidmhxxt 0 114548 779564 674817 2022-08-21T16:48:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Fruit salad (1)|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Fæ |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils in Milligramm| |ISZ=|ESZ= }} unterschiedliche Früchte {{ Zusatz/Klammer |text=pro 100 Gramm| |ISZ=|ESZ= }} besitzen. {{Tabelleleitdreixvier| |ls0= |lz1= Apfel |lz2= Orange |lz3= Traube |lz4= Banane |lz5= |lz6= |lz7= |lz8= |lz9= |lz10= | |ls1= Vitamin C|a1,1= 12 |a1,2= 53 |a1,3= 4 |a1,4= 9 |a1,5= |a1,6= |a1,7= |a1,8= |a1,9= |a1,10= | |ls2=Calcium |a2,1= 7 |a2,2= 40|a2,3= 12|a2,4= 5 |a2,5= z_2 |a2,6= |a2,7= |a2,8= |a2,9= |a2,10= | |ls3=Magnesium |a3,1= 6 |a3,2= 10 |a3,3= 8 |a3,4= 27 |a3,5= z_3 |a3,6= |a3,7= |a3,8= |a3,9= |a3,10= | |ls4= |a4,1= \, |a4,2= \, |a4,3= |a4,4= |a4,5= |a4,6= |a4,7= |a4,8= |a4,9= |a4,10= | |ls5= |a5,1=\, |a5,2=\, |a5,3=\, |a5,4= |a5,5= |a5,6= |a5,7= |a5,8= |a5,9= |a5,10= | |ls6= |a6,1= |a6,2= |a6,3= |a6,4= |a6,5= |a6,6= |a6,7= |a6,8= |a6,9= |a6,10= | |ls7= |a7,1= |a7,2= |a7,3= |a7,4= |a7,5= |a7,6= |a7,7= |a7,8= |a7,9= |a7,10= | |ls8= |a8,1= |a8,2= |a8,3= |a8,4= |a8,5= |a8,6= |a8,7= |a8,8= |a8,9= |a8,10= | |ls9= |a9,1= |a9,2= |a9,3= |a9,4= |a9,5= |a9,6= |a9,7= |a9,8= |a9,9= |a9,10= | |ls10= |a10,1= |a10,2= |a10,3= |a10,4= |a10,5= |a10,6= |a10,7= |a10,8= |a10,9= |a10,10= | |ls11= |a11,1= |a11,2= |a11,3= |a11,4= |a11,5= |a11,6= |a11,7= |a11,8= |a11,9= |a11,10= | |ls12= |a12,1= |a12,2= |a12,3= |a12,4= |a12,5= |a12,6= |a12,7= |a12,8= |a12,9= |a12,10= | |ls13= |a13,1= |a13,2= |a13,3= |a13,4= |a13,5= |a13,6= |a13,7= |a13,8= |a13,9= |a13,10= | |ls14= |a14,1= |a14,2= |a14,3= |a14,4= |a14,5= |a14,6= |a14,7= |a14,8= |a14,9= |a14,10= | |ls15= |a15,1= |a15,2= |a15,3= |a15,4= |a15,5= |a15,6= |a15,7= |a15,8= |a15,9= |a15,10= | |ls16= |a16,1= |a16,2= |a16,3= |a16,4= |a16,5= |a16,6= |a16,7= |a16,8= |a16,9= |a16,10= | }} Mein Obstsalat heute morgen besteht aus den angegebenen Früchten in den Anteilen {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|3|2|7|6}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= 300|SZ=}} Gramm Apfel u.s.w.| |ISZ=|ESZ=. }} Daraus kann man den gesamten Vitamin-C-Gehalt, den Calcium-Gehalt und den Magnesium-Gehalt des Obstsalats ausrechnen, indem man einfach für jede Frucht ihre Menge mit dem entsprechenden Gehalt multipliziert und alles aufsummiert. Der Vitamingehalt des gesamten Obstsalats ist also {{ Zusatz/Klammer |text=in Milligramm| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | 12 \cdot 3 + 53 \cdot 2 + 4 \cdot 7 + 9 \cdot 6 || 224 || || || |SZ=. }} Diese Operation ist ein Beispiel für die Wirkungsweise einer Matrix. Die Tabelle führt unmittelbar zu einer {{math|term= 3 \times 4|SZ=-}}Matrix, nämlich zu {{mathl|term= {{op:Matrix34|12|53|4|9|7|40|12|5|6|10|8|27|}}|SZ=,}} und die obige Rechnung wird durch die Matrixmultiplikation {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix34|12|53|4|9|7|40|12|5|6|10|8|27|}} {{op:Spaltenvektor|3|2|7|6}} || {{op:Spaltenvektor|224|215|256}} || || || |SZ= }} realisiert. Man kann auch umgekehrt sich einen Obstsalat wünschen, der eine bestimmte Menge an Vitamin C, Calcium und Magnesium besitzt, sagen wir {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|180|110|140}} |SZ=.}} Dies führt zum linearen Gleichungssystem in Matrixform {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrix34|12|53|4|9|7|40|12|5|6|10|8|27|}} {{op:Spaltenvektor|x_1|x_2|x_3|x_4}} || {{op:Spaltenvektor|180|110|140}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ltb3bfjvzmd96j2uen8xgke8ifwei8s 0 114565 779631 611918 2022-08-21T17:00:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Polynomring/Syzygiengarbe zu Variablen/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an, d.h. wir betrachten auf dem Polynomring {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ= }} und die kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Syz| X_1 {{kommadots|}} X_n|}} |R^n|{{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} |SZ=. }} Die Einschränkung der zugehörigen Garbensequenz auf den punktierten Raum {{ Ma:Vergleichskette |U || {{op:Affiner Raum|n|K}} \setminus \{(0 {{kommadots|}} 0) \} || || || |SZ= }} ist {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Garbe|S|}} {{=|}} {{op:Modulgarbespektrum|{{op:Syz| X_1 {{kommadots|}} X_n|}}||}} | {{op:Strukturgarbe| U |}}^n|{{op:Strukturgarbe| U |}}|SZ=.}} Die Auswertung dieser Garbensequenz auf {{math|term= U|SZ=}} ergibt {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:Syz| X_1 {{kommadots|}} X_n|}} \longrightarrow R^n \longrightarrow R \longrightarrow H^1(U , {{op:Garbe|S|}}) \longrightarrow H^1(U, {{op:Strukturgarbe| U |}}^n) \longrightarrow |SZ=. }} Da das Bild der Abbildung {{ Ma:abb |name= |R^n|R || |SZ= }} nach wir vor das maximale Ideal, ist diese Abbildung nicht surjektiv und es folgt, dass {{ Ma:Vergleichskette | H^1(U , {{op:Garbe|S|}}) |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Garbenkohomologie für Schemata |Kategorie2=Theorie der lokal freien Garben auf quasiaffinen Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t00koquaidzyhh62woa1is8ooe5fgfo 0 114677 780291 766964 2022-08-21T18:43:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergente Folgen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Summenfolge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=x_n + y_n}}|SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| x_n+ y_n |}} }} || {{makl| {{op:Folgenlimes|}} |}} + {{makl| {{op:Folgenlimes|y}} |}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fp6g911z39iwcstefxeoarc28j1jgsp 0 114781 779123 763247 2022-08-21T15:39:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den topologischen Raum {{ Ma:Vergleichskette |X ||\{a,b,c\} || || || |SZ= }} mit den offenen Mengen {{mathl|term= \emptyset, X, U=\{a,c\}, V=\{b,c\}, U \cap V= \{c\} |SZ=.}} Dieser Raum besitzt die beiden abgeschlossenen Punkte {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=, }} er ist {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= c|SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |generische Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Abgesehen von der leeren Menge bilden die offenen Mengen das Inklusionsdiagramm {{Kommutatives Quadrat/lo|X|U|V|U \cap V|SZ=.}} Eine Garbe von kommutativen Gruppen auf {{math|term= X|SZ=}} ist gegeben, wenn man diesen Teilmengen Gruppen und Restriktionshomomorphismen zuweist {{ Zusatz/Klammer |text=und die Verträglichkeitsbedingung überprüft| |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten die Garbe {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=,}} die durch {{Kommutatives Quadrat/ru|0|0|0|\Z |SZ=}} gegeben ist. Diese kann man in die konstante Garbe {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit Identitäten| |ISZ=|ESZ= }} {{Kommutatives Quadrat/ru|\Z|\Z|\Z|\Z |SZ=}} einbetten. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientengarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Garbe|G|}} / {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} ist durch {{Kommutatives Quadrat/ru|\Z \times \Z |\Z|\Z|0 |abb12=p_2|abb13=p_1|SZ=}} gegeben. Die Werte für {{mathl|term= U \cap V,U,V|SZ=}} ergeben sich direkt durch Restklassenbildung, die Vergarbung hat keinen Effekt, und für {{math|term= X|SZ=}} ergibt sich das Produkt {{math|term= \Z \times \Z|SZ=,}} da die Schnitte über {{math|term= U|SZ=}} und {{math|term= V|SZ=}} automatisch verträglich sind. Somit ist die globale Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|G|}} }} {{=|}} \Z| {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|G|}}/ {{op:Garbe|F|}} }} {{=|}} \Z \times \Z || |SZ= }} nicht surjektiv, die {{ Definitionslink |Prämath= |lange exakte Kohomologiesequenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist vielmehr {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow 0 \longrightarrow \Z \longrightarrow \Z \times \Z \stackrel{\delta}{\longrightarrow} H^1(X, {{op:Garbe|F|}} ) {{=|}} \Z \longrightarrow 0 |SZ=. }} Hierbei geht vorne {{mathl|term= n \mapsto (n,n)|SZ=}} und hinten {{mathl|term= (r,s) \mapsto (r-s)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das folgt aus der Exaktheit| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quotientengarben |Kategorie2=Čech-Kohomologie |Kategorie3=Theorie der endlichen topologischen Räume |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0zcdfxaca5za5je264ja07t5j8b6orq 0 114788 779281 763366 2022-08-21T16:03:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beringter Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=.}} Dies bedeutet, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} und Trivialisierungen {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_i | {{op:Garbe|L|}} {{|}}_{U_i} | {{op:Strukturgarbe|X}}{{|}}_{U_i} || |SZ= }} gibt. Für zwei offene Mengen {{mathl|term= U_i,U_j|SZ=}} ergeben sich auf {{mathl|term= U_i \cap U_j|SZ=}} die Übergangsabbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i{{|}}_{U_i \cap U_j} \circ \varphi_j^{-1} {{|}}_{U_i \cap U_j} | {{op:Strukturgarbe|X}} {{|}}_{U_i \cap U_j} | {{op:Strukturgarbe|X}} {{|}}_{U_i \cap U_j} || |SZ=. }} Diese Isomorphien sind {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Beringter Raum/Strukturgarbe/Festlegungssatz/Einheit und Isomorphismus/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Zusatz/Klammer |text=Multiplikation mit| |ISZ=|ESZ= }} Einheiten {{ Ma:Vergleichskette |r_{ij} |\in| {{op:Schnitte|U_i \cap U_j| {{op:Einheitengarbe|X|}} }} || || || |SZ= }} gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung {{ Ma:Vergleichskette | r_{kj} \cdot r_{ji} ||r_{ki} || || |SZ=, }} was man auch als {{ Ma:Vergleichskette | r_{kj} \cdot r_{ki}^{-1} \cdot r_{ji} || 1 || || || |SZ= }} schreiben kann. Ein solcher Datensatz legt durch eine Verklebung wiederum eine invertierbare Garbe fest. Wenn die invertierbare Garbe trivial ist, so gibt es einen globalen {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X|}} |Modulisomorphismus| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \psi | {{op:Strukturgarbe|X|}} | {{op:Garbe|L|}} || |SZ=. }} Dann liegen auf den {{math|term= U_i|SZ=}} die Isomorphismen {{ math/disp|term= {{op:Strukturgarbe|X|}} {{|}}_{U_i} \stackrel{\psi {{|}}_{U_i} }{\longrightarrow} {{op:Garbe|L|}} {{|}}_{U_i} \stackrel{\varphi_i}{\longrightarrow} {{op:Strukturgarbe|X|}} {{|}}_{U_i} |SZ= }} vor, die insgesamt durch Einheiten {{ Ma:Vergleichskette |s_i |\in| {{op:Schnitte|U_i| {{op:Einheitengarbe|X|}} }} || || || |SZ= }} festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |s_i \cdot s_j^ {-1} || {{makl| \varphi_i \circ \psi |}} \circ {{makl| \varphi_j \circ \psi |}}^{-1} || r_{ij} || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i,j|SZ=.}} Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten {{math|term= s_i|SZ=}} gegeben sind, so werden durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi {{|}}_{U_i} | {{defeq|}} | \varphi_i^{-1} \circ s_i || || || |SZ= }} Modulisomorphismen auf {{math|term= U_i|SZ=}} festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Strukturgarbe|X|}} |und|term2= {{op:Garbe|L|}} |SZ= }} festlegen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf beringten Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jtgqfsdkkjbjvpfsz808zuhbuytrscs 0 114795 780201 766885 2022-08-21T18:28:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die erste {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kohomologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Cech-Kohomologie|1|D_+(X),D_+(Y)|{{op:Einheitengarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}} |}} |}} |SZ=.}} Welche Beziehung besteht zu {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Endlicher Raum/3 Punkte/Einer generisch/Generisch Z/Kohomologie/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie=Die projektive Gerade |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qoayhsj4zjgmvk0w29m9ykxnfvshavr 780262 780201 2022-08-21T18:39:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die erste {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kohomologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Cech-Kohomologie|1|D_+(X),D_+(Y)|{{op:Einheitengarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}} |}} |}} |SZ=.}} Welche Beziehung besteht zu {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Endlicher Raum/3 Punkte/Einer generisch/Generisch Z/Kohomologie/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie=Die projektive Gerade |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 066hjn0cn35rtadptwzxhbqo3tn9bep 0 114874 779754 763744 2022-08-21T17:17:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und Elemente {{ Ma:Vergleichskette | f_1 {{kommadots|}} f_n |\in|R || || || |SZ=, }} die das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} erzeugen, hat man eine offene Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette | D ({{ideala|}} ) || \bigcup_{i {{=}} 1}^n D(f_i) || || || |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |quasiaffinen Schemas| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | D( {{ideala|}} ) |\subseteq| {{op:Spek|R|}} || || || |SZ=. }} Zu einem {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} kann man den {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Modulgarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Modulgarbespektrum|M|}} |SZ=}} auf {{math|term= D( {{ideala|}} ) |SZ=}} direkt hinschreiben, ohne dass man den Vergarbungsprozess beachten muss. Für die relevanten offenen Mengen ist ja {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte|D( \prod_{i \in J} f_i) |{{op:Modulgarbespektrum|M|}} )|}} || M_{ \prod_{i \in J} f_i} || || || |SZ= }} wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Affines Schema/Modul/Hauptmenge/Nenneraufnahme/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Der Čech-Komplex ist somit gleich {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow \prod_{1 \leq i \leq n } M_{f_i} \longrightarrow \prod_{1 \leq i < j \leq n} M_{f_i f_j} \longrightarrow \prod_{1 \leq i < j < k \leq n} M_{f_i f_j f_k} \longrightarrow \ldots |SZ=. }} Die Berechnung der Homologien dieses Komplexes ist im Allgemeinen immer noch schwierig, aber allein ein Problem der kommutativen Algebra. |Textart=Beispiel |Kategorie=Čech-Kohomologie für Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bz4517wtruronebl5op00j0vsjfrvhe 0 115410 780293 766966 2022-08-21T18:44:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, für welche reellen Zahlen {{math|term= x|SZ=}} die {{Definitionslink|Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Reihe|k=n|Glied=n^nx^n}} |SZ= }} {{Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R | |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pcfvobm27ab96wh62s2mxbneq7e6h4l 0 115531 779667 751701 2022-08-21T17:05:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der projektiven Geraden {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|R|}} || {{op:Proj|R[X,Y]|}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} und das {{ Zusatz/Klammer |text=volle| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |(X,Y) |\subseteq| {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|R|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|R|}}|1}} }} || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |zugehörige Morphismus| |Kontext=lineares System| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Identität. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t2j52hv9tdlm5b3e5rnfk1lrpitv35a 0 115533 779668 751702 2022-08-21T17:05:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der projektiven Geraden {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|R|}} || {{op:Proj|R[X,Y]|}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} und das {{ Zusatz/Klammer |text=volle| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |(X^2,XY,Y^2) |\subseteq| {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|R|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|R|}}|2}} }} || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |zugehörige Morphismus| |Kontext=lineares System| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ausgeschrieben gleich {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|R|}}| {{op:Projektive Ebene|R|}} | (x,y)| (x^2,xy,y^2) |SZ=. }} Dem Punkt auf der projektiven Geraden mit den homogenen Koordinaten {{mathl|term= (x,y)|SZ=}} wird also der Punkt in der projektiven Ebene mit den homogenen Koordinaten {{ Ma:Vergleichskette | (x^2,xy,y^2) ||(u,v,w) || || || |SZ= }} zugeordnet. Das Bild erfüllt die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |uw ||v^2 || || || |SZ=, }} d.h. das Bild liegt in der ebenen Kurve {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_+(uw-v^2) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|R|}} || || || |SZ=. }} In der Tat liegt eine Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|R|}} |\cong|V_+(uw-v^2) || || || |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qe4zy1o59guydtq3zb6kk1ogells1xm 0 115536 778451 770091 2022-08-21T12:04:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei zuerst die invertierbare Garbe {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} mit den Schnitten {{mathl|term= s_0,s_1 {{kommadots|}} s_n|SZ=}} gegeben. Es ist zu zeigen, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^* {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|R}} |1}} |\cong| {{op:Garbe|L|}} || || || |SZ= }} ist. Auf dem projektiven Raum gibt es {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|R}} }} |Modulhomomorphismen| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \Psi_i | {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|R}} }} |{{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|R}} |1}} |1| x_i |SZ=, }} die eingeschränkt auf {{mathl|term= D_+(x_i) |SZ=}} Isomorphismen sind. Dies induziert {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X|}} |SZ=-}}Modulhomomorphismen {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Strukturgarbe|X|}} |\varphi^* {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|R}} |1}} |1| \varphi^*(x_i) |SZ=, }} und Isomorphismen {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Strukturgarbe|X|}} {{|}}_{X_{s_i} } |\varphi^* {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|R}} |1}} {{|}}_{X_{s_i} } || |SZ=, }} die in Verbindung mit den {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=-}}Isomorphismen {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Strukturgarbe|X|}} {{|}}_{X_{s_i} } | {{op:Garbe|L|}} {{|}}_{X_{s_i} } |1|s_i |SZ=, }} zu {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=-}}Isomorphismen {{ Ma:abbele/disp |name= |\varphi^* {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|R}} |1}} {{|}}_{X_{s_i} } | {{op:Garbe|L|}} {{|}}_{X_{s_i} } || |SZ= }} führen, bei denen sich {{ mathkor|term1= \varphi^*(x_i) |und|term2= s_i |SZ= }} entsprechen. Die Einschränkungen dieser Isomorphismen auf {{math|term= X_{s_is_j}|SZ=}} stimmen überein, daher gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Garben/Überdeckung/Morphismus/Konstruktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen globalen Isomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |\varphi^* {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|R}} |1}} | {{op:Garbe|L|}} || |SZ=. }} Wenn umgekehrt ein Morphismus {{ Ma:abb |name= \varphi |X| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || |SZ= }} gegeben ist, so definiert dies Schnitte {{ mathbed|term= s_i {{=|}} \varphi^*(x_i) ||bedterm1= i=0,1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} und dies wiederum den dadurch festgelegten Morphismus {{math|term= \varphi'|SZ=.}} Es ist zu zeigen, dass diese beiden Morphismen übereinstimmen. Ein Morphismus ist lokal festgelegt. Unter der Einschränkung {{ Ma:abbele/disp |name= | \varphi^{-1}( D_+(x_i) )| D_+(x_i) \cong {{op:Affiner Raum|n|K}} || |SZ= }} werden aber die zugehörigen Variablen {{mathl|term= {{op:Bruch|x_k|x_i}} |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Bruch|s_k|s_i}} |SZ=}} zurückgezogen, und mit diesen Brüchen wird {{math|term= \varphi'|SZ=}} definiert. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0dfb4zs75v9szgjr999m2gabh7mcm71 0 115568 780360 767561 2022-08-21T18:55:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R || || || |SZ= }} ein Element mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\leq|a |<|1 || || |SZ=. }} Es gebe ein {{math|term= N|SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_{n+1} - x_n|}} |\leq| a^n || || || |SZ= }} gelte für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|N || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Cauchy-Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6dxrxdqps98n0mo37znolvxybwsz9m8 0 115590 786056 759208 2022-08-22T10:22:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Limes| |Kontext=reelle Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |konvergenten Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=}} eindeutig bestimmt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owory0rp9ent7xn957une39c6xj388i 0 115595 780292 766965 2022-08-21T18:44:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergente Folgen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Produktfolge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=x_n \cdot y_n}}|SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| x_n \cdot y_n |}} }} || {{makl| {{op:Folgenlimes|}} |}} \cdot {{makl| {{op:Folgenlimes|y}} |}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} patzy3i37hka74c3uil1x7hs7bbbdep 0 115650 779684 751727 2022-08-21T17:07:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die {{ Definitionslink |Prämath= |Weildivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des projektiven Raumes {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}} |SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} verstehen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |d |\geq|1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten die disjunkte Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Projektiver Raum|d|K}} || D_+(X_0) \cup V_+(X_0) || {{op:Affiner Raum|d|K}} \cup {{op:Projektiver Raum|d-1|K}} || || |SZ=, }} d.h. wir fixieren die {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperebene| |Kontext=projektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |H ||V_+(X_0) |\cong|{{op:Projektiver Raum|d-1|K}} || || |SZ= }} im {{Anführung|Unendlichen|SZ=.}} Ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primdivisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des projektiven Raumes stimmt also entweder mit der Hyperebene rechts überein oder sie schneidet den affinen Raum links nichtleer und kann als ein Primideal der Höhe {{math|term= 1|SZ=}} im Polynomring {{mathl|term= K[ {{op:Bruch|X_1|X_0}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_d|X_0}} ]|SZ=}} aufgefasst werden. Jede Funktion {{math|term= f|SZ=}} des Funktionenkörpers lässt sich {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Skalierung und kürzen| |ISZ=|ESZ= }} eindeutig als {{ Ma:Vergleichskette |f || {{op:Bruch|P|Q}} || || || |SZ= }} mit Polynomen {{ Ma:Vergleichskette |P,Q |\in | K[ {{op:Bruch|X_1|X_0}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_d|X_0}} ] || || || |SZ= }} schreiben. Mit den Primfaktorzerlegungen zu {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} kann man direkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || \prod_{i {{=}} 1}^n c P_i^{\nu_i} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit einer Konstanten {{ Ma:Vergleichskette/k |c |\neq|0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/k | \nu_i |\in|\Z || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} schreiben und daraus den Hauptdivisor zu {{math|term= f|SZ=}} ablesen, sofern er such auf die Komponenten im affinen Raum bezieht. Die {{ Zusatz/Klammer |text= {{Anführung|unendlich ferne|}}| |ISZ=|ESZ= }} Ordnung von {{math|term= f|SZ=}} an {{math|term= V_+(X_0)|SZ=}} ergibt sich folgendermaßen. Der lokale Ring zu diesem Primdivisor ist{{{zusatz1|}}} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]_{((X_0))} || {{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]_{ K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] \setminus (X_0) \cap \text{ homogene Elemente } } |}}_0 || K {{makl| {{op:Bruch|X_2|X_1}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_d|X_1}} |}} [ {{op:Bruch|X_0|X_1}} ]_{ {{makl| {{op:Bruch|X_0|X_1}} |}} } || || |SZ=. }} Man schreibt {{math|term= P|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= Q|SZ=}} oder {{math|term= f|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} indem man überall {{math|term= {{op:Bruch|X_i|X_0}} |SZ=}} durch {{mathl|term= {{op:Bruch|X_i|X_1}} \cdot {{op:Bruch|X_1|X_0}} |SZ=}} ersetzt. Dies betrachtet man als rationale Funktion über dem Körper {{mathl|term= K {{makl| {{op:Bruch|X_2|X_1}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_d|X_1}} |}} |SZ=}} in der einen Variablen {{math|term= {{op:Bruch|X_0|X_1}} |SZ=.}} Der {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise negative| |ISZ=|ESZ= }} Grad bezüglich {{math|term= {{op:Bruch|X_0|X_1}} |SZ=}} ist die Ordnung. Beispielsweise ist bei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || {{op:Bruch|X_1|X_0}} + {{makl| {{op:Bruch|X_2|X_0}} |}}^3 || {{op:Bruch|X_1|X_0}} + {{makl| {{op:Bruch|X_2|X_1}} |}}^3 {{makl| {{op:Bruch|X_1|X_0}} |}}^3 || {{makl| {{makl| {{op:Bruch|X_0|X_1}} |}}^{2} + {{makl| {{op:Bruch|X_2|X_1}} |}}^3 |}} {{makl| {{op:Bruch|X_0|X_1}} |}}^{-3} || |SZ= }} und die Ordnung ist {{math|term= -3|SZ=.}} Da jeder Weildivisor mit einem Hauptdivisor auf dem affinen Raum wegen der Faktorialität des Polynomringes übereinstimmt, ist jeder Weildivisor {{ Definitionslink |Prämath= |linear äquivalent| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem Divisor der Form {{math|term= n V_+(X_0) |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \Z || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die Klasse zu {{math|term= V_+(X_0)|SZ=}} nennt man auch die {{Stichwort|Hyperebenenklasse|SZ=.}}| |ISZ=|ESZ=. }} Ein solcher Divisor ist aber bei {{ Ma:Vergleichskette |n |\neq|0 || || || |SZ= }} kein Hauptdivisor, da ein solcher Hauptdivisor auf dem affinen Raum trivial ist und daher von einer Konstanten herrühren muss. Eine solche besitzt aber auch im Unendlichen die Ordnung {{math|term= 0|SZ=.}} Die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes ist also {{math|term= \Z|SZ=,}} als Erzeuger kann man jede Hyperebene nehmen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (normales Schema) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 885l2o9scww4vvibyne68n8eihgn8bm 0 115694 780259 766956 2022-08-21T18:38:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} sowie die affine Gerade {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Affine Gerade|K|}} |\subseteq| {{op:Projektive Gerade|K|}} || D_+(X) \cup \{ \infty\} || |SZ= }} mit dem globalen Schnittring {{ Ma:Vergleichskette/disp | K[ {{op:Bruch|Y|X}} ] || K[t] || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Der {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem Polynom {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| K[t] || || || |SZ= }} besitzt in {{math|term= {{op:Affine Gerade|K|}} |SZ=}} keine negative Ordnung {{ Zusatz/Klammer |text=keine Polstelle| |ISZ=|ESZ=. }} |Die Ordnung von einem Polynom {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| K[t] || || || |SZ= }} in {{math|term= \infty |SZ=}} ist das Negative des Grades von {{math|term= P |SZ=.}} |Es sei {{ Ma:Vergleichskette | D || \sum_P n_P \cdot P || || || |SZ= }} und {{math|term= K |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{math|term= D |SZ=}} genau dann ein Hauptdivisor, wenn {{ Ma:Vergleichskette | \sum_P n_P || 0 || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4h26zffpxvanqqo356j86bgonzl8e3i 0 115717 785259 616198 2022-08-22T08:10:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen {{mathl|term= x \mapsto x^\alpha|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6w9p1ia8susrq8ov2fqaggkt5nlndgs 0 115761 780200 766884 2022-08-21T18:28:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheitengarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}}|}} |SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Standardüberdeckung| |Kontext=projektiver Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} sowie die erste {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kohomologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Cech-Kohomologie|1|D_+(X),D_+(Y)|{{op:Einheitengarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}}|}} }} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Garbenkohomologie für Schemata |Kategorie2=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie3=Theorie der Einheitengarbe auf beringten Räumen |Objektkategorie=Die projektive Gerade |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} liosgkhhcwsqgkewc65m8l4gtfn0big 780261 780200 2022-08-21T18:38:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheitengarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}}|}} |SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Standardüberdeckung| |Kontext=projektiver Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} sowie die erste {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kohomologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Cech-Kohomologie|1|D_+(X),D_+(Y)|{{op:Einheitengarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}}|}} }} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Garbenkohomologie für Schemata |Kategorie2=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie3=Theorie der Einheitengarbe auf beringten Räumen |Objektkategorie=Die projektive Gerade |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cz12ip3o8me8bo4w2ig16vhpkfgjg9c 0 115762 780257 766954 2022-08-21T18:38:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheitengarbe|{{op:Projektive Ebene|K|}}|}} |SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Standardüberdeckung| |Kontext=projektiver Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Ebene| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Ebene|K|}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} sowie die erste {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kohomologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Cech-Kohomologie|1|D_+(X),D_+(Y),D_+(Z)|{{op:Einheitengarbe|{{op:Projektive Ebene|K|}}|}} }} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Garbenkohomologie für Schemata |Kategorie2=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie3=Theorie der Einheitengarbe auf beringten Räumen |Objektkategorie=Die projektive Ebene |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7mf586ll1gghg7nhffeeg55t9llzvnf 0 115765 780235 766927 2022-08-21T18:34:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normales| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |noethersches| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |Z |\subset|X || || || |SZ= }} eine abgeschlossene Teilmengen mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Kodimension| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \geq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= X|SZ=}} und von {{math|term= X \setminus Z|SZ=}} übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (normales Schema) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3z9w558e950mpvi84irxbvyoly8jcwi 0 115767 780221 766912 2022-08-21T18:32:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}} |SZ=}} über einem Körper je zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperebenen| |Kontext=projektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |H_1 || V_+(a_0X_0+a_1X_0 {{plusdots|}} a_dX_d) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |H_2 || V_+(b_0X_0+b_1X_0 {{plusdots|}} b_dX_d) || || || |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |linear äquivalent| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ql5vatfeolptu2zsuf95jdy85cc5tg 780282 780221 2022-08-21T18:42:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}} |SZ=}} über einem Körper je zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperebenen| |Kontext=projektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |H_1 || V_+(a_0X_0+a_1X_0 {{plusdots|}} a_dX_d) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |H_2 || V_+(b_0X_0+b_1X_0 {{plusdots|}} b_dX_d) || || || |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |linear äquivalent| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hiydm1th207mjlci07upwknbqsxlyjb 0 115768 780222 766913 2022-08-21T18:32:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V || V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|d|K}} || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperfläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= d|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die wir als Element in der {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auffassen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear äquivalent| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= dH |SZ=}} ist, wobei {{math|term= H|SZ=}} die Klasse einer {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m057vq3ff0imet6qqllngwssft00h45 780283 780222 2022-08-21T18:42:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V || V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|d|K}} || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperfläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= d|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die wir als Element in der {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auffassen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear äquivalent| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= dH |SZ=}} ist, wobei {{math|term= H|SZ=}} die Klasse einer {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1k6p8htgbzzrtn95cuk63fn000thj2s 0 115769 780236 766928 2022-08-21T18:34:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normales| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |noethersches| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subset|X || || || |SZ= }} eine offene Teilmengen. Zeige{{n Sie}}, dass man durch Weglassen derjenigen {{ Definitionslink |Prämath= |Primdivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{math|term= U|SZ=}} nicht treffen, einen surjektiven {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= | {{op:Weildivisorengruppe|X|}} | {{op:Weildivisorengruppe|U|}} || |SZ= }} erhält. Zeige{{n Sie}}, dass dabei {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf Hauptdivisoren gehen und dass es daher einen surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abb |name= | {{op:Divisorenklassengruppe|X|}} | {{op:Divisorenklassengruppe|U|}} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (normales Schema) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e9xajdakuzyuzh0btc53dgf3vvx8ol0 0 115772 780237 766930 2022-08-21T18:34:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normales| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |noethersches| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|X || || || |SZ= }} ein Punkt. Zeige{{n Sie}}, dass man durch Weglassen derjenigen {{ Definitionslink |Prämath= |Primdivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die nicht durch {{math|term= x|SZ=}} verlaufen, einen surjektiven {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= | {{op:Weildivisorengruppe|X|}} | {{op:Weildivisorengruppe| {{op:Strukturgarbe|X,x|}} |}} || |SZ= }} erhält. Zeige{{n Sie}}, dass dabei {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf Hauptdivisoren gehen und dass es daher einen surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abb |name= | {{op:Divisorenklassengruppe|X|}} | {{op:Divisorenklassengruppe| {{op:Strukturgarbe|X,x|}}|}} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (normales Schema) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dz6vh6zynih5w4slg4trcyn2i5dps0g 0 115773 779680 763684 2022-08-21T17:06:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} lässt sich eine {{ Definitionslink |Prämath= |getwistete Strukturgarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} |\ell}} |SZ=}} folgendermaßen in die Funktionenkörpergarbe {{math|term= {{op:Garbe|Q|}} |SZ=}} einbetten. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |G |\in| K(X_0 {{kommadots|}} X_n)_{- \ell } || || || |SZ= }} ein homogenes Element vom Grad {{math|term= - \ell|SZ=.}} Auf jeder offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|d|K}} || || || |SZ= }} ist dann die natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Schnitte|U|{{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} |\ell}} }} | Q( {{op:Projektiver Raum|d|K}}) |s|s G |SZ=, }} eine Realisierung als Untermodul. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qtqv36q07s19m8sb36vwfhscbo36r0j 0 115818 779666 751700 2022-08-21T17:05:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Prämath= |Geschlecht| |Kontext=kohomologisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarbe/Garbenkohomologie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{math|term= 0|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bkafrd55shvnom0x4ey0lw6hk8pok1d 0 115822 780258 766955 2022-08-21T18:38:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |C ||V_+(f) |\subset| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || |SZ= }} eine ebene {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Kurve| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=ebene projektive Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= d|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} unter Verwendung der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Projektive Hyperebene/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |-3}} \stackrel{f}{ \longrightarrow} {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |d-3}} \longrightarrow {{op:Getwistete Strukturgarbe|C|d-3}} \longrightarrow 0 |SZ= }} auf der projektiven Ebene und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarbe/Garbenkohomologie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass die Dimension von {{mathl|term= H^0(C, {{op:Getwistete Strukturgarbe|C|d-3}}) |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|(d-1)(d-2)|2}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf glatten projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lhmftlrtlukt97ptxhrdqqjw2ns10se 0 115830 780225 766916 2022-08-21T18:32:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokal faktorielles| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektives| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und sei {{math|term= D|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Weildivisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=}} mit zugehöriger Garbe {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X|}}(D) |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche Korrespondenz zwischen den zu {{math|term= D|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear äquivalenten| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |effektiven Weildivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den nichttrivialen globalen Schnitten von {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X|}}(D) |SZ=}} gibt, wobei man Schnitte miteinander identifiziert, wenn sie durch Skalierung auseinander hervorgehen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren (normales Schema) |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf projektiven Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ox0g9t26i8nx12bmuaz64c4o7iahjn 780286 780225 2022-08-21T18:43:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokal faktorielles| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektives| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und sei {{math|term= D|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Weildivisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=}} mit zugehöriger Garbe {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X|}}(D) |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche Korrespondenz zwischen den zu {{math|term= D|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear äquivalenten| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |effektiven Weildivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den nichttrivialen globalen Schnitten von {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X|}}(D) |SZ=}} gibt, wobei man Schnitte miteinander identifiziert, wenn sie durch Skalierung auseinander hervorgehen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren (normales Schema) |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf projektiven Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kele30ch5rckmtubxjfr2nm36w7hcdu 0 115831 780216 766906 2022-08-21T18:31:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||F_1^{a_1} \cdots F_r^{a_r} || || || |SZ= }} die Primfaktorzerlegung eines homogenen Polynoms {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_d ] || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über einem algebraisch abgeschlossenen Körper {{math|term= K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} vom Grad {{math|term= e|SZ=}} im homogene Primpolynome {{math|term= F_j|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |D || \sum_{j {{=}} 1}^n a_j V_+(F_j) || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Weildivisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung5 |Man kann jeden effektiven Weildivisor auf dem projektiven Raum in dieser Form {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bis auf Skalierung| |ISZ=|ESZ= }} darstellen. |Es gilt mengentheoretisch {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_+(F) || \bigcup_{j {{=}} 1}^n V_+(F_i) || || || |SZ=. }} |Es sei {{ Ma:Vergleichskette |C |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|d|K}} || || || |SZ= }} eine glatte projektive Kurve, die keine Teilmenge von {{math|term= V_+(F)|SZ=}} sei. Dann induziert {{math|term= D|SZ=}} einen Weildivisor {{mathl|term= D {{|}}_C |SZ=}} auf der Kurve {{math|term= C|SZ=,}} indem man zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | P |\in|C || || || |SZ= }} die Ordnung von {{math|term= F|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Strukturgarbe|C,P|}} |SZ=}} betrachtet. |Die eingeschränkte invertierbare Garbe {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} |e}} {{|}}_C |SZ=}} ist isomorph zur invertierbaren Garbe auf {{math|term= C|SZ=}} ist, die zu {{mathl|term= D {{|}}_C |SZ=}} gehört. Es gilt also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} | D}} {{|}}_C || {{op:Getwistete Strukturgarbe|C|D {{|}}_C }} || || || |SZ=. }} |{{ Definitionslink |Prämath= |Linear äquivalente| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Divisoren auf dem projektiven Raum induzieren linear äquivalente Divisoren auf der Kurve. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf einer glatten projektiven Kurve |Kategorie2=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dm341cf6dddo08wbt2rdk29t529drn9 780277 780216 2022-08-21T18:41:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||F_1^{a_1} \cdots F_r^{a_r} || || || |SZ= }} die Primfaktorzerlegung eines homogenen Polynoms {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_d ] || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über einem algebraisch abgeschlossenen Körper {{math|term= K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} vom Grad {{math|term= e|SZ=}} im homogene Primpolynome {{math|term= F_j|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |D || \sum_{j {{=}} 1}^n a_j V_+(F_j) || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Weildivisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung5 |Man kann jeden effektiven Weildivisor auf dem projektiven Raum in dieser Form {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bis auf Skalierung| |ISZ=|ESZ= }} darstellen. |Es gilt mengentheoretisch {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_+(F) || \bigcup_{j {{=}} 1}^n V_+(F_i) || || || |SZ=. }} |Es sei {{ Ma:Vergleichskette |C |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|d|K}} || || || |SZ= }} eine glatte projektive Kurve, die keine Teilmenge von {{math|term= V_+(F)|SZ=}} sei. Dann induziert {{math|term= D|SZ=}} einen Weildivisor {{mathl|term= D {{|}}_C |SZ=}} auf der Kurve {{math|term= C|SZ=,}} indem man zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | P |\in|C || || || |SZ= }} die Ordnung von {{math|term= F|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Strukturgarbe|C,P|}} |SZ=}} betrachtet. |Die eingeschränkte invertierbare Garbe {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} |e}} {{|}}_C |SZ=}} ist isomorph zur invertierbaren Garbe auf {{math|term= C|SZ=}} ist, die zu {{mathl|term= D {{|}}_C |SZ=}} gehört. Es gilt also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} | D}} {{|}}_C || {{op:Getwistete Strukturgarbe|C|D {{|}}_C }} || || || |SZ=. }} |{{ Definitionslink |Prämath= |Linear äquivalente| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Divisoren auf dem projektiven Raum induzieren linear äquivalente Divisoren auf der Kurve. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf einer glatten projektiven Kurve |Kategorie2=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c7rxfyjlfef2as3dx72ylaovo35qnvx 0 115886 780212 766902 2022-08-21T18:30:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Funktionenkörper {{mathl|term= K(t)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:Bruch|Y|X}} || || || |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Schemamorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Projektive Gerade|K|}} |{{op:Projektive Gerade|K|}} |t|t^n |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ=. }} Was ist das Urbild des Nullpunktes, was ist das Urbild des unendlich fernen Punktes, wie sehen die {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden‎ |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6pjdkx8r788o7ljiqhe3tf1h67n5ire 780273 780212 2022-08-21T18:40:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Funktionenkörper {{mathl|term= K(t)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:Bruch|Y|X}} || || || |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Schemamorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Projektive Gerade|K|}} |{{op:Projektive Gerade|K|}} |t|t^n |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ=. }} Was ist das Urbild des Nullpunktes, was ist das Urbild des unendlich fernen Punktes, wie sehen die {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden‎ |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8kkv1k3zjdfez46zc5kvypbsiww1whb 0 115889 780207 766894 2022-08-21T18:29:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Funktionenkörper {{mathl|term= K(t)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:Bruch|Y|X}} || || || |SZ=, }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| K[t] || || || |SZ= }} ein Polynom vom Grad {{ Ma:Vergleichskette |e |\geq|1 || || || |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \infty|SZ=}} für den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Schemamorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Projektive Gerade|K|}} |{{op:Projektive Gerade|K|}} |t| P |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden‎ |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} diuv47u1tw0k3wri7ld6c4gbgbiztjv 780268 780207 2022-08-21T18:40:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Funktionenkörper {{mathl|term= K(t)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:Bruch|Y|X}} || || || |SZ=, }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| K[t] || || || |SZ= }} ein Polynom vom Grad {{ Ma:Vergleichskette |e |\geq|1 || || || |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= \infty|SZ=}} für den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Schemamorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Projektive Gerade|K|}} |{{op:Projektive Gerade|K|}} |t| P |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden‎ |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6kgfbsfe96jcnzio4o5zl7my0s53n1j 0 115890 780224 766915 2022-08-21T18:32:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektiver Raum|n|K}} || {{op:Proj|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ]|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |effektiven Weildivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}} |SZ=}} den normierten {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Polynomen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ycjqkhqxqncs2zo1pejzhiinmkiyre 780285 780224 2022-08-21T18:42:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektiver Raum|n|K}} || {{op:Proj|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ]|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |effektiven Weildivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}} |SZ=}} den normierten {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Polynomen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tnj8n6w2zpvc9igo3xyps553kiwevqr 0 115903 780369 767236 2022-08-21T18:56:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine quadratische Matrix, die man als {{ Definitionslink |Prämath= |Blockmatrix| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Matrix22|A|0|0|B}} || || || |SZ= }} mit quadratischen Matrizen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} schreiben kann. Zeige{{n Sie}}, dass eine Zahl {{ Ma:Vergleichskette |\lambda |\in|K || || || |SZ= }} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} ist, wenn {{math|term= \lambda|SZ=}} ein Eigenwert von {{math|term= A|SZ=}} oder von {{math|term= B|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b6xsrxq49ax2plgy3ofpmk91okc7ngp 0 115952 780313 766999 2022-08-21T18:47:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=,}} es sei {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=}} und es seien {{ Ma:Vergleichskette |s_0,s_1 {{kommadots|}} s_n |\in| {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|L|}} }} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |globale Schnitte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i {{=}} 0}^n X_{s_i} || || || |SZ=. }} |Der durch das {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (s_0 ,s_1 {{kommadots|}} s_n) |SZ=}} definierte {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|n|R}} |SZ=}} ist auf ganz {{math|term= X|SZ=}} definiert. |Das lineare System {{mathl|term= (s_0 ,s_1 {{kommadots|}} s_n) |SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |basispunktfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mv6l047lbaap4aaxjhlpq5j4peducgr 0 115966 782178 756053 2022-08-21T23:58:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |faktorieller Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |Zu {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |f |\neq|0 || || || |SZ=, }} ist {{ Ma:Vergleichskette |(f)R_{(p)} || (p^s) || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{math|term= p|SZ=}} mit dem Exponenten {{math|term= s|SZ=}} in der Primfaktorzerlegung von {{math|term= f|SZ=}} vorkommmt. |Zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= (f) |und|term2= (g) |SZ= }} stimmen genau dann überein, wenn für jedes Primelement {{math|term= p|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R_{(p)}|SZ=}} die Ideale {{ mathkor|term1= (f)R_{(p)} |und|term2= (g)R_{(p)} |SZ= }} übereinstimmen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ks0ym5wx1mn1ms0usdm0hqg85egdhp4 0 115987 780204 766891 2022-08-21T18:29:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} und das volle {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L | {{defeq|}} |\langle s,t \rangle || {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}}|1}} }} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Fixierung eines {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystems| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} aus drei Elementen {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Streckung| |ISZ=|ESZ= }} einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene als Gerade entspricht. Wie kann man dabei die Bildgerade beschreiben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ogh250rp8sfb5kbxhebqbg86yvuvewk 780265 780204 2022-08-21T18:39:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} und das volle {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L | {{defeq|}} |\langle s,t \rangle || {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}}|1}} }} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Fixierung eines {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystems| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} aus drei Elementen {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Streckung| |ISZ=|ESZ= }} einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene als Gerade entspricht. Wie kann man dabei die Bildgerade beschreiben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 43yvgpf5aq6egdcub9r0bnu3h3dcruk 0 115989 780205 766892 2022-08-21T18:29:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} und das volle {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L | {{defeq|}} |\langle s^2,st,t^2 \rangle || {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}}|2}} }} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Fixierung einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Streckung| |ISZ=|ESZ= }} einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene entspricht. Wie kann man dabei die Bildkurve beschreiben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der Veronese-Einbettung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fib9q92kmvt4jbzqhci96yaf5noslez 780266 780205 2022-08-21T18:39:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} und das volle {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L | {{defeq|}} |\langle s^2,st,t^2 \rangle || {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}}|2}} }} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Fixierung einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Streckung| |ISZ=|ESZ= }} einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene entspricht. Wie kann man dabei die Bildkurve beschreiben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der Veronese-Einbettung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hoxxdojzi1vi9c5puzzxyb0c8pbi8st 0 115992 780206 766893 2022-08-21T18:29:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} und das volle {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L | {{defeq|}} |\langle s^3,s^2t,st^2, t^3 \rangle || {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}}|3}} }} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektiver Raum|3|K|}} || |SZ= }} einer Einbettung der projektiven Geraden in den projektiven Raum ergibt. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} möglichst viele Gleichungen an, die die Bildkurve erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der Veronese-Einbettung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} btgjexoszbk93fdq0huxk8aav0d23kb 780267 780206 2022-08-21T18:39:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} und das volle {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L | {{defeq|}} |\langle s^3,s^2t,st^2, t^3 \rangle || {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}}|3}} }} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektiver Raum|3|K|}} || |SZ= }} einer Einbettung der projektiven Geraden in den projektiven Raum ergibt. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} möglichst viele Gleichungen an, die die Bildkurve erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der Veronese-Einbettung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ydiovlpt4umgxwsbhgvtntu3yjwpw2 0 116014 780234 766925 2022-08-21T18:34:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normales| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |noethersches| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |q |\in| Q(X) || || || |SZ= }} ein Element des {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörpers| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= q|SZ=}} auf einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=q |U| {{op:Projektive Gerade||}} || |SZ= }} definiert, wobei die {{ Definitionslink |Prämath= |Kodimension| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= X \setminus U|SZ=}} zumindest {{math|term= 2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie2=Theorie der normalen Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k9mb882ga4u7hwnmrrt9ib6ifmbvfdt 0 116025 780209 766897 2022-08-21T18:30:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} Beispiele für {{ Definitionslink |Prämath= |lokal freie Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=lokal frei| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}} und vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=lokal frei| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} derart an, dass die Dimension der globalen Schnitte beliebig groß wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ihh3a33vcoo80p86b63f1tnsn6n6sz1 780270 780209 2022-08-21T18:40:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} Beispiele für {{ Definitionslink |Prämath= |lokal freie Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=lokal frei| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 2|SZ=}} und vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=lokal frei| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} derart an, dass die Dimension der globalen Schnitte beliebig groß wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mhl4p3tf6dybau9ac6epm79dbt05z3g 0 116031 780210 766898 2022-08-21T18:30:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[W,Z]|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörpern| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K(t)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:Bruch|Y|X}} || || || |SZ= }} bzw. {{mathl|term= K(u)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |u || {{op:Bruch|Z|W}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=.}} Wir betrachten auf der zweiten projektiven Geraden das durch {{ Ma:Vergleichskette |WZ,W^2+Z^2 |\in| {{op:Schnitte|{{op:Projektive Gerade|K|}} |{{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}} |2}} |}} || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der zugehörigen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |{{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektive Gerade|K|}} | (w,z)| (wz, w^2+z^2) |SZ=. }} {{ Aufzählung6 |Handelt es sich um ein volles lineares System? |Bestimme{{n Sie}} die Urbilder zu {{ mathkor|term1= D_+(X) |und|term2= D_+(Y) |SZ= }} und beschreibe die induzierten Abbildungen zwischen den affinen offenen Teilmengen. |Handelt es sich um ein {{ Definitionslink |Prämath= |basispunktfreies| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} lineares System? |Beschreibe{{n Sie}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | K(t) |\subseteq| K(u) || || || |SZ= }} der Funktionenkörper. Welchen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt sie? |Bestimme{{n Sie}} für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |(x,y) |\in| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} das Urbild unter {{math|term= \varphi|SZ=}} sowie die jeweilige {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Beschreibe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |zurückgezogenen Divisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \varphi^*( 0 - \infty) || \varphi^*( (Y) - (X) ) || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden‎ |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 618i48fk7yzkb609ie0soiv68vz3rw0 780271 780210 2022-08-21T18:40:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[W,Z]|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörpern| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K(t)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:Bruch|Y|X}} || || || |SZ= }} bzw. {{mathl|term= K(u)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |u || {{op:Bruch|Z|W}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=.}} Wir betrachten auf der zweiten projektiven Geraden das durch {{ Ma:Vergleichskette |WZ,W^2+Z^2 |\in| {{op:Schnitte|{{op:Projektive Gerade|K|}} |{{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}} |2}} |}} || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der zugehörigen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |{{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektive Gerade|K|}} | (w,z)| (wz, w^2+z^2) |SZ=. }} {{ Aufzählung6 |Handelt es sich um ein volles lineares System? |Bestimme{{n Sie}} die Urbilder zu {{ mathkor|term1= D_+(X) |und|term2= D_+(Y) |SZ= }} und beschreibe die induzierten Abbildungen zwischen den affinen offenen Teilmengen. |Handelt es sich um ein {{ Definitionslink |Prämath= |basispunktfreies| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} lineares System? |Beschreibe{{n Sie}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | K(t) |\subseteq| K(u) || || || |SZ= }} der Funktionenkörper. Welchen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt sie? |Bestimme{{n Sie}} für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |(x,y) |\in| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} das Urbild unter {{math|term= \varphi|SZ=}} sowie die jeweilige {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Beschreibe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |zurückgezogenen Divisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \varphi^*( 0 - \infty) || \varphi^*( (Y) - (X) ) || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden‎ |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aoqilu20qvzffz9hkfl9fd94c5icb7d 0 116250 778938 763132 2022-08-21T15:09:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X,Y,Z]/(XY-Z^n) || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit dem maximalen Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (X,Y,Z) || || || |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |offene Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |U ||D(X,Y) ||D(X) \cup D(Y) || {{op:Spek|R|}} \setminus \{ {{idealm|}} \} |\subseteq| {{op:Spek|R|}} |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R_X | \cong| K[X,X^{-1}, Z] || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=vermöge {{ Ma:Vergleichskette/k |Y || {{op:Bruch|Z^n|X}} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |faktorieller Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und somit sind sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= D(X)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und entsprechend auf {{math|term= D(Y)|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Integres affines Schema/Faktoriell/Picardgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} trivial. Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R_{XY} ||R_{Z} | \cong| K[X,X^{-1}, Z, Z^{-1}] || || || |SZ=. }} Eine invertierbare Garbe auf {{math|term= U|SZ=}} ist somit durch einen Isomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | K[X,X^{-1}, Z, Z^{-1}] \cong {{op:Strukturgarbe|U|}} {{|}}_{D(XY)} | K[X,X^{-1}, Z, Z^{-1}] \cong {{op:Strukturgarbe|U|}} {{|}}_{D(XY) } || |SZ=, }} gegeben, der wiederum einer Einheit aus {{mathl|term= K[X,X^{-1}, Z, Z^{-1}] |SZ=}} entspricht. Sei {{mathl|term= cX^iZ^j|SZ=}} eine solche Einheit. Die Einheiten, die von {{ mathkor|term1= R_X |oder|term2= R_Y |SZ= }} herrühren und multiplikative Kombinationen daraus führen {{ Bemerkungslink |Präwort=gemäß||Bemerkungsseitenname= Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Datensatz/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu einer trivialen invertierbaren Garbe. Die Restklassengruppe besteht aus {{math|term= Z^j|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |j || 0,1 {{kommadots|}} n-1 || || || |SZ= }} und daher ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Picardgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf integren Schemata |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie3=Theorie der invertierbaren Garben auf quasiaffinen Schemata |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3i8n4sbxl54rnysqf1w7fzr7e6cbtvl 0 116254 779280 741781 2022-08-21T16:03:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Datensatz/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an, es sei also {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beringter Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und wir interessieren uns für die {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren Garben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=,}} und zwar für solche, die bezüglich einer fixierten {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Überdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} Trivialisierungen besitzen. Diese invertierbaren Garben entsprechen den Datensätzen {{ math/disp|term= (U_i,\, r_{ij} \in {{op:Schnitte|U_i \cap U_j| {{op:Einheitengarbe|X|}} }} \text{ mit } r_{kj} \cdot r_{ki}^{-1} \cdot r_{ji} = 1 \text{ in } {{op:Schnitte|U_i \cap U_j \cap U_k| {{op:Einheitengarbe|X|}} }} ) |SZ=, }} wobei allerdings ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Elemente {{ Ma:Vergleichskette |s_i |\in| {{op:Schnitte|U_i| {{op:Einheitengarbe|X|}} }} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |s_i \cdot s_j^{-1} || r_{ij} || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i,j |SZ=}} gibt. Diese Situation kann man insgesamt durch den Komplex {{ math/disp|term= \prod_{i \in I} {{op:Schnitte| U_i | {{op:Einheitengarbe|X|}} }} \longrightarrow \prod_{i < j} {{op:Schnitte| U_i \cap U_j | {{op:Einheitengarbe|X|}} }} \longrightarrow \prod_{i < j< k} {{op:Schnitte|U_i \cap U_j \cap U_k | {{op:Einheitengarbe|X|}} }} |SZ= }} ausdrücken, wozu man auf {{math|term= I |SZ=}} eine totale Ordnung einführt und die vordere Abbildung durch {{ math/disp|term= (s_i) \longmapsto ( s_j s_i^{-1}) _{i <j } |SZ= }} und die hintere Abbildung durch {{ math/disp|term= (r_{ij} ) \longmapsto ( r_{jk} r_{ik}^{-1} r_{ij} ) |SZ= }} gegeben ist. Ein Element in der Mitte gehört genau dann zum Kern der hinteren Abbildung, wenn es die Kozykelbedingung erfüllt, und es gehört genau dann zum Bild der vorderen Abbildung, wenn es die triviale invertierbare Garbe repräsentiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf beringten Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5tdr2xfa00rauajekg8m1nrs3527f4m 0 116257 779669 751703 2022-08-21T17:05:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit der Standardüberdeckung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Projektive Gerade|K|}} || D_+(X) \cup D_+(Y) || || || |SZ= }} mit den beiden affinen Geraden {{ Ma:Vergleichskette | D_+(X) || {{op:Spek|K[ {{op:Bruch|Y|X}} ]|}} |\cong| {{op:Affine Gerade|K|}} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | D_+(Y) || {{op:Spek|K[ {{op:Bruch|X|Y}} ]|}} |\cong| {{op:Affine Gerade|K|}} || || |SZ=. }} Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Integres affines Schema/Faktoriell/Picardgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Datensatz/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} können wir die {{ Definitionslink |Prämath= |Picardgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der projektiven Geraden berechnen, indem wir die Einheiten in {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte|D_+(XY)| {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}} |}} }} || K[ {{op:Bruch|X|Y}}, {{op:Bruch|Y|X}} ] || || || |SZ= }} modulo den Einheiten auf den beiden affinen Stücken betrachten. Dies ergibt die Gruppe {{ mathbed|term= {{makl| {{op:Bruch|X|Y}} |}}^k ||bedterm1= k \in \Z ||bedterm2= |SZ=, }} somit ist die Picardgruppe isomorph zu {{math|term= \Z|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie2=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie3=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hlnefx6rivz0zr1eduvl9cug0c4khe7 0 116294 780215 766905 2022-08-21T18:31:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektiver Raum|d|K}} || {{op:Proj|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_d ]|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Picardgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |D_+(X_i,X_j) |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|d|K}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |i |\neq|j || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mg9mqpgu0lp56dv4y8l8m4n6oxr47gi 780276 780215 2022-08-21T18:41:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektiver Raum|d|K}} || {{op:Proj|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_d ]|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Picardgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |D_+(X_i,X_j) |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|d|K}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |i |\neq|j || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 20dkymb9gh4b0f1y9n4lltc8ep1jjn3 0 116295 780223 766914 2022-08-21T18:32:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektiver Raum|d|K}} || {{op:Proj|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_d ]|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Picardgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |d |\geq|1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sk6zpzk6fswj1ro5gzw656w46d9vdf6 780284 780223 2022-08-21T18:42:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektiver Raum|d|K}} || {{op:Proj|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_d ]|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Picardgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |d |\geq|1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4e58ru57hrxy5owxdznlfa8fj00w5h7 0 116359 780233 770095 2022-08-21T18:34:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|F|}} |und|term2= {{op:Garbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kohärente Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |noetherschen Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=}} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Garbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Kern {{mathl|term= {{op:Kern|\varphi|}} |SZ=}} ebenfalls kohärent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem Schema |Kategorie2=Theorie der kohärenten Moduln auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bt4cym14vk68zdke6jfxxwe16jgj0c1 0 116408 780208 766896 2022-08-21T18:30:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Daten bzw. Konstruktionen den gleichen {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ= }} von der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in sich festlegen {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{ Ma:Vergleichskette |(a,b), (c,d) |\in| K^2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Der induzierte Morphismus im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zum homogenen Ringhomomorphismus {{ Ma:abb |name= |K[X,Y]| K[S,T] || |SZ= }} mit {{mathl|term= X \mapsto aS+bT|SZ=,}} {{mathl|term= Y \mapsto cS+dT|SZ=.}} |Der Morphismus zu den beiden Schnitten {{ Ma:Vergleichskette |as+bt, cs+dt |\in| {{op:Schnitte|{{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}} |1}} |}} || || || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Der Morphismus im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Glatte Kurve/Rationale Funktion/Morphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zur rationalen Funktion {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|as+bt|cs+dt}} |\in| K {{makl| {{op:Bruch|s|t}} |}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie2=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sm5qnuzshdcejgai779nar2sh4zmx9d 780269 780208 2022-08-21T18:40:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Daten bzw. Konstruktionen den gleichen {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ= }} von der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in sich festlegen {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{ Ma:Vergleichskette |(a,b), (c,d) |\in| K^2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Der induzierte Morphismus im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zum homogenen Ringhomomorphismus {{ Ma:abb |name= |K[X,Y]| K[S,T] || |SZ= }} mit {{mathl|term= X \mapsto aS+bT|SZ=,}} {{mathl|term= Y \mapsto cS+dT|SZ=.}} |Der Morphismus zu den beiden Schnitten {{ Ma:Vergleichskette |as+bt, cs+dt |\in| {{op:Schnitte|{{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}} |1}} |}} || || || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Der Morphismus im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Glatte Kurve/Rationale Funktion/Morphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zur rationalen Funktion {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|as+bt|cs+dt}} |\in| K {{makl| {{op:Bruch|s|t}} |}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie2=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 985ln7whufwfxqcdp2ddystt9385rse 0 116409 780214 766904 2022-08-21T18:31:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jeder {{ Definitionslink |Prämath=K |Automorphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raumes| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}} |SZ=}} in sich {{ Definitionslink |Prämath= |projektiv-linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 95zm0oi44mwly4gbge7b9kjwbng8dyo 780275 780214 2022-08-21T18:41:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jeder {{ Definitionslink |Prämath=K |Automorphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raumes| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}} |SZ=}} in sich {{ Definitionslink |Prämath= |projektiv-linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ksnnv12vt9ivjks6wx50x1vqcnl00r 0 116411 780260 766957 2022-08-21T18:38:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |P_1,P_2,P_3 |\in| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |Q_1,Q_2,Q_3 |\in| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} jeweils drei {{ Zusatz/Klammer |text=untereinander verschiedene| |ISZ=|ESZ= }} Punkte auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Automorphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(P_i) || Q_i || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |i ||1,2,3 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie2=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3kvyl7eq8hr57l3ida9j8refz1kmamy 0 116420 780217 766908 2022-08-21T18:31:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Euler-Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |getwisteten Strukturgarben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} |n}} |SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}}|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Euler-Charakteristik auf projektiven Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jax8sbbieq86zb68v68u6zmdhn0cmoj 780278 780217 2022-08-21T18:41:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Euler-Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |getwisteten Strukturgarben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} |n}} |SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}}|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Euler-Charakteristik auf projektiven Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1xtimgq0hh0vq5iychlojlfhw2gwgz6 0 116439 780315 767001 2022-08-21T18:47:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X|}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= X|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |affines Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn der kanonische Morphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |X| {{op:Spek| {{op:SchnittringX|X|}} |}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ruey5kk5ilmzfekequu1tbxly5gowk7 0 116512 778630 762545 2022-08-21T12:32:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das kann man beispielsweise durch Induktion über die Anzahl der Kanten bei gegebener Knotenmenge beweisen. Beim einem kantenlosen Graphen steht links und rechts beidseitig {{math|term= 0|SZ=.}} Wenn man zu einem Graphen eine Kante hinzutut, sagen wir die Kante, die die beiden Punkte {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} verbindet, so erhöht sich der Grad von {{math|term= u|SZ=}} und der Grad von {{math|term= v|SZ=}} jeweils um {{math|term= 1|SZ=}} und die anderen Grade bleiben unverändert. Somit erhöhen sich beide Seiten um {{math|term= 2|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gwsaykzvyf8fxiklcsfoc6xhyjg23eu 0 116521 778627 762541 2022-08-21T12:31:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= V_g|SZ=}} die Knoten mit einem geraden Grad und {{math|term= V_u|SZ=}} die Knoten mit einem ungeraden Grad. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{v \in V_g} d(v) + \sum_{v \in V_u} d(v) || 2 \cdot {{op:Anzahl|E|}} || || || |SZ=, }} diese Zahl ist also gerade. Der linke Summand ist als Summe von geraden Zahlen ebenfalls gerade. Somit muss auch der rechte Summand gerade sein. Dies kann nur sein, wenn die Anzahl von {{math|term= V_u|SZ=}} gerade ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 744licp7s8fxhl1yoypfdd0vheg3ijp 0 116544 778632 762547 2022-08-21T12:32:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das Blatt {{math|term= b|SZ=}} ist nur zu einem einzigen Knotenpunkt {{math|term= c|SZ=}} benachbart. Es kann in einem Zyklus nur in der Form {{mathl|term= ...-c-b-c-...|SZ=}} vorkommen. In einem Kreis muss dann aber bereits das linke mit dem rechten {{math|term= c|SZ=}} als Punkt des Kreises übereinstimmen, was aber nach Definition auch kein Kreis ist, da er nur die Länge {{math|term= 2|SZ=}} besitzt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n1zid81fxflm9ms43oakuw7k4d1h5zn 0 116633 778628 762543 2022-08-21T12:31:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V || A \uplus B || || || |SZ= }} eine bipartite Zerlegung eines bipartiten Graphen. In jedem {{ Definitionslink |Prämath= |Weg| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem bipartiten Graphen gehören die Knoten abwechselnd zu {{math|term= A|SZ=}} oder zu {{math|term= B|SZ=.}} Die Existenz eines Kreises mit ungerader Anzahl führt daher direkt zu einem Widerspruch. Sei nun umgekehrt die Kreisbedingung erfüllt. Wir können annehmen, dass {{math|term= G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängend| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} ein fixierter Punkt. Wir definieren {{ Ma:Vergleichskette/disp |A || {{Mengebed|x \in V| \text{ es gibt einen geradzahligen Weg von } v \text{ nach } x }} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |B || {{Mengebed|x \in V| \text{ es gibt einen ungeradzahligen Weg von } v \text{ nach } x }} || || || |SZ=. }} Wegen der Zusammenhangseigenschaft ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || A \cup B || || || |SZ=. }} Nehmen wir an, dass {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} nicht disjunkt sind, sagen wir {{ Ma:Vergleichskette |y |\in| A \cap B || || || |SZ=. }} Es gibt dann Wege {{ Ma:Vergleichskette/disp |v ||v_0 |\sim|v_1 | {{simdots|}} | v_r ||y || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |v ||v_0 |\sim|u_1 | {{simdots|}} | u_s ||y || |SZ= }} mit {{math|term= r|SZ=}} gerade und {{math|term= s|SZ=}} ungerade. Indem man die beiden Wege zusammensetzt, erhält man einen Zyklus mit ungerade vielen Knoten. Wenn es in ihm Wiederholungen gibt, so kann man daraus zwei kleinere Zyklen herausarbeiten, von denen einer ebenfalls eine ungerade Anzahl besitzt. Somit erhält man auch einen ungeraden Kreis im Widerspruch zur Voraussetzung. Die beiden Mengen sind also disjunkt. Wenn es eine Kante innerhalb von {{math|term= A|SZ=}} geben würde, so würden die daran beteiligten Punkte sofort auch zu {{math|term= B|SZ=}} gehören im Widerspruch zur gezeigten Disjunktheit. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mvs5knwfph14gwrltqoheevl7bg8vbl 0 116703 779215 763297 2022-08-21T15:53:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} ein Graph mit {{math|term= n|SZ=}} Knotenpunkten und ohne Kanten. Dann ist das {{ Definitionslink |Prämath= |chromatische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= X^n|SZ=.}} Es ist ja in diesem Fall jede Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |V| {{Menge1k}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |zulässige Färbung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und somit gibt es {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{math|term= k^n|SZ=}} zulässige Färbungen mit {{ Zusatz/Klammer |text=höchstens| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= k|SZ=}} Farben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das chromatische Polynom |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0w9bbb0j702v3kskut4bxb50q44v51t 0 116718 780050 763869 2022-08-21T18:03:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |vollständiger Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Knotenpunkten. Dann ist das {{ Definitionslink |Prämath= |chromatische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math/disp|term=X(X-1)(X-2) \cdots (X-n+1)|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |k |\leq|n-1 || || || |SZ= }} Farben gibt es keine zulässige Färbung des vollständigen Graphen. Bei {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|n-1 || || || |SZ= }} sind nur die injektiven Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=f |V| {{Menge1k}} || |SZ= }} zulässige Färbungen. Davon gibt es {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Endliche Mengen/Injektive Abbildungen/Anzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{mathl|term= k(k-1)(k-2) \cdots (k-n+1)|SZ=}} Stück. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das chromatische Polynom |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oy2ghqad5vj3s8qt5hxpznvsy9ghr48 0 116767 778844 762738 2022-08-21T13:03:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über die Anzahl der Kanten. Der Induktionsanfang ist klar, da ein kantenfreier Graph nur im einpunktigen Fall zusammenhängend ist, und dies ein Baum ist. Sei {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein zusammenhängender Graph mit {{math|term= m|SZ=}} Kanten. Wenn {{math|term= G|SZ=}} ein Baum ist, sind wir fertig. Sei also {{math|term= G|SZ=}} kein Baum. Dann gibt es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Kreis| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= v_1 ,v_2 {{kommadots|}} v_r, v_{r+1} {{=|}} v_1 |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |r |\geq|3 || || || |SZ= }} in {{math|term= G|SZ=.}} Wir betrachten den Graphen {{math|term= G'|SZ=}} mit der gleichen Knotenmenge {{math|term= V|SZ=}} und der neuen Kantenmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |E' || E \setminus \{ v_1 v_2\} || || || |SZ=. }} Dieser Graph hat eine Kante weniger und er ist zusammenhängend, da der Zusammenhang zwischen {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} über das verbleibende {{Anführung|Kreissegment}} {{mathl|term= v_2 {{kommadots|}} v_r {{=|}} v_1|SZ=}} gesichert ist. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen aufspannenden Baum in {{math|term= G'|SZ=,}} und dieser ist auch ein aufspannender Baum von {{math|term= G|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i06zc7mokunjid62fcfizjrlv75zr9a 0 116781 780033 763864 2022-08-21T18:00:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von Vektoren in {{math|term= V|SZ=}} zu einer endlichen Indexmenge {{math|term= I|SZ=.}} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{Mengensystem|M}} || {{Mengebed|J \subseteq I|\text{Die Familie } v_j, j \in J, \text{ ist linear unabhängig} }} || || || |SZ= }} und behaupten, dass es sich dabei um ein {{ Definitionslink |Prämath= |Matroid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} handelt. Die Eigenschaften ergeben sich aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Linear unabhängig/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=1,2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und aus folgender Überlegung: Wenn die Teilfamilien {{ mathbed|term= v_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ= }} und {{ mathbed|term= v_\ell ||bedterm1= \ell \in L ||bedterm2= |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |J,L |\subseteq|I || || || |SZ= }} jeweils linear unabhängig sind, und {{math|term= L|SZ=}} ein Element mehr als {{math|term= J|SZ=}} besitzt, so gilt für die {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten Untervektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus Dimensionsgründen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \langle v_\ell, \ell \in L \rangle |\not \subseteq|\langle v_j, j \in J \rangle || || || |SZ=. }} Daher gibt es auch ein {{ mathbed|term= v_k ||bedterm1= k \in L ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette |v_k |\notin| \langle v_j, j \in J \rangle || || || |SZ=. }} Doch dann ist die erweiterte Familie {{mathl|term= v_j, j \in J, v_k|SZ=}} ebenfalls linear unabhängig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matroide |Kategorie2=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r1s99rzb5x4sox8s53omtt1kc1f5i63 0 116915 780329 767030 2022-08-21T18:50:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dessen {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} edj9kpqynctr3wactwfc9xq11loxv6v 0 116937 780047 752319 2022-08-21T18:02:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Prämath= |vollständige Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K_5|SZ=}} besitzt {{math|term= 5|SZ=}} Knoten und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Binomialkoeffizient|5|2}} || 10 || || || |SZ= }} Kanten. Nach der Abschätzung aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Abschätzungen/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kann er also nicht {{ Definitionslink |Prämath= |planar| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2=Theorie der vollständigen Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5qibc2f38x3ie2wy37mwat4l8h4nqys 0 116941 780071 625865 2022-08-21T18:06:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |3-cube column graph|svg|200px {{!}} left {{!}} |Text=Der Würfelgraph zu {{ Ma:Vergleichskette |d ||3 || || || |SZ=. }} Es ist klar, woher die Bezeichnung kommt. |Autor= |Benutzer=Geoff Richards |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Een voorbeeld van een graf|png|200px {{!}} right {{!}} |Text=Der gleiche Graph, aber ohne Überkreuzungen gezeichnet. |Autor= |Benutzer=Marthe Jans |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Sei {{ Ma:Vergleichskette |d |\in|\N || || || |SZ=. }} Unter dem {{math|term= d|SZ=-}}dimensionalen {{Stichwort|Würfelgraphen|msw=Würfelgraph|SZ=}} versteht man die Knotenmenge bestehend aus den {{math|term= d|SZ=-}}Tupeln {{ math/disp|term= ( \pm {{kommadots|}} \pm) |SZ=, }} bei der zwei Punkte genau dann durch eine Kante verbunden werden, wenn sie sich in genau einer Komponente unterscheiden. Statt Würfelgraph sagt man auch {{Stichwort|Hyperwürfel|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ameo75m0h1rwo9v5x3n4fcmsya3jmar 0 116944 780070 763879 2022-08-21T18:06:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der Würfelgraph aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Würfelgraph/Dimension d/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |bipartit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} eine Einteilung erhält man, indem man {{math|term= A|SZ=}} als die Menge der {{math|term= d|SZ=-}}Tupel {{mathl|term= (\pm {{kommadots|}} \pm)|SZ=}} mit einer geraden Anzahl an {{math|term= +|SZ=}} und {{math|term= B|SZ=}} als die Menge der {{math|term= d|SZ=-}}Tupel mit einer ungeraden Anzahl an {{math|term= +|SZ=}} ansetzt. |Textart=Beispiel |Kategorie= Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6hudo215lhmedqpcwpya3c8eoxgq1h 0 116962 780046 763868 2022-08-21T18:02:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im vollständigen bipartiten Graphen {{mathl|term= K_{s,s}|SZ=}} gibt es eine Vielzahl an {{ Definitionslink |Prämath= |perfekten Paarungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man muss einfach nur für jeden Knoten der einen Teilmenge der Partition nacheinander mit einem Knoten der anderen Teilmenge verbinden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Paarungen in bipartiten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9asb0a7zuoahr6cwarhewyl652vz07o 0 117037 779925 621525 2022-08-21T17:43:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || \{a,b,c\} || || || |SZ= }} eine dreielementige Menge. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partitionszahl|3|1}} || {{op:Partitionszahl|3|3}} || 1 || || |SZ=. }} Bei einer Partition dieser dreielementigen Menge in {{math|term= 2|SZ=}} Blöcke besitzt ein Block ein Element und der andere Block dann zwei Elemente. Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partitionszahl|3|2}} || 3 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen zweiter Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jfocvdfj6aal50q68ch0ucd01beezq7 0 117039 779926 636979 2022-08-21T17:43:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || \{a,b,c,d\} || || || |SZ= }} eine vierelementige Menge. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partitionszahl|4|1}} || {{op:Partitionszahl|4|4}} || 1 || || |SZ=. }} Bei einer Partition dieser vierelementigen Menge in {{math|term= 2|SZ=}} Blöcke gibt es von den Anzahlen her zwei Möglichkeiten: Der eine Block besitzt ein Element und der andere Block drei Elemente oder beide Blöcke besitzen zwei Elemente. Im ersten Fall gibt es {{math|term= 4|SZ=}} Möglichkeiten, nämlich {{ math/disp|term= \{ \{a\} , \{b,c,d\} \}, \, \{ \{b\} , \{a,c,d\} \} , \, \{ \{c\} , \{a,b,d\} \} , \, \{ \{d\} , \{a,b,c\} \} |SZ=, }} im zweiten Fall gibt es {{math|term= 3|SZ=}} Möglichkeiten, nämlich {{ math/disp|term= \{\{a,b\},\{c,d\}\},\ \{\{a,c\},\{b,d\}\},\ \{\{a,d\},\{b,c\}\} |SZ=, }} also ist isgesamt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partitionszahl|4|2}} || 7 || || || |SZ=. }} Bei einer Partition dieser vierelementigen Menge in {{math|term= 3|SZ=}} Blöcke ist ein Block zweielementig und die beiden anderen sind einelementig. Davon gibt es so viele wie zweielementige Teilmengen, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partitionszahl|4|3}} || 6 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen zweiter Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pp0bnl601m7zvo5dhijeknhvgrq3rpr 0 117067 778528 762458 2022-08-21T12:16:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1) und (4) sind klar. (2). Eine Partition in zwei Blöcke besteht aus einer nichtleeren Teilmenge mit einem nichtleeren Komplement, wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt. Da es in einer {{math|term= n|SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= 2^n|SZ=}} Teilmengen gibt, gibt es {{math|term= 2^{n-1}|SZ=}} Teilmengenpaare. Da das Teilmengenpaar, das die leere Menge enthält, keine Partition ist, muss man {{math|term= 1|SZ=}} abziehen. (3). Bei einer Partition mit {{math|term= n-1|SZ=}} Blöcken sind {{math|term= n-2|SZ=}} Blöcke einelementig und ein Block ist zweielementig. Deshalb ist eine solche Partition dasselbe wie die Festlegung einer zweielementigen Teilmenge, und davon gibt es {{math|term= {{op:Binomialkoeffizient|n|2}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bgnjwo6tf9ekh2ab1qm8g21pofp4wo8 0 117073 780048 752320 2022-08-21T18:03:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum {{ Definitionslink |Prämath= |vollständigen Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K_n|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=symmetrisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ math/disp|term= {{op:Matrix55|0|1| \ldots|1|1|1|0|1|\ldots|1|\vdots|\ddots|\ddots| \ddots|\vdots|1|\ldots|1|0|1|1|1|\ldots|1|0}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der vollständigen Graphen |Kategorie2=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iij0hrepjcx62u1iyx942u1ejz7ybou 0 117077 778988 750907 2022-08-21T15:17:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum {{ Definitionslink |Prämath= |vollständigen bipartiten Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K_{r,s}|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=symmetrisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Blockmatrix| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ math/disp|term= {{op:Matrix66|0| \ldots|0|1|\ldots|1|\vdots|\ddots|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots|0| \ldots|0|1|\ldots|1|1| \ldots|1|0|\ldots|0|\vdots|\ddots|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots|1|\ldots|1|0|\ldots|0}} |SZ=, }} wobei die Blöcke aber nicht quadratisch sein müssen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 40jbc9umgiru7e8f23j9p6bgmeydekt 0 117079 780002 752242 2022-08-21T17:56:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Graph with all its spanning trees|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Andreschulz |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten den {{Stichwort|Diamantgraphen|msw=Diamantgraph|SZ=}} mit den Knoten {{mathl|term= a,b,c,d|SZ=,}} bei dem {{mathl|term= \{1,4\}|SZ=}} die einzige Nichtkante ist. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=ungerichtet| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |A || {{op:Matrix44|0|1|1|0|1|0|1|1|1|1|0|1|0|1|1|0|}} || || || |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gradmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | D || {{op:Matrix44|2|0|0|0|0|3|0|0|0|0|3|0|0|0|0|2||}} || || || |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Laplace-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | L ||{{op:Matrix44|2|0|0|0|0|3|0|0|0|0|3|0|0|0|0|2||}} - {{op:Matrix44|0|1|1|0|1|0|1|1|1|1|0|1|0|1|1|0|}} || {{op:Matrix44|2|-1|-1|0|-1|3|-1|-1|-1|-1|3|-1|0|-1|-1|2|}} || || |SZ=. }} Die Determinante der Streichungsmatrix zur ersten Zeile und ersten Spalte ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante|{{op:Matrix33|3|-1|-1|-1|3|-1|-1|-1|2|}}|}} || 8 || || || |SZ=. }} Diese Zahl stimmt mit der Anzahl der Spannbäume des Diamantgraphen, die in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Aufspannender Baum/Rekursionsformel/1/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} berechnet wurde, überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Laplace-Matrix zu ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jfw4rds0s7ek69gqns7euffelyfkced 0 117088 778634 762550 2022-08-21T12:32:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über die Anzahl der Knoten. Bei einem einzigen Knoten gibt es einen Spannbaum und die Determinante der leeren Matrix ist {{math|term= 1|SZ=.}} Bei zwei Knoten und {{math|term= m|SZ=}} verbindenden Kanten gibt es {{math|term= m|SZ=}} Spannbäume. Die Adjazenzmatrix ist {{mathl|term= {{op:Matrix22|0|m|m|0|}} |SZ=}} und die Gradmatrix ist {{mathl|term= {{op:Matrix22|m|0|0|m}} |SZ=.}} Daher ist die Laplace-Matrix gleich {{mathl|term= {{op:Matrix22|m|-m|-m|m|}} |SZ=.}} Streicht man die erste Zeile und erste Spalte {{ Zusatz/Klammer |text=oder die zweite Zeile und zweite Spalte| |ISZ=|ESZ=. }} so hat die Streichungsmatrix die Determinante {{math|term= m|SZ=.}} Sei nun die Aussage für alle Multigraphen mit höchstens {{math|term= n-1|SZ=}} Knoten bewiesen, und sei eine Multigraph {{math|term= G|SZ=}} mit {{math|term= n|SZ=}} Knoten gegeben. Wir führen nun {{ Zusatz/Klammer |text=eine innere| |ISZ=|ESZ= }} Induktion über die Anzahl {{math|term= m|SZ=}} der Kanten. Wenn es gar keine Kante gibt, so gibt es keinen Spannbaum und die Laplace-Matrix und die Streichungsmatrix davon ist die Nullmatrix mit Determinante {{math|term= 0|SZ=.}} Sei also die Aussage auch für alle Graphen mit {{math|term= n|SZ=}} Knoten und mit weniger als {{math|term= m|SZ=}} Kanten bewiesen, und {{math|term= G|SZ=}} habe {{math|term= n|SZ=}} Knoten und {{math|term= m|SZ=}} Kanten. Wir überlegen uns, was passiert, wenn man eine Kante herausnimmt bzw. kontrahiert. Ohne Einschränkung werden die Kanten zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 2 |SZ= }} kontrahiert, wovon es {{ Ma:Vergleichskette |a_{12} |\geq|1 || || || |SZ= }} gibt. Die Laplace-Matrix von {{math|term= G|SZ=}} sei {{ math/disp|term= {{op:Matrix55|d_1|-a_{12}| -a_{13}| \ldots|-a_{1 n}|-a_{12}|d_2|-a_{23}|\ldots|-a_{2 n} | -a_{13}|-a_{23}| d_3|\ldots|-a_{3 n} |\vdots|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots|-a_{1 n}|-a_{2 n}| -a_{3n} |\ldots|d_{ n} }} |SZ=. }} Die Laplace-Matrix von {{math|term= G \setminus \{e\}|SZ=}} ist {{ math/disp|term= {{op:Matrix55|d_1-1| -a_{12}+1| -a_{13}| \ldots|-a_{1 n}|-a_{12}+1| d_2-1| -a_{23}|\ldots|-a_{2 n} | -a_{13}| -a_{23}| d_3|\ldots| -a_{3 n} |\vdots|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots| -a_{1 n}|-a_{2 n}|- a_{3n} |\ldots| d_{ n} }} |SZ= }} und die Laplace-Matrix zur Kontraktion {{math|term= G/e|SZ=}} ist die {{mathl|term= (n-1) \times (n-1) |SZ=-}}Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix44|d_1+d_2-2a_{12 }| -a_{13} - a_{23}|\ldots| -a_{1 n} - a_{2 n} | -a_{13} -a_{23}| d_3|\ldots| -a_{3 n} |\vdots|\vdots|\ddots|\vdots| -a_{1 n}-a_{2 n} | -a_{3n} |\ldots| d_{ n} }} |SZ=. }} Die Streichungsmatrizen zur jeweils ersten Zeile und ersten Spalte hiervon sind der Reihe nach {{ math/disp|term= {{op:Matrix44| d_2|-a_{23}|\ldots|-a_{2 n} |- a_{23}| d_3|\ldots| -a_{3 n} |\vdots|\vdots|\ddots|\vdots| -a_{2 n}| -a_{3n} |\ldots| d_{ n} }} |SZ=, }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix44| d_2 -1|-a_{23}|\ldots|-a_{2 n} | -a_{23}| d_3|\ldots| -a_{3 n} |\vdots|\vdots|\ddots|\vdots| -a_{2 n}| -a_{3n} |\ldots| d_{ n} }} |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33| d_3|\ldots| -a_{3 n} |\vdots|\ddots|\vdots| -a_{3n} |\ldots| d_{ n} }} |SZ=. }} Entwicklung nach der ersten Spalte {{ Zusatz/Klammer |text=für die beiden ersten Matrizen| |ISZ=|ESZ= }} zeigt, dass die Determinante der ersten Matrix die Summe der Determinanten der beiden folgenden Matrizen ist. Somit folgt die Aussage mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} aus den beiden Induktionsvoraussetzungen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7kr8hnvhf6j0iwl323hz8e7lemmykc4 0 117094 778953 628532 2022-08-21T15:12:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Deletion-contraction|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Jumpow |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten den Diamantgraphen und führen die Kontraktionen und Herausnahmen wie im Bild durch. Dieser Algorithmus liefert letztlich {{math|term= 8|SZ=}} lineare Graphen, die jeweils einen Spannbaum haben {{ Zusatz/Klammer |text=und einen Spannbaum des ursprünglichen Graphen repräsentieren| |ISZ=|ESZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es also {{math|term= 8|SZ=}} Spannbäume. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8dmtsqix34rtpab9pov7ks24qkm3prt 0 117134 778845 762739 2022-08-21T13:03:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Von (1) nach (2) ist klar, da bei einen geschlossenen Eulerzug jeder Knotenpunkt genau so oft besucht wie verlassen wird. Von (2) nach (3). Wir führen Induktion über die Anzahl der Kanten. Da der Graph zusammenhängend ist, handelt es sich um einen isolierten Punkt oder aber jeder Knoten besitzt einen Grad von zumindest {{math|term= 2|SZ=.}} Deshalb muss es in {{math|term= G|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Kreis| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} geben. Man kann ja inn einem beliebigen Punkt starten und von diesem Punkt ausgehend nach und nach einen Kantenzug konstruieren. Wenn der Kantenzug in einen Punkt hineingeht, so kann man den Kantenzug fortsetzen, da zumindest zwei Kanten in dem Punkt zusammenlaufen. Wenn erstmal ein schon erreichter Punkt erneut auftaucht, ist der Kreis fertig, die {{Anführung|Vorperiode}} kann man außer Acht lassen. Es seien {{math|term= F|SZ=}} die Kanten des Kreises und wir betrachten den neuen Graphen {{ Ma:Vergleichskette |G' || (V, E \setminus F) || || || |SZ=. }} Wenn ein Punkt aus {{math|term= V|SZ=}} zu einer Kante aus {{math|term= F|SZ=}} inzident ist, so reduziert sich der Grad in diesem Knoten um {{math|term= 2|SZ=,}} da ja jeder Punkt in einem Kreis inzident zu zwei Kanten ist. Wenn ein Punkt im Kreis nicht aufgerufen wird, so ändert sich der Grad nicht. In jedem Fall besitzt in {{math|term= G'|SZ=}} jeder Punkt wieder einen geraden Grad. Der neue Graph muss nicht mehr zusammenhängend sein, allerdings erfüllen die einzelnen {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G'|SZ=}} wieder die Voraussetzung, dass sämtliche Grade gerade sind. Nach Induktionsvoraussetzung besitzen die Zusammenhangskomponenten jeweils eine Darstellung als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen. Also besitzt {{math|term= G'|SZ=}} eine Darstellung als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen und zusammen mit {{math|term= K|SZ=}} ergibt sich eine Darstellung von {{math|term= G|SZ=}} als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen. Von (3) nach (1). Es seien {{ Ma:Vergleichskette |K_j || (V_j,E_j) || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |j |\in|J || || || |SZ=, }} die beteiligten kantendisjunkten Kreise, die {{math|term= G|SZ=}} überdecken. Wir konstruieren induktiv Kantenzüge, die für zunehmend größere Vereinigungen dieser Kreise einen Eulerzug darstellen. Einen einzelnen Kreis kann man unmittelbar als einen Eulerzug für diesen Kreis auffassen. Es sei nun vorausgesetzt, dass man {{math|term= s|SZ=}} Kreise, die wir als {{math|term= K_1 {{kommadots|}} K_s |SZ=}} durchnummerieren, derart gefunden hat, dass es einen Eulerzug für {{ Ma:Vergleichskette/disp |G_s || \bigcup_{j {{=}} 1}^s K_j || || || |SZ= }} gibt. Bei {{ Ma:Vergleichskette |s |<|r || || || |SZ= }} gibt es aufgrund des Zusammenhangs des Graphen einen weiteren Kreis, den wir {{math|term= K_{s+1}|SZ=}} nennen, der einen gemeinsamen Knotenpunkt mit {{math|term= G_s|SZ=}} hat, sagen wir {{math|term= u|SZ=.}} Dann erhält man aus dem Eulerzug für {{math|term= G_s|SZ=}} einen Eulerzug für {{ Ma:Vergleichskette | G_{s+1} ||G_{s} \cup K_{s+1} || || || |SZ=, }} indem man, wenn der Eulerzug den Punkt {{math|term= u|SZ=}} erreicht, in den Kreis {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} abbiegt, diesen einmal durchläuft und danach an der Stelle {{math|term= u|SZ=}} den alten Eulerzug fortsetzt. Da {{math|term= K_{s+1}|SZ=}} kantendisjunkt zu {{math|term= G_s|SZ=}} ist, entsteht dabei wieder ein Eulerzug. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iguocuhoezitavcdjcx5zk151pyi8wu 0 117205 778847 762741 2022-08-21T13:04:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ein nicht geschlossener Eulerzug besitzt einen Anfangspunkt {{math|term= u|SZ=}} und einen davon verschiedenen Endpunkt {{math|term= v|SZ=.}} Wenn man den Eulerzug durchläuft und dabei für jeden Punkt die Grade zählt, so erhöht sich bei jedem Durchlauf durch einen Punkt {{ Zusatz/Klammer |text=egal ob {{math|term= u|SZ=}} oder {{math|term= v|SZ=}} oder sonst ein Punkt| |ISZ=|ESZ= }} der Grad um {{math|term= 2|SZ=.}} Am Anfang und am Ende kommt für {{math|term= u|SZ=}} bzw. {{math|term= v|SZ=}} nochmal {{math|term= 1|SZ=}} dazu. Es seien {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} die beiden Punkte mit ungeradem Grad. Wenn {{mathl|term= \{u,v\}|SZ=}} nicht zu {{math|term= E|SZ=}} gehört, so nimmt man diese Kante hinzu und erhält einen neuen Graphen {{math|term= G'|SZ=,}} bei dem nun alle Knotenpunkte einen geraden Grad besitzen. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es in {{math|term= G'|SZ=}} einen geschlossenen Eulerzug. Dieser ist ohne die Kante {{mathl|term= \{u,v\}|SZ=}} ein nichtgeschlossener Eulerzug von {{math|term= G|SZ=.}} Wenn hingegen {{mathl|term= \{u,v\}|SZ=}} zu {{math|term= E|SZ=}} gehört, so nimmt man einen neuen Punkt {{math|term= w|SZ=}} zur Knotenmenge und die Kanten {{ mathkor|term1= \{u,w\} |und|term2= \{v,w\} |SZ= }} zur Kantenmenge hinzu. Im neuen Graphen {{math|term= G'|SZ=}} besitzt wieder jeder Knoten einen geraden Grad. Ein geschlossener Eulerzug von {{math|term= G'|SZ=}} enthält den Kantenzug {{mathl|term= \{u,w\}, \{w,v\} |SZ=.}} Da {{math|term= w|SZ=}} in sonst keiner Kante auftritt, erhält man, indem man dieses Teilstück und {{math|term= w|SZ=}} weglässt, einen nichtgeschlossenen Eulerzug von {{math|term= G|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mo22o4jlz6m9bjz7pioauskx671aq9o 0 117211 778846 762740 2022-08-21T13:03:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der konstruierte {{Anführung|Überbrückungsgraph}} besitzt ebenfalls die Eigenschaft, dass jeder Knotenpunkt einen geraden Grad besitzt. Wenn er zusammenhängend ist, so gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen geschlossenen Eulerzug durch {{math|term= G'|SZ=.}} Da an {{math|term= u'|SZ=}} nur die beiden Kanten {{ mathkor|term1= \{v,u'\} |und|term2= \{u',w\} |SZ= }} anliegen, werden diese hintereinander durchlaufen. Wenn man die Konstruktion rückgängig macht {{ Zusatz/Klammer |text=also {{ mathkor|term1= u |und|term2= u' |SZ= }} identifiziert| |ISZ=|ESZ=, }} so erhält man einen Eulerzug von {{math|term= G|SZ=,}} bei dem die beiden Kanten hintereinander vorkommen. Wenn es umgekehrt einen Eulerzug von {{math|term= G|SZ=}} gibt, der die beiden Kanten hintereinander durchläuft, so kann man daraus direkt einen Eulerzug von {{math|term= G'|SZ=}} konstruieren, was zeigt, dass {{math|term= G'|SZ=}} zusammenhängend ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} okn8hvubnw2lebqftgg1h1rebht5dsw 0 117274 779637 751688 2022-08-21T17:01:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einer {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|A|}} |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= A|SZ=}} sind die einelementigen Mengen {{math|term= \{x\}|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Atome| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Potenzmenge als geordnete Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rdhl8u048vhkwsas40scakwhsfl6sls 0 117327 780332 767033 2022-08-21T18:50:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Knoten und {{math|term= m|SZ=}} Kanten, sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[G]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Stanley-Reisner-Ring| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= G|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumdimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term= d|SZ=-}}ten Stufe {{mathl|term= K[G]_d|SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |d |\geq|1 || || || |SZ= }} durch das lineare Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(d) ||m (d-1) +n || || || |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe zu ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l7pzranmzozy7vl946fdnvsxldlsh23 0 117397 780049 748749 2022-08-21T18:03:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |vollständigen Graphen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K_n|SZ=}} ist nach Definition die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ math/disp|term= {{op:Matrix55|x|-1| \ldots|-1|-1|-1|x|-1|\ldots|-1|\vdots|\ddots|\ddots| \ddots|\vdots|-1|\ldots|-1|x|-1|-1|-1|\ldots|-1|x}} |SZ=. }} In diesem Fall ist es einfacher, direkt die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu berechnen. Für {{ Ma:Vergleichskette |x ||-1 || || || |SZ= }} steht hier überall {{math|term= -1|SZ=}} und der Kern besitzt die {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|-1|0| \vdots|0|0}} , \, {{op:Spaltenvektor|0|1|-1| \vdots|0|0}} {{kommadots}} {{op:Spaltenvektor|0|0|0| \vdots|1|-1}} |SZ=. }} Somit ist {{math|term= -1|SZ=}} ein Eigenwert mit {{ Definitionslink |Prämath= |geometrischer Vielfachheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n-1|SZ=.}} Für {{ Ma:Vergleichskette |x ||n-1 || || || |SZ= }} ergibt sich die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix55|n-1|-1| \ldots|-1|-1|-1|n-1|-1|\ldots|-1|\vdots|\ddots|\ddots| \ddots|\vdots|-1|\ldots|-1|n-1|-1|-1|-1|\ldots|-1|n-1}} |SZ= }} und der Kern davon ist {{ math/disp|term= \R {{op:Spaltenvektor|1|1| \vdots|1|1}} |SZ=. }} Somit ist {{math|term= n-1|SZ=}} ein Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit {{math|term= 1|SZ=.}} Da die Summe der geometrischen Vielfachheiten bereits die Dimension {{math|term= n|SZ=}} ist, handelt es sich jeweils auch um die {{ Definitionslink |Prämath= |algebraischen Vielfachheiten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das charakteristische Polynom ist {{ math/disp|term= (x+1)^{n-1} (x-n+1) |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des charakteristischen Polynoms eines Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n52vqxzdj62jmhbarw75gur83vwfcmo 0 117476 780254 766951 2022-08-21T18:37:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1 K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=,}} den wir als {{ Zusatz/Klammer |text=unendlichdimensionalen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} betrachten, und es sei {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|K || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |c |\neq|0 || || || |SZ=, }} ein fixiertes Element. {{ Aufzählung2 |Ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]|K[X] |P(X)| P(X+c) |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=es wird also überall die Variable {{math|term= X|SZ=}} durch {{math|term= X+c|SZ=}} ersetzt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]|K[X] |P(X)| P(X)+c |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=es wird also zu jedem Polynom {{math|term= c|SZ=}} hinzuaddiert| |ISZ=|ESZ= }} linear? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5p2669fhd1875f3uiie3ycoz8m3s5bx 0 117530 778629 762544 2022-08-21T12:32:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term= G|SZ=}} zusammenhängend und {{ Ma:Vergleichskette |u,v |\in| G \setminus \{b\} || || || |SZ=. }} Dann gibt es in {{math|term= G|SZ=}} einen verbindenden Weg von {{ mathkor|term1= u |nach|term2= v |SZ=. }} Wenn in diesem Weg {{math|term= b|SZ=}} vorkommt, so jedenfalls nicht als Anfangs- oder als Endpunkt, da dies explizit ausgeschlossen ist. Wenn {{math|term= b|SZ=}} in der Mitte vorkommt, so in der Form {{mathl|term= w,b,w|SZ=,}} wobei {{math|term= \{b,w\} |SZ=}} die einzige Kante an {{math|term= b|SZ=}} bezeichne. Doch in diesem Fall kann man diesen Wegabschnitt herausnehmen und erhält einen kürzeren Weg von {{math|term= u|SZ=}} nach {{math|term= v|SZ=.}} Deshalb gibt es auch einen verbindenen Weg, wo {{math|term= b|SZ=}} gar nicht vorkommt. Sei nun {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} zusammenhängend und seien {{ Ma:Vergleichskette |u,v |\in| G || || || |SZ=. }} Wenn {{ Ma:Vergleichskette |u,v |\neq|b || || || |SZ= }} ist, so kann man direkt einen verbindenden Weg aus {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} nehmen. Wenn {{ Ma:Vergleichskette |u ||b || || || |SZ= }} ist, so ist {{math|term= b|SZ=}} mit einem weiteren Knotenpunkt {{math|term= w|SZ=}} verbunden, und einen Weg in {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} von {{math|term= w|SZ=}} nach {{math|term= v|SZ=}} kann man durch die Kante {{mathl|term= \{b,w\} |SZ=}} zu einem Weg in {{math|term= G|SZ=}} von {{math|term= b|SZ=}} nach {{math|term= v|SZ=}} fortsetzverlämgern. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} beg9d995rmv9j8zkw9u6uc7bl7ig2c9 0 117557 778635 762551 2022-08-21T12:33:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Jeder Knotenpunkt ist durch den leeren Kantenzug mit sich selbst verbunden. Dies sichert die Reflexivität. Wenn {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} durch den Kantenzug {{mathl|term= u=v_1,v_2 {{kommadots|}} v_{r-1}, v_r=v |SZ=}} miteinander verbunden sind, so ist {{math|term= v|SZ=}} mit {{math|term= u|SZ=}} durch den umorientierten Kantenzug {{mathl|term= v_r,v_{r-1} {{kommadots|}} v_2,v_1 |SZ=}} verbunden. Dies sichert die Symmetrie. Wenn {{math|term= u|SZ=}} mit {{math|term= v|SZ=}} durch den Kantenzug {{mathl|term= u=v_1,v_2 {{kommadots|}} v_r=v |SZ=}} verbunden ist und {{math|term= v|SZ=}} mit {{math|term= w|SZ=}} durch den Kantenzug {{mathl|term= v=w_1,w_2 {{kommadots|}} w_s=w |SZ=}} verbunden ist, so ist {{math|term= v|SZ=}} mit {{math|term= w|SZ=}} durch den zusammengesetzten Kantenzug {{mathl|term= u=v_1,v_2 {{kommadots|}} v_r=v=w_1 ,w_2 {{kommadots|}} w_s=w |SZ=}} verbunden. Dies sichert die Transitivität. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4nt7294lefb6l9unrwkuqkh6ibbvqn1 0 117639 779661 763682 2022-08-21T17:04:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Riemannova koule|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor=Leonid 2 |Benutzer= |Domäne=CC-by-sa 3.0 |Lizenz= |Bemerkung= }} Auf der reell zweidimensionalen Sphäre {{ Ma:Vergleichskette |S^2 |\subseteq| \R^3 || || || |SZ= }} erhält man über die {{ Definitionslink |Prämath= |stereographischen Projektionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ mathkor|term1= N |und|term2= S |SZ= }} steht für Nordpol und Südpol| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \alpha |S^2 \setminus \{N\}| {{CC|}} \cong \R^2 || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= \beta |S^2 \setminus \{S\}| {{CC|}} \cong \R^2 || |SZ= }} die Übergangsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{CC|}} \setminus \{0\} | {{CC|}} \setminus \{0\} |z|z^{-1} |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |komplex-differenzierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und reell durch {{mathl|term= (x,y) \mapsto {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|x|x^2+y^2||}} | {{op:Bruch|-y|x^2+y^2||}} }} |SZ=}} gegeben ist {{ Zusatz/Klammer |text=bei den in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen Projektionen muss man einmal komplex konjugieren, damit alles passt | |ISZ=|ESZ=. }} Dadurch ist auf der Kugeloberfläche die Struktur einer eindimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. Diese heißt die {{Stichwort|komplex-projektive Gerade|SZ=}} {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} oder auch die {{Stichwort|riemannsche Zahlenkugel|SZ=.}} Die Überdeckung mit den beiden zu {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} biholomorphen offenen Mengen nennt man auch die {{Stichwort|affine Standardüberdeckung|SZ=,}} siehe auch {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Der projektive Raum/Offene Standardüberdeckung mit affinen Räumen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wenn man eine dieser offenen Mengen fixiert hat, so nennt man den einzigen fehlenden Punkt auch den {{Stichwort|unendlich fernen Punkt|msw=Unendlich ferner Punkt|SZ=.}} In der anderen offenen Menge ist dieser der Nullpunkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c70rdeqybl5d3np4tdsk2130xcjkonf 0 117659 779079 623344 2022-08-21T15:32:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine Ellipse der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| {{op:Bruch(|x|a}}^2 + {{op:Bruch(|y|b}}^2 {{=|}} 1 }} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |>|0 || || || |SZ=. }} Eine Umstellung liefert {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 || b^2 {{makl| 1- {{op:Bruch(|x|a}}^2 |}} || || || |SZ=. }} Der obere Bogen der Ellipse wird somit als Funktion in {{math|term= x|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/align |y (x) || b \sqrt{ 1- {{op:Bruch(|x|a}}^2 } || b \sqrt{ {{op:Bruch|a^2- x^2|a^2}} } || {{op:Bruch|b|a}} \sqrt{ a^2- x^2 } || |SZ= }} beschrieben. Die Ableitung dieser Funktion ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |y'(x) || - {{op:Bruch|b|a}} \cdot {{op:Bruch|x|\sqrt{ a^2- x^2 }||}} || || || |SZ=. }} Die Bogenlänge des Graphen von {{math|term= y|SZ=}} von {{math|term= 0|SZ=}} nach {{math|term= z|SZ=}} wird gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graph einer Funktion/Bogenlänge/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} als Integral {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= 0|SZ=}} nach {{math|term= z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} zur Funktion {{ Ma:Vergleichskette/align | \sqrt{1 +y'^2} || \sqrt{1+ {{op:Bruch|b^2|a^2}} \cdot {{op:Bruch|x^2| a^2- x^2 ||}} } || \sqrt{ {{op:Bruch|a^2 {{makl| a^2- x^2 |}} + b^2 x^2| a^2 {{makl| a^2- x^2 |}} ||}} } || \sqrt{ {{op:Bruch| a^2- x^2 + {{op:Bruch|b^2|a^2|}} x^2| a^2- x^2 ||}} } || \sqrt{ {{op:Bruch| a^2- x^2 {{makl| 1 - {{op:Bruch|b^2|a^2|}} |}}| a^2- x^2 ||}} } || \sqrt{ {{op:Bruch| a^2- k^2 x^2 | a^2- x^2 ||}} } |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |k^2 || 1 - {{op:Bruch|b^2|a^2|}} || || || |SZ= }} berechnet. Mit der linearen Transformation {{ Ma:Vergleichskette | x || at || || || |SZ= }} kann man diesen Integranden auf die Form {{ math/disp|term= \sqrt{ {{op:Bruch| 1- k^2 t^2 | 1- t^2 ||}} } |SZ= }} bringen {{ Zusatz/Klammer |text=das Integral ist dann mit dem Faktor {{math|term= a|SZ=}} zu multiplizieren| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cwyx0zthzuvsadwflpwqk4iliti0ru8 0 117666 779067 763204 2022-08-21T15:30:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf dem Einheitskreis {{ Ma:Vergleichskette/disp |S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2|x^2+y^2 {{=}} 1}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \omega || - ydx +xdy || || || |SZ=. }} Unter der Parametrisierung des oberen Kreisbogens durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma(x) || (x, \sqrt{ 1- x^2}) || || || |SZ= }} ist die zurückgezogene Differentialform gleich {{ Ma:Vergleichskette/align | \gamma^*\omega || - \sqrt{ 1- x^2} dx + xd \sqrt{ 1- x^2} || - \sqrt{ 1- x^2} dx - x {{op:Bruch|x|\sqrt{ 1- x^2} }} d x || - {{op:Bruch| 1-x^2 + x^2|\sqrt{ 1- x^2} }} d x || - {{op:Bruch| 1 |\sqrt{ 1- x^2} }} d x |SZ=. }} Dies ist bis auf das Vorzeichen der Integrand zur Berechnung der Kurvenlänge des Graphen der Funktion {{mathl|term= \sqrt{1-x^2}|SZ=,}} und dieser Integrand besitzt Arkussinus als Stammfunktion. Zum Kreis gehört seine universelle Überlagerung {{ Ma:abbele/disp |name=p |\R|S^1 |t| {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|t|}} | {{op:sin|t|}} }} |SZ=. }} Auch bezüglich dieser Parametrisierung kann man die Differentialform {{math|term= \omega|SZ=}} zurückziehen und erhält {{ Ma:Vergleichskette/align |p^*\omega || - {{op:sin|t|}} d {{op:cos|t|}} + {{op:cos|t|}} d {{op:sin|t|}} || {{makl| {{op:sin|t|pot=2}} + {{op:cos|t|pot=2}} |}} dt || dt || |SZ=, }} also die konstante Differentialform auf {{math|term= \R|SZ=.}} Dies ist nicht überraschend, da ja die trigonometrische Parametrisierung den Einheitskreis mit konstanter Geschwindigkeit durchläuft und somit der zurückgelegte Weg proportional zur verstrichenen Zeit ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2=Theorie des Zurückziehens von Differentialformen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4axhid6re3g2aeigcm4xxz82lsoc8kz 0 117671 779429 623378 2022-08-21T16:26:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Lemniskate von Bernoulli, die durch die Gleichung {{ math/disp|term= {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| (x^2+y^2)^2 {{=}} x^2-y^2}} |SZ= }} gegeben ist. Wenn man die Punkte in Polarkoordinaten als {{ Ma:Vergleichskette/disp |(x,y) || {{op:Zeilenvektor| r {{op:cos|t|}} | r {{op:sin|t|}} }} || || || |SZ= }} ansetzt, so ergibt sich die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | r^4 || r^2 {{makl| {{op:cos|t|pot=2}} - {{op:sin|t|pot=2}} |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp |r^2 || {{op:cos|t|pot=2}} - {{op:sin|t|pot=2}} || {{op:cos| 2 t }} || || |SZ= }} unter Verwendung des {{ Faktlink |Präwort=|Additionstheorems für den Kosinus|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |r^2 -r^4 || (x^2+y^2) - (x^2+y^2)^2 ||(x^2+y^2)- (x^2-y^2) || 2y^2 || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |r^2 +r^4 || (x^2+y^2) + (x^2+y^2)^2 ||(x^2+y^2)+ (x^2-y^2) || 2x^2 || |SZ= }} kann man lokal {{ Zusatz/Klammer |text=auf Stücken, wo man Quadratwurzeln festlegt; der Durchschnitt der Lemniskate mit einem Kreis um den Ursprung mit Radius {{math|term= r|SZ=}} besitzt ja vier Schnittpunkte| |ISZ=|ESZ= }} die Kurve durch {{math|term= r|SZ=}} parametrisieren. Die Bogenlänge der Lemniskate von {{ mathkor|term1= 0 |bis|term2= s |SZ= }} in der Parametrisierung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma (r) || {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} {{op:Zeilenvektor| \sqrt{ r^2+ r^4} | \sqrt{r^2-r^4} }} || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/align | \int_0^s {{op:Norm|\gamma'(r)||}} dr || {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} \int_0^s {{op:Norm| {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|r+2r^3|\sqrt{ r^2+ r^4} }} | {{op:Bruch|r-2r^3|\sqrt{ r^2- r^4} }} }} |}} dr || {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} \int_0^s {{op:Norm| {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1+2r^2|\sqrt{ 1+ r^2} }} | {{op:Bruch|1-2r^2|\sqrt{ 1- r^2} }} }} |}} dr || {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} \int_0^s \sqrt{ {{op:Bruch|1+4r^2+ 4r^4| 1+ r^2 }} + {{op:Bruch|1-4r^2+ 4r^4| 1- r^2 }} } dr || {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} \int_0^s \sqrt{ {{op:Bruch| {{makl| 1+4r^2+ 4r^4 |}} {{makl| 1-r^2 |}} + {{makl| 1-4r^2+ 4r^4 |}} {{makl| 1+r^2 |}} | 1- r^4 }} } dr || \int_0^s {{op:Bruch| 1 | \sqrt{ 1- r^4} }} dr |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Lemniskate von Bernoulli |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4n28y2hevtrcsl6a9mk3dyvkwuc3hfh 0 117738 779102 763229 2022-08-21T15:36:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die elliptische Kurve {{math|term= E|SZ=,}} die durch die affine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+1 || || || |SZ= }} gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind {{ mathkor/disp|term1= 2Y |und|term2= 3X^2 |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |p |\neq| 2,3 || || || |SZ= }} verschwinden die beiden partiellen Ableitungen nur im Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=,}} doch dies ist kein Punkt der Kurve. Für {{ Ma:Vergleichskette |p |\geq|5 || || || |SZ= }} ist die Kurve {{math|term= E_p|SZ=}} also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||2 || || || |SZ= }} liegt in {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten {{mathl|term= (X,Y-1)|SZ=}} wird das beschreibende Polynom zu {{mathl|term= (Y-1)^2 - X^3 |SZ=.}} Das ist eine Neilsche Parabel und es liegt eine Kuspe, also {{ Definitionslink |Prämath= |additive Reduktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||3 || || || |SZ= }} liegt in {{mathl|term= (-1,0) |SZ=}} ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten {{mathl|term= (X+1,Y) |SZ=}} wird das beschreibende Polynom zu {{mathl|term= Y^2 - (X+1)^3 |SZ=.}} Das ist wieder eine Neilsche Parabel und es liegt wieder additive Reduktion vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fgm52fx385oisq99fo8jlmk5ilyz21w 0 117740 779104 763231 2022-08-21T15:36:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die elliptische Kurve {{math|term= E|SZ=,}} die durch die affine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3-X ||X(X-1)(X+1) || || |SZ= }} gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind {{ mathkor/disp|term1= 2Y |und|term2= 3X^2 -1 |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |p |\neq| 2 || || || |SZ= }} verschwindet die erste partielle Ableitung nur bei {{ Ma:Vergleichskette |Y ||0 || || || |SZ=. }} Wegen der Kurvengleichung ist dann {{ Ma:Vergleichskette |X ||0,1,-1 || || || |SZ= }} doch dann verschwindet die zweite partielle Ableitung nicht. Für {{ Ma:Vergleichskette |p |\geq|3 || || || |SZ= }} ist die Kurve {{math|term= E_p|SZ=}} also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||2 || || || |SZ= }} liegt in {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten {{mathl|term= (X-1,Y)|SZ=}} wird das beschreibende Polynom zu {{mathl|term= Y^2 + (X+1)^3+(X+1)^2|SZ=.}} Wir schreiben dies mit {{ Ma:Vergleichskette |W ||X+1 || || || |SZ= }} als {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y^2 + (X+1)^3+(X+1)^2 || Y^2 +W^3+W^2 || (Y+W)^2 +W^3 || || |SZ= }} und somit ist dies eine Neilsche Parabel. Es liegt also {{ Definitionslink |Prämath= |additive Reduktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0gczlky7cfbz9ry4g6rp8lrgi19i0y0 0 117741 779096 763224 2022-08-21T15:35:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine Primzahl. Wir betrachten die elliptische Kurve {{math|term= E|SZ=,}} die durch die affine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X(X-1)(X-p) || X^3-(p+1)X^2 +pX || |SZ= }} gegeben ist. In Charakteristik {{math|term= p|SZ=}} ist {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} ein singulärer Punkt der Kurve, die Gleichung wird zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3-X^2 || || || |SZ= }} bzw. zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^2+Y^2 -X^3 ||0 || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |p |\geq|3 || || || |SZ= }} gilt für den quadratischen Term {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^2+Y^2 || {{makl| X+ {{Imaginäre Einheit||}} Y |}} {{makl| X - {{Imaginäre Einheit||}} Y |}} || || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette | {{Imaginäre Einheit||}} |\in| \overline{ {{op:Zmod|p|}} } || || || |SZ= }} eine Quadratwurzel aus {{math|term= -1|SZ=}} sei. Diese beiden lineare Terme sind verschieden und beschreiben die verschiedenen Tangenten, es liegt also {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikative Reduktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Das Spaltungsverhalten hängt davon ab, ob die {{math|term= -1|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} eine Quadratwurzel besitzt oder erst in einer endlichen Erweiterung {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar dann in {{math|term= {\mathbb F}_{p^2}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-1/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt {{math|term= -1|SZ=}} eine Quadratwurzel in {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette |p ||1 \mod 4 || || || |SZ= }} ist. Unter dieser Bedingung liegt also modulo {{math|term= p|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |spaltender multiplikativer Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor und andernfalls nichtspaltender multiplikativer Typ. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X(X-1)(X-p) |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gym8lntnpj5f4gp95gqgkaenrjomj8v 0 117742 778900 763113 2022-08-21T15:03:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die elliptische Kurve {{math|term= E|SZ=}} zur Fermatkubik {{ math/disp|term= X^3+Y^3+1 |SZ= }} besitzt für alle Primzahlen {{ Ma:Vergleichskette |p |\neq|3 || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive Kurve/Fermat-Kurve vom Grad d/Glattheit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |gute Reduktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und bei {{ Ma:Vergleichskette | p || 3 || || || |SZ= }} ist wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | (X+Y+1)^3 || X^3+Y^3+ 1 || || || |SZ= }} die Kurve {{math|term= E_3 |SZ=}} eine nichtreduzierte Kurve und insbesondere in jedem Punkt singulär. Geometrisch ist es die durch {{ Ma:Vergleichskette | X+Y+1 || 0 || || || |SZ= }} gegebene Gerade, aber mit einer verdickten algebraischen Struktur. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Fermat-Kubik |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qwr2ncnwn9l1zby31dcj56fiogej5l8 0 117825 778503 762441 2022-08-21T12:12:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir beweisen die Aussage, dass jede spezielle lineare Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |SZ=}} über {{math|term= \Z|SZ=}} in der von den beiden Matrizen erzeugten Untergruppe liegt, durch Induktion über {{mathl|term= {{op:Betrag|c|}} |SZ=.}} Wenn dieser Betrag gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette |a ||d || \pm 1 || || |SZ= }} und durch Multiplikation mit {{math|term= S^2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} können wir annehmen, dass die Diagonalelemente gleich {{math|term= 1 |SZ=}} sind. Dann ist die Matrix eine Potenz von {{math|term= T |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit einem eventuell negativen Exponenten| |ISZ=|ESZ=. }} Sei die Aussage nun für alle speziellen linearen Matrizen mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|c|}} |<| n || || || |SZ= }} bewiesen und sei eine spezielle lineare Matrix mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|c|}} || n || || || |SZ= }} gegeben. Wegen der Präsenz von {{math|term= S |SZ=}} können wir annehmen, dass auch {{math|term= a|SZ=}} einen Betrag von zumindest {{math|term= n|SZ=}} besitzt. Durch Multiplikation mit {{math|term= T |SZ=}} oder mit {{math|term= T^{-1} |SZ=}} von links kann man dann die erste Spalte {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|a|c}} |SZ=}} durch {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|a \pm c|c}} |SZ=}} ersetzen und erhält, wenn man dies hinreichend oft ausführt, eine erste Spalte {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|a'|c}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|a'}} |<| n || || || |SZ=, }} worauf wir nach Multiplikation mit {{math|term= S |SZ=}} die Induktionsvoraussetzung anwenden können. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q6wtusw4s8csce3c931i0jv3i94kra7 0 117906 779149 763260 2022-08-21T15:43:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten die Fermat-Kubik {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^3+Y^3+Z^3 ||0 || || || |SZ= }} in {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2,3|SZ=}} auf die {{ Definitionslink |Prämath= |kurze Weierstraßform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} transformieren. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Hesse-Matrix| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|6X|0|0|0|6Y|0|0|0|6Z|}} |SZ=. }} Daher ist {{mathl|term= (0,1,-1)|SZ=}} ein Wendepunkt der Kurve, den wir nach {{mathl|term= (0,1,0)|SZ=}} transformieren wollen. Wir erreichen dies mit den neuen Variablen {{math|term= X=X,Y= Y ,W = Y+Z |SZ=.}} Die Gleichung wird zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^3+Y^3 +(W-Y)^3 || X^3 +W^3 -3W^2Y+3WY^2 || 0 || || |SZ=. }} Die {{ Zusatz/Klammer |text=projektive| |ISZ=|ESZ= }} Tangente in {{mathl|term= (0,1,0)|SZ=}} wird durch {{ Ma:Vergleichskette | W || 0 || || || |SZ= }} beschrieben. Die Dehomogenisierung bezüglich {{math|term= W|SZ=}} führt auf die affine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^3 || 1 -3y+3y^2 || || || |SZ=, }} durch eine quadratische Ergänzung und Normierung entsteht eine Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{y}^2 || x^3 +b || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |b |\neq|0 || || || |SZ=, }} was man wiederum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper zu {{math|term= 1|SZ=}} normieren kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 59adcav91yvss12nohinmv4duhq8cin 0 117941 779676 717500 2022-08-21T17:06:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei einer Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 ||f(x) ||g(x)^2 || || |SZ= }} über einem endlichen Körper {{math|term= K|SZ=}} mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen, wo also {{math|term= f|SZ=}} ein Quadrat in {{math|term= K[x]|SZ=}} ist, kann man die Umformung {{ Ma:Vergleichskette/disp |(y-g(x))(y+g(x)) || 0 || || || |SZ= }} durchführen. Für {{math|term= x|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |g(x) |\neq|0 || || || |SZ= }} gibt es dann zwei Lösungen für {{math|term= y|SZ=,}} nämlich {{ Ma:Vergleichskette |y || \pm g(x) || || || |SZ=. }} Somit ist, wenn {{math|term= g|SZ=}} nicht das Nullpolynom ist, die Anzahl der Lösungen der Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text=wegen Nullstellen von {{math|term= g|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ungefähr gleich {{math|term= 2q|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4uqu5b050yy3q4ss0z3259tz0rh5keq 0 117994 779100 720223 2022-08-21T15:35:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die elliptische Kurve, die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^2 || x^3+1 || || || |SZ= }} gegeben ist, für verschiedene endliche Körper der Charakteristik {{ Ma:Vergleichskette |p |\geq|5 || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Zmod|5|}} || || || |SZ=. }} Die rechte Seite der Gleichung ist durch {{Wertetabelle5|text1= {{math|term= x |SZ=}}| text2= {{math|term= x^3+1|SZ=}} | 0|1|2|3|4|1|2|4|3|0}} gegeben. Im Körper mit {{math|term= 5 |SZ=}} Elementen besitzen {{math|term= 0,1,4 |SZ=}} Quadratwurzeln und daher sind die Lösungen der Gleichung gleich {{ math/disp|term= (0,1),\, (0,-1),\, (2,2), \, (2, -2),\, (4, 0), \, {{elliptischo|}} |SZ=, }} also {{math|term= 6 |SZ=}} Stück, was genau mit {{mathl|term= p+1 |SZ=}} übereinstimmt. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Zmod|7|}} || || || |SZ=. }} Die rechte Seite der Gleichung ist durch {{Wertetabelle7|text1= {{math|term= x|SZ=}}| text2= {{math|term= x^3+1|SZ=}} | 0|1|2|3|4|5|6|1|2|2|0| 2 | 0| 0}} gegeben. Im Körper mit {{math|term= 7|SZ=}} Elementen besitzen {{math|term= 0,1,2,4 |SZ=}} Quadratwurzeln, es kommen also nur Quadrate in der rechten Seite der Gleichung vor. Daher sind die Lösungen der Gleichung gleich {{ math/disp|term= (0,1),\, (0,-1),\, (1,3), \, (1, -3),\, (2, 3), \, (2,-3 ),\, (3,0),\, (4,3), \, (4, -3),\, (5, 0) ,\, (6, 0), \, {{elliptischo|}} |SZ=, }} also {{math|term= 12 |SZ=}} Stück. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | 12-8 || 4 |\leq | 2 \sqrt{7} |\sim|5,29 || |SZ=, }} von der Hasse-Schranke her könnte es noch einen Punkt mehr geben, wir sind aber schon relativ nah an der oberen Schranke. Es sei {{ Ma:Vergleichskette | K || {{op:Zmod|11|}} || || || |SZ=. }} Die rechte Seite der Gleichung ist durch {{Wertetabelle11|text1= {{math|term= x |SZ=}}| text2= {{math|term= x^3+1 |SZ=}} | 0|1|2|3|4|5|-5|-4|-3|-2|-1|1|2|-2|-5|-1|5|-3| 3| -4 |4|0|}} gegeben. Im Körper mit {{math|term= 11 |SZ=}} Elementen besitzen {{math|term= 0,1,3,4,5,-2|SZ=}} Quadratwurzeln, es kommen also nur Quadrate in der rechten Seite der Gleichung vor. Daher sind die Lösungen der Gleichung gleich {{ math/disp|term= (0,1),\, (0,-1),\, (2,3), \, (2, -3) ,\, (5,4), \, (5, -4) ,\, (-4,5),\, (-4, -5), \, (-2, 2),\, (-2, -2) ,\, (-1, 0), \, {{elliptischo|}} |SZ=, }} also {{math|term= 12 |SZ=}} Stück, was genau mit {{mathl|term= p+1|SZ=}} übereinstimmt. Von der Hasse-Schranke her, die bei kleinen Primzahlen ziemlich grob ist, wäre eine Lösungsanzahl zwischen {{ mathkor|term1= 6 |und|term2= 18 |SZ= }} denkbar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bz60opv8448x1gvy8bvuok2t9bmorkx 0 118018 780142 772789 2022-08-21T18:16:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir stellen hier einige Grundtatsachen über die natürlichen Zahlen zusammen, auf die immer wieder Bezug genommen wird. Diese Eigenschaften sind in höchstem Maße vertraut, es ist aber sinnvoll, sich einmal klar zu machen, wie die grundlegenden Strukturen auf den natürlichen Zahlen ausgehend von der Nachfolgerabbildung aufgebaut und ihre Eigenschaften nachgewiesen werden. Der induktive Aufbau der natürlichen Zahlen ist für viele Fragestellungen der diskreten Mathematik auch deshalb instruktiv, weil man diese häufig dadurch zu verstehen versucht, indem man sich überlegt, was passiert, wenn eine gewisse diskrete oder kombinatorische Situation ein bisschen {{ Zusatz/Klammer |text=um ein zusätzliches Element, eine neue Kante, etc.| |ISZ=|ESZ= }} komplizierter wird. {{Zwischenüberschrift|term=Der induktive Aufbau der natürlichen Zahlen}} {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbild |Domen-indukto|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text=Eine Visualisierung des Induktionsprinzips. Wenn die Steine nah beieinander stehen und der erste umgestoßen wird, so fallen alle Steine um. |Autor=Joachim Mohr |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die folgende Aussage und ihr Beweis begründen das Beweisprinzip der {{Stichwort|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=.}} Wir schreiben {{mathl|term= n+1 |SZ=}} für den Nachfolger. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz|| }} Der Nachweis von {{ Zusatz/Klammer |text=der Gültigkeit von| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= A(0)|SZ=}} heißt dabei der {{Stichwort|Induktionsanfang|SZ=}} und der Schluss von {{mathl|term= A(n)|SZ=}} auf {{mathl|term= A(n+1)|SZ=}} heißt der {{Stichwort|Induktionsschluss|SZ=}} oder {{Stichwort|Induktionsschritt|SZ=.}} Innerhalb des Induktionsschlusses nennt man die Gültigkeit von {{mathl|term= A(n)|SZ=}} auch die {{Stichwort|Induktionsvoraussetzung|SZ=.}} In manchen Situationen ist die Aussage {{mathl|term= A(n)|SZ=}} erst für {{mathl|term= n \geq n_0|SZ=}} für ein gewisses {{math|term= n_0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=definiert oder| |ISZ=|ESZ= }} wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage {{mathl|term= A(n_0)|SZ=}} und den Induktionsschritt führt man für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} durch. {{Zwischenüberschrift|term=Die Addition}} {{:Natürliche Zahlen/Addition/Nachfolgerzählen/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition/Summe ist 0/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Hilfseigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nrqg4pen2nj10m88yk7buu1l1ii1an3 0 118150 779303 752582 2022-08-21T16:07:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Gruppe {{ Ma:Vergleichskette |G || {{makl| {{op:Zmod|n|}} |}}^{(\N)} || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugt| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wenn {{math|term= n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= m|SZ=}} ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | G/mG || {{makl| {{op:Zmod|n|}} |}}^{(\N)}/m{{makl| {{op:Zmod|n|}} |}}^{(\N)} || {{makl| {{op:Zmod|m,n|}} |}}^{(\N)} || 0 || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Endlich erzeugt/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kann es keine {{ Definitionslink |Prämath= |Höhenfunktion| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= G|SZ=}} geben. Auf {{math|term= \Z^{(\N)}|SZ=}} gibt es eine Höhenfunktion. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlich erzeugten kommutativen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Höhenfunktionen auf einer kommutativen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpxo4ix5stwzbbhqdbkqrb72w5d9zzy 0 118212 779129 625309 2022-08-21T15:40:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Wasserspedition {{Anführung|Alles im Eimer}} verfügt über einen {{math|term= 7|SZ=-}} und einen {{math|term= 10|SZ=-}}Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen? Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term= 7|SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleichzeitig| |ISZ=|ESZ= }} macht man zweimal den {{math|term= 10|SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |3 \cdot 7 -2 \cdot 10 ||1 || || || |SZ= }} Liter transportiert {{ Zusatz/Klammer |text=eine andere Möglichkeit ist {{ Ma:Vergleichskette/k |5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 ||1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 88a6odra33s8tt7nkyc7j63sba7m3to 0 118227 779533 763624 2022-08-21T16:44:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf den natürlichen Zahlen besteht zwischen {{ mathkor|term1= n |und|term2= k |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungsrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |n | \geq|k || || || |SZ=, }} also {{math|term= n|SZ=}} ist größergleich {{math|term= k|SZ=,}} wenn man von {{math|term= k|SZ=}} aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu {{math|term= n|SZ=}} gelangt, wobei nullfaches Nachfolgernehmen die Zahl selbst ergibt. Dies ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Mit der Addition kann man dies folgendermaßen ausdrücken: Es ist {{ Ma:Vergleichskette |n | \geq|k || || || |SZ= }} genau dann, wenn es eine natürliche Zahl {{math|term= m|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |n ||k+m || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p1gol3cv61y2u46ef7o0gdtp0vc07uz 0 118253 784798 758257 2022-08-22T07:01:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (M, \leq)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Potenzmenge|M|}}|SZ=}} die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M|{{op:Potenzmenge|M|}} |x|{{Mengebed|y \in M|y \leq x}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |ordnungsvolltreu| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wobei die Potenzmenge mit der {{ Definitionslink |Inklusion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kwtcproinobp1pebizp324zntvf7y4v 0 118262 779482 763566 2022-08-21T16:35:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf jeder Menge {{math|term= M|SZ=}} ist die identische Relation, also die {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei der jedes Element nur mit sich selbst in Relation steht, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungsrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cn9sccy7lsgqrlxqqcydswpefmwbjwt 0 118274 780068 763877 2022-08-21T18:05:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A|SZ=}} ein Alphabet und {{math|term= W|SZ=}} die Menge der Wörter über diesem Alphabet, also die Menge alle endlichen Ketten über {{math|term= A|SZ=}} oder eine Teilmenge davon, etwa die Menge der real existierenden Wörter. Auf {{math|term= A|SZ=}} sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |totale Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. Dann definiert man auf {{math|term= W|SZ=}} die sogenannte {{Stichwort|lexikographische Ordnung|SZ=,}} indem für Wörter {{math|term= w,z|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |w |\preccurlyeq_{\text{lex} } |z || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= w|SZ=}} kommt im Lexikon vor {{math|term= z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} genau dann gilt, wenn sie gleich sind oder wenn an der ersten Stelle von vorne gelesen, wo sich {{ mathkor|term1= w |und|term2= z |SZ= }} unterscheiden, der Buchstabe von {{math|term= w|SZ=}} an dieser Stelle im Alphabet vor dem Buchstaben von {{math|term= z|SZ=}} an dieser Stelle kommt, was den Fall einschließen mag, dass an dieser Stelle {{math|term= w|SZ=}} keinen Buchstaben mehr hat {{ Zusatz/Klammer |text={{Anführung|Vers}} kommt vor {{Anführung|Verstand}}| |ISZ=|ESZ=. }} Die lexikographische Ordnung ist eine totale Ordnung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wörter über einem Alphabet |Kategorie2=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0lx3kljnprnay51mklsrqh1jep137qj 0 118278 779946 752119 2022-08-21T17:47:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu natürlichen Zahlen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} bildet die Menge {{math|term= G|SZ=}} aller {{ Definitionslink |Prämath= |gemeinsamer Teiler| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term= a_i|SZ=}} eine endliche Menge, die bezüglich der Teilbarbeit geordnet ist. Dabei ist der größte gemeinsame Teiler in {{math|term= G|SZ=}} in der Tat das {{ Definitionslink |Prämath= |größte Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= 1|SZ=}} ist der kleinste gemeinsame Teiler. Es ist keineswegs selbstverständlich, dass es einen größten gemeinsamen Teiler gibt, das hängt mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung zusammen und folgt beispielsweise aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Unter der Ordnungsrelation {{math|term= \geq|SZ=}} gibt es in {{math|term= G|SZ=}} natürlich ein größtes Element, es ist aber eine zahlentheoretische Besonderheit, dass dieses Element von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird. Die Menge {{math|term= V|SZ=}} der gemeinsamen Vielfachen von {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} ist unendlich und ist ebenfalls über die Teilbarkeit geordnet. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist darunter das kleinste Element, und zwar bezüglich der Teilbarkeitsrelation als auch bezüglich der Größergleichrelation. |Textart=Beispiel |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ezduvuceiptc5n9hmvwurr54i9rfa8 0 118284 780231 766922 2022-08-21T18:33:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= \N|SZ=}} versehen mit der durch die Teilbarkeit {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |größten gemeinsamen Teiler| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Infimum und dem {{ Definitionslink |Prämath= |kleinsten gemeinsamen Vielfachen| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Supremum| |ISZ=|ESZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Verbandsstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= V|SZ=}} die Menge der Untergruppen von {{math|term= \Z|SZ=}} mit der üblichen Verbandsstruktur {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Gruppe/Untergruppen/Verband/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Definiere{{n Sie}} eine bijektive {{ Definitionslink |Prämath= |antimonotone| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\N|V || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Theorie der Untergruppen von Z und Teilbarkeitstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kfl4ryy6lkvffcsv619nw0yv0z087fy 0 118286 779484 763570 2022-08-21T16:35:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:Vergleichskette |M || {{op:Potenzmenge|S|}} || || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der durch die Inklusion gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann liegt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor, wobei das {{ Definitionslink |Prämath= |Infimum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch den mengentheoretischen Durchschnitt und das {{ Definitionslink |Prämath= |Supremum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch die Vereinigung gegeben ist. Man spricht vom {{Stichwort|Teilmengenverband|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge als geordnete Menge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fefknu1h9uqsgsf4t1hvs2xxcb6xvs2 0 118287 778957 763150 2022-08-21T15:13:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine Menge {{math|term= M|SZ=}} von Aussagen, wobei wir äquivalente Aussagen miteinander identifizieren. Dies kann man informal oder aber bezogen auf die aussagenlogische Sprache zu einer Menge von Aussagenvariablen verstehen. Im letzteren Fall sind etwa die beiden Aussagen {{mathl|term= p \rightarrow q|SZ=}} und {{mathl|term= \neg q \rightarrow \neg p|SZ=}} zueinander äquivalent {{ Zusatz/Klammer |text=Kontraposition| |ISZ=|ESZ=. }} Über die Implikation {{math|term= \alpha \rightarrow \beta |SZ=}} ist diese Menge {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Mit der Konjunktion {{mathl|term= \alpha {{logund}} \beta|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und| |ISZ=|ESZ= }} als Infimum und der Disjunktion {{mathl|term= \alpha {{logoder}} \beta|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder| |ISZ=|ESZ= }} als Supremum liegt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2=Verbandstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9o2i8xqdhnqqon4x78dzv1ozvmbyx7o 0 118289 778714 762640 2022-08-21T12:44:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung3 |Die Kommutativität ist klar. Zum Nachweis der Assoziativität seien {{mathl|term= x,y,z|SZ=}} gegeben. Wir vergleichen {{mathl|term= (x \sqcup y) \sqcup z|SZ=}} und {{mathl|term= x \sqcup ( y \sqcup z)|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |x,y |\leq| x \sqcup y |\leq| (x \sqcup y) \sqcup z || || |SZ= }} und ebenso {{ Ma:Vergleichskette/disp |z |\leq| (x \sqcup y) \sqcup z || || || |SZ=. }} Damit ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp |x,y,z |\leq| (x \sqcup y) \sqcup z || || || |SZ=. }} Da {{mathl|term= y \sqcup z|SZ=}} das Supremum von {{ mathkor|term1= y |und|term2= z |SZ= }} ist, folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp | y \sqcup z |\leq| (x \sqcup y) \sqcup z || || || |SZ=. }} Daher ist auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | x \sqcup (y \sqcup z) |\leq| (x \sqcup y) \sqcup z || || || |SZ=. }} Die andere Abschätzung gilt genauso, aus der Antisymmetrie der Ordnung folgt somit die Gleichheit. Die Assoziativität für das Infimum wird entsprechend bewiesen. |Es ist direkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |\leq| x \sqcup (x \sqcap y) || || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |x \sqcap y |\leq| x || || || |SZ= }} und somit ist {{math|term= x|SZ=}} eine obere Schranke von {{math|term= x|SZ=}} und von {{mathl|term= x \sqcap y |SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | x \sqcup (x \sqcap y) |\leq|x || || || |SZ=. }} Aus der Antisymmetrie folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || x \sqcup (x \sqcap y) || || || |SZ=. }} |Wird wie (2) bewiesen. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} plwd0to0hlk7u61i3w4p94dzbxmn6kl 0 118298 778712 762638 2022-08-21T12:44:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zunächst ist unter Verwendung der beiden Absorptionsgesetze {{ Ma:Vergleichskette/disp |x \sqcap x || x \sqcap ( x \sqcup ( x \sqcap x)) || x || || |SZ=, }} was die Reflexivität der Relation bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien {{ Ma:Vergleichskette |z |\geq|y || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |y |\geq|x || || || |SZ= }} gegeben. Das bedeutet {{ Ma:Vergleichskette |z \sqcap y ||y || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |y \sqcap x ||x || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Ma:Vergleichskette/align |z \sqcap x || z \sqcap (y \sqcap x) || ( z \sqcap y) \sqcap x || y \sqcap x ||x |SZ=, }} was {{ Ma:Vergleichskette |z |\geq|x || || || |SZ= }} bedeutet. Zum Nachweis der Antisymmetrie sei {{ Ma:Vergleichskette |y |\geq|x || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq|y || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich sofort {{ Ma:Vergleichskette |x || x \sqcap y || y || || |SZ=. }} Wir zeigen nun, dass {{mathl|term= x \sqcap y|SZ=}} das Infimum von {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} in der soeben etablierten Ordnung ist. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x \sqcap (x \sqcap y) || (x \sqcap x) \sqcap y || x \sqcap y || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |x | \geq |x \sqcap y || || || |SZ= }} und ebenso {{ Ma:Vergleichskette |y | \geq |x \sqcap y || || || |SZ=, }} es ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | x \sqcap y | \leq | x,y || || || |SZ=. }} Sei nun {{ Ma:Vergleichskette |z |\leq| x,y || || || |SZ=. }} Dies bedeutet {{ Ma:Vergleichskette | x \sqcap z ||z || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | y \sqcap z ||z || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( x \sqcap y) \sqcap z || x \sqcap ( y \sqcap z) || x \sqcap z || z || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette | z |\leq| x \sqcap y || || || |SZ=. }} Somit ist {{math|term= x \sqcap y|SZ=}} das Infimum. Um die Aussage über das Supremum zu beweisen, zeigt man zunächst, dass {{ Ma:Vergleichskette |x || x \sqcap y || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |y || x \sqcup y || || || |SZ= }} äquivalent ist. Wenn nämlich das erste gilt, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | x \sqcup y ||( x \sqcap y) \sqcup y || y || || |SZ= }} nach einem Absorptionsgesetz. Wenn das zweite gilt, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | x \sqcap y || x \sqcap (x \sqcup y) || x || || |SZ=, }} ebenfalls nach einem Absorptionsgesetz. Damit folgt die Aussage über das Supremum wie die Aussage über das Infimum. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bq0c266vqr09ulbwztxfz41y27gpfdh 0 118304 779539 752640 2022-08-21T16:45:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In den natürlichen Zahlen {{math|term= \N|SZ=}} mit der Teilerbeziehung als {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungsrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{math|term= 1|SZ=}} das kleinste Element und die {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Atome| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pe344v4gcfuj0w9mfrq1q3ygwsuwzpy 0 118305 782534 756320 2022-08-22T00:57:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M, \preccurlyeq)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |geordnete Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |kleinsten Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und mit der Eigenschaft, dass zu je zwei Elementen das {{ Definitionslink |Prämath= |Infimum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= x \sqcap y |SZ=}} existiert. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften gelten. {{ Aufzählung3 |Wenn {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|M || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Atom| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette | a \sqcap x || 0 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette | a \sqcap x || a || || || |SZ= }} für alle {{math|term= x|SZ=.}} |Wenn {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} verschiedene Atome sind, so ist {{ Ma:Vergleichskette | a \sqcap b || 0 || || || |SZ=. }} |Es sei {{math|term= M|SZ=}} endlich. Dann gibt es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|M \setminus \{0\} || || || |SZ= }} ein Atom {{math|term= a|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\preccurlyeq|x || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} drkrh9jna35frcvmumeeihsu5ic548w 0 118310 780366 767230 2022-08-21T18:56:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |total geordneter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkter| |Kontext=Verband| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |komplementärer Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= \{0\}|SZ=}} oder gleich {{math|term= \{0, 1\}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eih89fetk6dle36eth4tpe1hojve8dq 0 118315 780299 766975 2022-08-21T18:45:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |geordnete Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |kleinsten Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und einem {{ Definitionslink |Prämath= |größten Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=,}} das darüber hinaus aus Elementen {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |<|x_i |<|1 || || |SZ= }} besteht, und für die es untereinander keine Größerbeziehung gibt. Ist dies ein {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Ist er {{ Definitionslink |Prämath= |komplementär| |Kontext=Verband| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Ist er {{ Definitionslink |Prämath= |distributiv| |Kontext=Verband| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ej3nm3eloelwjddlctokmb28fbpvxc 0 118332 779490 625740 2022-08-21T16:36:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Menge {{math|term= P|SZ=}} von Personen gegeben und wir interessieren uns für eine gewisse soziale Interaktion, die zwischen je zwei Personen bestehen kann oder nicht. Die Interaktion soll symmetrisch sein, also keine Richtung besitzen. Beispiele sind: kennen sich, sind befreundet, sind miteinander verwandt, waren schon mal zusammen im Kino, waren schon mal zusammen im Bett, waren schon mal miteinander verheiratet, haben ein gemeinsames Hobby, haben eine gemeinsame wissenschaftliche Arbeit publiziert. Wenn man einen solchen Sachverhalt mit einem ungerichteten Graphen ausdrücken möchte, so interpretiert man die Personenmenge als Punktmenge und erklärt die Kantenmenge dadurch, dass {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} aus {{math|term= P|SZ=}} genau dann durch eine Kante miteinander verbunden sind, wenn zwischen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} die soziale Interaktion besteht. Fragestellung, die graphentheoretisch untersucht werden können, sind: Gibt es Personen, die mit besonders vielen Personen in der Interaktion stehen, mit wie vielen Personen steht durchschnittlich eine Person in Interaktion, gibt es Clusterbildungen {{ Zusatz/Klammer |text=also Teilmengen von {{math|term= P|SZ=}} derart, dass innerhalb der Teilmenge viele Interaktionen stattfinden, aber wenige oder keine Interaktionen aus dieser Gruppe heraus| |ISZ=|ESZ=, }} gibt es isolierte Personen ohne diese Interaktion, lässt sich die Personenmenge in Teilgruppen aufteilen, wo untereinander keine Interaktion stattfindet {{ Zusatz/Klammer |text=heterosexuelles Verhalten, bipartiter Graph, Färbungsprobleme| |ISZ=|ESZ=, }} über wie viele direkte Interaktionen stehen Personen in einer indirekten Beziehung zueinander {{ Zusatz/Klammer |text=man kennt sich um ein paar Ecken, ist entfernt miteinander verwandt| |ISZ=|ESZ=, }} wie ändert sich das soziale Gefüge, wenn man eine Person herausnimmt {{ Zusatz/Klammer |text=wegzieht, die Firma verlässt, stirbt| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 48ywb8qp9028rtqj42crkk8x7tedeet 0 118335 779540 763628 2022-08-21T16:45:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} eine Menge von natürlichen Zahlen. Wir verbinden zwei Zahlen durch eine Kante, wenn diese beiden Zahlen {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Durch diese Vorschrift entsteht der {{Stichwort|Teilerfremdheitsgraph|SZ=.}} Die {{math|term= 1|SZ=}} ist zu jeder Zahl teilerfremd {{ Zusatz/Klammer |text=auch zu sich selbst, das wird aber hier nicht berücksichtigt, da wir ohne Schleifen arbeiten| |ISZ=|ESZ= }} und damit mit jeder Zahl durch eine Kante verbunden {{ Zusatz/Klammer |text=wenn die {{math|term= 1|SZ=}} zu {{math|term= V|SZ=}} gehört| |ISZ=|ESZ=, }} die {{math|term= 0|SZ=}} ist nur zur {{math|term= 1|SZ=}} teilerfremd. Im {{ Definitionslink |Prämath= |Komplementärgraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind zwei Zahlen genau dann miteinander verbunden, wenn sie einen gemeinsamen Teiler {{math|term= \geq 2|SZ=}} haben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} czs1m1pu5drhzgs8ocdn7n8hauf27ze 0 118342 779702 763700 2022-08-21T17:10:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Chess|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die möglichen Springerzüge. Die mit einem Kreuz markierten Felder sind diejenigen Felder, die der Springer {{ Zusatz/Klammer |text=das Pferdchen| |ISZ=|ESZ= }} von seiner markierten Position aus mit einem Zug erreichen kann. Im zugehörigen Erreichbarkeitsgraphen muss also dieses Feld mit den acht angekreuzten Feldern durch eine Kante verbunden werden. Dies muss man für alle {{math|term= 64|SZ=}} Felder machen. |Autor= |Benutzer=Arnaud333 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten eine Ansammlung von mehr oder weniger geometrisch gegebenen Punkten, wo zugleich eine gewisse Bewegungsvorschrift oder Sprungvorschrift oder Zugvorschrift festgelegt ist, mit der man von einem Punkt aus zu gewissen anderen Punkten gelangen kann, indem man diese Bewegungsvorschrift ausführt. Die Bewegungsvorschrift soll symmetrisch sein, also umkehrbar, man kann die Bewegung rückgängig machen. Grundsätzlich kann die Bewegungsvorschrift willkürlich für jeden einzelnen Punkt festgelegt werden, interessantere Strukturen ergeben sich aber, wenn die Bewegungsvorschrift homogen unter Berücksichtigung der geometrischen Konfiguration festgelegt ist. Eine solche Situation wird durch einen {{Stichwort|Erreichbarkeitsgraphen|msw=Erreichbarkeitsgraph|SZ=}} beschrieben. Die Knotenpunkte sind die geometrischen Punkte und zwei Punkte sind miteinander durch eine Kante zu verbinden, wenn man durch einen einzigen direkten Sprung von dem einen Punkt zu dem anderen gelangen kann. Im Unterschied zu {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Äquivalenzrelation/Symmetrische Erreichbarkeitsrelation/2/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist hier die Erreichbarkeit nicht transitiv, der Graph drückt die direkte Erreichbarkeit aus. Die dadurch festgelegte indirekte Erreichbarkeit, die durch eine Hintereinanderausführung von direkten Erreichbarkeiten gegeben ist, führt aber auch zu interessanten Fragestellungen, beispielsweise zur Frage, mit wie vielen Sprüngen man minimal von einem Punkt zu einem anderen Punkt kommen kann. Bei einem Brettspiel hängen beispielsweise die erlaubten Züge von den Figuren ab. Die Felder des Brettspiels sind die Knotenmenge und jede Figur legt einen Erreichbarkeitsgraphen fest, den wir {{Stichwort|Spielzuggraph|SZ=}} nennen. Eine Schachfigur {{ Zusatz/Klammer |text=nicht der Bauer, dessen Bewegungsvorschrift ist nicht symmetrisch, da er nicht zurückziehen darf| |ISZ=|ESZ= }} ist durch ihre Zugmöglichkeiten festgelegt. Der Läufer kann diagonal beliebig weit ziehen, der Turm horizontal und vertikal beliebig weit, der König immer nur um eine Position, die Einschränkungen durch die Gesamtstellung spielen hier keine Rolle. Eine solche Interpretation spiegelt natürlich nur einen einzelnen Aspekt des Spiels wider. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 04zm7xrwh5ar58a6yg6l8681d3743jv 0 118349 780250 766946 2022-08-21T18:37:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für den durch den Springer auf dem {{math|term= 3 \times 3|SZ=-}}Schachbrett gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Erreichbarkeitsgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wie viele Punkte welchen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kh0lpb8y7a9gb121ptgqhlifuzss031 0 118362 780037 763867 2022-08-21T18:01:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |U-Bahn_Berlin_-_Netzplan|png|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Arbalete |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Ein Verkehrsnetz, beispielsweise ein {{math|term= U|SZ=-}}Bahnnetz, kann man in verschiedener Weise als einen Graphen interpretieren. Die Knotenmenge ist die Menge der Haltestellen. Man kann nun zwei Haltestellen miteinander durch eine Kante verbinden, wenn sie direkt durch eine Linie unmittelbar benachbart sind {{ Zusatz/Klammer |text=wenn es eine direkte Tunnelverbindung ohne Zwischenstation gibt| |ISZ=|ESZ=. }} Dies ist der Graph {{ Zusatz/Klammer |text=Netzgraph| |ISZ=|ESZ=, }} der üblicherweise als Netzplan aushängt {{ Zusatz/Klammer |text=wenn verschiedene Linien eine Strecke lang parallel fahren, ist dies für den Graphen unerheblich, ist aber im Netzplan sichtbar| |ISZ=|ESZ=. }} Man kann aber auch zwei Haltestellen miteinander durch eine Kante verbinden, wenn sie an einer gemeinsamen Linie liegen, also ohne Umsteigen erreichbar sind. Im eben erwähnten Netzplan ist dies durch die verschiedenen Farben der Linien einfach erkennbar. Würde man aber all diese Kanten hinmalen, ergäbe sich schnell eine unübersichtliche Darstellung der Netzsituation. Die volle Erreichbarkeit {{ Zusatz/Klammer |text=also mit Umsteigen| |ISZ=|ESZ= }} wird typischerweise durch den {{ Definitionslink |Prämath= |vollständigen Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Haltestellen dargestellt, es sei den, das Liniennetz zerfällt in zueinander disjunkte Teilnetze {{ Zusatz/Klammer |text=das gilt zur Zeit in Berlin| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ldml0lqm212c2orucmmfol3expvspe3 0 118367 780328 767022 2022-08-21T18:50:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |AmsterdamMetroWashingtonStyle_(from_2018)|svg|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Alargule |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= V|SZ=}} die Menge der Haltestellen der Amsterdamer U-Bahn. Es sei {{math|term= N|SZ=}} der Netzgraph und {{math|term= F|SZ=}} der zugehörige umsteigefreie Erreichbarkeitsgraph {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Verkehrsnetz/Erreichbarkeit/Graph/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für die folgenden Stationen den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{ mathkor|term1= N |bzw|term2= F |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Isolatorweg. |Van der Madeweg. |Noord. |Centraal Station. |De Pijp. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24bh2ute970j52sc71qdsyme73rjge9 0 118378 779639 751689 2022-08-21T17:01:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=endliche| |ISZ=|ESZ= }} Menge und {{ Ma:Vergleichskette |V || {{op:Potenzmenge|M|}} || || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die wir als Knotenmenge eines {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nehmen. Wir verbinden zwei Knoten, also zwei {{ Zusatz/Klammer |text=verschiedene, um Schleifen zu vermeiden| |ISZ=|ESZ= }} Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette |S,T |\subseteq|M || || || |SZ= }} genau dann durch eine Kante, wenn {{ Ma:Vergleichskette |S \cap T |\neq| \emptyset || || || |SZ= }} ist, wenn also die beiden Teilmengen nicht zueinander disjunkt sind. Man spricht vom {{Stichwort|Potenzmengengraphen|msw=Potenzmengengraph|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bna8scimwcwbpti3rsa8ta3vlup7dpd 0 118393 779916 752074 2022-08-21T17:42:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Prämath= |Kantengraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Sterngraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n+1|SZ=}} Punkten, also einem Zentrum mit daran anliegenden {{math|term= n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Blättern| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |vollständiger Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Punkten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kantengraphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} so6ian76y1rxa4y2jf5a7bs3do49poj 0 118399 778631 762546 2022-08-21T12:32:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung3 |Dies folgt unmittelbar aus der Definition des Kantengraphen. |Sei {{mathl|term= \{u,v\}|SZ=}} eine Kante von {{math|term= G|SZ=,}} aufgefasst als Punkt im Kantengraph {{math|term= K|SZ=.}} Dieser Punkt ist mit einem anderen Punkt des Kantengraphen, also einer Kante {{mathl|term= \{r,s\}|SZ=}} des Ausgangsgraphen, genau dann verbunden, wenn diese Kante an {{math|term= u|SZ=}} oder an {{math|term= v|SZ=}} anliegt, wobei nur eines der Fall sein kann. Die Anzahl der an {{math|term= u|SZ=}} anliegenden Kanten ist {{math|term= d(u)|SZ=,}} allerdings dürfen wir die Kante {{mathl|term= \{u,v\}|SZ=}} nicht mitzählen. |Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die gesuchte Anzahl der Kanten in {{math|term= K|SZ=}} unter Verwendung von Teil (2) gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Bruch|1|2}} \sum_{ \{u,v\} \in E } {{makl| d(u)+d(v) -2 |}} || {{op:Bruch|1|2}} \sum_{ \{u,v\} \in E } {{makl| d(u)-1 +d(v) -1 |}} || {{op:Bruch|1|2}} \sum_{ v \in V} d(v) (d(v)-1) || || |SZ=, }} da in der mittleren Summe der Term {{math|term= d(v)-1|SZ=}} so oft vorkommt, wie es {{math|term= d(v)|SZ=}} angibt. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lhpyrc1ol0j754h68rwbkd9ip7fqtd2 0 118405 780330 767031 2022-08-21T18:50:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:abb |name=\varphi |G|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |schwacher Homomorphismus| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Graphen ist, wenn man {{math|term= M|SZ=}} mit der Struktur des {{ Definitionslink |Prämath= |Bildgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versieht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a272jmtsz9b896wpwgenept1axer7c3 0 118408 779155 625974 2022-08-21T15:44:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einer Firma arbeiten verschiedene Personen {{math|term= V|SZ=,}} und manche Personenpaare arbeiten gemeinsam an gewissen Aufgaben, was durch einen Kooperationsgraphen ausgedrückt wird. Es steht ein Stellenabbau an, bei dem die Aufgaben von mehreren Personen in Zukunft von einer einzigen {{ Zusatz/Klammer |text=alten oder neuen| |ISZ=|ESZ= }} Person übernommen werden soll. Dabei sollen sämtliche Kooperationen übernommen werden, das heißt, dass jede Kooperation zwischen zwei {{ Zusatz/Klammer |text=alten| |ISZ=|ESZ= }} Personen in eine Kooperation der diese Personen ersetzenden {{ Zusatz/Klammer |text=neuen| |ISZ=|ESZ= }} Personen übertragen werden soll. Der einfachste nichttriviale Spezialfall hiervon ist, dass zwei Personen durch eine Person ersetzt werden und die bisherigen Kooperationen auf diese neue Person übergehen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} svm6uennpoosrmiwa057ca984ikt38x 0 118413 779217 763299 2022-08-21T15:54:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Metro_Lisboa_Route_Map_(only_with_routes_in_operation)|png|400px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Wir betrachten das Metronetz von Lissabon. Es handelt sich um einen {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängenden Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der durch die gelbe Linie beschriebene {{ Definitionslink |Prämath= |Weg| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} hat die {{ Definitionslink |Prämath= |Länge| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 12|SZ=.}} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von São Sebastião zu Alameda ist {{math|term= 2|SZ=,}} der kürzeste Weg ist über Sadanha {{ Zusatz/Klammer |text=mit der roten Linie| |ISZ=|ESZ= }} gegeben. Es gibt natürlich auch deutlich längere Wege zwischen diesen beiden Stationen, beispielsweise über Marquês de Pompal mit der blauen Linie, dann nach Campo Grande mit der gelben Linie und dann mit der grünen Linie nach Alameda, der die Länge {{math|term= 12|SZ=}} besitzt. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Netzgraphen ist {{math|term= 21|SZ=,}} dieser wird im Abstand von Reboleira zu Aeroporto angenommen. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Graphen ist {{math|term= 11|SZ=,}} unz zwar haben sowohl Saldana als auch São Sebastião diese {{ Definitionslink |Prämath= |Exzentrizität| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Exzentrizität von Cidada Universitária beträgt {{math|term= 14|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eghvjljptdo9xveyrp4494dlbndctt3 0 118425 780249 766944 2022-08-21T18:36:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für einen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Knotenpunkten den {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1idc1qan3i9pahnhl96u24uihdud7et 0 118437 778990 750912 2022-08-21T15:18:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Butan Lewis|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=NEUROtiker |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} Wir wollen die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des chemischen Elementes Butan {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. der zugehörigen Darstellung als Graph {{math|term= G|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass die Benennung von einigen Knotenpunkten mit {{math|term= C|SZ=}} und mit {{math|term= H|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=was natürlich eine chemische Bedeutung hat| |ISZ=|ESZ= }} keine eigenständige graphentheoretische Information dartellt, da sie ja aus dem Graphen direkt rekonstruierbar ist: Die Punkte mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 4|SZ=}} werden mit {{math|term= C|SZ=}} und die Punkte mit dem Grad {{math|term= 1|SZ=,}} also die {{ Definitionslink |Prämath= |Blätter| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} werden mit {{math|term= H|SZ=}} bezeichnet. In den folgenden Überlegungen werden wir zwecks Vereinfachung die chemischen Benennungen verwenden. Ein Automorphismus des Graphen führt {{math|term= H|SZ=-}}Atome in {{math|term= H|SZ=-}}Atome und {{math|term= C|SZ=-}}Atome in {{math|term= C|SZ=-}}Atome über, da der Grad bei einem Isomorphismus erhalten bleibt. Dies führt insbesondere zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi | {{op:Aut|G|}} | S_4 || |SZ=, }} wobei {{math|term= S_4|SZ=}} die Gruppe der Permutationen auf den vier {{math|term= C|SZ=-}}Atomen und {{math|term= \Psi|SZ=}} die Einschränkung eines Automorphismus bezeichnet. Bei einem Automorphismus {{math|term= \varphi|SZ=}} des Moleküls wird also geschaut, was dieser mit den {{math|term= C|SZ=-}}Atomen macht. Diese Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus. Die vier {{math|term= C|SZ=-}}Atome haben zwar alle den Grad {{math|term= 4|SZ=,}} sie sind aber nicht gleichberechtigt, die beiden äußeren sind mit drei Blättern und die beiden inneren sind mit zwei Blättern verbunden. Wenn man die beiden inneren vertauscht, so muss man auch die beiden äußeren vertauschen, da ja bei einem Automorphismus Kanten erhalten bleiben. Deshalb ist das Bild von {{math|term= \Psi|SZ=}} die zyklische Gruppe {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|2|}} || S_2 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in der Tat ist die Spiegelung an der vertikalen Achse ein Automorphismus| |ISZ=|ESZ=. }} Wir haben also einen surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi | {{op:Aut|G|}} |S_2 || |SZ=. }} Dies erleichtert die Bestimmung der Automorphismengruppe, da man diese aufspalten kann nach solchen Automorphismen, die auf den {{math|term= C|SZ=-}}Atomen identisch wirken, und solchen, die die {{math|term= C|SZ=-}}Atome spiegeln. Aufgrund von gruppentheoretischen Gesetzmäßigkeiten gibt es von beiden Sorten gleich viele. Deshalb betrachten wir nur noch den {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Psi|SZ=.}} Sei also {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Automorphismus, der auf den {{math|term= C|SZ=-}}Atomen identisch wirkt. Dann wird jedes {{math|term= H|SZ=-}}Atom unter {{math|term= \varphi|SZ=}} auf ein {{math|term= H|SZ=-}}Atom abgebildet, das mit dem selben {{math|term= C|SZ=-}}Atom verbunden ist. Was unter {{math|term= \varphi|SZ=}} mit den an einem {{math|term= C|SZ=-}}Atom hängenden {{math|term= H|SZ=-}}Atomen passiert, ist unabhängig voneinander. Der Kern ist deshalb gleich {{ math/disp|term= S_3 \times S_2 \times S_2 \times S_3 |SZ= }} und besitzt {{math|term= 144|SZ=}} Elemente, die gesamte Automorphismengruppe besitzt {{math|term= 288|SZ=}} Elemente. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mpr1sy6b3ew7d31gbgyy14caosut75o 0 118441 779216 763298 2022-08-21T15:54:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Identity graph5|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Hikin1987 |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} Der abgebildete Graph {{math|term= G|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |starr| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bei einem solchen Nachweis geht man am besten sukzessive vor, man zeigt für einen Automorphismus unter Bezug auf graphentheoretische Eigenschaften, dass er alle Knoten auf sich selbst abbildet, wobei man mit besonders einfachen Knotenpunkten anfängt und dann weitere Knotenpunkte betrachtet und dabei verwendet, dass andere Knotenpunkte auf sich selbst abgebildet werden. Sei also {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Automorphismus von {{math|term= G|SZ=.}} Der Graph verfügt nur über ein einziges Blatt {{math|term= b|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=links oben| |ISZ=|ESZ=, }} diese muss auf sich selbst abgebildet werden. Damit muss auch der an das Blatt anliegende Knotenpunkt {{math|term= u|SZ=}} auf sich selbst abgebildet werden. Die an {{math|term= u|SZ=}} anliegenden Knotenpunkte {{ Zusatz/Klammer |text=außer {{math|term= b|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} haben die Grade {{mathl|term= 2,3,4|SZ=,}} sie müssen also jeweils auf sich selbst abgebildet werden. Dann muss auch der verbleibende Punkt auf sich selbst abgebildet werden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eg5opgdrc0zv13pyiv0bkqqwsw2buw1 0 118452 779915 752073 2022-08-21T17:41:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Sterngraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem Zentrum und {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Blättern| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist die volle {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S_n|SZ=,}} da man die Blätter beliebig ineinander überführen kann und das Zentrum auf sich selbst abgebildet werden muss. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2qq6rxsup5kiq70hmnif5lajg3f0c43 0 118472 780296 766970 2022-08-21T18:44:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Rundganges| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Knotenpunkten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o4px8pqu9bvyn2qbed9fdmqgmaqt5mg 0 118507 780363 767225 2022-08-21T18:55:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Baum| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |u,v |\in|V || || || |SZ= }} Punkte. Es sei {{math|term= \sim|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=,}} bei der {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} zueinander äquivalent seien und ansonsten nur jeder Punkt zu sich selbst. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= G/\sim|SZ=}} genau dann ein Baum ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette |d(u,v) |\leq|2 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7cy4kk3tl9ln5eltjn1s19i5suv7mfr 0 118523 780321 767010 2022-08-21T18:48:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Sterngraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 4|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Blättern| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9062m1rx6fvq4gsxxtd415n1rl87h7g 0 118554 779366 751188 2022-08-21T16:16:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Rundgang| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Vertexmenge {{mathl|term= a,b,c,d,e|SZ=}} in dieser Reihenfolge. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=ungerichtet| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |A ||{{op:Matrix55|0|1|0|0|1|1|0|1|0|0|0|1|0|1|0|0|0|1|0|1|1|0|0|1|0|||}} || || || |SZ=. }} Die Wege der Länge {{math|term= 2|SZ=}} kann man direkt so bestimmen: Es gibt zwei Wege von jedem Punkt zu sich selbst, nämlich zu den beiden Nachbarn und dann zurück. Zum Nachbarn gibt es keinen Weg der Länge {{math|term= 2|SZ=,}} zum übernächsten Punkt gibt es jeweils einen Weg der Länge {{math|term= 2|SZ=.}} Entsprechend ist {{ Ma:Vergleichskette/align |A^2 ||{{op:Matrix55|0|1|0|0|1|1|0|1|0|0|0|1|0|1|0|0|0|1|0|1|1|0|0|1|0|||}}{{op:Matrix55|0|1|0|0|1|1|0|1|0|0|0|1|0|1|0|0|0|1|0|1|1|0|0|1|0|||}} ||{{op:Matrix55|2|0|1|1|0|0|2|0|1|1|1|0|2|0|1|1|1|0|2|0|0|1|1|0|2|||}} || || |SZ=. }} Ab der Länge {{math|term= 3|SZ=}} muss man bei der kombinatorischen Abzählung berücksichtigen, dass Wege mit unterschiedlichem Umlaufsinn sich überlagern und das gleiche Ergebnis haben können. Mit der Matrixregel aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} muss man einfach nur multiplizieren, es ist {{ Ma:Vergleichskette/align |A^3 ||{{op:Matrix55|0|1|0|0|1|1|0|1|0|0|0|1|0|1|0|0|0|1|0|1|1|0|0|1|0|||}} {{op:Matrix55|2|0|1|1|0|0|2|0|1|1|1|0|2|0|1|1|1|0|2|0|0|1|1|0|2|||}} || {{op:Matrix55|0|3|1|1|3|3|0|3|1|1|1|3|0|3|1|1|1|3|0|3|3|1|1|3|0|||}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aign0g32jeeccsyb1soxzpwy7q4q68l 0 118570 778959 763152 2022-08-21T15:13:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In Vorbereitung auf einen Schulaustausch zwischen einer Klasse in Osnabrück und einer Klasse in Málaga werden Brieffreundschaften geschnürt, wobei man mehrere Brieffreunde haben kann, aber nur mit Leuten aus der anderen Stadt. Mit den beiden Klassen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} ergibt sich ein {{ Definitionslink |Prämath= |bipartiter Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette |V ||A \uplus B || || || |SZ=, }} bei dem eine Person aus {{math|term= A|SZ=}} mit einer Person aus {{math|term= B|SZ=}} verbunden wird, wenn eine Brieffreundschaft zwischen ihnen besteht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f1kd1x65ywv1soloe2xy7ajkvdbr66i 0 118571 778960 626474 2022-08-21T15:13:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es steht nun in Anschluss an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Austausch/Brieffreundschaft/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Schüleraustausch zwischen der Klasse {{math|term= A|SZ=}} aus Osnabrück und der Klasse {{math|term= B|SZ=}} aus Málaga an. Dabei besuchen die Kinder aus Osnabrück zuerst Málaga und jedes Kind soll bei einem Kind unterkommen, mit dem es bereits durch eine Brieffreundschaft verbunden ist. Es soll also innerhalb des vorgegebenen Brieffreundschaftsgraphen eine Paarung vorgenommen werden. Naheliegende Fragen sind: Wann ist das möglich? Auf wie viele Arten ist es möglich? Wie findet man eine solche Paarung? |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9f2azlpo6rluq3w6wggzp88wqf6pjb7 0 118614 779438 751313 2022-08-21T16:28:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |linearer Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Knotenpunkten. Dann muss in einer {{ Definitionslink |Prämath= |Knotenüberdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zumindest jeder zweite Knoten {{ Zusatz/Klammer |text=in der natürlichen Reihenfolge auf einem linearen Graphen| |ISZ=|ESZ= }} vorkommen. {{ Definitionslink |Prämath= |Minimale Knotenüberdeckungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind beispielsweise durch die Knotenfolgen {{mathl|term= \{1,3,5, \ldots \}|SZ=}} und {{mathl|term= \{2,4 ,6 , \ldots \}|SZ=}} gegeben, wobei der letzte Knoten, {{ mathkor|term1= n-1 |oder|term2= n |SZ=, }} davon abhängt, ob {{math|term= n|SZ=}} gerade oder ungerade ist. Bei {{math|term= n|SZ=}} gerade sind beide {{ Definitionslink |Prämath= |optimal| |Kontext=Knotenüberdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei {{math|term= n|SZ=}} ungerade ist nur die zweite Knotenüberdeckung optimal. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Knotenüberdeckungszahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beträgt in beiden Fällen {{mathl|term= {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|n|2}} |}} |SZ=}} Knoten. Es gibt aber auch noch ganz andere minimale Knotenüberdeckungen, beispielsweise {{mathl|term= \{1,3,4,6,7, 9,10\}|SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||11 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1crwv04brw5t6yy9x23x1zck2iddry3 0 118617 779917 752075 2022-08-21T17:42:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei einem {{ Definitionslink |Prämath= |Sterngraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir mit zumindest drei Knotenpunkten| |ISZ=|ESZ= }} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Knotenüberdeckungszahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= 1|SZ=,}} man kann ja das Zentrum als einelementige Knotenüberdeckungsmenge nehmen. Dies ist die einzige {{ Definitionslink |Prämath= |optimale Knotenüberdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Blätter| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |minimale Knotenüberdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber keine optimale Knotenüberdeckung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cvkqgydpdfjk4a57aigsklbkdxt1lad 0 118648 778633 762549 2022-08-21T12:32:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nehmen wir zuerst an, dass es einen alternierenden Weg gibt, der die Punkte {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} verbindet, die beide nicht durch die Paarung abgedeckt sind. Wir müssen zeigen, dass man eine Paarung konstruieren kann, die mehr Kanten als die gegebene Paarung besitzt. Es sei {{ math/disp|term= \{ u,u_2\}, \{u_2,u_3\} {{kommadots|}} \{u_{n-1},v\} |SZ= }} der alternierende Weg. Dabei gehören die beiden Endkanten nicht zu {{math|term= P|SZ=,}} da die beiden Endpunkte nicht durch {{math|term= P|SZ=}} abgedeckt sind. Die Länge des Weges, also {{math|term= n-1|SZ=,}} ist ungerade. Wir modifizieren nun die Paarung, indem wir die Kanten {{mathl|term= \{u_i,u_{i+1} \}|SZ=}} für {{math|term= i|SZ=}} gerade herausnehmen und die Kanten {{mathl|term= \{u_i,u_{i+1} \}|SZ=}} für {{math|term= i|SZ=}} ungerade hinzunehmen. Dabei wird die Gesamtzahl der Kanten um {{math|term= 1|SZ=}} erhöht. Ferner handelt es sich nach wie vor um eine Paarung. Würde es nämlich in der neuen Paarung einen Knotenpunkt geben, der mit zwei Kanten inzident ist, so würde eine Kante davon gleich {{mathl|term= \{ u_i, u_{i+1} \} |SZ=}} sein {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= i|SZ=}} ungerade| |ISZ=|ESZ= }} und die andere Kante gleich {{mathl|term= \{ u_i,x \}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleich {{mathl|term= \{ u_{i+1},x \}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} Wenn diese zweite Kante nicht zum alternierenden Weg gehört, so gehört sie zu {{math|term= P|SZ=}} und würde zusammen mit {{mathl|term= \{ u_{i-1}, u_{i} \} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathlk|term=\{ u_{i+1}, u_{i+2} \} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} der Paarungseigenschaft von {{math|term= P|SZ=}} widersprechen. Wenn sie zum alternierenden Weg gehört, so wäre sie gleich {{mathl|term= \{u_j,u_{j+1} \}|SZ=}} mit {{math|term= j|SZ=}} ungerade, und dann würden die an dem Durchschnittspunkt anliegenden Kanten aus {{math|term= P|SZ=}} der Paarungseigenschaft von {{math|term= P|SZ=}} widersprechen {{ Zusatz/Klammer |text=bei den Endkanten muss man etwas anders argumentieren| |ISZ=|ESZ=. }} Nehmen wir nun an, dass {{math|term= P|SZ=}} nicht optimal ist. Es sei {{math|term= Q|SZ=}} eine optimale Paarung, die ja dann nach Definition mehr Kanten als {{math|term= P|SZ=}} besitzt. Es ist zu zeigen, dass es einen alternierenden Weg für {{math|term= P|SZ=}} gibt, dessen Endpunkte von {{math|term= P|SZ=}} nicht abgedeckt sind. Wir betrachten den Graphen {{math|term= H|SZ=}} auf {{math|term= V|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrischen Differenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} als Kantenmenge. Da {{math|term= Q|SZ=}} mehr Kanten als {{math|term= P|SZ=}} besitzt, gibt es in {{math|term= H|SZ=}} mehr Kanten aus {{math|term= Q\setminus P|SZ=}} als aus {{math|term= P \setminus Q|SZ=.}} Dies muss dann auch für eine {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponente| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= H|SZ=}} gelten, und deren Möglichkeiten sind in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graph/Paarungen/Symmetrische Differenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} aufgelistet. Daher muss eine Komponente ein linearer Graph sein, mit Kanten abwechselnd aus {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} und wobei die Endkanten aus {{math|term= Q \setminus P|SZ=}} sind. Die Endpunkte sind dann insbesondere verschieden und nicht durch {{math|term= P|SZ=}} abgedeckt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s7zg8ij195wkdsh3mcxdvcnmcp0rje6 106 118795 784370 733990 2022-08-22T06:02:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Induktion}} Die natürlichen Zahlen sind dadurch ausgezeichnet, dass man jede natürliche Zahl ausgehend von der {{math|term=0|SZ=}} durch den Zählprozess {{ Zusatz/Klammer |text=das sukzessive Nachfolgernehmen| |ISZ=|ESZ= }} erreichen kann. Daher können mathematische Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen, mit dem Beweisprinzip der {{Stichwort/-|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=}} bewiesen werden. Das folgende Beispiel soll an dieses Argumentationsschema heranführen. {{ inputbeispiel |Ebene/Geraden/Schnittpunktanzahl/Beispiel|| }} Im vorstehenden Beispiel liegt eine Summe vor, wobei die Anzahl der Summanden selbst variieren kann. Für eine solche Situation ist das {{Stichwort|Summenzeichen|SZ=}} sinnvoll. Für gegebene reelle Zahlen {{mathl|term=a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} bedeutet {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ=. }} Dabei hängen im Allgemeinen die {{math|term=a_k|SZ=}} in einer formelhaften Weise von {{math|term=k|SZ=}} ab, beispielsweise ist im Beispiel {{ Ma:Vergleichskette |a_k || k || || || |SZ=, }} es könnte aber auch etwas wie {{ Ma:Vergleichskette |a_k || 2k+1 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |a_k || k^2 || || || |SZ= }} vorliegen. Der {{math|term=k|SZ=-}}te Summand der Summe ist jedenfalls {{math|term=a_k|SZ=,}} dabei nennt man {{math|term=k|SZ=}} den {{Stichwort|Index|SZ=}} des Summanden. Entsprechend ist das {{Stichwort|Produktzeichen|SZ=}} definiert, nämlich durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \prod_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 \cdot a_2 {{cdots|}} a_{n-1} \cdot a_n || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Schnittpunkte/Motivation/Beispiel|| }} {{ inputbild |Domen-indukto|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text=Eine Visualisierung des Induktionsprinzips. Wenn die Steine nah beieinander stehen und der erste umgestoßen wird, so fallen alle Steine um. |Autor=Joachim Mohr |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die folgende Aussage begründet das Prinzip der vollständigen Induktion. {{ inputfaktbeweis2 |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz|| }} Der Nachweis von {{mathl|term=A(0)|SZ=}} heißt dabei der {{Stichwort|Induktionsanfang|SZ=}} und der Schluss von {{mathl|term=A(n)|SZ=}} auf {{mathl|term=A(n+1)|SZ=}} heißt der {{Stichwort|Induktionsschritt|SZ=.}} Innerhalb des Induktionsschrittes nennt man die Gültigkeit von {{math|term=A(n)|SZ=}} die {{Stichwort|Induktionsvoraussetzung|SZ=.}} In manchen Situationen ist die Aussage {{mathl|term=A(n)|SZ=}} erst für {{mathl|term=n \geq n_0|SZ=}} für ein gewisses {{math|term=n_0|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=definiert oder| |ISZ=|ESZ= }} wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage {{mathl|term=A(n_0)|SZ=}} und den Induktionsschluss führt man für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} durch. Wir begründen nun die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{k {{=}} 1}^n k ||{{op:Bruch|n(n+1)|2}} || || || |SZ=. }} mit dem Induktionsprinzip. Beim Induktionsanfang ist {{ Ma:Vergleichskette |n ||1 || || || |SZ=, }} daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der {{math|term=1|SZ=,}} und daher ist die Summe {{math|term=1|SZ=.}} Die rechte Seite ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|1 \cdot 2|2}} ||1 || || || |SZ=, }} so dass die Formel für {{ Ma:Vergleichskette |n ||1 || || || |SZ= }} stimmt. Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ= }} gilt, und müssen zeigen, dass sie dann auch für {{mathl|term=n+1|SZ=}} gilt. Dabei ist {{math|term=n|SZ=}} beliebig. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align |\sum_{k {{=|}} 1}^{n+1} k ||\left(\sum_{k {{=|}} 1}^{n} k\right) + n+1 || {{op:Bruch|n(n+1)|2}} + n+1 || {{op:Bruch|n(n+1) +2(n+1)|2}} || {{op:Bruch|(n+2)(n+1)|2}} |SZ=. }} Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für {{mathl|term=n+1|SZ=,}} also ist die Formel bewiesen. {{Zwischenüberschrift|term=Mengen}} {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 180px {{!}} right {{!}} |epsname=Georg_Cantor |Text=[[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor= |Benutzer=Taxiarchos228 |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg |180px {{!}} right {{!}} |epsname=David_Hilbert_1886 |Text=[[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies|SZ=,}} aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=Unbekannt (1886) |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Mathematische Strukturen, wie die bereits erwähnten Zahlen, werden als Mengen beschrieben. Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort/-|Elemente|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term=x|SZ=}} zu einer Menge {{math|term=M|SZ=}} wird durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |\in|M || || || |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |\notin| M || || || |SZ=. }} Für jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|3|7}} |\notin| \N || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|3|7}} |\in| \Q || || || |SZ=. }} Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. Die Menge, die kein Element besitzt, heißt {{Definitionswort/enp|leere Menge|SZ=}} und wird mit {{ math/disp|term= \emptyset |SZ= }} bezeichnet. Eine Menge {{math|term=N|SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term=M|SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term=N|SZ=}} auch zu {{math|term=M|SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{math|term=N \subset M|SZ=}} | |SZ=. }} Man sagt dafür auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/k |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} vorliegt. Für die erwähnten Zahlenmengen gelten die Inklusionen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\N |\subseteq|\Z |\subseteq|\Q |\subseteq|\R || |SZ=. }} Die Teilmengenbeziehung {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} ist eine Allaussage. Im Nachweis, dass {{ Ma:Vergleichskette/k |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|N || || || |SZ= }} ebenfalls die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|M || || || |SZ= }} gilt. Dabei darf man lediglich die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|N || || || |SZ= }} verwenden. Für uns werden Mengen hauptsächlich Zahlenmengen und daraus konstruierte Mengen sein. Eine Menge heißt {{Stichwort|endlich|msw=Endliche Menge|SZ=,}} wenn sie durch die natürlichen Zahlen {{mathl|term=1,2,3 {{kommadots|}} n |SZ=}} für ein gewisses {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} {{Anführung|sinnvoll abgezählt}} werden kann. In diesem Fall nennt man {{math|term=n|SZ=}} die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} der Menge. {{Zwischenüberschrift|term=Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen}} {{:Mengen/Beschreibungsmöglichkeiten/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Mengenoperationen}} Es gibt mehrere Möglichkeiten, aus gegebenen Mengen neue Mengen zu bilden. Die wichtigsten sind die folgenden{{ Zusatz/Fußnote |text=Die Symbolik kann man sich so merken: Bei Vereinigung denke man an englisch union, das {{math|term=\cup|SZ=}} sieht aus wie ein u. Der Durchschnitt ist das {{math|term=\cap|SZ=.}} Die entsprechenden logischen Operationen oder bzw. und haben die analoge eckige Form {{math|term= {{logoder|}} |SZ=}} bzw. {{math|term= {{logund|}} |SZ=}} | |ISZ=.|ESZ=. }} {{ Auflistung3 |{{Stichwort|Vereinigung|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \cup B | {{defeq|}} |{{Mengebed|x|x \in A \text{ oder } x \in B}} || || || |SZ=, }} |{{Stichwort|Durchschnitt|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \cap B | {{defeq|}} |{{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \in B}} || || || |SZ=, }} |{{Stichwort|Differenzmenge|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \setminus B | {{defeq|}} |{{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \notin B }} || || || |SZ=. }} }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge {{math|term=G|SZ=}} ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |A |\subseteq|G || || || |SZ=, }} das durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Mengenkomplement|A}} | {{defeq|}} | G \setminus A || {{Mengebed|x \in G|x \notin A}} || || || |SZ= }} definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also {{ Ma:Vergleichskette |A \cap B || \emptyset || || || |SZ= }} gilt, so nennen wir sie {{Definitionswort/enp|disjunkt|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Produktmenge}} Wir wollen die Rechenoperationen auf den oben erwähnten Zahlenmengen, insbesondere die Addition und die Multiplikation, mengentheoretisch erfassen. Bei der Addition {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise auf {{math|term=\N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird zwei natürlichen Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} eine weitere natürliche Zahl, nämlich {{mathl|term=a+b|SZ=,}} zugeordnet. Die Menge der Paare nennt man Produktmenge und die Zuordnung führt zum Begriff der Abbildung. Wir definieren{{ Zusatz/Fußnote |text={{:Definitionen/Rolle in Mathematik/Erläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} Die Elemente der Produktmenge nennt man {{Stichwort/-|Paare|SZ=}} und schreibt {{mathl|term=(x,y)|SZ=.}} Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten {{Stichwort/-|Komponenten|SZ=}} ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponenten ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. Wenn die beiden Mengen {{Stichwort|endlich|SZ=}} sind, und es in der ersten Menge {{math|term=n|SZ=}} Elemente und in der zweiten Menge {{math|term=k|SZ=}} Elemente gibt, so gibt es in der Produktmenge {{mathl|term=n \cdot k|SZ=}} Elemente. Man kann auch für mehr als nur zwei Mengen die Produktmenge bilden. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Vornamen und Nachnamen/Beispiel|| }} {{ inputbild |SquareLattice|svg| 150px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Jim.belk |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Schachbrett/Beispiel|| }} Die Produktmenge {{mathl|term=\R \times \R|SZ=}} stellt man sich als eine Ebene vor, man schreibt dafür auch {{math|term=\R^2|SZ=.}} Die Produktmenge {{mathl|term=\Z \times \Z|SZ=}} kann man sich als eine Menge von Gitterpunkten vorstellen. {{ inputbild |Geometri cylinder|png| 250px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Geometri_cylinder |Text=Ein Zylindermantel ist die Produktmenge aus einem Kreis und einer Strecke |Autor= |Benutzer=Anp |Domäne=sv Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Kreislinie und Strecke ergibt Zylinder/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Abbildungen}} {{:Abbildungen/Anwender/Motivation/Textabschnitt|}} {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Ma:abb |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term=L|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term=M|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}} | |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| L || || || |SZ= }} heißt das Element {{ Ma:Vergleichskette |F(x) |\in| M || || || |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term=F|SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term=x|SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ mathkor|term1= {{ abb |name=F |L_1|M_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name=G |L_2|M_2 || |SZ= }} |SZ= }} sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| L_1 || L_2 || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette |F(x) ||G(x) || || || |SZ= }} in {{ Ma:Vergleichskette |M_1 ||M_2 || || || |SZ= }} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort/-|Funktionen|SZ=}} genannt. Wir werden den Begriff {{Stichwort|Funktion|SZ=}} für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge die reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=}} sind. Zu jeder Menge {{math|term=L|SZ=}} nennt man die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L|L |x|x |SZ=, }} also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die {{Stichwort|Identität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{math|term=L|SZ=}}| |SZ=. }} Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Identität|L|}} |SZ=}} bezeichnet. Zu einer weiteren Menge {{math|term=M|SZ=}} und einem fixierten Element {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|M || || || |SZ= }} nennt man die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L|M |x|c |SZ=, }} die also jedem Element {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|L || || || |SZ= }} den {{Stichwort|konstanten Wert|msw=Konstanter Wert|SZ=}} {{math|term=c|SZ=}} zuordnet, die {{Definitionswort/enp|konstante Abbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= mit dem Wert {{math|term=c|SZ=}}| |ESZ=. }} Sie wird häufig wieder mit {{math|term=c|SZ=}} bezeichnet{{ Zusatz/Fußnote |text=Von Hilbert stammt die etwas überraschende Aussage, die Kunst der Bezeichnung in der Mathematik besteht darin, unterschiedliche Sachen mit denselben Symbolen zu bezeichnen|ISZ=. |ESZ=. }} Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graph der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen. Solche Abbildungsvorschriften sind beispielsweise {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils von {{math|term=\R|SZ=}} nach {{math|term=\R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term=x \mapsto x^2|SZ=,}} {{mathl|term=x \mapsto x^3- e^x + {{op:sin(|x|}} |SZ=,}} etc. In den Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften sind {{Stichwort|empirische Funktionen|msw=Empirische Funktion|SZ=}} wichtig, die reale Bewegungen oder Entwicklungen beschreiben, doch auch bei solchen Funktionen erhebt sich die Frage, ob man diese auch mathematisch gut beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=approximieren| |ISZ=|ESZ= }} kann. {{:Abbildung/Darstellungsmöglichkeiten/Gallerie/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Injektive und surjektive Abbildungen}} {{ inputdefinition |Abbildung/Injektiv/Definition|| }} Bein Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} aus der Voraussetzung {{ Ma:Vergleichskette |F(x) ||F(x') || || || |SZ= }} erschließt, dass {{ Ma:Vergleichskette |x ||x' || || || |SZ= }} ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|x' || || || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette |F(x) |\neq|F(x') || || || |SZ= }} zu schließen. {{ inputdefinition |Abbildung/Surjektiv/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Abbildung/Fußballspiel/Torschütze/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Abbildung/Mutter von/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Abbildung/Quadrieren/Injektiv und surjektiv/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Abbildung/Quantoreneigenschaften/Lösungsinterpretation/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition|| }} Es gilt also {{ Ma:Vergleichskette/disp | (G \circ F)(x) | {{defeq}}| G(F(x)) || || || |SZ=, }} wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt {{ Zusatz/Klammer |text=und nach Möglichkeit vereinfacht| |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Fußnotenliste}} }} 1jsq0c4luy02lgfin53abymnzeetuzv 106 118796 778729 728464 2022-08-21T12:46:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Vorlesungsgestaltung|4| {{Motto| |Text=Proof is the end product of a long interaction between creative imagination and critical reasoning. Without proof the program remains incomplete, but without the imaginative input it never gets started |Autor=[[w:Michael Atiyah|Michael Atiyah]] }} {{Zwischenüberschrift|term=Verknüpfungen}} Die Rechenoperationen Addition und Multiplikation innerhalb der reellen Zahlen fassen wir als eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R \times \R |\R || |SZ= }} auf, d.h. es wird dem Paar {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x,y) |\in| \R \times \R || || || || |SZ= }} die reelle Zahl {{mathl|term=x+y|SZ=}} (bzw. {{mathlk|term=x\cdot y|SZ=}}) zugeordnet. Eine solche Abbildung heißt eine Verknüpfung. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Definition|| }} Der Definitionsbereich ist also die Produktmenge von {{math|term=M|SZ=}} mit sich selbst und der Wertebereich ist ebenfalls {{math|term=M|SZ=.}} Addition, Multiplikation und Subtraktion (auf {{math|term=\Z|SZ=,}} auf {{math|term=\Q|SZ=}} oder auf {{math|term=\R|SZ=}}) sind Verknüpfungen. Auf {{ mathkor|term1= \Q |und|term2= \R |SZ= }} ist die Division keine Verknüpfung, da sie nicht definiert ist, wenn die zweite Komponente gleich {{math|term=0|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=und schon gar nicht auf {{math|term=\Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Allerdings ist die Division eine Verknüpfung auf {{mathl|term= \R \setminus \{0\}|SZ=.}} In dieser Vorlesung werden wir die algebraischen Eigenschaften der Addition und der Multiplikation auf den reellen Zahlen im Begriff des {{Anführung|Körpers}} zusammenfassen. {{Zwischenüberschrift|term=Axiomatik}} {{:Axiomatik/Anwender/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Wir werden nun die Eigenschaften der reellen Zahlen in einem axiomatischen Rahmen besprechen. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Die algebraischen Axiome werden im Begriff des Körpers zusammengefasst. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei Elementen der gegebenen Menge {{math|term=M|SZ=,}} also beispielsweise zwei reellen Zahlen, ein weiteres Element der Menge zu, es handelt sich also um Verknüpfungen. Die folgende Definition nimmt nur auf zwei Verknüpfungen, Addition und Multiplikation, Bezug, Subtraktion und Division ergeben sich als abgeleitete Verknüpfungen. {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition|| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule bekannt. In einem Körper gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term=a \cdot b + c \cdot d|SZ=}} statt {{mathl|term=(a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} in einem Körper werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein. Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen, die wir in der nächsten Vorlesung kennenlernen werden. {{ inputfaktbeweis2 |Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt|Lemma|| |ref1=||Beweistext=Dies folgt aus der allgemeinen Eindeutigkeitsaussage für inverse Elemente in jeder Gruppe, siehe die letzte Vorlesung. }} Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=y|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a+y ||0 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |- (-a) || a || || || |SZ=, }} da wegen {{ Ma:Vergleichskette | a + (-a) || 0 || || || |SZ= }} das Element {{math|term=a|SZ=}} gleich dem eindeutig bestimmten Negativen von {{math|term=-a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term=b+(-a)|SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=z|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |az ||1 || || || |SZ= }} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Ma:Vergleichskette/disp |a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} || ab^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also eine Abkürzung für den rechten Ausdruck. Zu einem Körperelement {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} wird {{mathl|term=a^n|SZ=}} als das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term=a|SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} wird {{mathl|term=a^{-n}|SZ=}} als {{mathl|term=(a^{-1})^n|SZ=}} interpretiert. Ein {{Anführung|kurioser}} Körper wird im folgenden Beispiel beschrieben. Dieser Körper mit zwei Elementen ist in der Informatik und der Kodierungstheorie wichtig, wird für uns aber keine große Rolle spielen. Er zeigt, dass es nicht für jeden Körper sinnvoll ist, seine Elemente auf der Zahlengeraden zu verorten. {{ inputbeispiel |Körper/Zwei Elemente/Beispiel|| }} Die folgenden Eigenschaften sind für den Körper der reellen Zahlen vertraut, wir beweisen sie aber allein aus den Axiomen eines Körpers, sie gelten daher für einen beliebigen Körper. {{ inputfaktbeweis2 |Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Exkurs: Widerspruchsbeweise}} Soeben haben wir einen Widerspruchsbeweis durchgeführt, dieses Argumentationsschema wollen wir kurz anhand von typischen Beispielen erläutern. {{:Widerspruchsbeweis/Quadtarwurzel 2 und Euklid/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Der Binomische Lehrsatz}} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} Man setzt {{ Ma:Vergleichskette |0! ||1 || || || |SZ=. }} {{:Binomialkoeffizienten/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} Die folgende Formel bringt die Addition und die Multiplikation miteinander in Beziehung. {{ inputfaktbeweis |Körper/Binomi/Fakt|Satz|| |zusatz2=Fußnote }} {{ inputbemerkung |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Bemerkung|| }} {{ inputbild |A plus b au carre|svg| 200px {{!}} left {{!}} |epsname=A_plus_b_au_carre |Autor= |Benutzer=Alkarex |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Binomio al cubo|svg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Binomio_al_cubo |Autor=Drini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Fußnotenliste}} }} csp6e9ps614efjkagivytvtitpp1ysy 106 118815 784506 728468 2022-08-22T06:20:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Vorlesungsgestaltung|22| {{ inputbeispiel |Obstsalat/Mineralien und Vitamine/Tabelle und Matrix/Lineares Gleichungssystem/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Matrizenkalkül}} Ein lineares Gleichungssystem lässt sich am einfachsten mit Matrizen schreiben. Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Variablen mitschleppen zu müssen. Matrizen {{ Zusatz/Klammer |text=und der zugehörige Kalkül| |ISZ=|ESZ= }} sind recht einfache Objekte; sie können aber ganz unterschiedliche mathematische Objekte beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=eine Familie von Spaltenvektoren, eine Familie von Zeilenvektoren, eine lineare Abbildung, eine Tabelle von Wechselwirkungen, ein Vektorfeld etc.| |ISZ=|ESZ=, }} die man stets im Hinterkopf haben sollte, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein. {{ inputdefinition |Matrizen/IxJ/nxm/Definition|| }} Wir beschränken uns weitgehend auf den durchnummerierten Fall. Zu jedem {{mathl|term=i \in I|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=i|SZ=-}}te {{Stichwort|Zeile|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als einen {{Stichwort|Zeilenvektor|SZ=}} {{ math/disp|term= (a_{i1}, a_{i2} {{kommadots|}} a_{in}) |SZ= }} schreibt. Zu jedem {{mathl|term=j \in J|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=j|SZ=-}}te {{Stichwort|Spalte|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als ein Spaltentupel {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_{1j}|a_{2j}|\vdots|a_{mj} }} |SZ= }} schreibt. Die Elemente {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißen die {{Stichwort|Einträge|SZ=}} der Matrix. Zu {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißt {{math|term=i|SZ=}} der {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} und {{math|term=j|SZ=}} der {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} des Eintrags. Man findet den Eintrag {{mathl|term=a_{ij}|SZ=,}} indem man die {{math|term=i|SZ=-}}te Zeile mit der {{math|term=j|SZ=-}}ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} nennt man eine {{Stichwort|quadratische Matrix|SZ=.}} Eine {{mathl|term=m \times 1|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Spaltentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Spaltenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=m|SZ=,}} und eine {{mathl|term=1 \times n|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Zeilentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Zeilenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=n|SZ=.}} Die Menge aller Matrizen mit {{math|term=m|SZ=}} Zeilen und {{math|term=n|SZ=}} Spalten {{ Zusatz/Klammer |text=und mit Einträgen in {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:Mat|n|m|K}}|SZ=}} bezeichnet, bei {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} schreibt man {{mathl|term={{op:Matq|n|K}}|SZ=.}} Zwei Matrizen {{ Ma:Vergleichskette |A,B |\in| {{op:Mat|n|m|K}} || || || |SZ= }} werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Element {{mathl|term=r \in K|SZ=}} (einem {{Stichwort|Skalar}}) komponentenweise definiert, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrixmn|a}} + {{op:Matrixmn|b}} || \begin{pmatrix} a_{11 } +b_{11} & a_{1 2} +b_{12} & \ldots & a_{1 n } +b_{1n} \\ a_{21 } +b_{21} & a_{2 2} +b_{22} & \ldots & a_{2 n } +b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } +b_{m1} & a_{ m 2 } +b_{m2} & \ldots & a_{ m n } +b_{mn} \end{pmatrix} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | r {{op:Matrixmn|a}} || {{op:Matrixmn|ra}} || || || |SZ=. }} Die Matrizenmultiplikation wird folgendermaßen definiert. {{ inputdefinition |Matrizenmultiplikation/Definition|| }} Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merk{{latextrenn|}}regel kann man das Schema {{ Ma:Vergleichskette/disp | (Z E I L E) {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} ||(ZS+EP+IA+L^2+ET) || || || |SZ= }} verwenden, das Ergebnis ist eine {{math|term=1 \times 1|SZ=-}}Matrix. Insbesondere kann man eine {{mathl|term=m \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Spaltenvektor der Länge {{math|term=n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge {{math|term=m|SZ=.}} Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren {{ Zusatz/Klammer |text=was nicht immer möglich ist| |ISZ=|ESZ= }} und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} (Z E I L E) || {{Op:Matrix55|SZ|SE|SI|SL|SE|PZ|PE|PI|PL|PE|AZ|AE|AI|AL|AE|LZ|LE|LI|L^2|LE|TZ|TE|TI|TL|TE}} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Diagonalmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinition |Einheitsmatrix/Definition|| }} Die Einheitsmatrix {{math|term=E_n|SZ=}} besitzt die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | E_n M || M || M E_n || || || |SZ= }} für eine beliebige {{mathl|term=n\times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=M|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume}} {{ inputbild |Vector Addition|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Addition von zwei Pfeilen {{math|term=a|SZ=}} und {{math|term=b|SZ=,}} ein typisches Beispiel für Vektoren. |Autor= |Benutzer=Booyabazooka |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der zentrale Begriff der linearen Algebra ist der Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/Direkt/Definition||zusatz1=Fußnote }} Die Verknüpfung in {{math|term=V|SZ=}} nennt man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition und die Operation {{ Ma:abb |name= |K \times V|V || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=.}} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|msw=Vektor|SZ=,}} und die Elemente {{ Ma:Vergleichskette |r | \in |K || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|Skalare|msw=Skalar|SZ=.}} Das Nullelement {{ Ma:Vergleichskette | 0 |\in|V || || || |SZ= }} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} heißt das inverse Element das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term=v|SZ=}} und wird mit {{math|term=-v|SZ=}} bezeichnet. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC|}} || || || |SZ= }} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0|SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{ Ma:Vergleichskette |K^0 ||0 || || || |SZ= }} auffassen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term=K^n|SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|a_1|a_2| \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektor {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2| \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_i | {{defeq}} | {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term=1|SZ=}} an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term=i|SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel|opt1=als additive Struktur|zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Untervektorräume}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|| }} Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} sind der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} und der gesamte Vektorraum {{math|term=V|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man spricht daher auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=}} des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. {{ inputbeispiel |Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel|| }} An diesem Beispiel kann man sich Folgendes klar machen: Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems über {{math|term=K|SZ=}} ist {{Anführung|in natürlicher Weise|SZ=,}} d.h. unabhängig von jeder Auswahl, ein Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term=n|SZ=}} die Anzahl der Variablen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Der Lösungsraum kann auch stets in eine {{Anführung|lineare Bijektion}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Isomorphie|}} | |ISZ=|ESZ= }} mit einem {{mathl|term=K^{d}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |d |\leq|n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gebracht werden, doch gibt es dafür keine natürliche Wahl. Dies ist einer der Hauptgründe dafür, mit dem abstrakten Vektorraumbegriff zu arbeiten anstatt lediglich mit dem {{math|term=K^n|SZ=.}} {{Fußnotenliste}} }} hpyl1rempa5gc21lgkdfalwmt69food 784510 784506 2022-08-22T06:20:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Vorlesungsgestaltung|22| {{ inputbeispiel |Obstsalat/Mineralien und Vitamine/Tabelle und Matrix/Lineares Gleichungssystem/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Matrizenkalkül}} Ein lineares Gleichungssystem lässt sich am einfachsten mit Matrizen schreiben. Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Variablen mitschleppen zu müssen. Matrizen {{ Zusatz/Klammer |text=und der zugehörige Kalkül| |ISZ=|ESZ= }} sind recht einfache Objekte; sie können aber ganz unterschiedliche mathematische Objekte beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=eine Familie von Spaltenvektoren, eine Familie von Zeilenvektoren, eine lineare Abbildung, eine Tabelle von Wechselwirkungen, ein Vektorfeld etc.| |ISZ=|ESZ=, }} die man stets im Hinterkopf haben sollte, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein. {{ inputdefinition |Matrizen/IxJ/nxm/Definition|| }} Wir beschränken uns weitgehend auf den durchnummerierten Fall. Zu jedem {{mathl|term=i \in I|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=i|SZ=-}}te {{Stichwort|Zeile|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als einen {{Stichwort|Zeilenvektor|SZ=}} {{ math/disp|term= (a_{i1}, a_{i2} {{kommadots|}} a_{in}) |SZ= }} schreibt. Zu jedem {{mathl|term=j \in J|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=j|SZ=-}}te {{Stichwort|Spalte|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als ein Spaltentupel {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_{1j}|a_{2j}|\vdots|a_{mj} }} |SZ= }} schreibt. Die Elemente {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißen die {{Stichwort|Einträge|msw=Eintrag|SZ=}} der Matrix. Zu {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißt {{math|term=i|SZ=}} der {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} und {{math|term=j|SZ=}} der {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} des Eintrags. Man findet den Eintrag {{mathl|term=a_{ij}|SZ=,}} indem man die {{math|term=i|SZ=-}}te Zeile mit der {{math|term=j|SZ=-}}ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} nennt man eine {{Stichwort|quadratische Matrix|SZ=.}} Eine {{mathl|term=m \times 1|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Spaltentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Spaltenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=m|SZ=,}} und eine {{mathl|term=1 \times n|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Zeilentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Zeilenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=n|SZ=.}} Die Menge aller Matrizen mit {{math|term=m|SZ=}} Zeilen und {{math|term=n|SZ=}} Spalten {{ Zusatz/Klammer |text=und mit Einträgen in {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:Mat|n|m|K}}|SZ=}} bezeichnet, bei {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} schreibt man {{mathl|term={{op:Matq|n|K}}|SZ=.}} Zwei Matrizen {{ Ma:Vergleichskette |A,B |\in| {{op:Mat|n|m|K}} || || || |SZ= }} werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Element {{mathl|term=r \in K|SZ=}} (einem {{Stichwort|Skalar}}) komponentenweise definiert, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrixmn|a}} + {{op:Matrixmn|b}} || \begin{pmatrix} a_{11 } +b_{11} & a_{1 2} +b_{12} & \ldots & a_{1 n } +b_{1n} \\ a_{21 } +b_{21} & a_{2 2} +b_{22} & \ldots & a_{2 n } +b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } +b_{m1} & a_{ m 2 } +b_{m2} & \ldots & a_{ m n } +b_{mn} \end{pmatrix} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | r {{op:Matrixmn|a}} || {{op:Matrixmn|ra}} || || || |SZ=. }} Die Matrizenmultiplikation wird folgendermaßen definiert. {{ inputdefinition |Matrizenmultiplikation/Definition|| }} Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merk{{latextrenn|}}regel kann man das Schema {{ Ma:Vergleichskette/disp | (Z E I L E) {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} ||(ZS+EP+IA+L^2+ET) || || || |SZ= }} verwenden, das Ergebnis ist eine {{math|term=1 \times 1|SZ=-}}Matrix. Insbesondere kann man eine {{mathl|term=m \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Spaltenvektor der Länge {{math|term=n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge {{math|term=m|SZ=.}} Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren {{ Zusatz/Klammer |text=was nicht immer möglich ist| |ISZ=|ESZ= }} und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} (Z E I L E) || {{Op:Matrix55|SZ|SE|SI|SL|SE|PZ|PE|PI|PL|PE|AZ|AE|AI|AL|AE|LZ|LE|LI|L^2|LE|TZ|TE|TI|TL|TE}} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Diagonalmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinition |Einheitsmatrix/Definition|| }} Die Einheitsmatrix {{math|term=E_n|SZ=}} besitzt die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | E_n M || M || M E_n || || || |SZ= }} für eine beliebige {{mathl|term=n\times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=M|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume}} {{ inputbild |Vector Addition|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Addition von zwei Pfeilen {{math|term=a|SZ=}} und {{math|term=b|SZ=,}} ein typisches Beispiel für Vektoren. |Autor= |Benutzer=Booyabazooka |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der zentrale Begriff der linearen Algebra ist der Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/Direkt/Definition||zusatz1=Fußnote }} Die Verknüpfung in {{math|term=V|SZ=}} nennt man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition und die Operation {{ Ma:abb |name= |K \times V|V || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=.}} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|msw=Vektor|SZ=,}} und die Elemente {{ Ma:Vergleichskette |r | \in |K || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|Skalare|msw=Skalar|SZ=.}} Das Nullelement {{ Ma:Vergleichskette | 0 |\in|V || || || |SZ= }} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} heißt das inverse Element das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term=v|SZ=}} und wird mit {{math|term=-v|SZ=}} bezeichnet. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC|}} || || || |SZ= }} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0|SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{ Ma:Vergleichskette |K^0 ||0 || || || |SZ= }} auffassen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term=K^n|SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|a_1|a_2| \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektor {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2| \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_i | {{defeq}} | {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term=1|SZ=}} an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term=i|SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel|opt1=als additive Struktur|zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Untervektorräume}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|| }} Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} sind der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} und der gesamte Vektorraum {{math|term=V|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man spricht daher auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=}} des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. {{ inputbeispiel |Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel|| }} An diesem Beispiel kann man sich Folgendes klar machen: Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems über {{math|term=K|SZ=}} ist {{Anführung|in natürlicher Weise|SZ=,}} d.h. unabhängig von jeder Auswahl, ein Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term=n|SZ=}} die Anzahl der Variablen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Der Lösungsraum kann auch stets in eine {{Anführung|lineare Bijektion}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Isomorphie|}} | |ISZ=|ESZ= }} mit einem {{mathl|term=K^{d}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |d |\leq|n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gebracht werden, doch gibt es dafür keine natürliche Wahl. Dies ist einer der Hauptgründe dafür, mit dem abstrakten Vektorraumbegriff zu arbeiten anstatt lediglich mit dem {{math|term=K^n|SZ=.}} {{Fußnotenliste}} }} njma4m29u1hnjmzxktwbauzyil8qbjg 106 118840 785216 627517 2022-08-22T08:04:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Arbeitsblattgestaltung|22| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Reihe und Spalte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixprodukt/2-i -1-3i -1 i 0 4-21 mal 1+i 1-i 2+5i/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixmultiplikation/e_i e_j/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Wirkungsweise auf Standardspalten und Standardzeilen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diagonalmatrix/Wirkungsweise/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diagonalmatrix/Lineares Gleichungssystem/Lösungsverfahren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Komplexe Matrizen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben. {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Assoziativität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Nicht kommutativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu einer Matrix {{math|term=M|SZ=}} bezeichnet man mit {{math|term=M^n|SZ=}} die {{math|term=n|SZ=-}}fache Verknüpfung {{ Zusatz/Klammer |text=Matrizenmultiplikation| |ISZ=|ESZ= }} mit sich selbst. Man spricht dann auch von {{math|term=n|SZ=-}}ten {{Stichwort/-|Potenzen|SZ=}} der Matrix. {{ inputaufgabe |Matrix/Potenzen/246/135/012/bis 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktionsmatrix/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Koordinatensystem/Orientierung/Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Koordinatensystem/Tupel/Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Koordinatensystem/Punkt/Operationen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebenes Koordinatensystem/Punkt/Gerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebenes Koordinatensystem/Punkte/Addition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zahlenraum/Vektorraum/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Produkt von zwei Vektorräumen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Allgemeines Distributivgesetz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorräume/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizen/2x2/Determinante 0/Kein Untervektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Vereinigung von Untervektorräumen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Abbildungsmenge nach K/Aufgabe|| }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Folgenmenge/R/Cauchyfolgen als Unterraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionenraum/Stetig/R/Unterraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionenraum/Differenzierbar/R/Unterraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionenraum/Monoton/R/Kein Unterraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/3-2i 1+5i 0 7i 2+i 4-i mal 1-2i -i 3-4i 2+3i 5-7i 2-i/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Obere Dreiecksmatrix/4/Nulldiagonale/Nilpotent/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenpotenzen/ab0d/Formel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/2/Wurzeln aus Einheitsmatrix/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Untervektorraum/Beispiele für zwei Axiome/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 8ady7le5jjq11nbvus3vajmb48octnu 0 118905 783254 756957 2022-08-22T02:58:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |x_1 {{kommadots|}} x_k |\in|R || || || |SZ= }} Elemente und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| x_1 {{plusdots|}} x_k |}}^n || \sum_{ r_1 {{plusdots|}} r_k {{=|}} n } {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1|r_k}} x_1^{r_1} \cdots x_k^{r_k} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 51e1cet352ivrxpc25v2tis7dbb2tuo 0 118952 779115 763239 2022-08-21T15:38:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiven Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der fünfelementigen Menge {{mathl|term= \{a,b,c,d,e\}|SZ=}} in die dreielementige Menge {{mathl|term= \{1,2,3\}|SZ=}} mit Hilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zur Bestimmung der Summe aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} betrachten wir zuerst die Indexmenge. Die möglichen Indextupel sind {{ mathkor|term1= (1,1,3) |und|term2= (1,2,2) |SZ=, }} jeweils mit drei Permutationen. Deshalb ist die Summe gleich {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \sum_{(r_1 ,r_2, r_3):\, r_1+r_2 + r_3 {{=|}} n,\, r_j \geq 1} {{op:Binomialkoeffizient|5|r_1 , r_2 , r_3}} || 3\cdot {{op:Binomialkoeffizient|5|3 , 1 , 1}} + 3 \cdot {{op:Binomialkoeffizient|5|1 ,2 , 2}} || 3 \cdot 20 + 3 \cdot 30 || 150 || |SZ=. }} Zur Bestimmung der Summe in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} betrachten wir wieder die Indextupel, wobei ähnlich wie soeben bis auf Permutationen die Summen {{ Ma:Vergleichskette |5 ||1+1+3 || 1+2+2 || || |SZ= }} möglich sind. Die zugehörigen Summanden hängen aber von den Permutationen ab. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |\sum_{(a_1 ,a_2, a_3):\, a_1+ a_2 + a_3 {{=|}} n,\, a_j \geq 1} 1^{a_1} 2^{a_2} 3^{a_3} || 1^1 \cdot 2^1 \cdot 3^3 + 1^1 \cdot 2^3 \cdot 3^1 +1^3 \cdot 2^1 \cdot 3^1 + 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^2 + 1^2 \cdot 2^1 \cdot 3^2 + 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^1 || 54 + 24 +6+36+ 18+12 || 150 || |SZ=. }} Die Summe aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{j {{=|}} 0}^3 (-1)^{3-j} {{op:Binomialkoeffizient|3|j}} j^5 || - 1 \cdot 0^5 + 3 \cdot 1^5 - 3 \cdot 2^5 + 3^5 || 3-96+243 || 150 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Anzahl von surjektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9zsjedan1asefh4y58dzu6lqmlu89z3 0 118980 781920 755816 2022-08-21T23:15:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Ma:Vergleichskette |n,k |\in|\N || || || |SZ= }} bezeichne {{mathl|term= {{op:Surjektionszahl|n|k}}|SZ=}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiven Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{math|term= n|SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= k|SZ=-}}elementige Menge. Zeige{{n Sie}}, dass die Rekursionsformel {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Surjektionszahl|n+1|k}} ||k \cdot {{op:Surjektionszahl|n|k}} + k \cdot {{op:Surjektionszahl|n|k-1}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lv169c9coye8aclzw1tdcb5t6921r3m 0 119027 780246 766941 2022-08-21T18:36:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und es sei {{math|term= V|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Verfeinerung| |Kontext=Partition| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Partitionen als Relation. Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung3 |Die Verfeinerung ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=.}} |{{math|term= V|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Was ist die inhaltliche Bedeutung des Infimums und des Supremums? |{{math|term= V|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkter Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2=Verbandstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} da9s3prkg5okgqaea3eomm5az52qc1b 0 119028 780244 766939 2022-08-21T18:36:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und es sei {{math|term= V|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Verband der Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Was sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Atome| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2=Verbandstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6qfbu5j0w5rrq8p82avyfou946ko8ao 0 119031 780247 766942 2022-08-21T18:36:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und es sei {{math|term= V|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Verband der Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Ist {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |komplementär| |Kontext=Verband| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Ist {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |distributiv| |Kontext=Verband| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Ist {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |boolesch| |Kontext=Verband| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2=Verbandstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ji63topftwkg7zepw2pk9hb6e9qbrqz 0 119032 780243 766938 2022-08-21T18:35:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{a,b,c,d\} || || || |SZ= }} und es sei {{math|term= V|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Verfeinerung| |Kontext=Partition| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Skizziere{{n Sie}} diese geordnete Menge. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2=Theorie der geordneten endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d9mwilil5yts9m7uiri07duagd6l8k7 0 119069 780302 766979 2022-08-21T18:45:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{math|term= \ell|SZ=-}}te Potenz zur {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=ungerichtet| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |vollständigen Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Knotenpunkten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7gjenz7c4ppto2aa14fpaiqfri46opz 0 119081 780322 767011 2022-08-21T18:49:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einem {{ Definitionslink |Prämath= |Sterngraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Blättern| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei zu Beginn ein Gerücht mit der Stärke {{math|term= 1|SZ=}} im Zentrum platziert. Wie sieht die Gerüchteverteilung nach {{math|term= \ell|SZ=}} Weitergabevorgängen aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qseod6slu8erhiuyrz0e2v4ykrf7trf 0 119096 779823 763769 2022-08-21T17:27:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} disjunkte Mengen und sei {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=. }} Dann erhält man auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |V | {{defeq|}} | A \uplus B || || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |bipartiten Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} indem man {{mathl|term= \{a,b\}|SZ=}} als Kante erklärt, falls {{ Ma:Vergleichskette |(a,b) |\in|R || || || |SZ= }} gilt. Dadurch entsteht auf {{math|term= V|SZ=}} eine symmetrische Relation allein dadurch, dass {{math|term= A|SZ=}} und {{math|term= B|SZ=}} feste Rollen in der Relation {{math|term= R|SZ=}} haben. Dies muss man sich klar machen, um vor Missverständnissen geschützt zu sein. Wenn beispielsweise {{math|term= A|SZ=}} eine Menge von Männern und {{math|term= B|SZ=}} eine Menge von Frauen ist und {{ Ma:Vergleichskette |(a,b) |\in|R || || || |SZ= }} bedeutet, dass {{math|term= a|SZ=}} Person {{math|term= b|SZ=}} nett findet, so bedeutet die Kante {{mathl|term= \{a,b\}|SZ=}} genau dies, dass {{math|term= a|SZ=}} die Person {{math|term= b|SZ=}} nett findet, nicht, dass sie sich gegenseitig nett finden. Dies gilt auch, wenn man die Kante als {{math|term= \{b,a\}|SZ=}} schreibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2=Theorie der Relationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oopuel7divli7ibyjjso5ipso3reoie 0 119107 780238 766931 2022-08-21T18:35:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Paarung| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |perfekt| |Kontext=Paarung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{ Definitionslink |Prämath= |maximal| |Kontext=Paarung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |optimal| |Kontext=Paarung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist, wenn dies für die Einschränkungen von {{math|term= P |SZ=}} auf jede {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponente| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 878fdk9hd1xpoxj194fbzgqyyu994x8 0 119123 780420 754620 2022-08-21T19:05:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathlist|term1= L ||term2= M |und|term3= N |SZ= }} Mengen und {{ Ma:abbele/disp |name=F |L|M |x|F(x) |SZ=, }} und {{ Ma:abbele/disp |name=G |M|N |y|G(y) |SZ=, }} {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= G \circ F |L|N || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung3 |Wenn {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, so ist auch {{mathl|term= G \circ F|SZ=}} injektiv. |Wenn {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, so ist auch {{mathl|term= G \circ F|SZ=}} surjektiv. |Wenn {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, so ist auch {{mathl|term= G \circ F|SZ=}} bijektiv. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gn4owdex3b2pcisnwbkzz0vzrs3q152 0 119168 778944 763138 2022-08-21T15:10:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |ortsunabhängige| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y' = 2 t^2-t+4 \text{ mit der Anfangsbedingung } y(2)= 7 |SZ=. }} Die Funktion {{mathl|term= 2 t^2-t+4 |SZ=}} besitzt die {{ Definitionslink |Prämath= |Stammfunktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|2|3}} t^3 - {{op:Bruch|1|2}} t^2 +4 t +c|SZ=}} mit einer beliebigen Konstanten {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|\R || || || |SZ=. }} Die Anfangsbedingung {{ Ma:Vergleichskette |y(2) ||7 || || || |SZ= }} führt auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|2|3}} \cdot 2^3 - {{op:Bruch|1|2}} \cdot 2^2 +4 \cdot 2 +c || {{op:Bruch|16|3}} - 2+ 8 +c || 7 || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |c || - {{op:Bruch|13|3}} || || || |SZ=. }} Somit ist die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) ||{{op:Bruch|2|3}} t^3 - {{op:Bruch|1|2}} t^2 +4 t - {{op:Bruch|13|3}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ortsunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9mh08eesgt70nbnrowt4s5v9ybqxu65 0 119172 780043 752313 2022-08-21T18:02:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |COVID-19-Germany|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Hbf878 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |COVID-19-Sweden|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Hbf878 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir versuchen, die Ausbreitung einer Virusinfektion wie bei den Wellen der Corona-Pandemie seit 2020 zu modellieren. Die Ausbreitung wird durch eine Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=y |\R|\R |t|y(t) |SZ=, }} beschrieben, wobei {{ Ma:Vergleichskette |t |\in|\R || || || |SZ= }} für die Zeit und {{mathl|term= y(t) |SZ=}} für die Gesamtanzahl der bis zum Zeitpunkt {{math|term= t|SZ=}} Infizierten {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Genesenen| |ISZ=|ESZ= }} angibt. Dies ist zunächst eine empirische Funktion, die man aus verschiedenen Gründen auch gar nicht genau kennt, insbesondere, da nicht jeder getestet wird. Man kann stattdessen auch die Entwicklung der bestätigt Infizierten betrachten. Diese empirische Funktion wird durch die Daten, die jeden Tag das Robert-Koch-Institut übermittelt, beschrieben, und ist so gesehen zunächst eine Abbildung von einer Anfangsmenge der natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=die ersten {{math|term= 100|SZ=}} Tage seit Ausbruch| |ISZ=|ESZ= }} in die natürlichen Zahlen, wobei jedem Tag die Anzahl der bis dahin Infizierten zugeordnet wird. Wenn man zu den Daten aus verschiedenen Ländern {{ Zusatz/Klammer |text=oder verschiedenen Wellen| |ISZ=|ESZ= }} den Verlauf skizziert, ergibt sich jeweils ein ähnliches Bild. Die Ausbreitung scheint einer Gesetzmäßigkeit zu folgen, die man in der {{Stichwort|mathematischen Modellierung|msw=Mathematische Modellierung|SZ=}} verstehen möchte. Das bedeutet {{ Zusatz/Klammer |text=in einem ersten Schritt| |ISZ=|ESZ=, }} dass man die empirische Funktion, also das vorliegende Datenmaterial, durch eine mathematische Funktion, also einen funktionalen Ausdruck, annähern möchte, um so den qualitativen und den quantitativen Verlauf der Ausbreitung zu verstehen und auch Extrapolationen {{ Zusatz/Klammer |text=Prognosen| |ISZ=|ESZ= }} formulieren zu können. Hierbei wird man den Definitionsbereich und den Wertebereich als die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Intervalle davon| |ISZ=|ESZ= }} und die Funktion als stetig oder differenzierbar ansetzen. Man kann mit verschiedenen Zeiteinheiten arbeiten und auch die Gesamtzahl absolut oder aber prozentual {{ Zusatz/Klammer |text=bezogen auf die Erdbevölkerung, ein Land, ... | |ISZ=|ESZ= }} angeben. So oder so ergibt sich, dass der Verlauf gut durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=Basis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschrieben werden kann, also von der Bauart {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |t|b^t |SZ=, }} mit einer Basis {{ Ma:Vergleichskette |b |>|1 || || || |SZ= }} ist. Welche Basis {{math|term= b|SZ=}} zu nehmen ist, hängt von der Skalierung und auch von länderspezifischen Gegebenheiten ab. Diese Basis ist äquivalent zum Verdoppelungszeitraum der Ausbreitung, man kann das eine aus dem andern berechnen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Exponentialfunktion/Verdoppelung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Diese Modellierung ist bisher aber nur die Beobachtung einer Übereinstimmung einer mathematischen Funktionsklasse mit empirischen Funktionen. In einem zweiten Schritt kann man sich fragen, ob es {{Anführung|in der Natur der Sache liegt|SZ=,}} dass die Ausbreitung eines Virus exponentiell verläuft. Gibt es einen mathematischen Grund dafür, eine innere Dynamik, eine zu jedem Zeitpunkt gültige Gesetzmäßigkeit, die den Verlauf erklären kann? Die Antwort zu dieser Frage erfolgt im Rahmen der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, und beruht auf einer einfachen Beobachtung. Wir nehmen die Funktion {{math|term= y(t) |SZ=}} als differenzierbar an. Die Ableitung {{math|term= y'(t) |SZ=}} beschreibt dann den momentanen Zuwachs zu jedem Zeitpunkt, ist also ein Maß für die Neuansteckungen. Der naheliegende Ansatz ist nun zu sagen, dass zu jedem Zeitpunkt die Anzahl der Infizierten, also {{math|term= y(t) |SZ=,}} proportional zur Anzahl der Begegnungen zwischen Infizierten und Nichtinfizierten ist und damit proportional zur Anzahl der Neuinfektionen, also zu {{math|term= y'(t) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für Einschränkungen zu dieser Überlegung siehe weiter unten| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt zur Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y'(t) || c y(t) || || || |SZ= }} mit einem konstanten Proportionalitätsfaktor {{math|term= c |SZ=,}} der ein Maß für die Ansteckungswahrscheinlichkeit ist und vom Virus, der Saison, vom Abstandsverhalten der Bevölkerung u. Ä. abhängt. Wir haben also eine Beziehung zwischen der gesuchten Funktion und ihrer Ableitung, die in jedem Moment gilt und für die Ausbreitung eines Virus charakteristisch sein sollte. Ein solcher Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung heißt eine {{Stichwort|gewöhnliche Differentialgleichung|SZ=.}} Wenn eine solche Differentialgleichung vorliegt, fragt man sich, welche Funktionen {{math|term= y(t) |SZ=}} diese Gleichung erfüllen. Dies ist im Allgemeinen schwierig. Im vorliegenden Fall lässt sich direkt durch Ableiten bestätigen, dass die Funktionen {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || a e^{ct} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | a |\in|\R || || || |SZ= }} Lösungen sind. Der Vorfaktor {{math|term= a|SZ=}} ist dabei durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |y(0) ||a || || || |SZ= }} festgelegt, also durch den Wert der Funktion zum Zeitpunkt {{math|term= 0|SZ=,}} und das {{math|term= c|SZ=}} im Exponenten ist direkt der Proportionalitätsfaktor aus der Differentialgleichung. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | a e^{ct} || e^{ {{op:ln|a|}} } e^{ct} || e^{ {{op:ln|a|}} + ct} || || |SZ= }} ist der Vorfaktor {{math|term= a|SZ=}} im Wesentlichen eine Verschiebung im Zeitargument, und {{math|term= c|SZ=}} kann man durch eine Umskalierung der Zeit zu {{math|term= 1|SZ=}} normieren. Man kann nun sogar zeigen, dass die Exponentialfunktionen die einzigen Funktionen sind, die diese Differentialgleichung erfüllen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Charakterisierung durch Ableitung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Differentialgleichung/y' ist cy/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dies bedeutet, dass eine Virusausbreitung durch den Faktor {{math|term= c|SZ=}} und dem Wert an einem einzigen Zeitpunkt eindeutig bestimmt ist. Dies ist ein Spezialfall des Satzes, dass ein Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung besitzt, von dem wir verschiedene Varianten kennenlernen werden. Kommen wir nun zu einigen Einschränkungen der oben formulierten Modellierung. Zunächst ist klar, dass die Exponentialfunktion zu jeder Basis {{ Ma:Vergleichskette |b |>|1 || || || |SZ= }} gegen unendlich geht, es aber nur endlich viele Menschen gibt. Also kann irgendwas nicht stimmen. Der Punkt ist, dass in unserer Modellierung die Anzahl der Infizierten zur Anzahl der Begegnungen von Infizierten mit der Gesamtbevölkerung proportional ist, aber nicht mit der Anzahl der Begegnungen mit den Nichtinfizierten. Dieser Unterschied ist zu Beginn der Ausbreitung unerheblich, da zu Beginn die Gesamtbevölkerung nahezu vollständig nicht infiziert ist. Im Verlauf der Epidemie, wenn sich der Durchseuchungsgrad erhöht, wird es zunehmend wahrscheinlicher, dass sich Infizierte und Infizierte begegnen, was zu keiner Neuansteckung führt. Ferner haben wir ignoriert, dass die Genesenen nicht mehr andere Leute anstecken können. Hier muss man den Unterschied zwischen infiziert und akut infiziert berücksichtigen. Dieser Unterschied ist für den Anfangsverlauf der Ausbreitung ebenfalls unerheblich, spielt aber im späteren Verlauf eine wichtige Rolle. Die Neuansteckung ist also proportional zur Anzahl der akut Infizierten, dies ist die Differenz zwischen der Gesamtinfiziertenzahl und der Gesamtinfiziertenzahl vor einem gewissen Genesungszeitraum {{math|term= d|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei Corona ca. {{math|term= 2-3|SZ=}} Wochen| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt auf die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |y'(t) || c (y(t) - y(t-d)) || || || |SZ=, }} man spricht von einer {{Stichwort|Differentialgleichung mit Verzögerung|SZ=,}} was wir nicht behandeln werden. Für den ersten Zeitraum der Länge {{math|term= d|SZ=}} nach Ausbruch spielt der Korrekturterm aber keine Rolle. Schließlich ist der Faktor {{math|term= c|SZ=}} keine Konstante, sondern wird durch politische Maßnahmen und Verhaltensregeln beeinflusst. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Differentialgleichung y'=ay |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gq13fr7nfy4u3bxhioryj3syenrh5hm 0 119226 781915 755814 2022-08-21T23:14:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= \ell |bzw.|term2= m |SZ= }} Elementen mit {{ Ma:Vergleichskette |\ell |\leq|m || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es {{math|term= m (m-1)(m-2) \cdots (m-\ell+1) |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektive Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7xvtyeqct3o5xlnqyngh0cslfvn5ohg 0 119834 780345 767105 2022-08-21T18:52:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge, {{ Ma:abb |name=f |M|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma || \Gamma_f |\subseteq| M \times M || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} den wir als {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} auffassen. {{ Aufzählung4 |Was bedeutet es für {{math|term= f|SZ=,}} dass {{math|term= \Gamma_f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Was bedeutet es für {{math|term= f|SZ=,}} dass {{math|term= \Gamma_f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Was bedeutet es für {{math|term= f|SZ=,}} dass {{math|term= \Gamma_f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Was bedeutet es für {{math|term= f|SZ=,}} dass {{math|term= \Gamma_f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |antisymmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? }} Man gebe jeweils Abbildungen aus der Analysis und der linearen Algebra an, die diese Relationseigenschaften jeweils erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Graphen einer Abbildung |Kategorie2=Theorie der Relationen auf einer Menge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1r0zvvmnb8hozeyag8tn3bq6qwpupzz 0 120024 780298 766973 2022-08-21T18:45:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{math|term= \R^2|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |minimalen| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Einheitskreises, versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |induzierten Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktordnung |Kategorie2=Theorie der Extrema von geordneten Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t0ef39hipmwq4eyvs95h8mybb7idx22 0 120025 780288 766958 2022-08-21T18:43:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \R^\N|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|\R^\N || || || |SZ= }} die Teilmenge aller {{ Definitionslink |Prämath= |konvergenten Folgen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |T| \R | {{op:Folge|x|}} | {{op:Folgenlimes|x|}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |ordnungstreu| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |ordnungsvolltreu| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen geordneten Mengen |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3vxhz2kfvlj7znbia6fbxypfjyw631b 0 120069 780290 766963 2022-08-21T18:43:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || {{op:Abbildungsmenge|\R|\R}} || || || |SZ= }} die Menge aller Abbildungen von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=.}} Wir definieren auf {{math|term= M|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f | \preccurlyeq |g || || || |SZ=, }} falls es ein {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) |\leq| g(x) || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq|a || || || |SZ= }} gilt. Welche Eigenschaften einer {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungsrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind erfüllt, welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} izn92eybac72k4t3035tliukejikn3m 0 120184 780232 766923 2022-08-21T18:34:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} eine positive natürliche Zahl und sei {{math|term= V|SZ=}} die Menge aller Teiler von {{math|term= n|SZ=,}} versehen mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |größten gemeinsamen Teiler| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Infimum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und dem {{ Definitionslink |Prämath= |kleinsten gemeinsamen Vielfachen| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Supremum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkter Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Charakterisiere{{n Sie}} die Zahlen {{math|term= n|SZ=,}} für die ein {{ Definitionslink |Prämath= |komplementärer Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. |Charakterisiere{{n Sie}} die Zahlen {{math|term= n|SZ=,}} für die ein {{ Definitionslink |Prämath= |distributiver Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} od2lmr88enubt00kgi8qemtdwaeaott 0 120204 780255 766952 2022-08-21T18:37:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:Vergleichskette |M || {{op:Potenzmenge|S|}} || || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die wir als {{ Definitionslink |Prämath= |kommutatives Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Durchschnitt als Verknüpfung auffassen. Es seien {{ Ma:Vergleichskette | A,B |\in| {{op:Potenzmenge|S|}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |B |\subseteq|A || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | B || B \cap A || || || |SZ=. }} |Es ist {{math|term= A|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Teiler| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=im monoidtheoretischen Sinn| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= B|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in kommutativen Monoiden |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} le2j0i5etnxdsk577zkagpfz00h0kro 0 120217 780227 766918 2022-08-21T18:33:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir versehen die zweielementige Menge {{mathl|term= \{0,1\}|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |0 |<|1 || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= S|SZ=}} eine Menge. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Verbandsstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Abbildungsmenge {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|S|\{0,1\} }} |SZ=}} im Sinne von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Menge/Total geordnete Menge/Abbildungen/Verband/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} als Verband {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Teilmengenverband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Potenzmenge|S|}}|SZ=}} ist. Was sind die {{Anführung|atomaren Funktionen|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der booleschen Verbände |Kategorie2=Theorie der Produktordnung |Kategorie3=Theorie der Potenzmenge als geordnete Menge |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ntjlseek9dujyn9gsd630ls596nlz6 0 120247 779204 691969 2022-08-21T15:52:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Anfangswertproblem {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|x|y}} ' || g(t,x,y) {{op:Spaltenvektor|3|1}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |g(t,x,y) || t(x+y) || || || |SZ= }} und dem Anfangsvektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|2|5}} |SZ=}} zum Zeitpunkt {{ Ma:Vergleichskette |t ||0 || || || |SZ=. }} Gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichungen/Konstante Richtung/R^n/Lösungsverfahren/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} müssen wir nach einer Lösung des eindimensionalen Anfangswertproblems {{ Ma:Vergleichskette/disp | z' || h(t,z) | {{defeq|}} | t( 2+ 3z + 5 + z ) || t(4z+7) || 4tz + 7t |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |z(0) ||0 || || || |SZ= }} suchen. Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung, die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ist {{mathl|term= e^{2t^2} |SZ=}} und die Lösungen sind {{ math/disp|term= - {{op:Bruch|7|4}} +c e^{2t^2} |SZ=. }} Um das Anfangswertproblem zu lösen muss man {{ Ma:Vergleichskette |c || {{op:Bruch|7|4}} || || || |SZ= }} nehmen. Deshalb ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma(t) || {{op:Spaltenvektor|2|5}} + {{makl| - {{op:Bruch|7|4}} + {{op:Bruch|7|4}} e^{2t^2} |}} {{op:Spaltenvektor|3|1}} || || || |SZ= }} die Lösung des Anfangwertproblems. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanter Richtung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dr9cbxkaow8hrzbrvhb7pd37ogpjyja 0 120251 779434 763530 2022-08-21T16:27:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' ||ty+1 || || || |SZ=. }} Die zugehörige homogene Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette |y' ||ty || || || |SZ= }} hat die Lösung {{ math/disp|term= e^{ {{op:Bruch|1|2}} t^2} |SZ=, }} somit sind nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Lösungen der inhomogenen Gleichung gleich {{mathl|term= c(t) e^{ {{op:Bruch|1|2}} t^2} |SZ=,}} wobei {{math|term= c(t)|SZ=}} eine Stammfunktion von {{mathl|term= e^{ - {{op:Bruch|1|2}} t^2} |SZ=}} ist. Diese Funktion ist aber nicht elementar integrierbar {{ Zusatz/Klammer |text=diese Funktion kommt auch beim sogenannten {{ Definitionslink |Prämath= |Fehlerintegral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5yq6lvk3jzftngs67x7qp0e3qgchfkl 0 120322 780289 766962 2022-08-21T18:43:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |idempotenten Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Ring {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|\R|\R}} |SZ=}} aller Funktionen von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die idempotenten Elemente im Ring {{mathl|term= C^0(\R,\R) |SZ=}} aller {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen Funktionen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Ringe von stetigen reellen Funktionen |Kategorie3=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bs4hneblnvuqsmyge4dw0mpci14rra9 0 120374 779161 763266 2022-08-21T15:45:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Rownia|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=4C |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wir stellen uns ihren Graphen als Profil vor, auf der sich ein Massekörper unter der konstanten Schwerkraft {{math|term= g|SZ=}} bewegt {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Reibungsverlust| |ISZ=|ESZ=, }} man spricht von einer {{Stichwort|geführten Bewegung|msw=Geführte Bewegung|SZ=.}} Die Schwerkraft wirkt nach unten, für die Beschleunigung in Richtung der {{math|term= x|SZ=-}}Achse ist aber nur die tangentiale Komponente des Kraftvektors verantwortlich. Der Kraftvektor ist also für jeden Punkt {{mathl|term= (x,f(x))|SZ=}} zu zerlegen in einen zur Tangente parallelen Anteil und einen dazu senkrechten Anteil {{ Zusatz/Klammer |text=letztere beschreibt die Kraft, die entgegengesetzt aufgewendet werden muss, dass die Bewegung in der vorgegebenen Bahn bleibt, sie ist für das Folgende unerheblich| |ISZ=|ESZ=. }} Dieses Kräftedreieck ist ähnlich zum Steigungsdreieck der Funktion in {{mathl|term= (x,f(x))|SZ=.}} Im Steigungsdreieck ist die Länge der horizontalen Komponente gleich {{math|term= 1|SZ=,}} die Länge der vertikalen Komponente gleich {{math|term= f'(x)|SZ=}} und die Hypotenuse hat die Länge {{mathl|term= \sqrt{1+f'(x)^2}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem Steigungswinkel {{math|term= \alpha|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/k |f'(x) || {{op:tan|\alpha|}} || || || |SZ=. }}| |ISZ=|ESZ= }} Im Kräftedreieck ist die Länge der Hypotenuse gleich {{math|term= g |SZ=,}} und wegen der Ähnlichkeit ergibt sich für die Stärke der tangentialen Kraft die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_{\operatorname{tang} } (x) || g {{op:Bruch|f'(x)| \sqrt{1+ f'(x)^2} }} || || || |SZ=. }} Vektoriell handel es sich um die Kraft {{ math/disp|term= -g {{op:Bruch|f'(x)| 1+ f'(x)^2 }} {{op:Spaltenvektor|1|- f'(x)}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=berechne dessen Norm| |ISZ=|ESZ=. }} Wir setzen die durch die Kraft bewirkte Bewegung {{ Zusatz/Klammer |text=eines Teilchens| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Graphen als {{ Ma:Vergleichskette/disp |h(t) ||{{op:Spaltenvektor|x(t)|f(x(t))}} || || || |SZ= }} an, wobei das Entscheidende in der ersten Komponente geschieht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen höherer Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hek962j6h4icp4al3l1qda0gwn09nhq 0 120401 779579 635753 2022-08-21T16:51:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Kraefte am Fadenpendel groß|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= Stündle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 1.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten ein Pendel. Das Pendel habe die Länge {{math|term= r|SZ=}} und sei im Punkt {{mathl|term= (0,r)|SZ=}} fest aufgehängt. Die Bahn des Pendels, also der Ort, wo der Endpunkt des Pendels schwingt, ist der Kreis mit diesem Mittelpunkt und dem Radius {{math|term= r|SZ=.}} Diese Bahn ist der Graph der Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) || r - \sqrt{r^2-x^2 } || || || |SZ=, }} und es handelt sich um eine geführte Bewegung im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Hier ist es einfacher, die Bewegungsgleichung nicht als {{math|term= x(t)|SZ=}} anzusetzen, sondern als eine Bedingung für den {{ Zusatz/Klammer |text=Ausschlags-| |ISZ=|ESZ= }} Winkel der Bewegung, also als {{math|term= \alpha(t)|SZ=,}} wobei der Winkel zwischen dem vertikalen Lot und dem Auslenkungsfaden gemessen wird. Es besteht der Zusammenhang {{ Ma:Vergleichskette/disp |x(t) || r {{op:sin|\alpha(t)||}} || || || |SZ=. }} Der Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} ist auch die Länge des Bogens, vom Tiefpunkt aus gemessen. Mit der Gravitationskraft {{math|term= g|SZ=}} ergibt sich die Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha^{\prime \prime} || - {{op:Bruch|g|r}} {{op:sin|\alpha|}} || || || |SZ=. }} Dies erhält man auch aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | f'(x) || {{op:Bruch|x| \sqrt{r^2-x^2}|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |f^{\prime \prime} (x) || {{op:Bruch|r^2| \sqrt{r^2-x^2}^3||}} || || || |SZ=. }} Die allgemeine Bewegungsgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^{\prime \prime} (t) || {{op:Bruch|-g f'(x(t)) - f'(x(t)) f^{\prime \prime} (x(t)) (x'(t))^2 | 1+f'(x(t))^2}} || || || |SZ= }} wird in diesem Fall zu {{ Ma:Vergleichskette/align | x^{\prime \prime} || {{op:Bruch|-g {{op:Bruch|x| \sqrt{r^2-x^2}||}} - {{op:Bruch|x| \sqrt{r^2-x^2} }} \cdot {{op:Bruch|r^2| \sqrt{r^2-x^2}^3||}} x'^2 | 1+ {{op:Bruch|x^2| r^2-x^2 }} }} || {{op:Bruch|-g x \sqrt{r^2-x^2} - x \cdot {{op:Bruch|r^2| r^2-x^2||}} x'^2 | r^2 }} ||- {{op:Bruch|g x \sqrt{r^2-x^2} | r^2 }} - \cdot {{op:Bruch|x x'^2 | r^2-x^2||}} || |SZ=. }} Mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |x(t) ||r {{op:sin|\alpha(t)|}} || || || |SZ= }} ist die linke Seite gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^{\prime \prime }(t) || {{makl| r {{op:sin|\alpha(t)|}} |}}^{\prime \prime } || r {{makl| {{op:cos|\alpha(t)|}} \cdot \alpha'(t) |}}^{\prime } || r {{makl| {{op:cos|\alpha(t)|}} \cdot \alpha^{\prime \prime} (t) - {{op:sin|\alpha(t)|}} \cdot \alpha'(t)^2 |}} || |SZ= }} und unter Verwendung von {{ Ma:Vergleichskette/disp | f'(x(t)) || {{op:Bruch| {{op:sin|\alpha(t)|}} | {{op:cos|\alpha(t)|}} }} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^{\prime \prime} (x(t)) || {{op:Bruch|r^2| \sqrt{r^2 - r^2 {{op:sin|\alpha(t) |pot=2}} }^3}} || {{op:Bruch| 1 | r {{op:cos|\alpha(t)|pot=3}} }} || || || |SZ= }} ist die rechte Seite gleich {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Bruch|-g f'(x(t)) - f'(x(t)) f^{\prime \prime} (x(t)) (x'(t))^2 | 1+f'(x(t))^2}} || {{op:Bruch|-g {{op:Bruch| {{op:sin|\alpha(t)|}} | {{op:cos|\alpha(t)|}} }} - {{op:Bruch| {{op:sin|\alpha(t)|}} | {{op:cos|\alpha(t)|}} }} \cdot {{op:Bruch| 1 | r {{op:cos|\alpha(t)|pot=3}} }} r^2 {{makl| {{op:cos|\alpha(t)|pot=2}} |}} \alpha'(t)^2 | 1+ {{op:Bruch| {{op:sin|\alpha(t)|pot=2}} | {{op:cos|\alpha(t)|pot=2}} }} }} || -g {{op:sin|\alpha(t)|}} {{op:cos|\alpha(t)|}} - r {{op:sin|\alpha(t)|}} \alpha'(t)^2 || || |SZ=. }} Der Term {{mathl|term= - r {{op:sin|\alpha(t)|}} \alpha'(t)^2 |SZ=}} kommt beidseitig vor, also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | r {{op:cos|\alpha(t)|}} \cdot \alpha^{\prime \prime} (t) || -g {{op:sin|\alpha(t)|}} {{op:cos|\alpha(t)|}} || || || |SZ= }} und Division durch {{math|term= r {{op:cos|\alpha(t)|}} |SZ=}} ergibt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha^{\prime \prime} (t) || - {{op:Bruch|g|r|}} {{op:sin|\alpha(t)|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der geführten Bewegung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0zdtgqm86unwy6bfdy64u7qti87c30p 0 120413 780344 766959 2022-08-21T18:52:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |]-1,1[ |\R |x|f(x) {{=|}} 1- \sqrt{1-x^2} |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f'|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} die zweite Ableitung {{math|term= f^{\prime \prime}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzelfunktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a6xfngozbng0wjgfta1c5gr1mso55id 0 120455 780064 635524 2022-08-21T18:05:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen wissen, wie viele Wörter {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von Buchstabenketten| |ISZ=|ESZ= }} man aus dem Wort {{Anführung|Homomorphismus}} bilden kann, derart, dass genau die vorgegebenen Buchstaben verwendet werden. Das Wort hat insgesamt {{math|term= 14|SZ=}} Buchstaben, dabei kommen {{math|term= m|SZ=}} und {{math|term= o|SZ=}} dreimal, {{ mathkor|term1= h |und|term2= s |SZ= }} zweimal und {{mathl|term= r,p,i,u|SZ=}} einmal vor. Somit gibt es {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Bruch|14!|3! 3! 2! 2!}} || {{op:Bruch|14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4|6 \cdot 2 \cdot 2}} || 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5 || || |SZ= }} Möglichkeiten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Multinomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1brn5j75tr6efpwj4s0h10og4cmw6uu 0 120485 782567 756341 2022-08-22T01:03:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} endlichdimensionale reelle Vektorräume, {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |U' |\subseteq|W || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |U|U' || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismus| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=F |I \times U|V |(t,x)|F(t,x) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= U|SZ=.}} Es sei {{math|term= G|SZ=}} das durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | G(t,y) | {{defeq}} | {{op:Totales Differential| \varphi| \varphi^{-1}(y)| F(t, \varphi^{-1} (y))}} || || || |SZ= }} definierte Vektorfeld auf {{math|term= U'|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |J|U || |SZ= }} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Lösung des Anfangswertproblems| |Kontext=System| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= x' = F(t,x) \text{ mit } x(t_0)=x_0 |SZ=, }} wenn {{mathl|term= \varphi \circ \alpha|SZ=}} eine Lösung des Anfangswertproblems {{ math/disp|term= y' = G(t,y) \text{ mit } y(t_0)= \varphi( x_0) |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6zt2il8bdgutxeei373o0d47dasgrrs 0 120546 779586 636002 2022-08-21T16:52:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Person {{math|term= A|SZ=}} will von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|0}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|-1|0}} |SZ=}} und Person {{math|term= B|SZ=}} will von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|0|1}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|0|-1}} |SZ=.}} Dabei ist die Abstandsbedingung von {{math|term= 1|SZ=}} einzuhalten, d.h. zu jedem Zeitpunkt muss der Abstand zwischen den beiden Personen zumindest {{math|term= 1|SZ=}} betragen. Die Bewegungen sollen gleichzeitig stattfinden und die Bewegung von {{math|term= B|SZ=}} soll die um {{math|term= 90|SZ=}} Grad gegen den Uhrzeigersinn gedrehte Bewegung von {{math|term= A|SZ=}} sein. Beide Personen sind also gleichberechtigt. Wir interessieren uns für die Länge des Weges, die die beiden Personen zusammen zurücklegen. {{ inputbild |Curveswithdistance1|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Bewegung von {{math|term= A|SZ=}} ist rot, die von {{math|term= B|SZ=}} ist blau, wo sich die Bewegungen zeitversetzt überschneiden, ist die Bewegung violett eingezeichnet. |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Die runde Verbindung. Wenn sie sich beide auf dem Kreis mit Radius {{math|term= 1|SZ=}} und dem Ursprung als Mittelpunkt bewegen, so halten sie konstant den Abstand {{math|term= \sqrt{2}|SZ=}} ein. Die Gesamtlänge des Weges beider Personen zusammen ist {{math|term= 2 \pi|SZ=.}} {{ inputbild |Curveswithdistance4|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Die eckige Verbindung. {{math|term= A|SZ=}} geht linear nach {{math|term= {{op:Spaltenvektor|0|1}} |SZ=}} und von dort zum Ziel, {{math|term= B|SZ=}} läuft über {{math|term= {{op:Spaltenvektor|-1|0}} |SZ=.}} Die Halbbewegung von {{math|term= A|SZ=}} wird somit durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma(t) || {{op:Spaltenvektor|1|0}} + t {{op:Spaltenvektor|-1|1}} || {{op:Spaltenvektor|1-t|t}} || || |SZ= }} beschrieben, die von {{math|term= B|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(t) || {{op:Spaltenvektor|0|1}} + t {{op:Spaltenvektor|-1|-1}} || {{op:Spaltenvektor|-t|1-t}} || || |SZ=. }} Der Abstandsvektor der beiden Punkte zum Zeitpunkt {{math|term= t|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|1-t|t}} - {{op:Spaltenvektor|-t|1-t}} || {{op:Spaltenvektor|1| 2t-1 }} || || || |SZ= }} mit dem Abstand {{math|term= \sqrt{2 -4t + 4t^2} |SZ=.}} Dieser ist stets {{math|term= \geq 1|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} genau gleich {{math|term= 1|SZ=.}} Die insgesamt zurückgelegte Strecke ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | 4 \sqrt{2} |\sim| 5,657 || || || |SZ=, }} was kleiner als {{math|term= 2 \pi|SZ=}} ist. Die gierige Strategie {{ inputbild |Curveswithdistance2|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Beide Personen laufen direkt auf ihr jeweiliges Ziel zu, bis sie zueinander den Abstand {{math|term= 1|SZ=}} haben, und gehen dann in eine Kreisbewegung über, bis sie diese auf ihrer Achse wieder verlassen. Der innere Kreis ist dabei durch die Radiusbedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2s^2 ||1 || || || |SZ= }} festgelegt, da ja die beiden um {{math|term= {{op:Bruch|\pi|2}} |SZ=}} gedrehten Punkte den Abstand {{math|term= 1|SZ=}} haben müssen. Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |s || {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} || || || |SZ=. }} Der Weg von {{math|term= A|SZ=}} besitzt somit die Länge {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2( 1 - {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} ) + {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} \pi || 2 + {{op:Bruch|1| \sqrt{2} }} ( \pi -2) |\sim| 2,801 || || |SZ=, }} der Weg der beiden Personen ist somit ungefähr {{mathl|term= 5,602|SZ=.}} Optimale Strategie {{ inputbild |Curveswithdistance3|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Der innere Kreis von eben wird beibehalten, man nähert sich ihm aber tangential an. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bd407b877npvwvgos2es2b4mlw43vgy 0 120659 780253 766950 2022-08-21T18:37:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term=K[X,Y,Z]/(X^3, Y^4,Z^2,X^2Y^3, X^2Z, Y^3Z, XYZ)|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |monomialen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X^3, Y^4,Z^2,X^2Y^3, X^2Z, Y^3Z, XYZ) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monomialen Ideale im Polynomring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j7qzxeqw0kr7q4lu5kz1ri6ltnd09v4 0 120764 780242 766937 2022-08-21T18:35:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen und es sei {{math|term= V|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Verfeinerung| |Kontext=Partition| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \preccurlyeq|SZ=}} von Partitionen als {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungsrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P_1 |\preccurlyeq|P_2 |\preccurlyeq| \ldots |\preccurlyeq| P_{s-1} |\preccurlyeq| P_s || |SZ= }} eine endliche Folge von Partitionen auf {{math|term= M|SZ=}} mit echten Verfeinerungen, die man weder nach links noch nach rechts noch im Innern verfeinern kann. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |s ||n || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen von endlichen Mengen |Kategorie2=Verbandstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4g43ftkqtcuxzpxh0kienisrd4f06xh 0 120767 780245 766940 2022-08-21T18:36:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge, {{math|term= P|SZ=}} und {{math|term= Q|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath= |Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zugehörigen surjektiven Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=f |M| {{Menge1k}} || |SZ= }} bzw. {{ Ma:abbele/disp |name=g |M| {{Menge1m}} || |SZ= }} im Sinne von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Endliche Menge/Partitionen/Surjektive Abbildungen/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Verfeinerung| |Kontext=Partition| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= Q|SZ=}} ist, wenn es eine Faktorisierung von {{math|term= g|SZ=}} über {{math|term= f|SZ=}} gibt, wenn es also eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=h | {{Menge1k|}} | {{Menge1m|}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |g || h \circ f || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxnqkz6b6hrv0twrhphel12v6q7bfwu 0 120774 780241 766936 2022-08-21T18:35:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{a,b,c,d,e,f,g,h\} || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || \{ \{a\}, \{b,e,h\}, \{c,g\}, \{d,f\} \} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Partition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Liste sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |Verfeinerungen| |Kontext=Partition| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= P|SZ=}} auf. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2=Theorie der geordneten endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1cukmrwe0zud7andhy8l9spyat6iqhv 0 120834 778761 762686 2022-08-21T12:50:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das Hauptideal {{math|term= Rf|SZ=}} ist das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |R|R |1|f |SZ=. }} Dieser wird unter einer Identifizierung {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z^n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also der Wahl einer {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} durch die zu {{math|term= f|SZ=}} gehörende Multiplikationsmatrix {{math|term= M_f|SZ=}} beschrieben. Es liegt insgesamt dias kommutative Diagramm {{Kommutatives Rechteck/24/ru|R|R|R/fR|0|\Z^n|\Z^n|\Z^n/ {{op:Bild|M_f|}} |0|abb12=\mu_f|abb56=M_f}} mit vertikalen Isomorpien vor. Die Determinante von {{math|term= M_f|SZ=}} ist die Norm von {{math|term= f|SZ=,}} und die Anzahl der Elemente in der Restklassengruppe {{math|term= R/fR|SZ=}} ist die Norm des Hauptideals. Daher folgt die Aussage aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ganzzahlige Matrix/Determinante/Restklassengruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ce3s1wrtoozwzd10j6fq7l3hqxerfuo 0 120856 778771 762692 2022-08-21T12:52:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|chinesischen Restsatz für Zahlbereiche|Faktseitenname= Zahlbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R/ {{ideala|}} || R/ {{idealp|}}_1^{r_1} {{timesdots}} R/ {{idealp|}}_k^{r_k} || || || |SZ= }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |N( {{ideala|}} ) || N( {{idealp|}}_1^{r_1} ) \cdots N( {{idealp|}}_k^{r_k} ) || || || |SZ=. }} Es ist also nur noch die Aussage für eine Primidealpotenz {{math|term= {{idealp|}}^r |SZ=}} zu zeigen. Dies geschieht durch Induktion über {{math|term= r|SZ=,}} wobei der Induktionsanfang klar ist. Es liegt wegen {{ Ma:Vergleichskette |{{idealp}}^{r+1} |\subseteq|{{idealp}}^{r} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{idealp}}^{r} / {{idealp}}^{r+1} | R/{{idealp}}^{r+1} |R/ {{idealp}}^{r} }} vor. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp}}^{r} / {{idealp}}^{r+1} || {{idealp}}^{r} R_{{idealp}} / {{idealp}}^{r+1} R_{{idealp}} || R_{{idealp}} / {{idealp}} R_{{idealp}} || R/ {{idealp}} || |SZ=. }} Deshalb ist {{ Ma:Vergleichskette/align | N ({{idealp}}^{r+1}) || {{op:Anzahl|R/ {{idealp}}^{r+1}|}} || {{op:Anzahl| {{idealp}}^{r} / {{idealp}}^{r+1}|}} \cdot {{op:Anzahl|R/ {{idealp}}^r|}} || {{op:Anzahl| R / {{idealp}}|}} \cdot {{op:Anzahl|R/ {{idealp}}^r|}} || N ({{idealp}}) \cdot N ({{idealp}})^r || N ({{idealp}})^{r+1} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kb0gfl4o6lvtgpj4fbvuam3euud0jzi 0 120868 778750 650829 2022-08-21T12:49:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es genügt zu zeigen, dass es zu einer natürlichen Zahl {{math|term= n|SZ=}} nur endlich viele Ideale {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} in {{math|term= R|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | N({{ideala}}) || n || || || |SZ= }} gibt. Sei also {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} ein solches Ideal. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| {{ideala}} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Ideal/Norm/Enthalten/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} und damit entspricht {{math|term= {{ideala}}|SZ=}} einem Ideal aus {{mathl|term= R/(n)|SZ=.}} Dieser Ring ist aber nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} endlich und besitzt somit überhaupt nur endlich viele Ideale. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlichkeit |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a0naxbayha5mqytuwz6aby0uhb7lbq0 0 120870 778764 762689 2022-08-21T12:51:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten die Abbildung {{ math/disp|term= \Z \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{ideala|}} |SZ=. }} Der Ring rechts hat nach Definition {{math|term= N( {{ideala|}} )|SZ=}} Elemente. Deshalb gehört diese Zahl zum Kern der Gesamtabbildung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3m6k2vq8exs3igga1w1wml5phs24bjf 0 120875 778772 674888 2022-08-21T12:52:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für das Nullideal ist die Aussage richtig, sei also {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden. Die zugehörige Idealklasse {{math|term= [ {{ideala|}} ]|SZ=}} besitzt aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} in der Idealklassengruppe endliche Ordnung, d.h., dass für ein {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | [ {{ideala|}}^n ] || [ {{ideala|}} ]^n || 0 || || |SZ= }} ist. Dies bedeutet aber gerade, dass {{math|term= {{ideala|}}^n |SZ=}} ein Hauptideal ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 489xp6rxnivnimdr0yasal02baqxhtl 0 120891 778773 762694 2022-08-21T12:52:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= {{idealc|}} |SZ=}} die Idealklasse. Die inverse Idealklasse {{math|term= {{idealc|}}^{-1} |SZ=}} sei durch das Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealb}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} repräsentiert, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Ideal/Element mit beschränkter Norm/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{idealb}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | N(f) | \leq | {{op:Bruch(|2|\pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag|\triangle|}} } N( {{idealb}} ) || || || |SZ=. }} Dann ist {{math|term= f \cdot {{idealb}}^{-1} |SZ=}} ein Ideal, da ja {{math|term= {{idealb}}^{-1} |SZ=}} alle Elemente aus {{math|term= {{idealb}}|SZ=}} nach {{math|term= R|SZ=}} multipliziert, und das {{math|term= {{idealc|}} |SZ=}} repräsentiert. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Idealnorm/Multiplikativ/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | N ( f \cdot {{idealb}}^{-1}) || N(f) N( {{idealb|}} )^{-1} |\leq| {{op:Bruch(|2|\pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag|\triangle|}} } N( {{idealb}} ) N( {{idealb|}} )^{-1} || {{op:Bruch(|2|\pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag|\triangle|}} } || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rbnhgttal9rl7f6b4ekv3ufa73kt7c0 0 120892 778763 762688 2022-08-21T12:50:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für jede Wahl von positiven reellen Zahlen {{math|term= d_\tau|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= \tau|SZ=}} die komplexen Einbettungen durchläuft, und wobei die Paarbedingung für nichtreelles {{math|term= \tau|SZ=}} gelte| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \prod_\tau d_\tau |>| {{op:Bruch(|2|\pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag|\Delta|}} } N( {{ideala||}} ) || || || |SZ= }} gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Ideal/Einbettungsbedingung/Element/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{ideala|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |f |\neq|0 || || || |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|\tau (f)||}} |<| d_\tau || || || |SZ= }} für jede komplexe Einbettung {{math|term= \tau|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|N(f)||}} || \prod_\tau {{op:Betrag|\tau(f) }} |<| \prod_\tau d_\tau || || |SZ=. }} Würde es kein {{math|term= f|SZ=}} mit Betragsnorm unterhalb {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich| |ISZ=|ESZ= }} der angegebenen Grenze geben, könnte man daraus direkt einen Widerspruch produzieren. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1tx9ts314mgnfd82e9tfzlc4u2tztj4 0 120958 779169 763271 2022-08-21T15:47:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || \Z[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1) || \Z[x] || || |SZ=. }} Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Sei zuerst {{ Ma:Vergleichskette |q ||5 || || || |SZ=. }} Hier ist über {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | (X-1) (X^4+X^3+X^2+X+1) || X^5-1 || (X-1)^5 || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-1)^4 || || || |SZ=. }} Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von {{math|term= (5)|SZ=}} und dessen Restklassenkörper ist {{math|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=,}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Trägheitsgrad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also {{math|term= 1|SZ=}} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsindex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{math|term= 4|SZ=.}} Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen {{ Ma:Vergleichskette |q |\neq|5 || || || |SZ= }} versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || x-x^2-x^3+x^4 || || || |SZ=. }} Eine direkte Rechnung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} zeigt {{ Ma:Vergleichskette |v^2 ||5 || || || |SZ=, }} d.h. es liegt ein Zwischenring {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z |\subset| \Z[ \sqrt{5} ] |\subset| \Z[ {{op:Bruch|1+ \sqrt{5}|2}} ] || \Z[x^3+x^2 ] ||S |\subset| \Z[x] || || |SZ= }} vor, wobei der Ganzheitsring zu {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bestimmt wurde. Für {{ Ma:Vergleichskette/disp |q || 1,4 \mod 5 || || || |SZ= }} ist {{math|term= 5|SZ=}} ein Quadrat modulo {{math|term= q|SZ=.}} Über diesen Primzahlen liegen in {{math|term= S|SZ=}} zwei Primideale, beide mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod|q|}} |SZ=}} und dem Trägheitsgrad {{math|term= 1|SZ=.}} Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad {{math|term= 2|SZ=.}} Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von {{math|term= q|SZ=}} ab. Bei {{ Ma:Vergleichskette |q ||11 || || || |SZ= }} sind {{math|term= 1,3,4,5,9|SZ=}} fünfte Einheitswurzeln in {{math|term= {{op:Zmod|11|}} |SZ=}} und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^4+X^3+X^2+X+1 ||(X-3)(X+2)(X-4)(X-5) || || |SZ=. }} Über {{math|term= (11)|SZ=}} liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad {{math|term= 1|SZ=.}} Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen {{math|term= q|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |q ||1 \mod 5 || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |q ||4 \mod 5 || || || |SZ= }} gibt es nur die {{math|term= 1|SZ=}} als fünfte Einheitswurzel und es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 +{{op:Bruch| \sqrt{5} + 1|2}} X+1 |}} {{makl| X^2 -{{op:Bruch| \sqrt{5} -1|2}} X+1 |}} || || || |SZ=, }} wobei für {{math|term= \sqrt{5}|SZ=}} eine Quadratwurzel von {{math|term= 5|SZ=}} aus {{mathl|term= {{op:Zmod|q|}} |SZ=}} einzusetzen ist. Bei {{ Ma:Vergleichskette |q ||19 || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette |9^2 ||5 || || || |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 +5 X+1 |}} {{makl| X^2 +15 X+1 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |q ||3 \mod 5 || || || |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 26cn22ad1ghrix81bfamt5f0p1eh0xy 0 121096 780306 766988 2022-08-21T18:46:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten die Zuordnung, die einem {{ Definitionslink |Prämath= |Weg| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m|SZ=}} die Kantenfolge {{mathl|term= \{ v_1, v_2\} {{kommadots|}} \{ v_{m-1}, v_m\} |SZ=}} zuordnet. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung nicht injektiv sein muss. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine Kantenfolge {{math|term= e_1,e_2,e_3|SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |e_1 \cap e_2 |\neq| \emptyset || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |e_2 \cap e_3 |\neq| \emptyset || || || |SZ=, }} die nicht als ein {{ Definitionslink |Prämath= |Weg| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} realisiert werden kann. | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6nazqr0i8t4mnrd6rpru5ddbppqrt16 0 121133 780097 752352 2022-08-21T18:10:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Q |\subseteq| \Q[ \sqrt[3]{2}] ||K |\subset|\R || || |SZ=. }} Der Ganzheitsring ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z[ \sqrt[3]{2}] |\cong| \Z[X]/(X^3-2) || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Das ist keine Galoiserweiterung, da das Polynom {{mathl|term= X^3-2|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und reell| |ISZ=|ESZ= }} nicht zerfällt. Oberhalb von {{math|term= (2)|SZ=}} liegt das einzige Primideal {{mathl|term= (X)|SZ=.}} Für eine ungerade Primzahl {{math|term= p|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |p || 2 \mod 3 || || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= p-1 |und|term2= 3 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und daher ist die dritte Potenz {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zmod|p|}} | {{op:Zmod|p|}} |z|z^3 |SZ=, }} eine Bijektion. Insbesondere besitzt die {{math|term= 2|SZ=}} eine eindeutig bestimmte dritte Wurzel {{math|term= a|SZ=}} und es gibt eine Faktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^3-2 || (X-a) (X^2+bX+c) || || || |SZ= }} in {{math|term= {{op:Zmod|p|}} [X] |SZ=,}} wobei der hintere Faktor {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Deshalb liegen über {{math|term= (p)|SZ=}} in der Erweiterung {{ Ma:Vergleichskette | \Z |\subseteq| \Z[ \sqrt[3]{2}] || || || |SZ= }} zwei Primideale, wobei deren Restekörper einerseits {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} und andererseits {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|p^2|}} |SZ=}} ist. Inssbesondere sind diese nicht zueinander isomorph. Bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||5 || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette/disp | 3^3 ||2 \mod 5 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^3-2 ||X^3+3 || (X+2)(X^2 + 3X + 4 ) || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \Z[ \sqrt[3]{2}] {{tensor|\Z}} {{op:Zmod|5|}} || \Z[X]/(X^3-2) {{tensor|\Z}} {{op:Zmod|5|}} || {{op:Zmod|5|}} [X]/(X^3-2) || {{op:Zmod|5|}} [X] /(X+2) \times {{op:Zmod|5|}} [X]/(X^2 + 3X + 4 ) |\cong|{{op:Zmod|5|}} \times {{op:Endlicher Körper|25|}} |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette/disp |p ||1 \mod 3 || || || |SZ= }} ist {{math|term= 3|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= p-1|SZ=}} und daher gibt es drei dritte Einheitswurzeln in {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=.}} Wenn die {{math|term= 2|SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} eine dritte Wurzel besitzt, so besitzt sie sogar drei dritte Wurzeln und die Faser zerfällt in drei Punkte, deren Restekörper {{math|term= {{op:Zmod|7|}} |SZ=}} sind. Wenn die {{math|term= 2|SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} keine dritte Wurzel besitzt, so besteht die Faser aus einem einzigen Punkt, dessen Restekörper der Körper mit {{math|term= p^3|SZ=}} Elementen ist. Sei {{ Ma:Vergleichskette |p ||7 || || || |SZ=. }} Dritte Einheitswurzeln sind {{math|term= 1,2,4|SZ=.}} Die andere dritte Potenz ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |6 ||3^3 ||5^3 ||6^3 || |SZ=. }} D.h. {{math|term= 2|SZ=}} ist keine dritte Potenz und {{mathl|term= {{op:Zmod|7|}}[X]/(X^3-2) |SZ=}} ist ein Körper mit {{math|term= 243|SZ=}} Elementen. Sei {{ Ma:Vergleichskette |p ||13 || || || |SZ=. }} Die dritten Einheitswurzeln sind {{math|term= 1, 3, 9|SZ=.}} Die weiteren dritten Potenzen sind {{mathl|term= -1=12, 8=2^3, 5=11^3|SZ=,}} die {{math|term= 2|SZ=}} ist also wieder keine dritte Potenz. Sei {{ Ma:Vergleichskette |p ||19 || || || |SZ=. }} Die dritten Einheitswurzeln sind {{math|term= 1, 7, 11 |SZ=.}} Die weiteren dritten Potenzen sind {{mathl|term= -1=18, 8=2^3, 7=4^3, 11= 5^3, 12= 10^3 |SZ=,}} die {{math|term= 2|SZ=}} ist also wieder keine dritte Potenz. Sei {{ Ma:Vergleichskette |p ||31 || || || |SZ=. }} Die dritten Einheitswurzeln sind {{math|term= 1, 5, 25 |SZ=.}} Hier ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 || 4^3 || 20^3 || 7^3 || |SZ=. }} D.h. es ist {{ Ma:Vergleichskette/align | \Z[ \sqrt[3]{2}] {{tensor|\Z}} {{op:Zmod|31|}} || \Z[ X]/(X^3-2) {{tensor|\Z}} {{op:Zmod|31|}} || {{op:Zmod|31|}} [ X]/(X^3-2) || {{op:Zmod|31|}} [ X]/(X-4)(X-7)(X-20) |\cong|{{op:Zmod|31|}} \times {{op:Zmod|31|}} \times {{op:Zmod|31|}} |SZ=, }} die Faser besteht also aus drei Punkten, die alle den Restekörper {{math|term= {{op:Zmod|31|}}|SZ=}} besitzen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Zahlbereich zur dritten Wurzel aus 2 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 77j1cju6tnxa0kl1sie7h8n01lnr5j5 0 121220 780362 767223 2022-08-21T18:55:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (V,E) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Baum| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zumindest zwei Knotenpunkten. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Blatt| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Graphen angenommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0rwgyfermjw3xl1z8rjdn2w55xlaa0g 0 121230 779626 751677 2022-08-21T16:59:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Ringerweiterung {{ Ma:Vergleichskette | \R[X] |\subset| {{CC|}} [X] || || || |SZ=. }} Auf der Ebene der {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} liegt die {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\R(X) |\subset| {{CC}}(X) || || || |SZ= }} vor, und {{math|term= {{CC|}}[X] |SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |ganze Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \R[X]|SZ=}} in {{math|term= {{CC}}(X) |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 0|SZ=}} von {{math|term= \R[X]|SZ=}} sind von der Form {{math|term= (X-a)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R || || || |SZ= }} oder von der Form {{mathl|term= (X^2+bX+c) |SZ=}} mit einem quadratischen Polynom ohne reelle Nullstelle. Die Restekörper in diesem zweiten Fall sind isomorph zu {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Die Primideale in {{math|term= {{CC|}}[X] |SZ=}} sind alle von der Form {{math|term= (X-a) |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| {{CC|}} || || || |SZ=. }} In der Erweiterung liegt über dem Primideal {{math|term= (X-a)|SZ=}} das entsprechende Ideal, dieses Ideal ist also {{ Definitionslink |Prämath= |unzerlegt| |Kontext=Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{math|term= 1|SZ=}} und die Restekörpererweiterung ist {{ Ma:Vergleichskette |\R |\subset| {{CC|}} || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Trägheitsgrad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also {{math|term= 2|SZ=.}} Zu einem Primideal {{mathl|term= (X^2+bX+c) |SZ=}} zu einem Polynom ohne reelle Nullstelle seien {{ mathkor|term1= z |und|term2= {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |SZ= }} die zueinander konjugierten komplexen Nullstellen. In {{math|term= {{CC|}}[X] |SZ=}} gilt die Idealzerlegung {{ Ma:Vergleichskette | (X^2+bX+c) || (X-z) (X- {{op:Komplexe Konjugation|z|}} ) || || || |SZ=. }} Die Verzweigungsordnungen sind also {{math|term= 1|SZ=}} und in den Restekörpern liegt ein Isomorphismus vor, die Trägheitsgrade sind also {{math|term= 1|SZ=.}} Diese Primideale sind {{ Definitionslink |Prämath= |voll zerlegt| |Kontext=Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über R |Kategorie2=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über C |Kategorie3=Theorie der Primidealzerlegung bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen |Kategorie4=Theorie der Körpererweiterung R in C |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} br4yc8jjfjpvagg4ofm5ffxlozpubn2 0 121315 780297 766972 2022-08-21T18:44:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Rundgang| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Knoten den {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a72tjtqpdlulg10q7no44yr0a0eel19 0 121321 780331 767032 2022-08-21T18:50:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Graphen mindestens so groß ist wie sein {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass der Durchmesser eines Graphen höchstens doppelt so groß ist wie sein Radius. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für jede natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} einen Graphen an, bei dem sowohl der Durchmesser als auch der Radius gleich {{math|term= n|SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} imqlhwp80wr7vba7evheb3o2wpnmenk 0 121322 780364 767226 2022-08-21T18:56:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (V,E) |SZ=,}} der kein {{ Definitionslink |Prämath= |Baum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dessen Knotenanzahl um {{math|term= 1|SZ=}} größer als seine Kantenanzahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Bäume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 685mdaegp7q8wk90f48p4k8qzlfxg6z 0 121324 780312 766997 2022-08-21T18:47:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Umfang| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Erreichbarkeitsgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Schachfigur Springer auf einem {{math|term= 4 \times 4|SZ=-}}Brett. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} adonqkdy57qqnhvth9t8dmamhc8y20q 0 121325 780311 766996 2022-08-21T18:47:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Umfang| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Erreichbarkeitsgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Schachfigur Läufer auf einem {{math|term= 4 \times 4|SZ=-}}Brett. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} exbsovs3gcstpmmzf8ezb5qq6dxsx8b 0 121329 779867 763803 2022-08-21T17:33:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Spielzuggraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Turmes auf dem Schachbrett und interessieren uns für die {{ Definitionslink |Prämath= |Spannbäume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} darauf. Beispielsweise gibt es lineare Spannbäume, man kann ja die erste Zeile ablaufen, an deren Ende vertikal zur zweiten Zeile überwechseln und diese rückwärts durchlaufen u.s.w. Man kann auch {{Anführung|eckig spiralförmig}} lineare Spannbäume angeben. Nichtlineare Spannbäume erhält man, wenn man eine Zeile linear durchläuft und an jeden Punkt der Zeile linear eine Spalte anhängt. Diese Spannbäume verfügen alle über {{math|term= 63|SZ=}} Kanten. Die angegebenen Bäume sind auch Spannbäume auf der gleichknotigen Menge, bei der nur geometrisch direkt {{ Zusatz/Klammer |text=vertikal oder horizontal| |ISZ=|ESZ= }} nebeneinander liegende Felder durch eine Kante verbunden sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 62slp4leluc2swzw608dsuag5bjcihp 0 121336 780310 766995 2022-08-21T18:47:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Spielzuggraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} zum Turm auf einem {{math|term= 3 \times 3|SZ=-}}Schachbrett. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Spannbäume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Spannbäume von {{math|term= G|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} accpwe54e9teagashot00i2zb5dy8qc 0 121339 780309 766993 2022-08-21T18:46:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Spielzuggraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} zum Läufer auf einem {{math|term= 4 \times 4|SZ=-}}Schachbrett. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Spannbäume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Spannbäume von {{math|term= G|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} he0vslivv6c0to5x9zkhicpk2d8w4gp 0 121346 780248 766943 2022-08-21T18:36:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf der Knotenmenge {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |linearer| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Multigraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} gegeben, wobei {{ mathbed|term= a_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} die Anzahl der Kanten zwischen {{ mathkor|term1= v_i |und|term2= v_{i+1} |SZ= }} sei {{ Zusatz/Klammer |text=und sonst gebe es keine Kanten| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |aufspannenden Bäume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} gleich {{mathl|term= a_1 \cdots a_{n-1}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2=Theorie der ungerichteten Multigraphen ohne Schleifen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ofkmdepn9k5tlqa251zcbqlgck8auem 0 121352 780305 766982 2022-08-21T18:46:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |vollständige Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Knoten. Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |aufspannenden Bäume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= G|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2=Theorie der vollständigen Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2plcfluqfs3phcwqql7uervl4x9wyt3 0 121359 780365 767227 2022-08-21T18:56:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |u,v |\in|G || || || |SZ= }} Knoten in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Baum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 35419|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= G|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Weg| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= u|SZ=}} nach {{math|term= v|SZ=}} der Länge {{mathl|term= 43425|SZ=}} gibt, aber keinen Weg der Länge {{mathl|term= 51796|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1hcxvp0h0xtjlig9r1dew9rgzseqp26 0 121367 780252 766949 2022-08-21T18:37:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f | \R^n | \R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomfunktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} im Nullpunkt {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m3vejnycl4aqjl07hk5aku5axufv7ka 0 121370 780320 767006 2022-08-21T18:48:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\R |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarmultiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | \R \times V| V |(s,v)|sv |SZ=, }} in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P || (s,v) || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|\varphi|P}} (t,w) ||tv+ sw || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6dn5x70wmaiwu79f3kq4g718odvjrc0 0 121372 780327 767020 2022-08-21T18:49:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\R |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abb |name=\varphi |G|W || |SZ= }} eine Abbildung und {{ Ma:abb |name=L |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 | {{math|term= \varphi|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=total R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= P|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |totalen Differential| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= L|SZ=.}} | Der {{ Definitionslink |Prämath= |Limes| |Kontext=abb mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|v|0, v \neq 0|}} \frac{\varphi(P+v) - \varphi(P) -L(v)}{ {{op:Norm|v|}} } |SZ= }} existiert und ist gleich {{math|term= 0|SZ=.}} |Der Limes {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|v|0, v \neq 0|}} \frac{ {{op:Norm|\varphi(P+v)-\varphi(P)-L(v)|}}}{ {{op:Norm|v|}} } |SZ= }} existiert und ist gleich {{math|term= 0|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} or4wy0b7biysz5dqs6lzyl6a3z8lqnl 0 121375 780095 763889 2022-08-21T18:09:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|\Z || || || |SZ= }} verschiedene quadratfreie Zahlen, sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subset|L || \Q[ \sqrt{a}, \sqrt{b} ] || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= 4|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | T || \Z [ \sqrt{a}, \sqrt{b} ] |\subseteq| S || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Z|SZ=}} in {{math|term= L|SZ=,}} wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen {{ mathkor|term1= T |und|term2= S |SZ= }} irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl {{math|term= p|SZ=.}} Der beschreibende Ring ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | T {{tensor|\Z}} {{op:Zmod|p|}} || \Z[X,Y]/(X^2-a,Y^2-b) {{tensor|\Z}} {{op:Zmod|p|}} || {{op:Zmod|p|}} [X,Y]/(X^2-a,Y^2-b) || || || |SZ=. }} Wir beschränken uns auf Primzahlen {{math|term= \geq 3|SZ=,}} die weder {{ mathkor|term1= a |noch|term2= b |SZ= }} teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} sind. Wenn {{math|term= a|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=entsprechend für {{math|term= b|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} ist, sagen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |a ||r^2 ||(-r)^2 || || |SZ=, }} so ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Zmod|p|}} [X,Y]/(X^2-a,Y^2-b) || {{op:Zmod|p|}} [X,Y]/((X-r)(X+r) ,Y^2-b) || ( {{op:Zmod|p|}} [Y]/(Y^2-b) ) [X]/((X-r)(X+r)) || ( {{op:Zmod|p|}} [Y]/(Y^2-b) ) \times ( {{op:Zmod|p|}} [Y]/(Y^2-b) ) || || |SZ=, }} wobei die letzte Identifizierung durch {{mathl|term= X \mapsto (r,-r )|SZ=}} gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und {{math|term= (p)|SZ=}} zerfällt in {{math|term= T|SZ=}} und dann auch in {{math|term= S|SZ=}} in zumindest zwei Primideale. Wenn hingegen sowohl {{ mathkor|term1= a |als auch|term2= b |SZ= }} Nichtquadrate in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}|SZ=}} sind, so ist das Produkt {{math|term= ab|SZ=}} ein Quadrat, sagen wir {{ Ma:Vergleichskette |ab ||s^2 ||(-s)^2 || || |SZ=. }} Dann gelten, da ja {{math|term= a|SZ=}} eine Einheit ist, in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} [X,Y] |SZ=}} die Idealgleichheiten {{ Ma:Vergleichskette/align | (X^2-a,Y^2-b) || (X^2-a, aY^2-ab) || (X^2-a, aY^2-s^2) || (X^2-a, X^2Y^2-s^2) || (X^2-a, (XY-s)(XY-s)) |SZ= }} und damit ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Zmod|p|}} [X,Y]/(X^2-a,Y^2-b) || {{op:Zmod|p|}} [X,Y]/(X^2-a, (XY-s)(XY-s)) || ( {{op:Zmod|p|}} [X]/(X^2-a) ) [Y ]/(XY-s)(XY-s) || ( {{op:Zmod|p|}} [X]/(X^2-a) ) [Y ]/ {{makl| Y- {{op:Bruch|s|X}} |}} {{makl| Y-{{op:Bruch|s|X}} |}} || ( {{op:Zmod|p|}} [X]/(X^2-a) ) \times ( {{op:Zmod|p|}} [X]/(X^2-a) ) || || |SZ=, }} es liegt also wieder ein Produktring vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Galoistheorie für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Idealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3=Theorie der biquadratischen Zahlbereiche |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jc969qqozl8cqusfv7e9ohfnxt0otwy 0 121381 778754 762681 2022-08-21T12:49:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} nicht verzweigt und sei {{math|term= {{idealq}}|SZ=}} ein Primideal oberhalb von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=.}} Nehmen wir an, dass {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} unzerlegt ist, dass also {{math|term= {{idealq}} |SZ=}} das einzige Primideal darüber ist. Dann liegt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein Gruppenisomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | G {{=}} {{op:Zerlegungsgruppe|G| {{idealq|}} }} | {{op:Galoisgruppe| {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} |{{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} }} || |SZ= }} vor. Da die Gruppe rechts nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körper/Endliche Erweiterung/Galois/Zwischenkörper/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zyklisch ist, ergibt sich ein Widerspruch zur Voraussetzung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ap28fpvlganymivsvfm039sgbl285m 0 121455 779571 751573 2022-08-21T16:50:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Simple paraboloid|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Babak. K. Shandiz |Domäne= |Lizenz=CC-by sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir zeigen direkt, dass die Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x,y) || x^2+y^2 || || || |SZ= }} im Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und zwar mit der Nullabbildung als totales Differential. Dazu muss man nur zeigen, dass in der Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |f( (0,0) + (x,y)) ||f(x,y) || x^2+y^2 || f(0,0) + 0 \cdot (x,y) + {{op:Norm|(x,y)|}} r(x,y) ||{{op:Norm|(x,y)|}} r(x,y) || |SZ= }} die Funktion {{mathl|term= r(x,y)|SZ=}} die verlangten Eigenschaften besitzt. Wegen {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|(x,y)|}} || \sqrt{x^2+y^2} || || || |SZ= }} ist aber {{ Ma:Vergleichskette |r(x,y) || {{op:Bruch|x^2+y^2|\sqrt{x^2+y^2}}} ||\sqrt{x^2+y^2} || || || |SZ= }} und diese Funktion ist stetig im Nullpunkt mit dem Wert {{math|term= 0|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lm0jt2ckq5n8bp6dc9726zmextknb0h 0 121624 778492 641099 2022-08-21T12:10:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Bei {{ Ma:Vergleichskette |w ||0 || || || |SZ= }} ist die Aussage richtig. Sei also {{ Ma:Vergleichskette |w |\neq|0 || || || |SZ= }} und damit auch {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|w|}} |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Damit hat man die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/align |0 |\leq| {{op:Skalarprodukt| v - \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}} }{ {{op:Norm|w|}}^2 } w| v - \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}} }{ {{op:Norm|w|}}^2 } w }} || {{op:Skalarprodukt|v|v}} - \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}} }{ {{op:Norm|w|}}^2 } {{op:Skalarprodukt|w|v}} - \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}} }{ {{op:Norm|w|}}^2 } {{op:Skalarprodukt|v|w}} + \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}} {{op:Skalarprodukt|v|w}} }{ {{op:Norm|w|}}^4 } {{op:Skalarprodukt|w|w}} || {{op:Skalarprodukt|v|v}} - \frac{ {{op:Skalarprodukt|v|w}}^2 }{ {{op:Norm|w|}}^2 } || |SZ=. }} Multiplikation mit {{mathl|term= {{op:Norm|w|}}^2 |SZ=}} und Wurzelziehen ergibt das Resultat. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g53j3u5vu7mf2srt1bmzxjdfatl6tgp 0 121636 782116 756004 2022-08-21T23:48:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7kba57gaa6vaa0mzb8pg9vog2fi482q 0 121800 780307 766989 2022-08-21T18:46:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Feld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Vektorfeld {{ Ma:Vergleichskette/disp |F {{op:Spaltenvektor|x|y}} || {{op:Spaltenvektor|ye^x| {{op:sin|y|}} }} || || || |SZ= }} auf {{math|term= \R^2|SZ=}} zum Weg {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[0,1]|\R^2 |t| {{op:Spaltenvektor|t|t^2}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4qf83j6emavgbweuiixz1w6cua7q33z 0 121801 780308 766990 2022-08-21T18:46:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Feld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Vektorfeld {{ Ma:Vergleichskette/disp |F {{op:Spaltenvektor|x|y}} || {{op:Spaltenvektor|y+e^x| {{op:sin|y|}} }} || || || |SZ= }} auf {{math|term= \R^2|SZ=}} zum Weg {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[0,1]|\R^2 |t| {{op:Spaltenvektor|t|t^2}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j3siuaff5w4ivah2klmexd5vuppk391 0 121850 780239 766932 2022-08-21T18:35:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für {{ Definitionslink |Prämath= |partiell differenzierbare| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktionen {{ Ma:abb |name={{{f|f}}} |\R^n|\R^m || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= {{{g|g}}} |\R^m|\R^k || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= {{{g|g}}} \circ {{{f|f}}} |SZ=}} nicht partiell differenzierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 29h5b8eb67y5463u3p2mp03cyhebuj6 0 121852 780240 766933 2022-08-21T18:35:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für {{ Definitionslink |Prämath= |partiell differenzierbare| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktionen {{ Ma:abb |name={{{f|f}}} |\R^n|\R^m || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= {{{g|g}}} |\R^m|\R^k || |SZ= }} derart, dass auch {{mathl|term= {{{g|g}}} \circ {{{f|f}}} |SZ=}} partiell differenzierbar ist, dass aber {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{Jak}({{{g|g}}} \circ {{{f|f}}} )_P || \operatorname{Jak}({{{g|g}}} )_{ {{{f|f}}}(P)} \circ \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || || |SZ= }} nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pezkcbd2pasaidr4btu4wa2v19pyumb 0 122066 780323 767012 2022-08-21T18:49:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq| {{KRC/{{{K|K}}}|}}^m || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |D | \subseteq | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offene Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und {{ Ma:abb |name={{{f|f}}} |G| {{KRC/{{{K|K}}}|}}^n || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= {{{g|g}}} |D| {{KRC/{{{K|K}}}|}}^k || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette | {{{f|f}}}(G) | \subseteq |D || || || || |SZ= }} gilt. Es sei weiter angenommen, dass {{math|term= {{{f|f}}}|SZ=}} und {{math|term= {{{g|g}}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbar| |Kontext={{{K|K}}} n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Zeige{{n Sie}}, dass auch {{mathl|term= g \circ f |SZ=}} stetig differenzierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (K) |Kategorie2=Theorie der höheren Richtungsableitungen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h2ztcvs7y9sr8p6hudha0y3471863ya 0 122227 780169 767283 2022-08-21T18:23:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} |SZ=}} eine Hintereinanderschaltung von {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |D_i || {{op:Partielle Ableitung||x_i}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} |}} {{makl| X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} |}} ||0 || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette | s_j |>| r_j || || || |SZ= }} für ein {{math|term= j |SZ=}} ist. |Zeige {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} |}} {{makl| X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} |}} || {{op:Bruch|r_1! \cdots r_n!|(r_1-s_1) ! \cdots (r_n-s_n)!}} X_1^{r_1-s_1} \cdots X_n^{r_n-s_n} || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette | s_j |\leq| r_j || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der höheren partiellen Ableitungen (R) |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7lg6ucpzrst88jv8w29g01zkuwducrf 0 122228 780170 767562 2022-08-21T18:23:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} |SZ=}} eine Hintereinanderschaltung von {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | D_i || {{op:Partielle Ableitung||x_i}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} |}} {{makl| X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} |}} {{op:Zeilenvektor|0|\ldots|0}} || 0 || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette | s_j |\neq| r_j || || || |SZ= }} für ein {{math|term= j |SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| D_1^{r_1} \cdots D_n^{r_n} |}} {{makl| X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} |}} {{op:Zeilenvektor|0|\ldots|0}} || r_1! \cdots r_n! || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der höheren partiellen Ableitungen (R) |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r80v07idg0fldgccxlme9kyzctd6q42 0 122332 780368 767233 2022-08-21T18:56:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |bipartiter Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette |V || A \uplus B || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Knotenüberdeckungszahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= G|SZ=}} durch das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimum| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Anzahl von {{math|term= A|SZ=}} und der Anzahl von {{math|term= B|SZ=}} beschränkt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hx720dc2sxb692mwuuz3tordmu05994 0 122417 780303 766980 2022-08-21T18:45:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |vollständige Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K_n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|3 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |hamiltonsch| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hamiltonkreise |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sn3qq1kujvdj54ic8mg6xk4axun39fd 0 122418 780304 766981 2022-08-21T18:46:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |vollständige Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K_4|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |eulersch| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der eulerschen Kantenzüge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7rgogau69wict2x5rufhjs0d8sdtgim 0 122453 782638 756412 2022-08-22T01:15:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |chromatische Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \chi(G)|SZ=}} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} die folgenden Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung5 |Ein Graph ist genau dann nicht leer, wenn seine chromatische Zahl {{math|term= \geq 1|SZ=}} ist. |Ein nichtleerer Graph besitzt genau dann die chromatische Zahl {{math|term= 1|SZ=,}} wenn er keine Kanten besitzt. |Ein Graph ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |bipartit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn seine chromatische Zahl {{math|term= \leq 2|SZ=}} ist. |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \chi(G) |\leq| {{op:Anzahl|V|}} || || || |SZ=. }} |Der {{ Definitionslink |Prämath= |vollständige Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K_n|SZ=}} besitzt die chromatische Zahl {{math|term= n|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kbt4fwtnujhnxc73782lolw6wg9or2p 0 122468 780361 767222 2022-08-21T18:55:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |chromatische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Baumes| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Knoten gleich {{mathl|term= X(X-1)^{n-1}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bäume |Kategorie2=Das chromatische Polynom |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6wjwxt3zml3s98j3d72gwf3h9x0tpv6 0 122652 780179 767415 2022-08-21T18:25:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} eine ebene Realisierung des {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 5|SZ=}} Punkten und {{math|term= 9|SZ=}} Kanten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} senl3an05qj6qm88f9u3u7a8v29tm65 0 122653 780180 767416 2022-08-21T18:25:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |zulässige Färbung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= 5|SZ=}} Punkten und {{math|term= 9|SZ=}} Kanten mit {{math|term= 4|SZ=}} Farben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Färbungen von planaren Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fyillzliz72822amxeysqxvu4x6g87m 0 122655 780045 752318 2022-08-21T18:02:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Prämath= |vollständige bipartite Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K_{3,3}|SZ=}} ist nicht planar. Er besitzt {{math|term= 6|SZ=}} Knotenpunkte und {{math|term= 9|SZ=}} Kanten. Wenn er planar wäre, so müsste es nach {{ Faktlink |Präwort=der|eulerschen Polyederformel|Faktseitenname= Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{math|term= 5|SZ=}} Gebiete geben. Jedes dieser Gebiete wird durch einen {{ Definitionslink |Prämath= |Kreis| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} berandet, und diese haben nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine gerade Länge. Deshalb liegen an jedes Gebiet zumindest {{math|term= 4|SZ=}} Kanten an. Da jede Kante nur an {{math|term= 2|SZ=}} Gebieten beteiligt ist, braucht man zumindest {{math|term= 10|SZ=}} Kanten, ein Widerspruch. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3q6rfeaawh6qio6qa0bpesvkb09xwq0 0 122680 778856 747980 2022-08-21T13:05:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung4 |Seien {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} äquivalent und {{ Ma:Vergleichskette |u |\in|[x] || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |x |\sim|u || || || |SZ= }} und nach der Transitivität auch {{ Ma:Vergleichskette |y |\sim|u || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |u |\in|[y] || || || |SZ=. }} Damit stimmen die Äquivalenzklassen überein. Die Implikation von der Mitte nach rechts ist klar, da wegen {{ Ma:Vergleichskette |x |\sim|x || || || |SZ= }} Äquivalenzklassen nicht leer sind. Sei nun {{ Ma:Vergleichskette | [x] \cap [y] |\neq| \emptyset || || || |SZ=, }} und sei {{math|term= z|SZ=}} ein Element im Durchschnitt. Dann ist {{ mathkor|term1= x \sim z |und|term2= y \sim z |SZ= }} und wegen der Transitivität ist {{ Ma:Vergleichskette |x |\sim|y || || || |SZ=. }} |Wegen der Reflexivität ist {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|[x] || || || |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette |M || \bigcup_{[x]\in M/\sim} [x] || || || |SZ=. }} Wegen Teil (1) ist die Vereinigung disjunkt. |Die Surjektivität ist klar aufgrund der Definition der Quotientenmenge, und da {{math|term= x|SZ=}} auf die Klasse {{math|term= [x] |SZ=}} geschickt wird. |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |q^{-1}([x]) || {{Mengebed|y \in M|q(y) {{=|}} [x]}} || {{Mengebed|y \in M|[y] {{=|}} [x]}} || {{Mengebed|y \in M|y \sim x}} || [x] |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 79agj2yjg2w95g6gtnmxsoe6xtlwwsu 0 122682 778857 762744 2022-08-21T13:05:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{ Ma:Vergleichskette | [x] |\in| M/\sim || || || |SZ= }} gegeben. Die einzige Möglichkeit für {{math|term= \overline{\varphi}|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette | \overline{\varphi}([x]) |{{defeq}}|\varphi(x) || || || |SZ= }} zu setzen. Es muss aber gezeigt werden, dass diese Abbildung überhaupt wohldefiniert ist, also unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist. Sei hierzu {{ Ma:Vergleichskette |[x] ||[y] || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |x |\sim|y || || || |SZ=. }} Dann ist nach der Voraussetzung an {{math|term= \varphi|SZ=}} aber {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(x) ||\varphi(y) || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2sz8kb7htj7083v9veb3ibeem1sbtlq 0 123076 779837 751960 2022-08-21T17:29:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die komplexen Zahlen {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und die offene Kreisscheibe {{mathl|term= {{op:Offener Ball|0|1}} |SZ=}} sind nicht {{ Definitionslink |Prämath= |biholomorph| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da jede {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= | {{CC|}} |{{op:Offener Ball|0|1}} || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Maximumsprinzip|Faktseitenname= Gebiet/Holomorphe Funktion/Maximumsprinzip/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konstant ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ji8vl32i18hbpir5gw9yba0slwiat2y 0 123109 779665 740802 2022-08-21T17:04:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{CC|}} |\subseteq| {{CC|}} \cup \{\infty\} || {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || || |SZ=. }} Jedes nichtkonstante Polynom {{math|term= p|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aufgefasst als holomorphe Funktion auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} besitzt die Eigenschaft, dass der Limes {{mathl|term= {{op:Funktionslimes| {{op:Betrag|z||}} |\infty | {{op:Betrag|p(z)|}}||}} |SZ=}} bestimmt gegen unendlich divergiert {{ Zusatz/Klammer |text=siehe den Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynom/Betrag nimmt Minimum an/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Somit ist jedes Polynom eine {{ Definitionslink |Prämath= |meromorphe Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der projektiven Geraden. Es folgt, dass überhaupt jede {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= P/Q |SZ=}} eine meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden definiert. D.h. der Körper der rationalen Funktionen {{math|term= {{CC|}} (T) |SZ=}} ist im Körper der meromorphen Funktionen auf der projektiven Geraden enthalten. In {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive Gerade/C/Meromorphe Funktion/Rational/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} werden wir sehen, dass hier sogar Gleichheit gilt. Es ist andererseits einfach, meromorphe und auch holomorphe Funktionen auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} anzugeben, die auf der projektiven Geraden nicht meromorph sind. Beispielsweise definieren die komplexe Exponentialfunktion oder die komplexe Sinusfunktion keine meromorphe Funktion auf {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=,}} da diese Funktionen für {{mathl|term= {{op:Betrag|z|}} \rightarrow \infty |SZ=}} kein einheitliches Limesverhalten haben {{ Zusatz/Klammer |text=also weder gegen eine feste Zahl noch gegen unendlich gehen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c5fx22mhzvzwxrp6t0xakix25p4dtld 0 123173 779712 751770 2022-08-21T17:11:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R_{\geq 0} |x|x^2 |SZ=, }} ist eigentlich und hat nur endliche Fasern, ist also {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=stetige Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Eigentlichkeit beruht hier darauf, dass kompakte Mengen in {{math|term= \R|SZ=}} oder in {{math|term= \R_{\geq 0}|SZ=}} beschränkt und abgeschlossen sind und dass Urbilder beschränkter Mengen unter der Quadrierungsabbildung wieder beschränkt sind. Wenn man beispielsweise die {{math|term= -1|SZ=}} aus dem Definitionsbereich herausnimmt, so geht die Eigentlichkeit verloren. Beispielsweise ist das Urbild der kompakten Teilmenge {{mathl|term= [0,1]|SZ=}} die Menge {{mathl|term= ]-1,1]|SZ=,}} die wegen der fehlenden Grenze links nicht mehr kompakt ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie2=Theorie der endlichen stetigen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} abw7iqbscc6zip7vw9moyj41bdwazzi 0 123213 779350 739221 2022-08-21T16:14:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |P,Q |\in| {{CC|}} [T] || || || |SZ= }} Polynome {{math|term= \neq 0|SZ=}} mit den Faktorzerlegungen {{ Ma:Vergleichskette |P || c \prod_{a \in A} (T-a)^{r_a} || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette |Q || d \prod_{a \in A} (T-a)^{s_a} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= A|SZ=}} eine endliche Menge sei, die alle Nullstellen von {{math|term= P|SZ=}} und von {{math|term= Q|SZ=}} umfasse. Dann ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= P/Q|SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hauptdivisor|P/Q|}} || \sum_{a \in A} ( r_a-s_a) \cdot a || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplexen rationalen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Divisoren auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aybzol45djgj4cdnqe7ehgnhmu6zxx4 0 123219 779660 739225 2022-08-21T17:04:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Identität auf der projektiven Geraden {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=,}} also die {{ Definitionslink |Prämath= |meromorphe Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= z|SZ=,}} besitzt den {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 0 - \infty|SZ=,}} wenn wir mit {{math|term= z|SZ=}} die Variable auf {{ Ma:Vergleichskette | {{CC|}} |\subset| {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} und mit {{math|term= \infty|SZ=}} den unendlich fernen Punkt bezüglich dieser Einbettung bezeichnen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der Divisoren auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l4gkcv8eyf8otw5lk2jixk80pmqvn1y 0 123232 779347 739416 2022-08-21T16:13:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die holomorphe Funktion {{ Ma:Vergleichskette |a_0(z) ||z || || || |SZ= }} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und dazu das Polynom {{mathl|term= t^n-z|SZ=.}} Das Nullstellengebilde {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V(t^n-z) |\subseteq| {{CC|}} \times {{CC}} || || || |SZ= }} ist überall glatt und steht direkt in einer Bijektion {{ Ma:abbele/disp |name= | {{CC|}} |V | t | (t^n,t) |SZ=, }} die biholomorph wird, wenn {{math|term= V|SZ=}} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Holomorphe zweite Projektion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} als eine riemannsche Fläche aufgefasst wird. Die Umkehrabbildung ist die zweite Projektion auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Das {{ Definitionslink |Prämath= |unverzweigte Nullstellengebilde| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{CC}} \setminus \{0\} |\cong| V \setminus \{0,0\} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Nullstellengebilde über einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cohmh04ka91jiq5fx9o4ma2ubzkqvje 0 123240 779345 763438 2022-08-21T16:13:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Cusp|svg| 230px {{!}} right {{!}} |Autor= |Benutzer=Satipatthana |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |a_0(z) ||z^3 || || || |SZ= }} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und dazu das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |t^2- a_0(z) || t^2-z^3 || || || |SZ=. }} Das Nullstellengebilde {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V(t^2-z^3) |\subset| {{CC|}} \times {{CC}} || || || |SZ= }} nennt man die {{Stichwort|Neilsche Parabel|SZ=.}} Die partiellen Ableitungen sind {{ mathkor|term1= 2t |bzw.|term2= 3z^2 |SZ=, }} somit ist {{math|term= (0,0)|SZ=}} der einzige singuläre Punkt und das {{ Definitionslink |Prämath= |glatte Nullstellengebilde| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |W || V \setminus \{ (0,0) \} || || || |SZ=. }} Zu {{ Ma:Vergleichskette |z |\neq|0 || || || |SZ= }} gibt es oberhalb von {{math|term= z|SZ=}} die beiden Punkte {{mathl|term= \pm \sqrt{z^3} |SZ=}} und daher stimmt das glatte Nullstellengebilde mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |unverzweigten Nullstellengebilde| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Nullstellengebilde über einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jn5mdtdtvkios9uq12os1awvxhdv9rh 0 123250 779340 739467 2022-08-21T16:12:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |a_0(z) ||z^2 || || || |SZ= }} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und dazu das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |t^2- a_0(z) || t^2-z^2 || (t-z)(t+z) || || |SZ=. }} Das Nullstellengebilde {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V(t^2-z^2) |\subset| {{CC|}} \times {{CC}} || || || |SZ= }} ist die Vereinigung von zwei komplexen Ebenen, die sich im singulären Punkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} kreuzen, es liegt das komplexe Achsenkreuz vor. Das {{ Definitionslink |Prämath= |glatte Nullstellengebilde| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |W || V \setminus \{ (0,0) \} || {{makl| {{CC|}} \setminus \{0\} |}} \uplus {{makl| {{CC|}} \setminus \{ 0\} |}} || || |SZ=, }} die disjunkte Vereinigung von zwei punktierten komplexen Zahlengeraden {{ Zusatz/Klammer |text=also Gaußsche Zahlenebenen| |ISZ=|ESZ= }} und ist insbesondere nicht {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängend| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies ist auch das {{ Definitionslink |Prämath= |unverzweigte Nullstellengebilde| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Nullstellengebilde über einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2vbmjbtt1d1m719rulab1t8lb3ywr2q 0 123271 778603 762518 2022-08-21T12:28:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir zeigen zunächst, dass in der Tat durch die Mengen {{ Ma:Vergleichskette/disp |(U,s) || {{Mengebed|(x,s_x) |x \in U}} || || || |SZ= }} eine Basis der Topologie vorliegt. Dazu ist zu zeigen, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung von solchen Mengen ist. Sei also {{ Ma:Vergleichskette | (x,r) |\in| (U,s) \cap (V, t) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |r |\in| {{op:Garbe|G|}}_x || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |s |\in|{{op:Garbe|G|U}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette |t |\in|{{op:Garbe|G|V}} || || || |SZ=. }} Hierbei gilt {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| U \cap V || || || |SZ=. }} Da {{ mathkor|term1= s |und|term2= t |SZ= }} beide auf {{math|term= r|SZ=}} einschränken, gibt es eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|W |\subseteq | U \cap V || || |SZ=, }} auf der {{ mathkor|term1= s |und|term2= t |SZ= }} gleich werden. Deshalb gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |(x,r) |\in| (W,s) |\subseteq| (U,s) \cap (V,t) || || |SZ=. }} Die Projektion {{math|term= p|SZ=}} ist stetig, da das Urbild von {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} offen gleich {{mathl|term= \bigcup_{s \in {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} }} } (U,s) |SZ=}} ist. Sei {{ Ma:Vergleichskette |(x,r) |\in|{{op:Garbe|G|}}^{\operatorname{et} } || || || |SZ= }} ein Punkt des Ausbreitungsraumes. Der Keim wird repräsentiert durch einen Schnitt {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| {{op:Schnitte| U|{{op:Garbe|G|}}| }} || || || |SZ= }} und somit gilt {{ Ma:Vergleichskette |(x,r) |\in|(U,s) || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass {{ Ma:abb |name=p |(U,s)|U || |SZ= }} ein Homöomorphismus ist. Die Surjektivität ergibt sich aus {{mathl|term= (x,s_x) \mapsto x|SZ=.}} Wenn {{ mathkor|term1= (x,r) |und|term2= (x',r') |SZ= }} zu {{mathl|term= (U,s)|SZ=}} gehören und beide auf den gleichen Punkt unter {{math|term= p|SZ=}} abbilden, so ist zunächst {{ Ma:Vergleichskette |x ||x' || || || |SZ= }} und dann auch {{ Ma:Vergleichskette |r ||r' || || || |SZ=, }} da ja beide Keime die Einschränkung von {{math|term= s|SZ=}} sind. Die Stetigkeit der Umkehrabbildung ergibt sich daraus, dass die offenen Teilmengen von {{mathl|term= (U,s) |SZ=}} die Form {{mathl|term= (U',s {{|}}_{U'}) |SZ=}} mit offenen Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette |U' |\subseteq|U || || || |SZ= }} besitzen und deren Bild gleich {{math|term= U'|SZ=}} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} omipnjjuqfpsssus8bup6qfy294vk6a 0 123275 778593 762501 2022-08-21T12:26:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten die natürliche Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} }} | {{Mengebed|h: U \rightarrow p^{-1}(U) \text{ stetig}| p \circ h {{=}} {{op:Identität|U|}}|}} || |SZ=, }} die einem {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} }} || || || |SZ= }} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=h |U| p^{-1}(U) |x|(x,s_x) |SZ=, }} zuordnet. Die Abbildung {{math|term= h|SZ=}} ist stetig, es liegt eine Homöomorphie zu {{math|term= (U,s) |SZ=}} vor. Die Injektivität der Gesamtabbildung folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Garbe/Schnitte/Gleichheit/Lokaler Test/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zum Nachweis der Surjektivität sei ein stetiges {{math|term= h|SZ=}} gegeben. Es wird also jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|U || || || |SZ= }} ein {{ Ma:Vergleichskette |h(x) |\in| {{op:Garbe|G|}}_x || || || |SZ= }} in stetiger Weise zugeordnet. Sei {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|U || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|V |\subseteq|U || || |SZ= }} eine offene Umgebung, auf der {{math|term= h(x) |SZ=}} durch den Schnitt {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| {{op:Schnitte|V| {{op:Garbe|G|}} }} || || || |SZ= }} repräsentiert werde. Dann ist {{mathl|term= (V,s) |SZ=}} eine offene Umgebung von {{mathl|term= (x,h(x)) |SZ=}} in {{math|term= {{op:Garbe|G|}}^{\operatorname{et} } |SZ=.}} Wegen der Stetigkeit von {{math|term= h |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |U_x | {{defeq}}| h^{-1}(V,s) || {{Mengebed|y \in U|h(y) \in V |s_y {{=|}} h(y) }} || || || |SZ= }} offen in {{math|term= X|SZ=.}} D.h. dass auf der offenen Umgebung {{math|term= U_x |SZ=}} von {{math|term= x|SZ=}} die Abbildung durch einen Schnitt der Garbe über {{math|term= U_x|SZ=}} gegeben ist. Die Abbildung {{math|term= h|SZ=}} wird also lokal um jeden Punkt durch einen Garbenschnitt repräsentiert und diese sind zueinander verträglich, da sie ja punktweise durch {{math|term= h|SZ=}} gegeben sind. Aufgrund der Definition einer Garbe rühren diese lokalen Schnitte von einem globalen Garbenschnitt über {{math|term= U|SZ=}} her. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} noqyjhpza1zszvtdj4dby8wj0gd3p45 0 123315 778660 762581 2022-08-21T12:36:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \varphi - {{Imaginäre Einheit||}} \circ \varphi \circ {{Imaginäre Einheit||}} |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \theta || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \varphi + {{Imaginäre Einheit||}} \circ \varphi \circ {{Imaginäre Einheit||}} |}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= {{Imaginäre Einheit||}} |SZ=}} hier jeweils als Multiplikation mit {{math|term= {{Imaginäre Einheit||}} |SZ=}} zu verstehen ist. Offenbar ist {{ Ma:Vergleichskette | \varphi || \psi + \theta || || || |SZ=, }} die {{math|term= \R|SZ=-}}Linearität der beiden Abbildungen ist ebenfalls klar. Die Linearität bzw. Antilinearität ist nur noch für die skalare Multiplikation mit {{math|term= {{Imaginäre Einheit||}} |SZ=}} nachzuweisen. Es ist einerseits {{ Ma:Vergleichskette/align | \psi ( {{Imaginäre Einheit||}} v) || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \varphi - {{Imaginäre Einheit||}} \circ \varphi \circ {{Imaginäre Einheit||}} }} ( {{Imaginäre Einheit||}} v) || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \varphi ( {{Imaginäre Einheit||}} v) - {{makl| {{Imaginäre Einheit||}} \circ \varphi \circ {{Imaginäre Einheit||}} |}} ( {{Imaginäre Einheit||}} v) }} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \varphi ( {{Imaginäre Einheit||}} v) + {{Imaginäre Einheit||}} \cdot \varphi ( v) }} || {{op:Bruch|{{Imaginäre Einheit||}}|2}} {{makl| \varphi (v) - {{Imaginäre Einheit||}} \cdot \varphi ( {{Imaginäre Einheit||}} v ) |}} || {{op:Bruch|{{Imaginäre Einheit||}}|2}} {{makl| \varphi - {{Imaginäre Einheit||}} \circ \varphi \circ {{Imaginäre Einheit||}} |}} (v) || {{Imaginäre Einheit||}} \psi(v) |SZ= }} und andererseits {{ Ma:Vergleichskette/align | \theta ( {{Imaginäre Einheit||}} v) || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \varphi + {{Imaginäre Einheit||}} \circ \varphi \circ {{Imaginäre Einheit||}} }} ( {{Imaginäre Einheit||}} v) || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \varphi ( {{Imaginäre Einheit||}} v) + {{makl| {{Imaginäre Einheit||}} \circ \varphi \circ {{Imaginäre Einheit||}} |}} ( {{Imaginäre Einheit||}} v) }} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| \varphi ( {{Imaginäre Einheit||}} v) - {{Imaginäre Einheit||}} \cdot \varphi ( v) }} ||- {{op:Bruch|{{Imaginäre Einheit||}}|2}} {{makl| \varphi (v) + {{Imaginäre Einheit||}} \cdot \varphi ( {{Imaginäre Einheit||}} v ) |}} || -{{op:Bruch|{{Imaginäre Einheit||}}|2}} {{makl| \varphi + {{Imaginäre Einheit||}} \circ \varphi \circ {{Imaginäre Einheit||}} |}} (v) || - {{Imaginäre Einheit||}} \theta(v) |SZ=. }} Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei {{ Ma:Vergleichskette | \varphi || \psi+\theta || \psi'+ \theta' || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi-\psi' || \theta - \theta' || || || |SZ= }} sowohl {{math|term= {{CC|}} |SZ=-}}linear als auch {{math|term= {{CC|}} |SZ=-}}antilinear, also die Nullabbildung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 86mpacu443v2jieddukmpj12n8apbvo 0 123360 779705 738712 2022-08-21T17:10:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |X || {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || {{CC|}} \setminus \{0\} || || |SZ=. }} Zur {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Exponentialfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:exp||}} | {{CC|}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || |SZ= }} gibt es lokal Umkehrfunktionen, die {{Stichwort|komplexe Logarithmen|msw=Komplexer Logarithmus|SZ=}} heißen. Die Existenz folgt aus {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz über die Umkehrabbildung|Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/K/Stetig differenzierbar/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} oder aus der lokalen Existenz für Stammfunktionen zu {{math|term= 1/w|SZ=.}} Auf einer offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} unterscheiden sich zwei Logarithmen um ein additives Vielfaches von {{mathl|term= 2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} Im Punkt {{math|term= 1|SZ=}} ist die Potenzreihe {{ math/disp|term= \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} {{op:Bruch|1|k}} (w-1)^{k} |SZ= }} die Taylorreihe eines Logarithmus mit Konvergenzradius {{math|term= 1|SZ=.}} Diese Potenzreihe lässt sich auf einfach zusammenhängendes {{math|term= U|SZ=}} eindeutig fortsetzen, aber nicht auf {{math|term= {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |SZ=.}} Die Fortsetzung auf {{mathl|term= {{CC|}} \setminus \R_{\leq 0} |SZ=}} nennt man auch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Zusammenhängende Überlagerung/Ein Punkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette/k | f || z || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gehen die verschiedenen Logarithmen in einem Punkt auseinander durch analytische Fortsetzung hervor. Mit jeder Umdrehung des Nullpunktes erreicht man eine Verschiebung des Logarithmus um {{math|term= 2 \pi {{Imaginäre Einheit}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Ausbreitungsraumes zur Strukturgarbe auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der komplexen Logarithmen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g0rewmrq1w9u0de9s3djlx6o4egwr0c 0 123435 778540 736613 2022-08-21T12:18:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (1). Jeder Tangentialvektor wird repräsentiert durch einen affin-linearen Weg {{mathl|term= z \mapsto \gamma(z) = P + z v|SZ=}} mit einem Vektor {{ Ma:Vergleichskette |v |\in| {{CC|}}^m || || || |SZ=, }} so dass wir zwischen diesen Vektoren und den durch sie definierten Tangentialvektoren hin- und herwechseln können. Für den zusammengesetzten Weg {{mathl|term= \varphi \circ \gamma |SZ=}} gilt nach der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | (T_P\varphi )( [\gamma ] ) || [ \varphi \circ \gamma ] || (\varphi \circ \gamma)'(0) || (D \varphi)_P \left( {{op:Totales Differential|\gamma|0|1}} \right) || {{op:Totales Differential|\varphi|P|v}} || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (2). Die Kettenregel angewendet auf {{ Zusatz/Klammer |text=wobei man eventuell {{math|term= B |SZ=}} und {{math|term= V |SZ=}} durch kleinere offene Mengen ersetzen muss| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= B \stackrel{ \alpha \circ \gamma}{ \longrightarrow} V \stackrel{ \beta \circ \varphi \circ \alpha^{-1} }{ \longrightarrow} W |SZ= }} liefert {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Totales Differential(| \beta \circ \varphi \circ \alpha^{-1} | \alpha(P)| (\alpha \circ \gamma)' (0) |}} || ( \beta \circ ( \varphi \circ \gamma) )'(0) || || || |SZ=, }} was gerade die Kommutativität des Diagramms ist. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (3). Die Aussage folgt aus (2) und der Linearität des {{ Definitionslink |totalen Differentials| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (4). Durch Übergang zu Karten folgt dies aus (2) und der Kettenregel. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (5) folgt aus (4) angewendet auf die Umkehrabbildung {{mathl|term= \varphi^{-1} |SZ=.}} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (6). Das Element {{ Ma:Vergleichskette |1 |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} ist als Tangentenvektor an einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|B || || || |SZ= }} als der Weg {{mathl|term= s \mapsto a+s |SZ=}} zu interpretieren. Bei {{ Ma:Vergleichskette |a ||0 || || || |SZ= }} ist dies der identische Weg. Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (T_0(\gamma))(1) || (T_0(\gamma))(\operatorname{Id}) || [\gamma \circ \operatorname{Id}] || [\gamma ] || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ipm2pjocd8q7nkdthn7bdiquf17kwbo 0 123683 784563 772595 2022-08-22T06:27:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} endlichdimensionale {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} offen und {{ Ma:abb |name=\varphi |G|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Abbildung| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Differentiationsprozess ordnet jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name={{op:Totales Differential|\varphi|P}} | V |W |v| {{op:Totales Differential|\varphi|P|v}} |SZ= }} zu. Insgesamt liegt also eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=D \varphi |G| {{op:Homomorphismen|V|W|Ring= {{KRC|}} }} || |SZ= }} vor, das ein neuartiges Objekt darstellt. Dies ist ein grundlegender Unterschied zur eindimensionalen Situation, wo die Ableitung einer Funktion wieder eine Funktion ist. Dieses neuartige Objekt erfassen wir mit einer neuen Definition. {{ inputdefinition |1-Form/K/Vektorräume/Definition|| }} Man spricht auch von einer {{Stichwort|Pfaffschen Form|msw=Pfaffsche Form|SZ=.}} Ein totales Differential, aufgefasst als eine Abbildung, die den Punkten der Definitionsmenge eine lineare Abbildung zwischen den umgebenden Vektorräumen zuordnet, ist also eine solche {{math|term= 1 |SZ=-}}Form. Der Homomorphismenraum ist dabei selbst ein Vektorraum über {{math|term= {{KRC|}} |SZ=,}} seine Dimension ist das Produkt der beiden Vektorraumdimensionen. Deshalb lassen sich auf eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Form Konzepte wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit u.s.w anwenden. {{ inputbemerkung |1-Form/K/Vektorräume/Stammform/Probleme/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der 1-Formen auf einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ndwvrmefu7e1jwrxvnvsu9tvreb5ojv 0 123695 780181 767417 2022-08-21T18:25:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f|SZ=}} von minimalem Grad mit {{ math/disp|term= f(0)=0,\, f(1) =1,\, f(2) = 3,\, f(3) = 6 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aycgkoc5t39yii16x6twtuc8i7ztwgc 0 123715 779183 763279 2022-08-21T15:49:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur konstanten Folge {{ Ma:Vergleichskette |a_n ||1 || || || |SZ= }} gehört als {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugende Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |geometrische Reihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sum_{n =0}^\infty z^n|SZ=.}} Diese stellt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf der offenen Einheitskreisscheibe die {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|1|1-z}} |SZ=}} dar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die geometrische Reihe |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kr9tispnv1swfsdtsk1zr1uxx0hq2m4 0 123718 779535 752638 2022-08-21T16:44:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Folge der natürlichen Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |a_n ||n || || || |SZ= }} gehört als {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugende Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Reihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sum_{n = 0}^\infty n z^n|SZ=.}} Diese Reihe ist gleich {{math|term= z|SZ=}} mal der Ableitung der geometrischen Reihe, also gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | z \cdot {{makl| \sum_{n {{=|}} 0}^\infty z^n |}}' || z \cdot {{makl| {{op:Bruch|1|1-z}} |}}' || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|1|1-z}} |}}' || {{op:Bruch|1|(1-z)^2}} || || || |SZ= }} stellt die erzeugende Funktion zu den natürlichen Zahlen die rationale Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|z|(1-z)^2}} |SZ=}} dar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oeqjc16gpar1mw8yjc7tzyozvogf1cc 0 123740 779644 649945 2022-08-21T17:02:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir werten {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für kleine Exponenten {{math|term= d|SZ=}} unter Verwendung der Bernoulli-Zahlen aus. Für {{ Ma:Vergleichskette |d ||1 || || || |SZ= }} liefert die Formel {{ Ma:Vergleichskette/align |\sum_{k {{=|}} 0}^{N-1} k || 0+1+2 {{plusdots}} (N-1) || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:Binomialkoeffizient|2|1}} B_{1} N^{1 } + B_0 N^2 |}} || - {{op:Bruch|1|2}} N +{{op:Bruch|1|2}} N^2 ||{{op:Bruch|1|2}} N(N-1) || |SZ=, }} was die Formel von Gauß für die Summe der ersten Zahlen ist, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |d ||2 || || || |SZ= }} liefert die Formel {{ Ma:Vergleichskette/align |\sum_{k {{=|}} 0}^{N-1} k^2 || {{op:Bruch|1|3}} \sum_{j {{=|}} 1}^{ 3} {{op:Binomialkoeffizient|3|j}} B_{3-j} N^{j } || B_2 N + B_1 N^2 + {{op:Bruch|1|3}} B_0 N^3 || {{op:Bruch|1|6}} N - {{op:Bruch|1|2}} N^2 + {{op:Bruch|1|3}} N^3 || {{op:Bruch|N (1-3N+2N^2 )|6}} || {{op:Bruch|N (N-1)( 2N-1) )|6}} |SZ=, }} vergleiche auch {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zweite Potenzsummen/Durch Induktion/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |d ||3 || || || |SZ= }} liefert die Formel {{ Ma:Vergleichskette/align | \sum_{k {{=|}} 0}^{N-1} k^3 || {{op:Bruch|1|4}} \sum_{j {{=|}} 1}^{ 4} {{op:Binomialkoeffizient|4|j}} B_{4-j} N^{j } || B_3 N + {{op:Bruch|3|2}} B_2 N^2 + B_1 N^3 + {{op:Bruch|1|4}} B_0 N^4 || {{op:Bruch|3|2}} \cdot {{op:Bruch|1|6}} N^2 - {{op:Bruch|1|2}} N^3 + {{op:Bruch|1|4}} N^4 || {{op:Bruch|1|4}} N^2 {{makl| 1 -2N +N^2 |}} || {{op:Bruch(|N(N-1)|2}}^2 |SZ=, }} vergleiche auch {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Dritte Potenzsummen/Durch Induktion/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7b4dcygwjrnh47r0pir2iu5838bc29w 0 123837 778778 762698 2022-08-21T12:53:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung3 |Für {{math|term= L|SZ=}} liegt die Faktorisierung {{math/disp|term= {{op:Einheiten|R|}} \stackrel{ {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} }{ \longrightarrow} \Gamma \setminus \{0\} \stackrel{\ell}{ \longrightarrow} \R^{r+s} |SZ=}} vor. Ein Element {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|{{op:Einheiten|K|}} || || || |SZ= }} wird genau dann unter {{math|term= L|SZ=}} auf den Nullvektor abgebildet, wenn {{math|term= \tau(f)|SZ=}} in jeder reellen oder komplexen Komponente den Betrag {{math|term= 1|SZ=}} besitzt. Diese Elemente liegen somit alle in einer {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkten| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge von {{math|term= \R^r \times {{CC}}^s |SZ=}} aber ja auch im Gitter {{math|term= \Gamma |SZ=.}} Daher ist diese Menge endlich und daher ist wegen der Injektivität von {{math|term= \tau |SZ=}} auch die zugrunde liegende Menge in {{math|term= R|SZ=}} endlich. Also haben diese Elemente endliche {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sind {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Umgekehrt ist ein Torsionselement der Einheitengruppe von {{math|term= R|SZ=}} in jeder Einbettung ein Torsionselement und hat daher den Betrag {{math|term= 1|SZ=,}} wird also unter {{math|term= L|SZ=}} auf {{math|term= 0|SZ=}} abgebildet. |Sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{op:Einheiten|R|}} || || || |SZ= }} eine Einheit und sei {{math/disp|term=( \rho_1(f) {{kommadots|}} \rho_r(f); \sigma_{r+1} (f), {{op:Komplexe Konjugation|\sigma_{r+1}|}} (f) {{kommadots|}} \sigma_{r+s} (f), {{op:Komplexe Konjugation|\sigma_{r+s}|}} (f) |SZ=}} das totale komplexe Einbettungstupel. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Norm von {{math|term= f|SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \rho_1(f) \cdots \rho_r(f) \sigma_{r+1} (f) \cdot {{op:Komplexe Konjugation|\sigma_{r+1}|}} (f) \cdots \sigma_{r+s} (f) \cdot {{op:Komplexe Konjugation|\sigma_{r+s}|}} (f) || \rho_1(f) \cdots \rho_r(f) {{op:Betrag|\sigma_{r+1} (f)|}}^2 \cdots {{op:Betrag|\sigma_{r+s} (f)||}}^2 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Element/Einheit/Norm/Z/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der Betrag davon gleich {{math|term= 1|SZ=.}} Unter der komponentenweise genommenen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:ln(| {{op:Betrag| - |}} |}} | {{makl| {{op:Einheiten|\R|}} |}}^r \times {{makl| {{op:Einheiten|{{CC}} }} |}}^{2s} | \R^r \times \R^{2s} || |SZ= }} wird dieses Produkt auf die Summe abgebildet, somit gilt {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \sum_{j {{=}} 1}^r {{op:ln| {{op:Betrag| \rho_j(f) }}|}} + \sum_{i {{=}} 1}^s {{op:ln| {{op:Betrag|\sigma_{r+i} (f)|}} }} + \sum_{i {{=}} 1}^s {{op:ln| {{op:Betrag| {{op:Komplexe Konjugation| \sigma_{r+i}|}} (f)|}} }} || \sum_{j {{=}} 1}^r {{op:ln| {{op:Betrag| \rho_j(f) }}|}} + 2 \sum_{i {{=}} 1}^s {{op:ln| {{op:Betrag|\sigma_{r+i} (f)|}} }} || 0 || || |SZ=. }} Die letzte Gleichung bedeutet gerade, dass {{math|term= L(f) |SZ=}} auf der Hyperebene {{math|term= H|SZ=}} liegt. |Es ist zu zeigen, dass das Bild {{mathl|term= L( {{op:Einheiten|R|}} ) |SZ=}} mit jeder beschränkten Teilmenge von {{math|term= H |SZ=}} einen endlichen Durchschnitt besitzt. Das Urbild einer beschränkten Teilmenge unter {{math|term= \ell |SZ=}} ist aber auch beschränkt, und der Durchschnitt mit dem Gitter {{math|term= \Gamma |SZ=}} ist endlich. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8e0f957am12yzuvlzt39zzpincvt2sc 0 123847 779736 763730 2022-08-21T17:15:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In {{math|term= \Z[\sqrt{2}]|SZ=}} ist wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | (1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) || 1-2 ||-1 || || |SZ= }} das Element {{mathl|term= 1 + \sqrt{2}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Erste Komponente minimal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} handelt es sich um die eindeutig bestimmte Fundamentaleinheit {{math|term= > 1|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(2)) |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1zsrzstmz3x2f380e5ivif8gq6sxfl 0 123850 779167 763269 2022-08-21T15:46:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der fünfte Kreisteilungskörper {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp | K_5 |\cong| \Q[X]/{{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} und die komplexen Einbettungen sind durch {{mathl|term= X \mapsto e^{j 2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} /5} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |j ||1,2,3,4 || || || |SZ= }} gegeben, wobei die Einbettungen zu {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 4 |SZ= }} und zu {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 3 |SZ= }} zueinander komplex-konjugiert sind. Es gibt keine reelle Einbettung und es ist {{ Ma:Vergleichskette |r ||0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |s ||2 || || || |SZ=. }} Der Rang der Einheitengruppe ist also {{math|term= 1|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette | \Q |\subset |\Q[\sqrt{5}] |\subset |K_5 || || |SZ= }} gibt es einen reellen Zwischenkörper und dieser enthält auch schon eine Einheitengruppe vom Rang {{math|term= 1|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1+ \sqrt{5}|2}} || x^4+x+1 || - x^2-x^3 || || |SZ= }} und wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1+ \sqrt{5}|2}} \cdot {{op:Bruch|1- \sqrt{5}|2}} || -1 || || || |SZ= }} ist dies eine Einheit im quadratischen Zahlbereich zu {{math|term= 5|SZ=,}} und zwar nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Erste Komponente minimal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentaleinheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= >1|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d5vr9r3eq0hdvyjvseim0cygbfmozz4 0 123853 778779 762699 2022-08-21T12:53:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R/(a)|SZ=}} ist endlich nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Hauptideal zu ganzer Zahl/Norm/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Hauptideal/Norm/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wir behaupten, dass Elemente aus der gleichen Nebenklasse zu {{math|term= R/(a)|SZ=,}} die beide die Norm {{math|term= a|SZ=}} besitzen, zueinander assoziiert sind {{ Zusatz/Klammer |text=für die {{math|term= f_j|SZ=}} wählen wir zu jeder Nebenklasse von {{math|term= R/(a)|SZ=}} einen Repräsentanten mit Norm {{math|term= a|SZ=}} aus, falls es überhaupt ein solches Element gibt| |ISZ=|ESZ=. }} Seien dazu {{ Ma:Vergleichskette |f,g,h |\in|R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f ||g+ah || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette |N(f) ||N(g) ||a || || |SZ=. }} Dann ist in {{math|term= Q(R)|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|f|g}} || {{op:Bruch|g+ah|g}} || 1 +a {{op:Bruch|h|g}} || 1 + {{op:Bruch|N(g) |g}} h || |SZ= }} und dies gehört zu {{math|term= R|SZ=,}} da {{math|term= {{op:Bruch|N(g) |g}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Element/Hauptideal/Norm/Enthalten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu {{math|term= R|SZ=}} gehört. Dies gilt auch, wenn man die Rollen von {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} vertauscht. Also teilen sich {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} gegenseitig und sind daher assoziiert. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 47kg6pxcuh2ef7wen34m14hsb671z85 0 123858 778759 762684 2022-08-21T12:50:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |d ||r+2s || || || |SZ= }} der Grad der Körpererweiterung. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gehört {{mathl|term= {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} (u) |SZ=}} zu einer Einheit {{ Ma:Vergleichskette |u |\in| {{op:Einheiten|R|}} || || || |SZ= }} zu {{math|term= U|SZ=.}} Ferner ist {{math|term= U|SZ=}} mit komponentenweiser Multiplikation abgeschlossen in {{math|term= \R^d|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= c_1 {{kommadots|}} c_{d} |SZ=}} positive reelle Zahlen mit {{ Ma:Vergleichskette |c_j ||c_{j+1} || || || |SZ= }} für die komplex-konjugierten Stellen und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |c |{{defeq}}|c_1 \cdots c_d |>| {{op:Bruch(|2|\pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag|\triangle_K||}} } || || || |SZ=. }} Wir betrachten die durch {{math|term= c|SZ=}} definierte beschränkte Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp | A | {{defeq|}} | {{Mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_{d} ) \in \R^d| {{op:Betrag|x_j|}} < c_j \text{ alle } j }} || || || |SZ=. }} Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette |y ||(y_1 {{kommadots|}} y_{d} ) |\in|\R^d || || || |SZ= }} ohne Nulleintrag ist die mit {{math|term= y|SZ=}} multiplizierte Menge gleich {{ Ma:Vergleichskette/align |yA || {{Mengebed|(y_1x_1 {{kommadots|}} y_dx_{d} ) \in \R^d| {{op:Betrag|x_j|}} < c_j \text{ alle } j }} || {{Mengebed|(z_1 {{kommadots|}} z_{d} ) \in \R^d| {{op:Betrag|z_j|}} < {{op:Betrag|y_j|}} c_j \text{ alle } j }} || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Norm fixiert/Elemente/Assoziiert/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es in {{math|term= R|SZ=}} für jede vorgegebene Norm bis auf Assoziiertheit nur endlich viele Elemente mit dieser Norm. Da als Norm nur ganze Zahlen auftreten, gilt dies auch für die Elemente unterhalb einer fixierten Norm. Deshalb gibt es von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene Elemente {{ Ma:Vergleichskette |f_1 {{kommadots|}} f_n |\in|R || || || |SZ= }} derart, dass jedes Element {{ Ma:Vergleichskette |g |\in|R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |N(g) |\leq| c || || || |SZ= }} zu einem der {{math|term= f_i|SZ=}} assoziiert ist. Wir betrachten nun {{ Ma:Vergleichskette/disp | T |{{defeq}} |U \cap {{makl| \bigcup_{i {{=}} 1}^n {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} (f_i^{-1}) A |}} || || |SZ= }} und behaupten {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || \bigcup_{u \in {{op:Einheiten|R|}} } T \cdot {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} (u) || || || |SZ=, }} wobei die Inklusion {{math|term= \supseteq|SZ=}} klar ist. Zum Beweis der anderen Inklusion sei {{ Ma:Vergleichskette |y |\in|U || || || |SZ=. }} Wir betrachten {{mathl|term= y^{-1} A |SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|y_1|}} \cdots {{op:Betrag|y_d|}} || 1 || || || |SZ= }} gilt, dass das Produkt der Grenzen in {{mathl|term= y^{-1} A |SZ=}} wieder gleich {{math|term= c|SZ=}} ist und damit die eingangs fixierte Bedingung erfüllt. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Einbettungsbedingung/Element/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es ein von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenes {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} (f) |\in|y^{-1} A || || || |SZ=, }} sagen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} (f) || y^{-1} x || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|A || || || |SZ=. }} Da die {{math|term= {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} (f)|SZ=}} komponentenweise durch die {{math|term= c_j|SZ=}} beschränkt sind, ist der Betrag der Norm von {{math|term= f|SZ=}} durch {{math|term= c|SZ=}} beschränkt. Daher gibt es ein {{math|term= f_i|SZ=}} aus unserer endlichen Auswahlmenge und eine Einheit {{math|term= u|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | f || uf_i || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || x {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} (f^{-1}) || {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} (f_i^{-1} ) x {{op:Reelle Gesamteinbettung||}}(u^{-1}) || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | x {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} (u^{-1}) |\in|A || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1zkl8olmosc680w7my6jsry0uu6yi0q 0 123861 778742 762668 2022-08-21T12:47:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die {{ Definitionslink |Prämath= |logarithmische Gesamtabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=L | {{op:Einheiten|R|}} | \R^{r+s} || |SZ= }} hat nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Logarithmische Gesamtabbildung/Grundlegende Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} den {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu || {{op:Einheitswurzelgruppe||R}} || || || |SZ= }} und das Bild {{mathl|term= L( {{op:Einheiten|R|}} )|SZ=}} ist eine diskrete Untergruppe von {{ Ma:Vergleichskette/disp |H || {{Mengebed|(v_1 {{kommadots|}} v_{r+s})| \sum_{j {{=}} 1}^{r+s} v_j {{=}} 0 }} |\subset| \R^{r+s} || || || |SZ=. }} Unter der Faktorisierung {{ math/disp|term= {{op:Einheiten|R|}} \stackrel{ {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} }{\longrightarrow } {{makl| {{op:Einheiten|\R|}} |}}^r \times {{makl| {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |}}^s \stackrel{ \ell }{ \longrightarrow }\R^r \times \R^s |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \ell || ({{op:ln| {{op:Betrag|-|}} }} , 2 {{op:ln| {{op:Betrag|-|}} |}}) || || || |SZ= }} ist die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks |U || {{Mengebed|( x_1 {{kommadots|}} x_r;z_{r+1} {{kommadots|}} z_{r+s}) \in \R^r \times {{CC}}^s | {{op:Betrag|x_1}} \cdots {{op:Betrag|x_r}} \cdot {{op:Betrag|z_{r+1}||}} ^2 \cdots {{op:Betrag|z_{r+s} }}^2 {{=|}} 1 }} || || || |SZ= }} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Gitter/Einheitenbedingung/Multiplikative Ausschöpfung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das Urbild von {{math|term= H|SZ=.}} Die Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || \bigcup_{ u \in {{op:Einheiten|R|}} } T \cdot {{op:Reelle Gesamteinbettung|}} ( u ) || || || |SZ= }} mit einer beschränkten Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |T | \subseteq|U || || || |SZ=, }} die es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Gitter/Einheitenbedingung/Multiplikative Ausschöpfung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt, übersetzt sich zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | H || \bigcup_{ u \in {{op:Einheiten|R|}} } \ell(T) + L( u ) || || || |SZ=. }} Da {{math|term= \ell(T) |SZ=}} ebenfalls beschränkt ist, folgt aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Euklidischer Vektorraum/Diskrete Untergruppe/Beschränkte Teilmenge/Ausschöpfung/Gitter/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass die Bildgruppe {{math|term= L( {{op:Einheiten|R|}} ) |SZ=}} ein Gitter in {{math|term= H|SZ=}} ist. Es liegt also eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Einheitswurzelgruppe||R}} | {{op:Einheiten|R|}} | L( {{op:Einheiten|R|}} ) \cong \Z^{r+s-1} }} vor. Indem man für die Standardvektoren rechts Urbilder in {{math|term= {{op:Einheiten|R|}} |SZ=}} wählt, erhält man auch eine Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Einheiten|R|}} |\cong| {{op:Einheitswurzelgruppe||R}} \times \Z^{r+s-1} || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3c9dp5jcmxngd2ivccfltlwpawaki54 0 123937 778785 762704 2022-08-21T12:54:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis=Dies folgt direkt aus einer Inklusion {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq| Q(R) |\subseteq| \R || || |SZ=, }} da es in {{math|term= \R|SZ=}} nur die beiden Einheitswurzeln {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ= }} gibt und da Einheitswurzeln unter einem {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf Einheitswurzeln abgebildet werden. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mr54z369nyalftfmm2klhibo0g4msd2 0 123942 778747 762673 2022-08-21T12:48:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir argumentieren in der endlichen Erweiterung {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq| K ||Q(R) || || |SZ=, }} die den Grad {{math|term= d|SZ=}} habe. Wir behaupten zunächst, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungen| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{op:Einheitswurzelgruppe||K|}} |SZ=}} beschränkt ist. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist, und sei {{ mathbed|term= r_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} eine streng wachsende {{ Zusatz/Klammer |text=und damit unbeschränkte| |ISZ=|ESZ= }} Folge von natürlichen Zahlen, die als Ordnungen von Elementen aus {{math|term= {{op:Einheitswurzelgruppe||K|}} |SZ=}} vorkommen. Dann gilt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kreisteilungskörper|r_n|}} |\subseteq|K || || || |SZ=. }} Für der Grad {{math|term= d|SZ=}} gilt dann unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | d |\geq| {{op:Grad Körpererweiterung|\Q|{{op:Kreisteilungskörper|r_n|}} }} || {{op:Eulersche Phi-Funktion|r_n|}} || || || |SZ=. }} Wenn in den Primfaktorzerlegungen der Folgenglieder {{math|term= r_n|SZ=}} unendlich viele Primzahlen {{math|term= p_m|SZ=}} vorkommen, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |d |\geq|p_m-1 || || || |SZ=. }} Wenn hingegen in den Primfaktorzerlegungen nur endlich viele Primzahlen vorkommen, so gibt es darin eine Teilfolge mit Primzahlpotenzen {{mathl|term= p^{s_k} |SZ=}} als Teiler mit {{mathl|term= s_k \rightarrow \infty |SZ=.}} In diesem Fall ist {{ Ma:Vergleichskette |d |\geq|(p-1) p^{s_k-1} || || || |SZ=. }} In beiden Fällen ergibt sich ein Widerspruch zur Endlichkeit von {{math|term= d|SZ=.}} Die Endlichkeit der Gruppe folgt daher mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Zyklizität folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ssp6gk92j3j8bg5amipnbbxxjgsdxak 0 123951 780082 752337 2022-08-21T18:07:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Ring {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || \Z[2 {{imaginäre Einheit|}} ] |\subseteq| \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] |\subseteq| \Q[ {{imaginäre Einheit|}} ] ||K |SZ=. }} Der Quotientenkörper von {{math|term= R|SZ=}} ist {{math|term= \Q[ {{imaginäre Einheit|}}] |SZ=,}} {{math|term= R|SZ=}} ist nicht {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} In {{math|term= R|SZ=}} gibt es nur die Einheitswurzeln {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ=, }} im Quotientenkörper gibt es dagegen die Einheitswurzeln {{mathl|term= 1,-1,{{imaginäre Einheit|}},-{{imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie2=Theorie der Einheiten in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3fo1y22vyvpd6lq5uzf4xjfcgmgwrnd 0 123955 778749 762677 2022-08-21T12:48:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Norm eines Elementes kann man mit einer beliebigen {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis von {{math|term= K|SZ=}} berechnen. Wir ziehen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} heran, die es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt. Dann sind sämtliche Einträge der Multiplikationsmatrix zu {{math|term= f|SZ=}} bezüglich der Ganzheitsbasis ganze Zahlen und somit ist die Determinante davon eine ganze Zahl. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ruj7x2psio6a4fiealqjtlmxwv8qqtk 0 123956 778748 762674 2022-08-21T12:48:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wenn {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ= }} eine Einheit ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette |fg ||1 || || || |SZ= }} mit einem {{ Ma:Vergleichskette |g |\in|R || || || |SZ= }} und aus {{ Faktlink |Präwort=der|Multiplikativität der Norm|Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp |N(f) N(g) ||N(1) ||1 || || |SZ=, }} woraus nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Norm und Spur/Z/Minimalpolynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |N(f) || \pm 1 || || || |SZ= }} folgt. Die Umkehrung folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und daraus, dass dann die Multiplikationsabbildung zu {{math|term= f|SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette |R |\cong|\Z^n || || || |SZ= }} bijektiv ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hw1w2ukp95s0tw0ru0jysq1zkqr5gnm 0 123976 780099 752353 2022-08-21T18:10:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R || \Z[ \sqrt[3]{2}] || || || |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3|SZ=,}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{math|term= 1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}^2 |SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( 1- \sqrt[3]{2} )( 1+ \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2}^2) || 1 - \sqrt[3]{2}^3 || 1-2 ||-1 || |SZ=. }} d.h. das Element {{mathl|term= 1- \sqrt[3]{2} |SZ=}} ist eine Einheit, und zwar keine Einheitswurzel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Einheiten in Zahlbereichen |Kategorie3=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie4=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Objektkategorie=Der Zahlbereich zur dritten Wurzel aus 2 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hc5g6jx36umkxjomdu4061cr5ikho4s 0 123979 780109 763893 2022-08-21T18:11:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subset|\Q[X]/(X^3-3X+1) || || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{ Ma:Vergleichskette |\alpha |\in|\R || || || |SZ= }} eine Nullstelle von {{mathl|term= X^3-3X+1|SZ=,}} so sind auch {{ mathkor|term1= \beta= \alpha^2 -2 |und|term2= \gamma=- \alpha^2 - \alpha + 2 |SZ= }} Nullstellen, siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabenbezug/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Insbesondere gibt es drei reelle Einbettungen und somit ist der Rang der Einheitengruppe gleich {{math|term= 2|SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | X^3-3X+1 ||(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma) || {{makl| X-\alpha |}} {{makl| X- \alpha^2+2 |}} {{makl| X + \alpha^2+ \alpha-2 |}} || || || |SZ= }} ist das Produkt der drei Nullstellen gleich {{math|term= -1|SZ=,}} daher handelt es sich um Einheiten des Ganzheitsringes. Dies kann man auch direkt über {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \alpha( \alpha^2 -2 )(- \alpha^2 - \alpha + 2) || ( \alpha^3 -2 \alpha ) (- \alpha^2 - \alpha + 2) || ( \alpha -1) (- \alpha^2 - \alpha + 2) || - \alpha^3 - \alpha^2 + 2 \alpha + \alpha^2 + \alpha - 2 || -( 3 \alpha-1 )- \alpha^2 + 2 \alpha + \alpha^2 + \alpha - 2 ||-1 |SZ= }} bestätigen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Einheiten in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rpk63ecq91sl42pebt7xtg2zikgkdgm 0 123980 779728 763720 2022-08-21T17:14:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |D |<|0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |imaginär-quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann liefert eine fixierte Einbettung {{ Ma:Vergleichskette | A_D |\subseteq| \Q[ \sqrt{D} ] |\subseteq| {{CC|}} |\cong| \R^2 || || |SZ= }} direkt eine Realisierung als Gitter im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dem Element {{ Ma:Vergleichskette | q_1 + q_2 \sqrt{D} || q_1 + q_2 \sqrt{ {{op:Betrag|D}} } {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} entspricht in der reellen Ebene das Element {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Spaltenvektor|q_1|q_2 \sqrt{-D}) }} || {{op:Spaltenvektor|q_1 | q_2 \sqrt{ {{op:Betrag|D}} }) }} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 1, \sqrt{D} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |D ||2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} bzw. {{mathl|term= 1, {{op:Bruch|1+ \sqrt{D}|2}} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1|0|0| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} } }} |SZ= }} bzw. {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1| {{op:Bruch|1|2}} |0| {{op:Bruch| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} }|2}} }} |SZ= }} abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der imaginär-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qu4cr9mgdi9e9qhtrvxz0azxpke35cq 0 123983 779732 763724 2022-08-21T17:14:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |D |\geq|2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |A_D |\subseteq| \Q[ \sqrt{D} ] ||K || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |reell-quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= \sqrt{D}|SZ=}} einerseits ein fixierte Quadratwurzel aus {{math|term= D|SZ=}} in {{math|term= A_D|SZ=}} und andererseits die positive reelle Quadratwurzel. Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K| \R^2 | (q_1+q_2 \sqrt{D}) | {{op:Spaltenvektor| q_1+q_2 \sqrt{D}| q_1-q_2 \sqrt{D} |}} |SZ=, }} ist dann die reelle Gesamteinbettung und liefert insbesondere eine explizite Realisierung von {{math|term= A_D|SZ=}} als Gitter im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Das Gitter hängt wie die Ganzheitsbasis für {{math|term= A_D|SZ=}} vom Rest von {{math|term= D|SZ=}} modulo {{math|term= 4|SZ=}} ab, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 1, \sqrt{D} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |D ||2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} bzw. {{mathl|term= 1, {{op:Bruch|1+ \sqrt{D}|2}} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1| \sqrt{ D }|1| - \sqrt{ D } }} |SZ= }} bzw. {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1| {{op:Bruch|1 + \sqrt{ D }|2}} | 1 | {{op:Bruch| 1 - \sqrt{ D }|2}} }} |SZ= }} abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9o687eqntgn1crofadwv95nwdmlxv3z 0 123984 780110 763894 2022-08-21T18:11:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subset|\Q[X]/(X^3-3X+1) ||K || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{ Ma:Vergleichskette |\alpha |\in|\R || || || |SZ= }} eine Nullstelle von {{mathl|term= X^3-3X+1|SZ=,}} so sind auch {{ mathkor|term1= \beta= \alpha^2 -2 |und|term2= \gamma=- \alpha^2 - \alpha + 2 |SZ= }} Nullstellen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Galoisgruppe permutiert diese Nullstellen. Der Automorphismus, der {{math|term= \alpha|SZ=}} auf {{math|term= \alpha^2-2|SZ=}} abbildet, schickt {{math|term= \alpha^2|SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \alpha^2-2 |}}^2 || \alpha^4-4\alpha^2+4 || 3 \alpha^2- \alpha -4\alpha^2+4 || - \alpha^2- \alpha+4 || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || \Z + \Z \alpha + \Z \alpha^2 || || || |SZ= }} wird die gesamte Gitterabbildung durch {{ Ma:abbele/disp |name= |R \cong \Z^3 | \R^3 | a+b \alpha+c \alpha^2 | {{op:Spaltenvektor|a+b \alpha+c \alpha^2| a+b (\alpha^2-2)+c(- \alpha^2- \alpha+4) |a+b(- \alpha^2-\alpha+2) + c( \alpha+2)|}} |SZ=, }} gegeben. Die Basis {{math|term= 1, \alpha, \alpha^2|SZ=}} wird auf die Gitterbasis {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|1|1}} , {{op:Spaltenvektor|\alpha| \alpha^2-2 |- \alpha^2- \alpha+4}} , {{op:Spaltenvektor|\alpha^2 |- \alpha^2- \alpha+4|\alpha+2| }} |SZ= }} abgebildet. Wenn man {{math|term= 1,\alpha, \beta|SZ=}} als Ganzheitsbasis nimmt, so wird die Abbildung durch {{ Ma:abbele/disp |name= |R \cong \Z^3 | \R^3 | a+b \alpha+d \beta | {{op:Spaltenvektor|a+b \alpha+d \beta | a+b \beta +d (- \alpha- \beta) |a+b(-\alpha - \beta) + d \alpha|}} |SZ=, }} beschrieben. Diese Basis wird dann auf die Gitterbasis {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|1|1}} , {{op:Spaltenvektor|\alpha| \beta |- \alpha- \beta}} , {{op:Spaltenvektor|\beta |- \alpha - \beta |\alpha | }} |SZ= }} abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Gittertheorie der Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iaouedm9jerkpyzul8adwpyvodirm5j 0 123988 780111 763895 2022-08-21T18:12:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Zahlbereich/X^3-3X+1/Gitterrealisierung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} an, also {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} || || || |SZ=. }} Unter der {{ Definitionslink |Prämath= |logarithmischen Gesamtabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird das Ringelement {{mathl|term= a +b\alpha +c \alpha^2|SZ=}} auf {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag|a+b \alpha+c \alpha^2 |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a+b (\alpha^2-2)+c(- \alpha^2- \alpha+4) |}} |}}| {{op:ln| {{op:Betrag|a+b(- \alpha^2-\alpha+2) + c( \alpha+2)|}} |}} |}} |SZ= }} bzw. {{mathl|term= a +b\alpha +d \beta|SZ=}} auf {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag|a+b \alpha+d \beta |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a+b \beta +d (- \alpha- \beta) |}} |}}| {{op:ln| {{op:Betrag|a+b(-\alpha - \beta) + d \alpha|}} |}} |}} |SZ= }} abgebildet. Die Einheiten {{math|term= \alpha|SZ=}} bzw. {{math|term= \beta|SZ=}} werden auf {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag| \alpha |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| \beta |}} |}}| {{op:ln| {{op:Betrag|-\alpha - \beta }} |}} |}} |SZ= }} bzw. {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag|\beta |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| - \alpha- \beta |}} |}}| {{op:ln| {{op:Betrag| \alpha|}} |}} |}} |SZ= }} und diese Vektoren liegen auf der durch {{ Ma:Vergleichskette |x+y+z ||0 || || || |SZ= }} definierten Ebene. Die lineare Unabhängigkeit dieser beiden Vektoren kann man über die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zeigen. Die numerischen Werte der Nullstellen des Polynoms sind ungefähr {{ math/disp|term= \alpha \sim 1,532, \,\, \beta \sim 0,347,\,\, \gamma \sim -1,879 |SZ=. }} Die Determinante der oberen {{math|term= 2 \times 2|SZ=-}}Untermatrix ist ungefähr {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:ln| {{op:Betrag|\alpha |}} |}} {{op:ln| {{op:Betrag|\alpha + \beta |}} |}} - {{op:ln(| {{op:Betrag|\beta |}} |}}^2 |\sim| 0,426 \cdot 0, 631 - (-1.058)^2 |\sim| 0,89 |\neq|0 || |SZ=. }} Die Bilder der beiden Einheiten {{ mathkor|term1= \alpha |und|term2= \beta |SZ= }} sind also linear unabhängig und daher besteht zwischen den Einheiten selbst in {{math|term= R|SZ=}} keine Beziehung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | \alpha^m || \beta^n || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |(m,n) |\neq| (0,0) || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ttyqwqq9dvou01zg9imh8n9qco3sbx 0 123995 779729 763722 2022-08-21T17:14:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreiem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |D |<|0 || || || |SZ= }} und zugehörigem {{ Definitionslink |Prämath= |imaginär-quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |A_D |\subseteq| {{CC}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Gitter-Einbettung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |logarithmische Gesamtabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{ Ma:abbele/disp |name= |A_D \setminus \{0\}| \R |(a+b {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{ {{op:Betrag|D|}} })| {{op:ln(| a^2 +b^2 {{op:Betrag|D|}} |}} |SZ=, }} gegeben. Der minimale Wert von {{mathl|term= a^2 +b^2 {{op:Betrag|D|}} |SZ=}} ist {{math|term= 1|SZ=}} und das Bild der logarithmischen Abbildung liegt in {{math|term= \R_{\geq 0} |SZ=.}} Hieran sieht man erneut, dass es in {{math|term= A_D |SZ=}} nur Einheitswurzeln als Einheiten gibt, vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Einheitswurzeln/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der imaginär-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie3=Theorie der Einheiten in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie4=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 81r6we7uqcazep9926r9gt172jijzfz 0 123996 779733 763726 2022-08-21T17:14:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreiem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |D |\geq|2 || || || |SZ= }} und zugehörigem {{ Definitionslink |Prämath= |reell-quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= A_D |SZ=}} mit der Gitterrealisierung {{ Ma:abbele/disp |name= |A_D| \R^2 | (a+b \sqrt{D})| {{op:Spaltenvektor|a+b \sqrt{D}|a - b \sqrt{D} }} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Gitter-Einbettung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |logarithmische Gesamtabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{ Ma:abbele/disp |name= |A_D \setminus \{0\}| \R \times \R |(a+b \sqrt{ D })| {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag|a +b \sqrt{ D }||}} |}} |{{op:ln| {{op:Betrag| a -b \sqrt{ D } }} |}} }} |SZ=, }} gegeben. Diese induziert für die Einheiten den Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten| A_D }}| \R \times \R |(a+b \sqrt{ D })| {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag|a +b \sqrt{ D }||}} |}} |{{op:ln| {{op:Betrag| a -b \sqrt{ D } }} |}} }} |SZ=, }} wobei das Bild {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Logarithmische Gesamtabbildung/Grundlegende Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} oder direkt| |ISZ=|ESZ= }} auf der Gegendiagonalen landet. Somit liegt ein Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abb |name= | {{makl| {{op:Einheiten| A_D }}, \cdot, 1 |}} | (\R,+,0) || |SZ= }} vor. Der Kern besteht aus {{mathl|term= \{1,-1\} |SZ=}} und das Bild ist eine diskrete Untergruppe von {{math|term= \R|SZ=.}} {{{zusatz1|}}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie3=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} afc9oy9tp7cz1ue1h4mm0qn2y06v5ww 0 124016 779739 677243 2022-08-21T17:15:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir suchen in {{math|term= \Z[\sqrt{3}]|SZ=}} gemäß {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Auffinden/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nach der Fundamentaleinheit, nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} müssen wir nur {{mathl|term= a+b \sqrt{3}|SZ=}} mit ganzzahligen {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\geq|1 || || || |SZ= }} überprüfen, ob {{ Ma:Vergleichskette/disp |N(a+b \sqrt{3}) || a^2-3b^2 || \pm 1 || || || |SZ= }} gilt. Für {{ Ma:Vergleichskette |a ||1 || || || |SZ= }} gibt es keine Lösung, und bei {{ Ma:Vergleichskette |a ||2 || || || |SZ= }} ist mit {{ Ma:Vergleichskette |b ||1 || || || |SZ= }} eine Lösung gefunden. Somit ist {{math|term= 2 + \sqrt{3}|SZ=}} die Fundamentaleinheit. Die anderen Einheiten oberhalb von {{math|term= 1|SZ=}} sind {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| 2 + \sqrt{3} |}}^2 || 7+ 4 \sqrt{3} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| 2 + \sqrt{3} |}}^3 || 26+ 15 \sqrt{3} || || || |SZ=, }} u.s.w. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(3)) |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qjzfcyrl7gwc6xqke5rlolksvwmiqhd 0 124135 780100 752368 2022-08-21T18:10:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |D |<|0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |imaginär-quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es gibt also {{ Ma:Vergleichskette |s ||1 || || || |SZ= }} Paare von zueinander komplex-konjugierten Einbettungen. Zur {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 1, \sqrt{D} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} bzw. {{mathl|term= 1, {{op:Bruch|1+ \sqrt{D}|2}} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} gehört wie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Gitter-Einbettung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} berechnet die {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1|0|0| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} } }} |SZ= }} bzw. {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1| {{op:Bruch|1|2}} |0| {{op:Bruch| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} }|2}} }} |SZ=. }} Deren Determinante, also bis auf das Vorzeichen der Flächeninhalt der {{ Definitionslink |Prämath= |Grundmasche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Gitters, ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|1|0|0| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} } }} |}} ||\sqrt{ {{op:Betrag|D}} } || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|1| {{op:Bruch|1|2}} |0| {{op:Bruch| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} }|2}} }} |}} || {{op:Bruch| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} }|2}} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{math|term= 4D|SZ=}} bzw. {{math|term= D|SZ=.}} In beiden Fällen erhält man also eine direkte Bestätigung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der imaginär-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dwqgspavdu1u0cqabrhdclhon8cjkfl 0 124149 778762 762687 2022-08-21T12:50:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir nummerieren die Einbettungen mit {{mathl|term= 1 {{kommadots|}} r |SZ=}} für die reellen und {{mathl|term= r+1,r+2 {{kommadots|}} r+2s-1, r+2s |SZ=}} durch, wobei die konjugiert-komplexen Einbettungen nebeneinander stehen. Wir betrachten die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{Mengebed| (x_1 {{kommadots|}} x_r, x_{r+1} {{kommadots|}} x_{r+2s} ) \in \R^{r+2s} | {{op:Betrag|x_j||}} < d_j \text{ für } j {{=}} 1 {{kommadots|}} r | x_{ r+j}^2 + x_{r+j+1}^2 < d_{r+j}^2 \text{ für } j {{=}} 1, 3 {{kommadots|}} 2s-1 }} || || |SZ=. }} Dies ist eine Produktmenge aus {{math|term= r|SZ=}} Intervallen der Länge {{math|term= 2d_j |SZ=}} und {{math|term= s|SZ=}} Kreisscheiben mit den Radien {{math|term= d_j|SZ=.}} Diese Menge ist offensichtlich {{ Definitionslink |Prämath= |zentralsymmetrisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |konvex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Die Menge ist so nicht kompakt. Wir können aber jedes {{math|term= r_j|SZ=}} derart verkleinern, dass die Bedingung nach wie vor erfüllt ist und dann in der entsprechenden Menge {{math|term= \leq|SZ=}} statt {{math|term= <|SZ=}} schreiben. Da die Menge ein Produkt aus Intervallen und Kreisen ist, ist ihr Volumen gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2^r \prod_{j {{=}} 1}^r d_j \cdot \pi^s \prod_{j {{=}} r+1}^{r+2s} d_j || 2^r \pi^s \prod_{j {{=}} 1}^n d_j || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=man beachte, dass der Flächeninhalt des Kreises durch das zweifache Vorkommen der höheren {{math|term= d_j|SZ=}} berücksichtigt wird| |ISZ=|ESZ=. }} Nach Voraussetzung und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Ideal/Diskriminante und Grundmasche/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dieses Volumen größer als {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | 2^r \pi^s {{op:Bruch(|2|\pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag|\Delta|}} } N( {{ideala||}} ) || 2^{r+s} \sqrt{ {{op:Betrag|\Delta|}} } N( {{ideala||}} ) || 2^{r+s} 2^s \operatorname{Vol} (\mathfrak N ) || 2^n \operatorname{Vol} (\mathfrak N ) |SZ=, }} wobei {{math|term= \mathfrak N|SZ=}} die Grundmasche des Gitters zum Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} unter der reellen Gesamteinbettung bezeichnet. Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Gitterpunktsatz von Minkowski|Faktseitenname= Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz (Minkowski)/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es einen Gitterpunkt {{math|term= \neq 0|SZ=,}} der in {{math|term= M|SZ=}} liegt. D.h. es gibt ein {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{ideala|}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag| \tau_j(f)||}} |<| d_j || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dew2izv8qnsngk8uvsnjye0cf47dm3r 0 124158 780065 763875 2022-08-21T18:05:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Z |\subseteq|R || \Z[X]/(X^2+3) |\subseteq| \Z[Y]/(Y^2+Y+1) ||S || || |SZ= }} mit {{mathl|term= X \mapsto 2Y+1 |SZ=,}} die beide quadratische Erweiterungen von {{math|term= \Z|SZ=}} sind und wobei {{math|term= S|SZ=}} der Ring der {{ Definitionslink |Prämath= |Eisenstein-Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und die Normalisierung von {{math|term= R|SZ=}} ist. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Faserring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= R|SZ=}} über {{math|term= 2|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|2|}} [X]/(X^2+3) || {{op:Zmod|2|}} [X]/(X^2+1) || {{op:Zmod|2|}} [X]/(X+1)^2 || || |SZ=, }} er ist also nicht reduziert. Der Fasering zu {{math|term= S|SZ=}} über {{math|term= 2|SZ=}} ist {{ math/disp|term= {{op:Zmod|2|}} [Y]/(Y^2+Y+1) |SZ= }} und dies ist ein Körper mit vier Elementen. In {{math|term= S|SZ=}} liegt die Zerlegung in Primideale {{ Ma:Vergleichskette |(2) ||(2) || || || |SZ= }} vor. In {{math|term= R|SZ=}} kann man hingegen das Ideal {{math|term= (2)|SZ=}} nicht als ein Produkt von Primidealen schreiben. Das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (2)|SZ=}} in {{math|term= R|SZ=}} ist {{mathl|term= (2,X+1)|SZ=.}} Das Quadrat davon ist aber bereits {{ Ma:Vergleichskette/align | (2,X+1) \cdot (2,X+1) || (4,2X+2,X^2+2X+1 ) || (4,2X+2,X^2-1 ) || (4,2X+2) |\subset| (2) |SZ=, }} wobei die letzte Inklusion echt ist. Der Restklassenring {{mathl|term= R/(4,2X+2) |SZ=}} besitzt {{math|term= 12|SZ=}} Elemente. |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(-3)) |Objektkategorie2=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7or8mb9yusn170opm915y921awu238i 0 124197 778466 762416 2022-08-21T12:07:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die {{math|term= S|SZ=-}}Modulstruktur auf der Homomorphismenmenge ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |(s \varphi) (a) | {{defeq|}} | \varphi(sa) || || || |SZ= }} festgelegt. Nach der Definition der Kodifferente legt {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| {{ideala|}}^* || || || |SZ= }} in der Tat eine Abbildung nach {{math|term= S|SZ=}} fest. Die Injektivität folgt aus der vorausgesetzten Separabilität. Zum Nachweis der Surjektivität sei eine {{math|term= R|SZ=-}}lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \theta | {{ideala|}} |R || |SZ= }} gegeben. Diese können wir aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einer {{math|term= K|SZ=-}}linearen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \theta | {{ideala}}_{R \setminus \{0\} } \cong L | R_{R \setminus \{0\} } \cong K || |SZ= }} fortsetzen, wobei der Isomorphismus links auf dem Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheitsring/Quotientenkörper/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beruht. Da die Spur im separablen Fall eine nichtausgeartete Bilinearform definiert, gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|L || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \theta (x) || {{op:Spur|f \cdot x |}} || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vjac6lkgu3nvehh8nqzbxeoisxnr41 0 124244 779624 751675 2022-08-21T16:58:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Polynomialdeg4|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|K[X] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normiertes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} Wir betrachten die endliche freie Ringerweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[Y] |\subseteq|K[Y][X]/(f(X)-Y) |\cong|K[X] || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath=K[Y] |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1,X {{kommadots|}} X^{n-1} |SZ=.}} Wir sind damit in der Situation von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Monogene Algebra/Dualmodul/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[Y] || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(X) ||f(X)-Y || || || |SZ=. }} Für die Ableitung nach {{math|term= X|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette |F'(X) ||f'(X) || || || |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Faserring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{math|term= K|SZ=-}}Punkt {{ Ma:Vergleichskette |b |\in|K || || || |SZ= }} wird durch {{mathl|term= K[X]/(f(X) -b)|SZ=}} beschrieben. Die passende geometrische Vorstellung zur Spektrumsabbildung dieser Ringerweiterung ist die Projektion des Graphen zu {{math|term= f|SZ=}} auf die {{math|term= y|SZ=-}}Achse. Eine Nullstelle der Ableitung ist ein Verzweigungspunkt dieser Projektion. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über Hauptidealbereichen |Kategorie2=Theorie der Faserringe |Kategorie3=Theorie der polynomialen Abbildungen zwischen affinen Räumen |Kategorie4=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6dnct9wnih2nzo8uqkxa3pynai3h5b6 0 124247 779623 751674 2022-08-21T16:58:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Polynomialdeg4|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|K[X] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normiertes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} Wir betrachten die endliche freie Ringerweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[Y] |\subseteq|K[Y][X]/(f(X)-Y) |\cong|K[X] || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath=K[Y] |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1,X {{kommadots|}} X^{n-1} |SZ=.}} Für die Ableitung nach {{math|term= X|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette |F'(X) ||f'(X) || || || |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Faserring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{math|term= K|SZ=-}}Punkt {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} wird durch {{mathl|term= K[X]/(f(X) -a)|SZ=}} beschrieben. Die passende geometrische Vorstellung zur Spektrumsabbildung dieser Ringerweiterung ist die Projektion des Graphen zu {{math|term= f|SZ=}} auf die {{math|term= y|SZ=-}}Achse. Eine Nullstelle der Ableitung ist ein Verzweigungspunkt dieser Projektion. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über Hauptidealbereichen |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3=Theorie der polynomialen Abbildungen zwischen affinen Räumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72dnzieozouxkojmjjegbqr8c8w9dxg 0 124249 779726 751779 2022-08-21T17:13:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zahl {{math|term= \neq 0,1|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |D ||2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Restklassenbeschreibung {{ Ma:Vergleichskette |A_D || \Z[X]/(X^2-D) || || || |SZ= }} besitzt. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist daher nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|A_D|\Z}} || A_D/(2x) dx || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Annullator| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also {{math|term= 2x|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= 2x|SZ=}} ist gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|2x \cdot -2x}} || {{op:Betrag| 4x^2}} || {{op:Betrag|4D||}} || || |SZ=, }} was nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Betrag der {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A_D|SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4rrohlt0ss5q722ub4rm5lq091aufeu 0 124250 779724 751778 2022-08-21T17:13:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zahl {{math|term= \neq 0,1|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |D ||1 \mod 4 || || || |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Restklassenbeschreibung {{ Ma:Vergleichskette |A_D || \Z[Y]/(Y^2 - Y - {{op:Bruch|D-1|4}} ) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |y || {{op:Bruch|1+ \sqrt{D}|2}} || || || |SZ= }} besitzt. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist daher nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|A_D|\Z}} || A_D/(2y-1) dy || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Annullator| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also {{math|term= 2y-1|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= 2y-1|SZ=}} ist gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| (2y-1) \cdot (2\overline{y}-1) }} || {{op:Betrag| \sqrt{D} (- \sqrt{D} )}} || {{op:Betrag| D }} || || || |SZ=, }} was nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Betrag der {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= A_D|SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8zt8e1vtsh7ngfs18lbds82m861ma3h 0 124255 780105 752385 2022-08-21T18:11:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[X]/(X^p-p) || || || |SZ=, }} vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Faserringe/Beschreibung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|R|\Z}} || R/ {{makl| px^{p-1} |}} dx || || || |SZ= }} und das annullierende Ideal ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| px^{p-1} |}} || {{makl| x^{2p-1} |}} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von deshalb ist die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale gleich {{math|term= p^{2p-1}|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reinen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jtiidzakj9626tnxtc2om3lla9ko1mg 0 124261 780108 763892 2022-08-21T18:11:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= p,q|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[X]/(X^p-q) || || || |SZ=, }} vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Zahlbereich/pte Wurzel aus q/Faserringe/Beschreibung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|R|\Z}} || R/ {{makl| px^{p-1} |}} dx || || || |SZ= }} und das {{ Definitionslink |Prämath= |Differentenideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} (im Sinne von Annullator des Kählermoduls) ist {{mathl|term= {{makl| px^{p-1} |}} |SZ=.}} Die Norm von {{math|term= x|SZ=}} ist {{math|term= q|SZ=}} und deshalb ist die Norm des Differentenideals, also der Betrag der Diskriminante, gleich {{math|term= p^p q^{p-1}|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reinen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 180isa6dpwo2vy5qcgukqtd71b7iwyw 0 124269 780104 752384 2022-08-21T18:11:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[X]/(X^p-p) || || || |SZ=. }} Für eine Primzahl {{ Ma:Vergleichskette |q |\neq|p || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Faserring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= (q)|SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|q|}} [X]/(X^p-p) |SZ=.}} Da {{math|term= p|SZ=}} eine Einheit in {{math|term= {{op:Zmod|q|}} |SZ=}} ist, sind {{mathl|term= X^p-p|SZ=}} und die Ableitung {{mathl|term= pX^{p-1} |SZ=}} teilerfremd in {{math|term= {{op:Zmod|q|}} [X ]|SZ=}} und daher ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{math|term= \Z_p [X]/(X^p-p) |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:abbele/disp |name= | \Z_{(q)}| R_{{idealq}} || |SZ=, }} wobei {{math|term= {{idealq}} |SZ=}} ein Primideal oberhalb von {{math|term= (q)|SZ=}} bezeichnet, ist gleich {{math|term= 1|SZ=.}} Für {{ Ma:Vergleichskette |q ||p || || || |SZ= }} ist das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (p)|SZ=}} das Hauptideal {{math|term= (X )|SZ=,}} die Verzweigungsordnung in {{math|term= p|SZ=}} ist gleich {{math|term= p|SZ=.}} Deshalb ist insgesamt {{math|term= R|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subset|\Q[X]/(X^p-p) || || || |SZ=, }} und er ist nur im Punkt {{math|term= (p)|SZ=}} verzweigt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reinen Gleichungen über Z |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3sngdtcitwblxfijxe3tr1gbisfd7bk 0 124270 780107 752386 2022-08-21T18:11:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= p,q|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[X]/(X^p-q) || || || |SZ=. }} Für eine Primzahl {{ Ma:Vergleichskette |r |\neq|p,q || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Faserring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= (r)|SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|r|}} [X]/(X^p-q) |SZ=.}} Da {{math|term= p|SZ=}} und {{math|term= q|SZ=}} Einheiten in {{math|term= {{op:Zmod|r|}} |SZ=}} sind, gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |(X^p-q ,pX^{p-1}) || (X^p-q ,X^{p-1}) || (q ,X^{p-1}) || (q) ||1 |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Zmod|r|}} [X ] |SZ=,}} d.h. {{mathl|term= X^p-q|SZ=}} und die Ableitung {{mathl|term= pX^{p-1} |SZ=}} sind teilerfremd in {{math|term= {{op:Zmod|r|}} [X ]|SZ=}} und daher ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{math|term= \Z_r [X]/(X^p-q) |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:abbele/disp |name= | \Z_{(r)}| R_{{idealr}} || |SZ=, }} wobei {{math|term= {{idealr}} |SZ=}} ein Primideal oberhalb von {{math|term= (r)|SZ=}} bezeichnet, ist gleich {{math|term= 1|SZ=.}} Für {{ Ma:Vergleichskette |r ||q || || || |SZ= }} ist das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (q)|SZ=}} das Hauptideal {{math|term= (X )|SZ=,}} die Verzweigungsordnung in {{math|term= q|SZ=}} ist gleich {{math|term= p|SZ=.}} Für {{ Ma:Vergleichskette |r ||p || || || |SZ= }} ist der Faserring gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|p|}} [X]/(X^p-q) || {{op:Zmod|p|}} [X]/(X-q)^p || || || |SZ=. }} Das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (p)|SZ=}} ist also {{math|term= (X-q,p )|SZ=,}} was im Allgemeinen kein Hauptideal ist. Der Ring {{math|term= R|SZ=}} ist im Allgemeinen nicht der ganze Abschluss, wobei die Singularität oberhalb von {{math|term= (p)|SZ=}} liegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reinen Gleichungen über Z |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4vntbs4xeec4tj36qeo056kg92v54v1 0 124272 779822 743192 2022-08-21T17:27:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || \Z[X]/(X^3-q) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |q |\in|\Z || || || |SZ=. }} Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette | a+bx+cx^2 |\in|R || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder in {{math|term= \Q[X]/(X^3-q)|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist die Multiplikationsmatrix gleich {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|a|cq|bq|b|a|cq|c|b|a|}} |SZ=. }} Das charakteristische Polynom ist {{ Ma:Vergleichskette/align/netzlinks | {{op:Determinante| {{op:Matrix33|T-a|-cq|-bq|-b|T-a|-cq|-c|-b|T-a|}} |}} || (T-a)^3 - (T-a)bcq +b (-cq (T-a) -b^2q) -c (c^2q^2 +bq (T-a)) || (T-a)^3 - (T-a)bcq -bcq (T-a) -b^3q - c^3q^2 -bcq (T-a) || T^3 -3aT^2 + ( 3a^2 - 3 bcq )T -a^3 + 3abcq -b^3q -c^3q^2 || |SZ= }} Insbesondere ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= 3a|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{mathl|term= a^3 - 3abcq +b^3q +c^3q^2 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie2=Theorie der Spur bei endlichen freien kommutativen Algebren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bzbk2zlz1jt4fmyz6ka5p9pz8j42zpb 0 124279 779383 763464 2022-08-21T16:19:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || \Z_{(2)}[X]/(X^3+5X+2) || || || |SZ=, }} in {{math|term= R|SZ=}} liegt die Faktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette |2 || -x(x^2+5) || || || |SZ= }} vor. Modulo {{math|term= (2)|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^3+x || x(x^2+1) || x(x+1)^2 || || |SZ=. }} Da der zweite Faktor doppelt vorkommt, kann man {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht anwenden, und es wird sich auch gleich ergeben, dass {{math|term= R|SZ=}} in der Tat nicht normal ist. Das Element {{math|term= x|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primelement| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=,}} da der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} modulo {{math|term= x|SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z_{(2)}[X]/(X^3+5X-2, X) || \Z_{(2)}[X]/(2, X) || \Z_{(2)}/(2) || {{op:Zmod|2|}} || |SZ= }} ist. Dagegen ist {{mathl|term= x^2+5 |SZ=}} kein Primelement, da {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z_{(2)}[X]/(X^3+5X+2, X^2+5) ||\Z_{(2)}[X]/(2, X^2+5) || {{op:Zmod|2|}} [X] / (X^2+1) || |SZ= }} nicht reduziert ist. In {{math|term= R|SZ=}} wird das durch die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/align | (x+1)(x+1) || (x^2+5)+ 2(x-2) || (x^2+5) -( x^3+5x) ( x -2 ) || (x^2+5) ( 1-x(x-2) ) || (x^2+5) ( - x^2 +2x+1) |SZ=. }} widergespiegelt. Das Element {{math|term= x+1|SZ=}} ist kein Primelement in {{math|term= R|SZ=,}} sein Restklassenring ist {{math|term= {{op:Zmod|4|}} |SZ=.}} Jedenfalls haben wir in {{math|term= R|SZ=}} die beiden Primideale {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} || (x) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{idealq|}} || (2, x+1) || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=}} normal ist und {{math|term= R_{{idealq}} |SZ=}} nicht. was darauf beruht, dass weder {{math|term= 2|SZ=}} noch {{math|term= x+1|SZ=}} ein Erzeuger ist. Wir wollen die Normalisierung bestimmen. Die definierende Gleichung kann man auch als {{ Ma:Vergleichskette/disp |(x+1)^3-3(x+1)^2+8(x+1)-4 ||0 || || || |SZ= }} schreiben. Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Bruch(|2|x+1}}^2 || {{op:Bruch|4|(x+1)^2}} || {{op:Bruch|(x+1)^3-3(x+1)^2+8(x+1)|(x+1)^2}} || (x+1)-3+ {{op:Bruch|8|(x+1)}} || (x+1)-3+ 4 {{op:Bruch|2|(x+1)}} |SZ=, }} d.h. {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || {{op:Bruch|2|x+1}} || || || |SZ= }} erfüllt die Ganzheitsgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 -4y + x-2 ||0 || || || |SZ=. }} Nach Hinzunahme von diesem ganzen Element wird {{mathl|term= (2,x+1)|SZ=}} zu einem Hauptideal, erzeugt von {{math|term= x+1|SZ=.}} Da einerseits {{ Ma:Vergleichskette/disp | x || {{op:Bruch|2|y}} -1 || || || |SZ= }} und andererseits {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || -y^2+4y +2 || || || |SZ= }} gilt, erfüllt {{math|term= y|SZ=}} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^3-4y^2-3y+2 || 0 || || || |SZ=. }} Somit gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |R |\subseteq| \Z_{(2)}[Y]/(Y^3-4Y^2 -3Y+2) ||S || || |SZ=. }} Dabei gilt die Faktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp |-2 || y (y^2 -4y -3) || || || |SZ=, }} vor, der Restklassenring {{math|term= S/(2)|SZ=}} hat wieder die Darstellung {{math|term= {{op:Zmod|2|}}[Y]/(Y(Y-1)^2 ) |SZ=.}} Das zum zweiten Primfaktor zugehörige Ideal {{math|term= (2,y-1) |SZ=}} wird wieder nicht von einem Element erzeugt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kfcg659ni8wuzsn3bhuo4ovnskmokjf 0 124292 780098 763890 2022-08-21T18:10:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| \Q[X]/(X^3-17) || || || |SZ=, }} dieser besitzt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Beschreibung {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || \Z[x,z] |\subseteq| \Q[X](X^3-17) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | z || {{op:Bruch|1 +17 x+x^2|3}} || || || |SZ= }} und wobei {{math|term= z|SZ=}} die Ganzheitsgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | T^3-T^2 -96T -3072 || 0 || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Zahlbereich zur dritten Wurzel aus 17 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nnl2usmkn4humdyzbjg990ype0cyjbo 0 124295 780094 763888 2022-08-21T18:09:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |q || \pm 1 \mod 9 || || || |SZ= }} eine Primzahl und {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[x,y] |\subset| \Q[X]/(X^3-q) || || |SZ= }} der Ganzheitsring, vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Im {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette | 3x^2 dx ||0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| 3y^2 -2y + {{op:Bruch| 1-q^2 | 3 }} |}} dy || 0 || || || |SZ=. }} Lokal wird der Kählermodul {{ Zusatz/Klammer |text=wie die Algebra {{math|term= R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} durch ein Element erzeugt, lokalisiert an {{ Ma:Vergleichskette | {{idealr}} || (q,x) || (x) || || || |SZ= }} haben wir die Beschreibung {{Kurze exakte Sequenz/disp|(x^2) |R_{{idealr}} | \Omega_{{idealr}} }} und die lokale Differente ist {{math|term= (x^2)|SZ=}} mit der Norm {{math|term= q^2|SZ=.}} Oberhalb von {{math|term= (3) |SZ=}} haben wir mit dem multiplikativen System {{math|term= T=\Z \setminus \{3\} |SZ=}} aufgefasst in {{math|term= R|SZ=}} die exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp|(3y^2 -2y + {{op:Bruch| 1-q^2 | 3 }}) |R_T | \Omega_T }} bzw. mit {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (3, y) || || || |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/disp|(3y^2 -2y + {{op:Bruch| 1-q^2 | 3 }}) |R_{{idealm|}} | \Omega_{{idealm|}} |SZ=, }} hier ist {{math|term= y|SZ=}} eine Ortstransformierende, deshalb ist die Ordnung hier {{math|term= 1|SZ=}} und die Norm ist {{math|term= 3|SZ=,}} und {{ Ma:Vergleichskette | {{idealn|}} || (3, y-1) || || || |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/disp|(3y^2 -2y + {{op:Bruch| 1-q^2 | 3 }}) |R_{{idealn|}} | \Omega_{{idealn|}} |SZ=.}} Modulo {{math|term= {{idealn|}} |SZ=}} geht der Erzeuger links auf {{math|term= 1|SZ=,}} d.h. links steht das Einheitsideal. Insgesamt ist also die Diskriminante gleich {{mathl|term= 3q^2|SZ=.}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | (3x^2, ) || || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|R|\Z}} || dx , dy || || || |SZ= }} und das {{ Definitionslink |Prämath= |Differentenideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} (im Sinne von Annullator des Kählermoduls) ist {{mathl|term= {{makl| |}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qu33yv5wp8a3807wyahm1vxz8a0d8h7 0 124299 778989 763170 2022-08-21T15:18:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die biquadratische Erweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z |\subseteq| \Z[X,Y]/(X^2-7, Y^2-19) || || || |SZ=. }} Dieser Ganzheitsring lässt sich nicht in der Form {{math|term= \Z[W]/(F)|SZ=}} schreiben. Modulo {{math|term= (3)|SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Faserring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:Zmod|3|}} [X,Y]/(X^2-7, Y^2-19) || {{op:Zmod|3|}} [X,Y]/(X^2-1, Y^2-1) || {{op:Zmod|3|}} \times {{op:Zmod|3|}} \times {{op:Zmod|3|}} \times {{op:Zmod|3|}} || || |SZ=, }} er besitzt also vier maximale Ideale, alle mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=.}} Ein Ring der Form {{mathl|term= {{op:Zmod|3|}} [W]/(F) |SZ=}} kann aber nur drei maximale Ideale mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=}} besitzen, da es in {{math|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=}} nur drei Elemente gibt. Es folgt, dass der Ganzheitsring auch nicht über der Lokalisierung {{mathl|term= \Z_{(3)} |SZ=}} mit einem einzigen Algebraerzeuger beschrieben werden kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der biquadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der endlichen freien Algebren über diskreten Bewertungsringen |Kategorie3=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9iedqckuzne678psm1jbcim03v78cvx 0 124305 778777 762697 2022-08-21T12:52:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das Element {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|R || || || |SZ= }} erfülle die angegebenen Eigenschaften mit dem Minimalpolynom {{math|term= F|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |\Z[x] |\subseteq|R || || || |SZ= }} eine endliche Erweiterung mit dem gleichen Quotientenkörper. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liegt ein surjektiver {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Kählermodul| \Z[x] |\Z}} {{tensor|\Z[x]}} R| {{op:Kählermodul|R|\Z}} || |SZ= }} vor, da ja {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul| R|\Z[x] }} ||0 || || || |SZ= }} ist. Somit wird jedes Element {{math|term= r {{tensor}} dx|SZ=}} von {{math|term= F'(x)|SZ=}} annulliert. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s2uw3lh56fh18bvhgsysvhmdqnfufw8 0 124321 779704 763704 2022-08-21T17:10:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K[Y]|K[X] |Y|X^n |SZ=, }} zu {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ=, }} der der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K |x|x^n {{=|}} y |SZ= }} entspricht. Zu einem maximalen Ideal {{mathl|term= (X-a)|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^{-1} (X-a) || (Y-a^n) || || || |SZ=, }} und oberhalb von {{mathl|term= (Y-b) |SZ=}} liegen die maximalen Ideale {{math|term= (X-a) |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |a^n ||b || || || |SZ=. }} Dies ist die idealtheoretische Interpretation der {{math|term= n|SZ=-}}ten Potenzierung. Insbesondere liegen die Ringhomomomorphismen {{ Ma:abbele/disp |name= | K[Y]_{(Y-b)} | K[X]_{(X-a)} |Y|X^n |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |diskreten Bewertungsringen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Dabei wird die Ortsuniformisierende {{math|term= (Y-b) |SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | X^n-b || X^n-a^n || (X-a) ( X^{n-1} + X^{n-2} a^1 {{plusdots|}} Xa^{n-2} +a^{n-1} ) || || |SZ= }} abgebildet. In dieser Produktdarstellung ist der linke Faktor die Ortsuniformisierende des zweiten Bewertungsringes. Der zweite Faktor wird, wenn man für {{math|term= X|SZ=}} die Zahl {{math|term= a|SZ=}} einsetzt, zu {{math|term= na^{n-1} |SZ=.}} Wenn {{math|term= n|SZ=}} und {{math|term= a|SZ=}} beide Einheiten in {{math|term= K|SZ=}} sind, so ist dieser Faktor eine Einheit in {{mathl|term= K[X]_{(X-a)} |SZ=}} und daher ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= 1|SZ=,}} es liegt also keine Verzweigung vor. Wenn hingegen {{math|term= n|SZ=}} keine Einheit ist, wenn also die {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= K|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n|SZ=}} ist, so liegt Verzweigung vor. Wenn {{ Ma:Vergleichskette |n ||p || || || |SZ= }} die positive Charakteristik ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette || X^p-a^p || (X-a)^p || || || |SZ= }} und die Verzweigungsordnung ist in jedem Punkt gleich {{math|term= p|SZ=.}} Wenn {{ Ma:Vergleichskette |a ||0 || || || |SZ= }} ist, so ist die Verzweigungsordnung direkt gleich {{math|term= n|SZ=}} im Nullpunkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie3=Theorie der Potenzierung in einem Ring |Kategorie4= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cv2ubprz2059g3apqc2o5vl9w4cjnmp 0 124327 779735 763728 2022-08-21T17:15:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zahl {{math|term= \neq 0,1|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |D ||2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Restklassenbeschreibung {{ Ma:Vergleichskette |A_D || \Z[X]/(X^2-D) || || || |SZ= }} besitzt. Die Ableitung von {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||X^2-D || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= 2X|SZ=}} und somit ist, um das Verzweigungsverhalten zu verstehen, nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das Ideal {{mathl|term= (2X,X^2-D) |SZ=}} zu betrachten. Wenn {{ Ma:Vergleichskette |p |\neq|2 || || || |SZ= }} und kein Teiler von {{math|term= D|SZ=}} ist, so ist dies über {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} das Einheitsideal und es liegt keine Verzweigung vor. Wenn {{math|term= p|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= D|SZ=}} oder {{ Ma:Vergleichskette |p ||2 || || || |SZ= }} ist, so liegt Verzweigung mit Verzweigungsordnung {{math|term= 2|SZ=}} vor. Bei {{ Ma:Vergleichskette |D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |A_D || \Z[Y]/(Y^2 - Y - {{op:Bruch|D-1|4}} ) || || || |SZ=. }} Die Ableitung ist {{mathl|term= 2Y-1|SZ=.}} Oberhalb von {{ Ma:Vergleichskette |p ||2 || || || |SZ= }} findet keine Verzweigung statt. Sei also {{ Ma:Vergleichskette |p |\neq|2 || || || |SZ=. }} Modulo {{math|term= p|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | (Y^2 - Y - {{op:Bruch|D-1|4}}, 2Y-1 ) ||(4Y^2 -4 Y - D+1, 2Y-1 ) || 1-2 -D+1 || D || |SZ=. }} Deshalb liegt Verzweigung genau in den Primteilern von {{math|term= D|SZ=}} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Dedekindbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fo34s0hm32ke1ojl5vvnrkao9b2e8v8 0 124347 779622 751672 2022-08-21T16:58:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |p |>|0 || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Ringerweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |K(t)[Y] |\subseteq| K(t) [Y] [X]/(X^p-t) || K(t) [X]/(X^p-t) [Y] |\cong| K(x) [Y] || || |SZ=, }} die Erweiterung spielt sich also im Wesentlichen im Grundkörper ab. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (X^p-t)' || pX^{p-1} || 0 || || |SZ=, }} deshalb sind das beschreibende Polynom und seine Ableitung nirgendwo teilerfremd. Dennoch ist {{ Ma:abb/disp |name= |K(t)[Y]_{(Y)} | K(x) [Y]_{(Y)} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |unverzweigt| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da {{math|term= Y|SZ=}} in beiden Ringen die Ortsuniformisierende ist. Dies zeigt auch, dass {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ohne die Voraussetzung über die Perfektheit nicht gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper in positiver Charakteristik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8qqzz80zck77oea3enz1p8mbrexja1f 109 124978 784646 777676 2022-08-22T06:40:11Z Methodios 23484 /* Literatur 2 */ wikitext text/x-wiki == Straßenkunst == ''Dresden. Ein Straßenkünstler hat am Donnerstagnachmittag auf dem Neumarkt in Dresden einer 30-Jährigen mit einem Seil ins Gesicht geschlagen. Die Frau wurde dabei leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die den Vorfall beobachtet haben. Nach Angaben der Polizei machte die 30-Jährige im Bereich der Frauenkirche Fotos. Dabei geriet sie offenbar mit einem dort auftretenden Künstler in Streit. Anschließend schlug der 40-Jährige zu. Wer Angaben zum Geschehen machen kann, soll sich bei der Polizeidirektion Dresden melden. Insbesondere sucht die Polizei das Pärchen, das sich im Anschluss an den Vorfall mit der 30-Jährigen unterhielt.'' [https://www.dnn.de/Dresden/Polizeiticker/Neumarkt-in-Dresden-Strassenkuenstler-schlaegt-Frau-mit-Seil Straßenkünstler schlägt Frau auf dem Neumarkt in Dresden mit Seil.] Eine Frau will auf dem Neumarkt in Dresden Fotos machen. Dabei kommt es zum Streit mit einem dort auftretenden Straßenkünstler, der ihr mit einem Seil ins Gesicht schlägt. Jetzt sucht die Polizei Zeugen. DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:45, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Dresden. Am Donnerstag gegen 14.20 Uhr ist eine Frau auf dem Neumarkt verletzt worden. Die Frau machte an der Frauenkirche Fotos, als sie offenbar mit einem dort auftretenden tschechischen Künstler in Streit geriet. In der Folge wurde sie mit einem Seil im Gesicht getroffen und leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die Angaben zum Geschehen machen können. Insbesondere ein Pärchen, das sich nachher mit der 30-Jährigen unterhalten hatte wird gebeten sich bei der Polizei zu melden. Hinweise nimmt die Polizeidirektion Dresden unter der Rufnummer (0351) 483 22 33 entgegen.'' [https://www.saechsische.de/polizei/frau-auf-neumarkt-verletzt-5277548.html Frau auf Neumarkt verletzt. Bei einem Streit in der Innenstadt wurde sie von einem Seil getroffen. Nun sucht die Polizei Zeugen.] SZ vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:07, 18. Sep. 2020 (CEST) == Bunker == ''Kinder haben beim Spielen in einem Wald bei der brandenburgischen Gemeinde Nuthetal einen unterirdischen Bunker entdeckt. Der von Hand gezimmerte Unterschlupf, indem sich vieles findet, was man für einen längeren Aufenthalt unter Tage braucht, ist aufwendig ausgebaut und gibt derzeit vor allem Rätsel auf.'' ''Bild: Der Bunker ist innen mit Holz verkleidet und hat etwa die Größe eines Kinderzimmers. Er hat auch ein Lüftungsloch und eine kleine Treppe, die in den Bunker führt. Dort liegt auch ein Handfeger griffbereit.'' (zwei Feldbetten?, zwei Campingstühle, Tischchen, Petroleumlampen, Kleinmöbel, Holz, Isomatte, Geschirr, Lebensmittel, Wandteller, Sandboden, Innenstütze, Deckenbalken, Plastikplane als Zimmer-Decke, nur kleines "Mannloch") [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Bunker-in-Nuthetal-Kinder-finden-mysterioesen-Unterschlupf-im-Wald MAZ vom 15. September 2020.] [https://www.dnn.de/Region/Der-Osten/Kinder-finden-mysterioesen-Bunker-in-Brandenburger-Wald Bergholz-Rehbrücke. Kinder finden mysteriösen Bunker in Brandenburger Wald.] DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:55, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Ist der Bewohner des rätselhaften Bunkers, der in einem Wald in Nuthetal gefunden wurde, noch einmal in seinen Unterschlupf zurückgekehrt? Es sieht alles danach aus: Als Gemeinde-Arbeiter die Sachen aus dem Bunker holen wollten, war das Schloss aufgebrochen. Im Bunker fehlte das Wertvollste, was sich vorher darin befand.'' ''Bild: Der Bunker ist am Mittwoch bereits eingerissen worden. Die Gemeinde Nuthetal läßt ihn zurückbauen.'' [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Mysterioeser-Bunker-in-Nuthetal-Vor-dem-Einreissen-kehrte-der-Bewohner-zurueck-und-holte-das-Funkgeraet Bergholz-Rehbrücke. Nuthetal lässt mysteriösen Bunker einreißen – doch das Funkgerät war bereits verschwunden] MAZ vom 16. September 2020. [[w:Märkische Allgemeine|Märkische Allgemeine]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:53, 20. Sep. 2020 (CEST) [[w:Nuthetal|Nuthetal]] - in der Nähe vom Südwestzipfel Berlins - im "Speckgürtel" - von 2003 bis 2017 fast 500 Einwohner gewonnen auf jetzt über 9.000 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:05, 20. Sep. 2020 (CEST) Wegen sowas häufen sich in Dresden und Umgebung die "unterirdischen Zelte" (der Begriff wurde von einem AfD-Stadtrat aus Berlin-Reinickendorf verwendet - das ordentliche Ordnungsamt hatte da die anwachsende "Zeltstadt"! - so 150 Einwohner Nähe Flughafensee - vor anderthalb Jahren geräumt, die Leute haben sich dann eingegraben, wurden zT entdeckt - sicher zu primitiv, sicher auch zu alkoholisch - und diese Bunker - mit zB Kühlung für Bierkästen - bezeichnete der sozial unbeleckte Stadtrat dann als "unterirdische Zelte"). https://de.wikipedia.org/wiki/Flughafensee vgl. [[w:Nasser Asphalt]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:53, 20. Feb. 2021 (CET) == Housing first == === Erstes Projekt in Sachsen: Leipzig === Und nun folgt auch Leipzig: Sn Sommer soll der Housing First in einem Modellprojekt erprobt werden. Berlin ist da schon weiter: wir arbeiten an der Verstetigung, weil es so gut läuft! [https://www.facebook.com/housingfirstfuerfrauen/ FB Housing First für Frauen, 18. März 2021] Eine eigene Wohnung ist das oberste Ziel der Hilfen für wohnungslose Menschen in Leipzig. Bezahlbare Wohnungen sind in Leipzig aber inzwischen knapp. Daher soll ab dem Sommer der Ansatz „Housing First“ erprobt werden – mit dem Modellprojekt „Eigene Wohnung“. Dies wurde in der Dienstberatung des Oberbürgermeisters auf Vorschlag von Bürgermeister Thomas Fabian auf den Weg gebracht. Jetzt muss noch der Stadtrat zustimmen. Der aus den USA stammende Ansatz „Housing First“ (auf Deutsch: zuerst eine Wohnung) verspricht gute Ergebnisse bei der Integration von obdachlosen Personen. Deshalb verfolgen etliche Kommunen in Europa und Deutschland diesen Ansatz. Bei „Housing First“ erhalten obdachlose Personen eine eigene Wohnung mit Mietvertrag und dazu eine individuell passende Hilfe durch Sozialarbeiterinnen und Sozialarbeiter. Die Anzahl der Personen, die Schwierigkeiten haben, ihre Wohnung zu halten oder bei Wohnungslosigkeit eine neue Wohnung zu finden, hat zugenommen. Besonders betroffen sind Personen mit Mietschulden sowie Menschen mit psychischen und Suchterkrankungen. Bürgermeister Thomas Fabian ist überzeugt: „Wir wollen obdachlosen Frauen und Männern die Möglichkeit eröffnen, eine eigene Wohnung zu beziehen. Sie erhalten dabei auch Unterstützung, die sie brauchen, damit ein Neuanfang gelingt. Unser Modellprojekt greift Konzepte und Erfahrungen des Ansatzes Housing First auf. Es ergänzt gut unsere Angebote der Obdachlosenhilfe in Leipzig.“ Entwickelt wurde das Projekt vom Sozialamt auf der Grundlage von Befragungen von Trägern der Wohnungsnotfallhilfe, Fachexperten und auch obdachlosen Personen. Grundzüge des Leipziger Konzeptes wurden in einer Strategiekonferenz mit Akteuren aus der Obdachlosenhilfe beraten. Das Modellprojekt soll im Sommer beginnen. Im Oktober könnten dann die ersten von mindestens 40 obdachlosen Personen in ihre Wohnung ziehen. Die Wohnungen werden vorwiegend durch die stadteigene Leipziger Wohnungs- und Baugesellschaft mbh (LWB) zur Verfügung gestellt. Aber auch Wohnungsgenossenschaften und private Wohnungsvermieter sollen einbezogen werden. Bis 2024 soll das Modellprojekt erprobt und während dieser Zeit auch wissenschaftlich evaluiert werden. Eine Koordinationsstelle im Sozialamt steuert die Umsetzung. Insgesamt 1,2 Millionen Euro werden für das Projekt bis 2024 eingeplant. [https://www.leipziginfo.de/aktuelles/artikel/modellprojekt-eigene-wohnung-fuer-obdachlose-personen-in-leipzig/?fbclid=IwAR2cjmPZddnGLP8_N-wRIANWMhBCgzHOhdyWjbNytNruFn3KM9wZp3A-R0I Modellprojekt "Eigene Wohnung" für obdachlose Personen in Leipzig. Ansatz „Housing First“ soll ab dem Sommer erprobt werden] 18.03.2021 Stadtinformationen Stadt Leipzig --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:36, 19. Mär. 2021 (CET) == Kunst für Housing First == '''''Worin bestand für Sie die Motivation, sich sozialunternehmerisch zu engagieren und das Projekt „Housing First“ ins Leben zu rufen?''' Das Engagement war doppelt begründet: Es ging uns einerseits um den Aufbau adäquater Hilfe für Wohnungslose, zugleich aber war unser Engagement auch politisch motiviert. Ein Schlüsselerlebnis war die Weihnachtsfeier im Düsseldorfer Kulturzentrum zakk vor vier Jahren, als wir feststellen mussten, dass wieder Wohnungslose verstorben waren. Vor dem Hintergrund unserer Philosophie, wonach wir – Wohnungslose und das Team des Düsseldorfer Straßenmagazins fiftyfifty – so etwas wie eine Familie sind (bei aller professioneller Distanz, die in der Sozialarbeit auch notwendig ist), reifte die Erkenntnis, dass chronifiziert obdachlose Menschen im bestehenden Stufensystem quasi überhaupt keine Chance haben, dauerhaft mit normalen Mietwohnungen versorgt zu werden und eine Verelendungsspirale die Folge ist. Meine Kollegin Julia von Lindern hatte sich auch als Lehrbeauftragte an der Hochschule Düsseldorf mit dem Housing First-Ansatz auseinandergesetzt. Es folgte eine Reise unseres Teams nach Wien, um Erkenntnisse vor Ort zu sammeln. Wir haben schlanke Strukturen – ganz im Sinne des lean management –, so dass Ideen stets gemeinschaftlich entwickelt und schnell realisiert werden können. ''' „Lean management“? Das klingt ganz nach einem unternehmerischen Ansatz.''' Housing first stellt natürlich einen Paradigmenwechsel im System dar, aber die linke Attitüde, die lange Zeit ausschließlich auf Systemkritik zielte, lässt sich meines Erachtens unter den gegenwärtigen politischen Vorzeichen nicht mehr durchhalten. Mit dem Erstarken des Rechtspopulismus gilt es, unser Sozialsystem nach Kräften zu verteidigen. Dafür nutzen wir bei fiftyfifty unsere Erfolge als Glaubwürdigkeitsvorsprung, d. h. unsere Arbeit wird immer von Gesprächen mit politischen Entscheidungsträgern sowie Trägern der Wohnungslosenhilfe begleitet. Und natürlich suchen wir gezielt die Öffentlichkeit, um u. a. über Social Marketing für unsere wohnungspolitischen Anliegen, aber natürlich auch unser Fundraising zu werben. Housing First bedeutet: Es besteht von Anfang an ein normales, unbefristetes Mietverhältnis mit allen Rechten und Pflichten. Wohnbegleitende Hilfen werden aktiv angeboten: Betroffene werden dazu ermutigt Probleme mit Unterstützung anzugehen, aber nicht dazu verpflichtet. Dort wo Housing-First bereits praktiziert wird, sind die Ergebnisse überzeugend. Housing-First wurde Anfang der 90er Jahre in den USA entwickelt. In den USA wird es seither in einigen Städten erfolgreich praktiziert. In Deutschland ist der Ansatz noch nicht weit verbreitet. '''Ist eine Triebfeder für Ihr sozialunternehmerisches Engagement auch in den fehlenden Erfolgen der staatlichen Sozial- und Wohnungspolitik zu sehen?''' In jedem Fall. Wir sind bei fiftyfifty zunächst einmal vor allem politisch motiviert, wobei wir inzwischen nicht nur von NRW-Sozialminister Minister Laumann, sondern auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren. Hinzu kommt ein beispielloses Echo in bekannten Leitmedien wie Süddeutsche Zeitung, Zeit online, Stern TV etc. und Fachmedien, durch das wir Housing First bundesweit ins Gespräch gebracht haben. Nicht nur dadurch haben wir umfangreiche Beratungsarbeit bei vielen Trägern der Wohnungslosenhilfe und Kommunen geleistet. Aus eigener Erfahrung und aus zahlreichen Forschungsvorhaben wissen wir, dass Wohnraum in Not geratene Menschen dauerhaft stabilisieren kann – insbesondere dann, wenn der Ansatz Housing first und nicht Housing only lautet. Housing First, wie wir es praktizieren, bedeutet, dass Obdachlose direkt von der Straße in Wohnungen gebracht und zudem professionell betreut werden. Dazu gehören auch tagesstrukturierende Maßnahmen, damit am Ende einer möglichen Vereinsamung in der neuen Wohnung vorgebeugt wird. Für die Politik liegt ein wesentlicher Vorteil des Housing First-Projekts darin, dass die Kosten für die jeweilige Kommune gleich null sind, d. h. unser Modell der Bekämpfung von Obdachlosigkeit kostet die Städte und Gemeinden quasi nichts. Die Düsseldorfer Wohnungsbaugesellschaft SWD etwa verfügt über 9.000 Wohnungen. Würde die Stadt aus diesem Kontingent die ca. 300 benötigten Wohnungen für etwa 300 Straßenwohnungslose, die es in der Landeshauptstadt gibt – ein Großteil der Wohnungslosen wird in diversen Notunterkünften und nicht dauerhaften Betreuungseinrichtungen mehr oder weniger gut versorgt – zur Verfügung stellen, würde die Miete über Transferleistungen gesichert. Und die Betreuung würden Verbände wie die Diakonie oder andere wahrnehmen, über Fachleistungsstunden, die beim Landschaftsverband abgerechnet werden. Die Landschaftsverbände finanzieren sich über kommunale Umlagen, die Städte wie Düsseldorf sowieso zahlen – ob sie Housing First anbieten oder nicht. '''Welche Hindernisse gab es zu überwinden?''' In der Entstehungsphase war ein Hindernis die Schaffung einer funktionsfähigen Organisationsstruktur, wobei wir das weitestgehend aus dem etablierten fiftyfifty-Team stemmen konnten. Aber wir mussten uns sehr engagiert der Mittelbeschaffung widmen, d. h. auch bei Housing First stand am Anfang die Finanzierungsfrage, da wir die Wohnungskäufe nicht kreditbasiert finanzieren wollten, sondern diese bis heute über unsere Einnahmen aus dem Verkauf von Kunstwerken finanzieren, die wir in unserer Benefiz-Galerie verkaufen. Dort unterstützen uns etwa Gerhard Richter, Thomas Ruff, Andreas Gursky, Katharina Mayer und viele andere bedeutende Künstlerinnen und Künstler. Zu überwinden war auch die Skepsis im Team, ob in Düsseldorf überhaupt adäquate Wohnungen zu finden wären und ob Eigentümer an fiftyfifty verkaufen würden. Die Realität hat uns Lügen gestraft: Mittlerweile bekommen wir sogar Wohnungsangebote von sympathisierenden Eigentümern und Maklern, bevor diese auf dem Markt angeboten werden. '''Wie bewerten Sie ihre Arbeit nach nunmehr vier Jahren?''' Das Start-up war ein voller Erfolg: Nachdem wir schon viele Wohnungslose über die Erlöse aus den fiftyfifty-Verkäufen von der Straße holen konnten, sind wir dann mit Housing First und der Housing-First-Fonds-Gründung – zusammen mit dem Paritätischen Wohlfahrtsverband – im Jahre 2018 noch weitergegangen: Hatten wir bei fiftyfifty schon über 60 Menschen von der Straße geholt, so waren es über den NRW-weit tätigen Fonds zusätzlich noch 67 bei 22 Trägern in 14 Städten, für die wir Wohnraum erschließen konnten. Die ehemals Obdachlosen kommen selbst für die Miete auf, die sie zumeist über Leistungsbezug finanzieren. Die Einnahmen aus dem Verkauf von fiftyfifty oder den Spendengeldern bei alternativen Stadtführungen, die sie durchführen, kommen oft noch hinzu. Denn viele von ihnen arbeiten inzwischen als Stadtführerinnen und -stadtführer. Manche sind sogar wieder in regulärer Arbeit. Aber natürlich müssen wir uns auch immer wieder die Risiken vor Augen führen. Die Null-Zins-Politik wird die Immobilienpreise weiter steigen lassen; die Flucht ins „Beton-Gold“ ist ja allerorten zu beobachten. Derzeit kursiert in unserem Beirat sogar die Idee, eine Sozialbank im Sinne unserer Zwecke zu gründen, um der Genossenschaftsidee mit größerem Kapitaleinsatz Geltung verschaffen zu können. Wichtiger aber ist aus meiner Sicht, sich einzumischen und Druck zu machen, damit mehr Wohnungen für Benachteiligte und insbesondere Obdachlose gebaut und zur Verfügung gestellt werden. Das Beispiel Finnland zeigt: Zumindest die Straßenobdachlosigkeit kann überwunden werden. Auch in Deutschland. Es ist eine Frage des politischen Willens. - Das Gespräch führte Tim Engartner. Er ist Professor für Didaktik der Sozialwissenschaften und Mitglied des Direktoriums der Akademie für Bildungsforschung und Lehrerbildung an der Goethe-Universität Frankfurt am Main.'' [https://www.freitag.de/autoren/der-freitag/obdachlosigkeit-kann-ueberwunden-werden?fbclid=IwAR209nCDafyiJ0oGTcAxs2BJdZM897_pLC5ue8ln2S_o1zvP1uc-d8bO4JU „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“. Interview. Hubert Ostendorf, Gründer des Düsseldorfer Straßenmagazins „fiftyfifty“, spricht über den Housing First-Ansatz, mit dem Wohnraum für Wohnungslose geschaffen wird] Von Tim Engartner. Der Freitag vom 16.? September 2020 (38?/2020) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:59, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Zitat: "Obdachlosigkeit kann überwunden werden" Es ist bezeichnend für ein angeblich "christliches", "zivilisiertes" und "kultiviertes" Land wie Deutschland mit angeblich "gebildeten" Bürgern, dass man eine Tatsache wie „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“ im Jahr 2020 als Überschrift in einem Artikel hervorheben muss. Nach dem verlorenen Zweiten Weltkrieg, als viele Städte hierzulande in Trümmern lagen und es in Deutschland Millionen Obdach- bzw. Wohnungslose gab, war das möglich. Und heutzutage sollte das nicht möglich sein? Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand im Jahre 2020 sind zwar auch die neoliberal-konservativen und pseudo-sozialdemokratischen Politiker in diesem unserem "christlichen" Lande. Wenn sich Spekulanten, die sich an den Finanzmärkten beim Milliardenpoker verzocken, dann werden von "christlichen" und "konservativen" Politikern binnen weniger Tage 500 Milliarden Euro für "notleidende Banken" aus dem Hut gezaubert. Aber für Obdachlose sind nicht einmal ein paar lausige Millionen da. Wegschauen ist eben viel billiger. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber auch die vielen Speichellecker, Arschkriecher und Hofberichterstatter in den Medien, die vom angeblichen "Linksruck" in Deutschland faseln und das Problem entweder ignorieren oder mit anderen Themen davon ablenken. Es würde mich nicht wundern, wenn demnächst ein professoraler "Experte" in den Tagesthemen oder im heute-journal erzählt, dass der russische Präsident Putin für die Wohnungsnot in Deutschland verantwortlich wäre. Wenn es nach der Bild-Zeitung geht, ist Putin Schuld daran, wenn es drei Monate lang nicht regnet und wenn es drei Monate lang regnet, dann ist Putin auch Schuld daran. Putin ist nämlich nicht nur Schuld an der Klimaveränderung, sondern auch für den täglichen Stau auf deutschen Straßen und dem Corona-Virus (ACHTUNG: Verschwörungstheorie!) Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand sind auch neoliberale Wirtschaftsprofessoren an deutschen Universitäten und Hochschulen, die seit Jahren das Dogma vom effizienten Markt predigen, der am Ende alles zum Besten regelt, wenn sich der Staat aus der Politik raushält. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber vor allem die ignoranten, arroganten, dekadenten, scheinheiligen, verlogenen und opportunistischen (Mit-)Bürger in diesem Lande, die diese neoliberal-konservativen Politiker und Parteien in den letzten Jahrzehnten gewählt haben und immer noch wählen. Und was sagen die "heilige" Angela von Merkel und der "christliche" Kronprinz von Großbayern, Dr. Markus Söder, zu diesem Problem? Ganz einfach: Nix! Wenn man mit dem Helikopter über das Land schwebt, sieht man die "Penner" bzw. "Wohnsitzlosen" (wie die formal-juristische korrekte Bezeichnung in unserem Sozialstaat lautet) da unten nicht. Zitat: "... wobei wir inzwischen ... auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren." Wenn es um Obdachlosigkeit bzw. Wohnungsnot geht, machen die Nationalisten, Sozialdarwinisten und rechten "Patrioten", die Tage ein Tag aus mit der Deutschlandfahne herumwedeln, offenkundig keinen Unterschied zwischen reinrassigen Deutschen und Ausländern bzw. Migranten. Für "aufrechte" und "saubere" Deutsche waren und sind Obdachlose eben keine Menschen mit Würde, sondern sozialer Abfall.'' Kommentar Christian Brecht, 16. September 2020 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:02, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Obdachlosigkeit ist ein sehr vielschichtiges Problem und ist meistens in der Biografie / Famile der Betroffenen selber zu finden. Betrachtet man z. B. zerrüttete / problematische Familien über Generationen hinweg, dann wird schnell einmal klar, dass bestimmte Menschen sozusagen von Geburt an einem höheren, sozialen Risiko ausgesetzt sind. Eine weitere Gruppe von Obdachlosen stellen Menschen mit schweren psychischen Problemen dar (z. B. bi-polare Störung). Da bei ihnen häufig ein problematisches Sozialverhalten vorliegt, ist auch die Wahrscheinlichkeit gross, eines Tages „in der Gosse zu landen“. Häufig gesellen sich hier noch Suchtproblematiken aller Arten dazu. Die dritte Gruppe sind natürlich Zugewanderte (v. a. Asylsuchende). Natürlich sind auch Mischformen dieser drei Gruppen auf der Strasse anzutreffen. Auf jeden Fall bewirkt die Obdachlosigkeit bei den Betroffenen ein lebenslanges Trauma. Man kann einen Menschen zwar von der Strasse holen, aber die Strasse nie mehr aus ihm heraus. Ob sich Menschen dauerhaft resozialisieren lassen, ist eine weitere, wichtige Frage: Voraussetzung dafür wäre, dass sie überhaupt schon einmal sozialisiert waren, d. h. gesellschaftlich voll integriert. Das ist insbesondere bei langjährigen Drohensüchtigen schwierig. Auf jeden Fall wünsche ich „fiftyfifty“ viel Glück und Erfolg!'' Kommentar Reinkarnation, 16. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:04, 20. Sep. 2020 (CEST) == 20. neunerhaus Kunstauktion (Wien) == Mitbieten und helfen: Die neunerhaus Kunstauktion bietet DIE Gelegenheit, Kunst zu erwerben und obdach- und wohnungslose Menschen zu unterstützen. Der Reinerlös fließt direkt in die neunerhaus Angebote. Trotz herausfordernder Umstände haben uns für die diesjährige neunerhaus Kunstauktion mehr als 170 renommierte zeitgenössische KünstlerInnen ihre Werke gespendet, damit wir den Reinerlös für unsere Arbeit einsetzen können. Damit diese Kunst nun Gutes tun kann, brauchen wir eure Unterstützung: Steigert mit, teilt die Auktion mit kunstinteressierten FreundInnen. Denn jeder Zuschlag hilft uns, weiter für jene da zu sein, die unsere Hilfe brauchen! https://www.facebook.com/events/2750368081917767/ Die 20. neunerhaus Kunstauktion am 2.11.2020 war ein großartiger Erfolg. Vielen Dank! Nutzen Sie jetzt noch die Chance und erwerben Sie eines der unverkauften Bilder im Nachverkauf. Sie können die verfügbaren Werke ab 7.12.2020 in der Galerie der Rahmenmanufaktur Wohlleb, Seidlgasse 23, 1030 Wien, Montag bis Freitag zwischen 10:00 und 18.00 Uhr oder Samstag 10.00 bis 12.00 Uhr besichtigen. Bei Interesse wenden Sie sich bitte an Michael Walk https://www.neunerhaus.at/kunstauktion/?fbclid=IwAR2bBPxVm_bAqGZUeieJOpqoYVcOTgSvulJ4Ndu765t3CV-MtQNlABAVjGM n drei Wohnhäusern und über 250 Wohnungen in ganz Wien leben mehr als 800 ehemals obdach- und wohnungslose Menschen jährlich. Über 5.000 Menschen versorgt neunerhaus mit dem neunerhaus Gesundheitszentrum pro Jahr – Tendenz steigend. neunerhaus ist eine Sozialorganisation in Wien. neunerhaus ermöglicht obdachlosen und armutsgefährdeten Menschen ein selbstbestimmtes und menschenwürdiges Leben mit Medizinischer Versorgung, Wohnen und Beratung. Ziel ist es, Betroffenen Hilfe zur Selbsthilfe zu geben, um ihre Lebenssituation nachhaltig zu verbessern. neunerhaus engagiert sich gegen die Ausgrenzung wohnungsloser Menschen. Holen Sie Menschen von der Straße, bevor sie ein Teil davon werden. Wohnen ist ein grundlegendes Menschenrecht. Jeder Mensch hat das Recht auf ein menschenwürdiges Leben. Aber nicht jeder hat ein Zuhause. https://www.neunerhaus.at/ == Frankfurter Kunststation == ''Ein Türsteher, eine Gästeliste, zugewiesene Plätze und eine Begrüßung in der Kirche: Einiges war anders beim diesjährigen Sommerfest für die ehrenamtlichen Mitarbeiter des Franziskustreffs. Um 17.00 Uhr begrüßte Bruder Michael die Ehrenamtlichen in Liebfrauen. Großzügig hatte man sich in der Kirche verteilt. Der obligatorische Jahresrückblick war natürlich von den schwierigen letzten Monaten geprägt. Und doch voller guter Neuigkeiten: Mitten in der Krise verteilt, war der Beileger „Corona: Alle bleiben zu Hause, aber wir haben keines“, die bisher erfolgreichste Spendensammlung des Franziskustreffs. Und es folgten weitere gute Nachrichten: Im September 2020 startet die Franziskustreff Stiftung ein kleines '''Kunst-Projekt'''. Mitten in Frankfurt, in bester Innenstadtlage werden wir '''Obdachlosigkeit und Kultur''' in einer ganz neuen Art und Weise zusammenführen. Zudem hat die Stiftung eine gemeinnützige GmbH gegründet. Diese wird Obdachlose in eigene Wohnungen bringen. Die Idee ist, wie Bruder Michael betonte, noch ein „sehr zartes Pflänzchen“. Doch sie wird in Frankfurt bestimmt für einige Aufmerksamkeit sorgen und hoffentlich feste Wurzeln schlagen.'' [https://www.franziskustreff.de/franziskustreff/aktuelles-aus-dem-franziskustreff/sommerfest/ EIN SOMMERFEST FÜRS EHRENAMT] Webseite des Franziskustreffs --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:20, 13. Sep. 2020 (CEST) ''Schätzungen der Wohnungslosenhilfe gehen davon aus, dass rund 550.000 Menschen in Deutschland kein festes Dach über dem Kopf haben. Die Dunkelziffer ist vermutlich höher. Bruder Paulus kümmert sich um einen Teil dieser Menschen. DOMRADIO.DE: '''Für viele Menschen ist wohnungslos und obdachlos der gleiche Begriff. Warum ist das nicht dasselbe?''' Bruder Paulus Terwitte OFMCap (Kapuzinerbruder und Vorstand der Franziskustreff-Stiftung in Frankfurt): Menschen, die wohnungslos sind, haben keinen eigenen Mietvertrag. Sie leben entweder bei Freunden oder haben eine vom Staat zugewiesene Einrichtung in der Stadt. In Frankfurt zum Beispiel leben über 2.000 Menschen in Hotels und anderen Einrichtungen. Das sind Menschen, die zwar irgendwie wohnen, aber am Ende keinen eigenen Mietvertrag haben. Im Unterschied dazu gibt es Obdachlose. Diese Menschen haben dann tatsächlich auch solche Einrichtungen nicht oder wollen dort nicht sein. Sie schlafen beispielsweise in Notbetten in den Notunterkünften. Laut Gesetz steht in Deutschland jedem Menschen ein Bett zu. Aber manche Obdachlose nehmen auch diese Hilfe nicht an und bleiben draußen. Sie möchten ihre Daten nicht angeben und anonym bleiben. In Frankfurt gehen wir von 2.800 obdachlosen Menschen aus, von denen 400 unter freiem Himmel schlafen. DOMRADIO.DE: '''In welcher Form engagieren Sie sich für Wohnungs- und Obdachlose im Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt?''' Bruder Paulus: An der Liebfrauenkirche und am Kapuziner Kloster hat der Kapuzinerbruder Wendelin vor über 25 Jahren einen Frühstückstreff eingerichtet. Jeden Morgen können hier Menschen von 7.45 Uhr bis 11.15 Uhr frühstücken. Normalerweise haben wir 32 Plätzen für 190 Leute. Jetzt in der Corona-Zeit haben wir nur noch zwölf Plätze und die Leute dürfen nur noch 15 Minuten bleiben. Das sind immer noch 130 Menschen, denen wir hier ein Frühstück, Gastfreundschaft und franziskanische Brüderlichkeit anbieten. Wir haben über 60 Ehrenamtliche, die sich engagieren. Dazu bieten wir eine Sozialberatung an. Das alles ist von Spendengeldern getragen. Darüber hinaus mieten wir Wohnungen an, damit wir einigen unserer Gäste sagen können: Versuch das doch mal wieder mit dem Wohnen. Neu ist unsere '''Kunststation'''. Wir glauben, dass obdachlose Menschen vor allen Dingen eine Begegnung auf Augenhöhe brauchen. Wir müssen in der Gesellschaft ein Gespräch beginnen, dass Obdachlosigkeit viel früher beginnt: Sei es durch fehlende Miete oder eine Wohnung, dadurch dass der Partner weggeht oder verstirbt oder durch Arbeitslosigkeit und Krankheit. In der Corona-Pandemie sagen auch sehr viele Menschen, dass sie eigentlich in dieser Welt gar nicht mehr zu Hause sind. DOMRADIO.DE: '''An der Kunststation ist die Franziskustreff-Stiftung auch beteiligt. Was hat diese Kunststation konkret mit der Situation der Wohnungslosen zu tun?''' Bruder Paulus: Sie ist direkt in der Innenstadt, wo ganz viele Obdachlose hausen. Ich habe einen Kulturleiter gefunden, der sehr nah an diesen Menschen ist, der sich in der Stadtszene sehr gut auskennt und auch in der Kunstszene gut vernetzt ist. Er hat sehr viel Freude daran, mit uns zusammen unseren obdachlosen Menschen zu sagen: Hey, guckt doch mal, ob ihr euch ansprechen lasst mit euren kreativen Möglichkeiten. Unsererseits wollen wir Kunstprojekte initiieren, die zeigen, dass Menschen am Rande eigentlich Schätze in unserer Gesellschaft sind. Darum ist diese Galerie in einem ehemaligen Juwelier-Shop untergebracht, den wir angemietet haben. Wir zeigen Schätze von Menschen, die sonst am Rande sind. Im Moment läuft eine 14-tägige Ausstellung von zwei jungen Frauen, die für Menschen mit geistiger Beeinträchtigung ein Daumenkino geschaffen haben, in dem 100 Begriffe dargestellt werden. Unter unseren Gästen sind selber Künstler und wir hoffen, dass sie sich anregen lassen, weil sie jetzt einen eigenen Ausstellungsraum haben. DOMRADIO.DE: '''Für viele Wohnungs- und Obdachlose ist es eine große Überwindung, zu ihnen zu kommen und diese Hilfe anzunehmen. Wie versuchen Sie, den Menschen hier Mut und Selbstvertrauen zu geben?''' Bruder Paulus: Indem wir ihnen einfach als Mitmenschen begegnen, die eine eigene Lebensgeschichte haben und die keine Hilfe wollen, sondern möchten, dass wir ihnen erst mal auf Augenhöhe begegnen und sie ernst nehmen. Das kennt jeder aus seinem eigenen Leben, dass wir es eigentlich nicht gerne haben, dass Leute von außen kommen und sagen: Du, ich habe da was gesehen, ich muss dir mal helfen. Jeder Mensch hat eine Autorität, wie er sein Leben gestaltet und kann sagen: Ich will jetzt einfach nicht mehr dieses und jenes. Ich habe die Schnauze voll von Schuldnern und von Menschen, denen ich etwas schulde. Ich will ordentlich behandelt werden. Diese Menschen brauchen eine offene und klare Begegnung, ein echtes Wort. Wir sagen bei uns eine Nächstenliebe, die es ehrlich meint, eine Liebe, die auch Wahrheit und Gerechtigkeit mit ins Feld führt. Deswegen versuchen wir auch, ehrliche und klare Gespräche mit diesen Menschen zu führen, damit sie zur Quelle ihrer Kraft finden. Das Interview führte Katharina Geiger.'' [https://www.domradio.de/themen/soziales/2020-09-11/jeder-mensch-hat-autoritaet-ueber-sein-leben-franziskustreff-stiftung-fuer-offene-begegnung-mit?fbclid=IwAR3PNJZm4h2mPoFYNBv7c242UX1yFdw8Jkl_Gwhzbxq4jZ1GlnvHmyba1bU Franziskustreff-Stiftung für offene Begegnung mit Wohnungslosen "Jeder Mensch hat Autorität über sein Leben"] Domradio vom 11. September 2020. ''Der Franziskustreff: Der Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt bietet wohnungslosen und armen Mitmenschen Frühstück und Sozialberatung an. Täglich kommen nach Angaben des Franziskustreffs bis zu 190 Gäste für die Mahlzeit. Derzeit unterstützen rund 60 ehrenamtlichen Helferinnen und Helfern den Treff. Sie bedienen die Gäste, helfen bei der Vorbereitung des Frühstücks und beim Abwaschen und Aufräumen. Eröffnet wurde der Franziskustreff 1992 von Bruder Wendelin Gerigk am Kapuzinerkloster Liebfrauen in Frankfurt am Main. Ihm sei wichtig gewesen, dass es an diesem Ort immer einen offenen Raum für arme und obdachlose Menschen geben möge, schreibt die Stiftung auf ihrer Homepage. Spenderinnen und Spender unterstützen seither das von Bruder Wendelin gegründete Werk. Derzeit steht Bruder Paulus Terwitte der Stiftung vor und Bruder Michael Wies leitet den Treff. (DR/ Stand: 11.09.2020)'' --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:41, 13. Sep. 2020 (CEST) == OSTRALE == [https://pieschen-aktuell.de/2020/ein-kunstgarten-fuer-uebigau/ Ein Kunstgarten für Übigau.] Pieschen aktuell 6. November 2020 von Elisabeth Renneberg Bild: Die Ostrale hat dieses Jahr Haus und Garten in Übigau bezogen. Alle Fotos: E. Renneberg Dieses Jahr ist die Ostrale, das Zentrum für zeitgenössische Kunst, nach Übigau umgezogen. Das ehemalige Atelierhaus von Eberhard Bosslet an der Rethelstraße beheimatet nun eine Menge Kunst nebst Werkstätten, Büros und einer Künstlerwohnung. Dahinter erstreckt sich eine Grünfläche, die nicht nur auf die Elbe hinausblickt, sondern auch auf eine spannende Zukunft. Hier soll ein ökologischer Garten entstehen – als sozialer und kultureller Ort. Bild: Momentan ist der Garten noch wild und naturbelassen. ;Diskurs über Nachhaltigkeit Das Konzept dafür wird gemeinsam von Umweltexperten, Künstlerinnen aus verschiedenen Ländern und Menschen aus dem Stadtviertel erarbeitet. Letztere einzubeziehen ist ein wichtiges Anliegen des Projekts; das Mitgestalten des eigenen Lebensraums wird so zum demokratischen Prozess und lässt Raum für persönliche Bedürfnisse. Der erste Schritt war daher, an die Türen in der Nachbarschaft zu klopfen und Kontakte zu knüpfen. Auf diese Weise konnte zum Beispiel die Stadtentwässerung Dresden als Kooperationspartnerin gewonnen werden, die über wertvolles Fachwissen rund ums Thema Wasser und dessen Bedeutung für die Umwelt verfügt. Bild: Direkt an der Elbe liegt der zukünftige Kunstgarten. Für die Verbindung der Themen Nachhaltigkeit und Kunst ist ein Team aus einer deutschen und einer tschechischen Künstlerin sowie je zwei Studierenden der Kunsthochschulen in Dresden und Breslau zuständig. Sie machen sich unter anderem Gedanken über Ressourcen, wie etwa die Farbe zum Malen natürlich gewonnen werden kann. Die Ergebnisse ihrer Recherchen und Ideen geben sie in Workshops weiter an Kinder aus dem Kinderhaus Sonnenschein – auch ein durch Anklopfen zustande gekommener Kontakt. Zwei Workshops konnten bisher stattfinden und sind auf allgemeine Begeisterung gestoßen. ;Eine Verbindung zwischen Kunst und Sozialem „Es ist uns wichtig, von Anfang an ein Gefühl der Zugehörigkeit und der persönlichen Verantwortung zu vermitteln“, erklärt Projektleiterin Giulia Deidda. Die gebürtige Italienerin stieg ursprünglich als Bundesfreiwillige ins Team der Ostrale ein und ist mit vollem Einsatz dabei. Aufgewachsen in einer Kleinstadt mit historischer Ausgrabungsstätte an der sardinischen Küste, entdeckte sie schon früh ihre Liebe zur Kunst und widmete sich zunächst der Archäologie. Im Laufe der Zeit wurde dann der Wunsch, Kunst und Soziales zu verbinden, immer lauter. Bild: Giulia Deidda leitet das Projekt mit Begeisterung und Elan. So zog Giulia in die Niederlande, um dort soziale Inklusion im Kulturbereich zu studieren. Nach dem Leben in sieben unterschiedlichen Ländern ist sie mittlerweile in Dresden gelandet. Ihre Leidenschaft hat sich erhalten: „Mein größter Wunsch ist es, Kunst allen, und wirklich allen, zugänglich zu machen.“ Für das Ziel, die klassische Zielgruppe aufzubrechen, ist die OSTRALE die richtige Adresse, sieht sie in der Kunst doch das Mittel zur Kommunikation und zur Aufarbeitung gesellschaftlicher Themen. ;Ausblick auf die nächsten Schritte Der Kunstgarten schließlich darf diese Vision mit verwirklichen. Nach dem erfolgreichen Start mit den Kindern sollen immer mehr Anwohner*innen von der Botschaft erreicht werden, dass Kunst für alle da ist. Und natürlich auch mit dem Angebot eines Aufenthalts- und Begegnungsortes, der mitgestaltet werden kann, und an dem langfristig Veranstaltungen wie Workshops, Lesungen oder gemeinsames Kochen stattfinden sollen. Bild: Auch in den Innenräumen ist Platz für Veranstaltungen. Die konkrete Gestalt dieses Ortes ist noch in der Planung. Denkbar ist zum Beispiel ein Barockgarten, mit geometrischen Formen und Skulpturen aus natürlichen Materialien. Das Nutzen vorhandener Ressourcen wie zum Beispiel Sand aus der Elbe. Die Ideen müssen noch überprüft, entwickelt, ausgetauscht werden. Wie gesagt mit dem Augenmerk auf Nachhaltigkeit und unter Einbezug der Nachbarschaft. Anfang Oktober hatte Ostrale-Vorstandsvorsitzende Andrea Hilger das Konzept im Stadtbezirksbeirat Pieschen vorgestellt. Die Beiräte stimmten einer Förderung mehrheitlich zu. Bleibt also, gespannt zu sein, was sich in den nächsten Monaten auf dem Grundstück im beschaulichen Übigau entwickeln wird. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:18, 8. Nov. 2020 (CET) == Eberhard Bosslet == [[w:de:Eberhard Bosslet]] === Übersicht === Installation / Objektkunst, Skulptur, Malerei, Lichtinstallation, Land Art * 1953 Gruppen: Material & Wirkung Berlin Vita EBERHARD BOSSLET geboren 1953 in Speyer, lebt in Berlin 1997 bis März 2019 Professor für Skulptur und Raumkonzepte an der HfBK Dresden seit 1981 Mitglied bei Material & Wirkung sowie temporäre Aufenthalte in Spanien 1987 documenta 8, Kassel (Katalog) und Bremer Kunstpreis (Katalog) Einzelausstellungen: (Auswahl) * seit 1981 Interventionen im Öffentlichen Raum. * 1985 Intervenciónes/Interventionen, Fundación Miró, Barcelona; ES(Katalog) *1986 Wilhelm-Lehmbruck-Museum, Duisburg, D (Katalog). *1987 Heidelberger Kunstverein, D (Katalog). *1988 John Gibson Gallery, New York, USA. *1989 Neue Nationalgalerie Berlin, D, (Katalog). *1990 John Gibson Gallery, New York, USA *1993 Kunsthal Rotterdam, Holland (Katalog) *1994 Öffentliche Ordnung, Kunstverein Speyer, D (Katalog) *1995 Interventionen II, VERBAU, Sprengel Museum Hannover,D (Katalog) *1995 PLANEN, Kunstverein Heilbronn, (Katalog) *1998 Fundamental wie Bilateral, Kunsthalle Mannheim, D (CD-ROM) *2000 Trabanten, Galerie Bochynek, Düsseldorf, D *2000 John Gibson Gallery, NY, USA *2002 Analoge Scheiben, Galerie Bochynek Düsseldorf, D *2004 Künstlerhaus Bregenz, Palais Thurn und Taxis, A *2006 Galerie der Stadt Backnang, D (Katalog) *2007 Stadtgalerie Saarbrücken, D (Katalog) *2009 Additive, Kunstverein Ingolstadt, D , (CD-ROM mit booklet in softbox) *2010 Stump Stools, Humboldt-Universität Berlin, Thaer-Saal, Berlin, D *2011 Stump Stools, Lichthof im Albertinum Dresden, Dresden, D *2012 Dingsda, Saarlandmuseeum Saarbrücken, Katalog, D (Katalog) *2013 Heimleuchten Trier, Kunstverein Trier – Junge Kunst, D, CD-ROM mit booklet in softbox) *2014 Chisme – Heavy Duty, TEA Tenerife Espacio de las Artes, Santa Cruz de Tenerife, ES, Katalog Ausstellungsbeteiligungen: (Auswahl) *1987 documenta 8, Kassel, D (Katalog) *1987 Bremer Kunstpreis 1987, Kunsthalle Bremen, D (Katalog). *1988 Spaces 88, Museo d'arte contemporanea Prato, Italia, (Katalog). *1989 D & S Ausstellung, Hamburger Kunstverein, D (Katalog). *1991 EUROCARD,John Gibson Gallery, New York, USA. *1992 Kunst werkt / Art works, Foundation, Stedelijk Museum Amsterdam,NL, (Katalog) *1992 Humpty Dumty's Kaleidoscope, Museum of Contemporary Art, Sydney, Australia, (Katalog) *1993 Eberhard Bosslet & Lawrence Gipe, Düsseldorfer Kunstverein, D, (Katalog). *1998 Material & Wirkung, Bosslet, Klotz, Sattel, Kunsthaus Dresden, D , (Katalog) *1999 Areale – Kunst im Industriellen Sektor, Brück/Linthe, D, (Katalog) *2000 Kabinett der Zeichnung, Kunstverein Düsseldorf, D *2001 Skulpturenufer Remagen, Regenfänger, D *2002 unexpected selection from the martin z.margulies collection, The Art Museum Miami, FL USA (Katalog) *2004 Worldwatchers, Kunsthaus Dresden, Städtische Galerie für Gegenwartskunst, D *2007 1 plus aus Dresden, Schloss Waldthausen/Mainz, D *2008 Ostrale 08, Zentrum für zeitgenössische Kunst, Dresden, D 2. Bienal de Canarias, Arte, Arquitectura y Paisaje, La Regenta, Las Palmas Gran Canaria, ES (Katalog) „berufen“, Hochschule für Bildende Künste Dresden, D *2009 Ostrale 09, Ausstellung internationaler zeitgenössicher Künste Dresden, D 1.Biennale für Internationale Lichtkunst Ruhr, Unna, D, (Katalog) *2010 Kunstmuseum Mühlheim, Liebhaberstücke, D, 11.09.2010-07.11.2010 *2011 Universum, Temporärer Kunstraum Harkort, Leipzig, D (Katalog) Kunst in der Villa Körbling, Speyer, D; End of the dream, MiccMoco, Berlin, D *2012 Participar, El Matadero, Goethe Institut Madrid , ES 2nd Ural Industrial Biennial of Contemporary Art, Ekaterinburg, RUS (Katalog) *2015 Living Large, Tucson Museum of Art, Tucson Arizona, USA *2016 Luminale Frankfurt am Main, D *2016 Ostrale weht Oder, Breslau/Wroclaw, PL *2017 Espacio P, Ca2M, Madrid, ES, Best of Ruhrgebiet , Galerie Frank Schlag, Essen, D Werke im öffentlichen Raum: *seit 1981 Interventionen im öffentlichen Raum *seit 2000 Gesamtgestaltung des U-Bahnhof, Duisburg-Meiderich, „Auf dem Damm“, D *seit 2001 Turmskulptur „Regenfänger“, Yachthafen Oberwinter/Remagen am Rhein, Skulpturenufer Remagen, Arp Museum - Bahnhof Rolandseck, D * seit 2008 - Inselwachstum, TU Chemnitz Institut für Physik und Reinraum, D Bibliografie: Auswahl Monografien *Picazo Gloria¸ Camps Miro: Eberhard Bosslet Intervenciones/Interventionen, Katalog der Fundación Miró, Barcelona 1985. *Gercke, Hans; Messler, Norbert; Stecker, Raimund: Eberhard Bosslet, Katalog des Heidelberger Kunstvereins, Heidelberg 1987. *Schmitz, Britta: Eberhard Bosslet, Katalog der Neuen Nationalgalerie Berlin, 1989. *Bochynek, Martin: Eberhard Bosslet, Katalog der Kunsthal Rotterdam 1993. *Seifermann, Ellen; Bochynek, Martin: Eberhard Bosslet - Malerei, Katalog PLANEN des Heilbronner Kunstvereins 1995 *Meyer-Büser, Susanne: Eberhard Bosslet, Interventionen II, Katalog des Sprengel Museums Hannover, 1995 * Bosslet-Archiv , CD-ROM für PC Werksverzeichnis von 1979 bis 2003, Kunsthalle Mannheim 2000, 3. erg. u. überarb. Ausg. 2003 * Utheman, Ernst W., Eberhard Bosslet, Work Groups, Katalog der Stadtgalerie Saarbrücken, 2007 * Findeisen, Ralf; Gisbourne, Mark; Grewenig, Meinrad Maria; Schütze, Irene; Katalog des Saarland.Museum Saarbrücken, 2012 * Bosslet, Eberhard; Findeisen, Ralf; Janecke, Christian; Britto, Orlando; Hernandez, Celestino, Krawietz, Alejandro; Picaso, Gloria: Miro, Theresa, DE, EN, ES, in Obras en Espana 1982-2012, extraverlag, Berlin 2014 * Gisbourn, Mark; Chisme – Heavy Duty, ES,DE, Katalog des TEA Santa Cruz de Tenerife, Spanien Internet: * www.bosslet.com * https://artmap.com/eberhardbosslet * https://instagram.com/bosslet.de/ Videos: * http://www.bosslet.com/exhibition-videos.html Eberhard Bosslet (geb.1953 in Speyer) Bosslet studierte Malerei bei Raimund Girke an der Hochschule der Künste Berlin von 1975 bis 1982. Ende der 70er Jahre wandte er sich in Installationen und mit Skulpturen verstärkt dem Dreidimensionalen zu. Das Spektrum der Arbeiten von Eberhard Bosslet umfasst Malerei, Skulptur, Installation, Intervention und Fotografie. Seit Anfang der 80er Jahre aktualisierte er mit seinen Eingriffen in den architektonischen Innen- und Außenraum den Begriff der Intervention. Bosslets dreidimensionales Werk beschäftigt sich auf ganz unterschiedlicher Weise mit den Bedingungen des Bauens und des Wohnens, mit Außen und Innen, privaten und öffentlichen Räumen. Alle Werke für institutionelle Ausstellung werden von Eberhard Bosslet für diese spezifischen Räumlichkeiten konzipiert und vor Ort mit Hilfe von lokalen Sponsoren und Leihgebern von Material und Gerätschaften realisiert. Die Werke basieren auf unterschiedlichen Konzeptionen. Sie werden von Fall zu Fall modifiziert und ähnlich einer Musik Komposition neu interpretiert. Diese inszenierten und installierten Werke bekommen am Ort ihrer neuen Aufführung eine raumbezogene neue Dimension und einen Wandel in der Materialität durch die vor Ort verfügbaren, ausgeliehenen Dinge und Gerätschaften. Sofern diese Werke nicht im Laufe der Ausstellung von jemanden erworben werden, gehen alle Werkbestandteile an den Ort ihrer Herkunft zurück. Mit diesen Werken begründete er seinen internationalen Ruf. https://www.bbk-kulturwerk.de/kioer/kuenstlerdatenbank/profil/eberhard-eberhard-bosslet --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:21, 9. Nov. 2020 (CET) === Intervention === [[w:de:Intervention (bildende Kunst)]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Bauzeichnung La Restinga II voll El Hierro 1983.jpg|mini|El Hierro seit 1983]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Bauzeichnung La Restinga II El Hierro 1983.jpg|mini|]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung II Tenerife El Guincho 1984.jpg|mini|El Guincho Teneriffa Süd 1984 Begleiterscheinung II]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung VII 1990.jpg|mini|Teneriffa 1990 Begleiterscheinung VII]] El Hierro sur *Dibuje de Obra, La Restinga II, 1983 *Eberhard Bosslet - Seit 1983 - Arbeiten an Ruinen: sog. "Bauzeichnungen, Reformierungen und Begleiterscheinungen" hierbei Transformierung der Gegebenheiten an Industrie- und Wohngebäuden durch lineare oder flächige Malerei. Commons Duisburg Germany *Intervention Innenhafen Duisburg, 1984 Near Barcelona *intervention on abandoned ruine *Dibujo de obra; Badalona; Spain, 1985 Tenerife Sur *intervention on abandoned ruine *Reformation IV, 1989 http://www.bosslet.com/interventions.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:50, 8. Nov. 2020 (CET) ;Teneriffa 2006 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung X Nord Teneriffa 2006.jpg|mini|Teneriffa Begleiterscheinung X]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung X Süd Teneriffa 2006.jpg|mini|vista sur]] [[File:ReformaVII.JPG|mini|Intervención Reforma VII 2006, en Arico]] Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 *www.germanart.eu *Teneriffa Süd Nähe PIRS/Tajao Exit 19 * Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 - vista norte Südseite * Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 - vista sur http://www.bosslet.com/begleiterscheinung-x.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:13, 8. Nov. 2020 (CET) ;Lanzarote 2008 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung XI Era Lanzarote 2008.jpg|mini|Lanzarote 2008 Begleiterscheinung XI]] Intervention ERA 2, 2008 participando 2009 Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje parte de la Segunda Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje, Google Earth view 2010 Art in Public Space - Intervention ERA 2, 2008 2009 Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje Era 2 vor der Intervention - Tegoyo, Tias Lanzarote public space artist La Era 2 antes de la intervención http://www.bosslet.com/era-ii-2008.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:54, 8. Nov. 2020 (CET) ;Gran Canaria 2009 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Reformirung VII Las Palmas GC 2009.jpg|mini|Reformirung VII Las Palmas GC 2009]] Urbane Erforschung - Seit 1983 - Arbeiten an Ruinen: sog. "Bauzeichnungen, Reformierungen und Begleiterscheinungen" hierbei Transformierung der Gegebenheiten an Industrie- und Wohngebäuden durch lineare oder flächige Malerei. Commons 2. Bienal de Canarias 5.3.09-3.5.2009 , Centro de Arte La Regenta - Las Palmas de Gran Canaria Neu//New/Nuevo Street View 360° at Google Earth - Gran Canaria zeigt/shows/muestra EBERHARD BOSSLET Intervention '''Reformation VII''', 2009 - 2. Bienal de Canarias, Gran Canaria Google Earth 28° 7'49.86"N, 15°28'32.66"W http://www.bosslet.com/bienal-canarias-09.html Präsentation: "slideshow" of interventions on flat screen tv on painted wall Eberhard Bosslet - Additive, Kunstverein Ingolstadt, 27.06.-09.08.2009, D "slideshow" of interventions on flat screen tv on painted wall 2. Bienal de Canarias, Arte, Arquitectura y Paisaje, La Regenta, Las Palmas Cran Canaria, 5.3.09-3.5.2009 E http://www.bosslet.com/praesentation.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:43, 8. Nov. 2020 (CET) ;Lanzarote 2011 Concomitancia XIII, Era5/Baxter, 2011, Lanzarote, Tias, Conil, 28°58'17.45"N, 13°39'53.93"W Concomitancia XIII, Era5/Baxter, 2011, Lanzarote, Tias, Conil, 28°58'17.45"N, 13°39'53.93"W http://www.bosslet.com/era-lanzarote-2011.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:58, 8. Nov. 2020 (CET) === Art-loss === Es wird ausdrücklich davor gewarnt das hier genannte und gezeigte WERK EBERHARD BOSSLETs zu kaufen oder auf sonst eine Art und Weise zu erwerben. Das Eigentumsverhältnis dieses Werkes ist umstritten bzw. der Anbieter ist nicht Eigentümer und hat keine Befugnis dieses Werk zum Kauf anzubieten oder auf seine Rechnung zu verkaufen. Sie können daher kein Eigentum an diesem Werk erwerben. Es wird vermutet, daß die hier genannten Personen, bzw. Galerie noch im Besitz des gelisteten und gezeigten Werkes sind. Falls Sie Kenntnis über den Verbleib oder einer Ausstellung des Werkes erlangen, informieren Sie bitte eine der deutschen Galerie des Künstlers. Der letzte bekannte Besitzer/verbleib des Werkes: Karl Bornstein, Santa monica, CA, USA or The Mirage Fund, Fimberg & Wiliams L.P. Mr. Ralf Wiliams, 9777 Wilshire Blvd., Suite 710, Beverly Hills, CA 90212, USA http://www.bosslet.com/art-loss.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:47, 8. Nov. 2020 (CET) === Emeritierung === Sächsische Zeitung vom 25.02.2019 12:00 Uhr [https://www.saechsische.de/plus/eberhard-bosslet-hfbk-dresden-5039640.html Einfach unverbesserlich. Eberhard Bosslet bildete 22 Jahre lang in Dresden junge Künstler aus. Einer von ihnen ist berühmter als der Professor.] Eberhard Bosslet räumt sein HfBK-Atelier in Dresden. Foto: Ronald Bonß Von Birgit Grimm Es hat nicht sollen sein. Die Abschiedsausstellung des Professors für Skulptur und Raumkonzepte an der Dresdner Hochschule für Bildende Künste (HfBK) findet nicht statt. Es liegt nicht daran, dass die Tragfähigkeit des Fußbodens im Oktogon nicht stark genug wäre für das, was Eberhard Bosslet zeigen wollte. Auch hatte er nicht vor, eine Skulptur aus buntem Bauschaum zu erschaffen. Er wollte kein Fahrzeug als Kunstobjekt im Innenhof des Akademiegebäudes an der Brühlschen Terrasse parken und auch nicht einen der Bäume dort mit einem Gartenschlauch umwickeln. Diese Episoden trugen sich alle an der HfBK zu. Manche dieser künstlerischen Ideen wäre gescheitert, wenn Bosslet nicht interveniert hätte. Postfaktische Widrigkeiten nahm der Professor, der nach 22 Jahren emeritiert wird, nicht hin. Er schaltete sich ein, stellte infrage, was da von Rekoptorat oder einzelnen Kollegen infrage gestellt wurde, gab Gutachten in Auftrag. Kunststudenten dürfen nicht machen, was sie wollen. Aber sie sollen sich ausprobieren, Neuland betreten, sich entwickeln. Die meisten, die sich nach dem Abitur oder nach einer Berufsausbildung an der HfBK bewerben, haben ein konservatives Kunstverständnis. „Ich frage meine Studenten, ob ihre Familie sie unterstützt oder es toleriert, dass sie Künstler werden wollen. Noch nie hat mir jemand erzählt, dass seine Eltern ihn regelmäßig in Galerien und Ausstellungen zeitgenössischer Kunst mitgenommen hätten.“ Ihnen zu helfen, dass sie sich zum Zeitgenossen entwickeln, darin sah Bosslet seine Aufgabe. „Aber es gibt so wenige, die unter Innovationsverdacht stehen. Dort, wo man noch nie war, muss man ja auch erst mal hinwollen. Denn das ist kein gemütliches Terrain.“ Überhaupt sei es das Schwierigste, nicht den eigenen Sehnsuchtsmodellen der Vergangenheit anzuhängen. Einer, der Haltung vermittelt Bosslet stammt aus Speyer und ist der Sohn eines Architekten. „Auch bei uns war das Künstlerbild tradiert. Allerdings hatte ich Kandinsky, Miró, Picasso, den Kubismus damals schon verstanden. Trotzdem bin ich durch die Kirchen von Florenz und Venedig gerannt und habe Altarbilder angeschaut. Dass ich am Zeitgeist teilhaben wollte, das merkte ich erst später.“ Auch Bosslets wohl berühmtester Student, der Maler Martin Eder, arbeitet historisierend. „Aber er versteht es, die Grenzen des guten Geschmacks auf eine interessante Weise zu tangieren, sodass sich daran die Geister scheiden. Das macht ihn so zeitgenössisch“, befindet der Lehrer. Er selbst reiste nach dem Studium in West-Berlin Anfang der Achtzigerjahre viel herum, schuf Kunstwerke in der Landschaft: „Wie ein Graffitisprayer, also meistens illegal“, verrät er. Aber auch nachdem er 1997 in Dresden sesshaft geworden war, zog er mit seinen Studenten in die Welt. Dieser Professor kam nicht mit verschränkten Armen in die Klasse, um Korrekturen zu geben. Es war eher eine Haltung, die er durch sein Schaffen und seine Ausstellungen vermittelte. Und es waren praktische Übungen, die den Studenten helfen sollen, sich zu behaupten. „Als ich hier anfing, habe ich einen leeren Raum genutzt, um Projekte zu realisieren. „75Kubik“ hieß das Format. „Als ich das publik machte, hat der damalige Rektor mich zurechtgewiesen, ich hätte nicht die Befugnis, von mir aus damit an die Öffentlichkeit zu treten.“ Hochschulinterne Restriktionen haben ihn nicht davon abgehalten, mit seiner Klasse Ausstellungen innerhalb und außerhalb der Schule, innerhalb und außerhalb Dresdens zu zeigen. „Als ich nach Dresden kam, war ich ein regelrechter Patriot und habe mich total auf die Stadt eingelassen. Viele Jahre habe ich versucht, auszustrahlen. Aber das hat sich nicht gespiegelt. Aus der Stadt kam selten Feedback.“ Wenn hier gebürtige Künstler sich in Dresden nicht wahrgenommen fühlen, sind sie damit nicht allein. Bosslet sagt: „Mal bin ich ein Dresdner Künstler, das nächste Mal bin ich wieder keiner.“ Sein Sohn ist in Dresden aufgewachsen, seine Frau hat hier einen großen Freundeskreis. Trotzdem zog die Familie 2011 nach Berlin. „Ich liebe Dresden, aber ich brauchte physischen Abstand zur Hochschule“, begründet Bosslet diesen Schritt. Er hatte Knatsch mit dem Rektor. Heute soll es vorkommen, dass Professoren und Studenten sich wegen Pegida gegen Dresden entscheiden. Bosslet hat das noch nie gehört. Aber er weiß natürlich, dass bei der Wahl des Studien- und des Arbeitsorts das soziale Umfeld eine Rolle spielt. Hartnäckig und beweglich im Kopf In einem anderen Unterrichtsformat lud seine Klasse Sammler, Galeristen, Journalisten in eine Ausstellung für einen Tag in die Hochschulräume auf der Pfotenhauerstraße ein. Im Zwei-Stunden-Takt diskutierten die Studenten mit je einem Gast ihre Arbeiten. „Nach dem ersten Mal waren die Studenten so scharf drauf, dass sie beim zweiten Mal alles selbst organisiert haben. Das ist der Prozess, den sie üben: Wen lade ich wie ein? Genügt ein Anruf? Oder sollte ich doch lieber schreiben? Was muss ich schreiben, wie formulieren? Hake ich noch mal nach, wenn keine Antwort kommt?“ Wer Künstler sein will, muss nicht nur hartnäckig sein, sondern auch beweglich im Kopf. Der 65-Jährige, der gern Objekte aus Schrott und Bauschutt in hehre Kunsttempel stellt, wollte in seiner Abschiedsschau im Oktogon der HfBK die Installation „Heimleuchten“ zeigen. Kitschigbunte Weihnachtsbeleuchtung im überraschenden Kontext. Doch er fand keinen Sponsor. Heimleuchten: Mit so einer Installation wollte Eberhard Bosslet sich aus dem Professorenamt verabschieden. Doch er fand keinen Sponsor für das material- und energietechnisch aufwendige Werk. Bild: Heimleuchten: Mit so einer Installation wollte Eberhard Bosslet sich aus dem Professorenamt verabschieden. Doch er fand keinen Sponsor für das material- und energietechnisch aufwendige Werk. Bosslet Und weil ihm seine Studenten wichtig sind, er aber keine Klassentreffen mag, lud er sie ein, mit ihm ein Buch zu machen. In Bosslets Lehrbericht von 1997 bis 2019 haben sich die mehr oder weniger jungen Künstler und Künstlerinnen mit Fotos, Kurzvita und Ausstellungsliste verewigt. Dorothee Billard hat das Buch mitgestaltet und dem Professor darin den meisten Platz gegeben. „Unverbesserlich“ steht auf dem Cover. Und in der Tat ist noch nie ein Student an der HfBK durch die Diplomprüfung gerauscht, obwohl im Studium tatsächlich Noten vergeben werden sollen. „Wir müssen Noten geben“, sagt Bosslet. „Da wir gute Lehrer sind, sind unsere Schüler natürlich auch gut. Das hat das allgemeine Bildungswesen nur noch nicht erkannt, dass die Note des Schülers die Note des Lehrers ist – oder die Note des Systems.“ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:01, 9. Nov. 2020 (CET) == Literatur == Menschen ohne Härte, Ellbogen und einen gesunden Selbstschutz, um sich gegen diese immer härter und kälter werdende Welt zu wehren bzw. durchzusetzen ohne die Möglichkeit, einen Schutzwall hochzuziehen Suchstoffe um sich zu betäuben, um den „Seelenschmerz“ nicht mehr fühlen zu müssen „Ritzenz“ dient dazu, sich anders zu fühlen, d.h. sich körperlich statt seelisch zu fühlen seelisch ungeschützter in unserer Mitte sich auf eine innere Nähe zu den Menschen einzulassen, die wirklich z.T. gequälte Seelen sind Egomanen dieser Welt gegen auf Harmonie, einem menschlichen Miteinander gepolte Menschen, die keine Schutzmauer aufbauen können das Gros , das in dieser Welt psychisch überfordert ist vgl. Manfred Lütz „Wir behandeln die Falschen“ „selektiert“ wurde in der Vergangenheit bis hin zur Gegenwart genügend und in allen Bereichen mit dem Ergebnis: der Mensch bleibt auf der Strecke die Evolution der Menschheit ist am Ende, es hat die Evolution des Materialismus begonnen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) Ich meine, meine Bücher sind wirklich! böse, weil sie diese ganze übliche nette gesellschaftliche Verlogenheit und Verkommenheit gründlich demaskieren, indem sie verdammt nah dran an den realen menschlichen Schicksalen sind. Und ich glaube auch nicht, daß es sich wer wagen würde, die zu verlegen - ich übrinx auch nicht, so lebensmüde bin ich nicht. Zum Glück hab ich ob meiner Lebensweise finanziell ausgesorgt und muß gar nix mehr außer sterben. Und dann kenne ich ein weiteres Buch, das wirklich böse ist: Jürgen Vogel: "Magdeburgs Wendehälse. Lexikon der Lügner und Betrüger". Der Autor war 1990 bis 1994 Vorsitzender des Magdeburger Bürgerkomitees und hatte 1991 "Magdeburg, Kroatenweg : Chronik des Magdeburger Bürgerkomitees ; Beobachtungen in der Zeit der Wende zwischen Lüge und Wahrheit" veröffentlicht (nach 1990: "Abgesang der Stasi"). Sein drittes Buch hat niemand mehr verlegt, er wurde aus dem Bürgerkomitee abgeschoben, und die Friedrich-Ebert-Stiftung, welche sein Archiv aufkaufte mit der Zusage der Aufarbeitung, hat als erstes für 60 Jahre den Deckel draufgemacht. Das Buch nenne ich dann mal wirklich pöse - es würde heute noch nicht verkraftet werden, weil immer noch zu viele Wendehälse aktiv sind! https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&reset=true&cqlMode=true&query=auRef%3D102749658X&selectedCategory=any --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:15, 4. Nov. 2020 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3628903430501315&set=a.111717075553319 Meine Gedanken haben mich verlassen. Der Pinsel hat sie weggetragen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626372927421032&set=a.111717075553319 und der Pinsel schrieb Freude ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626370947421230&set=a.111717075553319 und sie fühlte sich selbstverlassen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623995644325427&set=a.111717075553319 werft Worte in die Welt, damit sie dort erblühen können] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623992674325724&set=a.111717075553319 ich will hier raus ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3615247088533616&set=a.111717075553319 Sie haben Euer Denken verriegelt ... ] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3604090076315984&set=a.111717075553319 macht Euch Gedanken, denn sie können fliegen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3601244606600531&set=a.111717075553319 dieser Ort hat keine anderen Grenzen als meine Gedanken] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598497446875247&set=a.111717075553319 wenn ich an meine Eltern denke] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598495936875398&set=a.111717075553319 die Stadt ist ein Wort, der Pinsel schreibt weiter] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:43, 5. Nov. 2020 (CET) == Atompunk == [[File:Сталкеры на привале.jpg|mini|Stalker - Tschernobyl]] [[w:Atompunk|Atompunk]] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/5KgJnV6L6fOfnn7zJHjTs6/41409837b73de7c1c4024424510c493f/76_Shelter_After2_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' bei Fallout] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/1SeUOdsQCoJ5VvGNCSFyf1/0957edcab1fd1dea19da72585fe1a210/76_Shelter_After1_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' II bei Fallout] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) [[w:Picknick am Wegesrand|Picknick am Wegesrand]] 1971 [[w:Stalker: Shadow of Chernobyl|Stalker: Shadow of Chernobyl]] 2007 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:35, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.imdb.com/title/tt0773736/mediaviewer/rm2535426561 Lost in Space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 16:22, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=969560220191143&set=gm.3583128475067470 Marta Kristen in wardrobe wearing a space suit for the 1960s tv series lost in space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:30, 8. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/basw.AbrU_r9vGHo-z_karx2ANGJZqZCGyGSE64dVSxMdVbWi0SJzbI6zMFK5DkovzTd6WRwdpHixH9jkrZvkf2btVYc1PkyHiR9WWLVSpOhOhTJgnyykw5uP6PNxKAraMtgvn4Gwf1gkKNcN8G5MLI5k5E5M/2556004381104383/?opaqueCursor=AbpEfvdUcdzHVE5z6Unv9Jb8PSI92VuSW0qsjVx88LlJSsvDrxL9gDSssK2UdTRFjoDY5tu8GRr_TzHRvdLx2VoW9LkttzbaIZR0XhIrgnPjVcOq0mvNN7_zR7Bq4H9yoDWn-lYoHBg48mdo0zaJy-RcZxVl3bxusgPm0J0vQ4yY6llDaE6zYusB57oPdiVy3e-12jeafiMdTQBCWrKA1EWGuo1WoqSmaCQheqlGz-T4CVGpM7wHAHy1eNPCb4qkZnDy85cL3oBd8nLCAHEx6tSW13Tk2Oz4hcwVz7Tp2RgkLzRVaLKHktEbqISsXcA4i54JEXhzg4C9_T3qOx0-kRnmEdpujxFGBwgmmW1UR5GjjaEbBFq1wRNWuEmR9WuMx1sS3hszrlqRLgIsby8p4oVeHwWQS13ZYz_gmGcz01384AdDHiWVsZh407PGguYaoMMq-Rz5VOPXUId5CsN8ZvOMahqCSUnXvM92iDzR7z1QbFzPfTjPlO9zw7TCTtxb7Yb5FKOBO8k7-NwDxstXiSUNtbMuhmAjN_Ug_N5xbwwGjAwemhypx-0z10UECpq6SZMJ0V8NCdLy7vncYd4loGBqLAxoQrhT_Udzcv1aq4lZqxyScYsQEth5vXa3OK5lsUmZGBIcJRmOoOUqA4kVA38dDvB6SlMxenwhZeSttYJaJMN-Jo9IivE1Dozw2uQPNQFAurmxf1Jojw4xbOttLjQlO2FDXRIsX4vc-LuqlKy4kofkKffUeKUmbohi9fcoftsQ0SGrAIZ-PY38ZP8Phs_iAa0zJ4N42mAG7wcvRIKLmvFnFqdMXGFUNpRdySYlmMsE2OINZlFGRTmXO1kAjxCHMUqmRXW2gl6EGxer1EiPNg atom-punk go-go jazz halloween costume (or every day) ideas #8] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/1029616097076560/ Astronauten-Pärchen] auch eine Idee für die nächste Zeit - aber nicht weiter weg als 5 km von zu Hause, sonst geht die Luft aus [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/837600166278155/ Raucher-Astronaut (Dr. Who)] - Raucher-Maske - sehr Vorteil-Haft für unsere süchtigen Säuglinge unter uns [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/791374787567360/ gelbes Space-Frauen-Kommando mit roten Streifen - unter männlicher Befehls-Gewalt] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/941018669269637/ Silver-Girl im Labor] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/694038930634280/ Heavy Silver Astronautin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/658284810876359/ Weyland Girl] https://en.wikipedia.org/wiki/Weyland#Fiction [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/652535974784576/ Weiße Taucherin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/615008418537332/ Silver Astronautic Paar] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:08, 25. Okt. 2020 (CET) == Photographie == [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2295772393809566/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/68954640_2295772397142899_226081963155390464_o.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=o1bMfM884ukAX9tXvYd&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=8f38ae65e82b5edcbb04f76459d1c66c&oe=602959FB have an idea...?!] - I fuck your brain * [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/703801973006624/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/10600589_703801973006624_962048756325809864_n.jpg?_nc_cat=109&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_tqZPK0GnVsAX-Y0eLn&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7eec14cc6c2e88e8a04eed792dbdf455&oe=60272C91 still the same curves (anniversary remake&reload)] seitlich [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/877898902263596/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12080054_877898902263596_1056407333265845020_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_1-mbP0ptb8AX-FnReH&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180c7826ce94200ffbf0cb43291a70ef&oe=602A4888 all crew members are on service deck] - "Pilotin" *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/853361011384052/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/11836640_853361011384052_1317312222273636789_n.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=-LHNDNWp5I0AX_0qumx&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=f7cb300e18fe7d90fc3a648872812663&oe=60289D63 fighter team] Rückenansicht *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/a.360648453988646/3183274475059349/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/119480868_3183274478392682_4198532599522982186_o.jpg?_nc_cat=111&cb=846ca55b-ee17756f&ccb=2&_nc_sid=0debeb&_nc_ohc=HIa7Uq4NXIQAX-0zCiM&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180cd13ebdc2efca1ea5797f23e6993b&oe=6026766B hangar check] - in der Stratosphäre ist sie sicher vor Corona, die Helm-Nummer "13" sollte zusätzlich helfen [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2875447189175414/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/99257505_2875447195842080_8451893750401073152_o.jpg?_nc_cat=110&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=4vP91s4Xqs0AX8b9Z1F&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=71f3ddd285be9fca24c3be88566bde5d&oe=60269A91 Die Stille der Nacht] - Halskorsett aus schwarzem Leder über Mund und Nase - MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/988286121224873/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/13243780_988286121224873_3083762868739399129_o.jpg?_nc_cat=103&cb=846ca55b-311e05c7&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=isn0T9bKZjIAX8A-9Mv&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=48754a6cbda0068cad72a2e7a921c255&oe=602A0605 roses are the real weapons] (star wars day) Tätowierte mit startrooper helm - hauptsache MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/908425312544288/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12365984_908425312544288_8987609574159828109_o.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=9TeNkoreIRsAX8zhTtN&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=883db11cec295c5424168a9d1da27c3f&oe=602A1F07 256 shades of cathy] in der dusche eingesperrt - https://www.facebook.com/cathleen.sattler [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/181532538566906/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/257974_181532538566906_7525195_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=fZZiQKgTsz0AX8OuhxK&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=e9e2008bb79008684999318b37aad921&oe=6026E2E1 creatures of the night] (danke an wildchild https://www.facebook.com/kleineswirres ) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:31, 16. Jan. 2021 (CET) == Zeichnungen == Das Secret Desire und Michael Kral laden herzlich ein zur Eröffnung der Ausstellung: Freitag, 04.11.2016, 19.30 Uhr Ein akt ist so - natürlich NaCkt ... verhüllt vom N im Negligée ... bezaubernd bis zum Ceh. Im Akt ganz pur zeigt die Natur des Künstlers Können mit Bravour. (Sazu) Ort: Secret Desire, Rothenburger Str 7, 01099 Dresden Die Ausstellung ist vom 04.07.2016 bis zum 04.01.2017 während der Öffnungszeiten des Secret Desire ́s zu sehen. Motiv: Michael Kral, Aktzeichnung, 35 x 25 cm, 2016 https://www.facebook.com/kralartifex/posts/1063220337109301/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:34, 16. Jan. 2021 (CET) == Ruslana Eisenschmidt == [[File:Ruslana-eisenschmidt-disco.jpg|thumb|Ruslana Eisenschmidt bei der Agentur Disco 3000 mit einem Original 3000 T-Shirt. 1999.]] [[File:Silbermond-ruslana-eisenschmidt.jpg|thumb|2001 illustrierte ich die Band Silbermond in Berlin. Dies ist eine Vektorgrafik.]] Ich male den ganzen Tag was ich will... Ich lebe vom Malen. Habe Glück gehabt. Übrigens ist malen arbeiten. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:34, 10. Mär. 2021 (CET) Ich habe eine ganze Kiste voll, mit von mir erfundenen Comic Charakteren... Hier habe ich mal einen "katholischen Schweinepriester" entwickelt und gezeichnet. Er frisst kleine Kinder. * Der frisst Kinder, weil er selbst Angst vorm Leben hat.... Er frisst kleine Kinder, weil er richtig und falsch nicht unterscheiden kann.... * das kommt noch dazu... das sind keine Haare, er hat 4 Teufelshörner! Er ist unfähig sich den Gürtel richtig zu binden. Klick mal das Bild an. Er trägt keine Schuhe, sondern nur eine Strumpfhose, da kann er sich auf leisen Sohlen besser anschleichen.... Eigentlichen male ich nur noch Frauen und Katzen. Da ich da einen eigenen Stil entwickelt habe. Hier habe ich einen Seepferdchendrachen erfunden und gezeichnet. Er wurde von einem Trophäensammler geköpft und an die Wand gehangen, deswegen schnaubt er vor Wut. Ich habe halt ne blühende Phantasie. Ich habe viele Charakters erschaffen. Es sind dermaßen viele, dass ich sie bereits nach Familien sortiert habe. Selbst Comics zeichnen möchte ich nicht. Ich kann aber die Figuren anderen Zeichnern, Zeichentrickstudios oder Spieleentwicklern zur Verfügung stellen. Bei mir sind die Sachen nicht im Kopf. Mein Kopf ist klar. Bei mir entsteht der ganze Unfug erst, wenn ich ein leeres Blatt Papier sehe. Erst kommt ein Auge, dann eine Nase und plötzlich erkenne ich, was das werden soll. Ist jedesmal eine Überraschungsgeburt. ich kann nur zeichnen, wenn ich locker ran gehe. Aus therapeutischen Gründen könnte ich das nicht. Da würde mir nichts einfallen, da ich im Inneren aufgeräumt, aber nach Außen hin chaotisch bin. Für meine Seelenpflege ist da nicht der Zeichenstift, sondern meine Psychologin zuständig. ein Abgrenzungsproblem ist das nicht, sondern das Langzeitgedächtnis speichert Erlebtes besser, wenn es mit Gefühlen verbunden waren. * Ja Du sagst es. Die Gefühle waren dermaßen intensiv daß sie sich mir eingebrannt haben. Das Abgrenzungsproblem war damals Ich ließ sie vieleicht zu nah an mich ran phatetisch an mein Herz. Ich distanzierte mich nicht. So ist das gespeicherte immer präsent. Die Trennung nicht gänzlich vollzogen. So meinte ich das. Das mit den Trennungen ist sowieso etwas seltsames. Das kann keiner begreifen, wie und warum der Mensch das macht...Auseinander gelebt, sich weiter entwickelt, Bindungsangst, komische Sachen gemacht...Der Mensch an sich ist schwach..wir alle sind das... * Hat man Dir das so IN ALLER LIEBLOSIGKEIT gesagt? Diese Erklärungen tragen nicht sehr weit. Ich weiß. Genau richtig gesagt: man begreift es nicht. Nicht vorher, nicht während und erst recht nicht danach. So klar man im Nachhinein auch fälschlicherweise oft denkt: "Ach so. Ist ja ganz klar.Wegen diesem und jenem" Wir wissen daß das nicht stimmt und können doch nicht anders, weil man das sinnlose nicht einfach kapieren und akzetieren kann. Erklärungen wie: "na ja, die hat eben die vielen anderen Männer als Möglichkeit nicht ausschließen wollen, die hat eben keine richtige Beziehung gewollt", was wird noch gerne genommen? Ach ja, "am Alltag gescheitert" etc. Alles um es wegzuerklären und um es in die Schublade ablegen zu können. Gesunde Einstellung, aber... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:05, 31. Mär. 2021 (CEST) https://www.facebook.com/profile.php?id=100019492082821 Suche Wohnung ausschließlich in Ostberlin/Mitte ab Sommer 2021. Unbefristet, kann auch klein sein, Warmmiete bis 700 Euro * maximal 1 Zimmer in einer WG Das ist lieb, doch ich brauche was eigenes. Danke nochmal. * 700,- ??? Na viel Spaß * Mitte Neubau der Quadratmeter 20 EUR nettokalt. Altbau wird wegen Mietendeckel-Entscheid überhaupt nicht mehr angeboten. Und dann bei Privaten auch nur im Netzwerk. Gönnt Dir Keiner was;-( * für 700,- kriegste in Mitte grad mal‘n Zimmer ! Ich suche was Eigenes. Ich möchte zurück nach Ostberlin Mitte. Dafür gebe ich eine große Wohnung in Jena auf. * 700 Euro Warmmiete ist aber inzwischen in Berlin ganz schön optimistisch. ich weiß. Noch könnte ich Glück haben. Ich habe mal ein halbes Jahr in Paris gelebt. Berlin entwickelt sich immer mehr in Richtung Paris. Und Paris lebt einem die hohen Mieten vor. * und New York. 😂 Gut, daßduda wechbist. ab 20 m2 Ich suche Rosenthaler, Torstr., Linienstr. Ich meine konkrete Straßen in Ostberlin, weil das Jugenderinnerungen für mich sind. Alles rund um den Alex ist ideal. Mit Moabit hatte ich nie etwas zu tun. * ich bin von Berlin schon vor zwölf Jahren WEch WEgen dem Mieten-WAHNSINN - dort braucht mensch einKOMMEN zum ausKOMMEN - lebte SO 36 über dem "Trinkteufel" bei Christian Herwartz (Exerzitien auf der Straße) https://www.strassenexerzitien.de/ Ich ziehe dieses Jahr noch zurück nach Berlin. Ich will ausschließlich Ostberlin Mitte, da fühle ich mich wohl, da habe ich meine Jugend verbracht und nur dorthin will ich. Bin auf Wohnungssuche. Ich will unbedingt mach Ostberlin, Mitte...Da explodieren gerade die Mieten wie in Paris. Wird also vorerst nur was Kleines werden. *Irgendwann will man keine Kompromisse mehr machen und vielleicht nach Hohenschönhausen oder weiß der Geier wohin ziehen wg billiger. Obwohl Du doch eigentlich da hin wolltest wo die eigene Jugend stattfand. Nach O. Berlin Mitte. * kann ich nicht mitreden - hatte die meiste Zeit (Ost)Berlinverbot ([Ost]Berlin - die Nebenstadt der DDR) Mir geht es nicht um günstige Mieten, denn die habe ich ja jetzt. Nach Berlin ziehe ich in ein ganz bestimmtes Viertel. Ich will ganz bestimmte Straßen, da das meine Jugenderinnerungen sind und mich aufblühen lassen. ich bin Single, weil ... mein Hintern ist zu groß * Und du glaubst wirklich,daß Männer NICHT darauf Stehen?Was für "Männer" kennst du denn?Wohl eher Würstchen,die sich nicht trauen,zu ihren wahren Vorlieben zu stehen.Hunde wollen Knochen,Wölfe wollen Fleisch! * entscheidend ist eher, wie weit du (mit)gehst arbeiten gehen muss * muß? - ist für mich ein ToTAL verALTeTes Wort Kapuziner im Cafe de la Paix, Paris, 1952. Photo by Georges Dambier. Tolles Foto..doch gebe man der Dame bitte was zu essen. * meine Oma lief ab 1940 im Pariser Chic herum ... Gut, dass ich nie geheiratet habe... Japanische Tradition * kennich -wahr mahl dort (und dsa-dsen-lehrer wahr ich auch mal, in der ddr, als das noch richtig wichtig wahr) Unterwassergang * könntich stundenlang zuschauen ... leichtbekleidete Bikerinnen * Hauptsache Schutzhelm. Und immer das Visier schließen - wegen Corona-VERordnung. Brennende Kerze wird bestiegen Ich wunder mich auch jedesmal, darüber was es in der Kunst Neues zu sehen gibt. Nach dem Motto: "Die Kunst ist tot, es lebe die Kunst." *Kunst-Bruder Christian Schmidt (SJ) hat über Jahrzehnte eine Kerzensammlung aufgebaut - zT noch origineller * Aufstieg zum Licht - oder zur Erleuchtung, Sieleuchtung ... [[File:Painting of Mata Hari by Isaac Israels.jpg|thumb|Painting of Mata Hari by Isaac Israels, 1917]] Mata Hari photo 1907 * Ein atemberaubendes Kleid Ein atemberaubendes Schlitzohr, so kennen und lieben wir sie *sie hat das Alter nie schmecken müssen (ich war mahl mit der "SchoENeN SExiN" zusammen, die wahr ganz ähnlich) Patientin Ruslana: kann nicht schlafen - du mußt feiern und dich betrinken Viele meiner PROMI Kollegen, wie Kurt Krömer waren bereits in einer Nervenklinik..Wieso interressiert das auf Facebook keine Sau? AUCH MARLENE DIETRICH lies sich behandeln. Sind das alles Verrückte für euch? Als bipolar chronisch Kranke, also: ich bin manisch- depressiv. Muss ich aktuell und frisch nach der gerade erlebten, enttäuschten Liebe sehr um mich kämpfen. ÄRZTE..PSYCHOLOGEN..UND MEINE FREUNDE kämpfen gerade um mich. Mir geht es nicht gut. Witz Kommentare sind hier unerwünscht, denn diese Erkrankung ist nicht heilbar und die Selbstmordrate liegt bei über 30% Ich habe ne ABC- Schutzmaske endlich kann ich die mal aufsetzten *sicherheitshalber auch noch den Vollschutz-Anzug habe ich da. * dacht ich mir schon - sicher ist sicher ... Bartclubs, Bartmeisterschaften ... Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. * Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1364217717267517&set=gm.3544231839016781 Atem-beraubend. Vor allem mit schön engen Brust- und Bauchgürteln.] Hier gibt es noch ganz andere Fotos...da habense nix mehr an...doch das wird dann selbst mir zuviel. Ansonsten poste und male ich ja gern freizügige Frauen, ist bei Künstlern seit Jahrhunderten normal. Ich habe früher in den Clubs auf den Lautsprecherboxen getanzt... Nein, es ist nicht einfach so vorbei. Ich habe Liebeskummer und mir geht es nicht gut... [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1155671958211971&set=a.203131063466070 Sophia Loren in schwaarzem Lederkleid mit breitem Gürtel] Alles an ihr ist schön. Eine Augenweide. stand in diesem Out-Fit mal recht hoch auf meiner nach oben offenen Skala (ist allerdings eine Weile her) Ich bin in allen drei Waffen ausgebildet. Florett, Degen und Säbel. Eigentlich gibt es den veralteten, klassischen Stockgriff und den modernen Pistolengriff, der ergonomisch in der Hand liegt. Ich als Künstlerin poste meine Zeichnungen nicht auf Facebook..bekomme aber jetzt von anderen Zeichnungen gepostet..das nenne ich ein gelungenes Produkt Placement.. Bei mir meldet sich oft erst der Bauch, dann das Herz und dann versucht der Kopf noch was zu retten. Glücklicherweise habe ich ein schnelles Hirn...sonst würde ich mit Bauch und Herz nicht klar kommen. Ich wäre dann mit mir selbst überfordert.... Ich habe auch auf Mallorca gelebt. In den 2 Jahren auch viel Leid gesehen. Menschliches und tierisches Leid. Von wegen Trauminsel. Meine beiden Katzen habe ich auf Mallorca bekommen und sie dann nach Deutschand mitgenommen. Sie sind beide als Fracht geflogen. Auf dem Flughafen haben die Spanier sie wie Gepäck einfach in einen halben Meter tiefen Schacht geworfen. Ich bleibe sonst lange ruhig, aber da bekam ich einen Tobsuchtsanfall und habe wüst die Flughafenmitarbeiter auf deutsch beschimpft. ich unterhalte mich auf Facebook nie privat. Nur öffentlich. Das ist ein Grundsatz von mir. Auch liegt nichts an meiner Herkunft, sondern eher an meinem Charakter und meiner fröhlichen Art. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3753838501401735&set=gm.1050564075468125 corona-schlafzeug] Ein Träumchen....😂 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:56, 3. Apr. 2021 (CEST) == Gumina Jasmin == nunja, ich war der letzte Partner der damals edelsten und schönsten Sexin - noch früher persönliche Sekretärin des Reichsbahn-Präsidenten in Dresden, verkuppelt mit dessen Fahrer, ZV-Schlampe der Oberoberoberklasse - vom Feinsten, absolut High End, Edel-Escort, von Geburt an Probleme mit der Halswirbelsäule, deswegen schmerz- und schlaftablettensüchtig ab Mitte 20, Buchspeicheldrüsenkrebs (ein Onkel von mir war ZV-Ausbildungsleiter im ZV-Lager Bernburg, schluckte auch zu viel davon - unter Tage im Steinsalzbergwerk - brach mit 37 zusammen und starb daran mit 51), Whipple-OP mit 45, auf Morphium hochdosiert, von der Medizin abgeschrieben, ihr Mann brannte mit der Pflegerin durch, wollte sie nicht totpflegen, in die Palliativstation St. Joseph-Stift hier in Dresden eingewiesen mit 52 - sie hatte mir schon ihr schönstes Kleid ausgesucht, in dem sie beerdigt werden wollte, die Urne auch - beides lackschwarz und mit roten Rosen - und dann war ihre Liebe zu mir stärker als Schmerz und Tod, da war noch zu viel süßes Leben ungelebt - ich habe ihre ungeheuren Schmerzen in ungeheure Lust transformiert - und sie hatte noch weitere elf absolut tabulose Jahre, dem Tode abgerungen - mit 63 erneut Krebs - gestreut bis in die Lunge - wieder Chemo, wieder edle Perücken aller Coleur, Sauerstoffmaske statt früher Latex- und Gasmasken etc. - nach sechs Monaten der Tod (das Leben wiederholt sich nicht): "mir geht es schlecht" hat sie nur ein einziges Mal gesagt - das waren ihre letzten Worte vor dem Koma - beerdigt wurde sie in lackrot, der Farbe der Liebe, unserem Lieblingsoutfit (darunter rotes Latex als nahtlose Unterwäsche) - die Urne blieb gleich - so eine rote Urne gab es nicht - sie sah noch beim letzten Spaziergang im Rollstuhl aus, wie ich sie kennengelernt habe - mit langer, blonder Perücke, in Lack und Latex, wunderschön wie Mitte 40 - sie hat das Alter nie geschmeckt, und es war wohl besser so für sie (sie ging nie ungeschminkt, ungestylt und ohne High Heels raus - nie nie nie, nur ich kannte sie auch abgeschminkt und voller OP-Narben) https://www.josephstift-dresden.de/kliniken-und-einrichtungen/palliativmedizinonkologie/klinik/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 12. Mär. 2021 (CET) mann muß sich nur zu helfen wissen - diese Ersatz-Atembeutel kenn ich von der Ostzone, ZV-Frauenlager, als "Strafe" für verfehlte Normen (lange Handschuhe) der ANzug sitzt mehr als ANGEGOSSEN - sie sieht aus wie einGEGOSSEN --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:38, 12. Mär. 2021 (CET) nur drei kleiderschränke voll? meine gumina jasmin hatte zusätzlich noch speicher und keller voll, und das ehemalige kinderzimmer nur für extravagante schuhe und (overknee)stiefel - alles für den "erlesenen geschmack" - alles, was das herz begehrt --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:16, 16. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=126742722767970&set=a.106686318106944 70s] * Da darf Mann sich schon mal umdrehen. ** darfste, wenn du Single bist.. * Das waren noch Frauen damals ... ** heute gibt es den gleichen Frauentyp nur die Klamotten sind anders. * Scheint kalt zu sein... ** ficht so einen heißen Feger doch nicht an - ich kenn die Jahre ... die haben auch mir den Kopf verdreht - MILF, und ja, da war ich noch jungk und ledig ... * es gab noch weitaus heißere Feger ... hab ich nicht vergessen * Man denke nur an Jane Fonda in Barbarella ... ** zB - aber ich meine die "Straßenfeger", die nach 68 häufiger und mutiger wurden ... war mit so einer (geb. 1949, gest. 2012) jahrelang zusammen, die war mutig bis zum Schluß, hat sich nie wieder verkrochen, was auch für Mode-Diktat aufkam RIP --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:32, 18. Apr. 2021 (CEST) == Glamouröse Exzentriker == [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10218687693644988&set=g.913747702065221 übergroße Plastikballonmaske] [https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=1266457367084337&id=100011602571613&notif_id=1615101090170179&notif_t=feedback_reaction_generic&ref=notif Die neuen FFP5 sind da (weiße geschlossene Ledermaske)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276827688702/ silberne Astronautin mit schwarzen Handschuhen und Glaskugelhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276717688713/ schwarze Latexastronautin mit Glaskugelhelm und Pistole] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:23, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158202474577830&set=g.913747702065221 Silberglück (Pärchen)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=839169370195157&set=g.913747702065221 Frau schlüpft aus dem Ei (schwarz weiß Vintage)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3765574243522575&set=g.913747702065221 nackte Frau mit Mund-Nase-Maske, blau ganzkörpertätowiert, aufgemalte Lunge] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158144847772830&set=g.913747702065221 Frau mit großer durchsichtiger eiförmiger Maske, Portrait, grünlich im Gesicht mit knallrotem Lippenstift] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3213043045490533&set=g.913747702065221 rotes Latexkleid bis über den Kopf] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1311464692536583/ schwarz-weißes Latexknast-Kostüm mit Regenschirm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3239138999488685&set=g.913747702065221 silberne Hose, halber silberner Umhang, Brustschmuck] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3235899606479291&set=g.913747702065221 silbernes Gesicht, silbern funkelnder Anzug] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1264837057199347/ Frau auf einem Anker schwebend] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:55, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1248731512143235/ Frau als Batman (rauchend)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1225554634460923/ Dior - schwares Latex bis unter die Nase, weißer Pelz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157690485847830&set=g.913747702065221 braunes Lederkostüm mit Handschuhen und großem Hut - durchbrochen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216494985366888/ silbertropfendes Gesicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216495685366818/ silberne Fingerkuppen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216496045366782/ silberspiegelnde Lippen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1211491712533882/ schwarz weiß karierter Latexmantel + -strümpfe (kleiner kariert)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157561517477830&set=g.913747702065221 blaue farbe läuft aus der nase auf die Lippen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157540153992830&set=g.913747702065221 silbernes gesicht - plastiktüte gesichtsoffen - blauer regenmantel (portrait)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157538451092830&set=g.913747702065221 fesselstifel mit knoten am absatz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157526850842830&set=g.913747702065221 latexnonnen mit schlangen] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2906592829409972&set=g.913747702065221 Perlenhaar mit latexkleid und perlenarmbändern] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464369869950/ edelgas-maske] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464949869892/ edelgas-maske mit lederhandschuhen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464689869918/ edelgasmaske schlicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1142273822789005/ ägyptische göttin mit schwarzem tierkopf und blauem langen plastikkostüm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2800059703396619&set=g.913747702065221 violette perücke, gelbe riesige ohrgehänge, gelbe riesige plastikbrille, latexmantel in schwarz] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1115099548839766/ zwei frauen ziehen entgegengesetzt an einem zopf] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=497839764235972&set=g.913747702065221 COCO CHANEL - überlange, übergroße Lederhandschuhe] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2194866524141642&set=g.913747702065221 motorradmietze mit kätzchenmotorradhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1094982130851508/ rotlederne boxerin] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174612871831&set=g.913747702065221 corona-kaffee in schwarzem latextotal und zeitung] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174409538518&set=g.913747702065221 latexmaid in schwarz mit weißem häubchen und weißer schürze gießt milch über sich] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:26, 7. Mär. 2021 (CET) == Literatur 2 == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Literatur 2]] === Paul Rheinfels === [https://www.amazon.de/Paul-Rheinfels/e/B00NSG77ZY%3Fref=dbs_a_mng_rwt_scns_share amazon] ''Paul Rheinfels ist ein Künstlername. Der Autor lebt in einem Dorf in Rheinland-Pfalz und liebt es, seine Leserinnen und Leser mit seinen Büchern zu unterhalten.'' [https://paulrheinfels.wixsite.com/meinewebsite/ueber-mich Webseite]: ''Seit 2011 schreibe ich mit viel Freude Romane, hauptsächlich Kriminalthriller, habe jedoch auch Kinder- und Jugendbücher verfasst und bald erscheint mein erster Liebesroman. Ich lebe in einem wunderschönen Weindorf im Naheland und bin umgeben von Natur und netten Menschen. Mit meinen beiden Hunden Elfe und Foxi gehe ich regelmäßig im Wald spazieren. Um mental und körperlich vital zu bleiben trainiere ich KungFu und treibe leidenschaftlich gerne Sport. Schreiben ist meine große Leidenschaft mit dem Ziel, meine Leserinnen und Leser zu unterhalten und mit spannenden Zeilen zu erfreuen! Ich wünsche Ihnen viel Spaß auf meiner Homepage und beim Lesen meiner Bücher.'' Paul Rheinfels, Franziskastraße 5, 55569 Monzingen - Monzingen ist eine Ortsgemeinde im Landkreis Bad Kreuznach [westlich von Mainz-Bingen] in Rheinland-Pfalz. Sie gehört der Verbandsgemeinde Nahe-Glan an. Monzingen ist eine über 1200 Jahre alte Weinbaugemeinde an der mittleren Nahe. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:12, 23. Okt. 2020 (CEST) === Anais C. Miller === https://www.lovelybooks.de/autor/Anais-C.-Miller/ Anais C. Miller lebt mit zwei Hunden, drei Katzen und zwölf Pferden zusammen mit ihrer Tochter auf einem Bauernhof im Herzen Westfalens, den sie eigenständig bewirtschaftet. Neben ihren Hobbys, dem Reitsport, der eigenen Pferdezucht und der Schriftstellerei, richtet sie ihr Augenmerk auf Menschen und Tiere, die im Leben ein schweres Schicksal tragen und von der Gesellschaft vergessen wurden. Den Schwerpunkt fokussiert sie bewusst auf Missbrauchsgeschichten und Biografien, die von ihr nach wahren Begebenheiten erzählt werden. Tieren, die achtlos weggeworfen werden wie alte Möbelstücke, bietet sie ein neues Zuhause und steckt all ihr Geld in deren zeitaufwendige Versorgung. Menschen, denen man keine Beachtung schenkt für das, was sie erlebt haben, leiht sie mutig ihre Stimme und macht sich in ihren Büchern für die zum Teil grausamen erlebten Schicksale ihrer Protagonisten stark. Anais C. Miller Selfpublisherin lebt mit zwei Hunden, drei Katzen und zwölf Pferden zusammen mit ihrer Tochter auf einem Bauernhof im Herzen Westfalens, den sie eigenständig bewirtschaftet. Neben ihren Hobbys dem Reitsport, der eigenen Pferdezucht und der Schriftstellerei, richtet sie ihr Augenmerk auf Menschen und Tiere, die im Leben ein schweres Schicksal tragen und von der Gesellschaft vergessen wurden. Den Schwerpunkt fokussiert sie bewusst auf Missbrauchsgeschichten und Biografien, die von ihr nach wahren Begebenheiten erzählt werden. Tieren, die achtlos weggeworfen werden wie alte Möbelstücke, bietet sie ein neues Zuhause und steckt all ihr Geld in deren zeitaufwendige Versorgung. Menschen denen man keine Beachtung schenkt für das was sie erlebt haben, leiht sie mutig ihre Stimme und macht sich in ihren Büchern für die zum Teil grausam erlebten Schicksale ihrer Protagonisten stark. Lebensmottos: "Wer in diesem Leben etwas gibt, ohne es an Bedingungen oder Erwartungen zu knüpfen, erhält früher oder später auch etwas zurück." "Wunder kommen zu denen, die an sie glauben!" "Man spreche lieber schlecht von mir als gar nicht." "Adler sterben und die Ratten gedeih`n." Die Bücher von Anais C. Miller sind keine literarischen Meisterwerke. Wer diese unter ihren Veröffentlichungen sucht, wird womöglich enttäuscht sein. Wer allerdings Geschichten die das Leben schrieb- lesen möchte, dessen Inhalte unverblümt, ungeschönt und stattdessen ehrlich und offen erzählt werden- wird ihre Bücher vielleicht schon bald nicht mehr missen wollen. "Oftmals kämpfe ich mit Medien und Plattformen, die meine Bücher weder bewerben, noch veröffentlichen möchten. Dennoch lasse ich mir den Mund nicht verbieten. Jedes Opfer hat eine Stimme verdient und ich kämpfe für jedes einzelne Schicksal- und zwar so lange, bis es Gehör findet. Missbrauch und menschliche Verachtung sind keine Kavaliersdelikte sondern Verbrechen, über die noch immer viel zu oft geschwiegen und hinwegsehen wird. Solange ich lebe, werde ich mich genau für diese Geschichten und die Menschen dahinter, stark machen." besucht Anais C. Miller auf Facebook unter: https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/ https://www.facebook.com/profile.php?id=100018068314805 https://www.facebook.com/AnaisCMillerTierschicksale/?ref=br_rs https://www.facebook.com/AnaisCMiller/ Also dass man noch nicht mal Buchauszüge zu diesem Buch in diversen Büchergruppen veröffentlicht, obwohl nicht einmal das Wort Sex oder Gewalt drin vorkommen, ist schon echt armselig und ich fühle mich schon allein durch meinen Namen mittlerweile diskriminiert und entwertet. Spass macht es wirklich nicht... Habe auch schon überlegt, hier alles hinzuschmeissen, mein Profil aufzugeben und nur noch meine eigenen Gruppen und Seiten zu betreiben und zu unterhalten. Aber da gibt es auch ganz viele liebe Freunde, die ich vermissen würde... und deshalb Krone richten, aufstehen und weitermachen. Übrigens laut der letzten Abrechnung wurden über 50!!! Ebooks zurückgegeben. Das bedeutet, da ging mir ein Monat lang das Katzenfutter für meine Schnurrer dadurch. Meine Schmerzgrenze ist so langsam erreicht, denn es werden immer mehr Bücher. Wenn irgendwann mein Profil fort ist hier, dann habe ich aufgehört zu schreiben und das ist nur noch eine Frage der Zeit wenn ich ehrlich bin. ... das tut mir leid. Passiert mir täglich... Wir kommen klar. Ich habe ja noch 2 andere Jobs. Werbung machen in Büchergruppen, das kann ich nur immer wieder jedem ans Herz legen. Das hilft ungemein, weil es die Reichweite erhöht. Foto vom Buch dabei und schreiben, das habe ich gelesen, hat mir gefallen... das ist alles, was Ihr da draussen tun könnt und doch hat es eine grosse Wirkung ich schreib übrinx für mich. für mich ganz allein. für meine eigene lust. und nicht für geld(tung). was hätt ich denn davon? und was weiß ich, was es für andere bedeutet? Höllenkinder startete also heute früh und das erstaunlich gut... ein Buch ähnlich Aschennutte, grausam, brutal und kaltblütig... leider, denn ich würde auch lieber nur Pferdebücher schreiben. Mich belasten diese Art Biografien ja auch beim Schreiben... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:02, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/a.195322434171669/1277445985959303/ Deine Hölle brennt in mir] - Mein neuer Roman ist soeben erschienen... Nur für Hartgesottene! - Ein Roman, der schockiert- aber ein Buch, das so verdammt wichtig ist! --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:11, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/466466960390547/ es gibt schmerz, der dich verletzt, und schmerz, der dich verändert.] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:18, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/301172006920044/ Frauensäfte] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:22, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/208501319520447/ im Stacheldraht] Der Wecker geht um 5 Ach, bitte 10 Minuten noch, denkt sie sich Ein paar wertvolle Minuten nur noch liegen, es ist ihr im Leben niemals genug Zeit verblieben. Draussen wird es hell, die Vögel singen Wird ihr mühsamer und arbeitsreicher Tag wohl gelingen? In ihr ist es dunkel und bitter, sie fühlt sich beinahe eingeschlossen, wie hinter einem Gitter. Ein Blick auf ihr Handy, sms, whats ap, facebook wer hat an sie gedacht, ihr geschrieben? Und sie bleibt noch einen Moment in ihrem wohligen Bett liegen. Einen schönen Tag! Ich hab dich lieb! Schrieb ihr Freund, ein wahrer Herzensdieb. Ein müdes Lächeln von ihr. Sie fühlt sich schlecht und krank und ihr Tag ist doch noch so lang. Er, ihr Freund, ist nicht da, nicht bei ihr und wird auch nicht kommen, die Hoffnung hat ihr auch unlängst die Zeit genommen. Arbeiten, malochen, die Dinge wuppen. Niemals ausruhen, sich ins Gras legen können, verschnaufen oder sich einmal Ruhe und gar einen Urlaub gönnen. Das Geld wäre da aber die Zeit...Die Zeit ist ihr grösster Feind und die Traurigkeit ihre Einsamkeit. Niemand tröstet, nimmt sie in den Arm, sieht ihre Tränen...fängt sie auf. Dennoch: Sie steht immer wieder auf. Sie kämpft für das eigene Ich Obwohl sie weiss... Sie hat Alles und Nichts... ~Anais --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:31, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/199456680424911/ Was zwei Menschen miteinander verbindet, müssen Dritte nicht verstehen...] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:40, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=803838090228461&set=a.104156296863314 Morgen startet das Buch, für das mich mein Lektor abgeschossen hat...] ja ohne eine letzte Rückmeldung wurde ich überall blockiert. Über whatsApp, email... überall... nun muss ich sagen für die die es nicht wissen, der Typ bot sich freiwillig an um meine Arbeit zu unterstützen, ein ehemaliger Pfarrer der dann doch den Glauben hinschmiss, heiratete und sich nun bei den Evangelisten tummelt. Ich fragte ihn, ob meine Bücher nicht zu hart seien und er hat dies immer verneint... nun geht's hier in dem Buch um Satanismus und Pädophilie eines mächtigen Kinderpornorings, dessen Anhänger ihre Finger überall im Spiel haben, u.a auch in der Kirche... ganz heikles Thema... Trotzdem bin ich traurig und ich verstehe es ehrlich gesagt nicht, denn seine Arbeit war grandios. Mittlerweile habe ich auch Sorge, was er wohl mit dem Manuskript angestellt hat... römisch-katholische kirche? die größte verbrecherorganisation der weltgeschichte - die hat fast weltweit die indigenen völker abgeschlachtet, versklavt und assimiliert, um selber an die macht zu kommen (und zu beiben), so die guanchen auf teneriffa, indianer in der "neuen welt", aber auch bei uns zuhause die slawischen völker östlich des limes sorabicus - hitler, stalin, lenin, mao tse tung, mussolini, pol pot etc. sind zusammengenommen waisenknaben gegen die --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:55, 2. Mär. 2021 (CET) Die letzten 4 Wochen über 5000 ‼‼ Bücher verschenkt. Ebooks und Taschenbücher. Würde mich sehr freuen, wenn der ein oder andere doch mal eine Rezension schreiben würde... Wie gesagt, es ist kein Muus- aber es würde mich freuen... Wieso verschenkst du eigentlich so viele Bücher? Davon hast du doch nix oder ? ich denke es geht um die Aufmerksamkeit, die die Bücher so sonst nicht hätten. Viele der Themen sind leider in vieler Augen nicht gesellschaftsfähig. Wobei ich finde wir sollten alle etwas mehr Achtsamkeit an den Tag legen, und uns mehr mit der Thematik beschäftigen. Und es sollte mehr mutige Menschen wie Anais C. Miller geben, die den Opfern eine schonungslos Stimme geben. Es kauft sich halt leichter ein Fitzek wie ein biografisches Buch über Gewalttaten an Kindern und Frauen Danke. da stimme ich dir zu und da es echte Fälle sind, finde ich sollten sie sowieso mehr Aufmerksamkeit bekommen. Ich meine die Leute ziehen sich Krimis und Horror usw rein und mit den Büchern hier wird dann mimimi gemacht. Versteh einer die Menschenaber das habe ich sowieso noch nie ich bin auch leider ein Opfer meines Vaters gewesen aber zum Glück sind meine Storys pillepalle gegen die Opfer hier in den Büchern bin SchriftSteller und (Sprachver)Dichter - (eigentlich) kein Rezensent, Aber Du hast mich neu-Gierig gemacht: ich beschäftige mich mit Dir (will heißen: das braucht Zeit und hat seine Zeit). --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:38, 5. Mär. 2021 (CET) Mein letztes signiertes REDRUM Exemplar nur für Dich... Es gibt ja signiert über REDRUM nur noch die Neuerscheinungen und auch nur noch, wenn die vorbestellt waren... das hier war mein eigenes Exemplar, habe es sehr gern an Dich abgetreten. Viel Spass gewünscht. hättich auch genommen! Und wieso hast Du die letzten 4 Wochen über 5000 Bücher verschenkt? Verlagsauflösung? Noch mehr Interesse hättich an "Brief an W.: Wahre Liebe stirbt nie" (natürlich auch signiert). Würde mich dann vielleicht Dir zu-Liebe mit amazon herumplagen (kenn ich noch nicht, bin ich noch nicht, ist für mich ein böhmisches Dorf) und das Re-Zensieren er-/sie-/es-lernen (Angabe ohne Gewehr). bin eigentlich selbstSchriftSteller und (Sprachver)Dichter! Ich habe eBooks verschenkt wie so oft. Da sind in 4 kostenlosen Aktionen 5000 über den Amazontisch gegangen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:07, 5. Mär. 2021 (CET) Zabou - Biographie "In den dunkelsten Stunden meines Lebens, war ein Hund mein bester Freund...!" Ich komme gut voran. Ich denke nächste Woche wird es bei Amazon erhältlich sein... Ja, es ist nicht hart, stimmt. Wobei es für mich die Hölle war... ist ja meine Bio, bzw ein Teil daraus, aber das möchte ich nicht an die grosse Glocke hängen... da ist man dann doch sehr verletzlich... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:20, 5. Mär. 2021 (CET) hast mich schon neu-gierig gemacht. wenn du es mir unterschreibst mit deinem blute (rote dinte tät symbolisch reichen) garantiert. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:37, 7. Mär. 2021 (CET) Zabou „Ach Kindchen, Sex tut doch nicht weh! Sex ist etwas Wundervolles. Liebe und Sex sind die schönsten Lebenselixiere dieser Erde, egal ob Mensch oder Tier. Ohne sie entsteht keinerlei Dasein“, streichelte sie über meine vom Weinen geröteten Wangen. Traurig dachte ich an Holger und Damian zugleich. Holger liebte ich, unsere Beziehung verlief jedoch rein platonisch, ohne sexuelle Inhalte und von Damian wurde ich zum Geschlechtsverkehr gezwungen. Mit Holger würde ich wahrscheinlich zeitnah keine sexuellen Intimitäten austauschen, da es eine verbotene Liebe war, die wir in unseren Herzen trugen, und die keinerlei Berechtigungsdasein in der regelkonformen Gesellschaft fand, solange ich nicht volljährig wäre. Damian wiederum, würde ich niemals lieben wollen und auch nicht können. Alles in mir sträubte und wehrte sich gegen die Berührungen dieses Menschen. Beides, Liebe und Sexualität, als sechzehnjähriger Teenager nicht unter einen Hut zu bringen, zerstörte wichtige Fragmente meiner Entwicklung. Überlebenswichtigen Elementen ordnete ich völlig verschiedene Inhalte zu. So bedeutete Sex fürchterliche, grausame Qualen zu erleiden, sowie schmerzvolles Leiden meines Körpers zu erfahren, während die Liebe im Herzen, meiner geschundenen Seele unendliches Glück versprach, das für mich jedoch in unerreichbarer Ferne lag. Liebe und Sexualität miteinander zu kombinieren, wäre der Schlüssel zu einer wichtigen Tür, die ich mit meinen Erfahrungen im Koffer, niemals öffnen könnte... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:24, 8. Mär. 2021 (CET) Selbstwert ist eine Reise... Oftmals eine verdammt lange Wenn du über deinem Manuskript sitzt, in dem es u.a. um deine grosse Liebe geht, die leider schon verstorben ist, und sie im Radio plötzlich euer Lied spielen... https://www.youtube.com/watch?v=uuc2QBfBRoI Bonnie Bianco - Miss You So (Maxi Version) 2007 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:04, 9. Mär. 2021 (CET) Call me besitzt einen überragenden Lebenswillen und ihr beide habt Alles zusammen durchgestanden. Nicht immer war es leicht oder von Erfolg geprägt - respektive davon verwöhnt - weder für dich noch für Call me. Dennoch habt ihr beide niemals aufgegeben. Schon auf den allerersten Bilder aus/in ihrer „Einzelhaft“ konnte ich es ihr ansehen: „gib mir bitte eine Chance, du wirst es niemals bereuen“. Das ist die Einzigartigkeit an den Equiden - sie sind weder falsch, verlogen, hinterhältig oder Fallensteller. Sie betrügen und belügen nicht, weder untereinander noch uns als Mensch gegenüber. Sie hauen auch nicht hinterrücks einem anderem Gegenüber das sprichwörtliche Messer in den Rücken oder streuen Salz in die ‘eh schon blutenden Wunden hinein. Wenn sie sich ihrem Gegenüber anvertrauen und auf ihre Art und Weise signalisieren: „hey du, ich akzeptiere, toleriere und respektiere dich genauso wie du bist. Mir ist es schnuppe ob du klein, groß, dünn, pummelig, gehandicapt, oder oder oder bist. Denn -ich- als Pferd messe nach ganz anderen Maßstäben…“ dann ist dieses das einzige Mal auf Lebzeiten. Denn sie brechen ihr gegebenes Wort nicht. Niemals! Auch wenn Call me dich zwischenzeitlich gerne einmal am liebsten via Huftritt aus der Box befördert hätte, nach dir geschnappt hat oder dich zur Seite gedrängt hat – dann nur aus einem Grund heraus, weil sie es eben nicht so ganz "verstanden" hatte, dass du stetig das Allerbeste für sie wolltest - und das mit einer Hingabe, die wahrlich seines Gleichen sucht. Chapeau! Doch als sie Linderung verspürte, so denke ich jedenfalls, verknüpfte sie dieses als Positiv dir gegenüber. Pferde können zwar schon „lesen“ - aber auf eine ganz andere wunderbare Art und Weise. Das sind ihre privilegierten Urinstinkte, die dann eben im wahrsten Sinne des Wortes: „mit ihnen durchgehen“. Wenn wir als Mensch so ticken würden wie ein Pferd, hätten wir es wahrscheinlich auch nicht (so ganz) verstanden. Dennoch glaube ich fest daran -gerade im Hinblick auf die Handlungs-/Denkweisen der Equiden (Tieren im Allgemeinen)- wenn viele Menschen sich diese Arten des Miteinanders, der Kommunikationsbasis, die Prinzipien der Gleichbehandlung, jegliche Lebensweisen an sich, soziale Kompetenzen etc pp. mal öfters unter die eigene Nase reiben würden, wäre wahrscheinlich vieles auf diesem Erdball nicht so „bescheiden“. Natürlich könnte man mich jetzt damit konfrontieren oder gefälligst Maß zu halten, dass ich mit meiner „Schreibe und Lobeshymne zur Thematika Pferd“ das Pferd gefälligst nicht über den Menschen zu stellen hätte, der irrt sich. Ich tue es - immer öfter. Ich bedanke mich sehr bei Dir, überhaupt muss ich sagen, Anteilnahme- egal auf welchem Weg- tut einfach Wunder. Und Freunde die für einen da sind, dann, wenn man sie braucht, UNBEZAHLBAR! --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:11, 10. Mär. 2021 (CET) Ich versuche mal zu beschreiben, worum es geht... Als ich 16 Jahre alt war, lernte ich im Reitstall den 20 Jahre älteren Damian kennen. Ich und die anderen Reitschüler mochten ihn nicht, er litt an der Kiefergaumenspalte, für die er natürlich nichts konnte, aber das Erscheinungsbild erschreckte uns alle und wir machten einen großen Bogen um ihn. Mein Stiefvater bat Damian damals, mich nach der Reitstunde mit nach Hause zu nehmen. Von da an begann das Drama. Damian verliebte sich in mich, doch ich stieg auf seine Avancen nicht ein. Er steigerte sich jedoch immer mehr in diese einseitige Liebe, sodass er mich gefügig machen musste, um seinem Wunsch, mich zu besitzen, Realität einzuhauchen. Er verfolgte mich auf Schritt und Tritt, zog die Schlinge um meinen Hals immer enger. Als der Reitstall durch Brandstiftung niederbrannte, rettete er meine 3 Pferde aus der Feuerhölle und meine Abneigung gegen ihn geriet damals bedrohlich ins Wanken. Meine Eltern redeten mir ein, ich sei undankbar und nur auf Äusserlichkeiten fixiert. Ein gefährlicher Sog, aus dem es plötzlich kein Entkommen mehr gab. Ich war zeitgleich unsterblich in meinen Lehrer verliebt und wir hatten eine wundervolle- zunächst rein platonische Liebe. Damian drohte, den Lehrer anzuzeigen, wegen sexuellem Missbrauch Schutzbefohlener, obwohl er derjenige war, der mich missbrauchte. Meine Hündin "Zabou" griff ihn damals an, als er mich das erste Mal vergewaltigte... Mir half niemand. Weder meine Eltern, noch die Polizei. Ich hätte diese Geschichte bald mit meinem Leben bezahlt. Geredet habe ich darüber nie. Ich habe alles verdrängt, bzw später eine Therapie beginnen müssen, als mich die Vergangenheit einholte. Vor 30 Jahren gehörten mir und ihm sogar ein Artikel in der Bildzeitung. "Liebeskranker Mann geht im Streit mit Mistgabel auf junges Mädchen los und würgt sie anschliessend bewusstlos". Dass er mich zuvor schon mit Benzin übergossen hatte und anstecken wollte...ja- mir fehlen die Worte für das, was ich durchgemacht habe. Erst als meine Tochter sagte:" Mama, mir hat jemand erzählt, dass dein Freund vor Jahren die Reithalle angesteckt hat", wusste ich- es ist an der Zeit, mein Schweigen zu brechen... Ich mache mich angreifbar und ich habe wahnsinnige Angst mit der Geschichte rauszugehen. Denn das Schlimmste sind diejenigen, die anschließend sagen:" So etwas Krankes gibt es nicht. Alles fiktiv, erstunken und erlogen..." Aber ich bin es mir schuldig, auch meiner Geschichte eine Stimme zu geben... Ich habe diese Geschichte niedergeschrieben, wie alle anderen auch und werde es nicht an die grosse Glocke hängen, dass es meine eigene ist. Die, die es zufällig lesen hier, wissen es, die anderen eben nicht. Ich schreibe auch gar nicht wegen dem Erfolg oder so, sondern um anderen Mut zu machen, die dasselbe oder ähnliches erlebt haben. Wobei- wenn ich heute- 30 Jahre später, zurückblicke, ich sagen muss, ich hätte damals nichts anders machen können und es gab definitiv keinen Ausweg!! Die Geschichte wäre nur dann anders verlaufen, wenn ich an Tag X nicht zu ihm ins Auto eingestiegen wäre... Das Allerschlimmste in der Geschichte waren meine eigenen Eltern...und meine Mutter will selbst heute noch nicht verstehen.. Meine Mutter war damals schon alkoholkrank, ich habe es nur als Kind bzw Jugendliche nicht so gemerkt. Tja... die hätten mich am liebsten mit dem Typen verheiratet... Vor denen war er auch immer nett. Ich kann es emotional nicht, sie völlig abschreiben, denn sie ist meine Mutter. Das fällt schon schwer... als Kind, was ich immer bleiben werde, ihr Kind...aber ich halte ganz viel Abstand von ihr, denn sie tut mir nicht gut. Es ist so, dass ich das Opfer bin, sie aber noch viel kränker ist, als ich, in ihrem Alkoholproblem. Sie merkt aber auch nix. Gar nix... 31 Ein jegliches hat seine Zeit, und alles Vorhaben unter dem Himmel hat seine Stunde: 2 Geboren werden hat seine Zeit, sterben hat seine Zeit; pflanzen hat seine Zeit, ausreißen, was gepflanzt ist, hat seine Zeit; 3 töten hat seine Zeit, heilen hat seine Zeit; abbrechen hat seine Zeit, bauen hat seine Zeit; 4 weinen hat seine Zeit, lachen hat seine Zeit; klagen hat seine Zeit, tanzen hat seine Zeit; 5 Steine wegwerfen hat seine Zeit, Steine sammeln hat seine Zeit; herzen hat seine Zeit, aufhören zu herzen hat seine Zeit; 6 suchen hat seine Zeit, verlieren hat seine Zeit; behalten hat seine Zeit, wegwerfen hat seine Zeit; 7 zerreißen hat seine Zeit, zunähen hat seine Zeit; schweigen hat seine Zeit, reden hat seine Zeit; 8 lieben hat seine Zeit, hassen hat seine Zeit; Streit hat seine Zeit, Friede hat seine Zeit. 9 Man mühe sich ab, wie man will, so hat man keinen Gewinn davon. 10 Ich sah die Arbeit, die Gott den Menschen gegeben hat, dass sie sich damit plagen. 11 Er hat alles schön gemacht zu seiner Zeit, auch hat er die Ewigkeit in ihr Herz gelegt; nur dass der Mensch nicht ergründen kann das Werk, das Gott tut, weder Anfang noch Ende. 12 Da merkte ich, dass es nichts Besseres dabei gibt als fröhlich sein und sich gütlich tun in seinem Leben. 13 Denn ein jeder Mensch, der da isst und trinkt und hat guten Mut bei all seinem Mühen, das ist eine Gabe Gottes. 14 Ich merkte, dass alles, was Gott tut, das besteht für ewig; man kann nichts dazutun noch wegtun. Das alles tut Gott, dass man sich vor ihm fürchten soll. 15 Was geschieht, das ist schon längst gewesen, und was sein wird, ist auch schon längst gewesen; und Gott holt wieder hervor, was vergangen ist. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:19, 12. Mär. 2021 (CET) Gestern erinnerte ich mich an den Tag, an dem ich Damians Mutter kennenlernte. Ich wollte ihr damals sagen, dass mich ihr Sohn sexuell missbraucht und hoffte auf ihre Hilfe. Damians Mutter war ein ganz lieber Mensch. Fein, liebevoll, aber total hilflos. Ein Opfer ihres gewalttätigen Ehemannes und das ihres eigenen Sohnes. Sie hätte selbst Hilfe gebraucht. Sie sagte zu mir:" Damian ist kein schlechter Mensch und du tust ihm gut. Er ist wie ausgewechselt, seit du seine Freundin bist!" Ich brachte es nicht übers Herz, dieser herzensguten Frau die Augen zu öffnen...ich dachte, sie ist eine bessere Mutter als meine eigene und heute denke ich, was lastete für ein schreckliches Geheimnis auf dieser Familie, dass aus ihrem jüngsten Sohn ein irrer Psychopath geworden war? --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:56, 13. Mär. 2021 (CET) Puh, heute sass ich den ganzen Tag an meiner Bio und ich erinnerte mich. Reiste mal eben fast 30 Jahre zurück. Die Flashbacks, die dann kommen, sind oft heftig. Da gab es einen Polizisten, der mich auf dem Kieker hatte, wegen Damian. Der "Bulle" stand irgendwann einfach im Pferdestall und forderte mich auf, meine Taschen unter seinen Augen zu entleeren. Angeblich suchte er nach Drogen, die ich konsumierte. Er kam immer alleine, und er wohnte in dem Dorf, in dem mein Pferdestall lag. Der Bulle wünschte sich nix sehnlicher, als dass ich den Stall räumte, denn durch den Brandstifter Damian, fühlten sich die Dorfbewohner in ihren eigenen vier Wänden nicht mehr sicher. Ich sagte ihm, dass Damian nicht mein Freund wäre und er hat sich damals über mich kaputt gelacht. Geholfen hat er mir übrigens auch nicht, als Damian mich mit Benzin übergossen hat. Er sagte lapidar:" Na und? Irgendwann trifft es jeden!" Ich hörte neulich, dass dieser "Bulle" elendig verreckt ist. Einen widerlichen Todeskampf unter einer fürchterlichen Krankheit führte. Ja, irgendwann erwischt es uns alle...und es nennt sich "Karma"... Erfinde keine Ausreden für gräßliche Menschen. Man kann keine Blume in ein Arschloch stecken und es dann Vase nennen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:21, 14. Mär. 2021 (CET) Seine kranke Fantasiewelt, die völlig ausser Kontrolle geraten war, übernahm wie selbstverständlich die Regie meines Lebens... Zabou [https://www.facebook.com/photo/?fbid=812187136060223&set=a.104156296863314 Selfie] Ich weiss gar nicht, wie mutig dieses Buch ist... es erzählt einen Teil meiner Lebensgeschichte vor noch gar nicht allzu langer Zeit... Ein wichtiges Buch für Frauen, die nicht nur durch körperlich sexuelle Gewalt gequält werden, sondern, die emotional missbraucht werden. Diesen Weg zu gehen, war wirklich mutig ... Ich weiss nicht, wer von euch dieses Buch gelesen hat... es ist definitiv lesenswert, wenn man sich für menschliche Abgründe interessiert! ... man kann es nicht glauben , was Menschen ertragen können und es auch so lange zulassen , weil einfach die Kraft fehlt Das Schlimmste ist der psychische Missbrauch. Denn die Narben, die man nicht sehen kann sind die, die nie aufhören weh zu tun. Sie erwischen dich eiskalt immer dann wenn du nicht damit rechnest. Meistens dann wenn du denkst "mensch jetzt geht es mir richtig gut". [https://www.facebook.com/photo/?fbid=812132039399066&set=a.104156296863314 Penny way. Mein Weg aus der Hölle.] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:35, 15. Mär. 2021 (CET) Das war wahrlich eine schwere Geburt und die Reise in die eigene Vergangenheit tat weh. Eine Geschichte, die ehrlicher nicht hätte geschrieben werden können. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:06, 17. Mär. 2021 (CET) Nunja, geht auch anders: auf meiner Startseite steht eine andere FB-Freundin unter Dir, und die signiert grad min. 150 "DRIS-Vorbesteller". Ich schrub ja schon mal, daß ich mit amazon nicht gerade warm geworden bin (ein gleichaltriger Freund, DDR-Musiker, seit 1990 Antiquariatsbuchhändler wie meine Schwester und mein Schwager auch, hat bei amazon gekündigt wegen deren Treiberei und Geschäftspolitik - er blieb aber dem ZVAB treu -Bonmot: die wurden vor ein paar jahren auch von amazon geschluckt). Und wie ebenfalls schon geschrieben: mich würd das Buch (nicht irgendwelche Pixel) schon interessieren, müßtest es mir schon zuschicken - und eine Signierung wär schön (möglichst in rot, ich weiß es zu würdigen). Liebe Grüße https://www.facebook.com/skadi.skitschak Ab morgen in der Vorbestellung. Nuttenkinder Neben VIC für Redrum, geht's hier weiter im Text. Ich hau jetzt alles raus. Denn wenn der Lockdown vorbei ist, dann will ich erstmal nur noch leben!!!!! dann mache ich Pause...ich würde nie aufhören, Opfern eine Stimme zu geben! --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:22, 19. Mär. 2021 (CET) In der Nacht klingelte das Telefon. Nächtliches Telefonklingeln, der Horror schlechthin. Kerzengerade saß ich im Bett. Dachte, ich hätte geträumt, aber nein, es klingelte und klingelte. Wieder und wieder. Dann hörte es auf und begann von Neuem. „Da muss etwas passiert sein“, hörte ich meine Eltern reden. Unsere Zimmer lagen nebeneinander. Die Wände waren hellhörig und ich hörte, wie sich die Tür im Nebenzimmer öffnete. Jürgen schlurfte die Treppe hinunter und nahm im Wohnzimmer den Telefonhörer ab. Was er sprach, konnte ich nicht verstehen. Unheil sah ich auf mich zukommen. Mein Herz klopfte bedrohlich laut. Mit eiligen, schweren Schritten kehrte Jürgen zurück. Die Klinke meiner Zimmertür drückte sich knatschend runter. „Jeany? Komm, steh auf. Wir müssen zum Reitstall. Der steht lichterloh in Flammen.“ Als hätte eine Bombe eingeschlagen, sprang ich aus dem Bett. „Was!?“, schrie ich außer mir. „Meine Pferde verbrennen! Meine armen Pferde, sie werden sterben und all die anderen.“ Ich brach in Tränen aus. „O lieber Gott, hilf ihnen bitte!“, schrie ich hysterisch und zog mir die Jeans über die Hüften. Jürgen hatte sich ebenso schnell angezogen wie ich mich. Mit Vollgas steuerte er den Wagen durch die Nacht. „Sie werden verbrennen und sterben, nicht wahr?“, wimmerte ich. „Ich weiß es nicht“, brummte Jürgen. Ihm ging die Sache nahe. Mein Kopfkino spielte fürchterliche Szenen ab. „Die Pferde sind das Einzige, das ich habe und ich liebe sie“, jammerte ich. Jürgen antwortete nicht. Ein kurzes Kopfnicken nur. „Wie kann jemand so böse sein und in Kauf nehmen, dass hilflose Tiere verbrennen?“ Ich weinte. „Ja, das ist übel. Wirklich übel“, seufzte Jürgen. „Ich liebe sie so sehr“, schluchzte ich. Tausend irre Gedanken flogen wie Granatenschläge durch meinen Kopf. Das Adrenalin pulsierte wie heiße Lava in meinen Venen. Das durfte nur ein Albtraum sein. Gleich wachte ich auf. Als wir uns dem Dorf näherten, drang der strenge Geruch verbrannter Heu- und Strohballen durch die geschlossenen Scheiben, obwohl noch mehr als zwei Kilometer vor uns lagen. Wimmernd kauerte ich mich in den Sitz, traute mich nicht, durch die Windschutzscheibe hinauszusehen, in wie weit das Gebäude des Reitstalls bereits niedergebrannt war. „Ach herrjeh“, seufzte Jürgen und lenkte den Wagen seitlich der Straße. Ich kniff die Augen zusammen. Hielt mir die Ohren zu. „Bitte nein!“, kreischte ich. Einer der Feuerwehrmänner nahm rannte auf unser Auto zu. Winkte mit beiden Händen. „Sie können hier nicht lang“, schrie er durch die geschlossene Scheibe. Jürgen öffnete behäbig die Fahrertür und sagte leise: „Wir haben Pferde im Stall, wir müssen zu ihnen.“ „Da können Sie nichts mehr retten. Wenn die Tiere jetzt nicht draußen sind, sind sie ohnehin verloren“, rief er und lief gleich wieder fort. Jürgen blickte mich hilflos an. „Komm“, forderte er mich auf, mit ihm zu gehen. „Wir suchen Damian.“ „Damian?“ „Ja, er hat angerufen.“ Mein Kopf war viel zu voll, als dass ich das Durcheinander in ihm hätte sortieren können. Ich stellte keine Fragen. Paralysiert, funktionierte ich roboterhaft, stolperte aus dem Auto. Benommen, mit einem dicken Kloß im Hals, folgte ich Jürgen. Klammerte mich wie ein kleines Kind an seine Hand. Plötzlich tat mir alles furchtbar leid. Dass wir uns so oft gestritten hatten. Jetzt, wo ich meinen Vater wirklich brauchte, war er an meiner Seite, während sich mein leiblicher im Bett noch einmal rumdrehte und wohlig schlief. Er von Reichtum und Geld träumte oder von schnellen Autos, während ich wie ein Häufchen Elend durch die Nacht irrte und glaubte, meine Pferde seien alle tot und man würde mir gleich ihre verbrannten Körper zeigen, damit ich sie identifiziere. Mir war, als klatschte man abwechselnd und mit voller Wucht auf meine linke Wange, und dann wieder auf die rechte, während ich Jürgen nachlief. Ich traute mich noch immer nicht, meine Augen auf das eigentliche Geschehen zu richten. Nie in meinem Leben hatte ich solch eine gigantische Feuerbrunst gesehen, die gnadenlos und unbesiegbar in den dunklen Himmel schlug. Nie zuvor fühlte ich mich bedrohter, hilfloser und angstvoller wie in dem Augenblick, als wir uns dem Reitstall näherten, in dem meine Pferde und die meiner Freunde untergebracht waren und der jetzt lichterloh in Flammen stand. Das Knistern und Bersten der Holzbalken, das Niederkrachen der Materialien, die das Dach zusammenhielten, die Hitze, der Gestank und das Wissen, hier herrschte Krieg, in dem es sehr wahrscheinlich Verwundete und Tote gab, das war furchtbar! Weit laufen mussten wir nicht. Damian erkannte uns von Weitem, rannte auf uns zu. „Gott sei Dank, da seid Ihr ja!“, keuchte er außer Atem. Freilaufende Pferde kreuzten unseren Weg. Galoppierten zur Straße. In ihrer Panik ließen sie sich nicht aufhalten. Ihr ängstliches Wiehern durchbrach die Nacht und vermischte sich mit der Geräuschkulisse eines unfassbaren Szenarios. Je mehr sich meine Augen an das Ausmaß eines fürchterlichen Spektakels gewöhnten, umso dramatischer wurde mir das Ausmaß der Katastrophe bewusst, die sich am Reitstall abzeichnete. Was meine Augen sahen, war nichts als ein verwüstetes Schlachtfeld und es fühlte sich bis in die tiefste Faser meines Körpers unwirklich und unfassbar an. Ich wartete auf den Augenblick, in dem jemand seine Hand auf meine Schultern legen und sagen würde: „Was für ein beschissener Albtraum, nicht wahr?“ Feuerwehrleute auf Drehleitern hielten Wasserschläuche in die Flammen des lichterloh brennenden Dachstuhls gerichtet. Menschen schleppten Reitsachen zu den kreuz und quer geparkten Autos. Pferdebesitzer versuchten ihre Tiere einzufangen, sie auf die Anhänger zu verladen. Einige schrien und riefen um Hilfe. Andere retteten aus der brennenden Reithalle ihre Utensilien und alles, was noch zu retten war. Immer wieder brüllte einer der Feuerwehrmänner durch den Lautsprecher: „Verlassen Sie bitte sofort das Gebäude! Einsturzgefahr! Akute Lebensgefahr!“ Die Pferde hatte man aus den Boxen geschickt und sich selbst überlassen. Verstörte Kinder irrten umher, riefen die Namen ihrer Ponys. Einige der Pferde preschten über die Straße, schummelten sich im letzten Moment an heranfahrenden Autos vorbei. Ich fürchtete den Frontalzusammenstoß. Tier gegen Blech. Man konnte nicht hinsehen. Die Pferde gerieten auf dem Asphalt ins Rutschen, sie strauchelten, andere stoben hinaus in die Wälder. „Deine drei sind auf der Weide, Janne. Ich habe sie alle aus dem Feuer geholt. Deine waren die ersten, die draußen waren.“ Damian hustete und wischte mit dem verkohlten Hemdsärmel über das verrußte Gesicht. Ich wollte meinen Augen nicht trauen, als ich Dual, Metaxa und Iceman wohlbehalten und unversehrt auf der Weide entdeckte. Vor Freude brach ich zusammen. Jürgen musste mich stützen. Auch ihm fehlten die Worte. Ich weinte aus Dankbarkeit und Erleichterung, dass Damian meinen Pferden das Leben gerettet hatte. Umarmte ihn sogar. „Danke“, wisperte ich benommen. Dann lief ich zu meinen Pferden. Selbst Jürgen, einem stets gefassten Mann, den so schnell nichts und niemand aus der Ruhe brachten, rollten die Tränen über die Wangen. Dankbar zog er Damian in seine Arme. Drückte ihn an seine Brust und klopfte ihm auf die Schultern. „Danke, mein Freund“, schluchzte er ergriffen. „Ach, selbstverständlich.“ Er winkte bescheiden ab. „Alle Tiere sind gerettet. Wir haben sie rechtzeitig aus dem Feuer befreit.“ Die Frage, warum ausgerechnet er vor Ort war, als der Reitstall niederbrannte, stellte sich mir in dieser Nacht, und auch zu einem späteren Zeitpunkt, nicht. Wahrscheinlich stand ich damals zu sehr unter Schock, als dass ich irgendwelche Fragen an ihn hätte richten wollen. jaja, wie wir gelebt werden - aus der ddr kenn ich das sehr, sehr gut --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:08, 21. Mär. 2021 (CET) Das Dorf des Schreckens in dem der Polizist wohnte und der Ort, wo sich mein Stall befand... bin nun zu Fuss unterwegs zum Stall... Immer noch ein Ort des Grauens Sogar die Stalltüren die Damian vor 30 Jahren gebaut hat, sind noch immer da.. So einsam... war ich ihm völlig ausgeliefert... monatelang Amy baumelte und starb in den Ästen des Baumes... Ich habe damals echt gedacht so einsam der Stall gelegen war, da gehöre ich hin, weil ich mich so dreckig fühlte...und mich niemand sehen sollte Das Wildgehege ca 1km entfernt ... gibt es immer noch. Meine damals einzigen Freunde neben meinen Pferden und Hunden So gruselig... Hab mich erst erschrocken wegen dem Auto. Aber ohne Kennzeichen... alles gruselig * OMG!!!der perfekte Ort für ein Verbrechen...niemand bekommt was mit...Ich hoffe dir hat es geholfen und Du kannst endgültig damit abschließen! *Ich werde dein Geschichte heute Abend beginnen .. jetzt habe ich ja sogar noch Bilder vor Augen... Ich freue mich für dich , das du jetzt endlich in der Lage bist deine eigene Geschichte aufzuarbeiten. Ich hoffe dadurch heilt ein Teil deiner Seele *Oh Mann wenn man dazu parallel dein Buch Liest überkommt ein ganz schön die Gänsehaut... irgendwie so real mit den Bildern dazu --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:26, 22. Mär. 2021 (CET) Mich hat es grosse Überwindung gekostet, meinen Missbrauch bzw einen meiner Missbräuche öffentlich zu machen. Als heute die Rezension zum Buch eintrudelte, in der mich jemand systematisch erpresst und zerstören will, war ich wirklich verzweifelt und habe das "engeren Freunden" auch genau so mitgeteilt, dass ich emotional mehr als am Limit unterwegs bin. Wir dürfen nicht wegsehen, niemand von uns- denn auch hier in einer Rezension liegt Missbrauch vor. Ich als Opfer meiner eigenen Geschichte, die nun öffentlich ist, bin jetzt angreifbar für alle Welt da draussen und ich wusste, dass es so kommen wird... dass man mich fertigmachen wird. Wie fertig mich das tatsächlich macht, wusste ich allerdings nicht. Meine Freunde konnten mich heute nicht mehr erreichen und da sie sich grosse Sorgen gemacht haben, dass ich vielleicht den Notausschalter betätige, riefen sie die Polizei. Die kassierte mich dann nach der Arbeit auf dem Weg nach Hause, eiskalt ein- und ich kann von Glück reden, jetzt nicht in der Geschlossenen zu sitzen. Und wieder: bin ich ein Opfer von Mobbing, Missbrauch und emotionaler Gewalt geworden von Menschen, die Spass daran finden, andere zu missbrauchen. Es ist schlimm, was heute passiert ist. Gegen den Rezischreiber läuft jetzt ein Strafverfahren wegen Erpressung und Nötigung. Ich habe nicht ausgesagt und auch keine Strafanzeige gestellt, es waren Freunde, die nicht länger wegsehen woll(t)en. KEINE MACHT DEM MISSBRAUCH !!! Was ich besonders traurig finde, dass andere User diese Rezension "nützlich" finden. Ihr macht euch am Missbrauch mitschuldig... * Wirklich schlimm. Genau so etwas kann herauskommen, wenn man/frau diese Schauspieler-Gesellschaft mal gründlich outet. Mein Mitgefühl ist Dir sicher. Ich wünsche Dir viel Kraft. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:03, 23. Mär. 2021 (CET) So fühle ich mich die letzten Tage... Mir geht's wenn ich ehrlich bin, gerade richtig schlecht Es hat sich für mich auch so angefühlt. Konfrontation ist nicht gerade einfach. Ich hoffe für Dich, daß sie den normalen Verlauf nimmt und dieses Gefühl mit der Zeit abklingt. Hinterher sollte es Dir besser gehen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:42, 24. Mär. 2021 (CET) Ich weiss in der letzten Zeit echt nicht, was mit den Menschen dort draussen los ist. Ich erzähle das was mir passiert ist, jetzt im Vertrauen in dieser Gruppe hier, da ich mit meinen Postings nur noch auf Unverständnis stoße und ich oft denke, viele glauben mir auch einfach tatsächlich nicht. Ich habe auch einige Freunde genau deshalb verloren, weil ich sie geblockt habe, ich konnte es nicht mehr ertragen.... heute wieder, als ich schrieb, wie die Polizei mit Menschen umgeht. Folgendes ist passiert... Es befreundete sich über FB eine Zuhälter mit mir, dessen Geschichte ich schreiben sollte. Sein "letztes Mädchen" wurde von Frank G. getötet. (Den Kopf schnitt er ihr halb ab, sie lebte noch, er vergewaltigte sie mehrere Male, bis er sie mit einem Kopfschuss hinrichtete) Frank G. war ein lange unentdeckt gebliebener Frauenserienmörder. Der Zuhälter stieg nach der Sache aus der Szene aus. Mir gegenüber wurde er irgendwann immer ungehaltener, da ich nicht gleich auf seine Nachrichten antwortete. Ich schrieb ihm, er solle aufhören mich zu drängeln (ich sollte zu ihm fahren, um die Story zu schreiben) Er hörte aber nicht auf, wurde immer frecher und postete "indirekt" täglich über mich auf seinem Profil. Wie sehr ihm meine Ignoranz auf den Zeiger ginge usw. Ich habe ihn blockiert und gepostet, dass ich leider jemanden blockieren musste, weil ich keine Psychos mehr brauche in meinem Leben. Er muss wohl "Spitzel" haben, denn das gelangte ihm zu Augen und Ohren und er ging richtig steil, bedrohte und erpresste mich dann in der Rezi zu einem Buch bei Amazon. Irgendwie ist er an meine Fotos rangekommen als ich für ein Buch "Frauensäfte" (längst vom Markt) im SM Studio gewesen war. Mit diesen Bildern wollte er mich erpressen und diese öffentlich machen. Er drohte jeden Tag mehr über mich auszuplaudern usw...Die Rezension war echt "krass". Ich vertraute mich einer Freundin an, die mir gleich richtig Panik gemacht hat, wie gefährlich der Typ sei und er womöglich seine Freundin getötet habe usw... da kam eins zum anderen (ich hatte noch mein Pferd einschläfern müssen, bin derzeit gesundheitlich sehr angeschlagen, dazu Corona usw) und ich sagte:" Ich habe echt kein Bock mehr auf dieses Scheiss Leben!" Da sie mich dann nicht mehr erreichen konnte (ich war auf der Arbeit) hat sie die Polizei informiert und die fing mich auf offener Strasse nachts im Auto auf dem Weg nach Hause ab. "Führerschein, Fahrzeugschein...." habe ich gegeben und dann hiess es ganz trocken:" Aussteigen!" Ich so:" Wie? Was wird mir denn vorgeworfen?" Und noch mal kommentarlos: "Aussteigen!" Gut, ich steige aus, werde gefragt, wo ich war (Arbeit) und dass man den Hinweis bekommen hätte, ich wolle mich umbringen. Boahr... ich sags euch- ich wusste gleich- was das bedeutet... und mir fiel die Kinnlade echt tief. Dann hiess es:" Entweder wir lassen Ihr Auto abschleppen oder einer von den beiden Polizisten fährt das Auto auf den Parkplatz. Ich:" Ich kann das Auto auf den Parkplatz fahren!" "Nein, Sie fahren keinen Meter mehr. Sie steigen jetzt in den Bulli und fahren zur Wache!" Der Typ setzte sich in mein Auto und kloppte so den Gang rein (Automatik) dass sich nix mehr rührte. Der Beamte so:" Wie krieg ich den Gang rein?" "Ja, vom Bürgersteig aus kann ich Ihnen das nicht zeigen!" Er:" Einsteigen, Gang einlegen, und sofort aussteigen!" In einem Ton, als sei ich ein Schwerverbrecher. Gut, ich leg den Gang ein, der fährt das Auto weg. Im selben Augenblick fährt bei uns Zuhause ein Streifenwagen vor. Jill lag schon im Bett. Dem Kind wurde folgendes mitgeteilt:" Deine Mutter will sich umbringen. Die wandert wenn wir sie schnappen, längere Zeit in die geschlossene Anstalt. Wer versorgt die Tiere? Denn Du musst entweder ins Heim oder wo kannst Du hingehen? Die Tiere müssen dann weggeschafft werden über Ordnungsamt, Veterinäramt usw!" Ihr könnt euch sicher vorstellen, was in meinem Kind vor sich ging, oder? Jill war noch fertiger als ich! Ich musste 2 Stunden lang vor der Polizei, dem Ordnungsamt und dem Amtsarzt darlegen, keinen an der Klatsche zu haben. Mit Ach und Krach, bin ich der geschlossenen Anstalt entkommen und durfte heim. Heute fuhr die Kripo hier vor. Man grüßte mich nicht, stellte sich auch nicht mit Namen vor. Ich als Opfer der Bedrohung eines Zuhälters, wurde behandelt wie eine Täterin. Man sagte:" Dass es sich um einen Zuhälter und Kriminellen handelt, hielten sie für einen Witz. Den Frank G. kannten sie auch nicht. Sie belächelten mich wirklich... Ok, man wolle das überprüfen... Ej Leute, ich bin echt fertig mit der Welt. Ja es ist so unglaublich. Ich werde NIE WIEDER irgendwem mein Herz ausschütten * Leider kann man nicht mehr viele trauen traurig sowas * doch , sind nicht alle gleich. Ich wünsche dir von herzen einen Menschen der es ehrlich mit dir meint und dir ein wenig hilft. Ich habe so viele Freunde heute geblockt, weil es hiess, ich würde lügen, die Polizei sei immer hilfsbereit und nett. Ich finde, so geht man nicht mit Menschen um... * dann sind das keine Freunde.Freunde sind für ein immer da Ist echt besser in der heutigen Zeit, keine zu haben... * doch Freunde braucht man aber dann richtige Ich bin auch einfach nur fertig und tieftraurig, zumal ich soeben meine Biografie beendete, die auch kein Zuckerschlecken war, aber ich werde das nie wieder irgendwem sagen... * Unglaublich..bin echt sprachlos Wie alt ist denn deine Tochter? Warum hat deine Freundin denn nicht erst mal auf deiner Arbeit angerufen?! Echt unglaublich!!! 16 soeben geworden * oh die arme!!! Also das Alter ist egal-so eine Nachricht ist immer schlimm..ber in dem Alter weiß sie ja definitiv was du, vermeintlich!!!, vor hast. Oh fühl dich gedrückt und ich wünsche euch viel Kraft um dieses Erlebnis gut zu verarbeiten!!! Eigentlich habe ich soooooo riesen Respekt vor der Polizei, aber DAS geht garnicht!!! So schrecklich * Anais C. Miller puh was für .....leider kann ich nur aus eigener Erfahrung sagen das das ein offenbar "normaler" Umgang zu sein scheint.fällt schwer sich davon nich prägen zu lassen Ja aber da versteht man auch, warum Opfer lieber schweigen, oder?? * ja leider genau das.vorher konnte ich vieles nicht nachvollziehen.das hat sich leider geändert....sobald du dich als Opfer outen musst,wird in unserem System versucht auch weiter eins aus dir zu machen.... ja leider, ich hab mit einem 20jährigen Mädchen gearbeitet, dass auch nichts sagen wollte, weil ihre Geschwister involviert waren, und sie die nicht ranhängen wollte * kann sich auch kaum einer vorstellen das man so behandelt wird und das es so läuft,wenn man es selbst noch nich erleben musste * Ich denke, dass sich deine Freundin einfach nur Sorgen gemacht hat und sich nicht anders zu helfen wusste. Was die Polizei angeht, kann ich mir vorstellen, dass diese einfach überfordert mit so etwas ist. Die sollen einfach eine Person "sicherstellen" und das war es. Dazu kommt, dass einfach der größte Teil der Menschheit der Meinung ist , dass Leute mit Depressionen und Selbstmordgedanken einen an der Waffel haben, daher dann auch der plumpe Umgebung mit deiner Tochter. Und wenn es um die Infragestellung deiner Glaubwürdigkeit geht, da spielt dann wieder das rein, dass die Leute denken man hätte einen an der Waffel wenn man Depressionen und Selbstmordgedanken hat. Ich kann dich sehr gut verstehen, habe es schon lange aufgegeben mit mir nahe stehenden und auch sonstigen Personen über meine Psychoprobleme zu sprechen. Mache meine schlechten Phasen gezielt mit mir selbst aus wenn ich alleine bin. Das kann aber sicher nicht jeder und wie lange es bei mir funktioniert weiß ich natürlich auch nicht. Wünsche dir viel Kraft. * Ouh man....mir fehlen gerade die Worte.....es tut mir so leid, dass du soo viel mist erleben musst. Du möchtest anderen, mit deiner Stimme helfen und bekommst immer wieder eine drauf. * Mich wundert in dieser kranken Welt gar nichts mehr, es ist echt gruselig geworden. Wie Menschen miteinander, mit anderen Lebewesen und der Natur umgehen * Die Abgründe der Menschheit sind unfassbar grausam, ein „normaler“ Mensch kann sich nicht im geringsten vorstellen, zu was ein so genannter gestörter Mensch fähig ist zu tun, Hauptsache seine „Neigung“ wie auch immer, wird befriedigt, dafür gehen solche Menschen über sprichwörtliche Leichen... * Es tut mir so leid für dich das du das erleben musstest. Ich habe leider die Polizei schon öfters negativ erleben müssen. Möchte am liebsten nicht zurück denken. * Ungeheuerlich... Jetzt weiß ich, warum ich Deutschland so abgrundtief verachte... Also so ganz prinzipiell kann ich dir sagen, je mehr corona, desto bekloppter die Menschen gerade. Teilweise so, dass ne Freundin und ich uns regelmäßig fragen, ob nicht wir die Irren sind, weil die in der Mehrzahl sind. So klingt das auch. Die Polizisten haben auf alle Fälle schon mal jegliche sozialen Umgangsformen verlernt. Jaja, "dEIN fEINd und pEINiger" mal wieder (statt "Freund und Helfer") ... Als x-fach Betroffener hast Du mein vollstes Verständnis und Mitgefühl. Und möglicherweise bist Du an einen Betrüger geraten, dem es in erster Linie darum ging, Dich ganz real zu treffen - mit welchem Kopfkino auch immer. Als er nicht zum Ziel kam, wurde er ungemütlich. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:09, 25. Mär. 2021 (CET) Ich denke, jeder andere Autor hätte all die Missbrauchsbücher besser geschrieben als ich es getan habe. Autoren sind ja oft im Journalismus tätig usw und sofort, aber wichtig war es doch- dass mal jemand damit angefangen hat- den Mund aufzumachen weil er nicht länger wegsehen wollte. Und da, werde ich immer ganz vorne mit dabei sein! Mittlerweile habe ich über 20 Opfern meine Stimme gegeben... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:51, 27. Mär. 2021 (CET) Das was ich im Nachfolgenden erzähle, ist nichts für schwache Gemüter und ja, es ist pervers und abartig. Aber ich habe es erlebt und es hat aus mir einen anderen Menschen gemacht als den, der ich eigentlich mal werden wollte. Das ist traurig und dennoch habe ich meinen Weg gefunden. Wer sich fragt, warum solche Geschichten veröffentlicht werden, dem möchte ich folgende Antwort mit auf den Weg geben… Seid glücklich, wenn ihr eine unbeschwerte Kindheit genießen durftet. Eure Eltern immer liebevoll, fürsorglich und gut zu euch waren. Den Schlüssel für sämtliche Türen des Lebens überreichen dir nämlich deine Eltern, niemand anderes als sie tragen auch die schärfste Waffe bei sich, mit der sie aus dir über Jahre hinweg ein emotionales Wrack konstruieren können, sofern sie den sadistischen Wunsch in ihrem versteinerten Herzen nach Qual und Leid hegen. Qualen und Schmerzen, die selbst ertragen haben und ertragen mussten. Meine Mutter war krank. Psychisch krank. Das habe ich als Kind aber nicht gewusst. Woher auch? Heute weiß ich es und natürlich ist es zu spät. Ich möchte und kann meine Vergangenheit nicht revidieren. Die Zukunft aber sehr wohl bestimmen. Eines weiß ich! Ich werde keine Kinder in diese Welt setzen. Aus Angst. Angst, dass ich ebenfalls in diese Spirale gerate. In die Spirale aus dem, was ich erlebt habe und aus Gefühlen, Gedanken und Emotionen die mich vielleicht eines Tages beherrschen obwohl ich das gar nicht möchte. Meine Mutter wusste ja auch, dass es falsch war, was sie mit mir gemacht hat. Sie konnte eben nicht anders … Ich schrieb dieses Buch um abzuschließen mit dem was war und um der Welt dort draußen zu zeigen, ihr seid nicht allein. Wenn du als Leser nichts Schlimmes in deiner Kindheit erfahren hast, so gratuliere ich dir. Die Realität sieht oftmals anders aus und ich möchte mit dieser Geschichte den Opfern aus ähnlichen Begebenheiten ein Zeichen setzen. Ihr Schweigen und ihre Qualen sollen nicht umsonst gewesen sein. Wenn dich dein Mut verlässt, wenn du dich komplett verloren hast, komm einfach zu mir her, weil es bei uns beiden so gut passt. Wünsche an denen du hängst, Gesten welche dein Inneres berühren, glücklich sein wenn du daran denkst, wie wohl du dich dabei fühlen kannst. Küsse können grausam schmecken wenn du diese Lippen nicht begehrst, Geld kann keine Lust erwecken wenn die Seele streikt und sich beschwert. Du spürst genau wo deine Heimat ist. Es gibt für dich keine Gegenwehr. Die Liebe musstest du lange vermissen, doch komm einfach her, komm her… Sandra Meine Mutter Heute ist der Tag meiner Befreiung. Zumindest der meiner inneren Lossagung von einem Martyrium, dessen Ausmaß mir erst zwanzig Jahre später bewusst werden wird. Die Tür fällt ins Schloss. „Hallo Mama“, rufe ich und wie immer erhalte ich keine Antwort. In der Wohnung ist es stickig. Gelüftet hat sie wieder nicht. Der Zigarettendunst benebelt meine empfindlichen Augen. Der Arzt sagte ich leide unter einer Tierhaarallergie und Heuschnupfen. Mutter schießt alle Bedenken der Ärzte in den Wind. Ihr ist es schlichtweg egal, unter welchen Krankheiten ich leide. „Die Katze und der Hund leben seit Jahren bei uns im Haushalt und jetzt auf einmal sollst du eine Tierhaarallergie haben, das ist doch lächerlich“, schnauzte sie mich an als wir die Arztpraxis an einem Montag im Mai vor drei Jahren verließen. Vor drei Jahren war ich elf Jahre alt und noch recht duckmäuserisch. Widerworte hätte ich niemals gegeben. Der Arzt sagte meiner Mutter, dass bestimmte Gräser im Mai in der Blüte ständen und ich deren Pollen nicht vertrage. Ein Mittel aus der Apotheke sollte sie kaufen. Mehreren Tests hatte ich mich unterzogen und es gab kein Vertun, dass ich eben unter diesen Allergien litt. Meine Not war groß. Keine Luft zu kriegen, ist ein fürchterlicher Zustand und doch interessierte es meine Mutter nicht im Geringsten wenn ich unter Atemnot litt. „Wir haben kein Geld für die scheiß Medikamente. Ich kann nicht alles bezahlen“, lamentierte sie frotzelnd in Selbstgesprächen versunken, während sie mich eilig an der Hand über die Einkaufsstraßen hinter sich her zog. Es stinkt nach Katzenpisse in den Räumlichkeiten. Mutter hat die Tiertoilette wieder nicht sauber gemacht und dabei weiß sie genau, dass ich beinahe ersticke, wenn ich das Zeugs ausleere. Mit zittrigen Händen greife ich an die Küchentür die einen Spalt breit offen steht. Welches Bild erwartet mich? Mein Herz schlägt mir bis zum Halse. Angst. Immer diese verzwickte Angst, mit Augenblicken konfrontiert zu werden, die meine Seele in ein tiefes Loch stürzen. Mutter kniet auf dem Linoleumboden. Sie ist nackt. Milow ist bei ihr und ich erkenne nicht gleich was Sache ist. Milow ist unser Hundemischling. Er ist über vierzehn Jahre alt und taub. Geräusche an der Wohnungstür nimmt er nicht mehr wahr. Er hat mich also nicht gehört. Ein merkwürdiges Gefühl beschleicht mich von ganz tief unten aus dem Bauch heraus. Drückt meine Kehle zu. Mutter hält in der rechten Hand einen Spender mit Sprühsahne. Mit dem Rücken kauert sie zur Tür. Auch sie hat mich nicht gehört. Außerdem ist sie beschäftigt. Mit sich, dem Hund und ihren perversen Trieben. Langsam richtet sie sich auf. Biegt ihr Kreuz gerade und sprüht die Sahne auf ihren Busen. Den größten Teil des schaumigen Zeugs auf ihre Brustwarzen. Milow ist ganz aufgeregt. Freudig mit dem Schwanz wedelnd, sitzt er vor Mutter und wartet geduldig. Er kennt das Spiel genau und es gefällt ihm. Mit der Sahne an ihren Brüsten beugt Mutter sich wieder vornüber. Milow erhebt sich aus seiner Sitzposition und schleckt mit seiner Zunge Mutters Brustwarzen ab. Ich beobachte dieses Szenario mit einem Würgreflex in meiner Speiseröhre und doch erweckt dieses abstruse Bild von Sexualität auch etwas Lustvolles in mir. In meinen sexuellen Stimulationen regt es an und ich will mich dagegen wehren. Ich weiß dass es nicht normal ist was Mutter tut. Ich weiß dass es abartig ist und doch stimulieren auch mich diese Bilder. . Gern würde ich wahre Liebe erfahren. Sex und Zärtlichkeiten austauschen und geliebt werden. Von einem Jungen in meinem Alter. Mutter windet sich angeregt unter den Bewegungen der Hundszunge auf ihren Brüsten. Stöhnt lustvoll. Wieder und wieder setzt sie den Spender an und sorgt somit für leckeren Nachschub der Geschmackssinne des unbedarften Tieres. Ihre Bewegungen werden rhythmischer und sie greift nach dem Dildo der neben ihr auf einem ausgebreiteten Küchentuch liegt. Während Milow mit seiner schlabbrigen Zunge ihre Brüste in Fahrt bringt, befriedigt Mutter sich mit dem Vibrator bis sie zum Höhepunkt erlangt. Leise verlasse ich den Ort des Geschehens und ziehe mich in mein Zimmer zurück. Schließe sachte die Tür hinter mir. Ab heute ist es vorbei. Nie wieder diese schrecklichen Bilder und nie wieder wird sie mich anfassen auf eine Art und Weise, die mir unangenehm ist. All meinen Mut habe ich zusammengenommen um ihr zu sagen, dass endgültig Feierabend mit ihren Spielchen ist. Auch auf die Gefahr hin, dass sie mich aus der Wohnung schmeißt, so habe ich eine Lösung gefunden. Ich darf jederzeit zu Tante Gisela gehen. Mit Sack und Pack bei ihr wohnen und einziehen, wenn ich das möchte. „Du hast nichts zu verlieren, Sandra“, hat sie mir versprochen. Sie kennt Mutter, hat sie gesagt. Mutter und ihre Ticks, wie sie es nennt. Sie wisse wie schrecklich Mutter sei aber das wäre nur ein trauriges Ergebnis von fürchterlichen Erlebnissen aus einer schwierigen Kindheit, über die sie ein anderes Mal mit mir sprechen wolle. https://anaiscmiller.jimdofree.com/2020/03/04/muttergl%C3%BCck-pervers-mama-h%C3%B6r-bitte-auf-damit/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:59, 27. Mär. 2021 (CET) Damians Elternhaus passte optisch nicht wirklich zwischen die feinen Neubauhäuser der Wohnsiedlung, unter deren Carports sich ein Bonzenschlitten nach dem anderen einreihte. Im fahlen Schein der Laternen fiel mein Augenmerk gleich auf die prunkvollen Villen der Straße, weniger auf das zurückgelegene Abrisshaus, neben dem Damian den Jeep abstellte. Das gammelige, unscheinbare Häuschen, das oberhalb des Berges am Waldesrand verloren und nahezu unbewohnt aussah, war wenig vertrauenerweckend. „Ist irgendwas nicht in Ordnung?“, fragte er hektisch, als er meine Irritation bemerkte, während ich aus dem Wagen stieg. „Der Kontrast“, kam es zögerlich über meine Lippen, nachdem ich auf den angrenzenden Schuppen neben dem Wohnhaus blickte, der weniger einladend aussah als der Schweinestall unseres Nachbarn. Der Garten glich einer Müllhalde. „In dem Schuppen sägen wir Holz klein und schlachten Tiere. Wir essen gerne Lamm und Kaninchen“, brabbelte Damian. Übelkeit krabbelte in meine Speiseröhre. „Das Haus meiner Eltern war eines mit der Ersten, das in dieser Straße gebaut wurde. Ist fast 150 Jahre alt. Hier lebten schon meine Vorfahren mit ihren Familien“, sagte er lässig und es klang paradoxerweise, als sei er stolz darauf, in solch einer abgefuckten Baracke zu wohnen. Das Haus war ebenso gruselig wie Damians Erscheinung und noch viel schlimmer, ehrlich gesagt. Heruntergekommen und verwahrlost. Die Liebe im Detail fehlte. Keine Blumen vor den Fensterläden. Kein Blümchen steckte in den Blumenkästen, die abseits der Haustreppe lagen, als hätte der letzte Sturm sie umgefegt. Der Garten ungepflegt und vernachlässigt. Ein reparaturbedürftiger Zaun rundete das Bild der Trostlosigkeit ab, die über dem verwaisten Grundstück lag. „Meine Mutter kann gesundheitlich nicht mehr so wie sie will, früher hat sie den Garten in Ordnung gehalten“, entschuldigte Damian das chaotische Erscheinungsbild seines Zuhauses. „Meine Brüder haben kein Interesse an dem Haus und mein Vater ist den ganzen Tag unterwegs. Geld verdienen. Obwohl er Rentner ist, wurschtelt er mal hier, mal dort, nur am eigenen Haus dummerweise nicht.“ „Ach so“, sagte ich ohne zu wissen, was ich zu den Zuständen überhaupt hätte sagen sollen. Bei den Flodders sah es jedenfalls besser aus als hier. Mit weichen Knien folgte ich Damian hinter der Haustür die Treppen hinauf. Der Gedanke des Weglaufens klopfte Sturm an der Tür meines Verstandes. In der Dunkelheit hätte ich verschwinden und mich verstecken können. Den Gedanken verwarf ich. Die Hemmschwelle, Damian wegzulaufen, konnte ich aus emotionalen Gründen nicht überschreiten. Die Folgen nicht verantworten. Seine Drohungen, mir wegen Zabou Ärger zu machen, mich sogar anzuzeigen, zeigten Wirkung. Eingeschüchtert war ich bis obenhin. Das waren Sinn und Zweck seines gemeinen Planes, sofern er überhaupt einen in der Tasche hatte, außer mich mit allen ihm zur Verfügung stehenden Mitteln zwingen zu wollen, ihn zu lieben. Mein schlechtes Gewissen und die Angst trieben mich in das Haus. Eine uralte, knarrende, wohl morsche Treppe, auf der man befürchtete abzustürzen, führte in Damians Zimmer, ganz oben unter dem Dach. Licht gab es keines. „Stromrechnung nicht bezahlt“, brabbelte Damian und nahm eine Taschenlampe vom Treppenvorsprung. Unter dem winzigen Licht ihres armseligen Scheins, führte er mich zu seinem Zimmer. „Willkommen in meinem bescheidenden Reich“, hielt er mir die Tür auf. Der Geruch von Fäulnis stieg in meine empfindsame Nase. Mit dem Feuerzeug zündete er mehrere Kerzen an. „Dann mache ich es uns mal romantisch“, umgarnte er mich. Die Möbel alt und vergammelt, marode wie aus dem dritten Jahrhundert stammend, schienen so fürchterlich zu stinken. Entsetzt blickte ich auf zahlreiche Fotos, die aus Zeitungen und Illustrierten ausgeschnitten, als Tapete an die Wände gekleistert worden sein mussten. Meine müden Augen entdeckten nicht eine freie Stelle, an der kein Foto klebte. Beim Näherhinsehen entdeckte ich lauter nackte Frauen auf den bunten Papierfetzen. Bild an Bild, reihten sich nackte Blondinen mit üppiger Oberweite. Erschrocken trat ich einige Schritte zurück. Außer den verrotteten Möbeln und Pornofotos an den Wänden gab es nicht einmal ein Fenster in dem dunklen Zimmer, durch das man Sauerstoff hätte hereinlassen können, um zu atmen. Ein schwarzes Etwas huschte über die Holzdielen und verschwand fiepend unter dem Schrank. „Was war das?“, schrie ich entsetzt auf. „Eine Ratte vielleicht. Leider keine Seltenheit in den alten Häusern“, steckte sich Damian in aller Ruhe eine Zigarette an und warf sich auf das klapprige Bettgestell, das unter ihm verdächtig ächzte und quietschte. „Hier kann doch kein Mensch wohnen“, stotterte ich. „Siehste doch“, lachte Damian und winkte mich zu sich. „Komm, hier ist es gemütlich.“ Der Gedanke, dass ich auf dem Bett mit der dreckigen Decke darauf und den gelben Flecken auf der Matratze darunter, im Beisein von Ratten, die unter dem Schrank hockten, entjungfert werden sollte, konnte nur ein grauenvoller Albtraum sein und ich hoffte endlich aus ihm aufzuwachen. „Komm zu mir aufs Bett! Wir fummeln ein bisschen und dann bringen wir es hinter uns“, klopfte er auf die Matratze. „Ich, ich kann hier nicht“, stotterte ich. „Wie jetzt?“, wurde Damian nervös. Verstört zog ich die Schultern hoch. „Hey, jetzt mache keine Zicken hier, Fräulein. Erst sagtest du, du könntest im Auto nicht und wir sollen zu mir fahren, jetzt sind wir bei mir und du kannst auch hier nicht? Was soll das?“, warf er die brennende Zigarette auf den Fußboden. Mit der Schuhspitze seines Turnschuhs drückte er sie aus. Im Holzboden blieb ein Brandloch zurück. „Hier gibt es Ratten und ich kann nicht atmen. Ich kriege keine Luft“, röchelte ich. Damian erhob sich vom Bett. Entschlossen schritt er auf mich zu, packte mich am Unterarm und schleuderte mich lieblos auf das Bett. „Jetzt halte endlich dein dummes Maul, du blöde Schlampe!“, schrie er mich an. Im selben Atemzug riss er mir die Klamotten vom Leib. „Ich habe echt gedacht, wir beide hätten das Ganze ein wenig romantischer angehen können, aber du gibst mir einfach keine Chance“, nestelte er an der Gürtelschnalle seiner Jeans, nachdem meine Kleidung neben dem Bett gelandet war. Wimmernd lag ich auf der übelriechenden Matratze, die bestimmt seit mehreren Jahren niemand mehr gewechselt hatte. „Warum zitterst du denn so?“, schrie er. Ich rührte mich nicht. „Guck mich gefälligst an, wenn ich mit dir rede, Schlampe!“ Damian drehte komplett durch. In dieser Nacht lernte ich ihn von seiner schlimmsten Seite kennen. Ein heftiger Schlag in mein Gesicht brachte mich zum endgültigen Schweigen. Selbst die Tränen hielten sich aus Angst vor Damians Wutausbrüchen zurück. Zum Glück ging es schnell. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:10, 28. Mär. 2021 (CEST) Zum Jahresbeginn plant der Mensch alle Jahre wieder, für die Folgemonate seines Lebens, etwas Besonderes oder er setzt sich ein Ziel, das er im letzten Jahr nicht erreicht hat. Manche wollen im Berufsleben aufsteigen und verlieren ihren Job, andere geben das Rauchen auf und satteln um auf E-Zigarette und Alkohol, wieder andere wollen endlich den heißersehnten Fallschirmsprung wagen und vergessen beim Absprung den Fluglehrer mitzunehmen. Lapidar gesagt, kannst du immer und überall, mit deinen Vorsätzen ganz schön auf die Fresse fliegen. Dennoch sind in unserem Leben die planbaren Ereignisse, ein tiefes, menschliches Bedürfnis, und ebenso wie unsere Würde, unantastbar. Mir ist es ein dringendes Bedürfnis, mit meiner besten Freundin zum Brunchen zu gehen, mir ganz ungezwungen eine neue Jeanshose zu kaufen, mich in ein Cafe zu setzen, weil ich dort einen Latte Macchiato trinken, und anschließend in der Eisdiele, ein Spaghettieis essen möchte - und dennoch - sind mir all diese wichtigen Bedürfnisse, strengstens untersagt, weil irgend so ein Virus unterwegs ist. Das heißt: Im schlechtesten Fall sterbe ich in absehbarer Zeit sowieso an dem Virus, ohne noch einmal Freude in meinem Leben erlebt und ausgekostet zu haben, bevor mich ein Bestatter in Schutzausrüstung, in die hölzerne Kiste schmeißt und ich drei Etagen tiefer im finsteren Erdloch lande und von Würmern zerfressen werde. Im besten Fall verliere ich „nur“ jegliche Bedürfnisse, die mir Glücksgefühle verschaffen und sterbe nicht, meine Seele verreckt aber, weil ich ja gar keinen Ausgleich mehr habe, an dem ich mich erfreuen könnte. Die Seele stirbt, wenn du ihr nichts zu Futtern gibst. Sie stirbt auch, wenn du ihr die falsche Nahrung zuführst. Jetzt zeig mir einen Menschen, der nach dieser Scheiße immer noch völlig normal tickt, obwohl man ihn um wichtige Bedürfnisse beraubt. Selbst mein Kind ist unzufrieden und läuft nicht mehr in der Spur. Jeder der mir sagt, er sei im Endloslockdown glücklich, der lügt in meinen Augen. Ich will es niemandem unterstellen, aber das kann nicht wahr sein, dass Ihr da draussen alle glücklich seid. Es sei denn, du sitzt sowieso den ganzen Tag lang nur vor dem Computer, hast keinen Job, keine Familie, keine Tiere und auch sonst nichts in deinem Leben, wofür es sich zu kämpfen lohnt. Gut, dann fehlt dir auch nichts. Schlaf weiter und schalte am besten niemals die Nachrichten ein. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:16, 29. Mär. 2021 (CEST) Und dann fuhr mitten in der Nacht auf der einsamen Landstraße meines Nachhauseweges, die Polizei an mir vorbei. Entsetzt blickte ich den Fahrer an und er mich ebenso erschrocken, während ich noch immer mit dem Handy beschäftigt war, um die Sprachnachricht zu vollenden. Wie ein gleissender Blitz schlug es in mich ein. Die beiden Bullen mussten das Smartphone gesehen haben, das Displaylicht hatte mich verraten. Schweißperlen traten auf meine Stirn. Mein Punktekonto in Flensburg liess nix mehr zu. Nicht mal n halben Punkt... Handy am Steuer- das wird teuer..., dachte ich seufzend. Im Rückspiegel sah ich, wie sie den Polizeibulli wendeten und mich verfolgten. Wohin mit dem Telefon? In meiner Not, schmiss ich es unter den Beifahrersitz... "Papiere bitte!", knurrte der grimmige Beamte. Nervös reichte ich sie ihm durch die heruntergelassene Scheibe. "AUSSTEIGEN!", forderte er mich auf in einem Ton, der mich Schlimmes erahnen liess. "Bin ich jetzt verhaftet?", fragte ich und meine Gedanken rotierten. Hatten die beiden etwa auch gesehen, dass ich das Beweismaterial verschwinden lassen wollte? --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:36, 30. Mär. 2021 (CEST) Was habe ich Tränen gelacht...aber auch geheult Nach einem anstrengenden Arbeitstag, fuhr ich gegen 21.30 Uhr vom Discounter nach Hause, als mich unerwartet eine Polizeistreife aus dem Verkehr zog. Mein Tag war bis dato ohnehin beschissen verlaufen, deshalb wunderte mich gar nichts mehr. Das mit der Polizei war mal wieder typisch: „Ich!“ Ich war müde und abgespannt, wollte eigentlich nur noch in mein Bett und hatte jetzt erst einmal die Bullen am Arsch hängen. Der Grund, warum sie mich angehalten hatten, war für mich plausibel und ersichtlich: „Handy am Steuer!“ Doch der Polizist, der sich meine Papiere zeigen ließ, musste mich wohl wegen einem ganz anderen Vergehen angehalten haben, denn als er schließlich in einem mir fremden, besonders barschen Ton sagte: „Aussteigen!“, war mir klar, dass man für die Tat „Handy am Steuer“ nicht gleich verhaftet wurde. Aber warum sonst, sollte ich aus dem Fahrzeug aussteigen, wenn nicht die Handschellen klickten? Ich nehme dich, wenn du magst, mit auf eine Reise der letzten Monate meines Alltags. Du wirst lachen und vielleicht auch weinen, fluchen und staunen, was mir widerfahren ist. Das, was ich erzähle, ist nicht einmal ausgedacht oder fiktiv, nein, es ist die nackte, ungeschönte, ehrliche Wahrheit einer Frau, die selbstkritisch und humorvoll, über gewisse „Missetaten“ ihr Schweigen bricht. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:28, 31. Mär. 2021 (CEST) Übrigens, ich bin immer völlig amused, wenn mir so richtig miese Rezensionen reingedroschen werden und ich dann auf das Profil der Rezensenten gehe, und sehe, dass genau diese Menschen mir folgen. Warum? Wollt Ihr mich fertig machen? Oder süchtet Ihr nach den Büchern? Gruppenzwang? Fragen über Fragen... Ja, vielleicht solltet Ihr das in euren Profilen mal löschen. Weil, das kommt nicht gut. Ich meine, das sehen andere ja auch. Schiesst Ihr euch nur n Eigentor mit. Übrigens... die meistverkauften Bücher sind die- in denen die miesesten Rezensionen stehen. Also, nur zu! Lasst euch bitte so richtig aus! Sachen gibt's... 😅 * Meine Theorie ist die gute, alte Projektion und Übertragung. Die ganzen Basher sind doch alle selbst geil auf Blut und Gewalt, aber das ist ja fies und bah und da beschäftigt sich man nicht mit. Wenn man das aber konsumieren kann aus dieser erhöhten Selbstwahrnehmung, kann man gut den Schauer genießen, es aber trotzdem widerlich finden und die beschimpfen, die dazu stehen, dass es sowas gibt und es auch offen gesagt, gesehen und wahrgenommen werden muss. Ich hab mal in einer Autoren-Hilfegruppe gefragt, ob es möglich ist, als Unbeteiligter vollständige Akten der Amtsgerichte nach Urteilsverkündung inkl. Gutachten und Tatortfotos und Obduktionsbefunde anzufordern, da ich gern über zwei konkrete Fälle aus D schreiben würds und zwar eng an der Realität, True-Crime halt, was meinst, was da los war ..... Perverser, Aufgeilen wollte ich mich, was mich das anginge usw. usf., Persönlichkeitsrechte des Täters usw. Ey Hallo? Ich hätte die Kopien ja bezahlt und die Namen der Beteiligten hätte man schwärzen können, wenn es sein muss. Gehen geht alles, wenn man will. Und ich finde, die Persönlichkeitsrechte eines Täters wiegen weniger, als ein Urteil „Im Namen des Volkes“. Ich denke, wir Bürger sind das Volk? Dann ist es doch auch das gute Recht jedes Interessierten, zu erfahren, WARUM in seinem Namen ein Urteil gesprochen wurde, wie man im Einzelnen zu dem Ergebnis kam und welche detaillierten Einzelheiten der jeweiligen Angelegenheit in Gänze zugrunde lagen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:18, 1. Apr. 2021 (CEST) Das angstvolle Wiehern meiner Pferde drang bereits in meine sensiblen Ohren, da hatte ich den Stall noch gar nicht erreicht. Kaum über den Berg gelaufen, ließ meine Intuition das Adrenalin in meinen Venen explodieren und ich wusste sofort, ich musste mich beeilen, um Schlimmeres zu verhindern. Meinen Rucksack warf ich ins Gras. Dann rannte ich so schnell ich konnte. Die Peitschenhiebe ließen mir das Blut in den Adern gefrieren. Von weitem schon sah ich Damian, wie er mit der Peitsche ausholte und auf mein Pferd einprügelte. Das Tier hatte keine Chance ihm auszuweichen, es hielt sich in der Box auf und nicht draußen auf der Weide. „Aufhören!“, schrie ich und riss ihm das Folterinstrument aus der Hand. „Was tust du?“, schubste ich ihn. „Du warst wieder bei dem Wichser“, sprang Damian im Dreieck. „Ich habe dir gesagt, du sollst da nicht mehr hingehen, verdammt.“ „Er ist mein Freund. Ein guter, lieber Freund, nichts weiter“, rechtfertigte ich mich und versuchte, mein Pferd zu beruhigen. Die Striemen zeichneten sich im Fell der Kruppe ab. Mir tat es weh hinzusehen. „Ich will das nicht. Du gehörst mir. Mir alleine, wann kapierst du das endlich?“, tobte Damian und trat mit dem Fuß tote Gegenstände durch die Gegend. Die Mülltonne schepperte um die Ecke, die Boxentür riss er aggressiv aus den Angeln und schleuderte sie zu Boden, dann griff er nach Amy, so hatte ich das kleine Hundebaby getauft, das tollpatschig um uns herum tapste. „Lass den Hund in Ruhe“, schnappte ich mir die Mistgabel und ging auf Damian los. Jetzt reichte es mir aber. „Du willst mir drohen?“, lachte er und griff nach dem Stiel der Forke, doch ich ließ sie mir nicht entwenden, sprang im richtigen Moment zurück und holte zum ersten Schlag aus. „Hau ab“, schrie ich. Ich wuchs über mich hinaus. Hielt die scharfkantigen Zinken in sein Gesicht gerichtet. „Du quälst keine Tiere mehr. Meine zumindest nicht“, holte ich erneut aus und dieses Mal traf ich ihn empfindlich mit einem kräftigen Schlag an der Schulter. Er taumelte, ging in Deckung und wich mehrere Schritte vor mir zurück, doch ich konnte nicht aufhören. Es kam über mich. In blinder Wut verprügelte ich Damian mit der Mistgabel, als würde es kein Morgen mehr geben. Die Schläge kamen immer schneller, setzten sich immer gezielter. Trafen ihn am Kopf, auf dem Rücken, in den Kniekehlen und an den Hüften. Vor Schmerzen schrie er auf und lief fort. Ich ihm nach, während ich noch immer wie eine wildgewordene Furie auf ihn eindrosch. Hätten mich meine Kräfte nicht verlassen und er das ihn rettende Auto nicht erreicht, hätte ich ihn vielleicht totgeschlagen. Mit durchdrehenden Reifen fuhr er davon. „Lass dich bloß nie wieder hier blicken, du Arschloch!“, schrie ich dem davonfahrenden Jeep nach. Weinend schloss ich Amy in meine Arme. Das kleine Wollknäuel und ich gegen den Rest der Welt, so fühlte sich der Schmerz in meiner Brust an. Mir war klar, ich müsste mein Leben ändern wenn ich leben wollte, so konnte es nicht weitergehen. „Und wenn ich alle Pferde abgeben muss“, heulte ich Sina die Ohren voll. Wobei ich nicht mal mehr weinte, wenn ich über das Drama sprach, Tränen gab es in meinen Augen längst keine mehr. „Du sollst dein Leben ändern wegen ‘nem Psycho?“, kreischte Sina. „Ich habe anscheinend keine andere Wahl. Der Typ wird mich nie in Ruhe lassen. Ich kann so jedenfalls nicht mehr weitermachen. Einer bleibt auf der Strecke. Entweder er oder ich“, schnaufte ich. „Ja, du läufst schon rum wie ein Zombie“, stellte Sina nüchtern fest. Ich habe damals fast eine halbe Seite der Bildzeitung ausgefüllt ... so schade, dass ich den Artikel nicht aufgehoben habe... Alles was an den Typen erinnerte, wollte ich nur loswerden... https://www.facebook.com/jeannine.piekenbrock https://www.facebook.com/MyHomeAnaisCMiller Arbeitet bei Meine Pferde "Warinja" & Co - https://www.facebook.com/AnaisCMillerPferde Boss bei Selbständig Verkäuferin ❤ bei Lidl Dienstleistung GmbH & Co. KG --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 23:27, 2. Apr. 2021 (CEST) Ein Buch, mit dem ich den Schwerpunkt auf die Diaologe der Betroffenen vor, während und anschließend der Vergewaltigung legen möchte und in dem es mir weniger um die Brutalität der Tat ansich geht. Es soll aufzeigen, wie widerwärtig sich Menschen verhalten... Auszug „Hallo, hören Sie mich?“ Ein alter Mann beugt sich über mich. Benommen blicke ich in ein unrasiertes, dreckiges Gesicht. „Helfen Sie mir bitte“, stöhne ich. „Ja, ich muss jemanden rufen. Einen Krankenwagen, aber ich habe kein Telefon dabei“, stammelt er in abgehackten, holprigen Sätzen. Entsetzt blickt er auf meine nackten Brüste. Mein Kopf liegt in einer Pfütze. Ich spüre wie die Nässe in mein Ohr eindringt und sich in meinen Haaren verfängt. Mir ist nicht klar, ob es Regenpfützen sind oder mein eigenes Blut, in dem ich liege. Meine Arme will ich heben, schützend über meine Brüste legen, doch sie bewegen sich nicht. Hilflos krallen sich die Fingernägel in den kalten Betonboden des Parkdecks mit der Nummer 7. Der Schmerz in mir zeigt kein Erbarmen. Mit brutaler Gewalt holt er die Erinnerung zurück an das Geschehen, das sich vor wenigen Augenblicken ereignete. „Hey Sie“, ruft der alte Mann. Aus dem Augenwinkel heraus sehe ich, dass er angestrengt einem jungen Mädchen nachhumpelt, das in einen kleinen, roten Rover einsteigen will. „Hier ist jemand verletzt. Haben Sie ein Telefon dabei? Die Absätze ihrer Stöckelschuhe klackern in einem zermürbend gleichmäßigen Takt, der sich nicht verlangsamen will. "Bitte, helfen Sie“, fleht er. "Blipp blipp," öffnet sich der Wagen per Funk. Das Mädchen steigt ein ohne sich umzudrehen. Die Autotür schlägt zu. Motorengeräusch. Der mechanische Klang ist verstörend. Verzweifelt rettet sich der alte Mann mit einem Sprung zur Seite, um von dem Fahrzeug nicht angerempelt oder umgestoßen zu werden, als es rückwärts aus der Parkfläche rangiert. „So helfen Sie doch bitte“, ruft er dem Auto nach, das rasant an mir vorbeifährt. Das Mädchen im Inneren schenkt mir und meiner Situation nicht einen Funken ihrer Aufmerksamkeit. Versteinert starrt es unbeteiligt auf das Lenkrad, das scharf nach links einschlägt, um ins tiefere Parkdeck zu gelangen. Der Auspuff des Minis röhrt entsetzlich aufdringlich in den niedrigen Decken zwischen den mit Graffiti beschmierten Mauerwerken. Welch widerwärtiger Kontrast zu meinem Schluchzen und Wimmern. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:00, 3. Apr. 2021 (CEST) Ich schrieb mal unter Pseudonym ein Buch mit dem Titel "Die Wünsche der Vergessenen". Hat es zufällig jemand gelesen? Das Buch schrieb ich nach wahrer Begebenheit. Das Pseudonym nahm ich, weil ich nicht so unterirdische Rezensionen kassieren wollte, denn es gibt dort draussen ganz viele Menschen, die mich abgrundtief hassen. Die Protagonisten aus der Erzählung gibt es tatsächlich. Nun ist Wolfgang letztes Jahr verstorben, die Oma, die das KZ überlebt hat, ist auch tot und heute kommt der Italiener im Rollstuhl zu mir an die Kasse. Er hatte endlich eine Freundin gefunden und die zwei waren ein tolles Paar! Da erzählt er mir heute, dass seine Freundin vor ein paar Tagen gestorben ist. An einer Lungenembolie. Ich bin geschockt. Sie war erst 35 Jahre alt... Ich bin traurig, denn ich kenne alle diese Menschen persönlich...das Schicksal kloppt immer den Falschen in die Fresse, ehrlich... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:38, 3. Apr. 2021 (CEST) Wolfgang hatte mich den letzten Tag an dem ich ihn gesehen hatte, gebeten, das St. Georgs Werk anzurufen, damit ihn am Lidl jemand abholt, ihm ging es sehr schlecht. Aus dem Heim hatten sie ihn aber rausgeschmissen, weil er sich gegen alle Regeln widersetzt und weiterhin Drogen genommen hat. Ich hatte die Tele Nr nicht und durfte auch von der Arbeit aus nicht telefonieren. Zwei Tage später war er tot... * Ich hoffe das legst du dir nicht zur Last...so traurig wie es ist, aber er hat ja Hilfsmöglichkeiten gehabt und nicht angenommen...was soll ein anderer da tun...irgendwann tritt dann eine solche Situation ein wo eben nichts mehr ineinander greift und dann ist es zu spät. Er hat sich verloren...das hätte keiner aufgehalten * Grausam ist trotzdem das du auf der Arbeit nicht mal telefonieren durftest... Wir haben uns da nicht einzumischen. Wusste ja auch keiner- wie schlecht es ihm tatsächlich ging... * Habe vorgestern Abend die Kurzgeschichte von der besten Freundin gekauft in einer Stunde gelesen und war wieder begeistert so toll ich liebe diese Alltagsgeschichten von dir. Top. Gibt es davon eine Fortsetzung ? da es ja Realität ist, hoffe ich, daß es keine Fortsetzung gibt. Solche Tage brauche ich nicht noch mal --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:05, 4. Apr. 2021 (CEST) Mann Mann Mann...😑 Letzte Woche Mittwoch gings los. Schlagartig heraus wie aus dem Nichts, traf es mich. Mir war kotzübel und ich musste frühzeitig von der Arbeit aus Feierabend machen weil ich dachte, ich kotze den Kunden vor die Füsse. Am nächsten Tag Rückenschmerzen, Kopfschmerzen, Bauchschmerzen und Harnwegsschmerzen. Ich sass heulend auf der Toilette. Diese Schmerzen beim Wasserlassen, das war irre. Natürlich bin ich zum Arzt und der hat meinen Urin untersucht und gesagt, dass das nicht gut ausschaut und ein Antibiotika aufgeschrieben. Ich bin trotzdem zur Arbeit und ja, es war ne Quälerei...Den übernächsten Tag (Ostersamstag) bin ich auch zur Arbeit ( man ist einfach zu gutmütig) und ich habe es vor Schmerzen fast nimmer ausgehalten. Man schickte mich dann früher nach Hause, aber stinksauer. So getreu dem Motto:" Simulant". Ich habe Ostern fast nur im Bett verbracht, wurde immer schwächer und mir ging es so beschissen wie lange nicht mehr. Ich dachte an Tom Hanks in The Green Mile und wünschte mir auch einen John Coffee herbei, der mich von diesen elendigen Schmerzen erlöst... 💞 Dienstag wieder zum Arzt, nochmal Urin abgegeben, immer noch ein erschreckendes Ergebnis und andere Tabletten bekommen. 💊 Heute ist der erste Tag an dem ich das Gefühl habe, es ist etwas besser... ich wäre so dankbar, auf Toilette gehen zu dürfen, ohne heulen zu müssen... 🙏 Und plötzlich ist man so dankbar, für ganz kleine, simple Dinge, wie schmerzfrei pinkeln zu können. Unglaublich... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:12, 8. Apr. 2021 (CEST) So wie das ausschaut, werde ich FB den Rücken kehren. Zumindest, was meine Beiträge anbetrifft. Ich bin zu müde für diese Hetzcampagnen geworden. Das Leben dort draussen ist auch nicht besser zur Zeit, aber es gibt meine Tiere die mich brauchen und Sinnvolleres zu tun, als mich über Menschen zu ärgern, die andere verurteilen und mit dem Finger auf sie, in dem Falle auf mich, zeigen. Ich lasse mein Profil stehen und auch den Messanger, um mit wirklichen Freunden zu kommunizieren, aber meine Beiträge werde ich einstellen. Auf meiner privaten Seite handhabe ich das ebenfalls so. Die Bücher schreibe ich wie gehabt weiter. Wer sie lesen mag, ich freue mich über jeden, der mit dabei ist und wer sie nicht lesen mag, der lässt es einfach bleiben. Ich bleib ja da, poste aber nichts Privates mehr. Gebe nichts mehr aus meinem Innenleben preis, denn das macht angreifbar und lädt Idioten zu Verurteilung ein. Somit gibt es Werbung zu neuen Büchern und fertig. Damit wird es sich besser und ruhiger leben. Zumindest für mich. Im Messanger bin ich erreichbar und ich lese und kommentiere auch eure Beiträge. Ich bedanke mich von Herzen bei denen, die wirklich hinter mir stehen. Ohne euch hätte ich mein Profil schon lange komplett gelöscht Es geht gar nicht mal um die Diskussion, Negativwerbung ist immer förderlich und das macht mir auch nix. Es geht darum, dass wenn man sich politisch äußert oder generell Gedanken freilässt, man sich angreifbar macht und das möchte ich vermeiden. Wir haben es derzeit alle schwer genug und müssen uns das Leben nicht noch schwerer machen. Deshalb pflege ich meine Seiten, bewerbe meine Bücher und halte mich ansonsten zurück. Ist auf Dauer gesünder. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:35, 8. Apr. 2021 (CEST) Das Cover ist nur vorübergehend, das Oroginalcover wurde von FB gesperrt! Buchauszug. Start Ende April Meine beiden Brüder brachten täglich ihre Freunde mit zu uns nach Hause. Sie spielten im Garten Fußball, angelten im Teich nach Karpfen und paddelten mit dem Boot über das trübe Wasser. Die Jungs die sie mitbrachten, waren ebenfalls die Kinder der Angestellten meines Vaters. An den Wochenenden feierte Papa rauschende Feste. Da gab es Bier und Grillwürstchen für alle. Für alle, die kommen wollten und wir hatten immer Full House. Die Stimmung unter den Erwachsenen war ausgelassen, wobei mir im Laufe meines Älterwerdens auffiel, dass an den Feierlichkeiten kaum Frauen teilnahmen. Irgendwie waren diese Feste eine reine Männerveranstaltung und das schien seine Gründe zu haben. Selbst Mama hielt sich zurück, und während der Partys meist nur im Haus auf. Dort half sie der Haushälterin beim Schnittchen schmieren und Getränke auffüllen. Wir Kinder hatten sehr wohl Zutritt zu der Terrasse, durften Würstchen essen und Malzbier trinken, hielten uns aber lieber abseits des Geschehens auf. Spielten zusammen Weitwurf, Völkerball und Verstecken, während die Erwachsenen bis tief in die Nacht feierten und sich beinahe ins Koma soffen. Bisher war es jedes Mal so gewesen, dass mindestens eines der Kinder kurz vor Mitternacht von dessen Vater eingesammelt wurde und wir aufgefordert wurden, ins Bett zu gehen oder uns solange nicht mehr blicken zu lassen, bis man nach uns rief. Meine Brüder und ich, wir dachten uns nichts dabei. Wir waren es gewohnt, dass wir Abstand hielten, wenn Papa uns dazu aufforderte. Es war selbstverständlich, dass die Erwachsenen auch mal gänzlich unter sich sein wollten. Das hatten wir von klein auf an gelernt und anerzogen bekommen. Wenn Papa sagte: „Und jetzt bleibt ihr weg hier“, blieben wir weg. Dafür hatten wir genügend andere Freiheiten. Eines Nachts jedoch, fassten wir einen Plan. Wir wollten den Erwachsenen nachspionieren, als Emils Vater seinen Sohn, den besten Freund meiner Brüder, nachdem wir Verstecken gespielt hatten, einkassierte. „Was machen die wohl mit dem?“ Patrick, angetrieben von innerer Neugierde, forderte uns auf, ihm zu folgen. „Komm, wir verstecken uns und sehen nach“, rief er. Ich ängstigte mich, doch auch meine Sensationslust war geweckt. Wir schlichen uns an das Geschehen heran, wie Indianer auf Spurensuche. Lautlos und wissensdurstig, näherten wir uns der lichtdurchfluteten Terrasse. Das, was wir sahen, war niemals für unsere Augen bestimmt. Die Erwachsenen mussten Emil gefesselt haben, der Junge saß splitterfasernackt, an einem Baum. Ein kräftiges Seil war um seinen zarten Körper gespannt worden. Der Reihe nach urinierten die Männer auf seinen dürren Torso. Einige hielten den Strahl direkt auf sein Gesicht gerichtet. Wir konnten mit ansehen, wie sie den Mund des Jungen spreizten. Emil drehte sich in den Seilen hektisch hin und her. Versuchte sich aus der desolaten Situation zu befreien. Seine Augen waren entsetzlich weit aufgerissen, sie schrien nach Hilfe. „Scheiße“, überkam es Patrick. Er war der Älteste von uns, verstand am besten, welche Tragödie sich abspielte. Emil spuckte, würgte und kotzte. Zwischendurch versuchte er zu schreien, doch das heizte die Erwachsenen umso mehr an, noch grausamer gegen das Objekt ihrer Sünde vorzugehen. „Was machen die mit dem?“, lispelte Sven. „Sie foltern ihn“, flüsterte Patrick. „Aber warum?“, mischte ich mich ein. „Halt den Mund, Silke“, zischte Patrick. Starr vor Angst, beobachtete ich, wie einer der Männer eine Peitsche ergriff und auf den wehrlosen Jungen einprügelte. Die Männer lachten, während Emils Schreie die Nacht durchrissen. Ich glaubte, ein Horrorfilm liefe, den ich noch gar nicht angucken durfte. Gleich wachte ich auf aus einem schlechten, ganz miesen Albtraum oder Mama weckte mich. Die Männer erhoben ihre Gläser, stießen an, tranken daraus und schütteten den Inhalt lauthals lachend in Emils Gesicht. Der Freund meiner Brüder röchelte, während die Erwachsenen ihren Spaß genossen. „Die sollen aufhören“, muckste ich auf. „Aufhören“, wollte ich laut schreien, doch Patrick hielt mir den Mund zu. „Halt die Klappe Silke. Gleich entdecken sie uns und dann sitzt einer von uns am Baum“, stopfte mir mein Bruder das Mundwerk. „Sowas macht Papa nicht“, widersprach ich. „Ha, wenn du wüsstest, was Papa für ein Drecksschwein ist und was der alles macht“, fluchte er. Der Blick meines ältesten Bruders traf mich strafend. Niemals zuvor hatte er mich so böse angesehen. „Sie ist noch zu klein“, nahm mich Sven in Schutz. „Ich bringe ihn um. Sobald ich alt genug bin, knalle ich das dreckige Arschloch ab, ich schwöre es euch“, sprach Patrick erregt. Unser Vater und seine Freunde schlugen Emil in der Nacht bewusstlos. Der Junge kehrte nicht mehr zu uns zurück. Entsetzt beobachteten wir, wie sie ihn losbanden und auf den Pflastersteinen niederlegten. Jemand schleppte einen Eimer Wasser ran. Schüttete den Inhalt mit einem rauschenden Schwall in das blasse Gesicht des ohnmächtigen Jungen. „Die bringen ihn um“, hechelte Sven. „Schweine“, stöhnte Patrick. An dem Tag, an dem ich mit ansehen musste, wie mein Vater einen Jungen in meinem Alter halb tot prügelte, fiel meine heil geglaubte Kinderwelt gänzlich aus den Angeln. Was ich gesehen hatte, wollte ich nicht wahrhaben. „Und wenn sie das mit Anna machen?“, überkam es meinen Lippen und ich erinnerte mich an den Vorfall, als Papa meine Freundin in unserem Keller eingesperrt hatte. Meine Brüder antworteten mir nicht. Schweigend zogen sie mich aus dem Radius des grausamen Geschehens. Also es ist ein Buch, das fast ohne ordinäre Gossenjargonsprache auskommt und nur wenige richtig heftige Szenen enthält, aber dennoch "knallt" (Nuttenkinder) Ich hab mir dieses Mal echt Mühe gegeben. Wobei ich heute Aschennutte gelesen habe und ich muss sagen, Aschennutte ist und bleibt echt genial...das ist wirklich mitreißend geschrieben trotz Fäkalsprache Naja, so ist das Leben eben. Soll alles nur vertuscht werden. In der DDR gab es Gruppenerziehung! bis zur Bewußtlosigkeit. Ich habe 1969/70 neben dem "Jugendwerkhof “Hübner-Wesolek” für gefährdete Jugendliche und Jungerwachsene" in der Brunnenstraße in Bernburg an der Saale (Anhalt) gelebt - in der Villa Staake (Brunnenstraße 25), von deren Dachboden aus man den einzigen Einblick in das Gelände über die hohen Bruchsteinmauern hatte. Der riesige Garten der Villa lag genau auf der anderen Seite der Mauer, deren Krone mit Glasscherben bestückt war, worüber sich mehrere Reihen Stacheldraht befanden, die unter Strom standen. Der "Weidezaun" der LPG Menschenproduktion (ich konnte mehrfach beobachten, wie sich gepeinigte Mädchen vor Verweiflung dort hineinwarfen). Die üblichste Erziehungsmethode bestand darin, die Mädchen in Vollschutz über das Gelände zu jagen und am Gasmaskenschlauch weiter zu ziehen, wenn sie platt waren. Besonders beliebt war dabei das Grölen von "Spaniens Himmel", dem damals berühmten Kampflied von Ernst Busch. Die Strafaktion war erst beendet, wenn das letzte Mädchen zusammengebrochen war. Bei kleineren Bestrafungen hatten die Mädchen das Glück, ohne Vollschutz nur an den Haaren "erzogen" zu werden. Besonders perfide war die sogenannte "Selbsterziehung". Um diese anzuheizen, wurde eine Gruppe wegen der Verfehlung eines Mädchens bestraft. Aber dann Holla die Waldfee - die "Verursacherin" konnte sich warm anziehen. Übliche Praxis der "ErzieherInnen" war auch, die Informationen von Denunziantinnen, die dadurch kleine Erleichterungen bekamen, einem anderen (unbeliebten) Mädchen in die Schuhe zu schieben und sie dadurch in der Gruppe zu diskreditieren. Die Mädchengruppe machte zB ihre Opfer nackt, knebelten sie, fesselten sie an Knöcheln und Knie, knoteten ihnen eine Gasmaske für Kopfverletzte über und traktierten sie mit Weidenruten oder Brennesseln etc. - die Opfer gerieten so in Panik dabei, daß sie bei dem Versuch, sich die Gasmaske abzureißen, fast alle Fingernägel einbüßten. Usw usf. Und heute wird das alles kleingeredet, weißgewaschen und vertuscht, vor allem von der evangelischen Kirche, die ja aktuell selbst gegen eine Welle von Mißbrauchsskandalen kämpft: "Wer hinter diesen Mauern verschwindet, der hat seine Strafe gerecht verdient! So urteilten die Bernburger lange über das ehemalige Mädchenheim, aus DDR-Zeiten noch besser bekannt unter dem Namen Jugendwerkhof. Hohe Mauern und junge Mädchen in Holzpantinen mit langen Kitteln verstärkten diesen Eindruck. Dazu die Gerüchte über die Zwangssterilisation im Dritten Reich. Doch das am 30. Mai 1863 gegründete St. Johannis-Asyl ist in seinen Zielen keine verkappte Jugendstrafanstalt gewesen. Vielmehr war es in seiner wechselhaften Geschichte stets ein Hilfsangebot, allerdings mit sehr unterschiedlichen erzieherischen Konzepten. ... Aus dem St. Johannis-Asyl wurde 1929 das Evangelische Mädchenheim St. Johannes. Im Januar 1948 ging es in Staatsleitung über, ein Jahr später wurde daraus das Landesjugendheim, schließlich ein Spezialkinderheim mit dem Jugendwerkhof “Hübner-Wesolek” für gefährdete Jugendliche und Jungerwachsene. In dieser Zeit entsprachen Ziele und Inhalte der Arbeit der gängigen Schulpolitik. Die jungen Menschen sollten auf die Arbeit und das Leben in der sozialistischen Gesellschaft vorbereitet werden." https://www.stejh.de/ueber-uns/geschichte Es passiert so vieles, das wir nicht glauben wollen... Oh mein Gott, wie verdorben sind manche Menschen. Da weint meine Seele. Kann man normalerweise nicht glauben wie brutal und pervers manche Leute sind. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:13, 10. Apr. 2021 (CEST) Nuttenkinder - das Dorf der verlorenen Seelen Die Geschwister Silke, Patrick und Jens wissen nicht, wann es genau angefangen hat. Irgendwie war es schon immer so gewesen, dass sie vom eigenen Vater missbraucht wurden. Der Vater hat seine Kinder geliebt, aber eben nicht so, wie ein Vater seine Kinder lieben sollte. Erst mit den Jahren beginnen die Kinder zu begreifen und zu hinterfragen. Dieser Roman ist für Leser unter 18 Jahren nicht geeignet. Erzählt nach einer wahren Begebenheit. amazon.de/Nuttenkinder-Biografie-Anais-C-Miller-ebook Fehler: Die Seite, die du speichern möchtest, wird durch den Spamfilter blockiert. Das liegt wahrscheinlich an einem Link zu einer externen Seite, die in die „Spam-Blacklist“ aufgenommen wurde. 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Ein Ort, an dem jeder jeden kennt, doch alle Einwohner abhängig von deinem Vater sind, weil er ihnen Arbeit gibt und ein Dach über dem Kopf gewährt. Und dann stell Dir vor, in diesem Dorf geschehen grausame Dinge und die Erwachsenen verschließen ihre Augen vor fürchterlichen Verbrechen und Missetaten, und sie alle schweigen darüber. Niemand unter ihnen ist mutig genug, sich gegen das Elend aufzulehnen, aus Angst, den Job und das traute Heim zu verlieren. Du bist zwar noch ein Kind; und doch weisst du, dass du in der von deinen Eltern geschaffenen Lügenwelt nicht länger mitspielen willst ... Von dem Mut eines Mädchens, das aus einem korrupten System ausbrach, um für die Freiheit seiner Freunde zu kämpfen. Das Cover bei Amazon wird gewechselt, da mir FB aufs Dach steigt und ich mein Konto verliere, wenn ich es noch einmal poste. ahja, Facebook droht mit Kontoverlust - also die nächste Institution, welche die Wahrheit nicht sehen will, sondern nur vertuschen ... kann sich aber gaaanz hinten anstellen: Staat, römisch!-katholische Kirche, evangelische Kirche ... Facebook [[w:Kategorie:Sexueller Missbrauch in der römisch-katholischen Kirche]] [[w:Sexueller Missbrauch in der Evangelischen Kirche in Deutschland]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:26, 11. Apr. 2021 (CEST) Wenn ich einen Wikipedia-Rotlink "Anais C. Miller" erzeuge, scheint noch niemand versucht zu haben, einen Autorenartikel anzulegen - so daß mir schleierhaft ist, wie Du zu so "speziellen Freunden" bei Wikipedia und WMF kommst, daß Du auf der Spamlist landen konntest. Dort finden sich in der Regel Wiedergänger, d.h. notorische Wiederholungstäter, welche immer wieder trotz fehlender Relevanz und Interessenkonflikt (enzyklopädischer Artikel über sich selbst) eine Selbstdarstellung bei Wikipedia versuchen. Ich will es mal so formulieren: wenn Du ohne eine solche Vorgeschichte in der Spamlist landest, mußt Du wirklich enzyklopädisch relevant sein. 😂🤣😂 https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Anais_C._Miller&action=edit&redlink=1 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 11. Apr. 2021 (CEST) Bleib stehen, Fotze!“ Angst ummantelt meinen Hals. Legt sich nahezu erdrückend auf meinen Brustkorb, während ich eiligen Schrittes die Kreuzung überquere und zielstrebig in Richtung Parkhaus schwenke. Kinderstimmen sind es, die mir nachrufen und vor denen ich mich ängstige. Lächerlich! Und dennoch, laufe ich eiligen Schrittes meines Weges, der auf die letzten Meter nicht mehr enden zu wollen scheint, um diesen Kindern nicht in die Quere zu kommen. „Fotze, warte auf uns“, rufen sie noch einmal. Beinahe im Chor. Eiskalt läuft es meinen Rücken hinunter. Sie führen etwas im Schilde, ganz sicher. Die Dämmerung hat bereits eingesetzt. Der Schein der Straßenlaternen begleitet meinen hektischen Schatten entlang des Bürgersteigs. Mein Atem rasselt. Die Angst, sie ist allgegenwärtig. Ganz besonders nachts. Gähnende Leere herrscht in den Seitenstraßen. Kaum jemand ist um diese Uhrzeit unterwegs. Einige windige Gestalten schleichen um die Häuserecken. Führen ihre Hunde zum Abendgassi aus. Flüsternde Gespräche finden statt zwischen Zigarette rauchenden Passanten, die keinerlei Notiz von mir nehmen. Was wollen die Kinder von mir, verdammt? Warum laufen sie mir nach, zum Teufel? Gehören sie um diese Uhrzeit nicht längst ins Bett? Warum kümmern sich ihre Eltern nicht? Aus dem Augenwinkel heraus sehe ich, sie sind zu dritt, folgen mir noch immer und scheinen Gefallen daran zu finden, mich durch die Kälte der Nacht zu hetzen wie ein Objekt, das sie zu ihrer Beute auserkoren haben. Ihre Schritte beschleunigen, die Stimmen werden lauter. Sie lachen, sind albern. Fühlen sich stark und mir überlegen, weil sie zu dritt sind. Erhaben springe ich auf die erste Treppenstufe, um zum obersten Parkdeck zu gelangen. Nur noch wenige Meter, dann habe ich mein Auto erreicht. Ich werde hineinspringen, die Tür verriegeln und ihnen davonfahren. Mein Herz läuft einen Marathon. Schnellen Schrittes haste ich über den dunklen Asphalt entlang der mit Graffiti beschmierten Betonmauer. Nur noch wenige Parkfelder sind zu passieren und am Ende der Reihe wartet mein Wagen. Wenige Meter nur noch, dann bin ich in Sicherheit. Erleichtert krame ich nach meinem Autoschlüssel. Er steckt in der Handtasche. Trotz dem Chaos, das in ihr herrscht, bekomme ich ihn zwischen meine Finger. „Hey, bleib stehen“, wirft sich plötzlich jemand in mein Sichtfeld und versperrt breitschultrig und mit übereinander gekreuzten Armen bis auf wenige Meter, meinen Weg. Entsetzt bremse ich ab. Blicke in zwei gefährlich dreinschauende Kinderaugen eines hoch aggressiv und wütend wirkenden Jungen, der höchstens vierzehn Jahre alt sein mag. Bissig grinst er mich an. Während uns lediglich eine Armlänge auf Distanz hält, überlege ich, wo ich ihn schon einmal gesehen habe. Das Gesicht kommt mir bekannt vor und doch kann ich es nicht gleich zuordnen, wann und wo ich meine Erfahrung mit den zahlreichen Sommersprossen und den schief sitzenden Zähnen, die einer dringenden Korrektur durch das Tragen einer Zahnspange benötigten, gemacht hätte. Die drei Kinder stellen sich im Halbkreis auf. Umzingeln mich. „Wohin so eilig?“, klagt mich der älteste, wahrscheinlich der Anführer der Truppe, an. „Nach Hause. Feierabend“, haspele ich und denke im gleichen Atemzug, was geht’s die Rotznase an, wo ich hin will? Plötzlich fällt es wie Schuppen von meinen Augen. Der Junge heißt Murat Aslan. Vor wenigen Tagen überführte ich ihn des Diebstahls im Kaufhausriesen „Die Galerie“. Ich arbeitete dort als Kaufhausdetektivin und hatte den Jungen beobachtet, wie er sich Zigaretten und eine Falsche Schnaps eingesteckt hatte. Als er sich an der Kasse an der Kassiererin ungesehen vorbeischleichen wollte, mit seinem Diebesgut, zog ich ihn aus dem Verkehr. Er hatte „Rache“ geschworen, nachdem die Polizei eintrudelte und sein Vater, der von den Behörden alarmiert worden war, die Büroräume der Filalleitung betrat, um seinen Sohn in Empfang zu nehmen, auf den er ganz sicherlich nicht stolz sein brauchte. Das Klauen war ja wohl eine der schlimmsten Taten, die nicht zu den Kavaliersdelikten zählten und mit nichts zu entschuldigen waren. Anderen Menschen etwas wegnehmen wollen, das einem nicht gehört, pfui! Die Verkäuferin hatte mich gewarnt. „Lass ihn besser laufen“, hatte sie gesagt, als ich den Jungen am Gängelband hielt. „Er wird den Lack deines Autos zerkratzen und dir das Leben zur Hölle machen, wenn Herr Sander die Polizei benachrichtigt“, sprach Bianca im Flüsterton. Herr Sander war die stellvertretende Filalleitung. Bei Diebstahl verstand er keinen Spaß. Im Gegenteil. Mehr als dankbar war er, dass ich denjenigen dingfest gemacht hatte, der ihn seit Monaten um Zigaretten und Schnaps prellte. „Endlich Hausverbot, der Bengel“, klang er zufrieden und gratulierte mir sogar zu dem „Fang“. Und jetzt, jetzt stand ich hier im Parkhaus, schwitzte Blut und Wasser, und hoffte, der Junge würde mich nicht als die Kaufhausdetektiv-in erkennen, die ihm mächtig Ärger eingebrockt hatte. Der Vater des Jungen war mit dem Kind nicht zimperlich umgegangen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:49, 4. Mai 2021 (CEST) https://www.facebook.com/photo/?fbid=840049589940644&set=a.104156296863314 Darknetplattform mit 400.000 Mitgliedern Und wenn dann die Rezensionen kommen..."Sowas gibt es gar nicht!", könnte ich noch mehr kotzen! * Tabea VT - Anais C. Miller ich gehe mit meinen Traumata sehr offen um und darf mir auch immer sowas anhören. "Ach, so viel kann ein Mensch gar nicht erleben", "jaja, blühende Fantasie", "du könntest Krimiautorin sein" oder: "Wenn dir das wirklich passiert wäre, könntest du da nicht so drüber reden." Wahlweise auch mit "Sie", wenn die Gesprächspartner:innen Therapeut:innen sind. Zu letzterem: doch! Ich darf das erzählen, denn es war nicht meine Schuld, dass es mir passiert ist. Ich habe schließlich nicht darum gebeten, traumatisiert zu werden. Ich muss mich nicht dafür schämen. - Das zu verstehen, hat zwar eine Zeit gedauert 😉 aber seitdem rede ich darüber. *Ach so, und bei manchen ist das sicher auch eine Schutzreaktion, dass sie sagen, dass es sowas nicht gibt. Sie leben in ihrer rosaroten Welt, wo alles ganz leicht und zuckersüß ist und da passt sowas wie Kindesmissbrauch natürlich nicht ins Konzept 😉 * Tja viele verschließen die Augen davor! Ich würde sagen 90 % derjenigen. Erkenne ich immer wieder an den Reaktionen wenn ich von deinen Büchern erzähle! Bäää hör bloß auf, sowas will ich gar nicht wissen..... ist dann die Antwort! Ja genau da liegt das Problem. Ich weiß von nix................ Na ja ich möchte auch niemanden zwingen, es zu lesen. Ich gebe meine Stimme und es tut einfach gut, ein Zeichen zu setzen... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:40, 4. Mai 2021 (CEST) Ich lese gerade das Buch " Leisetot". Man kann sich kaum vorstellen, dass Menschen zu solchen Taten fähig sind und nach außen so unbescholten wirken. Ich frage mich, wie es der Autorin ging, als sie diesen Fall schriftlich verfasst hat. Auf jeden Fall hat Anais sehr gut recherchiert und schonungslos geschildert, was vorgefallen ist. Sie nimmt einen mit, in die Gedankenwelt einer kranken Seele einzutauchen, sofern das möglich ist. Die Abartigkeiten des Täters lassen einen schlucken. Entsetzen, Fassungslosigkeit und Ekel machen sich beim Lesen breit. Es ist so gruselig, was auf dieser Welt manchmal passiert. Das übersteigt unseren normalen Menschenverstand. Der nette Nachbar von nebenan..... 😱 Für mich hat das Buch volle 5 Sterne verdient. jaja, ich kenne auch noch "die nette Vergaserin von nebenan" - eine "gute" Schulfreundin meiner Oma, die -unverheiratet (mit ihrem Beruf verheiratet) - jahrzehntelang "zur Familie" gehörte - sie war noch fünfzig Jahre danach stolz darauf, eine Auserwählte gewesen zu sein, welche "Kniffe" sie gelernt bekam und wie gut sie die angewendet hatte, um die Ausgesonderten ins Gas zu bringen - bei der Aktion T4, aber auch noch 1945 bis 1948 - der "unproduktive Ausschuß der Gesellschaft" sollte beseitigt werden - in der Tötungsanstalt Bernburg kamen bis 1945 über 14.000 Menschen ums Leben, danach noch weitere 3.000 - vor etwa 20 Jahren erinnerte eine Initiative an diese Opfer mit einer Gedenktafel, das "Neue Deutschland" berichtete als eines der wenigen Medien darüber, danach mußte die Gedenktafel wieder aus der Wand herausgerissen werden, die Leiterin der Gedenkstätte erklärte, sie hätte kein Recht, an die 3.000 Opfer nach 1945 zu erinnern - inzwischen versucht man, den Vorfall und damit diese Opfer ganz totzuschweigen - um das herrschende SelbstGeschichtsbild dieser verkommenen und verlogenen Gesellschaft zu bewahren [[w:de:Tötungsanstalt Bernburg]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:52, 9. Jul. 2021 (CEST) da sieht man halt genau wo die "Wegseher" stecken. Unangenehme Wahrheiten will offensichtlich keiner hören oder lesen, denn das würde bedeuten dass sich viele aus ihrer Wohlfühlzone begeben müssten um diesen Misständen entgegenzuwirken. Hör bitte nicht auf den Opfern weiterhin eine Stimme zu sein. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:11, 21. Jul. 2021 (CEST) Silke ist ein aufgewecktes, besonders herzliches Kind, das mit den beiden Brüden unter der Obhut des narzisstisch - und pädophil - veranlagten Vaters, in den 80er Jahren heranwächst und unter dem strengen Regime des einflussreichen Geschäftsmannes leidet. Regelmäßig vergeht Silkes Vater sich an seiner Tochter und führt unter dem Deckmantel der Vorzeigefamilie ein abscheuliches Doppelleben. „Ein ganzes Dorf wusste von den Schandtaten meines Vaters.“ Mit nur vierzehn Jahren beschließt Silke ihr Schweigen zu brechen und nicht länger wie all die anderen, tatenlos zuzusehen. Dabei lässt sie ihre eigene Geschichte außen vor, kämpft lediglich für die Freiheit und Rechte ihrer Freunde… Die Geschichte eines außergewöhnlichen Mädchens, das sich selbstlos gegen Missbrauch auflehnt und somit in der '''Gesellschaft der "Wegsehenden"''', ein mutiges Zeichen setzt. Nuttenkinder: Das Dorf der verlorenen Seelen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:22, 25. Jul. 2021 (CEST) Moin aus Hamburg im Diesel bei lausigen 12 Grad 🙂 Was für ein schönes Gefühl, nach 365 Tagen im Jahr, seit über 3 Jahren (solange war ich nimmer im Urlaub) mal NICHT aufstehen zu müssen, um unsere Pferde zu füttern...sondern den Tag völlig gechilled zu beginnen. Gestern Abend in der Skylinebar "warm gemacht" für die Reeperbahn und nach dem Rundgang auf dem Kiez in der "Klapsmühle" auf nette Leute getroffen. Vor dem Laden stand ein älterer Typ an der Strasse, der nonstop zur Musik aus den Kneipen getanzt hat. Überhaupt nicht aufdringlich- er hat nicht um Geld gebettelt, nicht gepöbelt- sondern lediglich 2 Stunden lang für sich getanzt, völlig happy- und zwischendurch die Reste aus den von Touristen abgestellten Flaschen und Bechern getrunken. Die Plastiktüte in seiner Hand musste einige Male als imaginäre Tanzpartnerin herhalten, mit der er munter Piouretten gedreht hat. Meine Aufmerksamkeit war ihm sicher, denn er tanzte verdammt gut. Der Typ war bestimmt früher in der Tanzschule, hat später im Lokal hübsche Mädels aufgefordert und danach irgendwann- den Bezug zur Realität verloren- denn jetzt ist er auf Droge- aber er gehört zu denjenigen, die eine besondere Geschichte mit sich tragen, ebenso wie die vielen Obdachlosen, die in ihren Schlafsäcken liegend zum Teil völlig desillusioniert den Touristen nachsehen. Darunter erschreckend viele alte Menschen. Gut- Wer jetzt sagt- heute muss niemand mehr obdachlos sein- und Hamburg will das bis 2030 geregelt haben- die Heimatlosen sind selbst schuld, der möchte sich nicht unbedingt mit den Schicksalen der Menschen beschäftigen, die auf der Strasse sitzen- sondern lediglich das Problem als solches beseitigen... Dass es kein schöner Anblick für die Touris ist, ist jedem klar. Für mich gehören diese von der Gesellschaft Vergessenen seit 2015 dazu. Solange komme ich bereits her- um die Biografien einzelner Schicksale zu ✍ Ich glaube, wenn ich n' Gang durch Sankt Pauli mache, hat es für mich eine andere Bedeutung, als für manch anderen... Ich bin die- die hinter die Fassaden gucken möchte ❤ Mein derzeitiger Ausblick hinterm Hotelzimmerfenster ist wettermässig leider sehr trübe heute. Wobei ich auch gut n ganzen Tag lang nur im Bett liegen und Schiffe beobachten könnte 😊 * Schön, dass du in meiner Heimatstadt Urlaub machst. Ja, Obdachlose haben wir sehr viel. Und natürlich ist es arg theoretisch, dass niemand obdachlos sein müsste. Die vielen , die hier täglich in den S-Bahnen betteln, sind schon eine Herausforderung, aber so lange sie nichts anderes als das tun, kann ich damit leben. Natürlich wären mehr Unterkünfte wünschenswert, möglichst so, dass sie ihre wenigen Habseligkeiten wegschließen können, denn das gehört ja zu ihren größten (berechtigten) Ängsten: Dort beklaut zu werden. Mit Hamburg fühle ich mich alleine durch meine Bücher eng verbunden. Die meisten der Biografien sind hier geschrieben worden, bzw die Protagonisten stammen zum Teil aus der Gegend... und somit bin ich ein wichtiger Teil von Hamburg geworden ❤ Ich mag die Menschen hier sehr und irgendwann, wenn Jill ihren Weg alleine geht, möchte ich gern komplett in Hamburg wohnen...😉 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:25, 1. Aug. 2022 (CEST) ===Valeska Réon=== Am Rande einer Hippiekommune in Renesse aufgewachsen, habe ich es ja nicht immer so mit „deutschen Traditionen“ - aber dass freitags Fisch auf den Teller kommt, sitzt dann doch tief in mir drin. Heute jedoch in einer sehr undeutschen Version an einer Curry-Kokossauce mit jeder Menge Gemüse und einer wilden Gewürzmixtur. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:11, 2. Mär. 2021 (CET) == Casanova Verlag == Gudda Behrend: ''Aus dem Tagebuche einer Sünderin.'' Casanova Verlag Willy Saalfeld Berlin W 30 ca. 1920, 8°, 96 S., Halbleinen (Sittengeschichte, Erotik) [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuche-einer-S%C3%BCnderin/id/A01y6dv201ZZy 22 Euro im Abrahamschacht-Antiquariat Schmidt, Frau Iris Schmidt, Schachtweg 16, 09599 Freiberg] * [https://schmidt-auktionen.de/12_katalog_online.php?nr=14&page=28 Schmidt Kunstauktionen Dresden 1. 12. 2007]: [https://schmidt-auktionen.de/12_artikel_details.php?nr=14&knr=504 504 Willy Saalfeld, Akt. Um 1920. Bromsilberabzug. Ungelaufene Fotopostkarte. Leicht bestoßene Ecken. 8,8 x 13,8 cm. 60 €] * Ebenfalls bei [https://books.google.de/books/about/Aus_dem_Tagebuche_einer_S%C3%BCnderin.html?id=tXa9uQEACAAJ&redir_esc=y A. Juncker, 1910 - 105 Seiten] 1880 Født: 06-07-1880 1900 Se også gift med William Behrend Behrend, William 1901 Debut i bogform: En synderinde, blade af en dagbog (roman) http://www.litteraturpriser.dk/aut/BGuddaBehrend.htm (1880-1946) *Behrend, G.: En Synderinde (1901, roman) *Bog Behrend, G.: Hedvig Holcks Vandreaar (1903, roman) *Bog Behrend, Gudda: De ensommes Stræde. ♦ Gyldendal, 1922. 138 sider. Pris: kr. 5,75 (1922, roman) anmeldelse Bogens Verden, 1922, 4. Aarg., side 276 [Anmeldelse, signeret: K.K.N.]. https://danskforfatterleksikon.dk/1850bib/BGuddaBehrend.htm Hedvig Holcks Vandreaar - [https://books.google.de/books/about/Hedvig_Holcks_Vandreaar.html?id=ukn4xAEACAAJ&redir_esc=y Neuauflage Veröffentlicht 2019] Übersetzung ins Deutsche von [[w:Mathilde Mann|Mathilde Mann]] (* 24. Februar 1859 in Rostock als Mathilde Charlotte Bertha Friederike Scheven; † 14. Februar 1925 in Rostock - deutsche Übersetzerin und Lektorin, insbesondere für Nordische Sprachen): Gudda Behrend: Aus dem Tagebuche einer Sünderin, Berlin [u. a.] 1902 * Axel Juncker, Berlin, Stuttgart 1902, Broschur, 105 + 3 S. [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuch-einer-S%C3%BCnderin-Autorisierte-%C3%9Cbersetzung-von-Mathilde-Mann/id/A026x3z201ZZe 54+6 Euro im Antiquariat Weinek, Frau Dr. Elisabeth Weinek, Uferstrasse 8, 5026 Salzburg] ** Autorisierte Übersetzung von Mathilde Mann 8° 105 S. S. Einband: Original im Jugendstil illustr. Halbleineneinband [https://www.abebooks.de/servlet/BookDetailsPL?bi=22386118048&cm_sp=collections-_-747FHNEcCbe1N23CgE8jgR_item_1_10-_-bdp 19,63+2,20 Euro] in: Altmärkisches Antiquariat, Lars Flick (Inhaber), Sandstraße 50, 39638 Gardelegen En Synderinde: Blade at en Dagbog Gudda Behrend - [https://books.google.de/books/about/En_Synderinde.html?id=qUB-oAEACAAJ&hl=en&output=html_text&redir_esc=y 1901 - 148 pages] Der deutsche Casanova - In 3 Bänden komplett - Johann Conrad Friedrich - Vierzig Jahre aus dem Leben eines Toten - Der Memoiren 1. Teil 1789-1806 - 2. Teil 1806.1810 - 3. Teil 1810-1830 - Im Originalkarton Taschenbuch – Insel, 1991, von Johann Konrad Friederich (Autor), Friedemann Berger (Herausgeber) [https://www.amazon.de/deutsche-Casanova-Friedrich-1789-1806-Originalkarton/dp/B0026L0E4I 18 Euro] gebundene 1. Auflage Egon Fleischel & Co, Berlin 1915, OLeinen, 8°, XV; 418; IX; 452; IX; 440 Seiten Fraktur, Lesebändchen, Kopffarbschnitt [https://www.amazon.de/gp/offer-listing/B0026L0E4I/ref=dp_olp_ALL_mbc?ie=UTF8&condition=ALL 45+3 Euro] "Der deutsche Casanova" Fahrten und Liebesabenteuer nach den Memoiren eines deutschen Offiziers im französischen Heere Napoleons I. mit 32 Illustrationen von Hans Speidel und und Max Erich Nicolas, hrsg. von Max Bauer, Eigenbrödler Verlag, Berlin W 8 ca.1925 / Hrsg.: Max Bauer / Speidel [https://www.ebay.de/itm/Der-deutsche-Casanova-Eigenbrodler-Verlag-ca-1925-Hrsg-Max-Bauer-Speidel/124437184812?hash=item1cf908c12c:g:JVUAAOSw7Wxdyw1y 28+6,50 Euro] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:30, 20. Nov. 2020 (CET) == Verlage == Ich hätte bereits drei Verlage gefunden, wo mein Buch gut ins Verlagskonzept passen würde. Allerdings finden sich bei besagten Verlagen auch Werke, die unlektoriert wirken, was mich dann doch eher abschreckt, mein Buch dort einzureichen. - Mir war es wichtig, ein Buch mit einer Story zu schreiben und nicht nur Sexszenen. Allerdings ist es auch mein erstes und braucht ganz sicher noch Profis, die es sich ansehen. aus dem Anais bzw Schwarzkopf Verlag kenne ich Bücher, die ganz normal lektoriert wirken. Und Schlagzeilen. Seitenblick gibt es leider nicht mehr Schlagzeilen oder Elysion - bei den kleineren Verlagen zögere ich selber, weil mir das mit dem mangelnden Korrektorat auch aufgefallen ist ich habe aber die Erfahrung gemacht, dass Verlage die sich nicht auf BDSM spezialisiert haben, oft gar kein Hardcore annehmen. Oder gnadenlos zensieren Ich habe, bevor ich mein aktuelles Romanprojekt anbot, für ein privates Lektorat gezahlt und zahle auch das SensitivityReading. Klar. Das ist eine Menge Geld, alles in allem, aber hey, die Kohle war gerade da. Wenn ein Verlag kein Lektorat bietet, lasse ich trotz meiner Bereitschaft zur Eigenleistung die Finger davon, dort zu veröffentlichen. Lektorat und Korrektorat gehören einfach dazu, ein Verlag, der das nicht leistet, passt schlicht nicht in mein Beuteschema. Falls Elysion-Books noch nicht auf der Liste war ... Lektorat und Korrektorat ist logischerweise dabei, Bücher sind überall zu beziehen und liegen auch im Buchhandel und im stationären Handel... Klingt auch sehr interessant und kommt definitiv auf meine Liste. Allerdings bin ich nicht sicher, ob das Ende meines Buches als Happy End aufgefasst werden kann. Aber vl passt es ja bei einem anderen Buch. Bist herzlich eingeladen, dich mal bei uns beim Tribus Verlag zu melden, wenn du möchtest. Versuch es doch einmal bei konkursbuch Verlag Claudia Gehrke. Sie hat ein sehr weit gefächertes Programm, kümmert sich sehr engagiert um die Vermarktung und ist ausgesprochen fair. www.konkursbuch.com Mir geht es nur darum, eine Liste von möglichen Verlagen zu erstellen, sodass ich nicht immer wieder aufs Neue alles durchforsten muss. Leider findet man Verlage für dieses Genre nicht so leicht. BDSM allein ist ja nun wirklich schon fast Mainstream. Du könntest es auch beim charon Verlag versuchen, der neben den "Schlagzeilen" auch Bücher herausgibt. https://www.schlagzeilen.com/ Probier mal bei Letterotik.de. Ich rate zu einem Pseudonym. Habe selber 4 Aliasnamen. Es werden auch stärkere Formate veröffentlicht. Frag einfach mal nach. Ansprechpartnerin ist Frau Baer. Lektorat ist für mich okay, Kommunikation erstklassig, Covergestaltung ansprechend. mir wurde auch gesagt, dass der Verlag im Moment neue Manuskripte nur auf Empfehlung annimmt. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:42, 16. Mär. 2021 (CET) == Hersteller == urinbless.com human skin mask set ulsula.com the elder silicon headgear --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:01, 30. Dez. 2020 (CET) https://www.facebook.com/Rubbersisters/ The ultimative female transformation Moniquin Anzug Fem Mask [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/432851523438466/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/171946_432851523438466_959953674_o.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=LjLdttsoeFkAX8ITABj&_nc_oc=AQkIqnkRCGPeWkUJPRiSN8TJCO74W3R9buFkLYiobloBLy2aLh7X_r_xnese5OPch1gwfjJbWRdqhu32Z_RlKne4&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=f9be2e1d84f0ace64aad564fc7517fcf&oe=601AAE0A inflatable doll suit now in skin matching colour!] - This is exactly what I am looking for! I have to become a latex sex doll, it is my ultimate fantasy (Genau das suche ich! Ich muss eine Latex-Sexpuppe werden, das ist meine ultimative Fantasie) - I dream of owning one of these outfits someday! (Ich träume davon, eines Tages eines dieser Outfits zu besitzen!) - God that is hot. (Gott, das ist heiß.) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/537678542955763/ FB] = [https://scontent-frx5-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/397440_537678542955763_1225667219_n.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=174925&_nc_ohc=eIYd8bA0ZmgAX-fLdfr&_nc_ht=scontent-frx5-1.xx&oh=804f110a097401114ae342bc2df93158&oe=601C4FFF Dita - the new female mask] [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/531192290271055/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/935757_531192290271055_860385658_n.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=nRCKulIU87gAX8895Px&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=d7e14b49baa3789dad0e9f9b4e42548d&oe=601CEB06 "Dita" Mask] We are pleased to announce, that we are just did the final touches to our new “Dita” Mask. We are now offering this fantastic looking female mask with interchangeable eyes. The mouth is slit open and has red lips. These very realistic looking female mask made of high quality silicone is absolutely comfortable to wear. You can use any regular make-up to give this female mask an individual look. Get more details at our online shop www.2nd-skin.com or visit us at the Boundcon Fair from 24-26.05.2013 in Munich or doring the German Fetish Weekend from 18-20.05.2013 in Berlin. Yours Rubbersisters Monica & Jacline (Wir freuen uns, Ihnen mitteilen zu können, dass wir gerade den letzten Schliff für unser neues Produkt gemacht haben "Finger" Maske. Wir bieten jetzt diese fantastisch aussehende weibliche Maske mit austauschbaren Augen an. Der Mund ist aufgeschlitzt und hat rote Lippen. Diese sehr realistisch aussehende Frauenmaske aus hochwertigem Silikon ist absolut angenehm zu tragen. Sie können jedes normale Make-up verwenden, um dieser weiblichen Maske ein individuelles Aussehen zu verleihen. Weitere Informationen erhalten Sie in unserem Online-Shop www.2nd-skin.com oder besuchen Sie uns auf der Boundcon Fair vom 24. bis 26. Mai 2013 in München oder am German Fetish Weekend vom 18-20.05.2013 in Berlin. Eure Rubbersisters Monica & Jacline) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/562349830488634/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/1072175_562349830488634_520819894_o.jpg?_nc_cat=106&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=AnitAk8nXbMAX-8Bcxz&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=dc866b047bedb1724a80af21e3b101ec&oe=601ACA3E New video clip is online] at http://www.2nd-skin.com Monica is wearing the Petra mask and Betty is wearing the Gloria mask - Sorry video clip is online at http://www.rubbersisters.com - sehr schön. wie fühlt man sich, wenn man so nett aufgebleaen wird? (mit rotem Fesselsack) https://www.2nd-skin.com/de/18-frauenmasken [https://www.2nd-skin.com/de/kleber/17-skin-adhesive.html Hautkleber] - Dieser zweitkomponenten Hautkleber ist geeignet für alle prothetischen Silikonprodukte (keine PU-umhüllten Prothesen) die vorübergehend auf die menschliche Haut geklebt werden sollen. Das richtige Mischungsverhältnis ist 1 Teil A + 1 Teil B nach Volumen. Sie können auch Puder-Makeup in die A-Komponente mischen, damit es farblich Ihrem Hautton entspricht. Um die Prothese wieder zu entfernen, schälen Sie diese langsam von der Haut ab. Menge: 2 x 50 Gramm --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 7. Jan. 2021 (CET) === Dresden === https://lldesaxe-fashion.de/impressum Maik Richter Lohrmannstraße 20 01237 Dresden Deutschland Tel.: +49 (0) 351 281 34 49 Fax: +49 (0) 351 281 34 49 E-Mail: info@lldesaxe-fashion.de --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:33, 16. Jan. 2021 (CET) ''LLdeSaxe Fashion wurde am 13.01.2012 gegründet. Die gemeinsame Leidenschaft für Latexmode verband meine Frau und mich jedoch bereits seit vielen Jahren. Bei der Auswahl und Individualität der Latexbekleidung waren wir als Kunden jedoch bisher immer recht eingeschränkt. Wir stießen mit unseren Bestellungen bei anderen Herstellern regelmäßig an die Grenzen, da unsere Wünsche nicht umgesetzt werden konnten oder auch wollten.'' ''Dies sollte sich 2011 nach unserem Urlaub bei einem befreundeten Schweizer Latex-Liebhaber ändern. Hier lernte meine Frau die ersten Handgriffe im Umgang mit der Herrstellung von Latexkleidung kennen. Das ganze ergab sich völlig spontan aus dem Gespräch heraus. Wir lauschten ganz gespannt den Erzählungen unseres Freundes, als meine Frau neugierig fragte, wie denn nun die Herstellung von Latexbekleidung konkret funktionierte. Unser Freund bot daraufhin an, sie in sein Atelier mitzunehmen und ihr ein paar Tricks und Kniffe zu zeigen. Meine Frau war sofort Feuer und Flamme und so zogen sich beide zu einer Einarbeitungsschulung zurück.'' ''Sie fand sofort gefallen am Latexschneidern und so kauften wir bei unserem Freund einen größeren Posten an Latex Meterware ein. Zuhause angekommen, machen wir uns sogleich an die Arbeit, die ersten Schnitte und Designs zu entwerfen. Nach und nach wurden wir immer besser und unsere Latex Designs fanden sehr großen Zuspruch auf Partys und Verantstaltungen, wo wir zugegen waren. So entstand dann auch unsere erste kleine Kollektion, wozu zum Beispiel dieses Outfit gehört: Damen Blazer „ Ladylike 2012“ und Damen Humpelrock „Ladylike“.'' ''Unsere Latex Bekleidung kam super an und so entschlossen wir uns auch auf einer Modenschau in Nossen im November 2011 unsere Bekleidung zu präsentieren. Im Januar 2012 gingen wir dann den nächsten Schritt und haben uns mit LLdeSaxe Fashion selbstständig gemacht.'' ''Im Sommer 2012 sind wir zu unserem ersten Internationalen Auftritt in die Schweiz gefahren - In das schöne Berner Oberland nach Oensingen.'' ''Hier fand zum einen unser erstes professionelles Fotoshooting auf der Burg Neu-Falkenstein statt. Zum anderen haben wir unsere Latex-Design einem internationalen Publikum im Rahmen einer Modenschau vorgestellt. Hier wurden unsere Kreationen begeistert aufgenommen.'' ''Mitte des Jahres haben wir uns dann entschlossen, unsere Bekleidung fortan auch im Internet zu präsentieren – Zunächst auf einer kleinen, selbst erstellten Website. 2015 folgte dann der Umzug zu WEBneo um unsere Latex Outfits auch professionell online verkaufen zu können.'' ''Seit 2014 sind wir auch regelmäßig auf internationalen Modenschauen mit Präsentation und Verkauf vertreten, wie auf der Fetish Evolution in Essen (2014) und der Messe BoFeWo (2015).'' ''Seitdem arbeiten wir jeden Tag an unseren Kernkompetenzen und verfeinern unsere Designs, um unseren Kunden die beste Qualität und den höchsten Service bieten zu können.'' https://lldesaxe-fashion.de/wie-alles-begann --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:24, 16. Jan. 2021 (CET) ''Wir sind auf der Suche nach weiblichen Models aus dem Raum Dresden und Umgebung, die uns deutschlandweit auf angesagten Internationalen Fetish Messen als Model und Verkaufspersonal begleiten. Es werden weiterhin jährlich zwei große Fotoshootings mit professionellen Fotografen in Dresden und der Umgebung angesetzt, die zur Vermarktung unserer Produkte dienen sollen. Die Bilder sind sowohl für den Online Shop an sich, aber auch für die Social Media Kanäle, Print und den Digitalen Medien. Alle 3 Monate finden bei einer Abendveranstaltung zudem Team Buildings statt.'' ''Folgende Voraussetzungen solltet du dabei mitbringen:'' *''Du bist zwischen 18 und 35 Jahre alt,'' * ''hast eine Kleidergröße von maximal 36 bis 38'' * ''und bist mindestens 1,55 m groß.'' ''Wichtige Voraussetzungen sind:'' ''Du hast keine Berührungsängste mit Latex Kleidung, bist zeitlich flexibel, teamfähig und zuverlässig. Du kannst sicher posieren und auf High Heels laufen, bist offen im Umgang mit Kunden sowie sprach- und redegewandt. Wenn Du bereits Erfahrung im Bereich Modeverständnis und Styling hast, ist dies von Vorteil.'' ''Wenn Du nun Lust bekommen hast, bei einem innovativen und hochwertigen Latexlabel mitzuwirken, dann bewirb Dich bei uns. Jede bekommt bei uns eine Chance.'' ''Schreib uns eine Mail mit deinen Personen gebunden Eckdaten und stell Dich bei uns vor. Vielleicht gehörst du schon bald zu unserem Team. Wir freuen uns auf deine Bewerbung.'' ''Deine persönliche Vorstellung nach Terminvereinbarung erfolgt in unseren Geschäftsräumen:'' LLdeSaxe Fashion Schandauer Straße 23 B 01309 Dresden https://lldesaxe-fashion.de/werde-model-bei-lldesaxe-fashion vgl. https://www.facebook.com/Becca-de-Saxe-789572294522639/ Fetischmodel bei LLdeSaxe Fashion. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Latex wird aus dem Milchsaft des Kautschukbaumes gewonnen, welcher durch Räuchern und Walzen zu Kautschuk weiterverarbeitet und anschließend durch Vulkanisation zu einem stabilen Material wird. Weltweit gibt es zwar verschiedene Latexhersteller, bekannt sind jedoch vor allem 3 große Latex-Hauptproduzenten. Dabei unterscheiden sich deren Produkte zum Teil erheblich voneinander.'' ''Der Malaysische Rubber bietet zum Beispiel die größte Farbauswahl, enthält dabei aber auch die meisten chemischen Zusätze. Er wird in Asien hergestellt und auch verarbeitet.'' ''Radical Rubber stellt in Großbritannien seinen Latex her, welcher ein Spektrum von ca. 200 verschiedenen Farben bei weniger chemischen Zusätzen bietet.'' ''Wir von LLdeSaxe Fashion hingegen setzen für unsere Latex-Bekleidung auf den Latexproduzenten FOUR D Rubber aus England. Deren Premium-Latex ist nicht nur Fair Trade, es enthält auch so gut wie keine chemischen Zusätze und hat eine sehr hohe Qualität. Dabei bietet FOUR D Rubber mit über 70 Farben auf ökologischer Basis eine sehr große Auswahl. Unsere Latex-Bekleidung ist somit rein biologisch - bis hin zum Latex-Kleber.'' ''Auch wenn der m²-Preis um einiges höher ist, setzen wir aus Überzeugung auf FOUR D Rubber. Schließlich sind unsere Latex-Outfits damit auch besonders langlebig und komplett ökologisch abbaubar. Dies macht sich auch bei der Latexverträglichkeit positiv bemerkbar: Eine Kundin, die bereits eine Latex-Allergie entwickelt hatte, konnte völlig beschwerdefrei unsere Bekleidung tragen.'' ''Das Besondere an dem von uns verwendetem Premium-Latex ist sicherlich die aufgeraute Innenseite, weshalb sich unsere Latex-Bekleidung samtig weich anfühlt und nicht an der Haut klebt. Ein weiterer Vorteil ist die damit verbundene, deutlich geringere Schweißbildung. Nicht umsonst ist unser Motto: „Latex das anzieht“'' ''Die Latex-Produktion'' ''Gefertigt und produziert wird unsere Latex-Bekleidung in unserer Dresdner Manufaktur. Damit findet die Herstellung komplett in unserem Hause statt – Von der Erstellung der Schnittmuster, über die kostenfreie Maßanfertigung bis hin zum Versand. Nach Fertigstellung eines Latex-Outfits nehmen wir mehrere Qualitätskontrollen vor. Anschließend wird das Produkt gereinigt, poliert und anziehfertig eingepackt. Bei der Bestellung von Latex-Anzügen und Latex-Kleidern wird die Ware in einer limitierten Kleiderhülle mit unserem Logo verschickt. Alle anderen Produkte versenden wir vakuumverpackt zu Ihnen nach Hause. Danach heißt es nur noch: Anziehen – Wohnfühlen – Glücklich sein.'' https://lldesaxe-fashion.de/latex-das-material-seine-herstellung-und-verarbeitung --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:46, 16. Jan. 2021 (CET) ''Ende September ist es endlich wieder soweit: Die Bondage-Fetish-World, kurz BoFoWo – Deutschlands größte Messe im Bereich Fetisch und Bondage – öffnet für Szeneliebhaber wieder ihre Tore. Einmal pro Jahr findet sie in Hofheim am Taunus, nähe Wiesbaden statt. Vom 30.09. bis 02.10.2016 präsentieren hier wieder zahlreiche Aussteller ihre Produkte aus Lack, Leder & Latex sowie Kunst, Bücher, Filme und vieles mehr. Abgerundet wird die Messe durch ein attraktives Rahmenprogramm mit Workshops, Lesungen und Performances.'' ''Natürlich dürfen dabei auch wir von LLdeSaxe Fashion nicht fehlen! Mit einem der größten Messestände - ca. 25m² - und unserer größten Präsentationsfläche mit insgesamt 6 Leuten sind wir auch diesmal wieder auf der BoFoWo vertreten.'' ''An 3 Messetagen stellen wir Ihnen exklusiv unsere neuste Latex Kollektion vor. Wir haben aber auch ein breites Potpourri aus nahezu allen Produkten unseres Onlineshops für Sie im Angebot und diese können gleich gekauft und mitgenommen werden. Auf ausgewählte Produkte an unserem Aktionsständer bieten wir Ihnen sogar 10% Messerabatt an!'' ''Neben dem Verkauf steht Ihnen zusätzlich unserer exklusiver Fashion Point zur Verfügung. Am Fashion Point können Sie Ihr individuelles Outfit planen und bestellen. Dies umfasst Beratung, Information und Vermessung. Unser qualifiziertes Team berät sie gern.'' ''Die große Latex-Modenschau am Samstag bildet dann eins DER Highlights der Messe. Wer gern exklusive und einzigartige Latex Kleidung sucht, wird an unserem Messestand sicher fündig werden.'' https://lldesaxe-fashion.de/messe-spezial-die-bofewo-2016 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Unsere Kunden haben es bereits in verschiedenen Bewertungen bestätigt:'' ''Bei LLdeSaxe Fashion genießt der Kunde vollste Transparenz und Sicherheit bei seiner Bestellung. Sie haben die Möglichkeit, sich jederzeit in Ihr Kundenkonto über den aktuellen Status Ihrer Bestellung kundig zu machen. Haben Sie eine Frage zu einem Produkt oder wünschen sich eine individuelle Sonderbestellung? Kein Problem, wir melden uns immer in der Regel innerhalb von 24 Stunden bei Ihnen und erstellen zum Beispiel gern ein kundenorientiertes Angebot für Ihre Sonderbestellungen - Auch von Produkten, die Im Shop (noch) nicht angeboten werden.'' ''Ein Kunde fragte beispielsweise einmal nach einem Dalmatiner-Shorty an, passend zu seiner Latex-Maske, Stulpen und Pfoten. Wir designten also einen passenden Shorty in Weiß, schnitten schwarze Punkte aus und schicken dem Kunden einen möglichen Designvorschlag per Foto. Anschließend kleben wir sein Wunsch-Muster auf und sorgten so für einen echten Hingucker.'' https://lldesaxe-fashion.de/lldesaxe-fashion-kundenzufriedenheit-die-uns-begeistert --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:43, 16. Jan. 2021 (CET) ''Gute Nachrichten für alle Liebhaberinnen und Liebhaber der hochwertigen Latexbekleidung von LLdeSaxe Fashion: Wir haben unseren Fashion Point im Secret Desire in der Dresdner Neustadt für Sie ausgebaut und einen kompletten Stand mit unserer exklusiven Latexkleidung aus unserer Manufaktur installiert. Ab sofort finden Sie hier unter anderem Latex Anzüge, Latex Leggings, Kleider, Catsuits und vieles mehr für Damen und Herren. Natürlich haben wir auch die passenden Latex-Accessoires für Ihr individuelles Outfit. Die edlen Stücke gibt es in den Größen S, M und L. Kommen Sie einfach ins Secret Desire und probieren Sie sie an. Das Beste daran ist: Sie können die Latexbekleidung direkt kaufen und mitnehmen! Selbstverständlich finden Sie in unserem Fashion Point auch gleich die passenden Pflegeprodukte, damit Sie lange Spaß mit unseren Latex Outfits haben.'' https://lldesaxe-fashion.de/der-fashion-point-in-dresden-hat-jetzt-auch-latex-kleidung-direkt-vor-ort * ''Am Sonnabend eröffnet Jessica Vogt auf der Rothenburger Straße ein neues Lädchen für Drunterziehsachen: Secret Desire. Obwohl, ganz so neu ist das Lädchen nun auch wieder nicht. Schon seit November 2013 werden hier Schlüpfer, Strapse und andere Unterwäsche verkauft. Doch im Januar hatte die „fem2glam“-Chefin Dina Stiebing angekündigt, den Laden zu schließen. Der Grund dafür wartet zurzeit nur noch auf den richtigen Moment um mit einem kräftigen Schrei zur Welt zu kommen. Dina hatte schon damals erzählt, dass sie jemanden sucht, der den Laden übernehmen könnte. Das ließ sich Jessica Vogt nicht zweimal sagen. Die studierte Diplom-Ökologin hatte zuletzt als Imbiss-Frau an Katys Garage gearbeitet. Nun tauscht sie Würstchen gegen Mieder und stürzt sich in die Selbstständigkeit. „Die Sachen sind für den Tanz an der Stange geeignet“, grinst sie frivol. Im Wesentlichen bleibt der Laden, wie er ist. Ein bisschen wurde umgeräumt und die Umkleidekabine wird vergoldet. „Ich war Stammkundin bei Dina und bin der Meinung, dass der Laden weiter geführt werden muss.“ Am Sonnabend um 11 Uhr will sie zum ersten Mal die Türen öffnen. Es gibt Prosecco und Sushi und natürlich jede Menge Schlüpfer. Letzteres übrigens auch für Herren, das ist neu. Mal sehen, ob es Jessica gelingt, das sogenannte starke Geschlecht in ihr kleines Lädchen zu locken. Vorbesitzerin Dina Stiebing wünscht ihr auf jeden Fall schon mal viel Erfolg, Dinas Unterwäsche gibt es jetzt nur noch online (Domain zu verkaufen).'' [https://www.neustadt-ticker.de/45127/aktuell/nachrichten/secret-desire Es bleibt schlüpfrig auf der Rothenburger] 14. April 2016 Anton Launer Secret Desire – Neueröffnung Sexy Dessous, frivole Abendmode und coole Clubware. Rothenburger Straße 7, 01099 Dresden, Telefon: 0176 24942511, Montag bis Freitag: 11.30 bis 19 Uhr, Sonnabend 11 bis 17 Uhr, weitere Infos auf der Facebook-Site (Seite nicht verfügbar) [Twitter nur ein Eintrag von 2016] https://twitter.com/secret_desiredd [https://www.tag24.de/nachrichten/stammkundin-reizwaesche-shop-dessous-67148 STUDIERTE GRILLMIEZE VERKAUFT JETZT SCHLÜPFER] tag24 vom 18. April 2016 Von der Würstchen-Brutzlerin zur Dessous-Verkäuferin: Jessica (30) ist jetzt Chefin vom "Secret Desire". Von Tom Schmitdgen Dresden - Vom Grill ins Negligé - Jessica Vogt (30) übernimmt den Dessous-Laden „Secret Desire“ (vorher „Fem2Glam“) auf der Rothenburger Straße. Am Wochenende eröffnete sie das 60 Quadratmeter große Spezialgeschäft (500 BHs, Mieder, Bodys). Die studierte Ökologin stand zuletzt am Würstchengrill bei „Katys Garage“. Doch jetzt zog es sie in den Wäscheladen. Denn die vorherige Chefin Dina Stiebing (37) hatte ihren Reizwäsche-Shop vor zwei Wochen wegen ihrer Schwangerschaft geschlossen. „Ich war früher Stammkundin und wollte nicht, dass der Laden einfach schließt“, sagt die neue Dessous-Chefin. „In Zukunft plane ich auch Ausstellungen und erotische Lesungen im Geschäft. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:44, 16. Jan. 2021 (CET) === Entwürfe === [https://www.facebook.com/LatexFashionDesign/photos/a.516389838434004/5006789482727328/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/139067194_5006789486060661_7750722395006097503_o.jpg?_nc_cat=102&ccb=2&_nc_sid=730e14&_nc_ohc=lEzBHqNm134AX8pVTK_&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7efd93241f046fe67ca7028ca4eb0d2d&oe=6026DF5F “As delicate as flower, as tender as rose petals, choosing to be tender and kind in a harsh environment is not weakness, it's courage.” ― Luffina Lourduraj] (′′ So zart wie Blume, so zart wie Rosenblätter, die sich entscheiden, zart und freundlich in einer harten Umgebung zu sein, ist keine Schwäche, es ist Mut." - Luffina Lourduraj) - violetter Latexumhang --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:52, 16. Jan. 2021 (CET) == Satyamurti Cornelis Snoek == == Surfen== === Keala Kennelly === [[w:de:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] [[w:en:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] en [[w:fr:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] fr [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/ FB] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/131488510956/ 29. August 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/135850190956/ 6. September 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/280410355956/ Brrrrrrrr! Winter in the South Bay.] 29. Jan. 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/453009100956/ I won the Nelscott Reef Women's Big-wave Paddle-in event today. It was a nice distraction for a moment from all the pain of loosing my boy Andy.] Ich habe heute das Big-Wave-Paddle-In-Event der Nelscott Reef Women gewonnen. Es war eine schöne Ablenkung für einen Moment von all dem Schmerz, meinen Jungen Andy zu verlieren. - 4. November 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/472181295956/ Surfer Poll Pirate.] 12.12.2010 - noch Spaß [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150109351905957/ This is my new Donjoy Knee brace. This thing is serious. I feel like Robo-cop or something. Lets hope it works well in the water] (Dies ist meine neue Donjoy Knieorthese. Diese Sache ist ernst. Ich fühle mich wie Robo-Cop oder so. Hoffen wir, dass es im Wasser gut funktioniert) März 2011 Unfall 27.? August 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150320862555957/ The Phantom mask arrived and... It looks ridiculous! It's WAY too big. I am going to send it back. It was worth a try.] Die Phantommaske ist angekommen und ... Es sieht lächerlich aus! Es ist viel zu groß. Ich werde es zurückschicken. Es war einen Versuch wert. - 13. Oktober 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150632930575957/ That's a hell of a way to win the comeback of the year award, but hey I will take it Thanks TransWorld SURF!] (Das ist eine verdammt gute Möglichkeit, das Comeback des Jahres zu gewinnen, aber hey, ich werde es nehmen Vielen Dank, TransWorld SURF!) - 8. April 2012 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151360156120957/ It's been almost 2 years since my surfing accident in Tahiti... I see a swell... Time to get back on that horse.] (Es ist fast 2 Jahre her seit meinem Surfunfall in Tahiti ... Ich sehe einen Wellengang ... Zeit, wieder auf dieses Pferd zu steigen.) Am 3. Dezember 2013 hielt Keala auf der TEDx Malibu einen Vortrag über Lust und Surfen: "Ich bin Keala Kennelly und ich bin ein Surfer." https://www.youtube.com/watch?v=eSvsrzPCZ5o [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151899575820957/ 12.März 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155122831665957/ Me and the champ @paigealms a few years back about to go slay dragons somewhere cold. I would have loved to compete with you in the @wsl #maverickschallenge this year. Too bad Mother Nature didn’t cooperate. Congratulations on your #bigwave #worldtitle I’m so very proud of you my friend] März 2014 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430223345957/ 21. Dezember 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430284150957/ 21. Dez. 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155610476290957/ 27. Okt. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155708213405957/ 16. Dez. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155808808865957/ 5. Febr. 2019] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:36, 1. Jan. 2021 (CET) ==Wasserballet == [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157432917 nackte nymphe] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157692623 nymphe 2] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755467 Underwater Ballet. Ballerina performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755487 Underwater Ballet. Ballet dancers performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/dancing-vision-013-lizenzfreies-bild/983042290 Dancing Vision 013 unterwasser in rot und weiß] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3246570 Submarine Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert, Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3332495 Water Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert/Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818228 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818227 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/utah-orem-female-ballet-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/163445400 USA, Utah, Orem, Female ballet dancer under water] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-fashion-pool-party-young-woman-diving-at-lizenzfreies-bild/838059614 Underwater fashion pool party, Young woman diving at swimming pool] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/women-rehearsing-for-water-ballet-lizenzfreies-bild/522170012 Women Rehearsing for Water Ballet (Original Caption) Submerged ballerinas rehearse for a show at Leisure World in Laguna Hills, California.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/639988160 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-girl-lizenzfreies-bild/642637812 Underwater Girl. Beautiful young ballerina dancing inside the swimming pool] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/51309459 Aquatic Ballet From 'La Folies Bergere'. Two actors dance during the performance of an aquatic ballet at the 'Folies Bergere,' Paris, France, July 1952. (Photo by Nat Farbman, The LIFE Picture Collection)] * [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/50651216 Bild 2] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/figurine-to-one-of-the-rhine-daughters-for-the-nachrichtenfoto/1155868795 Figurine To One Of The Rhine Daughters For "The Rhinegold" By Richard Wagner Figurine to one of the Rhine daughters for "The Rhinegold" by Richard Wagner, circa 1913. Found in the Collection of Theatre Museum, Vienna. Artist Moser, Koloman (1868-1918). (Photo by Fine Art Images] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/das-rheingold-1st-scene-at-the-bottom-of-the-rhine-nachrichtenfoto/919717270 Das Rheingold. Das Rheingold, 1st scene, at the bottom of the Rhine. Bayreuth, 1896, 1896. Found in the Collection of Veste Coburg. (Photo by Fine Art Images)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215747 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-diver-dressed-as-a-mermaid-swims-during-a-show-nachrichtenfoto/77215732 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) A female diver dressed as a mermaid swims during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215749 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/young-woman-in-pool-and-synchronized-swimming-lizenzfreies-bild/1125338066 Young woman in pool and synchronized swimming.] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/girls-practicing-lizenzfreies-bild/1001603246 Girls practicing synchronised swimming] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/female-dancer-performing-under-water-lizenzfreies-bild/107227572 Female classic dancer performing under water in huge red flamenco dress] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/635847936 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/gracefull-female-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/1218911725 gracefull female dancer, ballerina, performing under water in evening dress] [https://www.gettyimages.de/fotos/wasserballet?page=62&phrase=wasserballet&sort=mostpopular Wasserballet] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:46, 10. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=3304759069569835&set=pb.100001073237260.-2207520000..&type=3 Unterwasser Pool Dance] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:55, 1. Apr. 2021 (CEST) == Stammtisch == == Film == [[w:de:Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme|Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme]] [[w:de:Onibaba – Die Töterinnen|Onibaba – Die Töterinnen]] 22.11.1974 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Police_women_(Suzuki),_colored_version.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rally_Finland_girls_at_the_2004_Rally_Finland.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2017_%EF%BC%88%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%B5%E3%83%AD%E3%83%B32017%EF%BC%89-145_(32324539015).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2014_with_NAPAC_069_(11928415683).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Auto_Salon_2019_(46716676402).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2018-10_(39796580051)_(2).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4064234086).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4056011396).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_43rd_Tokyo_Motor_Show_2013_PENTAX_K-3_173_(11248257665).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-42_(38007568292).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-40_(24186220808).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-41_(38038306141).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binary_Domain_stick_em_up.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Biker_girl_(1869378328).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bianca_Beauchamp_E3.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Alexis_Sinclaire_from_Sin.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC02787_(25113378).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC06667_(5812038000).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2010_._._(4705546060).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Firefall_4_5_(7794135388).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geleos_Media_girl_(3538443656).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_E3_2011_No.21.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joanna_Dark_GC_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nival_girl_on_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nova_Online_girls.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Samus_and_Link_at_Igromir_2012_2.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Royal_Quest_girls_of_Igromir_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yet_Another_Booth_Babe_(14703146).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2017_20170922-DSC_2297_(37593917581).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018_(29698389636).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018(29442725600).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2015_19_(21355000028).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108514369).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108565470).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2014_068_(15120325928).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thermaltake_Technology_promotional_models_at_Computex_20140604a.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Paris_-_Salon_de_la_moto_2011_-_BMW_-_C_650_GT_et_h%C3%B4tesses_-_004.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bayonetta_at_Igromir_2009_(4081240065).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crytek_booth-babe_from_Games_Territory_2008_(2986745404).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crytek_booth-babes_from_Games_Territory_2008_(2986745314).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2011_-_Vindictus_girl_(Nexon)_(5831895796).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girl_at_Igromir_2012_(8057057026).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149130470).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149152274).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192248).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Green_girl_from_Igromir_2007_(1869368430).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(29440043834).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(30016564876).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3011794487).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3012636224).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PAX_2009_-_Bayonetta_(3908301541).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Penny_Drake_dressed_as_Bayonetta_-_E3_2009_(4980795423).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Scythe_lady_(5811227302).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Warhammer_40K_at_Gamescom_(20451073662).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:WH40K_at_Gamescom_2015_(20241517278).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2017-Wednesday-007_(35929619784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2015-269_(20371168485).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_4.jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_5.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2016-267_(29073160575).jpg --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:04, 3. Jan. 2021 (CET) == Second live == === Outfits === [https://marketplace.secondlife.com/p/chainZ-HoodPlug/13281161 SX - HoodPlug (rezz to unpack) Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/SX-Bondage-Bolero-Maitreya/14717859 SX - Bondage Bolero MP Box] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Gloves-Hoof-Latex-INITHIUM-Kupra/20425014 AURORA Pony Sabina Gloves Hoof Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Latex-Set-INITHIUM-Kupra/20425011 AURORA Pony Sabina Latex Set] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHBLatex-Doll03-pony-BootsMittens-BOX/18385199 DHB Latex Doll03 pony Boots&Mittens - BOX] [https://slm-assets.secondlife.com/assets/27296581/view_large/a3.jpg?1599549736 GRAVES Proximity - Clear - latex bodysuit, catsuit, plugsuit, undersuit - Maitreya and Omega appliers] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Mesh-Bodybinder-Latex/2939506 Kcreations Mesh Bodybinder - Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Pony-Thighboots-with-28-selectable-textures-Patent-12/3120590 Kcreations Pony Thighboots with 28 selectable textures (Patent) 1.2] [https://marketplace.secondlife.com/p/090-Lilith-HuPony-Female/20951830 #090 Lilith HuPony Female] [https://marketplace.secondlife.com/p/CortesnRossini-Woman-Catsuit-St-Valentines-Gift/970294 St. Valentin's Gift] rosa [https://marketplace.secondlife.com/p/trinixxx-Full-Body-Latex-Armour-FATPACK/17094076 trinixxx Full Body Latex Armour] FATPACK [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-FatPack/20874686 AURORA Rebecca] FatPack [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Latex-set/20874685 AURORA Rebecca] Latex set [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Plastic-set/20874684 AURORA Rebecca] Plastic set [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Opaque-latex-catsuits/9134751 MdlM Opaque latex catsuits Version 4] - 27 opaque latex catsuits appliers + 6 military camouflage catsuits [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Transparent-latex-catsuits/9134753 MdlM Transparent latex catsuits Version 4] - 27 transparent latex catsuits appliers + 2 pairs of pasties (top and bottom) [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Clear-latex-catsuits/9134746 MdlM Clear latex catsuits Version 4] - 27 clear latex catsuits appliers + 3 invisible [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Latex-catsuits-Fatpack/9134750 MdlM Latex catsuits Fatpack Version 4] - all the 4 latex catsuits variants (opaque, sheer, transparent and clear), so features 27x4 latex catsuits appliers + 21 bonuses [https://marketplace.secondlife.com/p/AtaMe-Gabriella-Latex-Boots-Black-Maitreya-Hourglass-Legacy/20430661 AtaMe - Gabriella Latex Boots Black] [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Hobble-Dress/15078580 KaS Hobble Dress] - 3 versions: short-, knee- and ankle-length. It has the option to hide the cutouts on the back, allowing you to expose the torso, the butt, the legs - or all of them. For the sleeves you have 4 options. You can wear the dress sleeveless, with short sleeves, long sleeves or with mittens. [https://marketplace.secondlife.com/p/BellaBee-Latex-Dress-Romy/20974468 BellaBee Latex Dress Romy] kleines Schwarzes - schräg [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Fatpack-Mesh/4593676 ROSAL TUEUR2 Complete Set] - Fatpack (Mesh) - Neck Corset - Waist Corset - Gloves - Thigh-high Platform Boots - Thigh-high Ballet Boot [https://marketplace.secondlife.com/p/CA-BELLEZA-MAITREYA-SLINK-TONIC-X-RIDER-COMPLETE-COLLECTION/16812678 CA BELLEZA MAITREYA SLINK TONIC X RIDER COMPLETE COLLECTION] [https://marketplace.secondlife.com/p/FUTURETRO-2020-SciFi-Star-Fleet-Stylized-Power-Suit-Trek-Cosplay-Space-Crew-Dress-Jacket-Skirt-Six-Colors-in-FATPACK/18446413 FUTURETRO 2020 SciFi Power Suit - FATPACK] Six colors each: Red Gold Blue Aqua Pink Green Jacket, Skirt and full Suit-dress options [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-black-with-white-highlights/15509661 Latex nun black with white highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-white-with-black-highlights/15509662 Latex nun white with black highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-Red-Dress/2373909 GZ Fetixxx Latex Masked Red Dress] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-White/2373920 GZ Fetixxx Latex Masked White] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latexhood-XTREM/4326081 Latexhood / Mask V9.2.1 Box CnT] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/AdelleArts-Liquid-Latex-Doll/4728304 AdelleArts Liquid Latex Doll] schwarz klassisch [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Sex-Doll-Rubber/2046393 GZ Fetixxx Latex Sex Doll Rubber] Kondomanzug hautfarben [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-black-coloured-condom-dolly-latex-suit-applier/20911340 Maitreya black coloured condom dolly latex suit applier] catsuit schwarz mit roten Kondomen [https://marketplace.secondlife.com/p/VS-LTX-Forza-Complete-Body-Accessories-pack/14368213 VS - LTX Forza - Complete Body Accessories pack] Korsett + Halskorsett - lange Stiefel + Handschuhe Latex schwarz/rot -weiß/rot [https://marketplace.secondlife.com/p/KDC-Avara-Latex-Hood-Malefica-addon/17535880 KDC Avara Latex Hood - Malefica addon] weißes Gesicht/schwarz [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Gloves-Multicolor-Mesh/4815024?ple=h ROSAL UNMEI Gloves - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Gloves-Black-FitMesh/3829148 ROSAL VIRON-M Gloves - Black (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Thigh-Ballet-Boots-Multicolor-Mesh/4815198 ROSAL UNMEI Thigh Ballet Boots - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Complete-Set-Red-FitMesh/6730139 ROSAL VIRON-M Complete Set - Red (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-LISSE-Sculpted-Latex-Neck-Corset-Red/1660350 ROSAL LISSE Sculpted Latex Neck Corset - Red] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-STEAM-Neck-Corset-Multicolor-Mesh/5192603 ROSAL STEAM Neck Corset - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Red-Mesh/4593346 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Red (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Black-Mesh/4593347 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Black (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Mesh-DEMO/4593675 ROSAL TUEUR2 Complete Set (Mesh) *DEMO*] [https://marketplace.secondlife.com/p/Full-Hood/19642641 Full Hood Version v1.02] Rebel Pony Hood [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Ballet-Boots-Big-Bundle-Demo/15078564 *KaS* Strapped Ballet Bundle (Demo) Version 1.01] [https://marketplace.secondlife.com/p/PROMO-150L-OFF-SALE-Drakke-Obsession-Fetish-Crotch-High-BootsLatex-White/1478283 PROMO $150L OFF SALE Drakke! "Obsession" Fetish Crotch High Boots(Latex White)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10/6184360 Moyet Gasmask v.1.0] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10-IrO-AddOn/6184380 Moyet Gasmask v.1.0 IrO AddOn] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetBlackUniform/5847036 Moyet *BlackUniform] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetPrisoner/6030677 Moyet *Prisoner!] ==== RLV ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-hecate-helmet/14872058 NGW hecate helmet Version 1] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-cult-hat/20355133 NGW cult hat box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-v102/11367411 NGW Danaide hood v1.01 Version 1.02] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-demo/11367412 NGW Danaide hood demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-fatpack-helene-addons/20992886 NGW fatpack helene addons] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-helene-hood-bento/20540754 NGW helene hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-helene-box/21426731 NGW gimp helene box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-box/12089210 NGW gimp hood RM v1.01 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-demo-box/12089209 NGW gimp hood RM v1.01 demo (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-v1-box/12166443 NGW gimp hood fatpack v1 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-V1-demo/12166582 NGW gimp hood fatpack V1 demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Aphrodite-hood-v102/9567240 NGW Aphrodite hood v1.02 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Venus-Hood-Complete-Fatpack-box/15554401 NGW Venus Hood Complete Fatpack (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-tea-hood/19273665 NGW tea hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box/13309214 NGW theia hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box-demo/13309215 NGW theia hood box demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-v1-boxed/12717546 NGW puffy hood v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-Demo-v1-boxed/12717545 NGW puffy hood Demo v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Capture-SackRLV-LZ/15200777 Latex Capture Sack,RLV] [https://marketplace.secondlife.com/p/DEMO-HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3368648 DEMO HybridZ Latex Atemkontrolle Black FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Jail-Cell-with-RLV/2982858 Latex Gefängniszelle (mit RLV!)] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHB-Latex-Hood-customized/11656464 DHB Latex Hood (customized)] [https://marketplace.secondlife.com/p/SubChair-2-Latex-RLV-BDSM-Captive-Project/1065214 SubChair 2 Latex RLV BDSM - Captive Project Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/Bane-Hood/19694442 Bane Hood] Fluch-Maske :: Comes with 3 versions of the hood that can be toggled via menu: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (for open mouth animations) -::Rigged Hood ::Comes with its own resize scripts for the unrriged hoods. ::The rigged hood cannot be resized and its shape will depend on the wearers head shape. ::Color and textures of the hood can be adjusted using the menu. ::Has 5 additional surfaces (Front, Top, Back, Left and Right) that can be textured independently with your own custom textures. ::Easy to set up custom textures for the 5 additional surfaces, by adding the textures to the hood inventory and editing a notecard. ::In order to work custom textures must be full perm. This is an SL limitation. ::Comes with UV maps of each additional surfaces to help creating your own textures. ::Can be locked in place if the victim is using an RLV enabled viewer. ::Owners can be set. ::Kommt mit 3 Versionen der Haube, die über das Menü umgeschaltet werden können: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (für Animationen mit offenem Mund) ::-Rigged Hood ::Kommt mit seinen eigenen Skripten zur Größenänderung für die nicht manipulierten Hauben. ::Die Größe der manipulierten Kapuze kann nicht geändert werden und ihre Form hängt von der Kopfform des Trägers ab. ::Farbe und Textur der Haube können über das Menü eingestellt werden. Verfügt über 5 zusätzliche Oberflächen (vorne, oben, hinten, links und rechts), die unabhängig voneinander mit Ihren eigenen benutzerdefinierten Texturen strukturiert werden können. ::Einfache Einrichtung von benutzerdefinierten Texturen für die 5 zusätzlichen Oberflächen durch Hinzufügen der Texturen zum Haubeninventar und Bearbeiten einer Notizkarte. ::Um zu arbeiten, müssen benutzerdefinierte Texturen eine vollständige Dauerwelle haben. Dies ist eine SL-Einschränkung. ::Kommt mit UV-Karten jeder zusätzlichen Oberfläche, um Ihre eigenen Texturen zu erstellen. ::Kann an Ort und Stelle gesperrt werden, wenn das Opfer einen RLV-fähigen Viewer verwendet. ::Besitzer können eingestellt werden. [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3171296 HybridZ Latex Atemkontrolle Black - FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle™ - Modify - Copy - No Transfer ::Inspired by the artwork of Chio Maisriml. See below for details on where to find his work. ::A big thank you to Regan for all his help and hard work. ::Please note that you have to be using a Restrained Love compatible Viewer with ❋MESH❋ capabilities to take FULL advantage of the many features of this Atemkontrolle. Please also be aware that to experience the full effect of the Blindfold feature you must be running the latest version of the Restrained Love Viewer. See below for details on how to find the Restrained Love and Mesh Viewers. ::Use: ::- To use your HybridZ Latex Atemkontrolle simply wear all the parts. ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle ™ - Ändern - Kopieren - Keine Übertragung ::Inspiriert von den Kunstwerken von Chio Maisriml. Weiter unten erfahren Sie, wo Sie seine Arbeit finden. ::Ein großes Dankeschön an Regan für all seine Hilfe und harte Arbeit. ::Bitte beachten Sie, dass Sie einen Restrained Love-kompatiblen Viewer mit "MESH" -Funktionen verwenden müssen, um die vielen Funktionen dieser Atemkontrolle voll ausnutzen zu können. Bitte beachten Sie auch, dass Sie die neueste Version des Restrained Love Viewer ausführen müssen, um die volle Wirkung der Funktion "Augenbinde" nutzen zu können. Weiter unten finden Sie Details dazu, wie Sie die Restrained Love- und Mesh-Zuschauer finden. ::Benutzen: ::- Um Ihre HybridZ Latex Atemkontrolle zu verwenden, tragen Sie einfach alle Teile. Due to the nature of the MESH parts please make sure you wear the included Body Shape or you will find the various parts will not fit or work correctly. Please also note that these parts should never been stretched or resized in anyway. Doing so will break the items. Aufgrund der Beschaffenheit der MESH-Teile stellen Sie bitte sicher, dass Sie die mitgelieferte Körperform tragen. Andernfalls werden die verschiedenen Teile nicht richtig passen oder funktionieren. Bitte beachten Sie auch, dass diese Teile ohnehin niemals gedehnt oder in der Größe verändert werden sollten. Dadurch werden die Gegenstände zerbrochen. *- Also included in the box is a Body Alpha. The Alpha must be used in conjunction with the Atemkontrolle avatars attachments. *- The default attachment points are included in each attachment name and are listed below: *Latex Atemkontrolle - MOUTH *Latex Atemkontrolle (Skull) - SKULL *Latex Atemkontrolle Breath Particles (Left Hand) - LEFT HAND *Leash Handle - LEFT HAND *- Please note the Atemkontrolle must be "LOCKED" before any of the following RLV functions become active. *- Please also remember that the "Deny Friend" TP button will always work for you and your Atemkontrolle, this is more a safety feature, anyone not on the Atemkontrolle's access will still be blocked from sending a TP *- Ebenfalls im Lieferumfang enthalten ist ein Body Alpha. Das Alpha muss in Verbindung mit den Atemkontroll-Avatar-Anhängen verwendet werden. *- Die Standardanhangspunkte sind in jedem Anhangsnamen enthalten und werden nachfolgend aufgeführt: *Latex Atemkontrolle - MUND *Latex Atemkontrolle (Schädel) - SCHÄDEL *Latex Atemkontrolle Atempartikel (linke Hand) - LINKE HAND *Leinengriff - LINKE HAND *- Bitte beachten Sie, dass die Atemkontrolle "GESPERRT" sein muss, bevor eine der folgenden RLV-Funktionen aktiv wird. *- Bitte denken Sie auch daran, dass die TP-Schaltfläche "Freund verweigern" immer für Sie und Ihre Atemkontrolle funktioniert. Dies ist eher eine Sicherheitsfunktion. Jeder, der nicht über den Zugriff der Atemkontrolle verfügt, kann weiterhin keine TP senden *Latex Atemkontrolle Menu Driven Features: *The following menus can only be accessed once all the attachments are worn. *Then simply click on the Atemkontrolle's Face. *Once the Lock command is selected it will effect all the worn parts making them all undetachable. This removes the need for each part to be locked seperately. *-OWNERS - Ownership Ability allows you to add owners and give them access to the menus. Simply click on the Atemkontrolle, go to 'OWNERS' and select 'Add OWNER'. Then choose the appropriate button number to add the person you want And your done! *- LOCK - Locks all the Atemkontrolle's attachments. *- UNLOCK - Unlocks all the Atemkontrolle's attachments. *- LOCK SKIN - Locks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- UNLOCK SKIN - Unlocks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- BLOCK TP - Blocks all forms of Teleport, TP to Landmarks, TP to Map Locations, TP to Friends and TP to Sit on Objects. * - GAG - Prevents the Atemkontrolle from talking. * - UNGAG - Allows the Atemkontrolle to talk again. *- BREATHE ON - Turns Breathe sound effects on for use in breath play. *- BREATHE OFF - Turns Breathe sound effects off. *- BLINDFOLD - Turns the Atemkontrolle's Blindfold on. *- REM BLIND - Turns off the Atemkontrolle's Blindfold. *- UPDATE - Checks for any upgrades to your product (Note: You must be in range of the Update Server located at the HybridZ Main Store.) *- FREEZE - Freezes the Atemkontrolle to the spot preventing any kind of movement. *- UNFREEZE - Unfreezes the Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isolates the Atemkontrolle from interacting in the SecondLife Environment, Inventory access denied edit objects TP etc, IM to locker/OWNER only permitted for safety reasons. *- REM ISO - Turns off Isolation *Menügesteuerte Funktionen des Latex-Atemkontrollgeräts: *Auf die folgenden Menüs kann nur zugegriffen werden, wenn alle Anhänge abgenutzt sind. Dann klicken Sie einfach auf das Gesicht der Atemkontrolle. Sobald der Befehl Sperren ausgewählt ist, wirken sich alle verschlissenen Teile auf sie aus und machen sie alle abnehmbar. Dadurch entfällt die Notwendigkeit, jedes Teil separat zu verriegeln. *-OWNERS - Mit Ownership Ability können Sie Eigentümer hinzufügen und ihnen Zugriff auf die Menüs gewähren. Klicken Sie einfach auf die Atemkontrolle, gehen Sie zu 'EIGENTÜMER' und wählen Sie 'EIGENTÜMER hinzufügen'. Wählen Sie dann die entsprechende Schaltflächennummer, um die gewünschte Person hinzuzufügen, und fertig! *- LOCK - Sperrt alle Anbaugeräte der Atemkontrolle. *- ENTSPERREN - Entsperrt alle Anhänge der Atemkontrolle. *- LOCK SKIN - Sperrt die Haut und Form der Atemkontrolle. *- HAUT ENTSPERREN - Schaltet die Haut und Form der Atemkontrolle frei. *- BLOCK TP - Blockiert alle Formen von Teleport, TP zu Orientierungspunkten, TP zu Kartenpositionen, TP zu Freunden und TP zum Sitzen auf Objekten. *- GAG - Verhindert, dass die Atemkontrolle spricht. *- UNGAG - Ermöglicht der Atemkontrolle, erneut zu sprechen. *- BREATHE ON - Schaltet Breathe-Soundeffekte für die Verwendung im Atemspiel ein. *- ATMEN AUS - Schaltet die Soundeffekte zum Atmen aus. *- BLINDFOLD - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle ein. *- REM BLIND - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle aus. *- UPDATE - Überprüft, ob Upgrades für Ihr Produkt durchgeführt wurden (Hinweis: Sie müssen sich in Reichweite des Update-Servers befinden, der sich im HybridZ Main Store befindet.) *- EINFRIEREN - Friert die Atemkontrolle an der Stelle ein, um jede Art von Bewegung zu verhindern. *- UNFREEZE - Entfriert die Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isoliert die Atemkontrolle von der Interaktion in der SecondLife-Umgebung, Inventarzugriff verweigert Bearbeitungsobjekte TP usw., IM an Schließfach / EIGENTÜMER nur aus Sicherheitsgründen zulässig. *- REM ISO - Deaktiviert die Isolierung *Once an Owner has been added to the list they can click on the Atemkontrolle to get an extended features list. All the above functions will be present but with the following additional buttons: *- CLOTHING - Allows removal of individual clothes, also ALLOW ALL/ DENY ALL controls whether your Atemkontrolle can wear or remove clothing. *- Though this Menu option is still present please be aware that clothing layers cannot be worn on top of a MESH Avatar. *- GIVE - Dispenses a copy of the Leash Handle/Leash Post or Instructional Notecard to the owner. The Leash Handle is worn on the LEFT HAND. *Once an Owner is wearing the Leash Handle they can then click it to access the LEASH,UNLEASH and LEASH LENGTH options. *Additionally whilst the Atemkontrolle is leashed the owner may rez a Leash Post and click on the ring to leash the Atemkontrolle to the Post. Clicking on the Leash Handle transfers the leash back from the Post to the Handle. *- Please note if the Atemkontrolle is leashed without the Owner wearing the Leash Handle the leash will attach to the Owner at the default 'Pelvis' point. *Additional Features: **- Locking Sound Effects when certain parts are Locked and Unlocked. **- Latex Rub Sound Effects upon walking. *Sobald ein Eigentümer zur Liste hinzugefügt wurde, kann er auf die Atemkontrolle klicken, um eine erweiterte Funktionsliste zu erhalten. Alle oben genannten Funktionen sind vorhanden, jedoch mit den folgenden zusätzlichen Tasten: *- KLEIDUNG - Ermöglicht das Entfernen einzelner Kleidungsstücke. Außerdem erlaubt ALLOW ALL / DENY ALL, ob Ihre Atemkontrolle Kleidung tragen oder entfernen kann. *- Obwohl diese Menüoption immer noch vorhanden ist, beachten Sie bitte, dass Kleidungsschichten nicht über einem MESH-Avatar getragen werden können. *- GEBEN - Gibt eine Kopie des Leinengriffs / der Leinenpost oder der Anweisungsnotizkarte an den Eigentümer aus. Der Leinengriff wird an der LINKEN HAND getragen. *Sobald ein Besitzer den Leinengriff trägt, kann er darauf klicken, um auf die Optionen LEASH, UNLEASH und LEASH LENGTH zuzugreifen. *Während die Atemkontrolle an der Leine geführt wird, kann der Besitzer zusätzlich einen Leinenpfosten rezzen und auf den Ring klicken, um die Atemkontrolle an den Pfosten zu führen. Durch Klicken auf den Leinengriff wird die Leine vom Pfosten zurück zum Griff übertragen. *- Bitte beachten Sie, dass die Leine an der Leine geführt wird, ohne dass der Besitzer den Leinengriff trägt. Die Leine wird am Standardpunkt „Becken“ am Besitzer befestigt. *Zusatzfunktionen: **- Sperren von Soundeffekten, wenn bestimmte Teile gesperrt und entsperrt sind. **- Latex Rub Sound Effekte beim Gehen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:29, 24. Feb. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-BDSM-RLV-Doll-Dollification-RP-Latex-Spray-Gun/413305 HybridZ BDSM RLV Doll Dollification RP Latex Spray Gun] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 2. Mär. 2021 (CET) ==== Haare ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Domela/13427270?ple=c EdelStore Mesh Hair - Domela (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Delmira/13426185 EdelStore Mesh Hair - Delmira (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/G-Draya-Hairbase/21054117 G.- "Draya" Hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/ARGRACE-SAYURI-BW/17349859?ple=c ARGRACE* SAYURI - B&W] [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Grae-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/11267667 Tameless Hair Grae - Naturals] Includes OMEGA applier for hairbase [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Kit-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/10498687 Tameless Hair Kit - Naturals with OMEGA Appliers for hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Claire-bxd-wear-me/19250905 KoKoLoReS Hair Claire bxd - wear me] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Lesley-bxd-wear-me/19842667 KoKoLoReS Hair Lesley bxd - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Quinn-20-Hud-Naturals/16067064 KoKoLoReS Hair - Quinn 2.0 - Hud Naturals - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/Sintiklia-Hair-Talia-Fatpack/19564600 Sintiklia - Hair Talia - Fatpack] [https://marketplace.secondlife.com/p/Y-U-JOANA-MULTIPACK-WOMENS-BOXED/19006551 Y-U: JOANA "MULTIPACK" WOMEN'S BOXED] [https://marketplace.secondlife.com/p/EMO-tions-TRAGEDY-BLACKWHITE/12152278 .:EMO-tions.. *TRAGEDY* -BLACK/WHITE] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:00, 2. Mär. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/NO-Pixie-Cut-Tattoo-Purple-Mix/7393394 (NO) Pixie Cut (Tattoo) - Blonde] [https://marketplace.secondlife.com/p/OS-Appliers-Base-Hair-Diva-Black-OmegaCatwa-Lelutka/16273465 !OS! Appliers Base Hair Diva Black - Omega/Catwa/ Lelutka] [https://marketplace.secondlife.com/p/nomatch-NOCOMMISSION-Pack-of-BLACKS/15922487 no.match_ ~ NO_COMMISSION ~ Pack of BLACKS] [https://marketplace.secondlife.com/p/dafnis-fat-pack-hairbase-01-for-CATWA-Demo/18658974 *dafnis fat pack hairbase 01 for CATWA Demo] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:19, 2. Mär. 2021 (CET) === Personen === Freunde finden ist nicht leicht in einer Welt, in der sich jeder selbst der Nächste ist, wo Egoismus und Lügen zur vorherschenden Tugend gehören. Sei ehrlich mit mir, lüg mich nicht an, dann bin ich für dich da und gehe mit dir durchs Feuer. Bei Intrigen, Hass und Missgunst und weitererzählen irgendwelcher Gerüchte fackel ich nicht lange und sortiere aus. Secondlife soll Spaß machen und nicht das Leben noch schwerer durch Menschen, die hier rumlaufen und nur glücklich werden, wenn sie anderer Partnerschaft, Freundschaft und Vertrauen zerstören können. Wacht auf Leute, das Leben findet draußen statt! Diese Welt hier ist eine Plattform, um andere kennen zu lernen und Spaß zu haben und nicht, um sich gegenseitig emotional abzuschlachten! Cordula Debbel von DavidSmith1978 https://www.youtube.com/watch?v=uSbxCX2LVps Cordula Grün Kinder mit Behinderung sind nicht krank, sie brauchen keine Therapie. Sie brauchen Akzeptanz. Ein 15 Jahre altes Mädchen hält die Hand von ihrem 1 jährigem Sohn. Leute nennen sie eine Schlampe. Niemand weiß, dass sie mit 13 Jahren vergewaltigt wurde. Leute nennen einen Mann fett. Niemand weiß, dass er eine schwere Krankheit hat, durch die er übergewichtig ist. Leute nennen einen alten Mann hässlich. Niemand weiß, dass er eine schwere Verletzung im Gesicht hatte, während des Kampfes für sein Land im Krieg. Poste dies, wenn du gegen Mobbing bist. Ich hoffe ihr gehört zu den 7% die es kopieren ... !!! Cordula Debbel Cosmopolitan and Hello Tuesday Events. Join to stay informed about our events. Blog: http://cosmopolitansl.blogspot.com/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:26, 4. Jan. 2021 (CET) Ich bin schon so lange hier und ziehe Bilanz: Ich bin hier in SL wegen der Menschen. Sie können eine innere Heimat werden, gute Freunde, jemand der so sehr mein innerstes kennt, wie niemand in meinem 1. Leben. Manchmal trifft man hier jemand und es ist magischSofortigesVerstehen, Zusammengehörigkeitsgefühl und das Bedürfnis bei dieser Person sein zu wollen. Lachen, das bis in mein reales Leben nachhallt und mich dort weiterhin aufmuntert. Danke dafür!!! Ruediger Blister --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 9. Jan. 2021 (CET) Sl ist schon ganz schön Verrückt einige Leute leben Wirkliich in einer Echten Scheinwelt weit ab vom Realen leben, und sie kommen sich auch noch verdammt Wichtig vor weil sie gewisse Rechte haben, find ich echt toll viel Glück mit eueren Rechten,scheibt sie euch dahin wo die Sonne zum schluss auf geht. Kathrin de Boer (kathrindeboer) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:54, 9. Jan. 2021 (CET) first sl join January 2007/second sl jion August 2011 maybe older than you but not stupid lol SL ist kein Spiel......es ist eine Schnittstelle SL is not a game ...... it is an interface JasonCastello --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:59, 9. Jan. 2021 (CET) Just taking a break and chilln out a while My interests in SL r: surfing, skydiving, base jumpn, horseback riding, scuba, cyclist and solo dancen, so far. Not interested in SL relationships other than friends. Cindy (honeypotness) Menschen, die zusammen gehören, egal auf welche Art und Weise finden immer wieder zusammen. Es ist egal was zwischen ihnen passiert ist, wie viele Fehler gemacht wurden und wieviel Zeit vergangen ist. Es ist egal,wie fern sie sich sind, sie werden sich trotzdem immer nahe sein... Tamina Bikergrrl --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:52, 11. Mär. 2021 (CET) === Surfing === Cielo *Cielo is currently majestic ruins you can surf through, set on the corner of a 5 sim Surfing beach island. *Travel the world, from east to west on this island, surfing different terrains and waves. ** Arcania Bay, Canada, Cielo (35, 177, 85) Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance *Welcome to Kia Kaha - The home of Vibes! *"Kia Kaha" is a Māori phrase meaning "Stay Strong" A subtle reminder to the core surfing family. *Public access surf sim with rezz zone and Flow board rezzer. ** Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance, Kia Kaha (128, 94, 22) Medow Rose - Templeton Farm *The moonlight sent pale shards skipping across the rippling water and silhouetting the landscape in deep soft bues and blacks. *She drew a contented breath as she sank deeper into his arms, *Meadow rose is just the start of the story.. Great place to ride ur horse ** Mopire City, Mopire (73, 191, 62) NanoGunk Main Store - Cigar Yachts *A beach with some nice waves ** NanoGunk Main Store - Cigar Yachts, NanoGunk (62, 32, 22) One Love Beach ~ Home of SurfCrazy ~ *No lag...no conflict..surf... *And as my opinion...Best place to surf in SL so far..... still ** One Love Beach - Surf Great Waves, Palma de Majorca (192, 216, 21) Surfer's Paradise - Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf *A remote beach set in the Pacific Northwest for photos and soul searchers alike. Really cool place. *flickr, photography, blogger, romantic, couples, beach, nature, photos, hangout, photogenic, meet, rentals, machinima, maoli waves, surfing, surf AMAZING PLACE TO SURF. ** d.p surfco] Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf , Spider Island (154, 227, 21) Surfing SLSA *Surfing Association (SLSA) surfable wave home beach. Surf, free surfboard loan Huts for Rent for your business advertising or team marketing **Home Of Competition Surfing In SL and the SLSA, Solace Dreams (224, 83, 21) T'ai Surfing - Home to Team Tsunami *The beautiful sister of the Zen surfing resort Ch'i. T’ai was born from Ch’i tranquil Mountainous volcano. *A public surfing beach. A variety of free surfboard rezzers and a rez area to use your own board. *Come enjoy and hangout at T'ai Surfing **T'ai Surfing - Home to Team Tsunami, Tai Surfing (207, 113, 23) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:18, 4. Jan. 2021 (CET) === Biker === Arpeggio Club DyNaMiTe - Biker an Rock Club (66. 162, 37) Club DyNaMiTe is one of the oldest rock clubs on the grid. Friendly, biker themed, a neutral place to chill out, chat and enjoy some good rock /heavy metal music. Live DJs, Concerts, Performers, Contests, Fun, Biker Club, Dance, Chat Bon Jovi Tribute by 2nd Dimension @ Club DyNaMiTe - Sponsored by Anka Tattoo --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:12, 8. Jan. 2021 (CET) == Paralipomena == Wir wissen doch schon lange, wie der amerikanische Geheimdienst den Markt zugunsten sog. "Moderner Kunst" mit Unsummen beeinflußt hat, weil die USA an Klassischer Kunst unterbelichtet sind - es gibt ja auch heute noch eine Geheimdienstgalerie Modern Art, nur für die eigenen (verdienten) Mitarbeiter besuchbar - eine eklige Schmierenkomödie, diese ganze "Moderne Kunst" - und derzeit zur Spielbank und Lotterie entartet, so wie ich das hier in der Kunststadt Dresden beobachten kann: Kauf auf Wertzuwachs, Wetten auf steigende Preise - das soll Kunst sein? Pfui Teufel! Die Kunstwerke verschwinden sehr oft in den Tresoren oder gleich auf der Bank - weswegen ich an diesem Markt nicht teilnehme - ich bin doch keine Hure! Meine Niemandskunst bleibt bis auf weiteres unveröffentlicht. Basta. Nur wenn die Chemie stimmt, zeige ich jemandem etwas persönlich. Ich prostituiere mich nicht für Geld. Punkt. Habe ich zeitlebens nicht gemacht, und die paar Jährchen muß ich nun auch nicht mehr. Früher hatte das schwere Konsequenzen (Haft, Zersetzung der Familien, Partnerinnen und meine erste Frau wurden zum Selbstmord(versuch) getrieben, Vergewaltigung meiner zweiten Frau bei unserer Ausbürgerung aus der DDR, Berufsverbote und und und - und ich habe mich nicht gebeugt. Heute hat das keine größeren Konsequenzen (die Gesellschaft hat größere Probleme als Verweigerer), und da habe ich es erst recht nicht mehr nötig, mich zu beugen - auch keinem "Kunstmarkt" gegenüber. Kann mich mal kräftig am Arsch lecken. Haben fertig. Bilder zurückhalten ist keine Lösung. Kunst will gesehen werden... HAUPTSACHE, mich befriedigt es! Was weiß ich, was ein andrer davon hat? Und was hätt ich davon, wenn ein andrer als ich davon was hat? Und wie geschrieben, wenn die Chemie stimmt, lass ich auch mal was sehen. Es gab hier vor zweihundert Jahren den Fall eines hervorragenden Malers, der hatte das Geheimnis der leuchtkräftigen, stabilen Renaissancefarben in jahrzehntelangen Experimenten gelüftet. Er erhoffte sich (nicht nur dadurch) eine existenzsichernde Anstellung an der Kunstakademie hier (er war auch ein hervorragender Künstler). Wurde aber abgelehnt - sicher aus politischen Erwägungen heraus. Er hat dann sein Geheimnis mit ins Grab genommen (er liegt hier auf dem Trinitatisfriedhof - man könnte ja mal buddeln LOL). Das war sein gutes Recht! Ich erinnere in dem Zusammenhang daran daß selbst ein Caspar David Friedrich niemals ordentlicher Professor der Kunstakademie in Dresden wurde, obwohl er hier über vierzig Jahre gelebt und gewirkt hatte - er war eben Napoleongegner und deutschnational. https://de.wikipedia.org/wiki/Caspar_David_Friedrich#Patriotismus_gegen_Napoleon --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:41, 10. Mär. 2021 (CET) ich habe Gewaltexzesse veröffentlicht. Ich muss mein Kind und mich schützen, weil Menschen bereit sind unter dem Deckmantel von was anderen Menschen zu töten. Ich habe keine Kraft alles schneller hinzubekommen, weil mir mit der Gewalt in einem jungen Leben auch die Existenzsicherung genommen wurde. Damit bin ich nun beschäftigt. Die Existenz zu sichern. KDP ist aber kein Händler, sondern ein "Verlag" von Amazon. Da sind meine kompletten Daten hinterlegt, weshalb ich jederzeit erreichbar bin. Klar kann es sein, dass irgendein Anwalt, der Geld machen will, statt den Sinn hinter dem Gesetzt zu wahren, eine Lücke nutzt, um abzuzocken. Ich muss mich da definitiv drum kümmern, aber das braucht Zeit. Ich muss das Buch rausnehmen, ändern und neu veröffentlichen. Oder andere Ideen? https://www.facebook.com/happy.bine.39 アン トン: Happy Bine ja, raus nehmen, Impressum einfügen und wieder einstellen. Weiß nicht ob das mit einem Update geht oder nicht. Deswegen bin ich am Überlegen bei BOD zu veröffentlichten, die zählen als Verlag und da reicht die Angabe von Pseudonym und BOD als Verlag . Und nein KDP ist KEIN Verlag, es ist eine Veröffentlichungsplattform für Self Publisher. Sie sind nicht als Verlag eingetragen. Du kannst auch „Fake Daten bei Biografien.....“ bei KDP angeben, die nicht geprüft werden. KDP war wegen „seltsamer“ Veröffentlichungen eh schon öfter in Kritik Antwort: Vielleicht geht es ja auch so. Ich möchte ja auch die Bewertungen nicht verlieren und auch nicht die bisherigen Verkaufszahlen. Nun muss ich aber erst einmal einen neuen Impressumservice finden. https://www.facebook.com/groups/dasautorenhilfeforum/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:02, 10. Jan. 2021 (CET) weiß ich -immer von schönen Damen wie im Video zu sehen kenn ich aus Tenerife - erstes Pinguinarium der nördlichen Hemisphäre im Loro Parque in Puerto de la Cruz: ich hatte als Batman mit einem weiblichen kleinen Gummi-Pinguin Werbung gemacht, da wurden extra kleine Frauen für gecastet - unter den indigenen Einwanderern aus Süd- und Mittelamerika gab es genügend Auswahl - war ein toller Kontrast - schon der Größenunterschied, der Pinguin in glänzenem Schwarz-Weiß und ich in glänzendem Schwarz, alles in der prallen Sonne nahe dem Abfahrtsplatz der "Straßenbahnen" (motorisiert) zum Loro-Parque - ein voller Erfolg - ja, und im Pinguinarium schufteten neue MitarbeiterInnen in Trockis (Trockentauchanzügen), um von innen die Panzerglasscheiben freizuhalten - die waren wegen des hohen Temperaturunterschiedes im Nu vereist, diesen Effekt hatte keiner auf der Liste - die MitarbeiterInnen kamen nach der langen Schicht klatschnass aus ihren Trockis, da war ich als Gummi-Batman noch besser dran, so haben die von der schweren Arbeit gedampft - und der Dampf konnte nicht raus wie beim Schnellkochtopf LOL --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:32, 10. Mär. 2021 (CET) ja Bauhaus - räumlich und zeitlich nicht ganz so weit von mir weg - und MACH WAS DRAUS: als Junge hab ich das nachgebaut - und keinen Mangel an Modellen gehabt - zum Schluß klebten die dann alle irgendwie komplett in Alufolie und Zellophan (so hieß bei uns durchsichtige Plastikfolie) - Hauptsache, nicht nackig LOL - und die haben Schlange gestanden, soviel Material hatt ich gar nicht, das war schwierig in der DDR zu besorgen (wir hatten mal Bundis zu Besuch, die hatten seinerzeit weltweit Sonnenkocher-Seminare durchgeführt, auch bei uns in der Zone - die waren entsetzt, daß unsere Alu-Knappheit viel größer war als in Afrika, wo sie sich wegen der Sonne und dem knappen Brennstoff des Öfteren aufhielten LOL) - heute ist dieser begrenzende Faktor zum Glück ja entfallen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 11. Mär. 2021 (CET) Klassiker. Bin ich mit groß geworden. Und auch mit dem Material. Meine ersten Damen besaßen sogar noch Material der Prä-Nazi-Ära: Bürgermaske, Gasanzug ... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 11. Mär. 2021 (CET) == Schönheit == [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=181300523741200&set=p.181300523741200&type=3 FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/137275705_181300530407866_3397208782784515620_n.jpg?_nc_cat=107&ccb=2&_nc_sid=dbeb18&_nc_ohc=yYP5kA9jywIAX9X9YKi&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=d0657d01f4d51b26bd1aceb22a95b4bf&oe=6022F5B8 Ein Herz für soviel Schönheit] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:56, 13. Jan. 2021 (CET) == Adam Cullen == [[w:de:Adam Cullen|Adam Cullen]] == Maler Ludwig Counet == [[File:Trier Gedenkkreuz Counet 1721.jpg|mini|Gedenkkreuz für den in Trier ermordeten „Maler Ludwig Counet“, Südwestseite der Kirche St. Paulin in Trier.]] [[w:de:Louis Counet]]: Counet erlangte 1690 mit seiner Familie das Bürgerrecht in Trier[8] und stieg in einer steilen Karriere zum regionalen „Malerfürsten“ auf. Der Rat der Stadt Trier, Klöster, Stifte und Pfarrgemeinden der Stadt und der Großregion, selbst der kurfürstliche Hof in Koblenz-Ehrenbreitstein wurden zu seinen Auftraggebern für ganze Serien von großformatigen Gemälden mit religiösen, gelegentlich auch allegorischen oder mythologischen Themen und für seine selteneren Porträts. Seine Produktion an Altarblättern, Kirchenschmuck und profanen Staffeleimalereien war so umfangreich, dass sie nur mit Hilfe einer größeren Werkstatt zu bewältigen war. Selbst für seine alte Heimat, zu der er weiterhin Kontakte[9] aufrechterhielt, führte er noch Aufträge aus, beispielsweise zwischen 1717 und 1720 zwei große Historienbilder und fünf Supraporten für das Rathaus der Stadt Lüttich. Wenn er dabei als höchstbezahlter Maler des Projekts fungierte,[10] entsprach das seinen üblichen Dotierungen in Trier. Die hohen Einkünfte wurden ihm schließlich zum Verhängnis. Mit dem Honorar für sechs Großgemälde in der Tasche fiel er am 5. August 1721 einem Raubmord zum Opfer. Ein Gedenkstein bei der Kirche St. Paulin in Trier erinnert noch heute an ihn. == Afterkunst == === Grimmsches Wörterbuch === AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. === Friedrich Hebbel === Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm === Entartete Kunst === [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jüdische "Afterkunst" === NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) === Filmlexikon === https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Facebook === https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) === Kunstdienst der evangelischen Kirche === [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) === Herbert Tannenbaum === [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) === Dominikus Böhm === [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jeanpierre Heizmann === [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) === Scheißpolitik === Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 == Löschversuch == [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt_Diskussion:Niemandskunst&diff=771216&oldid=746765 Diff-Link] == Anmerkungen == h2e6fcztnx11jef3bmwvzpq0kdhy7ga 784655 784646 2022-08-22T06:41:10Z Methodios 23484 /* Paul Rheinfels */ wikitext text/x-wiki == Straßenkunst == ''Dresden. Ein Straßenkünstler hat am Donnerstagnachmittag auf dem Neumarkt in Dresden einer 30-Jährigen mit einem Seil ins Gesicht geschlagen. Die Frau wurde dabei leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die den Vorfall beobachtet haben. Nach Angaben der Polizei machte die 30-Jährige im Bereich der Frauenkirche Fotos. Dabei geriet sie offenbar mit einem dort auftretenden Künstler in Streit. Anschließend schlug der 40-Jährige zu. Wer Angaben zum Geschehen machen kann, soll sich bei der Polizeidirektion Dresden melden. Insbesondere sucht die Polizei das Pärchen, das sich im Anschluss an den Vorfall mit der 30-Jährigen unterhielt.'' [https://www.dnn.de/Dresden/Polizeiticker/Neumarkt-in-Dresden-Strassenkuenstler-schlaegt-Frau-mit-Seil Straßenkünstler schlägt Frau auf dem Neumarkt in Dresden mit Seil.] Eine Frau will auf dem Neumarkt in Dresden Fotos machen. Dabei kommt es zum Streit mit einem dort auftretenden Straßenkünstler, der ihr mit einem Seil ins Gesicht schlägt. Jetzt sucht die Polizei Zeugen. DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:45, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Dresden. Am Donnerstag gegen 14.20 Uhr ist eine Frau auf dem Neumarkt verletzt worden. Die Frau machte an der Frauenkirche Fotos, als sie offenbar mit einem dort auftretenden tschechischen Künstler in Streit geriet. In der Folge wurde sie mit einem Seil im Gesicht getroffen und leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die Angaben zum Geschehen machen können. Insbesondere ein Pärchen, das sich nachher mit der 30-Jährigen unterhalten hatte wird gebeten sich bei der Polizei zu melden. Hinweise nimmt die Polizeidirektion Dresden unter der Rufnummer (0351) 483 22 33 entgegen.'' [https://www.saechsische.de/polizei/frau-auf-neumarkt-verletzt-5277548.html Frau auf Neumarkt verletzt. Bei einem Streit in der Innenstadt wurde sie von einem Seil getroffen. Nun sucht die Polizei Zeugen.] SZ vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:07, 18. Sep. 2020 (CEST) == Bunker == ''Kinder haben beim Spielen in einem Wald bei der brandenburgischen Gemeinde Nuthetal einen unterirdischen Bunker entdeckt. Der von Hand gezimmerte Unterschlupf, indem sich vieles findet, was man für einen längeren Aufenthalt unter Tage braucht, ist aufwendig ausgebaut und gibt derzeit vor allem Rätsel auf.'' ''Bild: Der Bunker ist innen mit Holz verkleidet und hat etwa die Größe eines Kinderzimmers. Er hat auch ein Lüftungsloch und eine kleine Treppe, die in den Bunker führt. Dort liegt auch ein Handfeger griffbereit.'' (zwei Feldbetten?, zwei Campingstühle, Tischchen, Petroleumlampen, Kleinmöbel, Holz, Isomatte, Geschirr, Lebensmittel, Wandteller, Sandboden, Innenstütze, Deckenbalken, Plastikplane als Zimmer-Decke, nur kleines "Mannloch") [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Bunker-in-Nuthetal-Kinder-finden-mysterioesen-Unterschlupf-im-Wald MAZ vom 15. September 2020.] [https://www.dnn.de/Region/Der-Osten/Kinder-finden-mysterioesen-Bunker-in-Brandenburger-Wald Bergholz-Rehbrücke. Kinder finden mysteriösen Bunker in Brandenburger Wald.] DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:55, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Ist der Bewohner des rätselhaften Bunkers, der in einem Wald in Nuthetal gefunden wurde, noch einmal in seinen Unterschlupf zurückgekehrt? Es sieht alles danach aus: Als Gemeinde-Arbeiter die Sachen aus dem Bunker holen wollten, war das Schloss aufgebrochen. Im Bunker fehlte das Wertvollste, was sich vorher darin befand.'' ''Bild: Der Bunker ist am Mittwoch bereits eingerissen worden. Die Gemeinde Nuthetal läßt ihn zurückbauen.'' [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Mysterioeser-Bunker-in-Nuthetal-Vor-dem-Einreissen-kehrte-der-Bewohner-zurueck-und-holte-das-Funkgeraet Bergholz-Rehbrücke. Nuthetal lässt mysteriösen Bunker einreißen – doch das Funkgerät war bereits verschwunden] MAZ vom 16. September 2020. [[w:Märkische Allgemeine|Märkische Allgemeine]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:53, 20. Sep. 2020 (CEST) [[w:Nuthetal|Nuthetal]] - in der Nähe vom Südwestzipfel Berlins - im "Speckgürtel" - von 2003 bis 2017 fast 500 Einwohner gewonnen auf jetzt über 9.000 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:05, 20. Sep. 2020 (CEST) Wegen sowas häufen sich in Dresden und Umgebung die "unterirdischen Zelte" (der Begriff wurde von einem AfD-Stadtrat aus Berlin-Reinickendorf verwendet - das ordentliche Ordnungsamt hatte da die anwachsende "Zeltstadt"! - so 150 Einwohner Nähe Flughafensee - vor anderthalb Jahren geräumt, die Leute haben sich dann eingegraben, wurden zT entdeckt - sicher zu primitiv, sicher auch zu alkoholisch - und diese Bunker - mit zB Kühlung für Bierkästen - bezeichnete der sozial unbeleckte Stadtrat dann als "unterirdische Zelte"). https://de.wikipedia.org/wiki/Flughafensee vgl. [[w:Nasser Asphalt]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:53, 20. Feb. 2021 (CET) == Housing first == === Erstes Projekt in Sachsen: Leipzig === Und nun folgt auch Leipzig: Sn Sommer soll der Housing First in einem Modellprojekt erprobt werden. Berlin ist da schon weiter: wir arbeiten an der Verstetigung, weil es so gut läuft! [https://www.facebook.com/housingfirstfuerfrauen/ FB Housing First für Frauen, 18. März 2021] Eine eigene Wohnung ist das oberste Ziel der Hilfen für wohnungslose Menschen in Leipzig. Bezahlbare Wohnungen sind in Leipzig aber inzwischen knapp. Daher soll ab dem Sommer der Ansatz „Housing First“ erprobt werden – mit dem Modellprojekt „Eigene Wohnung“. Dies wurde in der Dienstberatung des Oberbürgermeisters auf Vorschlag von Bürgermeister Thomas Fabian auf den Weg gebracht. Jetzt muss noch der Stadtrat zustimmen. Der aus den USA stammende Ansatz „Housing First“ (auf Deutsch: zuerst eine Wohnung) verspricht gute Ergebnisse bei der Integration von obdachlosen Personen. Deshalb verfolgen etliche Kommunen in Europa und Deutschland diesen Ansatz. Bei „Housing First“ erhalten obdachlose Personen eine eigene Wohnung mit Mietvertrag und dazu eine individuell passende Hilfe durch Sozialarbeiterinnen und Sozialarbeiter. Die Anzahl der Personen, die Schwierigkeiten haben, ihre Wohnung zu halten oder bei Wohnungslosigkeit eine neue Wohnung zu finden, hat zugenommen. Besonders betroffen sind Personen mit Mietschulden sowie Menschen mit psychischen und Suchterkrankungen. Bürgermeister Thomas Fabian ist überzeugt: „Wir wollen obdachlosen Frauen und Männern die Möglichkeit eröffnen, eine eigene Wohnung zu beziehen. Sie erhalten dabei auch Unterstützung, die sie brauchen, damit ein Neuanfang gelingt. Unser Modellprojekt greift Konzepte und Erfahrungen des Ansatzes Housing First auf. Es ergänzt gut unsere Angebote der Obdachlosenhilfe in Leipzig.“ Entwickelt wurde das Projekt vom Sozialamt auf der Grundlage von Befragungen von Trägern der Wohnungsnotfallhilfe, Fachexperten und auch obdachlosen Personen. Grundzüge des Leipziger Konzeptes wurden in einer Strategiekonferenz mit Akteuren aus der Obdachlosenhilfe beraten. Das Modellprojekt soll im Sommer beginnen. Im Oktober könnten dann die ersten von mindestens 40 obdachlosen Personen in ihre Wohnung ziehen. Die Wohnungen werden vorwiegend durch die stadteigene Leipziger Wohnungs- und Baugesellschaft mbh (LWB) zur Verfügung gestellt. Aber auch Wohnungsgenossenschaften und private Wohnungsvermieter sollen einbezogen werden. Bis 2024 soll das Modellprojekt erprobt und während dieser Zeit auch wissenschaftlich evaluiert werden. Eine Koordinationsstelle im Sozialamt steuert die Umsetzung. Insgesamt 1,2 Millionen Euro werden für das Projekt bis 2024 eingeplant. [https://www.leipziginfo.de/aktuelles/artikel/modellprojekt-eigene-wohnung-fuer-obdachlose-personen-in-leipzig/?fbclid=IwAR2cjmPZddnGLP8_N-wRIANWMhBCgzHOhdyWjbNytNruFn3KM9wZp3A-R0I Modellprojekt "Eigene Wohnung" für obdachlose Personen in Leipzig. Ansatz „Housing First“ soll ab dem Sommer erprobt werden] 18.03.2021 Stadtinformationen Stadt Leipzig --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:36, 19. Mär. 2021 (CET) == Kunst für Housing First == '''''Worin bestand für Sie die Motivation, sich sozialunternehmerisch zu engagieren und das Projekt „Housing First“ ins Leben zu rufen?''' Das Engagement war doppelt begründet: Es ging uns einerseits um den Aufbau adäquater Hilfe für Wohnungslose, zugleich aber war unser Engagement auch politisch motiviert. Ein Schlüsselerlebnis war die Weihnachtsfeier im Düsseldorfer Kulturzentrum zakk vor vier Jahren, als wir feststellen mussten, dass wieder Wohnungslose verstorben waren. Vor dem Hintergrund unserer Philosophie, wonach wir – Wohnungslose und das Team des Düsseldorfer Straßenmagazins fiftyfifty – so etwas wie eine Familie sind (bei aller professioneller Distanz, die in der Sozialarbeit auch notwendig ist), reifte die Erkenntnis, dass chronifiziert obdachlose Menschen im bestehenden Stufensystem quasi überhaupt keine Chance haben, dauerhaft mit normalen Mietwohnungen versorgt zu werden und eine Verelendungsspirale die Folge ist. Meine Kollegin Julia von Lindern hatte sich auch als Lehrbeauftragte an der Hochschule Düsseldorf mit dem Housing First-Ansatz auseinandergesetzt. Es folgte eine Reise unseres Teams nach Wien, um Erkenntnisse vor Ort zu sammeln. Wir haben schlanke Strukturen – ganz im Sinne des lean management –, so dass Ideen stets gemeinschaftlich entwickelt und schnell realisiert werden können. ''' „Lean management“? Das klingt ganz nach einem unternehmerischen Ansatz.''' Housing first stellt natürlich einen Paradigmenwechsel im System dar, aber die linke Attitüde, die lange Zeit ausschließlich auf Systemkritik zielte, lässt sich meines Erachtens unter den gegenwärtigen politischen Vorzeichen nicht mehr durchhalten. Mit dem Erstarken des Rechtspopulismus gilt es, unser Sozialsystem nach Kräften zu verteidigen. Dafür nutzen wir bei fiftyfifty unsere Erfolge als Glaubwürdigkeitsvorsprung, d. h. unsere Arbeit wird immer von Gesprächen mit politischen Entscheidungsträgern sowie Trägern der Wohnungslosenhilfe begleitet. Und natürlich suchen wir gezielt die Öffentlichkeit, um u. a. über Social Marketing für unsere wohnungspolitischen Anliegen, aber natürlich auch unser Fundraising zu werben. Housing First bedeutet: Es besteht von Anfang an ein normales, unbefristetes Mietverhältnis mit allen Rechten und Pflichten. Wohnbegleitende Hilfen werden aktiv angeboten: Betroffene werden dazu ermutigt Probleme mit Unterstützung anzugehen, aber nicht dazu verpflichtet. Dort wo Housing-First bereits praktiziert wird, sind die Ergebnisse überzeugend. Housing-First wurde Anfang der 90er Jahre in den USA entwickelt. In den USA wird es seither in einigen Städten erfolgreich praktiziert. In Deutschland ist der Ansatz noch nicht weit verbreitet. '''Ist eine Triebfeder für Ihr sozialunternehmerisches Engagement auch in den fehlenden Erfolgen der staatlichen Sozial- und Wohnungspolitik zu sehen?''' In jedem Fall. Wir sind bei fiftyfifty zunächst einmal vor allem politisch motiviert, wobei wir inzwischen nicht nur von NRW-Sozialminister Minister Laumann, sondern auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren. Hinzu kommt ein beispielloses Echo in bekannten Leitmedien wie Süddeutsche Zeitung, Zeit online, Stern TV etc. und Fachmedien, durch das wir Housing First bundesweit ins Gespräch gebracht haben. Nicht nur dadurch haben wir umfangreiche Beratungsarbeit bei vielen Trägern der Wohnungslosenhilfe und Kommunen geleistet. Aus eigener Erfahrung und aus zahlreichen Forschungsvorhaben wissen wir, dass Wohnraum in Not geratene Menschen dauerhaft stabilisieren kann – insbesondere dann, wenn der Ansatz Housing first und nicht Housing only lautet. Housing First, wie wir es praktizieren, bedeutet, dass Obdachlose direkt von der Straße in Wohnungen gebracht und zudem professionell betreut werden. Dazu gehören auch tagesstrukturierende Maßnahmen, damit am Ende einer möglichen Vereinsamung in der neuen Wohnung vorgebeugt wird. Für die Politik liegt ein wesentlicher Vorteil des Housing First-Projekts darin, dass die Kosten für die jeweilige Kommune gleich null sind, d. h. unser Modell der Bekämpfung von Obdachlosigkeit kostet die Städte und Gemeinden quasi nichts. Die Düsseldorfer Wohnungsbaugesellschaft SWD etwa verfügt über 9.000 Wohnungen. Würde die Stadt aus diesem Kontingent die ca. 300 benötigten Wohnungen für etwa 300 Straßenwohnungslose, die es in der Landeshauptstadt gibt – ein Großteil der Wohnungslosen wird in diversen Notunterkünften und nicht dauerhaften Betreuungseinrichtungen mehr oder weniger gut versorgt – zur Verfügung stellen, würde die Miete über Transferleistungen gesichert. Und die Betreuung würden Verbände wie die Diakonie oder andere wahrnehmen, über Fachleistungsstunden, die beim Landschaftsverband abgerechnet werden. Die Landschaftsverbände finanzieren sich über kommunale Umlagen, die Städte wie Düsseldorf sowieso zahlen – ob sie Housing First anbieten oder nicht. '''Welche Hindernisse gab es zu überwinden?''' In der Entstehungsphase war ein Hindernis die Schaffung einer funktionsfähigen Organisationsstruktur, wobei wir das weitestgehend aus dem etablierten fiftyfifty-Team stemmen konnten. Aber wir mussten uns sehr engagiert der Mittelbeschaffung widmen, d. h. auch bei Housing First stand am Anfang die Finanzierungsfrage, da wir die Wohnungskäufe nicht kreditbasiert finanzieren wollten, sondern diese bis heute über unsere Einnahmen aus dem Verkauf von Kunstwerken finanzieren, die wir in unserer Benefiz-Galerie verkaufen. Dort unterstützen uns etwa Gerhard Richter, Thomas Ruff, Andreas Gursky, Katharina Mayer und viele andere bedeutende Künstlerinnen und Künstler. Zu überwinden war auch die Skepsis im Team, ob in Düsseldorf überhaupt adäquate Wohnungen zu finden wären und ob Eigentümer an fiftyfifty verkaufen würden. Die Realität hat uns Lügen gestraft: Mittlerweile bekommen wir sogar Wohnungsangebote von sympathisierenden Eigentümern und Maklern, bevor diese auf dem Markt angeboten werden. '''Wie bewerten Sie ihre Arbeit nach nunmehr vier Jahren?''' Das Start-up war ein voller Erfolg: Nachdem wir schon viele Wohnungslose über die Erlöse aus den fiftyfifty-Verkäufen von der Straße holen konnten, sind wir dann mit Housing First und der Housing-First-Fonds-Gründung – zusammen mit dem Paritätischen Wohlfahrtsverband – im Jahre 2018 noch weitergegangen: Hatten wir bei fiftyfifty schon über 60 Menschen von der Straße geholt, so waren es über den NRW-weit tätigen Fonds zusätzlich noch 67 bei 22 Trägern in 14 Städten, für die wir Wohnraum erschließen konnten. Die ehemals Obdachlosen kommen selbst für die Miete auf, die sie zumeist über Leistungsbezug finanzieren. Die Einnahmen aus dem Verkauf von fiftyfifty oder den Spendengeldern bei alternativen Stadtführungen, die sie durchführen, kommen oft noch hinzu. Denn viele von ihnen arbeiten inzwischen als Stadtführerinnen und -stadtführer. Manche sind sogar wieder in regulärer Arbeit. Aber natürlich müssen wir uns auch immer wieder die Risiken vor Augen führen. Die Null-Zins-Politik wird die Immobilienpreise weiter steigen lassen; die Flucht ins „Beton-Gold“ ist ja allerorten zu beobachten. Derzeit kursiert in unserem Beirat sogar die Idee, eine Sozialbank im Sinne unserer Zwecke zu gründen, um der Genossenschaftsidee mit größerem Kapitaleinsatz Geltung verschaffen zu können. Wichtiger aber ist aus meiner Sicht, sich einzumischen und Druck zu machen, damit mehr Wohnungen für Benachteiligte und insbesondere Obdachlose gebaut und zur Verfügung gestellt werden. Das Beispiel Finnland zeigt: Zumindest die Straßenobdachlosigkeit kann überwunden werden. Auch in Deutschland. Es ist eine Frage des politischen Willens. - Das Gespräch führte Tim Engartner. Er ist Professor für Didaktik der Sozialwissenschaften und Mitglied des Direktoriums der Akademie für Bildungsforschung und Lehrerbildung an der Goethe-Universität Frankfurt am Main.'' [https://www.freitag.de/autoren/der-freitag/obdachlosigkeit-kann-ueberwunden-werden?fbclid=IwAR209nCDafyiJ0oGTcAxs2BJdZM897_pLC5ue8ln2S_o1zvP1uc-d8bO4JU „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“. Interview. Hubert Ostendorf, Gründer des Düsseldorfer Straßenmagazins „fiftyfifty“, spricht über den Housing First-Ansatz, mit dem Wohnraum für Wohnungslose geschaffen wird] Von Tim Engartner. Der Freitag vom 16.? September 2020 (38?/2020) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:59, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Zitat: "Obdachlosigkeit kann überwunden werden" Es ist bezeichnend für ein angeblich "christliches", "zivilisiertes" und "kultiviertes" Land wie Deutschland mit angeblich "gebildeten" Bürgern, dass man eine Tatsache wie „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“ im Jahr 2020 als Überschrift in einem Artikel hervorheben muss. Nach dem verlorenen Zweiten Weltkrieg, als viele Städte hierzulande in Trümmern lagen und es in Deutschland Millionen Obdach- bzw. Wohnungslose gab, war das möglich. Und heutzutage sollte das nicht möglich sein? Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand im Jahre 2020 sind zwar auch die neoliberal-konservativen und pseudo-sozialdemokratischen Politiker in diesem unserem "christlichen" Lande. Wenn sich Spekulanten, die sich an den Finanzmärkten beim Milliardenpoker verzocken, dann werden von "christlichen" und "konservativen" Politikern binnen weniger Tage 500 Milliarden Euro für "notleidende Banken" aus dem Hut gezaubert. Aber für Obdachlose sind nicht einmal ein paar lausige Millionen da. Wegschauen ist eben viel billiger. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber auch die vielen Speichellecker, Arschkriecher und Hofberichterstatter in den Medien, die vom angeblichen "Linksruck" in Deutschland faseln und das Problem entweder ignorieren oder mit anderen Themen davon ablenken. Es würde mich nicht wundern, wenn demnächst ein professoraler "Experte" in den Tagesthemen oder im heute-journal erzählt, dass der russische Präsident Putin für die Wohnungsnot in Deutschland verantwortlich wäre. Wenn es nach der Bild-Zeitung geht, ist Putin Schuld daran, wenn es drei Monate lang nicht regnet und wenn es drei Monate lang regnet, dann ist Putin auch Schuld daran. Putin ist nämlich nicht nur Schuld an der Klimaveränderung, sondern auch für den täglichen Stau auf deutschen Straßen und dem Corona-Virus (ACHTUNG: Verschwörungstheorie!) Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand sind auch neoliberale Wirtschaftsprofessoren an deutschen Universitäten und Hochschulen, die seit Jahren das Dogma vom effizienten Markt predigen, der am Ende alles zum Besten regelt, wenn sich der Staat aus der Politik raushält. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber vor allem die ignoranten, arroganten, dekadenten, scheinheiligen, verlogenen und opportunistischen (Mit-)Bürger in diesem Lande, die diese neoliberal-konservativen Politiker und Parteien in den letzten Jahrzehnten gewählt haben und immer noch wählen. Und was sagen die "heilige" Angela von Merkel und der "christliche" Kronprinz von Großbayern, Dr. Markus Söder, zu diesem Problem? Ganz einfach: Nix! Wenn man mit dem Helikopter über das Land schwebt, sieht man die "Penner" bzw. "Wohnsitzlosen" (wie die formal-juristische korrekte Bezeichnung in unserem Sozialstaat lautet) da unten nicht. Zitat: "... wobei wir inzwischen ... auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren." Wenn es um Obdachlosigkeit bzw. Wohnungsnot geht, machen die Nationalisten, Sozialdarwinisten und rechten "Patrioten", die Tage ein Tag aus mit der Deutschlandfahne herumwedeln, offenkundig keinen Unterschied zwischen reinrassigen Deutschen und Ausländern bzw. Migranten. Für "aufrechte" und "saubere" Deutsche waren und sind Obdachlose eben keine Menschen mit Würde, sondern sozialer Abfall.'' Kommentar Christian Brecht, 16. September 2020 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:02, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Obdachlosigkeit ist ein sehr vielschichtiges Problem und ist meistens in der Biografie / Famile der Betroffenen selber zu finden. Betrachtet man z. B. zerrüttete / problematische Familien über Generationen hinweg, dann wird schnell einmal klar, dass bestimmte Menschen sozusagen von Geburt an einem höheren, sozialen Risiko ausgesetzt sind. Eine weitere Gruppe von Obdachlosen stellen Menschen mit schweren psychischen Problemen dar (z. B. bi-polare Störung). Da bei ihnen häufig ein problematisches Sozialverhalten vorliegt, ist auch die Wahrscheinlichkeit gross, eines Tages „in der Gosse zu landen“. Häufig gesellen sich hier noch Suchtproblematiken aller Arten dazu. Die dritte Gruppe sind natürlich Zugewanderte (v. a. Asylsuchende). Natürlich sind auch Mischformen dieser drei Gruppen auf der Strasse anzutreffen. Auf jeden Fall bewirkt die Obdachlosigkeit bei den Betroffenen ein lebenslanges Trauma. Man kann einen Menschen zwar von der Strasse holen, aber die Strasse nie mehr aus ihm heraus. Ob sich Menschen dauerhaft resozialisieren lassen, ist eine weitere, wichtige Frage: Voraussetzung dafür wäre, dass sie überhaupt schon einmal sozialisiert waren, d. h. gesellschaftlich voll integriert. Das ist insbesondere bei langjährigen Drohensüchtigen schwierig. Auf jeden Fall wünsche ich „fiftyfifty“ viel Glück und Erfolg!'' Kommentar Reinkarnation, 16. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:04, 20. Sep. 2020 (CEST) == 20. neunerhaus Kunstauktion (Wien) == Mitbieten und helfen: Die neunerhaus Kunstauktion bietet DIE Gelegenheit, Kunst zu erwerben und obdach- und wohnungslose Menschen zu unterstützen. Der Reinerlös fließt direkt in die neunerhaus Angebote. Trotz herausfordernder Umstände haben uns für die diesjährige neunerhaus Kunstauktion mehr als 170 renommierte zeitgenössische KünstlerInnen ihre Werke gespendet, damit wir den Reinerlös für unsere Arbeit einsetzen können. Damit diese Kunst nun Gutes tun kann, brauchen wir eure Unterstützung: Steigert mit, teilt die Auktion mit kunstinteressierten FreundInnen. Denn jeder Zuschlag hilft uns, weiter für jene da zu sein, die unsere Hilfe brauchen! https://www.facebook.com/events/2750368081917767/ Die 20. neunerhaus Kunstauktion am 2.11.2020 war ein großartiger Erfolg. Vielen Dank! Nutzen Sie jetzt noch die Chance und erwerben Sie eines der unverkauften Bilder im Nachverkauf. Sie können die verfügbaren Werke ab 7.12.2020 in der Galerie der Rahmenmanufaktur Wohlleb, Seidlgasse 23, 1030 Wien, Montag bis Freitag zwischen 10:00 und 18.00 Uhr oder Samstag 10.00 bis 12.00 Uhr besichtigen. Bei Interesse wenden Sie sich bitte an Michael Walk https://www.neunerhaus.at/kunstauktion/?fbclid=IwAR2bBPxVm_bAqGZUeieJOpqoYVcOTgSvulJ4Ndu765t3CV-MtQNlABAVjGM n drei Wohnhäusern und über 250 Wohnungen in ganz Wien leben mehr als 800 ehemals obdach- und wohnungslose Menschen jährlich. Über 5.000 Menschen versorgt neunerhaus mit dem neunerhaus Gesundheitszentrum pro Jahr – Tendenz steigend. neunerhaus ist eine Sozialorganisation in Wien. neunerhaus ermöglicht obdachlosen und armutsgefährdeten Menschen ein selbstbestimmtes und menschenwürdiges Leben mit Medizinischer Versorgung, Wohnen und Beratung. Ziel ist es, Betroffenen Hilfe zur Selbsthilfe zu geben, um ihre Lebenssituation nachhaltig zu verbessern. neunerhaus engagiert sich gegen die Ausgrenzung wohnungsloser Menschen. Holen Sie Menschen von der Straße, bevor sie ein Teil davon werden. Wohnen ist ein grundlegendes Menschenrecht. Jeder Mensch hat das Recht auf ein menschenwürdiges Leben. Aber nicht jeder hat ein Zuhause. https://www.neunerhaus.at/ == Frankfurter Kunststation == ''Ein Türsteher, eine Gästeliste, zugewiesene Plätze und eine Begrüßung in der Kirche: Einiges war anders beim diesjährigen Sommerfest für die ehrenamtlichen Mitarbeiter des Franziskustreffs. Um 17.00 Uhr begrüßte Bruder Michael die Ehrenamtlichen in Liebfrauen. Großzügig hatte man sich in der Kirche verteilt. Der obligatorische Jahresrückblick war natürlich von den schwierigen letzten Monaten geprägt. Und doch voller guter Neuigkeiten: Mitten in der Krise verteilt, war der Beileger „Corona: Alle bleiben zu Hause, aber wir haben keines“, die bisher erfolgreichste Spendensammlung des Franziskustreffs. Und es folgten weitere gute Nachrichten: Im September 2020 startet die Franziskustreff Stiftung ein kleines '''Kunst-Projekt'''. Mitten in Frankfurt, in bester Innenstadtlage werden wir '''Obdachlosigkeit und Kultur''' in einer ganz neuen Art und Weise zusammenführen. Zudem hat die Stiftung eine gemeinnützige GmbH gegründet. Diese wird Obdachlose in eigene Wohnungen bringen. Die Idee ist, wie Bruder Michael betonte, noch ein „sehr zartes Pflänzchen“. Doch sie wird in Frankfurt bestimmt für einige Aufmerksamkeit sorgen und hoffentlich feste Wurzeln schlagen.'' [https://www.franziskustreff.de/franziskustreff/aktuelles-aus-dem-franziskustreff/sommerfest/ EIN SOMMERFEST FÜRS EHRENAMT] Webseite des Franziskustreffs --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:20, 13. Sep. 2020 (CEST) ''Schätzungen der Wohnungslosenhilfe gehen davon aus, dass rund 550.000 Menschen in Deutschland kein festes Dach über dem Kopf haben. Die Dunkelziffer ist vermutlich höher. Bruder Paulus kümmert sich um einen Teil dieser Menschen. DOMRADIO.DE: '''Für viele Menschen ist wohnungslos und obdachlos der gleiche Begriff. Warum ist das nicht dasselbe?''' Bruder Paulus Terwitte OFMCap (Kapuzinerbruder und Vorstand der Franziskustreff-Stiftung in Frankfurt): Menschen, die wohnungslos sind, haben keinen eigenen Mietvertrag. Sie leben entweder bei Freunden oder haben eine vom Staat zugewiesene Einrichtung in der Stadt. In Frankfurt zum Beispiel leben über 2.000 Menschen in Hotels und anderen Einrichtungen. Das sind Menschen, die zwar irgendwie wohnen, aber am Ende keinen eigenen Mietvertrag haben. Im Unterschied dazu gibt es Obdachlose. Diese Menschen haben dann tatsächlich auch solche Einrichtungen nicht oder wollen dort nicht sein. Sie schlafen beispielsweise in Notbetten in den Notunterkünften. Laut Gesetz steht in Deutschland jedem Menschen ein Bett zu. Aber manche Obdachlose nehmen auch diese Hilfe nicht an und bleiben draußen. Sie möchten ihre Daten nicht angeben und anonym bleiben. In Frankfurt gehen wir von 2.800 obdachlosen Menschen aus, von denen 400 unter freiem Himmel schlafen. DOMRADIO.DE: '''In welcher Form engagieren Sie sich für Wohnungs- und Obdachlose im Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt?''' Bruder Paulus: An der Liebfrauenkirche und am Kapuziner Kloster hat der Kapuzinerbruder Wendelin vor über 25 Jahren einen Frühstückstreff eingerichtet. Jeden Morgen können hier Menschen von 7.45 Uhr bis 11.15 Uhr frühstücken. Normalerweise haben wir 32 Plätzen für 190 Leute. Jetzt in der Corona-Zeit haben wir nur noch zwölf Plätze und die Leute dürfen nur noch 15 Minuten bleiben. Das sind immer noch 130 Menschen, denen wir hier ein Frühstück, Gastfreundschaft und franziskanische Brüderlichkeit anbieten. Wir haben über 60 Ehrenamtliche, die sich engagieren. Dazu bieten wir eine Sozialberatung an. Das alles ist von Spendengeldern getragen. Darüber hinaus mieten wir Wohnungen an, damit wir einigen unserer Gäste sagen können: Versuch das doch mal wieder mit dem Wohnen. Neu ist unsere '''Kunststation'''. Wir glauben, dass obdachlose Menschen vor allen Dingen eine Begegnung auf Augenhöhe brauchen. Wir müssen in der Gesellschaft ein Gespräch beginnen, dass Obdachlosigkeit viel früher beginnt: Sei es durch fehlende Miete oder eine Wohnung, dadurch dass der Partner weggeht oder verstirbt oder durch Arbeitslosigkeit und Krankheit. In der Corona-Pandemie sagen auch sehr viele Menschen, dass sie eigentlich in dieser Welt gar nicht mehr zu Hause sind. DOMRADIO.DE: '''An der Kunststation ist die Franziskustreff-Stiftung auch beteiligt. Was hat diese Kunststation konkret mit der Situation der Wohnungslosen zu tun?''' Bruder Paulus: Sie ist direkt in der Innenstadt, wo ganz viele Obdachlose hausen. Ich habe einen Kulturleiter gefunden, der sehr nah an diesen Menschen ist, der sich in der Stadtszene sehr gut auskennt und auch in der Kunstszene gut vernetzt ist. Er hat sehr viel Freude daran, mit uns zusammen unseren obdachlosen Menschen zu sagen: Hey, guckt doch mal, ob ihr euch ansprechen lasst mit euren kreativen Möglichkeiten. Unsererseits wollen wir Kunstprojekte initiieren, die zeigen, dass Menschen am Rande eigentlich Schätze in unserer Gesellschaft sind. Darum ist diese Galerie in einem ehemaligen Juwelier-Shop untergebracht, den wir angemietet haben. Wir zeigen Schätze von Menschen, die sonst am Rande sind. Im Moment läuft eine 14-tägige Ausstellung von zwei jungen Frauen, die für Menschen mit geistiger Beeinträchtigung ein Daumenkino geschaffen haben, in dem 100 Begriffe dargestellt werden. Unter unseren Gästen sind selber Künstler und wir hoffen, dass sie sich anregen lassen, weil sie jetzt einen eigenen Ausstellungsraum haben. DOMRADIO.DE: '''Für viele Wohnungs- und Obdachlose ist es eine große Überwindung, zu ihnen zu kommen und diese Hilfe anzunehmen. Wie versuchen Sie, den Menschen hier Mut und Selbstvertrauen zu geben?''' Bruder Paulus: Indem wir ihnen einfach als Mitmenschen begegnen, die eine eigene Lebensgeschichte haben und die keine Hilfe wollen, sondern möchten, dass wir ihnen erst mal auf Augenhöhe begegnen und sie ernst nehmen. Das kennt jeder aus seinem eigenen Leben, dass wir es eigentlich nicht gerne haben, dass Leute von außen kommen und sagen: Du, ich habe da was gesehen, ich muss dir mal helfen. Jeder Mensch hat eine Autorität, wie er sein Leben gestaltet und kann sagen: Ich will jetzt einfach nicht mehr dieses und jenes. Ich habe die Schnauze voll von Schuldnern und von Menschen, denen ich etwas schulde. Ich will ordentlich behandelt werden. Diese Menschen brauchen eine offene und klare Begegnung, ein echtes Wort. Wir sagen bei uns eine Nächstenliebe, die es ehrlich meint, eine Liebe, die auch Wahrheit und Gerechtigkeit mit ins Feld führt. Deswegen versuchen wir auch, ehrliche und klare Gespräche mit diesen Menschen zu führen, damit sie zur Quelle ihrer Kraft finden. Das Interview führte Katharina Geiger.'' [https://www.domradio.de/themen/soziales/2020-09-11/jeder-mensch-hat-autoritaet-ueber-sein-leben-franziskustreff-stiftung-fuer-offene-begegnung-mit?fbclid=IwAR3PNJZm4h2mPoFYNBv7c242UX1yFdw8Jkl_Gwhzbxq4jZ1GlnvHmyba1bU Franziskustreff-Stiftung für offene Begegnung mit Wohnungslosen "Jeder Mensch hat Autorität über sein Leben"] Domradio vom 11. September 2020. ''Der Franziskustreff: Der Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt bietet wohnungslosen und armen Mitmenschen Frühstück und Sozialberatung an. Täglich kommen nach Angaben des Franziskustreffs bis zu 190 Gäste für die Mahlzeit. Derzeit unterstützen rund 60 ehrenamtlichen Helferinnen und Helfern den Treff. Sie bedienen die Gäste, helfen bei der Vorbereitung des Frühstücks und beim Abwaschen und Aufräumen. Eröffnet wurde der Franziskustreff 1992 von Bruder Wendelin Gerigk am Kapuzinerkloster Liebfrauen in Frankfurt am Main. Ihm sei wichtig gewesen, dass es an diesem Ort immer einen offenen Raum für arme und obdachlose Menschen geben möge, schreibt die Stiftung auf ihrer Homepage. Spenderinnen und Spender unterstützen seither das von Bruder Wendelin gegründete Werk. Derzeit steht Bruder Paulus Terwitte der Stiftung vor und Bruder Michael Wies leitet den Treff. (DR/ Stand: 11.09.2020)'' --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:41, 13. Sep. 2020 (CEST) == OSTRALE == [https://pieschen-aktuell.de/2020/ein-kunstgarten-fuer-uebigau/ Ein Kunstgarten für Übigau.] Pieschen aktuell 6. November 2020 von Elisabeth Renneberg Bild: Die Ostrale hat dieses Jahr Haus und Garten in Übigau bezogen. Alle Fotos: E. Renneberg Dieses Jahr ist die Ostrale, das Zentrum für zeitgenössische Kunst, nach Übigau umgezogen. Das ehemalige Atelierhaus von Eberhard Bosslet an der Rethelstraße beheimatet nun eine Menge Kunst nebst Werkstätten, Büros und einer Künstlerwohnung. Dahinter erstreckt sich eine Grünfläche, die nicht nur auf die Elbe hinausblickt, sondern auch auf eine spannende Zukunft. Hier soll ein ökologischer Garten entstehen – als sozialer und kultureller Ort. Bild: Momentan ist der Garten noch wild und naturbelassen. ;Diskurs über Nachhaltigkeit Das Konzept dafür wird gemeinsam von Umweltexperten, Künstlerinnen aus verschiedenen Ländern und Menschen aus dem Stadtviertel erarbeitet. Letztere einzubeziehen ist ein wichtiges Anliegen des Projekts; das Mitgestalten des eigenen Lebensraums wird so zum demokratischen Prozess und lässt Raum für persönliche Bedürfnisse. Der erste Schritt war daher, an die Türen in der Nachbarschaft zu klopfen und Kontakte zu knüpfen. Auf diese Weise konnte zum Beispiel die Stadtentwässerung Dresden als Kooperationspartnerin gewonnen werden, die über wertvolles Fachwissen rund ums Thema Wasser und dessen Bedeutung für die Umwelt verfügt. Bild: Direkt an der Elbe liegt der zukünftige Kunstgarten. Für die Verbindung der Themen Nachhaltigkeit und Kunst ist ein Team aus einer deutschen und einer tschechischen Künstlerin sowie je zwei Studierenden der Kunsthochschulen in Dresden und Breslau zuständig. Sie machen sich unter anderem Gedanken über Ressourcen, wie etwa die Farbe zum Malen natürlich gewonnen werden kann. Die Ergebnisse ihrer Recherchen und Ideen geben sie in Workshops weiter an Kinder aus dem Kinderhaus Sonnenschein – auch ein durch Anklopfen zustande gekommener Kontakt. Zwei Workshops konnten bisher stattfinden und sind auf allgemeine Begeisterung gestoßen. ;Eine Verbindung zwischen Kunst und Sozialem „Es ist uns wichtig, von Anfang an ein Gefühl der Zugehörigkeit und der persönlichen Verantwortung zu vermitteln“, erklärt Projektleiterin Giulia Deidda. Die gebürtige Italienerin stieg ursprünglich als Bundesfreiwillige ins Team der Ostrale ein und ist mit vollem Einsatz dabei. Aufgewachsen in einer Kleinstadt mit historischer Ausgrabungsstätte an der sardinischen Küste, entdeckte sie schon früh ihre Liebe zur Kunst und widmete sich zunächst der Archäologie. Im Laufe der Zeit wurde dann der Wunsch, Kunst und Soziales zu verbinden, immer lauter. Bild: Giulia Deidda leitet das Projekt mit Begeisterung und Elan. So zog Giulia in die Niederlande, um dort soziale Inklusion im Kulturbereich zu studieren. Nach dem Leben in sieben unterschiedlichen Ländern ist sie mittlerweile in Dresden gelandet. Ihre Leidenschaft hat sich erhalten: „Mein größter Wunsch ist es, Kunst allen, und wirklich allen, zugänglich zu machen.“ Für das Ziel, die klassische Zielgruppe aufzubrechen, ist die OSTRALE die richtige Adresse, sieht sie in der Kunst doch das Mittel zur Kommunikation und zur Aufarbeitung gesellschaftlicher Themen. ;Ausblick auf die nächsten Schritte Der Kunstgarten schließlich darf diese Vision mit verwirklichen. Nach dem erfolgreichen Start mit den Kindern sollen immer mehr Anwohner*innen von der Botschaft erreicht werden, dass Kunst für alle da ist. Und natürlich auch mit dem Angebot eines Aufenthalts- und Begegnungsortes, der mitgestaltet werden kann, und an dem langfristig Veranstaltungen wie Workshops, Lesungen oder gemeinsames Kochen stattfinden sollen. Bild: Auch in den Innenräumen ist Platz für Veranstaltungen. Die konkrete Gestalt dieses Ortes ist noch in der Planung. Denkbar ist zum Beispiel ein Barockgarten, mit geometrischen Formen und Skulpturen aus natürlichen Materialien. Das Nutzen vorhandener Ressourcen wie zum Beispiel Sand aus der Elbe. Die Ideen müssen noch überprüft, entwickelt, ausgetauscht werden. Wie gesagt mit dem Augenmerk auf Nachhaltigkeit und unter Einbezug der Nachbarschaft. Anfang Oktober hatte Ostrale-Vorstandsvorsitzende Andrea Hilger das Konzept im Stadtbezirksbeirat Pieschen vorgestellt. Die Beiräte stimmten einer Förderung mehrheitlich zu. Bleibt also, gespannt zu sein, was sich in den nächsten Monaten auf dem Grundstück im beschaulichen Übigau entwickeln wird. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:18, 8. Nov. 2020 (CET) == Eberhard Bosslet == [[w:de:Eberhard Bosslet]] === Übersicht === Installation / Objektkunst, Skulptur, Malerei, Lichtinstallation, Land Art * 1953 Gruppen: Material & Wirkung Berlin Vita EBERHARD BOSSLET geboren 1953 in Speyer, lebt in Berlin 1997 bis März 2019 Professor für Skulptur und Raumkonzepte an der HfBK Dresden seit 1981 Mitglied bei Material & Wirkung sowie temporäre Aufenthalte in Spanien 1987 documenta 8, Kassel (Katalog) und Bremer Kunstpreis (Katalog) Einzelausstellungen: (Auswahl) * seit 1981 Interventionen im Öffentlichen Raum. * 1985 Intervenciónes/Interventionen, Fundación Miró, Barcelona; ES(Katalog) *1986 Wilhelm-Lehmbruck-Museum, Duisburg, D (Katalog). *1987 Heidelberger Kunstverein, D (Katalog). *1988 John Gibson Gallery, New York, USA. *1989 Neue Nationalgalerie Berlin, D, (Katalog). *1990 John Gibson Gallery, New York, USA *1993 Kunsthal Rotterdam, Holland (Katalog) *1994 Öffentliche Ordnung, Kunstverein Speyer, D (Katalog) *1995 Interventionen II, VERBAU, Sprengel Museum Hannover,D (Katalog) *1995 PLANEN, Kunstverein Heilbronn, (Katalog) *1998 Fundamental wie Bilateral, Kunsthalle Mannheim, D (CD-ROM) *2000 Trabanten, Galerie Bochynek, Düsseldorf, D *2000 John Gibson Gallery, NY, USA *2002 Analoge Scheiben, Galerie Bochynek Düsseldorf, D *2004 Künstlerhaus Bregenz, Palais Thurn und Taxis, A *2006 Galerie der Stadt Backnang, D (Katalog) *2007 Stadtgalerie Saarbrücken, D (Katalog) *2009 Additive, Kunstverein Ingolstadt, D , (CD-ROM mit booklet in softbox) *2010 Stump Stools, Humboldt-Universität Berlin, Thaer-Saal, Berlin, D *2011 Stump Stools, Lichthof im Albertinum Dresden, Dresden, D *2012 Dingsda, Saarlandmuseeum Saarbrücken, Katalog, D (Katalog) *2013 Heimleuchten Trier, Kunstverein Trier – Junge Kunst, D, CD-ROM mit booklet in softbox) *2014 Chisme – Heavy Duty, TEA Tenerife Espacio de las Artes, Santa Cruz de Tenerife, ES, Katalog Ausstellungsbeteiligungen: (Auswahl) *1987 documenta 8, Kassel, D (Katalog) *1987 Bremer Kunstpreis 1987, Kunsthalle Bremen, D (Katalog). *1988 Spaces 88, Museo d'arte contemporanea Prato, Italia, (Katalog). *1989 D & S Ausstellung, Hamburger Kunstverein, D (Katalog). *1991 EUROCARD,John Gibson Gallery, New York, USA. *1992 Kunst werkt / Art works, Foundation, Stedelijk Museum Amsterdam,NL, (Katalog) *1992 Humpty Dumty's Kaleidoscope, Museum of Contemporary Art, Sydney, Australia, (Katalog) *1993 Eberhard Bosslet & Lawrence Gipe, Düsseldorfer Kunstverein, D, (Katalog). *1998 Material & Wirkung, Bosslet, Klotz, Sattel, Kunsthaus Dresden, D , (Katalog) *1999 Areale – Kunst im Industriellen Sektor, Brück/Linthe, D, (Katalog) *2000 Kabinett der Zeichnung, Kunstverein Düsseldorf, D *2001 Skulpturenufer Remagen, Regenfänger, D *2002 unexpected selection from the martin z.margulies collection, The Art Museum Miami, FL USA (Katalog) *2004 Worldwatchers, Kunsthaus Dresden, Städtische Galerie für Gegenwartskunst, D *2007 1 plus aus Dresden, Schloss Waldthausen/Mainz, D *2008 Ostrale 08, Zentrum für zeitgenössische Kunst, Dresden, D 2. Bienal de Canarias, Arte, Arquitectura y Paisaje, La Regenta, Las Palmas Gran Canaria, ES (Katalog) „berufen“, Hochschule für Bildende Künste Dresden, D *2009 Ostrale 09, Ausstellung internationaler zeitgenössicher Künste Dresden, D 1.Biennale für Internationale Lichtkunst Ruhr, Unna, D, (Katalog) *2010 Kunstmuseum Mühlheim, Liebhaberstücke, D, 11.09.2010-07.11.2010 *2011 Universum, Temporärer Kunstraum Harkort, Leipzig, D (Katalog) Kunst in der Villa Körbling, Speyer, D; End of the dream, MiccMoco, Berlin, D *2012 Participar, El Matadero, Goethe Institut Madrid , ES 2nd Ural Industrial Biennial of Contemporary Art, Ekaterinburg, RUS (Katalog) *2015 Living Large, Tucson Museum of Art, Tucson Arizona, USA *2016 Luminale Frankfurt am Main, D *2016 Ostrale weht Oder, Breslau/Wroclaw, PL *2017 Espacio P, Ca2M, Madrid, ES, Best of Ruhrgebiet , Galerie Frank Schlag, Essen, D Werke im öffentlichen Raum: *seit 1981 Interventionen im öffentlichen Raum *seit 2000 Gesamtgestaltung des U-Bahnhof, Duisburg-Meiderich, „Auf dem Damm“, D *seit 2001 Turmskulptur „Regenfänger“, Yachthafen Oberwinter/Remagen am Rhein, Skulpturenufer Remagen, Arp Museum - Bahnhof Rolandseck, D * seit 2008 - Inselwachstum, TU Chemnitz Institut für Physik und Reinraum, D Bibliografie: Auswahl Monografien *Picazo Gloria¸ Camps Miro: Eberhard Bosslet Intervenciones/Interventionen, Katalog der Fundación Miró, Barcelona 1985. *Gercke, Hans; Messler, Norbert; Stecker, Raimund: Eberhard Bosslet, Katalog des Heidelberger Kunstvereins, Heidelberg 1987. *Schmitz, Britta: Eberhard Bosslet, Katalog der Neuen Nationalgalerie Berlin, 1989. *Bochynek, Martin: Eberhard Bosslet, Katalog der Kunsthal Rotterdam 1993. *Seifermann, Ellen; Bochynek, Martin: Eberhard Bosslet - Malerei, Katalog PLANEN des Heilbronner Kunstvereins 1995 *Meyer-Büser, Susanne: Eberhard Bosslet, Interventionen II, Katalog des Sprengel Museums Hannover, 1995 * Bosslet-Archiv , CD-ROM für PC Werksverzeichnis von 1979 bis 2003, Kunsthalle Mannheim 2000, 3. erg. u. überarb. Ausg. 2003 * Utheman, Ernst W., Eberhard Bosslet, Work Groups, Katalog der Stadtgalerie Saarbrücken, 2007 * Findeisen, Ralf; Gisbourne, Mark; Grewenig, Meinrad Maria; Schütze, Irene; Katalog des Saarland.Museum Saarbrücken, 2012 * Bosslet, Eberhard; Findeisen, Ralf; Janecke, Christian; Britto, Orlando; Hernandez, Celestino, Krawietz, Alejandro; Picaso, Gloria: Miro, Theresa, DE, EN, ES, in Obras en Espana 1982-2012, extraverlag, Berlin 2014 * Gisbourn, Mark; Chisme – Heavy Duty, ES,DE, Katalog des TEA Santa Cruz de Tenerife, Spanien Internet: * www.bosslet.com * https://artmap.com/eberhardbosslet * https://instagram.com/bosslet.de/ Videos: * http://www.bosslet.com/exhibition-videos.html Eberhard Bosslet (geb.1953 in Speyer) Bosslet studierte Malerei bei Raimund Girke an der Hochschule der Künste Berlin von 1975 bis 1982. Ende der 70er Jahre wandte er sich in Installationen und mit Skulpturen verstärkt dem Dreidimensionalen zu. Das Spektrum der Arbeiten von Eberhard Bosslet umfasst Malerei, Skulptur, Installation, Intervention und Fotografie. Seit Anfang der 80er Jahre aktualisierte er mit seinen Eingriffen in den architektonischen Innen- und Außenraum den Begriff der Intervention. Bosslets dreidimensionales Werk beschäftigt sich auf ganz unterschiedlicher Weise mit den Bedingungen des Bauens und des Wohnens, mit Außen und Innen, privaten und öffentlichen Räumen. Alle Werke für institutionelle Ausstellung werden von Eberhard Bosslet für diese spezifischen Räumlichkeiten konzipiert und vor Ort mit Hilfe von lokalen Sponsoren und Leihgebern von Material und Gerätschaften realisiert. Die Werke basieren auf unterschiedlichen Konzeptionen. Sie werden von Fall zu Fall modifiziert und ähnlich einer Musik Komposition neu interpretiert. Diese inszenierten und installierten Werke bekommen am Ort ihrer neuen Aufführung eine raumbezogene neue Dimension und einen Wandel in der Materialität durch die vor Ort verfügbaren, ausgeliehenen Dinge und Gerätschaften. Sofern diese Werke nicht im Laufe der Ausstellung von jemanden erworben werden, gehen alle Werkbestandteile an den Ort ihrer Herkunft zurück. Mit diesen Werken begründete er seinen internationalen Ruf. https://www.bbk-kulturwerk.de/kioer/kuenstlerdatenbank/profil/eberhard-eberhard-bosslet --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:21, 9. Nov. 2020 (CET) === Intervention === [[w:de:Intervention (bildende Kunst)]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Bauzeichnung La Restinga II voll El Hierro 1983.jpg|mini|El Hierro seit 1983]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Bauzeichnung La Restinga II El Hierro 1983.jpg|mini|]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung II Tenerife El Guincho 1984.jpg|mini|El Guincho Teneriffa Süd 1984 Begleiterscheinung II]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung VII 1990.jpg|mini|Teneriffa 1990 Begleiterscheinung VII]] El Hierro sur *Dibuje de Obra, La Restinga II, 1983 *Eberhard Bosslet - Seit 1983 - Arbeiten an Ruinen: sog. "Bauzeichnungen, Reformierungen und Begleiterscheinungen" hierbei Transformierung der Gegebenheiten an Industrie- und Wohngebäuden durch lineare oder flächige Malerei. Commons Duisburg Germany *Intervention Innenhafen Duisburg, 1984 Near Barcelona *intervention on abandoned ruine *Dibujo de obra; Badalona; Spain, 1985 Tenerife Sur *intervention on abandoned ruine *Reformation IV, 1989 http://www.bosslet.com/interventions.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:50, 8. Nov. 2020 (CET) ;Teneriffa 2006 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung X Nord Teneriffa 2006.jpg|mini|Teneriffa Begleiterscheinung X]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung X Süd Teneriffa 2006.jpg|mini|vista sur]] [[File:ReformaVII.JPG|mini|Intervención Reforma VII 2006, en Arico]] Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 *www.germanart.eu *Teneriffa Süd Nähe PIRS/Tajao Exit 19 * Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 - vista norte Südseite * Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 - vista sur http://www.bosslet.com/begleiterscheinung-x.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:13, 8. Nov. 2020 (CET) ;Lanzarote 2008 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung XI Era Lanzarote 2008.jpg|mini|Lanzarote 2008 Begleiterscheinung XI]] Intervention ERA 2, 2008 participando 2009 Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje parte de la Segunda Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje, Google Earth view 2010 Art in Public Space - Intervention ERA 2, 2008 2009 Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje Era 2 vor der Intervention - Tegoyo, Tias Lanzarote public space artist La Era 2 antes de la intervención http://www.bosslet.com/era-ii-2008.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:54, 8. Nov. 2020 (CET) ;Gran Canaria 2009 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Reformirung VII Las Palmas GC 2009.jpg|mini|Reformirung VII Las Palmas GC 2009]] Urbane Erforschung - Seit 1983 - Arbeiten an Ruinen: sog. "Bauzeichnungen, Reformierungen und Begleiterscheinungen" hierbei Transformierung der Gegebenheiten an Industrie- und Wohngebäuden durch lineare oder flächige Malerei. Commons 2. Bienal de Canarias 5.3.09-3.5.2009 , Centro de Arte La Regenta - Las Palmas de Gran Canaria Neu//New/Nuevo Street View 360° at Google Earth - Gran Canaria zeigt/shows/muestra EBERHARD BOSSLET Intervention '''Reformation VII''', 2009 - 2. Bienal de Canarias, Gran Canaria Google Earth 28° 7'49.86"N, 15°28'32.66"W http://www.bosslet.com/bienal-canarias-09.html Präsentation: "slideshow" of interventions on flat screen tv on painted wall Eberhard Bosslet - Additive, Kunstverein Ingolstadt, 27.06.-09.08.2009, D "slideshow" of interventions on flat screen tv on painted wall 2. Bienal de Canarias, Arte, Arquitectura y Paisaje, La Regenta, Las Palmas Cran Canaria, 5.3.09-3.5.2009 E http://www.bosslet.com/praesentation.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:43, 8. Nov. 2020 (CET) ;Lanzarote 2011 Concomitancia XIII, Era5/Baxter, 2011, Lanzarote, Tias, Conil, 28°58'17.45"N, 13°39'53.93"W Concomitancia XIII, Era5/Baxter, 2011, Lanzarote, Tias, Conil, 28°58'17.45"N, 13°39'53.93"W http://www.bosslet.com/era-lanzarote-2011.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:58, 8. Nov. 2020 (CET) === Art-loss === Es wird ausdrücklich davor gewarnt das hier genannte und gezeigte WERK EBERHARD BOSSLETs zu kaufen oder auf sonst eine Art und Weise zu erwerben. Das Eigentumsverhältnis dieses Werkes ist umstritten bzw. der Anbieter ist nicht Eigentümer und hat keine Befugnis dieses Werk zum Kauf anzubieten oder auf seine Rechnung zu verkaufen. Sie können daher kein Eigentum an diesem Werk erwerben. Es wird vermutet, daß die hier genannten Personen, bzw. Galerie noch im Besitz des gelisteten und gezeigten Werkes sind. Falls Sie Kenntnis über den Verbleib oder einer Ausstellung des Werkes erlangen, informieren Sie bitte eine der deutschen Galerie des Künstlers. Der letzte bekannte Besitzer/verbleib des Werkes: Karl Bornstein, Santa monica, CA, USA or The Mirage Fund, Fimberg & Wiliams L.P. Mr. Ralf Wiliams, 9777 Wilshire Blvd., Suite 710, Beverly Hills, CA 90212, USA http://www.bosslet.com/art-loss.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:47, 8. Nov. 2020 (CET) === Emeritierung === Sächsische Zeitung vom 25.02.2019 12:00 Uhr [https://www.saechsische.de/plus/eberhard-bosslet-hfbk-dresden-5039640.html Einfach unverbesserlich. Eberhard Bosslet bildete 22 Jahre lang in Dresden junge Künstler aus. Einer von ihnen ist berühmter als der Professor.] Eberhard Bosslet räumt sein HfBK-Atelier in Dresden. Foto: Ronald Bonß Von Birgit Grimm Es hat nicht sollen sein. Die Abschiedsausstellung des Professors für Skulptur und Raumkonzepte an der Dresdner Hochschule für Bildende Künste (HfBK) findet nicht statt. Es liegt nicht daran, dass die Tragfähigkeit des Fußbodens im Oktogon nicht stark genug wäre für das, was Eberhard Bosslet zeigen wollte. Auch hatte er nicht vor, eine Skulptur aus buntem Bauschaum zu erschaffen. Er wollte kein Fahrzeug als Kunstobjekt im Innenhof des Akademiegebäudes an der Brühlschen Terrasse parken und auch nicht einen der Bäume dort mit einem Gartenschlauch umwickeln. Diese Episoden trugen sich alle an der HfBK zu. Manche dieser künstlerischen Ideen wäre gescheitert, wenn Bosslet nicht interveniert hätte. Postfaktische Widrigkeiten nahm der Professor, der nach 22 Jahren emeritiert wird, nicht hin. Er schaltete sich ein, stellte infrage, was da von Rekoptorat oder einzelnen Kollegen infrage gestellt wurde, gab Gutachten in Auftrag. Kunststudenten dürfen nicht machen, was sie wollen. Aber sie sollen sich ausprobieren, Neuland betreten, sich entwickeln. Die meisten, die sich nach dem Abitur oder nach einer Berufsausbildung an der HfBK bewerben, haben ein konservatives Kunstverständnis. „Ich frage meine Studenten, ob ihre Familie sie unterstützt oder es toleriert, dass sie Künstler werden wollen. Noch nie hat mir jemand erzählt, dass seine Eltern ihn regelmäßig in Galerien und Ausstellungen zeitgenössischer Kunst mitgenommen hätten.“ Ihnen zu helfen, dass sie sich zum Zeitgenossen entwickeln, darin sah Bosslet seine Aufgabe. „Aber es gibt so wenige, die unter Innovationsverdacht stehen. Dort, wo man noch nie war, muss man ja auch erst mal hinwollen. Denn das ist kein gemütliches Terrain.“ Überhaupt sei es das Schwierigste, nicht den eigenen Sehnsuchtsmodellen der Vergangenheit anzuhängen. Einer, der Haltung vermittelt Bosslet stammt aus Speyer und ist der Sohn eines Architekten. „Auch bei uns war das Künstlerbild tradiert. Allerdings hatte ich Kandinsky, Miró, Picasso, den Kubismus damals schon verstanden. Trotzdem bin ich durch die Kirchen von Florenz und Venedig gerannt und habe Altarbilder angeschaut. Dass ich am Zeitgeist teilhaben wollte, das merkte ich erst später.“ Auch Bosslets wohl berühmtester Student, der Maler Martin Eder, arbeitet historisierend. „Aber er versteht es, die Grenzen des guten Geschmacks auf eine interessante Weise zu tangieren, sodass sich daran die Geister scheiden. Das macht ihn so zeitgenössisch“, befindet der Lehrer. Er selbst reiste nach dem Studium in West-Berlin Anfang der Achtzigerjahre viel herum, schuf Kunstwerke in der Landschaft: „Wie ein Graffitisprayer, also meistens illegal“, verrät er. Aber auch nachdem er 1997 in Dresden sesshaft geworden war, zog er mit seinen Studenten in die Welt. Dieser Professor kam nicht mit verschränkten Armen in die Klasse, um Korrekturen zu geben. Es war eher eine Haltung, die er durch sein Schaffen und seine Ausstellungen vermittelte. Und es waren praktische Übungen, die den Studenten helfen sollen, sich zu behaupten. „Als ich hier anfing, habe ich einen leeren Raum genutzt, um Projekte zu realisieren. „75Kubik“ hieß das Format. „Als ich das publik machte, hat der damalige Rektor mich zurechtgewiesen, ich hätte nicht die Befugnis, von mir aus damit an die Öffentlichkeit zu treten.“ Hochschulinterne Restriktionen haben ihn nicht davon abgehalten, mit seiner Klasse Ausstellungen innerhalb und außerhalb der Schule, innerhalb und außerhalb Dresdens zu zeigen. „Als ich nach Dresden kam, war ich ein regelrechter Patriot und habe mich total auf die Stadt eingelassen. Viele Jahre habe ich versucht, auszustrahlen. Aber das hat sich nicht gespiegelt. Aus der Stadt kam selten Feedback.“ Wenn hier gebürtige Künstler sich in Dresden nicht wahrgenommen fühlen, sind sie damit nicht allein. Bosslet sagt: „Mal bin ich ein Dresdner Künstler, das nächste Mal bin ich wieder keiner.“ Sein Sohn ist in Dresden aufgewachsen, seine Frau hat hier einen großen Freundeskreis. Trotzdem zog die Familie 2011 nach Berlin. „Ich liebe Dresden, aber ich brauchte physischen Abstand zur Hochschule“, begründet Bosslet diesen Schritt. Er hatte Knatsch mit dem Rektor. Heute soll es vorkommen, dass Professoren und Studenten sich wegen Pegida gegen Dresden entscheiden. Bosslet hat das noch nie gehört. Aber er weiß natürlich, dass bei der Wahl des Studien- und des Arbeitsorts das soziale Umfeld eine Rolle spielt. Hartnäckig und beweglich im Kopf In einem anderen Unterrichtsformat lud seine Klasse Sammler, Galeristen, Journalisten in eine Ausstellung für einen Tag in die Hochschulräume auf der Pfotenhauerstraße ein. Im Zwei-Stunden-Takt diskutierten die Studenten mit je einem Gast ihre Arbeiten. „Nach dem ersten Mal waren die Studenten so scharf drauf, dass sie beim zweiten Mal alles selbst organisiert haben. Das ist der Prozess, den sie üben: Wen lade ich wie ein? Genügt ein Anruf? Oder sollte ich doch lieber schreiben? Was muss ich schreiben, wie formulieren? Hake ich noch mal nach, wenn keine Antwort kommt?“ Wer Künstler sein will, muss nicht nur hartnäckig sein, sondern auch beweglich im Kopf. Der 65-Jährige, der gern Objekte aus Schrott und Bauschutt in hehre Kunsttempel stellt, wollte in seiner Abschiedsschau im Oktogon der HfBK die Installation „Heimleuchten“ zeigen. Kitschigbunte Weihnachtsbeleuchtung im überraschenden Kontext. Doch er fand keinen Sponsor. Heimleuchten: Mit so einer Installation wollte Eberhard Bosslet sich aus dem Professorenamt verabschieden. Doch er fand keinen Sponsor für das material- und energietechnisch aufwendige Werk. Bild: Heimleuchten: Mit so einer Installation wollte Eberhard Bosslet sich aus dem Professorenamt verabschieden. Doch er fand keinen Sponsor für das material- und energietechnisch aufwendige Werk. Bosslet Und weil ihm seine Studenten wichtig sind, er aber keine Klassentreffen mag, lud er sie ein, mit ihm ein Buch zu machen. In Bosslets Lehrbericht von 1997 bis 2019 haben sich die mehr oder weniger jungen Künstler und Künstlerinnen mit Fotos, Kurzvita und Ausstellungsliste verewigt. Dorothee Billard hat das Buch mitgestaltet und dem Professor darin den meisten Platz gegeben. „Unverbesserlich“ steht auf dem Cover. Und in der Tat ist noch nie ein Student an der HfBK durch die Diplomprüfung gerauscht, obwohl im Studium tatsächlich Noten vergeben werden sollen. „Wir müssen Noten geben“, sagt Bosslet. „Da wir gute Lehrer sind, sind unsere Schüler natürlich auch gut. Das hat das allgemeine Bildungswesen nur noch nicht erkannt, dass die Note des Schülers die Note des Lehrers ist – oder die Note des Systems.“ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:01, 9. Nov. 2020 (CET) == Literatur == Menschen ohne Härte, Ellbogen und einen gesunden Selbstschutz, um sich gegen diese immer härter und kälter werdende Welt zu wehren bzw. durchzusetzen ohne die Möglichkeit, einen Schutzwall hochzuziehen Suchstoffe um sich zu betäuben, um den „Seelenschmerz“ nicht mehr fühlen zu müssen „Ritzenz“ dient dazu, sich anders zu fühlen, d.h. sich körperlich statt seelisch zu fühlen seelisch ungeschützter in unserer Mitte sich auf eine innere Nähe zu den Menschen einzulassen, die wirklich z.T. gequälte Seelen sind Egomanen dieser Welt gegen auf Harmonie, einem menschlichen Miteinander gepolte Menschen, die keine Schutzmauer aufbauen können das Gros , das in dieser Welt psychisch überfordert ist vgl. Manfred Lütz „Wir behandeln die Falschen“ „selektiert“ wurde in der Vergangenheit bis hin zur Gegenwart genügend und in allen Bereichen mit dem Ergebnis: der Mensch bleibt auf der Strecke die Evolution der Menschheit ist am Ende, es hat die Evolution des Materialismus begonnen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) Ich meine, meine Bücher sind wirklich! böse, weil sie diese ganze übliche nette gesellschaftliche Verlogenheit und Verkommenheit gründlich demaskieren, indem sie verdammt nah dran an den realen menschlichen Schicksalen sind. Und ich glaube auch nicht, daß es sich wer wagen würde, die zu verlegen - ich übrinx auch nicht, so lebensmüde bin ich nicht. Zum Glück hab ich ob meiner Lebensweise finanziell ausgesorgt und muß gar nix mehr außer sterben. Und dann kenne ich ein weiteres Buch, das wirklich böse ist: Jürgen Vogel: "Magdeburgs Wendehälse. Lexikon der Lügner und Betrüger". Der Autor war 1990 bis 1994 Vorsitzender des Magdeburger Bürgerkomitees und hatte 1991 "Magdeburg, Kroatenweg : Chronik des Magdeburger Bürgerkomitees ; Beobachtungen in der Zeit der Wende zwischen Lüge und Wahrheit" veröffentlicht (nach 1990: "Abgesang der Stasi"). Sein drittes Buch hat niemand mehr verlegt, er wurde aus dem Bürgerkomitee abgeschoben, und die Friedrich-Ebert-Stiftung, welche sein Archiv aufkaufte mit der Zusage der Aufarbeitung, hat als erstes für 60 Jahre den Deckel draufgemacht. Das Buch nenne ich dann mal wirklich pöse - es würde heute noch nicht verkraftet werden, weil immer noch zu viele Wendehälse aktiv sind! https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&reset=true&cqlMode=true&query=auRef%3D102749658X&selectedCategory=any --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:15, 4. Nov. 2020 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3628903430501315&set=a.111717075553319 Meine Gedanken haben mich verlassen. Der Pinsel hat sie weggetragen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626372927421032&set=a.111717075553319 und der Pinsel schrieb Freude ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626370947421230&set=a.111717075553319 und sie fühlte sich selbstverlassen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623995644325427&set=a.111717075553319 werft Worte in die Welt, damit sie dort erblühen können] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623992674325724&set=a.111717075553319 ich will hier raus ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3615247088533616&set=a.111717075553319 Sie haben Euer Denken verriegelt ... ] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3604090076315984&set=a.111717075553319 macht Euch Gedanken, denn sie können fliegen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3601244606600531&set=a.111717075553319 dieser Ort hat keine anderen Grenzen als meine Gedanken] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598497446875247&set=a.111717075553319 wenn ich an meine Eltern denke] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598495936875398&set=a.111717075553319 die Stadt ist ein Wort, der Pinsel schreibt weiter] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:43, 5. Nov. 2020 (CET) == Atompunk == [[File:Сталкеры на привале.jpg|mini|Stalker - Tschernobyl]] [[w:Atompunk|Atompunk]] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/5KgJnV6L6fOfnn7zJHjTs6/41409837b73de7c1c4024424510c493f/76_Shelter_After2_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' bei Fallout] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/1SeUOdsQCoJ5VvGNCSFyf1/0957edcab1fd1dea19da72585fe1a210/76_Shelter_After1_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' II bei Fallout] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) [[w:Picknick am Wegesrand|Picknick am Wegesrand]] 1971 [[w:Stalker: Shadow of Chernobyl|Stalker: Shadow of Chernobyl]] 2007 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:35, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.imdb.com/title/tt0773736/mediaviewer/rm2535426561 Lost in Space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 16:22, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=969560220191143&set=gm.3583128475067470 Marta Kristen in wardrobe wearing a space suit for the 1960s tv series lost in space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:30, 8. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/basw.AbrU_r9vGHo-z_karx2ANGJZqZCGyGSE64dVSxMdVbWi0SJzbI6zMFK5DkovzTd6WRwdpHixH9jkrZvkf2btVYc1PkyHiR9WWLVSpOhOhTJgnyykw5uP6PNxKAraMtgvn4Gwf1gkKNcN8G5MLI5k5E5M/2556004381104383/?opaqueCursor=AbpEfvdUcdzHVE5z6Unv9Jb8PSI92VuSW0qsjVx88LlJSsvDrxL9gDSssK2UdTRFjoDY5tu8GRr_TzHRvdLx2VoW9LkttzbaIZR0XhIrgnPjVcOq0mvNN7_zR7Bq4H9yoDWn-lYoHBg48mdo0zaJy-RcZxVl3bxusgPm0J0vQ4yY6llDaE6zYusB57oPdiVy3e-12jeafiMdTQBCWrKA1EWGuo1WoqSmaCQheqlGz-T4CVGpM7wHAHy1eNPCb4qkZnDy85cL3oBd8nLCAHEx6tSW13Tk2Oz4hcwVz7Tp2RgkLzRVaLKHktEbqISsXcA4i54JEXhzg4C9_T3qOx0-kRnmEdpujxFGBwgmmW1UR5GjjaEbBFq1wRNWuEmR9WuMx1sS3hszrlqRLgIsby8p4oVeHwWQS13ZYz_gmGcz01384AdDHiWVsZh407PGguYaoMMq-Rz5VOPXUId5CsN8ZvOMahqCSUnXvM92iDzR7z1QbFzPfTjPlO9zw7TCTtxb7Yb5FKOBO8k7-NwDxstXiSUNtbMuhmAjN_Ug_N5xbwwGjAwemhypx-0z10UECpq6SZMJ0V8NCdLy7vncYd4loGBqLAxoQrhT_Udzcv1aq4lZqxyScYsQEth5vXa3OK5lsUmZGBIcJRmOoOUqA4kVA38dDvB6SlMxenwhZeSttYJaJMN-Jo9IivE1Dozw2uQPNQFAurmxf1Jojw4xbOttLjQlO2FDXRIsX4vc-LuqlKy4kofkKffUeKUmbohi9fcoftsQ0SGrAIZ-PY38ZP8Phs_iAa0zJ4N42mAG7wcvRIKLmvFnFqdMXGFUNpRdySYlmMsE2OINZlFGRTmXO1kAjxCHMUqmRXW2gl6EGxer1EiPNg atom-punk go-go jazz halloween costume (or every day) ideas #8] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/1029616097076560/ Astronauten-Pärchen] auch eine Idee für die nächste Zeit - aber nicht weiter weg als 5 km von zu Hause, sonst geht die Luft aus [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/837600166278155/ Raucher-Astronaut (Dr. Who)] - Raucher-Maske - sehr Vorteil-Haft für unsere süchtigen Säuglinge unter uns [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/791374787567360/ gelbes Space-Frauen-Kommando mit roten Streifen - unter männlicher Befehls-Gewalt] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/941018669269637/ Silver-Girl im Labor] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/694038930634280/ Heavy Silver Astronautin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/658284810876359/ Weyland Girl] https://en.wikipedia.org/wiki/Weyland#Fiction [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/652535974784576/ Weiße Taucherin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/615008418537332/ Silver Astronautic Paar] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:08, 25. Okt. 2020 (CET) == Photographie == [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2295772393809566/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/68954640_2295772397142899_226081963155390464_o.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=o1bMfM884ukAX9tXvYd&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=8f38ae65e82b5edcbb04f76459d1c66c&oe=602959FB have an idea...?!] - I fuck your brain * [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/703801973006624/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/10600589_703801973006624_962048756325809864_n.jpg?_nc_cat=109&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_tqZPK0GnVsAX-Y0eLn&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7eec14cc6c2e88e8a04eed792dbdf455&oe=60272C91 still the same curves (anniversary remake&reload)] seitlich [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/877898902263596/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12080054_877898902263596_1056407333265845020_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_1-mbP0ptb8AX-FnReH&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180c7826ce94200ffbf0cb43291a70ef&oe=602A4888 all crew members are on service deck] - "Pilotin" *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/853361011384052/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/11836640_853361011384052_1317312222273636789_n.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=-LHNDNWp5I0AX_0qumx&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=f7cb300e18fe7d90fc3a648872812663&oe=60289D63 fighter team] Rückenansicht *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/a.360648453988646/3183274475059349/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/119480868_3183274478392682_4198532599522982186_o.jpg?_nc_cat=111&cb=846ca55b-ee17756f&ccb=2&_nc_sid=0debeb&_nc_ohc=HIa7Uq4NXIQAX-0zCiM&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180cd13ebdc2efca1ea5797f23e6993b&oe=6026766B hangar check] - in der Stratosphäre ist sie sicher vor Corona, die Helm-Nummer "13" sollte zusätzlich helfen [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2875447189175414/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/99257505_2875447195842080_8451893750401073152_o.jpg?_nc_cat=110&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=4vP91s4Xqs0AX8b9Z1F&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=71f3ddd285be9fca24c3be88566bde5d&oe=60269A91 Die Stille der Nacht] - Halskorsett aus schwarzem Leder über Mund und Nase - MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/988286121224873/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/13243780_988286121224873_3083762868739399129_o.jpg?_nc_cat=103&cb=846ca55b-311e05c7&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=isn0T9bKZjIAX8A-9Mv&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=48754a6cbda0068cad72a2e7a921c255&oe=602A0605 roses are the real weapons] (star wars day) Tätowierte mit startrooper helm - hauptsache MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/908425312544288/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12365984_908425312544288_8987609574159828109_o.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=9TeNkoreIRsAX8zhTtN&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=883db11cec295c5424168a9d1da27c3f&oe=602A1F07 256 shades of cathy] in der dusche eingesperrt - https://www.facebook.com/cathleen.sattler [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/181532538566906/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/257974_181532538566906_7525195_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=fZZiQKgTsz0AX8OuhxK&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=e9e2008bb79008684999318b37aad921&oe=6026E2E1 creatures of the night] (danke an wildchild https://www.facebook.com/kleineswirres ) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:31, 16. Jan. 2021 (CET) == Zeichnungen == Das Secret Desire und Michael Kral laden herzlich ein zur Eröffnung der Ausstellung: Freitag, 04.11.2016, 19.30 Uhr Ein akt ist so - natürlich NaCkt ... verhüllt vom N im Negligée ... bezaubernd bis zum Ceh. Im Akt ganz pur zeigt die Natur des Künstlers Können mit Bravour. (Sazu) Ort: Secret Desire, Rothenburger Str 7, 01099 Dresden Die Ausstellung ist vom 04.07.2016 bis zum 04.01.2017 während der Öffnungszeiten des Secret Desire ́s zu sehen. Motiv: Michael Kral, Aktzeichnung, 35 x 25 cm, 2016 https://www.facebook.com/kralartifex/posts/1063220337109301/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:34, 16. Jan. 2021 (CET) == Ruslana Eisenschmidt == [[File:Ruslana-eisenschmidt-disco.jpg|thumb|Ruslana Eisenschmidt bei der Agentur Disco 3000 mit einem Original 3000 T-Shirt. 1999.]] [[File:Silbermond-ruslana-eisenschmidt.jpg|thumb|2001 illustrierte ich die Band Silbermond in Berlin. Dies ist eine Vektorgrafik.]] Ich male den ganzen Tag was ich will... Ich lebe vom Malen. Habe Glück gehabt. Übrigens ist malen arbeiten. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:34, 10. Mär. 2021 (CET) Ich habe eine ganze Kiste voll, mit von mir erfundenen Comic Charakteren... Hier habe ich mal einen "katholischen Schweinepriester" entwickelt und gezeichnet. Er frisst kleine Kinder. * Der frisst Kinder, weil er selbst Angst vorm Leben hat.... Er frisst kleine Kinder, weil er richtig und falsch nicht unterscheiden kann.... * das kommt noch dazu... das sind keine Haare, er hat 4 Teufelshörner! Er ist unfähig sich den Gürtel richtig zu binden. Klick mal das Bild an. Er trägt keine Schuhe, sondern nur eine Strumpfhose, da kann er sich auf leisen Sohlen besser anschleichen.... Eigentlichen male ich nur noch Frauen und Katzen. Da ich da einen eigenen Stil entwickelt habe. Hier habe ich einen Seepferdchendrachen erfunden und gezeichnet. Er wurde von einem Trophäensammler geköpft und an die Wand gehangen, deswegen schnaubt er vor Wut. Ich habe halt ne blühende Phantasie. Ich habe viele Charakters erschaffen. Es sind dermaßen viele, dass ich sie bereits nach Familien sortiert habe. Selbst Comics zeichnen möchte ich nicht. Ich kann aber die Figuren anderen Zeichnern, Zeichentrickstudios oder Spieleentwicklern zur Verfügung stellen. Bei mir sind die Sachen nicht im Kopf. Mein Kopf ist klar. Bei mir entsteht der ganze Unfug erst, wenn ich ein leeres Blatt Papier sehe. Erst kommt ein Auge, dann eine Nase und plötzlich erkenne ich, was das werden soll. Ist jedesmal eine Überraschungsgeburt. ich kann nur zeichnen, wenn ich locker ran gehe. Aus therapeutischen Gründen könnte ich das nicht. Da würde mir nichts einfallen, da ich im Inneren aufgeräumt, aber nach Außen hin chaotisch bin. Für meine Seelenpflege ist da nicht der Zeichenstift, sondern meine Psychologin zuständig. ein Abgrenzungsproblem ist das nicht, sondern das Langzeitgedächtnis speichert Erlebtes besser, wenn es mit Gefühlen verbunden waren. * Ja Du sagst es. Die Gefühle waren dermaßen intensiv daß sie sich mir eingebrannt haben. Das Abgrenzungsproblem war damals Ich ließ sie vieleicht zu nah an mich ran phatetisch an mein Herz. Ich distanzierte mich nicht. So ist das gespeicherte immer präsent. Die Trennung nicht gänzlich vollzogen. So meinte ich das. Das mit den Trennungen ist sowieso etwas seltsames. Das kann keiner begreifen, wie und warum der Mensch das macht...Auseinander gelebt, sich weiter entwickelt, Bindungsangst, komische Sachen gemacht...Der Mensch an sich ist schwach..wir alle sind das... * Hat man Dir das so IN ALLER LIEBLOSIGKEIT gesagt? Diese Erklärungen tragen nicht sehr weit. Ich weiß. Genau richtig gesagt: man begreift es nicht. Nicht vorher, nicht während und erst recht nicht danach. So klar man im Nachhinein auch fälschlicherweise oft denkt: "Ach so. Ist ja ganz klar.Wegen diesem und jenem" Wir wissen daß das nicht stimmt und können doch nicht anders, weil man das sinnlose nicht einfach kapieren und akzetieren kann. Erklärungen wie: "na ja, die hat eben die vielen anderen Männer als Möglichkeit nicht ausschließen wollen, die hat eben keine richtige Beziehung gewollt", was wird noch gerne genommen? Ach ja, "am Alltag gescheitert" etc. Alles um es wegzuerklären und um es in die Schublade ablegen zu können. Gesunde Einstellung, aber... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:05, 31. Mär. 2021 (CEST) https://www.facebook.com/profile.php?id=100019492082821 Suche Wohnung ausschließlich in Ostberlin/Mitte ab Sommer 2021. Unbefristet, kann auch klein sein, Warmmiete bis 700 Euro * maximal 1 Zimmer in einer WG Das ist lieb, doch ich brauche was eigenes. Danke nochmal. * 700,- ??? Na viel Spaß * Mitte Neubau der Quadratmeter 20 EUR nettokalt. Altbau wird wegen Mietendeckel-Entscheid überhaupt nicht mehr angeboten. Und dann bei Privaten auch nur im Netzwerk. Gönnt Dir Keiner was;-( * für 700,- kriegste in Mitte grad mal‘n Zimmer ! Ich suche was Eigenes. Ich möchte zurück nach Ostberlin Mitte. Dafür gebe ich eine große Wohnung in Jena auf. * 700 Euro Warmmiete ist aber inzwischen in Berlin ganz schön optimistisch. ich weiß. Noch könnte ich Glück haben. Ich habe mal ein halbes Jahr in Paris gelebt. Berlin entwickelt sich immer mehr in Richtung Paris. Und Paris lebt einem die hohen Mieten vor. * und New York. 😂 Gut, daßduda wechbist. ab 20 m2 Ich suche Rosenthaler, Torstr., Linienstr. Ich meine konkrete Straßen in Ostberlin, weil das Jugenderinnerungen für mich sind. Alles rund um den Alex ist ideal. Mit Moabit hatte ich nie etwas zu tun. * ich bin von Berlin schon vor zwölf Jahren WEch WEgen dem Mieten-WAHNSINN - dort braucht mensch einKOMMEN zum ausKOMMEN - lebte SO 36 über dem "Trinkteufel" bei Christian Herwartz (Exerzitien auf der Straße) https://www.strassenexerzitien.de/ Ich ziehe dieses Jahr noch zurück nach Berlin. Ich will ausschließlich Ostberlin Mitte, da fühle ich mich wohl, da habe ich meine Jugend verbracht und nur dorthin will ich. Bin auf Wohnungssuche. Ich will unbedingt mach Ostberlin, Mitte...Da explodieren gerade die Mieten wie in Paris. Wird also vorerst nur was Kleines werden. *Irgendwann will man keine Kompromisse mehr machen und vielleicht nach Hohenschönhausen oder weiß der Geier wohin ziehen wg billiger. Obwohl Du doch eigentlich da hin wolltest wo die eigene Jugend stattfand. Nach O. Berlin Mitte. * kann ich nicht mitreden - hatte die meiste Zeit (Ost)Berlinverbot ([Ost]Berlin - die Nebenstadt der DDR) Mir geht es nicht um günstige Mieten, denn die habe ich ja jetzt. Nach Berlin ziehe ich in ein ganz bestimmtes Viertel. Ich will ganz bestimmte Straßen, da das meine Jugenderinnerungen sind und mich aufblühen lassen. ich bin Single, weil ... mein Hintern ist zu groß * Und du glaubst wirklich,daß Männer NICHT darauf Stehen?Was für "Männer" kennst du denn?Wohl eher Würstchen,die sich nicht trauen,zu ihren wahren Vorlieben zu stehen.Hunde wollen Knochen,Wölfe wollen Fleisch! * entscheidend ist eher, wie weit du (mit)gehst arbeiten gehen muss * muß? - ist für mich ein ToTAL verALTeTes Wort Kapuziner im Cafe de la Paix, Paris, 1952. Photo by Georges Dambier. Tolles Foto..doch gebe man der Dame bitte was zu essen. * meine Oma lief ab 1940 im Pariser Chic herum ... Gut, dass ich nie geheiratet habe... Japanische Tradition * kennich -wahr mahl dort (und dsa-dsen-lehrer wahr ich auch mal, in der ddr, als das noch richtig wichtig wahr) Unterwassergang * könntich stundenlang zuschauen ... leichtbekleidete Bikerinnen * Hauptsache Schutzhelm. Und immer das Visier schließen - wegen Corona-VERordnung. Brennende Kerze wird bestiegen Ich wunder mich auch jedesmal, darüber was es in der Kunst Neues zu sehen gibt. Nach dem Motto: "Die Kunst ist tot, es lebe die Kunst." *Kunst-Bruder Christian Schmidt (SJ) hat über Jahrzehnte eine Kerzensammlung aufgebaut - zT noch origineller * Aufstieg zum Licht - oder zur Erleuchtung, Sieleuchtung ... [[File:Painting of Mata Hari by Isaac Israels.jpg|thumb|Painting of Mata Hari by Isaac Israels, 1917]] Mata Hari photo 1907 * Ein atemberaubendes Kleid Ein atemberaubendes Schlitzohr, so kennen und lieben wir sie *sie hat das Alter nie schmecken müssen (ich war mahl mit der "SchoENeN SExiN" zusammen, die wahr ganz ähnlich) Patientin Ruslana: kann nicht schlafen - du mußt feiern und dich betrinken Viele meiner PROMI Kollegen, wie Kurt Krömer waren bereits in einer Nervenklinik..Wieso interressiert das auf Facebook keine Sau? AUCH MARLENE DIETRICH lies sich behandeln. Sind das alles Verrückte für euch? Als bipolar chronisch Kranke, also: ich bin manisch- depressiv. Muss ich aktuell und frisch nach der gerade erlebten, enttäuschten Liebe sehr um mich kämpfen. ÄRZTE..PSYCHOLOGEN..UND MEINE FREUNDE kämpfen gerade um mich. Mir geht es nicht gut. Witz Kommentare sind hier unerwünscht, denn diese Erkrankung ist nicht heilbar und die Selbstmordrate liegt bei über 30% Ich habe ne ABC- Schutzmaske endlich kann ich die mal aufsetzten *sicherheitshalber auch noch den Vollschutz-Anzug habe ich da. * dacht ich mir schon - sicher ist sicher ... Bartclubs, Bartmeisterschaften ... Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. * Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1364217717267517&set=gm.3544231839016781 Atem-beraubend. Vor allem mit schön engen Brust- und Bauchgürteln.] Hier gibt es noch ganz andere Fotos...da habense nix mehr an...doch das wird dann selbst mir zuviel. Ansonsten poste und male ich ja gern freizügige Frauen, ist bei Künstlern seit Jahrhunderten normal. Ich habe früher in den Clubs auf den Lautsprecherboxen getanzt... Nein, es ist nicht einfach so vorbei. Ich habe Liebeskummer und mir geht es nicht gut... [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1155671958211971&set=a.203131063466070 Sophia Loren in schwaarzem Lederkleid mit breitem Gürtel] Alles an ihr ist schön. Eine Augenweide. stand in diesem Out-Fit mal recht hoch auf meiner nach oben offenen Skala (ist allerdings eine Weile her) Ich bin in allen drei Waffen ausgebildet. Florett, Degen und Säbel. Eigentlich gibt es den veralteten, klassischen Stockgriff und den modernen Pistolengriff, der ergonomisch in der Hand liegt. Ich als Künstlerin poste meine Zeichnungen nicht auf Facebook..bekomme aber jetzt von anderen Zeichnungen gepostet..das nenne ich ein gelungenes Produkt Placement.. Bei mir meldet sich oft erst der Bauch, dann das Herz und dann versucht der Kopf noch was zu retten. Glücklicherweise habe ich ein schnelles Hirn...sonst würde ich mit Bauch und Herz nicht klar kommen. Ich wäre dann mit mir selbst überfordert.... Ich habe auch auf Mallorca gelebt. In den 2 Jahren auch viel Leid gesehen. Menschliches und tierisches Leid. Von wegen Trauminsel. Meine beiden Katzen habe ich auf Mallorca bekommen und sie dann nach Deutschand mitgenommen. Sie sind beide als Fracht geflogen. Auf dem Flughafen haben die Spanier sie wie Gepäck einfach in einen halben Meter tiefen Schacht geworfen. Ich bleibe sonst lange ruhig, aber da bekam ich einen Tobsuchtsanfall und habe wüst die Flughafenmitarbeiter auf deutsch beschimpft. ich unterhalte mich auf Facebook nie privat. Nur öffentlich. Das ist ein Grundsatz von mir. Auch liegt nichts an meiner Herkunft, sondern eher an meinem Charakter und meiner fröhlichen Art. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3753838501401735&set=gm.1050564075468125 corona-schlafzeug] Ein Träumchen....😂 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:56, 3. Apr. 2021 (CEST) == Gumina Jasmin == nunja, ich war der letzte Partner der damals edelsten und schönsten Sexin - noch früher persönliche Sekretärin des Reichsbahn-Präsidenten in Dresden, verkuppelt mit dessen Fahrer, ZV-Schlampe der Oberoberoberklasse - vom Feinsten, absolut High End, Edel-Escort, von Geburt an Probleme mit der Halswirbelsäule, deswegen schmerz- und schlaftablettensüchtig ab Mitte 20, Buchspeicheldrüsenkrebs (ein Onkel von mir war ZV-Ausbildungsleiter im ZV-Lager Bernburg, schluckte auch zu viel davon - unter Tage im Steinsalzbergwerk - brach mit 37 zusammen und starb daran mit 51), Whipple-OP mit 45, auf Morphium hochdosiert, von der Medizin abgeschrieben, ihr Mann brannte mit der Pflegerin durch, wollte sie nicht totpflegen, in die Palliativstation St. Joseph-Stift hier in Dresden eingewiesen mit 52 - sie hatte mir schon ihr schönstes Kleid ausgesucht, in dem sie beerdigt werden wollte, die Urne auch - beides lackschwarz und mit roten Rosen - und dann war ihre Liebe zu mir stärker als Schmerz und Tod, da war noch zu viel süßes Leben ungelebt - ich habe ihre ungeheuren Schmerzen in ungeheure Lust transformiert - und sie hatte noch weitere elf absolut tabulose Jahre, dem Tode abgerungen - mit 63 erneut Krebs - gestreut bis in die Lunge - wieder Chemo, wieder edle Perücken aller Coleur, Sauerstoffmaske statt früher Latex- und Gasmasken etc. - nach sechs Monaten der Tod (das Leben wiederholt sich nicht): "mir geht es schlecht" hat sie nur ein einziges Mal gesagt - das waren ihre letzten Worte vor dem Koma - beerdigt wurde sie in lackrot, der Farbe der Liebe, unserem Lieblingsoutfit (darunter rotes Latex als nahtlose Unterwäsche) - die Urne blieb gleich - so eine rote Urne gab es nicht - sie sah noch beim letzten Spaziergang im Rollstuhl aus, wie ich sie kennengelernt habe - mit langer, blonder Perücke, in Lack und Latex, wunderschön wie Mitte 40 - sie hat das Alter nie geschmeckt, und es war wohl besser so für sie (sie ging nie ungeschminkt, ungestylt und ohne High Heels raus - nie nie nie, nur ich kannte sie auch abgeschminkt und voller OP-Narben) https://www.josephstift-dresden.de/kliniken-und-einrichtungen/palliativmedizinonkologie/klinik/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 12. Mär. 2021 (CET) mann muß sich nur zu helfen wissen - diese Ersatz-Atembeutel kenn ich von der Ostzone, ZV-Frauenlager, als "Strafe" für verfehlte Normen (lange Handschuhe) der ANzug sitzt mehr als ANGEGOSSEN - sie sieht aus wie einGEGOSSEN --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:38, 12. Mär. 2021 (CET) nur drei kleiderschränke voll? meine gumina jasmin hatte zusätzlich noch speicher und keller voll, und das ehemalige kinderzimmer nur für extravagante schuhe und (overknee)stiefel - alles für den "erlesenen geschmack" - alles, was das herz begehrt --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:16, 16. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=126742722767970&set=a.106686318106944 70s] * Da darf Mann sich schon mal umdrehen. ** darfste, wenn du Single bist.. * Das waren noch Frauen damals ... ** heute gibt es den gleichen Frauentyp nur die Klamotten sind anders. * Scheint kalt zu sein... ** ficht so einen heißen Feger doch nicht an - ich kenn die Jahre ... die haben auch mir den Kopf verdreht - MILF, und ja, da war ich noch jungk und ledig ... * es gab noch weitaus heißere Feger ... hab ich nicht vergessen * Man denke nur an Jane Fonda in Barbarella ... ** zB - aber ich meine die "Straßenfeger", die nach 68 häufiger und mutiger wurden ... war mit so einer (geb. 1949, gest. 2012) jahrelang zusammen, die war mutig bis zum Schluß, hat sich nie wieder verkrochen, was auch für Mode-Diktat aufkam RIP --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:32, 18. Apr. 2021 (CEST) == Glamouröse Exzentriker == [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10218687693644988&set=g.913747702065221 übergroße Plastikballonmaske] [https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=1266457367084337&id=100011602571613&notif_id=1615101090170179&notif_t=feedback_reaction_generic&ref=notif Die neuen FFP5 sind da (weiße geschlossene Ledermaske)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276827688702/ silberne Astronautin mit schwarzen Handschuhen und Glaskugelhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276717688713/ schwarze Latexastronautin mit Glaskugelhelm und Pistole] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:23, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158202474577830&set=g.913747702065221 Silberglück (Pärchen)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=839169370195157&set=g.913747702065221 Frau schlüpft aus dem Ei (schwarz weiß Vintage)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3765574243522575&set=g.913747702065221 nackte Frau mit Mund-Nase-Maske, blau ganzkörpertätowiert, aufgemalte Lunge] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158144847772830&set=g.913747702065221 Frau mit großer durchsichtiger eiförmiger Maske, Portrait, grünlich im Gesicht mit knallrotem Lippenstift] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3213043045490533&set=g.913747702065221 rotes Latexkleid bis über den Kopf] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1311464692536583/ schwarz-weißes Latexknast-Kostüm mit Regenschirm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3239138999488685&set=g.913747702065221 silberne Hose, halber silberner Umhang, Brustschmuck] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3235899606479291&set=g.913747702065221 silbernes Gesicht, silbern funkelnder Anzug] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1264837057199347/ Frau auf einem Anker schwebend] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:55, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1248731512143235/ Frau als Batman (rauchend)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1225554634460923/ Dior - schwares Latex bis unter die Nase, weißer Pelz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157690485847830&set=g.913747702065221 braunes Lederkostüm mit Handschuhen und großem Hut - durchbrochen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216494985366888/ silbertropfendes Gesicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216495685366818/ silberne Fingerkuppen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216496045366782/ silberspiegelnde Lippen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1211491712533882/ schwarz weiß karierter Latexmantel + -strümpfe (kleiner kariert)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157561517477830&set=g.913747702065221 blaue farbe läuft aus der nase auf die Lippen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157540153992830&set=g.913747702065221 silbernes gesicht - plastiktüte gesichtsoffen - blauer regenmantel (portrait)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157538451092830&set=g.913747702065221 fesselstifel mit knoten am absatz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157526850842830&set=g.913747702065221 latexnonnen mit schlangen] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2906592829409972&set=g.913747702065221 Perlenhaar mit latexkleid und perlenarmbändern] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464369869950/ edelgas-maske] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464949869892/ edelgas-maske mit lederhandschuhen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464689869918/ edelgasmaske schlicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1142273822789005/ ägyptische göttin mit schwarzem tierkopf und blauem langen plastikkostüm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2800059703396619&set=g.913747702065221 violette perücke, gelbe riesige ohrgehänge, gelbe riesige plastikbrille, latexmantel in schwarz] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1115099548839766/ zwei frauen ziehen entgegengesetzt an einem zopf] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=497839764235972&set=g.913747702065221 COCO CHANEL - überlange, übergroße Lederhandschuhe] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2194866524141642&set=g.913747702065221 motorradmietze mit kätzchenmotorradhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1094982130851508/ rotlederne boxerin] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174612871831&set=g.913747702065221 corona-kaffee in schwarzem latextotal und zeitung] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174409538518&set=g.913747702065221 latexmaid in schwarz mit weißem häubchen und weißer schürze gießt milch über sich] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:26, 7. Mär. 2021 (CET) == Literatur 2 == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Literatur 2]] === Paul Rheinfels === === Anais C. Miller === https://www.lovelybooks.de/autor/Anais-C.-Miller/ Anais C. Miller lebt mit zwei Hunden, drei Katzen und zwölf Pferden zusammen mit ihrer Tochter auf einem Bauernhof im Herzen Westfalens, den sie eigenständig bewirtschaftet. Neben ihren Hobbys, dem Reitsport, der eigenen Pferdezucht und der Schriftstellerei, richtet sie ihr Augenmerk auf Menschen und Tiere, die im Leben ein schweres Schicksal tragen und von der Gesellschaft vergessen wurden. Den Schwerpunkt fokussiert sie bewusst auf Missbrauchsgeschichten und Biografien, die von ihr nach wahren Begebenheiten erzählt werden. Tieren, die achtlos weggeworfen werden wie alte Möbelstücke, bietet sie ein neues Zuhause und steckt all ihr Geld in deren zeitaufwendige Versorgung. Menschen, denen man keine Beachtung schenkt für das, was sie erlebt haben, leiht sie mutig ihre Stimme und macht sich in ihren Büchern für die zum Teil grausamen erlebten Schicksale ihrer Protagonisten stark. Anais C. Miller Selfpublisherin lebt mit zwei Hunden, drei Katzen und zwölf Pferden zusammen mit ihrer Tochter auf einem Bauernhof im Herzen Westfalens, den sie eigenständig bewirtschaftet. Neben ihren Hobbys dem Reitsport, der eigenen Pferdezucht und der Schriftstellerei, richtet sie ihr Augenmerk auf Menschen und Tiere, die im Leben ein schweres Schicksal tragen und von der Gesellschaft vergessen wurden. Den Schwerpunkt fokussiert sie bewusst auf Missbrauchsgeschichten und Biografien, die von ihr nach wahren Begebenheiten erzählt werden. Tieren, die achtlos weggeworfen werden wie alte Möbelstücke, bietet sie ein neues Zuhause und steckt all ihr Geld in deren zeitaufwendige Versorgung. Menschen denen man keine Beachtung schenkt für das was sie erlebt haben, leiht sie mutig ihre Stimme und macht sich in ihren Büchern für die zum Teil grausam erlebten Schicksale ihrer Protagonisten stark. Lebensmottos: "Wer in diesem Leben etwas gibt, ohne es an Bedingungen oder Erwartungen zu knüpfen, erhält früher oder später auch etwas zurück." "Wunder kommen zu denen, die an sie glauben!" "Man spreche lieber schlecht von mir als gar nicht." "Adler sterben und die Ratten gedeih`n." Die Bücher von Anais C. Miller sind keine literarischen Meisterwerke. Wer diese unter ihren Veröffentlichungen sucht, wird womöglich enttäuscht sein. Wer allerdings Geschichten die das Leben schrieb- lesen möchte, dessen Inhalte unverblümt, ungeschönt und stattdessen ehrlich und offen erzählt werden- wird ihre Bücher vielleicht schon bald nicht mehr missen wollen. "Oftmals kämpfe ich mit Medien und Plattformen, die meine Bücher weder bewerben, noch veröffentlichen möchten. Dennoch lasse ich mir den Mund nicht verbieten. Jedes Opfer hat eine Stimme verdient und ich kämpfe für jedes einzelne Schicksal- und zwar so lange, bis es Gehör findet. Missbrauch und menschliche Verachtung sind keine Kavaliersdelikte sondern Verbrechen, über die noch immer viel zu oft geschwiegen und hinwegsehen wird. Solange ich lebe, werde ich mich genau für diese Geschichten und die Menschen dahinter, stark machen." besucht Anais C. Miller auf Facebook unter: https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/ https://www.facebook.com/profile.php?id=100018068314805 https://www.facebook.com/AnaisCMillerTierschicksale/?ref=br_rs https://www.facebook.com/AnaisCMiller/ Also dass man noch nicht mal Buchauszüge zu diesem Buch in diversen Büchergruppen veröffentlicht, obwohl nicht einmal das Wort Sex oder Gewalt drin vorkommen, ist schon echt armselig und ich fühle mich schon allein durch meinen Namen mittlerweile diskriminiert und entwertet. Spass macht es wirklich nicht... Habe auch schon überlegt, hier alles hinzuschmeissen, mein Profil aufzugeben und nur noch meine eigenen Gruppen und Seiten zu betreiben und zu unterhalten. Aber da gibt es auch ganz viele liebe Freunde, die ich vermissen würde... und deshalb Krone richten, aufstehen und weitermachen. Übrigens laut der letzten Abrechnung wurden über 50!!! Ebooks zurückgegeben. Das bedeutet, da ging mir ein Monat lang das Katzenfutter für meine Schnurrer dadurch. Meine Schmerzgrenze ist so langsam erreicht, denn es werden immer mehr Bücher. Wenn irgendwann mein Profil fort ist hier, dann habe ich aufgehört zu schreiben und das ist nur noch eine Frage der Zeit wenn ich ehrlich bin. ... das tut mir leid. Passiert mir täglich... Wir kommen klar. Ich habe ja noch 2 andere Jobs. Werbung machen in Büchergruppen, das kann ich nur immer wieder jedem ans Herz legen. Das hilft ungemein, weil es die Reichweite erhöht. Foto vom Buch dabei und schreiben, das habe ich gelesen, hat mir gefallen... das ist alles, was Ihr da draussen tun könnt und doch hat es eine grosse Wirkung ich schreib übrinx für mich. für mich ganz allein. für meine eigene lust. und nicht für geld(tung). was hätt ich denn davon? und was weiß ich, was es für andere bedeutet? Höllenkinder startete also heute früh und das erstaunlich gut... ein Buch ähnlich Aschennutte, grausam, brutal und kaltblütig... leider, denn ich würde auch lieber nur Pferdebücher schreiben. Mich belasten diese Art Biografien ja auch beim Schreiben... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:02, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/a.195322434171669/1277445985959303/ Deine Hölle brennt in mir] - Mein neuer Roman ist soeben erschienen... Nur für Hartgesottene! - Ein Roman, der schockiert- aber ein Buch, das so verdammt wichtig ist! --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:11, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/466466960390547/ es gibt schmerz, der dich verletzt, und schmerz, der dich verändert.] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:18, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/301172006920044/ Frauensäfte] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:22, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/208501319520447/ im Stacheldraht] Der Wecker geht um 5 Ach, bitte 10 Minuten noch, denkt sie sich Ein paar wertvolle Minuten nur noch liegen, es ist ihr im Leben niemals genug Zeit verblieben. Draussen wird es hell, die Vögel singen Wird ihr mühsamer und arbeitsreicher Tag wohl gelingen? In ihr ist es dunkel und bitter, sie fühlt sich beinahe eingeschlossen, wie hinter einem Gitter. Ein Blick auf ihr Handy, sms, whats ap, facebook wer hat an sie gedacht, ihr geschrieben? Und sie bleibt noch einen Moment in ihrem wohligen Bett liegen. Einen schönen Tag! Ich hab dich lieb! Schrieb ihr Freund, ein wahrer Herzensdieb. Ein müdes Lächeln von ihr. Sie fühlt sich schlecht und krank und ihr Tag ist doch noch so lang. Er, ihr Freund, ist nicht da, nicht bei ihr und wird auch nicht kommen, die Hoffnung hat ihr auch unlängst die Zeit genommen. Arbeiten, malochen, die Dinge wuppen. Niemals ausruhen, sich ins Gras legen können, verschnaufen oder sich einmal Ruhe und gar einen Urlaub gönnen. Das Geld wäre da aber die Zeit...Die Zeit ist ihr grösster Feind und die Traurigkeit ihre Einsamkeit. Niemand tröstet, nimmt sie in den Arm, sieht ihre Tränen...fängt sie auf. Dennoch: Sie steht immer wieder auf. Sie kämpft für das eigene Ich Obwohl sie weiss... Sie hat Alles und Nichts... ~Anais --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:31, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/199456680424911/ Was zwei Menschen miteinander verbindet, müssen Dritte nicht verstehen...] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:40, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=803838090228461&set=a.104156296863314 Morgen startet das Buch, für das mich mein Lektor abgeschossen hat...] ja ohne eine letzte Rückmeldung wurde ich überall blockiert. Über whatsApp, email... überall... nun muss ich sagen für die die es nicht wissen, der Typ bot sich freiwillig an um meine Arbeit zu unterstützen, ein ehemaliger Pfarrer der dann doch den Glauben hinschmiss, heiratete und sich nun bei den Evangelisten tummelt. Ich fragte ihn, ob meine Bücher nicht zu hart seien und er hat dies immer verneint... nun geht's hier in dem Buch um Satanismus und Pädophilie eines mächtigen Kinderpornorings, dessen Anhänger ihre Finger überall im Spiel haben, u.a auch in der Kirche... ganz heikles Thema... Trotzdem bin ich traurig und ich verstehe es ehrlich gesagt nicht, denn seine Arbeit war grandios. Mittlerweile habe ich auch Sorge, was er wohl mit dem Manuskript angestellt hat... römisch-katholische kirche? die größte verbrecherorganisation der weltgeschichte - die hat fast weltweit die indigenen völker abgeschlachtet, versklavt und assimiliert, um selber an die macht zu kommen (und zu beiben), so die guanchen auf teneriffa, indianer in der "neuen welt", aber auch bei uns zuhause die slawischen völker östlich des limes sorabicus - hitler, stalin, lenin, mao tse tung, mussolini, pol pot etc. sind zusammengenommen waisenknaben gegen die --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:55, 2. Mär. 2021 (CET) Die letzten 4 Wochen über 5000 ‼‼ Bücher verschenkt. Ebooks und Taschenbücher. Würde mich sehr freuen, wenn der ein oder andere doch mal eine Rezension schreiben würde... Wie gesagt, es ist kein Muus- aber es würde mich freuen... Wieso verschenkst du eigentlich so viele Bücher? Davon hast du doch nix oder ? ich denke es geht um die Aufmerksamkeit, die die Bücher so sonst nicht hätten. Viele der Themen sind leider in vieler Augen nicht gesellschaftsfähig. Wobei ich finde wir sollten alle etwas mehr Achtsamkeit an den Tag legen, und uns mehr mit der Thematik beschäftigen. Und es sollte mehr mutige Menschen wie Anais C. Miller geben, die den Opfern eine schonungslos Stimme geben. Es kauft sich halt leichter ein Fitzek wie ein biografisches Buch über Gewalttaten an Kindern und Frauen Danke. da stimme ich dir zu und da es echte Fälle sind, finde ich sollten sie sowieso mehr Aufmerksamkeit bekommen. Ich meine die Leute ziehen sich Krimis und Horror usw rein und mit den Büchern hier wird dann mimimi gemacht. Versteh einer die Menschenaber das habe ich sowieso noch nie ich bin auch leider ein Opfer meines Vaters gewesen aber zum Glück sind meine Storys pillepalle gegen die Opfer hier in den Büchern bin SchriftSteller und (Sprachver)Dichter - (eigentlich) kein Rezensent, Aber Du hast mich neu-Gierig gemacht: ich beschäftige mich mit Dir (will heißen: das braucht Zeit und hat seine Zeit). --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:38, 5. Mär. 2021 (CET) Mein letztes signiertes REDRUM Exemplar nur für Dich... Es gibt ja signiert über REDRUM nur noch die Neuerscheinungen und auch nur noch, wenn die vorbestellt waren... das hier war mein eigenes Exemplar, habe es sehr gern an Dich abgetreten. Viel Spass gewünscht. hättich auch genommen! Und wieso hast Du die letzten 4 Wochen über 5000 Bücher verschenkt? Verlagsauflösung? Noch mehr Interesse hättich an "Brief an W.: Wahre Liebe stirbt nie" (natürlich auch signiert). Würde mich dann vielleicht Dir zu-Liebe mit amazon herumplagen (kenn ich noch nicht, bin ich noch nicht, ist für mich ein böhmisches Dorf) und das Re-Zensieren er-/sie-/es-lernen (Angabe ohne Gewehr). bin eigentlich selbstSchriftSteller und (Sprachver)Dichter! Ich habe eBooks verschenkt wie so oft. Da sind in 4 kostenlosen Aktionen 5000 über den Amazontisch gegangen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:07, 5. Mär. 2021 (CET) Zabou - Biographie "In den dunkelsten Stunden meines Lebens, war ein Hund mein bester Freund...!" Ich komme gut voran. Ich denke nächste Woche wird es bei Amazon erhältlich sein... Ja, es ist nicht hart, stimmt. Wobei es für mich die Hölle war... ist ja meine Bio, bzw ein Teil daraus, aber das möchte ich nicht an die grosse Glocke hängen... da ist man dann doch sehr verletzlich... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:20, 5. Mär. 2021 (CET) hast mich schon neu-gierig gemacht. wenn du es mir unterschreibst mit deinem blute (rote dinte tät symbolisch reichen) garantiert. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:37, 7. Mär. 2021 (CET) Zabou „Ach Kindchen, Sex tut doch nicht weh! Sex ist etwas Wundervolles. Liebe und Sex sind die schönsten Lebenselixiere dieser Erde, egal ob Mensch oder Tier. Ohne sie entsteht keinerlei Dasein“, streichelte sie über meine vom Weinen geröteten Wangen. Traurig dachte ich an Holger und Damian zugleich. Holger liebte ich, unsere Beziehung verlief jedoch rein platonisch, ohne sexuelle Inhalte und von Damian wurde ich zum Geschlechtsverkehr gezwungen. Mit Holger würde ich wahrscheinlich zeitnah keine sexuellen Intimitäten austauschen, da es eine verbotene Liebe war, die wir in unseren Herzen trugen, und die keinerlei Berechtigungsdasein in der regelkonformen Gesellschaft fand, solange ich nicht volljährig wäre. Damian wiederum, würde ich niemals lieben wollen und auch nicht können. Alles in mir sträubte und wehrte sich gegen die Berührungen dieses Menschen. Beides, Liebe und Sexualität, als sechzehnjähriger Teenager nicht unter einen Hut zu bringen, zerstörte wichtige Fragmente meiner Entwicklung. Überlebenswichtigen Elementen ordnete ich völlig verschiedene Inhalte zu. So bedeutete Sex fürchterliche, grausame Qualen zu erleiden, sowie schmerzvolles Leiden meines Körpers zu erfahren, während die Liebe im Herzen, meiner geschundenen Seele unendliches Glück versprach, das für mich jedoch in unerreichbarer Ferne lag. Liebe und Sexualität miteinander zu kombinieren, wäre der Schlüssel zu einer wichtigen Tür, die ich mit meinen Erfahrungen im Koffer, niemals öffnen könnte... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:24, 8. Mär. 2021 (CET) Selbstwert ist eine Reise... Oftmals eine verdammt lange Wenn du über deinem Manuskript sitzt, in dem es u.a. um deine grosse Liebe geht, die leider schon verstorben ist, und sie im Radio plötzlich euer Lied spielen... https://www.youtube.com/watch?v=uuc2QBfBRoI Bonnie Bianco - Miss You So (Maxi Version) 2007 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:04, 9. Mär. 2021 (CET) Call me besitzt einen überragenden Lebenswillen und ihr beide habt Alles zusammen durchgestanden. Nicht immer war es leicht oder von Erfolg geprägt - respektive davon verwöhnt - weder für dich noch für Call me. Dennoch habt ihr beide niemals aufgegeben. Schon auf den allerersten Bilder aus/in ihrer „Einzelhaft“ konnte ich es ihr ansehen: „gib mir bitte eine Chance, du wirst es niemals bereuen“. Das ist die Einzigartigkeit an den Equiden - sie sind weder falsch, verlogen, hinterhältig oder Fallensteller. Sie betrügen und belügen nicht, weder untereinander noch uns als Mensch gegenüber. Sie hauen auch nicht hinterrücks einem anderem Gegenüber das sprichwörtliche Messer in den Rücken oder streuen Salz in die ‘eh schon blutenden Wunden hinein. Wenn sie sich ihrem Gegenüber anvertrauen und auf ihre Art und Weise signalisieren: „hey du, ich akzeptiere, toleriere und respektiere dich genauso wie du bist. Mir ist es schnuppe ob du klein, groß, dünn, pummelig, gehandicapt, oder oder oder bist. Denn -ich- als Pferd messe nach ganz anderen Maßstäben…“ dann ist dieses das einzige Mal auf Lebzeiten. Denn sie brechen ihr gegebenes Wort nicht. Niemals! Auch wenn Call me dich zwischenzeitlich gerne einmal am liebsten via Huftritt aus der Box befördert hätte, nach dir geschnappt hat oder dich zur Seite gedrängt hat – dann nur aus einem Grund heraus, weil sie es eben nicht so ganz "verstanden" hatte, dass du stetig das Allerbeste für sie wolltest - und das mit einer Hingabe, die wahrlich seines Gleichen sucht. Chapeau! Doch als sie Linderung verspürte, so denke ich jedenfalls, verknüpfte sie dieses als Positiv dir gegenüber. Pferde können zwar schon „lesen“ - aber auf eine ganz andere wunderbare Art und Weise. Das sind ihre privilegierten Urinstinkte, die dann eben im wahrsten Sinne des Wortes: „mit ihnen durchgehen“. Wenn wir als Mensch so ticken würden wie ein Pferd, hätten wir es wahrscheinlich auch nicht (so ganz) verstanden. Dennoch glaube ich fest daran -gerade im Hinblick auf die Handlungs-/Denkweisen der Equiden (Tieren im Allgemeinen)- wenn viele Menschen sich diese Arten des Miteinanders, der Kommunikationsbasis, die Prinzipien der Gleichbehandlung, jegliche Lebensweisen an sich, soziale Kompetenzen etc pp. mal öfters unter die eigene Nase reiben würden, wäre wahrscheinlich vieles auf diesem Erdball nicht so „bescheiden“. Natürlich könnte man mich jetzt damit konfrontieren oder gefälligst Maß zu halten, dass ich mit meiner „Schreibe und Lobeshymne zur Thematika Pferd“ das Pferd gefälligst nicht über den Menschen zu stellen hätte, der irrt sich. Ich tue es - immer öfter. Ich bedanke mich sehr bei Dir, überhaupt muss ich sagen, Anteilnahme- egal auf welchem Weg- tut einfach Wunder. Und Freunde die für einen da sind, dann, wenn man sie braucht, UNBEZAHLBAR! --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:11, 10. Mär. 2021 (CET) Ich versuche mal zu beschreiben, worum es geht... Als ich 16 Jahre alt war, lernte ich im Reitstall den 20 Jahre älteren Damian kennen. Ich und die anderen Reitschüler mochten ihn nicht, er litt an der Kiefergaumenspalte, für die er natürlich nichts konnte, aber das Erscheinungsbild erschreckte uns alle und wir machten einen großen Bogen um ihn. Mein Stiefvater bat Damian damals, mich nach der Reitstunde mit nach Hause zu nehmen. Von da an begann das Drama. Damian verliebte sich in mich, doch ich stieg auf seine Avancen nicht ein. Er steigerte sich jedoch immer mehr in diese einseitige Liebe, sodass er mich gefügig machen musste, um seinem Wunsch, mich zu besitzen, Realität einzuhauchen. Er verfolgte mich auf Schritt und Tritt, zog die Schlinge um meinen Hals immer enger. Als der Reitstall durch Brandstiftung niederbrannte, rettete er meine 3 Pferde aus der Feuerhölle und meine Abneigung gegen ihn geriet damals bedrohlich ins Wanken. Meine Eltern redeten mir ein, ich sei undankbar und nur auf Äusserlichkeiten fixiert. Ein gefährlicher Sog, aus dem es plötzlich kein Entkommen mehr gab. Ich war zeitgleich unsterblich in meinen Lehrer verliebt und wir hatten eine wundervolle- zunächst rein platonische Liebe. Damian drohte, den Lehrer anzuzeigen, wegen sexuellem Missbrauch Schutzbefohlener, obwohl er derjenige war, der mich missbrauchte. Meine Hündin "Zabou" griff ihn damals an, als er mich das erste Mal vergewaltigte... Mir half niemand. Weder meine Eltern, noch die Polizei. Ich hätte diese Geschichte bald mit meinem Leben bezahlt. Geredet habe ich darüber nie. Ich habe alles verdrängt, bzw später eine Therapie beginnen müssen, als mich die Vergangenheit einholte. Vor 30 Jahren gehörten mir und ihm sogar ein Artikel in der Bildzeitung. "Liebeskranker Mann geht im Streit mit Mistgabel auf junges Mädchen los und würgt sie anschliessend bewusstlos". Dass er mich zuvor schon mit Benzin übergossen hatte und anstecken wollte...ja- mir fehlen die Worte für das, was ich durchgemacht habe. Erst als meine Tochter sagte:" Mama, mir hat jemand erzählt, dass dein Freund vor Jahren die Reithalle angesteckt hat", wusste ich- es ist an der Zeit, mein Schweigen zu brechen... Ich mache mich angreifbar und ich habe wahnsinnige Angst mit der Geschichte rauszugehen. Denn das Schlimmste sind diejenigen, die anschließend sagen:" So etwas Krankes gibt es nicht. Alles fiktiv, erstunken und erlogen..." Aber ich bin es mir schuldig, auch meiner Geschichte eine Stimme zu geben... Ich habe diese Geschichte niedergeschrieben, wie alle anderen auch und werde es nicht an die grosse Glocke hängen, dass es meine eigene ist. Die, die es zufällig lesen hier, wissen es, die anderen eben nicht. Ich schreibe auch gar nicht wegen dem Erfolg oder so, sondern um anderen Mut zu machen, die dasselbe oder ähnliches erlebt haben. Wobei- wenn ich heute- 30 Jahre später, zurückblicke, ich sagen muss, ich hätte damals nichts anders machen können und es gab definitiv keinen Ausweg!! Die Geschichte wäre nur dann anders verlaufen, wenn ich an Tag X nicht zu ihm ins Auto eingestiegen wäre... Das Allerschlimmste in der Geschichte waren meine eigenen Eltern...und meine Mutter will selbst heute noch nicht verstehen.. Meine Mutter war damals schon alkoholkrank, ich habe es nur als Kind bzw Jugendliche nicht so gemerkt. Tja... die hätten mich am liebsten mit dem Typen verheiratet... Vor denen war er auch immer nett. Ich kann es emotional nicht, sie völlig abschreiben, denn sie ist meine Mutter. Das fällt schon schwer... als Kind, was ich immer bleiben werde, ihr Kind...aber ich halte ganz viel Abstand von ihr, denn sie tut mir nicht gut. Es ist so, dass ich das Opfer bin, sie aber noch viel kränker ist, als ich, in ihrem Alkoholproblem. Sie merkt aber auch nix. Gar nix... 31 Ein jegliches hat seine Zeit, und alles Vorhaben unter dem Himmel hat seine Stunde: 2 Geboren werden hat seine Zeit, sterben hat seine Zeit; pflanzen hat seine Zeit, ausreißen, was gepflanzt ist, hat seine Zeit; 3 töten hat seine Zeit, heilen hat seine Zeit; abbrechen hat seine Zeit, bauen hat seine Zeit; 4 weinen hat seine Zeit, lachen hat seine Zeit; klagen hat seine Zeit, tanzen hat seine Zeit; 5 Steine wegwerfen hat seine Zeit, Steine sammeln hat seine Zeit; herzen hat seine Zeit, aufhören zu herzen hat seine Zeit; 6 suchen hat seine Zeit, verlieren hat seine Zeit; behalten hat seine Zeit, wegwerfen hat seine Zeit; 7 zerreißen hat seine Zeit, zunähen hat seine Zeit; schweigen hat seine Zeit, reden hat seine Zeit; 8 lieben hat seine Zeit, hassen hat seine Zeit; Streit hat seine Zeit, Friede hat seine Zeit. 9 Man mühe sich ab, wie man will, so hat man keinen Gewinn davon. 10 Ich sah die Arbeit, die Gott den Menschen gegeben hat, dass sie sich damit plagen. 11 Er hat alles schön gemacht zu seiner Zeit, auch hat er die Ewigkeit in ihr Herz gelegt; nur dass der Mensch nicht ergründen kann das Werk, das Gott tut, weder Anfang noch Ende. 12 Da merkte ich, dass es nichts Besseres dabei gibt als fröhlich sein und sich gütlich tun in seinem Leben. 13 Denn ein jeder Mensch, der da isst und trinkt und hat guten Mut bei all seinem Mühen, das ist eine Gabe Gottes. 14 Ich merkte, dass alles, was Gott tut, das besteht für ewig; man kann nichts dazutun noch wegtun. Das alles tut Gott, dass man sich vor ihm fürchten soll. 15 Was geschieht, das ist schon längst gewesen, und was sein wird, ist auch schon längst gewesen; und Gott holt wieder hervor, was vergangen ist. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:19, 12. Mär. 2021 (CET) Gestern erinnerte ich mich an den Tag, an dem ich Damians Mutter kennenlernte. Ich wollte ihr damals sagen, dass mich ihr Sohn sexuell missbraucht und hoffte auf ihre Hilfe. Damians Mutter war ein ganz lieber Mensch. Fein, liebevoll, aber total hilflos. Ein Opfer ihres gewalttätigen Ehemannes und das ihres eigenen Sohnes. Sie hätte selbst Hilfe gebraucht. Sie sagte zu mir:" Damian ist kein schlechter Mensch und du tust ihm gut. Er ist wie ausgewechselt, seit du seine Freundin bist!" Ich brachte es nicht übers Herz, dieser herzensguten Frau die Augen zu öffnen...ich dachte, sie ist eine bessere Mutter als meine eigene und heute denke ich, was lastete für ein schreckliches Geheimnis auf dieser Familie, dass aus ihrem jüngsten Sohn ein irrer Psychopath geworden war? --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:56, 13. Mär. 2021 (CET) Puh, heute sass ich den ganzen Tag an meiner Bio und ich erinnerte mich. Reiste mal eben fast 30 Jahre zurück. Die Flashbacks, die dann kommen, sind oft heftig. Da gab es einen Polizisten, der mich auf dem Kieker hatte, wegen Damian. Der "Bulle" stand irgendwann einfach im Pferdestall und forderte mich auf, meine Taschen unter seinen Augen zu entleeren. Angeblich suchte er nach Drogen, die ich konsumierte. Er kam immer alleine, und er wohnte in dem Dorf, in dem mein Pferdestall lag. Der Bulle wünschte sich nix sehnlicher, als dass ich den Stall räumte, denn durch den Brandstifter Damian, fühlten sich die Dorfbewohner in ihren eigenen vier Wänden nicht mehr sicher. Ich sagte ihm, dass Damian nicht mein Freund wäre und er hat sich damals über mich kaputt gelacht. Geholfen hat er mir übrigens auch nicht, als Damian mich mit Benzin übergossen hat. Er sagte lapidar:" Na und? Irgendwann trifft es jeden!" Ich hörte neulich, dass dieser "Bulle" elendig verreckt ist. Einen widerlichen Todeskampf unter einer fürchterlichen Krankheit führte. Ja, irgendwann erwischt es uns alle...und es nennt sich "Karma"... Erfinde keine Ausreden für gräßliche Menschen. Man kann keine Blume in ein Arschloch stecken und es dann Vase nennen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:21, 14. Mär. 2021 (CET) Seine kranke Fantasiewelt, die völlig ausser Kontrolle geraten war, übernahm wie selbstverständlich die Regie meines Lebens... Zabou [https://www.facebook.com/photo/?fbid=812187136060223&set=a.104156296863314 Selfie] Ich weiss gar nicht, wie mutig dieses Buch ist... es erzählt einen Teil meiner Lebensgeschichte vor noch gar nicht allzu langer Zeit... Ein wichtiges Buch für Frauen, die nicht nur durch körperlich sexuelle Gewalt gequält werden, sondern, die emotional missbraucht werden. Diesen Weg zu gehen, war wirklich mutig ... Ich weiss nicht, wer von euch dieses Buch gelesen hat... es ist definitiv lesenswert, wenn man sich für menschliche Abgründe interessiert! ... man kann es nicht glauben , was Menschen ertragen können und es auch so lange zulassen , weil einfach die Kraft fehlt Das Schlimmste ist der psychische Missbrauch. Denn die Narben, die man nicht sehen kann sind die, die nie aufhören weh zu tun. Sie erwischen dich eiskalt immer dann wenn du nicht damit rechnest. Meistens dann wenn du denkst "mensch jetzt geht es mir richtig gut". [https://www.facebook.com/photo/?fbid=812132039399066&set=a.104156296863314 Penny way. Mein Weg aus der Hölle.] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:35, 15. Mär. 2021 (CET) Das war wahrlich eine schwere Geburt und die Reise in die eigene Vergangenheit tat weh. Eine Geschichte, die ehrlicher nicht hätte geschrieben werden können. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:06, 17. Mär. 2021 (CET) Nunja, geht auch anders: auf meiner Startseite steht eine andere FB-Freundin unter Dir, und die signiert grad min. 150 "DRIS-Vorbesteller". Ich schrub ja schon mal, daß ich mit amazon nicht gerade warm geworden bin (ein gleichaltriger Freund, DDR-Musiker, seit 1990 Antiquariatsbuchhändler wie meine Schwester und mein Schwager auch, hat bei amazon gekündigt wegen deren Treiberei und Geschäftspolitik - er blieb aber dem ZVAB treu -Bonmot: die wurden vor ein paar jahren auch von amazon geschluckt). Und wie ebenfalls schon geschrieben: mich würd das Buch (nicht irgendwelche Pixel) schon interessieren, müßtest es mir schon zuschicken - und eine Signierung wär schön (möglichst in rot, ich weiß es zu würdigen). Liebe Grüße https://www.facebook.com/skadi.skitschak Ab morgen in der Vorbestellung. Nuttenkinder Neben VIC für Redrum, geht's hier weiter im Text. Ich hau jetzt alles raus. Denn wenn der Lockdown vorbei ist, dann will ich erstmal nur noch leben!!!!! dann mache ich Pause...ich würde nie aufhören, Opfern eine Stimme zu geben! --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:22, 19. Mär. 2021 (CET) In der Nacht klingelte das Telefon. Nächtliches Telefonklingeln, der Horror schlechthin. Kerzengerade saß ich im Bett. Dachte, ich hätte geträumt, aber nein, es klingelte und klingelte. Wieder und wieder. Dann hörte es auf und begann von Neuem. „Da muss etwas passiert sein“, hörte ich meine Eltern reden. Unsere Zimmer lagen nebeneinander. Die Wände waren hellhörig und ich hörte, wie sich die Tür im Nebenzimmer öffnete. Jürgen schlurfte die Treppe hinunter und nahm im Wohnzimmer den Telefonhörer ab. Was er sprach, konnte ich nicht verstehen. Unheil sah ich auf mich zukommen. Mein Herz klopfte bedrohlich laut. Mit eiligen, schweren Schritten kehrte Jürgen zurück. Die Klinke meiner Zimmertür drückte sich knatschend runter. „Jeany? Komm, steh auf. Wir müssen zum Reitstall. Der steht lichterloh in Flammen.“ Als hätte eine Bombe eingeschlagen, sprang ich aus dem Bett. „Was!?“, schrie ich außer mir. „Meine Pferde verbrennen! Meine armen Pferde, sie werden sterben und all die anderen.“ Ich brach in Tränen aus. „O lieber Gott, hilf ihnen bitte!“, schrie ich hysterisch und zog mir die Jeans über die Hüften. Jürgen hatte sich ebenso schnell angezogen wie ich mich. Mit Vollgas steuerte er den Wagen durch die Nacht. „Sie werden verbrennen und sterben, nicht wahr?“, wimmerte ich. „Ich weiß es nicht“, brummte Jürgen. Ihm ging die Sache nahe. Mein Kopfkino spielte fürchterliche Szenen ab. „Die Pferde sind das Einzige, das ich habe und ich liebe sie“, jammerte ich. Jürgen antwortete nicht. Ein kurzes Kopfnicken nur. „Wie kann jemand so böse sein und in Kauf nehmen, dass hilflose Tiere verbrennen?“ Ich weinte. „Ja, das ist übel. Wirklich übel“, seufzte Jürgen. „Ich liebe sie so sehr“, schluchzte ich. Tausend irre Gedanken flogen wie Granatenschläge durch meinen Kopf. Das Adrenalin pulsierte wie heiße Lava in meinen Venen. Das durfte nur ein Albtraum sein. Gleich wachte ich auf. Als wir uns dem Dorf näherten, drang der strenge Geruch verbrannter Heu- und Strohballen durch die geschlossenen Scheiben, obwohl noch mehr als zwei Kilometer vor uns lagen. Wimmernd kauerte ich mich in den Sitz, traute mich nicht, durch die Windschutzscheibe hinauszusehen, in wie weit das Gebäude des Reitstalls bereits niedergebrannt war. „Ach herrjeh“, seufzte Jürgen und lenkte den Wagen seitlich der Straße. Ich kniff die Augen zusammen. Hielt mir die Ohren zu. „Bitte nein!“, kreischte ich. Einer der Feuerwehrmänner nahm rannte auf unser Auto zu. Winkte mit beiden Händen. „Sie können hier nicht lang“, schrie er durch die geschlossene Scheibe. Jürgen öffnete behäbig die Fahrertür und sagte leise: „Wir haben Pferde im Stall, wir müssen zu ihnen.“ „Da können Sie nichts mehr retten. Wenn die Tiere jetzt nicht draußen sind, sind sie ohnehin verloren“, rief er und lief gleich wieder fort. Jürgen blickte mich hilflos an. „Komm“, forderte er mich auf, mit ihm zu gehen. „Wir suchen Damian.“ „Damian?“ „Ja, er hat angerufen.“ Mein Kopf war viel zu voll, als dass ich das Durcheinander in ihm hätte sortieren können. Ich stellte keine Fragen. Paralysiert, funktionierte ich roboterhaft, stolperte aus dem Auto. Benommen, mit einem dicken Kloß im Hals, folgte ich Jürgen. Klammerte mich wie ein kleines Kind an seine Hand. Plötzlich tat mir alles furchtbar leid. Dass wir uns so oft gestritten hatten. Jetzt, wo ich meinen Vater wirklich brauchte, war er an meiner Seite, während sich mein leiblicher im Bett noch einmal rumdrehte und wohlig schlief. Er von Reichtum und Geld träumte oder von schnellen Autos, während ich wie ein Häufchen Elend durch die Nacht irrte und glaubte, meine Pferde seien alle tot und man würde mir gleich ihre verbrannten Körper zeigen, damit ich sie identifiziere. Mir war, als klatschte man abwechselnd und mit voller Wucht auf meine linke Wange, und dann wieder auf die rechte, während ich Jürgen nachlief. Ich traute mich noch immer nicht, meine Augen auf das eigentliche Geschehen zu richten. Nie in meinem Leben hatte ich solch eine gigantische Feuerbrunst gesehen, die gnadenlos und unbesiegbar in den dunklen Himmel schlug. Nie zuvor fühlte ich mich bedrohter, hilfloser und angstvoller wie in dem Augenblick, als wir uns dem Reitstall näherten, in dem meine Pferde und die meiner Freunde untergebracht waren und der jetzt lichterloh in Flammen stand. Das Knistern und Bersten der Holzbalken, das Niederkrachen der Materialien, die das Dach zusammenhielten, die Hitze, der Gestank und das Wissen, hier herrschte Krieg, in dem es sehr wahrscheinlich Verwundete und Tote gab, das war furchtbar! Weit laufen mussten wir nicht. Damian erkannte uns von Weitem, rannte auf uns zu. „Gott sei Dank, da seid Ihr ja!“, keuchte er außer Atem. Freilaufende Pferde kreuzten unseren Weg. Galoppierten zur Straße. In ihrer Panik ließen sie sich nicht aufhalten. Ihr ängstliches Wiehern durchbrach die Nacht und vermischte sich mit der Geräuschkulisse eines unfassbaren Szenarios. Je mehr sich meine Augen an das Ausmaß eines fürchterlichen Spektakels gewöhnten, umso dramatischer wurde mir das Ausmaß der Katastrophe bewusst, die sich am Reitstall abzeichnete. Was meine Augen sahen, war nichts als ein verwüstetes Schlachtfeld und es fühlte sich bis in die tiefste Faser meines Körpers unwirklich und unfassbar an. Ich wartete auf den Augenblick, in dem jemand seine Hand auf meine Schultern legen und sagen würde: „Was für ein beschissener Albtraum, nicht wahr?“ Feuerwehrleute auf Drehleitern hielten Wasserschläuche in die Flammen des lichterloh brennenden Dachstuhls gerichtet. Menschen schleppten Reitsachen zu den kreuz und quer geparkten Autos. Pferdebesitzer versuchten ihre Tiere einzufangen, sie auf die Anhänger zu verladen. Einige schrien und riefen um Hilfe. Andere retteten aus der brennenden Reithalle ihre Utensilien und alles, was noch zu retten war. Immer wieder brüllte einer der Feuerwehrmänner durch den Lautsprecher: „Verlassen Sie bitte sofort das Gebäude! Einsturzgefahr! Akute Lebensgefahr!“ Die Pferde hatte man aus den Boxen geschickt und sich selbst überlassen. Verstörte Kinder irrten umher, riefen die Namen ihrer Ponys. Einige der Pferde preschten über die Straße, schummelten sich im letzten Moment an heranfahrenden Autos vorbei. Ich fürchtete den Frontalzusammenstoß. Tier gegen Blech. Man konnte nicht hinsehen. Die Pferde gerieten auf dem Asphalt ins Rutschen, sie strauchelten, andere stoben hinaus in die Wälder. „Deine drei sind auf der Weide, Janne. Ich habe sie alle aus dem Feuer geholt. Deine waren die ersten, die draußen waren.“ Damian hustete und wischte mit dem verkohlten Hemdsärmel über das verrußte Gesicht. Ich wollte meinen Augen nicht trauen, als ich Dual, Metaxa und Iceman wohlbehalten und unversehrt auf der Weide entdeckte. Vor Freude brach ich zusammen. Jürgen musste mich stützen. Auch ihm fehlten die Worte. Ich weinte aus Dankbarkeit und Erleichterung, dass Damian meinen Pferden das Leben gerettet hatte. Umarmte ihn sogar. „Danke“, wisperte ich benommen. Dann lief ich zu meinen Pferden. Selbst Jürgen, einem stets gefassten Mann, den so schnell nichts und niemand aus der Ruhe brachten, rollten die Tränen über die Wangen. Dankbar zog er Damian in seine Arme. Drückte ihn an seine Brust und klopfte ihm auf die Schultern. „Danke, mein Freund“, schluchzte er ergriffen. „Ach, selbstverständlich.“ Er winkte bescheiden ab. „Alle Tiere sind gerettet. Wir haben sie rechtzeitig aus dem Feuer befreit.“ Die Frage, warum ausgerechnet er vor Ort war, als der Reitstall niederbrannte, stellte sich mir in dieser Nacht, und auch zu einem späteren Zeitpunkt, nicht. Wahrscheinlich stand ich damals zu sehr unter Schock, als dass ich irgendwelche Fragen an ihn hätte richten wollen. jaja, wie wir gelebt werden - aus der ddr kenn ich das sehr, sehr gut --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:08, 21. Mär. 2021 (CET) Das Dorf des Schreckens in dem der Polizist wohnte und der Ort, wo sich mein Stall befand... bin nun zu Fuss unterwegs zum Stall... Immer noch ein Ort des Grauens Sogar die Stalltüren die Damian vor 30 Jahren gebaut hat, sind noch immer da.. So einsam... war ich ihm völlig ausgeliefert... monatelang Amy baumelte und starb in den Ästen des Baumes... Ich habe damals echt gedacht so einsam der Stall gelegen war, da gehöre ich hin, weil ich mich so dreckig fühlte...und mich niemand sehen sollte Das Wildgehege ca 1km entfernt ... gibt es immer noch. Meine damals einzigen Freunde neben meinen Pferden und Hunden So gruselig... Hab mich erst erschrocken wegen dem Auto. Aber ohne Kennzeichen... alles gruselig * OMG!!!der perfekte Ort für ein Verbrechen...niemand bekommt was mit...Ich hoffe dir hat es geholfen und Du kannst endgültig damit abschließen! *Ich werde dein Geschichte heute Abend beginnen .. jetzt habe ich ja sogar noch Bilder vor Augen... Ich freue mich für dich , das du jetzt endlich in der Lage bist deine eigene Geschichte aufzuarbeiten. Ich hoffe dadurch heilt ein Teil deiner Seele *Oh Mann wenn man dazu parallel dein Buch Liest überkommt ein ganz schön die Gänsehaut... irgendwie so real mit den Bildern dazu --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:26, 22. Mär. 2021 (CET) Mich hat es grosse Überwindung gekostet, meinen Missbrauch bzw einen meiner Missbräuche öffentlich zu machen. Als heute die Rezension zum Buch eintrudelte, in der mich jemand systematisch erpresst und zerstören will, war ich wirklich verzweifelt und habe das "engeren Freunden" auch genau so mitgeteilt, dass ich emotional mehr als am Limit unterwegs bin. Wir dürfen nicht wegsehen, niemand von uns- denn auch hier in einer Rezension liegt Missbrauch vor. Ich als Opfer meiner eigenen Geschichte, die nun öffentlich ist, bin jetzt angreifbar für alle Welt da draussen und ich wusste, dass es so kommen wird... dass man mich fertigmachen wird. Wie fertig mich das tatsächlich macht, wusste ich allerdings nicht. Meine Freunde konnten mich heute nicht mehr erreichen und da sie sich grosse Sorgen gemacht haben, dass ich vielleicht den Notausschalter betätige, riefen sie die Polizei. Die kassierte mich dann nach der Arbeit auf dem Weg nach Hause, eiskalt ein- und ich kann von Glück reden, jetzt nicht in der Geschlossenen zu sitzen. Und wieder: bin ich ein Opfer von Mobbing, Missbrauch und emotionaler Gewalt geworden von Menschen, die Spass daran finden, andere zu missbrauchen. Es ist schlimm, was heute passiert ist. Gegen den Rezischreiber läuft jetzt ein Strafverfahren wegen Erpressung und Nötigung. Ich habe nicht ausgesagt und auch keine Strafanzeige gestellt, es waren Freunde, die nicht länger wegsehen woll(t)en. KEINE MACHT DEM MISSBRAUCH !!! Was ich besonders traurig finde, dass andere User diese Rezension "nützlich" finden. Ihr macht euch am Missbrauch mitschuldig... * Wirklich schlimm. Genau so etwas kann herauskommen, wenn man/frau diese Schauspieler-Gesellschaft mal gründlich outet. Mein Mitgefühl ist Dir sicher. Ich wünsche Dir viel Kraft. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:03, 23. Mär. 2021 (CET) So fühle ich mich die letzten Tage... Mir geht's wenn ich ehrlich bin, gerade richtig schlecht Es hat sich für mich auch so angefühlt. Konfrontation ist nicht gerade einfach. Ich hoffe für Dich, daß sie den normalen Verlauf nimmt und dieses Gefühl mit der Zeit abklingt. Hinterher sollte es Dir besser gehen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:42, 24. Mär. 2021 (CET) Ich weiss in der letzten Zeit echt nicht, was mit den Menschen dort draussen los ist. Ich erzähle das was mir passiert ist, jetzt im Vertrauen in dieser Gruppe hier, da ich mit meinen Postings nur noch auf Unverständnis stoße und ich oft denke, viele glauben mir auch einfach tatsächlich nicht. Ich habe auch einige Freunde genau deshalb verloren, weil ich sie geblockt habe, ich konnte es nicht mehr ertragen.... heute wieder, als ich schrieb, wie die Polizei mit Menschen umgeht. Folgendes ist passiert... Es befreundete sich über FB eine Zuhälter mit mir, dessen Geschichte ich schreiben sollte. Sein "letztes Mädchen" wurde von Frank G. getötet. (Den Kopf schnitt er ihr halb ab, sie lebte noch, er vergewaltigte sie mehrere Male, bis er sie mit einem Kopfschuss hinrichtete) Frank G. war ein lange unentdeckt gebliebener Frauenserienmörder. Der Zuhälter stieg nach der Sache aus der Szene aus. Mir gegenüber wurde er irgendwann immer ungehaltener, da ich nicht gleich auf seine Nachrichten antwortete. Ich schrieb ihm, er solle aufhören mich zu drängeln (ich sollte zu ihm fahren, um die Story zu schreiben) Er hörte aber nicht auf, wurde immer frecher und postete "indirekt" täglich über mich auf seinem Profil. Wie sehr ihm meine Ignoranz auf den Zeiger ginge usw. Ich habe ihn blockiert und gepostet, dass ich leider jemanden blockieren musste, weil ich keine Psychos mehr brauche in meinem Leben. Er muss wohl "Spitzel" haben, denn das gelangte ihm zu Augen und Ohren und er ging richtig steil, bedrohte und erpresste mich dann in der Rezi zu einem Buch bei Amazon. Irgendwie ist er an meine Fotos rangekommen als ich für ein Buch "Frauensäfte" (längst vom Markt) im SM Studio gewesen war. Mit diesen Bildern wollte er mich erpressen und diese öffentlich machen. Er drohte jeden Tag mehr über mich auszuplaudern usw...Die Rezension war echt "krass". Ich vertraute mich einer Freundin an, die mir gleich richtig Panik gemacht hat, wie gefährlich der Typ sei und er womöglich seine Freundin getötet habe usw... da kam eins zum anderen (ich hatte noch mein Pferd einschläfern müssen, bin derzeit gesundheitlich sehr angeschlagen, dazu Corona usw) und ich sagte:" Ich habe echt kein Bock mehr auf dieses Scheiss Leben!" Da sie mich dann nicht mehr erreichen konnte (ich war auf der Arbeit) hat sie die Polizei informiert und die fing mich auf offener Strasse nachts im Auto auf dem Weg nach Hause ab. "Führerschein, Fahrzeugschein...." habe ich gegeben und dann hiess es ganz trocken:" Aussteigen!" Ich so:" Wie? Was wird mir denn vorgeworfen?" Und noch mal kommentarlos: "Aussteigen!" Gut, ich steige aus, werde gefragt, wo ich war (Arbeit) und dass man den Hinweis bekommen hätte, ich wolle mich umbringen. Boahr... ich sags euch- ich wusste gleich- was das bedeutet... und mir fiel die Kinnlade echt tief. Dann hiess es:" Entweder wir lassen Ihr Auto abschleppen oder einer von den beiden Polizisten fährt das Auto auf den Parkplatz. Ich:" Ich kann das Auto auf den Parkplatz fahren!" "Nein, Sie fahren keinen Meter mehr. Sie steigen jetzt in den Bulli und fahren zur Wache!" Der Typ setzte sich in mein Auto und kloppte so den Gang rein (Automatik) dass sich nix mehr rührte. Der Beamte so:" Wie krieg ich den Gang rein?" "Ja, vom Bürgersteig aus kann ich Ihnen das nicht zeigen!" Er:" Einsteigen, Gang einlegen, und sofort aussteigen!" In einem Ton, als sei ich ein Schwerverbrecher. Gut, ich leg den Gang ein, der fährt das Auto weg. Im selben Augenblick fährt bei uns Zuhause ein Streifenwagen vor. Jill lag schon im Bett. Dem Kind wurde folgendes mitgeteilt:" Deine Mutter will sich umbringen. Die wandert wenn wir sie schnappen, längere Zeit in die geschlossene Anstalt. Wer versorgt die Tiere? Denn Du musst entweder ins Heim oder wo kannst Du hingehen? Die Tiere müssen dann weggeschafft werden über Ordnungsamt, Veterinäramt usw!" Ihr könnt euch sicher vorstellen, was in meinem Kind vor sich ging, oder? Jill war noch fertiger als ich! Ich musste 2 Stunden lang vor der Polizei, dem Ordnungsamt und dem Amtsarzt darlegen, keinen an der Klatsche zu haben. Mit Ach und Krach, bin ich der geschlossenen Anstalt entkommen und durfte heim. Heute fuhr die Kripo hier vor. Man grüßte mich nicht, stellte sich auch nicht mit Namen vor. Ich als Opfer der Bedrohung eines Zuhälters, wurde behandelt wie eine Täterin. Man sagte:" Dass es sich um einen Zuhälter und Kriminellen handelt, hielten sie für einen Witz. Den Frank G. kannten sie auch nicht. Sie belächelten mich wirklich... Ok, man wolle das überprüfen... Ej Leute, ich bin echt fertig mit der Welt. Ja es ist so unglaublich. Ich werde NIE WIEDER irgendwem mein Herz ausschütten * Leider kann man nicht mehr viele trauen traurig sowas * doch , sind nicht alle gleich. Ich wünsche dir von herzen einen Menschen der es ehrlich mit dir meint und dir ein wenig hilft. Ich habe so viele Freunde heute geblockt, weil es hiess, ich würde lügen, die Polizei sei immer hilfsbereit und nett. Ich finde, so geht man nicht mit Menschen um... * dann sind das keine Freunde.Freunde sind für ein immer da Ist echt besser in der heutigen Zeit, keine zu haben... * doch Freunde braucht man aber dann richtige Ich bin auch einfach nur fertig und tieftraurig, zumal ich soeben meine Biografie beendete, die auch kein Zuckerschlecken war, aber ich werde das nie wieder irgendwem sagen... * Unglaublich..bin echt sprachlos Wie alt ist denn deine Tochter? Warum hat deine Freundin denn nicht erst mal auf deiner Arbeit angerufen?! Echt unglaublich!!! 16 soeben geworden * oh die arme!!! Also das Alter ist egal-so eine Nachricht ist immer schlimm..ber in dem Alter weiß sie ja definitiv was du, vermeintlich!!!, vor hast. Oh fühl dich gedrückt und ich wünsche euch viel Kraft um dieses Erlebnis gut zu verarbeiten!!! Eigentlich habe ich soooooo riesen Respekt vor der Polizei, aber DAS geht garnicht!!! So schrecklich * Anais C. Miller puh was für .....leider kann ich nur aus eigener Erfahrung sagen das das ein offenbar "normaler" Umgang zu sein scheint.fällt schwer sich davon nich prägen zu lassen Ja aber da versteht man auch, warum Opfer lieber schweigen, oder?? * ja leider genau das.vorher konnte ich vieles nicht nachvollziehen.das hat sich leider geändert....sobald du dich als Opfer outen musst,wird in unserem System versucht auch weiter eins aus dir zu machen.... ja leider, ich hab mit einem 20jährigen Mädchen gearbeitet, dass auch nichts sagen wollte, weil ihre Geschwister involviert waren, und sie die nicht ranhängen wollte * kann sich auch kaum einer vorstellen das man so behandelt wird und das es so läuft,wenn man es selbst noch nich erleben musste * Ich denke, dass sich deine Freundin einfach nur Sorgen gemacht hat und sich nicht anders zu helfen wusste. Was die Polizei angeht, kann ich mir vorstellen, dass diese einfach überfordert mit so etwas ist. Die sollen einfach eine Person "sicherstellen" und das war es. Dazu kommt, dass einfach der größte Teil der Menschheit der Meinung ist , dass Leute mit Depressionen und Selbstmordgedanken einen an der Waffel haben, daher dann auch der plumpe Umgebung mit deiner Tochter. Und wenn es um die Infragestellung deiner Glaubwürdigkeit geht, da spielt dann wieder das rein, dass die Leute denken man hätte einen an der Waffel wenn man Depressionen und Selbstmordgedanken hat. Ich kann dich sehr gut verstehen, habe es schon lange aufgegeben mit mir nahe stehenden und auch sonstigen Personen über meine Psychoprobleme zu sprechen. Mache meine schlechten Phasen gezielt mit mir selbst aus wenn ich alleine bin. Das kann aber sicher nicht jeder und wie lange es bei mir funktioniert weiß ich natürlich auch nicht. Wünsche dir viel Kraft. * Ouh man....mir fehlen gerade die Worte.....es tut mir so leid, dass du soo viel mist erleben musst. Du möchtest anderen, mit deiner Stimme helfen und bekommst immer wieder eine drauf. * Mich wundert in dieser kranken Welt gar nichts mehr, es ist echt gruselig geworden. Wie Menschen miteinander, mit anderen Lebewesen und der Natur umgehen * Die Abgründe der Menschheit sind unfassbar grausam, ein „normaler“ Mensch kann sich nicht im geringsten vorstellen, zu was ein so genannter gestörter Mensch fähig ist zu tun, Hauptsache seine „Neigung“ wie auch immer, wird befriedigt, dafür gehen solche Menschen über sprichwörtliche Leichen... * Es tut mir so leid für dich das du das erleben musstest. Ich habe leider die Polizei schon öfters negativ erleben müssen. Möchte am liebsten nicht zurück denken. * Ungeheuerlich... Jetzt weiß ich, warum ich Deutschland so abgrundtief verachte... Also so ganz prinzipiell kann ich dir sagen, je mehr corona, desto bekloppter die Menschen gerade. Teilweise so, dass ne Freundin und ich uns regelmäßig fragen, ob nicht wir die Irren sind, weil die in der Mehrzahl sind. So klingt das auch. Die Polizisten haben auf alle Fälle schon mal jegliche sozialen Umgangsformen verlernt. Jaja, "dEIN fEINd und pEINiger" mal wieder (statt "Freund und Helfer") ... Als x-fach Betroffener hast Du mein vollstes Verständnis und Mitgefühl. Und möglicherweise bist Du an einen Betrüger geraten, dem es in erster Linie darum ging, Dich ganz real zu treffen - mit welchem Kopfkino auch immer. Als er nicht zum Ziel kam, wurde er ungemütlich. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:09, 25. Mär. 2021 (CET) Ich denke, jeder andere Autor hätte all die Missbrauchsbücher besser geschrieben als ich es getan habe. Autoren sind ja oft im Journalismus tätig usw und sofort, aber wichtig war es doch- dass mal jemand damit angefangen hat- den Mund aufzumachen weil er nicht länger wegsehen wollte. Und da, werde ich immer ganz vorne mit dabei sein! Mittlerweile habe ich über 20 Opfern meine Stimme gegeben... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:51, 27. Mär. 2021 (CET) Das was ich im Nachfolgenden erzähle, ist nichts für schwache Gemüter und ja, es ist pervers und abartig. Aber ich habe es erlebt und es hat aus mir einen anderen Menschen gemacht als den, der ich eigentlich mal werden wollte. Das ist traurig und dennoch habe ich meinen Weg gefunden. Wer sich fragt, warum solche Geschichten veröffentlicht werden, dem möchte ich folgende Antwort mit auf den Weg geben… Seid glücklich, wenn ihr eine unbeschwerte Kindheit genießen durftet. Eure Eltern immer liebevoll, fürsorglich und gut zu euch waren. Den Schlüssel für sämtliche Türen des Lebens überreichen dir nämlich deine Eltern, niemand anderes als sie tragen auch die schärfste Waffe bei sich, mit der sie aus dir über Jahre hinweg ein emotionales Wrack konstruieren können, sofern sie den sadistischen Wunsch in ihrem versteinerten Herzen nach Qual und Leid hegen. Qualen und Schmerzen, die selbst ertragen haben und ertragen mussten. Meine Mutter war krank. Psychisch krank. Das habe ich als Kind aber nicht gewusst. Woher auch? Heute weiß ich es und natürlich ist es zu spät. Ich möchte und kann meine Vergangenheit nicht revidieren. Die Zukunft aber sehr wohl bestimmen. Eines weiß ich! Ich werde keine Kinder in diese Welt setzen. Aus Angst. Angst, dass ich ebenfalls in diese Spirale gerate. In die Spirale aus dem, was ich erlebt habe und aus Gefühlen, Gedanken und Emotionen die mich vielleicht eines Tages beherrschen obwohl ich das gar nicht möchte. Meine Mutter wusste ja auch, dass es falsch war, was sie mit mir gemacht hat. Sie konnte eben nicht anders … Ich schrieb dieses Buch um abzuschließen mit dem was war und um der Welt dort draußen zu zeigen, ihr seid nicht allein. Wenn du als Leser nichts Schlimmes in deiner Kindheit erfahren hast, so gratuliere ich dir. Die Realität sieht oftmals anders aus und ich möchte mit dieser Geschichte den Opfern aus ähnlichen Begebenheiten ein Zeichen setzen. Ihr Schweigen und ihre Qualen sollen nicht umsonst gewesen sein. Wenn dich dein Mut verlässt, wenn du dich komplett verloren hast, komm einfach zu mir her, weil es bei uns beiden so gut passt. Wünsche an denen du hängst, Gesten welche dein Inneres berühren, glücklich sein wenn du daran denkst, wie wohl du dich dabei fühlen kannst. Küsse können grausam schmecken wenn du diese Lippen nicht begehrst, Geld kann keine Lust erwecken wenn die Seele streikt und sich beschwert. Du spürst genau wo deine Heimat ist. Es gibt für dich keine Gegenwehr. Die Liebe musstest du lange vermissen, doch komm einfach her, komm her… Sandra Meine Mutter Heute ist der Tag meiner Befreiung. Zumindest der meiner inneren Lossagung von einem Martyrium, dessen Ausmaß mir erst zwanzig Jahre später bewusst werden wird. Die Tür fällt ins Schloss. „Hallo Mama“, rufe ich und wie immer erhalte ich keine Antwort. In der Wohnung ist es stickig. Gelüftet hat sie wieder nicht. Der Zigarettendunst benebelt meine empfindlichen Augen. Der Arzt sagte ich leide unter einer Tierhaarallergie und Heuschnupfen. Mutter schießt alle Bedenken der Ärzte in den Wind. Ihr ist es schlichtweg egal, unter welchen Krankheiten ich leide. „Die Katze und der Hund leben seit Jahren bei uns im Haushalt und jetzt auf einmal sollst du eine Tierhaarallergie haben, das ist doch lächerlich“, schnauzte sie mich an als wir die Arztpraxis an einem Montag im Mai vor drei Jahren verließen. Vor drei Jahren war ich elf Jahre alt und noch recht duckmäuserisch. Widerworte hätte ich niemals gegeben. Der Arzt sagte meiner Mutter, dass bestimmte Gräser im Mai in der Blüte ständen und ich deren Pollen nicht vertrage. Ein Mittel aus der Apotheke sollte sie kaufen. Mehreren Tests hatte ich mich unterzogen und es gab kein Vertun, dass ich eben unter diesen Allergien litt. Meine Not war groß. Keine Luft zu kriegen, ist ein fürchterlicher Zustand und doch interessierte es meine Mutter nicht im Geringsten wenn ich unter Atemnot litt. „Wir haben kein Geld für die scheiß Medikamente. Ich kann nicht alles bezahlen“, lamentierte sie frotzelnd in Selbstgesprächen versunken, während sie mich eilig an der Hand über die Einkaufsstraßen hinter sich her zog. Es stinkt nach Katzenpisse in den Räumlichkeiten. Mutter hat die Tiertoilette wieder nicht sauber gemacht und dabei weiß sie genau, dass ich beinahe ersticke, wenn ich das Zeugs ausleere. Mit zittrigen Händen greife ich an die Küchentür die einen Spalt breit offen steht. Welches Bild erwartet mich? Mein Herz schlägt mir bis zum Halse. Angst. Immer diese verzwickte Angst, mit Augenblicken konfrontiert zu werden, die meine Seele in ein tiefes Loch stürzen. Mutter kniet auf dem Linoleumboden. Sie ist nackt. Milow ist bei ihr und ich erkenne nicht gleich was Sache ist. Milow ist unser Hundemischling. Er ist über vierzehn Jahre alt und taub. Geräusche an der Wohnungstür nimmt er nicht mehr wahr. Er hat mich also nicht gehört. Ein merkwürdiges Gefühl beschleicht mich von ganz tief unten aus dem Bauch heraus. Drückt meine Kehle zu. Mutter hält in der rechten Hand einen Spender mit Sprühsahne. Mit dem Rücken kauert sie zur Tür. Auch sie hat mich nicht gehört. Außerdem ist sie beschäftigt. Mit sich, dem Hund und ihren perversen Trieben. Langsam richtet sie sich auf. Biegt ihr Kreuz gerade und sprüht die Sahne auf ihren Busen. Den größten Teil des schaumigen Zeugs auf ihre Brustwarzen. Milow ist ganz aufgeregt. Freudig mit dem Schwanz wedelnd, sitzt er vor Mutter und wartet geduldig. Er kennt das Spiel genau und es gefällt ihm. Mit der Sahne an ihren Brüsten beugt Mutter sich wieder vornüber. Milow erhebt sich aus seiner Sitzposition und schleckt mit seiner Zunge Mutters Brustwarzen ab. Ich beobachte dieses Szenario mit einem Würgreflex in meiner Speiseröhre und doch erweckt dieses abstruse Bild von Sexualität auch etwas Lustvolles in mir. In meinen sexuellen Stimulationen regt es an und ich will mich dagegen wehren. Ich weiß dass es nicht normal ist was Mutter tut. Ich weiß dass es abartig ist und doch stimulieren auch mich diese Bilder. . Gern würde ich wahre Liebe erfahren. Sex und Zärtlichkeiten austauschen und geliebt werden. Von einem Jungen in meinem Alter. Mutter windet sich angeregt unter den Bewegungen der Hundszunge auf ihren Brüsten. Stöhnt lustvoll. Wieder und wieder setzt sie den Spender an und sorgt somit für leckeren Nachschub der Geschmackssinne des unbedarften Tieres. Ihre Bewegungen werden rhythmischer und sie greift nach dem Dildo der neben ihr auf einem ausgebreiteten Küchentuch liegt. Während Milow mit seiner schlabbrigen Zunge ihre Brüste in Fahrt bringt, befriedigt Mutter sich mit dem Vibrator bis sie zum Höhepunkt erlangt. Leise verlasse ich den Ort des Geschehens und ziehe mich in mein Zimmer zurück. Schließe sachte die Tür hinter mir. Ab heute ist es vorbei. Nie wieder diese schrecklichen Bilder und nie wieder wird sie mich anfassen auf eine Art und Weise, die mir unangenehm ist. All meinen Mut habe ich zusammengenommen um ihr zu sagen, dass endgültig Feierabend mit ihren Spielchen ist. Auch auf die Gefahr hin, dass sie mich aus der Wohnung schmeißt, so habe ich eine Lösung gefunden. Ich darf jederzeit zu Tante Gisela gehen. Mit Sack und Pack bei ihr wohnen und einziehen, wenn ich das möchte. „Du hast nichts zu verlieren, Sandra“, hat sie mir versprochen. Sie kennt Mutter, hat sie gesagt. Mutter und ihre Ticks, wie sie es nennt. Sie wisse wie schrecklich Mutter sei aber das wäre nur ein trauriges Ergebnis von fürchterlichen Erlebnissen aus einer schwierigen Kindheit, über die sie ein anderes Mal mit mir sprechen wolle. https://anaiscmiller.jimdofree.com/2020/03/04/muttergl%C3%BCck-pervers-mama-h%C3%B6r-bitte-auf-damit/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:59, 27. Mär. 2021 (CET) Damians Elternhaus passte optisch nicht wirklich zwischen die feinen Neubauhäuser der Wohnsiedlung, unter deren Carports sich ein Bonzenschlitten nach dem anderen einreihte. Im fahlen Schein der Laternen fiel mein Augenmerk gleich auf die prunkvollen Villen der Straße, weniger auf das zurückgelegene Abrisshaus, neben dem Damian den Jeep abstellte. Das gammelige, unscheinbare Häuschen, das oberhalb des Berges am Waldesrand verloren und nahezu unbewohnt aussah, war wenig vertrauenerweckend. „Ist irgendwas nicht in Ordnung?“, fragte er hektisch, als er meine Irritation bemerkte, während ich aus dem Wagen stieg. „Der Kontrast“, kam es zögerlich über meine Lippen, nachdem ich auf den angrenzenden Schuppen neben dem Wohnhaus blickte, der weniger einladend aussah als der Schweinestall unseres Nachbarn. Der Garten glich einer Müllhalde. „In dem Schuppen sägen wir Holz klein und schlachten Tiere. Wir essen gerne Lamm und Kaninchen“, brabbelte Damian. Übelkeit krabbelte in meine Speiseröhre. „Das Haus meiner Eltern war eines mit der Ersten, das in dieser Straße gebaut wurde. Ist fast 150 Jahre alt. Hier lebten schon meine Vorfahren mit ihren Familien“, sagte er lässig und es klang paradoxerweise, als sei er stolz darauf, in solch einer abgefuckten Baracke zu wohnen. Das Haus war ebenso gruselig wie Damians Erscheinung und noch viel schlimmer, ehrlich gesagt. Heruntergekommen und verwahrlost. Die Liebe im Detail fehlte. Keine Blumen vor den Fensterläden. Kein Blümchen steckte in den Blumenkästen, die abseits der Haustreppe lagen, als hätte der letzte Sturm sie umgefegt. Der Garten ungepflegt und vernachlässigt. Ein reparaturbedürftiger Zaun rundete das Bild der Trostlosigkeit ab, die über dem verwaisten Grundstück lag. „Meine Mutter kann gesundheitlich nicht mehr so wie sie will, früher hat sie den Garten in Ordnung gehalten“, entschuldigte Damian das chaotische Erscheinungsbild seines Zuhauses. „Meine Brüder haben kein Interesse an dem Haus und mein Vater ist den ganzen Tag unterwegs. Geld verdienen. Obwohl er Rentner ist, wurschtelt er mal hier, mal dort, nur am eigenen Haus dummerweise nicht.“ „Ach so“, sagte ich ohne zu wissen, was ich zu den Zuständen überhaupt hätte sagen sollen. Bei den Flodders sah es jedenfalls besser aus als hier. Mit weichen Knien folgte ich Damian hinter der Haustür die Treppen hinauf. Der Gedanke des Weglaufens klopfte Sturm an der Tür meines Verstandes. In der Dunkelheit hätte ich verschwinden und mich verstecken können. Den Gedanken verwarf ich. Die Hemmschwelle, Damian wegzulaufen, konnte ich aus emotionalen Gründen nicht überschreiten. Die Folgen nicht verantworten. Seine Drohungen, mir wegen Zabou Ärger zu machen, mich sogar anzuzeigen, zeigten Wirkung. Eingeschüchtert war ich bis obenhin. Das waren Sinn und Zweck seines gemeinen Planes, sofern er überhaupt einen in der Tasche hatte, außer mich mit allen ihm zur Verfügung stehenden Mitteln zwingen zu wollen, ihn zu lieben. Mein schlechtes Gewissen und die Angst trieben mich in das Haus. Eine uralte, knarrende, wohl morsche Treppe, auf der man befürchtete abzustürzen, führte in Damians Zimmer, ganz oben unter dem Dach. Licht gab es keines. „Stromrechnung nicht bezahlt“, brabbelte Damian und nahm eine Taschenlampe vom Treppenvorsprung. Unter dem winzigen Licht ihres armseligen Scheins, führte er mich zu seinem Zimmer. „Willkommen in meinem bescheidenden Reich“, hielt er mir die Tür auf. Der Geruch von Fäulnis stieg in meine empfindsame Nase. Mit dem Feuerzeug zündete er mehrere Kerzen an. „Dann mache ich es uns mal romantisch“, umgarnte er mich. Die Möbel alt und vergammelt, marode wie aus dem dritten Jahrhundert stammend, schienen so fürchterlich zu stinken. Entsetzt blickte ich auf zahlreiche Fotos, die aus Zeitungen und Illustrierten ausgeschnitten, als Tapete an die Wände gekleistert worden sein mussten. Meine müden Augen entdeckten nicht eine freie Stelle, an der kein Foto klebte. Beim Näherhinsehen entdeckte ich lauter nackte Frauen auf den bunten Papierfetzen. Bild an Bild, reihten sich nackte Blondinen mit üppiger Oberweite. Erschrocken trat ich einige Schritte zurück. Außer den verrotteten Möbeln und Pornofotos an den Wänden gab es nicht einmal ein Fenster in dem dunklen Zimmer, durch das man Sauerstoff hätte hereinlassen können, um zu atmen. Ein schwarzes Etwas huschte über die Holzdielen und verschwand fiepend unter dem Schrank. „Was war das?“, schrie ich entsetzt auf. „Eine Ratte vielleicht. Leider keine Seltenheit in den alten Häusern“, steckte sich Damian in aller Ruhe eine Zigarette an und warf sich auf das klapprige Bettgestell, das unter ihm verdächtig ächzte und quietschte. „Hier kann doch kein Mensch wohnen“, stotterte ich. „Siehste doch“, lachte Damian und winkte mich zu sich. „Komm, hier ist es gemütlich.“ Der Gedanke, dass ich auf dem Bett mit der dreckigen Decke darauf und den gelben Flecken auf der Matratze darunter, im Beisein von Ratten, die unter dem Schrank hockten, entjungfert werden sollte, konnte nur ein grauenvoller Albtraum sein und ich hoffte endlich aus ihm aufzuwachen. „Komm zu mir aufs Bett! Wir fummeln ein bisschen und dann bringen wir es hinter uns“, klopfte er auf die Matratze. „Ich, ich kann hier nicht“, stotterte ich. „Wie jetzt?“, wurde Damian nervös. Verstört zog ich die Schultern hoch. „Hey, jetzt mache keine Zicken hier, Fräulein. Erst sagtest du, du könntest im Auto nicht und wir sollen zu mir fahren, jetzt sind wir bei mir und du kannst auch hier nicht? Was soll das?“, warf er die brennende Zigarette auf den Fußboden. Mit der Schuhspitze seines Turnschuhs drückte er sie aus. Im Holzboden blieb ein Brandloch zurück. „Hier gibt es Ratten und ich kann nicht atmen. Ich kriege keine Luft“, röchelte ich. Damian erhob sich vom Bett. Entschlossen schritt er auf mich zu, packte mich am Unterarm und schleuderte mich lieblos auf das Bett. „Jetzt halte endlich dein dummes Maul, du blöde Schlampe!“, schrie er mich an. Im selben Atemzug riss er mir die Klamotten vom Leib. „Ich habe echt gedacht, wir beide hätten das Ganze ein wenig romantischer angehen können, aber du gibst mir einfach keine Chance“, nestelte er an der Gürtelschnalle seiner Jeans, nachdem meine Kleidung neben dem Bett gelandet war. Wimmernd lag ich auf der übelriechenden Matratze, die bestimmt seit mehreren Jahren niemand mehr gewechselt hatte. „Warum zitterst du denn so?“, schrie er. Ich rührte mich nicht. „Guck mich gefälligst an, wenn ich mit dir rede, Schlampe!“ Damian drehte komplett durch. In dieser Nacht lernte ich ihn von seiner schlimmsten Seite kennen. Ein heftiger Schlag in mein Gesicht brachte mich zum endgültigen Schweigen. Selbst die Tränen hielten sich aus Angst vor Damians Wutausbrüchen zurück. Zum Glück ging es schnell. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:10, 28. Mär. 2021 (CEST) Zum Jahresbeginn plant der Mensch alle Jahre wieder, für die Folgemonate seines Lebens, etwas Besonderes oder er setzt sich ein Ziel, das er im letzten Jahr nicht erreicht hat. Manche wollen im Berufsleben aufsteigen und verlieren ihren Job, andere geben das Rauchen auf und satteln um auf E-Zigarette und Alkohol, wieder andere wollen endlich den heißersehnten Fallschirmsprung wagen und vergessen beim Absprung den Fluglehrer mitzunehmen. Lapidar gesagt, kannst du immer und überall, mit deinen Vorsätzen ganz schön auf die Fresse fliegen. Dennoch sind in unserem Leben die planbaren Ereignisse, ein tiefes, menschliches Bedürfnis, und ebenso wie unsere Würde, unantastbar. Mir ist es ein dringendes Bedürfnis, mit meiner besten Freundin zum Brunchen zu gehen, mir ganz ungezwungen eine neue Jeanshose zu kaufen, mich in ein Cafe zu setzen, weil ich dort einen Latte Macchiato trinken, und anschließend in der Eisdiele, ein Spaghettieis essen möchte - und dennoch - sind mir all diese wichtigen Bedürfnisse, strengstens untersagt, weil irgend so ein Virus unterwegs ist. Das heißt: Im schlechtesten Fall sterbe ich in absehbarer Zeit sowieso an dem Virus, ohne noch einmal Freude in meinem Leben erlebt und ausgekostet zu haben, bevor mich ein Bestatter in Schutzausrüstung, in die hölzerne Kiste schmeißt und ich drei Etagen tiefer im finsteren Erdloch lande und von Würmern zerfressen werde. Im besten Fall verliere ich „nur“ jegliche Bedürfnisse, die mir Glücksgefühle verschaffen und sterbe nicht, meine Seele verreckt aber, weil ich ja gar keinen Ausgleich mehr habe, an dem ich mich erfreuen könnte. Die Seele stirbt, wenn du ihr nichts zu Futtern gibst. Sie stirbt auch, wenn du ihr die falsche Nahrung zuführst. Jetzt zeig mir einen Menschen, der nach dieser Scheiße immer noch völlig normal tickt, obwohl man ihn um wichtige Bedürfnisse beraubt. Selbst mein Kind ist unzufrieden und läuft nicht mehr in der Spur. Jeder der mir sagt, er sei im Endloslockdown glücklich, der lügt in meinen Augen. Ich will es niemandem unterstellen, aber das kann nicht wahr sein, dass Ihr da draussen alle glücklich seid. Es sei denn, du sitzt sowieso den ganzen Tag lang nur vor dem Computer, hast keinen Job, keine Familie, keine Tiere und auch sonst nichts in deinem Leben, wofür es sich zu kämpfen lohnt. Gut, dann fehlt dir auch nichts. Schlaf weiter und schalte am besten niemals die Nachrichten ein. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:16, 29. Mär. 2021 (CEST) Und dann fuhr mitten in der Nacht auf der einsamen Landstraße meines Nachhauseweges, die Polizei an mir vorbei. Entsetzt blickte ich den Fahrer an und er mich ebenso erschrocken, während ich noch immer mit dem Handy beschäftigt war, um die Sprachnachricht zu vollenden. Wie ein gleissender Blitz schlug es in mich ein. Die beiden Bullen mussten das Smartphone gesehen haben, das Displaylicht hatte mich verraten. Schweißperlen traten auf meine Stirn. Mein Punktekonto in Flensburg liess nix mehr zu. Nicht mal n halben Punkt... Handy am Steuer- das wird teuer..., dachte ich seufzend. Im Rückspiegel sah ich, wie sie den Polizeibulli wendeten und mich verfolgten. Wohin mit dem Telefon? In meiner Not, schmiss ich es unter den Beifahrersitz... "Papiere bitte!", knurrte der grimmige Beamte. Nervös reichte ich sie ihm durch die heruntergelassene Scheibe. "AUSSTEIGEN!", forderte er mich auf in einem Ton, der mich Schlimmes erahnen liess. "Bin ich jetzt verhaftet?", fragte ich und meine Gedanken rotierten. Hatten die beiden etwa auch gesehen, dass ich das Beweismaterial verschwinden lassen wollte? --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:36, 30. Mär. 2021 (CEST) Was habe ich Tränen gelacht...aber auch geheult Nach einem anstrengenden Arbeitstag, fuhr ich gegen 21.30 Uhr vom Discounter nach Hause, als mich unerwartet eine Polizeistreife aus dem Verkehr zog. Mein Tag war bis dato ohnehin beschissen verlaufen, deshalb wunderte mich gar nichts mehr. Das mit der Polizei war mal wieder typisch: „Ich!“ Ich war müde und abgespannt, wollte eigentlich nur noch in mein Bett und hatte jetzt erst einmal die Bullen am Arsch hängen. Der Grund, warum sie mich angehalten hatten, war für mich plausibel und ersichtlich: „Handy am Steuer!“ Doch der Polizist, der sich meine Papiere zeigen ließ, musste mich wohl wegen einem ganz anderen Vergehen angehalten haben, denn als er schließlich in einem mir fremden, besonders barschen Ton sagte: „Aussteigen!“, war mir klar, dass man für die Tat „Handy am Steuer“ nicht gleich verhaftet wurde. Aber warum sonst, sollte ich aus dem Fahrzeug aussteigen, wenn nicht die Handschellen klickten? Ich nehme dich, wenn du magst, mit auf eine Reise der letzten Monate meines Alltags. Du wirst lachen und vielleicht auch weinen, fluchen und staunen, was mir widerfahren ist. Das, was ich erzähle, ist nicht einmal ausgedacht oder fiktiv, nein, es ist die nackte, ungeschönte, ehrliche Wahrheit einer Frau, die selbstkritisch und humorvoll, über gewisse „Missetaten“ ihr Schweigen bricht. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:28, 31. Mär. 2021 (CEST) Übrigens, ich bin immer völlig amused, wenn mir so richtig miese Rezensionen reingedroschen werden und ich dann auf das Profil der Rezensenten gehe, und sehe, dass genau diese Menschen mir folgen. Warum? Wollt Ihr mich fertig machen? Oder süchtet Ihr nach den Büchern? Gruppenzwang? Fragen über Fragen... Ja, vielleicht solltet Ihr das in euren Profilen mal löschen. Weil, das kommt nicht gut. Ich meine, das sehen andere ja auch. Schiesst Ihr euch nur n Eigentor mit. Übrigens... die meistverkauften Bücher sind die- in denen die miesesten Rezensionen stehen. Also, nur zu! Lasst euch bitte so richtig aus! Sachen gibt's... 😅 * Meine Theorie ist die gute, alte Projektion und Übertragung. Die ganzen Basher sind doch alle selbst geil auf Blut und Gewalt, aber das ist ja fies und bah und da beschäftigt sich man nicht mit. Wenn man das aber konsumieren kann aus dieser erhöhten Selbstwahrnehmung, kann man gut den Schauer genießen, es aber trotzdem widerlich finden und die beschimpfen, die dazu stehen, dass es sowas gibt und es auch offen gesagt, gesehen und wahrgenommen werden muss. Ich hab mal in einer Autoren-Hilfegruppe gefragt, ob es möglich ist, als Unbeteiligter vollständige Akten der Amtsgerichte nach Urteilsverkündung inkl. Gutachten und Tatortfotos und Obduktionsbefunde anzufordern, da ich gern über zwei konkrete Fälle aus D schreiben würds und zwar eng an der Realität, True-Crime halt, was meinst, was da los war ..... Perverser, Aufgeilen wollte ich mich, was mich das anginge usw. usf., Persönlichkeitsrechte des Täters usw. Ey Hallo? Ich hätte die Kopien ja bezahlt und die Namen der Beteiligten hätte man schwärzen können, wenn es sein muss. Gehen geht alles, wenn man will. Und ich finde, die Persönlichkeitsrechte eines Täters wiegen weniger, als ein Urteil „Im Namen des Volkes“. Ich denke, wir Bürger sind das Volk? Dann ist es doch auch das gute Recht jedes Interessierten, zu erfahren, WARUM in seinem Namen ein Urteil gesprochen wurde, wie man im Einzelnen zu dem Ergebnis kam und welche detaillierten Einzelheiten der jeweiligen Angelegenheit in Gänze zugrunde lagen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:18, 1. Apr. 2021 (CEST) Das angstvolle Wiehern meiner Pferde drang bereits in meine sensiblen Ohren, da hatte ich den Stall noch gar nicht erreicht. Kaum über den Berg gelaufen, ließ meine Intuition das Adrenalin in meinen Venen explodieren und ich wusste sofort, ich musste mich beeilen, um Schlimmeres zu verhindern. Meinen Rucksack warf ich ins Gras. Dann rannte ich so schnell ich konnte. Die Peitschenhiebe ließen mir das Blut in den Adern gefrieren. Von weitem schon sah ich Damian, wie er mit der Peitsche ausholte und auf mein Pferd einprügelte. Das Tier hatte keine Chance ihm auszuweichen, es hielt sich in der Box auf und nicht draußen auf der Weide. „Aufhören!“, schrie ich und riss ihm das Folterinstrument aus der Hand. „Was tust du?“, schubste ich ihn. „Du warst wieder bei dem Wichser“, sprang Damian im Dreieck. „Ich habe dir gesagt, du sollst da nicht mehr hingehen, verdammt.“ „Er ist mein Freund. Ein guter, lieber Freund, nichts weiter“, rechtfertigte ich mich und versuchte, mein Pferd zu beruhigen. Die Striemen zeichneten sich im Fell der Kruppe ab. Mir tat es weh hinzusehen. „Ich will das nicht. Du gehörst mir. Mir alleine, wann kapierst du das endlich?“, tobte Damian und trat mit dem Fuß tote Gegenstände durch die Gegend. Die Mülltonne schepperte um die Ecke, die Boxentür riss er aggressiv aus den Angeln und schleuderte sie zu Boden, dann griff er nach Amy, so hatte ich das kleine Hundebaby getauft, das tollpatschig um uns herum tapste. „Lass den Hund in Ruhe“, schnappte ich mir die Mistgabel und ging auf Damian los. Jetzt reichte es mir aber. „Du willst mir drohen?“, lachte er und griff nach dem Stiel der Forke, doch ich ließ sie mir nicht entwenden, sprang im richtigen Moment zurück und holte zum ersten Schlag aus. „Hau ab“, schrie ich. Ich wuchs über mich hinaus. Hielt die scharfkantigen Zinken in sein Gesicht gerichtet. „Du quälst keine Tiere mehr. Meine zumindest nicht“, holte ich erneut aus und dieses Mal traf ich ihn empfindlich mit einem kräftigen Schlag an der Schulter. Er taumelte, ging in Deckung und wich mehrere Schritte vor mir zurück, doch ich konnte nicht aufhören. Es kam über mich. In blinder Wut verprügelte ich Damian mit der Mistgabel, als würde es kein Morgen mehr geben. Die Schläge kamen immer schneller, setzten sich immer gezielter. Trafen ihn am Kopf, auf dem Rücken, in den Kniekehlen und an den Hüften. Vor Schmerzen schrie er auf und lief fort. Ich ihm nach, während ich noch immer wie eine wildgewordene Furie auf ihn eindrosch. Hätten mich meine Kräfte nicht verlassen und er das ihn rettende Auto nicht erreicht, hätte ich ihn vielleicht totgeschlagen. Mit durchdrehenden Reifen fuhr er davon. „Lass dich bloß nie wieder hier blicken, du Arschloch!“, schrie ich dem davonfahrenden Jeep nach. Weinend schloss ich Amy in meine Arme. Das kleine Wollknäuel und ich gegen den Rest der Welt, so fühlte sich der Schmerz in meiner Brust an. Mir war klar, ich müsste mein Leben ändern wenn ich leben wollte, so konnte es nicht weitergehen. „Und wenn ich alle Pferde abgeben muss“, heulte ich Sina die Ohren voll. Wobei ich nicht mal mehr weinte, wenn ich über das Drama sprach, Tränen gab es in meinen Augen längst keine mehr. „Du sollst dein Leben ändern wegen ‘nem Psycho?“, kreischte Sina. „Ich habe anscheinend keine andere Wahl. Der Typ wird mich nie in Ruhe lassen. Ich kann so jedenfalls nicht mehr weitermachen. Einer bleibt auf der Strecke. Entweder er oder ich“, schnaufte ich. „Ja, du läufst schon rum wie ein Zombie“, stellte Sina nüchtern fest. Ich habe damals fast eine halbe Seite der Bildzeitung ausgefüllt ... so schade, dass ich den Artikel nicht aufgehoben habe... Alles was an den Typen erinnerte, wollte ich nur loswerden... https://www.facebook.com/jeannine.piekenbrock https://www.facebook.com/MyHomeAnaisCMiller Arbeitet bei Meine Pferde "Warinja" & Co - https://www.facebook.com/AnaisCMillerPferde Boss bei Selbständig Verkäuferin ❤ bei Lidl Dienstleistung GmbH & Co. KG --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 23:27, 2. Apr. 2021 (CEST) Ein Buch, mit dem ich den Schwerpunkt auf die Diaologe der Betroffenen vor, während und anschließend der Vergewaltigung legen möchte und in dem es mir weniger um die Brutalität der Tat ansich geht. Es soll aufzeigen, wie widerwärtig sich Menschen verhalten... Auszug „Hallo, hören Sie mich?“ Ein alter Mann beugt sich über mich. Benommen blicke ich in ein unrasiertes, dreckiges Gesicht. „Helfen Sie mir bitte“, stöhne ich. „Ja, ich muss jemanden rufen. Einen Krankenwagen, aber ich habe kein Telefon dabei“, stammelt er in abgehackten, holprigen Sätzen. Entsetzt blickt er auf meine nackten Brüste. Mein Kopf liegt in einer Pfütze. Ich spüre wie die Nässe in mein Ohr eindringt und sich in meinen Haaren verfängt. Mir ist nicht klar, ob es Regenpfützen sind oder mein eigenes Blut, in dem ich liege. Meine Arme will ich heben, schützend über meine Brüste legen, doch sie bewegen sich nicht. Hilflos krallen sich die Fingernägel in den kalten Betonboden des Parkdecks mit der Nummer 7. Der Schmerz in mir zeigt kein Erbarmen. Mit brutaler Gewalt holt er die Erinnerung zurück an das Geschehen, das sich vor wenigen Augenblicken ereignete. „Hey Sie“, ruft der alte Mann. Aus dem Augenwinkel heraus sehe ich, dass er angestrengt einem jungen Mädchen nachhumpelt, das in einen kleinen, roten Rover einsteigen will. „Hier ist jemand verletzt. Haben Sie ein Telefon dabei? Die Absätze ihrer Stöckelschuhe klackern in einem zermürbend gleichmäßigen Takt, der sich nicht verlangsamen will. "Bitte, helfen Sie“, fleht er. "Blipp blipp," öffnet sich der Wagen per Funk. Das Mädchen steigt ein ohne sich umzudrehen. Die Autotür schlägt zu. Motorengeräusch. Der mechanische Klang ist verstörend. Verzweifelt rettet sich der alte Mann mit einem Sprung zur Seite, um von dem Fahrzeug nicht angerempelt oder umgestoßen zu werden, als es rückwärts aus der Parkfläche rangiert. „So helfen Sie doch bitte“, ruft er dem Auto nach, das rasant an mir vorbeifährt. Das Mädchen im Inneren schenkt mir und meiner Situation nicht einen Funken ihrer Aufmerksamkeit. Versteinert starrt es unbeteiligt auf das Lenkrad, das scharf nach links einschlägt, um ins tiefere Parkdeck zu gelangen. Der Auspuff des Minis röhrt entsetzlich aufdringlich in den niedrigen Decken zwischen den mit Graffiti beschmierten Mauerwerken. Welch widerwärtiger Kontrast zu meinem Schluchzen und Wimmern. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:00, 3. Apr. 2021 (CEST) Ich schrieb mal unter Pseudonym ein Buch mit dem Titel "Die Wünsche der Vergessenen". Hat es zufällig jemand gelesen? Das Buch schrieb ich nach wahrer Begebenheit. Das Pseudonym nahm ich, weil ich nicht so unterirdische Rezensionen kassieren wollte, denn es gibt dort draussen ganz viele Menschen, die mich abgrundtief hassen. Die Protagonisten aus der Erzählung gibt es tatsächlich. Nun ist Wolfgang letztes Jahr verstorben, die Oma, die das KZ überlebt hat, ist auch tot und heute kommt der Italiener im Rollstuhl zu mir an die Kasse. Er hatte endlich eine Freundin gefunden und die zwei waren ein tolles Paar! Da erzählt er mir heute, dass seine Freundin vor ein paar Tagen gestorben ist. An einer Lungenembolie. Ich bin geschockt. Sie war erst 35 Jahre alt... Ich bin traurig, denn ich kenne alle diese Menschen persönlich...das Schicksal kloppt immer den Falschen in die Fresse, ehrlich... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:38, 3. Apr. 2021 (CEST) Wolfgang hatte mich den letzten Tag an dem ich ihn gesehen hatte, gebeten, das St. Georgs Werk anzurufen, damit ihn am Lidl jemand abholt, ihm ging es sehr schlecht. Aus dem Heim hatten sie ihn aber rausgeschmissen, weil er sich gegen alle Regeln widersetzt und weiterhin Drogen genommen hat. Ich hatte die Tele Nr nicht und durfte auch von der Arbeit aus nicht telefonieren. Zwei Tage später war er tot... * Ich hoffe das legst du dir nicht zur Last...so traurig wie es ist, aber er hat ja Hilfsmöglichkeiten gehabt und nicht angenommen...was soll ein anderer da tun...irgendwann tritt dann eine solche Situation ein wo eben nichts mehr ineinander greift und dann ist es zu spät. Er hat sich verloren...das hätte keiner aufgehalten * Grausam ist trotzdem das du auf der Arbeit nicht mal telefonieren durftest... Wir haben uns da nicht einzumischen. Wusste ja auch keiner- wie schlecht es ihm tatsächlich ging... * Habe vorgestern Abend die Kurzgeschichte von der besten Freundin gekauft in einer Stunde gelesen und war wieder begeistert so toll ich liebe diese Alltagsgeschichten von dir. Top. Gibt es davon eine Fortsetzung ? da es ja Realität ist, hoffe ich, daß es keine Fortsetzung gibt. Solche Tage brauche ich nicht noch mal --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:05, 4. Apr. 2021 (CEST) Mann Mann Mann...😑 Letzte Woche Mittwoch gings los. Schlagartig heraus wie aus dem Nichts, traf es mich. Mir war kotzübel und ich musste frühzeitig von der Arbeit aus Feierabend machen weil ich dachte, ich kotze den Kunden vor die Füsse. Am nächsten Tag Rückenschmerzen, Kopfschmerzen, Bauchschmerzen und Harnwegsschmerzen. Ich sass heulend auf der Toilette. Diese Schmerzen beim Wasserlassen, das war irre. Natürlich bin ich zum Arzt und der hat meinen Urin untersucht und gesagt, dass das nicht gut ausschaut und ein Antibiotika aufgeschrieben. Ich bin trotzdem zur Arbeit und ja, es war ne Quälerei...Den übernächsten Tag (Ostersamstag) bin ich auch zur Arbeit ( man ist einfach zu gutmütig) und ich habe es vor Schmerzen fast nimmer ausgehalten. Man schickte mich dann früher nach Hause, aber stinksauer. So getreu dem Motto:" Simulant". Ich habe Ostern fast nur im Bett verbracht, wurde immer schwächer und mir ging es so beschissen wie lange nicht mehr. Ich dachte an Tom Hanks in The Green Mile und wünschte mir auch einen John Coffee herbei, der mich von diesen elendigen Schmerzen erlöst... 💞 Dienstag wieder zum Arzt, nochmal Urin abgegeben, immer noch ein erschreckendes Ergebnis und andere Tabletten bekommen. 💊 Heute ist der erste Tag an dem ich das Gefühl habe, es ist etwas besser... ich wäre so dankbar, auf Toilette gehen zu dürfen, ohne heulen zu müssen... 🙏 Und plötzlich ist man so dankbar, für ganz kleine, simple Dinge, wie schmerzfrei pinkeln zu können. Unglaublich... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:12, 8. Apr. 2021 (CEST) So wie das ausschaut, werde ich FB den Rücken kehren. Zumindest, was meine Beiträge anbetrifft. Ich bin zu müde für diese Hetzcampagnen geworden. Das Leben dort draussen ist auch nicht besser zur Zeit, aber es gibt meine Tiere die mich brauchen und Sinnvolleres zu tun, als mich über Menschen zu ärgern, die andere verurteilen und mit dem Finger auf sie, in dem Falle auf mich, zeigen. Ich lasse mein Profil stehen und auch den Messanger, um mit wirklichen Freunden zu kommunizieren, aber meine Beiträge werde ich einstellen. Auf meiner privaten Seite handhabe ich das ebenfalls so. Die Bücher schreibe ich wie gehabt weiter. Wer sie lesen mag, ich freue mich über jeden, der mit dabei ist und wer sie nicht lesen mag, der lässt es einfach bleiben. Ich bleib ja da, poste aber nichts Privates mehr. Gebe nichts mehr aus meinem Innenleben preis, denn das macht angreifbar und lädt Idioten zu Verurteilung ein. Somit gibt es Werbung zu neuen Büchern und fertig. Damit wird es sich besser und ruhiger leben. Zumindest für mich. Im Messanger bin ich erreichbar und ich lese und kommentiere auch eure Beiträge. Ich bedanke mich von Herzen bei denen, die wirklich hinter mir stehen. Ohne euch hätte ich mein Profil schon lange komplett gelöscht Es geht gar nicht mal um die Diskussion, Negativwerbung ist immer förderlich und das macht mir auch nix. Es geht darum, dass wenn man sich politisch äußert oder generell Gedanken freilässt, man sich angreifbar macht und das möchte ich vermeiden. Wir haben es derzeit alle schwer genug und müssen uns das Leben nicht noch schwerer machen. Deshalb pflege ich meine Seiten, bewerbe meine Bücher und halte mich ansonsten zurück. Ist auf Dauer gesünder. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:35, 8. Apr. 2021 (CEST) Das Cover ist nur vorübergehend, das Oroginalcover wurde von FB gesperrt! Buchauszug. Start Ende April Meine beiden Brüder brachten täglich ihre Freunde mit zu uns nach Hause. Sie spielten im Garten Fußball, angelten im Teich nach Karpfen und paddelten mit dem Boot über das trübe Wasser. Die Jungs die sie mitbrachten, waren ebenfalls die Kinder der Angestellten meines Vaters. An den Wochenenden feierte Papa rauschende Feste. Da gab es Bier und Grillwürstchen für alle. Für alle, die kommen wollten und wir hatten immer Full House. Die Stimmung unter den Erwachsenen war ausgelassen, wobei mir im Laufe meines Älterwerdens auffiel, dass an den Feierlichkeiten kaum Frauen teilnahmen. Irgendwie waren diese Feste eine reine Männerveranstaltung und das schien seine Gründe zu haben. Selbst Mama hielt sich zurück, und während der Partys meist nur im Haus auf. Dort half sie der Haushälterin beim Schnittchen schmieren und Getränke auffüllen. Wir Kinder hatten sehr wohl Zutritt zu der Terrasse, durften Würstchen essen und Malzbier trinken, hielten uns aber lieber abseits des Geschehens auf. Spielten zusammen Weitwurf, Völkerball und Verstecken, während die Erwachsenen bis tief in die Nacht feierten und sich beinahe ins Koma soffen. Bisher war es jedes Mal so gewesen, dass mindestens eines der Kinder kurz vor Mitternacht von dessen Vater eingesammelt wurde und wir aufgefordert wurden, ins Bett zu gehen oder uns solange nicht mehr blicken zu lassen, bis man nach uns rief. Meine Brüder und ich, wir dachten uns nichts dabei. Wir waren es gewohnt, dass wir Abstand hielten, wenn Papa uns dazu aufforderte. Es war selbstverständlich, dass die Erwachsenen auch mal gänzlich unter sich sein wollten. Das hatten wir von klein auf an gelernt und anerzogen bekommen. Wenn Papa sagte: „Und jetzt bleibt ihr weg hier“, blieben wir weg. Dafür hatten wir genügend andere Freiheiten. Eines Nachts jedoch, fassten wir einen Plan. Wir wollten den Erwachsenen nachspionieren, als Emils Vater seinen Sohn, den besten Freund meiner Brüder, nachdem wir Verstecken gespielt hatten, einkassierte. „Was machen die wohl mit dem?“ Patrick, angetrieben von innerer Neugierde, forderte uns auf, ihm zu folgen. „Komm, wir verstecken uns und sehen nach“, rief er. Ich ängstigte mich, doch auch meine Sensationslust war geweckt. Wir schlichen uns an das Geschehen heran, wie Indianer auf Spurensuche. Lautlos und wissensdurstig, näherten wir uns der lichtdurchfluteten Terrasse. Das, was wir sahen, war niemals für unsere Augen bestimmt. Die Erwachsenen mussten Emil gefesselt haben, der Junge saß splitterfasernackt, an einem Baum. Ein kräftiges Seil war um seinen zarten Körper gespannt worden. Der Reihe nach urinierten die Männer auf seinen dürren Torso. Einige hielten den Strahl direkt auf sein Gesicht gerichtet. Wir konnten mit ansehen, wie sie den Mund des Jungen spreizten. Emil drehte sich in den Seilen hektisch hin und her. Versuchte sich aus der desolaten Situation zu befreien. Seine Augen waren entsetzlich weit aufgerissen, sie schrien nach Hilfe. „Scheiße“, überkam es Patrick. Er war der Älteste von uns, verstand am besten, welche Tragödie sich abspielte. Emil spuckte, würgte und kotzte. Zwischendurch versuchte er zu schreien, doch das heizte die Erwachsenen umso mehr an, noch grausamer gegen das Objekt ihrer Sünde vorzugehen. „Was machen die mit dem?“, lispelte Sven. „Sie foltern ihn“, flüsterte Patrick. „Aber warum?“, mischte ich mich ein. „Halt den Mund, Silke“, zischte Patrick. Starr vor Angst, beobachtete ich, wie einer der Männer eine Peitsche ergriff und auf den wehrlosen Jungen einprügelte. Die Männer lachten, während Emils Schreie die Nacht durchrissen. Ich glaubte, ein Horrorfilm liefe, den ich noch gar nicht angucken durfte. Gleich wachte ich auf aus einem schlechten, ganz miesen Albtraum oder Mama weckte mich. Die Männer erhoben ihre Gläser, stießen an, tranken daraus und schütteten den Inhalt lauthals lachend in Emils Gesicht. Der Freund meiner Brüder röchelte, während die Erwachsenen ihren Spaß genossen. „Die sollen aufhören“, muckste ich auf. „Aufhören“, wollte ich laut schreien, doch Patrick hielt mir den Mund zu. „Halt die Klappe Silke. Gleich entdecken sie uns und dann sitzt einer von uns am Baum“, stopfte mir mein Bruder das Mundwerk. „Sowas macht Papa nicht“, widersprach ich. „Ha, wenn du wüsstest, was Papa für ein Drecksschwein ist und was der alles macht“, fluchte er. Der Blick meines ältesten Bruders traf mich strafend. Niemals zuvor hatte er mich so böse angesehen. „Sie ist noch zu klein“, nahm mich Sven in Schutz. „Ich bringe ihn um. Sobald ich alt genug bin, knalle ich das dreckige Arschloch ab, ich schwöre es euch“, sprach Patrick erregt. Unser Vater und seine Freunde schlugen Emil in der Nacht bewusstlos. Der Junge kehrte nicht mehr zu uns zurück. Entsetzt beobachteten wir, wie sie ihn losbanden und auf den Pflastersteinen niederlegten. Jemand schleppte einen Eimer Wasser ran. Schüttete den Inhalt mit einem rauschenden Schwall in das blasse Gesicht des ohnmächtigen Jungen. „Die bringen ihn um“, hechelte Sven. „Schweine“, stöhnte Patrick. An dem Tag, an dem ich mit ansehen musste, wie mein Vater einen Jungen in meinem Alter halb tot prügelte, fiel meine heil geglaubte Kinderwelt gänzlich aus den Angeln. Was ich gesehen hatte, wollte ich nicht wahrhaben. „Und wenn sie das mit Anna machen?“, überkam es meinen Lippen und ich erinnerte mich an den Vorfall, als Papa meine Freundin in unserem Keller eingesperrt hatte. Meine Brüder antworteten mir nicht. Schweigend zogen sie mich aus dem Radius des grausamen Geschehens. Also es ist ein Buch, das fast ohne ordinäre Gossenjargonsprache auskommt und nur wenige richtig heftige Szenen enthält, aber dennoch "knallt" (Nuttenkinder) Ich hab mir dieses Mal echt Mühe gegeben. Wobei ich heute Aschennutte gelesen habe und ich muss sagen, Aschennutte ist und bleibt echt genial...das ist wirklich mitreißend geschrieben trotz Fäkalsprache Naja, so ist das Leben eben. Soll alles nur vertuscht werden. In der DDR gab es Gruppenerziehung! bis zur Bewußtlosigkeit. Ich habe 1969/70 neben dem "Jugendwerkhof “Hübner-Wesolek” für gefährdete Jugendliche und Jungerwachsene" in der Brunnenstraße in Bernburg an der Saale (Anhalt) gelebt - in der Villa Staake (Brunnenstraße 25), von deren Dachboden aus man den einzigen Einblick in das Gelände über die hohen Bruchsteinmauern hatte. Der riesige Garten der Villa lag genau auf der anderen Seite der Mauer, deren Krone mit Glasscherben bestückt war, worüber sich mehrere Reihen Stacheldraht befanden, die unter Strom standen. Der "Weidezaun" der LPG Menschenproduktion (ich konnte mehrfach beobachten, wie sich gepeinigte Mädchen vor Verweiflung dort hineinwarfen). Die üblichste Erziehungsmethode bestand darin, die Mädchen in Vollschutz über das Gelände zu jagen und am Gasmaskenschlauch weiter zu ziehen, wenn sie platt waren. Besonders beliebt war dabei das Grölen von "Spaniens Himmel", dem damals berühmten Kampflied von Ernst Busch. Die Strafaktion war erst beendet, wenn das letzte Mädchen zusammengebrochen war. Bei kleineren Bestrafungen hatten die Mädchen das Glück, ohne Vollschutz nur an den Haaren "erzogen" zu werden. Besonders perfide war die sogenannte "Selbsterziehung". Um diese anzuheizen, wurde eine Gruppe wegen der Verfehlung eines Mädchens bestraft. Aber dann Holla die Waldfee - die "Verursacherin" konnte sich warm anziehen. Übliche Praxis der "ErzieherInnen" war auch, die Informationen von Denunziantinnen, die dadurch kleine Erleichterungen bekamen, einem anderen (unbeliebten) Mädchen in die Schuhe zu schieben und sie dadurch in der Gruppe zu diskreditieren. Die Mädchengruppe machte zB ihre Opfer nackt, knebelten sie, fesselten sie an Knöcheln und Knie, knoteten ihnen eine Gasmaske für Kopfverletzte über und traktierten sie mit Weidenruten oder Brennesseln etc. - die Opfer gerieten so in Panik dabei, daß sie bei dem Versuch, sich die Gasmaske abzureißen, fast alle Fingernägel einbüßten. Usw usf. Und heute wird das alles kleingeredet, weißgewaschen und vertuscht, vor allem von der evangelischen Kirche, die ja aktuell selbst gegen eine Welle von Mißbrauchsskandalen kämpft: "Wer hinter diesen Mauern verschwindet, der hat seine Strafe gerecht verdient! So urteilten die Bernburger lange über das ehemalige Mädchenheim, aus DDR-Zeiten noch besser bekannt unter dem Namen Jugendwerkhof. Hohe Mauern und junge Mädchen in Holzpantinen mit langen Kitteln verstärkten diesen Eindruck. Dazu die Gerüchte über die Zwangssterilisation im Dritten Reich. Doch das am 30. Mai 1863 gegründete St. Johannis-Asyl ist in seinen Zielen keine verkappte Jugendstrafanstalt gewesen. Vielmehr war es in seiner wechselhaften Geschichte stets ein Hilfsangebot, allerdings mit sehr unterschiedlichen erzieherischen Konzepten. ... Aus dem St. Johannis-Asyl wurde 1929 das Evangelische Mädchenheim St. Johannes. Im Januar 1948 ging es in Staatsleitung über, ein Jahr später wurde daraus das Landesjugendheim, schließlich ein Spezialkinderheim mit dem Jugendwerkhof “Hübner-Wesolek” für gefährdete Jugendliche und Jungerwachsene. In dieser Zeit entsprachen Ziele und Inhalte der Arbeit der gängigen Schulpolitik. Die jungen Menschen sollten auf die Arbeit und das Leben in der sozialistischen Gesellschaft vorbereitet werden." https://www.stejh.de/ueber-uns/geschichte Es passiert so vieles, das wir nicht glauben wollen... Oh mein Gott, wie verdorben sind manche Menschen. Da weint meine Seele. Kann man normalerweise nicht glauben wie brutal und pervers manche Leute sind. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:13, 10. Apr. 2021 (CEST) Nuttenkinder - das Dorf der verlorenen Seelen Die Geschwister Silke, Patrick und Jens wissen nicht, wann es genau angefangen hat. Irgendwie war es schon immer so gewesen, dass sie vom eigenen Vater missbraucht wurden. Der Vater hat seine Kinder geliebt, aber eben nicht so, wie ein Vater seine Kinder lieben sollte. Erst mit den Jahren beginnen die Kinder zu begreifen und zu hinterfragen. Dieser Roman ist für Leser unter 18 Jahren nicht geeignet. Erzählt nach einer wahren Begebenheit. amazon.de/Nuttenkinder-Biografie-Anais-C-Miller-ebook Fehler: Die Seite, die du speichern möchtest, wird durch den Spamfilter blockiert. Das liegt wahrscheinlich an einem Link zu einer externen Seite, die in die „Spam-Blacklist“ aufgenommen wurde. 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Ein Ort, an dem jeder jeden kennt, doch alle Einwohner abhängig von deinem Vater sind, weil er ihnen Arbeit gibt und ein Dach über dem Kopf gewährt. Und dann stell Dir vor, in diesem Dorf geschehen grausame Dinge und die Erwachsenen verschließen ihre Augen vor fürchterlichen Verbrechen und Missetaten, und sie alle schweigen darüber. Niemand unter ihnen ist mutig genug, sich gegen das Elend aufzulehnen, aus Angst, den Job und das traute Heim zu verlieren. Du bist zwar noch ein Kind; und doch weisst du, dass du in der von deinen Eltern geschaffenen Lügenwelt nicht länger mitspielen willst ... Von dem Mut eines Mädchens, das aus einem korrupten System ausbrach, um für die Freiheit seiner Freunde zu kämpfen. Das Cover bei Amazon wird gewechselt, da mir FB aufs Dach steigt und ich mein Konto verliere, wenn ich es noch einmal poste. ahja, Facebook droht mit Kontoverlust - also die nächste Institution, welche die Wahrheit nicht sehen will, sondern nur vertuschen ... kann sich aber gaaanz hinten anstellen: Staat, römisch!-katholische Kirche, evangelische Kirche ... Facebook [[w:Kategorie:Sexueller Missbrauch in der römisch-katholischen Kirche]] [[w:Sexueller Missbrauch in der Evangelischen Kirche in Deutschland]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:26, 11. Apr. 2021 (CEST) Wenn ich einen Wikipedia-Rotlink "Anais C. Miller" erzeuge, scheint noch niemand versucht zu haben, einen Autorenartikel anzulegen - so daß mir schleierhaft ist, wie Du zu so "speziellen Freunden" bei Wikipedia und WMF kommst, daß Du auf der Spamlist landen konntest. Dort finden sich in der Regel Wiedergänger, d.h. notorische Wiederholungstäter, welche immer wieder trotz fehlender Relevanz und Interessenkonflikt (enzyklopädischer Artikel über sich selbst) eine Selbstdarstellung bei Wikipedia versuchen. Ich will es mal so formulieren: wenn Du ohne eine solche Vorgeschichte in der Spamlist landest, mußt Du wirklich enzyklopädisch relevant sein. 😂🤣😂 https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Anais_C._Miller&action=edit&redlink=1 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 11. Apr. 2021 (CEST) Bleib stehen, Fotze!“ Angst ummantelt meinen Hals. Legt sich nahezu erdrückend auf meinen Brustkorb, während ich eiligen Schrittes die Kreuzung überquere und zielstrebig in Richtung Parkhaus schwenke. Kinderstimmen sind es, die mir nachrufen und vor denen ich mich ängstige. Lächerlich! Und dennoch, laufe ich eiligen Schrittes meines Weges, der auf die letzten Meter nicht mehr enden zu wollen scheint, um diesen Kindern nicht in die Quere zu kommen. „Fotze, warte auf uns“, rufen sie noch einmal. Beinahe im Chor. Eiskalt läuft es meinen Rücken hinunter. Sie führen etwas im Schilde, ganz sicher. Die Dämmerung hat bereits eingesetzt. Der Schein der Straßenlaternen begleitet meinen hektischen Schatten entlang des Bürgersteigs. Mein Atem rasselt. Die Angst, sie ist allgegenwärtig. Ganz besonders nachts. Gähnende Leere herrscht in den Seitenstraßen. Kaum jemand ist um diese Uhrzeit unterwegs. Einige windige Gestalten schleichen um die Häuserecken. Führen ihre Hunde zum Abendgassi aus. Flüsternde Gespräche finden statt zwischen Zigarette rauchenden Passanten, die keinerlei Notiz von mir nehmen. Was wollen die Kinder von mir, verdammt? Warum laufen sie mir nach, zum Teufel? Gehören sie um diese Uhrzeit nicht längst ins Bett? Warum kümmern sich ihre Eltern nicht? Aus dem Augenwinkel heraus sehe ich, sie sind zu dritt, folgen mir noch immer und scheinen Gefallen daran zu finden, mich durch die Kälte der Nacht zu hetzen wie ein Objekt, das sie zu ihrer Beute auserkoren haben. Ihre Schritte beschleunigen, die Stimmen werden lauter. Sie lachen, sind albern. Fühlen sich stark und mir überlegen, weil sie zu dritt sind. Erhaben springe ich auf die erste Treppenstufe, um zum obersten Parkdeck zu gelangen. Nur noch wenige Meter, dann habe ich mein Auto erreicht. Ich werde hineinspringen, die Tür verriegeln und ihnen davonfahren. Mein Herz läuft einen Marathon. Schnellen Schrittes haste ich über den dunklen Asphalt entlang der mit Graffiti beschmierten Betonmauer. Nur noch wenige Parkfelder sind zu passieren und am Ende der Reihe wartet mein Wagen. Wenige Meter nur noch, dann bin ich in Sicherheit. Erleichtert krame ich nach meinem Autoschlüssel. Er steckt in der Handtasche. Trotz dem Chaos, das in ihr herrscht, bekomme ich ihn zwischen meine Finger. „Hey, bleib stehen“, wirft sich plötzlich jemand in mein Sichtfeld und versperrt breitschultrig und mit übereinander gekreuzten Armen bis auf wenige Meter, meinen Weg. Entsetzt bremse ich ab. Blicke in zwei gefährlich dreinschauende Kinderaugen eines hoch aggressiv und wütend wirkenden Jungen, der höchstens vierzehn Jahre alt sein mag. Bissig grinst er mich an. Während uns lediglich eine Armlänge auf Distanz hält, überlege ich, wo ich ihn schon einmal gesehen habe. Das Gesicht kommt mir bekannt vor und doch kann ich es nicht gleich zuordnen, wann und wo ich meine Erfahrung mit den zahlreichen Sommersprossen und den schief sitzenden Zähnen, die einer dringenden Korrektur durch das Tragen einer Zahnspange benötigten, gemacht hätte. Die drei Kinder stellen sich im Halbkreis auf. Umzingeln mich. „Wohin so eilig?“, klagt mich der älteste, wahrscheinlich der Anführer der Truppe, an. „Nach Hause. Feierabend“, haspele ich und denke im gleichen Atemzug, was geht’s die Rotznase an, wo ich hin will? Plötzlich fällt es wie Schuppen von meinen Augen. Der Junge heißt Murat Aslan. Vor wenigen Tagen überführte ich ihn des Diebstahls im Kaufhausriesen „Die Galerie“. Ich arbeitete dort als Kaufhausdetektivin und hatte den Jungen beobachtet, wie er sich Zigaretten und eine Falsche Schnaps eingesteckt hatte. Als er sich an der Kasse an der Kassiererin ungesehen vorbeischleichen wollte, mit seinem Diebesgut, zog ich ihn aus dem Verkehr. Er hatte „Rache“ geschworen, nachdem die Polizei eintrudelte und sein Vater, der von den Behörden alarmiert worden war, die Büroräume der Filalleitung betrat, um seinen Sohn in Empfang zu nehmen, auf den er ganz sicherlich nicht stolz sein brauchte. Das Klauen war ja wohl eine der schlimmsten Taten, die nicht zu den Kavaliersdelikten zählten und mit nichts zu entschuldigen waren. Anderen Menschen etwas wegnehmen wollen, das einem nicht gehört, pfui! Die Verkäuferin hatte mich gewarnt. „Lass ihn besser laufen“, hatte sie gesagt, als ich den Jungen am Gängelband hielt. „Er wird den Lack deines Autos zerkratzen und dir das Leben zur Hölle machen, wenn Herr Sander die Polizei benachrichtigt“, sprach Bianca im Flüsterton. Herr Sander war die stellvertretende Filalleitung. Bei Diebstahl verstand er keinen Spaß. Im Gegenteil. Mehr als dankbar war er, dass ich denjenigen dingfest gemacht hatte, der ihn seit Monaten um Zigaretten und Schnaps prellte. „Endlich Hausverbot, der Bengel“, klang er zufrieden und gratulierte mir sogar zu dem „Fang“. Und jetzt, jetzt stand ich hier im Parkhaus, schwitzte Blut und Wasser, und hoffte, der Junge würde mich nicht als die Kaufhausdetektiv-in erkennen, die ihm mächtig Ärger eingebrockt hatte. Der Vater des Jungen war mit dem Kind nicht zimperlich umgegangen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:49, 4. Mai 2021 (CEST) https://www.facebook.com/photo/?fbid=840049589940644&set=a.104156296863314 Darknetplattform mit 400.000 Mitgliedern Und wenn dann die Rezensionen kommen..."Sowas gibt es gar nicht!", könnte ich noch mehr kotzen! * Tabea VT - Anais C. Miller ich gehe mit meinen Traumata sehr offen um und darf mir auch immer sowas anhören. "Ach, so viel kann ein Mensch gar nicht erleben", "jaja, blühende Fantasie", "du könntest Krimiautorin sein" oder: "Wenn dir das wirklich passiert wäre, könntest du da nicht so drüber reden." Wahlweise auch mit "Sie", wenn die Gesprächspartner:innen Therapeut:innen sind. Zu letzterem: doch! Ich darf das erzählen, denn es war nicht meine Schuld, dass es mir passiert ist. Ich habe schließlich nicht darum gebeten, traumatisiert zu werden. Ich muss mich nicht dafür schämen. - Das zu verstehen, hat zwar eine Zeit gedauert 😉 aber seitdem rede ich darüber. *Ach so, und bei manchen ist das sicher auch eine Schutzreaktion, dass sie sagen, dass es sowas nicht gibt. Sie leben in ihrer rosaroten Welt, wo alles ganz leicht und zuckersüß ist und da passt sowas wie Kindesmissbrauch natürlich nicht ins Konzept 😉 * Tja viele verschließen die Augen davor! Ich würde sagen 90 % derjenigen. Erkenne ich immer wieder an den Reaktionen wenn ich von deinen Büchern erzähle! Bäää hör bloß auf, sowas will ich gar nicht wissen..... ist dann die Antwort! Ja genau da liegt das Problem. Ich weiß von nix................ Na ja ich möchte auch niemanden zwingen, es zu lesen. Ich gebe meine Stimme und es tut einfach gut, ein Zeichen zu setzen... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:40, 4. Mai 2021 (CEST) Ich lese gerade das Buch " Leisetot". Man kann sich kaum vorstellen, dass Menschen zu solchen Taten fähig sind und nach außen so unbescholten wirken. Ich frage mich, wie es der Autorin ging, als sie diesen Fall schriftlich verfasst hat. Auf jeden Fall hat Anais sehr gut recherchiert und schonungslos geschildert, was vorgefallen ist. Sie nimmt einen mit, in die Gedankenwelt einer kranken Seele einzutauchen, sofern das möglich ist. Die Abartigkeiten des Täters lassen einen schlucken. Entsetzen, Fassungslosigkeit und Ekel machen sich beim Lesen breit. Es ist so gruselig, was auf dieser Welt manchmal passiert. Das übersteigt unseren normalen Menschenverstand. Der nette Nachbar von nebenan..... 😱 Für mich hat das Buch volle 5 Sterne verdient. jaja, ich kenne auch noch "die nette Vergaserin von nebenan" - eine "gute" Schulfreundin meiner Oma, die -unverheiratet (mit ihrem Beruf verheiratet) - jahrzehntelang "zur Familie" gehörte - sie war noch fünfzig Jahre danach stolz darauf, eine Auserwählte gewesen zu sein, welche "Kniffe" sie gelernt bekam und wie gut sie die angewendet hatte, um die Ausgesonderten ins Gas zu bringen - bei der Aktion T4, aber auch noch 1945 bis 1948 - der "unproduktive Ausschuß der Gesellschaft" sollte beseitigt werden - in der Tötungsanstalt Bernburg kamen bis 1945 über 14.000 Menschen ums Leben, danach noch weitere 3.000 - vor etwa 20 Jahren erinnerte eine Initiative an diese Opfer mit einer Gedenktafel, das "Neue Deutschland" berichtete als eines der wenigen Medien darüber, danach mußte die Gedenktafel wieder aus der Wand herausgerissen werden, die Leiterin der Gedenkstätte erklärte, sie hätte kein Recht, an die 3.000 Opfer nach 1945 zu erinnern - inzwischen versucht man, den Vorfall und damit diese Opfer ganz totzuschweigen - um das herrschende SelbstGeschichtsbild dieser verkommenen und verlogenen Gesellschaft zu bewahren [[w:de:Tötungsanstalt Bernburg]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:52, 9. Jul. 2021 (CEST) da sieht man halt genau wo die "Wegseher" stecken. Unangenehme Wahrheiten will offensichtlich keiner hören oder lesen, denn das würde bedeuten dass sich viele aus ihrer Wohlfühlzone begeben müssten um diesen Misständen entgegenzuwirken. Hör bitte nicht auf den Opfern weiterhin eine Stimme zu sein. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:11, 21. Jul. 2021 (CEST) Silke ist ein aufgewecktes, besonders herzliches Kind, das mit den beiden Brüden unter der Obhut des narzisstisch - und pädophil - veranlagten Vaters, in den 80er Jahren heranwächst und unter dem strengen Regime des einflussreichen Geschäftsmannes leidet. Regelmäßig vergeht Silkes Vater sich an seiner Tochter und führt unter dem Deckmantel der Vorzeigefamilie ein abscheuliches Doppelleben. „Ein ganzes Dorf wusste von den Schandtaten meines Vaters.“ Mit nur vierzehn Jahren beschließt Silke ihr Schweigen zu brechen und nicht länger wie all die anderen, tatenlos zuzusehen. Dabei lässt sie ihre eigene Geschichte außen vor, kämpft lediglich für die Freiheit und Rechte ihrer Freunde… Die Geschichte eines außergewöhnlichen Mädchens, das sich selbstlos gegen Missbrauch auflehnt und somit in der '''Gesellschaft der "Wegsehenden"''', ein mutiges Zeichen setzt. Nuttenkinder: Das Dorf der verlorenen Seelen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:22, 25. Jul. 2021 (CEST) Moin aus Hamburg im Diesel bei lausigen 12 Grad 🙂 Was für ein schönes Gefühl, nach 365 Tagen im Jahr, seit über 3 Jahren (solange war ich nimmer im Urlaub) mal NICHT aufstehen zu müssen, um unsere Pferde zu füttern...sondern den Tag völlig gechilled zu beginnen. Gestern Abend in der Skylinebar "warm gemacht" für die Reeperbahn und nach dem Rundgang auf dem Kiez in der "Klapsmühle" auf nette Leute getroffen. Vor dem Laden stand ein älterer Typ an der Strasse, der nonstop zur Musik aus den Kneipen getanzt hat. Überhaupt nicht aufdringlich- er hat nicht um Geld gebettelt, nicht gepöbelt- sondern lediglich 2 Stunden lang für sich getanzt, völlig happy- und zwischendurch die Reste aus den von Touristen abgestellten Flaschen und Bechern getrunken. Die Plastiktüte in seiner Hand musste einige Male als imaginäre Tanzpartnerin herhalten, mit der er munter Piouretten gedreht hat. Meine Aufmerksamkeit war ihm sicher, denn er tanzte verdammt gut. Der Typ war bestimmt früher in der Tanzschule, hat später im Lokal hübsche Mädels aufgefordert und danach irgendwann- den Bezug zur Realität verloren- denn jetzt ist er auf Droge- aber er gehört zu denjenigen, die eine besondere Geschichte mit sich tragen, ebenso wie die vielen Obdachlosen, die in ihren Schlafsäcken liegend zum Teil völlig desillusioniert den Touristen nachsehen. Darunter erschreckend viele alte Menschen. Gut- Wer jetzt sagt- heute muss niemand mehr obdachlos sein- und Hamburg will das bis 2030 geregelt haben- die Heimatlosen sind selbst schuld, der möchte sich nicht unbedingt mit den Schicksalen der Menschen beschäftigen, die auf der Strasse sitzen- sondern lediglich das Problem als solches beseitigen... Dass es kein schöner Anblick für die Touris ist, ist jedem klar. Für mich gehören diese von der Gesellschaft Vergessenen seit 2015 dazu. Solange komme ich bereits her- um die Biografien einzelner Schicksale zu ✍ Ich glaube, wenn ich n' Gang durch Sankt Pauli mache, hat es für mich eine andere Bedeutung, als für manch anderen... Ich bin die- die hinter die Fassaden gucken möchte ❤ Mein derzeitiger Ausblick hinterm Hotelzimmerfenster ist wettermässig leider sehr trübe heute. Wobei ich auch gut n ganzen Tag lang nur im Bett liegen und Schiffe beobachten könnte 😊 * Schön, dass du in meiner Heimatstadt Urlaub machst. Ja, Obdachlose haben wir sehr viel. Und natürlich ist es arg theoretisch, dass niemand obdachlos sein müsste. Die vielen , die hier täglich in den S-Bahnen betteln, sind schon eine Herausforderung, aber so lange sie nichts anderes als das tun, kann ich damit leben. Natürlich wären mehr Unterkünfte wünschenswert, möglichst so, dass sie ihre wenigen Habseligkeiten wegschließen können, denn das gehört ja zu ihren größten (berechtigten) Ängsten: Dort beklaut zu werden. Mit Hamburg fühle ich mich alleine durch meine Bücher eng verbunden. Die meisten der Biografien sind hier geschrieben worden, bzw die Protagonisten stammen zum Teil aus der Gegend... und somit bin ich ein wichtiger Teil von Hamburg geworden ❤ Ich mag die Menschen hier sehr und irgendwann, wenn Jill ihren Weg alleine geht, möchte ich gern komplett in Hamburg wohnen...😉 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:25, 1. Aug. 2022 (CEST) ===Valeska Réon=== Am Rande einer Hippiekommune in Renesse aufgewachsen, habe ich es ja nicht immer so mit „deutschen Traditionen“ - aber dass freitags Fisch auf den Teller kommt, sitzt dann doch tief in mir drin. Heute jedoch in einer sehr undeutschen Version an einer Curry-Kokossauce mit jeder Menge Gemüse und einer wilden Gewürzmixtur. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:11, 2. Mär. 2021 (CET) == Casanova Verlag == Gudda Behrend: ''Aus dem Tagebuche einer Sünderin.'' Casanova Verlag Willy Saalfeld Berlin W 30 ca. 1920, 8°, 96 S., Halbleinen (Sittengeschichte, Erotik) [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuche-einer-S%C3%BCnderin/id/A01y6dv201ZZy 22 Euro im Abrahamschacht-Antiquariat Schmidt, Frau Iris Schmidt, Schachtweg 16, 09599 Freiberg] * [https://schmidt-auktionen.de/12_katalog_online.php?nr=14&page=28 Schmidt Kunstauktionen Dresden 1. 12. 2007]: [https://schmidt-auktionen.de/12_artikel_details.php?nr=14&knr=504 504 Willy Saalfeld, Akt. Um 1920. Bromsilberabzug. Ungelaufene Fotopostkarte. Leicht bestoßene Ecken. 8,8 x 13,8 cm. 60 €] * Ebenfalls bei [https://books.google.de/books/about/Aus_dem_Tagebuche_einer_S%C3%BCnderin.html?id=tXa9uQEACAAJ&redir_esc=y A. Juncker, 1910 - 105 Seiten] 1880 Født: 06-07-1880 1900 Se også gift med William Behrend Behrend, William 1901 Debut i bogform: En synderinde, blade af en dagbog (roman) http://www.litteraturpriser.dk/aut/BGuddaBehrend.htm (1880-1946) *Behrend, G.: En Synderinde (1901, roman) *Bog Behrend, G.: Hedvig Holcks Vandreaar (1903, roman) *Bog Behrend, Gudda: De ensommes Stræde. ♦ Gyldendal, 1922. 138 sider. Pris: kr. 5,75 (1922, roman) anmeldelse Bogens Verden, 1922, 4. Aarg., side 276 [Anmeldelse, signeret: K.K.N.]. https://danskforfatterleksikon.dk/1850bib/BGuddaBehrend.htm Hedvig Holcks Vandreaar - [https://books.google.de/books/about/Hedvig_Holcks_Vandreaar.html?id=ukn4xAEACAAJ&redir_esc=y Neuauflage Veröffentlicht 2019] Übersetzung ins Deutsche von [[w:Mathilde Mann|Mathilde Mann]] (* 24. Februar 1859 in Rostock als Mathilde Charlotte Bertha Friederike Scheven; † 14. Februar 1925 in Rostock - deutsche Übersetzerin und Lektorin, insbesondere für Nordische Sprachen): Gudda Behrend: Aus dem Tagebuche einer Sünderin, Berlin [u. a.] 1902 * Axel Juncker, Berlin, Stuttgart 1902, Broschur, 105 + 3 S. [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuch-einer-S%C3%BCnderin-Autorisierte-%C3%9Cbersetzung-von-Mathilde-Mann/id/A026x3z201ZZe 54+6 Euro im Antiquariat Weinek, Frau Dr. Elisabeth Weinek, Uferstrasse 8, 5026 Salzburg] ** Autorisierte Übersetzung von Mathilde Mann 8° 105 S. S. Einband: Original im Jugendstil illustr. Halbleineneinband [https://www.abebooks.de/servlet/BookDetailsPL?bi=22386118048&cm_sp=collections-_-747FHNEcCbe1N23CgE8jgR_item_1_10-_-bdp 19,63+2,20 Euro] in: Altmärkisches Antiquariat, Lars Flick (Inhaber), Sandstraße 50, 39638 Gardelegen En Synderinde: Blade at en Dagbog Gudda Behrend - [https://books.google.de/books/about/En_Synderinde.html?id=qUB-oAEACAAJ&hl=en&output=html_text&redir_esc=y 1901 - 148 pages] Der deutsche Casanova - In 3 Bänden komplett - Johann Conrad Friedrich - Vierzig Jahre aus dem Leben eines Toten - Der Memoiren 1. Teil 1789-1806 - 2. Teil 1806.1810 - 3. Teil 1810-1830 - Im Originalkarton Taschenbuch – Insel, 1991, von Johann Konrad Friederich (Autor), Friedemann Berger (Herausgeber) [https://www.amazon.de/deutsche-Casanova-Friedrich-1789-1806-Originalkarton/dp/B0026L0E4I 18 Euro] gebundene 1. Auflage Egon Fleischel & Co, Berlin 1915, OLeinen, 8°, XV; 418; IX; 452; IX; 440 Seiten Fraktur, Lesebändchen, Kopffarbschnitt [https://www.amazon.de/gp/offer-listing/B0026L0E4I/ref=dp_olp_ALL_mbc?ie=UTF8&condition=ALL 45+3 Euro] "Der deutsche Casanova" Fahrten und Liebesabenteuer nach den Memoiren eines deutschen Offiziers im französischen Heere Napoleons I. mit 32 Illustrationen von Hans Speidel und und Max Erich Nicolas, hrsg. von Max Bauer, Eigenbrödler Verlag, Berlin W 8 ca.1925 / Hrsg.: Max Bauer / Speidel [https://www.ebay.de/itm/Der-deutsche-Casanova-Eigenbrodler-Verlag-ca-1925-Hrsg-Max-Bauer-Speidel/124437184812?hash=item1cf908c12c:g:JVUAAOSw7Wxdyw1y 28+6,50 Euro] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:30, 20. Nov. 2020 (CET) == Verlage == Ich hätte bereits drei Verlage gefunden, wo mein Buch gut ins Verlagskonzept passen würde. Allerdings finden sich bei besagten Verlagen auch Werke, die unlektoriert wirken, was mich dann doch eher abschreckt, mein Buch dort einzureichen. - Mir war es wichtig, ein Buch mit einer Story zu schreiben und nicht nur Sexszenen. Allerdings ist es auch mein erstes und braucht ganz sicher noch Profis, die es sich ansehen. aus dem Anais bzw Schwarzkopf Verlag kenne ich Bücher, die ganz normal lektoriert wirken. Und Schlagzeilen. Seitenblick gibt es leider nicht mehr Schlagzeilen oder Elysion - bei den kleineren Verlagen zögere ich selber, weil mir das mit dem mangelnden Korrektorat auch aufgefallen ist ich habe aber die Erfahrung gemacht, dass Verlage die sich nicht auf BDSM spezialisiert haben, oft gar kein Hardcore annehmen. Oder gnadenlos zensieren Ich habe, bevor ich mein aktuelles Romanprojekt anbot, für ein privates Lektorat gezahlt und zahle auch das SensitivityReading. Klar. Das ist eine Menge Geld, alles in allem, aber hey, die Kohle war gerade da. Wenn ein Verlag kein Lektorat bietet, lasse ich trotz meiner Bereitschaft zur Eigenleistung die Finger davon, dort zu veröffentlichen. Lektorat und Korrektorat gehören einfach dazu, ein Verlag, der das nicht leistet, passt schlicht nicht in mein Beuteschema. Falls Elysion-Books noch nicht auf der Liste war ... Lektorat und Korrektorat ist logischerweise dabei, Bücher sind überall zu beziehen und liegen auch im Buchhandel und im stationären Handel... Klingt auch sehr interessant und kommt definitiv auf meine Liste. Allerdings bin ich nicht sicher, ob das Ende meines Buches als Happy End aufgefasst werden kann. Aber vl passt es ja bei einem anderen Buch. Bist herzlich eingeladen, dich mal bei uns beim Tribus Verlag zu melden, wenn du möchtest. Versuch es doch einmal bei konkursbuch Verlag Claudia Gehrke. Sie hat ein sehr weit gefächertes Programm, kümmert sich sehr engagiert um die Vermarktung und ist ausgesprochen fair. www.konkursbuch.com Mir geht es nur darum, eine Liste von möglichen Verlagen zu erstellen, sodass ich nicht immer wieder aufs Neue alles durchforsten muss. Leider findet man Verlage für dieses Genre nicht so leicht. BDSM allein ist ja nun wirklich schon fast Mainstream. Du könntest es auch beim charon Verlag versuchen, der neben den "Schlagzeilen" auch Bücher herausgibt. https://www.schlagzeilen.com/ Probier mal bei Letterotik.de. Ich rate zu einem Pseudonym. Habe selber 4 Aliasnamen. Es werden auch stärkere Formate veröffentlicht. Frag einfach mal nach. Ansprechpartnerin ist Frau Baer. Lektorat ist für mich okay, Kommunikation erstklassig, Covergestaltung ansprechend. mir wurde auch gesagt, dass der Verlag im Moment neue Manuskripte nur auf Empfehlung annimmt. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:42, 16. Mär. 2021 (CET) == Hersteller == urinbless.com human skin mask set ulsula.com the elder silicon headgear --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:01, 30. Dez. 2020 (CET) https://www.facebook.com/Rubbersisters/ The ultimative female transformation Moniquin Anzug Fem Mask [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/432851523438466/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/171946_432851523438466_959953674_o.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=LjLdttsoeFkAX8ITABj&_nc_oc=AQkIqnkRCGPeWkUJPRiSN8TJCO74W3R9buFkLYiobloBLy2aLh7X_r_xnese5OPch1gwfjJbWRdqhu32Z_RlKne4&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=f9be2e1d84f0ace64aad564fc7517fcf&oe=601AAE0A inflatable doll suit now in skin matching colour!] - This is exactly what I am looking for! I have to become a latex sex doll, it is my ultimate fantasy (Genau das suche ich! Ich muss eine Latex-Sexpuppe werden, das ist meine ultimative Fantasie) - I dream of owning one of these outfits someday! (Ich träume davon, eines Tages eines dieser Outfits zu besitzen!) - God that is hot. (Gott, das ist heiß.) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/537678542955763/ FB] = [https://scontent-frx5-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/397440_537678542955763_1225667219_n.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=174925&_nc_ohc=eIYd8bA0ZmgAX-fLdfr&_nc_ht=scontent-frx5-1.xx&oh=804f110a097401114ae342bc2df93158&oe=601C4FFF Dita - the new female mask] [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/531192290271055/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/935757_531192290271055_860385658_n.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=nRCKulIU87gAX8895Px&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=d7e14b49baa3789dad0e9f9b4e42548d&oe=601CEB06 "Dita" Mask] We are pleased to announce, that we are just did the final touches to our new “Dita” Mask. We are now offering this fantastic looking female mask with interchangeable eyes. The mouth is slit open and has red lips. These very realistic looking female mask made of high quality silicone is absolutely comfortable to wear. You can use any regular make-up to give this female mask an individual look. Get more details at our online shop www.2nd-skin.com or visit us at the Boundcon Fair from 24-26.05.2013 in Munich or doring the German Fetish Weekend from 18-20.05.2013 in Berlin. Yours Rubbersisters Monica & Jacline (Wir freuen uns, Ihnen mitteilen zu können, dass wir gerade den letzten Schliff für unser neues Produkt gemacht haben "Finger" Maske. Wir bieten jetzt diese fantastisch aussehende weibliche Maske mit austauschbaren Augen an. Der Mund ist aufgeschlitzt und hat rote Lippen. Diese sehr realistisch aussehende Frauenmaske aus hochwertigem Silikon ist absolut angenehm zu tragen. Sie können jedes normale Make-up verwenden, um dieser weiblichen Maske ein individuelles Aussehen zu verleihen. Weitere Informationen erhalten Sie in unserem Online-Shop www.2nd-skin.com oder besuchen Sie uns auf der Boundcon Fair vom 24. bis 26. Mai 2013 in München oder am German Fetish Weekend vom 18-20.05.2013 in Berlin. Eure Rubbersisters Monica & Jacline) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/562349830488634/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/1072175_562349830488634_520819894_o.jpg?_nc_cat=106&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=AnitAk8nXbMAX-8Bcxz&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=dc866b047bedb1724a80af21e3b101ec&oe=601ACA3E New video clip is online] at http://www.2nd-skin.com Monica is wearing the Petra mask and Betty is wearing the Gloria mask - Sorry video clip is online at http://www.rubbersisters.com - sehr schön. wie fühlt man sich, wenn man so nett aufgebleaen wird? (mit rotem Fesselsack) https://www.2nd-skin.com/de/18-frauenmasken [https://www.2nd-skin.com/de/kleber/17-skin-adhesive.html Hautkleber] - Dieser zweitkomponenten Hautkleber ist geeignet für alle prothetischen Silikonprodukte (keine PU-umhüllten Prothesen) die vorübergehend auf die menschliche Haut geklebt werden sollen. Das richtige Mischungsverhältnis ist 1 Teil A + 1 Teil B nach Volumen. Sie können auch Puder-Makeup in die A-Komponente mischen, damit es farblich Ihrem Hautton entspricht. Um die Prothese wieder zu entfernen, schälen Sie diese langsam von der Haut ab. Menge: 2 x 50 Gramm --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 7. Jan. 2021 (CET) === Dresden === https://lldesaxe-fashion.de/impressum Maik Richter Lohrmannstraße 20 01237 Dresden Deutschland Tel.: +49 (0) 351 281 34 49 Fax: +49 (0) 351 281 34 49 E-Mail: info@lldesaxe-fashion.de --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:33, 16. Jan. 2021 (CET) ''LLdeSaxe Fashion wurde am 13.01.2012 gegründet. Die gemeinsame Leidenschaft für Latexmode verband meine Frau und mich jedoch bereits seit vielen Jahren. Bei der Auswahl und Individualität der Latexbekleidung waren wir als Kunden jedoch bisher immer recht eingeschränkt. Wir stießen mit unseren Bestellungen bei anderen Herstellern regelmäßig an die Grenzen, da unsere Wünsche nicht umgesetzt werden konnten oder auch wollten.'' ''Dies sollte sich 2011 nach unserem Urlaub bei einem befreundeten Schweizer Latex-Liebhaber ändern. Hier lernte meine Frau die ersten Handgriffe im Umgang mit der Herrstellung von Latexkleidung kennen. Das ganze ergab sich völlig spontan aus dem Gespräch heraus. Wir lauschten ganz gespannt den Erzählungen unseres Freundes, als meine Frau neugierig fragte, wie denn nun die Herstellung von Latexbekleidung konkret funktionierte. Unser Freund bot daraufhin an, sie in sein Atelier mitzunehmen und ihr ein paar Tricks und Kniffe zu zeigen. Meine Frau war sofort Feuer und Flamme und so zogen sich beide zu einer Einarbeitungsschulung zurück.'' ''Sie fand sofort gefallen am Latexschneidern und so kauften wir bei unserem Freund einen größeren Posten an Latex Meterware ein. Zuhause angekommen, machen wir uns sogleich an die Arbeit, die ersten Schnitte und Designs zu entwerfen. Nach und nach wurden wir immer besser und unsere Latex Designs fanden sehr großen Zuspruch auf Partys und Verantstaltungen, wo wir zugegen waren. So entstand dann auch unsere erste kleine Kollektion, wozu zum Beispiel dieses Outfit gehört: Damen Blazer „ Ladylike 2012“ und Damen Humpelrock „Ladylike“.'' ''Unsere Latex Bekleidung kam super an und so entschlossen wir uns auch auf einer Modenschau in Nossen im November 2011 unsere Bekleidung zu präsentieren. Im Januar 2012 gingen wir dann den nächsten Schritt und haben uns mit LLdeSaxe Fashion selbstständig gemacht.'' ''Im Sommer 2012 sind wir zu unserem ersten Internationalen Auftritt in die Schweiz gefahren - In das schöne Berner Oberland nach Oensingen.'' ''Hier fand zum einen unser erstes professionelles Fotoshooting auf der Burg Neu-Falkenstein statt. Zum anderen haben wir unsere Latex-Design einem internationalen Publikum im Rahmen einer Modenschau vorgestellt. Hier wurden unsere Kreationen begeistert aufgenommen.'' ''Mitte des Jahres haben wir uns dann entschlossen, unsere Bekleidung fortan auch im Internet zu präsentieren – Zunächst auf einer kleinen, selbst erstellten Website. 2015 folgte dann der Umzug zu WEBneo um unsere Latex Outfits auch professionell online verkaufen zu können.'' ''Seit 2014 sind wir auch regelmäßig auf internationalen Modenschauen mit Präsentation und Verkauf vertreten, wie auf der Fetish Evolution in Essen (2014) und der Messe BoFeWo (2015).'' ''Seitdem arbeiten wir jeden Tag an unseren Kernkompetenzen und verfeinern unsere Designs, um unseren Kunden die beste Qualität und den höchsten Service bieten zu können.'' https://lldesaxe-fashion.de/wie-alles-begann --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:24, 16. Jan. 2021 (CET) ''Wir sind auf der Suche nach weiblichen Models aus dem Raum Dresden und Umgebung, die uns deutschlandweit auf angesagten Internationalen Fetish Messen als Model und Verkaufspersonal begleiten. Es werden weiterhin jährlich zwei große Fotoshootings mit professionellen Fotografen in Dresden und der Umgebung angesetzt, die zur Vermarktung unserer Produkte dienen sollen. Die Bilder sind sowohl für den Online Shop an sich, aber auch für die Social Media Kanäle, Print und den Digitalen Medien. Alle 3 Monate finden bei einer Abendveranstaltung zudem Team Buildings statt.'' ''Folgende Voraussetzungen solltet du dabei mitbringen:'' *''Du bist zwischen 18 und 35 Jahre alt,'' * ''hast eine Kleidergröße von maximal 36 bis 38'' * ''und bist mindestens 1,55 m groß.'' ''Wichtige Voraussetzungen sind:'' ''Du hast keine Berührungsängste mit Latex Kleidung, bist zeitlich flexibel, teamfähig und zuverlässig. Du kannst sicher posieren und auf High Heels laufen, bist offen im Umgang mit Kunden sowie sprach- und redegewandt. Wenn Du bereits Erfahrung im Bereich Modeverständnis und Styling hast, ist dies von Vorteil.'' ''Wenn Du nun Lust bekommen hast, bei einem innovativen und hochwertigen Latexlabel mitzuwirken, dann bewirb Dich bei uns. Jede bekommt bei uns eine Chance.'' ''Schreib uns eine Mail mit deinen Personen gebunden Eckdaten und stell Dich bei uns vor. Vielleicht gehörst du schon bald zu unserem Team. Wir freuen uns auf deine Bewerbung.'' ''Deine persönliche Vorstellung nach Terminvereinbarung erfolgt in unseren Geschäftsräumen:'' LLdeSaxe Fashion Schandauer Straße 23 B 01309 Dresden https://lldesaxe-fashion.de/werde-model-bei-lldesaxe-fashion vgl. https://www.facebook.com/Becca-de-Saxe-789572294522639/ Fetischmodel bei LLdeSaxe Fashion. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Latex wird aus dem Milchsaft des Kautschukbaumes gewonnen, welcher durch Räuchern und Walzen zu Kautschuk weiterverarbeitet und anschließend durch Vulkanisation zu einem stabilen Material wird. Weltweit gibt es zwar verschiedene Latexhersteller, bekannt sind jedoch vor allem 3 große Latex-Hauptproduzenten. Dabei unterscheiden sich deren Produkte zum Teil erheblich voneinander.'' ''Der Malaysische Rubber bietet zum Beispiel die größte Farbauswahl, enthält dabei aber auch die meisten chemischen Zusätze. Er wird in Asien hergestellt und auch verarbeitet.'' ''Radical Rubber stellt in Großbritannien seinen Latex her, welcher ein Spektrum von ca. 200 verschiedenen Farben bei weniger chemischen Zusätzen bietet.'' ''Wir von LLdeSaxe Fashion hingegen setzen für unsere Latex-Bekleidung auf den Latexproduzenten FOUR D Rubber aus England. Deren Premium-Latex ist nicht nur Fair Trade, es enthält auch so gut wie keine chemischen Zusätze und hat eine sehr hohe Qualität. Dabei bietet FOUR D Rubber mit über 70 Farben auf ökologischer Basis eine sehr große Auswahl. Unsere Latex-Bekleidung ist somit rein biologisch - bis hin zum Latex-Kleber.'' ''Auch wenn der m²-Preis um einiges höher ist, setzen wir aus Überzeugung auf FOUR D Rubber. Schließlich sind unsere Latex-Outfits damit auch besonders langlebig und komplett ökologisch abbaubar. Dies macht sich auch bei der Latexverträglichkeit positiv bemerkbar: Eine Kundin, die bereits eine Latex-Allergie entwickelt hatte, konnte völlig beschwerdefrei unsere Bekleidung tragen.'' ''Das Besondere an dem von uns verwendetem Premium-Latex ist sicherlich die aufgeraute Innenseite, weshalb sich unsere Latex-Bekleidung samtig weich anfühlt und nicht an der Haut klebt. Ein weiterer Vorteil ist die damit verbundene, deutlich geringere Schweißbildung. Nicht umsonst ist unser Motto: „Latex das anzieht“'' ''Die Latex-Produktion'' ''Gefertigt und produziert wird unsere Latex-Bekleidung in unserer Dresdner Manufaktur. Damit findet die Herstellung komplett in unserem Hause statt – Von der Erstellung der Schnittmuster, über die kostenfreie Maßanfertigung bis hin zum Versand. Nach Fertigstellung eines Latex-Outfits nehmen wir mehrere Qualitätskontrollen vor. Anschließend wird das Produkt gereinigt, poliert und anziehfertig eingepackt. Bei der Bestellung von Latex-Anzügen und Latex-Kleidern wird die Ware in einer limitierten Kleiderhülle mit unserem Logo verschickt. Alle anderen Produkte versenden wir vakuumverpackt zu Ihnen nach Hause. Danach heißt es nur noch: Anziehen – Wohnfühlen – Glücklich sein.'' https://lldesaxe-fashion.de/latex-das-material-seine-herstellung-und-verarbeitung --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:46, 16. Jan. 2021 (CET) ''Ende September ist es endlich wieder soweit: Die Bondage-Fetish-World, kurz BoFoWo – Deutschlands größte Messe im Bereich Fetisch und Bondage – öffnet für Szeneliebhaber wieder ihre Tore. Einmal pro Jahr findet sie in Hofheim am Taunus, nähe Wiesbaden statt. Vom 30.09. bis 02.10.2016 präsentieren hier wieder zahlreiche Aussteller ihre Produkte aus Lack, Leder & Latex sowie Kunst, Bücher, Filme und vieles mehr. Abgerundet wird die Messe durch ein attraktives Rahmenprogramm mit Workshops, Lesungen und Performances.'' ''Natürlich dürfen dabei auch wir von LLdeSaxe Fashion nicht fehlen! Mit einem der größten Messestände - ca. 25m² - und unserer größten Präsentationsfläche mit insgesamt 6 Leuten sind wir auch diesmal wieder auf der BoFoWo vertreten.'' ''An 3 Messetagen stellen wir Ihnen exklusiv unsere neuste Latex Kollektion vor. Wir haben aber auch ein breites Potpourri aus nahezu allen Produkten unseres Onlineshops für Sie im Angebot und diese können gleich gekauft und mitgenommen werden. Auf ausgewählte Produkte an unserem Aktionsständer bieten wir Ihnen sogar 10% Messerabatt an!'' ''Neben dem Verkauf steht Ihnen zusätzlich unserer exklusiver Fashion Point zur Verfügung. Am Fashion Point können Sie Ihr individuelles Outfit planen und bestellen. Dies umfasst Beratung, Information und Vermessung. Unser qualifiziertes Team berät sie gern.'' ''Die große Latex-Modenschau am Samstag bildet dann eins DER Highlights der Messe. Wer gern exklusive und einzigartige Latex Kleidung sucht, wird an unserem Messestand sicher fündig werden.'' https://lldesaxe-fashion.de/messe-spezial-die-bofewo-2016 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Unsere Kunden haben es bereits in verschiedenen Bewertungen bestätigt:'' ''Bei LLdeSaxe Fashion genießt der Kunde vollste Transparenz und Sicherheit bei seiner Bestellung. Sie haben die Möglichkeit, sich jederzeit in Ihr Kundenkonto über den aktuellen Status Ihrer Bestellung kundig zu machen. Haben Sie eine Frage zu einem Produkt oder wünschen sich eine individuelle Sonderbestellung? Kein Problem, wir melden uns immer in der Regel innerhalb von 24 Stunden bei Ihnen und erstellen zum Beispiel gern ein kundenorientiertes Angebot für Ihre Sonderbestellungen - Auch von Produkten, die Im Shop (noch) nicht angeboten werden.'' ''Ein Kunde fragte beispielsweise einmal nach einem Dalmatiner-Shorty an, passend zu seiner Latex-Maske, Stulpen und Pfoten. Wir designten also einen passenden Shorty in Weiß, schnitten schwarze Punkte aus und schicken dem Kunden einen möglichen Designvorschlag per Foto. Anschließend kleben wir sein Wunsch-Muster auf und sorgten so für einen echten Hingucker.'' https://lldesaxe-fashion.de/lldesaxe-fashion-kundenzufriedenheit-die-uns-begeistert --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:43, 16. Jan. 2021 (CET) ''Gute Nachrichten für alle Liebhaberinnen und Liebhaber der hochwertigen Latexbekleidung von LLdeSaxe Fashion: Wir haben unseren Fashion Point im Secret Desire in der Dresdner Neustadt für Sie ausgebaut und einen kompletten Stand mit unserer exklusiven Latexkleidung aus unserer Manufaktur installiert. Ab sofort finden Sie hier unter anderem Latex Anzüge, Latex Leggings, Kleider, Catsuits und vieles mehr für Damen und Herren. Natürlich haben wir auch die passenden Latex-Accessoires für Ihr individuelles Outfit. Die edlen Stücke gibt es in den Größen S, M und L. Kommen Sie einfach ins Secret Desire und probieren Sie sie an. Das Beste daran ist: Sie können die Latexbekleidung direkt kaufen und mitnehmen! Selbstverständlich finden Sie in unserem Fashion Point auch gleich die passenden Pflegeprodukte, damit Sie lange Spaß mit unseren Latex Outfits haben.'' https://lldesaxe-fashion.de/der-fashion-point-in-dresden-hat-jetzt-auch-latex-kleidung-direkt-vor-ort * ''Am Sonnabend eröffnet Jessica Vogt auf der Rothenburger Straße ein neues Lädchen für Drunterziehsachen: Secret Desire. Obwohl, ganz so neu ist das Lädchen nun auch wieder nicht. Schon seit November 2013 werden hier Schlüpfer, Strapse und andere Unterwäsche verkauft. Doch im Januar hatte die „fem2glam“-Chefin Dina Stiebing angekündigt, den Laden zu schließen. Der Grund dafür wartet zurzeit nur noch auf den richtigen Moment um mit einem kräftigen Schrei zur Welt zu kommen. Dina hatte schon damals erzählt, dass sie jemanden sucht, der den Laden übernehmen könnte. Das ließ sich Jessica Vogt nicht zweimal sagen. Die studierte Diplom-Ökologin hatte zuletzt als Imbiss-Frau an Katys Garage gearbeitet. Nun tauscht sie Würstchen gegen Mieder und stürzt sich in die Selbstständigkeit. „Die Sachen sind für den Tanz an der Stange geeignet“, grinst sie frivol. Im Wesentlichen bleibt der Laden, wie er ist. Ein bisschen wurde umgeräumt und die Umkleidekabine wird vergoldet. „Ich war Stammkundin bei Dina und bin der Meinung, dass der Laden weiter geführt werden muss.“ Am Sonnabend um 11 Uhr will sie zum ersten Mal die Türen öffnen. Es gibt Prosecco und Sushi und natürlich jede Menge Schlüpfer. Letzteres übrigens auch für Herren, das ist neu. Mal sehen, ob es Jessica gelingt, das sogenannte starke Geschlecht in ihr kleines Lädchen zu locken. Vorbesitzerin Dina Stiebing wünscht ihr auf jeden Fall schon mal viel Erfolg, Dinas Unterwäsche gibt es jetzt nur noch online (Domain zu verkaufen).'' [https://www.neustadt-ticker.de/45127/aktuell/nachrichten/secret-desire Es bleibt schlüpfrig auf der Rothenburger] 14. April 2016 Anton Launer Secret Desire – Neueröffnung Sexy Dessous, frivole Abendmode und coole Clubware. Rothenburger Straße 7, 01099 Dresden, Telefon: 0176 24942511, Montag bis Freitag: 11.30 bis 19 Uhr, Sonnabend 11 bis 17 Uhr, weitere Infos auf der Facebook-Site (Seite nicht verfügbar) [Twitter nur ein Eintrag von 2016] https://twitter.com/secret_desiredd [https://www.tag24.de/nachrichten/stammkundin-reizwaesche-shop-dessous-67148 STUDIERTE GRILLMIEZE VERKAUFT JETZT SCHLÜPFER] tag24 vom 18. April 2016 Von der Würstchen-Brutzlerin zur Dessous-Verkäuferin: Jessica (30) ist jetzt Chefin vom "Secret Desire". Von Tom Schmitdgen Dresden - Vom Grill ins Negligé - Jessica Vogt (30) übernimmt den Dessous-Laden „Secret Desire“ (vorher „Fem2Glam“) auf der Rothenburger Straße. Am Wochenende eröffnete sie das 60 Quadratmeter große Spezialgeschäft (500 BHs, Mieder, Bodys). Die studierte Ökologin stand zuletzt am Würstchengrill bei „Katys Garage“. Doch jetzt zog es sie in den Wäscheladen. Denn die vorherige Chefin Dina Stiebing (37) hatte ihren Reizwäsche-Shop vor zwei Wochen wegen ihrer Schwangerschaft geschlossen. „Ich war früher Stammkundin und wollte nicht, dass der Laden einfach schließt“, sagt die neue Dessous-Chefin. „In Zukunft plane ich auch Ausstellungen und erotische Lesungen im Geschäft. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:44, 16. Jan. 2021 (CET) === Entwürfe === [https://www.facebook.com/LatexFashionDesign/photos/a.516389838434004/5006789482727328/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/139067194_5006789486060661_7750722395006097503_o.jpg?_nc_cat=102&ccb=2&_nc_sid=730e14&_nc_ohc=lEzBHqNm134AX8pVTK_&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7efd93241f046fe67ca7028ca4eb0d2d&oe=6026DF5F “As delicate as flower, as tender as rose petals, choosing to be tender and kind in a harsh environment is not weakness, it's courage.” ― Luffina Lourduraj] (′′ So zart wie Blume, so zart wie Rosenblätter, die sich entscheiden, zart und freundlich in einer harten Umgebung zu sein, ist keine Schwäche, es ist Mut." - Luffina Lourduraj) - violetter Latexumhang --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:52, 16. Jan. 2021 (CET) == Satyamurti Cornelis Snoek == == Surfen== === Keala Kennelly === [[w:de:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] [[w:en:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] en [[w:fr:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] fr [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/ FB] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/131488510956/ 29. August 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/135850190956/ 6. September 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/280410355956/ Brrrrrrrr! Winter in the South Bay.] 29. Jan. 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/453009100956/ I won the Nelscott Reef Women's Big-wave Paddle-in event today. It was a nice distraction for a moment from all the pain of loosing my boy Andy.] Ich habe heute das Big-Wave-Paddle-In-Event der Nelscott Reef Women gewonnen. Es war eine schöne Ablenkung für einen Moment von all dem Schmerz, meinen Jungen Andy zu verlieren. - 4. November 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/472181295956/ Surfer Poll Pirate.] 12.12.2010 - noch Spaß [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150109351905957/ This is my new Donjoy Knee brace. This thing is serious. I feel like Robo-cop or something. Lets hope it works well in the water] (Dies ist meine neue Donjoy Knieorthese. Diese Sache ist ernst. Ich fühle mich wie Robo-Cop oder so. Hoffen wir, dass es im Wasser gut funktioniert) März 2011 Unfall 27.? August 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150320862555957/ The Phantom mask arrived and... It looks ridiculous! It's WAY too big. I am going to send it back. It was worth a try.] Die Phantommaske ist angekommen und ... Es sieht lächerlich aus! Es ist viel zu groß. Ich werde es zurückschicken. Es war einen Versuch wert. - 13. Oktober 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150632930575957/ That's a hell of a way to win the comeback of the year award, but hey I will take it Thanks TransWorld SURF!] (Das ist eine verdammt gute Möglichkeit, das Comeback des Jahres zu gewinnen, aber hey, ich werde es nehmen Vielen Dank, TransWorld SURF!) - 8. April 2012 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151360156120957/ It's been almost 2 years since my surfing accident in Tahiti... I see a swell... Time to get back on that horse.] (Es ist fast 2 Jahre her seit meinem Surfunfall in Tahiti ... Ich sehe einen Wellengang ... Zeit, wieder auf dieses Pferd zu steigen.) Am 3. Dezember 2013 hielt Keala auf der TEDx Malibu einen Vortrag über Lust und Surfen: "Ich bin Keala Kennelly und ich bin ein Surfer." https://www.youtube.com/watch?v=eSvsrzPCZ5o [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151899575820957/ 12.März 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155122831665957/ Me and the champ @paigealms a few years back about to go slay dragons somewhere cold. I would have loved to compete with you in the @wsl #maverickschallenge this year. Too bad Mother Nature didn’t cooperate. Congratulations on your #bigwave #worldtitle I’m so very proud of you my friend] März 2014 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430223345957/ 21. Dezember 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430284150957/ 21. Dez. 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155610476290957/ 27. Okt. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155708213405957/ 16. Dez. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155808808865957/ 5. Febr. 2019] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:36, 1. Jan. 2021 (CET) ==Wasserballet == [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157432917 nackte nymphe] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157692623 nymphe 2] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755467 Underwater Ballet. Ballerina performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755487 Underwater Ballet. Ballet dancers performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/dancing-vision-013-lizenzfreies-bild/983042290 Dancing Vision 013 unterwasser in rot und weiß] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3246570 Submarine Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert, Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3332495 Water Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert/Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818228 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818227 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/utah-orem-female-ballet-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/163445400 USA, Utah, Orem, Female ballet dancer under water] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-fashion-pool-party-young-woman-diving-at-lizenzfreies-bild/838059614 Underwater fashion pool party, Young woman diving at swimming pool] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/women-rehearsing-for-water-ballet-lizenzfreies-bild/522170012 Women Rehearsing for Water Ballet (Original Caption) Submerged ballerinas rehearse for a show at Leisure World in Laguna Hills, California.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/639988160 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-girl-lizenzfreies-bild/642637812 Underwater Girl. Beautiful young ballerina dancing inside the swimming pool] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/51309459 Aquatic Ballet From 'La Folies Bergere'. Two actors dance during the performance of an aquatic ballet at the 'Folies Bergere,' Paris, France, July 1952. (Photo by Nat Farbman, The LIFE Picture Collection)] * [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/50651216 Bild 2] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/figurine-to-one-of-the-rhine-daughters-for-the-nachrichtenfoto/1155868795 Figurine To One Of The Rhine Daughters For "The Rhinegold" By Richard Wagner Figurine to one of the Rhine daughters for "The Rhinegold" by Richard Wagner, circa 1913. Found in the Collection of Theatre Museum, Vienna. Artist Moser, Koloman (1868-1918). (Photo by Fine Art Images] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/das-rheingold-1st-scene-at-the-bottom-of-the-rhine-nachrichtenfoto/919717270 Das Rheingold. Das Rheingold, 1st scene, at the bottom of the Rhine. Bayreuth, 1896, 1896. Found in the Collection of Veste Coburg. (Photo by Fine Art Images)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215747 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-diver-dressed-as-a-mermaid-swims-during-a-show-nachrichtenfoto/77215732 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) A female diver dressed as a mermaid swims during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215749 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/young-woman-in-pool-and-synchronized-swimming-lizenzfreies-bild/1125338066 Young woman in pool and synchronized swimming.] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/girls-practicing-lizenzfreies-bild/1001603246 Girls practicing synchronised swimming] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/female-dancer-performing-under-water-lizenzfreies-bild/107227572 Female classic dancer performing under water in huge red flamenco dress] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/635847936 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/gracefull-female-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/1218911725 gracefull female dancer, ballerina, performing under water in evening dress] [https://www.gettyimages.de/fotos/wasserballet?page=62&phrase=wasserballet&sort=mostpopular Wasserballet] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:46, 10. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=3304759069569835&set=pb.100001073237260.-2207520000..&type=3 Unterwasser Pool Dance] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:55, 1. Apr. 2021 (CEST) == Stammtisch == == Film == [[w:de:Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme|Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme]] [[w:de:Onibaba – Die Töterinnen|Onibaba – Die Töterinnen]] 22.11.1974 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Police_women_(Suzuki),_colored_version.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rally_Finland_girls_at_the_2004_Rally_Finland.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2017_%EF%BC%88%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%B5%E3%83%AD%E3%83%B32017%EF%BC%89-145_(32324539015).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2014_with_NAPAC_069_(11928415683).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Auto_Salon_2019_(46716676402).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2018-10_(39796580051)_(2).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4064234086).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4056011396).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_43rd_Tokyo_Motor_Show_2013_PENTAX_K-3_173_(11248257665).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-42_(38007568292).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-40_(24186220808).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-41_(38038306141).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binary_Domain_stick_em_up.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Biker_girl_(1869378328).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bianca_Beauchamp_E3.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Alexis_Sinclaire_from_Sin.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC02787_(25113378).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC06667_(5812038000).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2010_._._(4705546060).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Firefall_4_5_(7794135388).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geleos_Media_girl_(3538443656).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_E3_2011_No.21.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joanna_Dark_GC_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nival_girl_on_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nova_Online_girls.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Samus_and_Link_at_Igromir_2012_2.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Royal_Quest_girls_of_Igromir_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yet_Another_Booth_Babe_(14703146).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2017_20170922-DSC_2297_(37593917581).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018_(29698389636).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018(29442725600).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2015_19_(21355000028).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108514369).jpg 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https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192248).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Green_girl_from_Igromir_2007_(1869368430).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(29440043834).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(30016564876).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3011794487).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3012636224).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PAX_2009_-_Bayonetta_(3908301541).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Penny_Drake_dressed_as_Bayonetta_-_E3_2009_(4980795423).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Scythe_lady_(5811227302).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Warhammer_40K_at_Gamescom_(20451073662).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:WH40K_at_Gamescom_2015_(20241517278).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2017-Wednesday-007_(35929619784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2015-269_(20371168485).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_4.jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_5.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2016-267_(29073160575).jpg --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:04, 3. Jan. 2021 (CET) == Second live == === Outfits === [https://marketplace.secondlife.com/p/chainZ-HoodPlug/13281161 SX - HoodPlug (rezz to unpack) Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/SX-Bondage-Bolero-Maitreya/14717859 SX - Bondage Bolero MP Box] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Gloves-Hoof-Latex-INITHIUM-Kupra/20425014 AURORA Pony Sabina Gloves Hoof Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Latex-Set-INITHIUM-Kupra/20425011 AURORA Pony Sabina Latex Set] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHBLatex-Doll03-pony-BootsMittens-BOX/18385199 DHB Latex Doll03 pony Boots&Mittens - BOX] [https://slm-assets.secondlife.com/assets/27296581/view_large/a3.jpg?1599549736 GRAVES Proximity - Clear - latex bodysuit, catsuit, plugsuit, undersuit - Maitreya and Omega appliers] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Mesh-Bodybinder-Latex/2939506 Kcreations Mesh Bodybinder - Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Pony-Thighboots-with-28-selectable-textures-Patent-12/3120590 Kcreations Pony Thighboots with 28 selectable textures (Patent) 1.2] [https://marketplace.secondlife.com/p/090-Lilith-HuPony-Female/20951830 #090 Lilith HuPony Female] [https://marketplace.secondlife.com/p/CortesnRossini-Woman-Catsuit-St-Valentines-Gift/970294 St. Valentin's Gift] rosa [https://marketplace.secondlife.com/p/trinixxx-Full-Body-Latex-Armour-FATPACK/17094076 trinixxx Full Body Latex Armour] FATPACK [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-FatPack/20874686 AURORA Rebecca] FatPack [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Latex-set/20874685 AURORA Rebecca] Latex set [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Plastic-set/20874684 AURORA Rebecca] Plastic set [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Opaque-latex-catsuits/9134751 MdlM Opaque latex catsuits Version 4] - 27 opaque latex catsuits appliers + 6 military camouflage catsuits [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Transparent-latex-catsuits/9134753 MdlM Transparent latex catsuits Version 4] - 27 transparent latex catsuits appliers + 2 pairs of pasties (top and bottom) [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Clear-latex-catsuits/9134746 MdlM Clear latex catsuits Version 4] - 27 clear latex catsuits appliers + 3 invisible [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Latex-catsuits-Fatpack/9134750 MdlM Latex catsuits Fatpack Version 4] - all the 4 latex catsuits variants (opaque, sheer, transparent and clear), so features 27x4 latex catsuits appliers + 21 bonuses [https://marketplace.secondlife.com/p/AtaMe-Gabriella-Latex-Boots-Black-Maitreya-Hourglass-Legacy/20430661 AtaMe - Gabriella Latex Boots Black] [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Hobble-Dress/15078580 KaS Hobble Dress] - 3 versions: short-, knee- and ankle-length. It has the option to hide the cutouts on the back, allowing you to expose the torso, the butt, the legs - or all of them. For the sleeves you have 4 options. You can wear the dress sleeveless, with short sleeves, long sleeves or with mittens. [https://marketplace.secondlife.com/p/BellaBee-Latex-Dress-Romy/20974468 BellaBee Latex Dress Romy] kleines Schwarzes - schräg [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Fatpack-Mesh/4593676 ROSAL TUEUR2 Complete Set] - Fatpack (Mesh) - Neck Corset - Waist Corset - Gloves - Thigh-high Platform Boots - Thigh-high Ballet Boot [https://marketplace.secondlife.com/p/CA-BELLEZA-MAITREYA-SLINK-TONIC-X-RIDER-COMPLETE-COLLECTION/16812678 CA BELLEZA MAITREYA SLINK TONIC X RIDER COMPLETE COLLECTION] [https://marketplace.secondlife.com/p/FUTURETRO-2020-SciFi-Star-Fleet-Stylized-Power-Suit-Trek-Cosplay-Space-Crew-Dress-Jacket-Skirt-Six-Colors-in-FATPACK/18446413 FUTURETRO 2020 SciFi Power Suit - FATPACK] Six colors each: Red Gold Blue Aqua Pink Green Jacket, Skirt and full Suit-dress options [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-black-with-white-highlights/15509661 Latex nun black with white highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-white-with-black-highlights/15509662 Latex nun white with black highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-Red-Dress/2373909 GZ Fetixxx Latex Masked Red Dress] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-White/2373920 GZ Fetixxx Latex Masked White] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latexhood-XTREM/4326081 Latexhood / Mask V9.2.1 Box CnT] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/AdelleArts-Liquid-Latex-Doll/4728304 AdelleArts Liquid Latex Doll] schwarz klassisch [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Sex-Doll-Rubber/2046393 GZ Fetixxx Latex Sex Doll Rubber] Kondomanzug hautfarben [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-black-coloured-condom-dolly-latex-suit-applier/20911340 Maitreya black coloured condom dolly latex suit applier] catsuit schwarz mit roten Kondomen [https://marketplace.secondlife.com/p/VS-LTX-Forza-Complete-Body-Accessories-pack/14368213 VS - LTX Forza - Complete Body Accessories pack] Korsett + Halskorsett - lange Stiefel + Handschuhe Latex schwarz/rot -weiß/rot [https://marketplace.secondlife.com/p/KDC-Avara-Latex-Hood-Malefica-addon/17535880 KDC Avara Latex Hood - Malefica addon] weißes Gesicht/schwarz [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Gloves-Multicolor-Mesh/4815024?ple=h ROSAL UNMEI Gloves - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Gloves-Black-FitMesh/3829148 ROSAL VIRON-M Gloves - Black (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Thigh-Ballet-Boots-Multicolor-Mesh/4815198 ROSAL UNMEI Thigh Ballet Boots - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Complete-Set-Red-FitMesh/6730139 ROSAL VIRON-M Complete Set - Red (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-LISSE-Sculpted-Latex-Neck-Corset-Red/1660350 ROSAL LISSE Sculpted Latex Neck Corset - Red] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-STEAM-Neck-Corset-Multicolor-Mesh/5192603 ROSAL STEAM Neck Corset - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Red-Mesh/4593346 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Red (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Black-Mesh/4593347 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Black (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Mesh-DEMO/4593675 ROSAL TUEUR2 Complete Set (Mesh) *DEMO*] [https://marketplace.secondlife.com/p/Full-Hood/19642641 Full Hood Version v1.02] Rebel Pony Hood [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Ballet-Boots-Big-Bundle-Demo/15078564 *KaS* Strapped Ballet Bundle (Demo) Version 1.01] [https://marketplace.secondlife.com/p/PROMO-150L-OFF-SALE-Drakke-Obsession-Fetish-Crotch-High-BootsLatex-White/1478283 PROMO $150L OFF SALE Drakke! "Obsession" Fetish Crotch High Boots(Latex White)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10/6184360 Moyet Gasmask v.1.0] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10-IrO-AddOn/6184380 Moyet Gasmask v.1.0 IrO AddOn] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetBlackUniform/5847036 Moyet *BlackUniform] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetPrisoner/6030677 Moyet *Prisoner!] ==== RLV ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-hecate-helmet/14872058 NGW hecate helmet Version 1] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-cult-hat/20355133 NGW cult hat box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-v102/11367411 NGW Danaide hood v1.01 Version 1.02] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-demo/11367412 NGW Danaide hood demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-fatpack-helene-addons/20992886 NGW fatpack helene addons] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-helene-hood-bento/20540754 NGW helene hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-helene-box/21426731 NGW gimp helene box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-box/12089210 NGW gimp hood RM v1.01 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-demo-box/12089209 NGW gimp hood RM v1.01 demo (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-v1-box/12166443 NGW gimp hood fatpack v1 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-V1-demo/12166582 NGW gimp hood fatpack V1 demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Aphrodite-hood-v102/9567240 NGW Aphrodite hood v1.02 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Venus-Hood-Complete-Fatpack-box/15554401 NGW Venus Hood Complete Fatpack (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-tea-hood/19273665 NGW tea hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box/13309214 NGW theia hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box-demo/13309215 NGW theia hood box demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-v1-boxed/12717546 NGW puffy hood v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-Demo-v1-boxed/12717545 NGW puffy hood Demo v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Capture-SackRLV-LZ/15200777 Latex Capture Sack,RLV] [https://marketplace.secondlife.com/p/DEMO-HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3368648 DEMO HybridZ Latex Atemkontrolle Black FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Jail-Cell-with-RLV/2982858 Latex Gefängniszelle (mit RLV!)] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHB-Latex-Hood-customized/11656464 DHB Latex Hood (customized)] [https://marketplace.secondlife.com/p/SubChair-2-Latex-RLV-BDSM-Captive-Project/1065214 SubChair 2 Latex RLV BDSM - Captive Project Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/Bane-Hood/19694442 Bane Hood] Fluch-Maske :: Comes with 3 versions of the hood that can be toggled via menu: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (for open mouth animations) -::Rigged Hood ::Comes with its own resize scripts for the unrriged hoods. ::The rigged hood cannot be resized and its shape will depend on the wearers head shape. ::Color and textures of the hood can be adjusted using the menu. ::Has 5 additional surfaces (Front, Top, Back, Left and Right) that can be textured independently with your own custom textures. ::Easy to set up custom textures for the 5 additional surfaces, by adding the textures to the hood inventory and editing a notecard. ::In order to work custom textures must be full perm. This is an SL limitation. ::Comes with UV maps of each additional surfaces to help creating your own textures. ::Can be locked in place if the victim is using an RLV enabled viewer. ::Owners can be set. ::Kommt mit 3 Versionen der Haube, die über das Menü umgeschaltet werden können: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (für Animationen mit offenem Mund) ::-Rigged Hood ::Kommt mit seinen eigenen Skripten zur Größenänderung für die nicht manipulierten Hauben. ::Die Größe der manipulierten Kapuze kann nicht geändert werden und ihre Form hängt von der Kopfform des Trägers ab. ::Farbe und Textur der Haube können über das Menü eingestellt werden. Verfügt über 5 zusätzliche Oberflächen (vorne, oben, hinten, links und rechts), die unabhängig voneinander mit Ihren eigenen benutzerdefinierten Texturen strukturiert werden können. ::Einfache Einrichtung von benutzerdefinierten Texturen für die 5 zusätzlichen Oberflächen durch Hinzufügen der Texturen zum Haubeninventar und Bearbeiten einer Notizkarte. ::Um zu arbeiten, müssen benutzerdefinierte Texturen eine vollständige Dauerwelle haben. Dies ist eine SL-Einschränkung. ::Kommt mit UV-Karten jeder zusätzlichen Oberfläche, um Ihre eigenen Texturen zu erstellen. ::Kann an Ort und Stelle gesperrt werden, wenn das Opfer einen RLV-fähigen Viewer verwendet. ::Besitzer können eingestellt werden. [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3171296 HybridZ Latex Atemkontrolle Black - FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle™ - Modify - Copy - No Transfer ::Inspired by the artwork of Chio Maisriml. See below for details on where to find his work. ::A big thank you to Regan for all his help and hard work. ::Please note that you have to be using a Restrained Love compatible Viewer with ❋MESH❋ capabilities to take FULL advantage of the many features of this Atemkontrolle. Please also be aware that to experience the full effect of the Blindfold feature you must be running the latest version of the Restrained Love Viewer. See below for details on how to find the Restrained Love and Mesh Viewers. ::Use: ::- To use your HybridZ Latex Atemkontrolle simply wear all the parts. ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle ™ - Ändern - Kopieren - Keine Übertragung ::Inspiriert von den Kunstwerken von Chio Maisriml. Weiter unten erfahren Sie, wo Sie seine Arbeit finden. ::Ein großes Dankeschön an Regan für all seine Hilfe und harte Arbeit. ::Bitte beachten Sie, dass Sie einen Restrained Love-kompatiblen Viewer mit "MESH" -Funktionen verwenden müssen, um die vielen Funktionen dieser Atemkontrolle voll ausnutzen zu können. Bitte beachten Sie auch, dass Sie die neueste Version des Restrained Love Viewer ausführen müssen, um die volle Wirkung der Funktion "Augenbinde" nutzen zu können. Weiter unten finden Sie Details dazu, wie Sie die Restrained Love- und Mesh-Zuschauer finden. ::Benutzen: ::- Um Ihre HybridZ Latex Atemkontrolle zu verwenden, tragen Sie einfach alle Teile. Due to the nature of the MESH parts please make sure you wear the included Body Shape or you will find the various parts will not fit or work correctly. Please also note that these parts should never been stretched or resized in anyway. Doing so will break the items. Aufgrund der Beschaffenheit der MESH-Teile stellen Sie bitte sicher, dass Sie die mitgelieferte Körperform tragen. Andernfalls werden die verschiedenen Teile nicht richtig passen oder funktionieren. Bitte beachten Sie auch, dass diese Teile ohnehin niemals gedehnt oder in der Größe verändert werden sollten. Dadurch werden die Gegenstände zerbrochen. *- Also included in the box is a Body Alpha. The Alpha must be used in conjunction with the Atemkontrolle avatars attachments. *- The default attachment points are included in each attachment name and are listed below: *Latex Atemkontrolle - MOUTH *Latex Atemkontrolle (Skull) - SKULL *Latex Atemkontrolle Breath Particles (Left Hand) - LEFT HAND *Leash Handle - LEFT HAND *- Please note the Atemkontrolle must be "LOCKED" before any of the following RLV functions become active. *- Please also remember that the "Deny Friend" TP button will always work for you and your Atemkontrolle, this is more a safety feature, anyone not on the Atemkontrolle's access will still be blocked from sending a TP *- Ebenfalls im Lieferumfang enthalten ist ein Body Alpha. Das Alpha muss in Verbindung mit den Atemkontroll-Avatar-Anhängen verwendet werden. *- Die Standardanhangspunkte sind in jedem Anhangsnamen enthalten und werden nachfolgend aufgeführt: *Latex Atemkontrolle - MUND *Latex Atemkontrolle (Schädel) - SCHÄDEL *Latex Atemkontrolle Atempartikel (linke Hand) - LINKE HAND *Leinengriff - LINKE HAND *- Bitte beachten Sie, dass die Atemkontrolle "GESPERRT" sein muss, bevor eine der folgenden RLV-Funktionen aktiv wird. *- Bitte denken Sie auch daran, dass die TP-Schaltfläche "Freund verweigern" immer für Sie und Ihre Atemkontrolle funktioniert. Dies ist eher eine Sicherheitsfunktion. Jeder, der nicht über den Zugriff der Atemkontrolle verfügt, kann weiterhin keine TP senden *Latex Atemkontrolle Menu Driven Features: *The following menus can only be accessed once all the attachments are worn. *Then simply click on the Atemkontrolle's Face. *Once the Lock command is selected it will effect all the worn parts making them all undetachable. This removes the need for each part to be locked seperately. *-OWNERS - Ownership Ability allows you to add owners and give them access to the menus. Simply click on the Atemkontrolle, go to 'OWNERS' and select 'Add OWNER'. Then choose the appropriate button number to add the person you want And your done! *- LOCK - Locks all the Atemkontrolle's attachments. *- UNLOCK - Unlocks all the Atemkontrolle's attachments. *- LOCK SKIN - Locks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- UNLOCK SKIN - Unlocks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- BLOCK TP - Blocks all forms of Teleport, TP to Landmarks, TP to Map Locations, TP to Friends and TP to Sit on Objects. * - GAG - Prevents the Atemkontrolle from talking. * - UNGAG - Allows the Atemkontrolle to talk again. *- BREATHE ON - Turns Breathe sound effects on for use in breath play. *- BREATHE OFF - Turns Breathe sound effects off. *- BLINDFOLD - Turns the Atemkontrolle's Blindfold on. *- REM BLIND - Turns off the Atemkontrolle's Blindfold. *- UPDATE - Checks for any upgrades to your product (Note: You must be in range of the Update Server located at the HybridZ Main Store.) *- FREEZE - Freezes the Atemkontrolle to the spot preventing any kind of movement. *- UNFREEZE - Unfreezes the Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isolates the Atemkontrolle from interacting in the SecondLife Environment, Inventory access denied edit objects TP etc, IM to locker/OWNER only permitted for safety reasons. *- REM ISO - Turns off Isolation *Menügesteuerte Funktionen des Latex-Atemkontrollgeräts: *Auf die folgenden Menüs kann nur zugegriffen werden, wenn alle Anhänge abgenutzt sind. Dann klicken Sie einfach auf das Gesicht der Atemkontrolle. Sobald der Befehl Sperren ausgewählt ist, wirken sich alle verschlissenen Teile auf sie aus und machen sie alle abnehmbar. Dadurch entfällt die Notwendigkeit, jedes Teil separat zu verriegeln. *-OWNERS - Mit Ownership Ability können Sie Eigentümer hinzufügen und ihnen Zugriff auf die Menüs gewähren. Klicken Sie einfach auf die Atemkontrolle, gehen Sie zu 'EIGENTÜMER' und wählen Sie 'EIGENTÜMER hinzufügen'. Wählen Sie dann die entsprechende Schaltflächennummer, um die gewünschte Person hinzuzufügen, und fertig! *- LOCK - Sperrt alle Anbaugeräte der Atemkontrolle. *- ENTSPERREN - Entsperrt alle Anhänge der Atemkontrolle. *- LOCK SKIN - Sperrt die Haut und Form der Atemkontrolle. *- HAUT ENTSPERREN - Schaltet die Haut und Form der Atemkontrolle frei. *- BLOCK TP - Blockiert alle Formen von Teleport, TP zu Orientierungspunkten, TP zu Kartenpositionen, TP zu Freunden und TP zum Sitzen auf Objekten. *- GAG - Verhindert, dass die Atemkontrolle spricht. *- UNGAG - Ermöglicht der Atemkontrolle, erneut zu sprechen. *- BREATHE ON - Schaltet Breathe-Soundeffekte für die Verwendung im Atemspiel ein. *- ATMEN AUS - Schaltet die Soundeffekte zum Atmen aus. *- BLINDFOLD - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle ein. *- REM BLIND - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle aus. *- UPDATE - Überprüft, ob Upgrades für Ihr Produkt durchgeführt wurden (Hinweis: Sie müssen sich in Reichweite des Update-Servers befinden, der sich im HybridZ Main Store befindet.) *- EINFRIEREN - Friert die Atemkontrolle an der Stelle ein, um jede Art von Bewegung zu verhindern. *- UNFREEZE - Entfriert die Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isoliert die Atemkontrolle von der Interaktion in der SecondLife-Umgebung, Inventarzugriff verweigert Bearbeitungsobjekte TP usw., IM an Schließfach / EIGENTÜMER nur aus Sicherheitsgründen zulässig. *- REM ISO - Deaktiviert die Isolierung *Once an Owner has been added to the list they can click on the Atemkontrolle to get an extended features list. All the above functions will be present but with the following additional buttons: *- CLOTHING - Allows removal of individual clothes, also ALLOW ALL/ DENY ALL controls whether your Atemkontrolle can wear or remove clothing. *- Though this Menu option is still present please be aware that clothing layers cannot be worn on top of a MESH Avatar. *- GIVE - Dispenses a copy of the Leash Handle/Leash Post or Instructional Notecard to the owner. The Leash Handle is worn on the LEFT HAND. *Once an Owner is wearing the Leash Handle they can then click it to access the LEASH,UNLEASH and LEASH LENGTH options. *Additionally whilst the Atemkontrolle is leashed the owner may rez a Leash Post and click on the ring to leash the Atemkontrolle to the Post. Clicking on the Leash Handle transfers the leash back from the Post to the Handle. *- Please note if the Atemkontrolle is leashed without the Owner wearing the Leash Handle the leash will attach to the Owner at the default 'Pelvis' point. *Additional Features: **- Locking Sound Effects when certain parts are Locked and Unlocked. **- Latex Rub Sound Effects upon walking. *Sobald ein Eigentümer zur Liste hinzugefügt wurde, kann er auf die Atemkontrolle klicken, um eine erweiterte Funktionsliste zu erhalten. Alle oben genannten Funktionen sind vorhanden, jedoch mit den folgenden zusätzlichen Tasten: *- KLEIDUNG - Ermöglicht das Entfernen einzelner Kleidungsstücke. Außerdem erlaubt ALLOW ALL / DENY ALL, ob Ihre Atemkontrolle Kleidung tragen oder entfernen kann. *- Obwohl diese Menüoption immer noch vorhanden ist, beachten Sie bitte, dass Kleidungsschichten nicht über einem MESH-Avatar getragen werden können. *- GEBEN - Gibt eine Kopie des Leinengriffs / der Leinenpost oder der Anweisungsnotizkarte an den Eigentümer aus. Der Leinengriff wird an der LINKEN HAND getragen. *Sobald ein Besitzer den Leinengriff trägt, kann er darauf klicken, um auf die Optionen LEASH, UNLEASH und LEASH LENGTH zuzugreifen. *Während die Atemkontrolle an der Leine geführt wird, kann der Besitzer zusätzlich einen Leinenpfosten rezzen und auf den Ring klicken, um die Atemkontrolle an den Pfosten zu führen. Durch Klicken auf den Leinengriff wird die Leine vom Pfosten zurück zum Griff übertragen. *- Bitte beachten Sie, dass die Leine an der Leine geführt wird, ohne dass der Besitzer den Leinengriff trägt. Die Leine wird am Standardpunkt „Becken“ am Besitzer befestigt. *Zusatzfunktionen: **- Sperren von Soundeffekten, wenn bestimmte Teile gesperrt und entsperrt sind. **- Latex Rub Sound Effekte beim Gehen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:29, 24. Feb. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-BDSM-RLV-Doll-Dollification-RP-Latex-Spray-Gun/413305 HybridZ BDSM RLV Doll Dollification RP Latex Spray Gun] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 2. Mär. 2021 (CET) ==== Haare ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Domela/13427270?ple=c EdelStore Mesh Hair - Domela (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Delmira/13426185 EdelStore Mesh Hair - Delmira (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/G-Draya-Hairbase/21054117 G.- "Draya" Hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/ARGRACE-SAYURI-BW/17349859?ple=c ARGRACE* SAYURI - B&W] [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Grae-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/11267667 Tameless Hair Grae - Naturals] Includes OMEGA applier for hairbase [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Kit-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/10498687 Tameless Hair Kit - Naturals with OMEGA Appliers for hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Claire-bxd-wear-me/19250905 KoKoLoReS Hair Claire bxd - wear me] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Lesley-bxd-wear-me/19842667 KoKoLoReS Hair Lesley bxd - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Quinn-20-Hud-Naturals/16067064 KoKoLoReS Hair - Quinn 2.0 - Hud Naturals - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/Sintiklia-Hair-Talia-Fatpack/19564600 Sintiklia - Hair Talia - Fatpack] [https://marketplace.secondlife.com/p/Y-U-JOANA-MULTIPACK-WOMENS-BOXED/19006551 Y-U: JOANA "MULTIPACK" WOMEN'S BOXED] [https://marketplace.secondlife.com/p/EMO-tions-TRAGEDY-BLACKWHITE/12152278 .:EMO-tions.. *TRAGEDY* -BLACK/WHITE] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:00, 2. Mär. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/NO-Pixie-Cut-Tattoo-Purple-Mix/7393394 (NO) Pixie Cut (Tattoo) - Blonde] [https://marketplace.secondlife.com/p/OS-Appliers-Base-Hair-Diva-Black-OmegaCatwa-Lelutka/16273465 !OS! Appliers Base Hair Diva Black - Omega/Catwa/ Lelutka] [https://marketplace.secondlife.com/p/nomatch-NOCOMMISSION-Pack-of-BLACKS/15922487 no.match_ ~ NO_COMMISSION ~ Pack of BLACKS] [https://marketplace.secondlife.com/p/dafnis-fat-pack-hairbase-01-for-CATWA-Demo/18658974 *dafnis fat pack hairbase 01 for CATWA Demo] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:19, 2. Mär. 2021 (CET) === Personen === Freunde finden ist nicht leicht in einer Welt, in der sich jeder selbst der Nächste ist, wo Egoismus und Lügen zur vorherschenden Tugend gehören. Sei ehrlich mit mir, lüg mich nicht an, dann bin ich für dich da und gehe mit dir durchs Feuer. Bei Intrigen, Hass und Missgunst und weitererzählen irgendwelcher Gerüchte fackel ich nicht lange und sortiere aus. Secondlife soll Spaß machen und nicht das Leben noch schwerer durch Menschen, die hier rumlaufen und nur glücklich werden, wenn sie anderer Partnerschaft, Freundschaft und Vertrauen zerstören können. Wacht auf Leute, das Leben findet draußen statt! Diese Welt hier ist eine Plattform, um andere kennen zu lernen und Spaß zu haben und nicht, um sich gegenseitig emotional abzuschlachten! Cordula Debbel von DavidSmith1978 https://www.youtube.com/watch?v=uSbxCX2LVps Cordula Grün Kinder mit Behinderung sind nicht krank, sie brauchen keine Therapie. Sie brauchen Akzeptanz. Ein 15 Jahre altes Mädchen hält die Hand von ihrem 1 jährigem Sohn. Leute nennen sie eine Schlampe. Niemand weiß, dass sie mit 13 Jahren vergewaltigt wurde. Leute nennen einen Mann fett. Niemand weiß, dass er eine schwere Krankheit hat, durch die er übergewichtig ist. Leute nennen einen alten Mann hässlich. Niemand weiß, dass er eine schwere Verletzung im Gesicht hatte, während des Kampfes für sein Land im Krieg. Poste dies, wenn du gegen Mobbing bist. Ich hoffe ihr gehört zu den 7% die es kopieren ... !!! Cordula Debbel Cosmopolitan and Hello Tuesday Events. Join to stay informed about our events. Blog: http://cosmopolitansl.blogspot.com/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:26, 4. Jan. 2021 (CET) Ich bin schon so lange hier und ziehe Bilanz: Ich bin hier in SL wegen der Menschen. Sie können eine innere Heimat werden, gute Freunde, jemand der so sehr mein innerstes kennt, wie niemand in meinem 1. Leben. Manchmal trifft man hier jemand und es ist magischSofortigesVerstehen, Zusammengehörigkeitsgefühl und das Bedürfnis bei dieser Person sein zu wollen. Lachen, das bis in mein reales Leben nachhallt und mich dort weiterhin aufmuntert. Danke dafür!!! Ruediger Blister --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 9. Jan. 2021 (CET) Sl ist schon ganz schön Verrückt einige Leute leben Wirkliich in einer Echten Scheinwelt weit ab vom Realen leben, und sie kommen sich auch noch verdammt Wichtig vor weil sie gewisse Rechte haben, find ich echt toll viel Glück mit eueren Rechten,scheibt sie euch dahin wo die Sonne zum schluss auf geht. Kathrin de Boer (kathrindeboer) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:54, 9. Jan. 2021 (CET) first sl join January 2007/second sl jion August 2011 maybe older than you but not stupid lol SL ist kein Spiel......es ist eine Schnittstelle SL is not a game ...... it is an interface JasonCastello --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:59, 9. Jan. 2021 (CET) Just taking a break and chilln out a while My interests in SL r: surfing, skydiving, base jumpn, horseback riding, scuba, cyclist and solo dancen, so far. Not interested in SL relationships other than friends. Cindy (honeypotness) Menschen, die zusammen gehören, egal auf welche Art und Weise finden immer wieder zusammen. Es ist egal was zwischen ihnen passiert ist, wie viele Fehler gemacht wurden und wieviel Zeit vergangen ist. Es ist egal,wie fern sie sich sind, sie werden sich trotzdem immer nahe sein... Tamina Bikergrrl --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:52, 11. Mär. 2021 (CET) === Surfing === Cielo *Cielo is currently majestic ruins you can surf through, set on the corner of a 5 sim Surfing beach island. *Travel the world, from east to west on this island, surfing different terrains and waves. ** Arcania Bay, Canada, Cielo (35, 177, 85) Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance *Welcome to Kia Kaha - The home of Vibes! *"Kia Kaha" is a Māori phrase meaning "Stay Strong" A subtle reminder to the core surfing family. *Public access surf sim with rezz zone and Flow board rezzer. ** Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance, Kia Kaha (128, 94, 22) Medow Rose - Templeton Farm *The moonlight sent pale shards skipping across the rippling water and silhouetting the landscape in deep soft bues and blacks. *She drew a contented breath as she sank deeper into his arms, *Meadow rose is just the start of the story.. Great place to ride ur horse ** Mopire City, Mopire (73, 191, 62) NanoGunk Main Store - Cigar Yachts *A beach with some nice waves ** NanoGunk Main Store - Cigar Yachts, NanoGunk (62, 32, 22) One Love Beach ~ Home of SurfCrazy ~ *No lag...no conflict..surf... *And as my opinion...Best place to surf in SL so far..... still ** One Love Beach - Surf Great Waves, Palma de Majorca (192, 216, 21) Surfer's Paradise - Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf *A remote beach set in the Pacific Northwest for photos and soul searchers alike. Really cool place. *flickr, photography, blogger, romantic, couples, beach, nature, photos, hangout, photogenic, meet, rentals, machinima, maoli waves, surfing, surf AMAZING PLACE TO SURF. ** d.p surfco] Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf , Spider Island (154, 227, 21) Surfing SLSA *Surfing Association (SLSA) surfable wave home beach. Surf, free surfboard loan Huts for Rent for your business advertising or team marketing **Home Of Competition Surfing In SL and the SLSA, Solace Dreams (224, 83, 21) T'ai Surfing - Home to Team Tsunami *The beautiful sister of the Zen surfing resort Ch'i. T’ai was born from Ch’i tranquil Mountainous volcano. *A public surfing beach. A variety of free surfboard rezzers and a rez area to use your own board. *Come enjoy and hangout at T'ai Surfing **T'ai Surfing - Home to Team Tsunami, Tai Surfing (207, 113, 23) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:18, 4. Jan. 2021 (CET) === Biker === Arpeggio Club DyNaMiTe - Biker an Rock Club (66. 162, 37) Club DyNaMiTe is one of the oldest rock clubs on the grid. Friendly, biker themed, a neutral place to chill out, chat and enjoy some good rock /heavy metal music. Live DJs, Concerts, Performers, Contests, Fun, Biker Club, Dance, Chat Bon Jovi Tribute by 2nd Dimension @ Club DyNaMiTe - Sponsored by Anka Tattoo --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:12, 8. Jan. 2021 (CET) == Paralipomena == Wir wissen doch schon lange, wie der amerikanische Geheimdienst den Markt zugunsten sog. "Moderner Kunst" mit Unsummen beeinflußt hat, weil die USA an Klassischer Kunst unterbelichtet sind - es gibt ja auch heute noch eine Geheimdienstgalerie Modern Art, nur für die eigenen (verdienten) Mitarbeiter besuchbar - eine eklige Schmierenkomödie, diese ganze "Moderne Kunst" - und derzeit zur Spielbank und Lotterie entartet, so wie ich das hier in der Kunststadt Dresden beobachten kann: Kauf auf Wertzuwachs, Wetten auf steigende Preise - das soll Kunst sein? Pfui Teufel! Die Kunstwerke verschwinden sehr oft in den Tresoren oder gleich auf der Bank - weswegen ich an diesem Markt nicht teilnehme - ich bin doch keine Hure! Meine Niemandskunst bleibt bis auf weiteres unveröffentlicht. Basta. Nur wenn die Chemie stimmt, zeige ich jemandem etwas persönlich. Ich prostituiere mich nicht für Geld. Punkt. Habe ich zeitlebens nicht gemacht, und die paar Jährchen muß ich nun auch nicht mehr. Früher hatte das schwere Konsequenzen (Haft, Zersetzung der Familien, Partnerinnen und meine erste Frau wurden zum Selbstmord(versuch) getrieben, Vergewaltigung meiner zweiten Frau bei unserer Ausbürgerung aus der DDR, Berufsverbote und und und - und ich habe mich nicht gebeugt. Heute hat das keine größeren Konsequenzen (die Gesellschaft hat größere Probleme als Verweigerer), und da habe ich es erst recht nicht mehr nötig, mich zu beugen - auch keinem "Kunstmarkt" gegenüber. Kann mich mal kräftig am Arsch lecken. Haben fertig. Bilder zurückhalten ist keine Lösung. Kunst will gesehen werden... HAUPTSACHE, mich befriedigt es! Was weiß ich, was ein andrer davon hat? Und was hätt ich davon, wenn ein andrer als ich davon was hat? Und wie geschrieben, wenn die Chemie stimmt, lass ich auch mal was sehen. Es gab hier vor zweihundert Jahren den Fall eines hervorragenden Malers, der hatte das Geheimnis der leuchtkräftigen, stabilen Renaissancefarben in jahrzehntelangen Experimenten gelüftet. Er erhoffte sich (nicht nur dadurch) eine existenzsichernde Anstellung an der Kunstakademie hier (er war auch ein hervorragender Künstler). Wurde aber abgelehnt - sicher aus politischen Erwägungen heraus. Er hat dann sein Geheimnis mit ins Grab genommen (er liegt hier auf dem Trinitatisfriedhof - man könnte ja mal buddeln LOL). Das war sein gutes Recht! Ich erinnere in dem Zusammenhang daran daß selbst ein Caspar David Friedrich niemals ordentlicher Professor der Kunstakademie in Dresden wurde, obwohl er hier über vierzig Jahre gelebt und gewirkt hatte - er war eben Napoleongegner und deutschnational. https://de.wikipedia.org/wiki/Caspar_David_Friedrich#Patriotismus_gegen_Napoleon --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:41, 10. Mär. 2021 (CET) ich habe Gewaltexzesse veröffentlicht. Ich muss mein Kind und mich schützen, weil Menschen bereit sind unter dem Deckmantel von was anderen Menschen zu töten. Ich habe keine Kraft alles schneller hinzubekommen, weil mir mit der Gewalt in einem jungen Leben auch die Existenzsicherung genommen wurde. Damit bin ich nun beschäftigt. Die Existenz zu sichern. KDP ist aber kein Händler, sondern ein "Verlag" von Amazon. Da sind meine kompletten Daten hinterlegt, weshalb ich jederzeit erreichbar bin. Klar kann es sein, dass irgendein Anwalt, der Geld machen will, statt den Sinn hinter dem Gesetzt zu wahren, eine Lücke nutzt, um abzuzocken. Ich muss mich da definitiv drum kümmern, aber das braucht Zeit. Ich muss das Buch rausnehmen, ändern und neu veröffentlichen. Oder andere Ideen? https://www.facebook.com/happy.bine.39 アン トン: Happy Bine ja, raus nehmen, Impressum einfügen und wieder einstellen. Weiß nicht ob das mit einem Update geht oder nicht. Deswegen bin ich am Überlegen bei BOD zu veröffentlichten, die zählen als Verlag und da reicht die Angabe von Pseudonym und BOD als Verlag . Und nein KDP ist KEIN Verlag, es ist eine Veröffentlichungsplattform für Self Publisher. Sie sind nicht als Verlag eingetragen. Du kannst auch „Fake Daten bei Biografien.....“ bei KDP angeben, die nicht geprüft werden. KDP war wegen „seltsamer“ Veröffentlichungen eh schon öfter in Kritik Antwort: Vielleicht geht es ja auch so. Ich möchte ja auch die Bewertungen nicht verlieren und auch nicht die bisherigen Verkaufszahlen. Nun muss ich aber erst einmal einen neuen Impressumservice finden. https://www.facebook.com/groups/dasautorenhilfeforum/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:02, 10. Jan. 2021 (CET) weiß ich -immer von schönen Damen wie im Video zu sehen kenn ich aus Tenerife - erstes Pinguinarium der nördlichen Hemisphäre im Loro Parque in Puerto de la Cruz: ich hatte als Batman mit einem weiblichen kleinen Gummi-Pinguin Werbung gemacht, da wurden extra kleine Frauen für gecastet - unter den indigenen Einwanderern aus Süd- und Mittelamerika gab es genügend Auswahl - war ein toller Kontrast - schon der Größenunterschied, der Pinguin in glänzenem Schwarz-Weiß und ich in glänzendem Schwarz, alles in der prallen Sonne nahe dem Abfahrtsplatz der "Straßenbahnen" (motorisiert) zum Loro-Parque - ein voller Erfolg - ja, und im Pinguinarium schufteten neue MitarbeiterInnen in Trockis (Trockentauchanzügen), um von innen die Panzerglasscheiben freizuhalten - die waren wegen des hohen Temperaturunterschiedes im Nu vereist, diesen Effekt hatte keiner auf der Liste - die MitarbeiterInnen kamen nach der langen Schicht klatschnass aus ihren Trockis, da war ich als Gummi-Batman noch besser dran, so haben die von der schweren Arbeit gedampft - und der Dampf konnte nicht raus wie beim Schnellkochtopf LOL --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:32, 10. Mär. 2021 (CET) ja Bauhaus - räumlich und zeitlich nicht ganz so weit von mir weg - und MACH WAS DRAUS: als Junge hab ich das nachgebaut - und keinen Mangel an Modellen gehabt - zum Schluß klebten die dann alle irgendwie komplett in Alufolie und Zellophan (so hieß bei uns durchsichtige Plastikfolie) - Hauptsache, nicht nackig LOL - und die haben Schlange gestanden, soviel Material hatt ich gar nicht, das war schwierig in der DDR zu besorgen (wir hatten mal Bundis zu Besuch, die hatten seinerzeit weltweit Sonnenkocher-Seminare durchgeführt, auch bei uns in der Zone - die waren entsetzt, daß unsere Alu-Knappheit viel größer war als in Afrika, wo sie sich wegen der Sonne und dem knappen Brennstoff des Öfteren aufhielten LOL) - heute ist dieser begrenzende Faktor zum Glück ja entfallen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 11. Mär. 2021 (CET) Klassiker. Bin ich mit groß geworden. Und auch mit dem Material. Meine ersten Damen besaßen sogar noch Material der Prä-Nazi-Ära: Bürgermaske, Gasanzug ... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 11. Mär. 2021 (CET) == Schönheit == [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=181300523741200&set=p.181300523741200&type=3 FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/137275705_181300530407866_3397208782784515620_n.jpg?_nc_cat=107&ccb=2&_nc_sid=dbeb18&_nc_ohc=yYP5kA9jywIAX9X9YKi&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=d0657d01f4d51b26bd1aceb22a95b4bf&oe=6022F5B8 Ein Herz für soviel Schönheit] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:56, 13. Jan. 2021 (CET) == Adam Cullen == [[w:de:Adam Cullen|Adam Cullen]] == Maler Ludwig Counet == [[File:Trier Gedenkkreuz Counet 1721.jpg|mini|Gedenkkreuz für den in Trier ermordeten „Maler Ludwig Counet“, Südwestseite der Kirche St. Paulin in Trier.]] [[w:de:Louis Counet]]: Counet erlangte 1690 mit seiner Familie das Bürgerrecht in Trier[8] und stieg in einer steilen Karriere zum regionalen „Malerfürsten“ auf. Der Rat der Stadt Trier, Klöster, Stifte und Pfarrgemeinden der Stadt und der Großregion, selbst der kurfürstliche Hof in Koblenz-Ehrenbreitstein wurden zu seinen Auftraggebern für ganze Serien von großformatigen Gemälden mit religiösen, gelegentlich auch allegorischen oder mythologischen Themen und für seine selteneren Porträts. Seine Produktion an Altarblättern, Kirchenschmuck und profanen Staffeleimalereien war so umfangreich, dass sie nur mit Hilfe einer größeren Werkstatt zu bewältigen war. Selbst für seine alte Heimat, zu der er weiterhin Kontakte[9] aufrechterhielt, führte er noch Aufträge aus, beispielsweise zwischen 1717 und 1720 zwei große Historienbilder und fünf Supraporten für das Rathaus der Stadt Lüttich. Wenn er dabei als höchstbezahlter Maler des Projekts fungierte,[10] entsprach das seinen üblichen Dotierungen in Trier. Die hohen Einkünfte wurden ihm schließlich zum Verhängnis. Mit dem Honorar für sechs Großgemälde in der Tasche fiel er am 5. August 1721 einem Raubmord zum Opfer. Ein Gedenkstein bei der Kirche St. Paulin in Trier erinnert noch heute an ihn. == Afterkunst == === Grimmsches Wörterbuch === AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. === Friedrich Hebbel === Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm === Entartete Kunst === [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jüdische "Afterkunst" === NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) === Filmlexikon === https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Facebook === https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) === Kunstdienst der evangelischen Kirche === [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) === Herbert Tannenbaum === [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) === Dominikus Böhm === [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jeanpierre Heizmann === [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) === Scheißpolitik === Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 == Löschversuch == [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt_Diskussion:Niemandskunst&diff=771216&oldid=746765 Diff-Link] == Anmerkungen == avj4af9t7c0or96we7xatshwf9xn5rf 784663 784655 2022-08-22T06:42:10Z Methodios 23484 /* Anais C. Miller */ wikitext text/x-wiki == Straßenkunst == ''Dresden. Ein Straßenkünstler hat am Donnerstagnachmittag auf dem Neumarkt in Dresden einer 30-Jährigen mit einem Seil ins Gesicht geschlagen. Die Frau wurde dabei leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die den Vorfall beobachtet haben. Nach Angaben der Polizei machte die 30-Jährige im Bereich der Frauenkirche Fotos. Dabei geriet sie offenbar mit einem dort auftretenden Künstler in Streit. Anschließend schlug der 40-Jährige zu. Wer Angaben zum Geschehen machen kann, soll sich bei der Polizeidirektion Dresden melden. Insbesondere sucht die Polizei das Pärchen, das sich im Anschluss an den Vorfall mit der 30-Jährigen unterhielt.'' [https://www.dnn.de/Dresden/Polizeiticker/Neumarkt-in-Dresden-Strassenkuenstler-schlaegt-Frau-mit-Seil Straßenkünstler schlägt Frau auf dem Neumarkt in Dresden mit Seil.] Eine Frau will auf dem Neumarkt in Dresden Fotos machen. Dabei kommt es zum Streit mit einem dort auftretenden Straßenkünstler, der ihr mit einem Seil ins Gesicht schlägt. Jetzt sucht die Polizei Zeugen. DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:45, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Dresden. Am Donnerstag gegen 14.20 Uhr ist eine Frau auf dem Neumarkt verletzt worden. Die Frau machte an der Frauenkirche Fotos, als sie offenbar mit einem dort auftretenden tschechischen Künstler in Streit geriet. In der Folge wurde sie mit einem Seil im Gesicht getroffen und leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die Angaben zum Geschehen machen können. Insbesondere ein Pärchen, das sich nachher mit der 30-Jährigen unterhalten hatte wird gebeten sich bei der Polizei zu melden. Hinweise nimmt die Polizeidirektion Dresden unter der Rufnummer (0351) 483 22 33 entgegen.'' [https://www.saechsische.de/polizei/frau-auf-neumarkt-verletzt-5277548.html Frau auf Neumarkt verletzt. Bei einem Streit in der Innenstadt wurde sie von einem Seil getroffen. Nun sucht die Polizei Zeugen.] SZ vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:07, 18. Sep. 2020 (CEST) == Bunker == ''Kinder haben beim Spielen in einem Wald bei der brandenburgischen Gemeinde Nuthetal einen unterirdischen Bunker entdeckt. Der von Hand gezimmerte Unterschlupf, indem sich vieles findet, was man für einen längeren Aufenthalt unter Tage braucht, ist aufwendig ausgebaut und gibt derzeit vor allem Rätsel auf.'' ''Bild: Der Bunker ist innen mit Holz verkleidet und hat etwa die Größe eines Kinderzimmers. Er hat auch ein Lüftungsloch und eine kleine Treppe, die in den Bunker führt. Dort liegt auch ein Handfeger griffbereit.'' (zwei Feldbetten?, zwei Campingstühle, Tischchen, Petroleumlampen, Kleinmöbel, Holz, Isomatte, Geschirr, Lebensmittel, Wandteller, Sandboden, Innenstütze, Deckenbalken, Plastikplane als Zimmer-Decke, nur kleines "Mannloch") [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Bunker-in-Nuthetal-Kinder-finden-mysterioesen-Unterschlupf-im-Wald MAZ vom 15. September 2020.] [https://www.dnn.de/Region/Der-Osten/Kinder-finden-mysterioesen-Bunker-in-Brandenburger-Wald Bergholz-Rehbrücke. Kinder finden mysteriösen Bunker in Brandenburger Wald.] DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:55, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Ist der Bewohner des rätselhaften Bunkers, der in einem Wald in Nuthetal gefunden wurde, noch einmal in seinen Unterschlupf zurückgekehrt? Es sieht alles danach aus: Als Gemeinde-Arbeiter die Sachen aus dem Bunker holen wollten, war das Schloss aufgebrochen. Im Bunker fehlte das Wertvollste, was sich vorher darin befand.'' ''Bild: Der Bunker ist am Mittwoch bereits eingerissen worden. Die Gemeinde Nuthetal läßt ihn zurückbauen.'' [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Mysterioeser-Bunker-in-Nuthetal-Vor-dem-Einreissen-kehrte-der-Bewohner-zurueck-und-holte-das-Funkgeraet Bergholz-Rehbrücke. Nuthetal lässt mysteriösen Bunker einreißen – doch das Funkgerät war bereits verschwunden] MAZ vom 16. September 2020. [[w:Märkische Allgemeine|Märkische Allgemeine]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:53, 20. Sep. 2020 (CEST) [[w:Nuthetal|Nuthetal]] - in der Nähe vom Südwestzipfel Berlins - im "Speckgürtel" - von 2003 bis 2017 fast 500 Einwohner gewonnen auf jetzt über 9.000 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:05, 20. Sep. 2020 (CEST) Wegen sowas häufen sich in Dresden und Umgebung die "unterirdischen Zelte" (der Begriff wurde von einem AfD-Stadtrat aus Berlin-Reinickendorf verwendet - das ordentliche Ordnungsamt hatte da die anwachsende "Zeltstadt"! - so 150 Einwohner Nähe Flughafensee - vor anderthalb Jahren geräumt, die Leute haben sich dann eingegraben, wurden zT entdeckt - sicher zu primitiv, sicher auch zu alkoholisch - und diese Bunker - mit zB Kühlung für Bierkästen - bezeichnete der sozial unbeleckte Stadtrat dann als "unterirdische Zelte"). https://de.wikipedia.org/wiki/Flughafensee vgl. [[w:Nasser Asphalt]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:53, 20. Feb. 2021 (CET) == Housing first == === Erstes Projekt in Sachsen: Leipzig === Und nun folgt auch Leipzig: Sn Sommer soll der Housing First in einem Modellprojekt erprobt werden. Berlin ist da schon weiter: wir arbeiten an der Verstetigung, weil es so gut läuft! [https://www.facebook.com/housingfirstfuerfrauen/ FB Housing First für Frauen, 18. März 2021] Eine eigene Wohnung ist das oberste Ziel der Hilfen für wohnungslose Menschen in Leipzig. Bezahlbare Wohnungen sind in Leipzig aber inzwischen knapp. Daher soll ab dem Sommer der Ansatz „Housing First“ erprobt werden – mit dem Modellprojekt „Eigene Wohnung“. Dies wurde in der Dienstberatung des Oberbürgermeisters auf Vorschlag von Bürgermeister Thomas Fabian auf den Weg gebracht. Jetzt muss noch der Stadtrat zustimmen. Der aus den USA stammende Ansatz „Housing First“ (auf Deutsch: zuerst eine Wohnung) verspricht gute Ergebnisse bei der Integration von obdachlosen Personen. Deshalb verfolgen etliche Kommunen in Europa und Deutschland diesen Ansatz. Bei „Housing First“ erhalten obdachlose Personen eine eigene Wohnung mit Mietvertrag und dazu eine individuell passende Hilfe durch Sozialarbeiterinnen und Sozialarbeiter. Die Anzahl der Personen, die Schwierigkeiten haben, ihre Wohnung zu halten oder bei Wohnungslosigkeit eine neue Wohnung zu finden, hat zugenommen. Besonders betroffen sind Personen mit Mietschulden sowie Menschen mit psychischen und Suchterkrankungen. Bürgermeister Thomas Fabian ist überzeugt: „Wir wollen obdachlosen Frauen und Männern die Möglichkeit eröffnen, eine eigene Wohnung zu beziehen. Sie erhalten dabei auch Unterstützung, die sie brauchen, damit ein Neuanfang gelingt. Unser Modellprojekt greift Konzepte und Erfahrungen des Ansatzes Housing First auf. Es ergänzt gut unsere Angebote der Obdachlosenhilfe in Leipzig.“ Entwickelt wurde das Projekt vom Sozialamt auf der Grundlage von Befragungen von Trägern der Wohnungsnotfallhilfe, Fachexperten und auch obdachlosen Personen. Grundzüge des Leipziger Konzeptes wurden in einer Strategiekonferenz mit Akteuren aus der Obdachlosenhilfe beraten. Das Modellprojekt soll im Sommer beginnen. Im Oktober könnten dann die ersten von mindestens 40 obdachlosen Personen in ihre Wohnung ziehen. Die Wohnungen werden vorwiegend durch die stadteigene Leipziger Wohnungs- und Baugesellschaft mbh (LWB) zur Verfügung gestellt. Aber auch Wohnungsgenossenschaften und private Wohnungsvermieter sollen einbezogen werden. Bis 2024 soll das Modellprojekt erprobt und während dieser Zeit auch wissenschaftlich evaluiert werden. Eine Koordinationsstelle im Sozialamt steuert die Umsetzung. Insgesamt 1,2 Millionen Euro werden für das Projekt bis 2024 eingeplant. [https://www.leipziginfo.de/aktuelles/artikel/modellprojekt-eigene-wohnung-fuer-obdachlose-personen-in-leipzig/?fbclid=IwAR2cjmPZddnGLP8_N-wRIANWMhBCgzHOhdyWjbNytNruFn3KM9wZp3A-R0I Modellprojekt "Eigene Wohnung" für obdachlose Personen in Leipzig. Ansatz „Housing First“ soll ab dem Sommer erprobt werden] 18.03.2021 Stadtinformationen Stadt Leipzig --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:36, 19. Mär. 2021 (CET) == Kunst für Housing First == '''''Worin bestand für Sie die Motivation, sich sozialunternehmerisch zu engagieren und das Projekt „Housing First“ ins Leben zu rufen?''' Das Engagement war doppelt begründet: Es ging uns einerseits um den Aufbau adäquater Hilfe für Wohnungslose, zugleich aber war unser Engagement auch politisch motiviert. Ein Schlüsselerlebnis war die Weihnachtsfeier im Düsseldorfer Kulturzentrum zakk vor vier Jahren, als wir feststellen mussten, dass wieder Wohnungslose verstorben waren. Vor dem Hintergrund unserer Philosophie, wonach wir – Wohnungslose und das Team des Düsseldorfer Straßenmagazins fiftyfifty – so etwas wie eine Familie sind (bei aller professioneller Distanz, die in der Sozialarbeit auch notwendig ist), reifte die Erkenntnis, dass chronifiziert obdachlose Menschen im bestehenden Stufensystem quasi überhaupt keine Chance haben, dauerhaft mit normalen Mietwohnungen versorgt zu werden und eine Verelendungsspirale die Folge ist. Meine Kollegin Julia von Lindern hatte sich auch als Lehrbeauftragte an der Hochschule Düsseldorf mit dem Housing First-Ansatz auseinandergesetzt. Es folgte eine Reise unseres Teams nach Wien, um Erkenntnisse vor Ort zu sammeln. Wir haben schlanke Strukturen – ganz im Sinne des lean management –, so dass Ideen stets gemeinschaftlich entwickelt und schnell realisiert werden können. ''' „Lean management“? Das klingt ganz nach einem unternehmerischen Ansatz.''' Housing first stellt natürlich einen Paradigmenwechsel im System dar, aber die linke Attitüde, die lange Zeit ausschließlich auf Systemkritik zielte, lässt sich meines Erachtens unter den gegenwärtigen politischen Vorzeichen nicht mehr durchhalten. Mit dem Erstarken des Rechtspopulismus gilt es, unser Sozialsystem nach Kräften zu verteidigen. Dafür nutzen wir bei fiftyfifty unsere Erfolge als Glaubwürdigkeitsvorsprung, d. h. unsere Arbeit wird immer von Gesprächen mit politischen Entscheidungsträgern sowie Trägern der Wohnungslosenhilfe begleitet. Und natürlich suchen wir gezielt die Öffentlichkeit, um u. a. über Social Marketing für unsere wohnungspolitischen Anliegen, aber natürlich auch unser Fundraising zu werben. Housing First bedeutet: Es besteht von Anfang an ein normales, unbefristetes Mietverhältnis mit allen Rechten und Pflichten. Wohnbegleitende Hilfen werden aktiv angeboten: Betroffene werden dazu ermutigt Probleme mit Unterstützung anzugehen, aber nicht dazu verpflichtet. Dort wo Housing-First bereits praktiziert wird, sind die Ergebnisse überzeugend. Housing-First wurde Anfang der 90er Jahre in den USA entwickelt. In den USA wird es seither in einigen Städten erfolgreich praktiziert. In Deutschland ist der Ansatz noch nicht weit verbreitet. '''Ist eine Triebfeder für Ihr sozialunternehmerisches Engagement auch in den fehlenden Erfolgen der staatlichen Sozial- und Wohnungspolitik zu sehen?''' In jedem Fall. Wir sind bei fiftyfifty zunächst einmal vor allem politisch motiviert, wobei wir inzwischen nicht nur von NRW-Sozialminister Minister Laumann, sondern auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren. Hinzu kommt ein beispielloses Echo in bekannten Leitmedien wie Süddeutsche Zeitung, Zeit online, Stern TV etc. und Fachmedien, durch das wir Housing First bundesweit ins Gespräch gebracht haben. Nicht nur dadurch haben wir umfangreiche Beratungsarbeit bei vielen Trägern der Wohnungslosenhilfe und Kommunen geleistet. Aus eigener Erfahrung und aus zahlreichen Forschungsvorhaben wissen wir, dass Wohnraum in Not geratene Menschen dauerhaft stabilisieren kann – insbesondere dann, wenn der Ansatz Housing first und nicht Housing only lautet. Housing First, wie wir es praktizieren, bedeutet, dass Obdachlose direkt von der Straße in Wohnungen gebracht und zudem professionell betreut werden. Dazu gehören auch tagesstrukturierende Maßnahmen, damit am Ende einer möglichen Vereinsamung in der neuen Wohnung vorgebeugt wird. Für die Politik liegt ein wesentlicher Vorteil des Housing First-Projekts darin, dass die Kosten für die jeweilige Kommune gleich null sind, d. h. unser Modell der Bekämpfung von Obdachlosigkeit kostet die Städte und Gemeinden quasi nichts. Die Düsseldorfer Wohnungsbaugesellschaft SWD etwa verfügt über 9.000 Wohnungen. Würde die Stadt aus diesem Kontingent die ca. 300 benötigten Wohnungen für etwa 300 Straßenwohnungslose, die es in der Landeshauptstadt gibt – ein Großteil der Wohnungslosen wird in diversen Notunterkünften und nicht dauerhaften Betreuungseinrichtungen mehr oder weniger gut versorgt – zur Verfügung stellen, würde die Miete über Transferleistungen gesichert. Und die Betreuung würden Verbände wie die Diakonie oder andere wahrnehmen, über Fachleistungsstunden, die beim Landschaftsverband abgerechnet werden. Die Landschaftsverbände finanzieren sich über kommunale Umlagen, die Städte wie Düsseldorf sowieso zahlen – ob sie Housing First anbieten oder nicht. '''Welche Hindernisse gab es zu überwinden?''' In der Entstehungsphase war ein Hindernis die Schaffung einer funktionsfähigen Organisationsstruktur, wobei wir das weitestgehend aus dem etablierten fiftyfifty-Team stemmen konnten. Aber wir mussten uns sehr engagiert der Mittelbeschaffung widmen, d. h. auch bei Housing First stand am Anfang die Finanzierungsfrage, da wir die Wohnungskäufe nicht kreditbasiert finanzieren wollten, sondern diese bis heute über unsere Einnahmen aus dem Verkauf von Kunstwerken finanzieren, die wir in unserer Benefiz-Galerie verkaufen. Dort unterstützen uns etwa Gerhard Richter, Thomas Ruff, Andreas Gursky, Katharina Mayer und viele andere bedeutende Künstlerinnen und Künstler. Zu überwinden war auch die Skepsis im Team, ob in Düsseldorf überhaupt adäquate Wohnungen zu finden wären und ob Eigentümer an fiftyfifty verkaufen würden. Die Realität hat uns Lügen gestraft: Mittlerweile bekommen wir sogar Wohnungsangebote von sympathisierenden Eigentümern und Maklern, bevor diese auf dem Markt angeboten werden. '''Wie bewerten Sie ihre Arbeit nach nunmehr vier Jahren?''' Das Start-up war ein voller Erfolg: Nachdem wir schon viele Wohnungslose über die Erlöse aus den fiftyfifty-Verkäufen von der Straße holen konnten, sind wir dann mit Housing First und der Housing-First-Fonds-Gründung – zusammen mit dem Paritätischen Wohlfahrtsverband – im Jahre 2018 noch weitergegangen: Hatten wir bei fiftyfifty schon über 60 Menschen von der Straße geholt, so waren es über den NRW-weit tätigen Fonds zusätzlich noch 67 bei 22 Trägern in 14 Städten, für die wir Wohnraum erschließen konnten. Die ehemals Obdachlosen kommen selbst für die Miete auf, die sie zumeist über Leistungsbezug finanzieren. Die Einnahmen aus dem Verkauf von fiftyfifty oder den Spendengeldern bei alternativen Stadtführungen, die sie durchführen, kommen oft noch hinzu. Denn viele von ihnen arbeiten inzwischen als Stadtführerinnen und -stadtführer. Manche sind sogar wieder in regulärer Arbeit. Aber natürlich müssen wir uns auch immer wieder die Risiken vor Augen führen. Die Null-Zins-Politik wird die Immobilienpreise weiter steigen lassen; die Flucht ins „Beton-Gold“ ist ja allerorten zu beobachten. Derzeit kursiert in unserem Beirat sogar die Idee, eine Sozialbank im Sinne unserer Zwecke zu gründen, um der Genossenschaftsidee mit größerem Kapitaleinsatz Geltung verschaffen zu können. Wichtiger aber ist aus meiner Sicht, sich einzumischen und Druck zu machen, damit mehr Wohnungen für Benachteiligte und insbesondere Obdachlose gebaut und zur Verfügung gestellt werden. Das Beispiel Finnland zeigt: Zumindest die Straßenobdachlosigkeit kann überwunden werden. Auch in Deutschland. Es ist eine Frage des politischen Willens. - Das Gespräch führte Tim Engartner. Er ist Professor für Didaktik der Sozialwissenschaften und Mitglied des Direktoriums der Akademie für Bildungsforschung und Lehrerbildung an der Goethe-Universität Frankfurt am Main.'' [https://www.freitag.de/autoren/der-freitag/obdachlosigkeit-kann-ueberwunden-werden?fbclid=IwAR209nCDafyiJ0oGTcAxs2BJdZM897_pLC5ue8ln2S_o1zvP1uc-d8bO4JU „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“. Interview. Hubert Ostendorf, Gründer des Düsseldorfer Straßenmagazins „fiftyfifty“, spricht über den Housing First-Ansatz, mit dem Wohnraum für Wohnungslose geschaffen wird] Von Tim Engartner. Der Freitag vom 16.? September 2020 (38?/2020) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:59, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Zitat: "Obdachlosigkeit kann überwunden werden" Es ist bezeichnend für ein angeblich "christliches", "zivilisiertes" und "kultiviertes" Land wie Deutschland mit angeblich "gebildeten" Bürgern, dass man eine Tatsache wie „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“ im Jahr 2020 als Überschrift in einem Artikel hervorheben muss. Nach dem verlorenen Zweiten Weltkrieg, als viele Städte hierzulande in Trümmern lagen und es in Deutschland Millionen Obdach- bzw. Wohnungslose gab, war das möglich. Und heutzutage sollte das nicht möglich sein? Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand im Jahre 2020 sind zwar auch die neoliberal-konservativen und pseudo-sozialdemokratischen Politiker in diesem unserem "christlichen" Lande. Wenn sich Spekulanten, die sich an den Finanzmärkten beim Milliardenpoker verzocken, dann werden von "christlichen" und "konservativen" Politikern binnen weniger Tage 500 Milliarden Euro für "notleidende Banken" aus dem Hut gezaubert. Aber für Obdachlose sind nicht einmal ein paar lausige Millionen da. Wegschauen ist eben viel billiger. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber auch die vielen Speichellecker, Arschkriecher und Hofberichterstatter in den Medien, die vom angeblichen "Linksruck" in Deutschland faseln und das Problem entweder ignorieren oder mit anderen Themen davon ablenken. Es würde mich nicht wundern, wenn demnächst ein professoraler "Experte" in den Tagesthemen oder im heute-journal erzählt, dass der russische Präsident Putin für die Wohnungsnot in Deutschland verantwortlich wäre. Wenn es nach der Bild-Zeitung geht, ist Putin Schuld daran, wenn es drei Monate lang nicht regnet und wenn es drei Monate lang regnet, dann ist Putin auch Schuld daran. Putin ist nämlich nicht nur Schuld an der Klimaveränderung, sondern auch für den täglichen Stau auf deutschen Straßen und dem Corona-Virus (ACHTUNG: Verschwörungstheorie!) Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand sind auch neoliberale Wirtschaftsprofessoren an deutschen Universitäten und Hochschulen, die seit Jahren das Dogma vom effizienten Markt predigen, der am Ende alles zum Besten regelt, wenn sich der Staat aus der Politik raushält. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber vor allem die ignoranten, arroganten, dekadenten, scheinheiligen, verlogenen und opportunistischen (Mit-)Bürger in diesem Lande, die diese neoliberal-konservativen Politiker und Parteien in den letzten Jahrzehnten gewählt haben und immer noch wählen. Und was sagen die "heilige" Angela von Merkel und der "christliche" Kronprinz von Großbayern, Dr. Markus Söder, zu diesem Problem? Ganz einfach: Nix! Wenn man mit dem Helikopter über das Land schwebt, sieht man die "Penner" bzw. "Wohnsitzlosen" (wie die formal-juristische korrekte Bezeichnung in unserem Sozialstaat lautet) da unten nicht. Zitat: "... wobei wir inzwischen ... auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren." Wenn es um Obdachlosigkeit bzw. Wohnungsnot geht, machen die Nationalisten, Sozialdarwinisten und rechten "Patrioten", die Tage ein Tag aus mit der Deutschlandfahne herumwedeln, offenkundig keinen Unterschied zwischen reinrassigen Deutschen und Ausländern bzw. Migranten. Für "aufrechte" und "saubere" Deutsche waren und sind Obdachlose eben keine Menschen mit Würde, sondern sozialer Abfall.'' Kommentar Christian Brecht, 16. September 2020 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:02, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Obdachlosigkeit ist ein sehr vielschichtiges Problem und ist meistens in der Biografie / Famile der Betroffenen selber zu finden. Betrachtet man z. B. zerrüttete / problematische Familien über Generationen hinweg, dann wird schnell einmal klar, dass bestimmte Menschen sozusagen von Geburt an einem höheren, sozialen Risiko ausgesetzt sind. Eine weitere Gruppe von Obdachlosen stellen Menschen mit schweren psychischen Problemen dar (z. B. bi-polare Störung). Da bei ihnen häufig ein problematisches Sozialverhalten vorliegt, ist auch die Wahrscheinlichkeit gross, eines Tages „in der Gosse zu landen“. Häufig gesellen sich hier noch Suchtproblematiken aller Arten dazu. Die dritte Gruppe sind natürlich Zugewanderte (v. a. Asylsuchende). Natürlich sind auch Mischformen dieser drei Gruppen auf der Strasse anzutreffen. Auf jeden Fall bewirkt die Obdachlosigkeit bei den Betroffenen ein lebenslanges Trauma. Man kann einen Menschen zwar von der Strasse holen, aber die Strasse nie mehr aus ihm heraus. Ob sich Menschen dauerhaft resozialisieren lassen, ist eine weitere, wichtige Frage: Voraussetzung dafür wäre, dass sie überhaupt schon einmal sozialisiert waren, d. h. gesellschaftlich voll integriert. Das ist insbesondere bei langjährigen Drohensüchtigen schwierig. Auf jeden Fall wünsche ich „fiftyfifty“ viel Glück und Erfolg!'' Kommentar Reinkarnation, 16. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:04, 20. Sep. 2020 (CEST) == 20. neunerhaus Kunstauktion (Wien) == Mitbieten und helfen: Die neunerhaus Kunstauktion bietet DIE Gelegenheit, Kunst zu erwerben und obdach- und wohnungslose Menschen zu unterstützen. Der Reinerlös fließt direkt in die neunerhaus Angebote. Trotz herausfordernder Umstände haben uns für die diesjährige neunerhaus Kunstauktion mehr als 170 renommierte zeitgenössische KünstlerInnen ihre Werke gespendet, damit wir den Reinerlös für unsere Arbeit einsetzen können. Damit diese Kunst nun Gutes tun kann, brauchen wir eure Unterstützung: Steigert mit, teilt die Auktion mit kunstinteressierten FreundInnen. Denn jeder Zuschlag hilft uns, weiter für jene da zu sein, die unsere Hilfe brauchen! https://www.facebook.com/events/2750368081917767/ Die 20. neunerhaus Kunstauktion am 2.11.2020 war ein großartiger Erfolg. Vielen Dank! Nutzen Sie jetzt noch die Chance und erwerben Sie eines der unverkauften Bilder im Nachverkauf. Sie können die verfügbaren Werke ab 7.12.2020 in der Galerie der Rahmenmanufaktur Wohlleb, Seidlgasse 23, 1030 Wien, Montag bis Freitag zwischen 10:00 und 18.00 Uhr oder Samstag 10.00 bis 12.00 Uhr besichtigen. Bei Interesse wenden Sie sich bitte an Michael Walk https://www.neunerhaus.at/kunstauktion/?fbclid=IwAR2bBPxVm_bAqGZUeieJOpqoYVcOTgSvulJ4Ndu765t3CV-MtQNlABAVjGM n drei Wohnhäusern und über 250 Wohnungen in ganz Wien leben mehr als 800 ehemals obdach- und wohnungslose Menschen jährlich. Über 5.000 Menschen versorgt neunerhaus mit dem neunerhaus Gesundheitszentrum pro Jahr – Tendenz steigend. neunerhaus ist eine Sozialorganisation in Wien. neunerhaus ermöglicht obdachlosen und armutsgefährdeten Menschen ein selbstbestimmtes und menschenwürdiges Leben mit Medizinischer Versorgung, Wohnen und Beratung. Ziel ist es, Betroffenen Hilfe zur Selbsthilfe zu geben, um ihre Lebenssituation nachhaltig zu verbessern. neunerhaus engagiert sich gegen die Ausgrenzung wohnungsloser Menschen. Holen Sie Menschen von der Straße, bevor sie ein Teil davon werden. Wohnen ist ein grundlegendes Menschenrecht. Jeder Mensch hat das Recht auf ein menschenwürdiges Leben. Aber nicht jeder hat ein Zuhause. https://www.neunerhaus.at/ == Frankfurter Kunststation == ''Ein Türsteher, eine Gästeliste, zugewiesene Plätze und eine Begrüßung in der Kirche: Einiges war anders beim diesjährigen Sommerfest für die ehrenamtlichen Mitarbeiter des Franziskustreffs. Um 17.00 Uhr begrüßte Bruder Michael die Ehrenamtlichen in Liebfrauen. Großzügig hatte man sich in der Kirche verteilt. Der obligatorische Jahresrückblick war natürlich von den schwierigen letzten Monaten geprägt. Und doch voller guter Neuigkeiten: Mitten in der Krise verteilt, war der Beileger „Corona: Alle bleiben zu Hause, aber wir haben keines“, die bisher erfolgreichste Spendensammlung des Franziskustreffs. Und es folgten weitere gute Nachrichten: Im September 2020 startet die Franziskustreff Stiftung ein kleines '''Kunst-Projekt'''. Mitten in Frankfurt, in bester Innenstadtlage werden wir '''Obdachlosigkeit und Kultur''' in einer ganz neuen Art und Weise zusammenführen. Zudem hat die Stiftung eine gemeinnützige GmbH gegründet. Diese wird Obdachlose in eigene Wohnungen bringen. Die Idee ist, wie Bruder Michael betonte, noch ein „sehr zartes Pflänzchen“. Doch sie wird in Frankfurt bestimmt für einige Aufmerksamkeit sorgen und hoffentlich feste Wurzeln schlagen.'' [https://www.franziskustreff.de/franziskustreff/aktuelles-aus-dem-franziskustreff/sommerfest/ EIN SOMMERFEST FÜRS EHRENAMT] Webseite des Franziskustreffs --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:20, 13. Sep. 2020 (CEST) ''Schätzungen der Wohnungslosenhilfe gehen davon aus, dass rund 550.000 Menschen in Deutschland kein festes Dach über dem Kopf haben. Die Dunkelziffer ist vermutlich höher. Bruder Paulus kümmert sich um einen Teil dieser Menschen. DOMRADIO.DE: '''Für viele Menschen ist wohnungslos und obdachlos der gleiche Begriff. Warum ist das nicht dasselbe?''' Bruder Paulus Terwitte OFMCap (Kapuzinerbruder und Vorstand der Franziskustreff-Stiftung in Frankfurt): Menschen, die wohnungslos sind, haben keinen eigenen Mietvertrag. Sie leben entweder bei Freunden oder haben eine vom Staat zugewiesene Einrichtung in der Stadt. In Frankfurt zum Beispiel leben über 2.000 Menschen in Hotels und anderen Einrichtungen. Das sind Menschen, die zwar irgendwie wohnen, aber am Ende keinen eigenen Mietvertrag haben. Im Unterschied dazu gibt es Obdachlose. Diese Menschen haben dann tatsächlich auch solche Einrichtungen nicht oder wollen dort nicht sein. Sie schlafen beispielsweise in Notbetten in den Notunterkünften. Laut Gesetz steht in Deutschland jedem Menschen ein Bett zu. Aber manche Obdachlose nehmen auch diese Hilfe nicht an und bleiben draußen. Sie möchten ihre Daten nicht angeben und anonym bleiben. In Frankfurt gehen wir von 2.800 obdachlosen Menschen aus, von denen 400 unter freiem Himmel schlafen. DOMRADIO.DE: '''In welcher Form engagieren Sie sich für Wohnungs- und Obdachlose im Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt?''' Bruder Paulus: An der Liebfrauenkirche und am Kapuziner Kloster hat der Kapuzinerbruder Wendelin vor über 25 Jahren einen Frühstückstreff eingerichtet. Jeden Morgen können hier Menschen von 7.45 Uhr bis 11.15 Uhr frühstücken. Normalerweise haben wir 32 Plätzen für 190 Leute. Jetzt in der Corona-Zeit haben wir nur noch zwölf Plätze und die Leute dürfen nur noch 15 Minuten bleiben. Das sind immer noch 130 Menschen, denen wir hier ein Frühstück, Gastfreundschaft und franziskanische Brüderlichkeit anbieten. Wir haben über 60 Ehrenamtliche, die sich engagieren. Dazu bieten wir eine Sozialberatung an. Das alles ist von Spendengeldern getragen. Darüber hinaus mieten wir Wohnungen an, damit wir einigen unserer Gäste sagen können: Versuch das doch mal wieder mit dem Wohnen. Neu ist unsere '''Kunststation'''. Wir glauben, dass obdachlose Menschen vor allen Dingen eine Begegnung auf Augenhöhe brauchen. Wir müssen in der Gesellschaft ein Gespräch beginnen, dass Obdachlosigkeit viel früher beginnt: Sei es durch fehlende Miete oder eine Wohnung, dadurch dass der Partner weggeht oder verstirbt oder durch Arbeitslosigkeit und Krankheit. In der Corona-Pandemie sagen auch sehr viele Menschen, dass sie eigentlich in dieser Welt gar nicht mehr zu Hause sind. DOMRADIO.DE: '''An der Kunststation ist die Franziskustreff-Stiftung auch beteiligt. Was hat diese Kunststation konkret mit der Situation der Wohnungslosen zu tun?''' Bruder Paulus: Sie ist direkt in der Innenstadt, wo ganz viele Obdachlose hausen. Ich habe einen Kulturleiter gefunden, der sehr nah an diesen Menschen ist, der sich in der Stadtszene sehr gut auskennt und auch in der Kunstszene gut vernetzt ist. Er hat sehr viel Freude daran, mit uns zusammen unseren obdachlosen Menschen zu sagen: Hey, guckt doch mal, ob ihr euch ansprechen lasst mit euren kreativen Möglichkeiten. Unsererseits wollen wir Kunstprojekte initiieren, die zeigen, dass Menschen am Rande eigentlich Schätze in unserer Gesellschaft sind. Darum ist diese Galerie in einem ehemaligen Juwelier-Shop untergebracht, den wir angemietet haben. Wir zeigen Schätze von Menschen, die sonst am Rande sind. Im Moment läuft eine 14-tägige Ausstellung von zwei jungen Frauen, die für Menschen mit geistiger Beeinträchtigung ein Daumenkino geschaffen haben, in dem 100 Begriffe dargestellt werden. Unter unseren Gästen sind selber Künstler und wir hoffen, dass sie sich anregen lassen, weil sie jetzt einen eigenen Ausstellungsraum haben. DOMRADIO.DE: '''Für viele Wohnungs- und Obdachlose ist es eine große Überwindung, zu ihnen zu kommen und diese Hilfe anzunehmen. Wie versuchen Sie, den Menschen hier Mut und Selbstvertrauen zu geben?''' Bruder Paulus: Indem wir ihnen einfach als Mitmenschen begegnen, die eine eigene Lebensgeschichte haben und die keine Hilfe wollen, sondern möchten, dass wir ihnen erst mal auf Augenhöhe begegnen und sie ernst nehmen. Das kennt jeder aus seinem eigenen Leben, dass wir es eigentlich nicht gerne haben, dass Leute von außen kommen und sagen: Du, ich habe da was gesehen, ich muss dir mal helfen. Jeder Mensch hat eine Autorität, wie er sein Leben gestaltet und kann sagen: Ich will jetzt einfach nicht mehr dieses und jenes. Ich habe die Schnauze voll von Schuldnern und von Menschen, denen ich etwas schulde. Ich will ordentlich behandelt werden. Diese Menschen brauchen eine offene und klare Begegnung, ein echtes Wort. Wir sagen bei uns eine Nächstenliebe, die es ehrlich meint, eine Liebe, die auch Wahrheit und Gerechtigkeit mit ins Feld führt. Deswegen versuchen wir auch, ehrliche und klare Gespräche mit diesen Menschen zu führen, damit sie zur Quelle ihrer Kraft finden. Das Interview führte Katharina Geiger.'' [https://www.domradio.de/themen/soziales/2020-09-11/jeder-mensch-hat-autoritaet-ueber-sein-leben-franziskustreff-stiftung-fuer-offene-begegnung-mit?fbclid=IwAR3PNJZm4h2mPoFYNBv7c242UX1yFdw8Jkl_Gwhzbxq4jZ1GlnvHmyba1bU Franziskustreff-Stiftung für offene Begegnung mit Wohnungslosen "Jeder Mensch hat Autorität über sein Leben"] Domradio vom 11. September 2020. ''Der Franziskustreff: Der Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt bietet wohnungslosen und armen Mitmenschen Frühstück und Sozialberatung an. Täglich kommen nach Angaben des Franziskustreffs bis zu 190 Gäste für die Mahlzeit. Derzeit unterstützen rund 60 ehrenamtlichen Helferinnen und Helfern den Treff. Sie bedienen die Gäste, helfen bei der Vorbereitung des Frühstücks und beim Abwaschen und Aufräumen. Eröffnet wurde der Franziskustreff 1992 von Bruder Wendelin Gerigk am Kapuzinerkloster Liebfrauen in Frankfurt am Main. Ihm sei wichtig gewesen, dass es an diesem Ort immer einen offenen Raum für arme und obdachlose Menschen geben möge, schreibt die Stiftung auf ihrer Homepage. Spenderinnen und Spender unterstützen seither das von Bruder Wendelin gegründete Werk. Derzeit steht Bruder Paulus Terwitte der Stiftung vor und Bruder Michael Wies leitet den Treff. (DR/ Stand: 11.09.2020)'' --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:41, 13. Sep. 2020 (CEST) == OSTRALE == [https://pieschen-aktuell.de/2020/ein-kunstgarten-fuer-uebigau/ Ein Kunstgarten für Übigau.] Pieschen aktuell 6. November 2020 von Elisabeth Renneberg Bild: Die Ostrale hat dieses Jahr Haus und Garten in Übigau bezogen. Alle Fotos: E. Renneberg Dieses Jahr ist die Ostrale, das Zentrum für zeitgenössische Kunst, nach Übigau umgezogen. Das ehemalige Atelierhaus von Eberhard Bosslet an der Rethelstraße beheimatet nun eine Menge Kunst nebst Werkstätten, Büros und einer Künstlerwohnung. Dahinter erstreckt sich eine Grünfläche, die nicht nur auf die Elbe hinausblickt, sondern auch auf eine spannende Zukunft. Hier soll ein ökologischer Garten entstehen – als sozialer und kultureller Ort. Bild: Momentan ist der Garten noch wild und naturbelassen. ;Diskurs über Nachhaltigkeit Das Konzept dafür wird gemeinsam von Umweltexperten, Künstlerinnen aus verschiedenen Ländern und Menschen aus dem Stadtviertel erarbeitet. Letztere einzubeziehen ist ein wichtiges Anliegen des Projekts; das Mitgestalten des eigenen Lebensraums wird so zum demokratischen Prozess und lässt Raum für persönliche Bedürfnisse. Der erste Schritt war daher, an die Türen in der Nachbarschaft zu klopfen und Kontakte zu knüpfen. Auf diese Weise konnte zum Beispiel die Stadtentwässerung Dresden als Kooperationspartnerin gewonnen werden, die über wertvolles Fachwissen rund ums Thema Wasser und dessen Bedeutung für die Umwelt verfügt. Bild: Direkt an der Elbe liegt der zukünftige Kunstgarten. Für die Verbindung der Themen Nachhaltigkeit und Kunst ist ein Team aus einer deutschen und einer tschechischen Künstlerin sowie je zwei Studierenden der Kunsthochschulen in Dresden und Breslau zuständig. Sie machen sich unter anderem Gedanken über Ressourcen, wie etwa die Farbe zum Malen natürlich gewonnen werden kann. Die Ergebnisse ihrer Recherchen und Ideen geben sie in Workshops weiter an Kinder aus dem Kinderhaus Sonnenschein – auch ein durch Anklopfen zustande gekommener Kontakt. Zwei Workshops konnten bisher stattfinden und sind auf allgemeine Begeisterung gestoßen. ;Eine Verbindung zwischen Kunst und Sozialem „Es ist uns wichtig, von Anfang an ein Gefühl der Zugehörigkeit und der persönlichen Verantwortung zu vermitteln“, erklärt Projektleiterin Giulia Deidda. Die gebürtige Italienerin stieg ursprünglich als Bundesfreiwillige ins Team der Ostrale ein und ist mit vollem Einsatz dabei. Aufgewachsen in einer Kleinstadt mit historischer Ausgrabungsstätte an der sardinischen Küste, entdeckte sie schon früh ihre Liebe zur Kunst und widmete sich zunächst der Archäologie. Im Laufe der Zeit wurde dann der Wunsch, Kunst und Soziales zu verbinden, immer lauter. Bild: Giulia Deidda leitet das Projekt mit Begeisterung und Elan. So zog Giulia in die Niederlande, um dort soziale Inklusion im Kulturbereich zu studieren. Nach dem Leben in sieben unterschiedlichen Ländern ist sie mittlerweile in Dresden gelandet. Ihre Leidenschaft hat sich erhalten: „Mein größter Wunsch ist es, Kunst allen, und wirklich allen, zugänglich zu machen.“ Für das Ziel, die klassische Zielgruppe aufzubrechen, ist die OSTRALE die richtige Adresse, sieht sie in der Kunst doch das Mittel zur Kommunikation und zur Aufarbeitung gesellschaftlicher Themen. ;Ausblick auf die nächsten Schritte Der Kunstgarten schließlich darf diese Vision mit verwirklichen. Nach dem erfolgreichen Start mit den Kindern sollen immer mehr Anwohner*innen von der Botschaft erreicht werden, dass Kunst für alle da ist. Und natürlich auch mit dem Angebot eines Aufenthalts- und Begegnungsortes, der mitgestaltet werden kann, und an dem langfristig Veranstaltungen wie Workshops, Lesungen oder gemeinsames Kochen stattfinden sollen. Bild: Auch in den Innenräumen ist Platz für Veranstaltungen. Die konkrete Gestalt dieses Ortes ist noch in der Planung. Denkbar ist zum Beispiel ein Barockgarten, mit geometrischen Formen und Skulpturen aus natürlichen Materialien. Das Nutzen vorhandener Ressourcen wie zum Beispiel Sand aus der Elbe. Die Ideen müssen noch überprüft, entwickelt, ausgetauscht werden. Wie gesagt mit dem Augenmerk auf Nachhaltigkeit und unter Einbezug der Nachbarschaft. Anfang Oktober hatte Ostrale-Vorstandsvorsitzende Andrea Hilger das Konzept im Stadtbezirksbeirat Pieschen vorgestellt. Die Beiräte stimmten einer Förderung mehrheitlich zu. Bleibt also, gespannt zu sein, was sich in den nächsten Monaten auf dem Grundstück im beschaulichen Übigau entwickeln wird. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:18, 8. Nov. 2020 (CET) == Eberhard Bosslet == [[w:de:Eberhard Bosslet]] === Übersicht === Installation / Objektkunst, Skulptur, Malerei, Lichtinstallation, Land Art * 1953 Gruppen: Material & Wirkung Berlin Vita EBERHARD BOSSLET geboren 1953 in Speyer, lebt in Berlin 1997 bis März 2019 Professor für Skulptur und Raumkonzepte an der HfBK Dresden seit 1981 Mitglied bei Material & Wirkung sowie temporäre Aufenthalte in Spanien 1987 documenta 8, Kassel (Katalog) und Bremer Kunstpreis (Katalog) Einzelausstellungen: (Auswahl) * seit 1981 Interventionen im Öffentlichen Raum. * 1985 Intervenciónes/Interventionen, Fundación Miró, Barcelona; ES(Katalog) *1986 Wilhelm-Lehmbruck-Museum, Duisburg, D (Katalog). *1987 Heidelberger Kunstverein, D (Katalog). *1988 John Gibson Gallery, New York, USA. *1989 Neue Nationalgalerie Berlin, D, (Katalog). *1990 John Gibson Gallery, New York, USA *1993 Kunsthal Rotterdam, Holland (Katalog) *1994 Öffentliche Ordnung, Kunstverein Speyer, D (Katalog) *1995 Interventionen II, VERBAU, Sprengel Museum Hannover,D (Katalog) *1995 PLANEN, Kunstverein Heilbronn, (Katalog) *1998 Fundamental wie Bilateral, Kunsthalle Mannheim, D (CD-ROM) *2000 Trabanten, Galerie Bochynek, Düsseldorf, D *2000 John Gibson Gallery, NY, USA *2002 Analoge Scheiben, Galerie Bochynek Düsseldorf, D *2004 Künstlerhaus Bregenz, Palais Thurn und Taxis, A *2006 Galerie der Stadt Backnang, D (Katalog) *2007 Stadtgalerie Saarbrücken, D (Katalog) *2009 Additive, Kunstverein Ingolstadt, D , (CD-ROM mit booklet in softbox) *2010 Stump Stools, Humboldt-Universität Berlin, Thaer-Saal, Berlin, D *2011 Stump Stools, Lichthof im Albertinum Dresden, Dresden, D *2012 Dingsda, Saarlandmuseeum Saarbrücken, Katalog, D (Katalog) *2013 Heimleuchten Trier, Kunstverein Trier – Junge Kunst, D, CD-ROM mit booklet in softbox) *2014 Chisme – Heavy Duty, TEA Tenerife Espacio de las Artes, Santa Cruz de Tenerife, ES, Katalog Ausstellungsbeteiligungen: (Auswahl) *1987 documenta 8, Kassel, D (Katalog) *1987 Bremer Kunstpreis 1987, Kunsthalle Bremen, D (Katalog). *1988 Spaces 88, Museo d'arte contemporanea Prato, Italia, (Katalog). *1989 D & S Ausstellung, Hamburger Kunstverein, D (Katalog). *1991 EUROCARD,John Gibson Gallery, New York, USA. *1992 Kunst werkt / Art works, Foundation, Stedelijk Museum Amsterdam,NL, (Katalog) *1992 Humpty Dumty's Kaleidoscope, Museum of Contemporary Art, Sydney, Australia, (Katalog) *1993 Eberhard Bosslet & Lawrence Gipe, Düsseldorfer Kunstverein, D, (Katalog). *1998 Material & Wirkung, Bosslet, Klotz, Sattel, Kunsthaus Dresden, D , (Katalog) *1999 Areale – Kunst im Industriellen Sektor, Brück/Linthe, D, (Katalog) *2000 Kabinett der Zeichnung, Kunstverein Düsseldorf, D *2001 Skulpturenufer Remagen, Regenfänger, D *2002 unexpected selection from the martin z.margulies collection, The Art Museum Miami, FL USA (Katalog) *2004 Worldwatchers, Kunsthaus Dresden, Städtische Galerie für Gegenwartskunst, D *2007 1 plus aus Dresden, Schloss Waldthausen/Mainz, D *2008 Ostrale 08, Zentrum für zeitgenössische Kunst, Dresden, D 2. Bienal de Canarias, Arte, Arquitectura y Paisaje, La Regenta, Las Palmas Gran Canaria, ES (Katalog) „berufen“, Hochschule für Bildende Künste Dresden, D *2009 Ostrale 09, Ausstellung internationaler zeitgenössicher Künste Dresden, D 1.Biennale für Internationale Lichtkunst Ruhr, Unna, D, (Katalog) *2010 Kunstmuseum Mühlheim, Liebhaberstücke, D, 11.09.2010-07.11.2010 *2011 Universum, Temporärer Kunstraum Harkort, Leipzig, D (Katalog) Kunst in der Villa Körbling, Speyer, D; End of the dream, MiccMoco, Berlin, D *2012 Participar, El Matadero, Goethe Institut Madrid , ES 2nd Ural Industrial Biennial of Contemporary Art, Ekaterinburg, RUS (Katalog) *2015 Living Large, Tucson Museum of Art, Tucson Arizona, USA *2016 Luminale Frankfurt am Main, D *2016 Ostrale weht Oder, Breslau/Wroclaw, PL *2017 Espacio P, Ca2M, Madrid, ES, Best of Ruhrgebiet , Galerie Frank Schlag, Essen, D Werke im öffentlichen Raum: *seit 1981 Interventionen im öffentlichen Raum *seit 2000 Gesamtgestaltung des U-Bahnhof, Duisburg-Meiderich, „Auf dem Damm“, D *seit 2001 Turmskulptur „Regenfänger“, Yachthafen Oberwinter/Remagen am Rhein, Skulpturenufer Remagen, Arp Museum - Bahnhof Rolandseck, D * seit 2008 - Inselwachstum, TU Chemnitz Institut für Physik und Reinraum, D Bibliografie: Auswahl Monografien *Picazo Gloria¸ Camps Miro: Eberhard Bosslet Intervenciones/Interventionen, Katalog der Fundación Miró, Barcelona 1985. *Gercke, Hans; Messler, Norbert; Stecker, Raimund: Eberhard Bosslet, Katalog des Heidelberger Kunstvereins, Heidelberg 1987. *Schmitz, Britta: Eberhard Bosslet, Katalog der Neuen Nationalgalerie Berlin, 1989. *Bochynek, Martin: Eberhard Bosslet, Katalog der Kunsthal Rotterdam 1993. *Seifermann, Ellen; Bochynek, Martin: Eberhard Bosslet - Malerei, Katalog PLANEN des Heilbronner Kunstvereins 1995 *Meyer-Büser, Susanne: Eberhard Bosslet, Interventionen II, Katalog des Sprengel Museums Hannover, 1995 * Bosslet-Archiv , CD-ROM für PC Werksverzeichnis von 1979 bis 2003, Kunsthalle Mannheim 2000, 3. erg. u. überarb. Ausg. 2003 * Utheman, Ernst W., Eberhard Bosslet, Work Groups, Katalog der Stadtgalerie Saarbrücken, 2007 * Findeisen, Ralf; Gisbourne, Mark; Grewenig, Meinrad Maria; Schütze, Irene; Katalog des Saarland.Museum Saarbrücken, 2012 * Bosslet, Eberhard; Findeisen, Ralf; Janecke, Christian; Britto, Orlando; Hernandez, Celestino, Krawietz, Alejandro; Picaso, Gloria: Miro, Theresa, DE, EN, ES, in Obras en Espana 1982-2012, extraverlag, Berlin 2014 * Gisbourn, Mark; Chisme – Heavy Duty, ES,DE, Katalog des TEA Santa Cruz de Tenerife, Spanien Internet: * www.bosslet.com * https://artmap.com/eberhardbosslet * https://instagram.com/bosslet.de/ Videos: * http://www.bosslet.com/exhibition-videos.html Eberhard Bosslet (geb.1953 in Speyer) Bosslet studierte Malerei bei Raimund Girke an der Hochschule der Künste Berlin von 1975 bis 1982. Ende der 70er Jahre wandte er sich in Installationen und mit Skulpturen verstärkt dem Dreidimensionalen zu. Das Spektrum der Arbeiten von Eberhard Bosslet umfasst Malerei, Skulptur, Installation, Intervention und Fotografie. Seit Anfang der 80er Jahre aktualisierte er mit seinen Eingriffen in den architektonischen Innen- und Außenraum den Begriff der Intervention. Bosslets dreidimensionales Werk beschäftigt sich auf ganz unterschiedlicher Weise mit den Bedingungen des Bauens und des Wohnens, mit Außen und Innen, privaten und öffentlichen Räumen. Alle Werke für institutionelle Ausstellung werden von Eberhard Bosslet für diese spezifischen Räumlichkeiten konzipiert und vor Ort mit Hilfe von lokalen Sponsoren und Leihgebern von Material und Gerätschaften realisiert. Die Werke basieren auf unterschiedlichen Konzeptionen. Sie werden von Fall zu Fall modifiziert und ähnlich einer Musik Komposition neu interpretiert. Diese inszenierten und installierten Werke bekommen am Ort ihrer neuen Aufführung eine raumbezogene neue Dimension und einen Wandel in der Materialität durch die vor Ort verfügbaren, ausgeliehenen Dinge und Gerätschaften. Sofern diese Werke nicht im Laufe der Ausstellung von jemanden erworben werden, gehen alle Werkbestandteile an den Ort ihrer Herkunft zurück. Mit diesen Werken begründete er seinen internationalen Ruf. https://www.bbk-kulturwerk.de/kioer/kuenstlerdatenbank/profil/eberhard-eberhard-bosslet --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:21, 9. Nov. 2020 (CET) === Intervention === [[w:de:Intervention (bildende Kunst)]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Bauzeichnung La Restinga II voll El Hierro 1983.jpg|mini|El Hierro seit 1983]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Bauzeichnung La Restinga II El Hierro 1983.jpg|mini|]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung II Tenerife El Guincho 1984.jpg|mini|El Guincho Teneriffa Süd 1984 Begleiterscheinung II]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung VII 1990.jpg|mini|Teneriffa 1990 Begleiterscheinung VII]] El Hierro sur *Dibuje de Obra, La Restinga II, 1983 *Eberhard Bosslet - Seit 1983 - Arbeiten an Ruinen: sog. "Bauzeichnungen, Reformierungen und Begleiterscheinungen" hierbei Transformierung der Gegebenheiten an Industrie- und Wohngebäuden durch lineare oder flächige Malerei. Commons Duisburg Germany *Intervention Innenhafen Duisburg, 1984 Near Barcelona *intervention on abandoned ruine *Dibujo de obra; Badalona; Spain, 1985 Tenerife Sur *intervention on abandoned ruine *Reformation IV, 1989 http://www.bosslet.com/interventions.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:50, 8. Nov. 2020 (CET) ;Teneriffa 2006 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung X Nord Teneriffa 2006.jpg|mini|Teneriffa Begleiterscheinung X]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung X Süd Teneriffa 2006.jpg|mini|vista sur]] [[File:ReformaVII.JPG|mini|Intervención Reforma VII 2006, en Arico]] Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 *www.germanart.eu *Teneriffa Süd Nähe PIRS/Tajao Exit 19 * Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 - vista norte Südseite * Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 - vista sur http://www.bosslet.com/begleiterscheinung-x.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:13, 8. Nov. 2020 (CET) ;Lanzarote 2008 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung XI Era Lanzarote 2008.jpg|mini|Lanzarote 2008 Begleiterscheinung XI]] Intervention ERA 2, 2008 participando 2009 Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje parte de la Segunda Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje, Google Earth view 2010 Art in Public Space - Intervention ERA 2, 2008 2009 Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje Era 2 vor der Intervention - Tegoyo, Tias Lanzarote public space artist La Era 2 antes de la intervención http://www.bosslet.com/era-ii-2008.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:54, 8. Nov. 2020 (CET) ;Gran Canaria 2009 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Reformirung VII Las Palmas GC 2009.jpg|mini|Reformirung VII Las Palmas GC 2009]] Urbane Erforschung - Seit 1983 - Arbeiten an Ruinen: sog. "Bauzeichnungen, Reformierungen und Begleiterscheinungen" hierbei Transformierung der Gegebenheiten an Industrie- und Wohngebäuden durch lineare oder flächige Malerei. Commons 2. Bienal de Canarias 5.3.09-3.5.2009 , Centro de Arte La Regenta - Las Palmas de Gran Canaria Neu//New/Nuevo Street View 360° at Google Earth - Gran Canaria zeigt/shows/muestra EBERHARD BOSSLET Intervention '''Reformation VII''', 2009 - 2. Bienal de Canarias, Gran Canaria Google Earth 28° 7'49.86"N, 15°28'32.66"W http://www.bosslet.com/bienal-canarias-09.html Präsentation: "slideshow" of interventions on flat screen tv on painted wall Eberhard Bosslet - Additive, Kunstverein Ingolstadt, 27.06.-09.08.2009, D "slideshow" of interventions on flat screen tv on painted wall 2. Bienal de Canarias, Arte, Arquitectura y Paisaje, La Regenta, Las Palmas Cran Canaria, 5.3.09-3.5.2009 E http://www.bosslet.com/praesentation.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:43, 8. Nov. 2020 (CET) ;Lanzarote 2011 Concomitancia XIII, Era5/Baxter, 2011, Lanzarote, Tias, Conil, 28°58'17.45"N, 13°39'53.93"W Concomitancia XIII, Era5/Baxter, 2011, Lanzarote, Tias, Conil, 28°58'17.45"N, 13°39'53.93"W http://www.bosslet.com/era-lanzarote-2011.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:58, 8. Nov. 2020 (CET) === Art-loss === Es wird ausdrücklich davor gewarnt das hier genannte und gezeigte WERK EBERHARD BOSSLETs zu kaufen oder auf sonst eine Art und Weise zu erwerben. Das Eigentumsverhältnis dieses Werkes ist umstritten bzw. der Anbieter ist nicht Eigentümer und hat keine Befugnis dieses Werk zum Kauf anzubieten oder auf seine Rechnung zu verkaufen. Sie können daher kein Eigentum an diesem Werk erwerben. Es wird vermutet, daß die hier genannten Personen, bzw. Galerie noch im Besitz des gelisteten und gezeigten Werkes sind. Falls Sie Kenntnis über den Verbleib oder einer Ausstellung des Werkes erlangen, informieren Sie bitte eine der deutschen Galerie des Künstlers. Der letzte bekannte Besitzer/verbleib des Werkes: Karl Bornstein, Santa monica, CA, USA or The Mirage Fund, Fimberg & Wiliams L.P. Mr. Ralf Wiliams, 9777 Wilshire Blvd., Suite 710, Beverly Hills, CA 90212, USA http://www.bosslet.com/art-loss.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:47, 8. Nov. 2020 (CET) === Emeritierung === Sächsische Zeitung vom 25.02.2019 12:00 Uhr [https://www.saechsische.de/plus/eberhard-bosslet-hfbk-dresden-5039640.html Einfach unverbesserlich. Eberhard Bosslet bildete 22 Jahre lang in Dresden junge Künstler aus. Einer von ihnen ist berühmter als der Professor.] Eberhard Bosslet räumt sein HfBK-Atelier in Dresden. Foto: Ronald Bonß Von Birgit Grimm Es hat nicht sollen sein. Die Abschiedsausstellung des Professors für Skulptur und Raumkonzepte an der Dresdner Hochschule für Bildende Künste (HfBK) findet nicht statt. Es liegt nicht daran, dass die Tragfähigkeit des Fußbodens im Oktogon nicht stark genug wäre für das, was Eberhard Bosslet zeigen wollte. Auch hatte er nicht vor, eine Skulptur aus buntem Bauschaum zu erschaffen. Er wollte kein Fahrzeug als Kunstobjekt im Innenhof des Akademiegebäudes an der Brühlschen Terrasse parken und auch nicht einen der Bäume dort mit einem Gartenschlauch umwickeln. Diese Episoden trugen sich alle an der HfBK zu. Manche dieser künstlerischen Ideen wäre gescheitert, wenn Bosslet nicht interveniert hätte. Postfaktische Widrigkeiten nahm der Professor, der nach 22 Jahren emeritiert wird, nicht hin. Er schaltete sich ein, stellte infrage, was da von Rekoptorat oder einzelnen Kollegen infrage gestellt wurde, gab Gutachten in Auftrag. Kunststudenten dürfen nicht machen, was sie wollen. Aber sie sollen sich ausprobieren, Neuland betreten, sich entwickeln. Die meisten, die sich nach dem Abitur oder nach einer Berufsausbildung an der HfBK bewerben, haben ein konservatives Kunstverständnis. „Ich frage meine Studenten, ob ihre Familie sie unterstützt oder es toleriert, dass sie Künstler werden wollen. Noch nie hat mir jemand erzählt, dass seine Eltern ihn regelmäßig in Galerien und Ausstellungen zeitgenössischer Kunst mitgenommen hätten.“ Ihnen zu helfen, dass sie sich zum Zeitgenossen entwickeln, darin sah Bosslet seine Aufgabe. „Aber es gibt so wenige, die unter Innovationsverdacht stehen. Dort, wo man noch nie war, muss man ja auch erst mal hinwollen. Denn das ist kein gemütliches Terrain.“ Überhaupt sei es das Schwierigste, nicht den eigenen Sehnsuchtsmodellen der Vergangenheit anzuhängen. Einer, der Haltung vermittelt Bosslet stammt aus Speyer und ist der Sohn eines Architekten. „Auch bei uns war das Künstlerbild tradiert. Allerdings hatte ich Kandinsky, Miró, Picasso, den Kubismus damals schon verstanden. Trotzdem bin ich durch die Kirchen von Florenz und Venedig gerannt und habe Altarbilder angeschaut. Dass ich am Zeitgeist teilhaben wollte, das merkte ich erst später.“ Auch Bosslets wohl berühmtester Student, der Maler Martin Eder, arbeitet historisierend. „Aber er versteht es, die Grenzen des guten Geschmacks auf eine interessante Weise zu tangieren, sodass sich daran die Geister scheiden. Das macht ihn so zeitgenössisch“, befindet der Lehrer. Er selbst reiste nach dem Studium in West-Berlin Anfang der Achtzigerjahre viel herum, schuf Kunstwerke in der Landschaft: „Wie ein Graffitisprayer, also meistens illegal“, verrät er. Aber auch nachdem er 1997 in Dresden sesshaft geworden war, zog er mit seinen Studenten in die Welt. Dieser Professor kam nicht mit verschränkten Armen in die Klasse, um Korrekturen zu geben. Es war eher eine Haltung, die er durch sein Schaffen und seine Ausstellungen vermittelte. Und es waren praktische Übungen, die den Studenten helfen sollen, sich zu behaupten. „Als ich hier anfing, habe ich einen leeren Raum genutzt, um Projekte zu realisieren. „75Kubik“ hieß das Format. „Als ich das publik machte, hat der damalige Rektor mich zurechtgewiesen, ich hätte nicht die Befugnis, von mir aus damit an die Öffentlichkeit zu treten.“ Hochschulinterne Restriktionen haben ihn nicht davon abgehalten, mit seiner Klasse Ausstellungen innerhalb und außerhalb der Schule, innerhalb und außerhalb Dresdens zu zeigen. „Als ich nach Dresden kam, war ich ein regelrechter Patriot und habe mich total auf die Stadt eingelassen. Viele Jahre habe ich versucht, auszustrahlen. Aber das hat sich nicht gespiegelt. Aus der Stadt kam selten Feedback.“ Wenn hier gebürtige Künstler sich in Dresden nicht wahrgenommen fühlen, sind sie damit nicht allein. Bosslet sagt: „Mal bin ich ein Dresdner Künstler, das nächste Mal bin ich wieder keiner.“ Sein Sohn ist in Dresden aufgewachsen, seine Frau hat hier einen großen Freundeskreis. Trotzdem zog die Familie 2011 nach Berlin. „Ich liebe Dresden, aber ich brauchte physischen Abstand zur Hochschule“, begründet Bosslet diesen Schritt. Er hatte Knatsch mit dem Rektor. Heute soll es vorkommen, dass Professoren und Studenten sich wegen Pegida gegen Dresden entscheiden. Bosslet hat das noch nie gehört. Aber er weiß natürlich, dass bei der Wahl des Studien- und des Arbeitsorts das soziale Umfeld eine Rolle spielt. Hartnäckig und beweglich im Kopf In einem anderen Unterrichtsformat lud seine Klasse Sammler, Galeristen, Journalisten in eine Ausstellung für einen Tag in die Hochschulräume auf der Pfotenhauerstraße ein. Im Zwei-Stunden-Takt diskutierten die Studenten mit je einem Gast ihre Arbeiten. „Nach dem ersten Mal waren die Studenten so scharf drauf, dass sie beim zweiten Mal alles selbst organisiert haben. Das ist der Prozess, den sie üben: Wen lade ich wie ein? Genügt ein Anruf? Oder sollte ich doch lieber schreiben? Was muss ich schreiben, wie formulieren? Hake ich noch mal nach, wenn keine Antwort kommt?“ Wer Künstler sein will, muss nicht nur hartnäckig sein, sondern auch beweglich im Kopf. Der 65-Jährige, der gern Objekte aus Schrott und Bauschutt in hehre Kunsttempel stellt, wollte in seiner Abschiedsschau im Oktogon der HfBK die Installation „Heimleuchten“ zeigen. Kitschigbunte Weihnachtsbeleuchtung im überraschenden Kontext. Doch er fand keinen Sponsor. Heimleuchten: Mit so einer Installation wollte Eberhard Bosslet sich aus dem Professorenamt verabschieden. Doch er fand keinen Sponsor für das material- und energietechnisch aufwendige Werk. Bild: Heimleuchten: Mit so einer Installation wollte Eberhard Bosslet sich aus dem Professorenamt verabschieden. Doch er fand keinen Sponsor für das material- und energietechnisch aufwendige Werk. Bosslet Und weil ihm seine Studenten wichtig sind, er aber keine Klassentreffen mag, lud er sie ein, mit ihm ein Buch zu machen. In Bosslets Lehrbericht von 1997 bis 2019 haben sich die mehr oder weniger jungen Künstler und Künstlerinnen mit Fotos, Kurzvita und Ausstellungsliste verewigt. Dorothee Billard hat das Buch mitgestaltet und dem Professor darin den meisten Platz gegeben. „Unverbesserlich“ steht auf dem Cover. Und in der Tat ist noch nie ein Student an der HfBK durch die Diplomprüfung gerauscht, obwohl im Studium tatsächlich Noten vergeben werden sollen. „Wir müssen Noten geben“, sagt Bosslet. „Da wir gute Lehrer sind, sind unsere Schüler natürlich auch gut. Das hat das allgemeine Bildungswesen nur noch nicht erkannt, dass die Note des Schülers die Note des Lehrers ist – oder die Note des Systems.“ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:01, 9. Nov. 2020 (CET) == Literatur == Menschen ohne Härte, Ellbogen und einen gesunden Selbstschutz, um sich gegen diese immer härter und kälter werdende Welt zu wehren bzw. durchzusetzen ohne die Möglichkeit, einen Schutzwall hochzuziehen Suchstoffe um sich zu betäuben, um den „Seelenschmerz“ nicht mehr fühlen zu müssen „Ritzenz“ dient dazu, sich anders zu fühlen, d.h. sich körperlich statt seelisch zu fühlen seelisch ungeschützter in unserer Mitte sich auf eine innere Nähe zu den Menschen einzulassen, die wirklich z.T. gequälte Seelen sind Egomanen dieser Welt gegen auf Harmonie, einem menschlichen Miteinander gepolte Menschen, die keine Schutzmauer aufbauen können das Gros , das in dieser Welt psychisch überfordert ist vgl. Manfred Lütz „Wir behandeln die Falschen“ „selektiert“ wurde in der Vergangenheit bis hin zur Gegenwart genügend und in allen Bereichen mit dem Ergebnis: der Mensch bleibt auf der Strecke die Evolution der Menschheit ist am Ende, es hat die Evolution des Materialismus begonnen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) Ich meine, meine Bücher sind wirklich! böse, weil sie diese ganze übliche nette gesellschaftliche Verlogenheit und Verkommenheit gründlich demaskieren, indem sie verdammt nah dran an den realen menschlichen Schicksalen sind. Und ich glaube auch nicht, daß es sich wer wagen würde, die zu verlegen - ich übrinx auch nicht, so lebensmüde bin ich nicht. Zum Glück hab ich ob meiner Lebensweise finanziell ausgesorgt und muß gar nix mehr außer sterben. Und dann kenne ich ein weiteres Buch, das wirklich böse ist: Jürgen Vogel: "Magdeburgs Wendehälse. Lexikon der Lügner und Betrüger". Der Autor war 1990 bis 1994 Vorsitzender des Magdeburger Bürgerkomitees und hatte 1991 "Magdeburg, Kroatenweg : Chronik des Magdeburger Bürgerkomitees ; Beobachtungen in der Zeit der Wende zwischen Lüge und Wahrheit" veröffentlicht (nach 1990: "Abgesang der Stasi"). Sein drittes Buch hat niemand mehr verlegt, er wurde aus dem Bürgerkomitee abgeschoben, und die Friedrich-Ebert-Stiftung, welche sein Archiv aufkaufte mit der Zusage der Aufarbeitung, hat als erstes für 60 Jahre den Deckel draufgemacht. Das Buch nenne ich dann mal wirklich pöse - es würde heute noch nicht verkraftet werden, weil immer noch zu viele Wendehälse aktiv sind! https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&reset=true&cqlMode=true&query=auRef%3D102749658X&selectedCategory=any --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:15, 4. Nov. 2020 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3628903430501315&set=a.111717075553319 Meine Gedanken haben mich verlassen. Der Pinsel hat sie weggetragen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626372927421032&set=a.111717075553319 und der Pinsel schrieb Freude ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626370947421230&set=a.111717075553319 und sie fühlte sich selbstverlassen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623995644325427&set=a.111717075553319 werft Worte in die Welt, damit sie dort erblühen können] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623992674325724&set=a.111717075553319 ich will hier raus ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3615247088533616&set=a.111717075553319 Sie haben Euer Denken verriegelt ... ] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3604090076315984&set=a.111717075553319 macht Euch Gedanken, denn sie können fliegen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3601244606600531&set=a.111717075553319 dieser Ort hat keine anderen Grenzen als meine Gedanken] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598497446875247&set=a.111717075553319 wenn ich an meine Eltern denke] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598495936875398&set=a.111717075553319 die Stadt ist ein Wort, der Pinsel schreibt weiter] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:43, 5. Nov. 2020 (CET) == Atompunk == [[File:Сталкеры на привале.jpg|mini|Stalker - Tschernobyl]] [[w:Atompunk|Atompunk]] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/5KgJnV6L6fOfnn7zJHjTs6/41409837b73de7c1c4024424510c493f/76_Shelter_After2_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' bei Fallout] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/1SeUOdsQCoJ5VvGNCSFyf1/0957edcab1fd1dea19da72585fe1a210/76_Shelter_After1_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' II bei Fallout] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) [[w:Picknick am Wegesrand|Picknick am Wegesrand]] 1971 [[w:Stalker: Shadow of Chernobyl|Stalker: Shadow of Chernobyl]] 2007 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:35, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.imdb.com/title/tt0773736/mediaviewer/rm2535426561 Lost in Space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 16:22, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=969560220191143&set=gm.3583128475067470 Marta Kristen in wardrobe wearing a space suit for the 1960s tv series lost in space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:30, 8. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/basw.AbrU_r9vGHo-z_karx2ANGJZqZCGyGSE64dVSxMdVbWi0SJzbI6zMFK5DkovzTd6WRwdpHixH9jkrZvkf2btVYc1PkyHiR9WWLVSpOhOhTJgnyykw5uP6PNxKAraMtgvn4Gwf1gkKNcN8G5MLI5k5E5M/2556004381104383/?opaqueCursor=AbpEfvdUcdzHVE5z6Unv9Jb8PSI92VuSW0qsjVx88LlJSsvDrxL9gDSssK2UdTRFjoDY5tu8GRr_TzHRvdLx2VoW9LkttzbaIZR0XhIrgnPjVcOq0mvNN7_zR7Bq4H9yoDWn-lYoHBg48mdo0zaJy-RcZxVl3bxusgPm0J0vQ4yY6llDaE6zYusB57oPdiVy3e-12jeafiMdTQBCWrKA1EWGuo1WoqSmaCQheqlGz-T4CVGpM7wHAHy1eNPCb4qkZnDy85cL3oBd8nLCAHEx6tSW13Tk2Oz4hcwVz7Tp2RgkLzRVaLKHktEbqISsXcA4i54JEXhzg4C9_T3qOx0-kRnmEdpujxFGBwgmmW1UR5GjjaEbBFq1wRNWuEmR9WuMx1sS3hszrlqRLgIsby8p4oVeHwWQS13ZYz_gmGcz01384AdDHiWVsZh407PGguYaoMMq-Rz5VOPXUId5CsN8ZvOMahqCSUnXvM92iDzR7z1QbFzPfTjPlO9zw7TCTtxb7Yb5FKOBO8k7-NwDxstXiSUNtbMuhmAjN_Ug_N5xbwwGjAwemhypx-0z10UECpq6SZMJ0V8NCdLy7vncYd4loGBqLAxoQrhT_Udzcv1aq4lZqxyScYsQEth5vXa3OK5lsUmZGBIcJRmOoOUqA4kVA38dDvB6SlMxenwhZeSttYJaJMN-Jo9IivE1Dozw2uQPNQFAurmxf1Jojw4xbOttLjQlO2FDXRIsX4vc-LuqlKy4kofkKffUeKUmbohi9fcoftsQ0SGrAIZ-PY38ZP8Phs_iAa0zJ4N42mAG7wcvRIKLmvFnFqdMXGFUNpRdySYlmMsE2OINZlFGRTmXO1kAjxCHMUqmRXW2gl6EGxer1EiPNg atom-punk go-go jazz halloween costume (or every day) ideas #8] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/1029616097076560/ Astronauten-Pärchen] auch eine Idee für die nächste Zeit - aber nicht weiter weg als 5 km von zu Hause, sonst geht die Luft aus [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/837600166278155/ Raucher-Astronaut (Dr. Who)] - Raucher-Maske - sehr Vorteil-Haft für unsere süchtigen Säuglinge unter uns [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/791374787567360/ gelbes Space-Frauen-Kommando mit roten Streifen - unter männlicher Befehls-Gewalt] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/941018669269637/ Silver-Girl im Labor] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/694038930634280/ Heavy Silver Astronautin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/658284810876359/ Weyland Girl] https://en.wikipedia.org/wiki/Weyland#Fiction [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/652535974784576/ Weiße Taucherin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/615008418537332/ Silver Astronautic Paar] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:08, 25. Okt. 2020 (CET) == Photographie == [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2295772393809566/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/68954640_2295772397142899_226081963155390464_o.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=o1bMfM884ukAX9tXvYd&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=8f38ae65e82b5edcbb04f76459d1c66c&oe=602959FB have an idea...?!] - I fuck your brain * [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/703801973006624/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/10600589_703801973006624_962048756325809864_n.jpg?_nc_cat=109&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_tqZPK0GnVsAX-Y0eLn&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7eec14cc6c2e88e8a04eed792dbdf455&oe=60272C91 still the same curves (anniversary remake&reload)] seitlich [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/877898902263596/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12080054_877898902263596_1056407333265845020_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_1-mbP0ptb8AX-FnReH&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180c7826ce94200ffbf0cb43291a70ef&oe=602A4888 all crew members are on service deck] - "Pilotin" *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/853361011384052/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/11836640_853361011384052_1317312222273636789_n.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=-LHNDNWp5I0AX_0qumx&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=f7cb300e18fe7d90fc3a648872812663&oe=60289D63 fighter team] Rückenansicht *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/a.360648453988646/3183274475059349/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/119480868_3183274478392682_4198532599522982186_o.jpg?_nc_cat=111&cb=846ca55b-ee17756f&ccb=2&_nc_sid=0debeb&_nc_ohc=HIa7Uq4NXIQAX-0zCiM&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180cd13ebdc2efca1ea5797f23e6993b&oe=6026766B hangar check] - in der Stratosphäre ist sie sicher vor Corona, die Helm-Nummer "13" sollte zusätzlich helfen [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2875447189175414/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/99257505_2875447195842080_8451893750401073152_o.jpg?_nc_cat=110&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=4vP91s4Xqs0AX8b9Z1F&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=71f3ddd285be9fca24c3be88566bde5d&oe=60269A91 Die Stille der Nacht] - Halskorsett aus schwarzem Leder über Mund und Nase - MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/988286121224873/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/13243780_988286121224873_3083762868739399129_o.jpg?_nc_cat=103&cb=846ca55b-311e05c7&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=isn0T9bKZjIAX8A-9Mv&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=48754a6cbda0068cad72a2e7a921c255&oe=602A0605 roses are the real weapons] (star wars day) Tätowierte mit startrooper helm - hauptsache MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/908425312544288/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12365984_908425312544288_8987609574159828109_o.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=9TeNkoreIRsAX8zhTtN&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=883db11cec295c5424168a9d1da27c3f&oe=602A1F07 256 shades of cathy] in der dusche eingesperrt - https://www.facebook.com/cathleen.sattler [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/181532538566906/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/257974_181532538566906_7525195_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=fZZiQKgTsz0AX8OuhxK&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=e9e2008bb79008684999318b37aad921&oe=6026E2E1 creatures of the night] (danke an wildchild https://www.facebook.com/kleineswirres ) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:31, 16. Jan. 2021 (CET) == Zeichnungen == Das Secret Desire und Michael Kral laden herzlich ein zur Eröffnung der Ausstellung: Freitag, 04.11.2016, 19.30 Uhr Ein akt ist so - natürlich NaCkt ... verhüllt vom N im Negligée ... bezaubernd bis zum Ceh. Im Akt ganz pur zeigt die Natur des Künstlers Können mit Bravour. (Sazu) Ort: Secret Desire, Rothenburger Str 7, 01099 Dresden Die Ausstellung ist vom 04.07.2016 bis zum 04.01.2017 während der Öffnungszeiten des Secret Desire ́s zu sehen. Motiv: Michael Kral, Aktzeichnung, 35 x 25 cm, 2016 https://www.facebook.com/kralartifex/posts/1063220337109301/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:34, 16. Jan. 2021 (CET) == Ruslana Eisenschmidt == [[File:Ruslana-eisenschmidt-disco.jpg|thumb|Ruslana Eisenschmidt bei der Agentur Disco 3000 mit einem Original 3000 T-Shirt. 1999.]] [[File:Silbermond-ruslana-eisenschmidt.jpg|thumb|2001 illustrierte ich die Band Silbermond in Berlin. Dies ist eine Vektorgrafik.]] Ich male den ganzen Tag was ich will... Ich lebe vom Malen. Habe Glück gehabt. Übrigens ist malen arbeiten. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:34, 10. Mär. 2021 (CET) Ich habe eine ganze Kiste voll, mit von mir erfundenen Comic Charakteren... Hier habe ich mal einen "katholischen Schweinepriester" entwickelt und gezeichnet. Er frisst kleine Kinder. * Der frisst Kinder, weil er selbst Angst vorm Leben hat.... Er frisst kleine Kinder, weil er richtig und falsch nicht unterscheiden kann.... * das kommt noch dazu... das sind keine Haare, er hat 4 Teufelshörner! Er ist unfähig sich den Gürtel richtig zu binden. Klick mal das Bild an. Er trägt keine Schuhe, sondern nur eine Strumpfhose, da kann er sich auf leisen Sohlen besser anschleichen.... Eigentlichen male ich nur noch Frauen und Katzen. Da ich da einen eigenen Stil entwickelt habe. Hier habe ich einen Seepferdchendrachen erfunden und gezeichnet. Er wurde von einem Trophäensammler geköpft und an die Wand gehangen, deswegen schnaubt er vor Wut. Ich habe halt ne blühende Phantasie. Ich habe viele Charakters erschaffen. Es sind dermaßen viele, dass ich sie bereits nach Familien sortiert habe. Selbst Comics zeichnen möchte ich nicht. Ich kann aber die Figuren anderen Zeichnern, Zeichentrickstudios oder Spieleentwicklern zur Verfügung stellen. Bei mir sind die Sachen nicht im Kopf. Mein Kopf ist klar. Bei mir entsteht der ganze Unfug erst, wenn ich ein leeres Blatt Papier sehe. Erst kommt ein Auge, dann eine Nase und plötzlich erkenne ich, was das werden soll. Ist jedesmal eine Überraschungsgeburt. ich kann nur zeichnen, wenn ich locker ran gehe. Aus therapeutischen Gründen könnte ich das nicht. Da würde mir nichts einfallen, da ich im Inneren aufgeräumt, aber nach Außen hin chaotisch bin. Für meine Seelenpflege ist da nicht der Zeichenstift, sondern meine Psychologin zuständig. ein Abgrenzungsproblem ist das nicht, sondern das Langzeitgedächtnis speichert Erlebtes besser, wenn es mit Gefühlen verbunden waren. * Ja Du sagst es. Die Gefühle waren dermaßen intensiv daß sie sich mir eingebrannt haben. Das Abgrenzungsproblem war damals Ich ließ sie vieleicht zu nah an mich ran phatetisch an mein Herz. Ich distanzierte mich nicht. So ist das gespeicherte immer präsent. Die Trennung nicht gänzlich vollzogen. So meinte ich das. Das mit den Trennungen ist sowieso etwas seltsames. Das kann keiner begreifen, wie und warum der Mensch das macht...Auseinander gelebt, sich weiter entwickelt, Bindungsangst, komische Sachen gemacht...Der Mensch an sich ist schwach..wir alle sind das... * Hat man Dir das so IN ALLER LIEBLOSIGKEIT gesagt? Diese Erklärungen tragen nicht sehr weit. Ich weiß. Genau richtig gesagt: man begreift es nicht. Nicht vorher, nicht während und erst recht nicht danach. So klar man im Nachhinein auch fälschlicherweise oft denkt: "Ach so. Ist ja ganz klar.Wegen diesem und jenem" Wir wissen daß das nicht stimmt und können doch nicht anders, weil man das sinnlose nicht einfach kapieren und akzetieren kann. Erklärungen wie: "na ja, die hat eben die vielen anderen Männer als Möglichkeit nicht ausschließen wollen, die hat eben keine richtige Beziehung gewollt", was wird noch gerne genommen? Ach ja, "am Alltag gescheitert" etc. Alles um es wegzuerklären und um es in die Schublade ablegen zu können. Gesunde Einstellung, aber... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:05, 31. Mär. 2021 (CEST) https://www.facebook.com/profile.php?id=100019492082821 Suche Wohnung ausschließlich in Ostberlin/Mitte ab Sommer 2021. Unbefristet, kann auch klein sein, Warmmiete bis 700 Euro * maximal 1 Zimmer in einer WG Das ist lieb, doch ich brauche was eigenes. Danke nochmal. * 700,- ??? Na viel Spaß * Mitte Neubau der Quadratmeter 20 EUR nettokalt. Altbau wird wegen Mietendeckel-Entscheid überhaupt nicht mehr angeboten. Und dann bei Privaten auch nur im Netzwerk. Gönnt Dir Keiner was;-( * für 700,- kriegste in Mitte grad mal‘n Zimmer ! Ich suche was Eigenes. Ich möchte zurück nach Ostberlin Mitte. Dafür gebe ich eine große Wohnung in Jena auf. * 700 Euro Warmmiete ist aber inzwischen in Berlin ganz schön optimistisch. ich weiß. Noch könnte ich Glück haben. Ich habe mal ein halbes Jahr in Paris gelebt. Berlin entwickelt sich immer mehr in Richtung Paris. Und Paris lebt einem die hohen Mieten vor. * und New York. 😂 Gut, daßduda wechbist. ab 20 m2 Ich suche Rosenthaler, Torstr., Linienstr. Ich meine konkrete Straßen in Ostberlin, weil das Jugenderinnerungen für mich sind. Alles rund um den Alex ist ideal. Mit Moabit hatte ich nie etwas zu tun. * ich bin von Berlin schon vor zwölf Jahren WEch WEgen dem Mieten-WAHNSINN - dort braucht mensch einKOMMEN zum ausKOMMEN - lebte SO 36 über dem "Trinkteufel" bei Christian Herwartz (Exerzitien auf der Straße) https://www.strassenexerzitien.de/ Ich ziehe dieses Jahr noch zurück nach Berlin. Ich will ausschließlich Ostberlin Mitte, da fühle ich mich wohl, da habe ich meine Jugend verbracht und nur dorthin will ich. Bin auf Wohnungssuche. Ich will unbedingt mach Ostberlin, Mitte...Da explodieren gerade die Mieten wie in Paris. Wird also vorerst nur was Kleines werden. *Irgendwann will man keine Kompromisse mehr machen und vielleicht nach Hohenschönhausen oder weiß der Geier wohin ziehen wg billiger. Obwohl Du doch eigentlich da hin wolltest wo die eigene Jugend stattfand. Nach O. Berlin Mitte. * kann ich nicht mitreden - hatte die meiste Zeit (Ost)Berlinverbot ([Ost]Berlin - die Nebenstadt der DDR) Mir geht es nicht um günstige Mieten, denn die habe ich ja jetzt. Nach Berlin ziehe ich in ein ganz bestimmtes Viertel. Ich will ganz bestimmte Straßen, da das meine Jugenderinnerungen sind und mich aufblühen lassen. ich bin Single, weil ... mein Hintern ist zu groß * Und du glaubst wirklich,daß Männer NICHT darauf Stehen?Was für "Männer" kennst du denn?Wohl eher Würstchen,die sich nicht trauen,zu ihren wahren Vorlieben zu stehen.Hunde wollen Knochen,Wölfe wollen Fleisch! * entscheidend ist eher, wie weit du (mit)gehst arbeiten gehen muss * muß? - ist für mich ein ToTAL verALTeTes Wort Kapuziner im Cafe de la Paix, Paris, 1952. Photo by Georges Dambier. Tolles Foto..doch gebe man der Dame bitte was zu essen. * meine Oma lief ab 1940 im Pariser Chic herum ... Gut, dass ich nie geheiratet habe... Japanische Tradition * kennich -wahr mahl dort (und dsa-dsen-lehrer wahr ich auch mal, in der ddr, als das noch richtig wichtig wahr) Unterwassergang * könntich stundenlang zuschauen ... leichtbekleidete Bikerinnen * Hauptsache Schutzhelm. Und immer das Visier schließen - wegen Corona-VERordnung. Brennende Kerze wird bestiegen Ich wunder mich auch jedesmal, darüber was es in der Kunst Neues zu sehen gibt. Nach dem Motto: "Die Kunst ist tot, es lebe die Kunst." *Kunst-Bruder Christian Schmidt (SJ) hat über Jahrzehnte eine Kerzensammlung aufgebaut - zT noch origineller * Aufstieg zum Licht - oder zur Erleuchtung, Sieleuchtung ... [[File:Painting of Mata Hari by Isaac Israels.jpg|thumb|Painting of Mata Hari by Isaac Israels, 1917]] Mata Hari photo 1907 * Ein atemberaubendes Kleid Ein atemberaubendes Schlitzohr, so kennen und lieben wir sie *sie hat das Alter nie schmecken müssen (ich war mahl mit der "SchoENeN SExiN" zusammen, die wahr ganz ähnlich) Patientin Ruslana: kann nicht schlafen - du mußt feiern und dich betrinken Viele meiner PROMI Kollegen, wie Kurt Krömer waren bereits in einer Nervenklinik..Wieso interressiert das auf Facebook keine Sau? AUCH MARLENE DIETRICH lies sich behandeln. Sind das alles Verrückte für euch? Als bipolar chronisch Kranke, also: ich bin manisch- depressiv. Muss ich aktuell und frisch nach der gerade erlebten, enttäuschten Liebe sehr um mich kämpfen. ÄRZTE..PSYCHOLOGEN..UND MEINE FREUNDE kämpfen gerade um mich. Mir geht es nicht gut. Witz Kommentare sind hier unerwünscht, denn diese Erkrankung ist nicht heilbar und die Selbstmordrate liegt bei über 30% Ich habe ne ABC- Schutzmaske endlich kann ich die mal aufsetzten *sicherheitshalber auch noch den Vollschutz-Anzug habe ich da. * dacht ich mir schon - sicher ist sicher ... Bartclubs, Bartmeisterschaften ... Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. * Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1364217717267517&set=gm.3544231839016781 Atem-beraubend. Vor allem mit schön engen Brust- und Bauchgürteln.] Hier gibt es noch ganz andere Fotos...da habense nix mehr an...doch das wird dann selbst mir zuviel. Ansonsten poste und male ich ja gern freizügige Frauen, ist bei Künstlern seit Jahrhunderten normal. Ich habe früher in den Clubs auf den Lautsprecherboxen getanzt... Nein, es ist nicht einfach so vorbei. Ich habe Liebeskummer und mir geht es nicht gut... [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1155671958211971&set=a.203131063466070 Sophia Loren in schwaarzem Lederkleid mit breitem Gürtel] Alles an ihr ist schön. Eine Augenweide. stand in diesem Out-Fit mal recht hoch auf meiner nach oben offenen Skala (ist allerdings eine Weile her) Ich bin in allen drei Waffen ausgebildet. Florett, Degen und Säbel. Eigentlich gibt es den veralteten, klassischen Stockgriff und den modernen Pistolengriff, der ergonomisch in der Hand liegt. Ich als Künstlerin poste meine Zeichnungen nicht auf Facebook..bekomme aber jetzt von anderen Zeichnungen gepostet..das nenne ich ein gelungenes Produkt Placement.. Bei mir meldet sich oft erst der Bauch, dann das Herz und dann versucht der Kopf noch was zu retten. Glücklicherweise habe ich ein schnelles Hirn...sonst würde ich mit Bauch und Herz nicht klar kommen. Ich wäre dann mit mir selbst überfordert.... Ich habe auch auf Mallorca gelebt. In den 2 Jahren auch viel Leid gesehen. Menschliches und tierisches Leid. Von wegen Trauminsel. Meine beiden Katzen habe ich auf Mallorca bekommen und sie dann nach Deutschand mitgenommen. Sie sind beide als Fracht geflogen. Auf dem Flughafen haben die Spanier sie wie Gepäck einfach in einen halben Meter tiefen Schacht geworfen. Ich bleibe sonst lange ruhig, aber da bekam ich einen Tobsuchtsanfall und habe wüst die Flughafenmitarbeiter auf deutsch beschimpft. ich unterhalte mich auf Facebook nie privat. Nur öffentlich. Das ist ein Grundsatz von mir. Auch liegt nichts an meiner Herkunft, sondern eher an meinem Charakter und meiner fröhlichen Art. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3753838501401735&set=gm.1050564075468125 corona-schlafzeug] Ein Träumchen....😂 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:56, 3. Apr. 2021 (CEST) == Gumina Jasmin == nunja, ich war der letzte Partner der damals edelsten und schönsten Sexin - noch früher persönliche Sekretärin des Reichsbahn-Präsidenten in Dresden, verkuppelt mit dessen Fahrer, ZV-Schlampe der Oberoberoberklasse - vom Feinsten, absolut High End, Edel-Escort, von Geburt an Probleme mit der Halswirbelsäule, deswegen schmerz- und schlaftablettensüchtig ab Mitte 20, Buchspeicheldrüsenkrebs (ein Onkel von mir war ZV-Ausbildungsleiter im ZV-Lager Bernburg, schluckte auch zu viel davon - unter Tage im Steinsalzbergwerk - brach mit 37 zusammen und starb daran mit 51), Whipple-OP mit 45, auf Morphium hochdosiert, von der Medizin abgeschrieben, ihr Mann brannte mit der Pflegerin durch, wollte sie nicht totpflegen, in die Palliativstation St. Joseph-Stift hier in Dresden eingewiesen mit 52 - sie hatte mir schon ihr schönstes Kleid ausgesucht, in dem sie beerdigt werden wollte, die Urne auch - beides lackschwarz und mit roten Rosen - und dann war ihre Liebe zu mir stärker als Schmerz und Tod, da war noch zu viel süßes Leben ungelebt - ich habe ihre ungeheuren Schmerzen in ungeheure Lust transformiert - und sie hatte noch weitere elf absolut tabulose Jahre, dem Tode abgerungen - mit 63 erneut Krebs - gestreut bis in die Lunge - wieder Chemo, wieder edle Perücken aller Coleur, Sauerstoffmaske statt früher Latex- und Gasmasken etc. - nach sechs Monaten der Tod (das Leben wiederholt sich nicht): "mir geht es schlecht" hat sie nur ein einziges Mal gesagt - das waren ihre letzten Worte vor dem Koma - beerdigt wurde sie in lackrot, der Farbe der Liebe, unserem Lieblingsoutfit (darunter rotes Latex als nahtlose Unterwäsche) - die Urne blieb gleich - so eine rote Urne gab es nicht - sie sah noch beim letzten Spaziergang im Rollstuhl aus, wie ich sie kennengelernt habe - mit langer, blonder Perücke, in Lack und Latex, wunderschön wie Mitte 40 - sie hat das Alter nie geschmeckt, und es war wohl besser so für sie (sie ging nie ungeschminkt, ungestylt und ohne High Heels raus - nie nie nie, nur ich kannte sie auch abgeschminkt und voller OP-Narben) https://www.josephstift-dresden.de/kliniken-und-einrichtungen/palliativmedizinonkologie/klinik/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 12. Mär. 2021 (CET) mann muß sich nur zu helfen wissen - diese Ersatz-Atembeutel kenn ich von der Ostzone, ZV-Frauenlager, als "Strafe" für verfehlte Normen (lange Handschuhe) der ANzug sitzt mehr als ANGEGOSSEN - sie sieht aus wie einGEGOSSEN --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:38, 12. Mär. 2021 (CET) nur drei kleiderschränke voll? meine gumina jasmin hatte zusätzlich noch speicher und keller voll, und das ehemalige kinderzimmer nur für extravagante schuhe und (overknee)stiefel - alles für den "erlesenen geschmack" - alles, was das herz begehrt --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:16, 16. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=126742722767970&set=a.106686318106944 70s] * Da darf Mann sich schon mal umdrehen. ** darfste, wenn du Single bist.. * Das waren noch Frauen damals ... ** heute gibt es den gleichen Frauentyp nur die Klamotten sind anders. * Scheint kalt zu sein... ** ficht so einen heißen Feger doch nicht an - ich kenn die Jahre ... die haben auch mir den Kopf verdreht - MILF, und ja, da war ich noch jungk und ledig ... * es gab noch weitaus heißere Feger ... hab ich nicht vergessen * Man denke nur an Jane Fonda in Barbarella ... ** zB - aber ich meine die "Straßenfeger", die nach 68 häufiger und mutiger wurden ... war mit so einer (geb. 1949, gest. 2012) jahrelang zusammen, die war mutig bis zum Schluß, hat sich nie wieder verkrochen, was auch für Mode-Diktat aufkam RIP --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:32, 18. Apr. 2021 (CEST) == Glamouröse Exzentriker == [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10218687693644988&set=g.913747702065221 übergroße Plastikballonmaske] [https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=1266457367084337&id=100011602571613&notif_id=1615101090170179&notif_t=feedback_reaction_generic&ref=notif Die neuen FFP5 sind da (weiße geschlossene Ledermaske)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276827688702/ silberne Astronautin mit schwarzen Handschuhen und Glaskugelhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276717688713/ schwarze Latexastronautin mit Glaskugelhelm und Pistole] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:23, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158202474577830&set=g.913747702065221 Silberglück (Pärchen)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=839169370195157&set=g.913747702065221 Frau schlüpft aus dem Ei (schwarz weiß Vintage)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3765574243522575&set=g.913747702065221 nackte Frau mit Mund-Nase-Maske, blau ganzkörpertätowiert, aufgemalte Lunge] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158144847772830&set=g.913747702065221 Frau mit großer durchsichtiger eiförmiger Maske, Portrait, grünlich im Gesicht mit knallrotem Lippenstift] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3213043045490533&set=g.913747702065221 rotes Latexkleid bis über den Kopf] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1311464692536583/ schwarz-weißes Latexknast-Kostüm mit Regenschirm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3239138999488685&set=g.913747702065221 silberne Hose, halber silberner Umhang, Brustschmuck] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3235899606479291&set=g.913747702065221 silbernes Gesicht, silbern funkelnder Anzug] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1264837057199347/ Frau auf einem Anker schwebend] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:55, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1248731512143235/ Frau als Batman (rauchend)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1225554634460923/ Dior - schwares Latex bis unter die Nase, weißer Pelz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157690485847830&set=g.913747702065221 braunes Lederkostüm mit Handschuhen und großem Hut - durchbrochen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216494985366888/ silbertropfendes Gesicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216495685366818/ silberne Fingerkuppen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216496045366782/ silberspiegelnde Lippen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1211491712533882/ schwarz weiß karierter Latexmantel + -strümpfe (kleiner kariert)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157561517477830&set=g.913747702065221 blaue farbe läuft aus der nase auf die Lippen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157540153992830&set=g.913747702065221 silbernes gesicht - plastiktüte gesichtsoffen - blauer regenmantel (portrait)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157538451092830&set=g.913747702065221 fesselstifel mit knoten am absatz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157526850842830&set=g.913747702065221 latexnonnen mit schlangen] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2906592829409972&set=g.913747702065221 Perlenhaar mit latexkleid und perlenarmbändern] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464369869950/ edelgas-maske] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464949869892/ edelgas-maske mit lederhandschuhen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464689869918/ edelgasmaske schlicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1142273822789005/ ägyptische göttin mit schwarzem tierkopf und blauem langen plastikkostüm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2800059703396619&set=g.913747702065221 violette perücke, gelbe riesige ohrgehänge, gelbe riesige plastikbrille, latexmantel in schwarz] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1115099548839766/ zwei frauen ziehen entgegengesetzt an einem zopf] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=497839764235972&set=g.913747702065221 COCO CHANEL - überlange, übergroße Lederhandschuhe] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2194866524141642&set=g.913747702065221 motorradmietze mit kätzchenmotorradhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1094982130851508/ rotlederne boxerin] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174612871831&set=g.913747702065221 corona-kaffee in schwarzem latextotal und zeitung] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174409538518&set=g.913747702065221 latexmaid in schwarz mit weißem häubchen und weißer schürze gießt milch über sich] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:26, 7. Mär. 2021 (CET) == Literatur 2 == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Literatur 2]] === Paul Rheinfels === === Anais C. Miller === ===Valeska Réon=== Am Rande einer Hippiekommune in Renesse aufgewachsen, habe ich es ja nicht immer so mit „deutschen Traditionen“ - aber dass freitags Fisch auf den Teller kommt, sitzt dann doch tief in mir drin. Heute jedoch in einer sehr undeutschen Version an einer Curry-Kokossauce mit jeder Menge Gemüse und einer wilden Gewürzmixtur. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:11, 2. Mär. 2021 (CET) == Casanova Verlag == Gudda Behrend: ''Aus dem Tagebuche einer Sünderin.'' Casanova Verlag Willy Saalfeld Berlin W 30 ca. 1920, 8°, 96 S., Halbleinen (Sittengeschichte, Erotik) [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuche-einer-S%C3%BCnderin/id/A01y6dv201ZZy 22 Euro im Abrahamschacht-Antiquariat Schmidt, Frau Iris Schmidt, Schachtweg 16, 09599 Freiberg] * [https://schmidt-auktionen.de/12_katalog_online.php?nr=14&page=28 Schmidt Kunstauktionen Dresden 1. 12. 2007]: [https://schmidt-auktionen.de/12_artikel_details.php?nr=14&knr=504 504 Willy Saalfeld, Akt. Um 1920. Bromsilberabzug. Ungelaufene Fotopostkarte. Leicht bestoßene Ecken. 8,8 x 13,8 cm. 60 €] * Ebenfalls bei [https://books.google.de/books/about/Aus_dem_Tagebuche_einer_S%C3%BCnderin.html?id=tXa9uQEACAAJ&redir_esc=y A. Juncker, 1910 - 105 Seiten] 1880 Født: 06-07-1880 1900 Se også gift med William Behrend Behrend, William 1901 Debut i bogform: En synderinde, blade af en dagbog (roman) http://www.litteraturpriser.dk/aut/BGuddaBehrend.htm (1880-1946) *Behrend, G.: En Synderinde (1901, roman) *Bog Behrend, G.: Hedvig Holcks Vandreaar (1903, roman) *Bog Behrend, Gudda: De ensommes Stræde. ♦ Gyldendal, 1922. 138 sider. Pris: kr. 5,75 (1922, roman) anmeldelse Bogens Verden, 1922, 4. Aarg., side 276 [Anmeldelse, signeret: K.K.N.]. https://danskforfatterleksikon.dk/1850bib/BGuddaBehrend.htm Hedvig Holcks Vandreaar - [https://books.google.de/books/about/Hedvig_Holcks_Vandreaar.html?id=ukn4xAEACAAJ&redir_esc=y Neuauflage Veröffentlicht 2019] Übersetzung ins Deutsche von [[w:Mathilde Mann|Mathilde Mann]] (* 24. Februar 1859 in Rostock als Mathilde Charlotte Bertha Friederike Scheven; † 14. Februar 1925 in Rostock - deutsche Übersetzerin und Lektorin, insbesondere für Nordische Sprachen): Gudda Behrend: Aus dem Tagebuche einer Sünderin, Berlin [u. a.] 1902 * Axel Juncker, Berlin, Stuttgart 1902, Broschur, 105 + 3 S. [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuch-einer-S%C3%BCnderin-Autorisierte-%C3%9Cbersetzung-von-Mathilde-Mann/id/A026x3z201ZZe 54+6 Euro im Antiquariat Weinek, Frau Dr. Elisabeth Weinek, Uferstrasse 8, 5026 Salzburg] ** Autorisierte Übersetzung von Mathilde Mann 8° 105 S. S. Einband: Original im Jugendstil illustr. Halbleineneinband [https://www.abebooks.de/servlet/BookDetailsPL?bi=22386118048&cm_sp=collections-_-747FHNEcCbe1N23CgE8jgR_item_1_10-_-bdp 19,63+2,20 Euro] in: Altmärkisches Antiquariat, Lars Flick (Inhaber), Sandstraße 50, 39638 Gardelegen En Synderinde: Blade at en Dagbog Gudda Behrend - [https://books.google.de/books/about/En_Synderinde.html?id=qUB-oAEACAAJ&hl=en&output=html_text&redir_esc=y 1901 - 148 pages] Der deutsche Casanova - In 3 Bänden komplett - Johann Conrad Friedrich - Vierzig Jahre aus dem Leben eines Toten - Der Memoiren 1. Teil 1789-1806 - 2. Teil 1806.1810 - 3. Teil 1810-1830 - Im Originalkarton Taschenbuch – Insel, 1991, von Johann Konrad Friederich (Autor), Friedemann Berger (Herausgeber) [https://www.amazon.de/deutsche-Casanova-Friedrich-1789-1806-Originalkarton/dp/B0026L0E4I 18 Euro] gebundene 1. Auflage Egon Fleischel & Co, Berlin 1915, OLeinen, 8°, XV; 418; IX; 452; IX; 440 Seiten Fraktur, Lesebändchen, Kopffarbschnitt [https://www.amazon.de/gp/offer-listing/B0026L0E4I/ref=dp_olp_ALL_mbc?ie=UTF8&condition=ALL 45+3 Euro] "Der deutsche Casanova" Fahrten und Liebesabenteuer nach den Memoiren eines deutschen Offiziers im französischen Heere Napoleons I. mit 32 Illustrationen von Hans Speidel und und Max Erich Nicolas, hrsg. von Max Bauer, Eigenbrödler Verlag, Berlin W 8 ca.1925 / Hrsg.: Max Bauer / Speidel [https://www.ebay.de/itm/Der-deutsche-Casanova-Eigenbrodler-Verlag-ca-1925-Hrsg-Max-Bauer-Speidel/124437184812?hash=item1cf908c12c:g:JVUAAOSw7Wxdyw1y 28+6,50 Euro] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:30, 20. Nov. 2020 (CET) == Verlage == Ich hätte bereits drei Verlage gefunden, wo mein Buch gut ins Verlagskonzept passen würde. Allerdings finden sich bei besagten Verlagen auch Werke, die unlektoriert wirken, was mich dann doch eher abschreckt, mein Buch dort einzureichen. - Mir war es wichtig, ein Buch mit einer Story zu schreiben und nicht nur Sexszenen. Allerdings ist es auch mein erstes und braucht ganz sicher noch Profis, die es sich ansehen. aus dem Anais bzw Schwarzkopf Verlag kenne ich Bücher, die ganz normal lektoriert wirken. Und Schlagzeilen. Seitenblick gibt es leider nicht mehr Schlagzeilen oder Elysion - bei den kleineren Verlagen zögere ich selber, weil mir das mit dem mangelnden Korrektorat auch aufgefallen ist ich habe aber die Erfahrung gemacht, dass Verlage die sich nicht auf BDSM spezialisiert haben, oft gar kein Hardcore annehmen. Oder gnadenlos zensieren Ich habe, bevor ich mein aktuelles Romanprojekt anbot, für ein privates Lektorat gezahlt und zahle auch das SensitivityReading. Klar. Das ist eine Menge Geld, alles in allem, aber hey, die Kohle war gerade da. Wenn ein Verlag kein Lektorat bietet, lasse ich trotz meiner Bereitschaft zur Eigenleistung die Finger davon, dort zu veröffentlichen. Lektorat und Korrektorat gehören einfach dazu, ein Verlag, der das nicht leistet, passt schlicht nicht in mein Beuteschema. Falls Elysion-Books noch nicht auf der Liste war ... Lektorat und Korrektorat ist logischerweise dabei, Bücher sind überall zu beziehen und liegen auch im Buchhandel und im stationären Handel... Klingt auch sehr interessant und kommt definitiv auf meine Liste. Allerdings bin ich nicht sicher, ob das Ende meines Buches als Happy End aufgefasst werden kann. Aber vl passt es ja bei einem anderen Buch. Bist herzlich eingeladen, dich mal bei uns beim Tribus Verlag zu melden, wenn du möchtest. Versuch es doch einmal bei konkursbuch Verlag Claudia Gehrke. Sie hat ein sehr weit gefächertes Programm, kümmert sich sehr engagiert um die Vermarktung und ist ausgesprochen fair. www.konkursbuch.com Mir geht es nur darum, eine Liste von möglichen Verlagen zu erstellen, sodass ich nicht immer wieder aufs Neue alles durchforsten muss. Leider findet man Verlage für dieses Genre nicht so leicht. BDSM allein ist ja nun wirklich schon fast Mainstream. Du könntest es auch beim charon Verlag versuchen, der neben den "Schlagzeilen" auch Bücher herausgibt. https://www.schlagzeilen.com/ Probier mal bei Letterotik.de. Ich rate zu einem Pseudonym. Habe selber 4 Aliasnamen. Es werden auch stärkere Formate veröffentlicht. Frag einfach mal nach. Ansprechpartnerin ist Frau Baer. Lektorat ist für mich okay, Kommunikation erstklassig, Covergestaltung ansprechend. mir wurde auch gesagt, dass der Verlag im Moment neue Manuskripte nur auf Empfehlung annimmt. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:42, 16. Mär. 2021 (CET) == Hersteller == urinbless.com human skin mask set ulsula.com the elder silicon headgear --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:01, 30. Dez. 2020 (CET) https://www.facebook.com/Rubbersisters/ The ultimative female transformation Moniquin Anzug Fem Mask [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/432851523438466/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/171946_432851523438466_959953674_o.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=LjLdttsoeFkAX8ITABj&_nc_oc=AQkIqnkRCGPeWkUJPRiSN8TJCO74W3R9buFkLYiobloBLy2aLh7X_r_xnese5OPch1gwfjJbWRdqhu32Z_RlKne4&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=f9be2e1d84f0ace64aad564fc7517fcf&oe=601AAE0A inflatable doll suit now in skin matching colour!] - This is exactly what I am looking for! I have to become a latex sex doll, it is my ultimate fantasy (Genau das suche ich! Ich muss eine Latex-Sexpuppe werden, das ist meine ultimative Fantasie) - I dream of owning one of these outfits someday! (Ich träume davon, eines Tages eines dieser Outfits zu besitzen!) - God that is hot. (Gott, das ist heiß.) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/537678542955763/ FB] = [https://scontent-frx5-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/397440_537678542955763_1225667219_n.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=174925&_nc_ohc=eIYd8bA0ZmgAX-fLdfr&_nc_ht=scontent-frx5-1.xx&oh=804f110a097401114ae342bc2df93158&oe=601C4FFF Dita - the new female mask] [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/531192290271055/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/935757_531192290271055_860385658_n.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=nRCKulIU87gAX8895Px&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=d7e14b49baa3789dad0e9f9b4e42548d&oe=601CEB06 "Dita" Mask] We are pleased to announce, that we are just did the final touches to our new “Dita” Mask. We are now offering this fantastic looking female mask with interchangeable eyes. The mouth is slit open and has red lips. These very realistic looking female mask made of high quality silicone is absolutely comfortable to wear. You can use any regular make-up to give this female mask an individual look. Get more details at our online shop www.2nd-skin.com or visit us at the Boundcon Fair from 24-26.05.2013 in Munich or doring the German Fetish Weekend from 18-20.05.2013 in Berlin. Yours Rubbersisters Monica & Jacline (Wir freuen uns, Ihnen mitteilen zu können, dass wir gerade den letzten Schliff für unser neues Produkt gemacht haben "Finger" Maske. Wir bieten jetzt diese fantastisch aussehende weibliche Maske mit austauschbaren Augen an. Der Mund ist aufgeschlitzt und hat rote Lippen. Diese sehr realistisch aussehende Frauenmaske aus hochwertigem Silikon ist absolut angenehm zu tragen. Sie können jedes normale Make-up verwenden, um dieser weiblichen Maske ein individuelles Aussehen zu verleihen. Weitere Informationen erhalten Sie in unserem Online-Shop www.2nd-skin.com oder besuchen Sie uns auf der Boundcon Fair vom 24. bis 26. Mai 2013 in München oder am German Fetish Weekend vom 18-20.05.2013 in Berlin. Eure Rubbersisters Monica & Jacline) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/562349830488634/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/1072175_562349830488634_520819894_o.jpg?_nc_cat=106&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=AnitAk8nXbMAX-8Bcxz&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=dc866b047bedb1724a80af21e3b101ec&oe=601ACA3E New video clip is online] at http://www.2nd-skin.com Monica is wearing the Petra mask and Betty is wearing the Gloria mask - Sorry video clip is online at http://www.rubbersisters.com - sehr schön. wie fühlt man sich, wenn man so nett aufgebleaen wird? (mit rotem Fesselsack) https://www.2nd-skin.com/de/18-frauenmasken [https://www.2nd-skin.com/de/kleber/17-skin-adhesive.html Hautkleber] - Dieser zweitkomponenten Hautkleber ist geeignet für alle prothetischen Silikonprodukte (keine PU-umhüllten Prothesen) die vorübergehend auf die menschliche Haut geklebt werden sollen. Das richtige Mischungsverhältnis ist 1 Teil A + 1 Teil B nach Volumen. Sie können auch Puder-Makeup in die A-Komponente mischen, damit es farblich Ihrem Hautton entspricht. Um die Prothese wieder zu entfernen, schälen Sie diese langsam von der Haut ab. Menge: 2 x 50 Gramm --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 7. Jan. 2021 (CET) === Dresden === https://lldesaxe-fashion.de/impressum Maik Richter Lohrmannstraße 20 01237 Dresden Deutschland Tel.: +49 (0) 351 281 34 49 Fax: +49 (0) 351 281 34 49 E-Mail: info@lldesaxe-fashion.de --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:33, 16. Jan. 2021 (CET) ''LLdeSaxe Fashion wurde am 13.01.2012 gegründet. Die gemeinsame Leidenschaft für Latexmode verband meine Frau und mich jedoch bereits seit vielen Jahren. Bei der Auswahl und Individualität der Latexbekleidung waren wir als Kunden jedoch bisher immer recht eingeschränkt. Wir stießen mit unseren Bestellungen bei anderen Herstellern regelmäßig an die Grenzen, da unsere Wünsche nicht umgesetzt werden konnten oder auch wollten.'' ''Dies sollte sich 2011 nach unserem Urlaub bei einem befreundeten Schweizer Latex-Liebhaber ändern. Hier lernte meine Frau die ersten Handgriffe im Umgang mit der Herrstellung von Latexkleidung kennen. Das ganze ergab sich völlig spontan aus dem Gespräch heraus. Wir lauschten ganz gespannt den Erzählungen unseres Freundes, als meine Frau neugierig fragte, wie denn nun die Herstellung von Latexbekleidung konkret funktionierte. Unser Freund bot daraufhin an, sie in sein Atelier mitzunehmen und ihr ein paar Tricks und Kniffe zu zeigen. Meine Frau war sofort Feuer und Flamme und so zogen sich beide zu einer Einarbeitungsschulung zurück.'' ''Sie fand sofort gefallen am Latexschneidern und so kauften wir bei unserem Freund einen größeren Posten an Latex Meterware ein. Zuhause angekommen, machen wir uns sogleich an die Arbeit, die ersten Schnitte und Designs zu entwerfen. Nach und nach wurden wir immer besser und unsere Latex Designs fanden sehr großen Zuspruch auf Partys und Verantstaltungen, wo wir zugegen waren. So entstand dann auch unsere erste kleine Kollektion, wozu zum Beispiel dieses Outfit gehört: Damen Blazer „ Ladylike 2012“ und Damen Humpelrock „Ladylike“.'' ''Unsere Latex Bekleidung kam super an und so entschlossen wir uns auch auf einer Modenschau in Nossen im November 2011 unsere Bekleidung zu präsentieren. Im Januar 2012 gingen wir dann den nächsten Schritt und haben uns mit LLdeSaxe Fashion selbstständig gemacht.'' ''Im Sommer 2012 sind wir zu unserem ersten Internationalen Auftritt in die Schweiz gefahren - In das schöne Berner Oberland nach Oensingen.'' ''Hier fand zum einen unser erstes professionelles Fotoshooting auf der Burg Neu-Falkenstein statt. Zum anderen haben wir unsere Latex-Design einem internationalen Publikum im Rahmen einer Modenschau vorgestellt. Hier wurden unsere Kreationen begeistert aufgenommen.'' ''Mitte des Jahres haben wir uns dann entschlossen, unsere Bekleidung fortan auch im Internet zu präsentieren – Zunächst auf einer kleinen, selbst erstellten Website. 2015 folgte dann der Umzug zu WEBneo um unsere Latex Outfits auch professionell online verkaufen zu können.'' ''Seit 2014 sind wir auch regelmäßig auf internationalen Modenschauen mit Präsentation und Verkauf vertreten, wie auf der Fetish Evolution in Essen (2014) und der Messe BoFeWo (2015).'' ''Seitdem arbeiten wir jeden Tag an unseren Kernkompetenzen und verfeinern unsere Designs, um unseren Kunden die beste Qualität und den höchsten Service bieten zu können.'' https://lldesaxe-fashion.de/wie-alles-begann --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:24, 16. Jan. 2021 (CET) ''Wir sind auf der Suche nach weiblichen Models aus dem Raum Dresden und Umgebung, die uns deutschlandweit auf angesagten Internationalen Fetish Messen als Model und Verkaufspersonal begleiten. Es werden weiterhin jährlich zwei große Fotoshootings mit professionellen Fotografen in Dresden und der Umgebung angesetzt, die zur Vermarktung unserer Produkte dienen sollen. Die Bilder sind sowohl für den Online Shop an sich, aber auch für die Social Media Kanäle, Print und den Digitalen Medien. Alle 3 Monate finden bei einer Abendveranstaltung zudem Team Buildings statt.'' ''Folgende Voraussetzungen solltet du dabei mitbringen:'' *''Du bist zwischen 18 und 35 Jahre alt,'' * ''hast eine Kleidergröße von maximal 36 bis 38'' * ''und bist mindestens 1,55 m groß.'' ''Wichtige Voraussetzungen sind:'' ''Du hast keine Berührungsängste mit Latex Kleidung, bist zeitlich flexibel, teamfähig und zuverlässig. Du kannst sicher posieren und auf High Heels laufen, bist offen im Umgang mit Kunden sowie sprach- und redegewandt. Wenn Du bereits Erfahrung im Bereich Modeverständnis und Styling hast, ist dies von Vorteil.'' ''Wenn Du nun Lust bekommen hast, bei einem innovativen und hochwertigen Latexlabel mitzuwirken, dann bewirb Dich bei uns. Jede bekommt bei uns eine Chance.'' ''Schreib uns eine Mail mit deinen Personen gebunden Eckdaten und stell Dich bei uns vor. Vielleicht gehörst du schon bald zu unserem Team. Wir freuen uns auf deine Bewerbung.'' ''Deine persönliche Vorstellung nach Terminvereinbarung erfolgt in unseren Geschäftsräumen:'' LLdeSaxe Fashion Schandauer Straße 23 B 01309 Dresden https://lldesaxe-fashion.de/werde-model-bei-lldesaxe-fashion vgl. https://www.facebook.com/Becca-de-Saxe-789572294522639/ Fetischmodel bei LLdeSaxe Fashion. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Latex wird aus dem Milchsaft des Kautschukbaumes gewonnen, welcher durch Räuchern und Walzen zu Kautschuk weiterverarbeitet und anschließend durch Vulkanisation zu einem stabilen Material wird. Weltweit gibt es zwar verschiedene Latexhersteller, bekannt sind jedoch vor allem 3 große Latex-Hauptproduzenten. Dabei unterscheiden sich deren Produkte zum Teil erheblich voneinander.'' ''Der Malaysische Rubber bietet zum Beispiel die größte Farbauswahl, enthält dabei aber auch die meisten chemischen Zusätze. Er wird in Asien hergestellt und auch verarbeitet.'' ''Radical Rubber stellt in Großbritannien seinen Latex her, welcher ein Spektrum von ca. 200 verschiedenen Farben bei weniger chemischen Zusätzen bietet.'' ''Wir von LLdeSaxe Fashion hingegen setzen für unsere Latex-Bekleidung auf den Latexproduzenten FOUR D Rubber aus England. Deren Premium-Latex ist nicht nur Fair Trade, es enthält auch so gut wie keine chemischen Zusätze und hat eine sehr hohe Qualität. Dabei bietet FOUR D Rubber mit über 70 Farben auf ökologischer Basis eine sehr große Auswahl. Unsere Latex-Bekleidung ist somit rein biologisch - bis hin zum Latex-Kleber.'' ''Auch wenn der m²-Preis um einiges höher ist, setzen wir aus Überzeugung auf FOUR D Rubber. Schließlich sind unsere Latex-Outfits damit auch besonders langlebig und komplett ökologisch abbaubar. Dies macht sich auch bei der Latexverträglichkeit positiv bemerkbar: Eine Kundin, die bereits eine Latex-Allergie entwickelt hatte, konnte völlig beschwerdefrei unsere Bekleidung tragen.'' ''Das Besondere an dem von uns verwendetem Premium-Latex ist sicherlich die aufgeraute Innenseite, weshalb sich unsere Latex-Bekleidung samtig weich anfühlt und nicht an der Haut klebt. Ein weiterer Vorteil ist die damit verbundene, deutlich geringere Schweißbildung. Nicht umsonst ist unser Motto: „Latex das anzieht“'' ''Die Latex-Produktion'' ''Gefertigt und produziert wird unsere Latex-Bekleidung in unserer Dresdner Manufaktur. Damit findet die Herstellung komplett in unserem Hause statt – Von der Erstellung der Schnittmuster, über die kostenfreie Maßanfertigung bis hin zum Versand. Nach Fertigstellung eines Latex-Outfits nehmen wir mehrere Qualitätskontrollen vor. Anschließend wird das Produkt gereinigt, poliert und anziehfertig eingepackt. Bei der Bestellung von Latex-Anzügen und Latex-Kleidern wird die Ware in einer limitierten Kleiderhülle mit unserem Logo verschickt. Alle anderen Produkte versenden wir vakuumverpackt zu Ihnen nach Hause. Danach heißt es nur noch: Anziehen – Wohnfühlen – Glücklich sein.'' https://lldesaxe-fashion.de/latex-das-material-seine-herstellung-und-verarbeitung --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:46, 16. Jan. 2021 (CET) ''Ende September ist es endlich wieder soweit: Die Bondage-Fetish-World, kurz BoFoWo – Deutschlands größte Messe im Bereich Fetisch und Bondage – öffnet für Szeneliebhaber wieder ihre Tore. Einmal pro Jahr findet sie in Hofheim am Taunus, nähe Wiesbaden statt. Vom 30.09. bis 02.10.2016 präsentieren hier wieder zahlreiche Aussteller ihre Produkte aus Lack, Leder & Latex sowie Kunst, Bücher, Filme und vieles mehr. Abgerundet wird die Messe durch ein attraktives Rahmenprogramm mit Workshops, Lesungen und Performances.'' ''Natürlich dürfen dabei auch wir von LLdeSaxe Fashion nicht fehlen! Mit einem der größten Messestände - ca. 25m² - und unserer größten Präsentationsfläche mit insgesamt 6 Leuten sind wir auch diesmal wieder auf der BoFoWo vertreten.'' ''An 3 Messetagen stellen wir Ihnen exklusiv unsere neuste Latex Kollektion vor. Wir haben aber auch ein breites Potpourri aus nahezu allen Produkten unseres Onlineshops für Sie im Angebot und diese können gleich gekauft und mitgenommen werden. Auf ausgewählte Produkte an unserem Aktionsständer bieten wir Ihnen sogar 10% Messerabatt an!'' ''Neben dem Verkauf steht Ihnen zusätzlich unserer exklusiver Fashion Point zur Verfügung. Am Fashion Point können Sie Ihr individuelles Outfit planen und bestellen. Dies umfasst Beratung, Information und Vermessung. Unser qualifiziertes Team berät sie gern.'' ''Die große Latex-Modenschau am Samstag bildet dann eins DER Highlights der Messe. Wer gern exklusive und einzigartige Latex Kleidung sucht, wird an unserem Messestand sicher fündig werden.'' https://lldesaxe-fashion.de/messe-spezial-die-bofewo-2016 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Unsere Kunden haben es bereits in verschiedenen Bewertungen bestätigt:'' ''Bei LLdeSaxe Fashion genießt der Kunde vollste Transparenz und Sicherheit bei seiner Bestellung. Sie haben die Möglichkeit, sich jederzeit in Ihr Kundenkonto über den aktuellen Status Ihrer Bestellung kundig zu machen. Haben Sie eine Frage zu einem Produkt oder wünschen sich eine individuelle Sonderbestellung? Kein Problem, wir melden uns immer in der Regel innerhalb von 24 Stunden bei Ihnen und erstellen zum Beispiel gern ein kundenorientiertes Angebot für Ihre Sonderbestellungen - Auch von Produkten, die Im Shop (noch) nicht angeboten werden.'' ''Ein Kunde fragte beispielsweise einmal nach einem Dalmatiner-Shorty an, passend zu seiner Latex-Maske, Stulpen und Pfoten. Wir designten also einen passenden Shorty in Weiß, schnitten schwarze Punkte aus und schicken dem Kunden einen möglichen Designvorschlag per Foto. Anschließend kleben wir sein Wunsch-Muster auf und sorgten so für einen echten Hingucker.'' https://lldesaxe-fashion.de/lldesaxe-fashion-kundenzufriedenheit-die-uns-begeistert --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:43, 16. Jan. 2021 (CET) ''Gute Nachrichten für alle Liebhaberinnen und Liebhaber der hochwertigen Latexbekleidung von LLdeSaxe Fashion: Wir haben unseren Fashion Point im Secret Desire in der Dresdner Neustadt für Sie ausgebaut und einen kompletten Stand mit unserer exklusiven Latexkleidung aus unserer Manufaktur installiert. Ab sofort finden Sie hier unter anderem Latex Anzüge, Latex Leggings, Kleider, Catsuits und vieles mehr für Damen und Herren. Natürlich haben wir auch die passenden Latex-Accessoires für Ihr individuelles Outfit. Die edlen Stücke gibt es in den Größen S, M und L. Kommen Sie einfach ins Secret Desire und probieren Sie sie an. Das Beste daran ist: Sie können die Latexbekleidung direkt kaufen und mitnehmen! Selbstverständlich finden Sie in unserem Fashion Point auch gleich die passenden Pflegeprodukte, damit Sie lange Spaß mit unseren Latex Outfits haben.'' https://lldesaxe-fashion.de/der-fashion-point-in-dresden-hat-jetzt-auch-latex-kleidung-direkt-vor-ort * ''Am Sonnabend eröffnet Jessica Vogt auf der Rothenburger Straße ein neues Lädchen für Drunterziehsachen: Secret Desire. Obwohl, ganz so neu ist das Lädchen nun auch wieder nicht. Schon seit November 2013 werden hier Schlüpfer, Strapse und andere Unterwäsche verkauft. Doch im Januar hatte die „fem2glam“-Chefin Dina Stiebing angekündigt, den Laden zu schließen. Der Grund dafür wartet zurzeit nur noch auf den richtigen Moment um mit einem kräftigen Schrei zur Welt zu kommen. Dina hatte schon damals erzählt, dass sie jemanden sucht, der den Laden übernehmen könnte. Das ließ sich Jessica Vogt nicht zweimal sagen. Die studierte Diplom-Ökologin hatte zuletzt als Imbiss-Frau an Katys Garage gearbeitet. Nun tauscht sie Würstchen gegen Mieder und stürzt sich in die Selbstständigkeit. „Die Sachen sind für den Tanz an der Stange geeignet“, grinst sie frivol. Im Wesentlichen bleibt der Laden, wie er ist. Ein bisschen wurde umgeräumt und die Umkleidekabine wird vergoldet. „Ich war Stammkundin bei Dina und bin der Meinung, dass der Laden weiter geführt werden muss.“ Am Sonnabend um 11 Uhr will sie zum ersten Mal die Türen öffnen. Es gibt Prosecco und Sushi und natürlich jede Menge Schlüpfer. Letzteres übrigens auch für Herren, das ist neu. Mal sehen, ob es Jessica gelingt, das sogenannte starke Geschlecht in ihr kleines Lädchen zu locken. Vorbesitzerin Dina Stiebing wünscht ihr auf jeden Fall schon mal viel Erfolg, Dinas Unterwäsche gibt es jetzt nur noch online (Domain zu verkaufen).'' [https://www.neustadt-ticker.de/45127/aktuell/nachrichten/secret-desire Es bleibt schlüpfrig auf der Rothenburger] 14. April 2016 Anton Launer Secret Desire – Neueröffnung Sexy Dessous, frivole Abendmode und coole Clubware. Rothenburger Straße 7, 01099 Dresden, Telefon: 0176 24942511, Montag bis Freitag: 11.30 bis 19 Uhr, Sonnabend 11 bis 17 Uhr, weitere Infos auf der Facebook-Site (Seite nicht verfügbar) [Twitter nur ein Eintrag von 2016] https://twitter.com/secret_desiredd [https://www.tag24.de/nachrichten/stammkundin-reizwaesche-shop-dessous-67148 STUDIERTE GRILLMIEZE VERKAUFT JETZT SCHLÜPFER] tag24 vom 18. April 2016 Von der Würstchen-Brutzlerin zur Dessous-Verkäuferin: Jessica (30) ist jetzt Chefin vom "Secret Desire". Von Tom Schmitdgen Dresden - Vom Grill ins Negligé - Jessica Vogt (30) übernimmt den Dessous-Laden „Secret Desire“ (vorher „Fem2Glam“) auf der Rothenburger Straße. Am Wochenende eröffnete sie das 60 Quadratmeter große Spezialgeschäft (500 BHs, Mieder, Bodys). Die studierte Ökologin stand zuletzt am Würstchengrill bei „Katys Garage“. Doch jetzt zog es sie in den Wäscheladen. Denn die vorherige Chefin Dina Stiebing (37) hatte ihren Reizwäsche-Shop vor zwei Wochen wegen ihrer Schwangerschaft geschlossen. „Ich war früher Stammkundin und wollte nicht, dass der Laden einfach schließt“, sagt die neue Dessous-Chefin. „In Zukunft plane ich auch Ausstellungen und erotische Lesungen im Geschäft. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:44, 16. Jan. 2021 (CET) === Entwürfe === [https://www.facebook.com/LatexFashionDesign/photos/a.516389838434004/5006789482727328/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/139067194_5006789486060661_7750722395006097503_o.jpg?_nc_cat=102&ccb=2&_nc_sid=730e14&_nc_ohc=lEzBHqNm134AX8pVTK_&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7efd93241f046fe67ca7028ca4eb0d2d&oe=6026DF5F “As delicate as flower, as tender as rose petals, choosing to be tender and kind in a harsh environment is not weakness, it's courage.” ― Luffina Lourduraj] (′′ So zart wie Blume, so zart wie Rosenblätter, die sich entscheiden, zart und freundlich in einer harten Umgebung zu sein, ist keine Schwäche, es ist Mut." - Luffina Lourduraj) - violetter Latexumhang --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:52, 16. Jan. 2021 (CET) == Satyamurti Cornelis Snoek == == Surfen== === Keala Kennelly === [[w:de:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] [[w:en:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] en [[w:fr:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] fr [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/ FB] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/131488510956/ 29. August 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/135850190956/ 6. September 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/280410355956/ Brrrrrrrr! Winter in the South Bay.] 29. Jan. 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/453009100956/ I won the Nelscott Reef Women's Big-wave Paddle-in event today. It was a nice distraction for a moment from all the pain of loosing my boy Andy.] Ich habe heute das Big-Wave-Paddle-In-Event der Nelscott Reef Women gewonnen. Es war eine schöne Ablenkung für einen Moment von all dem Schmerz, meinen Jungen Andy zu verlieren. - 4. November 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/472181295956/ Surfer Poll Pirate.] 12.12.2010 - noch Spaß [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150109351905957/ This is my new Donjoy Knee brace. This thing is serious. I feel like Robo-cop or something. Lets hope it works well in the water] (Dies ist meine neue Donjoy Knieorthese. Diese Sache ist ernst. Ich fühle mich wie Robo-Cop oder so. Hoffen wir, dass es im Wasser gut funktioniert) März 2011 Unfall 27.? August 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150320862555957/ The Phantom mask arrived and... It looks ridiculous! It's WAY too big. I am going to send it back. It was worth a try.] Die Phantommaske ist angekommen und ... Es sieht lächerlich aus! Es ist viel zu groß. Ich werde es zurückschicken. Es war einen Versuch wert. - 13. Oktober 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150632930575957/ That's a hell of a way to win the comeback of the year award, but hey I will take it Thanks TransWorld SURF!] (Das ist eine verdammt gute Möglichkeit, das Comeback des Jahres zu gewinnen, aber hey, ich werde es nehmen Vielen Dank, TransWorld SURF!) - 8. April 2012 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151360156120957/ It's been almost 2 years since my surfing accident in Tahiti... I see a swell... Time to get back on that horse.] (Es ist fast 2 Jahre her seit meinem Surfunfall in Tahiti ... Ich sehe einen Wellengang ... Zeit, wieder auf dieses Pferd zu steigen.) Am 3. Dezember 2013 hielt Keala auf der TEDx Malibu einen Vortrag über Lust und Surfen: "Ich bin Keala Kennelly und ich bin ein Surfer." https://www.youtube.com/watch?v=eSvsrzPCZ5o [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151899575820957/ 12.März 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155122831665957/ Me and the champ @paigealms a few years back about to go slay dragons somewhere cold. I would have loved to compete with you in the @wsl #maverickschallenge this year. Too bad Mother Nature didn’t cooperate. Congratulations on your #bigwave #worldtitle I’m so very proud of you my friend] März 2014 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430223345957/ 21. Dezember 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430284150957/ 21. Dez. 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155610476290957/ 27. Okt. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155708213405957/ 16. Dez. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155808808865957/ 5. Febr. 2019] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:36, 1. Jan. 2021 (CET) ==Wasserballet == [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157432917 nackte nymphe] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157692623 nymphe 2] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755467 Underwater Ballet. Ballerina performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755487 Underwater Ballet. Ballet dancers performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/dancing-vision-013-lizenzfreies-bild/983042290 Dancing Vision 013 unterwasser in rot und weiß] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3246570 Submarine Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert, Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3332495 Water Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert/Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818228 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818227 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/utah-orem-female-ballet-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/163445400 USA, Utah, Orem, Female ballet dancer under water] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-fashion-pool-party-young-woman-diving-at-lizenzfreies-bild/838059614 Underwater fashion pool party, Young woman diving at swimming pool] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/women-rehearsing-for-water-ballet-lizenzfreies-bild/522170012 Women Rehearsing for Water Ballet (Original Caption) Submerged ballerinas rehearse for a show at Leisure World in Laguna Hills, California.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/639988160 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-girl-lizenzfreies-bild/642637812 Underwater Girl. Beautiful young ballerina dancing inside the swimming pool] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/51309459 Aquatic Ballet From 'La Folies Bergere'. Two actors dance during the performance of an aquatic ballet at the 'Folies Bergere,' Paris, France, July 1952. (Photo by Nat Farbman, The LIFE Picture Collection)] * [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/50651216 Bild 2] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/figurine-to-one-of-the-rhine-daughters-for-the-nachrichtenfoto/1155868795 Figurine To One Of The Rhine Daughters For "The Rhinegold" By Richard Wagner Figurine to one of the Rhine daughters for "The Rhinegold" by Richard Wagner, circa 1913. Found in the Collection of Theatre Museum, Vienna. Artist Moser, Koloman (1868-1918). (Photo by Fine Art Images] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/das-rheingold-1st-scene-at-the-bottom-of-the-rhine-nachrichtenfoto/919717270 Das Rheingold. Das Rheingold, 1st scene, at the bottom of the Rhine. Bayreuth, 1896, 1896. Found in the Collection of Veste Coburg. (Photo by Fine Art Images)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215747 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-diver-dressed-as-a-mermaid-swims-during-a-show-nachrichtenfoto/77215732 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) A female diver dressed as a mermaid swims during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215749 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/young-woman-in-pool-and-synchronized-swimming-lizenzfreies-bild/1125338066 Young woman in pool and synchronized swimming.] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/girls-practicing-lizenzfreies-bild/1001603246 Girls practicing synchronised swimming] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/female-dancer-performing-under-water-lizenzfreies-bild/107227572 Female classic dancer performing under water in huge red flamenco dress] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/635847936 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/gracefull-female-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/1218911725 gracefull female dancer, ballerina, performing under water in evening dress] [https://www.gettyimages.de/fotos/wasserballet?page=62&phrase=wasserballet&sort=mostpopular Wasserballet] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:46, 10. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=3304759069569835&set=pb.100001073237260.-2207520000..&type=3 Unterwasser Pool Dance] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:55, 1. Apr. 2021 (CEST) == Stammtisch == == Film == [[w:de:Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme|Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme]] [[w:de:Onibaba – Die Töterinnen|Onibaba – Die Töterinnen]] 22.11.1974 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Police_women_(Suzuki),_colored_version.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rally_Finland_girls_at_the_2004_Rally_Finland.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2017_%EF%BC%88%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%B5%E3%83%AD%E3%83%B32017%EF%BC%89-145_(32324539015).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2014_with_NAPAC_069_(11928415683).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Auto_Salon_2019_(46716676402).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2018-10_(39796580051)_(2).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4064234086).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4056011396).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_43rd_Tokyo_Motor_Show_2013_PENTAX_K-3_173_(11248257665).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-42_(38007568292).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-40_(24186220808).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-41_(38038306141).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binary_Domain_stick_em_up.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Biker_girl_(1869378328).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bianca_Beauchamp_E3.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Alexis_Sinclaire_from_Sin.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC02787_(25113378).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC06667_(5812038000).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2010_._._(4705546060).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Firefall_4_5_(7794135388).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geleos_Media_girl_(3538443656).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_E3_2011_No.21.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joanna_Dark_GC_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nival_girl_on_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nova_Online_girls.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Samus_and_Link_at_Igromir_2012_2.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Royal_Quest_girls_of_Igromir_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yet_Another_Booth_Babe_(14703146).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2017_20170922-DSC_2297_(37593917581).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018_(29698389636).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018(29442725600).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2015_19_(21355000028).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108514369).jpg 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https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192248).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Green_girl_from_Igromir_2007_(1869368430).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(29440043834).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(30016564876).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3011794487).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3012636224).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PAX_2009_-_Bayonetta_(3908301541).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Penny_Drake_dressed_as_Bayonetta_-_E3_2009_(4980795423).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Scythe_lady_(5811227302).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Warhammer_40K_at_Gamescom_(20451073662).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:WH40K_at_Gamescom_2015_(20241517278).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2017-Wednesday-007_(35929619784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2015-269_(20371168485).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_4.jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_5.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2016-267_(29073160575).jpg --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:04, 3. Jan. 2021 (CET) == Second live == === Outfits === [https://marketplace.secondlife.com/p/chainZ-HoodPlug/13281161 SX - HoodPlug (rezz to unpack) Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/SX-Bondage-Bolero-Maitreya/14717859 SX - Bondage Bolero MP Box] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Gloves-Hoof-Latex-INITHIUM-Kupra/20425014 AURORA Pony Sabina Gloves Hoof Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Latex-Set-INITHIUM-Kupra/20425011 AURORA Pony Sabina Latex Set] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHBLatex-Doll03-pony-BootsMittens-BOX/18385199 DHB Latex Doll03 pony Boots&Mittens - BOX] [https://slm-assets.secondlife.com/assets/27296581/view_large/a3.jpg?1599549736 GRAVES Proximity - Clear - latex bodysuit, catsuit, plugsuit, undersuit - Maitreya and Omega appliers] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Mesh-Bodybinder-Latex/2939506 Kcreations Mesh Bodybinder - Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Pony-Thighboots-with-28-selectable-textures-Patent-12/3120590 Kcreations Pony Thighboots with 28 selectable textures (Patent) 1.2] [https://marketplace.secondlife.com/p/090-Lilith-HuPony-Female/20951830 #090 Lilith HuPony Female] [https://marketplace.secondlife.com/p/CortesnRossini-Woman-Catsuit-St-Valentines-Gift/970294 St. Valentin's Gift] rosa [https://marketplace.secondlife.com/p/trinixxx-Full-Body-Latex-Armour-FATPACK/17094076 trinixxx Full Body Latex Armour] FATPACK [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-FatPack/20874686 AURORA Rebecca] FatPack [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Latex-set/20874685 AURORA Rebecca] Latex set [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Plastic-set/20874684 AURORA Rebecca] Plastic set [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Opaque-latex-catsuits/9134751 MdlM Opaque latex catsuits Version 4] - 27 opaque latex catsuits appliers + 6 military camouflage catsuits [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Transparent-latex-catsuits/9134753 MdlM Transparent latex catsuits Version 4] - 27 transparent latex catsuits appliers + 2 pairs of pasties (top and bottom) [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Clear-latex-catsuits/9134746 MdlM Clear latex catsuits Version 4] - 27 clear latex catsuits appliers + 3 invisible [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Latex-catsuits-Fatpack/9134750 MdlM Latex catsuits Fatpack Version 4] - all the 4 latex catsuits variants (opaque, sheer, transparent and clear), so features 27x4 latex catsuits appliers + 21 bonuses [https://marketplace.secondlife.com/p/AtaMe-Gabriella-Latex-Boots-Black-Maitreya-Hourglass-Legacy/20430661 AtaMe - Gabriella Latex Boots Black] [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Hobble-Dress/15078580 KaS Hobble Dress] - 3 versions: short-, knee- and ankle-length. It has the option to hide the cutouts on the back, allowing you to expose the torso, the butt, the legs - or all of them. For the sleeves you have 4 options. You can wear the dress sleeveless, with short sleeves, long sleeves or with mittens. [https://marketplace.secondlife.com/p/BellaBee-Latex-Dress-Romy/20974468 BellaBee Latex Dress Romy] kleines Schwarzes - schräg [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Fatpack-Mesh/4593676 ROSAL TUEUR2 Complete Set] - Fatpack (Mesh) - Neck Corset - Waist Corset - Gloves - Thigh-high Platform Boots - Thigh-high Ballet Boot [https://marketplace.secondlife.com/p/CA-BELLEZA-MAITREYA-SLINK-TONIC-X-RIDER-COMPLETE-COLLECTION/16812678 CA BELLEZA MAITREYA SLINK TONIC X RIDER COMPLETE COLLECTION] [https://marketplace.secondlife.com/p/FUTURETRO-2020-SciFi-Star-Fleet-Stylized-Power-Suit-Trek-Cosplay-Space-Crew-Dress-Jacket-Skirt-Six-Colors-in-FATPACK/18446413 FUTURETRO 2020 SciFi Power Suit - FATPACK] Six colors each: Red Gold Blue Aqua Pink Green Jacket, Skirt and full Suit-dress options [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-black-with-white-highlights/15509661 Latex nun black with white highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-white-with-black-highlights/15509662 Latex nun white with black highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-Red-Dress/2373909 GZ Fetixxx Latex Masked Red Dress] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-White/2373920 GZ Fetixxx Latex Masked White] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latexhood-XTREM/4326081 Latexhood / Mask V9.2.1 Box CnT] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/AdelleArts-Liquid-Latex-Doll/4728304 AdelleArts Liquid Latex Doll] schwarz klassisch [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Sex-Doll-Rubber/2046393 GZ Fetixxx Latex Sex Doll Rubber] Kondomanzug hautfarben [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-black-coloured-condom-dolly-latex-suit-applier/20911340 Maitreya black coloured condom dolly latex suit applier] catsuit schwarz mit roten Kondomen [https://marketplace.secondlife.com/p/VS-LTX-Forza-Complete-Body-Accessories-pack/14368213 VS - LTX Forza - Complete Body Accessories pack] Korsett + Halskorsett - lange Stiefel + Handschuhe Latex schwarz/rot -weiß/rot [https://marketplace.secondlife.com/p/KDC-Avara-Latex-Hood-Malefica-addon/17535880 KDC Avara Latex Hood - Malefica addon] weißes Gesicht/schwarz [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Gloves-Multicolor-Mesh/4815024?ple=h ROSAL UNMEI Gloves - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Gloves-Black-FitMesh/3829148 ROSAL VIRON-M Gloves - Black (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Thigh-Ballet-Boots-Multicolor-Mesh/4815198 ROSAL UNMEI Thigh Ballet Boots - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Complete-Set-Red-FitMesh/6730139 ROSAL VIRON-M Complete Set - Red (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-LISSE-Sculpted-Latex-Neck-Corset-Red/1660350 ROSAL LISSE Sculpted Latex Neck Corset - Red] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-STEAM-Neck-Corset-Multicolor-Mesh/5192603 ROSAL STEAM Neck Corset - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Red-Mesh/4593346 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Red (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Black-Mesh/4593347 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Black (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Mesh-DEMO/4593675 ROSAL TUEUR2 Complete Set (Mesh) *DEMO*] [https://marketplace.secondlife.com/p/Full-Hood/19642641 Full Hood Version v1.02] Rebel Pony Hood [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Ballet-Boots-Big-Bundle-Demo/15078564 *KaS* Strapped Ballet Bundle (Demo) Version 1.01] [https://marketplace.secondlife.com/p/PROMO-150L-OFF-SALE-Drakke-Obsession-Fetish-Crotch-High-BootsLatex-White/1478283 PROMO $150L OFF SALE Drakke! "Obsession" Fetish Crotch High Boots(Latex White)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10/6184360 Moyet Gasmask v.1.0] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10-IrO-AddOn/6184380 Moyet Gasmask v.1.0 IrO AddOn] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetBlackUniform/5847036 Moyet *BlackUniform] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetPrisoner/6030677 Moyet *Prisoner!] ==== RLV ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-hecate-helmet/14872058 NGW hecate helmet Version 1] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-cult-hat/20355133 NGW cult hat box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-v102/11367411 NGW Danaide hood v1.01 Version 1.02] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-demo/11367412 NGW Danaide hood demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-fatpack-helene-addons/20992886 NGW fatpack helene addons] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-helene-hood-bento/20540754 NGW helene hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-helene-box/21426731 NGW gimp helene box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-box/12089210 NGW gimp hood RM v1.01 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-demo-box/12089209 NGW gimp hood RM v1.01 demo (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-v1-box/12166443 NGW gimp hood fatpack v1 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-V1-demo/12166582 NGW gimp hood fatpack V1 demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Aphrodite-hood-v102/9567240 NGW Aphrodite hood v1.02 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Venus-Hood-Complete-Fatpack-box/15554401 NGW Venus Hood Complete Fatpack (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-tea-hood/19273665 NGW tea hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box/13309214 NGW theia hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box-demo/13309215 NGW theia hood box demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-v1-boxed/12717546 NGW puffy hood v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-Demo-v1-boxed/12717545 NGW puffy hood Demo v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Capture-SackRLV-LZ/15200777 Latex Capture Sack,RLV] [https://marketplace.secondlife.com/p/DEMO-HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3368648 DEMO HybridZ Latex Atemkontrolle Black FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Jail-Cell-with-RLV/2982858 Latex Gefängniszelle (mit RLV!)] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHB-Latex-Hood-customized/11656464 DHB Latex Hood (customized)] [https://marketplace.secondlife.com/p/SubChair-2-Latex-RLV-BDSM-Captive-Project/1065214 SubChair 2 Latex RLV BDSM - Captive Project Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/Bane-Hood/19694442 Bane Hood] Fluch-Maske :: Comes with 3 versions of the hood that can be toggled via menu: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (for open mouth animations) -::Rigged Hood ::Comes with its own resize scripts for the unrriged hoods. ::The rigged hood cannot be resized and its shape will depend on the wearers head shape. ::Color and textures of the hood can be adjusted using the menu. ::Has 5 additional surfaces (Front, Top, Back, Left and Right) that can be textured independently with your own custom textures. ::Easy to set up custom textures for the 5 additional surfaces, by adding the textures to the hood inventory and editing a notecard. ::In order to work custom textures must be full perm. This is an SL limitation. ::Comes with UV maps of each additional surfaces to help creating your own textures. ::Can be locked in place if the victim is using an RLV enabled viewer. ::Owners can be set. ::Kommt mit 3 Versionen der Haube, die über das Menü umgeschaltet werden können: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (für Animationen mit offenem Mund) ::-Rigged Hood ::Kommt mit seinen eigenen Skripten zur Größenänderung für die nicht manipulierten Hauben. ::Die Größe der manipulierten Kapuze kann nicht geändert werden und ihre Form hängt von der Kopfform des Trägers ab. ::Farbe und Textur der Haube können über das Menü eingestellt werden. Verfügt über 5 zusätzliche Oberflächen (vorne, oben, hinten, links und rechts), die unabhängig voneinander mit Ihren eigenen benutzerdefinierten Texturen strukturiert werden können. ::Einfache Einrichtung von benutzerdefinierten Texturen für die 5 zusätzlichen Oberflächen durch Hinzufügen der Texturen zum Haubeninventar und Bearbeiten einer Notizkarte. ::Um zu arbeiten, müssen benutzerdefinierte Texturen eine vollständige Dauerwelle haben. Dies ist eine SL-Einschränkung. ::Kommt mit UV-Karten jeder zusätzlichen Oberfläche, um Ihre eigenen Texturen zu erstellen. ::Kann an Ort und Stelle gesperrt werden, wenn das Opfer einen RLV-fähigen Viewer verwendet. ::Besitzer können eingestellt werden. [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3171296 HybridZ Latex Atemkontrolle Black - FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle™ - Modify - Copy - No Transfer ::Inspired by the artwork of Chio Maisriml. See below for details on where to find his work. ::A big thank you to Regan for all his help and hard work. ::Please note that you have to be using a Restrained Love compatible Viewer with ❋MESH❋ capabilities to take FULL advantage of the many features of this Atemkontrolle. Please also be aware that to experience the full effect of the Blindfold feature you must be running the latest version of the Restrained Love Viewer. See below for details on how to find the Restrained Love and Mesh Viewers. ::Use: ::- To use your HybridZ Latex Atemkontrolle simply wear all the parts. ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle ™ - Ändern - Kopieren - Keine Übertragung ::Inspiriert von den Kunstwerken von Chio Maisriml. Weiter unten erfahren Sie, wo Sie seine Arbeit finden. ::Ein großes Dankeschön an Regan für all seine Hilfe und harte Arbeit. ::Bitte beachten Sie, dass Sie einen Restrained Love-kompatiblen Viewer mit "MESH" -Funktionen verwenden müssen, um die vielen Funktionen dieser Atemkontrolle voll ausnutzen zu können. Bitte beachten Sie auch, dass Sie die neueste Version des Restrained Love Viewer ausführen müssen, um die volle Wirkung der Funktion "Augenbinde" nutzen zu können. Weiter unten finden Sie Details dazu, wie Sie die Restrained Love- und Mesh-Zuschauer finden. ::Benutzen: ::- Um Ihre HybridZ Latex Atemkontrolle zu verwenden, tragen Sie einfach alle Teile. Due to the nature of the MESH parts please make sure you wear the included Body Shape or you will find the various parts will not fit or work correctly. Please also note that these parts should never been stretched or resized in anyway. Doing so will break the items. Aufgrund der Beschaffenheit der MESH-Teile stellen Sie bitte sicher, dass Sie die mitgelieferte Körperform tragen. Andernfalls werden die verschiedenen Teile nicht richtig passen oder funktionieren. Bitte beachten Sie auch, dass diese Teile ohnehin niemals gedehnt oder in der Größe verändert werden sollten. Dadurch werden die Gegenstände zerbrochen. *- Also included in the box is a Body Alpha. The Alpha must be used in conjunction with the Atemkontrolle avatars attachments. *- The default attachment points are included in each attachment name and are listed below: *Latex Atemkontrolle - MOUTH *Latex Atemkontrolle (Skull) - SKULL *Latex Atemkontrolle Breath Particles (Left Hand) - LEFT HAND *Leash Handle - LEFT HAND *- Please note the Atemkontrolle must be "LOCKED" before any of the following RLV functions become active. *- Please also remember that the "Deny Friend" TP button will always work for you and your Atemkontrolle, this is more a safety feature, anyone not on the Atemkontrolle's access will still be blocked from sending a TP *- Ebenfalls im Lieferumfang enthalten ist ein Body Alpha. Das Alpha muss in Verbindung mit den Atemkontroll-Avatar-Anhängen verwendet werden. *- Die Standardanhangspunkte sind in jedem Anhangsnamen enthalten und werden nachfolgend aufgeführt: *Latex Atemkontrolle - MUND *Latex Atemkontrolle (Schädel) - SCHÄDEL *Latex Atemkontrolle Atempartikel (linke Hand) - LINKE HAND *Leinengriff - LINKE HAND *- Bitte beachten Sie, dass die Atemkontrolle "GESPERRT" sein muss, bevor eine der folgenden RLV-Funktionen aktiv wird. *- Bitte denken Sie auch daran, dass die TP-Schaltfläche "Freund verweigern" immer für Sie und Ihre Atemkontrolle funktioniert. Dies ist eher eine Sicherheitsfunktion. Jeder, der nicht über den Zugriff der Atemkontrolle verfügt, kann weiterhin keine TP senden *Latex Atemkontrolle Menu Driven Features: *The following menus can only be accessed once all the attachments are worn. *Then simply click on the Atemkontrolle's Face. *Once the Lock command is selected it will effect all the worn parts making them all undetachable. This removes the need for each part to be locked seperately. *-OWNERS - Ownership Ability allows you to add owners and give them access to the menus. Simply click on the Atemkontrolle, go to 'OWNERS' and select 'Add OWNER'. Then choose the appropriate button number to add the person you want And your done! *- LOCK - Locks all the Atemkontrolle's attachments. *- UNLOCK - Unlocks all the Atemkontrolle's attachments. *- LOCK SKIN - Locks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- UNLOCK SKIN - Unlocks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- BLOCK TP - Blocks all forms of Teleport, TP to Landmarks, TP to Map Locations, TP to Friends and TP to Sit on Objects. * - GAG - Prevents the Atemkontrolle from talking. * - UNGAG - Allows the Atemkontrolle to talk again. *- BREATHE ON - Turns Breathe sound effects on for use in breath play. *- BREATHE OFF - Turns Breathe sound effects off. *- BLINDFOLD - Turns the Atemkontrolle's Blindfold on. *- REM BLIND - Turns off the Atemkontrolle's Blindfold. *- UPDATE - Checks for any upgrades to your product (Note: You must be in range of the Update Server located at the HybridZ Main Store.) *- FREEZE - Freezes the Atemkontrolle to the spot preventing any kind of movement. *- UNFREEZE - Unfreezes the Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isolates the Atemkontrolle from interacting in the SecondLife Environment, Inventory access denied edit objects TP etc, IM to locker/OWNER only permitted for safety reasons. *- REM ISO - Turns off Isolation *Menügesteuerte Funktionen des Latex-Atemkontrollgeräts: *Auf die folgenden Menüs kann nur zugegriffen werden, wenn alle Anhänge abgenutzt sind. Dann klicken Sie einfach auf das Gesicht der Atemkontrolle. Sobald der Befehl Sperren ausgewählt ist, wirken sich alle verschlissenen Teile auf sie aus und machen sie alle abnehmbar. Dadurch entfällt die Notwendigkeit, jedes Teil separat zu verriegeln. *-OWNERS - Mit Ownership Ability können Sie Eigentümer hinzufügen und ihnen Zugriff auf die Menüs gewähren. Klicken Sie einfach auf die Atemkontrolle, gehen Sie zu 'EIGENTÜMER' und wählen Sie 'EIGENTÜMER hinzufügen'. Wählen Sie dann die entsprechende Schaltflächennummer, um die gewünschte Person hinzuzufügen, und fertig! *- LOCK - Sperrt alle Anbaugeräte der Atemkontrolle. *- ENTSPERREN - Entsperrt alle Anhänge der Atemkontrolle. *- LOCK SKIN - Sperrt die Haut und Form der Atemkontrolle. *- HAUT ENTSPERREN - Schaltet die Haut und Form der Atemkontrolle frei. *- BLOCK TP - Blockiert alle Formen von Teleport, TP zu Orientierungspunkten, TP zu Kartenpositionen, TP zu Freunden und TP zum Sitzen auf Objekten. *- GAG - Verhindert, dass die Atemkontrolle spricht. *- UNGAG - Ermöglicht der Atemkontrolle, erneut zu sprechen. *- BREATHE ON - Schaltet Breathe-Soundeffekte für die Verwendung im Atemspiel ein. *- ATMEN AUS - Schaltet die Soundeffekte zum Atmen aus. *- BLINDFOLD - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle ein. *- REM BLIND - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle aus. *- UPDATE - Überprüft, ob Upgrades für Ihr Produkt durchgeführt wurden (Hinweis: Sie müssen sich in Reichweite des Update-Servers befinden, der sich im HybridZ Main Store befindet.) *- EINFRIEREN - Friert die Atemkontrolle an der Stelle ein, um jede Art von Bewegung zu verhindern. *- UNFREEZE - Entfriert die Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isoliert die Atemkontrolle von der Interaktion in der SecondLife-Umgebung, Inventarzugriff verweigert Bearbeitungsobjekte TP usw., IM an Schließfach / EIGENTÜMER nur aus Sicherheitsgründen zulässig. *- REM ISO - Deaktiviert die Isolierung *Once an Owner has been added to the list they can click on the Atemkontrolle to get an extended features list. All the above functions will be present but with the following additional buttons: *- CLOTHING - Allows removal of individual clothes, also ALLOW ALL/ DENY ALL controls whether your Atemkontrolle can wear or remove clothing. *- Though this Menu option is still present please be aware that clothing layers cannot be worn on top of a MESH Avatar. *- GIVE - Dispenses a copy of the Leash Handle/Leash Post or Instructional Notecard to the owner. The Leash Handle is worn on the LEFT HAND. *Once an Owner is wearing the Leash Handle they can then click it to access the LEASH,UNLEASH and LEASH LENGTH options. *Additionally whilst the Atemkontrolle is leashed the owner may rez a Leash Post and click on the ring to leash the Atemkontrolle to the Post. Clicking on the Leash Handle transfers the leash back from the Post to the Handle. *- Please note if the Atemkontrolle is leashed without the Owner wearing the Leash Handle the leash will attach to the Owner at the default 'Pelvis' point. *Additional Features: **- Locking Sound Effects when certain parts are Locked and Unlocked. **- Latex Rub Sound Effects upon walking. *Sobald ein Eigentümer zur Liste hinzugefügt wurde, kann er auf die Atemkontrolle klicken, um eine erweiterte Funktionsliste zu erhalten. Alle oben genannten Funktionen sind vorhanden, jedoch mit den folgenden zusätzlichen Tasten: *- KLEIDUNG - Ermöglicht das Entfernen einzelner Kleidungsstücke. Außerdem erlaubt ALLOW ALL / DENY ALL, ob Ihre Atemkontrolle Kleidung tragen oder entfernen kann. *- Obwohl diese Menüoption immer noch vorhanden ist, beachten Sie bitte, dass Kleidungsschichten nicht über einem MESH-Avatar getragen werden können. *- GEBEN - Gibt eine Kopie des Leinengriffs / der Leinenpost oder der Anweisungsnotizkarte an den Eigentümer aus. Der Leinengriff wird an der LINKEN HAND getragen. *Sobald ein Besitzer den Leinengriff trägt, kann er darauf klicken, um auf die Optionen LEASH, UNLEASH und LEASH LENGTH zuzugreifen. *Während die Atemkontrolle an der Leine geführt wird, kann der Besitzer zusätzlich einen Leinenpfosten rezzen und auf den Ring klicken, um die Atemkontrolle an den Pfosten zu führen. Durch Klicken auf den Leinengriff wird die Leine vom Pfosten zurück zum Griff übertragen. *- Bitte beachten Sie, dass die Leine an der Leine geführt wird, ohne dass der Besitzer den Leinengriff trägt. Die Leine wird am Standardpunkt „Becken“ am Besitzer befestigt. *Zusatzfunktionen: **- Sperren von Soundeffekten, wenn bestimmte Teile gesperrt und entsperrt sind. **- Latex Rub Sound Effekte beim Gehen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:29, 24. Feb. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-BDSM-RLV-Doll-Dollification-RP-Latex-Spray-Gun/413305 HybridZ BDSM RLV Doll Dollification RP Latex Spray Gun] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 2. Mär. 2021 (CET) ==== Haare ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Domela/13427270?ple=c EdelStore Mesh Hair - Domela (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Delmira/13426185 EdelStore Mesh Hair - Delmira (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/G-Draya-Hairbase/21054117 G.- "Draya" Hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/ARGRACE-SAYURI-BW/17349859?ple=c ARGRACE* SAYURI - B&W] [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Grae-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/11267667 Tameless Hair Grae - Naturals] Includes OMEGA applier for hairbase [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Kit-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/10498687 Tameless Hair Kit - Naturals with OMEGA Appliers for hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Claire-bxd-wear-me/19250905 KoKoLoReS Hair Claire bxd - wear me] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Lesley-bxd-wear-me/19842667 KoKoLoReS Hair Lesley bxd - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Quinn-20-Hud-Naturals/16067064 KoKoLoReS Hair - Quinn 2.0 - Hud Naturals - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/Sintiklia-Hair-Talia-Fatpack/19564600 Sintiklia - Hair Talia - Fatpack] [https://marketplace.secondlife.com/p/Y-U-JOANA-MULTIPACK-WOMENS-BOXED/19006551 Y-U: JOANA "MULTIPACK" WOMEN'S BOXED] [https://marketplace.secondlife.com/p/EMO-tions-TRAGEDY-BLACKWHITE/12152278 .:EMO-tions.. *TRAGEDY* -BLACK/WHITE] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:00, 2. Mär. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/NO-Pixie-Cut-Tattoo-Purple-Mix/7393394 (NO) Pixie Cut (Tattoo) - Blonde] [https://marketplace.secondlife.com/p/OS-Appliers-Base-Hair-Diva-Black-OmegaCatwa-Lelutka/16273465 !OS! Appliers Base Hair Diva Black - Omega/Catwa/ Lelutka] [https://marketplace.secondlife.com/p/nomatch-NOCOMMISSION-Pack-of-BLACKS/15922487 no.match_ ~ NO_COMMISSION ~ Pack of BLACKS] [https://marketplace.secondlife.com/p/dafnis-fat-pack-hairbase-01-for-CATWA-Demo/18658974 *dafnis fat pack hairbase 01 for CATWA Demo] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:19, 2. Mär. 2021 (CET) === Personen === Freunde finden ist nicht leicht in einer Welt, in der sich jeder selbst der Nächste ist, wo Egoismus und Lügen zur vorherschenden Tugend gehören. Sei ehrlich mit mir, lüg mich nicht an, dann bin ich für dich da und gehe mit dir durchs Feuer. Bei Intrigen, Hass und Missgunst und weitererzählen irgendwelcher Gerüchte fackel ich nicht lange und sortiere aus. Secondlife soll Spaß machen und nicht das Leben noch schwerer durch Menschen, die hier rumlaufen und nur glücklich werden, wenn sie anderer Partnerschaft, Freundschaft und Vertrauen zerstören können. Wacht auf Leute, das Leben findet draußen statt! Diese Welt hier ist eine Plattform, um andere kennen zu lernen und Spaß zu haben und nicht, um sich gegenseitig emotional abzuschlachten! Cordula Debbel von DavidSmith1978 https://www.youtube.com/watch?v=uSbxCX2LVps Cordula Grün Kinder mit Behinderung sind nicht krank, sie brauchen keine Therapie. Sie brauchen Akzeptanz. Ein 15 Jahre altes Mädchen hält die Hand von ihrem 1 jährigem Sohn. Leute nennen sie eine Schlampe. Niemand weiß, dass sie mit 13 Jahren vergewaltigt wurde. Leute nennen einen Mann fett. Niemand weiß, dass er eine schwere Krankheit hat, durch die er übergewichtig ist. Leute nennen einen alten Mann hässlich. Niemand weiß, dass er eine schwere Verletzung im Gesicht hatte, während des Kampfes für sein Land im Krieg. Poste dies, wenn du gegen Mobbing bist. Ich hoffe ihr gehört zu den 7% die es kopieren ... !!! Cordula Debbel Cosmopolitan and Hello Tuesday Events. Join to stay informed about our events. Blog: http://cosmopolitansl.blogspot.com/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:26, 4. Jan. 2021 (CET) Ich bin schon so lange hier und ziehe Bilanz: Ich bin hier in SL wegen der Menschen. Sie können eine innere Heimat werden, gute Freunde, jemand der so sehr mein innerstes kennt, wie niemand in meinem 1. Leben. Manchmal trifft man hier jemand und es ist magischSofortigesVerstehen, Zusammengehörigkeitsgefühl und das Bedürfnis bei dieser Person sein zu wollen. Lachen, das bis in mein reales Leben nachhallt und mich dort weiterhin aufmuntert. Danke dafür!!! Ruediger Blister --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 9. Jan. 2021 (CET) Sl ist schon ganz schön Verrückt einige Leute leben Wirkliich in einer Echten Scheinwelt weit ab vom Realen leben, und sie kommen sich auch noch verdammt Wichtig vor weil sie gewisse Rechte haben, find ich echt toll viel Glück mit eueren Rechten,scheibt sie euch dahin wo die Sonne zum schluss auf geht. Kathrin de Boer (kathrindeboer) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:54, 9. Jan. 2021 (CET) first sl join January 2007/second sl jion August 2011 maybe older than you but not stupid lol SL ist kein Spiel......es ist eine Schnittstelle SL is not a game ...... it is an interface JasonCastello --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:59, 9. Jan. 2021 (CET) Just taking a break and chilln out a while My interests in SL r: surfing, skydiving, base jumpn, horseback riding, scuba, cyclist and solo dancen, so far. Not interested in SL relationships other than friends. Cindy (honeypotness) Menschen, die zusammen gehören, egal auf welche Art und Weise finden immer wieder zusammen. Es ist egal was zwischen ihnen passiert ist, wie viele Fehler gemacht wurden und wieviel Zeit vergangen ist. Es ist egal,wie fern sie sich sind, sie werden sich trotzdem immer nahe sein... Tamina Bikergrrl --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:52, 11. Mär. 2021 (CET) === Surfing === Cielo *Cielo is currently majestic ruins you can surf through, set on the corner of a 5 sim Surfing beach island. *Travel the world, from east to west on this island, surfing different terrains and waves. ** Arcania Bay, Canada, Cielo (35, 177, 85) Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance *Welcome to Kia Kaha - The home of Vibes! *"Kia Kaha" is a Māori phrase meaning "Stay Strong" A subtle reminder to the core surfing family. *Public access surf sim with rezz zone and Flow board rezzer. ** Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance, Kia Kaha (128, 94, 22) Medow Rose - Templeton Farm *The moonlight sent pale shards skipping across the rippling water and silhouetting the landscape in deep soft bues and blacks. *She drew a contented breath as she sank deeper into his arms, *Meadow rose is just the start of the story.. Great place to ride ur horse ** Mopire City, Mopire (73, 191, 62) NanoGunk Main Store - Cigar Yachts *A beach with some nice waves ** NanoGunk Main Store - Cigar Yachts, NanoGunk (62, 32, 22) One Love Beach ~ Home of SurfCrazy ~ *No lag...no conflict..surf... *And as my opinion...Best place to surf in SL so far..... still ** One Love Beach - Surf Great Waves, Palma de Majorca (192, 216, 21) Surfer's Paradise - Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf *A remote beach set in the Pacific Northwest for photos and soul searchers alike. Really cool place. *flickr, photography, blogger, romantic, couples, beach, nature, photos, hangout, photogenic, meet, rentals, machinima, maoli waves, surfing, surf AMAZING PLACE TO SURF. ** d.p surfco] Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf , Spider Island (154, 227, 21) Surfing SLSA *Surfing Association (SLSA) surfable wave home beach. Surf, free surfboard loan Huts for Rent for your business advertising or team marketing **Home Of Competition Surfing In SL and the SLSA, Solace Dreams (224, 83, 21) T'ai Surfing - Home to Team Tsunami *The beautiful sister of the Zen surfing resort Ch'i. T’ai was born from Ch’i tranquil Mountainous volcano. *A public surfing beach. A variety of free surfboard rezzers and a rez area to use your own board. *Come enjoy and hangout at T'ai Surfing **T'ai Surfing - Home to Team Tsunami, Tai Surfing (207, 113, 23) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:18, 4. Jan. 2021 (CET) === Biker === Arpeggio Club DyNaMiTe - Biker an Rock Club (66. 162, 37) Club DyNaMiTe is one of the oldest rock clubs on the grid. Friendly, biker themed, a neutral place to chill out, chat and enjoy some good rock /heavy metal music. Live DJs, Concerts, Performers, Contests, Fun, Biker Club, Dance, Chat Bon Jovi Tribute by 2nd Dimension @ Club DyNaMiTe - Sponsored by Anka Tattoo --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:12, 8. Jan. 2021 (CET) == Paralipomena == Wir wissen doch schon lange, wie der amerikanische Geheimdienst den Markt zugunsten sog. "Moderner Kunst" mit Unsummen beeinflußt hat, weil die USA an Klassischer Kunst unterbelichtet sind - es gibt ja auch heute noch eine Geheimdienstgalerie Modern Art, nur für die eigenen (verdienten) Mitarbeiter besuchbar - eine eklige Schmierenkomödie, diese ganze "Moderne Kunst" - und derzeit zur Spielbank und Lotterie entartet, so wie ich das hier in der Kunststadt Dresden beobachten kann: Kauf auf Wertzuwachs, Wetten auf steigende Preise - das soll Kunst sein? Pfui Teufel! Die Kunstwerke verschwinden sehr oft in den Tresoren oder gleich auf der Bank - weswegen ich an diesem Markt nicht teilnehme - ich bin doch keine Hure! Meine Niemandskunst bleibt bis auf weiteres unveröffentlicht. Basta. Nur wenn die Chemie stimmt, zeige ich jemandem etwas persönlich. Ich prostituiere mich nicht für Geld. Punkt. Habe ich zeitlebens nicht gemacht, und die paar Jährchen muß ich nun auch nicht mehr. Früher hatte das schwere Konsequenzen (Haft, Zersetzung der Familien, Partnerinnen und meine erste Frau wurden zum Selbstmord(versuch) getrieben, Vergewaltigung meiner zweiten Frau bei unserer Ausbürgerung aus der DDR, Berufsverbote und und und - und ich habe mich nicht gebeugt. Heute hat das keine größeren Konsequenzen (die Gesellschaft hat größere Probleme als Verweigerer), und da habe ich es erst recht nicht mehr nötig, mich zu beugen - auch keinem "Kunstmarkt" gegenüber. Kann mich mal kräftig am Arsch lecken. Haben fertig. Bilder zurückhalten ist keine Lösung. Kunst will gesehen werden... HAUPTSACHE, mich befriedigt es! Was weiß ich, was ein andrer davon hat? Und was hätt ich davon, wenn ein andrer als ich davon was hat? Und wie geschrieben, wenn die Chemie stimmt, lass ich auch mal was sehen. Es gab hier vor zweihundert Jahren den Fall eines hervorragenden Malers, der hatte das Geheimnis der leuchtkräftigen, stabilen Renaissancefarben in jahrzehntelangen Experimenten gelüftet. Er erhoffte sich (nicht nur dadurch) eine existenzsichernde Anstellung an der Kunstakademie hier (er war auch ein hervorragender Künstler). Wurde aber abgelehnt - sicher aus politischen Erwägungen heraus. Er hat dann sein Geheimnis mit ins Grab genommen (er liegt hier auf dem Trinitatisfriedhof - man könnte ja mal buddeln LOL). Das war sein gutes Recht! Ich erinnere in dem Zusammenhang daran daß selbst ein Caspar David Friedrich niemals ordentlicher Professor der Kunstakademie in Dresden wurde, obwohl er hier über vierzig Jahre gelebt und gewirkt hatte - er war eben Napoleongegner und deutschnational. https://de.wikipedia.org/wiki/Caspar_David_Friedrich#Patriotismus_gegen_Napoleon --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:41, 10. Mär. 2021 (CET) ich habe Gewaltexzesse veröffentlicht. Ich muss mein Kind und mich schützen, weil Menschen bereit sind unter dem Deckmantel von was anderen Menschen zu töten. Ich habe keine Kraft alles schneller hinzubekommen, weil mir mit der Gewalt in einem jungen Leben auch die Existenzsicherung genommen wurde. Damit bin ich nun beschäftigt. Die Existenz zu sichern. KDP ist aber kein Händler, sondern ein "Verlag" von Amazon. Da sind meine kompletten Daten hinterlegt, weshalb ich jederzeit erreichbar bin. Klar kann es sein, dass irgendein Anwalt, der Geld machen will, statt den Sinn hinter dem Gesetzt zu wahren, eine Lücke nutzt, um abzuzocken. Ich muss mich da definitiv drum kümmern, aber das braucht Zeit. Ich muss das Buch rausnehmen, ändern und neu veröffentlichen. Oder andere Ideen? https://www.facebook.com/happy.bine.39 アン トン: Happy Bine ja, raus nehmen, Impressum einfügen und wieder einstellen. Weiß nicht ob das mit einem Update geht oder nicht. Deswegen bin ich am Überlegen bei BOD zu veröffentlichten, die zählen als Verlag und da reicht die Angabe von Pseudonym und BOD als Verlag . Und nein KDP ist KEIN Verlag, es ist eine Veröffentlichungsplattform für Self Publisher. Sie sind nicht als Verlag eingetragen. Du kannst auch „Fake Daten bei Biografien.....“ bei KDP angeben, die nicht geprüft werden. KDP war wegen „seltsamer“ Veröffentlichungen eh schon öfter in Kritik Antwort: Vielleicht geht es ja auch so. Ich möchte ja auch die Bewertungen nicht verlieren und auch nicht die bisherigen Verkaufszahlen. Nun muss ich aber erst einmal einen neuen Impressumservice finden. https://www.facebook.com/groups/dasautorenhilfeforum/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:02, 10. Jan. 2021 (CET) weiß ich -immer von schönen Damen wie im Video zu sehen kenn ich aus Tenerife - erstes Pinguinarium der nördlichen Hemisphäre im Loro Parque in Puerto de la Cruz: ich hatte als Batman mit einem weiblichen kleinen Gummi-Pinguin Werbung gemacht, da wurden extra kleine Frauen für gecastet - unter den indigenen Einwanderern aus Süd- und Mittelamerika gab es genügend Auswahl - war ein toller Kontrast - schon der Größenunterschied, der Pinguin in glänzenem Schwarz-Weiß und ich in glänzendem Schwarz, alles in der prallen Sonne nahe dem Abfahrtsplatz der "Straßenbahnen" (motorisiert) zum Loro-Parque - ein voller Erfolg - ja, und im Pinguinarium schufteten neue MitarbeiterInnen in Trockis (Trockentauchanzügen), um von innen die Panzerglasscheiben freizuhalten - die waren wegen des hohen Temperaturunterschiedes im Nu vereist, diesen Effekt hatte keiner auf der Liste - die MitarbeiterInnen kamen nach der langen Schicht klatschnass aus ihren Trockis, da war ich als Gummi-Batman noch besser dran, so haben die von der schweren Arbeit gedampft - und der Dampf konnte nicht raus wie beim Schnellkochtopf LOL --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:32, 10. Mär. 2021 (CET) ja Bauhaus - räumlich und zeitlich nicht ganz so weit von mir weg - und MACH WAS DRAUS: als Junge hab ich das nachgebaut - und keinen Mangel an Modellen gehabt - zum Schluß klebten die dann alle irgendwie komplett in Alufolie und Zellophan (so hieß bei uns durchsichtige Plastikfolie) - Hauptsache, nicht nackig LOL - und die haben Schlange gestanden, soviel Material hatt ich gar nicht, das war schwierig in der DDR zu besorgen (wir hatten mal Bundis zu Besuch, die hatten seinerzeit weltweit Sonnenkocher-Seminare durchgeführt, auch bei uns in der Zone - die waren entsetzt, daß unsere Alu-Knappheit viel größer war als in Afrika, wo sie sich wegen der Sonne und dem knappen Brennstoff des Öfteren aufhielten LOL) - heute ist dieser begrenzende Faktor zum Glück ja entfallen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 11. Mär. 2021 (CET) Klassiker. Bin ich mit groß geworden. Und auch mit dem Material. Meine ersten Damen besaßen sogar noch Material der Prä-Nazi-Ära: Bürgermaske, Gasanzug ... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 11. Mär. 2021 (CET) == Schönheit == [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=181300523741200&set=p.181300523741200&type=3 FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/137275705_181300530407866_3397208782784515620_n.jpg?_nc_cat=107&ccb=2&_nc_sid=dbeb18&_nc_ohc=yYP5kA9jywIAX9X9YKi&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=d0657d01f4d51b26bd1aceb22a95b4bf&oe=6022F5B8 Ein Herz für soviel Schönheit] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:56, 13. Jan. 2021 (CET) == Adam Cullen == [[w:de:Adam Cullen|Adam Cullen]] == Maler Ludwig Counet == [[File:Trier Gedenkkreuz Counet 1721.jpg|mini|Gedenkkreuz für den in Trier ermordeten „Maler Ludwig Counet“, Südwestseite der Kirche St. Paulin in Trier.]] [[w:de:Louis Counet]]: Counet erlangte 1690 mit seiner Familie das Bürgerrecht in Trier[8] und stieg in einer steilen Karriere zum regionalen „Malerfürsten“ auf. Der Rat der Stadt Trier, Klöster, Stifte und Pfarrgemeinden der Stadt und der Großregion, selbst der kurfürstliche Hof in Koblenz-Ehrenbreitstein wurden zu seinen Auftraggebern für ganze Serien von großformatigen Gemälden mit religiösen, gelegentlich auch allegorischen oder mythologischen Themen und für seine selteneren Porträts. Seine Produktion an Altarblättern, Kirchenschmuck und profanen Staffeleimalereien war so umfangreich, dass sie nur mit Hilfe einer größeren Werkstatt zu bewältigen war. Selbst für seine alte Heimat, zu der er weiterhin Kontakte[9] aufrechterhielt, führte er noch Aufträge aus, beispielsweise zwischen 1717 und 1720 zwei große Historienbilder und fünf Supraporten für das Rathaus der Stadt Lüttich. Wenn er dabei als höchstbezahlter Maler des Projekts fungierte,[10] entsprach das seinen üblichen Dotierungen in Trier. Die hohen Einkünfte wurden ihm schließlich zum Verhängnis. Mit dem Honorar für sechs Großgemälde in der Tasche fiel er am 5. August 1721 einem Raubmord zum Opfer. Ein Gedenkstein bei der Kirche St. Paulin in Trier erinnert noch heute an ihn. == Afterkunst == === Grimmsches Wörterbuch === AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. === Friedrich Hebbel === Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm === Entartete Kunst === [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jüdische "Afterkunst" === NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) === Filmlexikon === https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Facebook === https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) === Kunstdienst der evangelischen Kirche === [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) === Herbert Tannenbaum === [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) === Dominikus Böhm === [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jeanpierre Heizmann === [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) === Scheißpolitik === Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 == Löschversuch == [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt_Diskussion:Niemandskunst&diff=771216&oldid=746765 Diff-Link] == Anmerkungen == hx2pgg46cv4xu6ass4i1ahb7n163ewh 784668 784663 2022-08-22T06:42:50Z Methodios 23484 /* Valeska Réon */ wikitext text/x-wiki == Straßenkunst == ''Dresden. Ein Straßenkünstler hat am Donnerstagnachmittag auf dem Neumarkt in Dresden einer 30-Jährigen mit einem Seil ins Gesicht geschlagen. Die Frau wurde dabei leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die den Vorfall beobachtet haben. Nach Angaben der Polizei machte die 30-Jährige im Bereich der Frauenkirche Fotos. Dabei geriet sie offenbar mit einem dort auftretenden Künstler in Streit. Anschließend schlug der 40-Jährige zu. Wer Angaben zum Geschehen machen kann, soll sich bei der Polizeidirektion Dresden melden. Insbesondere sucht die Polizei das Pärchen, das sich im Anschluss an den Vorfall mit der 30-Jährigen unterhielt.'' [https://www.dnn.de/Dresden/Polizeiticker/Neumarkt-in-Dresden-Strassenkuenstler-schlaegt-Frau-mit-Seil Straßenkünstler schlägt Frau auf dem Neumarkt in Dresden mit Seil.] Eine Frau will auf dem Neumarkt in Dresden Fotos machen. Dabei kommt es zum Streit mit einem dort auftretenden Straßenkünstler, der ihr mit einem Seil ins Gesicht schlägt. Jetzt sucht die Polizei Zeugen. DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:45, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Dresden. Am Donnerstag gegen 14.20 Uhr ist eine Frau auf dem Neumarkt verletzt worden. Die Frau machte an der Frauenkirche Fotos, als sie offenbar mit einem dort auftretenden tschechischen Künstler in Streit geriet. In der Folge wurde sie mit einem Seil im Gesicht getroffen und leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die Angaben zum Geschehen machen können. Insbesondere ein Pärchen, das sich nachher mit der 30-Jährigen unterhalten hatte wird gebeten sich bei der Polizei zu melden. Hinweise nimmt die Polizeidirektion Dresden unter der Rufnummer (0351) 483 22 33 entgegen.'' [https://www.saechsische.de/polizei/frau-auf-neumarkt-verletzt-5277548.html Frau auf Neumarkt verletzt. Bei einem Streit in der Innenstadt wurde sie von einem Seil getroffen. Nun sucht die Polizei Zeugen.] SZ vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:07, 18. Sep. 2020 (CEST) == Bunker == ''Kinder haben beim Spielen in einem Wald bei der brandenburgischen Gemeinde Nuthetal einen unterirdischen Bunker entdeckt. Der von Hand gezimmerte Unterschlupf, indem sich vieles findet, was man für einen längeren Aufenthalt unter Tage braucht, ist aufwendig ausgebaut und gibt derzeit vor allem Rätsel auf.'' ''Bild: Der Bunker ist innen mit Holz verkleidet und hat etwa die Größe eines Kinderzimmers. Er hat auch ein Lüftungsloch und eine kleine Treppe, die in den Bunker führt. Dort liegt auch ein Handfeger griffbereit.'' (zwei Feldbetten?, zwei Campingstühle, Tischchen, Petroleumlampen, Kleinmöbel, Holz, Isomatte, Geschirr, Lebensmittel, Wandteller, Sandboden, Innenstütze, Deckenbalken, Plastikplane als Zimmer-Decke, nur kleines "Mannloch") [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Bunker-in-Nuthetal-Kinder-finden-mysterioesen-Unterschlupf-im-Wald MAZ vom 15. September 2020.] [https://www.dnn.de/Region/Der-Osten/Kinder-finden-mysterioesen-Bunker-in-Brandenburger-Wald Bergholz-Rehbrücke. Kinder finden mysteriösen Bunker in Brandenburger Wald.] DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:55, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Ist der Bewohner des rätselhaften Bunkers, der in einem Wald in Nuthetal gefunden wurde, noch einmal in seinen Unterschlupf zurückgekehrt? Es sieht alles danach aus: Als Gemeinde-Arbeiter die Sachen aus dem Bunker holen wollten, war das Schloss aufgebrochen. Im Bunker fehlte das Wertvollste, was sich vorher darin befand.'' ''Bild: Der Bunker ist am Mittwoch bereits eingerissen worden. Die Gemeinde Nuthetal läßt ihn zurückbauen.'' [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Mysterioeser-Bunker-in-Nuthetal-Vor-dem-Einreissen-kehrte-der-Bewohner-zurueck-und-holte-das-Funkgeraet Bergholz-Rehbrücke. Nuthetal lässt mysteriösen Bunker einreißen – doch das Funkgerät war bereits verschwunden] MAZ vom 16. September 2020. [[w:Märkische Allgemeine|Märkische Allgemeine]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:53, 20. Sep. 2020 (CEST) [[w:Nuthetal|Nuthetal]] - in der Nähe vom Südwestzipfel Berlins - im "Speckgürtel" - von 2003 bis 2017 fast 500 Einwohner gewonnen auf jetzt über 9.000 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:05, 20. Sep. 2020 (CEST) Wegen sowas häufen sich in Dresden und Umgebung die "unterirdischen Zelte" (der Begriff wurde von einem AfD-Stadtrat aus Berlin-Reinickendorf verwendet - das ordentliche Ordnungsamt hatte da die anwachsende "Zeltstadt"! - so 150 Einwohner Nähe Flughafensee - vor anderthalb Jahren geräumt, die Leute haben sich dann eingegraben, wurden zT entdeckt - sicher zu primitiv, sicher auch zu alkoholisch - und diese Bunker - mit zB Kühlung für Bierkästen - bezeichnete der sozial unbeleckte Stadtrat dann als "unterirdische Zelte"). https://de.wikipedia.org/wiki/Flughafensee vgl. [[w:Nasser Asphalt]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:53, 20. Feb. 2021 (CET) == Housing first == === Erstes Projekt in Sachsen: Leipzig === Und nun folgt auch Leipzig: Sn Sommer soll der Housing First in einem Modellprojekt erprobt werden. Berlin ist da schon weiter: wir arbeiten an der Verstetigung, weil es so gut läuft! [https://www.facebook.com/housingfirstfuerfrauen/ FB Housing First für Frauen, 18. März 2021] Eine eigene Wohnung ist das oberste Ziel der Hilfen für wohnungslose Menschen in Leipzig. Bezahlbare Wohnungen sind in Leipzig aber inzwischen knapp. Daher soll ab dem Sommer der Ansatz „Housing First“ erprobt werden – mit dem Modellprojekt „Eigene Wohnung“. Dies wurde in der Dienstberatung des Oberbürgermeisters auf Vorschlag von Bürgermeister Thomas Fabian auf den Weg gebracht. Jetzt muss noch der Stadtrat zustimmen. Der aus den USA stammende Ansatz „Housing First“ (auf Deutsch: zuerst eine Wohnung) verspricht gute Ergebnisse bei der Integration von obdachlosen Personen. Deshalb verfolgen etliche Kommunen in Europa und Deutschland diesen Ansatz. Bei „Housing First“ erhalten obdachlose Personen eine eigene Wohnung mit Mietvertrag und dazu eine individuell passende Hilfe durch Sozialarbeiterinnen und Sozialarbeiter. Die Anzahl der Personen, die Schwierigkeiten haben, ihre Wohnung zu halten oder bei Wohnungslosigkeit eine neue Wohnung zu finden, hat zugenommen. Besonders betroffen sind Personen mit Mietschulden sowie Menschen mit psychischen und Suchterkrankungen. Bürgermeister Thomas Fabian ist überzeugt: „Wir wollen obdachlosen Frauen und Männern die Möglichkeit eröffnen, eine eigene Wohnung zu beziehen. Sie erhalten dabei auch Unterstützung, die sie brauchen, damit ein Neuanfang gelingt. Unser Modellprojekt greift Konzepte und Erfahrungen des Ansatzes Housing First auf. Es ergänzt gut unsere Angebote der Obdachlosenhilfe in Leipzig.“ Entwickelt wurde das Projekt vom Sozialamt auf der Grundlage von Befragungen von Trägern der Wohnungsnotfallhilfe, Fachexperten und auch obdachlosen Personen. Grundzüge des Leipziger Konzeptes wurden in einer Strategiekonferenz mit Akteuren aus der Obdachlosenhilfe beraten. Das Modellprojekt soll im Sommer beginnen. Im Oktober könnten dann die ersten von mindestens 40 obdachlosen Personen in ihre Wohnung ziehen. Die Wohnungen werden vorwiegend durch die stadteigene Leipziger Wohnungs- und Baugesellschaft mbh (LWB) zur Verfügung gestellt. Aber auch Wohnungsgenossenschaften und private Wohnungsvermieter sollen einbezogen werden. Bis 2024 soll das Modellprojekt erprobt und während dieser Zeit auch wissenschaftlich evaluiert werden. Eine Koordinationsstelle im Sozialamt steuert die Umsetzung. Insgesamt 1,2 Millionen Euro werden für das Projekt bis 2024 eingeplant. [https://www.leipziginfo.de/aktuelles/artikel/modellprojekt-eigene-wohnung-fuer-obdachlose-personen-in-leipzig/?fbclid=IwAR2cjmPZddnGLP8_N-wRIANWMhBCgzHOhdyWjbNytNruFn3KM9wZp3A-R0I Modellprojekt "Eigene Wohnung" für obdachlose Personen in Leipzig. Ansatz „Housing First“ soll ab dem Sommer erprobt werden] 18.03.2021 Stadtinformationen Stadt Leipzig --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:36, 19. Mär. 2021 (CET) == Kunst für Housing First == '''''Worin bestand für Sie die Motivation, sich sozialunternehmerisch zu engagieren und das Projekt „Housing First“ ins Leben zu rufen?''' Das Engagement war doppelt begründet: Es ging uns einerseits um den Aufbau adäquater Hilfe für Wohnungslose, zugleich aber war unser Engagement auch politisch motiviert. Ein Schlüsselerlebnis war die Weihnachtsfeier im Düsseldorfer Kulturzentrum zakk vor vier Jahren, als wir feststellen mussten, dass wieder Wohnungslose verstorben waren. Vor dem Hintergrund unserer Philosophie, wonach wir – Wohnungslose und das Team des Düsseldorfer Straßenmagazins fiftyfifty – so etwas wie eine Familie sind (bei aller professioneller Distanz, die in der Sozialarbeit auch notwendig ist), reifte die Erkenntnis, dass chronifiziert obdachlose Menschen im bestehenden Stufensystem quasi überhaupt keine Chance haben, dauerhaft mit normalen Mietwohnungen versorgt zu werden und eine Verelendungsspirale die Folge ist. Meine Kollegin Julia von Lindern hatte sich auch als Lehrbeauftragte an der Hochschule Düsseldorf mit dem Housing First-Ansatz auseinandergesetzt. Es folgte eine Reise unseres Teams nach Wien, um Erkenntnisse vor Ort zu sammeln. Wir haben schlanke Strukturen – ganz im Sinne des lean management –, so dass Ideen stets gemeinschaftlich entwickelt und schnell realisiert werden können. ''' „Lean management“? Das klingt ganz nach einem unternehmerischen Ansatz.''' Housing first stellt natürlich einen Paradigmenwechsel im System dar, aber die linke Attitüde, die lange Zeit ausschließlich auf Systemkritik zielte, lässt sich meines Erachtens unter den gegenwärtigen politischen Vorzeichen nicht mehr durchhalten. Mit dem Erstarken des Rechtspopulismus gilt es, unser Sozialsystem nach Kräften zu verteidigen. Dafür nutzen wir bei fiftyfifty unsere Erfolge als Glaubwürdigkeitsvorsprung, d. h. unsere Arbeit wird immer von Gesprächen mit politischen Entscheidungsträgern sowie Trägern der Wohnungslosenhilfe begleitet. Und natürlich suchen wir gezielt die Öffentlichkeit, um u. a. über Social Marketing für unsere wohnungspolitischen Anliegen, aber natürlich auch unser Fundraising zu werben. Housing First bedeutet: Es besteht von Anfang an ein normales, unbefristetes Mietverhältnis mit allen Rechten und Pflichten. Wohnbegleitende Hilfen werden aktiv angeboten: Betroffene werden dazu ermutigt Probleme mit Unterstützung anzugehen, aber nicht dazu verpflichtet. Dort wo Housing-First bereits praktiziert wird, sind die Ergebnisse überzeugend. Housing-First wurde Anfang der 90er Jahre in den USA entwickelt. In den USA wird es seither in einigen Städten erfolgreich praktiziert. In Deutschland ist der Ansatz noch nicht weit verbreitet. '''Ist eine Triebfeder für Ihr sozialunternehmerisches Engagement auch in den fehlenden Erfolgen der staatlichen Sozial- und Wohnungspolitik zu sehen?''' In jedem Fall. Wir sind bei fiftyfifty zunächst einmal vor allem politisch motiviert, wobei wir inzwischen nicht nur von NRW-Sozialminister Minister Laumann, sondern auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren. Hinzu kommt ein beispielloses Echo in bekannten Leitmedien wie Süddeutsche Zeitung, Zeit online, Stern TV etc. und Fachmedien, durch das wir Housing First bundesweit ins Gespräch gebracht haben. Nicht nur dadurch haben wir umfangreiche Beratungsarbeit bei vielen Trägern der Wohnungslosenhilfe und Kommunen geleistet. Aus eigener Erfahrung und aus zahlreichen Forschungsvorhaben wissen wir, dass Wohnraum in Not geratene Menschen dauerhaft stabilisieren kann – insbesondere dann, wenn der Ansatz Housing first und nicht Housing only lautet. Housing First, wie wir es praktizieren, bedeutet, dass Obdachlose direkt von der Straße in Wohnungen gebracht und zudem professionell betreut werden. Dazu gehören auch tagesstrukturierende Maßnahmen, damit am Ende einer möglichen Vereinsamung in der neuen Wohnung vorgebeugt wird. Für die Politik liegt ein wesentlicher Vorteil des Housing First-Projekts darin, dass die Kosten für die jeweilige Kommune gleich null sind, d. h. unser Modell der Bekämpfung von Obdachlosigkeit kostet die Städte und Gemeinden quasi nichts. Die Düsseldorfer Wohnungsbaugesellschaft SWD etwa verfügt über 9.000 Wohnungen. Würde die Stadt aus diesem Kontingent die ca. 300 benötigten Wohnungen für etwa 300 Straßenwohnungslose, die es in der Landeshauptstadt gibt – ein Großteil der Wohnungslosen wird in diversen Notunterkünften und nicht dauerhaften Betreuungseinrichtungen mehr oder weniger gut versorgt – zur Verfügung stellen, würde die Miete über Transferleistungen gesichert. Und die Betreuung würden Verbände wie die Diakonie oder andere wahrnehmen, über Fachleistungsstunden, die beim Landschaftsverband abgerechnet werden. Die Landschaftsverbände finanzieren sich über kommunale Umlagen, die Städte wie Düsseldorf sowieso zahlen – ob sie Housing First anbieten oder nicht. '''Welche Hindernisse gab es zu überwinden?''' In der Entstehungsphase war ein Hindernis die Schaffung einer funktionsfähigen Organisationsstruktur, wobei wir das weitestgehend aus dem etablierten fiftyfifty-Team stemmen konnten. Aber wir mussten uns sehr engagiert der Mittelbeschaffung widmen, d. h. auch bei Housing First stand am Anfang die Finanzierungsfrage, da wir die Wohnungskäufe nicht kreditbasiert finanzieren wollten, sondern diese bis heute über unsere Einnahmen aus dem Verkauf von Kunstwerken finanzieren, die wir in unserer Benefiz-Galerie verkaufen. Dort unterstützen uns etwa Gerhard Richter, Thomas Ruff, Andreas Gursky, Katharina Mayer und viele andere bedeutende Künstlerinnen und Künstler. Zu überwinden war auch die Skepsis im Team, ob in Düsseldorf überhaupt adäquate Wohnungen zu finden wären und ob Eigentümer an fiftyfifty verkaufen würden. Die Realität hat uns Lügen gestraft: Mittlerweile bekommen wir sogar Wohnungsangebote von sympathisierenden Eigentümern und Maklern, bevor diese auf dem Markt angeboten werden. '''Wie bewerten Sie ihre Arbeit nach nunmehr vier Jahren?''' Das Start-up war ein voller Erfolg: Nachdem wir schon viele Wohnungslose über die Erlöse aus den fiftyfifty-Verkäufen von der Straße holen konnten, sind wir dann mit Housing First und der Housing-First-Fonds-Gründung – zusammen mit dem Paritätischen Wohlfahrtsverband – im Jahre 2018 noch weitergegangen: Hatten wir bei fiftyfifty schon über 60 Menschen von der Straße geholt, so waren es über den NRW-weit tätigen Fonds zusätzlich noch 67 bei 22 Trägern in 14 Städten, für die wir Wohnraum erschließen konnten. Die ehemals Obdachlosen kommen selbst für die Miete auf, die sie zumeist über Leistungsbezug finanzieren. Die Einnahmen aus dem Verkauf von fiftyfifty oder den Spendengeldern bei alternativen Stadtführungen, die sie durchführen, kommen oft noch hinzu. Denn viele von ihnen arbeiten inzwischen als Stadtführerinnen und -stadtführer. Manche sind sogar wieder in regulärer Arbeit. Aber natürlich müssen wir uns auch immer wieder die Risiken vor Augen führen. Die Null-Zins-Politik wird die Immobilienpreise weiter steigen lassen; die Flucht ins „Beton-Gold“ ist ja allerorten zu beobachten. Derzeit kursiert in unserem Beirat sogar die Idee, eine Sozialbank im Sinne unserer Zwecke zu gründen, um der Genossenschaftsidee mit größerem Kapitaleinsatz Geltung verschaffen zu können. Wichtiger aber ist aus meiner Sicht, sich einzumischen und Druck zu machen, damit mehr Wohnungen für Benachteiligte und insbesondere Obdachlose gebaut und zur Verfügung gestellt werden. Das Beispiel Finnland zeigt: Zumindest die Straßenobdachlosigkeit kann überwunden werden. Auch in Deutschland. Es ist eine Frage des politischen Willens. - Das Gespräch führte Tim Engartner. Er ist Professor für Didaktik der Sozialwissenschaften und Mitglied des Direktoriums der Akademie für Bildungsforschung und Lehrerbildung an der Goethe-Universität Frankfurt am Main.'' [https://www.freitag.de/autoren/der-freitag/obdachlosigkeit-kann-ueberwunden-werden?fbclid=IwAR209nCDafyiJ0oGTcAxs2BJdZM897_pLC5ue8ln2S_o1zvP1uc-d8bO4JU „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“. Interview. Hubert Ostendorf, Gründer des Düsseldorfer Straßenmagazins „fiftyfifty“, spricht über den Housing First-Ansatz, mit dem Wohnraum für Wohnungslose geschaffen wird] Von Tim Engartner. Der Freitag vom 16.? September 2020 (38?/2020) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:59, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Zitat: "Obdachlosigkeit kann überwunden werden" Es ist bezeichnend für ein angeblich "christliches", "zivilisiertes" und "kultiviertes" Land wie Deutschland mit angeblich "gebildeten" Bürgern, dass man eine Tatsache wie „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“ im Jahr 2020 als Überschrift in einem Artikel hervorheben muss. Nach dem verlorenen Zweiten Weltkrieg, als viele Städte hierzulande in Trümmern lagen und es in Deutschland Millionen Obdach- bzw. Wohnungslose gab, war das möglich. Und heutzutage sollte das nicht möglich sein? Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand im Jahre 2020 sind zwar auch die neoliberal-konservativen und pseudo-sozialdemokratischen Politiker in diesem unserem "christlichen" Lande. Wenn sich Spekulanten, die sich an den Finanzmärkten beim Milliardenpoker verzocken, dann werden von "christlichen" und "konservativen" Politikern binnen weniger Tage 500 Milliarden Euro für "notleidende Banken" aus dem Hut gezaubert. Aber für Obdachlose sind nicht einmal ein paar lausige Millionen da. Wegschauen ist eben viel billiger. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber auch die vielen Speichellecker, Arschkriecher und Hofberichterstatter in den Medien, die vom angeblichen "Linksruck" in Deutschland faseln und das Problem entweder ignorieren oder mit anderen Themen davon ablenken. Es würde mich nicht wundern, wenn demnächst ein professoraler "Experte" in den Tagesthemen oder im heute-journal erzählt, dass der russische Präsident Putin für die Wohnungsnot in Deutschland verantwortlich wäre. Wenn es nach der Bild-Zeitung geht, ist Putin Schuld daran, wenn es drei Monate lang nicht regnet und wenn es drei Monate lang regnet, dann ist Putin auch Schuld daran. Putin ist nämlich nicht nur Schuld an der Klimaveränderung, sondern auch für den täglichen Stau auf deutschen Straßen und dem Corona-Virus (ACHTUNG: Verschwörungstheorie!) Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand sind auch neoliberale Wirtschaftsprofessoren an deutschen Universitäten und Hochschulen, die seit Jahren das Dogma vom effizienten Markt predigen, der am Ende alles zum Besten regelt, wenn sich der Staat aus der Politik raushält. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber vor allem die ignoranten, arroganten, dekadenten, scheinheiligen, verlogenen und opportunistischen (Mit-)Bürger in diesem Lande, die diese neoliberal-konservativen Politiker und Parteien in den letzten Jahrzehnten gewählt haben und immer noch wählen. Und was sagen die "heilige" Angela von Merkel und der "christliche" Kronprinz von Großbayern, Dr. Markus Söder, zu diesem Problem? Ganz einfach: Nix! Wenn man mit dem Helikopter über das Land schwebt, sieht man die "Penner" bzw. "Wohnsitzlosen" (wie die formal-juristische korrekte Bezeichnung in unserem Sozialstaat lautet) da unten nicht. Zitat: "... wobei wir inzwischen ... auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren." Wenn es um Obdachlosigkeit bzw. Wohnungsnot geht, machen die Nationalisten, Sozialdarwinisten und rechten "Patrioten", die Tage ein Tag aus mit der Deutschlandfahne herumwedeln, offenkundig keinen Unterschied zwischen reinrassigen Deutschen und Ausländern bzw. Migranten. Für "aufrechte" und "saubere" Deutsche waren und sind Obdachlose eben keine Menschen mit Würde, sondern sozialer Abfall.'' Kommentar Christian Brecht, 16. September 2020 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:02, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Obdachlosigkeit ist ein sehr vielschichtiges Problem und ist meistens in der Biografie / Famile der Betroffenen selber zu finden. Betrachtet man z. B. zerrüttete / problematische Familien über Generationen hinweg, dann wird schnell einmal klar, dass bestimmte Menschen sozusagen von Geburt an einem höheren, sozialen Risiko ausgesetzt sind. Eine weitere Gruppe von Obdachlosen stellen Menschen mit schweren psychischen Problemen dar (z. B. bi-polare Störung). Da bei ihnen häufig ein problematisches Sozialverhalten vorliegt, ist auch die Wahrscheinlichkeit gross, eines Tages „in der Gosse zu landen“. Häufig gesellen sich hier noch Suchtproblematiken aller Arten dazu. Die dritte Gruppe sind natürlich Zugewanderte (v. a. Asylsuchende). Natürlich sind auch Mischformen dieser drei Gruppen auf der Strasse anzutreffen. Auf jeden Fall bewirkt die Obdachlosigkeit bei den Betroffenen ein lebenslanges Trauma. Man kann einen Menschen zwar von der Strasse holen, aber die Strasse nie mehr aus ihm heraus. Ob sich Menschen dauerhaft resozialisieren lassen, ist eine weitere, wichtige Frage: Voraussetzung dafür wäre, dass sie überhaupt schon einmal sozialisiert waren, d. h. gesellschaftlich voll integriert. Das ist insbesondere bei langjährigen Drohensüchtigen schwierig. Auf jeden Fall wünsche ich „fiftyfifty“ viel Glück und Erfolg!'' Kommentar Reinkarnation, 16. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:04, 20. Sep. 2020 (CEST) == 20. neunerhaus Kunstauktion (Wien) == Mitbieten und helfen: Die neunerhaus Kunstauktion bietet DIE Gelegenheit, Kunst zu erwerben und obdach- und wohnungslose Menschen zu unterstützen. Der Reinerlös fließt direkt in die neunerhaus Angebote. Trotz herausfordernder Umstände haben uns für die diesjährige neunerhaus Kunstauktion mehr als 170 renommierte zeitgenössische KünstlerInnen ihre Werke gespendet, damit wir den Reinerlös für unsere Arbeit einsetzen können. Damit diese Kunst nun Gutes tun kann, brauchen wir eure Unterstützung: Steigert mit, teilt die Auktion mit kunstinteressierten FreundInnen. Denn jeder Zuschlag hilft uns, weiter für jene da zu sein, die unsere Hilfe brauchen! https://www.facebook.com/events/2750368081917767/ Die 20. neunerhaus Kunstauktion am 2.11.2020 war ein großartiger Erfolg. Vielen Dank! Nutzen Sie jetzt noch die Chance und erwerben Sie eines der unverkauften Bilder im Nachverkauf. Sie können die verfügbaren Werke ab 7.12.2020 in der Galerie der Rahmenmanufaktur Wohlleb, Seidlgasse 23, 1030 Wien, Montag bis Freitag zwischen 10:00 und 18.00 Uhr oder Samstag 10.00 bis 12.00 Uhr besichtigen. Bei Interesse wenden Sie sich bitte an Michael Walk https://www.neunerhaus.at/kunstauktion/?fbclid=IwAR2bBPxVm_bAqGZUeieJOpqoYVcOTgSvulJ4Ndu765t3CV-MtQNlABAVjGM n drei Wohnhäusern und über 250 Wohnungen in ganz Wien leben mehr als 800 ehemals obdach- und wohnungslose Menschen jährlich. Über 5.000 Menschen versorgt neunerhaus mit dem neunerhaus Gesundheitszentrum pro Jahr – Tendenz steigend. neunerhaus ist eine Sozialorganisation in Wien. neunerhaus ermöglicht obdachlosen und armutsgefährdeten Menschen ein selbstbestimmtes und menschenwürdiges Leben mit Medizinischer Versorgung, Wohnen und Beratung. Ziel ist es, Betroffenen Hilfe zur Selbsthilfe zu geben, um ihre Lebenssituation nachhaltig zu verbessern. neunerhaus engagiert sich gegen die Ausgrenzung wohnungsloser Menschen. Holen Sie Menschen von der Straße, bevor sie ein Teil davon werden. Wohnen ist ein grundlegendes Menschenrecht. Jeder Mensch hat das Recht auf ein menschenwürdiges Leben. Aber nicht jeder hat ein Zuhause. https://www.neunerhaus.at/ == Frankfurter Kunststation == ''Ein Türsteher, eine Gästeliste, zugewiesene Plätze und eine Begrüßung in der Kirche: Einiges war anders beim diesjährigen Sommerfest für die ehrenamtlichen Mitarbeiter des Franziskustreffs. Um 17.00 Uhr begrüßte Bruder Michael die Ehrenamtlichen in Liebfrauen. Großzügig hatte man sich in der Kirche verteilt. Der obligatorische Jahresrückblick war natürlich von den schwierigen letzten Monaten geprägt. Und doch voller guter Neuigkeiten: Mitten in der Krise verteilt, war der Beileger „Corona: Alle bleiben zu Hause, aber wir haben keines“, die bisher erfolgreichste Spendensammlung des Franziskustreffs. Und es folgten weitere gute Nachrichten: Im September 2020 startet die Franziskustreff Stiftung ein kleines '''Kunst-Projekt'''. Mitten in Frankfurt, in bester Innenstadtlage werden wir '''Obdachlosigkeit und Kultur''' in einer ganz neuen Art und Weise zusammenführen. Zudem hat die Stiftung eine gemeinnützige GmbH gegründet. Diese wird Obdachlose in eigene Wohnungen bringen. Die Idee ist, wie Bruder Michael betonte, noch ein „sehr zartes Pflänzchen“. Doch sie wird in Frankfurt bestimmt für einige Aufmerksamkeit sorgen und hoffentlich feste Wurzeln schlagen.'' [https://www.franziskustreff.de/franziskustreff/aktuelles-aus-dem-franziskustreff/sommerfest/ EIN SOMMERFEST FÜRS EHRENAMT] Webseite des Franziskustreffs --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:20, 13. Sep. 2020 (CEST) ''Schätzungen der Wohnungslosenhilfe gehen davon aus, dass rund 550.000 Menschen in Deutschland kein festes Dach über dem Kopf haben. Die Dunkelziffer ist vermutlich höher. Bruder Paulus kümmert sich um einen Teil dieser Menschen. DOMRADIO.DE: '''Für viele Menschen ist wohnungslos und obdachlos der gleiche Begriff. Warum ist das nicht dasselbe?''' Bruder Paulus Terwitte OFMCap (Kapuzinerbruder und Vorstand der Franziskustreff-Stiftung in Frankfurt): Menschen, die wohnungslos sind, haben keinen eigenen Mietvertrag. Sie leben entweder bei Freunden oder haben eine vom Staat zugewiesene Einrichtung in der Stadt. In Frankfurt zum Beispiel leben über 2.000 Menschen in Hotels und anderen Einrichtungen. Das sind Menschen, die zwar irgendwie wohnen, aber am Ende keinen eigenen Mietvertrag haben. Im Unterschied dazu gibt es Obdachlose. Diese Menschen haben dann tatsächlich auch solche Einrichtungen nicht oder wollen dort nicht sein. Sie schlafen beispielsweise in Notbetten in den Notunterkünften. Laut Gesetz steht in Deutschland jedem Menschen ein Bett zu. Aber manche Obdachlose nehmen auch diese Hilfe nicht an und bleiben draußen. Sie möchten ihre Daten nicht angeben und anonym bleiben. In Frankfurt gehen wir von 2.800 obdachlosen Menschen aus, von denen 400 unter freiem Himmel schlafen. DOMRADIO.DE: '''In welcher Form engagieren Sie sich für Wohnungs- und Obdachlose im Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt?''' Bruder Paulus: An der Liebfrauenkirche und am Kapuziner Kloster hat der Kapuzinerbruder Wendelin vor über 25 Jahren einen Frühstückstreff eingerichtet. Jeden Morgen können hier Menschen von 7.45 Uhr bis 11.15 Uhr frühstücken. Normalerweise haben wir 32 Plätzen für 190 Leute. Jetzt in der Corona-Zeit haben wir nur noch zwölf Plätze und die Leute dürfen nur noch 15 Minuten bleiben. Das sind immer noch 130 Menschen, denen wir hier ein Frühstück, Gastfreundschaft und franziskanische Brüderlichkeit anbieten. Wir haben über 60 Ehrenamtliche, die sich engagieren. Dazu bieten wir eine Sozialberatung an. Das alles ist von Spendengeldern getragen. Darüber hinaus mieten wir Wohnungen an, damit wir einigen unserer Gäste sagen können: Versuch das doch mal wieder mit dem Wohnen. Neu ist unsere '''Kunststation'''. Wir glauben, dass obdachlose Menschen vor allen Dingen eine Begegnung auf Augenhöhe brauchen. Wir müssen in der Gesellschaft ein Gespräch beginnen, dass Obdachlosigkeit viel früher beginnt: Sei es durch fehlende Miete oder eine Wohnung, dadurch dass der Partner weggeht oder verstirbt oder durch Arbeitslosigkeit und Krankheit. In der Corona-Pandemie sagen auch sehr viele Menschen, dass sie eigentlich in dieser Welt gar nicht mehr zu Hause sind. DOMRADIO.DE: '''An der Kunststation ist die Franziskustreff-Stiftung auch beteiligt. Was hat diese Kunststation konkret mit der Situation der Wohnungslosen zu tun?''' Bruder Paulus: Sie ist direkt in der Innenstadt, wo ganz viele Obdachlose hausen. Ich habe einen Kulturleiter gefunden, der sehr nah an diesen Menschen ist, der sich in der Stadtszene sehr gut auskennt und auch in der Kunstszene gut vernetzt ist. Er hat sehr viel Freude daran, mit uns zusammen unseren obdachlosen Menschen zu sagen: Hey, guckt doch mal, ob ihr euch ansprechen lasst mit euren kreativen Möglichkeiten. Unsererseits wollen wir Kunstprojekte initiieren, die zeigen, dass Menschen am Rande eigentlich Schätze in unserer Gesellschaft sind. Darum ist diese Galerie in einem ehemaligen Juwelier-Shop untergebracht, den wir angemietet haben. Wir zeigen Schätze von Menschen, die sonst am Rande sind. Im Moment läuft eine 14-tägige Ausstellung von zwei jungen Frauen, die für Menschen mit geistiger Beeinträchtigung ein Daumenkino geschaffen haben, in dem 100 Begriffe dargestellt werden. Unter unseren Gästen sind selber Künstler und wir hoffen, dass sie sich anregen lassen, weil sie jetzt einen eigenen Ausstellungsraum haben. DOMRADIO.DE: '''Für viele Wohnungs- und Obdachlose ist es eine große Überwindung, zu ihnen zu kommen und diese Hilfe anzunehmen. Wie versuchen Sie, den Menschen hier Mut und Selbstvertrauen zu geben?''' Bruder Paulus: Indem wir ihnen einfach als Mitmenschen begegnen, die eine eigene Lebensgeschichte haben und die keine Hilfe wollen, sondern möchten, dass wir ihnen erst mal auf Augenhöhe begegnen und sie ernst nehmen. Das kennt jeder aus seinem eigenen Leben, dass wir es eigentlich nicht gerne haben, dass Leute von außen kommen und sagen: Du, ich habe da was gesehen, ich muss dir mal helfen. Jeder Mensch hat eine Autorität, wie er sein Leben gestaltet und kann sagen: Ich will jetzt einfach nicht mehr dieses und jenes. Ich habe die Schnauze voll von Schuldnern und von Menschen, denen ich etwas schulde. Ich will ordentlich behandelt werden. Diese Menschen brauchen eine offene und klare Begegnung, ein echtes Wort. Wir sagen bei uns eine Nächstenliebe, die es ehrlich meint, eine Liebe, die auch Wahrheit und Gerechtigkeit mit ins Feld führt. Deswegen versuchen wir auch, ehrliche und klare Gespräche mit diesen Menschen zu führen, damit sie zur Quelle ihrer Kraft finden. Das Interview führte Katharina Geiger.'' [https://www.domradio.de/themen/soziales/2020-09-11/jeder-mensch-hat-autoritaet-ueber-sein-leben-franziskustreff-stiftung-fuer-offene-begegnung-mit?fbclid=IwAR3PNJZm4h2mPoFYNBv7c242UX1yFdw8Jkl_Gwhzbxq4jZ1GlnvHmyba1bU Franziskustreff-Stiftung für offene Begegnung mit Wohnungslosen "Jeder Mensch hat Autorität über sein Leben"] Domradio vom 11. September 2020. ''Der Franziskustreff: Der Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt bietet wohnungslosen und armen Mitmenschen Frühstück und Sozialberatung an. Täglich kommen nach Angaben des Franziskustreffs bis zu 190 Gäste für die Mahlzeit. Derzeit unterstützen rund 60 ehrenamtlichen Helferinnen und Helfern den Treff. Sie bedienen die Gäste, helfen bei der Vorbereitung des Frühstücks und beim Abwaschen und Aufräumen. Eröffnet wurde der Franziskustreff 1992 von Bruder Wendelin Gerigk am Kapuzinerkloster Liebfrauen in Frankfurt am Main. Ihm sei wichtig gewesen, dass es an diesem Ort immer einen offenen Raum für arme und obdachlose Menschen geben möge, schreibt die Stiftung auf ihrer Homepage. Spenderinnen und Spender unterstützen seither das von Bruder Wendelin gegründete Werk. Derzeit steht Bruder Paulus Terwitte der Stiftung vor und Bruder Michael Wies leitet den Treff. (DR/ Stand: 11.09.2020)'' --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:41, 13. Sep. 2020 (CEST) == OSTRALE == [https://pieschen-aktuell.de/2020/ein-kunstgarten-fuer-uebigau/ Ein Kunstgarten für Übigau.] Pieschen aktuell 6. November 2020 von Elisabeth Renneberg Bild: Die Ostrale hat dieses Jahr Haus und Garten in Übigau bezogen. Alle Fotos: E. Renneberg Dieses Jahr ist die Ostrale, das Zentrum für zeitgenössische Kunst, nach Übigau umgezogen. Das ehemalige Atelierhaus von Eberhard Bosslet an der Rethelstraße beheimatet nun eine Menge Kunst nebst Werkstätten, Büros und einer Künstlerwohnung. Dahinter erstreckt sich eine Grünfläche, die nicht nur auf die Elbe hinausblickt, sondern auch auf eine spannende Zukunft. Hier soll ein ökologischer Garten entstehen – als sozialer und kultureller Ort. Bild: Momentan ist der Garten noch wild und naturbelassen. ;Diskurs über Nachhaltigkeit Das Konzept dafür wird gemeinsam von Umweltexperten, Künstlerinnen aus verschiedenen Ländern und Menschen aus dem Stadtviertel erarbeitet. Letztere einzubeziehen ist ein wichtiges Anliegen des Projekts; das Mitgestalten des eigenen Lebensraums wird so zum demokratischen Prozess und lässt Raum für persönliche Bedürfnisse. Der erste Schritt war daher, an die Türen in der Nachbarschaft zu klopfen und Kontakte zu knüpfen. Auf diese Weise konnte zum Beispiel die Stadtentwässerung Dresden als Kooperationspartnerin gewonnen werden, die über wertvolles Fachwissen rund ums Thema Wasser und dessen Bedeutung für die Umwelt verfügt. Bild: Direkt an der Elbe liegt der zukünftige Kunstgarten. Für die Verbindung der Themen Nachhaltigkeit und Kunst ist ein Team aus einer deutschen und einer tschechischen Künstlerin sowie je zwei Studierenden der Kunsthochschulen in Dresden und Breslau zuständig. Sie machen sich unter anderem Gedanken über Ressourcen, wie etwa die Farbe zum Malen natürlich gewonnen werden kann. Die Ergebnisse ihrer Recherchen und Ideen geben sie in Workshops weiter an Kinder aus dem Kinderhaus Sonnenschein – auch ein durch Anklopfen zustande gekommener Kontakt. Zwei Workshops konnten bisher stattfinden und sind auf allgemeine Begeisterung gestoßen. ;Eine Verbindung zwischen Kunst und Sozialem „Es ist uns wichtig, von Anfang an ein Gefühl der Zugehörigkeit und der persönlichen Verantwortung zu vermitteln“, erklärt Projektleiterin Giulia Deidda. Die gebürtige Italienerin stieg ursprünglich als Bundesfreiwillige ins Team der Ostrale ein und ist mit vollem Einsatz dabei. Aufgewachsen in einer Kleinstadt mit historischer Ausgrabungsstätte an der sardinischen Küste, entdeckte sie schon früh ihre Liebe zur Kunst und widmete sich zunächst der Archäologie. Im Laufe der Zeit wurde dann der Wunsch, Kunst und Soziales zu verbinden, immer lauter. Bild: Giulia Deidda leitet das Projekt mit Begeisterung und Elan. So zog Giulia in die Niederlande, um dort soziale Inklusion im Kulturbereich zu studieren. Nach dem Leben in sieben unterschiedlichen Ländern ist sie mittlerweile in Dresden gelandet. Ihre Leidenschaft hat sich erhalten: „Mein größter Wunsch ist es, Kunst allen, und wirklich allen, zugänglich zu machen.“ Für das Ziel, die klassische Zielgruppe aufzubrechen, ist die OSTRALE die richtige Adresse, sieht sie in der Kunst doch das Mittel zur Kommunikation und zur Aufarbeitung gesellschaftlicher Themen. ;Ausblick auf die nächsten Schritte Der Kunstgarten schließlich darf diese Vision mit verwirklichen. Nach dem erfolgreichen Start mit den Kindern sollen immer mehr Anwohner*innen von der Botschaft erreicht werden, dass Kunst für alle da ist. Und natürlich auch mit dem Angebot eines Aufenthalts- und Begegnungsortes, der mitgestaltet werden kann, und an dem langfristig Veranstaltungen wie Workshops, Lesungen oder gemeinsames Kochen stattfinden sollen. Bild: Auch in den Innenräumen ist Platz für Veranstaltungen. Die konkrete Gestalt dieses Ortes ist noch in der Planung. Denkbar ist zum Beispiel ein Barockgarten, mit geometrischen Formen und Skulpturen aus natürlichen Materialien. Das Nutzen vorhandener Ressourcen wie zum Beispiel Sand aus der Elbe. Die Ideen müssen noch überprüft, entwickelt, ausgetauscht werden. Wie gesagt mit dem Augenmerk auf Nachhaltigkeit und unter Einbezug der Nachbarschaft. Anfang Oktober hatte Ostrale-Vorstandsvorsitzende Andrea Hilger das Konzept im Stadtbezirksbeirat Pieschen vorgestellt. Die Beiräte stimmten einer Förderung mehrheitlich zu. Bleibt also, gespannt zu sein, was sich in den nächsten Monaten auf dem Grundstück im beschaulichen Übigau entwickeln wird. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:18, 8. Nov. 2020 (CET) == Eberhard Bosslet == [[w:de:Eberhard Bosslet]] === Übersicht === Installation / Objektkunst, Skulptur, Malerei, Lichtinstallation, Land Art * 1953 Gruppen: Material & Wirkung Berlin Vita EBERHARD BOSSLET geboren 1953 in Speyer, lebt in Berlin 1997 bis März 2019 Professor für Skulptur und Raumkonzepte an der HfBK Dresden seit 1981 Mitglied bei Material & Wirkung sowie temporäre Aufenthalte in Spanien 1987 documenta 8, Kassel (Katalog) und Bremer Kunstpreis (Katalog) Einzelausstellungen: (Auswahl) * seit 1981 Interventionen im Öffentlichen Raum. * 1985 Intervenciónes/Interventionen, Fundación Miró, Barcelona; ES(Katalog) *1986 Wilhelm-Lehmbruck-Museum, Duisburg, D (Katalog). *1987 Heidelberger Kunstverein, D (Katalog). *1988 John Gibson Gallery, New York, USA. *1989 Neue Nationalgalerie Berlin, D, (Katalog). *1990 John Gibson Gallery, New York, USA *1993 Kunsthal Rotterdam, Holland (Katalog) *1994 Öffentliche Ordnung, Kunstverein Speyer, D (Katalog) *1995 Interventionen II, VERBAU, Sprengel Museum Hannover,D (Katalog) *1995 PLANEN, Kunstverein Heilbronn, (Katalog) *1998 Fundamental wie Bilateral, Kunsthalle Mannheim, D (CD-ROM) *2000 Trabanten, Galerie Bochynek, Düsseldorf, D *2000 John Gibson Gallery, NY, USA *2002 Analoge Scheiben, Galerie Bochynek Düsseldorf, D *2004 Künstlerhaus Bregenz, Palais Thurn und Taxis, A *2006 Galerie der Stadt Backnang, D (Katalog) *2007 Stadtgalerie Saarbrücken, D (Katalog) *2009 Additive, Kunstverein Ingolstadt, D , (CD-ROM mit booklet in softbox) *2010 Stump Stools, Humboldt-Universität Berlin, Thaer-Saal, Berlin, D *2011 Stump Stools, Lichthof im Albertinum Dresden, Dresden, D *2012 Dingsda, Saarlandmuseeum Saarbrücken, Katalog, D (Katalog) *2013 Heimleuchten Trier, Kunstverein Trier – Junge Kunst, D, CD-ROM mit booklet in softbox) *2014 Chisme – Heavy Duty, TEA Tenerife Espacio de las Artes, Santa Cruz de Tenerife, ES, Katalog Ausstellungsbeteiligungen: (Auswahl) *1987 documenta 8, Kassel, D (Katalog) *1987 Bremer Kunstpreis 1987, Kunsthalle Bremen, D (Katalog). *1988 Spaces 88, Museo d'arte contemporanea Prato, Italia, (Katalog). *1989 D & S Ausstellung, Hamburger Kunstverein, D (Katalog). *1991 EUROCARD,John Gibson Gallery, New York, USA. *1992 Kunst werkt / Art works, Foundation, Stedelijk Museum Amsterdam,NL, (Katalog) *1992 Humpty Dumty's Kaleidoscope, Museum of Contemporary Art, Sydney, Australia, (Katalog) *1993 Eberhard Bosslet & Lawrence Gipe, Düsseldorfer Kunstverein, D, (Katalog). *1998 Material & Wirkung, Bosslet, Klotz, Sattel, Kunsthaus Dresden, D , (Katalog) *1999 Areale – Kunst im Industriellen Sektor, Brück/Linthe, D, (Katalog) *2000 Kabinett der Zeichnung, Kunstverein Düsseldorf, D *2001 Skulpturenufer Remagen, Regenfänger, D *2002 unexpected selection from the martin z.margulies collection, The Art Museum Miami, FL USA (Katalog) *2004 Worldwatchers, Kunsthaus Dresden, Städtische Galerie für Gegenwartskunst, D *2007 1 plus aus Dresden, Schloss Waldthausen/Mainz, D *2008 Ostrale 08, Zentrum für zeitgenössische Kunst, Dresden, D 2. Bienal de Canarias, Arte, Arquitectura y Paisaje, La Regenta, Las Palmas Gran Canaria, ES (Katalog) „berufen“, Hochschule für Bildende Künste Dresden, D *2009 Ostrale 09, Ausstellung internationaler zeitgenössicher Künste Dresden, D 1.Biennale für Internationale Lichtkunst Ruhr, Unna, D, (Katalog) *2010 Kunstmuseum Mühlheim, Liebhaberstücke, D, 11.09.2010-07.11.2010 *2011 Universum, Temporärer Kunstraum Harkort, Leipzig, D (Katalog) Kunst in der Villa Körbling, Speyer, D; End of the dream, MiccMoco, Berlin, D *2012 Participar, El Matadero, Goethe Institut Madrid , ES 2nd Ural Industrial Biennial of Contemporary Art, Ekaterinburg, RUS (Katalog) *2015 Living Large, Tucson Museum of Art, Tucson Arizona, USA *2016 Luminale Frankfurt am Main, D *2016 Ostrale weht Oder, Breslau/Wroclaw, PL *2017 Espacio P, Ca2M, Madrid, ES, Best of Ruhrgebiet , Galerie Frank Schlag, Essen, D Werke im öffentlichen Raum: *seit 1981 Interventionen im öffentlichen Raum *seit 2000 Gesamtgestaltung des U-Bahnhof, Duisburg-Meiderich, „Auf dem Damm“, D *seit 2001 Turmskulptur „Regenfänger“, Yachthafen Oberwinter/Remagen am Rhein, Skulpturenufer Remagen, Arp Museum - Bahnhof Rolandseck, D * seit 2008 - Inselwachstum, TU Chemnitz Institut für Physik und Reinraum, D Bibliografie: Auswahl Monografien *Picazo Gloria¸ Camps Miro: Eberhard Bosslet Intervenciones/Interventionen, Katalog der Fundación Miró, Barcelona 1985. *Gercke, Hans; Messler, Norbert; Stecker, Raimund: Eberhard Bosslet, Katalog des Heidelberger Kunstvereins, Heidelberg 1987. *Schmitz, Britta: Eberhard Bosslet, Katalog der Neuen Nationalgalerie Berlin, 1989. *Bochynek, Martin: Eberhard Bosslet, Katalog der Kunsthal Rotterdam 1993. *Seifermann, Ellen; Bochynek, Martin: Eberhard Bosslet - Malerei, Katalog PLANEN des Heilbronner Kunstvereins 1995 *Meyer-Büser, Susanne: Eberhard Bosslet, Interventionen II, Katalog des Sprengel Museums Hannover, 1995 * Bosslet-Archiv , CD-ROM für PC Werksverzeichnis von 1979 bis 2003, Kunsthalle Mannheim 2000, 3. erg. u. überarb. Ausg. 2003 * Utheman, Ernst W., Eberhard Bosslet, Work Groups, Katalog der Stadtgalerie Saarbrücken, 2007 * Findeisen, Ralf; Gisbourne, Mark; Grewenig, Meinrad Maria; Schütze, Irene; Katalog des Saarland.Museum Saarbrücken, 2012 * Bosslet, Eberhard; Findeisen, Ralf; Janecke, Christian; Britto, Orlando; Hernandez, Celestino, Krawietz, Alejandro; Picaso, Gloria: Miro, Theresa, DE, EN, ES, in Obras en Espana 1982-2012, extraverlag, Berlin 2014 * Gisbourn, Mark; Chisme – Heavy Duty, ES,DE, Katalog des TEA Santa Cruz de Tenerife, Spanien Internet: * www.bosslet.com * https://artmap.com/eberhardbosslet * https://instagram.com/bosslet.de/ Videos: * http://www.bosslet.com/exhibition-videos.html Eberhard Bosslet (geb.1953 in Speyer) Bosslet studierte Malerei bei Raimund Girke an der Hochschule der Künste Berlin von 1975 bis 1982. Ende der 70er Jahre wandte er sich in Installationen und mit Skulpturen verstärkt dem Dreidimensionalen zu. Das Spektrum der Arbeiten von Eberhard Bosslet umfasst Malerei, Skulptur, Installation, Intervention und Fotografie. Seit Anfang der 80er Jahre aktualisierte er mit seinen Eingriffen in den architektonischen Innen- und Außenraum den Begriff der Intervention. Bosslets dreidimensionales Werk beschäftigt sich auf ganz unterschiedlicher Weise mit den Bedingungen des Bauens und des Wohnens, mit Außen und Innen, privaten und öffentlichen Räumen. Alle Werke für institutionelle Ausstellung werden von Eberhard Bosslet für diese spezifischen Räumlichkeiten konzipiert und vor Ort mit Hilfe von lokalen Sponsoren und Leihgebern von Material und Gerätschaften realisiert. Die Werke basieren auf unterschiedlichen Konzeptionen. Sie werden von Fall zu Fall modifiziert und ähnlich einer Musik Komposition neu interpretiert. Diese inszenierten und installierten Werke bekommen am Ort ihrer neuen Aufführung eine raumbezogene neue Dimension und einen Wandel in der Materialität durch die vor Ort verfügbaren, ausgeliehenen Dinge und Gerätschaften. Sofern diese Werke nicht im Laufe der Ausstellung von jemanden erworben werden, gehen alle Werkbestandteile an den Ort ihrer Herkunft zurück. Mit diesen Werken begründete er seinen internationalen Ruf. https://www.bbk-kulturwerk.de/kioer/kuenstlerdatenbank/profil/eberhard-eberhard-bosslet --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:21, 9. Nov. 2020 (CET) === Intervention === [[w:de:Intervention (bildende Kunst)]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Bauzeichnung La Restinga II voll El Hierro 1983.jpg|mini|El Hierro seit 1983]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Bauzeichnung La Restinga II El Hierro 1983.jpg|mini|]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung II Tenerife El Guincho 1984.jpg|mini|El Guincho Teneriffa Süd 1984 Begleiterscheinung II]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung VII 1990.jpg|mini|Teneriffa 1990 Begleiterscheinung VII]] El Hierro sur *Dibuje de Obra, La Restinga II, 1983 *Eberhard Bosslet - Seit 1983 - Arbeiten an Ruinen: sog. "Bauzeichnungen, Reformierungen und Begleiterscheinungen" hierbei Transformierung der Gegebenheiten an Industrie- und Wohngebäuden durch lineare oder flächige Malerei. Commons Duisburg Germany *Intervention Innenhafen Duisburg, 1984 Near Barcelona *intervention on abandoned ruine *Dibujo de obra; Badalona; Spain, 1985 Tenerife Sur *intervention on abandoned ruine *Reformation IV, 1989 http://www.bosslet.com/interventions.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:50, 8. Nov. 2020 (CET) ;Teneriffa 2006 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung X Nord Teneriffa 2006.jpg|mini|Teneriffa Begleiterscheinung X]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung X Süd Teneriffa 2006.jpg|mini|vista sur]] [[File:ReformaVII.JPG|mini|Intervención Reforma VII 2006, en Arico]] Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 *www.germanart.eu *Teneriffa Süd Nähe PIRS/Tajao Exit 19 * Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 - vista norte Südseite * Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 - vista sur http://www.bosslet.com/begleiterscheinung-x.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:13, 8. Nov. 2020 (CET) ;Lanzarote 2008 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung XI Era Lanzarote 2008.jpg|mini|Lanzarote 2008 Begleiterscheinung XI]] Intervention ERA 2, 2008 participando 2009 Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje parte de la Segunda Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje, Google Earth view 2010 Art in Public Space - Intervention ERA 2, 2008 2009 Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje Era 2 vor der Intervention - Tegoyo, Tias Lanzarote public space artist La Era 2 antes de la intervención http://www.bosslet.com/era-ii-2008.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:54, 8. Nov. 2020 (CET) ;Gran Canaria 2009 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Reformirung VII Las Palmas GC 2009.jpg|mini|Reformirung VII Las Palmas GC 2009]] Urbane Erforschung - Seit 1983 - Arbeiten an Ruinen: sog. "Bauzeichnungen, Reformierungen und Begleiterscheinungen" hierbei Transformierung der Gegebenheiten an Industrie- und Wohngebäuden durch lineare oder flächige Malerei. Commons 2. Bienal de Canarias 5.3.09-3.5.2009 , Centro de Arte La Regenta - Las Palmas de Gran Canaria Neu//New/Nuevo Street View 360° at Google Earth - Gran Canaria zeigt/shows/muestra EBERHARD BOSSLET Intervention '''Reformation VII''', 2009 - 2. Bienal de Canarias, Gran Canaria Google Earth 28° 7'49.86"N, 15°28'32.66"W http://www.bosslet.com/bienal-canarias-09.html Präsentation: "slideshow" of interventions on flat screen tv on painted wall Eberhard Bosslet - Additive, Kunstverein Ingolstadt, 27.06.-09.08.2009, D "slideshow" of interventions on flat screen tv on painted wall 2. Bienal de Canarias, Arte, Arquitectura y Paisaje, La Regenta, Las Palmas Cran Canaria, 5.3.09-3.5.2009 E http://www.bosslet.com/praesentation.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:43, 8. Nov. 2020 (CET) ;Lanzarote 2011 Concomitancia XIII, Era5/Baxter, 2011, Lanzarote, Tias, Conil, 28°58'17.45"N, 13°39'53.93"W Concomitancia XIII, Era5/Baxter, 2011, Lanzarote, Tias, Conil, 28°58'17.45"N, 13°39'53.93"W http://www.bosslet.com/era-lanzarote-2011.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:58, 8. Nov. 2020 (CET) === Art-loss === Es wird ausdrücklich davor gewarnt das hier genannte und gezeigte WERK EBERHARD BOSSLETs zu kaufen oder auf sonst eine Art und Weise zu erwerben. Das Eigentumsverhältnis dieses Werkes ist umstritten bzw. der Anbieter ist nicht Eigentümer und hat keine Befugnis dieses Werk zum Kauf anzubieten oder auf seine Rechnung zu verkaufen. Sie können daher kein Eigentum an diesem Werk erwerben. Es wird vermutet, daß die hier genannten Personen, bzw. Galerie noch im Besitz des gelisteten und gezeigten Werkes sind. Falls Sie Kenntnis über den Verbleib oder einer Ausstellung des Werkes erlangen, informieren Sie bitte eine der deutschen Galerie des Künstlers. Der letzte bekannte Besitzer/verbleib des Werkes: Karl Bornstein, Santa monica, CA, USA or The Mirage Fund, Fimberg & Wiliams L.P. Mr. Ralf Wiliams, 9777 Wilshire Blvd., Suite 710, Beverly Hills, CA 90212, USA http://www.bosslet.com/art-loss.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:47, 8. Nov. 2020 (CET) === Emeritierung === Sächsische Zeitung vom 25.02.2019 12:00 Uhr [https://www.saechsische.de/plus/eberhard-bosslet-hfbk-dresden-5039640.html Einfach unverbesserlich. Eberhard Bosslet bildete 22 Jahre lang in Dresden junge Künstler aus. Einer von ihnen ist berühmter als der Professor.] Eberhard Bosslet räumt sein HfBK-Atelier in Dresden. Foto: Ronald Bonß Von Birgit Grimm Es hat nicht sollen sein. Die Abschiedsausstellung des Professors für Skulptur und Raumkonzepte an der Dresdner Hochschule für Bildende Künste (HfBK) findet nicht statt. Es liegt nicht daran, dass die Tragfähigkeit des Fußbodens im Oktogon nicht stark genug wäre für das, was Eberhard Bosslet zeigen wollte. Auch hatte er nicht vor, eine Skulptur aus buntem Bauschaum zu erschaffen. Er wollte kein Fahrzeug als Kunstobjekt im Innenhof des Akademiegebäudes an der Brühlschen Terrasse parken und auch nicht einen der Bäume dort mit einem Gartenschlauch umwickeln. Diese Episoden trugen sich alle an der HfBK zu. Manche dieser künstlerischen Ideen wäre gescheitert, wenn Bosslet nicht interveniert hätte. Postfaktische Widrigkeiten nahm der Professor, der nach 22 Jahren emeritiert wird, nicht hin. Er schaltete sich ein, stellte infrage, was da von Rekoptorat oder einzelnen Kollegen infrage gestellt wurde, gab Gutachten in Auftrag. Kunststudenten dürfen nicht machen, was sie wollen. Aber sie sollen sich ausprobieren, Neuland betreten, sich entwickeln. Die meisten, die sich nach dem Abitur oder nach einer Berufsausbildung an der HfBK bewerben, haben ein konservatives Kunstverständnis. „Ich frage meine Studenten, ob ihre Familie sie unterstützt oder es toleriert, dass sie Künstler werden wollen. Noch nie hat mir jemand erzählt, dass seine Eltern ihn regelmäßig in Galerien und Ausstellungen zeitgenössischer Kunst mitgenommen hätten.“ Ihnen zu helfen, dass sie sich zum Zeitgenossen entwickeln, darin sah Bosslet seine Aufgabe. „Aber es gibt so wenige, die unter Innovationsverdacht stehen. Dort, wo man noch nie war, muss man ja auch erst mal hinwollen. Denn das ist kein gemütliches Terrain.“ Überhaupt sei es das Schwierigste, nicht den eigenen Sehnsuchtsmodellen der Vergangenheit anzuhängen. Einer, der Haltung vermittelt Bosslet stammt aus Speyer und ist der Sohn eines Architekten. „Auch bei uns war das Künstlerbild tradiert. Allerdings hatte ich Kandinsky, Miró, Picasso, den Kubismus damals schon verstanden. Trotzdem bin ich durch die Kirchen von Florenz und Venedig gerannt und habe Altarbilder angeschaut. Dass ich am Zeitgeist teilhaben wollte, das merkte ich erst später.“ Auch Bosslets wohl berühmtester Student, der Maler Martin Eder, arbeitet historisierend. „Aber er versteht es, die Grenzen des guten Geschmacks auf eine interessante Weise zu tangieren, sodass sich daran die Geister scheiden. Das macht ihn so zeitgenössisch“, befindet der Lehrer. Er selbst reiste nach dem Studium in West-Berlin Anfang der Achtzigerjahre viel herum, schuf Kunstwerke in der Landschaft: „Wie ein Graffitisprayer, also meistens illegal“, verrät er. Aber auch nachdem er 1997 in Dresden sesshaft geworden war, zog er mit seinen Studenten in die Welt. Dieser Professor kam nicht mit verschränkten Armen in die Klasse, um Korrekturen zu geben. Es war eher eine Haltung, die er durch sein Schaffen und seine Ausstellungen vermittelte. Und es waren praktische Übungen, die den Studenten helfen sollen, sich zu behaupten. „Als ich hier anfing, habe ich einen leeren Raum genutzt, um Projekte zu realisieren. „75Kubik“ hieß das Format. „Als ich das publik machte, hat der damalige Rektor mich zurechtgewiesen, ich hätte nicht die Befugnis, von mir aus damit an die Öffentlichkeit zu treten.“ Hochschulinterne Restriktionen haben ihn nicht davon abgehalten, mit seiner Klasse Ausstellungen innerhalb und außerhalb der Schule, innerhalb und außerhalb Dresdens zu zeigen. „Als ich nach Dresden kam, war ich ein regelrechter Patriot und habe mich total auf die Stadt eingelassen. Viele Jahre habe ich versucht, auszustrahlen. Aber das hat sich nicht gespiegelt. Aus der Stadt kam selten Feedback.“ Wenn hier gebürtige Künstler sich in Dresden nicht wahrgenommen fühlen, sind sie damit nicht allein. Bosslet sagt: „Mal bin ich ein Dresdner Künstler, das nächste Mal bin ich wieder keiner.“ Sein Sohn ist in Dresden aufgewachsen, seine Frau hat hier einen großen Freundeskreis. Trotzdem zog die Familie 2011 nach Berlin. „Ich liebe Dresden, aber ich brauchte physischen Abstand zur Hochschule“, begründet Bosslet diesen Schritt. Er hatte Knatsch mit dem Rektor. Heute soll es vorkommen, dass Professoren und Studenten sich wegen Pegida gegen Dresden entscheiden. Bosslet hat das noch nie gehört. Aber er weiß natürlich, dass bei der Wahl des Studien- und des Arbeitsorts das soziale Umfeld eine Rolle spielt. Hartnäckig und beweglich im Kopf In einem anderen Unterrichtsformat lud seine Klasse Sammler, Galeristen, Journalisten in eine Ausstellung für einen Tag in die Hochschulräume auf der Pfotenhauerstraße ein. Im Zwei-Stunden-Takt diskutierten die Studenten mit je einem Gast ihre Arbeiten. „Nach dem ersten Mal waren die Studenten so scharf drauf, dass sie beim zweiten Mal alles selbst organisiert haben. Das ist der Prozess, den sie üben: Wen lade ich wie ein? Genügt ein Anruf? Oder sollte ich doch lieber schreiben? Was muss ich schreiben, wie formulieren? Hake ich noch mal nach, wenn keine Antwort kommt?“ Wer Künstler sein will, muss nicht nur hartnäckig sein, sondern auch beweglich im Kopf. Der 65-Jährige, der gern Objekte aus Schrott und Bauschutt in hehre Kunsttempel stellt, wollte in seiner Abschiedsschau im Oktogon der HfBK die Installation „Heimleuchten“ zeigen. Kitschigbunte Weihnachtsbeleuchtung im überraschenden Kontext. Doch er fand keinen Sponsor. Heimleuchten: Mit so einer Installation wollte Eberhard Bosslet sich aus dem Professorenamt verabschieden. Doch er fand keinen Sponsor für das material- und energietechnisch aufwendige Werk. Bild: Heimleuchten: Mit so einer Installation wollte Eberhard Bosslet sich aus dem Professorenamt verabschieden. Doch er fand keinen Sponsor für das material- und energietechnisch aufwendige Werk. Bosslet Und weil ihm seine Studenten wichtig sind, er aber keine Klassentreffen mag, lud er sie ein, mit ihm ein Buch zu machen. In Bosslets Lehrbericht von 1997 bis 2019 haben sich die mehr oder weniger jungen Künstler und Künstlerinnen mit Fotos, Kurzvita und Ausstellungsliste verewigt. Dorothee Billard hat das Buch mitgestaltet und dem Professor darin den meisten Platz gegeben. „Unverbesserlich“ steht auf dem Cover. Und in der Tat ist noch nie ein Student an der HfBK durch die Diplomprüfung gerauscht, obwohl im Studium tatsächlich Noten vergeben werden sollen. „Wir müssen Noten geben“, sagt Bosslet. „Da wir gute Lehrer sind, sind unsere Schüler natürlich auch gut. Das hat das allgemeine Bildungswesen nur noch nicht erkannt, dass die Note des Schülers die Note des Lehrers ist – oder die Note des Systems.“ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:01, 9. Nov. 2020 (CET) == Literatur == Menschen ohne Härte, Ellbogen und einen gesunden Selbstschutz, um sich gegen diese immer härter und kälter werdende Welt zu wehren bzw. durchzusetzen ohne die Möglichkeit, einen Schutzwall hochzuziehen Suchstoffe um sich zu betäuben, um den „Seelenschmerz“ nicht mehr fühlen zu müssen „Ritzenz“ dient dazu, sich anders zu fühlen, d.h. sich körperlich statt seelisch zu fühlen seelisch ungeschützter in unserer Mitte sich auf eine innere Nähe zu den Menschen einzulassen, die wirklich z.T. gequälte Seelen sind Egomanen dieser Welt gegen auf Harmonie, einem menschlichen Miteinander gepolte Menschen, die keine Schutzmauer aufbauen können das Gros , das in dieser Welt psychisch überfordert ist vgl. Manfred Lütz „Wir behandeln die Falschen“ „selektiert“ wurde in der Vergangenheit bis hin zur Gegenwart genügend und in allen Bereichen mit dem Ergebnis: der Mensch bleibt auf der Strecke die Evolution der Menschheit ist am Ende, es hat die Evolution des Materialismus begonnen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) Ich meine, meine Bücher sind wirklich! böse, weil sie diese ganze übliche nette gesellschaftliche Verlogenheit und Verkommenheit gründlich demaskieren, indem sie verdammt nah dran an den realen menschlichen Schicksalen sind. Und ich glaube auch nicht, daß es sich wer wagen würde, die zu verlegen - ich übrinx auch nicht, so lebensmüde bin ich nicht. Zum Glück hab ich ob meiner Lebensweise finanziell ausgesorgt und muß gar nix mehr außer sterben. Und dann kenne ich ein weiteres Buch, das wirklich böse ist: Jürgen Vogel: "Magdeburgs Wendehälse. Lexikon der Lügner und Betrüger". Der Autor war 1990 bis 1994 Vorsitzender des Magdeburger Bürgerkomitees und hatte 1991 "Magdeburg, Kroatenweg : Chronik des Magdeburger Bürgerkomitees ; Beobachtungen in der Zeit der Wende zwischen Lüge und Wahrheit" veröffentlicht (nach 1990: "Abgesang der Stasi"). Sein drittes Buch hat niemand mehr verlegt, er wurde aus dem Bürgerkomitee abgeschoben, und die Friedrich-Ebert-Stiftung, welche sein Archiv aufkaufte mit der Zusage der Aufarbeitung, hat als erstes für 60 Jahre den Deckel draufgemacht. Das Buch nenne ich dann mal wirklich pöse - es würde heute noch nicht verkraftet werden, weil immer noch zu viele Wendehälse aktiv sind! https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&reset=true&cqlMode=true&query=auRef%3D102749658X&selectedCategory=any --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:15, 4. Nov. 2020 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3628903430501315&set=a.111717075553319 Meine Gedanken haben mich verlassen. Der Pinsel hat sie weggetragen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626372927421032&set=a.111717075553319 und der Pinsel schrieb Freude ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626370947421230&set=a.111717075553319 und sie fühlte sich selbstverlassen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623995644325427&set=a.111717075553319 werft Worte in die Welt, damit sie dort erblühen können] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623992674325724&set=a.111717075553319 ich will hier raus ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3615247088533616&set=a.111717075553319 Sie haben Euer Denken verriegelt ... ] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3604090076315984&set=a.111717075553319 macht Euch Gedanken, denn sie können fliegen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3601244606600531&set=a.111717075553319 dieser Ort hat keine anderen Grenzen als meine Gedanken] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598497446875247&set=a.111717075553319 wenn ich an meine Eltern denke] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598495936875398&set=a.111717075553319 die Stadt ist ein Wort, der Pinsel schreibt weiter] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:43, 5. Nov. 2020 (CET) == Atompunk == [[File:Сталкеры на привале.jpg|mini|Stalker - Tschernobyl]] [[w:Atompunk|Atompunk]] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/5KgJnV6L6fOfnn7zJHjTs6/41409837b73de7c1c4024424510c493f/76_Shelter_After2_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' bei Fallout] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/1SeUOdsQCoJ5VvGNCSFyf1/0957edcab1fd1dea19da72585fe1a210/76_Shelter_After1_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' II bei Fallout] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) [[w:Picknick am Wegesrand|Picknick am Wegesrand]] 1971 [[w:Stalker: Shadow of Chernobyl|Stalker: Shadow of Chernobyl]] 2007 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:35, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.imdb.com/title/tt0773736/mediaviewer/rm2535426561 Lost in Space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 16:22, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=969560220191143&set=gm.3583128475067470 Marta Kristen in wardrobe wearing a space suit for the 1960s tv series lost in space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:30, 8. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/basw.AbrU_r9vGHo-z_karx2ANGJZqZCGyGSE64dVSxMdVbWi0SJzbI6zMFK5DkovzTd6WRwdpHixH9jkrZvkf2btVYc1PkyHiR9WWLVSpOhOhTJgnyykw5uP6PNxKAraMtgvn4Gwf1gkKNcN8G5MLI5k5E5M/2556004381104383/?opaqueCursor=AbpEfvdUcdzHVE5z6Unv9Jb8PSI92VuSW0qsjVx88LlJSsvDrxL9gDSssK2UdTRFjoDY5tu8GRr_TzHRvdLx2VoW9LkttzbaIZR0XhIrgnPjVcOq0mvNN7_zR7Bq4H9yoDWn-lYoHBg48mdo0zaJy-RcZxVl3bxusgPm0J0vQ4yY6llDaE6zYusB57oPdiVy3e-12jeafiMdTQBCWrKA1EWGuo1WoqSmaCQheqlGz-T4CVGpM7wHAHy1eNPCb4qkZnDy85cL3oBd8nLCAHEx6tSW13Tk2Oz4hcwVz7Tp2RgkLzRVaLKHktEbqISsXcA4i54JEXhzg4C9_T3qOx0-kRnmEdpujxFGBwgmmW1UR5GjjaEbBFq1wRNWuEmR9WuMx1sS3hszrlqRLgIsby8p4oVeHwWQS13ZYz_gmGcz01384AdDHiWVsZh407PGguYaoMMq-Rz5VOPXUId5CsN8ZvOMahqCSUnXvM92iDzR7z1QbFzPfTjPlO9zw7TCTtxb7Yb5FKOBO8k7-NwDxstXiSUNtbMuhmAjN_Ug_N5xbwwGjAwemhypx-0z10UECpq6SZMJ0V8NCdLy7vncYd4loGBqLAxoQrhT_Udzcv1aq4lZqxyScYsQEth5vXa3OK5lsUmZGBIcJRmOoOUqA4kVA38dDvB6SlMxenwhZeSttYJaJMN-Jo9IivE1Dozw2uQPNQFAurmxf1Jojw4xbOttLjQlO2FDXRIsX4vc-LuqlKy4kofkKffUeKUmbohi9fcoftsQ0SGrAIZ-PY38ZP8Phs_iAa0zJ4N42mAG7wcvRIKLmvFnFqdMXGFUNpRdySYlmMsE2OINZlFGRTmXO1kAjxCHMUqmRXW2gl6EGxer1EiPNg atom-punk go-go jazz halloween costume (or every day) ideas #8] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/1029616097076560/ Astronauten-Pärchen] auch eine Idee für die nächste Zeit - aber nicht weiter weg als 5 km von zu Hause, sonst geht die Luft aus [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/837600166278155/ Raucher-Astronaut (Dr. Who)] - Raucher-Maske - sehr Vorteil-Haft für unsere süchtigen Säuglinge unter uns [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/791374787567360/ gelbes Space-Frauen-Kommando mit roten Streifen - unter männlicher Befehls-Gewalt] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/941018669269637/ Silver-Girl im Labor] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/694038930634280/ Heavy Silver Astronautin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/658284810876359/ Weyland Girl] https://en.wikipedia.org/wiki/Weyland#Fiction [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/652535974784576/ Weiße Taucherin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/615008418537332/ Silver Astronautic Paar] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:08, 25. Okt. 2020 (CET) == Photographie == [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2295772393809566/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/68954640_2295772397142899_226081963155390464_o.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=o1bMfM884ukAX9tXvYd&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=8f38ae65e82b5edcbb04f76459d1c66c&oe=602959FB have an idea...?!] - I fuck your brain * [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/703801973006624/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/10600589_703801973006624_962048756325809864_n.jpg?_nc_cat=109&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_tqZPK0GnVsAX-Y0eLn&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7eec14cc6c2e88e8a04eed792dbdf455&oe=60272C91 still the same curves (anniversary remake&reload)] seitlich [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/877898902263596/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12080054_877898902263596_1056407333265845020_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_1-mbP0ptb8AX-FnReH&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180c7826ce94200ffbf0cb43291a70ef&oe=602A4888 all crew members are on service deck] - "Pilotin" *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/853361011384052/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/11836640_853361011384052_1317312222273636789_n.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=-LHNDNWp5I0AX_0qumx&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=f7cb300e18fe7d90fc3a648872812663&oe=60289D63 fighter team] Rückenansicht *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/a.360648453988646/3183274475059349/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/119480868_3183274478392682_4198532599522982186_o.jpg?_nc_cat=111&cb=846ca55b-ee17756f&ccb=2&_nc_sid=0debeb&_nc_ohc=HIa7Uq4NXIQAX-0zCiM&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180cd13ebdc2efca1ea5797f23e6993b&oe=6026766B hangar check] - in der Stratosphäre ist sie sicher vor Corona, die Helm-Nummer "13" sollte zusätzlich helfen [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2875447189175414/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/99257505_2875447195842080_8451893750401073152_o.jpg?_nc_cat=110&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=4vP91s4Xqs0AX8b9Z1F&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=71f3ddd285be9fca24c3be88566bde5d&oe=60269A91 Die Stille der Nacht] - Halskorsett aus schwarzem Leder über Mund und Nase - MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/988286121224873/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/13243780_988286121224873_3083762868739399129_o.jpg?_nc_cat=103&cb=846ca55b-311e05c7&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=isn0T9bKZjIAX8A-9Mv&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=48754a6cbda0068cad72a2e7a921c255&oe=602A0605 roses are the real weapons] (star wars day) Tätowierte mit startrooper helm - hauptsache MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/908425312544288/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12365984_908425312544288_8987609574159828109_o.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=9TeNkoreIRsAX8zhTtN&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=883db11cec295c5424168a9d1da27c3f&oe=602A1F07 256 shades of cathy] in der dusche eingesperrt - https://www.facebook.com/cathleen.sattler [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/181532538566906/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/257974_181532538566906_7525195_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=fZZiQKgTsz0AX8OuhxK&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=e9e2008bb79008684999318b37aad921&oe=6026E2E1 creatures of the night] (danke an wildchild https://www.facebook.com/kleineswirres ) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:31, 16. Jan. 2021 (CET) == Zeichnungen == Das Secret Desire und Michael Kral laden herzlich ein zur Eröffnung der Ausstellung: Freitag, 04.11.2016, 19.30 Uhr Ein akt ist so - natürlich NaCkt ... verhüllt vom N im Negligée ... bezaubernd bis zum Ceh. Im Akt ganz pur zeigt die Natur des Künstlers Können mit Bravour. (Sazu) Ort: Secret Desire, Rothenburger Str 7, 01099 Dresden Die Ausstellung ist vom 04.07.2016 bis zum 04.01.2017 während der Öffnungszeiten des Secret Desire ́s zu sehen. Motiv: Michael Kral, Aktzeichnung, 35 x 25 cm, 2016 https://www.facebook.com/kralartifex/posts/1063220337109301/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:34, 16. Jan. 2021 (CET) == Ruslana Eisenschmidt == [[File:Ruslana-eisenschmidt-disco.jpg|thumb|Ruslana Eisenschmidt bei der Agentur Disco 3000 mit einem Original 3000 T-Shirt. 1999.]] [[File:Silbermond-ruslana-eisenschmidt.jpg|thumb|2001 illustrierte ich die Band Silbermond in Berlin. Dies ist eine Vektorgrafik.]] Ich male den ganzen Tag was ich will... Ich lebe vom Malen. Habe Glück gehabt. Übrigens ist malen arbeiten. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:34, 10. Mär. 2021 (CET) Ich habe eine ganze Kiste voll, mit von mir erfundenen Comic Charakteren... Hier habe ich mal einen "katholischen Schweinepriester" entwickelt und gezeichnet. Er frisst kleine Kinder. * Der frisst Kinder, weil er selbst Angst vorm Leben hat.... Er frisst kleine Kinder, weil er richtig und falsch nicht unterscheiden kann.... * das kommt noch dazu... das sind keine Haare, er hat 4 Teufelshörner! Er ist unfähig sich den Gürtel richtig zu binden. Klick mal das Bild an. Er trägt keine Schuhe, sondern nur eine Strumpfhose, da kann er sich auf leisen Sohlen besser anschleichen.... Eigentlichen male ich nur noch Frauen und Katzen. Da ich da einen eigenen Stil entwickelt habe. Hier habe ich einen Seepferdchendrachen erfunden und gezeichnet. Er wurde von einem Trophäensammler geköpft und an die Wand gehangen, deswegen schnaubt er vor Wut. Ich habe halt ne blühende Phantasie. Ich habe viele Charakters erschaffen. Es sind dermaßen viele, dass ich sie bereits nach Familien sortiert habe. Selbst Comics zeichnen möchte ich nicht. Ich kann aber die Figuren anderen Zeichnern, Zeichentrickstudios oder Spieleentwicklern zur Verfügung stellen. Bei mir sind die Sachen nicht im Kopf. Mein Kopf ist klar. Bei mir entsteht der ganze Unfug erst, wenn ich ein leeres Blatt Papier sehe. Erst kommt ein Auge, dann eine Nase und plötzlich erkenne ich, was das werden soll. Ist jedesmal eine Überraschungsgeburt. ich kann nur zeichnen, wenn ich locker ran gehe. Aus therapeutischen Gründen könnte ich das nicht. Da würde mir nichts einfallen, da ich im Inneren aufgeräumt, aber nach Außen hin chaotisch bin. Für meine Seelenpflege ist da nicht der Zeichenstift, sondern meine Psychologin zuständig. ein Abgrenzungsproblem ist das nicht, sondern das Langzeitgedächtnis speichert Erlebtes besser, wenn es mit Gefühlen verbunden waren. * Ja Du sagst es. Die Gefühle waren dermaßen intensiv daß sie sich mir eingebrannt haben. Das Abgrenzungsproblem war damals Ich ließ sie vieleicht zu nah an mich ran phatetisch an mein Herz. Ich distanzierte mich nicht. So ist das gespeicherte immer präsent. Die Trennung nicht gänzlich vollzogen. So meinte ich das. Das mit den Trennungen ist sowieso etwas seltsames. Das kann keiner begreifen, wie und warum der Mensch das macht...Auseinander gelebt, sich weiter entwickelt, Bindungsangst, komische Sachen gemacht...Der Mensch an sich ist schwach..wir alle sind das... * Hat man Dir das so IN ALLER LIEBLOSIGKEIT gesagt? Diese Erklärungen tragen nicht sehr weit. Ich weiß. Genau richtig gesagt: man begreift es nicht. Nicht vorher, nicht während und erst recht nicht danach. So klar man im Nachhinein auch fälschlicherweise oft denkt: "Ach so. Ist ja ganz klar.Wegen diesem und jenem" Wir wissen daß das nicht stimmt und können doch nicht anders, weil man das sinnlose nicht einfach kapieren und akzetieren kann. Erklärungen wie: "na ja, die hat eben die vielen anderen Männer als Möglichkeit nicht ausschließen wollen, die hat eben keine richtige Beziehung gewollt", was wird noch gerne genommen? Ach ja, "am Alltag gescheitert" etc. Alles um es wegzuerklären und um es in die Schublade ablegen zu können. Gesunde Einstellung, aber... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:05, 31. Mär. 2021 (CEST) https://www.facebook.com/profile.php?id=100019492082821 Suche Wohnung ausschließlich in Ostberlin/Mitte ab Sommer 2021. Unbefristet, kann auch klein sein, Warmmiete bis 700 Euro * maximal 1 Zimmer in einer WG Das ist lieb, doch ich brauche was eigenes. Danke nochmal. * 700,- ??? Na viel Spaß * Mitte Neubau der Quadratmeter 20 EUR nettokalt. Altbau wird wegen Mietendeckel-Entscheid überhaupt nicht mehr angeboten. Und dann bei Privaten auch nur im Netzwerk. Gönnt Dir Keiner was;-( * für 700,- kriegste in Mitte grad mal‘n Zimmer ! Ich suche was Eigenes. Ich möchte zurück nach Ostberlin Mitte. Dafür gebe ich eine große Wohnung in Jena auf. * 700 Euro Warmmiete ist aber inzwischen in Berlin ganz schön optimistisch. ich weiß. Noch könnte ich Glück haben. Ich habe mal ein halbes Jahr in Paris gelebt. Berlin entwickelt sich immer mehr in Richtung Paris. Und Paris lebt einem die hohen Mieten vor. * und New York. 😂 Gut, daßduda wechbist. ab 20 m2 Ich suche Rosenthaler, Torstr., Linienstr. Ich meine konkrete Straßen in Ostberlin, weil das Jugenderinnerungen für mich sind. Alles rund um den Alex ist ideal. Mit Moabit hatte ich nie etwas zu tun. * ich bin von Berlin schon vor zwölf Jahren WEch WEgen dem Mieten-WAHNSINN - dort braucht mensch einKOMMEN zum ausKOMMEN - lebte SO 36 über dem "Trinkteufel" bei Christian Herwartz (Exerzitien auf der Straße) https://www.strassenexerzitien.de/ Ich ziehe dieses Jahr noch zurück nach Berlin. Ich will ausschließlich Ostberlin Mitte, da fühle ich mich wohl, da habe ich meine Jugend verbracht und nur dorthin will ich. Bin auf Wohnungssuche. Ich will unbedingt mach Ostberlin, Mitte...Da explodieren gerade die Mieten wie in Paris. Wird also vorerst nur was Kleines werden. *Irgendwann will man keine Kompromisse mehr machen und vielleicht nach Hohenschönhausen oder weiß der Geier wohin ziehen wg billiger. Obwohl Du doch eigentlich da hin wolltest wo die eigene Jugend stattfand. Nach O. Berlin Mitte. * kann ich nicht mitreden - hatte die meiste Zeit (Ost)Berlinverbot ([Ost]Berlin - die Nebenstadt der DDR) Mir geht es nicht um günstige Mieten, denn die habe ich ja jetzt. Nach Berlin ziehe ich in ein ganz bestimmtes Viertel. Ich will ganz bestimmte Straßen, da das meine Jugenderinnerungen sind und mich aufblühen lassen. ich bin Single, weil ... mein Hintern ist zu groß * Und du glaubst wirklich,daß Männer NICHT darauf Stehen?Was für "Männer" kennst du denn?Wohl eher Würstchen,die sich nicht trauen,zu ihren wahren Vorlieben zu stehen.Hunde wollen Knochen,Wölfe wollen Fleisch! * entscheidend ist eher, wie weit du (mit)gehst arbeiten gehen muss * muß? - ist für mich ein ToTAL verALTeTes Wort Kapuziner im Cafe de la Paix, Paris, 1952. Photo by Georges Dambier. Tolles Foto..doch gebe man der Dame bitte was zu essen. * meine Oma lief ab 1940 im Pariser Chic herum ... Gut, dass ich nie geheiratet habe... Japanische Tradition * kennich -wahr mahl dort (und dsa-dsen-lehrer wahr ich auch mal, in der ddr, als das noch richtig wichtig wahr) Unterwassergang * könntich stundenlang zuschauen ... leichtbekleidete Bikerinnen * Hauptsache Schutzhelm. Und immer das Visier schließen - wegen Corona-VERordnung. Brennende Kerze wird bestiegen Ich wunder mich auch jedesmal, darüber was es in der Kunst Neues zu sehen gibt. Nach dem Motto: "Die Kunst ist tot, es lebe die Kunst." *Kunst-Bruder Christian Schmidt (SJ) hat über Jahrzehnte eine Kerzensammlung aufgebaut - zT noch origineller * Aufstieg zum Licht - oder zur Erleuchtung, Sieleuchtung ... [[File:Painting of Mata Hari by Isaac Israels.jpg|thumb|Painting of Mata Hari by Isaac Israels, 1917]] Mata Hari photo 1907 * Ein atemberaubendes Kleid Ein atemberaubendes Schlitzohr, so kennen und lieben wir sie *sie hat das Alter nie schmecken müssen (ich war mahl mit der "SchoENeN SExiN" zusammen, die wahr ganz ähnlich) Patientin Ruslana: kann nicht schlafen - du mußt feiern und dich betrinken Viele meiner PROMI Kollegen, wie Kurt Krömer waren bereits in einer Nervenklinik..Wieso interressiert das auf Facebook keine Sau? AUCH MARLENE DIETRICH lies sich behandeln. Sind das alles Verrückte für euch? Als bipolar chronisch Kranke, also: ich bin manisch- depressiv. Muss ich aktuell und frisch nach der gerade erlebten, enttäuschten Liebe sehr um mich kämpfen. ÄRZTE..PSYCHOLOGEN..UND MEINE FREUNDE kämpfen gerade um mich. Mir geht es nicht gut. Witz Kommentare sind hier unerwünscht, denn diese Erkrankung ist nicht heilbar und die Selbstmordrate liegt bei über 30% Ich habe ne ABC- Schutzmaske endlich kann ich die mal aufsetzten *sicherheitshalber auch noch den Vollschutz-Anzug habe ich da. * dacht ich mir schon - sicher ist sicher ... Bartclubs, Bartmeisterschaften ... Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. * Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1364217717267517&set=gm.3544231839016781 Atem-beraubend. Vor allem mit schön engen Brust- und Bauchgürteln.] Hier gibt es noch ganz andere Fotos...da habense nix mehr an...doch das wird dann selbst mir zuviel. Ansonsten poste und male ich ja gern freizügige Frauen, ist bei Künstlern seit Jahrhunderten normal. Ich habe früher in den Clubs auf den Lautsprecherboxen getanzt... Nein, es ist nicht einfach so vorbei. Ich habe Liebeskummer und mir geht es nicht gut... [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1155671958211971&set=a.203131063466070 Sophia Loren in schwaarzem Lederkleid mit breitem Gürtel] Alles an ihr ist schön. Eine Augenweide. stand in diesem Out-Fit mal recht hoch auf meiner nach oben offenen Skala (ist allerdings eine Weile her) Ich bin in allen drei Waffen ausgebildet. Florett, Degen und Säbel. Eigentlich gibt es den veralteten, klassischen Stockgriff und den modernen Pistolengriff, der ergonomisch in der Hand liegt. Ich als Künstlerin poste meine Zeichnungen nicht auf Facebook..bekomme aber jetzt von anderen Zeichnungen gepostet..das nenne ich ein gelungenes Produkt Placement.. Bei mir meldet sich oft erst der Bauch, dann das Herz und dann versucht der Kopf noch was zu retten. Glücklicherweise habe ich ein schnelles Hirn...sonst würde ich mit Bauch und Herz nicht klar kommen. Ich wäre dann mit mir selbst überfordert.... Ich habe auch auf Mallorca gelebt. In den 2 Jahren auch viel Leid gesehen. Menschliches und tierisches Leid. Von wegen Trauminsel. Meine beiden Katzen habe ich auf Mallorca bekommen und sie dann nach Deutschand mitgenommen. Sie sind beide als Fracht geflogen. Auf dem Flughafen haben die Spanier sie wie Gepäck einfach in einen halben Meter tiefen Schacht geworfen. Ich bleibe sonst lange ruhig, aber da bekam ich einen Tobsuchtsanfall und habe wüst die Flughafenmitarbeiter auf deutsch beschimpft. ich unterhalte mich auf Facebook nie privat. Nur öffentlich. Das ist ein Grundsatz von mir. Auch liegt nichts an meiner Herkunft, sondern eher an meinem Charakter und meiner fröhlichen Art. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3753838501401735&set=gm.1050564075468125 corona-schlafzeug] Ein Träumchen....😂 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:56, 3. Apr. 2021 (CEST) == Gumina Jasmin == nunja, ich war der letzte Partner der damals edelsten und schönsten Sexin - noch früher persönliche Sekretärin des Reichsbahn-Präsidenten in Dresden, verkuppelt mit dessen Fahrer, ZV-Schlampe der Oberoberoberklasse - vom Feinsten, absolut High End, Edel-Escort, von Geburt an Probleme mit der Halswirbelsäule, deswegen schmerz- und schlaftablettensüchtig ab Mitte 20, Buchspeicheldrüsenkrebs (ein Onkel von mir war ZV-Ausbildungsleiter im ZV-Lager Bernburg, schluckte auch zu viel davon - unter Tage im Steinsalzbergwerk - brach mit 37 zusammen und starb daran mit 51), Whipple-OP mit 45, auf Morphium hochdosiert, von der Medizin abgeschrieben, ihr Mann brannte mit der Pflegerin durch, wollte sie nicht totpflegen, in die Palliativstation St. Joseph-Stift hier in Dresden eingewiesen mit 52 - sie hatte mir schon ihr schönstes Kleid ausgesucht, in dem sie beerdigt werden wollte, die Urne auch - beides lackschwarz und mit roten Rosen - und dann war ihre Liebe zu mir stärker als Schmerz und Tod, da war noch zu viel süßes Leben ungelebt - ich habe ihre ungeheuren Schmerzen in ungeheure Lust transformiert - und sie hatte noch weitere elf absolut tabulose Jahre, dem Tode abgerungen - mit 63 erneut Krebs - gestreut bis in die Lunge - wieder Chemo, wieder edle Perücken aller Coleur, Sauerstoffmaske statt früher Latex- und Gasmasken etc. - nach sechs Monaten der Tod (das Leben wiederholt sich nicht): "mir geht es schlecht" hat sie nur ein einziges Mal gesagt - das waren ihre letzten Worte vor dem Koma - beerdigt wurde sie in lackrot, der Farbe der Liebe, unserem Lieblingsoutfit (darunter rotes Latex als nahtlose Unterwäsche) - die Urne blieb gleich - so eine rote Urne gab es nicht - sie sah noch beim letzten Spaziergang im Rollstuhl aus, wie ich sie kennengelernt habe - mit langer, blonder Perücke, in Lack und Latex, wunderschön wie Mitte 40 - sie hat das Alter nie geschmeckt, und es war wohl besser so für sie (sie ging nie ungeschminkt, ungestylt und ohne High Heels raus - nie nie nie, nur ich kannte sie auch abgeschminkt und voller OP-Narben) https://www.josephstift-dresden.de/kliniken-und-einrichtungen/palliativmedizinonkologie/klinik/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 12. Mär. 2021 (CET) mann muß sich nur zu helfen wissen - diese Ersatz-Atembeutel kenn ich von der Ostzone, ZV-Frauenlager, als "Strafe" für verfehlte Normen (lange Handschuhe) der ANzug sitzt mehr als ANGEGOSSEN - sie sieht aus wie einGEGOSSEN --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:38, 12. Mär. 2021 (CET) nur drei kleiderschränke voll? meine gumina jasmin hatte zusätzlich noch speicher und keller voll, und das ehemalige kinderzimmer nur für extravagante schuhe und (overknee)stiefel - alles für den "erlesenen geschmack" - alles, was das herz begehrt --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:16, 16. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=126742722767970&set=a.106686318106944 70s] * Da darf Mann sich schon mal umdrehen. ** darfste, wenn du Single bist.. * Das waren noch Frauen damals ... ** heute gibt es den gleichen Frauentyp nur die Klamotten sind anders. * Scheint kalt zu sein... ** ficht so einen heißen Feger doch nicht an - ich kenn die Jahre ... die haben auch mir den Kopf verdreht - MILF, und ja, da war ich noch jungk und ledig ... * es gab noch weitaus heißere Feger ... hab ich nicht vergessen * Man denke nur an Jane Fonda in Barbarella ... ** zB - aber ich meine die "Straßenfeger", die nach 68 häufiger und mutiger wurden ... war mit so einer (geb. 1949, gest. 2012) jahrelang zusammen, die war mutig bis zum Schluß, hat sich nie wieder verkrochen, was auch für Mode-Diktat aufkam RIP --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:32, 18. Apr. 2021 (CEST) == Glamouröse Exzentriker == [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10218687693644988&set=g.913747702065221 übergroße Plastikballonmaske] [https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=1266457367084337&id=100011602571613&notif_id=1615101090170179&notif_t=feedback_reaction_generic&ref=notif Die neuen FFP5 sind da (weiße geschlossene Ledermaske)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276827688702/ silberne Astronautin mit schwarzen Handschuhen und Glaskugelhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276717688713/ schwarze Latexastronautin mit Glaskugelhelm und Pistole] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:23, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158202474577830&set=g.913747702065221 Silberglück (Pärchen)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=839169370195157&set=g.913747702065221 Frau schlüpft aus dem Ei (schwarz weiß Vintage)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3765574243522575&set=g.913747702065221 nackte Frau mit Mund-Nase-Maske, blau ganzkörpertätowiert, aufgemalte Lunge] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158144847772830&set=g.913747702065221 Frau mit großer durchsichtiger eiförmiger Maske, Portrait, grünlich im Gesicht mit knallrotem Lippenstift] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3213043045490533&set=g.913747702065221 rotes Latexkleid bis über den Kopf] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1311464692536583/ schwarz-weißes Latexknast-Kostüm mit Regenschirm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3239138999488685&set=g.913747702065221 silberne Hose, halber silberner Umhang, Brustschmuck] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3235899606479291&set=g.913747702065221 silbernes Gesicht, silbern funkelnder Anzug] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1264837057199347/ Frau auf einem Anker schwebend] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:55, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1248731512143235/ Frau als Batman (rauchend)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1225554634460923/ Dior - schwares Latex bis unter die Nase, weißer Pelz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157690485847830&set=g.913747702065221 braunes Lederkostüm mit Handschuhen und großem Hut - durchbrochen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216494985366888/ silbertropfendes Gesicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216495685366818/ silberne Fingerkuppen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216496045366782/ silberspiegelnde Lippen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1211491712533882/ schwarz weiß karierter Latexmantel + -strümpfe (kleiner kariert)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157561517477830&set=g.913747702065221 blaue farbe läuft aus der nase auf die Lippen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157540153992830&set=g.913747702065221 silbernes gesicht - plastiktüte gesichtsoffen - blauer regenmantel (portrait)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157538451092830&set=g.913747702065221 fesselstifel mit knoten am absatz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157526850842830&set=g.913747702065221 latexnonnen mit schlangen] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2906592829409972&set=g.913747702065221 Perlenhaar mit latexkleid und perlenarmbändern] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464369869950/ edelgas-maske] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464949869892/ edelgas-maske mit lederhandschuhen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464689869918/ edelgasmaske schlicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1142273822789005/ ägyptische göttin mit schwarzem tierkopf und blauem langen plastikkostüm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2800059703396619&set=g.913747702065221 violette perücke, gelbe riesige ohrgehänge, gelbe riesige plastikbrille, latexmantel in schwarz] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1115099548839766/ zwei frauen ziehen entgegengesetzt an einem zopf] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=497839764235972&set=g.913747702065221 COCO CHANEL - überlange, übergroße Lederhandschuhe] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2194866524141642&set=g.913747702065221 motorradmietze mit kätzchenmotorradhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1094982130851508/ rotlederne boxerin] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174612871831&set=g.913747702065221 corona-kaffee in schwarzem latextotal und zeitung] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174409538518&set=g.913747702065221 latexmaid in schwarz mit weißem häubchen und weißer schürze gießt milch über sich] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:26, 7. Mär. 2021 (CET) == Literatur 2 == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Literatur 2]] === Paul Rheinfels === === Anais C. Miller === ===Valeska Réon=== == Casanova Verlag == Gudda Behrend: ''Aus dem Tagebuche einer Sünderin.'' Casanova Verlag Willy Saalfeld Berlin W 30 ca. 1920, 8°, 96 S., Halbleinen (Sittengeschichte, Erotik) [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuche-einer-S%C3%BCnderin/id/A01y6dv201ZZy 22 Euro im Abrahamschacht-Antiquariat Schmidt, Frau Iris Schmidt, Schachtweg 16, 09599 Freiberg] * [https://schmidt-auktionen.de/12_katalog_online.php?nr=14&page=28 Schmidt Kunstauktionen Dresden 1. 12. 2007]: [https://schmidt-auktionen.de/12_artikel_details.php?nr=14&knr=504 504 Willy Saalfeld, Akt. Um 1920. Bromsilberabzug. Ungelaufene Fotopostkarte. Leicht bestoßene Ecken. 8,8 x 13,8 cm. 60 €] * Ebenfalls bei [https://books.google.de/books/about/Aus_dem_Tagebuche_einer_S%C3%BCnderin.html?id=tXa9uQEACAAJ&redir_esc=y A. Juncker, 1910 - 105 Seiten] 1880 Født: 06-07-1880 1900 Se også gift med William Behrend Behrend, William 1901 Debut i bogform: En synderinde, blade af en dagbog (roman) http://www.litteraturpriser.dk/aut/BGuddaBehrend.htm (1880-1946) *Behrend, G.: En Synderinde (1901, roman) *Bog Behrend, G.: Hedvig Holcks Vandreaar (1903, roman) *Bog Behrend, Gudda: De ensommes Stræde. ♦ Gyldendal, 1922. 138 sider. Pris: kr. 5,75 (1922, roman) anmeldelse Bogens Verden, 1922, 4. Aarg., side 276 [Anmeldelse, signeret: K.K.N.]. https://danskforfatterleksikon.dk/1850bib/BGuddaBehrend.htm Hedvig Holcks Vandreaar - [https://books.google.de/books/about/Hedvig_Holcks_Vandreaar.html?id=ukn4xAEACAAJ&redir_esc=y Neuauflage Veröffentlicht 2019] Übersetzung ins Deutsche von [[w:Mathilde Mann|Mathilde Mann]] (* 24. Februar 1859 in Rostock als Mathilde Charlotte Bertha Friederike Scheven; † 14. Februar 1925 in Rostock - deutsche Übersetzerin und Lektorin, insbesondere für Nordische Sprachen): Gudda Behrend: Aus dem Tagebuche einer Sünderin, Berlin [u. a.] 1902 * Axel Juncker, Berlin, Stuttgart 1902, Broschur, 105 + 3 S. [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuch-einer-S%C3%BCnderin-Autorisierte-%C3%9Cbersetzung-von-Mathilde-Mann/id/A026x3z201ZZe 54+6 Euro im Antiquariat Weinek, Frau Dr. Elisabeth Weinek, Uferstrasse 8, 5026 Salzburg] ** Autorisierte Übersetzung von Mathilde Mann 8° 105 S. S. Einband: Original im Jugendstil illustr. Halbleineneinband [https://www.abebooks.de/servlet/BookDetailsPL?bi=22386118048&cm_sp=collections-_-747FHNEcCbe1N23CgE8jgR_item_1_10-_-bdp 19,63+2,20 Euro] in: Altmärkisches Antiquariat, Lars Flick (Inhaber), Sandstraße 50, 39638 Gardelegen En Synderinde: Blade at en Dagbog Gudda Behrend - [https://books.google.de/books/about/En_Synderinde.html?id=qUB-oAEACAAJ&hl=en&output=html_text&redir_esc=y 1901 - 148 pages] Der deutsche Casanova - In 3 Bänden komplett - Johann Conrad Friedrich - Vierzig Jahre aus dem Leben eines Toten - Der Memoiren 1. Teil 1789-1806 - 2. Teil 1806.1810 - 3. Teil 1810-1830 - Im Originalkarton Taschenbuch – Insel, 1991, von Johann Konrad Friederich (Autor), Friedemann Berger (Herausgeber) [https://www.amazon.de/deutsche-Casanova-Friedrich-1789-1806-Originalkarton/dp/B0026L0E4I 18 Euro] gebundene 1. Auflage Egon Fleischel & Co, Berlin 1915, OLeinen, 8°, XV; 418; IX; 452; IX; 440 Seiten Fraktur, Lesebändchen, Kopffarbschnitt [https://www.amazon.de/gp/offer-listing/B0026L0E4I/ref=dp_olp_ALL_mbc?ie=UTF8&condition=ALL 45+3 Euro] "Der deutsche Casanova" Fahrten und Liebesabenteuer nach den Memoiren eines deutschen Offiziers im französischen Heere Napoleons I. mit 32 Illustrationen von Hans Speidel und und Max Erich Nicolas, hrsg. von Max Bauer, Eigenbrödler Verlag, Berlin W 8 ca.1925 / Hrsg.: Max Bauer / Speidel [https://www.ebay.de/itm/Der-deutsche-Casanova-Eigenbrodler-Verlag-ca-1925-Hrsg-Max-Bauer-Speidel/124437184812?hash=item1cf908c12c:g:JVUAAOSw7Wxdyw1y 28+6,50 Euro] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:30, 20. Nov. 2020 (CET) == Verlage == Ich hätte bereits drei Verlage gefunden, wo mein Buch gut ins Verlagskonzept passen würde. Allerdings finden sich bei besagten Verlagen auch Werke, die unlektoriert wirken, was mich dann doch eher abschreckt, mein Buch dort einzureichen. - Mir war es wichtig, ein Buch mit einer Story zu schreiben und nicht nur Sexszenen. Allerdings ist es auch mein erstes und braucht ganz sicher noch Profis, die es sich ansehen. aus dem Anais bzw Schwarzkopf Verlag kenne ich Bücher, die ganz normal lektoriert wirken. Und Schlagzeilen. Seitenblick gibt es leider nicht mehr Schlagzeilen oder Elysion - bei den kleineren Verlagen zögere ich selber, weil mir das mit dem mangelnden Korrektorat auch aufgefallen ist ich habe aber die Erfahrung gemacht, dass Verlage die sich nicht auf BDSM spezialisiert haben, oft gar kein Hardcore annehmen. Oder gnadenlos zensieren Ich habe, bevor ich mein aktuelles Romanprojekt anbot, für ein privates Lektorat gezahlt und zahle auch das SensitivityReading. Klar. Das ist eine Menge Geld, alles in allem, aber hey, die Kohle war gerade da. Wenn ein Verlag kein Lektorat bietet, lasse ich trotz meiner Bereitschaft zur Eigenleistung die Finger davon, dort zu veröffentlichen. Lektorat und Korrektorat gehören einfach dazu, ein Verlag, der das nicht leistet, passt schlicht nicht in mein Beuteschema. Falls Elysion-Books noch nicht auf der Liste war ... Lektorat und Korrektorat ist logischerweise dabei, Bücher sind überall zu beziehen und liegen auch im Buchhandel und im stationären Handel... Klingt auch sehr interessant und kommt definitiv auf meine Liste. Allerdings bin ich nicht sicher, ob das Ende meines Buches als Happy End aufgefasst werden kann. Aber vl passt es ja bei einem anderen Buch. Bist herzlich eingeladen, dich mal bei uns beim Tribus Verlag zu melden, wenn du möchtest. Versuch es doch einmal bei konkursbuch Verlag Claudia Gehrke. Sie hat ein sehr weit gefächertes Programm, kümmert sich sehr engagiert um die Vermarktung und ist ausgesprochen fair. www.konkursbuch.com Mir geht es nur darum, eine Liste von möglichen Verlagen zu erstellen, sodass ich nicht immer wieder aufs Neue alles durchforsten muss. Leider findet man Verlage für dieses Genre nicht so leicht. BDSM allein ist ja nun wirklich schon fast Mainstream. Du könntest es auch beim charon Verlag versuchen, der neben den "Schlagzeilen" auch Bücher herausgibt. https://www.schlagzeilen.com/ Probier mal bei Letterotik.de. Ich rate zu einem Pseudonym. Habe selber 4 Aliasnamen. Es werden auch stärkere Formate veröffentlicht. Frag einfach mal nach. Ansprechpartnerin ist Frau Baer. Lektorat ist für mich okay, Kommunikation erstklassig, Covergestaltung ansprechend. mir wurde auch gesagt, dass der Verlag im Moment neue Manuskripte nur auf Empfehlung annimmt. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:42, 16. Mär. 2021 (CET) == Hersteller == urinbless.com human skin mask set ulsula.com the elder silicon headgear --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:01, 30. Dez. 2020 (CET) https://www.facebook.com/Rubbersisters/ The ultimative female transformation Moniquin Anzug Fem Mask [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/432851523438466/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/171946_432851523438466_959953674_o.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=LjLdttsoeFkAX8ITABj&_nc_oc=AQkIqnkRCGPeWkUJPRiSN8TJCO74W3R9buFkLYiobloBLy2aLh7X_r_xnese5OPch1gwfjJbWRdqhu32Z_RlKne4&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=f9be2e1d84f0ace64aad564fc7517fcf&oe=601AAE0A inflatable doll suit now in skin matching colour!] - This is exactly what I am looking for! I have to become a latex sex doll, it is my ultimate fantasy (Genau das suche ich! Ich muss eine Latex-Sexpuppe werden, das ist meine ultimative Fantasie) - I dream of owning one of these outfits someday! (Ich träume davon, eines Tages eines dieser Outfits zu besitzen!) - God that is hot. (Gott, das ist heiß.) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/537678542955763/ FB] = [https://scontent-frx5-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/397440_537678542955763_1225667219_n.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=174925&_nc_ohc=eIYd8bA0ZmgAX-fLdfr&_nc_ht=scontent-frx5-1.xx&oh=804f110a097401114ae342bc2df93158&oe=601C4FFF Dita - the new female mask] [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/531192290271055/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/935757_531192290271055_860385658_n.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=nRCKulIU87gAX8895Px&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=d7e14b49baa3789dad0e9f9b4e42548d&oe=601CEB06 "Dita" Mask] We are pleased to announce, that we are just did the final touches to our new “Dita” Mask. We are now offering this fantastic looking female mask with interchangeable eyes. The mouth is slit open and has red lips. These very realistic looking female mask made of high quality silicone is absolutely comfortable to wear. You can use any regular make-up to give this female mask an individual look. Get more details at our online shop www.2nd-skin.com or visit us at the Boundcon Fair from 24-26.05.2013 in Munich or doring the German Fetish Weekend from 18-20.05.2013 in Berlin. Yours Rubbersisters Monica & Jacline (Wir freuen uns, Ihnen mitteilen zu können, dass wir gerade den letzten Schliff für unser neues Produkt gemacht haben "Finger" Maske. Wir bieten jetzt diese fantastisch aussehende weibliche Maske mit austauschbaren Augen an. Der Mund ist aufgeschlitzt und hat rote Lippen. Diese sehr realistisch aussehende Frauenmaske aus hochwertigem Silikon ist absolut angenehm zu tragen. Sie können jedes normale Make-up verwenden, um dieser weiblichen Maske ein individuelles Aussehen zu verleihen. Weitere Informationen erhalten Sie in unserem Online-Shop www.2nd-skin.com oder besuchen Sie uns auf der Boundcon Fair vom 24. bis 26. Mai 2013 in München oder am German Fetish Weekend vom 18-20.05.2013 in Berlin. Eure Rubbersisters Monica & Jacline) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/562349830488634/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/1072175_562349830488634_520819894_o.jpg?_nc_cat=106&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=AnitAk8nXbMAX-8Bcxz&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=dc866b047bedb1724a80af21e3b101ec&oe=601ACA3E New video clip is online] at http://www.2nd-skin.com Monica is wearing the Petra mask and Betty is wearing the Gloria mask - Sorry video clip is online at http://www.rubbersisters.com - sehr schön. wie fühlt man sich, wenn man so nett aufgebleaen wird? (mit rotem Fesselsack) https://www.2nd-skin.com/de/18-frauenmasken [https://www.2nd-skin.com/de/kleber/17-skin-adhesive.html Hautkleber] - Dieser zweitkomponenten Hautkleber ist geeignet für alle prothetischen Silikonprodukte (keine PU-umhüllten Prothesen) die vorübergehend auf die menschliche Haut geklebt werden sollen. Das richtige Mischungsverhältnis ist 1 Teil A + 1 Teil B nach Volumen. Sie können auch Puder-Makeup in die A-Komponente mischen, damit es farblich Ihrem Hautton entspricht. Um die Prothese wieder zu entfernen, schälen Sie diese langsam von der Haut ab. Menge: 2 x 50 Gramm --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 7. Jan. 2021 (CET) === Dresden === https://lldesaxe-fashion.de/impressum Maik Richter Lohrmannstraße 20 01237 Dresden Deutschland Tel.: +49 (0) 351 281 34 49 Fax: +49 (0) 351 281 34 49 E-Mail: info@lldesaxe-fashion.de --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:33, 16. Jan. 2021 (CET) ''LLdeSaxe Fashion wurde am 13.01.2012 gegründet. Die gemeinsame Leidenschaft für Latexmode verband meine Frau und mich jedoch bereits seit vielen Jahren. Bei der Auswahl und Individualität der Latexbekleidung waren wir als Kunden jedoch bisher immer recht eingeschränkt. Wir stießen mit unseren Bestellungen bei anderen Herstellern regelmäßig an die Grenzen, da unsere Wünsche nicht umgesetzt werden konnten oder auch wollten.'' ''Dies sollte sich 2011 nach unserem Urlaub bei einem befreundeten Schweizer Latex-Liebhaber ändern. Hier lernte meine Frau die ersten Handgriffe im Umgang mit der Herrstellung von Latexkleidung kennen. Das ganze ergab sich völlig spontan aus dem Gespräch heraus. Wir lauschten ganz gespannt den Erzählungen unseres Freundes, als meine Frau neugierig fragte, wie denn nun die Herstellung von Latexbekleidung konkret funktionierte. Unser Freund bot daraufhin an, sie in sein Atelier mitzunehmen und ihr ein paar Tricks und Kniffe zu zeigen. Meine Frau war sofort Feuer und Flamme und so zogen sich beide zu einer Einarbeitungsschulung zurück.'' ''Sie fand sofort gefallen am Latexschneidern und so kauften wir bei unserem Freund einen größeren Posten an Latex Meterware ein. Zuhause angekommen, machen wir uns sogleich an die Arbeit, die ersten Schnitte und Designs zu entwerfen. Nach und nach wurden wir immer besser und unsere Latex Designs fanden sehr großen Zuspruch auf Partys und Verantstaltungen, wo wir zugegen waren. So entstand dann auch unsere erste kleine Kollektion, wozu zum Beispiel dieses Outfit gehört: Damen Blazer „ Ladylike 2012“ und Damen Humpelrock „Ladylike“.'' ''Unsere Latex Bekleidung kam super an und so entschlossen wir uns auch auf einer Modenschau in Nossen im November 2011 unsere Bekleidung zu präsentieren. Im Januar 2012 gingen wir dann den nächsten Schritt und haben uns mit LLdeSaxe Fashion selbstständig gemacht.'' ''Im Sommer 2012 sind wir zu unserem ersten Internationalen Auftritt in die Schweiz gefahren - In das schöne Berner Oberland nach Oensingen.'' ''Hier fand zum einen unser erstes professionelles Fotoshooting auf der Burg Neu-Falkenstein statt. Zum anderen haben wir unsere Latex-Design einem internationalen Publikum im Rahmen einer Modenschau vorgestellt. Hier wurden unsere Kreationen begeistert aufgenommen.'' ''Mitte des Jahres haben wir uns dann entschlossen, unsere Bekleidung fortan auch im Internet zu präsentieren – Zunächst auf einer kleinen, selbst erstellten Website. 2015 folgte dann der Umzug zu WEBneo um unsere Latex Outfits auch professionell online verkaufen zu können.'' ''Seit 2014 sind wir auch regelmäßig auf internationalen Modenschauen mit Präsentation und Verkauf vertreten, wie auf der Fetish Evolution in Essen (2014) und der Messe BoFeWo (2015).'' ''Seitdem arbeiten wir jeden Tag an unseren Kernkompetenzen und verfeinern unsere Designs, um unseren Kunden die beste Qualität und den höchsten Service bieten zu können.'' https://lldesaxe-fashion.de/wie-alles-begann --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:24, 16. Jan. 2021 (CET) ''Wir sind auf der Suche nach weiblichen Models aus dem Raum Dresden und Umgebung, die uns deutschlandweit auf angesagten Internationalen Fetish Messen als Model und Verkaufspersonal begleiten. Es werden weiterhin jährlich zwei große Fotoshootings mit professionellen Fotografen in Dresden und der Umgebung angesetzt, die zur Vermarktung unserer Produkte dienen sollen. Die Bilder sind sowohl für den Online Shop an sich, aber auch für die Social Media Kanäle, Print und den Digitalen Medien. Alle 3 Monate finden bei einer Abendveranstaltung zudem Team Buildings statt.'' ''Folgende Voraussetzungen solltet du dabei mitbringen:'' *''Du bist zwischen 18 und 35 Jahre alt,'' * ''hast eine Kleidergröße von maximal 36 bis 38'' * ''und bist mindestens 1,55 m groß.'' ''Wichtige Voraussetzungen sind:'' ''Du hast keine Berührungsängste mit Latex Kleidung, bist zeitlich flexibel, teamfähig und zuverlässig. Du kannst sicher posieren und auf High Heels laufen, bist offen im Umgang mit Kunden sowie sprach- und redegewandt. Wenn Du bereits Erfahrung im Bereich Modeverständnis und Styling hast, ist dies von Vorteil.'' ''Wenn Du nun Lust bekommen hast, bei einem innovativen und hochwertigen Latexlabel mitzuwirken, dann bewirb Dich bei uns. Jede bekommt bei uns eine Chance.'' ''Schreib uns eine Mail mit deinen Personen gebunden Eckdaten und stell Dich bei uns vor. Vielleicht gehörst du schon bald zu unserem Team. Wir freuen uns auf deine Bewerbung.'' ''Deine persönliche Vorstellung nach Terminvereinbarung erfolgt in unseren Geschäftsräumen:'' LLdeSaxe Fashion Schandauer Straße 23 B 01309 Dresden https://lldesaxe-fashion.de/werde-model-bei-lldesaxe-fashion vgl. https://www.facebook.com/Becca-de-Saxe-789572294522639/ Fetischmodel bei LLdeSaxe Fashion. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Latex wird aus dem Milchsaft des Kautschukbaumes gewonnen, welcher durch Räuchern und Walzen zu Kautschuk weiterverarbeitet und anschließend durch Vulkanisation zu einem stabilen Material wird. Weltweit gibt es zwar verschiedene Latexhersteller, bekannt sind jedoch vor allem 3 große Latex-Hauptproduzenten. Dabei unterscheiden sich deren Produkte zum Teil erheblich voneinander.'' ''Der Malaysische Rubber bietet zum Beispiel die größte Farbauswahl, enthält dabei aber auch die meisten chemischen Zusätze. Er wird in Asien hergestellt und auch verarbeitet.'' ''Radical Rubber stellt in Großbritannien seinen Latex her, welcher ein Spektrum von ca. 200 verschiedenen Farben bei weniger chemischen Zusätzen bietet.'' ''Wir von LLdeSaxe Fashion hingegen setzen für unsere Latex-Bekleidung auf den Latexproduzenten FOUR D Rubber aus England. Deren Premium-Latex ist nicht nur Fair Trade, es enthält auch so gut wie keine chemischen Zusätze und hat eine sehr hohe Qualität. Dabei bietet FOUR D Rubber mit über 70 Farben auf ökologischer Basis eine sehr große Auswahl. Unsere Latex-Bekleidung ist somit rein biologisch - bis hin zum Latex-Kleber.'' ''Auch wenn der m²-Preis um einiges höher ist, setzen wir aus Überzeugung auf FOUR D Rubber. Schließlich sind unsere Latex-Outfits damit auch besonders langlebig und komplett ökologisch abbaubar. Dies macht sich auch bei der Latexverträglichkeit positiv bemerkbar: Eine Kundin, die bereits eine Latex-Allergie entwickelt hatte, konnte völlig beschwerdefrei unsere Bekleidung tragen.'' ''Das Besondere an dem von uns verwendetem Premium-Latex ist sicherlich die aufgeraute Innenseite, weshalb sich unsere Latex-Bekleidung samtig weich anfühlt und nicht an der Haut klebt. Ein weiterer Vorteil ist die damit verbundene, deutlich geringere Schweißbildung. Nicht umsonst ist unser Motto: „Latex das anzieht“'' ''Die Latex-Produktion'' ''Gefertigt und produziert wird unsere Latex-Bekleidung in unserer Dresdner Manufaktur. Damit findet die Herstellung komplett in unserem Hause statt – Von der Erstellung der Schnittmuster, über die kostenfreie Maßanfertigung bis hin zum Versand. Nach Fertigstellung eines Latex-Outfits nehmen wir mehrere Qualitätskontrollen vor. Anschließend wird das Produkt gereinigt, poliert und anziehfertig eingepackt. Bei der Bestellung von Latex-Anzügen und Latex-Kleidern wird die Ware in einer limitierten Kleiderhülle mit unserem Logo verschickt. Alle anderen Produkte versenden wir vakuumverpackt zu Ihnen nach Hause. Danach heißt es nur noch: Anziehen – Wohnfühlen – Glücklich sein.'' https://lldesaxe-fashion.de/latex-das-material-seine-herstellung-und-verarbeitung --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:46, 16. Jan. 2021 (CET) ''Ende September ist es endlich wieder soweit: Die Bondage-Fetish-World, kurz BoFoWo – Deutschlands größte Messe im Bereich Fetisch und Bondage – öffnet für Szeneliebhaber wieder ihre Tore. Einmal pro Jahr findet sie in Hofheim am Taunus, nähe Wiesbaden statt. Vom 30.09. bis 02.10.2016 präsentieren hier wieder zahlreiche Aussteller ihre Produkte aus Lack, Leder & Latex sowie Kunst, Bücher, Filme und vieles mehr. Abgerundet wird die Messe durch ein attraktives Rahmenprogramm mit Workshops, Lesungen und Performances.'' ''Natürlich dürfen dabei auch wir von LLdeSaxe Fashion nicht fehlen! Mit einem der größten Messestände - ca. 25m² - und unserer größten Präsentationsfläche mit insgesamt 6 Leuten sind wir auch diesmal wieder auf der BoFoWo vertreten.'' ''An 3 Messetagen stellen wir Ihnen exklusiv unsere neuste Latex Kollektion vor. Wir haben aber auch ein breites Potpourri aus nahezu allen Produkten unseres Onlineshops für Sie im Angebot und diese können gleich gekauft und mitgenommen werden. Auf ausgewählte Produkte an unserem Aktionsständer bieten wir Ihnen sogar 10% Messerabatt an!'' ''Neben dem Verkauf steht Ihnen zusätzlich unserer exklusiver Fashion Point zur Verfügung. Am Fashion Point können Sie Ihr individuelles Outfit planen und bestellen. Dies umfasst Beratung, Information und Vermessung. Unser qualifiziertes Team berät sie gern.'' ''Die große Latex-Modenschau am Samstag bildet dann eins DER Highlights der Messe. Wer gern exklusive und einzigartige Latex Kleidung sucht, wird an unserem Messestand sicher fündig werden.'' https://lldesaxe-fashion.de/messe-spezial-die-bofewo-2016 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Unsere Kunden haben es bereits in verschiedenen Bewertungen bestätigt:'' ''Bei LLdeSaxe Fashion genießt der Kunde vollste Transparenz und Sicherheit bei seiner Bestellung. Sie haben die Möglichkeit, sich jederzeit in Ihr Kundenkonto über den aktuellen Status Ihrer Bestellung kundig zu machen. Haben Sie eine Frage zu einem Produkt oder wünschen sich eine individuelle Sonderbestellung? Kein Problem, wir melden uns immer in der Regel innerhalb von 24 Stunden bei Ihnen und erstellen zum Beispiel gern ein kundenorientiertes Angebot für Ihre Sonderbestellungen - Auch von Produkten, die Im Shop (noch) nicht angeboten werden.'' ''Ein Kunde fragte beispielsweise einmal nach einem Dalmatiner-Shorty an, passend zu seiner Latex-Maske, Stulpen und Pfoten. Wir designten also einen passenden Shorty in Weiß, schnitten schwarze Punkte aus und schicken dem Kunden einen möglichen Designvorschlag per Foto. Anschließend kleben wir sein Wunsch-Muster auf und sorgten so für einen echten Hingucker.'' https://lldesaxe-fashion.de/lldesaxe-fashion-kundenzufriedenheit-die-uns-begeistert --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:43, 16. Jan. 2021 (CET) ''Gute Nachrichten für alle Liebhaberinnen und Liebhaber der hochwertigen Latexbekleidung von LLdeSaxe Fashion: Wir haben unseren Fashion Point im Secret Desire in der Dresdner Neustadt für Sie ausgebaut und einen kompletten Stand mit unserer exklusiven Latexkleidung aus unserer Manufaktur installiert. Ab sofort finden Sie hier unter anderem Latex Anzüge, Latex Leggings, Kleider, Catsuits und vieles mehr für Damen und Herren. Natürlich haben wir auch die passenden Latex-Accessoires für Ihr individuelles Outfit. Die edlen Stücke gibt es in den Größen S, M und L. Kommen Sie einfach ins Secret Desire und probieren Sie sie an. Das Beste daran ist: Sie können die Latexbekleidung direkt kaufen und mitnehmen! Selbstverständlich finden Sie in unserem Fashion Point auch gleich die passenden Pflegeprodukte, damit Sie lange Spaß mit unseren Latex Outfits haben.'' https://lldesaxe-fashion.de/der-fashion-point-in-dresden-hat-jetzt-auch-latex-kleidung-direkt-vor-ort * ''Am Sonnabend eröffnet Jessica Vogt auf der Rothenburger Straße ein neues Lädchen für Drunterziehsachen: Secret Desire. Obwohl, ganz so neu ist das Lädchen nun auch wieder nicht. Schon seit November 2013 werden hier Schlüpfer, Strapse und andere Unterwäsche verkauft. Doch im Januar hatte die „fem2glam“-Chefin Dina Stiebing angekündigt, den Laden zu schließen. Der Grund dafür wartet zurzeit nur noch auf den richtigen Moment um mit einem kräftigen Schrei zur Welt zu kommen. Dina hatte schon damals erzählt, dass sie jemanden sucht, der den Laden übernehmen könnte. Das ließ sich Jessica Vogt nicht zweimal sagen. Die studierte Diplom-Ökologin hatte zuletzt als Imbiss-Frau an Katys Garage gearbeitet. Nun tauscht sie Würstchen gegen Mieder und stürzt sich in die Selbstständigkeit. „Die Sachen sind für den Tanz an der Stange geeignet“, grinst sie frivol. Im Wesentlichen bleibt der Laden, wie er ist. Ein bisschen wurde umgeräumt und die Umkleidekabine wird vergoldet. „Ich war Stammkundin bei Dina und bin der Meinung, dass der Laden weiter geführt werden muss.“ Am Sonnabend um 11 Uhr will sie zum ersten Mal die Türen öffnen. Es gibt Prosecco und Sushi und natürlich jede Menge Schlüpfer. Letzteres übrigens auch für Herren, das ist neu. Mal sehen, ob es Jessica gelingt, das sogenannte starke Geschlecht in ihr kleines Lädchen zu locken. Vorbesitzerin Dina Stiebing wünscht ihr auf jeden Fall schon mal viel Erfolg, Dinas Unterwäsche gibt es jetzt nur noch online (Domain zu verkaufen).'' [https://www.neustadt-ticker.de/45127/aktuell/nachrichten/secret-desire Es bleibt schlüpfrig auf der Rothenburger] 14. April 2016 Anton Launer Secret Desire – Neueröffnung Sexy Dessous, frivole Abendmode und coole Clubware. Rothenburger Straße 7, 01099 Dresden, Telefon: 0176 24942511, Montag bis Freitag: 11.30 bis 19 Uhr, Sonnabend 11 bis 17 Uhr, weitere Infos auf der Facebook-Site (Seite nicht verfügbar) [Twitter nur ein Eintrag von 2016] https://twitter.com/secret_desiredd [https://www.tag24.de/nachrichten/stammkundin-reizwaesche-shop-dessous-67148 STUDIERTE GRILLMIEZE VERKAUFT JETZT SCHLÜPFER] tag24 vom 18. April 2016 Von der Würstchen-Brutzlerin zur Dessous-Verkäuferin: Jessica (30) ist jetzt Chefin vom "Secret Desire". Von Tom Schmitdgen Dresden - Vom Grill ins Negligé - Jessica Vogt (30) übernimmt den Dessous-Laden „Secret Desire“ (vorher „Fem2Glam“) auf der Rothenburger Straße. Am Wochenende eröffnete sie das 60 Quadratmeter große Spezialgeschäft (500 BHs, Mieder, Bodys). Die studierte Ökologin stand zuletzt am Würstchengrill bei „Katys Garage“. Doch jetzt zog es sie in den Wäscheladen. Denn die vorherige Chefin Dina Stiebing (37) hatte ihren Reizwäsche-Shop vor zwei Wochen wegen ihrer Schwangerschaft geschlossen. „Ich war früher Stammkundin und wollte nicht, dass der Laden einfach schließt“, sagt die neue Dessous-Chefin. „In Zukunft plane ich auch Ausstellungen und erotische Lesungen im Geschäft. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:44, 16. Jan. 2021 (CET) === Entwürfe === [https://www.facebook.com/LatexFashionDesign/photos/a.516389838434004/5006789482727328/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/139067194_5006789486060661_7750722395006097503_o.jpg?_nc_cat=102&ccb=2&_nc_sid=730e14&_nc_ohc=lEzBHqNm134AX8pVTK_&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7efd93241f046fe67ca7028ca4eb0d2d&oe=6026DF5F “As delicate as flower, as tender as rose petals, choosing to be tender and kind in a harsh environment is not weakness, it's courage.” ― Luffina Lourduraj] (′′ So zart wie Blume, so zart wie Rosenblätter, die sich entscheiden, zart und freundlich in einer harten Umgebung zu sein, ist keine Schwäche, es ist Mut." - Luffina Lourduraj) - violetter Latexumhang --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:52, 16. Jan. 2021 (CET) == Satyamurti Cornelis Snoek == == Surfen== === Keala Kennelly === [[w:de:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] [[w:en:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] en [[w:fr:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] fr [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/ FB] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/131488510956/ 29. August 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/135850190956/ 6. September 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/280410355956/ Brrrrrrrr! Winter in the South Bay.] 29. Jan. 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/453009100956/ I won the Nelscott Reef Women's Big-wave Paddle-in event today. It was a nice distraction for a moment from all the pain of loosing my boy Andy.] Ich habe heute das Big-Wave-Paddle-In-Event der Nelscott Reef Women gewonnen. Es war eine schöne Ablenkung für einen Moment von all dem Schmerz, meinen Jungen Andy zu verlieren. - 4. November 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/472181295956/ Surfer Poll Pirate.] 12.12.2010 - noch Spaß [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150109351905957/ This is my new Donjoy Knee brace. This thing is serious. I feel like Robo-cop or something. Lets hope it works well in the water] (Dies ist meine neue Donjoy Knieorthese. Diese Sache ist ernst. Ich fühle mich wie Robo-Cop oder so. Hoffen wir, dass es im Wasser gut funktioniert) März 2011 Unfall 27.? August 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150320862555957/ The Phantom mask arrived and... It looks ridiculous! It's WAY too big. I am going to send it back. It was worth a try.] Die Phantommaske ist angekommen und ... Es sieht lächerlich aus! Es ist viel zu groß. Ich werde es zurückschicken. Es war einen Versuch wert. - 13. Oktober 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150632930575957/ That's a hell of a way to win the comeback of the year award, but hey I will take it Thanks TransWorld SURF!] (Das ist eine verdammt gute Möglichkeit, das Comeback des Jahres zu gewinnen, aber hey, ich werde es nehmen Vielen Dank, TransWorld SURF!) - 8. April 2012 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151360156120957/ It's been almost 2 years since my surfing accident in Tahiti... I see a swell... Time to get back on that horse.] (Es ist fast 2 Jahre her seit meinem Surfunfall in Tahiti ... Ich sehe einen Wellengang ... Zeit, wieder auf dieses Pferd zu steigen.) Am 3. Dezember 2013 hielt Keala auf der TEDx Malibu einen Vortrag über Lust und Surfen: "Ich bin Keala Kennelly und ich bin ein Surfer." https://www.youtube.com/watch?v=eSvsrzPCZ5o [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151899575820957/ 12.März 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155122831665957/ Me and the champ @paigealms a few years back about to go slay dragons somewhere cold. I would have loved to compete with you in the @wsl #maverickschallenge this year. Too bad Mother Nature didn’t cooperate. Congratulations on your #bigwave #worldtitle I’m so very proud of you my friend] März 2014 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430223345957/ 21. Dezember 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430284150957/ 21. Dez. 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155610476290957/ 27. Okt. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155708213405957/ 16. Dez. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155808808865957/ 5. Febr. 2019] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:36, 1. Jan. 2021 (CET) ==Wasserballet == [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157432917 nackte nymphe] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157692623 nymphe 2] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755467 Underwater Ballet. Ballerina performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755487 Underwater Ballet. Ballet dancers performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/dancing-vision-013-lizenzfreies-bild/983042290 Dancing Vision 013 unterwasser in rot und weiß] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3246570 Submarine Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert, Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3332495 Water Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert/Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818228 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818227 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/utah-orem-female-ballet-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/163445400 USA, Utah, Orem, Female ballet dancer under water] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-fashion-pool-party-young-woman-diving-at-lizenzfreies-bild/838059614 Underwater fashion pool party, Young woman diving at swimming pool] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/women-rehearsing-for-water-ballet-lizenzfreies-bild/522170012 Women Rehearsing for Water Ballet (Original Caption) Submerged ballerinas rehearse for a show at Leisure World in Laguna Hills, California.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/639988160 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-girl-lizenzfreies-bild/642637812 Underwater Girl. Beautiful young ballerina dancing inside the swimming pool] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/51309459 Aquatic Ballet From 'La Folies Bergere'. Two actors dance during the performance of an aquatic ballet at the 'Folies Bergere,' Paris, France, July 1952. (Photo by Nat Farbman, The LIFE Picture Collection)] * [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/50651216 Bild 2] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/figurine-to-one-of-the-rhine-daughters-for-the-nachrichtenfoto/1155868795 Figurine To One Of The Rhine Daughters For "The Rhinegold" By Richard Wagner Figurine to one of the Rhine daughters for "The Rhinegold" by Richard Wagner, circa 1913. Found in the Collection of Theatre Museum, Vienna. Artist Moser, Koloman (1868-1918). (Photo by Fine Art Images] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/das-rheingold-1st-scene-at-the-bottom-of-the-rhine-nachrichtenfoto/919717270 Das Rheingold. Das Rheingold, 1st scene, at the bottom of the Rhine. Bayreuth, 1896, 1896. Found in the Collection of Veste Coburg. (Photo by Fine Art Images)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215747 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-diver-dressed-as-a-mermaid-swims-during-a-show-nachrichtenfoto/77215732 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) A female diver dressed as a mermaid swims during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215749 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/young-woman-in-pool-and-synchronized-swimming-lizenzfreies-bild/1125338066 Young woman in pool and synchronized swimming.] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/girls-practicing-lizenzfreies-bild/1001603246 Girls practicing synchronised swimming] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/female-dancer-performing-under-water-lizenzfreies-bild/107227572 Female classic dancer performing under water in huge red flamenco dress] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/635847936 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/gracefull-female-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/1218911725 gracefull female dancer, ballerina, performing under water in evening dress] [https://www.gettyimages.de/fotos/wasserballet?page=62&phrase=wasserballet&sort=mostpopular Wasserballet] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:46, 10. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=3304759069569835&set=pb.100001073237260.-2207520000..&type=3 Unterwasser Pool Dance] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:55, 1. Apr. 2021 (CEST) == Stammtisch == == Film == [[w:de:Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme|Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme]] [[w:de:Onibaba – Die Töterinnen|Onibaba – Die Töterinnen]] 22.11.1974 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Police_women_(Suzuki),_colored_version.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rally_Finland_girls_at_the_2004_Rally_Finland.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2017_%EF%BC%88%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%B5%E3%83%AD%E3%83%B32017%EF%BC%89-145_(32324539015).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2014_with_NAPAC_069_(11928415683).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Auto_Salon_2019_(46716676402).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2018-10_(39796580051)_(2).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4064234086).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4056011396).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_43rd_Tokyo_Motor_Show_2013_PENTAX_K-3_173_(11248257665).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-42_(38007568292).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-40_(24186220808).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-41_(38038306141).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binary_Domain_stick_em_up.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Biker_girl_(1869378328).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bianca_Beauchamp_E3.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Alexis_Sinclaire_from_Sin.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC02787_(25113378).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC06667_(5812038000).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2010_._._(4705546060).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Firefall_4_5_(7794135388).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geleos_Media_girl_(3538443656).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_E3_2011_No.21.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joanna_Dark_GC_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nival_girl_on_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nova_Online_girls.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Samus_and_Link_at_Igromir_2012_2.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Royal_Quest_girls_of_Igromir_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yet_Another_Booth_Babe_(14703146).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2017_20170922-DSC_2297_(37593917581).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018_(29698389636).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018(29442725600).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2015_19_(21355000028).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108514369).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108565470).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2014_068_(15120325928).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thermaltake_Technology_promotional_models_at_Computex_20140604a.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Paris_-_Salon_de_la_moto_2011_-_BMW_-_C_650_GT_et_h%C3%B4tesses_-_004.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bayonetta_at_Igromir_2009_(4081240065).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crytek_booth-babe_from_Games_Territory_2008_(2986745404).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crytek_booth-babes_from_Games_Territory_2008_(2986745314).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2011_-_Vindictus_girl_(Nexon)_(5831895796).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girl_at_Igromir_2012_(8057057026).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149130470).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149152274).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192248).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Green_girl_from_Igromir_2007_(1869368430).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(29440043834).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(30016564876).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3011794487).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3012636224).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PAX_2009_-_Bayonetta_(3908301541).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Penny_Drake_dressed_as_Bayonetta_-_E3_2009_(4980795423).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Scythe_lady_(5811227302).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Warhammer_40K_at_Gamescom_(20451073662).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:WH40K_at_Gamescom_2015_(20241517278).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2017-Wednesday-007_(35929619784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2015-269_(20371168485).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_4.jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_5.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2016-267_(29073160575).jpg --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:04, 3. Jan. 2021 (CET) == Second live == === Outfits === [https://marketplace.secondlife.com/p/chainZ-HoodPlug/13281161 SX - HoodPlug (rezz to unpack) Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/SX-Bondage-Bolero-Maitreya/14717859 SX - Bondage Bolero MP Box] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Gloves-Hoof-Latex-INITHIUM-Kupra/20425014 AURORA Pony Sabina Gloves Hoof Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Latex-Set-INITHIUM-Kupra/20425011 AURORA Pony Sabina Latex Set] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHBLatex-Doll03-pony-BootsMittens-BOX/18385199 DHB Latex Doll03 pony Boots&Mittens - BOX] [https://slm-assets.secondlife.com/assets/27296581/view_large/a3.jpg?1599549736 GRAVES Proximity - Clear - latex bodysuit, catsuit, plugsuit, undersuit - Maitreya and Omega appliers] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Mesh-Bodybinder-Latex/2939506 Kcreations Mesh Bodybinder - Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Pony-Thighboots-with-28-selectable-textures-Patent-12/3120590 Kcreations Pony Thighboots with 28 selectable textures (Patent) 1.2] [https://marketplace.secondlife.com/p/090-Lilith-HuPony-Female/20951830 #090 Lilith HuPony Female] [https://marketplace.secondlife.com/p/CortesnRossini-Woman-Catsuit-St-Valentines-Gift/970294 St. Valentin's Gift] rosa [https://marketplace.secondlife.com/p/trinixxx-Full-Body-Latex-Armour-FATPACK/17094076 trinixxx Full Body Latex Armour] FATPACK [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-FatPack/20874686 AURORA Rebecca] FatPack [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Latex-set/20874685 AURORA Rebecca] Latex set [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Plastic-set/20874684 AURORA Rebecca] Plastic set [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Opaque-latex-catsuits/9134751 MdlM Opaque latex catsuits Version 4] - 27 opaque latex catsuits appliers + 6 military camouflage catsuits [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Transparent-latex-catsuits/9134753 MdlM Transparent latex catsuits Version 4] - 27 transparent latex catsuits appliers + 2 pairs of pasties (top and bottom) [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Clear-latex-catsuits/9134746 MdlM Clear latex catsuits Version 4] - 27 clear latex catsuits appliers + 3 invisible [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Latex-catsuits-Fatpack/9134750 MdlM Latex catsuits Fatpack Version 4] - all the 4 latex catsuits variants (opaque, sheer, transparent and clear), so features 27x4 latex catsuits appliers + 21 bonuses [https://marketplace.secondlife.com/p/AtaMe-Gabriella-Latex-Boots-Black-Maitreya-Hourglass-Legacy/20430661 AtaMe - Gabriella Latex Boots Black] [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Hobble-Dress/15078580 KaS Hobble Dress] - 3 versions: short-, knee- and ankle-length. It has the option to hide the cutouts on the back, allowing you to expose the torso, the butt, the legs - or all of them. For the sleeves you have 4 options. You can wear the dress sleeveless, with short sleeves, long sleeves or with mittens. [https://marketplace.secondlife.com/p/BellaBee-Latex-Dress-Romy/20974468 BellaBee Latex Dress Romy] kleines Schwarzes - schräg [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Fatpack-Mesh/4593676 ROSAL TUEUR2 Complete Set] - Fatpack (Mesh) - Neck Corset - Waist Corset - Gloves - Thigh-high Platform Boots - Thigh-high Ballet Boot [https://marketplace.secondlife.com/p/CA-BELLEZA-MAITREYA-SLINK-TONIC-X-RIDER-COMPLETE-COLLECTION/16812678 CA BELLEZA MAITREYA SLINK TONIC X RIDER COMPLETE COLLECTION] [https://marketplace.secondlife.com/p/FUTURETRO-2020-SciFi-Star-Fleet-Stylized-Power-Suit-Trek-Cosplay-Space-Crew-Dress-Jacket-Skirt-Six-Colors-in-FATPACK/18446413 FUTURETRO 2020 SciFi Power Suit - FATPACK] Six colors each: Red Gold Blue Aqua Pink Green Jacket, Skirt and full Suit-dress options [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-black-with-white-highlights/15509661 Latex nun black with white highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-white-with-black-highlights/15509662 Latex nun white with black highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-Red-Dress/2373909 GZ Fetixxx Latex Masked Red Dress] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-White/2373920 GZ Fetixxx Latex Masked White] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latexhood-XTREM/4326081 Latexhood / Mask V9.2.1 Box CnT] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/AdelleArts-Liquid-Latex-Doll/4728304 AdelleArts Liquid Latex Doll] schwarz klassisch [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Sex-Doll-Rubber/2046393 GZ Fetixxx Latex Sex Doll Rubber] Kondomanzug hautfarben [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-black-coloured-condom-dolly-latex-suit-applier/20911340 Maitreya black coloured condom dolly latex suit applier] catsuit schwarz mit roten Kondomen [https://marketplace.secondlife.com/p/VS-LTX-Forza-Complete-Body-Accessories-pack/14368213 VS - LTX Forza - Complete Body Accessories pack] Korsett + Halskorsett - lange Stiefel + Handschuhe Latex schwarz/rot -weiß/rot [https://marketplace.secondlife.com/p/KDC-Avara-Latex-Hood-Malefica-addon/17535880 KDC Avara Latex Hood - Malefica addon] weißes Gesicht/schwarz [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Gloves-Multicolor-Mesh/4815024?ple=h ROSAL UNMEI Gloves - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Gloves-Black-FitMesh/3829148 ROSAL VIRON-M Gloves - Black (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Thigh-Ballet-Boots-Multicolor-Mesh/4815198 ROSAL UNMEI Thigh Ballet Boots - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Complete-Set-Red-FitMesh/6730139 ROSAL VIRON-M Complete Set - Red (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-LISSE-Sculpted-Latex-Neck-Corset-Red/1660350 ROSAL LISSE Sculpted Latex Neck Corset - Red] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-STEAM-Neck-Corset-Multicolor-Mesh/5192603 ROSAL STEAM Neck Corset - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Red-Mesh/4593346 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Red (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Black-Mesh/4593347 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Black (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Mesh-DEMO/4593675 ROSAL TUEUR2 Complete Set (Mesh) *DEMO*] [https://marketplace.secondlife.com/p/Full-Hood/19642641 Full Hood Version v1.02] Rebel Pony Hood [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Ballet-Boots-Big-Bundle-Demo/15078564 *KaS* Strapped Ballet Bundle (Demo) Version 1.01] [https://marketplace.secondlife.com/p/PROMO-150L-OFF-SALE-Drakke-Obsession-Fetish-Crotch-High-BootsLatex-White/1478283 PROMO $150L OFF SALE Drakke! "Obsession" Fetish Crotch High Boots(Latex White)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10/6184360 Moyet Gasmask v.1.0] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10-IrO-AddOn/6184380 Moyet Gasmask v.1.0 IrO AddOn] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetBlackUniform/5847036 Moyet *BlackUniform] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetPrisoner/6030677 Moyet *Prisoner!] ==== RLV ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-hecate-helmet/14872058 NGW hecate helmet Version 1] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-cult-hat/20355133 NGW cult hat box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-v102/11367411 NGW Danaide hood v1.01 Version 1.02] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-demo/11367412 NGW Danaide hood demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-fatpack-helene-addons/20992886 NGW fatpack helene addons] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-helene-hood-bento/20540754 NGW helene hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-helene-box/21426731 NGW gimp helene box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-box/12089210 NGW gimp hood RM v1.01 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-demo-box/12089209 NGW gimp hood RM v1.01 demo (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-v1-box/12166443 NGW gimp hood fatpack v1 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-V1-demo/12166582 NGW gimp hood fatpack V1 demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Aphrodite-hood-v102/9567240 NGW Aphrodite hood v1.02 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Venus-Hood-Complete-Fatpack-box/15554401 NGW Venus Hood Complete Fatpack (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-tea-hood/19273665 NGW tea hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box/13309214 NGW theia hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box-demo/13309215 NGW theia hood box demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-v1-boxed/12717546 NGW puffy hood v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-Demo-v1-boxed/12717545 NGW puffy hood Demo v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Capture-SackRLV-LZ/15200777 Latex Capture Sack,RLV] [https://marketplace.secondlife.com/p/DEMO-HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3368648 DEMO HybridZ Latex Atemkontrolle Black FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Jail-Cell-with-RLV/2982858 Latex Gefängniszelle (mit RLV!)] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHB-Latex-Hood-customized/11656464 DHB Latex Hood (customized)] [https://marketplace.secondlife.com/p/SubChair-2-Latex-RLV-BDSM-Captive-Project/1065214 SubChair 2 Latex RLV BDSM - Captive Project Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/Bane-Hood/19694442 Bane Hood] Fluch-Maske :: Comes with 3 versions of the hood that can be toggled via menu: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (for open mouth animations) -::Rigged Hood ::Comes with its own resize scripts for the unrriged hoods. ::The rigged hood cannot be resized and its shape will depend on the wearers head shape. ::Color and textures of the hood can be adjusted using the menu. ::Has 5 additional surfaces (Front, Top, Back, Left and Right) that can be textured independently with your own custom textures. ::Easy to set up custom textures for the 5 additional surfaces, by adding the textures to the hood inventory and editing a notecard. ::In order to work custom textures must be full perm. This is an SL limitation. ::Comes with UV maps of each additional surfaces to help creating your own textures. ::Can be locked in place if the victim is using an RLV enabled viewer. ::Owners can be set. ::Kommt mit 3 Versionen der Haube, die über das Menü umgeschaltet werden können: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (für Animationen mit offenem Mund) ::-Rigged Hood ::Kommt mit seinen eigenen Skripten zur Größenänderung für die nicht manipulierten Hauben. ::Die Größe der manipulierten Kapuze kann nicht geändert werden und ihre Form hängt von der Kopfform des Trägers ab. ::Farbe und Textur der Haube können über das Menü eingestellt werden. Verfügt über 5 zusätzliche Oberflächen (vorne, oben, hinten, links und rechts), die unabhängig voneinander mit Ihren eigenen benutzerdefinierten Texturen strukturiert werden können. ::Einfache Einrichtung von benutzerdefinierten Texturen für die 5 zusätzlichen Oberflächen durch Hinzufügen der Texturen zum Haubeninventar und Bearbeiten einer Notizkarte. ::Um zu arbeiten, müssen benutzerdefinierte Texturen eine vollständige Dauerwelle haben. Dies ist eine SL-Einschränkung. ::Kommt mit UV-Karten jeder zusätzlichen Oberfläche, um Ihre eigenen Texturen zu erstellen. ::Kann an Ort und Stelle gesperrt werden, wenn das Opfer einen RLV-fähigen Viewer verwendet. ::Besitzer können eingestellt werden. [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3171296 HybridZ Latex Atemkontrolle Black - FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle™ - Modify - Copy - No Transfer ::Inspired by the artwork of Chio Maisriml. See below for details on where to find his work. ::A big thank you to Regan for all his help and hard work. ::Please note that you have to be using a Restrained Love compatible Viewer with ❋MESH❋ capabilities to take FULL advantage of the many features of this Atemkontrolle. Please also be aware that to experience the full effect of the Blindfold feature you must be running the latest version of the Restrained Love Viewer. See below for details on how to find the Restrained Love and Mesh Viewers. ::Use: ::- To use your HybridZ Latex Atemkontrolle simply wear all the parts. ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle ™ - Ändern - Kopieren - Keine Übertragung ::Inspiriert von den Kunstwerken von Chio Maisriml. Weiter unten erfahren Sie, wo Sie seine Arbeit finden. ::Ein großes Dankeschön an Regan für all seine Hilfe und harte Arbeit. ::Bitte beachten Sie, dass Sie einen Restrained Love-kompatiblen Viewer mit "MESH" -Funktionen verwenden müssen, um die vielen Funktionen dieser Atemkontrolle voll ausnutzen zu können. Bitte beachten Sie auch, dass Sie die neueste Version des Restrained Love Viewer ausführen müssen, um die volle Wirkung der Funktion "Augenbinde" nutzen zu können. Weiter unten finden Sie Details dazu, wie Sie die Restrained Love- und Mesh-Zuschauer finden. ::Benutzen: ::- Um Ihre HybridZ Latex Atemkontrolle zu verwenden, tragen Sie einfach alle Teile. Due to the nature of the MESH parts please make sure you wear the included Body Shape or you will find the various parts will not fit or work correctly. Please also note that these parts should never been stretched or resized in anyway. Doing so will break the items. Aufgrund der Beschaffenheit der MESH-Teile stellen Sie bitte sicher, dass Sie die mitgelieferte Körperform tragen. Andernfalls werden die verschiedenen Teile nicht richtig passen oder funktionieren. Bitte beachten Sie auch, dass diese Teile ohnehin niemals gedehnt oder in der Größe verändert werden sollten. Dadurch werden die Gegenstände zerbrochen. *- Also included in the box is a Body Alpha. The Alpha must be used in conjunction with the Atemkontrolle avatars attachments. *- The default attachment points are included in each attachment name and are listed below: *Latex Atemkontrolle - MOUTH *Latex Atemkontrolle (Skull) - SKULL *Latex Atemkontrolle Breath Particles (Left Hand) - LEFT HAND *Leash Handle - LEFT HAND *- Please note the Atemkontrolle must be "LOCKED" before any of the following RLV functions become active. *- Please also remember that the "Deny Friend" TP button will always work for you and your Atemkontrolle, this is more a safety feature, anyone not on the Atemkontrolle's access will still be blocked from sending a TP *- Ebenfalls im Lieferumfang enthalten ist ein Body Alpha. Das Alpha muss in Verbindung mit den Atemkontroll-Avatar-Anhängen verwendet werden. *- Die Standardanhangspunkte sind in jedem Anhangsnamen enthalten und werden nachfolgend aufgeführt: *Latex Atemkontrolle - MUND *Latex Atemkontrolle (Schädel) - SCHÄDEL *Latex Atemkontrolle Atempartikel (linke Hand) - LINKE HAND *Leinengriff - LINKE HAND *- Bitte beachten Sie, dass die Atemkontrolle "GESPERRT" sein muss, bevor eine der folgenden RLV-Funktionen aktiv wird. *- Bitte denken Sie auch daran, dass die TP-Schaltfläche "Freund verweigern" immer für Sie und Ihre Atemkontrolle funktioniert. Dies ist eher eine Sicherheitsfunktion. Jeder, der nicht über den Zugriff der Atemkontrolle verfügt, kann weiterhin keine TP senden *Latex Atemkontrolle Menu Driven Features: *The following menus can only be accessed once all the attachments are worn. *Then simply click on the Atemkontrolle's Face. *Once the Lock command is selected it will effect all the worn parts making them all undetachable. This removes the need for each part to be locked seperately. *-OWNERS - Ownership Ability allows you to add owners and give them access to the menus. Simply click on the Atemkontrolle, go to 'OWNERS' and select 'Add OWNER'. Then choose the appropriate button number to add the person you want And your done! *- LOCK - Locks all the Atemkontrolle's attachments. *- UNLOCK - Unlocks all the Atemkontrolle's attachments. *- LOCK SKIN - Locks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- UNLOCK SKIN - Unlocks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- BLOCK TP - Blocks all forms of Teleport, TP to Landmarks, TP to Map Locations, TP to Friends and TP to Sit on Objects. * - GAG - Prevents the Atemkontrolle from talking. * - UNGAG - Allows the Atemkontrolle to talk again. *- BREATHE ON - Turns Breathe sound effects on for use in breath play. *- BREATHE OFF - Turns Breathe sound effects off. *- BLINDFOLD - Turns the Atemkontrolle's Blindfold on. *- REM BLIND - Turns off the Atemkontrolle's Blindfold. *- UPDATE - Checks for any upgrades to your product (Note: You must be in range of the Update Server located at the HybridZ Main Store.) *- FREEZE - Freezes the Atemkontrolle to the spot preventing any kind of movement. *- UNFREEZE - Unfreezes the Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isolates the Atemkontrolle from interacting in the SecondLife Environment, Inventory access denied edit objects TP etc, IM to locker/OWNER only permitted for safety reasons. *- REM ISO - Turns off Isolation *Menügesteuerte Funktionen des Latex-Atemkontrollgeräts: *Auf die folgenden Menüs kann nur zugegriffen werden, wenn alle Anhänge abgenutzt sind. Dann klicken Sie einfach auf das Gesicht der Atemkontrolle. Sobald der Befehl Sperren ausgewählt ist, wirken sich alle verschlissenen Teile auf sie aus und machen sie alle abnehmbar. Dadurch entfällt die Notwendigkeit, jedes Teil separat zu verriegeln. *-OWNERS - Mit Ownership Ability können Sie Eigentümer hinzufügen und ihnen Zugriff auf die Menüs gewähren. Klicken Sie einfach auf die Atemkontrolle, gehen Sie zu 'EIGENTÜMER' und wählen Sie 'EIGENTÜMER hinzufügen'. Wählen Sie dann die entsprechende Schaltflächennummer, um die gewünschte Person hinzuzufügen, und fertig! *- LOCK - Sperrt alle Anbaugeräte der Atemkontrolle. *- ENTSPERREN - Entsperrt alle Anhänge der Atemkontrolle. *- LOCK SKIN - Sperrt die Haut und Form der Atemkontrolle. *- HAUT ENTSPERREN - Schaltet die Haut und Form der Atemkontrolle frei. *- BLOCK TP - Blockiert alle Formen von Teleport, TP zu Orientierungspunkten, TP zu Kartenpositionen, TP zu Freunden und TP zum Sitzen auf Objekten. *- GAG - Verhindert, dass die Atemkontrolle spricht. *- UNGAG - Ermöglicht der Atemkontrolle, erneut zu sprechen. *- BREATHE ON - Schaltet Breathe-Soundeffekte für die Verwendung im Atemspiel ein. *- ATMEN AUS - Schaltet die Soundeffekte zum Atmen aus. *- BLINDFOLD - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle ein. *- REM BLIND - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle aus. *- UPDATE - Überprüft, ob Upgrades für Ihr Produkt durchgeführt wurden (Hinweis: Sie müssen sich in Reichweite des Update-Servers befinden, der sich im HybridZ Main Store befindet.) *- EINFRIEREN - Friert die Atemkontrolle an der Stelle ein, um jede Art von Bewegung zu verhindern. *- UNFREEZE - Entfriert die Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isoliert die Atemkontrolle von der Interaktion in der SecondLife-Umgebung, Inventarzugriff verweigert Bearbeitungsobjekte TP usw., IM an Schließfach / EIGENTÜMER nur aus Sicherheitsgründen zulässig. *- REM ISO - Deaktiviert die Isolierung *Once an Owner has been added to the list they can click on the Atemkontrolle to get an extended features list. All the above functions will be present but with the following additional buttons: *- CLOTHING - Allows removal of individual clothes, also ALLOW ALL/ DENY ALL controls whether your Atemkontrolle can wear or remove clothing. *- Though this Menu option is still present please be aware that clothing layers cannot be worn on top of a MESH Avatar. *- GIVE - Dispenses a copy of the Leash Handle/Leash Post or Instructional Notecard to the owner. The Leash Handle is worn on the LEFT HAND. *Once an Owner is wearing the Leash Handle they can then click it to access the LEASH,UNLEASH and LEASH LENGTH options. *Additionally whilst the Atemkontrolle is leashed the owner may rez a Leash Post and click on the ring to leash the Atemkontrolle to the Post. Clicking on the Leash Handle transfers the leash back from the Post to the Handle. *- Please note if the Atemkontrolle is leashed without the Owner wearing the Leash Handle the leash will attach to the Owner at the default 'Pelvis' point. *Additional Features: **- Locking Sound Effects when certain parts are Locked and Unlocked. **- Latex Rub Sound Effects upon walking. *Sobald ein Eigentümer zur Liste hinzugefügt wurde, kann er auf die Atemkontrolle klicken, um eine erweiterte Funktionsliste zu erhalten. Alle oben genannten Funktionen sind vorhanden, jedoch mit den folgenden zusätzlichen Tasten: *- KLEIDUNG - Ermöglicht das Entfernen einzelner Kleidungsstücke. Außerdem erlaubt ALLOW ALL / DENY ALL, ob Ihre Atemkontrolle Kleidung tragen oder entfernen kann. *- Obwohl diese Menüoption immer noch vorhanden ist, beachten Sie bitte, dass Kleidungsschichten nicht über einem MESH-Avatar getragen werden können. *- GEBEN - Gibt eine Kopie des Leinengriffs / der Leinenpost oder der Anweisungsnotizkarte an den Eigentümer aus. Der Leinengriff wird an der LINKEN HAND getragen. *Sobald ein Besitzer den Leinengriff trägt, kann er darauf klicken, um auf die Optionen LEASH, UNLEASH und LEASH LENGTH zuzugreifen. *Während die Atemkontrolle an der Leine geführt wird, kann der Besitzer zusätzlich einen Leinenpfosten rezzen und auf den Ring klicken, um die Atemkontrolle an den Pfosten zu führen. Durch Klicken auf den Leinengriff wird die Leine vom Pfosten zurück zum Griff übertragen. *- Bitte beachten Sie, dass die Leine an der Leine geführt wird, ohne dass der Besitzer den Leinengriff trägt. Die Leine wird am Standardpunkt „Becken“ am Besitzer befestigt. *Zusatzfunktionen: **- Sperren von Soundeffekten, wenn bestimmte Teile gesperrt und entsperrt sind. **- Latex Rub Sound Effekte beim Gehen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:29, 24. Feb. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-BDSM-RLV-Doll-Dollification-RP-Latex-Spray-Gun/413305 HybridZ BDSM RLV Doll Dollification RP Latex Spray Gun] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 2. Mär. 2021 (CET) ==== Haare ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Domela/13427270?ple=c EdelStore Mesh Hair - Domela (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Delmira/13426185 EdelStore Mesh Hair - Delmira (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/G-Draya-Hairbase/21054117 G.- "Draya" Hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/ARGRACE-SAYURI-BW/17349859?ple=c ARGRACE* SAYURI - B&W] [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Grae-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/11267667 Tameless Hair Grae - Naturals] Includes OMEGA applier for hairbase [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Kit-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/10498687 Tameless Hair Kit - Naturals with OMEGA Appliers for hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Claire-bxd-wear-me/19250905 KoKoLoReS Hair Claire bxd - wear me] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Lesley-bxd-wear-me/19842667 KoKoLoReS Hair Lesley bxd - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Quinn-20-Hud-Naturals/16067064 KoKoLoReS Hair - Quinn 2.0 - Hud Naturals - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/Sintiklia-Hair-Talia-Fatpack/19564600 Sintiklia - Hair Talia - Fatpack] [https://marketplace.secondlife.com/p/Y-U-JOANA-MULTIPACK-WOMENS-BOXED/19006551 Y-U: JOANA "MULTIPACK" WOMEN'S BOXED] [https://marketplace.secondlife.com/p/EMO-tions-TRAGEDY-BLACKWHITE/12152278 .:EMO-tions.. *TRAGEDY* -BLACK/WHITE] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:00, 2. Mär. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/NO-Pixie-Cut-Tattoo-Purple-Mix/7393394 (NO) Pixie Cut (Tattoo) - Blonde] [https://marketplace.secondlife.com/p/OS-Appliers-Base-Hair-Diva-Black-OmegaCatwa-Lelutka/16273465 !OS! Appliers Base Hair Diva Black - Omega/Catwa/ Lelutka] [https://marketplace.secondlife.com/p/nomatch-NOCOMMISSION-Pack-of-BLACKS/15922487 no.match_ ~ NO_COMMISSION ~ Pack of BLACKS] [https://marketplace.secondlife.com/p/dafnis-fat-pack-hairbase-01-for-CATWA-Demo/18658974 *dafnis fat pack hairbase 01 for CATWA Demo] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:19, 2. Mär. 2021 (CET) === Personen === Freunde finden ist nicht leicht in einer Welt, in der sich jeder selbst der Nächste ist, wo Egoismus und Lügen zur vorherschenden Tugend gehören. Sei ehrlich mit mir, lüg mich nicht an, dann bin ich für dich da und gehe mit dir durchs Feuer. Bei Intrigen, Hass und Missgunst und weitererzählen irgendwelcher Gerüchte fackel ich nicht lange und sortiere aus. Secondlife soll Spaß machen und nicht das Leben noch schwerer durch Menschen, die hier rumlaufen und nur glücklich werden, wenn sie anderer Partnerschaft, Freundschaft und Vertrauen zerstören können. Wacht auf Leute, das Leben findet draußen statt! Diese Welt hier ist eine Plattform, um andere kennen zu lernen und Spaß zu haben und nicht, um sich gegenseitig emotional abzuschlachten! Cordula Debbel von DavidSmith1978 https://www.youtube.com/watch?v=uSbxCX2LVps Cordula Grün Kinder mit Behinderung sind nicht krank, sie brauchen keine Therapie. Sie brauchen Akzeptanz. Ein 15 Jahre altes Mädchen hält die Hand von ihrem 1 jährigem Sohn. Leute nennen sie eine Schlampe. Niemand weiß, dass sie mit 13 Jahren vergewaltigt wurde. Leute nennen einen Mann fett. Niemand weiß, dass er eine schwere Krankheit hat, durch die er übergewichtig ist. Leute nennen einen alten Mann hässlich. Niemand weiß, dass er eine schwere Verletzung im Gesicht hatte, während des Kampfes für sein Land im Krieg. Poste dies, wenn du gegen Mobbing bist. Ich hoffe ihr gehört zu den 7% die es kopieren ... !!! Cordula Debbel Cosmopolitan and Hello Tuesday Events. Join to stay informed about our events. Blog: http://cosmopolitansl.blogspot.com/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:26, 4. Jan. 2021 (CET) Ich bin schon so lange hier und ziehe Bilanz: Ich bin hier in SL wegen der Menschen. Sie können eine innere Heimat werden, gute Freunde, jemand der so sehr mein innerstes kennt, wie niemand in meinem 1. Leben. Manchmal trifft man hier jemand und es ist magischSofortigesVerstehen, Zusammengehörigkeitsgefühl und das Bedürfnis bei dieser Person sein zu wollen. Lachen, das bis in mein reales Leben nachhallt und mich dort weiterhin aufmuntert. Danke dafür!!! Ruediger Blister --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 9. Jan. 2021 (CET) Sl ist schon ganz schön Verrückt einige Leute leben Wirkliich in einer Echten Scheinwelt weit ab vom Realen leben, und sie kommen sich auch noch verdammt Wichtig vor weil sie gewisse Rechte haben, find ich echt toll viel Glück mit eueren Rechten,scheibt sie euch dahin wo die Sonne zum schluss auf geht. Kathrin de Boer (kathrindeboer) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:54, 9. Jan. 2021 (CET) first sl join January 2007/second sl jion August 2011 maybe older than you but not stupid lol SL ist kein Spiel......es ist eine Schnittstelle SL is not a game ...... it is an interface JasonCastello --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:59, 9. Jan. 2021 (CET) Just taking a break and chilln out a while My interests in SL r: surfing, skydiving, base jumpn, horseback riding, scuba, cyclist and solo dancen, so far. Not interested in SL relationships other than friends. Cindy (honeypotness) Menschen, die zusammen gehören, egal auf welche Art und Weise finden immer wieder zusammen. Es ist egal was zwischen ihnen passiert ist, wie viele Fehler gemacht wurden und wieviel Zeit vergangen ist. Es ist egal,wie fern sie sich sind, sie werden sich trotzdem immer nahe sein... Tamina Bikergrrl --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:52, 11. Mär. 2021 (CET) === Surfing === Cielo *Cielo is currently majestic ruins you can surf through, set on the corner of a 5 sim Surfing beach island. *Travel the world, from east to west on this island, surfing different terrains and waves. ** Arcania Bay, Canada, Cielo (35, 177, 85) Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance *Welcome to Kia Kaha - The home of Vibes! *"Kia Kaha" is a Māori phrase meaning "Stay Strong" A subtle reminder to the core surfing family. *Public access surf sim with rezz zone and Flow board rezzer. ** Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance, Kia Kaha (128, 94, 22) Medow Rose - Templeton Farm *The moonlight sent pale shards skipping across the rippling water and silhouetting the landscape in deep soft bues and blacks. *She drew a contented breath as she sank deeper into his arms, *Meadow rose is just the start of the story.. Great place to ride ur horse ** Mopire City, Mopire (73, 191, 62) NanoGunk Main Store - Cigar Yachts *A beach with some nice waves ** NanoGunk Main Store - Cigar Yachts, NanoGunk (62, 32, 22) One Love Beach ~ Home of SurfCrazy ~ *No lag...no conflict..surf... *And as my opinion...Best place to surf in SL so far..... still ** One Love Beach - Surf Great Waves, Palma de Majorca (192, 216, 21) Surfer's Paradise - Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf *A remote beach set in the Pacific Northwest for photos and soul searchers alike. Really cool place. *flickr, photography, blogger, romantic, couples, beach, nature, photos, hangout, photogenic, meet, rentals, machinima, maoli waves, surfing, surf AMAZING PLACE TO SURF. ** d.p surfco] Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf , Spider Island (154, 227, 21) Surfing SLSA *Surfing Association (SLSA) surfable wave home beach. Surf, free surfboard loan Huts for Rent for your business advertising or team marketing **Home Of Competition Surfing In SL and the SLSA, Solace Dreams (224, 83, 21) T'ai Surfing - Home to Team Tsunami *The beautiful sister of the Zen surfing resort Ch'i. T’ai was born from Ch’i tranquil Mountainous volcano. *A public surfing beach. A variety of free surfboard rezzers and a rez area to use your own board. *Come enjoy and hangout at T'ai Surfing **T'ai Surfing - Home to Team Tsunami, Tai Surfing (207, 113, 23) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:18, 4. Jan. 2021 (CET) === Biker === Arpeggio Club DyNaMiTe - Biker an Rock Club (66. 162, 37) Club DyNaMiTe is one of the oldest rock clubs on the grid. Friendly, biker themed, a neutral place to chill out, chat and enjoy some good rock /heavy metal music. Live DJs, Concerts, Performers, Contests, Fun, Biker Club, Dance, Chat Bon Jovi Tribute by 2nd Dimension @ Club DyNaMiTe - Sponsored by Anka Tattoo --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:12, 8. Jan. 2021 (CET) == Paralipomena == Wir wissen doch schon lange, wie der amerikanische Geheimdienst den Markt zugunsten sog. "Moderner Kunst" mit Unsummen beeinflußt hat, weil die USA an Klassischer Kunst unterbelichtet sind - es gibt ja auch heute noch eine Geheimdienstgalerie Modern Art, nur für die eigenen (verdienten) Mitarbeiter besuchbar - eine eklige Schmierenkomödie, diese ganze "Moderne Kunst" - und derzeit zur Spielbank und Lotterie entartet, so wie ich das hier in der Kunststadt Dresden beobachten kann: Kauf auf Wertzuwachs, Wetten auf steigende Preise - das soll Kunst sein? Pfui Teufel! Die Kunstwerke verschwinden sehr oft in den Tresoren oder gleich auf der Bank - weswegen ich an diesem Markt nicht teilnehme - ich bin doch keine Hure! Meine Niemandskunst bleibt bis auf weiteres unveröffentlicht. Basta. Nur wenn die Chemie stimmt, zeige ich jemandem etwas persönlich. Ich prostituiere mich nicht für Geld. Punkt. Habe ich zeitlebens nicht gemacht, und die paar Jährchen muß ich nun auch nicht mehr. Früher hatte das schwere Konsequenzen (Haft, Zersetzung der Familien, Partnerinnen und meine erste Frau wurden zum Selbstmord(versuch) getrieben, Vergewaltigung meiner zweiten Frau bei unserer Ausbürgerung aus der DDR, Berufsverbote und und und - und ich habe mich nicht gebeugt. Heute hat das keine größeren Konsequenzen (die Gesellschaft hat größere Probleme als Verweigerer), und da habe ich es erst recht nicht mehr nötig, mich zu beugen - auch keinem "Kunstmarkt" gegenüber. Kann mich mal kräftig am Arsch lecken. Haben fertig. Bilder zurückhalten ist keine Lösung. Kunst will gesehen werden... HAUPTSACHE, mich befriedigt es! Was weiß ich, was ein andrer davon hat? Und was hätt ich davon, wenn ein andrer als ich davon was hat? Und wie geschrieben, wenn die Chemie stimmt, lass ich auch mal was sehen. Es gab hier vor zweihundert Jahren den Fall eines hervorragenden Malers, der hatte das Geheimnis der leuchtkräftigen, stabilen Renaissancefarben in jahrzehntelangen Experimenten gelüftet. Er erhoffte sich (nicht nur dadurch) eine existenzsichernde Anstellung an der Kunstakademie hier (er war auch ein hervorragender Künstler). Wurde aber abgelehnt - sicher aus politischen Erwägungen heraus. Er hat dann sein Geheimnis mit ins Grab genommen (er liegt hier auf dem Trinitatisfriedhof - man könnte ja mal buddeln LOL). Das war sein gutes Recht! Ich erinnere in dem Zusammenhang daran daß selbst ein Caspar David Friedrich niemals ordentlicher Professor der Kunstakademie in Dresden wurde, obwohl er hier über vierzig Jahre gelebt und gewirkt hatte - er war eben Napoleongegner und deutschnational. https://de.wikipedia.org/wiki/Caspar_David_Friedrich#Patriotismus_gegen_Napoleon --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:41, 10. Mär. 2021 (CET) ich habe Gewaltexzesse veröffentlicht. Ich muss mein Kind und mich schützen, weil Menschen bereit sind unter dem Deckmantel von was anderen Menschen zu töten. Ich habe keine Kraft alles schneller hinzubekommen, weil mir mit der Gewalt in einem jungen Leben auch die Existenzsicherung genommen wurde. Damit bin ich nun beschäftigt. Die Existenz zu sichern. KDP ist aber kein Händler, sondern ein "Verlag" von Amazon. Da sind meine kompletten Daten hinterlegt, weshalb ich jederzeit erreichbar bin. Klar kann es sein, dass irgendein Anwalt, der Geld machen will, statt den Sinn hinter dem Gesetzt zu wahren, eine Lücke nutzt, um abzuzocken. Ich muss mich da definitiv drum kümmern, aber das braucht Zeit. Ich muss das Buch rausnehmen, ändern und neu veröffentlichen. Oder andere Ideen? https://www.facebook.com/happy.bine.39 アン トン: Happy Bine ja, raus nehmen, Impressum einfügen und wieder einstellen. Weiß nicht ob das mit einem Update geht oder nicht. Deswegen bin ich am Überlegen bei BOD zu veröffentlichten, die zählen als Verlag und da reicht die Angabe von Pseudonym und BOD als Verlag . Und nein KDP ist KEIN Verlag, es ist eine Veröffentlichungsplattform für Self Publisher. Sie sind nicht als Verlag eingetragen. Du kannst auch „Fake Daten bei Biografien.....“ bei KDP angeben, die nicht geprüft werden. KDP war wegen „seltsamer“ Veröffentlichungen eh schon öfter in Kritik Antwort: Vielleicht geht es ja auch so. Ich möchte ja auch die Bewertungen nicht verlieren und auch nicht die bisherigen Verkaufszahlen. Nun muss ich aber erst einmal einen neuen Impressumservice finden. https://www.facebook.com/groups/dasautorenhilfeforum/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:02, 10. Jan. 2021 (CET) weiß ich -immer von schönen Damen wie im Video zu sehen kenn ich aus Tenerife - erstes Pinguinarium der nördlichen Hemisphäre im Loro Parque in Puerto de la Cruz: ich hatte als Batman mit einem weiblichen kleinen Gummi-Pinguin Werbung gemacht, da wurden extra kleine Frauen für gecastet - unter den indigenen Einwanderern aus Süd- und Mittelamerika gab es genügend Auswahl - war ein toller Kontrast - schon der Größenunterschied, der Pinguin in glänzenem Schwarz-Weiß und ich in glänzendem Schwarz, alles in der prallen Sonne nahe dem Abfahrtsplatz der "Straßenbahnen" (motorisiert) zum Loro-Parque - ein voller Erfolg - ja, und im Pinguinarium schufteten neue MitarbeiterInnen in Trockis (Trockentauchanzügen), um von innen die Panzerglasscheiben freizuhalten - die waren wegen des hohen Temperaturunterschiedes im Nu vereist, diesen Effekt hatte keiner auf der Liste - die MitarbeiterInnen kamen nach der langen Schicht klatschnass aus ihren Trockis, da war ich als Gummi-Batman noch besser dran, so haben die von der schweren Arbeit gedampft - und der Dampf konnte nicht raus wie beim Schnellkochtopf LOL --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:32, 10. Mär. 2021 (CET) ja Bauhaus - räumlich und zeitlich nicht ganz so weit von mir weg - und MACH WAS DRAUS: als Junge hab ich das nachgebaut - und keinen Mangel an Modellen gehabt - zum Schluß klebten die dann alle irgendwie komplett in Alufolie und Zellophan (so hieß bei uns durchsichtige Plastikfolie) - Hauptsache, nicht nackig LOL - und die haben Schlange gestanden, soviel Material hatt ich gar nicht, das war schwierig in der DDR zu besorgen (wir hatten mal Bundis zu Besuch, die hatten seinerzeit weltweit Sonnenkocher-Seminare durchgeführt, auch bei uns in der Zone - die waren entsetzt, daß unsere Alu-Knappheit viel größer war als in Afrika, wo sie sich wegen der Sonne und dem knappen Brennstoff des Öfteren aufhielten LOL) - heute ist dieser begrenzende Faktor zum Glück ja entfallen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 11. Mär. 2021 (CET) Klassiker. Bin ich mit groß geworden. Und auch mit dem Material. Meine ersten Damen besaßen sogar noch Material der Prä-Nazi-Ära: Bürgermaske, Gasanzug ... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 11. Mär. 2021 (CET) == Schönheit == [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=181300523741200&set=p.181300523741200&type=3 FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/137275705_181300530407866_3397208782784515620_n.jpg?_nc_cat=107&ccb=2&_nc_sid=dbeb18&_nc_ohc=yYP5kA9jywIAX9X9YKi&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=d0657d01f4d51b26bd1aceb22a95b4bf&oe=6022F5B8 Ein Herz für soviel Schönheit] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:56, 13. Jan. 2021 (CET) == Adam Cullen == [[w:de:Adam Cullen|Adam Cullen]] == Maler Ludwig Counet == [[File:Trier Gedenkkreuz Counet 1721.jpg|mini|Gedenkkreuz für den in Trier ermordeten „Maler Ludwig Counet“, Südwestseite der Kirche St. Paulin in Trier.]] [[w:de:Louis Counet]]: Counet erlangte 1690 mit seiner Familie das Bürgerrecht in Trier[8] und stieg in einer steilen Karriere zum regionalen „Malerfürsten“ auf. Der Rat der Stadt Trier, Klöster, Stifte und Pfarrgemeinden der Stadt und der Großregion, selbst der kurfürstliche Hof in Koblenz-Ehrenbreitstein wurden zu seinen Auftraggebern für ganze Serien von großformatigen Gemälden mit religiösen, gelegentlich auch allegorischen oder mythologischen Themen und für seine selteneren Porträts. Seine Produktion an Altarblättern, Kirchenschmuck und profanen Staffeleimalereien war so umfangreich, dass sie nur mit Hilfe einer größeren Werkstatt zu bewältigen war. Selbst für seine alte Heimat, zu der er weiterhin Kontakte[9] aufrechterhielt, führte er noch Aufträge aus, beispielsweise zwischen 1717 und 1720 zwei große Historienbilder und fünf Supraporten für das Rathaus der Stadt Lüttich. Wenn er dabei als höchstbezahlter Maler des Projekts fungierte,[10] entsprach das seinen üblichen Dotierungen in Trier. Die hohen Einkünfte wurden ihm schließlich zum Verhängnis. Mit dem Honorar für sechs Großgemälde in der Tasche fiel er am 5. August 1721 einem Raubmord zum Opfer. Ein Gedenkstein bei der Kirche St. Paulin in Trier erinnert noch heute an ihn. == Afterkunst == === Grimmsches Wörterbuch === AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. === Friedrich Hebbel === Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm === Entartete Kunst === [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jüdische "Afterkunst" === NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) === Filmlexikon === https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Facebook === https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) === Kunstdienst der evangelischen Kirche === [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) === Herbert Tannenbaum === [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) === Dominikus Böhm === [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jeanpierre Heizmann === [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) === Scheißpolitik === Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 == Löschversuch == [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt_Diskussion:Niemandskunst&diff=771216&oldid=746765 Diff-Link] == Anmerkungen == 391cxgte8vlgf0g5dwuddodgi51o9oz 784696 784668 2022-08-22T06:47:12Z Methodios 23484 /* Eberhard Bosslet */ wikitext text/x-wiki == Straßenkunst == ''Dresden. Ein Straßenkünstler hat am Donnerstagnachmittag auf dem Neumarkt in Dresden einer 30-Jährigen mit einem Seil ins Gesicht geschlagen. Die Frau wurde dabei leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die den Vorfall beobachtet haben. Nach Angaben der Polizei machte die 30-Jährige im Bereich der Frauenkirche Fotos. Dabei geriet sie offenbar mit einem dort auftretenden Künstler in Streit. Anschließend schlug der 40-Jährige zu. Wer Angaben zum Geschehen machen kann, soll sich bei der Polizeidirektion Dresden melden. Insbesondere sucht die Polizei das Pärchen, das sich im Anschluss an den Vorfall mit der 30-Jährigen unterhielt.'' [https://www.dnn.de/Dresden/Polizeiticker/Neumarkt-in-Dresden-Strassenkuenstler-schlaegt-Frau-mit-Seil Straßenkünstler schlägt Frau auf dem Neumarkt in Dresden mit Seil.] Eine Frau will auf dem Neumarkt in Dresden Fotos machen. Dabei kommt es zum Streit mit einem dort auftretenden Straßenkünstler, der ihr mit einem Seil ins Gesicht schlägt. Jetzt sucht die Polizei Zeugen. DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:45, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Dresden. Am Donnerstag gegen 14.20 Uhr ist eine Frau auf dem Neumarkt verletzt worden. Die Frau machte an der Frauenkirche Fotos, als sie offenbar mit einem dort auftretenden tschechischen Künstler in Streit geriet. In der Folge wurde sie mit einem Seil im Gesicht getroffen und leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die Angaben zum Geschehen machen können. Insbesondere ein Pärchen, das sich nachher mit der 30-Jährigen unterhalten hatte wird gebeten sich bei der Polizei zu melden. Hinweise nimmt die Polizeidirektion Dresden unter der Rufnummer (0351) 483 22 33 entgegen.'' [https://www.saechsische.de/polizei/frau-auf-neumarkt-verletzt-5277548.html Frau auf Neumarkt verletzt. Bei einem Streit in der Innenstadt wurde sie von einem Seil getroffen. Nun sucht die Polizei Zeugen.] SZ vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:07, 18. Sep. 2020 (CEST) == Bunker == ''Kinder haben beim Spielen in einem Wald bei der brandenburgischen Gemeinde Nuthetal einen unterirdischen Bunker entdeckt. Der von Hand gezimmerte Unterschlupf, indem sich vieles findet, was man für einen längeren Aufenthalt unter Tage braucht, ist aufwendig ausgebaut und gibt derzeit vor allem Rätsel auf.'' ''Bild: Der Bunker ist innen mit Holz verkleidet und hat etwa die Größe eines Kinderzimmers. Er hat auch ein Lüftungsloch und eine kleine Treppe, die in den Bunker führt. Dort liegt auch ein Handfeger griffbereit.'' (zwei Feldbetten?, zwei Campingstühle, Tischchen, Petroleumlampen, Kleinmöbel, Holz, Isomatte, Geschirr, Lebensmittel, Wandteller, Sandboden, Innenstütze, Deckenbalken, Plastikplane als Zimmer-Decke, nur kleines "Mannloch") [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Bunker-in-Nuthetal-Kinder-finden-mysterioesen-Unterschlupf-im-Wald MAZ vom 15. September 2020.] [https://www.dnn.de/Region/Der-Osten/Kinder-finden-mysterioesen-Bunker-in-Brandenburger-Wald Bergholz-Rehbrücke. Kinder finden mysteriösen Bunker in Brandenburger Wald.] DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:55, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Ist der Bewohner des rätselhaften Bunkers, der in einem Wald in Nuthetal gefunden wurde, noch einmal in seinen Unterschlupf zurückgekehrt? Es sieht alles danach aus: Als Gemeinde-Arbeiter die Sachen aus dem Bunker holen wollten, war das Schloss aufgebrochen. Im Bunker fehlte das Wertvollste, was sich vorher darin befand.'' ''Bild: Der Bunker ist am Mittwoch bereits eingerissen worden. Die Gemeinde Nuthetal läßt ihn zurückbauen.'' [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Mysterioeser-Bunker-in-Nuthetal-Vor-dem-Einreissen-kehrte-der-Bewohner-zurueck-und-holte-das-Funkgeraet Bergholz-Rehbrücke. Nuthetal lässt mysteriösen Bunker einreißen – doch das Funkgerät war bereits verschwunden] MAZ vom 16. September 2020. [[w:Märkische Allgemeine|Märkische Allgemeine]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:53, 20. Sep. 2020 (CEST) [[w:Nuthetal|Nuthetal]] - in der Nähe vom Südwestzipfel Berlins - im "Speckgürtel" - von 2003 bis 2017 fast 500 Einwohner gewonnen auf jetzt über 9.000 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:05, 20. Sep. 2020 (CEST) Wegen sowas häufen sich in Dresden und Umgebung die "unterirdischen Zelte" (der Begriff wurde von einem AfD-Stadtrat aus Berlin-Reinickendorf verwendet - das ordentliche Ordnungsamt hatte da die anwachsende "Zeltstadt"! - so 150 Einwohner Nähe Flughafensee - vor anderthalb Jahren geräumt, die Leute haben sich dann eingegraben, wurden zT entdeckt - sicher zu primitiv, sicher auch zu alkoholisch - und diese Bunker - mit zB Kühlung für Bierkästen - bezeichnete der sozial unbeleckte Stadtrat dann als "unterirdische Zelte"). https://de.wikipedia.org/wiki/Flughafensee vgl. [[w:Nasser Asphalt]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:53, 20. Feb. 2021 (CET) == Housing first == === Erstes Projekt in Sachsen: Leipzig === Und nun folgt auch Leipzig: Sn Sommer soll der Housing First in einem Modellprojekt erprobt werden. Berlin ist da schon weiter: wir arbeiten an der Verstetigung, weil es so gut läuft! [https://www.facebook.com/housingfirstfuerfrauen/ FB Housing First für Frauen, 18. März 2021] Eine eigene Wohnung ist das oberste Ziel der Hilfen für wohnungslose Menschen in Leipzig. Bezahlbare Wohnungen sind in Leipzig aber inzwischen knapp. Daher soll ab dem Sommer der Ansatz „Housing First“ erprobt werden – mit dem Modellprojekt „Eigene Wohnung“. Dies wurde in der Dienstberatung des Oberbürgermeisters auf Vorschlag von Bürgermeister Thomas Fabian auf den Weg gebracht. Jetzt muss noch der Stadtrat zustimmen. Der aus den USA stammende Ansatz „Housing First“ (auf Deutsch: zuerst eine Wohnung) verspricht gute Ergebnisse bei der Integration von obdachlosen Personen. Deshalb verfolgen etliche Kommunen in Europa und Deutschland diesen Ansatz. Bei „Housing First“ erhalten obdachlose Personen eine eigene Wohnung mit Mietvertrag und dazu eine individuell passende Hilfe durch Sozialarbeiterinnen und Sozialarbeiter. Die Anzahl der Personen, die Schwierigkeiten haben, ihre Wohnung zu halten oder bei Wohnungslosigkeit eine neue Wohnung zu finden, hat zugenommen. Besonders betroffen sind Personen mit Mietschulden sowie Menschen mit psychischen und Suchterkrankungen. Bürgermeister Thomas Fabian ist überzeugt: „Wir wollen obdachlosen Frauen und Männern die Möglichkeit eröffnen, eine eigene Wohnung zu beziehen. Sie erhalten dabei auch Unterstützung, die sie brauchen, damit ein Neuanfang gelingt. Unser Modellprojekt greift Konzepte und Erfahrungen des Ansatzes Housing First auf. Es ergänzt gut unsere Angebote der Obdachlosenhilfe in Leipzig.“ Entwickelt wurde das Projekt vom Sozialamt auf der Grundlage von Befragungen von Trägern der Wohnungsnotfallhilfe, Fachexperten und auch obdachlosen Personen. Grundzüge des Leipziger Konzeptes wurden in einer Strategiekonferenz mit Akteuren aus der Obdachlosenhilfe beraten. Das Modellprojekt soll im Sommer beginnen. Im Oktober könnten dann die ersten von mindestens 40 obdachlosen Personen in ihre Wohnung ziehen. Die Wohnungen werden vorwiegend durch die stadteigene Leipziger Wohnungs- und Baugesellschaft mbh (LWB) zur Verfügung gestellt. Aber auch Wohnungsgenossenschaften und private Wohnungsvermieter sollen einbezogen werden. Bis 2024 soll das Modellprojekt erprobt und während dieser Zeit auch wissenschaftlich evaluiert werden. Eine Koordinationsstelle im Sozialamt steuert die Umsetzung. Insgesamt 1,2 Millionen Euro werden für das Projekt bis 2024 eingeplant. [https://www.leipziginfo.de/aktuelles/artikel/modellprojekt-eigene-wohnung-fuer-obdachlose-personen-in-leipzig/?fbclid=IwAR2cjmPZddnGLP8_N-wRIANWMhBCgzHOhdyWjbNytNruFn3KM9wZp3A-R0I Modellprojekt "Eigene Wohnung" für obdachlose Personen in Leipzig. Ansatz „Housing First“ soll ab dem Sommer erprobt werden] 18.03.2021 Stadtinformationen Stadt Leipzig --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:36, 19. Mär. 2021 (CET) == Kunst für Housing First == '''''Worin bestand für Sie die Motivation, sich sozialunternehmerisch zu engagieren und das Projekt „Housing First“ ins Leben zu rufen?''' Das Engagement war doppelt begründet: Es ging uns einerseits um den Aufbau adäquater Hilfe für Wohnungslose, zugleich aber war unser Engagement auch politisch motiviert. Ein Schlüsselerlebnis war die Weihnachtsfeier im Düsseldorfer Kulturzentrum zakk vor vier Jahren, als wir feststellen mussten, dass wieder Wohnungslose verstorben waren. Vor dem Hintergrund unserer Philosophie, wonach wir – Wohnungslose und das Team des Düsseldorfer Straßenmagazins fiftyfifty – so etwas wie eine Familie sind (bei aller professioneller Distanz, die in der Sozialarbeit auch notwendig ist), reifte die Erkenntnis, dass chronifiziert obdachlose Menschen im bestehenden Stufensystem quasi überhaupt keine Chance haben, dauerhaft mit normalen Mietwohnungen versorgt zu werden und eine Verelendungsspirale die Folge ist. Meine Kollegin Julia von Lindern hatte sich auch als Lehrbeauftragte an der Hochschule Düsseldorf mit dem Housing First-Ansatz auseinandergesetzt. Es folgte eine Reise unseres Teams nach Wien, um Erkenntnisse vor Ort zu sammeln. Wir haben schlanke Strukturen – ganz im Sinne des lean management –, so dass Ideen stets gemeinschaftlich entwickelt und schnell realisiert werden können. ''' „Lean management“? Das klingt ganz nach einem unternehmerischen Ansatz.''' Housing first stellt natürlich einen Paradigmenwechsel im System dar, aber die linke Attitüde, die lange Zeit ausschließlich auf Systemkritik zielte, lässt sich meines Erachtens unter den gegenwärtigen politischen Vorzeichen nicht mehr durchhalten. Mit dem Erstarken des Rechtspopulismus gilt es, unser Sozialsystem nach Kräften zu verteidigen. Dafür nutzen wir bei fiftyfifty unsere Erfolge als Glaubwürdigkeitsvorsprung, d. h. unsere Arbeit wird immer von Gesprächen mit politischen Entscheidungsträgern sowie Trägern der Wohnungslosenhilfe begleitet. Und natürlich suchen wir gezielt die Öffentlichkeit, um u. a. über Social Marketing für unsere wohnungspolitischen Anliegen, aber natürlich auch unser Fundraising zu werben. Housing First bedeutet: Es besteht von Anfang an ein normales, unbefristetes Mietverhältnis mit allen Rechten und Pflichten. Wohnbegleitende Hilfen werden aktiv angeboten: Betroffene werden dazu ermutigt Probleme mit Unterstützung anzugehen, aber nicht dazu verpflichtet. Dort wo Housing-First bereits praktiziert wird, sind die Ergebnisse überzeugend. Housing-First wurde Anfang der 90er Jahre in den USA entwickelt. In den USA wird es seither in einigen Städten erfolgreich praktiziert. In Deutschland ist der Ansatz noch nicht weit verbreitet. '''Ist eine Triebfeder für Ihr sozialunternehmerisches Engagement auch in den fehlenden Erfolgen der staatlichen Sozial- und Wohnungspolitik zu sehen?''' In jedem Fall. Wir sind bei fiftyfifty zunächst einmal vor allem politisch motiviert, wobei wir inzwischen nicht nur von NRW-Sozialminister Minister Laumann, sondern auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren. Hinzu kommt ein beispielloses Echo in bekannten Leitmedien wie Süddeutsche Zeitung, Zeit online, Stern TV etc. und Fachmedien, durch das wir Housing First bundesweit ins Gespräch gebracht haben. Nicht nur dadurch haben wir umfangreiche Beratungsarbeit bei vielen Trägern der Wohnungslosenhilfe und Kommunen geleistet. Aus eigener Erfahrung und aus zahlreichen Forschungsvorhaben wissen wir, dass Wohnraum in Not geratene Menschen dauerhaft stabilisieren kann – insbesondere dann, wenn der Ansatz Housing first und nicht Housing only lautet. Housing First, wie wir es praktizieren, bedeutet, dass Obdachlose direkt von der Straße in Wohnungen gebracht und zudem professionell betreut werden. Dazu gehören auch tagesstrukturierende Maßnahmen, damit am Ende einer möglichen Vereinsamung in der neuen Wohnung vorgebeugt wird. Für die Politik liegt ein wesentlicher Vorteil des Housing First-Projekts darin, dass die Kosten für die jeweilige Kommune gleich null sind, d. h. unser Modell der Bekämpfung von Obdachlosigkeit kostet die Städte und Gemeinden quasi nichts. Die Düsseldorfer Wohnungsbaugesellschaft SWD etwa verfügt über 9.000 Wohnungen. Würde die Stadt aus diesem Kontingent die ca. 300 benötigten Wohnungen für etwa 300 Straßenwohnungslose, die es in der Landeshauptstadt gibt – ein Großteil der Wohnungslosen wird in diversen Notunterkünften und nicht dauerhaften Betreuungseinrichtungen mehr oder weniger gut versorgt – zur Verfügung stellen, würde die Miete über Transferleistungen gesichert. Und die Betreuung würden Verbände wie die Diakonie oder andere wahrnehmen, über Fachleistungsstunden, die beim Landschaftsverband abgerechnet werden. Die Landschaftsverbände finanzieren sich über kommunale Umlagen, die Städte wie Düsseldorf sowieso zahlen – ob sie Housing First anbieten oder nicht. '''Welche Hindernisse gab es zu überwinden?''' In der Entstehungsphase war ein Hindernis die Schaffung einer funktionsfähigen Organisationsstruktur, wobei wir das weitestgehend aus dem etablierten fiftyfifty-Team stemmen konnten. Aber wir mussten uns sehr engagiert der Mittelbeschaffung widmen, d. h. auch bei Housing First stand am Anfang die Finanzierungsfrage, da wir die Wohnungskäufe nicht kreditbasiert finanzieren wollten, sondern diese bis heute über unsere Einnahmen aus dem Verkauf von Kunstwerken finanzieren, die wir in unserer Benefiz-Galerie verkaufen. Dort unterstützen uns etwa Gerhard Richter, Thomas Ruff, Andreas Gursky, Katharina Mayer und viele andere bedeutende Künstlerinnen und Künstler. Zu überwinden war auch die Skepsis im Team, ob in Düsseldorf überhaupt adäquate Wohnungen zu finden wären und ob Eigentümer an fiftyfifty verkaufen würden. Die Realität hat uns Lügen gestraft: Mittlerweile bekommen wir sogar Wohnungsangebote von sympathisierenden Eigentümern und Maklern, bevor diese auf dem Markt angeboten werden. '''Wie bewerten Sie ihre Arbeit nach nunmehr vier Jahren?''' Das Start-up war ein voller Erfolg: Nachdem wir schon viele Wohnungslose über die Erlöse aus den fiftyfifty-Verkäufen von der Straße holen konnten, sind wir dann mit Housing First und der Housing-First-Fonds-Gründung – zusammen mit dem Paritätischen Wohlfahrtsverband – im Jahre 2018 noch weitergegangen: Hatten wir bei fiftyfifty schon über 60 Menschen von der Straße geholt, so waren es über den NRW-weit tätigen Fonds zusätzlich noch 67 bei 22 Trägern in 14 Städten, für die wir Wohnraum erschließen konnten. Die ehemals Obdachlosen kommen selbst für die Miete auf, die sie zumeist über Leistungsbezug finanzieren. Die Einnahmen aus dem Verkauf von fiftyfifty oder den Spendengeldern bei alternativen Stadtführungen, die sie durchführen, kommen oft noch hinzu. Denn viele von ihnen arbeiten inzwischen als Stadtführerinnen und -stadtführer. Manche sind sogar wieder in regulärer Arbeit. Aber natürlich müssen wir uns auch immer wieder die Risiken vor Augen führen. Die Null-Zins-Politik wird die Immobilienpreise weiter steigen lassen; die Flucht ins „Beton-Gold“ ist ja allerorten zu beobachten. Derzeit kursiert in unserem Beirat sogar die Idee, eine Sozialbank im Sinne unserer Zwecke zu gründen, um der Genossenschaftsidee mit größerem Kapitaleinsatz Geltung verschaffen zu können. Wichtiger aber ist aus meiner Sicht, sich einzumischen und Druck zu machen, damit mehr Wohnungen für Benachteiligte und insbesondere Obdachlose gebaut und zur Verfügung gestellt werden. Das Beispiel Finnland zeigt: Zumindest die Straßenobdachlosigkeit kann überwunden werden. Auch in Deutschland. Es ist eine Frage des politischen Willens. - Das Gespräch führte Tim Engartner. Er ist Professor für Didaktik der Sozialwissenschaften und Mitglied des Direktoriums der Akademie für Bildungsforschung und Lehrerbildung an der Goethe-Universität Frankfurt am Main.'' [https://www.freitag.de/autoren/der-freitag/obdachlosigkeit-kann-ueberwunden-werden?fbclid=IwAR209nCDafyiJ0oGTcAxs2BJdZM897_pLC5ue8ln2S_o1zvP1uc-d8bO4JU „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“. Interview. Hubert Ostendorf, Gründer des Düsseldorfer Straßenmagazins „fiftyfifty“, spricht über den Housing First-Ansatz, mit dem Wohnraum für Wohnungslose geschaffen wird] Von Tim Engartner. Der Freitag vom 16.? September 2020 (38?/2020) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:59, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Zitat: "Obdachlosigkeit kann überwunden werden" Es ist bezeichnend für ein angeblich "christliches", "zivilisiertes" und "kultiviertes" Land wie Deutschland mit angeblich "gebildeten" Bürgern, dass man eine Tatsache wie „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“ im Jahr 2020 als Überschrift in einem Artikel hervorheben muss. Nach dem verlorenen Zweiten Weltkrieg, als viele Städte hierzulande in Trümmern lagen und es in Deutschland Millionen Obdach- bzw. Wohnungslose gab, war das möglich. Und heutzutage sollte das nicht möglich sein? Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand im Jahre 2020 sind zwar auch die neoliberal-konservativen und pseudo-sozialdemokratischen Politiker in diesem unserem "christlichen" Lande. Wenn sich Spekulanten, die sich an den Finanzmärkten beim Milliardenpoker verzocken, dann werden von "christlichen" und "konservativen" Politikern binnen weniger Tage 500 Milliarden Euro für "notleidende Banken" aus dem Hut gezaubert. Aber für Obdachlose sind nicht einmal ein paar lausige Millionen da. Wegschauen ist eben viel billiger. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber auch die vielen Speichellecker, Arschkriecher und Hofberichterstatter in den Medien, die vom angeblichen "Linksruck" in Deutschland faseln und das Problem entweder ignorieren oder mit anderen Themen davon ablenken. Es würde mich nicht wundern, wenn demnächst ein professoraler "Experte" in den Tagesthemen oder im heute-journal erzählt, dass der russische Präsident Putin für die Wohnungsnot in Deutschland verantwortlich wäre. Wenn es nach der Bild-Zeitung geht, ist Putin Schuld daran, wenn es drei Monate lang nicht regnet und wenn es drei Monate lang regnet, dann ist Putin auch Schuld daran. Putin ist nämlich nicht nur Schuld an der Klimaveränderung, sondern auch für den täglichen Stau auf deutschen Straßen und dem Corona-Virus (ACHTUNG: Verschwörungstheorie!) Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand sind auch neoliberale Wirtschaftsprofessoren an deutschen Universitäten und Hochschulen, die seit Jahren das Dogma vom effizienten Markt predigen, der am Ende alles zum Besten regelt, wenn sich der Staat aus der Politik raushält. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber vor allem die ignoranten, arroganten, dekadenten, scheinheiligen, verlogenen und opportunistischen (Mit-)Bürger in diesem Lande, die diese neoliberal-konservativen Politiker und Parteien in den letzten Jahrzehnten gewählt haben und immer noch wählen. Und was sagen die "heilige" Angela von Merkel und der "christliche" Kronprinz von Großbayern, Dr. Markus Söder, zu diesem Problem? Ganz einfach: Nix! Wenn man mit dem Helikopter über das Land schwebt, sieht man die "Penner" bzw. "Wohnsitzlosen" (wie die formal-juristische korrekte Bezeichnung in unserem Sozialstaat lautet) da unten nicht. Zitat: "... wobei wir inzwischen ... auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren." Wenn es um Obdachlosigkeit bzw. Wohnungsnot geht, machen die Nationalisten, Sozialdarwinisten und rechten "Patrioten", die Tage ein Tag aus mit der Deutschlandfahne herumwedeln, offenkundig keinen Unterschied zwischen reinrassigen Deutschen und Ausländern bzw. Migranten. Für "aufrechte" und "saubere" Deutsche waren und sind Obdachlose eben keine Menschen mit Würde, sondern sozialer Abfall.'' Kommentar Christian Brecht, 16. September 2020 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:02, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Obdachlosigkeit ist ein sehr vielschichtiges Problem und ist meistens in der Biografie / Famile der Betroffenen selber zu finden. Betrachtet man z. B. zerrüttete / problematische Familien über Generationen hinweg, dann wird schnell einmal klar, dass bestimmte Menschen sozusagen von Geburt an einem höheren, sozialen Risiko ausgesetzt sind. Eine weitere Gruppe von Obdachlosen stellen Menschen mit schweren psychischen Problemen dar (z. B. bi-polare Störung). Da bei ihnen häufig ein problematisches Sozialverhalten vorliegt, ist auch die Wahrscheinlichkeit gross, eines Tages „in der Gosse zu landen“. Häufig gesellen sich hier noch Suchtproblematiken aller Arten dazu. Die dritte Gruppe sind natürlich Zugewanderte (v. a. Asylsuchende). Natürlich sind auch Mischformen dieser drei Gruppen auf der Strasse anzutreffen. Auf jeden Fall bewirkt die Obdachlosigkeit bei den Betroffenen ein lebenslanges Trauma. Man kann einen Menschen zwar von der Strasse holen, aber die Strasse nie mehr aus ihm heraus. Ob sich Menschen dauerhaft resozialisieren lassen, ist eine weitere, wichtige Frage: Voraussetzung dafür wäre, dass sie überhaupt schon einmal sozialisiert waren, d. h. gesellschaftlich voll integriert. Das ist insbesondere bei langjährigen Drohensüchtigen schwierig. Auf jeden Fall wünsche ich „fiftyfifty“ viel Glück und Erfolg!'' Kommentar Reinkarnation, 16. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:04, 20. Sep. 2020 (CEST) == 20. neunerhaus Kunstauktion (Wien) == Mitbieten und helfen: Die neunerhaus Kunstauktion bietet DIE Gelegenheit, Kunst zu erwerben und obdach- und wohnungslose Menschen zu unterstützen. Der Reinerlös fließt direkt in die neunerhaus Angebote. Trotz herausfordernder Umstände haben uns für die diesjährige neunerhaus Kunstauktion mehr als 170 renommierte zeitgenössische KünstlerInnen ihre Werke gespendet, damit wir den Reinerlös für unsere Arbeit einsetzen können. Damit diese Kunst nun Gutes tun kann, brauchen wir eure Unterstützung: Steigert mit, teilt die Auktion mit kunstinteressierten FreundInnen. Denn jeder Zuschlag hilft uns, weiter für jene da zu sein, die unsere Hilfe brauchen! https://www.facebook.com/events/2750368081917767/ Die 20. neunerhaus Kunstauktion am 2.11.2020 war ein großartiger Erfolg. Vielen Dank! Nutzen Sie jetzt noch die Chance und erwerben Sie eines der unverkauften Bilder im Nachverkauf. Sie können die verfügbaren Werke ab 7.12.2020 in der Galerie der Rahmenmanufaktur Wohlleb, Seidlgasse 23, 1030 Wien, Montag bis Freitag zwischen 10:00 und 18.00 Uhr oder Samstag 10.00 bis 12.00 Uhr besichtigen. Bei Interesse wenden Sie sich bitte an Michael Walk https://www.neunerhaus.at/kunstauktion/?fbclid=IwAR2bBPxVm_bAqGZUeieJOpqoYVcOTgSvulJ4Ndu765t3CV-MtQNlABAVjGM n drei Wohnhäusern und über 250 Wohnungen in ganz Wien leben mehr als 800 ehemals obdach- und wohnungslose Menschen jährlich. Über 5.000 Menschen versorgt neunerhaus mit dem neunerhaus Gesundheitszentrum pro Jahr – Tendenz steigend. neunerhaus ist eine Sozialorganisation in Wien. neunerhaus ermöglicht obdachlosen und armutsgefährdeten Menschen ein selbstbestimmtes und menschenwürdiges Leben mit Medizinischer Versorgung, Wohnen und Beratung. Ziel ist es, Betroffenen Hilfe zur Selbsthilfe zu geben, um ihre Lebenssituation nachhaltig zu verbessern. neunerhaus engagiert sich gegen die Ausgrenzung wohnungsloser Menschen. Holen Sie Menschen von der Straße, bevor sie ein Teil davon werden. Wohnen ist ein grundlegendes Menschenrecht. Jeder Mensch hat das Recht auf ein menschenwürdiges Leben. Aber nicht jeder hat ein Zuhause. https://www.neunerhaus.at/ == Frankfurter Kunststation == ''Ein Türsteher, eine Gästeliste, zugewiesene Plätze und eine Begrüßung in der Kirche: Einiges war anders beim diesjährigen Sommerfest für die ehrenamtlichen Mitarbeiter des Franziskustreffs. Um 17.00 Uhr begrüßte Bruder Michael die Ehrenamtlichen in Liebfrauen. Großzügig hatte man sich in der Kirche verteilt. Der obligatorische Jahresrückblick war natürlich von den schwierigen letzten Monaten geprägt. Und doch voller guter Neuigkeiten: Mitten in der Krise verteilt, war der Beileger „Corona: Alle bleiben zu Hause, aber wir haben keines“, die bisher erfolgreichste Spendensammlung des Franziskustreffs. Und es folgten weitere gute Nachrichten: Im September 2020 startet die Franziskustreff Stiftung ein kleines '''Kunst-Projekt'''. Mitten in Frankfurt, in bester Innenstadtlage werden wir '''Obdachlosigkeit und Kultur''' in einer ganz neuen Art und Weise zusammenführen. Zudem hat die Stiftung eine gemeinnützige GmbH gegründet. Diese wird Obdachlose in eigene Wohnungen bringen. Die Idee ist, wie Bruder Michael betonte, noch ein „sehr zartes Pflänzchen“. Doch sie wird in Frankfurt bestimmt für einige Aufmerksamkeit sorgen und hoffentlich feste Wurzeln schlagen.'' [https://www.franziskustreff.de/franziskustreff/aktuelles-aus-dem-franziskustreff/sommerfest/ EIN SOMMERFEST FÜRS EHRENAMT] Webseite des Franziskustreffs --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:20, 13. Sep. 2020 (CEST) ''Schätzungen der Wohnungslosenhilfe gehen davon aus, dass rund 550.000 Menschen in Deutschland kein festes Dach über dem Kopf haben. Die Dunkelziffer ist vermutlich höher. Bruder Paulus kümmert sich um einen Teil dieser Menschen. DOMRADIO.DE: '''Für viele Menschen ist wohnungslos und obdachlos der gleiche Begriff. Warum ist das nicht dasselbe?''' Bruder Paulus Terwitte OFMCap (Kapuzinerbruder und Vorstand der Franziskustreff-Stiftung in Frankfurt): Menschen, die wohnungslos sind, haben keinen eigenen Mietvertrag. Sie leben entweder bei Freunden oder haben eine vom Staat zugewiesene Einrichtung in der Stadt. In Frankfurt zum Beispiel leben über 2.000 Menschen in Hotels und anderen Einrichtungen. Das sind Menschen, die zwar irgendwie wohnen, aber am Ende keinen eigenen Mietvertrag haben. Im Unterschied dazu gibt es Obdachlose. Diese Menschen haben dann tatsächlich auch solche Einrichtungen nicht oder wollen dort nicht sein. Sie schlafen beispielsweise in Notbetten in den Notunterkünften. Laut Gesetz steht in Deutschland jedem Menschen ein Bett zu. Aber manche Obdachlose nehmen auch diese Hilfe nicht an und bleiben draußen. Sie möchten ihre Daten nicht angeben und anonym bleiben. In Frankfurt gehen wir von 2.800 obdachlosen Menschen aus, von denen 400 unter freiem Himmel schlafen. DOMRADIO.DE: '''In welcher Form engagieren Sie sich für Wohnungs- und Obdachlose im Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt?''' Bruder Paulus: An der Liebfrauenkirche und am Kapuziner Kloster hat der Kapuzinerbruder Wendelin vor über 25 Jahren einen Frühstückstreff eingerichtet. Jeden Morgen können hier Menschen von 7.45 Uhr bis 11.15 Uhr frühstücken. Normalerweise haben wir 32 Plätzen für 190 Leute. Jetzt in der Corona-Zeit haben wir nur noch zwölf Plätze und die Leute dürfen nur noch 15 Minuten bleiben. Das sind immer noch 130 Menschen, denen wir hier ein Frühstück, Gastfreundschaft und franziskanische Brüderlichkeit anbieten. Wir haben über 60 Ehrenamtliche, die sich engagieren. Dazu bieten wir eine Sozialberatung an. Das alles ist von Spendengeldern getragen. Darüber hinaus mieten wir Wohnungen an, damit wir einigen unserer Gäste sagen können: Versuch das doch mal wieder mit dem Wohnen. Neu ist unsere '''Kunststation'''. Wir glauben, dass obdachlose Menschen vor allen Dingen eine Begegnung auf Augenhöhe brauchen. Wir müssen in der Gesellschaft ein Gespräch beginnen, dass Obdachlosigkeit viel früher beginnt: Sei es durch fehlende Miete oder eine Wohnung, dadurch dass der Partner weggeht oder verstirbt oder durch Arbeitslosigkeit und Krankheit. In der Corona-Pandemie sagen auch sehr viele Menschen, dass sie eigentlich in dieser Welt gar nicht mehr zu Hause sind. DOMRADIO.DE: '''An der Kunststation ist die Franziskustreff-Stiftung auch beteiligt. Was hat diese Kunststation konkret mit der Situation der Wohnungslosen zu tun?''' Bruder Paulus: Sie ist direkt in der Innenstadt, wo ganz viele Obdachlose hausen. Ich habe einen Kulturleiter gefunden, der sehr nah an diesen Menschen ist, der sich in der Stadtszene sehr gut auskennt und auch in der Kunstszene gut vernetzt ist. Er hat sehr viel Freude daran, mit uns zusammen unseren obdachlosen Menschen zu sagen: Hey, guckt doch mal, ob ihr euch ansprechen lasst mit euren kreativen Möglichkeiten. Unsererseits wollen wir Kunstprojekte initiieren, die zeigen, dass Menschen am Rande eigentlich Schätze in unserer Gesellschaft sind. Darum ist diese Galerie in einem ehemaligen Juwelier-Shop untergebracht, den wir angemietet haben. Wir zeigen Schätze von Menschen, die sonst am Rande sind. Im Moment läuft eine 14-tägige Ausstellung von zwei jungen Frauen, die für Menschen mit geistiger Beeinträchtigung ein Daumenkino geschaffen haben, in dem 100 Begriffe dargestellt werden. Unter unseren Gästen sind selber Künstler und wir hoffen, dass sie sich anregen lassen, weil sie jetzt einen eigenen Ausstellungsraum haben. DOMRADIO.DE: '''Für viele Wohnungs- und Obdachlose ist es eine große Überwindung, zu ihnen zu kommen und diese Hilfe anzunehmen. Wie versuchen Sie, den Menschen hier Mut und Selbstvertrauen zu geben?''' Bruder Paulus: Indem wir ihnen einfach als Mitmenschen begegnen, die eine eigene Lebensgeschichte haben und die keine Hilfe wollen, sondern möchten, dass wir ihnen erst mal auf Augenhöhe begegnen und sie ernst nehmen. Das kennt jeder aus seinem eigenen Leben, dass wir es eigentlich nicht gerne haben, dass Leute von außen kommen und sagen: Du, ich habe da was gesehen, ich muss dir mal helfen. Jeder Mensch hat eine Autorität, wie er sein Leben gestaltet und kann sagen: Ich will jetzt einfach nicht mehr dieses und jenes. Ich habe die Schnauze voll von Schuldnern und von Menschen, denen ich etwas schulde. Ich will ordentlich behandelt werden. Diese Menschen brauchen eine offene und klare Begegnung, ein echtes Wort. Wir sagen bei uns eine Nächstenliebe, die es ehrlich meint, eine Liebe, die auch Wahrheit und Gerechtigkeit mit ins Feld führt. Deswegen versuchen wir auch, ehrliche und klare Gespräche mit diesen Menschen zu führen, damit sie zur Quelle ihrer Kraft finden. Das Interview führte Katharina Geiger.'' [https://www.domradio.de/themen/soziales/2020-09-11/jeder-mensch-hat-autoritaet-ueber-sein-leben-franziskustreff-stiftung-fuer-offene-begegnung-mit?fbclid=IwAR3PNJZm4h2mPoFYNBv7c242UX1yFdw8Jkl_Gwhzbxq4jZ1GlnvHmyba1bU Franziskustreff-Stiftung für offene Begegnung mit Wohnungslosen "Jeder Mensch hat Autorität über sein Leben"] Domradio vom 11. September 2020. ''Der Franziskustreff: Der Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt bietet wohnungslosen und armen Mitmenschen Frühstück und Sozialberatung an. Täglich kommen nach Angaben des Franziskustreffs bis zu 190 Gäste für die Mahlzeit. Derzeit unterstützen rund 60 ehrenamtlichen Helferinnen und Helfern den Treff. Sie bedienen die Gäste, helfen bei der Vorbereitung des Frühstücks und beim Abwaschen und Aufräumen. Eröffnet wurde der Franziskustreff 1992 von Bruder Wendelin Gerigk am Kapuzinerkloster Liebfrauen in Frankfurt am Main. Ihm sei wichtig gewesen, dass es an diesem Ort immer einen offenen Raum für arme und obdachlose Menschen geben möge, schreibt die Stiftung auf ihrer Homepage. Spenderinnen und Spender unterstützen seither das von Bruder Wendelin gegründete Werk. Derzeit steht Bruder Paulus Terwitte der Stiftung vor und Bruder Michael Wies leitet den Treff. (DR/ Stand: 11.09.2020)'' --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:41, 13. Sep. 2020 (CEST) == OSTRALE == [https://pieschen-aktuell.de/2020/ein-kunstgarten-fuer-uebigau/ Ein Kunstgarten für Übigau.] Pieschen aktuell 6. November 2020 von Elisabeth Renneberg Bild: Die Ostrale hat dieses Jahr Haus und Garten in Übigau bezogen. Alle Fotos: E. Renneberg Dieses Jahr ist die Ostrale, das Zentrum für zeitgenössische Kunst, nach Übigau umgezogen. Das ehemalige Atelierhaus von Eberhard Bosslet an der Rethelstraße beheimatet nun eine Menge Kunst nebst Werkstätten, Büros und einer Künstlerwohnung. Dahinter erstreckt sich eine Grünfläche, die nicht nur auf die Elbe hinausblickt, sondern auch auf eine spannende Zukunft. Hier soll ein ökologischer Garten entstehen – als sozialer und kultureller Ort. Bild: Momentan ist der Garten noch wild und naturbelassen. ;Diskurs über Nachhaltigkeit Das Konzept dafür wird gemeinsam von Umweltexperten, Künstlerinnen aus verschiedenen Ländern und Menschen aus dem Stadtviertel erarbeitet. Letztere einzubeziehen ist ein wichtiges Anliegen des Projekts; das Mitgestalten des eigenen Lebensraums wird so zum demokratischen Prozess und lässt Raum für persönliche Bedürfnisse. Der erste Schritt war daher, an die Türen in der Nachbarschaft zu klopfen und Kontakte zu knüpfen. Auf diese Weise konnte zum Beispiel die Stadtentwässerung Dresden als Kooperationspartnerin gewonnen werden, die über wertvolles Fachwissen rund ums Thema Wasser und dessen Bedeutung für die Umwelt verfügt. Bild: Direkt an der Elbe liegt der zukünftige Kunstgarten. Für die Verbindung der Themen Nachhaltigkeit und Kunst ist ein Team aus einer deutschen und einer tschechischen Künstlerin sowie je zwei Studierenden der Kunsthochschulen in Dresden und Breslau zuständig. Sie machen sich unter anderem Gedanken über Ressourcen, wie etwa die Farbe zum Malen natürlich gewonnen werden kann. Die Ergebnisse ihrer Recherchen und Ideen geben sie in Workshops weiter an Kinder aus dem Kinderhaus Sonnenschein – auch ein durch Anklopfen zustande gekommener Kontakt. Zwei Workshops konnten bisher stattfinden und sind auf allgemeine Begeisterung gestoßen. ;Eine Verbindung zwischen Kunst und Sozialem „Es ist uns wichtig, von Anfang an ein Gefühl der Zugehörigkeit und der persönlichen Verantwortung zu vermitteln“, erklärt Projektleiterin Giulia Deidda. Die gebürtige Italienerin stieg ursprünglich als Bundesfreiwillige ins Team der Ostrale ein und ist mit vollem Einsatz dabei. Aufgewachsen in einer Kleinstadt mit historischer Ausgrabungsstätte an der sardinischen Küste, entdeckte sie schon früh ihre Liebe zur Kunst und widmete sich zunächst der Archäologie. Im Laufe der Zeit wurde dann der Wunsch, Kunst und Soziales zu verbinden, immer lauter. Bild: Giulia Deidda leitet das Projekt mit Begeisterung und Elan. So zog Giulia in die Niederlande, um dort soziale Inklusion im Kulturbereich zu studieren. Nach dem Leben in sieben unterschiedlichen Ländern ist sie mittlerweile in Dresden gelandet. Ihre Leidenschaft hat sich erhalten: „Mein größter Wunsch ist es, Kunst allen, und wirklich allen, zugänglich zu machen.“ Für das Ziel, die klassische Zielgruppe aufzubrechen, ist die OSTRALE die richtige Adresse, sieht sie in der Kunst doch das Mittel zur Kommunikation und zur Aufarbeitung gesellschaftlicher Themen. ;Ausblick auf die nächsten Schritte Der Kunstgarten schließlich darf diese Vision mit verwirklichen. Nach dem erfolgreichen Start mit den Kindern sollen immer mehr Anwohner*innen von der Botschaft erreicht werden, dass Kunst für alle da ist. Und natürlich auch mit dem Angebot eines Aufenthalts- und Begegnungsortes, der mitgestaltet werden kann, und an dem langfristig Veranstaltungen wie Workshops, Lesungen oder gemeinsames Kochen stattfinden sollen. Bild: Auch in den Innenräumen ist Platz für Veranstaltungen. Die konkrete Gestalt dieses Ortes ist noch in der Planung. Denkbar ist zum Beispiel ein Barockgarten, mit geometrischen Formen und Skulpturen aus natürlichen Materialien. Das Nutzen vorhandener Ressourcen wie zum Beispiel Sand aus der Elbe. Die Ideen müssen noch überprüft, entwickelt, ausgetauscht werden. Wie gesagt mit dem Augenmerk auf Nachhaltigkeit und unter Einbezug der Nachbarschaft. Anfang Oktober hatte Ostrale-Vorstandsvorsitzende Andrea Hilger das Konzept im Stadtbezirksbeirat Pieschen vorgestellt. Die Beiräte stimmten einer Förderung mehrheitlich zu. Bleibt also, gespannt zu sein, was sich in den nächsten Monaten auf dem Grundstück im beschaulichen Übigau entwickeln wird. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:18, 8. Nov. 2020 (CET) == Eberhard Bosslet == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Eberhard Bosslet]] [[w:de:Eberhard Bosslet]] === Übersicht === Installation / Objektkunst, Skulptur, Malerei, Lichtinstallation, Land Art * 1953 Gruppen: Material & Wirkung Berlin Vita EBERHARD BOSSLET geboren 1953 in Speyer, lebt in Berlin 1997 bis März 2019 Professor für Skulptur und Raumkonzepte an der HfBK Dresden seit 1981 Mitglied bei Material & Wirkung sowie temporäre Aufenthalte in Spanien 1987 documenta 8, Kassel (Katalog) und Bremer Kunstpreis (Katalog) Einzelausstellungen: (Auswahl) * seit 1981 Interventionen im Öffentlichen Raum. * 1985 Intervenciónes/Interventionen, Fundación Miró, Barcelona; ES(Katalog) *1986 Wilhelm-Lehmbruck-Museum, Duisburg, D (Katalog). *1987 Heidelberger Kunstverein, D (Katalog). *1988 John Gibson Gallery, New York, USA. *1989 Neue Nationalgalerie Berlin, D, (Katalog). *1990 John Gibson Gallery, New York, USA *1993 Kunsthal Rotterdam, Holland (Katalog) *1994 Öffentliche Ordnung, Kunstverein Speyer, D (Katalog) *1995 Interventionen II, VERBAU, Sprengel Museum Hannover,D (Katalog) *1995 PLANEN, Kunstverein Heilbronn, (Katalog) *1998 Fundamental wie Bilateral, Kunsthalle Mannheim, D (CD-ROM) *2000 Trabanten, Galerie Bochynek, Düsseldorf, D *2000 John Gibson Gallery, NY, USA *2002 Analoge Scheiben, Galerie Bochynek Düsseldorf, D *2004 Künstlerhaus Bregenz, Palais Thurn und Taxis, A *2006 Galerie der Stadt Backnang, D (Katalog) *2007 Stadtgalerie Saarbrücken, D (Katalog) *2009 Additive, Kunstverein Ingolstadt, D , (CD-ROM mit booklet in softbox) *2010 Stump Stools, Humboldt-Universität Berlin, Thaer-Saal, Berlin, D *2011 Stump Stools, Lichthof im Albertinum Dresden, Dresden, D *2012 Dingsda, Saarlandmuseeum Saarbrücken, Katalog, D (Katalog) *2013 Heimleuchten Trier, Kunstverein Trier – Junge Kunst, D, CD-ROM mit booklet in softbox) *2014 Chisme – Heavy Duty, TEA Tenerife Espacio de las Artes, Santa Cruz de Tenerife, ES, Katalog Ausstellungsbeteiligungen: (Auswahl) *1987 documenta 8, Kassel, D (Katalog) *1987 Bremer Kunstpreis 1987, Kunsthalle Bremen, D (Katalog). *1988 Spaces 88, Museo d'arte contemporanea Prato, Italia, (Katalog). *1989 D & S Ausstellung, Hamburger Kunstverein, D (Katalog). *1991 EUROCARD,John Gibson Gallery, New York, USA. *1992 Kunst werkt / Art works, Foundation, Stedelijk Museum Amsterdam,NL, (Katalog) *1992 Humpty Dumty's Kaleidoscope, Museum of Contemporary Art, Sydney, Australia, (Katalog) *1993 Eberhard Bosslet & Lawrence Gipe, Düsseldorfer Kunstverein, D, (Katalog). *1998 Material & Wirkung, Bosslet, Klotz, Sattel, Kunsthaus Dresden, D , (Katalog) *1999 Areale – Kunst im Industriellen Sektor, Brück/Linthe, D, (Katalog) *2000 Kabinett der Zeichnung, Kunstverein Düsseldorf, D *2001 Skulpturenufer Remagen, Regenfänger, D *2002 unexpected selection from the martin z.margulies collection, The Art Museum Miami, FL USA (Katalog) *2004 Worldwatchers, Kunsthaus Dresden, Städtische Galerie für Gegenwartskunst, D *2007 1 plus aus Dresden, Schloss Waldthausen/Mainz, D *2008 Ostrale 08, Zentrum für zeitgenössische Kunst, Dresden, D 2. Bienal de Canarias, Arte, Arquitectura y Paisaje, La Regenta, Las Palmas Gran Canaria, ES (Katalog) „berufen“, Hochschule für Bildende Künste Dresden, D *2009 Ostrale 09, Ausstellung internationaler zeitgenössicher Künste Dresden, D 1.Biennale für Internationale Lichtkunst Ruhr, Unna, D, (Katalog) *2010 Kunstmuseum Mühlheim, Liebhaberstücke, D, 11.09.2010-07.11.2010 *2011 Universum, Temporärer Kunstraum Harkort, Leipzig, D (Katalog) Kunst in der Villa Körbling, Speyer, D; End of the dream, MiccMoco, Berlin, D *2012 Participar, El Matadero, Goethe Institut Madrid , ES 2nd Ural Industrial Biennial of Contemporary Art, Ekaterinburg, RUS (Katalog) *2015 Living Large, Tucson Museum of Art, Tucson Arizona, USA *2016 Luminale Frankfurt am Main, D *2016 Ostrale weht Oder, Breslau/Wroclaw, PL *2017 Espacio P, Ca2M, Madrid, ES, Best of Ruhrgebiet , Galerie Frank Schlag, Essen, D Werke im öffentlichen Raum: *seit 1981 Interventionen im öffentlichen Raum *seit 2000 Gesamtgestaltung des U-Bahnhof, Duisburg-Meiderich, „Auf dem Damm“, D *seit 2001 Turmskulptur „Regenfänger“, Yachthafen Oberwinter/Remagen am Rhein, Skulpturenufer Remagen, Arp Museum - Bahnhof Rolandseck, D * seit 2008 - Inselwachstum, TU Chemnitz Institut für Physik und Reinraum, D Bibliografie: Auswahl Monografien *Picazo Gloria¸ Camps Miro: Eberhard Bosslet Intervenciones/Interventionen, Katalog der Fundación Miró, Barcelona 1985. *Gercke, Hans; Messler, Norbert; Stecker, Raimund: Eberhard Bosslet, Katalog des Heidelberger Kunstvereins, Heidelberg 1987. *Schmitz, Britta: Eberhard Bosslet, Katalog der Neuen Nationalgalerie Berlin, 1989. *Bochynek, Martin: Eberhard Bosslet, Katalog der Kunsthal Rotterdam 1993. *Seifermann, Ellen; Bochynek, Martin: Eberhard Bosslet - Malerei, Katalog PLANEN des Heilbronner Kunstvereins 1995 *Meyer-Büser, Susanne: Eberhard Bosslet, Interventionen II, Katalog des Sprengel Museums Hannover, 1995 * Bosslet-Archiv , CD-ROM für PC Werksverzeichnis von 1979 bis 2003, Kunsthalle Mannheim 2000, 3. erg. u. überarb. Ausg. 2003 * Utheman, Ernst W., Eberhard Bosslet, Work Groups, Katalog der Stadtgalerie Saarbrücken, 2007 * Findeisen, Ralf; Gisbourne, Mark; Grewenig, Meinrad Maria; Schütze, Irene; Katalog des Saarland.Museum Saarbrücken, 2012 * Bosslet, Eberhard; Findeisen, Ralf; Janecke, Christian; Britto, Orlando; Hernandez, Celestino, Krawietz, Alejandro; Picaso, Gloria: Miro, Theresa, DE, EN, ES, in Obras en Espana 1982-2012, extraverlag, Berlin 2014 * Gisbourn, Mark; Chisme – Heavy Duty, ES,DE, Katalog des TEA Santa Cruz de Tenerife, Spanien Internet: * www.bosslet.com * https://artmap.com/eberhardbosslet * https://instagram.com/bosslet.de/ Videos: * http://www.bosslet.com/exhibition-videos.html Eberhard Bosslet (geb.1953 in Speyer) Bosslet studierte Malerei bei Raimund Girke an der Hochschule der Künste Berlin von 1975 bis 1982. Ende der 70er Jahre wandte er sich in Installationen und mit Skulpturen verstärkt dem Dreidimensionalen zu. Das Spektrum der Arbeiten von Eberhard Bosslet umfasst Malerei, Skulptur, Installation, Intervention und Fotografie. Seit Anfang der 80er Jahre aktualisierte er mit seinen Eingriffen in den architektonischen Innen- und Außenraum den Begriff der Intervention. Bosslets dreidimensionales Werk beschäftigt sich auf ganz unterschiedlicher Weise mit den Bedingungen des Bauens und des Wohnens, mit Außen und Innen, privaten und öffentlichen Räumen. Alle Werke für institutionelle Ausstellung werden von Eberhard Bosslet für diese spezifischen Räumlichkeiten konzipiert und vor Ort mit Hilfe von lokalen Sponsoren und Leihgebern von Material und Gerätschaften realisiert. Die Werke basieren auf unterschiedlichen Konzeptionen. Sie werden von Fall zu Fall modifiziert und ähnlich einer Musik Komposition neu interpretiert. Diese inszenierten und installierten Werke bekommen am Ort ihrer neuen Aufführung eine raumbezogene neue Dimension und einen Wandel in der Materialität durch die vor Ort verfügbaren, ausgeliehenen Dinge und Gerätschaften. Sofern diese Werke nicht im Laufe der Ausstellung von jemanden erworben werden, gehen alle Werkbestandteile an den Ort ihrer Herkunft zurück. Mit diesen Werken begründete er seinen internationalen Ruf. https://www.bbk-kulturwerk.de/kioer/kuenstlerdatenbank/profil/eberhard-eberhard-bosslet --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:21, 9. Nov. 2020 (CET) === Intervention === [[w:de:Intervention (bildende Kunst)]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Bauzeichnung La Restinga II voll El Hierro 1983.jpg|mini|El Hierro seit 1983]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Bauzeichnung La Restinga II El Hierro 1983.jpg|mini|]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung II Tenerife El Guincho 1984.jpg|mini|El Guincho Teneriffa Süd 1984 Begleiterscheinung II]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung VII 1990.jpg|mini|Teneriffa 1990 Begleiterscheinung VII]] El Hierro sur *Dibuje de Obra, La Restinga II, 1983 *Eberhard Bosslet - Seit 1983 - Arbeiten an Ruinen: sog. "Bauzeichnungen, Reformierungen und Begleiterscheinungen" hierbei Transformierung der Gegebenheiten an Industrie- und Wohngebäuden durch lineare oder flächige Malerei. Commons Duisburg Germany *Intervention Innenhafen Duisburg, 1984 Near Barcelona *intervention on abandoned ruine *Dibujo de obra; Badalona; Spain, 1985 Tenerife Sur *intervention on abandoned ruine *Reformation IV, 1989 http://www.bosslet.com/interventions.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:50, 8. Nov. 2020 (CET) ;Teneriffa 2006 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung X Nord Teneriffa 2006.jpg|mini|Teneriffa Begleiterscheinung X]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung X Süd Teneriffa 2006.jpg|mini|vista sur]] [[File:ReformaVII.JPG|mini|Intervención Reforma VII 2006, en Arico]] Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 *www.germanart.eu *Teneriffa Süd Nähe PIRS/Tajao Exit 19 * Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 - vista norte Südseite * Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 - vista sur http://www.bosslet.com/begleiterscheinung-x.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:13, 8. Nov. 2020 (CET) ;Lanzarote 2008 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung XI Era Lanzarote 2008.jpg|mini|Lanzarote 2008 Begleiterscheinung XI]] Intervention ERA 2, 2008 participando 2009 Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje parte de la Segunda Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje, Google Earth view 2010 Art in Public Space - Intervention ERA 2, 2008 2009 Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje Era 2 vor der Intervention - Tegoyo, Tias Lanzarote public space artist La Era 2 antes de la intervención http://www.bosslet.com/era-ii-2008.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:54, 8. Nov. 2020 (CET) ;Gran Canaria 2009 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Reformirung VII Las Palmas GC 2009.jpg|mini|Reformirung VII Las Palmas GC 2009]] Urbane Erforschung - Seit 1983 - Arbeiten an Ruinen: sog. "Bauzeichnungen, Reformierungen und Begleiterscheinungen" hierbei Transformierung der Gegebenheiten an Industrie- und Wohngebäuden durch lineare oder flächige Malerei. Commons 2. Bienal de Canarias 5.3.09-3.5.2009 , Centro de Arte La Regenta - Las Palmas de Gran Canaria Neu//New/Nuevo Street View 360° at Google Earth - Gran Canaria zeigt/shows/muestra EBERHARD BOSSLET Intervention '''Reformation VII''', 2009 - 2. Bienal de Canarias, Gran Canaria Google Earth 28° 7'49.86"N, 15°28'32.66"W http://www.bosslet.com/bienal-canarias-09.html Präsentation: "slideshow" of interventions on flat screen tv on painted wall Eberhard Bosslet - Additive, Kunstverein Ingolstadt, 27.06.-09.08.2009, D "slideshow" of interventions on flat screen tv on painted wall 2. Bienal de Canarias, Arte, Arquitectura y Paisaje, La Regenta, Las Palmas Cran Canaria, 5.3.09-3.5.2009 E http://www.bosslet.com/praesentation.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:43, 8. Nov. 2020 (CET) ;Lanzarote 2011 Concomitancia XIII, Era5/Baxter, 2011, Lanzarote, Tias, Conil, 28°58'17.45"N, 13°39'53.93"W Concomitancia XIII, Era5/Baxter, 2011, Lanzarote, Tias, Conil, 28°58'17.45"N, 13°39'53.93"W http://www.bosslet.com/era-lanzarote-2011.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:58, 8. Nov. 2020 (CET) === Art-loss === Es wird ausdrücklich davor gewarnt das hier genannte und gezeigte WERK EBERHARD BOSSLETs zu kaufen oder auf sonst eine Art und Weise zu erwerben. Das Eigentumsverhältnis dieses Werkes ist umstritten bzw. der Anbieter ist nicht Eigentümer und hat keine Befugnis dieses Werk zum Kauf anzubieten oder auf seine Rechnung zu verkaufen. Sie können daher kein Eigentum an diesem Werk erwerben. Es wird vermutet, daß die hier genannten Personen, bzw. Galerie noch im Besitz des gelisteten und gezeigten Werkes sind. Falls Sie Kenntnis über den Verbleib oder einer Ausstellung des Werkes erlangen, informieren Sie bitte eine der deutschen Galerie des Künstlers. Der letzte bekannte Besitzer/verbleib des Werkes: Karl Bornstein, Santa monica, CA, USA or The Mirage Fund, Fimberg & Wiliams L.P. Mr. Ralf Wiliams, 9777 Wilshire Blvd., Suite 710, Beverly Hills, CA 90212, USA http://www.bosslet.com/art-loss.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:47, 8. Nov. 2020 (CET) === Emeritierung === Sächsische Zeitung vom 25.02.2019 12:00 Uhr [https://www.saechsische.de/plus/eberhard-bosslet-hfbk-dresden-5039640.html Einfach unverbesserlich. Eberhard Bosslet bildete 22 Jahre lang in Dresden junge Künstler aus. Einer von ihnen ist berühmter als der Professor.] Eberhard Bosslet räumt sein HfBK-Atelier in Dresden. Foto: Ronald Bonß Von Birgit Grimm Es hat nicht sollen sein. Die Abschiedsausstellung des Professors für Skulptur und Raumkonzepte an der Dresdner Hochschule für Bildende Künste (HfBK) findet nicht statt. Es liegt nicht daran, dass die Tragfähigkeit des Fußbodens im Oktogon nicht stark genug wäre für das, was Eberhard Bosslet zeigen wollte. Auch hatte er nicht vor, eine Skulptur aus buntem Bauschaum zu erschaffen. Er wollte kein Fahrzeug als Kunstobjekt im Innenhof des Akademiegebäudes an der Brühlschen Terrasse parken und auch nicht einen der Bäume dort mit einem Gartenschlauch umwickeln. Diese Episoden trugen sich alle an der HfBK zu. Manche dieser künstlerischen Ideen wäre gescheitert, wenn Bosslet nicht interveniert hätte. Postfaktische Widrigkeiten nahm der Professor, der nach 22 Jahren emeritiert wird, nicht hin. Er schaltete sich ein, stellte infrage, was da von Rekoptorat oder einzelnen Kollegen infrage gestellt wurde, gab Gutachten in Auftrag. Kunststudenten dürfen nicht machen, was sie wollen. Aber sie sollen sich ausprobieren, Neuland betreten, sich entwickeln. Die meisten, die sich nach dem Abitur oder nach einer Berufsausbildung an der HfBK bewerben, haben ein konservatives Kunstverständnis. „Ich frage meine Studenten, ob ihre Familie sie unterstützt oder es toleriert, dass sie Künstler werden wollen. Noch nie hat mir jemand erzählt, dass seine Eltern ihn regelmäßig in Galerien und Ausstellungen zeitgenössischer Kunst mitgenommen hätten.“ Ihnen zu helfen, dass sie sich zum Zeitgenossen entwickeln, darin sah Bosslet seine Aufgabe. „Aber es gibt so wenige, die unter Innovationsverdacht stehen. Dort, wo man noch nie war, muss man ja auch erst mal hinwollen. Denn das ist kein gemütliches Terrain.“ Überhaupt sei es das Schwierigste, nicht den eigenen Sehnsuchtsmodellen der Vergangenheit anzuhängen. Einer, der Haltung vermittelt Bosslet stammt aus Speyer und ist der Sohn eines Architekten. „Auch bei uns war das Künstlerbild tradiert. Allerdings hatte ich Kandinsky, Miró, Picasso, den Kubismus damals schon verstanden. Trotzdem bin ich durch die Kirchen von Florenz und Venedig gerannt und habe Altarbilder angeschaut. Dass ich am Zeitgeist teilhaben wollte, das merkte ich erst später.“ Auch Bosslets wohl berühmtester Student, der Maler Martin Eder, arbeitet historisierend. „Aber er versteht es, die Grenzen des guten Geschmacks auf eine interessante Weise zu tangieren, sodass sich daran die Geister scheiden. Das macht ihn so zeitgenössisch“, befindet der Lehrer. Er selbst reiste nach dem Studium in West-Berlin Anfang der Achtzigerjahre viel herum, schuf Kunstwerke in der Landschaft: „Wie ein Graffitisprayer, also meistens illegal“, verrät er. Aber auch nachdem er 1997 in Dresden sesshaft geworden war, zog er mit seinen Studenten in die Welt. Dieser Professor kam nicht mit verschränkten Armen in die Klasse, um Korrekturen zu geben. Es war eher eine Haltung, die er durch sein Schaffen und seine Ausstellungen vermittelte. Und es waren praktische Übungen, die den Studenten helfen sollen, sich zu behaupten. „Als ich hier anfing, habe ich einen leeren Raum genutzt, um Projekte zu realisieren. „75Kubik“ hieß das Format. „Als ich das publik machte, hat der damalige Rektor mich zurechtgewiesen, ich hätte nicht die Befugnis, von mir aus damit an die Öffentlichkeit zu treten.“ Hochschulinterne Restriktionen haben ihn nicht davon abgehalten, mit seiner Klasse Ausstellungen innerhalb und außerhalb der Schule, innerhalb und außerhalb Dresdens zu zeigen. „Als ich nach Dresden kam, war ich ein regelrechter Patriot und habe mich total auf die Stadt eingelassen. Viele Jahre habe ich versucht, auszustrahlen. Aber das hat sich nicht gespiegelt. Aus der Stadt kam selten Feedback.“ Wenn hier gebürtige Künstler sich in Dresden nicht wahrgenommen fühlen, sind sie damit nicht allein. Bosslet sagt: „Mal bin ich ein Dresdner Künstler, das nächste Mal bin ich wieder keiner.“ Sein Sohn ist in Dresden aufgewachsen, seine Frau hat hier einen großen Freundeskreis. Trotzdem zog die Familie 2011 nach Berlin. „Ich liebe Dresden, aber ich brauchte physischen Abstand zur Hochschule“, begründet Bosslet diesen Schritt. Er hatte Knatsch mit dem Rektor. Heute soll es vorkommen, dass Professoren und Studenten sich wegen Pegida gegen Dresden entscheiden. Bosslet hat das noch nie gehört. Aber er weiß natürlich, dass bei der Wahl des Studien- und des Arbeitsorts das soziale Umfeld eine Rolle spielt. Hartnäckig und beweglich im Kopf In einem anderen Unterrichtsformat lud seine Klasse Sammler, Galeristen, Journalisten in eine Ausstellung für einen Tag in die Hochschulräume auf der Pfotenhauerstraße ein. Im Zwei-Stunden-Takt diskutierten die Studenten mit je einem Gast ihre Arbeiten. „Nach dem ersten Mal waren die Studenten so scharf drauf, dass sie beim zweiten Mal alles selbst organisiert haben. Das ist der Prozess, den sie üben: Wen lade ich wie ein? Genügt ein Anruf? Oder sollte ich doch lieber schreiben? Was muss ich schreiben, wie formulieren? Hake ich noch mal nach, wenn keine Antwort kommt?“ Wer Künstler sein will, muss nicht nur hartnäckig sein, sondern auch beweglich im Kopf. Der 65-Jährige, der gern Objekte aus Schrott und Bauschutt in hehre Kunsttempel stellt, wollte in seiner Abschiedsschau im Oktogon der HfBK die Installation „Heimleuchten“ zeigen. Kitschigbunte Weihnachtsbeleuchtung im überraschenden Kontext. Doch er fand keinen Sponsor. Heimleuchten: Mit so einer Installation wollte Eberhard Bosslet sich aus dem Professorenamt verabschieden. Doch er fand keinen Sponsor für das material- und energietechnisch aufwendige Werk. Bild: Heimleuchten: Mit so einer Installation wollte Eberhard Bosslet sich aus dem Professorenamt verabschieden. Doch er fand keinen Sponsor für das material- und energietechnisch aufwendige Werk. Bosslet Und weil ihm seine Studenten wichtig sind, er aber keine Klassentreffen mag, lud er sie ein, mit ihm ein Buch zu machen. In Bosslets Lehrbericht von 1997 bis 2019 haben sich die mehr oder weniger jungen Künstler und Künstlerinnen mit Fotos, Kurzvita und Ausstellungsliste verewigt. Dorothee Billard hat das Buch mitgestaltet und dem Professor darin den meisten Platz gegeben. „Unverbesserlich“ steht auf dem Cover. Und in der Tat ist noch nie ein Student an der HfBK durch die Diplomprüfung gerauscht, obwohl im Studium tatsächlich Noten vergeben werden sollen. „Wir müssen Noten geben“, sagt Bosslet. „Da wir gute Lehrer sind, sind unsere Schüler natürlich auch gut. Das hat das allgemeine Bildungswesen nur noch nicht erkannt, dass die Note des Schülers die Note des Lehrers ist – oder die Note des Systems.“ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:01, 9. Nov. 2020 (CET) == Literatur == Menschen ohne Härte, Ellbogen und einen gesunden Selbstschutz, um sich gegen diese immer härter und kälter werdende Welt zu wehren bzw. durchzusetzen ohne die Möglichkeit, einen Schutzwall hochzuziehen Suchstoffe um sich zu betäuben, um den „Seelenschmerz“ nicht mehr fühlen zu müssen „Ritzenz“ dient dazu, sich anders zu fühlen, d.h. sich körperlich statt seelisch zu fühlen seelisch ungeschützter in unserer Mitte sich auf eine innere Nähe zu den Menschen einzulassen, die wirklich z.T. gequälte Seelen sind Egomanen dieser Welt gegen auf Harmonie, einem menschlichen Miteinander gepolte Menschen, die keine Schutzmauer aufbauen können das Gros , das in dieser Welt psychisch überfordert ist vgl. Manfred Lütz „Wir behandeln die Falschen“ „selektiert“ wurde in der Vergangenheit bis hin zur Gegenwart genügend und in allen Bereichen mit dem Ergebnis: der Mensch bleibt auf der Strecke die Evolution der Menschheit ist am Ende, es hat die Evolution des Materialismus begonnen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) Ich meine, meine Bücher sind wirklich! böse, weil sie diese ganze übliche nette gesellschaftliche Verlogenheit und Verkommenheit gründlich demaskieren, indem sie verdammt nah dran an den realen menschlichen Schicksalen sind. Und ich glaube auch nicht, daß es sich wer wagen würde, die zu verlegen - ich übrinx auch nicht, so lebensmüde bin ich nicht. Zum Glück hab ich ob meiner Lebensweise finanziell ausgesorgt und muß gar nix mehr außer sterben. Und dann kenne ich ein weiteres Buch, das wirklich böse ist: Jürgen Vogel: "Magdeburgs Wendehälse. Lexikon der Lügner und Betrüger". Der Autor war 1990 bis 1994 Vorsitzender des Magdeburger Bürgerkomitees und hatte 1991 "Magdeburg, Kroatenweg : Chronik des Magdeburger Bürgerkomitees ; Beobachtungen in der Zeit der Wende zwischen Lüge und Wahrheit" veröffentlicht (nach 1990: "Abgesang der Stasi"). Sein drittes Buch hat niemand mehr verlegt, er wurde aus dem Bürgerkomitee abgeschoben, und die Friedrich-Ebert-Stiftung, welche sein Archiv aufkaufte mit der Zusage der Aufarbeitung, hat als erstes für 60 Jahre den Deckel draufgemacht. Das Buch nenne ich dann mal wirklich pöse - es würde heute noch nicht verkraftet werden, weil immer noch zu viele Wendehälse aktiv sind! https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&reset=true&cqlMode=true&query=auRef%3D102749658X&selectedCategory=any --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:15, 4. Nov. 2020 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3628903430501315&set=a.111717075553319 Meine Gedanken haben mich verlassen. Der Pinsel hat sie weggetragen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626372927421032&set=a.111717075553319 und der Pinsel schrieb Freude ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626370947421230&set=a.111717075553319 und sie fühlte sich selbstverlassen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623995644325427&set=a.111717075553319 werft Worte in die Welt, damit sie dort erblühen können] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623992674325724&set=a.111717075553319 ich will hier raus ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3615247088533616&set=a.111717075553319 Sie haben Euer Denken verriegelt ... ] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3604090076315984&set=a.111717075553319 macht Euch Gedanken, denn sie können fliegen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3601244606600531&set=a.111717075553319 dieser Ort hat keine anderen Grenzen als meine Gedanken] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598497446875247&set=a.111717075553319 wenn ich an meine Eltern denke] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598495936875398&set=a.111717075553319 die Stadt ist ein Wort, der Pinsel schreibt weiter] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:43, 5. Nov. 2020 (CET) == Atompunk == [[File:Сталкеры на привале.jpg|mini|Stalker - Tschernobyl]] [[w:Atompunk|Atompunk]] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/5KgJnV6L6fOfnn7zJHjTs6/41409837b73de7c1c4024424510c493f/76_Shelter_After2_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' bei Fallout] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/1SeUOdsQCoJ5VvGNCSFyf1/0957edcab1fd1dea19da72585fe1a210/76_Shelter_After1_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' II bei Fallout] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) [[w:Picknick am Wegesrand|Picknick am Wegesrand]] 1971 [[w:Stalker: Shadow of Chernobyl|Stalker: Shadow of Chernobyl]] 2007 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:35, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.imdb.com/title/tt0773736/mediaviewer/rm2535426561 Lost in Space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 16:22, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=969560220191143&set=gm.3583128475067470 Marta Kristen in wardrobe wearing a space suit for the 1960s tv series lost in space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:30, 8. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/basw.AbrU_r9vGHo-z_karx2ANGJZqZCGyGSE64dVSxMdVbWi0SJzbI6zMFK5DkovzTd6WRwdpHixH9jkrZvkf2btVYc1PkyHiR9WWLVSpOhOhTJgnyykw5uP6PNxKAraMtgvn4Gwf1gkKNcN8G5MLI5k5E5M/2556004381104383/?opaqueCursor=AbpEfvdUcdzHVE5z6Unv9Jb8PSI92VuSW0qsjVx88LlJSsvDrxL9gDSssK2UdTRFjoDY5tu8GRr_TzHRvdLx2VoW9LkttzbaIZR0XhIrgnPjVcOq0mvNN7_zR7Bq4H9yoDWn-lYoHBg48mdo0zaJy-RcZxVl3bxusgPm0J0vQ4yY6llDaE6zYusB57oPdiVy3e-12jeafiMdTQBCWrKA1EWGuo1WoqSmaCQheqlGz-T4CVGpM7wHAHy1eNPCb4qkZnDy85cL3oBd8nLCAHEx6tSW13Tk2Oz4hcwVz7Tp2RgkLzRVaLKHktEbqISsXcA4i54JEXhzg4C9_T3qOx0-kRnmEdpujxFGBwgmmW1UR5GjjaEbBFq1wRNWuEmR9WuMx1sS3hszrlqRLgIsby8p4oVeHwWQS13ZYz_gmGcz01384AdDHiWVsZh407PGguYaoMMq-Rz5VOPXUId5CsN8ZvOMahqCSUnXvM92iDzR7z1QbFzPfTjPlO9zw7TCTtxb7Yb5FKOBO8k7-NwDxstXiSUNtbMuhmAjN_Ug_N5xbwwGjAwemhypx-0z10UECpq6SZMJ0V8NCdLy7vncYd4loGBqLAxoQrhT_Udzcv1aq4lZqxyScYsQEth5vXa3OK5lsUmZGBIcJRmOoOUqA4kVA38dDvB6SlMxenwhZeSttYJaJMN-Jo9IivE1Dozw2uQPNQFAurmxf1Jojw4xbOttLjQlO2FDXRIsX4vc-LuqlKy4kofkKffUeKUmbohi9fcoftsQ0SGrAIZ-PY38ZP8Phs_iAa0zJ4N42mAG7wcvRIKLmvFnFqdMXGFUNpRdySYlmMsE2OINZlFGRTmXO1kAjxCHMUqmRXW2gl6EGxer1EiPNg atom-punk go-go jazz halloween costume (or every day) ideas #8] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/1029616097076560/ Astronauten-Pärchen] auch eine Idee für die nächste Zeit - aber nicht weiter weg als 5 km von zu Hause, sonst geht die Luft aus [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/837600166278155/ Raucher-Astronaut (Dr. Who)] - Raucher-Maske - sehr Vorteil-Haft für unsere süchtigen Säuglinge unter uns [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/791374787567360/ gelbes Space-Frauen-Kommando mit roten Streifen - unter männlicher Befehls-Gewalt] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/941018669269637/ Silver-Girl im Labor] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/694038930634280/ Heavy Silver Astronautin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/658284810876359/ Weyland Girl] https://en.wikipedia.org/wiki/Weyland#Fiction [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/652535974784576/ Weiße Taucherin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/615008418537332/ Silver Astronautic Paar] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:08, 25. Okt. 2020 (CET) == Photographie == [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2295772393809566/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/68954640_2295772397142899_226081963155390464_o.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=o1bMfM884ukAX9tXvYd&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=8f38ae65e82b5edcbb04f76459d1c66c&oe=602959FB have an idea...?!] - I fuck your brain * [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/703801973006624/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/10600589_703801973006624_962048756325809864_n.jpg?_nc_cat=109&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_tqZPK0GnVsAX-Y0eLn&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7eec14cc6c2e88e8a04eed792dbdf455&oe=60272C91 still the same curves (anniversary remake&reload)] seitlich [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/877898902263596/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12080054_877898902263596_1056407333265845020_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_1-mbP0ptb8AX-FnReH&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180c7826ce94200ffbf0cb43291a70ef&oe=602A4888 all crew members are on service deck] - "Pilotin" *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/853361011384052/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/11836640_853361011384052_1317312222273636789_n.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=-LHNDNWp5I0AX_0qumx&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=f7cb300e18fe7d90fc3a648872812663&oe=60289D63 fighter team] Rückenansicht *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/a.360648453988646/3183274475059349/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/119480868_3183274478392682_4198532599522982186_o.jpg?_nc_cat=111&cb=846ca55b-ee17756f&ccb=2&_nc_sid=0debeb&_nc_ohc=HIa7Uq4NXIQAX-0zCiM&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180cd13ebdc2efca1ea5797f23e6993b&oe=6026766B hangar check] - in der Stratosphäre ist sie sicher vor Corona, die Helm-Nummer "13" sollte zusätzlich helfen [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2875447189175414/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/99257505_2875447195842080_8451893750401073152_o.jpg?_nc_cat=110&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=4vP91s4Xqs0AX8b9Z1F&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=71f3ddd285be9fca24c3be88566bde5d&oe=60269A91 Die Stille der Nacht] - Halskorsett aus schwarzem Leder über Mund und Nase - MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/988286121224873/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/13243780_988286121224873_3083762868739399129_o.jpg?_nc_cat=103&cb=846ca55b-311e05c7&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=isn0T9bKZjIAX8A-9Mv&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=48754a6cbda0068cad72a2e7a921c255&oe=602A0605 roses are the real weapons] (star wars day) Tätowierte mit startrooper helm - hauptsache MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/908425312544288/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12365984_908425312544288_8987609574159828109_o.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=9TeNkoreIRsAX8zhTtN&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=883db11cec295c5424168a9d1da27c3f&oe=602A1F07 256 shades of cathy] in der dusche eingesperrt - https://www.facebook.com/cathleen.sattler [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/181532538566906/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/257974_181532538566906_7525195_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=fZZiQKgTsz0AX8OuhxK&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=e9e2008bb79008684999318b37aad921&oe=6026E2E1 creatures of the night] (danke an wildchild https://www.facebook.com/kleineswirres ) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:31, 16. Jan. 2021 (CET) == Zeichnungen == Das Secret Desire und Michael Kral laden herzlich ein zur Eröffnung der Ausstellung: Freitag, 04.11.2016, 19.30 Uhr Ein akt ist so - natürlich NaCkt ... verhüllt vom N im Negligée ... bezaubernd bis zum Ceh. Im Akt ganz pur zeigt die Natur des Künstlers Können mit Bravour. (Sazu) Ort: Secret Desire, Rothenburger Str 7, 01099 Dresden Die Ausstellung ist vom 04.07.2016 bis zum 04.01.2017 während der Öffnungszeiten des Secret Desire ́s zu sehen. Motiv: Michael Kral, Aktzeichnung, 35 x 25 cm, 2016 https://www.facebook.com/kralartifex/posts/1063220337109301/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:34, 16. Jan. 2021 (CET) == Ruslana Eisenschmidt == [[File:Ruslana-eisenschmidt-disco.jpg|thumb|Ruslana Eisenschmidt bei der Agentur Disco 3000 mit einem Original 3000 T-Shirt. 1999.]] [[File:Silbermond-ruslana-eisenschmidt.jpg|thumb|2001 illustrierte ich die Band Silbermond in Berlin. Dies ist eine Vektorgrafik.]] Ich male den ganzen Tag was ich will... Ich lebe vom Malen. Habe Glück gehabt. Übrigens ist malen arbeiten. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:34, 10. Mär. 2021 (CET) Ich habe eine ganze Kiste voll, mit von mir erfundenen Comic Charakteren... Hier habe ich mal einen "katholischen Schweinepriester" entwickelt und gezeichnet. Er frisst kleine Kinder. * Der frisst Kinder, weil er selbst Angst vorm Leben hat.... Er frisst kleine Kinder, weil er richtig und falsch nicht unterscheiden kann.... * das kommt noch dazu... das sind keine Haare, er hat 4 Teufelshörner! Er ist unfähig sich den Gürtel richtig zu binden. Klick mal das Bild an. Er trägt keine Schuhe, sondern nur eine Strumpfhose, da kann er sich auf leisen Sohlen besser anschleichen.... Eigentlichen male ich nur noch Frauen und Katzen. Da ich da einen eigenen Stil entwickelt habe. Hier habe ich einen Seepferdchendrachen erfunden und gezeichnet. Er wurde von einem Trophäensammler geköpft und an die Wand gehangen, deswegen schnaubt er vor Wut. Ich habe halt ne blühende Phantasie. Ich habe viele Charakters erschaffen. Es sind dermaßen viele, dass ich sie bereits nach Familien sortiert habe. Selbst Comics zeichnen möchte ich nicht. Ich kann aber die Figuren anderen Zeichnern, Zeichentrickstudios oder Spieleentwicklern zur Verfügung stellen. Bei mir sind die Sachen nicht im Kopf. Mein Kopf ist klar. Bei mir entsteht der ganze Unfug erst, wenn ich ein leeres Blatt Papier sehe. Erst kommt ein Auge, dann eine Nase und plötzlich erkenne ich, was das werden soll. Ist jedesmal eine Überraschungsgeburt. ich kann nur zeichnen, wenn ich locker ran gehe. Aus therapeutischen Gründen könnte ich das nicht. Da würde mir nichts einfallen, da ich im Inneren aufgeräumt, aber nach Außen hin chaotisch bin. Für meine Seelenpflege ist da nicht der Zeichenstift, sondern meine Psychologin zuständig. ein Abgrenzungsproblem ist das nicht, sondern das Langzeitgedächtnis speichert Erlebtes besser, wenn es mit Gefühlen verbunden waren. * Ja Du sagst es. Die Gefühle waren dermaßen intensiv daß sie sich mir eingebrannt haben. Das Abgrenzungsproblem war damals Ich ließ sie vieleicht zu nah an mich ran phatetisch an mein Herz. Ich distanzierte mich nicht. So ist das gespeicherte immer präsent. Die Trennung nicht gänzlich vollzogen. So meinte ich das. Das mit den Trennungen ist sowieso etwas seltsames. Das kann keiner begreifen, wie und warum der Mensch das macht...Auseinander gelebt, sich weiter entwickelt, Bindungsangst, komische Sachen gemacht...Der Mensch an sich ist schwach..wir alle sind das... * Hat man Dir das so IN ALLER LIEBLOSIGKEIT gesagt? Diese Erklärungen tragen nicht sehr weit. Ich weiß. Genau richtig gesagt: man begreift es nicht. Nicht vorher, nicht während und erst recht nicht danach. So klar man im Nachhinein auch fälschlicherweise oft denkt: "Ach so. Ist ja ganz klar.Wegen diesem und jenem" Wir wissen daß das nicht stimmt und können doch nicht anders, weil man das sinnlose nicht einfach kapieren und akzetieren kann. Erklärungen wie: "na ja, die hat eben die vielen anderen Männer als Möglichkeit nicht ausschließen wollen, die hat eben keine richtige Beziehung gewollt", was wird noch gerne genommen? Ach ja, "am Alltag gescheitert" etc. Alles um es wegzuerklären und um es in die Schublade ablegen zu können. Gesunde Einstellung, aber... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:05, 31. Mär. 2021 (CEST) https://www.facebook.com/profile.php?id=100019492082821 Suche Wohnung ausschließlich in Ostberlin/Mitte ab Sommer 2021. Unbefristet, kann auch klein sein, Warmmiete bis 700 Euro * maximal 1 Zimmer in einer WG Das ist lieb, doch ich brauche was eigenes. Danke nochmal. * 700,- ??? Na viel Spaß * Mitte Neubau der Quadratmeter 20 EUR nettokalt. Altbau wird wegen Mietendeckel-Entscheid überhaupt nicht mehr angeboten. Und dann bei Privaten auch nur im Netzwerk. Gönnt Dir Keiner was;-( * für 700,- kriegste in Mitte grad mal‘n Zimmer ! Ich suche was Eigenes. Ich möchte zurück nach Ostberlin Mitte. Dafür gebe ich eine große Wohnung in Jena auf. * 700 Euro Warmmiete ist aber inzwischen in Berlin ganz schön optimistisch. ich weiß. Noch könnte ich Glück haben. Ich habe mal ein halbes Jahr in Paris gelebt. Berlin entwickelt sich immer mehr in Richtung Paris. Und Paris lebt einem die hohen Mieten vor. * und New York. 😂 Gut, daßduda wechbist. ab 20 m2 Ich suche Rosenthaler, Torstr., Linienstr. Ich meine konkrete Straßen in Ostberlin, weil das Jugenderinnerungen für mich sind. Alles rund um den Alex ist ideal. Mit Moabit hatte ich nie etwas zu tun. * ich bin von Berlin schon vor zwölf Jahren WEch WEgen dem Mieten-WAHNSINN - dort braucht mensch einKOMMEN zum ausKOMMEN - lebte SO 36 über dem "Trinkteufel" bei Christian Herwartz (Exerzitien auf der Straße) https://www.strassenexerzitien.de/ Ich ziehe dieses Jahr noch zurück nach Berlin. Ich will ausschließlich Ostberlin Mitte, da fühle ich mich wohl, da habe ich meine Jugend verbracht und nur dorthin will ich. Bin auf Wohnungssuche. Ich will unbedingt mach Ostberlin, Mitte...Da explodieren gerade die Mieten wie in Paris. Wird also vorerst nur was Kleines werden. *Irgendwann will man keine Kompromisse mehr machen und vielleicht nach Hohenschönhausen oder weiß der Geier wohin ziehen wg billiger. Obwohl Du doch eigentlich da hin wolltest wo die eigene Jugend stattfand. Nach O. Berlin Mitte. * kann ich nicht mitreden - hatte die meiste Zeit (Ost)Berlinverbot ([Ost]Berlin - die Nebenstadt der DDR) Mir geht es nicht um günstige Mieten, denn die habe ich ja jetzt. Nach Berlin ziehe ich in ein ganz bestimmtes Viertel. Ich will ganz bestimmte Straßen, da das meine Jugenderinnerungen sind und mich aufblühen lassen. ich bin Single, weil ... mein Hintern ist zu groß * Und du glaubst wirklich,daß Männer NICHT darauf Stehen?Was für "Männer" kennst du denn?Wohl eher Würstchen,die sich nicht trauen,zu ihren wahren Vorlieben zu stehen.Hunde wollen Knochen,Wölfe wollen Fleisch! * entscheidend ist eher, wie weit du (mit)gehst arbeiten gehen muss * muß? - ist für mich ein ToTAL verALTeTes Wort Kapuziner im Cafe de la Paix, Paris, 1952. Photo by Georges Dambier. Tolles Foto..doch gebe man der Dame bitte was zu essen. * meine Oma lief ab 1940 im Pariser Chic herum ... Gut, dass ich nie geheiratet habe... Japanische Tradition * kennich -wahr mahl dort (und dsa-dsen-lehrer wahr ich auch mal, in der ddr, als das noch richtig wichtig wahr) Unterwassergang * könntich stundenlang zuschauen ... leichtbekleidete Bikerinnen * Hauptsache Schutzhelm. Und immer das Visier schließen - wegen Corona-VERordnung. Brennende Kerze wird bestiegen Ich wunder mich auch jedesmal, darüber was es in der Kunst Neues zu sehen gibt. Nach dem Motto: "Die Kunst ist tot, es lebe die Kunst." *Kunst-Bruder Christian Schmidt (SJ) hat über Jahrzehnte eine Kerzensammlung aufgebaut - zT noch origineller * Aufstieg zum Licht - oder zur Erleuchtung, Sieleuchtung ... [[File:Painting of Mata Hari by Isaac Israels.jpg|thumb|Painting of Mata Hari by Isaac Israels, 1917]] Mata Hari photo 1907 * Ein atemberaubendes Kleid Ein atemberaubendes Schlitzohr, so kennen und lieben wir sie *sie hat das Alter nie schmecken müssen (ich war mahl mit der "SchoENeN SExiN" zusammen, die wahr ganz ähnlich) Patientin Ruslana: kann nicht schlafen - du mußt feiern und dich betrinken Viele meiner PROMI Kollegen, wie Kurt Krömer waren bereits in einer Nervenklinik..Wieso interressiert das auf Facebook keine Sau? AUCH MARLENE DIETRICH lies sich behandeln. Sind das alles Verrückte für euch? Als bipolar chronisch Kranke, also: ich bin manisch- depressiv. Muss ich aktuell und frisch nach der gerade erlebten, enttäuschten Liebe sehr um mich kämpfen. ÄRZTE..PSYCHOLOGEN..UND MEINE FREUNDE kämpfen gerade um mich. Mir geht es nicht gut. Witz Kommentare sind hier unerwünscht, denn diese Erkrankung ist nicht heilbar und die Selbstmordrate liegt bei über 30% Ich habe ne ABC- Schutzmaske endlich kann ich die mal aufsetzten *sicherheitshalber auch noch den Vollschutz-Anzug habe ich da. * dacht ich mir schon - sicher ist sicher ... Bartclubs, Bartmeisterschaften ... Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. * Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1364217717267517&set=gm.3544231839016781 Atem-beraubend. Vor allem mit schön engen Brust- und Bauchgürteln.] Hier gibt es noch ganz andere Fotos...da habense nix mehr an...doch das wird dann selbst mir zuviel. Ansonsten poste und male ich ja gern freizügige Frauen, ist bei Künstlern seit Jahrhunderten normal. Ich habe früher in den Clubs auf den Lautsprecherboxen getanzt... Nein, es ist nicht einfach so vorbei. Ich habe Liebeskummer und mir geht es nicht gut... [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1155671958211971&set=a.203131063466070 Sophia Loren in schwaarzem Lederkleid mit breitem Gürtel] Alles an ihr ist schön. Eine Augenweide. stand in diesem Out-Fit mal recht hoch auf meiner nach oben offenen Skala (ist allerdings eine Weile her) Ich bin in allen drei Waffen ausgebildet. Florett, Degen und Säbel. Eigentlich gibt es den veralteten, klassischen Stockgriff und den modernen Pistolengriff, der ergonomisch in der Hand liegt. Ich als Künstlerin poste meine Zeichnungen nicht auf Facebook..bekomme aber jetzt von anderen Zeichnungen gepostet..das nenne ich ein gelungenes Produkt Placement.. Bei mir meldet sich oft erst der Bauch, dann das Herz und dann versucht der Kopf noch was zu retten. Glücklicherweise habe ich ein schnelles Hirn...sonst würde ich mit Bauch und Herz nicht klar kommen. Ich wäre dann mit mir selbst überfordert.... Ich habe auch auf Mallorca gelebt. In den 2 Jahren auch viel Leid gesehen. Menschliches und tierisches Leid. Von wegen Trauminsel. Meine beiden Katzen habe ich auf Mallorca bekommen und sie dann nach Deutschand mitgenommen. Sie sind beide als Fracht geflogen. Auf dem Flughafen haben die Spanier sie wie Gepäck einfach in einen halben Meter tiefen Schacht geworfen. Ich bleibe sonst lange ruhig, aber da bekam ich einen Tobsuchtsanfall und habe wüst die Flughafenmitarbeiter auf deutsch beschimpft. ich unterhalte mich auf Facebook nie privat. Nur öffentlich. Das ist ein Grundsatz von mir. Auch liegt nichts an meiner Herkunft, sondern eher an meinem Charakter und meiner fröhlichen Art. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3753838501401735&set=gm.1050564075468125 corona-schlafzeug] Ein Träumchen....😂 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:56, 3. Apr. 2021 (CEST) == Gumina Jasmin == nunja, ich war der letzte Partner der damals edelsten und schönsten Sexin - noch früher persönliche Sekretärin des Reichsbahn-Präsidenten in Dresden, verkuppelt mit dessen Fahrer, ZV-Schlampe der Oberoberoberklasse - vom Feinsten, absolut High End, Edel-Escort, von Geburt an Probleme mit der Halswirbelsäule, deswegen schmerz- und schlaftablettensüchtig ab Mitte 20, Buchspeicheldrüsenkrebs (ein Onkel von mir war ZV-Ausbildungsleiter im ZV-Lager Bernburg, schluckte auch zu viel davon - unter Tage im Steinsalzbergwerk - brach mit 37 zusammen und starb daran mit 51), Whipple-OP mit 45, auf Morphium hochdosiert, von der Medizin abgeschrieben, ihr Mann brannte mit der Pflegerin durch, wollte sie nicht totpflegen, in die Palliativstation St. Joseph-Stift hier in Dresden eingewiesen mit 52 - sie hatte mir schon ihr schönstes Kleid ausgesucht, in dem sie beerdigt werden wollte, die Urne auch - beides lackschwarz und mit roten Rosen - und dann war ihre Liebe zu mir stärker als Schmerz und Tod, da war noch zu viel süßes Leben ungelebt - ich habe ihre ungeheuren Schmerzen in ungeheure Lust transformiert - und sie hatte noch weitere elf absolut tabulose Jahre, dem Tode abgerungen - mit 63 erneut Krebs - gestreut bis in die Lunge - wieder Chemo, wieder edle Perücken aller Coleur, Sauerstoffmaske statt früher Latex- und Gasmasken etc. - nach sechs Monaten der Tod (das Leben wiederholt sich nicht): "mir geht es schlecht" hat sie nur ein einziges Mal gesagt - das waren ihre letzten Worte vor dem Koma - beerdigt wurde sie in lackrot, der Farbe der Liebe, unserem Lieblingsoutfit (darunter rotes Latex als nahtlose Unterwäsche) - die Urne blieb gleich - so eine rote Urne gab es nicht - sie sah noch beim letzten Spaziergang im Rollstuhl aus, wie ich sie kennengelernt habe - mit langer, blonder Perücke, in Lack und Latex, wunderschön wie Mitte 40 - sie hat das Alter nie geschmeckt, und es war wohl besser so für sie (sie ging nie ungeschminkt, ungestylt und ohne High Heels raus - nie nie nie, nur ich kannte sie auch abgeschminkt und voller OP-Narben) https://www.josephstift-dresden.de/kliniken-und-einrichtungen/palliativmedizinonkologie/klinik/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 12. Mär. 2021 (CET) mann muß sich nur zu helfen wissen - diese Ersatz-Atembeutel kenn ich von der Ostzone, ZV-Frauenlager, als "Strafe" für verfehlte Normen (lange Handschuhe) der ANzug sitzt mehr als ANGEGOSSEN - sie sieht aus wie einGEGOSSEN --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:38, 12. Mär. 2021 (CET) nur drei kleiderschränke voll? meine gumina jasmin hatte zusätzlich noch speicher und keller voll, und das ehemalige kinderzimmer nur für extravagante schuhe und (overknee)stiefel - alles für den "erlesenen geschmack" - alles, was das herz begehrt --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:16, 16. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=126742722767970&set=a.106686318106944 70s] * Da darf Mann sich schon mal umdrehen. ** darfste, wenn du Single bist.. * Das waren noch Frauen damals ... ** heute gibt es den gleichen Frauentyp nur die Klamotten sind anders. * Scheint kalt zu sein... ** ficht so einen heißen Feger doch nicht an - ich kenn die Jahre ... die haben auch mir den Kopf verdreht - MILF, und ja, da war ich noch jungk und ledig ... * es gab noch weitaus heißere Feger ... hab ich nicht vergessen * Man denke nur an Jane Fonda in Barbarella ... ** zB - aber ich meine die "Straßenfeger", die nach 68 häufiger und mutiger wurden ... war mit so einer (geb. 1949, gest. 2012) jahrelang zusammen, die war mutig bis zum Schluß, hat sich nie wieder verkrochen, was auch für Mode-Diktat aufkam RIP --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:32, 18. Apr. 2021 (CEST) == Glamouröse Exzentriker == [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10218687693644988&set=g.913747702065221 übergroße Plastikballonmaske] [https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=1266457367084337&id=100011602571613&notif_id=1615101090170179&notif_t=feedback_reaction_generic&ref=notif Die neuen FFP5 sind da (weiße geschlossene Ledermaske)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276827688702/ silberne Astronautin mit schwarzen Handschuhen und Glaskugelhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276717688713/ schwarze Latexastronautin mit Glaskugelhelm und Pistole] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:23, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158202474577830&set=g.913747702065221 Silberglück (Pärchen)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=839169370195157&set=g.913747702065221 Frau schlüpft aus dem Ei (schwarz weiß Vintage)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3765574243522575&set=g.913747702065221 nackte Frau mit Mund-Nase-Maske, blau ganzkörpertätowiert, aufgemalte Lunge] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158144847772830&set=g.913747702065221 Frau mit großer durchsichtiger eiförmiger Maske, Portrait, grünlich im Gesicht mit knallrotem Lippenstift] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3213043045490533&set=g.913747702065221 rotes Latexkleid bis über den Kopf] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1311464692536583/ schwarz-weißes Latexknast-Kostüm mit Regenschirm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3239138999488685&set=g.913747702065221 silberne Hose, halber silberner Umhang, Brustschmuck] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3235899606479291&set=g.913747702065221 silbernes Gesicht, silbern funkelnder Anzug] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1264837057199347/ Frau auf einem Anker schwebend] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:55, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1248731512143235/ Frau als Batman (rauchend)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1225554634460923/ Dior - schwares Latex bis unter die Nase, weißer Pelz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157690485847830&set=g.913747702065221 braunes Lederkostüm mit Handschuhen und großem Hut - durchbrochen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216494985366888/ silbertropfendes Gesicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216495685366818/ silberne Fingerkuppen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216496045366782/ silberspiegelnde Lippen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1211491712533882/ schwarz weiß karierter Latexmantel + -strümpfe (kleiner kariert)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157561517477830&set=g.913747702065221 blaue farbe läuft aus der nase auf die Lippen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157540153992830&set=g.913747702065221 silbernes gesicht - plastiktüte gesichtsoffen - blauer regenmantel (portrait)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157538451092830&set=g.913747702065221 fesselstifel mit knoten am absatz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157526850842830&set=g.913747702065221 latexnonnen mit schlangen] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2906592829409972&set=g.913747702065221 Perlenhaar mit latexkleid und perlenarmbändern] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464369869950/ edelgas-maske] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464949869892/ edelgas-maske mit lederhandschuhen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464689869918/ edelgasmaske schlicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1142273822789005/ ägyptische göttin mit schwarzem tierkopf und blauem langen plastikkostüm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2800059703396619&set=g.913747702065221 violette perücke, gelbe riesige ohrgehänge, gelbe riesige plastikbrille, latexmantel in schwarz] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1115099548839766/ zwei frauen ziehen entgegengesetzt an einem zopf] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=497839764235972&set=g.913747702065221 COCO CHANEL - überlange, übergroße Lederhandschuhe] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2194866524141642&set=g.913747702065221 motorradmietze mit kätzchenmotorradhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1094982130851508/ rotlederne boxerin] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174612871831&set=g.913747702065221 corona-kaffee in schwarzem latextotal und zeitung] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174409538518&set=g.913747702065221 latexmaid in schwarz mit weißem häubchen und weißer schürze gießt milch über sich] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:26, 7. Mär. 2021 (CET) == Literatur 2 == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Literatur 2]] === Paul Rheinfels === === Anais C. Miller === ===Valeska Réon=== == Casanova Verlag == Gudda Behrend: ''Aus dem Tagebuche einer Sünderin.'' Casanova Verlag Willy Saalfeld Berlin W 30 ca. 1920, 8°, 96 S., Halbleinen (Sittengeschichte, Erotik) [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuche-einer-S%C3%BCnderin/id/A01y6dv201ZZy 22 Euro im Abrahamschacht-Antiquariat Schmidt, Frau Iris Schmidt, Schachtweg 16, 09599 Freiberg] * [https://schmidt-auktionen.de/12_katalog_online.php?nr=14&page=28 Schmidt Kunstauktionen Dresden 1. 12. 2007]: [https://schmidt-auktionen.de/12_artikel_details.php?nr=14&knr=504 504 Willy Saalfeld, Akt. Um 1920. Bromsilberabzug. Ungelaufene Fotopostkarte. Leicht bestoßene Ecken. 8,8 x 13,8 cm. 60 €] * Ebenfalls bei [https://books.google.de/books/about/Aus_dem_Tagebuche_einer_S%C3%BCnderin.html?id=tXa9uQEACAAJ&redir_esc=y A. Juncker, 1910 - 105 Seiten] 1880 Født: 06-07-1880 1900 Se også gift med William Behrend Behrend, William 1901 Debut i bogform: En synderinde, blade af en dagbog (roman) http://www.litteraturpriser.dk/aut/BGuddaBehrend.htm (1880-1946) *Behrend, G.: En Synderinde (1901, roman) *Bog Behrend, G.: Hedvig Holcks Vandreaar (1903, roman) *Bog Behrend, Gudda: De ensommes Stræde. ♦ Gyldendal, 1922. 138 sider. Pris: kr. 5,75 (1922, roman) anmeldelse Bogens Verden, 1922, 4. Aarg., side 276 [Anmeldelse, signeret: K.K.N.]. https://danskforfatterleksikon.dk/1850bib/BGuddaBehrend.htm Hedvig Holcks Vandreaar - [https://books.google.de/books/about/Hedvig_Holcks_Vandreaar.html?id=ukn4xAEACAAJ&redir_esc=y Neuauflage Veröffentlicht 2019] Übersetzung ins Deutsche von [[w:Mathilde Mann|Mathilde Mann]] (* 24. Februar 1859 in Rostock als Mathilde Charlotte Bertha Friederike Scheven; † 14. Februar 1925 in Rostock - deutsche Übersetzerin und Lektorin, insbesondere für Nordische Sprachen): Gudda Behrend: Aus dem Tagebuche einer Sünderin, Berlin [u. a.] 1902 * Axel Juncker, Berlin, Stuttgart 1902, Broschur, 105 + 3 S. [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuch-einer-S%C3%BCnderin-Autorisierte-%C3%9Cbersetzung-von-Mathilde-Mann/id/A026x3z201ZZe 54+6 Euro im Antiquariat Weinek, Frau Dr. Elisabeth Weinek, Uferstrasse 8, 5026 Salzburg] ** Autorisierte Übersetzung von Mathilde Mann 8° 105 S. S. Einband: Original im Jugendstil illustr. Halbleineneinband [https://www.abebooks.de/servlet/BookDetailsPL?bi=22386118048&cm_sp=collections-_-747FHNEcCbe1N23CgE8jgR_item_1_10-_-bdp 19,63+2,20 Euro] in: Altmärkisches Antiquariat, Lars Flick (Inhaber), Sandstraße 50, 39638 Gardelegen En Synderinde: Blade at en Dagbog Gudda Behrend - [https://books.google.de/books/about/En_Synderinde.html?id=qUB-oAEACAAJ&hl=en&output=html_text&redir_esc=y 1901 - 148 pages] Der deutsche Casanova - In 3 Bänden komplett - Johann Conrad Friedrich - Vierzig Jahre aus dem Leben eines Toten - Der Memoiren 1. Teil 1789-1806 - 2. Teil 1806.1810 - 3. Teil 1810-1830 - Im Originalkarton Taschenbuch – Insel, 1991, von Johann Konrad Friederich (Autor), Friedemann Berger (Herausgeber) [https://www.amazon.de/deutsche-Casanova-Friedrich-1789-1806-Originalkarton/dp/B0026L0E4I 18 Euro] gebundene 1. Auflage Egon Fleischel & Co, Berlin 1915, OLeinen, 8°, XV; 418; IX; 452; IX; 440 Seiten Fraktur, Lesebändchen, Kopffarbschnitt [https://www.amazon.de/gp/offer-listing/B0026L0E4I/ref=dp_olp_ALL_mbc?ie=UTF8&condition=ALL 45+3 Euro] "Der deutsche Casanova" Fahrten und Liebesabenteuer nach den Memoiren eines deutschen Offiziers im französischen Heere Napoleons I. mit 32 Illustrationen von Hans Speidel und und Max Erich Nicolas, hrsg. von Max Bauer, Eigenbrödler Verlag, Berlin W 8 ca.1925 / Hrsg.: Max Bauer / Speidel [https://www.ebay.de/itm/Der-deutsche-Casanova-Eigenbrodler-Verlag-ca-1925-Hrsg-Max-Bauer-Speidel/124437184812?hash=item1cf908c12c:g:JVUAAOSw7Wxdyw1y 28+6,50 Euro] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:30, 20. Nov. 2020 (CET) == Verlage == Ich hätte bereits drei Verlage gefunden, wo mein Buch gut ins Verlagskonzept passen würde. Allerdings finden sich bei besagten Verlagen auch Werke, die unlektoriert wirken, was mich dann doch eher abschreckt, mein Buch dort einzureichen. - Mir war es wichtig, ein Buch mit einer Story zu schreiben und nicht nur Sexszenen. Allerdings ist es auch mein erstes und braucht ganz sicher noch Profis, die es sich ansehen. aus dem Anais bzw Schwarzkopf Verlag kenne ich Bücher, die ganz normal lektoriert wirken. Und Schlagzeilen. Seitenblick gibt es leider nicht mehr Schlagzeilen oder Elysion - bei den kleineren Verlagen zögere ich selber, weil mir das mit dem mangelnden Korrektorat auch aufgefallen ist ich habe aber die Erfahrung gemacht, dass Verlage die sich nicht auf BDSM spezialisiert haben, oft gar kein Hardcore annehmen. Oder gnadenlos zensieren Ich habe, bevor ich mein aktuelles Romanprojekt anbot, für ein privates Lektorat gezahlt und zahle auch das SensitivityReading. Klar. Das ist eine Menge Geld, alles in allem, aber hey, die Kohle war gerade da. Wenn ein Verlag kein Lektorat bietet, lasse ich trotz meiner Bereitschaft zur Eigenleistung die Finger davon, dort zu veröffentlichen. Lektorat und Korrektorat gehören einfach dazu, ein Verlag, der das nicht leistet, passt schlicht nicht in mein Beuteschema. Falls Elysion-Books noch nicht auf der Liste war ... Lektorat und Korrektorat ist logischerweise dabei, Bücher sind überall zu beziehen und liegen auch im Buchhandel und im stationären Handel... Klingt auch sehr interessant und kommt definitiv auf meine Liste. Allerdings bin ich nicht sicher, ob das Ende meines Buches als Happy End aufgefasst werden kann. Aber vl passt es ja bei einem anderen Buch. Bist herzlich eingeladen, dich mal bei uns beim Tribus Verlag zu melden, wenn du möchtest. Versuch es doch einmal bei konkursbuch Verlag Claudia Gehrke. Sie hat ein sehr weit gefächertes Programm, kümmert sich sehr engagiert um die Vermarktung und ist ausgesprochen fair. www.konkursbuch.com Mir geht es nur darum, eine Liste von möglichen Verlagen zu erstellen, sodass ich nicht immer wieder aufs Neue alles durchforsten muss. Leider findet man Verlage für dieses Genre nicht so leicht. BDSM allein ist ja nun wirklich schon fast Mainstream. Du könntest es auch beim charon Verlag versuchen, der neben den "Schlagzeilen" auch Bücher herausgibt. https://www.schlagzeilen.com/ Probier mal bei Letterotik.de. Ich rate zu einem Pseudonym. Habe selber 4 Aliasnamen. Es werden auch stärkere Formate veröffentlicht. Frag einfach mal nach. Ansprechpartnerin ist Frau Baer. Lektorat ist für mich okay, Kommunikation erstklassig, Covergestaltung ansprechend. mir wurde auch gesagt, dass der Verlag im Moment neue Manuskripte nur auf Empfehlung annimmt. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:42, 16. Mär. 2021 (CET) == Hersteller == urinbless.com human skin mask set ulsula.com the elder silicon headgear --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:01, 30. Dez. 2020 (CET) https://www.facebook.com/Rubbersisters/ The ultimative female transformation Moniquin Anzug Fem Mask [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/432851523438466/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/171946_432851523438466_959953674_o.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=LjLdttsoeFkAX8ITABj&_nc_oc=AQkIqnkRCGPeWkUJPRiSN8TJCO74W3R9buFkLYiobloBLy2aLh7X_r_xnese5OPch1gwfjJbWRdqhu32Z_RlKne4&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=f9be2e1d84f0ace64aad564fc7517fcf&oe=601AAE0A inflatable doll suit now in skin matching colour!] - This is exactly what I am looking for! I have to become a latex sex doll, it is my ultimate fantasy (Genau das suche ich! Ich muss eine Latex-Sexpuppe werden, das ist meine ultimative Fantasie) - I dream of owning one of these outfits someday! (Ich träume davon, eines Tages eines dieser Outfits zu besitzen!) - God that is hot. (Gott, das ist heiß.) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/537678542955763/ FB] = [https://scontent-frx5-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/397440_537678542955763_1225667219_n.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=174925&_nc_ohc=eIYd8bA0ZmgAX-fLdfr&_nc_ht=scontent-frx5-1.xx&oh=804f110a097401114ae342bc2df93158&oe=601C4FFF Dita - the new female mask] [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/531192290271055/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/935757_531192290271055_860385658_n.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=nRCKulIU87gAX8895Px&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=d7e14b49baa3789dad0e9f9b4e42548d&oe=601CEB06 "Dita" Mask] We are pleased to announce, that we are just did the final touches to our new “Dita” Mask. We are now offering this fantastic looking female mask with interchangeable eyes. The mouth is slit open and has red lips. These very realistic looking female mask made of high quality silicone is absolutely comfortable to wear. You can use any regular make-up to give this female mask an individual look. Get more details at our online shop www.2nd-skin.com or visit us at the Boundcon Fair from 24-26.05.2013 in Munich or doring the German Fetish Weekend from 18-20.05.2013 in Berlin. Yours Rubbersisters Monica & Jacline (Wir freuen uns, Ihnen mitteilen zu können, dass wir gerade den letzten Schliff für unser neues Produkt gemacht haben "Finger" Maske. Wir bieten jetzt diese fantastisch aussehende weibliche Maske mit austauschbaren Augen an. Der Mund ist aufgeschlitzt und hat rote Lippen. Diese sehr realistisch aussehende Frauenmaske aus hochwertigem Silikon ist absolut angenehm zu tragen. Sie können jedes normale Make-up verwenden, um dieser weiblichen Maske ein individuelles Aussehen zu verleihen. Weitere Informationen erhalten Sie in unserem Online-Shop www.2nd-skin.com oder besuchen Sie uns auf der Boundcon Fair vom 24. bis 26. Mai 2013 in München oder am German Fetish Weekend vom 18-20.05.2013 in Berlin. Eure Rubbersisters Monica & Jacline) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/562349830488634/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/1072175_562349830488634_520819894_o.jpg?_nc_cat=106&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=AnitAk8nXbMAX-8Bcxz&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=dc866b047bedb1724a80af21e3b101ec&oe=601ACA3E New video clip is online] at http://www.2nd-skin.com Monica is wearing the Petra mask and Betty is wearing the Gloria mask - Sorry video clip is online at http://www.rubbersisters.com - sehr schön. wie fühlt man sich, wenn man so nett aufgebleaen wird? (mit rotem Fesselsack) https://www.2nd-skin.com/de/18-frauenmasken [https://www.2nd-skin.com/de/kleber/17-skin-adhesive.html Hautkleber] - Dieser zweitkomponenten Hautkleber ist geeignet für alle prothetischen Silikonprodukte (keine PU-umhüllten Prothesen) die vorübergehend auf die menschliche Haut geklebt werden sollen. Das richtige Mischungsverhältnis ist 1 Teil A + 1 Teil B nach Volumen. Sie können auch Puder-Makeup in die A-Komponente mischen, damit es farblich Ihrem Hautton entspricht. Um die Prothese wieder zu entfernen, schälen Sie diese langsam von der Haut ab. Menge: 2 x 50 Gramm --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 7. Jan. 2021 (CET) === Dresden === https://lldesaxe-fashion.de/impressum Maik Richter Lohrmannstraße 20 01237 Dresden Deutschland Tel.: +49 (0) 351 281 34 49 Fax: +49 (0) 351 281 34 49 E-Mail: info@lldesaxe-fashion.de --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:33, 16. Jan. 2021 (CET) ''LLdeSaxe Fashion wurde am 13.01.2012 gegründet. Die gemeinsame Leidenschaft für Latexmode verband meine Frau und mich jedoch bereits seit vielen Jahren. Bei der Auswahl und Individualität der Latexbekleidung waren wir als Kunden jedoch bisher immer recht eingeschränkt. Wir stießen mit unseren Bestellungen bei anderen Herstellern regelmäßig an die Grenzen, da unsere Wünsche nicht umgesetzt werden konnten oder auch wollten.'' ''Dies sollte sich 2011 nach unserem Urlaub bei einem befreundeten Schweizer Latex-Liebhaber ändern. Hier lernte meine Frau die ersten Handgriffe im Umgang mit der Herrstellung von Latexkleidung kennen. Das ganze ergab sich völlig spontan aus dem Gespräch heraus. Wir lauschten ganz gespannt den Erzählungen unseres Freundes, als meine Frau neugierig fragte, wie denn nun die Herstellung von Latexbekleidung konkret funktionierte. Unser Freund bot daraufhin an, sie in sein Atelier mitzunehmen und ihr ein paar Tricks und Kniffe zu zeigen. Meine Frau war sofort Feuer und Flamme und so zogen sich beide zu einer Einarbeitungsschulung zurück.'' ''Sie fand sofort gefallen am Latexschneidern und so kauften wir bei unserem Freund einen größeren Posten an Latex Meterware ein. Zuhause angekommen, machen wir uns sogleich an die Arbeit, die ersten Schnitte und Designs zu entwerfen. Nach und nach wurden wir immer besser und unsere Latex Designs fanden sehr großen Zuspruch auf Partys und Verantstaltungen, wo wir zugegen waren. So entstand dann auch unsere erste kleine Kollektion, wozu zum Beispiel dieses Outfit gehört: Damen Blazer „ Ladylike 2012“ und Damen Humpelrock „Ladylike“.'' ''Unsere Latex Bekleidung kam super an und so entschlossen wir uns auch auf einer Modenschau in Nossen im November 2011 unsere Bekleidung zu präsentieren. Im Januar 2012 gingen wir dann den nächsten Schritt und haben uns mit LLdeSaxe Fashion selbstständig gemacht.'' ''Im Sommer 2012 sind wir zu unserem ersten Internationalen Auftritt in die Schweiz gefahren - In das schöne Berner Oberland nach Oensingen.'' ''Hier fand zum einen unser erstes professionelles Fotoshooting auf der Burg Neu-Falkenstein statt. Zum anderen haben wir unsere Latex-Design einem internationalen Publikum im Rahmen einer Modenschau vorgestellt. Hier wurden unsere Kreationen begeistert aufgenommen.'' ''Mitte des Jahres haben wir uns dann entschlossen, unsere Bekleidung fortan auch im Internet zu präsentieren – Zunächst auf einer kleinen, selbst erstellten Website. 2015 folgte dann der Umzug zu WEBneo um unsere Latex Outfits auch professionell online verkaufen zu können.'' ''Seit 2014 sind wir auch regelmäßig auf internationalen Modenschauen mit Präsentation und Verkauf vertreten, wie auf der Fetish Evolution in Essen (2014) und der Messe BoFeWo (2015).'' ''Seitdem arbeiten wir jeden Tag an unseren Kernkompetenzen und verfeinern unsere Designs, um unseren Kunden die beste Qualität und den höchsten Service bieten zu können.'' https://lldesaxe-fashion.de/wie-alles-begann --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:24, 16. Jan. 2021 (CET) ''Wir sind auf der Suche nach weiblichen Models aus dem Raum Dresden und Umgebung, die uns deutschlandweit auf angesagten Internationalen Fetish Messen als Model und Verkaufspersonal begleiten. Es werden weiterhin jährlich zwei große Fotoshootings mit professionellen Fotografen in Dresden und der Umgebung angesetzt, die zur Vermarktung unserer Produkte dienen sollen. Die Bilder sind sowohl für den Online Shop an sich, aber auch für die Social Media Kanäle, Print und den Digitalen Medien. Alle 3 Monate finden bei einer Abendveranstaltung zudem Team Buildings statt.'' ''Folgende Voraussetzungen solltet du dabei mitbringen:'' *''Du bist zwischen 18 und 35 Jahre alt,'' * ''hast eine Kleidergröße von maximal 36 bis 38'' * ''und bist mindestens 1,55 m groß.'' ''Wichtige Voraussetzungen sind:'' ''Du hast keine Berührungsängste mit Latex Kleidung, bist zeitlich flexibel, teamfähig und zuverlässig. Du kannst sicher posieren und auf High Heels laufen, bist offen im Umgang mit Kunden sowie sprach- und redegewandt. Wenn Du bereits Erfahrung im Bereich Modeverständnis und Styling hast, ist dies von Vorteil.'' ''Wenn Du nun Lust bekommen hast, bei einem innovativen und hochwertigen Latexlabel mitzuwirken, dann bewirb Dich bei uns. Jede bekommt bei uns eine Chance.'' ''Schreib uns eine Mail mit deinen Personen gebunden Eckdaten und stell Dich bei uns vor. Vielleicht gehörst du schon bald zu unserem Team. Wir freuen uns auf deine Bewerbung.'' ''Deine persönliche Vorstellung nach Terminvereinbarung erfolgt in unseren Geschäftsräumen:'' LLdeSaxe Fashion Schandauer Straße 23 B 01309 Dresden https://lldesaxe-fashion.de/werde-model-bei-lldesaxe-fashion vgl. https://www.facebook.com/Becca-de-Saxe-789572294522639/ Fetischmodel bei LLdeSaxe Fashion. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Latex wird aus dem Milchsaft des Kautschukbaumes gewonnen, welcher durch Räuchern und Walzen zu Kautschuk weiterverarbeitet und anschließend durch Vulkanisation zu einem stabilen Material wird. Weltweit gibt es zwar verschiedene Latexhersteller, bekannt sind jedoch vor allem 3 große Latex-Hauptproduzenten. Dabei unterscheiden sich deren Produkte zum Teil erheblich voneinander.'' ''Der Malaysische Rubber bietet zum Beispiel die größte Farbauswahl, enthält dabei aber auch die meisten chemischen Zusätze. Er wird in Asien hergestellt und auch verarbeitet.'' ''Radical Rubber stellt in Großbritannien seinen Latex her, welcher ein Spektrum von ca. 200 verschiedenen Farben bei weniger chemischen Zusätzen bietet.'' ''Wir von LLdeSaxe Fashion hingegen setzen für unsere Latex-Bekleidung auf den Latexproduzenten FOUR D Rubber aus England. Deren Premium-Latex ist nicht nur Fair Trade, es enthält auch so gut wie keine chemischen Zusätze und hat eine sehr hohe Qualität. Dabei bietet FOUR D Rubber mit über 70 Farben auf ökologischer Basis eine sehr große Auswahl. Unsere Latex-Bekleidung ist somit rein biologisch - bis hin zum Latex-Kleber.'' ''Auch wenn der m²-Preis um einiges höher ist, setzen wir aus Überzeugung auf FOUR D Rubber. Schließlich sind unsere Latex-Outfits damit auch besonders langlebig und komplett ökologisch abbaubar. Dies macht sich auch bei der Latexverträglichkeit positiv bemerkbar: Eine Kundin, die bereits eine Latex-Allergie entwickelt hatte, konnte völlig beschwerdefrei unsere Bekleidung tragen.'' ''Das Besondere an dem von uns verwendetem Premium-Latex ist sicherlich die aufgeraute Innenseite, weshalb sich unsere Latex-Bekleidung samtig weich anfühlt und nicht an der Haut klebt. Ein weiterer Vorteil ist die damit verbundene, deutlich geringere Schweißbildung. Nicht umsonst ist unser Motto: „Latex das anzieht“'' ''Die Latex-Produktion'' ''Gefertigt und produziert wird unsere Latex-Bekleidung in unserer Dresdner Manufaktur. Damit findet die Herstellung komplett in unserem Hause statt – Von der Erstellung der Schnittmuster, über die kostenfreie Maßanfertigung bis hin zum Versand. Nach Fertigstellung eines Latex-Outfits nehmen wir mehrere Qualitätskontrollen vor. Anschließend wird das Produkt gereinigt, poliert und anziehfertig eingepackt. Bei der Bestellung von Latex-Anzügen und Latex-Kleidern wird die Ware in einer limitierten Kleiderhülle mit unserem Logo verschickt. Alle anderen Produkte versenden wir vakuumverpackt zu Ihnen nach Hause. Danach heißt es nur noch: Anziehen – Wohnfühlen – Glücklich sein.'' https://lldesaxe-fashion.de/latex-das-material-seine-herstellung-und-verarbeitung --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:46, 16. Jan. 2021 (CET) ''Ende September ist es endlich wieder soweit: Die Bondage-Fetish-World, kurz BoFoWo – Deutschlands größte Messe im Bereich Fetisch und Bondage – öffnet für Szeneliebhaber wieder ihre Tore. Einmal pro Jahr findet sie in Hofheim am Taunus, nähe Wiesbaden statt. Vom 30.09. bis 02.10.2016 präsentieren hier wieder zahlreiche Aussteller ihre Produkte aus Lack, Leder & Latex sowie Kunst, Bücher, Filme und vieles mehr. Abgerundet wird die Messe durch ein attraktives Rahmenprogramm mit Workshops, Lesungen und Performances.'' ''Natürlich dürfen dabei auch wir von LLdeSaxe Fashion nicht fehlen! Mit einem der größten Messestände - ca. 25m² - und unserer größten Präsentationsfläche mit insgesamt 6 Leuten sind wir auch diesmal wieder auf der BoFoWo vertreten.'' ''An 3 Messetagen stellen wir Ihnen exklusiv unsere neuste Latex Kollektion vor. Wir haben aber auch ein breites Potpourri aus nahezu allen Produkten unseres Onlineshops für Sie im Angebot und diese können gleich gekauft und mitgenommen werden. Auf ausgewählte Produkte an unserem Aktionsständer bieten wir Ihnen sogar 10% Messerabatt an!'' ''Neben dem Verkauf steht Ihnen zusätzlich unserer exklusiver Fashion Point zur Verfügung. Am Fashion Point können Sie Ihr individuelles Outfit planen und bestellen. Dies umfasst Beratung, Information und Vermessung. Unser qualifiziertes Team berät sie gern.'' ''Die große Latex-Modenschau am Samstag bildet dann eins DER Highlights der Messe. Wer gern exklusive und einzigartige Latex Kleidung sucht, wird an unserem Messestand sicher fündig werden.'' https://lldesaxe-fashion.de/messe-spezial-die-bofewo-2016 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Unsere Kunden haben es bereits in verschiedenen Bewertungen bestätigt:'' ''Bei LLdeSaxe Fashion genießt der Kunde vollste Transparenz und Sicherheit bei seiner Bestellung. Sie haben die Möglichkeit, sich jederzeit in Ihr Kundenkonto über den aktuellen Status Ihrer Bestellung kundig zu machen. Haben Sie eine Frage zu einem Produkt oder wünschen sich eine individuelle Sonderbestellung? Kein Problem, wir melden uns immer in der Regel innerhalb von 24 Stunden bei Ihnen und erstellen zum Beispiel gern ein kundenorientiertes Angebot für Ihre Sonderbestellungen - Auch von Produkten, die Im Shop (noch) nicht angeboten werden.'' ''Ein Kunde fragte beispielsweise einmal nach einem Dalmatiner-Shorty an, passend zu seiner Latex-Maske, Stulpen und Pfoten. Wir designten also einen passenden Shorty in Weiß, schnitten schwarze Punkte aus und schicken dem Kunden einen möglichen Designvorschlag per Foto. Anschließend kleben wir sein Wunsch-Muster auf und sorgten so für einen echten Hingucker.'' https://lldesaxe-fashion.de/lldesaxe-fashion-kundenzufriedenheit-die-uns-begeistert --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:43, 16. Jan. 2021 (CET) ''Gute Nachrichten für alle Liebhaberinnen und Liebhaber der hochwertigen Latexbekleidung von LLdeSaxe Fashion: Wir haben unseren Fashion Point im Secret Desire in der Dresdner Neustadt für Sie ausgebaut und einen kompletten Stand mit unserer exklusiven Latexkleidung aus unserer Manufaktur installiert. Ab sofort finden Sie hier unter anderem Latex Anzüge, Latex Leggings, Kleider, Catsuits und vieles mehr für Damen und Herren. Natürlich haben wir auch die passenden Latex-Accessoires für Ihr individuelles Outfit. Die edlen Stücke gibt es in den Größen S, M und L. Kommen Sie einfach ins Secret Desire und probieren Sie sie an. Das Beste daran ist: Sie können die Latexbekleidung direkt kaufen und mitnehmen! Selbstverständlich finden Sie in unserem Fashion Point auch gleich die passenden Pflegeprodukte, damit Sie lange Spaß mit unseren Latex Outfits haben.'' https://lldesaxe-fashion.de/der-fashion-point-in-dresden-hat-jetzt-auch-latex-kleidung-direkt-vor-ort * ''Am Sonnabend eröffnet Jessica Vogt auf der Rothenburger Straße ein neues Lädchen für Drunterziehsachen: Secret Desire. Obwohl, ganz so neu ist das Lädchen nun auch wieder nicht. Schon seit November 2013 werden hier Schlüpfer, Strapse und andere Unterwäsche verkauft. Doch im Januar hatte die „fem2glam“-Chefin Dina Stiebing angekündigt, den Laden zu schließen. Der Grund dafür wartet zurzeit nur noch auf den richtigen Moment um mit einem kräftigen Schrei zur Welt zu kommen. Dina hatte schon damals erzählt, dass sie jemanden sucht, der den Laden übernehmen könnte. Das ließ sich Jessica Vogt nicht zweimal sagen. Die studierte Diplom-Ökologin hatte zuletzt als Imbiss-Frau an Katys Garage gearbeitet. Nun tauscht sie Würstchen gegen Mieder und stürzt sich in die Selbstständigkeit. „Die Sachen sind für den Tanz an der Stange geeignet“, grinst sie frivol. Im Wesentlichen bleibt der Laden, wie er ist. Ein bisschen wurde umgeräumt und die Umkleidekabine wird vergoldet. „Ich war Stammkundin bei Dina und bin der Meinung, dass der Laden weiter geführt werden muss.“ Am Sonnabend um 11 Uhr will sie zum ersten Mal die Türen öffnen. Es gibt Prosecco und Sushi und natürlich jede Menge Schlüpfer. Letzteres übrigens auch für Herren, das ist neu. Mal sehen, ob es Jessica gelingt, das sogenannte starke Geschlecht in ihr kleines Lädchen zu locken. Vorbesitzerin Dina Stiebing wünscht ihr auf jeden Fall schon mal viel Erfolg, Dinas Unterwäsche gibt es jetzt nur noch online (Domain zu verkaufen).'' [https://www.neustadt-ticker.de/45127/aktuell/nachrichten/secret-desire Es bleibt schlüpfrig auf der Rothenburger] 14. April 2016 Anton Launer Secret Desire – Neueröffnung Sexy Dessous, frivole Abendmode und coole Clubware. Rothenburger Straße 7, 01099 Dresden, Telefon: 0176 24942511, Montag bis Freitag: 11.30 bis 19 Uhr, Sonnabend 11 bis 17 Uhr, weitere Infos auf der Facebook-Site (Seite nicht verfügbar) [Twitter nur ein Eintrag von 2016] https://twitter.com/secret_desiredd [https://www.tag24.de/nachrichten/stammkundin-reizwaesche-shop-dessous-67148 STUDIERTE GRILLMIEZE VERKAUFT JETZT SCHLÜPFER] tag24 vom 18. April 2016 Von der Würstchen-Brutzlerin zur Dessous-Verkäuferin: Jessica (30) ist jetzt Chefin vom "Secret Desire". Von Tom Schmitdgen Dresden - Vom Grill ins Negligé - Jessica Vogt (30) übernimmt den Dessous-Laden „Secret Desire“ (vorher „Fem2Glam“) auf der Rothenburger Straße. Am Wochenende eröffnete sie das 60 Quadratmeter große Spezialgeschäft (500 BHs, Mieder, Bodys). Die studierte Ökologin stand zuletzt am Würstchengrill bei „Katys Garage“. Doch jetzt zog es sie in den Wäscheladen. Denn die vorherige Chefin Dina Stiebing (37) hatte ihren Reizwäsche-Shop vor zwei Wochen wegen ihrer Schwangerschaft geschlossen. „Ich war früher Stammkundin und wollte nicht, dass der Laden einfach schließt“, sagt die neue Dessous-Chefin. „In Zukunft plane ich auch Ausstellungen und erotische Lesungen im Geschäft. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:44, 16. Jan. 2021 (CET) === Entwürfe === [https://www.facebook.com/LatexFashionDesign/photos/a.516389838434004/5006789482727328/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/139067194_5006789486060661_7750722395006097503_o.jpg?_nc_cat=102&ccb=2&_nc_sid=730e14&_nc_ohc=lEzBHqNm134AX8pVTK_&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7efd93241f046fe67ca7028ca4eb0d2d&oe=6026DF5F “As delicate as flower, as tender as rose petals, choosing to be tender and kind in a harsh environment is not weakness, it's courage.” ― Luffina Lourduraj] (′′ So zart wie Blume, so zart wie Rosenblätter, die sich entscheiden, zart und freundlich in einer harten Umgebung zu sein, ist keine Schwäche, es ist Mut." - Luffina Lourduraj) - violetter Latexumhang --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:52, 16. Jan. 2021 (CET) == Satyamurti Cornelis Snoek == == Surfen== === Keala Kennelly === [[w:de:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] [[w:en:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] en [[w:fr:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] fr [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/ FB] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/131488510956/ 29. August 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/135850190956/ 6. September 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/280410355956/ Brrrrrrrr! Winter in the South Bay.] 29. Jan. 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/453009100956/ I won the Nelscott Reef Women's Big-wave Paddle-in event today. It was a nice distraction for a moment from all the pain of loosing my boy Andy.] Ich habe heute das Big-Wave-Paddle-In-Event der Nelscott Reef Women gewonnen. Es war eine schöne Ablenkung für einen Moment von all dem Schmerz, meinen Jungen Andy zu verlieren. - 4. November 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/472181295956/ Surfer Poll Pirate.] 12.12.2010 - noch Spaß [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150109351905957/ This is my new Donjoy Knee brace. This thing is serious. I feel like Robo-cop or something. Lets hope it works well in the water] (Dies ist meine neue Donjoy Knieorthese. Diese Sache ist ernst. Ich fühle mich wie Robo-Cop oder so. Hoffen wir, dass es im Wasser gut funktioniert) März 2011 Unfall 27.? August 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150320862555957/ The Phantom mask arrived and... It looks ridiculous! It's WAY too big. I am going to send it back. It was worth a try.] Die Phantommaske ist angekommen und ... Es sieht lächerlich aus! Es ist viel zu groß. Ich werde es zurückschicken. Es war einen Versuch wert. - 13. Oktober 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150632930575957/ That's a hell of a way to win the comeback of the year award, but hey I will take it Thanks TransWorld SURF!] (Das ist eine verdammt gute Möglichkeit, das Comeback des Jahres zu gewinnen, aber hey, ich werde es nehmen Vielen Dank, TransWorld SURF!) - 8. April 2012 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151360156120957/ It's been almost 2 years since my surfing accident in Tahiti... I see a swell... Time to get back on that horse.] (Es ist fast 2 Jahre her seit meinem Surfunfall in Tahiti ... Ich sehe einen Wellengang ... Zeit, wieder auf dieses Pferd zu steigen.) Am 3. Dezember 2013 hielt Keala auf der TEDx Malibu einen Vortrag über Lust und Surfen: "Ich bin Keala Kennelly und ich bin ein Surfer." https://www.youtube.com/watch?v=eSvsrzPCZ5o [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151899575820957/ 12.März 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155122831665957/ Me and the champ @paigealms a few years back about to go slay dragons somewhere cold. I would have loved to compete with you in the @wsl #maverickschallenge this year. Too bad Mother Nature didn’t cooperate. Congratulations on your #bigwave #worldtitle I’m so very proud of you my friend] März 2014 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430223345957/ 21. Dezember 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430284150957/ 21. Dez. 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155610476290957/ 27. Okt. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155708213405957/ 16. Dez. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155808808865957/ 5. Febr. 2019] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:36, 1. Jan. 2021 (CET) ==Wasserballet == [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157432917 nackte nymphe] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157692623 nymphe 2] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755467 Underwater Ballet. Ballerina performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755487 Underwater Ballet. Ballet dancers performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/dancing-vision-013-lizenzfreies-bild/983042290 Dancing Vision 013 unterwasser in rot und weiß] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3246570 Submarine Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert, Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3332495 Water Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert/Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818228 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818227 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/utah-orem-female-ballet-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/163445400 USA, Utah, Orem, Female ballet dancer under water] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-fashion-pool-party-young-woman-diving-at-lizenzfreies-bild/838059614 Underwater fashion pool party, Young woman diving at swimming pool] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/women-rehearsing-for-water-ballet-lizenzfreies-bild/522170012 Women Rehearsing for Water Ballet (Original Caption) Submerged ballerinas rehearse for a show at Leisure World in Laguna Hills, California.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/639988160 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-girl-lizenzfreies-bild/642637812 Underwater Girl. Beautiful young ballerina dancing inside the swimming pool] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/51309459 Aquatic Ballet From 'La Folies Bergere'. Two actors dance during the performance of an aquatic ballet at the 'Folies Bergere,' Paris, France, July 1952. (Photo by Nat Farbman, The LIFE Picture Collection)] * [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/50651216 Bild 2] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/figurine-to-one-of-the-rhine-daughters-for-the-nachrichtenfoto/1155868795 Figurine To One Of The Rhine Daughters For "The Rhinegold" By Richard Wagner Figurine to one of the Rhine daughters for "The Rhinegold" by Richard Wagner, circa 1913. Found in the Collection of Theatre Museum, Vienna. Artist Moser, Koloman (1868-1918). (Photo by Fine Art Images] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/das-rheingold-1st-scene-at-the-bottom-of-the-rhine-nachrichtenfoto/919717270 Das Rheingold. Das Rheingold, 1st scene, at the bottom of the Rhine. Bayreuth, 1896, 1896. Found in the Collection of Veste Coburg. (Photo by Fine Art Images)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215747 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-diver-dressed-as-a-mermaid-swims-during-a-show-nachrichtenfoto/77215732 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) A female diver dressed as a mermaid swims during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215749 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/young-woman-in-pool-and-synchronized-swimming-lizenzfreies-bild/1125338066 Young woman in pool and synchronized swimming.] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/girls-practicing-lizenzfreies-bild/1001603246 Girls practicing synchronised swimming] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/female-dancer-performing-under-water-lizenzfreies-bild/107227572 Female classic dancer performing under water in huge red flamenco dress] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/635847936 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/gracefull-female-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/1218911725 gracefull female dancer, ballerina, performing under water in evening dress] [https://www.gettyimages.de/fotos/wasserballet?page=62&phrase=wasserballet&sort=mostpopular Wasserballet] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:46, 10. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=3304759069569835&set=pb.100001073237260.-2207520000..&type=3 Unterwasser Pool Dance] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:55, 1. Apr. 2021 (CEST) == Stammtisch == == Film == [[w:de:Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme|Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme]] [[w:de:Onibaba – Die Töterinnen|Onibaba – Die Töterinnen]] 22.11.1974 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Police_women_(Suzuki),_colored_version.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rally_Finland_girls_at_the_2004_Rally_Finland.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2017_%EF%BC%88%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%B5%E3%83%AD%E3%83%B32017%EF%BC%89-145_(32324539015).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2014_with_NAPAC_069_(11928415683).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Auto_Salon_2019_(46716676402).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2018-10_(39796580051)_(2).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4064234086).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4056011396).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_43rd_Tokyo_Motor_Show_2013_PENTAX_K-3_173_(11248257665).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-42_(38007568292).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-40_(24186220808).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-41_(38038306141).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binary_Domain_stick_em_up.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Biker_girl_(1869378328).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bianca_Beauchamp_E3.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Alexis_Sinclaire_from_Sin.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC02787_(25113378).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC06667_(5812038000).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2010_._._(4705546060).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Firefall_4_5_(7794135388).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geleos_Media_girl_(3538443656).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_E3_2011_No.21.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joanna_Dark_GC_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nival_girl_on_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nova_Online_girls.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Samus_and_Link_at_Igromir_2012_2.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Royal_Quest_girls_of_Igromir_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yet_Another_Booth_Babe_(14703146).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2017_20170922-DSC_2297_(37593917581).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018_(29698389636).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018(29442725600).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2015_19_(21355000028).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108514369).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108565470).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2014_068_(15120325928).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thermaltake_Technology_promotional_models_at_Computex_20140604a.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Paris_-_Salon_de_la_moto_2011_-_BMW_-_C_650_GT_et_h%C3%B4tesses_-_004.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bayonetta_at_Igromir_2009_(4081240065).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crytek_booth-babe_from_Games_Territory_2008_(2986745404).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crytek_booth-babes_from_Games_Territory_2008_(2986745314).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2011_-_Vindictus_girl_(Nexon)_(5831895796).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girl_at_Igromir_2012_(8057057026).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149130470).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149152274).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192248).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Green_girl_from_Igromir_2007_(1869368430).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(29440043834).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(30016564876).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3011794487).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3012636224).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PAX_2009_-_Bayonetta_(3908301541).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Penny_Drake_dressed_as_Bayonetta_-_E3_2009_(4980795423).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Scythe_lady_(5811227302).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Warhammer_40K_at_Gamescom_(20451073662).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:WH40K_at_Gamescom_2015_(20241517278).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2017-Wednesday-007_(35929619784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2015-269_(20371168485).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_4.jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_5.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2016-267_(29073160575).jpg --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:04, 3. Jan. 2021 (CET) == Second live == === Outfits === [https://marketplace.secondlife.com/p/chainZ-HoodPlug/13281161 SX - HoodPlug (rezz to unpack) Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/SX-Bondage-Bolero-Maitreya/14717859 SX - Bondage Bolero MP Box] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Gloves-Hoof-Latex-INITHIUM-Kupra/20425014 AURORA Pony Sabina Gloves Hoof Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Latex-Set-INITHIUM-Kupra/20425011 AURORA Pony Sabina Latex Set] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHBLatex-Doll03-pony-BootsMittens-BOX/18385199 DHB Latex Doll03 pony Boots&Mittens - BOX] [https://slm-assets.secondlife.com/assets/27296581/view_large/a3.jpg?1599549736 GRAVES Proximity - Clear - latex bodysuit, catsuit, plugsuit, undersuit - Maitreya and Omega appliers] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Mesh-Bodybinder-Latex/2939506 Kcreations Mesh Bodybinder - Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Pony-Thighboots-with-28-selectable-textures-Patent-12/3120590 Kcreations Pony Thighboots with 28 selectable textures (Patent) 1.2] [https://marketplace.secondlife.com/p/090-Lilith-HuPony-Female/20951830 #090 Lilith HuPony Female] [https://marketplace.secondlife.com/p/CortesnRossini-Woman-Catsuit-St-Valentines-Gift/970294 St. Valentin's Gift] rosa [https://marketplace.secondlife.com/p/trinixxx-Full-Body-Latex-Armour-FATPACK/17094076 trinixxx Full Body Latex Armour] FATPACK [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-FatPack/20874686 AURORA Rebecca] FatPack [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Latex-set/20874685 AURORA Rebecca] Latex set [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Plastic-set/20874684 AURORA Rebecca] Plastic set [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Opaque-latex-catsuits/9134751 MdlM Opaque latex catsuits Version 4] - 27 opaque latex catsuits appliers + 6 military camouflage catsuits [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Transparent-latex-catsuits/9134753 MdlM Transparent latex catsuits Version 4] - 27 transparent latex catsuits appliers + 2 pairs of pasties (top and bottom) [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Clear-latex-catsuits/9134746 MdlM Clear latex catsuits Version 4] - 27 clear latex catsuits appliers + 3 invisible [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Latex-catsuits-Fatpack/9134750 MdlM Latex catsuits Fatpack Version 4] - all the 4 latex catsuits variants (opaque, sheer, transparent and clear), so features 27x4 latex catsuits appliers + 21 bonuses [https://marketplace.secondlife.com/p/AtaMe-Gabriella-Latex-Boots-Black-Maitreya-Hourglass-Legacy/20430661 AtaMe - Gabriella Latex Boots Black] [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Hobble-Dress/15078580 KaS Hobble Dress] - 3 versions: short-, knee- and ankle-length. It has the option to hide the cutouts on the back, allowing you to expose the torso, the butt, the legs - or all of them. For the sleeves you have 4 options. You can wear the dress sleeveless, with short sleeves, long sleeves or with mittens. [https://marketplace.secondlife.com/p/BellaBee-Latex-Dress-Romy/20974468 BellaBee Latex Dress Romy] kleines Schwarzes - schräg [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Fatpack-Mesh/4593676 ROSAL TUEUR2 Complete Set] - Fatpack (Mesh) - Neck Corset - Waist Corset - Gloves - Thigh-high Platform Boots - Thigh-high Ballet Boot [https://marketplace.secondlife.com/p/CA-BELLEZA-MAITREYA-SLINK-TONIC-X-RIDER-COMPLETE-COLLECTION/16812678 CA BELLEZA MAITREYA SLINK TONIC X RIDER COMPLETE COLLECTION] [https://marketplace.secondlife.com/p/FUTURETRO-2020-SciFi-Star-Fleet-Stylized-Power-Suit-Trek-Cosplay-Space-Crew-Dress-Jacket-Skirt-Six-Colors-in-FATPACK/18446413 FUTURETRO 2020 SciFi Power Suit - FATPACK] Six colors each: Red Gold Blue Aqua Pink Green Jacket, Skirt and full Suit-dress options [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-black-with-white-highlights/15509661 Latex nun black with white highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-white-with-black-highlights/15509662 Latex nun white with black highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-Red-Dress/2373909 GZ Fetixxx Latex Masked Red Dress] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-White/2373920 GZ Fetixxx Latex Masked White] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latexhood-XTREM/4326081 Latexhood / Mask V9.2.1 Box CnT] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/AdelleArts-Liquid-Latex-Doll/4728304 AdelleArts Liquid Latex Doll] schwarz klassisch [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Sex-Doll-Rubber/2046393 GZ Fetixxx Latex Sex Doll Rubber] Kondomanzug hautfarben [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-black-coloured-condom-dolly-latex-suit-applier/20911340 Maitreya black coloured condom dolly latex suit applier] catsuit schwarz mit roten Kondomen [https://marketplace.secondlife.com/p/VS-LTX-Forza-Complete-Body-Accessories-pack/14368213 VS - LTX Forza - Complete Body Accessories pack] Korsett + Halskorsett - lange Stiefel + Handschuhe Latex schwarz/rot -weiß/rot [https://marketplace.secondlife.com/p/KDC-Avara-Latex-Hood-Malefica-addon/17535880 KDC Avara Latex Hood - Malefica addon] weißes Gesicht/schwarz [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Gloves-Multicolor-Mesh/4815024?ple=h ROSAL UNMEI Gloves - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Gloves-Black-FitMesh/3829148 ROSAL VIRON-M Gloves - Black (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Thigh-Ballet-Boots-Multicolor-Mesh/4815198 ROSAL UNMEI Thigh Ballet Boots - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Complete-Set-Red-FitMesh/6730139 ROSAL VIRON-M Complete Set - Red (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-LISSE-Sculpted-Latex-Neck-Corset-Red/1660350 ROSAL LISSE Sculpted Latex Neck Corset - Red] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-STEAM-Neck-Corset-Multicolor-Mesh/5192603 ROSAL STEAM Neck Corset - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Red-Mesh/4593346 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Red (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Black-Mesh/4593347 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Black (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Mesh-DEMO/4593675 ROSAL TUEUR2 Complete Set (Mesh) *DEMO*] [https://marketplace.secondlife.com/p/Full-Hood/19642641 Full Hood Version v1.02] Rebel Pony Hood [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Ballet-Boots-Big-Bundle-Demo/15078564 *KaS* Strapped Ballet Bundle (Demo) Version 1.01] [https://marketplace.secondlife.com/p/PROMO-150L-OFF-SALE-Drakke-Obsession-Fetish-Crotch-High-BootsLatex-White/1478283 PROMO $150L OFF SALE Drakke! "Obsession" Fetish Crotch High Boots(Latex White)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10/6184360 Moyet Gasmask v.1.0] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10-IrO-AddOn/6184380 Moyet Gasmask v.1.0 IrO AddOn] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetBlackUniform/5847036 Moyet *BlackUniform] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetPrisoner/6030677 Moyet *Prisoner!] ==== RLV ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-hecate-helmet/14872058 NGW hecate helmet Version 1] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-cult-hat/20355133 NGW cult hat box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-v102/11367411 NGW Danaide hood v1.01 Version 1.02] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-demo/11367412 NGW Danaide hood demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-fatpack-helene-addons/20992886 NGW fatpack helene addons] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-helene-hood-bento/20540754 NGW helene hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-helene-box/21426731 NGW gimp helene box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-box/12089210 NGW gimp hood RM v1.01 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-demo-box/12089209 NGW gimp hood RM v1.01 demo (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-v1-box/12166443 NGW gimp hood fatpack v1 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-V1-demo/12166582 NGW gimp hood fatpack V1 demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Aphrodite-hood-v102/9567240 NGW Aphrodite hood v1.02 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Venus-Hood-Complete-Fatpack-box/15554401 NGW Venus Hood Complete Fatpack (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-tea-hood/19273665 NGW tea hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box/13309214 NGW theia hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box-demo/13309215 NGW theia hood box demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-v1-boxed/12717546 NGW puffy hood v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-Demo-v1-boxed/12717545 NGW puffy hood Demo v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Capture-SackRLV-LZ/15200777 Latex Capture Sack,RLV] [https://marketplace.secondlife.com/p/DEMO-HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3368648 DEMO HybridZ Latex Atemkontrolle Black FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Jail-Cell-with-RLV/2982858 Latex Gefängniszelle (mit RLV!)] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHB-Latex-Hood-customized/11656464 DHB Latex Hood (customized)] [https://marketplace.secondlife.com/p/SubChair-2-Latex-RLV-BDSM-Captive-Project/1065214 SubChair 2 Latex RLV BDSM - Captive Project Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/Bane-Hood/19694442 Bane Hood] Fluch-Maske :: Comes with 3 versions of the hood that can be toggled via menu: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (for open mouth animations) -::Rigged Hood ::Comes with its own resize scripts for the unrriged hoods. ::The rigged hood cannot be resized and its shape will depend on the wearers head shape. ::Color and textures of the hood can be adjusted using the menu. ::Has 5 additional surfaces (Front, Top, Back, Left and Right) that can be textured independently with your own custom textures. ::Easy to set up custom textures for the 5 additional surfaces, by adding the textures to the hood inventory and editing a notecard. ::In order to work custom textures must be full perm. This is an SL limitation. ::Comes with UV maps of each additional surfaces to help creating your own textures. ::Can be locked in place if the victim is using an RLV enabled viewer. ::Owners can be set. ::Kommt mit 3 Versionen der Haube, die über das Menü umgeschaltet werden können: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (für Animationen mit offenem Mund) ::-Rigged Hood ::Kommt mit seinen eigenen Skripten zur Größenänderung für die nicht manipulierten Hauben. ::Die Größe der manipulierten Kapuze kann nicht geändert werden und ihre Form hängt von der Kopfform des Trägers ab. ::Farbe und Textur der Haube können über das Menü eingestellt werden. Verfügt über 5 zusätzliche Oberflächen (vorne, oben, hinten, links und rechts), die unabhängig voneinander mit Ihren eigenen benutzerdefinierten Texturen strukturiert werden können. ::Einfache Einrichtung von benutzerdefinierten Texturen für die 5 zusätzlichen Oberflächen durch Hinzufügen der Texturen zum Haubeninventar und Bearbeiten einer Notizkarte. ::Um zu arbeiten, müssen benutzerdefinierte Texturen eine vollständige Dauerwelle haben. Dies ist eine SL-Einschränkung. ::Kommt mit UV-Karten jeder zusätzlichen Oberfläche, um Ihre eigenen Texturen zu erstellen. ::Kann an Ort und Stelle gesperrt werden, wenn das Opfer einen RLV-fähigen Viewer verwendet. ::Besitzer können eingestellt werden. [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3171296 HybridZ Latex Atemkontrolle Black - FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle™ - Modify - Copy - No Transfer ::Inspired by the artwork of Chio Maisriml. See below for details on where to find his work. ::A big thank you to Regan for all his help and hard work. ::Please note that you have to be using a Restrained Love compatible Viewer with ❋MESH❋ capabilities to take FULL advantage of the many features of this Atemkontrolle. Please also be aware that to experience the full effect of the Blindfold feature you must be running the latest version of the Restrained Love Viewer. See below for details on how to find the Restrained Love and Mesh Viewers. ::Use: ::- To use your HybridZ Latex Atemkontrolle simply wear all the parts. ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle ™ - Ändern - Kopieren - Keine Übertragung ::Inspiriert von den Kunstwerken von Chio Maisriml. Weiter unten erfahren Sie, wo Sie seine Arbeit finden. ::Ein großes Dankeschön an Regan für all seine Hilfe und harte Arbeit. ::Bitte beachten Sie, dass Sie einen Restrained Love-kompatiblen Viewer mit "MESH" -Funktionen verwenden müssen, um die vielen Funktionen dieser Atemkontrolle voll ausnutzen zu können. Bitte beachten Sie auch, dass Sie die neueste Version des Restrained Love Viewer ausführen müssen, um die volle Wirkung der Funktion "Augenbinde" nutzen zu können. Weiter unten finden Sie Details dazu, wie Sie die Restrained Love- und Mesh-Zuschauer finden. ::Benutzen: ::- Um Ihre HybridZ Latex Atemkontrolle zu verwenden, tragen Sie einfach alle Teile. Due to the nature of the MESH parts please make sure you wear the included Body Shape or you will find the various parts will not fit or work correctly. Please also note that these parts should never been stretched or resized in anyway. Doing so will break the items. Aufgrund der Beschaffenheit der MESH-Teile stellen Sie bitte sicher, dass Sie die mitgelieferte Körperform tragen. Andernfalls werden die verschiedenen Teile nicht richtig passen oder funktionieren. Bitte beachten Sie auch, dass diese Teile ohnehin niemals gedehnt oder in der Größe verändert werden sollten. Dadurch werden die Gegenstände zerbrochen. *- Also included in the box is a Body Alpha. The Alpha must be used in conjunction with the Atemkontrolle avatars attachments. *- The default attachment points are included in each attachment name and are listed below: *Latex Atemkontrolle - MOUTH *Latex Atemkontrolle (Skull) - SKULL *Latex Atemkontrolle Breath Particles (Left Hand) - LEFT HAND *Leash Handle - LEFT HAND *- Please note the Atemkontrolle must be "LOCKED" before any of the following RLV functions become active. *- Please also remember that the "Deny Friend" TP button will always work for you and your Atemkontrolle, this is more a safety feature, anyone not on the Atemkontrolle's access will still be blocked from sending a TP *- Ebenfalls im Lieferumfang enthalten ist ein Body Alpha. Das Alpha muss in Verbindung mit den Atemkontroll-Avatar-Anhängen verwendet werden. *- Die Standardanhangspunkte sind in jedem Anhangsnamen enthalten und werden nachfolgend aufgeführt: *Latex Atemkontrolle - MUND *Latex Atemkontrolle (Schädel) - SCHÄDEL *Latex Atemkontrolle Atempartikel (linke Hand) - LINKE HAND *Leinengriff - LINKE HAND *- Bitte beachten Sie, dass die Atemkontrolle "GESPERRT" sein muss, bevor eine der folgenden RLV-Funktionen aktiv wird. *- Bitte denken Sie auch daran, dass die TP-Schaltfläche "Freund verweigern" immer für Sie und Ihre Atemkontrolle funktioniert. Dies ist eher eine Sicherheitsfunktion. Jeder, der nicht über den Zugriff der Atemkontrolle verfügt, kann weiterhin keine TP senden *Latex Atemkontrolle Menu Driven Features: *The following menus can only be accessed once all the attachments are worn. *Then simply click on the Atemkontrolle's Face. *Once the Lock command is selected it will effect all the worn parts making them all undetachable. This removes the need for each part to be locked seperately. *-OWNERS - Ownership Ability allows you to add owners and give them access to the menus. Simply click on the Atemkontrolle, go to 'OWNERS' and select 'Add OWNER'. Then choose the appropriate button number to add the person you want And your done! *- LOCK - Locks all the Atemkontrolle's attachments. *- UNLOCK - Unlocks all the Atemkontrolle's attachments. *- LOCK SKIN - Locks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- UNLOCK SKIN - Unlocks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- BLOCK TP - Blocks all forms of Teleport, TP to Landmarks, TP to Map Locations, TP to Friends and TP to Sit on Objects. * - GAG - Prevents the Atemkontrolle from talking. * - UNGAG - Allows the Atemkontrolle to talk again. *- BREATHE ON - Turns Breathe sound effects on for use in breath play. *- BREATHE OFF - Turns Breathe sound effects off. *- BLINDFOLD - Turns the Atemkontrolle's Blindfold on. *- REM BLIND - Turns off the Atemkontrolle's Blindfold. *- UPDATE - Checks for any upgrades to your product (Note: You must be in range of the Update Server located at the HybridZ Main Store.) *- FREEZE - Freezes the Atemkontrolle to the spot preventing any kind of movement. *- UNFREEZE - Unfreezes the Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isolates the Atemkontrolle from interacting in the SecondLife Environment, Inventory access denied edit objects TP etc, IM to locker/OWNER only permitted for safety reasons. *- REM ISO - Turns off Isolation *Menügesteuerte Funktionen des Latex-Atemkontrollgeräts: *Auf die folgenden Menüs kann nur zugegriffen werden, wenn alle Anhänge abgenutzt sind. Dann klicken Sie einfach auf das Gesicht der Atemkontrolle. Sobald der Befehl Sperren ausgewählt ist, wirken sich alle verschlissenen Teile auf sie aus und machen sie alle abnehmbar. Dadurch entfällt die Notwendigkeit, jedes Teil separat zu verriegeln. *-OWNERS - Mit Ownership Ability können Sie Eigentümer hinzufügen und ihnen Zugriff auf die Menüs gewähren. Klicken Sie einfach auf die Atemkontrolle, gehen Sie zu 'EIGENTÜMER' und wählen Sie 'EIGENTÜMER hinzufügen'. Wählen Sie dann die entsprechende Schaltflächennummer, um die gewünschte Person hinzuzufügen, und fertig! *- LOCK - Sperrt alle Anbaugeräte der Atemkontrolle. *- ENTSPERREN - Entsperrt alle Anhänge der Atemkontrolle. *- LOCK SKIN - Sperrt die Haut und Form der Atemkontrolle. *- HAUT ENTSPERREN - Schaltet die Haut und Form der Atemkontrolle frei. *- BLOCK TP - Blockiert alle Formen von Teleport, TP zu Orientierungspunkten, TP zu Kartenpositionen, TP zu Freunden und TP zum Sitzen auf Objekten. *- GAG - Verhindert, dass die Atemkontrolle spricht. *- UNGAG - Ermöglicht der Atemkontrolle, erneut zu sprechen. *- BREATHE ON - Schaltet Breathe-Soundeffekte für die Verwendung im Atemspiel ein. *- ATMEN AUS - Schaltet die Soundeffekte zum Atmen aus. *- BLINDFOLD - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle ein. *- REM BLIND - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle aus. *- UPDATE - Überprüft, ob Upgrades für Ihr Produkt durchgeführt wurden (Hinweis: Sie müssen sich in Reichweite des Update-Servers befinden, der sich im HybridZ Main Store befindet.) *- EINFRIEREN - Friert die Atemkontrolle an der Stelle ein, um jede Art von Bewegung zu verhindern. *- UNFREEZE - Entfriert die Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isoliert die Atemkontrolle von der Interaktion in der SecondLife-Umgebung, Inventarzugriff verweigert Bearbeitungsobjekte TP usw., IM an Schließfach / EIGENTÜMER nur aus Sicherheitsgründen zulässig. *- REM ISO - Deaktiviert die Isolierung *Once an Owner has been added to the list they can click on the Atemkontrolle to get an extended features list. All the above functions will be present but with the following additional buttons: *- CLOTHING - Allows removal of individual clothes, also ALLOW ALL/ DENY ALL controls whether your Atemkontrolle can wear or remove clothing. *- Though this Menu option is still present please be aware that clothing layers cannot be worn on top of a MESH Avatar. *- GIVE - Dispenses a copy of the Leash Handle/Leash Post or Instructional Notecard to the owner. The Leash Handle is worn on the LEFT HAND. *Once an Owner is wearing the Leash Handle they can then click it to access the LEASH,UNLEASH and LEASH LENGTH options. *Additionally whilst the Atemkontrolle is leashed the owner may rez a Leash Post and click on the ring to leash the Atemkontrolle to the Post. Clicking on the Leash Handle transfers the leash back from the Post to the Handle. *- Please note if the Atemkontrolle is leashed without the Owner wearing the Leash Handle the leash will attach to the Owner at the default 'Pelvis' point. *Additional Features: **- Locking Sound Effects when certain parts are Locked and Unlocked. **- Latex Rub Sound Effects upon walking. *Sobald ein Eigentümer zur Liste hinzugefügt wurde, kann er auf die Atemkontrolle klicken, um eine erweiterte Funktionsliste zu erhalten. Alle oben genannten Funktionen sind vorhanden, jedoch mit den folgenden zusätzlichen Tasten: *- KLEIDUNG - Ermöglicht das Entfernen einzelner Kleidungsstücke. Außerdem erlaubt ALLOW ALL / DENY ALL, ob Ihre Atemkontrolle Kleidung tragen oder entfernen kann. *- Obwohl diese Menüoption immer noch vorhanden ist, beachten Sie bitte, dass Kleidungsschichten nicht über einem MESH-Avatar getragen werden können. *- GEBEN - Gibt eine Kopie des Leinengriffs / der Leinenpost oder der Anweisungsnotizkarte an den Eigentümer aus. Der Leinengriff wird an der LINKEN HAND getragen. *Sobald ein Besitzer den Leinengriff trägt, kann er darauf klicken, um auf die Optionen LEASH, UNLEASH und LEASH LENGTH zuzugreifen. *Während die Atemkontrolle an der Leine geführt wird, kann der Besitzer zusätzlich einen Leinenpfosten rezzen und auf den Ring klicken, um die Atemkontrolle an den Pfosten zu führen. Durch Klicken auf den Leinengriff wird die Leine vom Pfosten zurück zum Griff übertragen. *- Bitte beachten Sie, dass die Leine an der Leine geführt wird, ohne dass der Besitzer den Leinengriff trägt. Die Leine wird am Standardpunkt „Becken“ am Besitzer befestigt. *Zusatzfunktionen: **- Sperren von Soundeffekten, wenn bestimmte Teile gesperrt und entsperrt sind. **- Latex Rub Sound Effekte beim Gehen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:29, 24. Feb. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-BDSM-RLV-Doll-Dollification-RP-Latex-Spray-Gun/413305 HybridZ BDSM RLV Doll Dollification RP Latex Spray Gun] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 2. Mär. 2021 (CET) ==== Haare ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Domela/13427270?ple=c EdelStore Mesh Hair - Domela (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Delmira/13426185 EdelStore Mesh Hair - Delmira (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/G-Draya-Hairbase/21054117 G.- "Draya" Hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/ARGRACE-SAYURI-BW/17349859?ple=c ARGRACE* SAYURI - B&W] [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Grae-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/11267667 Tameless Hair Grae - Naturals] Includes OMEGA applier for hairbase [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Kit-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/10498687 Tameless Hair Kit - Naturals with OMEGA Appliers for hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Claire-bxd-wear-me/19250905 KoKoLoReS Hair Claire bxd - wear me] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Lesley-bxd-wear-me/19842667 KoKoLoReS Hair Lesley bxd - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Quinn-20-Hud-Naturals/16067064 KoKoLoReS Hair - Quinn 2.0 - Hud Naturals - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/Sintiklia-Hair-Talia-Fatpack/19564600 Sintiklia - Hair Talia - Fatpack] [https://marketplace.secondlife.com/p/Y-U-JOANA-MULTIPACK-WOMENS-BOXED/19006551 Y-U: JOANA "MULTIPACK" WOMEN'S BOXED] [https://marketplace.secondlife.com/p/EMO-tions-TRAGEDY-BLACKWHITE/12152278 .:EMO-tions.. *TRAGEDY* -BLACK/WHITE] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:00, 2. Mär. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/NO-Pixie-Cut-Tattoo-Purple-Mix/7393394 (NO) Pixie Cut (Tattoo) - Blonde] [https://marketplace.secondlife.com/p/OS-Appliers-Base-Hair-Diva-Black-OmegaCatwa-Lelutka/16273465 !OS! Appliers Base Hair Diva Black - Omega/Catwa/ Lelutka] [https://marketplace.secondlife.com/p/nomatch-NOCOMMISSION-Pack-of-BLACKS/15922487 no.match_ ~ NO_COMMISSION ~ Pack of BLACKS] [https://marketplace.secondlife.com/p/dafnis-fat-pack-hairbase-01-for-CATWA-Demo/18658974 *dafnis fat pack hairbase 01 for CATWA Demo] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:19, 2. Mär. 2021 (CET) === Personen === Freunde finden ist nicht leicht in einer Welt, in der sich jeder selbst der Nächste ist, wo Egoismus und Lügen zur vorherschenden Tugend gehören. Sei ehrlich mit mir, lüg mich nicht an, dann bin ich für dich da und gehe mit dir durchs Feuer. Bei Intrigen, Hass und Missgunst und weitererzählen irgendwelcher Gerüchte fackel ich nicht lange und sortiere aus. Secondlife soll Spaß machen und nicht das Leben noch schwerer durch Menschen, die hier rumlaufen und nur glücklich werden, wenn sie anderer Partnerschaft, Freundschaft und Vertrauen zerstören können. Wacht auf Leute, das Leben findet draußen statt! Diese Welt hier ist eine Plattform, um andere kennen zu lernen und Spaß zu haben und nicht, um sich gegenseitig emotional abzuschlachten! Cordula Debbel von DavidSmith1978 https://www.youtube.com/watch?v=uSbxCX2LVps Cordula Grün Kinder mit Behinderung sind nicht krank, sie brauchen keine Therapie. Sie brauchen Akzeptanz. Ein 15 Jahre altes Mädchen hält die Hand von ihrem 1 jährigem Sohn. Leute nennen sie eine Schlampe. Niemand weiß, dass sie mit 13 Jahren vergewaltigt wurde. Leute nennen einen Mann fett. Niemand weiß, dass er eine schwere Krankheit hat, durch die er übergewichtig ist. Leute nennen einen alten Mann hässlich. Niemand weiß, dass er eine schwere Verletzung im Gesicht hatte, während des Kampfes für sein Land im Krieg. Poste dies, wenn du gegen Mobbing bist. Ich hoffe ihr gehört zu den 7% die es kopieren ... !!! Cordula Debbel Cosmopolitan and Hello Tuesday Events. Join to stay informed about our events. Blog: http://cosmopolitansl.blogspot.com/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:26, 4. Jan. 2021 (CET) Ich bin schon so lange hier und ziehe Bilanz: Ich bin hier in SL wegen der Menschen. Sie können eine innere Heimat werden, gute Freunde, jemand der so sehr mein innerstes kennt, wie niemand in meinem 1. Leben. Manchmal trifft man hier jemand und es ist magischSofortigesVerstehen, Zusammengehörigkeitsgefühl und das Bedürfnis bei dieser Person sein zu wollen. Lachen, das bis in mein reales Leben nachhallt und mich dort weiterhin aufmuntert. Danke dafür!!! Ruediger Blister --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 9. Jan. 2021 (CET) Sl ist schon ganz schön Verrückt einige Leute leben Wirkliich in einer Echten Scheinwelt weit ab vom Realen leben, und sie kommen sich auch noch verdammt Wichtig vor weil sie gewisse Rechte haben, find ich echt toll viel Glück mit eueren Rechten,scheibt sie euch dahin wo die Sonne zum schluss auf geht. Kathrin de Boer (kathrindeboer) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:54, 9. Jan. 2021 (CET) first sl join January 2007/second sl jion August 2011 maybe older than you but not stupid lol SL ist kein Spiel......es ist eine Schnittstelle SL is not a game ...... it is an interface JasonCastello --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:59, 9. Jan. 2021 (CET) Just taking a break and chilln out a while My interests in SL r: surfing, skydiving, base jumpn, horseback riding, scuba, cyclist and solo dancen, so far. Not interested in SL relationships other than friends. Cindy (honeypotness) Menschen, die zusammen gehören, egal auf welche Art und Weise finden immer wieder zusammen. Es ist egal was zwischen ihnen passiert ist, wie viele Fehler gemacht wurden und wieviel Zeit vergangen ist. Es ist egal,wie fern sie sich sind, sie werden sich trotzdem immer nahe sein... Tamina Bikergrrl --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:52, 11. Mär. 2021 (CET) === Surfing === Cielo *Cielo is currently majestic ruins you can surf through, set on the corner of a 5 sim Surfing beach island. *Travel the world, from east to west on this island, surfing different terrains and waves. ** Arcania Bay, Canada, Cielo (35, 177, 85) Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance *Welcome to Kia Kaha - The home of Vibes! *"Kia Kaha" is a Māori phrase meaning "Stay Strong" A subtle reminder to the core surfing family. *Public access surf sim with rezz zone and Flow board rezzer. ** Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance, Kia Kaha (128, 94, 22) Medow Rose - Templeton Farm *The moonlight sent pale shards skipping across the rippling water and silhouetting the landscape in deep soft bues and blacks. *She drew a contented breath as she sank deeper into his arms, *Meadow rose is just the start of the story.. Great place to ride ur horse ** Mopire City, Mopire (73, 191, 62) NanoGunk Main Store - Cigar Yachts *A beach with some nice waves ** NanoGunk Main Store - Cigar Yachts, NanoGunk (62, 32, 22) One Love Beach ~ Home of SurfCrazy ~ *No lag...no conflict..surf... *And as my opinion...Best place to surf in SL so far..... still ** One Love Beach - Surf Great Waves, Palma de Majorca (192, 216, 21) Surfer's Paradise - Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf *A remote beach set in the Pacific Northwest for photos and soul searchers alike. Really cool place. *flickr, photography, blogger, romantic, couples, beach, nature, photos, hangout, photogenic, meet, rentals, machinima, maoli waves, surfing, surf AMAZING PLACE TO SURF. ** d.p surfco] Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf , Spider Island (154, 227, 21) Surfing SLSA *Surfing Association (SLSA) surfable wave home beach. Surf, free surfboard loan Huts for Rent for your business advertising or team marketing **Home Of Competition Surfing In SL and the SLSA, Solace Dreams (224, 83, 21) T'ai Surfing - Home to Team Tsunami *The beautiful sister of the Zen surfing resort Ch'i. T’ai was born from Ch’i tranquil Mountainous volcano. *A public surfing beach. A variety of free surfboard rezzers and a rez area to use your own board. *Come enjoy and hangout at T'ai Surfing **T'ai Surfing - Home to Team Tsunami, Tai Surfing (207, 113, 23) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:18, 4. Jan. 2021 (CET) === Biker === Arpeggio Club DyNaMiTe - Biker an Rock Club (66. 162, 37) Club DyNaMiTe is one of the oldest rock clubs on the grid. Friendly, biker themed, a neutral place to chill out, chat and enjoy some good rock /heavy metal music. Live DJs, Concerts, Performers, Contests, Fun, Biker Club, Dance, Chat Bon Jovi Tribute by 2nd Dimension @ Club DyNaMiTe - Sponsored by Anka Tattoo --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:12, 8. Jan. 2021 (CET) == Paralipomena == Wir wissen doch schon lange, wie der amerikanische Geheimdienst den Markt zugunsten sog. "Moderner Kunst" mit Unsummen beeinflußt hat, weil die USA an Klassischer Kunst unterbelichtet sind - es gibt ja auch heute noch eine Geheimdienstgalerie Modern Art, nur für die eigenen (verdienten) Mitarbeiter besuchbar - eine eklige Schmierenkomödie, diese ganze "Moderne Kunst" - und derzeit zur Spielbank und Lotterie entartet, so wie ich das hier in der Kunststadt Dresden beobachten kann: Kauf auf Wertzuwachs, Wetten auf steigende Preise - das soll Kunst sein? Pfui Teufel! Die Kunstwerke verschwinden sehr oft in den Tresoren oder gleich auf der Bank - weswegen ich an diesem Markt nicht teilnehme - ich bin doch keine Hure! Meine Niemandskunst bleibt bis auf weiteres unveröffentlicht. Basta. Nur wenn die Chemie stimmt, zeige ich jemandem etwas persönlich. Ich prostituiere mich nicht für Geld. Punkt. Habe ich zeitlebens nicht gemacht, und die paar Jährchen muß ich nun auch nicht mehr. Früher hatte das schwere Konsequenzen (Haft, Zersetzung der Familien, Partnerinnen und meine erste Frau wurden zum Selbstmord(versuch) getrieben, Vergewaltigung meiner zweiten Frau bei unserer Ausbürgerung aus der DDR, Berufsverbote und und und - und ich habe mich nicht gebeugt. Heute hat das keine größeren Konsequenzen (die Gesellschaft hat größere Probleme als Verweigerer), und da habe ich es erst recht nicht mehr nötig, mich zu beugen - auch keinem "Kunstmarkt" gegenüber. Kann mich mal kräftig am Arsch lecken. Haben fertig. Bilder zurückhalten ist keine Lösung. Kunst will gesehen werden... HAUPTSACHE, mich befriedigt es! Was weiß ich, was ein andrer davon hat? Und was hätt ich davon, wenn ein andrer als ich davon was hat? Und wie geschrieben, wenn die Chemie stimmt, lass ich auch mal was sehen. Es gab hier vor zweihundert Jahren den Fall eines hervorragenden Malers, der hatte das Geheimnis der leuchtkräftigen, stabilen Renaissancefarben in jahrzehntelangen Experimenten gelüftet. Er erhoffte sich (nicht nur dadurch) eine existenzsichernde Anstellung an der Kunstakademie hier (er war auch ein hervorragender Künstler). Wurde aber abgelehnt - sicher aus politischen Erwägungen heraus. Er hat dann sein Geheimnis mit ins Grab genommen (er liegt hier auf dem Trinitatisfriedhof - man könnte ja mal buddeln LOL). Das war sein gutes Recht! Ich erinnere in dem Zusammenhang daran daß selbst ein Caspar David Friedrich niemals ordentlicher Professor der Kunstakademie in Dresden wurde, obwohl er hier über vierzig Jahre gelebt und gewirkt hatte - er war eben Napoleongegner und deutschnational. https://de.wikipedia.org/wiki/Caspar_David_Friedrich#Patriotismus_gegen_Napoleon --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:41, 10. Mär. 2021 (CET) ich habe Gewaltexzesse veröffentlicht. Ich muss mein Kind und mich schützen, weil Menschen bereit sind unter dem Deckmantel von was anderen Menschen zu töten. Ich habe keine Kraft alles schneller hinzubekommen, weil mir mit der Gewalt in einem jungen Leben auch die Existenzsicherung genommen wurde. Damit bin ich nun beschäftigt. Die Existenz zu sichern. KDP ist aber kein Händler, sondern ein "Verlag" von Amazon. Da sind meine kompletten Daten hinterlegt, weshalb ich jederzeit erreichbar bin. Klar kann es sein, dass irgendein Anwalt, der Geld machen will, statt den Sinn hinter dem Gesetzt zu wahren, eine Lücke nutzt, um abzuzocken. Ich muss mich da definitiv drum kümmern, aber das braucht Zeit. Ich muss das Buch rausnehmen, ändern und neu veröffentlichen. Oder andere Ideen? https://www.facebook.com/happy.bine.39 アン トン: Happy Bine ja, raus nehmen, Impressum einfügen und wieder einstellen. Weiß nicht ob das mit einem Update geht oder nicht. Deswegen bin ich am Überlegen bei BOD zu veröffentlichten, die zählen als Verlag und da reicht die Angabe von Pseudonym und BOD als Verlag . Und nein KDP ist KEIN Verlag, es ist eine Veröffentlichungsplattform für Self Publisher. Sie sind nicht als Verlag eingetragen. Du kannst auch „Fake Daten bei Biografien.....“ bei KDP angeben, die nicht geprüft werden. KDP war wegen „seltsamer“ Veröffentlichungen eh schon öfter in Kritik Antwort: Vielleicht geht es ja auch so. Ich möchte ja auch die Bewertungen nicht verlieren und auch nicht die bisherigen Verkaufszahlen. Nun muss ich aber erst einmal einen neuen Impressumservice finden. https://www.facebook.com/groups/dasautorenhilfeforum/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:02, 10. Jan. 2021 (CET) weiß ich -immer von schönen Damen wie im Video zu sehen kenn ich aus Tenerife - erstes Pinguinarium der nördlichen Hemisphäre im Loro Parque in Puerto de la Cruz: ich hatte als Batman mit einem weiblichen kleinen Gummi-Pinguin Werbung gemacht, da wurden extra kleine Frauen für gecastet - unter den indigenen Einwanderern aus Süd- und Mittelamerika gab es genügend Auswahl - war ein toller Kontrast - schon der Größenunterschied, der Pinguin in glänzenem Schwarz-Weiß und ich in glänzendem Schwarz, alles in der prallen Sonne nahe dem Abfahrtsplatz der "Straßenbahnen" (motorisiert) zum Loro-Parque - ein voller Erfolg - ja, und im Pinguinarium schufteten neue MitarbeiterInnen in Trockis (Trockentauchanzügen), um von innen die Panzerglasscheiben freizuhalten - die waren wegen des hohen Temperaturunterschiedes im Nu vereist, diesen Effekt hatte keiner auf der Liste - die MitarbeiterInnen kamen nach der langen Schicht klatschnass aus ihren Trockis, da war ich als Gummi-Batman noch besser dran, so haben die von der schweren Arbeit gedampft - und der Dampf konnte nicht raus wie beim Schnellkochtopf LOL --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:32, 10. Mär. 2021 (CET) ja Bauhaus - räumlich und zeitlich nicht ganz so weit von mir weg - und MACH WAS DRAUS: als Junge hab ich das nachgebaut - und keinen Mangel an Modellen gehabt - zum Schluß klebten die dann alle irgendwie komplett in Alufolie und Zellophan (so hieß bei uns durchsichtige Plastikfolie) - Hauptsache, nicht nackig LOL - und die haben Schlange gestanden, soviel Material hatt ich gar nicht, das war schwierig in der DDR zu besorgen (wir hatten mal Bundis zu Besuch, die hatten seinerzeit weltweit Sonnenkocher-Seminare durchgeführt, auch bei uns in der Zone - die waren entsetzt, daß unsere Alu-Knappheit viel größer war als in Afrika, wo sie sich wegen der Sonne und dem knappen Brennstoff des Öfteren aufhielten LOL) - heute ist dieser begrenzende Faktor zum Glück ja entfallen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 11. Mär. 2021 (CET) Klassiker. Bin ich mit groß geworden. Und auch mit dem Material. Meine ersten Damen besaßen sogar noch Material der Prä-Nazi-Ära: Bürgermaske, Gasanzug ... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 11. Mär. 2021 (CET) == Schönheit == [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=181300523741200&set=p.181300523741200&type=3 FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/137275705_181300530407866_3397208782784515620_n.jpg?_nc_cat=107&ccb=2&_nc_sid=dbeb18&_nc_ohc=yYP5kA9jywIAX9X9YKi&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=d0657d01f4d51b26bd1aceb22a95b4bf&oe=6022F5B8 Ein Herz für soviel Schönheit] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:56, 13. Jan. 2021 (CET) == Adam Cullen == [[w:de:Adam Cullen|Adam Cullen]] == Maler Ludwig Counet == [[File:Trier Gedenkkreuz Counet 1721.jpg|mini|Gedenkkreuz für den in Trier ermordeten „Maler Ludwig Counet“, Südwestseite der Kirche St. Paulin in Trier.]] [[w:de:Louis Counet]]: Counet erlangte 1690 mit seiner Familie das Bürgerrecht in Trier[8] und stieg in einer steilen Karriere zum regionalen „Malerfürsten“ auf. Der Rat der Stadt Trier, Klöster, Stifte und Pfarrgemeinden der Stadt und der Großregion, selbst der kurfürstliche Hof in Koblenz-Ehrenbreitstein wurden zu seinen Auftraggebern für ganze Serien von großformatigen Gemälden mit religiösen, gelegentlich auch allegorischen oder mythologischen Themen und für seine selteneren Porträts. Seine Produktion an Altarblättern, Kirchenschmuck und profanen Staffeleimalereien war so umfangreich, dass sie nur mit Hilfe einer größeren Werkstatt zu bewältigen war. Selbst für seine alte Heimat, zu der er weiterhin Kontakte[9] aufrechterhielt, führte er noch Aufträge aus, beispielsweise zwischen 1717 und 1720 zwei große Historienbilder und fünf Supraporten für das Rathaus der Stadt Lüttich. Wenn er dabei als höchstbezahlter Maler des Projekts fungierte,[10] entsprach das seinen üblichen Dotierungen in Trier. Die hohen Einkünfte wurden ihm schließlich zum Verhängnis. Mit dem Honorar für sechs Großgemälde in der Tasche fiel er am 5. August 1721 einem Raubmord zum Opfer. Ein Gedenkstein bei der Kirche St. Paulin in Trier erinnert noch heute an ihn. == Afterkunst == === Grimmsches Wörterbuch === AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. === Friedrich Hebbel === Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm === Entartete Kunst === [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jüdische "Afterkunst" === NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) === Filmlexikon === https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Facebook === https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) === Kunstdienst der evangelischen Kirche === [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) === Herbert Tannenbaum === [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) === Dominikus Böhm === [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jeanpierre Heizmann === [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) === Scheißpolitik === Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 == Löschversuch == [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt_Diskussion:Niemandskunst&diff=771216&oldid=746765 Diff-Link] == Anmerkungen == 4hpwcsq8llue8aavbbfwnofz95qfguj 784704 784696 2022-08-22T06:48:08Z Methodios 23484 /* Eberhard Bosslet */ wikitext text/x-wiki == Straßenkunst == ''Dresden. Ein Straßenkünstler hat am Donnerstagnachmittag auf dem Neumarkt in Dresden einer 30-Jährigen mit einem Seil ins Gesicht geschlagen. Die Frau wurde dabei leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die den Vorfall beobachtet haben. Nach Angaben der Polizei machte die 30-Jährige im Bereich der Frauenkirche Fotos. Dabei geriet sie offenbar mit einem dort auftretenden Künstler in Streit. Anschließend schlug der 40-Jährige zu. Wer Angaben zum Geschehen machen kann, soll sich bei der Polizeidirektion Dresden melden. Insbesondere sucht die Polizei das Pärchen, das sich im Anschluss an den Vorfall mit der 30-Jährigen unterhielt.'' [https://www.dnn.de/Dresden/Polizeiticker/Neumarkt-in-Dresden-Strassenkuenstler-schlaegt-Frau-mit-Seil Straßenkünstler schlägt Frau auf dem Neumarkt in Dresden mit Seil.] Eine Frau will auf dem Neumarkt in Dresden Fotos machen. Dabei kommt es zum Streit mit einem dort auftretenden Straßenkünstler, der ihr mit einem Seil ins Gesicht schlägt. Jetzt sucht die Polizei Zeugen. DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:45, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Dresden. Am Donnerstag gegen 14.20 Uhr ist eine Frau auf dem Neumarkt verletzt worden. Die Frau machte an der Frauenkirche Fotos, als sie offenbar mit einem dort auftretenden tschechischen Künstler in Streit geriet. In der Folge wurde sie mit einem Seil im Gesicht getroffen und leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die Angaben zum Geschehen machen können. Insbesondere ein Pärchen, das sich nachher mit der 30-Jährigen unterhalten hatte wird gebeten sich bei der Polizei zu melden. Hinweise nimmt die Polizeidirektion Dresden unter der Rufnummer (0351) 483 22 33 entgegen.'' [https://www.saechsische.de/polizei/frau-auf-neumarkt-verletzt-5277548.html Frau auf Neumarkt verletzt. Bei einem Streit in der Innenstadt wurde sie von einem Seil getroffen. Nun sucht die Polizei Zeugen.] SZ vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:07, 18. Sep. 2020 (CEST) == Bunker == ''Kinder haben beim Spielen in einem Wald bei der brandenburgischen Gemeinde Nuthetal einen unterirdischen Bunker entdeckt. Der von Hand gezimmerte Unterschlupf, indem sich vieles findet, was man für einen längeren Aufenthalt unter Tage braucht, ist aufwendig ausgebaut und gibt derzeit vor allem Rätsel auf.'' ''Bild: Der Bunker ist innen mit Holz verkleidet und hat etwa die Größe eines Kinderzimmers. Er hat auch ein Lüftungsloch und eine kleine Treppe, die in den Bunker führt. Dort liegt auch ein Handfeger griffbereit.'' (zwei Feldbetten?, zwei Campingstühle, Tischchen, Petroleumlampen, Kleinmöbel, Holz, Isomatte, Geschirr, Lebensmittel, Wandteller, Sandboden, Innenstütze, Deckenbalken, Plastikplane als Zimmer-Decke, nur kleines "Mannloch") [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Bunker-in-Nuthetal-Kinder-finden-mysterioesen-Unterschlupf-im-Wald MAZ vom 15. September 2020.] [https://www.dnn.de/Region/Der-Osten/Kinder-finden-mysterioesen-Bunker-in-Brandenburger-Wald Bergholz-Rehbrücke. Kinder finden mysteriösen Bunker in Brandenburger Wald.] DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:55, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Ist der Bewohner des rätselhaften Bunkers, der in einem Wald in Nuthetal gefunden wurde, noch einmal in seinen Unterschlupf zurückgekehrt? Es sieht alles danach aus: Als Gemeinde-Arbeiter die Sachen aus dem Bunker holen wollten, war das Schloss aufgebrochen. Im Bunker fehlte das Wertvollste, was sich vorher darin befand.'' ''Bild: Der Bunker ist am Mittwoch bereits eingerissen worden. Die Gemeinde Nuthetal läßt ihn zurückbauen.'' [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Mysterioeser-Bunker-in-Nuthetal-Vor-dem-Einreissen-kehrte-der-Bewohner-zurueck-und-holte-das-Funkgeraet Bergholz-Rehbrücke. Nuthetal lässt mysteriösen Bunker einreißen – doch das Funkgerät war bereits verschwunden] MAZ vom 16. September 2020. [[w:Märkische Allgemeine|Märkische Allgemeine]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:53, 20. Sep. 2020 (CEST) [[w:Nuthetal|Nuthetal]] - in der Nähe vom Südwestzipfel Berlins - im "Speckgürtel" - von 2003 bis 2017 fast 500 Einwohner gewonnen auf jetzt über 9.000 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:05, 20. Sep. 2020 (CEST) Wegen sowas häufen sich in Dresden und Umgebung die "unterirdischen Zelte" (der Begriff wurde von einem AfD-Stadtrat aus Berlin-Reinickendorf verwendet - das ordentliche Ordnungsamt hatte da die anwachsende "Zeltstadt"! - so 150 Einwohner Nähe Flughafensee - vor anderthalb Jahren geräumt, die Leute haben sich dann eingegraben, wurden zT entdeckt - sicher zu primitiv, sicher auch zu alkoholisch - und diese Bunker - mit zB Kühlung für Bierkästen - bezeichnete der sozial unbeleckte Stadtrat dann als "unterirdische Zelte"). https://de.wikipedia.org/wiki/Flughafensee vgl. [[w:Nasser Asphalt]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:53, 20. Feb. 2021 (CET) == Housing first == === Erstes Projekt in Sachsen: Leipzig === Und nun folgt auch Leipzig: Sn Sommer soll der Housing First in einem Modellprojekt erprobt werden. Berlin ist da schon weiter: wir arbeiten an der Verstetigung, weil es so gut läuft! [https://www.facebook.com/housingfirstfuerfrauen/ FB Housing First für Frauen, 18. März 2021] Eine eigene Wohnung ist das oberste Ziel der Hilfen für wohnungslose Menschen in Leipzig. Bezahlbare Wohnungen sind in Leipzig aber inzwischen knapp. Daher soll ab dem Sommer der Ansatz „Housing First“ erprobt werden – mit dem Modellprojekt „Eigene Wohnung“. Dies wurde in der Dienstberatung des Oberbürgermeisters auf Vorschlag von Bürgermeister Thomas Fabian auf den Weg gebracht. Jetzt muss noch der Stadtrat zustimmen. Der aus den USA stammende Ansatz „Housing First“ (auf Deutsch: zuerst eine Wohnung) verspricht gute Ergebnisse bei der Integration von obdachlosen Personen. Deshalb verfolgen etliche Kommunen in Europa und Deutschland diesen Ansatz. Bei „Housing First“ erhalten obdachlose Personen eine eigene Wohnung mit Mietvertrag und dazu eine individuell passende Hilfe durch Sozialarbeiterinnen und Sozialarbeiter. Die Anzahl der Personen, die Schwierigkeiten haben, ihre Wohnung zu halten oder bei Wohnungslosigkeit eine neue Wohnung zu finden, hat zugenommen. Besonders betroffen sind Personen mit Mietschulden sowie Menschen mit psychischen und Suchterkrankungen. Bürgermeister Thomas Fabian ist überzeugt: „Wir wollen obdachlosen Frauen und Männern die Möglichkeit eröffnen, eine eigene Wohnung zu beziehen. Sie erhalten dabei auch Unterstützung, die sie brauchen, damit ein Neuanfang gelingt. Unser Modellprojekt greift Konzepte und Erfahrungen des Ansatzes Housing First auf. Es ergänzt gut unsere Angebote der Obdachlosenhilfe in Leipzig.“ Entwickelt wurde das Projekt vom Sozialamt auf der Grundlage von Befragungen von Trägern der Wohnungsnotfallhilfe, Fachexperten und auch obdachlosen Personen. Grundzüge des Leipziger Konzeptes wurden in einer Strategiekonferenz mit Akteuren aus der Obdachlosenhilfe beraten. Das Modellprojekt soll im Sommer beginnen. Im Oktober könnten dann die ersten von mindestens 40 obdachlosen Personen in ihre Wohnung ziehen. Die Wohnungen werden vorwiegend durch die stadteigene Leipziger Wohnungs- und Baugesellschaft mbh (LWB) zur Verfügung gestellt. Aber auch Wohnungsgenossenschaften und private Wohnungsvermieter sollen einbezogen werden. Bis 2024 soll das Modellprojekt erprobt und während dieser Zeit auch wissenschaftlich evaluiert werden. Eine Koordinationsstelle im Sozialamt steuert die Umsetzung. Insgesamt 1,2 Millionen Euro werden für das Projekt bis 2024 eingeplant. [https://www.leipziginfo.de/aktuelles/artikel/modellprojekt-eigene-wohnung-fuer-obdachlose-personen-in-leipzig/?fbclid=IwAR2cjmPZddnGLP8_N-wRIANWMhBCgzHOhdyWjbNytNruFn3KM9wZp3A-R0I Modellprojekt "Eigene Wohnung" für obdachlose Personen in Leipzig. Ansatz „Housing First“ soll ab dem Sommer erprobt werden] 18.03.2021 Stadtinformationen Stadt Leipzig --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:36, 19. Mär. 2021 (CET) == Kunst für Housing First == '''''Worin bestand für Sie die Motivation, sich sozialunternehmerisch zu engagieren und das Projekt „Housing First“ ins Leben zu rufen?''' Das Engagement war doppelt begründet: Es ging uns einerseits um den Aufbau adäquater Hilfe für Wohnungslose, zugleich aber war unser Engagement auch politisch motiviert. Ein Schlüsselerlebnis war die Weihnachtsfeier im Düsseldorfer Kulturzentrum zakk vor vier Jahren, als wir feststellen mussten, dass wieder Wohnungslose verstorben waren. Vor dem Hintergrund unserer Philosophie, wonach wir – Wohnungslose und das Team des Düsseldorfer Straßenmagazins fiftyfifty – so etwas wie eine Familie sind (bei aller professioneller Distanz, die in der Sozialarbeit auch notwendig ist), reifte die Erkenntnis, dass chronifiziert obdachlose Menschen im bestehenden Stufensystem quasi überhaupt keine Chance haben, dauerhaft mit normalen Mietwohnungen versorgt zu werden und eine Verelendungsspirale die Folge ist. Meine Kollegin Julia von Lindern hatte sich auch als Lehrbeauftragte an der Hochschule Düsseldorf mit dem Housing First-Ansatz auseinandergesetzt. Es folgte eine Reise unseres Teams nach Wien, um Erkenntnisse vor Ort zu sammeln. Wir haben schlanke Strukturen – ganz im Sinne des lean management –, so dass Ideen stets gemeinschaftlich entwickelt und schnell realisiert werden können. ''' „Lean management“? Das klingt ganz nach einem unternehmerischen Ansatz.''' Housing first stellt natürlich einen Paradigmenwechsel im System dar, aber die linke Attitüde, die lange Zeit ausschließlich auf Systemkritik zielte, lässt sich meines Erachtens unter den gegenwärtigen politischen Vorzeichen nicht mehr durchhalten. Mit dem Erstarken des Rechtspopulismus gilt es, unser Sozialsystem nach Kräften zu verteidigen. Dafür nutzen wir bei fiftyfifty unsere Erfolge als Glaubwürdigkeitsvorsprung, d. h. unsere Arbeit wird immer von Gesprächen mit politischen Entscheidungsträgern sowie Trägern der Wohnungslosenhilfe begleitet. Und natürlich suchen wir gezielt die Öffentlichkeit, um u. a. über Social Marketing für unsere wohnungspolitischen Anliegen, aber natürlich auch unser Fundraising zu werben. Housing First bedeutet: Es besteht von Anfang an ein normales, unbefristetes Mietverhältnis mit allen Rechten und Pflichten. Wohnbegleitende Hilfen werden aktiv angeboten: Betroffene werden dazu ermutigt Probleme mit Unterstützung anzugehen, aber nicht dazu verpflichtet. Dort wo Housing-First bereits praktiziert wird, sind die Ergebnisse überzeugend. Housing-First wurde Anfang der 90er Jahre in den USA entwickelt. In den USA wird es seither in einigen Städten erfolgreich praktiziert. In Deutschland ist der Ansatz noch nicht weit verbreitet. '''Ist eine Triebfeder für Ihr sozialunternehmerisches Engagement auch in den fehlenden Erfolgen der staatlichen Sozial- und Wohnungspolitik zu sehen?''' In jedem Fall. Wir sind bei fiftyfifty zunächst einmal vor allem politisch motiviert, wobei wir inzwischen nicht nur von NRW-Sozialminister Minister Laumann, sondern auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren. Hinzu kommt ein beispielloses Echo in bekannten Leitmedien wie Süddeutsche Zeitung, Zeit online, Stern TV etc. und Fachmedien, durch das wir Housing First bundesweit ins Gespräch gebracht haben. Nicht nur dadurch haben wir umfangreiche Beratungsarbeit bei vielen Trägern der Wohnungslosenhilfe und Kommunen geleistet. Aus eigener Erfahrung und aus zahlreichen Forschungsvorhaben wissen wir, dass Wohnraum in Not geratene Menschen dauerhaft stabilisieren kann – insbesondere dann, wenn der Ansatz Housing first und nicht Housing only lautet. Housing First, wie wir es praktizieren, bedeutet, dass Obdachlose direkt von der Straße in Wohnungen gebracht und zudem professionell betreut werden. Dazu gehören auch tagesstrukturierende Maßnahmen, damit am Ende einer möglichen Vereinsamung in der neuen Wohnung vorgebeugt wird. Für die Politik liegt ein wesentlicher Vorteil des Housing First-Projekts darin, dass die Kosten für die jeweilige Kommune gleich null sind, d. h. unser Modell der Bekämpfung von Obdachlosigkeit kostet die Städte und Gemeinden quasi nichts. Die Düsseldorfer Wohnungsbaugesellschaft SWD etwa verfügt über 9.000 Wohnungen. Würde die Stadt aus diesem Kontingent die ca. 300 benötigten Wohnungen für etwa 300 Straßenwohnungslose, die es in der Landeshauptstadt gibt – ein Großteil der Wohnungslosen wird in diversen Notunterkünften und nicht dauerhaften Betreuungseinrichtungen mehr oder weniger gut versorgt – zur Verfügung stellen, würde die Miete über Transferleistungen gesichert. Und die Betreuung würden Verbände wie die Diakonie oder andere wahrnehmen, über Fachleistungsstunden, die beim Landschaftsverband abgerechnet werden. Die Landschaftsverbände finanzieren sich über kommunale Umlagen, die Städte wie Düsseldorf sowieso zahlen – ob sie Housing First anbieten oder nicht. '''Welche Hindernisse gab es zu überwinden?''' In der Entstehungsphase war ein Hindernis die Schaffung einer funktionsfähigen Organisationsstruktur, wobei wir das weitestgehend aus dem etablierten fiftyfifty-Team stemmen konnten. Aber wir mussten uns sehr engagiert der Mittelbeschaffung widmen, d. h. auch bei Housing First stand am Anfang die Finanzierungsfrage, da wir die Wohnungskäufe nicht kreditbasiert finanzieren wollten, sondern diese bis heute über unsere Einnahmen aus dem Verkauf von Kunstwerken finanzieren, die wir in unserer Benefiz-Galerie verkaufen. Dort unterstützen uns etwa Gerhard Richter, Thomas Ruff, Andreas Gursky, Katharina Mayer und viele andere bedeutende Künstlerinnen und Künstler. Zu überwinden war auch die Skepsis im Team, ob in Düsseldorf überhaupt adäquate Wohnungen zu finden wären und ob Eigentümer an fiftyfifty verkaufen würden. Die Realität hat uns Lügen gestraft: Mittlerweile bekommen wir sogar Wohnungsangebote von sympathisierenden Eigentümern und Maklern, bevor diese auf dem Markt angeboten werden. '''Wie bewerten Sie ihre Arbeit nach nunmehr vier Jahren?''' Das Start-up war ein voller Erfolg: Nachdem wir schon viele Wohnungslose über die Erlöse aus den fiftyfifty-Verkäufen von der Straße holen konnten, sind wir dann mit Housing First und der Housing-First-Fonds-Gründung – zusammen mit dem Paritätischen Wohlfahrtsverband – im Jahre 2018 noch weitergegangen: Hatten wir bei fiftyfifty schon über 60 Menschen von der Straße geholt, so waren es über den NRW-weit tätigen Fonds zusätzlich noch 67 bei 22 Trägern in 14 Städten, für die wir Wohnraum erschließen konnten. Die ehemals Obdachlosen kommen selbst für die Miete auf, die sie zumeist über Leistungsbezug finanzieren. Die Einnahmen aus dem Verkauf von fiftyfifty oder den Spendengeldern bei alternativen Stadtführungen, die sie durchführen, kommen oft noch hinzu. Denn viele von ihnen arbeiten inzwischen als Stadtführerinnen und -stadtführer. Manche sind sogar wieder in regulärer Arbeit. Aber natürlich müssen wir uns auch immer wieder die Risiken vor Augen führen. Die Null-Zins-Politik wird die Immobilienpreise weiter steigen lassen; die Flucht ins „Beton-Gold“ ist ja allerorten zu beobachten. Derzeit kursiert in unserem Beirat sogar die Idee, eine Sozialbank im Sinne unserer Zwecke zu gründen, um der Genossenschaftsidee mit größerem Kapitaleinsatz Geltung verschaffen zu können. Wichtiger aber ist aus meiner Sicht, sich einzumischen und Druck zu machen, damit mehr Wohnungen für Benachteiligte und insbesondere Obdachlose gebaut und zur Verfügung gestellt werden. Das Beispiel Finnland zeigt: Zumindest die Straßenobdachlosigkeit kann überwunden werden. Auch in Deutschland. Es ist eine Frage des politischen Willens. - Das Gespräch führte Tim Engartner. Er ist Professor für Didaktik der Sozialwissenschaften und Mitglied des Direktoriums der Akademie für Bildungsforschung und Lehrerbildung an der Goethe-Universität Frankfurt am Main.'' [https://www.freitag.de/autoren/der-freitag/obdachlosigkeit-kann-ueberwunden-werden?fbclid=IwAR209nCDafyiJ0oGTcAxs2BJdZM897_pLC5ue8ln2S_o1zvP1uc-d8bO4JU „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“. Interview. Hubert Ostendorf, Gründer des Düsseldorfer Straßenmagazins „fiftyfifty“, spricht über den Housing First-Ansatz, mit dem Wohnraum für Wohnungslose geschaffen wird] Von Tim Engartner. Der Freitag vom 16.? September 2020 (38?/2020) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:59, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Zitat: "Obdachlosigkeit kann überwunden werden" Es ist bezeichnend für ein angeblich "christliches", "zivilisiertes" und "kultiviertes" Land wie Deutschland mit angeblich "gebildeten" Bürgern, dass man eine Tatsache wie „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“ im Jahr 2020 als Überschrift in einem Artikel hervorheben muss. Nach dem verlorenen Zweiten Weltkrieg, als viele Städte hierzulande in Trümmern lagen und es in Deutschland Millionen Obdach- bzw. Wohnungslose gab, war das möglich. Und heutzutage sollte das nicht möglich sein? Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand im Jahre 2020 sind zwar auch die neoliberal-konservativen und pseudo-sozialdemokratischen Politiker in diesem unserem "christlichen" Lande. Wenn sich Spekulanten, die sich an den Finanzmärkten beim Milliardenpoker verzocken, dann werden von "christlichen" und "konservativen" Politikern binnen weniger Tage 500 Milliarden Euro für "notleidende Banken" aus dem Hut gezaubert. Aber für Obdachlose sind nicht einmal ein paar lausige Millionen da. Wegschauen ist eben viel billiger. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber auch die vielen Speichellecker, Arschkriecher und Hofberichterstatter in den Medien, die vom angeblichen "Linksruck" in Deutschland faseln und das Problem entweder ignorieren oder mit anderen Themen davon ablenken. Es würde mich nicht wundern, wenn demnächst ein professoraler "Experte" in den Tagesthemen oder im heute-journal erzählt, dass der russische Präsident Putin für die Wohnungsnot in Deutschland verantwortlich wäre. Wenn es nach der Bild-Zeitung geht, ist Putin Schuld daran, wenn es drei Monate lang nicht regnet und wenn es drei Monate lang regnet, dann ist Putin auch Schuld daran. Putin ist nämlich nicht nur Schuld an der Klimaveränderung, sondern auch für den täglichen Stau auf deutschen Straßen und dem Corona-Virus (ACHTUNG: Verschwörungstheorie!) Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand sind auch neoliberale Wirtschaftsprofessoren an deutschen Universitäten und Hochschulen, die seit Jahren das Dogma vom effizienten Markt predigen, der am Ende alles zum Besten regelt, wenn sich der Staat aus der Politik raushält. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber vor allem die ignoranten, arroganten, dekadenten, scheinheiligen, verlogenen und opportunistischen (Mit-)Bürger in diesem Lande, die diese neoliberal-konservativen Politiker und Parteien in den letzten Jahrzehnten gewählt haben und immer noch wählen. Und was sagen die "heilige" Angela von Merkel und der "christliche" Kronprinz von Großbayern, Dr. Markus Söder, zu diesem Problem? Ganz einfach: Nix! Wenn man mit dem Helikopter über das Land schwebt, sieht man die "Penner" bzw. "Wohnsitzlosen" (wie die formal-juristische korrekte Bezeichnung in unserem Sozialstaat lautet) da unten nicht. Zitat: "... wobei wir inzwischen ... auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren." Wenn es um Obdachlosigkeit bzw. Wohnungsnot geht, machen die Nationalisten, Sozialdarwinisten und rechten "Patrioten", die Tage ein Tag aus mit der Deutschlandfahne herumwedeln, offenkundig keinen Unterschied zwischen reinrassigen Deutschen und Ausländern bzw. Migranten. Für "aufrechte" und "saubere" Deutsche waren und sind Obdachlose eben keine Menschen mit Würde, sondern sozialer Abfall.'' Kommentar Christian Brecht, 16. September 2020 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:02, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Obdachlosigkeit ist ein sehr vielschichtiges Problem und ist meistens in der Biografie / Famile der Betroffenen selber zu finden. Betrachtet man z. B. zerrüttete / problematische Familien über Generationen hinweg, dann wird schnell einmal klar, dass bestimmte Menschen sozusagen von Geburt an einem höheren, sozialen Risiko ausgesetzt sind. Eine weitere Gruppe von Obdachlosen stellen Menschen mit schweren psychischen Problemen dar (z. B. bi-polare Störung). Da bei ihnen häufig ein problematisches Sozialverhalten vorliegt, ist auch die Wahrscheinlichkeit gross, eines Tages „in der Gosse zu landen“. Häufig gesellen sich hier noch Suchtproblematiken aller Arten dazu. Die dritte Gruppe sind natürlich Zugewanderte (v. a. Asylsuchende). Natürlich sind auch Mischformen dieser drei Gruppen auf der Strasse anzutreffen. Auf jeden Fall bewirkt die Obdachlosigkeit bei den Betroffenen ein lebenslanges Trauma. Man kann einen Menschen zwar von der Strasse holen, aber die Strasse nie mehr aus ihm heraus. Ob sich Menschen dauerhaft resozialisieren lassen, ist eine weitere, wichtige Frage: Voraussetzung dafür wäre, dass sie überhaupt schon einmal sozialisiert waren, d. h. gesellschaftlich voll integriert. Das ist insbesondere bei langjährigen Drohensüchtigen schwierig. Auf jeden Fall wünsche ich „fiftyfifty“ viel Glück und Erfolg!'' Kommentar Reinkarnation, 16. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:04, 20. Sep. 2020 (CEST) == 20. neunerhaus Kunstauktion (Wien) == Mitbieten und helfen: Die neunerhaus Kunstauktion bietet DIE Gelegenheit, Kunst zu erwerben und obdach- und wohnungslose Menschen zu unterstützen. Der Reinerlös fließt direkt in die neunerhaus Angebote. Trotz herausfordernder Umstände haben uns für die diesjährige neunerhaus Kunstauktion mehr als 170 renommierte zeitgenössische KünstlerInnen ihre Werke gespendet, damit wir den Reinerlös für unsere Arbeit einsetzen können. Damit diese Kunst nun Gutes tun kann, brauchen wir eure Unterstützung: Steigert mit, teilt die Auktion mit kunstinteressierten FreundInnen. Denn jeder Zuschlag hilft uns, weiter für jene da zu sein, die unsere Hilfe brauchen! https://www.facebook.com/events/2750368081917767/ Die 20. neunerhaus Kunstauktion am 2.11.2020 war ein großartiger Erfolg. Vielen Dank! Nutzen Sie jetzt noch die Chance und erwerben Sie eines der unverkauften Bilder im Nachverkauf. Sie können die verfügbaren Werke ab 7.12.2020 in der Galerie der Rahmenmanufaktur Wohlleb, Seidlgasse 23, 1030 Wien, Montag bis Freitag zwischen 10:00 und 18.00 Uhr oder Samstag 10.00 bis 12.00 Uhr besichtigen. Bei Interesse wenden Sie sich bitte an Michael Walk https://www.neunerhaus.at/kunstauktion/?fbclid=IwAR2bBPxVm_bAqGZUeieJOpqoYVcOTgSvulJ4Ndu765t3CV-MtQNlABAVjGM n drei Wohnhäusern und über 250 Wohnungen in ganz Wien leben mehr als 800 ehemals obdach- und wohnungslose Menschen jährlich. Über 5.000 Menschen versorgt neunerhaus mit dem neunerhaus Gesundheitszentrum pro Jahr – Tendenz steigend. neunerhaus ist eine Sozialorganisation in Wien. neunerhaus ermöglicht obdachlosen und armutsgefährdeten Menschen ein selbstbestimmtes und menschenwürdiges Leben mit Medizinischer Versorgung, Wohnen und Beratung. Ziel ist es, Betroffenen Hilfe zur Selbsthilfe zu geben, um ihre Lebenssituation nachhaltig zu verbessern. neunerhaus engagiert sich gegen die Ausgrenzung wohnungsloser Menschen. Holen Sie Menschen von der Straße, bevor sie ein Teil davon werden. Wohnen ist ein grundlegendes Menschenrecht. Jeder Mensch hat das Recht auf ein menschenwürdiges Leben. Aber nicht jeder hat ein Zuhause. https://www.neunerhaus.at/ == Frankfurter Kunststation == ''Ein Türsteher, eine Gästeliste, zugewiesene Plätze und eine Begrüßung in der Kirche: Einiges war anders beim diesjährigen Sommerfest für die ehrenamtlichen Mitarbeiter des Franziskustreffs. Um 17.00 Uhr begrüßte Bruder Michael die Ehrenamtlichen in Liebfrauen. Großzügig hatte man sich in der Kirche verteilt. Der obligatorische Jahresrückblick war natürlich von den schwierigen letzten Monaten geprägt. Und doch voller guter Neuigkeiten: Mitten in der Krise verteilt, war der Beileger „Corona: Alle bleiben zu Hause, aber wir haben keines“, die bisher erfolgreichste Spendensammlung des Franziskustreffs. Und es folgten weitere gute Nachrichten: Im September 2020 startet die Franziskustreff Stiftung ein kleines '''Kunst-Projekt'''. Mitten in Frankfurt, in bester Innenstadtlage werden wir '''Obdachlosigkeit und Kultur''' in einer ganz neuen Art und Weise zusammenführen. Zudem hat die Stiftung eine gemeinnützige GmbH gegründet. Diese wird Obdachlose in eigene Wohnungen bringen. Die Idee ist, wie Bruder Michael betonte, noch ein „sehr zartes Pflänzchen“. Doch sie wird in Frankfurt bestimmt für einige Aufmerksamkeit sorgen und hoffentlich feste Wurzeln schlagen.'' [https://www.franziskustreff.de/franziskustreff/aktuelles-aus-dem-franziskustreff/sommerfest/ EIN SOMMERFEST FÜRS EHRENAMT] Webseite des Franziskustreffs --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:20, 13. Sep. 2020 (CEST) ''Schätzungen der Wohnungslosenhilfe gehen davon aus, dass rund 550.000 Menschen in Deutschland kein festes Dach über dem Kopf haben. Die Dunkelziffer ist vermutlich höher. Bruder Paulus kümmert sich um einen Teil dieser Menschen. DOMRADIO.DE: '''Für viele Menschen ist wohnungslos und obdachlos der gleiche Begriff. Warum ist das nicht dasselbe?''' Bruder Paulus Terwitte OFMCap (Kapuzinerbruder und Vorstand der Franziskustreff-Stiftung in Frankfurt): Menschen, die wohnungslos sind, haben keinen eigenen Mietvertrag. Sie leben entweder bei Freunden oder haben eine vom Staat zugewiesene Einrichtung in der Stadt. In Frankfurt zum Beispiel leben über 2.000 Menschen in Hotels und anderen Einrichtungen. Das sind Menschen, die zwar irgendwie wohnen, aber am Ende keinen eigenen Mietvertrag haben. Im Unterschied dazu gibt es Obdachlose. Diese Menschen haben dann tatsächlich auch solche Einrichtungen nicht oder wollen dort nicht sein. Sie schlafen beispielsweise in Notbetten in den Notunterkünften. Laut Gesetz steht in Deutschland jedem Menschen ein Bett zu. Aber manche Obdachlose nehmen auch diese Hilfe nicht an und bleiben draußen. Sie möchten ihre Daten nicht angeben und anonym bleiben. In Frankfurt gehen wir von 2.800 obdachlosen Menschen aus, von denen 400 unter freiem Himmel schlafen. DOMRADIO.DE: '''In welcher Form engagieren Sie sich für Wohnungs- und Obdachlose im Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt?''' Bruder Paulus: An der Liebfrauenkirche und am Kapuziner Kloster hat der Kapuzinerbruder Wendelin vor über 25 Jahren einen Frühstückstreff eingerichtet. Jeden Morgen können hier Menschen von 7.45 Uhr bis 11.15 Uhr frühstücken. Normalerweise haben wir 32 Plätzen für 190 Leute. Jetzt in der Corona-Zeit haben wir nur noch zwölf Plätze und die Leute dürfen nur noch 15 Minuten bleiben. Das sind immer noch 130 Menschen, denen wir hier ein Frühstück, Gastfreundschaft und franziskanische Brüderlichkeit anbieten. Wir haben über 60 Ehrenamtliche, die sich engagieren. Dazu bieten wir eine Sozialberatung an. Das alles ist von Spendengeldern getragen. Darüber hinaus mieten wir Wohnungen an, damit wir einigen unserer Gäste sagen können: Versuch das doch mal wieder mit dem Wohnen. Neu ist unsere '''Kunststation'''. Wir glauben, dass obdachlose Menschen vor allen Dingen eine Begegnung auf Augenhöhe brauchen. Wir müssen in der Gesellschaft ein Gespräch beginnen, dass Obdachlosigkeit viel früher beginnt: Sei es durch fehlende Miete oder eine Wohnung, dadurch dass der Partner weggeht oder verstirbt oder durch Arbeitslosigkeit und Krankheit. In der Corona-Pandemie sagen auch sehr viele Menschen, dass sie eigentlich in dieser Welt gar nicht mehr zu Hause sind. DOMRADIO.DE: '''An der Kunststation ist die Franziskustreff-Stiftung auch beteiligt. Was hat diese Kunststation konkret mit der Situation der Wohnungslosen zu tun?''' Bruder Paulus: Sie ist direkt in der Innenstadt, wo ganz viele Obdachlose hausen. Ich habe einen Kulturleiter gefunden, der sehr nah an diesen Menschen ist, der sich in der Stadtszene sehr gut auskennt und auch in der Kunstszene gut vernetzt ist. Er hat sehr viel Freude daran, mit uns zusammen unseren obdachlosen Menschen zu sagen: Hey, guckt doch mal, ob ihr euch ansprechen lasst mit euren kreativen Möglichkeiten. Unsererseits wollen wir Kunstprojekte initiieren, die zeigen, dass Menschen am Rande eigentlich Schätze in unserer Gesellschaft sind. Darum ist diese Galerie in einem ehemaligen Juwelier-Shop untergebracht, den wir angemietet haben. Wir zeigen Schätze von Menschen, die sonst am Rande sind. Im Moment läuft eine 14-tägige Ausstellung von zwei jungen Frauen, die für Menschen mit geistiger Beeinträchtigung ein Daumenkino geschaffen haben, in dem 100 Begriffe dargestellt werden. Unter unseren Gästen sind selber Künstler und wir hoffen, dass sie sich anregen lassen, weil sie jetzt einen eigenen Ausstellungsraum haben. DOMRADIO.DE: '''Für viele Wohnungs- und Obdachlose ist es eine große Überwindung, zu ihnen zu kommen und diese Hilfe anzunehmen. Wie versuchen Sie, den Menschen hier Mut und Selbstvertrauen zu geben?''' Bruder Paulus: Indem wir ihnen einfach als Mitmenschen begegnen, die eine eigene Lebensgeschichte haben und die keine Hilfe wollen, sondern möchten, dass wir ihnen erst mal auf Augenhöhe begegnen und sie ernst nehmen. Das kennt jeder aus seinem eigenen Leben, dass wir es eigentlich nicht gerne haben, dass Leute von außen kommen und sagen: Du, ich habe da was gesehen, ich muss dir mal helfen. Jeder Mensch hat eine Autorität, wie er sein Leben gestaltet und kann sagen: Ich will jetzt einfach nicht mehr dieses und jenes. Ich habe die Schnauze voll von Schuldnern und von Menschen, denen ich etwas schulde. Ich will ordentlich behandelt werden. Diese Menschen brauchen eine offene und klare Begegnung, ein echtes Wort. Wir sagen bei uns eine Nächstenliebe, die es ehrlich meint, eine Liebe, die auch Wahrheit und Gerechtigkeit mit ins Feld führt. Deswegen versuchen wir auch, ehrliche und klare Gespräche mit diesen Menschen zu führen, damit sie zur Quelle ihrer Kraft finden. Das Interview führte Katharina Geiger.'' [https://www.domradio.de/themen/soziales/2020-09-11/jeder-mensch-hat-autoritaet-ueber-sein-leben-franziskustreff-stiftung-fuer-offene-begegnung-mit?fbclid=IwAR3PNJZm4h2mPoFYNBv7c242UX1yFdw8Jkl_Gwhzbxq4jZ1GlnvHmyba1bU Franziskustreff-Stiftung für offene Begegnung mit Wohnungslosen "Jeder Mensch hat Autorität über sein Leben"] Domradio vom 11. September 2020. ''Der Franziskustreff: Der Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt bietet wohnungslosen und armen Mitmenschen Frühstück und Sozialberatung an. Täglich kommen nach Angaben des Franziskustreffs bis zu 190 Gäste für die Mahlzeit. Derzeit unterstützen rund 60 ehrenamtlichen Helferinnen und Helfern den Treff. Sie bedienen die Gäste, helfen bei der Vorbereitung des Frühstücks und beim Abwaschen und Aufräumen. Eröffnet wurde der Franziskustreff 1992 von Bruder Wendelin Gerigk am Kapuzinerkloster Liebfrauen in Frankfurt am Main. Ihm sei wichtig gewesen, dass es an diesem Ort immer einen offenen Raum für arme und obdachlose Menschen geben möge, schreibt die Stiftung auf ihrer Homepage. Spenderinnen und Spender unterstützen seither das von Bruder Wendelin gegründete Werk. Derzeit steht Bruder Paulus Terwitte der Stiftung vor und Bruder Michael Wies leitet den Treff. (DR/ Stand: 11.09.2020)'' --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:41, 13. Sep. 2020 (CEST) == OSTRALE == [https://pieschen-aktuell.de/2020/ein-kunstgarten-fuer-uebigau/ Ein Kunstgarten für Übigau.] Pieschen aktuell 6. November 2020 von Elisabeth Renneberg Bild: Die Ostrale hat dieses Jahr Haus und Garten in Übigau bezogen. Alle Fotos: E. Renneberg Dieses Jahr ist die Ostrale, das Zentrum für zeitgenössische Kunst, nach Übigau umgezogen. Das ehemalige Atelierhaus von Eberhard Bosslet an der Rethelstraße beheimatet nun eine Menge Kunst nebst Werkstätten, Büros und einer Künstlerwohnung. Dahinter erstreckt sich eine Grünfläche, die nicht nur auf die Elbe hinausblickt, sondern auch auf eine spannende Zukunft. Hier soll ein ökologischer Garten entstehen – als sozialer und kultureller Ort. Bild: Momentan ist der Garten noch wild und naturbelassen. ;Diskurs über Nachhaltigkeit Das Konzept dafür wird gemeinsam von Umweltexperten, Künstlerinnen aus verschiedenen Ländern und Menschen aus dem Stadtviertel erarbeitet. Letztere einzubeziehen ist ein wichtiges Anliegen des Projekts; das Mitgestalten des eigenen Lebensraums wird so zum demokratischen Prozess und lässt Raum für persönliche Bedürfnisse. Der erste Schritt war daher, an die Türen in der Nachbarschaft zu klopfen und Kontakte zu knüpfen. Auf diese Weise konnte zum Beispiel die Stadtentwässerung Dresden als Kooperationspartnerin gewonnen werden, die über wertvolles Fachwissen rund ums Thema Wasser und dessen Bedeutung für die Umwelt verfügt. Bild: Direkt an der Elbe liegt der zukünftige Kunstgarten. Für die Verbindung der Themen Nachhaltigkeit und Kunst ist ein Team aus einer deutschen und einer tschechischen Künstlerin sowie je zwei Studierenden der Kunsthochschulen in Dresden und Breslau zuständig. Sie machen sich unter anderem Gedanken über Ressourcen, wie etwa die Farbe zum Malen natürlich gewonnen werden kann. Die Ergebnisse ihrer Recherchen und Ideen geben sie in Workshops weiter an Kinder aus dem Kinderhaus Sonnenschein – auch ein durch Anklopfen zustande gekommener Kontakt. Zwei Workshops konnten bisher stattfinden und sind auf allgemeine Begeisterung gestoßen. ;Eine Verbindung zwischen Kunst und Sozialem „Es ist uns wichtig, von Anfang an ein Gefühl der Zugehörigkeit und der persönlichen Verantwortung zu vermitteln“, erklärt Projektleiterin Giulia Deidda. Die gebürtige Italienerin stieg ursprünglich als Bundesfreiwillige ins Team der Ostrale ein und ist mit vollem Einsatz dabei. Aufgewachsen in einer Kleinstadt mit historischer Ausgrabungsstätte an der sardinischen Küste, entdeckte sie schon früh ihre Liebe zur Kunst und widmete sich zunächst der Archäologie. Im Laufe der Zeit wurde dann der Wunsch, Kunst und Soziales zu verbinden, immer lauter. Bild: Giulia Deidda leitet das Projekt mit Begeisterung und Elan. So zog Giulia in die Niederlande, um dort soziale Inklusion im Kulturbereich zu studieren. Nach dem Leben in sieben unterschiedlichen Ländern ist sie mittlerweile in Dresden gelandet. Ihre Leidenschaft hat sich erhalten: „Mein größter Wunsch ist es, Kunst allen, und wirklich allen, zugänglich zu machen.“ Für das Ziel, die klassische Zielgruppe aufzubrechen, ist die OSTRALE die richtige Adresse, sieht sie in der Kunst doch das Mittel zur Kommunikation und zur Aufarbeitung gesellschaftlicher Themen. ;Ausblick auf die nächsten Schritte Der Kunstgarten schließlich darf diese Vision mit verwirklichen. Nach dem erfolgreichen Start mit den Kindern sollen immer mehr Anwohner*innen von der Botschaft erreicht werden, dass Kunst für alle da ist. Und natürlich auch mit dem Angebot eines Aufenthalts- und Begegnungsortes, der mitgestaltet werden kann, und an dem langfristig Veranstaltungen wie Workshops, Lesungen oder gemeinsames Kochen stattfinden sollen. Bild: Auch in den Innenräumen ist Platz für Veranstaltungen. Die konkrete Gestalt dieses Ortes ist noch in der Planung. Denkbar ist zum Beispiel ein Barockgarten, mit geometrischen Formen und Skulpturen aus natürlichen Materialien. Das Nutzen vorhandener Ressourcen wie zum Beispiel Sand aus der Elbe. Die Ideen müssen noch überprüft, entwickelt, ausgetauscht werden. Wie gesagt mit dem Augenmerk auf Nachhaltigkeit und unter Einbezug der Nachbarschaft. Anfang Oktober hatte Ostrale-Vorstandsvorsitzende Andrea Hilger das Konzept im Stadtbezirksbeirat Pieschen vorgestellt. Die Beiräte stimmten einer Förderung mehrheitlich zu. Bleibt also, gespannt zu sein, was sich in den nächsten Monaten auf dem Grundstück im beschaulichen Übigau entwickeln wird. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:18, 8. Nov. 2020 (CET) == Eberhard Bosslet == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Eberhard Bosslet]] [[w:de:Eberhard Bosslet]] == Literatur == Menschen ohne Härte, Ellbogen und einen gesunden Selbstschutz, um sich gegen diese immer härter und kälter werdende Welt zu wehren bzw. durchzusetzen ohne die Möglichkeit, einen Schutzwall hochzuziehen Suchstoffe um sich zu betäuben, um den „Seelenschmerz“ nicht mehr fühlen zu müssen „Ritzenz“ dient dazu, sich anders zu fühlen, d.h. sich körperlich statt seelisch zu fühlen seelisch ungeschützter in unserer Mitte sich auf eine innere Nähe zu den Menschen einzulassen, die wirklich z.T. gequälte Seelen sind Egomanen dieser Welt gegen auf Harmonie, einem menschlichen Miteinander gepolte Menschen, die keine Schutzmauer aufbauen können das Gros , das in dieser Welt psychisch überfordert ist vgl. Manfred Lütz „Wir behandeln die Falschen“ „selektiert“ wurde in der Vergangenheit bis hin zur Gegenwart genügend und in allen Bereichen mit dem Ergebnis: der Mensch bleibt auf der Strecke die Evolution der Menschheit ist am Ende, es hat die Evolution des Materialismus begonnen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) Ich meine, meine Bücher sind wirklich! böse, weil sie diese ganze übliche nette gesellschaftliche Verlogenheit und Verkommenheit gründlich demaskieren, indem sie verdammt nah dran an den realen menschlichen Schicksalen sind. Und ich glaube auch nicht, daß es sich wer wagen würde, die zu verlegen - ich übrinx auch nicht, so lebensmüde bin ich nicht. Zum Glück hab ich ob meiner Lebensweise finanziell ausgesorgt und muß gar nix mehr außer sterben. Und dann kenne ich ein weiteres Buch, das wirklich böse ist: Jürgen Vogel: "Magdeburgs Wendehälse. Lexikon der Lügner und Betrüger". Der Autor war 1990 bis 1994 Vorsitzender des Magdeburger Bürgerkomitees und hatte 1991 "Magdeburg, Kroatenweg : Chronik des Magdeburger Bürgerkomitees ; Beobachtungen in der Zeit der Wende zwischen Lüge und Wahrheit" veröffentlicht (nach 1990: "Abgesang der Stasi"). Sein drittes Buch hat niemand mehr verlegt, er wurde aus dem Bürgerkomitee abgeschoben, und die Friedrich-Ebert-Stiftung, welche sein Archiv aufkaufte mit der Zusage der Aufarbeitung, hat als erstes für 60 Jahre den Deckel draufgemacht. Das Buch nenne ich dann mal wirklich pöse - es würde heute noch nicht verkraftet werden, weil immer noch zu viele Wendehälse aktiv sind! https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&reset=true&cqlMode=true&query=auRef%3D102749658X&selectedCategory=any --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:15, 4. Nov. 2020 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3628903430501315&set=a.111717075553319 Meine Gedanken haben mich verlassen. Der Pinsel hat sie weggetragen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626372927421032&set=a.111717075553319 und der Pinsel schrieb Freude ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626370947421230&set=a.111717075553319 und sie fühlte sich selbstverlassen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623995644325427&set=a.111717075553319 werft Worte in die Welt, damit sie dort erblühen können] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623992674325724&set=a.111717075553319 ich will hier raus ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3615247088533616&set=a.111717075553319 Sie haben Euer Denken verriegelt ... ] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3604090076315984&set=a.111717075553319 macht Euch Gedanken, denn sie können fliegen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3601244606600531&set=a.111717075553319 dieser Ort hat keine anderen Grenzen als meine Gedanken] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598497446875247&set=a.111717075553319 wenn ich an meine Eltern denke] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598495936875398&set=a.111717075553319 die Stadt ist ein Wort, der Pinsel schreibt weiter] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:43, 5. Nov. 2020 (CET) == Atompunk == [[File:Сталкеры на привале.jpg|mini|Stalker - Tschernobyl]] [[w:Atompunk|Atompunk]] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/5KgJnV6L6fOfnn7zJHjTs6/41409837b73de7c1c4024424510c493f/76_Shelter_After2_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' bei Fallout] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/1SeUOdsQCoJ5VvGNCSFyf1/0957edcab1fd1dea19da72585fe1a210/76_Shelter_After1_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' II bei Fallout] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) [[w:Picknick am Wegesrand|Picknick am Wegesrand]] 1971 [[w:Stalker: Shadow of Chernobyl|Stalker: Shadow of Chernobyl]] 2007 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:35, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.imdb.com/title/tt0773736/mediaviewer/rm2535426561 Lost in Space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 16:22, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=969560220191143&set=gm.3583128475067470 Marta Kristen in wardrobe wearing a space suit for the 1960s tv series lost in space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:30, 8. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/basw.AbrU_r9vGHo-z_karx2ANGJZqZCGyGSE64dVSxMdVbWi0SJzbI6zMFK5DkovzTd6WRwdpHixH9jkrZvkf2btVYc1PkyHiR9WWLVSpOhOhTJgnyykw5uP6PNxKAraMtgvn4Gwf1gkKNcN8G5MLI5k5E5M/2556004381104383/?opaqueCursor=AbpEfvdUcdzHVE5z6Unv9Jb8PSI92VuSW0qsjVx88LlJSsvDrxL9gDSssK2UdTRFjoDY5tu8GRr_TzHRvdLx2VoW9LkttzbaIZR0XhIrgnPjVcOq0mvNN7_zR7Bq4H9yoDWn-lYoHBg48mdo0zaJy-RcZxVl3bxusgPm0J0vQ4yY6llDaE6zYusB57oPdiVy3e-12jeafiMdTQBCWrKA1EWGuo1WoqSmaCQheqlGz-T4CVGpM7wHAHy1eNPCb4qkZnDy85cL3oBd8nLCAHEx6tSW13Tk2Oz4hcwVz7Tp2RgkLzRVaLKHktEbqISsXcA4i54JEXhzg4C9_T3qOx0-kRnmEdpujxFGBwgmmW1UR5GjjaEbBFq1wRNWuEmR9WuMx1sS3hszrlqRLgIsby8p4oVeHwWQS13ZYz_gmGcz01384AdDHiWVsZh407PGguYaoMMq-Rz5VOPXUId5CsN8ZvOMahqCSUnXvM92iDzR7z1QbFzPfTjPlO9zw7TCTtxb7Yb5FKOBO8k7-NwDxstXiSUNtbMuhmAjN_Ug_N5xbwwGjAwemhypx-0z10UECpq6SZMJ0V8NCdLy7vncYd4loGBqLAxoQrhT_Udzcv1aq4lZqxyScYsQEth5vXa3OK5lsUmZGBIcJRmOoOUqA4kVA38dDvB6SlMxenwhZeSttYJaJMN-Jo9IivE1Dozw2uQPNQFAurmxf1Jojw4xbOttLjQlO2FDXRIsX4vc-LuqlKy4kofkKffUeKUmbohi9fcoftsQ0SGrAIZ-PY38ZP8Phs_iAa0zJ4N42mAG7wcvRIKLmvFnFqdMXGFUNpRdySYlmMsE2OINZlFGRTmXO1kAjxCHMUqmRXW2gl6EGxer1EiPNg atom-punk go-go jazz halloween costume (or every day) ideas #8] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/1029616097076560/ Astronauten-Pärchen] auch eine Idee für die nächste Zeit - aber nicht weiter weg als 5 km von zu Hause, sonst geht die Luft aus [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/837600166278155/ Raucher-Astronaut (Dr. Who)] - Raucher-Maske - sehr Vorteil-Haft für unsere süchtigen Säuglinge unter uns [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/791374787567360/ gelbes Space-Frauen-Kommando mit roten Streifen - unter männlicher Befehls-Gewalt] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/941018669269637/ Silver-Girl im Labor] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/694038930634280/ Heavy Silver Astronautin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/658284810876359/ Weyland Girl] https://en.wikipedia.org/wiki/Weyland#Fiction [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/652535974784576/ Weiße Taucherin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/615008418537332/ Silver Astronautic Paar] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:08, 25. Okt. 2020 (CET) == Photographie == [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2295772393809566/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/68954640_2295772397142899_226081963155390464_o.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=o1bMfM884ukAX9tXvYd&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=8f38ae65e82b5edcbb04f76459d1c66c&oe=602959FB have an idea...?!] - I fuck your brain * [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/703801973006624/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/10600589_703801973006624_962048756325809864_n.jpg?_nc_cat=109&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_tqZPK0GnVsAX-Y0eLn&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7eec14cc6c2e88e8a04eed792dbdf455&oe=60272C91 still the same curves (anniversary remake&reload)] seitlich [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/877898902263596/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12080054_877898902263596_1056407333265845020_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_1-mbP0ptb8AX-FnReH&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180c7826ce94200ffbf0cb43291a70ef&oe=602A4888 all crew members are on service deck] - "Pilotin" *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/853361011384052/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/11836640_853361011384052_1317312222273636789_n.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=-LHNDNWp5I0AX_0qumx&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=f7cb300e18fe7d90fc3a648872812663&oe=60289D63 fighter team] Rückenansicht *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/a.360648453988646/3183274475059349/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/119480868_3183274478392682_4198532599522982186_o.jpg?_nc_cat=111&cb=846ca55b-ee17756f&ccb=2&_nc_sid=0debeb&_nc_ohc=HIa7Uq4NXIQAX-0zCiM&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180cd13ebdc2efca1ea5797f23e6993b&oe=6026766B hangar check] - in der Stratosphäre ist sie sicher vor Corona, die Helm-Nummer "13" sollte zusätzlich helfen [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2875447189175414/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/99257505_2875447195842080_8451893750401073152_o.jpg?_nc_cat=110&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=4vP91s4Xqs0AX8b9Z1F&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=71f3ddd285be9fca24c3be88566bde5d&oe=60269A91 Die Stille der Nacht] - Halskorsett aus schwarzem Leder über Mund und Nase - MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/988286121224873/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/13243780_988286121224873_3083762868739399129_o.jpg?_nc_cat=103&cb=846ca55b-311e05c7&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=isn0T9bKZjIAX8A-9Mv&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=48754a6cbda0068cad72a2e7a921c255&oe=602A0605 roses are the real weapons] (star wars day) Tätowierte mit startrooper helm - hauptsache MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/908425312544288/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12365984_908425312544288_8987609574159828109_o.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=9TeNkoreIRsAX8zhTtN&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=883db11cec295c5424168a9d1da27c3f&oe=602A1F07 256 shades of cathy] in der dusche eingesperrt - https://www.facebook.com/cathleen.sattler [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/181532538566906/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/257974_181532538566906_7525195_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=fZZiQKgTsz0AX8OuhxK&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=e9e2008bb79008684999318b37aad921&oe=6026E2E1 creatures of the night] (danke an wildchild https://www.facebook.com/kleineswirres ) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:31, 16. Jan. 2021 (CET) == Zeichnungen == Das Secret Desire und Michael Kral laden herzlich ein zur Eröffnung der Ausstellung: Freitag, 04.11.2016, 19.30 Uhr Ein akt ist so - natürlich NaCkt ... verhüllt vom N im Negligée ... bezaubernd bis zum Ceh. Im Akt ganz pur zeigt die Natur des Künstlers Können mit Bravour. (Sazu) Ort: Secret Desire, Rothenburger Str 7, 01099 Dresden Die Ausstellung ist vom 04.07.2016 bis zum 04.01.2017 während der Öffnungszeiten des Secret Desire ́s zu sehen. Motiv: Michael Kral, Aktzeichnung, 35 x 25 cm, 2016 https://www.facebook.com/kralartifex/posts/1063220337109301/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:34, 16. Jan. 2021 (CET) == Ruslana Eisenschmidt == [[File:Ruslana-eisenschmidt-disco.jpg|thumb|Ruslana Eisenschmidt bei der Agentur Disco 3000 mit einem Original 3000 T-Shirt. 1999.]] [[File:Silbermond-ruslana-eisenschmidt.jpg|thumb|2001 illustrierte ich die Band Silbermond in Berlin. Dies ist eine Vektorgrafik.]] Ich male den ganzen Tag was ich will... Ich lebe vom Malen. Habe Glück gehabt. Übrigens ist malen arbeiten. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:34, 10. Mär. 2021 (CET) Ich habe eine ganze Kiste voll, mit von mir erfundenen Comic Charakteren... Hier habe ich mal einen "katholischen Schweinepriester" entwickelt und gezeichnet. Er frisst kleine Kinder. * Der frisst Kinder, weil er selbst Angst vorm Leben hat.... Er frisst kleine Kinder, weil er richtig und falsch nicht unterscheiden kann.... * das kommt noch dazu... das sind keine Haare, er hat 4 Teufelshörner! Er ist unfähig sich den Gürtel richtig zu binden. Klick mal das Bild an. Er trägt keine Schuhe, sondern nur eine Strumpfhose, da kann er sich auf leisen Sohlen besser anschleichen.... Eigentlichen male ich nur noch Frauen und Katzen. Da ich da einen eigenen Stil entwickelt habe. Hier habe ich einen Seepferdchendrachen erfunden und gezeichnet. Er wurde von einem Trophäensammler geköpft und an die Wand gehangen, deswegen schnaubt er vor Wut. Ich habe halt ne blühende Phantasie. Ich habe viele Charakters erschaffen. Es sind dermaßen viele, dass ich sie bereits nach Familien sortiert habe. Selbst Comics zeichnen möchte ich nicht. Ich kann aber die Figuren anderen Zeichnern, Zeichentrickstudios oder Spieleentwicklern zur Verfügung stellen. Bei mir sind die Sachen nicht im Kopf. Mein Kopf ist klar. Bei mir entsteht der ganze Unfug erst, wenn ich ein leeres Blatt Papier sehe. Erst kommt ein Auge, dann eine Nase und plötzlich erkenne ich, was das werden soll. Ist jedesmal eine Überraschungsgeburt. ich kann nur zeichnen, wenn ich locker ran gehe. Aus therapeutischen Gründen könnte ich das nicht. Da würde mir nichts einfallen, da ich im Inneren aufgeräumt, aber nach Außen hin chaotisch bin. Für meine Seelenpflege ist da nicht der Zeichenstift, sondern meine Psychologin zuständig. ein Abgrenzungsproblem ist das nicht, sondern das Langzeitgedächtnis speichert Erlebtes besser, wenn es mit Gefühlen verbunden waren. * Ja Du sagst es. Die Gefühle waren dermaßen intensiv daß sie sich mir eingebrannt haben. Das Abgrenzungsproblem war damals Ich ließ sie vieleicht zu nah an mich ran phatetisch an mein Herz. Ich distanzierte mich nicht. So ist das gespeicherte immer präsent. Die Trennung nicht gänzlich vollzogen. So meinte ich das. Das mit den Trennungen ist sowieso etwas seltsames. Das kann keiner begreifen, wie und warum der Mensch das macht...Auseinander gelebt, sich weiter entwickelt, Bindungsangst, komische Sachen gemacht...Der Mensch an sich ist schwach..wir alle sind das... * Hat man Dir das so IN ALLER LIEBLOSIGKEIT gesagt? Diese Erklärungen tragen nicht sehr weit. Ich weiß. Genau richtig gesagt: man begreift es nicht. Nicht vorher, nicht während und erst recht nicht danach. So klar man im Nachhinein auch fälschlicherweise oft denkt: "Ach so. Ist ja ganz klar.Wegen diesem und jenem" Wir wissen daß das nicht stimmt und können doch nicht anders, weil man das sinnlose nicht einfach kapieren und akzetieren kann. Erklärungen wie: "na ja, die hat eben die vielen anderen Männer als Möglichkeit nicht ausschließen wollen, die hat eben keine richtige Beziehung gewollt", was wird noch gerne genommen? Ach ja, "am Alltag gescheitert" etc. Alles um es wegzuerklären und um es in die Schublade ablegen zu können. Gesunde Einstellung, aber... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:05, 31. Mär. 2021 (CEST) https://www.facebook.com/profile.php?id=100019492082821 Suche Wohnung ausschließlich in Ostberlin/Mitte ab Sommer 2021. Unbefristet, kann auch klein sein, Warmmiete bis 700 Euro * maximal 1 Zimmer in einer WG Das ist lieb, doch ich brauche was eigenes. Danke nochmal. * 700,- ??? Na viel Spaß * Mitte Neubau der Quadratmeter 20 EUR nettokalt. Altbau wird wegen Mietendeckel-Entscheid überhaupt nicht mehr angeboten. Und dann bei Privaten auch nur im Netzwerk. Gönnt Dir Keiner was;-( * für 700,- kriegste in Mitte grad mal‘n Zimmer ! Ich suche was Eigenes. Ich möchte zurück nach Ostberlin Mitte. Dafür gebe ich eine große Wohnung in Jena auf. * 700 Euro Warmmiete ist aber inzwischen in Berlin ganz schön optimistisch. ich weiß. Noch könnte ich Glück haben. Ich habe mal ein halbes Jahr in Paris gelebt. Berlin entwickelt sich immer mehr in Richtung Paris. Und Paris lebt einem die hohen Mieten vor. * und New York. 😂 Gut, daßduda wechbist. ab 20 m2 Ich suche Rosenthaler, Torstr., Linienstr. Ich meine konkrete Straßen in Ostberlin, weil das Jugenderinnerungen für mich sind. Alles rund um den Alex ist ideal. Mit Moabit hatte ich nie etwas zu tun. * ich bin von Berlin schon vor zwölf Jahren WEch WEgen dem Mieten-WAHNSINN - dort braucht mensch einKOMMEN zum ausKOMMEN - lebte SO 36 über dem "Trinkteufel" bei Christian Herwartz (Exerzitien auf der Straße) https://www.strassenexerzitien.de/ Ich ziehe dieses Jahr noch zurück nach Berlin. Ich will ausschließlich Ostberlin Mitte, da fühle ich mich wohl, da habe ich meine Jugend verbracht und nur dorthin will ich. Bin auf Wohnungssuche. Ich will unbedingt mach Ostberlin, Mitte...Da explodieren gerade die Mieten wie in Paris. Wird also vorerst nur was Kleines werden. *Irgendwann will man keine Kompromisse mehr machen und vielleicht nach Hohenschönhausen oder weiß der Geier wohin ziehen wg billiger. Obwohl Du doch eigentlich da hin wolltest wo die eigene Jugend stattfand. Nach O. Berlin Mitte. * kann ich nicht mitreden - hatte die meiste Zeit (Ost)Berlinverbot ([Ost]Berlin - die Nebenstadt der DDR) Mir geht es nicht um günstige Mieten, denn die habe ich ja jetzt. Nach Berlin ziehe ich in ein ganz bestimmtes Viertel. Ich will ganz bestimmte Straßen, da das meine Jugenderinnerungen sind und mich aufblühen lassen. ich bin Single, weil ... mein Hintern ist zu groß * Und du glaubst wirklich,daß Männer NICHT darauf Stehen?Was für "Männer" kennst du denn?Wohl eher Würstchen,die sich nicht trauen,zu ihren wahren Vorlieben zu stehen.Hunde wollen Knochen,Wölfe wollen Fleisch! * entscheidend ist eher, wie weit du (mit)gehst arbeiten gehen muss * muß? - ist für mich ein ToTAL verALTeTes Wort Kapuziner im Cafe de la Paix, Paris, 1952. Photo by Georges Dambier. Tolles Foto..doch gebe man der Dame bitte was zu essen. * meine Oma lief ab 1940 im Pariser Chic herum ... Gut, dass ich nie geheiratet habe... Japanische Tradition * kennich -wahr mahl dort (und dsa-dsen-lehrer wahr ich auch mal, in der ddr, als das noch richtig wichtig wahr) Unterwassergang * könntich stundenlang zuschauen ... leichtbekleidete Bikerinnen * Hauptsache Schutzhelm. Und immer das Visier schließen - wegen Corona-VERordnung. Brennende Kerze wird bestiegen Ich wunder mich auch jedesmal, darüber was es in der Kunst Neues zu sehen gibt. Nach dem Motto: "Die Kunst ist tot, es lebe die Kunst." *Kunst-Bruder Christian Schmidt (SJ) hat über Jahrzehnte eine Kerzensammlung aufgebaut - zT noch origineller * Aufstieg zum Licht - oder zur Erleuchtung, Sieleuchtung ... [[File:Painting of Mata Hari by Isaac Israels.jpg|thumb|Painting of Mata Hari by Isaac Israels, 1917]] Mata Hari photo 1907 * Ein atemberaubendes Kleid Ein atemberaubendes Schlitzohr, so kennen und lieben wir sie *sie hat das Alter nie schmecken müssen (ich war mahl mit der "SchoENeN SExiN" zusammen, die wahr ganz ähnlich) Patientin Ruslana: kann nicht schlafen - du mußt feiern und dich betrinken Viele meiner PROMI Kollegen, wie Kurt Krömer waren bereits in einer Nervenklinik..Wieso interressiert das auf Facebook keine Sau? AUCH MARLENE DIETRICH lies sich behandeln. Sind das alles Verrückte für euch? Als bipolar chronisch Kranke, also: ich bin manisch- depressiv. Muss ich aktuell und frisch nach der gerade erlebten, enttäuschten Liebe sehr um mich kämpfen. ÄRZTE..PSYCHOLOGEN..UND MEINE FREUNDE kämpfen gerade um mich. Mir geht es nicht gut. Witz Kommentare sind hier unerwünscht, denn diese Erkrankung ist nicht heilbar und die Selbstmordrate liegt bei über 30% Ich habe ne ABC- Schutzmaske endlich kann ich die mal aufsetzten *sicherheitshalber auch noch den Vollschutz-Anzug habe ich da. * dacht ich mir schon - sicher ist sicher ... Bartclubs, Bartmeisterschaften ... Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. * Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1364217717267517&set=gm.3544231839016781 Atem-beraubend. Vor allem mit schön engen Brust- und Bauchgürteln.] Hier gibt es noch ganz andere Fotos...da habense nix mehr an...doch das wird dann selbst mir zuviel. Ansonsten poste und male ich ja gern freizügige Frauen, ist bei Künstlern seit Jahrhunderten normal. Ich habe früher in den Clubs auf den Lautsprecherboxen getanzt... Nein, es ist nicht einfach so vorbei. Ich habe Liebeskummer und mir geht es nicht gut... [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1155671958211971&set=a.203131063466070 Sophia Loren in schwaarzem Lederkleid mit breitem Gürtel] Alles an ihr ist schön. Eine Augenweide. stand in diesem Out-Fit mal recht hoch auf meiner nach oben offenen Skala (ist allerdings eine Weile her) Ich bin in allen drei Waffen ausgebildet. Florett, Degen und Säbel. Eigentlich gibt es den veralteten, klassischen Stockgriff und den modernen Pistolengriff, der ergonomisch in der Hand liegt. Ich als Künstlerin poste meine Zeichnungen nicht auf Facebook..bekomme aber jetzt von anderen Zeichnungen gepostet..das nenne ich ein gelungenes Produkt Placement.. Bei mir meldet sich oft erst der Bauch, dann das Herz und dann versucht der Kopf noch was zu retten. Glücklicherweise habe ich ein schnelles Hirn...sonst würde ich mit Bauch und Herz nicht klar kommen. Ich wäre dann mit mir selbst überfordert.... Ich habe auch auf Mallorca gelebt. In den 2 Jahren auch viel Leid gesehen. Menschliches und tierisches Leid. Von wegen Trauminsel. Meine beiden Katzen habe ich auf Mallorca bekommen und sie dann nach Deutschand mitgenommen. Sie sind beide als Fracht geflogen. Auf dem Flughafen haben die Spanier sie wie Gepäck einfach in einen halben Meter tiefen Schacht geworfen. Ich bleibe sonst lange ruhig, aber da bekam ich einen Tobsuchtsanfall und habe wüst die Flughafenmitarbeiter auf deutsch beschimpft. ich unterhalte mich auf Facebook nie privat. Nur öffentlich. Das ist ein Grundsatz von mir. Auch liegt nichts an meiner Herkunft, sondern eher an meinem Charakter und meiner fröhlichen Art. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3753838501401735&set=gm.1050564075468125 corona-schlafzeug] Ein Träumchen....😂 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:56, 3. Apr. 2021 (CEST) == Gumina Jasmin == nunja, ich war der letzte Partner der damals edelsten und schönsten Sexin - noch früher persönliche Sekretärin des Reichsbahn-Präsidenten in Dresden, verkuppelt mit dessen Fahrer, ZV-Schlampe der Oberoberoberklasse - vom Feinsten, absolut High End, Edel-Escort, von Geburt an Probleme mit der Halswirbelsäule, deswegen schmerz- und schlaftablettensüchtig ab Mitte 20, Buchspeicheldrüsenkrebs (ein Onkel von mir war ZV-Ausbildungsleiter im ZV-Lager Bernburg, schluckte auch zu viel davon - unter Tage im Steinsalzbergwerk - brach mit 37 zusammen und starb daran mit 51), Whipple-OP mit 45, auf Morphium hochdosiert, von der Medizin abgeschrieben, ihr Mann brannte mit der Pflegerin durch, wollte sie nicht totpflegen, in die Palliativstation St. Joseph-Stift hier in Dresden eingewiesen mit 52 - sie hatte mir schon ihr schönstes Kleid ausgesucht, in dem sie beerdigt werden wollte, die Urne auch - beides lackschwarz und mit roten Rosen - und dann war ihre Liebe zu mir stärker als Schmerz und Tod, da war noch zu viel süßes Leben ungelebt - ich habe ihre ungeheuren Schmerzen in ungeheure Lust transformiert - und sie hatte noch weitere elf absolut tabulose Jahre, dem Tode abgerungen - mit 63 erneut Krebs - gestreut bis in die Lunge - wieder Chemo, wieder edle Perücken aller Coleur, Sauerstoffmaske statt früher Latex- und Gasmasken etc. - nach sechs Monaten der Tod (das Leben wiederholt sich nicht): "mir geht es schlecht" hat sie nur ein einziges Mal gesagt - das waren ihre letzten Worte vor dem Koma - beerdigt wurde sie in lackrot, der Farbe der Liebe, unserem Lieblingsoutfit (darunter rotes Latex als nahtlose Unterwäsche) - die Urne blieb gleich - so eine rote Urne gab es nicht - sie sah noch beim letzten Spaziergang im Rollstuhl aus, wie ich sie kennengelernt habe - mit langer, blonder Perücke, in Lack und Latex, wunderschön wie Mitte 40 - sie hat das Alter nie geschmeckt, und es war wohl besser so für sie (sie ging nie ungeschminkt, ungestylt und ohne High Heels raus - nie nie nie, nur ich kannte sie auch abgeschminkt und voller OP-Narben) https://www.josephstift-dresden.de/kliniken-und-einrichtungen/palliativmedizinonkologie/klinik/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 12. Mär. 2021 (CET) mann muß sich nur zu helfen wissen - diese Ersatz-Atembeutel kenn ich von der Ostzone, ZV-Frauenlager, als "Strafe" für verfehlte Normen (lange Handschuhe) der ANzug sitzt mehr als ANGEGOSSEN - sie sieht aus wie einGEGOSSEN --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:38, 12. Mär. 2021 (CET) nur drei kleiderschränke voll? meine gumina jasmin hatte zusätzlich noch speicher und keller voll, und das ehemalige kinderzimmer nur für extravagante schuhe und (overknee)stiefel - alles für den "erlesenen geschmack" - alles, was das herz begehrt --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:16, 16. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=126742722767970&set=a.106686318106944 70s] * Da darf Mann sich schon mal umdrehen. ** darfste, wenn du Single bist.. * Das waren noch Frauen damals ... ** heute gibt es den gleichen Frauentyp nur die Klamotten sind anders. * Scheint kalt zu sein... ** ficht so einen heißen Feger doch nicht an - ich kenn die Jahre ... die haben auch mir den Kopf verdreht - MILF, und ja, da war ich noch jungk und ledig ... * es gab noch weitaus heißere Feger ... hab ich nicht vergessen * Man denke nur an Jane Fonda in Barbarella ... ** zB - aber ich meine die "Straßenfeger", die nach 68 häufiger und mutiger wurden ... war mit so einer (geb. 1949, gest. 2012) jahrelang zusammen, die war mutig bis zum Schluß, hat sich nie wieder verkrochen, was auch für Mode-Diktat aufkam RIP --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:32, 18. Apr. 2021 (CEST) == Glamouröse Exzentriker == [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10218687693644988&set=g.913747702065221 übergroße Plastikballonmaske] [https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=1266457367084337&id=100011602571613&notif_id=1615101090170179&notif_t=feedback_reaction_generic&ref=notif Die neuen FFP5 sind da (weiße geschlossene Ledermaske)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276827688702/ silberne Astronautin mit schwarzen Handschuhen und Glaskugelhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276717688713/ schwarze Latexastronautin mit Glaskugelhelm und Pistole] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:23, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158202474577830&set=g.913747702065221 Silberglück (Pärchen)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=839169370195157&set=g.913747702065221 Frau schlüpft aus dem Ei (schwarz weiß Vintage)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3765574243522575&set=g.913747702065221 nackte Frau mit Mund-Nase-Maske, blau ganzkörpertätowiert, aufgemalte Lunge] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158144847772830&set=g.913747702065221 Frau mit großer durchsichtiger eiförmiger Maske, Portrait, grünlich im Gesicht mit knallrotem Lippenstift] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3213043045490533&set=g.913747702065221 rotes Latexkleid bis über den Kopf] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1311464692536583/ schwarz-weißes Latexknast-Kostüm mit Regenschirm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3239138999488685&set=g.913747702065221 silberne Hose, halber silberner Umhang, Brustschmuck] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3235899606479291&set=g.913747702065221 silbernes Gesicht, silbern funkelnder Anzug] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1264837057199347/ Frau auf einem Anker schwebend] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:55, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1248731512143235/ Frau als Batman (rauchend)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1225554634460923/ Dior - schwares Latex bis unter die Nase, weißer Pelz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157690485847830&set=g.913747702065221 braunes Lederkostüm mit Handschuhen und großem Hut - durchbrochen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216494985366888/ silbertropfendes Gesicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216495685366818/ silberne Fingerkuppen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216496045366782/ silberspiegelnde Lippen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1211491712533882/ schwarz weiß karierter Latexmantel + -strümpfe (kleiner kariert)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157561517477830&set=g.913747702065221 blaue farbe läuft aus der nase auf die Lippen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157540153992830&set=g.913747702065221 silbernes gesicht - plastiktüte gesichtsoffen - blauer regenmantel (portrait)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157538451092830&set=g.913747702065221 fesselstifel mit knoten am absatz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157526850842830&set=g.913747702065221 latexnonnen mit schlangen] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2906592829409972&set=g.913747702065221 Perlenhaar mit latexkleid und perlenarmbändern] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464369869950/ edelgas-maske] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464949869892/ edelgas-maske mit lederhandschuhen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464689869918/ edelgasmaske schlicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1142273822789005/ ägyptische göttin mit schwarzem tierkopf und blauem langen plastikkostüm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2800059703396619&set=g.913747702065221 violette perücke, gelbe riesige ohrgehänge, gelbe riesige plastikbrille, latexmantel in schwarz] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1115099548839766/ zwei frauen ziehen entgegengesetzt an einem zopf] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=497839764235972&set=g.913747702065221 COCO CHANEL - überlange, übergroße Lederhandschuhe] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2194866524141642&set=g.913747702065221 motorradmietze mit kätzchenmotorradhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1094982130851508/ rotlederne boxerin] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174612871831&set=g.913747702065221 corona-kaffee in schwarzem latextotal und zeitung] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174409538518&set=g.913747702065221 latexmaid in schwarz mit weißem häubchen und weißer schürze gießt milch über sich] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:26, 7. Mär. 2021 (CET) == Literatur 2 == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Literatur 2]] === Paul Rheinfels === === Anais C. Miller === ===Valeska Réon=== == Casanova Verlag == Gudda Behrend: ''Aus dem Tagebuche einer Sünderin.'' Casanova Verlag Willy Saalfeld Berlin W 30 ca. 1920, 8°, 96 S., Halbleinen (Sittengeschichte, Erotik) [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuche-einer-S%C3%BCnderin/id/A01y6dv201ZZy 22 Euro im Abrahamschacht-Antiquariat Schmidt, Frau Iris Schmidt, Schachtweg 16, 09599 Freiberg] * [https://schmidt-auktionen.de/12_katalog_online.php?nr=14&page=28 Schmidt Kunstauktionen Dresden 1. 12. 2007]: [https://schmidt-auktionen.de/12_artikel_details.php?nr=14&knr=504 504 Willy Saalfeld, Akt. Um 1920. Bromsilberabzug. Ungelaufene Fotopostkarte. Leicht bestoßene Ecken. 8,8 x 13,8 cm. 60 €] * Ebenfalls bei [https://books.google.de/books/about/Aus_dem_Tagebuche_einer_S%C3%BCnderin.html?id=tXa9uQEACAAJ&redir_esc=y A. Juncker, 1910 - 105 Seiten] 1880 Født: 06-07-1880 1900 Se også gift med William Behrend Behrend, William 1901 Debut i bogform: En synderinde, blade af en dagbog (roman) http://www.litteraturpriser.dk/aut/BGuddaBehrend.htm (1880-1946) *Behrend, G.: En Synderinde (1901, roman) *Bog Behrend, G.: Hedvig Holcks Vandreaar (1903, roman) *Bog Behrend, Gudda: De ensommes Stræde. ♦ Gyldendal, 1922. 138 sider. Pris: kr. 5,75 (1922, roman) anmeldelse Bogens Verden, 1922, 4. Aarg., side 276 [Anmeldelse, signeret: K.K.N.]. https://danskforfatterleksikon.dk/1850bib/BGuddaBehrend.htm Hedvig Holcks Vandreaar - [https://books.google.de/books/about/Hedvig_Holcks_Vandreaar.html?id=ukn4xAEACAAJ&redir_esc=y Neuauflage Veröffentlicht 2019] Übersetzung ins Deutsche von [[w:Mathilde Mann|Mathilde Mann]] (* 24. Februar 1859 in Rostock als Mathilde Charlotte Bertha Friederike Scheven; † 14. Februar 1925 in Rostock - deutsche Übersetzerin und Lektorin, insbesondere für Nordische Sprachen): Gudda Behrend: Aus dem Tagebuche einer Sünderin, Berlin [u. a.] 1902 * Axel Juncker, Berlin, Stuttgart 1902, Broschur, 105 + 3 S. [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuch-einer-S%C3%BCnderin-Autorisierte-%C3%9Cbersetzung-von-Mathilde-Mann/id/A026x3z201ZZe 54+6 Euro im Antiquariat Weinek, Frau Dr. Elisabeth Weinek, Uferstrasse 8, 5026 Salzburg] ** Autorisierte Übersetzung von Mathilde Mann 8° 105 S. S. Einband: Original im Jugendstil illustr. Halbleineneinband [https://www.abebooks.de/servlet/BookDetailsPL?bi=22386118048&cm_sp=collections-_-747FHNEcCbe1N23CgE8jgR_item_1_10-_-bdp 19,63+2,20 Euro] in: Altmärkisches Antiquariat, Lars Flick (Inhaber), Sandstraße 50, 39638 Gardelegen En Synderinde: Blade at en Dagbog Gudda Behrend - [https://books.google.de/books/about/En_Synderinde.html?id=qUB-oAEACAAJ&hl=en&output=html_text&redir_esc=y 1901 - 148 pages] Der deutsche Casanova - In 3 Bänden komplett - Johann Conrad Friedrich - Vierzig Jahre aus dem Leben eines Toten - Der Memoiren 1. Teil 1789-1806 - 2. Teil 1806.1810 - 3. Teil 1810-1830 - Im Originalkarton Taschenbuch – Insel, 1991, von Johann Konrad Friederich (Autor), Friedemann Berger (Herausgeber) [https://www.amazon.de/deutsche-Casanova-Friedrich-1789-1806-Originalkarton/dp/B0026L0E4I 18 Euro] gebundene 1. Auflage Egon Fleischel & Co, Berlin 1915, OLeinen, 8°, XV; 418; IX; 452; IX; 440 Seiten Fraktur, Lesebändchen, Kopffarbschnitt [https://www.amazon.de/gp/offer-listing/B0026L0E4I/ref=dp_olp_ALL_mbc?ie=UTF8&condition=ALL 45+3 Euro] "Der deutsche Casanova" Fahrten und Liebesabenteuer nach den Memoiren eines deutschen Offiziers im französischen Heere Napoleons I. mit 32 Illustrationen von Hans Speidel und und Max Erich Nicolas, hrsg. von Max Bauer, Eigenbrödler Verlag, Berlin W 8 ca.1925 / Hrsg.: Max Bauer / Speidel [https://www.ebay.de/itm/Der-deutsche-Casanova-Eigenbrodler-Verlag-ca-1925-Hrsg-Max-Bauer-Speidel/124437184812?hash=item1cf908c12c:g:JVUAAOSw7Wxdyw1y 28+6,50 Euro] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:30, 20. Nov. 2020 (CET) == Verlage == Ich hätte bereits drei Verlage gefunden, wo mein Buch gut ins Verlagskonzept passen würde. Allerdings finden sich bei besagten Verlagen auch Werke, die unlektoriert wirken, was mich dann doch eher abschreckt, mein Buch dort einzureichen. - Mir war es wichtig, ein Buch mit einer Story zu schreiben und nicht nur Sexszenen. Allerdings ist es auch mein erstes und braucht ganz sicher noch Profis, die es sich ansehen. aus dem Anais bzw Schwarzkopf Verlag kenne ich Bücher, die ganz normal lektoriert wirken. Und Schlagzeilen. Seitenblick gibt es leider nicht mehr Schlagzeilen oder Elysion - bei den kleineren Verlagen zögere ich selber, weil mir das mit dem mangelnden Korrektorat auch aufgefallen ist ich habe aber die Erfahrung gemacht, dass Verlage die sich nicht auf BDSM spezialisiert haben, oft gar kein Hardcore annehmen. Oder gnadenlos zensieren Ich habe, bevor ich mein aktuelles Romanprojekt anbot, für ein privates Lektorat gezahlt und zahle auch das SensitivityReading. Klar. Das ist eine Menge Geld, alles in allem, aber hey, die Kohle war gerade da. Wenn ein Verlag kein Lektorat bietet, lasse ich trotz meiner Bereitschaft zur Eigenleistung die Finger davon, dort zu veröffentlichen. Lektorat und Korrektorat gehören einfach dazu, ein Verlag, der das nicht leistet, passt schlicht nicht in mein Beuteschema. Falls Elysion-Books noch nicht auf der Liste war ... Lektorat und Korrektorat ist logischerweise dabei, Bücher sind überall zu beziehen und liegen auch im Buchhandel und im stationären Handel... Klingt auch sehr interessant und kommt definitiv auf meine Liste. Allerdings bin ich nicht sicher, ob das Ende meines Buches als Happy End aufgefasst werden kann. Aber vl passt es ja bei einem anderen Buch. Bist herzlich eingeladen, dich mal bei uns beim Tribus Verlag zu melden, wenn du möchtest. Versuch es doch einmal bei konkursbuch Verlag Claudia Gehrke. Sie hat ein sehr weit gefächertes Programm, kümmert sich sehr engagiert um die Vermarktung und ist ausgesprochen fair. www.konkursbuch.com Mir geht es nur darum, eine Liste von möglichen Verlagen zu erstellen, sodass ich nicht immer wieder aufs Neue alles durchforsten muss. Leider findet man Verlage für dieses Genre nicht so leicht. BDSM allein ist ja nun wirklich schon fast Mainstream. Du könntest es auch beim charon Verlag versuchen, der neben den "Schlagzeilen" auch Bücher herausgibt. https://www.schlagzeilen.com/ Probier mal bei Letterotik.de. Ich rate zu einem Pseudonym. Habe selber 4 Aliasnamen. Es werden auch stärkere Formate veröffentlicht. Frag einfach mal nach. Ansprechpartnerin ist Frau Baer. Lektorat ist für mich okay, Kommunikation erstklassig, Covergestaltung ansprechend. mir wurde auch gesagt, dass der Verlag im Moment neue Manuskripte nur auf Empfehlung annimmt. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:42, 16. Mär. 2021 (CET) == Hersteller == urinbless.com human skin mask set ulsula.com the elder silicon headgear --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:01, 30. Dez. 2020 (CET) https://www.facebook.com/Rubbersisters/ The ultimative female transformation Moniquin Anzug Fem Mask [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/432851523438466/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/171946_432851523438466_959953674_o.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=LjLdttsoeFkAX8ITABj&_nc_oc=AQkIqnkRCGPeWkUJPRiSN8TJCO74W3R9buFkLYiobloBLy2aLh7X_r_xnese5OPch1gwfjJbWRdqhu32Z_RlKne4&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=f9be2e1d84f0ace64aad564fc7517fcf&oe=601AAE0A inflatable doll suit now in skin matching colour!] - This is exactly what I am looking for! I have to become a latex sex doll, it is my ultimate fantasy (Genau das suche ich! Ich muss eine Latex-Sexpuppe werden, das ist meine ultimative Fantasie) - I dream of owning one of these outfits someday! (Ich träume davon, eines Tages eines dieser Outfits zu besitzen!) - God that is hot. (Gott, das ist heiß.) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/537678542955763/ FB] = [https://scontent-frx5-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/397440_537678542955763_1225667219_n.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=174925&_nc_ohc=eIYd8bA0ZmgAX-fLdfr&_nc_ht=scontent-frx5-1.xx&oh=804f110a097401114ae342bc2df93158&oe=601C4FFF Dita - the new female mask] [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/531192290271055/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/935757_531192290271055_860385658_n.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=nRCKulIU87gAX8895Px&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=d7e14b49baa3789dad0e9f9b4e42548d&oe=601CEB06 "Dita" Mask] We are pleased to announce, that we are just did the final touches to our new “Dita” Mask. We are now offering this fantastic looking female mask with interchangeable eyes. The mouth is slit open and has red lips. These very realistic looking female mask made of high quality silicone is absolutely comfortable to wear. You can use any regular make-up to give this female mask an individual look. Get more details at our online shop www.2nd-skin.com or visit us at the Boundcon Fair from 24-26.05.2013 in Munich or doring the German Fetish Weekend from 18-20.05.2013 in Berlin. Yours Rubbersisters Monica & Jacline (Wir freuen uns, Ihnen mitteilen zu können, dass wir gerade den letzten Schliff für unser neues Produkt gemacht haben "Finger" Maske. Wir bieten jetzt diese fantastisch aussehende weibliche Maske mit austauschbaren Augen an. Der Mund ist aufgeschlitzt und hat rote Lippen. Diese sehr realistisch aussehende Frauenmaske aus hochwertigem Silikon ist absolut angenehm zu tragen. Sie können jedes normale Make-up verwenden, um dieser weiblichen Maske ein individuelles Aussehen zu verleihen. Weitere Informationen erhalten Sie in unserem Online-Shop www.2nd-skin.com oder besuchen Sie uns auf der Boundcon Fair vom 24. bis 26. Mai 2013 in München oder am German Fetish Weekend vom 18-20.05.2013 in Berlin. Eure Rubbersisters Monica & Jacline) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/562349830488634/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/1072175_562349830488634_520819894_o.jpg?_nc_cat=106&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=AnitAk8nXbMAX-8Bcxz&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=dc866b047bedb1724a80af21e3b101ec&oe=601ACA3E New video clip is online] at http://www.2nd-skin.com Monica is wearing the Petra mask and Betty is wearing the Gloria mask - Sorry video clip is online at http://www.rubbersisters.com - sehr schön. wie fühlt man sich, wenn man so nett aufgebleaen wird? (mit rotem Fesselsack) https://www.2nd-skin.com/de/18-frauenmasken [https://www.2nd-skin.com/de/kleber/17-skin-adhesive.html Hautkleber] - Dieser zweitkomponenten Hautkleber ist geeignet für alle prothetischen Silikonprodukte (keine PU-umhüllten Prothesen) die vorübergehend auf die menschliche Haut geklebt werden sollen. Das richtige Mischungsverhältnis ist 1 Teil A + 1 Teil B nach Volumen. Sie können auch Puder-Makeup in die A-Komponente mischen, damit es farblich Ihrem Hautton entspricht. Um die Prothese wieder zu entfernen, schälen Sie diese langsam von der Haut ab. Menge: 2 x 50 Gramm --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 7. Jan. 2021 (CET) === Dresden === https://lldesaxe-fashion.de/impressum Maik Richter Lohrmannstraße 20 01237 Dresden Deutschland Tel.: +49 (0) 351 281 34 49 Fax: +49 (0) 351 281 34 49 E-Mail: info@lldesaxe-fashion.de --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:33, 16. Jan. 2021 (CET) ''LLdeSaxe Fashion wurde am 13.01.2012 gegründet. Die gemeinsame Leidenschaft für Latexmode verband meine Frau und mich jedoch bereits seit vielen Jahren. Bei der Auswahl und Individualität der Latexbekleidung waren wir als Kunden jedoch bisher immer recht eingeschränkt. Wir stießen mit unseren Bestellungen bei anderen Herstellern regelmäßig an die Grenzen, da unsere Wünsche nicht umgesetzt werden konnten oder auch wollten.'' ''Dies sollte sich 2011 nach unserem Urlaub bei einem befreundeten Schweizer Latex-Liebhaber ändern. Hier lernte meine Frau die ersten Handgriffe im Umgang mit der Herrstellung von Latexkleidung kennen. Das ganze ergab sich völlig spontan aus dem Gespräch heraus. Wir lauschten ganz gespannt den Erzählungen unseres Freundes, als meine Frau neugierig fragte, wie denn nun die Herstellung von Latexbekleidung konkret funktionierte. Unser Freund bot daraufhin an, sie in sein Atelier mitzunehmen und ihr ein paar Tricks und Kniffe zu zeigen. Meine Frau war sofort Feuer und Flamme und so zogen sich beide zu einer Einarbeitungsschulung zurück.'' ''Sie fand sofort gefallen am Latexschneidern und so kauften wir bei unserem Freund einen größeren Posten an Latex Meterware ein. Zuhause angekommen, machen wir uns sogleich an die Arbeit, die ersten Schnitte und Designs zu entwerfen. Nach und nach wurden wir immer besser und unsere Latex Designs fanden sehr großen Zuspruch auf Partys und Verantstaltungen, wo wir zugegen waren. So entstand dann auch unsere erste kleine Kollektion, wozu zum Beispiel dieses Outfit gehört: Damen Blazer „ Ladylike 2012“ und Damen Humpelrock „Ladylike“.'' ''Unsere Latex Bekleidung kam super an und so entschlossen wir uns auch auf einer Modenschau in Nossen im November 2011 unsere Bekleidung zu präsentieren. Im Januar 2012 gingen wir dann den nächsten Schritt und haben uns mit LLdeSaxe Fashion selbstständig gemacht.'' ''Im Sommer 2012 sind wir zu unserem ersten Internationalen Auftritt in die Schweiz gefahren - In das schöne Berner Oberland nach Oensingen.'' ''Hier fand zum einen unser erstes professionelles Fotoshooting auf der Burg Neu-Falkenstein statt. Zum anderen haben wir unsere Latex-Design einem internationalen Publikum im Rahmen einer Modenschau vorgestellt. Hier wurden unsere Kreationen begeistert aufgenommen.'' ''Mitte des Jahres haben wir uns dann entschlossen, unsere Bekleidung fortan auch im Internet zu präsentieren – Zunächst auf einer kleinen, selbst erstellten Website. 2015 folgte dann der Umzug zu WEBneo um unsere Latex Outfits auch professionell online verkaufen zu können.'' ''Seit 2014 sind wir auch regelmäßig auf internationalen Modenschauen mit Präsentation und Verkauf vertreten, wie auf der Fetish Evolution in Essen (2014) und der Messe BoFeWo (2015).'' ''Seitdem arbeiten wir jeden Tag an unseren Kernkompetenzen und verfeinern unsere Designs, um unseren Kunden die beste Qualität und den höchsten Service bieten zu können.'' https://lldesaxe-fashion.de/wie-alles-begann --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:24, 16. Jan. 2021 (CET) ''Wir sind auf der Suche nach weiblichen Models aus dem Raum Dresden und Umgebung, die uns deutschlandweit auf angesagten Internationalen Fetish Messen als Model und Verkaufspersonal begleiten. Es werden weiterhin jährlich zwei große Fotoshootings mit professionellen Fotografen in Dresden und der Umgebung angesetzt, die zur Vermarktung unserer Produkte dienen sollen. Die Bilder sind sowohl für den Online Shop an sich, aber auch für die Social Media Kanäle, Print und den Digitalen Medien. Alle 3 Monate finden bei einer Abendveranstaltung zudem Team Buildings statt.'' ''Folgende Voraussetzungen solltet du dabei mitbringen:'' *''Du bist zwischen 18 und 35 Jahre alt,'' * ''hast eine Kleidergröße von maximal 36 bis 38'' * ''und bist mindestens 1,55 m groß.'' ''Wichtige Voraussetzungen sind:'' ''Du hast keine Berührungsängste mit Latex Kleidung, bist zeitlich flexibel, teamfähig und zuverlässig. Du kannst sicher posieren und auf High Heels laufen, bist offen im Umgang mit Kunden sowie sprach- und redegewandt. Wenn Du bereits Erfahrung im Bereich Modeverständnis und Styling hast, ist dies von Vorteil.'' ''Wenn Du nun Lust bekommen hast, bei einem innovativen und hochwertigen Latexlabel mitzuwirken, dann bewirb Dich bei uns. Jede bekommt bei uns eine Chance.'' ''Schreib uns eine Mail mit deinen Personen gebunden Eckdaten und stell Dich bei uns vor. Vielleicht gehörst du schon bald zu unserem Team. Wir freuen uns auf deine Bewerbung.'' ''Deine persönliche Vorstellung nach Terminvereinbarung erfolgt in unseren Geschäftsräumen:'' LLdeSaxe Fashion Schandauer Straße 23 B 01309 Dresden https://lldesaxe-fashion.de/werde-model-bei-lldesaxe-fashion vgl. https://www.facebook.com/Becca-de-Saxe-789572294522639/ Fetischmodel bei LLdeSaxe Fashion. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Latex wird aus dem Milchsaft des Kautschukbaumes gewonnen, welcher durch Räuchern und Walzen zu Kautschuk weiterverarbeitet und anschließend durch Vulkanisation zu einem stabilen Material wird. Weltweit gibt es zwar verschiedene Latexhersteller, bekannt sind jedoch vor allem 3 große Latex-Hauptproduzenten. Dabei unterscheiden sich deren Produkte zum Teil erheblich voneinander.'' ''Der Malaysische Rubber bietet zum Beispiel die größte Farbauswahl, enthält dabei aber auch die meisten chemischen Zusätze. Er wird in Asien hergestellt und auch verarbeitet.'' ''Radical Rubber stellt in Großbritannien seinen Latex her, welcher ein Spektrum von ca. 200 verschiedenen Farben bei weniger chemischen Zusätzen bietet.'' ''Wir von LLdeSaxe Fashion hingegen setzen für unsere Latex-Bekleidung auf den Latexproduzenten FOUR D Rubber aus England. Deren Premium-Latex ist nicht nur Fair Trade, es enthält auch so gut wie keine chemischen Zusätze und hat eine sehr hohe Qualität. Dabei bietet FOUR D Rubber mit über 70 Farben auf ökologischer Basis eine sehr große Auswahl. Unsere Latex-Bekleidung ist somit rein biologisch - bis hin zum Latex-Kleber.'' ''Auch wenn der m²-Preis um einiges höher ist, setzen wir aus Überzeugung auf FOUR D Rubber. Schließlich sind unsere Latex-Outfits damit auch besonders langlebig und komplett ökologisch abbaubar. Dies macht sich auch bei der Latexverträglichkeit positiv bemerkbar: Eine Kundin, die bereits eine Latex-Allergie entwickelt hatte, konnte völlig beschwerdefrei unsere Bekleidung tragen.'' ''Das Besondere an dem von uns verwendetem Premium-Latex ist sicherlich die aufgeraute Innenseite, weshalb sich unsere Latex-Bekleidung samtig weich anfühlt und nicht an der Haut klebt. Ein weiterer Vorteil ist die damit verbundene, deutlich geringere Schweißbildung. Nicht umsonst ist unser Motto: „Latex das anzieht“'' ''Die Latex-Produktion'' ''Gefertigt und produziert wird unsere Latex-Bekleidung in unserer Dresdner Manufaktur. Damit findet die Herstellung komplett in unserem Hause statt – Von der Erstellung der Schnittmuster, über die kostenfreie Maßanfertigung bis hin zum Versand. Nach Fertigstellung eines Latex-Outfits nehmen wir mehrere Qualitätskontrollen vor. Anschließend wird das Produkt gereinigt, poliert und anziehfertig eingepackt. Bei der Bestellung von Latex-Anzügen und Latex-Kleidern wird die Ware in einer limitierten Kleiderhülle mit unserem Logo verschickt. Alle anderen Produkte versenden wir vakuumverpackt zu Ihnen nach Hause. Danach heißt es nur noch: Anziehen – Wohnfühlen – Glücklich sein.'' https://lldesaxe-fashion.de/latex-das-material-seine-herstellung-und-verarbeitung --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:46, 16. Jan. 2021 (CET) ''Ende September ist es endlich wieder soweit: Die Bondage-Fetish-World, kurz BoFoWo – Deutschlands größte Messe im Bereich Fetisch und Bondage – öffnet für Szeneliebhaber wieder ihre Tore. Einmal pro Jahr findet sie in Hofheim am Taunus, nähe Wiesbaden statt. Vom 30.09. bis 02.10.2016 präsentieren hier wieder zahlreiche Aussteller ihre Produkte aus Lack, Leder & Latex sowie Kunst, Bücher, Filme und vieles mehr. Abgerundet wird die Messe durch ein attraktives Rahmenprogramm mit Workshops, Lesungen und Performances.'' ''Natürlich dürfen dabei auch wir von LLdeSaxe Fashion nicht fehlen! Mit einem der größten Messestände - ca. 25m² - und unserer größten Präsentationsfläche mit insgesamt 6 Leuten sind wir auch diesmal wieder auf der BoFoWo vertreten.'' ''An 3 Messetagen stellen wir Ihnen exklusiv unsere neuste Latex Kollektion vor. Wir haben aber auch ein breites Potpourri aus nahezu allen Produkten unseres Onlineshops für Sie im Angebot und diese können gleich gekauft und mitgenommen werden. Auf ausgewählte Produkte an unserem Aktionsständer bieten wir Ihnen sogar 10% Messerabatt an!'' ''Neben dem Verkauf steht Ihnen zusätzlich unserer exklusiver Fashion Point zur Verfügung. Am Fashion Point können Sie Ihr individuelles Outfit planen und bestellen. Dies umfasst Beratung, Information und Vermessung. Unser qualifiziertes Team berät sie gern.'' ''Die große Latex-Modenschau am Samstag bildet dann eins DER Highlights der Messe. Wer gern exklusive und einzigartige Latex Kleidung sucht, wird an unserem Messestand sicher fündig werden.'' https://lldesaxe-fashion.de/messe-spezial-die-bofewo-2016 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Unsere Kunden haben es bereits in verschiedenen Bewertungen bestätigt:'' ''Bei LLdeSaxe Fashion genießt der Kunde vollste Transparenz und Sicherheit bei seiner Bestellung. Sie haben die Möglichkeit, sich jederzeit in Ihr Kundenkonto über den aktuellen Status Ihrer Bestellung kundig zu machen. Haben Sie eine Frage zu einem Produkt oder wünschen sich eine individuelle Sonderbestellung? Kein Problem, wir melden uns immer in der Regel innerhalb von 24 Stunden bei Ihnen und erstellen zum Beispiel gern ein kundenorientiertes Angebot für Ihre Sonderbestellungen - Auch von Produkten, die Im Shop (noch) nicht angeboten werden.'' ''Ein Kunde fragte beispielsweise einmal nach einem Dalmatiner-Shorty an, passend zu seiner Latex-Maske, Stulpen und Pfoten. Wir designten also einen passenden Shorty in Weiß, schnitten schwarze Punkte aus und schicken dem Kunden einen möglichen Designvorschlag per Foto. Anschließend kleben wir sein Wunsch-Muster auf und sorgten so für einen echten Hingucker.'' https://lldesaxe-fashion.de/lldesaxe-fashion-kundenzufriedenheit-die-uns-begeistert --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:43, 16. Jan. 2021 (CET) ''Gute Nachrichten für alle Liebhaberinnen und Liebhaber der hochwertigen Latexbekleidung von LLdeSaxe Fashion: Wir haben unseren Fashion Point im Secret Desire in der Dresdner Neustadt für Sie ausgebaut und einen kompletten Stand mit unserer exklusiven Latexkleidung aus unserer Manufaktur installiert. Ab sofort finden Sie hier unter anderem Latex Anzüge, Latex Leggings, Kleider, Catsuits und vieles mehr für Damen und Herren. Natürlich haben wir auch die passenden Latex-Accessoires für Ihr individuelles Outfit. Die edlen Stücke gibt es in den Größen S, M und L. Kommen Sie einfach ins Secret Desire und probieren Sie sie an. Das Beste daran ist: Sie können die Latexbekleidung direkt kaufen und mitnehmen! Selbstverständlich finden Sie in unserem Fashion Point auch gleich die passenden Pflegeprodukte, damit Sie lange Spaß mit unseren Latex Outfits haben.'' https://lldesaxe-fashion.de/der-fashion-point-in-dresden-hat-jetzt-auch-latex-kleidung-direkt-vor-ort * ''Am Sonnabend eröffnet Jessica Vogt auf der Rothenburger Straße ein neues Lädchen für Drunterziehsachen: Secret Desire. Obwohl, ganz so neu ist das Lädchen nun auch wieder nicht. Schon seit November 2013 werden hier Schlüpfer, Strapse und andere Unterwäsche verkauft. Doch im Januar hatte die „fem2glam“-Chefin Dina Stiebing angekündigt, den Laden zu schließen. Der Grund dafür wartet zurzeit nur noch auf den richtigen Moment um mit einem kräftigen Schrei zur Welt zu kommen. Dina hatte schon damals erzählt, dass sie jemanden sucht, der den Laden übernehmen könnte. Das ließ sich Jessica Vogt nicht zweimal sagen. Die studierte Diplom-Ökologin hatte zuletzt als Imbiss-Frau an Katys Garage gearbeitet. Nun tauscht sie Würstchen gegen Mieder und stürzt sich in die Selbstständigkeit. „Die Sachen sind für den Tanz an der Stange geeignet“, grinst sie frivol. Im Wesentlichen bleibt der Laden, wie er ist. Ein bisschen wurde umgeräumt und die Umkleidekabine wird vergoldet. „Ich war Stammkundin bei Dina und bin der Meinung, dass der Laden weiter geführt werden muss.“ Am Sonnabend um 11 Uhr will sie zum ersten Mal die Türen öffnen. Es gibt Prosecco und Sushi und natürlich jede Menge Schlüpfer. Letzteres übrigens auch für Herren, das ist neu. Mal sehen, ob es Jessica gelingt, das sogenannte starke Geschlecht in ihr kleines Lädchen zu locken. Vorbesitzerin Dina Stiebing wünscht ihr auf jeden Fall schon mal viel Erfolg, Dinas Unterwäsche gibt es jetzt nur noch online (Domain zu verkaufen).'' [https://www.neustadt-ticker.de/45127/aktuell/nachrichten/secret-desire Es bleibt schlüpfrig auf der Rothenburger] 14. April 2016 Anton Launer Secret Desire – Neueröffnung Sexy Dessous, frivole Abendmode und coole Clubware. Rothenburger Straße 7, 01099 Dresden, Telefon: 0176 24942511, Montag bis Freitag: 11.30 bis 19 Uhr, Sonnabend 11 bis 17 Uhr, weitere Infos auf der Facebook-Site (Seite nicht verfügbar) [Twitter nur ein Eintrag von 2016] https://twitter.com/secret_desiredd [https://www.tag24.de/nachrichten/stammkundin-reizwaesche-shop-dessous-67148 STUDIERTE GRILLMIEZE VERKAUFT JETZT SCHLÜPFER] tag24 vom 18. April 2016 Von der Würstchen-Brutzlerin zur Dessous-Verkäuferin: Jessica (30) ist jetzt Chefin vom "Secret Desire". Von Tom Schmitdgen Dresden - Vom Grill ins Negligé - Jessica Vogt (30) übernimmt den Dessous-Laden „Secret Desire“ (vorher „Fem2Glam“) auf der Rothenburger Straße. Am Wochenende eröffnete sie das 60 Quadratmeter große Spezialgeschäft (500 BHs, Mieder, Bodys). Die studierte Ökologin stand zuletzt am Würstchengrill bei „Katys Garage“. Doch jetzt zog es sie in den Wäscheladen. Denn die vorherige Chefin Dina Stiebing (37) hatte ihren Reizwäsche-Shop vor zwei Wochen wegen ihrer Schwangerschaft geschlossen. „Ich war früher Stammkundin und wollte nicht, dass der Laden einfach schließt“, sagt die neue Dessous-Chefin. „In Zukunft plane ich auch Ausstellungen und erotische Lesungen im Geschäft. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:44, 16. Jan. 2021 (CET) === Entwürfe === [https://www.facebook.com/LatexFashionDesign/photos/a.516389838434004/5006789482727328/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/139067194_5006789486060661_7750722395006097503_o.jpg?_nc_cat=102&ccb=2&_nc_sid=730e14&_nc_ohc=lEzBHqNm134AX8pVTK_&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7efd93241f046fe67ca7028ca4eb0d2d&oe=6026DF5F “As delicate as flower, as tender as rose petals, choosing to be tender and kind in a harsh environment is not weakness, it's courage.” ― Luffina Lourduraj] (′′ So zart wie Blume, so zart wie Rosenblätter, die sich entscheiden, zart und freundlich in einer harten Umgebung zu sein, ist keine Schwäche, es ist Mut." - Luffina Lourduraj) - violetter Latexumhang --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:52, 16. Jan. 2021 (CET) == Satyamurti Cornelis Snoek == == Surfen== === Keala Kennelly === [[w:de:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] [[w:en:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] en [[w:fr:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] fr [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/ FB] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/131488510956/ 29. August 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/135850190956/ 6. September 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/280410355956/ Brrrrrrrr! Winter in the South Bay.] 29. Jan. 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/453009100956/ I won the Nelscott Reef Women's Big-wave Paddle-in event today. It was a nice distraction for a moment from all the pain of loosing my boy Andy.] Ich habe heute das Big-Wave-Paddle-In-Event der Nelscott Reef Women gewonnen. Es war eine schöne Ablenkung für einen Moment von all dem Schmerz, meinen Jungen Andy zu verlieren. - 4. November 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/472181295956/ Surfer Poll Pirate.] 12.12.2010 - noch Spaß [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150109351905957/ This is my new Donjoy Knee brace. This thing is serious. I feel like Robo-cop or something. Lets hope it works well in the water] (Dies ist meine neue Donjoy Knieorthese. Diese Sache ist ernst. Ich fühle mich wie Robo-Cop oder so. Hoffen wir, dass es im Wasser gut funktioniert) März 2011 Unfall 27.? August 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150320862555957/ The Phantom mask arrived and... It looks ridiculous! It's WAY too big. I am going to send it back. It was worth a try.] Die Phantommaske ist angekommen und ... Es sieht lächerlich aus! Es ist viel zu groß. Ich werde es zurückschicken. Es war einen Versuch wert. - 13. Oktober 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150632930575957/ That's a hell of a way to win the comeback of the year award, but hey I will take it Thanks TransWorld SURF!] (Das ist eine verdammt gute Möglichkeit, das Comeback des Jahres zu gewinnen, aber hey, ich werde es nehmen Vielen Dank, TransWorld SURF!) - 8. April 2012 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151360156120957/ It's been almost 2 years since my surfing accident in Tahiti... I see a swell... Time to get back on that horse.] (Es ist fast 2 Jahre her seit meinem Surfunfall in Tahiti ... Ich sehe einen Wellengang ... Zeit, wieder auf dieses Pferd zu steigen.) Am 3. Dezember 2013 hielt Keala auf der TEDx Malibu einen Vortrag über Lust und Surfen: "Ich bin Keala Kennelly und ich bin ein Surfer." https://www.youtube.com/watch?v=eSvsrzPCZ5o [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151899575820957/ 12.März 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155122831665957/ Me and the champ @paigealms a few years back about to go slay dragons somewhere cold. I would have loved to compete with you in the @wsl #maverickschallenge this year. Too bad Mother Nature didn’t cooperate. Congratulations on your #bigwave #worldtitle I’m so very proud of you my friend] März 2014 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430223345957/ 21. Dezember 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430284150957/ 21. Dez. 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155610476290957/ 27. Okt. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155708213405957/ 16. Dez. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155808808865957/ 5. Febr. 2019] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:36, 1. Jan. 2021 (CET) ==Wasserballet == [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157432917 nackte nymphe] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157692623 nymphe 2] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755467 Underwater Ballet. Ballerina performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755487 Underwater Ballet. Ballet dancers performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/dancing-vision-013-lizenzfreies-bild/983042290 Dancing Vision 013 unterwasser in rot und weiß] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3246570 Submarine Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert, Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3332495 Water Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert/Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818228 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818227 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/utah-orem-female-ballet-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/163445400 USA, Utah, Orem, Female ballet dancer under water] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-fashion-pool-party-young-woman-diving-at-lizenzfreies-bild/838059614 Underwater fashion pool party, Young woman diving at swimming pool] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/women-rehearsing-for-water-ballet-lizenzfreies-bild/522170012 Women Rehearsing for Water Ballet (Original Caption) Submerged ballerinas rehearse for a show at Leisure World in Laguna Hills, California.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/639988160 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-girl-lizenzfreies-bild/642637812 Underwater Girl. Beautiful young ballerina dancing inside the swimming pool] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/51309459 Aquatic Ballet From 'La Folies Bergere'. Two actors dance during the performance of an aquatic ballet at the 'Folies Bergere,' Paris, France, July 1952. (Photo by Nat Farbman, The LIFE Picture Collection)] * [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/50651216 Bild 2] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/figurine-to-one-of-the-rhine-daughters-for-the-nachrichtenfoto/1155868795 Figurine To One Of The Rhine Daughters For "The Rhinegold" By Richard Wagner Figurine to one of the Rhine daughters for "The Rhinegold" by Richard Wagner, circa 1913. Found in the Collection of Theatre Museum, Vienna. Artist Moser, Koloman (1868-1918). (Photo by Fine Art Images] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/das-rheingold-1st-scene-at-the-bottom-of-the-rhine-nachrichtenfoto/919717270 Das Rheingold. Das Rheingold, 1st scene, at the bottom of the Rhine. Bayreuth, 1896, 1896. Found in the Collection of Veste Coburg. (Photo by Fine Art Images)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215747 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-diver-dressed-as-a-mermaid-swims-during-a-show-nachrichtenfoto/77215732 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) A female diver dressed as a mermaid swims during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215749 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/young-woman-in-pool-and-synchronized-swimming-lizenzfreies-bild/1125338066 Young woman in pool and synchronized swimming.] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/girls-practicing-lizenzfreies-bild/1001603246 Girls practicing synchronised swimming] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/female-dancer-performing-under-water-lizenzfreies-bild/107227572 Female classic dancer performing under water in huge red flamenco dress] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/635847936 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/gracefull-female-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/1218911725 gracefull female dancer, ballerina, performing under water in evening dress] [https://www.gettyimages.de/fotos/wasserballet?page=62&phrase=wasserballet&sort=mostpopular Wasserballet] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:46, 10. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=3304759069569835&set=pb.100001073237260.-2207520000..&type=3 Unterwasser Pool Dance] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:55, 1. Apr. 2021 (CEST) == Stammtisch == == Film == [[w:de:Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme|Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme]] [[w:de:Onibaba – Die Töterinnen|Onibaba – Die Töterinnen]] 22.11.1974 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Police_women_(Suzuki),_colored_version.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rally_Finland_girls_at_the_2004_Rally_Finland.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2017_%EF%BC%88%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%B5%E3%83%AD%E3%83%B32017%EF%BC%89-145_(32324539015).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2014_with_NAPAC_069_(11928415683).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Auto_Salon_2019_(46716676402).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2018-10_(39796580051)_(2).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4064234086).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4056011396).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_43rd_Tokyo_Motor_Show_2013_PENTAX_K-3_173_(11248257665).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-42_(38007568292).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-40_(24186220808).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-41_(38038306141).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binary_Domain_stick_em_up.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Biker_girl_(1869378328).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bianca_Beauchamp_E3.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Alexis_Sinclaire_from_Sin.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC02787_(25113378).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC06667_(5812038000).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2010_._._(4705546060).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Firefall_4_5_(7794135388).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geleos_Media_girl_(3538443656).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_E3_2011_No.21.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joanna_Dark_GC_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nival_girl_on_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nova_Online_girls.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Samus_and_Link_at_Igromir_2012_2.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Royal_Quest_girls_of_Igromir_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yet_Another_Booth_Babe_(14703146).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2017_20170922-DSC_2297_(37593917581).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018_(29698389636).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018(29442725600).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2015_19_(21355000028).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108514369).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108565470).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2014_068_(15120325928).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thermaltake_Technology_promotional_models_at_Computex_20140604a.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Paris_-_Salon_de_la_moto_2011_-_BMW_-_C_650_GT_et_h%C3%B4tesses_-_004.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bayonetta_at_Igromir_2009_(4081240065).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crytek_booth-babe_from_Games_Territory_2008_(2986745404).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crytek_booth-babes_from_Games_Territory_2008_(2986745314).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2011_-_Vindictus_girl_(Nexon)_(5831895796).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girl_at_Igromir_2012_(8057057026).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149130470).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149152274).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192248).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Green_girl_from_Igromir_2007_(1869368430).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(29440043834).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(30016564876).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3011794487).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3012636224).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PAX_2009_-_Bayonetta_(3908301541).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Penny_Drake_dressed_as_Bayonetta_-_E3_2009_(4980795423).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Scythe_lady_(5811227302).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Warhammer_40K_at_Gamescom_(20451073662).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:WH40K_at_Gamescom_2015_(20241517278).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2017-Wednesday-007_(35929619784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2015-269_(20371168485).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_4.jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_5.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2016-267_(29073160575).jpg --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:04, 3. Jan. 2021 (CET) == Second live == === Outfits === [https://marketplace.secondlife.com/p/chainZ-HoodPlug/13281161 SX - HoodPlug (rezz to unpack) Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/SX-Bondage-Bolero-Maitreya/14717859 SX - Bondage Bolero MP Box] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Gloves-Hoof-Latex-INITHIUM-Kupra/20425014 AURORA Pony Sabina Gloves Hoof Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Latex-Set-INITHIUM-Kupra/20425011 AURORA Pony Sabina Latex Set] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHBLatex-Doll03-pony-BootsMittens-BOX/18385199 DHB Latex Doll03 pony Boots&Mittens - BOX] [https://slm-assets.secondlife.com/assets/27296581/view_large/a3.jpg?1599549736 GRAVES Proximity - Clear - latex bodysuit, catsuit, plugsuit, undersuit - Maitreya and Omega appliers] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Mesh-Bodybinder-Latex/2939506 Kcreations Mesh Bodybinder - Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Pony-Thighboots-with-28-selectable-textures-Patent-12/3120590 Kcreations Pony Thighboots with 28 selectable textures (Patent) 1.2] [https://marketplace.secondlife.com/p/090-Lilith-HuPony-Female/20951830 #090 Lilith HuPony Female] [https://marketplace.secondlife.com/p/CortesnRossini-Woman-Catsuit-St-Valentines-Gift/970294 St. Valentin's Gift] rosa [https://marketplace.secondlife.com/p/trinixxx-Full-Body-Latex-Armour-FATPACK/17094076 trinixxx Full Body Latex Armour] FATPACK [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-FatPack/20874686 AURORA Rebecca] FatPack [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Latex-set/20874685 AURORA Rebecca] Latex set [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Plastic-set/20874684 AURORA Rebecca] Plastic set [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Opaque-latex-catsuits/9134751 MdlM Opaque latex catsuits Version 4] - 27 opaque latex catsuits appliers + 6 military camouflage catsuits [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Transparent-latex-catsuits/9134753 MdlM Transparent latex catsuits Version 4] - 27 transparent latex catsuits appliers + 2 pairs of pasties (top and bottom) [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Clear-latex-catsuits/9134746 MdlM Clear latex catsuits Version 4] - 27 clear latex catsuits appliers + 3 invisible [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Latex-catsuits-Fatpack/9134750 MdlM Latex catsuits Fatpack Version 4] - all the 4 latex catsuits variants (opaque, sheer, transparent and clear), so features 27x4 latex catsuits appliers + 21 bonuses [https://marketplace.secondlife.com/p/AtaMe-Gabriella-Latex-Boots-Black-Maitreya-Hourglass-Legacy/20430661 AtaMe - Gabriella Latex Boots Black] [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Hobble-Dress/15078580 KaS Hobble Dress] - 3 versions: short-, knee- and ankle-length. It has the option to hide the cutouts on the back, allowing you to expose the torso, the butt, the legs - or all of them. For the sleeves you have 4 options. You can wear the dress sleeveless, with short sleeves, long sleeves or with mittens. [https://marketplace.secondlife.com/p/BellaBee-Latex-Dress-Romy/20974468 BellaBee Latex Dress Romy] kleines Schwarzes - schräg [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Fatpack-Mesh/4593676 ROSAL TUEUR2 Complete Set] - Fatpack (Mesh) - Neck Corset - Waist Corset - Gloves - Thigh-high Platform Boots - Thigh-high Ballet Boot [https://marketplace.secondlife.com/p/CA-BELLEZA-MAITREYA-SLINK-TONIC-X-RIDER-COMPLETE-COLLECTION/16812678 CA BELLEZA MAITREYA SLINK TONIC X RIDER COMPLETE COLLECTION] [https://marketplace.secondlife.com/p/FUTURETRO-2020-SciFi-Star-Fleet-Stylized-Power-Suit-Trek-Cosplay-Space-Crew-Dress-Jacket-Skirt-Six-Colors-in-FATPACK/18446413 FUTURETRO 2020 SciFi Power Suit - FATPACK] Six colors each: Red Gold Blue Aqua Pink Green Jacket, Skirt and full Suit-dress options [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-black-with-white-highlights/15509661 Latex nun black with white highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-white-with-black-highlights/15509662 Latex nun white with black highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-Red-Dress/2373909 GZ Fetixxx Latex Masked Red Dress] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-White/2373920 GZ Fetixxx Latex Masked White] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latexhood-XTREM/4326081 Latexhood / Mask V9.2.1 Box CnT] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/AdelleArts-Liquid-Latex-Doll/4728304 AdelleArts Liquid Latex Doll] schwarz klassisch [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Sex-Doll-Rubber/2046393 GZ Fetixxx Latex Sex Doll Rubber] Kondomanzug hautfarben [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-black-coloured-condom-dolly-latex-suit-applier/20911340 Maitreya black coloured condom dolly latex suit applier] catsuit schwarz mit roten Kondomen [https://marketplace.secondlife.com/p/VS-LTX-Forza-Complete-Body-Accessories-pack/14368213 VS - LTX Forza - Complete Body Accessories pack] Korsett + Halskorsett - lange Stiefel + Handschuhe Latex schwarz/rot -weiß/rot [https://marketplace.secondlife.com/p/KDC-Avara-Latex-Hood-Malefica-addon/17535880 KDC Avara Latex Hood - Malefica addon] weißes Gesicht/schwarz [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Gloves-Multicolor-Mesh/4815024?ple=h ROSAL UNMEI Gloves - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Gloves-Black-FitMesh/3829148 ROSAL VIRON-M Gloves - Black (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Thigh-Ballet-Boots-Multicolor-Mesh/4815198 ROSAL UNMEI Thigh Ballet Boots - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Complete-Set-Red-FitMesh/6730139 ROSAL VIRON-M Complete Set - Red (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-LISSE-Sculpted-Latex-Neck-Corset-Red/1660350 ROSAL LISSE Sculpted Latex Neck Corset - Red] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-STEAM-Neck-Corset-Multicolor-Mesh/5192603 ROSAL STEAM Neck Corset - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Red-Mesh/4593346 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Red (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Black-Mesh/4593347 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Black (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Mesh-DEMO/4593675 ROSAL TUEUR2 Complete Set (Mesh) *DEMO*] [https://marketplace.secondlife.com/p/Full-Hood/19642641 Full Hood Version v1.02] Rebel Pony Hood [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Ballet-Boots-Big-Bundle-Demo/15078564 *KaS* Strapped Ballet Bundle (Demo) Version 1.01] [https://marketplace.secondlife.com/p/PROMO-150L-OFF-SALE-Drakke-Obsession-Fetish-Crotch-High-BootsLatex-White/1478283 PROMO $150L OFF SALE Drakke! "Obsession" Fetish Crotch High Boots(Latex White)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10/6184360 Moyet Gasmask v.1.0] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10-IrO-AddOn/6184380 Moyet Gasmask v.1.0 IrO AddOn] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetBlackUniform/5847036 Moyet *BlackUniform] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetPrisoner/6030677 Moyet *Prisoner!] ==== RLV ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-hecate-helmet/14872058 NGW hecate helmet Version 1] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-cult-hat/20355133 NGW cult hat box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-v102/11367411 NGW Danaide hood v1.01 Version 1.02] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-demo/11367412 NGW Danaide hood demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-fatpack-helene-addons/20992886 NGW fatpack helene addons] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-helene-hood-bento/20540754 NGW helene hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-helene-box/21426731 NGW gimp helene box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-box/12089210 NGW gimp hood RM v1.01 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-demo-box/12089209 NGW gimp hood RM v1.01 demo (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-v1-box/12166443 NGW gimp hood fatpack v1 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-V1-demo/12166582 NGW gimp hood fatpack V1 demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Aphrodite-hood-v102/9567240 NGW Aphrodite hood v1.02 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Venus-Hood-Complete-Fatpack-box/15554401 NGW Venus Hood Complete Fatpack (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-tea-hood/19273665 NGW tea hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box/13309214 NGW theia hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box-demo/13309215 NGW theia hood box demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-v1-boxed/12717546 NGW puffy hood v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-Demo-v1-boxed/12717545 NGW puffy hood Demo v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Capture-SackRLV-LZ/15200777 Latex Capture Sack,RLV] [https://marketplace.secondlife.com/p/DEMO-HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3368648 DEMO HybridZ Latex Atemkontrolle Black FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Jail-Cell-with-RLV/2982858 Latex Gefängniszelle (mit RLV!)] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHB-Latex-Hood-customized/11656464 DHB Latex Hood (customized)] [https://marketplace.secondlife.com/p/SubChair-2-Latex-RLV-BDSM-Captive-Project/1065214 SubChair 2 Latex RLV BDSM - Captive Project Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/Bane-Hood/19694442 Bane Hood] Fluch-Maske :: Comes with 3 versions of the hood that can be toggled via menu: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (for open mouth animations) -::Rigged Hood ::Comes with its own resize scripts for the unrriged hoods. ::The rigged hood cannot be resized and its shape will depend on the wearers head shape. ::Color and textures of the hood can be adjusted using the menu. ::Has 5 additional surfaces (Front, Top, Back, Left and Right) that can be textured independently with your own custom textures. ::Easy to set up custom textures for the 5 additional surfaces, by adding the textures to the hood inventory and editing a notecard. ::In order to work custom textures must be full perm. This is an SL limitation. ::Comes with UV maps of each additional surfaces to help creating your own textures. ::Can be locked in place if the victim is using an RLV enabled viewer. ::Owners can be set. ::Kommt mit 3 Versionen der Haube, die über das Menü umgeschaltet werden können: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (für Animationen mit offenem Mund) ::-Rigged Hood ::Kommt mit seinen eigenen Skripten zur Größenänderung für die nicht manipulierten Hauben. ::Die Größe der manipulierten Kapuze kann nicht geändert werden und ihre Form hängt von der Kopfform des Trägers ab. ::Farbe und Textur der Haube können über das Menü eingestellt werden. Verfügt über 5 zusätzliche Oberflächen (vorne, oben, hinten, links und rechts), die unabhängig voneinander mit Ihren eigenen benutzerdefinierten Texturen strukturiert werden können. ::Einfache Einrichtung von benutzerdefinierten Texturen für die 5 zusätzlichen Oberflächen durch Hinzufügen der Texturen zum Haubeninventar und Bearbeiten einer Notizkarte. ::Um zu arbeiten, müssen benutzerdefinierte Texturen eine vollständige Dauerwelle haben. Dies ist eine SL-Einschränkung. ::Kommt mit UV-Karten jeder zusätzlichen Oberfläche, um Ihre eigenen Texturen zu erstellen. ::Kann an Ort und Stelle gesperrt werden, wenn das Opfer einen RLV-fähigen Viewer verwendet. ::Besitzer können eingestellt werden. [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3171296 HybridZ Latex Atemkontrolle Black - FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle™ - Modify - Copy - No Transfer ::Inspired by the artwork of Chio Maisriml. See below for details on where to find his work. ::A big thank you to Regan for all his help and hard work. ::Please note that you have to be using a Restrained Love compatible Viewer with ❋MESH❋ capabilities to take FULL advantage of the many features of this Atemkontrolle. Please also be aware that to experience the full effect of the Blindfold feature you must be running the latest version of the Restrained Love Viewer. See below for details on how to find the Restrained Love and Mesh Viewers. ::Use: ::- To use your HybridZ Latex Atemkontrolle simply wear all the parts. ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle ™ - Ändern - Kopieren - Keine Übertragung ::Inspiriert von den Kunstwerken von Chio Maisriml. Weiter unten erfahren Sie, wo Sie seine Arbeit finden. ::Ein großes Dankeschön an Regan für all seine Hilfe und harte Arbeit. ::Bitte beachten Sie, dass Sie einen Restrained Love-kompatiblen Viewer mit "MESH" -Funktionen verwenden müssen, um die vielen Funktionen dieser Atemkontrolle voll ausnutzen zu können. Bitte beachten Sie auch, dass Sie die neueste Version des Restrained Love Viewer ausführen müssen, um die volle Wirkung der Funktion "Augenbinde" nutzen zu können. Weiter unten finden Sie Details dazu, wie Sie die Restrained Love- und Mesh-Zuschauer finden. ::Benutzen: ::- Um Ihre HybridZ Latex Atemkontrolle zu verwenden, tragen Sie einfach alle Teile. Due to the nature of the MESH parts please make sure you wear the included Body Shape or you will find the various parts will not fit or work correctly. Please also note that these parts should never been stretched or resized in anyway. Doing so will break the items. Aufgrund der Beschaffenheit der MESH-Teile stellen Sie bitte sicher, dass Sie die mitgelieferte Körperform tragen. Andernfalls werden die verschiedenen Teile nicht richtig passen oder funktionieren. Bitte beachten Sie auch, dass diese Teile ohnehin niemals gedehnt oder in der Größe verändert werden sollten. Dadurch werden die Gegenstände zerbrochen. *- Also included in the box is a Body Alpha. The Alpha must be used in conjunction with the Atemkontrolle avatars attachments. *- The default attachment points are included in each attachment name and are listed below: *Latex Atemkontrolle - MOUTH *Latex Atemkontrolle (Skull) - SKULL *Latex Atemkontrolle Breath Particles (Left Hand) - LEFT HAND *Leash Handle - LEFT HAND *- Please note the Atemkontrolle must be "LOCKED" before any of the following RLV functions become active. *- Please also remember that the "Deny Friend" TP button will always work for you and your Atemkontrolle, this is more a safety feature, anyone not on the Atemkontrolle's access will still be blocked from sending a TP *- Ebenfalls im Lieferumfang enthalten ist ein Body Alpha. Das Alpha muss in Verbindung mit den Atemkontroll-Avatar-Anhängen verwendet werden. *- Die Standardanhangspunkte sind in jedem Anhangsnamen enthalten und werden nachfolgend aufgeführt: *Latex Atemkontrolle - MUND *Latex Atemkontrolle (Schädel) - SCHÄDEL *Latex Atemkontrolle Atempartikel (linke Hand) - LINKE HAND *Leinengriff - LINKE HAND *- Bitte beachten Sie, dass die Atemkontrolle "GESPERRT" sein muss, bevor eine der folgenden RLV-Funktionen aktiv wird. *- Bitte denken Sie auch daran, dass die TP-Schaltfläche "Freund verweigern" immer für Sie und Ihre Atemkontrolle funktioniert. Dies ist eher eine Sicherheitsfunktion. Jeder, der nicht über den Zugriff der Atemkontrolle verfügt, kann weiterhin keine TP senden *Latex Atemkontrolle Menu Driven Features: *The following menus can only be accessed once all the attachments are worn. *Then simply click on the Atemkontrolle's Face. *Once the Lock command is selected it will effect all the worn parts making them all undetachable. This removes the need for each part to be locked seperately. *-OWNERS - Ownership Ability allows you to add owners and give them access to the menus. Simply click on the Atemkontrolle, go to 'OWNERS' and select 'Add OWNER'. Then choose the appropriate button number to add the person you want And your done! *- LOCK - Locks all the Atemkontrolle's attachments. *- UNLOCK - Unlocks all the Atemkontrolle's attachments. *- LOCK SKIN - Locks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- UNLOCK SKIN - Unlocks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- BLOCK TP - Blocks all forms of Teleport, TP to Landmarks, TP to Map Locations, TP to Friends and TP to Sit on Objects. * - GAG - Prevents the Atemkontrolle from talking. * - UNGAG - Allows the Atemkontrolle to talk again. *- BREATHE ON - Turns Breathe sound effects on for use in breath play. *- BREATHE OFF - Turns Breathe sound effects off. *- BLINDFOLD - Turns the Atemkontrolle's Blindfold on. *- REM BLIND - Turns off the Atemkontrolle's Blindfold. *- UPDATE - Checks for any upgrades to your product (Note: You must be in range of the Update Server located at the HybridZ Main Store.) *- FREEZE - Freezes the Atemkontrolle to the spot preventing any kind of movement. *- UNFREEZE - Unfreezes the Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isolates the Atemkontrolle from interacting in the SecondLife Environment, Inventory access denied edit objects TP etc, IM to locker/OWNER only permitted for safety reasons. *- REM ISO - Turns off Isolation *Menügesteuerte Funktionen des Latex-Atemkontrollgeräts: *Auf die folgenden Menüs kann nur zugegriffen werden, wenn alle Anhänge abgenutzt sind. Dann klicken Sie einfach auf das Gesicht der Atemkontrolle. Sobald der Befehl Sperren ausgewählt ist, wirken sich alle verschlissenen Teile auf sie aus und machen sie alle abnehmbar. Dadurch entfällt die Notwendigkeit, jedes Teil separat zu verriegeln. *-OWNERS - Mit Ownership Ability können Sie Eigentümer hinzufügen und ihnen Zugriff auf die Menüs gewähren. Klicken Sie einfach auf die Atemkontrolle, gehen Sie zu 'EIGENTÜMER' und wählen Sie 'EIGENTÜMER hinzufügen'. Wählen Sie dann die entsprechende Schaltflächennummer, um die gewünschte Person hinzuzufügen, und fertig! *- LOCK - Sperrt alle Anbaugeräte der Atemkontrolle. *- ENTSPERREN - Entsperrt alle Anhänge der Atemkontrolle. *- LOCK SKIN - Sperrt die Haut und Form der Atemkontrolle. *- HAUT ENTSPERREN - Schaltet die Haut und Form der Atemkontrolle frei. *- BLOCK TP - Blockiert alle Formen von Teleport, TP zu Orientierungspunkten, TP zu Kartenpositionen, TP zu Freunden und TP zum Sitzen auf Objekten. *- GAG - Verhindert, dass die Atemkontrolle spricht. *- UNGAG - Ermöglicht der Atemkontrolle, erneut zu sprechen. *- BREATHE ON - Schaltet Breathe-Soundeffekte für die Verwendung im Atemspiel ein. *- ATMEN AUS - Schaltet die Soundeffekte zum Atmen aus. *- BLINDFOLD - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle ein. *- REM BLIND - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle aus. *- UPDATE - Überprüft, ob Upgrades für Ihr Produkt durchgeführt wurden (Hinweis: Sie müssen sich in Reichweite des Update-Servers befinden, der sich im HybridZ Main Store befindet.) *- EINFRIEREN - Friert die Atemkontrolle an der Stelle ein, um jede Art von Bewegung zu verhindern. *- UNFREEZE - Entfriert die Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isoliert die Atemkontrolle von der Interaktion in der SecondLife-Umgebung, Inventarzugriff verweigert Bearbeitungsobjekte TP usw., IM an Schließfach / EIGENTÜMER nur aus Sicherheitsgründen zulässig. *- REM ISO - Deaktiviert die Isolierung *Once an Owner has been added to the list they can click on the Atemkontrolle to get an extended features list. All the above functions will be present but with the following additional buttons: *- CLOTHING - Allows removal of individual clothes, also ALLOW ALL/ DENY ALL controls whether your Atemkontrolle can wear or remove clothing. *- Though this Menu option is still present please be aware that clothing layers cannot be worn on top of a MESH Avatar. *- GIVE - Dispenses a copy of the Leash Handle/Leash Post or Instructional Notecard to the owner. The Leash Handle is worn on the LEFT HAND. *Once an Owner is wearing the Leash Handle they can then click it to access the LEASH,UNLEASH and LEASH LENGTH options. *Additionally whilst the Atemkontrolle is leashed the owner may rez a Leash Post and click on the ring to leash the Atemkontrolle to the Post. Clicking on the Leash Handle transfers the leash back from the Post to the Handle. *- Please note if the Atemkontrolle is leashed without the Owner wearing the Leash Handle the leash will attach to the Owner at the default 'Pelvis' point. *Additional Features: **- Locking Sound Effects when certain parts are Locked and Unlocked. **- Latex Rub Sound Effects upon walking. *Sobald ein Eigentümer zur Liste hinzugefügt wurde, kann er auf die Atemkontrolle klicken, um eine erweiterte Funktionsliste zu erhalten. Alle oben genannten Funktionen sind vorhanden, jedoch mit den folgenden zusätzlichen Tasten: *- KLEIDUNG - Ermöglicht das Entfernen einzelner Kleidungsstücke. Außerdem erlaubt ALLOW ALL / DENY ALL, ob Ihre Atemkontrolle Kleidung tragen oder entfernen kann. *- Obwohl diese Menüoption immer noch vorhanden ist, beachten Sie bitte, dass Kleidungsschichten nicht über einem MESH-Avatar getragen werden können. *- GEBEN - Gibt eine Kopie des Leinengriffs / der Leinenpost oder der Anweisungsnotizkarte an den Eigentümer aus. Der Leinengriff wird an der LINKEN HAND getragen. *Sobald ein Besitzer den Leinengriff trägt, kann er darauf klicken, um auf die Optionen LEASH, UNLEASH und LEASH LENGTH zuzugreifen. *Während die Atemkontrolle an der Leine geführt wird, kann der Besitzer zusätzlich einen Leinenpfosten rezzen und auf den Ring klicken, um die Atemkontrolle an den Pfosten zu führen. Durch Klicken auf den Leinengriff wird die Leine vom Pfosten zurück zum Griff übertragen. *- Bitte beachten Sie, dass die Leine an der Leine geführt wird, ohne dass der Besitzer den Leinengriff trägt. Die Leine wird am Standardpunkt „Becken“ am Besitzer befestigt. *Zusatzfunktionen: **- Sperren von Soundeffekten, wenn bestimmte Teile gesperrt und entsperrt sind. **- Latex Rub Sound Effekte beim Gehen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:29, 24. Feb. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-BDSM-RLV-Doll-Dollification-RP-Latex-Spray-Gun/413305 HybridZ BDSM RLV Doll Dollification RP Latex Spray Gun] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 2. Mär. 2021 (CET) ==== Haare ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Domela/13427270?ple=c EdelStore Mesh Hair - Domela (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Delmira/13426185 EdelStore Mesh Hair - Delmira (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/G-Draya-Hairbase/21054117 G.- "Draya" Hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/ARGRACE-SAYURI-BW/17349859?ple=c ARGRACE* SAYURI - B&W] [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Grae-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/11267667 Tameless Hair Grae - Naturals] Includes OMEGA applier for hairbase [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Kit-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/10498687 Tameless Hair Kit - Naturals with OMEGA Appliers for hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Claire-bxd-wear-me/19250905 KoKoLoReS Hair Claire bxd - wear me] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Lesley-bxd-wear-me/19842667 KoKoLoReS Hair Lesley bxd - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Quinn-20-Hud-Naturals/16067064 KoKoLoReS Hair - Quinn 2.0 - Hud Naturals - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/Sintiklia-Hair-Talia-Fatpack/19564600 Sintiklia - Hair Talia - Fatpack] [https://marketplace.secondlife.com/p/Y-U-JOANA-MULTIPACK-WOMENS-BOXED/19006551 Y-U: JOANA "MULTIPACK" WOMEN'S BOXED] [https://marketplace.secondlife.com/p/EMO-tions-TRAGEDY-BLACKWHITE/12152278 .:EMO-tions.. *TRAGEDY* -BLACK/WHITE] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:00, 2. Mär. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/NO-Pixie-Cut-Tattoo-Purple-Mix/7393394 (NO) Pixie Cut (Tattoo) - Blonde] [https://marketplace.secondlife.com/p/OS-Appliers-Base-Hair-Diva-Black-OmegaCatwa-Lelutka/16273465 !OS! Appliers Base Hair Diva Black - Omega/Catwa/ Lelutka] [https://marketplace.secondlife.com/p/nomatch-NOCOMMISSION-Pack-of-BLACKS/15922487 no.match_ ~ NO_COMMISSION ~ Pack of BLACKS] [https://marketplace.secondlife.com/p/dafnis-fat-pack-hairbase-01-for-CATWA-Demo/18658974 *dafnis fat pack hairbase 01 for CATWA Demo] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:19, 2. Mär. 2021 (CET) === Personen === Freunde finden ist nicht leicht in einer Welt, in der sich jeder selbst der Nächste ist, wo Egoismus und Lügen zur vorherschenden Tugend gehören. Sei ehrlich mit mir, lüg mich nicht an, dann bin ich für dich da und gehe mit dir durchs Feuer. Bei Intrigen, Hass und Missgunst und weitererzählen irgendwelcher Gerüchte fackel ich nicht lange und sortiere aus. Secondlife soll Spaß machen und nicht das Leben noch schwerer durch Menschen, die hier rumlaufen und nur glücklich werden, wenn sie anderer Partnerschaft, Freundschaft und Vertrauen zerstören können. Wacht auf Leute, das Leben findet draußen statt! Diese Welt hier ist eine Plattform, um andere kennen zu lernen und Spaß zu haben und nicht, um sich gegenseitig emotional abzuschlachten! Cordula Debbel von DavidSmith1978 https://www.youtube.com/watch?v=uSbxCX2LVps Cordula Grün Kinder mit Behinderung sind nicht krank, sie brauchen keine Therapie. Sie brauchen Akzeptanz. Ein 15 Jahre altes Mädchen hält die Hand von ihrem 1 jährigem Sohn. Leute nennen sie eine Schlampe. Niemand weiß, dass sie mit 13 Jahren vergewaltigt wurde. Leute nennen einen Mann fett. Niemand weiß, dass er eine schwere Krankheit hat, durch die er übergewichtig ist. Leute nennen einen alten Mann hässlich. Niemand weiß, dass er eine schwere Verletzung im Gesicht hatte, während des Kampfes für sein Land im Krieg. Poste dies, wenn du gegen Mobbing bist. Ich hoffe ihr gehört zu den 7% die es kopieren ... !!! Cordula Debbel Cosmopolitan and Hello Tuesday Events. Join to stay informed about our events. Blog: http://cosmopolitansl.blogspot.com/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:26, 4. Jan. 2021 (CET) Ich bin schon so lange hier und ziehe Bilanz: Ich bin hier in SL wegen der Menschen. Sie können eine innere Heimat werden, gute Freunde, jemand der so sehr mein innerstes kennt, wie niemand in meinem 1. Leben. Manchmal trifft man hier jemand und es ist magischSofortigesVerstehen, Zusammengehörigkeitsgefühl und das Bedürfnis bei dieser Person sein zu wollen. Lachen, das bis in mein reales Leben nachhallt und mich dort weiterhin aufmuntert. Danke dafür!!! Ruediger Blister --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 9. Jan. 2021 (CET) Sl ist schon ganz schön Verrückt einige Leute leben Wirkliich in einer Echten Scheinwelt weit ab vom Realen leben, und sie kommen sich auch noch verdammt Wichtig vor weil sie gewisse Rechte haben, find ich echt toll viel Glück mit eueren Rechten,scheibt sie euch dahin wo die Sonne zum schluss auf geht. Kathrin de Boer (kathrindeboer) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:54, 9. Jan. 2021 (CET) first sl join January 2007/second sl jion August 2011 maybe older than you but not stupid lol SL ist kein Spiel......es ist eine Schnittstelle SL is not a game ...... it is an interface JasonCastello --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:59, 9. Jan. 2021 (CET) Just taking a break and chilln out a while My interests in SL r: surfing, skydiving, base jumpn, horseback riding, scuba, cyclist and solo dancen, so far. Not interested in SL relationships other than friends. Cindy (honeypotness) Menschen, die zusammen gehören, egal auf welche Art und Weise finden immer wieder zusammen. Es ist egal was zwischen ihnen passiert ist, wie viele Fehler gemacht wurden und wieviel Zeit vergangen ist. Es ist egal,wie fern sie sich sind, sie werden sich trotzdem immer nahe sein... Tamina Bikergrrl --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:52, 11. Mär. 2021 (CET) === Surfing === Cielo *Cielo is currently majestic ruins you can surf through, set on the corner of a 5 sim Surfing beach island. *Travel the world, from east to west on this island, surfing different terrains and waves. ** Arcania Bay, Canada, Cielo (35, 177, 85) Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance *Welcome to Kia Kaha - The home of Vibes! *"Kia Kaha" is a Māori phrase meaning "Stay Strong" A subtle reminder to the core surfing family. *Public access surf sim with rezz zone and Flow board rezzer. ** Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance, Kia Kaha (128, 94, 22) Medow Rose - Templeton Farm *The moonlight sent pale shards skipping across the rippling water and silhouetting the landscape in deep soft bues and blacks. *She drew a contented breath as she sank deeper into his arms, *Meadow rose is just the start of the story.. Great place to ride ur horse ** Mopire City, Mopire (73, 191, 62) NanoGunk Main Store - Cigar Yachts *A beach with some nice waves ** NanoGunk Main Store - Cigar Yachts, NanoGunk (62, 32, 22) One Love Beach ~ Home of SurfCrazy ~ *No lag...no conflict..surf... *And as my opinion...Best place to surf in SL so far..... still ** One Love Beach - Surf Great Waves, Palma de Majorca (192, 216, 21) Surfer's Paradise - Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf *A remote beach set in the Pacific Northwest for photos and soul searchers alike. Really cool place. *flickr, photography, blogger, romantic, couples, beach, nature, photos, hangout, photogenic, meet, rentals, machinima, maoli waves, surfing, surf AMAZING PLACE TO SURF. ** d.p surfco] Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf , Spider Island (154, 227, 21) Surfing SLSA *Surfing Association (SLSA) surfable wave home beach. Surf, free surfboard loan Huts for Rent for your business advertising or team marketing **Home Of Competition Surfing In SL and the SLSA, Solace Dreams (224, 83, 21) T'ai Surfing - Home to Team Tsunami *The beautiful sister of the Zen surfing resort Ch'i. T’ai was born from Ch’i tranquil Mountainous volcano. *A public surfing beach. A variety of free surfboard rezzers and a rez area to use your own board. *Come enjoy and hangout at T'ai Surfing **T'ai Surfing - Home to Team Tsunami, Tai Surfing (207, 113, 23) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:18, 4. Jan. 2021 (CET) === Biker === Arpeggio Club DyNaMiTe - Biker an Rock Club (66. 162, 37) Club DyNaMiTe is one of the oldest rock clubs on the grid. Friendly, biker themed, a neutral place to chill out, chat and enjoy some good rock /heavy metal music. Live DJs, Concerts, Performers, Contests, Fun, Biker Club, Dance, Chat Bon Jovi Tribute by 2nd Dimension @ Club DyNaMiTe - Sponsored by Anka Tattoo --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:12, 8. Jan. 2021 (CET) == Paralipomena == Wir wissen doch schon lange, wie der amerikanische Geheimdienst den Markt zugunsten sog. "Moderner Kunst" mit Unsummen beeinflußt hat, weil die USA an Klassischer Kunst unterbelichtet sind - es gibt ja auch heute noch eine Geheimdienstgalerie Modern Art, nur für die eigenen (verdienten) Mitarbeiter besuchbar - eine eklige Schmierenkomödie, diese ganze "Moderne Kunst" - und derzeit zur Spielbank und Lotterie entartet, so wie ich das hier in der Kunststadt Dresden beobachten kann: Kauf auf Wertzuwachs, Wetten auf steigende Preise - das soll Kunst sein? Pfui Teufel! Die Kunstwerke verschwinden sehr oft in den Tresoren oder gleich auf der Bank - weswegen ich an diesem Markt nicht teilnehme - ich bin doch keine Hure! Meine Niemandskunst bleibt bis auf weiteres unveröffentlicht. Basta. Nur wenn die Chemie stimmt, zeige ich jemandem etwas persönlich. Ich prostituiere mich nicht für Geld. Punkt. Habe ich zeitlebens nicht gemacht, und die paar Jährchen muß ich nun auch nicht mehr. Früher hatte das schwere Konsequenzen (Haft, Zersetzung der Familien, Partnerinnen und meine erste Frau wurden zum Selbstmord(versuch) getrieben, Vergewaltigung meiner zweiten Frau bei unserer Ausbürgerung aus der DDR, Berufsverbote und und und - und ich habe mich nicht gebeugt. Heute hat das keine größeren Konsequenzen (die Gesellschaft hat größere Probleme als Verweigerer), und da habe ich es erst recht nicht mehr nötig, mich zu beugen - auch keinem "Kunstmarkt" gegenüber. Kann mich mal kräftig am Arsch lecken. Haben fertig. Bilder zurückhalten ist keine Lösung. Kunst will gesehen werden... HAUPTSACHE, mich befriedigt es! Was weiß ich, was ein andrer davon hat? Und was hätt ich davon, wenn ein andrer als ich davon was hat? Und wie geschrieben, wenn die Chemie stimmt, lass ich auch mal was sehen. Es gab hier vor zweihundert Jahren den Fall eines hervorragenden Malers, der hatte das Geheimnis der leuchtkräftigen, stabilen Renaissancefarben in jahrzehntelangen Experimenten gelüftet. Er erhoffte sich (nicht nur dadurch) eine existenzsichernde Anstellung an der Kunstakademie hier (er war auch ein hervorragender Künstler). Wurde aber abgelehnt - sicher aus politischen Erwägungen heraus. Er hat dann sein Geheimnis mit ins Grab genommen (er liegt hier auf dem Trinitatisfriedhof - man könnte ja mal buddeln LOL). Das war sein gutes Recht! Ich erinnere in dem Zusammenhang daran daß selbst ein Caspar David Friedrich niemals ordentlicher Professor der Kunstakademie in Dresden wurde, obwohl er hier über vierzig Jahre gelebt und gewirkt hatte - er war eben Napoleongegner und deutschnational. https://de.wikipedia.org/wiki/Caspar_David_Friedrich#Patriotismus_gegen_Napoleon --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:41, 10. Mär. 2021 (CET) ich habe Gewaltexzesse veröffentlicht. Ich muss mein Kind und mich schützen, weil Menschen bereit sind unter dem Deckmantel von was anderen Menschen zu töten. Ich habe keine Kraft alles schneller hinzubekommen, weil mir mit der Gewalt in einem jungen Leben auch die Existenzsicherung genommen wurde. Damit bin ich nun beschäftigt. Die Existenz zu sichern. KDP ist aber kein Händler, sondern ein "Verlag" von Amazon. Da sind meine kompletten Daten hinterlegt, weshalb ich jederzeit erreichbar bin. Klar kann es sein, dass irgendein Anwalt, der Geld machen will, statt den Sinn hinter dem Gesetzt zu wahren, eine Lücke nutzt, um abzuzocken. Ich muss mich da definitiv drum kümmern, aber das braucht Zeit. Ich muss das Buch rausnehmen, ändern und neu veröffentlichen. Oder andere Ideen? https://www.facebook.com/happy.bine.39 アン トン: Happy Bine ja, raus nehmen, Impressum einfügen und wieder einstellen. Weiß nicht ob das mit einem Update geht oder nicht. Deswegen bin ich am Überlegen bei BOD zu veröffentlichten, die zählen als Verlag und da reicht die Angabe von Pseudonym und BOD als Verlag . Und nein KDP ist KEIN Verlag, es ist eine Veröffentlichungsplattform für Self Publisher. Sie sind nicht als Verlag eingetragen. Du kannst auch „Fake Daten bei Biografien.....“ bei KDP angeben, die nicht geprüft werden. KDP war wegen „seltsamer“ Veröffentlichungen eh schon öfter in Kritik Antwort: Vielleicht geht es ja auch so. Ich möchte ja auch die Bewertungen nicht verlieren und auch nicht die bisherigen Verkaufszahlen. Nun muss ich aber erst einmal einen neuen Impressumservice finden. https://www.facebook.com/groups/dasautorenhilfeforum/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:02, 10. Jan. 2021 (CET) weiß ich -immer von schönen Damen wie im Video zu sehen kenn ich aus Tenerife - erstes Pinguinarium der nördlichen Hemisphäre im Loro Parque in Puerto de la Cruz: ich hatte als Batman mit einem weiblichen kleinen Gummi-Pinguin Werbung gemacht, da wurden extra kleine Frauen für gecastet - unter den indigenen Einwanderern aus Süd- und Mittelamerika gab es genügend Auswahl - war ein toller Kontrast - schon der Größenunterschied, der Pinguin in glänzenem Schwarz-Weiß und ich in glänzendem Schwarz, alles in der prallen Sonne nahe dem Abfahrtsplatz der "Straßenbahnen" (motorisiert) zum Loro-Parque - ein voller Erfolg - ja, und im Pinguinarium schufteten neue MitarbeiterInnen in Trockis (Trockentauchanzügen), um von innen die Panzerglasscheiben freizuhalten - die waren wegen des hohen Temperaturunterschiedes im Nu vereist, diesen Effekt hatte keiner auf der Liste - die MitarbeiterInnen kamen nach der langen Schicht klatschnass aus ihren Trockis, da war ich als Gummi-Batman noch besser dran, so haben die von der schweren Arbeit gedampft - und der Dampf konnte nicht raus wie beim Schnellkochtopf LOL --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:32, 10. Mär. 2021 (CET) ja Bauhaus - räumlich und zeitlich nicht ganz so weit von mir weg - und MACH WAS DRAUS: als Junge hab ich das nachgebaut - und keinen Mangel an Modellen gehabt - zum Schluß klebten die dann alle irgendwie komplett in Alufolie und Zellophan (so hieß bei uns durchsichtige Plastikfolie) - Hauptsache, nicht nackig LOL - und die haben Schlange gestanden, soviel Material hatt ich gar nicht, das war schwierig in der DDR zu besorgen (wir hatten mal Bundis zu Besuch, die hatten seinerzeit weltweit Sonnenkocher-Seminare durchgeführt, auch bei uns in der Zone - die waren entsetzt, daß unsere Alu-Knappheit viel größer war als in Afrika, wo sie sich wegen der Sonne und dem knappen Brennstoff des Öfteren aufhielten LOL) - heute ist dieser begrenzende Faktor zum Glück ja entfallen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 11. Mär. 2021 (CET) Klassiker. Bin ich mit groß geworden. Und auch mit dem Material. Meine ersten Damen besaßen sogar noch Material der Prä-Nazi-Ära: Bürgermaske, Gasanzug ... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 11. Mär. 2021 (CET) == Schönheit == [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=181300523741200&set=p.181300523741200&type=3 FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/137275705_181300530407866_3397208782784515620_n.jpg?_nc_cat=107&ccb=2&_nc_sid=dbeb18&_nc_ohc=yYP5kA9jywIAX9X9YKi&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=d0657d01f4d51b26bd1aceb22a95b4bf&oe=6022F5B8 Ein Herz für soviel Schönheit] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:56, 13. Jan. 2021 (CET) == Adam Cullen == [[w:de:Adam Cullen|Adam Cullen]] == Maler Ludwig Counet == [[File:Trier Gedenkkreuz Counet 1721.jpg|mini|Gedenkkreuz für den in Trier ermordeten „Maler Ludwig Counet“, Südwestseite der Kirche St. Paulin in Trier.]] [[w:de:Louis Counet]]: Counet erlangte 1690 mit seiner Familie das Bürgerrecht in Trier[8] und stieg in einer steilen Karriere zum regionalen „Malerfürsten“ auf. Der Rat der Stadt Trier, Klöster, Stifte und Pfarrgemeinden der Stadt und der Großregion, selbst der kurfürstliche Hof in Koblenz-Ehrenbreitstein wurden zu seinen Auftraggebern für ganze Serien von großformatigen Gemälden mit religiösen, gelegentlich auch allegorischen oder mythologischen Themen und für seine selteneren Porträts. Seine Produktion an Altarblättern, Kirchenschmuck und profanen Staffeleimalereien war so umfangreich, dass sie nur mit Hilfe einer größeren Werkstatt zu bewältigen war. Selbst für seine alte Heimat, zu der er weiterhin Kontakte[9] aufrechterhielt, führte er noch Aufträge aus, beispielsweise zwischen 1717 und 1720 zwei große Historienbilder und fünf Supraporten für das Rathaus der Stadt Lüttich. Wenn er dabei als höchstbezahlter Maler des Projekts fungierte,[10] entsprach das seinen üblichen Dotierungen in Trier. Die hohen Einkünfte wurden ihm schließlich zum Verhängnis. Mit dem Honorar für sechs Großgemälde in der Tasche fiel er am 5. August 1721 einem Raubmord zum Opfer. Ein Gedenkstein bei der Kirche St. Paulin in Trier erinnert noch heute an ihn. == Afterkunst == === Grimmsches Wörterbuch === AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. === Friedrich Hebbel === Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm === Entartete Kunst === [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jüdische "Afterkunst" === NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) === Filmlexikon === https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Facebook === https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) === Kunstdienst der evangelischen Kirche === [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) === Herbert Tannenbaum === [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) === Dominikus Böhm === [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jeanpierre Heizmann === [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) === Scheißpolitik === Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 == Löschversuch == [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt_Diskussion:Niemandskunst&diff=771216&oldid=746765 Diff-Link] == Anmerkungen == 4iaqv4012avt44zromf5vzascyewug9 784719 784704 2022-08-22T06:50:32Z Methodios 23484 /* Second live */ wikitext text/x-wiki == Straßenkunst == ''Dresden. Ein Straßenkünstler hat am Donnerstagnachmittag auf dem Neumarkt in Dresden einer 30-Jährigen mit einem Seil ins Gesicht geschlagen. Die Frau wurde dabei leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die den Vorfall beobachtet haben. Nach Angaben der Polizei machte die 30-Jährige im Bereich der Frauenkirche Fotos. Dabei geriet sie offenbar mit einem dort auftretenden Künstler in Streit. Anschließend schlug der 40-Jährige zu. Wer Angaben zum Geschehen machen kann, soll sich bei der Polizeidirektion Dresden melden. Insbesondere sucht die Polizei das Pärchen, das sich im Anschluss an den Vorfall mit der 30-Jährigen unterhielt.'' [https://www.dnn.de/Dresden/Polizeiticker/Neumarkt-in-Dresden-Strassenkuenstler-schlaegt-Frau-mit-Seil Straßenkünstler schlägt Frau auf dem Neumarkt in Dresden mit Seil.] Eine Frau will auf dem Neumarkt in Dresden Fotos machen. Dabei kommt es zum Streit mit einem dort auftretenden Straßenkünstler, der ihr mit einem Seil ins Gesicht schlägt. Jetzt sucht die Polizei Zeugen. DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:45, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Dresden. Am Donnerstag gegen 14.20 Uhr ist eine Frau auf dem Neumarkt verletzt worden. Die Frau machte an der Frauenkirche Fotos, als sie offenbar mit einem dort auftretenden tschechischen Künstler in Streit geriet. In der Folge wurde sie mit einem Seil im Gesicht getroffen und leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die Angaben zum Geschehen machen können. Insbesondere ein Pärchen, das sich nachher mit der 30-Jährigen unterhalten hatte wird gebeten sich bei der Polizei zu melden. Hinweise nimmt die Polizeidirektion Dresden unter der Rufnummer (0351) 483 22 33 entgegen.'' [https://www.saechsische.de/polizei/frau-auf-neumarkt-verletzt-5277548.html Frau auf Neumarkt verletzt. Bei einem Streit in der Innenstadt wurde sie von einem Seil getroffen. Nun sucht die Polizei Zeugen.] SZ vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:07, 18. Sep. 2020 (CEST) == Bunker == ''Kinder haben beim Spielen in einem Wald bei der brandenburgischen Gemeinde Nuthetal einen unterirdischen Bunker entdeckt. Der von Hand gezimmerte Unterschlupf, indem sich vieles findet, was man für einen längeren Aufenthalt unter Tage braucht, ist aufwendig ausgebaut und gibt derzeit vor allem Rätsel auf.'' ''Bild: Der Bunker ist innen mit Holz verkleidet und hat etwa die Größe eines Kinderzimmers. Er hat auch ein Lüftungsloch und eine kleine Treppe, die in den Bunker führt. Dort liegt auch ein Handfeger griffbereit.'' (zwei Feldbetten?, zwei Campingstühle, Tischchen, Petroleumlampen, Kleinmöbel, Holz, Isomatte, Geschirr, Lebensmittel, Wandteller, Sandboden, Innenstütze, Deckenbalken, Plastikplane als Zimmer-Decke, nur kleines "Mannloch") [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Bunker-in-Nuthetal-Kinder-finden-mysterioesen-Unterschlupf-im-Wald MAZ vom 15. September 2020.] [https://www.dnn.de/Region/Der-Osten/Kinder-finden-mysterioesen-Bunker-in-Brandenburger-Wald Bergholz-Rehbrücke. Kinder finden mysteriösen Bunker in Brandenburger Wald.] DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:55, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Ist der Bewohner des rätselhaften Bunkers, der in einem Wald in Nuthetal gefunden wurde, noch einmal in seinen Unterschlupf zurückgekehrt? Es sieht alles danach aus: Als Gemeinde-Arbeiter die Sachen aus dem Bunker holen wollten, war das Schloss aufgebrochen. Im Bunker fehlte das Wertvollste, was sich vorher darin befand.'' ''Bild: Der Bunker ist am Mittwoch bereits eingerissen worden. Die Gemeinde Nuthetal läßt ihn zurückbauen.'' [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Mysterioeser-Bunker-in-Nuthetal-Vor-dem-Einreissen-kehrte-der-Bewohner-zurueck-und-holte-das-Funkgeraet Bergholz-Rehbrücke. Nuthetal lässt mysteriösen Bunker einreißen – doch das Funkgerät war bereits verschwunden] MAZ vom 16. September 2020. [[w:Märkische Allgemeine|Märkische Allgemeine]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:53, 20. Sep. 2020 (CEST) [[w:Nuthetal|Nuthetal]] - in der Nähe vom Südwestzipfel Berlins - im "Speckgürtel" - von 2003 bis 2017 fast 500 Einwohner gewonnen auf jetzt über 9.000 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:05, 20. Sep. 2020 (CEST) Wegen sowas häufen sich in Dresden und Umgebung die "unterirdischen Zelte" (der Begriff wurde von einem AfD-Stadtrat aus Berlin-Reinickendorf verwendet - das ordentliche Ordnungsamt hatte da die anwachsende "Zeltstadt"! - so 150 Einwohner Nähe Flughafensee - vor anderthalb Jahren geräumt, die Leute haben sich dann eingegraben, wurden zT entdeckt - sicher zu primitiv, sicher auch zu alkoholisch - und diese Bunker - mit zB Kühlung für Bierkästen - bezeichnete der sozial unbeleckte Stadtrat dann als "unterirdische Zelte"). https://de.wikipedia.org/wiki/Flughafensee vgl. [[w:Nasser Asphalt]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:53, 20. Feb. 2021 (CET) == Housing first == === Erstes Projekt in Sachsen: Leipzig === Und nun folgt auch Leipzig: Sn Sommer soll der Housing First in einem Modellprojekt erprobt werden. Berlin ist da schon weiter: wir arbeiten an der Verstetigung, weil es so gut läuft! [https://www.facebook.com/housingfirstfuerfrauen/ FB Housing First für Frauen, 18. März 2021] Eine eigene Wohnung ist das oberste Ziel der Hilfen für wohnungslose Menschen in Leipzig. Bezahlbare Wohnungen sind in Leipzig aber inzwischen knapp. Daher soll ab dem Sommer der Ansatz „Housing First“ erprobt werden – mit dem Modellprojekt „Eigene Wohnung“. Dies wurde in der Dienstberatung des Oberbürgermeisters auf Vorschlag von Bürgermeister Thomas Fabian auf den Weg gebracht. Jetzt muss noch der Stadtrat zustimmen. Der aus den USA stammende Ansatz „Housing First“ (auf Deutsch: zuerst eine Wohnung) verspricht gute Ergebnisse bei der Integration von obdachlosen Personen. Deshalb verfolgen etliche Kommunen in Europa und Deutschland diesen Ansatz. Bei „Housing First“ erhalten obdachlose Personen eine eigene Wohnung mit Mietvertrag und dazu eine individuell passende Hilfe durch Sozialarbeiterinnen und Sozialarbeiter. Die Anzahl der Personen, die Schwierigkeiten haben, ihre Wohnung zu halten oder bei Wohnungslosigkeit eine neue Wohnung zu finden, hat zugenommen. Besonders betroffen sind Personen mit Mietschulden sowie Menschen mit psychischen und Suchterkrankungen. Bürgermeister Thomas Fabian ist überzeugt: „Wir wollen obdachlosen Frauen und Männern die Möglichkeit eröffnen, eine eigene Wohnung zu beziehen. Sie erhalten dabei auch Unterstützung, die sie brauchen, damit ein Neuanfang gelingt. Unser Modellprojekt greift Konzepte und Erfahrungen des Ansatzes Housing First auf. Es ergänzt gut unsere Angebote der Obdachlosenhilfe in Leipzig.“ Entwickelt wurde das Projekt vom Sozialamt auf der Grundlage von Befragungen von Trägern der Wohnungsnotfallhilfe, Fachexperten und auch obdachlosen Personen. Grundzüge des Leipziger Konzeptes wurden in einer Strategiekonferenz mit Akteuren aus der Obdachlosenhilfe beraten. Das Modellprojekt soll im Sommer beginnen. Im Oktober könnten dann die ersten von mindestens 40 obdachlosen Personen in ihre Wohnung ziehen. Die Wohnungen werden vorwiegend durch die stadteigene Leipziger Wohnungs- und Baugesellschaft mbh (LWB) zur Verfügung gestellt. Aber auch Wohnungsgenossenschaften und private Wohnungsvermieter sollen einbezogen werden. Bis 2024 soll das Modellprojekt erprobt und während dieser Zeit auch wissenschaftlich evaluiert werden. Eine Koordinationsstelle im Sozialamt steuert die Umsetzung. Insgesamt 1,2 Millionen Euro werden für das Projekt bis 2024 eingeplant. [https://www.leipziginfo.de/aktuelles/artikel/modellprojekt-eigene-wohnung-fuer-obdachlose-personen-in-leipzig/?fbclid=IwAR2cjmPZddnGLP8_N-wRIANWMhBCgzHOhdyWjbNytNruFn3KM9wZp3A-R0I Modellprojekt "Eigene Wohnung" für obdachlose Personen in Leipzig. Ansatz „Housing First“ soll ab dem Sommer erprobt werden] 18.03.2021 Stadtinformationen Stadt Leipzig --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:36, 19. Mär. 2021 (CET) == Kunst für Housing First == '''''Worin bestand für Sie die Motivation, sich sozialunternehmerisch zu engagieren und das Projekt „Housing First“ ins Leben zu rufen?''' Das Engagement war doppelt begründet: Es ging uns einerseits um den Aufbau adäquater Hilfe für Wohnungslose, zugleich aber war unser Engagement auch politisch motiviert. Ein Schlüsselerlebnis war die Weihnachtsfeier im Düsseldorfer Kulturzentrum zakk vor vier Jahren, als wir feststellen mussten, dass wieder Wohnungslose verstorben waren. Vor dem Hintergrund unserer Philosophie, wonach wir – Wohnungslose und das Team des Düsseldorfer Straßenmagazins fiftyfifty – so etwas wie eine Familie sind (bei aller professioneller Distanz, die in der Sozialarbeit auch notwendig ist), reifte die Erkenntnis, dass chronifiziert obdachlose Menschen im bestehenden Stufensystem quasi überhaupt keine Chance haben, dauerhaft mit normalen Mietwohnungen versorgt zu werden und eine Verelendungsspirale die Folge ist. Meine Kollegin Julia von Lindern hatte sich auch als Lehrbeauftragte an der Hochschule Düsseldorf mit dem Housing First-Ansatz auseinandergesetzt. Es folgte eine Reise unseres Teams nach Wien, um Erkenntnisse vor Ort zu sammeln. Wir haben schlanke Strukturen – ganz im Sinne des lean management –, so dass Ideen stets gemeinschaftlich entwickelt und schnell realisiert werden können. ''' „Lean management“? Das klingt ganz nach einem unternehmerischen Ansatz.''' Housing first stellt natürlich einen Paradigmenwechsel im System dar, aber die linke Attitüde, die lange Zeit ausschließlich auf Systemkritik zielte, lässt sich meines Erachtens unter den gegenwärtigen politischen Vorzeichen nicht mehr durchhalten. Mit dem Erstarken des Rechtspopulismus gilt es, unser Sozialsystem nach Kräften zu verteidigen. Dafür nutzen wir bei fiftyfifty unsere Erfolge als Glaubwürdigkeitsvorsprung, d. h. unsere Arbeit wird immer von Gesprächen mit politischen Entscheidungsträgern sowie Trägern der Wohnungslosenhilfe begleitet. Und natürlich suchen wir gezielt die Öffentlichkeit, um u. a. über Social Marketing für unsere wohnungspolitischen Anliegen, aber natürlich auch unser Fundraising zu werben. Housing First bedeutet: Es besteht von Anfang an ein normales, unbefristetes Mietverhältnis mit allen Rechten und Pflichten. Wohnbegleitende Hilfen werden aktiv angeboten: Betroffene werden dazu ermutigt Probleme mit Unterstützung anzugehen, aber nicht dazu verpflichtet. Dort wo Housing-First bereits praktiziert wird, sind die Ergebnisse überzeugend. Housing-First wurde Anfang der 90er Jahre in den USA entwickelt. In den USA wird es seither in einigen Städten erfolgreich praktiziert. In Deutschland ist der Ansatz noch nicht weit verbreitet. '''Ist eine Triebfeder für Ihr sozialunternehmerisches Engagement auch in den fehlenden Erfolgen der staatlichen Sozial- und Wohnungspolitik zu sehen?''' In jedem Fall. Wir sind bei fiftyfifty zunächst einmal vor allem politisch motiviert, wobei wir inzwischen nicht nur von NRW-Sozialminister Minister Laumann, sondern auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren. Hinzu kommt ein beispielloses Echo in bekannten Leitmedien wie Süddeutsche Zeitung, Zeit online, Stern TV etc. und Fachmedien, durch das wir Housing First bundesweit ins Gespräch gebracht haben. Nicht nur dadurch haben wir umfangreiche Beratungsarbeit bei vielen Trägern der Wohnungslosenhilfe und Kommunen geleistet. Aus eigener Erfahrung und aus zahlreichen Forschungsvorhaben wissen wir, dass Wohnraum in Not geratene Menschen dauerhaft stabilisieren kann – insbesondere dann, wenn der Ansatz Housing first und nicht Housing only lautet. Housing First, wie wir es praktizieren, bedeutet, dass Obdachlose direkt von der Straße in Wohnungen gebracht und zudem professionell betreut werden. Dazu gehören auch tagesstrukturierende Maßnahmen, damit am Ende einer möglichen Vereinsamung in der neuen Wohnung vorgebeugt wird. Für die Politik liegt ein wesentlicher Vorteil des Housing First-Projekts darin, dass die Kosten für die jeweilige Kommune gleich null sind, d. h. unser Modell der Bekämpfung von Obdachlosigkeit kostet die Städte und Gemeinden quasi nichts. Die Düsseldorfer Wohnungsbaugesellschaft SWD etwa verfügt über 9.000 Wohnungen. Würde die Stadt aus diesem Kontingent die ca. 300 benötigten Wohnungen für etwa 300 Straßenwohnungslose, die es in der Landeshauptstadt gibt – ein Großteil der Wohnungslosen wird in diversen Notunterkünften und nicht dauerhaften Betreuungseinrichtungen mehr oder weniger gut versorgt – zur Verfügung stellen, würde die Miete über Transferleistungen gesichert. Und die Betreuung würden Verbände wie die Diakonie oder andere wahrnehmen, über Fachleistungsstunden, die beim Landschaftsverband abgerechnet werden. Die Landschaftsverbände finanzieren sich über kommunale Umlagen, die Städte wie Düsseldorf sowieso zahlen – ob sie Housing First anbieten oder nicht. '''Welche Hindernisse gab es zu überwinden?''' In der Entstehungsphase war ein Hindernis die Schaffung einer funktionsfähigen Organisationsstruktur, wobei wir das weitestgehend aus dem etablierten fiftyfifty-Team stemmen konnten. Aber wir mussten uns sehr engagiert der Mittelbeschaffung widmen, d. h. auch bei Housing First stand am Anfang die Finanzierungsfrage, da wir die Wohnungskäufe nicht kreditbasiert finanzieren wollten, sondern diese bis heute über unsere Einnahmen aus dem Verkauf von Kunstwerken finanzieren, die wir in unserer Benefiz-Galerie verkaufen. Dort unterstützen uns etwa Gerhard Richter, Thomas Ruff, Andreas Gursky, Katharina Mayer und viele andere bedeutende Künstlerinnen und Künstler. Zu überwinden war auch die Skepsis im Team, ob in Düsseldorf überhaupt adäquate Wohnungen zu finden wären und ob Eigentümer an fiftyfifty verkaufen würden. Die Realität hat uns Lügen gestraft: Mittlerweile bekommen wir sogar Wohnungsangebote von sympathisierenden Eigentümern und Maklern, bevor diese auf dem Markt angeboten werden. '''Wie bewerten Sie ihre Arbeit nach nunmehr vier Jahren?''' Das Start-up war ein voller Erfolg: Nachdem wir schon viele Wohnungslose über die Erlöse aus den fiftyfifty-Verkäufen von der Straße holen konnten, sind wir dann mit Housing First und der Housing-First-Fonds-Gründung – zusammen mit dem Paritätischen Wohlfahrtsverband – im Jahre 2018 noch weitergegangen: Hatten wir bei fiftyfifty schon über 60 Menschen von der Straße geholt, so waren es über den NRW-weit tätigen Fonds zusätzlich noch 67 bei 22 Trägern in 14 Städten, für die wir Wohnraum erschließen konnten. Die ehemals Obdachlosen kommen selbst für die Miete auf, die sie zumeist über Leistungsbezug finanzieren. Die Einnahmen aus dem Verkauf von fiftyfifty oder den Spendengeldern bei alternativen Stadtführungen, die sie durchführen, kommen oft noch hinzu. Denn viele von ihnen arbeiten inzwischen als Stadtführerinnen und -stadtführer. Manche sind sogar wieder in regulärer Arbeit. Aber natürlich müssen wir uns auch immer wieder die Risiken vor Augen führen. Die Null-Zins-Politik wird die Immobilienpreise weiter steigen lassen; die Flucht ins „Beton-Gold“ ist ja allerorten zu beobachten. Derzeit kursiert in unserem Beirat sogar die Idee, eine Sozialbank im Sinne unserer Zwecke zu gründen, um der Genossenschaftsidee mit größerem Kapitaleinsatz Geltung verschaffen zu können. Wichtiger aber ist aus meiner Sicht, sich einzumischen und Druck zu machen, damit mehr Wohnungen für Benachteiligte und insbesondere Obdachlose gebaut und zur Verfügung gestellt werden. Das Beispiel Finnland zeigt: Zumindest die Straßenobdachlosigkeit kann überwunden werden. Auch in Deutschland. Es ist eine Frage des politischen Willens. - Das Gespräch führte Tim Engartner. Er ist Professor für Didaktik der Sozialwissenschaften und Mitglied des Direktoriums der Akademie für Bildungsforschung und Lehrerbildung an der Goethe-Universität Frankfurt am Main.'' [https://www.freitag.de/autoren/der-freitag/obdachlosigkeit-kann-ueberwunden-werden?fbclid=IwAR209nCDafyiJ0oGTcAxs2BJdZM897_pLC5ue8ln2S_o1zvP1uc-d8bO4JU „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“. Interview. Hubert Ostendorf, Gründer des Düsseldorfer Straßenmagazins „fiftyfifty“, spricht über den Housing First-Ansatz, mit dem Wohnraum für Wohnungslose geschaffen wird] Von Tim Engartner. Der Freitag vom 16.? September 2020 (38?/2020) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:59, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Zitat: "Obdachlosigkeit kann überwunden werden" Es ist bezeichnend für ein angeblich "christliches", "zivilisiertes" und "kultiviertes" Land wie Deutschland mit angeblich "gebildeten" Bürgern, dass man eine Tatsache wie „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“ im Jahr 2020 als Überschrift in einem Artikel hervorheben muss. Nach dem verlorenen Zweiten Weltkrieg, als viele Städte hierzulande in Trümmern lagen und es in Deutschland Millionen Obdach- bzw. Wohnungslose gab, war das möglich. Und heutzutage sollte das nicht möglich sein? Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand im Jahre 2020 sind zwar auch die neoliberal-konservativen und pseudo-sozialdemokratischen Politiker in diesem unserem "christlichen" Lande. Wenn sich Spekulanten, die sich an den Finanzmärkten beim Milliardenpoker verzocken, dann werden von "christlichen" und "konservativen" Politikern binnen weniger Tage 500 Milliarden Euro für "notleidende Banken" aus dem Hut gezaubert. Aber für Obdachlose sind nicht einmal ein paar lausige Millionen da. Wegschauen ist eben viel billiger. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber auch die vielen Speichellecker, Arschkriecher und Hofberichterstatter in den Medien, die vom angeblichen "Linksruck" in Deutschland faseln und das Problem entweder ignorieren oder mit anderen Themen davon ablenken. Es würde mich nicht wundern, wenn demnächst ein professoraler "Experte" in den Tagesthemen oder im heute-journal erzählt, dass der russische Präsident Putin für die Wohnungsnot in Deutschland verantwortlich wäre. Wenn es nach der Bild-Zeitung geht, ist Putin Schuld daran, wenn es drei Monate lang nicht regnet und wenn es drei Monate lang regnet, dann ist Putin auch Schuld daran. Putin ist nämlich nicht nur Schuld an der Klimaveränderung, sondern auch für den täglichen Stau auf deutschen Straßen und dem Corona-Virus (ACHTUNG: Verschwörungstheorie!) Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand sind auch neoliberale Wirtschaftsprofessoren an deutschen Universitäten und Hochschulen, die seit Jahren das Dogma vom effizienten Markt predigen, der am Ende alles zum Besten regelt, wenn sich der Staat aus der Politik raushält. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber vor allem die ignoranten, arroganten, dekadenten, scheinheiligen, verlogenen und opportunistischen (Mit-)Bürger in diesem Lande, die diese neoliberal-konservativen Politiker und Parteien in den letzten Jahrzehnten gewählt haben und immer noch wählen. Und was sagen die "heilige" Angela von Merkel und der "christliche" Kronprinz von Großbayern, Dr. Markus Söder, zu diesem Problem? Ganz einfach: Nix! Wenn man mit dem Helikopter über das Land schwebt, sieht man die "Penner" bzw. "Wohnsitzlosen" (wie die formal-juristische korrekte Bezeichnung in unserem Sozialstaat lautet) da unten nicht. Zitat: "... wobei wir inzwischen ... auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren." Wenn es um Obdachlosigkeit bzw. Wohnungsnot geht, machen die Nationalisten, Sozialdarwinisten und rechten "Patrioten", die Tage ein Tag aus mit der Deutschlandfahne herumwedeln, offenkundig keinen Unterschied zwischen reinrassigen Deutschen und Ausländern bzw. Migranten. Für "aufrechte" und "saubere" Deutsche waren und sind Obdachlose eben keine Menschen mit Würde, sondern sozialer Abfall.'' Kommentar Christian Brecht, 16. September 2020 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:02, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Obdachlosigkeit ist ein sehr vielschichtiges Problem und ist meistens in der Biografie / Famile der Betroffenen selber zu finden. Betrachtet man z. B. zerrüttete / problematische Familien über Generationen hinweg, dann wird schnell einmal klar, dass bestimmte Menschen sozusagen von Geburt an einem höheren, sozialen Risiko ausgesetzt sind. Eine weitere Gruppe von Obdachlosen stellen Menschen mit schweren psychischen Problemen dar (z. B. bi-polare Störung). Da bei ihnen häufig ein problematisches Sozialverhalten vorliegt, ist auch die Wahrscheinlichkeit gross, eines Tages „in der Gosse zu landen“. Häufig gesellen sich hier noch Suchtproblematiken aller Arten dazu. Die dritte Gruppe sind natürlich Zugewanderte (v. a. Asylsuchende). Natürlich sind auch Mischformen dieser drei Gruppen auf der Strasse anzutreffen. Auf jeden Fall bewirkt die Obdachlosigkeit bei den Betroffenen ein lebenslanges Trauma. Man kann einen Menschen zwar von der Strasse holen, aber die Strasse nie mehr aus ihm heraus. Ob sich Menschen dauerhaft resozialisieren lassen, ist eine weitere, wichtige Frage: Voraussetzung dafür wäre, dass sie überhaupt schon einmal sozialisiert waren, d. h. gesellschaftlich voll integriert. Das ist insbesondere bei langjährigen Drohensüchtigen schwierig. Auf jeden Fall wünsche ich „fiftyfifty“ viel Glück und Erfolg!'' Kommentar Reinkarnation, 16. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:04, 20. Sep. 2020 (CEST) == 20. neunerhaus Kunstauktion (Wien) == Mitbieten und helfen: Die neunerhaus Kunstauktion bietet DIE Gelegenheit, Kunst zu erwerben und obdach- und wohnungslose Menschen zu unterstützen. Der Reinerlös fließt direkt in die neunerhaus Angebote. Trotz herausfordernder Umstände haben uns für die diesjährige neunerhaus Kunstauktion mehr als 170 renommierte zeitgenössische KünstlerInnen ihre Werke gespendet, damit wir den Reinerlös für unsere Arbeit einsetzen können. Damit diese Kunst nun Gutes tun kann, brauchen wir eure Unterstützung: Steigert mit, teilt die Auktion mit kunstinteressierten FreundInnen. Denn jeder Zuschlag hilft uns, weiter für jene da zu sein, die unsere Hilfe brauchen! https://www.facebook.com/events/2750368081917767/ Die 20. neunerhaus Kunstauktion am 2.11.2020 war ein großartiger Erfolg. Vielen Dank! Nutzen Sie jetzt noch die Chance und erwerben Sie eines der unverkauften Bilder im Nachverkauf. Sie können die verfügbaren Werke ab 7.12.2020 in der Galerie der Rahmenmanufaktur Wohlleb, Seidlgasse 23, 1030 Wien, Montag bis Freitag zwischen 10:00 und 18.00 Uhr oder Samstag 10.00 bis 12.00 Uhr besichtigen. Bei Interesse wenden Sie sich bitte an Michael Walk https://www.neunerhaus.at/kunstauktion/?fbclid=IwAR2bBPxVm_bAqGZUeieJOpqoYVcOTgSvulJ4Ndu765t3CV-MtQNlABAVjGM n drei Wohnhäusern und über 250 Wohnungen in ganz Wien leben mehr als 800 ehemals obdach- und wohnungslose Menschen jährlich. Über 5.000 Menschen versorgt neunerhaus mit dem neunerhaus Gesundheitszentrum pro Jahr – Tendenz steigend. neunerhaus ist eine Sozialorganisation in Wien. neunerhaus ermöglicht obdachlosen und armutsgefährdeten Menschen ein selbstbestimmtes und menschenwürdiges Leben mit Medizinischer Versorgung, Wohnen und Beratung. Ziel ist es, Betroffenen Hilfe zur Selbsthilfe zu geben, um ihre Lebenssituation nachhaltig zu verbessern. neunerhaus engagiert sich gegen die Ausgrenzung wohnungsloser Menschen. Holen Sie Menschen von der Straße, bevor sie ein Teil davon werden. Wohnen ist ein grundlegendes Menschenrecht. Jeder Mensch hat das Recht auf ein menschenwürdiges Leben. Aber nicht jeder hat ein Zuhause. https://www.neunerhaus.at/ == Frankfurter Kunststation == ''Ein Türsteher, eine Gästeliste, zugewiesene Plätze und eine Begrüßung in der Kirche: Einiges war anders beim diesjährigen Sommerfest für die ehrenamtlichen Mitarbeiter des Franziskustreffs. Um 17.00 Uhr begrüßte Bruder Michael die Ehrenamtlichen in Liebfrauen. Großzügig hatte man sich in der Kirche verteilt. Der obligatorische Jahresrückblick war natürlich von den schwierigen letzten Monaten geprägt. Und doch voller guter Neuigkeiten: Mitten in der Krise verteilt, war der Beileger „Corona: Alle bleiben zu Hause, aber wir haben keines“, die bisher erfolgreichste Spendensammlung des Franziskustreffs. Und es folgten weitere gute Nachrichten: Im September 2020 startet die Franziskustreff Stiftung ein kleines '''Kunst-Projekt'''. Mitten in Frankfurt, in bester Innenstadtlage werden wir '''Obdachlosigkeit und Kultur''' in einer ganz neuen Art und Weise zusammenführen. Zudem hat die Stiftung eine gemeinnützige GmbH gegründet. Diese wird Obdachlose in eigene Wohnungen bringen. Die Idee ist, wie Bruder Michael betonte, noch ein „sehr zartes Pflänzchen“. Doch sie wird in Frankfurt bestimmt für einige Aufmerksamkeit sorgen und hoffentlich feste Wurzeln schlagen.'' [https://www.franziskustreff.de/franziskustreff/aktuelles-aus-dem-franziskustreff/sommerfest/ EIN SOMMERFEST FÜRS EHRENAMT] Webseite des Franziskustreffs --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:20, 13. Sep. 2020 (CEST) ''Schätzungen der Wohnungslosenhilfe gehen davon aus, dass rund 550.000 Menschen in Deutschland kein festes Dach über dem Kopf haben. Die Dunkelziffer ist vermutlich höher. Bruder Paulus kümmert sich um einen Teil dieser Menschen. DOMRADIO.DE: '''Für viele Menschen ist wohnungslos und obdachlos der gleiche Begriff. Warum ist das nicht dasselbe?''' Bruder Paulus Terwitte OFMCap (Kapuzinerbruder und Vorstand der Franziskustreff-Stiftung in Frankfurt): Menschen, die wohnungslos sind, haben keinen eigenen Mietvertrag. Sie leben entweder bei Freunden oder haben eine vom Staat zugewiesene Einrichtung in der Stadt. In Frankfurt zum Beispiel leben über 2.000 Menschen in Hotels und anderen Einrichtungen. Das sind Menschen, die zwar irgendwie wohnen, aber am Ende keinen eigenen Mietvertrag haben. Im Unterschied dazu gibt es Obdachlose. Diese Menschen haben dann tatsächlich auch solche Einrichtungen nicht oder wollen dort nicht sein. Sie schlafen beispielsweise in Notbetten in den Notunterkünften. Laut Gesetz steht in Deutschland jedem Menschen ein Bett zu. Aber manche Obdachlose nehmen auch diese Hilfe nicht an und bleiben draußen. Sie möchten ihre Daten nicht angeben und anonym bleiben. In Frankfurt gehen wir von 2.800 obdachlosen Menschen aus, von denen 400 unter freiem Himmel schlafen. DOMRADIO.DE: '''In welcher Form engagieren Sie sich für Wohnungs- und Obdachlose im Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt?''' Bruder Paulus: An der Liebfrauenkirche und am Kapuziner Kloster hat der Kapuzinerbruder Wendelin vor über 25 Jahren einen Frühstückstreff eingerichtet. Jeden Morgen können hier Menschen von 7.45 Uhr bis 11.15 Uhr frühstücken. Normalerweise haben wir 32 Plätzen für 190 Leute. Jetzt in der Corona-Zeit haben wir nur noch zwölf Plätze und die Leute dürfen nur noch 15 Minuten bleiben. Das sind immer noch 130 Menschen, denen wir hier ein Frühstück, Gastfreundschaft und franziskanische Brüderlichkeit anbieten. Wir haben über 60 Ehrenamtliche, die sich engagieren. Dazu bieten wir eine Sozialberatung an. Das alles ist von Spendengeldern getragen. Darüber hinaus mieten wir Wohnungen an, damit wir einigen unserer Gäste sagen können: Versuch das doch mal wieder mit dem Wohnen. Neu ist unsere '''Kunststation'''. Wir glauben, dass obdachlose Menschen vor allen Dingen eine Begegnung auf Augenhöhe brauchen. Wir müssen in der Gesellschaft ein Gespräch beginnen, dass Obdachlosigkeit viel früher beginnt: Sei es durch fehlende Miete oder eine Wohnung, dadurch dass der Partner weggeht oder verstirbt oder durch Arbeitslosigkeit und Krankheit. In der Corona-Pandemie sagen auch sehr viele Menschen, dass sie eigentlich in dieser Welt gar nicht mehr zu Hause sind. DOMRADIO.DE: '''An der Kunststation ist die Franziskustreff-Stiftung auch beteiligt. Was hat diese Kunststation konkret mit der Situation der Wohnungslosen zu tun?''' Bruder Paulus: Sie ist direkt in der Innenstadt, wo ganz viele Obdachlose hausen. Ich habe einen Kulturleiter gefunden, der sehr nah an diesen Menschen ist, der sich in der Stadtszene sehr gut auskennt und auch in der Kunstszene gut vernetzt ist. Er hat sehr viel Freude daran, mit uns zusammen unseren obdachlosen Menschen zu sagen: Hey, guckt doch mal, ob ihr euch ansprechen lasst mit euren kreativen Möglichkeiten. Unsererseits wollen wir Kunstprojekte initiieren, die zeigen, dass Menschen am Rande eigentlich Schätze in unserer Gesellschaft sind. Darum ist diese Galerie in einem ehemaligen Juwelier-Shop untergebracht, den wir angemietet haben. Wir zeigen Schätze von Menschen, die sonst am Rande sind. Im Moment läuft eine 14-tägige Ausstellung von zwei jungen Frauen, die für Menschen mit geistiger Beeinträchtigung ein Daumenkino geschaffen haben, in dem 100 Begriffe dargestellt werden. Unter unseren Gästen sind selber Künstler und wir hoffen, dass sie sich anregen lassen, weil sie jetzt einen eigenen Ausstellungsraum haben. DOMRADIO.DE: '''Für viele Wohnungs- und Obdachlose ist es eine große Überwindung, zu ihnen zu kommen und diese Hilfe anzunehmen. Wie versuchen Sie, den Menschen hier Mut und Selbstvertrauen zu geben?''' Bruder Paulus: Indem wir ihnen einfach als Mitmenschen begegnen, die eine eigene Lebensgeschichte haben und die keine Hilfe wollen, sondern möchten, dass wir ihnen erst mal auf Augenhöhe begegnen und sie ernst nehmen. Das kennt jeder aus seinem eigenen Leben, dass wir es eigentlich nicht gerne haben, dass Leute von außen kommen und sagen: Du, ich habe da was gesehen, ich muss dir mal helfen. Jeder Mensch hat eine Autorität, wie er sein Leben gestaltet und kann sagen: Ich will jetzt einfach nicht mehr dieses und jenes. Ich habe die Schnauze voll von Schuldnern und von Menschen, denen ich etwas schulde. Ich will ordentlich behandelt werden. Diese Menschen brauchen eine offene und klare Begegnung, ein echtes Wort. Wir sagen bei uns eine Nächstenliebe, die es ehrlich meint, eine Liebe, die auch Wahrheit und Gerechtigkeit mit ins Feld führt. Deswegen versuchen wir auch, ehrliche und klare Gespräche mit diesen Menschen zu führen, damit sie zur Quelle ihrer Kraft finden. Das Interview führte Katharina Geiger.'' [https://www.domradio.de/themen/soziales/2020-09-11/jeder-mensch-hat-autoritaet-ueber-sein-leben-franziskustreff-stiftung-fuer-offene-begegnung-mit?fbclid=IwAR3PNJZm4h2mPoFYNBv7c242UX1yFdw8Jkl_Gwhzbxq4jZ1GlnvHmyba1bU Franziskustreff-Stiftung für offene Begegnung mit Wohnungslosen "Jeder Mensch hat Autorität über sein Leben"] Domradio vom 11. September 2020. ''Der Franziskustreff: Der Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt bietet wohnungslosen und armen Mitmenschen Frühstück und Sozialberatung an. Täglich kommen nach Angaben des Franziskustreffs bis zu 190 Gäste für die Mahlzeit. Derzeit unterstützen rund 60 ehrenamtlichen Helferinnen und Helfern den Treff. Sie bedienen die Gäste, helfen bei der Vorbereitung des Frühstücks und beim Abwaschen und Aufräumen. Eröffnet wurde der Franziskustreff 1992 von Bruder Wendelin Gerigk am Kapuzinerkloster Liebfrauen in Frankfurt am Main. Ihm sei wichtig gewesen, dass es an diesem Ort immer einen offenen Raum für arme und obdachlose Menschen geben möge, schreibt die Stiftung auf ihrer Homepage. Spenderinnen und Spender unterstützen seither das von Bruder Wendelin gegründete Werk. Derzeit steht Bruder Paulus Terwitte der Stiftung vor und Bruder Michael Wies leitet den Treff. (DR/ Stand: 11.09.2020)'' --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:41, 13. Sep. 2020 (CEST) == OSTRALE == [https://pieschen-aktuell.de/2020/ein-kunstgarten-fuer-uebigau/ Ein Kunstgarten für Übigau.] Pieschen aktuell 6. November 2020 von Elisabeth Renneberg Bild: Die Ostrale hat dieses Jahr Haus und Garten in Übigau bezogen. Alle Fotos: E. Renneberg Dieses Jahr ist die Ostrale, das Zentrum für zeitgenössische Kunst, nach Übigau umgezogen. Das ehemalige Atelierhaus von Eberhard Bosslet an der Rethelstraße beheimatet nun eine Menge Kunst nebst Werkstätten, Büros und einer Künstlerwohnung. Dahinter erstreckt sich eine Grünfläche, die nicht nur auf die Elbe hinausblickt, sondern auch auf eine spannende Zukunft. Hier soll ein ökologischer Garten entstehen – als sozialer und kultureller Ort. Bild: Momentan ist der Garten noch wild und naturbelassen. ;Diskurs über Nachhaltigkeit Das Konzept dafür wird gemeinsam von Umweltexperten, Künstlerinnen aus verschiedenen Ländern und Menschen aus dem Stadtviertel erarbeitet. Letztere einzubeziehen ist ein wichtiges Anliegen des Projekts; das Mitgestalten des eigenen Lebensraums wird so zum demokratischen Prozess und lässt Raum für persönliche Bedürfnisse. Der erste Schritt war daher, an die Türen in der Nachbarschaft zu klopfen und Kontakte zu knüpfen. Auf diese Weise konnte zum Beispiel die Stadtentwässerung Dresden als Kooperationspartnerin gewonnen werden, die über wertvolles Fachwissen rund ums Thema Wasser und dessen Bedeutung für die Umwelt verfügt. Bild: Direkt an der Elbe liegt der zukünftige Kunstgarten. Für die Verbindung der Themen Nachhaltigkeit und Kunst ist ein Team aus einer deutschen und einer tschechischen Künstlerin sowie je zwei Studierenden der Kunsthochschulen in Dresden und Breslau zuständig. Sie machen sich unter anderem Gedanken über Ressourcen, wie etwa die Farbe zum Malen natürlich gewonnen werden kann. Die Ergebnisse ihrer Recherchen und Ideen geben sie in Workshops weiter an Kinder aus dem Kinderhaus Sonnenschein – auch ein durch Anklopfen zustande gekommener Kontakt. Zwei Workshops konnten bisher stattfinden und sind auf allgemeine Begeisterung gestoßen. ;Eine Verbindung zwischen Kunst und Sozialem „Es ist uns wichtig, von Anfang an ein Gefühl der Zugehörigkeit und der persönlichen Verantwortung zu vermitteln“, erklärt Projektleiterin Giulia Deidda. Die gebürtige Italienerin stieg ursprünglich als Bundesfreiwillige ins Team der Ostrale ein und ist mit vollem Einsatz dabei. Aufgewachsen in einer Kleinstadt mit historischer Ausgrabungsstätte an der sardinischen Küste, entdeckte sie schon früh ihre Liebe zur Kunst und widmete sich zunächst der Archäologie. Im Laufe der Zeit wurde dann der Wunsch, Kunst und Soziales zu verbinden, immer lauter. Bild: Giulia Deidda leitet das Projekt mit Begeisterung und Elan. So zog Giulia in die Niederlande, um dort soziale Inklusion im Kulturbereich zu studieren. Nach dem Leben in sieben unterschiedlichen Ländern ist sie mittlerweile in Dresden gelandet. Ihre Leidenschaft hat sich erhalten: „Mein größter Wunsch ist es, Kunst allen, und wirklich allen, zugänglich zu machen.“ Für das Ziel, die klassische Zielgruppe aufzubrechen, ist die OSTRALE die richtige Adresse, sieht sie in der Kunst doch das Mittel zur Kommunikation und zur Aufarbeitung gesellschaftlicher Themen. ;Ausblick auf die nächsten Schritte Der Kunstgarten schließlich darf diese Vision mit verwirklichen. Nach dem erfolgreichen Start mit den Kindern sollen immer mehr Anwohner*innen von der Botschaft erreicht werden, dass Kunst für alle da ist. Und natürlich auch mit dem Angebot eines Aufenthalts- und Begegnungsortes, der mitgestaltet werden kann, und an dem langfristig Veranstaltungen wie Workshops, Lesungen oder gemeinsames Kochen stattfinden sollen. Bild: Auch in den Innenräumen ist Platz für Veranstaltungen. Die konkrete Gestalt dieses Ortes ist noch in der Planung. Denkbar ist zum Beispiel ein Barockgarten, mit geometrischen Formen und Skulpturen aus natürlichen Materialien. Das Nutzen vorhandener Ressourcen wie zum Beispiel Sand aus der Elbe. Die Ideen müssen noch überprüft, entwickelt, ausgetauscht werden. Wie gesagt mit dem Augenmerk auf Nachhaltigkeit und unter Einbezug der Nachbarschaft. Anfang Oktober hatte Ostrale-Vorstandsvorsitzende Andrea Hilger das Konzept im Stadtbezirksbeirat Pieschen vorgestellt. Die Beiräte stimmten einer Förderung mehrheitlich zu. Bleibt also, gespannt zu sein, was sich in den nächsten Monaten auf dem Grundstück im beschaulichen Übigau entwickeln wird. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:18, 8. Nov. 2020 (CET) == Eberhard Bosslet == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Eberhard Bosslet]] [[w:de:Eberhard Bosslet]] == Literatur == Menschen ohne Härte, Ellbogen und einen gesunden Selbstschutz, um sich gegen diese immer härter und kälter werdende Welt zu wehren bzw. durchzusetzen ohne die Möglichkeit, einen Schutzwall hochzuziehen Suchstoffe um sich zu betäuben, um den „Seelenschmerz“ nicht mehr fühlen zu müssen „Ritzenz“ dient dazu, sich anders zu fühlen, d.h. sich körperlich statt seelisch zu fühlen seelisch ungeschützter in unserer Mitte sich auf eine innere Nähe zu den Menschen einzulassen, die wirklich z.T. gequälte Seelen sind Egomanen dieser Welt gegen auf Harmonie, einem menschlichen Miteinander gepolte Menschen, die keine Schutzmauer aufbauen können das Gros , das in dieser Welt psychisch überfordert ist vgl. Manfred Lütz „Wir behandeln die Falschen“ „selektiert“ wurde in der Vergangenheit bis hin zur Gegenwart genügend und in allen Bereichen mit dem Ergebnis: der Mensch bleibt auf der Strecke die Evolution der Menschheit ist am Ende, es hat die Evolution des Materialismus begonnen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) Ich meine, meine Bücher sind wirklich! böse, weil sie diese ganze übliche nette gesellschaftliche Verlogenheit und Verkommenheit gründlich demaskieren, indem sie verdammt nah dran an den realen menschlichen Schicksalen sind. Und ich glaube auch nicht, daß es sich wer wagen würde, die zu verlegen - ich übrinx auch nicht, so lebensmüde bin ich nicht. Zum Glück hab ich ob meiner Lebensweise finanziell ausgesorgt und muß gar nix mehr außer sterben. Und dann kenne ich ein weiteres Buch, das wirklich böse ist: Jürgen Vogel: "Magdeburgs Wendehälse. Lexikon der Lügner und Betrüger". Der Autor war 1990 bis 1994 Vorsitzender des Magdeburger Bürgerkomitees und hatte 1991 "Magdeburg, Kroatenweg : Chronik des Magdeburger Bürgerkomitees ; Beobachtungen in der Zeit der Wende zwischen Lüge und Wahrheit" veröffentlicht (nach 1990: "Abgesang der Stasi"). Sein drittes Buch hat niemand mehr verlegt, er wurde aus dem Bürgerkomitee abgeschoben, und die Friedrich-Ebert-Stiftung, welche sein Archiv aufkaufte mit der Zusage der Aufarbeitung, hat als erstes für 60 Jahre den Deckel draufgemacht. Das Buch nenne ich dann mal wirklich pöse - es würde heute noch nicht verkraftet werden, weil immer noch zu viele Wendehälse aktiv sind! https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&reset=true&cqlMode=true&query=auRef%3D102749658X&selectedCategory=any --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:15, 4. Nov. 2020 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3628903430501315&set=a.111717075553319 Meine Gedanken haben mich verlassen. Der Pinsel hat sie weggetragen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626372927421032&set=a.111717075553319 und der Pinsel schrieb Freude ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626370947421230&set=a.111717075553319 und sie fühlte sich selbstverlassen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623995644325427&set=a.111717075553319 werft Worte in die Welt, damit sie dort erblühen können] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623992674325724&set=a.111717075553319 ich will hier raus ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3615247088533616&set=a.111717075553319 Sie haben Euer Denken verriegelt ... ] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3604090076315984&set=a.111717075553319 macht Euch Gedanken, denn sie können fliegen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3601244606600531&set=a.111717075553319 dieser Ort hat keine anderen Grenzen als meine Gedanken] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598497446875247&set=a.111717075553319 wenn ich an meine Eltern denke] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598495936875398&set=a.111717075553319 die Stadt ist ein Wort, der Pinsel schreibt weiter] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:43, 5. Nov. 2020 (CET) == Atompunk == [[File:Сталкеры на привале.jpg|mini|Stalker - Tschernobyl]] [[w:Atompunk|Atompunk]] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/5KgJnV6L6fOfnn7zJHjTs6/41409837b73de7c1c4024424510c493f/76_Shelter_After2_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' bei Fallout] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/1SeUOdsQCoJ5VvGNCSFyf1/0957edcab1fd1dea19da72585fe1a210/76_Shelter_After1_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' II bei Fallout] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) [[w:Picknick am Wegesrand|Picknick am Wegesrand]] 1971 [[w:Stalker: Shadow of Chernobyl|Stalker: Shadow of Chernobyl]] 2007 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:35, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.imdb.com/title/tt0773736/mediaviewer/rm2535426561 Lost in Space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 16:22, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=969560220191143&set=gm.3583128475067470 Marta Kristen in wardrobe wearing a space suit for the 1960s tv series lost in space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:30, 8. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/basw.AbrU_r9vGHo-z_karx2ANGJZqZCGyGSE64dVSxMdVbWi0SJzbI6zMFK5DkovzTd6WRwdpHixH9jkrZvkf2btVYc1PkyHiR9WWLVSpOhOhTJgnyykw5uP6PNxKAraMtgvn4Gwf1gkKNcN8G5MLI5k5E5M/2556004381104383/?opaqueCursor=AbpEfvdUcdzHVE5z6Unv9Jb8PSI92VuSW0qsjVx88LlJSsvDrxL9gDSssK2UdTRFjoDY5tu8GRr_TzHRvdLx2VoW9LkttzbaIZR0XhIrgnPjVcOq0mvNN7_zR7Bq4H9yoDWn-lYoHBg48mdo0zaJy-RcZxVl3bxusgPm0J0vQ4yY6llDaE6zYusB57oPdiVy3e-12jeafiMdTQBCWrKA1EWGuo1WoqSmaCQheqlGz-T4CVGpM7wHAHy1eNPCb4qkZnDy85cL3oBd8nLCAHEx6tSW13Tk2Oz4hcwVz7Tp2RgkLzRVaLKHktEbqISsXcA4i54JEXhzg4C9_T3qOx0-kRnmEdpujxFGBwgmmW1UR5GjjaEbBFq1wRNWuEmR9WuMx1sS3hszrlqRLgIsby8p4oVeHwWQS13ZYz_gmGcz01384AdDHiWVsZh407PGguYaoMMq-Rz5VOPXUId5CsN8ZvOMahqCSUnXvM92iDzR7z1QbFzPfTjPlO9zw7TCTtxb7Yb5FKOBO8k7-NwDxstXiSUNtbMuhmAjN_Ug_N5xbwwGjAwemhypx-0z10UECpq6SZMJ0V8NCdLy7vncYd4loGBqLAxoQrhT_Udzcv1aq4lZqxyScYsQEth5vXa3OK5lsUmZGBIcJRmOoOUqA4kVA38dDvB6SlMxenwhZeSttYJaJMN-Jo9IivE1Dozw2uQPNQFAurmxf1Jojw4xbOttLjQlO2FDXRIsX4vc-LuqlKy4kofkKffUeKUmbohi9fcoftsQ0SGrAIZ-PY38ZP8Phs_iAa0zJ4N42mAG7wcvRIKLmvFnFqdMXGFUNpRdySYlmMsE2OINZlFGRTmXO1kAjxCHMUqmRXW2gl6EGxer1EiPNg atom-punk go-go jazz halloween costume (or every day) ideas #8] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/1029616097076560/ Astronauten-Pärchen] auch eine Idee für die nächste Zeit - aber nicht weiter weg als 5 km von zu Hause, sonst geht die Luft aus [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/837600166278155/ Raucher-Astronaut (Dr. Who)] - Raucher-Maske - sehr Vorteil-Haft für unsere süchtigen Säuglinge unter uns [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/791374787567360/ gelbes Space-Frauen-Kommando mit roten Streifen - unter männlicher Befehls-Gewalt] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/941018669269637/ Silver-Girl im Labor] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/694038930634280/ Heavy Silver Astronautin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/658284810876359/ Weyland Girl] https://en.wikipedia.org/wiki/Weyland#Fiction [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/652535974784576/ Weiße Taucherin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/615008418537332/ Silver Astronautic Paar] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:08, 25. Okt. 2020 (CET) == Photographie == [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2295772393809566/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/68954640_2295772397142899_226081963155390464_o.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=o1bMfM884ukAX9tXvYd&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=8f38ae65e82b5edcbb04f76459d1c66c&oe=602959FB have an idea...?!] - I fuck your brain * [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/703801973006624/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/10600589_703801973006624_962048756325809864_n.jpg?_nc_cat=109&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_tqZPK0GnVsAX-Y0eLn&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7eec14cc6c2e88e8a04eed792dbdf455&oe=60272C91 still the same curves (anniversary remake&reload)] seitlich [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/877898902263596/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12080054_877898902263596_1056407333265845020_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_1-mbP0ptb8AX-FnReH&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180c7826ce94200ffbf0cb43291a70ef&oe=602A4888 all crew members are on service deck] - "Pilotin" *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/853361011384052/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/11836640_853361011384052_1317312222273636789_n.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=-LHNDNWp5I0AX_0qumx&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=f7cb300e18fe7d90fc3a648872812663&oe=60289D63 fighter team] Rückenansicht *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/a.360648453988646/3183274475059349/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/119480868_3183274478392682_4198532599522982186_o.jpg?_nc_cat=111&cb=846ca55b-ee17756f&ccb=2&_nc_sid=0debeb&_nc_ohc=HIa7Uq4NXIQAX-0zCiM&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180cd13ebdc2efca1ea5797f23e6993b&oe=6026766B hangar check] - in der Stratosphäre ist sie sicher vor Corona, die Helm-Nummer "13" sollte zusätzlich helfen [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2875447189175414/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/99257505_2875447195842080_8451893750401073152_o.jpg?_nc_cat=110&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=4vP91s4Xqs0AX8b9Z1F&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=71f3ddd285be9fca24c3be88566bde5d&oe=60269A91 Die Stille der Nacht] - Halskorsett aus schwarzem Leder über Mund und Nase - MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/988286121224873/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/13243780_988286121224873_3083762868739399129_o.jpg?_nc_cat=103&cb=846ca55b-311e05c7&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=isn0T9bKZjIAX8A-9Mv&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=48754a6cbda0068cad72a2e7a921c255&oe=602A0605 roses are the real weapons] (star wars day) Tätowierte mit startrooper helm - hauptsache MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/908425312544288/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12365984_908425312544288_8987609574159828109_o.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=9TeNkoreIRsAX8zhTtN&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=883db11cec295c5424168a9d1da27c3f&oe=602A1F07 256 shades of cathy] in der dusche eingesperrt - https://www.facebook.com/cathleen.sattler [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/181532538566906/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/257974_181532538566906_7525195_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=fZZiQKgTsz0AX8OuhxK&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=e9e2008bb79008684999318b37aad921&oe=6026E2E1 creatures of the night] (danke an wildchild https://www.facebook.com/kleineswirres ) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:31, 16. Jan. 2021 (CET) == Zeichnungen == Das Secret Desire und Michael Kral laden herzlich ein zur Eröffnung der Ausstellung: Freitag, 04.11.2016, 19.30 Uhr Ein akt ist so - natürlich NaCkt ... verhüllt vom N im Negligée ... bezaubernd bis zum Ceh. Im Akt ganz pur zeigt die Natur des Künstlers Können mit Bravour. (Sazu) Ort: Secret Desire, Rothenburger Str 7, 01099 Dresden Die Ausstellung ist vom 04.07.2016 bis zum 04.01.2017 während der Öffnungszeiten des Secret Desire ́s zu sehen. Motiv: Michael Kral, Aktzeichnung, 35 x 25 cm, 2016 https://www.facebook.com/kralartifex/posts/1063220337109301/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:34, 16. Jan. 2021 (CET) == Ruslana Eisenschmidt == [[File:Ruslana-eisenschmidt-disco.jpg|thumb|Ruslana Eisenschmidt bei der Agentur Disco 3000 mit einem Original 3000 T-Shirt. 1999.]] [[File:Silbermond-ruslana-eisenschmidt.jpg|thumb|2001 illustrierte ich die Band Silbermond in Berlin. Dies ist eine Vektorgrafik.]] Ich male den ganzen Tag was ich will... Ich lebe vom Malen. Habe Glück gehabt. Übrigens ist malen arbeiten. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:34, 10. Mär. 2021 (CET) Ich habe eine ganze Kiste voll, mit von mir erfundenen Comic Charakteren... Hier habe ich mal einen "katholischen Schweinepriester" entwickelt und gezeichnet. Er frisst kleine Kinder. * Der frisst Kinder, weil er selbst Angst vorm Leben hat.... Er frisst kleine Kinder, weil er richtig und falsch nicht unterscheiden kann.... * das kommt noch dazu... das sind keine Haare, er hat 4 Teufelshörner! Er ist unfähig sich den Gürtel richtig zu binden. Klick mal das Bild an. Er trägt keine Schuhe, sondern nur eine Strumpfhose, da kann er sich auf leisen Sohlen besser anschleichen.... Eigentlichen male ich nur noch Frauen und Katzen. Da ich da einen eigenen Stil entwickelt habe. Hier habe ich einen Seepferdchendrachen erfunden und gezeichnet. Er wurde von einem Trophäensammler geköpft und an die Wand gehangen, deswegen schnaubt er vor Wut. Ich habe halt ne blühende Phantasie. Ich habe viele Charakters erschaffen. Es sind dermaßen viele, dass ich sie bereits nach Familien sortiert habe. Selbst Comics zeichnen möchte ich nicht. Ich kann aber die Figuren anderen Zeichnern, Zeichentrickstudios oder Spieleentwicklern zur Verfügung stellen. Bei mir sind die Sachen nicht im Kopf. Mein Kopf ist klar. Bei mir entsteht der ganze Unfug erst, wenn ich ein leeres Blatt Papier sehe. Erst kommt ein Auge, dann eine Nase und plötzlich erkenne ich, was das werden soll. Ist jedesmal eine Überraschungsgeburt. ich kann nur zeichnen, wenn ich locker ran gehe. Aus therapeutischen Gründen könnte ich das nicht. Da würde mir nichts einfallen, da ich im Inneren aufgeräumt, aber nach Außen hin chaotisch bin. Für meine Seelenpflege ist da nicht der Zeichenstift, sondern meine Psychologin zuständig. ein Abgrenzungsproblem ist das nicht, sondern das Langzeitgedächtnis speichert Erlebtes besser, wenn es mit Gefühlen verbunden waren. * Ja Du sagst es. Die Gefühle waren dermaßen intensiv daß sie sich mir eingebrannt haben. Das Abgrenzungsproblem war damals Ich ließ sie vieleicht zu nah an mich ran phatetisch an mein Herz. Ich distanzierte mich nicht. So ist das gespeicherte immer präsent. Die Trennung nicht gänzlich vollzogen. So meinte ich das. Das mit den Trennungen ist sowieso etwas seltsames. Das kann keiner begreifen, wie und warum der Mensch das macht...Auseinander gelebt, sich weiter entwickelt, Bindungsangst, komische Sachen gemacht...Der Mensch an sich ist schwach..wir alle sind das... * Hat man Dir das so IN ALLER LIEBLOSIGKEIT gesagt? Diese Erklärungen tragen nicht sehr weit. Ich weiß. Genau richtig gesagt: man begreift es nicht. Nicht vorher, nicht während und erst recht nicht danach. So klar man im Nachhinein auch fälschlicherweise oft denkt: "Ach so. Ist ja ganz klar.Wegen diesem und jenem" Wir wissen daß das nicht stimmt und können doch nicht anders, weil man das sinnlose nicht einfach kapieren und akzetieren kann. Erklärungen wie: "na ja, die hat eben die vielen anderen Männer als Möglichkeit nicht ausschließen wollen, die hat eben keine richtige Beziehung gewollt", was wird noch gerne genommen? Ach ja, "am Alltag gescheitert" etc. Alles um es wegzuerklären und um es in die Schublade ablegen zu können. Gesunde Einstellung, aber... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:05, 31. Mär. 2021 (CEST) https://www.facebook.com/profile.php?id=100019492082821 Suche Wohnung ausschließlich in Ostberlin/Mitte ab Sommer 2021. Unbefristet, kann auch klein sein, Warmmiete bis 700 Euro * maximal 1 Zimmer in einer WG Das ist lieb, doch ich brauche was eigenes. Danke nochmal. * 700,- ??? Na viel Spaß * Mitte Neubau der Quadratmeter 20 EUR nettokalt. Altbau wird wegen Mietendeckel-Entscheid überhaupt nicht mehr angeboten. Und dann bei Privaten auch nur im Netzwerk. Gönnt Dir Keiner was;-( * für 700,- kriegste in Mitte grad mal‘n Zimmer ! Ich suche was Eigenes. Ich möchte zurück nach Ostberlin Mitte. Dafür gebe ich eine große Wohnung in Jena auf. * 700 Euro Warmmiete ist aber inzwischen in Berlin ganz schön optimistisch. ich weiß. Noch könnte ich Glück haben. Ich habe mal ein halbes Jahr in Paris gelebt. Berlin entwickelt sich immer mehr in Richtung Paris. Und Paris lebt einem die hohen Mieten vor. * und New York. 😂 Gut, daßduda wechbist. ab 20 m2 Ich suche Rosenthaler, Torstr., Linienstr. Ich meine konkrete Straßen in Ostberlin, weil das Jugenderinnerungen für mich sind. Alles rund um den Alex ist ideal. Mit Moabit hatte ich nie etwas zu tun. * ich bin von Berlin schon vor zwölf Jahren WEch WEgen dem Mieten-WAHNSINN - dort braucht mensch einKOMMEN zum ausKOMMEN - lebte SO 36 über dem "Trinkteufel" bei Christian Herwartz (Exerzitien auf der Straße) https://www.strassenexerzitien.de/ Ich ziehe dieses Jahr noch zurück nach Berlin. Ich will ausschließlich Ostberlin Mitte, da fühle ich mich wohl, da habe ich meine Jugend verbracht und nur dorthin will ich. Bin auf Wohnungssuche. Ich will unbedingt mach Ostberlin, Mitte...Da explodieren gerade die Mieten wie in Paris. Wird also vorerst nur was Kleines werden. *Irgendwann will man keine Kompromisse mehr machen und vielleicht nach Hohenschönhausen oder weiß der Geier wohin ziehen wg billiger. Obwohl Du doch eigentlich da hin wolltest wo die eigene Jugend stattfand. Nach O. Berlin Mitte. * kann ich nicht mitreden - hatte die meiste Zeit (Ost)Berlinverbot ([Ost]Berlin - die Nebenstadt der DDR) Mir geht es nicht um günstige Mieten, denn die habe ich ja jetzt. Nach Berlin ziehe ich in ein ganz bestimmtes Viertel. Ich will ganz bestimmte Straßen, da das meine Jugenderinnerungen sind und mich aufblühen lassen. ich bin Single, weil ... mein Hintern ist zu groß * Und du glaubst wirklich,daß Männer NICHT darauf Stehen?Was für "Männer" kennst du denn?Wohl eher Würstchen,die sich nicht trauen,zu ihren wahren Vorlieben zu stehen.Hunde wollen Knochen,Wölfe wollen Fleisch! * entscheidend ist eher, wie weit du (mit)gehst arbeiten gehen muss * muß? - ist für mich ein ToTAL verALTeTes Wort Kapuziner im Cafe de la Paix, Paris, 1952. Photo by Georges Dambier. Tolles Foto..doch gebe man der Dame bitte was zu essen. * meine Oma lief ab 1940 im Pariser Chic herum ... Gut, dass ich nie geheiratet habe... Japanische Tradition * kennich -wahr mahl dort (und dsa-dsen-lehrer wahr ich auch mal, in der ddr, als das noch richtig wichtig wahr) Unterwassergang * könntich stundenlang zuschauen ... leichtbekleidete Bikerinnen * Hauptsache Schutzhelm. Und immer das Visier schließen - wegen Corona-VERordnung. Brennende Kerze wird bestiegen Ich wunder mich auch jedesmal, darüber was es in der Kunst Neues zu sehen gibt. Nach dem Motto: "Die Kunst ist tot, es lebe die Kunst." *Kunst-Bruder Christian Schmidt (SJ) hat über Jahrzehnte eine Kerzensammlung aufgebaut - zT noch origineller * Aufstieg zum Licht - oder zur Erleuchtung, Sieleuchtung ... [[File:Painting of Mata Hari by Isaac Israels.jpg|thumb|Painting of Mata Hari by Isaac Israels, 1917]] Mata Hari photo 1907 * Ein atemberaubendes Kleid Ein atemberaubendes Schlitzohr, so kennen und lieben wir sie *sie hat das Alter nie schmecken müssen (ich war mahl mit der "SchoENeN SExiN" zusammen, die wahr ganz ähnlich) Patientin Ruslana: kann nicht schlafen - du mußt feiern und dich betrinken Viele meiner PROMI Kollegen, wie Kurt Krömer waren bereits in einer Nervenklinik..Wieso interressiert das auf Facebook keine Sau? AUCH MARLENE DIETRICH lies sich behandeln. Sind das alles Verrückte für euch? Als bipolar chronisch Kranke, also: ich bin manisch- depressiv. Muss ich aktuell und frisch nach der gerade erlebten, enttäuschten Liebe sehr um mich kämpfen. ÄRZTE..PSYCHOLOGEN..UND MEINE FREUNDE kämpfen gerade um mich. Mir geht es nicht gut. Witz Kommentare sind hier unerwünscht, denn diese Erkrankung ist nicht heilbar und die Selbstmordrate liegt bei über 30% Ich habe ne ABC- Schutzmaske endlich kann ich die mal aufsetzten *sicherheitshalber auch noch den Vollschutz-Anzug habe ich da. * dacht ich mir schon - sicher ist sicher ... Bartclubs, Bartmeisterschaften ... Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. * Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1364217717267517&set=gm.3544231839016781 Atem-beraubend. Vor allem mit schön engen Brust- und Bauchgürteln.] Hier gibt es noch ganz andere Fotos...da habense nix mehr an...doch das wird dann selbst mir zuviel. Ansonsten poste und male ich ja gern freizügige Frauen, ist bei Künstlern seit Jahrhunderten normal. Ich habe früher in den Clubs auf den Lautsprecherboxen getanzt... Nein, es ist nicht einfach so vorbei. Ich habe Liebeskummer und mir geht es nicht gut... [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1155671958211971&set=a.203131063466070 Sophia Loren in schwaarzem Lederkleid mit breitem Gürtel] Alles an ihr ist schön. Eine Augenweide. stand in diesem Out-Fit mal recht hoch auf meiner nach oben offenen Skala (ist allerdings eine Weile her) Ich bin in allen drei Waffen ausgebildet. Florett, Degen und Säbel. Eigentlich gibt es den veralteten, klassischen Stockgriff und den modernen Pistolengriff, der ergonomisch in der Hand liegt. Ich als Künstlerin poste meine Zeichnungen nicht auf Facebook..bekomme aber jetzt von anderen Zeichnungen gepostet..das nenne ich ein gelungenes Produkt Placement.. Bei mir meldet sich oft erst der Bauch, dann das Herz und dann versucht der Kopf noch was zu retten. Glücklicherweise habe ich ein schnelles Hirn...sonst würde ich mit Bauch und Herz nicht klar kommen. Ich wäre dann mit mir selbst überfordert.... Ich habe auch auf Mallorca gelebt. In den 2 Jahren auch viel Leid gesehen. Menschliches und tierisches Leid. Von wegen Trauminsel. Meine beiden Katzen habe ich auf Mallorca bekommen und sie dann nach Deutschand mitgenommen. Sie sind beide als Fracht geflogen. Auf dem Flughafen haben die Spanier sie wie Gepäck einfach in einen halben Meter tiefen Schacht geworfen. Ich bleibe sonst lange ruhig, aber da bekam ich einen Tobsuchtsanfall und habe wüst die Flughafenmitarbeiter auf deutsch beschimpft. ich unterhalte mich auf Facebook nie privat. Nur öffentlich. Das ist ein Grundsatz von mir. Auch liegt nichts an meiner Herkunft, sondern eher an meinem Charakter und meiner fröhlichen Art. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3753838501401735&set=gm.1050564075468125 corona-schlafzeug] Ein Träumchen....😂 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:56, 3. Apr. 2021 (CEST) == Gumina Jasmin == nunja, ich war der letzte Partner der damals edelsten und schönsten Sexin - noch früher persönliche Sekretärin des Reichsbahn-Präsidenten in Dresden, verkuppelt mit dessen Fahrer, ZV-Schlampe der Oberoberoberklasse - vom Feinsten, absolut High End, Edel-Escort, von Geburt an Probleme mit der Halswirbelsäule, deswegen schmerz- und schlaftablettensüchtig ab Mitte 20, Buchspeicheldrüsenkrebs (ein Onkel von mir war ZV-Ausbildungsleiter im ZV-Lager Bernburg, schluckte auch zu viel davon - unter Tage im Steinsalzbergwerk - brach mit 37 zusammen und starb daran mit 51), Whipple-OP mit 45, auf Morphium hochdosiert, von der Medizin abgeschrieben, ihr Mann brannte mit der Pflegerin durch, wollte sie nicht totpflegen, in die Palliativstation St. Joseph-Stift hier in Dresden eingewiesen mit 52 - sie hatte mir schon ihr schönstes Kleid ausgesucht, in dem sie beerdigt werden wollte, die Urne auch - beides lackschwarz und mit roten Rosen - und dann war ihre Liebe zu mir stärker als Schmerz und Tod, da war noch zu viel süßes Leben ungelebt - ich habe ihre ungeheuren Schmerzen in ungeheure Lust transformiert - und sie hatte noch weitere elf absolut tabulose Jahre, dem Tode abgerungen - mit 63 erneut Krebs - gestreut bis in die Lunge - wieder Chemo, wieder edle Perücken aller Coleur, Sauerstoffmaske statt früher Latex- und Gasmasken etc. - nach sechs Monaten der Tod (das Leben wiederholt sich nicht): "mir geht es schlecht" hat sie nur ein einziges Mal gesagt - das waren ihre letzten Worte vor dem Koma - beerdigt wurde sie in lackrot, der Farbe der Liebe, unserem Lieblingsoutfit (darunter rotes Latex als nahtlose Unterwäsche) - die Urne blieb gleich - so eine rote Urne gab es nicht - sie sah noch beim letzten Spaziergang im Rollstuhl aus, wie ich sie kennengelernt habe - mit langer, blonder Perücke, in Lack und Latex, wunderschön wie Mitte 40 - sie hat das Alter nie geschmeckt, und es war wohl besser so für sie (sie ging nie ungeschminkt, ungestylt und ohne High Heels raus - nie nie nie, nur ich kannte sie auch abgeschminkt und voller OP-Narben) https://www.josephstift-dresden.de/kliniken-und-einrichtungen/palliativmedizinonkologie/klinik/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 12. Mär. 2021 (CET) mann muß sich nur zu helfen wissen - diese Ersatz-Atembeutel kenn ich von der Ostzone, ZV-Frauenlager, als "Strafe" für verfehlte Normen (lange Handschuhe) der ANzug sitzt mehr als ANGEGOSSEN - sie sieht aus wie einGEGOSSEN --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:38, 12. Mär. 2021 (CET) nur drei kleiderschränke voll? meine gumina jasmin hatte zusätzlich noch speicher und keller voll, und das ehemalige kinderzimmer nur für extravagante schuhe und (overknee)stiefel - alles für den "erlesenen geschmack" - alles, was das herz begehrt --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:16, 16. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=126742722767970&set=a.106686318106944 70s] * Da darf Mann sich schon mal umdrehen. ** darfste, wenn du Single bist.. * Das waren noch Frauen damals ... ** heute gibt es den gleichen Frauentyp nur die Klamotten sind anders. * Scheint kalt zu sein... ** ficht so einen heißen Feger doch nicht an - ich kenn die Jahre ... die haben auch mir den Kopf verdreht - MILF, und ja, da war ich noch jungk und ledig ... * es gab noch weitaus heißere Feger ... hab ich nicht vergessen * Man denke nur an Jane Fonda in Barbarella ... ** zB - aber ich meine die "Straßenfeger", die nach 68 häufiger und mutiger wurden ... war mit so einer (geb. 1949, gest. 2012) jahrelang zusammen, die war mutig bis zum Schluß, hat sich nie wieder verkrochen, was auch für Mode-Diktat aufkam RIP --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:32, 18. Apr. 2021 (CEST) == Glamouröse Exzentriker == [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10218687693644988&set=g.913747702065221 übergroße Plastikballonmaske] [https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=1266457367084337&id=100011602571613&notif_id=1615101090170179&notif_t=feedback_reaction_generic&ref=notif Die neuen FFP5 sind da (weiße geschlossene Ledermaske)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276827688702/ silberne Astronautin mit schwarzen Handschuhen und Glaskugelhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276717688713/ schwarze Latexastronautin mit Glaskugelhelm und Pistole] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:23, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158202474577830&set=g.913747702065221 Silberglück (Pärchen)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=839169370195157&set=g.913747702065221 Frau schlüpft aus dem Ei (schwarz weiß Vintage)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3765574243522575&set=g.913747702065221 nackte Frau mit Mund-Nase-Maske, blau ganzkörpertätowiert, aufgemalte Lunge] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158144847772830&set=g.913747702065221 Frau mit großer durchsichtiger eiförmiger Maske, Portrait, grünlich im Gesicht mit knallrotem Lippenstift] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3213043045490533&set=g.913747702065221 rotes Latexkleid bis über den Kopf] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1311464692536583/ schwarz-weißes Latexknast-Kostüm mit Regenschirm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3239138999488685&set=g.913747702065221 silberne Hose, halber silberner Umhang, Brustschmuck] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3235899606479291&set=g.913747702065221 silbernes Gesicht, silbern funkelnder Anzug] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1264837057199347/ Frau auf einem Anker schwebend] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:55, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1248731512143235/ Frau als Batman (rauchend)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1225554634460923/ Dior - schwares Latex bis unter die Nase, weißer Pelz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157690485847830&set=g.913747702065221 braunes Lederkostüm mit Handschuhen und großem Hut - durchbrochen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216494985366888/ silbertropfendes Gesicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216495685366818/ silberne Fingerkuppen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216496045366782/ silberspiegelnde Lippen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1211491712533882/ schwarz weiß karierter Latexmantel + -strümpfe (kleiner kariert)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157561517477830&set=g.913747702065221 blaue farbe läuft aus der nase auf die Lippen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157540153992830&set=g.913747702065221 silbernes gesicht - plastiktüte gesichtsoffen - blauer regenmantel (portrait)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157538451092830&set=g.913747702065221 fesselstifel mit knoten am absatz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157526850842830&set=g.913747702065221 latexnonnen mit schlangen] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2906592829409972&set=g.913747702065221 Perlenhaar mit latexkleid und perlenarmbändern] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464369869950/ edelgas-maske] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464949869892/ edelgas-maske mit lederhandschuhen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464689869918/ edelgasmaske schlicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1142273822789005/ ägyptische göttin mit schwarzem tierkopf und blauem langen plastikkostüm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2800059703396619&set=g.913747702065221 violette perücke, gelbe riesige ohrgehänge, gelbe riesige plastikbrille, latexmantel in schwarz] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1115099548839766/ zwei frauen ziehen entgegengesetzt an einem zopf] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=497839764235972&set=g.913747702065221 COCO CHANEL - überlange, übergroße Lederhandschuhe] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2194866524141642&set=g.913747702065221 motorradmietze mit kätzchenmotorradhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1094982130851508/ rotlederne boxerin] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174612871831&set=g.913747702065221 corona-kaffee in schwarzem latextotal und zeitung] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174409538518&set=g.913747702065221 latexmaid in schwarz mit weißem häubchen und weißer schürze gießt milch über sich] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:26, 7. Mär. 2021 (CET) == Literatur 2 == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Literatur 2]] === Paul Rheinfels === === Anais C. Miller === ===Valeska Réon=== == Casanova Verlag == Gudda Behrend: ''Aus dem Tagebuche einer Sünderin.'' Casanova Verlag Willy Saalfeld Berlin W 30 ca. 1920, 8°, 96 S., Halbleinen (Sittengeschichte, Erotik) [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuche-einer-S%C3%BCnderin/id/A01y6dv201ZZy 22 Euro im Abrahamschacht-Antiquariat Schmidt, Frau Iris Schmidt, Schachtweg 16, 09599 Freiberg] * [https://schmidt-auktionen.de/12_katalog_online.php?nr=14&page=28 Schmidt Kunstauktionen Dresden 1. 12. 2007]: [https://schmidt-auktionen.de/12_artikel_details.php?nr=14&knr=504 504 Willy Saalfeld, Akt. Um 1920. Bromsilberabzug. Ungelaufene Fotopostkarte. Leicht bestoßene Ecken. 8,8 x 13,8 cm. 60 €] * Ebenfalls bei [https://books.google.de/books/about/Aus_dem_Tagebuche_einer_S%C3%BCnderin.html?id=tXa9uQEACAAJ&redir_esc=y A. Juncker, 1910 - 105 Seiten] 1880 Født: 06-07-1880 1900 Se også gift med William Behrend Behrend, William 1901 Debut i bogform: En synderinde, blade af en dagbog (roman) http://www.litteraturpriser.dk/aut/BGuddaBehrend.htm (1880-1946) *Behrend, G.: En Synderinde (1901, roman) *Bog Behrend, G.: Hedvig Holcks Vandreaar (1903, roman) *Bog Behrend, Gudda: De ensommes Stræde. ♦ Gyldendal, 1922. 138 sider. Pris: kr. 5,75 (1922, roman) anmeldelse Bogens Verden, 1922, 4. Aarg., side 276 [Anmeldelse, signeret: K.K.N.]. https://danskforfatterleksikon.dk/1850bib/BGuddaBehrend.htm Hedvig Holcks Vandreaar - [https://books.google.de/books/about/Hedvig_Holcks_Vandreaar.html?id=ukn4xAEACAAJ&redir_esc=y Neuauflage Veröffentlicht 2019] Übersetzung ins Deutsche von [[w:Mathilde Mann|Mathilde Mann]] (* 24. Februar 1859 in Rostock als Mathilde Charlotte Bertha Friederike Scheven; † 14. Februar 1925 in Rostock - deutsche Übersetzerin und Lektorin, insbesondere für Nordische Sprachen): Gudda Behrend: Aus dem Tagebuche einer Sünderin, Berlin [u. a.] 1902 * Axel Juncker, Berlin, Stuttgart 1902, Broschur, 105 + 3 S. [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuch-einer-S%C3%BCnderin-Autorisierte-%C3%9Cbersetzung-von-Mathilde-Mann/id/A026x3z201ZZe 54+6 Euro im Antiquariat Weinek, Frau Dr. Elisabeth Weinek, Uferstrasse 8, 5026 Salzburg] ** Autorisierte Übersetzung von Mathilde Mann 8° 105 S. S. Einband: Original im Jugendstil illustr. Halbleineneinband [https://www.abebooks.de/servlet/BookDetailsPL?bi=22386118048&cm_sp=collections-_-747FHNEcCbe1N23CgE8jgR_item_1_10-_-bdp 19,63+2,20 Euro] in: Altmärkisches Antiquariat, Lars Flick (Inhaber), Sandstraße 50, 39638 Gardelegen En Synderinde: Blade at en Dagbog Gudda Behrend - [https://books.google.de/books/about/En_Synderinde.html?id=qUB-oAEACAAJ&hl=en&output=html_text&redir_esc=y 1901 - 148 pages] Der deutsche Casanova - In 3 Bänden komplett - Johann Conrad Friedrich - Vierzig Jahre aus dem Leben eines Toten - Der Memoiren 1. Teil 1789-1806 - 2. Teil 1806.1810 - 3. Teil 1810-1830 - Im Originalkarton Taschenbuch – Insel, 1991, von Johann Konrad Friederich (Autor), Friedemann Berger (Herausgeber) [https://www.amazon.de/deutsche-Casanova-Friedrich-1789-1806-Originalkarton/dp/B0026L0E4I 18 Euro] gebundene 1. Auflage Egon Fleischel & Co, Berlin 1915, OLeinen, 8°, XV; 418; IX; 452; IX; 440 Seiten Fraktur, Lesebändchen, Kopffarbschnitt [https://www.amazon.de/gp/offer-listing/B0026L0E4I/ref=dp_olp_ALL_mbc?ie=UTF8&condition=ALL 45+3 Euro] "Der deutsche Casanova" Fahrten und Liebesabenteuer nach den Memoiren eines deutschen Offiziers im französischen Heere Napoleons I. mit 32 Illustrationen von Hans Speidel und und Max Erich Nicolas, hrsg. von Max Bauer, Eigenbrödler Verlag, Berlin W 8 ca.1925 / Hrsg.: Max Bauer / Speidel [https://www.ebay.de/itm/Der-deutsche-Casanova-Eigenbrodler-Verlag-ca-1925-Hrsg-Max-Bauer-Speidel/124437184812?hash=item1cf908c12c:g:JVUAAOSw7Wxdyw1y 28+6,50 Euro] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:30, 20. Nov. 2020 (CET) == Verlage == Ich hätte bereits drei Verlage gefunden, wo mein Buch gut ins Verlagskonzept passen würde. Allerdings finden sich bei besagten Verlagen auch Werke, die unlektoriert wirken, was mich dann doch eher abschreckt, mein Buch dort einzureichen. - Mir war es wichtig, ein Buch mit einer Story zu schreiben und nicht nur Sexszenen. Allerdings ist es auch mein erstes und braucht ganz sicher noch Profis, die es sich ansehen. aus dem Anais bzw Schwarzkopf Verlag kenne ich Bücher, die ganz normal lektoriert wirken. Und Schlagzeilen. Seitenblick gibt es leider nicht mehr Schlagzeilen oder Elysion - bei den kleineren Verlagen zögere ich selber, weil mir das mit dem mangelnden Korrektorat auch aufgefallen ist ich habe aber die Erfahrung gemacht, dass Verlage die sich nicht auf BDSM spezialisiert haben, oft gar kein Hardcore annehmen. Oder gnadenlos zensieren Ich habe, bevor ich mein aktuelles Romanprojekt anbot, für ein privates Lektorat gezahlt und zahle auch das SensitivityReading. Klar. Das ist eine Menge Geld, alles in allem, aber hey, die Kohle war gerade da. Wenn ein Verlag kein Lektorat bietet, lasse ich trotz meiner Bereitschaft zur Eigenleistung die Finger davon, dort zu veröffentlichen. Lektorat und Korrektorat gehören einfach dazu, ein Verlag, der das nicht leistet, passt schlicht nicht in mein Beuteschema. Falls Elysion-Books noch nicht auf der Liste war ... Lektorat und Korrektorat ist logischerweise dabei, Bücher sind überall zu beziehen und liegen auch im Buchhandel und im stationären Handel... Klingt auch sehr interessant und kommt definitiv auf meine Liste. Allerdings bin ich nicht sicher, ob das Ende meines Buches als Happy End aufgefasst werden kann. Aber vl passt es ja bei einem anderen Buch. Bist herzlich eingeladen, dich mal bei uns beim Tribus Verlag zu melden, wenn du möchtest. Versuch es doch einmal bei konkursbuch Verlag Claudia Gehrke. Sie hat ein sehr weit gefächertes Programm, kümmert sich sehr engagiert um die Vermarktung und ist ausgesprochen fair. www.konkursbuch.com Mir geht es nur darum, eine Liste von möglichen Verlagen zu erstellen, sodass ich nicht immer wieder aufs Neue alles durchforsten muss. Leider findet man Verlage für dieses Genre nicht so leicht. BDSM allein ist ja nun wirklich schon fast Mainstream. Du könntest es auch beim charon Verlag versuchen, der neben den "Schlagzeilen" auch Bücher herausgibt. https://www.schlagzeilen.com/ Probier mal bei Letterotik.de. Ich rate zu einem Pseudonym. Habe selber 4 Aliasnamen. Es werden auch stärkere Formate veröffentlicht. Frag einfach mal nach. Ansprechpartnerin ist Frau Baer. Lektorat ist für mich okay, Kommunikation erstklassig, Covergestaltung ansprechend. mir wurde auch gesagt, dass der Verlag im Moment neue Manuskripte nur auf Empfehlung annimmt. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:42, 16. Mär. 2021 (CET) == Hersteller == urinbless.com human skin mask set ulsula.com the elder silicon headgear --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:01, 30. Dez. 2020 (CET) https://www.facebook.com/Rubbersisters/ The ultimative female transformation Moniquin Anzug Fem Mask [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/432851523438466/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/171946_432851523438466_959953674_o.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=LjLdttsoeFkAX8ITABj&_nc_oc=AQkIqnkRCGPeWkUJPRiSN8TJCO74W3R9buFkLYiobloBLy2aLh7X_r_xnese5OPch1gwfjJbWRdqhu32Z_RlKne4&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=f9be2e1d84f0ace64aad564fc7517fcf&oe=601AAE0A inflatable doll suit now in skin matching colour!] - This is exactly what I am looking for! I have to become a latex sex doll, it is my ultimate fantasy (Genau das suche ich! Ich muss eine Latex-Sexpuppe werden, das ist meine ultimative Fantasie) - I dream of owning one of these outfits someday! (Ich träume davon, eines Tages eines dieser Outfits zu besitzen!) - God that is hot. (Gott, das ist heiß.) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/537678542955763/ FB] = [https://scontent-frx5-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/397440_537678542955763_1225667219_n.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=174925&_nc_ohc=eIYd8bA0ZmgAX-fLdfr&_nc_ht=scontent-frx5-1.xx&oh=804f110a097401114ae342bc2df93158&oe=601C4FFF Dita - the new female mask] [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/531192290271055/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/935757_531192290271055_860385658_n.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=nRCKulIU87gAX8895Px&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=d7e14b49baa3789dad0e9f9b4e42548d&oe=601CEB06 "Dita" Mask] We are pleased to announce, that we are just did the final touches to our new “Dita” Mask. We are now offering this fantastic looking female mask with interchangeable eyes. The mouth is slit open and has red lips. These very realistic looking female mask made of high quality silicone is absolutely comfortable to wear. You can use any regular make-up to give this female mask an individual look. Get more details at our online shop www.2nd-skin.com or visit us at the Boundcon Fair from 24-26.05.2013 in Munich or doring the German Fetish Weekend from 18-20.05.2013 in Berlin. Yours Rubbersisters Monica & Jacline (Wir freuen uns, Ihnen mitteilen zu können, dass wir gerade den letzten Schliff für unser neues Produkt gemacht haben "Finger" Maske. Wir bieten jetzt diese fantastisch aussehende weibliche Maske mit austauschbaren Augen an. Der Mund ist aufgeschlitzt und hat rote Lippen. Diese sehr realistisch aussehende Frauenmaske aus hochwertigem Silikon ist absolut angenehm zu tragen. Sie können jedes normale Make-up verwenden, um dieser weiblichen Maske ein individuelles Aussehen zu verleihen. Weitere Informationen erhalten Sie in unserem Online-Shop www.2nd-skin.com oder besuchen Sie uns auf der Boundcon Fair vom 24. bis 26. Mai 2013 in München oder am German Fetish Weekend vom 18-20.05.2013 in Berlin. Eure Rubbersisters Monica & Jacline) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/562349830488634/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/1072175_562349830488634_520819894_o.jpg?_nc_cat=106&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=AnitAk8nXbMAX-8Bcxz&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=dc866b047bedb1724a80af21e3b101ec&oe=601ACA3E New video clip is online] at http://www.2nd-skin.com Monica is wearing the Petra mask and Betty is wearing the Gloria mask - Sorry video clip is online at http://www.rubbersisters.com - sehr schön. wie fühlt man sich, wenn man so nett aufgebleaen wird? (mit rotem Fesselsack) https://www.2nd-skin.com/de/18-frauenmasken [https://www.2nd-skin.com/de/kleber/17-skin-adhesive.html Hautkleber] - Dieser zweitkomponenten Hautkleber ist geeignet für alle prothetischen Silikonprodukte (keine PU-umhüllten Prothesen) die vorübergehend auf die menschliche Haut geklebt werden sollen. Das richtige Mischungsverhältnis ist 1 Teil A + 1 Teil B nach Volumen. Sie können auch Puder-Makeup in die A-Komponente mischen, damit es farblich Ihrem Hautton entspricht. Um die Prothese wieder zu entfernen, schälen Sie diese langsam von der Haut ab. Menge: 2 x 50 Gramm --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 7. Jan. 2021 (CET) === Dresden === https://lldesaxe-fashion.de/impressum Maik Richter Lohrmannstraße 20 01237 Dresden Deutschland Tel.: +49 (0) 351 281 34 49 Fax: +49 (0) 351 281 34 49 E-Mail: info@lldesaxe-fashion.de --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:33, 16. Jan. 2021 (CET) ''LLdeSaxe Fashion wurde am 13.01.2012 gegründet. Die gemeinsame Leidenschaft für Latexmode verband meine Frau und mich jedoch bereits seit vielen Jahren. Bei der Auswahl und Individualität der Latexbekleidung waren wir als Kunden jedoch bisher immer recht eingeschränkt. Wir stießen mit unseren Bestellungen bei anderen Herstellern regelmäßig an die Grenzen, da unsere Wünsche nicht umgesetzt werden konnten oder auch wollten.'' ''Dies sollte sich 2011 nach unserem Urlaub bei einem befreundeten Schweizer Latex-Liebhaber ändern. Hier lernte meine Frau die ersten Handgriffe im Umgang mit der Herrstellung von Latexkleidung kennen. Das ganze ergab sich völlig spontan aus dem Gespräch heraus. Wir lauschten ganz gespannt den Erzählungen unseres Freundes, als meine Frau neugierig fragte, wie denn nun die Herstellung von Latexbekleidung konkret funktionierte. Unser Freund bot daraufhin an, sie in sein Atelier mitzunehmen und ihr ein paar Tricks und Kniffe zu zeigen. Meine Frau war sofort Feuer und Flamme und so zogen sich beide zu einer Einarbeitungsschulung zurück.'' ''Sie fand sofort gefallen am Latexschneidern und so kauften wir bei unserem Freund einen größeren Posten an Latex Meterware ein. Zuhause angekommen, machen wir uns sogleich an die Arbeit, die ersten Schnitte und Designs zu entwerfen. Nach und nach wurden wir immer besser und unsere Latex Designs fanden sehr großen Zuspruch auf Partys und Verantstaltungen, wo wir zugegen waren. So entstand dann auch unsere erste kleine Kollektion, wozu zum Beispiel dieses Outfit gehört: Damen Blazer „ Ladylike 2012“ und Damen Humpelrock „Ladylike“.'' ''Unsere Latex Bekleidung kam super an und so entschlossen wir uns auch auf einer Modenschau in Nossen im November 2011 unsere Bekleidung zu präsentieren. Im Januar 2012 gingen wir dann den nächsten Schritt und haben uns mit LLdeSaxe Fashion selbstständig gemacht.'' ''Im Sommer 2012 sind wir zu unserem ersten Internationalen Auftritt in die Schweiz gefahren - In das schöne Berner Oberland nach Oensingen.'' ''Hier fand zum einen unser erstes professionelles Fotoshooting auf der Burg Neu-Falkenstein statt. Zum anderen haben wir unsere Latex-Design einem internationalen Publikum im Rahmen einer Modenschau vorgestellt. Hier wurden unsere Kreationen begeistert aufgenommen.'' ''Mitte des Jahres haben wir uns dann entschlossen, unsere Bekleidung fortan auch im Internet zu präsentieren – Zunächst auf einer kleinen, selbst erstellten Website. 2015 folgte dann der Umzug zu WEBneo um unsere Latex Outfits auch professionell online verkaufen zu können.'' ''Seit 2014 sind wir auch regelmäßig auf internationalen Modenschauen mit Präsentation und Verkauf vertreten, wie auf der Fetish Evolution in Essen (2014) und der Messe BoFeWo (2015).'' ''Seitdem arbeiten wir jeden Tag an unseren Kernkompetenzen und verfeinern unsere Designs, um unseren Kunden die beste Qualität und den höchsten Service bieten zu können.'' https://lldesaxe-fashion.de/wie-alles-begann --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:24, 16. Jan. 2021 (CET) ''Wir sind auf der Suche nach weiblichen Models aus dem Raum Dresden und Umgebung, die uns deutschlandweit auf angesagten Internationalen Fetish Messen als Model und Verkaufspersonal begleiten. Es werden weiterhin jährlich zwei große Fotoshootings mit professionellen Fotografen in Dresden und der Umgebung angesetzt, die zur Vermarktung unserer Produkte dienen sollen. Die Bilder sind sowohl für den Online Shop an sich, aber auch für die Social Media Kanäle, Print und den Digitalen Medien. Alle 3 Monate finden bei einer Abendveranstaltung zudem Team Buildings statt.'' ''Folgende Voraussetzungen solltet du dabei mitbringen:'' *''Du bist zwischen 18 und 35 Jahre alt,'' * ''hast eine Kleidergröße von maximal 36 bis 38'' * ''und bist mindestens 1,55 m groß.'' ''Wichtige Voraussetzungen sind:'' ''Du hast keine Berührungsängste mit Latex Kleidung, bist zeitlich flexibel, teamfähig und zuverlässig. Du kannst sicher posieren und auf High Heels laufen, bist offen im Umgang mit Kunden sowie sprach- und redegewandt. Wenn Du bereits Erfahrung im Bereich Modeverständnis und Styling hast, ist dies von Vorteil.'' ''Wenn Du nun Lust bekommen hast, bei einem innovativen und hochwertigen Latexlabel mitzuwirken, dann bewirb Dich bei uns. Jede bekommt bei uns eine Chance.'' ''Schreib uns eine Mail mit deinen Personen gebunden Eckdaten und stell Dich bei uns vor. Vielleicht gehörst du schon bald zu unserem Team. Wir freuen uns auf deine Bewerbung.'' ''Deine persönliche Vorstellung nach Terminvereinbarung erfolgt in unseren Geschäftsräumen:'' LLdeSaxe Fashion Schandauer Straße 23 B 01309 Dresden https://lldesaxe-fashion.de/werde-model-bei-lldesaxe-fashion vgl. https://www.facebook.com/Becca-de-Saxe-789572294522639/ Fetischmodel bei LLdeSaxe Fashion. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Latex wird aus dem Milchsaft des Kautschukbaumes gewonnen, welcher durch Räuchern und Walzen zu Kautschuk weiterverarbeitet und anschließend durch Vulkanisation zu einem stabilen Material wird. Weltweit gibt es zwar verschiedene Latexhersteller, bekannt sind jedoch vor allem 3 große Latex-Hauptproduzenten. Dabei unterscheiden sich deren Produkte zum Teil erheblich voneinander.'' ''Der Malaysische Rubber bietet zum Beispiel die größte Farbauswahl, enthält dabei aber auch die meisten chemischen Zusätze. Er wird in Asien hergestellt und auch verarbeitet.'' ''Radical Rubber stellt in Großbritannien seinen Latex her, welcher ein Spektrum von ca. 200 verschiedenen Farben bei weniger chemischen Zusätzen bietet.'' ''Wir von LLdeSaxe Fashion hingegen setzen für unsere Latex-Bekleidung auf den Latexproduzenten FOUR D Rubber aus England. Deren Premium-Latex ist nicht nur Fair Trade, es enthält auch so gut wie keine chemischen Zusätze und hat eine sehr hohe Qualität. Dabei bietet FOUR D Rubber mit über 70 Farben auf ökologischer Basis eine sehr große Auswahl. Unsere Latex-Bekleidung ist somit rein biologisch - bis hin zum Latex-Kleber.'' ''Auch wenn der m²-Preis um einiges höher ist, setzen wir aus Überzeugung auf FOUR D Rubber. Schließlich sind unsere Latex-Outfits damit auch besonders langlebig und komplett ökologisch abbaubar. Dies macht sich auch bei der Latexverträglichkeit positiv bemerkbar: Eine Kundin, die bereits eine Latex-Allergie entwickelt hatte, konnte völlig beschwerdefrei unsere Bekleidung tragen.'' ''Das Besondere an dem von uns verwendetem Premium-Latex ist sicherlich die aufgeraute Innenseite, weshalb sich unsere Latex-Bekleidung samtig weich anfühlt und nicht an der Haut klebt. Ein weiterer Vorteil ist die damit verbundene, deutlich geringere Schweißbildung. Nicht umsonst ist unser Motto: „Latex das anzieht“'' ''Die Latex-Produktion'' ''Gefertigt und produziert wird unsere Latex-Bekleidung in unserer Dresdner Manufaktur. Damit findet die Herstellung komplett in unserem Hause statt – Von der Erstellung der Schnittmuster, über die kostenfreie Maßanfertigung bis hin zum Versand. Nach Fertigstellung eines Latex-Outfits nehmen wir mehrere Qualitätskontrollen vor. Anschließend wird das Produkt gereinigt, poliert und anziehfertig eingepackt. Bei der Bestellung von Latex-Anzügen und Latex-Kleidern wird die Ware in einer limitierten Kleiderhülle mit unserem Logo verschickt. Alle anderen Produkte versenden wir vakuumverpackt zu Ihnen nach Hause. Danach heißt es nur noch: Anziehen – Wohnfühlen – Glücklich sein.'' https://lldesaxe-fashion.de/latex-das-material-seine-herstellung-und-verarbeitung --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:46, 16. Jan. 2021 (CET) ''Ende September ist es endlich wieder soweit: Die Bondage-Fetish-World, kurz BoFoWo – Deutschlands größte Messe im Bereich Fetisch und Bondage – öffnet für Szeneliebhaber wieder ihre Tore. Einmal pro Jahr findet sie in Hofheim am Taunus, nähe Wiesbaden statt. Vom 30.09. bis 02.10.2016 präsentieren hier wieder zahlreiche Aussteller ihre Produkte aus Lack, Leder & Latex sowie Kunst, Bücher, Filme und vieles mehr. Abgerundet wird die Messe durch ein attraktives Rahmenprogramm mit Workshops, Lesungen und Performances.'' ''Natürlich dürfen dabei auch wir von LLdeSaxe Fashion nicht fehlen! Mit einem der größten Messestände - ca. 25m² - und unserer größten Präsentationsfläche mit insgesamt 6 Leuten sind wir auch diesmal wieder auf der BoFoWo vertreten.'' ''An 3 Messetagen stellen wir Ihnen exklusiv unsere neuste Latex Kollektion vor. Wir haben aber auch ein breites Potpourri aus nahezu allen Produkten unseres Onlineshops für Sie im Angebot und diese können gleich gekauft und mitgenommen werden. Auf ausgewählte Produkte an unserem Aktionsständer bieten wir Ihnen sogar 10% Messerabatt an!'' ''Neben dem Verkauf steht Ihnen zusätzlich unserer exklusiver Fashion Point zur Verfügung. Am Fashion Point können Sie Ihr individuelles Outfit planen und bestellen. Dies umfasst Beratung, Information und Vermessung. Unser qualifiziertes Team berät sie gern.'' ''Die große Latex-Modenschau am Samstag bildet dann eins DER Highlights der Messe. Wer gern exklusive und einzigartige Latex Kleidung sucht, wird an unserem Messestand sicher fündig werden.'' https://lldesaxe-fashion.de/messe-spezial-die-bofewo-2016 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Unsere Kunden haben es bereits in verschiedenen Bewertungen bestätigt:'' ''Bei LLdeSaxe Fashion genießt der Kunde vollste Transparenz und Sicherheit bei seiner Bestellung. Sie haben die Möglichkeit, sich jederzeit in Ihr Kundenkonto über den aktuellen Status Ihrer Bestellung kundig zu machen. Haben Sie eine Frage zu einem Produkt oder wünschen sich eine individuelle Sonderbestellung? Kein Problem, wir melden uns immer in der Regel innerhalb von 24 Stunden bei Ihnen und erstellen zum Beispiel gern ein kundenorientiertes Angebot für Ihre Sonderbestellungen - Auch von Produkten, die Im Shop (noch) nicht angeboten werden.'' ''Ein Kunde fragte beispielsweise einmal nach einem Dalmatiner-Shorty an, passend zu seiner Latex-Maske, Stulpen und Pfoten. Wir designten also einen passenden Shorty in Weiß, schnitten schwarze Punkte aus und schicken dem Kunden einen möglichen Designvorschlag per Foto. Anschließend kleben wir sein Wunsch-Muster auf und sorgten so für einen echten Hingucker.'' https://lldesaxe-fashion.de/lldesaxe-fashion-kundenzufriedenheit-die-uns-begeistert --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:43, 16. Jan. 2021 (CET) ''Gute Nachrichten für alle Liebhaberinnen und Liebhaber der hochwertigen Latexbekleidung von LLdeSaxe Fashion: Wir haben unseren Fashion Point im Secret Desire in der Dresdner Neustadt für Sie ausgebaut und einen kompletten Stand mit unserer exklusiven Latexkleidung aus unserer Manufaktur installiert. Ab sofort finden Sie hier unter anderem Latex Anzüge, Latex Leggings, Kleider, Catsuits und vieles mehr für Damen und Herren. Natürlich haben wir auch die passenden Latex-Accessoires für Ihr individuelles Outfit. Die edlen Stücke gibt es in den Größen S, M und L. Kommen Sie einfach ins Secret Desire und probieren Sie sie an. Das Beste daran ist: Sie können die Latexbekleidung direkt kaufen und mitnehmen! Selbstverständlich finden Sie in unserem Fashion Point auch gleich die passenden Pflegeprodukte, damit Sie lange Spaß mit unseren Latex Outfits haben.'' https://lldesaxe-fashion.de/der-fashion-point-in-dresden-hat-jetzt-auch-latex-kleidung-direkt-vor-ort * ''Am Sonnabend eröffnet Jessica Vogt auf der Rothenburger Straße ein neues Lädchen für Drunterziehsachen: Secret Desire. Obwohl, ganz so neu ist das Lädchen nun auch wieder nicht. Schon seit November 2013 werden hier Schlüpfer, Strapse und andere Unterwäsche verkauft. Doch im Januar hatte die „fem2glam“-Chefin Dina Stiebing angekündigt, den Laden zu schließen. Der Grund dafür wartet zurzeit nur noch auf den richtigen Moment um mit einem kräftigen Schrei zur Welt zu kommen. Dina hatte schon damals erzählt, dass sie jemanden sucht, der den Laden übernehmen könnte. Das ließ sich Jessica Vogt nicht zweimal sagen. Die studierte Diplom-Ökologin hatte zuletzt als Imbiss-Frau an Katys Garage gearbeitet. Nun tauscht sie Würstchen gegen Mieder und stürzt sich in die Selbstständigkeit. „Die Sachen sind für den Tanz an der Stange geeignet“, grinst sie frivol. Im Wesentlichen bleibt der Laden, wie er ist. Ein bisschen wurde umgeräumt und die Umkleidekabine wird vergoldet. „Ich war Stammkundin bei Dina und bin der Meinung, dass der Laden weiter geführt werden muss.“ Am Sonnabend um 11 Uhr will sie zum ersten Mal die Türen öffnen. Es gibt Prosecco und Sushi und natürlich jede Menge Schlüpfer. Letzteres übrigens auch für Herren, das ist neu. Mal sehen, ob es Jessica gelingt, das sogenannte starke Geschlecht in ihr kleines Lädchen zu locken. Vorbesitzerin Dina Stiebing wünscht ihr auf jeden Fall schon mal viel Erfolg, Dinas Unterwäsche gibt es jetzt nur noch online (Domain zu verkaufen).'' [https://www.neustadt-ticker.de/45127/aktuell/nachrichten/secret-desire Es bleibt schlüpfrig auf der Rothenburger] 14. April 2016 Anton Launer Secret Desire – Neueröffnung Sexy Dessous, frivole Abendmode und coole Clubware. Rothenburger Straße 7, 01099 Dresden, Telefon: 0176 24942511, Montag bis Freitag: 11.30 bis 19 Uhr, Sonnabend 11 bis 17 Uhr, weitere Infos auf der Facebook-Site (Seite nicht verfügbar) [Twitter nur ein Eintrag von 2016] https://twitter.com/secret_desiredd [https://www.tag24.de/nachrichten/stammkundin-reizwaesche-shop-dessous-67148 STUDIERTE GRILLMIEZE VERKAUFT JETZT SCHLÜPFER] tag24 vom 18. April 2016 Von der Würstchen-Brutzlerin zur Dessous-Verkäuferin: Jessica (30) ist jetzt Chefin vom "Secret Desire". Von Tom Schmitdgen Dresden - Vom Grill ins Negligé - Jessica Vogt (30) übernimmt den Dessous-Laden „Secret Desire“ (vorher „Fem2Glam“) auf der Rothenburger Straße. Am Wochenende eröffnete sie das 60 Quadratmeter große Spezialgeschäft (500 BHs, Mieder, Bodys). Die studierte Ökologin stand zuletzt am Würstchengrill bei „Katys Garage“. Doch jetzt zog es sie in den Wäscheladen. Denn die vorherige Chefin Dina Stiebing (37) hatte ihren Reizwäsche-Shop vor zwei Wochen wegen ihrer Schwangerschaft geschlossen. „Ich war früher Stammkundin und wollte nicht, dass der Laden einfach schließt“, sagt die neue Dessous-Chefin. „In Zukunft plane ich auch Ausstellungen und erotische Lesungen im Geschäft. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:44, 16. Jan. 2021 (CET) === Entwürfe === [https://www.facebook.com/LatexFashionDesign/photos/a.516389838434004/5006789482727328/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/139067194_5006789486060661_7750722395006097503_o.jpg?_nc_cat=102&ccb=2&_nc_sid=730e14&_nc_ohc=lEzBHqNm134AX8pVTK_&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7efd93241f046fe67ca7028ca4eb0d2d&oe=6026DF5F “As delicate as flower, as tender as rose petals, choosing to be tender and kind in a harsh environment is not weakness, it's courage.” ― Luffina Lourduraj] (′′ So zart wie Blume, so zart wie Rosenblätter, die sich entscheiden, zart und freundlich in einer harten Umgebung zu sein, ist keine Schwäche, es ist Mut." - Luffina Lourduraj) - violetter Latexumhang --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:52, 16. Jan. 2021 (CET) == Satyamurti Cornelis Snoek == == Surfen== === Keala Kennelly === [[w:de:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] [[w:en:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] en [[w:fr:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] fr [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/ FB] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/131488510956/ 29. August 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/135850190956/ 6. September 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/280410355956/ Brrrrrrrr! Winter in the South Bay.] 29. Jan. 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/453009100956/ I won the Nelscott Reef Women's Big-wave Paddle-in event today. It was a nice distraction for a moment from all the pain of loosing my boy Andy.] Ich habe heute das Big-Wave-Paddle-In-Event der Nelscott Reef Women gewonnen. Es war eine schöne Ablenkung für einen Moment von all dem Schmerz, meinen Jungen Andy zu verlieren. - 4. November 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/472181295956/ Surfer Poll Pirate.] 12.12.2010 - noch Spaß [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150109351905957/ This is my new Donjoy Knee brace. This thing is serious. I feel like Robo-cop or something. Lets hope it works well in the water] (Dies ist meine neue Donjoy Knieorthese. Diese Sache ist ernst. Ich fühle mich wie Robo-Cop oder so. Hoffen wir, dass es im Wasser gut funktioniert) März 2011 Unfall 27.? August 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150320862555957/ The Phantom mask arrived and... It looks ridiculous! It's WAY too big. I am going to send it back. It was worth a try.] Die Phantommaske ist angekommen und ... Es sieht lächerlich aus! Es ist viel zu groß. Ich werde es zurückschicken. Es war einen Versuch wert. - 13. Oktober 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150632930575957/ That's a hell of a way to win the comeback of the year award, but hey I will take it Thanks TransWorld SURF!] (Das ist eine verdammt gute Möglichkeit, das Comeback des Jahres zu gewinnen, aber hey, ich werde es nehmen Vielen Dank, TransWorld SURF!) - 8. April 2012 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151360156120957/ It's been almost 2 years since my surfing accident in Tahiti... I see a swell... Time to get back on that horse.] (Es ist fast 2 Jahre her seit meinem Surfunfall in Tahiti ... Ich sehe einen Wellengang ... Zeit, wieder auf dieses Pferd zu steigen.) Am 3. Dezember 2013 hielt Keala auf der TEDx Malibu einen Vortrag über Lust und Surfen: "Ich bin Keala Kennelly und ich bin ein Surfer." https://www.youtube.com/watch?v=eSvsrzPCZ5o [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151899575820957/ 12.März 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155122831665957/ Me and the champ @paigealms a few years back about to go slay dragons somewhere cold. I would have loved to compete with you in the @wsl #maverickschallenge this year. Too bad Mother Nature didn’t cooperate. Congratulations on your #bigwave #worldtitle I’m so very proud of you my friend] März 2014 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430223345957/ 21. Dezember 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430284150957/ 21. Dez. 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155610476290957/ 27. Okt. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155708213405957/ 16. Dez. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155808808865957/ 5. Febr. 2019] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:36, 1. Jan. 2021 (CET) ==Wasserballet == [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157432917 nackte nymphe] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157692623 nymphe 2] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755467 Underwater Ballet. Ballerina performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755487 Underwater Ballet. Ballet dancers performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/dancing-vision-013-lizenzfreies-bild/983042290 Dancing Vision 013 unterwasser in rot und weiß] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3246570 Submarine Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert, Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3332495 Water Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert/Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818228 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818227 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/utah-orem-female-ballet-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/163445400 USA, Utah, Orem, Female ballet dancer under water] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-fashion-pool-party-young-woman-diving-at-lizenzfreies-bild/838059614 Underwater fashion pool party, Young woman diving at swimming pool] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/women-rehearsing-for-water-ballet-lizenzfreies-bild/522170012 Women Rehearsing for Water Ballet (Original Caption) Submerged ballerinas rehearse for a show at Leisure World in Laguna Hills, California.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/639988160 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-girl-lizenzfreies-bild/642637812 Underwater Girl. Beautiful young ballerina dancing inside the swimming pool] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/51309459 Aquatic Ballet From 'La Folies Bergere'. Two actors dance during the performance of an aquatic ballet at the 'Folies Bergere,' Paris, France, July 1952. (Photo by Nat Farbman, The LIFE Picture Collection)] * [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/50651216 Bild 2] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/figurine-to-one-of-the-rhine-daughters-for-the-nachrichtenfoto/1155868795 Figurine To One Of The Rhine Daughters For "The Rhinegold" By Richard Wagner Figurine to one of the Rhine daughters for "The Rhinegold" by Richard Wagner, circa 1913. Found in the Collection of Theatre Museum, Vienna. Artist Moser, Koloman (1868-1918). (Photo by Fine Art Images] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/das-rheingold-1st-scene-at-the-bottom-of-the-rhine-nachrichtenfoto/919717270 Das Rheingold. Das Rheingold, 1st scene, at the bottom of the Rhine. Bayreuth, 1896, 1896. Found in the Collection of Veste Coburg. (Photo by Fine Art Images)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215747 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-diver-dressed-as-a-mermaid-swims-during-a-show-nachrichtenfoto/77215732 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) A female diver dressed as a mermaid swims during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215749 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/young-woman-in-pool-and-synchronized-swimming-lizenzfreies-bild/1125338066 Young woman in pool and synchronized swimming.] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/girls-practicing-lizenzfreies-bild/1001603246 Girls practicing synchronised swimming] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/female-dancer-performing-under-water-lizenzfreies-bild/107227572 Female classic dancer performing under water in huge red flamenco dress] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/635847936 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/gracefull-female-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/1218911725 gracefull female dancer, ballerina, performing under water in evening dress] [https://www.gettyimages.de/fotos/wasserballet?page=62&phrase=wasserballet&sort=mostpopular Wasserballet] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:46, 10. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=3304759069569835&set=pb.100001073237260.-2207520000..&type=3 Unterwasser Pool Dance] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:55, 1. Apr. 2021 (CEST) == Stammtisch == == Film == [[w:de:Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme|Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme]] [[w:de:Onibaba – Die Töterinnen|Onibaba – Die Töterinnen]] 22.11.1974 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Police_women_(Suzuki),_colored_version.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rally_Finland_girls_at_the_2004_Rally_Finland.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2017_%EF%BC%88%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%B5%E3%83%AD%E3%83%B32017%EF%BC%89-145_(32324539015).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2014_with_NAPAC_069_(11928415683).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Auto_Salon_2019_(46716676402).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2018-10_(39796580051)_(2).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4064234086).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4056011396).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_43rd_Tokyo_Motor_Show_2013_PENTAX_K-3_173_(11248257665).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-42_(38007568292).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-40_(24186220808).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-41_(38038306141).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binary_Domain_stick_em_up.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Biker_girl_(1869378328).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bianca_Beauchamp_E3.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Alexis_Sinclaire_from_Sin.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC02787_(25113378).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC06667_(5812038000).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2010_._._(4705546060).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Firefall_4_5_(7794135388).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geleos_Media_girl_(3538443656).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_E3_2011_No.21.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joanna_Dark_GC_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nival_girl_on_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nova_Online_girls.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Samus_and_Link_at_Igromir_2012_2.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Royal_Quest_girls_of_Igromir_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yet_Another_Booth_Babe_(14703146).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2017_20170922-DSC_2297_(37593917581).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018_(29698389636).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018(29442725600).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2015_19_(21355000028).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108514369).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108565470).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2014_068_(15120325928).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thermaltake_Technology_promotional_models_at_Computex_20140604a.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Paris_-_Salon_de_la_moto_2011_-_BMW_-_C_650_GT_et_h%C3%B4tesses_-_004.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bayonetta_at_Igromir_2009_(4081240065).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crytek_booth-babe_from_Games_Territory_2008_(2986745404).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crytek_booth-babes_from_Games_Territory_2008_(2986745314).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2011_-_Vindictus_girl_(Nexon)_(5831895796).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girl_at_Igromir_2012_(8057057026).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149130470).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149152274).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192248).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Green_girl_from_Igromir_2007_(1869368430).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(29440043834).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(30016564876).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3011794487).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3012636224).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PAX_2009_-_Bayonetta_(3908301541).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Penny_Drake_dressed_as_Bayonetta_-_E3_2009_(4980795423).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Scythe_lady_(5811227302).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Warhammer_40K_at_Gamescom_(20451073662).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:WH40K_at_Gamescom_2015_(20241517278).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2017-Wednesday-007_(35929619784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2015-269_(20371168485).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_4.jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_5.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2016-267_(29073160575).jpg --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:04, 3. Jan. 2021 (CET) == Second live == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Second live]] == Paralipomena == Wir wissen doch schon lange, wie der amerikanische Geheimdienst den Markt zugunsten sog. "Moderner Kunst" mit Unsummen beeinflußt hat, weil die USA an Klassischer Kunst unterbelichtet sind - es gibt ja auch heute noch eine Geheimdienstgalerie Modern Art, nur für die eigenen (verdienten) Mitarbeiter besuchbar - eine eklige Schmierenkomödie, diese ganze "Moderne Kunst" - und derzeit zur Spielbank und Lotterie entartet, so wie ich das hier in der Kunststadt Dresden beobachten kann: Kauf auf Wertzuwachs, Wetten auf steigende Preise - das soll Kunst sein? Pfui Teufel! Die Kunstwerke verschwinden sehr oft in den Tresoren oder gleich auf der Bank - weswegen ich an diesem Markt nicht teilnehme - ich bin doch keine Hure! Meine Niemandskunst bleibt bis auf weiteres unveröffentlicht. Basta. Nur wenn die Chemie stimmt, zeige ich jemandem etwas persönlich. Ich prostituiere mich nicht für Geld. Punkt. Habe ich zeitlebens nicht gemacht, und die paar Jährchen muß ich nun auch nicht mehr. Früher hatte das schwere Konsequenzen (Haft, Zersetzung der Familien, Partnerinnen und meine erste Frau wurden zum Selbstmord(versuch) getrieben, Vergewaltigung meiner zweiten Frau bei unserer Ausbürgerung aus der DDR, Berufsverbote und und und - und ich habe mich nicht gebeugt. Heute hat das keine größeren Konsequenzen (die Gesellschaft hat größere Probleme als Verweigerer), und da habe ich es erst recht nicht mehr nötig, mich zu beugen - auch keinem "Kunstmarkt" gegenüber. Kann mich mal kräftig am Arsch lecken. Haben fertig. Bilder zurückhalten ist keine Lösung. Kunst will gesehen werden... HAUPTSACHE, mich befriedigt es! Was weiß ich, was ein andrer davon hat? Und was hätt ich davon, wenn ein andrer als ich davon was hat? Und wie geschrieben, wenn die Chemie stimmt, lass ich auch mal was sehen. Es gab hier vor zweihundert Jahren den Fall eines hervorragenden Malers, der hatte das Geheimnis der leuchtkräftigen, stabilen Renaissancefarben in jahrzehntelangen Experimenten gelüftet. Er erhoffte sich (nicht nur dadurch) eine existenzsichernde Anstellung an der Kunstakademie hier (er war auch ein hervorragender Künstler). Wurde aber abgelehnt - sicher aus politischen Erwägungen heraus. Er hat dann sein Geheimnis mit ins Grab genommen (er liegt hier auf dem Trinitatisfriedhof - man könnte ja mal buddeln LOL). Das war sein gutes Recht! Ich erinnere in dem Zusammenhang daran daß selbst ein Caspar David Friedrich niemals ordentlicher Professor der Kunstakademie in Dresden wurde, obwohl er hier über vierzig Jahre gelebt und gewirkt hatte - er war eben Napoleongegner und deutschnational. https://de.wikipedia.org/wiki/Caspar_David_Friedrich#Patriotismus_gegen_Napoleon --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:41, 10. Mär. 2021 (CET) ich habe Gewaltexzesse veröffentlicht. Ich muss mein Kind und mich schützen, weil Menschen bereit sind unter dem Deckmantel von was anderen Menschen zu töten. Ich habe keine Kraft alles schneller hinzubekommen, weil mir mit der Gewalt in einem jungen Leben auch die Existenzsicherung genommen wurde. Damit bin ich nun beschäftigt. Die Existenz zu sichern. KDP ist aber kein Händler, sondern ein "Verlag" von Amazon. Da sind meine kompletten Daten hinterlegt, weshalb ich jederzeit erreichbar bin. Klar kann es sein, dass irgendein Anwalt, der Geld machen will, statt den Sinn hinter dem Gesetzt zu wahren, eine Lücke nutzt, um abzuzocken. Ich muss mich da definitiv drum kümmern, aber das braucht Zeit. Ich muss das Buch rausnehmen, ändern und neu veröffentlichen. Oder andere Ideen? https://www.facebook.com/happy.bine.39 アン トン: Happy Bine ja, raus nehmen, Impressum einfügen und wieder einstellen. Weiß nicht ob das mit einem Update geht oder nicht. Deswegen bin ich am Überlegen bei BOD zu veröffentlichten, die zählen als Verlag und da reicht die Angabe von Pseudonym und BOD als Verlag . Und nein KDP ist KEIN Verlag, es ist eine Veröffentlichungsplattform für Self Publisher. Sie sind nicht als Verlag eingetragen. Du kannst auch „Fake Daten bei Biografien.....“ bei KDP angeben, die nicht geprüft werden. KDP war wegen „seltsamer“ Veröffentlichungen eh schon öfter in Kritik Antwort: Vielleicht geht es ja auch so. Ich möchte ja auch die Bewertungen nicht verlieren und auch nicht die bisherigen Verkaufszahlen. Nun muss ich aber erst einmal einen neuen Impressumservice finden. https://www.facebook.com/groups/dasautorenhilfeforum/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:02, 10. Jan. 2021 (CET) weiß ich -immer von schönen Damen wie im Video zu sehen kenn ich aus Tenerife - erstes Pinguinarium der nördlichen Hemisphäre im Loro Parque in Puerto de la Cruz: ich hatte als Batman mit einem weiblichen kleinen Gummi-Pinguin Werbung gemacht, da wurden extra kleine Frauen für gecastet - unter den indigenen Einwanderern aus Süd- und Mittelamerika gab es genügend Auswahl - war ein toller Kontrast - schon der Größenunterschied, der Pinguin in glänzenem Schwarz-Weiß und ich in glänzendem Schwarz, alles in der prallen Sonne nahe dem Abfahrtsplatz der "Straßenbahnen" (motorisiert) zum Loro-Parque - ein voller Erfolg - ja, und im Pinguinarium schufteten neue MitarbeiterInnen in Trockis (Trockentauchanzügen), um von innen die Panzerglasscheiben freizuhalten - die waren wegen des hohen Temperaturunterschiedes im Nu vereist, diesen Effekt hatte keiner auf der Liste - die MitarbeiterInnen kamen nach der langen Schicht klatschnass aus ihren Trockis, da war ich als Gummi-Batman noch besser dran, so haben die von der schweren Arbeit gedampft - und der Dampf konnte nicht raus wie beim Schnellkochtopf LOL --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:32, 10. Mär. 2021 (CET) ja Bauhaus - räumlich und zeitlich nicht ganz so weit von mir weg - und MACH WAS DRAUS: als Junge hab ich das nachgebaut - und keinen Mangel an Modellen gehabt - zum Schluß klebten die dann alle irgendwie komplett in Alufolie und Zellophan (so hieß bei uns durchsichtige Plastikfolie) - Hauptsache, nicht nackig LOL - und die haben Schlange gestanden, soviel Material hatt ich gar nicht, das war schwierig in der DDR zu besorgen (wir hatten mal Bundis zu Besuch, die hatten seinerzeit weltweit Sonnenkocher-Seminare durchgeführt, auch bei uns in der Zone - die waren entsetzt, daß unsere Alu-Knappheit viel größer war als in Afrika, wo sie sich wegen der Sonne und dem knappen Brennstoff des Öfteren aufhielten LOL) - heute ist dieser begrenzende Faktor zum Glück ja entfallen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 11. Mär. 2021 (CET) Klassiker. Bin ich mit groß geworden. Und auch mit dem Material. Meine ersten Damen besaßen sogar noch Material der Prä-Nazi-Ära: Bürgermaske, Gasanzug ... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 11. Mär. 2021 (CET) == Schönheit == [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=181300523741200&set=p.181300523741200&type=3 FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/137275705_181300530407866_3397208782784515620_n.jpg?_nc_cat=107&ccb=2&_nc_sid=dbeb18&_nc_ohc=yYP5kA9jywIAX9X9YKi&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=d0657d01f4d51b26bd1aceb22a95b4bf&oe=6022F5B8 Ein Herz für soviel Schönheit] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:56, 13. Jan. 2021 (CET) == Adam Cullen == [[w:de:Adam Cullen|Adam Cullen]] == Maler Ludwig Counet == [[File:Trier Gedenkkreuz Counet 1721.jpg|mini|Gedenkkreuz für den in Trier ermordeten „Maler Ludwig Counet“, Südwestseite der Kirche St. Paulin in Trier.]] [[w:de:Louis Counet]]: Counet erlangte 1690 mit seiner Familie das Bürgerrecht in Trier[8] und stieg in einer steilen Karriere zum regionalen „Malerfürsten“ auf. Der Rat der Stadt Trier, Klöster, Stifte und Pfarrgemeinden der Stadt und der Großregion, selbst der kurfürstliche Hof in Koblenz-Ehrenbreitstein wurden zu seinen Auftraggebern für ganze Serien von großformatigen Gemälden mit religiösen, gelegentlich auch allegorischen oder mythologischen Themen und für seine selteneren Porträts. Seine Produktion an Altarblättern, Kirchenschmuck und profanen Staffeleimalereien war so umfangreich, dass sie nur mit Hilfe einer größeren Werkstatt zu bewältigen war. Selbst für seine alte Heimat, zu der er weiterhin Kontakte[9] aufrechterhielt, führte er noch Aufträge aus, beispielsweise zwischen 1717 und 1720 zwei große Historienbilder und fünf Supraporten für das Rathaus der Stadt Lüttich. Wenn er dabei als höchstbezahlter Maler des Projekts fungierte,[10] entsprach das seinen üblichen Dotierungen in Trier. Die hohen Einkünfte wurden ihm schließlich zum Verhängnis. Mit dem Honorar für sechs Großgemälde in der Tasche fiel er am 5. August 1721 einem Raubmord zum Opfer. Ein Gedenkstein bei der Kirche St. Paulin in Trier erinnert noch heute an ihn. == Afterkunst == === Grimmsches Wörterbuch === AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. === Friedrich Hebbel === Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm === Entartete Kunst === [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jüdische "Afterkunst" === NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) === Filmlexikon === https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Facebook === https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) === Kunstdienst der evangelischen Kirche === [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) === Herbert Tannenbaum === [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) === Dominikus Böhm === [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jeanpierre Heizmann === [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) === Scheißpolitik === Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 == Löschversuch == [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt_Diskussion:Niemandskunst&diff=771216&oldid=746765 Diff-Link] == Anmerkungen == gnyq6kcl2s4gthulhrfzxiyq93x8uoh 784736 784719 2022-08-22T06:53:05Z Methodios 23484 /* Afterkunst */ wikitext text/x-wiki == Straßenkunst == ''Dresden. Ein Straßenkünstler hat am Donnerstagnachmittag auf dem Neumarkt in Dresden einer 30-Jährigen mit einem Seil ins Gesicht geschlagen. Die Frau wurde dabei leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die den Vorfall beobachtet haben. Nach Angaben der Polizei machte die 30-Jährige im Bereich der Frauenkirche Fotos. Dabei geriet sie offenbar mit einem dort auftretenden Künstler in Streit. Anschließend schlug der 40-Jährige zu. Wer Angaben zum Geschehen machen kann, soll sich bei der Polizeidirektion Dresden melden. Insbesondere sucht die Polizei das Pärchen, das sich im Anschluss an den Vorfall mit der 30-Jährigen unterhielt.'' [https://www.dnn.de/Dresden/Polizeiticker/Neumarkt-in-Dresden-Strassenkuenstler-schlaegt-Frau-mit-Seil Straßenkünstler schlägt Frau auf dem Neumarkt in Dresden mit Seil.] Eine Frau will auf dem Neumarkt in Dresden Fotos machen. Dabei kommt es zum Streit mit einem dort auftretenden Straßenkünstler, der ihr mit einem Seil ins Gesicht schlägt. Jetzt sucht die Polizei Zeugen. DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:45, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Dresden. Am Donnerstag gegen 14.20 Uhr ist eine Frau auf dem Neumarkt verletzt worden. Die Frau machte an der Frauenkirche Fotos, als sie offenbar mit einem dort auftretenden tschechischen Künstler in Streit geriet. In der Folge wurde sie mit einem Seil im Gesicht getroffen und leicht verletzt. Die Polizei sucht Zeugen, die Angaben zum Geschehen machen können. Insbesondere ein Pärchen, das sich nachher mit der 30-Jährigen unterhalten hatte wird gebeten sich bei der Polizei zu melden. Hinweise nimmt die Polizeidirektion Dresden unter der Rufnummer (0351) 483 22 33 entgegen.'' [https://www.saechsische.de/polizei/frau-auf-neumarkt-verletzt-5277548.html Frau auf Neumarkt verletzt. Bei einem Streit in der Innenstadt wurde sie von einem Seil getroffen. Nun sucht die Polizei Zeugen.] SZ vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:07, 18. Sep. 2020 (CEST) == Bunker == ''Kinder haben beim Spielen in einem Wald bei der brandenburgischen Gemeinde Nuthetal einen unterirdischen Bunker entdeckt. Der von Hand gezimmerte Unterschlupf, indem sich vieles findet, was man für einen längeren Aufenthalt unter Tage braucht, ist aufwendig ausgebaut und gibt derzeit vor allem Rätsel auf.'' ''Bild: Der Bunker ist innen mit Holz verkleidet und hat etwa die Größe eines Kinderzimmers. Er hat auch ein Lüftungsloch und eine kleine Treppe, die in den Bunker führt. Dort liegt auch ein Handfeger griffbereit.'' (zwei Feldbetten?, zwei Campingstühle, Tischchen, Petroleumlampen, Kleinmöbel, Holz, Isomatte, Geschirr, Lebensmittel, Wandteller, Sandboden, Innenstütze, Deckenbalken, Plastikplane als Zimmer-Decke, nur kleines "Mannloch") [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Bunker-in-Nuthetal-Kinder-finden-mysterioesen-Unterschlupf-im-Wald MAZ vom 15. September 2020.] [https://www.dnn.de/Region/Der-Osten/Kinder-finden-mysterioesen-Bunker-in-Brandenburger-Wald Bergholz-Rehbrücke. Kinder finden mysteriösen Bunker in Brandenburger Wald.] DNN vom 18. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:55, 18. Sep. 2020 (CEST) ''Ist der Bewohner des rätselhaften Bunkers, der in einem Wald in Nuthetal gefunden wurde, noch einmal in seinen Unterschlupf zurückgekehrt? Es sieht alles danach aus: Als Gemeinde-Arbeiter die Sachen aus dem Bunker holen wollten, war das Schloss aufgebrochen. Im Bunker fehlte das Wertvollste, was sich vorher darin befand.'' ''Bild: Der Bunker ist am Mittwoch bereits eingerissen worden. Die Gemeinde Nuthetal läßt ihn zurückbauen.'' [https://www.maz-online.de/Lokales/Potsdam-Mittelmark/Nuthetal/Mysterioeser-Bunker-in-Nuthetal-Vor-dem-Einreissen-kehrte-der-Bewohner-zurueck-und-holte-das-Funkgeraet Bergholz-Rehbrücke. Nuthetal lässt mysteriösen Bunker einreißen – doch das Funkgerät war bereits verschwunden] MAZ vom 16. September 2020. [[w:Märkische Allgemeine|Märkische Allgemeine]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:53, 20. Sep. 2020 (CEST) [[w:Nuthetal|Nuthetal]] - in der Nähe vom Südwestzipfel Berlins - im "Speckgürtel" - von 2003 bis 2017 fast 500 Einwohner gewonnen auf jetzt über 9.000 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:05, 20. Sep. 2020 (CEST) Wegen sowas häufen sich in Dresden und Umgebung die "unterirdischen Zelte" (der Begriff wurde von einem AfD-Stadtrat aus Berlin-Reinickendorf verwendet - das ordentliche Ordnungsamt hatte da die anwachsende "Zeltstadt"! - so 150 Einwohner Nähe Flughafensee - vor anderthalb Jahren geräumt, die Leute haben sich dann eingegraben, wurden zT entdeckt - sicher zu primitiv, sicher auch zu alkoholisch - und diese Bunker - mit zB Kühlung für Bierkästen - bezeichnete der sozial unbeleckte Stadtrat dann als "unterirdische Zelte"). https://de.wikipedia.org/wiki/Flughafensee vgl. [[w:Nasser Asphalt]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:53, 20. Feb. 2021 (CET) == Housing first == === Erstes Projekt in Sachsen: Leipzig === Und nun folgt auch Leipzig: Sn Sommer soll der Housing First in einem Modellprojekt erprobt werden. Berlin ist da schon weiter: wir arbeiten an der Verstetigung, weil es so gut läuft! [https://www.facebook.com/housingfirstfuerfrauen/ FB Housing First für Frauen, 18. März 2021] Eine eigene Wohnung ist das oberste Ziel der Hilfen für wohnungslose Menschen in Leipzig. Bezahlbare Wohnungen sind in Leipzig aber inzwischen knapp. Daher soll ab dem Sommer der Ansatz „Housing First“ erprobt werden – mit dem Modellprojekt „Eigene Wohnung“. Dies wurde in der Dienstberatung des Oberbürgermeisters auf Vorschlag von Bürgermeister Thomas Fabian auf den Weg gebracht. Jetzt muss noch der Stadtrat zustimmen. Der aus den USA stammende Ansatz „Housing First“ (auf Deutsch: zuerst eine Wohnung) verspricht gute Ergebnisse bei der Integration von obdachlosen Personen. Deshalb verfolgen etliche Kommunen in Europa und Deutschland diesen Ansatz. Bei „Housing First“ erhalten obdachlose Personen eine eigene Wohnung mit Mietvertrag und dazu eine individuell passende Hilfe durch Sozialarbeiterinnen und Sozialarbeiter. Die Anzahl der Personen, die Schwierigkeiten haben, ihre Wohnung zu halten oder bei Wohnungslosigkeit eine neue Wohnung zu finden, hat zugenommen. Besonders betroffen sind Personen mit Mietschulden sowie Menschen mit psychischen und Suchterkrankungen. Bürgermeister Thomas Fabian ist überzeugt: „Wir wollen obdachlosen Frauen und Männern die Möglichkeit eröffnen, eine eigene Wohnung zu beziehen. Sie erhalten dabei auch Unterstützung, die sie brauchen, damit ein Neuanfang gelingt. Unser Modellprojekt greift Konzepte und Erfahrungen des Ansatzes Housing First auf. Es ergänzt gut unsere Angebote der Obdachlosenhilfe in Leipzig.“ Entwickelt wurde das Projekt vom Sozialamt auf der Grundlage von Befragungen von Trägern der Wohnungsnotfallhilfe, Fachexperten und auch obdachlosen Personen. Grundzüge des Leipziger Konzeptes wurden in einer Strategiekonferenz mit Akteuren aus der Obdachlosenhilfe beraten. Das Modellprojekt soll im Sommer beginnen. Im Oktober könnten dann die ersten von mindestens 40 obdachlosen Personen in ihre Wohnung ziehen. Die Wohnungen werden vorwiegend durch die stadteigene Leipziger Wohnungs- und Baugesellschaft mbh (LWB) zur Verfügung gestellt. Aber auch Wohnungsgenossenschaften und private Wohnungsvermieter sollen einbezogen werden. Bis 2024 soll das Modellprojekt erprobt und während dieser Zeit auch wissenschaftlich evaluiert werden. Eine Koordinationsstelle im Sozialamt steuert die Umsetzung. Insgesamt 1,2 Millionen Euro werden für das Projekt bis 2024 eingeplant. [https://www.leipziginfo.de/aktuelles/artikel/modellprojekt-eigene-wohnung-fuer-obdachlose-personen-in-leipzig/?fbclid=IwAR2cjmPZddnGLP8_N-wRIANWMhBCgzHOhdyWjbNytNruFn3KM9wZp3A-R0I Modellprojekt "Eigene Wohnung" für obdachlose Personen in Leipzig. Ansatz „Housing First“ soll ab dem Sommer erprobt werden] 18.03.2021 Stadtinformationen Stadt Leipzig --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:36, 19. Mär. 2021 (CET) == Kunst für Housing First == '''''Worin bestand für Sie die Motivation, sich sozialunternehmerisch zu engagieren und das Projekt „Housing First“ ins Leben zu rufen?''' Das Engagement war doppelt begründet: Es ging uns einerseits um den Aufbau adäquater Hilfe für Wohnungslose, zugleich aber war unser Engagement auch politisch motiviert. Ein Schlüsselerlebnis war die Weihnachtsfeier im Düsseldorfer Kulturzentrum zakk vor vier Jahren, als wir feststellen mussten, dass wieder Wohnungslose verstorben waren. Vor dem Hintergrund unserer Philosophie, wonach wir – Wohnungslose und das Team des Düsseldorfer Straßenmagazins fiftyfifty – so etwas wie eine Familie sind (bei aller professioneller Distanz, die in der Sozialarbeit auch notwendig ist), reifte die Erkenntnis, dass chronifiziert obdachlose Menschen im bestehenden Stufensystem quasi überhaupt keine Chance haben, dauerhaft mit normalen Mietwohnungen versorgt zu werden und eine Verelendungsspirale die Folge ist. Meine Kollegin Julia von Lindern hatte sich auch als Lehrbeauftragte an der Hochschule Düsseldorf mit dem Housing First-Ansatz auseinandergesetzt. Es folgte eine Reise unseres Teams nach Wien, um Erkenntnisse vor Ort zu sammeln. Wir haben schlanke Strukturen – ganz im Sinne des lean management –, so dass Ideen stets gemeinschaftlich entwickelt und schnell realisiert werden können. ''' „Lean management“? Das klingt ganz nach einem unternehmerischen Ansatz.''' Housing first stellt natürlich einen Paradigmenwechsel im System dar, aber die linke Attitüde, die lange Zeit ausschließlich auf Systemkritik zielte, lässt sich meines Erachtens unter den gegenwärtigen politischen Vorzeichen nicht mehr durchhalten. Mit dem Erstarken des Rechtspopulismus gilt es, unser Sozialsystem nach Kräften zu verteidigen. Dafür nutzen wir bei fiftyfifty unsere Erfolge als Glaubwürdigkeitsvorsprung, d. h. unsere Arbeit wird immer von Gesprächen mit politischen Entscheidungsträgern sowie Trägern der Wohnungslosenhilfe begleitet. Und natürlich suchen wir gezielt die Öffentlichkeit, um u. a. über Social Marketing für unsere wohnungspolitischen Anliegen, aber natürlich auch unser Fundraising zu werben. Housing First bedeutet: Es besteht von Anfang an ein normales, unbefristetes Mietverhältnis mit allen Rechten und Pflichten. Wohnbegleitende Hilfen werden aktiv angeboten: Betroffene werden dazu ermutigt Probleme mit Unterstützung anzugehen, aber nicht dazu verpflichtet. Dort wo Housing-First bereits praktiziert wird, sind die Ergebnisse überzeugend. Housing-First wurde Anfang der 90er Jahre in den USA entwickelt. In den USA wird es seither in einigen Städten erfolgreich praktiziert. In Deutschland ist der Ansatz noch nicht weit verbreitet. '''Ist eine Triebfeder für Ihr sozialunternehmerisches Engagement auch in den fehlenden Erfolgen der staatlichen Sozial- und Wohnungspolitik zu sehen?''' In jedem Fall. Wir sind bei fiftyfifty zunächst einmal vor allem politisch motiviert, wobei wir inzwischen nicht nur von NRW-Sozialminister Minister Laumann, sondern auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren. Hinzu kommt ein beispielloses Echo in bekannten Leitmedien wie Süddeutsche Zeitung, Zeit online, Stern TV etc. und Fachmedien, durch das wir Housing First bundesweit ins Gespräch gebracht haben. Nicht nur dadurch haben wir umfangreiche Beratungsarbeit bei vielen Trägern der Wohnungslosenhilfe und Kommunen geleistet. Aus eigener Erfahrung und aus zahlreichen Forschungsvorhaben wissen wir, dass Wohnraum in Not geratene Menschen dauerhaft stabilisieren kann – insbesondere dann, wenn der Ansatz Housing first und nicht Housing only lautet. Housing First, wie wir es praktizieren, bedeutet, dass Obdachlose direkt von der Straße in Wohnungen gebracht und zudem professionell betreut werden. Dazu gehören auch tagesstrukturierende Maßnahmen, damit am Ende einer möglichen Vereinsamung in der neuen Wohnung vorgebeugt wird. Für die Politik liegt ein wesentlicher Vorteil des Housing First-Projekts darin, dass die Kosten für die jeweilige Kommune gleich null sind, d. h. unser Modell der Bekämpfung von Obdachlosigkeit kostet die Städte und Gemeinden quasi nichts. Die Düsseldorfer Wohnungsbaugesellschaft SWD etwa verfügt über 9.000 Wohnungen. Würde die Stadt aus diesem Kontingent die ca. 300 benötigten Wohnungen für etwa 300 Straßenwohnungslose, die es in der Landeshauptstadt gibt – ein Großteil der Wohnungslosen wird in diversen Notunterkünften und nicht dauerhaften Betreuungseinrichtungen mehr oder weniger gut versorgt – zur Verfügung stellen, würde die Miete über Transferleistungen gesichert. Und die Betreuung würden Verbände wie die Diakonie oder andere wahrnehmen, über Fachleistungsstunden, die beim Landschaftsverband abgerechnet werden. Die Landschaftsverbände finanzieren sich über kommunale Umlagen, die Städte wie Düsseldorf sowieso zahlen – ob sie Housing First anbieten oder nicht. '''Welche Hindernisse gab es zu überwinden?''' In der Entstehungsphase war ein Hindernis die Schaffung einer funktionsfähigen Organisationsstruktur, wobei wir das weitestgehend aus dem etablierten fiftyfifty-Team stemmen konnten. Aber wir mussten uns sehr engagiert der Mittelbeschaffung widmen, d. h. auch bei Housing First stand am Anfang die Finanzierungsfrage, da wir die Wohnungskäufe nicht kreditbasiert finanzieren wollten, sondern diese bis heute über unsere Einnahmen aus dem Verkauf von Kunstwerken finanzieren, die wir in unserer Benefiz-Galerie verkaufen. Dort unterstützen uns etwa Gerhard Richter, Thomas Ruff, Andreas Gursky, Katharina Mayer und viele andere bedeutende Künstlerinnen und Künstler. Zu überwinden war auch die Skepsis im Team, ob in Düsseldorf überhaupt adäquate Wohnungen zu finden wären und ob Eigentümer an fiftyfifty verkaufen würden. Die Realität hat uns Lügen gestraft: Mittlerweile bekommen wir sogar Wohnungsangebote von sympathisierenden Eigentümern und Maklern, bevor diese auf dem Markt angeboten werden. '''Wie bewerten Sie ihre Arbeit nach nunmehr vier Jahren?''' Das Start-up war ein voller Erfolg: Nachdem wir schon viele Wohnungslose über die Erlöse aus den fiftyfifty-Verkäufen von der Straße holen konnten, sind wir dann mit Housing First und der Housing-First-Fonds-Gründung – zusammen mit dem Paritätischen Wohlfahrtsverband – im Jahre 2018 noch weitergegangen: Hatten wir bei fiftyfifty schon über 60 Menschen von der Straße geholt, so waren es über den NRW-weit tätigen Fonds zusätzlich noch 67 bei 22 Trägern in 14 Städten, für die wir Wohnraum erschließen konnten. Die ehemals Obdachlosen kommen selbst für die Miete auf, die sie zumeist über Leistungsbezug finanzieren. Die Einnahmen aus dem Verkauf von fiftyfifty oder den Spendengeldern bei alternativen Stadtführungen, die sie durchführen, kommen oft noch hinzu. Denn viele von ihnen arbeiten inzwischen als Stadtführerinnen und -stadtführer. Manche sind sogar wieder in regulärer Arbeit. Aber natürlich müssen wir uns auch immer wieder die Risiken vor Augen führen. Die Null-Zins-Politik wird die Immobilienpreise weiter steigen lassen; die Flucht ins „Beton-Gold“ ist ja allerorten zu beobachten. Derzeit kursiert in unserem Beirat sogar die Idee, eine Sozialbank im Sinne unserer Zwecke zu gründen, um der Genossenschaftsidee mit größerem Kapitaleinsatz Geltung verschaffen zu können. Wichtiger aber ist aus meiner Sicht, sich einzumischen und Druck zu machen, damit mehr Wohnungen für Benachteiligte und insbesondere Obdachlose gebaut und zur Verfügung gestellt werden. Das Beispiel Finnland zeigt: Zumindest die Straßenobdachlosigkeit kann überwunden werden. Auch in Deutschland. Es ist eine Frage des politischen Willens. - Das Gespräch führte Tim Engartner. Er ist Professor für Didaktik der Sozialwissenschaften und Mitglied des Direktoriums der Akademie für Bildungsforschung und Lehrerbildung an der Goethe-Universität Frankfurt am Main.'' [https://www.freitag.de/autoren/der-freitag/obdachlosigkeit-kann-ueberwunden-werden?fbclid=IwAR209nCDafyiJ0oGTcAxs2BJdZM897_pLC5ue8ln2S_o1zvP1uc-d8bO4JU „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“. Interview. Hubert Ostendorf, Gründer des Düsseldorfer Straßenmagazins „fiftyfifty“, spricht über den Housing First-Ansatz, mit dem Wohnraum für Wohnungslose geschaffen wird] Von Tim Engartner. Der Freitag vom 16.? September 2020 (38?/2020) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:59, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Zitat: "Obdachlosigkeit kann überwunden werden" Es ist bezeichnend für ein angeblich "christliches", "zivilisiertes" und "kultiviertes" Land wie Deutschland mit angeblich "gebildeten" Bürgern, dass man eine Tatsache wie „Obdachlosigkeit kann überwunden werden“ im Jahr 2020 als Überschrift in einem Artikel hervorheben muss. Nach dem verlorenen Zweiten Weltkrieg, als viele Städte hierzulande in Trümmern lagen und es in Deutschland Millionen Obdach- bzw. Wohnungslose gab, war das möglich. Und heutzutage sollte das nicht möglich sein? Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand im Jahre 2020 sind zwar auch die neoliberal-konservativen und pseudo-sozialdemokratischen Politiker in diesem unserem "christlichen" Lande. Wenn sich Spekulanten, die sich an den Finanzmärkten beim Milliardenpoker verzocken, dann werden von "christlichen" und "konservativen" Politikern binnen weniger Tage 500 Milliarden Euro für "notleidende Banken" aus dem Hut gezaubert. Aber für Obdachlose sind nicht einmal ein paar lausige Millionen da. Wegschauen ist eben viel billiger. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber auch die vielen Speichellecker, Arschkriecher und Hofberichterstatter in den Medien, die vom angeblichen "Linksruck" in Deutschland faseln und das Problem entweder ignorieren oder mit anderen Themen davon ablenken. Es würde mich nicht wundern, wenn demnächst ein professoraler "Experte" in den Tagesthemen oder im heute-journal erzählt, dass der russische Präsident Putin für die Wohnungsnot in Deutschland verantwortlich wäre. Wenn es nach der Bild-Zeitung geht, ist Putin Schuld daran, wenn es drei Monate lang nicht regnet und wenn es drei Monate lang regnet, dann ist Putin auch Schuld daran. Putin ist nämlich nicht nur Schuld an der Klimaveränderung, sondern auch für den täglichen Stau auf deutschen Straßen und dem Corona-Virus (ACHTUNG: Verschwörungstheorie!) Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand sind auch neoliberale Wirtschaftsprofessoren an deutschen Universitäten und Hochschulen, die seit Jahren das Dogma vom effizienten Markt predigen, der am Ende alles zum Besten regelt, wenn sich der Staat aus der Politik raushält. Verantwortlich für diesen beschämenden Zustand in unserem reichen Land sind aber vor allem die ignoranten, arroganten, dekadenten, scheinheiligen, verlogenen und opportunistischen (Mit-)Bürger in diesem Lande, die diese neoliberal-konservativen Politiker und Parteien in den letzten Jahrzehnten gewählt haben und immer noch wählen. Und was sagen die "heilige" Angela von Merkel und der "christliche" Kronprinz von Großbayern, Dr. Markus Söder, zu diesem Problem? Ganz einfach: Nix! Wenn man mit dem Helikopter über das Land schwebt, sieht man die "Penner" bzw. "Wohnsitzlosen" (wie die formal-juristische korrekte Bezeichnung in unserem Sozialstaat lautet) da unten nicht. Zitat: "... wobei wir inzwischen ... auch von allen im Düsseldorfer Stadtrat vertretenen Fraktionen – mit Ausnahme von AfD und Republikanern – Zuspruch erfahren." Wenn es um Obdachlosigkeit bzw. Wohnungsnot geht, machen die Nationalisten, Sozialdarwinisten und rechten "Patrioten", die Tage ein Tag aus mit der Deutschlandfahne herumwedeln, offenkundig keinen Unterschied zwischen reinrassigen Deutschen und Ausländern bzw. Migranten. Für "aufrechte" und "saubere" Deutsche waren und sind Obdachlose eben keine Menschen mit Würde, sondern sozialer Abfall.'' Kommentar Christian Brecht, 16. September 2020 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:02, 20. Sep. 2020 (CEST) ''Obdachlosigkeit ist ein sehr vielschichtiges Problem und ist meistens in der Biografie / Famile der Betroffenen selber zu finden. Betrachtet man z. B. zerrüttete / problematische Familien über Generationen hinweg, dann wird schnell einmal klar, dass bestimmte Menschen sozusagen von Geburt an einem höheren, sozialen Risiko ausgesetzt sind. Eine weitere Gruppe von Obdachlosen stellen Menschen mit schweren psychischen Problemen dar (z. B. bi-polare Störung). Da bei ihnen häufig ein problematisches Sozialverhalten vorliegt, ist auch die Wahrscheinlichkeit gross, eines Tages „in der Gosse zu landen“. Häufig gesellen sich hier noch Suchtproblematiken aller Arten dazu. Die dritte Gruppe sind natürlich Zugewanderte (v. a. Asylsuchende). Natürlich sind auch Mischformen dieser drei Gruppen auf der Strasse anzutreffen. Auf jeden Fall bewirkt die Obdachlosigkeit bei den Betroffenen ein lebenslanges Trauma. Man kann einen Menschen zwar von der Strasse holen, aber die Strasse nie mehr aus ihm heraus. Ob sich Menschen dauerhaft resozialisieren lassen, ist eine weitere, wichtige Frage: Voraussetzung dafür wäre, dass sie überhaupt schon einmal sozialisiert waren, d. h. gesellschaftlich voll integriert. Das ist insbesondere bei langjährigen Drohensüchtigen schwierig. Auf jeden Fall wünsche ich „fiftyfifty“ viel Glück und Erfolg!'' Kommentar Reinkarnation, 16. September 2020. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:04, 20. Sep. 2020 (CEST) == 20. neunerhaus Kunstauktion (Wien) == Mitbieten und helfen: Die neunerhaus Kunstauktion bietet DIE Gelegenheit, Kunst zu erwerben und obdach- und wohnungslose Menschen zu unterstützen. Der Reinerlös fließt direkt in die neunerhaus Angebote. Trotz herausfordernder Umstände haben uns für die diesjährige neunerhaus Kunstauktion mehr als 170 renommierte zeitgenössische KünstlerInnen ihre Werke gespendet, damit wir den Reinerlös für unsere Arbeit einsetzen können. Damit diese Kunst nun Gutes tun kann, brauchen wir eure Unterstützung: Steigert mit, teilt die Auktion mit kunstinteressierten FreundInnen. Denn jeder Zuschlag hilft uns, weiter für jene da zu sein, die unsere Hilfe brauchen! https://www.facebook.com/events/2750368081917767/ Die 20. neunerhaus Kunstauktion am 2.11.2020 war ein großartiger Erfolg. Vielen Dank! Nutzen Sie jetzt noch die Chance und erwerben Sie eines der unverkauften Bilder im Nachverkauf. Sie können die verfügbaren Werke ab 7.12.2020 in der Galerie der Rahmenmanufaktur Wohlleb, Seidlgasse 23, 1030 Wien, Montag bis Freitag zwischen 10:00 und 18.00 Uhr oder Samstag 10.00 bis 12.00 Uhr besichtigen. Bei Interesse wenden Sie sich bitte an Michael Walk https://www.neunerhaus.at/kunstauktion/?fbclid=IwAR2bBPxVm_bAqGZUeieJOpqoYVcOTgSvulJ4Ndu765t3CV-MtQNlABAVjGM n drei Wohnhäusern und über 250 Wohnungen in ganz Wien leben mehr als 800 ehemals obdach- und wohnungslose Menschen jährlich. Über 5.000 Menschen versorgt neunerhaus mit dem neunerhaus Gesundheitszentrum pro Jahr – Tendenz steigend. neunerhaus ist eine Sozialorganisation in Wien. neunerhaus ermöglicht obdachlosen und armutsgefährdeten Menschen ein selbstbestimmtes und menschenwürdiges Leben mit Medizinischer Versorgung, Wohnen und Beratung. Ziel ist es, Betroffenen Hilfe zur Selbsthilfe zu geben, um ihre Lebenssituation nachhaltig zu verbessern. neunerhaus engagiert sich gegen die Ausgrenzung wohnungsloser Menschen. Holen Sie Menschen von der Straße, bevor sie ein Teil davon werden. Wohnen ist ein grundlegendes Menschenrecht. Jeder Mensch hat das Recht auf ein menschenwürdiges Leben. Aber nicht jeder hat ein Zuhause. https://www.neunerhaus.at/ == Frankfurter Kunststation == ''Ein Türsteher, eine Gästeliste, zugewiesene Plätze und eine Begrüßung in der Kirche: Einiges war anders beim diesjährigen Sommerfest für die ehrenamtlichen Mitarbeiter des Franziskustreffs. Um 17.00 Uhr begrüßte Bruder Michael die Ehrenamtlichen in Liebfrauen. Großzügig hatte man sich in der Kirche verteilt. Der obligatorische Jahresrückblick war natürlich von den schwierigen letzten Monaten geprägt. Und doch voller guter Neuigkeiten: Mitten in der Krise verteilt, war der Beileger „Corona: Alle bleiben zu Hause, aber wir haben keines“, die bisher erfolgreichste Spendensammlung des Franziskustreffs. Und es folgten weitere gute Nachrichten: Im September 2020 startet die Franziskustreff Stiftung ein kleines '''Kunst-Projekt'''. Mitten in Frankfurt, in bester Innenstadtlage werden wir '''Obdachlosigkeit und Kultur''' in einer ganz neuen Art und Weise zusammenführen. Zudem hat die Stiftung eine gemeinnützige GmbH gegründet. Diese wird Obdachlose in eigene Wohnungen bringen. Die Idee ist, wie Bruder Michael betonte, noch ein „sehr zartes Pflänzchen“. Doch sie wird in Frankfurt bestimmt für einige Aufmerksamkeit sorgen und hoffentlich feste Wurzeln schlagen.'' [https://www.franziskustreff.de/franziskustreff/aktuelles-aus-dem-franziskustreff/sommerfest/ EIN SOMMERFEST FÜRS EHRENAMT] Webseite des Franziskustreffs --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:20, 13. Sep. 2020 (CEST) ''Schätzungen der Wohnungslosenhilfe gehen davon aus, dass rund 550.000 Menschen in Deutschland kein festes Dach über dem Kopf haben. Die Dunkelziffer ist vermutlich höher. Bruder Paulus kümmert sich um einen Teil dieser Menschen. DOMRADIO.DE: '''Für viele Menschen ist wohnungslos und obdachlos der gleiche Begriff. Warum ist das nicht dasselbe?''' Bruder Paulus Terwitte OFMCap (Kapuzinerbruder und Vorstand der Franziskustreff-Stiftung in Frankfurt): Menschen, die wohnungslos sind, haben keinen eigenen Mietvertrag. Sie leben entweder bei Freunden oder haben eine vom Staat zugewiesene Einrichtung in der Stadt. In Frankfurt zum Beispiel leben über 2.000 Menschen in Hotels und anderen Einrichtungen. Das sind Menschen, die zwar irgendwie wohnen, aber am Ende keinen eigenen Mietvertrag haben. Im Unterschied dazu gibt es Obdachlose. Diese Menschen haben dann tatsächlich auch solche Einrichtungen nicht oder wollen dort nicht sein. Sie schlafen beispielsweise in Notbetten in den Notunterkünften. Laut Gesetz steht in Deutschland jedem Menschen ein Bett zu. Aber manche Obdachlose nehmen auch diese Hilfe nicht an und bleiben draußen. Sie möchten ihre Daten nicht angeben und anonym bleiben. In Frankfurt gehen wir von 2.800 obdachlosen Menschen aus, von denen 400 unter freiem Himmel schlafen. DOMRADIO.DE: '''In welcher Form engagieren Sie sich für Wohnungs- und Obdachlose im Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt?''' Bruder Paulus: An der Liebfrauenkirche und am Kapuziner Kloster hat der Kapuzinerbruder Wendelin vor über 25 Jahren einen Frühstückstreff eingerichtet. Jeden Morgen können hier Menschen von 7.45 Uhr bis 11.15 Uhr frühstücken. Normalerweise haben wir 32 Plätzen für 190 Leute. Jetzt in der Corona-Zeit haben wir nur noch zwölf Plätze und die Leute dürfen nur noch 15 Minuten bleiben. Das sind immer noch 130 Menschen, denen wir hier ein Frühstück, Gastfreundschaft und franziskanische Brüderlichkeit anbieten. Wir haben über 60 Ehrenamtliche, die sich engagieren. Dazu bieten wir eine Sozialberatung an. Das alles ist von Spendengeldern getragen. Darüber hinaus mieten wir Wohnungen an, damit wir einigen unserer Gäste sagen können: Versuch das doch mal wieder mit dem Wohnen. Neu ist unsere '''Kunststation'''. Wir glauben, dass obdachlose Menschen vor allen Dingen eine Begegnung auf Augenhöhe brauchen. Wir müssen in der Gesellschaft ein Gespräch beginnen, dass Obdachlosigkeit viel früher beginnt: Sei es durch fehlende Miete oder eine Wohnung, dadurch dass der Partner weggeht oder verstirbt oder durch Arbeitslosigkeit und Krankheit. In der Corona-Pandemie sagen auch sehr viele Menschen, dass sie eigentlich in dieser Welt gar nicht mehr zu Hause sind. DOMRADIO.DE: '''An der Kunststation ist die Franziskustreff-Stiftung auch beteiligt. Was hat diese Kunststation konkret mit der Situation der Wohnungslosen zu tun?''' Bruder Paulus: Sie ist direkt in der Innenstadt, wo ganz viele Obdachlose hausen. Ich habe einen Kulturleiter gefunden, der sehr nah an diesen Menschen ist, der sich in der Stadtszene sehr gut auskennt und auch in der Kunstszene gut vernetzt ist. Er hat sehr viel Freude daran, mit uns zusammen unseren obdachlosen Menschen zu sagen: Hey, guckt doch mal, ob ihr euch ansprechen lasst mit euren kreativen Möglichkeiten. Unsererseits wollen wir Kunstprojekte initiieren, die zeigen, dass Menschen am Rande eigentlich Schätze in unserer Gesellschaft sind. Darum ist diese Galerie in einem ehemaligen Juwelier-Shop untergebracht, den wir angemietet haben. Wir zeigen Schätze von Menschen, die sonst am Rande sind. Im Moment läuft eine 14-tägige Ausstellung von zwei jungen Frauen, die für Menschen mit geistiger Beeinträchtigung ein Daumenkino geschaffen haben, in dem 100 Begriffe dargestellt werden. Unter unseren Gästen sind selber Künstler und wir hoffen, dass sie sich anregen lassen, weil sie jetzt einen eigenen Ausstellungsraum haben. DOMRADIO.DE: '''Für viele Wohnungs- und Obdachlose ist es eine große Überwindung, zu ihnen zu kommen und diese Hilfe anzunehmen. Wie versuchen Sie, den Menschen hier Mut und Selbstvertrauen zu geben?''' Bruder Paulus: Indem wir ihnen einfach als Mitmenschen begegnen, die eine eigene Lebensgeschichte haben und die keine Hilfe wollen, sondern möchten, dass wir ihnen erst mal auf Augenhöhe begegnen und sie ernst nehmen. Das kennt jeder aus seinem eigenen Leben, dass wir es eigentlich nicht gerne haben, dass Leute von außen kommen und sagen: Du, ich habe da was gesehen, ich muss dir mal helfen. Jeder Mensch hat eine Autorität, wie er sein Leben gestaltet und kann sagen: Ich will jetzt einfach nicht mehr dieses und jenes. Ich habe die Schnauze voll von Schuldnern und von Menschen, denen ich etwas schulde. Ich will ordentlich behandelt werden. Diese Menschen brauchen eine offene und klare Begegnung, ein echtes Wort. Wir sagen bei uns eine Nächstenliebe, die es ehrlich meint, eine Liebe, die auch Wahrheit und Gerechtigkeit mit ins Feld führt. Deswegen versuchen wir auch, ehrliche und klare Gespräche mit diesen Menschen zu führen, damit sie zur Quelle ihrer Kraft finden. Das Interview führte Katharina Geiger.'' [https://www.domradio.de/themen/soziales/2020-09-11/jeder-mensch-hat-autoritaet-ueber-sein-leben-franziskustreff-stiftung-fuer-offene-begegnung-mit?fbclid=IwAR3PNJZm4h2mPoFYNBv7c242UX1yFdw8Jkl_Gwhzbxq4jZ1GlnvHmyba1bU Franziskustreff-Stiftung für offene Begegnung mit Wohnungslosen "Jeder Mensch hat Autorität über sein Leben"] Domradio vom 11. September 2020. ''Der Franziskustreff: Der Franziskustreff in der Frankfurter Innenstadt bietet wohnungslosen und armen Mitmenschen Frühstück und Sozialberatung an. Täglich kommen nach Angaben des Franziskustreffs bis zu 190 Gäste für die Mahlzeit. Derzeit unterstützen rund 60 ehrenamtlichen Helferinnen und Helfern den Treff. Sie bedienen die Gäste, helfen bei der Vorbereitung des Frühstücks und beim Abwaschen und Aufräumen. Eröffnet wurde der Franziskustreff 1992 von Bruder Wendelin Gerigk am Kapuzinerkloster Liebfrauen in Frankfurt am Main. Ihm sei wichtig gewesen, dass es an diesem Ort immer einen offenen Raum für arme und obdachlose Menschen geben möge, schreibt die Stiftung auf ihrer Homepage. Spenderinnen und Spender unterstützen seither das von Bruder Wendelin gegründete Werk. Derzeit steht Bruder Paulus Terwitte der Stiftung vor und Bruder Michael Wies leitet den Treff. (DR/ Stand: 11.09.2020)'' --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:41, 13. Sep. 2020 (CEST) == OSTRALE == [https://pieschen-aktuell.de/2020/ein-kunstgarten-fuer-uebigau/ Ein Kunstgarten für Übigau.] Pieschen aktuell 6. November 2020 von Elisabeth Renneberg Bild: Die Ostrale hat dieses Jahr Haus und Garten in Übigau bezogen. Alle Fotos: E. Renneberg Dieses Jahr ist die Ostrale, das Zentrum für zeitgenössische Kunst, nach Übigau umgezogen. Das ehemalige Atelierhaus von Eberhard Bosslet an der Rethelstraße beheimatet nun eine Menge Kunst nebst Werkstätten, Büros und einer Künstlerwohnung. Dahinter erstreckt sich eine Grünfläche, die nicht nur auf die Elbe hinausblickt, sondern auch auf eine spannende Zukunft. Hier soll ein ökologischer Garten entstehen – als sozialer und kultureller Ort. Bild: Momentan ist der Garten noch wild und naturbelassen. ;Diskurs über Nachhaltigkeit Das Konzept dafür wird gemeinsam von Umweltexperten, Künstlerinnen aus verschiedenen Ländern und Menschen aus dem Stadtviertel erarbeitet. Letztere einzubeziehen ist ein wichtiges Anliegen des Projekts; das Mitgestalten des eigenen Lebensraums wird so zum demokratischen Prozess und lässt Raum für persönliche Bedürfnisse. Der erste Schritt war daher, an die Türen in der Nachbarschaft zu klopfen und Kontakte zu knüpfen. Auf diese Weise konnte zum Beispiel die Stadtentwässerung Dresden als Kooperationspartnerin gewonnen werden, die über wertvolles Fachwissen rund ums Thema Wasser und dessen Bedeutung für die Umwelt verfügt. Bild: Direkt an der Elbe liegt der zukünftige Kunstgarten. Für die Verbindung der Themen Nachhaltigkeit und Kunst ist ein Team aus einer deutschen und einer tschechischen Künstlerin sowie je zwei Studierenden der Kunsthochschulen in Dresden und Breslau zuständig. Sie machen sich unter anderem Gedanken über Ressourcen, wie etwa die Farbe zum Malen natürlich gewonnen werden kann. Die Ergebnisse ihrer Recherchen und Ideen geben sie in Workshops weiter an Kinder aus dem Kinderhaus Sonnenschein – auch ein durch Anklopfen zustande gekommener Kontakt. Zwei Workshops konnten bisher stattfinden und sind auf allgemeine Begeisterung gestoßen. ;Eine Verbindung zwischen Kunst und Sozialem „Es ist uns wichtig, von Anfang an ein Gefühl der Zugehörigkeit und der persönlichen Verantwortung zu vermitteln“, erklärt Projektleiterin Giulia Deidda. Die gebürtige Italienerin stieg ursprünglich als Bundesfreiwillige ins Team der Ostrale ein und ist mit vollem Einsatz dabei. Aufgewachsen in einer Kleinstadt mit historischer Ausgrabungsstätte an der sardinischen Küste, entdeckte sie schon früh ihre Liebe zur Kunst und widmete sich zunächst der Archäologie. Im Laufe der Zeit wurde dann der Wunsch, Kunst und Soziales zu verbinden, immer lauter. Bild: Giulia Deidda leitet das Projekt mit Begeisterung und Elan. So zog Giulia in die Niederlande, um dort soziale Inklusion im Kulturbereich zu studieren. Nach dem Leben in sieben unterschiedlichen Ländern ist sie mittlerweile in Dresden gelandet. Ihre Leidenschaft hat sich erhalten: „Mein größter Wunsch ist es, Kunst allen, und wirklich allen, zugänglich zu machen.“ Für das Ziel, die klassische Zielgruppe aufzubrechen, ist die OSTRALE die richtige Adresse, sieht sie in der Kunst doch das Mittel zur Kommunikation und zur Aufarbeitung gesellschaftlicher Themen. ;Ausblick auf die nächsten Schritte Der Kunstgarten schließlich darf diese Vision mit verwirklichen. Nach dem erfolgreichen Start mit den Kindern sollen immer mehr Anwohner*innen von der Botschaft erreicht werden, dass Kunst für alle da ist. Und natürlich auch mit dem Angebot eines Aufenthalts- und Begegnungsortes, der mitgestaltet werden kann, und an dem langfristig Veranstaltungen wie Workshops, Lesungen oder gemeinsames Kochen stattfinden sollen. Bild: Auch in den Innenräumen ist Platz für Veranstaltungen. Die konkrete Gestalt dieses Ortes ist noch in der Planung. Denkbar ist zum Beispiel ein Barockgarten, mit geometrischen Formen und Skulpturen aus natürlichen Materialien. Das Nutzen vorhandener Ressourcen wie zum Beispiel Sand aus der Elbe. Die Ideen müssen noch überprüft, entwickelt, ausgetauscht werden. Wie gesagt mit dem Augenmerk auf Nachhaltigkeit und unter Einbezug der Nachbarschaft. Anfang Oktober hatte Ostrale-Vorstandsvorsitzende Andrea Hilger das Konzept im Stadtbezirksbeirat Pieschen vorgestellt. Die Beiräte stimmten einer Förderung mehrheitlich zu. Bleibt also, gespannt zu sein, was sich in den nächsten Monaten auf dem Grundstück im beschaulichen Übigau entwickeln wird. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:18, 8. Nov. 2020 (CET) == Eberhard Bosslet == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Eberhard Bosslet]] [[w:de:Eberhard Bosslet]] == Literatur == Menschen ohne Härte, Ellbogen und einen gesunden Selbstschutz, um sich gegen diese immer härter und kälter werdende Welt zu wehren bzw. durchzusetzen ohne die Möglichkeit, einen Schutzwall hochzuziehen Suchstoffe um sich zu betäuben, um den „Seelenschmerz“ nicht mehr fühlen zu müssen „Ritzenz“ dient dazu, sich anders zu fühlen, d.h. sich körperlich statt seelisch zu fühlen seelisch ungeschützter in unserer Mitte sich auf eine innere Nähe zu den Menschen einzulassen, die wirklich z.T. gequälte Seelen sind Egomanen dieser Welt gegen auf Harmonie, einem menschlichen Miteinander gepolte Menschen, die keine Schutzmauer aufbauen können das Gros , das in dieser Welt psychisch überfordert ist vgl. Manfred Lütz „Wir behandeln die Falschen“ „selektiert“ wurde in der Vergangenheit bis hin zur Gegenwart genügend und in allen Bereichen mit dem Ergebnis: der Mensch bleibt auf der Strecke die Evolution der Menschheit ist am Ende, es hat die Evolution des Materialismus begonnen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) Ich meine, meine Bücher sind wirklich! böse, weil sie diese ganze übliche nette gesellschaftliche Verlogenheit und Verkommenheit gründlich demaskieren, indem sie verdammt nah dran an den realen menschlichen Schicksalen sind. Und ich glaube auch nicht, daß es sich wer wagen würde, die zu verlegen - ich übrinx auch nicht, so lebensmüde bin ich nicht. Zum Glück hab ich ob meiner Lebensweise finanziell ausgesorgt und muß gar nix mehr außer sterben. Und dann kenne ich ein weiteres Buch, das wirklich böse ist: Jürgen Vogel: "Magdeburgs Wendehälse. Lexikon der Lügner und Betrüger". Der Autor war 1990 bis 1994 Vorsitzender des Magdeburger Bürgerkomitees und hatte 1991 "Magdeburg, Kroatenweg : Chronik des Magdeburger Bürgerkomitees ; Beobachtungen in der Zeit der Wende zwischen Lüge und Wahrheit" veröffentlicht (nach 1990: "Abgesang der Stasi"). Sein drittes Buch hat niemand mehr verlegt, er wurde aus dem Bürgerkomitee abgeschoben, und die Friedrich-Ebert-Stiftung, welche sein Archiv aufkaufte mit der Zusage der Aufarbeitung, hat als erstes für 60 Jahre den Deckel draufgemacht. Das Buch nenne ich dann mal wirklich pöse - es würde heute noch nicht verkraftet werden, weil immer noch zu viele Wendehälse aktiv sind! https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&reset=true&cqlMode=true&query=auRef%3D102749658X&selectedCategory=any --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:15, 4. Nov. 2020 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3628903430501315&set=a.111717075553319 Meine Gedanken haben mich verlassen. Der Pinsel hat sie weggetragen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626372927421032&set=a.111717075553319 und der Pinsel schrieb Freude ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3626370947421230&set=a.111717075553319 und sie fühlte sich selbstverlassen ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623995644325427&set=a.111717075553319 werft Worte in die Welt, damit sie dort erblühen können] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3623992674325724&set=a.111717075553319 ich will hier raus ...] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3615247088533616&set=a.111717075553319 Sie haben Euer Denken verriegelt ... ] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3604090076315984&set=a.111717075553319 macht Euch Gedanken, denn sie können fliegen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3601244606600531&set=a.111717075553319 dieser Ort hat keine anderen Grenzen als meine Gedanken] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598497446875247&set=a.111717075553319 wenn ich an meine Eltern denke] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3598495936875398&set=a.111717075553319 die Stadt ist ein Wort, der Pinsel schreibt weiter] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:43, 5. Nov. 2020 (CET) == Atompunk == [[File:Сталкеры на привале.jpg|mini|Stalker - Tschernobyl]] [[w:Atompunk|Atompunk]] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/5KgJnV6L6fOfnn7zJHjTs6/41409837b73de7c1c4024424510c493f/76_Shelter_After2_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' bei Fallout] [https://images.ctfassets.net/rporu91m20dc/1SeUOdsQCoJ5VvGNCSFyf1/0957edcab1fd1dea19da72585fe1a210/76_Shelter_After1_1000.jpg ''Unterirdischkunft'' II bei Fallout] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:57, 5. Okt. 2020 (CEST) [[w:Picknick am Wegesrand|Picknick am Wegesrand]] 1971 [[w:Stalker: Shadow of Chernobyl|Stalker: Shadow of Chernobyl]] 2007 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:35, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.imdb.com/title/tt0773736/mediaviewer/rm2535426561 Lost in Space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 16:22, 5. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=969560220191143&set=gm.3583128475067470 Marta Kristen in wardrobe wearing a space suit for the 1960s tv series lost in space] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:30, 8. Okt. 2020 (CEST) [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/basw.AbrU_r9vGHo-z_karx2ANGJZqZCGyGSE64dVSxMdVbWi0SJzbI6zMFK5DkovzTd6WRwdpHixH9jkrZvkf2btVYc1PkyHiR9WWLVSpOhOhTJgnyykw5uP6PNxKAraMtgvn4Gwf1gkKNcN8G5MLI5k5E5M/2556004381104383/?opaqueCursor=AbpEfvdUcdzHVE5z6Unv9Jb8PSI92VuSW0qsjVx88LlJSsvDrxL9gDSssK2UdTRFjoDY5tu8GRr_TzHRvdLx2VoW9LkttzbaIZR0XhIrgnPjVcOq0mvNN7_zR7Bq4H9yoDWn-lYoHBg48mdo0zaJy-RcZxVl3bxusgPm0J0vQ4yY6llDaE6zYusB57oPdiVy3e-12jeafiMdTQBCWrKA1EWGuo1WoqSmaCQheqlGz-T4CVGpM7wHAHy1eNPCb4qkZnDy85cL3oBd8nLCAHEx6tSW13Tk2Oz4hcwVz7Tp2RgkLzRVaLKHktEbqISsXcA4i54JEXhzg4C9_T3qOx0-kRnmEdpujxFGBwgmmW1UR5GjjaEbBFq1wRNWuEmR9WuMx1sS3hszrlqRLgIsby8p4oVeHwWQS13ZYz_gmGcz01384AdDHiWVsZh407PGguYaoMMq-Rz5VOPXUId5CsN8ZvOMahqCSUnXvM92iDzR7z1QbFzPfTjPlO9zw7TCTtxb7Yb5FKOBO8k7-NwDxstXiSUNtbMuhmAjN_Ug_N5xbwwGjAwemhypx-0z10UECpq6SZMJ0V8NCdLy7vncYd4loGBqLAxoQrhT_Udzcv1aq4lZqxyScYsQEth5vXa3OK5lsUmZGBIcJRmOoOUqA4kVA38dDvB6SlMxenwhZeSttYJaJMN-Jo9IivE1Dozw2uQPNQFAurmxf1Jojw4xbOttLjQlO2FDXRIsX4vc-LuqlKy4kofkKffUeKUmbohi9fcoftsQ0SGrAIZ-PY38ZP8Phs_iAa0zJ4N42mAG7wcvRIKLmvFnFqdMXGFUNpRdySYlmMsE2OINZlFGRTmXO1kAjxCHMUqmRXW2gl6EGxer1EiPNg atom-punk go-go jazz halloween costume (or every day) ideas #8] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/1029616097076560/ Astronauten-Pärchen] auch eine Idee für die nächste Zeit - aber nicht weiter weg als 5 km von zu Hause, sonst geht die Luft aus [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/837600166278155/ Raucher-Astronaut (Dr. Who)] - Raucher-Maske - sehr Vorteil-Haft für unsere süchtigen Säuglinge unter uns [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/791374787567360/ gelbes Space-Frauen-Kommando mit roten Streifen - unter männlicher Befehls-Gewalt] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/941018669269637/ Silver-Girl im Labor] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/694038930634280/ Heavy Silver Astronautin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/658284810876359/ Weyland Girl] https://en.wikipedia.org/wiki/Weyland#Fiction [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/652535974784576/ Weiße Taucherin] [https://www.facebook.com/missioncreep/photos/615008418537332/ Silver Astronautic Paar] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:08, 25. Okt. 2020 (CET) == Photographie == [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2295772393809566/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/68954640_2295772397142899_226081963155390464_o.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=o1bMfM884ukAX9tXvYd&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=8f38ae65e82b5edcbb04f76459d1c66c&oe=602959FB have an idea...?!] - I fuck your brain * [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/703801973006624/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/10600589_703801973006624_962048756325809864_n.jpg?_nc_cat=109&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_tqZPK0GnVsAX-Y0eLn&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7eec14cc6c2e88e8a04eed792dbdf455&oe=60272C91 still the same curves (anniversary remake&reload)] seitlich [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/877898902263596/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12080054_877898902263596_1056407333265845020_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=_1-mbP0ptb8AX-FnReH&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180c7826ce94200ffbf0cb43291a70ef&oe=602A4888 all crew members are on service deck] - "Pilotin" *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/853361011384052/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/11836640_853361011384052_1317312222273636789_n.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=-LHNDNWp5I0AX_0qumx&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=f7cb300e18fe7d90fc3a648872812663&oe=60289D63 fighter team] Rückenansicht *[https://www.facebook.com/krishan.h/photos/a.360648453988646/3183274475059349/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/119480868_3183274478392682_4198532599522982186_o.jpg?_nc_cat=111&cb=846ca55b-ee17756f&ccb=2&_nc_sid=0debeb&_nc_ohc=HIa7Uq4NXIQAX-0zCiM&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=180cd13ebdc2efca1ea5797f23e6993b&oe=6026766B hangar check] - in der Stratosphäre ist sie sicher vor Corona, die Helm-Nummer "13" sollte zusätzlich helfen [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/2875447189175414/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/99257505_2875447195842080_8451893750401073152_o.jpg?_nc_cat=110&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=4vP91s4Xqs0AX8b9Z1F&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=71f3ddd285be9fca24c3be88566bde5d&oe=60269A91 Die Stille der Nacht] - Halskorsett aus schwarzem Leder über Mund und Nase - MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/988286121224873/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/13243780_988286121224873_3083762868739399129_o.jpg?_nc_cat=103&cb=846ca55b-311e05c7&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=isn0T9bKZjIAX8A-9Mv&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=48754a6cbda0068cad72a2e7a921c255&oe=602A0605 roses are the real weapons] (star wars day) Tätowierte mit startrooper helm - hauptsache MNB [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/908425312544288/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/12365984_908425312544288_8987609574159828109_o.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=9TeNkoreIRsAX8zhTtN&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=883db11cec295c5424168a9d1da27c3f&oe=602A1F07 256 shades of cathy] in der dusche eingesperrt - https://www.facebook.com/cathleen.sattler [https://www.facebook.com/krishan.h/photos/181532538566906/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/257974_181532538566906_7525195_o.jpg?_nc_cat=103&ccb=2&_nc_sid=cdbe9c&_nc_ohc=fZZiQKgTsz0AX8OuhxK&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=e9e2008bb79008684999318b37aad921&oe=6026E2E1 creatures of the night] (danke an wildchild https://www.facebook.com/kleineswirres ) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:31, 16. Jan. 2021 (CET) == Zeichnungen == Das Secret Desire und Michael Kral laden herzlich ein zur Eröffnung der Ausstellung: Freitag, 04.11.2016, 19.30 Uhr Ein akt ist so - natürlich NaCkt ... verhüllt vom N im Negligée ... bezaubernd bis zum Ceh. Im Akt ganz pur zeigt die Natur des Künstlers Können mit Bravour. (Sazu) Ort: Secret Desire, Rothenburger Str 7, 01099 Dresden Die Ausstellung ist vom 04.07.2016 bis zum 04.01.2017 während der Öffnungszeiten des Secret Desire ́s zu sehen. Motiv: Michael Kral, Aktzeichnung, 35 x 25 cm, 2016 https://www.facebook.com/kralartifex/posts/1063220337109301/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:34, 16. Jan. 2021 (CET) == Ruslana Eisenschmidt == [[File:Ruslana-eisenschmidt-disco.jpg|thumb|Ruslana Eisenschmidt bei der Agentur Disco 3000 mit einem Original 3000 T-Shirt. 1999.]] [[File:Silbermond-ruslana-eisenschmidt.jpg|thumb|2001 illustrierte ich die Band Silbermond in Berlin. Dies ist eine Vektorgrafik.]] Ich male den ganzen Tag was ich will... Ich lebe vom Malen. Habe Glück gehabt. Übrigens ist malen arbeiten. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:34, 10. Mär. 2021 (CET) Ich habe eine ganze Kiste voll, mit von mir erfundenen Comic Charakteren... Hier habe ich mal einen "katholischen Schweinepriester" entwickelt und gezeichnet. Er frisst kleine Kinder. * Der frisst Kinder, weil er selbst Angst vorm Leben hat.... Er frisst kleine Kinder, weil er richtig und falsch nicht unterscheiden kann.... * das kommt noch dazu... das sind keine Haare, er hat 4 Teufelshörner! Er ist unfähig sich den Gürtel richtig zu binden. Klick mal das Bild an. Er trägt keine Schuhe, sondern nur eine Strumpfhose, da kann er sich auf leisen Sohlen besser anschleichen.... Eigentlichen male ich nur noch Frauen und Katzen. Da ich da einen eigenen Stil entwickelt habe. Hier habe ich einen Seepferdchendrachen erfunden und gezeichnet. Er wurde von einem Trophäensammler geköpft und an die Wand gehangen, deswegen schnaubt er vor Wut. Ich habe halt ne blühende Phantasie. Ich habe viele Charakters erschaffen. Es sind dermaßen viele, dass ich sie bereits nach Familien sortiert habe. Selbst Comics zeichnen möchte ich nicht. Ich kann aber die Figuren anderen Zeichnern, Zeichentrickstudios oder Spieleentwicklern zur Verfügung stellen. Bei mir sind die Sachen nicht im Kopf. Mein Kopf ist klar. Bei mir entsteht der ganze Unfug erst, wenn ich ein leeres Blatt Papier sehe. Erst kommt ein Auge, dann eine Nase und plötzlich erkenne ich, was das werden soll. Ist jedesmal eine Überraschungsgeburt. ich kann nur zeichnen, wenn ich locker ran gehe. Aus therapeutischen Gründen könnte ich das nicht. Da würde mir nichts einfallen, da ich im Inneren aufgeräumt, aber nach Außen hin chaotisch bin. Für meine Seelenpflege ist da nicht der Zeichenstift, sondern meine Psychologin zuständig. ein Abgrenzungsproblem ist das nicht, sondern das Langzeitgedächtnis speichert Erlebtes besser, wenn es mit Gefühlen verbunden waren. * Ja Du sagst es. Die Gefühle waren dermaßen intensiv daß sie sich mir eingebrannt haben. Das Abgrenzungsproblem war damals Ich ließ sie vieleicht zu nah an mich ran phatetisch an mein Herz. Ich distanzierte mich nicht. So ist das gespeicherte immer präsent. Die Trennung nicht gänzlich vollzogen. So meinte ich das. Das mit den Trennungen ist sowieso etwas seltsames. Das kann keiner begreifen, wie und warum der Mensch das macht...Auseinander gelebt, sich weiter entwickelt, Bindungsangst, komische Sachen gemacht...Der Mensch an sich ist schwach..wir alle sind das... * Hat man Dir das so IN ALLER LIEBLOSIGKEIT gesagt? Diese Erklärungen tragen nicht sehr weit. Ich weiß. Genau richtig gesagt: man begreift es nicht. Nicht vorher, nicht während und erst recht nicht danach. So klar man im Nachhinein auch fälschlicherweise oft denkt: "Ach so. Ist ja ganz klar.Wegen diesem und jenem" Wir wissen daß das nicht stimmt und können doch nicht anders, weil man das sinnlose nicht einfach kapieren und akzetieren kann. Erklärungen wie: "na ja, die hat eben die vielen anderen Männer als Möglichkeit nicht ausschließen wollen, die hat eben keine richtige Beziehung gewollt", was wird noch gerne genommen? Ach ja, "am Alltag gescheitert" etc. Alles um es wegzuerklären und um es in die Schublade ablegen zu können. Gesunde Einstellung, aber... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:05, 31. Mär. 2021 (CEST) https://www.facebook.com/profile.php?id=100019492082821 Suche Wohnung ausschließlich in Ostberlin/Mitte ab Sommer 2021. Unbefristet, kann auch klein sein, Warmmiete bis 700 Euro * maximal 1 Zimmer in einer WG Das ist lieb, doch ich brauche was eigenes. Danke nochmal. * 700,- ??? Na viel Spaß * Mitte Neubau der Quadratmeter 20 EUR nettokalt. Altbau wird wegen Mietendeckel-Entscheid überhaupt nicht mehr angeboten. Und dann bei Privaten auch nur im Netzwerk. Gönnt Dir Keiner was;-( * für 700,- kriegste in Mitte grad mal‘n Zimmer ! Ich suche was Eigenes. Ich möchte zurück nach Ostberlin Mitte. Dafür gebe ich eine große Wohnung in Jena auf. * 700 Euro Warmmiete ist aber inzwischen in Berlin ganz schön optimistisch. ich weiß. Noch könnte ich Glück haben. Ich habe mal ein halbes Jahr in Paris gelebt. Berlin entwickelt sich immer mehr in Richtung Paris. Und Paris lebt einem die hohen Mieten vor. * und New York. 😂 Gut, daßduda wechbist. ab 20 m2 Ich suche Rosenthaler, Torstr., Linienstr. Ich meine konkrete Straßen in Ostberlin, weil das Jugenderinnerungen für mich sind. Alles rund um den Alex ist ideal. Mit Moabit hatte ich nie etwas zu tun. * ich bin von Berlin schon vor zwölf Jahren WEch WEgen dem Mieten-WAHNSINN - dort braucht mensch einKOMMEN zum ausKOMMEN - lebte SO 36 über dem "Trinkteufel" bei Christian Herwartz (Exerzitien auf der Straße) https://www.strassenexerzitien.de/ Ich ziehe dieses Jahr noch zurück nach Berlin. Ich will ausschließlich Ostberlin Mitte, da fühle ich mich wohl, da habe ich meine Jugend verbracht und nur dorthin will ich. Bin auf Wohnungssuche. Ich will unbedingt mach Ostberlin, Mitte...Da explodieren gerade die Mieten wie in Paris. Wird also vorerst nur was Kleines werden. *Irgendwann will man keine Kompromisse mehr machen und vielleicht nach Hohenschönhausen oder weiß der Geier wohin ziehen wg billiger. Obwohl Du doch eigentlich da hin wolltest wo die eigene Jugend stattfand. Nach O. Berlin Mitte. * kann ich nicht mitreden - hatte die meiste Zeit (Ost)Berlinverbot ([Ost]Berlin - die Nebenstadt der DDR) Mir geht es nicht um günstige Mieten, denn die habe ich ja jetzt. Nach Berlin ziehe ich in ein ganz bestimmtes Viertel. Ich will ganz bestimmte Straßen, da das meine Jugenderinnerungen sind und mich aufblühen lassen. ich bin Single, weil ... mein Hintern ist zu groß * Und du glaubst wirklich,daß Männer NICHT darauf Stehen?Was für "Männer" kennst du denn?Wohl eher Würstchen,die sich nicht trauen,zu ihren wahren Vorlieben zu stehen.Hunde wollen Knochen,Wölfe wollen Fleisch! * entscheidend ist eher, wie weit du (mit)gehst arbeiten gehen muss * muß? - ist für mich ein ToTAL verALTeTes Wort Kapuziner im Cafe de la Paix, Paris, 1952. Photo by Georges Dambier. Tolles Foto..doch gebe man der Dame bitte was zu essen. * meine Oma lief ab 1940 im Pariser Chic herum ... Gut, dass ich nie geheiratet habe... Japanische Tradition * kennich -wahr mahl dort (und dsa-dsen-lehrer wahr ich auch mal, in der ddr, als das noch richtig wichtig wahr) Unterwassergang * könntich stundenlang zuschauen ... leichtbekleidete Bikerinnen * Hauptsache Schutzhelm. Und immer das Visier schließen - wegen Corona-VERordnung. Brennende Kerze wird bestiegen Ich wunder mich auch jedesmal, darüber was es in der Kunst Neues zu sehen gibt. Nach dem Motto: "Die Kunst ist tot, es lebe die Kunst." *Kunst-Bruder Christian Schmidt (SJ) hat über Jahrzehnte eine Kerzensammlung aufgebaut - zT noch origineller * Aufstieg zum Licht - oder zur Erleuchtung, Sieleuchtung ... [[File:Painting of Mata Hari by Isaac Israels.jpg|thumb|Painting of Mata Hari by Isaac Israels, 1917]] Mata Hari photo 1907 * Ein atemberaubendes Kleid Ein atemberaubendes Schlitzohr, so kennen und lieben wir sie *sie hat das Alter nie schmecken müssen (ich war mahl mit der "SchoENeN SExiN" zusammen, die wahr ganz ähnlich) Patientin Ruslana: kann nicht schlafen - du mußt feiern und dich betrinken Viele meiner PROMI Kollegen, wie Kurt Krömer waren bereits in einer Nervenklinik..Wieso interressiert das auf Facebook keine Sau? AUCH MARLENE DIETRICH lies sich behandeln. Sind das alles Verrückte für euch? Als bipolar chronisch Kranke, also: ich bin manisch- depressiv. Muss ich aktuell und frisch nach der gerade erlebten, enttäuschten Liebe sehr um mich kämpfen. ÄRZTE..PSYCHOLOGEN..UND MEINE FREUNDE kämpfen gerade um mich. Mir geht es nicht gut. Witz Kommentare sind hier unerwünscht, denn diese Erkrankung ist nicht heilbar und die Selbstmordrate liegt bei über 30% Ich habe ne ABC- Schutzmaske endlich kann ich die mal aufsetzten *sicherheitshalber auch noch den Vollschutz-Anzug habe ich da. * dacht ich mir schon - sicher ist sicher ... Bartclubs, Bartmeisterschaften ... Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. * Meins ist es auch nicht...weil der ganze Mensch zählen sollte und nicht nur ein kleiner Teil von ihm. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1364217717267517&set=gm.3544231839016781 Atem-beraubend. Vor allem mit schön engen Brust- und Bauchgürteln.] Hier gibt es noch ganz andere Fotos...da habense nix mehr an...doch das wird dann selbst mir zuviel. Ansonsten poste und male ich ja gern freizügige Frauen, ist bei Künstlern seit Jahrhunderten normal. Ich habe früher in den Clubs auf den Lautsprecherboxen getanzt... Nein, es ist nicht einfach so vorbei. Ich habe Liebeskummer und mir geht es nicht gut... [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1155671958211971&set=a.203131063466070 Sophia Loren in schwaarzem Lederkleid mit breitem Gürtel] Alles an ihr ist schön. Eine Augenweide. stand in diesem Out-Fit mal recht hoch auf meiner nach oben offenen Skala (ist allerdings eine Weile her) Ich bin in allen drei Waffen ausgebildet. Florett, Degen und Säbel. Eigentlich gibt es den veralteten, klassischen Stockgriff und den modernen Pistolengriff, der ergonomisch in der Hand liegt. Ich als Künstlerin poste meine Zeichnungen nicht auf Facebook..bekomme aber jetzt von anderen Zeichnungen gepostet..das nenne ich ein gelungenes Produkt Placement.. Bei mir meldet sich oft erst der Bauch, dann das Herz und dann versucht der Kopf noch was zu retten. Glücklicherweise habe ich ein schnelles Hirn...sonst würde ich mit Bauch und Herz nicht klar kommen. Ich wäre dann mit mir selbst überfordert.... Ich habe auch auf Mallorca gelebt. In den 2 Jahren auch viel Leid gesehen. Menschliches und tierisches Leid. Von wegen Trauminsel. Meine beiden Katzen habe ich auf Mallorca bekommen und sie dann nach Deutschand mitgenommen. Sie sind beide als Fracht geflogen. Auf dem Flughafen haben die Spanier sie wie Gepäck einfach in einen halben Meter tiefen Schacht geworfen. Ich bleibe sonst lange ruhig, aber da bekam ich einen Tobsuchtsanfall und habe wüst die Flughafenmitarbeiter auf deutsch beschimpft. ich unterhalte mich auf Facebook nie privat. Nur öffentlich. Das ist ein Grundsatz von mir. Auch liegt nichts an meiner Herkunft, sondern eher an meinem Charakter und meiner fröhlichen Art. [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3753838501401735&set=gm.1050564075468125 corona-schlafzeug] Ein Träumchen....😂 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:56, 3. Apr. 2021 (CEST) == Gumina Jasmin == nunja, ich war der letzte Partner der damals edelsten und schönsten Sexin - noch früher persönliche Sekretärin des Reichsbahn-Präsidenten in Dresden, verkuppelt mit dessen Fahrer, ZV-Schlampe der Oberoberoberklasse - vom Feinsten, absolut High End, Edel-Escort, von Geburt an Probleme mit der Halswirbelsäule, deswegen schmerz- und schlaftablettensüchtig ab Mitte 20, Buchspeicheldrüsenkrebs (ein Onkel von mir war ZV-Ausbildungsleiter im ZV-Lager Bernburg, schluckte auch zu viel davon - unter Tage im Steinsalzbergwerk - brach mit 37 zusammen und starb daran mit 51), Whipple-OP mit 45, auf Morphium hochdosiert, von der Medizin abgeschrieben, ihr Mann brannte mit der Pflegerin durch, wollte sie nicht totpflegen, in die Palliativstation St. Joseph-Stift hier in Dresden eingewiesen mit 52 - sie hatte mir schon ihr schönstes Kleid ausgesucht, in dem sie beerdigt werden wollte, die Urne auch - beides lackschwarz und mit roten Rosen - und dann war ihre Liebe zu mir stärker als Schmerz und Tod, da war noch zu viel süßes Leben ungelebt - ich habe ihre ungeheuren Schmerzen in ungeheure Lust transformiert - und sie hatte noch weitere elf absolut tabulose Jahre, dem Tode abgerungen - mit 63 erneut Krebs - gestreut bis in die Lunge - wieder Chemo, wieder edle Perücken aller Coleur, Sauerstoffmaske statt früher Latex- und Gasmasken etc. - nach sechs Monaten der Tod (das Leben wiederholt sich nicht): "mir geht es schlecht" hat sie nur ein einziges Mal gesagt - das waren ihre letzten Worte vor dem Koma - beerdigt wurde sie in lackrot, der Farbe der Liebe, unserem Lieblingsoutfit (darunter rotes Latex als nahtlose Unterwäsche) - die Urne blieb gleich - so eine rote Urne gab es nicht - sie sah noch beim letzten Spaziergang im Rollstuhl aus, wie ich sie kennengelernt habe - mit langer, blonder Perücke, in Lack und Latex, wunderschön wie Mitte 40 - sie hat das Alter nie geschmeckt, und es war wohl besser so für sie (sie ging nie ungeschminkt, ungestylt und ohne High Heels raus - nie nie nie, nur ich kannte sie auch abgeschminkt und voller OP-Narben) https://www.josephstift-dresden.de/kliniken-und-einrichtungen/palliativmedizinonkologie/klinik/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 12. Mär. 2021 (CET) mann muß sich nur zu helfen wissen - diese Ersatz-Atembeutel kenn ich von der Ostzone, ZV-Frauenlager, als "Strafe" für verfehlte Normen (lange Handschuhe) der ANzug sitzt mehr als ANGEGOSSEN - sie sieht aus wie einGEGOSSEN --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:38, 12. Mär. 2021 (CET) nur drei kleiderschränke voll? meine gumina jasmin hatte zusätzlich noch speicher und keller voll, und das ehemalige kinderzimmer nur für extravagante schuhe und (overknee)stiefel - alles für den "erlesenen geschmack" - alles, was das herz begehrt --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:16, 16. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=126742722767970&set=a.106686318106944 70s] * Da darf Mann sich schon mal umdrehen. ** darfste, wenn du Single bist.. * Das waren noch Frauen damals ... ** heute gibt es den gleichen Frauentyp nur die Klamotten sind anders. * Scheint kalt zu sein... ** ficht so einen heißen Feger doch nicht an - ich kenn die Jahre ... die haben auch mir den Kopf verdreht - MILF, und ja, da war ich noch jungk und ledig ... * es gab noch weitaus heißere Feger ... hab ich nicht vergessen * Man denke nur an Jane Fonda in Barbarella ... ** zB - aber ich meine die "Straßenfeger", die nach 68 häufiger und mutiger wurden ... war mit so einer (geb. 1949, gest. 2012) jahrelang zusammen, die war mutig bis zum Schluß, hat sich nie wieder verkrochen, was auch für Mode-Diktat aufkam RIP --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:32, 18. Apr. 2021 (CEST) == Glamouröse Exzentriker == [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10218687693644988&set=g.913747702065221 übergroße Plastikballonmaske] [https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=1266457367084337&id=100011602571613&notif_id=1615101090170179&notif_t=feedback_reaction_generic&ref=notif Die neuen FFP5 sind da (weiße geschlossene Ledermaske)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276827688702/ silberne Astronautin mit schwarzen Handschuhen und Glaskugelhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1393276717688713/ schwarze Latexastronautin mit Glaskugelhelm und Pistole] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:23, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158202474577830&set=g.913747702065221 Silberglück (Pärchen)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=839169370195157&set=g.913747702065221 Frau schlüpft aus dem Ei (schwarz weiß Vintage)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3765574243522575&set=g.913747702065221 nackte Frau mit Mund-Nase-Maske, blau ganzkörpertätowiert, aufgemalte Lunge] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10158144847772830&set=g.913747702065221 Frau mit großer durchsichtiger eiförmiger Maske, Portrait, grünlich im Gesicht mit knallrotem Lippenstift] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3213043045490533&set=g.913747702065221 rotes Latexkleid bis über den Kopf] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1311464692536583/ schwarz-weißes Latexknast-Kostüm mit Regenschirm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3239138999488685&set=g.913747702065221 silberne Hose, halber silberner Umhang, Brustschmuck] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=3235899606479291&set=g.913747702065221 silbernes Gesicht, silbern funkelnder Anzug] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1264837057199347/ Frau auf einem Anker schwebend] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:55, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1248731512143235/ Frau als Batman (rauchend)] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1225554634460923/ Dior - schwares Latex bis unter die Nase, weißer Pelz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157690485847830&set=g.913747702065221 braunes Lederkostüm mit Handschuhen und großem Hut - durchbrochen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216494985366888/ silbertropfendes Gesicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216495685366818/ silberne Fingerkuppen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1216496045366782/ silberspiegelnde Lippen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1211491712533882/ schwarz weiß karierter Latexmantel + -strümpfe (kleiner kariert)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157561517477830&set=g.913747702065221 blaue farbe läuft aus der nase auf die Lippen] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157540153992830&set=g.913747702065221 silbernes gesicht - plastiktüte gesichtsoffen - blauer regenmantel (portrait)] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157538451092830&set=g.913747702065221 fesselstifel mit knoten am absatz] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=10157526850842830&set=g.913747702065221 latexnonnen mit schlangen] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 7. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2906592829409972&set=g.913747702065221 Perlenhaar mit latexkleid und perlenarmbändern] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464369869950/ edelgas-maske] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464949869892/ edelgas-maske mit lederhandschuhen] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1171464689869918/ edelgasmaske schlicht] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1142273822789005/ ägyptische göttin mit schwarzem tierkopf und blauem langen plastikkostüm] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2800059703396619&set=g.913747702065221 violette perücke, gelbe riesige ohrgehänge, gelbe riesige plastikbrille, latexmantel in schwarz] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1115099548839766/ zwei frauen ziehen entgegengesetzt an einem zopf] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=497839764235972&set=g.913747702065221 COCO CHANEL - überlange, übergroße Lederhandschuhe] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=2194866524141642&set=g.913747702065221 motorradmietze mit kätzchenmotorradhelm] [https://www.facebook.com/clubderglamouroesenexzentriker/photos/g.913747702065221/1094982130851508/ rotlederne boxerin] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174612871831&set=g.913747702065221 corona-kaffee in schwarzem latextotal und zeitung] [https://www.facebook.com/photo/?fbid=1008174409538518&set=g.913747702065221 latexmaid in schwarz mit weißem häubchen und weißer schürze gießt milch über sich] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:26, 7. Mär. 2021 (CET) == Literatur 2 == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Literatur 2]] === Paul Rheinfels === === Anais C. Miller === ===Valeska Réon=== == Casanova Verlag == Gudda Behrend: ''Aus dem Tagebuche einer Sünderin.'' Casanova Verlag Willy Saalfeld Berlin W 30 ca. 1920, 8°, 96 S., Halbleinen (Sittengeschichte, Erotik) [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuche-einer-S%C3%BCnderin/id/A01y6dv201ZZy 22 Euro im Abrahamschacht-Antiquariat Schmidt, Frau Iris Schmidt, Schachtweg 16, 09599 Freiberg] * [https://schmidt-auktionen.de/12_katalog_online.php?nr=14&page=28 Schmidt Kunstauktionen Dresden 1. 12. 2007]: [https://schmidt-auktionen.de/12_artikel_details.php?nr=14&knr=504 504 Willy Saalfeld, Akt. Um 1920. Bromsilberabzug. Ungelaufene Fotopostkarte. Leicht bestoßene Ecken. 8,8 x 13,8 cm. 60 €] * Ebenfalls bei [https://books.google.de/books/about/Aus_dem_Tagebuche_einer_S%C3%BCnderin.html?id=tXa9uQEACAAJ&redir_esc=y A. Juncker, 1910 - 105 Seiten] 1880 Født: 06-07-1880 1900 Se også gift med William Behrend Behrend, William 1901 Debut i bogform: En synderinde, blade af en dagbog (roman) http://www.litteraturpriser.dk/aut/BGuddaBehrend.htm (1880-1946) *Behrend, G.: En Synderinde (1901, roman) *Bog Behrend, G.: Hedvig Holcks Vandreaar (1903, roman) *Bog Behrend, Gudda: De ensommes Stræde. ♦ Gyldendal, 1922. 138 sider. Pris: kr. 5,75 (1922, roman) anmeldelse Bogens Verden, 1922, 4. Aarg., side 276 [Anmeldelse, signeret: K.K.N.]. https://danskforfatterleksikon.dk/1850bib/BGuddaBehrend.htm Hedvig Holcks Vandreaar - [https://books.google.de/books/about/Hedvig_Holcks_Vandreaar.html?id=ukn4xAEACAAJ&redir_esc=y Neuauflage Veröffentlicht 2019] Übersetzung ins Deutsche von [[w:Mathilde Mann|Mathilde Mann]] (* 24. Februar 1859 in Rostock als Mathilde Charlotte Bertha Friederike Scheven; † 14. Februar 1925 in Rostock - deutsche Übersetzerin und Lektorin, insbesondere für Nordische Sprachen): Gudda Behrend: Aus dem Tagebuche einer Sünderin, Berlin [u. a.] 1902 * Axel Juncker, Berlin, Stuttgart 1902, Broschur, 105 + 3 S. [https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Gudda-Behrend+Aus-dem-Tagebuch-einer-S%C3%BCnderin-Autorisierte-%C3%9Cbersetzung-von-Mathilde-Mann/id/A026x3z201ZZe 54+6 Euro im Antiquariat Weinek, Frau Dr. Elisabeth Weinek, Uferstrasse 8, 5026 Salzburg] ** Autorisierte Übersetzung von Mathilde Mann 8° 105 S. S. Einband: Original im Jugendstil illustr. Halbleineneinband [https://www.abebooks.de/servlet/BookDetailsPL?bi=22386118048&cm_sp=collections-_-747FHNEcCbe1N23CgE8jgR_item_1_10-_-bdp 19,63+2,20 Euro] in: Altmärkisches Antiquariat, Lars Flick (Inhaber), Sandstraße 50, 39638 Gardelegen En Synderinde: Blade at en Dagbog Gudda Behrend - [https://books.google.de/books/about/En_Synderinde.html?id=qUB-oAEACAAJ&hl=en&output=html_text&redir_esc=y 1901 - 148 pages] Der deutsche Casanova - In 3 Bänden komplett - Johann Conrad Friedrich - Vierzig Jahre aus dem Leben eines Toten - Der Memoiren 1. Teil 1789-1806 - 2. Teil 1806.1810 - 3. Teil 1810-1830 - Im Originalkarton Taschenbuch – Insel, 1991, von Johann Konrad Friederich (Autor), Friedemann Berger (Herausgeber) [https://www.amazon.de/deutsche-Casanova-Friedrich-1789-1806-Originalkarton/dp/B0026L0E4I 18 Euro] gebundene 1. Auflage Egon Fleischel & Co, Berlin 1915, OLeinen, 8°, XV; 418; IX; 452; IX; 440 Seiten Fraktur, Lesebändchen, Kopffarbschnitt [https://www.amazon.de/gp/offer-listing/B0026L0E4I/ref=dp_olp_ALL_mbc?ie=UTF8&condition=ALL 45+3 Euro] "Der deutsche Casanova" Fahrten und Liebesabenteuer nach den Memoiren eines deutschen Offiziers im französischen Heere Napoleons I. mit 32 Illustrationen von Hans Speidel und und Max Erich Nicolas, hrsg. von Max Bauer, Eigenbrödler Verlag, Berlin W 8 ca.1925 / Hrsg.: Max Bauer / Speidel [https://www.ebay.de/itm/Der-deutsche-Casanova-Eigenbrodler-Verlag-ca-1925-Hrsg-Max-Bauer-Speidel/124437184812?hash=item1cf908c12c:g:JVUAAOSw7Wxdyw1y 28+6,50 Euro] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:30, 20. Nov. 2020 (CET) == Verlage == Ich hätte bereits drei Verlage gefunden, wo mein Buch gut ins Verlagskonzept passen würde. Allerdings finden sich bei besagten Verlagen auch Werke, die unlektoriert wirken, was mich dann doch eher abschreckt, mein Buch dort einzureichen. - Mir war es wichtig, ein Buch mit einer Story zu schreiben und nicht nur Sexszenen. Allerdings ist es auch mein erstes und braucht ganz sicher noch Profis, die es sich ansehen. aus dem Anais bzw Schwarzkopf Verlag kenne ich Bücher, die ganz normal lektoriert wirken. Und Schlagzeilen. Seitenblick gibt es leider nicht mehr Schlagzeilen oder Elysion - bei den kleineren Verlagen zögere ich selber, weil mir das mit dem mangelnden Korrektorat auch aufgefallen ist ich habe aber die Erfahrung gemacht, dass Verlage die sich nicht auf BDSM spezialisiert haben, oft gar kein Hardcore annehmen. Oder gnadenlos zensieren Ich habe, bevor ich mein aktuelles Romanprojekt anbot, für ein privates Lektorat gezahlt und zahle auch das SensitivityReading. Klar. Das ist eine Menge Geld, alles in allem, aber hey, die Kohle war gerade da. Wenn ein Verlag kein Lektorat bietet, lasse ich trotz meiner Bereitschaft zur Eigenleistung die Finger davon, dort zu veröffentlichen. Lektorat und Korrektorat gehören einfach dazu, ein Verlag, der das nicht leistet, passt schlicht nicht in mein Beuteschema. Falls Elysion-Books noch nicht auf der Liste war ... Lektorat und Korrektorat ist logischerweise dabei, Bücher sind überall zu beziehen und liegen auch im Buchhandel und im stationären Handel... Klingt auch sehr interessant und kommt definitiv auf meine Liste. Allerdings bin ich nicht sicher, ob das Ende meines Buches als Happy End aufgefasst werden kann. Aber vl passt es ja bei einem anderen Buch. Bist herzlich eingeladen, dich mal bei uns beim Tribus Verlag zu melden, wenn du möchtest. Versuch es doch einmal bei konkursbuch Verlag Claudia Gehrke. Sie hat ein sehr weit gefächertes Programm, kümmert sich sehr engagiert um die Vermarktung und ist ausgesprochen fair. www.konkursbuch.com Mir geht es nur darum, eine Liste von möglichen Verlagen zu erstellen, sodass ich nicht immer wieder aufs Neue alles durchforsten muss. Leider findet man Verlage für dieses Genre nicht so leicht. BDSM allein ist ja nun wirklich schon fast Mainstream. Du könntest es auch beim charon Verlag versuchen, der neben den "Schlagzeilen" auch Bücher herausgibt. https://www.schlagzeilen.com/ Probier mal bei Letterotik.de. Ich rate zu einem Pseudonym. Habe selber 4 Aliasnamen. Es werden auch stärkere Formate veröffentlicht. Frag einfach mal nach. Ansprechpartnerin ist Frau Baer. Lektorat ist für mich okay, Kommunikation erstklassig, Covergestaltung ansprechend. mir wurde auch gesagt, dass der Verlag im Moment neue Manuskripte nur auf Empfehlung annimmt. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:42, 16. Mär. 2021 (CET) == Hersteller == urinbless.com human skin mask set ulsula.com the elder silicon headgear --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:01, 30. Dez. 2020 (CET) https://www.facebook.com/Rubbersisters/ The ultimative female transformation Moniquin Anzug Fem Mask [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/432851523438466/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/171946_432851523438466_959953674_o.jpg?_nc_cat=104&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=LjLdttsoeFkAX8ITABj&_nc_oc=AQkIqnkRCGPeWkUJPRiSN8TJCO74W3R9buFkLYiobloBLy2aLh7X_r_xnese5OPch1gwfjJbWRdqhu32Z_RlKne4&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=f9be2e1d84f0ace64aad564fc7517fcf&oe=601AAE0A inflatable doll suit now in skin matching colour!] - This is exactly what I am looking for! I have to become a latex sex doll, it is my ultimate fantasy (Genau das suche ich! Ich muss eine Latex-Sexpuppe werden, das ist meine ultimative Fantasie) - I dream of owning one of these outfits someday! (Ich träume davon, eines Tages eines dieser Outfits zu besitzen!) - God that is hot. (Gott, das ist heiß.) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/537678542955763/ FB] = [https://scontent-frx5-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/397440_537678542955763_1225667219_n.jpg?_nc_cat=100&ccb=2&_nc_sid=174925&_nc_ohc=eIYd8bA0ZmgAX-fLdfr&_nc_ht=scontent-frx5-1.xx&oh=804f110a097401114ae342bc2df93158&oe=601C4FFF Dita - the new female mask] [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/531192290271055/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/935757_531192290271055_860385658_n.jpg?_nc_cat=108&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=nRCKulIU87gAX8895Px&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=d7e14b49baa3789dad0e9f9b4e42548d&oe=601CEB06 "Dita" Mask] We are pleased to announce, that we are just did the final touches to our new “Dita” Mask. We are now offering this fantastic looking female mask with interchangeable eyes. The mouth is slit open and has red lips. These very realistic looking female mask made of high quality silicone is absolutely comfortable to wear. You can use any regular make-up to give this female mask an individual look. Get more details at our online shop www.2nd-skin.com or visit us at the Boundcon Fair from 24-26.05.2013 in Munich or doring the German Fetish Weekend from 18-20.05.2013 in Berlin. Yours Rubbersisters Monica & Jacline (Wir freuen uns, Ihnen mitteilen zu können, dass wir gerade den letzten Schliff für unser neues Produkt gemacht haben "Finger" Maske. Wir bieten jetzt diese fantastisch aussehende weibliche Maske mit austauschbaren Augen an. Der Mund ist aufgeschlitzt und hat rote Lippen. Diese sehr realistisch aussehende Frauenmaske aus hochwertigem Silikon ist absolut angenehm zu tragen. Sie können jedes normale Make-up verwenden, um dieser weiblichen Maske ein individuelles Aussehen zu verleihen. Weitere Informationen erhalten Sie in unserem Online-Shop www.2nd-skin.com oder besuchen Sie uns auf der Boundcon Fair vom 24. bis 26. Mai 2013 in München oder am German Fetish Weekend vom 18-20.05.2013 in Berlin. Eure Rubbersisters Monica & Jacline) [https://www.facebook.com/Rubbersisters/photos/562349830488634/ FB] = [https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.net/v/t31.0-8/1072175_562349830488634_520819894_o.jpg?_nc_cat=106&ccb=2&_nc_sid=9267fe&_nc_ohc=AnitAk8nXbMAX-8Bcxz&_nc_ht=scontent-frt3-1.xx&oh=dc866b047bedb1724a80af21e3b101ec&oe=601ACA3E New video clip is online] at http://www.2nd-skin.com Monica is wearing the Petra mask and Betty is wearing the Gloria mask - Sorry video clip is online at http://www.rubbersisters.com - sehr schön. wie fühlt man sich, wenn man so nett aufgebleaen wird? (mit rotem Fesselsack) https://www.2nd-skin.com/de/18-frauenmasken [https://www.2nd-skin.com/de/kleber/17-skin-adhesive.html Hautkleber] - Dieser zweitkomponenten Hautkleber ist geeignet für alle prothetischen Silikonprodukte (keine PU-umhüllten Prothesen) die vorübergehend auf die menschliche Haut geklebt werden sollen. Das richtige Mischungsverhältnis ist 1 Teil A + 1 Teil B nach Volumen. Sie können auch Puder-Makeup in die A-Komponente mischen, damit es farblich Ihrem Hautton entspricht. Um die Prothese wieder zu entfernen, schälen Sie diese langsam von der Haut ab. Menge: 2 x 50 Gramm --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 7. Jan. 2021 (CET) === Dresden === https://lldesaxe-fashion.de/impressum Maik Richter Lohrmannstraße 20 01237 Dresden Deutschland Tel.: +49 (0) 351 281 34 49 Fax: +49 (0) 351 281 34 49 E-Mail: info@lldesaxe-fashion.de --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:33, 16. Jan. 2021 (CET) ''LLdeSaxe Fashion wurde am 13.01.2012 gegründet. Die gemeinsame Leidenschaft für Latexmode verband meine Frau und mich jedoch bereits seit vielen Jahren. Bei der Auswahl und Individualität der Latexbekleidung waren wir als Kunden jedoch bisher immer recht eingeschränkt. Wir stießen mit unseren Bestellungen bei anderen Herstellern regelmäßig an die Grenzen, da unsere Wünsche nicht umgesetzt werden konnten oder auch wollten.'' ''Dies sollte sich 2011 nach unserem Urlaub bei einem befreundeten Schweizer Latex-Liebhaber ändern. Hier lernte meine Frau die ersten Handgriffe im Umgang mit der Herrstellung von Latexkleidung kennen. Das ganze ergab sich völlig spontan aus dem Gespräch heraus. Wir lauschten ganz gespannt den Erzählungen unseres Freundes, als meine Frau neugierig fragte, wie denn nun die Herstellung von Latexbekleidung konkret funktionierte. Unser Freund bot daraufhin an, sie in sein Atelier mitzunehmen und ihr ein paar Tricks und Kniffe zu zeigen. Meine Frau war sofort Feuer und Flamme und so zogen sich beide zu einer Einarbeitungsschulung zurück.'' ''Sie fand sofort gefallen am Latexschneidern und so kauften wir bei unserem Freund einen größeren Posten an Latex Meterware ein. Zuhause angekommen, machen wir uns sogleich an die Arbeit, die ersten Schnitte und Designs zu entwerfen. Nach und nach wurden wir immer besser und unsere Latex Designs fanden sehr großen Zuspruch auf Partys und Verantstaltungen, wo wir zugegen waren. So entstand dann auch unsere erste kleine Kollektion, wozu zum Beispiel dieses Outfit gehört: Damen Blazer „ Ladylike 2012“ und Damen Humpelrock „Ladylike“.'' ''Unsere Latex Bekleidung kam super an und so entschlossen wir uns auch auf einer Modenschau in Nossen im November 2011 unsere Bekleidung zu präsentieren. Im Januar 2012 gingen wir dann den nächsten Schritt und haben uns mit LLdeSaxe Fashion selbstständig gemacht.'' ''Im Sommer 2012 sind wir zu unserem ersten Internationalen Auftritt in die Schweiz gefahren - In das schöne Berner Oberland nach Oensingen.'' ''Hier fand zum einen unser erstes professionelles Fotoshooting auf der Burg Neu-Falkenstein statt. Zum anderen haben wir unsere Latex-Design einem internationalen Publikum im Rahmen einer Modenschau vorgestellt. Hier wurden unsere Kreationen begeistert aufgenommen.'' ''Mitte des Jahres haben wir uns dann entschlossen, unsere Bekleidung fortan auch im Internet zu präsentieren – Zunächst auf einer kleinen, selbst erstellten Website. 2015 folgte dann der Umzug zu WEBneo um unsere Latex Outfits auch professionell online verkaufen zu können.'' ''Seit 2014 sind wir auch regelmäßig auf internationalen Modenschauen mit Präsentation und Verkauf vertreten, wie auf der Fetish Evolution in Essen (2014) und der Messe BoFeWo (2015).'' ''Seitdem arbeiten wir jeden Tag an unseren Kernkompetenzen und verfeinern unsere Designs, um unseren Kunden die beste Qualität und den höchsten Service bieten zu können.'' https://lldesaxe-fashion.de/wie-alles-begann --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:24, 16. Jan. 2021 (CET) ''Wir sind auf der Suche nach weiblichen Models aus dem Raum Dresden und Umgebung, die uns deutschlandweit auf angesagten Internationalen Fetish Messen als Model und Verkaufspersonal begleiten. Es werden weiterhin jährlich zwei große Fotoshootings mit professionellen Fotografen in Dresden und der Umgebung angesetzt, die zur Vermarktung unserer Produkte dienen sollen. Die Bilder sind sowohl für den Online Shop an sich, aber auch für die Social Media Kanäle, Print und den Digitalen Medien. Alle 3 Monate finden bei einer Abendveranstaltung zudem Team Buildings statt.'' ''Folgende Voraussetzungen solltet du dabei mitbringen:'' *''Du bist zwischen 18 und 35 Jahre alt,'' * ''hast eine Kleidergröße von maximal 36 bis 38'' * ''und bist mindestens 1,55 m groß.'' ''Wichtige Voraussetzungen sind:'' ''Du hast keine Berührungsängste mit Latex Kleidung, bist zeitlich flexibel, teamfähig und zuverlässig. Du kannst sicher posieren und auf High Heels laufen, bist offen im Umgang mit Kunden sowie sprach- und redegewandt. Wenn Du bereits Erfahrung im Bereich Modeverständnis und Styling hast, ist dies von Vorteil.'' ''Wenn Du nun Lust bekommen hast, bei einem innovativen und hochwertigen Latexlabel mitzuwirken, dann bewirb Dich bei uns. Jede bekommt bei uns eine Chance.'' ''Schreib uns eine Mail mit deinen Personen gebunden Eckdaten und stell Dich bei uns vor. Vielleicht gehörst du schon bald zu unserem Team. Wir freuen uns auf deine Bewerbung.'' ''Deine persönliche Vorstellung nach Terminvereinbarung erfolgt in unseren Geschäftsräumen:'' LLdeSaxe Fashion Schandauer Straße 23 B 01309 Dresden https://lldesaxe-fashion.de/werde-model-bei-lldesaxe-fashion vgl. https://www.facebook.com/Becca-de-Saxe-789572294522639/ Fetischmodel bei LLdeSaxe Fashion. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Latex wird aus dem Milchsaft des Kautschukbaumes gewonnen, welcher durch Räuchern und Walzen zu Kautschuk weiterverarbeitet und anschließend durch Vulkanisation zu einem stabilen Material wird. Weltweit gibt es zwar verschiedene Latexhersteller, bekannt sind jedoch vor allem 3 große Latex-Hauptproduzenten. Dabei unterscheiden sich deren Produkte zum Teil erheblich voneinander.'' ''Der Malaysische Rubber bietet zum Beispiel die größte Farbauswahl, enthält dabei aber auch die meisten chemischen Zusätze. Er wird in Asien hergestellt und auch verarbeitet.'' ''Radical Rubber stellt in Großbritannien seinen Latex her, welcher ein Spektrum von ca. 200 verschiedenen Farben bei weniger chemischen Zusätzen bietet.'' ''Wir von LLdeSaxe Fashion hingegen setzen für unsere Latex-Bekleidung auf den Latexproduzenten FOUR D Rubber aus England. Deren Premium-Latex ist nicht nur Fair Trade, es enthält auch so gut wie keine chemischen Zusätze und hat eine sehr hohe Qualität. Dabei bietet FOUR D Rubber mit über 70 Farben auf ökologischer Basis eine sehr große Auswahl. Unsere Latex-Bekleidung ist somit rein biologisch - bis hin zum Latex-Kleber.'' ''Auch wenn der m²-Preis um einiges höher ist, setzen wir aus Überzeugung auf FOUR D Rubber. Schließlich sind unsere Latex-Outfits damit auch besonders langlebig und komplett ökologisch abbaubar. Dies macht sich auch bei der Latexverträglichkeit positiv bemerkbar: Eine Kundin, die bereits eine Latex-Allergie entwickelt hatte, konnte völlig beschwerdefrei unsere Bekleidung tragen.'' ''Das Besondere an dem von uns verwendetem Premium-Latex ist sicherlich die aufgeraute Innenseite, weshalb sich unsere Latex-Bekleidung samtig weich anfühlt und nicht an der Haut klebt. Ein weiterer Vorteil ist die damit verbundene, deutlich geringere Schweißbildung. Nicht umsonst ist unser Motto: „Latex das anzieht“'' ''Die Latex-Produktion'' ''Gefertigt und produziert wird unsere Latex-Bekleidung in unserer Dresdner Manufaktur. Damit findet die Herstellung komplett in unserem Hause statt – Von der Erstellung der Schnittmuster, über die kostenfreie Maßanfertigung bis hin zum Versand. Nach Fertigstellung eines Latex-Outfits nehmen wir mehrere Qualitätskontrollen vor. Anschließend wird das Produkt gereinigt, poliert und anziehfertig eingepackt. Bei der Bestellung von Latex-Anzügen und Latex-Kleidern wird die Ware in einer limitierten Kleiderhülle mit unserem Logo verschickt. Alle anderen Produkte versenden wir vakuumverpackt zu Ihnen nach Hause. Danach heißt es nur noch: Anziehen – Wohnfühlen – Glücklich sein.'' https://lldesaxe-fashion.de/latex-das-material-seine-herstellung-und-verarbeitung --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:46, 16. Jan. 2021 (CET) ''Ende September ist es endlich wieder soweit: Die Bondage-Fetish-World, kurz BoFoWo – Deutschlands größte Messe im Bereich Fetisch und Bondage – öffnet für Szeneliebhaber wieder ihre Tore. Einmal pro Jahr findet sie in Hofheim am Taunus, nähe Wiesbaden statt. Vom 30.09. bis 02.10.2016 präsentieren hier wieder zahlreiche Aussteller ihre Produkte aus Lack, Leder & Latex sowie Kunst, Bücher, Filme und vieles mehr. Abgerundet wird die Messe durch ein attraktives Rahmenprogramm mit Workshops, Lesungen und Performances.'' ''Natürlich dürfen dabei auch wir von LLdeSaxe Fashion nicht fehlen! Mit einem der größten Messestände - ca. 25m² - und unserer größten Präsentationsfläche mit insgesamt 6 Leuten sind wir auch diesmal wieder auf der BoFoWo vertreten.'' ''An 3 Messetagen stellen wir Ihnen exklusiv unsere neuste Latex Kollektion vor. Wir haben aber auch ein breites Potpourri aus nahezu allen Produkten unseres Onlineshops für Sie im Angebot und diese können gleich gekauft und mitgenommen werden. Auf ausgewählte Produkte an unserem Aktionsständer bieten wir Ihnen sogar 10% Messerabatt an!'' ''Neben dem Verkauf steht Ihnen zusätzlich unserer exklusiver Fashion Point zur Verfügung. Am Fashion Point können Sie Ihr individuelles Outfit planen und bestellen. Dies umfasst Beratung, Information und Vermessung. Unser qualifiziertes Team berät sie gern.'' ''Die große Latex-Modenschau am Samstag bildet dann eins DER Highlights der Messe. Wer gern exklusive und einzigartige Latex Kleidung sucht, wird an unserem Messestand sicher fündig werden.'' https://lldesaxe-fashion.de/messe-spezial-die-bofewo-2016 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:23, 16. Jan. 2021 (CET) ''Unsere Kunden haben es bereits in verschiedenen Bewertungen bestätigt:'' ''Bei LLdeSaxe Fashion genießt der Kunde vollste Transparenz und Sicherheit bei seiner Bestellung. Sie haben die Möglichkeit, sich jederzeit in Ihr Kundenkonto über den aktuellen Status Ihrer Bestellung kundig zu machen. Haben Sie eine Frage zu einem Produkt oder wünschen sich eine individuelle Sonderbestellung? Kein Problem, wir melden uns immer in der Regel innerhalb von 24 Stunden bei Ihnen und erstellen zum Beispiel gern ein kundenorientiertes Angebot für Ihre Sonderbestellungen - Auch von Produkten, die Im Shop (noch) nicht angeboten werden.'' ''Ein Kunde fragte beispielsweise einmal nach einem Dalmatiner-Shorty an, passend zu seiner Latex-Maske, Stulpen und Pfoten. Wir designten also einen passenden Shorty in Weiß, schnitten schwarze Punkte aus und schicken dem Kunden einen möglichen Designvorschlag per Foto. Anschließend kleben wir sein Wunsch-Muster auf und sorgten so für einen echten Hingucker.'' https://lldesaxe-fashion.de/lldesaxe-fashion-kundenzufriedenheit-die-uns-begeistert --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 11:43, 16. Jan. 2021 (CET) ''Gute Nachrichten für alle Liebhaberinnen und Liebhaber der hochwertigen Latexbekleidung von LLdeSaxe Fashion: Wir haben unseren Fashion Point im Secret Desire in der Dresdner Neustadt für Sie ausgebaut und einen kompletten Stand mit unserer exklusiven Latexkleidung aus unserer Manufaktur installiert. Ab sofort finden Sie hier unter anderem Latex Anzüge, Latex Leggings, Kleider, Catsuits und vieles mehr für Damen und Herren. Natürlich haben wir auch die passenden Latex-Accessoires für Ihr individuelles Outfit. Die edlen Stücke gibt es in den Größen S, M und L. Kommen Sie einfach ins Secret Desire und probieren Sie sie an. Das Beste daran ist: Sie können die Latexbekleidung direkt kaufen und mitnehmen! Selbstverständlich finden Sie in unserem Fashion Point auch gleich die passenden Pflegeprodukte, damit Sie lange Spaß mit unseren Latex Outfits haben.'' https://lldesaxe-fashion.de/der-fashion-point-in-dresden-hat-jetzt-auch-latex-kleidung-direkt-vor-ort * ''Am Sonnabend eröffnet Jessica Vogt auf der Rothenburger Straße ein neues Lädchen für Drunterziehsachen: Secret Desire. Obwohl, ganz so neu ist das Lädchen nun auch wieder nicht. Schon seit November 2013 werden hier Schlüpfer, Strapse und andere Unterwäsche verkauft. Doch im Januar hatte die „fem2glam“-Chefin Dina Stiebing angekündigt, den Laden zu schließen. Der Grund dafür wartet zurzeit nur noch auf den richtigen Moment um mit einem kräftigen Schrei zur Welt zu kommen. Dina hatte schon damals erzählt, dass sie jemanden sucht, der den Laden übernehmen könnte. Das ließ sich Jessica Vogt nicht zweimal sagen. Die studierte Diplom-Ökologin hatte zuletzt als Imbiss-Frau an Katys Garage gearbeitet. Nun tauscht sie Würstchen gegen Mieder und stürzt sich in die Selbstständigkeit. „Die Sachen sind für den Tanz an der Stange geeignet“, grinst sie frivol. Im Wesentlichen bleibt der Laden, wie er ist. Ein bisschen wurde umgeräumt und die Umkleidekabine wird vergoldet. „Ich war Stammkundin bei Dina und bin der Meinung, dass der Laden weiter geführt werden muss.“ Am Sonnabend um 11 Uhr will sie zum ersten Mal die Türen öffnen. Es gibt Prosecco und Sushi und natürlich jede Menge Schlüpfer. Letzteres übrigens auch für Herren, das ist neu. Mal sehen, ob es Jessica gelingt, das sogenannte starke Geschlecht in ihr kleines Lädchen zu locken. Vorbesitzerin Dina Stiebing wünscht ihr auf jeden Fall schon mal viel Erfolg, Dinas Unterwäsche gibt es jetzt nur noch online (Domain zu verkaufen).'' [https://www.neustadt-ticker.de/45127/aktuell/nachrichten/secret-desire Es bleibt schlüpfrig auf der Rothenburger] 14. April 2016 Anton Launer Secret Desire – Neueröffnung Sexy Dessous, frivole Abendmode und coole Clubware. Rothenburger Straße 7, 01099 Dresden, Telefon: 0176 24942511, Montag bis Freitag: 11.30 bis 19 Uhr, Sonnabend 11 bis 17 Uhr, weitere Infos auf der Facebook-Site (Seite nicht verfügbar) [Twitter nur ein Eintrag von 2016] https://twitter.com/secret_desiredd [https://www.tag24.de/nachrichten/stammkundin-reizwaesche-shop-dessous-67148 STUDIERTE GRILLMIEZE VERKAUFT JETZT SCHLÜPFER] tag24 vom 18. April 2016 Von der Würstchen-Brutzlerin zur Dessous-Verkäuferin: Jessica (30) ist jetzt Chefin vom "Secret Desire". Von Tom Schmitdgen Dresden - Vom Grill ins Negligé - Jessica Vogt (30) übernimmt den Dessous-Laden „Secret Desire“ (vorher „Fem2Glam“) auf der Rothenburger Straße. Am Wochenende eröffnete sie das 60 Quadratmeter große Spezialgeschäft (500 BHs, Mieder, Bodys). Die studierte Ökologin stand zuletzt am Würstchengrill bei „Katys Garage“. Doch jetzt zog es sie in den Wäscheladen. Denn die vorherige Chefin Dina Stiebing (37) hatte ihren Reizwäsche-Shop vor zwei Wochen wegen ihrer Schwangerschaft geschlossen. „Ich war früher Stammkundin und wollte nicht, dass der Laden einfach schließt“, sagt die neue Dessous-Chefin. „In Zukunft plane ich auch Ausstellungen und erotische Lesungen im Geschäft. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:44, 16. Jan. 2021 (CET) === Entwürfe === [https://www.facebook.com/LatexFashionDesign/photos/a.516389838434004/5006789482727328/ FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/139067194_5006789486060661_7750722395006097503_o.jpg?_nc_cat=102&ccb=2&_nc_sid=730e14&_nc_ohc=lEzBHqNm134AX8pVTK_&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=7efd93241f046fe67ca7028ca4eb0d2d&oe=6026DF5F “As delicate as flower, as tender as rose petals, choosing to be tender and kind in a harsh environment is not weakness, it's courage.” ― Luffina Lourduraj] (′′ So zart wie Blume, so zart wie Rosenblätter, die sich entscheiden, zart und freundlich in einer harten Umgebung zu sein, ist keine Schwäche, es ist Mut." - Luffina Lourduraj) - violetter Latexumhang --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:52, 16. Jan. 2021 (CET) == Satyamurti Cornelis Snoek == == Surfen== === Keala Kennelly === [[w:de:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] [[w:en:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] en [[w:fr:Keala Kennelly|Keala Kennelly]] fr [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/ FB] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/131488510956/ 29. August 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/135850190956/ 6. September 2009] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/280410355956/ Brrrrrrrr! Winter in the South Bay.] 29. Jan. 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/453009100956/ I won the Nelscott Reef Women's Big-wave Paddle-in event today. It was a nice distraction for a moment from all the pain of loosing my boy Andy.] Ich habe heute das Big-Wave-Paddle-In-Event der Nelscott Reef Women gewonnen. Es war eine schöne Ablenkung für einen Moment von all dem Schmerz, meinen Jungen Andy zu verlieren. - 4. November 2010 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/472181295956/ Surfer Poll Pirate.] 12.12.2010 - noch Spaß [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150109351905957/ This is my new Donjoy Knee brace. This thing is serious. I feel like Robo-cop or something. Lets hope it works well in the water] (Dies ist meine neue Donjoy Knieorthese. Diese Sache ist ernst. Ich fühle mich wie Robo-Cop oder so. Hoffen wir, dass es im Wasser gut funktioniert) März 2011 Unfall 27.? August 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150320862555957/ The Phantom mask arrived and... It looks ridiculous! It's WAY too big. I am going to send it back. It was worth a try.] Die Phantommaske ist angekommen und ... Es sieht lächerlich aus! Es ist viel zu groß. Ich werde es zurückschicken. Es war einen Versuch wert. - 13. Oktober 2011 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10150632930575957/ That's a hell of a way to win the comeback of the year award, but hey I will take it Thanks TransWorld SURF!] (Das ist eine verdammt gute Möglichkeit, das Comeback des Jahres zu gewinnen, aber hey, ich werde es nehmen Vielen Dank, TransWorld SURF!) - 8. April 2012 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151360156120957/ It's been almost 2 years since my surfing accident in Tahiti... I see a swell... Time to get back on that horse.] (Es ist fast 2 Jahre her seit meinem Surfunfall in Tahiti ... Ich sehe einen Wellengang ... Zeit, wieder auf dieses Pferd zu steigen.) Am 3. Dezember 2013 hielt Keala auf der TEDx Malibu einen Vortrag über Lust und Surfen: "Ich bin Keala Kennelly und ich bin ein Surfer." https://www.youtube.com/watch?v=eSvsrzPCZ5o [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10151899575820957/ 12.März 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155122831665957/ Me and the champ @paigealms a few years back about to go slay dragons somewhere cold. I would have loved to compete with you in the @wsl #maverickschallenge this year. Too bad Mother Nature didn’t cooperate. Congratulations on your #bigwave #worldtitle I’m so very proud of you my friend] März 2014 [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430223345957/ 21. Dezember 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10152430284150957/ 21. Dez. 2014] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155610476290957/ 27. Okt. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155708213405957/ 16. Dez. 2018] [https://www.facebook.com/kealakennellyofficial/photos/10155808808865957/ 5. Febr. 2019] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:36, 1. Jan. 2021 (CET) ==Wasserballet == [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157432917 nackte nymphe] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/nymph-lizenzfreies-bild/157692623 nymphe 2] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755467 Underwater Ballet. Ballerina performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-lizenzfreies-bild/490755487 Underwater Ballet. Ballet dancers performing under water.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/dancing-vision-013-lizenzfreies-bild/983042290 Dancing Vision 013 unterwasser in rot und weiß] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3246570 Submarine Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert, Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/ginger-stanley-dives-through-the-water-during-her-solo-nachrichtenfoto/3332495 Water Ballet. circa 1956: Ginger Stanley dives through the water during her solo underwater ballet at Silver Springs, Florida. (Photo by Bruce Mozert/Three Lions)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818228 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/members-marcy-terry-and-shannon-tooker-of-the-world-nachrichtenfoto/157818227 Weeki Wachee Mermaids - London. Members Marcy Terry And Shannon Tooker Of The World Famous Weeki Wachee Mermaids Perform Underwater Ballet Amongst The Marine Creatures Of The Sea Life London Aquarium. London. (Photo by John Phillips/UK Press)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/utah-orem-female-ballet-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/163445400 USA, Utah, Orem, Female ballet dancer under water] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-fashion-pool-party-young-woman-diving-at-lizenzfreies-bild/838059614 Underwater fashion pool party, Young woman diving at swimming pool] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/women-rehearsing-for-water-ballet-lizenzfreies-bild/522170012 Women Rehearsing for Water Ballet (Original Caption) Submerged ballerinas rehearse for a show at Leisure World in Laguna Hills, California.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/639988160 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-girl-lizenzfreies-bild/642637812 Underwater Girl. Beautiful young ballerina dancing inside the swimming pool] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/51309459 Aquatic Ballet From 'La Folies Bergere'. Two actors dance during the performance of an aquatic ballet at the 'Folies Bergere,' Paris, France, July 1952. (Photo by Nat Farbman, The LIFE Picture Collection)] * [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/two-actors-dance-during-the-performance-of-an-aquatic-nachrichtenfoto/50651216 Bild 2] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/figurine-to-one-of-the-rhine-daughters-for-the-nachrichtenfoto/1155868795 Figurine To One Of The Rhine Daughters For "The Rhinegold" By Richard Wagner Figurine to one of the Rhine daughters for "The Rhinegold" by Richard Wagner, circa 1913. Found in the Collection of Theatre Museum, Vienna. Artist Moser, Koloman (1868-1918). (Photo by Fine Art Images] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/das-rheingold-1st-scene-at-the-bottom-of-the-rhine-nachrichtenfoto/919717270 Das Rheingold. Das Rheingold, 1st scene, at the bottom of the Rhine. Bayreuth, 1896, 1896. Found in the Collection of Veste Coburg. (Photo by Fine Art Images)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215747 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-diver-dressed-as-a-mermaid-swims-during-a-show-nachrichtenfoto/77215732 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) A female diver dressed as a mermaid swims during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/nachrichtenfoto/female-divers-from-russia-swim-during-a-show-in-an-nachrichtenfoto/77215749 Female Divers Perform Underwater Show At Wuhan Aquarium. WUHAN, CHINA - OCTOBER 6: (CHINA OUT) Female divers from Russia swim during a show in an aquarium of Sea World at the East Lake on October 6, 2007 in Wuhan of Hubei Province, China. Female divers from China and Russia perform underwater ballet and other shows at the venue. (Photo by China Photos)] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/young-woman-in-pool-and-synchronized-swimming-lizenzfreies-bild/1125338066 Young woman in pool and synchronized swimming.] Serie [https://www.gettyimages.de/detail/foto/girls-practicing-lizenzfreies-bild/1001603246 Girls practicing synchronised swimming] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/female-dancer-performing-under-water-lizenzfreies-bild/107227572 Female classic dancer performing under water in huge red flamenco dress] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/underwater-ballet-woman-ballerina-dancing-under-the-lizenzfreies-bild/635847936 Underwater Ballet Woman ballerina dancing under the water Swimming pool. Ballet, ballerina dancing under the water. Underwater fashion, woman in white dress, relaxing in swimming pool. Summer fun, fantasy, modern dancing in water, Mermaid. Pool party.] [https://www.gettyimages.de/detail/foto/gracefull-female-dancer-under-water-lizenzfreies-bild/1218911725 gracefull female dancer, ballerina, performing under water in evening dress] [https://www.gettyimages.de/fotos/wasserballet?page=62&phrase=wasserballet&sort=mostpopular Wasserballet] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:46, 10. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=3304759069569835&set=pb.100001073237260.-2207520000..&type=3 Unterwasser Pool Dance] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:55, 1. Apr. 2021 (CEST) == Stammtisch == == Film == [[w:de:Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme|Liste in der DDR gezeigter westlicher Filme]] [[w:de:Onibaba – Die Töterinnen|Onibaba – Die Töterinnen]] 22.11.1974 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Police_women_(Suzuki),_colored_version.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rally_Finland_girls_at_the_2004_Rally_Finland.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2017_%EF%BC%88%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%B5%E3%83%AD%E3%83%B32017%EF%BC%89-145_(32324539015).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2014_with_NAPAC_069_(11928415683).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Auto_Salon_2019_(46716676402).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_AUTO_SALON_2018-10_(39796580051)_(2).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4064234086).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Motor_Show_2009_(4056011396).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_43rd_Tokyo_Motor_Show_2013_PENTAX_K-3_173_(11248257665).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-42_(38007568292).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-40_(24186220808).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_45th_Tokyo_Motor_Show_2017-41_(38038306141).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binary_Domain_stick_em_up.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Biker_girl_(1869378328).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bianca_Beauchamp_E3.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Alexis_Sinclaire_from_Sin.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC02787_(25113378).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DSC06667_(5812038000).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2010_._._(4705546060).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Firefall_4_5_(7794135388).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geleos_Media_girl_(3538443656).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_E3_2011_No.21.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joanna_Dark_GC_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nival_girl_on_Igromir_2008.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nova_Online_girls.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Samus_and_Link_at_Igromir_2012_2.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Royal_Quest_girls_of_Igromir_2010.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yet_Another_Booth_Babe_(14703146).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2017_20170922-DSC_2297_(37593917581).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018_(29698389636).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2018(29442725600).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2015_19_(21355000028).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108514369).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tokyo_Game_Show_2014_(15108565470).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TOKYO_GAME_SHOW_2014_068_(15120325928).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thermaltake_Technology_promotional_models_at_Computex_20140604a.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Paris_-_Salon_de_la_moto_2011_-_BMW_-_C_650_GT_et_h%C3%B4tesses_-_004.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bayonetta_at_Igromir_2009_(4081240065).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crytek_booth-babe_from_Games_Territory_2008_(2986745404).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crytek_booth-babes_from_Games_Territory_2008_(2986745314).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:E3_2011_-_Vindictus_girl_(Nexon)_(5831895796).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girl_at_Igromir_2012_(8057057026).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149130470).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149152274).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_of_Igromir_2010_(5149192248).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Green_girl_from_Igromir_2007_(1869368430).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(29440043834).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Igromir_2016_(30016564876).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3011794487).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:King%27s_Bounty_booth-babe_from_Igromir_2008_(3012636224).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PAX_2009_-_Bayonetta_(3908301541).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Penny_Drake_dressed_as_Bayonetta_-_E3_2009_(4980795423).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Scythe_lady_(5811227302).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Warhammer_40K_at_Gamescom_(20451073662).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:WH40K_at_Gamescom_2015_(20241517278).jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2017-Wednesday-007_(35929619784).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2015-269_(20371168485).jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_4.jpg * https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yennefer_of_Vengerberg_Cosplay_at_ChinaJoy_2017_%E2%80%A2_5.jpg https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikia-Gamescom-2016-267_(29073160575).jpg --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:04, 3. Jan. 2021 (CET) == Second live == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Second live]] == Paralipomena == Wir wissen doch schon lange, wie der amerikanische Geheimdienst den Markt zugunsten sog. "Moderner Kunst" mit Unsummen beeinflußt hat, weil die USA an Klassischer Kunst unterbelichtet sind - es gibt ja auch heute noch eine Geheimdienstgalerie Modern Art, nur für die eigenen (verdienten) Mitarbeiter besuchbar - eine eklige Schmierenkomödie, diese ganze "Moderne Kunst" - und derzeit zur Spielbank und Lotterie entartet, so wie ich das hier in der Kunststadt Dresden beobachten kann: Kauf auf Wertzuwachs, Wetten auf steigende Preise - das soll Kunst sein? Pfui Teufel! Die Kunstwerke verschwinden sehr oft in den Tresoren oder gleich auf der Bank - weswegen ich an diesem Markt nicht teilnehme - ich bin doch keine Hure! Meine Niemandskunst bleibt bis auf weiteres unveröffentlicht. Basta. Nur wenn die Chemie stimmt, zeige ich jemandem etwas persönlich. Ich prostituiere mich nicht für Geld. Punkt. Habe ich zeitlebens nicht gemacht, und die paar Jährchen muß ich nun auch nicht mehr. Früher hatte das schwere Konsequenzen (Haft, Zersetzung der Familien, Partnerinnen und meine erste Frau wurden zum Selbstmord(versuch) getrieben, Vergewaltigung meiner zweiten Frau bei unserer Ausbürgerung aus der DDR, Berufsverbote und und und - und ich habe mich nicht gebeugt. Heute hat das keine größeren Konsequenzen (die Gesellschaft hat größere Probleme als Verweigerer), und da habe ich es erst recht nicht mehr nötig, mich zu beugen - auch keinem "Kunstmarkt" gegenüber. Kann mich mal kräftig am Arsch lecken. Haben fertig. Bilder zurückhalten ist keine Lösung. Kunst will gesehen werden... HAUPTSACHE, mich befriedigt es! Was weiß ich, was ein andrer davon hat? Und was hätt ich davon, wenn ein andrer als ich davon was hat? Und wie geschrieben, wenn die Chemie stimmt, lass ich auch mal was sehen. Es gab hier vor zweihundert Jahren den Fall eines hervorragenden Malers, der hatte das Geheimnis der leuchtkräftigen, stabilen Renaissancefarben in jahrzehntelangen Experimenten gelüftet. Er erhoffte sich (nicht nur dadurch) eine existenzsichernde Anstellung an der Kunstakademie hier (er war auch ein hervorragender Künstler). Wurde aber abgelehnt - sicher aus politischen Erwägungen heraus. Er hat dann sein Geheimnis mit ins Grab genommen (er liegt hier auf dem Trinitatisfriedhof - man könnte ja mal buddeln LOL). Das war sein gutes Recht! Ich erinnere in dem Zusammenhang daran daß selbst ein Caspar David Friedrich niemals ordentlicher Professor der Kunstakademie in Dresden wurde, obwohl er hier über vierzig Jahre gelebt und gewirkt hatte - er war eben Napoleongegner und deutschnational. https://de.wikipedia.org/wiki/Caspar_David_Friedrich#Patriotismus_gegen_Napoleon --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:41, 10. Mär. 2021 (CET) ich habe Gewaltexzesse veröffentlicht. Ich muss mein Kind und mich schützen, weil Menschen bereit sind unter dem Deckmantel von was anderen Menschen zu töten. Ich habe keine Kraft alles schneller hinzubekommen, weil mir mit der Gewalt in einem jungen Leben auch die Existenzsicherung genommen wurde. Damit bin ich nun beschäftigt. Die Existenz zu sichern. KDP ist aber kein Händler, sondern ein "Verlag" von Amazon. Da sind meine kompletten Daten hinterlegt, weshalb ich jederzeit erreichbar bin. Klar kann es sein, dass irgendein Anwalt, der Geld machen will, statt den Sinn hinter dem Gesetzt zu wahren, eine Lücke nutzt, um abzuzocken. Ich muss mich da definitiv drum kümmern, aber das braucht Zeit. Ich muss das Buch rausnehmen, ändern und neu veröffentlichen. Oder andere Ideen? https://www.facebook.com/happy.bine.39 アン トン: Happy Bine ja, raus nehmen, Impressum einfügen und wieder einstellen. Weiß nicht ob das mit einem Update geht oder nicht. Deswegen bin ich am Überlegen bei BOD zu veröffentlichten, die zählen als Verlag und da reicht die Angabe von Pseudonym und BOD als Verlag . Und nein KDP ist KEIN Verlag, es ist eine Veröffentlichungsplattform für Self Publisher. Sie sind nicht als Verlag eingetragen. Du kannst auch „Fake Daten bei Biografien.....“ bei KDP angeben, die nicht geprüft werden. KDP war wegen „seltsamer“ Veröffentlichungen eh schon öfter in Kritik Antwort: Vielleicht geht es ja auch so. Ich möchte ja auch die Bewertungen nicht verlieren und auch nicht die bisherigen Verkaufszahlen. Nun muss ich aber erst einmal einen neuen Impressumservice finden. https://www.facebook.com/groups/dasautorenhilfeforum/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:02, 10. Jan. 2021 (CET) weiß ich -immer von schönen Damen wie im Video zu sehen kenn ich aus Tenerife - erstes Pinguinarium der nördlichen Hemisphäre im Loro Parque in Puerto de la Cruz: ich hatte als Batman mit einem weiblichen kleinen Gummi-Pinguin Werbung gemacht, da wurden extra kleine Frauen für gecastet - unter den indigenen Einwanderern aus Süd- und Mittelamerika gab es genügend Auswahl - war ein toller Kontrast - schon der Größenunterschied, der Pinguin in glänzenem Schwarz-Weiß und ich in glänzendem Schwarz, alles in der prallen Sonne nahe dem Abfahrtsplatz der "Straßenbahnen" (motorisiert) zum Loro-Parque - ein voller Erfolg - ja, und im Pinguinarium schufteten neue MitarbeiterInnen in Trockis (Trockentauchanzügen), um von innen die Panzerglasscheiben freizuhalten - die waren wegen des hohen Temperaturunterschiedes im Nu vereist, diesen Effekt hatte keiner auf der Liste - die MitarbeiterInnen kamen nach der langen Schicht klatschnass aus ihren Trockis, da war ich als Gummi-Batman noch besser dran, so haben die von der schweren Arbeit gedampft - und der Dampf konnte nicht raus wie beim Schnellkochtopf LOL --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:32, 10. Mär. 2021 (CET) ja Bauhaus - räumlich und zeitlich nicht ganz so weit von mir weg - und MACH WAS DRAUS: als Junge hab ich das nachgebaut - und keinen Mangel an Modellen gehabt - zum Schluß klebten die dann alle irgendwie komplett in Alufolie und Zellophan (so hieß bei uns durchsichtige Plastikfolie) - Hauptsache, nicht nackig LOL - und die haben Schlange gestanden, soviel Material hatt ich gar nicht, das war schwierig in der DDR zu besorgen (wir hatten mal Bundis zu Besuch, die hatten seinerzeit weltweit Sonnenkocher-Seminare durchgeführt, auch bei uns in der Zone - die waren entsetzt, daß unsere Alu-Knappheit viel größer war als in Afrika, wo sie sich wegen der Sonne und dem knappen Brennstoff des Öfteren aufhielten LOL) - heute ist dieser begrenzende Faktor zum Glück ja entfallen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 11. Mär. 2021 (CET) Klassiker. Bin ich mit groß geworden. Und auch mit dem Material. Meine ersten Damen besaßen sogar noch Material der Prä-Nazi-Ära: Bürgermaske, Gasanzug ... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:21, 11. Mär. 2021 (CET) == Schönheit == [https://www.facebook.com/photo.php?fbid=181300523741200&set=p.181300523741200&type=3 FB] = [https://scontent-ber1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/137275705_181300530407866_3397208782784515620_n.jpg?_nc_cat=107&ccb=2&_nc_sid=dbeb18&_nc_ohc=yYP5kA9jywIAX9X9YKi&_nc_ht=scontent-ber1-1.xx&oh=d0657d01f4d51b26bd1aceb22a95b4bf&oe=6022F5B8 Ein Herz für soviel Schönheit] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:56, 13. Jan. 2021 (CET) == Adam Cullen == [[w:de:Adam Cullen|Adam Cullen]] == Maler Ludwig Counet == [[File:Trier Gedenkkreuz Counet 1721.jpg|mini|Gedenkkreuz für den in Trier ermordeten „Maler Ludwig Counet“, Südwestseite der Kirche St. Paulin in Trier.]] [[w:de:Louis Counet]]: Counet erlangte 1690 mit seiner Familie das Bürgerrecht in Trier[8] und stieg in einer steilen Karriere zum regionalen „Malerfürsten“ auf. Der Rat der Stadt Trier, Klöster, Stifte und Pfarrgemeinden der Stadt und der Großregion, selbst der kurfürstliche Hof in Koblenz-Ehrenbreitstein wurden zu seinen Auftraggebern für ganze Serien von großformatigen Gemälden mit religiösen, gelegentlich auch allegorischen oder mythologischen Themen und für seine selteneren Porträts. Seine Produktion an Altarblättern, Kirchenschmuck und profanen Staffeleimalereien war so umfangreich, dass sie nur mit Hilfe einer größeren Werkstatt zu bewältigen war. Selbst für seine alte Heimat, zu der er weiterhin Kontakte[9] aufrechterhielt, führte er noch Aufträge aus, beispielsweise zwischen 1717 und 1720 zwei große Historienbilder und fünf Supraporten für das Rathaus der Stadt Lüttich. Wenn er dabei als höchstbezahlter Maler des Projekts fungierte,[10] entsprach das seinen üblichen Dotierungen in Trier. Die hohen Einkünfte wurden ihm schließlich zum Verhängnis. Mit dem Honorar für sechs Großgemälde in der Tasche fiel er am 5. August 1721 einem Raubmord zum Opfer. Ein Gedenkstein bei der Kirche St. Paulin in Trier erinnert noch heute an ihn. == Afterkunst == [[Projekt Diskussion:Niemandskunst/Afterkunst]] == Löschversuch == [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt_Diskussion:Niemandskunst&diff=771216&oldid=746765 Diff-Link] == Anmerkungen == e83se9lwf730cqncdqa71e1e8g6mh0r 0 125099 780301 766977 2022-08-21T18:45:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Zusatz/Klammer |text=ordnungstheoretischen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Verknüpfung {{math|term= \sqcup |SZ=}} assoziativ ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 76mlcnpto2d0se6b7kdmo7djz8a0zll 0 125101 780300 766976 2022-08-21T18:45:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Zusatz/Klammer |text=ordnungstheoretischen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} das Absorptionsgesetz {{ Ma:Vergleichskette/disp | x \sqcup ( x \sqcap y ) || x || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x,y |\in|V || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r2n6iqd4m8r11hqe5jhj1xck09t9mlv 0 125123 778853 762743 2022-08-21T13:05:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der Grad der Galoiserweiterung und damit die Ordnung der zyklischen Galoisgruppe sei {{math|term= n|SZ=.}} Wir betrachten zu {{ Ma:Vergleichskette |u |\in|L || || || |SZ= }} das Element {{ Ma:Vergleichskette/align |z(u) || u \cdot y+ \sigma(u) \cdot y \cdot \sigma(y) + \sigma^2(u) \cdot y \cdot \sigma(y) \cdot \sigma^2(y) {{plusdots}} \sigma^{n-1}(u) \cdot y \cdot \sigma(y) \cdots \sigma^{n-1} (y) || \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} \sigma^j (u) \prod_{i {{=}} 0}^j \sigma^i (y) || || |SZ= }} und behaupten {{ Ma:Vergleichskette/disp | y \cdot \sigma (z(u)) || z(u) || || || |SZ=. }} Dies beruht auf {{ Ma:Vergleichskette/align | y \cdot \sigma (z(u)) || y \cdot \sigma {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} \sigma^j (u) \prod_{i {{=}} 0}^j \sigma^i (y) |}} || \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} \sigma^{j+1} (u) \cdot y \cdot \prod_{i {{=}} 0}^j \sigma^{i+1} (y) || \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} \sigma^{j+1} (u) \cdot \prod_{i {{=}} 0}^{j+1} \sigma^{i} (y) || \sum_{j {{=}} 1}^{n} \sigma^{j} (u) \cdot \prod_{i {{=}} 0}^{j} \sigma^{i} (y) ||\sum_{j {{=}} 0}^{n-1} \sigma^j (u) \cdot \prod_{i {{=}} 0}^j \sigma^i (y) || z(u) |SZ=, }} wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass der Summand zu {{ Ma:Vergleichskette |j ||n || || || |SZ= }} wegen der Voraussetzung und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/align | u \cdot \prod_{i {{=}} 0}^{n} \sigma^{i} (y) || u \cdot y \cdot \prod_{i {{=}} 0}^{n-1} \sigma^{i} (y) || u \cdot y || || |SZ=, }} also gleich dem Summanden zu {{ Ma:Vergleichskette |j ||0 || || || |SZ= }} ist. Wir betrachten nun {{ Ma:Vergleichskette/disp |z( - ) || \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} \sigma^j ( -) \prod_{i {{=}} 0}^j \sigma^i (y) || || |SZ= }} als eine Linearkombination der {{ Ma:abb |name= \sigma^j | L| L || |SZ= }} mit den Koeffizienten {{mathl|term= \prod_{i {{=}} 0}^j \sigma^i (y) |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist diese Linearkombination nicht die Nullabbildung. Daher gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |u |\in|L || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |z ||z(u) |\neq|0 || || |SZ= }} und für dieses gilt {{ Ma:Vergleichskette |y || {{op:Bruch|z| \sigma(z)}} || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8zy9zr4m6dtix8eiqagcnrbxmnz3gsn 106 125234 784352 733989 2022-08-22T06:00:03Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|3| {{ inputbild |Waeller356|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Zu Beginn der Vorlesung ist sie schon da, kommt auf dich zu und begrüßt dich. Da macht gleich alles noch viel mehr Spaß! |Autor= |Benutzer=Odatrulle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|term=Mengen}} {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 180px {{!}} right {{!}} |epsname=Georg_Cantor |Text=[[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor= |Benutzer=Taxiarchos228 |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg |180px {{!}} right {{!}} |epsname=David_Hilbert_1886 |Text=[[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies|SZ=,}} aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=Unbekannt (1886) |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Mathematische Strukturen, wie die bereits erwähnten Zahlen, werden als Mengen beschrieben. Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort|Elemente|msw=Element|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term=x|SZ=}} zu einer Menge {{math|term=M|SZ=}} wird durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |\in|M || || || |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |x |\notin| M || || || |SZ=. }} Für jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|3|7}} |\notin| \N || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|3|7}} |\in| \Q || || || |SZ=. }} Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. Die Menge, die kein Element besitzt, heißt {{Definitionswort/enp|leere Menge|SZ=}} und wird mit {{ math/disp|term= \emptyset |SZ= }} bezeichnet. Eine Menge {{math|term=N|SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term=M|SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term=N|SZ=}} auch zu {{math|term=M|SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{math|term=N \subset M|SZ=}} | |SZ=. }} Man sagt dafür auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/k |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} vorliegt. Für die erwähnten Zahlenmengen gelten die Inklusionen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\N |\subseteq|\Z |\subseteq|\Q |\subseteq|\R || |SZ=. }} Die Teilmengenbeziehung {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} ist eine Allaussage. Im Nachweis, dass {{ Ma:Vergleichskette/k |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|N || || || |SZ= }} ebenfalls die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|M || || || |SZ= }} gilt. Dabei darf man lediglich die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette/k |x |\in|N || || || |SZ= }} verwenden. Für uns werden Mengen hauptsächlich Zahlenmengen und daraus konstruierte Mengen sein. Eine Menge heißt {{Stichwort|endlich|msw=Endliche Menge|SZ=,}} wenn sie durch die natürlichen Zahlen {{mathl|term=1,2,3 {{kommadots|}} n |SZ=}} für ein gewisses {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} {{Anführung|sinnvoll abgezählt}} werden kann. In diesem Fall nennt man {{math|term=n|SZ=}} die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} der Menge. {{Zwischenüberschrift|term=Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen}} {{:Mengen/Beschreibungsmöglichkeiten/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Mengenoperationen}} Es gibt mehrere Möglichkeiten, aus gegebenen Mengen neue Mengen zu bilden. Die wichtigsten sind die folgenden{{ Zusatz/Fußnote |text=Die Symbolik kann man sich so merken: Bei Vereinigung denke man an englisch union, das {{math|term=\cup|SZ=}} sieht aus wie ein u. Der Durchschnitt ist das {{math|term=\cap|SZ=.}} Die entsprechenden logischen Operationen oder bzw. und haben die analoge eckige Form {{math|term= {{logoder|}} |SZ=}} bzw. {{math|term= {{logund|}} |SZ=}} | |ISZ=.|ESZ=. }} {{ Auflistung3 |{{Stichwort|Vereinigung|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \cup B | {{defeq|}} |{{Mengebed|x|x \in A \text{ oder } x \in B}} || || || |SZ=, }} |{{Stichwort|Durchschnitt|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \cap B | {{defeq|}} |{{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \in B}} || || || |SZ=, }} |{{Stichwort|Differenzmenge|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \setminus B | {{defeq|}} |{{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \notin B }} || || || |SZ=. }} }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge {{math|term=G|SZ=}} ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |A |\subseteq|G || || || |SZ=, }} das durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Mengenkomplement|A}} | {{defeq|}} | G \setminus A || {{Mengebed|x \in G|x \notin A}} || || || |SZ= }} definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also {{ Ma:Vergleichskette |A \cap B || \emptyset || || || |SZ= }} gilt, so nennen wir sie {{Definitionswort/enp|disjunkt|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Produktmenge}} Wir wollen die Rechenoperationen auf den oben erwähnten Zahlenmengen, insbesondere die Addition und die Multiplikation, mengentheoretisch erfassen. Bei der Addition {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise auf {{math|term=\N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird zwei natürlichen Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} eine weitere natürliche Zahl, nämlich {{mathl|term=a+b|SZ=,}} zugeordnet. Die Menge der Paare nennt man Produktmenge und die Zuordnung führt zum Begriff der Abbildung. Wir definieren{{ Zusatz/Fußnote |text={{:Definitionen/Rolle in Mathematik/Erläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} Die Elemente der Produktmenge nennt man {{Stichwort|Paare|msw=Paar|SZ=}} und schreibt {{mathl|term=(x,y)|SZ=.}} Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten {{Stichwort|Komponenten|msw=Komponente|SZ=}} ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponenten ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. Wenn die beiden Mengen {{Stichwort|endlich|SZ=}} sind, und es in der ersten Menge {{math|term=n|SZ=}} Elemente und in der zweiten Menge {{math|term=k|SZ=}} Elemente gibt, so gibt es in der Produktmenge {{mathl|term=n \cdot k|SZ=}} Elemente. Man kann auch für mehr als nur zwei Mengen die Produktmenge bilden. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Vornamen und Nachnamen/Beispiel|| }} {{ inputbild |SquareLattice|svg| 150px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Jim.belk |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Schachbrett/Beispiel|| }} Die Produktmenge {{mathl|term=\R \times \R|SZ=}} stellt man sich als eine Ebene vor, man schreibt dafür auch {{math|term=\R^2|SZ=.}} Die Produktmenge {{mathl|term=\Z \times \Z|SZ=}} kann man sich als eine Menge von Gitterpunkten vorstellen. {{ inputbild |Geometri cylinder|png| 250px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Geometri_cylinder |Text=Ein Zylindermantel ist die Produktmenge aus einem Kreis und einer Strecke |Autor= |Benutzer=Anp |Domäne=sv Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Kreislinie und Strecke ergibt Zylinder/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Abbildungen}} {{:Abbildungen/Anwender/Motivation/Textabschnitt|}} {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Ma:abb |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term=L|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term=M|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}} | |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| L || || || |SZ= }} heißt das Element {{ Ma:Vergleichskette |F(x) |\in| M || || || |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term=F|SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term=x|SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ mathkor|term1= {{ abb |name=F |L_1|M_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name=G |L_2|M_2 || |SZ= }} |SZ= }} sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| L_1 || L_2 || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette |F(x) ||G(x) || || || |SZ= }} in {{ Ma:Vergleichskette |M_1 ||M_2 || || || |SZ= }} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort/-|Funktionen|SZ=}} genannt. Wir werden den Begriff {{Stichwort|Funktion|SZ=}} für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge die reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=}} sind. Zu jeder Menge {{math|term=L|SZ=}} nennt man die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L|L |x|x |SZ=, }} also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die {{Stichwort|Identität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{math|term=L|SZ=}}| |SZ=. }} Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Identität|L|}} |SZ=}} bezeichnet. Zu einer weiteren Menge {{math|term=M|SZ=}} und einem fixierten Element {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|M || || || |SZ= }} nennt man die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L|M |x|c |SZ=, }} die also jedem Element {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|L || || || |SZ= }} den {{Stichwort|konstanten Wert|msw=Konstanter Wert|SZ=}} {{math|term=c|SZ=}} zuordnet, die {{Definitionswort/enp|konstante Abbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= mit dem Wert {{math|term=c|SZ=}}| |ESZ=. }} Sie wird häufig wieder mit {{math|term=c|SZ=}} bezeichnet{{ Zusatz/Fußnote |text=Von Hilbert stammt die etwas überraschende Aussage, die Kunst der Bezeichnung in der Mathematik besteht darin, unterschiedliche Sachen mit denselben Symbolen zu bezeichnen|ISZ=. |ESZ=. }} Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graph der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen. Solche Abbildungsvorschriften sind beispielsweise {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils von {{math|term=\R|SZ=}} nach {{math|term=\R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term=x \mapsto x^2|SZ=,}} {{mathl|term=x \mapsto x^3- e^x + {{op:sin(|x|}} |SZ=,}} etc. In den Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften sind {{Stichwort|empirische Funktionen|msw=Empirische Funktion|SZ=}} wichtig, die reale Bewegungen oder Entwicklungen beschreiben, doch auch bei solchen Funktionen erhebt sich die Frage, ob man diese auch mathematisch gut beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=approximieren| |ISZ=|ESZ= }} kann. {{:Abbildung/Darstellungsmöglichkeiten/Gallerie/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Injektive und surjektive Abbildungen}} {{ inputdefinition |Abbildung/Injektiv/Definition|| }} Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} aus der Voraussetzung {{ Ma:Vergleichskette |F(x) ||F(x') || || || |SZ= }} erschließt, dass {{ Ma:Vergleichskette |x ||x' || || || |SZ= }} ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus {{ Ma:Vergleichskette |x |\neq|x' || || || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette |F(x) |\neq|F(x') || || || |SZ= }} zu schließen. {{ inputdefinition |Abbildung/Surjektiv/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Abbildung/Fußballspiel/Torschütze/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Abbildung/Mutter von/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Abbildung/Quadrieren/Injektiv und surjektiv/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Abbildung/Quantoreneigenschaften/Lösungsinterpretation/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition|| }} Es gilt also {{ Ma:Vergleichskette/disp | (G \circ F)(x) | {{defeq}}| G(F(x)) || || || |SZ=, }} wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt {{ Zusatz/Klammer |text=und nach Möglichkeit vereinfacht| |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Fußnotenliste}} }} cg9ywnklkr38eqnw4ucwb1oyc3qmv5s 106 125255 778698 728372 2022-08-21T12:42:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|4| {{Motto| |Text=Proof is the end product of a long interaction between creative imagination and critical reasoning. Without proof the program remains incomplete, but without the imaginative input it never gets started |Autor=[[w:Michael Atiyah|Michael Atiyah]] }} {{ inputbild |Waeller27|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Vorli mag alle Menschen und achtet nicht auf Äußerlichkeiten. Ihr besonderes Talent ist aber, ... |Autor= |Benutzer=Odatrulle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|term=Verknüpfungen}} Die Rechenoperationen Addition und Multiplikation innerhalb der reellen Zahlen fassen wir als eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R \times \R |\R || |SZ= }} auf, d.h. es wird dem Paar {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x,y) |\in| \R \times \R || || || || |SZ= }} die reelle Zahl {{mathl|term=x+y|SZ=}} (bzw. {{mathlk|term=x\cdot y|SZ=}}) zugeordnet. Eine solche Abbildung heißt eine Verknüpfung. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Definition|| }} Der Definitionsbereich ist also die Produktmenge von {{math|term=M|SZ=}} mit sich selbst und der Wertebereich ist ebenfalls {{math|term=M|SZ=.}} Addition, Multiplikation und Subtraktion (auf {{math|term=\Z|SZ=,}} auf {{math|term=\Q|SZ=}} oder auf {{math|term=\R|SZ=}}) sind Verknüpfungen. Auf {{ mathkor|term1= \Q |und|term2= \R |SZ= }} ist die Division keine Verknüpfung, da sie nicht definiert ist, wenn die zweite Komponente gleich {{math|term=0|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=und schon gar nicht auf {{math|term=\Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Allerdings ist die Division eine Verknüpfung auf {{mathl|term= \R \setminus \{0\}|SZ=.}} In dieser Vorlesung werden wir die algebraischen Eigenschaften der Addition und der Multiplikation auf den reellen Zahlen im Begriff des {{Anführung|Körpers}} zusammenfassen. {{Zwischenüberschrift|term=Axiomatik}} {{:Axiomatik/Anwender/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Wir werden nun die Eigenschaften der reellen Zahlen in einem axiomatischen Rahmen besprechen. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Die algebraischen Axiome werden im Begriff des Körpers zusammengefasst. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei Elementen der gegebenen Menge {{math|term=M|SZ=,}} also beispielsweise zwei reellen Zahlen, ein weiteres Element der Menge zu, es handelt sich also um Verknüpfungen. Die folgende Definition nimmt nur auf zwei Verknüpfungen, Addition und Multiplikation, Bezug, Subtraktion und Division ergeben sich als abgeleitete Verknüpfungen. {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition|| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule bekannt. In einem Körper gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term=a \cdot b + c \cdot d|SZ=}} statt {{mathl|term=(a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} in einem Körper werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein. Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen, die wir in der nächsten Vorlesung kennenlernen werden. {{ inputfaktbeweis2 |Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt|Lemma|| |ref1=||Beweistext=Dies folgt aus der allgemeinen Eindeutigkeitsaussage für inverse Elemente in jeder Gruppe, siehe die letzte Vorlesung. }} Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=y|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a+y ||0 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |- (-a) || a || || || |SZ=, }} da wegen {{ Ma:Vergleichskette | a + (-a) || 0 || || || |SZ= }} das Element {{math|term=a|SZ=}} gleich dem eindeutig bestimmten Negativen von {{math|term=-a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term=b+(-a)|SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term=b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term=z|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |az ||1 || || || |SZ= }} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term=a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Ma:Vergleichskette/disp |a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} || ab^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also eine Abkürzung für den rechten Ausdruck. Zu einem Körperelement {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} wird {{mathl|term=a^n|SZ=}} als das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term=a|SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} wird {{mathl|term=a^{-n}|SZ=}} als {{mathl|term=(a^{-1})^n|SZ=}} interpretiert. Ein {{Anführung|kurioser}} Körper wird im folgenden Beispiel beschrieben. Dieser Körper mit zwei Elementen ist in der Informatik und der Kodierungstheorie wichtig, wird für uns aber keine große Rolle spielen. Er zeigt, dass es nicht für jeden Körper sinnvoll ist, seine Elemente auf der Zahlengeraden zu verorten. {{ inputbeispiel |Körper/Zwei Elemente/Beispiel|| }} Die folgenden Eigenschaften sind für den Körper der reellen Zahlen vertraut, wir beweisen sie aber allein aus den Axiomen eines Körpers, sie gelten daher für einen beliebigen Körper. {{ inputfaktbeweis2 |Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Exkurs: Widerspruchsbeweise}} Soeben haben wir einen Widerspruchsbeweis durchgeführt, dieses Argumentationsschema wollen wir kurz anhand von typischen Beispielen erläutern. {{:Widerspruchsbeweis/Quadtarwurzel 2 und Euklid/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Der Binomische Lehrsatz}} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} Man setzt {{ Ma:Vergleichskette |0! ||1 || || || |SZ=. }} {{:Binomialkoeffizienten/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} Die folgende Formel bringt die Addition und die Multiplikation miteinander in Beziehung. {{ inputfaktbeweis |Körper/Binomi/Fakt|Satz|| |zusatz2=Fußnote }} {{ inputbemerkung |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Bemerkung|| }} {{ inputbild |A plus b au carre|svg| 200px {{!}} left {{!}} |epsname=A_plus_b_au_carre |Autor= |Benutzer=Alkarex |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Binomio al cubo|svg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Binomio_al_cubo |Autor=Drini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Fußnotenliste}} }} ecnk196urkwykbbbx0tzah304b7wlgn 106 125275 784489 728376 2022-08-22T06:17:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|22| {{ inputbild |Waeller2|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Hier hat Vorli die Fragebögen von Dr. Eisenbeis zerfetzt. Zum Glück hat Dr. Eisenbeis alles schon digital abgespeichert. |Autor= |Benutzer=Odatrulle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Obstsalat/Mineralien und Vitamine/Tabelle und Matrix/Lineares Gleichungssystem/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Matrizenkalkül}} Ein lineares Gleichungssystem lässt sich am einfachsten mit Matrizen schreiben. Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Variablen mitschleppen zu müssen. Matrizen {{ Zusatz/Klammer |text=und der zugehörige Kalkül| |ISZ=|ESZ= }} sind recht einfache Objekte; sie können aber ganz unterschiedliche mathematische Objekte beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=eine Familie von Spaltenvektoren, eine Familie von Zeilenvektoren, eine lineare Abbildung, eine Tabelle von Wechselwirkungen, ein Vektorfeld etc.| |ISZ=|ESZ=, }} die man stets im Hinterkopf haben sollte, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein. {{ inputdefinition |Matrizen/IxJ/nxm/Definition|| }} Wir beschränken uns weitgehend auf den durchnummerierten Fall. Zu jedem {{mathl|term=i \in I|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=i|SZ=-}}te {{Stichwort|Zeile|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als einen {{Stichwort|Zeilenvektor|SZ=}} {{ math/disp|term= (a_{i1}, a_{i2} {{kommadots|}} a_{in}) |SZ= }} schreibt. Zu jedem {{mathl|term=j \in J|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=j|SZ=-}}te {{Stichwort|Spalte|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als ein Spaltentupel {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_{1j}|a_{2j}|\vdots|a_{mj} }} |SZ= }} schreibt. Die Elemente {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißen die {{Stichwort|Einträge|msw=Eintrag|SZ=}} der Matrix. Zu {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißt {{math|term=i|SZ=}} der {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} und {{math|term=j|SZ=}} der {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} des Eintrags. Man findet den Eintrag {{mathl|term=a_{ij}|SZ=,}} indem man die {{math|term=i|SZ=-}}te Zeile mit der {{math|term=j|SZ=-}}ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} nennt man eine {{Stichwort|quadratische Matrix|SZ=.}} Eine {{mathl|term=m \times 1|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Spaltentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Spaltenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=m|SZ=,}} und eine {{mathl|term=1 \times n|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Zeilentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Zeilenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=n|SZ=.}} Die Menge aller Matrizen mit {{math|term=m|SZ=}} Zeilen und {{math|term=n|SZ=}} Spalten {{ Zusatz/Klammer |text=und mit Einträgen in {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:Mat|n|m|K}}|SZ=}} bezeichnet, bei {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} schreibt man {{mathl|term={{op:Matq|n|K}}|SZ=.}} Zwei Matrizen {{ Ma:Vergleichskette |A,B |\in| {{op:Mat|n|m|K}} || || || |SZ= }} werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Element {{mathl|term=r \in K|SZ=}} (einem {{Stichwort|Skalar}}) komponentenweise definiert, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrixmn|a}} + {{op:Matrixmn|b}} || \begin{pmatrix} a_{11 } +b_{11} & a_{1 2} +b_{12} & \ldots & a_{1 n } +b_{1n} \\ a_{21 } +b_{21} & a_{2 2} +b_{22} & \ldots & a_{2 n } +b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } +b_{m1} & a_{ m 2 } +b_{m2} & \ldots & a_{ m n } +b_{mn} \end{pmatrix} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | r {{op:Matrixmn|a}} || {{op:Matrixmn|ra}} || || || |SZ=. }} Die Matrizenmultiplikation wird folgendermaßen definiert. {{ inputdefinition |Matrizenmultiplikation/Definition|| }} Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merk{{latextrenn|}}regel kann man das Schema {{ Ma:Vergleichskette/disp | (Z E I L E) {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} ||(ZS+EP+IA+L^2+ET) || || || |SZ= }} verwenden, das Ergebnis ist eine {{math|term=1 \times 1|SZ=-}}Matrix. Insbesondere kann man eine {{mathl|term=m \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Spaltenvektor der Länge {{math|term=n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge {{math|term=m|SZ=.}} Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren {{ Zusatz/Klammer |text=was nicht immer möglich ist| |ISZ=|ESZ= }} und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} (Z E I L E) || {{Op:Matrix55|SZ|SE|SI|SL|SE|PZ|PE|PI|PL|PE|AZ|AE|AI|AL|AE|LZ|LE|LI|L^2|LE|TZ|TE|TI|TL|TE}} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Diagonalmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinition |Einheitsmatrix/Definition|| }} Die Einheitsmatrix {{math|term=E_n|SZ=}} besitzt die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | E_n M || M || M E_n || || || |SZ= }} für eine beliebige {{mathl|term=n\times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=M|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume}} {{ inputbild |Vector Addition|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Addition von zwei Pfeilen {{math|term=a|SZ=}} und {{math|term=b|SZ=,}} ein typisches Beispiel für Vektoren. |Autor= |Benutzer=Booyabazooka |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der zentrale Begriff der linearen Algebra ist der Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/Direkt/Definition||zusatz1=Fußnote }} Die Verknüpfung in {{math|term=V|SZ=}} nennt man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition und die Operation {{ Ma:abb |name= |K \times V|V || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=.}} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|SZ=,}} und die Elemente {{ Ma:Vergleichskette |r | \in |K || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|Skalare|SZ=.}} Das Nullelement {{ Ma:Vergleichskette | 0 |\in|V || || || |SZ= }} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} heißt das inverse Element das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term=v|SZ=}} und wird mit {{math|term=-v|SZ=}} bezeichnet. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC|}} || || || |SZ= }} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0|SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{ Ma:Vergleichskette |K^0 ||0 || || || |SZ= }} auffassen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term=K^n|SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|a_1|a_2| \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektor {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2| \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_i | {{defeq}} | {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term=1|SZ=}} an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term=i|SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel|opt1=als additive Struktur|zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Untervektorräume}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|| }} Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} sind der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} und der gesamte Vektorraum {{math|term=V|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man spricht daher auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=}} des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. {{ inputbeispiel |Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel|| }} An diesem Beispiel kann man sich Folgendes klar machen: Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems über {{math|term=K|SZ=}} ist {{Anführung|in natürlicher Weise|SZ=,}} d.h. unabhängig von jeder Auswahl, ein Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term=n|SZ=}} die Anzahl der Variablen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Der Lösungsraum kann auch stets in eine {{Anführung|lineare Bijektion}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Isomorphie|}} | |ISZ=|ESZ= }} mit einem {{mathl|term=K^{d}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |d |\leq|n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gebracht werden, doch gibt es dafür keine natürliche Wahl. Dies ist einer der Hauptgründe dafür, mit dem abstrakten Vektorraumbegriff zu arbeiten anstatt lediglich mit dem {{math|term=K^n|SZ=.}} {{Fußnotenliste}} }} fwrinf6ikva9lkthg7bgk30fihrn9zc 785154 784489 2022-08-22T07:55:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|22| {{ inputbild |Waeller2|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Hier hat Vorli die Fragebögen von Dr. Eisenbeis zerfetzt. Zum Glück hat Dr. Eisenbeis alles schon digital abgespeichert. |Autor= |Benutzer=Odatrulle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Obstsalat/Mineralien und Vitamine/Tabelle und Matrix/Lineares Gleichungssystem/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Matrizenkalkül}} Ein lineares Gleichungssystem lässt sich am einfachsten mit Matrizen schreiben. Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Variablen mitschleppen zu müssen. Matrizen {{ Zusatz/Klammer |text=und der zugehörige Kalkül| |ISZ=|ESZ= }} sind recht einfache Objekte; sie können aber ganz unterschiedliche mathematische Objekte beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=eine Familie von Spaltenvektoren, eine Familie von Zeilenvektoren, eine lineare Abbildung, eine Tabelle von Wechselwirkungen, ein Vektorfeld etc.| |ISZ=|ESZ=, }} die man stets im Hinterkopf haben sollte, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein. {{ inputdefinition |Matrizen/IxJ/nxm/Definition|| }} Wir beschränken uns weitgehend auf den durchnummerierten Fall. Zu jedem {{mathl|term=i \in I|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=i|SZ=-}}te {{Stichwort|Zeile|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als einen {{Stichwort|Zeilenvektor|SZ=}} {{ math/disp|term= (a_{i1}, a_{i2} {{kommadots|}} a_{in}) |SZ= }} schreibt. Zu jedem {{mathl|term=j \in J|SZ=}} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term=j|SZ=-}}te {{Stichwort|Spalte|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als ein Spaltentupel {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_{1j}|a_{2j}|\vdots|a_{mj} }} |SZ= }} schreibt. Die Elemente {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißen die {{Stichwort|Einträge|msw=Eintrag|SZ=}} der Matrix. Zu {{mathl|term=a_{ij}|SZ=}} heißt {{math|term=i|SZ=}} der {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} und {{math|term=j|SZ=}} der {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} des Eintrags. Man findet den Eintrag {{mathl|term=a_{ij}|SZ=,}} indem man die {{math|term=i|SZ=-}}te Zeile mit der {{math|term=j|SZ=-}}ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} nennt man eine {{Stichwort|quadratische Matrix|SZ=.}} Eine {{mathl|term=m \times 1|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Spaltentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Spaltenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=m|SZ=,}} und eine {{mathl|term=1 \times n|SZ=-}}Matrix ist einfach ein Zeilentupel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Zeilenvektor| |ISZ=|ESZ= }} der Länge {{math|term=n|SZ=.}} Die Menge aller Matrizen mit {{math|term=m|SZ=}} Zeilen und {{math|term=n|SZ=}} Spalten {{ Zusatz/Klammer |text=und mit Einträgen in {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:Mat|n|m|K}}|SZ=}} bezeichnet, bei {{ Ma:Vergleichskette |m ||n || || || |SZ= }} schreibt man {{mathl|term={{op:Matq|n|K}}|SZ=.}} Zwei Matrizen {{ Ma:Vergleichskette |A,B |\in| {{op:Mat|n|m|K}} || || || |SZ= }} werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Element {{mathl|term=r \in K|SZ=}} (einem {{Stichwort|Skalar}}) komponentenweise definiert, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matrixmn|a}} + {{op:Matrixmn|b}} || \begin{pmatrix} a_{11 } +b_{11} & a_{1 2} +b_{12} & \ldots & a_{1 n } +b_{1n} \\ a_{21 } +b_{21} & a_{2 2} +b_{22} & \ldots & a_{2 n } +b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } +b_{m1} & a_{ m 2 } +b_{m2} & \ldots & a_{ m n } +b_{mn} \end{pmatrix} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | r {{op:Matrixmn|a}} || {{op:Matrixmn|ra}} || || || |SZ=. }} Die Matrizenmultiplikation wird folgendermaßen definiert. {{ inputdefinition |Matrizenmultiplikation/Definition|| }} Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merk{{latextrenn|}}regel kann man das Schema {{ Ma:Vergleichskette/disp | (Z E I L E) {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} ||(ZS+EP+IA+L^2+ET) || || || |SZ= }} verwenden, das Ergebnis ist eine {{math|term=1 \times 1|SZ=-}}Matrix. Insbesondere kann man eine {{mathl|term=m \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=A|SZ=}} mit einem Spaltenvektor der Länge {{math|term=n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge {{math|term=m|SZ=.}} Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren {{ Zusatz/Klammer |text=was nicht immer möglich ist| |ISZ=|ESZ= }} und erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} (Z E I L E) || {{Op:Matrix55|SZ|SE|SI|SL|SE|PZ|PE|PI|PL|PE|AZ|AE|AI|AL|AE|LZ|LE|LI|L^2|LE|TZ|TE|TI|TL|TE}} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Diagonalmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinition |Einheitsmatrix/Definition|| }} Die Einheitsmatrix {{math|term=E_n|SZ=}} besitzt die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | E_n M || M || M E_n || || || |SZ= }} für eine beliebige {{mathl|term=n\times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=M|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume}} {{ inputbild |Vector Addition|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Addition von zwei Pfeilen {{math|term=a|SZ=}} und {{math|term=b|SZ=,}} ein typisches Beispiel für Vektoren. |Autor= |Benutzer=Booyabazooka |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der zentrale Begriff der linearen Algebra ist der Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/Direkt/Definition||zusatz1=Fußnote }} Die Verknüpfung in {{math|term=V|SZ=}} nennt man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition und die Operation {{ Ma:abb |name= |K \times V|V || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=.}} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|msw=Vektor|SZ=,}} und die Elemente {{ Ma:Vergleichskette |r | \in |K || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|Skalare|msw=Skalar|SZ=.}} Das Nullelement {{ Ma:Vergleichskette | 0 |\in|V || || || |SZ= }} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} heißt das inverse Element das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term=v|SZ=}} und wird mit {{math|term=-v|SZ=}} bezeichnet. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC|}} || || || |SZ= }} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0|SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{ Ma:Vergleichskette |K^0 ||0 || || || |SZ= }} auffassen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term=K^n|SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|a_1|a_2| \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektor {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2| \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_i | {{defeq}} | {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term=1|SZ=}} an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term=i|SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel|opt1=als additive Struktur|zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Untervektorräume}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|| }} Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} sind der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} und der gesamte Vektorraum {{math|term=V|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man spricht daher auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=}} des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. {{ inputbeispiel |Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel|| }} An diesem Beispiel kann man sich Folgendes klar machen: Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems über {{math|term=K|SZ=}} ist {{Anführung|in natürlicher Weise|SZ=,}} d.h. unabhängig von jeder Auswahl, ein Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term=n|SZ=}} die Anzahl der Variablen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Der Lösungsraum kann auch stets in eine {{Anführung|lineare Bijektion}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Isomorphie|}} | |ISZ=|ESZ= }} mit einem {{mathl|term=K^{d}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |d |\leq|n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gebracht werden, doch gibt es dafür keine natürliche Wahl. Dies ist einer der Hauptgründe dafür, mit dem abstrakten Vektorraumbegriff zu arbeiten anstatt lediglich mit dem {{math|term=K^n|SZ=.}} {{Fußnotenliste}} }} 23ahpsh8nci8ep8m1n8b1mbgls7gvei 106 125303 785209 659221 2022-08-22T08:03:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|22| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Reihe und Spalte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixprodukt/2-i -1-3i -1 i 0 4-21 mal 1+i 1-i 2+5i/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixmultiplikation/e_i e_j/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Wirkungsweise auf Standardspalten und Standardzeilen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diagonalmatrix/Wirkungsweise/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diagonalmatrix/Lineares Gleichungssystem/Lösungsverfahren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Komplexe Matrizen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben. {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Assoziativität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenmultiplikation/Nicht kommutativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu einer Matrix {{math|term=M|SZ=}} bezeichnet man mit {{math|term=M^n|SZ=}} die {{math|term=n|SZ=-}}fache Verknüpfung {{ Zusatz/Klammer |text=Matrizenmultiplikation| |ISZ=|ESZ= }} mit sich selbst. Man spricht dann auch von {{math|term=n|SZ=-}}ten {{Stichwort|Potenzen|msw=Potenz|SZ=}} der Matrix. {{ inputaufgabe |Matrix/Potenzen/246/135/012/bis 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktionsmatrix/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Koordinatensystem/Orientierung/Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Koordinatensystem/Tupel/Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Koordinatensystem/Punkt/Operationen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebenes Koordinatensystem/Punkt/Gerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebenes Koordinatensystem/Punkte/Addition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zahlenraum/Vektorraum/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Produkt von zwei Vektorräumen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Allgemeines Distributivgesetz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorräume/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizen/2x2/Determinante 0/Kein Untervektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Vereinigung von Untervektorräumen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Abbildungsmenge nach K/Aufgabe|| }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Folgenmenge/R/Cauchyfolgen als Unterraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionenraum/Stetig/R/Unterraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionenraum/Differenzierbar/R/Unterraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionenraum/Monoton/R/Kein Unterraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/3-2i 1+5i 0 7i 2+i 4-i mal 1-2i -i 3-4i 2+3i 5-7i 2-i/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenprodukt/Obere Dreiecksmatrix/4/Nulldiagonale/Nilpotent/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenpotenzen/ab0d/Formel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/2/Wurzeln aus Einheitsmatrix/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Untervektorraum/Beispiele für zwei Axiome/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} n0ujdfcq2w827msfb50hkc42jstphjr 0 125457 780172 767274 2022-08-21T18:24:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für zwei {{ Definitionslink |Prämath= |monomiale Ideale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{ideala|}} |und|term2= {{idealb|}} |SZ= }} in einem Polynomring und einer natürlichen Zahl {{math|term= d|SZ=}} derart, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{ideala|}} \cdot {{idealb|}} |SZ=}} ein Erzeugendensystem von Monomen vom Grad {{math|term= \leq d |SZ=}} besitzt, die beiden Ideale aber nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monomialen Ideale im Polynomring |Kategorie2=Das Produkt von Idealen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor=Idee: Markus Wageringel |Bearbeitungsstand= }} nieqtxodhpsrfydh0zfgv3tc28sx89s 0 125823 783211 756917 2022-08-22T02:50:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Überkreuzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R \times S|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dass für die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|r|s}} | {{defeq|}} | [(r,s)] || || || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|r|s}} + {{op:Bruch|r'|s'}} | {{defeq|}}| {{op:Bruch|rs'+r's|ss'}} || || || |SZ= }} eine wohldefinierte Addition und durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|r|s}} \cdot {{op:Bruch|r'|s'}} | {{defeq|}}| {{op:Bruch|rr'|ss'}} || || || |SZ= }} eine wohldefinierte Multiplikation gegeben ist, derart, dass die Quotientenmenge ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} it3u5wmsp24vi1987wqth8w5o9n55l7 0 125830 779137 661805 2022-08-21T15:41:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Als Kuriosität erwähnen wir, dass die von Euler vermutete teilweise Verallgemeinerung des Fermatschen Problems, dass die Gleichungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^4+y^4+z^4 ||u^4 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |x^5+y^5+z^5 +u^5 ||v^5 || || || |SZ=, }} usw. keine ganzzahlige Lösung besitzen, also dass zwischen {{math|term= n|SZ=}} {{math|term= n|SZ=-}}ten Potenzen keine additive Beziehung bestehen kann, nicht gilt. Die einfachsten Gegenbeispiele sind {{ Ma:Vergleichskette/disp |95 800^4 + 217 519^4 + 414 560^4 || 422 481^4 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 ||144^5 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der diophantischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 31gz6267gfem2j4js8lbd8jztyp4s4h 0 125866 779599 751615 2022-08-21T16:54:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für den {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X ] || || || |SZ= }} in einer Variablen {{math|term= X|SZ=}} über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} gibt es das Nullideal und die maximalen Ideale. Zu jedem Element {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ= }} gehört die Linearform {{math|term= X-a|SZ=}} und das davon erzeugte maximale Ideal {{math|term= (X-a)|SZ=.}} Deshalb stellt man sich das Spektrum {{mathl|term= {{op:Spek|K[X]|}} |SZ=}} zunächst als eine {{math|term= K|SZ=-}}Gerade vor, mit dem fetten Punkt zum Nullideal als alles umfassenden Punkt. Bei {{math|term= K|SZ=}} algebraisch abgeschlossen ist dies das gesamte Spektrum. Bei einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper kommt noch für jedes normierte irreduzible Polynom {{math|term= P|SZ=}} vom Grad {{math|term= \geq 2|SZ=}} das maximale Primideal {{math|term= (P)|SZ=}} hinzu, das man aber im Bild schlecht skizzieren kann und sich {{Anführung|im Hintergrund}} vorstellt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra)‎ |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oi3enurrk2mq80dfdbfmu8mdxlz1o7i 0 125959 779613 763672 2022-08-21T16:57:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |SpektrumQuadratabbildung|xcf|230px {{!}} right {{!}} |Text=Sieht aus wie die Wurzel, soll aber die Quadrierung sein. Die Quadratabbildung sieht man, wenn man ausgehend von der hier vertikalen x-Achse horizontal auf den Graphen geht und dann nach unten projiziert. Diese Sichtweise betont, wie die Fasern zu variierendem {{math|term= b|SZ=}} aussieht. |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-sa-by 4.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|K[X] || || || |SZ= }} ein Polynom in einer Variablen. Wir betrachten den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K[Y]| K[X] |Y|P |SZ=. }} Das Urbild zu einem linearen Primideal {{ Ma:Vergleichskette |(X-a) |\in| K[X] || || || |SZ= }} ist das Primideal {{ Ma:Vergleichskette |(Y-P(a)) |\in| K[Y] || || || |SZ=. }} Dies sieht man am einfachsten, wenn man die Hintereinanderschaltung {{ math/disp|term= K[Y] \longrightarrow K[X] \stackrel{ \text{Ev}_a}{ \longrightarrow } K |SZ= }} betrachtet, die die Evaluation an {{math|term= P(a)|SZ=}} ist, und die Kerne beachtet. Deshalb liegt das kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| K| {{op:Spek|K[X]|}}|K| {{op:Spek|K[Y]|}} |abb13=P|abb24= }} vor, wobei in den Horizontalen die Zuordnungen {{ mathkor|term1= a \mapsto (X-a) |bzw.|term2= b \mapsto (Y-b) |SZ= }} stehen und rechts die Spektrumsabbildung steht. Die Spektrumsabbildung ist also eine natürliche Erweiterung der durch das Polynom {{math|term= P|SZ=}} direkt definierten Abbildung von {{math|term= K|SZ=}} nach {{math|term= K|SZ=,}} die zusätzlich noch alle Primideale berücksichtigt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2=Theorie der affinen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5u4d6mg01vwyiz67epg2a7na0ezcaxc 0 125961 779170 662730 2022-08-21T15:47:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |SpekZi ueber SpekZ|xcf|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Zur Erweiterung {{ Ma:Vergleichskette | \Z |\subseteq| \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] || || || |SZ= }} stellt man sich die Spekrumsabbildung {{ Ma:abb |name= | {{op:Spek|\Z[ {{imaginäre Einheit|}} ]||}} | {{op:Spek| \Z|}} || |SZ= }} so vor, dass man zu einer Primzahl {{ Ma:Vergleichskette |p |\in|\Z || || || |SZ= }} versucht zu verstehen, welche Primideale in {{math|term= \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] |SZ=}} die Zahl {{math|term= p|SZ=}} enthalten. Dabei entsteht das Bild rechts. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s3og8mv0id37sdbfph76ff5do47wkqz 0 126122 780175 773226 2022-08-21T18:24:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Noether|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |Text=[[w:Emmy Noether|Emmy Noether (1882-1935)]] |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung=http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/course/c_energy/energyl/lec001.html }} {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Ring/Ideal/Definition|}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereiche/Sind noethersch/Fakt|Korollar||}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt|Satz|||}} Wir geben noch einen zweiten Beweis der vorstehenden Aussage. {{:Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt/Beweis2|opt=Text}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereiche/Primideale ungleich null sind maximal/Fakt|Satz||||}} {{ inputbild |Dedekind|jpeg| 200px {{!}} right {{!}} |Text= [[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind (1831-1916)]] |Autor=Jean-Luc W |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://dbeveridge.web.wesleyan.edu/wescourses/2001f/chem160 }} Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Definition|}} Die Eigenschaft, dass jedes von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form {{ Ma:Vergleichskette |0 |\subset| {{idealm}} || || || |SZ= }} besitzen {{ Zusatz/Klammer |text=wenn ein Körper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal {{math|term= 0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Man sagt auch, dass die {{Stichwort|Krulldimension|SZ=}} des Ringes gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Dedekindbereich/Fakt|Korollar|}} {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Dedekindbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} f0t6xm0jvzylfsyqrrt0wlpx2qwtxcv 0 126350 779171 763272 2022-08-21T15:47:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedenen {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |(n) |\subseteq|\Z || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |>|0 || || || |SZ= }} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einfach gleich {{math|term= n |SZ=,}} da ja der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} genau {{math|term= n|SZ=}} Elemente besitzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in Zahlbereichen |Kategorie2=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ewf8ry8b4riyuw9l05kc2g7zeicrbox 0 126392 782508 756311 2022-08-22T00:53:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} ein ungerade {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{Aufzählung5|{{math|term= p|SZ=}} ist die Summe von zwei Quadraten, {{ Ma:Vergleichskette |p ||x^2+y^2 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |x,y |\in|\Z || || || |SZ=. }} |{{math|term= p|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Elementes aus {{mathl|term= \Z [ {{Imaginäre Einheit}} ]|SZ=.}} |{{math|term= p|SZ=}} ist zerlegbar {{ Zusatz/Klammer |text=nicht prim| |ISZ=|ESZ= }} in {{mathl|term= \Z [ {{Imaginäre Einheit}} ]|SZ=.}} |{{math|term= -1|SZ=}} ist ein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=.}} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |p ||1 \mod 4 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8zmnumzh6hmnqfbxoikbb39sl6ene8k 0 126394 785682 758895 2022-08-22T09:20:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine Ringerweiterung vom Grad zwei. Zeige{{n Sie}}, dass es dann die folgenden drei Möglichkeiten gibt. {{Aufzählung3 |{{math|term= L|SZ=}} ist ein Körper. |{{math|term= L|SZ=}} ist von der Form {{ Ma:Vergleichskette |L ||K[\epsilon]/\epsilon^2 || || || |SZ=. }} |{{math|term= L|SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Produktring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |L || K \times K || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jeszz61jkgm566vwlumivd9oo2826xh 0 126422 781782 755686 2022-08-21T22:52:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Z[\omega]|SZ=}} der Ring der {{ Definitionslink |Prämath= |Eisenstein-Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= p|SZ=}} eine ungerade {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{Aufzählung5 |Es gibt eine Darstellung {{ Ma:Vergleichskette |p ||x^2+xy+y^2 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |x,y |\in|\Z || || || |SZ=. }} |{{math|term= p|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Elementes aus {{mathl|term= \Z [ \omega ]|SZ=.}} |{{math|term= p|SZ=}} ist zerlegbar {{ Zusatz/Klammer |text=nicht prim| |ISZ=|ESZ= }} in {{mathl|term= \Z [ \omega ]|SZ=.}} |{{math|term= -3|SZ=}} ist ein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=.}} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |p ||0,1 \mod 3 || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2yotcol05mh8976v7qfumy6sbnme6f2 0 126427 778718 739448 2022-08-21T12:44:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar aufgrund von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nulldimensionale Algebra/Reduziert/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Sei (2) erfüllt, {{ Ma:Vergleichskette |A || L_1 {{timesdots}} L_r || || || |SZ=. }} Wegen der Voraussetzung vollkommen sind die Körpererweiterungen {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L_j || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Spur {{ Ma:abb |name= |A|K || |SZ= }} setzt sich zusammen aus der Summe der Spuren zu den Körpererweiterungen, da man von diesen jeweils Basen wählen kann und sich diese zu einer Gesamtbasis von {{math|term= A|SZ=}} zusammensetzen. Bezüglich einer solchen Basis sind die Multiplikationsmatrizen Diagonalblockmatrizen. Bei {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|A || || || |SZ= }} von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden ist auch eine Komponente {{math|term= x_j|SZ=}} in einem Körper {{math|term= L_j|SZ=}} von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden. Im Körperfall ist die Spurform nichtausgeartet und daher gibt es {{ Ma:Vergleichskette |y_j |\in|L_j || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das wir in {{math|term= A|SZ=}} auffassen können| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | S(x,y_j) || S(x_j y_j) |\neq| 0 || || || |SZ=. }} (3) und (4) sind äquivalent. Wenn die Spurform nicht ausgeartet ist, so besitzt die {{ Definitionslink |Prämath= |Gramsche Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon eine von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene Determinante, und umgekehrt, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Symmetrische Bilinearform/Nicht ausgeartet/Gramsche Matrix/Invertierbar/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Separabel/Nicht null bei Basis/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Sei nun {{math|term= A |SZ=}} nicht reduziert. Zu einem nilpotenten Element {{math|term= f |SZ=}} ist das Minimalpolynom gleich {{math|term= X^m |SZ=}} und damit ist auch das charakteristische Polynom gleich {{math|term= X^n |SZ=,}} wobei {{math|term= n|SZ=}} den Grad der Erweiterung bezeichnet {{ Zusatz/Klammer |text=für einen Körper {{math|term= A |SZ=}} wurde dies in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Element/Charakteristisches Polynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gezeigt, es gilt aber auch sonst| |ISZ=|ESZ=. }} Deshalb ist die Spur von {{math|term= f|SZ=}} nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Quadratische Matrix/Spur/Charakteristisches Polynom/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Zu einem nilpotenten Element {{math|term= f |SZ=}} und einem beliebigen Element {{math|term= x |SZ=}} ist auch {{math|term= fx |SZ=}} nilpotent und daher ist, wenn es ein nichttriviales nilpotentes Element gibt, die Spurform ausgeartet. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i9bjsgvmvl1pgeoou24x7pj1xanxv4s 0 126431 778789 762708 2022-08-21T12:54:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= R|SZ=}} ein freier {{math|term= \Z|SZ=-}}Modul, dessen Rang der Grad {{math|term= n|SZ=}} der zugrunde liegenden Körpererweiterung ist, und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der Faserring über {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=-}}Algebra. In beiden Fällen kann man also die Spur über die Multiplikationsmatrix bezüglich einer Basis berechnen. Sei eine {{math|term= \Z|SZ=-}}Basis {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} von {{math|term= R|SZ=}} fixiert. Eine {{math|term= \Z|SZ=-}}Basis von {{math|term= R|SZ=}} wird modulo {{math|term= p|SZ=}} zu einer {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=-}}Basis von {{math|term= R/(p)|SZ=,}} siehe den Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} In der Multiplikationsmatrix zu {{math|term= f|SZ=}} bezüglich {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} stehen die ganzen Zahlen {{math|term= c_{ij}|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |fb_i || \sum_{j {{=}} 1}^n c_{ij}b_j || || || |SZ= }} gegeben sind. Da {{ Ma:abb |name= |R|R/(p) || |SZ= }} ein Ringhomomorphismus ist, folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp |\overline{f}\overline{b}_i || \sum_{j {{=}} 1}^n \overline{c}_{ij} \overline{b}_j || || || |SZ= }} und daher ist die Multiplikationsmatrix zu {{math|term= \overline{f}|SZ=}} bezüglich {{mathl|term= \overline{b}_1 {{kommadots|}} \overline{b}_n |SZ=}} einfach die komponentenweise reduzierte Matrix. Deshalb ist insbesondere die Reduktion der Spur {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spur|f|}} || \sum_{i {{=}} 1}^n c_{ii} || || || |SZ= }} gleich {{mathl|term= \sum_{i {{=}} 1}^n \overline{c}_{ii} |SZ=,}} also gleich der Spur der Reduktion. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 976yoh8tdxgnwdwepeywfccvrmmmwg0 0 126435 778743 762669 2022-08-21T12:48:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Die Matrix {{math|term= M|SZ=}} mit den Einträgen {{mathl|term= {{op:Spur|b_ib_j|}} |SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Gramsche Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Spurform. Die Gramsche Matrix {{math|term= M'|SZ=}} der Spurform zu {{math|term= R/(p)|SZ=}} über {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} bezüglich der {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=-}}Basis {{mathl|term= \overline{b}_1 {{kommadots|}} \overline{b}_n |SZ=}} entsteht daraus nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Spur/Faserring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch komponentenweise Reduktion. Da das Berechnen der Determinante mit beliebigen Ringwechseln verträglich ist, ist die Determinante von {{math|term= M'|SZ=}} gleich der Determinante von {{math|term= M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also der Diskriminante von {{math|term= R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} modulo {{math|term= p|SZ=}} genommen. Somit ist {{math|term= p|SZ=}} genau dann ein Teiler der Diskriminante von {{math|term= R|SZ=,}} wenn die Diskriminante des Faserringes gleich {{math|term= 0|SZ=}} ist. Dies ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vollkommener Körper/Endliche Algebra/Reduziert/Spur/Ausartung/Diskriminante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} äquivalent dazu, dass der Faserring nicht reduziert ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ohyn890xkwa2xf4p2pey1lclir9xs4h 0 126444 778783 762702 2022-08-21T12:53:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Elemente/Zerlegung in Primideale/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liegt in {{math|term= R|SZ=}} eine Produktzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | (p) || {{idealp}}_1^{r_1} \cdots {{idealp}}_k^{r_k} || || || |SZ= }} vor und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | R/ (p) |\cong| R/ {{idealp|}}_1^{r_1} {{timesdots}} R/ {{idealp|}}_k^{r_k} || || || |SZ=. }} Dieser Restklassenring, der der Faserring zu {{math|term= R|SZ=}} über {{math|term= p|SZ=}} ist, ist genau dann reduziert, wenn alle Exponenten {{math|term= r_i|SZ=}} gleich {{math|term= 1|SZ=}} sind. Dies charakterisiert nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Primzahl/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch die Unverzweigtheit. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q0l0vjdskcexuuzslu61mqr5lbnh771 0 126446 778784 762703 2022-08-21T12:53:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies beruht darauf, dass {{math|term= p|SZ=}} in {{math|term= R_{ {{idealp}}_j } |SZ=}} die Ordnung {{math|term= r_j|SZ=}} besitzt, was auf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beruht. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1xurx0pcfwglnl9hhgff4xev71vpkiu 0 126452 780188 767423 2022-08-21T18:26:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in|\Q[X] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} || (F) |\in| {{op:Spek|\Q[X]|}} |\subseteq| {{op:Spek|\Z[X]|}} || || |SZ=, }} wobei die letzte Inklusion zur Nenneraufnahme {{ Ma:abb |name= | \Z[X] | \Q[X] || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gehört. Zeige{{n Sie}}, dass{{n Sie}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Abschluss| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Spek|\Z[X]|}} |SZ=}} gleich {{math|term= V( {{ideala|}} )|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} || {{Mengebed|qF| q \in \Q|qF \in \Z[X] }} || || || |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}} ferner, dass zu isomorphen Restekörpern {{ mathkor|term1= {{op:Restekörper| {{idealp|}}_1|}} |und|term2= {{op:Restekörper| {{idealp|}}_2 |}} |SZ= }} die Restklassenringe {{ mathkor|term1= R/ {{ideala|}}_1 |und|term2= R/ {{ideala|}}_2 |SZ= }} nicht isomorph sein müssen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der primitiven Polynome über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qgbraw26bzvgfv22d1i8nw5hhqeyv9r 0 126458 778716 762642 2022-08-21T12:44:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wenn {{math|term= A|SZ=}} reduziert ist, so liegt eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|A || || || |SZ= }} vor, die wegen der Vollkommenheit des Grundkörpers {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und deshalb nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt ist, sagen wir {{ Ma:Vergleichskette |A ||K[x] ||K[X]/(F) || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körper/Monogene Algebra/Reduziert/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erzeugen {{ mathkor|term1= F |und|term2= F' |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und somit folgt aus {{ Ma:Vergleichskette |F'(x) dx ||0 || || || |SZ=, }} dass sogar {{ Ma:Vergleichskette |dx ||0 || || || |SZ= }} ist. Somit folgt die Aussage aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Sei nun angenommen, dass {{math|term= A|SZ=}} nicht reduziert ist. Es ist zu zeigen, dass es nichttriviale Kählerdifferentiale gibt. Da {{math|term= A|SZ=}} eine lokale Algebra ist, ist ein Element darin entweder eine Einheit oder gehört zum maximalen Ideal. Zu einer Einheit {{ mathbed|term= x \in A ||bedterm1= x \notin K ||bedterm2= |SZ=, }} ist {{mathl|term= K[x]|SZ=}} ein Erweiterungskörper von {{math|term= K|SZ=.}} Indem wir so den Grundkörper vergrößern, können wir wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} annehmen, dass nur die Elemente aus {{math|term= K\setminus {0} |SZ=}} Einheiten in {{math|term= A|SZ=}} sind. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | A || K[x_1 {{kommadots|}} x_n ] || || || |SZ= }} und die {{math|term= x_i|SZ=}} gehören zum {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealm|}} |SZ=.}} Indem wir die Restklassenabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |A|A/ {{idealm|}}^2 || |SZ= }} betrachten und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} heranziehen, können wir davon ausgehen, dass die Situation {{ Ma:Vergleichskette/disp | A || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/(X_iX_j,\, 1 \leq i \leq j \leq n) || || || |SZ= }} vorliegt, wobei mindestens ein Erzeuger {{ Ma:Vergleichskette |x_1 |\neq|0 || || || |SZ= }} ist. Mit dem gleichen Lemma können wir modulo {{mathl|term= (x_2 {{kommadots|}} x_n) |SZ=}} gehen und erhalten die Situation {{mathl|term= K[X]/(X^2) |SZ=.}} Dafür zeigt {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{ Ma:Vergleichskette |dx |\neq|0 || || || |SZ= }} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oszb8cswgy5siamwztrfaj94yxlupvr 0 126468 778790 762709 2022-08-21T12:54:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} || \Z \cap {{idealq|}} || || || |SZ=, }} und wir können wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Nenneraufnahme/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} direkt zu {{ Ma:abbele/disp |name= | B {{=|}} \Z_{{idealp|}} | A {{=|}} R_{ \Z \setminus {{idealp|}} } || |SZ= }} übergehen. Die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Kählermodul|R|\Z }} |}}_{ {{idealq}} } || {{makl| {{op:Kählermodul|A|B}} |}}_{ {{idealq}} } || {{op:Kählermodul|A_{ {{idealq}} }|B}} |\neq| 0 || || |SZ= }} ist äquivalent zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|A|B}} {{tensor|A}} A/{{idealq}} || {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} |B}} {{tensor|A_{{idealq}} }} A_{{idealq}}/{{idealq}} |\neq| 0 || || || |SZ=, }} da ja {{math|term= {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} |B}} |SZ=}} ein endlicher erzeugter {{math|term= A_{{idealq}} |SZ=-}}Modul über dem lokalen Ring {{math|term= A_{{idealq}}|SZ=}} ist. Wegen der natürlichen Surjektion {{ Ma:abbele/disp |name= | A_{{idealq|}}/ {{idealp|}} A_{{idealq|}} | A_{{idealq|}}/ {{idealq|}} || |SZ= }} ist dies auch äquivalent zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} |B}} {{tensor|A_{{idealq}} }} A_{{idealq}}/{{idealp}} A_{{idealq}} |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} angewendet auf {{Kommutatives Quadrat/ro| A_{ {{idealq}} }|A_{ {{idealq}} }/{{idealp|}} A_{ {{idealq}} } | B | B/ {{idealp|}} {{=|}} {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} |}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|A_{ {{idealq}} }|B}} {{tensor|A_{ {{idealq}} }| }} A_{ {{idealq}} }/ {{idealp|}} A_{ {{idealq}} } || {{op:Kählermodul|A_{ {{idealq}} }/ {{idealp|}} A_{ {{idealq}} } |B/ {{idealp|}} }} || || |SZ= }} und dies ist die Lokalisierung von {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A / {{idealp|}} |B/ {{idealp|}} }} |SZ=}} an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} Somit ist die Lokalisierung von {{math|term= {{op:Kählermodul|A|B}} |SZ=}} an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} genau dann von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden, wenn {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A/ A {{idealp|}} | B/ {{idealp|}} }} |SZ=}} lokalisiert an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} von {{math|term= 0|SZ=}} verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ab. Nach {{ Zusatz/Klammer |text=dem Beweis zu| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liegt in {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} genau dann Verzweigung vor, wenn {{ Ma:Vergleichskette | R/ {{idealq|}} || A/ {{idealq|}} || || || |SZ= }} nicht reduziert ist. Deshalb folgt die Aussage aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vollkommener Körper/Algebra/Endlichdimensional/Reduziert/Kähler/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} otstoy3xbsbk2n0bmyh1vb16kt55qd1 0 126493 778780 762700 2022-08-21T12:53:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Eine Verfeinerung der Argumentation zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Element/Charakteristisches Polynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zeigt, dass das charakteristische Polynom zu {{math|term= f|SZ=}} eine Potenz des Minimalpolynoms zu {{math|term= f|SZ=}} ist. Da nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereiche/Minimalpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Koeffizienten des Minimalpolynoms ganzzahlig sind, überträgt sich dies auf das charakteristische Polynom. Spur und Norm treten aber nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Quadratische Matrix/Spur/Charakteristisches Polynom/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Charakteristisches Polynom/Determinante/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} als Koeffizienten des charakteristischen Polynoms auf. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 13p958ob92t9qusl0wyto0tvtsjcyd5 0 126679 785393 758677 2022-08-22T08:32:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || R_1 {{timesdots|}} R_n || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Produkt| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |Einheitengruppe| | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Einheiten|R|}} || {{op:Einheiten|R_1|}} {{timesdots||}} {{op:Einheiten|R_n|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i1k3x6mqymx1do11givtshj3az9ylf9 0 126683 783302 757004 2022-08-22T03:06:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= R_1|SZ= }} und {{math|term= R_2|SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Ringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Produktring |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||R_1 \times R_2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Spek|R_1 }} \uplus {{op:Spek|R_2|}} | {{op:Spek|R_1 \times R_2|}} || |SZ=. }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p5403e1wayaq5qxcoguklkyonopweoa 0 126730 779720 763711 2022-08-21T17:13:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette |D ||-5 || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |R ||A_{-5} || \Z[ \sqrt{-5}] || \Z[X]/(X^2+5) || |SZ=, }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} || (2, 1+ \sqrt{-5}) || || || |SZ=. }} Nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dies kein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir wollen die Hauptdivisoren zu den beiden Idealerzeugern {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 1 + \sqrt{-5} |SZ= }} berechnen. Der erste Schritt ist dabei, die Primideale oberhalb des Elementes zu bestimmen, was am einfachsten durch eine Restklassenbetrachtung geschieht. Der Restklassenring modulo {{math|term= 2|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | R/(2) || \Z[X]/(X^2+5,2) || {{op:Zmod|2|}} [X]/(X^2+5) || {{op:Zmod|2|}} [X]/(X^2+1) || {{op:Zmod|2|}} [X]/(X+1)^2 |SZ=. }} Dies ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |nichtreduzierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit nur einem maximalen Ideal. In der Lokalisierung {{math|term= R_{(2,1+\sqrt{-5} ) }|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |2 || {{op:Bruch|1| {{makl| -2 + \sqrt{5} |}} }} {{makl| 1+\sqrt{-5} |}}^2 || || || |SZ=, }} was zeigt, dass {{math|term= 1+\sqrt{-5} |SZ=}} dort ein Erzeuger des maximalen Ideals ist und dass die Ordnung von {{math|term= 2|SZ=}} dort gleich {{math|term= 2|SZ=}} ist. Deshalb gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hauptdivisor|2|}} || 2 {{idealp|}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |R/(1+ \sqrt{-5}) || \Z [X]/(X^2+5, 1+X) || {{op:Zmod|6|}} || {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|3|}} || |SZ= }} ist {{mathl|term= 1+ \sqrt{-5}|SZ=}} auch noch im Primideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealq|}} || (3,1+ \sqrt{-5}) || || || |SZ= }} enthalten und besitzt dort ebenfalls die Ordnung {{math|term= 1|SZ=.}} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hauptdivisor|1+ \sqrt{-5}|}} || {{idealp|}} + {{idealq|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3yqy9zgl86wujuu7ob73mkqyp0quucc 0 126750 779068 763205 2022-08-21T15:30:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | R ||\R[X,Y]/(X^2+Y^2-1) || || || |SZ=, }} der dem Einheitskreis in dem Sinne entspricht, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{mathl|term= (X-a,Y-b) |SZ=}} darin den reellen Punkten des Kreis entsprechen. Dies ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei die {{ Definitionslink |Prämath= |Normalität| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus der Glattheit des Kreises folgt. {{ inputbild |Möbius strip|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Mobius_strip |Text=Das {{Stichwort|Möbiusband|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Dbenbenn |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Das Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} ||(X, Y-1) || || || |SZ= }} ist ein Primideal darin, das kein Hauptideal ist. Für das Produkt dieses Ideals mit sich selbst haben wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | (X,Y-1)^2 || ( X^2 , XY-X, (Y-1)^2 ) || (Y-1) || || |SZ=, }} wobei die Inklusion {{math|term= \subseteq|SZ=}} klar ist und sich die andere Inklusion aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|2}} {{makl| -X^2 - (Y-1)^2 |}} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| -1+ Y^2 - (Y-1)^2 |}} || Y-1 || |SZ= }} ergibt. Da {{math|term= Y-1|SZ=}} in {{math|term= R|SZ=}} keine Quadratwurzel {{ Zusatz/Klammer |text=und auch nicht multipliziert mit einer Einheit| |ISZ=|ESZ= }} besitzt, ist {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} kein Hauptideal. Dieses Ideal ist eine algebraische Realisierung des Möbiusbandes {{ Zusatz/Klammer |text=ein Ideal definiert eine invertierbare Garbe und ein Geradenbündel; das Möbiusband ist das nichttriviale Geradenbündel auf dem Einheitskreis| |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R {{=|}}\R[X,Y]/(X^2+Y^2-1) | S {{=|}} \R[U,V]/(U^2+V^2-1) |(X,Y)| (U^2-V^2,2UV) |SZ=, }} des Ringes in sich {{ Zusatz/Klammer |text=wir schreiben rechts {{math|term= S|SZ=,}} um die unterschiedlichen Rollen zu betonen| |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2+Y^2 || (U^2-V^2)^2 + (2UV)^2 || U^4 -2U^2 V^2 +V^4 +4U^2V^2 || U^4 +2U^2V^2+V^4 || (U^2+V^2)^2 || 1 |SZ= }} ist dies wohldefiniert {{ Zusatz/Klammer |text=es handelt sich um die komplexe Quadrierung eingeschränkt auf den Einheitskreis| |ISZ=|ESZ=. }} Es handelt sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |ganze Ringerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |Prämath= |Erweiterungsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= (X,Y-1) |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (U^2-V^2,2UV-1) || (1-2 V^2, 2UV-1) || (U-V) || || |SZ=, }} also ein Hauptideal. Dies beruht auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |U^2-V^2 || (U+V) (U-V) || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |2UV -1 || 2UV - U^2-V^2 || (V-U) (U-V) || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |U-V || V {{makl| U^2-V^2 |}} -U {{makl| 2UV -1 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie in Dedekindbereichen |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie3= |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Objektkategorie=Das Möbiusband |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oystmow3mmriqknchgfovdp7nqizrf6 0 127029 780185 767420 2022-08-21T18:26:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= K[X,Y]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in zwei Variablen und {{ Ma:Vergleichskette |{{idealm|}} || (X,Y) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}} \cdot {{idealm|}}^2 || {{idealm|}} \cdot (X^2,Y^2) || || || |SZ=. }} {{ManSie|Man folgere|Folgern Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |gebrochenen Ideale| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 0|SZ=}} zu diesem Ring keine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplikation von Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gebrochenen Ideale (noetherscher Integritätsbereich) |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie3=Das Produkt von Idealen (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lsd96bt3wx8jp854jmf1fkh44sadj5p 0 127041 778788 762706 2022-08-21T12:54:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das Polynom besitzt {{mathl|term= X^3-ab^2|SZ=}} keine rationale Nullstelle, ist also irreduzibel und somit liegt eine Körpererweiterung vom Grad {{math|term= 3|SZ=}} vor. {{ Aufzählung4 |Es ist unmittelbar klar, dass {{math|term= x|SZ=}} zu {{math|term= L|SZ=}} gehört und eine Ganzheitsgleichung erfüllt. Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || \sqrt[3]{a^2b} || {{op:Bruch|1|b}} \sqrt[3]{ab^2}^2 || {{op:Bruch|1|b}} x^2 || |SZ=, }} d.h. {{math|term= y|SZ=}} gehört ebenfalls zu {{math|term= L|SZ=,}} die Ganzheit ist klar. |Wegen {{ Ma:Vergleichskette |X^3 || bY X || ab^2 || || |SZ= }} liegen auch diese kubischen Terme in dem Ideal. Wir haben durch {{mathl|term= X \mapsto x|SZ=}} und {{mathl|term= Y \mapsto y |SZ=}} einen surjektiven Ringhomomorpismus {{ Ma:abbele/disp |name= |S {{=|}} \Z[X,Y]/(XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX) | \Z[x,y] || |SZ=, }} da {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} die angegebenen Relationen erfüllen. Diese Relationen zeigen auch, dass rechts die Gruppe {{mathl|term= \Z \oplus \Z x \oplus \Z y|SZ=}} steht, da man alle Produkte darin schon ausdrücken kann. Eine weitere Relation kann es nicht geben, da {{math|term= 1,x,y|SZ=}} über {{math|term= \Q|SZ=}} linear unabhängig sind. |Wir zeigen nun, dass {{math|term= S|SZ=}} unter der angegebenen Bedingung normal ist. Wenn eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} weder in {{ mathkor|term1= a |noch in|term2= b |SZ= }} vorkommt und nicht {{math|term= 3|SZ=}} ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |S_{ \Z \setminus (p) } || \Z_{(p)} [X,Y]/(XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX) |\cong| \Z_{(p)} [X]/(X^3-ab^2) || || |SZ=, }} da man {{ Ma:Vergleichskette |Y || {{op:Bruch|X^2|b}} || || || |SZ= }} schreiben und überall ersetzen kann, da {{math|term= b|SZ=}} in {{math|term= \Z_{(p)} |SZ=}} eine Einheit ist. Die entstehenden Erzeuger sind {{mathl|term= X^3-ab^2|SZ=}} und Vielfache davon. Die Faser über {{math|term= p|SZ=}} ist somit {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} [X]/(X^3-u) |SZ=}} mit einer Einheit {{ Ma:Vergleichskette |u |\in| {{op:Zmod|p|}} || || || |SZ=. }} Das beschreibende Polynom {{math|term= X^3 -u|SZ=}} und seine Ableitung {{math|term= 3X^2|SZ=}} erzeugen das Einheitsideal {{ Zusatz/Klammer |text= die Faser über {{math|term= p|SZ=}} ist also reduziert| |ISZ=|ESZ= }} und damit ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Nenneraufnahme von {{math|term= S|SZ=}} an {{math|term= \Z \setminus (p) |SZ=}} normal. Sei nun {{math|term= p|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= a|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei der Fall {{ Ma:Vergleichskette/k |p ||3 || || || |SZ= }} erlaubt ist| |ISZ=|ESZ=. }} Dann ist wieder {{ Ma:Vergleichskette |S_{ \Z \setminus (p) } |\cong| \Z_{(p)} [X]/(X^3-ab^2) || || |SZ=. }} Modulo {{math|term= p|SZ=}} ist dies {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} [X]/(X^3) |SZ=,}} somit ist das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (p)|SZ=}} gleich {{math|term= (p,X) |SZ=.}} Da wir {{ Ma:Vergleichskette/disp |a ||p \cdot c || || || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= a |und|term2= c |SZ= }} teilerfremd schreiben können, gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |p || {{op:Bruch|X^2|cb^2}} X || || || |SZ= }} und daher wird dieses Primideal von {{math|term= X|SZ=}} erzeugt. Diese Nenneraufnahmen sind also auch normal. Betrachten wir nun {{ Ma:Vergleichskette/disp |p ||3 || || || |SZ= }} und nehmen weiter an, dass {{math|term= 3|SZ=}} weder in {{ mathkor|term1= a |noch in|term2= b |SZ= }} vorkommt. Dann kann man wieder die Nenneraufnahme monogen als {{mathl|term= \Z_{(3)} [X]/(X^3-ab^2) |SZ=}} beschreiben. Modulo {{math|term= 3|SZ=}} ist dies {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|3|}} [X] /(X^3-ab^2) || {{op:Zmod|3|}} [X] /(X-ab^2)^3 || || || |SZ= }} und somit liegt über {{math|term= (3)|SZ=}} das einzige Primideal {{mathl|term= (3, X-ab^2)|SZ=.}} Wir bestimmen, unter welchen Bedingungen {{mathl|term= X-ab^2|SZ=}} ein Erzeuger dieses Ideals ist. Der Ring {{mathl|term= \Z_{(3)} [X]/(X^3-ab^2) |SZ=}} modulo {{mathl|term= X-ab^2|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z_{(3)} /( (ab^2)^3-ab^2) || \Z_{(3)} /( (ab^2)^2-1) || \Z_{(3)} /( (ab^2+1) (ab^2-1) ) || || |SZ=, }} da in unserem Fall {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} Einheiten sind. Es geht darum, ob dieser Ring gleich {{math|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=}} ist oder nicht, und somit geht es darum, ob die Ordnung von {{mathl|term= (ab^2+1) (ab^2-1) |SZ=}} gleich {{math|term= 1|SZ=}} oder höher ist. Wir schreiben {{ Ma:Vergleichskette |a || 9u +r || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |b || 9v +s || || || |SZ= }} und betrachten zuerst den Fall, wo {{ Ma:Vergleichskette |r ||1,4,7 || || || |SZ= }} ist. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |ab^2+1 |\neq| 0 \mod 3 || || || |SZ= }} und wir müssen {{ Ma:Vergleichskette | ab^2-1 || (9u +r)(9v +s )^2-1 || || || || || |SZ= }} betrachten. Modulo {{math|term= 9|SZ=}} ist dies {{mathl|term= rs^2-1|SZ=.}} Dabei gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | rs^2 || 1 \mod 9 || || || |SZ= }} genau in den Fällen {{ Ma:Vergleichskette/disp |(r,s) || (1, \pm 1), (4, \pm 4), (7, \pm 7 ) || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |r ||2,5,8 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |ab^2-1 |\neq| 0 \mod 3 || || || |SZ= }} und wir müssen {{ Ma:Vergleichskette | ab^2+1 || (9u +r)(9v +s )^2+1 || rs^2 +1 \mod 9 || || || || |SZ= }} betrachten. Dabei gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | rs^2 || -1 \mod 9 || || || |SZ= }} genau in den Fällen {{ Ma:Vergleichskette/disp |(r,s) || (2, \pm 2), (5, \pm 5), (8, \pm 8 ) || || || |SZ=. }} Unter der Voraussetzung {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq| \pm b || || || |SZ= }} ist also der Exponent der {{math|term= 3|SZ=}} in {{mathl|term= (ab^2+1) (ab^2-1) |SZ=}} genau {{math|term= 1|SZ=.}} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette |3 |\in|(X-ab^2) || || || |SZ= }} und das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (3)|SZ=}} ist in der Lokalisierung auch ein Hauptideal. |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |z || {{op:Bruch|1|3}} {{makl| 1+ax+by |}} || {{op:Bruch|1|3}} {{makl| 1+ax+x^2 |}} || || || |SZ=. }} Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms dieses Elementes sind nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reine kubische Gleichung/Z/Norm/Spur/Charakteristisches Polynom/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Spur|z|}} || 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|1|9}} {{makl| 3 - 3 a ab^2 |}} || {{op:Bruch|1|3}} {{makl| 1 - a^2 b^2 |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/align | N(z) || {{op:Bruch|1|27}} {{makl| 1 - 3a ab^2 +a^3 ab^2 + (ab^2)^2 |}} || {{op:Bruch|1|27}} {{makl| 1 - 3a^2b^2 +a^4b^2 + a^2b^4 |}} || {{op:Bruch|1|27}} {{makl| 1 + a^2b^2 (-3 + a^2 + b^2) |}} || |SZ=. }} Unter der Bedingung {{ Ma:Vergleichskette |a || \pm b \mod 9 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |a^2 ||b^2 ||1,4,7 \mod 9 || |SZ=, }} wir setzen {{ Ma:Vergleichskette |a^2 || 9 m+t || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |b^2 || 9n+t || || || |SZ=. }} In diesen Fällen ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | 1 - a^2 b^2 || \begin{cases} 0 \text{ bei } t {{=|}} 1 \, , \\ - 15 \text{ bei } t {{=|}} 4 \, , \\ -48 \text{ bei } t {{=|}} 7 \end{cases} \mod 9 || || || |SZ=, }} also stets ein Vielfaches von {{math|term= 3|SZ=.}} Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette/align | 1 + a^2b^2 ( a^2 + b^2-3 ) || 1 + {{makl| 81mn +9(m+n)r +r^2 |}} {{makl| 9(m+n) + 2r -3 |}} || 1 + 81 A + 18 (m+n) r^2 - 27 (m+n) r +9(m+n) r^2 + 2r^3-3r^2 || 81 A +1 + 27 (m+n) r^2 - 27 (m+n) r + 2r^3-3r^2 || 81 A +1 + 27 (m+n) (r^2 -r) + 2r^3-3r^2 || 81 A' +1 + 2r^3-3r^2 |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |t ||1,4 || || || |SZ= }} ist dies sogar ein Vielfaches von {{math|term= 81|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |t ||7 || || || |SZ= }} sind die hinteren Summanden zusammen gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | 1+2 \cdot 7^3-3 \cdot 7^2 || 540 || 27 \cdot 20 || || |SZ=, }} also ein Vielfaches von {{math|term= 27|SZ=}} und daher ist {{math|term= z|SZ=}} ganz. Wir zeigen nun, dass die von {{math|term= x,y,z|SZ=}} erzeugte Algebra normal ist. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |w || k + mx+ nx^2 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |k,m,n |\in| \Q || || || |SZ= }} ein Element, das über eine Ganzheitsgleichung erfüllt, und wir müssen zeigen, dass es zu {{mathl|term= \Z [x,y,z]|SZ=}} gehört. Aufgrund der Spurbedingung ist {{math|term= 3k|SZ=}} ganzzahlig. Wir ziehen {{math|term= z|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= 3z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= w|SZ=}} ab und können dann {{ Ma:Vergleichskette |k ||0 || || || |SZ= }} annehmen. Die weiteren Koeffizientenbedingungen an das charakteristische Polynom besagen, dass {{ mathkor|term1= 3mn q |und|term2= m^3 q +n^3q^2 |SZ= }} ganzzahlig sind. Da {{math|term= q|SZ=}} kein Vielfaches von {{math|term= 3|SZ=}} ist, ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bewertungsordnung|mn|(3)}} |\geq|-1 || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|m|(3)}} |\geq|0 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|n|(3)}} |\geq|0 || || || |SZ=, }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bewertungsordnung|m^3 +n^3q|(3)}} |\geq|0 || || || |SZ=. }} Im ersten Fall folgt wegen der letzten Bedingung auch die Bedingung im zweiten Fall und umgekehrt, d.h. die Ordnung von {{ mathkor|term1= m |und|term2= n |SZ= }} an der Stelle {{math|term= (3)|SZ=}} ist {{math|term= \neq 0|SZ=.}} Wegen der Normalität an den anderen Primzahlen folgt überhaupt, dass {{ mathkor|term1= m |und|term2= n |SZ= }} ganzzahlig sind. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a0fzr0b8r7hkrewjxlotzmmwoo5nlsi 0 127173 779168 763270 2022-08-21T15:46:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Kreisteilungskoerper5zerlegung|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Das exemplarische Zerlegungsverhalten im fünften Kreisteilungsring umd im quadratischen Zahlbereich zu {{math|term= \sqrt{5}|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || \Z[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1) || \Z[x] || || |SZ= }} der fünfte {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir verwenden den Zwischenring {{ Zusatz/Klammer |text= vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align |\Z |\subseteq|\Z[ \sqrt{5} ] |\subseteq| \Z[W]/(W^2-W-1) ||S |\subseteq| \Z[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1) || S [X]/(X^2+XW+1) || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |w || {{op:Bruch|v+1|2}} || x^3+x^2+1 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |v^2 ||5 || || || |SZ=. }} Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Zu einer Primzahl {{math|term= p|SZ=}} kommen als Restekörper der Primideale in {{math|term= R|SZ=}} oberhalb von {{math|term= (p)|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nur die Körper {{math|term= {{op:Zmod|p|}}, {{op:Endlicher Körper|p^2|}}, {{op:Endlicher Körper|p^3|}} , {{op:Endlicher Körper|p^4|}} |SZ=}} in Frage {{ Zusatz/Klammer |text=die Möglichkeit {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|p^3|}} |SZ=}} werden wir gleich ausschließen| |ISZ=|ESZ=, }} und zwar muss es in den Restekörpern fünf Einheitswurzeln {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= (5)|SZ=}} fallen die zusammen| |ISZ=|ESZ= }} geben. Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endlicher Körper/Einheitengruppe ist zyklisch/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dies genau dann der Fall, wenn {{math|term= p^e-1|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= 5|SZ=}} ist. Daraus ergeben sich die Möglichkeiten {{ Ma:Vergleichskette |e ||1,2,4 || || || |SZ=. }} Wir geben Beispiele für typisches Zerlegungsverhalten. Sei {{ Ma:Vergleichskette |p ||2 || || || |SZ=. }} Es ist {{mathl|term= S/2S|SZ=}} ein Körper mit vier Elementen und es ist {{math|term= R/2R|SZ=}} ein Körper mit {{math|term= 16|SZ=}} Elementen. Sei {{ Ma:Vergleichskette |p ||5 || || || |SZ=. }} Hier ist über {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | (X-1) (X^4+X^3+X^2+X+1) || X^5-1 || (X-1)^5 || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-1)^4 || || || |SZ=. }} Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von {{math|term= (5)|SZ=}} und dessen Restklassenkörper ist {{math|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=,}} was auch von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungsring/Primzahl/Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} her klar ist. Bei {{ Ma:Vergleichskette |q ||11 || || || |SZ= }} sind {{math|term= 1,3,4,5,9|SZ=}} fünfte Einheitswurzeln und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^4+X^3+X^2+X+1 ||(X-3)(X+2)(X-4)(X-5) || || |SZ=. }} Oberhalb von {{math|term= (11)|SZ=}} liegen in {{math|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} vier Primideale, alle mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod|11|}} |SZ=.}} Dabei liegen {{ mathkor|term1= (X-3) |und|term2= (X-4) |SZ= }} über {{math|term= (W-4)|SZ=}} und {{ mathkor|term1= (X+2) |und|term2= (X-5) |SZ= }} über {{math|term= (W-8)|SZ=}} in {{math|term= S|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||19 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |9^2 ||5 ||10^2 || || |SZ=, }} in {{math|term= S|SZ=}} gibt es somit zwei Primideale oberhalb von {{math|term= (19)|SZ=,}} beide mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod|19|}} |SZ=.}} In {{math|term= {{op:Zmod|19|}} |SZ= }} gibt es aber keine fünfte Einheitswurzeln, deshalb liegen oberhalb von {{math|term= (19)|SZ=}} in {{math|term= R|SZ=}} zwei Primideale, beide mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Endlicher Körper|361|}} |SZ=.}} Über {{math|term= (19)|SZ=}} liegt die Faktorzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 +5 X+1 |}} {{makl| X^2 +15 X+1 |}} || || || |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2jcio2xd97o8nd6vl54rrjid2j7u2eu 0 127470 778735 762662 2022-08-21T12:47:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Z/Normiertes Polynom/Faserring/Faktorzerlegung/Idealprodukt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} da im reduzierten Fall die Exponenten {{ Ma:Vergleichskette | r_j ||1 || || || |SZ= }} sind, und dann {{mathl|term= (p,F_j)|SZ=}} Primideale sind, oder aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ddlfri8wqw2fr69tujf7ex0ajojqy9s 0 127475 778737 762663 2022-08-21T12:47:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten {{math|term= F|SZ=}} als irreduzibles Polynom in {{math|term= \Q[X]|SZ=.}} In {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} sind {{math|term= F|SZ=}} irreduzibel und {{math|term= F'|SZ=}} teilerfremd. Deshalb gibt es Polynome {{ Ma:Vergleichskette |A,B |\in| \Q[X] || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |AF+BF' ||1 || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |m |\in| \Z || || || |SZ= }} ein Hauptnenner der Koeffizienten von {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=. }} Dann gibt es Polynome {{ Ma:Vergleichskette | C,D |\in| \Z[X] || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |CF+DF' || m || || || |SZ=. }} Für jede Primzahl {{math|term= p|SZ=,}} die kein Teiler von {{math|term= m|SZ=}} ist, gilt entsprechend {{ Ma:Vergleichskette |CF+DF' || m || || || |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} [X] |SZ=}} und {{math|term= m|SZ=}} ist dort eine Einheit. Deshalb sind {{math|term= F,F'|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} [X] |SZ=}} teilerfremd und die Normalität von {{mathl|term= \Z_{(p)} [X]/(F) |SZ=}} folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pk4bbjzzvgdil7cxyicckzwgoebjjds 0 127479 780086 752342 2022-08-21T18:08:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das kubische Polynom {{ Ma:Vergleichskette | X^3-3X+1 |\in| \Q[X] || || || |SZ=, }} das nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= X^3-3X+1/Irreduzibel über Q/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und {{ Ma:Vergleichskette |R || \Z[X]/(X^3-3X+1) || || || |SZ=. }} Die Ableitung des Polynoms ist {{mathl|term= 3X^2-3|SZ=,}} und in {{math|term= \Z[X] |SZ=}} gilt die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | (6 X+ 3) (X^3-3X+1) + (-2X^2-X + 4) (3X^2-3) || -9 || || || |SZ=. }} Nach dem Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Z/Normiertes Polynom/Generisch normal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist daher {{mathl|term= \Z_{(p)}[X]/(X^3-3X+1) |SZ=}} für jede Primzahl {{ Ma:Vergleichskette |p |\neq| 3 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Über {{ Ma:Vergleichskette |p ||3 || || || |SZ= }} ist der Faserring gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|3|}} [X]/ (X^3 -3X +1) || {{op:Zmod|3|}} [X]/ (X^3 +1) || {{op:Zmod|3|}} [X]/ (X +1)^3 || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass das einzige maximale Ideal in {{mathl|term= \Z_{(3)}[X]/(X^3 -3X +1)|SZ=}} gleich {{mathl|term= (3, X+1) |SZ=}} ist. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z_{(3)} [X]/(X^3 -3X +1, X+1) || \Z_{(3)} /( (-1) ^3 -3(-1) +1 ) || {{op:Zmod|3|}} || || |SZ= }} ist aber {{math|term= X+1|SZ=}} ein Erzeuger von diesem maximalen Ideal und daher ist {{math|term= R|SZ=}} überhaupt normal. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über Z |Kategorie2=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4hjf0ky9as15rf0walzq6g9ru4g38hb 0 127647 778752 762679 2022-08-21T12:49:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies beruht darauf, dass {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{math|term= S_{ {{idealq}}_j } |SZ=}} die Ordnung {{math|term= r_j|SZ=}} besitzt, was auf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beruht. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b32m8y2jr3mmtuvjukunl6n9qho16du 0 127653 778751 762678 2022-08-21T12:49:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} liegt in {{math|term= S|SZ=}} eine Produktzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} S || {{idealq}}_1^{r_1} \cdots {{idealq}}_k^{r_k} || || || |SZ= }} vor und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | S/ {{idealp|}} S |\cong| S/ {{idealq|}}_1^{r_1} {{timesdots}} S/ {{idealq|}}_k^{r_k} || || || |SZ=. }} Dieser Restklassenring, der der Faserring zu {{math|term= S|SZ=}} über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ist, ist genau dann reduziert, wenn alle Exponenten {{math|term= r_i|SZ=}} gleich {{math|term= 1|SZ=}} sind. Dies charakterisiert nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch die Unverzweigtheit. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lng6s4p8mnqmdzdlgnvtc1i0itteo0a 0 127828 778667 762588 2022-08-21T12:38:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Eine Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem und linear unabhängig, deshalb folgt sowohl (2) als auch (3) aus (1). Sei (2) erfüllt, d.h. {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} ist ein Erzeugendensystem. Wenn es keine Basis wäre, so wäre dieses System nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kein minimales Erzeugendensystem und man könnte Vektoren herausnehmen, und es würde ein Erzeugendensystem bleiben. Dies widerspricht der Wohldefiniertheit der Dimension. Sei (3) erfüllt, d.h. {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} ist ein System aus linear unabhängigen Vektoren. Wenn es keine Basis wäre, so wäre es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht maximal linear unabhängig, und man könnte es durch Hinzunahme von einem Vektor zu einem größeren linear unabhängigen System vergrößern. Auch dies wiederspricht der Wohldefiniertheit der Dimension. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jikpbmy6l1vqn6r2brew4ldb052tvof 0 127911 779380 751200 2022-08-21T16:18:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= R|SZ=}} der {{math|term= p|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || \Z[X]/ {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungsring/Primzahl/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Kählermodul|R|\Z}} |\cong| R/ {{makl| (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-2} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 |}} |\cong|\Z[X]/ {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1, (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-3} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 |}} || || |SZ=. }} Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da {{math|term= X^p-1|SZ=}} zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^p-1 || (X-1) {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/align | pX^{p-1} dX || d {{makl| X^p-1 |}} || d {{makl| (X-1) {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} |}} || {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} dX +(X-1) {{makl| (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-3} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 |}} dX || || |SZ=. }} Damit ist insbesondere {{ Ma:Vergleichskette/disp |pdX ||0 || || || |SZ= }} in {{math|term= {{op:Kählermodul|R_p|\Z}}|SZ=,}} da ja {{math|term= X|SZ=}} eine Einheit ist. Somit ist der Kählermodul ein {{math|term= R_p/pR_p|SZ=-}}Modul und insbesondere ein {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=-}}Modul. Daher und wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|R_p|\Z}} || {{op:Kählermodul|R_p|\Z}} {{tensor|\Z}} {{op:Zmod|p|}} || {{op:Kählermodul|R_p/pR_p|{{op:Zmod|p|}} }} || || |SZ=. }} Da der {{ Definitionslink |Prämath= |Faserring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= p|SZ=}} die Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |R_p/pR_p || {{op:Zmod|p|}}[X]/ {{makl| (X-1)^{p-1} |}} || {{op:Zmod|p|}}[Y]/ {{makl| Y^{p-1} |}} || || || |SZ= }} besitzt, ist wegen {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| Y^{p-1} |}}' || -Y^{p-2} || || || |SZ= }} insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|R_p|\Z}} || {{op:Kählermodul|{{op:Zmod|p|}}[Y]/ {{makl| Y^{p-1} |}} |{{op:Zmod|p|}} }} |\cong| {{op:Zmod|p|}}[Y]/ {{makl| Y^{p-2} |}} || || || |SZ=. }} Dies ist ein freier {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=-}}Modul mit der {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= X|SZ=}} geschriebenen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= dX, XdX {{kommadots|}} X^{p-3} dX|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also vom {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=freier Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p-2|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evtpn0l7ae07flvmpjd9koro76fforw 0 127912 780168 767288 2022-08-21T18:23:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |A ||R[X]/ {{ideala|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |monogene| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealb|}} || {{op:Annullator|dX|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Annullator| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= dX|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A|R}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|A|R}} |\cong| A/ {{idealb|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 812r9xr8rh0e22svekg67zo11hsc2mq 0 128067 779727 763718 2022-08-21T17:14:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || \Q[\sqrt{D} ] || || |SZ= }} mit einer quadratfreien ganzen Zahl {{ Ma:Vergleichskette |D |\neq|0,1 || || || |SZ= }} ist stets eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei die Galoisgruppe neben der Identität aus der Konjugation {{mathl|term= \sqrt{D} \mapsto - \sqrt{D} |SZ=}} besteht. Diese Konjugation wirkt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} oder direkt nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Homomorphismus/Invarianten/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Fälle/Konjugation/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch auf dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} mit {{math|term= \Z|SZ=}} als Invriantenring. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Galoistheorie für Integritätsbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jn5cv191usjn28p8crhdp5manl5ifie 0 128115 781961 755853 2022-08-21T23:22:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term= q|SZ=}} Elementen und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= a|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |größte gemeinsame Teiler| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= n |und|term2= q-1 |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es in {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} genau {{math|term= a|SZ=}} {{math|term= n|SZ=-}}te Einheitswurzeln gibt. {{ManSie|Man folgere|Folgern Sie}}, dass es {{math|term= n|SZ=}} {{math|term= n|SZ=-}}te Einheitswurzeln in {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} genau dann gibt, wenn {{math|term= n|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= q-1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ztem2pr9xxshgqfi1d9ynogndzsn93 0 128176 778775 762695 2022-08-21T12:52:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein Ideal {{math|term= \neq 0|SZ=}} unterhalb der angegebenen Normschranke. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Ideale/Zerlegung in Primideale/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} || {{idealp}}_1 \cdots {{idealp}}_k || || || |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Primidealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp}}_i |SZ=,}} und wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Idealnorm/Multiplikativ/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} sind die Normen dieser Primideale ebenfalls unter der Schranke. Da all diese Primideale nach Voraussetzung Hauptideale sind, ist auch {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein Hauptideal. Da nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt |Refname= {{{ref3|Fakt}}} |SZ= }} jede Idealklasse durch ein Ideal unterhalb der Normschranke repräsentiert wird, bedeutet dies, dass jede Idealklasse durch ein Hauptideal repräsentiert wird. Das heißt die Klassengruppe ist trivial und damit ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt |Refname= {{{ref4|Fakt}}} |SZ= }} der Ring {{math|term= R|SZ=}} faktoriell. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Faktoriell |Autor= |Bearbeitungsstand= }} suhxxuere28t3xmosn8x5z9r2534cd7 0 128179 778776 762696 2022-08-21T12:52:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= N( {{idealp|}} )|SZ=}} unterhalb der angegebenen Schranke liegt, und es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Z p || {{idealp|}} \cap \Z || || || |SZ= }} mit einer Primzahl {{math|term= p|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ist die Norm von {{math|term= {{idealp|}}|SZ=}} gleich {{math|term= p^i|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |i |\leq|n || || || |SZ=, }} so dass auch {{math|term= p|SZ=}} unterhalb der Schranke ist und somit nach Voraussetzung eine Primfaktorzerlegung für {{math|term= p|SZ=}} besteht. Daraus folgt aber, dass {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein Hauptideal ist. Aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primideale unterhalb von Normschranke Hauptideale/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} folgt die Behauptung. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tn9hzet8g78uqm0jcqy0e1x482i81tr 0 128180 779379 751192 2022-08-21T16:18:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen zeigen, dass der fünfte {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R_5 || \Z[X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Es gibt vier komplexe Einbettungen und die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{math|term= \pm 125|SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch(|2|\pi}}^2 \sqrt{125} |<|5 || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nur zu überprüfen, ob die Primzahlen {{ Ma:Vergleichskette |p ||2,3 || || || |SZ= }} in {{math|term= R_5|SZ=}} eine Primfaktorzerlegung besitzen. Da {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} [X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Zmod|3|}} [X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} sind {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 3 |SZ= }} sogar Primelemente in {{math|term= R_5|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2=Theorie der Divisorenklassengruppe (Zahlbereich) |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ayy3egxqf543ft6fsvkz6nsx1cjep1q 0 128251 779907 763824 2022-08-21T17:40:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Prämath= |Standardgitter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Gamma|SZ=}} im {{math|term= \R^2|SZ=}} wird durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= e_1,e_2|SZ=}} erzeugt, aber auch durch die beiden Vektoren {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor|3|1}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|2|1}} |SZ=, }} siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Basis/Übergang/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gitter |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} faim643wldvk39vtcfte9i043eu9qk4 0 128326 778758 762683 2022-08-21T12:50:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir haben die Zusammenstellung zu allen komplexen Einbettungen {{ Ma:abbele/disp |name= \tau |R|{{CC|}}^{r+2s} || |SZ= }} und die reelle Gittereinbettung {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Reelle Gesamteinbettung|}} |R| \R^r \times {{CC|}}^s || |SZ=, }} die durch die Einbettung {{ Ma:abbele/disp |name= | \R^r \times {{CC|}}^s |{{CC|}}^{r+2s} |(x_1 {{kommadots|}} x_r; z_1 {{kommadots|}} z_s) |(x_1 {{kommadots|}} x_r; z_1 , {{op:Komplexe Konjugation|z_1|}} {{kommadots|}} z_s , {{op:Komplexe Konjugation|z_s|}} ) |SZ= }} miteinander verbunden sind. Zu einer {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} von {{math|term= Q(R)|SZ=}} haben wir einerseits die {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{Reelle Ganzheitsmatrix}} |SZ= }} und andererseits die {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{Komplexe Ganzheitsmatrix}} |SZ=. }} Wenn man diese komplexe Matrix mit der Matrix {{ Zusatz/Klammer |text=diese steht links| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix88|1||||||||| \ddots|||||||||1|||||||||1|1||||||| - {{imaginäre Einheit}}| {{imaginäre Einheit}}|||||||||1|||||||||\ddots|||||||||1 |}} |SZ= }} multipliziert, wobei der quadratische Block sich auf {{math|term= \sigma_j|SZ=}} und {{math|term= {{op:Komplexe Konjugation|\sigma|}}_j |SZ=}} bezieht, so erhält man in der Zeile zu {{math|term= \sigma_j|SZ=}} das Doppelte des Realteils von {{math|term= \sigma_j |SZ=}} und in der darauf folgenden Zeile das Doppelte des Imaginärteils von {{math|term= \sigma_j |SZ=.}} Die Determinante der zuletzt notierten Matrix ist {{math|term= 2 {{imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} Wenn man diese Multiplikation für jede komplexe Doppelzeile durchführt {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= s|SZ=}} Multiplikationen| |ISZ=|ESZ=, }} so erhält man die Matrix, die aus der reellen Ganhzeitsmatrix hervorgeht, indem man die hinteren {{math|term= 2s|SZ=}} Zeilen jeweils mit {{math|term= 2|SZ=}} multipliziert. Deshalb gilt insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2^{2s} {{makl| {{op:Determinante(| {{op:Reelle Gesamteinbettung|}}_j(b_k)|}} |}} || 2^s {{imaginäre Einheit}}^s {{makl| {{op:Determinante(| \tau_j (b_k)|}} |}} || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/C/Basis/Diskriminante/Einbettungsbeschreibungen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Standardraum/Basis/Erzeugte Parallelotop/Volumen/Determinante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align | \sqrt{ {{op:Betrag|\triangle(b_1 {{kommadots|}} b_n)||}} } || {{op:Betrag| {{makl| {{op:Determinante(| \tau_j(b_k)|}} |}}||}} || 2^{s} {{makl| {{op:Determinante(| {{op:Reelle Gesamteinbettung|}}_j(b_k)|}} |}} || 2^s \operatorname{Vol} (\mathfrak M ) || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fz7d7dywfkb34tuxxxglm0w9et3921d 0 128364 778745 762671 2022-08-21T12:48:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Es ist zu zeigen, dass die {{ mathbed|term= {{op:Reelle Gesamteinbettung|}} (b_k) ||bedterm1= k= 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} linear unabhängig sind. Über die {{math|term= \R|SZ=-}}lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | \R^r \times \R^{2s}| {{CC}}^{r} \times {{CC}}^{2s} |{{op:Spaltenvektor|x_1 | \vdots| x_r|u_1|v_1 |\vdots| u_s|v_s}} | {{op:Spaltenvektor|x_1 | \vdots| x_r|u_1 + {{imaginäre Einheit|}} v_1 | u_1 - {{imaginäre Einheit|}} v_1 |\vdots| u_s + {{imaginäre Einheit|}} v_s | u_s - {{imaginäre Einheit|}} v_s }} |SZ=, }} erhält man aus der reellen Gesamteinbettung die komplexe Gesamteinbettung. Wären die Elemente {{math|term= \R|SZ=-}}linear abhängig, so würde das auch für die Bilder unter der komplexen Gesamteinbettung gelten. Doch dies wäre ein Widerspruch zur Tatsache, dass die Diskriminante von {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} nicht {{math|term= 0|SZ=}} ist, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Separabel/Nicht null bei Basis/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ifqkix48dx6adem647va3qqccedepzg 0 128365 780102 752369 2022-08-21T18:10:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |D |>|2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |reell-quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es gibt also zwei reelle Einbettungen und somit ist {{ Ma:Vergleichskette |s ||0 || || || |SZ=. }} Zur {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 1, \sqrt{D} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} bzw. {{mathl|term= 1, {{op:Bruch|1+ \sqrt{D}|2}} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} gehört wie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Gitter-Einbettung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} berechnet die {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1| \sqrt{ D }|1| - \sqrt{ D } }} |SZ= }} bzw. {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|1| {{op:Bruch|1 + \sqrt{ D }|2}} | 1 | {{op:Bruch| 1 - \sqrt{ D }|2}} }} |SZ= }} Deren Determinante ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|1| \sqrt{ D }|1| - \sqrt{ D } }} |}} ||- 2 \sqrt{ D } || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|1| {{op:Bruch|1 + \sqrt{ D }|2}} | 1 | {{op:Bruch| 1 - \sqrt{ D }|2}} }} |}} || {{op:Bruch| 1 - \sqrt{ D }|2}} - {{op:Bruch| 1 + \sqrt{ D }|2}} || - \sqrt{ D } || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{math|term= 4D|SZ=}} bzw. {{math|term= D|SZ=.}} In beiden Fällen erhält man also {{{zusatz1|}}} eine direkte Bestätigung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rjd5yhllk71vawg6nt5s6oqy439an4w 0 128376 778823 762726 2022-08-21T13:00:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach Voraussetzung enthält {{math|term= K|SZ=}} die {{math|term= n|SZ=-}}ten Einheitswurzeln und damit ist {{ Ma:Vergleichskette |K_n |\subseteq|K || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Insbesondere ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Einheitswurzelgruppe||K|}} ||{{op:Einheitswurzelgruppe||K_n|}} || || || |SZ=. }} Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Galoisgruppe|\Q|K_n}} | \operatorname{Aut} ( {{op:Einheitswurzelgruppe||K|}} ) \cong {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|n|}} |}} || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wenn {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ= }} galoissch ist, so ist {{math|term= K|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Galois über Zwischenkörper/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch galoissch über {{math|term= K_n|SZ=}} und die {{math|term= \Q|SZ=-}}Automorphismen lassen sich wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Fortsetzungssatz für Homomorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nach {{math|term= K|SZ=}} fortsetzen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s8lidue3txs23k6ljemlxmpbec8xreu 0 128546 780183 767419 2022-08-21T18:26:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Folgenden sind die Graphen zu normierten irreduziblen Polynomen {{math|term= F|SZ=}} vom Grad {{math|term= 4|SZ=}} mit ganzzahligen Koeffizienten abgebildet. Es sei {{math|term= R|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|K ||\Q[X]/(F) || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=kommutative Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|R|}} |SZ=.}} {{ inputbild |Polynomialdeg4|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=a) |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Courbe quatrième degré 04|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=b) |Autor= |Benutzer=Lydienoria |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Courbe quatrième degré 10|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=c) |Autor= |Benutzer=Lydienoria |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gi36mk3y9h7ywjq1hpeld9gjaqy3s20 0 128553 778787 762705 2022-08-21T12:54:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zunächst ist wegen dem Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das Bild der Einheiten in der Tat ein Gitter in {{math|term= H|SZ=.}} Dabei steht {{math|term= H|SZ=}} senkrecht auf dem Vektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|\vdots|1}} |SZ=,}} dessen Länge ist gleich {{mathl|term= \sqrt{r+s} |SZ=.}} Das kanonische Volumen auf {{math|term= H|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das durch die euklidische Struktur gegeben ist| |ISZ=|ESZ= }} des durch {{mathl|term= L(u_1) {{kommadots|}} L(u_{r+s-1}) |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten Parallelotops| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=eben der Grundmasche| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= P|SZ=}} stimmt bis auf den Faktor {{math|term= \sqrt{r+s} |SZ=}} mit dem Volumen des Parallelotops {{math|term= P'|SZ=}} im {{math|term= \R^{r+s} |SZ=}} überein, das zusätzlich von {{math|term= {{op:Spaltenvektor|1|\vdots|1}} |SZ=}} erzeugt wird {{ Zusatz/Klammer |text=das Maß eines orthogonalen Zylinders ist Grundvolumen mal Höhe| |ISZ=|ESZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Standardraum/Basis/Erzeugte Parallelotop/Volumen/Determinante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dieses Volumen der Betrag der Determinante der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix44|1| L_1(u_1)| \ldots|L_1(u_{r+s-1})|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots|1| L_{r+s-1}(u_1)|\ldots |L_{r+s-1} (u_{r+s-1}) |1| L_{r+s}(u_1)|\ldots |L_{r+s} (u_{r+s-1}) }} |SZ=. }} Wenn man aus dieser Matrix, nennen wir sie {{math|term= M'|SZ=,}} die erste Spalte und die letzte Zeile herausnimmt, so erhält man diejenige Matrix {{math|term= M|SZ=,}} deren Determinantenbetrag nach Definition der Regulator ist. Wir addieren nun zur letzten Zeile von {{math|term= M'|SZ=}} nacheinander jede der übrigen Zeilen hinzu. Dies ergibt in der ersten Spalte den Eintrag {{math|term= r+s|SZ=}} und in den übrigen Spalten den Eintrag {{math|term= 0|SZ=,}} da ja eben {{ Ma:Vergleichskette |L(u_j) |\in|H || || || |SZ= }} ist. Somit ist, da sich bei den Zeilenumformungen nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Determinantenfunktion/Verhalten bei Zeilenumformungen/Fakt |Nr=4 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Determinante nicht ändert, nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Entwicklungssatz|Faktseitenname= Determinante/Entwicklungssatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sqrt{r+s} \operatorname{vol} (P) || \operatorname{vol} (P') || {{op:Betrag| {{op:Determinante|M'|}} |}} || (r+s) {{op:Betrag| {{op:Determinante|M|}} |}} || (r+s) {{op:Regulator|R|}} || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{vol} (P) || \sqrt{r+s} {{op:Regulator|R|}} || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b5jkke10fthku9w7ojz7jg0l9opq0eq 0 128775 780346 767035 2022-08-21T18:53:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Ideals {{math|term= (X^2+1)|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Z[X]/ {{makl| X^4+1 |}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der achte Kreisteilungsring |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n7gf4e6wk5o03onwpons0xaipl1ptnv 0 128943 778861 771220 2022-08-21T13:33:30Z A. Wagner 16035 neue Erkenntnis wikitext text/x-wiki Dienstags, meist ab 8:30: https://meet.slub-dresden.de/DatenlaubeJam 2022 == 23. August == [[File:Ricola (10728660084).jpg|thumb|Ein Stadtmensch]] * [[w:de:Sächsische Schweiz]]: Wer hat’s erfunden? Carl Geßler [[d:Q95216426]]! siehe: Elisa von der Recke im Wonnemonat des Jahres 1790 [[d:Q113571097]] == 16. August == [[Datei:FactGrid-Logo.png|mini|FactGrid-Logo]] Rezepte * Idee: Rezeptesammlung der ''Gartenlaube'' latent i.V.m. FoodStudio @ SLUBdresden. Wir erschließen die Rezepte ohnehin alle, mit wenig Zusatzaufwand Abfragen, Analysen und Visualisierungen ermöglichen : Datenmodell? Genre [[d:Property:P136]]=Rezept ist umstritten, besser ''instance of'' [[d:Property:P31]]=Rezept? : Schlagworte ''main subject'': ggf. Speisename, Hauptzutat*en, ggf. Regional, ggf. wesentliches Küchengerät ? * Idee von ChristianE: FactGrid für Rezeptdetails, https://database.factgrid.de/wiki/Special:WhatLinksHere/Item:Q393545, vgl. [[c:Category:FactGrid]] : Datenmodell von Olaf Simons in ''Hüner junge mit Mandeln, gefüllet und gebraten'' [https://database.factgrid.de/wiki/Item:Q436785 (Q436785)], Amaranthes Frauenzimmer-Lexicon (1715), Spalte 899-900, https://database.factgrid.de/wiki/Item:Q436785 : https://database.factgrid.de/wiki/FactGrid:Die_Gartenlaube (https://database.factgrid.de/wiki/Item:Q436784) + https://database.factgrid.de/wiki/Item:Q436809 (Datenlaube) * Dokumentation im Blog https://diedatenlaube.github.io/ und/oder Hypotheses gelegentlich Kleine Edition (in Arbeit) * Jens: ''Katechismus des Radfahrsportes: Ein Gang durch die radsportliche Litteratur, 1897'', https://nfg.hypotheses.org/2886 Datenpflege mangels Gästen * [[d:Q113531282#P1343]], ''Ausstellung von Erzeugnissen für Kinderpflege, Ernährung und Erziehung'', 15. Mai 1895 == 9. August == [[File:Paul Rachel Altdresdner Familienleben.pdf|page=1|mini|Fanfare For The Common(s) Man: Paul Rachel [https://www.youtube.com/watch?v=c2zurZig4L8]]] * Gast: Jenny (Universitäts- und Landesbibliothek Tirol in Innsbruck) * neu in den Commons: [[c:File:Paul Rachel Altdresdner Familienleben.pdf]], 1915 Leipzig {{wikisource|Ein Denkmal praktischen Gemeinsinnes|''Ein Denkmal praktischen Gemeinsinnes'', Die Gartenlaube, 1866}} {{wikisource|Leipzig|überhaupt: ''Leipzig'' @Wikisource!}} {{wikisource|Kleine Bilder aus der Gegenwart/Zwei unpolitische „Kongresse“|Kleine Bilder aus der Gegenwart: Zwei unpolitische „Kongresse“}} Kleine Editionen * Saxorum: ''[https://saxorum.hypotheses.org/7842 Sächsische Dorfzeitung, 05. August 1897. – „Aufruf.“]'', Tag dort: [https://saxorum.hypotheses.org/tag/kleine-editionen Kleine Editionen] * netzwerk fahrrad|geschichte, Tag: https://nfg.hypotheses.org/tag/kleine-editionen * Idee: beispielhaft kleine Editionen für Mikrofilme (Handschriften, ...) inkl. damit teils detailierte*re Erschließung (in K10+ und Wikidata) == 2. August == [[Datei:XY Logo.jpg|mini|Cold-Case]] * Wer hat Valten Hackschauer [[d:Q113355111]] gesehen? Beschreibung: ziemlich lang, hager, bleiches Angesicht, schlechte schwarze Haare, bekleidet mit einem grauen Rock * Artikel Dresdner Geschichtsblätter ohne K10plus-Verbundkatalogeintrag: https://w.wiki/5X4V Projektbericht: ? Twitter: #FragenGibtEsÜberall feat. #QuellenGibtEsÜberall ''[[w:Edel-Pflaume|Kloden]]'' (hier aber nicht) in Sachsen: {{wikisource|Die Obstkammer Berlins|Die Obstkammer Berlins, 1874}} {{wikisource|Die Obstkammer Berlins (Die Gartenlaube 1894/41)|Die Obstkammer Berlins, 1894}} {{wikisource|MKL1888:Obstgarten}} [[Datei:WD10 - Wikidata 10 logo - black text colored icon.png|mini|WD10 - Wikidata 10 logo - black text colored icon]] Call for Participation: [[vBIB]] > [[VBIB/vBiB22|#vBiB22]], https://www.vbib.net/callforparticipation/ bis 2. September * vgl. 2021 [[VBIB21/DatenlaubeCon|DatenlaubeCon]], Leitmotiv: ''Digitale Perspektiven'', Oberthemen: ''Wandel'', ''Zukunft'' und ''Nachhaltigkeit'', JB: ''Kleine Editionen für Digital Humanities mit Hypotheses.org und Wikisource – und mit Wikiversity?'', eingereicht 10 * [[c:Category:Wikidata's 10th birthday logo]] Bibliothek * ''[https://nfg.hypotheses.org/2814 Sächsische Radfahrer-Zeitung: Weltrunde, 8. Juli 1899]'', S. 274–276 == 26. Juli == [[File:Leonard Nimoy Spock 1966.JPG|mini|hochkant|Faszinierend...sicher nicht nur für ihn...]] * [[C:Category:Bildnisse hervorragender Dresdner aus fünf Jahrhunderten (1908)]] * Christoph: Bürgersoldaten Heft 30 zu 80% fertig * Kriegsgräber: Potential bei Abgleich zwischen verschiedenen Datenquellen (Wikidata, https://kriegsgraeberstaetten.volksbund.de/friedhof, andere Listen....) * Jens: https://twitter.com/POPinvention und http://www.politicsofpatents.org/ * Tobias: Projekt für https://kriegsgraeberstaetten.volksbund.de/friedhof (gemeinsam mit Christian Erlinger), evtl. Mix'n'match * Matthias: [[File:Noto_Emoji_KitKat_1f36f.svg|20px]] https://twitter.com/DDHefte/status/1551622116369473537 -> LOST-Projekt zu Ancestry, [https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/343996/43 Totengedenkbuch], GLAM Maynooth * [[c:Category:Wikimedia+Libraries International Convention 2022]] == 19. Juli == [[Datei:Otto Richter Geschichte der Stadt Dresden Teil 1 Mittelalter.djvu|page=6|mini|WS-Stand proudly presents: OOOOtttoooo Riiichteeer hätte [[w:de:Michael Buffer|'''er''']] so angesagt.:)]] [[Datei:Wikimedia+Libraries Meetup (800 × 130 px).png|mini|Wikimedia+Libraries Meetup 2022]] Hands on: *Wie kann ich im Stadtwiki ein Bild einbinden? *Wie kann ich Links erzeugen?/Verlinkung zu Wikidata und Wikisource? [[flickrphoto:5982831568|test]] [[flickruser:milanboers|milanboers]] *Wie kann ich bei Wikidata die Zeiträume der Hefte erfassen? *Welche Hefte sind bei Wikidata noch zu erfassen, weil sie da noch nicht dabei sind? [https://w.wiki/5UMw Query "Fehlender Editor"] Einladung geschickt an den Dresdner Fechtclub, der seine Geschichte im Stadtwiki dokumentieren möchte und ebenfalls viele Bilder hat, die es einzupflegen gilt DienstagsDamen: * Stand der Nachforschungen zu [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Hanna_Kr%C3%BCger Hanna Krüger] Dresdner Geschichtsblätter * Die Dresdner Kirchenbücher [[d:Q113121076|Q113121076]], AW verzeichnet die gleichnamige Geschichtsblätterrubrik in Wikidata ggf. mit Verweis auf die Digitalisate. Frisch vom WS-Stand-Scanner: * Otto Richter: ''Geschichte der Stadt Dresden. Erster Theil: Dresden im Mittelalter.'' Dresden 1900, Baensch Bibliothek * Vergangene Woche: [[s:Max Eyth]], Franz Dotzauer [[d:Q111461862#P1343]], Palace Cinema Maastricht [[d:Q38238095]], ... * Sharon Mizota: ''[https://medium.com/metadata-learning-unlearning/words-matter-reconciling-museum-metadata-with-wikidata-61a75898bffb Words Matter: Reconciling museum metadata with Wikidata]'', 14. Juli 2022, medium.com * Jens Bemme: ''Kleine Editionen für Digital Humanities'', in: Public Humanities, 15. Juli 2022, https://publicdh.hypotheses.org/476 * Dominik Waßenhoven: ''Mit Wikipedia lehren: Ein Erfahrungsbericht'', 15. Juli 2022, https://gwd.hypotheses.org/540 == 12. Juli == [[Datei:LABA Kiep it real.jpg|mini|LABA Kiep it real]] Off topic: Der Fall "Monika", https://laba.de/der-fall-monika-krawcec/, Twitter: #LandeskundlicheProduktentwicklung, über: Urheberrecht, Persönlichkeitsrecht, Kunstfreiheit & LABA in Görlitz {{wikisource|Aus den Gedanken und Erinnerungen|Aus den „Gedanken und Erinnerungen“ von Otto Fürst von Bismarck, 1898}} * Was ist eine [[w:Digitale Edition]]? Gast: [[Benutzer:SchallenderRauch]], vgl. [[s:Zeitschrift für Sozialforschung]], [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Projekt ZfS-SchallenderRauch]] und Ausblick auf nächsten Dienstag * Hands on: editieren, fragen, editieren, ... == 8. Juli: #LNdWDD == [[Datei:Wikiversitätsstadt.png|mini|Wikiversitätsstadt Dresden]] Wir werden am Freitagabend voraussichtlich 21:00 und 22:00 für jeweils eine halbe Stunde(+) auf '''[https://meet.slub-dresden.de/DatenlaubeJam meet.slub-dresden.de/DatenlaubeJam]''' gemeinsam an Projekten des Dresdner Geschichtsvereins und des Citizen Science-Projekts ''[[DieDatenlaube]]'' arbeiten, zeigen, erklären und ''hacken''. Themenwünsche sind willkommen. Spezifischen Beratungsbedarf ggf. mit Wunschuhrzeit bitte hier auf der [[Diskussion:DieDatenlaube/Notizen]]-Seite notieren. * Items zu [[d:Q112939692|Langen Nacht der Wissenschaften]] [[:Kategorie:Dresden|Dresden]]: z.B. [[d:Special:WhatLinksHere/Q31837129|DRESDEN-concept]] Karte: [https://w.wiki/5R6i https://w.wiki/5R6i] Dresden * {{wikisource|Dresden}} * {{wikisource|Sachsen}} * {{wikisource|Dresdner Geschichtsverein}} :: {{wikisource|Dresdner Geschichtsblätter}} :: {{wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens}} :: {{wikisource|Dresdner Hefte}} :::* [[Kurs:Dresdner Hefte zum Mitmachen]] :::* Bitte beim Korrigieren helfen: [[s:Index:Heft03VereinGeschichteDresden1880.pdf]], z.B. gelbe Seiten prüfen, korrigieren und speichern! * Totenschau: Wer ist wo begraben (ohne Bild der Grabstelle auf commons)? ** Alter Annenfriedhof: https://w.wiki/5QyY ** Trinitatisfriedhof: https://w.wiki/5Qya ** Johannisfriedhof: https://w.wiki/5Qyc ** ... Die Gartenlaube, https://diedatenlaube.github.io/ [[Datei:Die Gartenlaube (1896) b 0191.jpg|mini|''In einer Amalfitaner Maccaronifabrik'', in: ''[[s:An der Küste von Amalfi|An der Küste von Amalfi]]'', Die Gartenlaube, 1896]] * z.B. [[s:Die Gartenlaube (1898)]] oder ein anderer Jahrgang: [[s:Die_Gartenlaube#Sachregister_1853–1867]] oder einzelne Artikel: * {{wikisource|Der hundertjährige Kamelienbaum im Schloßgarten zu Pillnitz}} * {{wikisource|Ein Mondglobus für Schule und Haus}} * {{wikisource|Milchmarkt am Singel zu Amsterdam}} * {{wikisource|Verhütung der Nervosität}} * {{wikisource|Gebirgsbach}} * {{wikisource|Der Krieg um Cuba}} * {{wikisource|Die Bronze in der plastischen Kunst}} * {{wikisource|Der Straßenkampf in Frankfurt a. M. vor fünfzig Jahren}} * {{wikisource|Der hundertjährige Kamelienbaum im Schloßgarten zu Pillnitz}} * {{wikisource|Eine teure Fahrt durch den Suezkanal}} * {{wikisource|Die Ausstellung nationaler Frauenarbeiten im Haag}} * {{wikisource|Ein neues Verfahren zum Konservieren der Eier}} * {{wikisource|Die Wildkatze}} * {{wikisource|Die größten und kleinsten Goldmünzen}} * {{wikisource|Von der II. Münchener Kraft- und Arbeitsmaschinenausstellung}} * {{wikisource|Erdbeeren}} * ... <gallery> Stadtwiki_Dresdner_Geschichtsverein.JPG|[https://www.stadtwikidd.de/wiki/Kategorie:Geschichtsverein Stadtwiki Dresden] Wikidata_Dresdner_Hefte.jpg|[[s:Dresdner Hefte]] Wikisource_dresdner_geschichtsverein.JPG|[[s:Dresdner Geschichtsverein]] Github_ddhefte.JPG|[https://github.com/ddhefte github.com/ddhefte] Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|mini|Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022) </gallery> == 5. Juli == [[Datei:Radfahrerinnenwissen Dresdner Heft 150.png|mini|Kauft! [https://www.dresdner-geschichtsverein.de/ Radfahrerinnenwissen] oder so [[s:Ein neues Kriegsfahrrad]]]] * Unser [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|Artikel]] ist nun eingereicht. * Andreas und Jens sprechen am 3. September in [[w:de:Oelsnitz/Vogtl.|Oelsnitz/Vogtl.]]: [[Kurs:Wikiversum für Ortschronisten (2022)]] * Außerdem wächst [[Kurs:Rostock und Die Datenlaube (2022)]] * rund ums Torf: [[s:Eine Wanderung durch das oldenburgische Moorgebiet]] :: ARTE: [https://www.arte.tv/de/videos/100291-010-A/re-first-lady-of-whisky/ Re: First Lady of Whisky : Schottland auf neuen Wegen], 22. Dezember 2021 ([https://ncnean.com/ ncnean.com/]) Ausblick * Hackathon ist immer!? Lange Nacht der Wissenschaften in Dresden am 08. Juli 2022, 17–00 Uhr. Machen wir was und wann? Bitte fertigkorrigieren: * <s>[[s:de:Besprechungsprotokoll Wannseekonferenz]]</s>, Fertig: 6.7.2022 == 28. Juni == [[File:Knötel I, 5.jpg|thumb|Banner der freiwilligen Sachsen]] [[File:Dresdens Festungswerke im Jahre 1811.pdf|page=20|thumb|Dresdens Festungswerke 1811]] * taufrisch digitalisiert nach Hinweis im Artikel in den Dresdner Geschichtsblättern: ''Das Dresdner Landwehr-Bataillon'' 1813/14 von Paul Rachel (1892) [[d:Q111792485]]: ** Die '''<u>Dresdner Landwehr-Blätter (1813/14)</u>'''! [[d:Q111792515]] Auf WS bringen? ***Das ist Geschichte pur, eine echte Primärquelle. Vielen Dank an SLUB! * Totenschau: Kann in Wikidata eine Aussage: ''Todesanzeige'' im Datenobjekt der betreffende Person eingerichtet werden? {{ping|Mfchris84}} Ich würde gerne jpg's von Todesanzeigen hochladen. Als normales Bild wäre dies sicher unpassend, auch als themenverwandtes Bild. ** Beispiel: [[d:Q126171]], eingefügt unter Grabbild, nicht optimal. Einfügung als themenverwandtes Bild nicht möglich, da Porträt vorhanden. * weitere Themenseiten: z.B. als virtuelle Prunothek: [[s:Woher das Sprichwort: Hier ist nicht gut Kirschen essen?]] :Query: [https://w.wiki/5MtM Die Gartenlaube] zu irgendwas mit Früchten und Tieren ... * geplant: [[Kurs:Rostock und Die Datenlaube (2022)]] * Kannegießer (1811) Festungswerke Dresdnes, 1890 als Vereinsgabe ist bei google aufgetaucht, Andreas bindet die Bilder in Commens ein, eventuell Wikisource-Projekt, da wenig Text https://www.google.de/books/edition/_/5pJX-twRUXQC?hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjp9d3b8M_4AhVYSvEDHeIBDvYQ7_IDegQIFBAC == 21. Juni == Dresdner Hefte: 150. * [[Kurs:Dresdner Hefte zum Mitmachen]] * [[DieDatenlaube/Notizen/DDHefte-Ideen|DDHefte-Ideen]] * Presskonferenz zu neuem Logo & 150. Dresdner Heft um 11 Uhr (im Anschluss) Juhu!! Damit verbunden, werde ich schön twittern und auf alles aufmerksam machen! Die Gartenlaube * [[s:Naturwissenschaftliche Wochenschrift]] (WikiCite!) 59. [[BibChatDE/Geschichtsvereine]] am 20. Juni * 18–19 Uhr auf Twitter: Geschichtsvereine & Bibliotheken: Was geht?, #BibChatDE, https://www.bibchat.de/geschichtsvereine-bibliotheken-was-geht/ Bitte am Projekt beteiligen * [[s:Index:Wannsee Protokoll januar 1942.pdf]] * Suche nach weiteren Artikeln von '''[[s:Theodor Heinrich Gampe]]''' (auch Autor in [https://de.wikisource.org/wiki/Die_Gartenlaube/Autoren#G Die Gartenlaube]), insbesondere zu den Steinbrechern mit Illustrationen von [[w:Robert Sterl|Robert Sterl]] == 14. Juni == [[Datei:Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|mini|Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022)]] Besuch: Zentralbibliothek Zürich und aus Pankow Zentralgut, https://zentralgut.ch/ (Luzern) {{wikisource|Index:Kurze Lebens-Notizen zu der Portrait-Gallerie merkwürdiger Luzerner auf der Bürgerbibliothek in Luzern.pdf}} Dresdner Hefte+ ... Die Datenlaube*''live'' * {{wikisource|Die Gartenlaube (1898)}} * Bitte alle verschlagworten (main subject): https://w.wiki/43s :) * #1Lib1Nearby https://w.wiki/5HAM where is Stadtbibliothek Pankow ? * [https://www.ngzh.ch/publikationen/neujahrsblatt Neujahrsblätter Zürich ab 1799] * vgl. dazu auch Beiträge zur Pankower Heimatgeschichte / Freundeskreis der Chronik Pankow e.V * Probleme der oral history (Mehrfachbefragung etc.) * Seite fürs Ausprobieren (DD-Hefte): https://de.wikiversity.org/wiki/DieDatenlaube/Notizen/DDHefte-Ideen * Idee aus Pankow: Kontakt zu ÖBs suchen, Netzwerke nutzen um Interessierte für Workshops im Bereich Wikiversum zu finden == 7. Juni == [[Datei:15482-Weixdorf-1913-Badende_im_Prinz_Hermannbad-Brück_&_Sohn_Kunstverlag.jpg|mini|Waldbad Weixdorf]] * [[s:Sommerfrische]]n, u.a. [[d:Q105046940|Sonntagsbesuche in der Sommerfrische]] :: Weixdorf: [[d:Q98804415|Waldbad Weixdorf (Q98804415), LfDS object ...]] * Beifang: Ludwig Blume-Siebert, u.a. bei [[s:Boetticher:Blume-Siebert,_Ludwig|Bötticher]] und Wikidata-Query: https://w.wiki/5FFT * {{wikisource|Zerlegbare Holzhäuser in Deutschland}} [[Projekt:Geschichtsvereine 2x|#Geschichtsvereine 22]] am Wochenende: * Programm: https://saechsische-landesgeschichte.de/event/workshop_geschichtsvereine22_220611/ * [[Projekt:Geschichtsvereine 2x/Wikisource, Wikidata und Commons]] ... 150 [[s:Dresdner Hefte]] ... neues Design, begleitende Wisskomm, ... All dies '''Dilettantinnen- und Dilettantenforschung'''! i.S.v. [[w:Dilettant]] == 31. Mai == Dresdner Hefte * [[DieDatenlaube/Notizen/DDHefte-Ideen|Anleitungen]] <gallery> Stadtwiki_Dresdner_Geschichtsverein.JPG|[https://www.stadtwikidd.de/wiki/Kategorie:Geschichtsverein Stadtwiki Dresden] Wikidata_Dresdner_Hefte.jpg|[[s:Dresdner Hefte]] Wikisource_dresdner_geschichtsverein.JPG|[[s:Dresdner Geschichtsverein]] Github_ddhefte.JPG|[https://github.com/ddhefte github.com/ddhefte] </gallery> * Website für Überblick entweder bei https://www.dresdner-geschichtsverein.de (ist aber gerade im relaunchen, daher vielleicht im Wikiversum oder auch bei Github https://ddhefte.github.io/) * Übersicht Mitteilungen ist aufgeräumt, analog zu den Geschichtsblättern (Danke) https://de.wikisource.org/wiki/Mitteilungen_des_Vereins_f%C3%BCr_Geschichte_Dresdens * Bürgersoldaten läuft, Bilder freistellen als next step (Steffen fragt Matthias, wie es geht) * andere CitizienScience-Projekte an der SLUB (z.B. Ausschreibung https://www.citizenscience-wettbewerb.de) * neues "Futter" bei Steffen: W. Nagel: Die alte Dresdener Augustusbrücke, Verein für Geschichte Dresdens 1924 https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/695/12 Lauben''piepser'' * [[s:Frauen als Schrankenwärterinnen]] * [[s:Von der Kirgisen-Karawane]] * [[s:Weihnachtsfeier in einer Spreewaldschule]] * [[s:Neapolitanische Straßenhändler]] * [[s:Eisenbahnreformen]] == 24. Mai == [[Datei:Wikisource-Infostand-Dresden.jpg|mini|Wikisource Infostand SLUB]] * Zu Gast: [https://www.buergerschaffenwissen.de/ueber-uns Moritz Müller] mit dem Projekt ''[https://www.buergerschaffenwissen.de/projekt/hallische-heiratsgeschichten Hallische Heiratsgeschichten]'' * ''Hackathon ist immer'' beim [[Bibliothekskongress_2022#Hackathon_ist_immer|Bibliothekskongress 2022]] Geschichtsverein DD * Damen-Visuals: Tweets, Stadtwiki, Commons * Sachregister,[https://github.com/ddhefte/ddhefte/tree/main/register via sachregister.txt] * Queries * Schlagworte, Wartungslisten u.a. via [https://scholia.toolforge.org/topic/Q111475060/curation Heft 90 auf scholia] und [https://w.wiki/5CM4 Random-List "Gartenlaube"] (Limit hochzählen) * [[d:Q112031419|Todtenschau]], Query dazu [https://w.wiki/5CLs w.wiki/5CLs] ** ohne Stadtwiki-Artikel: https://w.wiki/5CM3 *** 1895, Nr. 3 ist online, mit Gottlieb Traugott Bienert: [[d:Q112119761]] * Mitmacherklärungen an mehreren Stellen bieten und bündeln: [[DieDatenlaube/Notizen/DDHefte-Ideen|Ideensammlung]] GLAM * [[w:de:Wikipedia:GLAM/Digitaltag 2022|Wikipedia:GLAM/Digitaltag 2022]] * Relaunch [https://www.slub-dresden.de/forschen/citizen-science/wikisource-beratung Wikisource-Beratung] im Juni, siehe [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB]] == 17. Mai == [[Datei:Wikimedia+Libraries Meetup (800 × 130 px).png|mini|Wikimedia+Libraries Meetup]] * [[m:Wikimedia+Libraries International Convention 2022]], 23-24 July 2022 | Maynooth ([[d:Q750265]]) - Ireland * Malerwerke des 19. Jh.: bis Buchstabe F jetzt bearbeitet [[s:de:Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts – Erster Band#F]] ** in Dresden geboren, gewirkt oder gestorben: https://w.wiki/5AUv ** Einträge ohne AKL-Online Eintrag [https://www.degruyter.com/database/akl/html]: https://w.wiki/5AUx Wer kann einen AKL-Eintrag schreiben? --> Caroline kümmert sich Geschichtsverein Dresden [[Datei:Heft30VereinGeschichteDresden1926.djvu|mini|Heft30VereinGeschichteDresden1926]] * NEU: '''[[s:Index:Heft30VereinGeschichteDresden1926.djvu|Heft 30: Dresdner Bürgersoldaten, 1926]]''' (Achtung: 10-Tage-Frist beachten bei Projekten über 50 Seiten!) * Cover, 1-50: bis 150 kommt noch: https://github.com/ddhefte :Ladies :* Maria Theresia Riedel: [[d:Q94992245#P1710]] :* https://www.stadtwikidd.de/wiki/Diskussion:Verein_f%C3%BCr_Geschichte_Dresdens :Auswertung * Matthias macht (un)sichtbare Frauen sichtbar mit SPARQL --> je mehr Daten wir vergeben, je mehr können wir auswerten Diskussion um Sachregister (ein Traum!)Kleines SPARQL-Tutorial: https://w.wiki/5Asd (K10+1774342774) vs. https://w.wiki/5Asg (K10+1774167077) :Transkription * Wikisource-Aufgaben für die ewig publizierenden @DDHefte Vorschlag Themenseiten und Dokumentenseiten zu bauen und für die Mitteilungen extra Seite mit Inhaltsverzeichnis zu bauen, siehe https://de.wikisource.org/wiki/Dresdner_Geschichtsbl%C3%A4tter, jetzt gibt es auch noch Festschriften (argghhh!!) https://twitter.com/AltesDresden/status/1524464384881434625/photo/1 Paper * [https://tu-dresden.de/codip/ergebnisse-transfer/veranstaltungen/geneme GeNeMe 2022]-Einreichung: ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|DatenlaubeJam – Hackathon ist immer (dienstags)]]'', Vollversion bis 4. Juli, Aspekte: Hackathon ist immer, Digitaler Umbruch, ''regelmäßige und individuelle Werkstatt als ‘mentale Infrastruktur’ für Publikationen historischer Quellen, deren Edition und Datenpflege'' Die Gartenlaube * {{Wikisource|Der rheinische Karneval}} :* [[w:Rheinischer Karneval]], 1...9, [[d:Q2147804]] feat. ''#TrickleDownDatenlaube'' (vgl. Twitter) * {{Wikisource|Neues vom Spargel}} ''"Außerdem tritt er auch für das Dörren des Spargels ein. Da dieses einfacher ist als das Einmachen in Büchsen, so dürfte es von unseren Hausfrauen gern versucht werden."'' vs. Liebigs Fleischextrakt : ... vor 219 Jahren wurde der Chemiker Justus von Liebig geboren ... :: {{Wikisource|Schnelligkeitssauce}} :: Suche: ''Fleischextrakt'' und ''Fleischextract'' in der Gartenlaube > https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Spezial:Suche&search=liebig+fleischextract&fulltext=1&profile=default&ns0=1&ns102=1&ns104=1 == 10. Mai == [[Datei:Die Gartenlaube (1898) b 0661 1.jpg|mini|''[[s:Die Sehschärfe der Naturvölker und der Deutschen|Die Sehschärfe der Naturvölker und der Deutschen]]'', Die Gartenlaube, 1898, S. 661]] [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource-Broschüre]] * Query '''[http://w.wiki/43s w.wiki/43s]''' für alle Gartenlaubeartikel ohne Verschlagwortung in den Wikidata-Items via [[s:Wikisource:Wikidata#Abfragen]] * [https://tu-dresden.de/codip/ergebnisse-transfer/veranstaltungen/geneme GeNeMe 2022]-Einreichung: ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|DatenlaubeJam – Hackathon ist immer (dienstags)]]'', von Jens Bemme, Juliane Flade und Caroline Förster * #LinkedOpenStoryTelling '''[https://sites.google.com/view/ddhefte @ddhefte]''' * [https://twitter.com/hashtag/H%C3%BCgelkulturdaten?src=hashtag_click Hügelkulturdaten] * Malerwerke des 19. Jh.: Welche Frauen sind dabei? '''[https://w.wiki/59BN w.wiki/59BN]''' (Stand jetzt) ** davon Dresdnerinnen: '''[https://w.wiki/59Dj w.wiki/59Dj]''' * haben wir Bock auf Podcast oder doch [https://www.youtube.com/watch?v=W8r-tXRLazsVideo?_click Video?] ... und/oder doch druckbare PDFs? :* Vortrag über das Projekt 'Die Datenlaube' zur Pecha Kucha Night (online) in Weimar Die fabelhafte Welt der Digital Humanities am 25. Juni 2020, DOI [https://doi.org/10.5281/zenodo.3908534 10.5281/zenodo.3908534] :* vBIB20: ''[https://av.tib.eu/media/36438 Die Datenlaube: Neues Wissen und Daten aus alten Texten – Mit Wikisource, Wikidata und mit Commons]'' :* '''[[VBIB21/DatenlaubeCon]]''': ''[https://av.tib.eu/media/55578 Datenlauben(um)welten. Ökologien der Gartenlaube]'', ''[https://av.tib.eu/media/55590 Wikidata+Wikisource: Semantische Inhaltserschließung]'' * neues Dresdner Heft 150 [https://sites.google.com/view/ddhefte @ddhefte] ist Jubiläumsheft Thema "Mobilität", wer hat eine feine Idee für so ein [https://archiv.dresden.de/bild.aspx?VEID=352367&DEID=10 Titelbild?] Meine Vorschläge (Andreas): <gallery> Leporello HillgerNPG 1898 Bild 01 Brücke Photo.jpg|alte, schmale Augustus-Brücke (Fußgänger im Gänsemarsch) Leporello Dresden APD Bild 12 Postplatz Foto.jpg|mit Radfahrer und ohne Fahrradständer Leporello Hermann Poy 1900 Bild 07 Postplatz Photo.jpg|mit Handwagen 4x4 (4 Räder, 4 Leute) Leporello Dresden 1885 Bild 02 Terrassentreppe Photo.jpg|ruhender Verkehr, Parkscheinkontrolle (Suche in Krokotasche) </gallery> == 3. Mai == [[Datei:Bergbau bei Freiberg 1745.jpg|mini|Bergbau bei Freiberg, 1745]] [[Datei:Die Gartenlaube (1890) b 464.jpg|mini|''Helgoland'', Die Gartenlaube, 1890, S. 464]] Geschichtsverein DD * "Welches konkrete Forschungsinteresse wird seitens der SLUB mit diesem Projekt verfolgt?", wird im [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Diskussion:Verein_f%C3%BCr_Geschichte_Dresdens#Auflistung_der_weiblichen_Mitglieder_im_Jahr_1919 Stadtwiki DD] gefragt und: "Was ist der Hintergrund dieser Auflistung der weiblichen Mitglieder des Vereins im Jahr 1919?" (...) "Dieses und ähnliche Themen im Stadtwiki finde ich sehr elitär und weitesgehend unverständlich." * Ja nun ... * Auch hier gibt es Kritik: [[w:de:Wikipedia_Diskussion:Dresden#Neues_von_Wikisource]]. Sollten wir dabei bleiben, die Artikel über Wikidata zu verlinken oder temporär einen direkten Link zum Digitalisat einfügen? :Neu :* {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter}} :* {{Wikisource|Geschichte des Dresdner Christmarkts|''Geschichte des Dresdner Christmarkts'', erschienen in: ''Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Achtes Heft'', 1888}} Die Gartenlaube * [https://twitter.com/LucasWerkmeistr/status/1520789808263708674 @LucasWerkmeistr], Lucas Werkmeister: "the Wikidata Image Positions tool (https://wd-image-positions.toolforge.org) now supports, in addition to “depicts”, the property “named place on map”, which can also have “relative position within image” qualifiers", {{Wikisource|Helgoland (Die Gartenlaube 1890/15)|Helgoland-Karte in: Die Gartenlaube, 1890/15}} *Tag der kulturArbeit, egalitär am 1. Mai für ''Die Gartenlaube'', 1898 :* {{Wikisource|Der Tod der Kaiserin von Oesterreich}} :* {{Wikisource|Kaiserin Elisabeth von Oesterreich}} :* {{Wikisource|Die schweizer Lieblingsplätze der Kaiserin Elisabeth}} :* {{Wikisource|Die Sehschärfe der Naturvölker und der Deutschen}} [https://tu-dresden.de/codip/ergebnisse-transfer/veranstaltungen/geneme GENEME Call], 9. Mai * DIGITALITÄT UND DIVERSITÄT : MIT DIGITALER TRANSFORMATION BARRIEREN ÜBERWINDEN!? Im Mittelpunkt der diesjährigen GeNeMe steht die Diskussion von Fragen der Inklusion und Diversität im Rahmen digitaler Innovationen. Dabei sollen insbesondere folgende Fragen reflektiert werden: An welcher Stelle konnte Digitalität während der Pandemie Barrieren abbauen, wo sind neue, vormals unbeachtete Barrieren entstanden? Welche Herausforderungen stellen sich in der Weiterentwicklung von Gemeinschaften in Neuen Medien? Welche Mittel und Wege für die Beförderung von mehr Diversität und Inklusion zeichnen sich bereits ab? == 26. April == [[Datei:Radlerin und Radler 1899, p317.jpg|mini|Radlerin und Radler 1899, S. 317. Vgl. [https://nfg.hypotheses.org/2340 ''Oster-Fernfahrt Dresden-Berlin, 1899'']]] Geschichtsverein DD * [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Anna_Regner Anna Regner] out of [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Diskussion:Verein_f%C3%BCr_Geschichte_Dresdens Mitgliederliste 1919 (Frauen)], +1 [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Clara_Reinheckel Clara Reinheckel] :* [[w:Liste sächsischer Hoflieferanten]] :* ... und in Dresden: [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Liste_s%C3%A4chsischer_Hoflieferanten Liste sächsischer Hoflieferanten]?! * '''Neu''': [[s:Dresdner Geschichtsblätter]] Die Gartenlaube {{Wikisource|Tee}} {{Wikisource|Kaffee}} Wisskomm * ''[https://saxorum.hypotheses.org/7344 Neues aus dem Landesdigitalisierungsprogramm: Transkriptionen und Transliterationen]'', Saxorum, 26. April 2022 Titelseiten <gallery> Dresdner-Heft 001.jpg Dresdner-Heft 024.jpg </gallery> Idee * Digitale Mittagspause für Neumitglieder des Dresdner Geschichtsvereins == 19. April == [[Datei:Sächsische Radfahrer-Zeitung 1899-12-09, p486.jpg|mini|Sächsische Radfahrer-Zeitung, 2. Dezember 1899, S. 486.]] Geschichtsverein Dresden * neue Query-Sammlung: [[DieDatenlaube/Geschichtsverein Dresden (Wikidata)]] als Bausteine für einen zukünftigen Kurs Außerdem * meta: ''[https://saxorum.hypotheses.org/7216 „Neues vom Tourenbuche“ und von digitalen Editionen mit Hypotheses]'' – übers Bloggen mit Transkriptionen als digitale Editionen * Kartenausschnitt eines Tourenbuchs für Radfahrer: Fichtelberg und Umgebung: [[c:Sächsische Radfahrer-Zeitung 1899-11-11, p442.jpg|Sächsische Radfahrer-Zeitung 1899-11-11]] * ''[https://nfg.hypotheses.org/2296 Sächsische Radfahrer-Zeitung: Für die nächste Zeit dürfte es Arbeit genug geben]'' {{Wikisource|Die poetische Ukraine|Friedrich von Bodenstedt: ''Die poetische Ukraine : Eine Sammlung kleinrussischer Volkslieder, ins Deutsche übertragen'', 1845}} == 12. April == [[Datei:Die Gartenlaube (1861) 352.jpg|mini|[[s:Anzeige: Das Buch vom gesunden und kranken Menschen|Anzeige: Das Buch vom gesunden und kranken Menschen, in: Die Gartenlaube, 1861.]]]] Bocknetz+ * [[c:category:Bocknetz]] * Carl Ernst Bock: ''Das Buch vom gesunden und kranken Menschen'', [[d:Q111532082#P1343|(Q111532082)]] '''Neue alte [[s:Dresdner Hefte]]''' * [[d:User:Erfurth/Dresdner Hefte|#Wikidata-Wartungslisten]]: '''[https://scholia.toolforge.org/venue/Q14916674/curation Try it!]''', Ella Judenfeind-Hülße ([[d:Q111584386]]) :Exkurs [[d:Wikidata:Scholia/de]]: Datenkuration im Allgemeinen und von fehlenden Autoren und Mainsubjects in Scholia-Datenitems: Mehrere Aspekte von Scholia haben zugehörige Seiten, die dabei helfen, Lücken in Bezug auf das betreffende Profil zu kuratieren. Sie können in der Regel durch Hinzufügen von /curation zur URL des Profils aufgerufen werden. * Dank an AW! (Heft 20: Autor [[w:de:Ernst Sigismund|Ernst Sigismund]] wird erst 2024 gemeinfrei.) <gallery> Heft20VereinGeschichteDresden1907 Umschlag.jpg Heft21VereinGeschichteDresden1909.djvu Heft28VereinGeschichteDresden1920.djvu Heft30VereinGeschichteDresden1926.djvu </gallery> Diskussion * Begriffe: Wie erklären wir Funktionen & Community*ies von Wiki*source, *data; *pedia, *Commons, für #Geschichtsvereine22 + DDHefte-Leser:innen? == 5. April == * NGO in der Gartenlaube, vgl. [[DieDatenlaube/Notizen#15. Februar|15. Februar]] {{wikisource|Verein zum Schutz der Kinder vor Ausnutzung und Mißhandlung|''Verein zum Schutz der Kinder vor Ausnutzung und Mißhandlung'', 1899}} * [http://digital.slub-dresden.de/kollektionen/73/ Kollektion 73] | Fulltext-Search, name disambiguation und AQID -> vgl. [https://github.com/ddhefte/ddhefte/blob/main/howto/readme.md Mini-Howtos] == 28. März == [[Datei:Graphic Recording der Digitalen Mittagspause mit Jens Bemme zu Open Citizen Science.png|mini|Graphic Recording der Digitalen Mittagspause von ''[https://www.buergerschaffenwissen.de/citizen-science/veranstaltungen/online-format-mittagspause-mit-buerger-schaffen-wissen Bürger schaffen Wissen]'' mit Jens Bemme zu ''Open Citizen Science'']] Quarantäne*n :Infektionskrankheiten im 19. Jahrhundert: https://w.wiki/Kim :Sämtliche "Krankheiten", die in der Gartenlaube beschrieben wurden: https://w.wiki/Kiy 1899 {{wikisource|Die Gartenlaube (1899)}} * Wer möchte einen Projektbericht für [https://saxorum.hypotheses.org/ Saxorum] texten: [[s:Fünfzig Jahre Verein für Geschichte Dresdens 1869–1919|''~ 1869–1919'']]? (Motivation, Beteiligte, Lerneffekte, nächste Pläne, Wikisource + Wikidata, ...) * ME baut (und zeigt) '''[[d:User:Erfurth/Dresdner Hefte]]''' neue LOST-Zusammenhänge, neues GitHub-Repositorium: https://github.com/ddhefte/ * Jens baut mit am 150. [[s:Dresdner Hefte|Dresdner Heft]]: [[Projekt:Radfahrerwissen in Dresden]] == 21. März == [[Datei:Coding da Vinci Nearby.svg|mini|Coding da Vinci ''[[d:Wikidata:1Lib1Nearby|Nearby]]]]'' * Fertig: [[s:Fünfzig Jahre Verein für Geschichte Dresdens 1869–1919]] * Coding da Vinci Ost*3: [[Kurs:CodingDaVinciOst3]], Ton|Bild dazu auf Youtube: [[d:Q111313655]] * ''Der Dresdner Pulverturm: Eine schwierige Spurensuche'', [[d:Q111328005#P50]] von und mit Prof. Alexander Kästner * Am Freitag, 12-13 Uhr: [[Kurs:Digitale Mittagspause (mitforschen 2022)]] * ... ''[[d:Wikidata:1Lib1Nearby|Nearby]]'' ... == 15. März == * [http://w.wiki/43s Abfrage] für alle Gartenlaube-Artikel ohne Verschlagwortung in den Wikidata-Items * Datenqualität verbessern: [https://w.wiki/4o2 Abfrage] für Artikel mit einem Schlagwort; geeignet, um Artikel zu finden, in denen Bilder und ''subtitle'' ergänzt werden können. * ME: [[d:Q56230405|Stadtwiki Dresden wird 2023 zwanzig Jahre alt]] * Neues Item für den Vorgänger-''Verein für Geschichte Dresdens'': [[d:Q111243259]] == 8. März == [[Datei:50JVereinGeschichteDresden1919.djvu|mini|50JVereinGeschichteDresden1919]] Wikisource-Einführung für und mit dem [[s:Dresdner Geschichtsverein]] : Projekt-Indexseite: [[s:Index:50JVereinGeschichteDresden1919.djvu]] : ME empfiehl Registerseiten :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/A]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/B]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/C]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/D]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/E]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/F]] ... ME zeigte erste DD-Hefte-Beispieleinzelheftseite im Stadtwiki DD: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Dresdner_Heft_62:_Caroline,_Berta,_Gret_und_die_anderen_-_Frauen_und_Frauenbewegung_in_Dresden {{Wikisource|Jahr und Tag|„Jahr und Tag.“}} ''Codex Dresdensis'' (1892) {{Wikisource|Neuestes zur altamerikanischen Kultur}} {{Wikisource|Altamerikanische Kulturbilder}} == 1. März == [[File:Using Wikipedia and Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers.pdf|thumb|Using Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers]] * ME: die ersten 100 Dresdner Hefte-Kapitel als Sneak-Preview in Wikidata: https://w.wiki/4tsP, : Kapitelübersicht: https://w.wiki/4tsU : Karte: https://w.wiki/4tsX : Orgachart: https://w.wiki/4tsu : Vorschlag: Github-Repositorien für den Dresdner Geschichtsverein * {{wikisource|Butter und Margarine|''Butter und Margarine'' und Carl Adam Bischoff ... vgl. Diskussionsseite}} * [[d:Q2312961#P1343|Spottmüntzen]]! Sonstiges * [[c:Category:Images from the Deutsche Fotothek needing category review as of 1 October 2009]], oft muss nur die Reviewvorlage entfernt werden und Kategorien sind so okay * [[c:Category:Hep-Hep-Krawalle]], mit neuer aufwändiger Karte von Christoph Pallaske, [https://twitter.com/pallaske/status/1498558402280275969 gebaut] mit [[w:Paint.NET]] mit Farbscala von https://colorbrewer2.org/#type=sequential&scheme=BuGn&n=3 == 22. Februar == [[Datei:Die Gartenlaube (1892) b 601.jpg|mini|Kasperletheater, 1892]] * {{Wikisource|Kasperletheater|''Kasperletheater'', 1892}} * {{Wikisource|Zerlegbare Holzhäuser in Deutschland|Zerlegbare Holzhäuser in Deutschland'', 1892}} Dresdner Hefte * {{Wikisource|Dresdner Hefte|''Dresdner Hefte'' nun mit den verschiedenen historischen Heftreihen: rot, braun, blau, grün}} [[BibChatDE]] und openGLAMmodul * Bridges, Laurie M., Llebot, Clara: ''Librarians as Wikimedia Movement Organizers in Spain : An interpretive inquiry exploring activities and motivations'', 2021, https://ir.library.oregonstate.edu/concern/articles/df65vg455 Klexikon * [https://klexikon.zum.de/wiki/Sachsen Sachsen], [https://klexikon.zum.de/wiki/Dresden Dresden] Dresden: https://www.verschwundene-bauwerke.de/ == 15. Februar == [[Datei:Die Gartenlaube (1896) b 0432.jpg|mini|Bilder von der Berliner Gewerbe-Ausstellung. Nach der Natur gezeichnet von Willy Stöwer, (1896)]] * Willy Stöwer-Tage: https://w.wiki/4oRj : {{Wikisource|Sehenswürdigkeiten der Ausstellungen 1896}} * {{Wikisource|Eine klassische Pflanzstätte der Musik}} * {{Wikisource|Dresdner Hefte}} NGOs * {{Wikisource|Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger|Deutsche Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger}} * {{Wikisource|Internationale Rotkreuz- und Rothalbmond-Bewegung}} * {{Wikisource|Dresdner Geschichtsverein}} * {{Wikisource|Gesellschaft der Waisenfreunde (Die Gartenlaube)|Gesellschaft der Waisenfreunde}} * ... == 8. Februar == Vote! '''Community Wishlist Survey 2022''': [[m:Community_Wishlist_Survey_2022/Wikisource#Bibliographic_Structured_Data_on_Wikisource|Bibliographic Structured Data on Wikisource]] [[Datei:Die Gartenlaube (1892) b 597.jpg|mini|Am Schächenbach]] Zur gefl. Beachtung! * {{Wikisource|Allgemeines Handlungs-Adress-Handbuch für das Herzogthum Nassau|''Allgemeines Handlungs-Adress-Handbuch für das Herzogthum Nassau'', 1836}} * {{Wikisource|Herzogtum Nassau|Themenseite: Herzogtum Nassau}} * {{Wikisource|Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts – Erster Band|Friedrich von Boetticher: ''Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts'' – Erster Band}} 1lib1ref * {{Wikisource|Am Schächenbach}} * #1lib1nearby: https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby#/coord/46.87241,8.65159, Schächen (UR) Skript (Hochschule der Medien) * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)]], Literatursammlung wächst (auch im Item), Anregungen sind willkommen! [[Datei:¡HASTA LA HISTORIA SIEMPRE!.svg|mini|¡HASTA LA HISTORIA SIEMPRE!]] Bildergänzungen! ''Willy Stöwer''-Tage!! {{Wikisource|Sehenswürdigkeiten der Ausstellungen 1896}} {{Wikisource|Aus den Werkstätten des Vulkan}} {{Wikisource|Das neue Reichstagshaus}} Dresdner Geschichtsverein * Neues WS+WD-Projekt demnächst fürs Hefte-Jubiläum: Heft 27 (1918), ''[http://digital.slub-dresden.de/id402053923-19180400 50 Jahre Verein für Geschichte Dresdens, 1869–1919] : Im Auftrage des Vorstands verfaßt Dr. Gg. Hrm. Muller, Direktor des Ratsarchivs, Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens, Heft 27'' – Rechteklärung, Projektteam, Wisskomm- und Visualisierungskonzept im Frühjahr 2022! == 1. Februar == [[Datei:Die Gartenlaube (1895) 895.jpg|mini|"Gartenlaube-Walzer", Op. 461, Johann Strauß (Sohn), Piano, S. 1 von 6, ''Die Gartenlaube'', 1895]] * Community Wishlist Survey 2022: [[m:Community_Wishlist_Survey_2022/Wikisource#Bibliographic_Structured_Data_on_Wikisource|Bibliographic Structured Data on Wikisource]] * {{Wikisource|Giralda|Wer kennt die „Giralda“ von Eugene De Blaas?}} * {{Wikisource|Gartenlaube-Walzer|''Gartenlaube-Walzer'', 1895}} * {{Wikisource|Der „Gartenlaube-Walzer“ von Johann Strauß|''Der „Gartenlaube-Walzer“ von Johann Strauß'', 1895}} * '''Digitale Heimatforschung im Wiki*versum''': Das Projekt ''Kamptaler Sakrallandschaften''. Auf Basis einer klassichen Publikation, eines heimatkundlichen Inventars aller [[w:Bildstock|sakralen Kleindenkmäler (Bildstöcke, Marterl, Wegkreuze)]] im [[w:Niederösterreich|niederösterreichischen]] [[w:Kamptal|Kamptal]], werden sämtliche dort beschriebenen Denkmäler in Wikidata strukturiert erfasst und das Bildmaterial in Commons unter CC BY veröffentlicht. ** [https://kamptalersakrallandschaften.gitlab.io kamptalersakrallandschaften.gitlab.io] - Website des Projektfortschritts ** [[c:Category:Files uploaded by User:Mfchris84/Kamptaler Sakrallandschaften|Commons Kategorie des Projektes]] ** Das Projekt gilt auch als ''Horizonterweiterung'' zu Insellösungen wie dem durchaus berechtigten [https://www.marterl.at www.marterl.at] *** Denkmäler die auf materl.at erfasst sind und im Projekt beschrieben wurden, werden durch die Wikidata-Property [[d:P7866|marterl.at ID]] verlinkt. Daher keine Konkurrenz, sondern Vernetzung! ** Auf Basis der Erfassung können automatisiert Wiki-Tabellen wie [[regiowiki:Liste der sakralen Kleindenkmäler in Schönberg am Kamp]] im RegiowikiAT erstelt werden. == 25. Januar == [[Datei:Die Gartenlaube (1873) b 029.jpg|mini|"Plötzlich wurden die beobachteten Hamster unruhig, und husch! fuhr die ganze Sippe theils in die Schlupflöcher, theils in’s dichte Getreide."]] * ME: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6568 Meine Nearbyprojekte – vom Open Data Camp 2021 ins neue Jahr der Bürgerwissenschaften]'', Saxorum, 20. Januar 2022 * Bewerbung, [https://doi.org/10.5281/zenodo.5894284 zenodo.5894284] * {{Wikisource|Republikanische Hofetiquette|''Republikanische Hofetiquette'': "Der Präsident ließ nämlich im sogenannten Ostzimmer den Neujahrsgratulanten einen großen Käse aufstellen von dem sich Jeder, so viel er wollte, herunterschneiden konnte, und von dem die Abfälle, wie die gesellschaftliche Chronik aus jener Zeit meldet, auf den kostbaren Teppichen zertreten wurden." Die Gartenlaube, 1881, Heft 21.}} :: Unser Neujahrsempfang? [[c:Category:Huschhalle|Huschhalle]], Nachtansicht ergänzen! :: {{Wikisource|Aus der Mappe eines Künstlers|husch! & Hamster, in: ''Aus der Mappe eines Künstlers'', Die Gartenlaube, 1873, Heft 2}} * [[DieDatenlaube/Lehre|Modul im Sommersemester]]: Intro texten! * See: [[c:User:Mfchris84/common.js|... quickpresets_settings.js]] == 18. Januar == [[Datei:Signatur_Moritz_Wilhelm_Drobisch.PNG|mini|Autograph von Drobisch, Brief aus Leipzig 1829, [https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/254957/191 SLUB]]] * {{wikisource|Ein Senior der Wissenschaft - Moritz Wilhelm Drobisch}} -> [[s:de:Haan:Moritz Wilhelm Drobisch|Haan:Moritz Wilhelm Drobisch]] und [https://www.wikidata.org/wiki/Special:WhatLinksHere/Q67131 Wikidata: WhatLinksHere] Heinrich Nisle * [[c:Category:Heinrich Nisle]], noch fehlen seine Bilder in: * {{wikisource|Am Plansee}} * #1lib1ref: https://citationhunt.toolforge.org == 11. Januar == [[Datei:Die Gartenlaube (1892) b 264.jpg|mini|Die Gartenlaube (1892) b 264]] [https://de.wikisource.org/wiki/Sächsisches_Schriftsteller-Lexicon Sächsisches Schriftsteller-Lexicon] ist im Entstehen für die [[de:s:Benutzer:Erfurth/Gartenlaube x Schriftsteller-Lexicon|Forschungsfrage]]: :Wie sieht der Historiker [https://de.wikisource.org/wiki/Wilhelm_Haan Wilhelm Haan] (1801-1884) die Mitwirkung Sächsischer Schriftsteller an der Gartenlaube ? {{Wikisource|Dresdner Geschichtsverein|Der Dresdner Geschichtsverein ... und seine Vereinsgesschichte}} :* {{Wikisource|Dresdner Hefte}} :* {{Wikisource|Der Reisewitzische Garten in Plauen bei Dresden|Adolf Hantzsch: ''Der Reisewitzische Garten in Plauen bei Dresden''}} Vogelschutz am Kulturdatenhügel w/ :* {{Wikisource|Deutsche Singvögel als italienische Delikatesse|''Deutsche Singvögel als italienische Delikatesse'', 1892}} :* {{Wikisource|Gesetz, betreffend den Schutz von Vögeln|''Gesetz, betreffend den Schutz von Vögeln'', 1888}} Geschichtsvereine in Chemnitz https://chemnitzer-geschichtsverein.de, Leipzig http://leipziger-geschichtsverein.de, Dresden https://dresdner-geschichtsverein.de und Sachsen https://saechsische-landesgeschichte.de == 4. Januar == [[Datei:Die Gartenlaube (1892) p 001.jpg|mini|Die Gartenlaube (1892) p 001]] * {{Wikisource|Die Gartenlaube (1892)}} * Bearbeitungsstand in Vorlage einbauen: <s>https://de.wikisource.org/wiki/Vorlage:S%C3%A4chsisches_Schriftsteller-Lexicon</s> fertig. * PDF entfaltet sich nicht: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Handbuch_der_Politik_Band_3.pdf * https://pageviews.toolforge.org/?project=de.wikisource.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-20&pages=Impfgesetz * Neues Projekt, Andreas Wagner: "Für jeden Künstler soll eine separate Seite angelegt werden, dazu wird eine Textbox usw. benötigt, mit Verlinkung nach Wikidata. Das wird eine größere Sache, aber für Kunsthistoriker ist das Werk ein Standard, dessen Bearbeitung bei uns aus meiner Sicht überfällig ist. Ich freu mich drauf und hoffe auf Unterstützung." {{Wikisource|Wikisource_Diskussion:Projekte#Friedrich_von_Boetticher:_Malerwerke_des_neunzehnten_Jahrhunderts|Friedrich von Boetticher: Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts}} == DatenlaubeJam '21 == Archiv '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''' == Werkzeug== <gallery> Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] </gallery> 2ig4kzd7wrndnaza5dhawuknz70f8bj 0 128965 780177 767413 2022-08-21T18:25:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|\Z[X] || || || |SZ= }} ein ganzzahliges normiertes Polynom, dass in {{math|term= \Q[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P|SZ=}} auch in {{math|term= \Z[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lg1fekr7hdnthk88cj27pk8okxxz1kv 0 128985 780093 763886 2022-08-21T18:09:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |q || \pm 1 \mod 9 || || || |SZ= }} eine Primzahl und {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[x,z] |\subset| \Q[X]/(X^3-q) || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |z || {{op:Bruch|1+qx+x^2|3}} || || || |SZ= }} der Ganzheitsring, vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird als {{math|term= R|SZ=-}}Modul von {{ mathkor|term1= dx |und|term2= dz |SZ= }} erzeugt. Wir behaupten, dass der Erzeuger {{math|term= dz|SZ=}} überflüssig ist, obwohl er als Algebraerzeuger nicht überflüssig ist. Dabei gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |3 dz || d3z || d {{makl| 1+qx+x^2 |}} || qdx +2xdx || (q+2x) dx |SZ=. }} Ferner ist unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Reine kubische Gleichung/q ist pm 1 mod 9/Quadratische Ausdrücke/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |xdz+zdx || dxz || d {{makl| {{op:Bruch|1-q^2|3}} x+q z |}} || {{op:Bruch|1-q^2|3}} dx + qd z || |SZ=, }} woraus wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x-q) dz || -zdx -{{op:Bruch|1-q^2|3}} dx || - {{makl| z+ {{op:Bruch|1-q^2|3}} |}} dx || || |SZ= }} gewinnen. Schließlich ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2zdz || dz^2 || d {{makl| {{op:Bruch|q^2-1|9}} + {{op:Bruch|-q^3-q |9}} x + {{op:Bruch|q^2+2|3}} z |}} || {{op:Bruch|-q^3-q |9}} dx + {{op:Bruch|q^2+2|3}} dz || |SZ=, }} woraus wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| 2z - {{op:Bruch|q^2+2|3}} |}} dz || {{op:Bruch|-q^3-q |9}} dx || || || |SZ= }} gewinnen. Wir können also verschiedene Vielfache von {{math|term= dz|SZ=}} als Vielfache von {{math|term= dx|SZ=}} ausdrücken. Wir betrachten das von den Vorfaktoren erzeugte Ideal in {{math|term= R|SZ=,}} also {{math/disp|term= {{makl| 3, x-q ,2z - {{op:Bruch|q^2+2|3}} |}} |SZ=.}} Dieses Ideal enthält {{math|term= q^3-q|SZ=}} und Im Restklassenring wird also {{math|term= x|SZ=}} zu {{math|term= q|SZ=}} und {{math|term= z|SZ=}} wird zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1+qx+x^2|3}} || {{op:Bruch|1+2q^2 |3}} || || |SZ=. }} Somit enthält das Ideal die Zahlen {{math|term= 3,q^3-q|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 {{op:Bruch|1+2q^2 |3}} - {{op:Bruch|q^2+2|3}} || q^2 || || || |SZ=. }} Da {{ mathkor|term1= 3 |und|term2= q |SZ= }} teilerfremd ist, enthält es auch die {{math|term= 1|SZ=}} und somit gibt es auch eine Darstellung von {{math|term= dz|SZ=}} als Vielfaches von {{math|term= dx|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1mq082n3glp7gdqeo85f1j3op1pi5k9 0 129498 779153 684322 2022-08-21T15:44:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper der Charakteristik {{math|term= 2|SZ=}} und {{math|term= X|SZ=}} die projektive Fläche {{ math/disp|term= V_+(X^3+Y^3+Z^3+W^3) |SZ=. }} Die ist eine glatte projektive Fanofläche, das kanonische Geradenbündel ist {{ Ma:Vergleichskette | \omega_X || {{op:Getwistete Strukturgarbe|X|-1|}} || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |H^2 (X, {{op:Getwistete Strukturgarbe|X|1|}}) || K {{op:Bruch|W^2|XYZ|}} || || || |SZ=. }} Diese Kohomologieklasse wird durch den Frobenius annulliert, es ist ja {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{op:Bruch|W^2|XYZ|}} |}}^2 || {{op:Bruch|W^4|X^2Y^2Z^2|}} || -{{op:Bruch|W {{makl| X^3+Y^3+Z^3 |}} |X^2Y^2Z^2|}} || 0 || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxku87agip4e8jirylxe636onei88sm 0 129515 779154 684839 2022-08-21T15:44:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Fermatkubik/4 Variablen/Charakteristik 2/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |X |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|3|K}} || || || |SZ= }} direkt eingebettet und ebenso ist die Kohomologieklasse {{ Ma:Vergleichskette |c ||{{op:Bruch|W^2|XYZ}} || || || |SZ= }} schon in der richtigen Form gegeben. Der Grad ist {{math|term= 3|SZ=,}} das ist der Schnitt mit einer Geraden {{mathl|term= =H^2|SZ=.}} Es ist aber {{ Ma:Vergleichskette/disp |Wc ||0 || || || |SZ=. }} Wenn man hingegen in Charakteristik {{math|term= p|SZ=}} zu {{ Ma:Vergleichskette/disp | c^p || {{op:Bruch|W^{2p}|X^pY^pZ^p}} || || || |SZ= }} übergeht, so ist dies bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||2 || || || |SZ= }} gleich {{math|term= 0|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |p || 3 s+1 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |2p || 6s +2 || || || |SZ= }} und somit ist dies {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|W^{2p}|X^pY^pZ^p}} || {{op:Bruch| W^2 (W^3)^{2s}|X^pY^pZ^p}} || {{op:Bruch| W^2 (X^3+Y^3+Z^3)^{2s}|X^pY^pZ^p}} || || |SZ= }} und dies ist multipliziert mit {{math|term= W|SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|(X^3+Y^3+Z^3)^{2s+1}|X^pY^pZ^p}} || {{op:Bruch|(X^3+Y^3+Z^3)^{2s+1}|X^{3s+1}Y^{3s+1} Z^{3s+1} }} || || || |SZ=. }} Dies enthält beispielsweise den Summanden {{mathl|term= {{op:Bruch| X^{3s} Y^{3s} Z^3|X^{3s+1}Y^{3s+1} Z^{3s+1} }} |SZ=}} mit dem Vorfaktor {{math|term= {{op:Bruch|(2s+1)!|s! s!}} |SZ=,}} der modulo {{math|term= p|SZ=}} eine Einheit ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Frobeniuspotenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iu3o8i4cpxihnlej9dm5yh2zn5hqggf 0 129520 779607 684648 2022-08-21T16:56:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper von positiver Charakteristik, {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y] || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |I || {{makl| X^2,Y^2 |}} || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |XY |\notin| I || || || |SZ=, }} das Element gehört aber zum integralen Abschluss von {{math|term= I|SZ=.}} Für jeden echten Restklassenring {{ Ma:Vergleichskette |S ||R/ {{ideala|}} || || || |SZ= }} des Polynomringes gehört daher {{math|term= xy |SZ=}} zum integralen Abschluss von {{math|term= IS|SZ=}} und damit auch zum straffen Abschluss von {{math|term= IS|SZ=,}} da diese Ringe ja höchstens eindimensional sind. Der Torsor zur Kohomologieklasse {{mathl|term= {{op:Bruch|1|XY}} |SZ=}} ist ein affines Schema über der projektiven Gerade {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} und enthält keine projektive Kurve, über jedem einzelnen Punkt enthält es aber natürlich Punkte. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Frobeniuspotenzen |Kategorie3=Theorie der monomialen Ideale im Polynomring |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sv7st3soztw0zrdmk1ke9nobtr5ykn6 0 129522 779655 684650 2022-08-21T17:03:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper von positiver Charakteristik, {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y,Z] || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |I || {{makl| X^4,Y^4,Z^4 |}} || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |X^3Y^3Z^3 |\notin| I || || || |SZ=. }} Wir betrachten die graduierte Auflösung des Ideals auf der projektiven Ebene, also {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |-12}} \longrightarrow \bigoplus_3 {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |-8}} \longrightarrow \bigoplus_3 {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |-4}} \longrightarrow {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |}} \longrightarrow 0 |SZ= }} mit dem mittleren Kern {{mathl|term= {{op:Syz|X^4,Y^4,Z^4}} |SZ=.}} Der neunte Twist ergibt hinten die kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |-3}}| \bigoplus_3 {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |1}} |{{op:Syz|X^4,Y^4,Z^4}} (9) | SZ=,}} die zeigt, dass {{mathl|term= {{op:Syz|X^4,Y^4,Z^4}} (9) |SZ=}} ein geräumiges Bündel ist. Wir betrachten die zu {{math|term= X^3Y^3Z^3 |SZ=}} gehörige erste Kohomologieklasse {{ Ma:Vergleichskette/disp |c |\in | H^1( {{op:Projektive Ebene|K }} ,{{op:Syz|X^4,Y^4,Z^4}} (9) ) || || || |SZ= }} und den zugehörigen Torsor {{ Ma:abbele/disp |name= |T| {{op:Projektive Ebene|K }} || |SZ=. }} Dieser enthält keine projektive Fläche, seine kohomologische Dimension ist {{math|term= 1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=er annulliert mit {{math|term= c|SZ=}} auch die zweite Kohomologieklasse {{ Ma:Vergleichskette/k | {{op:Bruch|1|XYZ}} |\in| H^2 ( {{op:Projektive Ebene|K|}} ,{{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |-3}}) || || || |SZ=, }} er ist aber auch nicht affin| |ISZ=|ESZ=. }} Die Einschränkung von {{mathl|term= {{op:Syz|X^4,Y^4,Z^4}} (9) |SZ=}} auf jede Kurve {{ Ma:Vergleichskette |C |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ= }} ist wieder ampel und deshalb wird die eingeschränkte Kohomologieklasse sogar vom Frobenius annulliert. Insbesondere gibt es über jeder Kurve {{math|term= C|SZ=}} eine projektive Kurve {{math|term= C'|SZ=}} in {{math|term= T|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Frobeniuspotenzen |Kategorie3=Theorie der monomialen Ideale im Polynomring |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qmjh2n9bgrvmd0ai8je107gw065z0qk 0 129529 779257 684673 2022-08-21T16:00:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf dem projektiven Raum {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|3|K}} |SZ=}} eine Koszul-Auflösung der Form {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|3|K}}|-4a}} \longrightarrow \bigoplus_4 {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|3|K}}|-3a}} \longrightarrow \bigoplus_6 {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|3|K}}|-2a}} \longrightarrow \bigoplus_4 {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|3|K}}|-a}} \stackrel{X^a,Y^a,Z^a,W^a}{ \longrightarrow } {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|3|K}}|}} \longrightarrow 0 |SZ= }} und die eingeschränkte Auflösung {{ Zusatz/Klammer |text=die nicht minimal ist| |ISZ=|ESZ= }} auf eine Hyperfläche {{ Ma:Vergleichskette |V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|3|K}} || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= \delta|SZ=.}} Es ist {{mathl|term= {{op:Syz|X^a,Y^a,Z^a,W^a|}} (m) |SZ=}} ampel und {{math|term= p|SZ=-}}ampel für {{ Ma:Vergleichskette/disp |m |\geq|2a+1 || || || |SZ=. }} Es sind {{math|term= {{op:Syz|I|}}_1 |SZ=}} und {{math|term= {{op:Syz|I|}}_2 |SZ=}} bis auf einen Twist dual zueinander. Der Grad von {{math|term= {{op:Syz|I|}}_1 (m) |SZ=}} ist {{mathl|term= (3m-4a) \delta |SZ=,}} der Grad von {{math|term= {{op:Syz|I|}}_2 (m)|SZ=}} ist {{mathl|term= (3m-8a) \delta |SZ=.}} Das wird effektiv bei {{ Ma:Vergleichskette/disp |m |\geq| {{op:Bruch|8|3}} a || || || |SZ=. }} Die Einschränkung des ersten Syzygienbündels auf eine projektive Gerade der Form {{math|term= V_+(X-Y,Z-W)|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Syz|X^a,X^a,Z^a,Z^a|}} | \cong| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}} |-a}} \oplus {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}} |-a}} \oplus {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}} |-2a}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf projektiven Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pr193vtz9v8h96g7p1lquychxfhnpv3 0 129556 779030 684801 2022-08-21T15:24:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein diskreter Berwertungsring mit Ortsuniformisierender {{math|term= t|SZ=.}} Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |V^n|V || |SZ= }} mit {{mathl|term= e_i \mapsto u_i t^{a_i} |SZ=}} mit Eniheiten {{math|term= u_i|SZ=}} und Exponenten {{ Ma:Vergleichskette |0 |\leq|a_1 |\leq| \ldots |\leq|a_n || |SZ=. }} Das Bild ist das Ideal {{mathl|term= (t^{a_1})|SZ=.}} Der Kern wird erzeugt durch die Tupel {{ math/disp|term= {{op:Zeilentupel|u_2t^{a_2-a_1} |-u_1 |0|\ldots|0 |}} , {{op:Zeilentupel|u_3t^{a_3-a_1} |0|-u_1 |0|\ldots|0 |}}, \ldots |SZ=. }} Die Tupel {{ math/disp|term= {{op:Zeilentupel|u_2t^{a_2} |-u_1t^{a_1} |0|\ldots|0 |}} , {{op:Zeilentupel|u_3t^{a_3} |0|-u_1 t^{a_1} |0|\ldots|0 |}}, \ldots |SZ= }} sind etwas natürlicher, aber nur außerhalb des Nullpunktes eine Basis. Wenn die Situation von einer höherdimensionalen Situation herrührt, so ergibt der Isomorphismus mit der Strukturgarbe gerade keinen Isomorphismus (der Rückzug des Syzygienmoduls ist nicht der Syzygienmodul). Sei {{math|term= {{op:Syz|f_1 {{kommadots}} f_n|}} |SZ=}} das Syzygienbündel auf {{math|term= R|SZ=}} zu einem {{math|term= {{idealm|}} |SZ=-}}primären Ideal {{math|term= I|SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name= \theta |R|V || |SZ= }} ein Ringhomomorphismus. Es liegt also eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp|{{op:Syz|f_1 {{kommadots}} f_n|}} |R^n|I|}} vor. Durch Rückzug erhält man die exakte Sequenz {{ math/disp|term= \theta^*( {{op:Syz|f_1 {{kommadots}} f_n|}} ) \longrightarrow V^n \longrightarrow \theta^*I \longrightarrow 0 |SZ=. }} Einerseits hat man hier nur eine Surjektion {{ Ma:abb |name= |\theta^*I| IV || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:abbele/disp |name= | \theta^*( {{op:Syz|f_1 {{kommadots}} f_n|}} )|{{op:Syz| \theta^*(f_1) {{kommadots}} \theta^*(f_n)|}} || |SZ= }} weder surjektiv noch injektiv. Wenn eine Situation wie eingangs beschrieben entsteht, so sind beide Moduln frei. Entscheidend für Fortsetzungseigenschaften ist der linke. Bei {{math|term= {{op:Syz|X^a,Y^b}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |a |\leq|b || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y] || || || |SZ= }} liegt ein Isomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |R|{{op:Syz|X^a,Y^b}} |1| (Y^b,-Y^a) |SZ=, }} vor. Unter {{math|term= X,Y \mapsto t|SZ=}} wird der Isomorphismus zu {{ Ma:Vergleichskette/disp |V |\cong| \theta^* {{op:Syz|X^a,Y^b}} || || || |SZ= }} und mit dem Isomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |V|{{op:Syz|t^a,t^b}} |1| (t^{b-a},-1) |SZ=, }} ist die obige Abbildung gleich {{ Ma:abbele/disp |name= |V|V |1|t^a |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pvu3mhq0qou2vulm9kuynvkjavq9ees 0 129561 779150 684808 2022-08-21T15:43:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{mathl|term= {{op:Syz|X^2,Y^2,Z^2|}} |SZ=}} und {{math|term= XYZ|SZ=}} auf {{mathl|term= V_+(F)|SZ=.}} Die zugehörige Kohomologieklasse ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|YZ|X}} | - {{op:Bruch|XZ|Y}} |0}} || {{op:Bruch|1|XY}} {{op:Zeilenvektor|Y^2 Z | - X^2Z |0}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Frobeniuspotenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r6qdf3op6z85h1880hb9zhlbswa7tls 0 129572 779605 684841 2022-08-21T16:55:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K[X,Y]|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |I || {{makl| X^a,Y^a |}} || || || |SZ= }} und {{math|term= X^{a-1}Y^{a-1} |SZ=.}} Unter dem Modulisomorphismus {{ Ma:Vergleichskette/disp |R |\cong| {{op:Syz|X^a,Y^a|}} || || || |SZ= }} ist die zugehörige Kohomologieklasse gleich {{math|term= {{op:Bruch|1|XY}} |SZ=.}} In Syzygienschreibweise ist dies gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|1|XY}} {{op:Zeilenvektor|Y^a|-X^a}} |SZ=.}} In der Realisierung als Gruppenschema {{ Zusatz/Klammer |text=als Untergruppe| |ISZ=|ESZ= }} ist dies {{mathl|term= K[X,Y][S,T]/ {{makl| X^aS+Y^aT |}} |SZ=,}} die Schnitte sind die Syzygien. Der auf {{math|term= D(XY)|SZ=}} definierte Schnitt {{mathl|term= {{op:Bruch|1|XY}} {{op:Zeilenvektor|Y^a|-X^a}} |SZ=}} besitzt eingeschränkt auf die Geraden {{ Zusatz/Klammer |text=nicht die Achsen| |ISZ=|ESZ= }} bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\geq|2 || || || |SZ= }} eine Fortsetzung in den Nullpunkt hinein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tqx51hinmg1qelnrn6jrmkmhuzn8c14 0 129577 780766 754882 2022-08-21T20:03:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K_{\geq 0}|K |x|x^n |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |streng wachsend| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K_{\leq 0}|K |x|x^n |SZ=, }} ist bei {{math|term= n|SZ=}} ungerade {{ Definitionslink |Prämath= |streng wachsend| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K_{\leq 0}|K |x|x^n |SZ=, }} ist bei {{math|term= n|SZ=}} gerade {{ Definitionslink |Prämath= |streng fallend| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tasj3mvarj6s04b909dtqkag4071z3m 0 129613 778481 762424 2022-08-21T12:09:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Ableitung des Sinus ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Kosinus. Dieser hat im Innern von {{mathl|term= [- \pi/2, \pi/2] |SZ=}} keine Nullstelle, da ja {{math|term= \pi/2 |SZ=}} als kleinste positive Nullstelle des Kosinus definiert ist und da der Kosinus gerade ist. Ferner besitzt der Kosinus an der Stelle {{math|term= 0|SZ=}} den Wert {{math|term= 1|SZ=.}} Nach dem Zwischenwertsatz muss als der Kosinus im Innern des Intervalls positiv sein. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist daher der Sinus im angegebenen Intervall streng wachsend und damit injektiv. Wegen {{ Ma:Vergleichskette | {{op:sin(| - \pi/2|}} || -1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:sin(| \pi/2|}} || 1 || || || |SZ= }} ist aufgrund des Zwischenwertsatzes das Bild gleich dem Intervall {{mathl|term= [-1,1]|SZ=}} und der Sinus ist bijektiv. Die Aussage für den Kosinus folgt daraus mittels {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qz87mreodcwub1jmha8cv42nq0m4v12 106 129666 784391 691601 2022-08-22T06:05:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Allgemeingültige Ausdrücke}} Es sei {{math|term=L^{{symbolalphabet|}}|SZ=}} eine Sprache erster Stufe über einem Symbolalphabet {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=.}} Für einen Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette | {{logprop|}} |\in|S || || || |SZ= }} und eine Interpretation {{math|term=I|SZ=}} haben wir in der letzten Vorlesung die Gültigkeit {{mathl|term=I \vDash {{logprop|}}|SZ=}} über den Aufbau der Sprache rekursiv definiert. Wie im aussagenlogischen Kontext führen wir semantische Tautologien über die Gültigkeit bei jeder Interpretation ein. {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes Modell/Definition|| }} Allgemeingültige Ausdrücke sind {{Stichwort|Tautologien|msw=Tautologie|SZ=}} im semantischen Sinn. Wir werden später noch Tautologien im syntaktischen Sinn kennenlernen und die Übereinstimmung der beiden Konzepte zeigen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Faktlink |Präwort=|Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik|Faktseitenname= Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologieversion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Beispiele sind die Ausdrücke {{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z ((x=y {{logund}} y=z) \rightarrow x=z) |SZ= }} oder {{ math/disp|term= (\forall x {{logprop|}}) \rightarrow {{logprop|}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term={{logprop|}}|SZ=}} ein Ausdruck ist| |ISZ=|ESZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Beispielaussagen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wenn man in eine aussagenlogische Tautologie für die Aussagenvariablen beliebige prädikatenlogische Ausdrücke einsetzt{{ Zusatz/Fußnote |text=Insofern ist auch die Bezeichnung Aussagenvariable gerechtfertigt, da für sie prädikatenlogische Ausdrücke eingesetzt werden können| |ISZ=.|ESZ=, }} so erhält man auch eine Tautologie im obigen Sinn, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Aussagenlogische Tautologie/Prädikatenlogische Ersetzung/Allgemeingültig/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die entprechende syntaktische Version wird in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Prädikatenlogik/Aussagenlogische Tautologie/Einsetzen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} behandelt| |ISZ=|ESZ=. }} Beispielsweise erhält man aus der aussagenlogischen Tautologie {{ math/disp|term= {{logprop|}} \rightarrow {{makl| {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop|}} |}} |SZ= }} die prädikatenlogische Tautologie {{ Zusatz/Klammer |text=mit naheliegenden Zugehörigkeiten der Symbole| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= \forall x (fx {{=}} y) \rightarrow {{makl| \exists u (Rgz u) \rightarrow \forall x (fx {{=}} y) |}} |SZ=, }} die aber keinen eigentlichen prädikatenlogischen Sachverhalt ausdrückt. Im Gegensatz zu aussagenlogischen Tautologien gibt es kein allgemeines Verfahren, zu entscheiden, ob eine prädikatenlogische Aussage eine Tautologie ist oder nicht. {{Zwischenüberschrift|Gültigkeit von Ausdrucksmengen}} Für eine Menge {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| L^{{symbolalphabet|}} || || || |SZ= }} von Ausdrücken und einer {{math|term=S|SZ=-}}Interpretation {{math|term=I|SZ=}} schreibt man {{mathl|term=I \vDash \Gamma|SZ=,}} wenn in {{math|term=I|SZ=}} jeder Ausdruck aus {{math|term=\Gamma|SZ=}} gilt. Man sagt, dass {{math|term=I|SZ=}} ein {{Stichwort|Modell|SZ=}} für {{math|term=\Gamma|SZ=}} ist. Eine {{math|term= {{symbolalphabet|}}|SZ=-}}Struktur heißt ein {{Stichwort|Modell|SZ=}} für {{math|term=\Gamma |SZ=,}} wenn jede Variablenbelegung zu dieser Struktur eine Interpretation liefert, die ein Modell für {{math|term=\Gamma |SZ=}} ist. Diese Sprechweise wird insbesondere für Axiomensysteme {{math|term=\Gamma|SZ=}} verwendet, die eine mathematisch wichtige Struktur festlegen. Die erfüllenden Modelle heißen dann so, wie der Definitionsname in der Definition lautet, die dieses Axiomensystem verwendet. Die Modelle nennt man im üblichen mathematischen Sprachgebrauch Beispiele für diejenige mathematische Struktur, die durch die Definition festgelegt wird. {{Zwischenüberschrift|Axiomensysteme}} {{:Prädikatenlogik/Axiomensysteme/Textabschnitt|zusatz1=, die wir später behandeln werden}} Als weiteres Beispiel wiederholen wir die Definition der Ordnungsrelation, die wir in der fünften Vorlesung behandelt haben. {{:Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition}} Neben den Variablen besteht das zugehörige Symbolalphabet allein aus einem zweistelligen Relationssymbol, das wir ebenfalls mit {{math|term=\preccurlyeq|SZ=}} bezeichnen. Die für eine Ordnung verlangten Eigenschaften führen zu dem folgenden Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |{{ math/disp|term= \forall x (x \preccurlyeq x) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \forall y \forall z ( x \preccurlyeq y {{logund}} y \preccurlyeq z \rightarrow x \preccurlyeq z) |SZ=. }} |{{ math/disp|term= \forall x \forall y ( x \preccurlyeq y {{logund}} y \preccurlyeq x \rightarrow x = y) |SZ=. }} }} In einer Menge {{math|term=M|SZ=}} mit einer zweistelligen Relation {{math|term=R|SZ=}} gilt das Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=}} genau dann, wenn die Relation eine Ordnungsrelation ist. Eine geordnete Menge ist also ein Modell für {{math|term=\Gamma|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Die Folgerungsbeziehung}} {{:Prädikatenlogik/Folgerung/Axiomensysteme/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Sortenprädikate}} {{:Sortenprädikate/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} hsbq785yj9xciue11cz0vfid3x6b1dc 0 129733 779151 687303 2022-08-21T15:44:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Syzygienmodul {{mathl|term= {{op:Syz|x^2,y^2,z^2|}} |SZ=}} auf {{mathl|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^3+Y^3+Z^3 |}} |SZ=.}} Es gibt die Auflösung {{ math/disp|term= R \oplus R(-1)^{\oplus 3} \longrightarrow {{op:Syz|x^2,y^2,z^2|}} (3) \longrightarrow 0 |SZ=, }} die durch die Koszulsyzygien und die Gleichung gegeben ist. Die Auflösung geht weiter mit {{mathl|term= R(-2)^3|SZ=}} für die Relationen zwischen den Koszulsyzygien und weiteren. Die Syzygie {{mathl|term= (x,y,z)|SZ=}} aus der Gleichung definiert direkt die Abbildung {{ Ma:abb |name= |R|{{op:Syz|x^2,y^2,z^2|}} (3) || |SZ=, }} der Quotient ist dabei das maximale Ideal, die Koszulsyzygie {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|y^2|-x^2|0}} |SZ=}} wird nach {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Primäre Syzygie/3 Erzeuger/Quotientenabbildung/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|x^2z|x^2}} || z || || || |SZ= }} abgebildet. Es liegt also die kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp|R| {{op:Syz|x^2,y^2,z^2}} | {{idealm|}} }} vor. Ferner ist {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{idealm|}}| R | R/{{idealm}} |SZ=,}} für die Kohomologiegruppen gilt dabei {{ Ma:Vergleichskette |H^1 (U, {{idealm|}} ) |\cong|H^1 (U, {{op:Strukturgarbe|X|}} ) || || || |SZ=. }} Unklar, wie das auf der Aufblasung aussieht. Für Abbildungen von Kurven nach {{math|term= X|SZ=}} macht der Rückzug von {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} und Strukturgarbe auch einen Unterschied. Schon {{mathl|term= {{op:Bruch|z^2|xy}} |SZ=}} wird als Element des maximalen Ideals auf eine Gerade anders eingeschränkt. Der nichtexakte Komplex {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow R \longrightarrow {{op:Syz|x^2,y^2,z^2}} \longrightarrow R \longrightarrow 0 |SZ= }} führt in der Aufblasung jedenfalls zu einen Komplex von kohärenten Moduln {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:Strukturgarbe|\tilde{X} |}} \longrightarrow \pi^* {{op:Syz|x^2,y^2,z^2}} \longrightarrow {{op:Strukturgarbe|\tilde{X} |}} \longrightarrow 0 |SZ=, }} dessen Einschränkung auf {{math|term= U|SZ=}} exakt ist. Die Kohomologieklasse in der Mitte geht auf die Klasse in {{mathl|term= H^1(U,{{op:Strukturgarbe|\tilde{X} |}}) |SZ=,}} die als solche in der lokalen Kohomologie auf {{math|term= 0|SZ=}} geht {{ Zusatz/Klammer |text=das gilt nicht für {{math|term= \pi^*{{idealm}}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Die Frage ist dann, ob {{ math/disp|term=0 \longrightarrow H^2_E( {{op:Strukturgarbe|\tilde{X} |}} ) \longrightarrow H^2_E( \pi^* {{op:Syz|x^2,y^2,z^2}} ) \longrightarrow H^2_E( {{op:Strukturgarbe|\tilde{X} |}} ) \longrightarrow 0 |SZ= }} exakt ist. Die Faktorisierung {{ math/disp|term= H^2_E( \pi^* {{op:Syz|x^2,y^2,z^2}} ) \longrightarrow H^2_E( \pi^*{{idealm}} ) \longrightarrow H^2_E( {{op:Strukturgarbe|\tilde{X} |}} ) |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Frobeniuspotenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nm6pk3mem513fz39fltc0947n1o7f6i 0 129907 779628 687522 2022-08-21T16:59:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Beginn der Koszul-Auflösung {{ math/disp|term= R^{ {{op:Binomialkoeffizient|n|2}} }\longrightarrow R^n \longrightarrow {{idealm}} \longrightarrow 0 |SZ= }} und den Ringwechsel {{ Ma:abbele/disp |name= |R{{=}} K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]| T {{=}} K[X_1,S_2 {{kommadots|}} S_n ] |X_j| X_1S_j |SZ=, }} mit {{mathl|term= X_1 \mapsto X_1|SZ=.}} In der Tensorierung der Sequenz gilt mit den Erzeugern {{math|term= f_j|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X_1 f_j || X_j f_1 || X_1S_jf_1 || || |SZ=. }} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |X_1 {{makl| f_j-S_jf_1 |}} || 0 || || || |SZ=. }} Wenn man modulo der Torsion geht, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_j-S_jf_1 || 0 || || || |SZ= }} und man braucht nur den Erzeuger {{math|term= f_1|SZ=.}} Modulo Torsion ist die Abbildung nach {{math|term= S|SZ=}} surjektiv. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie2=Theorie der Aufblasungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c6za3nny03cyp8m47511gapbitsvcx8 0 129908 779629 687538 2022-08-21T16:59:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ math/disp|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] \longrightarrow K[ X_1, {{op:Bruch|X_2|X_1}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_n|X_1}} ] \longleftarrow K[ {{op:Bruch|X_2|X_1}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_n|X_1}} ] |SZ=. }} Dabei steht rechts der globale Schnittring des projektiven Raumes über {{math|term= D_+(X_1)|SZ=}} und in der Mitte der Schnittring der Aufblasung über {{mathl|term= D_+(X_1T)| SZ=.}} Alles spielt sich innerhalb der Nenneraufnahme an {{math|term= X_1|SZ=}} ab. Die homogene Auflösung {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow R(-a-b-c) \longrightarrow R(-a-b) \oplus R(-a-c) \oplus R(-b-c) \longrightarrow {{op:Syz|X^a,Y^b,Z^c}} \longrightarrow 0 |SZ= }} lässt sich auf der projektiven Ebene mit unterschiedlichen Twists verwirklichen, das ändert den Pullback auf der Aufblasung. Ist eine davon die richtige? Die beschreibende Präsentation auf der projektiven Ebene wird auf die Aufblasung zurückgezogen und ergibt auf den exzeptionellen Divisor eingeschränkt sich selbst. Insbesondere werden die {{math|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe||-a-b}} |SZ=}} auf sich selbst zurückgezogen. Der modultheoretische Rückzug wird durch {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow S(-a-b-c) \longrightarrow S(-a-b) \oplus S(-a-c) \oplus S(-b-c) \longrightarrow S {{tensor|R}} {{op:Syz|X^a,Y^b,Z^c}} \longrightarrow 0 |SZ= }} beschrieben, wobei die Relation {{math|term= Z^cf_1+Y^bf_2 +X^af_3|SZ=}} besteht, die die Form {{math|term= X^cS^cf_1+X^bT^bf_2 +X^af_3|SZ=}} annimmt. Bei {{ Ma:Vergleichskette |a ||b ||c || || |SZ= }} kann man modulo der {{math|term= X^a|SZ=-}}Torsion gehen und nach {{math|term= f_3|SZ=}} auflösen, dieser Modul ist dann frei. Der annullierende Untermodul {{ Zusatz/Klammer |text=vom Rang {{math|term= 1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= S^3|SZ=}} wird größer. {{Kommutatives Dreieck|S|S|S^3|abb12=X^a}} Dabei ist die Diagonale die Ausgangsabbildung, die den Erzeuger auf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|X^cS^c|X^bT^b|X^a}} |SZ=}} abbildet. Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |S^3|S^3 |(P,Q,R)| (PX^a,QX^a,RX^a) |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Aufblasungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gnf1li9qrbwuq3egp0nkd7e7bnafe4c 0 130513 779160 763265 2022-08-21T15:45:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |I|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem reellen Intervall. Dann wird der Graph zu {{math|term= f|SZ=}} als Bahn durch die {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele |name= |I| \R^2 |t|(t, f(t)) |SZ=, }} realisiert. Ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |g'(t) || (1, f'(t)) || || || |SZ=. }} Der Graph wird in horizontaler Richtung mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen und folgt vertikal dem Funktionsverlauf von {{math|term= f|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpinj495regrt4duewz0097mlp4628e 106 131052 784436 700868 2022-08-22T06:11:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Körper}} Wir werden nun die Eigenschaften der reellen Zahlen besprechen. Grundlegende Eigenschaften von mathematischen Strukturen werden als {{Stichwort|Axiome|msw=Axiom|SZ=}} bezeichnet. In der Mathematik werden sämtliche Eigenschaften aus den Axiomen logisch abgeleitet. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Die algebraischen Axiome werden im Begriff des Körpers zusammengefasst. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei reellen Zahlen eine weitere reelle Zahl zu, es handelt sich also um Verknüpfungen. {{:Körper/Fokus auf R/Erste Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Die rationalen Zahlen}} Wir geben eine Definition der rationalen Zahlen allein unter Bezug auf die ganzen Zahlen. {{:Rationale Zahlen/Brüche/Einführung/Textabschnitt|zusatz2=&nbsp; Mit all diesen Festlegungen ist {{math|term= \Q |SZ=}} ein Körper.}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Binomialkoeffizienten}} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} Bei einer {{math|term=n|SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= M |SZ=}} gibt es {{math|term= n! |SZ=}} bijektive Abbildungen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= M |SZ=.}} Gleichbedeutend damit ist, dass es {{math|term= n! |SZ=}} Möglichkeiten gibt, {{math|term= n |SZ=}} Objekte auf {{math|term= n |SZ=}} Plätze zu verteilen. {{:Binomialkoeffizienten/Einführung/Textabschnitt}} Der Binomialkoeffizient {{mathl|term= {{op:Binom|n|k}} |SZ=}} hat die folgende inhaltliche Bedeutung: Er gibt für eine {{math|term= n |SZ=-}}elementige Menge {{math|term= M |SZ=}} die Anzahl sämtlicher {{math|term= k |SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{math|term= M |SZ=}} an, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die folgende {{Stichwort|allgemeine binomische Formel}} bringt die Addition und die Multiplikation in einem Körper miteinander in Beziehung. {{ inputfaktbeweis |Körper/Binomi/Fakt|Satz|| }} {{ inputbild |A plus b au carre|svg| 200px {{!}} {{!}} |epsname=A_plus_b_au_carre |Autor= |Benutzer=Alkarex |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Binomio al cubo|svg| 200px {{!}} {{!}} |epsname=Binomio_al_cubo |Autor=Drini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Fußnotenliste}} }} s60wtfoc42fes1m0q3ie42fy83bjwkg 0 131323 780339 766690 2022-08-21T18:51:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2| \R^2 | {{op:Zeilenvektor|x|y}} | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|x^2|2}} |x+y}} |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Skizziere{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Achsenkreuzes unter {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Zeilenvektor|x|y}} |\in| \R^2 || || || |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |kritischen Punkte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 21fe5ws0ey0cy861qifmqsv0pbvjaal 780370 780339 2022-08-21T18:57:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2| \R^2 | {{op:Zeilenvektor|x|y}} | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|x^2|2}} |x+y}} |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Ist {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Skizziere{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Achsenkreuzes unter {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Zeilenvektor|x|y}} |\in| \R^2 || || || |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |kritischen Punkte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a31ktwcft6doayl32ulcdsy7cz8qk02 0 131367 780357 767559 2022-08-21T18:54:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=höhere Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y^{\prime \prime} = y' y + {{op:sin|t|}} \text{ mit } y(0) =0 \text{ und } y'(0)=1 |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihenansatz| |Kontext=DG, höhere Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bis zur Ordnung {{math|term= 5|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jzxeaia7sflkvmhgl8hnsaq1w24ejrn 0 131391 780171 767408 2022-08-21T18:24:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\R^3| \R | {{op:Zeilenvektor|x|y|z}} | xyz |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} in einem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x|y|z}}|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |kritischen Punkte| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Hesse-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} in einem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x|y|z}}|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Hesse-Matrix zu {{math|term= \varphi|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|1|1|1}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Typ| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Hesse-Form zu {{math|term= \varphi|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|1|1|1}} |SZ=}} mit Hilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Eigenwertkriteriums|Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hesse-Form |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=2 |p3=1 |p4=3 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f69p5goqv1vk8oql6ni0par8x76y8kr 0 131470 780906 755002 2022-08-21T20:26:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} eine Menge an {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma | \subseteq |L^V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |maximal widerspruchsfreie| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jedes {{ Ma:Vergleichskette | {{logprop|}} |\in| L^V || || || |SZ= }} entweder {{ Ma:Vergleichskette | {{logprop|}} |\in| \Gamma || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette | \neg {{logprop|}} |\in| \Gamma || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b3e7zc47kajbqkexrvsmlezdm3byutr 0 131476 780930 755019 2022-08-21T20:30:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} eine Menge an {{ Definitionslink |Prämath= |Aussagenvariablen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |widerspruchsfreie| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} mit dem Lemma von Zorn, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |maximal widerspruchsfreie| |Kontext=Aussagenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma' |\subseteq|L^V || || || |SZ= }} gibt, die {{math|term= \Gamma|SZ=}} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0yk4ws1si3hxb0wuk0911en18d9se06 106 131976 780184 707906 2022-08-21T18:26:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesungsgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|term=Elliptische Kurven}} {{:Elliptische Kurve/Bilder/Einführung/Textabschnitt}} Nun sind Bilder nicht unmittelbar hilfreich, sondern eine Illustration eines mathematischen Sachverhaltes. Aber auch der eigentliche mathematische Sachverhalt, der sich hinter einer elliptischen Kurve verbirgt, ist vielfältig, was sich schon darin zeigt, dass es ziemlich viele verschiedene Definitionen für eine elliptische Kurve gibt. {{:Elliptische Kurve/Definitionsmöglichkeiten/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Polynomringe}} Wir nähern uns zunächst den elliptischen Kurven im Rahmen der algebraischen Geometrie an, also als Lösungsmenge zu gewissen polynomialen Gleichungen. Wir beschränken uns zunächst auf die affine Situation, obwohl eine elliptische Kurve eine projektive Kurve. Wir erinnern an Polynomringe. {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|}} Darauf aufbauend kann man auch Polynomringe in mehreren Variablen definieren. Man setzt {{ math/disp|term= K[X,Y] {{defeq}} (K[X] )[Y], \, K[X,Y,Z] {{defeq}} (K[X,Y])[Z] |SZ=, }} etc. Ein Polynom in {{math|term= n }} Variablen hat die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || \sum_{(\nu_1 {{kommadots}} \nu_n)} a_{(\nu_1 {{kommadots}} \nu_n)} X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} || || || |SZ=. }} Es wird dabei summiert über eine endliche Familie von {{Stichwort|Exponententupel}} {{mathl|term= (\nu_1 {{kommadots}} \nu_n) |SZ=.}} Die Ausdrücke {{mathl|term= X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} }} nennt man auch {{Stichwort|Monome|msw=Monom|SZ=.}} Ein Polynom schreibt man zumeist abkürzend als {{ Ma:Vergleichskette | F || \sum_{\nu} a_{\nu} X^{\nu} || || || |SZ=. }} Das Produkt von zwei Monomen bedeutet Addition der Exponententupel, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} |}} \cdot {{makl| X_1^{\mu_1} \cdots X_n^{\mu_n} |}} | {{defeq|}} | X_1^{\nu_1+\mu_1} \cdots X_n^{\nu_n+ \mu_n} || || || |SZ=. }} Für uns, im Kontext der algebraischen Geometrie, ist hauptsächlich der Fall interessant, wo der Grundring {{math|term=R}} ein Körper ist. In der algebraischen Geometrie interessiert man sich für die Gestalt von Nullstellengebilden von Polynomen in mehreren Variablen. Wir werden später sehen, dass die Beziehung zwischen algebraischen und geometrischen Eigenschaften besonders stark ist, wenn der Grundkörper algebraisch abgeschlossen ist. {{Zwischenüberschrift|term=Affine Nullstellengebilde}} {{:Affine Varietäten/Algebraische Kurven/Elliptische Kurven/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbild |Conic sections 2n|png|300px {{!}} right {{!}} |epsname=Conic_sections_2n |Text=Kegelschnitte | |Benutzer=NK |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 }} Auch wenn wir uns wie in diesem Kurs hauptsächlich für ebene Kurven interessieren, ist es für viele Begrifflichkeiten sinnvoll, beliebige durch Polynome gegebene Nullstellengebilde zu betrachten, nicht nur die Nullstellenmenge zu einem Polynom in zwei Variablen. Schon die Nullstellenmenge eines Polynoms in einer Variablen reflektiert wichtige Eigenschaften des Körpers, man kann sich für den Durchschnitt von zwei algebraischen Kurven in der Ebene interessieren, eine Kurve kann als Raumkurve gegeben sein und man interessiert sich für die Projektionen auf eine Ebene, Kegelschnitte sind gegeben als Durchschnitte von einem Kegel mit verschiedenen Ebenen im Raum, über einer projektiven Kurve liegt der zweidimensionale affine Kegel, etc. Dies führt zu den folgenden Begriffen. {{ inputdefinition |Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge/Definition|| }} {{ inputdefinition |Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition|| }} Algebraisches oder polynomiales Nullstellengebilde und {{ Zusatz/Klammer |text=affin| |ISZ=|ESZ=- }}algebraische Menge bzw. {{ Zusatz/Klammer |text=affine| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|Varietät|msw=|SZ=}} sind im Wesentlichen austauschbare Begriffe, wobei bei Varietät oft irreduzibel gefordert wird. In diesen Definitionen sind sogar unendliche Polynomfamilien erlaubt, aus dem {{ Faktlink |Präwort=|Hilbertschen Basissatz|Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} folgt aber, dass es stets auch eine endliche Polynomfamilie gibt, mit der die Varietät beschrieben werden kann. Der beliebige Durchschnitt und eine endliche Vereinigung von affin-algebraischen Mengen ist wieder affin-algebraisch, Eine erste einfache Eigenschaft einer algebraischen Kurve betrifft das Schnittverhalten mit Geraden. Die Argumentation ist typisch für das Wechselspiel zwischen geometrischen und algebraischen Gesichtspunkten in der algebraischen Geometrie. {{inputfaktbeweis |Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt|Lemma|}} {{Zwischenüberschrift|term=Körperwechsel}} {{:Algebraische Kurve/Körpererweiterungen/Punkte/Textabschnitt|zusatz1= &nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=siehe unten| |ISZ=|ESZ= }}}} Zu einem Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} nennt man den Restklassenring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{ideala}} |SZ=}} auch den {{Stichwort|Koordinatenring|msw=|SZ=}} der affinen Varietät {{ Ma:Vergleichskette | V || V {{makl| {{ideala|}} |}} || || || |SZ=. }} Der Koordinantering von {{math|term=V_L|SZ=}} ist dann {{mathl|term= L[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{ideala}}L[X_1 {{kommadots|}} X_n ] |SZ=.}} Da die Elemente des Ideals auf {{math|term=V({{ideala}}) |SZ=}} zur Nullfunktion werden, beinhaltet der Koordinatenring die auf {{math|term=V|SZ=}} definierten polynomialen Funktionen. Speziell ist der Ring {{mathl|term=K[X,Y]/(F)|SZ=}} der Koordinatenring auf der algebraischen Kurve {{math|term=V(F)|SZ=.}} Das eben erwähnte Problem, dass die Existenz von Nullstellen zu Polynomen vom Körper abhängt, ist bereits in einer Variablen präsent, und bildet den Ausgangspunkt für folgende Definition. {{inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition|}} {{ inputbild |Carl Friedrich Gauss|jpg|{{!}} thumb {{!}} |epsname=Carl_Friedrich_Gauss |Text=[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss (1777–1855)]] |Autor= |Benutzer=Bcrowell |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der sogenannte {{Stichwort|Fundamentalsatz der Algebra}} wurde erstmals von Gauss bewiesen. {{inputfaktbeweisverweis |Fundamentalsatz der Algebra/Algebraisch abgeschlossen/Fakt|Satz|}} {{ inputdefinition |Körper/Algebraischer Abschluss/Definition|| }} Die komplexen Zahlen {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} sind der algebraische Abschluss von {{math|term=\R|SZ=.}} Jeder Körper besitzt einen {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Isomorphie| |ISZ=|ESZ= }} eindeutig bestimmten algebraischen Abschluss. Wir werden die Begriffe {{ Zusatz/Klammer |text=glatt, zusammenhängend, irreduzibel| |ISZ=|ESZ= }} zumeist so aufbauen, dass sie für alle Körpererweiterungen gelten. }} kals15uzx9wk92z5r9f0zhbfk6kwt2j 0 132132 778522 762455 2022-08-21T12:15:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da stetig eine lokale Eigenschaft ist, können wir direkt annehmen, dass die Familie gleichmäßig summierbar ist. Sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|T || || || |SZ= }} fixiert und sei {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>|0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Es sei {{math|term= E|SZ=}} endlich mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|f_{E} -f |}} |\leq| \epsilon/3 || || || |SZ=. }} Als endliche Summe von stetigen Funktionen ist {{math|term= f_{E} |SZ=}} stetig. Es gibt also ein {{ Ma:Vergleichskette |\delta |>|0 || || || |SZ= }} derart, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette |Q |\in|T || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|P-Q|}} |\leq| \delta || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|f_E(P)- f_E(Q)|}} |\leq| \epsilon/3 || || || |SZ= }} gilt. Für diese {{math|term= Q|SZ=}} ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| f(P)-f(Q)||}} |\leq | {{op:Betrag| f_E(P)-f(P)||}} + {{op:Betrag| f_E(P)-f_E(Q)|}} + {{op:Betrag| f_E(Q)-f(Q)||}} |\leq| \epsilon || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ega977qj3n7401tjm9qt1k6njzn9sg 0 132191 779099 763226 2022-08-21T15:35:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 || X^3-n^2X || X(X-n)(X+n) || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |q ||p^e || || || |SZ= }} Elementen, wobei die {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= 2n|SZ=}} sei. Nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Elliptische_Kurve/Y^2_ist_X(X-n)(X+n)/Charakteristik/Glatt/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} definiert dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | q || 3 \mod 4 || || || |SZ=. }} Dann ist die Anzahl der {{math|term= K |SZ=-}}Punkte der Kurve gleich {{mathl|term= q+1 |SZ=.}} Hier ist also der Ausdruck, für den es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Hasse-Schranke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Schranke gibt, sogar gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Neben den vier Punkten der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} betrachten wir die Elemente {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|K \setminus \{0,n,-n\} || || || |SZ=. }} Aufgrund der Bedingung an die Charakteristik sind die herausgenommenen Punkte verschieden und ferner ist {{ Ma:Vergleichskette | -x |\neq| x || || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette | (-x)^3-n^2(-x) || - (x^3-n^2x) |\neq | x^3-n^2x || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endlicher Körper/Einheitengruppe ist zyklisch/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= -1 |SZ=}} kein Quadrat in {{math|term= K|SZ=.}} Daher ist für jedes Paar {{math|term= x,-x |SZ=}} genau eines der beiden Elemente {{ mathkor|term1= x^3-n^2x |oder|term2= (-x)^3-n^2(-x) |SZ= }} ein Quadrat in {{math|term= K|SZ=,}} was dann zu zwei Punkten auf der elliptischen Kurve führt. Dies ergibt {{mathl|term= q-3|SZ=}} Punkte und somit gibt es insgesamt {{math|term= q+1|SZ=}} Punkte. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptischen Kurven Y^2 ist X^3-n^2X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kjvgw5vn0s6690xvrpd2bhrvvj70hu4 0 132193 779098 763225 2022-08-21T15:35:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 || X^3-n^2X || X(X-n)(X+n) || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=,}} wobei die {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= p|SZ=}} kein Teiler von {{math|term= 2n|SZ=}} sei. Dann liegt eine glatte kubische Kurve vor. Die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= 3X^2-n^2 |und|term2= 2Y |SZ=. }} Ein singulärer Punkt könnte allenfalls in {{ Ma:Vergleichskette |y ||0 || || || |SZ= }} und somit bei {{ Ma:Vergleichskette |x ||0,n,-n || || || |SZ= }} vorliegen, doch ist da {{ Ma:Vergleichskette |3x^2-n^2 |\neq|0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptischen Kurven Y^2 ist X^3-n^2X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kfk18vco8pqqobqdpx585yej3sa5k6a 0 132288 779093 730547 2022-08-21T15:34:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die homogene Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text=kurze Weierstaßform| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y^2Z || X^3 + aXZ^2 +bZ^3 || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y^2Z - X^3 - aXZ^2 - bZ^3 ||0 || || || |SZ= }} über einem Körper der Charakteristik {{math|term= \neq 2,3|SZ=.}} Nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialform explizit/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive ebene Kurve/Glatt/Homogen/Differentialformen explizit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align |\omega || {{op:Bruch|Y^2|Y^2-aXZ-3bZ^2 }} d {{op:Bruch|X|Y}} || -{{op:Bruch|X^2|Y^2-aXZ-3bZ^2 }} d {{op:Bruch|Y|X}} || -{{op:Bruch|Z|2Y}} d {{op:Bruch|X|Z}} || {{op:Bruch|X^2|2YZ}} d {{op:Bruch|Z|X}} || {{op:Bruch|Z^2|3X^2+aZ^2}} d {{op:Bruch|Y|Z}} || -{{op:Bruch|Y^2|3X^2+aZ^2}} d {{op:Bruch|Z|Y}} |SZ= }} eine globale Differentialform ohne Nullstelle. Auf {{mathl|term= D_+(Z)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |x || X/Z || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |y ||Y/Z || || || |SZ= }} ist die Form gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | - {{op:Bruch|1|2y}} d x || {{op:Bruch|Z^2|3X^2+aZ^2}} d y || {{op:Bruch(|3X^2+aZ^2|Z^2}}^{-1} d y || {{makl| 3x^2+a |}}^{-1} d y || {{op:Bruch|1|3x^2+a}} dy |SZ=, }} was man auch direkt aus der affinen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | y^2 || x^3 + ax +b || || || |SZ= }} ableiten kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kanonischen Garbe auf einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j2ch1es7gwnqz6w6whwsinstku8qhkh 0 132302 779092 730504 2022-08-21T15:34:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= F|SZ=}} ein homogenes Polynom vom Grad {{math|term= 3|SZ=}} in den Variablen {{mathl|term= X,Y,Z|SZ=,}} das eine elliptische Kurve definiere. Die Differentialform {{ math/disp|term= \pm {{op:Bruch|Y^2|\, {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} \, }} d {{op:Bruch|X|Y}} |SZ= }} und die entsprechend gebildeten Formen. Im Nenner steht die partielle Ableitung nach der Variablen, die im Differential rechts nicht vorkommt, und im Zähler steht das Quadrat der Variablen im Differential rechts im Nenner. Das Vorzeichen ist bei hinten {{mathl|term= d {{op:Bruch|X|Y}} |SZ=}} und {{mathl|term= d {{op:Bruch|Y|Z}} |SZ=}} positiv und bei {{mathl|term= d {{op:Bruch|X|Z}} |SZ=}} negativ und dreht sich um, wenn man Zähler und Nenner vertauscht. Wir behaupten, dass es sich stets um die gleiche Differentialform handelt. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | d {{op:Bruch|X|Y}} || - {{op:Bruch(|X|Y}}^2 d{{op:Bruch|Y|X}} || || || |SZ= }} kann man die Zähler und Nenner im Bruch vertauschen. In {{mathl|term= {{op:Kählermodul|Q(K[X,Y,Z]/(F))|K}} |SZ=}} gilt {{ Zusatz/Klammer |text=unter Verwendung von {{ Ma:Vergleichskette |dF ||0 || || || |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Homogenes Polynom/Darstellung mit formalen partiellen Ableitungen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Partielle Ableitung|F|X}} d {{op:Bruch|X|Y}} || {{op:Partielle Ableitung|F|X}} {{makl| {{op:Bruch|1|Y}} d X - {{op:Bruch|X|Y^2}} dY |}} || {{op:Bruch|1|Y}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|F|X}} d X - {{op:Bruch|X|Y^2}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|F|X}} dY || -{{op:Bruch|1|Y}} {{makl| {{op:Partielle Ableitung|F|Y}} d Y + {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} d Z |}} - {{op:Bruch|X|Y^2}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|F|X}} dY || - {{op:Bruch|1|Y}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} d Z + {{op:Bruch|1|Y^2}} {{makl| -X {{op:Partielle Ableitung|F|X}} -Y {{op:Partielle Ableitung|F|Y}} |}} dY || - {{op:Bruch|1|Y}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} d Z + {{op:Bruch|1|Y^2}} {{makl| Z {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} |}} dY || - {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} {{makl| {{op:Bruch|1|Y}} d Z - {{op:Bruch|Z|Y^2}} dY |}} || - {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} d {{op:Bruch|Z|Y}} |SZ=, }} woraus sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|Y^2|\, {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} \, }} d {{op:Bruch|X|Y}} || -{{op:Bruch|Y^2|\, {{op:Partielle Ableitung|F|X}} \, }} d {{op:Bruch|Z|Y}} || || || |SZ= }} ergibt. Entsprechend gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|X^2|\, {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} \, }} d {{op:Bruch|Y|X}} || -{{op:Bruch|X^2|\, {{op:Partielle Ableitung|F|Y}} \, }} d {{op:Bruch|Z|X}} || || || |SZ= }} und somit auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|Y^2|\, {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} \, }} d {{op:Bruch|X|Y}} || - {{op:Bruch|X^2|\, {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} \, }} d {{op:Bruch|Y|X}} || {{op:Bruch|X^2|\, {{op:Partielle Ableitung|F|Y}} \, }} d {{op:Bruch|Z|X}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kanonischen Garbe auf einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 618x4ijxciwq9kfg5ifvkqu6ayq1wcp 0 132309 779082 702401 2022-08-21T15:32:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Differentialform {{ Ma:Vergleichskette/disp | \omega || dx/y || || || |SZ= }} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Differentialform explizit/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf den Faktor {{math|term= -1/2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC|}} || || || |SZ= }} auf der algebraischen Realisierung einer elliptischen Kurve {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{CC|}}/\Gamma |\cong| V_+(F) || || || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Bijektiv/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Unter der holomorphen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\pi | {{CC|}} \setminus \Gamma | V_+(F) \cap D_+(Z) |z| ( \wp(z), \wp'(z)) {{=|}} (x,y) |SZ=, }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \pi^* \omega || dz || || || |SZ=, }} da ja {{ Ma:Vergleichskette | \pi^* dx || \wp'(z)dz || || || |SZ= }} gilt {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Offene Mengen/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/In Koordinaten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für das Zurückziehen von Differentialformen im reellen Fall| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kanonischen Garbe auf einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 01e14xmski6pe4ksspk4xkja4kq9vti 0 132373 779677 751714 2022-08-21T17:06:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Aussage {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive Varietät/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Fortsetzung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt nicht, wenn {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |eindimensionaler| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wenn {{ Ma:abb |name= |R|S || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Normalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und über dem {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} zwei maximale Ideale {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} , {{idealq|}} |\subseteq|S || || || |SZ= }} liegen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Ebene algebraische Kurve/Tschirnhausen-Kubik/Singulärer Ort/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für ein konkretes Beispiel | |ISZ=|ESZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{idealp|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |f |\notin| {{idealq|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | f || a/b |\in| S || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | a,b |\in| R || || || |SZ=, }} so kann man den rationalen Punkt {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Zeilenvektor|a|b}} |\in| {{op:Projektive Gerade|Q(R)|}} || || || |SZ= }} betrachten. Aufgefasst in {{math|term= {{op:Projektive Gerade|Q(S)|}} |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Zeilenvektor|a|b}} || {{op:Zeilenvektor|f|1}} || || || |SZ=, }} mit dieser Darstellung kann man direkt die Fortsetzungen in {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|S/{{idealp}}|}} |SZ=}} und in {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|S/{{idealq}}|}} |SZ=.}} Im ersten Fall ist der Wert der Reduktion von {{math|term= f|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=,}} im zweiten Fall {{math|term= \neq 0|SZ=,}} und so kann es keine wohlbestimmte Fortsetzung nach {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|R/{{idealm}}|}} |SZ=}} geben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der projektiven Varietäten über Dedekindbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qliz7sqhqzmc6hbc4lquuglkrcyz9bc 0 132382 779097 702564 2022-08-21T15:35:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 || X^3-25X || X(X-5)(X+5) || || |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=,}} vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-n)(X+n)/Charakteristik/Glatt/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es gibt unmittelbar die drei rationalen Punkte {{mathl|term= (0,0),\, (5,0),\, (-5,0) |SZ=.}} Wir behaupten, dass auch der rationale Punkt {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1681|144}}| {{op:Bruch|62279|1728}}|}} |SZ= }} auf der Kurve liegt. Dies beruht auf {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|1681|144}} || {{op:Bruch|41^2|12^2}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|1681|144}} -5 || {{op:Bruch|1681|144}} - {{op:Bruch|720|144}} || {{op:Bruch|961|144}} || {{op:Bruch|31^2|12^2}} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|1681|144}} +5 || {{op:Bruch|1681|144}} + {{op:Bruch|720|144}} || {{op:Bruch|2401|144}} || {{op:Bruch|49^2|12^2}} || || |SZ= }} und auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|62279|1728}} || {{op:Bruch| 31 \cdot 41 \cdot 49|12^3}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-25X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9uqtvvl6i3jvohkow97vyvbd089ljvm 0 132465 779678 751718 2022-08-21T17:06:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= n|SZ=-}}dimensionale {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|n| {{op:Endlicher Körper|q|}} }} |SZ=}} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} besitzt {{mathl|term= 1+q+q^2 {{plusdots}} q^n |SZ=}} Elemente, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Projektiver Raum/Endlicher Körper/Anzahl der Elemente/Zweifache Berechnung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | N_r || 1+q^r+q^{2r} {{plusdots}} q^{rn} || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | Z(t) || {{op:Bruch|1|(1-t)(1-qt)(1-q^2t) \cdots (1-q^nt) }} || || || |SZ=. }} Dies bestätigt man, indem man beidseitig den {{ Definitionslink |Prämath= |Logarithmus| |Kontext=natürlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} anwendet. Es ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{ r {{=}} 1}^\infty N_r {{op:Bruch|t^r|r}} || \sum_{ r {{=}} 1}^\infty ( 1+q^r+q^{2r} {{plusdots}} q^{rn} ) {{op:Bruch|t^r|r}} || \sum_{i {{=}} 0}^n {{op:ln| {{op:Bruch|1|1-q^it}} |}} || || |SZ= }} zu zeigen. Mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Logarithmusreihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist aber für jedes {{math|term= i|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:ln| {{op:Bruch|1|1 -q^i t}} |}} || - {{op:ln(| 1 -q^i t |}} || - \sum_{r {{=}} 1}^\infty (-1)^{r+1} {{op:Bruch|(-q^i t)^r|r}} || \sum_{r {{=}} 1}^\infty q^{ir} {{op:Bruch|t^r|r}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zeta-Funktionen von Varietäten über endlichen Körpern |Kategorie2=Theorie der glatten projektiven Varietäten über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4gsphbs6pbgcbb28k8l14fzjs27795z 0 132509 779090 763221 2022-08-21T15:34:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Elliptic_curve_y^2_%3D_x^3_-_x|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Das reelle Bild der Kurve {{ Ma:Vergleichskette |y^2 || x^3 - x || || || |SZ=. }} |Autor= |Benutzer=YassineMrabet |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Auf der durch {{ Ma:Vergleichskette |y^2 ||x^3-x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt es über {{math|term= \Q |SZ=}} nur die vier Punkte {{mathl|term= (0,0),\, (1,0), \, (-1,0),\, {{elliptischo|}} |SZ=,}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionspunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Wenn man die Gleichung über dem Erweiterungskörper {{math|term= \Q[ {{imaginäre Einheit|}} ] |SZ=}} betrachtet, erhält man neue Punkte. So ist {{mathl|term= ({{imaginäre Einheit|}} , -1 + {{imaginäre Einheit|}} ) |SZ=}} ein weiterer Punkt, es ist ja {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| -1 +{{imaginäre Einheit|}} |}}^2 || -2 {{imaginäre Einheit|}} || {{imaginäre Einheit|}}^3 - {{imaginäre Einheit|}} || || |SZ=. }} Ferner ergibt sich der Punkt {{mathl|term= ( - {{imaginäre Einheit|}} , 1+ {{imaginäre Einheit|}} ) |SZ=, }} und zwei weitere Punkte, da man {{math|term= y |SZ=}} durch {{math|term= -y |SZ=}} ersetzen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lnn6z0nlciox0mq6ubk0of1f92gh03m 0 132515 779089 763220 2022-08-21T15:33:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der durch {{ Ma:Vergleichskette | y^2 || x^3-2x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt es über {{math|term= \Q|SZ=}} die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionspunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (0,0) ,\, {{elliptischo|}} |SZ=.}} Daneben gibt es noch den Punkt {{mathl|term= (-1,1) |SZ=,}} dieser ist kein Torsionspunkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-2X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sp3jw8kk5sr2f3qmvj9nlmhafjwxmqe 0 132656 779654 718994 2022-08-21T17:03:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachten wir den rationalen Punkt {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Zeilenvektor|8| {{op:Bruch|7|26}} | {{op:Bruch|4|45}} }} |\in| {{op:Projektive Ebene|\Q|}} || || || |SZ=. }} Wir müssen für die verschiedenen Beträge das Maximum bestimmen und die Ergebnisse miteinander multiplizieren. Für den archimedischen Betrag {{math|term= {{op:Betrag|-|}}_\R |SZ=}} hat man direkt {{math|term= 8 |SZ=,}} gehen wir also die Primzahlen durch. Dabei wird das Maximum des Betrages im Minimum der zugehörigen Bewertungsordnung angenommen. Die {{math|term= 2|SZ=}} kommt in der mittleren Koordinate mit Ordnung {{math|term= -1 |SZ=}} vor, was zum maximalen {{math|term= 2|SZ=-}}Betrag {{ Ma:Vergleichskette | 2^1 || 2 || || || |SZ= }} führt. Die {{math|term= 3|SZ=}} kommt in der dritten Koordinate mit Ordnung {{math|term= -2 |SZ=}} vor, was zum maximalen {{math|term= 3|SZ=-}}Betrag {{ Ma:Vergleichskette | 3^2 || 9 || || || |SZ= }} führt. Die {{math|term= 5 |SZ=}} kommt in der dritten Koordinate mit Ordnung {{math|term= -1 |SZ=}} vor, was zum maximalen {{math|term= 5 |SZ=-}}Betrag {{ Ma:Vergleichskette | 5^1 || 5 || || || |SZ= }} führt. Die {{math|term= 7 |SZ=}} kommt in der zweiten Koordinate mit Ordnung {{math|term= 1 |SZ=}} vor, was für diese Komponente zum {{math|term= 7 |SZ=-}}Betrag {{math|term= 7^{-1} |SZ=}} führt, der aber irrelevant ist, da ja das Maximum mit {{math|term= 1 |SZ=}} genommen wird. Schließlich kommt die {{math|term= 13 |SZ=}} in der zweiten Koordinate mit Ordnung {{math|term= -1 |SZ=}} vor, was zum maximalen {{math|term= 13 |SZ=-}}Betrag {{math|term= 13 |SZ=}} führt, die anderen Beträge haben den Wert {{math|term= 1 |SZ=.}} Die Höhe des Punktes ist somit {{ math/disp|term= 8 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 13 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 75nj5loaryq8tbwhmi4rnje60nb2zpj 0 132670 779671 751704 2022-08-21T17:05:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In {{math|term= {{op:Projektive Gerade||}}(\Q)|SZ=}} besitzen die Punkte {{mathl|term= (1,0), (0,1), (1,1),(1,-1)|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=.}} Wir beschränken uns nun auf Punkte der Form {{mathl|term= (x,1)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || \pm p_1^{\alpha_1} \cdots p_n^{\alpha_n} || \pm {{op:Bruch| p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k} | p_{k+1}^{- \alpha_{k+1} } \cdots p_n^{- \alpha_n} }} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \alpha_i |\in| \Z || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |n |\geq|1 || || || |SZ=, }} die Exponenten seien bis zum {{math|term= k|SZ=-}}ten Term positiv, danach negativ| |ISZ=|ESZ=. }} Ein solcher Punkt hat die Höhe {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | H_\Q (P) || \max \{ {{op:Betrag|x|}} ,\, 1 \} \cdot \max \{ p_1^{-\alpha_1} ,\, 1 \} \cdots \max \{ p_n^{-\alpha_n} ,\, 1 \} || \max \{ {{op:Betrag|x|}} ,\, 1 \} \cdot p_{k+1}^{-\alpha_{k+1} } \cdots p_{n}^{-\alpha_{n} } || || || |SZ=, }} wobei alle Faktoren {{math|term= \geq 1 |SZ=}} sind. Das hintere Produkt ist einfach der Nenner der rationalen Zahl {{math|term= x|SZ=,}} die Höhe ist nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Projektive Gerade/Q/Punkt/Höhe/Natürlich/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine natürliche Zahl. Bestimmen wir die Punkte {{math|term= (x,1) |SZ=,}} deren Höhe gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist. Ihre {{math|term= x |SZ=-}}Koordinate ist {{math|term= \pm 2 |SZ=}} oder {{math|term= \pm {{op:Bruch|1|2}} |SZ=.}} Die Punkte der Höhe {{math|term= 3 |SZ=}} haben die {{math|term= x|SZ=-}}Koordinate {{math|term= \pm 3, \pm {{op:Bruch|1|3}}, \pm {{op:Bruch|2|3}}, \pm{{op:Bruch|3|2}} |SZ=.}} Die Punkte der Höhe {{math|term= 4|SZ=}} haben die {{math|term= x|SZ=-}}Koordinate {{math|term= \pm 4, \pm {{op:Bruch|1|4}}, \pm {{op:Bruch|3|4}}, \pm {{op:Bruch|4|3}} |SZ=.}} Die Punkte der Höhe {{math|term= 5 |SZ=}} haben die {{math|term= x|SZ=-}}Koordinate {{math|term= \pm 5, \pm {{op:Bruch|1|5}}, \pm {{op:Bruch|2|5}}, \pm {{op:Bruch|3|5}} , \pm {{op:Bruch|4|5}}, \pm {{op:Bruch|5|2}}, \pm {{op:Bruch|5|3}}, \pm {{op:Bruch|5|4}} |SZ=,}} etc. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4z4fn9ynhk1tx3a4v3poy4j8b2zh0o0 0 132673 779656 751698 2022-08-21T17:03:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten in {{math|term= {{op:Projektive Gerade||}}(\Q[ \sqrt[d]{2}])|SZ=}} den Punkt {{math|term= ( \sqrt[d]{2} ,1)|SZ=.}} Der Grad der Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq| \Q[ \sqrt[d]{2}]) || || || |SZ= }} ist {{math|term= d|SZ=.}} Für einen Betrag {{math|term= {{op:Betrag|-|}}_v |SZ=}} auf {{math|term= \Q[ \sqrt[d]{2}] |SZ=}} oberhalb des archimedischen Absolutbetrages ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|2 |}}_v || 2 || || || |SZ= }} und das ist auch die {{ Definitionslink |Prämath= |absolute Höhe| |Kontext=projektiver Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die man ja in diesem Fall direkt über {{math|term= \Q|SZ=}} ausrechnen kann| |ISZ=|ESZ=. }} Die absolute Höhe von {{mathl|term= ( \sqrt[d]{2} ,1) |SZ=}} ist {{mathl|term= \sqrt[d]{2} |SZ=}} wegen der Potenzierungseigenschaft, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Ohne Gradbeschränkung gibt es also unendlich viele Punkte in {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| {{op:Algebraischer Abschluss|\Q|}} |}} |SZ=}} mit einer absoluten Höhe {{math|term= \leq 2 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eulpnzqpkkjblh19q47wwx20zwfy0fi 0 132686 780115 752404 2022-08-21T18:12:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name= |K| {{KRC|}} || |SZ= }} eine reelle oder komplexe Einbettung. Dann induziert der gewöhnliche {{ Definitionslink |Prämath= |Betrag| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Betrag| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= K|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Beträge auf einem Zahlkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jaux3cnfq4jq3gommanqthx3ze4g3qt 0 132767 778738 762664 2022-08-21T12:47:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten zuerst den nichtarchimedischen Fall, es sei also {{ Ma:Vergleichskette | \Z |\subseteq|R |\subseteq|S || || |SZ= }} die zugehörige Erweiterung der {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=}} und seien {{mathl|term= {{idealq|}}_1 {{kommadots|}} {{idealq|}}_k |SZ=}} die Primideale oberhalb von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=.}} Es seien {{math|term= e,f,e_j,f_j|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsindex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Trägheitsgrad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} über {{ Ma:Vergleichskette/disp |(p) || \Z \cap {{idealp|}} || || || |SZ= }} bzw. von {{mathl|term= {{idealq|}}_j |SZ=}} über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=.}} Dann sind die Verzweigungsindexe bzw. Trägheitsgrade von {{mathl|term= {{idealq|}}_j |SZ=}} über {{math|term= (p) |SZ=}} gleich {{ mathkor|term1= e e_j |bzw.|term2= f f_j |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align | \sum_{w \in M_L,\, w \text{ über } v} n_w || \sum_{j {{=}} 1}^k n_{ {{idealq}}_j } || \sum_{j {{=}} 1}^k ee_jff_j || ef \sum_{j {{=}} 1}^k e_jf_j || n_{{idealp|}} {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}} || n_v {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}} |SZ= }} unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pp1zm1xk6vu09iudbdvo6fj9nvqgvk6 0 132771 778739 762665 2022-08-21T12:47:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir können {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|R || || || |SZ= }} annehmen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |(x) || {{idealp|}}_1^{r_1} \cdots {{idealp|}}_k^{r_k} || || || |SZ= }} Es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|N(x)||}} || {{op:Idealnorm| {{idealp|}}_1|}}^{r_1} \cdots {{op:Idealnorm| {{idealp|}}_k|}}^{r_k} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Hauptideal/Norm/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Idealnorm/Primidealzerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es ist {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Zahlbereich/Bewertung/Betrag/Normierungen/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | \prod_{ v \in M_K} {{op:Betrag|x|}}_v^{n_v} || \prod_{ v \in M_K \text{ archimedisch} } {{op:Betrag|x|}}_v^{n_v} \cdot \prod_{ v \in M_K\text{ nichtarchimedisch} } {{op:Betrag|x|}}_v^{n_v} || \prod_{ v \in M_K \text{ archimedisch} } {{op:Betrag|x|}}_v^{n_v} \cdot \prod_{ j {{=}} 1}^k {{op:Betrag|x|}}_{ {{idealp}}_j }^{ e_jf_j} || \prod_{ v \in M_K \text{ archimedisch} } {{op:Betrag|x|}}_v^{n_v} \cdot \prod_{ j {{=}} 1}^k {{op:Idealnorm|{{idealp}}_j |}}^{ -r_j } || \prod_{ v \in M_K \text{ archimedisch} } {{op:Betrag|x|}}_v^{n_v} \cdot {{op:Betrag|{{op:Idealnorm|x |}}||}}^{ -1 } |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist aber auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| N(x) }} || \prod_j {{op:Betrag| L_j(x) }} ||\prod_{ v \in M_K \text{ archimedisch} } {{op:Betrag|x|}}_v^{n_v} || || |SZ=, }} wobei {{math|term= L_j|SZ=}} die verschiedenen reellen und komplexen Einbettungen von {{math|term= K|SZ=}} durchläuft. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 645qsusfi6cm6q4dfdxouryb13ow1sf 0 132806 779088 763219 2022-08-21T15:33:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der durch {{ Ma:Vergleichskette | y^2 || x^3-2x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt es über {{math|term= \Q|SZ=}} die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionspunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (0,0) ,\, {{elliptischo|}} |SZ=.}} Daneben gibt es noch den Punkt {{mathl|term= (-1,1) |SZ=,}} der den torsionsfreien Teil erzeugt. Die Gruppenstruktur ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | E(\Q) |\cong| {{op:Zmod|2|}} \times \Z || || || |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|-1|1}} |SZ=}} ist ein Erzeuger der torsionsfreien Komponente. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-2X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tt7a039f071kryae8e9ly91rktl7xgz 0 132808 779086 763217 2022-08-21T15:33:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der durch {{ Ma:Vergleichskette | y^2 || x^3+17 || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt es über {{math|term= \Q|SZ=}} die beiden unabhängigen Punkte {{ mathkor|term1= (-2,3) |und|term2= (2,5) |SZ=. }} Hier ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |E(\Q) |\cong| \Z \times \Z || || || |SZ= }} und die angegebenen Punkte sind Erzeuger, der {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also {{math|term= 2|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+17 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lgyza79f7bj76ile1ibgb8oayjtw8c4 0 132813 779084 763216 2022-08-21T15:33:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der durch {{ Ma:Vergleichskette | y^2 || x^3+1 || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt es über {{math|term= \Q|SZ=}} die sechs {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionspunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{elliptischo|}} ,\,(-1,0) ,\,(0,1) ,\, (0,-1) ,\,(2,3) ,\, (2,-3) |SZ=.}} Dabei hat {{mathl|term= (-1,0)|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Ordnung {{math|term= 2|SZ=}} und es gibt {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= \Q|SZ=}} und über {{math|term= \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} keinen weiteren Punkt mit Ordnung {{math|term= 2|SZ=.}} In {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Addition/(0,1)+(0,1)/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} haben wir gesehen, dass {{ mathkor|term1= (0,1) |und|term2= (0,-1) |SZ= }} zueinander negative Elemente der Ordnung {{math|term= 3|SZ=}} sind. In {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Addition/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} haben wir {{ Ma:Vergleichskette |(0,1) + (2,3) || (-1,0) || || || |SZ= }} berechnet. Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (2,3) || (-1,0) - (0,1) || (-1,0) + (0,1) || || |SZ= }} und daher besitzen {{ mathkor|term1= (2,3) |und|term2= (2,-3) |SZ= }} die Ordnung {{math|term= 6|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g691627njgpml9mx9yejb3wozyngtvi 0 132814 779087 763218 2022-08-21T15:33:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der durch {{ Ma:Vergleichskette | y^2 || x^3+4x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt es über {{math|term= \Q|SZ=}} die vier {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionspunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{elliptischo|}} ,\,(0,0) ,\, (2,4) ,\, (2,-4) |SZ=.}} Dabei besitzt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Ordnung {{math|term= 2|SZ=}} und sonst über {{math|term= \Q|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} keinen weiteren Punkt der Ordnung {{math|term= 2|SZ=.}} Die Punkte {{ mathkor|term1= (2,4) |und|term2= (2,-4) |SZ= }} haben nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+4X/Addition/(2,4)+(2,4)/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Ordung {{math|term= 4|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+4X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} it2io5ocsvbz1d1f6qu9z2cy3srrhnc 0 132844 779083 763215 2022-08-21T15:33:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der durch {{ Ma:Vergleichskette | y^2 || x^3-(2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 19)^2x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt es über {{math|term= \Q|SZ=}} neben den {{math|term= 2|SZ=-}}Torsionspunkten, die den Nullstellen des kubischen Polynoms in {{math|term= x|SZ=}} entsprechen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Torsion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} die drei unabhängigen Punkte {{ mathkor|term1= (-98,12376),\, (1650, 43560) |und|term2= (109554,36258840) |SZ=. }} Hier ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |E(\Q) |\cong| {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} \times \Z^3 || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also {{math|term= 3|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hyio6q7em2nnkw9qkedufe63zllamdz 0 132923 779101 763228 2022-08-21T15:35:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten über dem endlichen Körper {{math|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^2 || x^3+1 || || || |SZ= }} gegeben ist. Sie besitzt nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Endlicher Körper/Punkteanzahl/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sechs Elemente, also {{ Ma:Vergleichskette |N_1 ||6 || || || |SZ=. }} Das charakteristische Polynom der Darstellung des Frobenius auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Tate-Modul| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Fq/Frobeniuspotenzen/Wirkung auf Tate-Modul/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |T^2 + 5 || (T- \sqrt{5} {{imaginäre Einheit|}} ) (T+ \sqrt{5} {{imaginäre Einheit|}} ) || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette | \alpha,\beta || \pm \sqrt{5} {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} in der Notation von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Fq/Frobeniuspotenzen/Wirkung auf Tate-Modul/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Anzahl der Punkte von {{math|term= E|SZ=}} über {{math|term= {{op:Endlicher Körper|5^n|}} |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Anzahl|E( {{op:Endlicher Körper|q^n|}} )|}} || 5^n+1 - (- \sqrt{5})^n {{imaginäre Einheit|}}^n - \sqrt{5}^n {{imaginäre Einheit|}}^n || 5^n+1 - ( (-1)^n+1 ) \sqrt{5}^n {{imaginäre Einheit|}}^n || || |SZ=. }} Für {{math|term= n|SZ=}} ungerade ist also die Anzahl gleich {{mathl|term= 5^n+1|SZ=.}} Für {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 \mod 4 || || || |SZ= }} ist die Anzahl gleich {{mathl|term= 5^n+1 + 2 \cdot 5^{n/2} |SZ=}} und für {{ Ma:Vergleichskette |n ||0 \mod 4 || || || |SZ= }} ist die Anzahl gleich {{mathl|term= 5^n+1 - 2 \cdot 5^{n/2} |SZ=.}} Für gerades {{math|term= n|SZ=}} wird also die {{ Faktlink |Präwort=|Hasse-Schranke|Faktseitenname= Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Hasse-Schranke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ausgeschöpft. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Zeta-Funktion| |Kontext=Weil| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= E|SZ=}} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | Z(E;t) || {{op:Bruch|1+ 5 t^2|(1-t)(1-5t)}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zeta-Funktionen von elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rcnhte3t3mve7xun77yn535xawbukto 0 133539 779001 706605 2022-08-21T15:19:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^2+Y^2+Z^2 ||0 || || || |SZ= }} über den endlichen Körpern {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=,}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Chevalley-Warning/3 Variablen/Quadratische Form/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es nichttriviale Lösungen. Bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||2 || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0)|SZ=}} die nichttrivialen Lösungen {{ Zusatz/Klammer |text=insgesamt gibt es also in {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod|2|}} |}}^3 |SZ=}} vier Lösungen| |ISZ=|ESZ= }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||3 || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= (\pm 1,\pm 1, \pm 1) }} die nichttrivialen Lösungen {{ Zusatz/Klammer |text=insgesamt gibt es also in {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod|3|}} |}}^3 |SZ=}} neun Lösungen| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||5 || || || |SZ= }} sind die Permutationen von {{mathl|term= (0,\pm 1,\pm 2) }} die nichttrivialen Lösungen {{ Zusatz/Klammer |text=insgesamt gibt es also in {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod|5|}} |}}^3 |SZ=}} genau {{math|term= 25|SZ=}} Lösungen| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||7 || || || |SZ= }} sind die Permutationen von {{mathl|term= (\pm 1,\pm 2, \pm 3) }} die nichttrivialen Lösungen {{ Zusatz/Klammer |text=insgesamt gibt es also in {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod|7|}} |}}^3 |SZ=}} genau {{math|term= 49|SZ=}} Lösungen| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||11 || || || |SZ= }} sind {{math|term= 0,1,3,4,5,9|SZ=}} die Quadrate. Die Summe von zwei Quadraten ergibt nie {{math|term= 0|SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette |1+1+9 ||11 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |1+5+5 ||11 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | 3+3+5 ||11 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | 3+4+4 ||11 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | 4+9+9 || 22 || || || |SZ= }} Somit sind die Permutationen von {{mathl|term= (\pm 1,\pm 1, \pm 3) |SZ=,}} von {{mathl|term= (\pm 1,\pm 4, \pm 4) |SZ=,}} von {{mathl|term= (\pm 5,\pm 5, \pm 3) |SZ=}} von {{mathl|term= (\pm 5,\pm 2, \pm 2) |SZ=}} und von {{mathl|term= (\pm 2,\pm 3, \pm 3) |SZ=}} die nichttrivialen Lösungen {{ Zusatz/Klammer |text=insgesamt gibt es also in {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod|11|}} |}}^3 |SZ=}} genau {{ Ma:Vergleichskette/k |5 \cdot 3 \cdot 8+1 ||121 || || || |SZ= }} Lösungen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Chevalley-Warning |Kategorie2=Theorie der Quadriken in drei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fs344xbom5t8arngrz6ckr44znohz3m 0 133548 779005 706621 2022-08-21T15:20:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^2+Y^2 ||0 || || || |SZ= }} über den endlichen Körpern {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=.}} Wenn man diese Gleichung in zwei Variablen auffasst, was naheliegend ist, so kann man {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Chevalley-Warning/3 Variablen/Quadratische Form/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht anwenden, beispielsweise gibt es bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||3 || || || |SZ= }} nur die triviale Lösung {{mathl|term= (0,0)|SZ=.}} Man kann die Gleichung aber auch in den drei Variablen {{math|term= X,Y,Z|SZ=}} auffassen und dann die Aussage anwenden. Es gibt dann, nach wie vor bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||3 || || || |SZ=, }} die drei Lösungen {{mathl|term= (0,0,z)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |z |\in| {{op:Zmod|3|}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |p ||5 || || || |SZ= }} gibt es in zwei Variablen die Lösungen {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} und die Permutationen von {{mathl|term= (\pm 1,\pm 2)|SZ=,}} was insgesamt neun Lösungen sind. In drei Variablen gibt es somit {{math|term= 45|SZ=}} Lösungen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Chevalley-Warning |Kategorie2=Theorie der Quadriken in drei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dslrzqo866mv4b2zsay73zecsve2jyg 0 133558 779004 706690 2022-08-21T15:20:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das homogene Polynom {{ math/disp|term= X^3+Y^3+Z^3+XY^2+YZ^2+ZX^2+XYZ |SZ= }} vom Grad {{math|term= 3|SZ=}} in drei Variablen über dem Körper {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=,}} hier ist also {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Chevalley-Warning/Homogene Hyperfläche/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht anwendbar. In der Tat besitzt dieses Polynom außer in {{mathl|term= (0,0,0)|SZ=}} keine Nullstelle. Das Polynom ist symmetrisch in den Variablen, was die Überprüfung erleichtert. Sei {{ Ma:Vergleichskette |(x,y,z) |\in| {{makl| {{op:Zmod|2|}} |}}^3 || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |x ||y ||0 || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |z^3 ||0 || || || |SZ= }} und damit {{ Ma:Vergleichskette |z ||0 || || || |SZ=, }} das ist der Ursprungspunkt. Bei {{ Ma:Vergleichskette |x ||0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |y ||z ||1 || || |SZ= }} verbleiben drei Terme und der Wert des Polynoms ist {{math|term= 1|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |x ||y ||z || || |SZ= }} gibt es sieben Terme, der Wert des Polynoms ist also wieder {{math|term= 1|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Chevalley-Warning |Kategorie2=Theorie der kubischen projektiven Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e4hri3lzus3efea9ssm365tst73opn9 0 133560 779000 706693 2022-08-21T15:19:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden homogenen Polynome vom Grad {{math|term= 2|SZ=}} {{ math/disp|term= X^2+Y^2+Z^2+U^2+V^2 |SZ= }} und {{ math/disp|term= X^2+YZ+UV |SZ=. }} Man kann hier {{math|term= X^2|SZ=}} eliminieren und erhält eine Gleichung vom Grad {{math|term= 2|SZ=}} in vier Variablen, worauf man auch {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Chevalley-Warning/Homogener Fall/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Chevalley-Warning/Homogene Hyperfläche/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden kann. Dies führt zu einer nichttrivialen Lösung {{mathl|term= (y,z,u,v)|SZ=}} von {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2+Z^2+U^2+V^2 ||YZ+UV || || || |SZ=, }} allerdings besagt {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Chevalley-Warning/Homogener Fall/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zusätzlich, dass es auch eine nichttriviale Lösung {{mathl|term= (y,z,u,v)|SZ=}} gibt, bei der man aus {{mathl|term= -(y^2+z^2+u^2+v^2) |SZ=}} die Quadtratwurzel ziehen kann. Sei beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Zmod|3|}} || || || |SZ=. }} Da ist {{mathl|term= (1,1,-1,0,0)|SZ=}} eine nichttriviale Lösung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Chevalley-Warning |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tgla6k2t6ewhgbdg12l5u40b112jnwm 0 133573 779003 750925 2022-08-21T15:19:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |homogene| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^2+Y^2+Z^2 ||0 || || || |SZ= }} über dem endlichen Ring {{mathl|term= {{op:Zmod|4}} |SZ=.}} Die Quadrate in {{mathl|term= {{op:Zmod|4}} |SZ=}} sind {{math|term= 0|SZ=}} und {{math|term= 1|SZ=,}} deshalb gibt es keine nichttriviale Lösung für diese Gleichung in {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod|4|}} |}}^3 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Chevalley-Warning |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3asy30idz35vm4py4sk8v22ulomgrek 0 133661 779355 751173 2022-08-21T16:14:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Z + \Z {{imaginäre Einheit|}} |SZ=}} gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit {{math|term= {{imaginäre Einheit|}} |SZ=,}} die das Gitter in sich selbst überführt. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismenring| |Kontext=komplexer eindimensionaler Torus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der elliptischen Kurve {{mathl|term= {{CC}}/( \Z + \Z {{imaginäre Einheit|}}) |SZ=}} ist {{math|term= \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Endomorphismenringes eines eindimensionalen komplexen Torus |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1n2gp79z1wxo7pwace4zwprlw3ipoen 0 133668 779352 751170 2022-08-21T16:14:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma ||\Z + \Z {{op:Bruch|- 1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit}} |2}} || || || |SZ= }} gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit {{math|term= {{op:Bruch| -1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} |2 }} |SZ=,}} die das Gitter in sich selbst überführt. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismenring| |Kontext=komplexer eindimensionaler Torus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{CC}}/ \Gamma |SZ=}} ist {{math|term= \Z[ {{op:Bruch| -1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} |2}} ] |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Endomorphismenringes eines eindimensionalen komplexen Torus |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7uvmo7yxyvvv9mqbe8ihle1qi34h61j 0 133710 780173 767409 2022-08-21T18:24:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K^2 |t|{{op:Zeilenvektor|t^2|t^3}} |SZ=, }} definierten Kurve heißt {{Stichwort|Neilsche Parabel|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette |(x,y) |\in| K^2 || || || |SZ= }} genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |x^3 ||y^2 || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} prjie48y9iihlfrombdlbkrpno7p6e1 0 133735 780350 767040 2022-08-21T18:53:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= n}} Variablen und sei {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |affine Raum| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften. {{Aufzählung4 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | V(0) ||{{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ=, }} d.h. der ganze affine Raum ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |V(1) || \emptyset || || || |SZ=, }} d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge. |Es seien {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_k }} affin-algebraische Mengen mit {{ Ma:Vergleichskette |V_i ||V( {{ideala}}_i) || || || |SZ=. }} Dann gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_1 \cup V_2 {{cupdots}} V_k || V({{ideala}}_1 \cdot {{ideala}}_2 \cdots {{ideala}}_k) || || || |SZ=. }} Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge. |Es seien {{ mathbed|term= V_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} affin-algebraische Mengen mit {{ Ma:Vergleichskette |V_i ||V( {{ideala}}_i) || || || |SZ=. }} Dann gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bigcap_{i \in I} V_i || V {{makl| \sum_{i \in I} {{ideala}}_i |}} || || || |SZ=. }} Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ilv5mucnarxz1zwtq2y0fwxmwb1j4ng 0 133796 780192 767427 2022-08-21T18:27:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F ||G+ZH || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= \geq 3|SZ=}} in drei Variablen mit {{ Ma:Vergleichskette |G,H |\in| K[X,Y] || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= K|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=ebene projektive Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ka5y5d0ina3zefqbd5nnamcejwdf3wr 0 133943 779040 751049 2022-08-21T15:26:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Frans Hals - Portret van René Descartes|jpg | 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Frans_Hals_-_Portret_van_René_Descartes |Text=[[w:Descartes|Rene Descartes (1596-1650)]] |Autor=Frans Hals |Benutzer=Dedden |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Kartesisches-Blatt|svg| 200px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Georg-Johann |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 & GFDL |Bemerkung= }} Das {{Stichwort|Kartesische Blatt|msw=Kartesisches Blatt|SZ=}} wird durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | F || X^3+Y^3-3XY || 0 || || |SZ= }} beschrieben, der Grundkörper habe nicht die {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung|F|X}} = 3X^2-3Y \text{ und } {{op:Partielle Ableitung|F|Y}} = 3Y^2-3X |SZ=. }} Wenn man diese {{ Zusatz/Klammer |text=zusammen mit der Kurvengleichung selbst| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= =0|SZ=}} setzt, so folgt {{mathkon|Y{{=}}X^2|und|X{{=}}Y^2|SZ=,}} also auch {{ Ma:Vergleichskette |Y ||Y^4 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für {{math|term= X}}| |ISZ=|ESZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |Y ||X ||0 || || |SZ=, }} und somit liegt im Nullpunkt eine Singularität vor, oder {{math|term= X}} und {{math|term= Y}} sind beide eine dritte Einheitswurzel {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar sind beide {{math|term= 1}} oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln| |ISZ=|ESZ=. }} An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber {{math|term= F}} den Wert {{math|term= -1|SZ=,}} diese sind also keine Punkte der Kurve. Der Nullpunkt ist also der einzige nichtglatte Punkt der Kurve. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der kubischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Kartesische Blatt |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dhr8urnb0yblvsojuqdpoc5qq75c1xi 0 133944 779036 751047 2022-08-21T15:25:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch das Polynom {{mathl|term= V {{makl| Y^2 - X^3- 3X^2 |}} |SZ=}} gegebene {{Definitionswort/enp|Tschirnhausen Kubik|SZ=}} über einem Körper der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \neq 2,3|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung|F|X}} = -3X^2 -6X \text{ und } {{op:Partielle Ableitung|F|Y}} = 2 Y |SZ=. }} Wenn man diese {{ Zusatz/Klammer |text=zusammen mit der Kurvengleichung selbst| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= =0|SZ=}} setzt, so folgt {{ Ma:Vergleichskette|Y ||0 || || || |SZ= }} und somit auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2(X+3) || 0 || X(X+2) || || |SZ=. }} Somit ist der Nullpunkt {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} der einzige singuläre Punkt der Kurve, die ansonsten glatt ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der kubischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Tschirnhausen Kubik |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8mg77eh54pdai7s7s4h1yqchyokutxb 0 133953 779049 751058 2022-08-21T15:27:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch das Polynom {{mathl|term= V {{makl| Y^2 - X^3 |}} |SZ=}} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |Neilsche Parabel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \neq 2,3|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung|F|X}} = -3X^2 \text{ und } {{op:Partielle Ableitung|F|Y}} = 2 Y |SZ=. }} Wenn man diese {{math|term= =0|SZ=}} setzt, so folgt direkt, dass {{mathl|term= (0,0)|SZ=}} der einzige singuläre Punkt der Kurve ist und diese ansonsten {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der kubischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pf59yv82762nrtx4em9vulscs1mml6z 0 134020 780347 767037 2022-08-21T18:53:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || \{P_1 {{kommadots|}} P_n \} |\subseteq| K^2 || || || |SZ= }} eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= M|SZ=}} als Durchschnitt von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |algebraischen Kurven| |Kontext=eben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erhalten kann. |Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= M|SZ=}} als Durchschnitt von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} algebraischen Kurven erhalten kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Schnitttheorie von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=3 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r04cg48rqhx2650i2t4sxn62rl8b6z1 0 134122 779384 763466 2022-08-21T16:19:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die elliptischen Kurven der Form {{ Ma:Vergleichskette |y^2 ||x^3-n^2x || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette |y^2 ||x^3-m^2x || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |n,m |\in| \N_+ || || || |SZ=, }} die in Zusammenhang mit den {{ Definitionslink |Prämath= |kongruenten Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auftreten. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kubische Kurve/Kurze Weierstraßform/Transformation/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind die beiden genau dann durch eine lineare Variablentransformation ineinander überführbar, wenn der Quotient {{mathl|term= {{op:Bruch|m^2|n^2}} |SZ=}} eine vierte Potenz in {{math|term= \Q|SZ=}} ist, wenn also {{math|term= {{op:Bruch|m|n}} |SZ=}} ein Quadrat {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \Q|SZ=}} und dann bereits| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= \Z|SZ=}} ist. Bei elliptischen Kurven dieser Bauart kann man sich also auf {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} natürliche Zahlen {{math|term= n|SZ=}} beschränken. Wenn man diese Kurven als elliptische Kurven über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} betrachtet, so sind sie alle gleich. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nzu73mpnnb50uc8flpvfi32cf2vmdso 0 134132 780193 767428 2022-08-21T18:27:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P ||(a,b,c) |\in|V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |glatter Punkt| |Kontext=ebene projektive Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |ebenen projektiven Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|D_+(Z) || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |c |\neq|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das lineare homogene Polynom {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung|F|X}} (P) X + {{op:Partielle Ableitung|F|Y}} (P) Y+ {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} (P) Z |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Homogenisierung| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des affin-linearen Polynoms ist, das die Tangente in {{math|term= D_+(Z) |SZ=}} beschreibt, vergleiche {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Ebene algebraische Kurven/Glatter Punkt/Tangente/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g8bzimue16668eb9unb45npmhfuqanc 0 134157 783429 757109 2022-08-22T03:27:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ= }} eine natürliche Zahl. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= n|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |kongruente Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es eine rationale Zahl {{math|term= q|SZ=}} derart gibt, dass die drei Zahlen {{mathl|term= q-n,q,q+n|SZ=}} Quadrate in {{math|term= \Q|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qqfj0nl7zda2clfwcn01pl7nkstcyho 0 134267 779761 709325 2022-08-21T17:18:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n || {{op:Bruch|-5n^3+6n^2-n+8|11n^3+7n^2 +3n-1}} || || || |SZ= }} definierte Folge und wollen wissen, ob und gegebenenfalls wogegen sie konvergiert. Man kann {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht unmittelbar anwenden, da weder der Zähler noch der Nenner konvergiert. Allerdings kann man den folgenden Trick anwenden, man schreibt {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || {{op:Bruch| -5n^3+6n^2-n+8|11n^3+7n^2 +3n-1}} || {{op:Bruch| {{makl| -5n^3+6n^2-n+8 |}} {{op:Bruch|1|n^3}} | {{makl| 11n^3+7n^2 +3n-1 |}} {{op:Bruch|1|n^3 }} }} || {{op:Bruch| -5 + {{op:Bruch|6|n}} -{{op:Bruch|1|n^2}}+{{op:Bruch|8|n^3}} | 11 + {{op:Bruch|7|n}} +{{op:Bruch|3|n^2}}-{{op:Bruch|1|n^3}} }} || |SZ=. }} In dieser Form sind die Zähler- und die Nennerfolge konvergent, und zwar gegen {{ mathkor|term1= -5 |bzw.|term2= 11 |SZ=, }} und daher konvergiert die Folge gegen {{mathl|term= - {{op:Bruch|5|11}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5gllvd5cmbedotm76mu8m6wo8nbctz3 0 134842 779353 751171 2022-08-21T16:14:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma ||\Z + \Z {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ=, }} für das die Multiplikation mit {{math|term= {{imaginäre Einheit|}} |SZ=}} das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Invarianten/Streckungsverhalten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette | s || {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} an und erhalten {{ Ma:Vergleichskette/disp | g_3(\Gamma) || g_3( {{imaginäre Einheit|}} \Gamma) || {{imaginäre Einheit|}}^{-6} g_3(\Gamma) || || |SZ=. }} Daraus folgt {{ Ma:Vergleichskette | g_3(\Gamma) || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Endomorphismenringes eines eindimensionalen komplexen Torus |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b435q3dvghbfuul44pq0rghgewg91h6 0 134843 779351 751169 2022-08-21T16:14:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma || \Z + \Z {{op:Bruch|-1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}}|2|}} || || || |SZ=, }} für das die Multiplikation mit {{math|term= {{op:Bruch|-1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}}|2|}} |SZ=}} das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Invarianten/Streckungsverhalten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette | s || {{op:Bruch|-1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}}|2|}} || || || |SZ= }} an und erhalten {{ Ma:Vergleichskette/disp | g_2(\Gamma) || g_2( {{op:Bruch(|-1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}}|2|}} \Gamma) || {{op:Bruch(|-1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}}|2|}}^{-4} g_2(\Gamma) || || |SZ=. }} Daraus folgt {{ Ma:Vergleichskette | g_2(\Gamma) || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Endomorphismenringes eines eindimensionalen komplexen Torus |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6s80910mb7icxax952ahzr0fy9r8nqu 0 134918 779918 738040 2022-08-21T17:42:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine konstante Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | {{KRC|}}| {{KRC|}} |x|c |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jedem vorgegeben {{math|term= \epsilon |SZ=}} kann man hier ein beliebiges {{math|term= \delta |SZ=}} wählen, da ja ohnehin {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(f(x),f(x')) ||d(c,c) ||0 |\leq|\epsilon || |SZ= }} gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Objektkategorie2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e5v90a3fx8r7aokrdexrj40tz35nkqw 0 134919 779920 752081 2022-08-21T17:42:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Funktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{KRC|}} | {{KRC|}} |x|cx |SZ=, }} mit einem Proportionalitätsfaktor {{ Ma:Vergleichskette |c |\neq|0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Ma:Vergleichskette/k |c ||0 || || || |SZ= }} ist die Funktion konstant und somit auch stetig| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon |SZ=}} kann man unabhängig vom Punkt {{math|term= x|SZ=}} hier {{ Ma:Vergleichskette | \delta || {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag|c|}} }} || || || |SZ= }} wählen: Wenn nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(x,x') |\leq| \delta || {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag|c|}} }} || || || |SZ= }} gilt, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(f(x),f(x')) || d(cx,cx') || {{op:Betrag|c|}} \cdot d(x,x') |\leq| {{op:Betrag|c|}} \cdot \delta || {{op:Betrag|c|}} \cdot {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag|c|}} }} || \epsilon |SZ=. }} Insbesondere ist die Identität {{ Ma:abbele/disp |name= | {{KRC|}} | {{KRC|}} |x|x |SZ=, }} stetig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Objektkategorie2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3pnanvpddq3d8iajcjo002jwdo7299h 0 134926 779081 763214 2022-08-21T15:32:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in affiner kurzer Weierstraßform {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 || x^3+ax+b || (x- \lambda_1) (x- \lambda_2)(x- \lambda_3) || || |SZ= }} besitzen die {{ Definitionslink |Prämath= |regulären Funktionen| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einer offenen Menge im Allgemeinen keine eindeutige Darstellung als Bruch. Die Kurvengleichung kann man beispielsweise direkt als {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|y|x- \lambda_1}} || {{op:Bruch|(x- \lambda_2)(x- \lambda_3)|y}} || || || |SZ= }} interpretieren, und dies ergibt eine reguläre Funktion auf {{mathl|term= D(x- \lambda_1, y)|SZ=.}} Diese Funktion ist allein im Punkt {{mathl|term= ( \lambda_1,0) |SZ=}} nicht definiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2=Theorie der algebraischen Funktionen auf Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ewrdgbys5py7o028f8a9dnta6mk3abm 0 134933 779095 763223 2022-08-21T15:34:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= F|SZ=}} die kubische Gleichung einer {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in kurzer homogener Weierstraßform, also {{ Ma:Vergleichskette |F ||Y^2Z- X^3-aXZ^2-bZ^3 || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | V_+(F)| {{op:Projektive Gerade|K|}} |(x,y,z)| (x,y) |SZ=. }} Diese ist die Einschränkung des Morphismus {{ Zusatz/Klammer |text=einer {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion weg von einem Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Ebene|K|}} \setminus \{ (0,0,1) \} | {{op:Projektive Gerade|K|}} |(x,y,z)| (x,y) |SZ=, }} und damit selbst ein Morphismus. Auf der affinen Gerade {{ Ma:Vergleichskette | D_+(x) |\subseteq| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} ist diese Abbildung mit {{ Ma:Vergleichskette |U || Y/X || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V || Z/X || || || |SZ= }} gleich {{ Ma:abbele/disp |name= |V( U^2V-1-aV^2-bV^3) | {{op:Affine Gerade|K|}} | (u,v)| u |SZ=. }} Dies ist eine endliche Abbildung, da {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[U] |\subseteq| K[U,V]/(U^2V-1-aV^2-bV^3) || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Ringerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Basis {{math|term= 1,V,V^2 |SZ=}} ist. Auf der affinen Gerade {{ Ma:Vergleichskette | D_+(y) |\subseteq| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} ist diese Abbildung mit {{ Ma:Vergleichskette |S || X/Y || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |T || Z/Y || || || |SZ= }} gleich {{ Ma:abbele/disp |name= |V( T-S^3-aST^2-bT^3) | {{op:Affine Gerade|K|}} | (s,t)| s |SZ=. }} Dies ist ebenfalls eine endliche Erweiterung mit einer Basis aus {{math|term= 3|SZ=}} Elementen. Wir betrachten nun die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | V_+(F)| {{op:Projektive Gerade|K|}} |(x,y,z)| (x,z) |SZ=, }} die auf {{math|term= D_+(Z) |SZ=}} die Einschränkung des Morphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Ebene|K|}} \setminus \{ (0,1,0) \} | {{op:Projektive Gerade|K|}} |(x,y,z)| (x,z) |SZ=, }} sei und die darüberhinaus {{math|term= (0,1,0) |SZ=}} auf {{mathl|term= (1,0 )|SZ=}} abbildet. Die Stetigkeit ist klar. Auf der affinen Gerade {{ Ma:Vergleichskette | D_+(z) |\subseteq| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} ist diese Abbildung mit {{ Ma:Vergleichskette | W || X/Z || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R || Y/Z || || || |SZ= }} gleich {{ Ma:abbele/disp |name= | V( R^2-W^3-aW-b) | {{op:Affine Gerade|K|}} | (w,r)| w |SZ=, }} was der endlichen Ringerweiterung {{ Ma:Vergleichskette/disp |K[W] |\subseteq| K[W,R]/( R^2-W^3-aW-b) || || || |SZ= }} mit der Basis {{math|term= 1,R |SZ=}} entspricht. Oberhalb von {{ Ma:Vergleichskette | D_+(x) |\subseteq| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} betrachten wir nicht {{ Zusatz/Klammer |text=die scheinbar natürlichere Definitionsmenge| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= D_+(x) |SZ=,}} da dies {{mathl|term= (0,1,0) |SZ=}} nicht enthält, sondern {{mathl|term= D_+( Y^2-bZ^2) |SZ=.}} Der zugehörige Ring ist schwieriger zu beschreiben, aber auch endlich vom Grad {{math|term= 2 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i65pubb9fmjomqv6miaoytwkfhgakrx 0 134964 780359 767529 2022-08-21T18:55:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|K || || || |SZ= }} eine Telmenge, die das {{ Definitionslink |Supremum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|K || || || |SZ= }} besitze. Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} in {{math|term= T |SZ=}} gibt, die gegen {{math|term= x |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pypdug7vwb1qwen0z2d87xxn35jqd5g 0 134985 780178 767414 2022-08-21T18:25:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |periodische Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der periodischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der gleichmäßigen Stetigkeit (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8no9bypkh0fiy92as1ovr67cym0p2e6 0 135083 780358 767560 2022-08-21T18:55:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= K|SZ=,}} wobei {{math|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} gegen {{math|term= x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiere| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Differenzenfolge {{mathl|term= x_n-y_n|SZ=}} sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=}} ebenfalls gegen {{math|term= x|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3xcorz1m8kuyf9f0a8e2j01c7ubmg5o 2 135118 784661 745584 2022-08-22T06:42:01Z C.Koltzenburg 13981 wikitext text/x-wiki = ref = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... 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Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Aufschlagwasser = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Aufschlagwasser <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rheinpatent = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rheinpatent <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Passau = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Taubergrund bei Creglingen = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Taubergrund_bei_Creglingen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Biologischer Arbeitsstoff-Toleranzwert = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Biologischer_Arbeitsstoff-Toleranzwert <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Motoneuron = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Motoneuron <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Susanne Thurn = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Susanne_Thurn <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Reisende auf einem Bein (Herta Müller) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] mitverfasst und publiziert, nachträglich bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rein Gold (Elfriede Jelinek) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] mitverfasst und publiziert, nachträglich bearbeitet und gekürzt.</ref> = Diversität (Soziologie)= https://de.wikipedia.org/wiki/Diversit%C3%A4t_(Soziologie) Miteinander von Menschen mit unter­schied­lichem politischen, ethni­schen, sozio­demo­graf­ischen und welt­anschau­lichen Hinter­grund, unter­schied­lichem Geschlecht, Alter und natür­licher genetischer Vielfalt (Straßenfest in München, 2015) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Diversity Management = '''Diversity Management''' (auch Managing Diversity) bzw. '''Management der Vielfalt''' ist Teil des Personalwesens (englisch: Human Resource Management) und wird meist im Sinne einer konstruktiven Nutzung der in einem Unternehmen oder einer anderen Organisation vorfindbaren personellen und sozialen Vielfalt verwendet. Diversity Management toleriert nicht nur die individuelle Verschiedenheit (englisch: diversity) der Mitarbeiter, sondern hebt diese im Sinne einer positiven Wertschätzung besonders hervor und versucht, sie für den Unternehmenserfolg nutzbar zu machen. Die klassische Betriebswirtschaftslehre geht davon aus, dass die Diversität der Mitarbeiter nicht im Fokus ihres Gestaltungsinteresses steht, sondern nur einer von vielen sozialen Faktoren des betrieblichen Verwertungsprozesses ist. Im Gegensatz dazu besteht das Ziel des Diversity Management darin, diese Diversität der Arbeitskräfte zu nutzen und deren Differenzen bewusst im Sinne des Unternehmens zu gestalten, unter anderem um neue externe Rekrutierungspotenziale zu erschließen, die Vielfalt der externen Kundschaft oder Klientel auch innerhalb der eigenen Arbeitsorganisation besser abzubilden (Diversity Marketing), eine dysfunktionale soziale Diskriminierung von Frauen und Minderheiten zu verhindern, Beschäftigten bisher in Führungspositionen unterrepräsentierter Gruppen Karrierewege zu ermöglichen und dadurch die Motivation, Wettbewerbsfähigkeit und Kreativität zu steigern. Diversity Management fokussiert in der Europäischen Union die gesetzlich durch das AGG oder andere Rechtsprechung vorgegebenen Merkmale wie Geschlecht, Ethnie, Alter, Behinderung, sexuelle Orientierung und Religion. Zusätzlich zu den im Gleichbehandlungsgesetz (AGG) (– umgangssprachlich auch Antidiskriminierungsgesetz) genannten „Primärdimensionen“ werden gelegentlich auch „Sekundärdimensionen“ genannt, die durch ein Diversity Management berücksichtigt werden sollen: das Einkommen, der berufliche Werdegang, die „geografische Lage“, der Familienstand, die Elternschaft und die (Aus-)Bildung einer Bewerber*in bzw. Mitarbeiter*in. In noch stärker ausdifferenzierten Konzepten des Diversity Managements werden auch Kategorien wie Unterschiede in Fähigkeiten, Kompetenzen, Arbeitsstil und Verhalten aller Art berücksichtigt. Das Diversity Mainstreaming durch staatliche Verwaltungen verwendet dieselben Begriffe wie das Diversity Management in Unternehmen. Es orientiert sich jedoch weniger an wirtschaftlichem Profitstreben als vielmehr am Gedanken sozialer Gerechtigkeit und der Herstellung von Chancengleichheit für alle Menschen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Diversity Management" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diversity_Management&oldid=217194241 Version vom 11.11.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Nella (...) = Zytglogge Verlag = (Wienbezug) Élisabeth Vigée-Lebrun = https://de.m.wikipedia.org/wiki/%C3%89lisabeth_Vig%C3%A9e-Lebrun = Erdüberlastungstag = 4. Mai war für DE 2022 = Sonnenfinsternis vom 20. März 2015 = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Sonnenfinsternis_vom_20._M%C3%A4rz_2015 = Cyber-physisches System = https://de.wikipedia.org/wiki/Cyber-physisches_System <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Empfänger (Information) = https://de.wikipedia.org/wiki/Empf%C3%A4nger_(Information) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = AusbildungPlus = https://de.wikipedia.org/wiki/AusbildungPlus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nummer zur Kennzeichnung der Gefahr = https://de.wikipedia.org/wiki/Nummer_zur_Kennzeichnung_der_Gefahr <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rothwald (Dürrenstein) = hier wurde seit der Eiszeit weder gefällt noch gesät (Screen-Werbung mit schwarzem Salamander im Hbf Stgt 25.4.) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Schweizerischer Wissenschaftsrat = https://de.wikipedia.org/wiki/Schweizerischer_Wissenschaftsrat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = BioEnergie Park Güstrow = https://de.wikipedia.org/wiki/BioEnergie_Park_G%C3%BCstrow <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Ausl%C3%A4nder raus! Schlingensiefs Container = https://de.wikipedia.org/wiki/Ausl%C3%A4nder_raus!_Schlingensiefs_Container <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Bernadette La Hengst = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = HX-63 (Dechiffriermaschine) = https://de.wikipedia.org/wiki/HX-63 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Landesarchiv Saarbrücken = https://de.wikipedia.org/wiki/Landesarchiv_Saarbr%C3%BCcken <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... 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Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Linzer Eisenbahnbrücke (1900) = Ehemalige Eisenbahn- und Straßenbrücke in Linz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sauerstoffkreislauf = Transport und die Speicherung von Sauerstoff in der Erdatmosphäre, Biosphäre und Lithosphäre <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Weiden in der Oberpfalz = kreisfreie Stadt in Bayern, Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Intarsie = Holzeinlegearbeit <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Root Leeb = deutsche Schriftstellerin, Malerin, Illustratorin <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Privatautonomie = '''Privatautonomie''' ist das Recht, seine privaten Rechtsverhältnisse nach eigener Entscheidung zu gestalten. Sie entspricht dem Ideal, in einer freien Gesellschaft nach dem je eigenen Willen im Rahmen rechtlicher Bestimmungen selbstverantwortlich zu handeln. Der Begriff wird in der Rechtswissenschaft und der Rechtsphilosophie, sinngemäß aber auch in der Pädagogik verwendet. Er entstammt dem Denken des Liberalismus und setzt voraus, dass menschliche Handlungen auf Vernunft beruhen. Verfassungsrechtlich ist die Privatautonomie in Deutschland Teil des allgemeinen Prinzips der Selbstbestimmung des Menschen und wird zumindest im Kern durch den fundamentalen {{Art.|1|gg|juris}} in Verbindung mit der [[Allgemeine Handlungsfreiheit|allgemeinen Handlungsfreiheit]] nach {{Art.|2|gg|juris}} Abs.&nbsp;1 [[Grundgesetz für die Bundesrepublik Deutschland|GG]] geschützt.<ref>[[Bundesverfassungsgericht|BVerfG]], Beschluss vom 4. Juni 1985, Az. 1 BvL 12/84, {{BVerfGE|70|115}}, 123; BVerfG, Beschluss vom 13. Mai 1986, Az. 1 BvR 1542/84, {{BVerfGE|72|170}}.</ref> Privatautonomie äußert sich im [[Zivilrecht]] in der [[Vertragsfreiheit]], der [[Vereinigungsfreiheit]], der [[Eigentumsfreiheit]] (→ [[Verfügungsrecht]]), der [[Eheschließungsfreiheit]] und der [[Testierfreiheit]]. Der Einzelne ist berechtigt, Rechte und Pflichten zu begründen, zu ändern oder aufzuheben. Über die bloßen [[Freiheitsrechte]] hinaus, ist er im Rahmen der [[Rechtsordnung]] mithin in der Lage, eigenverantwortlich rechtsverbindliche Regelungen zu treffen.<ref>[[Otto Palandt]]: ''[[Grüneberg (Gesetzeskommentar)|Bürgerliches Gesetzbuch]]''. C. H. Beck, 73.&nbsp;Auflage, München 2014, ISBN 978-3-406-64400-9, Überbl v §&nbsp;104 Rn.&nbsp;1.</ref> Soweit die Privatautonomie zu den unverzichtbaren Grundwerten einer freiheitlichen Rechts- und Verfahrensordnung gehört, muss Missbrauch wirksam begegnet werden können, weshalb zum Schutze der [[sozialstaat]]lichen Rechtsordnung der Gesetzgebung und der Rechtsprechung ein instrumentell eingebetteter Verantwortungsbereich zukommt.<ref>BVerfGE [[JuristenZeitung|JZ]] 90, 692.</ref> Tatsächlich nämlich bestehen zum Teil große Unterschiede zwischen den Menschen, zum Beispiel in Bezug auf ihre wirtschaftlichen Möglichkeiten, ihr [[Wissen]] und ihre Gewandtheit. In der Realität ist nicht jeder wirtschaftlich und sozial tatsächlich [[Gleichberechtigung|gleichberechtigt]], beziehungsweise nur wenige sind materiell in der Lage, ihre rechtlichen Freiheiten zu nutzen, und vermutlich selten, wenn nicht sogar nie, wird jeder Wille ohne, zum Teil unterschwellige, Zwänge geäußert. Zum Schutz solcher Menschen vor einer Benachteiligung sieht die Rechtsordnung Einschränkungen der Privatautonomie vor. Diese Einschränkungen sollen jeden einzelnen entsprechend seinem Vorsprung an wirtschaftlicher Macht oder an Wissen treffen. Beispiele für derartige Einschränkungen der Privatautonomie im Zivilrecht sind die [[Allgemeine Geschäftsbedingungen|AGB-Kontrolle]], das soziale [[Mietvertrag (Deutschland)|Mietrecht]], [[Kontrahierungszwang|Kontrahierungszwänge]] und zahlreiche [[Verbraucherschutz|verbraucherschützende]] Vorschriften im [[Bürgerliches Gesetzbuch|Bürgerlichen Gesetzbuch]] (BGB), zum Beispiel über das [[Widerrufsrecht]] bei [[Vertrag|Verträgen]], die außerhalb von Geschäftsräumen oder im Fernabsatz geschlossen wurden. Diesen Beispielen, in denen der wirtschaftlich Schwächere durch den Kontrahierungszwang vor eventuell [[Diskriminierung|diskriminierender]] Ablehnung seines Antrags geschützt werden soll, stehen insbesondere im [[Versicherungsvertrag]]srecht Pflichten zur [[Deckungsvorsorge]] gegenüber. Ein Beispiel ist die Versicherungspflicht nach den Bestimmungen des [[Pflichtversicherungsgesetz]]es für Kraft[[fahrzeughalter]], nach deren Muster zahlreiche [[Versicherungspflicht]]en im Bereich der [[Haftpflichtversicherung]] ausgestaltet sind. Das Pflichtversicherungsgesetz zwingt den Kraftfahrzeughalter zum Abschluss einer Versicherung aufgrund [[Kontrahierungszwang]]s ({{§|5|pflvg|juris}} [[Pflichtversicherungsgesetz|PflVG]]). <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Privatautonomie" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Privatautonomie&oldid=221821487 Version vom 5.4.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Künstlerisches Entwicklungsvorhaben = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mitteldeutsches (Braunkohle)Revier = BMBF https://www.bmbf.de/bmbf/shareddocs/pressemitteilungen/de/2021/07/230721-Gr%C3%BCndung-Groschforschungszentren.html <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Kaltluftstau = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Bärtierchen = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Höllenlöcher = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Pinge/ Abraumhalde = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Erzgebirge = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Köcherfliegenlarve = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Feuersalamander = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mofette = Austrittspunkt von Kohlendioxid, Begleiterscheinung des Vulkanismus Erzgebirge <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Christa Muth = https://de.wikipedia.org/wiki/Christa_Muth Bekannt wurde Muth durch ihren Einsatz für die nicht materiellen Faktoren für den Erfolg in Organisationen und Unternehmen. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hesselberg = https://de.wikipedia.org/wiki/Hesselberg <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = (Gotha) Europeade = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Europeade <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Erste Kursächsische Landesaufnahme = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Erste_Kurs%C3%A4chsische_Landesaufnahme <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hildegard von Bingen = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hildegard_von_Bingen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hildegaard Knef = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hildegard_Knef <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Elektronenbeugung = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Elektronenbeugung <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Villa Rustica (Laucherthal) = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Villa_Rustica_(Laucherthal) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dichterarzt = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dichterarzt <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Pfleger (Mittelalter) = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Pfleger_(Mittelalter) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hartmannbund = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Fließband = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Lichtfarbe = https://de.wikipedia.org/wiki/Lichtfarbe <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nichtbenutzungseinrede = https://de.wikipedia.org/wiki/Nichtbenutzungseinrede <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Zaha-Hadid-Haus (Wien) = https://de.wikipedia.org/wiki/Zaha-Hadid-Haus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Talsperre Wechmar = https://de.wikipedia.org/wiki/Talsperre_Wechmar <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Talsperre Wechmar" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Alter Friedhof (Greifswald) = [[Datei:Erbbegräbnis-von-Hildebrandt-Dänischenhagen.JPG|mini|300px|Mausoleum der Familie von Hildebrandt in Dänischenhagen, errichtet 1884]] <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Alter Friedhof (Greifswald)" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Corbusierhaus, Flatowallee 16, Berlin = https://de.wikipedia.org/wiki/Corbusierhaus anderes Foto: Datei:Corbusierhaus_B-Westend_06-2017.jpg (aus dem Artikel "https://de.wikipedia.org/wiki/Flatowallee") <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Corbusierhaus" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Meteorologisches Observatorium Hohenpeißenberg = dw.com: umformulieren Die älteste Bergwetterwarte der Welt liegt 977 Meter über Normalnull auf dem Hohen Peißenberg, etwa 60 Kilometer südwestlich von München: Das Meteorologische Observatorium Hohenpeißenberg. Dort werden seit 1781 meteorologische Daten erfasst. Auch werden dort "Methoden zur Verbesserung der Wettervorhersage und von Wetterwarnungen entwickelt", so die Website der Station. Die Warte war von Beginn an Teil eines Wetterbeobachtungsnetzes mit Dutzenden Stationen vom Ural bis Nordamerika und von Grönland zum Mittelmeerraum. Während heute Wetterdienste mit Hilfe von Computern und Satelliten systematisch Wetterphänomene beobachten und aufzeichnen, um möglichst präzise Wetterprognosen zu machen, waren Menschen viele Jahrhundertelang auf Beobachtungen und Erfahrungswissen angewiesen. <ref>[[https://www.dw.com/de/der-april-macht-was-er-will-bekannte-bauernweisheiten/a-52430233 "Der April macht, was er will – bekannte Bauernweisheiten", Deutsche Welle, dw.com, 3.4.2020]]</ref> https://de.wikipedia.org/wiki/Hohenpei%C3%9Fenberg <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [http://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und um Infos aus anderen Quellen (siehe Einzelnachweise) leicht ergänzt.</ref> = Cap Anamur/Deutsche Not-Ärzte = https://de.wikipedia.org/wiki/Cap_Anamur/Deutsche_Not-%C3%84rzte <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Cap Anamur/Deutsche Not-Ärzte" in der [http://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und leicht ergänzt.</ref> = Allmende = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Jacqueline Badran = Schweiz: Steuervotum https://de.m.wikipedia.org/wiki/Jacqueline_Badran s. Artikel Süddeutsche, Foto wp <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Florence Brokowski-Shekete = https://de.wikipedia.org/wiki/Florence_Brokowski-Shekete BaWü Schulamtsdirektorin s. Nürtinger Zeitung, 15.2.2022 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] sowie einer externen Pressequelle (Nürtinger Zeitung bm 15.2.2022, S. 3) und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet.</ref> = Armut und Gesundheit in Deutschland e.V. = (Trabert) = Kunstfreiheit = Danger Dan bei Jan Böhmermann in "ZDF Magazin Royal" <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Maryam Zaree und Nargess Eskandari-Grünberg = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Majuskel = Benjamin 1991 Gesammelte Schriften Bd. I-IV, I, 1, 382 Einführung der Majuskel in der Barockepoche (in wlb GN 9458/ 66 6192, S. 71) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = International Alliance of Women = https://de.m.wikipedia.org/wiki/International_Alliance_of_Women <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Yoko Tawada = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Art Déco = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Art_d%C3%A9co <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Amrum = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Seewege de / Finnland / Schweden/ Litauen etc. = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Sprach"grenze" Südtirol = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze de-ch/it = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft bilingual de/räto = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/f-Schweiz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze A/sl Österreich = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/nl = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/be = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d(dr)/cz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/pl (Stettin) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft d/dk = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze A/CH = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze A/hu = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Passau = inkl. 2015 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Rehhügel = https://de.wikipedia.org/wiki/Rehh%C3%BCgel <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kriegskinder = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Dt. Kolonialgeschichte = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Hanglage = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = [Stilmittel Film] = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Saale = https://de.wikipedia.org/wiki/Saale <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Wasserkraftwerk Kardaun = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Violoncello = = Endlagersuche in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Endlagersuche_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Film... = = Atommülltransporte in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Atomm%C3%BClltransporte_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Bundesautobahnen in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Bundesautobahnen_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ring Road (Afghanistan) = https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_Road_(Afghanistan) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Radikalenerlass/ Berufsverbote (Deutschland) = https://de.wikipedia.org/wiki/Berufsverbot_(Deutschland) = Salzbergwerk = https://de.wikipedia.org/wiki/Salzbergwerk <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Zahnkrone = https://de.wikipedia.org/wiki/Zahnkrone <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Mahsati Ganjavi = https://de.wikipedia.org/wiki/Mahsati <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kindesunterhalt (Deutschland)= https://de.wikipedia.org/wiki/Kindesunterhalt_(Deutschland) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Normalklima (Textil...) = https://de.wikipedia.org/wiki/Normalklima <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = L’Ultima Cena (Das letzte Mahl) (Haigerloch) = Datei:Haigerloch_2010.JPG Last Supper by Leonardo da Vinci.jpg https://de.wikipedia.org/wiki/Das_Abendmahl_(Leonardo_da_Vinci) https://de.wikipedia.org/wiki/Haigerloch#Kunst <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ottoschacht = https://de.wikipedia.org/wiki/Ottoschacht <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Antiquariat = https://de.wikipedia.org/wiki/Antiquariat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kantorhaus (Herford) = https://de.wikipedia.org/wiki/Kantorhaus_(Herford) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Frankenstraße 28 (Stralsund) = https://de.wikipedia.org/wiki/Frankenstra%C3%9Fe_28_(Stralsund) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Stiersches Haus = https://de.wikipedia.org/wiki/Stiersches_Haus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Rettungswagen = https://de.wikipedia.org/wiki/Rettungswagen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Mehrnoush Zaeri-Esfahani = s. Lesezeichen / Spenderin an Flüchtlingsrat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Maryam Zaree und Nargess Eskandari-Grünberg = Dezernat II: Bürgermeisterin, Diversität, Antidiskriminierung und gesellschaftliches Zusammenleben<br/> Bürgermeisterin Dr. Eskandari-Grünberg <br/> Vertreter: Oberbürgermeister Feldmann <br/> 15 Amt für Multikulturelle Angelegenheiten <br/> 15A Geschäftsstelle der Kommunalen Ausländer- und Ausländerinnenvertretung in Frankfurt am Main <br/> Zuständigkeit für: Religionen / Rat der Religionen (in Absprache mit Dezernat I) = Amira Mohamed Ali = https://de.wikipedia.org/wiki/Amira_Mohamed_Ali <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Charlotte Wiedemann = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Silva Semadeni = https://de.wikipedia.org/wiki/Silva_Semadeni <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Viola Priesemann = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Viola_Priesemann <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Copyleft = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Copyleft <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Haut = https://de.wikipedia.org/wiki/Haut <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Polyethylen = https://de.wikipedia.org/wiki/Polyethylen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Remanenz = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Remanenz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Vorarlberg + Abstimmungen (s. Notz) = https://de.wikipedia.org/wiki/Vorarlberg pic Schaubild Politisches System <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Seit 1356 Föderalismus in Deutschland = erwartete Sprachkenntnisse: Latein, Deutsch, Tschechisch und Italienisch https://de.wikipedia.org/wiki/Goldene_Bulle , inspiriert durch [https://www.deutschlandfunknova.de/beitrag/ursprung-des-foederalismus-das-metzer-gesetzbuch-und-die-goldene-bulle "Ursprung des Föderalismus (in Deutschland). Die Goldene Bulle von 1356." Podcast vom 17.12.2021 bei ''Deutschlandfunk Nova''], ca. 40 Minuten. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Genossenschaftsbank = https://de.wikipedia.org/wiki/Genossenschaftsbank <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ötztal-Stubai-Kristallin = https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96tztal-Stubai-Kristallin <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Landschaftsschutzgebiet Medebacher Kernraum = : Quellmulden, Niederungszonen und Flächhänge https://de.wikipedia.org/wiki/Landschaftsschutzgebiet_Medebacher_Kernraum:_Quellmulden,_Niederungszonen_und_Fl%C3%A4chh%C3%A4nge <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Orangeroter Heftelnabeling = https://de.wikipedia.org/wiki/Orangeroter_Heftelnabeling <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = "Im Grase" (1844) = Annette von Droste-Hülshoff: "Im Grase" (1844) https://sammlungen.ulb.uni-muenster.de/hd/content/pageview/6564501 gelesen von ...? <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Einzelnachweise = <references/> 2c4ntfwhqmmj010fz9kjs0oi4i1ax8a 0 135130 782578 756351 2022-08-22T01:05:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= C|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |glatte Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q(C)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|Q(C)|}} | {{op:Weildivisorengruppe|C|}} |f| {{op:Hauptdivisor|f|}} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 22nyclfhtomb9htmzonwljxjtpv404t 0 135456 780149 748658 2022-08-21T18:17:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{math|term= \Z^n|SZ=}} induzierte jede {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= \R^n|SZ=}} über {{ Ma:Vergleichskette | h(P) || {{op:Norm|P|}}^2 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |schwache Höhenfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Endlichkeitsbedingung (3) ist klar {{ Zusatz/Klammer |text=man denke etwa an die {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} Die Dreiecksabschätzung ergibt {{ Ma:Vergleichskette/align | h(P+Q) || {{op:Norm|P+Q|}}^2 |\leq| {{makl| {{op:Norm|P|}} +{{op:Norm|Q|}} |}}^2 || {{op:Norm|P|}}^2 + {{op:Norm|Q|}}^2 + 2 {{op:Norm|P|}} \cdot {{op:Norm|Q|}} || h(Q) + {{op:Norm|P|}}^2 + 2 {{op:Norm|P|}} \cdot {{op:Norm|Q|}} |\leq| 2 h(Q) + S_1 |SZ=, }} wobei die letzte Abschätzung darauf beruht, dass bei fixiertem {{math|term= P |SZ=}} bis auf endlich viele Ausnahmen {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|P|}} |\leq| {{op:Bruch|1|2}} {{op:Norm|Q|}} || || || |SZ= }} gilt. In der Eigenschaft (2) gilt Gleichheit mit {{ Ma:Vergleichskette | S_2 || 0 || || || |SZ=, }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf einer kommutativen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 350h0w8f9m60atv0i62ckga0lmexdk4 0 135657 780199 767436 2022-08-21T18:28:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines jeden Punktes auf der projektiven Geraden {{math|term= {{op:Projektive Gerade|\Q|}} |SZ=}} eine positive natürliche Zahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f32is5j178ly73y01oeulq89ikqxxg3 0 135660 780198 767435 2022-08-21T18:28:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Punkte auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|\Q|}} |SZ=,}} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{mathl|term= 6,7,8,9,10|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8exa0qyvn5x80cw4ga0wrb96ppv0wf8 2 135703 786308 771284 2022-08-22T11:04:02Z Gkjv 35856 /* Angebot */ wikitext text/x-wiki Schriftliche Kommunikation für technische Kaufleute. Jeder Titel ist eine [[:w:Unterrichtseinheit|Unterrichtseinheit]] und ein Lernziel. Allgemeine Mittel: Umfrage z.B. mittels Forms. = [[:w:Unterrichtseinstieg|Sich kennenlernen]] = Stelle dich kurz im Plenum vor: „Wer bin ich? Was mache ich beruflich? Was will ich mit dieser Ausbildung?“ = [[:w:Schulnote#Schweiz|Sich qualifizieren]] = == Lernziele (= Bewertungskriterien) == * Korrekt schreiben: Rechtschreibe- und Kommaregeln befolgen * Verständlich schreiben: Einfach schreiben, den Text gliedern, [[:w:Prägnanz|prägnant]] schreiben, die Leserschaft wo nötig stimulieren * Klares Ziel, eindeutige AdressatInnen, passendes Kommunikationsmittel * Die Aufgabenstellung befolgen (dazu gehört: keine Information auslassen) == Bewertete Hausaufgaben == * …zielen auf individuelle Lösungen ab, Beispiel: „Schreibe eine Offerte deiner Firma“. * Deshalb unterscheiden sich alle Hausaufgabenlösungen stark voneinander. * Anonymisierte Ausschnitte der Hausaufgaben bieten sich als Quiz im Plenum an, Beispiel: „Von welchem Mitstudierenden stammt die Offerte“, und alle müssen raten. * Vorteil ist, dass nicht voneinander abgeschrieben werden kann. Rechtfertigung für erste bewertete Hausaufgabe: * Warum so rasch eine bewertete Aufgabe? Antwort: Ihr seid von der letzten Lektion her gut vorbereitet (Selbststudium oder Wahl). In anderen Fächern gibt es bis zu 5 Prüfungen pro Semester. * Warum keine präsentielle Prüfung? ::Antwort: Lernen auf HF-Niveau ist resultateorientiert: Kann die/der Studierende bis zu vorgegebener Frist einen qualitativ guten Text einreichen? ::Antwort: Eine erste Bewertung soll noch der Möglichkeit dienen, sich verbessern / auf "härtere" Prüfungen vorbereiten zu können. Eine Chance / Lernmöglichkeit. == Lernkontrolle als Unterrichtsbewertung == Schreibe einen Text über den (heutigen) Kurs. Beantworte dabei die Fragen: * Was hast du heute gelernt? Was war gut im Kurs? Was könnte der Dozent das nächste Mal besser machen? * Sende deinen Text im Word-Format bis [Datum, Uhrzeit] per E-Mail an [E-Mail-Adresse]. * Bewertungskriterien: Rechtschreibung, Kommas, Beantwortung der Fragen, pro Satz ein Gedanke. == [[Benutzer:Gkjv/Brief|Bewertung von Briefen]] == = Die Wichtigkeit von Sprache verstehen = {{Zitat|Worte sind Luft. Aber die Luft wird zum Wind, und der Wind macht die Schiffe segeln.|[[:w:Arthur Koestler|Arthur Koestler]]}} == [[:w:Corporate Identity|Corporate Identity]] == [[Datei:Republika Srpska police uniform 2014.png|mini|Uniform]] [[:w:Mehrdeutigkeit|Doppeldeutigkeit]] schafft [[:w:Wiedererkennungseffekt|Wiedererkennungseffekt]] durch [[:w:Unternehmenskommunikation|Kommunikation]] ([[:w:Slogan|Slogans]] usw.), [[:w:Corporate Design|Design]] ([[:w:Logo (Zeichen)|Logos]] usw.) usw. Beispiele: === Auftrag === In [[:w:Murmelphase|Buzz-Groups]] 5 Minuten ein identitätsstiftendes Element besprechen und danach im Plenum vorstellen: # '''Buzz-Group „Naive“:''' Ist „Freude am Fahren“ ein guter oder ein schlechter Slogan? # '''Buzz-Group „Autofreaks“:''' Ist „[[w:Vorsprung durch Technik|Vorsprung durch Technik]]“ ein guter oder ein schlechter Slogan? <small>(Jürgen Gietl: ''„Vorsprung durch Technik:“ Bleibt Audi mit altem Claim relevant?'' In: ''[[:w:Absatzwirtschaft (Zeitschrift)|Absatzwirtschaft]]'', 6. Oktober 2020.)</small> # '''Buzz-Group „Lustige“:''' Hat der Slogan von [[w:IKEA#Marketing und Kundenbindung|IKEA]] einen grossen Wiedererkennungswert? <small>([[:w:Reinhard Siemes|Reinhard Siemes]]: ''Alles Slogan oder was?'' In: ''[[:w:Der Tagesspiegel|Der Tagesspiegel]]'', 20. Oktober 2003. Neuer Slogan: „Eine bessere Welt fängt zu Hause an.“)</small> # '''Buzz-Group „Perfektionisten“:''' Betreibt [[w:Appenzeller (Käse)#Vermarktung|Appenzeller Käse]] gutes Marketing oder nicht? # '''Buzz-Group „Intellektuelle“:''' Was hält Slavoj Zizek von E-Scootern? <small>([[:w:Slavoj Žižek|Slavoj Žižek]]: ''Slavoj Žižek über E-Scooter: Klar, dass ich mich sofort verliebte.'' In: ''[[:w:Frankfurter Allgemeine Zeitung|Frankfurter Allgemeine Zeitung]]'', 14. Juli 2019.)</small> # '''Buzz-Group „Kritische“:''' Wofür wirbt [[w:Fatih Akin|Fatih Akins]] Film ''keine Angst vor niemand'' (2020)? # '''Buzz-Group „Widersprecher“:''' Wofür wirbt der Slogan „[[:w:Nestlé tötet Babys|Nestlé tötet Babys]]“? ==== Weiterführendes ==== * [[:w:Eva Illouz|Eva Illouz]]: ''Wa(h)re Gefühle: Authentizität im Konsumkapitalismus.'' Suhrkamp, 2018. === Aufgabe === Die Studierenden präsentieren ihre Firma anhand Wiedererkennungsmerkmale (Slogan, Logo) auf ihrer Website. === (Unbewertete) Hausaufgabe === Wie beurteilt ihr die Umsetzung der Corporate Identity eurer Firma auf der Website eurer Firma? Oder: Was macht eure Konkurrenzfirma besser als eure Firma in Sachen Unternehmenskommunikation? Schreibt einen Text von mindestens 100 Wörtern. Sendet ihn bis [Datum] im Wordformat an [E-Mail-Adresse Lehrperson]. Die Aufgabe ist eine Chance, Rechtschreibung und Kommas praktisch umzusetzen, ohne dass es eine Bewertung gibt. = Fehlerfrei schreiben = <gallery> Barber_shop_In_mashhad_08.jpg|mini|Er hat die schönste Frisur(,) weit und breit. 4377_-_Bern_-_Kindlifresserbrunnen_am_Kornhausplatz.JPG|mini|Wir essen jetzt(,) Kinder. Henriette Lorimier - The Gallant Couple.jpg|mini|Er will(,) sie nicht. </gallery> Kopien von Rechtschreibe- und Kommaübungen (z.B. COMPENDIO 2017, S. 18-19, 30 & 35) austeilen;</br> Studierende leiten im Plenum das Lösen der Aufgaben. Lehrperson thematisiert Wortarten und Satzbau. <gallery> Unbefugte werden kostenpflichtig abgeschleppt!, Jugendgästehaus Hütteldorf-Hacking.jpg|Verben Einteilung Wortarten.jpg|Wortarten Duden.jpg|[[:w:Duden#21. Auflage (Reformduden, 1996)|Duden]] Datei:Deppenleerzeichenflasche.jpg|Keine [[:w:Leerzeichen in Komposita|Leerzeichen in Komposita]] </gallery> # Sich gegenseitig durch Präsentation der eigenen Firmenkommunikation kennenzulernen.# Mit der deutschen Sprache (wieder) vertraut sein. Gelegenheit haben, Schwächen zu erkennen und früher Gelerntes gezielt wieder aufzufrischen. Unter Studierenden abgestimmt werden kann, ob die Auffrischung im Plenum oder in Einzelarbeit geschehen soll. # Gelegenheit haben, einen Text zu produzieren und darauf ein ausführliches Feedback zu erhalten, in welchem die Lehrperson Schwächen aufzeigt, die die Studierenden (individuell) auffrischen können. Rechtfertigung: * Warum so wenig Rechtschreibung? Weil die Studierenden schon alles in der Berufsschule (EFZ) gelernt haben. * Warum so viel Rechtschreibung? Weil Nichtmuttersprachler und Personen mit Nachteilsausgleich die gleiche Chance haben sollten. Ihre HF-Ausbildung ist technisch, nicht sprachlich. Deutsch soll kein "eliminatorisches" Fach sein (im Gegensatz zu Mathematik oder Elektrotechnik o.ä.). Mittel: Bestenfalls einen Text von Hand schreiben lassen, z.B. zur firmeneigenen Unternehmenskommunikation. (Genaue Bewertungsvorgaben?) Literatur: Bastian Sick: ''Das gefühlte Komma.'' In: ''Der Spiegel'', 22. Juli 2004. = [[:w:Textverständlichkeit|Verständlich schreiben]] = Ziel: „Nachhaltiges“ Schreiben: Bits und Kalorien einsparen (das ist gut für euch und für die Umwelt). [[:w:Sprachökonomie|Sprachökonomie]] Angela und Otto Jankos laienlinguistische Website listet anschauliche „gebildete Umschreibungen“ auf. Im Plenum raten lassen. Oder: [[:w:Kanzleistil|Kanzleistil]]. Geh davon aus, dass die [[:w:Experten-Laien-Kommunikation|Leserschaft „dumm“]] ist. Jeder Text soll so geschrieben sein, dass er ohne Weiteres verständlich ist und Rückfragen überflüssig sind. Manasi Gopalakrishnan: ''Warum die deutsche Sprache dekolonialisiert werden muss.'' In: ''Deutsche Welle'', 3. Juli 2022. == Verständlichkeit == [[Datei:Victory_podium.png|mini|Siegerpodest]] 1) Kopien aus [[:w:Hamburger Verständlichkeitskonzept|Schulz von Thuns]] ''[[:w:Miteinander reden|Miteinander reden]]'' Band 1 (2019) S. 164, 165, 166 und 169 machen (= 4 „Personenpaare“).</br> 2) An Whiteboard Präsentations-Aufträge schreiben: :::''a) Begriffe klären'' :::''b) Welche Person ist gut oder schlecht?'' :::''c) Was hat das mit mir zu tun?'' 3) Vier Gruppen bilden: Zettel verdeckt ziehen lassen: Gleiche arbeiten zusammen.</br> 4) Im Plenum Auftrag erteilen: Ihr habt fünf Minuten, euer Paar vorzustellen.</br> 5) „Siegerpodest“ erstellen: 1. Einfachheit & Ordnung, 2. Kürze, 3. Stimulanz.</br> ::<small>(Kompliziertheit und Unordnung sind immer schlecht; Weitschweifigkeit ist meistens schlecht; Stimulanz hängt von der Textsorte ab: Angebot (=Werbung) versus Reklamation (=juristischer Nachweis).</small> 6) Nach Bedarf/Zeit: Übungen von [[:w:Beat Döbeli Honegger|Beat Döbeli]] zum Thema „Verständlichkeit“ Drei Regeln:</br> # '''Ganze Sätze''': Jeder Satz hat ein Subjekt und ein Prädikat; Nebensätze dürfen nicht alleine stehen. (Ausnahme: „Vielen Dank…“ / „Danke…“) # '''Pro Satz ein Gedanke''': Zu lange Sätze müssen unterteilt werden. # '''Komplette Information''': Information darf nicht verloren gehen. == Stil == Kopien von Stilübungen (z.B. COMPENDIO 2017, S. 47-48 & 55-56) austeilen. Honegger 2020 Übungen (mit Lösungen) verfügbar machen. Vier Stilregeln: # [[:w:Nominalstil|Verben statt Nomen]]: "kaufen" statt "einen Kauf tätigen" # Aktiv statt Passiv: "Ich fahre das Auto" statt "Das Auto wird von mir gefahren" # Sie-Bezug: "Bitte entschuldigen Sie" statt "Ich entschuldige mich" # Keine Floskel: "Bitte..." statt "Könnten Sie...?" <!--''Medizynischer Liebeskummer'': Verständlichkeit (Fremdwörter) versus Stil (Poesie) Unschönes Erbe: [[:w:Sprache des Nationalsozialismus|Sprache des Nationalsozialismus]]: „Menschenmaterial“ = „Human Resources“? (Systemdenken). Wissenschaftliche Artikel zum Thema verfügbar machen.--> Übung: COMPENDIO 2017 Seite 168. = Sich schriftlich bewerben = Vorbereitung:</br> „Theorie“: COMPENDIO (2017) S. 148-157; HEP Korrespondenz S. 51-73; Richard Bolles’ ''[[:w:Durchstarten zum Traumjob|Durchstarten zum Traumjob]]''.</br> (Kopien von z.B. nur COMPENDIO S. 150 und 157) [[:w:Bildungsgang|Technische Kaufleute und Höhere Fachschule]] haben verschiedene Inhalte:</br> '''Technische Kaufleute''' besuchen das Fach ''Personalwesen'', daher brauchen sie keine Vertiefung in die Themen ''Lebenslauf'' und ''Bewerbungsschreiben''. Aber zwei Provokationen: # Das ''Bewerbungsschreiben'' kann durch [[w:Uwe Kanning|Uwe Peter Kannings]] Film „Anschreiben in Bewerbungsunterlagen“ (Reihe ''15 Minuten Wirtschaftspsychologie'') hinterfragt werden (Recruiter sollten "das Motivationsschreiben in den Papierkorb werfen"). # [[:w:Kompetenzmanagement|Kompetenzmanagement]] → ''Qualifikationsprofil''; wahrscheinlich im Fach ''Personalwesen'' nicht behandelt (COMPENDIO-Buch konsultieren).</br/ Ergänzend können zahlreiche (prüfungsvorbereitende) Aufgaben auf der Website des Verbandes Anavant (mit Musterlösungen) gelöst werden. '''Höhere Fachschul'''-Absolventen haben in ihrem Bildungsgang bei anderen Lehrpersonen einen kurzen Kurs „Kompetenzmanagement“, wo sie ihr dem HF-Rahmenlehrplan entsprechendes Qualifikationsprofil erstellen (zwecks Legitimation der Ausbildung HF). Als Vorbereitung für diesen anderen Kurs können Lebenslauf und Qualifikationsprofil erstellt werden (sowie mittels [[w:Uwe Kanning|Uwe Peter Kannings]] Film „Anschreiben in Bewerbungsunterlagen“ (Reihe ''15 Minuten Wirtschaftspsychologie'') das Bewerbungsschreiben hinterfragt werden. == [[:w:Stellenausschreibung|Stelleninserat]] == Aufgabe: '''Stelleninserat ordnen''': * Beispiel: COMPENDIO Seite 71 <small>(Methode: Strukturbaum)</small> * Lösung: Überschrift, Firma, Stelle, Anforderungen '''[[w:Geschlechtergerechte Sprache|Geschlechtergerechte Sprache]]''': * Sichtbarmachung versus Neutralisierung * Diskussion Erfahrung mit Diskriminierung bzw. Reklamationen betreffend Diskriminierung * Martin Reisigl: ''Neokonservative feuilletonistische Sprachkritik – eine linguistische Replik.'' In: ''Gender Campus'', Dezember 2018. Aufgabe: '''Eigene Stelle ausschreiben''':</br> Situation: Man wird Abteilungsleitung. Entweder man kann auf sein eigenes Stelleninserat zurückgreifen (wenn man sich auf ein Stelleninserat beworben hatte). Oder man hat kein Stelleninserat, zum Beispiel wenn man sich spontan beworben hat oder nach der Lehre direkt durch den Lehrbetrieb angestellt wurde. Hilfe zum Verfassen der eigenen Stellenausschreibung findet man im [[:w:Schweizerisches Dienstleistungszentrum Berufsbildung|schweizerischen Informationsportal der Berufs-, Studien- und Laufbahnberatung]] ''berufsberatung.ch''.</br> Innert 20 Minuten. Setzt Prioritäten: 1) Jobbeschreibung, 2) Anforderungen, 3) Firmenbeschrieb, 4) Was die Firma anbietet. == [[:w:Bewerbung#Anschreiben|Bewerbungsbrief]] == Bewerbungsbriefe sollten für den Papierkorb sein (frei nach Uwe Peter Kanning). Ausnahme: Persönlicher Bezug, persönlicher Text (Beispiel Bewerbung Zivildienst im lokalen Betrieb). '''Obligatorisch''': Zuunterst im Stelleninserat die Nummer der zukünftigen Chefin / des zukünftigen Chefs anrufen und Insiderwissen erfahren, das man dann an erster Stelle in den Bewerbungsbrief schreibt: "Sehr geehrte Personalberaterin Meine zukünftige Chefin (unsere gemeinsame Chefin berichtete mir... deshalb bewerbe ich mich für die Stelle" Theorie:</br> * COMPENDIO, Seite 149-151.</br> * HEP, Seite 53-56. Stelleninserate sehen oft standardisiert aus. Aber hat die Firma gerade spezielle Bedürfnisse (die von Standardbedürfnissen vergleichbarer Firmen abweichen)? Diese speziellen Bedürfnisse gilt es, herauszufinden und in den Bewerbungsbrief einfliessen zu lassen. Beispiele (egal für welchen Job): * Firma hat viele italienischsprachige Mitarbeitende ➔ Italienischkenntnisse ein Plus. * Firma stellt auf neue Software um ➔ IT-Affinität ein Plus. * Firma hat derzeit ein unangenehmes Arbeitsklima (zum Beispiel ein Genderproblem, ein Generationenproblem oder ein von Missverständnissen geprägtes Klima) ➔ eine Person mit ausgewiesenen [[w:Soziale Kompetenz|Sozialkompetenzen]] ist besonders gefragt. * Firma hat zahlreiche unqualifizierte Angestellte ➔ Geduld und nachweisbare Erfahrung mit langsamen Mitarbeitenden ist gefragt. Solche firmeninternen, “intimen” Sachen findet man nur durch Kommunikation heraus. Wenn man die im Inserat genannte Kontaktperson anschreibt oder anruft (und nur diese soll man kontaktieren), kann man erfahren, was hinter den Kulissen läuft. Dieses Wissen kann man dann in den Motivationsbrief einfliessen lassen. Man kann die Firma vor dem Vorstellungsgespräch auch besuchen. '''Auftrag:''' In welchen speziellen Situationen könnten sich die Firmen befinden, bei denen ihr euch bewerbt? Tauscht euch in Buzz-Groups aus. Kritik:</br> In seiner Reihe ''15 Minuten Wirtschaftspsychologie'' kritisiert [[w:Uwe Kanning|Uwe Peter Kanning]] das „Anschreiben in Bewerbungsunterlagen“: Recruiter sollten "das Motivationsschreiben in den Papierkorb werfen". Freiwillige Aufgabe:</br> Dem Dozenten einen Motivationsbrief zur Korrektur schicken. === Bewertete Hausaufgabe === Bitte sendet mir euren Bewerbungsbrief im Wordformat bis [Datum]. Kontakt-, Kern- und Schlussbotschaft zusammen müssen mindestens 100 Wörter beinhalten. Euer Brief muss wie folgt aufgebaut sein: 1) Absender 2) Empfänger 3) Datum 4) Betreff 5) Anrede 6) Kontaktbotschaft 7) Kernbotschaft 8) Schlussbotschaft 9) Grussformel 10) Unterschrift 11) Vorname, Name Pro fehlendes Element werden 0.1 Punkte abgezogen. Zudem geben Komma- und Rechtschreibefehler sowie Stilfehler (Nomen statt Verben, Passiv statt Aktiv, fehlender Sie-Bezug, Floskeln / unnötige Modalverben - wie im Unterricht gesehen) Abzug. Beste Grüsse == [[:w:Lebenslauf (Bewerbung)|Lebenslauf]] == Je 5 Minuten in 3-er-Gruppen gegenseitig Lebenslauf vergleichen. Wie würdet ihr euch in einem Kästchen zuoberst im Lebenslauf mit 3 Stichworten beschreiben? == ([[:w:Kompetenzmanagement|Kompetenzmanagement]] →) [[:w:Bewerbung#Kompetenzprofil|Qualifikationsprofil]] == # '''Schreibt eure''' beruflich ausgeübten/angewandten/nachgewiesenen '''Tätigkeiten/Fähigkeiten in ein Worddokument'''. Verwendet pro Tätigkeit/Fähigkeit eine neue Zeile (damit man die Tätigkeiten/Fähigkeiten danach einfach voneinander mittels Schere trennen kann). Jede Tätigkeit/Fähigkeit muss mit einem '''Verb''' enden; Beispiele: eine Maschine BEDIENEN, Anlagen PRÜFEN, Lehrlinge ANLEITEN, Mitarbeitende MOTIVIEREN. # Habt ihr Mühe, eure Kompetenzen aufzuschreiben? Konsultiert zur Hilfe 1) die Ausschreibung eurer Stelle, auf die ihr euch beworben hattet (und die ihr jetzt innehabt) oder 2) den Rahmenlehrplan eures Studiengangs im Berufsverzeichnis auf der Website des [[w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation|SBFI]]. # '''Lasst euer '''Worddokument''' (durch die Lehrperson) '''ausdrucken'''. # '''Schneidet''' das gedruckte Blatt so, dass auf jedem '''Schnipsel''' genau eine Tätigkeit/Fähigkeit steht. # '''Ordnet die Schnipsel auf eurem Tisch: '''gruppiert''' sie thematisch. Welche sinnvollen Kategorien stellen sich heraus? # '''Haltet eure Schnipselordnung fest, indem ihr sie abfotografiert oder die Tätigkeiten/Fähigkeiten sogleich entsprechend eurer auf dem Tisch geschaffenen Ordnung in eurem Worddokument anpasst. # Fertig ist euer Qualifikationsprofil. # Vergleicht eure Qualifikationsprofile untereinander. Könnt ihr eure Kompetenzen sinnvoller bündeln? Haben die anderen Studierenden sinnvollere Kategorien gebildet? '''QUALIFIKATIONSPROFIL''' Maria Muster, Musterstrasse 1, 1000 Musterstadt Angestrebte Funktion: Bauleitende Elektroinstallateurin '''Personalführung''' • Arbeitseinsätze für mehrere Arbeiter geplant • Arbeitsvorbereitung für Montageteam inklusive Materialbeschaffung und Organisation • Lehrlinge gemäss Lehrplan ausgebildet '''Projektleitung''' • Projekte vor Ort geleitet und Arbeitskräfte gemäss anstehenden Aufgaben eingeteilt • Projektabschluss: Mess- und Prüfprotokolle, Anlagendokumentationen erstellt • Besprechungen gewerkeübergreifend durchgeführt für weitere Bauplanung '''Persönlichkeit''' • Zuverlässige und exakte Arbeitsweise • Lösungsorientiertes Arbeiten • Interesse, an Herausforderungen zu wachsen === Bewertete Hausaufgabe (nur HF, nicht TK) === Bewertungsraster: '''Form''': Gilt für alle bewerteten Hausaufgaben dieses Kurses (um einen Minimalstandard zu gewähren): Worddokument, eigener Name im Dokumentnamen (Beispiel: ''Qualifikationsprofil_m.muster.docx''), Arial/Calibri 11/12, „Kein Leerraum“, Seitenränder 3,3,3,1.5 Spezifisch: 2 Spalten (Kategorie, Beschreibung), Vergangenheit '''Inhalt''': * Bezug auf beigelegtes Inserat * Bezug auf persönliche (bei Kurseinstieg vorgestellte) Laufbahn (deshalb einzigartig/persönlich = Einzelarbeit) = Texten = [[Datei:Smiling businesspeople (Unsplash).jpg|mini|Manchmal muss ich mündlich Gesagtes in geschriebenen Text umwandeln.]] Die Stilebene ist nur eine von dreien. Wir zoomen raus: 1) Wem schreibe ich? Was möchte ich mit dem Text?</br> 2) Wie ordne ich den Text besser? Welche Abschnitte wähle ich? Struktur-Beispiele: ::* [[:w:Anamnese|Anamnese]], [[:w:Diagnose|Diagnose]], [[:w:Therapie|Therapie]] ::* Kontaktbotschaft, Kernbotschaft, Schlussbotschaft ::* Was geschah bisher? Was geschieht jetzt? Was soll danach geschehen?</br> 3) Verständlichkeit (Schulz von Thun) & Stil (4+ Regeln) = Kommunizieren = Kommunikationsmittel, Kommunikationsziel und Zielgruppe '''Whiteboard:''' <u>[[:w:Kommunikationsmittel|Kommunikationsmittel]]</u> <u>Kommunikationsziel</u> Information, Motivation, Werbung, Instruktion, Prävention <u>Zielgruppe</u> Nicht zu viel, nicht zu wenig <small>Theorie: COMPENDIO 2017, Seiten 74-78.</small> <gallery> "The_messenger_of_love"_by_Leonard_Straszyński.jpg|Werbung HITRON_MH-65C_Fires_warning_shots.jpg|Prävention Woodstock redmond cocker.JPG|Motivation 170423-Einkaufszettel-01.jpg|Instruktion Sign - New Mexico - Truth Or Consequences - Exit (4892943477).jpg|Information </gallery> '''Aufgabe: Bestimme…''' Beispiel: Compendio 2017 Seite 80: * Aufgabe 28: Kommunikationsziel * Aufgabe 29: Kommunikationsmittel * Aufgabe 31 b): Zielgruppe → Situation: Chef(in) diktiert / teilt euch mündlich Unstrukturiertes mit: ihr müsst den Inhalt in eine '''Mitarbeiterinformation''' umwandeln. == Adressatengerecht schreiben == [[Datei:Smiling businesspeople (Unsplash).jpg|mini|Wie bringt ihr es euren Mitarbeitenden bei?]] '''Aufgabe: Eure Chefin teilt euch beim Vorbeigehen mit, was ihr euren Mitarbeitenden mitteilen solltet; ihr müsst die Information mitarbeitertauglich machen:''' Zum Beispiel Aufgabe Compendio 2017, S. 59-61.</br> Auswertung: Jede(r) Kursteilnehmer(in) lädt innert 15 Minuten (durchschnittlich verfügbare Zeit bei [[:w:Anavant|Anavant-Prüfungen]]) ihre/seine Mitarbeiterinformation auf die Plattform hoch.</br> Die Lehrperson lost zwei Arbeiten zur Besprechung im Plenum aus (Online-Zufallsgenerator) und stellt eine Musterlösung zur Verfügung. '''Sonstiges:''' * Übungen zum Thema „Texte überarbeiten“ (z.B. Compendio 2017, S. 62). * Simon Chen „Adressatengerecht schreiben“ auf der Site des Sprachwerks (Kurzfilm). <gallery> Prisonbars.svg|Gerüchte jetset yacht </gallery> = [[w:Mitarbeiterinformation|Mitarbeitende informieren]] = * Theorie: Compendio Seite 82. '''Aufgabe 1''' Komplizierten Text nach obigen Kriterien analysieren. Beispiel Compendio (2017) S. 59-61. Mit Zufallsgenerator wird ein(e) Studierende(r) ausgewählt, um die "Analyse" vorzustellen. '''Aufgabe 2''' Die Wirtschaftslage erfordert Veränderungen, andere Kompetenzen sind gefragt. Ihre Geschäftsleitung hat ein Budget für gezielte Weiterbildungen geschaffen. Sie fordern Ihre Mitarbeitenden auf, sich für z.B. Informatik- oder Englischkurse anzumelden. '''Aufgabe 3''' Ihre Chefin ist krank. Welche Folgen hat der Ausfall? Wie lange? Warum? Wer übernimmt Aufgaben? Sie müssen Ihre Mitarbeitenden informieren. = Selbstportrait = Tipp: Erstes Kapitel der überfachlichen HF-Vertiefungsarbeit ist ein Kurzporträt, eine Vorstellung der Autorin / des Autors. '''Aufgabe: sich als Führungskraft vorstellen''' Sie arbeiten seit gestern als Abteilungsleiterin in einem neuen Betrieb. Mitarbeitende fragen sich: Wer ist diese Person? Was ändert sich für mich?</br> Sie informieren über sich: Wer bin ich usw., siehe '''9 [[:w:Ergänzungsfrage|W-Fragen]]''' im Buch Compendio (2017) Seite 65: # Was passiert? # Wer bin ich? (eigene Rolle definieren) # Wen/Wem? (die Rollen deiner zukünftigen Mitarbeitenden definieren) # Wo? (Wer ist betroffen?) # Wann? (ab [Datum) # Warum? Zurückblickend: Die Abteilung wird neu (von mir) geleitet, weil ([das] passiert ist). Ich wurde ausgewählt / bin kompetent, weil [ich … geleistet habe] # Wozu? Vorausblickend: Unser gemeinsames Ziel ist… # Wie? Regelmässige Gespräche usw. # Woher? Gute gemeinsame Leistung beruht auf… Ich teile meinen zukünftigen Mitarbeitenden meine * [[:w:Führungserfolg#Führungsgrundsätze|Führungsgrundsätze]] (Effektivität, Effizienz und Wirtschaftlichkeit – oder Internet-Recherche des Begriffs „Führungsgrundsatz“) und * [[:w:Personalwesen#Hauptfunktionen|Werte]] (Entwicklung, Kommunikation, Betreuung usw. – oder Internet-Recherche des Begriffs „werteorientierte Führung“) mit. '''Aufgabe''': Finde die Fehler. Welche Note gibst du? Pro Fehler 0.1 Punkte Abzug: [Foto von Marge Simpson] Seit dem 1. Januar 2002 arbeite ich als Abteilungsleiterin in unserem Betrieb. Ich habe in Bärn meine Lehre als Mechanikerin abgeschlossen, und im Anschluss 4 Jahre Berufserfahrung gesammelt. Meine Wertvorstellungen als Projektleiterin stellt unsere Kundschaft in den Mittelpunkt. Die Kundschaft zeigt ihre Zufriedenstellung, wenn wir vereinbarte Ziele betreffend Qualität und Termine eingehalten. Dabei hilft mir mein gutes Organisationstalent und die Fähigkeit. mit externen Partnern von der Firmenchefin bis zur Handwerkerin zweifellos zu kommunizieren. Ich freue mich, ein kleines Team von 10 Mitarbeitenden führen können zu dürfen. In meinem Team werde ich eine familiäre Athmosphäre schaffen, in welcher Offenheit gilt und alle einem fairen Umgang miteinander pflegen. Alle Mitarbeitende werden angemessene Aufgaben zugeteilt bekommen und jedes Teammitglied soll sich weiterentwickeln können. Mitarbeitende fair zu führen bedeutet für mich, das man auch mein Verhalten als Vorgesetzte hinterfragen und eine Begründung für meine Kritik fordern darf, und nach Feierabend finde ich meine Work-Live-Balance durch meine Hobbys Klavierspielen und Velofahren. '''→ [[Benutzer:Gkjv/Selbstporträt#Beispiel|Lösung]]''' == Bewertete Hausaufgabe == '''[[Benutzer:Gkjv/Selbstporträt|Bewertung Selbstporträt]]''' Sende dein Selbstportrait als Worddokument bis und mit spätestens [Datum] an [E-Mail der Lehrperson]. Dein Text wird benotet. Bewertungskriterien sind: * Rechtschreibe- und Kommaregeln befolgen * Verständlich schreiben: Einfach schreiben, den Text gliedern * Die Aufgabenstellung befolgen * Auf sich bezogen (nicht für eine andere Person) schreiben * mindestens 140 Wörter = Fragen = == Firma vorstellen == '''9 [[:w:Ergänzungsfrage|W-Fragen]]''' im Buch Compendio (2017) Seite 65-66: …</br> 5. …</br> 6. Warum gibt es unsere Firma? <small>(retrospektiv)</small></br> 7. Wozu arbeiten wir? <small>(prospektiv)</small></br> 8. …</br> 9. …</br> == Mitarbeitende befragen == '''Fragen auswählen''' Vorbereitung: Kopien zum Thema „Fragen stellen“ (z.B. Compendio S. 73) Thema: Was erwarten meine Mitarbeitenden?</br> 1) Erklärvideo Mitarbeiterführung: "Ein unmotivierter Mitarbeiter kostet viel Geld".</br> 2) Websiten "Erwartungen an Vorgesetzte": viele "goldene Regeln": Authentizität, Kompetenz, offene Kommunikation, Perspektiven, Respekt, Vertrauen usw..</br> 3) Welche Frage-Arten gibt es? Geschlossene/Offene, W-Fragen. COMPENDIO S. 64-65.</br> 4) Welche Fragen stelle ich in der Umfrage? Mind-Map: COMPENDIO S. 70.</br> 5) In Zweiergruppen Umfragen mit SurveyM oder Forms erstellen. Die anderen beantworten die Umfrage.</br> 6) Umsetzung: [[w:Mitarbeiterbefragung|Mitarbeiterbefragung]]</br> 7) In Vierergruppen Schlussbilanz ziehen. '''Anleitung halboffene Frage auf [[:w:en:Microsoft Forms|Microsoft Forms]]''' # „Neues Quiz“ # „Neue Frage hinzufügen“ # „Auswahl“ # Schreibe deine Frage in das Feld [Frage] # Klicke auf den [[:w:Auslassungspunkte|Dreipunkt („…“)]] unten rechts # Wähle „Verzweigung hinzufügen“ # Klicke oben auf „← Zurück“ # Klicke auf „+ Neue Frage hinzufügen“ # … = Komplexere Texte verstehen = COMPENDIO S. 67-69, 72, 73. '''Zusammenfassung''': [[:w:Executive Summary|Management Summary]] für Diplomarbeit: Jede(r) stellt den anderen die Summary ihrer/seiner eigenen Diplomarbeit vor. Geh davon aus, dass die [[:w:Experten-Laien-Kommunikation|Leserschaft „dumm“]] ist. Für Präsentationen: [[:w:Pecha Kucha|Pecha Kucha]] == Bewertete Hausaufgabe == TEXTVERSTÄNDNIS (= Prüfungsvorbereitung) 1. Fasse den ausgewählten Artikel in einem Satz zusammen („Der Artikel beschreibt, wie…“) 2. Welche '''[[:w:Terminus|Fachbegriffe]]''' zeigen auf, worum es geht? Erkläre drei Begriffe in jeweils einem ganzen Satz. 3. Welche '''[[:w:Kausalität|kausalen Zusammenhänge]]''' gibt es? Beschreibe objektiv drei wichtige Zusammenhänge in jeweils einem Satz. 4. Bist du '''einverstanden oder nicht''' einverstanden mit den Kernaussagen des Texts? Begründe in zwei Sätzen. Schreibe hier auf Papier, oder lade dein Antwort-PDF auf TEAMS (Beitrag «Textverständnis») hoch. A) Einen interessanten Artikel in einer Zeitschrift (z.B. KMU Magazin, Afrika-Bulletin) finden.</br> B) Fragen zum Artikel formulieren: # ''Welche Begriffe zeigen auf, worum es geht?'' # ''Welche kausalen Zusammenhänge gibt es?'' # ''Beschreiben Sie Positives und Negatives.'' # ''An wen genau ist dieser Artikel gerichtet?''</br> C) Den Artikel zusammen mit den Fragen als Prüfungsaufgabe aufbereiten (z.B. ein PDF auf TEAMS hochladen). Die Lehrperson stellt alle korrigierten Versionen allen Studierenden zur Verfügung.</br> Diese Aufgabe dient als Vorbereitung auf die Fachprüfung am Kursende. '''BEISPIEL:''' Eudes-Philippe Le Guelinel: ''Biotreibstoff soll Fliegen nachhaltiger machen.'' In: ''KMU-Magazin'', 09. Dezember 2021. '''MUSTERLÖSUNG''': 1) Der Artikel beschreibt, wie die Air France-KLM-Gruppe den Biotreibstoff fördert. 2) 3 Begriffe: '''[[:w:Biokerosin|Sustainable Aviation Fuel]] (SAF)''' bedeutet „nachhaltiger Flugzeug-Treibstoff“. Mit SAF sollen die [[:w:Umweltauswirkungen des Luftverkehrs#Nutzung Alternativer Kraftstoffe|'''CO2-Emissionen''' von Flugzeugen]] vermindert werden. Eudes-Philippe Le Guinel macht mit der Idee von SAF Werbung für seinen Arbeitgeber, die '''[[:w:Air France-KLM|Air-France-KLM-Gruppe]]'''. 3) 3 Ursache-Wirkung-Sätze: Die Air France-KLM-Gruppe fördert SAF, '''weil''' sie sich so als nachhaltig vermarkten kann. Kooperationspartner für SAF zu finden ist schwierig, '''weil''' die Nachfrage nach SAF derzeit noch klein ist. Aber die Gruppe macht weiter, '''weil''' im Jahresvergleich bereits beachtliche positive Ergebnisse erzielt wurden. 4) Eigene Meinung: '''Ich glaube''' nicht, dass für die Herstellung von SAF langfristig nur Abfallprodukte genügen. Die Fortbewegungsart „Fliegen“ wird in Zukunft insgesamt kaum nachhaltiger, weil immer mehr Menschen fliegen werden. = Protokollieren = Lies die Seiten zum Thema "Protokoll" im HEP-Buch Seiten 78-81. Beantworte die Frage: Was ist der Unterschied zwischen wörtlichem Protokoll, Kurzprotokoll und Becshlussprotokoll? Vergleiche deine Antwort mit der Unterscheidung im Buch COMPENDIO Seite 86. Sagt das HEP-Buch das gleiche wie das COMPENDIO-Buch? Lesen Sie das Gespräch zwischen den Personen X und Y. Verfassen Sie anhand des Gesprächs ein Kurzprotokoll: Schreiben Sie mindestens 8 ganze Sätze. Senden Sie Ihre Lösung bis in 10 Tagen als Worddokument per E-Mail der Lehrperson. Ziel des Protokolls: Abwesende können Beschlüsse nachvollziehen (→ rechtlicher Nachweis) Lernziele:</br> * Für das Kurzprotokoll: Wichtiges von Unwichtigem unterscheiden <small>(das Kurzprotokoll ist eine Mischform)</small></br> * Direkte Rede von indirekter Rede unterscheiden (Gefahr: Direkte Rede ändern = Aussage fälschen = Straftat) Aufbau des Kurzprotokolls: „Anamnese - Diagnose - Therapie“. '''Was haben To-Do-Liste und [[:w:Einkaufszettel|Einkaufszettel]] mit einem Beschlussprotokoll gemeinsam und was nicht?''' (Unterschied Anzahl beantworteter W-Fragen) <gallery> 170423-Einkaufszettel-01.jpg|Ein Ehepaar einigt sich, wer? was wann? im Supermarkt einkauft. Flipchart_ToDo-Liste.jpg|mini|Organisatoren einigen sich, wer was bis wann erledigt. </gallery> '''Beispiele:''' * [[w:To-do-Liste|To-do-Liste]] * [[w:Aktennotiz|Aktennotiz]] * [[w:Ergebnisprotokoll|Ergebnisprotokoll]] * [[w:Verlaufsprotokoll|Verlaufsprotokoll]] * [[w:Protokoll_(Niederschrift)#Typen|Protokoll_(Niederschrift)#Typen]] '''Theorie:''' * HEP S. 78-81. * COMPENDIO S. 84-86 (Theorie) und S. 93-94 (Aufgaben) == Bewertete Hausaufgaben == Elemente des Protokolls: Buch Compendio Seite 84: „Bestandteile eines Protokolls“. Bewertung:</br> Sprache: 5 x (Anzahl Wörter - 2 x Anzahl Fehler) / Anzahl Wörter + 1 = provisorische Note</br> Inhalt: Pro fehlendem Inhaltspunkt 0.1 Noten Abzug</br> => '''Definitive Note'''. Beispiel: Sprache: 5 x (Anzahl Wörter - 2 x Anzahl Fehler) / Anzahl Wörter + 1 = 5 x 132/136 + 1 = 5.9 Inhalt: - 0.1 (fehlender Termin für nächsten Anlass) = '''Note 5.8'''. = Anleiten = Beispiele: Rezept, Installation/Montage, Bedienoberfläche, Betriebsanleitung.</br> Inhalt: Material, Werkzeug, Ablauf…</br> Theorie: Compendio 2017 S. 91-92. Vorwissen aktivieren:</br> Habt ihr schon Anleitungen geschrieben?</br> Welche Anleitungen habt ihr schon geschrieben? == Bewertete Hausaufgabe == '''Auftrag:'''</br> Überlegen Sie sich eine Ihrer beruflichen Tätigkeiten.</br> Schreiben Sie eine Anleitung in mindestens 6 Schritten und mindestens 100 Wörtern.</br> Schreiben Sie ganze Sätze: Jeder Satz hat ein Subjekt und ein Prädikat.</br> Kontrollieren Sie Verständlichkeit, Rechtschreibung und Stil.</br> Senden Sie Ihre Anleitung im Wordformat bis [Datum] an lehrperson@edu.org . ⇒ '''Quiz'''-Vorbereitung Am nächsten Kurstag raten die anderen Studierenden im Plenum: * Von welcher mitstudierenden Person stammt die Anleitung? * Welcher Tätigkeit dient die Anleitung genau? Welcher Titel passt zur Anleitung? = Argumentieren = '''→ Siehe [[Benutzer:Gkjv/Argumentieren|Argumentieren]]''' = Beschreiben ''versus'' Interpretieren = 1) Man finde eine Grafik, die * willkürliche Personengruppen (zum Beispiel Stereotype) bildet und * willkürliche Begriffe (zum Beispiel Fantasiegebilde) apriorisiert. 2) Man beschreibe und interpretiere diese Grafik. [[Datei:Nico cartoon 1971.jpg|mini|Beispiel einer zu beschreibenden und danach interpretierenden Karikatur]] '''[[w:Deskription|Deskription]]''' (Gegebenes, Vorhandenes) versus '''[[w:Interpretation|Interpretation]]''' (Deutung) (versus '''[[w:Präskription|Präskription]]''') ≠ [[w:Wertung|Wertung]]? '''„Zeichnungswettbewerb“''' Die Lehrperson teilt mit den Studierenden eine Bildbeschreibung (nur Text). # Schritt: Die Studierenden zeichnen, was sie lesen. # Schritt: Die Zeichnungen werden mittels Visualizer im Plenum verglichen. # Je nach Abweichungen/Unterschieden zwischen den Zeichnungen ist der Ursprungstext eine bessere oder eine schlechtere Beschreibung. '''Interpretieren:''' Die Studierenden bringen politische Karikaturen mit. [[commons:Category:Caricatures|Auswahl]] Bezug zu [[w:SWOT-Analyse|SWOT-Analyse]]? = Factsheet = '''Grafische Elemente''': Logo, Slogan, Karte, Foto des Firmensitzes, Foto von Produkt/Dienstleistung, Gruppenfoto der Belegschaft, historische Aufnahme … '''1) Allgemeiner Teil: [[w:Wikipedia:Formatvorlage Unternehmen|FIRMA VORSTELLEN]]''': '''9 [[:w:Ergänzungsfrage|W-Fragen]]''' im Buch Compendio (2017) Seite 66: # WER sind wir? Firmenname, rechtlichen Status und Mitarbeiterzahl nennen. # WAS tun wir? Einen Satz, der alles sagt, schreiben. # WEN sprechen wir an? Unsere Kundschaft/Stakeholder beschreiben. # WO arbeiten wir? Lokal, regional, national, international. # Seit WANN arbeiten wir? Gründungsdatum und Meilensteine nennen. # WARUM arbeiten wir? Weil ein Bedürfnis / eine Nachfrage nach unseren Leistungen besteht. # WOZU arbeiten wir? Wir wollen … ermöglichen/fördern/bewirken/…. # WIE arbeiten wir? Branche und Tätigkeiten beschreiben. # WOHER nehmen wir das, was wir für unsere Arbeit brauchen? Zulieferer/Informationsquellen/Partnerinstitutionen usw. nennen/beschreiben. '''2) Spezifischer Teil: ''': Besonderes je nach Zielpublikum (z.B. Lehrstellen bei Lehrlingsanwerbung) vorstellen '''3) Kontaktangaben: Genaue Adresse, Mail, Website etc.''' == Bewertete Hausaufgabe == == Wikipedia == * [[w:Wikipedia:Relevanzkriterien|Relevanzkriterien]] * [[w:Wikipedia:Interessenkonflikt|Interessenkonflikt]] = Häufige Fragen beantworten (FAQ) = [[w:Frequently Asked Questions|FAQ-Tipps]] …zum Beispiel zum E-Mail-Verkehr: FANKHAUSER et al. (HEP 2020), S. 19-20. == Bewertete Hausaufgabe == '''Welche „häufigen Fragen“ gibt es in deinem Betrieb?'''</br> Wähle sieben „häufige Fragen“ zu einem der folgenden drei Themen: „Produktion/Dienstleistungen“, „Kunden“ oder „Sicherheit“.</br> Diese Fragen müssen thematisch zueinander passen.</br> Schreibe unter jede Frage eine Antwort.</br> Schreibe nur ganze Sätze. Nebensätze müssen mit einem Hauptsatz verbunden sein.</br> Du darfst Sätze weder von Mitstudierenden noch vom Internet kopieren.</br> Übermittle deine Lösung bis [Datum] der Lehrperson im Wordformat.</br> '''MUSTERLÖSUNG'''</br> '''1) Was ist das Thema der bewerteten Hausaufgabe?'''</br> Das Thema sind „häufige Fragen“ in deinem Betrieb.</br> '''2) Muss ich eines der drei Themen „Produktion/Dienstleistung“, „Kunden“ oder „Sicherheit“ auswählen?'''</br> Ja, du musst entweder „Produktion/Dienstleistung“ oder „Kunden“ oder „Sicherheit“ auswählen.</br> '''3) Was ist ein Beispiel für nicht thematisch zueinander passende Fragen?'''</br> „Wo ist der Notausgang?“ „Wo entsorge ich Altglas?“ „Wie bediene ich die Maschine?“</br> '''4) Muss ich unter jede Frage eine Antwort schreiben?'''</br> Ja, du musst unter jede Frage eine Antwort schreiben.</br> '''5) Warum dürfen Nebensätze nicht alleine stehen?'''</br> Ohne Hauptsatz fehlen dem Nebensatz Informationen. Ich nenne ein Beispiel:</br> „weil heute schönes Wetter ist“. Das ist ein alleinstehender Nebensatz.</br> Der Hauptsatz fehlt. Korrekt ist zum Beispiel:</br> „Ich spaziere, weil heute schönes Wetter ist.“ Der Hauptsatz ist: „Ich spaziere.“</br> '''6) Wie findet die Lehrperson heraus, ob ich Sätze kopiere?'''</br> Die Lehrperson verwendet Plagiatssoftware.</br> '''7) Was passiert, wenn ich meine Lösung nach dem [Datum] abgebe?'''</br> Die Lehrperson zieht gerechterweise eine verhältnismässige Punktzahl ab.</br> Bewertung: 5 x (Anzahl Wörter - 2 x Anzahl Fehler) / Anzahl Wörter + 1 - nicht zum Thema passende Fragen / 10 - Anzahl überschrittener Tage / 20 = Note (Schweizer Notenskala 1-6) == Prüfung == '''AUFGABENSTELLUNG'''</br> '''Welche „häufigen Fragen“ gibt es in deinem Betrieb?'''</br> Wähle sieben „häufige Fragen“, die im Unterricht noch nicht behandelt wurden.</br> Diese Fragen müssen thematisch zueinander passen.</br> Schreibe unter jede Frage eine Antwort.</br> Schreibe nur ganze Sätze. Nebensätze müssen mit einem Hauptsatz verbunden sein.</br> Du darfst Sätze weder von Mitstudierenden noch vom Internet kopieren.</br> Übermittle deine Lösung in 30 Minuten der Lehrperson.</br> '''MUSTERLÖSUNG'''</br> '''1) Was ist das Thema der Prüfung?'''</br> Das Thema sind „häufige Fragen“ in deinem Betrieb.</br> '''2) Welche „häufigen Fragen“ wurden im Unterricht behandelt?'''</br> Im Unterricht wurden „häufige Fragen“ zum Thema _____________ behandelt.</br> '''3) Was ist ein Beispiel für nicht thematisch zueinander passende Fragen?'''</br> „Wo ist der Notausgang?“ „Wo entsorge ich Altglas?“ „Wie bediene ich die Maschine?“</br> '''4) Muss ich unter jede Frage eine Antwort schreiben?'''</br> Ja, du musst unter jede Frage eine Antwort schreiben.</br> '''5) Warum dürfen Nebensätze nicht alleine stehen?'''</br> Ohne Hauptsatz fehlen dem Nebensatz Informationen. Ich nenne ein Beispiel:</br> „weil heute schönes Wetter ist“. Das ist ein alleinstehender Nebensatz.</br> Der Hauptsatz fehlt. Korrekt ist zum Beispiel:</br> „Ich spaziere, weil heute schönes Wetter ist.“ Der Hauptsatz ist: „Ich spaziere.“</br> '''6) Wie findet die Lehrperson heraus, ob ich Sätze kopiere?'''</br> Die Lehrperson verwendet Plagiatssoftware.</br> '''7) Was passiert, wenn ich meine Lösung nach mehr als 30 Minuten abgebe?'''</br> Die Lehrperson zieht gerechterweise eine verhältnismässige Punktzahl ab. == Zusatzprüfung == '''AUFGABENSTELLUNG'''</br> '''Welche „häufigen Fragen“ gibt es in deinem Betrieb?'''</br> Wähle sieben „häufige Fragen“ zu einem der folgenden drei Themen: „Produktion/Dienstleistung“, „Kunden“ oder „Sicherheit“.</br> Diese Fragen müssen thematisch zueinander passen.</br> Schreibe unter jede Frage eine Antwort.</br> Schreibe nur ganze Sätze. Nebensätze müssen mit einem Hauptsatz verbunden sein.</br> Du darfst Sätze weder von Mitstudierenden noch vom Internet kopieren.</br> Übermittle deine Lösung in 30 Minuten der Lehrperson.</br> '''MUSTERLÖSUNG'''</br> '''1) Was ist das Thema der Prüfung?'''</br> Das Thema sind „häufige Fragen“ in deinem Betrieb.</br> '''2) Muss ich eines der drei Themen „Produktion/Dienstleistung“, „Kunden“ oder „Sicherheit“ auswählen?'''</br> Ja, du musst entweder „Produktion/Dienstleistung“ oder „Kunden“ oder „Sicherheit“ auswählen.</br> '''3) Was ist ein Beispiel für nicht thematisch zueinander passende Fragen?'''</br> „Wo ist der Notausgang?“ „Wo entsorge ich Altglas?“ „Wie bediene ich die Maschine?“</br> '''4) Muss ich unter jede Frage eine Antwort schreiben?'''</br> Ja, du musst unter jede Frage eine Antwort schreiben.</br> '''5) Warum dürfen Nebensätze nicht alleine stehen?'''</br> Ohne Hauptsatz fehlen dem Nebensatz Informationen. Ich nenne ein Beispiel:</br> „weil heute schönes Wetter ist“. Das ist ein alleinstehender Nebensatz.</br> Der Hauptsatz fehlt. Korrekt ist zum Beispiel:</br> „Ich spaziere, weil heute schönes Wetter ist.“ Der Hauptsatz ist: „Ich spaziere.“</br> '''6) Wie findet die Lehrperson heraus, ob ich Sätze kopiere?'''</br> Die Lehrperson verwendet Plagiatssoftware.</br> '''7) Was passiert, wenn ich meine Lösung nach mehr als 30 Minuten abgebe?'''</br> Die Lehrperson zieht gerechterweise eine verhältnismässige Punktzahl ab. == Sonstiges == Liebe Studierende Am '''[Datum]''' schreiben wir eine Prüfung in der [Schule]. Bitte nehmt deshalb am [selben Datum] '''euren Computer''' mit in den Unterricht. Die Prüfung wird 30 Minuten dauern. Die Prüfung schreibt ihr am Computer nach dem '''[[:w:Kofferklausur|Open-Book]]'''-Prinzip: Ihr dürft sämtliche Hilfsmittel verwenden. Nicht erlaubt sind Social Media und Kontakt mit anderen Studierenden. Die Prüfung ist eine Einzelaufgabe. Das Thema der Prüfung ist: '''Frequently Asked Questions (FAQ)'''. Die Prüfung wird ähnlich wie die [im Unterricht besprochene Aufgabe] aussehen. Schaut [hier]: Diese Musterlösung ergäbe die Note 6. Ihr werdet mindestens 7 Fragen zum gewählten Thema schreiben. Jede dieser Fragen müsst ihr in '''ganzen Sätzen''' (also keine alleinstehenden Nebensätze) beantworten. Die Fragen müssen logisch gereiht und sinnvoll/vernünftig sein. An der Prüfung werdet ihr FAQ nicht zum E-Mail-Verkehr, sondern zu einem anderen geschäftlichen Thema schreiben. Eine gute Woche wünscht euch '''Themen zur Auswahl:''' Verantwortungsbereiche: Arbeitssicherheit: Arbeitszeitkontrolle: Ferienreglement: Geschäftsgang: Anfrage, Angebot Kundenreklamationen beantworten: Prioritäten setzen, sachlich bleiben, Fakten nennen, zuvorkommen, Frist Verhalten bei Notfall: [[:w:Sammelplatz (Brandschutz)|Sammelplatz]]; In welchen Fällen 117, 118, 144, 145 oder 1414 anrufen; Amoklauf … Entsorgung: Metall, Plastik, Holz, Öl, Karton, Papier... * Mindestens 7 Fragen zum gewählten Thema schreiben. * Jede Frage in ganzen Sätzen beantworten. * Die Fragen müssen logisch gereiht und sinnvoll/vernünftig sein. = Mit Kundinnen und Kunden kommunizieren = == Vorbereitung == Kopien zum Thema „Externe Kommunikation“ (z.B. Compendio S. 101-102, mit Repetition) == Kundenmitteilung == === Einstieg === [[Datei:Bankrupt computer store 02.jpg|thumb]] Was seht ihr auf dem Bild? (Antwort: Eine schlechte Kundenmittteilung.) Danach Theorieinput: COMPENDIO, S. 95. === Aufgabe === #Setzt euch zu viert um ein Blatt: Welche Informationen musste eure Firma den Kunden mitteilen? Kriterien: :::1) Information, die ''alle'' (oder einen Grossteil der) Kunden betrifft; :::2) Information, die ''nicht'' Mitarbeitende betrifft (das wäre sonst eine Mitarbeiterinformation - etwas anderes). #Eine Person jeder Vierergruppe (kommt nach vorne und) präsentiert das innerhalb der Vierergruppe Besprochene im Plenum. #Überlegt euch ein Ereignis (kein Bankrott!), das ihr euren Kunden mitteilen müsst. Schreibt das Ereignis auf einen Zettel. Die Zettel werden gemischt und nach Zufallsprinzip ausgeteilt. Jede(r) muss eine Kundenmitteilung zum erhaltenen Ereignis schreiben: #Verfasst eine Kundenmitteilung aufgrund der handgeschriebenen Notizen. Die Kundenmitteilung muss die 5 Teile von COMPENDIO Seite 95 aufweisen. Sind die Notizen unverständlich oder unvollständig, antwortet dem Chef: Was braucht ihr noch für Informationen, um eine komplette Kundeninformation zu schreiben? == [[w:Pressemitteilung|Medienmitteilung]] == * COMPENDIO, S. 96. == [[w:Webtext|Webtext]] == Firmenporträt, Leitbild, Newsletter === Information === * COMPENDIO, S. 96-97. === Aufgabe === Vorbereitung: Lehrperson lädt eine leere, mit "Website-Empfehlungen" betitelte PowerPoint-Präsentation auf TEAMS hoch. :1) Lehrperson fragt im Plenum nach Firmenwebsiten der Studierenden und schreibt jede Website auf einen Zettel. Die Zettel teilt sie aus, sodass kein Studierender seine eigene Firmenwebsite hat. :2) Jeder Studierende muss die ihm zugeteilte Website auf die Beantwortung der in COMPENDIO Seite 97 aufgelisteten Fragen hin prüfen. (10 Minuten) :3) Jeder Studierende muss daraufhin Empfehlungen zur Verbesserung der analysierten Website schreiben - ein Minimum an 3 Empfehlungen. Den Studierenden mitgeteilte Aufgabenstellung: Lest die Fragen im Buch Seite 97. Schaut die euch zugeteilte Website an. 1) Beantwortet die Website die Fragen? 2) Wenn ja, wie kann die Website übersichtlicher gestaltet werden? Schreibt eure Lösung zu 1) und 2) auf eines der Slides. Passt auf, dass ihr nicht die Texte der anderen löscht (wir bearbeiten gemeinsam simultan die PowerPoint-Präsentation). = Einladung = * COMPENDIO, S. 98-100. * HEP Seiten 44-45. == Aufgabe "Einladung [[w:Kundenbindung|Kundenbindung]]" == Vorbereitung: Lehrperson lädt leere PowerPoint-Präsentation mit dem Titel "Einladung Kundenbindung" auf TEAMS hoch. Aufgabenstellung für die Lernenden: Ladet uns ein zu einem Anlass eurer Firma, damit wir eure Kunden werden. Baut eure Einladung wie im Buch Seite 100 beschrieben auf. Gestaltet eure Einladung auf einem Slide der beigefügten PowerPoint-Präsentation. Achtung: Löscht nicht (aus Versehen) Inhalte der anderen auf anderen Slides. = Geschäftsgang = * Kopien zum Thema „Briefdarstellung“ (z.B. Compendio S.114-115) und „Briefsorten“ (z.B. Compendio S. 146-147). * '''[[Benutzer:Gkjv/Brief|Bewertung Brief]]''' == Anfrage == * COMPENDIO S. 116-118. * HEP S. 28-29 * [[w:Wikipedia:Anfragen|Wikipedia:Anfragen]] === Aufgabe === '''Teil A'''</br> Dein Betrieb leistet tolle Arbeit (gute Produkte, wichtige Dienstleistungen…). Was könnte dein Betrieb noch Anderes, Zusätzliches leisten, was er bis jetzt noch nicht leistet? Beschreibe deine innovative Idee so ausführlich wie nötig auf einem Slide im angefügten PowerPoint-Dokument, indem du die drei Fragen beantwortest: * Wie heisst deine Innovation? Gib deinem neuen Produkt oder deiner neuen Dienstleistung einen Namen. * Wie wichtig ist die Innovation für deine Firma und für deine Kundschaft? Schreib mindestens einen ganzen Satz. * Was ist das Schwierigste, das du neu beschaffen musst, um diese Innovation zu realisieren? Nenne mindestens etwas, was dein Betrieb bislang noch nicht benötigt hat. '''Teil B'''</br> Fragen Sie einen externen, neuen Anbieter an. Erklären Sie ihm Ihre Innovationsabsicht, und dass Sie noch nicht sicher sind, ob Ihre Idee wirtschaftlich ist. Schreiben Sie möglichst detailliert, was Sie neu benötigen; so erhalten Sie das bestmögliche Angebot - siehe Erklärung im Buch COMPENDIO, 2017, S. 117 zuunterst: Setzen Sie einen Brief auf. Die Lehrperson lost in 20 Minuten zwei Briefe aus, die dann im Plenum besprochen werden. Ihr Text wird nach [[Benutzer:Gkjv/Brief|folgenden Kriterien]] beurteilt (Formales siehe Buch COMPENDIO, 2017, Seite 103-115). == [[w:Angebot (Betriebswirtschaftslehre)|Angebot]] == → '''[[Benutzer:Gkjv/Angebot|Angebot]]''' == Bestellung == * COMPENDIO Seiten 125-129. * HEP Seiten 32-33. == Widerruf einer Bestellung == * COMPENDIO Seiten 130-132. * HEP Seiten 34-35. == Lieferverzug == [[Datei:Ever_Given_in_Suez_Canal_viewed_from_ISS.jpg|mini|''[[w:Ever_Given#Folgen_für_die_Schifffahrt|Ever Given]]'', 2021]] * COMPENDIO Seiten 138-142. * HEP Seiten 36-37. == Reklamation == * COMPENDIO Seiten 133-135. * HEP Seiten 38-39. Was für eine Briefsorge ist das? * Arbeitsgruppe Dritte Welt: ''Exportinteressen gegen Muttermilch: Der tödliche Fortschritt durch Babynahrung.'' Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1976, S. 90. == Reklamationen beantworten == * COMPENDIO Seiten 136-137. * HEP Seiten 40-41. '''Sie arbeiten beim Kundendienst der ARD in Frankfurt und erhalten die [[w:Beschwerde|Beschwerde]]:''' * Arbeitsgruppe Dritte Welt: ''Exportinteressen gegen Muttermilch: Der tödliche Fortschritt durch Babynahrung.'' Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1976, S. 90. '''Wie reagieren Sie?''' Beispiel: Brief dem Rechtsdienst der Firma abgeben wegen [[w:Artikel 261bis StGB|Rassismus-Strafnorm]]. <small>Andere Lösung: * Peter Krieg: ''Plädoyer für die Unduldsamkeit.'' In: Jane Cottingham (Hrsg.): ''Flaschenkinder: Dokumentation zum Problem der künstlichen Babynahrung.'' Internationaler Fraueninformationsdienst, Carouge 1976, S. 35–37.</small> </small>Anwortelemente: </small>1) Dank (weil Firma von Reklamationen lernt) </small>2) Bedauern/Entschuldigung/Verständnis </small>3) Grund/Erklärung </small>4) Lösung </small>5) Zusicherung/Verbindlichkeit == Zahlungsmahnung == * COMPENDIO Seiten 143-145. * HEP Seiten 42-43. = Bibliografie = * BOLLES R. N.: ''[[:w:Durchstarten zum Traumjob|Durchstarten zum Traumjob]]''. Frankfurt: Campus, 2021. * BORNAND J. et al.: ''Schriftliche Kommunikation - TK 2019''. Zürich: Compendio, 2017. * FANKHAUSER S., RÄBER K.: ''Korrespondenz für Grund- und Weiterbildung.'' Bern: hep Verlag, 2020. * [[:w:Friedemann Schulz von Thun|SCHULZ VON THUN F.]]: ''[[:w:Miteinander reden|Miteinander reden]]: 1. Störungen und Klärungen / Allgemeine Psychologie der Kommunikation.'' Hamburg: Rowohlt, 2019. 61yvv3wduusij041a47073nefiyiuxu 786462 786308 2022-08-22T11:29:33Z Gkjv 35856 wikitext text/x-wiki Schriftliche Kommunikation für technische Kaufleute. Jeder Titel ist eine [[:w:Unterrichtseinheit|Unterrichtseinheit]] und ein Lernziel. Allgemeine Mittel: Umfrage z.B. mittels Forms. = [[:w:Unterrichtseinstieg|Sich kennenlernen]] = Stelle dich kurz im Plenum vor: „Wer bin ich? Was mache ich beruflich? Was will ich mit dieser Ausbildung?“ = [[:w:Schulnote#Schweiz|Sich qualifizieren]] = == Lernziele (= Bewertungskriterien) == * Korrekt schreiben: Rechtschreibe- und Kommaregeln befolgen * Verständlich schreiben: Einfach schreiben, den Text gliedern, [[:w:Prägnanz|prägnant]] schreiben, die Leserschaft wo nötig stimulieren * Klares Ziel, eindeutige AdressatInnen, passendes Kommunikationsmittel * Die Aufgabenstellung befolgen (dazu gehört: keine Information auslassen) == Bewertete Hausaufgaben == * …zielen auf individuelle Lösungen ab, Beispiel: „Schreibe eine Offerte deiner Firma“. * Deshalb unterscheiden sich alle Hausaufgabenlösungen stark voneinander. * Anonymisierte Ausschnitte der Hausaufgaben bieten sich als Quiz im Plenum an, Beispiel: „Von welchem Mitstudierenden stammt die Offerte“, und alle müssen raten. * Vorteil ist, dass nicht voneinander abgeschrieben werden kann. Rechtfertigung für erste bewertete Hausaufgabe: * Warum so rasch eine bewertete Aufgabe? Antwort: Ihr seid von der letzten Lektion her gut vorbereitet (Selbststudium oder Wahl). In anderen Fächern gibt es bis zu 5 Prüfungen pro Semester. * Warum keine präsentielle Prüfung? ::Antwort: Lernen auf HF-Niveau ist resultateorientiert: Kann die/der Studierende bis zu vorgegebener Frist einen qualitativ guten Text einreichen? ::Antwort: Eine erste Bewertung soll noch der Möglichkeit dienen, sich verbessern / auf "härtere" Prüfungen vorbereiten zu können. Eine Chance / Lernmöglichkeit. == Lernkontrolle als Unterrichtsbewertung == Schreibe einen Text über den (heutigen) Kurs. Beantworte dabei die Fragen: * Was hast du heute gelernt? Was war gut im Kurs? Was könnte der Dozent das nächste Mal besser machen? * Sende deinen Text im Word-Format bis [Datum, Uhrzeit] per E-Mail an [E-Mail-Adresse]. * Bewertungskriterien: Rechtschreibung, Kommas, Beantwortung der Fragen, pro Satz ein Gedanke. == [[Benutzer:Gkjv/Brief|Bewertung von Briefen]] == = Die Wichtigkeit von Sprache verstehen = {{Zitat|Worte sind Luft. Aber die Luft wird zum Wind, und der Wind macht die Schiffe segeln.|[[:w:Arthur Koestler|Arthur Koestler]]}} == [[:w:Corporate Identity|Corporate Identity]] == [[Datei:Republika Srpska police uniform 2014.png|mini|Uniform]] [[:w:Mehrdeutigkeit|Doppeldeutigkeit]] schafft [[:w:Wiedererkennungseffekt|Wiedererkennungseffekt]] durch [[:w:Unternehmenskommunikation|Kommunikation]] ([[:w:Slogan|Slogans]] usw.), [[:w:Corporate Design|Design]] ([[:w:Logo (Zeichen)|Logos]] usw.) usw. Beispiele: === Auftrag === In [[:w:Murmelphase|Buzz-Groups]] 5 Minuten ein identitätsstiftendes Element besprechen und danach im Plenum vorstellen: # '''Buzz-Group „Naive“:''' Ist „Freude am Fahren“ ein guter oder ein schlechter Slogan? # '''Buzz-Group „Autofreaks“:''' Ist „[[w:Vorsprung durch Technik|Vorsprung durch Technik]]“ ein guter oder ein schlechter Slogan? <small>(Jürgen Gietl: ''„Vorsprung durch Technik:“ Bleibt Audi mit altem Claim relevant?'' In: ''[[:w:Absatzwirtschaft (Zeitschrift)|Absatzwirtschaft]]'', 6. Oktober 2020.)</small> # '''Buzz-Group „Lustige“:''' Hat der Slogan von [[w:IKEA#Marketing und Kundenbindung|IKEA]] einen grossen Wiedererkennungswert? <small>([[:w:Reinhard Siemes|Reinhard Siemes]]: ''Alles Slogan oder was?'' In: ''[[:w:Der Tagesspiegel|Der Tagesspiegel]]'', 20. Oktober 2003. Neuer Slogan: „Eine bessere Welt fängt zu Hause an.“)</small> # '''Buzz-Group „Perfektionisten“:''' Betreibt [[w:Appenzeller (Käse)#Vermarktung|Appenzeller Käse]] gutes Marketing oder nicht? # '''Buzz-Group „Intellektuelle“:''' Was hält Slavoj Zizek von E-Scootern? <small>([[:w:Slavoj Žižek|Slavoj Žižek]]: ''Slavoj Žižek über E-Scooter: Klar, dass ich mich sofort verliebte.'' In: ''[[:w:Frankfurter Allgemeine Zeitung|Frankfurter Allgemeine Zeitung]]'', 14. Juli 2019.)</small> # '''Buzz-Group „Kritische“:''' Wofür wirbt [[w:Fatih Akin|Fatih Akins]] Film ''keine Angst vor niemand'' (2020)? # '''Buzz-Group „Widersprecher“:''' Wofür wirbt der Slogan „[[:w:Nestlé tötet Babys|Nestlé tötet Babys]]“? ==== Weiterführendes ==== * [[:w:Eva Illouz|Eva Illouz]]: ''Wa(h)re Gefühle: Authentizität im Konsumkapitalismus.'' Suhrkamp, 2018. === Aufgabe === Die Studierenden präsentieren ihre Firma anhand Wiedererkennungsmerkmale (Slogan, Logo) auf ihrer Website. === (Unbewertete) Hausaufgabe === Wie beurteilt ihr die Umsetzung der Corporate Identity eurer Firma auf der Website eurer Firma? Oder: Was macht eure Konkurrenzfirma besser als eure Firma in Sachen Unternehmenskommunikation? Schreibt einen Text von mindestens 100 Wörtern. Sendet ihn bis [Datum] im Wordformat an [E-Mail-Adresse Lehrperson]. Die Aufgabe ist eine Chance, Rechtschreibung und Kommas praktisch umzusetzen, ohne dass es eine Bewertung gibt. = Fehlerfrei schreiben = <gallery> Barber_shop_In_mashhad_08.jpg|mini|Er hat die schönste Frisur(,) weit und breit. 4377_-_Bern_-_Kindlifresserbrunnen_am_Kornhausplatz.JPG|mini|Wir essen jetzt(,) Kinder. Henriette Lorimier - The Gallant Couple.jpg|mini|Er will(,) sie nicht. </gallery> Kopien von Rechtschreibe- und Kommaübungen (z.B. COMPENDIO 2017, S. 18-19, 30 & 35) austeilen;</br> Studierende leiten im Plenum das Lösen der Aufgaben. Lehrperson thematisiert Wortarten und Satzbau. <gallery> Unbefugte werden kostenpflichtig abgeschleppt!, Jugendgästehaus Hütteldorf-Hacking.jpg|Verben Einteilung Wortarten.jpg|Wortarten Duden.jpg|[[:w:Duden#21. Auflage (Reformduden, 1996)|Duden]] Datei:Deppenleerzeichenflasche.jpg|Keine [[:w:Leerzeichen in Komposita|Leerzeichen in Komposita]] </gallery> # Sich gegenseitig durch Präsentation der eigenen Firmenkommunikation kennenzulernen.# Mit der deutschen Sprache (wieder) vertraut sein. Gelegenheit haben, Schwächen zu erkennen und früher Gelerntes gezielt wieder aufzufrischen. Unter Studierenden abgestimmt werden kann, ob die Auffrischung im Plenum oder in Einzelarbeit geschehen soll. # Gelegenheit haben, einen Text zu produzieren und darauf ein ausführliches Feedback zu erhalten, in welchem die Lehrperson Schwächen aufzeigt, die die Studierenden (individuell) auffrischen können. Rechtfertigung: * Warum so wenig Rechtschreibung? Weil die Studierenden schon alles in der Berufsschule (EFZ) gelernt haben. * Warum so viel Rechtschreibung? Weil Nichtmuttersprachler und Personen mit Nachteilsausgleich die gleiche Chance haben sollten. Ihre HF-Ausbildung ist technisch, nicht sprachlich. Deutsch soll kein "eliminatorisches" Fach sein (im Gegensatz zu Mathematik oder Elektrotechnik o.ä.). Mittel: Bestenfalls einen Text von Hand schreiben lassen, z.B. zur firmeneigenen Unternehmenskommunikation. (Genaue Bewertungsvorgaben?) Literatur: Bastian Sick: ''Das gefühlte Komma.'' In: ''Der Spiegel'', 22. Juli 2004. = [[:w:Textverständlichkeit|Verständlich schreiben]] = Ziel: „Nachhaltiges“ Schreiben: Bits und Kalorien einsparen (das ist gut für euch und für die Umwelt). [[:w:Sprachökonomie|Sprachökonomie]] Angela und Otto Jankos laienlinguistische Website listet anschauliche „gebildete Umschreibungen“ auf. Im Plenum raten lassen. Oder: [[:w:Kanzleistil|Kanzleistil]]. Geh davon aus, dass die [[:w:Experten-Laien-Kommunikation|Leserschaft „dumm“]] ist. Jeder Text soll so geschrieben sein, dass er ohne Weiteres verständlich ist und Rückfragen überflüssig sind. Manasi Gopalakrishnan: ''Warum die deutsche Sprache dekolonialisiert werden muss.'' In: ''Deutsche Welle'', 3. Juli 2022. == Verständlichkeit == [[Datei:Victory_podium.png|mini|Siegerpodest]] 1) Kopien aus [[:w:Hamburger Verständlichkeitskonzept|Schulz von Thuns]] ''[[:w:Miteinander reden|Miteinander reden]]'' Band 1 (2019) S. 164, 165, 166 und 169 machen (= 4 „Personenpaare“).</br> 2) An Whiteboard Präsentations-Aufträge schreiben: :::''a) Begriffe klären'' :::''b) Welche Person ist gut oder schlecht?'' :::''c) Was hat das mit mir zu tun?'' 3) Vier Gruppen bilden: Zettel verdeckt ziehen lassen: Gleiche arbeiten zusammen.</br> 4) Im Plenum Auftrag erteilen: Ihr habt fünf Minuten, euer Paar vorzustellen.</br> 5) „Siegerpodest“ erstellen: 1. Einfachheit & Ordnung, 2. Kürze, 3. Stimulanz.</br> ::<small>(Kompliziertheit und Unordnung sind immer schlecht; Weitschweifigkeit ist meistens schlecht; Stimulanz hängt von der Textsorte ab: Angebot (=Werbung) versus Reklamation (=juristischer Nachweis).</small> 6) Nach Bedarf/Zeit: Übungen von [[:w:Beat Döbeli Honegger|Beat Döbeli]] zum Thema „Verständlichkeit“ Drei Regeln:</br> # '''Ganze Sätze''': Jeder Satz hat ein Subjekt und ein Prädikat; Nebensätze dürfen nicht alleine stehen. (Ausnahme: „Vielen Dank…“ / „Danke…“) # '''Pro Satz ein Gedanke''': Zu lange Sätze müssen unterteilt werden. # '''Komplette Information''': Information darf nicht verloren gehen. == Stil == Kopien von Stilübungen (z.B. COMPENDIO 2017, S. 47-48 & 55-56) austeilen. Honegger 2020 Übungen (mit Lösungen) verfügbar machen. Vier Stilregeln: # [[:w:Nominalstil|Verben statt Nomen]]: "kaufen" statt "einen Kauf tätigen" # Aktiv statt Passiv: "Ich fahre das Auto" statt "Das Auto wird von mir gefahren" # Sie-Bezug: "Bitte entschuldigen Sie" statt "Ich entschuldige mich" # Keine Floskel: "Bitte..." statt "Könnten Sie...?" <!--''Medizynischer Liebeskummer'': Verständlichkeit (Fremdwörter) versus Stil (Poesie) Unschönes Erbe: [[:w:Sprache des Nationalsozialismus|Sprache des Nationalsozialismus]]: „Menschenmaterial“ = „Human Resources“? (Systemdenken). Wissenschaftliche Artikel zum Thema verfügbar machen.--> Übung: COMPENDIO 2017 Seite 168. = Sich schriftlich bewerben = Vorbereitung:</br> „Theorie“: COMPENDIO (2017) S. 148-157; HEP Korrespondenz S. 51-73; Richard Bolles’ ''[[:w:Durchstarten zum Traumjob|Durchstarten zum Traumjob]]''.</br> (Kopien von z.B. nur COMPENDIO S. 150 und 157) [[:w:Bildungsgang|Technische Kaufleute und Höhere Fachschule]] haben verschiedene Inhalte:</br> '''Technische Kaufleute''' besuchen das Fach ''Personalwesen'', daher brauchen sie keine Vertiefung in die Themen ''Lebenslauf'' und ''Bewerbungsschreiben''. Aber zwei Provokationen: # Das ''Bewerbungsschreiben'' kann durch [[w:Uwe Kanning|Uwe Peter Kannings]] Film „Anschreiben in Bewerbungsunterlagen“ (Reihe ''15 Minuten Wirtschaftspsychologie'') hinterfragt werden (Recruiter sollten "das Motivationsschreiben in den Papierkorb werfen"). # [[:w:Kompetenzmanagement|Kompetenzmanagement]] → ''Qualifikationsprofil''; wahrscheinlich im Fach ''Personalwesen'' nicht behandelt (COMPENDIO-Buch konsultieren).</br/ Ergänzend können zahlreiche (prüfungsvorbereitende) Aufgaben auf der Website des Verbandes Anavant (mit Musterlösungen) gelöst werden. '''Höhere Fachschul'''-Absolventen haben in ihrem Bildungsgang bei anderen Lehrpersonen einen kurzen Kurs „Kompetenzmanagement“, wo sie ihr dem HF-Rahmenlehrplan entsprechendes Qualifikationsprofil erstellen (zwecks Legitimation der Ausbildung HF). Als Vorbereitung für diesen anderen Kurs können Lebenslauf und Qualifikationsprofil erstellt werden (sowie mittels [[w:Uwe Kanning|Uwe Peter Kannings]] Film „Anschreiben in Bewerbungsunterlagen“ (Reihe ''15 Minuten Wirtschaftspsychologie'') das Bewerbungsschreiben hinterfragt werden. == [[:w:Stellenausschreibung|Stelleninserat]] == Aufgabe: '''Stelleninserat ordnen''': * Beispiel: COMPENDIO Seite 71 <small>(Methode: Strukturbaum)</small> * Lösung: Überschrift, Firma, Stelle, Anforderungen '''[[w:Geschlechtergerechte Sprache|Geschlechtergerechte Sprache]]''': * Sichtbarmachung versus Neutralisierung * Diskussion Erfahrung mit Diskriminierung bzw. Reklamationen betreffend Diskriminierung * Martin Reisigl: ''Neokonservative feuilletonistische Sprachkritik – eine linguistische Replik.'' In: ''Gender Campus'', Dezember 2018. Aufgabe: '''Eigene Stelle ausschreiben''':</br> Situation: Man wird Abteilungsleitung. Entweder man kann auf sein eigenes Stelleninserat zurückgreifen (wenn man sich auf ein Stelleninserat beworben hatte). Oder man hat kein Stelleninserat, zum Beispiel wenn man sich spontan beworben hat oder nach der Lehre direkt durch den Lehrbetrieb angestellt wurde. Hilfe zum Verfassen der eigenen Stellenausschreibung findet man im [[:w:Schweizerisches Dienstleistungszentrum Berufsbildung|schweizerischen Informationsportal der Berufs-, Studien- und Laufbahnberatung]] ''berufsberatung.ch''.</br> Innert 20 Minuten. Setzt Prioritäten: 1) Jobbeschreibung, 2) Anforderungen, 3) Firmenbeschrieb, 4) Was die Firma anbietet. == [[:w:Bewerbung#Anschreiben|Bewerbungsbrief]] == Bewerbungsbriefe sollten für den Papierkorb sein (frei nach Uwe Peter Kanning). Ausnahme: Persönlicher Bezug, persönlicher Text (Beispiel Bewerbung Zivildienst im lokalen Betrieb). '''Obligatorisch''': Zuunterst im Stelleninserat die Nummer der zukünftigen Chefin / des zukünftigen Chefs anrufen und Insiderwissen erfahren, das man dann an erster Stelle in den Bewerbungsbrief schreibt: "Sehr geehrte Personalberaterin Meine zukünftige Chefin (unsere gemeinsame Chefin berichtete mir... deshalb bewerbe ich mich für die Stelle" Theorie:</br> * COMPENDIO, Seite 149-151.</br> * HEP, Seite 53-56. Stelleninserate sehen oft standardisiert aus. Aber hat die Firma gerade spezielle Bedürfnisse (die von Standardbedürfnissen vergleichbarer Firmen abweichen)? Diese speziellen Bedürfnisse gilt es, herauszufinden und in den Bewerbungsbrief einfliessen zu lassen. Beispiele (egal für welchen Job): * Firma hat viele italienischsprachige Mitarbeitende ➔ Italienischkenntnisse ein Plus. * Firma stellt auf neue Software um ➔ IT-Affinität ein Plus. * Firma hat derzeit ein unangenehmes Arbeitsklima (zum Beispiel ein Genderproblem, ein Generationenproblem oder ein von Missverständnissen geprägtes Klima) ➔ eine Person mit ausgewiesenen [[w:Soziale Kompetenz|Sozialkompetenzen]] ist besonders gefragt. * Firma hat zahlreiche unqualifizierte Angestellte ➔ Geduld und nachweisbare Erfahrung mit langsamen Mitarbeitenden ist gefragt. Solche firmeninternen, “intimen” Sachen findet man nur durch Kommunikation heraus. Wenn man die im Inserat genannte Kontaktperson anschreibt oder anruft (und nur diese soll man kontaktieren), kann man erfahren, was hinter den Kulissen läuft. Dieses Wissen kann man dann in den Motivationsbrief einfliessen lassen. Man kann die Firma vor dem Vorstellungsgespräch auch besuchen. '''Auftrag:''' In welchen speziellen Situationen könnten sich die Firmen befinden, bei denen ihr euch bewerbt? Tauscht euch in Buzz-Groups aus. Kritik:</br> In seiner Reihe ''15 Minuten Wirtschaftspsychologie'' kritisiert [[w:Uwe Kanning|Uwe Peter Kanning]] das „Anschreiben in Bewerbungsunterlagen“: Recruiter sollten "das Motivationsschreiben in den Papierkorb werfen". Freiwillige Aufgabe:</br> Dem Dozenten einen Motivationsbrief zur Korrektur schicken. === Bewertete Hausaufgabe === Bitte sendet mir euren Bewerbungsbrief im Wordformat bis [Datum]. Kontakt-, Kern- und Schlussbotschaft zusammen müssen mindestens 100 Wörter beinhalten. Euer Brief muss wie folgt aufgebaut sein: 1) Absender 2) Empfänger 3) Datum 4) Betreff 5) Anrede 6) Kontaktbotschaft 7) Kernbotschaft 8) Schlussbotschaft 9) Grussformel 10) Unterschrift 11) Vorname, Name Pro fehlendes Element werden 0.1 Punkte abgezogen. Zudem geben Komma- und Rechtschreibefehler sowie Stilfehler (Nomen statt Verben, Passiv statt Aktiv, fehlender Sie-Bezug, Floskeln / unnötige Modalverben - wie im Unterricht gesehen) Abzug. Beste Grüsse == [[:w:Lebenslauf (Bewerbung)|Lebenslauf]] == Je 5 Minuten in 3-er-Gruppen gegenseitig Lebenslauf vergleichen. Wie würdet ihr euch in einem Kästchen zuoberst im Lebenslauf mit 3 Stichworten beschreiben? == ([[:w:Kompetenzmanagement|Kompetenzmanagement]] →) [[:w:Bewerbung#Kompetenzprofil|Qualifikationsprofil]] == # '''Schreibt eure''' beruflich ausgeübten/angewandten/nachgewiesenen '''Tätigkeiten/Fähigkeiten in ein Worddokument'''. Verwendet pro Tätigkeit/Fähigkeit eine neue Zeile (damit man die Tätigkeiten/Fähigkeiten danach einfach voneinander mittels Schere trennen kann). Jede Tätigkeit/Fähigkeit muss mit einem '''Verb''' enden; Beispiele: eine Maschine BEDIENEN, Anlagen PRÜFEN, Lehrlinge ANLEITEN, Mitarbeitende MOTIVIEREN. # Habt ihr Mühe, eure Kompetenzen aufzuschreiben? Konsultiert zur Hilfe 1) die Ausschreibung eurer Stelle, auf die ihr euch beworben hattet (und die ihr jetzt innehabt) oder 2) den Rahmenlehrplan eures Studiengangs im Berufsverzeichnis auf der Website des [[w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation|SBFI]]. # '''Lasst euer '''Worddokument''' (durch die Lehrperson) '''ausdrucken'''. # '''Schneidet''' das gedruckte Blatt so, dass auf jedem '''Schnipsel''' genau eine Tätigkeit/Fähigkeit steht. # '''Ordnet die Schnipsel auf eurem Tisch: '''gruppiert''' sie thematisch. Welche sinnvollen Kategorien stellen sich heraus? # '''Haltet eure Schnipselordnung fest, indem ihr sie abfotografiert oder die Tätigkeiten/Fähigkeiten sogleich entsprechend eurer auf dem Tisch geschaffenen Ordnung in eurem Worddokument anpasst. # Fertig ist euer Qualifikationsprofil. # Vergleicht eure Qualifikationsprofile untereinander. Könnt ihr eure Kompetenzen sinnvoller bündeln? Haben die anderen Studierenden sinnvollere Kategorien gebildet? '''QUALIFIKATIONSPROFIL''' Maria Muster, Musterstrasse 1, 1000 Musterstadt Angestrebte Funktion: Bauleitende Elektroinstallateurin '''Personalführung''' • Arbeitseinsätze für mehrere Arbeiter geplant • Arbeitsvorbereitung für Montageteam inklusive Materialbeschaffung und Organisation • Lehrlinge gemäss Lehrplan ausgebildet '''Projektleitung''' • Projekte vor Ort geleitet und Arbeitskräfte gemäss anstehenden Aufgaben eingeteilt • Projektabschluss: Mess- und Prüfprotokolle, Anlagendokumentationen erstellt • Besprechungen gewerkeübergreifend durchgeführt für weitere Bauplanung '''Persönlichkeit''' • Zuverlässige und exakte Arbeitsweise • Lösungsorientiertes Arbeiten • Interesse, an Herausforderungen zu wachsen === Bewertete Hausaufgabe (nur HF, nicht TK) === Bewertungsraster: '''Form''': Gilt für alle bewerteten Hausaufgaben dieses Kurses (um einen Minimalstandard zu gewähren): Worddokument, eigener Name im Dokumentnamen (Beispiel: ''Qualifikationsprofil_m.muster.docx''), Arial/Calibri 11/12, „Kein Leerraum“, Seitenränder 3,3,3,1.5 Spezifisch: 2 Spalten (Kategorie, Beschreibung), Vergangenheit '''Inhalt''': * Bezug auf beigelegtes Inserat * Bezug auf persönliche (bei Kurseinstieg vorgestellte) Laufbahn (deshalb einzigartig/persönlich = Einzelarbeit) = Texten = [[Datei:Smiling businesspeople (Unsplash).jpg|mini|Manchmal muss ich mündlich Gesagtes in geschriebenen Text umwandeln.]] Die Stilebene ist nur eine von dreien. Wir zoomen raus: 1) Wem schreibe ich? Was möchte ich mit dem Text?</br> 2) Wie ordne ich den Text besser? Welche Abschnitte wähle ich? Struktur-Beispiele: ::* [[:w:Anamnese|Anamnese]], [[:w:Diagnose|Diagnose]], [[:w:Therapie|Therapie]] ::* Kontaktbotschaft, Kernbotschaft, Schlussbotschaft ::* Was geschah bisher? Was geschieht jetzt? Was soll danach geschehen?</br> 3) Verständlichkeit (Schulz von Thun) & Stil (4+ Regeln) = Kommunizieren = Kommunikationsmittel, Kommunikationsziel und Zielgruppe '''Whiteboard:''' <u>[[:w:Kommunikationsmittel|Kommunikationsmittel]]</u> <u>Kommunikationsziel</u> Information, Motivation, Werbung, Instruktion, Prävention <u>Zielgruppe</u> Nicht zu viel, nicht zu wenig <small>Theorie: COMPENDIO 2017, Seiten 74-78.</small> <gallery> "The_messenger_of_love"_by_Leonard_Straszyński.jpg|Werbung HITRON_MH-65C_Fires_warning_shots.jpg|Prävention Woodstock redmond cocker.JPG|Motivation 170423-Einkaufszettel-01.jpg|Instruktion Sign - New Mexico - Truth Or Consequences - Exit (4892943477).jpg|Information </gallery> '''Aufgabe: Bestimme…''' Beispiel: Compendio 2017 Seite 80: * Aufgabe 28: Kommunikationsziel * Aufgabe 29: Kommunikationsmittel * Aufgabe 31 b): Zielgruppe → Situation: Chef(in) diktiert / teilt euch mündlich Unstrukturiertes mit: ihr müsst den Inhalt in eine '''Mitarbeiterinformation''' umwandeln. == Adressatengerecht schreiben == [[Datei:Smiling businesspeople (Unsplash).jpg|mini|Wie bringt ihr es euren Mitarbeitenden bei?]] '''Aufgabe: Eure Chefin teilt euch beim Vorbeigehen mit, was ihr euren Mitarbeitenden mitteilen solltet; ihr müsst die Information mitarbeitertauglich machen:''' Zum Beispiel Aufgabe Compendio 2017, S. 59-61.</br> Auswertung: Jede(r) Kursteilnehmer(in) lädt innert 15 Minuten (durchschnittlich verfügbare Zeit bei [[:w:Anavant|Anavant-Prüfungen]]) ihre/seine Mitarbeiterinformation auf die Plattform hoch.</br> Die Lehrperson lost zwei Arbeiten zur Besprechung im Plenum aus (Online-Zufallsgenerator) und stellt eine Musterlösung zur Verfügung. '''Sonstiges:''' * Übungen zum Thema „Texte überarbeiten“ (z.B. Compendio 2017, S. 62). * Simon Chen „Adressatengerecht schreiben“ auf der Site des Sprachwerks (Kurzfilm). <gallery> Prisonbars.svg|Gerüchte jetset yacht </gallery> = [[w:Mitarbeiterinformation|Mitarbeitende informieren]] = * Theorie: Compendio Seite 82. '''Aufgabe 1''' Komplizierten Text nach obigen Kriterien analysieren. Beispiel Compendio (2017) S. 59-61. Mit Zufallsgenerator wird ein(e) Studierende(r) ausgewählt, um die "Analyse" vorzustellen. '''Aufgabe 2''' Die Wirtschaftslage erfordert Veränderungen, andere Kompetenzen sind gefragt. Ihre Geschäftsleitung hat ein Budget für gezielte Weiterbildungen geschaffen. Sie fordern Ihre Mitarbeitenden auf, sich für z.B. Informatik- oder Englischkurse anzumelden. '''Aufgabe 3''' Ihre Chefin ist krank. Welche Folgen hat der Ausfall? Wie lange? Warum? Wer übernimmt Aufgaben? Sie müssen Ihre Mitarbeitenden informieren. = Selbstportrait = Tipp: Erstes Kapitel der überfachlichen HF-Vertiefungsarbeit ist ein Kurzporträt, eine Vorstellung der Autorin / des Autors. '''Aufgabe: sich als Führungskraft vorstellen''' Sie arbeiten seit gestern als Abteilungsleiterin in einem neuen Betrieb. Mitarbeitende fragen sich: Wer ist diese Person? Was ändert sich für mich?</br> Sie informieren über sich: Wer bin ich usw., siehe '''9 [[:w:Ergänzungsfrage|W-Fragen]]''' im Buch Compendio (2017) Seite 65: # Was passiert? # Wer bin ich? (eigene Rolle definieren) # Wen/Wem? (die Rollen deiner zukünftigen Mitarbeitenden definieren) # Wo? (Wer ist betroffen?) # Wann? (ab [Datum) # Warum? Zurückblickend: Die Abteilung wird neu (von mir) geleitet, weil ([das] passiert ist). Ich wurde ausgewählt / bin kompetent, weil [ich … geleistet habe] # Wozu? Vorausblickend: Unser gemeinsames Ziel ist… # Wie? Regelmässige Gespräche usw. # Woher? Gute gemeinsame Leistung beruht auf… Ich teile meinen zukünftigen Mitarbeitenden meine * [[:w:Führungserfolg#Führungsgrundsätze|Führungsgrundsätze]] (Effektivität, Effizienz und Wirtschaftlichkeit – oder Internet-Recherche des Begriffs „Führungsgrundsatz“) und * [[:w:Personalwesen#Hauptfunktionen|Werte]] (Entwicklung, Kommunikation, Betreuung usw. – oder Internet-Recherche des Begriffs „werteorientierte Führung“) mit. '''Aufgabe''': Finde die Fehler. Welche Note gibst du? Pro Fehler 0.1 Punkte Abzug: [Foto von Marge Simpson] Seit dem 1. Januar 2002 arbeite ich als Abteilungsleiterin in unserem Betrieb. Ich habe in Bärn meine Lehre als Mechanikerin abgeschlossen, und im Anschluss 4 Jahre Berufserfahrung gesammelt. Meine Wertvorstellungen als Projektleiterin stellt unsere Kundschaft in den Mittelpunkt. Die Kundschaft zeigt ihre Zufriedenstellung, wenn wir vereinbarte Ziele betreffend Qualität und Termine eingehalten. Dabei hilft mir mein gutes Organisationstalent und die Fähigkeit. mit externen Partnern von der Firmenchefin bis zur Handwerkerin zweifellos zu kommunizieren. Ich freue mich, ein kleines Team von 10 Mitarbeitenden führen können zu dürfen. In meinem Team werde ich eine familiäre Athmosphäre schaffen, in welcher Offenheit gilt und alle einem fairen Umgang miteinander pflegen. Alle Mitarbeitende werden angemessene Aufgaben zugeteilt bekommen und jedes Teammitglied soll sich weiterentwickeln können. Mitarbeitende fair zu führen bedeutet für mich, das man auch mein Verhalten als Vorgesetzte hinterfragen und eine Begründung für meine Kritik fordern darf, und nach Feierabend finde ich meine Work-Live-Balance durch meine Hobbys Klavierspielen und Velofahren. '''→ [[Benutzer:Gkjv/Selbstporträt#Beispiel|Lösung]]''' == Bewertete Hausaufgabe == '''[[Benutzer:Gkjv/Selbstporträt|Bewertung Selbstporträt]]''' Sende dein Selbstportrait als Worddokument bis und mit spätestens [Datum] an [E-Mail der Lehrperson]. Dein Text wird benotet. Bewertungskriterien sind: * Rechtschreibe- und Kommaregeln befolgen * Verständlich schreiben: Einfach schreiben, den Text gliedern * Die Aufgabenstellung befolgen * Auf sich bezogen (nicht für eine andere Person) schreiben * mindestens 140 Wörter = Fragen = == Firma vorstellen == '''9 [[:w:Ergänzungsfrage|W-Fragen]]''' im Buch Compendio (2017) Seite 65-66: …</br> 5. …</br> 6. Warum gibt es unsere Firma? <small>(retrospektiv)</small></br> 7. Wozu arbeiten wir? <small>(prospektiv)</small></br> 8. …</br> 9. …</br> == Mitarbeitende befragen == '''Fragen auswählen''' Vorbereitung: Kopien zum Thema „Fragen stellen“ (z.B. Compendio S. 73) Thema: Was erwarten meine Mitarbeitenden?</br> 1) Erklärvideo Mitarbeiterführung: "Ein unmotivierter Mitarbeiter kostet viel Geld".</br> 2) Websiten "Erwartungen an Vorgesetzte": viele "goldene Regeln": Authentizität, Kompetenz, offene Kommunikation, Perspektiven, Respekt, Vertrauen usw..</br> 3) Welche Frage-Arten gibt es? Geschlossene/Offene, W-Fragen. COMPENDIO S. 64-65.</br> 4) Welche Fragen stelle ich in der Umfrage? Mind-Map: COMPENDIO S. 70.</br> 5) In Zweiergruppen Umfragen mit SurveyM oder Forms erstellen. Die anderen beantworten die Umfrage.</br> 6) Umsetzung: [[w:Mitarbeiterbefragung|Mitarbeiterbefragung]]</br> 7) In Vierergruppen Schlussbilanz ziehen. '''Anleitung halboffene Frage auf [[:w:en:Microsoft Forms|Microsoft Forms]]''' # „Neues Quiz“ # „Neue Frage hinzufügen“ # „Auswahl“ # Schreibe deine Frage in das Feld [Frage] # Klicke auf den [[:w:Auslassungspunkte|Dreipunkt („…“)]] unten rechts # Wähle „Verzweigung hinzufügen“ # Klicke oben auf „← Zurück“ # Klicke auf „+ Neue Frage hinzufügen“ # … = Komplexere Texte verstehen = COMPENDIO S. 67-69, 72, 73. '''Zusammenfassung''': [[:w:Executive Summary|Management Summary]] für Diplomarbeit: Jede(r) stellt den anderen die Summary ihrer/seiner eigenen Diplomarbeit vor. Geh davon aus, dass die [[:w:Experten-Laien-Kommunikation|Leserschaft „dumm“]] ist. Für Präsentationen: [[:w:Pecha Kucha|Pecha Kucha]] == Bewertete Hausaufgabe == TEXTVERSTÄNDNIS (= Prüfungsvorbereitung) 1. Fasse den ausgewählten Artikel in einem Satz zusammen („Der Artikel beschreibt, wie…“) 2. Welche '''[[:w:Terminus|Fachbegriffe]]''' zeigen auf, worum es geht? Erkläre drei Begriffe in jeweils einem ganzen Satz. 3. Welche '''[[:w:Kausalität|kausalen Zusammenhänge]]''' gibt es? Beschreibe objektiv drei wichtige Zusammenhänge in jeweils einem Satz. 4. Bist du '''einverstanden oder nicht''' einverstanden mit den Kernaussagen des Texts? Begründe in zwei Sätzen. Schreibe hier auf Papier, oder lade dein Antwort-PDF auf TEAMS (Beitrag «Textverständnis») hoch. A) Einen interessanten Artikel in einer Zeitschrift (z.B. KMU Magazin, Afrika-Bulletin) finden.</br> B) Fragen zum Artikel formulieren: # ''Welche Begriffe zeigen auf, worum es geht?'' # ''Welche kausalen Zusammenhänge gibt es?'' # ''Beschreiben Sie Positives und Negatives.'' # ''An wen genau ist dieser Artikel gerichtet?''</br> C) Den Artikel zusammen mit den Fragen als Prüfungsaufgabe aufbereiten (z.B. ein PDF auf TEAMS hochladen). Die Lehrperson stellt alle korrigierten Versionen allen Studierenden zur Verfügung.</br> Diese Aufgabe dient als Vorbereitung auf die Fachprüfung am Kursende. '''BEISPIEL:''' Eudes-Philippe Le Guelinel: ''Biotreibstoff soll Fliegen nachhaltiger machen.'' In: ''KMU-Magazin'', 09. Dezember 2021. '''MUSTERLÖSUNG''': 1) Der Artikel beschreibt, wie die Air France-KLM-Gruppe den Biotreibstoff fördert. 2) 3 Begriffe: '''[[:w:Biokerosin|Sustainable Aviation Fuel]] (SAF)''' bedeutet „nachhaltiger Flugzeug-Treibstoff“. Mit SAF sollen die [[:w:Umweltauswirkungen des Luftverkehrs#Nutzung Alternativer Kraftstoffe|'''CO2-Emissionen''' von Flugzeugen]] vermindert werden. Eudes-Philippe Le Guinel macht mit der Idee von SAF Werbung für seinen Arbeitgeber, die '''[[:w:Air France-KLM|Air-France-KLM-Gruppe]]'''. 3) 3 Ursache-Wirkung-Sätze: Die Air France-KLM-Gruppe fördert SAF, '''weil''' sie sich so als nachhaltig vermarkten kann. Kooperationspartner für SAF zu finden ist schwierig, '''weil''' die Nachfrage nach SAF derzeit noch klein ist. Aber die Gruppe macht weiter, '''weil''' im Jahresvergleich bereits beachtliche positive Ergebnisse erzielt wurden. 4) Eigene Meinung: '''Ich glaube''' nicht, dass für die Herstellung von SAF langfristig nur Abfallprodukte genügen. Die Fortbewegungsart „Fliegen“ wird in Zukunft insgesamt kaum nachhaltiger, weil immer mehr Menschen fliegen werden. = Protokollieren = Lies die Seiten zum Thema "Protokoll" im HEP-Buch Seiten 78-81. Beantworte die Frage: Was ist der Unterschied zwischen wörtlichem Protokoll, Kurzprotokoll und Becshlussprotokoll? Vergleiche deine Antwort mit der Unterscheidung im Buch COMPENDIO Seite 86. Sagt das HEP-Buch das gleiche wie das COMPENDIO-Buch? Lesen Sie das Gespräch zwischen den Personen X und Y. Verfassen Sie anhand des Gesprächs ein Kurzprotokoll: Schreiben Sie mindestens 8 ganze Sätze. Senden Sie Ihre Lösung bis in 10 Tagen als Worddokument per E-Mail der Lehrperson. Ziel des Protokolls: Abwesende können Beschlüsse nachvollziehen (→ rechtlicher Nachweis) Lernziele:</br> * Für das Kurzprotokoll: Wichtiges von Unwichtigem unterscheiden <small>(das Kurzprotokoll ist eine Mischform)</small></br> * Direkte Rede von indirekter Rede unterscheiden (Gefahr: Direkte Rede ändern = Aussage fälschen = Straftat) Aufbau des Kurzprotokolls: „Anamnese - Diagnose - Therapie“. '''Was haben To-Do-Liste und [[:w:Einkaufszettel|Einkaufszettel]] mit einem Beschlussprotokoll gemeinsam und was nicht?''' (Unterschied Anzahl beantworteter W-Fragen) <gallery> 170423-Einkaufszettel-01.jpg|Ein Ehepaar einigt sich, wer? was wann? im Supermarkt einkauft. Flipchart_ToDo-Liste.jpg|mini|Organisatoren einigen sich, wer was bis wann erledigt. </gallery> '''Beispiele:''' * [[w:To-do-Liste|To-do-Liste]] * [[w:Aktennotiz|Aktennotiz]] * [[w:Ergebnisprotokoll|Ergebnisprotokoll]] * [[w:Verlaufsprotokoll|Verlaufsprotokoll]] * [[w:Protokoll_(Niederschrift)#Typen|Protokoll_(Niederschrift)#Typen]] '''Theorie:''' * HEP S. 78-81. * COMPENDIO S. 84-86 (Theorie) und S. 93-94 (Aufgaben) == Bewertete Hausaufgaben == Elemente des Protokolls: Buch Compendio Seite 84: „Bestandteile eines Protokolls“. Bewertung:</br> Sprache: 5 x (Anzahl Wörter - 2 x Anzahl Fehler) / Anzahl Wörter + 1 = provisorische Note</br> Inhalt: Pro fehlendem Inhaltspunkt 0.1 Noten Abzug</br> => '''Definitive Note'''. Beispiel: Sprache: 5 x (Anzahl Wörter - 2 x Anzahl Fehler) / Anzahl Wörter + 1 = 5 x 132/136 + 1 = 5.9 Inhalt: - 0.1 (fehlender Termin für nächsten Anlass) = '''Note 5.8'''. = Anleiten = Beispiele: Rezept, Installation/Montage, Bedienoberfläche, Betriebsanleitung.</br> Inhalt: Material, Werkzeug, Ablauf…</br> Theorie: Compendio 2017 S. 91-92. Vorwissen aktivieren:</br> Habt ihr schon Anleitungen geschrieben?</br> Welche Anleitungen habt ihr schon geschrieben? == Bewertete Hausaufgabe == '''Auftrag:'''</br> Überlegen Sie sich eine Ihrer beruflichen Tätigkeiten.</br> Schreiben Sie eine Anleitung in mindestens 6 Schritten und mindestens 100 Wörtern.</br> Schreiben Sie ganze Sätze: Jeder Satz hat ein Subjekt und ein Prädikat.</br> Kontrollieren Sie Verständlichkeit, Rechtschreibung und Stil.</br> Senden Sie Ihre Anleitung im Wordformat bis [Datum] an lehrperson@edu.org . ⇒ '''Quiz'''-Vorbereitung Am nächsten Kurstag raten die anderen Studierenden im Plenum: * Von welcher mitstudierenden Person stammt die Anleitung? * Welcher Tätigkeit dient die Anleitung genau? Welcher Titel passt zur Anleitung? = Argumentieren = '''→ Siehe [[Benutzer:Gkjv/Argumentieren|Argumentieren]]''' = Beschreiben ''versus'' Interpretieren = 1) Man finde eine Grafik, die * willkürliche Personengruppen (zum Beispiel Stereotype) bildet und * willkürliche Begriffe (zum Beispiel Fantasiegebilde) apriorisiert. 2) Man beschreibe und interpretiere diese Grafik. [[Datei:Nico cartoon 1971.jpg|mini|Beispiel einer zu beschreibenden und danach interpretierenden Karikatur]] '''[[w:Deskription|Deskription]]''' (Gegebenes, Vorhandenes) versus '''[[w:Interpretation|Interpretation]]''' (Deutung) (versus '''[[w:Präskription|Präskription]]''') ≠ [[w:Wertung|Wertung]]? '''„Zeichnungswettbewerb“''' Die Lehrperson teilt mit den Studierenden eine Bildbeschreibung (nur Text). # Schritt: Die Studierenden zeichnen, was sie lesen. # Schritt: Die Zeichnungen werden mittels Visualizer im Plenum verglichen. # Je nach Abweichungen/Unterschieden zwischen den Zeichnungen ist der Ursprungstext eine bessere oder eine schlechtere Beschreibung. '''Interpretieren:''' Die Studierenden bringen politische Karikaturen mit. [[commons:Category:Caricatures|Auswahl]] Bezug zu [[w:SWOT-Analyse|SWOT-Analyse]]? = Factsheet = '''Grafische Elemente''': Logo, Slogan, Karte, Foto des Firmensitzes, Foto von Produkt/Dienstleistung, Gruppenfoto der Belegschaft, historische Aufnahme … '''1) Allgemeiner Teil: [[w:Wikipedia:Formatvorlage Unternehmen|FIRMA VORSTELLEN]]''': '''9 [[:w:Ergänzungsfrage|W-Fragen]]''' im Buch Compendio (2017) Seite 66: # WER sind wir? Firmenname, rechtlichen Status und Mitarbeiterzahl nennen. # WAS tun wir? Einen Satz, der alles sagt, schreiben. # WEN sprechen wir an? Unsere Kundschaft/Stakeholder beschreiben. # WO arbeiten wir? Lokal, regional, national, international. # Seit WANN arbeiten wir? Gründungsdatum und Meilensteine nennen. # WARUM arbeiten wir? Weil ein Bedürfnis / eine Nachfrage nach unseren Leistungen besteht. # WOZU arbeiten wir? Wir wollen … ermöglichen/fördern/bewirken/…. # WIE arbeiten wir? Branche und Tätigkeiten beschreiben. # WOHER nehmen wir das, was wir für unsere Arbeit brauchen? Zulieferer/Informationsquellen/Partnerinstitutionen usw. nennen/beschreiben. '''2) Spezifischer Teil: ''': Besonderes je nach Zielpublikum (z.B. Lehrstellen bei Lehrlingsanwerbung) vorstellen '''3) Kontaktangaben: Genaue Adresse, Mail, Website etc.''' == Bewertete Hausaufgabe == == Wikipedia == * [[w:Wikipedia:Relevanzkriterien|Relevanzkriterien]] * [[w:Wikipedia:Interessenkonflikt|Interessenkonflikt]] = Häufige Fragen beantworten (FAQ) = [[w:Frequently Asked Questions|FAQ-Tipps]] …zum Beispiel zum E-Mail-Verkehr: FANKHAUSER et al. (HEP 2020), S. 19-20. == Bewertete Hausaufgabe == '''Welche „häufigen Fragen“ gibt es in deinem Betrieb?'''</br> Wähle sieben „häufige Fragen“ zu einem der folgenden drei Themen: „Produktion/Dienstleistungen“, „Kunden“ oder „Sicherheit“.</br> Diese Fragen müssen thematisch zueinander passen.</br> Schreibe unter jede Frage eine Antwort.</br> Schreibe nur ganze Sätze. Nebensätze müssen mit einem Hauptsatz verbunden sein.</br> Du darfst Sätze weder von Mitstudierenden noch vom Internet kopieren.</br> Übermittle deine Lösung bis [Datum] der Lehrperson im Wordformat.</br> '''MUSTERLÖSUNG'''</br> '''1) Was ist das Thema der bewerteten Hausaufgabe?'''</br> Das Thema sind „häufige Fragen“ in deinem Betrieb.</br> '''2) Muss ich eines der drei Themen „Produktion/Dienstleistung“, „Kunden“ oder „Sicherheit“ auswählen?'''</br> Ja, du musst entweder „Produktion/Dienstleistung“ oder „Kunden“ oder „Sicherheit“ auswählen.</br> '''3) Was ist ein Beispiel für nicht thematisch zueinander passende Fragen?'''</br> „Wo ist der Notausgang?“ „Wo entsorge ich Altglas?“ „Wie bediene ich die Maschine?“</br> '''4) Muss ich unter jede Frage eine Antwort schreiben?'''</br> Ja, du musst unter jede Frage eine Antwort schreiben.</br> '''5) Warum dürfen Nebensätze nicht alleine stehen?'''</br> Ohne Hauptsatz fehlen dem Nebensatz Informationen. Ich nenne ein Beispiel:</br> „weil heute schönes Wetter ist“. Das ist ein alleinstehender Nebensatz.</br> Der Hauptsatz fehlt. Korrekt ist zum Beispiel:</br> „Ich spaziere, weil heute schönes Wetter ist.“ Der Hauptsatz ist: „Ich spaziere.“</br> '''6) Wie findet die Lehrperson heraus, ob ich Sätze kopiere?'''</br> Die Lehrperson verwendet Plagiatssoftware.</br> '''7) Was passiert, wenn ich meine Lösung nach dem [Datum] abgebe?'''</br> Die Lehrperson zieht gerechterweise eine verhältnismässige Punktzahl ab.</br> Bewertung: 5 x (Anzahl Wörter - 2 x Anzahl Fehler) / Anzahl Wörter + 1 - nicht zum Thema passende Fragen / 10 - Anzahl überschrittener Tage / 20 = Note (Schweizer Notenskala 1-6) == Prüfung == '''AUFGABENSTELLUNG'''</br> '''Welche „häufigen Fragen“ gibt es in deinem Betrieb?'''</br> Wähle sieben „häufige Fragen“, die im Unterricht noch nicht behandelt wurden.</br> Diese Fragen müssen thematisch zueinander passen.</br> Schreibe unter jede Frage eine Antwort.</br> Schreibe nur ganze Sätze. Nebensätze müssen mit einem Hauptsatz verbunden sein.</br> Du darfst Sätze weder von Mitstudierenden noch vom Internet kopieren.</br> Übermittle deine Lösung in 30 Minuten der Lehrperson.</br> '''MUSTERLÖSUNG'''</br> '''1) Was ist das Thema der Prüfung?'''</br> Das Thema sind „häufige Fragen“ in deinem Betrieb.</br> '''2) Welche „häufigen Fragen“ wurden im Unterricht behandelt?'''</br> Im Unterricht wurden „häufige Fragen“ zum Thema _____________ behandelt.</br> '''3) Was ist ein Beispiel für nicht thematisch zueinander passende Fragen?'''</br> „Wo ist der Notausgang?“ „Wo entsorge ich Altglas?“ „Wie bediene ich die Maschine?“</br> '''4) Muss ich unter jede Frage eine Antwort schreiben?'''</br> Ja, du musst unter jede Frage eine Antwort schreiben.</br> '''5) Warum dürfen Nebensätze nicht alleine stehen?'''</br> Ohne Hauptsatz fehlen dem Nebensatz Informationen. Ich nenne ein Beispiel:</br> „weil heute schönes Wetter ist“. Das ist ein alleinstehender Nebensatz.</br> Der Hauptsatz fehlt. Korrekt ist zum Beispiel:</br> „Ich spaziere, weil heute schönes Wetter ist.“ Der Hauptsatz ist: „Ich spaziere.“</br> '''6) Wie findet die Lehrperson heraus, ob ich Sätze kopiere?'''</br> Die Lehrperson verwendet Plagiatssoftware.</br> '''7) Was passiert, wenn ich meine Lösung nach mehr als 30 Minuten abgebe?'''</br> Die Lehrperson zieht gerechterweise eine verhältnismässige Punktzahl ab. == Zusatzprüfung == '''AUFGABENSTELLUNG'''</br> '''Welche „häufigen Fragen“ gibt es in deinem Betrieb?'''</br> Wähle sieben „häufige Fragen“ zu einem der folgenden drei Themen: „Produktion/Dienstleistung“, „Kunden“ oder „Sicherheit“.</br> Diese Fragen müssen thematisch zueinander passen.</br> Schreibe unter jede Frage eine Antwort.</br> Schreibe nur ganze Sätze. Nebensätze müssen mit einem Hauptsatz verbunden sein.</br> Du darfst Sätze weder von Mitstudierenden noch vom Internet kopieren.</br> Übermittle deine Lösung in 30 Minuten der Lehrperson.</br> '''MUSTERLÖSUNG'''</br> '''1) Was ist das Thema der Prüfung?'''</br> Das Thema sind „häufige Fragen“ in deinem Betrieb.</br> '''2) Muss ich eines der drei Themen „Produktion/Dienstleistung“, „Kunden“ oder „Sicherheit“ auswählen?'''</br> Ja, du musst entweder „Produktion/Dienstleistung“ oder „Kunden“ oder „Sicherheit“ auswählen.</br> '''3) Was ist ein Beispiel für nicht thematisch zueinander passende Fragen?'''</br> „Wo ist der Notausgang?“ „Wo entsorge ich Altglas?“ „Wie bediene ich die Maschine?“</br> '''4) Muss ich unter jede Frage eine Antwort schreiben?'''</br> Ja, du musst unter jede Frage eine Antwort schreiben.</br> '''5) Warum dürfen Nebensätze nicht alleine stehen?'''</br> Ohne Hauptsatz fehlen dem Nebensatz Informationen. Ich nenne ein Beispiel:</br> „weil heute schönes Wetter ist“. Das ist ein alleinstehender Nebensatz.</br> Der Hauptsatz fehlt. Korrekt ist zum Beispiel:</br> „Ich spaziere, weil heute schönes Wetter ist.“ Der Hauptsatz ist: „Ich spaziere.“</br> '''6) Wie findet die Lehrperson heraus, ob ich Sätze kopiere?'''</br> Die Lehrperson verwendet Plagiatssoftware.</br> '''7) Was passiert, wenn ich meine Lösung nach mehr als 30 Minuten abgebe?'''</br> Die Lehrperson zieht gerechterweise eine verhältnismässige Punktzahl ab. == Sonstiges == Liebe Studierende Am '''[Datum]''' schreiben wir eine Prüfung in der [Schule]. Bitte nehmt deshalb am [selben Datum] '''euren Computer''' mit in den Unterricht. Die Prüfung wird 30 Minuten dauern. Die Prüfung schreibt ihr am Computer nach dem '''[[:w:Kofferklausur|Open-Book]]'''-Prinzip: Ihr dürft sämtliche Hilfsmittel verwenden. Nicht erlaubt sind Social Media und Kontakt mit anderen Studierenden. Die Prüfung ist eine Einzelaufgabe. Das Thema der Prüfung ist: '''Frequently Asked Questions (FAQ)'''. Die Prüfung wird ähnlich wie die [im Unterricht besprochene Aufgabe] aussehen. Schaut [hier]: Diese Musterlösung ergäbe die Note 6. Ihr werdet mindestens 7 Fragen zum gewählten Thema schreiben. Jede dieser Fragen müsst ihr in '''ganzen Sätzen''' (also keine alleinstehenden Nebensätze) beantworten. Die Fragen müssen logisch gereiht und sinnvoll/vernünftig sein. An der Prüfung werdet ihr FAQ nicht zum E-Mail-Verkehr, sondern zu einem anderen geschäftlichen Thema schreiben. Eine gute Woche wünscht euch '''Themen zur Auswahl:''' Verantwortungsbereiche: Arbeitssicherheit: Arbeitszeitkontrolle: Ferienreglement: Geschäftsgang: Anfrage, Angebot Kundenreklamationen beantworten: Prioritäten setzen, sachlich bleiben, Fakten nennen, zuvorkommen, Frist Verhalten bei Notfall: [[:w:Sammelplatz (Brandschutz)|Sammelplatz]]; In welchen Fällen 117, 118, 144, 145 oder 1414 anrufen; Amoklauf … Entsorgung: Metall, Plastik, Holz, Öl, Karton, Papier... * Mindestens 7 Fragen zum gewählten Thema schreiben. * Jede Frage in ganzen Sätzen beantworten. * Die Fragen müssen logisch gereiht und sinnvoll/vernünftig sein. = Mit Kundinnen und Kunden kommunizieren = == Vorbereitung == Kopien zum Thema „Externe Kommunikation“ (z.B. Compendio S. 101-102, mit Repetition) == Kundenmitteilung == === Einstieg === [[Datei:Bankrupt computer store 02.jpg|thumb]] Was seht ihr auf dem Bild? (Antwort: Eine schlechte Kundenmittteilung.) Danach Theorieinput: COMPENDIO, S. 95. === Aufgabe === #Setzt euch zu viert um ein Blatt: Welche Informationen musste eure Firma den Kunden mitteilen? Kriterien: :::1) Information, die ''alle'' (oder einen Grossteil der) Kunden betrifft; :::2) Information, die ''nicht'' Mitarbeitende betrifft (das wäre sonst eine Mitarbeiterinformation - etwas anderes). #Eine Person jeder Vierergruppe (kommt nach vorne und) präsentiert das innerhalb der Vierergruppe Besprochene im Plenum. #Überlegt euch ein Ereignis (kein Bankrott!), das ihr euren Kunden mitteilen müsst. Schreibt das Ereignis auf einen Zettel. Die Zettel werden gemischt und nach Zufallsprinzip ausgeteilt. Jede(r) muss eine Kundenmitteilung zum erhaltenen Ereignis schreiben: #Verfasst eine Kundenmitteilung aufgrund der handgeschriebenen Notizen. Die Kundenmitteilung muss die 5 Teile von COMPENDIO Seite 95 aufweisen. Sind die Notizen unverständlich oder unvollständig, antwortet dem Chef: Was braucht ihr noch für Informationen, um eine komplette Kundeninformation zu schreiben? == [[w:Pressemitteilung|Medienmitteilung]] == * COMPENDIO, S. 96. == [[w:Webtext|Webtext]] == Firmenporträt, Leitbild, Newsletter === Information === * COMPENDIO, S. 96-97. === Aufgabe === Vorbereitung: Lehrperson lädt eine leere, mit "Website-Empfehlungen" betitelte PowerPoint-Präsentation auf TEAMS hoch. :1) Lehrperson fragt im Plenum nach Firmenwebsiten der Studierenden und schreibt jede Website auf einen Zettel. Die Zettel teilt sie aus, sodass kein Studierender seine eigene Firmenwebsite hat. :2) Jeder Studierende muss die ihm zugeteilte Website auf die Beantwortung der in COMPENDIO Seite 97 aufgelisteten Fragen hin prüfen. (10 Minuten) :3) Jeder Studierende muss daraufhin Empfehlungen zur Verbesserung der analysierten Website schreiben - ein Minimum an 3 Empfehlungen. Den Studierenden mitgeteilte Aufgabenstellung: Lest die Fragen im Buch Seite 97. Schaut die euch zugeteilte Website an. 1) Beantwortet die Website die Fragen? 2) Wenn ja, wie kann die Website übersichtlicher gestaltet werden? Schreibt eure Lösung zu 1) und 2) auf eines der Slides. Passt auf, dass ihr nicht die Texte der anderen löscht (wir bearbeiten gemeinsam simultan die PowerPoint-Präsentation). = Einladung = * COMPENDIO, S. 98-100. * HEP Seiten 44-45. == Aufgabe "Einladung [[w:Kundenbindung|Kundenbindung]]" == Vorbereitung: Lehrperson lädt leere PowerPoint-Präsentation mit dem Titel "Einladung Kundenbindung" auf TEAMS hoch. Aufgabenstellung für die Lernenden: Ladet uns ein zu einem Anlass eurer Firma, damit wir eure Kunden werden. Baut eure Einladung wie im Buch Seite 100 beschrieben auf. Gestaltet eure Einladung auf einem Slide der beigefügten PowerPoint-Präsentation. Achtung: Löscht nicht (aus Versehen) Inhalte der anderen auf anderen Slides. = Geschäftsgang = * Kopien zum Thema „Briefdarstellung“ (z.B. Compendio S.114-115) und „Briefsorten“ (z.B. Compendio S. 146-147). * '''[[Benutzer:Gkjv/Brief|Bewertung Brief]]''' == Anfrage == * COMPENDIO S. 116-118. * HEP S. 28-29 * [[w:Wikipedia:Anfragen|Wikipedia:Anfragen]] === Aufgabe === '''Teil A'''</br> Dein Betrieb leistet tolle Arbeit (gute Produkte, wichtige Dienstleistungen…). Was könnte dein Betrieb noch Anderes, Zusätzliches leisten, was er bis jetzt noch nicht leistet? Beschreibe deine innovative Idee so ausführlich wie nötig auf einem Slide im angefügten PowerPoint-Dokument, indem du die drei Fragen beantwortest: * Wie heisst deine Innovation? Gib deinem neuen Produkt oder deiner neuen Dienstleistung einen Namen. * Wie wichtig ist die Innovation für deine Firma und für deine Kundschaft? Schreib mindestens einen ganzen Satz. * Was ist das Schwierigste, das du neu beschaffen musst, um diese Innovation zu realisieren? Nenne mindestens etwas, was dein Betrieb bislang noch nicht benötigt hat. '''Teil B'''</br> Fragen Sie einen externen, neuen Anbieter an. Erklären Sie ihm Ihre Innovationsabsicht, und dass Sie noch nicht sicher sind, ob Ihre Idee wirtschaftlich ist. Schreiben Sie möglichst detailliert, was Sie neu benötigen; so erhalten Sie das bestmögliche Angebot - siehe Erklärung im Buch COMPENDIO, 2017, S. 117 zuunterst: Setzen Sie einen Brief auf. Die Lehrperson lost in 20 Minuten zwei Briefe aus, die dann im Plenum besprochen werden. Ihr Text wird nach [[Benutzer:Gkjv/Brief|folgenden Kriterien]] beurteilt (Formales siehe Buch COMPENDIO, 2017, Seite 103-115). == [[w:Angebot (Betriebswirtschaftslehre)|Angebot]] == → '''[[Benutzer:Gkjv/Angebot|Angebot]]''' == Bestellung == [[Datei:Die Kohlebestellung für den Winter 1981-82.jpg|mini|Auftragsbestätigung]] * COMPENDIO Seiten 125-129. * HEP Seiten 32-33. == Widerruf einer Bestellung == * COMPENDIO Seiten 130-132. * HEP Seiten 34-35. == Lieferverzug == [[Datei:Ever_Given_in_Suez_Canal_viewed_from_ISS.jpg|mini|''[[w:Ever_Given#Folgen_für_die_Schifffahrt|Ever Given]]'', 2021]] * COMPENDIO Seiten 138-142. * HEP Seiten 36-37. == Reklamation == * COMPENDIO Seiten 133-135. * HEP Seiten 38-39. Was für eine Briefsorge ist das? * Arbeitsgruppe Dritte Welt: ''Exportinteressen gegen Muttermilch: Der tödliche Fortschritt durch Babynahrung.'' Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1976, S. 90. == Reklamationen beantworten == * COMPENDIO Seiten 136-137. * HEP Seiten 40-41. '''Sie arbeiten beim Kundendienst der ARD in Frankfurt und erhalten die [[w:Beschwerde|Beschwerde]]:''' * Arbeitsgruppe Dritte Welt: ''Exportinteressen gegen Muttermilch: Der tödliche Fortschritt durch Babynahrung.'' Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1976, S. 90. '''Wie reagieren Sie?''' Beispiel: Brief dem Rechtsdienst der Firma abgeben wegen [[w:Artikel 261bis StGB|Rassismus-Strafnorm]]. <small>Andere Lösung: * Peter Krieg: ''Plädoyer für die Unduldsamkeit.'' In: Jane Cottingham (Hrsg.): ''Flaschenkinder: Dokumentation zum Problem der künstlichen Babynahrung.'' Internationaler Fraueninformationsdienst, Carouge 1976, S. 35–37.</small> </small>Anwortelemente: </small>1) Dank (weil Firma von Reklamationen lernt) </small>2) Bedauern/Entschuldigung/Verständnis </small>3) Grund/Erklärung </small>4) Lösung </small>5) Zusicherung/Verbindlichkeit == Zahlungsmahnung == * COMPENDIO Seiten 143-145. * HEP Seiten 42-43. = Bibliografie = * BOLLES R. N.: ''[[:w:Durchstarten zum Traumjob|Durchstarten zum Traumjob]]''. Frankfurt: Campus, 2021. * BORNAND J. et al.: ''Schriftliche Kommunikation - TK 2019''. Zürich: Compendio, 2017. * FANKHAUSER S., RÄBER K.: ''Korrespondenz für Grund- und Weiterbildung.'' Bern: hep Verlag, 2020. * [[:w:Friedemann Schulz von Thun|SCHULZ VON THUN F.]]: ''[[:w:Miteinander reden|Miteinander reden]]: 1. Störungen und Klärungen / Allgemeine Psychologie der Kommunikation.'' Hamburg: Rowohlt, 2019. hr09q5qavs467wtw4dzp02d86nbxvmn 0 135821 778645 762559 2022-08-21T12:34:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir können eine affine Situation annehmen mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=.}} Die Erzeuger {{math|term= dx|SZ=}} des Kähler-Moduls werden dabei auf {{ Ma:Vergleichskette | dx^p || px^{ p-1} dx || 0 || || |SZ= }} abgebildet. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7pojke4x6kpj9srvsqerlmgi8q4ouam 0 135913 780182 767418 2022-08-21T18:25:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele |name=f |\R|\R |x| f(x) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | n |\geq|2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f|SZ=}} höchstens {{mathl|term= n-2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Wendepunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wendepunkte |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7lr2crbjshh4ovtagrm24gyql5y1q9r 0 135928 780191 767426 2022-08-21T18:27:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p_1 {{kommadots|}} p_n |SZ=}} endlich viele {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für jede Primzahl den {{ Definitionslink |Prämath= |Reduktionstyp| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||X^3- p_1 \cdots p_n || || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fmdc9f4zoepucrwa5qpg4c491mhev42 0 135953 780190 767425 2022-08-21T18:27:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|\R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |offenes Intervall| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abb |name=f |I| \R || |SZ= }} eine durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegebene Funktion und {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|I || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{math|term= f|SZ=}} eine der folgenden Möglichkeiten erfüllt. {{ Aufzählung4 |{{math|term= f|SZ=}} ist auf {{mathl|term= [a- \epsilon, a+ \epsilon ] |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvex| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term= f|SZ=}} ist auf {{mathl|term= [a- \epsilon, a+ \epsilon ]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konkav| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term= f|SZ=}} ist auf {{mathl|term= [a- \epsilon, a] |SZ=}} konvex und auf {{mathl|term= [a, a + \epsilon]|SZ=}} konkav. |{{math|term= f|SZ=}} ist auf {{mathl|term= [a- \epsilon, a] |SZ=}} konkav und auf {{mathl|term= [a, a + \epsilon]|SZ=}} konvex. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nhqwu5i92zkb282fw67zgu8q710raep 0 135963 780176 767412 2022-08-21T18:24:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) || x^4+ax^3+bx^2+cx+d || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normiertes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 4|SZ=.}} Charakterisiere{{n Sie}} durch eine Bedingung an die Koeffizienten {{mathl|term= a,b,c,d|SZ=}} die Eigenschaft, dass {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Wendepunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wendepunkte |Kategorie2=Theorie der quartischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9mq4x1a77d0snwtwsoro951ijxpal9f 0 135998 779119 763243 2022-08-21T15:38:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Endlicher Körper|q|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |q ||p^e || || || |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ=. }} Dann ist die {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Algebraischer Abschluss|K|}} |lineare Fortsetzung| |Kontext=Frobenius| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F^{em} |SZ=}} gleich dem {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Algebraischer Abschluss|K|}} [X_1 {{kommadots|}} X_n ] |{{op:Algebraischer Abschluss|K|}} [X_1 {{kommadots|}} X_n ] |X_i|X_i^{q^m} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des linearen Frobeniushomomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} if0glou40enh5jena490qjngmqx0eua 0 136001 779120 763244 2022-08-21T15:38:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Endlicher Körper|q|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |q ||p^e || || || |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{ideala|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Dann ist die {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Algebraischer Abschluss|K|}} |lineare Fortsetzung| |Kontext=Frobenius| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= F^{em} |SZ=}} gleich {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Algebraischer Abschluss|K|}} [X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{ideala|}} |{{op:Algebraischer Abschluss|K|}} [X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{ideala|}} |X_i|X_i^{q^m} |SZ=. }} Diese Abbildung ist wohldefiniert, da mit {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{ideala|}} |\subseteq| || || |SZ= }} auch {{ Ma:Vergleichskette |f^q || f \cdot f^{q-1} |\in| {{ideala|}} || || |SZ= }} ist. Wegen {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} stimmt für {{math|term= f|SZ=}} der {{math|term= e|SZ=-}}te Frobenius mit dem linear fortgesetzten Frobenius überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des linearen Frobeniushomomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} suz0lt220qjk3o3ixvm2mrax3p1ih5g 0 136044 780197 767434 2022-08-21T18:28:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es zu jeder Schranke {{ Ma:Vergleichskette |S |\in|\R_+ || || || |SZ= }} nur endliche viele {{math|term= \Q|SZ=-}}rationale Punkte auf der projektiven Geraden {{math|term= {{op:Projektive Gerade|\Q|}} |SZ=}} gibt, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unterhalb von {{math|term= S|SZ=}} liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} on2oyqo8t9tj2ceixg0wn0t5fr94ptq 0 136133 778822 762725 2022-08-21T12:59:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir können einen Betrag auf einen Erweiterungskörper fortsetzen, deshalb können wir davon ausgehen, dass das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Wir betrachten die Situation eines nichtarchimedischen Betrages. Dieser rührt von einem Primideal im zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} her, und zwar ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|f|}} || a^{- {{op:Bewertungsordnung|f|}} } || || || |SZ= }} mit einer reellen Basis {{ Ma:Vergleichskette |a |>|1 || || || |SZ=. }} Wir arbeiten im zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |diskreten Bewertungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |B || R_{{idealp}} || || || |SZ=. }} Wir schreiben das Polynom als {{ Ma:Vergleichskette/disp | F || v \pi^\ell (X- b_1 \pi^{n_1} ) \cdots (X- b_d \pi^{n_d}) || || || |SZ= }} mit Einheiten {{math|term= v,b_j|SZ=}} aus {{math|term= B|SZ=,}} wobei {{math|term= \pi |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ortsuniformisierende| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= B|SZ=}} bezeichnet, {{ Ma:Vergleichskette | \ell, n_j |\in| \Z || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= m_0|SZ=}} negativ und echt kleiner als alle {{math|term= n_j |SZ=}} und so, dass auch {{mathl|term= \ell +dm_0 |SZ=}} negativ ist. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |c | {{defeq|}} | {{op:Minimumpaar| a^{d m_0} |a^{-\ell} }} || || || |SZ= }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || u \pi^m || || || |SZ=, }} somit ist also {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x|}} || a^{-m} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |m |\geq|m_0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |1 || a^{ dm_0} a^{- d m_0} |\geq| c a^{-d m} || c ( a^{-m} )^d |\geq| c \cdot {{op:Maximumpaar| {{op:Betrag|x|}}^d |1 }} || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |m |\leq|m_0 || || || |SZ= }} ist die Ordnung von jedem Faktor {{ Zusatz/Klammer |text=nach der Einsetzung| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= m|SZ=}} und die Gesamtordnung von {{mathl|term= F(x) |SZ=}} ist {{mathl|term= \ell + d m|SZ=.}} Der Betrag davon ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|F(x)|}} || a^{ - \ell -dm } || a^{-\ell} (a^{-m} )^d || a^{-\ell} \cdot {{op:Betrag|x|}}^d |\geq| c \cdot {{op:Betrag|x|}}^d || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} krjghs2jwwx1umhaywbslncrrgufy4w 0 136185 779365 763450 2022-08-21T16:16:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für die reelle {{ Definitionslink |Prämath= |Kosinusfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= {{op:cos||}} |\R| \R || |SZ= }} erhält man aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. direkt mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Nr=6 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} für jedes {{math|term= m |SZ=}} die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag| {{op:cos|x|}} - \sum_{ i {{=|}} 0}^m {{op:Bruch| (-1)^{ i } x^{2 i } | (2i)! }} |}} | \leq | {{op:Bruch| {{op:Betrag|x|}}^{2m+1} | (2m+1)!}} || || || |SZ=. }} Damit kann man den Funktionsverlauf des Kosinus beliebig gut approximieren und auch die Zahl {{math|term= \pi |SZ=}} beliebig genau bestimmen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Taylor-Formel in einer Variablen (R) |Kategorie2=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jpypfflu34lovn3xxn6cjwgc1onecw5 0 136220 780186 767421 2022-08-21T18:26:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Zmod|p|}} || || || |SZ=, }} wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]| K[X] || |SZ= }} und dadurch {{math|term= K[X] |SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=K[X] |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die folgenden Polynome {{math|term= F|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=K[X] |Linearkombination| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der Basis {{mathl|term= X^0,X^1 {{kommadots|}} X^{p-1} |SZ=.}} {{ Aufzählung4 |{{ Ma:Vergleichskette |p ||3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F || 2 +2X^1 +X^2 || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette |p ||5 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F ||X^5 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette |p ||2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F || X^3+X^4+X^9 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette |p ||3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F || 2X^2 +X^3+ X^5+2X^7 || || || |SZ=. }} | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 546y22nxa2hgud6g3najrpq1ykex3b8 0 136221 780187 767422 2022-08-21T18:26:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Zmod|p|}} || || || |SZ=, }} wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || |SZ= }} und dadurch {{math|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] |SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für diesen Modul. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3b0h2ytt9iekcspxgnrku7ehl54fg9a 0 136223 779103 763230 2022-08-21T15:36:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= WIr betrachten die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+X || || || |SZ= }} über dem Körper {{math|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=}} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E|SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |h(X) || X^3+X || X(X+2)(X+3) || || || |SZ= }} liegt in der Tat Glattheit vor. Die über {{math|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=}} definierten Punkte sind {{ math/disp|term= {{elliptischo|}} , (0,0), (3,0), (2,0) |SZ=, }} was nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} genau die vier Torsionspunkte zur Ordnung {{math|term= 2|SZ=}} sind. Der Frobenius ist durch {{mathl|term= X \mapsto X^5,\, Y \mapsto Y^5 |SZ=}} gegeben und besitzt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive Kurve/Endlicher Körper/Frobenius/Grad/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} den Grad {{math|term= 5|SZ=,}} auf der Punktebene ist es die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \Phi |E_{{op:Algebraischer Abschluss| {{op:Zmod|5|}} |}} | E_{{op:Algebraischer Abschluss| {{op:Zmod|5|}} |}} |(x,y)| (x^5,y^5) |SZ=. }} Entsprechend wird die Abbildung {{mathl|term= {{op:Identität| E_{{op:Algebraischer Abschluss| {{op:Zmod|5|}} |}} |}} - \Phi |SZ=}} durch {{ Ma:abbele/disp |name= \Phi |E_{{op:Algebraischer Abschluss| {{op:Zmod|5|}} |}} | E_{{op:Algebraischer Abschluss| {{op:Zmod|5|}} |}} |(x,y)| (x,y) - (x^5,y^5) |SZ=, }} gegeben. Unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x,y) - (x^5,y^5) || (x,y) + (x^5,- y^5) || {{op:Zeilenvektor| \alpha^2- x-x^5 |- \alpha^3 +\alpha(x+x^5) - y+ \alpha x}} || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \alpha || {{op:Bruch|-y^5-y|x^5-x}} || {{op:Bruch| x^2+x^6 +x^{10} +1 | -y^5+y |}} || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Anzahl/Identität-Frobeniuspotenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der Grad dieser Abbildung gleich {{math|term= 4|SZ=.}} Diese Abbildung stimmt mit der Verdoppelungsabbildung überein, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+X/Z mod 5/Anzahl und Grad/Beispiel/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} adna6xwmnpumu6e0ze2yjdtankxzpo3 0 136305 780194 767430 2022-08-21T18:27:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppe| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} gleich {{math|term= \Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der Divisorenklassengruppe (glatte Kurve) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m2hb8fj3rxyje839gfv3iwlfoz2koo1 0 136485 780174 767410 2022-08-21T18:24:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |ebene projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | C || V_+(Y^2Z-X^3) | \subseteq| {{op:Projektive Ebene||}} || || || |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |P || (0,0,1) || || || |SZ= }} der einzige {{ Definitionslink |Prämath= |singuläre Punkt| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Kurve ist. |Zeige{{n Sie}}, dass man auf {{mathl|term= C \setminus \{P\} |SZ=}} wie im elliptischen Fall {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette | {{elliptischo|}} ||(0,1,0) || || || |SZ= }} als neutralem Element| |ISZ=|ESZ= }} eine Gruppenverknüpfung definieren kann. |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Normalisierungsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|K|}} | C \subseteq {{op:Projektive Ebene|K|}} | (u,v) | (u^2v,u^3, v^3) |SZ=, }} bijektiv ist. |Zeige{{n Sie}} unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Neilsche Parabel/Monomiale Abbildung/Geradenbedingung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass die Normalisierungsabbildung aus (3) eingeschränkt auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Affine Gerade|K|}} || D_+(v) || {{op:Projektive Gerade|K|}} \setminus \{ (0,1 )\} || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Affine Gerade|K|}} |und|term2= C \setminus \{P\} |SZ= }} definiert, wobei die affine Gerade mit der Addition versehen ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen projektiven Kurven |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3qtx84i0tvd0toiiotcenz42b9jvxc4 0 136701 780189 767424 2022-08-21T18:26:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sum_{n \in \N} \sqrt{n} z^n |SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|z|}} |<| 1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fbg38ty7gbx11qjw90s0ktio9fwz4vk 0 136803 786048 725768 2022-08-22T10:21:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz, dass jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge {{math|term= M|SZ=}} der reellen Zahlen ein Supremum besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 86k6gqry7u64vy87z5dtho71n74v3ia 106 136915 786596 777636 2022-08-22T11:51:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Information]]</noinclude> {{Textmitschalter/{{{opt|}}} |An=x |Text= [[media:Analysis (Osnabrück 2021-2023)Teil IIGesamtskript.pdf|Gesamtskript]] Einsicht Di, 23 August, 9:00-10:00 zur [[Kurs:Analysis/Teil II/16/Klausur mit Lösungen|Klausur]], voraussichtlich 69/125 Anschließend (10:00-11:00) findet eine Infoveranstaltung zur mündlichen Prüfung statt. Siehe auch [[Mündliche Prüfung/Lieblingsausreden]]. Auch für [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)|Analysis III]] können Sie sich eintragen auf StudIP. Allquantorpunkte=19 }} 9hi4nej5vsz6lx5ea55rs7bo3fzrrq7 0 137148 781023 755090 2022-08-21T20:45:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | y' || f(t) y + g(t) y^\alpha || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \alpha |\in| \R || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | \alpha |\neq|1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit Funktionen {{ Ma:abb |name= f,g |I| \R || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} durch den Ansatz {{ Ma:Vergleichskette/disp |z || y^{1-\alpha} || || || |SZ= }} auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung für {{math|term= z|SZ=}} transformiert werden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ovrzic3bg5kw8gz37lklukv96ctmgyx 0 137166 778792 773517 2022-08-21T12:54:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir möchten Abbildungen {{ Ma:abb |name=\varphi |V|W || |SZ= }} zwischen Vektorräumen differenzieren {{ Zusatz/Klammer |text=ohne auf eine Richtung Bezug zu nehmen| |ISZ=|ESZ=, }} und allgemeiner Abbildungen {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|W || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine gewisse offene Teilmenge ist. Wir wiederholen kurz die Situation in einer Variablen: Angenommen wir haben eine Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R|\R || |SZ=, }} dann ist die Grundidee einer differenzierbaren Abbildung und ihrer Ableitung, eine {{Anführung|Tangente an den Graphen}} anzulegen. Dabei kann man sagen, dass die Tangente die beste {{Stichwort|lineare Approximation|SZ=}} von {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=genauer: Der Graph einer affin-linearen Approximation| |ISZ=|ESZ= }} in einem gegebenen Punkt {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|\R || || || |SZ= }} darstellt. Da die Steigung der Tangente wieder eine reelle Zahl ist, wird beim Differenzieren jedem Punkt {{math|term= x|SZ=}} wieder eine Zahl zugeordnet. Wir erhalten also eine neue Funktion, welche wir mit {{math|term= \varphi'|SZ=}} bezeichnen. Im höherdimensionalen Fall ist dies komplizierter, aber die Idee einer bestmöglichen linearen Approximation bleibt bestehen. Die Übereinstimmung der Konzepte wird auch deutlich, wenn man den Graphen einer Abbildung anschaut. Zu einer differenzierbaren Funktion {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} schmiegt sich die Tangente im Punkt {{mathl|term= (P,f(P))|SZ=}} an den Graphen zu {{math|term= f|SZ=}} an. Zu einer Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2 |\R || |SZ= }} ist der Graph eine Teilmenge von {{ Ma:Vergleichskette | \R^2 \times \R || \R^3 || || || || |SZ=, }} den man sich als ein Gebirge über der Ebene vorstellen sollte. Eine sinnvolle Fragestellung ist, ob es zu einem Punkt {{mathl|term= (P,f(P))|SZ=}} eine anschmiegende Tangentialebene an den Graphen zu {{math|term= f|SZ=}} gibt, die man als den Graphen einer affin-linearen Abbildung {{ Ma:abb |name= |\R^2|\R || |SZ= }} realisieren kann. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 49k8yc4y67ec0goxmesv810uqypbb22 0 137246 778774 773509 2022-08-21T12:52:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Menge der offenen Teilmengen des {{mathl|term= \R^n |SZ=,}} oder allgemeiner eines {{ Definitionslink |metrischen Raumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bilden ein Mengensystem, dass eine Topologie im Sinne der folgenden Definition ist. {{ inputdefinition |Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|| }} Die Teilmengen von {{math|term= X |SZ=,}} die zu {{math|term= {{mengensystem|T}} |SZ=}} gehören, heißen {{Stichwort|offene Mengen|msw=Offene Menge|SZ=.}} Eine Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |A |\subseteq|X || || || |SZ= }} heißt {{Stichwort|abgeschlossen|msw=Abgeschlossene Menge|SZ=,}} wenn ihr Komplement offen ist, also zur Topologie gehört. {{ inputbild |Hausdorff space|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Hausdorff_space |Text= |Autor=Toby Bartels |Benutzer=Fibonacci |Domäne= |Lizenz=copyleft |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Hausdorff/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologie/Basis/Definition|| }} In einem metrischen Raum bilden die offenen Bälle eine Basis der Topologie. {{ inputdefinition |Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition|| }} Im {{math|term= \R^n |SZ=}} gibt es {{ Definitionslink |überabzählbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} viele offene Mengen, es gibt aber eine abzählbare Basis, nämlich alle offenen Bälle {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P|r}} |SZ=,}} deren Mittelpunktskoordinaten und deren Radien {{ Definitionslink |rationale Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= R^n/Abzählbare Topologie durch Bälle/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputdefinition |Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition|| }} Diese Definition stimmt wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit der Definition für metrische Räume überein. {{ inputdefinition |Topologische Räume/Homöomorph/Definition|| }} Beispielsweise ist nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Offenes Einheitsintervall/R/Homoömorph/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das offene Einheitsideal {{mathl|term= ]0,1[ |SZ=}} homöomorph zu {{math|term= \R |SZ=,}} aber nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Abgeschlossenes Intervall/Offenes Intervall/Nicht homöomorph/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht homöomorph zum abgeschlossenen Einheitsintervall {{mathl|term= [0,1] |SZ=.}} Eine stetige bijektive Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung nennt man {{Stichwort|Homöomorphie|SZ=.}} {{ inputdefinition |Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der topologischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} h3aas9scamwgh64pc5xp9wszvsi7b05 0 137252 780079 773500 2022-08-21T18:07:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition|| }} Zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| M || || || |SZ= }} gibt es also eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| U |\subseteq| M || || |SZ=, }} die homöomorph zu einer offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} ist. Sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |U|V || |SZ= }} eine Homöomorphie und sei {{ Ma:Vergleichskette | Q || \varphi(P) || || || |SZ=. }} Dann entspricht einer offenen Ballumgebung {{ Ma:Vergleichskette |Q |\in| {{op:Offener Ball|Q|\epsilon}} | \subseteq | V || || || |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | U' || \varphi^{-1}({{op:Offener Ball|Q|\epsilon}}) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| U' |\subseteq| U || || |SZ=, }} die nach Konstruktion homöomorph zu einem offenen Ball ist. Man kann daher eine topologische Mannigfaltigkeit auch als einen topologischen Hausdorff-Raum charakterisieren, der {{Stichwort|lokal euklidisch|SZ=}} ist. {{ inputdefinition |Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition|| }} Dabei nennt man die offene Menge {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| M || || || |SZ= }} manchmal das {{Stichwort|Kartengebiet|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette | V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Kartenbild|SZ=.}} Zu einer Karte {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |U|V || |SZ= }} und einer offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | U' |\subseteq| U || || || |SZ= }} ist auch die induzierte Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\varphi {{|}}_{U'} |U'|\varphi(U') || |SZ= }} eine Karte. Manchmal nennt man auch die Umkehrabbildung eine Karte. Statt Karte spricht man auch von einem {{Stichwort|lokalen Koordinatensystem|msw=Lokales Koordinatensystem|SZ=.}} Durch die Karte {{ Ma:abb |name=\varphi |U|V || |SZ= }} werden ja die Koordinaten auf {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} auf {{math|term= U|SZ=}} übertragen. Die {{math|term= j|SZ=-}}te Koordinate {{ Zusatz/Klammer |text=die {{math|term= j|SZ=-}}te Projektion| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abb |name=x_j |V|\R || |SZ= }} induziert die {{ Zusatz/Klammer |text=lokale Koordinaten| |ISZ=|ESZ=- }}Funktion {{ Ma:abb/disp |name=x_j \circ \varphi |U|\R || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die oft einfach wieder mit {{math|term= x_j |SZ=}} bezeichnet wird| |ISZ=|ESZ=, }} und ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette | Q || {{op:Zeilenvektor|x_1 | {{kommadots|}}| x_n|}} |\in| V || || || |SZ= }} entspricht einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||\varphi^{-1}(Q) || || || |SZ=. }} {{ inputbild |Manifold zahyou3|png| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Manifold_zahyou3 |Text= |Autor= |Benutzer=１３２人目　 |Domäne=ja. Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Übergangsabbildung/Definition|| }} Der Durchschnitt {{mathl|term= U_1 \cap U_2 |SZ=}} ist die offene Teilmenge, auf der beide Karten definiert sind und worauf man die beiden Karten vergleichen kann. Genauer müsste man in der Definition von der Einschränkung von {{math|term= \alpha_1^{-1} |SZ=}} auf die offene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | \alpha_1(U_1 \cap U_2) | \subseteq | V_1 || || || || |SZ= }} sprechen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9j9yjdr8168vue1nbnn98fvtkms3yjq 0 137404 780348 767038 2022-08-21T18:53:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Rückzug der {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=Kähler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= dx|SZ=}} unter der Additionsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Affine Ebene|K|}} \cong {{op:Affine Gerade|K|}} \times {{op:Affine Gerade|K|}} | {{op:Affine Gerade|K|}} | (x_1,x_2)| x_1+x_2 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2=Theorie der affinen Gruppenschemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ns56absws424om3kbf65i89zdfqngas 0 137405 780349 767039 2022-08-21T18:53:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Rückzug der {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=Kähler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= dx|SZ=}} unter der Multiplikationsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{makl| {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{0\} |}} \times {{makl| {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{0\} |}} | {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{0\} | (x_1,x_2)| x_1 \cdot x_2 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2=Theorie der affinen Gruppenschemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rixiuwpqqepsk1egfmo6fl1au5a7abm 0 137423 783383 757072 2022-08-22T03:19:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für eine {{ Definitionslink |komplexe Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= z|SZ=}} die folgenden Beziehungen gelten. {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|z|}} || \sqrt{ z \ {{op:Komplexe Konjugation|z|}} } || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|{{op:Komplexe Konjugation|z|}}|}} || {{op:Betrag|z|}} || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |z |\neq|0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | z^{-1} || {{op:Bruch| {{op:Komplexe Konjugation|z|}} | {{op:Betrag|z|}}^2 }} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fmz9aeeay2hcq0lcq7binzc059gsrw6 0 137424 783386 757075 2022-08-22T03:20:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für eine {{ Definitionslink |komplexe Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= z|SZ=}} die folgenden Beziehungen gelten. {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Komplexe Konjugation|z|}} || {{op:Realteil|z|}} - {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Imaginärteil|z|}} || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Realteil|z|}} || \frac{z+ {{op:Komplexe Konjugation|z|}} }{2} || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Imaginärteil|z|}} || \frac{z - {{op:Komplexe Konjugation|z|}} }{2 {{Imaginäre Einheit|}} } || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} du56zzzg9d19qmhtnzm4toqy9bjo7f5 0 137444 781793 755700 2022-08-21T22:54:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||(X- \lambda_1)(X-\lambda_2)(X-\lambda_3) || || || |SZ= }} die Gleichung einer {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E|SZ=}} in {{ Definitionslink |Prämath= |Zerlegungsform| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 |\in|K || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_1 |E(K) | {{op:Einheiten|K|}} / {{makl| {{op:Einheiten|K|}} |}}^2 || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} io53z2jzr2ylulaffx8gt34j8tthuv4 0 137562 779091 763222 2022-08-21T15:34:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= F|SZ=}} ein homogenes Polynom vom Grad {{math|term= 3|SZ=}} in den Variablen {{mathl|term= X,Y,Z|SZ=,}} das eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definiere. Dann ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive ebene Kurve/Glatt/Homogen/Differentialformen explizit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Differentialform {{ math/disp|term= {{op:Bruch|Y^2|\, {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} \, }} d {{op:Bruch|X|Y}} |SZ= }} global definiert. Die Beschreibungen auf den anderen offenen Mengen sind entsprechend gebildet. Da die angegebene Beschreibung auf {{math|term= D_+(Y) \cap D_+( {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} ) |SZ=,}} folgt ferner, dass diese Differentialform keine Nullstelle besitzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kanonischen Garbe auf einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} obrq59ev72opefeucqdeln18ybme1vf 0 137570 780196 767432 2022-08-21T18:28:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es auf der projektiven Geraden {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} außer der Nullform keine globalen {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialformen| |Kontext=Kähler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kanonischen Garbe auf einer glatten projektiven Kurve |Kategorie2=Theorie der Kähler-Differentiale auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b66xva1kdhpbsty1c8ppfb61rffm469 0 137690 779658 743125 2022-08-21T17:04:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei der affinen Standardüberdeckung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || U \cup V || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | U |\cong| {{CC|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |V |\cong| {{CC|}} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | U \cap V |\cong| {{CC|}} \setminus \{ 0 \} || || || |SZ=. }} Eine erste Kohomologieklasse der Garbe der holomorphen Differentialformen wird durch {{ math/disp|term= z^{-1} dz |SZ= }} repräsentiert. Diese Form kann man auch als {{mathl|term= -zd z^{-1} |SZ=}} schreiben. Man kann sie nicht als eine Differenz {{mathl|term= hdz-gdz^{-1} |SZ=}} schreiben, wobei {{math|term= h |SZ=}} eine holomorphe Funktion auf {{math|term= U|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= z|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= g |SZ=}} eine holomorphe Funktion auf {{math|term= V |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= z^{-1} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist. Für eine solche Form gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |h(z) dz - g(z^{-1}) dz^{-1} || h(z)dz + {{op:Bruch| g(z^{-1})|z^2}} dz || || || |SZ=. }} Wenn man die Koeffizienten in den Potenzreihen anschaut, so sieht man, dass der Summand {{math|term= z^{-1} |SZ=}} nicht vorkommt. Zugleich sieht man, dass skalare Vielfache der Form {{mathl|term= z^{-1}dz|SZ=}} die einzigen holomorphen Formen sind, die man nicht als Differenz schreiben kann. Es ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp |H^1( {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}}, \Omega ) |\cong| {{CC|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der 1-Formen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0pwllh98iv9gi944wnavo27fn46wrvv 0 137812 779356 751174 2022-08-21T16:14:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{CC|}} /\Gamma |SZ=}} ist die Multiplikationsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= [n] | {{CC|}} /\Gamma |{{CC|}} /\Gamma |[z]|n[z] |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Überlagerung| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= n^2|SZ=,}} da jeder Punkt genau {{math|term= n^2|SZ=}} Bildpunkte besitzt, vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Topologischer Quotient/Endliche Überlagerung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Ein solches Verhalten ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Formel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nur bei {{ Definitionslink |Prämath= |Geschlecht| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1|SZ=}} möglich. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Isogenien auf einem eindimensionalen komplexen Torus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iq3bd76vagu5suiurl9uqy99sd4kuka 0 137814 779838 763773 2022-08-21T17:29:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Operation der {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} auf der Sphäre {{ Ma:Vergleichskette |S^2 |\cong| {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || || || |SZ=, }} bei der das nichttriviale Element antipodale Punkte ineinander überführt werden, ist {{ Definitionslink |Prämath= |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher liegt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Gruppe/Fixpunktfreie Operation/Hausdorffraum und einfach zusammenhängend/Überlagerung und Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Überlagerung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |S^2| S^2/ \sim || |SZ= }} vor. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Unverzweigte Überlagerung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive Gerade/Riemannsche Fläche/Geschlecht 0/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kann diese Operation {{ Zusatz/Klammer |text=also die Antipodenabbildung| |ISZ=|ESZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |holomorph| |Kontext=Abbildung riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein. In der Tat ist der Quotient {{math|term= S^2/ \sim |SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Fläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sondern die nicht orientierbare reell-projektive Ebene {{math|term= {{op:Projektive Ebene|\R|}} |SZ=,}} vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektiver Raum/R oder C/Repräsentiert durch Sphäre/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reell-projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ebr0uivdjric1d48r1p45zutgonoh3j 0 137998 779664 740115 2022-08-21T17:04:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} ist {{mathl|term= z^{-1} dz|SZ=}} eine globale {{ Definitionslink |Prämath= |meromorphe Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || U \cup V || || || |SZ= }} die Standardüberdeckung. Auf {{math|term= U \setminus \{0\} |SZ=}} ist die Form holomorph, im Nullpunkt hat sie einen Pol der Ordnung {{math|term= 1 |SZ=.}} Auf {{math|term= V |SZ=}} mit dem lokalen Parameter {{ Ma:Vergleichskette |w ||z^{-1} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | z^{-1} dz || wdw^{-1} || w {{makl| - {{op:Bruch|1|w^2}} |}} dw || - w^{-1} dw || |SZ=, }} im unendlich fernen Punkt liegt also auch ein Pol der Ordnung {{math|term= 1|SZ=}} vor. Diese Form definiert im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Meromorphe Differentialform/Exakt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Differentialform-Hauptteilverteilung mit dem Träger {{math|term= \{ 0, \infty \} |SZ=}} und den Werten {{mathl|term= z^{-1} dz |SZ=}} in {{math|term= 0|SZ=}} und {{mathl|term= -w^{-1} dw |SZ=}} in {{math|term= \infty |SZ=.}} Diese Verteilung rührt wie gezeigt von einer globalen meromorphen Form her. Dagegen rührt die Verteilung, die allein im Punkt {{math|term= 0 |SZ=}} den Wert {{mathl|term= z^{-1} dz |SZ=}} besitzt, nicht von einer globalen meromorphen Form her {{ Zusatz/Klammer |text=dies folgt auch sofort aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Kompakt/Residuensatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Eine solche müsste nämlich auf {{math|term= V |SZ=}} eine holomorphe Differentialform sein, also von der Form {{math|term= hdw |SZ=}} mit einer holomorphen ganzen Funktion auf {{ Ma:Vergleichskette |V |\cong| {{CC|}} || || || |SZ=, }} sagen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | hdw || \sum_{ n {{=}} 0}^\infty c_n w^n dw || || || |SZ= }} Doch eine solche Form hat, wie die Transformation mit {{ Ma:Vergleichskette |w || z^{-1} || || || |SZ= }} zeigt, in {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in| U || || || |SZ= }} einen Pol der Ordnung {{math|term= \geq 2|SZ=.}} Die Verteilung wiederum, die allein im Punkt {{math|term= 0|SZ=}} den Wert {{mathl|term= z^{-2} dz |SZ=}} besitzt, rührt von ebendieser meromorphen Form her, da {{ Ma:Vergleichskette/disp | z^{-2} dz || w^2dw^{-1} || - dw || || |SZ= }} eine holomorph Differentialform ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der meromorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cgn1lihtb82e3i07vhelavocm7ceaxx 0 138068 779675 742795 2022-08-21T17:06:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive Gerade/Riemannsche Fläche/Geschlecht 0/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktionen/Hauptteile/Exakte Sequenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} folgt, dass sich jede {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptteilverteilung| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=,}} also jede Vorgabe von Hauptteilen {{math|term= H_i |SZ=}} an endlich vielen Punkten {{math|term= P_i |SZ=}} durch eine meromorphe Funktion realisieren lässt, wobei nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive Gerade/C/Meromorphe Funktion/Rational/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} diese Funktion sogar eine rationale Funktion ist. Diese kann man auch explizit angeben, wobei nur der Fall von einem Punkt zu betrachten ist, da sich der allgemeine Fall durch Addition der rationalen Funktionen ergibt. Besonderes übersichtlich ist die Situation, wenn der Hauptteil im unendlich fernen Punkt {{ Ma:Vergleichskette | \infty || (1,0) || || || |SZ= }} konzentriert ist, sagen wir in der Form {{mathl|term= \sum_{i {{=}} n }^{-1} c_iw^i |SZ=}} mit dem lokalen Parameter {{ Ma:Vergleichskette |w || z^{-1} || || || |SZ=. }} Diese Funktion ist direkt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=}} n }^{-1} c_iw^i || \sum_{i {{=}} n }^{-1} c_i z^{-i} || \sum_{j {{=}} 1 }^{-n} c_{-j} z^{j} || || |SZ=, }} d.h. auch, dass sich der Hauptteil sogar mit einem Polynom auf dem Komplement realisieren lässt. Wegen der Homogenität der projektiven Räume gilt das dann für alle Punkte. Wenn der Hauptteil in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| {{CC|}} || D_+(z) |\subseteq| {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || |SZ= }} konzentriert ist und durch {{mathl|term= \sum_{i {{=}} n }^{-1} c_i (z-a)^i |SZ=}} repräsentiert ist, so kann man dies direkt als eine rationale Realisierung des Hauptteiles übernehmen, da die {{mathl|term= (z-a)^i |SZ=}} zu {{math|term= i |SZ=}} negativ nur in {{math|term= a |SZ=}} einen Pol haben. Wenn aber die Hauptverteilung durch eine rationale Funktion oder ein invertiertes Polynom gegeben ist, muss man vorsichtiger sein. Betrachten wir die Hauptverteilung, die im Nullpunkt konzentriert ist und dort durch {{mathl|term= {{op:Bruch|1|z^2-z}} |SZ=}} repräsentiert wird. Die rationale Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1|z^2-z}} |SZ=}} ist keine Realisierung auf {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} für diese Hauptteilverteilung, da sie auch in {{ Ma:Vergleichskette |z ||1 || || || |SZ= }} einen Pol besitzt. Zur rechnerischen Bestimmung einer realisierenden rationalen Funktion muss man mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Partialbruchzerlegung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} arbeiten, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Im vorliegenden Fall schreibt man {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|z^2-z}} || - {{op:Bruch|1|z }} + {{op:Bruch|1|z -1}} || || || |SZ=, }} es ist dann also {{math|term= - {{op:Bruch|1|z }} |SZ=}} eine rationale Realisierung dieser Hauptteilverteilung {{ Zusatz/Klammer |text=die beiden Funktionen {{math|term= {{op:Bruch|1|z^2-z}} |SZ=}} und {{math|term= - {{op:Bruch|1|z }} |SZ=}} unterscheiden sich im Nullpunkt nur um die dort holomorphe bzw. polstellenfreie rationale Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1|z -1}} |SZ=,}} und bei der Realisierung einer Hauptteilverteilung kommt es nur darauf an| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der meromorphen Funktionen auf einer kompakten riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bjkzy9ub54fj2k3bd6aficbamxyhek7 0 138080 780195 767431 2022-08-21T18:27:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass auf {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |meromorphe Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Bruch|dz|z}} |SZ=}} nicht die Form {{math|term= df|SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |meromorphen Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der meromorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4kx1f8gwqiuajnpr1yqq6olcf8k40a2 0 138109 779331 744893 2022-08-21T16:11:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zusammen mit einer endlichen Triangulierung und der {{ Definitionslink |Prämath= |Euler-Poincaré-Charakteristik| |Kontext=Fläche |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \chi(X) |SZ=.}} Wir möchten einen Henkel an die Fläche ankleben. Es seien {{math|term= D_1|SZ=}} und {{math|term= D_2 |SZ=}} disjunkte Dreiecke der Triangulierung {{ Zusatz/Klammer |text=durch eine Verfeinerung der Triangulierung kann man davon ausgehen, dass es solche disjunkten Dreiecke gibt| |ISZ=|ESZ=. }} Wir ändern {{math|term= X|SZ=}} zu einer neuen Fläche {{math|term= X' |SZ=}} ab, indem wir uns außerhalb der Fläche ein Dreieck {{math|term= T|SZ=}} dazudenken {{ Zusatz/Klammer |text=man kann sich vorstellen, dass sich alles oberhalb einer Kreisscheibe abspielt, in der es die beiden Dreiecke gibt. Das dritte Dreieck wird oberhalb der {{Anführung|Mitte}} der beiden Dreiecke senkrecht platziert| |ISZ=|ESZ= }} und dieses mit den beiden Dreiecken verbindet. Es entsteht also zweimal ein Zylindermantel zu einer dreieckigen Grundfläche {{ Zusatz/Klammer |text=ohne irgendeine Bedingung an Parallelität oder Rechtwinkligkeit oder dergleichen| |ISZ=|ESZ=. }} Jede Mantelfläche {{ Zusatz/Klammer |text=die konvexe Vierecke sind| |ISZ=|ESZ= }} zerlegen wir in zwei Dreiecke. Dadurch entsteht ein neuer topologischer Raum mit einer Triangulierung, wobei wir den Raum auch glatt realisieren können. Bei diesem Prozess gehen {{math|term= 2 |SZ=}} Dreiecke der Triangulation verloren und es kommen {{math|term= 12 |SZ=}} neue dazu. Es kommen {{math|term= 12 |SZ=}} Kanten auf den Zylindern und {{math|term= 3 |SZ=}} Kanten auf {{math|term= T|SZ=}} hinzu und es kommen {{math|term= 3 |SZ=}} Eckpunkte hinzu. Die Differenz der Euler-Poincaré-Charakteristik von {{math|term= X' |SZ=}} zu {{math|term= X |SZ=}} ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \chi(X') -\chi(X) || -2+12 -15 +3 || -2 || || || |SZ=. }} Bei der Hinzunahme eines Henkels reduziert sich also die Euler-Poincaré-Charakteristik um {{math|term= 2 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Triangulierung von kompakten orientierten Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a452d7xrvbx27xb8hvb5hmhwz6vrdbe 0 138113 779988 744892 2022-08-21T17:54:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir realisieren einen Torus durch {{math|term= 8 |SZ=}} gleiche Würfel, die wir ringförmig um einen nichtvorhandenen neunten Würfel legen. Dieses geometrische Objekt hat eine Überdeckung mit Quadratflächen, die wir in Dreiecke halbieren können, um eine Triangulierung zu erhalten. Da sich aber bei einer solchen einzelnen Halbierung die Flächenanzahl um {{math|term= 1 |SZ=}} erhöht, eine Kante hinzukommt und die Anzahl der Eckpunkte unverändert bleibt, können wir die {{ Definitionslink |Prämath= |Euler-Poincaré-Charakteristik| |Kontext=Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auch direkt mit der gegebenen Zerlegung in Quadrate berechnen. Es gibt {{math|term= 32 |SZ=}} Ecken, {{math|term= 64 |SZ=}} Kanten {{ Zusatz/Klammer |text=oben hat man {{math|term= 12 |SZ=}} am äußeren Rand, {{math|term= 4 |SZ=}} innen und {{math|term= 8 |SZ=}} dazwischen, an den Seiten außen hat man {{math|term= 12 |SZ=}} und innen {{math|term= 4 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= 32 |SZ=}} Quadrate {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= 8 |SZ=}} oben und {{math|term= 8 |SZ=}} unten, {{math|term= 12 |SZ=}} außen und {{math|term= 4 |SZ=}} innen| |ISZ=|ESZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \chi(X) || 32-64+32 || 0 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Triangulierung von kompakten orientierten Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hlcuhnlq78qv6usdawihrsl4wmnt0uu 0 138191 778589 762498 2022-08-21T12:26:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei zuerst {{ Ma:Vergleichskette | [z] || 0 || || || |SZ=. }} Dann gibt es lokal konstante Funktionen {{math|term= g_i |SZ=}} auf {{math|term= U_i |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | f_{ij} || g_j-g_i || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \sum_{k {{=}} 1}^{n-1} f_{\alpha(k+1) \alpha(k)} (P_k) || \sum_{k {{=}} 1}^{n-1} {{makl| -g_{\alpha(k)} (P_k) +g_{\alpha(k+1)} (P_k) |}} || - g_{\alpha(1)} (P_1) + \sum_{k {{=}} 1}^{n-2} {{makl| g_{\alpha(k+1)} (P_k) - g_{\alpha(k+1)} (P_{k+1}) |}} + g_{\alpha(n)} (P_{n-1}) || -g_{\alpha(1)} (P_1) + g_{\alpha(n)} (P_{n-1}) || |SZ=, }} da {{mathl|term= g_{\alpha (k+1)} |SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette | V_{k+1} || U_{\alpha(k+1)} || || || |SZ= }} konstant ist. Sei nun umgekehrt die Unabhängigkeitseigenschaft erfüllt. Wir können annehmen, dass {{math|term= X |SZ=}} zusammenhängend ist. Zunächst sind die Funktionen {{math|term= f_{ij} |SZ=}} auf {{mathl|term= U_i\cap U_j |SZ=}} konstant, da andernfalls sich für die Kette {{math|term= U_i, U_j |SZ=}} sofort ein Widerspruch zur Unabhängigkeit der Punktwahl ergeben würde. Wir definieren konstante Funktionen {{math|term= g_i |SZ=}} auf den {{math|term= U_i |SZ=}} in folgender Weise. Wir fixieren eine offene Menge {{math|term= U_{i_0} |SZ=}} als {{math|term= V_1 |SZ=}} und legen darauf den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} fest. Zu einer offenen Menge {{math|term= U_i |SZ=}} gibt es einen stetigen Weg von {{math|term= V_1 |SZ=}} nach {{math|term= U_i |SZ=}} und damit auch eine topologische Kette {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_n {{=}} U_i |SZ=.}} Wir wählen Punkte {{ Ma:Vergleichskette | P_k |\in| V_k \cap V_ {k+1} || || || |SZ= }} und setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | g_i || - \sum_{k {{=}} 1}^{n-1} f_{\alpha(k+1) \alpha(k)} (P_k) || \sum_{k {{=}} 1}^{n-1} f_{\alpha(k) \alpha(k+1)} (P_k) || || |SZ=. }} Nach Voraussetzung ist dies unabhängig von der gewählten Kette und den gewählten Punkten. Wir behaupten, dass der Korand zu den {{math|term= g_i |SZ=}} den gegebenen Kozykel realisiert. Es haben {{math|term= U_i |SZ=}} und {{math|term= U_j |SZ=}} einen nichtleeren Durchschnitt, andernfalls ist nichts zu zeigen. Dann können wir eine topologische Kette von {{math|term= V_1 |SZ=}} nach {{ Ma:Vergleichskette | V_n || U_i || || || |SZ= }} um {{ Ma:Vergleichskette | V_{n+1} || U_j || || || |SZ= }} zu einer Kette von {{math|term= V_1 |SZ=}} nach {{math|term= U_j |SZ=}} erweitern. Dabei gilt {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | g_j-g_i || -\sum_{k {{=}} 1}^{n-1} f_{\alpha(k+1) \alpha(k)} (P_k) - f_{\alpha(n+1) \alpha(n)} (P_{n} ) + \sum_{k {{=}} 1}^{n-1} f_{\alpha(k+1) \alpha(k)} (P_k) || -f_{\alpha(n+1) \alpha(n)} (P_{n} ) || f_{\alpha(n) \alpha(n+1)} (P_{n} ) || f_{ij} (P_n) || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e0u0hqg348sp0anwlxzsccx1aavv1wk 0 138202 779370 745062 2022-08-21T16:16:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf dem Kreis die Überdeckung mit zwei offenen {{ Zusatz/Klammer |text=zu reellen Intervallen {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorphen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} Kreissegmenten {{ Ma:Vergleichskette |S^1 || U_1 \cup U_2 || || || |SZ=, }} deren Durchschnitt {{ Ma:Vergleichskette | U_1 \cap U_2 || S \cup T || || || |SZ= }} die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Die Kohomologieklasse {{ Ma:Vergleichskette | c |\in| H^1(X, {{KRC|}} ) || || || |SZ= }} sei auf dem Durchschnitt durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_{12} || \begin{cases} a \text{ auf } S \, ,\\ b \text{ auf } T \, , \end{cases} || || || |SZ= }} gegeben. Für den Weg {{math|term= \gamma |SZ=,}} der den Kreis einfach durchläuft, ist {{ Ma:Vergleichskette | V_1 || U_1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | V_2 || U_2 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | V_3 || U_1 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Kette| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für den Weg. Beim Übergang von {{math|term= V_1 |SZ=}} nach {{math|term= V_2 |SZ=}} werde {{math|term= S |SZ=}} und beim Übergang von {{math|term= V_2 |SZ=}} nach {{math|term= V_3 |SZ=}} werde {{math|term= T |SZ=}} durchlaufen. Die Auswertung ist dann {{mathl|term= -a+b |SZ=,}} das Minuszeichen vorne beruht darauf, dass man {{math|term= f_{21} |SZ=}} nimmt, unten hinten muss man beim Übergang von {{ Ma:Vergleichskette | V_2 || U_2 || || || |SZ= }} nach {{ Ma:Vergleichskette | V_3 || U_1 || || || |SZ= }} die Funktion {{ Ma:Vergleichskette | f_{32} || f_{12} || || || |SZ= }} nehmen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2=Čech-Kohomologie |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l41cpw3059pgomvizwqfmh72foiv85u 0 138217 778588 762497 2022-08-21T12:26:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung6 |Es sei {{math|term= V_1 {{kommadots|}} V_n |SZ=}} eine gewählte topologische Kette um den Weg. Die Auswertung ist zunächst einmal unabhängig von der Wahl der Punkte {{ Ma:Vergleichskette | P_k |\in| V_k \cap V_{k+1} \cap \gamma([0,1]) || || || |SZ=, }} da der Ausschnitt des Weges zusammenhängend ist. Es sei {{math|term= U_s |SZ=}} eine zusätzliche offene Umgebung {{math|term= U_s |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aus der Überdeckung| |ISZ=|ESZ=, }} die {{math|term= \gamma([0,1]) |SZ=}} trifft, und mit der wir die Kette erweitern wollen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette | U_s \cap V_k \cap \gamma([0,1]) |\neq| \emptyset || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette | U_s \cap V_k \cap V_{k+1} \cap \gamma([0,1]) || \emptyset || || || |SZ= }} können wir die Kette zu {{mathl|term= \ldots V_k, U_s,V_k,V_{k+1}, \ldots |SZ=}} abändern. Für die beiden Übergänge können wir den gleichen Punkt wählen und erhalten den gleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen {{ Zusatz/Klammer |text=da sich die Reihenfolge des Überganges ändert| |ISZ=|ESZ=, }} was sich weghebt. Es sei nun {{ Ma:Vergleichskette | U_s \cap V_k \cap V_{k+1} \cap \gamma([0,1]) |\neq| \emptyset || || || |SZ=. }} Wir betrachten die abgeänderte Kette {{math|term= V_1 {{kommadots|}} V_k {{=}} U_r, U_s, V_{k+1} =U_t {{kommadots|}} V_n |SZ.}} Wir können davon ausgehen, dass {{math|term= P_k |SZ=}} zu den drei Mengen gehört. Die Gesamtänderung der Auswertung bei dieser Abänderung ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | - f_{r, t} (P_k) + f_{r,s} (P_k) + f_{s,t} (P_k) || 0 || || || |SZ=. }} In dieser Weise können wir sukzessive von jeder Kette zu jeder Kette übergehen. Wenn man die Klasse durch eine andere Überdeckung repräsentiert, so kann man annehmen, dass es sich um eine Verfeinerung {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von es kommen offene Mengen hinzu| |ISZ=|ESZ= }} handelt und dann wie soeben schließen. |Ist klar. |Ist klar. |Ist klar. |Folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Trivialität mit Ketten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Es seien {{ mathkor|term1= \gamma |und|term2= \gamma' |SZ= }} homotope Wege mit dem gleichen Start- und Zielpunkt und sei {{ Ma:abbele/disp |name=H |[0,1] \times [0,1] |X || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Homotopie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den Wegen. D.h. {{math|term= H |SZ=}} ist stetig und eingeschränkt auf den linken Rand des Quadrates gleich {{math|term= \gamma |SZ=}} und eingeschränkt auf den rechten Rand gleich {{math|term= \gamma' |SZ=.}} Wegen der Kompaktheit von {{mathl|term= [0,1] \times [0,1] |SZ=}} besitzt die offene Überdeckung {{ mathbed|term= H^{-1}(U_i) ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine endliche Teilüberdeckung. Daher gibt es auch eine Gittereinteilung des Quadrates in {{math|term= m \cdot m |SZ=}} Teilquadrate der Seitenlänge {{math|term= {{op:Bruch|1|m}} |SZ=}} derart, dass sie ganz in einem der {{math|term= H^{-1}(U_i) |SZ=}} liegen. Es ist also stets {{ Ma:Vergleichskette/disp | H([ {{op:Bruch|r|m}}, {{op:Bruch|r+1|m}} ] \times [ {{op:Bruch|s|m}}, {{op:Bruch|s+1|m}} ]) |\subseteq| U_i || || || |SZ=. }} Wir verkleinern nochmal die Teilquadrate, um sicherzustellen, dass benachbarte Quadrat in einer der offenen Mengen landen. Um die Gleichheit zwischen {{math|term= \int_\gamma z |SZ=}} und {{math|term= \int_{\gamma'} z |SZ=}} zu zeigen, können wir sukzessive Wege auf einem einzigen kleinen Quadrat abändern. Wir betrachten Wege der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | \delta_{r,s} (t) || \begin{cases} H( {{op:Bruch|r|m}} ,t) \text{ für } t < {{op:Bruch|s|m}}\, , \\ H( {{op:Bruch|r|m}} +t- {{op:Bruch|s |m}}, t) \text{ für } {{op:Bruch|s|m}} \leq t \leq {{op:Bruch|s+1|m}} \, ,\\ H( {{op:Bruch|r+1|m}} ,t) \text{ für } t > {{op:Bruch|s+1|m}} \, , \end{cases} || || || |SZ= }} und den Übergang von {{math|term= \delta_{r,s} |SZ=}} nach {{math|term= \delta_{r,s+1} |SZ=.}} Es sei {{math|term= U_i |SZ=}} die offene Umgebung, in der das Rechteck {{mathl|term= [{{op:Bruch|r|m}}, {{op:Bruch|r+1|m}} ] \times [{{op:Bruch|s|m}}, {{op:Bruch|s+2|m}} ] |SZ=}} landet, in dem sich die Abänderung des Weges abspielt. Diese offene Umgebung können wir als Teil einer topologischen Kette {{math|term= V_1 {{kommadots|}} V_n |SZ=}} nehmen mit {{ Ma:Vergleichskette | V_k || U_i || || || |SZ=, }} die beide Wege umfasst. Da {{mathl|term= V_k \cap V_{k+1} \cap \delta_{r,s} ([0,1]) |SZ=}} und {{mathl|term= V_k \cap V_{k+1} \cap \delta_{r,s+1} ([0,1]) |SZ=}} Punkte gemeinsam haben und da eine einfache Wegverzweigung zusammenhängend ist, stimmen beide Auswertungen überein. Durch eine endlich Anzahl solcher kleinen Abwandlungen können wir {{math|term= \gamma |SZ=}} in {{math|term= \gamma' |SZ=}} überführen. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f2suvfiz1c4b5yi91zvu85be8fdcvko 0 138226 778587 762496 2022-08-21T12:25:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Hinrichtung ist klar. Für die Rückrichtung verwenden wir {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Trivialität mit Ketten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es sei {{math|term= z |SZ=}} ein repräsentierender Kozykel der Klasse. Aus der Eigenschaft, dass {{math|term= \int_\gamma z |SZ=}} für alle geschlossenen Wege gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist, folgt, dass die Auswertung {{math|term= \int_\gamma z |SZ=}} für jeden Weg nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängt {{ Zusatz/Klammer |text=zwei Wege ergeben einen geschlossenen Weg, indem man den zweiten in umgekehrter Richtung durchläuft| |ISZ=|ESZ=. }} In jede {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Kette| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} lässt sich ein stetiger Weg hineinlegen derart, dass die Auswertung des Kozykels an der Kette mit der Auswertung des Kozykels am Weg übereinstimmt. Daher hängt die Auswertung längs der Kette auch nur von der Anfangs- und der Endmenge ab. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} octedx32nwt3nm13mwey4ivkhwh77fj 0 138276 779986 732208 2022-08-21T17:53:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma || \langle v_1,v_2 \rangle |\subseteq| {{CC|}} || || |SZ= }} und die Restklassengruppe {{ Ma:Vergleichskette/disp | T || {{CC|}} /\Gamma |\cong| S^1 \times S^1 || || |SZ=. }} Wir arbeiten mit der offenen Überdeckung zu den offenen Mengen {{ Ma:Vergleichskette | U_1,U_2,U_3,U_4 |\subseteq| T || || || |SZ=, }} die aus den homöomorphen Bildern von {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{U}_1 || {{Mengebed|rv_1+sv_2| - {{op:Bruch|1|8}} < r < {{op:Bruch|5|8}} | - {{op:Bruch|1|8}} < s < {{op:Bruch|5|8}} }} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{U}_2 || {{Mengebed|rv_1+sv_2| - {{op:Bruch|1|8}} < r < {{op:Bruch|5|8}} | {{op:Bruch|3|8}} < s < {{op:Bruch|9|8}} }} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{U}_3 || {{Mengebed|rv_1+sv_2| {{op:Bruch|3|8}} < r < {{op:Bruch|9|8}} | - {{op:Bruch|1|8}} < s < {{op:Bruch|5|8}} }} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \tilde{U}_4 ||{{Mengebed|rv_1+sv_2| {{op:Bruch|3|8}} < r < {{op:Bruch|9|8}} | {{op:Bruch|3|8}} < s < {{op:Bruch|9|8}} }} || || || |SZ= }} besteht. Wenn man diese Mengen in das Fundamentalparallelogramm malt, bestehen sie jeweils aus vier Teilen. Die Durchschnitte {{math|term= U_i \cap U_j |SZ=}} bestehen aus zwei oder aus vier disjunkten Rechtecken, es liegt eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Cech-Kohomologie/Abgeleitete Kohomologie/Endliche azyklische Überdeckung/Übereinstimmung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für die Garbe der lokal konstanten Funktionen vor. Wenn man einen Kreis durch zwei offene Kreissegmente {{math|term= C_1 |SZ=}} und {{math|term= C_2 |SZ=}} überdeckt, deren Durchschnitt aus zwei Intervallen besteht, und für einen weiteren Kreis die Segmente {{math|term= D_1 |SZ=}} und {{math|term= D_2 |SZ=}} nennt, so geht es einfach um die Produktmengen {{mathl|term= C_i \times D_j |SZ=}} auf dem Torus. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | C_1 \cap C_2 || F_1 \uplus F_2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | D_1 \cap D_2 || G_1 \uplus G_2 || || || |SZ=. }} Dann ist beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette/align | C_1 \times D_1 \cap C_1 \times D_2 || C_1 \times {{makl| D_1 \cap D_2 |}} || C_1 \times {{makl| G_1 \uplus G_2 |}} || C_1 \times G_1 \uplus C_1 \times G_2 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/align | C_1 \times D_1 \cap C_2 \times D_2 || {{makl| C_1 \cap C_2 |}} \times {{makl| D_1 \cap D_2 |}} || {{makl| F_1 \uplus F_2 |}} \times {{makl| G_1 \uplus G_2 |}} || F_1 \times G_1 \uplus F_1 \times G_2 \uplus F_2 \times G_1 \uplus F_2 \times G_2 || || |SZ=. }} Jede Kohomologieklasse für der Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} wird repräsentiert als eine Summe von zwei Kohomologieklassen, die sich jeweils im Wesentlichen von einem Kreis herrührt: Auf der Überdeckung {{math|term= C_1 \times S^1, C_2 \times S^1 |SZ=}} mit dem Wert {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} auf {{math|term= F_1 \times S^1 |SZ=}} und dem Wert {{math|term= 0 |SZ=}} auf {{math|term= F_2 \times S^1 |SZ=}} und auf der Überdeckung {{math|term= S^1 \times D_1, S^1 \times D_2 |SZ=}} mit dem Wert {{ Ma:Vergleichskette | b |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} auf {{math|term= S^1 \times G_1 |SZ=}} und dem Wert {{math|term= 0 |SZ=}} auf {{math|term= S^1 \times G_2 |SZ=.}} Die Kohomologie rührt also von den Projektionen her. Es ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | H^1(T, {{CC}}) |\cong| {{CC|}}^2 || || || |SZ=. }} Wie kann man darin das Bild von {{math|term= H^0 (T, \Omega_T) |SZ=}} charakterisieren? Auf der oben angebenen offenen Überdeckung erhält man überall {{math|term= dz |SZ=.}} Die holomorphe Funktion {{math|term= z |SZ=}} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} liefert für jedes {{math|term= U_i |SZ=}} eine holomorphe Funktion {{math|term= z_i |SZ=,}} die allerdings nicht zu einer globalen holomorphen Funktion zusammenkleben. Dies sieht man, wenn man das Fundamentalparallelogramm betrachtet. Wir bestimmen also {{math|term= z_i |SZ=}} auf dem Fundamentalparallelogramm, wobei wir mit {{math|term= z |SZ=}} darauf vergleichen. Die Funktion {{math|term= z_1 |SZ=}} auf {{math|term= U_1 |SZ=}} liefert links unten in der Tat {{math|term= z |SZ=,}} aber auf den Umklappungen links oben die Funktion {{math|term= z-v_2 |SZ=,}} rechts unten {{math|term= z-v_1 |SZ=}} und rechts oben {{math|term= z-v_1-v_2 |SZ=.}} Die Funktion {{math|term= z_2 |SZ=}} ist links unten {{math|term= z+v_2 |SZ=,}} links oben {{math|term= z |SZ=,}} rechts oben {{math|term= z-v_2 |SZ=}} und rechts unten {{math|term= z-v_1+v_2 |SZ=.}} Die Funktion {{math|term= z_3 |SZ=}} ist links unten {{math|term= z-v_1 |SZ=,}} links oben {{math|term= z-v_1+v_2 |SZ=,}} rechts oben {{math|term= z+v_2 |SZ=}} und rechts unten {{math|term= z |SZ=.}} Die Funktion {{math|term= z_4 |SZ=}} ist links unten {{math|term= z+v_1 +v_2 |SZ=,}} links oben {{math|term= z+v_1 |SZ=,}} rechts oben {{math|term= z |SZ=}} und rechts unten {{math|term= z +v_2 |SZ=.}} Die Differenzen sind. Auf {{mathl|term= U_1 \cap U_2 |SZ=}} die Werte {{ mathkor|term1= 0 |bzw.|term2= -v_2 |SZ=, }} auf {{mathl|term= U_1 \cap U_3 |SZ=}} die Werte {{ mathkor|term1= 0 |bzw.|term2= v_1 |SZ=. }} Der Durchschnitt {{mathl|term= U_1 \cap U_4 |SZ=}} besteht aus vier Teilen, die im Parallelogramm neun Teile zerfallen. Die vier Eckteile gehören zusammen, die beiden mittleren Randteile links und rechts, die beiden mittleren Randteile oben und unten und der mittlere Teil. Die Werte von {{mathl|term= z_1-z_4 |SZ=}} darauf sind in dieser Reihenfolge gleich {{mathl|term= -v_1-v_2, -v_2,-v_1 ,0 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2=Theorie der eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 338pryy2yhasiowntcgda0rkbqp2pn3 0 138405 779188 742214 2022-08-21T15:49:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |X || {{CC|}} \setminus [0,1] || || |SZ=, }} es wird also das reelle abgeschlossene Einheitsintervall aus den komplexen Zahlen herausgenommen. Der Funktion {{mathl|term= {{op:ln|z|}} - {{op:ln(|z-1|}} |SZ=}} kann man auf {{math|term= X |SZ=}} eine sinnvolle Bedeutung zuordnen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| X || || || |SZ= }} fixiert. Man setzt {{ Ma:Vergleichskette/disp | h(z) | {{defeq|}} | \int_a^z {{op:Bruch|1|w}} dw - \int_a^z {{op:Bruch|1|w-1}} dw || || || |SZ=. }} Dabei sind in den beiden Integralen die Integrationswege gleich zu wählen. Wenn man den Weg durch einen anderen Weg ersetzt, so ändern sich beide Wegintegrale um den gleichen Summanden, aber mit verschiedenem Vorzeichen, und die Summe bleibt gleich. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Ausbreitungsraumes zur Strukturgarbe auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der komplexen Logarithmen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 08qo0817ql74e9ezkjetvvbbxgq86c3 0 138420 779835 742158 2022-08-21T17:29:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Fläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | U_1 |\subseteq| X || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Kreisscheibe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zwei Punkten {{ Ma:Vergleichskette | P,Q |\in| U_1 || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= \gamma |SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=auf der Karte| |ISZ=|ESZ= }} lineare Verbindung von {{math|term= Q |SZ=}} nach {{math|term= P |SZ=.}} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | U_2 |{{defeq}}| X \setminus \gamma([0,1]) || || || |SZ=, }} insbesondere bilden die beiden offenen Mengen {{ mathkor|term1= U_1 |und|term2= U_2 |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= X |SZ=.}} Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | U_1 \cap U_2 || U_1 \setminus \gamma([0,1]) || || || |SZ= }} homöomorph zu einer mit einem abgeschlossenen Intervall geschlitzten Kreisscheibe. Eine holomorphe Funktion {{math|term= h |SZ=}} auf {{mathl|term= U_1 \cap U_2 |SZ=}} definiert als {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kozykel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine erste Kohomologieklasse von {{mathl|term= H^1(X, {{op:Strukturgarbe|X|}} ) |SZ=}} und eine nullstellenfreie holomorphe Funktion darauf definiert eine erste Kohomologieklasse von {{mathl|term= H^1(X, {{op:Einheiten|{{op:Strukturgarbe|X|}}||}} ) |SZ=.}} Unter der langen exakten Sequenz zur Exponentialsequenz {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} wird {{math|term= h |SZ=}} auf {{math|term= e^h |SZ=}} abgebildet. Dabei wird die in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Geschlitzte komplexe Zahlen/Weg von 0 nach 1/Log z - Log z-1/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eingeführte Funktion {{mathl|term= {{op:ln(|z-P|}} - {{op:ln(|z-Q|}} |SZ=,}} aufgefasst auf {{math|term= U_1 \cap U_2 |SZ=,}} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | e^{ {{op:ln(|z-P|}} - {{op:ln(|z-Q|}} } || {{op:Bruch|z-P|z-Q}} || || || |SZ= }} abgebildet, was eine Kohomologieklasse in {{mathl|term= H^1(X, {{op:Einheitengarbe|X|}} ) |SZ=}} definiert. Wir verwenden {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Divisoren/Kohomologie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Divisor| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= P-Q |SZ=.}} Dieser ist auf {{math|term= U_1 |SZ=}} der Hauptdivisor zu {{math|term= {{op:Bruch|z-P|z-Q}} |SZ=}} und auf {{math|term= U_2 |SZ=}} der Hauptdivisor zu {{math|term= 1 |SZ=.}} Somit wird dieser Divisor unter dem verbindenden Homomorphismus auf diese Kohomologieklasse abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Exponentialsequenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5kd3z0d5dbjv4olpsagxtblztza0o3o 0 138493 778590 762499 2022-08-21T12:26:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Von (1) nach (2). Es sei {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| X || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Urbild {{ Ma:Vergleichskette | S | {{defeq|}} | p^{-1} (T) || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | S |\subseteq| \bigcup_{i \in I} W_i || || || |SZ= }} eine offene Überdeckung. Zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| S || || || |SZ= }} gibt es ein {{math|term= j (y) |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| W_{j(y) } || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | y || y_1 |\in| S || || |SZ= }} und seien {{math|term= y_2 {{kommadots|}} y_n |SZ=}} die weiteren Punkte, die auf {{ Ma:Vergleichskette | x ||p(y) |\in| || || || |SZ= }} abbilden. Zu den offenen Umgebungen {{ Ma:Vergleichskette | y_k |\in| W_{j(y_k)} || || || |SZ= }} gibt es eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| U_x |\subseteq| X || || |SZ=, }} über der {{math|term= p |SZ=}} trivialisiert und mit {{ Ma:Vergleichskette | y_k |\in| V_k |\subseteq | p^{-1} (U_x) \cap W_{j(y_k)} || || |SZ=, }} wobei {{math|term= V_k |SZ=}} das Blatt zu {{math|term= y_k |SZ=}} bezeichnet. Diese offenen Mengen bilden eine verfeinerte Überdeckung der Ausgangsüberdeckung. Die {{math|term= U_x |SZ=}} bilden dann eine offene Überdeckung von {{math|term= T |SZ=}} und somit gibt es davon eine endliche Teilüberdeckung {{mathl|term= U_1 {{kommadots}} U_m |SZ=.}} Die zugehörigen Blätter {{math|term= V_{jk} |SZ=}} bilden dann eine endliche Überdeckung von {{math|term= S |SZ=}} Von (2) nach (3) ist klar. Von (3) nach (1). Sei {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} ein Punkt und seien {{mathl|term= y_1 {{kommadots|}} y_n |SZ=}} die Urbildpunkte von {{math|term= x |SZ=.}} Zu jeden {{math|term= y_j |SZ=}} gibt es eine offene Umgebung {{math|term= V_j |SZ=,}} die homöomorph auf {{math|term= U_j |SZ=}} abbildet. Man betrachtet die offene Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | U |{{defeq}} | \bigcap_{j \in J} U_j || || || |SZ= }} und ersetzt die {{math|term= V_j |SZ=}} durch {{math|term= V_j \cap p^{-1}(U) |SZ=.}} Durch eine weitere Verkleinerung können wir erreichen, dass {{math|term= U |SZ=}} und damit auch die {{math|term= V_j |SZ=}} wegzusammenhängend ist. Wir behaupten, dass {{math|term= \biguplus_{j \in J} V_j |SZ=}} das Urbild von {{math|term= U |SZ=}} ist. Nehmen wir an, es gebe einen Punkt {{math|term= y |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | p(y) |\in| U || || || |SZ=, }} der auf keinem {{math|term= V_j |SZ=}} liegt. Wir betrachten einen Verbindungsweg {{ Ma:abbele/disp |name= \gamma |[0,1] | U || |SZ= }} von {{math|term= p(y) |SZ=}} nach {{math|term= x|SZ=.}} Das Urbild von {{math|term= \gamma([0,1]) |SZ=}} ist kompakt. Es enthält die kompakten Kopien innerhalb von {{math|term= V_j |SZ=.}} Zu {{math|term= y |SZ=}} gibt es eine offene Umgebung {{math|term= V |SZ=,}} die homöomorph nach {{math|term= X |SZ=}} abbildet und darin gibt es eine Liftung des Teilweges durch {{math|term= y |SZ=.}} Es sei {{math|term= s |SZ=}} das Supremum der reellen Zahlen {{math|term= t |SZ=,}} für die eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Liftung| |Kontext=Weg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \tilde{\gamma} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{\gamma} (0) || y || || || |SZ= }} definiert ist. Wegen {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Hausdorffraum/Lokaler Homöomorphismus/Eindeutige Liftung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Liftung eindeutig und dieser Weg ist auf {{mathl|term= [0,s[ |SZ=}} definiert. Aufgrund der Eigentlichkeit ist dies auch für {{math|term= s |SZ=}} definiert. Wegen der lokalen Homöomorphie gibt es bei {{ Ma:Vergleichskette | s |<| 1 || || || |SZ= }} eine offene Umgebung von {{mathl|term= \tilde{\gamma} (s) |SZ=,}} die homöomorph auf eine offene Teilmenge von {{math|term= X |SZ=}} abbildet und somit würde es eine weitere Fortsetzung des Liftungsweges geben. Also ist {{ Ma:Vergleichskette | s || 1 || || || |SZ= }} und somit endet die Liftung in einem der Punkte über {{math|term= x |SZ=,}} sagen wir in {{math|term= y_1 |SZ=.}} Dann muss aber diese Liftung mit der Liftung innerhalb von {{math|term= V_1 |SZ=}} übereinstimmen und damit ist selbst {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| V_1 || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p4xtlbbzrv0d7u337bl1qg960950r4f 0 138504 779708 737252 2022-08-21T17:11:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur {{ Definitionslink |Prämath= |Überlagerung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |w|w^n |SZ=, }} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Decktransformationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich der Gruppe der {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | E_n || {{Mengebed|\zeta \in {{CC}}| \zeta^n {{=}} 1 }} || \{ e^{ {{op:Bruch|2 \pi k {{imaginäre Einheit}}|n|}} }{{|}}\, k{{=}} 0 {{kommadots}} n-1 \} || || |SZ=, }} siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dabei wirkt eine Einheitswurzel {{math|term= \zeta |SZ=}} durch die Multiplikation {{ Ma:abbele/disp |name= \mu_\zeta | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}}| {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |z| \zeta z |SZ=, }} als Decktransformation. Die Gesamtzuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= | E_n | {{op:Decktransformationsgruppe|{{op:Einheiten| {{CC|}} |}}|{{op:Einheiten| {{CC|}} |}}| \varphi}} || |SZ= }} ist offenbar {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bei einer beliebigen Decktransformation {{ Ma:abbele/disp |name= \theta |{{op:Einheiten| {{CC|}} |}}|{{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | \zeta | {{defeq|}} | \theta(1) || || || |SZ= }} eine {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel. Daraus folgt {{ Ma:Vergleichskette | \theta || \mu_\zeta || || || |SZ= }} mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Überlagerung/Decktransformation/Bestimmtheit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Decktransformationsgruppe einer Überlagerung |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3=Theorie der endlichen Überlagerungen von riemannschen Flächen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1qkak3d1rlh2yst8kfzbz56kfwu9125 0 138518 779337 737253 2022-08-21T16:12:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur {{ Definitionslink |Prämath= |Überlagerung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:exp||}} | {{CC|}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |w| {{op:exp|w|}} |SZ=, }} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Decktransformationsgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich der Gruppe der {{ Definitionslink |Prämath= |ganzen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Z |SZ=.}} Dabei wirkt {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \Z || || || |SZ= }} durch die Addition {{ Ma:abbele/disp |name= | {{CC|}} | {{CC|}} |w| w +n 2 \pi {{imaginäre Einheit}} |SZ=, }} als Decktransformation. Dass es sich um eine Decktransformation handelt beruht auf den Periodizitätseigenschaften der komplexen Exponentialfunktion, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Komplexe Exponentialfunktion/Periodizitätseigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Daraus ergibt sich auch, dass {{ Ma:abbele/disp |name= | \Z | {{op:Decktransformationsgruppe| {{CC|}}|{{op:Einheiten| {{CC|}} |}}| \varphi}} || |SZ= }} ein injektiver {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Überlagerung/Decktransformation/Bestimmtheit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dies sogar ein Isomorphismus. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Decktransformationsgruppe einer Überlagerung |Kategorie2=Theorie der komplexen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1u7q1qp5122kj518deqd01zcx4f7cwp 0 138520 779706 737113 2022-08-21T17:10:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} ist {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |w|w^n |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Überlagerung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette | z |\in| {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | w |\in| {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} ein Punkt mit {{ Ma:Vergleichskette | w^n || z || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | w |\in| V |\subseteq|{{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || |SZ= }} eine offene Umgebung, die {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette | U | {{defeq|}} | \varphi(V) || || || |SZ= }} abbildet. Eine solche Menge gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/C/Eindimensional/Holomorph/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und wegen {{ Ma:Vergleichskette | \varphi'(w) || nw^{n-1} |\neq| 0 || || |SZ=. }} Die Menge der {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | E_n || {{Mengebed|\zeta \in {{CC}}| \zeta^n {{=}} 1 }} || \{ e^{ {{op:Bruch|2 \pi k {{imaginäre Einheit}}|n|}} }{{|}}\, k{{=}} 0 {{kommadots}} n-1 \} || || |SZ=, }} siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wir können {{math|term= V |SZ=}} verkleinern und dadurch erreichen, dass für alle {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln {{ Ma:Vergleichskette | \zeta |\neq| 1 || || || |SZ= }} die offenen Mengen {{ mathkor|term1= V |und|term2= \mu_\zeta(V) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^{-1} {{makl| U |}} |\cong| \biguplus_{\zeta \in E_n} \mu_{\zeta} (V) |\cong| U \times E_n || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Überlagerungen |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oahesmx7qm3yx9cxsqk7yrvc6lgwfbf 0 138522 779335 737114 2022-08-21T16:12:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:exp||}} | {{CC|}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |w| {{op:exp|w|}} |SZ=, }} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Überlagerung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | z |\in| {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} und einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | w |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:exp|w|}} || z || || || |SZ= }} gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/C/Eindimensional/Holomorph/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | w |\in| V |\subseteq| {{CC|}} || || |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette | U | {{defeq|}} | {{op:exp(|V|}} || || || |SZ= }} abbildet. Durch Verkleinern von {{math|term= V |SZ=}} können wir annehmen, dass die offenen Mengen {{ mathkor|term1= V |umd|term2= V+ 2 \pi k {{imaginäre Einheit}} |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | k |\neq| 0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:exp||}}^{-1}(U) |\cong| \biguplus_{k \in \Z} {{makl| V + 2 k \pi {{imaginäre Einheit}} |}} |\cong| U \times \Z || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Überlagerungen |Kategorie2=Theorie der komplexen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9z83svinsqbc0v9upvzj3xxb5ozke2b 0 138534 778446 762396 2022-08-21T12:03:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten die holomorphe Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |U \times {{CC|}} | {{CC|}} |(z,w)| f(z)-w^k |SZ=, }} in zwei Variablen, es sei {{ Ma:Vergleichskette | Q |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein Punkt mit {{ Ma:Vergleichskette | Q^k || f(P) || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(P,Q) || 0 || || || |SZ=. }} Die Abbildung {{math|term= \varphi |SZ=}} besitzt die partiellen Ableitungen {{ mathkor|term1= f'(z) |und|term2= k w^{k-1} |SZ=. }} Im Punkt {{mathl|term= (P,Q) |SZ=}} ist definitiv die zweite partielle Ableitung {{math|term= \neq 0 |SZ=,}} daher ist das totale Differential in diesem Punkt surjektiv und man kann {{ Zusatz/Klammer |text=eine explizite Version von| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/K/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anwenden. D.h. es gibt eine auf einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette | V |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} definierte holomorphe Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |V| {{CC|}}^2 |z| (z,h(z)) |SZ=, }} die auf der Faser von {{math|term= \varphi |SZ=}} über {{math|term= 0 |SZ=}} liegt. Damit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi( z, h(z)) || f(z)- h(z)^n || 0 || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette | h(z)^n || f(z) || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8j3v2jsdw1q6h0nhzylyhsqkopcgm0a 0 138550 778859 762746 2022-08-21T13:06:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| Y || || || |SZ=. }} Zu {{ Ma:Vergleichskette | x ||p(y) |\in| X || || || |SZ= }} gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Umgebung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| U || || || |SZ= }} derart, dass {{math|term= p^{-1} (U) |SZ=}} die disjunkte Vereinigung von zu {{math|term= U |SZ=}} homöomorphen offenen Mengen ist. Auf einer dieser Mengen muss {{math|term= y |SZ=}} liegen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fre4y1zxiku6khn6k6y29cc1r6unfyb 0 138558 778858 762745 2022-08-21T13:05:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= \varphi |SZ=}} die Decktransformation. Wir betrachten die Menge {{mathl|term= {{Mengebed|y \in Y| \varphi(y) {{=}} y}} |SZ=,}} die nach Voraussetzung nicht leer ist. Wir zeigen, dass sie sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Wegen {{math|term= Y |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |hausdorffsch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist die Fixpunktmenge nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Hausdorffraum/Stetige Abbildung/Fixpunkte/Abgeschlossen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} abgeschlossen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| Y || || || |SZ= }} ein Fixpunkt mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | p(y) || x || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| U || || || |SZ= }} eine offene Umgebung, worüber die Überlagerung trivialisiert. Wegen der Voraussetzung über den lokalen Wegzusammenhang können wir annehmen, dass {{math|term= U |SZ=}} wegzusammenhängend ist. Es sei {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| V || || || |SZ= }} die entsprechende offene Umgebung von {{math|term= y |SZ=.}} Dann ist {{math|term= V |SZ=}} und somit auch {{math|term= \varphi(V) |SZ=}} zusammenhängend und wegen {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(y) ||y |\in| V || || || |SZ= }} ist bereits {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(V) |\subseteq| V || || || |SZ=. }} Somit gilt für {{ Ma:Vergleichskette | y' |\in| V || || || |SZ= }} die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(y') |\in| V \cap p^{-1} (p(y')) || \{ y' \} || || |SZ=, }} also ist {{math|term= \varphi |SZ=}} auf {{math|term= V |SZ=}} die Identität. Die Fixpunktmenge ist also auch offen. Aufgrund des Zusammenhangs von {{math|term= Y |SZ=}} ist sie dann gleich ganz {{math|term= Y |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hkde0qshyawi7jawergcmvkjdnlbqz8 0 138582 779388 737297 2022-08-21T16:19:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f | {{CC|}} \setminus \{-1,1\} | {{CC|}} |z| {{op:Bruch|1|3}} z^3-z |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | f'(z) || z^2-1 || (z-1)(z+1) || || |SZ= }} ist die Abbildung überall {{ Definitionslink |Prämath= |unverzweigt| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Unverzweigt und lokaler Homöomorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Homöomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die entsprechende polynomiale Abbildung {{math|term= \tilde{f} |SZ=}} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} ist surjektiv, sie hat an der Stelle {{math|term= 1 |SZ=}} den Wert {{math|term= - {{op:Bruch|2|3}} |SZ=}} und an der Stelle {{math|term= -1 |SZ=}} den Wert {{math|term= {{op:Bruch|2|3}} |SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|3}} z^3-z + {{op:Bruch|2|3}} || {{op:Bruch|1|3}} {{makl| z^3-3z + 2 |}} || {{op:Bruch|1|3}} {{makl| z-1 |}}^2 {{makl| z+2 |}} || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|3}} z^3-z - {{op:Bruch|2|3}} || {{op:Bruch|1|3}} {{makl| z^3-3z - 2 |}} || {{op:Bruch|1|3}} {{makl| z+1 |}}^2 {{makl| z-2 |}} || || |SZ=, }} daher ist auch {{math|term= f |SZ=}} selbst surjektiv. Es liegt keine {{ Definitionslink |Prämath= |Überlagerung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor, da über {{math|term= {{op:Bruch|2|3}} |SZ=}} und über {{math|term= - {{op:Bruch|2|3}} |SZ=}} je ein Punkt und sonst stets drei Punkte liegen. Aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Überlagerung/Lokaler Homöomorphismus/Faseranzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} folgt, dass {{math|term= f |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=eigentlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dies kann man auch direkt und explizit sehen. Die Folge {{math|term= {{op:Bruch|2|3}} + {{op:Bruch|1|n}} |SZ=}} konvergiert gegen {{math|term= {{op:Bruch|2|3}} |SZ=}} und die Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | T || {{Mengebed| {{op:Bruch|2|3}} + {{op:Bruch|1|n}} |n \in \N_+}} \cup \{ {{op:Bruch|2|3}} \} |\subseteq| {{CC|}} || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Urbildmenge von {{math|term= T |SZ=}} unter der polynomialen Abbildung {{math|term= \tilde{f} |SZ=}} ist kompakt, durch die Herausnahme der beiden Punkte geht die Kompaktheit verloren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2hy2kmt5pf29dkj2p6y2hcdvxscqf6 0 138626 779375 740028 2022-08-21T16:17:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die komplexe Potenzierung {{ Ma:abbele |name= |U|V |w|w^n {{=|}} z |SZ= }} zwischen Kreisscheiben {{ Zusatz/Klammer |text=oder auf ganz {{math|term= {{CC|}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= dz |SZ=}} wird auf {{ Ma:Vergleichskette | dw^n || nw^{n-1} dw || || || |SZ= }} abgebildet, die invariant unter den Multiplikationen {{mathl|term= w \mapsto \zeta w |SZ=}} zu einer {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Generell entsprechen die holomorphen Differentialformen {{mathl|term= g(z)dz |SZ=}} auf {{math|term= V |SZ=}} den Differentialformen {{mathl|term= \sum_{k {{=}} 1}^\infty c_k w^{kn-1} dw |SZ=}} auf {{math|term= U |SZ=,}} und das sind genau die Differentialformen, die invariant unter den Multiplikationen mit {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie2=Theorie des Rückzuges einer holomorphen Differentialform auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ttycne9uo7rmme7dom8qq9p8pwrdvz 0 138627 779255 744290 2022-08-21T15:59:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | W^2 || Z {{makl| Z^2-1 |}} {{makl| Z^2+1 |}} || Z {{makl| Z^4-1 |}} || Z (Z-1)(Z+1)(Z- {{imaginäre Einheit|}} )(Z+ {{imaginäre Einheit|}} ) || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Fläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} und die vervollständigte {{ Zusatz/Klammer |text=kompakte| |ISZ=|ESZ= }} Version {{math|term= X |SZ=}} davon, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Riemannsche Fläche/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Über C/Holomorphe Differentialformen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Über C/Holomorphe Differentialformen/Fortsetzung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | \omega || {{op:Bruch|dz|w}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=}} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hyperelliptische Gleichung/Reell/Schleife des Graphen/Holomorphes Differential/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist das dort beschriebene Wegintegral {{math|term= \int_\gamma \omega |SZ=}} für {{math|term= z |SZ=}} reell zwischen {{ mathkor|term1= -1 |und|term2= 0 |SZ= }} positiv. Es sei {{math|term= \zeta |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |primitive| |Kontext=Einheitswurzel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} achte {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette | \zeta || e^{ \pi {{imaginäre Einheit}} /4 } || || || |SZ=. }} Durch {{math|term= Z \mapsto \zeta^2 Z |SZ=}} und {{math|term= W \mapsto \zeta W |SZ=}} wird wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \zeta^2 Z {{makl| \zeta^8 Z^4 -1 |}} || \zeta^2 Z {{makl| Z^4-1 |}} || \zeta^2W^2 || {{makl| \zeta W |}}^2 || |SZ= }} eine biholmorphe Abbildung {{math|term= \theta |SZ=}} auf {{math|term= V |SZ=}} und dann auch auf {{math|term= X |SZ=}} festgelegt. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/1-Form/Wegintegral/Rückzug/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_{\theta \circ \gamma} \omega || \int_{\gamma} \theta^* \omega || \int_{ \gamma} \zeta\omega || \zeta \int_{ \gamma} \omega || || |SZ=. }} Entsprechend sind die Wegintegrale zu {{math|term= \omega |SZ=}} längs der Wege {{mathl|term= \theta^n \circ g |SZ=}} gleich {{mathl|term= \zeta^n \int_{ \gamma} \omega |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind die Potenzen {{math|term= 1,\zeta,\zeta^2,\zeta^3 |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= \Q |SZ=}} und das überträgt sich auf die Perioden {{math|term= \int_{ \gamma} \omega, \, \int_{ \theta \circ \gamma} \omega {{=|}} \zeta \int_{\gamma} \omega, \, \int_{\theta^2 \circ \gamma} \omega {{=|}} \zeta^2 \int_{ \gamma} \omega, \, \int_{ \theta^3 \circ \gamma} \omega {{=}} \zeta^3\int_{ \gamma} \omega |SZ=.}} Deshalb bilden die Perioden zu {{math|term= \omega |SZ=}} zu den verschiedenen geschlossenen Wegen eine Untergruppe vom {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zumindest {{math|term= 4 |SZ=}} und daher ist die Periodengruppe kein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Aufgrund von Eigenschaften des achten Kreisteilungskörpers handelt es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |dichte| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Untergruppe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der hyperelliptischen riemannschen Flächen |Kategorie2=Theorie der holomorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4jjrrxh2dg4xchewy3b0ol5iqt3wofo 0 138748 779974 733884 2022-08-21T17:51:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Ma:Vergleichskette | X || U_1 \cup U_2 \cup U_3 || || || |SZ=. }} {{math|term= c |SZ=}} sei durch {{mathl|term= s_{12} |SZ=}} auf {{math|term= U_{12} |SZ=}} etc. gegeben, entsprechend {{math|term= d |SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | (c \wedge d)_{1 2 3} || s_{12}t_{13} -s_{13}t_{12} || || || |SZ=. }} Bei vertauschten Rollen gilt {{ Ma:Vergleichskette/align | s_{21} t_{23} -s_{23}t_{21} || s_{21} {{makl| t_{13} -t_{12} |}} - {{makl| s_{13} -s_{12} |}} t_{21} || - s_{12} t_{13} +s_{13} t_{12} || || |SZ=, }} bis auf das Vorzeichen. Für einen Korand zu {{math|term= a_1,a_2,a_3 |SZ=}} für {{math|term= c |SZ=,}} also {{ Ma:Vergleichskette | s_{12} || a_1-a_2 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s_{13} || a_1-a_3 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | s_{23} || a_2-a_3 || || || |SZ=, }} gilt {{ Zusatz/Klammer |text=was von einem Zweierschnitt herkommt, ist gleich {{math|term= 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | s_{12}t_{13} -s_{13}t_{12} || (a_1-a_2) t_{13} - (a_1-a_3) t_{12} || -a_2t_{13}+a_3t_{12} || -a_2 {{makl| \pm t_{12} \pm t_{23} |}} +a_3 {{makl|\pm t_{23} \pm t_{13} |}} || |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} laasac9pas64mbeadbr9dakr150q5q5 0 138871 783353 757045 2022-08-22T03:14:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} {{ Definitionslink |komplexe Mannigfaltigkeiten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |holomorphe Abbildung| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ mathkor|term1= P \in M |und|term2= Q=\varphi(P) |SZ= }} und es seien {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma_1,\gamma_2 |B|M || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |holomorphe Kurven| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem offenen Ball {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|B || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \gamma_1 (0) || \gamma_2(0) || P || || || || |SZ=. }} Es seien {{ mathkor|term1= \gamma_1 |und|term2= \gamma_2 |SZ= }} im Punkt {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |tangential äquivalent| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die {{ Definitionslink |Verknüpfungen| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= \varphi \circ \gamma_1 |und|term2= \varphi \circ \gamma_2 |SZ= }} tangential äquivalent in {{math|term= Q|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hniqo02wyrv71u7bwzedsztup3dia37 0 139095 786319 759392 2022-08-22T11:05:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} es sei {{ Ma:Vergleichskette |D |\subset|X || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |diskrete Teilmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=f |X \setminus D | {{CC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{math|term= f|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |meromorphe Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jedes Kartengebiet {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} ist die holomorphe Funktion {{ Ma:abb |name= f {{|}}_{(X \setminus D) \cap U } \circ \alpha^{-1} {{|}}_{ \alpha (U) \setminus \alpha (D \cap U) } | \alpha (U) \setminus \alpha (D \cap U) | {{CC|}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |meromorph| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es gibt eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} mit Kartengebieten {{math|term= U_i|SZ=}} derart, dass die holomorphen Funktionen {{ Ma:abb |name= f {{|}}_{(X \setminus D) \cap U_i } \circ \alpha_i^{-1} {{|}}_{ \alpha_i (U_i) \setminus \alpha_i (D \cap U_i) } | \alpha_i (U_i) \setminus \alpha_i (D \cap U_i) | {{CC|}} || |SZ= }} meromorph sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bfffgcvsezqz8i3t1ltqzv01johabke 0 139133 779376 735297 2022-08-21T16:17:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für die eindimensionale Sphäre {{math|term= S^1 |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette | H^0(S^1) || \R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | H^1(S^1) || \R || || || |SZ=. }} Ersteres folgt aus {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Nullte Stufe/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der de-Rham-Komplex auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} on9r9tc07lkdkzb98pzaytt72il0nc2 0 139212 778585 762490 2022-08-21T12:25:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| \gamma(I) || || || |SZ= }} gibt es eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| U_x || || || |SZ= }} derart, dass {{math|term= p |SZ=}} oberhalb von {{math|term= U_x |SZ=}} trivialisiert, d.h. {{mathl|term= p^{-1} (U_x) |SZ=}} ist die disjunkte Vereinigung von zu {{math|term= U_x |SZ=}} über {{math|term= p |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} offenen Teilmengen von {{math|term= {{{E|E}}} |SZ=.}} Aufgrund der {{ Definitionslink |Prämath= |Kompaktheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \gamma(I) |SZ=}} gibt es somit endlich viele offene Mengen {{mathl|term= U_1 {{kommadots|}} U_n |SZ=}} mit dieser Eigenschaft und mit {{ Ma:Vergleichskette | \gamma(0) |\in| U_1 || || || |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette | U_i \cap U_{i+1} \cap \gamma(I) |\neq| \emptyset || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=da {{math|term= \gamma(I) |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette | \gamma(1) |\in| U_n || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | x_i ||\gamma(t_i) |\in| U_i \cap U_{i+1} || || || |SZ= }} mit aufsteigenden Zeitpunkten {{math|term= t_i |SZ=.}} Es sei {{math|term= V_1 |SZ=}} diejenige zu {{math|term= U_1 |SZ=}} homöomorphe Teilmenge von {{math|term= {{{E|E}}} |SZ=,}} die {{math|term= z |SZ=}} enthält. Dann gibt es für den auf {{mathl|term= [0, t_1] |SZ=}} eingeschränkten Weg nur die Liftung {{mathl|term= p {{|}}_{V_i}^{-1} \circ \gamma{{|}}_{[0,t_1]} |SZ=.}} Dieser Weg hat für {{math|term= t_1 |SZ=}} einen eindeutigen Endpunkt in {{math|term= {{{E|E}}} |SZ=,}} sagen wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | z_1 || \tilde{\gamma}(t_1) || || || |SZ=. }} Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge {{ Ma:Vergleichskette | V_2 |\subseteq| {{{E|E}}} || || || |SZ= }} homöomorph zu {{math|term= U_2 |SZ=}} und es gibt eine eindeutige Fortsetzung von dem bisher konstruierten {{math|term= \tilde{\gamma} |SZ=}} nach {{mathl|term= [t_1,t_2] |SZ=.}} So induktiv fortfahrend erhält man die gesamte eindeutige Liftung des Weges. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} er1l4srb2bq7mg6u9fefjpgdib50qj0 0 139261 786061 735802 2022-08-22T10:23:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über zusammenhängende Teilmengen von {{math|term= \R |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ecox2fsl9jf0s1uw9kdlra8altzp6ab 0 139476 779774 740783 2022-08-21T17:20:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Zeilenvektor|x|y}} |\in| \R^2 || || || |SZ= }} legt das Rechteck mit den Eckpunkten {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|0|0}} ,\, {{op:Zeilenvektor|x|0}} , \,{{op:Zeilenvektor|0|y}} , \, {{op:Zeilenvektor|x|y}} |SZ=}} fest. Wenn der Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x|y}} |SZ=}} bewegt wird, bewegt sich das zugehörige Rechteck mit. In welche Richtung muss der Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x|y}} |SZ=}} bewegt werden, damit der Umfang des Rechteckes möglichst schnell wächst? Der Umfang des Rechteckes ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | U(x,y) || 2x+2y || || || |SZ= }} gegeben, nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wächst diese Funktion am schnellsten in Richtung des Gradienten, also in Richtung {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|2|2}} |SZ=,}} was insbesondere unabhängig vom gegebenen Eckpunkt ist. {{ inputbild |RechteckGradient|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} In welche Richtung muss der Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x|y}} |SZ=}} bewegt werden, damit der Flächeninhalt des Rechteckes möglichst schnell wächst? Der Flächeninhalt des Rechteckes ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(x,y) || x y || || || |SZ= }} gegeben, nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wächst diese Funktion am schnellsten in Richtung des Gradienten, also in Richtung {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|y|x}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Gradienten einer Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0llaxrgnxzuf9zfho1l3oktrixibc4y 0 139666 779836 737903 2022-08-21T17:29:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphen| |Kontext=riemannsche Fläche Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Überlagerung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=p |Y|X || |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |riemannschen Flächen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= Y |und|term2= X |SZ= }} und eine {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängende| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offene Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| X || || || |SZ=, }} über der die Überlagerung trivialisiert mit {{ Ma:Vergleichskette | p^{-1} (U) |\cong | U \times F || || || |SZ= }} und einem {{ Definitionslink |Prämath= |diskreten Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= F |SZ=,}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |stetiger Schnitt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einfach gegeben durch die Wahl eines Elementes {{ Ma:Vergleichskette | w |\in| F || || || |SZ=, }} da unter diesen Bedingungen der Schnitt ganz in einer Kopie von {{math|term= U |SZ=}} in {{math|term= Y |SZ=}} landet und daher die Umkehrabbildung zur durch {{math|term= p |SZ=}} induzierten Homöomorphie ist. Insbesondere stimmt die Prägarbe der stetigen Schnitte mit der Prägarbe der holomorphen Schnitte überein. Bei einer nichtidentischen Überlagerung von zusammenhängenden Flächen gibt es keinen globalen Schnitt. Bei einer {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen| |Kontext=eigentlich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} holomorphen Abbildung {{ Ma:abb |name=p | Y | X || |SZ= }} und einer offenen Umgebung eines Punktes {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsbildes| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und einer hinreichend kleinen offenen Umgebung gibt es Schnitte in diejenigen Scheibenumgebungen der Urbilder, auf denen keine Verzweigung stattfindet, aber nicht in die anderen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Überlagerungen von riemannschen Flächen |Kategorie2=Theorie der Prägarben |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxa7ao8ysoviqlpgzxviheio0kxfnl9 0 139691 779750 737682 2022-08-21T17:17:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition }} {{math|term=X|SZ= }} heißt {{Definitionswort|lokal zusammenhängend|SZ=,}} wenn jeder Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in|X || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Umgebungsbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängenden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Mengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der zusammenhängenden Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lokal zusammenhängend |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6lgsoixzjeevhactatawj8kfgk0j7ka 0 139735 779830 738015 2022-08-21T17:28:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Fläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir versehen die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |diskreten Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und betrachten dazu auf {{math|term= X |SZ=}} die Garbe der stetigen Abbildungen nach {{math|term= \Z |SZ=}} im Sinne von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Topologische Gruppe/Stetige Funktionen/Garbe/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es handelt sich um eine Garbe von lokal-konstanten Abbildungen. Über den Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | \Z| {{CC}} |n| 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} n |SZ=, }} können wir diese Garbe als eine Untergarbe der Garbe der {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphen Funktionen| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=}} auffassen, da ja stetige lokal-konstante Funktionen insbesondere holomorph sind. In diesem Fall besitzt die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientengarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Strukturgarbe|X|}}/ 2 \pi {{imaginäre Einheit}} \Z |SZ=}} eine einfachere Beschreibung, als die Definition der Quotientengarbe als Vergarbung einer Prägarbe vermuten lässt. Die Quotientengarbe ist nämlich die Garbe der holomorphen Funktionen mit Werten in {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || {{CC|}} \setminus \{0\} || || || |SZ=. }} Diese Garbe nennt man die Garbe der holomorphen Einheiten auf {{math|term= X |SZ=}} und bezeichnet sie mit {{math|term= {{op:Einheitengarbe|X|}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist eine holomorphe surjektive Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:exp||}} | {{CC|}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || |SZ=, }} diese definiert im Sinne von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Topologische Gruppen/Homomorphismus/Garbenversion/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen Garbenhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:exp||}} | {{op:Strukturgarbe|X|}} | {{op:Einheitengarbe|X|}} || |SZ=, }} wobei eine holomorphe Funktion {{math|term= f |SZ=}} auf einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| X || || || |SZ= }} auf {{mathl|term= {{op:exp||}} \circ f |SZ=}} abgebildet wird. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieses Garbenhomomorphismus ergibt die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in {{math|term= 2 \pi {{imaginäre Einheit}} \Z|SZ=,}} da genau diese Zahlen unter der Exponentialfunktion auf {{math|term= 1 |SZ=}} abbilden. Wir behaupten, dass der durch die Exponentialabbildung gegebene Garbenhomomorphismus {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dies ist eine lokale Eigenschaft, die wir für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| X || || || |SZ= }} nachweisen müssen. Sei {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| U || || || |SZ= }} eine offene Umgebung und sei {{ Ma:abbele/disp |name=h |U| {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || |SZ= }} eine holomorphe Funktion. Zu {{math|term= h(P) |SZ=}} gibt es, da die komplexe Exponentialfunktion nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Komplexe Exponentalfunktion/Überlagerung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Überlagerung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, auf einer offenen Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | h(P) |\in| V |\subseteq| {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || |SZ= }} einen holomorphen Schnitt {{ Zusatz/Klammer |text=einen lokalen Logarithmus| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=s |V| {{CC|}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:exp(| s(z)|}} || z || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | z |\in| V || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= h^{-1} (V) |SZ=}} ist somit {{math|term= s \circ h |SZ=}} eine holomorphe Funktion, die unter der Exponentialfunktion auf {{math|term= h |SZ=}} abbildet. Die Exponentialfunktion ist nicht global surjektiv. Wenn man beispielsweise {{ Ma:Vergleichskette |X || {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} setzt, so ist die globale Auswertung der Exponentialabbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Exponentialsequenz |Kategorie2=Theorie der Quotientengarben |Kategorie3=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qyjbpaj8ni2ph1ax0zdc5217il81dxy 0 139781 779984 738142 2022-08-21T17:53:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X|SZ=}} ist die Mengen der stetigen Abbildungen von {{math|term= X|SZ=}} in eine {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} mit der natürlichen Verknüpfung selbst eine Gruppe. Die Einschränkung auf eine offene Teilmenge von {{math|term= X|SZ=}} ist dabei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher ist die Zuordnung {{ math/disp|term= U \mapsto C^0(U,G) |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Prägarbe von Gruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe von stetigen Funktionen in topologische Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jp1rk1ovr5s5xkdft9f0buu0ike9pla 0 139807 779709 738773 2022-08-21T17:11:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} fixiert, wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz1/disp| E_n| {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |abbmr=z^n |SZ=,}} wobei rechts die {{math|term= n |SZ=-}}te komplexe Potenzierung steht und {{math|term= E_n |SZ=}} die Gruppe der {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet, die zur {{ Definitionslink |Prämath= |zyklischen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Es liegt die Situation aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologische Gruppen/Kommutativ/Kurze exakte Sequenz/Lokal stetiger Schnitt/Garbensequenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} vor, d.h. auf jedem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} erhält man eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Garbensequenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz1/disp|C^0(-,E_n)|C^0(-, {{op:Einheiten| {{CC|}} |}}) |C^0(-,{{op:Einheiten| {{CC|}}|}} ) |abbmr=z^n |SZ=.}} Da ferner das Potenzieren holomorph ist, erhält man auf einer riemannschen Fläche eine kurze exakte Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz1/disp|C^0(-,E_n)| {{op:Einheitengarbe|X|}} | {{op:Einheitengarbe|X|}} |abbmr=z^n |SZ=,}} wobei vorne die lokal konstanten stetigen oder holomorphen Funktionen mit Werten in {{ Ma:Vergleichskette | E_n |\cong| {{op:Zmod|n|}} || || || |SZ= }} steht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2=Theorie der Quotientengarben |Kategorie3=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4dtlbh2g5fy7gevncn4tskj1j29nzir 0 139812 779332 738538 2022-08-21T16:11:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphen Funktionen| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} besteht der {{ Definitionslink |Prämath= |Ausbreitungsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus allen Tupeln {{mathl|term= (a,g) |SZ=,}} wobei {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} eine komplexe Zahl und {{math|term= g |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Potenzreihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Entwicklungspunkt {{math|term= a |SZ=}} ist. Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} und einer holomorphen Funktion {{ Ma:abb |name=f |U|{{CC}} || |SZ= }} besteht die offene Menge {{mathl|term= (U,f) |SZ=}} des Ausbreitungsraumes aus allen Tupeln {{mathl|term= (a,f_a) |SZ=}} zu Punkten {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| U || || || |SZ= }} und wobei {{math|term= f_a |SZ=}} die Potenzreihenentwicklung von {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= a |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Ausbreitungsraumes zur Strukturgarbe auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6il1sp0qg5k3v739qjgkj6rqzc7ocy8 0 139852 779349 738936 2022-08-21T16:13:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Fläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | X || {{CC|}} \setminus \{0\} || || || |SZ= }} und den geschlossenen Weg {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[0, 2 \pi ]| {{op:Zeilenvektor|{{op:cos|t|}}| {{op:sin|t|}} |}} || |SZ= }} mit Anfangs- und Endpunkt {{math|term= 1 |SZ=.}} Zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| X || || || |SZ= }} besitzt die Quadratüberlagerung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Punktierte komplexe Zahlen/Potenz/Überlagerung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | X |X |w|w^2 |SZ=, }} in einer lokalen offenen Umgebung von {{math|term= a |SZ=}} zwei Schnitte. Diese sind durch Potenzreihen mit Entwicklungspunkt {{math|term= a |SZ=}} der Form {{ math/disp|term= \sum_{ n {{=}} 0}^\infty c_n ( z-a)^n |SZ= }} gegeben, wobei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \sum_{ n {{=}} 0}^\infty c_n ( z-a)^n |}}^2 || z || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | c_0^2 || a || || || |SZ= }} gilt. Wenn man {{math|term= c_0 |SZ=}} mit dieser letzten Bedingung fixiert, wird dadurch die gesamte Potenzreihe festgelegt. Die andere erhält man durch Negation. Wir behaupten, dass im Punkt {{math|term= 1 |SZ=}} die beiden Potenzreihen der Wurzel durch {{ Definitionslink |Prämath= |analytische Fortsetzung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} längs {{math|term= \gamma |SZ=}} auseinander hervorgehen. Dies folgt daraus, dass zu jedem Punkt auf dem Einheitskreis durch den Funktionswert bereits die gesamte Potenzreihe der Quadratwurzel festgelegt ist. Wenn man in {{math|term= 1 |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | c_0 || 1 || || || |SZ= }} startet, so legt dies die Potenzreihe im Entwicklungspunkt {{math|term= 1 |SZ=}} mit einem gewissen Konvergenzradius {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich {{math|term= 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} fest. Auf den Punkten auf dem Einheitskreis innerhalb des Konvergenzradius wird dadurch der Wert festgelegt, nämlich durch die Halbierung des Winkels. Dieser Wert legt wiederum in diesen Punkten die Potenzreihen fest. So erhält man in den Punkten {{math|term= 1, {{imaginäre Einheit}}, -1, - {{imaginäre Einheit}} |SZ=}} zueinander passende Potenzreihen, deren Werte auf dem Einheitskreis durch die Halbierung des Winkels gegeben sind. Daher erhält man nach einer Volldrehung die Potenzreihe der Wurzel um {{math|term= 1 |SZ=}} mit dem Wert {{math|term= -1 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der analytischen Fortsetzung von holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gwkshxn2oxzt4xkx4u90yowkg8nerwe 0 140098 778417 762379 2022-08-21T11:59:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Projektive Gerade ist nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Projektive Gerade/C/Komplexe Mannigfaltigkeit/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Der projektive Raum/Offene Standardüberdeckung mit affinen Räumen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Verklebung von den beiden komplexen Zahlebenen {{math|term= {{CC}}, z |SZ=}} und {{math|term= {{CC}}, w |SZ=}} entlang der Identifizierung {{ Ma:Vergleichskette | z || w^{-1} || || || |SZ= }} auf {{math|term= {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Offene Teilmenge von C/Holomorphe Differentialform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist eine holomorphe Differentialform auf dem ersten {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= f(z)dz |SZ=}} mit einer holomorphen Funktion {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Diese kann man in {{math|term= w |SZ=}} wegen {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Riemannsche Fläche/Ableitungsoperator/Regeln/Aufgabe |Nr=4 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf {{math|term= {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |SZ=}} als {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(z)dz || f(w^{-1} )dw^{-1} || - f(w^{-1}) {{op:Bruch|1|w^2}} dw || || |SZ= }} schreiben. Dabei ist außer bei {{ Ma:Vergleichskette | f || 0 || || || |SZ= }} die beschreibende Funktion in {{math|term= w |SZ=}} sicher nicht holomorph auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f923ez6751qwy1zdevtqm8zs1zhgwdj 0 140102 784844 741040 2022-08-22T07:08:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Flächen/Normale endliche Abbildung/Holomorphe Differentialform/Invariant und Rückzug/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/1-Form/Wegintegral/Rückzug/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Mannigfaltigkeit/Exakte Differentialform/Wegintegral/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9a7hu5zv5zm232k9urechf3e70b5k10 0 140146 779672 740107 2022-08-21T17:05:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | f(z) || {{op:Bruch|z^2|(z+1) (z-1)^2}} || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |meromorphe Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} und wollen ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptteilverteilung| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bestimmen. Außer in den Punkten {{math|term= -1,1, \infty |SZ=}} hat die Hauptteilverteilung den Wert {{math|term= 0 |SZ=.}} Sei {{ Ma:Vergleichskette | z || -1 || || || |SZ=. }} Wir schreiben die Funktion mit dem lokalen Parameter {{ Ma:Vergleichskette | u || z+1 || || || |SZ= }} als {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(u) || {{op:Bruch| (u-1)^2| u ( u-2 )^2}} || {{op:Bruch|1|u}} \cdot {{op:Bruch| u^2-2u+1 | ( u-2 )^2}} || || |SZ=, }} wobei der rechte Faktor holomorph in diesem Punkt ist. Insbesondere ist die Polstellenordnung gleich {{math|term= 1 |SZ=}} und es kommt nur noch auf den skalaren Faktor an, der sich durch Einsetzen {{ Ma:Vergleichskette | u || 0 || || || |SZ= }} zu {{math|term= {{op:Bruch|1|4}} |SZ=}} berechnet. Der Hauptteil in diesem Punkt ist also {{mathl|term= {{op:Bruch|1|4}} u^{-1} |SZ=.}} Sei {{ Ma:Vergleichskette | z || 1 || || || |SZ=. }} Wir schreiben die Funktion mit dem lokalen Parameter {{ Ma:Vergleichskette | v || z-1 || || || |SZ= }} als {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(v) || {{op:Bruch|1|v^2}} \cdot {{op:Bruch| (v+1)^2| v+2 }} || {{op:Bruch|1|v^2}} \cdot {{op:Bruch| v^2+2v+1 | v+2}} || {{op:Bruch|1|v^2}} \cdot {{makl| v+ {{op:Bruch| 1 | v+2}} |}} || |SZ=, }} wobei der rechte Faktor holomorph in diesem Punkt ist. Insbesondere ist die Polstellenordnung gleich {{math|term= 2 |SZ=}} und wir müssen den rechten Faktor als Potenzreihe bis zur Ordnung {{math|term= 1 |SZ=}} entwickeln. Dabei ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| 1 | v+2}} || {{op:Bruch|1|2}} - {{op:Bruch|1|4}} v + \ldots || || || |SZ= }} und somit ist der Hauptteil in diesem Punkt gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} v^{-2} - {{op:Bruch|1|4}} v^{-1} |SZ=.}} Im unendlich fernen Punkt muss man mit {{ Ma:Vergleichskette | w || z^{-1} || || || |SZ= }} arbeiten, die Funktion besitzt dort die Beschreibung {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(w) || {{op:Bruch|w^{-2}| (w^{-1} +1)( w^{-1} -1)^2 }} || {{op:Bruch|w| (1 +w)( 1-w)^2 }} || || |SZ=. }} Dies ist holomorph für {{ Ma:Vergleichskette | w || 0 || || || |SZ= }} und daher ist der Hauptteil in diesem Punkt gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3md4yspibij29u5j0wx38vsin18l1uu 0 140204 779341 740334 2022-08-21T16:12:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} mit der Variablen {{math|term= z |SZ=}} ist {{math|term= dz |SZ=}} diejenige {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in jedem Punkt die Identität auf {{ Zusatz/Klammer |text=dem Tangentialraum| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} ist und {{math|term= d\, {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |SZ=}} ist diejenige {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in jedem Punkt die {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Konjugation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} ist. Eine beliebige reell-differenzierbare Differentialform {{math|term= \omega |SZ=}} auf {{math|term= U |SZ=}} besitzt die Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \omega || fdz +g d\, {{op:Komplexe Konjugation|z|}} || || || |SZ= }} mit komplexwertigen {{math|term= C^\infty |SZ=-}}Funktionen {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} auf {{math|term= U |SZ=,}} und dies ist die Zerlegung von {{math|term= \omega |SZ=}} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Form ist vom Typ {{math|term= (1,0) |SZ=}} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette | g || 0 || || || |SZ= }} ist. In diesem Fall ist die Form genau dann holomorph, wenn {{math|term= f |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der 1-Formen auf einer komplexen Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oavyh3oitc28h4bsb69ncszhmgj7rwg 0 140239 779343 740899 2022-08-21T16:13:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphen Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \omega || fdz || || || |SZ= }} auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| {{CC}} || || || |SZ= }} und einem stetig differenzierbaren Weg {{ Ma:abb |name= \gamma |[a,b]| U || |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_\gamma \omega || \int_\gamma fdz || \int_a^b f( \gamma(t)) \gamma'(t) dt || || |SZ=. }} Ein wichtiges Standardbeispiel ist die Differentialform {{mathl|term= {{op:Bruch|dz|z}} |SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette | U || {{CC|}} \setminus \{ 0\} || || || |SZ=. }} Längs des Einheitskreises mit der trigonometrischen Parametrisierung {{ Ma:abbele/disp |name= \gamma |[0,2 \pi]| {{CC|}} \setminus \{ 0\} |t| {{op:cos|t|}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin|t|}} |SZ=, }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align | \int_\gamma {{op:Bruch|dz|z}} || \int_0^{2 \pi} {{op:Bruch|1|{{op:cos|t|}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin|t|}} }} {{makl| - {{op:sin|t|}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:cos|t|}} |}} dt || {{imaginäre Einheit|}} \int_0^{2 \pi} {{makl| {{op:cos|t|}} - {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin|t|}} }} {{makl| {{op:cos|t|}} +{{imaginäre Einheit|}} {{op:sin|t|}} |}} dt || {{imaginäre Einheit|}} \int_0^{2 \pi} {{op:cos|t|pot=2}} + {{op:sin|t|pot=2}} dt || {{imaginäre Einheit|}} \int_0^{2 \pi} 1 dt || 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale zu einer holomorphen Differentialform auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n5zgeyjzvjs46tpq77q8m9onwb7fvsk 0 140243 779272 740502 2022-08-21T16:02:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im Beispiel aus {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Integrale/Wegintegrale/Riemannsche Fläche/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind die Bezeichnungen aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Flächen/Integral/Rationale Funktion/Polynomiale Bedingung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} als {{ Ma:Vergleichskette/disp | P || x^2+y^2-1 || || || |SZ=, }} das Nullstellengebilde ist also reell ein Kreis {{ Zusatz/Klammer |text=komplex eine Quadrik| |ISZ=|ESZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} darauf ist {{mathl|term= {{op:Bruch|x|y}} dx |SZ=.}} Eine elementare Integration ist möglich, da der Kreis ein einfach zu parametrisierendes Gebilde ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale zu einer holomorphen Differentialform auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cxeptgadwp792hvdm1wgq37a9sf8ams 0 140353 779369 741967 2022-08-21T16:16:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf dem Kreis {{math|term= S^1 |SZ=}} die Überdeckung mit zwei offenen {{ Zusatz/Klammer |text=zu reellen Intervallen {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorphen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} Kreissegmenten {{ Ma:Vergleichskette |S^1 || U_1 \cup U_2 || || || |SZ=, }} deren Durchschnitt {{ Ma:Vergleichskette | U_1 \cap U_2 || S \cup T || || || |SZ= }} die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei {{math|term= G |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |diskrete| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Garbe|G}} |SZ=}} die Garbe der stetigen also lokal konstanten {{math|term= G|SZ=-}}wertigen Funktionen auf dem Kreis. Auf {{ mathkor|term1= U_1 |bzw.|term2= U_2 |SZ= }} und ebenso auf {{math|term= S^1 |SZ=}} sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Auf {{math|term= S \cup T |SZ=}} hingegen ist eine lokal konstante Funktion dadurch gegeben, dass auf {{math|term= S |SZ=}} und davon unabhängig auf {{math|term= T |SZ=}} ein konstanter Wert vorgegeben ist. Der relevante {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist daher {{ math/disp|term= {{op:Schnitte| U_1 |{{op:Garbe|G}} }} \times {{op:Schnitte| U_2 | {{op:Garbe|G}} }} \longrightarrow {{op:Schnitte| U_1 \cap U_2 | {{op:Garbe|G}} }} \cong G \times G \longrightarrow 0 |SZ=, }} wobei {{math|term= (f,g) |SZ=}} auf {{math|term= g-f |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=auf beiden Zusammenhangskomponenten| |ISZ=|ESZ= }} abgebildet wird. Dabei werden genau die lokal konstanten Funktionen auf {{math|term= S \cup T |SZ=}} erreicht, die konstant sind. Die erste {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kohomologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Cech-Kohomologie|1| U_1 , U_2| {{op:Garbe|G}} }} |\cong| G || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2=Čech-Kohomologie |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 165p12xlaoywm3lcz4lc77trua6izu9 0 140354 780129 741968 2022-08-21T18:14:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf der zweidimensionalen Sphäre {{math|term= S^2 |SZ=}} die Überdeckung mit zwei offenen {{ Zusatz/Klammer |text=zu offenen Kreisscheiben {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorphen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} überlappenden Schalen {{ Ma:Vergleichskette |S^2 || U_1 \cup U_2 || || || |SZ=, }} deren Durchschnitt {{math|term= U_1 \cap U_2 |SZ=}} homöomorph zum Produkt {{math|term= S^1 \times I |SZ=}} mit einem offenen Intervall {{math|term= I |SZ=}} ist. Es sei {{math|term= G |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |diskrete| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Garbe|G}} |SZ=}} die Garbe der stetigen also lokal konstanten {{math|term= G|SZ=-}}wertigen Funktionen auf der Sphäre. Auf {{ mathkor|term1= U_1 |bzw.|term2= U_2 |SZ= }} und ebenso auf {{math|term= U_1 \cap U_2 |SZ=}} sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Der relevante {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist daher {{ math/disp|term= {{op:Schnitte|U_1 |{{op:Garbe|G}} }} \times {{op:Schnitte|U_2 |{{op:Garbe|G}} }} \longrightarrow {{op:Schnitte|U_1 \cap U_2|{{op:Garbe|G}} }} \cong G \longrightarrow 0 |SZ=, }} wobei {{math|term= (f,g) |SZ=}} auf {{math|term= g-f |SZ=}} abgebildet wird. Diese Abbildung ist surjektiv. Die erste {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kohomologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Cech-Kohomologie|1| U_1 , U_2| {{op:Garbe|G}} }} |\cong|0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2=Čech-Kohomologie |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ucliek6qyxlvtucqmllg5490m7prb3 0 140355 779371 741970 2022-08-21T16:17:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf dem Kreis {{math|term= S^1 |SZ=}} die Überdeckung mit zwei offenen {{ Zusatz/Klammer |text=zu reellen Intervallen {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorphen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} Kreissegmenten {{ Ma:Vergleichskette |S^1 || U_1 \cup U_2 || || || |SZ=, }} deren Durchschnitt {{ Ma:Vergleichskette | U_1 \cap U_2 || S \cup T || || || |SZ= }} die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei {{math|term= {{op:Garbe|G}} |SZ=}} die Garbe der stetigen {{math|term= \R|SZ=-}}wertigen Funktionen auf dem Kreis. Eine stetige Funktion auf {{math|term= S \cup T |SZ=}} ist durch eine stetige Funktion auf {{math|term= S |SZ=}} und durch eine davon unabhängige stetige Funktion auf {{math|term= T |SZ=}} gegeben. Wir betrachten im Anschluss an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kreis/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Cech/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine lokal konstante Funktion, die auf {{math|term= S |SZ=}} den Wert {{math|term= a |SZ=}} und auf {{math|term= T |SZ=}} den Wert {{ Ma:Vergleichskette | b |\neq| a || || || |SZ= }} besitzt und eine nichttriviale Kohomologieklasse in {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Cech-Kohomologie|1| U_1 , U_2| \R }} || \R || || || |SZ= }} definiert, wobei {{math|term= \R |SZ=}} links die Garbe der lokal konstanten reellwertigen Funktionen bezeichnet. In der größeren Garbe {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} ist die entsprechende Kohomologieklasse aber trivial, da man auf {{math|term= U_1 |SZ=}} eine stetige Funktion finden kann, die auf {{math|term= S |SZ=}} den Wert {{math|term= -a |SZ=}} und auf {{math|term= T |SZ=}} den Wert {{math|term= -b |SZ=}} besitzt und dazwischen {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise linear| |ISZ=|ESZ= }} interpoliert. Zusammen mit der Nullfunktion auf {{math|term= U_2 |SZ=}} erhält man ein Urbild, der den Kozykel als Korand nachweist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2=Čech-Kohomologie |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gqyksbxo8506bmxtgmloa2ydt8bt96f 0 140378 779833 741581 2022-08-21T17:28:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} die Einbettung {{ Ma:Vergleichskette | {{CC}} || U |\subseteq| {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} mit der Variablen {{math|term= z |SZ=}} und der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |meromorphen Differentialformen| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{math|term= dz |SZ=.}} Da {{math|term= z |SZ=}} auf ganz {{math|term= U |SZ=}} ein lokaler Parameter ist, ist der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Divisor| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= U |SZ=}} trivial. Um im unendlich fernen Punkt {{math|term= \infty |SZ=}} für {{math|term= dz |SZ=}} die Ordnung zu bestimmen muss man mit dem lokalen Parameter {{ Ma:Vergleichskette | w || z^{-1} || || || |SZ= }} arbeiten. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | dz || dw^{-1} || - w^{-2} dw || || |SZ= }} und daher ist die Ordnung in {{math|term= \infty |SZ=}} gleich {{math|term= -2 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Divisoren auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der meromorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} drpbeeczkuw64jqgkhbicip8ff49kut 0 140379 779834 741583 2022-08-21T17:29:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | X || {{CC|}} /\Gamma || || || |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Komplexer Torus/1/Holomorphe Differentialformen/Bestimmung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= dz |SZ=,}} die der {{math|term= \Gamma |SZ=-}}invarianten Differentialform {{math|term= dz |SZ=}} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} entspricht. Diese besitzt weder eine Polstelle noch eine Nullstelle, der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Divisor| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also trivial. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der holomorphen Differentialformen auf einer kompakten riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie3=Theorie der Divisoren auf einer riemannschen Fläche |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5r886end6begw1z7bz5pvojd24u5n6y 0 140388 779832 741616 2022-08-21T17:28:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum Nulldivisor auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |riemannschen Fläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} ist die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einfach die Strukturgarbe {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=.}} Dies beruht einfach darauf, dass die polstellenfreien meromorphen Funktionen genau die holomorphen Funktionen sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der Divisoren auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} poybxgpk8w3sp8sar79z2m6o8evv82f 0 140425 779831 741975 2022-08-21T17:28:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= X|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Fläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=.}} Dies bedeutet, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} und Trivialisierungen {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_i | {{op:Garbe|L|}} {{|}}_{U_i} | {{op:Strukturgarbe|X}}{{|}}_{U_i} || |SZ= }} gibt. Für offene Mengen {{mathl|term= U_i,U_j |SZ=}} ergeben sich auf {{mathl|term= U_i \cap U_j |SZ=}} die Übergangsabbildungen {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_i{{|}}_{U_i \cap U_j} \circ \varphi_j^{-1} {{|}}_{U_i \cap U_j} | {{op:Strukturgarbe|X}} {{|}}_{U_i \cap U_j} | {{op:Strukturgarbe|X}} {{|}}_{U_i \cap U_j} || |SZ=. }} Diese Isomorphien sind durch Multiplikationen mit holomorphen Einheiten {{ Ma:Vergleichskette | r_{ij} |\in| {{op:Schnitte|U_i \cap U_j| {{op:Einheitengarbe|X|}} }} || || || |SZ= }} gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung {{ Ma:Vergleichskette | r_{kj} \cdot r_{ji} ||r_{ki} || || |SZ=, }} was man auch als {{ Ma:Vergleichskette | r_{kj} \cdot r_{ki}^{-1} \cdot r_{ji} || 1 || || || |SZ= }} schreiben kann. Es liegt also ein {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kozykel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in der Garbe der holomorphen Einheiten vor. Ein solcher Datensatz {{math|term= r_{ij} |SZ=}} legt umgekehrt durch eine Verklebung eine invertierbare Garbe fest. Wenn die invertierbare Garbe {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} trivial ist, so gibt es einen globalen {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X|}} |Modulisomorphismus| |Kontext=Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \psi | {{op:Strukturgarbe|X|}} | {{op:Garbe|L|}} || |SZ=. }} Dann liegen auf den {{math|term= U_i|SZ=}} die Isomorphismen {{ math/disp|term= {{op:Strukturgarbe|X|}} {{|}}_{U_i} \stackrel{\psi {{|}}_{U_i} }{\longrightarrow} {{op:Garbe|L|}} {{|}}_{U_i} \stackrel{\varphi_i}{\longrightarrow} {{op:Strukturgarbe|X|}} {{|}}_{U_i} |SZ= }} vor, die insgesamt durch Einheiten {{ Ma:Vergleichskette |s_i |\in| {{op:Schnitte|U_i| {{op:Einheitengarbe|X|}} }} || || || |SZ= }} festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |s_i \cdot s_j^ {-1} || {{makl| \varphi_i \circ \psi |}} \circ {{makl| \varphi_j \circ \psi |}}^{-1} || r_{ij} || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i,j |SZ=.}} Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten {{math|term= s_i |SZ=}} gegeben sind, so werden durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi {{|}}_{U_i} | {{defeq|}} | \varphi_i^{-1} \circ s_i || || || |SZ= }} Modulisomorphismen von {{math|term= {{op:Strukturgarbe||}}_{U_i} |SZ=}} nach {{math|term= {{op:Garbe|L|}}_{U_i} |SZ=}} auf {{math|term= U_i |SZ=}} festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Strukturgarbe|X|}} |und|term2= {{op:Garbe|L|}} |SZ= }} festlegen. Eine invertierbare Garbe mit Trivialisierungen auf {{math|term= U_i |SZ=}} kann man also mit dem Datensatz {{mathl|term= (U_i, r_{ij}) |SZ=,}} der die Kozykelbedingung erfüllt, identifizieren, wobei ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Einheiten {{math|term= s_i|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | r_{ij} || s_i \cdot s_j^{-1} || || || |SZ= }} gibt. Diese Situation kann man insgesamt durch den Komplex {{ math/disp|term= \prod_{i \in I} {{op:Schnitte| U_i | {{op:Einheitengarbe|X|}} }} \longrightarrow \prod_{i < j} {{op:Schnitte| U_i \cap U_j | {{op:Einheitengarbe|X|}} }} \longrightarrow \prod_{i < j< k} {{op:Schnitte|U_i \cap U_j \cap U_k | {{op:Einheitengarbe|X|}} }} |SZ= }} ausdrücken, der einfach der Anfang des {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Komplexes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mgcbq0sznbbt8at80ysipimomhq26qm 0 140619 779657 744194 2022-08-21T17:04:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC}} |}} |SZ=}} die Flächenform {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|1|1+ {{op:Betrag|z|}}^4 }} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |bzw.|term2= {{op:Bruch|1|1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4 }} dz^{-1} \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation|z^{-1} |}} |SZ= }} auf der affinen Standardüberdeckung {{math|term= U|SZ=}} bzw. auf {{math|term= V|SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Bruch|1|1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4 }} dz^{-1} \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation|z^{-1} |}} || {{op:Bruch|1|1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4 }} \cdot {{op:Bruch|-1|z^2}} dz \wedge {{op:Komplexe Konjugation| d z^{-1} |}} || {{op:Bruch|1|1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4 }} \cdot {{op:Bruch|-1|z^2}} dz \wedge {{op:Bruch|-1| {{op:Komplexe Konjugation| z |}}^2 }} d \, {{op:Komplexe Konjugation| z |}} || {{op:Bruch|1|1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4 }} \cdot {{op:Bruch|-1|z^2}} \cdot {{op:Bruch|-1| {{op:Komplexe Konjugation| z |}}^2 }} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation| z |}} || {{op:Bruch|1|1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4}} \cdot {{op:Bruch|1|z^2 {{op:Komplexe Konjugation| z |}}^2 }} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation| z |}} || {{op:Bruch|1|1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4 }} \cdot {{op:Bruch|1| {{op:Betrag|z|}}^4 }} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation| z |}} || {{op:Bruch|1|1+ {{op:Betrag|z |}}^4 }} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation| z |}} |SZ= }} stimmen die Flächenformen auf dem Durchschnitt überein, es handelt sich also um eine wohldefinierte positive Flächenform {{math|term= \sigma |SZ=}} auf der projektiven Geraden. Wir verfolgen diese Form in der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp|\Omega_{ {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} } | {{op:Garbe|E|}}^{(1,0)} | {{op:Garbe|E|}}^{(2)}|abbmr=d |SZ=}} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Differenzierbare Formen/Exakt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Auf den beiden offenen Mengen ist die Flächenform {{math|term= \sigma |SZ=}} die äußere Ableitung einer {{math|term= 1|SZ=-}}Form. Auf {{math|term= U |SZ=}} ist nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Arkustangens/z z konjugiert/Antiholomorphe Ableitung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ math/disp|term= - {{op:Bruch|1|z}} {{op:arctan(| z {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |}} dz |SZ= }} ein Urbild und auf {{math|term= V |SZ=}} entsprechend {{ Ma:Vergleichskette/align | - {{op:Bruch|1|w}} {{op:arctan(| w {{op:Komplexe Konjugation|w|}} |}} dw || - z {{op:arctan(| {{makl| z {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |}}^{-1} |}} d z^{-1} || {{op:Bruch|1|z}} {{op:arctan(| {{makl| z {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |}}^{-1} |}} d z || || |SZ=. }} Aufgrund der Potenzreihenentwicklung sind diese {{math|term= 1 |SZ=-}}Formen jeweils auf {{math|term= U |SZ=}} bzw. auf {{math|term= V |SZ=}} definiert. Die Differenz der beiden Formen ist unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Inverse trigonometrische Funktionen/Arkustangens/Inverses Argument/Konstant/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|z}} {{makl| {{op:arctan(| z {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |}} + {{op:arctan(| {{makl| z {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |}} ^{-1} |}} |}} dz || {{op:Bruch|\pi|2}} \cdot {{op:Bruch| dz |z}} || || || |SZ=. }} In dieser Form beschreibt diese Differenz, aufgefasst als holomorphe Differentialform auf {{math|term= U \cap V |SZ=}} eine nichttriviale Kohomologieklasse in {{math|term= H^1( {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} , \Omega_{ {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} } ) |SZ=.}} Unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Integral/Polarkoordinaten/1 durch 1 +(x^2+y^2)^2/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align | \int_{ {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} } \sigma || \int_U {{op:Bruch|1|1+ {{op:Betrag|z|}}^4 }} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation|z|}} || -2 {{imaginäre Einheit}} \int_{\R^2} {{op:Bruch|1|1+ {{makl| x^2+y^2 |}}^2 }} dx \wedge d y || - {{imaginäre Einheit}} \pi^2 || |SZ=. }} Das Residuum der zugehörigen Kohomologieklasse ist somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|2 \pi {{imaginäre Einheit}} }} {{makl| - {{imaginäre Einheit}} \pi^2 |}} || - {{op:Bruch| \pi|2}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie des Residuums auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 40fkzxyxlhg9cj64fbhluc5g9j8d5ky 0 141176 778692 762610 2022-08-21T12:41:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für jede endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | E |\subseteq| I || || || |SZ= }} schreiben wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | v || \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i + w || || || |SZ= }} und erhalten aufgrund der Orthogonalitätsbeziehungen {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \sum_{i \in E} {{op:Betrag|{{op:Skalarprodukt|v|v_i}}||}}^2 || \sum_{i \in E} {{op:Betrag|{{op:Skalarprodukt|v|v_i}}||}}^2 {{op:Skalarprodukt| v_i | v_i }} |\leq| \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt| {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i | {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i }} + {{op:Skalarprodukt|w|w}} || {{op:Skalarprodukt| \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i +w| \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i +w}} || {{op:Skalarprodukt|v|v}} || {{op:Norm|v|}}^2 |SZ=. }} Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Familie komplexer Zahlen/Summierbar und nach oben beschränkt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Familie summierbar und ihre Summe ist durch {{math|term= {{op:Norm|v|}}^2 |SZ=}} beschränkt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ku7r565pgoso6e9845t09re3xk3j7jn 0 141204 778695 762613 2022-08-21T12:42:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= \delta |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Infimum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{Mengebed| {{op:Norm|Q}}| Q \in T}} |\subseteq| \R_{\geq 0} || || || |SZ=. }} Mit Hilfe von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Skalarprodukt/Norm/Parallelogrammgleichung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erhält man für Punkte {{ Ma:Vergleichskette | P,Q |\in| T || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|P-Q|}}^2 |\leq| 2 {{op:Norm|P|}}^2 + 2 {{op:Norm|Q|}}^2 - 4 {{op:Norm| {{op:Bruch| P+Q|2}} }}^2 || || || |SZ=. }} Wegen der Konvexität gilt {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch| P+Q|2}} |\in| T || || || |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|P-Q|}}^2 |\leq| 2 {{op:Norm|P|}}^2 + 2 {{op:Norm|Q|}}^2 - 4 \delta^2 || || || |SZ=. }} Daraus folgt aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|P|}} || {{op:Norm|Q|}} || \delta || || |SZ= }} sofort {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|P-Q|}} || 0 || || || |SZ= }} und damit {{ Ma:Vergleichskette | P || Q || || || |SZ=, }} was die Eindeutigkeit bedeutet. Da das Infimum einer nichtleeren Teilmenge von {{math|term= \R |SZ=}} durch eine Folge beliebig nah angenähert weden kann, gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | Q_n |\in| T || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= {{op:Norm|Q_n|}} |SZ=}} gegen {{math|term= \delta |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die obige Abschätzung ergibt für Folgenglieder {{math|term= Q_n,Q_m |SZ=}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|Q_n-Q_m|}}^2 |\leq| 2 {{op:Norm|Q_n|}}^2 + 2 {{op:Norm|Q_m|}}^2 - 4 \delta^2 || || || |SZ=. }} Da {{mathl|term= {{op:Norm|Q_n|}} |SZ=}} gegen {{math|term= \delta |SZ=}} konvergiert, folgt daraus, dass die Differenz links beliebig kein wird. Dies bedeutet, dass {{math|term= Q_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wegen der Vollständigkeit von {{math|term= T |SZ=}} konvergiert die Folge gegen ein {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| T || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j2obsfow3h45rvjz1zltiur82nukost 0 141208 778697 762616 2022-08-21T12:42:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir verschieben die Situation um {{math|term= -Q |SZ=}} und haben dann einen vollständigen {{ Zusatz/Klammer |text=da die Verschiebung stetig ist| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Unterraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= U-Q |SZ=}} und betrachten den Abstand zum Nullpunkt. Der Untervektorraum ist konvex und dies überträgt sich auf den verschobenen Untervektorraum. Daher folgt die Aussage aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständige konvexe Teilmenge/Minimale Norm/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bdzuwq455j9bjv5oendl0zp47c9gyw 0 141210 778696 762614 2022-08-21T12:42:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aus zwei solchen Darstellungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | v || u+w || u'+w' || || |SZ= }} mit den geforderten Eigenschaften folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp | 0 || u-u' +w-w' || \tilde{u} + \tilde{w} || || |SZ=, }} wobei die beiden Summanden {{ mathkor|term1= \tilde{u} |und|term2= \tilde{w} {{=}} - \tilde{u} |SZ= }} orthogonal zueinander sind, woraus folgt, dass sie {{math|term= 0 |SZ=}} sind. Zum Existenznachweis sei {{ Ma:Vergleichskette | u |\in| U || || || |SZ= }} der gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Punkt/Minimaler Abstand/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eindeutig bestimmte Punkt, in dem der Abstand von {{math|term= v |SZ=}} zu {{math|term= U |SZ=}} minimal wird. Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | w || v-u || || || |SZ=. }} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|v-u|u'}} || 0 || || || |SZ= }} für jedes {{ Ma:Vergleichskette | u' |\in| U || || || |SZ= }} zu zeigen. Nehmen wir an, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette | u' |\in| U || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|v-u|u'}} || c |\neq|0 || || |SZ= }} gibt, wobei wir {{math|term= c |SZ=,}} indem wir eventuell {{math|term= u' |SZ=}} durch {{math|term= -u' |SZ=}} ersetzen, als negativ annehmen können. Es ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2 {{op:Skalarprodukt|v-u| \lambda u'}} + {{op:Skalarprodukt|\lambda u' | \lambda u'}} || 2 c \lambda + \lambda^2 {{op:Skalarprodukt|u' | u' }} || \lambda {{makl| 2 c + \lambda {{op:Skalarprodukt|u' | u' }} |}} || || |SZ=, }} was für {{math|term= \lambda |SZ=}} positiv und hinreichend klein negativ ist. Dann ist aber {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Skalarprodukt|v-u+ \lambda u'|v-u+ \lambda u'}} || {{op:Skalarprodukt|v-u|v-u}} + 2 {{op:Skalarprodukt| v-u | \lambda u' }} + {{op:Skalarprodukt| \lambda u' | \lambda u' }} |<| {{op:Skalarprodukt|v-u|v-u}} || || |SZ= }} im Widerspruch dazu, dass der Abstand {{ Zusatz/Klammer |text=und damit das Abstandsquadrat| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= v |SZ=}} in {{math|term= u |SZ=}} minimal wird. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a4kcq4g4xh8kf8qccvv5solt1caa8vv 0 141212 778690 762608 2022-08-21T12:41:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | w || v - \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v| v_i|}} v_i || || || |SZ=, }} es ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Orthogonale Darstellung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} lediglich zu zeigen, dass {{math|term= w |SZ=}} orthogonal zu den {{math|term= v_j |SZ=}} ist. Dies ergibt sichdirekt aus {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Skalarprodukt|w|v_j}} || {{op:Skalarprodukt| v - \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v| v_i|}} v_i |v_j }} || {{op:Skalarprodukt|v|v_j}} - \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt| {{op:Skalarprodukt|v| v_i|}} v_i |v_j }} || {{op:Skalarprodukt|v|v_j}} - {{op:Skalarprodukt|v|v_j}} || 0 |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9j9o08246945pls4volmkhlfbef3oji 0 141213 778694 762612 2022-08-21T12:41:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Von (1) nach (2). Die Vollständigkeit des Orthnormalsystems bedeutet, dass es zu jedem Vektor {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} und jedem {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} ein Koeffiziententupel {{math|term= a_i |SZ=}} mit einer endlichen Trägermenge {{ Ma:Vergleichskette | E |\subseteq| I || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v -\sum_{i \in E} a_iv_i |}} |\leq| \epsilon || || || |SZ= }} gibt. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Skalarprodukt/Endliches Orthonormalsystem/Beste Approximation/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erfüllt erst recht {{mathl|term= \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i |SZ=}} diese Eigenschaft. Dies heißt aber, dass die Summe {{mathl|term= \sum_{i \in I} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i |SZ=}} gleich {{math|term= v |SZ=}} ist. Von (2) nach (1) ergibt sich aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Abschluss/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zum Nachweis der Äquivalenz von (2) und (3) ziehen wir für eine endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | E |\subseteq| I || || || |SZ= }} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm| v - \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i ||}}^2 || {{op:Norm|v|}}^2 - \sum_{i \in E} {{op:Betrag| {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} }}^2 || || || |SZ= }} heran. (2) bedeutet, dass die linke Seite beliebig klein wird, (3) bedeutet, dass die rechte Seite beliebig klein wird, daher sind die Eigenschaften äquivalent. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qw4irhimqk9ybwjjuckt7o4zo653wph 0 141221 779113 763237 2022-08-21T15:37:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |MDKQ anim ohne Ausreiser1|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=JoKalliauer |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= E |SZ=}} eine endliche Menge und {{ Ma:Vergleichskette/disp | V || {{KRC|}}^E |\cong| {{KRC|}}^{ {{op:Anzahl|E|}} } || || |SZ= }} die Menge der {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}wertigen Funktionen auf {{math|term= E |SZ=,}} versehen mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine Funktion {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| V || || || |SZ= }} kann einfach durch eine vollständige Wertetabelle beschrieben werden. Es kann aber auch sinnvoll sein, die Funktion {{math|term= f |SZ=}} durch eine Funktion {{math|term= g |SZ=}} aus einem vorgegebenen Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| V || || || |SZ= }} zu approximieren. Dabei liefert das Skalarprodukt und die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Projektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= U |SZ=}} ein naheliegendes Hilfsmittel, um eine optimale Approximation zu finden. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Punkt/Minimaler Abstand/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{mathl|term= p_U(f) |SZ=}} diejenige Funktion, die unter allen Funktionen aus {{math|term= U |SZ=}} zu {{math|term= f |SZ=}} den minimalen Abstand besitzt, wobei der Abstand zu {{math|term= f |SZ=}} über das Skalarprodukt gegeben ist, also durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|g-f|}}^2 || \sum_{ i \in E} {{op:Betrag| g_i -f_i |}}^2 || || || |SZ=. }} Wenn {{ mathbed|term= g_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= U |SZ=}} ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | g || p_U(f) || \sum_{j \in J} {{op:Skalarprodukt|f|g_j}} g_j || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Skalarprodukt/Endliches Orthonormalsystem/Beste Approximation/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die beste Approximation. Das so bestimmte {{math|term= g |SZ=}} minimiert also die Summe der einzelnen Differenzquadrate, man spricht von der {{Stichwort|Methode der kleinsten Fehlerquadrate|SZ=.}} Eine typische Anwendung ist, wenn {{math|term= E |SZ=}} Messtellen repräsentiert, etwa {{ Ma:Vergleichskette | E |\subseteq| \R^n || || || |SZ=, }} und {{math|term= f_e |SZ=}} Messergebnisse, die eventuell fehlerhaft sein können. Man weiß aus physikalischen Gründen, dass die Abhängigkeit einer gewissen Gesetzmäßigkeit gehorchen muss, beispielsweise ein linearer Zusammenhang sein muss oder als Flugbahn eines Planeten eine Ellipse sein muss oder ähnliches. Diese Gesetzmäßigkeit legt den {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise niedrigdimensionalen| |ISZ=|ESZ= }} Untervektorraum {{math|term= U |SZ=}} fest, indem nach einer optimalen Approximation gesucht wird, das den Messergebnissen möglichst nahe kommt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der orthogonalen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qnstdq2lhpr8nzewz0ac22uu6n3g0ao 0 141235 779646 745863 2022-08-21T17:02:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= [a,b] |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kompaktes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=K | [a,b] \times [a,b] | \R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Einer stetigen Funktion {{ Ma:abb |name=f | [a,b]| \R || |SZ= }} wird die mittels {{math|term= K |SZ=}} transformierte Funktion {{math|term= T(f) |SZ=}} zugeordnet, {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( T(f))(y) || \int_a^b K(x,y) f(x) dx || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integralkerne |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1zocxj03g42wi0uzu6usin86t5oewim 0 141252 779273 745942 2022-08-21T16:02:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die verschiedenen linearen eindimensionalen Integralgleichungen für den Fall, wo der Integralkern konstant gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist und im homogenen Fall, also {{ Ma:Vergleichskette | g || 0 || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |{{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_a^b x(t) dt || 0 || || || |SZ=. }} Hier gibt es eine Vielzahl an Lösungsfunktionen. |{{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_a^b x(t) dt || x(s) || || || |SZ=. }} Da die linke Seite nicht von {{math|term= s |SZ=}} abhängt, muss die Lösungsfunktion konstant sein, hier ist die Nullfunktion eine Lösung. Bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | b-a || 1 || || || |SZ= }} ist aber auch jede konstante Funktion eine Lösung. |{{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_a^s x(t) dt ||0 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= s |SZ=.}} Die Nullfunktion ist die einzige Lösung. |{{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_a^s x(t) dt || x(s) || || || |SZ=. }} Die Nullfunktion ist eine Lösung. Bei {{ Ma:Vergleichskette | a || - \infty || || || |SZ=, }} wenn wir das hier zulassen und mit uneigentlichen Integralen arbeiten, sind {{math|term= ce^t |SZ=}} Lösungen. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integralgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8dkn7vvp7npjru2gn5wq1yadlv8cf52 0 141254 780052 745946 2022-08-21T18:03:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine Integralgleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | x(s) ||\int_a^s K(s) x(t) dt || K(s) \int_a^s x(t) dt || || |SZ=, }} wo also der Integralkern nur von der Variablen {{math|term= s |SZ=}} abhängt, nach der nicht integriert wird, kann man wie folgt vorgehen. Alle Daten seien differenzierbar und gesucht sei nach differenzierbaren Funktionen. Es sei ferner {{math|term= K(s) |SZ=}} nullstellenfrei. Dann kann man die Gleichung auch als {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|x(s)|K(s)}} || \int_a^s x(t) dt || || || |SZ= }} schreiben und beidseitig ableiten. So erhält man die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch| x'(s) K(s) - x(s)K'(s)| K(s)^2}} || x(s) || || || |SZ= }} bzw. durch Umstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x'(s) || {{makl| K(s) + {{op:Bruch| K'(s)|K(s) }} |}} x(s) || || || |SZ=, }} also eine homogene lineare Differentialgleichung, die mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gelöst werden kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integralgleichungen |Kategorie2=Theorie der homogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i1igqu0y2kp9q3c28dnylb59fq9a8i8 0 141298 779542 746073 2022-08-21T16:45:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die natürlichen Zahlen {{math|term= \N |SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Zählmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=f |\N| {{KRC|}} || |SZ= }} sind einfach die {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}wertigen Folgen, diese sind automatisch messbar. Die {{ Definitionslink |Prämath=p |Integierbarkeit| |Kontext=p| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist in diesem Fall einfach die {{math|term= p |SZ=-}}Summierbarkeit, es geht also um diejenigen Folgen {{math|term= f |SZ=,}} für die {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|f|}}_p || \sum_{n \in \N} {{op:Betrag| f_n}}^p |<| \infty || || || |SZ= }} gilt. Die {{math|term= f_n |SZ=}} sind von daher eher als Reihenglieder denn als Folgenglieder anzusehen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Räume von p-integrierbaren Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3vw6g277z9qedezt4enfjqid39qfiic 0 141300 779543 746031 2022-08-21T16:45:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die natürlichen Zahlen {{math|term= \N |SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Zählmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Natürliche Zahlen/Zählmaß/L^p-Raum/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dabei ist die Nullfolge die einzige Folge, deren Träger das Maß {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt, d.h. es ist {{ Ma:Vergleichskette | { \mathcal N} || 0 || || || |SZ= }} und es erübrigt sich der Übergang von {{math|term= {\mathcal L}^p(X) |SZ=}} nach {{math|term= L^p(X) |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Räume von p-integrierbaren Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 83cp0kdw04qequ4xgiqxe46fhlh0jlg 0 141301 779541 746035 2022-08-21T16:45:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die natürlichen Zahlen {{math|term= \N |SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Zählmaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Natürliche Zahlen/Zählmaß/L^p-Raum/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Natürliche Zahlen/Zählmaß/L^p-Raum/Identifizierung überflüssig/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Der zugehörige Raum der quadratsummierbaren Folgen besitzt das Skalarprodukt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|f|g}} || \sum_{n \in \N} f_n {{op:Komplexe Konjugation|g_n}} || || || |SZ=, }} die Norm eines Elementes ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|f|}} || \sqrt{ \sum_{n \in \N} {{op:Betrag|f_n|}}^2 } || || || |SZ=. }} Dieser Hilbertraum wird mit {{math|term= l_2 |SZ=}} oder mit {{math|term= L^2(\N) |SZ=}} bezeichnet, man spricht vom {{Stichwort|Hilbertschen Folgenraum|msw=Hilbertscher Folgenraum|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Räume von quadratintegrierbaren Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qv4jqzwnkh5znnvyx0exc69febm1jwj 0 141400 778621 762537 2022-08-21T12:30:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir arbeiten für {{ Ma:Vergleichskette | t |\in| [-1,1] || || || |SZ= }} mit der Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_n(t) || {{op:cos(|n {{op:arccos|t|}} |}} || |SZ=, }} die sich aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt. Die Aussagen folgen dann aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dass die Nullstellen einfach sind und dass es auch im Komplexen keine weiteren Nullstellen gibt folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} da {{math|term= T_n |SZ=}} den Grad {{math|term= n |SZ=}} besitzt. Dass es nicht mehr lokale Extrema geben kann folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Funktion/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7tecg1dz611xib771z6p3hbl7e31ds7 0 141409 778623 762538 2022-08-21T12:31:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|T_n|T_m}} || \int_{-1}^1 T_n(t) T_m(t) {{op:Bruch|1|\sqrt{1-t^2} }} dt || || || |SZ=. }} Mit der Substitution {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | t || {{op:cos|z|}} || || || |SZ= }} kann man dies unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} überführen in {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_0^\pi T_n( {{op:cos|z|}} ) T_m({{op:cos|z|}} ) dz || \int_0^\pi {{op:cos(|nz|}} {{op:cos(|mz|}} dz || || || |SZ=. }} Mit {{ Faktlink |Präwort=dem|Additionstheorem für den Kosinus|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in der Form {{ Ma:Vergleichskette | {{op:cos(|x+y|}} + {{op:cos(|x-y|}} || 2 {{op:cos|x|}} {{op:cos|y|}} || || || |SZ= }} kann man dies schreiben als {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2}} \int_0^\pi {{op:cos(|(n+m)z|}}+ {{op:Bruch|1|2}} \int_0^\pi {{op:cos(|(n-m)z|}} dz |SZ=. }} Beide Integral sind gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} außer bei {{ Ma:Vergleichskette | n || m || || || |SZ=, }} in diesem Fall ist bei {{ Ma:Vergleichskette | n |\geq| 1 || || || |SZ= }} das Ergebnis {{math|term= \pi/2 |SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette | n || 0 || || || |SZ= }} gleich {{math|term= \pi |SZ=.}} Die Vollständigkeit ergibt sich aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abgeschlossenes Intervall/P-integrierbar/Stetige Funktionen/Dicht/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und aus {{ Faktlink |Präwort=dem|Weierstrassschen Approximationssatz|Faktseitenname= Abgeschlossenes Intervall/R/Polynom/Approximation/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rtjpqp6j73utr3ikyozx93hz6t2m5ck 0 141440 778595 762509 2022-08-21T12:27:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= f |SZ=}} gegeben. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|f|}} || \sqrt{ f^2 } || || || |SZ= }} genügt es zu zeigen, mit einer nichtnegativen Funktion {{math|term= g |SZ=}} auch deren Quadratwurzel zu {{math|term= T |SZ=}} gehört. Durch Multiplikation mit einer Konstanten können wir nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kompaktheit/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} davon ausgehen, dass {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|g|}} |\leq| 1 || || || |SZ= }} ist. Es gibt nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Quadratwurzelfunktion/Einheitsintervall/Approximation durch Polynome/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Folge von Polynomen {{math|term= P_n(t) |SZ=,}} die auf {{math|term= [0,1] |SZ=}} gegen {{math|term= \sqrt{t } |SZ=}} konvergiert. Dann konvergiert in {{math|term= C^0(X,\R) |SZ=}} auch {{math|term= P_n \circ g |SZ=}} gegen {{math|term= \sqrt{g} |SZ=,}} die polynomialen Ausdrücke {{math|term= P_n \circ g |SZ=}} in {{math|term= g |SZ=}} gehören zu {{math|term= T |SZ=}} und wegen der Abgeschlossenheit von {{math|term= T |SZ=}} ist auch {{ Ma:Vergleichskette | \sqrt{g} |\in| T || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kojff5c8x6hkssbg73anflxscuhel9d 0 141447 778596 762511 2022-08-21T12:27:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei die stetige Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |X|\R || |SZ= }} und ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} gegeben. Wegen der Trennungseigenschaft gibt es für je zwei Punkte {{mathl|term= x,y |SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Menge/Funktionenmenge/Unteralgebra/Trennung/Wertevorgabe/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Funktion {{math|term= g_{xy} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | g_{xy} (x) || f(x) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | g_{xy} (y) || f(y) || || || |SZ=. }} Diese seien gewählt. Wir betrachten zu {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} die offenen Mengen {{ Ma:Vergleichskette/disp | U_y || {{Mengebed|z \in X| g_{xy} (z) < f(x) + \epsilon }} || || || |SZ=, }} die {{math|term= y |SZ=}} enthalten. Wegen {{ Ma:Vergleichskette | X || \bigcup_{y\in X} U_y || || || |SZ= }} und der Kompaktheit von {{math|term= X |SZ=}} gibt es endlich viele Punkte {{mathl|term= y_1 {{kommadots}} y_n |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | X || \bigcup_{i {{=}} 1}^n U_{y_i} || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | g_x |{{defeq}}| {{op:Minimum|g_{x y_i}|i {{=}} 1 {{kommadots|}} n }} || || || |SZ=, }} diese Funktionen gehören nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Kompakt/R/Algebra/Maximum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu {{math|term= T |SZ=.}} Nach Konstruktion ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | g_x |<| f + \epsilon || || || |SZ= }} auf ganz {{math|term= X |SZ=.}} Ferner ist {{ Ma:Vergleichskette | g_x(x) || f(x) || || || |SZ=, }} da dies für jedes der beteiligten {{mathl|term= g_{xy_i} |SZ=}} gilt. Deshalb gibt es wiederum eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| V_x || || || |SZ=, }} auf der {{ Ma:Vergleichskette/disp | f - \epsilon |<| g_x || || || |SZ= }} gilt. Es gibt wieder endliche viele Punkte {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_m |SZ=}} derart, dass die {{math|term= V_{x_j} |SZ=}} bereits {{math|term= X |SZ=}} überdecken. Daher gehört wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Kompakt/R/Algebra/Maximum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | h |{{defeq}}| {{op:Minimum|h_{x_j}|j {{=}} 1 {{kommadots|}} m }} || || || |SZ= }} zu {{math|term= T |SZ=.}} Es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | f- \epsilon |<| h |<| f+ \epsilon || || |SZ= }} und somit hat man ein {{ Ma:Vergleichskette | h |\in| T || || || |SZ= }} aus der {{math|term= \epsilon |SZ=-}}Umgebung von {{math|term= f |SZ=}} gefunden. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wptkdnv0mvwfu96b2wq270k6d8g7z6 0 141496 778597 762512 2022-08-21T12:27:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | A |\subseteq| T |\subseteq| U || || |SZ= }} mit einer abgeschlossenen Teilmenge {{math|term= A |SZ=}} und einer offenen Teilmenge {{math|term= U |SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu( U \setminus A) |\leq| \epsilon || || || |SZ= }} ist. Dann sind {{math|term= A |SZ=}} und {{math|term= X \setminus U |SZ=}} disjunkte abgeschlossene Teilmengen und daher gibt es in dem normalen Raum nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Urysohn|Faktseitenname= Topologischer Raum/Normal/Urysohn/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine stetige Funktion {{math|term= f |SZ=,}} deren Bild in {{math|term= [0,1] |SZ=}} ist und die auf {{math|term= A |SZ=}} den Wert {{math|term= 1 |SZ=}} und auf {{math|term= X \setminus U |SZ=}} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt. Daher stimmt {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= A |SZ=}} und auf {{math|term= X \setminus U |SZ=}} mit der Indikatorfunktion zu {{math|term= T |SZ=}} überein und die Abweichungsmenge liegt in {{math|term= U \setminus A |SZ=,}} dessen Maß höchstens {{math|term= \epsilon |SZ=}} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1as0qutdtzvgbuki8wtw8g69ho0sd8a 0 141500 778600 762516 2022-08-21T12:28:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= V |SZ=}} der topologische Abschluss des Raumes der stetigen Funktionen mit kompakten Träger in {{math|term= L^p(X) |SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette | V || L^p(X) || || || |SZ= }} zu zeigen. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Maßraum/Teilmenge/Indikatorfunktion/Stetige Approximation/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gehören die Indikatorfunktionen zu messbaren Mengen mit endlichem Maß dazu. Wegen der Vektorraumeigenschaft gehören auch die einfachen Funktionen mit einer Trägermenge mit endlichem Maß dazu. Deshalb folgt die Aussage aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lebesgueraum/Einfache Funktionen/Endlicher Träger/Dichtheit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} orplxz2lw4y0hqmavqgos1n28ty73ew 0 141533 778601 762517 2022-08-21T12:28:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir definieren induktiv über {{math|term= n |SZ=}} zu den Zahlen {{mathl|term= {{op:Bruch|k|2^n}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | k |\in| \{0 {{kommadots|}} 2^n \} || || || |SZ= }} eine Kette von offenen Teilmengen {{math|term= U_{{op:Bruch|k|2^n}} |SZ=}} und von abgeschlossenen Teilmengen {{math|term= Y_{{op:Bruch|k|2^n}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | U_{{op:Bruch|k|2^n}} |\subseteq| Y_{{op:Bruch|k|2^n}} || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y_\epsilon |\subseteq| U_{ \epsilon' } || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |<| \epsilon' || || || |SZ=. }} Wir starten induktiv mit {{ Ma:Vergleichskette | U_0 || \emptyset || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | Y_0 || Y || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | U_1 || X \setminus Z || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | Y_1 || X || || || |SZ=. }} Es seien die Mengen zum Nenner {{math|term= 2^n |SZ=}} schon konstruiert. Das heißt, dass zum Nenner {{math|term= 2^{n+1} |SZ=}} die Mengen zu den Indizes {{math|term= {{op:Bruch|m|2^{n+1} }} |SZ=}} mit {{math|term= m |SZ=}} gerade schon konstruiert sind. Für {{math|term= k |SZ=}} ungerade liegt die Situation {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y_{ {{op:Bruch|k-1|2^{n+1}}} } |\subseteq| U_{ {{op:Bruch|k+1|2^{n+1}}} } || || || |SZ= }} vor. Aufgrund der Normalität gibt eine offene Menge {{mathl|term= U_{ {{op:Bruch|k|2^{n+1}}} } |SZ=}} und eine abgeschlossene Menge {{mathl|term= Y_{ {{op:Bruch|k|2^{n+1}}} } |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y_{ {{op:Bruch|k-1|2^{n+1}}} } |\subseteq| U_{ {{op:Bruch|k|2^{n+1}}} } |\subseteq| Y_{ {{op:Bruch|k|2^{n+1}}} } |\subseteq| U_{ {{op:Bruch|k+1|2^{n+1}}} } || |SZ= }} wie gewünscht. Wir definieren jetzt eine Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |X| [0,1] || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) || {{op:Infimum|t| x \in Y_t }} || || || |SZ=. }} Dabei besitzt {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= Y |SZ=}} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} und auf {{math|term= Z |SZ=}} den Wert {{math|term= 1 |SZ=.}} Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^{-1} ([0,s]) || \bigcap_{ s \leq {{op:Bruch|k|2^n}} } Y_{ {{op:Bruch|k|2^n}} } || || || |SZ=, }} woraus die Stetigkeit folgt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6tsvwcrisy2yljlnlygyjk832lhd7al 106 141571 785175 747417 2022-08-22T07:58:30Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück_2022-2023)/Vorlesungsgestaltung|2| Wir beschäftigen uns weiter mit der Frage, welchen Teilmengen des {{math|term= \R^n |SZ=}} man ein sinnvolles Volumen zuordnen kann. Es wird sich herausstellen, dass diese {{Anführung|messbaren Mengen|}} eine {{math|term= \sigma |SZ=-}}Algebra bilden, nämlich die {{math|term= \sigma |SZ=-}}Algebra der {{Stichwort|Borel-Mengen|msw=Borel-Menge|SZ=.}} Diese ist zwar sehr groß, und zwar gehören nahezu alle irgendwie {{Anführung|kohärent beschreibbaren}} Teilmengen dazu, aber eben doch nicht alle. Die Borel-Mengen explizit zu beschreiben, ist nicht möglich, stattdessen gibt man ein einfaches Erzeugendensystem für diese {{math|term= \sigma |SZ=-}}Algebra an, nämlich die Menge aller offenen Teilmengen des euklidischen Raumes. Es empfiehlt sich, diese Konstruktion sofort für topologische Räume durchzuführen. {{Zwischenüberschrift|term=Topologische Räume}} {{:Topologischer Raum/Grundbegriffe/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Borel-Mengen}} {{:Topologie/Borel-Mengen/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Stetige Abbildungen/Borel-messbar/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Maße und Maßräume}} {{:Maßtheorie/R/Numerischer Abschluss/Einführung/Textabschnitt}} {{:Maße und Maßräume/Prämaß/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Beispiele für diskrete Maße}} Wir besprechen kurz einige {{Anführung|diskrete Maße|SZ=.}} Das für uns wichtigste Maß, das {{Stichwort|Borel-Lebesgue-Maß|SZ=}} auf dem {{math|term= \R^n |SZ=,}} ist kein diskretes Maß, sondern ein {{Anführung|stetiges Maß|SZ=.}} {{:Maßtheorie/Diskrete Maße/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste}} }} 5mvocc2q0wtau5aceis9z0o1nxnk99r 0 142005 779159 748307 2022-08-21T15:45:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette | a |>| 0 || || || |SZ= }} fixiert und sei {{math|term= f |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Indikatorfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Intervall {{mathl|term= [-a,a] |SZ=.}} Dann ist für {{ Ma:Vergleichskette | {{zielvektor|}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | \hat{f}( {{zielvektor|}} ) || {{op:Bruch|1|\sqrt{2 \pi} }} \int_{-a}^a e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor}} {{startvektor}} } d {{startvektor}} || {{op:Bruch|1|\sqrt{2 \pi} }} \cdot {{op:Integralstamm(|-a|a| {{op:Bruch|-1| {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor}} }} e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor}} {{startvektor}} } }} || {{op:Bruch|1|\sqrt{2 \pi} }} \cdot {{op:Bruch|1| {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor}} }} \cdot {{makl| - e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor}} a } + e^{ {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor}} a } }} || {{op:Bruch|1|\sqrt{2 \pi} }} \cdot {{op:Bruch|2 {{op:sin(| a {{zielvektor}} }} |{{zielvektor}} }} || {{op:Bruch|\sqrt{2} |\sqrt{\pi} }} \cdot {{op:Bruch| {{op:sin(| a {{zielvektor}} }} |{{zielvektor}} }} |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette | {{zielvektor|}} || 0 || || || |SZ= }} ist direkt {{ Ma:Vergleichskette | \hat{f}( 0 ) || {{op:Bruch|\sqrt{2} a| \sqrt{ \pi} }} || || || |SZ=, }} was sich auch bei stetiger Fortsetzung des allgemeinen Ausdrucks ergibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Fourier-Transformation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} np7noc25oi2a6lp5ywdda64rjr5y9y9 0 142068 780130 772604 2022-08-21T18:14:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Ma:abb |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term= L |SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term= M |SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}} | |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| L || || || |SZ= }} heißt das Element {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(x) |\in| M || || || |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term= F |SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term= x |SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ mathkor|term1= {{ abb |name=F |L_1|M_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name=G |L_2|M_2 || |SZ= }} |SZ= }} sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| L_1 || L_2 || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette | F(x) || G(x) || || || |SZ= }} in {{ Ma:Vergleichskette | M_1 || M_2 || || || |SZ= }} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort|Funktionen|msw=Funktion|SZ=}} genannt. Der Abbildungsbegriff ist fundamental für die Mathematik, es gibt eine Vielzahl an verschiedenen Abbildungen und an Darstellungsmöglichkeiten von Abbildungen. Im jetzigen Kontext interessieren wir uns nur für Abbildungen zwischen endlichen Mengen, die stets durch eine vollständige Wertetabelle angegeben werden können. Für die Mengen {{ Ma:Vergleichskette/disp | L || \{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | M ||\{a,b,c,d,e,f,g\} || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|text2={{math|term= F(x)|SZ=}}|c|a|a|b|e|b|e|d|}} eine vollständige Wertetabelle. Aus ihr kann man unmittelbar den Wert {{math|term= F(3) |SZ=}} als {{math|term= a |SZ=}} ablesen. Es handelt sich aber offenbar nicht um eine korrekte Abzählung dieser Menge, da {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= e |SZ=}} mehrfach im Bild auftauchen {{ Zusatz/Klammer |text=mehrfach gezählt werden| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= f |SZ=}} überhaupt nicht im Bild auftaucht {{ Zusatz/Klammer |text=übersehen wird| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die obigen Fehlerquellen (1) und (2) ausgeschlossen sind, so ist das {{ Zusatz/Klammer |text=versuchsweise| |ISZ=|ESZ= }} Abzählen einer Menge {{math|term= M |SZ=}} eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{Menge1n}} |M | i| \varphi(i) |SZ=. }} Jeder natürlichen Zahl {{math|term= i |SZ=}} wird also ein eindeutiges Element der Menge {{math|term= M |SZ=}} zugeordnet. Die beiden Fehlerquellen (3) und (4) sind durch den Abbildungsbegriff {{Betonung/Negation|nicht}} ausgeschlossen. Eine Abbildung {{math|term= F |SZ=}} kann für verschiedene Definitionsstellen, also beispielsweise Zahlen {{ Ma:Vergleichskette | i |\neq| j || || || |SZ= }} den gleichen Wert, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(i) || F(j) || || || |SZ= }} haben und sie muss nicht jedes Element der Menge {{math|term= M |SZ=}} erfassen. Es kann also Elemente {{ Ma:Vergleichskette | m |\in| M || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft geben, dass für jedes {{math|term= i |SZ=}} aus dem Definitionsbereich stets {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(i) | \neq| m || || || |SZ= }} gilt. Diese beiden Fehlerquellen erfassen wir mit den folgenden Begriffen. {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputbild |Aplicación|svg|230px {{!}} left {{!}} |Text=Weder injektiv noch surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva sobreyectiva|svg|230px {{!}} left {{!}} |Text=Injektiv und surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación no inyectiva sobreyectiva|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Nicht injektiv, aber surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva no sobreyectiva|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Injektiv, nicht surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Diese Begriffe sind fundamental! Beispielsweise ist die Nachfolgerabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\N|\N |x|x' |SZ=, }} auf der Menge der natürlichen Zahlen wegen der oben angeführten Eigenschaft (4) injektiv, aber wegen der Eigenschaft (3) nicht surjektiv, da das Startelement nicht der Nachfolger einer Zahl ist. Die Frage, ob eine Abbildung {{math|term= F |SZ=}} diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung{{ Zusatz/Fußnote |text=Über Gleichungen und Variablen werden wir später ausführlicher sprechen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(x) ||y || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den beiden Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }}| |SZ= }} erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| M || || || |SZ= }} mindestens eine Lösung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| M || || || |SZ= }} maximal eine Lösung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term= y \in M|SZ=}} genau eine Lösung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden. Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} aus der Voraussetzung {{ Ma:Vergleichskette | F(x) || F(x') || || || |SZ= }} erschließt, dass {{ Ma:Vergleichskette | x || x' || || || |SZ= }} ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus {{ Ma:Vergleichskette | x |\neq|x' || || || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette | F ( x) |\neq|F ( x' ) || || || |SZ= }} zu schließen. {{ inputbild |Appelbijektion1|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} Unser erstes Hauptanliegen ist es zu begründen, dass die natürliche Zahl {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} dabei eindeutig bestimmt ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass wenn {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{Menge1n|}} |M || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi | {{Menge1k|}} |M || |SZ= }} bijektive Abbildungen sind, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||k || || || |SZ= }} ist. Diese Zahl heißt die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die {{Stichwort|Kardinalität|SZ=}}| |SZ= }} der Menge. Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Anzahl|M}} |SZ=}} oder mit {{mathl|term= {{op:Anzahl/Betrag|M}} |SZ=}} bezeichnet. Die bijektive Abbildung {{ Ma:abb/disp |name= |\{1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \}| M || |SZ= }} kann man eine {{Stichwort|Nummerierung|SZ=}} der Menge {{math|term= M |SZ=}} nennen. Eine Menge besitzt also {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} Elemente, wenn man sie mit den natürlichen Zahlen von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} durchnummerieren kann. Zwei endliche Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=, }} für die es eine Bijektion {{ Ma:abb/disp |name= |M|N || |SZ= }} gibt, besitzen die gleiche Anzahl. Dies beruht einfach darauf, dass diese Bijektion verknüpft mit der bijektiven Nummerierung wieder eine Bijektion ist. Eine Menge, die nicht endlich ist, für die es also keine Bijektion mit {{mathl|term= {{Menge1n}} |SZ=}} für irgendein {{math|term= n |SZ=}} gibt, heißt {{Stichwort|unendlich|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Mathematik/Zählen/Modellierung/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (endliche Mengen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} h6pij8u66in263erb06fs59xuvpce8q 106 142542 779075 770811 2022-08-21T15:31:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{Arbeitsblatt|{{{1|}}}|{{{2|}}}|}} |kontrolle={{Arbeitsblatt|{{{1|}}}|{{{2|}}}|}} |Referenzabgleich=<nowiki>{{Referenzauflistung|</nowiki>{{{1|}}}<nowiki>|</nowiki>{{{2|}}}<nowiki>}}</nowiki> |#default= {{Umrahmung/grün|{{Arbeitsblatt|{{{1|}}}|{{{2|}}}{{:Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt/Fuß|{{{1|}}}|}}|}}|}} }} <noinclude> [[Kategorie:Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Hilfsstruktur]] </noinclude> ecmlqrf6qncummpc3weoi7sd4p8aibg 106 142957 778421 770369 2022-08-21T12:00:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kursv{{{opt|}}}|Aufgabe|||Kurs=|}} jt9rdk2kvsjiavpx3hrjfpud5ffqge1 778443 778421 2022-08-21T12:03:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kursv{{{opt|}}}|Aufgabe|5|z|Kurs=|}} 87z7ca7u9hhdii09xy7m5k1tgvhsn3b 106 142971 778638 770383 2022-08-21T12:33:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kursv{{{opt|}}}|Aufgabe|||Kurs=|}} jt9rdk2kvsjiavpx3hrjfpud5ffqge1 106 143260 779106 778167 2022-08-21T15:36:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|-1}}}} ctxz79t3ob5ifixuw9o5wjo8ui99p8c 106 144494 778530 778175 2022-08-21T12:16:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Referenzauflistung{{{opt|}}}| | | Produkt von Mannigfaltigkeiten/Ist Mannigfaltigkeit/Aufgabe | | | Zwei abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Produkt davon/Aufgabe | Zwischenhallo | | Torus/Karten/Aufgabe | | | Punktierte Ebene/Produktmannigfaltigkeit/Aufgabe | | | Produkt von Mannigfaltigkeiten/Wegzusammenhängend/Aufgabe | | | Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diagonale/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe | | | Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vertauschung/Diffeomorphismus/Aufgabe | | | Torus/Rotationsmenge/Aufgabe | | | Torus/Faserrealisierung/Andere Fasern/Aufgabe | | | Torus/Sphäre/Abbildung/Aufgabe | | | Torus/Sphäre/Nicht homöomorph/Heuristisch/Aufgabe | | | Torus/Ohne Diagonale/Diffeomorphietyp/Aufgabe | | | Torus/Surjektive Abbildung von Ebene/Surjektive Tangentialabbildung/Aufgabe | | | Kreislinie/Definiere differenzierbare Gruppenstruktur/Aufgabe | | | Allgemeine lineare Gruppe/R/Definiere differenzierbare Gruppenstruktur/Aufgabe | | | S^1xR/Spiegelung/Selbstinverser Diffeomorphismus/Aufgabe | | | Vektorraum/Surjektive Abbildung mit Struktur/Vektorraumstruktur/Aufgabe | | | Dachprodukt/Konstruktion/n ist 1/Aufgabe | | | Dachprodukt/Index größer als Dimension/0/Aufgabe | | | Torus/Produktdarstellung und Schlauch/Bijektion/Aufgabe | | | Torus/Zwei Punkte/Gemeinsame Kartenumgebung/Quadrat/Aufgabe | | | Dachprodukt/Rechenbeispiel/Aufgabe | | | Torus/Faserrealisierung/Animation/Aufgabe | }} 7mizbcywn9rj1zzipz9bp24ci3hy8bn 10 144495 778440 2022-08-21T12:02:59Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{{2|}}}.{{{3|}}} ofxmys2xegwcyn3p3ydzimdd6n0q2q7 778468 778440 2022-08-21T12:07:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{{2|}}}.{{{3|}}} {{FULLPAGENAME|}} {{:Kurs:{{{Kurs|}}}/{{#titleparts:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}||2}}|}}|opt=123}} [[{{#titleparts:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}||2}}|-1}}]] Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023) Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 5/Referenzauflistung scnru26kw7bz57b57vmsue47oa97bea 778478 778468 2022-08-21T12:08:50Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{{2|}}}.{{{3|}}} {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} [[{{#titleparts:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}||2}}|-1}}]] Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023) Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 5/Referenzauflistung l1ho9s2ghrv13moh8a45fmwwcuuiafb 778485 778478 2022-08-21T12:09:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{{2|}}}.{{{3|}}} {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} {{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|}} [[{{#titleparts:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}||2}}|-1}}]] Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023) Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 5/Referenzauflistung t0ht0q2l2hwxyl2sc5u0brtcm8su6gn 778490 778485 2022-08-21T12:10:30Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{{2|}}}.{{{3|}}} {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|}} [[{{#titleparts:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}||2}}|-1}}]] {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|}}/Arbeitsblatt 5/Referenzauflistung 5ppcduqqo50o6vxv9cht8f6diahx1o4 778523 778490 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Der Autor lebt in einem Dorf in Rheinland-Pfalz und liebt es, seine Leserinnen und Leser mit seinen Büchern zu unterhalten.'' [https://paulrheinfels.wixsite.com/meinewebsite/ueber-mich Webseite]: ''Seit 2011 schreibe ich mit viel Freude Romane, hauptsächlich Kriminalthriller, habe jedoch auch Kinder- und Jugendbücher verfasst und bald erscheint mein erster Liebesroman. Ich lebe in einem wunderschönen Weindorf im Naheland und bin umgeben von Natur und netten Menschen. Mit meinen beiden Hunden Elfe und Foxi gehe ich regelmäßig im Wald spazieren. Um mental und körperlich vital zu bleiben trainiere ich KungFu und treibe leidenschaftlich gerne Sport. Schreiben ist meine große Leidenschaft mit dem Ziel, meine Leserinnen und Leser zu unterhalten und mit spannenden Zeilen zu erfreuen! Ich wünsche Ihnen viel Spaß auf meiner Homepage und beim Lesen meiner Bücher.'' Paul Rheinfels, Franziskastraße 5, 55569 Monzingen - Monzingen ist eine Ortsgemeinde im Landkreis Bad Kreuznach [westlich von Mainz-Bingen] in Rheinland-Pfalz. Sie gehört der Verbandsgemeinde Nahe-Glan an. Monzingen ist eine über 1200 Jahre alte Weinbaugemeinde an der mittleren Nahe. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:12, 23. Okt. 2020 (CEST) === Anais C. Miller === https://www.lovelybooks.de/autor/Anais-C.-Miller/ Anais C. Miller lebt mit zwei Hunden, drei Katzen und zwölf Pferden zusammen mit ihrer Tochter auf einem Bauernhof im Herzen Westfalens, den sie eigenständig bewirtschaftet. Neben ihren Hobbys, dem Reitsport, der eigenen Pferdezucht und der Schriftstellerei, richtet sie ihr Augenmerk auf Menschen und Tiere, die im Leben ein schweres Schicksal tragen und von der Gesellschaft vergessen wurden. Den Schwerpunkt fokussiert sie bewusst auf Missbrauchsgeschichten und Biografien, die von ihr nach wahren Begebenheiten erzählt werden. Tieren, die achtlos weggeworfen werden wie alte Möbelstücke, bietet sie ein neues Zuhause und steckt all ihr Geld in deren zeitaufwendige Versorgung. Menschen, denen man keine Beachtung schenkt für das, was sie erlebt haben, leiht sie mutig ihre Stimme und macht sich in ihren Büchern für die zum Teil grausamen erlebten Schicksale ihrer Protagonisten stark. Anais C. Miller Selfpublisherin lebt mit zwei Hunden, drei Katzen und zwölf Pferden zusammen mit ihrer Tochter auf einem Bauernhof im Herzen Westfalens, den sie eigenständig bewirtschaftet. Neben ihren Hobbys dem Reitsport, der eigenen Pferdezucht und der Schriftstellerei, richtet sie ihr Augenmerk auf Menschen und Tiere, die im Leben ein schweres Schicksal tragen und von der Gesellschaft vergessen wurden. Den Schwerpunkt fokussiert sie bewusst auf Missbrauchsgeschichten und Biografien, die von ihr nach wahren Begebenheiten erzählt werden. Tieren, die achtlos weggeworfen werden wie alte Möbelstücke, bietet sie ein neues Zuhause und steckt all ihr Geld in deren zeitaufwendige Versorgung. Menschen denen man keine Beachtung schenkt für das was sie erlebt haben, leiht sie mutig ihre Stimme und macht sich in ihren Büchern für die zum Teil grausam erlebten Schicksale ihrer Protagonisten stark. Lebensmottos: "Wer in diesem Leben etwas gibt, ohne es an Bedingungen oder Erwartungen zu knüpfen, erhält früher oder später auch etwas zurück." "Wunder kommen zu denen, die an sie glauben!" "Man spreche lieber schlecht von mir als gar nicht." "Adler sterben und die Ratten gedeih`n." Die Bücher von Anais C. Miller sind keine literarischen Meisterwerke. Wer diese unter ihren Veröffentlichungen sucht, wird womöglich enttäuscht sein. Wer allerdings Geschichten die das Leben schrieb- lesen möchte, dessen Inhalte unverblümt, ungeschönt und stattdessen ehrlich und offen erzählt werden- wird ihre Bücher vielleicht schon bald nicht mehr missen wollen. "Oftmals kämpfe ich mit Medien und Plattformen, die meine Bücher weder bewerben, noch veröffentlichen möchten. Dennoch lasse ich mir den Mund nicht verbieten. Jedes Opfer hat eine Stimme verdient und ich kämpfe für jedes einzelne Schicksal- und zwar so lange, bis es Gehör findet. Missbrauch und menschliche Verachtung sind keine Kavaliersdelikte sondern Verbrechen, über die noch immer viel zu oft geschwiegen und hinwegsehen wird. Solange ich lebe, werde ich mich genau für diese Geschichten und die Menschen dahinter, stark machen." besucht Anais C. Miller auf Facebook unter: https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/ https://www.facebook.com/profile.php?id=100018068314805 https://www.facebook.com/AnaisCMillerTierschicksale/?ref=br_rs https://www.facebook.com/AnaisCMiller/ Also dass man noch nicht mal Buchauszüge zu diesem Buch in diversen Büchergruppen veröffentlicht, obwohl nicht einmal das Wort Sex oder Gewalt drin vorkommen, ist schon echt armselig und ich fühle mich schon allein durch meinen Namen mittlerweile diskriminiert und entwertet. Spass macht es wirklich nicht... Habe auch schon überlegt, hier alles hinzuschmeissen, mein Profil aufzugeben und nur noch meine eigenen Gruppen und Seiten zu betreiben und zu unterhalten. Aber da gibt es auch ganz viele liebe Freunde, die ich vermissen würde... und deshalb Krone richten, aufstehen und weitermachen. Übrigens laut der letzten Abrechnung wurden über 50!!! Ebooks zurückgegeben. Das bedeutet, da ging mir ein Monat lang das Katzenfutter für meine Schnurrer dadurch. Meine Schmerzgrenze ist so langsam erreicht, denn es werden immer mehr Bücher. Wenn irgendwann mein Profil fort ist hier, dann habe ich aufgehört zu schreiben und das ist nur noch eine Frage der Zeit wenn ich ehrlich bin. ... das tut mir leid. Passiert mir täglich... Wir kommen klar. Ich habe ja noch 2 andere Jobs. Werbung machen in Büchergruppen, das kann ich nur immer wieder jedem ans Herz legen. Das hilft ungemein, weil es die Reichweite erhöht. Foto vom Buch dabei und schreiben, das habe ich gelesen, hat mir gefallen... das ist alles, was Ihr da draussen tun könnt und doch hat es eine grosse Wirkung ich schreib übrinx für mich. für mich ganz allein. für meine eigene lust. und nicht für geld(tung). was hätt ich denn davon? und was weiß ich, was es für andere bedeutet? Höllenkinder startete also heute früh und das erstaunlich gut... ein Buch ähnlich Aschennutte, grausam, brutal und kaltblütig... leider, denn ich würde auch lieber nur Pferdebücher schreiben. Mich belasten diese Art Biografien ja auch beim Schreiben... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:02, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/a.195322434171669/1277445985959303/ Deine Hölle brennt in mir] - Mein neuer Roman ist soeben erschienen... Nur für Hartgesottene! - Ein Roman, der schockiert- aber ein Buch, das so verdammt wichtig ist! --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:11, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/466466960390547/ es gibt schmerz, der dich verletzt, und schmerz, der dich verändert.] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:18, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/301172006920044/ Frauensäfte] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:22, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/208501319520447/ im Stacheldraht] Der Wecker geht um 5 Ach, bitte 10 Minuten noch, denkt sie sich Ein paar wertvolle Minuten nur noch liegen, es ist ihr im Leben niemals genug Zeit verblieben. Draussen wird es hell, die Vögel singen Wird ihr mühsamer und arbeitsreicher Tag wohl gelingen? In ihr ist es dunkel und bitter, sie fühlt sich beinahe eingeschlossen, wie hinter einem Gitter. Ein Blick auf ihr Handy, sms, whats ap, facebook wer hat an sie gedacht, ihr geschrieben? Und sie bleibt noch einen Moment in ihrem wohligen Bett liegen. Einen schönen Tag! Ich hab dich lieb! Schrieb ihr Freund, ein wahrer Herzensdieb. Ein müdes Lächeln von ihr. Sie fühlt sich schlecht und krank und ihr Tag ist doch noch so lang. Er, ihr Freund, ist nicht da, nicht bei ihr und wird auch nicht kommen, die Hoffnung hat ihr auch unlängst die Zeit genommen. Arbeiten, malochen, die Dinge wuppen. Niemals ausruhen, sich ins Gras legen können, verschnaufen oder sich einmal Ruhe und gar einen Urlaub gönnen. Das Geld wäre da aber die Zeit...Die Zeit ist ihr grösster Feind und die Traurigkeit ihre Einsamkeit. Niemand tröstet, nimmt sie in den Arm, sieht ihre Tränen...fängt sie auf. Dennoch: Sie steht immer wieder auf. Sie kämpft für das eigene Ich Obwohl sie weiss... Sie hat Alles und Nichts... ~Anais --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:31, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/199456680424911/ Was zwei Menschen miteinander verbindet, müssen Dritte nicht verstehen...] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:40, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=803838090228461&set=a.104156296863314 Morgen startet das Buch, für das mich mein Lektor abgeschossen hat...] ja ohne eine letzte Rückmeldung wurde ich überall blockiert. Über whatsApp, email... überall... nun muss ich sagen für die die es nicht wissen, der Typ bot sich freiwillig an um meine Arbeit zu unterstützen, ein ehemaliger Pfarrer der dann doch den Glauben hinschmiss, heiratete und sich nun bei den Evangelisten tummelt. Ich fragte ihn, ob meine Bücher nicht zu hart seien und er hat dies immer verneint... nun geht's hier in dem Buch um Satanismus und Pädophilie eines mächtigen Kinderpornorings, dessen Anhänger ihre Finger überall im Spiel haben, u.a auch in der Kirche... ganz heikles Thema... Trotzdem bin ich traurig und ich verstehe es ehrlich gesagt nicht, denn seine Arbeit war grandios. Mittlerweile habe ich auch Sorge, was er wohl mit dem Manuskript angestellt hat... römisch-katholische kirche? die größte verbrecherorganisation der weltgeschichte - die hat fast weltweit die indigenen völker abgeschlachtet, versklavt und assimiliert, um selber an die macht zu kommen (und zu beiben), so die guanchen auf teneriffa, indianer in der "neuen welt", aber auch bei uns zuhause die slawischen völker östlich des limes sorabicus - hitler, stalin, lenin, mao tse tung, mussolini, pol pot etc. sind zusammengenommen waisenknaben gegen die --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:55, 2. Mär. 2021 (CET) Die letzten 4 Wochen über 5000 ‼‼ Bücher verschenkt. Ebooks und Taschenbücher. Würde mich sehr freuen, wenn der ein oder andere doch mal eine Rezension schreiben würde... Wie gesagt, es ist kein Muus- aber es würde mich freuen... Wieso verschenkst du eigentlich so viele Bücher? Davon hast du doch nix oder ? ich denke es geht um die Aufmerksamkeit, die die Bücher so sonst nicht hätten. Viele der Themen sind leider in vieler Augen nicht gesellschaftsfähig. Wobei ich finde wir sollten alle etwas mehr Achtsamkeit an den Tag legen, und uns mehr mit der Thematik beschäftigen. Und es sollte mehr mutige Menschen wie Anais C. Miller geben, die den Opfern eine schonungslos Stimme geben. Es kauft sich halt leichter ein Fitzek wie ein biografisches Buch über Gewalttaten an Kindern und Frauen Danke. da stimme ich dir zu und da es echte Fälle sind, finde ich sollten sie sowieso mehr Aufmerksamkeit bekommen. Ich meine die Leute ziehen sich Krimis und Horror usw rein und mit den Büchern hier wird dann mimimi gemacht. Versteh einer die Menschenaber das habe ich sowieso noch nie ich bin auch leider ein Opfer meines Vaters gewesen aber zum Glück sind meine Storys pillepalle gegen die Opfer hier in den Büchern bin SchriftSteller und (Sprachver)Dichter - (eigentlich) kein Rezensent, Aber Du hast mich neu-Gierig gemacht: ich beschäftige mich mit Dir (will heißen: das braucht Zeit und hat seine Zeit). --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:38, 5. Mär. 2021 (CET) Mein letztes signiertes REDRUM Exemplar nur für Dich... Es gibt ja signiert über REDRUM nur noch die Neuerscheinungen und auch nur noch, wenn die vorbestellt waren... das hier war mein eigenes Exemplar, habe es sehr gern an Dich abgetreten. Viel Spass gewünscht. hättich auch genommen! Und wieso hast Du die letzten 4 Wochen über 5000 Bücher verschenkt? Verlagsauflösung? Noch mehr Interesse hättich an "Brief an W.: Wahre Liebe stirbt nie" (natürlich auch signiert). Würde mich dann vielleicht Dir zu-Liebe mit amazon herumplagen (kenn ich noch nicht, bin ich noch nicht, ist für mich ein böhmisches Dorf) und das Re-Zensieren er-/sie-/es-lernen (Angabe ohne Gewehr). bin eigentlich selbstSchriftSteller und (Sprachver)Dichter! Ich habe eBooks verschenkt wie so oft. Da sind in 4 kostenlosen Aktionen 5000 über den Amazontisch gegangen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:07, 5. Mär. 2021 (CET) Zabou - Biographie "In den dunkelsten Stunden meines Lebens, war ein Hund mein bester Freund...!" Ich komme gut voran. Ich denke nächste Woche wird es bei Amazon erhältlich sein... Ja, es ist nicht hart, stimmt. Wobei es für mich die Hölle war... ist ja meine Bio, bzw ein Teil daraus, aber das möchte ich nicht an die grosse Glocke hängen... da ist man dann doch sehr verletzlich... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:20, 5. Mär. 2021 (CET) hast mich schon neu-gierig gemacht. wenn du es mir unterschreibst mit deinem blute (rote dinte tät symbolisch reichen) garantiert. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:37, 7. Mär. 2021 (CET) Zabou „Ach Kindchen, Sex tut doch nicht weh! Sex ist etwas Wundervolles. Liebe und Sex sind die schönsten Lebenselixiere dieser Erde, egal ob Mensch oder Tier. Ohne sie entsteht keinerlei Dasein“, streichelte sie über meine vom Weinen geröteten Wangen. Traurig dachte ich an Holger und Damian zugleich. Holger liebte ich, unsere Beziehung verlief jedoch rein platonisch, ohne sexuelle Inhalte und von Damian wurde ich zum Geschlechtsverkehr gezwungen. Mit Holger würde ich wahrscheinlich zeitnah keine sexuellen Intimitäten austauschen, da es eine verbotene Liebe war, die wir in unseren Herzen trugen, und die keinerlei Berechtigungsdasein in der regelkonformen Gesellschaft fand, solange ich nicht volljährig wäre. Damian wiederum, würde ich niemals lieben wollen und auch nicht können. Alles in mir sträubte und wehrte sich gegen die Berührungen dieses Menschen. Beides, Liebe und Sexualität, als sechzehnjähriger Teenager nicht unter einen Hut zu bringen, zerstörte wichtige Fragmente meiner Entwicklung. Überlebenswichtigen Elementen ordnete ich völlig verschiedene Inhalte zu. So bedeutete Sex fürchterliche, grausame Qualen zu erleiden, sowie schmerzvolles Leiden meines Körpers zu erfahren, während die Liebe im Herzen, meiner geschundenen Seele unendliches Glück versprach, das für mich jedoch in unerreichbarer Ferne lag. Liebe und Sexualität miteinander zu kombinieren, wäre der Schlüssel zu einer wichtigen Tür, die ich mit meinen Erfahrungen im Koffer, niemals öffnen könnte... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:24, 8. Mär. 2021 (CET) Selbstwert ist eine Reise... Oftmals eine verdammt lange Wenn du über deinem Manuskript sitzt, in dem es u.a. um deine grosse Liebe geht, die leider schon verstorben ist, und sie im Radio plötzlich euer Lied spielen... https://www.youtube.com/watch?v=uuc2QBfBRoI Bonnie Bianco - Miss You So (Maxi Version) 2007 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:04, 9. Mär. 2021 (CET) Call me besitzt einen überragenden Lebenswillen und ihr beide habt Alles zusammen durchgestanden. Nicht immer war es leicht oder von Erfolg geprägt - respektive davon verwöhnt - weder für dich noch für Call me. Dennoch habt ihr beide niemals aufgegeben. Schon auf den allerersten Bilder aus/in ihrer „Einzelhaft“ konnte ich es ihr ansehen: „gib mir bitte eine Chance, du wirst es niemals bereuen“. Das ist die Einzigartigkeit an den Equiden - sie sind weder falsch, verlogen, hinterhältig oder Fallensteller. Sie betrügen und belügen nicht, weder untereinander noch uns als Mensch gegenüber. Sie hauen auch nicht hinterrücks einem anderem Gegenüber das sprichwörtliche Messer in den Rücken oder streuen Salz in die ‘eh schon blutenden Wunden hinein. Wenn sie sich ihrem Gegenüber anvertrauen und auf ihre Art und Weise signalisieren: „hey du, ich akzeptiere, toleriere und respektiere dich genauso wie du bist. Mir ist es schnuppe ob du klein, groß, dünn, pummelig, gehandicapt, oder oder oder bist. Denn -ich- als Pferd messe nach ganz anderen Maßstäben…“ dann ist dieses das einzige Mal auf Lebzeiten. Denn sie brechen ihr gegebenes Wort nicht. Niemals! Auch wenn Call me dich zwischenzeitlich gerne einmal am liebsten via Huftritt aus der Box befördert hätte, nach dir geschnappt hat oder dich zur Seite gedrängt hat – dann nur aus einem Grund heraus, weil sie es eben nicht so ganz "verstanden" hatte, dass du stetig das Allerbeste für sie wolltest - und das mit einer Hingabe, die wahrlich seines Gleichen sucht. Chapeau! Doch als sie Linderung verspürte, so denke ich jedenfalls, verknüpfte sie dieses als Positiv dir gegenüber. Pferde können zwar schon „lesen“ - aber auf eine ganz andere wunderbare Art und Weise. Das sind ihre privilegierten Urinstinkte, die dann eben im wahrsten Sinne des Wortes: „mit ihnen durchgehen“. Wenn wir als Mensch so ticken würden wie ein Pferd, hätten wir es wahrscheinlich auch nicht (so ganz) verstanden. Dennoch glaube ich fest daran -gerade im Hinblick auf die Handlungs-/Denkweisen der Equiden (Tieren im Allgemeinen)- wenn viele Menschen sich diese Arten des Miteinanders, der Kommunikationsbasis, die Prinzipien der Gleichbehandlung, jegliche Lebensweisen an sich, soziale Kompetenzen etc pp. mal öfters unter die eigene Nase reiben würden, wäre wahrscheinlich vieles auf diesem Erdball nicht so „bescheiden“. Natürlich könnte man mich jetzt damit konfrontieren oder gefälligst Maß zu halten, dass ich mit meiner „Schreibe und Lobeshymne zur Thematika Pferd“ das Pferd gefälligst nicht über den Menschen zu stellen hätte, der irrt sich. Ich tue es - immer öfter. Ich bedanke mich sehr bei Dir, überhaupt muss ich sagen, Anteilnahme- egal auf welchem Weg- tut einfach Wunder. Und Freunde die für einen da sind, dann, wenn man sie braucht, UNBEZAHLBAR! --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:11, 10. Mär. 2021 (CET) Ich versuche mal zu beschreiben, worum es geht... Als ich 16 Jahre alt war, lernte ich im Reitstall den 20 Jahre älteren Damian kennen. Ich und die anderen Reitschüler mochten ihn nicht, er litt an der Kiefergaumenspalte, für die er natürlich nichts konnte, aber das Erscheinungsbild erschreckte uns alle und wir machten einen großen Bogen um ihn. Mein Stiefvater bat Damian damals, mich nach der Reitstunde mit nach Hause zu nehmen. Von da an begann das Drama. Damian verliebte sich in mich, doch ich stieg auf seine Avancen nicht ein. Er steigerte sich jedoch immer mehr in diese einseitige Liebe, sodass er mich gefügig machen musste, um seinem Wunsch, mich zu besitzen, Realität einzuhauchen. Er verfolgte mich auf Schritt und Tritt, zog die Schlinge um meinen Hals immer enger. Als der Reitstall durch Brandstiftung niederbrannte, rettete er meine 3 Pferde aus der Feuerhölle und meine Abneigung gegen ihn geriet damals bedrohlich ins Wanken. Meine Eltern redeten mir ein, ich sei undankbar und nur auf Äusserlichkeiten fixiert. Ein gefährlicher Sog, aus dem es plötzlich kein Entkommen mehr gab. Ich war zeitgleich unsterblich in meinen Lehrer verliebt und wir hatten eine wundervolle- zunächst rein platonische Liebe. Damian drohte, den Lehrer anzuzeigen, wegen sexuellem Missbrauch Schutzbefohlener, obwohl er derjenige war, der mich missbrauchte. Meine Hündin "Zabou" griff ihn damals an, als er mich das erste Mal vergewaltigte... Mir half niemand. Weder meine Eltern, noch die Polizei. Ich hätte diese Geschichte bald mit meinem Leben bezahlt. Geredet habe ich darüber nie. Ich habe alles verdrängt, bzw später eine Therapie beginnen müssen, als mich die Vergangenheit einholte. Vor 30 Jahren gehörten mir und ihm sogar ein Artikel in der Bildzeitung. "Liebeskranker Mann geht im Streit mit Mistgabel auf junges Mädchen los und würgt sie anschliessend bewusstlos". Dass er mich zuvor schon mit Benzin übergossen hatte und anstecken wollte...ja- mir fehlen die Worte für das, was ich durchgemacht habe. Erst als meine Tochter sagte:" Mama, mir hat jemand erzählt, dass dein Freund vor Jahren die Reithalle angesteckt hat", wusste ich- es ist an der Zeit, mein Schweigen zu brechen... Ich mache mich angreifbar und ich habe wahnsinnige Angst mit der Geschichte rauszugehen. Denn das Schlimmste sind diejenigen, die anschließend sagen:" So etwas Krankes gibt es nicht. Alles fiktiv, erstunken und erlogen..." Aber ich bin es mir schuldig, auch meiner Geschichte eine Stimme zu geben... Ich habe diese Geschichte niedergeschrieben, wie alle anderen auch und werde es nicht an die grosse Glocke hängen, dass es meine eigene ist. Die, die es zufällig lesen hier, wissen es, die anderen eben nicht. Ich schreibe auch gar nicht wegen dem Erfolg oder so, sondern um anderen Mut zu machen, die dasselbe oder ähnliches erlebt haben. Wobei- wenn ich heute- 30 Jahre später, zurückblicke, ich sagen muss, ich hätte damals nichts anders machen können und es gab definitiv keinen Ausweg!! Die Geschichte wäre nur dann anders verlaufen, wenn ich an Tag X nicht zu ihm ins Auto eingestiegen wäre... Das Allerschlimmste in der Geschichte waren meine eigenen Eltern...und meine Mutter will selbst heute noch nicht verstehen.. Meine Mutter war damals schon alkoholkrank, ich habe es nur als Kind bzw Jugendliche nicht so gemerkt. Tja... die hätten mich am liebsten mit dem Typen verheiratet... Vor denen war er auch immer nett. Ich kann es emotional nicht, sie völlig abschreiben, denn sie ist meine Mutter. Das fällt schon schwer... als Kind, was ich immer bleiben werde, ihr Kind...aber ich halte ganz viel Abstand von ihr, denn sie tut mir nicht gut. Es ist so, dass ich das Opfer bin, sie aber noch viel kränker ist, als ich, in ihrem Alkoholproblem. Sie merkt aber auch nix. Gar nix... 31 Ein jegliches hat seine Zeit, und alles Vorhaben unter dem Himmel hat seine Stunde: 2 Geboren werden hat seine Zeit, sterben hat seine Zeit; pflanzen hat seine Zeit, ausreißen, was gepflanzt ist, hat seine Zeit; 3 töten hat seine Zeit, heilen hat seine Zeit; abbrechen hat seine Zeit, bauen hat seine Zeit; 4 weinen hat seine Zeit, lachen hat seine Zeit; klagen hat seine Zeit, tanzen hat seine Zeit; 5 Steine wegwerfen hat seine Zeit, Steine sammeln hat seine Zeit; herzen hat seine Zeit, aufhören zu herzen hat seine Zeit; 6 suchen hat seine Zeit, verlieren hat seine Zeit; behalten hat seine Zeit, wegwerfen hat seine Zeit; 7 zerreißen hat seine Zeit, zunähen hat seine Zeit; schweigen hat seine Zeit, reden hat seine Zeit; 8 lieben hat seine Zeit, hassen hat seine Zeit; Streit hat seine Zeit, Friede hat seine Zeit. 9 Man mühe sich ab, wie man will, so hat man keinen Gewinn davon. 10 Ich sah die Arbeit, die Gott den Menschen gegeben hat, dass sie sich damit plagen. 11 Er hat alles schön gemacht zu seiner Zeit, auch hat er die Ewigkeit in ihr Herz gelegt; nur dass der Mensch nicht ergründen kann das Werk, das Gott tut, weder Anfang noch Ende. 12 Da merkte ich, dass es nichts Besseres dabei gibt als fröhlich sein und sich gütlich tun in seinem Leben. 13 Denn ein jeder Mensch, der da isst und trinkt und hat guten Mut bei all seinem Mühen, das ist eine Gabe Gottes. 14 Ich merkte, dass alles, was Gott tut, das besteht für ewig; man kann nichts dazutun noch wegtun. Das alles tut Gott, dass man sich vor ihm fürchten soll. 15 Was geschieht, das ist schon längst gewesen, und was sein wird, ist auch schon längst gewesen; und Gott holt wieder hervor, was vergangen ist. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:19, 12. Mär. 2021 (CET) Gestern erinnerte ich mich an den Tag, an dem ich Damians Mutter kennenlernte. Ich wollte ihr damals sagen, dass mich ihr Sohn sexuell missbraucht und hoffte auf ihre Hilfe. Damians Mutter war ein ganz lieber Mensch. Fein, liebevoll, aber total hilflos. Ein Opfer ihres gewalttätigen Ehemannes und das ihres eigenen Sohnes. Sie hätte selbst Hilfe gebraucht. Sie sagte zu mir:" Damian ist kein schlechter Mensch und du tust ihm gut. Er ist wie ausgewechselt, seit du seine Freundin bist!" Ich brachte es nicht übers Herz, dieser herzensguten Frau die Augen zu öffnen...ich dachte, sie ist eine bessere Mutter als meine eigene und heute denke ich, was lastete für ein schreckliches Geheimnis auf dieser Familie, dass aus ihrem jüngsten Sohn ein irrer Psychopath geworden war? --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:56, 13. Mär. 2021 (CET) Puh, heute sass ich den ganzen Tag an meiner Bio und ich erinnerte mich. Reiste mal eben fast 30 Jahre zurück. Die Flashbacks, die dann kommen, sind oft heftig. Da gab es einen Polizisten, der mich auf dem Kieker hatte, wegen Damian. Der "Bulle" stand irgendwann einfach im Pferdestall und forderte mich auf, meine Taschen unter seinen Augen zu entleeren. Angeblich suchte er nach Drogen, die ich konsumierte. Er kam immer alleine, und er wohnte in dem Dorf, in dem mein Pferdestall lag. Der Bulle wünschte sich nix sehnlicher, als dass ich den Stall räumte, denn durch den Brandstifter Damian, fühlten sich die Dorfbewohner in ihren eigenen vier Wänden nicht mehr sicher. Ich sagte ihm, dass Damian nicht mein Freund wäre und er hat sich damals über mich kaputt gelacht. Geholfen hat er mir übrigens auch nicht, als Damian mich mit Benzin übergossen hat. Er sagte lapidar:" Na und? Irgendwann trifft es jeden!" Ich hörte neulich, dass dieser "Bulle" elendig verreckt ist. Einen widerlichen Todeskampf unter einer fürchterlichen Krankheit führte. Ja, irgendwann erwischt es uns alle...und es nennt sich "Karma"... Erfinde keine Ausreden für gräßliche Menschen. Man kann keine Blume in ein Arschloch stecken und es dann Vase nennen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:21, 14. Mär. 2021 (CET) Seine kranke Fantasiewelt, die völlig ausser Kontrolle geraten war, übernahm wie selbstverständlich die Regie meines Lebens... Zabou [https://www.facebook.com/photo/?fbid=812187136060223&set=a.104156296863314 Selfie] Ich weiss gar nicht, wie mutig dieses Buch ist... es erzählt einen Teil meiner Lebensgeschichte vor noch gar nicht allzu langer Zeit... Ein wichtiges Buch für Frauen, die nicht nur durch körperlich sexuelle Gewalt gequält werden, sondern, die emotional missbraucht werden. Diesen Weg zu gehen, war wirklich mutig ... Ich weiss nicht, wer von euch dieses Buch gelesen hat... es ist definitiv lesenswert, wenn man sich für menschliche Abgründe interessiert! ... man kann es nicht glauben , was Menschen ertragen können und es auch so lange zulassen , weil einfach die Kraft fehlt Das Schlimmste ist der psychische Missbrauch. Denn die Narben, die man nicht sehen kann sind die, die nie aufhören weh zu tun. Sie erwischen dich eiskalt immer dann wenn du nicht damit rechnest. Meistens dann wenn du denkst "mensch jetzt geht es mir richtig gut". [https://www.facebook.com/photo/?fbid=812132039399066&set=a.104156296863314 Penny way. Mein Weg aus der Hölle.] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:35, 15. Mär. 2021 (CET) Das war wahrlich eine schwere Geburt und die Reise in die eigene Vergangenheit tat weh. Eine Geschichte, die ehrlicher nicht hätte geschrieben werden können. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:06, 17. Mär. 2021 (CET) Nunja, geht auch anders: auf meiner Startseite steht eine andere FB-Freundin unter Dir, und die signiert grad min. 150 "DRIS-Vorbesteller". Ich schrub ja schon mal, daß ich mit amazon nicht gerade warm geworden bin (ein gleichaltriger Freund, DDR-Musiker, seit 1990 Antiquariatsbuchhändler wie meine Schwester und mein Schwager auch, hat bei amazon gekündigt wegen deren Treiberei und Geschäftspolitik - er blieb aber dem ZVAB treu -Bonmot: die wurden vor ein paar jahren auch von amazon geschluckt). Und wie ebenfalls schon geschrieben: mich würd das Buch (nicht irgendwelche Pixel) schon interessieren, müßtest es mir schon zuschicken - und eine Signierung wär schön (möglichst in rot, ich weiß es zu würdigen). Liebe Grüße https://www.facebook.com/skadi.skitschak Ab morgen in der Vorbestellung. Nuttenkinder Neben VIC für Redrum, geht's hier weiter im Text. Ich hau jetzt alles raus. Denn wenn der Lockdown vorbei ist, dann will ich erstmal nur noch leben!!!!! dann mache ich Pause...ich würde nie aufhören, Opfern eine Stimme zu geben! --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:22, 19. Mär. 2021 (CET) In der Nacht klingelte das Telefon. Nächtliches Telefonklingeln, der Horror schlechthin. Kerzengerade saß ich im Bett. Dachte, ich hätte geträumt, aber nein, es klingelte und klingelte. Wieder und wieder. Dann hörte es auf und begann von Neuem. „Da muss etwas passiert sein“, hörte ich meine Eltern reden. Unsere Zimmer lagen nebeneinander. Die Wände waren hellhörig und ich hörte, wie sich die Tür im Nebenzimmer öffnete. Jürgen schlurfte die Treppe hinunter und nahm im Wohnzimmer den Telefonhörer ab. Was er sprach, konnte ich nicht verstehen. Unheil sah ich auf mich zukommen. Mein Herz klopfte bedrohlich laut. Mit eiligen, schweren Schritten kehrte Jürgen zurück. Die Klinke meiner Zimmertür drückte sich knatschend runter. „Jeany? Komm, steh auf. Wir müssen zum Reitstall. Der steht lichterloh in Flammen.“ Als hätte eine Bombe eingeschlagen, sprang ich aus dem Bett. „Was!?“, schrie ich außer mir. „Meine Pferde verbrennen! Meine armen Pferde, sie werden sterben und all die anderen.“ Ich brach in Tränen aus. „O lieber Gott, hilf ihnen bitte!“, schrie ich hysterisch und zog mir die Jeans über die Hüften. Jürgen hatte sich ebenso schnell angezogen wie ich mich. Mit Vollgas steuerte er den Wagen durch die Nacht. „Sie werden verbrennen und sterben, nicht wahr?“, wimmerte ich. „Ich weiß es nicht“, brummte Jürgen. Ihm ging die Sache nahe. Mein Kopfkino spielte fürchterliche Szenen ab. „Die Pferde sind das Einzige, das ich habe und ich liebe sie“, jammerte ich. Jürgen antwortete nicht. Ein kurzes Kopfnicken nur. „Wie kann jemand so böse sein und in Kauf nehmen, dass hilflose Tiere verbrennen?“ Ich weinte. „Ja, das ist übel. Wirklich übel“, seufzte Jürgen. „Ich liebe sie so sehr“, schluchzte ich. Tausend irre Gedanken flogen wie Granatenschläge durch meinen Kopf. Das Adrenalin pulsierte wie heiße Lava in meinen Venen. Das durfte nur ein Albtraum sein. Gleich wachte ich auf. Als wir uns dem Dorf näherten, drang der strenge Geruch verbrannter Heu- und Strohballen durch die geschlossenen Scheiben, obwohl noch mehr als zwei Kilometer vor uns lagen. Wimmernd kauerte ich mich in den Sitz, traute mich nicht, durch die Windschutzscheibe hinauszusehen, in wie weit das Gebäude des Reitstalls bereits niedergebrannt war. „Ach herrjeh“, seufzte Jürgen und lenkte den Wagen seitlich der Straße. Ich kniff die Augen zusammen. Hielt mir die Ohren zu. „Bitte nein!“, kreischte ich. Einer der Feuerwehrmänner nahm rannte auf unser Auto zu. Winkte mit beiden Händen. „Sie können hier nicht lang“, schrie er durch die geschlossene Scheibe. Jürgen öffnete behäbig die Fahrertür und sagte leise: „Wir haben Pferde im Stall, wir müssen zu ihnen.“ „Da können Sie nichts mehr retten. Wenn die Tiere jetzt nicht draußen sind, sind sie ohnehin verloren“, rief er und lief gleich wieder fort. Jürgen blickte mich hilflos an. „Komm“, forderte er mich auf, mit ihm zu gehen. „Wir suchen Damian.“ „Damian?“ „Ja, er hat angerufen.“ Mein Kopf war viel zu voll, als dass ich das Durcheinander in ihm hätte sortieren können. Ich stellte keine Fragen. Paralysiert, funktionierte ich roboterhaft, stolperte aus dem Auto. Benommen, mit einem dicken Kloß im Hals, folgte ich Jürgen. Klammerte mich wie ein kleines Kind an seine Hand. Plötzlich tat mir alles furchtbar leid. Dass wir uns so oft gestritten hatten. Jetzt, wo ich meinen Vater wirklich brauchte, war er an meiner Seite, während sich mein leiblicher im Bett noch einmal rumdrehte und wohlig schlief. Er von Reichtum und Geld träumte oder von schnellen Autos, während ich wie ein Häufchen Elend durch die Nacht irrte und glaubte, meine Pferde seien alle tot und man würde mir gleich ihre verbrannten Körper zeigen, damit ich sie identifiziere. Mir war, als klatschte man abwechselnd und mit voller Wucht auf meine linke Wange, und dann wieder auf die rechte, während ich Jürgen nachlief. Ich traute mich noch immer nicht, meine Augen auf das eigentliche Geschehen zu richten. Nie in meinem Leben hatte ich solch eine gigantische Feuerbrunst gesehen, die gnadenlos und unbesiegbar in den dunklen Himmel schlug. Nie zuvor fühlte ich mich bedrohter, hilfloser und angstvoller wie in dem Augenblick, als wir uns dem Reitstall näherten, in dem meine Pferde und die meiner Freunde untergebracht waren und der jetzt lichterloh in Flammen stand. Das Knistern und Bersten der Holzbalken, das Niederkrachen der Materialien, die das Dach zusammenhielten, die Hitze, der Gestank und das Wissen, hier herrschte Krieg, in dem es sehr wahrscheinlich Verwundete und Tote gab, das war furchtbar! Weit laufen mussten wir nicht. Damian erkannte uns von Weitem, rannte auf uns zu. „Gott sei Dank, da seid Ihr ja!“, keuchte er außer Atem. Freilaufende Pferde kreuzten unseren Weg. Galoppierten zur Straße. In ihrer Panik ließen sie sich nicht aufhalten. Ihr ängstliches Wiehern durchbrach die Nacht und vermischte sich mit der Geräuschkulisse eines unfassbaren Szenarios. Je mehr sich meine Augen an das Ausmaß eines fürchterlichen Spektakels gewöhnten, umso dramatischer wurde mir das Ausmaß der Katastrophe bewusst, die sich am Reitstall abzeichnete. Was meine Augen sahen, war nichts als ein verwüstetes Schlachtfeld und es fühlte sich bis in die tiefste Faser meines Körpers unwirklich und unfassbar an. Ich wartete auf den Augenblick, in dem jemand seine Hand auf meine Schultern legen und sagen würde: „Was für ein beschissener Albtraum, nicht wahr?“ Feuerwehrleute auf Drehleitern hielten Wasserschläuche in die Flammen des lichterloh brennenden Dachstuhls gerichtet. Menschen schleppten Reitsachen zu den kreuz und quer geparkten Autos. Pferdebesitzer versuchten ihre Tiere einzufangen, sie auf die Anhänger zu verladen. Einige schrien und riefen um Hilfe. Andere retteten aus der brennenden Reithalle ihre Utensilien und alles, was noch zu retten war. Immer wieder brüllte einer der Feuerwehrmänner durch den Lautsprecher: „Verlassen Sie bitte sofort das Gebäude! Einsturzgefahr! Akute Lebensgefahr!“ Die Pferde hatte man aus den Boxen geschickt und sich selbst überlassen. Verstörte Kinder irrten umher, riefen die Namen ihrer Ponys. Einige der Pferde preschten über die Straße, schummelten sich im letzten Moment an heranfahrenden Autos vorbei. Ich fürchtete den Frontalzusammenstoß. Tier gegen Blech. Man konnte nicht hinsehen. Die Pferde gerieten auf dem Asphalt ins Rutschen, sie strauchelten, andere stoben hinaus in die Wälder. „Deine drei sind auf der Weide, Janne. Ich habe sie alle aus dem Feuer geholt. Deine waren die ersten, die draußen waren.“ Damian hustete und wischte mit dem verkohlten Hemdsärmel über das verrußte Gesicht. Ich wollte meinen Augen nicht trauen, als ich Dual, Metaxa und Iceman wohlbehalten und unversehrt auf der Weide entdeckte. Vor Freude brach ich zusammen. Jürgen musste mich stützen. Auch ihm fehlten die Worte. Ich weinte aus Dankbarkeit und Erleichterung, dass Damian meinen Pferden das Leben gerettet hatte. Umarmte ihn sogar. „Danke“, wisperte ich benommen. Dann lief ich zu meinen Pferden. Selbst Jürgen, einem stets gefassten Mann, den so schnell nichts und niemand aus der Ruhe brachten, rollten die Tränen über die Wangen. Dankbar zog er Damian in seine Arme. Drückte ihn an seine Brust und klopfte ihm auf die Schultern. „Danke, mein Freund“, schluchzte er ergriffen. „Ach, selbstverständlich.“ Er winkte bescheiden ab. „Alle Tiere sind gerettet. Wir haben sie rechtzeitig aus dem Feuer befreit.“ Die Frage, warum ausgerechnet er vor Ort war, als der Reitstall niederbrannte, stellte sich mir in dieser Nacht, und auch zu einem späteren Zeitpunkt, nicht. Wahrscheinlich stand ich damals zu sehr unter Schock, als dass ich irgendwelche Fragen an ihn hätte richten wollen. jaja, wie wir gelebt werden - aus der ddr kenn ich das sehr, sehr gut --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:08, 21. Mär. 2021 (CET) Das Dorf des Schreckens in dem der Polizist wohnte und der Ort, wo sich mein Stall befand... bin nun zu Fuss unterwegs zum Stall... Immer noch ein Ort des Grauens Sogar die Stalltüren die Damian vor 30 Jahren gebaut hat, sind noch immer da.. So einsam... war ich ihm völlig ausgeliefert... monatelang Amy baumelte und starb in den Ästen des Baumes... Ich habe damals echt gedacht so einsam der Stall gelegen war, da gehöre ich hin, weil ich mich so dreckig fühlte...und mich niemand sehen sollte Das Wildgehege ca 1km entfernt ... gibt es immer noch. Meine damals einzigen Freunde neben meinen Pferden und Hunden So gruselig... Hab mich erst erschrocken wegen dem Auto. Aber ohne Kennzeichen... alles gruselig * OMG!!!der perfekte Ort für ein Verbrechen...niemand bekommt was mit...Ich hoffe dir hat es geholfen und Du kannst endgültig damit abschließen! *Ich werde dein Geschichte heute Abend beginnen .. jetzt habe ich ja sogar noch Bilder vor Augen... Ich freue mich für dich , das du jetzt endlich in der Lage bist deine eigene Geschichte aufzuarbeiten. Ich hoffe dadurch heilt ein Teil deiner Seele *Oh Mann wenn man dazu parallel dein Buch Liest überkommt ein ganz schön die Gänsehaut... irgendwie so real mit den Bildern dazu --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:26, 22. Mär. 2021 (CET) Mich hat es grosse Überwindung gekostet, meinen Missbrauch bzw einen meiner Missbräuche öffentlich zu machen. Als heute die Rezension zum Buch eintrudelte, in der mich jemand systematisch erpresst und zerstören will, war ich wirklich verzweifelt und habe das "engeren Freunden" auch genau so mitgeteilt, dass ich emotional mehr als am Limit unterwegs bin. Wir dürfen nicht wegsehen, niemand von uns- denn auch hier in einer Rezension liegt Missbrauch vor. Ich als Opfer meiner eigenen Geschichte, die nun öffentlich ist, bin jetzt angreifbar für alle Welt da draussen und ich wusste, dass es so kommen wird... dass man mich fertigmachen wird. Wie fertig mich das tatsächlich macht, wusste ich allerdings nicht. Meine Freunde konnten mich heute nicht mehr erreichen und da sie sich grosse Sorgen gemacht haben, dass ich vielleicht den Notausschalter betätige, riefen sie die Polizei. Die kassierte mich dann nach der Arbeit auf dem Weg nach Hause, eiskalt ein- und ich kann von Glück reden, jetzt nicht in der Geschlossenen zu sitzen. Und wieder: bin ich ein Opfer von Mobbing, Missbrauch und emotionaler Gewalt geworden von Menschen, die Spass daran finden, andere zu missbrauchen. Es ist schlimm, was heute passiert ist. Gegen den Rezischreiber läuft jetzt ein Strafverfahren wegen Erpressung und Nötigung. Ich habe nicht ausgesagt und auch keine Strafanzeige gestellt, es waren Freunde, die nicht länger wegsehen woll(t)en. KEINE MACHT DEM MISSBRAUCH !!! Was ich besonders traurig finde, dass andere User diese Rezension "nützlich" finden. Ihr macht euch am Missbrauch mitschuldig... * Wirklich schlimm. Genau so etwas kann herauskommen, wenn man/frau diese Schauspieler-Gesellschaft mal gründlich outet. Mein Mitgefühl ist Dir sicher. Ich wünsche Dir viel Kraft. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:03, 23. Mär. 2021 (CET) So fühle ich mich die letzten Tage... Mir geht's wenn ich ehrlich bin, gerade richtig schlecht Es hat sich für mich auch so angefühlt. Konfrontation ist nicht gerade einfach. Ich hoffe für Dich, daß sie den normalen Verlauf nimmt und dieses Gefühl mit der Zeit abklingt. Hinterher sollte es Dir besser gehen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:42, 24. Mär. 2021 (CET) Ich weiss in der letzten Zeit echt nicht, was mit den Menschen dort draussen los ist. Ich erzähle das was mir passiert ist, jetzt im Vertrauen in dieser Gruppe hier, da ich mit meinen Postings nur noch auf Unverständnis stoße und ich oft denke, viele glauben mir auch einfach tatsächlich nicht. Ich habe auch einige Freunde genau deshalb verloren, weil ich sie geblockt habe, ich konnte es nicht mehr ertragen.... heute wieder, als ich schrieb, wie die Polizei mit Menschen umgeht. Folgendes ist passiert... Es befreundete sich über FB eine Zuhälter mit mir, dessen Geschichte ich schreiben sollte. Sein "letztes Mädchen" wurde von Frank G. getötet. (Den Kopf schnitt er ihr halb ab, sie lebte noch, er vergewaltigte sie mehrere Male, bis er sie mit einem Kopfschuss hinrichtete) Frank G. war ein lange unentdeckt gebliebener Frauenserienmörder. Der Zuhälter stieg nach der Sache aus der Szene aus. Mir gegenüber wurde er irgendwann immer ungehaltener, da ich nicht gleich auf seine Nachrichten antwortete. Ich schrieb ihm, er solle aufhören mich zu drängeln (ich sollte zu ihm fahren, um die Story zu schreiben) Er hörte aber nicht auf, wurde immer frecher und postete "indirekt" täglich über mich auf seinem Profil. Wie sehr ihm meine Ignoranz auf den Zeiger ginge usw. Ich habe ihn blockiert und gepostet, dass ich leider jemanden blockieren musste, weil ich keine Psychos mehr brauche in meinem Leben. Er muss wohl "Spitzel" haben, denn das gelangte ihm zu Augen und Ohren und er ging richtig steil, bedrohte und erpresste mich dann in der Rezi zu einem Buch bei Amazon. Irgendwie ist er an meine Fotos rangekommen als ich für ein Buch "Frauensäfte" (längst vom Markt) im SM Studio gewesen war. Mit diesen Bildern wollte er mich erpressen und diese öffentlich machen. Er drohte jeden Tag mehr über mich auszuplaudern usw...Die Rezension war echt "krass". Ich vertraute mich einer Freundin an, die mir gleich richtig Panik gemacht hat, wie gefährlich der Typ sei und er womöglich seine Freundin getötet habe usw... da kam eins zum anderen (ich hatte noch mein Pferd einschläfern müssen, bin derzeit gesundheitlich sehr angeschlagen, dazu Corona usw) und ich sagte:" Ich habe echt kein Bock mehr auf dieses Scheiss Leben!" Da sie mich dann nicht mehr erreichen konnte (ich war auf der Arbeit) hat sie die Polizei informiert und die fing mich auf offener Strasse nachts im Auto auf dem Weg nach Hause ab. "Führerschein, Fahrzeugschein...." habe ich gegeben und dann hiess es ganz trocken:" Aussteigen!" Ich so:" Wie? Was wird mir denn vorgeworfen?" Und noch mal kommentarlos: "Aussteigen!" Gut, ich steige aus, werde gefragt, wo ich war (Arbeit) und dass man den Hinweis bekommen hätte, ich wolle mich umbringen. Boahr... ich sags euch- ich wusste gleich- was das bedeutet... und mir fiel die Kinnlade echt tief. Dann hiess es:" Entweder wir lassen Ihr Auto abschleppen oder einer von den beiden Polizisten fährt das Auto auf den Parkplatz. Ich:" Ich kann das Auto auf den Parkplatz fahren!" "Nein, Sie fahren keinen Meter mehr. Sie steigen jetzt in den Bulli und fahren zur Wache!" Der Typ setzte sich in mein Auto und kloppte so den Gang rein (Automatik) dass sich nix mehr rührte. Der Beamte so:" Wie krieg ich den Gang rein?" "Ja, vom Bürgersteig aus kann ich Ihnen das nicht zeigen!" Er:" Einsteigen, Gang einlegen, und sofort aussteigen!" In einem Ton, als sei ich ein Schwerverbrecher. Gut, ich leg den Gang ein, der fährt das Auto weg. Im selben Augenblick fährt bei uns Zuhause ein Streifenwagen vor. Jill lag schon im Bett. Dem Kind wurde folgendes mitgeteilt:" Deine Mutter will sich umbringen. Die wandert wenn wir sie schnappen, längere Zeit in die geschlossene Anstalt. Wer versorgt die Tiere? Denn Du musst entweder ins Heim oder wo kannst Du hingehen? Die Tiere müssen dann weggeschafft werden über Ordnungsamt, Veterinäramt usw!" Ihr könnt euch sicher vorstellen, was in meinem Kind vor sich ging, oder? Jill war noch fertiger als ich! Ich musste 2 Stunden lang vor der Polizei, dem Ordnungsamt und dem Amtsarzt darlegen, keinen an der Klatsche zu haben. Mit Ach und Krach, bin ich der geschlossenen Anstalt entkommen und durfte heim. Heute fuhr die Kripo hier vor. Man grüßte mich nicht, stellte sich auch nicht mit Namen vor. Ich als Opfer der Bedrohung eines Zuhälters, wurde behandelt wie eine Täterin. Man sagte:" Dass es sich um einen Zuhälter und Kriminellen handelt, hielten sie für einen Witz. Den Frank G. kannten sie auch nicht. Sie belächelten mich wirklich... Ok, man wolle das überprüfen... Ej Leute, ich bin echt fertig mit der Welt. Ja es ist so unglaublich. Ich werde NIE WIEDER irgendwem mein Herz ausschütten * Leider kann man nicht mehr viele trauen traurig sowas * doch , sind nicht alle gleich. Ich wünsche dir von herzen einen Menschen der es ehrlich mit dir meint und dir ein wenig hilft. Ich habe so viele Freunde heute geblockt, weil es hiess, ich würde lügen, die Polizei sei immer hilfsbereit und nett. Ich finde, so geht man nicht mit Menschen um... * dann sind das keine Freunde.Freunde sind für ein immer da Ist echt besser in der heutigen Zeit, keine zu haben... * doch Freunde braucht man aber dann richtige Ich bin auch einfach nur fertig und tieftraurig, zumal ich soeben meine Biografie beendete, die auch kein Zuckerschlecken war, aber ich werde das nie wieder irgendwem sagen... * Unglaublich..bin echt sprachlos Wie alt ist denn deine Tochter? Warum hat deine Freundin denn nicht erst mal auf deiner Arbeit angerufen?! Echt unglaublich!!! 16 soeben geworden * oh die arme!!! Also das Alter ist egal-so eine Nachricht ist immer schlimm..ber in dem Alter weiß sie ja definitiv was du, vermeintlich!!!, vor hast. Oh fühl dich gedrückt und ich wünsche euch viel Kraft um dieses Erlebnis gut zu verarbeiten!!! Eigentlich habe ich soooooo riesen Respekt vor der Polizei, aber DAS geht garnicht!!! So schrecklich * Anais C. Miller puh was für .....leider kann ich nur aus eigener Erfahrung sagen das das ein offenbar "normaler" Umgang zu sein scheint.fällt schwer sich davon nich prägen zu lassen Ja aber da versteht man auch, warum Opfer lieber schweigen, oder?? * ja leider genau das.vorher konnte ich vieles nicht nachvollziehen.das hat sich leider geändert....sobald du dich als Opfer outen musst,wird in unserem System versucht auch weiter eins aus dir zu machen.... ja leider, ich hab mit einem 20jährigen Mädchen gearbeitet, dass auch nichts sagen wollte, weil ihre Geschwister involviert waren, und sie die nicht ranhängen wollte * kann sich auch kaum einer vorstellen das man so behandelt wird und das es so läuft,wenn man es selbst noch nich erleben musste * Ich denke, dass sich deine Freundin einfach nur Sorgen gemacht hat und sich nicht anders zu helfen wusste. Was die Polizei angeht, kann ich mir vorstellen, dass diese einfach überfordert mit so etwas ist. Die sollen einfach eine Person "sicherstellen" und das war es. Dazu kommt, dass einfach der größte Teil der Menschheit der Meinung ist , dass Leute mit Depressionen und Selbstmordgedanken einen an der Waffel haben, daher dann auch der plumpe Umgebung mit deiner Tochter. Und wenn es um die Infragestellung deiner Glaubwürdigkeit geht, da spielt dann wieder das rein, dass die Leute denken man hätte einen an der Waffel wenn man Depressionen und Selbstmordgedanken hat. Ich kann dich sehr gut verstehen, habe es schon lange aufgegeben mit mir nahe stehenden und auch sonstigen Personen über meine Psychoprobleme zu sprechen. Mache meine schlechten Phasen gezielt mit mir selbst aus wenn ich alleine bin. Das kann aber sicher nicht jeder und wie lange es bei mir funktioniert weiß ich natürlich auch nicht. Wünsche dir viel Kraft. * Ouh man....mir fehlen gerade die Worte.....es tut mir so leid, dass du soo viel mist erleben musst. Du möchtest anderen, mit deiner Stimme helfen und bekommst immer wieder eine drauf. * Mich wundert in dieser kranken Welt gar nichts mehr, es ist echt gruselig geworden. Wie Menschen miteinander, mit anderen Lebewesen und der Natur umgehen * Die Abgründe der Menschheit sind unfassbar grausam, ein „normaler“ Mensch kann sich nicht im geringsten vorstellen, zu was ein so genannter gestörter Mensch fähig ist zu tun, Hauptsache seine „Neigung“ wie auch immer, wird befriedigt, dafür gehen solche Menschen über sprichwörtliche Leichen... * Es tut mir so leid für dich das du das erleben musstest. Ich habe leider die Polizei schon öfters negativ erleben müssen. Möchte am liebsten nicht zurück denken. * Ungeheuerlich... Jetzt weiß ich, warum ich Deutschland so abgrundtief verachte... Also so ganz prinzipiell kann ich dir sagen, je mehr corona, desto bekloppter die Menschen gerade. Teilweise so, dass ne Freundin und ich uns regelmäßig fragen, ob nicht wir die Irren sind, weil die in der Mehrzahl sind. So klingt das auch. Die Polizisten haben auf alle Fälle schon mal jegliche sozialen Umgangsformen verlernt. Jaja, "dEIN fEINd und pEINiger" mal wieder (statt "Freund und Helfer") ... Als x-fach Betroffener hast Du mein vollstes Verständnis und Mitgefühl. Und möglicherweise bist Du an einen Betrüger geraten, dem es in erster Linie darum ging, Dich ganz real zu treffen - mit welchem Kopfkino auch immer. Als er nicht zum Ziel kam, wurde er ungemütlich. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:09, 25. Mär. 2021 (CET) Ich denke, jeder andere Autor hätte all die Missbrauchsbücher besser geschrieben als ich es getan habe. Autoren sind ja oft im Journalismus tätig usw und sofort, aber wichtig war es doch- dass mal jemand damit angefangen hat- den Mund aufzumachen weil er nicht länger wegsehen wollte. Und da, werde ich immer ganz vorne mit dabei sein! Mittlerweile habe ich über 20 Opfern meine Stimme gegeben... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:51, 27. Mär. 2021 (CET) Das was ich im Nachfolgenden erzähle, ist nichts für schwache Gemüter und ja, es ist pervers und abartig. Aber ich habe es erlebt und es hat aus mir einen anderen Menschen gemacht als den, der ich eigentlich mal werden wollte. Das ist traurig und dennoch habe ich meinen Weg gefunden. Wer sich fragt, warum solche Geschichten veröffentlicht werden, dem möchte ich folgende Antwort mit auf den Weg geben… Seid glücklich, wenn ihr eine unbeschwerte Kindheit genießen durftet. Eure Eltern immer liebevoll, fürsorglich und gut zu euch waren. Den Schlüssel für sämtliche Türen des Lebens überreichen dir nämlich deine Eltern, niemand anderes als sie tragen auch die schärfste Waffe bei sich, mit der sie aus dir über Jahre hinweg ein emotionales Wrack konstruieren können, sofern sie den sadistischen Wunsch in ihrem versteinerten Herzen nach Qual und Leid hegen. Qualen und Schmerzen, die selbst ertragen haben und ertragen mussten. Meine Mutter war krank. Psychisch krank. Das habe ich als Kind aber nicht gewusst. Woher auch? Heute weiß ich es und natürlich ist es zu spät. Ich möchte und kann meine Vergangenheit nicht revidieren. Die Zukunft aber sehr wohl bestimmen. Eines weiß ich! Ich werde keine Kinder in diese Welt setzen. Aus Angst. Angst, dass ich ebenfalls in diese Spirale gerate. In die Spirale aus dem, was ich erlebt habe und aus Gefühlen, Gedanken und Emotionen die mich vielleicht eines Tages beherrschen obwohl ich das gar nicht möchte. Meine Mutter wusste ja auch, dass es falsch war, was sie mit mir gemacht hat. Sie konnte eben nicht anders … Ich schrieb dieses Buch um abzuschließen mit dem was war und um der Welt dort draußen zu zeigen, ihr seid nicht allein. Wenn du als Leser nichts Schlimmes in deiner Kindheit erfahren hast, so gratuliere ich dir. Die Realität sieht oftmals anders aus und ich möchte mit dieser Geschichte den Opfern aus ähnlichen Begebenheiten ein Zeichen setzen. Ihr Schweigen und ihre Qualen sollen nicht umsonst gewesen sein. Wenn dich dein Mut verlässt, wenn du dich komplett verloren hast, komm einfach zu mir her, weil es bei uns beiden so gut passt. Wünsche an denen du hängst, Gesten welche dein Inneres berühren, glücklich sein wenn du daran denkst, wie wohl du dich dabei fühlen kannst. Küsse können grausam schmecken wenn du diese Lippen nicht begehrst, Geld kann keine Lust erwecken wenn die Seele streikt und sich beschwert. Du spürst genau wo deine Heimat ist. Es gibt für dich keine Gegenwehr. Die Liebe musstest du lange vermissen, doch komm einfach her, komm her… Sandra Meine Mutter Heute ist der Tag meiner Befreiung. Zumindest der meiner inneren Lossagung von einem Martyrium, dessen Ausmaß mir erst zwanzig Jahre später bewusst werden wird. Die Tür fällt ins Schloss. „Hallo Mama“, rufe ich und wie immer erhalte ich keine Antwort. In der Wohnung ist es stickig. Gelüftet hat sie wieder nicht. Der Zigarettendunst benebelt meine empfindlichen Augen. Der Arzt sagte ich leide unter einer Tierhaarallergie und Heuschnupfen. Mutter schießt alle Bedenken der Ärzte in den Wind. Ihr ist es schlichtweg egal, unter welchen Krankheiten ich leide. „Die Katze und der Hund leben seit Jahren bei uns im Haushalt und jetzt auf einmal sollst du eine Tierhaarallergie haben, das ist doch lächerlich“, schnauzte sie mich an als wir die Arztpraxis an einem Montag im Mai vor drei Jahren verließen. Vor drei Jahren war ich elf Jahre alt und noch recht duckmäuserisch. Widerworte hätte ich niemals gegeben. Der Arzt sagte meiner Mutter, dass bestimmte Gräser im Mai in der Blüte ständen und ich deren Pollen nicht vertrage. Ein Mittel aus der Apotheke sollte sie kaufen. Mehreren Tests hatte ich mich unterzogen und es gab kein Vertun, dass ich eben unter diesen Allergien litt. Meine Not war groß. Keine Luft zu kriegen, ist ein fürchterlicher Zustand und doch interessierte es meine Mutter nicht im Geringsten wenn ich unter Atemnot litt. „Wir haben kein Geld für die scheiß Medikamente. Ich kann nicht alles bezahlen“, lamentierte sie frotzelnd in Selbstgesprächen versunken, während sie mich eilig an der Hand über die Einkaufsstraßen hinter sich her zog. Es stinkt nach Katzenpisse in den Räumlichkeiten. Mutter hat die Tiertoilette wieder nicht sauber gemacht und dabei weiß sie genau, dass ich beinahe ersticke, wenn ich das Zeugs ausleere. Mit zittrigen Händen greife ich an die Küchentür die einen Spalt breit offen steht. Welches Bild erwartet mich? Mein Herz schlägt mir bis zum Halse. Angst. Immer diese verzwickte Angst, mit Augenblicken konfrontiert zu werden, die meine Seele in ein tiefes Loch stürzen. Mutter kniet auf dem Linoleumboden. Sie ist nackt. Milow ist bei ihr und ich erkenne nicht gleich was Sache ist. Milow ist unser Hundemischling. Er ist über vierzehn Jahre alt und taub. Geräusche an der Wohnungstür nimmt er nicht mehr wahr. Er hat mich also nicht gehört. Ein merkwürdiges Gefühl beschleicht mich von ganz tief unten aus dem Bauch heraus. Drückt meine Kehle zu. Mutter hält in der rechten Hand einen Spender mit Sprühsahne. Mit dem Rücken kauert sie zur Tür. Auch sie hat mich nicht gehört. Außerdem ist sie beschäftigt. Mit sich, dem Hund und ihren perversen Trieben. Langsam richtet sie sich auf. Biegt ihr Kreuz gerade und sprüht die Sahne auf ihren Busen. Den größten Teil des schaumigen Zeugs auf ihre Brustwarzen. Milow ist ganz aufgeregt. Freudig mit dem Schwanz wedelnd, sitzt er vor Mutter und wartet geduldig. Er kennt das Spiel genau und es gefällt ihm. Mit der Sahne an ihren Brüsten beugt Mutter sich wieder vornüber. Milow erhebt sich aus seiner Sitzposition und schleckt mit seiner Zunge Mutters Brustwarzen ab. Ich beobachte dieses Szenario mit einem Würgreflex in meiner Speiseröhre und doch erweckt dieses abstruse Bild von Sexualität auch etwas Lustvolles in mir. In meinen sexuellen Stimulationen regt es an und ich will mich dagegen wehren. Ich weiß dass es nicht normal ist was Mutter tut. Ich weiß dass es abartig ist und doch stimulieren auch mich diese Bilder. . Gern würde ich wahre Liebe erfahren. Sex und Zärtlichkeiten austauschen und geliebt werden. Von einem Jungen in meinem Alter. Mutter windet sich angeregt unter den Bewegungen der Hundszunge auf ihren Brüsten. Stöhnt lustvoll. Wieder und wieder setzt sie den Spender an und sorgt somit für leckeren Nachschub der Geschmackssinne des unbedarften Tieres. Ihre Bewegungen werden rhythmischer und sie greift nach dem Dildo der neben ihr auf einem ausgebreiteten Küchentuch liegt. Während Milow mit seiner schlabbrigen Zunge ihre Brüste in Fahrt bringt, befriedigt Mutter sich mit dem Vibrator bis sie zum Höhepunkt erlangt. Leise verlasse ich den Ort des Geschehens und ziehe mich in mein Zimmer zurück. Schließe sachte die Tür hinter mir. Ab heute ist es vorbei. Nie wieder diese schrecklichen Bilder und nie wieder wird sie mich anfassen auf eine Art und Weise, die mir unangenehm ist. All meinen Mut habe ich zusammengenommen um ihr zu sagen, dass endgültig Feierabend mit ihren Spielchen ist. Auch auf die Gefahr hin, dass sie mich aus der Wohnung schmeißt, so habe ich eine Lösung gefunden. Ich darf jederzeit zu Tante Gisela gehen. Mit Sack und Pack bei ihr wohnen und einziehen, wenn ich das möchte. „Du hast nichts zu verlieren, Sandra“, hat sie mir versprochen. Sie kennt Mutter, hat sie gesagt. Mutter und ihre Ticks, wie sie es nennt. Sie wisse wie schrecklich Mutter sei aber das wäre nur ein trauriges Ergebnis von fürchterlichen Erlebnissen aus einer schwierigen Kindheit, über die sie ein anderes Mal mit mir sprechen wolle. https://anaiscmiller.jimdofree.com/2020/03/04/muttergl%C3%BCck-pervers-mama-h%C3%B6r-bitte-auf-damit/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:59, 27. Mär. 2021 (CET) Damians Elternhaus passte optisch nicht wirklich zwischen die feinen Neubauhäuser der Wohnsiedlung, unter deren Carports sich ein Bonzenschlitten nach dem anderen einreihte. Im fahlen Schein der Laternen fiel mein Augenmerk gleich auf die prunkvollen Villen der Straße, weniger auf das zurückgelegene Abrisshaus, neben dem Damian den Jeep abstellte. Das gammelige, unscheinbare Häuschen, das oberhalb des Berges am Waldesrand verloren und nahezu unbewohnt aussah, war wenig vertrauenerweckend. „Ist irgendwas nicht in Ordnung?“, fragte er hektisch, als er meine Irritation bemerkte, während ich aus dem Wagen stieg. „Der Kontrast“, kam es zögerlich über meine Lippen, nachdem ich auf den angrenzenden Schuppen neben dem Wohnhaus blickte, der weniger einladend aussah als der Schweinestall unseres Nachbarn. Der Garten glich einer Müllhalde. „In dem Schuppen sägen wir Holz klein und schlachten Tiere. Wir essen gerne Lamm und Kaninchen“, brabbelte Damian. Übelkeit krabbelte in meine Speiseröhre. „Das Haus meiner Eltern war eines mit der Ersten, das in dieser Straße gebaut wurde. Ist fast 150 Jahre alt. Hier lebten schon meine Vorfahren mit ihren Familien“, sagte er lässig und es klang paradoxerweise, als sei er stolz darauf, in solch einer abgefuckten Baracke zu wohnen. Das Haus war ebenso gruselig wie Damians Erscheinung und noch viel schlimmer, ehrlich gesagt. Heruntergekommen und verwahrlost. Die Liebe im Detail fehlte. Keine Blumen vor den Fensterläden. Kein Blümchen steckte in den Blumenkästen, die abseits der Haustreppe lagen, als hätte der letzte Sturm sie umgefegt. Der Garten ungepflegt und vernachlässigt. Ein reparaturbedürftiger Zaun rundete das Bild der Trostlosigkeit ab, die über dem verwaisten Grundstück lag. „Meine Mutter kann gesundheitlich nicht mehr so wie sie will, früher hat sie den Garten in Ordnung gehalten“, entschuldigte Damian das chaotische Erscheinungsbild seines Zuhauses. „Meine Brüder haben kein Interesse an dem Haus und mein Vater ist den ganzen Tag unterwegs. Geld verdienen. Obwohl er Rentner ist, wurschtelt er mal hier, mal dort, nur am eigenen Haus dummerweise nicht.“ „Ach so“, sagte ich ohne zu wissen, was ich zu den Zuständen überhaupt hätte sagen sollen. Bei den Flodders sah es jedenfalls besser aus als hier. Mit weichen Knien folgte ich Damian hinter der Haustür die Treppen hinauf. Der Gedanke des Weglaufens klopfte Sturm an der Tür meines Verstandes. In der Dunkelheit hätte ich verschwinden und mich verstecken können. Den Gedanken verwarf ich. Die Hemmschwelle, Damian wegzulaufen, konnte ich aus emotionalen Gründen nicht überschreiten. Die Folgen nicht verantworten. Seine Drohungen, mir wegen Zabou Ärger zu machen, mich sogar anzuzeigen, zeigten Wirkung. Eingeschüchtert war ich bis obenhin. Das waren Sinn und Zweck seines gemeinen Planes, sofern er überhaupt einen in der Tasche hatte, außer mich mit allen ihm zur Verfügung stehenden Mitteln zwingen zu wollen, ihn zu lieben. Mein schlechtes Gewissen und die Angst trieben mich in das Haus. Eine uralte, knarrende, wohl morsche Treppe, auf der man befürchtete abzustürzen, führte in Damians Zimmer, ganz oben unter dem Dach. Licht gab es keines. „Stromrechnung nicht bezahlt“, brabbelte Damian und nahm eine Taschenlampe vom Treppenvorsprung. Unter dem winzigen Licht ihres armseligen Scheins, führte er mich zu seinem Zimmer. „Willkommen in meinem bescheidenden Reich“, hielt er mir die Tür auf. Der Geruch von Fäulnis stieg in meine empfindsame Nase. Mit dem Feuerzeug zündete er mehrere Kerzen an. „Dann mache ich es uns mal romantisch“, umgarnte er mich. Die Möbel alt und vergammelt, marode wie aus dem dritten Jahrhundert stammend, schienen so fürchterlich zu stinken. Entsetzt blickte ich auf zahlreiche Fotos, die aus Zeitungen und Illustrierten ausgeschnitten, als Tapete an die Wände gekleistert worden sein mussten. Meine müden Augen entdeckten nicht eine freie Stelle, an der kein Foto klebte. Beim Näherhinsehen entdeckte ich lauter nackte Frauen auf den bunten Papierfetzen. Bild an Bild, reihten sich nackte Blondinen mit üppiger Oberweite. Erschrocken trat ich einige Schritte zurück. Außer den verrotteten Möbeln und Pornofotos an den Wänden gab es nicht einmal ein Fenster in dem dunklen Zimmer, durch das man Sauerstoff hätte hereinlassen können, um zu atmen. Ein schwarzes Etwas huschte über die Holzdielen und verschwand fiepend unter dem Schrank. „Was war das?“, schrie ich entsetzt auf. „Eine Ratte vielleicht. Leider keine Seltenheit in den alten Häusern“, steckte sich Damian in aller Ruhe eine Zigarette an und warf sich auf das klapprige Bettgestell, das unter ihm verdächtig ächzte und quietschte. „Hier kann doch kein Mensch wohnen“, stotterte ich. „Siehste doch“, lachte Damian und winkte mich zu sich. „Komm, hier ist es gemütlich.“ Der Gedanke, dass ich auf dem Bett mit der dreckigen Decke darauf und den gelben Flecken auf der Matratze darunter, im Beisein von Ratten, die unter dem Schrank hockten, entjungfert werden sollte, konnte nur ein grauenvoller Albtraum sein und ich hoffte endlich aus ihm aufzuwachen. „Komm zu mir aufs Bett! Wir fummeln ein bisschen und dann bringen wir es hinter uns“, klopfte er auf die Matratze. „Ich, ich kann hier nicht“, stotterte ich. „Wie jetzt?“, wurde Damian nervös. Verstört zog ich die Schultern hoch. „Hey, jetzt mache keine Zicken hier, Fräulein. Erst sagtest du, du könntest im Auto nicht und wir sollen zu mir fahren, jetzt sind wir bei mir und du kannst auch hier nicht? Was soll das?“, warf er die brennende Zigarette auf den Fußboden. Mit der Schuhspitze seines Turnschuhs drückte er sie aus. Im Holzboden blieb ein Brandloch zurück. „Hier gibt es Ratten und ich kann nicht atmen. Ich kriege keine Luft“, röchelte ich. Damian erhob sich vom Bett. Entschlossen schritt er auf mich zu, packte mich am Unterarm und schleuderte mich lieblos auf das Bett. „Jetzt halte endlich dein dummes Maul, du blöde Schlampe!“, schrie er mich an. Im selben Atemzug riss er mir die Klamotten vom Leib. „Ich habe echt gedacht, wir beide hätten das Ganze ein wenig romantischer angehen können, aber du gibst mir einfach keine Chance“, nestelte er an der Gürtelschnalle seiner Jeans, nachdem meine Kleidung neben dem Bett gelandet war. Wimmernd lag ich auf der übelriechenden Matratze, die bestimmt seit mehreren Jahren niemand mehr gewechselt hatte. „Warum zitterst du denn so?“, schrie er. Ich rührte mich nicht. „Guck mich gefälligst an, wenn ich mit dir rede, Schlampe!“ Damian drehte komplett durch. In dieser Nacht lernte ich ihn von seiner schlimmsten Seite kennen. Ein heftiger Schlag in mein Gesicht brachte mich zum endgültigen Schweigen. Selbst die Tränen hielten sich aus Angst vor Damians Wutausbrüchen zurück. Zum Glück ging es schnell. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:10, 28. Mär. 2021 (CEST) Zum Jahresbeginn plant der Mensch alle Jahre wieder, für die Folgemonate seines Lebens, etwas Besonderes oder er setzt sich ein Ziel, das er im letzten Jahr nicht erreicht hat. Manche wollen im Berufsleben aufsteigen und verlieren ihren Job, andere geben das Rauchen auf und satteln um auf E-Zigarette und Alkohol, wieder andere wollen endlich den heißersehnten Fallschirmsprung wagen und vergessen beim Absprung den Fluglehrer mitzunehmen. Lapidar gesagt, kannst du immer und überall, mit deinen Vorsätzen ganz schön auf die Fresse fliegen. Dennoch sind in unserem Leben die planbaren Ereignisse, ein tiefes, menschliches Bedürfnis, und ebenso wie unsere Würde, unantastbar. Mir ist es ein dringendes Bedürfnis, mit meiner besten Freundin zum Brunchen zu gehen, mir ganz ungezwungen eine neue Jeanshose zu kaufen, mich in ein Cafe zu setzen, weil ich dort einen Latte Macchiato trinken, und anschließend in der Eisdiele, ein Spaghettieis essen möchte - und dennoch - sind mir all diese wichtigen Bedürfnisse, strengstens untersagt, weil irgend so ein Virus unterwegs ist. Das heißt: Im schlechtesten Fall sterbe ich in absehbarer Zeit sowieso an dem Virus, ohne noch einmal Freude in meinem Leben erlebt und ausgekostet zu haben, bevor mich ein Bestatter in Schutzausrüstung, in die hölzerne Kiste schmeißt und ich drei Etagen tiefer im finsteren Erdloch lande und von Würmern zerfressen werde. Im besten Fall verliere ich „nur“ jegliche Bedürfnisse, die mir Glücksgefühle verschaffen und sterbe nicht, meine Seele verreckt aber, weil ich ja gar keinen Ausgleich mehr habe, an dem ich mich erfreuen könnte. Die Seele stirbt, wenn du ihr nichts zu Futtern gibst. Sie stirbt auch, wenn du ihr die falsche Nahrung zuführst. Jetzt zeig mir einen Menschen, der nach dieser Scheiße immer noch völlig normal tickt, obwohl man ihn um wichtige Bedürfnisse beraubt. Selbst mein Kind ist unzufrieden und läuft nicht mehr in der Spur. Jeder der mir sagt, er sei im Endloslockdown glücklich, der lügt in meinen Augen. Ich will es niemandem unterstellen, aber das kann nicht wahr sein, dass Ihr da draussen alle glücklich seid. Es sei denn, du sitzt sowieso den ganzen Tag lang nur vor dem Computer, hast keinen Job, keine Familie, keine Tiere und auch sonst nichts in deinem Leben, wofür es sich zu kämpfen lohnt. Gut, dann fehlt dir auch nichts. Schlaf weiter und schalte am besten niemals die Nachrichten ein. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:16, 29. Mär. 2021 (CEST) Und dann fuhr mitten in der Nacht auf der einsamen Landstraße meines Nachhauseweges, die Polizei an mir vorbei. Entsetzt blickte ich den Fahrer an und er mich ebenso erschrocken, während ich noch immer mit dem Handy beschäftigt war, um die Sprachnachricht zu vollenden. Wie ein gleissender Blitz schlug es in mich ein. Die beiden Bullen mussten das Smartphone gesehen haben, das Displaylicht hatte mich verraten. Schweißperlen traten auf meine Stirn. Mein Punktekonto in Flensburg liess nix mehr zu. Nicht mal n halben Punkt... Handy am Steuer- das wird teuer..., dachte ich seufzend. Im Rückspiegel sah ich, wie sie den Polizeibulli wendeten und mich verfolgten. Wohin mit dem Telefon? In meiner Not, schmiss ich es unter den Beifahrersitz... "Papiere bitte!", knurrte der grimmige Beamte. Nervös reichte ich sie ihm durch die heruntergelassene Scheibe. "AUSSTEIGEN!", forderte er mich auf in einem Ton, der mich Schlimmes erahnen liess. "Bin ich jetzt verhaftet?", fragte ich und meine Gedanken rotierten. Hatten die beiden etwa auch gesehen, dass ich das Beweismaterial verschwinden lassen wollte? --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:36, 30. Mär. 2021 (CEST) Was habe ich Tränen gelacht...aber auch geheult Nach einem anstrengenden Arbeitstag, fuhr ich gegen 21.30 Uhr vom Discounter nach Hause, als mich unerwartet eine Polizeistreife aus dem Verkehr zog. Mein Tag war bis dato ohnehin beschissen verlaufen, deshalb wunderte mich gar nichts mehr. Das mit der Polizei war mal wieder typisch: „Ich!“ Ich war müde und abgespannt, wollte eigentlich nur noch in mein Bett und hatte jetzt erst einmal die Bullen am Arsch hängen. Der Grund, warum sie mich angehalten hatten, war für mich plausibel und ersichtlich: „Handy am Steuer!“ Doch der Polizist, der sich meine Papiere zeigen ließ, musste mich wohl wegen einem ganz anderen Vergehen angehalten haben, denn als er schließlich in einem mir fremden, besonders barschen Ton sagte: „Aussteigen!“, war mir klar, dass man für die Tat „Handy am Steuer“ nicht gleich verhaftet wurde. Aber warum sonst, sollte ich aus dem Fahrzeug aussteigen, wenn nicht die Handschellen klickten? Ich nehme dich, wenn du magst, mit auf eine Reise der letzten Monate meines Alltags. Du wirst lachen und vielleicht auch weinen, fluchen und staunen, was mir widerfahren ist. Das, was ich erzähle, ist nicht einmal ausgedacht oder fiktiv, nein, es ist die nackte, ungeschönte, ehrliche Wahrheit einer Frau, die selbstkritisch und humorvoll, über gewisse „Missetaten“ ihr Schweigen bricht. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:28, 31. Mär. 2021 (CEST) Übrigens, ich bin immer völlig amused, wenn mir so richtig miese Rezensionen reingedroschen werden und ich dann auf das Profil der Rezensenten gehe, und sehe, dass genau diese Menschen mir folgen. Warum? Wollt Ihr mich fertig machen? Oder süchtet Ihr nach den Büchern? Gruppenzwang? Fragen über Fragen... Ja, vielleicht solltet Ihr das in euren Profilen mal löschen. Weil, das kommt nicht gut. Ich meine, das sehen andere ja auch. Schiesst Ihr euch nur n Eigentor mit. Übrigens... die meistverkauften Bücher sind die- in denen die miesesten Rezensionen stehen. Also, nur zu! Lasst euch bitte so richtig aus! Sachen gibt's... 😅 * Meine Theorie ist die gute, alte Projektion und Übertragung. Die ganzen Basher sind doch alle selbst geil auf Blut und Gewalt, aber das ist ja fies und bah und da beschäftigt sich man nicht mit. Wenn man das aber konsumieren kann aus dieser erhöhten Selbstwahrnehmung, kann man gut den Schauer genießen, es aber trotzdem widerlich finden und die beschimpfen, die dazu stehen, dass es sowas gibt und es auch offen gesagt, gesehen und wahrgenommen werden muss. Ich hab mal in einer Autoren-Hilfegruppe gefragt, ob es möglich ist, als Unbeteiligter vollständige Akten der Amtsgerichte nach Urteilsverkündung inkl. Gutachten und Tatortfotos und Obduktionsbefunde anzufordern, da ich gern über zwei konkrete Fälle aus D schreiben würds und zwar eng an der Realität, True-Crime halt, was meinst, was da los war ..... Perverser, Aufgeilen wollte ich mich, was mich das anginge usw. usf., Persönlichkeitsrechte des Täters usw. Ey Hallo? Ich hätte die Kopien ja bezahlt und die Namen der Beteiligten hätte man schwärzen können, wenn es sein muss. Gehen geht alles, wenn man will. Und ich finde, die Persönlichkeitsrechte eines Täters wiegen weniger, als ein Urteil „Im Namen des Volkes“. Ich denke, wir Bürger sind das Volk? Dann ist es doch auch das gute Recht jedes Interessierten, zu erfahren, WARUM in seinem Namen ein Urteil gesprochen wurde, wie man im Einzelnen zu dem Ergebnis kam und welche detaillierten Einzelheiten der jeweiligen Angelegenheit in Gänze zugrunde lagen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:18, 1. Apr. 2021 (CEST) Das angstvolle Wiehern meiner Pferde drang bereits in meine sensiblen Ohren, da hatte ich den Stall noch gar nicht erreicht. Kaum über den Berg gelaufen, ließ meine Intuition das Adrenalin in meinen Venen explodieren und ich wusste sofort, ich musste mich beeilen, um Schlimmeres zu verhindern. Meinen Rucksack warf ich ins Gras. Dann rannte ich so schnell ich konnte. Die Peitschenhiebe ließen mir das Blut in den Adern gefrieren. Von weitem schon sah ich Damian, wie er mit der Peitsche ausholte und auf mein Pferd einprügelte. Das Tier hatte keine Chance ihm auszuweichen, es hielt sich in der Box auf und nicht draußen auf der Weide. „Aufhören!“, schrie ich und riss ihm das Folterinstrument aus der Hand. „Was tust du?“, schubste ich ihn. „Du warst wieder bei dem Wichser“, sprang Damian im Dreieck. „Ich habe dir gesagt, du sollst da nicht mehr hingehen, verdammt.“ „Er ist mein Freund. Ein guter, lieber Freund, nichts weiter“, rechtfertigte ich mich und versuchte, mein Pferd zu beruhigen. Die Striemen zeichneten sich im Fell der Kruppe ab. Mir tat es weh hinzusehen. „Ich will das nicht. Du gehörst mir. Mir alleine, wann kapierst du das endlich?“, tobte Damian und trat mit dem Fuß tote Gegenstände durch die Gegend. Die Mülltonne schepperte um die Ecke, die Boxentür riss er aggressiv aus den Angeln und schleuderte sie zu Boden, dann griff er nach Amy, so hatte ich das kleine Hundebaby getauft, das tollpatschig um uns herum tapste. „Lass den Hund in Ruhe“, schnappte ich mir die Mistgabel und ging auf Damian los. Jetzt reichte es mir aber. „Du willst mir drohen?“, lachte er und griff nach dem Stiel der Forke, doch ich ließ sie mir nicht entwenden, sprang im richtigen Moment zurück und holte zum ersten Schlag aus. „Hau ab“, schrie ich. Ich wuchs über mich hinaus. Hielt die scharfkantigen Zinken in sein Gesicht gerichtet. „Du quälst keine Tiere mehr. Meine zumindest nicht“, holte ich erneut aus und dieses Mal traf ich ihn empfindlich mit einem kräftigen Schlag an der Schulter. Er taumelte, ging in Deckung und wich mehrere Schritte vor mir zurück, doch ich konnte nicht aufhören. Es kam über mich. In blinder Wut verprügelte ich Damian mit der Mistgabel, als würde es kein Morgen mehr geben. Die Schläge kamen immer schneller, setzten sich immer gezielter. Trafen ihn am Kopf, auf dem Rücken, in den Kniekehlen und an den Hüften. Vor Schmerzen schrie er auf und lief fort. Ich ihm nach, während ich noch immer wie eine wildgewordene Furie auf ihn eindrosch. Hätten mich meine Kräfte nicht verlassen und er das ihn rettende Auto nicht erreicht, hätte ich ihn vielleicht totgeschlagen. Mit durchdrehenden Reifen fuhr er davon. „Lass dich bloß nie wieder hier blicken, du Arschloch!“, schrie ich dem davonfahrenden Jeep nach. Weinend schloss ich Amy in meine Arme. Das kleine Wollknäuel und ich gegen den Rest der Welt, so fühlte sich der Schmerz in meiner Brust an. Mir war klar, ich müsste mein Leben ändern wenn ich leben wollte, so konnte es nicht weitergehen. „Und wenn ich alle Pferde abgeben muss“, heulte ich Sina die Ohren voll. Wobei ich nicht mal mehr weinte, wenn ich über das Drama sprach, Tränen gab es in meinen Augen längst keine mehr. „Du sollst dein Leben ändern wegen ‘nem Psycho?“, kreischte Sina. „Ich habe anscheinend keine andere Wahl. Der Typ wird mich nie in Ruhe lassen. Ich kann so jedenfalls nicht mehr weitermachen. Einer bleibt auf der Strecke. Entweder er oder ich“, schnaufte ich. „Ja, du läufst schon rum wie ein Zombie“, stellte Sina nüchtern fest. Ich habe damals fast eine halbe Seite der Bildzeitung ausgefüllt ... so schade, dass ich den Artikel nicht aufgehoben habe... Alles was an den Typen erinnerte, wollte ich nur loswerden... https://www.facebook.com/jeannine.piekenbrock https://www.facebook.com/MyHomeAnaisCMiller Arbeitet bei Meine Pferde "Warinja" & Co - https://www.facebook.com/AnaisCMillerPferde Boss bei Selbständig Verkäuferin ❤ bei Lidl Dienstleistung GmbH & Co. KG --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 23:27, 2. Apr. 2021 (CEST) Ein Buch, mit dem ich den Schwerpunkt auf die Diaologe der Betroffenen vor, während und anschließend der Vergewaltigung legen möchte und in dem es mir weniger um die Brutalität der Tat ansich geht. Es soll aufzeigen, wie widerwärtig sich Menschen verhalten... Auszug „Hallo, hören Sie mich?“ Ein alter Mann beugt sich über mich. Benommen blicke ich in ein unrasiertes, dreckiges Gesicht. „Helfen Sie mir bitte“, stöhne ich. „Ja, ich muss jemanden rufen. Einen Krankenwagen, aber ich habe kein Telefon dabei“, stammelt er in abgehackten, holprigen Sätzen. Entsetzt blickt er auf meine nackten Brüste. Mein Kopf liegt in einer Pfütze. Ich spüre wie die Nässe in mein Ohr eindringt und sich in meinen Haaren verfängt. Mir ist nicht klar, ob es Regenpfützen sind oder mein eigenes Blut, in dem ich liege. Meine Arme will ich heben, schützend über meine Brüste legen, doch sie bewegen sich nicht. Hilflos krallen sich die Fingernägel in den kalten Betonboden des Parkdecks mit der Nummer 7. Der Schmerz in mir zeigt kein Erbarmen. Mit brutaler Gewalt holt er die Erinnerung zurück an das Geschehen, das sich vor wenigen Augenblicken ereignete. „Hey Sie“, ruft der alte Mann. Aus dem Augenwinkel heraus sehe ich, dass er angestrengt einem jungen Mädchen nachhumpelt, das in einen kleinen, roten Rover einsteigen will. „Hier ist jemand verletzt. Haben Sie ein Telefon dabei? Die Absätze ihrer Stöckelschuhe klackern in einem zermürbend gleichmäßigen Takt, der sich nicht verlangsamen will. "Bitte, helfen Sie“, fleht er. "Blipp blipp," öffnet sich der Wagen per Funk. Das Mädchen steigt ein ohne sich umzudrehen. Die Autotür schlägt zu. Motorengeräusch. Der mechanische Klang ist verstörend. Verzweifelt rettet sich der alte Mann mit einem Sprung zur Seite, um von dem Fahrzeug nicht angerempelt oder umgestoßen zu werden, als es rückwärts aus der Parkfläche rangiert. „So helfen Sie doch bitte“, ruft er dem Auto nach, das rasant an mir vorbeifährt. Das Mädchen im Inneren schenkt mir und meiner Situation nicht einen Funken ihrer Aufmerksamkeit. Versteinert starrt es unbeteiligt auf das Lenkrad, das scharf nach links einschlägt, um ins tiefere Parkdeck zu gelangen. Der Auspuff des Minis röhrt entsetzlich aufdringlich in den niedrigen Decken zwischen den mit Graffiti beschmierten Mauerwerken. Welch widerwärtiger Kontrast zu meinem Schluchzen und Wimmern. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:00, 3. Apr. 2021 (CEST) Ich schrieb mal unter Pseudonym ein Buch mit dem Titel "Die Wünsche der Vergessenen". Hat es zufällig jemand gelesen? Das Buch schrieb ich nach wahrer Begebenheit. Das Pseudonym nahm ich, weil ich nicht so unterirdische Rezensionen kassieren wollte, denn es gibt dort draussen ganz viele Menschen, die mich abgrundtief hassen. Die Protagonisten aus der Erzählung gibt es tatsächlich. Nun ist Wolfgang letztes Jahr verstorben, die Oma, die das KZ überlebt hat, ist auch tot und heute kommt der Italiener im Rollstuhl zu mir an die Kasse. Er hatte endlich eine Freundin gefunden und die zwei waren ein tolles Paar! Da erzählt er mir heute, dass seine Freundin vor ein paar Tagen gestorben ist. An einer Lungenembolie. Ich bin geschockt. Sie war erst 35 Jahre alt... Ich bin traurig, denn ich kenne alle diese Menschen persönlich...das Schicksal kloppt immer den Falschen in die Fresse, ehrlich... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:38, 3. Apr. 2021 (CEST) Wolfgang hatte mich den letzten Tag an dem ich ihn gesehen hatte, gebeten, das St. Georgs Werk anzurufen, damit ihn am Lidl jemand abholt, ihm ging es sehr schlecht. Aus dem Heim hatten sie ihn aber rausgeschmissen, weil er sich gegen alle Regeln widersetzt und weiterhin Drogen genommen hat. Ich hatte die Tele Nr nicht und durfte auch von der Arbeit aus nicht telefonieren. Zwei Tage später war er tot... * Ich hoffe das legst du dir nicht zur Last...so traurig wie es ist, aber er hat ja Hilfsmöglichkeiten gehabt und nicht angenommen...was soll ein anderer da tun...irgendwann tritt dann eine solche Situation ein wo eben nichts mehr ineinander greift und dann ist es zu spät. Er hat sich verloren...das hätte keiner aufgehalten * Grausam ist trotzdem das du auf der Arbeit nicht mal telefonieren durftest... Wir haben uns da nicht einzumischen. Wusste ja auch keiner- wie schlecht es ihm tatsächlich ging... * Habe vorgestern Abend die Kurzgeschichte von der besten Freundin gekauft in einer Stunde gelesen und war wieder begeistert so toll ich liebe diese Alltagsgeschichten von dir. Top. Gibt es davon eine Fortsetzung ? da es ja Realität ist, hoffe ich, daß es keine Fortsetzung gibt. Solche Tage brauche ich nicht noch mal --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:05, 4. Apr. 2021 (CEST) Mann Mann Mann...😑 Letzte Woche Mittwoch gings los. Schlagartig heraus wie aus dem Nichts, traf es mich. Mir war kotzübel und ich musste frühzeitig von der Arbeit aus Feierabend machen weil ich dachte, ich kotze den Kunden vor die Füsse. Am nächsten Tag Rückenschmerzen, Kopfschmerzen, Bauchschmerzen und Harnwegsschmerzen. Ich sass heulend auf der Toilette. Diese Schmerzen beim Wasserlassen, das war irre. Natürlich bin ich zum Arzt und der hat meinen Urin untersucht und gesagt, dass das nicht gut ausschaut und ein Antibiotika aufgeschrieben. Ich bin trotzdem zur Arbeit und ja, es war ne Quälerei...Den übernächsten Tag (Ostersamstag) bin ich auch zur Arbeit ( man ist einfach zu gutmütig) und ich habe es vor Schmerzen fast nimmer ausgehalten. Man schickte mich dann früher nach Hause, aber stinksauer. So getreu dem Motto:" Simulant". Ich habe Ostern fast nur im Bett verbracht, wurde immer schwächer und mir ging es so beschissen wie lange nicht mehr. Ich dachte an Tom Hanks in The Green Mile und wünschte mir auch einen John Coffee herbei, der mich von diesen elendigen Schmerzen erlöst... 💞 Dienstag wieder zum Arzt, nochmal Urin abgegeben, immer noch ein erschreckendes Ergebnis und andere Tabletten bekommen. 💊 Heute ist der erste Tag an dem ich das Gefühl habe, es ist etwas besser... ich wäre so dankbar, auf Toilette gehen zu dürfen, ohne heulen zu müssen... 🙏 Und plötzlich ist man so dankbar, für ganz kleine, simple Dinge, wie schmerzfrei pinkeln zu können. Unglaublich... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:12, 8. Apr. 2021 (CEST) So wie das ausschaut, werde ich FB den Rücken kehren. Zumindest, was meine Beiträge anbetrifft. Ich bin zu müde für diese Hetzcampagnen geworden. Das Leben dort draussen ist auch nicht besser zur Zeit, aber es gibt meine Tiere die mich brauchen und Sinnvolleres zu tun, als mich über Menschen zu ärgern, die andere verurteilen und mit dem Finger auf sie, in dem Falle auf mich, zeigen. Ich lasse mein Profil stehen und auch den Messanger, um mit wirklichen Freunden zu kommunizieren, aber meine Beiträge werde ich einstellen. Auf meiner privaten Seite handhabe ich das ebenfalls so. Die Bücher schreibe ich wie gehabt weiter. Wer sie lesen mag, ich freue mich über jeden, der mit dabei ist und wer sie nicht lesen mag, der lässt es einfach bleiben. Ich bleib ja da, poste aber nichts Privates mehr. Gebe nichts mehr aus meinem Innenleben preis, denn das macht angreifbar und lädt Idioten zu Verurteilung ein. Somit gibt es Werbung zu neuen Büchern und fertig. Damit wird es sich besser und ruhiger leben. Zumindest für mich. Im Messanger bin ich erreichbar und ich lese und kommentiere auch eure Beiträge. Ich bedanke mich von Herzen bei denen, die wirklich hinter mir stehen. Ohne euch hätte ich mein Profil schon lange komplett gelöscht Es geht gar nicht mal um die Diskussion, Negativwerbung ist immer förderlich und das macht mir auch nix. Es geht darum, dass wenn man sich politisch äußert oder generell Gedanken freilässt, man sich angreifbar macht und das möchte ich vermeiden. Wir haben es derzeit alle schwer genug und müssen uns das Leben nicht noch schwerer machen. Deshalb pflege ich meine Seiten, bewerbe meine Bücher und halte mich ansonsten zurück. Ist auf Dauer gesünder. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:35, 8. Apr. 2021 (CEST) Das Cover ist nur vorübergehend, das Oroginalcover wurde von FB gesperrt! Buchauszug. Start Ende April Meine beiden Brüder brachten täglich ihre Freunde mit zu uns nach Hause. Sie spielten im Garten Fußball, angelten im Teich nach Karpfen und paddelten mit dem Boot über das trübe Wasser. Die Jungs die sie mitbrachten, waren ebenfalls die Kinder der Angestellten meines Vaters. An den Wochenenden feierte Papa rauschende Feste. Da gab es Bier und Grillwürstchen für alle. Für alle, die kommen wollten und wir hatten immer Full House. Die Stimmung unter den Erwachsenen war ausgelassen, wobei mir im Laufe meines Älterwerdens auffiel, dass an den Feierlichkeiten kaum Frauen teilnahmen. Irgendwie waren diese Feste eine reine Männerveranstaltung und das schien seine Gründe zu haben. Selbst Mama hielt sich zurück, und während der Partys meist nur im Haus auf. Dort half sie der Haushälterin beim Schnittchen schmieren und Getränke auffüllen. Wir Kinder hatten sehr wohl Zutritt zu der Terrasse, durften Würstchen essen und Malzbier trinken, hielten uns aber lieber abseits des Geschehens auf. Spielten zusammen Weitwurf, Völkerball und Verstecken, während die Erwachsenen bis tief in die Nacht feierten und sich beinahe ins Koma soffen. Bisher war es jedes Mal so gewesen, dass mindestens eines der Kinder kurz vor Mitternacht von dessen Vater eingesammelt wurde und wir aufgefordert wurden, ins Bett zu gehen oder uns solange nicht mehr blicken zu lassen, bis man nach uns rief. Meine Brüder und ich, wir dachten uns nichts dabei. Wir waren es gewohnt, dass wir Abstand hielten, wenn Papa uns dazu aufforderte. Es war selbstverständlich, dass die Erwachsenen auch mal gänzlich unter sich sein wollten. Das hatten wir von klein auf an gelernt und anerzogen bekommen. Wenn Papa sagte: „Und jetzt bleibt ihr weg hier“, blieben wir weg. Dafür hatten wir genügend andere Freiheiten. Eines Nachts jedoch, fassten wir einen Plan. Wir wollten den Erwachsenen nachspionieren, als Emils Vater seinen Sohn, den besten Freund meiner Brüder, nachdem wir Verstecken gespielt hatten, einkassierte. „Was machen die wohl mit dem?“ Patrick, angetrieben von innerer Neugierde, forderte uns auf, ihm zu folgen. „Komm, wir verstecken uns und sehen nach“, rief er. Ich ängstigte mich, doch auch meine Sensationslust war geweckt. Wir schlichen uns an das Geschehen heran, wie Indianer auf Spurensuche. Lautlos und wissensdurstig, näherten wir uns der lichtdurchfluteten Terrasse. Das, was wir sahen, war niemals für unsere Augen bestimmt. Die Erwachsenen mussten Emil gefesselt haben, der Junge saß splitterfasernackt, an einem Baum. Ein kräftiges Seil war um seinen zarten Körper gespannt worden. Der Reihe nach urinierten die Männer auf seinen dürren Torso. Einige hielten den Strahl direkt auf sein Gesicht gerichtet. Wir konnten mit ansehen, wie sie den Mund des Jungen spreizten. Emil drehte sich in den Seilen hektisch hin und her. Versuchte sich aus der desolaten Situation zu befreien. Seine Augen waren entsetzlich weit aufgerissen, sie schrien nach Hilfe. „Scheiße“, überkam es Patrick. Er war der Älteste von uns, verstand am besten, welche Tragödie sich abspielte. Emil spuckte, würgte und kotzte. Zwischendurch versuchte er zu schreien, doch das heizte die Erwachsenen umso mehr an, noch grausamer gegen das Objekt ihrer Sünde vorzugehen. „Was machen die mit dem?“, lispelte Sven. „Sie foltern ihn“, flüsterte Patrick. „Aber warum?“, mischte ich mich ein. „Halt den Mund, Silke“, zischte Patrick. Starr vor Angst, beobachtete ich, wie einer der Männer eine Peitsche ergriff und auf den wehrlosen Jungen einprügelte. Die Männer lachten, während Emils Schreie die Nacht durchrissen. Ich glaubte, ein Horrorfilm liefe, den ich noch gar nicht angucken durfte. Gleich wachte ich auf aus einem schlechten, ganz miesen Albtraum oder Mama weckte mich. Die Männer erhoben ihre Gläser, stießen an, tranken daraus und schütteten den Inhalt lauthals lachend in Emils Gesicht. Der Freund meiner Brüder röchelte, während die Erwachsenen ihren Spaß genossen. „Die sollen aufhören“, muckste ich auf. „Aufhören“, wollte ich laut schreien, doch Patrick hielt mir den Mund zu. „Halt die Klappe Silke. Gleich entdecken sie uns und dann sitzt einer von uns am Baum“, stopfte mir mein Bruder das Mundwerk. „Sowas macht Papa nicht“, widersprach ich. „Ha, wenn du wüsstest, was Papa für ein Drecksschwein ist und was der alles macht“, fluchte er. Der Blick meines ältesten Bruders traf mich strafend. Niemals zuvor hatte er mich so böse angesehen. „Sie ist noch zu klein“, nahm mich Sven in Schutz. „Ich bringe ihn um. Sobald ich alt genug bin, knalle ich das dreckige Arschloch ab, ich schwöre es euch“, sprach Patrick erregt. Unser Vater und seine Freunde schlugen Emil in der Nacht bewusstlos. Der Junge kehrte nicht mehr zu uns zurück. Entsetzt beobachteten wir, wie sie ihn losbanden und auf den Pflastersteinen niederlegten. Jemand schleppte einen Eimer Wasser ran. Schüttete den Inhalt mit einem rauschenden Schwall in das blasse Gesicht des ohnmächtigen Jungen. „Die bringen ihn um“, hechelte Sven. „Schweine“, stöhnte Patrick. An dem Tag, an dem ich mit ansehen musste, wie mein Vater einen Jungen in meinem Alter halb tot prügelte, fiel meine heil geglaubte Kinderwelt gänzlich aus den Angeln. Was ich gesehen hatte, wollte ich nicht wahrhaben. „Und wenn sie das mit Anna machen?“, überkam es meinen Lippen und ich erinnerte mich an den Vorfall, als Papa meine Freundin in unserem Keller eingesperrt hatte. Meine Brüder antworteten mir nicht. Schweigend zogen sie mich aus dem Radius des grausamen Geschehens. Also es ist ein Buch, das fast ohne ordinäre Gossenjargonsprache auskommt und nur wenige richtig heftige Szenen enthält, aber dennoch "knallt" (Nuttenkinder) Ich hab mir dieses Mal echt Mühe gegeben. Wobei ich heute Aschennutte gelesen habe und ich muss sagen, Aschennutte ist und bleibt echt genial...das ist wirklich mitreißend geschrieben trotz Fäkalsprache Naja, so ist das Leben eben. Soll alles nur vertuscht werden. In der DDR gab es Gruppenerziehung! bis zur Bewußtlosigkeit. Ich habe 1969/70 neben dem "Jugendwerkhof “Hübner-Wesolek” für gefährdete Jugendliche und Jungerwachsene" in der Brunnenstraße in Bernburg an der Saale (Anhalt) gelebt - in der Villa Staake (Brunnenstraße 25), von deren Dachboden aus man den einzigen Einblick in das Gelände über die hohen Bruchsteinmauern hatte. Der riesige Garten der Villa lag genau auf der anderen Seite der Mauer, deren Krone mit Glasscherben bestückt war, worüber sich mehrere Reihen Stacheldraht befanden, die unter Strom standen. Der "Weidezaun" der LPG Menschenproduktion (ich konnte mehrfach beobachten, wie sich gepeinigte Mädchen vor Verweiflung dort hineinwarfen). Die üblichste Erziehungsmethode bestand darin, die Mädchen in Vollschutz über das Gelände zu jagen und am Gasmaskenschlauch weiter zu ziehen, wenn sie platt waren. Besonders beliebt war dabei das Grölen von "Spaniens Himmel", dem damals berühmten Kampflied von Ernst Busch. Die Strafaktion war erst beendet, wenn das letzte Mädchen zusammengebrochen war. Bei kleineren Bestrafungen hatten die Mädchen das Glück, ohne Vollschutz nur an den Haaren "erzogen" zu werden. Besonders perfide war die sogenannte "Selbsterziehung". Um diese anzuheizen, wurde eine Gruppe wegen der Verfehlung eines Mädchens bestraft. Aber dann Holla die Waldfee - die "Verursacherin" konnte sich warm anziehen. Übliche Praxis der "ErzieherInnen" war auch, die Informationen von Denunziantinnen, die dadurch kleine Erleichterungen bekamen, einem anderen (unbeliebten) Mädchen in die Schuhe zu schieben und sie dadurch in der Gruppe zu diskreditieren. Die Mädchengruppe machte zB ihre Opfer nackt, knebelten sie, fesselten sie an Knöcheln und Knie, knoteten ihnen eine Gasmaske für Kopfverletzte über und traktierten sie mit Weidenruten oder Brennesseln etc. - die Opfer gerieten so in Panik dabei, daß sie bei dem Versuch, sich die Gasmaske abzureißen, fast alle Fingernägel einbüßten. Usw usf. Und heute wird das alles kleingeredet, weißgewaschen und vertuscht, vor allem von der evangelischen Kirche, die ja aktuell selbst gegen eine Welle von Mißbrauchsskandalen kämpft: "Wer hinter diesen Mauern verschwindet, der hat seine Strafe gerecht verdient! So urteilten die Bernburger lange über das ehemalige Mädchenheim, aus DDR-Zeiten noch besser bekannt unter dem Namen Jugendwerkhof. Hohe Mauern und junge Mädchen in Holzpantinen mit langen Kitteln verstärkten diesen Eindruck. Dazu die Gerüchte über die Zwangssterilisation im Dritten Reich. Doch das am 30. Mai 1863 gegründete St. Johannis-Asyl ist in seinen Zielen keine verkappte Jugendstrafanstalt gewesen. Vielmehr war es in seiner wechselhaften Geschichte stets ein Hilfsangebot, allerdings mit sehr unterschiedlichen erzieherischen Konzepten. ... Aus dem St. Johannis-Asyl wurde 1929 das Evangelische Mädchenheim St. Johannes. Im Januar 1948 ging es in Staatsleitung über, ein Jahr später wurde daraus das Landesjugendheim, schließlich ein Spezialkinderheim mit dem Jugendwerkhof “Hübner-Wesolek” für gefährdete Jugendliche und Jungerwachsene. In dieser Zeit entsprachen Ziele und Inhalte der Arbeit der gängigen Schulpolitik. Die jungen Menschen sollten auf die Arbeit und das Leben in der sozialistischen Gesellschaft vorbereitet werden." https://www.stejh.de/ueber-uns/geschichte Es passiert so vieles, das wir nicht glauben wollen... Oh mein Gott, wie verdorben sind manche Menschen. Da weint meine Seele. Kann man normalerweise nicht glauben wie brutal und pervers manche Leute sind. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:13, 10. Apr. 2021 (CEST) Nuttenkinder - das Dorf der verlorenen Seelen Die Geschwister Silke, Patrick und Jens wissen nicht, wann es genau angefangen hat. Irgendwie war es schon immer so gewesen, dass sie vom eigenen Vater missbraucht wurden. Der Vater hat seine Kinder geliebt, aber eben nicht so, wie ein Vater seine Kinder lieben sollte. Erst mit den Jahren beginnen die Kinder zu begreifen und zu hinterfragen. Dieser Roman ist für Leser unter 18 Jahren nicht geeignet. Erzählt nach einer wahren Begebenheit. amazon.de/Nuttenkinder-Biografie-Anais-C-Miller-ebook Fehler: Die Seite, die du speichern möchtest, wird durch den Spamfilter blockiert. Das liegt wahrscheinlich an einem Link zu einer externen Seite, die in die „Spam-Blacklist“ aufgenommen wurde. Wenn der vom Spamfilter gefundene Link nicht von dir selbst eingefügt wurde, ist er schon älter und bereits in der aktuellen Version der Seite enthalten. Damit das Speichern möglich wird, musst du den Link erst entfernen. Wenn du der Überzeugung bist, dass der fragliche Link nicht auf der „Spam-Blacklist“ stehen sollte oder fälschlicherweise geblockt wird, hinterlasse bitte einen Hinweis mit konkreten Angaben zu diesem Artikel und dem Linktext auf dieser Diskussionsseite oder wende dich an einen der Pedelle. Der folgende Text wurde vom Spamfilter gefunden: amazon.de/Nuttenkinder-Biografie-Anais-C-Miller-ebook Stell dir vor, du bist ein zartes, unschuldiges Kind und glaubst noch an das Gute im Menschen. Du hast Träume und Visionen, und deine Gedankenwelt ist farbenfroh und bunt. Du lebst mit deinen Eltern und Geschwistern in einem kleinen Dorf. Ein Ort, an dem jeder jeden kennt, doch alle Einwohner abhängig von deinem Vater sind, weil er ihnen Arbeit gibt und ein Dach über dem Kopf gewährt. Und dann stell Dir vor, in diesem Dorf geschehen grausame Dinge und die Erwachsenen verschließen ihre Augen vor fürchterlichen Verbrechen und Missetaten, und sie alle schweigen darüber. Niemand unter ihnen ist mutig genug, sich gegen das Elend aufzulehnen, aus Angst, den Job und das traute Heim zu verlieren. Du bist zwar noch ein Kind; und doch weisst du, dass du in der von deinen Eltern geschaffenen Lügenwelt nicht länger mitspielen willst ... Von dem Mut eines Mädchens, das aus einem korrupten System ausbrach, um für die Freiheit seiner Freunde zu kämpfen. Das Cover bei Amazon wird gewechselt, da mir FB aufs Dach steigt und ich mein Konto verliere, wenn ich es noch einmal poste. ahja, Facebook droht mit Kontoverlust - also die nächste Institution, welche die Wahrheit nicht sehen will, sondern nur vertuschen ... kann sich aber gaaanz hinten anstellen: Staat, römisch!-katholische Kirche, evangelische Kirche ... Facebook [[w:Kategorie:Sexueller Missbrauch in der römisch-katholischen Kirche]] [[w:Sexueller Missbrauch in der Evangelischen Kirche in Deutschland]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:26, 11. Apr. 2021 (CEST) Wenn ich einen Wikipedia-Rotlink "Anais C. Miller" erzeuge, scheint noch niemand versucht zu haben, einen Autorenartikel anzulegen - so daß mir schleierhaft ist, wie Du zu so "speziellen Freunden" bei Wikipedia und WMF kommst, daß Du auf der Spamlist landen konntest. Dort finden sich in der Regel Wiedergänger, d.h. notorische Wiederholungstäter, welche immer wieder trotz fehlender Relevanz und Interessenkonflikt (enzyklopädischer Artikel über sich selbst) eine Selbstdarstellung bei Wikipedia versuchen. Ich will es mal so formulieren: wenn Du ohne eine solche Vorgeschichte in der Spamlist landest, mußt Du wirklich enzyklopädisch relevant sein. 😂🤣😂 https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Anais_C._Miller&action=edit&redlink=1 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 11. Apr. 2021 (CEST) Bleib stehen, Fotze!“ Angst ummantelt meinen Hals. Legt sich nahezu erdrückend auf meinen Brustkorb, während ich eiligen Schrittes die Kreuzung überquere und zielstrebig in Richtung Parkhaus schwenke. Kinderstimmen sind es, die mir nachrufen und vor denen ich mich ängstige. Lächerlich! Und dennoch, laufe ich eiligen Schrittes meines Weges, der auf die letzten Meter nicht mehr enden zu wollen scheint, um diesen Kindern nicht in die Quere zu kommen. „Fotze, warte auf uns“, rufen sie noch einmal. Beinahe im Chor. Eiskalt läuft es meinen Rücken hinunter. Sie führen etwas im Schilde, ganz sicher. Die Dämmerung hat bereits eingesetzt. Der Schein der Straßenlaternen begleitet meinen hektischen Schatten entlang des Bürgersteigs. Mein Atem rasselt. Die Angst, sie ist allgegenwärtig. Ganz besonders nachts. Gähnende Leere herrscht in den Seitenstraßen. Kaum jemand ist um diese Uhrzeit unterwegs. Einige windige Gestalten schleichen um die Häuserecken. Führen ihre Hunde zum Abendgassi aus. Flüsternde Gespräche finden statt zwischen Zigarette rauchenden Passanten, die keinerlei Notiz von mir nehmen. Was wollen die Kinder von mir, verdammt? Warum laufen sie mir nach, zum Teufel? Gehören sie um diese Uhrzeit nicht längst ins Bett? Warum kümmern sich ihre Eltern nicht? Aus dem Augenwinkel heraus sehe ich, sie sind zu dritt, folgen mir noch immer und scheinen Gefallen daran zu finden, mich durch die Kälte der Nacht zu hetzen wie ein Objekt, das sie zu ihrer Beute auserkoren haben. Ihre Schritte beschleunigen, die Stimmen werden lauter. Sie lachen, sind albern. Fühlen sich stark und mir überlegen, weil sie zu dritt sind. Erhaben springe ich auf die erste Treppenstufe, um zum obersten Parkdeck zu gelangen. Nur noch wenige Meter, dann habe ich mein Auto erreicht. Ich werde hineinspringen, die Tür verriegeln und ihnen davonfahren. Mein Herz läuft einen Marathon. Schnellen Schrittes haste ich über den dunklen Asphalt entlang der mit Graffiti beschmierten Betonmauer. Nur noch wenige Parkfelder sind zu passieren und am Ende der Reihe wartet mein Wagen. Wenige Meter nur noch, dann bin ich in Sicherheit. Erleichtert krame ich nach meinem Autoschlüssel. Er steckt in der Handtasche. Trotz dem Chaos, das in ihr herrscht, bekomme ich ihn zwischen meine Finger. „Hey, bleib stehen“, wirft sich plötzlich jemand in mein Sichtfeld und versperrt breitschultrig und mit übereinander gekreuzten Armen bis auf wenige Meter, meinen Weg. Entsetzt bremse ich ab. Blicke in zwei gefährlich dreinschauende Kinderaugen eines hoch aggressiv und wütend wirkenden Jungen, der höchstens vierzehn Jahre alt sein mag. Bissig grinst er mich an. Während uns lediglich eine Armlänge auf Distanz hält, überlege ich, wo ich ihn schon einmal gesehen habe. Das Gesicht kommt mir bekannt vor und doch kann ich es nicht gleich zuordnen, wann und wo ich meine Erfahrung mit den zahlreichen Sommersprossen und den schief sitzenden Zähnen, die einer dringenden Korrektur durch das Tragen einer Zahnspange benötigten, gemacht hätte. Die drei Kinder stellen sich im Halbkreis auf. Umzingeln mich. „Wohin so eilig?“, klagt mich der älteste, wahrscheinlich der Anführer der Truppe, an. „Nach Hause. Feierabend“, haspele ich und denke im gleichen Atemzug, was geht’s die Rotznase an, wo ich hin will? Plötzlich fällt es wie Schuppen von meinen Augen. Der Junge heißt Murat Aslan. Vor wenigen Tagen überführte ich ihn des Diebstahls im Kaufhausriesen „Die Galerie“. Ich arbeitete dort als Kaufhausdetektivin und hatte den Jungen beobachtet, wie er sich Zigaretten und eine Falsche Schnaps eingesteckt hatte. Als er sich an der Kasse an der Kassiererin ungesehen vorbeischleichen wollte, mit seinem Diebesgut, zog ich ihn aus dem Verkehr. Er hatte „Rache“ geschworen, nachdem die Polizei eintrudelte und sein Vater, der von den Behörden alarmiert worden war, die Büroräume der Filalleitung betrat, um seinen Sohn in Empfang zu nehmen, auf den er ganz sicherlich nicht stolz sein brauchte. Das Klauen war ja wohl eine der schlimmsten Taten, die nicht zu den Kavaliersdelikten zählten und mit nichts zu entschuldigen waren. Anderen Menschen etwas wegnehmen wollen, das einem nicht gehört, pfui! Die Verkäuferin hatte mich gewarnt. „Lass ihn besser laufen“, hatte sie gesagt, als ich den Jungen am Gängelband hielt. „Er wird den Lack deines Autos zerkratzen und dir das Leben zur Hölle machen, wenn Herr Sander die Polizei benachrichtigt“, sprach Bianca im Flüsterton. Herr Sander war die stellvertretende Filalleitung. Bei Diebstahl verstand er keinen Spaß. Im Gegenteil. Mehr als dankbar war er, dass ich denjenigen dingfest gemacht hatte, der ihn seit Monaten um Zigaretten und Schnaps prellte. „Endlich Hausverbot, der Bengel“, klang er zufrieden und gratulierte mir sogar zu dem „Fang“. Und jetzt, jetzt stand ich hier im Parkhaus, schwitzte Blut und Wasser, und hoffte, der Junge würde mich nicht als die Kaufhausdetektiv-in erkennen, die ihm mächtig Ärger eingebrockt hatte. Der Vater des Jungen war mit dem Kind nicht zimperlich umgegangen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:49, 4. Mai 2021 (CEST) https://www.facebook.com/photo/?fbid=840049589940644&set=a.104156296863314 Darknetplattform mit 400.000 Mitgliedern Und wenn dann die Rezensionen kommen..."Sowas gibt es gar nicht!", könnte ich noch mehr kotzen! * Tabea VT - Anais C. Miller ich gehe mit meinen Traumata sehr offen um und darf mir auch immer sowas anhören. "Ach, so viel kann ein Mensch gar nicht erleben", "jaja, blühende Fantasie", "du könntest Krimiautorin sein" oder: "Wenn dir das wirklich passiert wäre, könntest du da nicht so drüber reden." Wahlweise auch mit "Sie", wenn die Gesprächspartner:innen Therapeut:innen sind. Zu letzterem: doch! Ich darf das erzählen, denn es war nicht meine Schuld, dass es mir passiert ist. Ich habe schließlich nicht darum gebeten, traumatisiert zu werden. Ich muss mich nicht dafür schämen. - Das zu verstehen, hat zwar eine Zeit gedauert 😉 aber seitdem rede ich darüber. *Ach so, und bei manchen ist das sicher auch eine Schutzreaktion, dass sie sagen, dass es sowas nicht gibt. Sie leben in ihrer rosaroten Welt, wo alles ganz leicht und zuckersüß ist und da passt sowas wie Kindesmissbrauch natürlich nicht ins Konzept 😉 * Tja viele verschließen die Augen davor! Ich würde sagen 90 % derjenigen. Erkenne ich immer wieder an den Reaktionen wenn ich von deinen Büchern erzähle! Bäää hör bloß auf, sowas will ich gar nicht wissen..... ist dann die Antwort! Ja genau da liegt das Problem. Ich weiß von nix................ Na ja ich möchte auch niemanden zwingen, es zu lesen. Ich gebe meine Stimme und es tut einfach gut, ein Zeichen zu setzen... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:40, 4. Mai 2021 (CEST) Ich lese gerade das Buch " Leisetot". Man kann sich kaum vorstellen, dass Menschen zu solchen Taten fähig sind und nach außen so unbescholten wirken. Ich frage mich, wie es der Autorin ging, als sie diesen Fall schriftlich verfasst hat. Auf jeden Fall hat Anais sehr gut recherchiert und schonungslos geschildert, was vorgefallen ist. Sie nimmt einen mit, in die Gedankenwelt einer kranken Seele einzutauchen, sofern das möglich ist. Die Abartigkeiten des Täters lassen einen schlucken. Entsetzen, Fassungslosigkeit und Ekel machen sich beim Lesen breit. Es ist so gruselig, was auf dieser Welt manchmal passiert. Das übersteigt unseren normalen Menschenverstand. Der nette Nachbar von nebenan..... 😱 Für mich hat das Buch volle 5 Sterne verdient. jaja, ich kenne auch noch "die nette Vergaserin von nebenan" - eine "gute" Schulfreundin meiner Oma, die -unverheiratet (mit ihrem Beruf verheiratet) - jahrzehntelang "zur Familie" gehörte - sie war noch fünfzig Jahre danach stolz darauf, eine Auserwählte gewesen zu sein, welche "Kniffe" sie gelernt bekam und wie gut sie die angewendet hatte, um die Ausgesonderten ins Gas zu bringen - bei der Aktion T4, aber auch noch 1945 bis 1948 - der "unproduktive Ausschuß der Gesellschaft" sollte beseitigt werden - in der Tötungsanstalt Bernburg kamen bis 1945 über 14.000 Menschen ums Leben, danach noch weitere 3.000 - vor etwa 20 Jahren erinnerte eine Initiative an diese Opfer mit einer Gedenktafel, das "Neue Deutschland" berichtete als eines der wenigen Medien darüber, danach mußte die Gedenktafel wieder aus der Wand herausgerissen werden, die Leiterin der Gedenkstätte erklärte, sie hätte kein Recht, an die 3.000 Opfer nach 1945 zu erinnern - inzwischen versucht man, den Vorfall und damit diese Opfer ganz totzuschweigen - um das herrschende SelbstGeschichtsbild dieser verkommenen und verlogenen Gesellschaft zu bewahren [[w:de:Tötungsanstalt Bernburg]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:52, 9. Jul. 2021 (CEST) da sieht man halt genau wo die "Wegseher" stecken. Unangenehme Wahrheiten will offensichtlich keiner hören oder lesen, denn das würde bedeuten dass sich viele aus ihrer Wohlfühlzone begeben müssten um diesen Misständen entgegenzuwirken. Hör bitte nicht auf den Opfern weiterhin eine Stimme zu sein. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:11, 21. Jul. 2021 (CEST) Silke ist ein aufgewecktes, besonders herzliches Kind, das mit den beiden Brüden unter der Obhut des narzisstisch - und pädophil - veranlagten Vaters, in den 80er Jahren heranwächst und unter dem strengen Regime des einflussreichen Geschäftsmannes leidet. Regelmäßig vergeht Silkes Vater sich an seiner Tochter und führt unter dem Deckmantel der Vorzeigefamilie ein abscheuliches Doppelleben. „Ein ganzes Dorf wusste von den Schandtaten meines Vaters.“ Mit nur vierzehn Jahren beschließt Silke ihr Schweigen zu brechen und nicht länger wie all die anderen, tatenlos zuzusehen. Dabei lässt sie ihre eigene Geschichte außen vor, kämpft lediglich für die Freiheit und Rechte ihrer Freunde… Die Geschichte eines außergewöhnlichen Mädchens, das sich selbstlos gegen Missbrauch auflehnt und somit in der '''Gesellschaft der "Wegsehenden"''', ein mutiges Zeichen setzt. Nuttenkinder: Das Dorf der verlorenen Seelen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:22, 25. Jul. 2021 (CEST) Moin aus Hamburg im Diesel bei lausigen 12 Grad 🙂 Was für ein schönes Gefühl, nach 365 Tagen im Jahr, seit über 3 Jahren (solange war ich nimmer im Urlaub) mal NICHT aufstehen zu müssen, um unsere Pferde zu füttern...sondern den Tag völlig gechilled zu beginnen. Gestern Abend in der Skylinebar "warm gemacht" für die Reeperbahn und nach dem Rundgang auf dem Kiez in der "Klapsmühle" auf nette Leute getroffen. Vor dem Laden stand ein älterer Typ an der Strasse, der nonstop zur Musik aus den Kneipen getanzt hat. Überhaupt nicht aufdringlich- er hat nicht um Geld gebettelt, nicht gepöbelt- sondern lediglich 2 Stunden lang für sich getanzt, völlig happy- und zwischendurch die Reste aus den von Touristen abgestellten Flaschen und Bechern getrunken. Die Plastiktüte in seiner Hand musste einige Male als imaginäre Tanzpartnerin herhalten, mit der er munter Piouretten gedreht hat. Meine Aufmerksamkeit war ihm sicher, denn er tanzte verdammt gut. Der Typ war bestimmt früher in der Tanzschule, hat später im Lokal hübsche Mädels aufgefordert und danach irgendwann- den Bezug zur Realität verloren- denn jetzt ist er auf Droge- aber er gehört zu denjenigen, die eine besondere Geschichte mit sich tragen, ebenso wie die vielen Obdachlosen, die in ihren Schlafsäcken liegend zum Teil völlig desillusioniert den Touristen nachsehen. Darunter erschreckend viele alte Menschen. Gut- Wer jetzt sagt- heute muss niemand mehr obdachlos sein- und Hamburg will das bis 2030 geregelt haben- die Heimatlosen sind selbst schuld, der möchte sich nicht unbedingt mit den Schicksalen der Menschen beschäftigen, die auf der Strasse sitzen- sondern lediglich das Problem als solches beseitigen... Dass es kein schöner Anblick für die Touris ist, ist jedem klar. Für mich gehören diese von der Gesellschaft Vergessenen seit 2015 dazu. Solange komme ich bereits her- um die Biografien einzelner Schicksale zu ✍ Ich glaube, wenn ich n' Gang durch Sankt Pauli mache, hat es für mich eine andere Bedeutung, als für manch anderen... Ich bin die- die hinter die Fassaden gucken möchte ❤ Mein derzeitiger Ausblick hinterm Hotelzimmerfenster ist wettermässig leider sehr trübe heute. Wobei ich auch gut n ganzen Tag lang nur im Bett liegen und Schiffe beobachten könnte 😊 * Schön, dass du in meiner Heimatstadt Urlaub machst. Ja, Obdachlose haben wir sehr viel. Und natürlich ist es arg theoretisch, dass niemand obdachlos sein müsste. Die vielen , die hier täglich in den S-Bahnen betteln, sind schon eine Herausforderung, aber so lange sie nichts anderes als das tun, kann ich damit leben. Natürlich wären mehr Unterkünfte wünschenswert, möglichst so, dass sie ihre wenigen Habseligkeiten wegschließen können, denn das gehört ja zu ihren größten (berechtigten) Ängsten: Dort beklaut zu werden. Mit Hamburg fühle ich mich alleine durch meine Bücher eng verbunden. Die meisten der Biografien sind hier geschrieben worden, bzw die Protagonisten stammen zum Teil aus der Gegend... und somit bin ich ein wichtiger Teil von Hamburg geworden ❤ Ich mag die Menschen hier sehr und irgendwann, wenn Jill ihren Weg alleine geht, möchte ich gern komplett in Hamburg wohnen...😉 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:25, 1. Aug. 2022 (CEST) ===Valeska Réon=== Am Rande einer Hippiekommune in Renesse aufgewachsen, habe ich es ja nicht immer so mit „deutschen Traditionen“ - aber dass freitags Fisch auf den Teller kommt, sitzt dann doch tief in mir drin. Heute jedoch in einer sehr undeutschen Version an einer Curry-Kokossauce mit jeder Menge Gemüse und einer wilden Gewürzmixtur. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer 5xdll7sxgl2ev8rqd7gkdx7kkrcdssy 784672 784649 2022-08-22T06:43:24Z Methodios 23484 /* Valeska Réon */ wikitext text/x-wiki === Paul Rheinfels === [https://www.amazon.de/Paul-Rheinfels/e/B00NSG77ZY%3Fref=dbs_a_mng_rwt_scns_share amazon] ''Paul Rheinfels ist ein Künstlername. Der Autor lebt in einem Dorf in Rheinland-Pfalz und liebt es, seine Leserinnen und Leser mit seinen Büchern zu unterhalten.'' [https://paulrheinfels.wixsite.com/meinewebsite/ueber-mich Webseite]: ''Seit 2011 schreibe ich mit viel Freude Romane, hauptsächlich Kriminalthriller, habe jedoch auch Kinder- und Jugendbücher verfasst und bald erscheint mein erster Liebesroman. Ich lebe in einem wunderschönen Weindorf im Naheland und bin umgeben von Natur und netten Menschen. Mit meinen beiden Hunden Elfe und Foxi gehe ich regelmäßig im Wald spazieren. Um mental und körperlich vital zu bleiben trainiere ich KungFu und treibe leidenschaftlich gerne Sport. Schreiben ist meine große Leidenschaft mit dem Ziel, meine Leserinnen und Leser zu unterhalten und mit spannenden Zeilen zu erfreuen! Ich wünsche Ihnen viel Spaß auf meiner Homepage und beim Lesen meiner Bücher.'' Paul Rheinfels, Franziskastraße 5, 55569 Monzingen - Monzingen ist eine Ortsgemeinde im Landkreis Bad Kreuznach [westlich von Mainz-Bingen] in Rheinland-Pfalz. Sie gehört der Verbandsgemeinde Nahe-Glan an. Monzingen ist eine über 1200 Jahre alte Weinbaugemeinde an der mittleren Nahe. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:12, 23. Okt. 2020 (CEST) === Anais C. Miller === https://www.lovelybooks.de/autor/Anais-C.-Miller/ Anais C. Miller lebt mit zwei Hunden, drei Katzen und zwölf Pferden zusammen mit ihrer Tochter auf einem Bauernhof im Herzen Westfalens, den sie eigenständig bewirtschaftet. Neben ihren Hobbys, dem Reitsport, der eigenen Pferdezucht und der Schriftstellerei, richtet sie ihr Augenmerk auf Menschen und Tiere, die im Leben ein schweres Schicksal tragen und von der Gesellschaft vergessen wurden. Den Schwerpunkt fokussiert sie bewusst auf Missbrauchsgeschichten und Biografien, die von ihr nach wahren Begebenheiten erzählt werden. Tieren, die achtlos weggeworfen werden wie alte Möbelstücke, bietet sie ein neues Zuhause und steckt all ihr Geld in deren zeitaufwendige Versorgung. Menschen, denen man keine Beachtung schenkt für das, was sie erlebt haben, leiht sie mutig ihre Stimme und macht sich in ihren Büchern für die zum Teil grausamen erlebten Schicksale ihrer Protagonisten stark. Anais C. Miller Selfpublisherin lebt mit zwei Hunden, drei Katzen und zwölf Pferden zusammen mit ihrer Tochter auf einem Bauernhof im Herzen Westfalens, den sie eigenständig bewirtschaftet. Neben ihren Hobbys dem Reitsport, der eigenen Pferdezucht und der Schriftstellerei, richtet sie ihr Augenmerk auf Menschen und Tiere, die im Leben ein schweres Schicksal tragen und von der Gesellschaft vergessen wurden. Den Schwerpunkt fokussiert sie bewusst auf Missbrauchsgeschichten und Biografien, die von ihr nach wahren Begebenheiten erzählt werden. Tieren, die achtlos weggeworfen werden wie alte Möbelstücke, bietet sie ein neues Zuhause und steckt all ihr Geld in deren zeitaufwendige Versorgung. Menschen denen man keine Beachtung schenkt für das was sie erlebt haben, leiht sie mutig ihre Stimme und macht sich in ihren Büchern für die zum Teil grausam erlebten Schicksale ihrer Protagonisten stark. Lebensmottos: "Wer in diesem Leben etwas gibt, ohne es an Bedingungen oder Erwartungen zu knüpfen, erhält früher oder später auch etwas zurück." "Wunder kommen zu denen, die an sie glauben!" "Man spreche lieber schlecht von mir als gar nicht." "Adler sterben und die Ratten gedeih`n." Die Bücher von Anais C. Miller sind keine literarischen Meisterwerke. Wer diese unter ihren Veröffentlichungen sucht, wird womöglich enttäuscht sein. Wer allerdings Geschichten die das Leben schrieb- lesen möchte, dessen Inhalte unverblümt, ungeschönt und stattdessen ehrlich und offen erzählt werden- wird ihre Bücher vielleicht schon bald nicht mehr missen wollen. "Oftmals kämpfe ich mit Medien und Plattformen, die meine Bücher weder bewerben, noch veröffentlichen möchten. Dennoch lasse ich mir den Mund nicht verbieten. Jedes Opfer hat eine Stimme verdient und ich kämpfe für jedes einzelne Schicksal- und zwar so lange, bis es Gehör findet. Missbrauch und menschliche Verachtung sind keine Kavaliersdelikte sondern Verbrechen, über die noch immer viel zu oft geschwiegen und hinwegsehen wird. Solange ich lebe, werde ich mich genau für diese Geschichten und die Menschen dahinter, stark machen." besucht Anais C. Miller auf Facebook unter: https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/ https://www.facebook.com/profile.php?id=100018068314805 https://www.facebook.com/AnaisCMillerTierschicksale/?ref=br_rs https://www.facebook.com/AnaisCMiller/ Also dass man noch nicht mal Buchauszüge zu diesem Buch in diversen Büchergruppen veröffentlicht, obwohl nicht einmal das Wort Sex oder Gewalt drin vorkommen, ist schon echt armselig und ich fühle mich schon allein durch meinen Namen mittlerweile diskriminiert und entwertet. Spass macht es wirklich nicht... Habe auch schon überlegt, hier alles hinzuschmeissen, mein Profil aufzugeben und nur noch meine eigenen Gruppen und Seiten zu betreiben und zu unterhalten. Aber da gibt es auch ganz viele liebe Freunde, die ich vermissen würde... und deshalb Krone richten, aufstehen und weitermachen. Übrigens laut der letzten Abrechnung wurden über 50!!! Ebooks zurückgegeben. Das bedeutet, da ging mir ein Monat lang das Katzenfutter für meine Schnurrer dadurch. Meine Schmerzgrenze ist so langsam erreicht, denn es werden immer mehr Bücher. Wenn irgendwann mein Profil fort ist hier, dann habe ich aufgehört zu schreiben und das ist nur noch eine Frage der Zeit wenn ich ehrlich bin. ... das tut mir leid. Passiert mir täglich... Wir kommen klar. Ich habe ja noch 2 andere Jobs. Werbung machen in Büchergruppen, das kann ich nur immer wieder jedem ans Herz legen. Das hilft ungemein, weil es die Reichweite erhöht. Foto vom Buch dabei und schreiben, das habe ich gelesen, hat mir gefallen... das ist alles, was Ihr da draussen tun könnt und doch hat es eine grosse Wirkung ich schreib übrinx für mich. für mich ganz allein. für meine eigene lust. und nicht für geld(tung). was hätt ich denn davon? und was weiß ich, was es für andere bedeutet? Höllenkinder startete also heute früh und das erstaunlich gut... ein Buch ähnlich Aschennutte, grausam, brutal und kaltblütig... leider, denn ich würde auch lieber nur Pferdebücher schreiben. Mich belasten diese Art Biografien ja auch beim Schreiben... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:02, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/a.195322434171669/1277445985959303/ Deine Hölle brennt in mir] - Mein neuer Roman ist soeben erschienen... Nur für Hartgesottene! - Ein Roman, der schockiert- aber ein Buch, das so verdammt wichtig ist! --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:11, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/466466960390547/ es gibt schmerz, der dich verletzt, und schmerz, der dich verändert.] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:18, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/301172006920044/ Frauensäfte] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:22, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/208501319520447/ im Stacheldraht] Der Wecker geht um 5 Ach, bitte 10 Minuten noch, denkt sie sich Ein paar wertvolle Minuten nur noch liegen, es ist ihr im Leben niemals genug Zeit verblieben. Draussen wird es hell, die Vögel singen Wird ihr mühsamer und arbeitsreicher Tag wohl gelingen? In ihr ist es dunkel und bitter, sie fühlt sich beinahe eingeschlossen, wie hinter einem Gitter. Ein Blick auf ihr Handy, sms, whats ap, facebook wer hat an sie gedacht, ihr geschrieben? Und sie bleibt noch einen Moment in ihrem wohligen Bett liegen. Einen schönen Tag! Ich hab dich lieb! Schrieb ihr Freund, ein wahrer Herzensdieb. Ein müdes Lächeln von ihr. Sie fühlt sich schlecht und krank und ihr Tag ist doch noch so lang. Er, ihr Freund, ist nicht da, nicht bei ihr und wird auch nicht kommen, die Hoffnung hat ihr auch unlängst die Zeit genommen. Arbeiten, malochen, die Dinge wuppen. Niemals ausruhen, sich ins Gras legen können, verschnaufen oder sich einmal Ruhe und gar einen Urlaub gönnen. Das Geld wäre da aber die Zeit...Die Zeit ist ihr grösster Feind und die Traurigkeit ihre Einsamkeit. Niemand tröstet, nimmt sie in den Arm, sieht ihre Tränen...fängt sie auf. Dennoch: Sie steht immer wieder auf. Sie kämpft für das eigene Ich Obwohl sie weiss... Sie hat Alles und Nichts... ~Anais --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:31, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/GeschichtenDiemeinLebenschrieb/photos/199456680424911/ Was zwei Menschen miteinander verbindet, müssen Dritte nicht verstehen...] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:40, 1. Mär. 2021 (CET) [https://www.facebook.com/photo/?fbid=803838090228461&set=a.104156296863314 Morgen startet das Buch, für das mich mein Lektor abgeschossen hat...] ja ohne eine letzte Rückmeldung wurde ich überall blockiert. Über whatsApp, email... überall... nun muss ich sagen für die die es nicht wissen, der Typ bot sich freiwillig an um meine Arbeit zu unterstützen, ein ehemaliger Pfarrer der dann doch den Glauben hinschmiss, heiratete und sich nun bei den Evangelisten tummelt. Ich fragte ihn, ob meine Bücher nicht zu hart seien und er hat dies immer verneint... nun geht's hier in dem Buch um Satanismus und Pädophilie eines mächtigen Kinderpornorings, dessen Anhänger ihre Finger überall im Spiel haben, u.a auch in der Kirche... ganz heikles Thema... Trotzdem bin ich traurig und ich verstehe es ehrlich gesagt nicht, denn seine Arbeit war grandios. Mittlerweile habe ich auch Sorge, was er wohl mit dem Manuskript angestellt hat... römisch-katholische kirche? die größte verbrecherorganisation der weltgeschichte - die hat fast weltweit die indigenen völker abgeschlachtet, versklavt und assimiliert, um selber an die macht zu kommen (und zu beiben), so die guanchen auf teneriffa, indianer in der "neuen welt", aber auch bei uns zuhause die slawischen völker östlich des limes sorabicus - hitler, stalin, lenin, mao tse tung, mussolini, pol pot etc. sind zusammengenommen waisenknaben gegen die --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:55, 2. Mär. 2021 (CET) Die letzten 4 Wochen über 5000 ‼‼ Bücher verschenkt. Ebooks und Taschenbücher. Würde mich sehr freuen, wenn der ein oder andere doch mal eine Rezension schreiben würde... Wie gesagt, es ist kein Muus- aber es würde mich freuen... Wieso verschenkst du eigentlich so viele Bücher? Davon hast du doch nix oder ? ich denke es geht um die Aufmerksamkeit, die die Bücher so sonst nicht hätten. Viele der Themen sind leider in vieler Augen nicht gesellschaftsfähig. Wobei ich finde wir sollten alle etwas mehr Achtsamkeit an den Tag legen, und uns mehr mit der Thematik beschäftigen. Und es sollte mehr mutige Menschen wie Anais C. Miller geben, die den Opfern eine schonungslos Stimme geben. Es kauft sich halt leichter ein Fitzek wie ein biografisches Buch über Gewalttaten an Kindern und Frauen Danke. da stimme ich dir zu und da es echte Fälle sind, finde ich sollten sie sowieso mehr Aufmerksamkeit bekommen. Ich meine die Leute ziehen sich Krimis und Horror usw rein und mit den Büchern hier wird dann mimimi gemacht. Versteh einer die Menschenaber das habe ich sowieso noch nie ich bin auch leider ein Opfer meines Vaters gewesen aber zum Glück sind meine Storys pillepalle gegen die Opfer hier in den Büchern bin SchriftSteller und (Sprachver)Dichter - (eigentlich) kein Rezensent, Aber Du hast mich neu-Gierig gemacht: ich beschäftige mich mit Dir (will heißen: das braucht Zeit und hat seine Zeit). --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:38, 5. Mär. 2021 (CET) Mein letztes signiertes REDRUM Exemplar nur für Dich... Es gibt ja signiert über REDRUM nur noch die Neuerscheinungen und auch nur noch, wenn die vorbestellt waren... das hier war mein eigenes Exemplar, habe es sehr gern an Dich abgetreten. Viel Spass gewünscht. hättich auch genommen! Und wieso hast Du die letzten 4 Wochen über 5000 Bücher verschenkt? Verlagsauflösung? Noch mehr Interesse hättich an "Brief an W.: Wahre Liebe stirbt nie" (natürlich auch signiert). Würde mich dann vielleicht Dir zu-Liebe mit amazon herumplagen (kenn ich noch nicht, bin ich noch nicht, ist für mich ein böhmisches Dorf) und das Re-Zensieren er-/sie-/es-lernen (Angabe ohne Gewehr). bin eigentlich selbstSchriftSteller und (Sprachver)Dichter! Ich habe eBooks verschenkt wie so oft. Da sind in 4 kostenlosen Aktionen 5000 über den Amazontisch gegangen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:07, 5. Mär. 2021 (CET) Zabou - Biographie "In den dunkelsten Stunden meines Lebens, war ein Hund mein bester Freund...!" Ich komme gut voran. Ich denke nächste Woche wird es bei Amazon erhältlich sein... Ja, es ist nicht hart, stimmt. Wobei es für mich die Hölle war... ist ja meine Bio, bzw ein Teil daraus, aber das möchte ich nicht an die grosse Glocke hängen... da ist man dann doch sehr verletzlich... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:20, 5. Mär. 2021 (CET) hast mich schon neu-gierig gemacht. wenn du es mir unterschreibst mit deinem blute (rote dinte tät symbolisch reichen) garantiert. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:37, 7. Mär. 2021 (CET) Zabou „Ach Kindchen, Sex tut doch nicht weh! Sex ist etwas Wundervolles. Liebe und Sex sind die schönsten Lebenselixiere dieser Erde, egal ob Mensch oder Tier. Ohne sie entsteht keinerlei Dasein“, streichelte sie über meine vom Weinen geröteten Wangen. Traurig dachte ich an Holger und Damian zugleich. Holger liebte ich, unsere Beziehung verlief jedoch rein platonisch, ohne sexuelle Inhalte und von Damian wurde ich zum Geschlechtsverkehr gezwungen. Mit Holger würde ich wahrscheinlich zeitnah keine sexuellen Intimitäten austauschen, da es eine verbotene Liebe war, die wir in unseren Herzen trugen, und die keinerlei Berechtigungsdasein in der regelkonformen Gesellschaft fand, solange ich nicht volljährig wäre. Damian wiederum, würde ich niemals lieben wollen und auch nicht können. Alles in mir sträubte und wehrte sich gegen die Berührungen dieses Menschen. Beides, Liebe und Sexualität, als sechzehnjähriger Teenager nicht unter einen Hut zu bringen, zerstörte wichtige Fragmente meiner Entwicklung. Überlebenswichtigen Elementen ordnete ich völlig verschiedene Inhalte zu. So bedeutete Sex fürchterliche, grausame Qualen zu erleiden, sowie schmerzvolles Leiden meines Körpers zu erfahren, während die Liebe im Herzen, meiner geschundenen Seele unendliches Glück versprach, das für mich jedoch in unerreichbarer Ferne lag. Liebe und Sexualität miteinander zu kombinieren, wäre der Schlüssel zu einer wichtigen Tür, die ich mit meinen Erfahrungen im Koffer, niemals öffnen könnte... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:24, 8. Mär. 2021 (CET) Selbstwert ist eine Reise... Oftmals eine verdammt lange Wenn du über deinem Manuskript sitzt, in dem es u.a. um deine grosse Liebe geht, die leider schon verstorben ist, und sie im Radio plötzlich euer Lied spielen... https://www.youtube.com/watch?v=uuc2QBfBRoI Bonnie Bianco - Miss You So (Maxi Version) 2007 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:04, 9. Mär. 2021 (CET) Call me besitzt einen überragenden Lebenswillen und ihr beide habt Alles zusammen durchgestanden. Nicht immer war es leicht oder von Erfolg geprägt - respektive davon verwöhnt - weder für dich noch für Call me. Dennoch habt ihr beide niemals aufgegeben. Schon auf den allerersten Bilder aus/in ihrer „Einzelhaft“ konnte ich es ihr ansehen: „gib mir bitte eine Chance, du wirst es niemals bereuen“. Das ist die Einzigartigkeit an den Equiden - sie sind weder falsch, verlogen, hinterhältig oder Fallensteller. Sie betrügen und belügen nicht, weder untereinander noch uns als Mensch gegenüber. Sie hauen auch nicht hinterrücks einem anderem Gegenüber das sprichwörtliche Messer in den Rücken oder streuen Salz in die ‘eh schon blutenden Wunden hinein. Wenn sie sich ihrem Gegenüber anvertrauen und auf ihre Art und Weise signalisieren: „hey du, ich akzeptiere, toleriere und respektiere dich genauso wie du bist. Mir ist es schnuppe ob du klein, groß, dünn, pummelig, gehandicapt, oder oder oder bist. Denn -ich- als Pferd messe nach ganz anderen Maßstäben…“ dann ist dieses das einzige Mal auf Lebzeiten. Denn sie brechen ihr gegebenes Wort nicht. Niemals! Auch wenn Call me dich zwischenzeitlich gerne einmal am liebsten via Huftritt aus der Box befördert hätte, nach dir geschnappt hat oder dich zur Seite gedrängt hat – dann nur aus einem Grund heraus, weil sie es eben nicht so ganz "verstanden" hatte, dass du stetig das Allerbeste für sie wolltest - und das mit einer Hingabe, die wahrlich seines Gleichen sucht. Chapeau! Doch als sie Linderung verspürte, so denke ich jedenfalls, verknüpfte sie dieses als Positiv dir gegenüber. Pferde können zwar schon „lesen“ - aber auf eine ganz andere wunderbare Art und Weise. Das sind ihre privilegierten Urinstinkte, die dann eben im wahrsten Sinne des Wortes: „mit ihnen durchgehen“. Wenn wir als Mensch so ticken würden wie ein Pferd, hätten wir es wahrscheinlich auch nicht (so ganz) verstanden. Dennoch glaube ich fest daran -gerade im Hinblick auf die Handlungs-/Denkweisen der Equiden (Tieren im Allgemeinen)- wenn viele Menschen sich diese Arten des Miteinanders, der Kommunikationsbasis, die Prinzipien der Gleichbehandlung, jegliche Lebensweisen an sich, soziale Kompetenzen etc pp. mal öfters unter die eigene Nase reiben würden, wäre wahrscheinlich vieles auf diesem Erdball nicht so „bescheiden“. Natürlich könnte man mich jetzt damit konfrontieren oder gefälligst Maß zu halten, dass ich mit meiner „Schreibe und Lobeshymne zur Thematika Pferd“ das Pferd gefälligst nicht über den Menschen zu stellen hätte, der irrt sich. Ich tue es - immer öfter. Ich bedanke mich sehr bei Dir, überhaupt muss ich sagen, Anteilnahme- egal auf welchem Weg- tut einfach Wunder. Und Freunde die für einen da sind, dann, wenn man sie braucht, UNBEZAHLBAR! --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:11, 10. Mär. 2021 (CET) Ich versuche mal zu beschreiben, worum es geht... Als ich 16 Jahre alt war, lernte ich im Reitstall den 20 Jahre älteren Damian kennen. Ich und die anderen Reitschüler mochten ihn nicht, er litt an der Kiefergaumenspalte, für die er natürlich nichts konnte, aber das Erscheinungsbild erschreckte uns alle und wir machten einen großen Bogen um ihn. Mein Stiefvater bat Damian damals, mich nach der Reitstunde mit nach Hause zu nehmen. Von da an begann das Drama. Damian verliebte sich in mich, doch ich stieg auf seine Avancen nicht ein. Er steigerte sich jedoch immer mehr in diese einseitige Liebe, sodass er mich gefügig machen musste, um seinem Wunsch, mich zu besitzen, Realität einzuhauchen. Er verfolgte mich auf Schritt und Tritt, zog die Schlinge um meinen Hals immer enger. Als der Reitstall durch Brandstiftung niederbrannte, rettete er meine 3 Pferde aus der Feuerhölle und meine Abneigung gegen ihn geriet damals bedrohlich ins Wanken. Meine Eltern redeten mir ein, ich sei undankbar und nur auf Äusserlichkeiten fixiert. Ein gefährlicher Sog, aus dem es plötzlich kein Entkommen mehr gab. Ich war zeitgleich unsterblich in meinen Lehrer verliebt und wir hatten eine wundervolle- zunächst rein platonische Liebe. Damian drohte, den Lehrer anzuzeigen, wegen sexuellem Missbrauch Schutzbefohlener, obwohl er derjenige war, der mich missbrauchte. Meine Hündin "Zabou" griff ihn damals an, als er mich das erste Mal vergewaltigte... Mir half niemand. Weder meine Eltern, noch die Polizei. Ich hätte diese Geschichte bald mit meinem Leben bezahlt. Geredet habe ich darüber nie. Ich habe alles verdrängt, bzw später eine Therapie beginnen müssen, als mich die Vergangenheit einholte. Vor 30 Jahren gehörten mir und ihm sogar ein Artikel in der Bildzeitung. "Liebeskranker Mann geht im Streit mit Mistgabel auf junges Mädchen los und würgt sie anschliessend bewusstlos". Dass er mich zuvor schon mit Benzin übergossen hatte und anstecken wollte...ja- mir fehlen die Worte für das, was ich durchgemacht habe. Erst als meine Tochter sagte:" Mama, mir hat jemand erzählt, dass dein Freund vor Jahren die Reithalle angesteckt hat", wusste ich- es ist an der Zeit, mein Schweigen zu brechen... Ich mache mich angreifbar und ich habe wahnsinnige Angst mit der Geschichte rauszugehen. Denn das Schlimmste sind diejenigen, die anschließend sagen:" So etwas Krankes gibt es nicht. Alles fiktiv, erstunken und erlogen..." Aber ich bin es mir schuldig, auch meiner Geschichte eine Stimme zu geben... Ich habe diese Geschichte niedergeschrieben, wie alle anderen auch und werde es nicht an die grosse Glocke hängen, dass es meine eigene ist. Die, die es zufällig lesen hier, wissen es, die anderen eben nicht. Ich schreibe auch gar nicht wegen dem Erfolg oder so, sondern um anderen Mut zu machen, die dasselbe oder ähnliches erlebt haben. Wobei- wenn ich heute- 30 Jahre später, zurückblicke, ich sagen muss, ich hätte damals nichts anders machen können und es gab definitiv keinen Ausweg!! Die Geschichte wäre nur dann anders verlaufen, wenn ich an Tag X nicht zu ihm ins Auto eingestiegen wäre... Das Allerschlimmste in der Geschichte waren meine eigenen Eltern...und meine Mutter will selbst heute noch nicht verstehen.. Meine Mutter war damals schon alkoholkrank, ich habe es nur als Kind bzw Jugendliche nicht so gemerkt. Tja... die hätten mich am liebsten mit dem Typen verheiratet... Vor denen war er auch immer nett. Ich kann es emotional nicht, sie völlig abschreiben, denn sie ist meine Mutter. Das fällt schon schwer... als Kind, was ich immer bleiben werde, ihr Kind...aber ich halte ganz viel Abstand von ihr, denn sie tut mir nicht gut. Es ist so, dass ich das Opfer bin, sie aber noch viel kränker ist, als ich, in ihrem Alkoholproblem. Sie merkt aber auch nix. Gar nix... 31 Ein jegliches hat seine Zeit, und alles Vorhaben unter dem Himmel hat seine Stunde: 2 Geboren werden hat seine Zeit, sterben hat seine Zeit; pflanzen hat seine Zeit, ausreißen, was gepflanzt ist, hat seine Zeit; 3 töten hat seine Zeit, heilen hat seine Zeit; abbrechen hat seine Zeit, bauen hat seine Zeit; 4 weinen hat seine Zeit, lachen hat seine Zeit; klagen hat seine Zeit, tanzen hat seine Zeit; 5 Steine wegwerfen hat seine Zeit, Steine sammeln hat seine Zeit; herzen hat seine Zeit, aufhören zu herzen hat seine Zeit; 6 suchen hat seine Zeit, verlieren hat seine Zeit; behalten hat seine Zeit, wegwerfen hat seine Zeit; 7 zerreißen hat seine Zeit, zunähen hat seine Zeit; schweigen hat seine Zeit, reden hat seine Zeit; 8 lieben hat seine Zeit, hassen hat seine Zeit; Streit hat seine Zeit, Friede hat seine Zeit. 9 Man mühe sich ab, wie man will, so hat man keinen Gewinn davon. 10 Ich sah die Arbeit, die Gott den Menschen gegeben hat, dass sie sich damit plagen. 11 Er hat alles schön gemacht zu seiner Zeit, auch hat er die Ewigkeit in ihr Herz gelegt; nur dass der Mensch nicht ergründen kann das Werk, das Gott tut, weder Anfang noch Ende. 12 Da merkte ich, dass es nichts Besseres dabei gibt als fröhlich sein und sich gütlich tun in seinem Leben. 13 Denn ein jeder Mensch, der da isst und trinkt und hat guten Mut bei all seinem Mühen, das ist eine Gabe Gottes. 14 Ich merkte, dass alles, was Gott tut, das besteht für ewig; man kann nichts dazutun noch wegtun. Das alles tut Gott, dass man sich vor ihm fürchten soll. 15 Was geschieht, das ist schon längst gewesen, und was sein wird, ist auch schon längst gewesen; und Gott holt wieder hervor, was vergangen ist. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:19, 12. Mär. 2021 (CET) Gestern erinnerte ich mich an den Tag, an dem ich Damians Mutter kennenlernte. Ich wollte ihr damals sagen, dass mich ihr Sohn sexuell missbraucht und hoffte auf ihre Hilfe. Damians Mutter war ein ganz lieber Mensch. Fein, liebevoll, aber total hilflos. Ein Opfer ihres gewalttätigen Ehemannes und das ihres eigenen Sohnes. Sie hätte selbst Hilfe gebraucht. Sie sagte zu mir:" Damian ist kein schlechter Mensch und du tust ihm gut. Er ist wie ausgewechselt, seit du seine Freundin bist!" Ich brachte es nicht übers Herz, dieser herzensguten Frau die Augen zu öffnen...ich dachte, sie ist eine bessere Mutter als meine eigene und heute denke ich, was lastete für ein schreckliches Geheimnis auf dieser Familie, dass aus ihrem jüngsten Sohn ein irrer Psychopath geworden war? --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:56, 13. Mär. 2021 (CET) Puh, heute sass ich den ganzen Tag an meiner Bio und ich erinnerte mich. Reiste mal eben fast 30 Jahre zurück. Die Flashbacks, die dann kommen, sind oft heftig. Da gab es einen Polizisten, der mich auf dem Kieker hatte, wegen Damian. Der "Bulle" stand irgendwann einfach im Pferdestall und forderte mich auf, meine Taschen unter seinen Augen zu entleeren. Angeblich suchte er nach Drogen, die ich konsumierte. Er kam immer alleine, und er wohnte in dem Dorf, in dem mein Pferdestall lag. Der Bulle wünschte sich nix sehnlicher, als dass ich den Stall räumte, denn durch den Brandstifter Damian, fühlten sich die Dorfbewohner in ihren eigenen vier Wänden nicht mehr sicher. Ich sagte ihm, dass Damian nicht mein Freund wäre und er hat sich damals über mich kaputt gelacht. Geholfen hat er mir übrigens auch nicht, als Damian mich mit Benzin übergossen hat. Er sagte lapidar:" Na und? Irgendwann trifft es jeden!" Ich hörte neulich, dass dieser "Bulle" elendig verreckt ist. Einen widerlichen Todeskampf unter einer fürchterlichen Krankheit führte. Ja, irgendwann erwischt es uns alle...und es nennt sich "Karma"... Erfinde keine Ausreden für gräßliche Menschen. Man kann keine Blume in ein Arschloch stecken und es dann Vase nennen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:21, 14. Mär. 2021 (CET) Seine kranke Fantasiewelt, die völlig ausser Kontrolle geraten war, übernahm wie selbstverständlich die Regie meines Lebens... Zabou [https://www.facebook.com/photo/?fbid=812187136060223&set=a.104156296863314 Selfie] Ich weiss gar nicht, wie mutig dieses Buch ist... es erzählt einen Teil meiner Lebensgeschichte vor noch gar nicht allzu langer Zeit... Ein wichtiges Buch für Frauen, die nicht nur durch körperlich sexuelle Gewalt gequält werden, sondern, die emotional missbraucht werden. Diesen Weg zu gehen, war wirklich mutig ... Ich weiss nicht, wer von euch dieses Buch gelesen hat... es ist definitiv lesenswert, wenn man sich für menschliche Abgründe interessiert! ... man kann es nicht glauben , was Menschen ertragen können und es auch so lange zulassen , weil einfach die Kraft fehlt Das Schlimmste ist der psychische Missbrauch. Denn die Narben, die man nicht sehen kann sind die, die nie aufhören weh zu tun. Sie erwischen dich eiskalt immer dann wenn du nicht damit rechnest. Meistens dann wenn du denkst "mensch jetzt geht es mir richtig gut". [https://www.facebook.com/photo/?fbid=812132039399066&set=a.104156296863314 Penny way. Mein Weg aus der Hölle.] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:35, 15. Mär. 2021 (CET) Das war wahrlich eine schwere Geburt und die Reise in die eigene Vergangenheit tat weh. Eine Geschichte, die ehrlicher nicht hätte geschrieben werden können. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:06, 17. Mär. 2021 (CET) Nunja, geht auch anders: auf meiner Startseite steht eine andere FB-Freundin unter Dir, und die signiert grad min. 150 "DRIS-Vorbesteller". Ich schrub ja schon mal, daß ich mit amazon nicht gerade warm geworden bin (ein gleichaltriger Freund, DDR-Musiker, seit 1990 Antiquariatsbuchhändler wie meine Schwester und mein Schwager auch, hat bei amazon gekündigt wegen deren Treiberei und Geschäftspolitik - er blieb aber dem ZVAB treu -Bonmot: die wurden vor ein paar jahren auch von amazon geschluckt). Und wie ebenfalls schon geschrieben: mich würd das Buch (nicht irgendwelche Pixel) schon interessieren, müßtest es mir schon zuschicken - und eine Signierung wär schön (möglichst in rot, ich weiß es zu würdigen). Liebe Grüße https://www.facebook.com/skadi.skitschak Ab morgen in der Vorbestellung. Nuttenkinder Neben VIC für Redrum, geht's hier weiter im Text. Ich hau jetzt alles raus. Denn wenn der Lockdown vorbei ist, dann will ich erstmal nur noch leben!!!!! dann mache ich Pause...ich würde nie aufhören, Opfern eine Stimme zu geben! --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:22, 19. Mär. 2021 (CET) In der Nacht klingelte das Telefon. Nächtliches Telefonklingeln, der Horror schlechthin. Kerzengerade saß ich im Bett. Dachte, ich hätte geträumt, aber nein, es klingelte und klingelte. Wieder und wieder. Dann hörte es auf und begann von Neuem. „Da muss etwas passiert sein“, hörte ich meine Eltern reden. Unsere Zimmer lagen nebeneinander. Die Wände waren hellhörig und ich hörte, wie sich die Tür im Nebenzimmer öffnete. Jürgen schlurfte die Treppe hinunter und nahm im Wohnzimmer den Telefonhörer ab. Was er sprach, konnte ich nicht verstehen. Unheil sah ich auf mich zukommen. Mein Herz klopfte bedrohlich laut. Mit eiligen, schweren Schritten kehrte Jürgen zurück. Die Klinke meiner Zimmertür drückte sich knatschend runter. „Jeany? Komm, steh auf. Wir müssen zum Reitstall. Der steht lichterloh in Flammen.“ Als hätte eine Bombe eingeschlagen, sprang ich aus dem Bett. „Was!?“, schrie ich außer mir. „Meine Pferde verbrennen! Meine armen Pferde, sie werden sterben und all die anderen.“ Ich brach in Tränen aus. „O lieber Gott, hilf ihnen bitte!“, schrie ich hysterisch und zog mir die Jeans über die Hüften. Jürgen hatte sich ebenso schnell angezogen wie ich mich. Mit Vollgas steuerte er den Wagen durch die Nacht. „Sie werden verbrennen und sterben, nicht wahr?“, wimmerte ich. „Ich weiß es nicht“, brummte Jürgen. Ihm ging die Sache nahe. Mein Kopfkino spielte fürchterliche Szenen ab. „Die Pferde sind das Einzige, das ich habe und ich liebe sie“, jammerte ich. Jürgen antwortete nicht. Ein kurzes Kopfnicken nur. „Wie kann jemand so böse sein und in Kauf nehmen, dass hilflose Tiere verbrennen?“ Ich weinte. „Ja, das ist übel. Wirklich übel“, seufzte Jürgen. „Ich liebe sie so sehr“, schluchzte ich. Tausend irre Gedanken flogen wie Granatenschläge durch meinen Kopf. Das Adrenalin pulsierte wie heiße Lava in meinen Venen. Das durfte nur ein Albtraum sein. Gleich wachte ich auf. Als wir uns dem Dorf näherten, drang der strenge Geruch verbrannter Heu- und Strohballen durch die geschlossenen Scheiben, obwohl noch mehr als zwei Kilometer vor uns lagen. Wimmernd kauerte ich mich in den Sitz, traute mich nicht, durch die Windschutzscheibe hinauszusehen, in wie weit das Gebäude des Reitstalls bereits niedergebrannt war. „Ach herrjeh“, seufzte Jürgen und lenkte den Wagen seitlich der Straße. Ich kniff die Augen zusammen. Hielt mir die Ohren zu. „Bitte nein!“, kreischte ich. Einer der Feuerwehrmänner nahm rannte auf unser Auto zu. Winkte mit beiden Händen. „Sie können hier nicht lang“, schrie er durch die geschlossene Scheibe. Jürgen öffnete behäbig die Fahrertür und sagte leise: „Wir haben Pferde im Stall, wir müssen zu ihnen.“ „Da können Sie nichts mehr retten. Wenn die Tiere jetzt nicht draußen sind, sind sie ohnehin verloren“, rief er und lief gleich wieder fort. Jürgen blickte mich hilflos an. „Komm“, forderte er mich auf, mit ihm zu gehen. „Wir suchen Damian.“ „Damian?“ „Ja, er hat angerufen.“ Mein Kopf war viel zu voll, als dass ich das Durcheinander in ihm hätte sortieren können. Ich stellte keine Fragen. Paralysiert, funktionierte ich roboterhaft, stolperte aus dem Auto. Benommen, mit einem dicken Kloß im Hals, folgte ich Jürgen. Klammerte mich wie ein kleines Kind an seine Hand. Plötzlich tat mir alles furchtbar leid. Dass wir uns so oft gestritten hatten. Jetzt, wo ich meinen Vater wirklich brauchte, war er an meiner Seite, während sich mein leiblicher im Bett noch einmal rumdrehte und wohlig schlief. Er von Reichtum und Geld träumte oder von schnellen Autos, während ich wie ein Häufchen Elend durch die Nacht irrte und glaubte, meine Pferde seien alle tot und man würde mir gleich ihre verbrannten Körper zeigen, damit ich sie identifiziere. Mir war, als klatschte man abwechselnd und mit voller Wucht auf meine linke Wange, und dann wieder auf die rechte, während ich Jürgen nachlief. Ich traute mich noch immer nicht, meine Augen auf das eigentliche Geschehen zu richten. Nie in meinem Leben hatte ich solch eine gigantische Feuerbrunst gesehen, die gnadenlos und unbesiegbar in den dunklen Himmel schlug. Nie zuvor fühlte ich mich bedrohter, hilfloser und angstvoller wie in dem Augenblick, als wir uns dem Reitstall näherten, in dem meine Pferde und die meiner Freunde untergebracht waren und der jetzt lichterloh in Flammen stand. Das Knistern und Bersten der Holzbalken, das Niederkrachen der Materialien, die das Dach zusammenhielten, die Hitze, der Gestank und das Wissen, hier herrschte Krieg, in dem es sehr wahrscheinlich Verwundete und Tote gab, das war furchtbar! Weit laufen mussten wir nicht. Damian erkannte uns von Weitem, rannte auf uns zu. „Gott sei Dank, da seid Ihr ja!“, keuchte er außer Atem. Freilaufende Pferde kreuzten unseren Weg. Galoppierten zur Straße. In ihrer Panik ließen sie sich nicht aufhalten. Ihr ängstliches Wiehern durchbrach die Nacht und vermischte sich mit der Geräuschkulisse eines unfassbaren Szenarios. Je mehr sich meine Augen an das Ausmaß eines fürchterlichen Spektakels gewöhnten, umso dramatischer wurde mir das Ausmaß der Katastrophe bewusst, die sich am Reitstall abzeichnete. Was meine Augen sahen, war nichts als ein verwüstetes Schlachtfeld und es fühlte sich bis in die tiefste Faser meines Körpers unwirklich und unfassbar an. Ich wartete auf den Augenblick, in dem jemand seine Hand auf meine Schultern legen und sagen würde: „Was für ein beschissener Albtraum, nicht wahr?“ Feuerwehrleute auf Drehleitern hielten Wasserschläuche in die Flammen des lichterloh brennenden Dachstuhls gerichtet. Menschen schleppten Reitsachen zu den kreuz und quer geparkten Autos. Pferdebesitzer versuchten ihre Tiere einzufangen, sie auf die Anhänger zu verladen. Einige schrien und riefen um Hilfe. Andere retteten aus der brennenden Reithalle ihre Utensilien und alles, was noch zu retten war. Immer wieder brüllte einer der Feuerwehrmänner durch den Lautsprecher: „Verlassen Sie bitte sofort das Gebäude! Einsturzgefahr! Akute Lebensgefahr!“ Die Pferde hatte man aus den Boxen geschickt und sich selbst überlassen. Verstörte Kinder irrten umher, riefen die Namen ihrer Ponys. Einige der Pferde preschten über die Straße, schummelten sich im letzten Moment an heranfahrenden Autos vorbei. Ich fürchtete den Frontalzusammenstoß. Tier gegen Blech. Man konnte nicht hinsehen. Die Pferde gerieten auf dem Asphalt ins Rutschen, sie strauchelten, andere stoben hinaus in die Wälder. „Deine drei sind auf der Weide, Janne. Ich habe sie alle aus dem Feuer geholt. Deine waren die ersten, die draußen waren.“ Damian hustete und wischte mit dem verkohlten Hemdsärmel über das verrußte Gesicht. Ich wollte meinen Augen nicht trauen, als ich Dual, Metaxa und Iceman wohlbehalten und unversehrt auf der Weide entdeckte. Vor Freude brach ich zusammen. Jürgen musste mich stützen. Auch ihm fehlten die Worte. Ich weinte aus Dankbarkeit und Erleichterung, dass Damian meinen Pferden das Leben gerettet hatte. Umarmte ihn sogar. „Danke“, wisperte ich benommen. Dann lief ich zu meinen Pferden. Selbst Jürgen, einem stets gefassten Mann, den so schnell nichts und niemand aus der Ruhe brachten, rollten die Tränen über die Wangen. Dankbar zog er Damian in seine Arme. Drückte ihn an seine Brust und klopfte ihm auf die Schultern. „Danke, mein Freund“, schluchzte er ergriffen. „Ach, selbstverständlich.“ Er winkte bescheiden ab. „Alle Tiere sind gerettet. Wir haben sie rechtzeitig aus dem Feuer befreit.“ Die Frage, warum ausgerechnet er vor Ort war, als der Reitstall niederbrannte, stellte sich mir in dieser Nacht, und auch zu einem späteren Zeitpunkt, nicht. Wahrscheinlich stand ich damals zu sehr unter Schock, als dass ich irgendwelche Fragen an ihn hätte richten wollen. jaja, wie wir gelebt werden - aus der ddr kenn ich das sehr, sehr gut --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:08, 21. Mär. 2021 (CET) Das Dorf des Schreckens in dem der Polizist wohnte und der Ort, wo sich mein Stall befand... bin nun zu Fuss unterwegs zum Stall... Immer noch ein Ort des Grauens Sogar die Stalltüren die Damian vor 30 Jahren gebaut hat, sind noch immer da.. So einsam... war ich ihm völlig ausgeliefert... monatelang Amy baumelte und starb in den Ästen des Baumes... Ich habe damals echt gedacht so einsam der Stall gelegen war, da gehöre ich hin, weil ich mich so dreckig fühlte...und mich niemand sehen sollte Das Wildgehege ca 1km entfernt ... gibt es immer noch. Meine damals einzigen Freunde neben meinen Pferden und Hunden So gruselig... Hab mich erst erschrocken wegen dem Auto. Aber ohne Kennzeichen... alles gruselig * OMG!!!der perfekte Ort für ein Verbrechen...niemand bekommt was mit...Ich hoffe dir hat es geholfen und Du kannst endgültig damit abschließen! *Ich werde dein Geschichte heute Abend beginnen .. jetzt habe ich ja sogar noch Bilder vor Augen... Ich freue mich für dich , das du jetzt endlich in der Lage bist deine eigene Geschichte aufzuarbeiten. Ich hoffe dadurch heilt ein Teil deiner Seele *Oh Mann wenn man dazu parallel dein Buch Liest überkommt ein ganz schön die Gänsehaut... irgendwie so real mit den Bildern dazu --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:26, 22. Mär. 2021 (CET) Mich hat es grosse Überwindung gekostet, meinen Missbrauch bzw einen meiner Missbräuche öffentlich zu machen. Als heute die Rezension zum Buch eintrudelte, in der mich jemand systematisch erpresst und zerstören will, war ich wirklich verzweifelt und habe das "engeren Freunden" auch genau so mitgeteilt, dass ich emotional mehr als am Limit unterwegs bin. Wir dürfen nicht wegsehen, niemand von uns- denn auch hier in einer Rezension liegt Missbrauch vor. Ich als Opfer meiner eigenen Geschichte, die nun öffentlich ist, bin jetzt angreifbar für alle Welt da draussen und ich wusste, dass es so kommen wird... dass man mich fertigmachen wird. Wie fertig mich das tatsächlich macht, wusste ich allerdings nicht. Meine Freunde konnten mich heute nicht mehr erreichen und da sie sich grosse Sorgen gemacht haben, dass ich vielleicht den Notausschalter betätige, riefen sie die Polizei. Die kassierte mich dann nach der Arbeit auf dem Weg nach Hause, eiskalt ein- und ich kann von Glück reden, jetzt nicht in der Geschlossenen zu sitzen. Und wieder: bin ich ein Opfer von Mobbing, Missbrauch und emotionaler Gewalt geworden von Menschen, die Spass daran finden, andere zu missbrauchen. Es ist schlimm, was heute passiert ist. Gegen den Rezischreiber läuft jetzt ein Strafverfahren wegen Erpressung und Nötigung. Ich habe nicht ausgesagt und auch keine Strafanzeige gestellt, es waren Freunde, die nicht länger wegsehen woll(t)en. KEINE MACHT DEM MISSBRAUCH !!! Was ich besonders traurig finde, dass andere User diese Rezension "nützlich" finden. Ihr macht euch am Missbrauch mitschuldig... * Wirklich schlimm. Genau so etwas kann herauskommen, wenn man/frau diese Schauspieler-Gesellschaft mal gründlich outet. Mein Mitgefühl ist Dir sicher. Ich wünsche Dir viel Kraft. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:03, 23. Mär. 2021 (CET) So fühle ich mich die letzten Tage... Mir geht's wenn ich ehrlich bin, gerade richtig schlecht Es hat sich für mich auch so angefühlt. Konfrontation ist nicht gerade einfach. Ich hoffe für Dich, daß sie den normalen Verlauf nimmt und dieses Gefühl mit der Zeit abklingt. Hinterher sollte es Dir besser gehen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:42, 24. Mär. 2021 (CET) Ich weiss in der letzten Zeit echt nicht, was mit den Menschen dort draussen los ist. Ich erzähle das was mir passiert ist, jetzt im Vertrauen in dieser Gruppe hier, da ich mit meinen Postings nur noch auf Unverständnis stoße und ich oft denke, viele glauben mir auch einfach tatsächlich nicht. Ich habe auch einige Freunde genau deshalb verloren, weil ich sie geblockt habe, ich konnte es nicht mehr ertragen.... heute wieder, als ich schrieb, wie die Polizei mit Menschen umgeht. Folgendes ist passiert... Es befreundete sich über FB eine Zuhälter mit mir, dessen Geschichte ich schreiben sollte. Sein "letztes Mädchen" wurde von Frank G. getötet. (Den Kopf schnitt er ihr halb ab, sie lebte noch, er vergewaltigte sie mehrere Male, bis er sie mit einem Kopfschuss hinrichtete) Frank G. war ein lange unentdeckt gebliebener Frauenserienmörder. Der Zuhälter stieg nach der Sache aus der Szene aus. Mir gegenüber wurde er irgendwann immer ungehaltener, da ich nicht gleich auf seine Nachrichten antwortete. Ich schrieb ihm, er solle aufhören mich zu drängeln (ich sollte zu ihm fahren, um die Story zu schreiben) Er hörte aber nicht auf, wurde immer frecher und postete "indirekt" täglich über mich auf seinem Profil. Wie sehr ihm meine Ignoranz auf den Zeiger ginge usw. Ich habe ihn blockiert und gepostet, dass ich leider jemanden blockieren musste, weil ich keine Psychos mehr brauche in meinem Leben. Er muss wohl "Spitzel" haben, denn das gelangte ihm zu Augen und Ohren und er ging richtig steil, bedrohte und erpresste mich dann in der Rezi zu einem Buch bei Amazon. Irgendwie ist er an meine Fotos rangekommen als ich für ein Buch "Frauensäfte" (längst vom Markt) im SM Studio gewesen war. Mit diesen Bildern wollte er mich erpressen und diese öffentlich machen. Er drohte jeden Tag mehr über mich auszuplaudern usw...Die Rezension war echt "krass". Ich vertraute mich einer Freundin an, die mir gleich richtig Panik gemacht hat, wie gefährlich der Typ sei und er womöglich seine Freundin getötet habe usw... da kam eins zum anderen (ich hatte noch mein Pferd einschläfern müssen, bin derzeit gesundheitlich sehr angeschlagen, dazu Corona usw) und ich sagte:" Ich habe echt kein Bock mehr auf dieses Scheiss Leben!" Da sie mich dann nicht mehr erreichen konnte (ich war auf der Arbeit) hat sie die Polizei informiert und die fing mich auf offener Strasse nachts im Auto auf dem Weg nach Hause ab. "Führerschein, Fahrzeugschein...." habe ich gegeben und dann hiess es ganz trocken:" Aussteigen!" Ich so:" Wie? Was wird mir denn vorgeworfen?" Und noch mal kommentarlos: "Aussteigen!" Gut, ich steige aus, werde gefragt, wo ich war (Arbeit) und dass man den Hinweis bekommen hätte, ich wolle mich umbringen. Boahr... ich sags euch- ich wusste gleich- was das bedeutet... und mir fiel die Kinnlade echt tief. Dann hiess es:" Entweder wir lassen Ihr Auto abschleppen oder einer von den beiden Polizisten fährt das Auto auf den Parkplatz. Ich:" Ich kann das Auto auf den Parkplatz fahren!" "Nein, Sie fahren keinen Meter mehr. Sie steigen jetzt in den Bulli und fahren zur Wache!" Der Typ setzte sich in mein Auto und kloppte so den Gang rein (Automatik) dass sich nix mehr rührte. Der Beamte so:" Wie krieg ich den Gang rein?" "Ja, vom Bürgersteig aus kann ich Ihnen das nicht zeigen!" Er:" Einsteigen, Gang einlegen, und sofort aussteigen!" In einem Ton, als sei ich ein Schwerverbrecher. Gut, ich leg den Gang ein, der fährt das Auto weg. Im selben Augenblick fährt bei uns Zuhause ein Streifenwagen vor. Jill lag schon im Bett. Dem Kind wurde folgendes mitgeteilt:" Deine Mutter will sich umbringen. Die wandert wenn wir sie schnappen, längere Zeit in die geschlossene Anstalt. Wer versorgt die Tiere? Denn Du musst entweder ins Heim oder wo kannst Du hingehen? Die Tiere müssen dann weggeschafft werden über Ordnungsamt, Veterinäramt usw!" Ihr könnt euch sicher vorstellen, was in meinem Kind vor sich ging, oder? Jill war noch fertiger als ich! Ich musste 2 Stunden lang vor der Polizei, dem Ordnungsamt und dem Amtsarzt darlegen, keinen an der Klatsche zu haben. Mit Ach und Krach, bin ich der geschlossenen Anstalt entkommen und durfte heim. Heute fuhr die Kripo hier vor. Man grüßte mich nicht, stellte sich auch nicht mit Namen vor. Ich als Opfer der Bedrohung eines Zuhälters, wurde behandelt wie eine Täterin. Man sagte:" Dass es sich um einen Zuhälter und Kriminellen handelt, hielten sie für einen Witz. Den Frank G. kannten sie auch nicht. Sie belächelten mich wirklich... Ok, man wolle das überprüfen... Ej Leute, ich bin echt fertig mit der Welt. Ja es ist so unglaublich. Ich werde NIE WIEDER irgendwem mein Herz ausschütten * Leider kann man nicht mehr viele trauen traurig sowas * doch , sind nicht alle gleich. Ich wünsche dir von herzen einen Menschen der es ehrlich mit dir meint und dir ein wenig hilft. Ich habe so viele Freunde heute geblockt, weil es hiess, ich würde lügen, die Polizei sei immer hilfsbereit und nett. Ich finde, so geht man nicht mit Menschen um... * dann sind das keine Freunde.Freunde sind für ein immer da Ist echt besser in der heutigen Zeit, keine zu haben... * doch Freunde braucht man aber dann richtige Ich bin auch einfach nur fertig und tieftraurig, zumal ich soeben meine Biografie beendete, die auch kein Zuckerschlecken war, aber ich werde das nie wieder irgendwem sagen... * Unglaublich..bin echt sprachlos Wie alt ist denn deine Tochter? Warum hat deine Freundin denn nicht erst mal auf deiner Arbeit angerufen?! Echt unglaublich!!! 16 soeben geworden * oh die arme!!! Also das Alter ist egal-so eine Nachricht ist immer schlimm..ber in dem Alter weiß sie ja definitiv was du, vermeintlich!!!, vor hast. Oh fühl dich gedrückt und ich wünsche euch viel Kraft um dieses Erlebnis gut zu verarbeiten!!! Eigentlich habe ich soooooo riesen Respekt vor der Polizei, aber DAS geht garnicht!!! So schrecklich * Anais C. Miller puh was für .....leider kann ich nur aus eigener Erfahrung sagen das das ein offenbar "normaler" Umgang zu sein scheint.fällt schwer sich davon nich prägen zu lassen Ja aber da versteht man auch, warum Opfer lieber schweigen, oder?? * ja leider genau das.vorher konnte ich vieles nicht nachvollziehen.das hat sich leider geändert....sobald du dich als Opfer outen musst,wird in unserem System versucht auch weiter eins aus dir zu machen.... ja leider, ich hab mit einem 20jährigen Mädchen gearbeitet, dass auch nichts sagen wollte, weil ihre Geschwister involviert waren, und sie die nicht ranhängen wollte * kann sich auch kaum einer vorstellen das man so behandelt wird und das es so läuft,wenn man es selbst noch nich erleben musste * Ich denke, dass sich deine Freundin einfach nur Sorgen gemacht hat und sich nicht anders zu helfen wusste. Was die Polizei angeht, kann ich mir vorstellen, dass diese einfach überfordert mit so etwas ist. Die sollen einfach eine Person "sicherstellen" und das war es. Dazu kommt, dass einfach der größte Teil der Menschheit der Meinung ist , dass Leute mit Depressionen und Selbstmordgedanken einen an der Waffel haben, daher dann auch der plumpe Umgebung mit deiner Tochter. Und wenn es um die Infragestellung deiner Glaubwürdigkeit geht, da spielt dann wieder das rein, dass die Leute denken man hätte einen an der Waffel wenn man Depressionen und Selbstmordgedanken hat. Ich kann dich sehr gut verstehen, habe es schon lange aufgegeben mit mir nahe stehenden und auch sonstigen Personen über meine Psychoprobleme zu sprechen. Mache meine schlechten Phasen gezielt mit mir selbst aus wenn ich alleine bin. Das kann aber sicher nicht jeder und wie lange es bei mir funktioniert weiß ich natürlich auch nicht. Wünsche dir viel Kraft. * Ouh man....mir fehlen gerade die Worte.....es tut mir so leid, dass du soo viel mist erleben musst. Du möchtest anderen, mit deiner Stimme helfen und bekommst immer wieder eine drauf. * Mich wundert in dieser kranken Welt gar nichts mehr, es ist echt gruselig geworden. Wie Menschen miteinander, mit anderen Lebewesen und der Natur umgehen * Die Abgründe der Menschheit sind unfassbar grausam, ein „normaler“ Mensch kann sich nicht im geringsten vorstellen, zu was ein so genannter gestörter Mensch fähig ist zu tun, Hauptsache seine „Neigung“ wie auch immer, wird befriedigt, dafür gehen solche Menschen über sprichwörtliche Leichen... * Es tut mir so leid für dich das du das erleben musstest. Ich habe leider die Polizei schon öfters negativ erleben müssen. Möchte am liebsten nicht zurück denken. * Ungeheuerlich... Jetzt weiß ich, warum ich Deutschland so abgrundtief verachte... Also so ganz prinzipiell kann ich dir sagen, je mehr corona, desto bekloppter die Menschen gerade. Teilweise so, dass ne Freundin und ich uns regelmäßig fragen, ob nicht wir die Irren sind, weil die in der Mehrzahl sind. So klingt das auch. Die Polizisten haben auf alle Fälle schon mal jegliche sozialen Umgangsformen verlernt. Jaja, "dEIN fEINd und pEINiger" mal wieder (statt "Freund und Helfer") ... Als x-fach Betroffener hast Du mein vollstes Verständnis und Mitgefühl. Und möglicherweise bist Du an einen Betrüger geraten, dem es in erster Linie darum ging, Dich ganz real zu treffen - mit welchem Kopfkino auch immer. Als er nicht zum Ziel kam, wurde er ungemütlich. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:09, 25. Mär. 2021 (CET) Ich denke, jeder andere Autor hätte all die Missbrauchsbücher besser geschrieben als ich es getan habe. Autoren sind ja oft im Journalismus tätig usw und sofort, aber wichtig war es doch- dass mal jemand damit angefangen hat- den Mund aufzumachen weil er nicht länger wegsehen wollte. Und da, werde ich immer ganz vorne mit dabei sein! Mittlerweile habe ich über 20 Opfern meine Stimme gegeben... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:51, 27. Mär. 2021 (CET) Das was ich im Nachfolgenden erzähle, ist nichts für schwache Gemüter und ja, es ist pervers und abartig. Aber ich habe es erlebt und es hat aus mir einen anderen Menschen gemacht als den, der ich eigentlich mal werden wollte. Das ist traurig und dennoch habe ich meinen Weg gefunden. Wer sich fragt, warum solche Geschichten veröffentlicht werden, dem möchte ich folgende Antwort mit auf den Weg geben… Seid glücklich, wenn ihr eine unbeschwerte Kindheit genießen durftet. Eure Eltern immer liebevoll, fürsorglich und gut zu euch waren. Den Schlüssel für sämtliche Türen des Lebens überreichen dir nämlich deine Eltern, niemand anderes als sie tragen auch die schärfste Waffe bei sich, mit der sie aus dir über Jahre hinweg ein emotionales Wrack konstruieren können, sofern sie den sadistischen Wunsch in ihrem versteinerten Herzen nach Qual und Leid hegen. Qualen und Schmerzen, die selbst ertragen haben und ertragen mussten. Meine Mutter war krank. Psychisch krank. Das habe ich als Kind aber nicht gewusst. Woher auch? Heute weiß ich es und natürlich ist es zu spät. Ich möchte und kann meine Vergangenheit nicht revidieren. Die Zukunft aber sehr wohl bestimmen. Eines weiß ich! Ich werde keine Kinder in diese Welt setzen. Aus Angst. Angst, dass ich ebenfalls in diese Spirale gerate. In die Spirale aus dem, was ich erlebt habe und aus Gefühlen, Gedanken und Emotionen die mich vielleicht eines Tages beherrschen obwohl ich das gar nicht möchte. Meine Mutter wusste ja auch, dass es falsch war, was sie mit mir gemacht hat. Sie konnte eben nicht anders … Ich schrieb dieses Buch um abzuschließen mit dem was war und um der Welt dort draußen zu zeigen, ihr seid nicht allein. Wenn du als Leser nichts Schlimmes in deiner Kindheit erfahren hast, so gratuliere ich dir. Die Realität sieht oftmals anders aus und ich möchte mit dieser Geschichte den Opfern aus ähnlichen Begebenheiten ein Zeichen setzen. Ihr Schweigen und ihre Qualen sollen nicht umsonst gewesen sein. Wenn dich dein Mut verlässt, wenn du dich komplett verloren hast, komm einfach zu mir her, weil es bei uns beiden so gut passt. Wünsche an denen du hängst, Gesten welche dein Inneres berühren, glücklich sein wenn du daran denkst, wie wohl du dich dabei fühlen kannst. Küsse können grausam schmecken wenn du diese Lippen nicht begehrst, Geld kann keine Lust erwecken wenn die Seele streikt und sich beschwert. Du spürst genau wo deine Heimat ist. Es gibt für dich keine Gegenwehr. Die Liebe musstest du lange vermissen, doch komm einfach her, komm her… Sandra Meine Mutter Heute ist der Tag meiner Befreiung. Zumindest der meiner inneren Lossagung von einem Martyrium, dessen Ausmaß mir erst zwanzig Jahre später bewusst werden wird. Die Tür fällt ins Schloss. „Hallo Mama“, rufe ich und wie immer erhalte ich keine Antwort. In der Wohnung ist es stickig. Gelüftet hat sie wieder nicht. Der Zigarettendunst benebelt meine empfindlichen Augen. Der Arzt sagte ich leide unter einer Tierhaarallergie und Heuschnupfen. Mutter schießt alle Bedenken der Ärzte in den Wind. Ihr ist es schlichtweg egal, unter welchen Krankheiten ich leide. „Die Katze und der Hund leben seit Jahren bei uns im Haushalt und jetzt auf einmal sollst du eine Tierhaarallergie haben, das ist doch lächerlich“, schnauzte sie mich an als wir die Arztpraxis an einem Montag im Mai vor drei Jahren verließen. Vor drei Jahren war ich elf Jahre alt und noch recht duckmäuserisch. Widerworte hätte ich niemals gegeben. Der Arzt sagte meiner Mutter, dass bestimmte Gräser im Mai in der Blüte ständen und ich deren Pollen nicht vertrage. Ein Mittel aus der Apotheke sollte sie kaufen. Mehreren Tests hatte ich mich unterzogen und es gab kein Vertun, dass ich eben unter diesen Allergien litt. Meine Not war groß. Keine Luft zu kriegen, ist ein fürchterlicher Zustand und doch interessierte es meine Mutter nicht im Geringsten wenn ich unter Atemnot litt. „Wir haben kein Geld für die scheiß Medikamente. Ich kann nicht alles bezahlen“, lamentierte sie frotzelnd in Selbstgesprächen versunken, während sie mich eilig an der Hand über die Einkaufsstraßen hinter sich her zog. Es stinkt nach Katzenpisse in den Räumlichkeiten. Mutter hat die Tiertoilette wieder nicht sauber gemacht und dabei weiß sie genau, dass ich beinahe ersticke, wenn ich das Zeugs ausleere. Mit zittrigen Händen greife ich an die Küchentür die einen Spalt breit offen steht. Welches Bild erwartet mich? Mein Herz schlägt mir bis zum Halse. Angst. Immer diese verzwickte Angst, mit Augenblicken konfrontiert zu werden, die meine Seele in ein tiefes Loch stürzen. Mutter kniet auf dem Linoleumboden. Sie ist nackt. Milow ist bei ihr und ich erkenne nicht gleich was Sache ist. Milow ist unser Hundemischling. Er ist über vierzehn Jahre alt und taub. Geräusche an der Wohnungstür nimmt er nicht mehr wahr. Er hat mich also nicht gehört. Ein merkwürdiges Gefühl beschleicht mich von ganz tief unten aus dem Bauch heraus. Drückt meine Kehle zu. Mutter hält in der rechten Hand einen Spender mit Sprühsahne. Mit dem Rücken kauert sie zur Tür. Auch sie hat mich nicht gehört. Außerdem ist sie beschäftigt. Mit sich, dem Hund und ihren perversen Trieben. Langsam richtet sie sich auf. Biegt ihr Kreuz gerade und sprüht die Sahne auf ihren Busen. Den größten Teil des schaumigen Zeugs auf ihre Brustwarzen. Milow ist ganz aufgeregt. Freudig mit dem Schwanz wedelnd, sitzt er vor Mutter und wartet geduldig. Er kennt das Spiel genau und es gefällt ihm. Mit der Sahne an ihren Brüsten beugt Mutter sich wieder vornüber. Milow erhebt sich aus seiner Sitzposition und schleckt mit seiner Zunge Mutters Brustwarzen ab. Ich beobachte dieses Szenario mit einem Würgreflex in meiner Speiseröhre und doch erweckt dieses abstruse Bild von Sexualität auch etwas Lustvolles in mir. In meinen sexuellen Stimulationen regt es an und ich will mich dagegen wehren. Ich weiß dass es nicht normal ist was Mutter tut. Ich weiß dass es abartig ist und doch stimulieren auch mich diese Bilder. . Gern würde ich wahre Liebe erfahren. Sex und Zärtlichkeiten austauschen und geliebt werden. Von einem Jungen in meinem Alter. Mutter windet sich angeregt unter den Bewegungen der Hundszunge auf ihren Brüsten. Stöhnt lustvoll. Wieder und wieder setzt sie den Spender an und sorgt somit für leckeren Nachschub der Geschmackssinne des unbedarften Tieres. Ihre Bewegungen werden rhythmischer und sie greift nach dem Dildo der neben ihr auf einem ausgebreiteten Küchentuch liegt. Während Milow mit seiner schlabbrigen Zunge ihre Brüste in Fahrt bringt, befriedigt Mutter sich mit dem Vibrator bis sie zum Höhepunkt erlangt. Leise verlasse ich den Ort des Geschehens und ziehe mich in mein Zimmer zurück. Schließe sachte die Tür hinter mir. Ab heute ist es vorbei. Nie wieder diese schrecklichen Bilder und nie wieder wird sie mich anfassen auf eine Art und Weise, die mir unangenehm ist. All meinen Mut habe ich zusammengenommen um ihr zu sagen, dass endgültig Feierabend mit ihren Spielchen ist. Auch auf die Gefahr hin, dass sie mich aus der Wohnung schmeißt, so habe ich eine Lösung gefunden. Ich darf jederzeit zu Tante Gisela gehen. Mit Sack und Pack bei ihr wohnen und einziehen, wenn ich das möchte. „Du hast nichts zu verlieren, Sandra“, hat sie mir versprochen. Sie kennt Mutter, hat sie gesagt. Mutter und ihre Ticks, wie sie es nennt. Sie wisse wie schrecklich Mutter sei aber das wäre nur ein trauriges Ergebnis von fürchterlichen Erlebnissen aus einer schwierigen Kindheit, über die sie ein anderes Mal mit mir sprechen wolle. https://anaiscmiller.jimdofree.com/2020/03/04/muttergl%C3%BCck-pervers-mama-h%C3%B6r-bitte-auf-damit/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:59, 27. Mär. 2021 (CET) Damians Elternhaus passte optisch nicht wirklich zwischen die feinen Neubauhäuser der Wohnsiedlung, unter deren Carports sich ein Bonzenschlitten nach dem anderen einreihte. Im fahlen Schein der Laternen fiel mein Augenmerk gleich auf die prunkvollen Villen der Straße, weniger auf das zurückgelegene Abrisshaus, neben dem Damian den Jeep abstellte. Das gammelige, unscheinbare Häuschen, das oberhalb des Berges am Waldesrand verloren und nahezu unbewohnt aussah, war wenig vertrauenerweckend. „Ist irgendwas nicht in Ordnung?“, fragte er hektisch, als er meine Irritation bemerkte, während ich aus dem Wagen stieg. „Der Kontrast“, kam es zögerlich über meine Lippen, nachdem ich auf den angrenzenden Schuppen neben dem Wohnhaus blickte, der weniger einladend aussah als der Schweinestall unseres Nachbarn. Der Garten glich einer Müllhalde. „In dem Schuppen sägen wir Holz klein und schlachten Tiere. Wir essen gerne Lamm und Kaninchen“, brabbelte Damian. Übelkeit krabbelte in meine Speiseröhre. „Das Haus meiner Eltern war eines mit der Ersten, das in dieser Straße gebaut wurde. Ist fast 150 Jahre alt. Hier lebten schon meine Vorfahren mit ihren Familien“, sagte er lässig und es klang paradoxerweise, als sei er stolz darauf, in solch einer abgefuckten Baracke zu wohnen. Das Haus war ebenso gruselig wie Damians Erscheinung und noch viel schlimmer, ehrlich gesagt. Heruntergekommen und verwahrlost. Die Liebe im Detail fehlte. Keine Blumen vor den Fensterläden. Kein Blümchen steckte in den Blumenkästen, die abseits der Haustreppe lagen, als hätte der letzte Sturm sie umgefegt. Der Garten ungepflegt und vernachlässigt. Ein reparaturbedürftiger Zaun rundete das Bild der Trostlosigkeit ab, die über dem verwaisten Grundstück lag. „Meine Mutter kann gesundheitlich nicht mehr so wie sie will, früher hat sie den Garten in Ordnung gehalten“, entschuldigte Damian das chaotische Erscheinungsbild seines Zuhauses. „Meine Brüder haben kein Interesse an dem Haus und mein Vater ist den ganzen Tag unterwegs. Geld verdienen. Obwohl er Rentner ist, wurschtelt er mal hier, mal dort, nur am eigenen Haus dummerweise nicht.“ „Ach so“, sagte ich ohne zu wissen, was ich zu den Zuständen überhaupt hätte sagen sollen. Bei den Flodders sah es jedenfalls besser aus als hier. Mit weichen Knien folgte ich Damian hinter der Haustür die Treppen hinauf. Der Gedanke des Weglaufens klopfte Sturm an der Tür meines Verstandes. In der Dunkelheit hätte ich verschwinden und mich verstecken können. Den Gedanken verwarf ich. Die Hemmschwelle, Damian wegzulaufen, konnte ich aus emotionalen Gründen nicht überschreiten. Die Folgen nicht verantworten. Seine Drohungen, mir wegen Zabou Ärger zu machen, mich sogar anzuzeigen, zeigten Wirkung. Eingeschüchtert war ich bis obenhin. Das waren Sinn und Zweck seines gemeinen Planes, sofern er überhaupt einen in der Tasche hatte, außer mich mit allen ihm zur Verfügung stehenden Mitteln zwingen zu wollen, ihn zu lieben. Mein schlechtes Gewissen und die Angst trieben mich in das Haus. Eine uralte, knarrende, wohl morsche Treppe, auf der man befürchtete abzustürzen, führte in Damians Zimmer, ganz oben unter dem Dach. Licht gab es keines. „Stromrechnung nicht bezahlt“, brabbelte Damian und nahm eine Taschenlampe vom Treppenvorsprung. Unter dem winzigen Licht ihres armseligen Scheins, führte er mich zu seinem Zimmer. „Willkommen in meinem bescheidenden Reich“, hielt er mir die Tür auf. Der Geruch von Fäulnis stieg in meine empfindsame Nase. Mit dem Feuerzeug zündete er mehrere Kerzen an. „Dann mache ich es uns mal romantisch“, umgarnte er mich. Die Möbel alt und vergammelt, marode wie aus dem dritten Jahrhundert stammend, schienen so fürchterlich zu stinken. Entsetzt blickte ich auf zahlreiche Fotos, die aus Zeitungen und Illustrierten ausgeschnitten, als Tapete an die Wände gekleistert worden sein mussten. Meine müden Augen entdeckten nicht eine freie Stelle, an der kein Foto klebte. Beim Näherhinsehen entdeckte ich lauter nackte Frauen auf den bunten Papierfetzen. Bild an Bild, reihten sich nackte Blondinen mit üppiger Oberweite. Erschrocken trat ich einige Schritte zurück. Außer den verrotteten Möbeln und Pornofotos an den Wänden gab es nicht einmal ein Fenster in dem dunklen Zimmer, durch das man Sauerstoff hätte hereinlassen können, um zu atmen. Ein schwarzes Etwas huschte über die Holzdielen und verschwand fiepend unter dem Schrank. „Was war das?“, schrie ich entsetzt auf. „Eine Ratte vielleicht. Leider keine Seltenheit in den alten Häusern“, steckte sich Damian in aller Ruhe eine Zigarette an und warf sich auf das klapprige Bettgestell, das unter ihm verdächtig ächzte und quietschte. „Hier kann doch kein Mensch wohnen“, stotterte ich. „Siehste doch“, lachte Damian und winkte mich zu sich. „Komm, hier ist es gemütlich.“ Der Gedanke, dass ich auf dem Bett mit der dreckigen Decke darauf und den gelben Flecken auf der Matratze darunter, im Beisein von Ratten, die unter dem Schrank hockten, entjungfert werden sollte, konnte nur ein grauenvoller Albtraum sein und ich hoffte endlich aus ihm aufzuwachen. „Komm zu mir aufs Bett! Wir fummeln ein bisschen und dann bringen wir es hinter uns“, klopfte er auf die Matratze. „Ich, ich kann hier nicht“, stotterte ich. „Wie jetzt?“, wurde Damian nervös. Verstört zog ich die Schultern hoch. „Hey, jetzt mache keine Zicken hier, Fräulein. Erst sagtest du, du könntest im Auto nicht und wir sollen zu mir fahren, jetzt sind wir bei mir und du kannst auch hier nicht? Was soll das?“, warf er die brennende Zigarette auf den Fußboden. Mit der Schuhspitze seines Turnschuhs drückte er sie aus. Im Holzboden blieb ein Brandloch zurück. „Hier gibt es Ratten und ich kann nicht atmen. Ich kriege keine Luft“, röchelte ich. Damian erhob sich vom Bett. Entschlossen schritt er auf mich zu, packte mich am Unterarm und schleuderte mich lieblos auf das Bett. „Jetzt halte endlich dein dummes Maul, du blöde Schlampe!“, schrie er mich an. Im selben Atemzug riss er mir die Klamotten vom Leib. „Ich habe echt gedacht, wir beide hätten das Ganze ein wenig romantischer angehen können, aber du gibst mir einfach keine Chance“, nestelte er an der Gürtelschnalle seiner Jeans, nachdem meine Kleidung neben dem Bett gelandet war. Wimmernd lag ich auf der übelriechenden Matratze, die bestimmt seit mehreren Jahren niemand mehr gewechselt hatte. „Warum zitterst du denn so?“, schrie er. Ich rührte mich nicht. „Guck mich gefälligst an, wenn ich mit dir rede, Schlampe!“ Damian drehte komplett durch. In dieser Nacht lernte ich ihn von seiner schlimmsten Seite kennen. Ein heftiger Schlag in mein Gesicht brachte mich zum endgültigen Schweigen. Selbst die Tränen hielten sich aus Angst vor Damians Wutausbrüchen zurück. Zum Glück ging es schnell. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 20:10, 28. Mär. 2021 (CEST) Zum Jahresbeginn plant der Mensch alle Jahre wieder, für die Folgemonate seines Lebens, etwas Besonderes oder er setzt sich ein Ziel, das er im letzten Jahr nicht erreicht hat. Manche wollen im Berufsleben aufsteigen und verlieren ihren Job, andere geben das Rauchen auf und satteln um auf E-Zigarette und Alkohol, wieder andere wollen endlich den heißersehnten Fallschirmsprung wagen und vergessen beim Absprung den Fluglehrer mitzunehmen. Lapidar gesagt, kannst du immer und überall, mit deinen Vorsätzen ganz schön auf die Fresse fliegen. Dennoch sind in unserem Leben die planbaren Ereignisse, ein tiefes, menschliches Bedürfnis, und ebenso wie unsere Würde, unantastbar. Mir ist es ein dringendes Bedürfnis, mit meiner besten Freundin zum Brunchen zu gehen, mir ganz ungezwungen eine neue Jeanshose zu kaufen, mich in ein Cafe zu setzen, weil ich dort einen Latte Macchiato trinken, und anschließend in der Eisdiele, ein Spaghettieis essen möchte - und dennoch - sind mir all diese wichtigen Bedürfnisse, strengstens untersagt, weil irgend so ein Virus unterwegs ist. Das heißt: Im schlechtesten Fall sterbe ich in absehbarer Zeit sowieso an dem Virus, ohne noch einmal Freude in meinem Leben erlebt und ausgekostet zu haben, bevor mich ein Bestatter in Schutzausrüstung, in die hölzerne Kiste schmeißt und ich drei Etagen tiefer im finsteren Erdloch lande und von Würmern zerfressen werde. Im besten Fall verliere ich „nur“ jegliche Bedürfnisse, die mir Glücksgefühle verschaffen und sterbe nicht, meine Seele verreckt aber, weil ich ja gar keinen Ausgleich mehr habe, an dem ich mich erfreuen könnte. Die Seele stirbt, wenn du ihr nichts zu Futtern gibst. Sie stirbt auch, wenn du ihr die falsche Nahrung zuführst. Jetzt zeig mir einen Menschen, der nach dieser Scheiße immer noch völlig normal tickt, obwohl man ihn um wichtige Bedürfnisse beraubt. Selbst mein Kind ist unzufrieden und läuft nicht mehr in der Spur. Jeder der mir sagt, er sei im Endloslockdown glücklich, der lügt in meinen Augen. Ich will es niemandem unterstellen, aber das kann nicht wahr sein, dass Ihr da draussen alle glücklich seid. Es sei denn, du sitzt sowieso den ganzen Tag lang nur vor dem Computer, hast keinen Job, keine Familie, keine Tiere und auch sonst nichts in deinem Leben, wofür es sich zu kämpfen lohnt. Gut, dann fehlt dir auch nichts. Schlaf weiter und schalte am besten niemals die Nachrichten ein. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:16, 29. Mär. 2021 (CEST) Und dann fuhr mitten in der Nacht auf der einsamen Landstraße meines Nachhauseweges, die Polizei an mir vorbei. Entsetzt blickte ich den Fahrer an und er mich ebenso erschrocken, während ich noch immer mit dem Handy beschäftigt war, um die Sprachnachricht zu vollenden. Wie ein gleissender Blitz schlug es in mich ein. Die beiden Bullen mussten das Smartphone gesehen haben, das Displaylicht hatte mich verraten. Schweißperlen traten auf meine Stirn. Mein Punktekonto in Flensburg liess nix mehr zu. Nicht mal n halben Punkt... Handy am Steuer- das wird teuer..., dachte ich seufzend. Im Rückspiegel sah ich, wie sie den Polizeibulli wendeten und mich verfolgten. Wohin mit dem Telefon? In meiner Not, schmiss ich es unter den Beifahrersitz... "Papiere bitte!", knurrte der grimmige Beamte. Nervös reichte ich sie ihm durch die heruntergelassene Scheibe. "AUSSTEIGEN!", forderte er mich auf in einem Ton, der mich Schlimmes erahnen liess. "Bin ich jetzt verhaftet?", fragte ich und meine Gedanken rotierten. Hatten die beiden etwa auch gesehen, dass ich das Beweismaterial verschwinden lassen wollte? --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:36, 30. Mär. 2021 (CEST) Was habe ich Tränen gelacht...aber auch geheult Nach einem anstrengenden Arbeitstag, fuhr ich gegen 21.30 Uhr vom Discounter nach Hause, als mich unerwartet eine Polizeistreife aus dem Verkehr zog. Mein Tag war bis dato ohnehin beschissen verlaufen, deshalb wunderte mich gar nichts mehr. Das mit der Polizei war mal wieder typisch: „Ich!“ Ich war müde und abgespannt, wollte eigentlich nur noch in mein Bett und hatte jetzt erst einmal die Bullen am Arsch hängen. Der Grund, warum sie mich angehalten hatten, war für mich plausibel und ersichtlich: „Handy am Steuer!“ Doch der Polizist, der sich meine Papiere zeigen ließ, musste mich wohl wegen einem ganz anderen Vergehen angehalten haben, denn als er schließlich in einem mir fremden, besonders barschen Ton sagte: „Aussteigen!“, war mir klar, dass man für die Tat „Handy am Steuer“ nicht gleich verhaftet wurde. Aber warum sonst, sollte ich aus dem Fahrzeug aussteigen, wenn nicht die Handschellen klickten? Ich nehme dich, wenn du magst, mit auf eine Reise der letzten Monate meines Alltags. Du wirst lachen und vielleicht auch weinen, fluchen und staunen, was mir widerfahren ist. Das, was ich erzähle, ist nicht einmal ausgedacht oder fiktiv, nein, es ist die nackte, ungeschönte, ehrliche Wahrheit einer Frau, die selbstkritisch und humorvoll, über gewisse „Missetaten“ ihr Schweigen bricht. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:28, 31. Mär. 2021 (CEST) Übrigens, ich bin immer völlig amused, wenn mir so richtig miese Rezensionen reingedroschen werden und ich dann auf das Profil der Rezensenten gehe, und sehe, dass genau diese Menschen mir folgen. Warum? Wollt Ihr mich fertig machen? Oder süchtet Ihr nach den Büchern? Gruppenzwang? Fragen über Fragen... Ja, vielleicht solltet Ihr das in euren Profilen mal löschen. Weil, das kommt nicht gut. Ich meine, das sehen andere ja auch. Schiesst Ihr euch nur n Eigentor mit. Übrigens... die meistverkauften Bücher sind die- in denen die miesesten Rezensionen stehen. Also, nur zu! Lasst euch bitte so richtig aus! Sachen gibt's... 😅 * Meine Theorie ist die gute, alte Projektion und Übertragung. Die ganzen Basher sind doch alle selbst geil auf Blut und Gewalt, aber das ist ja fies und bah und da beschäftigt sich man nicht mit. Wenn man das aber konsumieren kann aus dieser erhöhten Selbstwahrnehmung, kann man gut den Schauer genießen, es aber trotzdem widerlich finden und die beschimpfen, die dazu stehen, dass es sowas gibt und es auch offen gesagt, gesehen und wahrgenommen werden muss. Ich hab mal in einer Autoren-Hilfegruppe gefragt, ob es möglich ist, als Unbeteiligter vollständige Akten der Amtsgerichte nach Urteilsverkündung inkl. Gutachten und Tatortfotos und Obduktionsbefunde anzufordern, da ich gern über zwei konkrete Fälle aus D schreiben würds und zwar eng an der Realität, True-Crime halt, was meinst, was da los war ..... Perverser, Aufgeilen wollte ich mich, was mich das anginge usw. usf., Persönlichkeitsrechte des Täters usw. Ey Hallo? Ich hätte die Kopien ja bezahlt und die Namen der Beteiligten hätte man schwärzen können, wenn es sein muss. Gehen geht alles, wenn man will. Und ich finde, die Persönlichkeitsrechte eines Täters wiegen weniger, als ein Urteil „Im Namen des Volkes“. Ich denke, wir Bürger sind das Volk? Dann ist es doch auch das gute Recht jedes Interessierten, zu erfahren, WARUM in seinem Namen ein Urteil gesprochen wurde, wie man im Einzelnen zu dem Ergebnis kam und welche detaillierten Einzelheiten der jeweiligen Angelegenheit in Gänze zugrunde lagen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 12:18, 1. Apr. 2021 (CEST) Das angstvolle Wiehern meiner Pferde drang bereits in meine sensiblen Ohren, da hatte ich den Stall noch gar nicht erreicht. Kaum über den Berg gelaufen, ließ meine Intuition das Adrenalin in meinen Venen explodieren und ich wusste sofort, ich musste mich beeilen, um Schlimmeres zu verhindern. Meinen Rucksack warf ich ins Gras. Dann rannte ich so schnell ich konnte. Die Peitschenhiebe ließen mir das Blut in den Adern gefrieren. Von weitem schon sah ich Damian, wie er mit der Peitsche ausholte und auf mein Pferd einprügelte. Das Tier hatte keine Chance ihm auszuweichen, es hielt sich in der Box auf und nicht draußen auf der Weide. „Aufhören!“, schrie ich und riss ihm das Folterinstrument aus der Hand. „Was tust du?“, schubste ich ihn. „Du warst wieder bei dem Wichser“, sprang Damian im Dreieck. „Ich habe dir gesagt, du sollst da nicht mehr hingehen, verdammt.“ „Er ist mein Freund. Ein guter, lieber Freund, nichts weiter“, rechtfertigte ich mich und versuchte, mein Pferd zu beruhigen. Die Striemen zeichneten sich im Fell der Kruppe ab. Mir tat es weh hinzusehen. „Ich will das nicht. Du gehörst mir. Mir alleine, wann kapierst du das endlich?“, tobte Damian und trat mit dem Fuß tote Gegenstände durch die Gegend. Die Mülltonne schepperte um die Ecke, die Boxentür riss er aggressiv aus den Angeln und schleuderte sie zu Boden, dann griff er nach Amy, so hatte ich das kleine Hundebaby getauft, das tollpatschig um uns herum tapste. „Lass den Hund in Ruhe“, schnappte ich mir die Mistgabel und ging auf Damian los. Jetzt reichte es mir aber. „Du willst mir drohen?“, lachte er und griff nach dem Stiel der Forke, doch ich ließ sie mir nicht entwenden, sprang im richtigen Moment zurück und holte zum ersten Schlag aus. „Hau ab“, schrie ich. Ich wuchs über mich hinaus. Hielt die scharfkantigen Zinken in sein Gesicht gerichtet. „Du quälst keine Tiere mehr. Meine zumindest nicht“, holte ich erneut aus und dieses Mal traf ich ihn empfindlich mit einem kräftigen Schlag an der Schulter. Er taumelte, ging in Deckung und wich mehrere Schritte vor mir zurück, doch ich konnte nicht aufhören. Es kam über mich. In blinder Wut verprügelte ich Damian mit der Mistgabel, als würde es kein Morgen mehr geben. Die Schläge kamen immer schneller, setzten sich immer gezielter. Trafen ihn am Kopf, auf dem Rücken, in den Kniekehlen und an den Hüften. Vor Schmerzen schrie er auf und lief fort. Ich ihm nach, während ich noch immer wie eine wildgewordene Furie auf ihn eindrosch. Hätten mich meine Kräfte nicht verlassen und er das ihn rettende Auto nicht erreicht, hätte ich ihn vielleicht totgeschlagen. Mit durchdrehenden Reifen fuhr er davon. „Lass dich bloß nie wieder hier blicken, du Arschloch!“, schrie ich dem davonfahrenden Jeep nach. Weinend schloss ich Amy in meine Arme. Das kleine Wollknäuel und ich gegen den Rest der Welt, so fühlte sich der Schmerz in meiner Brust an. Mir war klar, ich müsste mein Leben ändern wenn ich leben wollte, so konnte es nicht weitergehen. „Und wenn ich alle Pferde abgeben muss“, heulte ich Sina die Ohren voll. Wobei ich nicht mal mehr weinte, wenn ich über das Drama sprach, Tränen gab es in meinen Augen längst keine mehr. „Du sollst dein Leben ändern wegen ‘nem Psycho?“, kreischte Sina. „Ich habe anscheinend keine andere Wahl. Der Typ wird mich nie in Ruhe lassen. Ich kann so jedenfalls nicht mehr weitermachen. Einer bleibt auf der Strecke. Entweder er oder ich“, schnaufte ich. „Ja, du läufst schon rum wie ein Zombie“, stellte Sina nüchtern fest. Ich habe damals fast eine halbe Seite der Bildzeitung ausgefüllt ... so schade, dass ich den Artikel nicht aufgehoben habe... Alles was an den Typen erinnerte, wollte ich nur loswerden... https://www.facebook.com/jeannine.piekenbrock https://www.facebook.com/MyHomeAnaisCMiller Arbeitet bei Meine Pferde "Warinja" & Co - https://www.facebook.com/AnaisCMillerPferde Boss bei Selbständig Verkäuferin ❤ bei Lidl Dienstleistung GmbH & Co. KG --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 23:27, 2. Apr. 2021 (CEST) Ein Buch, mit dem ich den Schwerpunkt auf die Diaologe der Betroffenen vor, während und anschließend der Vergewaltigung legen möchte und in dem es mir weniger um die Brutalität der Tat ansich geht. Es soll aufzeigen, wie widerwärtig sich Menschen verhalten... Auszug „Hallo, hören Sie mich?“ Ein alter Mann beugt sich über mich. Benommen blicke ich in ein unrasiertes, dreckiges Gesicht. „Helfen Sie mir bitte“, stöhne ich. „Ja, ich muss jemanden rufen. Einen Krankenwagen, aber ich habe kein Telefon dabei“, stammelt er in abgehackten, holprigen Sätzen. Entsetzt blickt er auf meine nackten Brüste. Mein Kopf liegt in einer Pfütze. Ich spüre wie die Nässe in mein Ohr eindringt und sich in meinen Haaren verfängt. Mir ist nicht klar, ob es Regenpfützen sind oder mein eigenes Blut, in dem ich liege. Meine Arme will ich heben, schützend über meine Brüste legen, doch sie bewegen sich nicht. Hilflos krallen sich die Fingernägel in den kalten Betonboden des Parkdecks mit der Nummer 7. Der Schmerz in mir zeigt kein Erbarmen. Mit brutaler Gewalt holt er die Erinnerung zurück an das Geschehen, das sich vor wenigen Augenblicken ereignete. „Hey Sie“, ruft der alte Mann. Aus dem Augenwinkel heraus sehe ich, dass er angestrengt einem jungen Mädchen nachhumpelt, das in einen kleinen, roten Rover einsteigen will. „Hier ist jemand verletzt. Haben Sie ein Telefon dabei? Die Absätze ihrer Stöckelschuhe klackern in einem zermürbend gleichmäßigen Takt, der sich nicht verlangsamen will. "Bitte, helfen Sie“, fleht er. "Blipp blipp," öffnet sich der Wagen per Funk. Das Mädchen steigt ein ohne sich umzudrehen. Die Autotür schlägt zu. Motorengeräusch. Der mechanische Klang ist verstörend. Verzweifelt rettet sich der alte Mann mit einem Sprung zur Seite, um von dem Fahrzeug nicht angerempelt oder umgestoßen zu werden, als es rückwärts aus der Parkfläche rangiert. „So helfen Sie doch bitte“, ruft er dem Auto nach, das rasant an mir vorbeifährt. Das Mädchen im Inneren schenkt mir und meiner Situation nicht einen Funken ihrer Aufmerksamkeit. Versteinert starrt es unbeteiligt auf das Lenkrad, das scharf nach links einschlägt, um ins tiefere Parkdeck zu gelangen. Der Auspuff des Minis röhrt entsetzlich aufdringlich in den niedrigen Decken zwischen den mit Graffiti beschmierten Mauerwerken. Welch widerwärtiger Kontrast zu meinem Schluchzen und Wimmern. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:00, 3. Apr. 2021 (CEST) Ich schrieb mal unter Pseudonym ein Buch mit dem Titel "Die Wünsche der Vergessenen". Hat es zufällig jemand gelesen? Das Buch schrieb ich nach wahrer Begebenheit. Das Pseudonym nahm ich, weil ich nicht so unterirdische Rezensionen kassieren wollte, denn es gibt dort draussen ganz viele Menschen, die mich abgrundtief hassen. Die Protagonisten aus der Erzählung gibt es tatsächlich. Nun ist Wolfgang letztes Jahr verstorben, die Oma, die das KZ überlebt hat, ist auch tot und heute kommt der Italiener im Rollstuhl zu mir an die Kasse. Er hatte endlich eine Freundin gefunden und die zwei waren ein tolles Paar! Da erzählt er mir heute, dass seine Freundin vor ein paar Tagen gestorben ist. An einer Lungenembolie. Ich bin geschockt. Sie war erst 35 Jahre alt... Ich bin traurig, denn ich kenne alle diese Menschen persönlich...das Schicksal kloppt immer den Falschen in die Fresse, ehrlich... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:38, 3. Apr. 2021 (CEST) Wolfgang hatte mich den letzten Tag an dem ich ihn gesehen hatte, gebeten, das St. Georgs Werk anzurufen, damit ihn am Lidl jemand abholt, ihm ging es sehr schlecht. Aus dem Heim hatten sie ihn aber rausgeschmissen, weil er sich gegen alle Regeln widersetzt und weiterhin Drogen genommen hat. Ich hatte die Tele Nr nicht und durfte auch von der Arbeit aus nicht telefonieren. Zwei Tage später war er tot... * Ich hoffe das legst du dir nicht zur Last...so traurig wie es ist, aber er hat ja Hilfsmöglichkeiten gehabt und nicht angenommen...was soll ein anderer da tun...irgendwann tritt dann eine solche Situation ein wo eben nichts mehr ineinander greift und dann ist es zu spät. Er hat sich verloren...das hätte keiner aufgehalten * Grausam ist trotzdem das du auf der Arbeit nicht mal telefonieren durftest... Wir haben uns da nicht einzumischen. Wusste ja auch keiner- wie schlecht es ihm tatsächlich ging... * Habe vorgestern Abend die Kurzgeschichte von der besten Freundin gekauft in einer Stunde gelesen und war wieder begeistert so toll ich liebe diese Alltagsgeschichten von dir. Top. Gibt es davon eine Fortsetzung ? da es ja Realität ist, hoffe ich, daß es keine Fortsetzung gibt. Solche Tage brauche ich nicht noch mal --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:05, 4. Apr. 2021 (CEST) Mann Mann Mann...😑 Letzte Woche Mittwoch gings los. Schlagartig heraus wie aus dem Nichts, traf es mich. Mir war kotzübel und ich musste frühzeitig von der Arbeit aus Feierabend machen weil ich dachte, ich kotze den Kunden vor die Füsse. Am nächsten Tag Rückenschmerzen, Kopfschmerzen, Bauchschmerzen und Harnwegsschmerzen. Ich sass heulend auf der Toilette. Diese Schmerzen beim Wasserlassen, das war irre. Natürlich bin ich zum Arzt und der hat meinen Urin untersucht und gesagt, dass das nicht gut ausschaut und ein Antibiotika aufgeschrieben. Ich bin trotzdem zur Arbeit und ja, es war ne Quälerei...Den übernächsten Tag (Ostersamstag) bin ich auch zur Arbeit ( man ist einfach zu gutmütig) und ich habe es vor Schmerzen fast nimmer ausgehalten. Man schickte mich dann früher nach Hause, aber stinksauer. So getreu dem Motto:" Simulant". Ich habe Ostern fast nur im Bett verbracht, wurde immer schwächer und mir ging es so beschissen wie lange nicht mehr. Ich dachte an Tom Hanks in The Green Mile und wünschte mir auch einen John Coffee herbei, der mich von diesen elendigen Schmerzen erlöst... 💞 Dienstag wieder zum Arzt, nochmal Urin abgegeben, immer noch ein erschreckendes Ergebnis und andere Tabletten bekommen. 💊 Heute ist der erste Tag an dem ich das Gefühl habe, es ist etwas besser... ich wäre so dankbar, auf Toilette gehen zu dürfen, ohne heulen zu müssen... 🙏 Und plötzlich ist man so dankbar, für ganz kleine, simple Dinge, wie schmerzfrei pinkeln zu können. Unglaublich... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:12, 8. Apr. 2021 (CEST) So wie das ausschaut, werde ich FB den Rücken kehren. Zumindest, was meine Beiträge anbetrifft. Ich bin zu müde für diese Hetzcampagnen geworden. Das Leben dort draussen ist auch nicht besser zur Zeit, aber es gibt meine Tiere die mich brauchen und Sinnvolleres zu tun, als mich über Menschen zu ärgern, die andere verurteilen und mit dem Finger auf sie, in dem Falle auf mich, zeigen. Ich lasse mein Profil stehen und auch den Messanger, um mit wirklichen Freunden zu kommunizieren, aber meine Beiträge werde ich einstellen. Auf meiner privaten Seite handhabe ich das ebenfalls so. Die Bücher schreibe ich wie gehabt weiter. Wer sie lesen mag, ich freue mich über jeden, der mit dabei ist und wer sie nicht lesen mag, der lässt es einfach bleiben. Ich bleib ja da, poste aber nichts Privates mehr. Gebe nichts mehr aus meinem Innenleben preis, denn das macht angreifbar und lädt Idioten zu Verurteilung ein. Somit gibt es Werbung zu neuen Büchern und fertig. Damit wird es sich besser und ruhiger leben. Zumindest für mich. Im Messanger bin ich erreichbar und ich lese und kommentiere auch eure Beiträge. Ich bedanke mich von Herzen bei denen, die wirklich hinter mir stehen. Ohne euch hätte ich mein Profil schon lange komplett gelöscht Es geht gar nicht mal um die Diskussion, Negativwerbung ist immer förderlich und das macht mir auch nix. Es geht darum, dass wenn man sich politisch äußert oder generell Gedanken freilässt, man sich angreifbar macht und das möchte ich vermeiden. Wir haben es derzeit alle schwer genug und müssen uns das Leben nicht noch schwerer machen. Deshalb pflege ich meine Seiten, bewerbe meine Bücher und halte mich ansonsten zurück. Ist auf Dauer gesünder. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:35, 8. Apr. 2021 (CEST) Das Cover ist nur vorübergehend, das Oroginalcover wurde von FB gesperrt! Buchauszug. Start Ende April Meine beiden Brüder brachten täglich ihre Freunde mit zu uns nach Hause. Sie spielten im Garten Fußball, angelten im Teich nach Karpfen und paddelten mit dem Boot über das trübe Wasser. Die Jungs die sie mitbrachten, waren ebenfalls die Kinder der Angestellten meines Vaters. An den Wochenenden feierte Papa rauschende Feste. Da gab es Bier und Grillwürstchen für alle. Für alle, die kommen wollten und wir hatten immer Full House. Die Stimmung unter den Erwachsenen war ausgelassen, wobei mir im Laufe meines Älterwerdens auffiel, dass an den Feierlichkeiten kaum Frauen teilnahmen. Irgendwie waren diese Feste eine reine Männerveranstaltung und das schien seine Gründe zu haben. Selbst Mama hielt sich zurück, und während der Partys meist nur im Haus auf. Dort half sie der Haushälterin beim Schnittchen schmieren und Getränke auffüllen. Wir Kinder hatten sehr wohl Zutritt zu der Terrasse, durften Würstchen essen und Malzbier trinken, hielten uns aber lieber abseits des Geschehens auf. Spielten zusammen Weitwurf, Völkerball und Verstecken, während die Erwachsenen bis tief in die Nacht feierten und sich beinahe ins Koma soffen. Bisher war es jedes Mal so gewesen, dass mindestens eines der Kinder kurz vor Mitternacht von dessen Vater eingesammelt wurde und wir aufgefordert wurden, ins Bett zu gehen oder uns solange nicht mehr blicken zu lassen, bis man nach uns rief. Meine Brüder und ich, wir dachten uns nichts dabei. Wir waren es gewohnt, dass wir Abstand hielten, wenn Papa uns dazu aufforderte. Es war selbstverständlich, dass die Erwachsenen auch mal gänzlich unter sich sein wollten. Das hatten wir von klein auf an gelernt und anerzogen bekommen. Wenn Papa sagte: „Und jetzt bleibt ihr weg hier“, blieben wir weg. Dafür hatten wir genügend andere Freiheiten. Eines Nachts jedoch, fassten wir einen Plan. Wir wollten den Erwachsenen nachspionieren, als Emils Vater seinen Sohn, den besten Freund meiner Brüder, nachdem wir Verstecken gespielt hatten, einkassierte. „Was machen die wohl mit dem?“ Patrick, angetrieben von innerer Neugierde, forderte uns auf, ihm zu folgen. „Komm, wir verstecken uns und sehen nach“, rief er. Ich ängstigte mich, doch auch meine Sensationslust war geweckt. Wir schlichen uns an das Geschehen heran, wie Indianer auf Spurensuche. Lautlos und wissensdurstig, näherten wir uns der lichtdurchfluteten Terrasse. Das, was wir sahen, war niemals für unsere Augen bestimmt. Die Erwachsenen mussten Emil gefesselt haben, der Junge saß splitterfasernackt, an einem Baum. Ein kräftiges Seil war um seinen zarten Körper gespannt worden. Der Reihe nach urinierten die Männer auf seinen dürren Torso. Einige hielten den Strahl direkt auf sein Gesicht gerichtet. Wir konnten mit ansehen, wie sie den Mund des Jungen spreizten. Emil drehte sich in den Seilen hektisch hin und her. Versuchte sich aus der desolaten Situation zu befreien. Seine Augen waren entsetzlich weit aufgerissen, sie schrien nach Hilfe. „Scheiße“, überkam es Patrick. Er war der Älteste von uns, verstand am besten, welche Tragödie sich abspielte. Emil spuckte, würgte und kotzte. Zwischendurch versuchte er zu schreien, doch das heizte die Erwachsenen umso mehr an, noch grausamer gegen das Objekt ihrer Sünde vorzugehen. „Was machen die mit dem?“, lispelte Sven. „Sie foltern ihn“, flüsterte Patrick. „Aber warum?“, mischte ich mich ein. „Halt den Mund, Silke“, zischte Patrick. Starr vor Angst, beobachtete ich, wie einer der Männer eine Peitsche ergriff und auf den wehrlosen Jungen einprügelte. Die Männer lachten, während Emils Schreie die Nacht durchrissen. Ich glaubte, ein Horrorfilm liefe, den ich noch gar nicht angucken durfte. Gleich wachte ich auf aus einem schlechten, ganz miesen Albtraum oder Mama weckte mich. Die Männer erhoben ihre Gläser, stießen an, tranken daraus und schütteten den Inhalt lauthals lachend in Emils Gesicht. Der Freund meiner Brüder röchelte, während die Erwachsenen ihren Spaß genossen. „Die sollen aufhören“, muckste ich auf. „Aufhören“, wollte ich laut schreien, doch Patrick hielt mir den Mund zu. „Halt die Klappe Silke. Gleich entdecken sie uns und dann sitzt einer von uns am Baum“, stopfte mir mein Bruder das Mundwerk. „Sowas macht Papa nicht“, widersprach ich. „Ha, wenn du wüsstest, was Papa für ein Drecksschwein ist und was der alles macht“, fluchte er. Der Blick meines ältesten Bruders traf mich strafend. Niemals zuvor hatte er mich so böse angesehen. „Sie ist noch zu klein“, nahm mich Sven in Schutz. „Ich bringe ihn um. Sobald ich alt genug bin, knalle ich das dreckige Arschloch ab, ich schwöre es euch“, sprach Patrick erregt. Unser Vater und seine Freunde schlugen Emil in der Nacht bewusstlos. Der Junge kehrte nicht mehr zu uns zurück. Entsetzt beobachteten wir, wie sie ihn losbanden und auf den Pflastersteinen niederlegten. Jemand schleppte einen Eimer Wasser ran. Schüttete den Inhalt mit einem rauschenden Schwall in das blasse Gesicht des ohnmächtigen Jungen. „Die bringen ihn um“, hechelte Sven. „Schweine“, stöhnte Patrick. An dem Tag, an dem ich mit ansehen musste, wie mein Vater einen Jungen in meinem Alter halb tot prügelte, fiel meine heil geglaubte Kinderwelt gänzlich aus den Angeln. Was ich gesehen hatte, wollte ich nicht wahrhaben. „Und wenn sie das mit Anna machen?“, überkam es meinen Lippen und ich erinnerte mich an den Vorfall, als Papa meine Freundin in unserem Keller eingesperrt hatte. Meine Brüder antworteten mir nicht. Schweigend zogen sie mich aus dem Radius des grausamen Geschehens. Also es ist ein Buch, das fast ohne ordinäre Gossenjargonsprache auskommt und nur wenige richtig heftige Szenen enthält, aber dennoch "knallt" (Nuttenkinder) Ich hab mir dieses Mal echt Mühe gegeben. Wobei ich heute Aschennutte gelesen habe und ich muss sagen, Aschennutte ist und bleibt echt genial...das ist wirklich mitreißend geschrieben trotz Fäkalsprache Naja, so ist das Leben eben. Soll alles nur vertuscht werden. In der DDR gab es Gruppenerziehung! bis zur Bewußtlosigkeit. Ich habe 1969/70 neben dem "Jugendwerkhof “Hübner-Wesolek” für gefährdete Jugendliche und Jungerwachsene" in der Brunnenstraße in Bernburg an der Saale (Anhalt) gelebt - in der Villa Staake (Brunnenstraße 25), von deren Dachboden aus man den einzigen Einblick in das Gelände über die hohen Bruchsteinmauern hatte. Der riesige Garten der Villa lag genau auf der anderen Seite der Mauer, deren Krone mit Glasscherben bestückt war, worüber sich mehrere Reihen Stacheldraht befanden, die unter Strom standen. Der "Weidezaun" der LPG Menschenproduktion (ich konnte mehrfach beobachten, wie sich gepeinigte Mädchen vor Verweiflung dort hineinwarfen). Die üblichste Erziehungsmethode bestand darin, die Mädchen in Vollschutz über das Gelände zu jagen und am Gasmaskenschlauch weiter zu ziehen, wenn sie platt waren. Besonders beliebt war dabei das Grölen von "Spaniens Himmel", dem damals berühmten Kampflied von Ernst Busch. Die Strafaktion war erst beendet, wenn das letzte Mädchen zusammengebrochen war. Bei kleineren Bestrafungen hatten die Mädchen das Glück, ohne Vollschutz nur an den Haaren "erzogen" zu werden. Besonders perfide war die sogenannte "Selbsterziehung". Um diese anzuheizen, wurde eine Gruppe wegen der Verfehlung eines Mädchens bestraft. Aber dann Holla die Waldfee - die "Verursacherin" konnte sich warm anziehen. Übliche Praxis der "ErzieherInnen" war auch, die Informationen von Denunziantinnen, die dadurch kleine Erleichterungen bekamen, einem anderen (unbeliebten) Mädchen in die Schuhe zu schieben und sie dadurch in der Gruppe zu diskreditieren. Die Mädchengruppe machte zB ihre Opfer nackt, knebelten sie, fesselten sie an Knöcheln und Knie, knoteten ihnen eine Gasmaske für Kopfverletzte über und traktierten sie mit Weidenruten oder Brennesseln etc. - die Opfer gerieten so in Panik dabei, daß sie bei dem Versuch, sich die Gasmaske abzureißen, fast alle Fingernägel einbüßten. Usw usf. Und heute wird das alles kleingeredet, weißgewaschen und vertuscht, vor allem von der evangelischen Kirche, die ja aktuell selbst gegen eine Welle von Mißbrauchsskandalen kämpft: "Wer hinter diesen Mauern verschwindet, der hat seine Strafe gerecht verdient! So urteilten die Bernburger lange über das ehemalige Mädchenheim, aus DDR-Zeiten noch besser bekannt unter dem Namen Jugendwerkhof. Hohe Mauern und junge Mädchen in Holzpantinen mit langen Kitteln verstärkten diesen Eindruck. Dazu die Gerüchte über die Zwangssterilisation im Dritten Reich. Doch das am 30. Mai 1863 gegründete St. Johannis-Asyl ist in seinen Zielen keine verkappte Jugendstrafanstalt gewesen. Vielmehr war es in seiner wechselhaften Geschichte stets ein Hilfsangebot, allerdings mit sehr unterschiedlichen erzieherischen Konzepten. ... Aus dem St. Johannis-Asyl wurde 1929 das Evangelische Mädchenheim St. Johannes. Im Januar 1948 ging es in Staatsleitung über, ein Jahr später wurde daraus das Landesjugendheim, schließlich ein Spezialkinderheim mit dem Jugendwerkhof “Hübner-Wesolek” für gefährdete Jugendliche und Jungerwachsene. In dieser Zeit entsprachen Ziele und Inhalte der Arbeit der gängigen Schulpolitik. Die jungen Menschen sollten auf die Arbeit und das Leben in der sozialistischen Gesellschaft vorbereitet werden." https://www.stejh.de/ueber-uns/geschichte Es passiert so vieles, das wir nicht glauben wollen... Oh mein Gott, wie verdorben sind manche Menschen. Da weint meine Seele. Kann man normalerweise nicht glauben wie brutal und pervers manche Leute sind. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:13, 10. Apr. 2021 (CEST) Nuttenkinder - das Dorf der verlorenen Seelen Die Geschwister Silke, Patrick und Jens wissen nicht, wann es genau angefangen hat. Irgendwie war es schon immer so gewesen, dass sie vom eigenen Vater missbraucht wurden. Der Vater hat seine Kinder geliebt, aber eben nicht so, wie ein Vater seine Kinder lieben sollte. Erst mit den Jahren beginnen die Kinder zu begreifen und zu hinterfragen. Dieser Roman ist für Leser unter 18 Jahren nicht geeignet. Erzählt nach einer wahren Begebenheit. amazon.de/Nuttenkinder-Biografie-Anais-C-Miller-ebook Fehler: Die Seite, die du speichern möchtest, wird durch den Spamfilter blockiert. Das liegt wahrscheinlich an einem Link zu einer externen Seite, die in die „Spam-Blacklist“ aufgenommen wurde. 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Ein Ort, an dem jeder jeden kennt, doch alle Einwohner abhängig von deinem Vater sind, weil er ihnen Arbeit gibt und ein Dach über dem Kopf gewährt. Und dann stell Dir vor, in diesem Dorf geschehen grausame Dinge und die Erwachsenen verschließen ihre Augen vor fürchterlichen Verbrechen und Missetaten, und sie alle schweigen darüber. Niemand unter ihnen ist mutig genug, sich gegen das Elend aufzulehnen, aus Angst, den Job und das traute Heim zu verlieren. Du bist zwar noch ein Kind; und doch weisst du, dass du in der von deinen Eltern geschaffenen Lügenwelt nicht länger mitspielen willst ... Von dem Mut eines Mädchens, das aus einem korrupten System ausbrach, um für die Freiheit seiner Freunde zu kämpfen. Das Cover bei Amazon wird gewechselt, da mir FB aufs Dach steigt und ich mein Konto verliere, wenn ich es noch einmal poste. ahja, Facebook droht mit Kontoverlust - also die nächste Institution, welche die Wahrheit nicht sehen will, sondern nur vertuschen ... kann sich aber gaaanz hinten anstellen: Staat, römisch!-katholische Kirche, evangelische Kirche ... Facebook [[w:Kategorie:Sexueller Missbrauch in der römisch-katholischen Kirche]] [[w:Sexueller Missbrauch in der Evangelischen Kirche in Deutschland]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:26, 11. Apr. 2021 (CEST) Wenn ich einen Wikipedia-Rotlink "Anais C. Miller" erzeuge, scheint noch niemand versucht zu haben, einen Autorenartikel anzulegen - so daß mir schleierhaft ist, wie Du zu so "speziellen Freunden" bei Wikipedia und WMF kommst, daß Du auf der Spamlist landen konntest. Dort finden sich in der Regel Wiedergänger, d.h. notorische Wiederholungstäter, welche immer wieder trotz fehlender Relevanz und Interessenkonflikt (enzyklopädischer Artikel über sich selbst) eine Selbstdarstellung bei Wikipedia versuchen. Ich will es mal so formulieren: wenn Du ohne eine solche Vorgeschichte in der Spamlist landest, mußt Du wirklich enzyklopädisch relevant sein. 😂🤣😂 https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Anais_C._Miller&action=edit&redlink=1 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:00, 11. Apr. 2021 (CEST) Bleib stehen, Fotze!“ Angst ummantelt meinen Hals. Legt sich nahezu erdrückend auf meinen Brustkorb, während ich eiligen Schrittes die Kreuzung überquere und zielstrebig in Richtung Parkhaus schwenke. Kinderstimmen sind es, die mir nachrufen und vor denen ich mich ängstige. Lächerlich! Und dennoch, laufe ich eiligen Schrittes meines Weges, der auf die letzten Meter nicht mehr enden zu wollen scheint, um diesen Kindern nicht in die Quere zu kommen. „Fotze, warte auf uns“, rufen sie noch einmal. Beinahe im Chor. Eiskalt läuft es meinen Rücken hinunter. Sie führen etwas im Schilde, ganz sicher. Die Dämmerung hat bereits eingesetzt. Der Schein der Straßenlaternen begleitet meinen hektischen Schatten entlang des Bürgersteigs. Mein Atem rasselt. Die Angst, sie ist allgegenwärtig. Ganz besonders nachts. Gähnende Leere herrscht in den Seitenstraßen. Kaum jemand ist um diese Uhrzeit unterwegs. Einige windige Gestalten schleichen um die Häuserecken. Führen ihre Hunde zum Abendgassi aus. Flüsternde Gespräche finden statt zwischen Zigarette rauchenden Passanten, die keinerlei Notiz von mir nehmen. Was wollen die Kinder von mir, verdammt? Warum laufen sie mir nach, zum Teufel? Gehören sie um diese Uhrzeit nicht längst ins Bett? Warum kümmern sich ihre Eltern nicht? Aus dem Augenwinkel heraus sehe ich, sie sind zu dritt, folgen mir noch immer und scheinen Gefallen daran zu finden, mich durch die Kälte der Nacht zu hetzen wie ein Objekt, das sie zu ihrer Beute auserkoren haben. Ihre Schritte beschleunigen, die Stimmen werden lauter. Sie lachen, sind albern. Fühlen sich stark und mir überlegen, weil sie zu dritt sind. Erhaben springe ich auf die erste Treppenstufe, um zum obersten Parkdeck zu gelangen. Nur noch wenige Meter, dann habe ich mein Auto erreicht. Ich werde hineinspringen, die Tür verriegeln und ihnen davonfahren. Mein Herz läuft einen Marathon. Schnellen Schrittes haste ich über den dunklen Asphalt entlang der mit Graffiti beschmierten Betonmauer. Nur noch wenige Parkfelder sind zu passieren und am Ende der Reihe wartet mein Wagen. Wenige Meter nur noch, dann bin ich in Sicherheit. Erleichtert krame ich nach meinem Autoschlüssel. Er steckt in der Handtasche. Trotz dem Chaos, das in ihr herrscht, bekomme ich ihn zwischen meine Finger. „Hey, bleib stehen“, wirft sich plötzlich jemand in mein Sichtfeld und versperrt breitschultrig und mit übereinander gekreuzten Armen bis auf wenige Meter, meinen Weg. Entsetzt bremse ich ab. Blicke in zwei gefährlich dreinschauende Kinderaugen eines hoch aggressiv und wütend wirkenden Jungen, der höchstens vierzehn Jahre alt sein mag. Bissig grinst er mich an. Während uns lediglich eine Armlänge auf Distanz hält, überlege ich, wo ich ihn schon einmal gesehen habe. Das Gesicht kommt mir bekannt vor und doch kann ich es nicht gleich zuordnen, wann und wo ich meine Erfahrung mit den zahlreichen Sommersprossen und den schief sitzenden Zähnen, die einer dringenden Korrektur durch das Tragen einer Zahnspange benötigten, gemacht hätte. Die drei Kinder stellen sich im Halbkreis auf. Umzingeln mich. „Wohin so eilig?“, klagt mich der älteste, wahrscheinlich der Anführer der Truppe, an. „Nach Hause. Feierabend“, haspele ich und denke im gleichen Atemzug, was geht’s die Rotznase an, wo ich hin will? Plötzlich fällt es wie Schuppen von meinen Augen. Der Junge heißt Murat Aslan. Vor wenigen Tagen überführte ich ihn des Diebstahls im Kaufhausriesen „Die Galerie“. Ich arbeitete dort als Kaufhausdetektivin und hatte den Jungen beobachtet, wie er sich Zigaretten und eine Falsche Schnaps eingesteckt hatte. Als er sich an der Kasse an der Kassiererin ungesehen vorbeischleichen wollte, mit seinem Diebesgut, zog ich ihn aus dem Verkehr. Er hatte „Rache“ geschworen, nachdem die Polizei eintrudelte und sein Vater, der von den Behörden alarmiert worden war, die Büroräume der Filalleitung betrat, um seinen Sohn in Empfang zu nehmen, auf den er ganz sicherlich nicht stolz sein brauchte. Das Klauen war ja wohl eine der schlimmsten Taten, die nicht zu den Kavaliersdelikten zählten und mit nichts zu entschuldigen waren. Anderen Menschen etwas wegnehmen wollen, das einem nicht gehört, pfui! Die Verkäuferin hatte mich gewarnt. „Lass ihn besser laufen“, hatte sie gesagt, als ich den Jungen am Gängelband hielt. „Er wird den Lack deines Autos zerkratzen und dir das Leben zur Hölle machen, wenn Herr Sander die Polizei benachrichtigt“, sprach Bianca im Flüsterton. Herr Sander war die stellvertretende Filalleitung. Bei Diebstahl verstand er keinen Spaß. Im Gegenteil. Mehr als dankbar war er, dass ich denjenigen dingfest gemacht hatte, der ihn seit Monaten um Zigaretten und Schnaps prellte. „Endlich Hausverbot, der Bengel“, klang er zufrieden und gratulierte mir sogar zu dem „Fang“. Und jetzt, jetzt stand ich hier im Parkhaus, schwitzte Blut und Wasser, und hoffte, der Junge würde mich nicht als die Kaufhausdetektiv-in erkennen, die ihm mächtig Ärger eingebrockt hatte. Der Vater des Jungen war mit dem Kind nicht zimperlich umgegangen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:49, 4. Mai 2021 (CEST) https://www.facebook.com/photo/?fbid=840049589940644&set=a.104156296863314 Darknetplattform mit 400.000 Mitgliedern Und wenn dann die Rezensionen kommen..."Sowas gibt es gar nicht!", könnte ich noch mehr kotzen! * Tabea VT - Anais C. Miller ich gehe mit meinen Traumata sehr offen um und darf mir auch immer sowas anhören. "Ach, so viel kann ein Mensch gar nicht erleben", "jaja, blühende Fantasie", "du könntest Krimiautorin sein" oder: "Wenn dir das wirklich passiert wäre, könntest du da nicht so drüber reden." Wahlweise auch mit "Sie", wenn die Gesprächspartner:innen Therapeut:innen sind. Zu letzterem: doch! Ich darf das erzählen, denn es war nicht meine Schuld, dass es mir passiert ist. Ich habe schließlich nicht darum gebeten, traumatisiert zu werden. Ich muss mich nicht dafür schämen. - Das zu verstehen, hat zwar eine Zeit gedauert 😉 aber seitdem rede ich darüber. *Ach so, und bei manchen ist das sicher auch eine Schutzreaktion, dass sie sagen, dass es sowas nicht gibt. Sie leben in ihrer rosaroten Welt, wo alles ganz leicht und zuckersüß ist und da passt sowas wie Kindesmissbrauch natürlich nicht ins Konzept 😉 * Tja viele verschließen die Augen davor! Ich würde sagen 90 % derjenigen. Erkenne ich immer wieder an den Reaktionen wenn ich von deinen Büchern erzähle! Bäää hör bloß auf, sowas will ich gar nicht wissen..... ist dann die Antwort! Ja genau da liegt das Problem. Ich weiß von nix................ Na ja ich möchte auch niemanden zwingen, es zu lesen. Ich gebe meine Stimme und es tut einfach gut, ein Zeichen zu setzen... --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:40, 4. Mai 2021 (CEST) Ich lese gerade das Buch " Leisetot". Man kann sich kaum vorstellen, dass Menschen zu solchen Taten fähig sind und nach außen so unbescholten wirken. Ich frage mich, wie es der Autorin ging, als sie diesen Fall schriftlich verfasst hat. Auf jeden Fall hat Anais sehr gut recherchiert und schonungslos geschildert, was vorgefallen ist. Sie nimmt einen mit, in die Gedankenwelt einer kranken Seele einzutauchen, sofern das möglich ist. Die Abartigkeiten des Täters lassen einen schlucken. Entsetzen, Fassungslosigkeit und Ekel machen sich beim Lesen breit. Es ist so gruselig, was auf dieser Welt manchmal passiert. Das übersteigt unseren normalen Menschenverstand. Der nette Nachbar von nebenan..... 😱 Für mich hat das Buch volle 5 Sterne verdient. jaja, ich kenne auch noch "die nette Vergaserin von nebenan" - eine "gute" Schulfreundin meiner Oma, die -unverheiratet (mit ihrem Beruf verheiratet) - jahrzehntelang "zur Familie" gehörte - sie war noch fünfzig Jahre danach stolz darauf, eine Auserwählte gewesen zu sein, welche "Kniffe" sie gelernt bekam und wie gut sie die angewendet hatte, um die Ausgesonderten ins Gas zu bringen - bei der Aktion T4, aber auch noch 1945 bis 1948 - der "unproduktive Ausschuß der Gesellschaft" sollte beseitigt werden - in der Tötungsanstalt Bernburg kamen bis 1945 über 14.000 Menschen ums Leben, danach noch weitere 3.000 - vor etwa 20 Jahren erinnerte eine Initiative an diese Opfer mit einer Gedenktafel, das "Neue Deutschland" berichtete als eines der wenigen Medien darüber, danach mußte die Gedenktafel wieder aus der Wand herausgerissen werden, die Leiterin der Gedenkstätte erklärte, sie hätte kein Recht, an die 3.000 Opfer nach 1945 zu erinnern - inzwischen versucht man, den Vorfall und damit diese Opfer ganz totzuschweigen - um das herrschende SelbstGeschichtsbild dieser verkommenen und verlogenen Gesellschaft zu bewahren [[w:de:Tötungsanstalt Bernburg]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:52, 9. Jul. 2021 (CEST) da sieht man halt genau wo die "Wegseher" stecken. Unangenehme Wahrheiten will offensichtlich keiner hören oder lesen, denn das würde bedeuten dass sich viele aus ihrer Wohlfühlzone begeben müssten um diesen Misständen entgegenzuwirken. Hör bitte nicht auf den Opfern weiterhin eine Stimme zu sein. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:11, 21. Jul. 2021 (CEST) Silke ist ein aufgewecktes, besonders herzliches Kind, das mit den beiden Brüden unter der Obhut des narzisstisch - und pädophil - veranlagten Vaters, in den 80er Jahren heranwächst und unter dem strengen Regime des einflussreichen Geschäftsmannes leidet. Regelmäßig vergeht Silkes Vater sich an seiner Tochter und führt unter dem Deckmantel der Vorzeigefamilie ein abscheuliches Doppelleben. „Ein ganzes Dorf wusste von den Schandtaten meines Vaters.“ Mit nur vierzehn Jahren beschließt Silke ihr Schweigen zu brechen und nicht länger wie all die anderen, tatenlos zuzusehen. Dabei lässt sie ihre eigene Geschichte außen vor, kämpft lediglich für die Freiheit und Rechte ihrer Freunde… Die Geschichte eines außergewöhnlichen Mädchens, das sich selbstlos gegen Missbrauch auflehnt und somit in der '''Gesellschaft der "Wegsehenden"''', ein mutiges Zeichen setzt. Nuttenkinder: Das Dorf der verlorenen Seelen --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 13:22, 25. Jul. 2021 (CEST) Moin aus Hamburg im Diesel bei lausigen 12 Grad 🙂 Was für ein schönes Gefühl, nach 365 Tagen im Jahr, seit über 3 Jahren (solange war ich nimmer im Urlaub) mal NICHT aufstehen zu müssen, um unsere Pferde zu füttern...sondern den Tag völlig gechilled zu beginnen. Gestern Abend in der Skylinebar "warm gemacht" für die Reeperbahn und nach dem Rundgang auf dem Kiez in der "Klapsmühle" auf nette Leute getroffen. Vor dem Laden stand ein älterer Typ an der Strasse, der nonstop zur Musik aus den Kneipen getanzt hat. Überhaupt nicht aufdringlich- er hat nicht um Geld gebettelt, nicht gepöbelt- sondern lediglich 2 Stunden lang für sich getanzt, völlig happy- und zwischendurch die Reste aus den von Touristen abgestellten Flaschen und Bechern getrunken. Die Plastiktüte in seiner Hand musste einige Male als imaginäre Tanzpartnerin herhalten, mit der er munter Piouretten gedreht hat. Meine Aufmerksamkeit war ihm sicher, denn er tanzte verdammt gut. Der Typ war bestimmt früher in der Tanzschule, hat später im Lokal hübsche Mädels aufgefordert und danach irgendwann- den Bezug zur Realität verloren- denn jetzt ist er auf Droge- aber er gehört zu denjenigen, die eine besondere Geschichte mit sich tragen, ebenso wie die vielen Obdachlosen, die in ihren Schlafsäcken liegend zum Teil völlig desillusioniert den Touristen nachsehen. Darunter erschreckend viele alte Menschen. Gut- Wer jetzt sagt- heute muss niemand mehr obdachlos sein- und Hamburg will das bis 2030 geregelt haben- die Heimatlosen sind selbst schuld, der möchte sich nicht unbedingt mit den Schicksalen der Menschen beschäftigen, die auf der Strasse sitzen- sondern lediglich das Problem als solches beseitigen... Dass es kein schöner Anblick für die Touris ist, ist jedem klar. Für mich gehören diese von der Gesellschaft Vergessenen seit 2015 dazu. Solange komme ich bereits her- um die Biografien einzelner Schicksale zu ✍ Ich glaube, wenn ich n' Gang durch Sankt Pauli mache, hat es für mich eine andere Bedeutung, als für manch anderen... Ich bin die- die hinter die Fassaden gucken möchte ❤ Mein derzeitiger Ausblick hinterm Hotelzimmerfenster ist wettermässig leider sehr trübe heute. Wobei ich auch gut n ganzen Tag lang nur im Bett liegen und Schiffe beobachten könnte 😊 * Schön, dass du in meiner Heimatstadt Urlaub machst. Ja, Obdachlose haben wir sehr viel. Und natürlich ist es arg theoretisch, dass niemand obdachlos sein müsste. Die vielen , die hier täglich in den S-Bahnen betteln, sind schon eine Herausforderung, aber so lange sie nichts anderes als das tun, kann ich damit leben. Natürlich wären mehr Unterkünfte wünschenswert, möglichst so, dass sie ihre wenigen Habseligkeiten wegschließen können, denn das gehört ja zu ihren größten (berechtigten) Ängsten: Dort beklaut zu werden. Mit Hamburg fühle ich mich alleine durch meine Bücher eng verbunden. Die meisten der Biografien sind hier geschrieben worden, bzw die Protagonisten stammen zum Teil aus der Gegend... und somit bin ich ein wichtiger Teil von Hamburg geworden ❤ Ich mag die Menschen hier sehr und irgendwann, wenn Jill ihren Weg alleine geht, möchte ich gern komplett in Hamburg wohnen...😉 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:25, 1. Aug. 2022 (CEST) ===Valeska Réon=== Am Rande einer Hippiekommune in Renesse aufgewachsen, habe ich es ja nicht immer so mit „deutschen Traditionen“ - aber dass freitags Fisch auf den Teller kommt, sitzt dann doch tief in mir drin. Heute jedoch in einer sehr undeutschen Version an einer Curry-Kokossauce mit jeder Menge Gemüse und einer wilden Gewürzmixtur. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:11, 2. Mär. 2021 (CET) dbv9zomcsant63q2jx3bb3mtxs8k4zs 109 144526 784699 2022-08-22T06:47:28Z Methodios 23484 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki [[w:de:Eberhard Bosslet]] === Übersicht === Installation / Objektkunst, Skulptur, Malerei, Lichtinstallation, Land Art * 1953 Gruppen: Material & Wirkung Berlin Vita EBERHARD BOSSLET geboren 1953 in Speyer, lebt in Berlin 1997 bis März 2019 Professor für Skulptur und Raumkonzepte an der HfBK Dresden seit 1981 Mitglied bei Material & Wirkung sowie temporäre Aufenthalte in Spanien 1987 documenta 8, Kassel (Katalog) und Bremer Kunstpreis (Katalog) Einzelausstellungen: (Auswahl) * seit 1981 Interventionen im Öffentlichen Raum. * 1985 Intervenciónes/Interventionen, Fundación Miró, Barcelona; ES(Katalog) *1986 Wilhelm-Lehmbruck-Museum, Duisburg, D (Katalog). *1987 Heidelberger Kunstverein, D (Katalog). *1988 John Gibson Gallery, New York, USA. *1989 Neue Nationalgalerie Berlin, D, (Katalog). *1990 John Gibson Gallery, New York, USA *1993 Kunsthal Rotterdam, Holland (Katalog) *1994 Öffentliche Ordnung, Kunstverein Speyer, D (Katalog) *1995 Interventionen II, VERBAU, Sprengel Museum Hannover,D (Katalog) *1995 PLANEN, Kunstverein Heilbronn, (Katalog) *1998 Fundamental wie Bilateral, Kunsthalle Mannheim, D (CD-ROM) *2000 Trabanten, Galerie Bochynek, Düsseldorf, D *2000 John Gibson Gallery, NY, USA *2002 Analoge Scheiben, Galerie Bochynek Düsseldorf, D *2004 Künstlerhaus Bregenz, Palais Thurn und Taxis, A *2006 Galerie der Stadt Backnang, D (Katalog) *2007 Stadtgalerie Saarbrücken, D (Katalog) *2009 Additive, Kunstverein Ingolstadt, D , (CD-ROM mit booklet in softbox) *2010 Stump Stools, Humboldt-Universität Berlin, Thaer-Saal, Berlin, D *2011 Stump Stools, Lichthof im Albertinum Dresden, Dresden, D *2012 Dingsda, Saarlandmuseeum Saarbrücken, Katalog, D (Katalog) *2013 Heimleuchten Trier, Kunstverein Trier – Junge Kunst, D, CD-ROM mit booklet in softbox) *2014 Chisme – Heavy Duty, TEA Tenerife Espacio de las Artes, Santa Cruz de Tenerife, ES, Katalog Ausstellungsbeteiligungen: (Auswahl) *1987 documenta 8, Kassel, D (Katalog) *1987 Bremer Kunstpreis 1987, Kunsthalle Bremen, D (Katalog). *1988 Spaces 88, Museo d'arte contemporanea Prato, Italia, (Katalog). *1989 D & S Ausstellung, Hamburger Kunstverein, D (Katalog). *1991 EUROCARD,John Gibson Gallery, New York, USA. *1992 Kunst werkt / Art works, Foundation, Stedelijk Museum Amsterdam,NL, (Katalog) *1992 Humpty Dumty's Kaleidoscope, Museum of Contemporary Art, Sydney, Australia, (Katalog) *1993 Eberhard Bosslet & Lawrence Gipe, Düsseldorfer Kunstverein, D, (Katalog). *1998 Material & Wirkung, Bosslet, Klotz, Sattel, Kunsthaus Dresden, D , (Katalog) *1999 Areale – Kunst im Industriellen Sektor, Brück/Linthe, D, (Katalog) *2000 Kabinett der Zeichnung, Kunstverein Düsseldorf, D *2001 Skulpturenufer Remagen, Regenfänger, D *2002 unexpected selection from the martin z.margulies collection, The Art Museum Miami, FL USA (Katalog) *2004 Worldwatchers, Kunsthaus Dresden, Städtische Galerie für Gegenwartskunst, D *2007 1 plus aus Dresden, Schloss Waldthausen/Mainz, D *2008 Ostrale 08, Zentrum für zeitgenössische Kunst, Dresden, D 2. Bienal de Canarias, Arte, Arquitectura y Paisaje, La Regenta, Las Palmas Gran Canaria, ES (Katalog) „berufen“, Hochschule für Bildende Künste Dresden, D *2009 Ostrale 09, Ausstellung internationaler zeitgenössicher Künste Dresden, D 1.Biennale für Internationale Lichtkunst Ruhr, Unna, D, (Katalog) *2010 Kunstmuseum Mühlheim, Liebhaberstücke, D, 11.09.2010-07.11.2010 *2011 Universum, Temporärer Kunstraum Harkort, Leipzig, D (Katalog) Kunst in der Villa Körbling, Speyer, D; End of the dream, MiccMoco, Berlin, D *2012 Participar, El Matadero, Goethe Institut Madrid , ES 2nd Ural Industrial Biennial of Contemporary Art, Ekaterinburg, RUS (Katalog) *2015 Living Large, Tucson Museum of Art, Tucson Arizona, USA *2016 Luminale Frankfurt am Main, D *2016 Ostrale weht Oder, Breslau/Wroclaw, PL *2017 Espacio P, Ca2M, Madrid, ES, Best of Ruhrgebiet , Galerie Frank Schlag, Essen, D Werke im öffentlichen Raum: *seit 1981 Interventionen im öffentlichen Raum *seit 2000 Gesamtgestaltung des U-Bahnhof, Duisburg-Meiderich, „Auf dem Damm“, D *seit 2001 Turmskulptur „Regenfänger“, Yachthafen Oberwinter/Remagen am Rhein, Skulpturenufer Remagen, Arp Museum - Bahnhof Rolandseck, D * seit 2008 - Inselwachstum, TU Chemnitz Institut für Physik und Reinraum, D Bibliografie: Auswahl Monografien *Picazo Gloria¸ Camps Miro: Eberhard Bosslet Intervenciones/Interventionen, Katalog der Fundación Miró, Barcelona 1985. *Gercke, Hans; Messler, Norbert; Stecker, Raimund: Eberhard Bosslet, Katalog des Heidelberger Kunstvereins, Heidelberg 1987. *Schmitz, Britta: Eberhard Bosslet, Katalog der Neuen Nationalgalerie Berlin, 1989. *Bochynek, Martin: Eberhard Bosslet, Katalog der Kunsthal Rotterdam 1993. *Seifermann, Ellen; Bochynek, Martin: Eberhard Bosslet - Malerei, Katalog PLANEN des Heilbronner Kunstvereins 1995 *Meyer-Büser, Susanne: Eberhard Bosslet, Interventionen II, Katalog des Sprengel Museums Hannover, 1995 * Bosslet-Archiv , CD-ROM für PC Werksverzeichnis von 1979 bis 2003, Kunsthalle Mannheim 2000, 3. erg. u. überarb. Ausg. 2003 * Utheman, Ernst W., Eberhard Bosslet, Work Groups, Katalog der Stadtgalerie Saarbrücken, 2007 * Findeisen, Ralf; Gisbourne, Mark; Grewenig, Meinrad Maria; Schütze, Irene; Katalog des Saarland.Museum Saarbrücken, 2012 * Bosslet, Eberhard; Findeisen, Ralf; Janecke, Christian; Britto, Orlando; Hernandez, Celestino, Krawietz, Alejandro; Picaso, Gloria: Miro, Theresa, DE, EN, ES, in Obras en Espana 1982-2012, extraverlag, Berlin 2014 * Gisbourn, Mark; Chisme – Heavy Duty, ES,DE, Katalog des TEA Santa Cruz de Tenerife, Spanien Internet: * www.bosslet.com * https://artmap.com/eberhardbosslet * https://instagram.com/bosslet.de/ Videos: * http://www.bosslet.com/exhibition-videos.html Eberhard Bosslet (geb.1953 in Speyer) Bosslet studierte Malerei bei Raimund Girke an der Hochschule der Künste Berlin von 1975 bis 1982. Ende der 70er Jahre wandte er sich in Installationen und mit Skulpturen verstärkt dem Dreidimensionalen zu. Das Spektrum der Arbeiten von Eberhard Bosslet umfasst Malerei, Skulptur, Installation, Intervention und Fotografie. Seit Anfang der 80er Jahre aktualisierte er mit seinen Eingriffen in den architektonischen Innen- und Außenraum den Begriff der Intervention. Bosslets dreidimensionales Werk beschäftigt sich auf ganz unterschiedlicher Weise mit den Bedingungen des Bauens und des Wohnens, mit Außen und Innen, privaten und öffentlichen Räumen. Alle Werke für institutionelle Ausstellung werden von Eberhard Bosslet für diese spezifischen Räumlichkeiten konzipiert und vor Ort mit Hilfe von lokalen Sponsoren und Leihgebern von Material und Gerätschaften realisiert. Die Werke basieren auf unterschiedlichen Konzeptionen. Sie werden von Fall zu Fall modifiziert und ähnlich einer Musik Komposition neu interpretiert. Diese inszenierten und installierten Werke bekommen am Ort ihrer neuen Aufführung eine raumbezogene neue Dimension und einen Wandel in der Materialität durch die vor Ort verfügbaren, ausgeliehenen Dinge und Gerätschaften. Sofern diese Werke nicht im Laufe der Ausstellung von jemanden erworben werden, gehen alle Werkbestandteile an den Ort ihrer Herkunft zurück. Mit diesen Werken begründete er seinen internationalen Ruf. https://www.bbk-kulturwerk.de/kioer/kuenstlerdatenbank/profil/eberhard-eberhard-bosslet --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:21, 9. Nov. 2020 (CET) === Intervention === [[w:de:Intervention (bildende Kunst)]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Bauzeichnung La Restinga II voll El Hierro 1983.jpg|mini|El Hierro seit 1983]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Bauzeichnung La Restinga II El Hierro 1983.jpg|mini|]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung II Tenerife El Guincho 1984.jpg|mini|El Guincho Teneriffa Süd 1984 Begleiterscheinung II]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung VII 1990.jpg|mini|Teneriffa 1990 Begleiterscheinung VII]] El Hierro sur *Dibuje de Obra, La Restinga II, 1983 *Eberhard Bosslet - Seit 1983 - Arbeiten an Ruinen: sog. "Bauzeichnungen, Reformierungen und Begleiterscheinungen" hierbei Transformierung der Gegebenheiten an Industrie- und Wohngebäuden durch lineare oder flächige Malerei. Commons Duisburg Germany *Intervention Innenhafen Duisburg, 1984 Near Barcelona *intervention on abandoned ruine *Dibujo de obra; Badalona; Spain, 1985 Tenerife Sur *intervention on abandoned ruine *Reformation IV, 1989 http://www.bosslet.com/interventions.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:50, 8. Nov. 2020 (CET) ;Teneriffa 2006 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung X Nord Teneriffa 2006.jpg|mini|Teneriffa Begleiterscheinung X]] [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung X Süd Teneriffa 2006.jpg|mini|vista sur]] [[File:ReformaVII.JPG|mini|Intervención Reforma VII 2006, en Arico]] Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 *www.germanart.eu *Teneriffa Süd Nähe PIRS/Tajao Exit 19 * Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 - vista norte Südseite * Begleiterscheinung X, TenBel, 3/2006 - vista sur http://www.bosslet.com/begleiterscheinung-x.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 07:13, 8. Nov. 2020 (CET) ;Lanzarote 2008 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Begleiterscheinung XI Era Lanzarote 2008.jpg|mini|Lanzarote 2008 Begleiterscheinung XI]] Intervention ERA 2, 2008 participando 2009 Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje parte de la Segunda Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje, Google Earth view 2010 Art in Public Space - Intervention ERA 2, 2008 2009 Bienal de Canarias, Arquitectura, Arte y Paisaje Era 2 vor der Intervention - Tegoyo, Tias Lanzarote public space artist La Era 2 antes de la intervención http://www.bosslet.com/era-ii-2008.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:54, 8. Nov. 2020 (CET) ;Gran Canaria 2009 [[File:Eberhard Bosslet Intervention Reformirung VII Las Palmas GC 2009.jpg|mini|Reformirung VII Las Palmas GC 2009]] Urbane Erforschung - Seit 1983 - Arbeiten an Ruinen: sog. "Bauzeichnungen, Reformierungen und Begleiterscheinungen" hierbei Transformierung der Gegebenheiten an Industrie- und Wohngebäuden durch lineare oder flächige Malerei. Commons 2. Bienal de Canarias 5.3.09-3.5.2009 , Centro de Arte La Regenta - Las Palmas de Gran Canaria Neu//New/Nuevo Street View 360° at Google Earth - Gran Canaria zeigt/shows/muestra EBERHARD BOSSLET Intervention '''Reformation VII''', 2009 - 2. Bienal de Canarias, Gran Canaria Google Earth 28° 7'49.86"N, 15°28'32.66"W http://www.bosslet.com/bienal-canarias-09.html Präsentation: "slideshow" of interventions on flat screen tv on painted wall Eberhard Bosslet - Additive, Kunstverein Ingolstadt, 27.06.-09.08.2009, D "slideshow" of interventions on flat screen tv on painted wall 2. Bienal de Canarias, Arte, Arquitectura y Paisaje, La Regenta, Las Palmas Cran Canaria, 5.3.09-3.5.2009 E http://www.bosslet.com/praesentation.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:43, 8. Nov. 2020 (CET) ;Lanzarote 2011 Concomitancia XIII, Era5/Baxter, 2011, Lanzarote, Tias, Conil, 28°58'17.45"N, 13°39'53.93"W Concomitancia XIII, Era5/Baxter, 2011, Lanzarote, Tias, Conil, 28°58'17.45"N, 13°39'53.93"W http://www.bosslet.com/era-lanzarote-2011.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:58, 8. Nov. 2020 (CET) === Art-loss === Es wird ausdrücklich davor gewarnt das hier genannte und gezeigte WERK EBERHARD BOSSLETs zu kaufen oder auf sonst eine Art und Weise zu erwerben. Das Eigentumsverhältnis dieses Werkes ist umstritten bzw. der Anbieter ist nicht Eigentümer und hat keine Befugnis dieses Werk zum Kauf anzubieten oder auf seine Rechnung zu verkaufen. Sie können daher kein Eigentum an diesem Werk erwerben. Es wird vermutet, daß die hier genannten Personen, bzw. Galerie noch im Besitz des gelisteten und gezeigten Werkes sind. Falls Sie Kenntnis über den Verbleib oder einer Ausstellung des Werkes erlangen, informieren Sie bitte eine der deutschen Galerie des Künstlers. Der letzte bekannte Besitzer/verbleib des Werkes: Karl Bornstein, Santa monica, CA, USA or The Mirage Fund, Fimberg & Wiliams L.P. Mr. Ralf Wiliams, 9777 Wilshire Blvd., Suite 710, Beverly Hills, CA 90212, USA http://www.bosslet.com/art-loss.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 06:47, 8. Nov. 2020 (CET) === Emeritierung === Sächsische Zeitung vom 25.02.2019 12:00 Uhr [https://www.saechsische.de/plus/eberhard-bosslet-hfbk-dresden-5039640.html Einfach unverbesserlich. Eberhard Bosslet bildete 22 Jahre lang in Dresden junge Künstler aus. Einer von ihnen ist berühmter als der Professor.] Eberhard Bosslet räumt sein HfBK-Atelier in Dresden. Foto: Ronald Bonß Von Birgit Grimm Es hat nicht sollen sein. Die Abschiedsausstellung des Professors für Skulptur und Raumkonzepte an der Dresdner Hochschule für Bildende Künste (HfBK) findet nicht statt. Es liegt nicht daran, dass die Tragfähigkeit des Fußbodens im Oktogon nicht stark genug wäre für das, was Eberhard Bosslet zeigen wollte. Auch hatte er nicht vor, eine Skulptur aus buntem Bauschaum zu erschaffen. Er wollte kein Fahrzeug als Kunstobjekt im Innenhof des Akademiegebäudes an der Brühlschen Terrasse parken und auch nicht einen der Bäume dort mit einem Gartenschlauch umwickeln. Diese Episoden trugen sich alle an der HfBK zu. Manche dieser künstlerischen Ideen wäre gescheitert, wenn Bosslet nicht interveniert hätte. Postfaktische Widrigkeiten nahm der Professor, der nach 22 Jahren emeritiert wird, nicht hin. Er schaltete sich ein, stellte infrage, was da von Rekoptorat oder einzelnen Kollegen infrage gestellt wurde, gab Gutachten in Auftrag. Kunststudenten dürfen nicht machen, was sie wollen. Aber sie sollen sich ausprobieren, Neuland betreten, sich entwickeln. Die meisten, die sich nach dem Abitur oder nach einer Berufsausbildung an der HfBK bewerben, haben ein konservatives Kunstverständnis. „Ich frage meine Studenten, ob ihre Familie sie unterstützt oder es toleriert, dass sie Künstler werden wollen. Noch nie hat mir jemand erzählt, dass seine Eltern ihn regelmäßig in Galerien und Ausstellungen zeitgenössischer Kunst mitgenommen hätten.“ Ihnen zu helfen, dass sie sich zum Zeitgenossen entwickeln, darin sah Bosslet seine Aufgabe. „Aber es gibt so wenige, die unter Innovationsverdacht stehen. Dort, wo man noch nie war, muss man ja auch erst mal hinwollen. Denn das ist kein gemütliches Terrain.“ Überhaupt sei es das Schwierigste, nicht den eigenen Sehnsuchtsmodellen der Vergangenheit anzuhängen. Einer, der Haltung vermittelt Bosslet stammt aus Speyer und ist der Sohn eines Architekten. „Auch bei uns war das Künstlerbild tradiert. Allerdings hatte ich Kandinsky, Miró, Picasso, den Kubismus damals schon verstanden. Trotzdem bin ich durch die Kirchen von Florenz und Venedig gerannt und habe Altarbilder angeschaut. Dass ich am Zeitgeist teilhaben wollte, das merkte ich erst später.“ Auch Bosslets wohl berühmtester Student, der Maler Martin Eder, arbeitet historisierend. „Aber er versteht es, die Grenzen des guten Geschmacks auf eine interessante Weise zu tangieren, sodass sich daran die Geister scheiden. Das macht ihn so zeitgenössisch“, befindet der Lehrer. Er selbst reiste nach dem Studium in West-Berlin Anfang der Achtzigerjahre viel herum, schuf Kunstwerke in der Landschaft: „Wie ein Graffitisprayer, also meistens illegal“, verrät er. Aber auch nachdem er 1997 in Dresden sesshaft geworden war, zog er mit seinen Studenten in die Welt. Dieser Professor kam nicht mit verschränkten Armen in die Klasse, um Korrekturen zu geben. Es war eher eine Haltung, die er durch sein Schaffen und seine Ausstellungen vermittelte. Und es waren praktische Übungen, die den Studenten helfen sollen, sich zu behaupten. „Als ich hier anfing, habe ich einen leeren Raum genutzt, um Projekte zu realisieren. „75Kubik“ hieß das Format. „Als ich das publik machte, hat der damalige Rektor mich zurechtgewiesen, ich hätte nicht die Befugnis, von mir aus damit an die Öffentlichkeit zu treten.“ Hochschulinterne Restriktionen haben ihn nicht davon abgehalten, mit seiner Klasse Ausstellungen innerhalb und außerhalb der Schule, innerhalb und außerhalb Dresdens zu zeigen. „Als ich nach Dresden kam, war ich ein regelrechter Patriot und habe mich total auf die Stadt eingelassen. Viele Jahre habe ich versucht, auszustrahlen. Aber das hat sich nicht gespiegelt. Aus der Stadt kam selten Feedback.“ Wenn hier gebürtige Künstler sich in Dresden nicht wahrgenommen fühlen, sind sie damit nicht allein. Bosslet sagt: „Mal bin ich ein Dresdner Künstler, das nächste Mal bin ich wieder keiner.“ Sein Sohn ist in Dresden aufgewachsen, seine Frau hat hier einen großen Freundeskreis. Trotzdem zog die Familie 2011 nach Berlin. „Ich liebe Dresden, aber ich brauchte physischen Abstand zur Hochschule“, begründet Bosslet diesen Schritt. Er hatte Knatsch mit dem Rektor. Heute soll es vorkommen, dass Professoren und Studenten sich wegen Pegida gegen Dresden entscheiden. Bosslet hat das noch nie gehört. Aber er weiß natürlich, dass bei der Wahl des Studien- und des Arbeitsorts das soziale Umfeld eine Rolle spielt. Hartnäckig und beweglich im Kopf In einem anderen Unterrichtsformat lud seine Klasse Sammler, Galeristen, Journalisten in eine Ausstellung für einen Tag in die Hochschulräume auf der Pfotenhauerstraße ein. Im Zwei-Stunden-Takt diskutierten die Studenten mit je einem Gast ihre Arbeiten. „Nach dem ersten Mal waren die Studenten so scharf drauf, dass sie beim zweiten Mal alles selbst organisiert haben. Das ist der Prozess, den sie üben: Wen lade ich wie ein? Genügt ein Anruf? Oder sollte ich doch lieber schreiben? Was muss ich schreiben, wie formulieren? Hake ich noch mal nach, wenn keine Antwort kommt?“ Wer Künstler sein will, muss nicht nur hartnäckig sein, sondern auch beweglich im Kopf. Der 65-Jährige, der gern Objekte aus Schrott und Bauschutt in hehre Kunsttempel stellt, wollte in seiner Abschiedsschau im Oktogon der HfBK die Installation „Heimleuchten“ zeigen. Kitschigbunte Weihnachtsbeleuchtung im überraschenden Kontext. Doch er fand keinen Sponsor. Heimleuchten: Mit so einer Installation wollte Eberhard Bosslet sich aus dem Professorenamt verabschieden. Doch er fand keinen Sponsor für das material- und energietechnisch aufwendige Werk. Bild: Heimleuchten: Mit so einer Installation wollte Eberhard Bosslet sich aus dem Professorenamt verabschieden. Doch er fand keinen Sponsor für das material- und energietechnisch aufwendige Werk. Bosslet Und weil ihm seine Studenten wichtig sind, er aber keine Klassentreffen mag, lud er sie ein, mit ihm ein Buch zu machen. In Bosslets Lehrbericht von 1997 bis 2019 haben sich die mehr oder weniger jungen Künstler und Künstlerinnen mit Fotos, Kurzvita und Ausstellungsliste verewigt. Dorothee Billard hat das Buch mitgestaltet und dem Professor darin den meisten Platz gegeben. „Unverbesserlich“ steht auf dem Cover. Und in der Tat ist noch nie ein Student an der HfBK durch die Diplomprüfung gerauscht, obwohl im Studium tatsächlich Noten vergeben werden sollen. „Wir müssen Noten geben“, sagt Bosslet. „Da wir gute Lehrer sind, sind unsere Schüler natürlich auch gut. Das hat das allgemeine Bildungswesen nur noch nicht erkannt, dass die Note des Schülers die Note des Lehrers ist – oder die Note des Systems.“ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 19:01, 9. Nov. 2020 (CET) kx78b0dk81sf4e4eh1wzr9psx57r6ne 109 144527 784721 2022-08-22T06:50:46Z Methodios 23484 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki === Outfits === [https://marketplace.secondlife.com/p/chainZ-HoodPlug/13281161 SX - HoodPlug (rezz to unpack) Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/SX-Bondage-Bolero-Maitreya/14717859 SX - Bondage Bolero MP Box] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Gloves-Hoof-Latex-INITHIUM-Kupra/20425014 AURORA Pony Sabina Gloves Hoof Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Pony-Sabina-Latex-Set-INITHIUM-Kupra/20425011 AURORA Pony Sabina Latex Set] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHBLatex-Doll03-pony-BootsMittens-BOX/18385199 DHB Latex Doll03 pony Boots&Mittens - BOX] [https://slm-assets.secondlife.com/assets/27296581/view_large/a3.jpg?1599549736 GRAVES Proximity - Clear - latex bodysuit, catsuit, plugsuit, undersuit - Maitreya and Omega appliers] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Mesh-Bodybinder-Latex/2939506 Kcreations Mesh Bodybinder - Latex] [https://marketplace.secondlife.com/p/Kcreations-Pony-Thighboots-with-28-selectable-textures-Patent-12/3120590 Kcreations Pony Thighboots with 28 selectable textures (Patent) 1.2] [https://marketplace.secondlife.com/p/090-Lilith-HuPony-Female/20951830 #090 Lilith HuPony Female] [https://marketplace.secondlife.com/p/CortesnRossini-Woman-Catsuit-St-Valentines-Gift/970294 St. Valentin's Gift] rosa [https://marketplace.secondlife.com/p/trinixxx-Full-Body-Latex-Armour-FATPACK/17094076 trinixxx Full Body Latex Armour] FATPACK [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-FatPack/20874686 AURORA Rebecca] FatPack [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Latex-set/20874685 AURORA Rebecca] Latex set [https://marketplace.secondlife.com/p/AURORA-Rebecca-Plastic-set/20874684 AURORA Rebecca] Plastic set [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Opaque-latex-catsuits/9134751 MdlM Opaque latex catsuits Version 4] - 27 opaque latex catsuits appliers + 6 military camouflage catsuits [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Transparent-latex-catsuits/9134753 MdlM Transparent latex catsuits Version 4] - 27 transparent latex catsuits appliers + 2 pairs of pasties (top and bottom) [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Clear-latex-catsuits/9134746 MdlM Clear latex catsuits Version 4] - 27 clear latex catsuits appliers + 3 invisible [https://marketplace.secondlife.com/p/MdlM-Latex-catsuits-Fatpack/9134750 MdlM Latex catsuits Fatpack Version 4] - all the 4 latex catsuits variants (opaque, sheer, transparent and clear), so features 27x4 latex catsuits appliers + 21 bonuses [https://marketplace.secondlife.com/p/AtaMe-Gabriella-Latex-Boots-Black-Maitreya-Hourglass-Legacy/20430661 AtaMe - Gabriella Latex Boots Black] [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Hobble-Dress/15078580 KaS Hobble Dress] - 3 versions: short-, knee- and ankle-length. It has the option to hide the cutouts on the back, allowing you to expose the torso, the butt, the legs - or all of them. For the sleeves you have 4 options. You can wear the dress sleeveless, with short sleeves, long sleeves or with mittens. [https://marketplace.secondlife.com/p/BellaBee-Latex-Dress-Romy/20974468 BellaBee Latex Dress Romy] kleines Schwarzes - schräg [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Fatpack-Mesh/4593676 ROSAL TUEUR2 Complete Set] - Fatpack (Mesh) - Neck Corset - Waist Corset - Gloves - Thigh-high Platform Boots - Thigh-high Ballet Boot [https://marketplace.secondlife.com/p/CA-BELLEZA-MAITREYA-SLINK-TONIC-X-RIDER-COMPLETE-COLLECTION/16812678 CA BELLEZA MAITREYA SLINK TONIC X RIDER COMPLETE COLLECTION] [https://marketplace.secondlife.com/p/FUTURETRO-2020-SciFi-Star-Fleet-Stylized-Power-Suit-Trek-Cosplay-Space-Crew-Dress-Jacket-Skirt-Six-Colors-in-FATPACK/18446413 FUTURETRO 2020 SciFi Power Suit - FATPACK] Six colors each: Red Gold Blue Aqua Pink Green Jacket, Skirt and full Suit-dress options [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-black-with-white-highlights/15509661 Latex nun black with white highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-Latex-nun-white-with-black-highlights/15509662 Latex nun white with black highlights] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-Red-Dress/2373909 GZ Fetixxx Latex Masked Red Dress] [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Masked-White/2373920 GZ Fetixxx Latex Masked White] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latexhood-XTREM/4326081 Latexhood / Mask V9.2.1 Box CnT] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/AdelleArts-Liquid-Latex-Doll/4728304 AdelleArts Liquid Latex Doll] schwarz klassisch [https://marketplace.secondlife.com/p/GZ-Fetixxx-Latex-Sex-Doll-Rubber/2046393 GZ Fetixxx Latex Sex Doll Rubber] Kondomanzug hautfarben [https://marketplace.secondlife.com/p/Maitreya-black-coloured-condom-dolly-latex-suit-applier/20911340 Maitreya black coloured condom dolly latex suit applier] catsuit schwarz mit roten Kondomen [https://marketplace.secondlife.com/p/VS-LTX-Forza-Complete-Body-Accessories-pack/14368213 VS - LTX Forza - Complete Body Accessories pack] Korsett + Halskorsett - lange Stiefel + Handschuhe Latex schwarz/rot -weiß/rot [https://marketplace.secondlife.com/p/KDC-Avara-Latex-Hood-Malefica-addon/17535880 KDC Avara Latex Hood - Malefica addon] weißes Gesicht/schwarz [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Gloves-Multicolor-Mesh/4815024?ple=h ROSAL UNMEI Gloves - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Gloves-Black-FitMesh/3829148 ROSAL VIRON-M Gloves - Black (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-UNMEI-Thigh-Ballet-Boots-Multicolor-Mesh/4815198 ROSAL UNMEI Thigh Ballet Boots - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-VIRON-M-Complete-Set-Red-FitMesh/6730139 ROSAL VIRON-M Complete Set - Red (FitMesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-LISSE-Sculpted-Latex-Neck-Corset-Red/1660350 ROSAL LISSE Sculpted Latex Neck Corset - Red] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-STEAM-Neck-Corset-Multicolor-Mesh/5192603 ROSAL STEAM Neck Corset - Multicolor (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Red-Mesh/4593346 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Red (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Waist-Corset-Black-Mesh/4593347 ROSAL TUEUR2 Waist Corset - Black (Mesh)] [https://marketplace.secondlife.com/p/ROSAL-TUEUR2-Complete-Set-Mesh-DEMO/4593675 ROSAL TUEUR2 Complete Set (Mesh) *DEMO*] [https://marketplace.secondlife.com/p/Full-Hood/19642641 Full Hood Version v1.02] Rebel Pony Hood [https://marketplace.secondlife.com/p/KaS-Ballet-Boots-Big-Bundle-Demo/15078564 *KaS* Strapped Ballet Bundle (Demo) Version 1.01] [https://marketplace.secondlife.com/p/PROMO-150L-OFF-SALE-Drakke-Obsession-Fetish-Crotch-High-BootsLatex-White/1478283 PROMO $150L OFF SALE Drakke! "Obsession" Fetish Crotch High Boots(Latex White)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10/6184360 Moyet Gasmask v.1.0] [https://marketplace.secondlife.com/p/Moyet-Gasmask-v10-IrO-AddOn/6184380 Moyet Gasmask v.1.0 IrO AddOn] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetBlackUniform/5847036 Moyet *BlackUniform] [https://marketplace.secondlife.com/p/MoyetPrisoner/6030677 Moyet *Prisoner!] ==== RLV ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-hecate-helmet/14872058 NGW hecate helmet Version 1] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-cult-hat/20355133 NGW cult hat box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-v102/11367411 NGW Danaide hood v1.01 Version 1.02] RLV [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Danaide-hood-demo/11367412 NGW Danaide hood demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-fatpack-helene-addons/20992886 NGW fatpack helene addons] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-helene-hood-bento/20540754 NGW helene hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-helene-box/21426731 NGW gimp helene box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-box/12089210 NGW gimp hood RM v1.01 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-RM-v101-demo-box/12089209 NGW gimp hood RM v1.01 demo (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-v1-box/12166443 NGW gimp hood fatpack v1 (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-gimp-hood-fatpack-V1-demo/12166582 NGW gimp hood fatpack V1 demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Aphrodite-hood-v102/9567240 NGW Aphrodite hood v1.02 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-Venus-Hood-Complete-Fatpack-box/15554401 NGW Venus Hood Complete Fatpack (box)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-tea-hood/19273665 NGW tea hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box/13309214 NGW theia hood box] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-theia-hood-box-demo/13309215 NGW theia hood box demo] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-v1-boxed/12717546 NGW puffy hood v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/NGW-puffy-hood-Demo-v1-boxed/12717545 NGW puffy hood Demo v1 (boxed)] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Capture-SackRLV-LZ/15200777 Latex Capture Sack,RLV] [https://marketplace.secondlife.com/p/DEMO-HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3368648 DEMO HybridZ Latex Atemkontrolle Black FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] [https://marketplace.secondlife.com/p/Latex-Jail-Cell-with-RLV/2982858 Latex Gefängniszelle (mit RLV!)] [https://marketplace.secondlife.com/p/DHB-Latex-Hood-customized/11656464 DHB Latex Hood (customized)] [https://marketplace.secondlife.com/p/SubChair-2-Latex-RLV-BDSM-Captive-Project/1065214 SubChair 2 Latex RLV BDSM - Captive Project Version 1.1] [https://marketplace.secondlife.com/p/Bane-Hood/19694442 Bane Hood] Fluch-Maske :: Comes with 3 versions of the hood that can be toggled via menu: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (for open mouth animations) -::Rigged Hood ::Comes with its own resize scripts for the unrriged hoods. ::The rigged hood cannot be resized and its shape will depend on the wearers head shape. ::Color and textures of the hood can be adjusted using the menu. ::Has 5 additional surfaces (Front, Top, Back, Left and Right) that can be textured independently with your own custom textures. ::Easy to set up custom textures for the 5 additional surfaces, by adding the textures to the hood inventory and editing a notecard. ::In order to work custom textures must be full perm. This is an SL limitation. ::Comes with UV maps of each additional surfaces to help creating your own textures. ::Can be locked in place if the victim is using an RLV enabled viewer. ::Owners can be set. ::Kommt mit 3 Versionen der Haube, die über das Menü umgeschaltet werden können: ::-Unrriged Close Mouth Hood ::-Unrrigged Open Mouth Hood (für Animationen mit offenem Mund) ::-Rigged Hood ::Kommt mit seinen eigenen Skripten zur Größenänderung für die nicht manipulierten Hauben. ::Die Größe der manipulierten Kapuze kann nicht geändert werden und ihre Form hängt von der Kopfform des Trägers ab. ::Farbe und Textur der Haube können über das Menü eingestellt werden. Verfügt über 5 zusätzliche Oberflächen (vorne, oben, hinten, links und rechts), die unabhängig voneinander mit Ihren eigenen benutzerdefinierten Texturen strukturiert werden können. ::Einfache Einrichtung von benutzerdefinierten Texturen für die 5 zusätzlichen Oberflächen durch Hinzufügen der Texturen zum Haubeninventar und Bearbeiten einer Notizkarte. ::Um zu arbeiten, müssen benutzerdefinierte Texturen eine vollständige Dauerwelle haben. Dies ist eine SL-Einschränkung. ::Kommt mit UV-Karten jeder zusätzlichen Oberfläche, um Ihre eigenen Texturen zu erstellen. ::Kann an Ort und Stelle gesperrt werden, wenn das Opfer einen RLV-fähigen Viewer verwendet. ::Besitzer können eingestellt werden. [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-Latex-Atemkontrolle-Black-FULL-RLV-RIGGED-MESH-AVATAR/3171296 HybridZ Latex Atemkontrolle Black - FULL RLV RIGGED MESH AVATAR] ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle™ - Modify - Copy - No Transfer ::Inspired by the artwork of Chio Maisriml. See below for details on where to find his work. ::A big thank you to Regan for all his help and hard work. ::Please note that you have to be using a Restrained Love compatible Viewer with ❋MESH❋ capabilities to take FULL advantage of the many features of this Atemkontrolle. Please also be aware that to experience the full effect of the Blindfold feature you must be running the latest version of the Restrained Love Viewer. See below for details on how to find the Restrained Love and Mesh Viewers. ::Use: ::- To use your HybridZ Latex Atemkontrolle simply wear all the parts. ::HybridZ SubmissionZ Latex Atemkontrolle ™ - Ändern - Kopieren - Keine Übertragung ::Inspiriert von den Kunstwerken von Chio Maisriml. Weiter unten erfahren Sie, wo Sie seine Arbeit finden. ::Ein großes Dankeschön an Regan für all seine Hilfe und harte Arbeit. ::Bitte beachten Sie, dass Sie einen Restrained Love-kompatiblen Viewer mit "MESH" -Funktionen verwenden müssen, um die vielen Funktionen dieser Atemkontrolle voll ausnutzen zu können. Bitte beachten Sie auch, dass Sie die neueste Version des Restrained Love Viewer ausführen müssen, um die volle Wirkung der Funktion "Augenbinde" nutzen zu können. Weiter unten finden Sie Details dazu, wie Sie die Restrained Love- und Mesh-Zuschauer finden. ::Benutzen: ::- Um Ihre HybridZ Latex Atemkontrolle zu verwenden, tragen Sie einfach alle Teile. Due to the nature of the MESH parts please make sure you wear the included Body Shape or you will find the various parts will not fit or work correctly. Please also note that these parts should never been stretched or resized in anyway. Doing so will break the items. Aufgrund der Beschaffenheit der MESH-Teile stellen Sie bitte sicher, dass Sie die mitgelieferte Körperform tragen. Andernfalls werden die verschiedenen Teile nicht richtig passen oder funktionieren. Bitte beachten Sie auch, dass diese Teile ohnehin niemals gedehnt oder in der Größe verändert werden sollten. Dadurch werden die Gegenstände zerbrochen. *- Also included in the box is a Body Alpha. The Alpha must be used in conjunction with the Atemkontrolle avatars attachments. *- The default attachment points are included in each attachment name and are listed below: *Latex Atemkontrolle - MOUTH *Latex Atemkontrolle (Skull) - SKULL *Latex Atemkontrolle Breath Particles (Left Hand) - LEFT HAND *Leash Handle - LEFT HAND *- Please note the Atemkontrolle must be "LOCKED" before any of the following RLV functions become active. *- Please also remember that the "Deny Friend" TP button will always work for you and your Atemkontrolle, this is more a safety feature, anyone not on the Atemkontrolle's access will still be blocked from sending a TP *- Ebenfalls im Lieferumfang enthalten ist ein Body Alpha. Das Alpha muss in Verbindung mit den Atemkontroll-Avatar-Anhängen verwendet werden. *- Die Standardanhangspunkte sind in jedem Anhangsnamen enthalten und werden nachfolgend aufgeführt: *Latex Atemkontrolle - MUND *Latex Atemkontrolle (Schädel) - SCHÄDEL *Latex Atemkontrolle Atempartikel (linke Hand) - LINKE HAND *Leinengriff - LINKE HAND *- Bitte beachten Sie, dass die Atemkontrolle "GESPERRT" sein muss, bevor eine der folgenden RLV-Funktionen aktiv wird. *- Bitte denken Sie auch daran, dass die TP-Schaltfläche "Freund verweigern" immer für Sie und Ihre Atemkontrolle funktioniert. Dies ist eher eine Sicherheitsfunktion. Jeder, der nicht über den Zugriff der Atemkontrolle verfügt, kann weiterhin keine TP senden *Latex Atemkontrolle Menu Driven Features: *The following menus can only be accessed once all the attachments are worn. *Then simply click on the Atemkontrolle's Face. *Once the Lock command is selected it will effect all the worn parts making them all undetachable. This removes the need for each part to be locked seperately. *-OWNERS - Ownership Ability allows you to add owners and give them access to the menus. Simply click on the Atemkontrolle, go to 'OWNERS' and select 'Add OWNER'. Then choose the appropriate button number to add the person you want And your done! *- LOCK - Locks all the Atemkontrolle's attachments. *- UNLOCK - Unlocks all the Atemkontrolle's attachments. *- LOCK SKIN - Locks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- UNLOCK SKIN - Unlocks the Atemkontrolle's Skin and Shape. *- BLOCK TP - Blocks all forms of Teleport, TP to Landmarks, TP to Map Locations, TP to Friends and TP to Sit on Objects. * - GAG - Prevents the Atemkontrolle from talking. * - UNGAG - Allows the Atemkontrolle to talk again. *- BREATHE ON - Turns Breathe sound effects on for use in breath play. *- BREATHE OFF - Turns Breathe sound effects off. *- BLINDFOLD - Turns the Atemkontrolle's Blindfold on. *- REM BLIND - Turns off the Atemkontrolle's Blindfold. *- UPDATE - Checks for any upgrades to your product (Note: You must be in range of the Update Server located at the HybridZ Main Store.) *- FREEZE - Freezes the Atemkontrolle to the spot preventing any kind of movement. *- UNFREEZE - Unfreezes the Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isolates the Atemkontrolle from interacting in the SecondLife Environment, Inventory access denied edit objects TP etc, IM to locker/OWNER only permitted for safety reasons. *- REM ISO - Turns off Isolation *Menügesteuerte Funktionen des Latex-Atemkontrollgeräts: *Auf die folgenden Menüs kann nur zugegriffen werden, wenn alle Anhänge abgenutzt sind. Dann klicken Sie einfach auf das Gesicht der Atemkontrolle. Sobald der Befehl Sperren ausgewählt ist, wirken sich alle verschlissenen Teile auf sie aus und machen sie alle abnehmbar. Dadurch entfällt die Notwendigkeit, jedes Teil separat zu verriegeln. *-OWNERS - Mit Ownership Ability können Sie Eigentümer hinzufügen und ihnen Zugriff auf die Menüs gewähren. Klicken Sie einfach auf die Atemkontrolle, gehen Sie zu 'EIGENTÜMER' und wählen Sie 'EIGENTÜMER hinzufügen'. Wählen Sie dann die entsprechende Schaltflächennummer, um die gewünschte Person hinzuzufügen, und fertig! *- LOCK - Sperrt alle Anbaugeräte der Atemkontrolle. *- ENTSPERREN - Entsperrt alle Anhänge der Atemkontrolle. *- LOCK SKIN - Sperrt die Haut und Form der Atemkontrolle. *- HAUT ENTSPERREN - Schaltet die Haut und Form der Atemkontrolle frei. *- BLOCK TP - Blockiert alle Formen von Teleport, TP zu Orientierungspunkten, TP zu Kartenpositionen, TP zu Freunden und TP zum Sitzen auf Objekten. *- GAG - Verhindert, dass die Atemkontrolle spricht. *- UNGAG - Ermöglicht der Atemkontrolle, erneut zu sprechen. *- BREATHE ON - Schaltet Breathe-Soundeffekte für die Verwendung im Atemspiel ein. *- ATMEN AUS - Schaltet die Soundeffekte zum Atmen aus. *- BLINDFOLD - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle ein. *- REM BLIND - Schaltet die Augenbinde der Atemkontrolle aus. *- UPDATE - Überprüft, ob Upgrades für Ihr Produkt durchgeführt wurden (Hinweis: Sie müssen sich in Reichweite des Update-Servers befinden, der sich im HybridZ Main Store befindet.) *- EINFRIEREN - Friert die Atemkontrolle an der Stelle ein, um jede Art von Bewegung zu verhindern. *- UNFREEZE - Entfriert die Atemkontrolle. *- ISOLATE - Isoliert die Atemkontrolle von der Interaktion in der SecondLife-Umgebung, Inventarzugriff verweigert Bearbeitungsobjekte TP usw., IM an Schließfach / EIGENTÜMER nur aus Sicherheitsgründen zulässig. *- REM ISO - Deaktiviert die Isolierung *Once an Owner has been added to the list they can click on the Atemkontrolle to get an extended features list. All the above functions will be present but with the following additional buttons: *- CLOTHING - Allows removal of individual clothes, also ALLOW ALL/ DENY ALL controls whether your Atemkontrolle can wear or remove clothing. *- Though this Menu option is still present please be aware that clothing layers cannot be worn on top of a MESH Avatar. *- GIVE - Dispenses a copy of the Leash Handle/Leash Post or Instructional Notecard to the owner. The Leash Handle is worn on the LEFT HAND. *Once an Owner is wearing the Leash Handle they can then click it to access the LEASH,UNLEASH and LEASH LENGTH options. *Additionally whilst the Atemkontrolle is leashed the owner may rez a Leash Post and click on the ring to leash the Atemkontrolle to the Post. Clicking on the Leash Handle transfers the leash back from the Post to the Handle. *- Please note if the Atemkontrolle is leashed without the Owner wearing the Leash Handle the leash will attach to the Owner at the default 'Pelvis' point. *Additional Features: **- Locking Sound Effects when certain parts are Locked and Unlocked. **- Latex Rub Sound Effects upon walking. *Sobald ein Eigentümer zur Liste hinzugefügt wurde, kann er auf die Atemkontrolle klicken, um eine erweiterte Funktionsliste zu erhalten. Alle oben genannten Funktionen sind vorhanden, jedoch mit den folgenden zusätzlichen Tasten: *- KLEIDUNG - Ermöglicht das Entfernen einzelner Kleidungsstücke. Außerdem erlaubt ALLOW ALL / DENY ALL, ob Ihre Atemkontrolle Kleidung tragen oder entfernen kann. *- Obwohl diese Menüoption immer noch vorhanden ist, beachten Sie bitte, dass Kleidungsschichten nicht über einem MESH-Avatar getragen werden können. *- GEBEN - Gibt eine Kopie des Leinengriffs / der Leinenpost oder der Anweisungsnotizkarte an den Eigentümer aus. Der Leinengriff wird an der LINKEN HAND getragen. *Sobald ein Besitzer den Leinengriff trägt, kann er darauf klicken, um auf die Optionen LEASH, UNLEASH und LEASH LENGTH zuzugreifen. *Während die Atemkontrolle an der Leine geführt wird, kann der Besitzer zusätzlich einen Leinenpfosten rezzen und auf den Ring klicken, um die Atemkontrolle an den Pfosten zu führen. Durch Klicken auf den Leinengriff wird die Leine vom Pfosten zurück zum Griff übertragen. *- Bitte beachten Sie, dass die Leine an der Leine geführt wird, ohne dass der Besitzer den Leinengriff trägt. Die Leine wird am Standardpunkt „Becken“ am Besitzer befestigt. *Zusatzfunktionen: **- Sperren von Soundeffekten, wenn bestimmte Teile gesperrt und entsperrt sind. **- Latex Rub Sound Effekte beim Gehen. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:29, 24. Feb. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/HybridZ-BDSM-RLV-Doll-Dollification-RP-Latex-Spray-Gun/413305 HybridZ BDSM RLV Doll Dollification RP Latex Spray Gun] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 2. Mär. 2021 (CET) ==== Haare ==== [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Domela/13427270?ple=c EdelStore Mesh Hair - Domela (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/EdelStore-Mesh-Hair-Delmira/13426185 EdelStore Mesh Hair - Delmira (Wear me)] [https://marketplace.secondlife.com/p/G-Draya-Hairbase/21054117 G.- "Draya" Hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/ARGRACE-SAYURI-BW/17349859?ple=c ARGRACE* SAYURI - B&W] [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Grae-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/11267667 Tameless Hair Grae - Naturals] Includes OMEGA applier for hairbase [https://marketplace.secondlife.com/p/Tameless-Hair-Kit-Naturals-with-OMEGA-Appliers-for-hairbase/10498687 Tameless Hair Kit - Naturals with OMEGA Appliers for hairbase] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Claire-bxd-wear-me/19250905 KoKoLoReS Hair Claire bxd - wear me] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Lesley-bxd-wear-me/19842667 KoKoLoReS Hair Lesley bxd - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/KoKoLoReS-Hair-Quinn-20-Hud-Naturals/16067064 KoKoLoReS Hair - Quinn 2.0 - Hud Naturals - wear me!] [https://marketplace.secondlife.com/p/Sintiklia-Hair-Talia-Fatpack/19564600 Sintiklia - Hair Talia - Fatpack] [https://marketplace.secondlife.com/p/Y-U-JOANA-MULTIPACK-WOMENS-BOXED/19006551 Y-U: JOANA "MULTIPACK" WOMEN'S BOXED] [https://marketplace.secondlife.com/p/EMO-tions-TRAGEDY-BLACKWHITE/12152278 .:EMO-tions.. *TRAGEDY* -BLACK/WHITE] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:00, 2. Mär. 2021 (CET) [https://marketplace.secondlife.com/p/NO-Pixie-Cut-Tattoo-Purple-Mix/7393394 (NO) Pixie Cut (Tattoo) - Blonde] [https://marketplace.secondlife.com/p/OS-Appliers-Base-Hair-Diva-Black-OmegaCatwa-Lelutka/16273465 !OS! Appliers Base Hair Diva Black - Omega/Catwa/ Lelutka] [https://marketplace.secondlife.com/p/nomatch-NOCOMMISSION-Pack-of-BLACKS/15922487 no.match_ ~ NO_COMMISSION ~ Pack of BLACKS] [https://marketplace.secondlife.com/p/dafnis-fat-pack-hairbase-01-for-CATWA-Demo/18658974 *dafnis fat pack hairbase 01 for CATWA Demo] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 22:19, 2. Mär. 2021 (CET) === Personen === Freunde finden ist nicht leicht in einer Welt, in der sich jeder selbst der Nächste ist, wo Egoismus und Lügen zur vorherschenden Tugend gehören. Sei ehrlich mit mir, lüg mich nicht an, dann bin ich für dich da und gehe mit dir durchs Feuer. Bei Intrigen, Hass und Missgunst und weitererzählen irgendwelcher Gerüchte fackel ich nicht lange und sortiere aus. Secondlife soll Spaß machen und nicht das Leben noch schwerer durch Menschen, die hier rumlaufen und nur glücklich werden, wenn sie anderer Partnerschaft, Freundschaft und Vertrauen zerstören können. Wacht auf Leute, das Leben findet draußen statt! Diese Welt hier ist eine Plattform, um andere kennen zu lernen und Spaß zu haben und nicht, um sich gegenseitig emotional abzuschlachten! Cordula Debbel von DavidSmith1978 https://www.youtube.com/watch?v=uSbxCX2LVps Cordula Grün Kinder mit Behinderung sind nicht krank, sie brauchen keine Therapie. Sie brauchen Akzeptanz. Ein 15 Jahre altes Mädchen hält die Hand von ihrem 1 jährigem Sohn. Leute nennen sie eine Schlampe. Niemand weiß, dass sie mit 13 Jahren vergewaltigt wurde. Leute nennen einen Mann fett. Niemand weiß, dass er eine schwere Krankheit hat, durch die er übergewichtig ist. Leute nennen einen alten Mann hässlich. Niemand weiß, dass er eine schwere Verletzung im Gesicht hatte, während des Kampfes für sein Land im Krieg. Poste dies, wenn du gegen Mobbing bist. Ich hoffe ihr gehört zu den 7% die es kopieren ... !!! Cordula Debbel Cosmopolitan and Hello Tuesday Events. Join to stay informed about our events. Blog: http://cosmopolitansl.blogspot.com/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 21:26, 4. Jan. 2021 (CET) Ich bin schon so lange hier und ziehe Bilanz: Ich bin hier in SL wegen der Menschen. Sie können eine innere Heimat werden, gute Freunde, jemand der so sehr mein innerstes kennt, wie niemand in meinem 1. Leben. Manchmal trifft man hier jemand und es ist magischSofortigesVerstehen, Zusammengehörigkeitsgefühl und das Bedürfnis bei dieser Person sein zu wollen. Lachen, das bis in mein reales Leben nachhallt und mich dort weiterhin aufmuntert. Danke dafür!!! Ruediger Blister --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:53, 9. Jan. 2021 (CET) Sl ist schon ganz schön Verrückt einige Leute leben Wirkliich in einer Echten Scheinwelt weit ab vom Realen leben, und sie kommen sich auch noch verdammt Wichtig vor weil sie gewisse Rechte haben, find ich echt toll viel Glück mit eueren Rechten,scheibt sie euch dahin wo die Sonne zum schluss auf geht. Kathrin de Boer (kathrindeboer) --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:54, 9. Jan. 2021 (CET) first sl join January 2007/second sl jion August 2011 maybe older than you but not stupid lol SL ist kein Spiel......es ist eine Schnittstelle SL is not a game ...... it is an interface JasonCastello --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 17:59, 9. Jan. 2021 (CET) Just taking a break and chilln out a while My interests in SL r: surfing, skydiving, base jumpn, horseback riding, scuba, cyclist and solo dancen, so far. Not interested in SL relationships other than friends. Cindy (honeypotness) Menschen, die zusammen gehören, egal auf welche Art und Weise finden immer wieder zusammen. Es ist egal was zwischen ihnen passiert ist, wie viele Fehler gemacht wurden und wieviel Zeit vergangen ist. Es ist egal,wie fern sie sich sind, sie werden sich trotzdem immer nahe sein... Tamina Bikergrrl --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:52, 11. Mär. 2021 (CET) === Surfing === Cielo *Cielo is currently majestic ruins you can surf through, set on the corner of a 5 sim Surfing beach island. *Travel the world, from east to west on this island, surfing different terrains and waves. ** Arcania Bay, Canada, Cielo (35, 177, 85) Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance *Welcome to Kia Kaha - The home of Vibes! *"Kia Kaha" is a Māori phrase meaning "Stay Strong" A subtle reminder to the core surfing family. *Public access surf sim with rezz zone and Flow board rezzer. ** Kia Kaha - Home to the Vibrations Surf Alliance, Kia Kaha (128, 94, 22) Medow Rose - Templeton Farm *The moonlight sent pale shards skipping across the rippling water and silhouetting the landscape in deep soft bues and blacks. *She drew a contented breath as she sank deeper into his arms, *Meadow rose is just the start of the story.. Great place to ride ur horse ** Mopire City, Mopire (73, 191, 62) NanoGunk Main Store - Cigar Yachts *A beach with some nice waves ** NanoGunk Main Store - Cigar Yachts, NanoGunk (62, 32, 22) One Love Beach ~ Home of SurfCrazy ~ *No lag...no conflict..surf... *And as my opinion...Best place to surf in SL so far..... still ** One Love Beach - Surf Great Waves, Palma de Majorca (192, 216, 21) Surfer's Paradise - Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf *A remote beach set in the Pacific Northwest for photos and soul searchers alike. Really cool place. *flickr, photography, blogger, romantic, couples, beach, nature, photos, hangout, photogenic, meet, rentals, machinima, maoli waves, surfing, surf AMAZING PLACE TO SURF. ** d.p surfco] Ash Falls - Volcanic Beach Rentals and Surf , Spider Island (154, 227, 21) Surfing SLSA *Surfing Association (SLSA) surfable wave home beach. 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Live DJs, Concerts, Performers, Contests, Fun, Biker Club, Dance, Chat Bon Jovi Tribute by 2nd Dimension @ Club DyNaMiTe - Sponsored by Anka Tattoo --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 18:12, 8. Jan. 2021 (CET) nam8cbvr3j23yabsgcijob9egigqdyd 109 144528 784739 2022-08-22T06:53:21Z Methodios 23484 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki === Grimmsches Wörterbuch === AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. === Friedrich Hebbel === Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm === Entartete Kunst === [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jüdische "Afterkunst" === NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) === Filmlexikon === https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Facebook === https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) === Kunstdienst der evangelischen Kirche === [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) === Herbert Tannenbaum === [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) === Dominikus Böhm === [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jeanpierre Heizmann === [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) === Scheißpolitik === Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 ju961quq4gehyvznhpqjy8ragwawbgb 784796 784739 2022-08-22T07:01:35Z Methodios 23484 /* Scheißpolitik */ wikitext text/x-wiki === Grimmsches Wörterbuch === AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. === Friedrich Hebbel === Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm === Entartete Kunst === [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jüdische "Afterkunst" === NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) === Filmlexikon === https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) === Facebook === https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) === Kunstdienst der evangelischen Kirche === [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) === Herbert Tannenbaum === [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) === Dominikus Böhm === [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) === Jeanpierre Heizmann === [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und scheiße behandelt. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 1l5iiwb52osbgr497wwbmxw1swdv1hq 784808 784796 2022-08-22T07:03:23Z Methodios 23484 wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und scheiße behandelt. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 gjab0wcj021e3oos70qori50ybs6nbm 784818 784808 2022-08-22T07:04:47Z Methodios 23484 wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und scheiße behandelt. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) 67tcfavtuqzz3khgr2slq4dp7gmgev1 784840 784818 2022-08-22T07:08:02Z Methodios 23484 /* Scheißpolitik */ wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Habt ihr auch die Schnauze voll von diesen schleimigen Politikern, die eh nur drauf aus sind für ihr eigenes Wohl und für das Wohl ihres Gleichen zu sorgen? Igitt, einfach nur eklig. https://twitter.com/Pirikko1/status/1560625824750923777 Joh, ich kann gar nicht soviel essen, wie ich kotzen möchte. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561610938880507904 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und scheiße behandelt. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) 0v9agjs47w6bnrcjdwylji7c7jum8mj 784944 784840 2022-08-22T07:23:35Z Methodios 23484 /* Scheißbehörden */ wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Habt ihr auch die Schnauze voll von diesen schleimigen Politikern, die eh nur drauf aus sind für ihr eigenes Wohl und für das Wohl ihres Gleichen zu sorgen? Igitt, einfach nur eklig. https://twitter.com/Pirikko1/status/1560625824750923777 Joh, ich kann gar nicht soviel essen, wie ich kotzen möchte. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561610938880507904 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und scheiße behandelt. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 Scheiße behandeln, damit man möglichst schnell = sozialverträglich verreckt, ist dort die Oberste Direktive. https://memory-alpha.fandom.com/de/wiki/Oberste_Direktive https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561614519251746816 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) t4mqcr1dkno2w30zgk73h4rn6sfkcjr 784975 784944 2022-08-22T07:28:37Z Methodios 23484 /* Scheißpolitik */ wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Habt ihr auch die Schnauze voll von diesen schleimigen Politikern, die eh nur drauf aus sind für ihr eigenes Wohl und für das Wohl ihres Gleichen zu sorgen? Igitt, einfach nur eklig. https://twitter.com/Pirikko1/status/1560625824750923777 Joh, ich kann gar nicht soviel essen, wie ich kotzen möchte. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561610938880507904 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 22. Aug. 2022 (CEST) Wenn ich Teile der regierenden politischen Elite wie Wissing und Lindner höre, denke ich: Nein! Das beleidigt politisch, intellektuell und fachlich. Macht das weg! Und dann schiebt die Opposition Merz, Klöckner, Spahn und Scheuer vor die Mikros. Das ist so elendig deprimierend. https://twitter.com/hirndummy/status/1561411504322351107 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und scheiße behandelt. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 Scheiße behandeln, damit man möglichst schnell = sozialverträglich verreckt, ist dort die Oberste Direktive. https://memory-alpha.fandom.com/de/wiki/Oberste_Direktive https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561614519251746816 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) op209fxz2057wycu4m90chlna5vi2ao 785005 784975 2022-08-22T07:33:15Z Methodios 23484 /* Scheißpolitik */ wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Habt ihr auch die Schnauze voll von diesen schleimigen Politikern, die eh nur drauf aus sind für ihr eigenes Wohl und für das Wohl ihres Gleichen zu sorgen? Igitt, einfach nur eklig. https://twitter.com/Pirikko1/status/1560625824750923777 Joh, ich kann gar nicht soviel essen, wie ich kotzen möchte. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561610938880507904 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 22. Aug. 2022 (CEST) Wenn ich Teile der regierenden politischen Elite wie Wissing und Lindner höre, denke ich: Nein! Das beleidigt politisch, intellektuell und fachlich. Macht das weg! Und dann schiebt die Opposition Merz, Klöckner, Spahn und Scheuer vor die Mikros. Das ist so elendig deprimierend. https://twitter.com/hirndummy/status/1561411504322351107 Das sind doch alles nur vom Geld gekaufte erbärmliche Schauspieler, und keine Politiker! Laß der CDU doch etwas Zeit, sich in die Oppositions-Rolle einzuspielen. https://de.wikipedia.org/wiki/Ronald_Reagan https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561617215744626688 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und scheiße behandelt. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 Scheiße behandeln, damit man möglichst schnell = sozialverträglich verreckt, ist dort die Oberste Direktive. https://memory-alpha.fandom.com/de/wiki/Oberste_Direktive https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561614519251746816 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) ci3181pohmthtllnthqwuqv7g2862h2 785109 785005 2022-08-22T07:48:59Z Methodios 23484 /* Scheißpolitik */ wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißstaat == Große Teile der Bevölkerung haben doch längst innerlich gekündigt! https://twitter.com/klausfenn/status/1561407499437330434 Seh ich ganz genauso. Wir werden gelebt, und leben schon lange nicht mehr. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561618125665304577 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:48, 22. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Habt ihr auch die Schnauze voll von diesen schleimigen Politikern, die eh nur drauf aus sind für ihr eigenes Wohl und für das Wohl ihres Gleichen zu sorgen? Igitt, einfach nur eklig. https://twitter.com/Pirikko1/status/1560625824750923777 Joh, ich kann gar nicht soviel essen, wie ich kotzen möchte. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561610938880507904 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 22. Aug. 2022 (CEST) Wenn ich Teile der regierenden politischen Elite wie Wissing und Lindner höre, denke ich: Nein! Das beleidigt politisch, intellektuell und fachlich. Macht das weg! Und dann schiebt die Opposition Merz, Klöckner, Spahn und Scheuer vor die Mikros. Das ist so elendig deprimierend. https://twitter.com/hirndummy/status/1561411504322351107 Das sind doch alles nur vom Geld gekaufte erbärmliche Schauspieler, und keine Politiker! Laß der CDU doch etwas Zeit, sich in die Oppositions-Rolle einzuspielen. https://de.wikipedia.org/wiki/Ronald_Reagan https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561617215744626688 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und scheiße behandelt. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 Scheiße behandeln, damit man möglichst schnell = sozialverträglich verreckt, ist dort die Oberste Direktive. https://memory-alpha.fandom.com/de/wiki/Oberste_Direktive https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561614519251746816 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) 7a59s50c4xdj0j2lx7sxn44s9toc5pf 785114 785109 2022-08-22T07:49:37Z Methodios 23484 /* Scheißbehörden */ wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißstaat == Große Teile der Bevölkerung haben doch längst innerlich gekündigt! https://twitter.com/klausfenn/status/1561407499437330434 Seh ich ganz genauso. Wir werden gelebt, und leben schon lange nicht mehr. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561618125665304577 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:48, 22. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Habt ihr auch die Schnauze voll von diesen schleimigen Politikern, die eh nur drauf aus sind für ihr eigenes Wohl und für das Wohl ihres Gleichen zu sorgen? Igitt, einfach nur eklig. https://twitter.com/Pirikko1/status/1560625824750923777 Joh, ich kann gar nicht soviel essen, wie ich kotzen möchte. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561610938880507904 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 22. Aug. 2022 (CEST) Wenn ich Teile der regierenden politischen Elite wie Wissing und Lindner höre, denke ich: Nein! Das beleidigt politisch, intellektuell und fachlich. Macht das weg! Und dann schiebt die Opposition Merz, Klöckner, Spahn und Scheuer vor die Mikros. Das ist so elendig deprimierend. https://twitter.com/hirndummy/status/1561411504322351107 Das sind doch alles nur vom Geld gekaufte erbärmliche Schauspieler, und keine Politiker! Laß der CDU doch etwas Zeit, sich in die Oppositions-Rolle einzuspielen. https://de.wikipedia.org/wiki/Ronald_Reagan https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561617215744626688 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und scheiße behandelt. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 Scheiße behandeln, damit man möglichst schnell = sozialverträglich verreckt, ist dort die Oberste Direktive. https://memory-alpha.fandom.com/de/wiki/Oberste_Direktive https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561614519251746816 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Freunde gibt’s schon lange nicht mehr. Sind verschwunden sobald ich arm geworden bin. Tagesablauf ist zutiefst routiniert, weil sonst die Depression wieder kommt. Belasten tut mich meine Krankheit, eine Gesellschaft und ihre Behörden, die mich dafür verteufeln. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561367408325296129 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:49, 22. Aug. 2022 (CEST) ph8t79uqk38i4yu4z9hptiz5cb78m6q 785246 785114 2022-08-22T08:08:44Z Methodios 23484 /* Scheißbehörden */ wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißstaat == Große Teile der Bevölkerung haben doch längst innerlich gekündigt! https://twitter.com/klausfenn/status/1561407499437330434 Seh ich ganz genauso. Wir werden gelebt, und leben schon lange nicht mehr. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561618125665304577 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:48, 22. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Habt ihr auch die Schnauze voll von diesen schleimigen Politikern, die eh nur drauf aus sind für ihr eigenes Wohl und für das Wohl ihres Gleichen zu sorgen? Igitt, einfach nur eklig. https://twitter.com/Pirikko1/status/1560625824750923777 Joh, ich kann gar nicht soviel essen, wie ich kotzen möchte. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561610938880507904 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 22. Aug. 2022 (CEST) Wenn ich Teile der regierenden politischen Elite wie Wissing und Lindner höre, denke ich: Nein! Das beleidigt politisch, intellektuell und fachlich. Macht das weg! Und dann schiebt die Opposition Merz, Klöckner, Spahn und Scheuer vor die Mikros. Das ist so elendig deprimierend. https://twitter.com/hirndummy/status/1561411504322351107 Das sind doch alles nur vom Geld gekaufte erbärmliche Schauspieler, und keine Politiker! Laß der CDU doch etwas Zeit, sich in die Oppositions-Rolle einzuspielen. https://de.wikipedia.org/wiki/Ronald_Reagan https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561617215744626688 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und '''scheiße behandelt'''. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 '''Scheiße behandeln''', damit man möglichst schnell = sozialverträglich verreckt, ist dort die Oberste Direktive. https://memory-alpha.fandom.com/de/wiki/Oberste_Direktive https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561614519251746816 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Freunde gibt’s schon lange nicht mehr. Sind verschwunden sobald ich arm geworden bin. Tagesablauf ist zutiefst routiniert, weil sonst die Depression wieder kommt. Belasten tut mich meine Krankheit, eine Gesellschaft und ihre Behörden, die mich dafür verteufeln. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561367408325296129 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:49, 22. Aug. 2022 (CEST) == In der Scheiße liegen und nicht stinken == Der Journalist Christian Stahl hat mit „In den Gangs von Neukölln“ eine Fortsetzung der Lebenschronik von Yehya E. geschrieben. Damit möchte er Buschkowskys Thesen rund um den Integrationsunwillen von Migranten und Migrantenkindern widerlegen. Zum Plot: Der junge E. ist clever, ein guter Schüler und einmal sogar Berliner Boxmeister. Zu Bundeskämpfen darf er aber nicht, wegen der Residenzpflicht als Asylbewerber und arbeiten ist auch nicht drin, da er nur geduldet ist. Anfang der 90er flieht die Familie im Golfkrieg aus Kuwait, wo der Vater ein Baugeschäft zurücklassen muss und strandet im Libanon. Im Flüchtlingslager Schatila wird Yehya geboren. Schließlich Deutschland. Dort führt der Vater '''ein Leben im Leerlauf''' wie auch sein Sohn. Nur geduldet, ohne Arbeitserlaubnis. Der Vater passt sich an, sein ambitionierter Sohn nicht, sondern pusht seine brachliegenden Talente in eine kriminelle Karriere. Yehya bekommt einen eigenen Staatsanwalt. Er landet im Jugendknast. Später kämpft er um Annäherung an die bürgerliche Gesellschaft. Yehya wird Konfliktschlichter in Neukölln. Im Auf und Ab dazwischen kafkaeske Anekdoten wie diese: Die Ausländerbehörde Berlin will ihn wegen seiner kriminellen Taten in die Ukraine abschieben, auf der Basis eines dubiosen Rücknahmeabkommens zwischen der Ukraine und der EU. Als vor Gericht ein Deal zustande kommt – wenn Abitur, dann keine Abschiebung – scheint es voran zu gehen. Doch schon am zweiten Schultag fliegt er. Die Ausländerbehörde hatte die Schulleitung „gewarnt“, mit wem sie es zu tun hatte. „Die wollen, dass du in der Scheiße liegst, aber nicht stinkst“, meint Yehya in einem Interview mit Stahl. Seit April 2014 sitzt der 23-Jährige wegen Raubes wieder im Knast, für sechs Jahre. https://www.neukoellner.net/politik/in-der-scheisse-liegen-und-nicht-stinken/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:08, 22. Aug. 2022 (CEST) d4eb27dvbt4jof684gda6urng8tu8qd 785334 785246 2022-08-22T08:22:47Z Methodios 23484 /* In der Scheiße liegen und nicht stinken */ wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißstaat == Große Teile der Bevölkerung haben doch längst innerlich gekündigt! https://twitter.com/klausfenn/status/1561407499437330434 Seh ich ganz genauso. Wir werden gelebt, und leben schon lange nicht mehr. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561618125665304577 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:48, 22. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Habt ihr auch die Schnauze voll von diesen schleimigen Politikern, die eh nur drauf aus sind für ihr eigenes Wohl und für das Wohl ihres Gleichen zu sorgen? Igitt, einfach nur eklig. https://twitter.com/Pirikko1/status/1560625824750923777 Joh, ich kann gar nicht soviel essen, wie ich kotzen möchte. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561610938880507904 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 22. Aug. 2022 (CEST) Wenn ich Teile der regierenden politischen Elite wie Wissing und Lindner höre, denke ich: Nein! Das beleidigt politisch, intellektuell und fachlich. Macht das weg! Und dann schiebt die Opposition Merz, Klöckner, Spahn und Scheuer vor die Mikros. Das ist so elendig deprimierend. https://twitter.com/hirndummy/status/1561411504322351107 Das sind doch alles nur vom Geld gekaufte erbärmliche Schauspieler, und keine Politiker! Laß der CDU doch etwas Zeit, sich in die Oppositions-Rolle einzuspielen. https://de.wikipedia.org/wiki/Ronald_Reagan https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561617215744626688 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und '''scheiße behandelt'''. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 '''Scheiße behandeln''', damit man möglichst schnell = sozialverträglich verreckt, ist dort die Oberste Direktive. https://memory-alpha.fandom.com/de/wiki/Oberste_Direktive https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561614519251746816 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Freunde gibt’s schon lange nicht mehr. Sind verschwunden sobald ich arm geworden bin. Tagesablauf ist zutiefst routiniert, weil sonst die Depression wieder kommt. Belasten tut mich meine Krankheit, eine Gesellschaft und ihre Behörden, die mich dafür verteufeln. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561367408325296129 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:49, 22. Aug. 2022 (CEST) == In der Scheiße liegen und nicht stinken == Der Journalist Christian Stahl hat mit „In den Gangs von Neukölln“ eine Fortsetzung der Lebenschronik von Yehya E. geschrieben. Damit möchte er Buschkowskys Thesen rund um den Integrationsunwillen von Migranten und Migrantenkindern widerlegen. Zum Plot: Der junge E. ist clever, ein guter Schüler und einmal sogar Berliner Boxmeister. Zu Bundeskämpfen darf er aber nicht, wegen der Residenzpflicht als Asylbewerber und arbeiten ist auch nicht drin, da er nur geduldet ist. Anfang der 90er flieht die Familie im Golfkrieg aus Kuwait, wo der Vater ein Baugeschäft zurücklassen muss und strandet im Libanon. Im Flüchtlingslager Schatila wird Yehya geboren. Schließlich Deutschland. Dort führt der Vater '''ein Leben im Leerlauf''' wie auch sein Sohn. Nur geduldet, ohne Arbeitserlaubnis. Der Vater passt sich an, sein ambitionierter Sohn nicht, sondern pusht seine brachliegenden Talente in eine kriminelle Karriere. Yehya bekommt einen eigenen Staatsanwalt. Er landet im Jugendknast. Später kämpft er um Annäherung an die bürgerliche Gesellschaft. Yehya wird Konfliktschlichter in Neukölln. Im Auf und Ab dazwischen kafkaeske Anekdoten wie diese: Die Ausländerbehörde Berlin will ihn wegen seiner kriminellen Taten in die Ukraine abschieben, auf der Basis eines dubiosen Rücknahmeabkommens zwischen der Ukraine und der EU. Als vor Gericht ein Deal zustande kommt – wenn Abitur, dann keine Abschiebung – scheint es voran zu gehen. Doch schon am zweiten Schultag fliegt er. Die Ausländerbehörde hatte die Schulleitung „gewarnt“, mit wem sie es zu tun hatte. „Die wollen, dass du in der Scheiße liegst, aber nicht stinkst“, meint Yehya in einem Interview mit Stahl. Seit April 2014 sitzt der 23-Jährige wegen Raubes wieder im Knast, für sechs Jahre. https://www.neukoellner.net/politik/in-der-scheisse-liegen-und-nicht-stinken/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:08, 22. Aug. 2022 (CEST) == Gezwungen, unsere Scheiße zu trocknen == „Wir Griechen sind gezwungen, unsere Scheiße zu trocknen“ Vieles war und ist über die Schuldenkrise Griechenlands geschrieben worden. Aber selten war es so spannend zu lesen wie im brandneuen Krimi von Starautor Petros Markaris. Denn hier wird die Krise selbst zum Thema - enthauptete Banker inklusive. Düsseldorf Der Mörder kam durch die Hintertür. Die britische Bank hatte keinen Wachdienst, nur eine Sicherheitstür und Überwachungskameras. „Wenn das nicht der berühmte schottische Geiz ist“, denkt Kostas. „Wir Griechen sind durch unsere Verschwendungssucht wenigstens mit fliegenden Fahnen untergegangen. Aber wie haben diese Sparfüchse ihre Wirtschaft ruiniert?“ Das ist der Tenor Petros Markaris’ aktuellem Roman „Faule Kredite. Ein Fall für Kostas Charitos“. Der grenzenlos langweilige Titel ist ein Hinweis, dass die Handlung nur mittelmäßig spannend ist. Aber es ist ja auch nicht die Suche nach dem Serienmörder von Finanzjongleuren, was dieses Buch so lesenswert macht. Es ist der Umgang mit dem griechischen Alltag, der Markaris so gut gelingt. Einige Klischees, die in den Köpfen von uns geldgebenden Mitteleuropäern festsitzen, werden voll bestätigt. Andere ad absurdum geführt. Es ist die Suche nach der Wahrheit im Alltag von Kostas Charitos, einem Kommissar, der mitten im Leben steht und den neuen Alltag der Griechen aus der Ich-Perspektive erzählend sehr gut beschreibt. Da ist seine Tochter Katarina, die sich ärgert, ihren Doktor gemacht zu haben, anstatt nicht vor der großen Krise ins Berufsleben eingestiegen zu sein. Nun braucht sie viel Glück und Vitamin B, um trotz ihrer großartigen Ausbildung irgendeinen Job zu finden. Da ist seine Frau, die den Selbstmord eines Nachbarn mit ansehen muss. Der Besitzer eines Damenmodegeschäftes wusste keinen anderen Ausweg, weil es im Zuge der Krise allzu sehr bergab ging mit den Umsätzen und die Banken den Kredithahn zuzogen. Da sind all die Kollegen, die wie so viele Beamte auf das 13. und 14. Monatsgehalt verzichten müssen. Noch härter trifft sie aber das Zusammenstreichen der Pension: „Wie soll ich im Alter mit 500 Euro auskommen?“ Sparen geht nicht, das jetzige Gehalt ist zu knapp. Offen diskutieren die Polizeibeamten über das „Abkassieren non Nachtlokalen“. Es sind keine böse Menschen, die so reden. Es sind brave Familienväter, die die Not treibt. Da bleibt keine Frage offen, wie es zu all der Korruption in Griechenland kommt. „Die Stimmung unter den Kollegen erinnert mich an die Mobilmachung der Junta im Jahr 1974“, denkt Kostas am Anfang des Buches. Da ist ein alter Freund voller Wut, dessen Widerstandskämpferrente erheblich zusammengestrichen wurde. Nicht, weil ihm das Geld fehlt, sondern aus Prinzip: „Es ist, als würde man mir sagen: Mal langsam. So einen tollen Widerstand hast du noch auch wieder nicht geleistet. 380 Euro sind mehr als genug für dich.“ Da wird Kostas von seiner Frau gefragt, warum das neue Auto denn bitte ein Seat Ibiza sein musste. Seine Antwort: „Aus Solidarität. Die Spanier stecken doch momentan genauso in der Klemme wie wir.“ Da fallen Zitate wie '''„Angesichts der bevorstehenden Lohnkürzungen werden wir gezwungen sein, sogar noch unsere Scheiße zu trocknen, um sie weiterzuverwerten.“''' Nichts mehr ist übrig vom griechischen Nationalstolz und dem Land, in dem einst die Politik und Philosophie erfunden wurden: „Selbst ein griechischer Banker ist im Verhältnis zu einem englischen Butler ein Bauerntölpel“, sagt Kostas. Gerechtigkeit gibt es nicht mehr. Der letzte Satz des Buches lautet: „In Griechenland kann dir Vitamin B das Leben retten. Damit ist alles gesagt. Punktum.“ Markaris wirft einen Blick in die Seelen dieser Menschen, die wie geprügelte Hunde durch Europa laufen und gegen das Versinken in Selbstmitleid ankämpfen. Die Ausnahme ist Fanis, Kostas Schwiegersohn, Arzt und ein Engel von Mensch. Selbst in den bittersten Momente kommen vom ihm Sätze wie „Souvlaki können wir uns noch leisten“, mit denen er der Familie Kraft gibt. Kostas selbst ist eher Realist als Fatalist. Er stimmt den Demonstranten zu, ohne selbst mitzulaufen. Seine Generation ist in einem armen Land großgeworden – in den 40er- und 50er-Jahren ging es Griechenland beinahe noch schlimmer als heute. Griechenland befindet seit dem Unabhängigkeitskrieg gegen das Osmanische Reich bis heute fünf Pleiten hingelegt hat und sich die Hälfte dieser Zeit in Phasen der Umschuldung. Angesichts dessen kann man Kostas Haltung gut nachvollziehen. Die Handlung selbst besteht in der Suche nach einem Serientäter. Kostas wird von einem Tatort zum nächsten gerufen. Zunächst wird ein griechischer Ex-Banker enthauptet aufgefunden, dann ein britischer Banker im besten Alter, dann der Mitarbeiter eine US-Ratingagentur und schließlich der Chef eines Inkasso-Unternehmens. Alle vier verlieren ihren Kopf, weil sie skrupellose Teile der Finanzindustrie waren. Wer das aus welchen Gründen Rache verübt, dürfte so mancher Leser nach drei Vierteln des Romans erahnen. Die Untersuchungen führen Kostas in die Schattenwelt der griechischen Banken. Wie die Arbeit der Institute genau funktioniert, bleibt vage. Aber das tut nichts zu Sache. Vielmehr beschreibt Markaris, wie sich ihre Arbeit auf den Alltag auswirkt. Er nimmt eine Entwicklung vorweg, die sich bis heute dramatisch zugespitzt hat. Die Griechen verlieren das Vertrauen in ihre Banken und räumen ihre Konten leer. Seit Anfang 2010 verringerten sich die Einlagen um 18 Prozent. Die Arbeit der Politik ist ein wichtiges Thema: Auch wenn die Maßnahmen der Spitze des griechischen Staates noch eher als notwendig dargestellt werden, kommt das Verhalten der Mächtigen nicht gut weg. So belehrt Kostas Chef, als es um die Reaktion des zuständigen Ministers auf die Ermittlungsarbeiten geht: „Begreifen Sie denn nicht? Seit die EU und der IWF uns die 110-Milliarden-Hilfe gewährt haben, versuchen wir, uns verzweifelt zu revanchieren – durch Kuschen.“ Überhaupt scheinen die Retter nicht sehr beliebt zu sein. Vor allem Deutschland bekommt das ein oder andere gemeine Zitat ab. Auch wenn die Handlung im Sommer 2010 spielt: Aktueller könnte die dieser Roman kaum sein. Denn er beschreibt die wohl wichtigste Frage derzeit, nämlich ob die Gewalt in Griechenland zunehmen wird. Markaris selbst sagt in einem Interview mit dem „Kurier“: „Man kann die Stimmung in Griechenland mit alle gegen alle beschreiben. Die Gewalt nimmt zu und das ist extrem beunruhigend. Andererseits beschränkt sich die Gewalt auf Athen und wird auch von kleinen, aber sehr gewalttätigen Gruppen betrieben.“ Angesichts der Tatsache, dass rund ein Drittel der Griechen im Großraum Athen wohnen, beruhigt das Stück. Bibliografie: Petros Markaris Faule Kredite. Ein Fall für Kostas Charitos Diogenes Verlag, Zürich 2011 397 Seiten https://www.handelsblatt.com/politik/international/schulden-krimi-wir-griechen-sind-gezwungen-unsere-scheisse-zu-trocknen/4413100-all.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 22. Aug. 2022 (CEST) 5nuz43adianxclcqqpz31dthv746bq6 785387 785334 2022-08-22T08:31:23Z Methodios 23484 /* Gezwungen, unsere Scheiße zu trocknen */ wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißstaat == Große Teile der Bevölkerung haben doch längst innerlich gekündigt! https://twitter.com/klausfenn/status/1561407499437330434 Seh ich ganz genauso. Wir werden gelebt, und leben schon lange nicht mehr. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561618125665304577 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:48, 22. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Habt ihr auch die Schnauze voll von diesen schleimigen Politikern, die eh nur drauf aus sind für ihr eigenes Wohl und für das Wohl ihres Gleichen zu sorgen? Igitt, einfach nur eklig. https://twitter.com/Pirikko1/status/1560625824750923777 Joh, ich kann gar nicht soviel essen, wie ich kotzen möchte. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561610938880507904 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 22. Aug. 2022 (CEST) Wenn ich Teile der regierenden politischen Elite wie Wissing und Lindner höre, denke ich: Nein! Das beleidigt politisch, intellektuell und fachlich. Macht das weg! Und dann schiebt die Opposition Merz, Klöckner, Spahn und Scheuer vor die Mikros. Das ist so elendig deprimierend. https://twitter.com/hirndummy/status/1561411504322351107 Das sind doch alles nur vom Geld gekaufte erbärmliche Schauspieler, und keine Politiker! Laß der CDU doch etwas Zeit, sich in die Oppositions-Rolle einzuspielen. https://de.wikipedia.org/wiki/Ronald_Reagan https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561617215744626688 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und '''scheiße behandelt'''. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 '''Scheiße behandeln''', damit man möglichst schnell = sozialverträglich verreckt, ist dort die Oberste Direktive. https://memory-alpha.fandom.com/de/wiki/Oberste_Direktive https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561614519251746816 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Freunde gibt’s schon lange nicht mehr. Sind verschwunden sobald ich arm geworden bin. Tagesablauf ist zutiefst routiniert, weil sonst die Depression wieder kommt. Belasten tut mich meine Krankheit, eine Gesellschaft und ihre Behörden, die mich dafür verteufeln. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561367408325296129 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:49, 22. Aug. 2022 (CEST) == In der Scheiße liegen und nicht stinken == Der Journalist Christian Stahl hat mit „In den Gangs von Neukölln“ eine Fortsetzung der Lebenschronik von Yehya E. geschrieben. Damit möchte er Buschkowskys Thesen rund um den Integrationsunwillen von Migranten und Migrantenkindern widerlegen. Zum Plot: Der junge E. ist clever, ein guter Schüler und einmal sogar Berliner Boxmeister. Zu Bundeskämpfen darf er aber nicht, wegen der Residenzpflicht als Asylbewerber und arbeiten ist auch nicht drin, da er nur geduldet ist. Anfang der 90er flieht die Familie im Golfkrieg aus Kuwait, wo der Vater ein Baugeschäft zurücklassen muss und strandet im Libanon. Im Flüchtlingslager Schatila wird Yehya geboren. Schließlich Deutschland. Dort führt der Vater '''ein Leben im Leerlauf''' wie auch sein Sohn. Nur geduldet, ohne Arbeitserlaubnis. Der Vater passt sich an, sein ambitionierter Sohn nicht, sondern pusht seine brachliegenden Talente in eine kriminelle Karriere. Yehya bekommt einen eigenen Staatsanwalt. Er landet im Jugendknast. Später kämpft er um Annäherung an die bürgerliche Gesellschaft. Yehya wird Konfliktschlichter in Neukölln. Im Auf und Ab dazwischen kafkaeske Anekdoten wie diese: Die Ausländerbehörde Berlin will ihn wegen seiner kriminellen Taten in die Ukraine abschieben, auf der Basis eines dubiosen Rücknahmeabkommens zwischen der Ukraine und der EU. Als vor Gericht ein Deal zustande kommt – wenn Abitur, dann keine Abschiebung – scheint es voran zu gehen. Doch schon am zweiten Schultag fliegt er. Die Ausländerbehörde hatte die Schulleitung „gewarnt“, mit wem sie es zu tun hatte. „Die wollen, dass du in der Scheiße liegst, aber nicht stinkst“, meint Yehya in einem Interview mit Stahl. Seit April 2014 sitzt der 23-Jährige wegen Raubes wieder im Knast, für sechs Jahre. https://www.neukoellner.net/politik/in-der-scheisse-liegen-und-nicht-stinken/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:08, 22. Aug. 2022 (CEST) == Gezwungen, unsere Scheiße zu trocknen == „Wir Griechen sind gezwungen, unsere Scheiße zu trocknen“ Vieles war und ist über die Schuldenkrise Griechenlands geschrieben worden. Aber selten war es so spannend zu lesen wie im brandneuen Krimi von Starautor Petros Markaris. Denn hier wird die Krise selbst zum Thema - enthauptete Banker inklusive. Düsseldorf Der Mörder kam durch die Hintertür. Die britische Bank hatte keinen Wachdienst, nur eine Sicherheitstür und Überwachungskameras. „Wenn das nicht der berühmte schottische Geiz ist“, denkt Kostas. „Wir Griechen sind durch unsere Verschwendungssucht wenigstens mit fliegenden Fahnen untergegangen. Aber wie haben diese Sparfüchse ihre Wirtschaft ruiniert?“ Das ist der Tenor Petros Markaris’ aktuellem Roman „Faule Kredite. Ein Fall für Kostas Charitos“. Der grenzenlos langweilige Titel ist ein Hinweis, dass die Handlung nur mittelmäßig spannend ist. Aber es ist ja auch nicht die Suche nach dem Serienmörder von Finanzjongleuren, was dieses Buch so lesenswert macht. Es ist der Umgang mit dem griechischen Alltag, der Markaris so gut gelingt. Einige Klischees, die in den Köpfen von uns geldgebenden Mitteleuropäern festsitzen, werden voll bestätigt. Andere ad absurdum geführt. Es ist die Suche nach der Wahrheit im Alltag von Kostas Charitos, einem Kommissar, der mitten im Leben steht und den neuen Alltag der Griechen aus der Ich-Perspektive erzählend sehr gut beschreibt. Da ist seine Tochter Katarina, die sich ärgert, ihren Doktor gemacht zu haben, anstatt nicht vor der großen Krise ins Berufsleben eingestiegen zu sein. Nun braucht sie viel Glück und Vitamin B, um trotz ihrer großartigen Ausbildung irgendeinen Job zu finden. Da ist seine Frau, die den Selbstmord eines Nachbarn mit ansehen muss. Der Besitzer eines Damenmodegeschäftes wusste keinen anderen Ausweg, weil es im Zuge der Krise allzu sehr bergab ging mit den Umsätzen und die Banken den Kredithahn zuzogen. Da sind all die Kollegen, die wie so viele Beamte auf das 13. und 14. Monatsgehalt verzichten müssen. Noch härter trifft sie aber das Zusammenstreichen der Pension: „Wie soll ich im Alter mit 500 Euro auskommen?“ Sparen geht nicht, das jetzige Gehalt ist zu knapp. Offen diskutieren die Polizeibeamten über das „Abkassieren non Nachtlokalen“. Es sind keine böse Menschen, die so reden. Es sind brave Familienväter, die die Not treibt. Da bleibt keine Frage offen, wie es zu all der Korruption in Griechenland kommt. „Die Stimmung unter den Kollegen erinnert mich an die Mobilmachung der Junta im Jahr 1974“, denkt Kostas am Anfang des Buches. Da ist ein alter Freund voller Wut, dessen Widerstandskämpferrente erheblich zusammengestrichen wurde. Nicht, weil ihm das Geld fehlt, sondern aus Prinzip: „Es ist, als würde man mir sagen: Mal langsam. So einen tollen Widerstand hast du noch auch wieder nicht geleistet. 380 Euro sind mehr als genug für dich.“ Da wird Kostas von seiner Frau gefragt, warum das neue Auto denn bitte ein Seat Ibiza sein musste. Seine Antwort: „Aus Solidarität. Die Spanier stecken doch momentan genauso in der Klemme wie wir.“ Da fallen Zitate wie '''„Angesichts der bevorstehenden Lohnkürzungen werden wir gezwungen sein, sogar noch unsere Scheiße zu trocknen, um sie weiterzuverwerten.“''' Nichts mehr ist übrig vom griechischen Nationalstolz und dem Land, in dem einst die Politik und Philosophie erfunden wurden: „Selbst ein griechischer Banker ist im Verhältnis zu einem englischen Butler ein Bauerntölpel“, sagt Kostas. Gerechtigkeit gibt es nicht mehr. Der letzte Satz des Buches lautet: „In Griechenland kann dir Vitamin B das Leben retten. Damit ist alles gesagt. Punktum.“ Markaris wirft einen Blick in die Seelen dieser Menschen, die wie geprügelte Hunde durch Europa laufen und gegen das Versinken in Selbstmitleid ankämpfen. Die Ausnahme ist Fanis, Kostas Schwiegersohn, Arzt und ein Engel von Mensch. Selbst in den bittersten Momente kommen vom ihm Sätze wie „Souvlaki können wir uns noch leisten“, mit denen er der Familie Kraft gibt. Kostas selbst ist eher Realist als Fatalist. Er stimmt den Demonstranten zu, ohne selbst mitzulaufen. Seine Generation ist in einem armen Land großgeworden – in den 40er- und 50er-Jahren ging es Griechenland beinahe noch schlimmer als heute. Griechenland befindet seit dem Unabhängigkeitskrieg gegen das Osmanische Reich bis heute fünf Pleiten hingelegt hat und sich die Hälfte dieser Zeit in Phasen der Umschuldung. Angesichts dessen kann man Kostas Haltung gut nachvollziehen. Die Handlung selbst besteht in der Suche nach einem Serientäter. Kostas wird von einem Tatort zum nächsten gerufen. Zunächst wird ein griechischer Ex-Banker enthauptet aufgefunden, dann ein britischer Banker im besten Alter, dann der Mitarbeiter eine US-Ratingagentur und schließlich der Chef eines Inkasso-Unternehmens. Alle vier verlieren ihren Kopf, weil sie skrupellose Teile der Finanzindustrie waren. Wer das aus welchen Gründen Rache verübt, dürfte so mancher Leser nach drei Vierteln des Romans erahnen. Die Untersuchungen führen Kostas in die Schattenwelt der griechischen Banken. Wie die Arbeit der Institute genau funktioniert, bleibt vage. Aber das tut nichts zu Sache. Vielmehr beschreibt Markaris, wie sich ihre Arbeit auf den Alltag auswirkt. Er nimmt eine Entwicklung vorweg, die sich bis heute dramatisch zugespitzt hat. Die Griechen verlieren das Vertrauen in ihre Banken und räumen ihre Konten leer. Seit Anfang 2010 verringerten sich die Einlagen um 18 Prozent. Die Arbeit der Politik ist ein wichtiges Thema: Auch wenn die Maßnahmen der Spitze des griechischen Staates noch eher als notwendig dargestellt werden, kommt das Verhalten der Mächtigen nicht gut weg. So belehrt Kostas Chef, als es um die Reaktion des zuständigen Ministers auf die Ermittlungsarbeiten geht: „Begreifen Sie denn nicht? Seit die EU und der IWF uns die 110-Milliarden-Hilfe gewährt haben, versuchen wir, uns verzweifelt zu revanchieren – durch Kuschen.“ Überhaupt scheinen die Retter nicht sehr beliebt zu sein. Vor allem Deutschland bekommt das ein oder andere gemeine Zitat ab. Auch wenn die Handlung im Sommer 2010 spielt: Aktueller könnte die dieser Roman kaum sein. Denn er beschreibt die wohl wichtigste Frage derzeit, nämlich ob die Gewalt in Griechenland zunehmen wird. Markaris selbst sagt in einem Interview mit dem „Kurier“: „Man kann die Stimmung in Griechenland mit alle gegen alle beschreiben. Die Gewalt nimmt zu und das ist extrem beunruhigend. Andererseits beschränkt sich die Gewalt auf Athen und wird auch von kleinen, aber sehr gewalttätigen Gruppen betrieben.“ Angesichts der Tatsache, dass rund ein Drittel der Griechen im Großraum Athen wohnen, beruhigt das Stück. Bibliografie: Petros Markaris Faule Kredite. Ein Fall für Kostas Charitos Diogenes Verlag, Zürich 2011 397 Seiten https://www.handelsblatt.com/politik/international/schulden-krimi-wir-griechen-sind-gezwungen-unsere-scheisse-zu-trocknen/4413100-all.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 22. Aug. 2022 (CEST) *2010 Ληξιπρόθεσμα Δάνεια (wörtlich: Fällige Kredite). *Faule Kredite. deutsch von Michaela Prinzinger. Diogenes, Zürich 2011, ISBN 978-3-257-06793-4. Seine Kriminalromane haben stets auch eine gesellschaftskritische Tendenz und spielen oft im Milieu einer arrivierten Linken, die ihre Ideale verloren hat. „Kommissar Charitos“ ist einerseits ein griechischer Kleinbürger und Durchschnittsmann, der von Frauen nicht allzu viel hält, zugleich aber seine Tochter und seine Frau sehr liebt. Während des Obristenregimes hat er als Polizeianwärter an Folterungen teilgenommen, wofür er sich schämt; inzwischen pflegt er mit einem der damaligen Opfer eine enge, aber durch Schuldgefühle belastete Freundschaft. Seinen Vorgesetzten gegenüber zeigt er sich unterwürfig, aber bei der Aufklärung seiner Fälle handelt er, ohne zu zögern, gegen ihre Anweisungen. Die an Randgruppen begangenen Verbrechen verfolgt er beharrlich, obwohl er ihnen gegenüber voller Vorurteile ist. „Gegen zwei Dinge im Leben habe ich eine unüberwindliche Abneigung: Gegen Rassismus und Schwarze.“ (Charitos in Nachtfalter.) In seiner Freizeit liest Charitos fast ausschließlich Lexika. [[w:de:Petros Markaris]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:31, 22. Aug. 2022 (CEST) agqc0qiqksydwehq456kwbzd3dpa75q 785448 785387 2022-08-22T08:41:30Z Methodios 23484 /* Gezwungen, unsere Scheiße zu trocknen */ wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißstaat == Große Teile der Bevölkerung haben doch längst innerlich gekündigt! https://twitter.com/klausfenn/status/1561407499437330434 Seh ich ganz genauso. Wir werden gelebt, und leben schon lange nicht mehr. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561618125665304577 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:48, 22. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Habt ihr auch die Schnauze voll von diesen schleimigen Politikern, die eh nur drauf aus sind für ihr eigenes Wohl und für das Wohl ihres Gleichen zu sorgen? Igitt, einfach nur eklig. https://twitter.com/Pirikko1/status/1560625824750923777 Joh, ich kann gar nicht soviel essen, wie ich kotzen möchte. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561610938880507904 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 22. Aug. 2022 (CEST) Wenn ich Teile der regierenden politischen Elite wie Wissing und Lindner höre, denke ich: Nein! Das beleidigt politisch, intellektuell und fachlich. Macht das weg! Und dann schiebt die Opposition Merz, Klöckner, Spahn und Scheuer vor die Mikros. Das ist so elendig deprimierend. https://twitter.com/hirndummy/status/1561411504322351107 Das sind doch alles nur vom Geld gekaufte erbärmliche Schauspieler, und keine Politiker! Laß der CDU doch etwas Zeit, sich in die Oppositions-Rolle einzuspielen. https://de.wikipedia.org/wiki/Ronald_Reagan https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561617215744626688 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und '''scheiße behandelt'''. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 '''Scheiße behandeln''', damit man möglichst schnell = sozialverträglich verreckt, ist dort die Oberste Direktive. https://memory-alpha.fandom.com/de/wiki/Oberste_Direktive https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561614519251746816 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Freunde gibt’s schon lange nicht mehr. Sind verschwunden sobald ich arm geworden bin. Tagesablauf ist zutiefst routiniert, weil sonst die Depression wieder kommt. Belasten tut mich meine Krankheit, eine Gesellschaft und ihre Behörden, die mich dafür verteufeln. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561367408325296129 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:49, 22. Aug. 2022 (CEST) == In der Scheiße liegen und nicht stinken == Der Journalist Christian Stahl hat mit „In den Gangs von Neukölln“ eine Fortsetzung der Lebenschronik von Yehya E. geschrieben. Damit möchte er Buschkowskys Thesen rund um den Integrationsunwillen von Migranten und Migrantenkindern widerlegen. Zum Plot: Der junge E. ist clever, ein guter Schüler und einmal sogar Berliner Boxmeister. Zu Bundeskämpfen darf er aber nicht, wegen der Residenzpflicht als Asylbewerber und arbeiten ist auch nicht drin, da er nur geduldet ist. Anfang der 90er flieht die Familie im Golfkrieg aus Kuwait, wo der Vater ein Baugeschäft zurücklassen muss und strandet im Libanon. Im Flüchtlingslager Schatila wird Yehya geboren. Schließlich Deutschland. Dort führt der Vater '''ein Leben im Leerlauf''' wie auch sein Sohn. Nur geduldet, ohne Arbeitserlaubnis. Der Vater passt sich an, sein ambitionierter Sohn nicht, sondern pusht seine brachliegenden Talente in eine kriminelle Karriere. Yehya bekommt einen eigenen Staatsanwalt. Er landet im Jugendknast. Später kämpft er um Annäherung an die bürgerliche Gesellschaft. Yehya wird Konfliktschlichter in Neukölln. Im Auf und Ab dazwischen kafkaeske Anekdoten wie diese: Die Ausländerbehörde Berlin will ihn wegen seiner kriminellen Taten in die Ukraine abschieben, auf der Basis eines dubiosen Rücknahmeabkommens zwischen der Ukraine und der EU. Als vor Gericht ein Deal zustande kommt – wenn Abitur, dann keine Abschiebung – scheint es voran zu gehen. Doch schon am zweiten Schultag fliegt er. Die Ausländerbehörde hatte die Schulleitung „gewarnt“, mit wem sie es zu tun hatte. „Die wollen, dass du in der Scheiße liegst, aber nicht stinkst“, meint Yehya in einem Interview mit Stahl. Seit April 2014 sitzt der 23-Jährige wegen Raubes wieder im Knast, für sechs Jahre. https://www.neukoellner.net/politik/in-der-scheisse-liegen-und-nicht-stinken/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:08, 22. Aug. 2022 (CEST) == Gezwungen, unsere Scheiße zu trocknen == „Wir Griechen sind gezwungen, unsere Scheiße zu trocknen“ Vieles war und ist über die Schuldenkrise Griechenlands geschrieben worden. Aber selten war es so spannend zu lesen wie im brandneuen Krimi von Starautor Petros Markaris. Denn hier wird die Krise selbst zum Thema - enthauptete Banker inklusive. Düsseldorf Der Mörder kam durch die Hintertür. Die britische Bank hatte keinen Wachdienst, nur eine Sicherheitstür und Überwachungskameras. „Wenn das nicht der berühmte schottische Geiz ist“, denkt Kostas. „Wir Griechen sind durch unsere Verschwendungssucht wenigstens mit fliegenden Fahnen untergegangen. Aber wie haben diese Sparfüchse ihre Wirtschaft ruiniert?“ Das ist der Tenor Petros Markaris’ aktuellem Roman „Faule Kredite. Ein Fall für Kostas Charitos“. Der grenzenlos langweilige Titel ist ein Hinweis, dass die Handlung nur mittelmäßig spannend ist. Aber es ist ja auch nicht die Suche nach dem Serienmörder von Finanzjongleuren, was dieses Buch so lesenswert macht. Es ist der Umgang mit dem griechischen Alltag, der Markaris so gut gelingt. Einige Klischees, die in den Köpfen von uns geldgebenden Mitteleuropäern festsitzen, werden voll bestätigt. Andere ad absurdum geführt. Es ist die Suche nach der Wahrheit im Alltag von Kostas Charitos, einem Kommissar, der mitten im Leben steht und den neuen Alltag der Griechen aus der Ich-Perspektive erzählend sehr gut beschreibt. Da ist seine Tochter Katarina, die sich ärgert, ihren Doktor gemacht zu haben, anstatt nicht vor der großen Krise ins Berufsleben eingestiegen zu sein. Nun braucht sie viel Glück und Vitamin B, um trotz ihrer großartigen Ausbildung irgendeinen Job zu finden. Da ist seine Frau, die den Selbstmord eines Nachbarn mit ansehen muss. Der Besitzer eines Damenmodegeschäftes wusste keinen anderen Ausweg, weil es im Zuge der Krise allzu sehr bergab ging mit den Umsätzen und die Banken den Kredithahn zuzogen. Da sind all die Kollegen, die wie so viele Beamte auf das 13. und 14. Monatsgehalt verzichten müssen. Noch härter trifft sie aber das Zusammenstreichen der Pension: „Wie soll ich im Alter mit 500 Euro auskommen?“ Sparen geht nicht, das jetzige Gehalt ist zu knapp. Offen diskutieren die Polizeibeamten über das „Abkassieren non Nachtlokalen“. Es sind keine böse Menschen, die so reden. Es sind brave Familienväter, die die Not treibt. Da bleibt keine Frage offen, wie es zu all der Korruption in Griechenland kommt. „Die Stimmung unter den Kollegen erinnert mich an die Mobilmachung der Junta im Jahr 1974“, denkt Kostas am Anfang des Buches. Da ist ein alter Freund voller Wut, dessen Widerstandskämpferrente erheblich zusammengestrichen wurde. Nicht, weil ihm das Geld fehlt, sondern aus Prinzip: „Es ist, als würde man mir sagen: Mal langsam. So einen tollen Widerstand hast du noch auch wieder nicht geleistet. 380 Euro sind mehr als genug für dich.“ Da wird Kostas von seiner Frau gefragt, warum das neue Auto denn bitte ein Seat Ibiza sein musste. Seine Antwort: „Aus Solidarität. Die Spanier stecken doch momentan genauso in der Klemme wie wir.“ Da fallen Zitate wie '''„Angesichts der bevorstehenden Lohnkürzungen werden wir gezwungen sein, sogar noch unsere Scheiße zu trocknen, um sie weiterzuverwerten.“''' Nichts mehr ist übrig vom griechischen Nationalstolz und dem Land, in dem einst die Politik und Philosophie erfunden wurden: „Selbst ein griechischer Banker ist im Verhältnis zu einem englischen Butler ein Bauerntölpel“, sagt Kostas. Gerechtigkeit gibt es nicht mehr. Der letzte Satz des Buches lautet: „In Griechenland kann dir Vitamin B das Leben retten. Damit ist alles gesagt. Punktum.“ Markaris wirft einen Blick in die Seelen dieser Menschen, die wie geprügelte Hunde durch Europa laufen und gegen das Versinken in Selbstmitleid ankämpfen. Die Ausnahme ist Fanis, Kostas Schwiegersohn, Arzt und ein Engel von Mensch. Selbst in den bittersten Momente kommen vom ihm Sätze wie „Souvlaki können wir uns noch leisten“, mit denen er der Familie Kraft gibt. Kostas selbst ist eher Realist als Fatalist. Er stimmt den Demonstranten zu, ohne selbst mitzulaufen. Seine Generation ist in einem armen Land großgeworden – in den 40er- und 50er-Jahren ging es Griechenland beinahe noch schlimmer als heute. Griechenland befindet seit dem Unabhängigkeitskrieg gegen das Osmanische Reich bis heute fünf Pleiten hingelegt hat und sich die Hälfte dieser Zeit in Phasen der Umschuldung. Angesichts dessen kann man Kostas Haltung gut nachvollziehen. Die Handlung selbst besteht in der Suche nach einem Serientäter. Kostas wird von einem Tatort zum nächsten gerufen. Zunächst wird ein griechischer Ex-Banker enthauptet aufgefunden, dann ein britischer Banker im besten Alter, dann der Mitarbeiter eine US-Ratingagentur und schließlich der Chef eines Inkasso-Unternehmens. Alle vier verlieren ihren Kopf, weil sie skrupellose Teile der Finanzindustrie waren. Wer das aus welchen Gründen Rache verübt, dürfte so mancher Leser nach drei Vierteln des Romans erahnen. Die Untersuchungen führen Kostas in die Schattenwelt der griechischen Banken. Wie die Arbeit der Institute genau funktioniert, bleibt vage. Aber das tut nichts zu Sache. Vielmehr beschreibt Markaris, wie sich ihre Arbeit auf den Alltag auswirkt. Er nimmt eine Entwicklung vorweg, die sich bis heute dramatisch zugespitzt hat. Die Griechen verlieren das Vertrauen in ihre Banken und räumen ihre Konten leer. Seit Anfang 2010 verringerten sich die Einlagen um 18 Prozent. Die Arbeit der Politik ist ein wichtiges Thema: Auch wenn die Maßnahmen der Spitze des griechischen Staates noch eher als notwendig dargestellt werden, kommt das Verhalten der Mächtigen nicht gut weg. So belehrt Kostas Chef, als es um die Reaktion des zuständigen Ministers auf die Ermittlungsarbeiten geht: „Begreifen Sie denn nicht? Seit die EU und der IWF uns die 110-Milliarden-Hilfe gewährt haben, versuchen wir, uns verzweifelt zu revanchieren – durch Kuschen.“ Überhaupt scheinen die Retter nicht sehr beliebt zu sein. Vor allem Deutschland bekommt das ein oder andere gemeine Zitat ab. Auch wenn die Handlung im Sommer 2010 spielt: Aktueller könnte die dieser Roman kaum sein. Denn er beschreibt die wohl wichtigste Frage derzeit, nämlich ob die Gewalt in Griechenland zunehmen wird. Markaris selbst sagt in einem Interview mit dem „Kurier“: „Man kann die Stimmung in Griechenland mit alle gegen alle beschreiben. Die Gewalt nimmt zu und das ist extrem beunruhigend. Andererseits beschränkt sich die Gewalt auf Athen und wird auch von kleinen, aber sehr gewalttätigen Gruppen betrieben.“ Angesichts der Tatsache, dass rund ein Drittel der Griechen im Großraum Athen wohnen, beruhigt das Stück. Bibliografie: Petros Markaris Faule Kredite. Ein Fall für Kostas Charitos Diogenes Verlag, Zürich 2011 397 Seiten https://www.handelsblatt.com/politik/international/schulden-krimi-wir-griechen-sind-gezwungen-unsere-scheisse-zu-trocknen/4413100-all.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 22. Aug. 2022 (CEST) *2010 Ληξιπρόθεσμα Δάνεια (wörtlich: Fällige Kredite). *Faule Kredite. deutsch von Michaela Prinzinger. Diogenes, Zürich 2011, ISBN 978-3-257-06793-4. Seine Kriminalromane haben stets auch eine gesellschaftskritische Tendenz und spielen oft im Milieu einer arrivierten Linken, die ihre Ideale verloren hat. „Kommissar Charitos“ ist einerseits ein griechischer Kleinbürger und Durchschnittsmann, der von Frauen nicht allzu viel hält, zugleich aber seine Tochter und seine Frau sehr liebt. Während des Obristenregimes hat er als Polizeianwärter an Folterungen teilgenommen, wofür er sich schämt; inzwischen pflegt er mit einem der damaligen Opfer eine enge, aber durch Schuldgefühle belastete Freundschaft. Seinen Vorgesetzten gegenüber zeigt er sich unterwürfig, aber bei der Aufklärung seiner Fälle handelt er, ohne zu zögern, gegen ihre Anweisungen. Die an Randgruppen begangenen Verbrechen verfolgt er beharrlich, obwohl er ihnen gegenüber voller Vorurteile ist. „Gegen zwei Dinge im Leben habe ich eine unüberwindliche Abneigung: Gegen Rassismus und Schwarze.“ (Charitos in Nachtfalter.) In seiner Freizeit liest Charitos fast ausschließlich Lexika. [[w:de:Petros Markaris]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:31, 22. Aug. 2022 (CEST) == Kackewald == Unser Traum vom Kackewald Seit acht Jahren kämpfen wir dafür, den Kot von unseren Festival-Kompostklos nutzbar zu machen und darauf Bäume pflanzen zu dürfen. Zusammen mit anderen Vereinen, Interessengemeinschaften und Unternehmen wie FINIZIO – FUTURE SANITATION und dem IGZ haben wir Versuchsflächen angemeldet, eure Festivalkacke kompostiert und Messwerte zu allen möglichen Behörden geschickt. Nun ist die Ziellinie in Sicht: Auf dem von Finizio veredelten Humusdünger aus Inhalten von Trockentoiletten (H.I.T.) darf unser Traum vom Kackewald wahr werden. ERDE AUS FESTIVAL-KACKE Derzeit ist es normale Praxis, dass Fäkalien zu Transportzwecken mit Wasser vermengt in die Kanalisation geleitet werden. In Kläranlagen werden Feststoffe und Wasser dann wieder mühevoll voneinander getrennt. Das Abwasser wird energieintensiv gereinigt und die übrig bleibenden Klärschlämme, also die Feststoffe aus dem Reinigungsprozess des Abwassers, werden verbrannt. Wir betreiben seit acht Jahren ökologische Trockentoiletten auf Festivals, um aus dieser Einbahnstraße wieder einen Kreisverkehr zu machen. Bis aus Scheiße Erde wurde, sind acht lange Jahre vergangen. In der Natur geht das schneller. Und eigentlich macht sie es uns mit vier kostenlosen Zutaten sehr einfach: Biomasse, Sauerstoff, kleine Tierchen im Boden und Zeit. Damals war uns nicht klar, dass es noch weitere, weniger erfreuliche Zutaten gibt: Bürokratie, Gesetze, Behörden, Auflagen, Abfallschlüssel, Normen, Vorurteile. Während wir einen Haufen Gold sahen, sahen alle anderen einen Haufen Scheiße. Stinkend und wertlos. Damals gab es weder eine rechtliche Grundlage zur Verwertung von Kacke, noch hatte jemand in den Schlüsselpositionen Lust, diese mit uns zu schaffen. "Tolle Idee, aber..." *"...keine Genehmigung", sagten die Behörden. *"...kein Markt", sagten die Unternehmen. *"...kein Abfallschlüssel", sagten die Kompostierbetriebe. *"...'''keine Lobby", sagten Politiker*innen.''' *"...kein Bedarf", sagten Landwirt*innen. Kothaufen auf der Pilotanlage zur Verwertung von Inhalten aus Trockentoiletten von Finizio in Eberswalde. Nein, natürlich ist das nicht nur Kot. Da auf unseren ökologischen Festivaltoiletten mit Hobelspänen gespült wird, sind auch die in dem Haufen enthalten. Ebenso wie Klopapier. Foto: Finizio GmbH - Future Sanitation AB WANN IST SCHEISSE DÜNGER? Tage und Nächte schlugen wir uns um die Ohren. Im Bus, in der Bibliothek und abends im Bett verschlangen wir in feinstem Beamtendeutsch verfasste Verordnungen, Gesetzestexte und Fachliteratur. Alles, um endlich die Antwort auf die Frage zu finden, die sich wohl keine andere Spezies auf diesem Planeten stellt: Ab wann ist Scheiße rein rechtlich betrachtet keine Scheiße mehr, sondern Dünger? Auf der Pilotanlage von Finizio werden die Trockenkloinhalte nach der Hygienisierung in lang gezogene Haufen, sogenannten „Mieten“, aufgeschüttet. Erst dann wird „humifiziert“, also der Kompost zu hochwertigem Humusdünger aufbereitet. Foto: Finizio GmbH - Future Sanitation Diese Frage berührt in Deutschland gleich drei Verordnungen: Die Düngemittel-, Bioabfall- und Klärschlammverordnung. Wir haben in den acht Jahren wahrscheinlich mit jeder Berufsgruppe gesprochen, die im Entferntesten etwas mit ihnen zutun hat: Umweltjurist*innen, Mitarbeiter*innen von Klärschlammkompostierbetrieben und Gesundheitsbehörden, Wissenschaftler*innen aus Abwasserwirtschaft und Seuchenprävention – die Liste ließe sich ewig weiterführen. Alle wollten Messdaten zu Temperaturverläufen in den Kompostmieten und Analysen zur hygienischen Unbedenklichkeit. Um die zu liefern, haben wir zusammen mit Finizio – Future Sanitation und einer Handvoll weiteren Mitstreiter*innen Versuchsflächen in ganz Deutschland genehmigen lassen, von Rendsburg/Eckernförde über Eberswalde bis nach Freiburg. Auf der Pilotanlage von Finizio in Eberswalde wurde auch unser Festivalschiet der letzten Saison kompostiert. Proben werden dem Boden entnommen und im Labor auf verschiedene Parameter getestet. Foto: Finizio GmbH - Future Sanitation Getestet wurde der Kompost, der in dieser Zusammenarbeit entstand, auf sämtliche Standardparameter und Nährstoffe, Fremdstoffe wie Glas und Plastik, auf organische Schadstoffe wie Dioxine, auf Schwermetalle und pharmazeutische Rückstände und auf Hygieneparameter – also Krankheitserreger wie E.Coli, Salmonellen und Enterokokken. Wir konnten nachweisen, dass menschlicher Kot – korrekt kompostiert – alle gesetzlichen Grenzwerte einhält und somit absolut ungefährlich ist. Und nicht nur das. Der Nährstoffgehalt macht den Kompost zu einem Humusdünger, der die Bodenfruchtbarkeit erhöht. GENORMTER KACKE-KOMPOST Der Produktstandard ist nun offiziell festgehalten in einer DIN SPEC – eine Scheiße-DIN sozusagen. Genauer: Die DIN SPEC 91421. Eine DIN SPEC ist die kleine Schwester der Deutschen Industrienorm. Ein paar Seiten mit gedruckten Buchstaben auf weißem Papier. Aber womöglich sind es die entscheidenden Seiten, durch die sich die zahlreichen Arbeitsstunden und vereinzelten grauen Haare endlich auszahlen. Für uns, aber auch alle anderen, die an diesem Projekt mitgewirkt haben: Zum Beispiel das Leibniz-Institut für Gemüse- und Zierpflanzenbau (IGZ), Finizio, das Helmholtz-Zentrum Umweltforschung (UFZ) und das Kollektiv für angepasste Technik (KanTe) und der Verein Netzwerk für nachhaltive Sanitärsysteme e.V., in dem wir uns organisieren. Die DIN SPEC ist das Tor zu Level zwei: der Aufnahme von Fäkalkompost in die Düngemittelverordnung. Das ist in etwa vergleichbar mit der Aufnahme einer Sportart in die olympischen Disziplinen. Extrem unwahrscheinlich und extrem selten. Im November 2020 wird die DIN SPEC veröffentlicht. Wir können dann mit einer wissenschaftlich wasserdichten, von einem Expert*innen-Gremium abgesegneten Norm an die Öffentlichkeit gehen und erstmals zeigen, dass menschliche Fäkalien ganz ohne konventionelle, wassergespülte Toiletten, Kanalisation und Klärwerke behandelt werden können und sicher sind. Hier hält Enno das Endprodukt aus der Pilotanalage von Finizio in der Hand: sogenannter Humusdünger aus Inhalten von Trockentoiletten (H.I.T.) – feinster Kompost aus eurer Festivalscheiße. Er riecht nach frischem Waldboden. Foto: Goldeimer WELCHE MÖGLICHKEITEN ERÖFFNET DAS? Wir können Kot und Urin aus Trockentoiletten und wasserlosen Urinalen ohne Umwege recyclen und als Grundlage für Düngemittel ins Spiel bringen. Das bedeutet, dass auch eine Vermarktung in greifbare Nähe rückt. Dazu wurden explizite Qualitätskriterien und Anforderungen zusammengetragen. '''Würde eine Vermarktung Hand in Hand mit einer deutschlandweiten Sanitärwende gehen – sprich, alle menschlichen Hinterlassenschaften recycelt werden, könnten alleine dadurch 17 bis 25 Prozent der bei uns eingesetzten synthetischen beziehungsweise mineralischen Düngemittel ersetzt werden.''' Mit der DIN SPEC wird eine wichtige Grundlage dafür gelegt. Nun ist die Politik am Zug. '''Wir fordern direktes Recycling mit Nährstoffrückgewinnung, statt energieintensive Abwasserreinigung und Verbrennung!''' Wir machen gerne den Anfang: Wir betreiben seit 2013 Komposttoiletten auf Festivals in Deutschland. Wir haben sehr viel Scheiße gesammelt. 90 Prozent der gesammelten Biomasse haben wir in den vergangenen Jahren kompostieren lassen, meistens in Klärschlammkompostieranlagen, immer wieder für Versuchs- und Forschungszwecke in genehmigten Testanlagen. Wir durften den Kompost jedoch nie auf einer Fläche ausbringen und machen, wovon wir schon immer geträumt haben. Doch jetzt ist es soweit. Unsere Partner*innen und Verwertungsbuddis von Finizio haben Kompost angeliefert. Vor Freude gibt es erstmal eine schöne Arschbombe in den Haufen. Foto: Goldeimer Auf einer über hundert Quadratmeter großen Fläche mitten in Hamburg wird der erste kleine Goldeimer „Festival Forest“ angepflanzt. Auf dem Gelände eines alten Recyclinghofs, direkt an der Bille. PARKS heißt das Projekt, es ist eine Experimentierfläche für Anwohner*innen, Künstler*innen, Landschaftsarchitekt*innen, den HALLO:Verein, der hier nachbarschaftliche Initiativen fördert und Kulturangebote schafft, und nun auch für uns. Denn nun liegt er hier, der erste Kackekompost, den wir im öffentlichen Raum ausbringen dürfen. Gespendet von tausenden Festival-Besucher*innen des Vorjahres, zu Kompost veredelt von unseren Buddies von Finizio, gemischt mit Hamburger Mutterboden. Entstanden ist schwarze, wohlduftende, fruchtbare Erde. Erde, auf der nun Bäume gepflanzt werden. Es ist noch kein echter Kackewald, doch das ist ja auch erst der Anfang. Schließlich gibt es noch einen Arsch voll Menschen auf diesem Planeten, deren Kacke noch nicht zu Erde verarbeitet wird. Genug Material, um sehr viele Wälder aufzuforsten. Die DIN SPEC 91421 kann hier kostenlos runtergeladen werden. https://goldeimer.de/blogs/blog/kackewald --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:41, 22. Aug. 2022 (CEST) fqmjld9atcyvbvw9ihm21ezbruzyncp 785453 785448 2022-08-22T08:42:11Z Methodios 23484 /* Kackewald */ wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißstaat == Große Teile der Bevölkerung haben doch längst innerlich gekündigt! https://twitter.com/klausfenn/status/1561407499437330434 Seh ich ganz genauso. Wir werden gelebt, und leben schon lange nicht mehr. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561618125665304577 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:48, 22. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Habt ihr auch die Schnauze voll von diesen schleimigen Politikern, die eh nur drauf aus sind für ihr eigenes Wohl und für das Wohl ihres Gleichen zu sorgen? Igitt, einfach nur eklig. https://twitter.com/Pirikko1/status/1560625824750923777 Joh, ich kann gar nicht soviel essen, wie ich kotzen möchte. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561610938880507904 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 22. Aug. 2022 (CEST) Wenn ich Teile der regierenden politischen Elite wie Wissing und Lindner höre, denke ich: Nein! Das beleidigt politisch, intellektuell und fachlich. Macht das weg! Und dann schiebt die Opposition Merz, Klöckner, Spahn und Scheuer vor die Mikros. Das ist so elendig deprimierend. https://twitter.com/hirndummy/status/1561411504322351107 Das sind doch alles nur vom Geld gekaufte erbärmliche Schauspieler, und keine Politiker! Laß der CDU doch etwas Zeit, sich in die Oppositions-Rolle einzuspielen. https://de.wikipedia.org/wiki/Ronald_Reagan https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561617215744626688 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und '''scheiße behandelt'''. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 '''Scheiße behandeln''', damit man möglichst schnell = sozialverträglich verreckt, ist dort die Oberste Direktive. https://memory-alpha.fandom.com/de/wiki/Oberste_Direktive https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561614519251746816 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Freunde gibt’s schon lange nicht mehr. Sind verschwunden sobald ich arm geworden bin. Tagesablauf ist zutiefst routiniert, weil sonst die Depression wieder kommt. Belasten tut mich meine Krankheit, eine Gesellschaft und ihre Behörden, die mich dafür verteufeln. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561367408325296129 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:49, 22. Aug. 2022 (CEST) == In der Scheiße liegen und nicht stinken == Der Journalist Christian Stahl hat mit „In den Gangs von Neukölln“ eine Fortsetzung der Lebenschronik von Yehya E. geschrieben. Damit möchte er Buschkowskys Thesen rund um den Integrationsunwillen von Migranten und Migrantenkindern widerlegen. Zum Plot: Der junge E. ist clever, ein guter Schüler und einmal sogar Berliner Boxmeister. Zu Bundeskämpfen darf er aber nicht, wegen der Residenzpflicht als Asylbewerber und arbeiten ist auch nicht drin, da er nur geduldet ist. Anfang der 90er flieht die Familie im Golfkrieg aus Kuwait, wo der Vater ein Baugeschäft zurücklassen muss und strandet im Libanon. Im Flüchtlingslager Schatila wird Yehya geboren. Schließlich Deutschland. Dort führt der Vater '''ein Leben im Leerlauf''' wie auch sein Sohn. Nur geduldet, ohne Arbeitserlaubnis. Der Vater passt sich an, sein ambitionierter Sohn nicht, sondern pusht seine brachliegenden Talente in eine kriminelle Karriere. Yehya bekommt einen eigenen Staatsanwalt. Er landet im Jugendknast. Später kämpft er um Annäherung an die bürgerliche Gesellschaft. Yehya wird Konfliktschlichter in Neukölln. Im Auf und Ab dazwischen kafkaeske Anekdoten wie diese: Die Ausländerbehörde Berlin will ihn wegen seiner kriminellen Taten in die Ukraine abschieben, auf der Basis eines dubiosen Rücknahmeabkommens zwischen der Ukraine und der EU. Als vor Gericht ein Deal zustande kommt – wenn Abitur, dann keine Abschiebung – scheint es voran zu gehen. Doch schon am zweiten Schultag fliegt er. Die Ausländerbehörde hatte die Schulleitung „gewarnt“, mit wem sie es zu tun hatte. „Die wollen, dass du in der Scheiße liegst, aber nicht stinkst“, meint Yehya in einem Interview mit Stahl. Seit April 2014 sitzt der 23-Jährige wegen Raubes wieder im Knast, für sechs Jahre. https://www.neukoellner.net/politik/in-der-scheisse-liegen-und-nicht-stinken/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:08, 22. Aug. 2022 (CEST) == Gezwungen, unsere Scheiße zu trocknen == „Wir Griechen sind gezwungen, unsere Scheiße zu trocknen“ Vieles war und ist über die Schuldenkrise Griechenlands geschrieben worden. Aber selten war es so spannend zu lesen wie im brandneuen Krimi von Starautor Petros Markaris. Denn hier wird die Krise selbst zum Thema - enthauptete Banker inklusive. Düsseldorf Der Mörder kam durch die Hintertür. Die britische Bank hatte keinen Wachdienst, nur eine Sicherheitstür und Überwachungskameras. „Wenn das nicht der berühmte schottische Geiz ist“, denkt Kostas. „Wir Griechen sind durch unsere Verschwendungssucht wenigstens mit fliegenden Fahnen untergegangen. Aber wie haben diese Sparfüchse ihre Wirtschaft ruiniert?“ Das ist der Tenor Petros Markaris’ aktuellem Roman „Faule Kredite. Ein Fall für Kostas Charitos“. Der grenzenlos langweilige Titel ist ein Hinweis, dass die Handlung nur mittelmäßig spannend ist. Aber es ist ja auch nicht die Suche nach dem Serienmörder von Finanzjongleuren, was dieses Buch so lesenswert macht. Es ist der Umgang mit dem griechischen Alltag, der Markaris so gut gelingt. Einige Klischees, die in den Köpfen von uns geldgebenden Mitteleuropäern festsitzen, werden voll bestätigt. Andere ad absurdum geführt. Es ist die Suche nach der Wahrheit im Alltag von Kostas Charitos, einem Kommissar, der mitten im Leben steht und den neuen Alltag der Griechen aus der Ich-Perspektive erzählend sehr gut beschreibt. Da ist seine Tochter Katarina, die sich ärgert, ihren Doktor gemacht zu haben, anstatt nicht vor der großen Krise ins Berufsleben eingestiegen zu sein. Nun braucht sie viel Glück und Vitamin B, um trotz ihrer großartigen Ausbildung irgendeinen Job zu finden. Da ist seine Frau, die den Selbstmord eines Nachbarn mit ansehen muss. Der Besitzer eines Damenmodegeschäftes wusste keinen anderen Ausweg, weil es im Zuge der Krise allzu sehr bergab ging mit den Umsätzen und die Banken den Kredithahn zuzogen. Da sind all die Kollegen, die wie so viele Beamte auf das 13. und 14. Monatsgehalt verzichten müssen. Noch härter trifft sie aber das Zusammenstreichen der Pension: „Wie soll ich im Alter mit 500 Euro auskommen?“ Sparen geht nicht, das jetzige Gehalt ist zu knapp. Offen diskutieren die Polizeibeamten über das „Abkassieren non Nachtlokalen“. Es sind keine böse Menschen, die so reden. Es sind brave Familienväter, die die Not treibt. Da bleibt keine Frage offen, wie es zu all der Korruption in Griechenland kommt. „Die Stimmung unter den Kollegen erinnert mich an die Mobilmachung der Junta im Jahr 1974“, denkt Kostas am Anfang des Buches. Da ist ein alter Freund voller Wut, dessen Widerstandskämpferrente erheblich zusammengestrichen wurde. Nicht, weil ihm das Geld fehlt, sondern aus Prinzip: „Es ist, als würde man mir sagen: Mal langsam. So einen tollen Widerstand hast du noch auch wieder nicht geleistet. 380 Euro sind mehr als genug für dich.“ Da wird Kostas von seiner Frau gefragt, warum das neue Auto denn bitte ein Seat Ibiza sein musste. Seine Antwort: „Aus Solidarität. Die Spanier stecken doch momentan genauso in der Klemme wie wir.“ Da fallen Zitate wie '''„Angesichts der bevorstehenden Lohnkürzungen werden wir gezwungen sein, sogar noch unsere Scheiße zu trocknen, um sie weiterzuverwerten.“''' Nichts mehr ist übrig vom griechischen Nationalstolz und dem Land, in dem einst die Politik und Philosophie erfunden wurden: „Selbst ein griechischer Banker ist im Verhältnis zu einem englischen Butler ein Bauerntölpel“, sagt Kostas. Gerechtigkeit gibt es nicht mehr. Der letzte Satz des Buches lautet: „In Griechenland kann dir Vitamin B das Leben retten. Damit ist alles gesagt. Punktum.“ Markaris wirft einen Blick in die Seelen dieser Menschen, die wie geprügelte Hunde durch Europa laufen und gegen das Versinken in Selbstmitleid ankämpfen. Die Ausnahme ist Fanis, Kostas Schwiegersohn, Arzt und ein Engel von Mensch. Selbst in den bittersten Momente kommen vom ihm Sätze wie „Souvlaki können wir uns noch leisten“, mit denen er der Familie Kraft gibt. Kostas selbst ist eher Realist als Fatalist. Er stimmt den Demonstranten zu, ohne selbst mitzulaufen. Seine Generation ist in einem armen Land großgeworden – in den 40er- und 50er-Jahren ging es Griechenland beinahe noch schlimmer als heute. Griechenland befindet seit dem Unabhängigkeitskrieg gegen das Osmanische Reich bis heute fünf Pleiten hingelegt hat und sich die Hälfte dieser Zeit in Phasen der Umschuldung. Angesichts dessen kann man Kostas Haltung gut nachvollziehen. Die Handlung selbst besteht in der Suche nach einem Serientäter. Kostas wird von einem Tatort zum nächsten gerufen. Zunächst wird ein griechischer Ex-Banker enthauptet aufgefunden, dann ein britischer Banker im besten Alter, dann der Mitarbeiter eine US-Ratingagentur und schließlich der Chef eines Inkasso-Unternehmens. Alle vier verlieren ihren Kopf, weil sie skrupellose Teile der Finanzindustrie waren. Wer das aus welchen Gründen Rache verübt, dürfte so mancher Leser nach drei Vierteln des Romans erahnen. Die Untersuchungen führen Kostas in die Schattenwelt der griechischen Banken. Wie die Arbeit der Institute genau funktioniert, bleibt vage. Aber das tut nichts zu Sache. Vielmehr beschreibt Markaris, wie sich ihre Arbeit auf den Alltag auswirkt. Er nimmt eine Entwicklung vorweg, die sich bis heute dramatisch zugespitzt hat. Die Griechen verlieren das Vertrauen in ihre Banken und räumen ihre Konten leer. Seit Anfang 2010 verringerten sich die Einlagen um 18 Prozent. Die Arbeit der Politik ist ein wichtiges Thema: Auch wenn die Maßnahmen der Spitze des griechischen Staates noch eher als notwendig dargestellt werden, kommt das Verhalten der Mächtigen nicht gut weg. So belehrt Kostas Chef, als es um die Reaktion des zuständigen Ministers auf die Ermittlungsarbeiten geht: „Begreifen Sie denn nicht? Seit die EU und der IWF uns die 110-Milliarden-Hilfe gewährt haben, versuchen wir, uns verzweifelt zu revanchieren – durch Kuschen.“ Überhaupt scheinen die Retter nicht sehr beliebt zu sein. Vor allem Deutschland bekommt das ein oder andere gemeine Zitat ab. Auch wenn die Handlung im Sommer 2010 spielt: Aktueller könnte die dieser Roman kaum sein. Denn er beschreibt die wohl wichtigste Frage derzeit, nämlich ob die Gewalt in Griechenland zunehmen wird. Markaris selbst sagt in einem Interview mit dem „Kurier“: „Man kann die Stimmung in Griechenland mit alle gegen alle beschreiben. Die Gewalt nimmt zu und das ist extrem beunruhigend. Andererseits beschränkt sich die Gewalt auf Athen und wird auch von kleinen, aber sehr gewalttätigen Gruppen betrieben.“ Angesichts der Tatsache, dass rund ein Drittel der Griechen im Großraum Athen wohnen, beruhigt das Stück. Bibliografie: Petros Markaris Faule Kredite. Ein Fall für Kostas Charitos Diogenes Verlag, Zürich 2011 397 Seiten https://www.handelsblatt.com/politik/international/schulden-krimi-wir-griechen-sind-gezwungen-unsere-scheisse-zu-trocknen/4413100-all.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 22. Aug. 2022 (CEST) *2010 Ληξιπρόθεσμα Δάνεια (wörtlich: Fällige Kredite). *Faule Kredite. deutsch von Michaela Prinzinger. Diogenes, Zürich 2011, ISBN 978-3-257-06793-4. Seine Kriminalromane haben stets auch eine gesellschaftskritische Tendenz und spielen oft im Milieu einer arrivierten Linken, die ihre Ideale verloren hat. „Kommissar Charitos“ ist einerseits ein griechischer Kleinbürger und Durchschnittsmann, der von Frauen nicht allzu viel hält, zugleich aber seine Tochter und seine Frau sehr liebt. Während des Obristenregimes hat er als Polizeianwärter an Folterungen teilgenommen, wofür er sich schämt; inzwischen pflegt er mit einem der damaligen Opfer eine enge, aber durch Schuldgefühle belastete Freundschaft. Seinen Vorgesetzten gegenüber zeigt er sich unterwürfig, aber bei der Aufklärung seiner Fälle handelt er, ohne zu zögern, gegen ihre Anweisungen. Die an Randgruppen begangenen Verbrechen verfolgt er beharrlich, obwohl er ihnen gegenüber voller Vorurteile ist. „Gegen zwei Dinge im Leben habe ich eine unüberwindliche Abneigung: Gegen Rassismus und Schwarze.“ (Charitos in Nachtfalter.) In seiner Freizeit liest Charitos fast ausschließlich Lexika. [[w:de:Petros Markaris]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:31, 22. Aug. 2022 (CEST) == Kackewald == Unser Traum vom Kackewald JUNI 10, 2020 Seit acht Jahren kämpfen wir dafür, den Kot von unseren Festival-Kompostklos nutzbar zu machen und darauf Bäume pflanzen zu dürfen. Zusammen mit anderen Vereinen, Interessengemeinschaften und Unternehmen wie FINIZIO – FUTURE SANITATION und dem IGZ haben wir Versuchsflächen angemeldet, eure Festivalkacke kompostiert und Messwerte zu allen möglichen Behörden geschickt. Nun ist die Ziellinie in Sicht: Auf dem von Finizio veredelten Humusdünger aus Inhalten von Trockentoiletten (H.I.T.) darf unser Traum vom Kackewald wahr werden. ERDE AUS FESTIVAL-KACKE Derzeit ist es normale Praxis, dass Fäkalien zu Transportzwecken mit Wasser vermengt in die Kanalisation geleitet werden. In Kläranlagen werden Feststoffe und Wasser dann wieder mühevoll voneinander getrennt. Das Abwasser wird energieintensiv gereinigt und die übrig bleibenden Klärschlämme, also die Feststoffe aus dem Reinigungsprozess des Abwassers, werden verbrannt. Wir betreiben seit acht Jahren ökologische Trockentoiletten auf Festivals, um aus dieser Einbahnstraße wieder einen Kreisverkehr zu machen. Bis aus Scheiße Erde wurde, sind acht lange Jahre vergangen. In der Natur geht das schneller. Und eigentlich macht sie es uns mit vier kostenlosen Zutaten sehr einfach: Biomasse, Sauerstoff, kleine Tierchen im Boden und Zeit. Damals war uns nicht klar, dass es noch weitere, weniger erfreuliche Zutaten gibt: Bürokratie, Gesetze, Behörden, Auflagen, Abfallschlüssel, Normen, Vorurteile. Während wir einen Haufen Gold sahen, sahen alle anderen einen Haufen Scheiße. Stinkend und wertlos. Damals gab es weder eine rechtliche Grundlage zur Verwertung von Kacke, noch hatte jemand in den Schlüsselpositionen Lust, diese mit uns zu schaffen. "Tolle Idee, aber..." *"...keine Genehmigung", sagten die Behörden. *"...kein Markt", sagten die Unternehmen. *"...kein Abfallschlüssel", sagten die Kompostierbetriebe. *"...'''keine Lobby", sagten Politiker*innen.''' *"...kein Bedarf", sagten Landwirt*innen. Kothaufen auf der Pilotanlage zur Verwertung von Inhalten aus Trockentoiletten von Finizio in Eberswalde. Nein, natürlich ist das nicht nur Kot. Da auf unseren ökologischen Festivaltoiletten mit Hobelspänen gespült wird, sind auch die in dem Haufen enthalten. Ebenso wie Klopapier. Foto: Finizio GmbH - Future Sanitation AB WANN IST SCHEISSE DÜNGER? Tage und Nächte schlugen wir uns um die Ohren. Im Bus, in der Bibliothek und abends im Bett verschlangen wir in feinstem Beamtendeutsch verfasste Verordnungen, Gesetzestexte und Fachliteratur. Alles, um endlich die Antwort auf die Frage zu finden, die sich wohl keine andere Spezies auf diesem Planeten stellt: Ab wann ist Scheiße rein rechtlich betrachtet keine Scheiße mehr, sondern Dünger? Auf der Pilotanlage von Finizio werden die Trockenkloinhalte nach der Hygienisierung in lang gezogene Haufen, sogenannten „Mieten“, aufgeschüttet. Erst dann wird „humifiziert“, also der Kompost zu hochwertigem Humusdünger aufbereitet. Foto: Finizio GmbH - Future Sanitation Diese Frage berührt in Deutschland gleich drei Verordnungen: Die Düngemittel-, Bioabfall- und Klärschlammverordnung. Wir haben in den acht Jahren wahrscheinlich mit jeder Berufsgruppe gesprochen, die im Entferntesten etwas mit ihnen zutun hat: Umweltjurist*innen, Mitarbeiter*innen von Klärschlammkompostierbetrieben und Gesundheitsbehörden, Wissenschaftler*innen aus Abwasserwirtschaft und Seuchenprävention – die Liste ließe sich ewig weiterführen. Alle wollten Messdaten zu Temperaturverläufen in den Kompostmieten und Analysen zur hygienischen Unbedenklichkeit. Um die zu liefern, haben wir zusammen mit Finizio – Future Sanitation und einer Handvoll weiteren Mitstreiter*innen Versuchsflächen in ganz Deutschland genehmigen lassen, von Rendsburg/Eckernförde über Eberswalde bis nach Freiburg. Auf der Pilotanlage von Finizio in Eberswalde wurde auch unser Festivalschiet der letzten Saison kompostiert. Proben werden dem Boden entnommen und im Labor auf verschiedene Parameter getestet. Foto: Finizio GmbH - Future Sanitation Getestet wurde der Kompost, der in dieser Zusammenarbeit entstand, auf sämtliche Standardparameter und Nährstoffe, Fremdstoffe wie Glas und Plastik, auf organische Schadstoffe wie Dioxine, auf Schwermetalle und pharmazeutische Rückstände und auf Hygieneparameter – also Krankheitserreger wie E.Coli, Salmonellen und Enterokokken. Wir konnten nachweisen, dass menschlicher Kot – korrekt kompostiert – alle gesetzlichen Grenzwerte einhält und somit absolut ungefährlich ist. Und nicht nur das. Der Nährstoffgehalt macht den Kompost zu einem Humusdünger, der die Bodenfruchtbarkeit erhöht. GENORMTER KACKE-KOMPOST Der Produktstandard ist nun offiziell festgehalten in einer DIN SPEC – eine Scheiße-DIN sozusagen. Genauer: Die DIN SPEC 91421. Eine DIN SPEC ist die kleine Schwester der Deutschen Industrienorm. Ein paar Seiten mit gedruckten Buchstaben auf weißem Papier. Aber womöglich sind es die entscheidenden Seiten, durch die sich die zahlreichen Arbeitsstunden und vereinzelten grauen Haare endlich auszahlen. Für uns, aber auch alle anderen, die an diesem Projekt mitgewirkt haben: Zum Beispiel das Leibniz-Institut für Gemüse- und Zierpflanzenbau (IGZ), Finizio, das Helmholtz-Zentrum Umweltforschung (UFZ) und das Kollektiv für angepasste Technik (KanTe) und der Verein Netzwerk für nachhaltive Sanitärsysteme e.V., in dem wir uns organisieren. Die DIN SPEC ist das Tor zu Level zwei: der Aufnahme von Fäkalkompost in die Düngemittelverordnung. Das ist in etwa vergleichbar mit der Aufnahme einer Sportart in die olympischen Disziplinen. Extrem unwahrscheinlich und extrem selten. Im November 2020 wird die DIN SPEC veröffentlicht. Wir können dann mit einer wissenschaftlich wasserdichten, von einem Expert*innen-Gremium abgesegneten Norm an die Öffentlichkeit gehen und erstmals zeigen, dass menschliche Fäkalien ganz ohne konventionelle, wassergespülte Toiletten, Kanalisation und Klärwerke behandelt werden können und sicher sind. Hier hält Enno das Endprodukt aus der Pilotanalage von Finizio in der Hand: sogenannter Humusdünger aus Inhalten von Trockentoiletten (H.I.T.) – feinster Kompost aus eurer Festivalscheiße. Er riecht nach frischem Waldboden. Foto: Goldeimer WELCHE MÖGLICHKEITEN ERÖFFNET DAS? Wir können Kot und Urin aus Trockentoiletten und wasserlosen Urinalen ohne Umwege recyclen und als Grundlage für Düngemittel ins Spiel bringen. Das bedeutet, dass auch eine Vermarktung in greifbare Nähe rückt. Dazu wurden explizite Qualitätskriterien und Anforderungen zusammengetragen. '''Würde eine Vermarktung Hand in Hand mit einer deutschlandweiten Sanitärwende gehen – sprich, alle menschlichen Hinterlassenschaften recycelt werden, könnten alleine dadurch 17 bis 25 Prozent der bei uns eingesetzten synthetischen beziehungsweise mineralischen Düngemittel ersetzt werden.''' Mit der DIN SPEC wird eine wichtige Grundlage dafür gelegt. Nun ist die Politik am Zug. '''Wir fordern direktes Recycling mit Nährstoffrückgewinnung, statt energieintensive Abwasserreinigung und Verbrennung!''' Wir machen gerne den Anfang: Wir betreiben seit 2013 Komposttoiletten auf Festivals in Deutschland. Wir haben sehr viel Scheiße gesammelt. 90 Prozent der gesammelten Biomasse haben wir in den vergangenen Jahren kompostieren lassen, meistens in Klärschlammkompostieranlagen, immer wieder für Versuchs- und Forschungszwecke in genehmigten Testanlagen. Wir durften den Kompost jedoch nie auf einer Fläche ausbringen und machen, wovon wir schon immer geträumt haben. Doch jetzt ist es soweit. Unsere Partner*innen und Verwertungsbuddis von Finizio haben Kompost angeliefert. Vor Freude gibt es erstmal eine schöne Arschbombe in den Haufen. Foto: Goldeimer Auf einer über hundert Quadratmeter großen Fläche mitten in Hamburg wird der erste kleine Goldeimer „Festival Forest“ angepflanzt. Auf dem Gelände eines alten Recyclinghofs, direkt an der Bille. PARKS heißt das Projekt, es ist eine Experimentierfläche für Anwohner*innen, Künstler*innen, Landschaftsarchitekt*innen, den HALLO:Verein, der hier nachbarschaftliche Initiativen fördert und Kulturangebote schafft, und nun auch für uns. Denn nun liegt er hier, der erste Kackekompost, den wir im öffentlichen Raum ausbringen dürfen. Gespendet von tausenden Festival-Besucher*innen des Vorjahres, zu Kompost veredelt von unseren Buddies von Finizio, gemischt mit Hamburger Mutterboden. Entstanden ist schwarze, wohlduftende, fruchtbare Erde. Erde, auf der nun Bäume gepflanzt werden. Es ist noch kein echter Kackewald, doch das ist ja auch erst der Anfang. Schließlich gibt es noch einen Arsch voll Menschen auf diesem Planeten, deren Kacke noch nicht zu Erde verarbeitet wird. Genug Material, um sehr viele Wälder aufzuforsten. Die DIN SPEC 91421 kann hier kostenlos runtergeladen werden. https://goldeimer.de/blogs/blog/kackewald --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:41, 22. Aug. 2022 (CEST) pyuqxt6dyxl5qmbth1s76q1exeq3z2r 785499 785453 2022-08-22T08:49:37Z Methodios 23484 /* Scheißbehörden */ wikitext text/x-wiki == Grimmsches Wörterbuch == AFTERKUNST f. pseudokunst: 1807 afterkunst .. eine unechte kunst, die von der wahren kunst abweicht Campe wb. 1,90a. ⟨1839⟩ das verletzte auge des beschauers eilte, sich von der schwülstigen nüchternheit jener afterkunst .. zurückzuwenden Gaudy 12,61 M. 1899 die kunst der sophisten, die dem entarteten geschmack der späteren jahrhunderte so sehr zusagte, war eine afterkunst Friedländer in: dt. rundschau 100,413 R. 1929 kunst und afterkunst führten den beweis, daß, wo es farbe zu bekennen gilt, sie am liebsten die farbe der herrschenden klasse bekennt in: Piscator schr. 1,31aak. afterkunst“, in: Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm, Neubearbeitung (1965–2018), digitalisierte Version im Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache, <https://www.dwds.de/wb/dwb2/afterkunst>, abgerufen am 21.08.2022. == Friedrich Hebbel == Kunst und Afterkunst (Bei Gelegenheit eines Gastspiels der Rachel.) Mit der Mutter Natur, die leise vom Sommer zum Winter Schreitet und wieder zurück, rechtet das russische Bad. Matt sind Frühling und Herbst, so ruft es, ich werde dir zeigen, Daß auch ein einziger Schritt führt von der Hitze zum Frost. Jene erwidert mit Lächeln: ich weiß es, doch frommt’s nur dem Kranken, Aber ich sorge für die, welche gesund sind, wie ich. Friedrich Hebbel https://gedichte.xbib.de/Hebbel_gedicht_Kunst+und+Afterkunst.htm == Entartete Kunst == [[w:ru:Дегенеративное искусство]]: „Entartete Kunst“ ist ein NS -Propagandabegriff und ideologisches Klischee für Avantgardekunst , die nicht nur modernistisch , antiklassisch, sondern auch „ jüdisch-bolschewistisch “, antideutsch und damit gefährlich war für die Nation und für die gesamten " arischen Rassen " [1] . Emily D. Bilski, Sigrid Bauschinger. Berlin metropolis: jews and the new culture Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine, 1890—1918., N.Y.: University of California Press, 2000. Der Begriff der entarteten (entarteten) Kunstwerke wurde von Max Nordau in seiner Abhandlung Degeneration (1892) eingeführt. Später tauchte ein anderer anstößiger Begriff auf, der 1937 vom NSDAP-Ideologen Alfred Rosenberg geprägt wurde : Afterkunst ( deutsch: Afterkunst – „Analkunst“) [2] . Ideologische Diskreditierung, Verbot und Vernichtung von Mustern „entarteter Kunst“, direkte Repressionen gegen ihre Schöpfer waren ein wesentlicher Bestandteil der breiteren Kulturpolitik des NS - Regimes. Hitler drückte seine Haltung zur Avantgarde-Kunst in seinem Buch Mein Kampf aus . Позднее появился ещё один, оскорбительный термин, придуманный в 1937 году идеологом нацистской партии Альфредом Розенбергом: '''афтеркунст (нем. Afterkunst''' — «заднепроходное искусство»): Власов В. Г.. Афтеркунст // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. I, 2004. — С. 567 - Afterkunst // Vlasov VG Neues Enzyklopädisches Wörterbuch der Bildenden Künste. In 10 Bänden - St. Petersburg: Azbuka-Klassika . - T. I, 2004. - S. 567 * Verlagsgruppe Azbuka-Atticus ist eine der größten Buchverlagsgruppen in Russland . Nach Angaben der Russischen Buchkammer belegte die Gruppe 2017 den 4. Platz in Bezug auf die Anzahl der veröffentlichten Buchtitel * Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: In 10 Bänden - St. Petersburg: ABC Classics , 2004-2010 - 712,8 gedruckte Blätter. * Viktor Georgievich Vlasov (* 23. Januar 1947 in Leningrad , UdSSR ) ist ein sowjetischer und russischer Grafiker und Kunsttheoretiker . Doktor der Künste, Professor . [[w:ru:Власов, Виктор Георгиевич]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jüdische "Afterkunst" == NS-Propagandabild: "Unfähigkeit und Frechheit waren die Merkmale der von Juden gepriesenen Afterkunst." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der Juden fabrizierten Aftermachwerke." "Unfähigkeit und Frechheit sind die Merkmale der jüdischen Rasse!" [https://www.alamy.de/ein-ns-propaganda-bild-zeigt-ausgewahlte-gemalde-2-l-mandolinenspieler-lit-mandolinenspieler-von-jankel-adler-3-l-rabbiner-lit-rabbies-von-marc-chagall-auf-dem-display-an-der-entarteten-kunstausstellung-in-der-neuen-abteilung-der-nationalgalerie-in-berlin-deutschland-24-februar-1938-die-bilder-sind-unter-eine-verleumderische-beschriftung-angezeigt-die-zeitgenossische-originale-bildunterschrift-lautet-entartetekunst-die-ausstellung-ist-nun-in-der-hauptstadt-des-reiches-die-grosse-und-lehrreiche-ausstellung-welche-celebtrated-ausserordentlichen-erfolg-in-munchen-sehen-jetzt-in-der-hauptstadt-von-t-image62368103.html Bild mit "Mandolinenspieler 2 von Jankel Adler, "Rabbiner" von Marc Chagall und zwei weitere] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:04, 21. Aug. 2022 (CEST) NS-Propagandabild: "So "sahen" sie die Welt. Das waren die "Meisterwerke"". "die "Meister" der von Juden und hysterischen Schwätzern in den Himmel gerühmten Verfallskunst" "die mit den Steuergroschen des schaffenden deutschen Volkes bezahlt wurden" [https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fc8.alamy.com%2Fcomp%2FDHD34Y%2Fa-national-socialist-propaganda-picture-shows-selected-paintings-on-DHD34Y.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fwww.alamy.com%2Fstock-photo%2Fbeschlagnahmt.html&tbnid=rhQNO2lEP9r0sM&vet=12ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ..i&docid=HJ04k8qJx70oOM&w=1300&h=1022&itg=1&q=Afterkunst&ved=2ahUKEwjlgMbNvNf5AhWUNewKHYfMDGMQxiAoBnoECAAQFQ Schautafel mit neun Werken] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:12, 21. Aug. 2022 (CEST) == Filmlexikon == https://filmlexikon.uni-kiel.de/doku.php/a:afterkunst-8533 Als diffamierende Bezeichnung für die Minderwertigkeit mancher Kunstformen in der Nazizeit gebräuchlich; so bezeichnete Goebbels den Zirkus als „Afterkunst“. Die Bezeichnung stammt aus der Antike und vermeint dort die Abwertung der Rhetorik gegenüber der Kunst. In den ästhetischen Debatten der Aufklärung wurde die Bezeichnung aufgefrischt – Goethe etwa sprach von „Afterkünstlern“, den „Dilettanten und Spekulanten; jene treiben die Kunst um des Vergnügens, diese um des Nutzens willen“ – allerdings nicht mit dem Gestus einer ästhetisch-weltanschaulichen Abwertung. Die Bezeichnung findet sich auch als Bezeichnung für die Arbeiten an der Synchronisation fremdsprachiger Filme, denen ästhetische Eigenständigkeit ab-, handwerkliches Geschick aber zugesprochen wird. Literatur: Freidank, Willibald: Kunst und Afterkunst auf dem Gebiete der schönen Litteratur in unserer Zeit. Ein deutsches Wort an das deutsche Volk. Leipzig: E. Schelper 1897. --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:29, 21. Aug. 2022 (CEST) == Facebook == https://www.facebook.com/hashtag/afterkunst Patrick Larible Freier Autor - Theater, Fernsehen, Verlage. Scrittore freelance GouklerNASO #Justitio #Justiz #Jura GAUKLER -Themen #Circus #Zirkus #Kulturgut #Circuskunst #Afterkunst #Tiere #Wildtiere #Tierrecht Email: Larible@PatrickLarible.de ACHTUNG, ab Juli 2021 neue Büro-Nummer: Fon/Deutschland: 0049(0)9144 - 5819 - 770 DEUTSCHLAND: Patrick Larible Freier Autor Postfach 329 91772 Weißenburg i. Bay. Wichtiger Hinweis: Aus Zeitgründen ist es nicht möglich, dass Patrick Larible alle FRAGEN und Anregungen PERSÖNLICH beantworten kann. Deshalb weisen wir ausdrücklich darauf hin, dass MAILS, Mitteilungen über soziale Netzwerke, das Kontaktformular (CONTATTI - Kontakt) oder postalisch eingegangene BRIEFE auch an z. B. JURISTISCHE oder PSYCHOLOGISCH ausgebildete FACHPERSONEN, den Verlag oder die Management-Agentur weitergeleitet werden, die sich im Netzwerk der vertrauensvollen Zusammenarbeit befinden. Für Anfragen zu Engagements (Vorträge, Lesungen, "Die Show zum Buch") und Interviews, fügen Sie bitte im Betreff "AGENTUR" ein. Sie erhalten dann einen direkten Ansprechpartner. Vielen Dank! https://www.gouklernaso.de/ Patrick Larible Freier Autor Postfach 91782 Weißenburg Deutschland https://kress.de/koepfe/kresskoepfe-detail/profil/32043-patrick-larible.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 21. Aug. 2022 (CEST) == Kunstdienst der evangelischen Kirche == [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]]: Nach der Bildung der „Evangelischen Reichsgemeinschaft christlicher Kunst“ wurde 1934 der Kunstdienst zu dessen Amtsstelle und zu einer mit staatlichen Vollmachten ausgestatteten Abteilung der Reichskammer der bildenden Künste. Geschäftsführer Gotthold Schneider stieg zum „Kunstreferenten bei der Reichsregierung“ auf. Damit verbunden war im Frühsommer 1934 der Umzug des Kunstdienstes in die Dienststelle der Reichskammer am Berliner Blumeshof 4–6. Für Ausstellungen und Konzerte verfügte der Kunstdienst nun über eigene Säle im Schloss Niederschönhausen. Diese Lokalität bekam später eine hervorgehobene Bedeutung im Zuge der von der NS-Führung angeordneten Aktion „Gegen entartete Kunst“, bei der es zum Raub von über 16.500 Kunstwerken kam, darunter als „jüdisch“ oder „bolschewistisch“ verunglimpfte „Afterkunst“ aus Museen, Galerien und Häusern vertriebener jüdischer Familien. Durch die ursprüngliche Unterstellung des Kunstamtes unter den Verein Kunstdienst nach der Satzung vom 30. Juni 1931 blieben personelle Verstrickungen in die Aktionen des Amtes Rosenberg und der Dienststellen des Reichspropagandaministeriums. Am 30. Juni 1937 ermächtigte Hitler durch seinen Reichspropagandaminister Goebbels den Präsidenten der Reichskammer der bildenden Künste, Adolf Ziegler, alle Werke „deutscher Verfallskunst“ seit 1910 auszusondern und für eine Ausstellung sicherzustellen. Ziegler bildete eine Auswahlkommission, der u. a. *Wolfgang Willrich, Maler und Kunstschriftsteller *Robert Scholz, Hauptstellenleiter für bildende Kunst im „Amt Rosenberg“ *Hans Herbert Schweitzer (Pseudonym „Mjölnir“), Reichsbeauftragter für künstlerische Formgebung angehörten. Diese Auswahlkommission beschlagnahmte eine Vielzahl von Werken, darunter hochkarätige von Emil Nolde, Karl Schmidt-Rottluff, Ludwig Gies und Max Pechstein und lieferte sie für die Gestaltung der Ausstellung „Entartete Kunst“, die am 19. Juli 1937 in München eröffnet wurde. Auf Anraten des stellvertretenden Akademiepräsidenten Georg Schumann traten Ernst Barlach und Ludwig Gies zuvor aus der Preußischen Akademie der Künste aus. Ab 1. Januar 1938 stellte Goebbels dem bisherigen Aufsichtshaber über das Kunstdepot in der Köpenicker Straße, Franz Hofmann, den Juristen und Kunsthistoriker Rolf Hetsch an die Seite, der 1932 ein Buch über Paula Modersohn-Becker geschrieben hatte. Diese beiden ordneten nun die zusammen mit den von der Ausstellung „Entartete Kunst“ zusammengeführten 16.500 Kunstwerke, indem sie diese registrierten und mit einer Nummer versahen. Sie wurden in umfangreichen Listen erfasst und mit Dollarpreisen ausgezeichnet. Jetzt wurde es die Aufgabe von Gotthold Schneider und dem „Expedienten“ Günter Ranft, die versammelten Kunstwerke bei nichtöffentlichen Verkaufsausstellungen im Schloss Niederschönhausen bei den ausländischen Käufern an den Mann zu bringen. Der Kunstdienst war dabei nur für Präsentation und Zwischenlagerung verantwortlich. Die Verkaufsabschlüsse wurden vom Propagandaministerium getätigt, die Erlöse auf das Sonderkonto „Entartete Kunst“ („E.K.“) eingezahlt. Für die Präsentation der Kunstwerke wurde mit dem 6. Juni 1938 die freischaffende Ausstellungsmacherin Gertrud Werneburg gewonnen – eine evangelische Christin der Bekennenden Kirche. Als im Mai 1938 der evangelische Theologe und Oberkonsistorialrat Oskar Söhngen zum neuen Vorsitzenden des immer noch bestehenden Parallelunternehmens „Verein für religiöse Kunst“ gewählt wurde, waren nunmehr beim Kunstdienst solche Beauftragte tätig, die jeweils als Gewährsleute der drei mit Kirchenkunst befassten Reichsminister zu fungieren hatten: für den Reichspropagandaminister Goebbels – Gotthold Schneider und Stephan Hirzel, für den Reichserziehungsminister Rust – Winfried Wendland, für den Reichskirchenminister Kerrl – Oskar Söhngen. Am 1. September übernahm Gertrud Werneburg die ersten 175 Ölbilder aus dem Fundus der geraubten Kunst. Werneburg gab dem bereits erwähnten Kirchenhistoriker Prolingheuer zu Protokoll:[13] „Ich habe angefangen mit diesen 175 Ölbildern, aus denen allmählich 6.000 wurden. 7.000! Unentwegt kam (der Möbelwagen der Firma) Knauer angefahren und brachte neue Bilder. Und dann kamen Aquarelle und die ganzen ‚Brücke‘-Leute. (Werke) von Franz Marc bis Christian Rohlfs, von Ernst Ludwig Kirchner bis Otto Dix … Von nun an kam unentwegt irgendein Kunsthändler ... Und die ganzen Leute waren nun laufend da und suchten sich Bilder aus ... Ich hatte zwei große Räume. Da hatte ich die Bilder alle angeschichtet. An die 60 Rohlfs alleine … Es war eine schöne Tätigkeit ...“ Die Kirchenkämpfe zwischen Deutschen Christen und Bekenntnischristen, zwischen den sogenannten „intakten“ und den DC-Kirchenleitungen sowie zwischen diesen allen mit den kirchenfeindlichen Rosenberg-Anhängern und den moderateren Verfechtern des „positiven Christentums“, die im Jahre 1938 einen Höhepunkt erreichten, konnten dem Kunstdienst nicht wesentlich schaden, denn seine Akteure waren in allen erwähnten ideologischen Flügeln zu Hause. Die Wächterin und zur Kunst-Präsentation ausersehene Ausstellungsmacherin Werneburg ließ es bei der sie bald überfordernden Aufgabe, die vielen Werke den ausländischen Kaufinteressenten anzubieten, hin und wieder auch zu Regelwidrigkeiten kommen, die im Laufe der Jahre – besonders in den Kriegsjahren – zunahmen. So „bedienten“ sich Regierungsprominente wie der Leibarzt Hitlers, Karl Brandt, der einfach ein Bild von der Wand abnahm und mitgehen ließ. Oder sie musste auf ausdrückliche Weisung von Goebbels der Witwe von Wilhelm Lehmbruck Plastiken und Bilder herausgeben, die nur zum Teil unter die Rubrik der „gesetzlich geraubten“ gefallen waren. Später bedienten sich auch Kunstdienst-Mitarbeiter selber an den Kunstwerken, deren Menge nicht beziffert werden kann, weil es dazu keine schriftlichen Nachweise gibt. Lediglich Werneburg hat gegenüber dem intensiv recherchierenden Prolingheuer verlautet, dass sich z. B. der Kunstdienst-Pfarrer Christian Rietschel mit einer originalen Feininger-Grafik sein Haus für den Ruhestand in der Bundesrepublik finanziert hat. Am 20. März 1939 wurden auf der Hauptfeuerwehrwache in Berlin tausende Gemälde und Zeichnungen aus dem Depot Köpenicker Straße verbrannt. Werneburg hat diese Kunstgegenstände auf Anordnung von Ministerialrat Hofmann vor ihrer Vernichtung registriert. Seitdem sich das Kunst-Autodafé herumgesprochen hatte, stiegen die Nachfragen von Sammlern und Mäzenen aus dem Ausland. Kunsthändler aus den USA und der Schweiz gaben sich im Schloss die Klinke in die Hand. Als 125 als „entartet“ gebrandmarkte Kunstwerke nach der Schweiz geliefert und dort im Mai und Juni 1939 versteigert wurden, kam es auch zum Bildertausch (u. a. „entartete“ Deutsche gegen klassische Niederländer), für den deutsche Galeristen und Kunsthändler von der Reichsführung beauftragt wurden. Seit Mai 1939 brachten Kunstdienst-Mitarbeiter, darunter Rolf Hetsch und Günter Ranft, für sich selber oder gute Freunde Bilder, Graphiken und Plastiken auf die Seite. Viele hundert Kunstwerke wurden dem Verkaufsangebot entzogen und zahllose wurden einfach herausgenommen. Das ermöglichte der reiche und einflussreiche Kunsthändler Bernhard A. Boehmer. ... Die nach kriegsbedingter Reduzierung verbliebenen Hauptamtlichen des Kunstdienstes Otto Abetz, Tino Schmidt und Gotthold Schneider organisierten 1945 ihre Nachkriegsexistenz in den Westzonen des befreiten Deutschlands. In einem Konvoi von zwei Lkw mit SS-Begleitkommando wurden hunderte Kisten mit den Dias, aber auch mit den im Kunstkaten angesammelten Schätzen bildender Kunst über verschlungene Wege bis in die Gegend von Konstanz und St. Blasien in Verstecken untergebracht. Die Dias wurden erst später wieder identifiziert.[21] Die mitgeführten Kunstwerke wurden von den handelnden Vorstandsmitgliedern einer persönlichen Verwertung zugeführt. [[w:de:Kunstdienst der evangelischen Kirche]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:31, 21. Aug. 2022 (CEST) == Herbert Tannenbaum == [[w:de:Herbert Tannenbaum]]: Herbert Tannenbaum (* 7. März 1892 in Mannheim; † 30. September 1958 in Frankfurt am Main) war ein deutsch-amerikanischer Kunstgalerist und Filmtheoretiker. Ab August 1920 führte Tannenbaum die Kunsthandlung Das Kunsthaus in Mannheim, in der er neben Kunstbüchern und -zeitschriften auch originale Kunstwerke anbot. Das Geschäft befand sich ab 1921 im Eckhaus Friedrichsring / Freßgasse (Q7, 17a), die Innenausstattung hatte der Künstler der Wiener Werkstätte, Emanuel Josef Margold übernommen.[1] Zu den Kunden der Kunsthandlung zählte auch die Mannheimer Kunsthalle, die 1928 beispielsweise Marc Chagalls Gemälde Rabbiner erwarb, das 1937 im Rahmen der Ausstellung „Entartete Kunst“ von den Nationalsozialisten entfernt wurde. In das Jahr 1921 fällt die Hochzeit mit Maria Nobisch. Nach der sogenannten Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde auch Tannenbaum immer stärker drangsaliert, so wurde zum Beispiel am 1. April 1933 auch seine Kunsthandlung boykottiert. Vom 4. April bis zum 5. Juni 1933 fand in der Kunsthalle Mannheim unter der neuen nationalsozialistischen Leitung die kunstpolitische Hetzschau Kulturbolschewistische Bilder statt, in der die Erwerbungen moderner Kunst unter dem 1933 entlassenen Museumsleiter Gustav Hartlaub angegriffen und verspottet wurden, dabei wurde auch Tannenbaum als Jude und als Vermittler moderner Kunst angegriffen.[2] Einen Tag zuvor, am 3. April 1933, hatte die nationalsozialistische Zeitung Hakenkreuzbanner geschrieben: „Beim Durchgehen der Schau wird dem deutschen Menschen erstso recht bewußt, daß es Juden und jüdische Kunsthandlungen (Flechtheim, Cassirer, Tannenbaum) waren, die einem nach solchen Leistungen für die Kunsthalle als ungeeignet zu bezeichnenden Dr. Hartlaub 'Werke' aufschwatzten, die Afterkunst darstellen und die Ästhetik eines gesunden Menschen in Harnisch bringen müssen.“[3] 1936 verkaufte Tannenbaum seine Kunsthandlung an den Dresdner Kunsthändler Rudolf Probst. Er selbst emigrierte 1937 in die Niederlande, wo er sich eine neue Existenz als Kunsthändler aufbauen konnte. In der Leonardostraat 6 in Amsterdam konnte sich Tannenbaum eine kleine Galerie einrichten, die mit der eigenen Wohnung verbunden war. In den Niederlanden hatte Tannenbaum auch Kontakt zu emigrierten deutschen Künstlern wie Heinrich Campendonk und Max Beckmann. Tannenbergs Bemühungen, für seinen Bruder Otto und seine Cousine Paula Straus, eine bekannte Stuttgarter Goldschmiedin, Einreisegenehmigungen in die Niederlande zu erhalten, scheiterten. Beide wurden im Konzentrationslager Auschwitz ermordet. Nach der deutschen Besetzung der Niederlande 1940 war Tannenbaum von ständiger Verfolgung bedroht, einen gewissen Schutz bot lediglich seine von den Nationalsozialisten so genannte „Mischehe“. Sein Geschäft durfte Tannenbaum unter der deutschen Besatzung nicht mehr ausüben. Während der letzten Kriegsjahre verließ er sein Haus überhaupt nicht mehr und versteckte sich zeitweise in einem Verschlag auf dem Dachboden. 1947 wanderte Tannenbaum mit seiner Familie in die USA aus. Aus diesem Anlass schuf Max Beckmann das Gemälde Tannenbaum is going to America, das sich seit 2004 in der Kunsthalle Mannheim befindet.[4] In New York konnte Tannenbaum 1949 in der 57. Straße eine neue Galerie und Kunsthandlung eröffnen. Bei einem Besuch in Deutschland ist Tannenbaum im September 1958 plötzlich gestorben. Seine Witwe Maria führte die Galerie noch bis 1968 fort. [[w:de:Herbert Tannenbaum]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 21. Aug. 2022 (CEST) == Dominikus Böhm == [[w:de:Dominikus Böhm]] Dominikus Böhm (* 23. Oktober 1880 in Jettingen; † 6. August 1955 in Köln) war ein deutscher Architekt, Kirchenbauer und Hochschullehrer des 20. Jahrhunderts. Hinzu kamen vereinzelt Angriffe aus der nationalsozialistischen Presse, die seine Kirchen etwa als „bolschewistische Afterkunst, die besser nach Marokko oder Palästina passen würde“ bezeichnete. * vgl. Wolfgang Voigt, Ingeborg Flagge (Hrsg.): Dominikus Böhm 1880–1955. [Anlässlich der Ausstellung "Raum Ist Sehnsucht. Der Kirchenbaumeister Dominikus Böhm 1880 - 1955" vom 16. April bis 19. Juni 2005, veranstaltet vom Deutschen Architektur-Museum, Dezernat Kultur und Freizeit, Stadt Frankfurt am Main ; vom 24. September bis 11. Dezember 2005 im Museum für Angewandte Kunst, Köln]. Wasmuth, Tübingen 2005, ISBN 3-8030-0646-5, S. 22. ... 1939 ließ Böhm im heimischen Jettingen ein Haus bauen, in das die Familie einen Tag nach Kriegsbeginn umzog, womit sie dem kommenden Bombenkrieg in Köln entgehen konnte. [[w:de:Dominikus Böhm]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 08:01, 21. Aug. 2022 (CEST) == Jeanpierre Heizmann == [[w:de:Jeanpierre Heizmann]] Jeanpierre Heizmann, irrtümlich auch Jean-Pierre (* 22. Mai 1937 in Solothurn) ist ein schweizerisch-deutscher Regisseur, Autor, Maler und Komponist. 1959 flüchtete er vor weiterem Militärdienst über Paris nach München. Dort absolvierte er ein Studium phil. I (Germanistik, Kunstgeschichte und Theaterwissenschaft) an der Ludwig-Maximilians-Universität. Von 1982 bis 1991 war er Leiter der Redaktion Fernsehspiel und Theater beim Schweizer Fernsehen DRS. FILMKUNST-AFTERKUNST Ohne sich in den Vordergrund zu stellen, wartet uns Heizmann mit Anekdotischem aus seiner Filmzeit auf. Selbstironisch, kritisch, frohen Mutes beißend, was gebissen werden will. »Ich hätte auch meine Memoiren schreiben können«, so der Autor, »aber erstens leide ich nicht unter Megalomanie, zweitens hätte ich lügen müssen, und drittens geht meine Unterwäsche nur wenige etwas an. Da erzähl ich doch lieber von ein paar schrägen Vögeln, mit denen ich gerauft und gelacht habe, um die Erinnerung an ein Gewerbe, das entgegen leicht-fertiger Gerüchte, gar kein so leichtes ist, etwas heiterer zu machen – was nichts mit aufarbeiten zu tun hat, wie heute all-gemein gang und gäbe.« https://www.lesejury.de/jeanpierre-heizmann/buecher/filmkunst-afterkunst/9783754113196 *ISBN: 9783754113196 (ISBN-10: 3754113194) *Zustand: Neuware *Verlag: Epubli *Gewicht: 347 g *Auflage: 1/2021 *Erschienen: 2021 *Einband: Gebunden *Sprache: Deutsch *Beschreibung: Dieser Artikel ist ein Print on Demand Artikel und wird nach Ihrer Bestellung fuer Sie gedruckt. *Angebot vom: 23.05.2021 https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Jeanpiere-Heizmann+Filmkunst-Afterkunst/id/A02vi17101ZZB --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:53, 21. Aug. 2022 (CEST) == Scheißstaat == Große Teile der Bevölkerung haben doch längst innerlich gekündigt! https://twitter.com/klausfenn/status/1561407499437330434 Seh ich ganz genauso. Wir werden gelebt, und leben schon lange nicht mehr. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561618125665304577 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:48, 22. Aug. 2022 (CEST) == Scheißpolitik == Unseren Politikern ist im Rektum der Großkonzerne und Superreichen so warm, dass sie noch nicht mal mehr merken, wie die soziale Kälte um sich greift. Im Gegenteil. Sie fördern diese Kälte, in dem sie den Menschen sagen, es wäre gut nach unten zu treten. https://twitter.com/HammerJaust/status/1561029425554247681 "Der Mensch ist nicht frei, wenn er einen leeren Geldbeutel hat." (Lech Wałęsa, ehemaliger polnischer Staatspräsident u. Friedensnobelpreisträger) https://twitter.com/LebenInArmut/status/1561452071190241281 Unter #IchBinArmutsbetroffen erzählen Menschen über ihre existenziellen Nöte. Sie haben meinen größten Respekt! Wie mutig von ihnen, Gesicht zu zeigen! Wer arm ist ist nicht frei! Eine Schande, dass regierende Politiker Armut nicht nur nicht bekämpfen, sondern noch befördern! https://twitter.com/EnePoesi/status/1561450872772624384 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Habt ihr auch die Schnauze voll von diesen schleimigen Politikern, die eh nur drauf aus sind für ihr eigenes Wohl und für das Wohl ihres Gleichen zu sorgen? Igitt, einfach nur eklig. https://twitter.com/Pirikko1/status/1560625824750923777 Joh, ich kann gar nicht soviel essen, wie ich kotzen möchte. https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561610938880507904 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:08, 22. Aug. 2022 (CEST) Wenn ich Teile der regierenden politischen Elite wie Wissing und Lindner höre, denke ich: Nein! Das beleidigt politisch, intellektuell und fachlich. Macht das weg! Und dann schiebt die Opposition Merz, Klöckner, Spahn und Scheuer vor die Mikros. Das ist so elendig deprimierend. https://twitter.com/hirndummy/status/1561411504322351107 Das sind doch alles nur vom Geld gekaufte erbärmliche Schauspieler, und keine Politiker! Laß der CDU doch etwas Zeit, sich in die Oppositions-Rolle einzuspielen. https://de.wikipedia.org/wiki/Ronald_Reagan https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561617215744626688 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:28, 22. Aug. 2022 (CEST) ==Scheißbehörden == Als armer, kranker und behinderter Mensch ist man echt nichts wert. Man ist ein Spielball der Behörden, überall wird man unterschwellig beleidigt, gedemütigt und '''scheiße behandelt'''. Und du kannst dich nicht mal richtig wehren, womit auch? https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 '''Scheiße behandeln''', damit man möglichst schnell = sozialverträglich verreckt, ist dort die Oberste Direktive. https://memory-alpha.fandom.com/de/wiki/Oberste_Direktive https://twitter.com/AhamAberniya/status/1561614519251746816 Wenn deine Sachbearbeiterin sich über halbes Jahr Zeit lässt für etwas, das du dringend brauchst. Wenn sie aber etwas braucht dann setzt sie eine Frist von einer Woche an, sonst gibt’s voll Ärger. Ich finde das echt respektlos. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561309441047281665 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:04, 22. Aug. 2022 (CEST) Freunde gibt’s schon lange nicht mehr. Sind verschwunden sobald ich arm geworden bin. Tagesablauf ist zutiefst routiniert, weil sonst die Depression wieder kommt. Belasten tut mich meine Krankheit, eine Gesellschaft und ihre Behörden, die mich dafür verteufeln. https://twitter.com/Pirikko1/status/1561367408325296129 --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 09:49, 22. Aug. 2022 (CEST) === Uni Göttingen === „Ich sehe es als meinen Job, zu skandalisieren, was passiert.“ Eine mitgehende Reportage zur Praxis von Behörden-Watch Behörden-Watch Göttingen ist eine politische Gruppe, die Geflüchtete zu Amtsterminen begleitet. Ihr Untertitel lautet „Ausgrenzender Ämterschikane entgegentreten“: Die Idee ist es, strukturellen Rassismus öffentlich zu machen, durch die Anwesenheit weißer Menschen Erlebnisse dieser Art zu verringern und sich solidarisch zu zeigen. Es geht nicht darum, die „Behörde zu reformieren“ “Von Seiten der Behörden werden keine Versuche unternommen, mit den Aktivist_innen von Behörden-Watch in einen Dialog zu treten”, sagt S., eine_r der Aktivist_innen, die BehördenWatch mitinitiiert haben. „Auch dann nicht, wenn wie am Montag in kurzer Zeit knapp 50 Menschen vor dem Rathaus in Göttingen mobilisiert werden können.“ Auch Behörden-Watch unternimmt keine Versuche, durch Gespräche mit den Mitarbeiter_innen der Institutionen Veränderungen hervorzubringen. Die Nachfolgegruppe von Deportation Watch sieht ihre Aufgaben und Ziele nicht darin, „die Behörde zu reformieren“. „Daran wurden sich schon in den 90ern die Zähne ausgebissen“, sagt S. im Interview. „Ich sehe es eher als meinen Job, das zu skandalisieren, was wir mitkriegen, und den Finger darauf zu legen und zu sagen: '''So ist es, und das ist scheiße!“''' Auch wenn keine Personen mehr aus der Behörde abgeschoben werden, kommt es immer wieder zu Abschiebeversuchen auf dem Hiroshimaplatz – und somit vor der Behörde. Der Mangel an personellen und zeitlichen Kapazitäten und die veränderten Dynamiken bei der Abschiebung haben dazu geführt, dass es nicht mehr ausreicht, sich nachts vor die Aufnahmeeinrichtungen zu stellen, um zu beobachten, ob und wann Abschiebungen durchgeführt werden. Die Polizei vollstreckt Abschiebebescheide nun vermehrt auch außerhalb der Unterkünfte, wie zum Beispiel vor der Ausländerbehörde selbst. Laut einer Erklärung der Stadt Göttingen, nachzulesen in der TAZ vom 09.09.2016[1], werde aus Behörden nicht mehr abgeschoben. Das stellt allerdings keine Verbesserung der Situation dar, sondern ist nur ein Jonglieren mit Worten: Denn auch wenn keine Personen mehr aus der Behörde abgeschoben werden, kommt es immer wieder zu Abschiebeversuchen auf dem Hiroshimaplatz – und somit vor der Behörde. https://www.uni-goettingen.de/de/document/download/b8a3b1177d30e63ae00678c218980e2c.pdf/Behoerdenwatch%20Simon%20Petra_final_Oktober.pdf == In der Scheiße liegen und nicht stinken == Der Journalist Christian Stahl hat mit „In den Gangs von Neukölln“ eine Fortsetzung der Lebenschronik von Yehya E. geschrieben. Damit möchte er Buschkowskys Thesen rund um den Integrationsunwillen von Migranten und Migrantenkindern widerlegen. Zum Plot: Der junge E. ist clever, ein guter Schüler und einmal sogar Berliner Boxmeister. Zu Bundeskämpfen darf er aber nicht, wegen der Residenzpflicht als Asylbewerber und arbeiten ist auch nicht drin, da er nur geduldet ist. Anfang der 90er flieht die Familie im Golfkrieg aus Kuwait, wo der Vater ein Baugeschäft zurücklassen muss und strandet im Libanon. Im Flüchtlingslager Schatila wird Yehya geboren. Schließlich Deutschland. Dort führt der Vater '''ein Leben im Leerlauf''' wie auch sein Sohn. Nur geduldet, ohne Arbeitserlaubnis. Der Vater passt sich an, sein ambitionierter Sohn nicht, sondern pusht seine brachliegenden Talente in eine kriminelle Karriere. Yehya bekommt einen eigenen Staatsanwalt. Er landet im Jugendknast. Später kämpft er um Annäherung an die bürgerliche Gesellschaft. Yehya wird Konfliktschlichter in Neukölln. Im Auf und Ab dazwischen kafkaeske Anekdoten wie diese: Die Ausländerbehörde Berlin will ihn wegen seiner kriminellen Taten in die Ukraine abschieben, auf der Basis eines dubiosen Rücknahmeabkommens zwischen der Ukraine und der EU. Als vor Gericht ein Deal zustande kommt – wenn Abitur, dann keine Abschiebung – scheint es voran zu gehen. Doch schon am zweiten Schultag fliegt er. Die Ausländerbehörde hatte die Schulleitung „gewarnt“, mit wem sie es zu tun hatte. „Die wollen, dass du in der Scheiße liegst, aber nicht stinkst“, meint Yehya in einem Interview mit Stahl. Seit April 2014 sitzt der 23-Jährige wegen Raubes wieder im Knast, für sechs Jahre. https://www.neukoellner.net/politik/in-der-scheisse-liegen-und-nicht-stinken/ --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:08, 22. Aug. 2022 (CEST) == Gezwungen, unsere Scheiße zu trocknen == „Wir Griechen sind gezwungen, unsere Scheiße zu trocknen“ Vieles war und ist über die Schuldenkrise Griechenlands geschrieben worden. Aber selten war es so spannend zu lesen wie im brandneuen Krimi von Starautor Petros Markaris. Denn hier wird die Krise selbst zum Thema - enthauptete Banker inklusive. Düsseldorf Der Mörder kam durch die Hintertür. Die britische Bank hatte keinen Wachdienst, nur eine Sicherheitstür und Überwachungskameras. „Wenn das nicht der berühmte schottische Geiz ist“, denkt Kostas. „Wir Griechen sind durch unsere Verschwendungssucht wenigstens mit fliegenden Fahnen untergegangen. Aber wie haben diese Sparfüchse ihre Wirtschaft ruiniert?“ Das ist der Tenor Petros Markaris’ aktuellem Roman „Faule Kredite. Ein Fall für Kostas Charitos“. Der grenzenlos langweilige Titel ist ein Hinweis, dass die Handlung nur mittelmäßig spannend ist. Aber es ist ja auch nicht die Suche nach dem Serienmörder von Finanzjongleuren, was dieses Buch so lesenswert macht. Es ist der Umgang mit dem griechischen Alltag, der Markaris so gut gelingt. Einige Klischees, die in den Köpfen von uns geldgebenden Mitteleuropäern festsitzen, werden voll bestätigt. Andere ad absurdum geführt. Es ist die Suche nach der Wahrheit im Alltag von Kostas Charitos, einem Kommissar, der mitten im Leben steht und den neuen Alltag der Griechen aus der Ich-Perspektive erzählend sehr gut beschreibt. Da ist seine Tochter Katarina, die sich ärgert, ihren Doktor gemacht zu haben, anstatt nicht vor der großen Krise ins Berufsleben eingestiegen zu sein. Nun braucht sie viel Glück und Vitamin B, um trotz ihrer großartigen Ausbildung irgendeinen Job zu finden. Da ist seine Frau, die den Selbstmord eines Nachbarn mit ansehen muss. Der Besitzer eines Damenmodegeschäftes wusste keinen anderen Ausweg, weil es im Zuge der Krise allzu sehr bergab ging mit den Umsätzen und die Banken den Kredithahn zuzogen. Da sind all die Kollegen, die wie so viele Beamte auf das 13. und 14. Monatsgehalt verzichten müssen. Noch härter trifft sie aber das Zusammenstreichen der Pension: „Wie soll ich im Alter mit 500 Euro auskommen?“ Sparen geht nicht, das jetzige Gehalt ist zu knapp. Offen diskutieren die Polizeibeamten über das „Abkassieren non Nachtlokalen“. Es sind keine böse Menschen, die so reden. Es sind brave Familienväter, die die Not treibt. Da bleibt keine Frage offen, wie es zu all der Korruption in Griechenland kommt. „Die Stimmung unter den Kollegen erinnert mich an die Mobilmachung der Junta im Jahr 1974“, denkt Kostas am Anfang des Buches. Da ist ein alter Freund voller Wut, dessen Widerstandskämpferrente erheblich zusammengestrichen wurde. Nicht, weil ihm das Geld fehlt, sondern aus Prinzip: „Es ist, als würde man mir sagen: Mal langsam. So einen tollen Widerstand hast du noch auch wieder nicht geleistet. 380 Euro sind mehr als genug für dich.“ Da wird Kostas von seiner Frau gefragt, warum das neue Auto denn bitte ein Seat Ibiza sein musste. Seine Antwort: „Aus Solidarität. Die Spanier stecken doch momentan genauso in der Klemme wie wir.“ Da fallen Zitate wie '''„Angesichts der bevorstehenden Lohnkürzungen werden wir gezwungen sein, sogar noch unsere Scheiße zu trocknen, um sie weiterzuverwerten.“''' Nichts mehr ist übrig vom griechischen Nationalstolz und dem Land, in dem einst die Politik und Philosophie erfunden wurden: „Selbst ein griechischer Banker ist im Verhältnis zu einem englischen Butler ein Bauerntölpel“, sagt Kostas. Gerechtigkeit gibt es nicht mehr. Der letzte Satz des Buches lautet: „In Griechenland kann dir Vitamin B das Leben retten. Damit ist alles gesagt. Punktum.“ Markaris wirft einen Blick in die Seelen dieser Menschen, die wie geprügelte Hunde durch Europa laufen und gegen das Versinken in Selbstmitleid ankämpfen. Die Ausnahme ist Fanis, Kostas Schwiegersohn, Arzt und ein Engel von Mensch. Selbst in den bittersten Momente kommen vom ihm Sätze wie „Souvlaki können wir uns noch leisten“, mit denen er der Familie Kraft gibt. Kostas selbst ist eher Realist als Fatalist. Er stimmt den Demonstranten zu, ohne selbst mitzulaufen. Seine Generation ist in einem armen Land großgeworden – in den 40er- und 50er-Jahren ging es Griechenland beinahe noch schlimmer als heute. Griechenland befindet seit dem Unabhängigkeitskrieg gegen das Osmanische Reich bis heute fünf Pleiten hingelegt hat und sich die Hälfte dieser Zeit in Phasen der Umschuldung. Angesichts dessen kann man Kostas Haltung gut nachvollziehen. Die Handlung selbst besteht in der Suche nach einem Serientäter. Kostas wird von einem Tatort zum nächsten gerufen. Zunächst wird ein griechischer Ex-Banker enthauptet aufgefunden, dann ein britischer Banker im besten Alter, dann der Mitarbeiter eine US-Ratingagentur und schließlich der Chef eines Inkasso-Unternehmens. Alle vier verlieren ihren Kopf, weil sie skrupellose Teile der Finanzindustrie waren. Wer das aus welchen Gründen Rache verübt, dürfte so mancher Leser nach drei Vierteln des Romans erahnen. Die Untersuchungen führen Kostas in die Schattenwelt der griechischen Banken. Wie die Arbeit der Institute genau funktioniert, bleibt vage. Aber das tut nichts zu Sache. Vielmehr beschreibt Markaris, wie sich ihre Arbeit auf den Alltag auswirkt. Er nimmt eine Entwicklung vorweg, die sich bis heute dramatisch zugespitzt hat. Die Griechen verlieren das Vertrauen in ihre Banken und räumen ihre Konten leer. Seit Anfang 2010 verringerten sich die Einlagen um 18 Prozent. Die Arbeit der Politik ist ein wichtiges Thema: Auch wenn die Maßnahmen der Spitze des griechischen Staates noch eher als notwendig dargestellt werden, kommt das Verhalten der Mächtigen nicht gut weg. So belehrt Kostas Chef, als es um die Reaktion des zuständigen Ministers auf die Ermittlungsarbeiten geht: „Begreifen Sie denn nicht? Seit die EU und der IWF uns die 110-Milliarden-Hilfe gewährt haben, versuchen wir, uns verzweifelt zu revanchieren – durch Kuschen.“ Überhaupt scheinen die Retter nicht sehr beliebt zu sein. Vor allem Deutschland bekommt das ein oder andere gemeine Zitat ab. Auch wenn die Handlung im Sommer 2010 spielt: Aktueller könnte die dieser Roman kaum sein. Denn er beschreibt die wohl wichtigste Frage derzeit, nämlich ob die Gewalt in Griechenland zunehmen wird. Markaris selbst sagt in einem Interview mit dem „Kurier“: „Man kann die Stimmung in Griechenland mit alle gegen alle beschreiben. Die Gewalt nimmt zu und das ist extrem beunruhigend. Andererseits beschränkt sich die Gewalt auf Athen und wird auch von kleinen, aber sehr gewalttätigen Gruppen betrieben.“ Angesichts der Tatsache, dass rund ein Drittel der Griechen im Großraum Athen wohnen, beruhigt das Stück. Bibliografie: Petros Markaris Faule Kredite. Ein Fall für Kostas Charitos Diogenes Verlag, Zürich 2011 397 Seiten https://www.handelsblatt.com/politik/international/schulden-krimi-wir-griechen-sind-gezwungen-unsere-scheisse-zu-trocknen/4413100-all.html --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:22, 22. Aug. 2022 (CEST) *2010 Ληξιπρόθεσμα Δάνεια (wörtlich: Fällige Kredite). *Faule Kredite. deutsch von Michaela Prinzinger. Diogenes, Zürich 2011, ISBN 978-3-257-06793-4. Seine Kriminalromane haben stets auch eine gesellschaftskritische Tendenz und spielen oft im Milieu einer arrivierten Linken, die ihre Ideale verloren hat. „Kommissar Charitos“ ist einerseits ein griechischer Kleinbürger und Durchschnittsmann, der von Frauen nicht allzu viel hält, zugleich aber seine Tochter und seine Frau sehr liebt. Während des Obristenregimes hat er als Polizeianwärter an Folterungen teilgenommen, wofür er sich schämt; inzwischen pflegt er mit einem der damaligen Opfer eine enge, aber durch Schuldgefühle belastete Freundschaft. Seinen Vorgesetzten gegenüber zeigt er sich unterwürfig, aber bei der Aufklärung seiner Fälle handelt er, ohne zu zögern, gegen ihre Anweisungen. Die an Randgruppen begangenen Verbrechen verfolgt er beharrlich, obwohl er ihnen gegenüber voller Vorurteile ist. „Gegen zwei Dinge im Leben habe ich eine unüberwindliche Abneigung: Gegen Rassismus und Schwarze.“ (Charitos in Nachtfalter.) In seiner Freizeit liest Charitos fast ausschließlich Lexika. [[w:de:Petros Markaris]] --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:31, 22. Aug. 2022 (CEST) == Kackewald == Unser Traum vom Kackewald JUNI 10, 2020 Seit acht Jahren kämpfen wir dafür, den Kot von unseren Festival-Kompostklos nutzbar zu machen und darauf Bäume pflanzen zu dürfen. Zusammen mit anderen Vereinen, Interessengemeinschaften und Unternehmen wie FINIZIO – FUTURE SANITATION und dem IGZ haben wir Versuchsflächen angemeldet, eure Festivalkacke kompostiert und Messwerte zu allen möglichen Behörden geschickt. Nun ist die Ziellinie in Sicht: Auf dem von Finizio veredelten Humusdünger aus Inhalten von Trockentoiletten (H.I.T.) darf unser Traum vom Kackewald wahr werden. ERDE AUS FESTIVAL-KACKE Derzeit ist es normale Praxis, dass Fäkalien zu Transportzwecken mit Wasser vermengt in die Kanalisation geleitet werden. In Kläranlagen werden Feststoffe und Wasser dann wieder mühevoll voneinander getrennt. Das Abwasser wird energieintensiv gereinigt und die übrig bleibenden Klärschlämme, also die Feststoffe aus dem Reinigungsprozess des Abwassers, werden verbrannt. Wir betreiben seit acht Jahren ökologische Trockentoiletten auf Festivals, um aus dieser Einbahnstraße wieder einen Kreisverkehr zu machen. Bis aus Scheiße Erde wurde, sind acht lange Jahre vergangen. In der Natur geht das schneller. Und eigentlich macht sie es uns mit vier kostenlosen Zutaten sehr einfach: Biomasse, Sauerstoff, kleine Tierchen im Boden und Zeit. Damals war uns nicht klar, dass es noch weitere, weniger erfreuliche Zutaten gibt: Bürokratie, Gesetze, Behörden, Auflagen, Abfallschlüssel, Normen, Vorurteile. Während wir einen Haufen Gold sahen, sahen alle anderen einen Haufen Scheiße. Stinkend und wertlos. Damals gab es weder eine rechtliche Grundlage zur Verwertung von Kacke, noch hatte jemand in den Schlüsselpositionen Lust, diese mit uns zu schaffen. "Tolle Idee, aber..." *"...keine Genehmigung", sagten die Behörden. *"...kein Markt", sagten die Unternehmen. *"...kein Abfallschlüssel", sagten die Kompostierbetriebe. *"...'''keine Lobby", sagten Politiker*innen.''' *"...kein Bedarf", sagten Landwirt*innen. Kothaufen auf der Pilotanlage zur Verwertung von Inhalten aus Trockentoiletten von Finizio in Eberswalde. Nein, natürlich ist das nicht nur Kot. Da auf unseren ökologischen Festivaltoiletten mit Hobelspänen gespült wird, sind auch die in dem Haufen enthalten. Ebenso wie Klopapier. Foto: Finizio GmbH - Future Sanitation AB WANN IST SCHEISSE DÜNGER? Tage und Nächte schlugen wir uns um die Ohren. Im Bus, in der Bibliothek und abends im Bett verschlangen wir in feinstem Beamtendeutsch verfasste Verordnungen, Gesetzestexte und Fachliteratur. Alles, um endlich die Antwort auf die Frage zu finden, die sich wohl keine andere Spezies auf diesem Planeten stellt: Ab wann ist Scheiße rein rechtlich betrachtet keine Scheiße mehr, sondern Dünger? Auf der Pilotanlage von Finizio werden die Trockenkloinhalte nach der Hygienisierung in lang gezogene Haufen, sogenannten „Mieten“, aufgeschüttet. Erst dann wird „humifiziert“, also der Kompost zu hochwertigem Humusdünger aufbereitet. Foto: Finizio GmbH - Future Sanitation Diese Frage berührt in Deutschland gleich drei Verordnungen: Die Düngemittel-, Bioabfall- und Klärschlammverordnung. Wir haben in den acht Jahren wahrscheinlich mit jeder Berufsgruppe gesprochen, die im Entferntesten etwas mit ihnen zutun hat: Umweltjurist*innen, Mitarbeiter*innen von Klärschlammkompostierbetrieben und Gesundheitsbehörden, Wissenschaftler*innen aus Abwasserwirtschaft und Seuchenprävention – die Liste ließe sich ewig weiterführen. Alle wollten Messdaten zu Temperaturverläufen in den Kompostmieten und Analysen zur hygienischen Unbedenklichkeit. Um die zu liefern, haben wir zusammen mit Finizio – Future Sanitation und einer Handvoll weiteren Mitstreiter*innen Versuchsflächen in ganz Deutschland genehmigen lassen, von Rendsburg/Eckernförde über Eberswalde bis nach Freiburg. Auf der Pilotanlage von Finizio in Eberswalde wurde auch unser Festivalschiet der letzten Saison kompostiert. Proben werden dem Boden entnommen und im Labor auf verschiedene Parameter getestet. Foto: Finizio GmbH - Future Sanitation Getestet wurde der Kompost, der in dieser Zusammenarbeit entstand, auf sämtliche Standardparameter und Nährstoffe, Fremdstoffe wie Glas und Plastik, auf organische Schadstoffe wie Dioxine, auf Schwermetalle und pharmazeutische Rückstände und auf Hygieneparameter – also Krankheitserreger wie E.Coli, Salmonellen und Enterokokken. Wir konnten nachweisen, dass menschlicher Kot – korrekt kompostiert – alle gesetzlichen Grenzwerte einhält und somit absolut ungefährlich ist. Und nicht nur das. Der Nährstoffgehalt macht den Kompost zu einem Humusdünger, der die Bodenfruchtbarkeit erhöht. GENORMTER KACKE-KOMPOST Der Produktstandard ist nun offiziell festgehalten in einer DIN SPEC – eine Scheiße-DIN sozusagen. Genauer: Die DIN SPEC 91421. Eine DIN SPEC ist die kleine Schwester der Deutschen Industrienorm. Ein paar Seiten mit gedruckten Buchstaben auf weißem Papier. Aber womöglich sind es die entscheidenden Seiten, durch die sich die zahlreichen Arbeitsstunden und vereinzelten grauen Haare endlich auszahlen. Für uns, aber auch alle anderen, die an diesem Projekt mitgewirkt haben: Zum Beispiel das Leibniz-Institut für Gemüse- und Zierpflanzenbau (IGZ), Finizio, das Helmholtz-Zentrum Umweltforschung (UFZ) und das Kollektiv für angepasste Technik (KanTe) und der Verein Netzwerk für nachhaltive Sanitärsysteme e.V., in dem wir uns organisieren. Die DIN SPEC ist das Tor zu Level zwei: der Aufnahme von Fäkalkompost in die Düngemittelverordnung. Das ist in etwa vergleichbar mit der Aufnahme einer Sportart in die olympischen Disziplinen. Extrem unwahrscheinlich und extrem selten. Im November 2020 wird die DIN SPEC veröffentlicht. Wir können dann mit einer wissenschaftlich wasserdichten, von einem Expert*innen-Gremium abgesegneten Norm an die Öffentlichkeit gehen und erstmals zeigen, dass menschliche Fäkalien ganz ohne konventionelle, wassergespülte Toiletten, Kanalisation und Klärwerke behandelt werden können und sicher sind. Hier hält Enno das Endprodukt aus der Pilotanalage von Finizio in der Hand: sogenannter Humusdünger aus Inhalten von Trockentoiletten (H.I.T.) – feinster Kompost aus eurer Festivalscheiße. Er riecht nach frischem Waldboden. Foto: Goldeimer WELCHE MÖGLICHKEITEN ERÖFFNET DAS? Wir können Kot und Urin aus Trockentoiletten und wasserlosen Urinalen ohne Umwege recyclen und als Grundlage für Düngemittel ins Spiel bringen. Das bedeutet, dass auch eine Vermarktung in greifbare Nähe rückt. Dazu wurden explizite Qualitätskriterien und Anforderungen zusammengetragen. '''Würde eine Vermarktung Hand in Hand mit einer deutschlandweiten Sanitärwende gehen – sprich, alle menschlichen Hinterlassenschaften recycelt werden, könnten alleine dadurch 17 bis 25 Prozent der bei uns eingesetzten synthetischen beziehungsweise mineralischen Düngemittel ersetzt werden.''' Mit der DIN SPEC wird eine wichtige Grundlage dafür gelegt. Nun ist die Politik am Zug. '''Wir fordern direktes Recycling mit Nährstoffrückgewinnung, statt energieintensive Abwasserreinigung und Verbrennung!''' Wir machen gerne den Anfang: Wir betreiben seit 2013 Komposttoiletten auf Festivals in Deutschland. Wir haben sehr viel Scheiße gesammelt. 90 Prozent der gesammelten Biomasse haben wir in den vergangenen Jahren kompostieren lassen, meistens in Klärschlammkompostieranlagen, immer wieder für Versuchs- und Forschungszwecke in genehmigten Testanlagen. Wir durften den Kompost jedoch nie auf einer Fläche ausbringen und machen, wovon wir schon immer geträumt haben. Doch jetzt ist es soweit. Unsere Partner*innen und Verwertungsbuddis von Finizio haben Kompost angeliefert. Vor Freude gibt es erstmal eine schöne Arschbombe in den Haufen. Foto: Goldeimer Auf einer über hundert Quadratmeter großen Fläche mitten in Hamburg wird der erste kleine Goldeimer „Festival Forest“ angepflanzt. Auf dem Gelände eines alten Recyclinghofs, direkt an der Bille. PARKS heißt das Projekt, es ist eine Experimentierfläche für Anwohner*innen, Künstler*innen, Landschaftsarchitekt*innen, den HALLO:Verein, der hier nachbarschaftliche Initiativen fördert und Kulturangebote schafft, und nun auch für uns. Denn nun liegt er hier, der erste Kackekompost, den wir im öffentlichen Raum ausbringen dürfen. Gespendet von tausenden Festival-Besucher*innen des Vorjahres, zu Kompost veredelt von unseren Buddies von Finizio, gemischt mit Hamburger Mutterboden. Entstanden ist schwarze, wohlduftende, fruchtbare Erde. Erde, auf der nun Bäume gepflanzt werden. Es ist noch kein echter Kackewald, doch das ist ja auch erst der Anfang. Schließlich gibt es noch einen Arsch voll Menschen auf diesem Planeten, deren Kacke noch nicht zu Erde verarbeitet wird. Genug Material, um sehr viele Wälder aufzuforsten. Die DIN SPEC 91421 kann hier kostenlos runtergeladen werden. https://goldeimer.de/blogs/blog/kackewald --[[Benutzer:Methodios|Methodios]] ([[Benutzer Diskussion:Methodios|Diskussion]]) 10:41, 22. Aug. 2022 (CEST) cxv8zg9bdg1uf2a0qvsn00kzrh4bvla 106 144529 784741 2022-08-22T06:53:33Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Riemannsche Flächen/3/Klausur|opt2=punktelösung}} kps9tryyheq3sfnniqs7o9e2eu5zkqn 106 144530 784744 2022-08-22T06:53:50Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Riemannsche Flächen/2/Klausur|opt2=punktelösung}} 60h82plbakvmcp3ut0g984xdwankbx6 106 144531 784746 2022-08-22T06:54:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Riemannsche Flächen/1/Klausur|opt2=punktelösung}} halp415dzh2a2zfg1jvc5x9jx5raj8u 0 144532 784768 2022-08-22T06:57:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Riemannsche Flächen/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe|opt1=Lösung}} 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Ma:Vergleichskette | 0 |\in| V || || || |SZ= }} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} heißt das inverse Element das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term= v |SZ=}} und wird mit {{math|term= -v |SZ=}} bezeichnet. Wie in Ringen gilt wieder {{Stichwort|Punktrechnung vor Strichrechnung|SZ=,}} d.h. die Skalarmultiplikation bindet stärker als die Vektoraddition. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{ Ma:Vergleichskette | K || \R || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette | K || {{CC|}} || || || |SZ= }} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0|SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{ Ma:Vergleichskette | K^0 || 0 || || || |SZ= }} auffassen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term=K^n|SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{math/disp|term= {{op:Zeilenvektor|a_1|a_2| \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektoren {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2| \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_i |{{defeq}} | {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term=1|SZ=}} an der {{math|term=i|SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term=i|SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Ebene/Vektorraum/Anschaulich/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel|opt1=als additive Struktur|zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term= {{CC}} |SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term={{CC}}|SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel|| }} Polynome werden wir später einführen, sie sind vermutlich aus der Schule bekannt. {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Reelle Zahlen als Vektorraum über Q/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Körper/Abbildungsmenge/Beispiel|| }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |I ||\N || || || |SZ= }} spricht man auch von dem {{Stichwort|Folgenraum|SZ=}} zu {{math|term=K|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |I ||K ||\R || || |SZ= }} handelt es sich um den {{Stichwort|Abbildungsraum|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Funktionenraum|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= \R |SZ=}} nach {{math|term= \R |SZ=,}} also die Menge aller Funktionen von {{math|term= \R |SZ=}} nach {{math|term= \R |SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lf4osh9zu2rlgrw3w6pau5zrct223oa 2 144544 786296 2022-08-22T11:02:27Z Gkjv 35856 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki == Aufgabe == '''1)''' Verfassen Sie ein für Ihre Firma typisches Angebot. Danach zeigt die Lehrperson Ihren Text anonymisiert, im Plenum wird geraten: Von welcher mitstudierenden Person stammt das Angebot?</br> Kriterien: * Darstellung (Übersichtlichkeit) und Rahmenelemente (Absender, Empfänger usw.) * Inhalt: Sachlicher Teil (Angaben zu Dienstleistung/Produkt, Preis/Rabatte, [[w:Lieferungsbedingungen|Liefer-]]/[[w:Zahlungsbedingung|Zahlungsbedingungen]]) und werbender Teil (Qualität, Alternativen, Kundenerfahrung) * (Sprachliche Korrektheit) '''2)''' Im Plenum wird mittels Online-Tool (z.B. ''Forms'') abgestimmt: Welches Angebot ist für euch das beste? Alle, inklusive subjektive, Kriterien zählen. == Bewertete Hausaufgabe == Beantworten Sie folgende Mail: Guten Tag Ihr Betrieb zählt zu den [Anzahl Kursteilnehmende] wichtigsten Ihrer Branche in der Region. Ich suche einen Betrieb, in welchem ich eine Konferenz zum Thema Nachhaltigkeit geben kann. Deshalb bin ich auf Ihren Betrieb gestossen. Meine halbstündige Konferenz sollte am [heute in zwei Monaten] zur Mittagszeit stattfinden. Der Saal muss Platz für 40 Personen bieten und konferenztauglich sein. Anschliessend möchte ich eine Führung durch Ihren Betrieb für 10 Personen mit Mittagessen durchführen. Die Ihnen entstehenden Kosten werden von meinem Departement getragen. Bitte senden Sie mir Ihr detailliertes Angebot mit Prospekten. Schreiben Sie zudem ein paar Zeilen, wie Ihr Betrieb zum Thema Nachhaltigkeit steht. Ich freue mich auf Ihr Angebot per Post bis [heute in zwei Wochen]. Freundliche Grüsse Maria Muster, Regierungsrätin Die Regierungsrätin wird aus allen eingegangen Angeboten einen Betrieb auswählen, in welchem sie den Anlass durchführen wird. Für Sie wäre der Anlass eine gute Gelegenheit, Werbung für Ihre Firma zu machen (Bericht in Regionalzeitung, Lokalfernsehen). Beginnen Sie den Brief, indem Sie sich für die Anfrage bedanken, Ihre Firma kurz vorstellen und auf das Thema Nachhaltigkeit eingehen. Schreiben Sie danach, was Sie genau bieten: Räumlichkeit, Führung, Essen. Zögern Sie nicht, Zahlen, Fakten und Namen zu nennen: Je detailreicher Sie das Angebot schreiben, desto höher die Chance, dass die Regierungsrätin Ihre Firma auswählt. Wichtiger als der Kostenpunkt erscheint die genaue Planung. == Weiterführendes == * COMPENDIO Seiten 118-124. * HEP Seiten 30-31. 30uow0c1b41qdn4bjbyu1m2la1cz9x5 786306 786296 2022-08-22T11:03:53Z Gkjv 35856 wikitext text/x-wiki == Aufgabe == '''1)''' Verfassen Sie ein für Ihre Firma typisches [[w:Angebot (Betriebswirtschaftslehre)|Angebot]]. Danach zeigt die Lehrperson Ihren Text anonymisiert, im Plenum wird geraten: Von welcher mitstudierenden Person stammt das Angebot?</br> Kriterien: * Darstellung (Übersichtlichkeit) und Rahmenelemente (Absender, Empfänger usw.) * Inhalt: Sachlicher Teil (Angaben zu Dienstleistung/Produkt, Preis/Rabatte, [[w:Lieferungsbedingungen|Liefer-]]/[[w:Zahlungsbedingung|Zahlungsbedingungen]]) und werbender Teil (Qualität, Alternativen, Kundenerfahrung) * (Sprachliche Korrektheit) '''2)''' Im Plenum wird mittels Online-Tool (z.B. ''Forms'') abgestimmt: Welches Angebot ist für euch das beste? Alle, inklusive subjektive, Kriterien zählen. == Bewertete Hausaufgabe == Beantworten Sie folgende Mail: Guten Tag Ihr Betrieb zählt zu den [Anzahl Kursteilnehmende] wichtigsten Ihrer Branche in der Region. Ich suche einen Betrieb, in welchem ich eine Konferenz zum Thema Nachhaltigkeit geben kann. Deshalb bin ich auf Ihren Betrieb gestossen. Meine halbstündige Konferenz sollte am [heute in zwei Monaten] zur Mittagszeit stattfinden. Der Saal muss Platz für 40 Personen bieten und konferenztauglich sein. Anschliessend möchte ich eine Führung durch Ihren Betrieb für 10 Personen mit Mittagessen durchführen. Die Ihnen entstehenden Kosten werden von meinem Departement getragen. Bitte senden Sie mir Ihr detailliertes Angebot mit Prospekten. Schreiben Sie zudem ein paar Zeilen, wie Ihr Betrieb zum Thema Nachhaltigkeit steht. Ich freue mich auf Ihr Angebot per Post bis [heute in zwei Wochen]. Freundliche Grüsse Maria Muster, Regierungsrätin Die Regierungsrätin wird aus allen eingegangen Angeboten einen Betrieb auswählen, in welchem sie den Anlass durchführen wird. Für Sie wäre der Anlass eine gute Gelegenheit, Werbung für Ihre Firma zu machen (Bericht in Regionalzeitung, Lokalfernsehen). Beginnen Sie den Brief, indem Sie sich für die Anfrage bedanken, Ihre Firma kurz vorstellen und auf das Thema Nachhaltigkeit eingehen. Schreiben Sie danach, was Sie genau bieten: Räumlichkeit, Führung, Essen. Zögern Sie nicht, Zahlen, Fakten und Namen zu nennen: Je detailreicher Sie das Angebot schreiben, desto höher die Chance, dass die Regierungsrätin Ihre Firma auswählt. Wichtiger als der Kostenpunkt erscheint die genaue Planung. == Weiterführendes == * COMPENDIO Seiten 118-124. * HEP Seiten 30-31. bm2eiirelrhhnxlavn1djzginegs55m